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POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES Y RACIONALES POSITIVOS

Potenciación de números naturales y racionales positivos: Una potencia es un producto de varios factores iguales:

Ejemplo: 34 = 3 . 3 . 3 . 3 = 81 (tres multiplicado por sí mismo cuatro veces)

Con números racionales: (3

2)

2=

3

2.

3

2=

3

4 o bien (0,2)3 = 0,2 . 0,2 . 0,2 = 0,008

1) Escribir como potencia y calcular los siguientes productos:

a) 2.2.2.2= b) 3.3.3.3.3.3= c) 5.5=

d) 0,2 . 0,2 .

0,2= e) 3

2.

3

2.

3

2=

f) 1,5 .1,5 .1,5 . 1,5 =

2) Completar el siguiente cuadro con los cuadrados y cubos de los 20 primeros

números naturales:

a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

𝑎2

𝑎3

3) Resuelve las siguientes potencias

a) (5)2 = b) 46 = c) 150 =

d) (3

2)

2= e) (

1

4)

4== f) (3)1 =

h) (3,5)3 = i) (0,06)2 = j) (1,3)4 =

Instituto Fray Mamerto Esquiú Matemática 1° año – Escuela Secundaria Básica Prof. Virginia Bosso

Alumno/a: ………………………………………………………………………….……………………………. 1ro: …….

a n = a. a . a … a

Base

Exponente

n - veces

2

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN:

1) Todo número elevado a la potencia 1 da como resultado el mismo número

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 51 = 5

Agregá un ejemplo con números racionales: ……………………………………………………………..

2) Todo número elevado a la potencia 0 da como resultado 1

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 30 = 1

Agregá un ejemplo con números racionales: ……………………………………………………………..

3) POTENCIAS DE IGUAL BASE:

a) Cuando se tiene la misma base y la operación que las vincula es la

multiplicación, los exponentes se suman

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 32. 34 = 32+4 = 36

Agregá un ejemplo con números racionales: ……………………………………………………………..

b) Cuando se tiene la misma base y la operación que las vincula es la división,

los exponentes se restan

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 56: 54 = 56−4 = 52

Agregá un ejemplo con números racionales: ……………………………………………………………..

4) POTENCIA DE POTENCIA:

Cuando se tiene un número elevado a una potencia y este a su vez elevado a otra

potencia, estas se multiplican

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: (23)4 = 212

Agregá un ejemplo con números racionales: ……………………………………………………………..

5) La potencia es distributiva con respecto al producto y al cociente:

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: (2.4)3 = 23. 43

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: (6: 3)2 = 62: 32

Ejemplo: (3

2)

2=

32

22 =9

4

ATENCIÓN: LA POTENCIA NO PUEDE DISTRIBUIRSE EN SUMA Y RESTA

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: (7 + 3)2 ≠ 72 + 32

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: (5 − 4)2 ≠ 52 + 42

3

4) Resuelve los siguientes cálculos aplicando las propiedades de la potenciación, cuando sea posible

a) ( 4 )5 : ( 4 )3 = b) 54 . 52 . 5 . 50 =

c) [ ( 3 )2 ]4 : ( 3 )5 =

d) 63 . 62 . 67 : (63)4 =

e) (42.45:43)

2

44:42 f) (2.3)3 . 24 . 32 : 25 =

g) ( 54 )2 : ( 52 )3 =

h) ( 2 7 : 2 5 )3 =

i) (1,3)2 . (1,3)5: (1,3)7=

j)

[(5

4)

2.(

5

4)

3:(

5

4)] 3

(5

4)

5.(

5

4)

2 =

k) (0,2)5.(0,2)3

(0,2)4 = l)

[(1

5)

2.(

1

5)

2:(

1

5)] 4

(1

5)

2.(

1

5)

3 =

Radicación de números naturales y racionales positivos: Se define la radicación como:

Cuando el índice de una raíz es 2, no se escribe, √𝑎 significa raíz cuadrada de 𝑎

Ejemplos:

√25 = 5 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 52 = 25

√643

= 4 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 43 = 64

√36

25=

6

5 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 (

6

5)

2

=36

25

√0,0083

= 0,2 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 (0,2)2 = 0,008

PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN:

1) La raíz con cualquier índice del valor 1 es siempre 1

√1𝑛

= 1 ∀𝑛 ∈ 𝑁 , 𝑛 ≥ 2

√𝑎𝑛

= 𝑏

√𝑎𝑛

= 𝑏 𝑠𝑖𝑖 𝑏𝑛 = 𝑎

Índice

Radicando

Raíz

Radical

4

2) La raíz de un producto o de un cociente puede distribuirse. No puede distribuirse

ni agruparse en suma y resta

√𝑎. 𝑏𝑛

= √𝑎𝑛

. √𝑏𝑛

∀𝑛 ∈ 𝑁 , 𝑛 ≥ 2

Por ejemplo:

Si tenemos la operación √8.643

resulta más fácil distribuir la raíz y calcular por

separado √83

. √643

= 2.4 = 8

Sin embargo, en algunos casos conviene agrupar la raíz, para facilitar los cálculos

√2. √8 = √2.8 = √16 = 4

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑛 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑒𝑙 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜 í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒. 𝑆𝑖 𝑛𝑜 𝑙𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛,

ℎ𝑎𝑏𝑟á 𝑞𝑢𝑒 𝑏𝑢𝑠𝑐𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛 í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒

En el caso del cociente resulta similar la aplicación:

√32

√2= √

32

2= √16 = 4 (𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑟𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑎𝑟𝑖𝑜)

3) RAÍZ DE RAÍZ: cuando se tiene una raíz de raíz, los índices pueden multiplicarse

√ √𝑎𝑚𝑛

= √𝑎𝑛.𝑚

∀𝑛, 𝑚 ∈ 𝑁 𝑛, 𝑚 ≥ 2

𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: √√642

3

= √643.2

= √646

= 2

4) TRANSFORMACIÓN DE RAÍZ EN POTENCIA FRACCIONARIA:

Cualquier raíz puede transformarse en potencia fraccionaria

√263= 2

62⁄ = 23 = 8

5) Resuelve cada una de las siguientes raíces:

.

√81 =.................... √643

=................. √25 =....................... √1287

=..................

√100004

=.................... √83

=................. √

27

8

3=.................. √

25

16=.......................

√49

25=………….. √

121

144=……………. √

1

100=………… √

16

81

4=………..

ATENCIÓN: ESTA PROPIDEDAD NO PUEDE APLICARSE EN SUMA O RESTA

√9 + 16 ≠ √9 + √16

En este caso, primero se resuelve la suma y luego se calcula la raíz

√9 + 16 = √25 = 5

5

√64

125

3=………… √

1

1000

3=…………. √

16

25=……… √

16

81

2=…………..

√8

27

3=………….. √

81

256

4=………….. √

125

1000

3=..................

6) Resuelve aplicando previamente las propiedades de la radicación

a) √√256 = b) √625 .814

=

c) √√643

= d) √100: 4 =

e) √4 .25 = f) √64 ∶ 83

=

g) √27 .10003

= h) √1000 ∶ 1253

=

i) √2. √2 = j) √18 ∶ √2 =

k) √3. √12 = l) √75 ∶ √3 =

m) √53

. √2003

= n) √804

∶ √54

=

o) √81

49 .

9

25= p) √

512

100 ∶ (

64

343)

3=

q) √100

36 ∶

9

16= r) √

125

27 ∶

8

27

3=

s) √144

49 .

36

121= t) √

1

7 . √

1

7 =

u) √1

2 . √

1

18 = v) √

2

3 . √

2

243 =

7) Resuelve las siguientes operaciones combinadas:

a) 3. 23 − √9 + 5.8 + (42 + 4): √100 − 723: 722 =

b) √102: 4 + 23

+ (21: 7 + 40)3: 8 − 2.24: (2 + 2.3) =

c) √2. 53 − 17.23

+ (82 − 4): √225 − 103: 53 =

d) (24: 8 + √289 + 1): 5 + √225: 3 − √2. √8 =

e) 63: 24 + √7.8 − 8.35

− 50 + (6 + 5.2): 23 =

f) (150 − 53). 6: 5 − 63: 7 + √(45: 5 + 1)2 + 3.23 =

g) 325: 324 + (62 − 4): √64 + √225.81 =

h) (0,4)3: (0,4) + √2. √32 + √2 + 15.25

∶ (1

2)

4

: (1

2)

2

=

i) ((12

5−

3

10) :

7

5)

3

+3

4=

j) (2

3−

1

2)

2:

1

27+ √

1

20+

11

100=

k) (2

3)

2. (

2

3)

6∶ (

2

3)

4+ √

1

25.

36

100+ (

5

36)

0=

l) ((1,5)3: (1,5))2 − √1

32

5+ √

125

64

3− (

4

15:

8

5+

1

3)

3=