Estudios Matemáticos Argentera. ***

Las máquinas evolucionan y se reproducen a velocidad

prodigiosa. Si no les declaramos la guerra a muerte será

demasiado tarde para resistirse a su dominio. Samuel

Butler

Módulo 4

Potenciación Y Radicación.

Leonardo de Pisa Matemático Italiano (1170-1250). Llamado también Fibonacci. Estudió bajo la dirección de maestros árabes y recorrió Egipto, Siria, Grecia y Sicilia. Tuvo ocasión de conocer el sistema de numeración indo-árabe, del cual se convirtió en un acérrimo defensor. Murió en 1250. Escribió muchos textos matemáticos. Su investigación más sobresaliente fue la serie de Fibonacci. LA SERIE DE FIBONACCI:

Es una secuencia de números enteros. Comienza por 1, 1,2,3,5,8,13,21,34… cada uno de ellos se obtiene sumando los dos anteriores. Esta serie se puede encontrar en la naturaleza, tal como en la flor de girasol que tiene 21 y 34 pétalos en diferentes direcciones, también en la piña piñonera y en la concha de los nautilus. Estas cifras guardan secretos todavía no descifrados.

1

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

La potenciación y la radicación son operaciones inversas y ambas son

parte esencial y central del aritmética. La potencia aumenta y la

radicación disminuye.

Partes de una potenciación.

Exponente

Potencia

Base de la potencia

Teoremas o leyes de los exponentes.

Sean a y b reales positivos; x, y , entonces:

1. Para multiplicar potencias de misma base: Se suman los

exponentes y la base se pasa igual x y x ya a a .

Ejemplos: a) 4 5 927 27 27 b) 5 5k kz z z

2. Division de potencia de la misma base: Se restan los

exponentes y se copia la base igual

xx y

y

aa

a

.

Ejemplos: a) 8

5

3

44

4 ; b)

7

2

5

1212

12

; c)

33 3 0

3

22 2 1

2

3. Cualquier valor elevado a la unidad es igual a la base, a el mismo. 1a a .

4. Potencia de potencia : Al elevar una potencia a otra y

x xya a se

multiplican los exponentes.

Ejemplos : a) 3

2 612 12 b) 3

2 3 2*3 62 2 8b b b

na p

2

5) Toda base diferente de cero elevada a la cero es igual a 1. Todas las potencias de exponente 0 son iguales a a la unidad. La base 0

a) 0

22 1b b) 0

1ndibvt

6) Si tenemos un producto de base elevada al mismo exponente

entonces, se multiplican las bases y se pasa el exponente igual.

3 32*3 6

7. Para la división, se dividen las bases y se pasa el exponente igual.

22

2

8 8

4 4

propiedad distributiva:

8. La potenciación no es distributiva con relacion a la adicion y

diferencia.

Ejemplos : a) 3 3 33 5 3 5 lo correcto es

3 33 5 2 8

9. La potenciacion es distributiva con relación a la división y la

multiplicación y también .

n nn n n

n

x xxy x y

y y

.

Ejemplos : a) 3 3

3

2 2

5 5

b)

4 4 45 7 5 7 .

10. La multiplicación es distribuctiva con respecto a la suma y la resta,

( )x a b ax bx Ejemplo: 5 (2+3)=5(2) + 5(3).

11. La division es distributiva con respecto a la suma y la resta. ( )a b a b

x x x

, Ejemplo:

8 6 8 64 3 7

2 2 2

3

Ahora al tener claro que la potencia de una expresión algebraica es la

misma expresión o el resultado de tomarla como factor dos o más veces.

Recordemos que:

1. 0

1a b Siempre y que la base no sea cero, es una ley.

2. 1

a+b a b

Pero ya a partir de aquí con exponente e-enésimos hay que entrar en

productos notables.

Potencia de un monomio

1ro. Se eleva el coeficiente a la potencia indicada.

2do. Se multiplica el exponente de cada letra por el exponente que

indique.

Ejemplos: Desarrollar 3

2 3 2*3 3 6 63 3 27x y x y x y

Exponente negativo:

Toda potencia con exponente negativo es igual al inverso de la misma

potencia con exponente positivo. 1n

na

a

Ejemplos: a) 2

2

1a

a

; b) 5

2 5

2

yx y

x

……………………..c) 2

2

55x

x

d) 2

2

15

5x

x

4

PRODUCTOS NOTABLES

Son ciertos productos que cumplen reglas fijas y sus resultados pueden

ser escritos por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.

Cuadrado de un binomio:

El cuadrado de la suma de dos números es igual al cuadrado del primer

número, más el doble del producto del primer número multiplicado por el

segundo, más el cuadrado del segundo.

2 2 2( ) 2a b a ab b

Si es una diferencia pues entonces se cambia el signo del segundo

término, 2 2 2( ) 2a b a ab b

E j em p l o1 : Desarrollar 2

7a

2 2 2 27 ( ) 2( )(7) (7) 14 49a a a a a

E j em p l o2 : De sa r r o l l a 2 2 2 24 ( ) 2( )(4) (4) 8 16m m m m m

E j em p l o3 :

Desarrollar: 2

2 3 2 2 2 3 3 2 4 2 3 64 3 (4 ) 2(4 )(3 ) (3 ) 16 24 9x y x x y y x x y y

Cubo de un binomio:

Es igual al cubo de la primera cantidad, más tres veces el cuadrado de

la primera por la segunda, más tres veces la primera por el cuadrado de

la segunda, más la segunda al cubo.

En el caso que sea una resta, simplemente debemos ir alternando los

signos empezando por positivo.

A partir de aquí es muy tedioso aprenderse mentalmente las reglas por

lo que se recomienda usar el binomio de Newton para n-ésima potencias.

3 3 2 2 3a+b 3 3a a b ab b

3 3 2 2 3a-b 3 3a a b ab b

5

BINOMIO DE NEWTON

El físico y matemático inglés Isaac Newton encontró la manera de

desarrollar la potencia de un binomio sin tener que realizar las multiplicaciones directas. Dicho teorema se le llama binomio de Newton y

lo definimos como:

2 2 3 01

0

( 1) ( 1)( 2)a b a ...

2! 3! !

En foma de sumatoria a b , que 0 k ,

n,k N.

n nn n n

n nn n k k

k

n n a b n n n b a bna b

n

a b asumimos n

y

Reglas:

1. Cada desarrollo tiene un término más que el exponente del binomio.

2. La primera cantidad empieza con el exponente del binomio y a medida

que avanza va disminuyendo en uno mientras que la segunda cantidad empieza con la menor potencia y va aumentando hasta llegar al

exponente del binomio. 3. El coeficiente de cualquier termino se obtiene multiplicando el

coeficiente del termino anterior por el exponente de a (1era cantidad) y se divide por el exponente de la segunda cantidad aumentado en uno.

Ejemplos: Resuelve las siguientes potencias.

a)

5 5 0 4 1 3 2 2 3 1 4 0 5

5 0 4 1 3 2 2 3 1 4 0 5

5 4 3 2 2 3 4 5

5 10 10 5 1

5 10 10 5

a b a b a b a b a b a b a b

a b a b a b a b a b a b

a a b a b a b ab b

b)

6

Triangulo de Pascal o Tartaglia

El triángulo de Pascal es un triángulo de números enteros, infinito y

simétrico. Una de sus aplicaciones consiste en conseguir los coeficientes

en el binomio de newton.

Los coeficientes de la forma desarrollada de ( )na b se encuentran en la

línea «n + 1» del Triángulo de Pascal.

1 1 1

1 2 1 1 3 3 1

1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1

1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12

Se continúa de forma que cada renglón empiece y termine en 1. Los números restantes son la suma de los dos números situados inmediatamente arriba a la derecha y a la izquierda.

Exponentes:

La suma de los exponentes de a y b en cada término es igual al

exponente n del binomio. Cuando disminuye el exponente de a aumente

el de b, tal como vimos anteriormente a través del binomio de newton.

Signos:

En ( )a b todos los signos son positivos, pero

En ( )a b se empieza con positivo y se va alternando.

Ejemplos: Desarrollar

a)

b) 5 5 4 3 2 2 3 4 5( ) 5 10 10 5a b a a b a b a b ab b

7

RADICACIÓN

La radicación es la operación inversa de la potenciación.

Se llama raíz de un número o de una expresión algebraica a todo número

o expresión algebraica que elevada a una potencia "n"; reproduce la

expresión dada.

La cantidad subradical o radicando debe de ser igual o mayor que cero

para estar en el campo de los números reales de lo contrario caerá dentro

de los complejos. Al momento de realizar una operación con radicales

debemos hacernos la preguntar ¿De qué número elevado a la “n” nos da

como resultado “a”?

Ejemplo: 4 4 444 481 3 3 3 3 3 3 3x x x ; 49 7 ; 3 2 2 3t t

Asumimos por defectos la existencia de un índice n=2, que no se marca

2249 7 (7)

Propiedades de los radicales

La radicación no es distributiva con relación a la adicción y

sustracción 3 5 3 5

Es distributiva respecto a la multiplicación y la división.

a. 144 9 144 * 9 1296 36x

b. 144 144 12

49 39

nn a b b a

8

3 3 3135 (5)(27) 3 (5) 2

4 6 4 2 6 2 2 32121 (11) 11w r w r w r

n

p q pn qx x

Exponentes fraccionarios

A una raíz también la podemos expresar como una potencia con

exponente fraccionario. Si queremos extraer una raíz a una potencia

dividimos el exponente de la potencia entre el índice de la raíz. La

expresión nos dará una expresión con exponente fraccionario si el

exponente no es divisible entre el índice de la raíz. m

n m nz z

a) 4 4 444 81 3 3 3 b) 5 3 3 52 2x x

Potencias de un monomio elevado a exponentes fraccionarios.

a) 2 3 2 43 4 3 2z z z b) 3 7 3 5 2 3 37 5 2 3 21 5 2w n w n w n

Simplificado de radicales.

El simplificado consiste en resumir al mínimo una expresión con radicales dígase en la extracción de los factores radicales (factores por la propiedad

uno) de la cantidad sub-radical. Pasos

Descomponer en factores el radicando de forma tal que uno de

ellos sea raíz exacta

Factores 527, pero 27 tiene raíz cúbica exacta 55 530 18 30 15 3 6 3 3k z k z z k z z Radicando

Introducción de un factor radical dentro del radical

Elevamos el factor a introducir el índice n de la expresión con radical.

Ejemplo: 2 3 2*3 3*3 6 93 33x y xy x y x y

2 2 4ab c a b c

9

Reducción de radicales.

Para esto tendremos dos casos, índice común e índice distinto

Para ambos casos tenemos que expresar los radicales como potencia de exponente

fraccionario t na .

Radicales con índice distinto llevar a un mismo índice.

Ejemplo: Dado 73 24 v k expresar como un solo índice.

Operando tenemos que 3 2

73 24 74v v k k Expresado con exponentes fraccionarios

3

4,

2

7 Entonces, ya tenemos radicales con el mismo índice 28 2821 8v k .

Radicales semejantes

Se llaman radicales semejantes aquellos que tienen un mismo índice y

una misma cantidad sub-radical.

x Semejante a 3 x

Mismo índice

57

43 ekz

Similar a

52 3 ekz

Misma cantidad sub-radical

10

Operaciones con radicales

Suma y resta de radicales

La regla principal al momento de efectuar cualquier suma es que estos

sean semejantes. Esto no es mas de lo que ves solo aplica el álgebra.

Como hacerlo:

Igualar la cantidad subradical en caso de que no lo

estén(simplificarla)

Sumamos algebraicamente los coeficientes k g dejando los ya

implicados radicales intactos

n n nk d w d k w d

Ejemplos. Resuelve

a.

b. 5 5 5 512 4 6 6 12 6 4 6 6 10x y x y x y x y

c.

Multiplicación de radicales

Como hacerlo.

Multiplicamos coeficientes

Multiplicamos las cantidades subradicales

Colocamos este producto bajo el radical(mismo índice)

n n na b ab

3 3

3

3

33

3

32 3

4

24 2

8

7 3 2 154 288 1

32 3)

4

33)

7 13 2 2

5 5

21 12 2

5

2 32 25

12 2

12 2

492

4

24 2

85

22

4 8 5

4

1 12 2 7 4 2 6 2 7 3 3 8 2 3 3

2 2

11

Ejemplos:

A. B.

División de radicales

Se dividen los coeficientes

Se dividen las cantidades subradicales

Colocamos este cociente bajo el radical(mismo índice)

nn

n n

n

ya y

b

a a

xxx

y

b b

Potencias de radicales z

z znnx y x y

Ejemplos:

a)

b)

c)

d)

e)

4 2

4 2

6

2 6 6 2

3

4 8

5*4 4 *8

20 32

20 2 4 20 4 2

5

80 2

4m m

m m

m simplificamos

m m

m

3 3 3 3

3 33 33 3

8 27 8 27 216 6

8 27 2 3 6

12

Racionalización

Es un proceso que consiste en eliminar el radical de una expresión

matemática.

En este caso eliminaremos el radical del denominador de una fracción, aunque en muchos casos presentado en el cálculo es necesario

racionalizar el numerador, todo depende cual sea la conjetura del problema que se nos presente.

Para racionalizar un monomio de este tipo se debe multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por el denominador de la

misma.

Ejemplo 1: 2

.a x a x a x

xx x x

a

x

Ejemplo 2: 5 3 5 3

.62 3 3

5

2 3

Racionalización de binomio con raíces cuadradas.

Para racionalizar un binomio con raíces cuadras se debe multiplicar el

numerador y denominador de la fracción por el conjugado del denominador de la misma.

Ejemplo 3: 2 2

3 2 5 6 3 5 6 3 5. 3 5 6

4 52 5 2 5 (2) ( 5

3

2 )5

Ejemplo 4: 2

2

3 2 3 7 (3 2)(3 7) (3 2)(3 7).

3 73 7 3 7 ( 3) ( 7)

3 2

3 7

(3 2)(3 7) 1

(3 2)(3 7)4 4

13

ACTIVIDADES

5 4

3 5

42 2

33

. Realiza las siguientes operaciones.

) 2 b) 5

2 3) d)

3 2

. :

) 2 b) 3

) 1 = 2

I

a

c

II Desarrolla

a x

xc

2 5

7 7 7

5 5

8 16 203 4 4

7 3 44

d) (2x -y)

. :

) 3 5 3 2 3 b) 4 5( 6 5 3)

) 4 8 5 2 d) 96 7 3

16 *5) f)

5

.

III Opera

a

c

x y x y ze

x z

IV Racionali

el denominador de las siguientes expresiones.

6) )

2 3

2 5) )

3 2 3 7

7 2 1) f)

4 10 11 2

za

ma d

x

b e

c

«No enseñaré a quien no sienta ganas de aprender y no explicaré nada a quien no

se esfuerce en aclarar las cosas por su cuenta, y si explico un cuarto de la

verdad, y el alumno, pensando y reflexionando él solo, no deduce los otros tres

cuartos, no pienso seguir instruyéndolo.” CONFUSIO

14

Bibliografía

Morel Roberto, Ventura Eduardo (2008); Matemática Superior I. Santo Domingo Rep. Dom: Universidad Católica de santo Domingo.

Sobel Max; Lerner Norbert, (2006). Precálculo. 6ta edición, México:

editora Pearson Educación.

Baldor Aurelio, (1994). Algebra. Undécima edición, México: editora Codice América, S.A.

Santillana I. serie umbral, (educación media).

(2001), 1ra edición, Rep.Dom: Editora Santillana

Demana; Waits; Foley; Kennedy y Blitzer. Matemáticas universitarias

introductorias con nivelador mathlab. (2009), 1ra edición, México: Editora Pearson Educación.

448 pág.

Peña Geraldino, Rafael. Matemática Básica Superior, (2005), 4ta edición,

Republica Dominicana. Editorial Antillanas.

Imagen de La presentación de este módulo: Autor y fuente desconocida

(Pendiente)

Nota: Muchos de los ejercicios de este modulo fueron propuestas hecha

por los estudiantes del fondo 12 del instituto

Revisado el 24 de abril 2012.

Prof. Wilton Oltmanns