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8/17/2019 Unidad 2 Potenciación y Radicación
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UUNNIIDDAADD 22:: PPOOTTEENNCCIIAACCIIÓÓNN,, RRAADDIICCAACCIIÓÓNN YY LLOOGGAARRIITTMMAACCIIÓÓNN
2.1 POTENCIACIÓN
La potenciación se utiliza para expresar un producto de
factores iguales. Es una operación matemática entre dostérminos
denominados base y exponente.
2.1.1 Elementos de la potenciación
Si Rnba ,, , entonces en la expresión ba n
a
se denomina base.n
se denomina exponente.b
se denomina potencia.
La expresión na se lee usualmente como « a elevado a
la n ». La forma como se calcula na varía según
elconjunto numérico al cual pertenezca el exponente:
Cuando el exponente es un número natural (
N n ), entonces na equivale a multiplicar a
por sí mismo n
veces. Es decir
aaaan
Cuando el exponente es un número entero negativo (
Z n ), entonces na equivale a su inverso
multiplicativo. Es decir:
n
n
aa
1
Cuando el exponente es una fracción irreducible (
Qn q
p ), entonces na equivale a un radical. Es
decir:
q pq
p
n aaa
2.1.2 Signos de la potenciación
En la expresión ba n :
Si n es impar y a es positivo, entonces b es
positivo. Si n
es impar y a
es negativo, entonces b es negativo. Si n
es par, entonces b es positivo independientemente del signo que
tenga a .
Resuelva las siguientes potencias:
Ejemplo No. 21
vecesn
http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicarhttp://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicar
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Potencia de un cociente:
Si Rnba ,,
y 0b , entonces:
n
nn
b
a
b
a
Potencias con exponente 0:Si Ra y 0a , entonces:
10 a
Potencia con exponente 1:
Si Ra , entonces:
aa 1
Potencia de un cociente con exponente
negativo:Si Rba , , Rn
y 0, ba entonces:
nn
a
b
b
a
Producto de potencias de igual base:
Si Rnma ,, , entonces:
nmnm aaa
Cociente de potencias de igual base:
Si Rnma ,, y 0a
entonces:
nm
n
m
aa
a
Potencia de una potencia:
Si Rnma ,, , entonces:
nmnm aa
Potencia de un producto:
Si Rnba ,, , entonces:
nnn baba
a. 5
2
1
b. 4mn
c. 35
Solución:
a. 32
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1 5
b. 444 nmnnnnmmmmmnmnmnmnmn
c. 125
1
555
1
5
15
3
3
2.1.3 Propiedades de la potenciaciónLa propiedades de la
potenciación reglas generales que permiten simplificar expresiones
algebraicas:
-
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Aplique las propiedades de la potenciación para simplificar las
siguientes expresiones:
a.
3
574
035
422
442
b.
2
725
523
10102
102102
c. 3
4232
2
1.3
y x y x
d. 2
41
023
2
21
33
2
ba
ba
ba
ab
e.
4253
k
k k k
b
bb
f. 111 y x
g. 2
11
y x
y x
Solución:
a. 32
323
2
2322
3
57
393
57
3543
574
035
4
2
4
24242
42
42
1422
422
442
642222222
2
2
2
2
2
4
4
2 66
12
6
62
6
6
6
6
b.
2
9
1122
95
5672
95
552322
725
523
10
102
102
10102
102
102102
10102
102102
1000016101010102222102102 44222
160000 c. 3
34
3
62223
3
42322
3
4232
2
1.3
2
1.3
2
1.3
y x y x y x y x y x y x
9161294
8
9
8
19 y x x y x
Ejemplo No. 22
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d.
24
23
33
332
4
33
3
32
4
23
2
22
41
023
2
21
363633233
2
b
a
b
a
b
a
b
a
b
aa
bb
aa
ba
ba
ba
ab
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
24216
93
21636
33
8
62
9
9
242
6
333
9
e.
38454
84
54
84
53
84
53
24
53
42
5322
222
k k k k k
k k
k
k k k
k
k k k
k
k k k
k
k k k
bbb
b
b
b
b
bb
b
bb
b
bb
f. y x
xy
xy
y x
y x y x
11
111 11
g.
222
22
22
211
1
11
y x xy xy xy y x
y x
y x
xy
y x
y x
y x
y x
y x
2.2 RADICACIÓN
La raíz n -enésima de un número a
es un número b , si y solamente si la n -ésima potencia de
b
es a . Esdecir:
ban
abn
2.2.1 Elementos de la radicaciónSi Rba , y
Z n entonces en la expresión ban
a
se denomina radicando.n
se denomina índice.b
se denomina raíz.se denomina radical.
La expresión n a se lee usualmente como «raíz n -ésima de
a ».
2.2.2 Signos de la radicaciónRadicando: a Índice: n
Raíz: b
PositivoPar Positiva o negativa
Impar Positiva
NegativoPar No existe en R
Impar Negativa
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Raíz n -ésima de un número elevado a la n :
Si Ra y Z n , entonces:
aan n
Raíz n - ésima de un producto:
Si Rba , y Z n , entonces:
nnn baba
Raíz n - ésima de un cociente:Si Rba , ;
Z n y 0b , entonces:
n
n
n
b
a
b
a
Raíz de una raíz:
Si Ra y Z nm, , entonces:
nmm n aa
Raíz n - ésima de una potencia:
Si Rma , y Z n , entonces:
mnn m aa
Valor absoluto:Si Ra y n par, entonces:
0
0
a sia
a siaaan
n
b. 251
105
15
5
11055 105 mnnmnmnm
c. 2231
33
16
3
1
3
163 6
33272727 x x x x x
d.
326
118
6
112
6
118126 1812 nmnmnmnm
2.2.4 Propiedades de la radicación
Las propiedades de la radicación son reglas generales que
permiten simplificar radicales. Simplificar un radical esexpresarlo
en su forma más simple. Un radical está simplificado si:
El radicando no tiene ningún factor cuyo exponente sea
mayor o igual que el índice. El exponente del radicando y el
índice del radical no tienen entre sí ningún factor común distinto
de 1.
Aplique las propiedades de la radicación para simplificar las
siguientes expresiones:
a. 3
3
4
64
b. 3 27
c. 3 1812nm
Ejemplo No. 25
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d. 412
48
2
64
z
y x
e. 3 103824 z y x
f.
393
1510
1627
y x y x
g. 43 22 x Solución:
a. 333 3333333
3
22222828164
64
4
64
b. 33272727 3 3363
c. 32618
6
12
6 186 126 18123 1812 nmnmnmnmnm
d. 324
3
4
8
4
4
12
4 44 84
4 12
4 48
412
48
412
48216216323232
2
64
z
y x
z
y x
z
y x
z
y x
z
y x
z
y x
3
24
3
244 4
3
244 2222216
z
y x
z
y x
z
y x
e. 3 93 33 2633 103 33 833
1038 281616
z z y x x z y x z y x
33 93 33 23 633 28
z z y x x
33
9
3 23
6
33 3 22 z z y x x
3 232333 2323 2222
z x yz x z x yz x
f. 322
33
353
3 933
3 1593
3 93
3 1510
393
1510
22
3
22
3
22
3
16
27
16
27 x y x
xy
x y x
y x
xy x
y x
y x
y x
y x
g. 3 223 2633 83
4243 4243 2 222216222
x x x x x x x x
Aplique las propiedades de la potenciación para simplificar las
siguientes expresiones:
a. 11
11
43
43
ACTIVIDAD No. 6
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b. 1345246
3
6
xy y x
y x y x
c. 34
225
9
81
nm
nmm
d. 3
13
24
6
3
z xy
y x
e. 345
2432
q p
q p
f. 2
26
464
2
6
z xy
z y x
g.
baba
abba
nm
nm
5
25
h. 4
344
234
3
15
z y x
z y x
Aplique las propiedades de la radicación para simplificar las
siguientes expresiones:
a. 3 172414 wnm
b. 3 81014 n z w
c. 5810
364
ym
a
d. 4132
56
64
2
ba
ba
e. 3 121110128 cba
f.
6 502312
64 z y x g. 9881 ba
h.
8
1044
2314
6
30
z y x
z y x
ACTIVIDAD No. 7
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2.2.5 Radicales semejantes
Dos radicales son semejantes si tienen el mismo radicando y el
mismo índice.
Determine si 45 , 27 , 20
y 75
son radicales semejantes.
Solución:
La simplificación de cada radical es la siguiente:
5353535945 22
3333333927 22
5252525420 22
35353532575 22
De esta manera son semejantes los radicales 53 , 52
y 33 , 35
2.2.6 Operaciones con radicales
Adición y sustracción de radicales
Para sumar o restar radicales, primero se simplifican y luego se
reducen los radicales semejantes:
Sume los siguientes radicales:
a. 333 2505416
b. 11236
1483642525
4
c. xaax xaax 2222 251448164
d. 6363 2563634248
Solución:
a. 33333 33 33 3333 242523222523222505416
b. 7436
64864765743
6
64864765 1123
6
1483642525
2
4
2
2
2
4 224
64718712686473071266
4864730 2
1
c. xaax xaax xaax xaax
222222222222 51298251448164
Ejemplo No. 27
Ejemplo No. 26
-
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xaa x xaa x 251298
a x xa 414
d. 6 6363 36363 4236342622563634248
6363 423634262
6363 46634262
36 648
Multiplicación de radicales
Para multiplicar dos radicales, éstos deben tener el mismo
índice.
Multiplique los siguientes radicales:
a. 3 23 183 aa
b. 3 953 2 279 y x x
c. 6 2466 164 322
y xw y x
d. 5 1245 136 125350 nmnm
Solución:a. 33 333 33
23 23 232354183183 aaaaaaa
b. 3323 96233 973 9523
953 2 9333243279279
x y x xy x y x y x x y x x
c. 6 6182666 61886 2461646
2466 164 264322322
z y x x z y x y x z y x y x z y x
6 232 x z xy 6
2
32 zx xy 333
1
322 x z xy zx xy
d. 5 25105 1241365 1245 136
43750125350125350 nmnmnmnmnm
5525 552552 145145143125 nmnmnm
División de radicales
Para dividir dos radicales, éstos deben tener el mismo
índice.
Ejemplo No. 28
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Divida los siguientes radicales:
a.
3 74
3 47
2
16
y x
y x
b. 1
3
33
4
39
2
mn
nm
c. 3 4
3 5
84
16
m
m
d. 4 2
4 10
33
20
67
4
w
ww
Solución:
a. y
x
y
x
y
x y x
y x
y x
y x
y x 22
28
2
16
2
163
3
33
33
3 333
74
47
3 74
3 47
b. mnnmmn
nm
mn
nm
6
1
6
1
3
3
36
6
33
4
39
2
22
1
3
1
3
c. 333
3
34
5
3 4
3 5
24
1
2
22
4
1
8
16
4
1
84
16m
m
m
m
m
m
d. 464244 844
2
10
4
4 2
4 10
2
35
32
35
32
35
3
3
6
140
12
3320
67
4
wwwww
w
ww
w
ww
Realice las operaciones indicadas:
ACTIVIDAD No. 8
Ejemplo No. 29
-
8/17/2019 Unidad 2 Potenciación y Radicación
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a. 3 23 23 2 2773812
x x x
b. 333 375814243
c. x x x
75
7
245
4
3
d. 2451802125
e. 2718128
f. 5029
21
g. mnmn 322
h. xa xa 2 i. 2323
x x
j.
32
3/149
3
2
3/43
27
64
ba
ba
k. 105
34
34
216
nm
nm
2.3 RACIONALIZACIÓN
Racionalizar una expresión fraccionaria en la que el denominador
contiene uno o varios radicales, consiste enexpresarla como una
fracción equivalente sin radicales en el denominador. En la
racionalización de una fracción sedistinguen dos casos:
2.3.1 Racionalización de monomios
Para racionalizar el denominador, se busca que en él quede una
raíz exacta. Para ello, se multiplica el numerador yel denominador
por un radical seleccionado de la siguiente manera: Si el
denominador contiene un factor de laforma n k a , con
nk , entonces al multiplicar numerador y denominador
por n k na desaparece el radical deldenominador.
Este proceso se llama racionalización del denominador.
Racionalice las siguientes expresiones:
a. x5
3
Ejemplo No. 30
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8/17/2019 Unidad 2 Potenciación y Radicación
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b. 4 232
2
y x
c. 5 3
2
3
9
x
y x
d. 3 254
5
y x
x
Solución:
a. x
x
x
x
x x
x
x
x
x x 5
53
5
53
55
53
5
5
5
3
5
3
22
b.
xy
xy
xy
xy
y x
xy
xy y x
xy
xy
xy
y x y x
4 24 2
4 444
4 2
4 2323
4 2
4 23
4 23
4 234 23
8
2
82
2
82
22
82
2
2
2
2
2
2
c.
5 2
5 242
5 55
5 242
5 243
5 242
5 24
5 24
5 3
2
5 3
2
8133
39
3
39
33
39
3
3
3
9
3
9 x xy
x
x y x
x
x y x
x x
x y x
x
x
x
y x
x
y x
d.
3 2223 222
3 222
3 222
3325254
255
25
25
254
5
254
5
y x y x
y x x
y x
y x
y x
x
y x
x
24
225
254
255
254
255 3 223 222
3 333
3 222
y
y x
y x
y x x
y x
y x x
2.3.2 Racionalización de binomios
Para racionalizar una expresión fraccionaria en la cual el
denominador es un binomio con radicales, se multiplica elnumerador
y el denominador por la expresión conjugada del denominador.
Dos expresiones con dos términoscada una, se dice que son
conjugadas, si y solo si, difieren en el signo del segundo
término.
Racionalice las siguientes expresiones:
a. 23
7
b. x y
x
2
Ejemplo No. 31
-
8/17/2019 Unidad 2 Potenciación y Radicación
14/24
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t e n c i a c i ó n , R a d . y L o g . Página 38
c. 26
212
d.
y x
y x
3
Solución:
a.
237
237
29
237
23
237
23
23
23
7
23
72
2
b.
x y x xy
x y
x y x
x y
x y
x y
x
x y
x
2
2
2
2
2
2
22 22
c. 26
22622472
26
262122626
26212
26212
22
4
22626226
4
22622472 22
24
24
4
22626226
d.
y x y x
y x y x
y x
y x y x
y x
y x
y x
y x
y x
y x
3
333322
1. Racionalice cada una de las siguientes expresiones:
a. 5 9 2 y x
b. ab
ab
33
5
c. 3 3
25
mn
m
d.
y x
y x
3
ACTIVIDAD No. 9
-
8/17/2019 Unidad 2 Potenciación y Radicación
15/24
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e. 5 23
2
15
cab
abc
f. nm
m
4
g.
32
28
h. 232
523
2. Simplifique cada expresión y racionalice si es
necesario:
a. 5
8
5
7
23
x
y x
b. 3 2
3
3
62
x
x
c. 5 45 8
2
4
4
3
y
x
y
x
d. 3 23
3 y
x
1. Simplifique las siguientes expresiones:
a. 42
23
2
2
54
b
ba
ba
ba
b. 3
2
34
3
24
5
3
7
a
b
b
a
c. k k k
k
k
k y x
z
z
x
y z
x1
2
2
3
.3
2
d. 6
3
2
32
3 21
bba
aab
e. 2
1
2
1
1
2
1
2
1
111
aa
a
aa
a
ACTIVIDAD No. 10
-
8/17/2019 Unidad 2 Potenciación y Radicación
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2. Realice las siguientes operaciones:
a. x x 5453 3
b. 3 23 24 32 ababa
c.
4 454 5 3483 y x x x y
d. 3333 10424 x y x
e. 3 453 343 2 843 babaab
Simplifique las siguientes expresiones:
a.
c
c
cb
cc
cb
c
b
c
y x
y x
y x
1
1
1
b. 2
1
1212
12
2
22
x x
x
x x x x a
a
aaa
c. 4
21
1
1
1
1622
b
bb
b
b y y
y
y
d. n nnn
222
1
24
45
e. n
nn
nn1
24
23
932
2792
f. 22121 2 bbbb
g.
aaa
a
aa
a x x
x x
x x
1
1
11
2
h. a
aa
a
aaa x x
x x x
1
11
1
1
21
ACTIVIDAD No. 11
-
8/17/2019 Unidad 2 Potenciación y Radicación
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i. 32
21
4281
36
16
9
83
42
nnn
n
n
nn
j.
11
12
23
12
27
24381
33
3
nn
nnnn
n
nn
k.
nn
nn
n
nn
nn
n
21
12
32
1
1
22
3
5
33
3
5225
552
2
l. 2
1
2
1
1
2
1
2
1
111
aa
a
aa
a
2.4 LOGARITMACIÓN
El logaritmo en base b de un número N
es n si y solamente si la n -ésima potencia de b
es N . Es decir:
n N Log b
N bn
En otras palabras, el logaritmo del número N
en base b , es el exponente al cual debe elevarse la base
paraobtener el número N .
2.4.1 Elementos de la logaritmación
Si Rb N , y Rn
entonces en la expresión n N Log b
N se denomina argumento.
b
se denomina base.n
se denomina logaritmo.
La expresión n N Log b se lee
usualmente como « logaritmo en base b de
N »
Forma exponencial Forma logarítmica100010
3 310003100010 Log Log
1642 2164 Log
32
1
2
1 5
5
32
1
2
1 Log
25
15
2 232
15
Log
Ejemplo No. 32
-
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Logaritmo de un producto:
y Log x Log xy Log bbb
Logaritmo de un cociente:
y Log x Log y
x Log bbb
Logaritmo de una potencia:
xnLog x Log bn
b
Ecuaciones de cancelación:
nb
nb Log
n Log
n
b
b
2.4.2 Propiedades logarítmicas
Aplique las propiedades anteriores para calcular los siguientes
logaritmos:
a. 58022
Log Log
b. 23244
Log Log
c. 43
2434 Log
Solución:
a. 4165
80580
2222
Log Log Log Log
b. 3646443223244444
Log Log Log Log Log
c. 524324324343
44
3
4
3 Log Log Log
2.4.3 Logaritmos comunesLos logaritmos de base 10 se
denominan logaritmos comunes. Cuando se trabaja con logaritmos
comunes no esnecesario indicar la base, por lo tanto
LogN significa N Log
10. El logaritmo común de un número real positivo
N
es el exponente al que se debe elevar la base 10 para obtener
N . Es decir:
n LogN
N n 10
Ejemplo No. 33
-
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Logy Logx xy Log
Logy Logx y
x Log
nLogx Logxn
n Log n 10
nn Log 10
Lny Lnx xy Ln
Lny Lnx y
x Ln
nLnx Lnxn
ne Ln n
ne n Ln
Según lo anterior, las propiedades logarítmicas para logaritmos
comunes quedarían:
2.4.4 Logaritmos naturales
Los logaritmos de base e , donde 7183.2e
se denominan logaritmos naturales. Cuando se trabajan
conlogaritmos naturales no es necesario indicar la base y la
palabra Log
se cambia por Ln , por lo tanto
LnN significa N Log e . El
logaritmo natural de un número real positivo N
es el exponente al que se debe elevar la basee
para obtener N . Es decir:
n LnN
N en
Según lo anterior, las propiedades logarítmicas para logaritmos
naturales quedarían:
2.4.5 Cambio de base
Para cualesquiera bases de logaritmos a y b , y cualquier
número positivo N , se tiene que:
a Log
N Log N Log
b
ba
En particular:
-
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Lnb
LnN N Log
Logb
LogN N Log
b
b
Aplique cambio de base para calcular el siguiente logaritmo:
1001000
Log
Solución:
3
2
1000
100100
1000
Log
Log Log
Si en un inicio hay 1000 bacterias en un cultivo, y este número
se duplica cada hora, entonces el número debacterias al cabo de
t
horas puede calcularse mediante la fórmula:
t N 21000
a) ¿Cuánto tiempo tardará el cultivo en tener 30000
bacterias?b) Obtenga el modelo logarítmico
correspondiente.
Solución:a) Se debe reemplazar a N por
30000 y despejar t . Veamos:
t 2100030000
t 2
1000
30000
t 230
t Log Log 230 22
t Log 302
230
Ln
Lnt
6931.0
4011.3t
9070.4t
Es decir, el cultivo tardará en tener 30000 bacterias
aproximadamente 5 horas.
b)
Se debe despejar t de la ecuación
t N 21000 . Veamos:
t N 21000
t N 2
1000
t 230
t Ln N Ln 21000
21000
tLn N
Ln
Ejemplo No. 35
Ejemplo No. 34
-
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t Ln
N Ln
2
1000
t N
Log
10002
Es decir, el modelo logarítmico correspondiente es
1000
2 N Log t
1. Calcule los siguientes logaritmos:
a. 164
Log
b. 10242
Log
c. 10000 Log
d.
8116
3
2 Log
2. Aplique las propiedades logarítmicas para calcular los
siguientes logaritmos:
a. 39622
Log Log
b. 2844
Log Log
c. 43
274 Log
d. 096.44 Log
3.
Aplique cambio de base para calcular los siguiente
logaritmos:a. 10
100 Log
b. 328
Log
c. 93
Log
d. 12525
Log
Preguntas de selección múltiple con única respuesta: Las
preguntas de este tipo constan de un enunciado y decuatro
posibilidades de respuesta, entre las cuales se debe escoger la
correcta.
1.
La simplificación de2
22
33
5
25
y x
y x es:
ACTIVIDAD No. 12
AUTOEVALUACIÓN No. 2
-
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A. 2
2
25 x
y
B. 10
10
25 x
y
C.
10
10
25 y
x
D. 25
1010 y x
2.
23
es una solución de la ecuación:
A. 02 x B. 0762 x x
C. 0562 x x D. 023
x
3.
El número 000000007.0 es equivalente a:
A. 8107 B. 8107 C. 9107
D. 9107
4.
La simplificación de 5 1673128 y x
es:A. 532 22 y y x
B.
5
11
42 xy xy C. xy y x
42 1116
D. 534 42 xy y x
5. El resultado de la operación con radicales 321224
es:
A. 326 B. 34 C. 62 D.
3464
6.
El número 6101.6 es equivalente a:
A. 000061.0 B. 00000061.0 C.
0000061.0 D. 00061.0
-
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7. Al resolver mnmn
322
se obtiene:
A. 2
25 mn
B. 2
29 mn
C. 2
271 mn
D. mn
8.
La simplificación de la expresión 4545
2323
es:
A. 4
B.
5 C. 1 D. 1
9.
El resultado de la operación 3 233 233
y xy x y x
es:
A. y x
B. y xy x 3 24
C. y xy x 32
D.
y y x xy x 3 23
2 22
10. La racionalización de la expresión23
2
es:
A. 11
2
B. 11
423
C.
7
223
D. 7
2
11.
Al racionalizar la expresión8
3:
-
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A. El resultado tiene un radical en el
denominador.B. El resultado tiene una raíz exacta.C. El
resultado tiene únicamente un radical en el numerador.D. El
resultado no se puede racionalizar.
12.
La expresión y x
xy y-2 x
es la racionalización de:
A. y x
y xy
B. y x
y x
C. y x
y x
D. xy
y x
13. El valor de 00001.0 Log es:
A. 00001.010 B. 4 C. 5
D. 5
14.
La expresión y Log x Log bb
23 en un solo logaritmo es:
A. 23 y x Log b
B.
y
x Log b
2
3
C.
2
3
y
x Log b
D.
y
x
Log b2
3
