Unidad 2 Potenciación y Radicación

8/17/2019 Unidad 2 Potenciación y Radicación

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W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O - P o t e n c i a c i ó n , R a d . y L o g . Página 25

UUNNIIDDAADD 22:: PPOOTTEENNCCIIAACCIIÓÓNN,, RRAADDIICCAACCIIÓÓNN YY LLOOGGAARRIITTMMAACCIIÓÓNN

2.1 POTENCIACIÓN

La potenciación se utiliza para expresar un producto de factores iguales. Es una operación matemática entre dostérminos denominados base y exponente.

2.1.1 Elementos de la potenciación

Si Rnba ,, , entonces en la expresión ba n

a

se denomina base.n

se denomina exponente.b

se denomina potencia.

La expresión na se lee usualmente como « a elevado a la n ». La forma como se calcula na varía según elconjunto numérico al cual pertenezca el exponente:

Cuando el exponente es un número natural ( N n ), entonces na equivale a multiplicar a por sí mismo n

veces. Es decir

aaaan

Cuando el exponente es un número entero negativo ( Z n ), entonces na equivale a su inverso

multiplicativo. Es decir:

n

n

aa

1

Cuando el exponente es una fracción irreducible ( Qn q

p ), entonces na equivale a un radical. Es decir:

q pq

p

n aaa

2.1.2 Signos de la potenciación

En la expresión ba n :

Si n es impar y a es positivo, entonces b es positivo. Si n

es impar y a

es negativo, entonces b es negativo. Si n

es par, entonces b es positivo independientemente del signo que tenga a .

Resuelva las siguientes potencias:

Ejemplo No. 21

vecesn

http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicarhttp://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicar


2/24


Potencia de un cociente:

Si Rnba ,,

y 0b , entonces:

n

nn

b

a

b

a

Potencias con exponente 0:Si Ra y 0a , entonces:

10 a

Potencia con exponente 1:

Si Ra , entonces:

aa 1

Potencia de un cociente con exponente

negativo:Si Rba , , Rn

y 0, ba entonces:

nn

a

b

b

a

Producto de potencias de igual base:

Si Rnma ,, , entonces:

nmnm aaa

Cociente de potencias de igual base:

Si Rnma ,, y 0a

entonces:

nm

n

m

aa

a

Potencia de una potencia:

Si Rnma ,, , entonces:

nmnm aa

Potencia de un producto:

Si Rnba ,, , entonces:

nnn baba

a. 5

2

1

b. 4mn

c. 35

Solución:

a. 32

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1 5

b. 444 nmnnnnmmmmmnmnmnmnmn

c. 125

1

555

1

5

15

3

3

2.1.3 Propiedades de la potenciaciónLa propiedades de la potenciación reglas generales que permiten simplificar expresiones algebraicas:


3/24


Aplique las propiedades de la potenciación para simplificar las siguientes expresiones:

a.

3

574

035

422

442

b.

2

725

523

10102

102102

c. 3

4232

2

1.3

y x y x

d. 2

41

023

2

21

33

2

ba

ba

ba

ab

e.

4253

k

k k k

b

bb

f. 111 y x

g. 2

11

y x

y x

Solución:

a. 32

323

2

2322

3

57

393

57

3543

574

035

4

2

4

24242

42

42

1422

422

442

642222222

2

2

2

2

2

4

4

2 66

12

6

62

6

6

6

6

b.

2

9

1122

95

5672

95

552322

725

523

10

102

102

10102

102

102102

10102

102102

1000016101010102222102102 44222

160000 c. 3

34

3

62223

3

42322

3

4232

2

1.3

2

1.3

2

1.3 y x y x y x y x y x y x

9161294

8

9

8

19 y x x y x

Ejemplo No. 22


4/24


d.

24

23

33

332

4

33

3

32

4

23

2

22

41

023

2

21

363633233

2

b

a

b

a

b

a

b

a

b

aa

bb

aa

ba

ba

ba

ab

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

24216

93

21636

33

8

62

9

9

242

6

333

9

e.

38454

84

54

84

53

84

53

24

53

42

5322

222

k k k k k

k k

k

k k k

k

k k k

k

k k k

k

k k k

bbb

b

b

b

b

bb

b

bb

b

bb

f. y x

xy

xy

y x

y x y x

11

111 11

g.

222

22

22

211

1

11

y x xy xy xy y x

y x

y x

xy

y x

y x

y x

y x

y x

2.2 RADICACIÓN

La raíz n -enésima de un número a

es un número b , si y solamente si la n -ésima potencia de b

es a . Esdecir:

ban

abn

2.2.1 Elementos de la radicaciónSi Rba , y Z n entonces en la expresión ban

a

se denomina radicando.n

se denomina índice.b

se denomina raíz.se denomina radical.

La expresión n a se lee usualmente como «raíz n -ésima de a ».

2.2.2 Signos de la radicaciónRadicando: a Índice: n Raíz: b

PositivoPar Positiva o negativa

Impar Positiva

NegativoPar No existe en R

Impar Negativa


5/24


6/24


Raíz n -ésima de un número elevado a la n :

Si Ra y Z n , entonces:

aan n

Raíz n - ésima de un producto:

Si Rba , y Z n , entonces:

nnn baba

Raíz n - ésima de un cociente:Si Rba , ; Z n y 0b , entonces:

n

n

n

b

a

b

a

Raíz de una raíz:

Si Ra y Z nm, , entonces:

nmm n aa

Raíz n - ésima de una potencia:

Si Rma , y Z n , entonces:

mnn m aa

Valor absoluto:Si Ra y n par, entonces:

0

0

a sia

a siaaan

n

b. 251

105

15

5

11055 105 mnnmnmnm

c. 2231

33

16

3

1

3

163 6

33272727 x x x x x

d.

326

118

6

112

6

118126 1812 nmnmnmnm

2.2.4 Propiedades de la radicación

Las propiedades de la radicación son reglas generales que permiten simplificar radicales. Simplificar un radical esexpresarlo en su forma más simple. Un radical está simplificado si:

El radicando no tiene ningún factor cuyo exponente sea mayor o igual que el índice. El exponente del radicando y el índice del radical no tienen entre sí ningún factor común distinto de 1.

Aplique las propiedades de la radicación para simplificar las siguientes expresiones:

a. 3

3

4

64

b. 3 27

c. 3 1812nm

Ejemplo No. 25


7/24


d. 412

48

2

64

z

y x

e. 3 103824 z y x

f.

393

1510

1627

y x y x

g. 43 22 x Solución:

a. 333 3333333

3

22222828164

64

4

64

b. 33272727 3 3363

c. 32618

6

12

6 186 126 18123 1812 nmnmnmnmnm

d. 324

3

4

8

4

4

12

4 44 84

4 12

4 48

412

48

412

48216216323232

2

64

z

y x

z

y x

z

y x

z

y x

z

y x

z

y x

3

24

3

244 4

3

244 2222216

z

y x

z

y x

z

y x

e. 3 93 33 2633 103 33 833 1038 281616 z z y x x z y x z y x

33 93 33 23 633 28 z z y x x

33

9

3 23

6

33 3 22 z z y x x

3 232333 2323 2222 z x yz x z x yz x

f. 322

33

353

3 933

3 1593

3 93

3 1510

393

1510

22

3

22

3

22

3

16

27

16

27 x y x

xy

x y x

y x

xy x

y x

y x

y x

y x

g. 3 223 2633 83 4243 4243 2 222216222 x x x x x x x x

Aplique las propiedades de la potenciación para simplificar las siguientes expresiones:

a. 11

11

43

43

ACTIVIDAD No. 6


8/24


b. 1345246

3

6

xy y x

y x y x

c. 34

225

9

81

nm

nmm

d. 3

13

24

6

3

z xy

y x

e. 345

2432

q p

q p

f. 2

26

464

2

6

z xy

z y x

g.

baba

abba

nm

nm

5

25

h. 4

344

234

3

15

z y x

z y x

Aplique las propiedades de la radicación para simplificar las siguientes expresiones:

a. 3 172414 wnm

b. 3 81014 n z w

c. 5810

364

ym

a

d. 4132

56

64

2

ba

ba

e. 3 121110128 cba

f.

6 502312

64 z y x g. 9881 ba

h.

8

1044

2314

6

30

z y x

z y x

ACTIVIDAD No. 7


9/24


2.2.5 Radicales semejantes

Dos radicales son semejantes si tienen el mismo radicando y el mismo índice.

Determine si 45 , 27 , 20

y 75

son radicales semejantes.

Solución:

La simplificación de cada radical es la siguiente:

5353535945 22

3333333927 22

5252525420 22

35353532575 22

De esta manera son semejantes los radicales 53 , 52

y 33 , 35

2.2.6 Operaciones con radicales

Adición y sustracción de radicales

Para sumar o restar radicales, primero se simplifican y luego se reducen los radicales semejantes:

Sume los siguientes radicales:

a. 333 2505416

b. 11236

1483642525

4

c. xaax xaax 2222 251448164

d. 6363 2563634248

Solución:

a. 33333 33 33 3333 242523222523222505416

b. 7436

64864765743

6

64864765 1123

6

1483642525

2

4

2

2

2

4 224

64718712686473071266

4864730 2

1

c. xaax xaax xaax xaax 222222222222 51298251448164

Ejemplo No. 27

Ejemplo No. 26


10/24


xaa x xaa x 251298

a x xa 414

d. 6 6363 36363 4236342622563634248

6363 423634262

6363 46634262

36 648

Multiplicación de radicales

Para multiplicar dos radicales, éstos deben tener el mismo índice.

Multiplique los siguientes radicales:

a. 3 23 183 aa

b. 3 953 2 279 y x x

c. 6 2466 164 322 y xw y x

d. 5 1245 136 125350 nmnm

Solución:a. 33 333 33 23 23 232354183183 aaaaaaa

b. 3323 96233 973 9523 953 2 9333243279279 x y x xy x y x y x x y x x

c. 6 6182666 61886 2461646 2466 164 264322322 z y x x z y x y x z y x y x z y x

6 232 x z xy 6

2

32 zx xy 333

1

322 x z xy zx xy

d. 5 25105 1241365 1245 136 43750125350125350 nmnmnmnmnm

5525 552552 145145143125 nmnmnm

División de radicales

Para dividir dos radicales, éstos deben tener el mismo índice.

Ejemplo No. 28


11/24


Divida los siguientes radicales:

a.

3 74

3 47

2

16

y x

y x

b. 1

3

33

4

39

2

mn

nm

c. 3 4

3 5

84

16

m

m

d. 4 2

4 10

33

20

67

4

w

ww

Solución:

a. y

x

y

x

y

x y x

y x

y x

y x

y x 22

28

2

16

2

163

3

33

33

3 333

74

47

3 74

3 47

b. mnnmmn

nm

mn

nm

6

1

6

1

3

3

36

6

33

4

39

2

22

1

3

1

3

c. 333

3

34

5

3 4

3 5

24

1

2

22

4

1

8

16

4

1

84

16m

m

m

m

m

m

d. 464244 844

2

10

4

4 2

4 10

2

35

32

35

32

35

3

3

6

140

12

3320

67

4

wwwww

w

ww

w

ww

Realice las operaciones indicadas:

ACTIVIDAD No. 8

Ejemplo No. 29


12/24


a. 3 23 23 2 2773812 x x x

b. 333 375814243

c. x x x

75

7

245

4

3

d. 2451802125

e. 2718128

f. 5029

21

g. mnmn 322

h. xa xa 2 i. 2323 x x

j.

32

3/149

3

2

3/43

27

64

ba

ba

k. 105

34

34

216

nm

nm

2.3 RACIONALIZACIÓN

Racionalizar una expresión fraccionaria en la que el denominador contiene uno o varios radicales, consiste enexpresarla como una fracción equivalente sin radicales en el denominador. En la racionalización de una fracción sedistinguen dos casos:

2.3.1 Racionalización de monomios

Para racionalizar el denominador, se busca que en él quede una raíz exacta. Para ello, se multiplica el numerador yel denominador por un radical seleccionado de la siguiente manera: Si el denominador contiene un factor de laforma n k a , con nk , entonces al multiplicar numerador y denominador por n k na desaparece el radical deldenominador. Este proceso se llama racionalización del denominador.

Racionalice las siguientes expresiones:

a. x5

3

Ejemplo No. 30


13/24


b. 4 232

2

y x

c. 5 3

2

3

9

x

y x

d. 3 254

5

y x

x

Solución:

a. x

x

x

x

x x

x

x

x

x x 5

53

5

53

55

53

5

5

5

3

5

3

22

b.

xy

xy

xy

xy

y x

xy

xy y x

xy

xy

xy

y x y x

4 24 2

4 444

4 2

4 2323

4 2

4 23

4 23

4 234 23

8

2

82

2

82

22

82

2

2

2

2

2

2

c.

5 2

5 242

5 55

5 242

5 243

5 242

5 24

5 24

5 3

2

5 3

2

8133

39

3

39

33

39

3

3

3

9

3

9 x xy

x

x y x

x

x y x

x x

x y x

x

x

x

y x

x

y x

d.

3 2223 222

3 222

3 222

3325254

255

25

25

254

5

254

5

y x y x

y x x

y x

y x

y x

x

y x

x

24

225

254

255

254

255 3 223 222

3 333

3 222

y

y x

y x

y x x

y x

y x x

2.3.2 Racionalización de binomios

Para racionalizar una expresión fraccionaria en la cual el denominador es un binomio con radicales, se multiplica elnumerador y el denominador por la expresión conjugada del denominador. Dos expresiones con dos términoscada una, se dice que son conjugadas, si y solo si, difieren en el signo del segundo término.

Racionalice las siguientes expresiones:

a. 23

7

b. x y

x

2

Ejemplo No. 31


14/24


c. 26

212

d.

y x

y x

3

Solución:

a.

237

237

29

237

23

237

23

23

23

7

23

72

2

b.

x y x xy

x y

x y x

x y

x y

x y

x

x y

x

2

2

2

2

2

2

22 22

c. 26

22622472

26

262122626

26212

26212

22

4

22626226

4

22622472 22

24

24

4

22626226

d.

y x y x

y x y x

y x

y x y x

y x

y x

y x

y x

y x

y x

3

333322

1. Racionalice cada una de las siguientes expresiones:

a. 5 9 2 y x

b. ab

ab

33

5

c. 3 3

25

mn

m

d.

y x

y x

3

ACTIVIDAD No. 9


15/24


e. 5 23

2

15

cab

abc

f. nm

m

4

g.

32

28

h. 232

523

2. Simplifique cada expresión y racionalice si es necesario:

a. 5

8

5

7

23

x

y x

b. 3 2

3

3

62

x

x

c. 5 45 8

2

4

4

3

y

x

y

x

d. 3 23

3 y

x

1. Simplifique las siguientes expresiones:

a. 42

23

2

2

54

b

ba

ba

ba

b. 3

2

34

3

24

5

3

7

a

b

b

a

c. k k k

k

k

k y x

z

z

x

y z

x1

2

2

3

.3

2

d. 6

3

2

32

3 21

bba

aab

e. 2

1

2

1

1

2

1

2

1

111

aa

a

aa

a

ACTIVIDAD No. 10


16/24


2. Realice las siguientes operaciones:

a. x x 5453 3

b. 3 23 24 32 ababa

c.

4 454 5 3483 y x x x y d. 3333 10424 x y x e. 3 453 343 2 843 babaab

Simplifique las siguientes expresiones:

a.

c

c

cb

cc

cb

c

b

c

y x

y x

y x

1

1

1

b. 2

1

1212

12

2

22

x x

x

x x x x a

a

aaa

c. 4

21

1

1

1

1622

b

bb

b

b y y

y

y

d. n nnn

222

1

24

45

e. n

nn

nn1

24

23

932

2792

f. 22121 2 bbbb

g.

aaa

a

aa

a x x

x x

x x

1

1

11

2

h. a

aa

a

aaa x x

x x x

1

11

1

1

21

ACTIVIDAD No. 11


17/24


i. 32

21

4281

36

16

9

83

42

nnn

n

n

nn

j.

11

12

23

12

27

24381

33

3

nn

nnnn

n

nn

k.

nn

nn

n

nn

nn

n

21

12

32

1

1

22

3

5

33

3

5225

552

2

l. 2

1

2

1

1

2

1

2

1

111

aa

a

aa

a

2.4 LOGARITMACIÓN

El logaritmo en base b de un número N es n si y solamente si la n -ésima potencia de b es N . Es decir:

n N Log b

N bn

En otras palabras, el logaritmo del número N en base b , es el exponente al cual debe elevarse la base paraobtener el número N .

2.4.1 Elementos de la logaritmación

Si Rb N , y Rn

entonces en la expresión n N Log b

N se denomina argumento.

b

se denomina base.n

se denomina logaritmo.

La expresión n N Log b se lee usualmente como « logaritmo en base b de N »

Forma exponencial Forma logarítmica100010

3 310003100010 Log Log

1642 2164 Log

32

1

2

1 5

5

32

1

2

1 Log

25

15

2 232

15

Log

Ejemplo No. 32


18/24


Logaritmo de un producto:

y Log x Log xy Log bbb

Logaritmo de un cociente:

y Log x Log y

x Log bbb

Logaritmo de una potencia:

xnLog x Log bn

b

Ecuaciones de cancelación:

nb

nb Log

n Log

n

b

b

2.4.2 Propiedades logarítmicas

Aplique las propiedades anteriores para calcular los siguientes logaritmos:

a. 58022

Log Log

b. 23244

Log Log

c. 43

2434 Log

Solución:

a. 4165

80580

2222

Log Log Log Log

b. 3646443223244444

Log Log Log Log Log

c. 524324324343

44

3

4

3 Log Log Log

2.4.3 Logaritmos comunesLos logaritmos de base 10 se denominan logaritmos comunes. Cuando se trabaja con logaritmos comunes no esnecesario indicar la base, por lo tanto LogN significa N Log

10. El logaritmo común de un número real positivo N

es el exponente al que se debe elevar la base 10 para obtener N . Es decir:

n LogN

N n 10

Ejemplo No. 33


19/24


Logy Logx xy Log

Logy Logx y

x Log

nLogx Logxn

n Log n 10

nn Log 10

Lny Lnx xy Ln

Lny Lnx y

x Ln

nLnx Lnxn

ne Ln n

ne n Ln

Según lo anterior, las propiedades logarítmicas para logaritmos comunes quedarían:

2.4.4 Logaritmos naturales

Los logaritmos de base e , donde 7183.2e

se denominan logaritmos naturales. Cuando se trabajan conlogaritmos naturales no es necesario indicar la base y la palabra Log

se cambia por Ln , por lo tanto LnN significa N Log e . El logaritmo natural de un número real positivo N

es el exponente al que se debe elevar la basee

para obtener N . Es decir:

n LnN

N en

Según lo anterior, las propiedades logarítmicas para logaritmos naturales quedarían:

2.4.5 Cambio de base

Para cualesquiera bases de logaritmos a y b , y cualquier número positivo N , se tiene que:

a Log

N Log N Log

b

ba

En particular:


20/24


Lnb

LnN N Log

Logb

LogN N Log

b

b

Aplique cambio de base para calcular el siguiente logaritmo:

1001000

Log

Solución:

3

2

1000

100100

1000

Log

Log Log

Si en un inicio hay 1000 bacterias en un cultivo, y este número se duplica cada hora, entonces el número debacterias al cabo de t

horas puede calcularse mediante la fórmula:

t N 21000

a) ¿Cuánto tiempo tardará el cultivo en tener 30000 bacterias?b) Obtenga el modelo logarítmico correspondiente.

Solución:a) Se debe reemplazar a N por 30000 y despejar t . Veamos:

t 2100030000

t 2

1000

30000

t 230

t Log Log 230 22

t Log 302

230

Ln

Lnt

6931.0

4011.3t

9070.4t

Es decir, el cultivo tardará en tener 30000 bacterias aproximadamente 5 horas.

b)

Se debe despejar t de la ecuación t N 21000 . Veamos:

t N 21000

t N 2

1000

t 230

t Ln N Ln 21000

21000

tLn N

Ln

Ejemplo No. 35

Ejemplo No. 34


21/24


t Ln

N Ln

2

1000

t N

Log

10002

Es decir, el modelo logarítmico correspondiente es

1000

2 N Log t

1. Calcule los siguientes logaritmos:

a. 164

Log

b. 10242

Log

c. 10000 Log

d.

8116

3

2 Log

2. Aplique las propiedades logarítmicas para calcular los siguientes logaritmos:

a. 39622

Log Log

b. 2844

Log Log

c. 43

274 Log

d. 096.44 Log

3.

Aplique cambio de base para calcular los siguiente logaritmos:a. 10

100 Log

b. 328

Log

c. 93

Log

d. 12525

Log

Preguntas de selección múltiple con única respuesta: Las preguntas de este tipo constan de un enunciado y decuatro posibilidades de respuesta, entre las cuales se debe escoger la correcta.

1.

La simplificación de2

22

33

5

25

y x

y x es:

ACTIVIDAD No. 12

AUTOEVALUACIÓN No. 2


22/24


A. 2

2

25 x

y

B. 10

10

25 x

y

C.

10

10

25 y

x

D. 25

1010 y x

2.

23

es una solución de la ecuación:

A. 02 x B. 0762 x x C. 0562 x x D. 023 x

3.

El número 000000007.0 es equivalente a:

A. 8107 B. 8107 C. 9107 D. 9107

4.

La simplificación de 5 1673128 y x es:A. 532 22 y y x

B.

5

11

42 xy xy C. xy y x 42 1116

D. 534 42 xy y x

5. El resultado de la operación con radicales 321224

es:

A. 326 B. 34 C. 62 D. 3464

6.

El número 6101.6 es equivalente a:

A. 000061.0 B. 00000061.0 C. 0000061.0 D. 00061.0


23/24


7. Al resolver mnmn

322

se obtiene:

A. 2

25 mn

B. 2

29 mn

C. 2

271 mn

D. mn

8.

La simplificación de la expresión 4545

2323

es:

A. 4

B.

5 C. 1 D. 1

9.

El resultado de la operación 3 233 233 y xy x y x

es:

A. y x

B. y xy x 3 24

C. y xy x 32

D.

y y x xy x 3 23 2 22

10. La racionalización de la expresión23

2

es:

A. 11

2

B. 11

423

C.

7

223

D. 7

2

11.

Al racionalizar la expresión8

3:


24/24


A. El resultado tiene un radical en el denominador.B. El resultado tiene una raíz exacta.C. El resultado tiene únicamente un radical en el numerador.D. El resultado no se puede racionalizar.

12.

La expresión y x

xy y-2 x

es la racionalización de:

A. y x

y xy

B. y x

y x

C. y x

y x

D. xy

y x

13. El valor de 00001.0 Log es:

A. 00001.010 B. 4 C. 5 D. 5

14.

La expresión y Log x Log bb 23 en un solo logaritmo es:

A. 23 y x Log b

B.

y

x Log b

2

3

C.

2

3

y

x Log b

D.

y

x

Log b2

3

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Unidad 2 Potenciación y Radicación