Embed Size (px)
DESCRIPTION
matematika
Citation preview
Speciális matematika tankönyvek
P i n t é r L a j o s :
A f f l a l í z i s I .
' A .m u n ]Budapest, 2006
ISBN 963 9548 97 9
© Pintér Lajos, Typotex, 1998
Lektorok: Köváry Károly, Tandori Károly, Urbán János
Ez a kötet a Soros Alapítvány forgóeszköz-hitelének felhasználásával készült.
Tartalom
Kiadja a Typotex Kft. Elektronikus KiadóFelelős kiadó Votisky ZsuzsaFelelős szerkesztő Fekete GyulaTerjedelem 20 (A/5) ívBorítóterv Debre FerencKészült a pécsi Bornus NyomdábanFelelős vezető Borbély Tamás
Előszó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
A függvény fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
A függvény grafikonja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Feladatok. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Műveletek függvényekkel . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Feladatok.................................................. 27
Korlátos függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Feladatok. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Monoton függvények. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Feladatok. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Feladatok. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Feladatok. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Elemi függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ^Racionális egészfiggvények . . . . . . . . . . . . . 41
B) Racionális törtfiggvények . . . . . . . . . . . . . . 42C) Hatványfüggvények . . . . . . . . . . . . . . . . . 43D) Trigonometriai függvények. . . . . . . . . . . . . . 44
Feladatok. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45E) Exponenciális függvény . . . . . . . . . . . . . . . . 45F) Logaritmisföggvény. . . . . . . . . . . . . . . . . 46
megjegyzés a függvényekről eddig tanaltaklioz . . . . . 46A biflomiális tétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Feladatok.................................................................................. 49
E©^en!ötlenségek..................................................................... • 50Egy érdekes szélsó'érték-feladat........................... ....................... 59
Feladatok................................................................................. 61Feladatok....................... .......................... .............................. 65
Cauchy-egyenlőtlenség ...................................................... 69Feladatok................' . ....................................... ... 72
BemouUi-egyenlőtlenség ....................... .......................... 73S o ro z a to k ........................... ... ..................................................... . 75
Bevezető példák ....................... ..................................................... 75Feladatok. ........................... ... .............................................. 79Feladatok....................... ... .......................................... ... 81
A sorozat fogalm a............... ... .................................. ... 84Sorozatok megadása és ábrázolása........................................... 85
Feladatok....................... ... .................................. ... 88Korlátos sorozatok ...................................................... 89
Feladatok. ■...................................... ...................................... 96Monoton sorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Feladatok...................................................... ... 99Példák ......................................................................................... 100
Feladatok.............................................. ... ...........................109Konvergens sorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Bevezető példák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109Sorozatok kon vergeociája . . . . . . . . . . . . . . . . 116Példák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Feladatok. ..............................................................................124Konvergens sorozatok néhány tulajdonsága........................... 124
Végtelenhez tartó sorozatok ...................................................... 128Feladatok............................... ... 129
Műveletek konvergens sorozatokkal . . . . . . . . . . . 129Feladatok...................................................................... ... 136Monoton, korlátos so roza tok .................................................. 137
íí IVAz. l + i n
A rendőr-elv ........................................... ... 143Feladatok................................... ... .............................. ... . . 146
Nevezetes so roza tok ..............................................................147
sorozat. ........................................... ... 139
Feladatok.................................. 158A Cantor-féle axióma. ........................................... ... 159
A Bolzano—Weierstrass-tétel ...............................................164A Cauchy-féle konvergenciakritérium . . . . . . . . . . 165A kör kerülete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
További példák, kiegészítések ...............................................170Folytonos függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
P é ld ák ............... ... ..................................................................... 180Függvény pontban való folytonosságának értelmezése . . . . 185Műveletek folytonos függvényekkel ................... 192
Feladatok.......................................................... .... 193Feladatok................................... ... 196
A két folytonossági definíció ekvivalenciája (olvasmány). . . 196Adott intervallumon folytonos függvények 198
Feladatok....................... ... 205Példák ...................................................................... ... 206
Feladatok................... ... ..........................................................216Függvény határértéke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Bevezető példák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217Függvény határértéke egy pontban . . . . . . . . . . . . . 220
Példák ...........................................223Függvény végtelenben vett határértéke . . . . . . . . . . . 233
Példák .............................................................. . 235Feladatok........................... ... 237
Monoton függvény határértéke 238Az exponenciális függvény . . . . . . . . . . . . . . . . 239
Példák . . . . ..........................................................................244Feladatok...................................... 250
Differenciálható függvények................... 251Példák: ............................... ... 251
A differenciálhányados .......................................................... 254Példák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
Műveletek differenciálható függvényekkel . . . . . . . . . . 2591. Összeg deriváltja................... 259
Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
2. Szorzat d e riv á ltja ..................................................................260F e la d a to k ............................................................................. 262
3» Hányados deriváltja ................................... ... .......................... 262F e l a d a t ............................... ... .......................... ... , » . . 263
Trigonometriai függvények differenciálhányadosa . . . . . . 264Feladat. ................................... ..............................................265
Az f x függvény deriváltja. . . . . . . . . . . . . . . . . 265Példák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
Feladat.............................................. ......................................... 267Az exponenciális függvény deriváltja . . . . . . . . . . . . 267
Feladat........................................... ... ......................................... 274A logaritmusfüggvény folytonossága és differenciálhatósága . . 274
Feladat....................... ............................................................. 276összetett függvény differendálása . . . . . . . . . . . . . 276
P é ld á k ........................... ... .............................................................278Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
Középértéktételek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283Példák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
Feladatok. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288Monoton függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
Fel adat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290A középértéktétel két következményé . . . . . . . . . . . 290
Konvex és konkáv függvények . . . . . . . . . . . . . . 294Példák ........................... ... .............................................................295
Feladat. ....................... .............................................................296Függvényvizsgálat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
Feladatok. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304Vegyes példák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
Előszó(rövid tájékoztató)
Ez a könyv a két kötetre tervezett analízis első része. Kettős céllalkészült, részben tankönyv a speciális matematikatagozatos osztályok számára, részben szakköri füzet. Több olyan rész van benne, amely különösen első olvasáskor kihagyható, tanítási órán nem kerül sorra. A definíciókat, tételeket (bizonyítás nélkül)'és a kidolgozott példákat azonban nem érdemes kihagyni. A könyvben sok állítás van, amelyet több, különböző módon bizonyítottunk be. Ez azért történt, mert a legfontosabbnak a különféle bizonyítási módszerek gyakorlását tartjuk. Ezért van sok megoldott feladat is a könyvben. Természetesen tanácsos ezeket is előbb megpróbálni önállóan megoldani. A kitűzött feladatok általában könnyebbek a kidolgozottaknál.
A könyv első részében, a különféle függvények értelmezésénél, támaszkodunk az eddig tanultakra is. Érdemes e könyvvel párhuzamosan Simo- noviis Miklós: Számítástechnika című könyvét is olvasni. Részletes irodalomjegyzéket a második kötet végén közlünk.
Függvények
A függvény fogalma
Állapodjunk meg abban, hogy R-rel jelöljük a valós számok, Q-val a racionális számok, N-nel a természetes számok halmazát.
Bevezetésként néhány példát és velük kapcsolatos problémát sorolunk fel. A részletesebb vizsgálatokra a legtöbb esetben a könyv későbbi részeiben kerül sor.
I. példa: Gépkocsival 100 km utat tettünk meg. Utasunk minden 10 km után megjegyezte, hogy az eddig megtett úton hány liter benzin fogyott. Ezt a következő táblázat mutatja :
km 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
1 0 1,2 2 2,7 4 5 5,8 6,6 7,4 8,7 10
A táblázatban szereplő adatokat ábrázoljuk koordináta-rendszerben. Az X tengelyre mérjük fel a megtett kilométereket, az y tengelyre pedig az elfogyasztott benzin mennyiségét (1. ábra).
2,7
2
%2‘ ———•
10 20 30
1. ábra
Jól látható, hogy lOkm-enként általában nem ugyanannyi benzin fogyott. Ha a (0; 0), (10; 1 ,2 ),... pontokat rendre egyenes szakasszal kötjük össze, akkor a 2. ábrán látható grafikont kapjuk.
Mondjunk néhány olyan megállapítást, amely a grafikon alakjából leolvasható !
Ha ebből a grafikonból mérnénk le, hogy az első 15 km úton mennyi benzin fogyott, meg tudjuk-e mondani, hogy a valóságos esettől ez legfeljebb mennyivel tér el?
Kérdezhetnénk a következőket is: Az út melyik részén fogyott a legtöbb benzin?
Leolvasható-e, hogy az út mely részén csökkent leggyorsabban a fogyasztás?
Ezek a problémák most talán nem is egészen világosak; az is lehetséges, hogy nincsenek is egészen jól megfogalmazva. Nincs világosan megmondva, hogy mit is kell érteni a kérdésben szereplő egyes kifejezéseken. Ezeket a problémákat most még nyitva hagyjuk, később visszatérünk rájuk.
2. példa: A íq és íj időpont között állandó 5 sebességgel haladh
egy gyalogos. Mekkora utat tesz meg? Mekkora a megtett út, ha a sebesség nem állandó; például, ha il» akkor a í időpontban a
sebesség 5(/-/o) ‘ ” ?
Az első kérdésre könnyű a válasz, a megtett út 5(rj — /o) km lesz. A második kérdésre nem tudunk ilyen egyszerűen válaszolni.
Még nehezebb a probléma, ha a körülöttünk levő mozgásokat vizsgáljuk. Ha például egy időintervallumon belül nagyon sok időpontban is
mernénk egy mozgó test sebességét, meg lehet-e ebből állapítani, ha igen, hogyan, a test által megtett utat? Természetesen az a kérdés is felmerül, hogy mit is értünk sebességen. Ha a sebesség változik, hogyan állapítható meg a mértéke valamely időpontban? (Ezekre a kérdésekre is — legalábbis egy részükre — a későbbiekben válaszolni próbálunk.)
Felmerül a következő probléma is : Ha nagyon sok időpontban ismernénk az addig megtett utat, lehetséges-e ebből a test sebességére következtetni?
S. példa: A és B város között egy vonat közlekedik. Ha a vonat gyor
sulása (illetve lassulásaj ™ és közé esik (űj^űj), akkor meg-s sállapítható-e, hogy legalább mennyi idő szükséges az út megtételéhez, ha A és B távolsága s km?
Itt természetesen ismernünk kell,ihogy mit is értünk gyorsuláson. Ennek a „gyorsulásnak” folytonosan kell változnia, vagy például tekint
hetjük úgy a mozgást, hogy a vonat az indulás után azonnal % ™ gyor-ssulással mozoghat?
Az egyszerűség kedvéért azt a feladatot vizsgáljuk meg, amikor a vonat gyorsulása csak az a ,; 0; űj értékeket veheti fel. Az a kérdés tehát, hogy mennyi ideig haladjon a vonat űj gyorsulással, mennyi ideig 0 gyorsulással (tehát egyenletes sebességgel), és mennyi ideig % lassulással, hogy a legrövidebb idő alatt tegye meg az ^-ból B-he vezető s utat.
Ha tehát arra gondolunk, hogy az út megtétele során a vonat /, ideig gyorsít, Í2 ideig egyenleterén halad, majd ideig lassít, és így végül céljához ér, akkor az s út megtételéhez /, + /2+ ^3 időre van szükség. Ezért arra a kérdésre kellene tudnunk felelni, hogy egy a gyorsulással haladó test t idő alatt mennyi utat tesz meg.
4. példa: Adott K kerületű téglalapok közül melyiknek legnagyobb a területe?
A kérdést talán ki is lehetne bővíteni, hogy jobban felhívjuk a figyelmet a benne rejlő problémára.
Végtelen sok K kerületű téglalap van. Mindegyikhez tartozik egy terület. Végtelen sok szám között pedig nem biztos, hogy van legnagyobb. Tekintsük például a 0-nál nagyobb és 1-nél kisebb racionális számokat.
10 11
Ezek között a számok között sem legkisebb, sem pedig legnagyobb nincsen.
Kérdésünket tehát így is megfogalmazhatnánk:Adott X kerületű téglalapok között van-e legnagyobb területű, ha igen*
melyik az?Az is felvetődhet, hogy K kerületű téglalapok között van-e legkisebb
területű.Hasonló példa a következő is :
5, példa: Adott T területű téglalapok közül melyiknek legkisebb a kerülete?
Itt az olvasó azonnal megkérdezi, hogy :Adott K kerületű négyszögek közül melyiknek legnagyobb a területe?Adott T területű négyszögek közül melyiknek legkisebb a kerülete?Adott K kerületű n-szögek («^3) közül melyiknek legnagyobb a te
rülete?Adott T területű n-szögek közül melyiknek legnagyobb a kerülete?Hasonló kérdéseket tehetünk fel téglalap helyett téglatestre is; egy
példa ;Adott A felszínű téglatestek közül melyiknek legnagyobb a térfogata?Végül megemlítjük az e témába tartozó talán legklasszikusabb prob
lémát:Adott K kerületű síkidomok közül melyiknek legnagyobb a területe?
6, példa: Az előző feladatban téglalapok területéről volt szó. Az utolsó kérdésben már „síkidom” szerepelt. Bármely síkidomnak van területe? Ha igen, hogyan állapíthatjuk ezt meg?
Tekintsünk például egy ellipszist (3. ábra). Egy köréírt és egy beleírt sokszöget véve kézenfekvő azt mondani, hogy az ellipszis területe a két sokszög területe közé esik. Később megvizsgáljuk, igaz-e, hogy ha „elég
3. ábra nagy” oldalszámú, „elég kis” oldal-hosszúságú sokszögeket választunk,
akkor tetszőleges pontossággal meg tudjuk-e állapítani az adott síkidom területét.
12
7. példa: Az előző feladatban szereplő ellipszisvonalnak vegyük egy pontját, és húzzunk hozzá érintőt. Kör esetén tudjuk, hogy mit nevezünk érintőnek. De vajon ellipszis vagy más, bonyolultabb görbe esetén mi lesz az érintő? Van-e minden-ponthoz érintő?
8. példa: Tudjuk, hogy a rádium tömege változásának a sebessége t időpontban arányos a rádium t időpontbeli tömegével. Problémánk a következő; Ismerjük íq időpontban a rádium tömegét. Milyen további adat birtokában tudjuk megállapítani azt, hogy tetszőleges időpontban mennyi lesz a rádium tömege?
9. példa: Egy hajnalon egyenletesen esni kezdett a hó. 6 órakor elindult egy hóeke, hogy letisztítsa az országútról a havat. Tudjuk, hogy a hóeke egyenlő idők alatt egyenlő mennyiségű havat tol le az útról. Ha a hóeke 6-tól 7 óráig 3 km, 7-től 8 óráig 2 km utat tett meg, akkor ezekből az adatokból megállapíthatjuk-e hogy hány órakor kezdett esni a hó?
10. példa: p% kamatra elhelyezünk a bankba S összeget. Ha minden év végén a kamatot hozzácsatolják a tőkéhez, és a továbbiakban már ez fog kamatozni, akkor nem nehéz megállapítani, hogy n év múlva mennyi pénzünk lesz a bankban. Mi történik azonban akkor, ha valahol havonta vagy még sűrűbben, naponta, esetleg „folytonosan” csatolják a kamatot a tőkéhez?
Pers2» itt is nyitva marad a kérdés, hogy hogyan is kell érteni az előbb említett „folytonosságot”. Erről is később lesz szó a könyvben.
11. példa: Egy üzemben két (G j; gépen kétféle terméket ( r , ; készítenek. Az első terméken darabonként 1000 Ft, a második terméken darabonként 500 Ft a haszon. A r , termék megmunkálási ideje a Gj gépen 5 perc, a G2 gépen pedig 3 perc; a T2 terméké pedig 2, illetve 6 perc. Melyik termékből hányat készítsünk, ha a gépek nyolc órán át dolgoznak, és a maximális hasznot akarjuk elérni? (Első pillanatra nagjon „látszatgyakorlati” példának tűnik ez. Ebben van is igazság, mert nagyon leegyszerűsítettük a valóságos problémát, de első lépésnek mégis hasznosnak gondoljuk.)
Ha — első ötletként — csak a nagyobb haszonnal járó Tj terméket gyártanánk a két gépen, akkor nyolc óra alatt ebből 96 db-ot tudunk készíteni, a haszon 96 000 Ft. Ha például csak 94-et gyártunk Ti-bol,
13
akkor az első gépen még van 10 percünk, a másodikon sokkal több, így a T2-ből is tudunk gyártani 5 darabot. A haszon most (94 • 1000+ + 5 • 500= y96 500 Ft. Több, mint az előbb. Hogyan lehetne a legjövedelmezőbb programot megállapítani? (Itt is felmerülhet kérdésként, hogy létezik-e legjövedelmezőbb program.)
Nem soroljuk most tovább a különféle példákat (a könyvben még nagyon sokfélével fogunk találkozni). Átnézve újra a problémákat, valami közös vonás észrevehető bennük. Mindegyik esetben szerepel valamilyen mennyiség, melynek nagysága valami mástól vagy másoktól függ. Pé/- dául: az l . példában az elfogyott benzin mennyisége függ a megtett úttól, minden 0 és 100 km közötti megtett úthoz hozzárendeljük az addig elfogyasztott benzint; a 2. példában a megtett s út függ a i időtől, a l© és ti közötti t időponthoz hozzárendeljük az addig megtett utat; a 4. példa első példájában egy K kerületű téglalap területe függ attól, hogy mekkorának választottuk a téglalap egy oldalát.
Az előzetesen felsorolt feladatainkban (melyekre később még visszatérünk) nem egyformán könnyű az előzőkhöz hasonló kapcsolatokat észrevenni, de azért minden feladatunkban az előzőkhöz hasonló hozzárendelések szerepelnek. Ezek tulajdonságainak a vizsgálatától reméljük a felmerült problémák megoldását. Ehhez pontosabban meg kell fogalmaznunk, hogy miről is van szó ilyen hozzárendelésekben.
Tekintsünk két halmazt: legyenek ezek H ; K.
Definíció: Ha a H halmaz minden elemének megfeleltetjük a K halmaz valamely elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük.
A H halmaz a függvény értelmezési tartománya. K -m k az a részhalmaza, amely K-nak azokból az elemeiből áll, amelyeket H valamely eleméhez hozzárendeltünk, a függvény értékkészlete. Előfordulhat, hogy ez a részhalmaz maga a K halmaz. H minden eleméhez a K egyetlen elemét rendeljük hozzá, de K egy eleme több H-beli elemhez is hozzá lehet rendelve.
A függvényeket legtöbbször/; g ;h \ . . . ; s; F; G; . . . ; S betűkkel je-
Az / függvény értelmezési tartományát néha D^fel, értékkészletét Rfíol jelöljük.
A következő jelölést is használjuk majd :
/ : H-^K.
Ez azt jelenti, hogy az / függvény értelmezési tartománya H, érték- készlete K részhalmaza.
Ha / a i í halmazon van értelmezve és akkor f (x ) az x-hez rendelt elemet jelenti, néha így jelöljük: x>-*f{x).
Az 1. példában szereplő táblázat is egy függvényt ad meg. Az értelmezési tartomány elemei: 0; 10; 20; . . . ; 100. Az ezekhez hozzárendelt értékek a táblázatból leolvashatók; 0-^0; 10-^ 1,2; 20-^2; 3 0 2 ,7 ; . . . ; 100- ^ 10.
A 2. példában több függvény is szerepel. Jelöljük .F(/)-vel a gyalogos t időpontig megtett útját. Az s függvény a [íq; /,] intervallumon van értelmezve, valós értékeket vesz fel, és a / időpontban j(r)= 5 (/—/q). Ezt röviden így is jelöljük:
í : [íq\ s{t )=5{t - t ^.
Ugyanennél a mozgásnál a gyalogos sebessége állandó. A sebességet is tekinthetjük, mint az idő függvényét, rövid jelöléssel:
V : K ; v(t)=5.
A második kérdéshez is fel tudjuk írni a sebességfüggvényt:
t): [?o ;/il-R , v(t)= 5(t-íq).
Még nem tudjuk megállapítani az útfüggvényt. Ehhez is szükségünk lesz a függvények alaposabb ismeretére,
A 4. példában a téglalapok kerülete K. Ha ;c egy K kerületű téglalapKegyik oldalának a hossza, világos, hogy 0 < x < — , és ha /(x) jelöli e
téglalap területét, akkor
íix )= x (K"2“ ^
14 15
Azaz
t(x)—x 'K ■
A feladatbeli kérdés tehát az, hogy felveszi-e ez a függvény maximális értékét, és ha igen, akkor hol.
Más módon is leírhatjuk függvény segítségével a problémát. Jelöljük a téglalap két szomszédos oldalának hosszát x-szel, illetve j-nal. Figyelembe véve, hogy x és y oldal hosszúságát jelenti, továbbá azt, hogy a
Ktéglalap kerülete Í5T, így világos, hogy x ^O ; y>~0 és x + j = y . A z x ,y
oldalú téglalap területét jelöljük T(x;>?)-nal. A T függvény olyan ( x ; j ) számpárok H halmazán van értelmezve, melyekre az előző három feltétel teljesül. Rövid jelöléssel:
T (x;y}= xy.
A függvény definíciójában szereplő H és K halmazok nem feltétlenülszámhalmazok.
A 11. példában is szerepel függvény. Gyártsunk x^ darabot a r „ Xj. darabot pedig a termékből. jc,-re és X2-re teljesülnie kell a következő feltételeknek:
O áX |; 0 ^X 2 ; X|, X2 egész számok; 5x |+3x2^480; 2x 1+6x2^480.A függvény H értelmezési tartománya azokból az (X|; X2) párokból
áll, melyek a fenti feltételeknek eleget tesznek. Az (X|; x ^ számpárhoz az 1000x1+500x2 értéket rendeljük hozzá. így is jelölhetjük ezt a függvényt :
M ; R, M(X|; X2>= lOOOxi+500x2.
Ebben a könyvben nagyon kevés kivételtől eltekintve csak olyan függvényekkel foglalkozunk, melyeknek értelmezési tartománya és érték- készlete is számhalmaz. Az értelmezési tartomány legtöbbször egy intervallum vagy a pozitív egész számok halmaza lesz.
Két függvényt,/,: : ^ 2-^X2, akkor tekintünk megegyezőnek, ha H 1—H 2 és minden x€ /T ,-re /,(x )= /2(x).
Bár a függvények megadása több módon történhet, a továbbiakban legtöbbször valamely formulával adott függvényt fogunk vizsgálni.
Példák:
1. Döntsük el, hogy ugyanaz*e a következő k é t/ , g függvény:
i f = { x ; x € R ;x s l | , / (x )= / x + 2 / x ^ + f x - l Y x ^ l ;
- _ . V 2, ha l ^ x ^ 2 ,[1; ha x>-2.
A függvények megegyeznek. Értelmezési tartományuk ugyanaz a halmaz, továbbá, ha x 6 [l; ~[, akkor
y x - i = 2 , ha í a x s 2 , “ { l + > 'í ^ - l + ) 'A : - l = 2 y x ^ ,h a 2 - = * .
Ez pedig azt jelenti, hogy f= g .
2. Legyen/: R - R ,/ ( x + I )= x 3 -2 x 2 + x + 1. Meghatározható-e ebből/(x)?
/ ( x + l)=x® -2x2+x+ l= (x + 1)3-5x2-2x=
ezért= (x+ l)3 -5 (x+ l)2+ 8x+ 5= (x+ l)3 -5 (x+ l)2+ 8 (x+ 1)-3 ,
/(x )= x 3 -5 x 2 + 8 x -3 .
3. Döntsük el, hogy helyes-e a következő feladat megoldása:
„Adott / : R-^R. Tudjuk, hogy ha Xt^O, akkor /
Határozzuk meg f (x)-et!
x+
Megoldás: x ^ + ^ = - 2, ezért, ha x # 0 , akkor
1617
A függvény grafikonja
A függvények vizsgálata során nagyon sokszor segítségünkre lesz a függvények ábrázolása.
Legyen az / függvény H értelmezési tartománya és értékkészlete is számhalmaz. A koordináta-rendszerben az (x;f{x)) pontok halmazát, ahol X befutja a H összes elemét, az/ grafikonjának nevezzük.
Néhány egyszerű függvény és grafikonja ;
L / ; R - R , / ( x ) =1, ha jc>0,0, ha x= 0,
— 1, ha x-cO; 4. ábra.
4. ábra
2 .f:] -2 -.2 [ -^R ,f(x )= x ;5 .á b ra .3 . / : [ - 1 ; 1]~R ,/(a:)= \x \; 6. ábra.
4 ./ : 1 -2 ; l l - R , / W = f í ’ ^•' •* | — 1, ha X irracionális szám;7. í®rii, amely a graikoenak csupán néhány pontját szemlélteti.
5 , / : N+-*-! , / ( « ) = - ; 8. ábra. Ebben az esetben is csak véges sok
pontot tűdiink ábrázolni (N+ a pozitív egész számok halmaza).
y
-2
y,
i ' —
7. S m
1 2 3
S. ábra
Tekintsünk most egy — kissé rejtvényszerű — feladatot:Legyen adva a síkban 2n pont («€N+), melyek között nincs három
vagy több egy egyenesen. Az adott pontok közül n darabot pirosra, n darabot pedig kékre festünk. Igaz-e, hogy az adott pontokat n párba todjűk rendezni úgy, hogy az egy párba tartozó pontok különböző színiek, és az egy párba tartozó pontokat összekötő szakaszok között nem találhatók olyanok, melyeknek közös pontjuk lenne?
Megmutatjuk, hogy ilyen párbarendezés lehetséges.1. megoldás: Természetes ötletnek látszik, hogy teljes indukcióval pró-
bátkozzunk.
Ha «= I, akkor igaz az állítás, mert egyetlen szakaszunk van.Csupán a tapasztalatszerzés kedvéért próbáljuk meg az n=2, n—3
eseteket.
w=2-esetén az adott négy pont egy konvex négyszög négy csúcsa, vagy p d ig egy háromszög három csúcsa és a ne^edik pont a háromszögben van. A négyszög esetén kössünk össze szomszédos piros és kék pontot.
18 19
a másik két pont is piros és egy kék, így őket összekötve a kapott két szakasz'nem metszi egymást (9. ábra).
Háromszög esetén is hasonló módon járfiateiik el; mert a tiáFom csics között piros és kék is kell legyen (hiszen mindkét színből csak kettő van). Összekötve egy piros csúcsot egy kék csűcxseI^ a másik két pontot összekötő szakasz ezt Byilván nem metszheti (10. ábra).
9. ébm iO. átm
. Ha ris= 3, akkor a hat pont Mieta) egy konvex hatszög hat csúcsa;b) egy konvex ötszög öt csúcsa és a hatodik poBt az ötszögben van;c) egy konvex négyszög négy csúcsa és a további két adott pont a
négyszögben van,;d) egy háromszög három csácsa és a további három adott pont a há
romszögben ¥an.Az utolsó eset kÍY ételével a csúcspontok nem lelietoek mind azonos
színűek, mert egy színből kevesebb pont van, iiiinf ahány csúcs. Ezért ezeknek a konvex sokszögeknek van szomszédoss kilöíiböző szlíifí csűcspárja. Jelöljön egy ilyent P és K. A maradék négy pont, két piros és két kék, az
* előző ií=2 eset alapjáa a feladaíaal: megfeielőea. párba rendezhető, és mivel ez a négy pont a szerkesztés miatt a P és által meghatározott szenes egyik partján van, ezért az őket összekötő megfelelő szakaszok aFK szakaszt nem meíszhetik {IL ábra).
I Lábra
Ez a meggondolás a esetben nem alkalmazható^ mert a háromszög mindhárom csúcsa azoD.os színt lehet. Alialmazhatő viszont ii>*3-ra is bizonyos s |« iá!is esetekben.
T e ^ ik fel, hogy érvényes az áHítás ii-aél nem nagyobb pozitív egész számokra, és mutassak .meg, h o ^ akkor igaz (»+• í)«ra is.
Lesben adva 2 («+ 1) pont. Tekintsük azt a konvex S sokszöget, melynek csúcsai az adott i i to k közil ¥alók, a többi* csúcskéet nem szereplő^ adott pomt pedig a sókszög belsejében ¥aa. Ha a kon¥ei sokszög csúcsai íiem miöc! azonos színi, pontok, a t to r találliatő két kilSaböző sz ili szomszédos csács :P és K, A több! adott'2» pontra m iadiikciős feltevést alkalinazzük. Az kapott n szakasz (melyekről liidjiik, h o ^ nem metszek) e^ikéiiek sem lehet közös pontja a PK srakassral^ niert légpoEt- jaik a F és X által meghatározott e©'enesnek a^anazon a partján vannak.
Ez az előbbi eljárás szemléleteseíi úgy is felfogható, h o f f egy alkalmas c^enessel a síkot két félsíkra bontottul; igy, hogy az e ^ ik félslktea egy piros és egy kék, a másik fébfkban pedig n piros és « kék pofií található.
Ha S minden csácsa azonos (az általánosság megszorítása iiélkil fel- tehetős k o ^ Mind .piros) színű, mlíil speciális esetben a ílj'ben, akkor azt kérdezzik, hogy ¥an-e olyan es^enes, melynek e ^ lk partján k piros és k kék* a másikon pedig n + t — k piros és n + í — k kék pont taJáliató (fcsl). Ha ilyen egyenes mlaciig létezik, akkor az indukciós feltételt alkalmazni tudjak, és a bizonyítás készen is van.
alkalmasaB érteímeatt figg¥ényt be¥ezetve iimtaíjijk meg, h o ^ az előző tiilajdonságá egreiies miiidig létezik.
Heiyezzik el az S sokszöget egy koordkáta-rendsarbett i©?, hogy Mrmely az j íengelyel párlmzainos egyenesen az adott 2 («+ 1) pont közi! legfeljebb egy lesren. Ez lehetséges, mert a 2(b+ 1) poiitoí az dsi- sas lehetséges módon párba rakva e párok Yéges sok kilöabözS irányt határoznak meg, az y tengely Irányának megválasztására pedig ¥égteleii sok febetőségiiik van.
Értelmezők az /figgvéíiyí most a kö¥ClkezS módon. Ha ak» kor/(xq) jelentse az x — Xq esreaestől (mely íennészetesen az y teagcflye!
20 21
párhuzamos) balra levő piros és kék pontok számának a különbségét (12. ábra).
Mit mondhatunk erről a minden jc-re értelmezett függvényről?
Ha Xq „nagyon kicsi” vagy „nagyon nagy”, akkor persze / ( xq)= 0 ,
mert nincs x=Xo-tól balra adott pont, illetőleg mindegyik adott pont tőle balra van. Ahogy x növekszik, az Xq egyenes eléri az S első csúcs-
J2 . ábra pontját. Ettől kicsit jobbra / értékeaz értelmezés szerint 1. Tovább nö
velve jc-et, a függvény vagy 1-gyel növekszik, ha egy piros pontot hagyunk el, vagy csökken 1-gyel, ha egy kék pontot hagyunk el. Mielőtt az S-ből kilépne a jobbra csúsztatott, y tengellyel párhuzamos egyenes, tehát az „utolsó” piros csúcshoz elegendően közel az f függvény értéke— 1 kell legyen, mert balra n piros és n+1 kék adott pont található. Az
f grafikonja tehát az x tengellyel párhuzamos szakaszokból áll és a szomszédos szakaszok között 1 a különbség. A függvényről tudjuk, hogy az 1 és a —1 értékeket felveszi, ezért az előző miatt valahol 0 is kell legyen. (Az X| után szereplő 1 után nem feltétlen 0 függvényérték következik, következhet 2 is, ha a pontok úgy helyezkednek el, hogy ismét piros csúcson megy át az egyenes; hasonló a helyzet a „másik végen” is.)
Az pedig, hogy egy szakaszon 0 az/függvény értéke, azt jelenti, hogy a szakasz egy tetszőleges belső pontján áthaladó, az y tengellyel párhuzamos egyenes úgy bontja két csoportra az adott pontokat, hogy a bal parton a pirosok és kékek száma egyenlő. (Ekkor természetesen ugyanaz igaz a jobb parton is.)
Ezzel megmutattuk, hogy a kívánt tulajdonságú egyenes mindig létezik, ezért az indukciós feltevést alkalmazva kész a bizonyítás. (A bevezetett függvény kissé olyan szerepet játszik, mint sok geometriai feladat megoldásában egy-egy alkalmasan behúzott új vonal. Ha többször alkalmazunk ilyen eljárást, akkor ez természetessé válik majd.)
Ez a bizonyítás nem volt túl egyszerű. Azért írtuk le ilyen részletesen, mert a kiinduló ötlet, a teljes indukció alkalmazása, nagyon természetesnek tűnt, a nehézségek leküzdésére a függvény bevezetése és bizonyos tulajdonságainak felhasználása nagyon tanulságos.
Kitűzött feladatainkat általában nem csupán egy módon lehet megoldani, így most is vázolunk még egy megoldást.
2. megoldás: Rendezzük valamilyen módon párba a piros és kék pontokat, és az egy párba tartozókat kössük össze egyenes szakasszal. Állapítsuk meg ezen egyenes szakaszok hosszának összegét. Rendeljük ezt a számot ehhez a párba rendezéshez.
Figyelembe véve, hogy a pontokat véges sok különböző módon tudjuk párba rendezni, ezért lesz olyan párba rendezés, melyhez tartozó szakaszok hosszának az összege a legkisebb.
A megoldás befejezéseként feladatul tűzzük ki annak igazolását, hogy ilyen párba rendezésnél nem fordulhat elő az, hogy megfelelő pontokat összekötő szakaszok messék egymást.
Feladatok:
1. Hol vannak a derékszögű koordináta-rendszerben azok a pontok, melyeknek X és j koordinátáira
xy^O és ( l - x ) ( l - j ) ^ 0?
2. Ábrázoljuk azokat az (x; y) pontokat, melyekre
O s j s l és '^xy + 1/( 1 — jc)( 1 — ) = 1.
Alkothatják-e ezek a pontok egy f függvény grafikonját?3. Ábrázoljuk a következő függvényeket:
a ) fh ) fc ) f
[ -3 ;2 ] -^ R ,/( jc )= 2 x - l;[ -2 ;3 ] - R ,/(x ) = l- 3 A r ;[ - 3 ; 3 ] - R , / ( a; ) = W + |x - 1 | ;
A függvények ábrázolásával kapcsolatban is felhívjuk az olvasó figyelmét Simonoviís Miklós: Számítástechnika című könyvének megfelelő fejezetére.
22 23
Műveletek függvényekkel
A következőkben szükségünk lesz néhány, a függvéiiyekker kapcsolatos műveletre. Az egyszerűség kedvéért, és. mivel ez a továbbiakban ele- gendő is lesz, olyan függvényeket tekintünk, amelyeknek értelmezési tartománya és értékkészlete valamilyen számhalmaz.
Legyen adva két függvény,/| és/ 2 :
Az f i és összegének nevezzük azt az ( fi+ f^ -ve í Jelölt függvényt, amely a következő:
/ 1+ / 2 : ( /i+ /a )(x )= /|(x )+ /2(x).
Példa: Ma.
akkor
/ 1 + /2 : [0; 1]-R, ( f ,+ M x)= fi(x )+ M x)^x^+ í+ x-3 = xH x-2 .
Értelmezzük f i és/^ különbségét és szorzatát:
/ 1--/2 : ( / i - / 2 ) W = / iW - /2 « ;
( / |/2 ) (x) = / , ( x)/2(x).
Véges s o k / / : (1— 1; 2; függvény összegén^ illetve szorzatán az
/ 1+ / 2+ . . . H H J - l , ( f,+ f^+ . . . + /J (x )=-/i(x )+ /2 (^ )+
illetve az
M - / „ : (H .nH jfl. . . riH.)-*R, ( / t f r - f ^ x ) ^ =fí(x)f^x)-f,(x)
függvényt értjük.
Ha g: akkor az - függvényt azokban az x ^H pontokban értel- g
mezzük, ahol g(x)?^0, és itt legyen ~ (x )= ~ ~ e Az - - n a z / . ~»t értjük . * *
Péída:fi [ - 2 ; 2 ] -^ l ,/ |(x )= x 3 ^ x ;/ 2 [ ^ 1 ; I F 1 , / 2 ( x) = x ;
/ , [ - 2 ; 0 ] - R , / 3 ( x) = ^ .
Ekkor
/ 1+ /2+ / 3 : 1 ; ( / í+ /2+ /3)(x )= x 5- x 4- x + ^ ^ =
1= x3+x 2 + r
1
_ x^(x+ l ) ( x - 1) x2+ l
( í - 1 ; 1]\{0 } )-R , ^ ( x ) = í ^ = ^ ^ - i = ( ^ + i ) ( x - 1).
A z"^ függvény tehát azon a halmazon van értelmezve, amelyet úgy Jl *«
kapunk, hogy a .[~ í ; 1] intervallumból a 0-t kihagyjuk.Fontos szerepet játszanak majd az úgynevezett összetett függvények.
(Ea^es könyvekben közvetett függvényeknek nevezik őket.)Legyen adva két olyan / , és /2
függvény^ h o ^ ’ /a értékkészlete benne van az / | értelmezési íaríományá- ban (13. ábra) . Ekkor az / , és f j összetett föggvényériek nevezzük azt az ( / , 0/ 2)-vei jelölt függvényt, amely a következő:
f i ° fz ű /,-* R , ( / , o /2)(x )= /,( /j(x )).Példák:
/ , ; R - S , / ,( ;c)=s:í + 1 ;/j:R -* R ;
/ , o / j : R ^ 8 , ( / , o / j ) W = / , ( / j W ) = x H 1 / , o / , : R - K . (/jO /,)! ( ./■.fvV),, í-. r I )J.
24 25
Tekintsük most a következő függvényeket:
M x)= x^;
Á i R - R , / 2(x )= '/xEkkor
f i ° Í 2 ■ (ft° fj){x }= fi(f2Í x ) ) = é x f= x ;
f i o / i : (f2°Á )ix )= f2 Íftix})= Y ^= x.
Azt vesszük észre, hogy ha x-re előbb az / j által adott előírást, majd a kapott / 2(x)-re az / j által adott előírást alkalmazzuk, akkor visszajutunk x-hez. Durván szólva a két előírás egymás után való alkalmazása „lerontja” egymást.
Vegyüok még egy példát:
/ i : [ 0 ; l ] - í l ; 2], / , (x )=x+ l ;
/2 :[1 ;2 ] - [0 ;1 ] , /2 (x )= x ^ L
/ . 0/ 2 ; [1 ; 2 ]->[l; 2 ], { f,o f,) (x )= f,if,(x ))= (x ^ 1)+ l = x
Egy olyan függvényt, amelyik különböző elemeket különböző elemekre képez le, egy-egyértelműnek vagy kölcsönösen egyértelműnek nevezünk.
A z /j függvény a [0; 1] intervallum és az [ i ; 2] intervallum pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesít. Az /2 pedig az [1; 2] intervallum és a [0; 1] intervallum pontjai között létesít kölcsönösen egyértelmű kapcsolatot.
Általánosan, a z / , : H-*K létesítsen a H és K halmaz elemei között kölcsönösen egyértelmű hozzárendelést. Ekkor a K minden y eleme egyetlen ff»beli x elemnek a képe, azaz minden y^K-hoz egyetlen x£H tartozik úgy, hogy y~ fi(x ) . így a K halmazon is értelmeztünk egy / j függvényt: :K-*H, é s / j az y^K-hoz azt az egyértelműen meghatározott xC H 't rendeli hozzá, melyre y= /i(x). Ezt a z /j függvényt a z / | inverz figgvényének nevezzük, és sokszor így jelöljük Az előzőből az is leolvasható, hogy / | pedig az /x ioverz függvénye, azaz
Észrevesszük, hogy / j értelmezési tartománya az / i “”* értékkészlete,/j értékkészlete pedig / f értelmezési tartománya. A 14. ábrából leolvasható hogy a z / l é s / f ‘ függvények grafikonja az y = x egyenletű egyenesre nézve tükrös.
Nem minden függvénynek van inverz függvénye.
y
fifx/
/ l/
//
//
//
7/
//
14. ábra
Példák: A z / : [ - 1 ; 2 ] -[0 ; 16],/(x )= x függvénynek nincs inverze, mert pé ldáu l/(-1 )= /(1 )= 1 .
Az / : [0; 2]—[0; 16],/(x )= x^ függvénynek van inverze, mert ez a függvény a [0; 2] és [0; 16] intervallumok között kölcsönösen egyértelmű kapcsolatot létesít. Az inverz függvény:
/- ': [0 ;1 6 ]-* [0 ;2 ] , r \ x ) = f x -
Rajzoljuk m eg/és f~ ^ grafikonját, és hasonlítsuk őket össze.
Feladatok;
1 . Állapítsuk meg a következő függvények összegét, különbségét, szorzatát: f l j / i : [ - 5 ; - 3 ] - R , / i(^)=Cx2-1 )2 ;
/2:[-4;0]-^R,/2(x)=3~x
b ) f i : Í - 7í; w K R ,/i(x )= s in 2x.
fi- 0; — 2
►R,/2(jc) = cos 2jc.
2. összetett függvényre adjunk példákat.3. A következő függvények közül melyiknek létezik inverze, és ha létezik inverz
függvény, állapítsuk is meg, hogy mi az.ű; / : R - R , / ( ; c)= 3 x - 1 ;6;/:[0;->[-[l;oo[, /(x)=x2+l;c; / : [ - 1 ; 0 ] - - [ 6 ; 1 2 ] , / ( x) = x2 - 5 x + 6 ;
X, h a O á x ^ l,l-Aí, ha l-<x^2..
26 27
Korlátos függvények
A figgvények viisgálatálioz szikségink ¥an azok bizonyos lalajdoii- ságainak ismeretére.
Áz f f&ggvényi korlátosnak nevezzük, ha mn ofym M szám, hogy mimléM x^D f-re |/ (x ) |s M .
Egy ilyen M számot az / korlátjánai nevezzük. Ha M az / korlátja, akkor minden M-iiél nagyobb szám is/korlátja, és leheti ho©' vm /-nek M-iiél kisebb korlátja is, de ez nem biztos.
Az / függvényt felülről (alulról) korlátosnak nevezzük, ha van olyan M szám, hogy minden x^D ^m f ( x ) ^ M ( /(x )sM ). M-et az/ függvény egy felső (alsó) korlátjának aevezzik.
2x1. példa: A z f : R-*-®, függvény korlátos, mert
2x1/(41= ■ál
Ez abból következik, hogy |2x|^2+2x^, ami világos, hiszen ha |x |á 1, akkor |2;i:já2^2+2x2; ha pedig akkor 2+2x2
Teiniészetesen minden 2-néf Eagrobb' szám is korlát* Van-e 2~nél kisebb korlát is? Kis számolással látható, ho©? az I is felső korlát, A most következő meggondolást azért Is érdemes megigyelni, mert ezt a későbbiekben is sokszor fogjuk alkalmazni
Azt próbáljuk igazolni, hogy2x
l+x2 ^ 1 .
Persa nem tudjuk még, hogy ez az e©^enlőtlenség valóban igaz»e. Ez az eaí-enlőtlenség akkor és csak akkor igaz, ha
l l x l ^ U x K
Ez ^ i g akkor és csak akkor igaz Iia
m i+ x ^ - 2 lx l .
Ez azonban igaz, mert l + x^—2|xj=(l-“ |x j)\ és ez biztoan nem- negatfv szám. visszafelé következtetve a kiindüíási e^enlőtlenség isigaz.
Valaki is leírhatná az előző bizonyítást:
OS ( í - l;c!)í=»Oa 1 -2 |x |+ x 2 = ^ 2 |x | # 1 + >. I.1 T
Bár ez Jé bizonyítás, de elég megmagyarázhatatlao az első lépés, hogy miért ^ n t abból az egyenlőtlenségből indulunk ki. Az előző bizonyítás természetesebbnek tinik.
Világos, hogy a függvénynek 1-nél kisebb felső korlátja n iE csen , mert / ( l ) = i .
2. példa: A z /: |0 ; l|-^E ,/(x)=^_ függvény nem korlátos.
Rögzfísink egy tetszőleges pozitív K számot fia Ezazt jelenti, hogy van a ]0; I[ intervalkmoa olyan pont, ahol f(x}>-K. Mivel íC-ról csak azt használíek ki, hogy pozitív szám, ezért miiideii K pozitív számra igaz, h o ^ az'nem feliét az /függvénynek korlátja. Ez az /függvény persze minden |e; l[ intervallamon már korlátos, ahol
(Az/függvény az I intervalliiiaon koriátoSj lia Icz.Dp és van olyan M szám, hogy ha x £ h akkor l/(x)|siM .)
|/(x ) i^ M helyett azt is frhaíiiánk, hogy
azaz/ értékei — M-eél nem kisebbek, M-iiél pedig nem nagyobbak.Ha az / függvény korlátos, akkor felilről is, alulról is korlátos, ¥alé«
bán, ha j/(x ) |^ M , mindsii x€D/-re, akkor
« a z — M a z / a l s ó , M pedig egy felső korlátja..Fordítva is, i a / alilról és felilről Is torláíos^ akkor korlátos. ¥aló-
ban, lesren
minden x ^ D fie . (k ésK előjeléről nem tudunk semmit). Világos, hogyK ^m ax{\k \; |^ [) és max(!fej; |K !)^k, ezért
azaz™max(|fe!; lK \)^ k ^ fix )^ K ^ m a x ( \k \; |^ |) ,
max (a; b) az a és b számok közül a nagyobbat jelenti.Az 1. példában szereplő függvény alulról és felülről is korlátos, egy
alsó korlát —2, egy felső korlát 2. Gondoljuk meg az előzők alapján, hogy van-e a függvénynek ( - 2)-nél nagyobb alsó, 2-nél kisebb felső korlátja. Van-e legnagyobb alsó és legkisebb felső korlát?
A 2. példában szereplő függvény alulról korlátos, felülről nem korlátos, egy alsó korlát a 0.
3 .p é ld a :Á z f:] -U \[ -^ V i,
i , haX0, ha x= 0.
sem alulról, sem pedig felülről nem korlátos (15. ábra).
A függvény korlátossága szemléletesen azt jelenti, hogy található két olyan, az x tengellyel párhuzamos egyenes, hogy a függvény grafikonja az ezen egyenesek által meghatározott sávba esik.
4. példa: Az / : R —R, f { x ) - x ”; w€N; n s l függvény nem korlátos. Ha értelmezési tartományként R helyett annak egy korlátos részhalmaza szerepel, akkor már korlátos lesz a függvény.
Itt most közbevetőleg egy példát ismertetünk. Ezt azért tesszük, hogy felhívjuk a figyelmet arra, miért is kell nagyon vigyázni, hogy mit fogadunk el nyilvánvalónak, és miért kell szigorúan ellenőrizni azokat az észrevételeket, melyeket a szemléletből sejtünk meg.
A 2. és 3. példában szereplő függvények egy pont— itt éppen a 0 — egy környezetében viselkednek „rosszul”. Ha a 3. példában a 0 akármilyen kis környezetét kizárjuk az értelmezési tartományból, akkor már korlátos függvényt kapunk.
Tekintsük most a z / : [—2; 2]-*R,
/w=1
0 , ha x = — 1; 0 ; 1
függvényt.Most leolvasható, hogy a — 1, a 0 és az 1 pontok akármilyen kis kör
nyezetét is tekintjük, abban a függvény „tetszőlegesen kicsi” értékeket is felvesz. Ha e pontok mindegyikének egy „kis” környezetét kizárjuk a függvény értelmezési tartományából, akkor az így megmaradt halmazon a függvény korlátos lesz. Eddigi függvényeinknél azt láttuk, hogy az értelmezési tartományból néhány „kis” intervallumot kihagyva, a függvény korlátos.
Felmerül a kérdés, hogy van-e olyan függvény, mely minden valós számra értelmezve van, de akárhogyan választunk akármilyen kis intervallumot, ezen az intervallumon a függvény nem korlátos.
Kissé váratlan az, hogy van ilyen függvény. (Mielőtt a példát megmutatnánk, szeretnénk felhívni a figyelmet arra, hogy azt elsősorban azért tesszük, hogy az olvasó lássa,, néha a meglepőbb eset fordul elő. A szemléletre nagyon hasznos támaszkodni, de a megsejtett összefüggéseket szigorúan meg kell vizsgálni. A most következő példát nem kell, megtanulni, csak emlékezni kell rá, hogy ilyen van.)
Legyen/: R -R ,
f{x}= n, ha x = ^ ; m; «CZ, w>-0; (m; « )= !,
0, ha x irracionális vagy 0.({m ; n)= 1 azt jelenti, hogy m és n legnagyobb közös osztója 1.)
Ha tehát x racionális szám, x = — , ahol egyszerűsítettünk, hanlehetett, és «-et pozitívnak választjuk, akkor ebben a pontban a függvény értéke n.
31
Akinek tetszik ez a példa, gondolja végig, ez ¥alóban aem korlátos egyetlen —• akánnilyen kicsi — intervallumon sem. Alulról persze korlátos a figgYény.
Érdekességként kérdezzük, hogy hogyan kellene megváltoztatni a függvény értelmezését úgy, hogy sem alulról, sem pedig felülről ne legyen korlátos.
5. példa: A n függvényt értelmezzük az R+-on (azaz a pozitív valós számokon) úgy, hogy n{x) jelentse az x-né! nem nagyobb prímszámok számát. Korlátos-e ez a függvény?
A kérdés úgy is megfogalmazható, hogy végtelen sok prímszám van-e?Emlékeztetőül annyit, hogy prímszámnak nevezzük azokat az 1-nél
nagyobb egész számokat, melyek l»en és önmagokon kívül más pozitív egész számmal nem oszthatók. Továbbá: minden 1-nél nagyobb n egész számnak van prímszám osztója. Valóban, tekintsük az n szám 1-nél nagyobb, «-nél kisebb osztóit. Ha ilyen nincs, akkor n az előző szerint prímszám, így van prímszám osztója, önmaga. Ha van ii-nek 1-nél nagyobb, n-nél kisebb osztója, akkor vegyük ezen osztók közül a legkisebbet. Ez prímszám kell legyen, mert másképpen n-nek lenne ennél is kisebb 1-től különböző pozitív osztója.
Mutassuk meg, hogy a n függvény nem korlátos, azaz végtelen sok prímszám van. Tegyük fel, hogy nem igaz az állítás, azaz véges sok prímszám van. Ezeket fel tudjuk sorolni: PtlPi'* Tekintsük most az n=PíP2 > • - A + 1 számot. Ennek az előző szerint van prímszám osztója: pj j n valamely >re, l ^ j ^ L így az n—pgpj.. .pk+ t egyenlőségben Pj \n \p ^ \ PiP2 >. .Pkt ezért pj 11, ami ellentmondás.
Régi híres probléma, hogy bár a prímszámok elég szabálytalanul oszlanak el a természetes számok között — például akármilyen nagy pozitív egész számot adunk is meg, található ennél több egymás után következő természetes szám, melyek között nincs prímszám —, mégis „milyen gyorsan” növekszenek? Erre a problémára később még visszatérünk.
Feladatok:
1. Fogalmazzuk meg, mit jelent az, hogy a z /: [a; függvény
s) nem korlátos; b) felülről nem korlátos; cj alulról nem korlátos.
2. Korlátos-e az
a ) f : [0 ; °°[-*R,/(x)= f x ;100
függvény?
Monoton függvények
Amikor a függvények grafikonját rajzoljuk, sokszor „emelkedő”, majd „ereszkedő” íveket rajzolunk. Azt mondhatjuk, hogy növekszik, illetve fogy a függvény. Fogalmazzuk meg ezt pontosan. A következőkben mindig számhalmazon értelmezett számértékű függvényt értünk, tehát H c R ésKczR. Példáinkban H mindig egy intervallum lesz.
Definíció: Az f : H-*K függvényt monoton növekvőnek (csökkenőnek) nevezzük, ha minden x^; ^•setén
Az f : H~*-K függvényt szigorúan monoton növekvőnek (csökkenőnek) nevezzük, ha minden X |; X2 ^Hy X|<X2 esetén
Csökkenő helyett néha fogyót is mondunk. Monotonnak nevezünk egy függvényt, ha monoton növekvő vagy monoton fogyó. A szigorúan monoton növekvő (csökkenő) függvény természetesen monoton növekvő (csökkenő).
1. példa: A z / : [—1; 1]-»-R,/(;c)=a:’ szigorúan monoton növekszik, mert ha x %; X2 €[— 1; 1] és xi-cx2, akkor világos, hogy xJ-< jc|.
Sokszor azt mondjuk, hogy a tekintett függvény értelmezési tartományának egy-egy részintervallumán monoton növekvő vagy fogyó. Az / : ] —!; 1| “«»R,/(x)=:x nem monoton függvény, de monoton fogyó a ] — 1; 0[ intervallumon és monoton növekvő a ]0; 1[ intervallumon.
32 33
2 .példa: L e^en / : R —R ,/(x )= x * -x .E függvény nem monoton növekvő, mert van olyan X|<X2» hogy
/(X |)> /(X 2). Ilyen például :
=1- /3
‘8 '
Nem is monoton fogyó a függvény, mert van olyan Xj-cxj, hogy /(x ,)< f { x ^ . ilyen például :
1 < 2 ; / ( l ) = 0 < / ( 2 ) = 6 .
Keressünk olyan intervallumokat, ahol a függvény monoton. Legyenxj-cx2, akkor
f { X ^ - f { X i ) = x l - X 2 ~ X?+ Jí, = { X 2 -X,)(xf+ XjX, + x f - 1).
A jobb oldalon a feltevés szerint az első tényező pozitív. Észrevesszük,
hogy i a X| az -L -n á l nem kisebb, akkor X2+X2X j+x^~l>-0 , azaz az
1»[-on az/ függvény szigorúan monoton növekszik.
Feladat: Vizsgáljuk meg az előző/függvényt monotonság szempontjából a
j~oo; ~ _ j ; j_._L; _1_| intervallömokoE.f i f i
E 'példában is látható, aem csupán azt kell tudnink, mit jelent az, hogy egy függvény monoton növekvő, hanem azt is, mit jelent az, hogy egy függvény nem monoton növekvő. Fogalmazzuk is ezt meg (mivel itt a továbbiakban a függvények értelmezési tartománya intervallum lesz, ezért H helyett intervallumot mondunk):
Az f függvény az ]a\ b[ intervallumon nem monoton növekvő, ha van ofym X |; Ja; ; X|-< Xj, h o g y f(x { )^ f(xj).
Feladatok:
1. Fogalmazzuk meg, mit jelent az, hogya) az /függvény az Ja; b[ intervallumon nem monoton csökkenő;b) az/függvény az ]a; b[ intervallumon nem szigorúan monoton növekvő.
X2. Az / ; R~^E,/(jc)=-------r függvény hol lesz monoton növekvő, és hol lesz1+JC2
monoton csökkenő? ■3 .a ) f az [a\b\ intervallumon értelmezett monoton növekvő függvény. Igaz-e,
hogy f korlátos függvény az [a; 6]-on ?b ) f az ]a; b[ intervallumon értelmezett monoton fogyó függvény. Igaz-e,
hogy f korlátos függvény az ja ; Z>[-on?
A függvények monotonságát vizsgálva felmerül az a kérdés is, hogy létezik-e olyan függvény, mely értelmezési tartományának egyetlen rész- intervallumán sem monoton.
Van ilyen függvény, például a következő:
/ : R - R , /(x )=1, ha X racionális szám,0, ha X irracionális szám.
Rögzítsünk egy / intervallumot, r, és legyen 1-ben két racionális szám, Xq pedig egy közöttük levő irracionális szám. Ekkor r,-cXo-<r2
és/(f|)>-/(xo) é s /(x o )< /(r2)- Ebből látható, hogy a függvény ezen az 1 intervallumon nem monoton. A rögzített í intervallumról csak azt használtuk ki, hogy van benne két különböző racionális szám, és ezek között található irracionális szám. Ezzel a tulajdonsággal minden intervallum rendelkezik, ezért az adott függvény egyetlen intervallumon sem monoton.
Ebben a pontban foglalkozunk még periodikus, illetve páros és páratlan függvényekkel.
Definíció: Az f : l -* - l függvényt periodikusnak nevezzük, ha van olyan r ^ O szám, hogy minden x^W -re / ( x + J ) = / ( x ) .A T számot a függvény periódusának nevezzük.
m 35
Periodikus függvények (legtöbbször) a trigonometriai függvények körében fordulnak elő.
Periodikus függvényt általában elegendő egy periódus hossziságó Intervallumon vizsgálni.
Tegyük fel, hogy / periodikus és T periódusa. Ekkor
/ ( x + 2 T )^ f ix + r + J} = /(x + T ) = m
teljesül minden x€R esetén. Ez azt jelenti, hogy 2T is periódusa a függvénynek.
Feladat: Mutassuk meg, hogy ha/periodikus és egy periódusa T, attor kT k periódus, ahol k valamely 0-tól küli^bözö egész számot jelent.
• • •
3jpélda: A sin és cos függvények periodikusak, legkisebb pozitív periódusuk 2a.
4. példa: A z/: R -^R ,/(x)= {x) függvény {{x} az x valós szám törtrészét jelenti) periodikus, és egy periódusa az I.
5. példa: Az/ : R—R, / (x)= sin 3x+ sin 6 xperiodikus függvény, és egy
periódus-j.
6. példa: Periodikus-e az
/ : R -R , / (x ) - c o s x + c o s (x / 2 )függvényl
Ez a ftiggvény nem periodikus, mert /(0 )= 2 , más x pontban viszont az/csak úgy lehet 2-veI egyenlő, ha cos x - 1 és cos (x /2 )= 1. (Tudjuk ugyanis, hogy a cos függvény nem vesz fel 1-nél nagyobb értéket.) Ez azt Ifleotit hogy és x^=2ron, ahol k;m£Z, xy^Ö. Ezért
2icfn ^ w
ami lehetetlen, mert / 2 irracionális szám.
Általánosítsuk a feladatot!
7. Tegyük fel, hogy az/ : R-^R függvényre teljesül, van olyan TpíOszám, hogy
/■ (x + D = ^ Ö íh iL ./ (x )+ J
Mutassuk meg, hogy / periodikus függvény.Számoljuk k i/(x + 2 7 > t :
/ (x + 2 r )= /(x + T + r )=
/(x)-H * ^J (x )-^ !-^/ (x )-^ l^ i , ^ / ( x + r ) + l /(x )-^ l / (x )» ~ l+ /(x )+ l /(x )^
Hasonlóan:1 ^ / ( x ) + l/ (x + 3 J i= / (x + r + 2 r ) = r
/(x + 4 r )= /(x + 2 r + 2 T )= =/(x)»/(X +2T )X tetszőleges valós szám volt, í ^ az/ függvény AT szerint pe
riodikus.Létezik-e valóban Ilyen függvény, mely ezekkel a tulajdonságokkal
rendelkezik? Eddig azt tudjuk, h o ^ ha van olyan függvény, mely a feladatban megadott tulajdonsággal rendelkezik, akkor az AT szerint periodikus kell legyen.
Válasszuk a 7-t 1-nek, és értelmezzük/-et a következő módon :/(x)= 2, hax€fO ;lí.
Ha x € P ; 2[, a k k o r / ( x ) = |^ = | .
Ha XCÍ2; 3[, akkor/(x)= •
Ha pedig x€[3; 4|, akkor/(x)=
(Felhasználtuk az /-re előbb kapott összefüggéseket.)
37
-3
-O
. 3 . A
16. ábra
A |0 ; 4 | iníervalliimon értelmezett / függvényt folytassuk periodikusan R-re. Ez az / függvény eleget tesz a példában szereplő tulajdonságoknak./ grafikonja a 16. ábrán látható.
A z/:R -+ R függvényt páros függvénynek nevezzük, ha minden x€R-
Páratlan függvénynek nevezzük az / :R —R függvényt, ha minden jc € R esetén f (;c)= ~ f ( —x).
Páros függvény a cos függvény, páratlan a sin függvény. Páros az / : páratlan az/:R -^R ,/(;c)= x^—3x®4-x függvény.
Feladatok:
1. Fogalmazzuk meg, mit jelent az, hogya) a z /: R-*R függvény nem periodikus;b)vtzf-. R-»R függvény nem páratlan;c )a z f : R-^R függvény nem páros;í/j a z /: R-*R függvény nem páros és nem páratlan.
2. Van-e olyan periodikus függvény, amelyik nem korlátos?
3. Legyen/: R-»R,/(x)=1, ha X racionális, p, ha AT irracionális.
Periodikus-e ez a függvény? Van-e legkisebb pozitív periódusa?4. A z/: R-^R függvényről azt tudjuk, hogy minden ;>»€R esetén
f(.xy)=Ax)f{y).
Igazoljuk, hogy vagy minden x-tef(x)=x, vagy minden x-re/(x)=0.
• * *
Vázoljuk ez utóbbi feladat megoldását, és majd kitűzünk egy hasonlópéMát.
/(0 )-/(0 -} -0 )-/(0 )-f/(0 )= 2 /í0 )= ./(0 )= 0 ;
/ ( ! ) = / ( ! . 1)=/(1)/(1)^/(1)==0 vagy /(I> = ! .
H a/(1 )= 0 , akkor minden x^R-ré
/ ( x ) = / ( l . x)==/(!)/(x)=0 ./(x )= 0 .
azaz ekkor a függvény minden x^ R-re 0-val egyenlő.Legyen ezután/ ( ! ) = 1. Ha x> 0 , akkor
f ( x ) = f ( í x . fx )= f(Ílc )j(Y i)sO .
Ebből az egyenlőtlenségből következik, hogy a függvény monoton növekvő. Valóban, legyen x ,< x 2. Akkor
/ ( x 2) = / ( x ,+ (^ 2- Xi))=/(x j) + / ( ^ 2 - x ^ )^ f{x ^ \
mert ^2—X |>0 miatt / ( x j —Xi)sO.Teljes indukcióval megmutatható, hogy /-re az is igaz, hogy tetszőle
ges véges számú X |; X2 ; . . . ; x„ valós számra
/(Xj-fX2-|- . . . + X j= /(X |)+ /(X 2)-í- . . . + f ( x jérvényes.
Ebből tüstént következik, hogy ha x = — , ahol m és n pozitív egész számok, akkor
és
l = / ( l ) - /
/
n- in ^ n f =>/
' m ' í mn = m f n n
így azt már tudjuk, hogy pozitív racionális számokra:
/(x)==x
Legyen most x© tetszőleges pozitív irracionális szám. Ha /(xo)t^Xo, akkor tegyük fel, hogy/(xo)<Xo. Válasszunk egy olyan r racionális számot, hogy /(xo)<f<Xo. Az f függvény már bizonyított monotonitása
38
miatt f { r ) ^ f { x ^ kellene legyen, mert r<Xo, de ez nem lehet, ugyanis/ ( r ) = r .
Ugyanígy látható be, hogy az sem fordulhat elő, hogy valamely Xfl€R‘'’"ra/ { x^ ^ X q legyen (R+ a pozitív valós számok halmaza). Tehát minden pozitív valós számra f{x)==x.
Negatív AT-re is f{x )= x , mert
0 = /(0 )= /(x - x )= /(x -f (~ x ) ) ^ f ( x )+ f(~ x).ezért
f{ ~ x )^ -~ f(x ) .
Ezután feladatként tűzzük ki a kissé hasonló következő' példát :
Példa: Legyen / : Q —R. Tegyük fel, hogy minden jc,; számra
f{X l + ■^2)=/(-^i)+/(-^2)-
Mutassuk meg, hogy akkor minden x racionális számra
f{x )= cx ,ahol c állandó.
Feladatok:
1. Milyen/és g függvényekre igaz, hogyfl;/(2jf+l)+f(X“ l)=Ac;
fi2 x + \)-2 g {x ~ l)^ 2 ^ ',b)fi2x+ 2)+2g(4x+ l ) = x - 1;
/(x - l)+ g (2 x + í)= 2 x l2. Van-e olyan/: (R\{0})-*-R függvény, hogy
/(x )+ 2f
Elemi függvények
Elemi függvényeknek nevezzük a racionális egész-, a racionális tört-, a hatvány-, az exponenciális^ a logaritmus- és a trigonometriai függvényeket. ,
Ezeket röviden most áttekintjük, néhány fontos tulajdonságukat felsoroljuk. Később mindegyikkel még sokat foglalkozunk, különböző tulajdonságaikat fogjuk vizsgálni. A későbbiekben fogjuk pontosabban értelmezni az exponenciális és a logaritmusfüggvényt is.
A) Racionális egészfüggvények
Racionális egészfüggvénynek vagy polinomfüggvénynek nevezzük az
/ :R -R , /(x )= űo^”+íiíX«~5-f . . . + a„
függvényeket, ahol «6N ; R, /= 0; 1;Az értelmezési tartomány R helyett a számegyenes egy intervalluma is
lehet.
Ábrázoljunk vázlatosan néhány polinomfüggvényt.
1. példa: / ; R -R , /(jc )= 2x^~ 1; 17. ábra.
2 ,pé lda :f:R -*% f{x)=x'^\ 18. ábra.
40 41
B ) E a c io iiá lis tö rtfü g g v é íiy ek
Racionális töitfiggvénynek nevezzük az
p « o * " + a i^ '‘+ - + a ,
alakú függvényeket, ahol az a,., bj együtthatók valós számok, n; m^N;H pedig azoknak az x értékeknek a halmaza, ahol a nevező 0 értékei vesz fel. A H megállapítása abban az esetben, ha az m nagy szám, általában nem köniiyS. Az értelmezési tartomány-az M\H egy részhalmaza islehet.
1. p é l d a : f ( x ) =
1
1
2.pé!da:f:R -^m , f(x}= Í + x2
1+x
; 20. ábra.
; 19. ábra.
A z utóbbi függvény a j~ <»; 0[-on monoton növekszik, a ]0; o=[-on monoton fogy. A függvény ábrázolásával kapcsolatban azonban kérdés maradi, hogy hogyan is halad a görbe íve; erre késó'bb, amikor több eszközünk lesz a függvények vizsgálatára, visszatérünk.
CJ Hatványfüggvények
Az/ : H -*M f/(x)= x“ függvényeket, ahol a€E , hatványfüggvényekneknevezzük.
Ha az a kitevő nemnegatív egész szám, akkor egy speciális racionális egészfüggvényt, ha pedig negatív egész szám, akkor egy speciális racionális törtfüggvényt kapunk.
11. példa; / : R + - R , / (x)= x ^ ;2 L ábra.
12. példa:/: R + -R , f{ x )^ x ~ ^ \2 2 . ábra.
Lehetséges, hogy a függvény a valós számoknak csupán egy részhalmazán van értelmezve.
Eddigi tanulmányaink során az « kitevő valamilyen racionális szám volt. (Irracionális a kitevőjű hatványfüggvényekkel a későbbiekben kissé részletesebben is foglalkozunk.)
Ha a racionális szám, azaz a = - , ahol p és q egész számok, f s-O , af
hatványfüggvényt xs-O-ra értelmeztük:
f ( x ) = Í^ K
A jG^-nek x<0-ra is van értelme, ha p páros vagy q páratlan. így érdemes különbséget tenn i:
42 43
Az fofmulával értelmezett függvénynek, ahol a facionálisacm egész szám, a maiimális értelmezési tartománya a valós számokkörében a [0; «>[, ha a=-0; és ]0; ~[, ha a<0. Az/ (x)= formulával értelmezett függvény ( ^ ^ 1 egész szám, p egész szám) maximális értelmezési tartománya R, illetve l\fO | aszerint, hogy illetve és p páros vagy f páratlan.
D ) Trigonometriai függvények
A sinus-, cosinus-, tangens- és cotangensfüggvényt trigonometriai fíiggvényeknek nevezzük. (Röviden: sin, cos, tg, ctg függvényt írunk.)
A cos függvény az R-en van értelmezve, korlátos, periodikus, páros függvény, a Ilka; (2 fc + l^ | intervallumokon monoton fogy, a li2k+ l> f; (2fe+2)re] intervallumokon (k£Z) pedig monoton növekszik.
23. ábra 24. ábra
A tg ítiggyény azokban a pontokban, ahol a cos függvény 0 értéket7C
vesz fel, nincs értelmezve. Ezek a pontok, ahol k tetszőleges egész
szám. A tg függvény nem korlátos, a intervallu
mokon monoton növekvő, periodikus függvény, minden valós értéket felvesz. Vázlatos grafikonja a 24, ábrán látható.
feh^löte
1, Ábrázoljuk vázlatosan a következő függvényeket;a) f i [0; 2wJ-^R,/(ac)=sin 3x;b ) f : [0; 2 »l-* E ,/ (x )= cos (x+ n) ; e ) f : I - » ; wl“*Mí/Cx)=sin x+cosx;4) / : l—»; »J-*R,/(x)=3 sin x + 4 cos x.
2, Döntsük el, hogy melyik nagyobb ;■
sin (cos x) vagy cos (sin x).
3, Fetvesz-« — ha igen, mekkora — maximális értéket a következő kél függvény?a) / : R-*R,/(x)=asÍA x+b cos x, a; á€M;b ) f : R-»R,/(x)= a sin^x + 2b s m x cosx + c cos^x, a;b;e£M.
Most néhány szót szólunk az olvasó előző ismereteire is számítva az exponenciális függvényről és a logaritmusfüggvényről. Később lehetőségünk lesz ezeket alaposabban megvizsgálni.
EJ Exponenciális függvény
Az f : l-^R,/(x)s=ö* függvényt, ahol a> 0 , 1, exponenciális függvénynek nevezzük.
Érdemes arra az esetre gondolni, ha a— 2. Ha x racionális szám, akkor tudjuk, hogy 2* mit jelent. Azzal, hogy irracionális x-re hogyan is értelmezzük 2*4, a könyvben később foglalkozunk. így még nem egészen indokolt az a graJBkon sem, melyet a 25. ábra mutat.
Az exponenciális függvény nem korlátos, monoton növekvő, ha «>• I, és monoton csökkenő, ha ű-< 1. 25. ábra
j 0>1
o<l
0 K
44 45
F) Logaritmusfüggvény A binomiális tételA z /: ]0;oo[-^R,/(x)=Io&xfügg
vényt, ahol a > 0 és 1, logaritmusfüggvénynek nevezzük. Az exponenciális függvénynél mondottak rá is vonatkoznak. Vázlatos grafikont a 26. ábra mutat.
Egy megjegyzés a függvényekről eddig tanultakhoz
Amikor egy függvényt megadunk, mindig meg kell adni az értelmezési tartományt. Mint láttuk, ezt eddig mindig megtettük e könyvben. Néha azonban ezt el fogjuk hagyni. Ilyen esetben mindig arra gondolunk, hogy a függvény a valós számoknak azon a legbővebb halmazán van értelmezve, ahol lehetséges. Nézzünk néhány példát:
1. példa:/(x )= x ^ jelenti az f : R-^R,/(a:)=x^ függvényt.
2. példa: f { x ) — lg x jelenti az f : R +-^R ,/(jc)= lg x függvényt.
3. példa: f{ x ) —}/l—x^ jelenti a [—1; 1] intervallumon értelmezett f(x )= }/\—x' formulával adott függvényt.
Általában a függvényt /-fel jelöljük \ f{ x ) az / függvény x pontban felvett értékét jelenti. Sok — elsősorban régebbi — matematikakönyvben
/(x)-szel jelölik a függvényt is ; ezt nem kell hibának tekinteni; akkor ez volt a szokás. A szerző, és legtöbbször az olvasó is, arra gondolt, amire kellett. Néha talán nem is baj, ha két különböző dolgot ugyanúgy jelölnek, mert így jobban meg kell gondolnunk, hogy az adott esetben éppen miről is van szó. Egy-két esetben ebben a könyvben is előfordul majd, hogy „/függvény” helyett „f{x) függvény” szerepel.
Sokszor fogjuk használni a következő, úgynevezett binomiális tételt :
Ha n pozitív egész szám, o M , ö, 0, akkor
A tételben használt jelölések a következőt jelentik :
2*=-0
a 2 jelölést így olvassuk: szumma k egyenlő 0-tól «-ig;fc-O .
ahol n!= 1 • 2--w, megegyezés szerint 0!= 1; 1 != 1; ”
nik \{ n -k )V
-t így olvassuk:
n alatt k ; azt adja meg, hogy n különböző elemből hány különböző
módon lehet kiválasztani k darabot, ha a sorrendre nem vagyunk tekintettel. Könnyen látható, hogy
’n n n n ’« + í n f \ n0
—
n = 1 ; k n - k 9 k k - \ + k
1. bizonyítás:(ö+ by= (a+ b){a-h by • *(ű+b).
Végezzük el gondolatban a jobb oldalon a szorzást. Ez azt jelenti, hogy az összes lehetséges különböző módon minden tényezőnek kiragadjuk egy-egy tagját és ezeket összeszorozzuk. rf*-t például csak egy módon kapunk; úgy, hogy minden tényezőből az a-t választjuk ki. Ha O ^ k ^ n , akkor £^b^~^-t annyit kapunk, ahány különböző módon tudjuk k tényezőből az a-t, n - k tényezőből pedig a b~t kiválasztani. Ez pedig
éppen . így valóban
46 47
2. bizonyítás: Nagyon természetes gondolat, hogy teljes indukcióval próbálkozzunk.
kHa n~ U akkor (a-\-by~a+ b; 2*“ 0
= 5 + a, azaz «= 1-re igaz az állítás.Tegyük fel, hogy igaz az állítás n-re, és mutassuk meg, hogy akkor
igaz (n+ l)-re is.
(a+ í>)"+‘= (a+ 6 )(ű+b y = (a+ b) 2
= Í> 2 fr 2/ t ~ 0 /k-C
a^íy*-k=
a^b^~k~
Jfe~0= í > 2 ?<i*í>"-‘ + a 2
/-oa‘b”- ‘=
rt— I *A 2 I összegben írjunk l helyébe {k— l)-et:
/-o V»-í n2 ” «'*'<>"-'= 2/»o l* I &«i
nk ~ l
^kbn+i-k^
azaz
(ű+6)'’+*=ű"+*+!>"+*+ 2k~-i
n nk + k - \
=ű"+‘+6«+‘+ 2Ic-l A:
0 6"+*+
= 2k-O
n+1k
n+1k
akff^+i-k^
Qk^+í—k—
Qkjj^+l-k—
^+1 —« + i
így az állítást igazoltuk.
A binomiális tétel néhány, sokszor használt speciális esete:
{a+bf=a^^-2ab+h^\
(a+ bf=á^+M -^3ab^^- b \
Ha 0= 5 = 1 , akkor
2”= 2 &=o
Tekintve, hogy jelentése úgy is kifejezhető, hogy n-elemű halmaz
nak hány fe-elemű részhalmaza van, ezért az előző egyenlőség azt jelenti, hogy «-elemű halmaz részhalmazainak a száma 2".
Feladatok:
1, Mutassuk meg, hogy ha «€N, akkor létezik olyan k természetes szám, hogy
(A megoldáshoz egy ötlet: A binomiális tétel segítségével ( f z — 1)^~a /2 ~ B , ahol A ; B€Z. Mutassuk meg, hogy (f2 + iy’=A f2+B .)
2. Igazoljuk, hogy (^26+5) tizedestört alakjában a tizedesvesszö utáni első 1985 jegy 0.
(Egy ötlet a megoldáshoz:________ I ,a ) Y x - S —
b) egész szám-e
(/26 -
3. Bizonyítsuk be, hogy az f :' r 0 ;- n ►R.
csak pozitív értékeket vesz»fel.4. Kis számológéppel számítsuk ki Q/l-VVf egészrészét elég sok n pozitív egész
számra. Mit veszünk észre? Fogalmazzunk meg egy sejtést, és próbáljuk igazolni!
48 49
5. Igazoljuk, hogy ha «6N+, akkor
a) sin na=í”j sin « cos"“ * *-í”j sin®acos"“® a+ ...;
b) cos na=cos"a-^” sin^acos"“^a+...
Egyenlőtlenségek
Első fontos egyenlőtlenségünk a számtani és mértani, középre vonatkozó egyenlőtlenség. Ennek egy speciális esetét valószínűleg minden olvasó ismeri; ha a , ; a2> 0 , akkor
(Az a, számok között a 0 is előfordulhatna, de ekkor állításaink többsége nyilvánvalóan igaz.)
n darab pozitív szám (n s2 ) számtani közepén ■ szá
mot értjük, melyet röviden J^-nel jelölünk.
n ” darab pozitív szám (« s2 ) mértani (vagy geometriai) közepén az számot értjük, melyet röviden C7„-nel fogunk jelölni.
Vajon igaz-e tetszőleges n darab pozitív szám esetén is, hogy ezek mértani közepe kisebb vagy egyenlő, mint a számtani közepe, azaz
ha n s 2 , «6N; ű/>0, i= 1; 2; . . . ; « , akkor
Egyenlőség akkor és csak akkor érvényes, ha ö ,= fl2= . . .Ennek az egyenlőtlenségek sok bizonyítása ismeretes. Tekintve, hogy
e könyv egyik fő — talán legfőbb — célja, hogy különböző bizonyítási módszerekkel ismertesse meg az olvasót (sokszor a bizonyított tételnél fontosabb és jobban megfigyelendő a bizonyításnál alkalmazott mód
szer), ezért több bizonyítást mutatunk. Mindenki kiválaszthatja a neki legjobban tetszőt.
i . bizonyítás: Az n - 2 esetben
Valóban 0 ^ ( / n j - 02)^= amiből következik az egyenlőtlenség, sőt az is leolvasható, hogy egyenlőség akkor és csak akkor van, ha 01= 02-
n=2-re már tudva az egyenlőtlenséget, próbálkozzunk ennek segítségével nagyobb w-re is bizonyítani a megfelelő állítást. Elég kézenfekvő n=4-gyel kísérletezni.
^ 1 + 2 . _ _ _
a,-H 02+03+04= 2 24 2 2
Azért volt tehát jó az n=4, mert így párokat tudtunk képezni. Ha «= 4-ről az «=3 esetre is tudunk következtetni, akkor a további meggondolások elé is nagy reménnyel tekinthetünk. Az n= 4 esetről az n= 3-ra következtetni könnyebbnek látszik, mint az n= 2-ről «=3-ra való következtetés, mert Ű4-et most megválaszthatjuk. Ez tényleg nem nehéz:
^ öl + Ö2+«3_^3“ ------5— -
«i+Ö2+% ai+Oj+öjH----- ——
Ezért
ebből pedig világos, hogy
Az eddigi próbálkozások alapján most teljes indukció segítségével bebizonyítjuk a számtani és mértani középre vonatkozó egyenlőtlenséget.
n=2-re igaz az állítás.
50 51
S. Igazoljuk, hogy ha «€N+, akkor
a) siti ««= I I sin a cos”“ j sin® a cos"“^
b) cos««=cos"a-l |sIn2«cos"“^a+...
Egyenlőtlenségek
Első fontos egyenlőtlenségünk a számtani és mértani, középre vonatkozó egyenlőtlenség. Ennek egy speciális esetét valószínűleg minden olvasó ismeri; ha-öj; <i2> 0 , akkor
(Az a, számok között a 0 is előfordulhatna, de ekkor állításaink többsége nyilvánvalóan igaz.)
száll darab pozitív szám (n s2 ) számtani közepén azn
mot értjük, melyet röviden J^-nel jelölünk,
« ” darab pozitív szám (« s2 ) mértani (vagy geometriai) közepén az számot értjük, melyet röviden G„-nel fogunk jelölni.
Vajon igaz-e tetszőleges n darab pozitív szám esetén is, hogy ezek mértani közepe kisebb vagy egyenlő, mint a számtani közepe, azaz
ha n s 2 , n€N; /= 1; 2; . . . ; n, akkor
Egyenlőség akkor és csak akkor érvényes, ha a ,=Ű2= .. . =Ennek az egyenlőtlenségnek sok bizonyítása ismeretes. Tekintve, hogy
e könyv egyik fő — talán legfőbb —■ célja, hogy különböző bizonyítási módszerekkel ismertesse meg az olvasót (sokszor a bizonyított tételnél fontosabb és jobban megfigyelendő a bizonyításnál alkalmazott mód
szer), ezért több bizonyítást mutatunk. Mindenki kiválaszthatja a neki legjobban tetszőt.
1. bizonyítás: Az n—2 esetben -
Valóban Oá ( / ö7~ amiből következik az egyenlőtlenség, sőt az is leolvasható, hogy egyenlőség akkor és csak akkor van, ha ö j= ö 2.
w=2-re már tudva az egyenlőtlenséget, próbálkozzunk ennek segítségével nagyobb n-re is bizonyítani a megfelelő állítást. Elég kézenfekvő yi=4-gyel kísérletezni.
O3+O4 _ _ _
ű,+ Ű2+fl3+Ö4= 2 24 2 2 '
Azért volt tehát jó az «=4, mert így párokat tudtunk képezni. Ha «= 4-ről az n=3 esetre is tudunk következtetni, akkor a további meggondolások elé is nagy reménnyel tekinthetünk. Az n= 4 esetről az n - 3-ra következtetni könnyebbnek látszik, mint az n=2-ről 11= 3-ra való következtetés, mert Ű4-et most megválaszthatjuk. Ez tényleg nem nehéz:
Ezért
ű i+% +% +-——5-__ű| + Ö2+%__ ____ _____3
3 “ 4
ebből pedig világos, hogy
Az eddigi próbálkozások alapján most teljes indukció segítségével bebizonyítjuk a számtani és mértani középre vonatkozó egyenlőtlenséget.
n=2-re igaz az állítás.
50 51
Tegyük fel, hogy igaz az állítás 2*-ra, és mutassuk meg, hogy akkor igaz 2 *+*-re is.
Öl+Ű2~l" ...-\-Cl2H ••• + í fc+i01+ 02+ ... + Ö2«‘+»_ ^ 2 * _
2&+1 " 2 ”
2*',}/a^a2-a2H+
Az állítás tehát igaz minden 2* alakú pozitív egész számra.Ha n nem 2* alakú, akkor van olyan fe, hogy 2*~‘</i<2*. így
X ” Öl+ 0 2 + • • • + rt+ (2*— n)A„ _n ~ 2 *
_ ö|+<^+...+ö^4-A +-*-+^« ^ ?/----------- ~:öí—--------------------2*----------------- -- —
It -_____Ebből pedig látható, hogy A„^ VoiCii''
Minden lépésnél megvizsgálhatjuk, hogy mikor van egyenlőség. Azt tapasztaljuk, hogy akkor és csak akkor van egyenlőség, ha Ö2 = .. .= =a„. Ezt azonban beláthatjuk a következő módon is : Ha 0 1 =^ 2 = .. .= = a„, akkor egyenlőség van, G„=A„. Most tegyük fel, hogy az a,-k nem mind egyenlők. Az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy ai9^Ű2. Ekkor
a,+ű2 , ^,+02
n
+ aj4-...+a„
ay-a„^'}/ai02ar-a„.
mert Hl+Í%(Ezt ö| 7 ^ 0 2 miatt az n=2 esetből tudjuk.)
Különösen a különféle szélsőérték-feladatok megoldásánál lényeges tudnunk azt, hogy mikor van egyenlőség a számtani és mértani közép között.
2. biionyitás: Nagyon természetes gondolat teljes indukcióval próbálkozni.
n - 2-re igaz az állítás. Mutassuk meg, hogy igaz n=s 3-ra is.
2 ^ 1 + ^ i j ^ __
3 "" .3 - 3Haigaz$liogy
akkor is igaz. (Természetesen* ha az előző egyenlőtlenség nemigaz, akkor ebből még nem következik, hogy sem igaz.)
Az egyszerűbb Írás kedvéért bevezetjük az jelöléseket. így
? ííí! !S ± ÍÍ_ J '5 ;^ = ? d Ü I+ ^ _ ^ 2 B = l(2 ^ » 4 .B i_ 3 X íj8 )=
= Í l2 A H .A -B ) -S (A ^ -B ^ } = ^ í^ l2 A ^ -B (A + B )] =
= - !^ IA (A -B )+ A ^ -B ^ = -^ ^ ^ ^ ^ :^ ( ,2 A + B )s O ,
mert Á é § B nagyobb 0 -nál.
FeMsts
Tegyük fel, hogy igaz a foiti állítás n-rc és mutassuk meg, hogy akkorigaz («+ I)-re is. Az előbbi eljárást alkalmazzuk megfelelő átírással.
• • •
3. bizonyítás: Ezt a bizonyítást Riesz Frigyes világhírű magyar niate- matikiis használta előadásaiban. (Riesz Frigyes (1880—1956) a huszadik század e ^ k legnevesebb magyar matematikusa. Előbb középiskolai tanár, 1912-től a kolozsvári; 1920-tól a szegedi, majd 1946-tól a budapesti egyetem professzora. Kutatásainak hatása a mai matematikára is igen jelentős.)
52 53
Az állítás tehát az, hogy ha « s 2 , és / = 1 ; 2 ;akkor
Ha ű , = a 2= .. . = a„, akkor az állítás világos. Tegyük most fel, hogy az a,~k nem mind egyenlők. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy az ü fk között öj a legkisebb, űj pedig a legnagyobb. Világos, hogy Ezért
n nés
mert
y aia2ar-a„^yA„{ai+a2-A„)a^--a„,
A„(ai + Ű2- A J -a iű 2 = (A„-% )(a2- A„)=^0.
A számtani közép változatlan maradt, a mértani közép pedig növekedett.
Ha az A„;ai+a2 - A „ ;ű 3 ; számok nem mind egyenlők, akkor folytatjuk az eljárást. Legfeljebb n lépés után minden szereplő szám egyenlő, az A„ mindig változatlan, a mértani közép pedig mindig növekedett, végül egyenlőség lett. Ez azt jelenti, hogy eredetileg A„>’G„.
4. bizonyítás: Ennek a bizonyításnak különösen az eleje tanulságos és kissé meglepő.
A ya^Ü2 g egyenlőtlenség így is írha tó :
_ } / ^ \ I
f a ^ fa2 fö [
Bármilyen pozitív szám is az Oi és «2» a jobb oldalon két olyan szám áll, melyek egymás reciprokai, szorzatuk I.
Most vegyük a következő két állítást :A : Ha n s 2 , wgN, ű/>0, i= 1 ; 2 ; a k k o r
B : Ha #is2, n^N, i— 1 j 2 j . . . j és 6 ]^2 . . 1, akkor
n^&i+!>2 + • • •
(5 azt mondja ki, hogy ha n darab pozitív szám szorzata 1, akkor a számok összege nagyobb vagy egyenlő, mint n).
A két állítás, A ; 5 közül valamelyikből következik-e a másik?Ha tudnánk, hogy ^ igaz, akkor ebből következik 5 , mert a bal olda
lon 1 áll, azaz
tehátn^a^ + a2+ . . . + a„.
Ha 5-ről tudjuk, hogy igaz, ebből következik-e A1 Ez azért furcsa kérdés, mert jff-ben több feltétel szerepel az n darab
számra. Nem csupán az kell, hogy pozitívok legyenek, hanem szorzatuk is 1 kell legyen, ezért első pillantásra az az érzésünk, hogy 5-ből nem következik A.
Legyen adva n darab pozitív szám; íi, ; Hj; . . . ; Azt szeretnénk belátni, hogy
Ez átírható így i s :
A jobb oldalon n darab olyan pozitív szám áll, melyeknek a szorzata 1. A B állítás szerint, melyről most feltettük, hogy igaz, az előző egyenlőtlenség érvényes, így az A állítás is igaz.
Választhatunk tehát: ha ^ és 5 közül egyiket igazoljuk, abból a másik is következik. A B egyszerűbbnek látszik, próbáljuk ezt bebizonyítani.
Ismét teljes indukciót használunk. «=2-re igaz az állítás, mert bib2 = 1
miatti?2= “ . Ezért bi
a,+02+ ..•+<>, b ,+ b ^ ^ b ^ + -= + 2 ^ 2 .
54 55
Tegyük fel, hogy igaz az állítás «-re, és mutassuk meg, hogy akkor igaz (H-f l>re is. Adott tehát b^;b 2 \ . . . ahol mindegyik b, pozitívés bib2 '"b„^i= 1. Azt szeretnénk belátni, hogy
bi+b2'h • •. -\-b„^i^n-\-1.
H aafr, számok mind egyenlők, akkor mindegyik b,— U ezért az egyenlőtlenség teljesül. Tegyük fel, hogy a b^ számok nem mind egyenlők. Mivel a szorzatuk 1, ezért van legalább egy b,y amelyik 1-nél nagyobb, és van legalább egy 5 , amelyik 1-nél kisebb. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy b„-< 1 és b„^i =-1. A b„b„^i szorzatot egy tényezőnek véve &í&2’”^ « -i(^A + i)“ az indukciós feltevés miatt
í»i 4- &2+ • • • + K - 1+K K +1 — "•
Alakítsuk ezt úgy át, hogy a kívánt egyenlőtlenséghez jobban hasonlítson (mindkét oldalhoz hozzáadunk 1-et, a bal oldalhoz hozzá is adunk (b„+b„^i)-et és ki is vonunk):
^1+^2+ • ^’+ b„_i+ b„+ b„^i+ bJ> „^i-b„-b^+ i+ l^n+ í.
Ha tehát sikerülne belátni, hogy
b jb„+ i-b„-b„^i+ 1^0 ,
akkor kész a bizonyítás, mert ebben az esetben
dj+l?2+ . . > + b„^i^bi+ b2+ . • ‘ + b„^i+bj>„^i—b„—b„^i+ l.
A feltevés szerint ezért
Azért is érdemes megfigyelni ezt a bizonyítást, mert ez azt mutatja, hogy a feladat átfogalmazása segíthet. A kitűzött probléma első pillantásra speciálisnak tűnő esetét talán könnyebb volt bebizonyítani.
Az első bizonyításnál tisztáztuk (a többinél is lehetett volna), hogy egyenlőség akkor és csak akkor van, ha az ü fk egyenlők. Ez azt jelenti, hogy :
a) ha az szorzat állandó, akkor az íI|+ ^2+ • • összegakkor minimális, ha
b) ha az ai+Ü2 + . . . összeg állandó, akkor az ö|ö2-»ö„ szorzat akkor maximális, ha
a j= a 2 = .. .= a ^ .
A számtani és mértani középre vonatkozó egyenlőtlenséget sokszor fogjuk alkalmazni. Most néhány példát mutatunk, hogy hogyan lehet szélsőérték-feladatok megoldására az egyenlőtlenséget alkalmazni.
i . példa: A 11. oldalon található 4. példa arra a problémára vezetett,Í Khogy adott íT>-0 esetén mikor lesz az / :
függvény maximális.K
X és pozitív szám, ezért
K- V
í _^K x - h - ^ - x2
ÍK2~ 2 4
A jobb oldal állandó, így a bal oldal akkor lesz legnagyobb, ha
K K—X, azaz x = - r . l 4
Ez azt jelenti, hogy adott kerületű téglalapok között van legnagyobb területű, és ez a négyzet.
2. példa: Egy téglatest egy csúcsból kiinduló a, h c éleinek összege állandó. Milyen esetben lesz a téglatest térfogata maximális?
Ha a i-b + c - U akkor3
V ^ á b c ^’a+ b+ c 3 ’L '
3 3
y akkor legnagyobb* ha a—b—c—-:r , azaz kocka esetén.o
3. példa: Valamely tárgy tömegét n-szer megmérve, az a j ; . . . ; értékeket kaptuk. Melyik az az A szám (ha van ilyen), amelynek az számoktól mért különbsége négyzeteinek összege minimális?
56 57
Más szóval: melyik az az A szám, amelyre az ( ^ — ^2)^+-f . . .-f-(Á~a„)\ úgynevezeit hibanégyzetek összege minimális?
Végezzük el a négyzetre emeléseket és vonjunk össze :
iA -a i f+ (A ~ -a 2 f+ . .. + (A--a„f=^
— nA^—2^(űi4- Ö2+ •. • + ö„)+űi+ű2‘ • • •Ismert, hogy az / : R —R, / (x)~ax^-\-bx+ c, a > 0 , minimumát az
Xfl= —~ pontban veszi fel. Ezért a példánk kérdésére a válasz;
Ö1+Ö2+...4'Ö„
4. példa: Legyen / : ]0 ; <»[->R, / ( x ) = x ^ 4 - ^ . Felveszi-e a z / a mini
mális értékét, és ha igen, milyen x-re?Itt nem látszik tüstént, hogy egyenlőtlenségünk alkalmazható. Alakít
suk át a jobb oldali összeget olyan pozitív összeadandókra, hogy azok geometriai közepe ne függjön ^-től ;
—= 1 X^+ i X^+ i X^+ \ + .X* 3 3 3 X® X® öttagú összeget kaptunk, ezek számtani és mértani közepére
i i i x^+ -^4- ■ ^
3 ^ 3 ^ 3"^ .x3 x3 f 3 » *
/ tehát lesz minimális, ez a minimum 5 / ^ , és ezt akkor éri el, ha
1 */r- 3 = ^ .a z a z x = K 3 .
Egy érdekes szélsőérték-feladát
Vizsgáljuk azt a kérdést, hogy ha (ö| ; 0 2 ; . . . ; ö„) és (fo,; fej; • . . ; ft„) Icét, pozitív számokból álló szám-n-es, akkor az
^ 1^/1+ 2^/2+ • • • + ^A „
összeg, ahol i’i; /V, az 1; 2; . . . ; « számok egy permutációja,milyen esetben lesz maximális, illetve minimális.
Az összeg biztosan felveszi maximumát és minimumát, mert legfeljebb véges sok, pontosabban «!, különböző értéke lehet.
Tekintsük példaként előbb a feladat egy speciális esetét.
I. példa: Pistiéknél otthon négy dobozban tartják a pénzt. Mindegyik dobozban azonos címletű bankjegyek vannak. Az első dobozban 20Ft- osok, a másodikban 50 Ft-osok, a harmadikban 100 Ft-osok, a negyedikben pedig 500 Ft-osok vannak. Jutalomként Pistinek szülei megengedik, hogy valamelyik két dobozból 2-2, a hátralevő két dobozból pedig 1, illetve 3 bankjegyet vehet ki. Pisti választja meg kívánsága szerint a dobozokat.
Ha Pisti a legtöbb pénzt akarja megszerezni, akkor nyilvánvalónak látszik, hogy 3 db 500-ast, 2 db 100-ast, 2 db 50-est és 1 db 20-ast vesz ki,azaz
1 .20+ 2 . 50+ 2- 100+ 3 . 500forintot kap.
Ha a lehető legkevesebb pénzt akarja kivenni, akkor nyilván
3 . 20+ 2 . 50+ 2 » 100+1.500
forintot kap.Itt két szánmégyes szerepel ;
(20; 50; 100; 500) és (1 ;2 ;2 ;3 ) .
Az előbbi példából azt sejtjük, hogy akkor kapunk maximumot, ha a legnagyobb Of számot a legnagyobb bj-vel szorozzuk, és így tovább.
Mielőtt pontosan megfogalmaznánk az állítást, egy elnevezést vezetünk be (mint ebben a pontban eddig is, ezután is csak pozitív számokra gondolunk).
58 59
A zt mondjuk, hogy a (Cf; ; c j ; ( ^ ; . . . ; á j s^in-ii»esck a} Bgyanügy ¥aiiiiak Feaáwve* h am in d « i^re és..%-ra
következik;b) clfentétesen vannak rendezve^ ha minden fm ,és fe»ra ci^c^-ból
^ 1 ^ 4 következik.
2, példa:.(20; lOÖ; 50; 5WX (1; 2 ;2 ;3 ) uö^anógy vaiiiiak rcndezv®;
b) (20; 1(»; 50; 5W), (3; 2; 2; 1) ellentétesm vannak rendezve;c) (20; 1W ; 50; 500), (2; 1; 3; 2) egyik említett esütbc sem tartoziki
Sejtésünk tehát a következő :
Tételt Legyen adva két, pozitív számokból álló szám-n-es. Az
^i^ /,+ ö 26 /,+
összeg, ahol . . . ; l „ a z í ; 2 ; . . . ; « számok egy permutációja, akkora) legnagyobb, ha (a f, a2 l . ^. i ú j és (£>,, ib^ ; ugyanúgy van rendezve:b) legkisebb, ha ( a , ; % ; . ; a j és (6/, \b,^\ . . - \ b , J ellentétesen van rendezve.
Csak Kz a) eset bizonyítását mutatjuk meg. Tudjuk, hogy az összeg lesz maximális. Megmutatjuk, hogy ha a két szám-«-es nem úgyanúgy van rendezve, akkor a megfelelő összeg nem lehet maximális. Ebből következik az a) állítás.
Tegyük fel* hogy ( a , ; ű 2 ; • • • ; ^ J és (bf, . . . ; b j nem ugyanúgy van rendezve. Ez azt jelenti, hogy van olyan J, fe, hogy és b/j>-b^. Ekkor az
S = f l i 6 / , + . . . +ajb,j-i~ . ... . + ö A „
összeg nem lehet maximális, mert az
. . . .
összeg nagyobb nála, ugyanis
(S felírásánál vegyük figyelembe, nem biztos, hogy J^k, é s jé s k közül bármelyik lehet 1 vagy n is. Ezen ellenvetések ellenére szokásos0 2 az írásmód.)
Ismét hangsúlyozzuk: a bizonyításban lényeges volt az, hogy tudtuk, létezik maximum!
Feladatok:
1. Igazoljuk az állítás b) részét!2. Hol van a hiba a következő okoskodásban?Tekintsük a pozitív egész számok halmazát. Azt állítjuk, hogy ebben a halmazban
az 1 a legnagyobb szám.Valóban bármelyik, 1-nél nagyobb k egész számot tekintjük is, ennek négyzete
Mivel is pozitív szám, k nem lehet maximális, tehát 1 a legnagyobb pozitív§gészs^.
Nézzük eredményünk néhány alkalmazását.Először a számtani és a mértani közép közötti egyenlőtlenségre mu
tatunk még egy bizonyítást.Legyen adva n darab pozitív szám .* . . . ; ö„, mértani közepüket
jelöljük G„-nel.Tekintsük a következő két szám-w-est:
f i . . a\0r"0n
és
ía .jg ,.
( - 1)
c - i )
A második szám-it-esben tehát rendre az első szám-n-es elemeinek reciprokai szerepelnek. Ezért a két szám-n-es ellentétesen van rendezve. Ha így a megfelelő elemeket összeszorozzuk, a minimumot kapjuk, min
ői
den más sorrendben való szorzás esetén az összeg csak növekedhet, azaz
f i ■ ^1% Gl . .G, O y a^ü2 *■*
■a-l
axar-ün a, ' q f ^1^2
c? 7 c7 7
így megkaptuk a számtani és mértani középre vonatkozó egyenlőtlenséget. (Persze kérdezhetjük, hogyan lehet rájönni, hogy éppen ezt a szám- n-est válasszuk. Több-kevesebb próbálkozással. Néhány egyszerűbb feladat megoldása után több eséllyel. Ilyeneket még majd ki fogunk tűzni e fejezet végén.)
Második alkalmazásként Csebisev híres orosz matematikus egy egyenlőtlenségét bizonyítjuk be. (P. L. Csebisev (1821—1894) a függvénytan és a valószínűségszámítás nagy művelője.)
Tegyük fel, hogy az (a,;űÍ2 ; . . . ; ű„); (6 ,;/>2 ; • • • ; ^«) szám-n-esek ugyanúgy vannak rendezve. Akkor tételünk alapján igazak a következő egyenlőtlenségek:
. . . + h A = ^ í ^ i + % ^ 2+ • • • + ö A ;+ 2^2+ • • » + ;
Ű16J + Ö262+ . . . ^I^3 + 2^4+ • • • + < n 2»
ai&j + %&2+ • • • + « A ^ Ö , 6„+Ű2*1+ • • • + ^ A - 1-
(A £>/-ket mindig egy hellyel előbbre csúsztattuk, az elsőt pedig a sor végére vittük.)
Adjuk össze a megfelelő oldalakat ;
n(ö,6 ,+ fl2^2+ • • .+űA)^ (<» i+ö 2+ • •. + ^ J (b t+ h + • • • + M -
Feladat:Mutassuk meg, hogy ha az (aj; a j; . . . ; a„); (ö |; %; . . . ; szám-n-csek ellenté
tesen vannak rendezve, akkor
«(a|&|+Ö2 2+ • • • +<^A)“ Cöi+áÍ2+ .. .+a„)(bi+b2+ . . . + 6„).
« « *
Első speciális eset: af= b,^i— 1; 2; . . . ; n. Ekkor
n (a f+ ű |+ . . .+ c Ö ^ (ö ,+ a 2+ . . . + a „)2
Átírva:
l-f fl2+"" «
A bal oldalon szereplő mennyiséget négyzetes középnek szokás nevezni. Az egyenlőtlenség azt mondja, hogy a négyzetes közép nagyobb vagy egyenlő, mint a számtani közép.
Második speciális eset: bf=— . Ekkorüj' 1 1 ^ lQ . ---- \-Q2 * ■—+ • —
Kissé más módon írva ezt az egyenlőtlenséget:n _ ö |+ ö 2+ .. . + fl«
n ;(öi4*ö2 + .. .+ ö„) 1 +1 +...+1 ^ai dl a„
ö| 02 a„n
A bal oldalon szereplő számot szokás az aj;Ö2 ; . . . ; harmonikus közepének nevezni. A harmonikus közép tehát kisebb vagy egyenlő, mint a számtani közép.
Mutassunk erre még egy bizonyítást; Ha ö | ; Ö2 J • • •; pozitív számok, akkor
— r -r -L+Í-+...+Í-1 1 1 fli % a„
ebbőln
1 + 1 + . . . + -öl Ö2 ö,
62 63
így nem csupán az derül ki, hogy a harmonikus közép a számtani középnél kisebb, hanem az is, hogy a geometriai középnél i kisebb.
Feladat." A Ciebisev-egyenSőílenségek felhasználásával Írjunk fel még néhány érdekes speciális esetet.
* *
A KVANT című folyóiratban (ez a folyóirat a Szovjetunióban havonta megjelenő népszerű tudományos matematikai és fizikai lap; e könyv szerzőjének egyik kedves olvasmánya, így mindenkinek nagyon ajánlja) egyszer a következő példát tűzték k i;
Mutassuk meg, hogy ha a; b; c pozitív számok, akkor
. a^-hb^ b^+c^ c~+a^ b^a+ b-\- ----- !----—--- 1--- —I---------------- h-T •2c 2a 2b bp ca ab
A bal oldali egyenlőtlenség igazolásához tekintsük a következő két számhármast:
Világos, hogy ezek ellentétesen vannak rendezve, ezért
ésa b c h c a
a2.. 1+62. i+ c 2 . í-+|>2. i+ c 2 . i a b c c a bösszeadva a megfelelő oldalakat,
. a^+b^ b^-hc^ c^+a^ 2 ( a + b + c ) m - j - + — ^ + - j - ,
ebből a bal oldali egyenlőtlenség rögtön adódik.A jobb oldali egyenlőtlenség igazolásához tekintsük a következő két
számhármast:a b c
abc ’ abc* abc
Világos, hogy a két számhármas ugyanúgy van rendezve^ ezértc
abca
abc abc
abc abc abc
b c , aabc^ abc^^ ' abc*
A megfelelő oldalakat összeadva, az egyszerűsítéseket elvégezve,
be ca ab c a b b c a
c a b *ez pedig éppen a jobb oldali egyenlőtlenség.
Feladatok:
1 . Az előző példa bal oldali egyenlőtlenségének következő általánosítását mutassuk meg:
Ha ö j; aj; . . . ; ű„ pozitív számok, n^2, n €N, akkor
a2+ - + o « öf+Ö3+... + a ö?+ű2+ - + ű Í - i (M~l)íö| + í?2+--- + «>” ----- ------- + ---------^ +•••+ ^ ■
Egy másik általánosítás:Ha ö |; Ö2 > • • • I pozitív számok és ^€N, akkor
. , 4+4+...+<i-i(n-l)(a^+a2+...+aJs— ------ j z i ------ +•••+------- •1 2 n
Még további általánosítás:Ha íij; Ö2; • • •; pozitív számok, k; m€N és akkor
ín -lX < + 4 ^+...+<’) s
^ ^2 + 4 + j 4 + 4 + . . 4 + 4 + - + 4’n-l
abc abc abc “
Mondjunk ki és igazoljunk hasonló általánosításokat az eredeti példa jobb oldali egyenlőtlenségére is I
2. Ha a;b£Rf akkor á*+b*^a^b+ab^. Általánosítsuk a feladatot!
3. Mutassuk meg, hogy ha a; 6;c€R, akkor
4. Igazoljuk, hogy ha a;b;e^R'^, akkor
c^b ű*c b^a b^c <?a (?b----- --------------- _4-_— -----s6íée.c b c a b a
64 55
5. Bizonyítsuk be, hogy ha 0 |; űj ; ; ű4€R' , akkor
á^+c^+a^+
6. Mulassuk meg, hogy h&a;b; c6R'*', akkor
ab(a+ 6)+ bc(b+c)+ca(c+a)^6abc.
7. Igaz-g, hogy b& a;b;c£R+, akkor
1 1 1 é + l f i + é- + 7 + -^a b c
8. H afl;6€R'*', akkora+b\^ (P’+lP-
9. a) Adott iKT kerületű paralelogrammák között van-e legnagyobb, illetve legkisebb területű, ha igen, melyik az?
b) Adott rterületű paralelogrammák között van-e legnagyobb, illetve legkisebb kerületű, ha igen, melyik az?
10. Bizonyítsuk be, hogy ha a ;6eR+, o + 6= l , akkor
11. Egy derékszögű háromszög két befogójának összege természetesen nagyobb, mint az átfogó. Létezik-e vajon olyan K állandó, hogy bármely derékszögű háromszög esetén a két befogó összege kisebb vagy egyenlő, mint az átfogó ^-szorosa?
12. Igazoljuk a következő egyenlőtlenségeket:
a) n l sm •
ha n6N +; c)f(n+l)(2n+íy
b) n!a=«2 ,han€N+; j , ha n€N+.
13. Legyen ö |; *2; . ..;b ^ a. pozitív ö| ; a j» • • •; számok egy permutációja; bebizonyítandó, hogy
Oí ű2 a„V + T + - + T - " -
(Kürschák József Matematikai Verseny 1935., 1. példa.)14. Legyenek a j; a2; ; 62; C{; C2 olyan valós számok, hogy ű|a2>-0; ö|C|S6j;
0^2—%' Bizonyítandó, hogy ekkor
(0 | + Ö2)(Ci + C2) Í6 | + b2?-.(Kürschák József Matematikai Verseny 1939. 1. példa.)
15, Mutassuk meg, hogy hsLa;b;c;d pozitív számok, akkor
(ű2+a+ l)(t^+b+ lXc2+ c+ í){d^+d+1)abcd
^81.
Általánosítsuk a feladatot 116. Igaz-e, hogy ha egy háromszög a;b;c oldalaira igaz az
a^+l^+c^—ab+bc+ca
egyenlőség, akkor a háromszög szabályos?17. Az eddig is használt jelölésekkel legyen:
; G „= /0i02-”öa;/i€N, ns2, o,>0, /=1 ; 2 ; . . . ;n.
öj Igazoljuk, hogy
(«-l) + ( í r íV ^8-1
b) Mutassuk meg, hogy ha z€R, és w€N, 1, akkorz " - « z + n - l s ( z - l ) ( z " -* + z " - 2 + . . .+ z - n + l ) .
c) A b ) felhasználásával az ott szereplő z-re és n-re mutassuk meg, hogy
z»+n—í^nz.Gd) Ha z =— ~ , akkor oj és c; felhasználásával mutassuk meg, hogy
^/i-ij í ( n - l ) - í ^ - ( / i - l ) + - ^ l , ha h€N, nfe3.
« V G„-l )e) A d ) segítségével következtessünk a következő egyenlőtlenségre:
f ) Az előzők felhasználásával hogyan tudjuk belátni a számtani és mértani középre vonatkozó egyenlőtlenséget?
18. H aa;6;c6R+ ésa+6+c=2í , akkor
a)(P‘+lP-+(P-^^abc\
b) 8(s-d^s-b){s-c)^abc;
19. Haű;ö€R+, akkor«+i
1 1 1 9c) — + — - + —s —a s —b s —c s
d) ^s-^}f 5 -a -V ]ls-b+ '}/s-c^ ^fls.
a-\-nbn+l
m 67
20. Mutassuk meg, hogy haö;6€R' , akkor nem állhat fenn egyszerre a következő három egyenlőtlenség:
c(1 -ű):^^.4 4 4
21. Bizonyítsuk be, hogy ha a ; 6€R+, akkor
(a+by*^Sd*+Sb*.
22. Milyen n pozitív egész szára esetén léteznek az Xj; ^2; . . . ; pozitív valós számok úgy, hogy
X1+X2+ ...+x^=^3és
1 1 1 ,legyen?
23. Mutassuk meg, hogy ha akkor ( / is2 ,w6N, a ,^ 0, i - í ; Z ;esetén
'űf+ö2+... + a * '‘
24. Adott F térfogatú hengerek közül melyiknek a legkisebb a felszíne?
(ötlet:F— 2nP-+ Inrh ; F= nr^h;
2 1 ^ 1 / 3 ^ _____ _
F = 2«f2+ ----=2nr^+~+—^ 3 Y ^ ^ ;r r r
- í i - ]-=2wr =*-r
W. Mutassuk meg, hogy ha a/>-0, i = ! ; 2 ; . . . ; « és akkor
(i+fl,Ki+02)"a+fl«)^2".
M» Van-e, ha igen, mi a maximuma az aö szorzatnak, ha a+ 2b= 1 ?27. Van-e, ha igen, mi a minimuma az ű^+ö^+ű6 összegnek, ha a+b= 1 ?
28. Mutassuk meg, hogy az n€N pozitív osztóinak (1-et és n-et is Ipeleértve) a szám
tani közepe /n és — közé esik.
6S
29. Mutassuk meg, hogy ha a,=*0, i = l ; 2; . . . ;/t, n s 2 , és . . . + a ,akkor
5 -a j 5 - í ^ ...... S-ű^ n- 1
30. Ha Oj; Ö2; . . . ; o„, ns 2 pozitív számok, akkor02
02+^3 Ö3 + Ö4 «! + % 4
31. Pista és Jóska egy üzemben dolgozik. Hat napon át minden este megszámolták, hogy külön-külön hány terméket gyártottak, és ebből hány volt selejtes. Pista tudja, hogy az ő
selejtes termékek száma kész termékek száma
hányadosa mindegyik napon kisebb volt, mint Jóska ugyanilyen hányadosa. Az iroda a hét végén a hat nap alatt termelt termékre vonatkozóan kiszámolta a fenti hányadost és azt kapta, hogy Pista hányadosa nagyobb, mint Jóskáé. Pista fel volt háborodva és kijelentette, hogy a számolásban hiba kell legyen. Igaza van-e Pistának? Lehetséges-e, hogy az iroda jól számolt ?
Cauchy-egyenlőtlenség
A z x ; y koordináta-rendszerben két pont, P,(jc, ; j j) , .V2) távolságát a
formula szolgáltatja.Tudjuk, hogy érvényes a háromszög-egyenlőtlenség, azaz, ha P$(x^; y,)
egy tetszőleges további pont, akkor
d(PiiP2)^d(P ,;P ,)+ d(P,iP2),
azaz
Az írás egyszerűsítése kedvéért vezessük be a kővetkező jelöléseket:
Xj-X2=^02i y% -y% ^K
69
Ezekkel a jelölésekkel az előző egyenlőtlenség a következő alakba írható:
Négyzetre emelve és egyszerűsítve :
/(öi+Ö2)^+(^i+^2)^= i a l+ b l+ ia l+ b \ .
A bal oldal nemnegatív, így az egyenlőtlenség igaz marad, ha mindkét oldalt négyzetre emeljük:
a\-^a2^b\-¥b\-^-2{aia2^-bxb'^^a\^a\+b\¥b\-)r2y a \ \ - b y a\+ b \ ,
azaz
A síkot, illetve a teret 2-, illetve 3-dimenziós térnek nevezve, az n- dimenziós teret definiálhatjuk úgy, mint az (a:, ; X2 ; . . . ; szám-w-esek halmazát. Az x , számokat a pont koordinátáinak nevezzük. Két pont, P {xi; . . . ; é í F i t á v o l s á g á t most így definiáljuk;
d(P-. Q)= y ( x , - y , y + . . . + ( x „ - y „ y .
Leolvasható, hogy d(P; Q )^0 ; d(P;Q) akkor és csak akkor 0, ha P=^Q;d(P;Q)=d(Q;P).
Igaz-e a háromszög-egyenlőtlenség, azaz tetszőleges P (x i; . . . ; x„), ÖCFi ; . •; y j , R(Zi; • • •; pontokra a
d(P;Q )^d(P;R)-hd(R;Q )7Más módon:
Í ( x , - y ,Y + . . . + ( ' ( * , - z . ) " + - + (Ar„-z„)2+
Vezessük be a következő jelöléseket:
x,-Zf=a,% z , - y ,^ b i \ i= l ; 2 ;
Ezekkel a kérdés: Igaz-e a következő egyenlőtlenség:
a,b,+ ...+ aJ> „syaf+ ...+ a^ K if+ .- .+ fc J .
Ha ez az egyenlőtlenség igaz, akkor az előző is az.Ezt az egyenlőtlenségét Cauchy-egyenlöílenségnek nevezzük. Bizonyít
suk be!
1. bizonyítás: Tetszőleges valós x számra
0 ^ {aix+ b t f - ^ . . .+ (a ^+ b„f=^
= ( ^ + + -\-2x{aibi+ ...+ajj„)+b]+ ...4-dj.
Ebből leolvasható, hogy az
(öj+ +2x(aibi+ ... + a«5„)4-í>i+ ...4-í>J=0
egyenletnek legfeljebb egy valós gyöke van, azaz a diszkrimináns nem pozitív, így
(űibi + . . . + (01+ ...+ íá )(^ i + . . . 4-
Ebből következik a Cauchy-egyenlőtlenség.
2. bizonyítás: A Cauchy-egyenlőtlenség a következő, úgynevezett Lagrange-féle azonosságból is következik:
2 2 2 2 2 ^ 2,*-1 üt==l m=-l m-1
= Í 2 2^ k-^l m=!
A Cauchy-egyenlőtlenség felhasználásával látjuk, hogy a kérdezett háromszög-egyenlőtlenség érvényes.
70 71
Feladatok:
1 .Legyen a^6R, /= 1 ;2 ; O j + a 2 + m u t a s s u k meg, hogy akkor
űf-hű^-h... + 0^^— .
2. k z a; b \c ’,d°, e legyenek olyan valós számok, hogy
a+ b+c+ d+e= 20;
Állapítsuk meg, hogy mi az e szám maximális értéke!{Egy ötlet a megoldáshoz: A 20-e=ű+ö+c+<í jobb oldalát a Cauchy-egyenlőt-
lenség segítségével becsüljük felülről.)
3. Az előző pont végén kitűzött 10. feladatot oldjuk meg a Cauchy-egyenlőtlenség segítségével. A feladat a következő:
Ha ö ;6€R+ és a+í>==l, akkor
r + á j - 1 -zött 8. fel(A megoldás vázlata: Az ugyanott kitűzött 8. feladat szerint
x^+y'^ (x+y)^
Ezértl ( ( ( í f ) f i / 1 n)2 ( i f 1 i\]2
j - [ 2 ( ‘'+ «+ '’+4jj “ ( j l ' + á + é j ■
A Cauchy-egyenlőtlenség miatt (persze más módon is indokolhatjuk)
(a+é)^(l + 1)2=4,1 ia'^b
így. 1 1 1+ - + - a b a+b) { 2
4. Az előző feladathoz hasonló a következő: Ha flt;£»;<?€R+ és a + b + c ~ í, akkor
I\2 2 100 — ,
72
5. Általánosítsuk az előző két feladatot:Ha ű j; Ű2 ; . «. ; « s 2 , w€N, és űj+Ű2-f . . . akkor
+
K eressük meg K lehetséges legnagyobb értékét.6, Ha a; b ;c pozitív számok és a olyan, hogy a cos cc+b sin2 otSc, akkor az is
igaz, hogy
fa cos2 a+ y i sin2 as Yc.
Bernoulli-egyenlőtlenség
Ha egy 1-nél nagyobb számot hatványozunk, akkor vajon meg tudjuk-e választani úgy a kitevőt, hogy a szám valamely előre adott „nagy” számnál nagyobb legyen? Különösen akkor érdekes ez a kérdés, ha a szám csak nagyon kicsivel nagyobb 1-nél.
Többek között erre a problémára is válaszol az úgynevezett BernoulU- féle egyenlőtlenség:
Ha a€R, a > —1, n£N+, akkor
(l + a)”s l + wűt.
A bizonyítást teljes indukcióval végezzük.n— 1-re igaz az egyenlőtlenség, mert mind a két oldalon \ + a áll.Tegyük fel, hogy igaz az egyenlőtlenség n-re (azaz (l + a)”^ l 4 -«ű),
és mutassuk meg, hogy igaz (/i+ l)-re is.Ez igaz, mert(1 + ay‘+ i= ( l + ű)(l+ (1 + ű)(l + na)— l + a+na-^ na^^
^ l + {n+l)a,
így például ( 1 + 0 ,0 0 0 1 )"^ 1 -fn* 0 , 0 0 0 1 1 0 , ha
1 0 6 - 1
0,0001
A teljes indukcióval kapcsolatban megemlítjük most a következőt.A Bernoulli-egyenlőtlenség helyett a gyengébb állítást tekintjük: Ha
ögR, n€N+, akkor ( i+ a y ^ n a .
73
Bizonyítsunk teljes indukcióval;n - 1-re igaz az állítás. Tegyük fel, hogy igaz n-re, és mutassuk meg,
hogy akkor igaz («+ l)-re is. Nyilván
(1 + af+ =(14- ö)(l+ ( 1 + a)m= m + m \
A jobb oldal viszont nem biztos, hogy («+ l)a-nál nagyobb vagy azzal egyenlő. Ez akkor lenne igaz, ha na^^a. Ez azonban nem biztos, hogy teljesül.
Az érdekes és tanulságos tehát az, hogy az élesebb állítás teljes indukcióval könnyen adódott, a gyengébb állítás viszont nem tűnik teljes indukcióval könnyen igazolhatónak.
74
Sorozatok
Bevezető példák
i. probléma: Ha „sok nagy” számot adunk össze, akkor az összeg is „nagy” lesz.
Vajon, ha „sok kis” számot adunk össze, lehet-e az összeg „nagy” ? Az előbbiek nagyon pontatlanul vannak fogalmazva. Néhány példán
próbáljuk megvilágítani a fenti problémákat.
1. példa: Tekintsük a következő összeget:
l + i + ^ + . . . + | , , ahol «€N+.
Van-e olyan K szám, hogy bármilyen nagy természetes szám is az n,
i + í + P + . . . + ^ s a :7
Hangsúlyozzuk, hogy K az n-től független.Ilyen K-t könnyen találunk, mert
l + i + . . . + =
' í n+11 - 2 % / /n n+r
— 2 :2.
2. példa: Legyen a tekintett összeg:
Létezik-e olyan K szám, hogy minden n6 N+-ra
l + + p + . . .+ ^ S J C ?
75
A t előző példával összehasonlítva, most nem íudunk valamilyen egyszerűbb kifejezést találni az összegre. Próbáljuk meg ezért felülről becsülni olyan összeggel, amit könnyebben át tudunk alakítani.
A most itt következő eljárást azért is érdemes megfigyelni, mert sokszor tudjuk alkalmazni.
Az alapgondolat az, hogy ha n&2, akkor
1 ^ 1 1 (n— Í)n n - l n '
Ezért
.. ................................... 12 2 -^ 3 2 '>2' • • • + '12" •" +1 -2 2 .3
= 1 + 11 1 1 1 1+
2 "~3 + .. .+ n— 1 n
{n -\)n
= l + l - i < 2 .n
A kapott egyenlőtlenség azt fejezi ki, hogy akárhány négyzetszám re- ciprokának az összege 2 -nél kisebb.
A becslés miatt bizonyosak vagyunk benne, hogy 2-nél kisebb szám is alkalmas a kérdésben kitűzöttX-nak. Van-e, és mi lehet a legkisebb alkalm a s t ? Erre a kérdésre később visszatérünk.
3. példa : Tekintsük az első n pozitív egész szám reciprokának az ösz- szegét:
1 + Í+...+ Í .
Van-e olyan K szám, hogy minden «€N+-ra
A kérdésre ismét egy becslés segítségével válaszolunk.Vegyük észre, hogy ha akkor
Rögzítsünk ezután egy M számot. Ha Af, akkor az előző egyen
lőtlenség miatt
‘ + 2 + - + 1 cF ::1 ^ í ö " ^ í ö - T ^ = ^ -
Ez az egyenlőtlenség azt jelenti, hogy bárhogyan is adunk meg egy M számot, található hozzá olyan w, hogy az első 1 0 " - 1 pozitív egész szám reciprokainak az összege nagyobb M-nél. Ez egyben azt is mutatja, hogy a példában kérdezett tulajdonságú K szám nem létezik.
Feladat: A 3. példa kérdésének eldöntésére hogyan tudnánk felhasználni a kővetkező becsléseket?
Ha /i€N+ akkor1 1 . 1 1 1 I n t
a ) ---- *n + 1 n + 2 2n 2n 2n 2n 2n 2
1 1 1 1 1 1 1 r ^ - n 1 !b ) - + — - + . . .+ - ^ ^ - + - ^ 4 - . . .+ —, = - + -----=—= - + 1 — = 1 .n n+1 n ffl rfi n n* n n
* « *
4. példa: A 2. és 3. példa után természetes módon merül fel az a kérdés, hogy mit állíthatunk az
• + ^ + 3 5 +
összegről, ahol a valamilyen pozitív szám. Létezik-e olyan K szám, hogy ez az összeg minden n-re e K alatt marad?
Ha a> 2 , akkor a 2, példát felhasználva tetszőleges w6 N+-ra
1 + ^ + ^ + • + ^ ^ » + ^ + p + - + ^ - = 2 -
^ 9 90 9.10"-* 9 '^lO'^lOO'^” *' 10" “ l o ”’
Ez az egyenlőtlenség azt jelenti, hogy a >-2 esetén a kívánt tulajdonságú K szám létezik, és például a 2 választható K-nak. (Természetesen minden 2-nél nagyobb szám is „jó” K-nak. Lehet, hogy van 2-nél kisebb K-nak alkalmas szám is.)
76 77
Ha a< l , akkor «6 N+, «s2*fe
i + y . + 3 5 + - + ^ = - i + 5 + - + Í
Ez az egyenlőtlenség a 5. példát felhasználva azt jelenti, hogy bárhogyan is rögzítünk egy M számot, «-et elég nagyra választva
Ezért a példa kérdésében szereplő K szám 1 esetén nem létezik.
Az a kérdés maradt végül, hogy mit állíthatunk, ha
A rövidség kedvéért vezessük be a következő jelöléseket:
Ekkor, __L ___ L-
2“ 3° 4“ (2 « - l ) “ (2 n)“’
- 1 + 2«'^3“'‘'4 “‘ ' " ‘ ( 2 n - l ) “ ’ (2«)“ ^22®
a + i + + _ i2« 4“ (2?i)“
'1 11 ' ! 1 '2“ 3“ 4“ 5“
Vegyük észre, hogy l < a < 2 miatt
^2«=1-
ezért
Ebből
1(2n)
és ^ < 1,
2 2
2«-2 *
78
A jobb oldali szám a kérdésben szereplő K számnak megfelel, mert minden «-re ennél kisebb.
Ha a =2 , akkor
2^ ,2 « -2 2 2 -2 “ *
azaz érvényes a 2 . példában kapott becslés.Ugyanezt az eredményt a következő módon is megkaphatjuk:
1( 2 * - 1)«
12«~2'
2«“ «
Feladatok:
1. Ha van zsebszámológépünk, számoljuk ki, hogy milyen n-re lesz az
összeg nagyobb aj 5-nél;b) 6-nál.
2, Számítsuk ki2“
2«-2 -t néhány «>l*re, melyek „közel” vannak 1-hez.
3. Van-e olyan K szám, hogy minden «€N+ számra
4. Van-e olyan K szám, hogy minden n€N+ számra1 1 1
1+ -+ -+ .3 5 2n+ 1
5. Van-e olyan K szám, hogy minden n6N+ számra1 1 1
1-H-+-+...+-— -ca:?4 7 3«+l6. Van-e olyan K szám, hogy minden «€N+ számra
1 1 1 11-3 2-4 3* 5
Itt m *
n{n+2)■KI
79
2. probléma: Igaz-e, hogy ha „sok” 0 és 1 közötti számot összeszor- zm k , akkor a szorzat tetszőlegesen közel lesz O-uoz?
Kissé pontosabban fogalmazva: Ha a ]0; 1[ intervallumból kiragadunk n darab (nem feltétlen különböző) számot, a , ; ^2 5 • • . ; és ezeket összeszorozzuk, t„, akkor igaz-e például az, hogy ha n-et elég
nagyra választjuk, akkor Ha több számot szorzunk össze, akkor a szorzat kisebb lesz, mert a
számok 0 és 1 között vannak.
Ha például minden «6N+-ra, akkor
ha 100, azaz ha 6 .
Ha a„ = — minden «^N+-ra, akkorn+11 2 1 1 , ha n + l > 100, azaz ha n^99.2 3 w+1 n+ í 100
Az előbbi a„ számok nagy n-re „közel” vannak 1-hez
mégis« + l n + l
Azt is észrevesszük, hogy
rögzítve
L=
1 1100’ 10
1
helyett tetszőleges e pozitív számot
. ha n > — 1. n+ l e
Kiinduló kérdésünkhöz visszatérve kijelölhetünk olyan 0 és 1 közötti a„ számokat is, hogy ezek szorzata bármilyen soKat veszünk is belőlük,
nem lesz például y ^ n á l kisebb.
Úgy keresünk most ilyen a^-eket, hogy a szorzatukat ádjuk meg úgy,
hogy az mindig ^né l nagyobb legyen. Figyelembe kell vennünk még azt,
hogy ha n< /:, akkor
80
Legyenh-t 2
'2 ' 2 (n+l ) 2(«4-l) ‘
Világos, hogy minden «-re (n€N+) , mert és ha k,
akkor
2 " 2 (« + 1)""2 " 2(k+ l)"^
ti = Üi\ ?2 =^1^25 • • • 5 aiŰ2"’ «;
felhasználásával számoljuk ki az ű/-ket.3
UAz értelmezésből következik, hogy
« + 2
_ _ 2 (n + 1) _ n^+2« _ («4-1 ) ^ - 1
^ “ (n+ l)^“ (n+ l)" ■’2n
Természetesen ellenőrizhetjük is a kapott eredményt :2 2 - 1 3 2 - 1 (n + 1)2 - 1
" ‘ ■“ ( « + l )222 32
1 3 2 . 4 «(n+2) _ 1 n + 2 ^ 1 1“ 2 . 2 ’ 3 . 3 " ’ (« + 1)(«+1) " 2 ’ n + l" 2 '^ 2 («+ l) ‘
Találtunk tehát olyan 0 és 1 közötti számokat, hogy'minden «-re az
^ 1 2" '^n szorzat nem csupán -r^ n á l, hanem in é i is nagyobb. Természe-lü ü 2,
tesen 0<a^<l miatt az is leolvasható, hogy ha akkor
Feladatok:
1. Adjunk meg olyan 1-nél kisebb pozitív számokat, hogy az aiö2 - a„ szorzat minden n esetén 0,9-nél nagyobb legyen.
2. Mutassuk meg, hogy há n€N+, akkor
12 / n + l - 2 f n - i f n - h f n
81
b) Keressünk olyan n pozitív egész számot, melyre
f i / 3 |/?i
3* Igazoljuk a következő egyenlőtlenségeket (természetesen számológéppel is lehet):
1 3 1 1 3 5 ^ 1 1 3 5 63 12 4^2" 1 4 ’ 6 "l6"^4’ 2 X 6 ”^ ^ 8 ‘
Milyen általánosabb egyenlőtlenséget lehet az előbbiek alapján megsejteni? Ha találtunk ilyet, igazoljuk is.
3. probléma: Jelöljük d(ri)-nel az n pozitív egész szám osztóinak a számát. Néhány speciális eset a következő: d(í)= 1; d(2)=2; d(3)=2; d(4)=3; d(6)=4; d(l2)=6; d(13)=2. Ha p prímszám, akkor d(p)—2. Ha m=2*, akkor í/(n)=fe+1. Ebből az is leolvasható, hogy akármilyen nagy M számot adunk is meg, van olyan n egész szám, hogy d{n)>M. Amint az eddigi példák is mutatják, a ú?(«) számok „elég szabálytalanul” ingadoznak.
Vajon az átlagról tudunk-e valami jellegzeteset mondani? Tudnánk-e becslést adni a
d{í}^d{2)+ ...+ din)n
számtani középre?
Legyen n rögzített pozitív egész szám, és tekintsünk egy nXn-es táblát f27. ábra).
Jelöljük ( 1 ; fe)-val az i-edik sor fc-adik oszlopában levő mezőt. Ha i | k, akkor fessük ezt a mezőt feketére, ha i f A:, akkor marad a mező fehér.
82
Eszerint a fc-adik oszlopban levő fekete mezők száma d(k). Az egész táblázatban levő fekete mezők száma tehát :
Számoljuk most össze soronként a fekete mezőket. Az így kapott ösz- szegnek az előzővel természetesen meg kell egyeznie.
Az első sorban van n fekete mezŐ;
a második sorban van
a harmadik sorban van
fekete mező;
fekete mező;
az n-edik sorban van (= 1) fekete mező.
((ű| az a szám egészrészét jelöli.) Ezért
n rí n«+ 2 + 3 + .. .+ n
Vegyük figyelembe, hogy
ezért
(n ^ í)+
azaz
n '5 " ’
+ . . .+
‘^ 1 .
2 -1n
^ 4 1 )+ í/(2 )+ ... + 4 ”)«
ha l^k^T ty
n z n
Feladat: Figyelembe véve, hogy mit tudunk már eddig az 1. probléma alapján az
1+ - + - + . . . + - összegről, fogalmazzuk meg, hogy az előző egyenlőtlenségek mi-2 3 n
lyen állítást jelentenek aí/(l)+í/(2) + . . . +</(«)
átlagra vonatkozóan.
83
A sorozat fogalmaElőző példáinkat megfigyelve észrevehetjük, hogy mindegyikben sze
repel olyan függvény, melynek az értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza.
Az 1. problémában több ilyen függvény is van. Az 1. példában az a
függvény jelenik meg, mely minden «6 N+-hoz az 1 4 -^ + ^ +
számot rendeli hozzá.Ezt jelölhetjük így is:
/ : N + - * R , / ( » ) = l + | + ^ + . . . + i .
Feladat: Keressünk az előző feladatokban példákat az, N'^-on értelmezett függvényekre.
« * *
A pozitív egész számok halmazán értelmezett függvények nagyon fontos szerepet játszanak mind az elméleti, mind pedig a gyakorlati problémák tárgyalásában, ezért is indokolt az, hogy külön elnevezést vezessünk be rájuk és a következőkben néhány tulajdonságukat részletesebben vizsgáljuk meg.
Definíció: A pozitív egész számok halmazán értelmezett számértékü függvényt sorozatnak nevezzük.
A sorozatokra többféle jelölést fogunk használni. Az «€N+-hoz rendelt számot sokszor fogjuk a„-nel jelölni (ahol „a” helyett más betű is szerepelhet) :
/ : N + - R ,
Az üf számokat a sorozat tagjainak nevezzük. a„ a sorozat n-edik tagja, szokás ezt a sorozat általános tagjának is nevezni.
A sorozatot így is jelöljük: vagy rövidebben {a^}.{a„} tehát sorozatot jelöl a következőkben, ez nem halmaz, ugyanaz
a szám többször is előfordulhat, és az is lényeges, hogy hányadik helyen
84
Sorozatokkal olyan formában is találkoztunk már régebben, hogy néhány tagot soroltunk fel.
Legtöbbször talán a pozitív egész számok sorozata fordul e lő :
1»2j 3 j . . . I ni
(Itt tehát wCN+-hoz n-et rendeljük hozzá.)Az ilyen felsorolásnál arra kell vigyázni, hogy a sorozatnak végtelen
sok tagja van, ezek közül csak véges sokat tudunk felírni. Valamilyen módon tehát azt kell biztosítani, hogy a felírásból a sorozat bármelyik tagját meg tudjuk mondani, ha valaki arra rákérdez.
Az előző esetben például
kevés, mert ezt a sorozatot nagyon sok különböző módon folytathatjuk.
Sorozattok megadása és ábrázolása
A sorozatokat legtöbbször úgy adjuk meg, hogy megmondjuk, «-hez (ahol n az N+ tetszőleges eleme) melyik számot rendeljük hozzá. Megadjuk tehát a sorozat általános tagját, a„-et. (n-et az a„ indexének is nevezzük.)
A sorozat általános tagja legyen : a„= n - í
1 99ö l — 0 , % “” 2 * ^ÍOO— 2QQ» ^1986—
. E sorozat néhány tagja 19851986'
Ezt a sorozatot így is írhatjuk;
o - l . ? . ? - ■”-=!■"• 2 ’ r 4 ’ n ..........
Ebből a sorozat akárhányadik tagját meg tudjuk állapítani.
Ez a sorozat rövidebb jelöléssel
írjuk: a —í-, w = l ; 2 ;
n - í■ vagy ■ n 1
. Még így is
85
Feladat: írjuk fel a következő sorozatok néhány tagját, és állapítsuk meg mindegyik esetben a sorozat századik tagját (a műveleteket egyes esetekben elegendő kijelölni):
a)a„=r^; cj a„=~; e)n+2
g)n
1+sin 71 — 2
b) a„-=r?; d)a^=T\ f) {cos nn) ; h ) { f t ^ \ ) .
♦ ♦ ♦
Megadhatunk sorozatot úgy is, hogy megmondjuk azt, hogy a sorozat tagjait hogyan kapjuk az előzőkből. Ekkor az első néhány tagot meg kell adni. Például:
ű ,= l ; Ű2= l ; a„=a„_i + a„„2. h a « ^ 3 .
E sorozat néhány tagja:
í ij= 1; Ű2“ 1 s ^3“ 2; 0 4 = 3 1 %= 5; 8; 13 j űg=21.
Ki tudnánk számítani például az ezredik tagot is, csak ahhoz az előtte levőket is meg kellene határozni.
Vagy, ha ű j= 1 ; ö2= 3 ; ű„=2ű„_| —a„„2» ha n ^ 3 , akkor a sorozat első tíz tagja :
1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19.
Úgy látszik, hogy ez a sorozat a páratlan pozitív egész számokból álló sorozat: {2«— 1 }.
Mutassuk meg, hogy valóban így is van. Teljes indukciót használunk.n= 1-re igaz az állítás.Tegyük fel, hogy (n+ l)-nél kisebb n-re érvényes az állítás, azaz, ha
és 1, akkor 1.Ekkor
« „ + i= 2 a „ -< i„ . , ,= 2 (2 n - l ) - ( 2 ( n - 1 ) - 1 )=
= 4 n - 2 - 2 n + 3 = 2 n + l = 2 ( n + I ) - l .
Az előző két példában a sorozatot úgynevezett rekurzív módon adtuk meg.
Ha adott eg y /: ií-^R függvény, ahol N + c H , ez is meghatároz sorozatot, ha f-et csak az N+ pontjaiban tekintjük. Például:
/ : R-*R, / ( x ) = ^ 23Tí • Ekkor, ha «CN+, akkor f { n ) - \ - . A so-X T 1 W “T 1
rozatunk í ~ ■ j-1 , ennek általános tagja ^ .[íí + IJ M‘‘+ 1
A sorozatoknak még másféle megadási módja is lehetséges. Előfordulhat az, hogy a sorozat nagy indexű tagjainak a kiszámítása (nagy n-hez tartozó a„) nehézségekbe ütközik.
Az tizedes törtalakjában szereplő bármelyik jegyet kívánságra meg
tudjuk mondani, mert
i = 0,142 857 142 857.. . = 0,a,Ű2. • .a„ . . .
szakaszos tizedestört, az ismétlődő szakasz 142857. h-et 6 -tal elosztjuk, n = 6 fe+i, ahol O s /^ 5 . a„—a/, ha I á i á 5, és a„=a^, ha i = 0 .
Ha - helyett a nem racionális /3 tizedes törtalakját tekintenénk és azt
a sorozatot vennénk, amelynek w-edik tagja a / 3 tizedes törtalakjában a tizedesvessző után szereplő w-edik jegy, akkor ennek a sorozatnak minden tagja meg van határozva, elvileg mindegyiket meg tudjuk mondani, nagy n-ekre azonban a„-et kiszámítani nehéz.
A sorozatokat is, mint a függvényeket, ábrázolhatjuk, és ezt néha érdemes is megtenni, mert néhány fontos tulajdonságot a grafikonból megsejthetünk.
Kétféle ábrázolási módot fogunk használni. Legyen adva egy {a„} sorozat:
a) a síkban ábrázoljuk az (n; a„) pontokat;b) számegyenesen az a„ pontokat ábrázoljuk.
Példa: Ábrázoljuk az
12 .
4■5 ^ « + r
sorozatot.
86 87
A grafikonokat a 28. és a 29. ábra mutatja. A második ábrázolás sok esetben kifejezőbb.
T - r - j
28. ábra
1 22 A
29. ábra
Feladatok:
1 . A következő sorozatokat általános tagjuk segítségével adjuk meg. írjuk fel a sorozatok első négy-négy tagját és ábrázoljuk is azokat :
a)a„=
b)a„=
c) a„=-
; ;a „ = l + sin-
n - 5 n+2’2/1+1
«2 ’tt^—nn + T ’
e; a„= l+ -+ ... + - ;
1 1 1 ^,1
2. írjuk fel a következő sorozatok első hat tagját:a) ai=2;a„=3a„_i, ha « ^ 2 ;
í 1 1^ ;a ^ = l+ -+ -p + ...+ ~ ;
1+2+... + /J «2(n+l) ’
12+22+... + «2«3/ITT2 ’
7T n:fc ^ o „ = s in /i— +COS/I— .
é;a , = l ; ha n^2;
c) o, = l ; ű2=4; «3=9; űi„=3ű„_i-3a„_2+ö„_3, ha « S 4 ;
</> űi = I ; 02=4; 03=2; 04=8; «5=5; o<j=7 ; a„=a„„6, ha wS7,
Korlátos sorozatok
A bevezetésben függvények korlátosságát és monotonságát már értelmeztük. A sorozat szintén függvény, így már előző tanulmányaink alapján is megfogalmazhatnánk, hogy mit jelent a sorozat korlátossága, mo- notonsága. Ezek a fogalmak nagyon fontosak lesznek a következőkben, ezért sorozatokra külön kimondjuk őket.
Definíció: Az {a„} sorozatot korlátosnak nevezzük, ha van olyan M szám, hogy minden n^N^-ra \a„\^M. (Ez így is írható:— M ^a„ ^M ^ minden «^N+-ra.)
Az M számot az {a„] sorozat korlátjának nevezzük. Ha M korlát, akkor minden nála nagyobb szám is korlátja az {a„} sorozatnak. Lehetséges, hogy M-nél kisebb korlát is létezik.
Rögtön kimondjuk azt is, hogy mit értünk felülről korlátos és alulról korlátos sorozaton, és azután vizsgálunk példákat.
Definíció: Az {a„) sorozatot felülről (alulról) korlátosnak nevezzük, ha van olyan M szám, hogy minden a„^M {a„^M ).
Az M számot a sorozat felső (alsó) korlátjának nevezzük.Ha az {a„) sorozat korlátos, akkor alulról is, felülről is korlátos. Való
ban, ha |a„ |^M , minden n6N+"ia, akkor - M ^ a „ ^ M miatt —M a sorozatnak alsó, M pedig felső korlátja.
Feladat: Bizonyítsuk be, hogy ha az {a„} sorozat alulról és felülről is korlátos, akkor korlátos is.
Fontos a számunkra az is, hogy pontosan tudjuk, mit jelent az, hogy az {a„} sorozat nem korlátos. Ezt a korlátosság definíciója alapján így fogalmazhatjuk meg :
Az {a„} sorozat nem korlátos, ha bármely M számhoz található a sorozatnak legalább egy % tagja, melyre
Feladat: Fogalmazzuk meg, hogy mit jelent :a) az {a } sorozat felülről nem korlátos;b) az {a^) sorozat alulról nem korlátos.
« « «
89
1 . A Bevezető példák című pontban szereplő néhány sorozatot vizsgáljuk korlátosság szempontjából Az ottani számolásokat, eredményeket itt felhasználjuk (lapozzunk vissza).
1. példa: ű „= 1+ ^ + ^ + . . « = 1 ; 2 ; . . . .
Ez a sorozat korlátos; 0 egy alsó, 2 egy felsó' korlát.
2 .példa: Az a„= l 4 - ^ + p + . . . általános tagú sorozat korlátos:
1 egy alsó, 2 egy felső korlát.
J. Az {a„} sorozat, melynek w-edik tagja
a „ = l + i + i + . . . + ,
felülről nem korlátos. Egy alsó korlát a 0.
4. példa: Az az {a„} sorozat, melynek n-edik tagja
korlátos, ha a > 1, és nem korlátos, ha 1.1 esetén — amint megállapítottuk —
2 “2 « - 2
egy korlát.
A i . problémában szereplő sorozat, ahol
nem korlátos.
Tudjuk már, hogy
vetkezik, hogy nem korlátos a
íí(l)4 -íí(2 )+ ... + J(n) n
1 + 1 + .. .+ l nem korlátos sorozat. Ebből kö-
90
általános tagú sorozat sem. Valóban, rögzítsünk egy M számot. Tudjuk, hogy van olyan hogy
de akkor
1 + 2 + •• • + -^ > -M + 1,
b ,^ M .
Az M szám tetszőlegesen volt rögzítve, így minden M 6 R-hez található hogy bk>M, azaz a {b, } sorozat nem korlátos.
A 3. problémánál megmutattuk, hogy ha k^N+, akkor
. . . + 1 .2 n n 2 nígy, ha b„>~My akkor
^ _ d m d ( 2 ) + . . .+ d ( n ) ^ j^ j
is igaz. Az {a„} sorozat tehát felülről nem korlátos.
2n+32. a =n+ 1
, w = l ; 2 ; -----
Becsléssel vizsgáljuk a sorozat korlátosságát;
Mint leolvasható, a sorozat korlátos.
Ismét egy becslés: Ha n>3, akkor
'‘'”l -STiT=2+ r 2-Bárhogyan is rögzítünk egy M számot, ha n>2|M |, akkor M.
A sorozat tehát nem korlátos.Mutassuk meg, hogy az adott sorozat sem alulról, sem pedig felülről
nem korlátos.
4. Ez egy kicsit nehezebb példa, de tanulságos.Korlátos-e az {n sin n} sorozat?
91
Itt az a probléma, hogy a sin n értékről csak annyit tudunk, hogy — 1 és 1 közé esik. Előfordulhatna az, hogy bár n „nagy”, de sin n olyan közel van a 0-hoz, hogy az n sin n szorzat is kicsi. Ha azonban azt tudnánk, hogy van olyan Xq> 0 szám, hogy tetszőlegesen rögzítve egy iV számot, van N-nél nagyobb Hq pozitív egész szám úgy, hogy sin akkor a sorozat nem korlátos, mert
«o sin HQ^noXQ^NxQ,
és azN tetszőlegesen nagy lehet.Képzeljük magunk elé a sin függvény grafikonját a ]2jtk; n(2k+ 1)[
intervallumon, fSO. ábra). Ha Xq^O olyan, hogy az ábrában szereplő [a;b] intervallum hossza 1-nél nagyobb, akkor az ]ű; b[ intervallumban biztosan van egész szám. Ebben a pontban pedig a sin függvény
2^ 2AJT+I (2/f+1)JT-S (2/t+l)JI 631. ábra
értéke Xo-nál nagyobb. Kis próbálkozással rájövünk, hogy az Xq= ^
választás jó, mert sin
A
= smn (31. ábra).
71 n 7tintervallum hossza n(2k-h 1)— — 2nk—2nk+ ~ ^ ; n { 2 k + 1) - ^
1, ezért az intervallumba biztosan esik egész koordinátájú71 2nT " " T
pont, és így ebben a sin függvény értéke j-nél nagyobb, mert a függvény
az egész intervallumon nagyobb |-nél.
Ezért a példa elején tett megjegyzés szerint az {n sin n} sorozat nem korlátos.
92
Feladat: Az előbb azt mutattuk meg, hogy a sorozat felülről nem korlátos. Vajon alulról sem korlátos?
♦ ♦ ♦
E sorozat vizsgálata során sok kérdés felmerülhet. Például:A sin' n biztosan nem lesz 1, de például alkalmas «-et választva lesz-e
0,999-nél nagyobb?Van-e olyan w, melyre |sin « |< 0,001 ?Ilyen és hasonló kérdésekre még visszatérünk.
5. Ebben a példában a nevezetes — és már ebben a könyvben is tárgyalt — (.y„ } sorozatról lesz szó, ahol
.y„=l - f -2+3+ ••• + "•
Megmutattuk, hogy minden M ^R számhoz létezik olyan «o€N+, hogy^no^M- (A sorozat felülről nem korlátos.)
Ez szemléletesen azt is jelenti, hogy
, , 1 1 1 , , ha 1 ; ;r; - ; egység ol-2 3 n
dalú négyzeteket tekintünk és ezeket a számegyenesre 0-tól jobbra egymás után rakjuk, akkor a „végtelenbe” nyúlnak (32. ábra).
a2 i i i
32. ábra
Másrészt tudjuk azt, hogy
p - ! “ . . . + ~ < 2 ,
minden «£N+ esetén. Itt az egyes összeadandók az előbbi ábrán szereplő négyzetek területei. így a következő kérdések vetődnek fel :
ElhelyezhetŐk-e az 1; r ; . . . egység oldalú négyzetek egy2 n
Í2 oldalú (tehát 2 területű) négyzetbe úgy, hogy a négyzetek páronként idegenek legyenek?
93
Hagyjuk el az első 1 területű négyzetet. Ekkor bármely n^N+ esetén
Elhelyezhetők-e az i ; i ; . . . egység oldalú négyzetek az1 oldalú négyzetbe úgy, hogy ne fedjék egymást (tehát ne legyen közöttük két vagy több olyan, amelyeknek közös része van)?
Az, hogy az sorozat nem korlátos, érdekesen szemlél
tethető a következő módon is. Tegyük fel, hogy van sok I Xa Xb méretű téglánk. Ezeket a téglákat rakjuk egymásra úgy, hogy minél messzebbre nyúljanak, de persze ne dőljön fel az építmény (rögzítés, ragasztás nincs).
Tekintsük a 33. ábrát.
M
33. ábra
Gondoljuk meg, hogy miért nem dől fel az építmény.Folytassuk még néhány lépéssel tovább.Észrevesszük, hogy az első tégla jobb oldali vége után a legfelső tégla
jobb oldali végének vetülete az alapon »
4 - . . . -f J- távolságra van.
2 + 4 +
2n, 1 1 1 1 * „ = 2 + 4 + ■ • • + 2 ^ - 2 l + Í + . . . + i^
1~~ 2
ezért, ha rögzítünk egy M számot, ha ilyen n pedig
94
— amint azt már bebizonyítottuk — létezik. A téglák tehát tetszőleges messzire elnyúlnak. Velük — elvileg — akármilyea széles szakadékot át tudunk hidalni.
6 . Adjunk meg olyan korlátos sorozatot, melyneka) van legnagyobb, de nincs legkisebb tagja;b) van legkisebb, de nincs legnagyobb tagja;c) van legnagyobb és legkisebb tagja;d) nincs sem legnagyobb, sem legkisebb tagja.
7. Azt mondjuk, hogy az {a„} sorozat majdnem minden tagja benne van az [a; b] intervallumban, ha ezen az intervallumon kívül a sorozatnak legfeljebb véges sok tagja van (lehet, hogy egy sem). Ha egy {a„} sorozat majdnem minden tagja benne van az [a; b] intervallumban, akkor tekintsük az [a; b]-on kívül levő tagok indexeit. Ez véges sok szám, van tehát közöttük legnagyobb. A sorozatnak azok a tagjai, melyeknek az indexe ennél a maximális indexnél nagyobb, mind az [a; b] intervallumban vannak. Azt is lehet mondani, hogy ha egy sorozat majdnem minden tagja benne van az [a; 5]-ban, akkor valamelyik tagtól kezdye minden tagja benne van az [a; fc]-ban. (Ha az {a;b]-on kívül nem volt tagja a sorozatnak, akkor az első tagtól kezdve minden tag [a; l?j-ban van.)
n + ( - l ) « + ‘+ l8 . Tekintsük a következő sorozatot:
módon is megadhatjuk ezt a sorozatot;1
. A következő
2 n - l Az első néhány tag :
- 2+ 2 « - l «2«=-2 n -2 n + 1
2n1
''2n
. 1 7 1 0 1 * 2 * 3 * 4 * 5 ’ 6 '
A sorozat minden tagja benne van például a [ - 1 ; 4 ] ; [0;5];
intervallumokban.
A sorozat majdnem minden tagja benne van például a 1 5‘2 ’ 2
í ~ 2 ; 5J; fo; “ ‘ 11 0
91 0 0
intervallumokban.
95
Az intervallumban nincs benne a sorozat majdnem minden
tagja, mert az1 .
tagok mind az intervallumon kívül esnek.
9. Legyen ű „ = ( - iy*+‘. Az {a„} sorozatnak minden tagja, ezért majdnem minden tagja is, benne van a [ - 2 ; 2] intervallumban. A sorozatnak végtelen sok, de nem majdnem minden tagja van benne a [0 ; 2 ] intervallumban.
Befejezésként néhány feladatot tűzünk ki.
Feladatok:
1 . Fogalmazzuk meg, mit jelent az, hogy a sorozatnak nem majdnem minden tagja van lienne az [a; 6] intervallumban.
2. Ha tudjuk azt, hogy az {o„} sorozat majdnem minden tagja benne van a [ - 1 ; 1] intervallumban, akkor döntsük el, hogy a következő állítások közül melyik igaz, melyik hamis, és melyik lehet igaz is, hamis is :
a) a. sorozat majdnem minden tagja benne van a [—2 ; 2] intervallumban;b)a, sorozat majdnem minden tagja benne van az [1 ; 100] intervallumban; ej a sorozat majdnem minden tagja benne van a [0 ; 10] intervallumban;d) a sorozat korlátos.
Monoton sorozatok
A függvényekről szóló fejezetben leírtuk, hogy milyen függvényeket nevezünk monotonnak. Annak alapján az olvasó megfogalmazhatja, hogy milyen sorozatokat nevezünk monoton sorozatoknak. Ennek ellenére itt is leírjuk.
Definíció: Az {a„} sorozatot monoton növekvőnek (csökkenőnek) nevezzük, ha bármely
96
Az {a„} sorozatot szigorúan monoton növekvőnek (csökkenőnek) nevezzük, ha bármely
Ha valaki a függvényeknél adott definíció alapján maga már előbb megfogalmazta a monoton sorozat definícióját, akkor lehet, hogy a következőt m ondta:
Az {a„} sorozatot monoton növekvőnek (csökkenőnek) nevezzük, ha minden n ; /c^N+-ra, ha k, akkor
Feladatként lássuk be, hogy a két definíció megegyezik.Az elsőt sokszor kényelmesebb használni, mert n és n+1 „nagyon
összetartozik”.Ha az {a„} sorozat szigorúan monoton növekvő (csökkenő), akkor
monoton növekvő (csökkenő) is.
I. példa: Monotonság szempontjából vizsgáljuk a következő sorozatot:
5 3 m+ 22 . ■
A sorozat első néhány tagjából úgy látszik, hogy a sorozat monoton csökkenő. Kérdés: Igaz-e, hogy bármely n-re
Rögzítsünk egy «CN+ számot. Ekkor
2 2 2 n n+ 1 « ( « + l ) ^ ’
azaz
n-ről csak azt használtuk ki, hogy pozitív egész szám, így az egyenlőt, lenség minden «€N+ esetén érvényes.
97
2. példa: Monoton-e a következő sorozat?
*"“ n+ 2 ’ ••• •2 9 28 £>J=-; 02=2* így ^zt sejtjük, hogy a sorozat monoton nö-
vekvő. Rögzítsünk egy számot. Ekkor
mert
L n^+l (« + 1 )^ + 1n+ 2 ^ (« + 1)4 -2 "
és
(w’+ l)(n+ 3)= n+ 3;
[(«4 -1)’+ !](«+ 2)= (n’+ 3«^-f 3«+2)(n+2)=«'*+ 5n^-f 9/i^+ 8«+4,
«'*+ 5n’+9n^+ 8« + 4— (»'*+3n^+ n+ 3 )= 2n’+9n^4- 7n+1>0.
n-ről csak azt használtuk fel, hogy pozitív egész szám*
3. példa: A {(— 1)"} sorozat nem monoton.Előfordulhat, hogy egy sorozat csak valamelyik tagjától kezdve lesz
monoton. Az ilyen sorozatokat is monoton sorozatoknak szokás nevezni. (Ennek jogosságát a későbbiek igazolják.)
4. példa: írjuk fel az { (n -4 ) ( n - 6 )} sorozat első néhány tagját: 15; 8 ; 3 ; 0 ; - 1 ; 0 ; 3 ; 8 . ígaz-e, hogy a sorozat az ötödik tagtól kezdve monoton növekszik?
Ez most számolás nélkül is világos, mert ö5<ög, és ezután n —4 és « —6 is pozitív, és n-ről («+ I)-re áttérve mindkét tényező nagyobb lesz, így a szorzat is.
5. példa: Fogalmazzuk meg, mit jelent az, hogy egy {a„} sorozat nem monoton növekvő (nem monoton csökkenő).
Mi a válasz ugyanerre a kérdésre, ha a sorozat monoton növekedését így definiáljuk (amint erre már utaltunk a 4. példa előtt):
Az {a„] sorozatot monoton növekvőnek nevezzük, ha van olyan N szám, hogy ha akkor a„^a„^t-
Legyen adva egy {a„} sorozat. Tekintsük a pozitív egész számok valamely szigorúan monoton növekvő sorozatát: {%}» ahol
___Az {a„} sorozatnak ezekhez az n ,; «2 ; • • •; w*; • • • számok
98
hoz rendelt tagjai is egy sorozatot alkotnak, ezt {a„) részsorozatánaknevezzük.
Például az {n^} egy részsorozata {(3«)2), vagy 1 ; ^ ; __ egy
részsorozata •••; ••• •
6. példa: Ez egy kissé nehezebb példa. (Érdemes talán ismétléskor elolvasni.)
Igaz-e, hogy minden {a„) sorozatnak van monoton részsorozata?A sorozat egy a, tagját nevezzük törpének, ha a sorozat <7/ után követ
kező tagjai az ű/-nél mind nagyobbak. Ezért ha ű, és üj törpe és /< j, akkor af<aj. Ha a sorozatban végtelen sok törpe van, akkor ezek (természetesen a sorozatban levő sorrendjükben) monoton növekvő sorozatot alkotnak. Ha véges sok törpe van (esetleg egy sincs), akkor vegyük a sorozatban az utolsó törpe utáni tagot. Ez nem törpe, tehát van hozzá a sorozatnak nála nem nagyobb és a sorozatban nála nagyobb indexű tagja. Ez legyen a részsorozat második tagja. Ez sem törpe, így ehhez is található a sorozat nagyobb indexű tagjai között nála nem nagyobb tag. Ezt az eljárást minden határon túl folytatva a sorozatnak egy monoton fogyó részsorozatát jelölhetjük ki.
így tehát minden {a„} sorozatnak van monoton részsorozata.Az ö „ = n + ( — általános tagú sorozat így kezdődik.
2 ; 1 ; 4 ; 3 ; 6 ; 5 ; 8 ; 7 ; . . . ; k4-(~1)”+ > ; . . .
Könnyen látható, hogy a páros indexű tagok törpék, az
1 ; 3 ; 5 ; 7 ; . . . ; 2 l c - l ; . . .
monoton növekvő részsorozata az eredeti sorozatnak.
Feladatok:1. Korlátosság és monotonság szempontjából vizsgáljuk meg a következő, általá
nos tagjukkal adott sorozatokat;
1a)a= ~j 3 n - í
«-3d ) a = c o ,n - i
e) ű^=n^sin n - ;
f ) a ^ L _
2
9?
2. Ez egy kissé más jellegű feladat, mint az előbbiek, de azért kicsit ide is tartozik.öt fiú áll egymás mellett. Mutassuk meg, hogy ki tudunk választani közülük hár
mat úgy, hogy ha ezek hárman az eredeti helyükről előre lépnek, akkor ők nagyság szerint növekvő vagy csökkenő sorrendben helyezkednek el.
A feladatot a következő módon is megfogalmazhatjuk:Adott öt szám: oj; ű2 > 03; 04 5 Mutassuk meg, hogy ki tudunk törölni kettőt
közülük úgy, hogy a maradék három szám monoton növekvő vagy monoton csökkenő sorrendben van.
P é ld á k
1 . példa: Ez egy rejtvényszerű, nevezetes probléma.Egy autóval át akarunk kelni a sivatagon. A sivatag szélén tetszőleges
mennyiségű üzemanyagot találunk, a sivatagban jelenleg nincs üzemanyag. Egy tankolással nem tudunk átkelni, de lehetőségünk van lera- katokat készíteni. Lehetséges-e a sivatagon az autóval átkelni?
A jelölés egyszerűsítése kedvéért tegyük fel, hogy egy tankolás benzint 1 egységnek véve, ezzel 1 egységnyi utat teszünk meg. (Például 1 egység benzin 1 0 0 1 , 1 egység út 1000 km). d{s) jelölje azt, hogy s egység benzinnel milyen messze jutunk be a sivatagba az alább ismertetendő program segítségével. Azzal a természetes feltevéssel élünk, hogy az autó véges sok fordulót tehet.
Az világos, hogy 1 egység benzinnel 1 egység mélyen jutunk be a sivatagba.
Valaki most a következő eljárást javasolja: 1 egység benzin esetén
az autó I utat tegyen meg, itt ^ egység benzint rakjon le, és a mara
dékkal éppen vissza tud érni a kiindulópontra. Itt most felveszi a második egység benzint, és ismét elindul. Mikor eléri a lerakatot, éppen fel
veheti a tankjába az ott elhelyezett ^ egység benzint, és így még egy
egység utat meg tud tenni. Ezzel a módszerrel 2 egység benzinnel 1 + j
mélyen tud a sivatagba az autó behatolni.Ugyanezt a módszert használjuk 3 egység benzin esetén. A feladatot
úgy vezetjük vissza az előzőre, hogy megpróbáljuk 1 egység benzin fel- használásával a további 2 egység benzint minél távolabbra eljuttatni.
100
Vegye fel az autó az első egység benzint és ~ egység út megtétele után
- egységet helyezzen el, a maradékkal térjen vissza. Ugyanezt ismételje
meg a második egység benzinnel. Ahogy a harmadik egység benzint fel
veszi és ezzel eléri a lerakatot, a tankjában ~ egység, a lerakatban j egy
ség, összesen 2 egység benzin áll rendelkezésére a kiindulóponttól - egy-
ség távolságra. így innen az elŐzŐ módszerrel még egység mélyen
hatolhat be a sivatagba. 3 egység benzinnel így a kiindulóponttól 1 + j + j
egység távolságra jut el az autó.
Ezek alapján a következő kérdések merülnek fel :
1. n egység benzinnel el tud-e jutni az autó
1 + 5 + . . . + «---~T3 5 2/1-1távolságra?
2. Ez a legnagyobb távolság, amire az autó n egység benzinnel eljuthat?
3. Az 1 + 1+ . . . -t- Z-- I összeg „nagy” lesz-e, ha n „nagy” természe-3 2m— 1tes szám? Ez a kérdés pontosabban azt jelenti, hogy ha megadunk egy
számot, akkor megadható-e olyan n, hogy erre az előző összeg JC-nál nagyobb legyen.
Vegyük sorra a kérdéseket:1. Teljes indukció segítségével megmutatjuk, hogy « egység benzinnel
1 + 4+ . . . + :r-i- 7 távolságra el tud jutni az autó.3 2n— I
n= 1-re igaz az állítás.Tegyük fel, hogy igaz az állítás »-re, és mutassuk meg, hogy akkor
igaz («+ l)-re is.
101
Legyen a kiindulóponton n+ 1 egység benzin. Vegye fel az első egy-j 2^_I
séget az autó, és tegyen meg utat. Itt egység benzint tegyen
le, és a maradékkal térjen vissza. Ismételje meg ezt az eljárást még (w— 1)- szer. Végül az («+ l)-edik egység benzinnel elérve a lerakatot, ott összesen
2 ^_2n egység benzinje lesz, mert a lerakatban van n • , a tankban pedig
----- - egység. így az indukciós feltevés miatt e módszerrel valóban el-2n+ljuthat az autó a kiindulóponttól
l + i + i + . . . + 2^
távolságra.
2. Most az a kérdés, lehetséges-e, hogy az autó n egység benzinnel, de az eló'bbitó'l különböző taktikával távolabbra jusson a kiindulópont
tól, mint 1+ 2 + • • • •
Ez a probléma azért nem könnyű, mert nagyon sok különböző módszer képzelhető el.
Tegyük fel, hogy valamely módon felhasználja az autó az n egység benzint.
Az autó útját szemléltessük af........ következő módon: kiindulópont O,
I------------- ------ ------* végpont P. Persze bizonyos útszaka-i szokat a raktározás miatt többször is
i_____ _ bejár az autó. így bár mindig az OPI-------- ' részszakaszain közlekedik a kocsink,' 1 ___________ ^ a szemléltetés kedvéért az útszaka-
P szokat kiemeltük OP-ből, az erre merőleges szakaszok nem megtett utak, csak képletesek (34. ábra).
A P pontig tehát elhasználjuk az n egység benzint. Jelöljük P*-vaI az autó útvonalán azt a pontot, ameddig kocsink n—k egység utat tett meg (a kiindulási feltevés szerint n—k egység benzinnel); 0 —P„; P —Pq. Tekintsünk két egymás után következő P/-t, mondjuk P/+,-et és P^t.
034. ábra
102
E pontok által az ŐP-n meghatározott szakasz hosszát becsüljük meg. Ha egy X pont ezen a szakaszon van, akkor ezen a ponton i-nél több egység benzint kell átszállítani, az autó tehát balról haladva legalább ( /+ 1). szer átmegy X-en. így jobbról legalább /-szer kell átmenjen. Z-en tehát összesen legalább (2/+ l)-szer áthalad az autó. (Ha X fordulópont, akkor tekintsük kétszeresen.)
Szemléletesen tehát arról van szó, hogy egy P í,P n t által határolt zárt intervallum minden pontja legalább 2i+ 1 zárt intervallumhoz tartozik. Ezeknek a zárt intervallumoknak a hossza összesen legalább (2/+ l)d(Pii P/+t). d(P,\ Pf^ i) a P, és P,j^, távolságát jelenti (az OP szakaszon). P, és Pf^ j között az autó 1 egység utat tesz meg, ezért
(2 / + M P , ; P , + , ) á i .összegezve:
0PSd(0; P„_ ,)+d(i>„.,; P„_j)+ . . . + d(P,; P)* l + i + . . . + ~ .
így tehát az 1-ben leírt eljárással kapott eredménynél jobbat nem tudunk elérni.
3. E könyvben már megmutattuk, hogy ha adott egy K szám, akkor van olyan «, hogy
(Ha valamely n-re igaz az egyenlőtlenség, akkor természetesen minden nagyobb w-re is igaz.)
Legyen m ^ l egész szám, akkor
1 + 5 + Í + . . . + 2~1 , 1 , , 1 _ 1
> 2 + 4 + - * - + 2 m + 2 ” 2l + x4- . . . H-----
2 m+ 1
Ezt az egyenlőtlenséget az előzővel összevetve azt kapjuk, hogy megfelelően sok üzemanyag esetén az autó bármilyen széles sivatagon is keresztül tud haladni.
Megjegyzés: E könyvben, mint minden más matematikakönyvben is, minden állítást meg kell vizsgálni, hogy elfogadható-e.
Az előzőekkel kapcsolatban a 2-ben miért nyilvánvaló az, hogy ha egy d hosszúságú intervallumra ráhelyezünk véges sok zárt intervallumot
103
úgy, hogy az eredeti intervallum minden pontja legalább i darab intervallummal van lefedve, akkor a ráhelyezett intervallumok hosszának összege
2. példa: Egy becslést adunk 7t(n)-Tt [7t(a:) az ^-nél nem nagyobb prímszámok száma]. Megmutatjuk, hogy minden n€N+-ra
Ign3t(k) s lg 4 ‘
Az itt következő bizonyítás Erdős Pál világhírű matematikustól származik.
Rögzítsünk egy n ^ 2 pozitív egész számot, és legyen m€N+, n. A m feh'rható m— k^v alakban, ahol k és v természetes számok, és v négyzetmentes szám, azaz mindegyik prímtényezője első hatványon szerepel.V prímtényezői közöttp ű p i \ . . . ; p„ „) szerepelhet, így
ahol 0 / a 0 vagy 1 értéket veszi fel, /= 1; . . . ; n. Ezért legfeljebb 2'^” különböző t) szám fordulhat elő.
Másrészt ezért k a következő számok valamelyike lehet:
I ; 2; 3; [/S].
Az m az 1; 2; . . . ; « értékeket veheti fel, és az előbbi módon m=k^v formában előállítható. A:-ra [/n], p-re 2 " " lehetőség van, ezért
szerepel, mert a megengedett fc-val és v-vel esetleg «-nél nagyobb szám is előállítható.)
[ fn ] ^ Ín miatt az is igaz, hogy
7 r(n )lg 2 s^ lg « ;
Igw „ l g " " (”^ = 2 1 Í2 “ T Í 4 -
104
A n{nytö\ már eddig is tudtuk, hogy bármilyen adott számnál nagyobb lesz, ha n-et elegendően nagyra választjuk. Most ez a becslés azért nagyon érdekes, mert azt mutatja, hogy legalább milyen „gyorsan növekszik” a n(n). Ha « s 2 , akkor
5 r(w ). 1Ign lg 4 ■
3. példa: Tekintsük a következő két sorozatot:
l + l'S; 2 ( l+ /3 ) ; 3 (I+ /3 ); n(l + /3 ); 1
Í 1+ ^ ; 3 Í1+ ' 1 ; . . . ; w Í1+ ^, /3 j . 1 3.
1 + ^ : 2 V'3
Egyik sorozat sem korlátos. Zsebszámológéppel kiszámoltuk a két sorozat első tizenkét tagját; ezt mutatja a következő táblázat :
n n(l + K3) n í l ^ ± \1 3 j
1 2,7320 1,57732 5,4641 3,15473 8,1961 4,73204 10,9282 6,30945 13,6602 7,88676 16,3923 9,46417 19,1243 11,04148 21,8564 12,61889 24,5884 14,1961
10 27,3205 15,773511 30,0525 17,350812 32,7846 18,9282
Alaposan ránézve e táblázatra azt vesszük észre, hogy 1-től 19-ig bármely két egész szám közé a két sorozat valamelyikének egy tagja esik.
Folytassuk a táblázatot! Érvényes marad-e az előző észrevétel?
105
Képezzünk hasonló sorosatokat, de y'S llelyetí más pozitív irracionális számot vegyünk! A sorozatok első néhány tagját kiszámolva azok is rendelkeznek-e az előbb észrevett tulajdonsággal?
Aki néhány sorozatot felír, azt veszi észre, hogy igen. Ezért megfogalmazható a következő sejtés:
Legyen a pozitív irracionális szám, h pedig a reciproka. Akkor a következő két sorozat:
1+ a ; 2(1 + ö); . . . ; n{í+ ü ) ; . . . ; í + b ; 2 {H b ); . . . ; n(l + ft); . •.
elemei közül mindig pontosan egy esik az {n;n+ l) intervallumba, « = 1; 2 ; . . . .
a és b Sí feltevés szerint irracionális, ezért a két sorozat egyetlen tagja sem egész szám. Legyen k egy rögzített pozitív egész szám. Nézzük meg, hogy a sorozatoknak hány fe-nál kisebb tagja van! Az {n(l + a}}-
nak , az (M(l + í>)}-nak pedig1 + ű
A két sorozatnak együttl+ b
darab k-né\ kisebb tagja van.
1 + űszámú A:-nál kisebb tagja van.
+ l + b
k k Figyelembe véve, hogy és • nem egész számok
^ 1 l + a ^
■ k kl + a
1 + 1.■ k kl + b '^ l + b '
Miyel1
-+1
í + a ' í + b1 1
a
-+1
1+ a 1+ a = 1,
ezért az előző két egyenlőtlenség megfelelő oldalait összeadva:
1 1l + b \ + a + í + b
1■+
11 + a ' l + b
106
Eszerint■ k ■ ' k ■l + a + l + b = - 1 ,
ami azt jelenti, hogy a két sorozatnak együtt fe-1 darab A:-nál kisebb tagja van. k tetszőleges pozitív szám lehet, ezért a két sorozatnak k darab (k+ l)-nél kisebb tagja van, ez pedig azt jelenti, hogy k é s k + l közé pontosan egy tag esik.
A sejtést tehát igazoltuk.Az eredmény a következő módon is megfogalmazható:
Ha a pozitív irracionális szám, és akkor az {[n(l + ö)]} ; {[w(14- 6)]}
sorozatok együtt megadják az összes pozitív egész számot, mindegyiket pontosan egyszer.
Ezt a feladatot egy kanadai matematikus tűzte ki 1926-ban. A meglepő állításnak több érdekes alkalmazása van.
4. példa: A következő kérdést tűzzük ki: Hány különböző módon lehet n lépcsőfokon felmenni, ha egy lépéssel egy vagy két lépcsőt lehet megtenni?
Jelöljük ezt a számot /„+rgyel. Megállapodás szerint legyen / , = L E kkor/2= 1 ; / 3==2 ;y^= 3 . A z ^ ^ |. számot úgy kapjuk meg, hogy figyelembe vesszük, hogy utolsó lépésként egyet vagy kettőt lépünk. Ezért
/n = /« - i+ /« - 2» h a « ^ 3 .
Az így kapott {f„} sorozatot Fibonacci-féle sorozatnak nevezzük. (Leonardo Pisano (1170—1250) olasz kereskedő, matematikus; Fibo- naccinak (Bonaccio fia) is nevezték. Foglalkozott az arab matematikával. Két könyve egyikében írta le az előbbi sorozatot, igaz, más módon származtatta.)
Állapítsuk meg a Fibonacci-féle sorozat «-edik tagját. (Természetesen nem az előbbi rekurzív formulára gondolunk.)
Vegyük észre a következőt: Ha x^= x + 1, akkor
x^—x- x^= x (x + 1 )~ x ^ + x —2 x + \ \ x^= X • x^= x{lx+ 1)= 2 x^+ x= 3x+ 2 ; x^= X • x^= x(3x+ 2)= 3x^+2x= 5x+ 3;
X • x == x{5x+ 3)= 5x^+3x= Sx+ 5.
107
Ezt teljes indukcióval mutatjuk meg.
n= 2 -re: x^= f2X + fi= x-\-l.
Tegyük fel, hogy igaz az állítás n-re, és mutassuk meg, hogy igaz akkor (n+ l)-re is. Valóban,
x(f„x-\-f„_ ,)= x%-\- xf„_ , = (x+ l)f„+ x/„_ 1== Afn+fn- l)+/n= fn+1 +/n*
Az X—1 = 0 egyenlet megoldásai;
■■ 1 + /S . .. 1 - / SX i - 2 ’ *2“ 2 ■
Az előző összefüggés alapján
és xl= xj„+ f„_^.
A megfelelő oldalakat kivonva :
A felírásból azt sejtjük, hogy ha n^2 , akkor
azaz
Á t ^ - ^ 2 .1 Í l + f5 ] n f l - / 5 V l^ 1 - ^ 2 fS 2 [ 2 J
számítsuk ki a Fibonacci-féle sorozat első n tagjának összegét!
/ 1+ / 2+ . . . +fn=ft + / j+ ( / l+ / 2)+ (/2+/3)+ • • • + (X i-2+ / i - l ) = = / 2 + 2 ( / ,+ / 2+ . . . -^fn-2)+fn~V
Ebből az egyenlőségből:
/ 1+ / 2+ • • • + //i-2= /« - 1»azaz
/ l 4 -/24- . . . +/fl_2+/rt-1 + /n—/ n - 1 + /„ + /„ - 1 = / , + 1 + /„ — 1-
108
1 , Mutassuk meg, hogy:
Feladatok:
f a f n + l f r / n + l• • ■ +A i-1=-4i i
d ) f 2 + Í 4 + . . • +/2n=/2n+l“ l ;2. Ha m6N, m s2, akkor a Fibonacci-féle sorozat első m^— 1 tagja között van leg
alább egy olyan, amely m-mel osztható.
Konvergens sorozatok
Bevezető példák
1. példa: A /2 az 1 és 2 egész számok közé esik. Szorozzuk meg 1-et és 2-t 10-zel, és tekintsük a 10 és 20 közé eső egész számokat. Vegyük azt a két szomszédos egész számot, melyek közül a kisebbik négyzete 1-gyel, a nagyobbik négyzete 2-vel kezdődik: 14^=196; 152=225. (Anélkül, hogy kiszámolnánk, biztos, hogy ilyen egész számok vannak, mert 10^= 1 0 0 ; 20^=400, és szomszédos négyzetek közötti legnagyobb különbség 20^—19^=39.) Ez természetesen azt is jelenti, hogy
l,4 < f^ < l,5 .
A következő lépésben 14-et és 15-öt szorozzuk 10-zel; vegyük azt a közöttük levő két szomszédos egész számot, melyek közül a kisebbik négyzete 1-gyel, a nagyobbiké 2-vel kezdődik: 14P=19 881; 142^= = 20 164. Ebből
1,41 < / 2 < 1,42.Az eddigieket így is rögzíthetjük:
ö i = l < / 2 < 2 =l?i;
J2= 1»4</2< 1,5= í>2Ía ,= l ,4 1 < /2 < 1 ,4 2 = 6 3 .
109
Feladati Pöiytassuk még az eljárást tovább! Hogyan kapjuk 04‘et és Fogalmazzuk meg, hogy hogyan kapjuk meg a„^,-et és Z?„ i*et, ha ismerjük a -et és 6 -et.
* « «Az előbbi egyenlőtlenségekből leolvasható, hogy
0 < V ^ - ű i = j / 2 - l < 2 - l = l;
0< 1,4< 1 ,5 ™ 1,4-0,1;
0 < y 1 -Ű 3 = V ^ -1,41 <1,42-1,41 = 0,01.
Feladatok:
1. írjunk fel becslést és |/2-re, ha «^4.2, Az előbb tárgyalt problémában helyett }f5-'ói vegyünk és ehhez alkossuk
meg az [a^}\ {b„} sorozatokat az előbbi módon, és írjuk fel a sorozatok első négynégy tagját.
* * *
2 . példa: f i közelítésére most az előbbitől eltérő módon készítünk sorozatot. Abból indulunk ki, hogy két szám számtani közepe a két szám
3között van, továbbá ha a és - közül az egyik kisebb, mint / 3 , akkor
a másiknak nagyobbnak kell lenni /3-nál, mert a szorzatuk 3 .Legyen X j= 2 > /3 . Az
Xiközelebb van-e /3-hoz, mint
/3 az előző megjegyzés szerint X| és — közé esik. A válasz igen, mert
X 2 - y 3 = \{ x t+ ~ y Y 3 = ~ ( x ^ ,- 2 x iY 3 + 3 ) =2 x,
hiszen
xj 2
110
Leolvasható az is, hogy X2>/3 és X2<X|.
Most vegyük Xj és — számtani közepét: ^2
X j = ;
Vajon X3 még közelebb van /3-hoz, mint X2? Igen, mert
X i-)Í3= li
mivel
- t e - 1 3) X i- ^ 3 x ,-] Í3 2 - / 3 " 2^:2 2 2 22
O-e— —- - = I, Ugyanis x^^yfi. ^2
Az is leolvasható, hogy X j> /3 és Xj<X2.Folytassuk az eljárást! Ha x„-et már értelmeztük és tudjuk, hogy
_ ■ „ 2 - / 3x„ ^ / 3 és x„<x„_i, valamint x ^ - /3 < , akkor legyen
Ekkor■X 1
n+. - I ^ 3 = í
- 2x„ 2^ " * ’ 2 2» - > 2”
Feladat: Az előzők alapján válaszoljunk a következő kérdésekre: Van-e olyan n hogy közelebb van /3-hoz, mint
ű; 10- 2 ; 6 ; 10-4;c; io-s?
Lehetséges-e, hogy x = / s valamely n-re?
♦ ♦ ♦
111
Megjegyezzük, hogy az előző {;c„} sorozathoz eljuthatunk a következő ~ talán kevésbé természetes — módon is.
__ 3 3 _
Legyen x = /3 . Ekkor —= —--= /3 = x , ebből pedig^ Y3
3 1x + —=2x, vagyX X
Az sorozat képzése most a következő: Rögzítsünk valamely x, pozitív számot (az előbb x, = 2 volt). Ha x„-et ismerjük, akkor legyen
Azt is mondhatjuk, hogy az
3x„+ —
xH----X
egyenletet próbáljuk megoldani, és az {x„} sorozat tagjaitól azt várjuk hogy „közel” kerüljenek az egyenlet pozitív megoldásához, /3-hoz. (Ebben a feladatban az egyenlet „megoldása” ezen a módon feleslegesen komplikált, de — mint majd látni fogjuk — adódnak olyan esetek, amikor éppen ilyen megoldási eljárás vezet célhoz.)
Feladat: A példában X| = 2 helyett válasszunk más számot, legyen például X| = l. Mi történik, ha Xj negatív szám, például Xj = ~3?
♦ ♦ ♦
3. példa: Kalmár Lászlótól, a Szegedi Tudományegyetem volt profesz- szorától szármázik a következő példa: Régebben árultak egy olyan csokoládét, hogy az ezüstpapírban a csokoládétábla mellett egy szelvény is volt. Tíz szelvényért a boltban egy új csokoládét adtak, természetesen annak a papírjában is volt egy szelvény. A kérdés az, hogy ha a boltban egy csokoládét vásárolunk, az valójában hány tábla elfogyasztható csokoládétér?
Világos, hogy 1 táblánál többet.
1 + táblánál is többet, mert tíz szelvényért egy új csokoládét kapunk.
112
Ezért 1 + JQ+jQQ"íiál is többet ér, mert azt is lehet mondani, hogy
^ szelvény — tábla csokoládét és szelvényt ér. ~ szelvény pedig
1tábla csokoládét és —~ szelvényt ér, és így tovább. Ez azt jelenti.1000 ' 1000
hogy eredeti csokoládénk
i + i o + . . . + i o „
tábla csokoládénál többet ér, bármilyen nagy is az n.
Az | i + í + . . . + tL sorozat minden tagja kisebb tehát a keresett
értéknél.Más módon meg tudjuk állapítani, hogy mennyit is ér valójában egy
csomagolt csokoládé. Vásárolunk kilenc csokoládét. Kivesszük a szelvényeket és kérünk még egy csokoládét. Ezért utólag fizetünk a tíz szelvénynyel. így kilenc csokoládé árán tíz tábla csokoládét kaptunk, szelvényünk
nem marad. Egy csomagolt csokoládé tehát 1 + ” tábla csokoládét ér.
l + ™bŐl vonjuk ki sorra az | l + + •»• + ™~
tagját;sorozat első néhány
9 10 9 10 9 • 10 ’1 1 1i + i - i — -— L = ____ _____^ ______
9 10 102 9 -1 0 102 9 . 1 0 2 -
Teljes indukcióval megmutatható, hogy
1 . 1 1 1 1 19 10 10"“ 9 • 10" ’
Sierpinski lengyel matematikustól származik a következő példa.
113
4. példa: Vegyünk egy 1 oldalú négyzetet. Harmadoljuk az oldalakat; az osztópontokon át húzzunk párhuzamosokat a négyzet oldalaival és a középső négyzet belsejét hagyjuk ki (35. ábra). (A négyzet oldalait alkotó pontok tehát nincsenek kihagyva.) Ismételjük meg az eljárást a megmaradt négyzetekre, tehát mindegyiknek az oldalát harmadoljuk és a középső' kis négyzetek belsejét hagyjuk ki (36. ábra). Majd folytassuk ezt az eljárást tovább. A kapott alakzatot Sierpinski-féle szőnyegnek nevezik.
M
% % %
% %%%
% % %
35. ábra 36. ábra
Számítsuk ki, hogy mekkora a kihagyott négyzetecskék területe?
Az első lépésben ? i= - területű négyzetet hagyunk ki.
Az első két lépés után
' 2= 9 + 8 - 9 2
a kihagyott idomok területe.Mutassuk meg, hogy az n-edik lépés után a kihagyott négyzetek te
rülete :
1. 8 . 82 8«-í
114
Tekintsük a következő különbségeket:
1 t2 ~ 1 p 9 2 —9 92 92 ’
1 3“ 1 9 92 93 ""92 93 93 •
Teljes indukcióval megmutatható, hogy8"
*
Lesz-e ez a különbség „kicsi” ? Lesz-e például olyan «, hogy 1 — ?
Az előzők szerint
■10^’g " 1 9'9 - 1 0 6 ’ h- 8N /
A BernouUi-egyenlőtlenséget felhasználva:
n1 + 5 =>10‘, ha n:^8 (10< '-l).
o
A /„ tehát j^ 6*nál közelebb van 1-hez, ha n>-8(10^—1).
Ha ^ helyett valamilyen rögzített e pozitív számot tekintenénk,
akkor az előző számolás változatlan marad, és így azt kapjuk, hogy t„
az e-nál közelebb van 1-hez, ha n> 8 1 ^ 18
5. példa: Tekintsük a következő sorozatot:
1 . _ i . i . _ i . •2 ’ 3 ’ 4* n ’ ' '
Ha számegyenesen ábrázoljuk ezt a sorozatot, akkor azt vesszük észre, hogy a sorozat tagjai a 0 körül „nagyon sűrűn” helyezkednek el» Ha n
115
„mgy*\ akkor (—1)”+ ~ ,,nagyon kicsi”. Ez pontosabban a következőt” 1
jelenti. Rögzítsünk egy pozitív számot, legyen ez most 100 '
(_!)«+! i_0 1100 ’
ha 100.
Ez azt jelenti, hogy a sorozat tagjai a 101-ediktől kezdve | qö"°^1
közelebb vannak a 0 -hoz. 1Ha az helyett valamilyen Sq pozitív számot rögzítünk, akkor100
ha «>•— . %
A sorozat — nál nagyobb indexű tagjai tehát Cn-nál közelebb vannak
a 0-hoz. Ezt úgy is mondhatjuk, hogy ezek a tagok benne vannak a 0-nak 8 q sugarú környezetében.
Sorozatok konvergenciájaAz előbbi öt példában szereplő sorozatoknak közös tulajdonsága az»
hogy mindegyik sorozathoz találtunk egy-egy számot, amely azzal a tulajdonsággal rendelkezik, hogy annak bármely s sugarú környezete valamelyik tagtól kezdve a sorozat minden tagját tartalmazza. Más szóval: tetszőlegesen rögzítve egy pozitív e számot, létezik olyan N szám, hogy a sorozat ennél nagyobb indexű tagjainak a sorozathoz hozzárendelt számtól való eltérése e-nál kisebb. (Az a€R szám e (> 0) sugarú környezetén az ]a—e;a-he[ intervallumot értjük.)
Nézzük sorra az előző pont példáit :
1 . 1/ 2 —g j , ezért rögzítve egy e> 0 számot,
1) 2 - a j< e , ha azaz ha n ^ l + l g i ;
, tetszés szerint rögzítve e> -0 számot,
/ - I 1lK2 - f c J c e , ha azaz ha n>-l-H lg-.
116
Z - , megadva egy e> 0 számot,
1K - /3 1 < e , ha ^ < e , azaz ha .
3. Legyen J ^ = l+ j^ + . • akkor rögzítve egy e>-G számot,
< e , ha 9 • 1 0 "> Í, azazha n > l g ~ .e9-10« 9e
e, ha m
5. (_!)«+! i: _ 0n
Az utolsó két példánál is tetszőlegesen rögzített pozitív e számra gondolunk.
Definíció: Az a számot az {a„) sorozat határértékének nevezzük, ha bármely e>-0 számhoz található olyan N szám, hogy ha
akkor
|a „ -a |< £ .
Azokat a sorozatokat, amelyeknek van határértéke, konvergens sorozatoknak, azokat a sorozatokat pedig, melyeknek nincs határértéke, divergens sorozatoknak nevezzük. (Konvergens, divergens latin szavak, jelentésük : összetartó, illetve széttartó.)
Azt, hogy az {a„} sorozat határértéke a, a következő két módon fogjuk jelölni :
a) a„^a, és ezt így olvassuk: a„ tart d-hoz, vagy a„ konvergál ö-hoz;b) lim és ezt így olvassuk: limesz n tart végtelenhez, a„ egyenlő
n-val, vagy rövidebben limesz a„ egyenlő ű-val. (Limes latin szó, jelentése : határ.)
A definícióban szereplő N számot küszöbszámnak szokás nevezni. Ez a küszöbszám nincs egyértelműen meghatározva, mert ha N küszöbszám.
117
akkor minden nála nagyobb szám is alkalmas küszöbszámnak. Általá* bán nem törekszünk arra, hogy megkeressük a legkisebb küszöbszámot.
Visszatérve a definíció előtt tárgyalt példákhoz, mivel minden esetben a rögzített s számról csak annak pozitív voltát használtuk ki, ezért mindegyik esetben minden e> 0 számhoz létezik alkalmas küszöbszám. Ezért
1. b ~ S %
2 .
S.
4 ,L ^ L15. ( - ! )« + ‘ - - 0 .' ' n
Nagyon sokszor találkozunk majd az sorozattal. Erről azt sejtjük,
hogy konvergens és határértéke 0. Valóban, rögzítve egy e> 0 számot.
i - 0 n1
e-ról csak azt használtuk ki, hogy pozitív szám, ezért minden e > 0-hoz
létezik N szám1- például jós úgy, hogy ha akkor i-on :e.
A sejtést igazoltuk.Könnyen beláthatjuk, hogy az a sorozat, amelynek minden tagja
ugyanaz az a szám, konvergens és határértéke a.Az {«} sorozat nem konvergens (divergens), mert bárhogyan választva
az a számot, ennek például 1 sugarú környezetébe nem esik bele valahonnan kezdve a sorozat minden tagja. Itt még az is igaz, hogy az
1 tagok mind kívül vannak ű-nak 1 sugarú környezetén.A {(—1)"} sorozatról is azt sejtjük, hogy nem konvergens. Ez azt je
lenti, nem található olyan a szám, hogy ez határértéke legyen a sorozat
nak. Rögzítsünk egy a számot. Mutassuk meg, hogy e= ^h ez nincs alkal
mas küszöbszám. Az a szám ^ sugarú környezete, ami 1 hosszúságú
intervallum, nem tartalmazhatja valahonnan kezdve a sorozat minden tagját, mert két szomszédos tag távolsága mindig 2 .
118
Itt ismét felhívjuk az olvasó figyelmét Simonoviís M iklós: Számítástechnika című könyvére, annak elsó'sorban az analízis fogalmaival foglalkozó részére. Akinek lehetó'^ége van rá, annak érdemes párhuzamosan olvasnia a két könyvet.
Példák
Azt eldönteni, hogy egy sorozatnak létezik-e határértéke és mi az, legtöbbször nehéz probléma. Sok egyszerű feladat megoldása segíthet. Nagy eló'nyt jelent, ha valamely módon megsejtjük a határértéket; ezen a téren számítógépet is érdemes igénybe venni.
l. példa: Konvergens-e a15«+2J
3 « - l5«+2 '
sorozat?
3 - in
5 + ? 'n1 2 3
Ha n „nagy”, akkor - és - „kicsi” ; ha elhagynánk őket, akkor --ötn n j3
kapunk. Azt sejtjük, hogy létezik határértéke a sorozatnak, és az ^ .
Rögzítsünk egy s>-0 számot. Ekkor
3 « - l 3 l 5 n ~ S ~ í 5 n ^ 6 1 1
5n+2 5 5(5n+2) 5(5n+2)"'®’^ S(5n+2) 1 , 1 ha - azaz ha « > -II e j =N.
e-ról csak azt használtuk ki, hogy pozitív szám, ezért minden e > 0-hoz létezik N szám úgy, hogy ha n ^ N , akkor
3/1-1 3í 5n+2 5
■ e.
A sorozat tehát konvergens, határértéke - .
119
?. példa: a) Konvergens-e a | " | sorozat?
2«2_3«+13 « 2 -l
2 - ? + ln
3 -1
Ezért, ha n „nagy szám”, akkor a tört értéke „közel van” j-hoz, így
2azt sejtjük, hogy a sorozat konvergens, és határértéke j . Próbáljuk ezt
igazolni. Rögzítsünk egy e> 0 számot. Nyilván2 « 2 - 3 /1+ 1 2 6/i2—9 /J + 3 —6 /j2 + 2
3 /J 2 -1 3 3 ( 3 / j 2 - 1)
-9/1+5 3n 3n 3 , 33 n^~ 1 2n 2 n 2s3(3«2_1)
e-ról csak azt használtuk ki, hogy pozitív, ezért bármely 0 -hoz létezik N úgy, hogy ha 7i>iV, akkor
2 n 2 -3 n + l 2 33«2_l :S.
3Amint leolvasható, iV'=ír- alkalmas küszöbszám. Ezt elég durva becs-2e
lésekkel értük el, de ez nem baj, nem kell mindig feltétlenül minél kisebb2
N-et keresni. A sorozat tehát konvergens, és határértéke j .
b) Konvergens-e a2«2_3n+l sorozat?
[ 3 n ^ - l
2rP'~3n + l n2 3 JL
3«3_1 3 - 1
Ha n „nagy”, akkor a tört értéke „kicsi”. Azt sejtjük, hogy határérték létezik, és az 0. Valóban
2«2- 3/1+13 /|3 -Í
■02 /j2_ 3/1+1 3„2 3
3 / i3 - l 2/|3 2/1
120
3 2/|2™ 3/1+1ha » = .^ . Ezért j -0 .
2 /í^—3/1+ 13/1—1
sorozat?
2 /1- 3 + -n
n
Ebből leolvasható, hogy ha /í „nagy”, akkor a tört értéke nagy szám; mert a számláló „nagy szám”, a nevező „közel” van 3-hoz. Ezért azt sejtjük, hogy a sorozatnak nem létezik határértéke.
Legyen a£R tetszőlegesen rögzítve. Ez biztos nem határértéke a soro
zatnak, ha valamely /i-tol kezdve — ——~ —>űt+ 1. (Ez ugyanis azt
jelenti, hogy valamely /i-tól kezdve a sorozat tagjai nincsenek benne az ű-nak 1 sugarú környezetében.) Ez így van, mert
2/|2—3/í+ l 2n^-3n 2n , , , 3 ~ 3 n - i *“> «^2^o+2).
ű( ezért nem lehet a sorozat határértéke.a tetszőleges valós szám volt, tehát a sorozatnak nincs határértéke, a
sorozat divergens.
3. példa: a) Konvergens-e az12+ 22+ 32+ . . . + /j2
/|3 sorozat?
Ismeretes, hogy 12+ 2 ^+ 32+ _ ,+ .„2= (Aki nem6
tudta ezt a formulát, bizonyítsa be teljes indukcióval.) Ezért
a - 1^ 22+ 32+ . . . + ?|2 ^ /!(/!+ 1)(2 /I+ 1) (/!+ 1)(2 /I+ 1)” n® 6/1® 6«2 ”
1 + 1« Í2+- V n.
Azt sejtjük tehát, hogy létezik a sorozatnak határértéke, és az ~= - ,6 3
121
Bizonyítsuk is be. Rögzítsünk egy é>Ö számot. Ekkor13
(/í+ l)(2 n + l) 2 |- 1 2rt2+3«+l-2«26«2 6 ,'“ ! 6«2
3 « + 1 4n 2 , 2 = < ha n ^ — =N.6n 6n? 3n 3e
e-ról csak azt használtuk ki, hogy pozitív szám, ezért minden 0 -hoz
van olyan N
1
a például jó , hogy A sorozatnak tehát
a határértéke.
Érdemes megfigyelni ezt a példát azért is, mert valaki írhatja a következőt:
12+ 22+ 3 2 + . . . + « 2 12 22 , 32,3 ’
és azt mondja: A jobb oldalon, ha n „nagy”, akkor minden tag „kicsi”, tehát azt várjuk, hogy a sorozat határértéke 0 .
Nekünk pedig az adódott, hogy a sorozat határértéke j .
A probléma ott van, hogy ugyan a jobb oldalon „kicsik” az össze- adandók „nagy” «-re, de „sok” van belőlük, éppen n darab. Az össze- adandók száma az «-nel együtt növekszik. A sejtést mindig alaposan meg kell vizsgálni.
ÍF -2 2 + 3 2 ~ 4 2 + .. . + ( - 1)« + V | b) Konvergens-e az | ------ ------------- sorozat?
Teljes indukcióval bebizonyítható, hogy
12^ 22+ 32- 42+ . . . + ( - 1)"+ ( - 1)«+ í .
Ezért
2 ^ 2 nAz előző egyenlőségből azt látjuk, hogy „nagy” páratlan «-re a„ „kö
zel” van Y hez, „nagy” páros «-re pedig - i - h e z van „közel”. Ezért azt
sejtjük, hogy a sorozat nem konvergens. Az, hogy a sorozatnak nincs
122
határértéke, azt jelenti, bármely a számhoz létezik olyan gQ> 0 szám, hogy mindenN számhoz van olyan hogy \a„^~a\^éQ.
Legyen most M rögzített valós szám. Az {a„ } sorozat két szomszédos tagjának távolsága:
12 2n 2 2n+2
Legyen Az a szám i sugarú környezete 1 egység hosszúságú
intervallum, ezért ha a sorozat valamely tagja benne van ebben a környez zetben, a következő tag nem lehet benne, mert távolsága az előbbi tagtól 1 -nél nagyobb.
A sorozat tehát nem konvergens.
4. példa: Konvergens-e a sorozat?
— /,/”?■;— X Ín?-+n-\-n n^+n—n^ 1 Yn^+ n - n ^ (K/|2+ n-~ n) --------- — = — ..... —- = —------------.fn^-^n+ n Yn^+n+n j
Ha n „nagy”, akkor - „kicsi”, ezért a„ „közel” van - -hez. Azt sejtjük n 2.
ezért, hogy a sorozat konvergens, és határértéke “ . Rögzítsünk egy
g>*0 számot.
1 1 12
/ l + i + lr n
2 -
/ 1 + - + 1' n
1 + - - 1 n
/ l + i + lf
e-ról csak azt használtuk ki, hogy pozitív, ezért minden e > 0-hoz léte-1 1
zik olyan N szám 3- például jó , hogy ha n>iST, akkor a„ az r -hezoB JL
123
fi-nál közelebb van. A sorozat tehát konvergens, és határértéke
Szemléletesen azt jelenti a kapott eredmény, hogy ha n „nagy” szám.
akkor Y n^+ n-n „közel” van ^hez.
Feladatok:
Vizsgáljuk meg, hogy a következő, általános tagjukkal adott sorozatok konvergensek-e ; ha igen, mi a határértékük.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
2n-5 7/1+3 ’
34/1-r
«2+I ’3n^+n-5n^-hn-hl
2n~35/i2+l’ 3n^-n +l
6/1+1 12+ 22+ ... + /j2
hj
i)
j )
12+ 22+ ... + /l2
12- 22+ ... + (-iy+^/j2■ — ;
nl2- 22+... + ( - iy ^ ‘/|2
/I®
k) //|2+ l~ /n2-l ;
l) //i^+/i-/»;
m)3"+l
Konvergens sorozatok néhány tulajdonsága
J j Az eddig tárgyalt példákban a sorozatok konvergenciáját úgy döntöttük el, hogy megvizsgáltuk, a sorozat eleget tesz-e a konvergencia definíciójának. Ez az út sokszor hosszú, nehéz. Próbáljuk tehát konvergens sorozatok jellemző tulajdonságait keresni, melyektől az is remélhető, hogy a konvergencia eldöntését segíthetik.
A határérték definíciója a következő módon is megfogalmazható: Az a szám az {a„} sorozat határértéke, ha az a bármely környezete a sorozatnak legfeljebb véges sok tagját nem tartalmazza. Azt is mondjuk, hogy az a bármely környezete a sorozat majdnem minden tagját tartal
124
mazza. A „majdnem minden” tag itt azt jelenti, hogy legfeljebb véges sok tagtól eltekintve minden tag.
A határérték definícióját olvasva felmerülhet a kérdés, hogy egy sorozatnak lehet-e több határértéke. Ha a határérték szemléletes értelmére gondolunk, tehát arra, hogy az { a j sorozat határértéke a, ha „nagy” n- re a„ „közel” van a-hoz, akkor úgy érezzük, hogy ez a tulajdonság legfeljebb egy a számra teljesülhet. Most pontosan, a definíció alapján mutassuk meg, hogy valóban így is van.
Tegyük fel, hogy létezik olyan sorozat, amelynek legalább két határértéke van. Legyen {a„} ilyen sorozat, és két határértéke a ,b ,a ^ b . Vegyük a és b egy-egy olyan környezetét, hogy ezek ne nyúljanak egy
másba. Ilyen található, mert ezért például az a és b körüli —
sugarú környezeteknek nincsen közös pontja. A feltevés szerint a és b határérték, ezért valamelyik tagtól kezdve a sorozat tagjainak mindkét környezetbe bele kellene tartozni, ami nem lehet, mert e környezetek idegenek. Ezzel a feltevés ellentmondásra vezetett. Megmutattuk tehát, hogy
Tétel: Konvergens sorozatnak egy határértéke van.
B) Milyen kapcsolat van a sorozat korlátossága és konvergenciája között? Már láttunk korlátos sorozatot (ilyen volt például a {(— !)»+*}), amely nem konvergens. Eddig minden konvergens sorozatunk korlátos is volt. Vajon ez igaz minden konvergens sorozat esetén?
Tegyük fel, hogy az {a„} sorozat konvergens. Határértékét jelöljük fl-val. Jelöljük ki az ű-nak 1 sugarú környezetét. Az [a— 1; 1] intervallumon kívül a sorozatnak legfeljebb véges sok tagja van. Ha található (ö4- l)-nél nagyobb tag, akkor ezek közül a legnagyobbat véve (véges sok szám között mindig van legnagyobb), ez a sorozat egy felső korlátja. Ha nincs (a+ l)-nél nagyobb tag, akkor ö+ 1 egy felső korlát. Ugyanígy: a— 1, vagy az (a-^ l)-nél kisebb tagok közül a legkisebb az {a„) sorozat egy alsó korlátja. Ezzel igazoltuk a következőt:
Tétel: Minden konvergens sorozat korlátos.
Az állítást a következő módon is megfogalmazhatjuk: A korlátosság a sorozat konvergenciájának szükiséges feltétele.
125
A {(-1)"+*} sorozat mutatja, hogy a korlátosság a konvergenciának nem elegendő feltétele.
Sok esetben a csak szükséges, illetve csak elegendő feltételek a feladatok tárgyalásánál nagyon jól használhatók. így az előző alapján, ha egy sorozat nem korlátos (amit sokszor elég könnyű megállapítani), akkor nem is lehet konvergens.
Visszatekintve a már tárgyalt példákra, látjuk, hogy néhányszor jól tudtuk volna alkalmazni ezt a feltételt.
C) Készítsünk két sorozatból, az {a„}, {b„} sorozatból úgy egy {c„} sorozatot, hogy a két sorozatból felváltva vesszük sorra a tagokat;
l — n> ^2n— ny
vagy más írásmóddal :
dii bii Ü2 I bil . . . , ,
Mutassuk meg, hogy ha a„-ra és b„-^a, akkor
Rögzítsünk egy számot. A feltevés szerint létezik olyan Ni és N2 szám, hogy
\a„—a\<e, ha m>JV, és \b„-a\<ey ha n ^N j.
Ezért|c*—űl<e, ha m ax(N ^;N 2)‘
e-ról csak azt használtuk ki, hogy pozitív, ezért minden 0 -hoz létezik olyan iV, hogy ha k>-N, akkor \cp.—a\-^s. Ez azt jelenti, hogy
Feladat:
a) Igaz-e, hogy ha az előbbi jelöléssel c^-*c, akkor a^-^c és b^-*c is igaz?b) Igaz-e, hogy ha {c„}nem konvergens, akkor sem {o„), sem pedig {£>„) nem lehet
konvergens?c) Igaz-e, hogy ha a„-^a és és a^ b, akkor {c„} nem konvergens?
* * •
126
D) Tekintsünk egy {a„} sorozatot. Az
Ü2 * ^4y • • • 5 5 •• • ÍÍ2| , Ű3 5 • . . , £2n- 1 J • • • »^ 10? ^ 100> • * • > • • •
sorozatokról azt mondjuk, hogy az {a,,} részsorozatai. Szemléletesen azt mondhatjuk, hogy kitöröltünk a sorozat tagjai közül valamennyit, és a megmaradt tagokat vettük abban a sorrendben, ahogyan az eredeti sorozatban is szerepeltek.
Azt mondjuk, hogy {a„^} az {a„) egy részsorozata, ha
láU i<«2<«3-< ” " •<%■< . . .
A részsorozat első tagja a„ , második tagja , és így tovább. (Leolvasható, hogy % sfe.) * ^
Feladat: Adjuk meg az {r?) sorozat négy részsorozatát!
Tekintsük az sorozatot. Tudjuk, hogy ez a sorozat 0-hoz tart.
Vegyük most ennek egy részsorozatát, például az sorozatot. Ez a
sorozat is 0-hoz tart. Ha az részsorozatot tekintjük, arról is köny-
nyen látjuk, hogy 0 -hoz tart.Vajon igaz-e, hogy ha a„-*a és {a„^} az egy részsorozata, akkor
Rögzítsünk egy pozitív e számot. A feltevés szerint ehhez létezik olyan N szám, hogy ha akkor \a^—a\<.s. Ezért, ha most akkor
miatt \a„^-a\^e. e-ról csak azt használtuk ki, hogy pozitív szám, ezért minden e> 0
esetén van alkalmas küszöbszám, így Divergens sorozatnak is lehetnek konvergens részsorozatai, például a
{(—lyi+i) sorozatnak a csupa 1-ből, vagy a csupa (— l)-ből álló részsorozata konvergens.
127
Feladat: Adjunk meg olyan nem korlátos sorozatot, melynek van korlátos részsorozata!
* * ♦
E) Legyen adva egy {a„} sorozat. Úgy készítünk ebből új sorozatot, hogy az elejére írunk néhány új tagot. Talán szemléletesebb így írni a sorozatokat, ha az eredeti sorozat
úfl Ü2 I • • • í > • • • >akkor az új sorozat
> ^2 j • • • > > ^2 » • • • > /i >
Ha a„~*a, akkor az új, megváltoztatott sorozat is konvergens, és határértéke a. Valóban, tekintsük a-nak egy környezetét. Ebbe az a„-^a feltevés miatt az {a„} sorozatnak legfeljebb véges sok tagja nem tartozik bele. A megváltoztatott sorozat is rendelkezik ezzel a tulajdonsággal, mert a környezetbe nem tartozó ű,-ken kívül még Zjj ; 6 3 ; .. .;b ^ lehet a környezeten kívül, azaz biztosan legfeljebb véges sok tag. Ezért az új sorozat is ö-hoz tart.
Feladat: Mutassuk meg, hogy ha a konvergens {a„} sorozat véges sok tagját megváltoztatjuk, akkor a kapott új sorozat is konvergens lesz és a határérték sem változik.
Végtelenhez tartó sorozatok
A divergens sorozatok közül különösen érdekesek azok, amelyeket szemléletesen úgy is jellemezhetünk, hogy ,,a„ minden határon túl növekszik”.
Ez pontosabban azt jelenti, hogy bárhogyan is adunk meg egy K számot, valamelyik tagtól kezdve a sorozat minden tagja nagyobb lesz K- nál.
Definíció: Azí mondjuk, hogy az {a„} sorozat a 0 0-hez tart, ha minden K számhoz létezik olyan N szám, hogy ha n>-N^ akkor a„>^K.
128
Szokásos jelölések: a„-*- yagy lím a = 0 0 .
Feladat: Az előzőhöz hasonlóan értelmezzük, hogy mit jelent a
* * *
Példa: Az {«2+I} sorozat =»-hez tart. A { - # } sorozat - co»hez tart. A { (- lyn'^} sorozat nem tart sem oo-hez, sem - oo-hez.
Feladatok:1, Döntsük el, hogy a„-* «-nek az {a„} nemkorlátossága
a j szükséges ;b) elegendő; cj szükséges és elegendő;d) nem szükséges és nem elegendő
feltétele.2. A következő — általános tagjukkal adott ~ sorozatok közül melyik tart —hez,
és melyik - oo-hez?
aj3 n + l ’
bj
Már vizsgáltuk a
végeztük:
Műveletek konvergens sorozatokkal
2n2—3«+3«3- sorozatot. A következő átalakítást
? _ ! + ! ln^-Zn-\-1 n n^
3 n ^ - l
Ebből megsejtettük, hogy a határérték 0, majd ezt igazoltuk.Az átalakító'- után megpróbálhatjuk visszavezetni a problémát egy
szerűbb esetekre.
Figyeljük meg előbb a számlálót. Ha külön-külön a 2' ■ 3 'n 9 'In?l 4
129
sorozatokat vizsgálnánk, akkor mindegyikről be tudnánk bizo
nyítani, hogy 0-hoz tart. De kitűzhetjük a feladatot így is :
Az U sorozatról már tudjuk, hogy -->0. n\ n
Következik-e ebből, hogy ^ - ^ 0 ; ?-*0 ; ? • ^ • i - 0 ?
2 3 1 2 3 1Igaz-e, hogy ha - - 0 ; ^ - 0 és ^ - 0 , akkor - - ^ + ^ - 0 ?
A nevezőben a 3-at tekinthetjük úgy, hogy ez csupa 3-asból álló sorozat. Ez természetesen 3-hoz tart.
Ha ~ - 0 , igaz-e, hogy 3 - ^ —3.
Ha igaz, hogy a nevező 3-hoz, a számláló pedig 0-hoz tart, akkor
érvényes-e, hogy a tört ^hoz, azaz 0 -hoz konvergál?
A kérdések^ általánosabban is feltehetjük, és úgy is fogjuk vizsgákii. Legyen adva két sorozat; {a„}; {b„}, és a„-^a,Igaz-e, hogy
aj az {a„+b„} sorozat is konvergens, és határértéke a-hb;b) az
c) az
q„b„} sorozat is konvergens, és határértéke ab;
sorozat is konvergens, és határértéke | ?
Vizsgáljuk sorra e problémákat:a) Azt sejtjük, hogy {a„+b„} is konvergens, és a„+b„-*a+b. Bizo
nyítsuk be!Rögzítsünk egy e> 0 számot. a„-*a és b„-*b miatt van olyan iV, és
N 2 szám, hogy ha n^N i^ akkor jű„—ű|< e, és ha akkor \b„—b\<s.így
\a„-\-b^-{a+b)\= \a„-a+b„-b\^^ |ű „ - ű | + j6 „ - í> |< c + e = 2 e,
ha n ^ ím x { N i\N ^ .Ebből észrevesszük, hogy 2e helyett úgy tudunk e-t kapni, ha i\Ti-et
és N 2-Í nem hanem ^höz választjuk, azaz ha akkor
130
B 6|fl — akkor legyen. (Ez lehetséges, mert
és b„-*b.) Ezért
K + 6 , - ( a + i ) | s K - a |+ | i , - f c H Í + |= e ,
han>-max(iVi;iV2)-e-ról csak azt használtuk ki, hogy pozitív szám, ezért arra következ
tetünk, hogy minden e>-0-hoz létezik N szám úgy, hogy ha n>N , akkor
Ez azt jelenti, hogy:
ha 'a„-*a és b„-^by akkor a„+b„-^a-{-b.
b) Ismét azt sejtjük, hogy ha a„-*a és b„-*b, akkor a„b„-^ab. Bizonyítsuk be!
Egyszerű átalakítással
\a„b„-ab\ = \a„b„-ab„+ab„~ab\^\(a„-a)b„+a(b„-b)\^
Azt kellene tehát belátni, hogy „nagy n-re” a jobb oldal kicsi. Rögzítsünk egy pozitív e számot. A feltevés szerint {b„} konvergens,
ezért korlátos is; legyen \b„\^K, ha «= 1 ; 2 ; . . . (nem jelent megszorítást a íC>0 kikötés). Tegyük fel még, hogy az {a„} sorozat határértéke ű?í0. Ekkor a„-^a miatt létezik olyan iV„ hogy ha n>iVj, akkor
|ű„—ű |< — , és b„-*b miatt létezik olyan N 2* hogy ha n>-^2, akkor
Ezt felhasználva
\aX -~ abm a ,~ -a \-K + \a \ • • ^ + N •2 a:
ha n>max(jYi; JV2).
Ha a— 0, akkor |a| • =0 , ezért ezt a tagot elhagyhatjuk, és a becs
lés egyszerűsödik. (így is számolhatnánk: |a ^ „ —0 | á |ű:„| • K-2K
= 2 <e> ha n ^N p )
131
Az e-ról csak azt használtuk ki, hogy pozitív szám, így azt nyertük, hogy minden 0-hoz létezik olyan N szám, h o ^ ha akkor\a„b„—ab\<e. Ez azt jelenti, hogy:
ha a„-*-a és b„-^b, akkor ajb„-^ab.
c) A kérdés nincs pontosan megfogalmazva. Ha b„-*by akkor lehet, hogy b=O ésa {b„} sorozat tagjai között is tetszőlegesen sok 0 lehet.
Tekintsük a következő két sorozatot
1
1 1
Az {«} pedig nem konvergens.
Tegyük fel, hogy b„-*b és Ekkor -— -höz létezik N úgy, hogy
ha akkor \b„—b \ ^ ^ . Ez azt is jelenti, hogy b„9^0 ha n:^N
(37. ábra). Véges sok tag megváltoztatása a sorozat konvergenciáján nem változtat, ezért nem jelenti az általánosság megszorítását, ha feltesszük, hogy b^-^b^Oés b„9^0 , n= I ; 2 ; . . .
0
37. ábraHa most be tudnánk látni, hogy
L i
akkor a c) kérdést vissza tudjuk vezetni a bj-re. Valóban, b) szerint
ha akkor
1 1 ah ^ n ‘ b : * ^ ‘ b-^b '
Vizsgáljuk tehát az
132
1sorozatot. Azt sejtjük, hogy .
b
1Átalakítással
i - É z M ‘b m •
A b„-*b9^0 , b„9 ^ 0 feltevés miatt van olyan d^O szám, hogy mindenn€N+-ra \b„\^dés \b\^d.
Ez következik abból, hogy a sorozat majdnem minden tagja benne
van a fc-nek - y sugarú környezetében. Ezért a 0-nak ~ sugarú kör
nyezetébe a sorozatnak véges sok tagja eshet. Vegyük ezek közül a legkisebb abszolútértékűt íí-nek. Ha nincs a sorozatnak tagja e környezet
ben, akkor legyen .
Rögzítsünk egy e=-0 számot. b„~^b miatt ed^-hoz létezik N úgy, hogy ha «>iV, akkor
így tehát
1 |b - M J b - b ,IMI
ha n ^N .Az e-ról csak azt használtuk ki, hogy pozitív szám, ezért minden
1 lle > 0 -hoz létezik olyan N, hogy ha akkor
Ez azt jelenti, hogy:
ha b„-*b\ b ^ 0 \ b„9^0 , akkor ,
A c) kérdésre a válasz a következő:Ha b^-^h b^O, b„9^0 y akkor
b„ b:e.
ab '
A b ) esetben speciális esetként benne van az is, hogy ha akkorca„-*ca. Csak arra kell gondolni, hogy a {c} sorozat (minden tagja c) c-hez konvergál. Ezért az is igaz, hogy ha a„-*a, akkor -a „ -^ —a. Ebből pedig a)-i felhasználva következik, hogy ha a„-*a; b„-*b, akkor
133
L példa: mert --^O.
2. példa: i - O , m e r t . i = i . ~ , és i - 0 ; i - 0 .FI® n* n n-* n
3.példa: --^ 0, mert i -^ 0 .^ n n
3__i4 .példa: mert 3 - ^ - 3 és 5 + - - 5 .
^ 5n+2 5 n nn
2 - 3 + 1 - 1_ 2 n * -3 n ^+ n -l n n* 2
7 n > + 5 n H 2 n - r ^ 5 2
2 - - + Í - - Í - 2 és 7 + l + l - 1 ^ 7 .n n* rv-
Itt úgy látszik, mintha többet használtunk volna fel, mint amit aj-bán megmutattunk. Abból azonban az is következik, hogy ha a„-*-a \ b„-*-b; c„-*c, akkor {a„+b„-\-c^-*{a+b+c). Arra gondolunk ugyanis, hogy
ö„+ b„+ c„= (ö„+b„)+ c„->(a+ b)+ c= a+ ÍJ+ c.
Ugyanígy járunk el, ha több, de véges sok sorozat összeadásáról van szó. (Természetesen szorzásnál is ugyanígy teszünk.)
6 . példa: Az a^= általános tagú sorozat konver
gens-e? Átalakítva :
3n-~2-\— I— 2 n mú = -4 + Í+ - 4n
A nevező 4-hez tart, a számláló tart a oo-hez. Azt sejtjük, hogy a„-*- «•. Mutassuk ezt meg! Rögzítsünk egyiC számot!
134
3 n - 2 + - + \ n IV-
4 + Í + - Ín
K tetszőleges szám lehet, így valóban a^-* °o.Általánosabban is megfogalmazhatjuk a kérdést :
Ha a„~* oo; b„-*b\ 6 > 0 ; akkor igaz-e, hogy <»?
Nem jelent megszorítást, ha feltesszük, hogy ö„>-0 és d i ó ból következik, hogy {ö„} felülről (is) korlátos. Legyen minden n-rc b„^M ; M >0. Ekkor egy X számot rögzítve:
a„-* miatt van olyan N szám, hogy ha /i>iV, akkor ígyaz is igaz, hogy ha n>N, akkor
K tetszőleges szám lehet, így —ÍL_*. oo,'bn
7. példa: Ha a„-*a és a„^0 minden n-re, akkor ösO.
Valóban, ű< 0 nem lehet, mert ekkor a-nak például -™ sugarú kör
nyezetébe csak negatív számok tartoznának, így ebben az {ű,} sorozatnak egyetlen tagja sem lehetne.
Feladat: Vizsgáljuk meg a következő, általános tagjukkal adott sorozatok konvergenciáját :
a)
b)
c)
í -7 m
3ÍÍ+5’f?-—n
5rP -í 3rt*-n-h 1
2 n^+l“hÍ-T ’
, ; | 3 —-,| 6+ ?
6 —n n^ — 2
3 + rt^ 3n -f I ‘ <*> * «
135
Még döntsük el azt a kérdést, hogy ha a„-^a; akkor igaz-e,hogy
Tekintsük előbb azt az esetet, ha a=0. Rögzítsünk egy e> 0 számot. Ekkor
l / ö „ - 0 | = /ö^< e, ha
a„-*-0 miatt e^-hez létezik N szám úgy, hogy a„< e , ha Ezért ha, n>iV, akkor
Az g-ról csak azt használtuk ki, hogy pozitív szám, ezért minden e > 0- hoz létezik N úgy, hogy ha akkor tehát
Ha űr>0, akkor
/a „ + /o
Egy e> 0 számot rögzítve, a„~*-a miatt efa-hoz létezik olyan N, hogy ha n>JV, akkor la„—aj<efa.
Ezért, ha «>iV, akkor
e-ról csak azt használtuk ki, hogy pozitív szám, ezért minden e > 0 -hoz létezik olyan iV, hogy ha akkor |/ű „—/ű |< e , azaz a.
Hasonlóan bizonyítható be, hogy ha Jt6 N+, fcs2, és ö„^0,akkor
Feladatok:
1. Konvergensek-e a következő, általános tagjukkal adott sorozatok?
/« + l } 2^+ V ^+ l 5 «-l3 5 5 „ í .—-ZZT'-
3 |' í i+2 |/n+1/^5«+1 J'/i+l
136
2. Igaz-e a következő állítás?„Ha {a„+ö„} konvergens, akkor {a„} is és {6 } is konvergens.”(Ha igaz, akkor be kellene bizonyítani; ha nem igaz, elég egy ellenpéldát adni.Egy ellenpélda a következő: Legyen o„=/i; &„= —n.Sem az {a„}, sem a {b } sorozat nem konvergens, az {a„+b„} sorozat viszont,
mivel csupa 0-ból áll, konvergens és tart a 0-hoz.)3. Döntsük el, hogy a következő állítások közül melyik igaz, melyik hamis:
a) Ha {a„-b^} konvergens, akkor {a„} is és {b„} is konvergens.b ) Ha {a„b„} konvergens, akkor {a } is és { b j is konvergens.
c) Ha konvergens, akkor {a„} is és is konvergens
d ) Ha { % + b ^ ) divergens, akkor {a ^ } is és {b„} is divergens.e ) Ha { % + b „ } divergens, akkor {a„} és { b j ) közül legalább egyik sorozat di
vergens.f ) Ha { a ^ + 6 „ } és (a„} divergens, akkor {b^ } is divergens.g) Ha {%b^} és {a„} konvergens, akkor {b^} is konvergens.
4. Igazoljuk, hogy ha a„~*a és b^-*b, továbbá a„^b^ minden n€N+-ra, akkora S b .
Igaz-e, hogy ha a^^b^ minden n€N+-ra, akkor a>6?
Monoton, korlátos sorozatok
Legyen az {a„} monoton növekvő, felülről korlátos sorozat, egy felső
korlát K. Ilyen sorozat például az i - in és 2 egy felső korlát.
0 1 1 | ’ '38. ábra
A 38. ábrán szemléltettük a sorozat néhány tagját. A monoton növekedés miatt a sorozat tagjait ábrázolva mindig jobbra haladunk, de biztos, hogy 2-ig nem jutunk el. Mind több pontot berajzolva az ábrába, egyre jobban érezzük, hogy a sorozat tagjainak valamely pont körül „sűrűsödni” kell. Itt most könnyű megmutatni, hogy
azaz a sorozat konvergens, és határértéke 1.
137
Tekintsük az {^1} sorozatot. Kis számológéppel kiszámoltuk a sorozat néhány tagját (a négy első tizedesjeggyel):
V2= 1,0905:
Y i= 1,0800
Í2= 1,4142
)/2= 1,2599
V2= 1,1892
1^=1,1486
^ 2 = 1,1224
1^=1,1040
^ 2 = 1,0717
^ 2 = 1,0352
1^2=1,028130
1,0233.
Ax {1 21 sorozat korlátos, egy alsó korlát 1, egy felső korlát 2. Minden n m ^ -m
n — **+ ./2 , mert 2”+^>2".
A sorozat tehát monoton csökkenő, minden tagja I-nél nagyobb, így most is a^t érezzük, hogy a sorozat tagjainak egy 1-nél nem kisebb szám köftU „sfírűsödnie” kell.
Bebizonyítható, hogy minden monoton, korlátos sorozat konvergens, de ezt most nem részletezzük, fogadjuk el. A továbbiakban tehát hasz- »áteti fogjuk, hogy:
minden monoton, korlátos sorozat konvergens.
A OKMiotonság és korlátosság együtt elegendő feltétele a sorozat kon-v ^ ^ ^ j á n a k .
Azért is fontos ez a tétel, mert a korlátosságot és monotonságot álta- nem olyan nehéz megállapítani. A határérték megsejtése, megálla
pítása $okszor kemény probléma.Tdkintsük például azt, a bevezetésben már vizsgált sorozatot, amely-
általános tagja:
a„=l + ~ + . . . - ^ ^ ^ 2 ,
MegáHapitottuk, hogy minden n-re1
22
azaz (a.) korlátos.
138
A sorozat monoton növekvő, mert
(« + l )2-0 .
Tételünk szerint a sorozat konvergens, létezik határértéke. De mi ez a határérték? Az biztos, hogy 2-nél nem nagyobb. L. Euler volt az első,
aki bebizonyította azt a meglepő tényt, hogy ennek a sorozatnak •— ao
határértéke. Ezt itt most még nem tudjuk megmutatni, de a későbbiekben vázolunk majd egy bizonyítást.
A következő pontban egy nagyon fontos sorozatot vizsgálunk, és ennek konvergenciájához éppen azt mutatjuk meg, hogy a sorozat monoton növekvő és korlátos.
Az Ih íl sorozat
Tekintsük az
(1+ 1) ':
sorozatot. Ha az n „nagy”, akkor az alap „közel” van 1-hez, ezért,azt
gondolhatnánk, hogy i + in is közel van 1-hez. De a kitevő is n, és
az is „nagy”. Ez óvatosságra int. Eszünkbe juthat a Bernoulli-egyenlőt- lenséget alkalmazni, amely szerint
így biztosak vagyunk benne, hogy ha konvergens a sorozat, akkor az 1 nem lehet határértéke. Megmutatjuk, hogy a sorozat monoton növekvő és felülről korlátos. Több bizonyítást is mutatunk.
i . bizonyítás: A sorozat első tagjai :
(1 + 1) = 2 ;■ 1)3•+ 3 '2 7 ’
' lY 625'256’ "*
139
Próbáljuk ezért igazolni, hogy a sorozat növekvő, azaz minden «6N+-ra
1 + n+ 1
n r In
Ekvivalens átalakításokat alkalmazva azt kellene belátni, hogy:?i+2 'K+ 1
ín+ 2 ]
n+ 1 n+ 1
n+ 1
”n+ 2
n+ 1
n^+2 nn^+2 n+ l
n+ 1
" n + 2« + r
■1 ;
1.
Most csak a bal oldalt alakítjuk át, illetve becsüljük a Bernoulli- egyenlőtlenség segítségével:
n^+2 n "n + 2
n^+2 n+ l ^ n + l~ 1 - 1n^+2 n+ l
'•n+ 2
n+ V 1 - n^+2 n + ln+ 2
n+ 1
n^+2n+l — n n+2 n^+3n^+3n+2n^+2n+l n + l n^+3n^+3n+ 1
A számláló minden n természetes szám esetén 1-gyel nagyobb, mint a nevező, ezért a tört értéke 1-nél nagyobb. Ebből következik, hogy az
i + i' n 1sorozat monoton növekvő.
A sorozat korlátosságát a binomiális tétel segítségével mutatjuk meg. Alulról korlátos a sorozat, mert monoton növekvő. Felső korlátot keresünk. Fennáll, hogy
1í ‘ + -
n= 1 +
ri1 +
n1 + . . . +
'rin 1 n 2 n
Tekintsük a következő becslést :
1 _ «(«—1)(«—2 )-" {n—k + 1) 1 _ w*~ k \ ' ni‘~
( n - k + 1 )~~ n n n * ki ki ’
140
Ezt felhasználva:
n
a l + l + i + ^ + . . . + 2 ^ - = l + ------?— =1+2=3.
‘ " 2
2. bizonyítás: A számtani és mértani középre vonatkozó egyenlőtlenséget alkalmazzuk. Azt szeretnénk belátni, hogy minden n6 N+-ra
Átalakítva;
i + in
n+1
1 + n + l«+1
1n + l '
A bal oldalon levő kifejezés egy mértani közép, ha figyelembe vesszük, hogy szorzóként 1-eseket odaírhatunk.
-----J——77-------— — — 7T I + Í I + - I + . . . + Í I + - I ^ I
l / l . 1 + i ... , + Í U _ L ^ ! L ' L ^ = 2 ± ^ = , + í .’ V n) , n) n+ 1 n + 1 n+ 1
azaz mindkét oldalt (n+ l)-edik hatványra emelve:1
1 + 1n 1 + n + l
Ezután bebizonyítjuk, hogy a sorozat korlátos is. Az világos, hogy
n+l11 n1 + i < l+ £
n n
A {6„} sorozat monoton fogyó. Előbb végezzük el a következő átalakítást :
í / í+ l l n+l 1 1 1
(^ r ’ 0-;^)141
A le I sorozat növekvő, mert
-----------------
Ezért
K=-1
n + l
ín+ 2 1
n + l*
'«+! ^n+ 2I \n+2 n + l
n + 21 +
1n + l
n+2’n+l-
Tetszőleges n^N+-ra tehát■ n
ű_== i + -«:d „ ^ l? j= ( l+ 1)^-4.
\ ^5 . bizonyítás: Előbb egy egyenlőtlenséget bizonyítunk be. Legyen ű>-Z>>-0. Akkor
^+i_fcn+i=(ö_fc)(ű«4-ű"-ífe+ .. .+Z>")<(ö-6)(n + 1)0",
ebbőlű"[ű-(«+ l)(a-!>)]<Í>"+*.
Legyen a = l + i ; 6=1 + . Az előző egyenlőtlenségbe helyette
sítve (a>-6 > ’0 teljesül):
n
1
1 + n + ln + 1
Mivel H -----(n + 1)
az egyenlőtlenségből az
ható.1
= i + - Í - ( " + » 7 ^ + - l ) =
sorozat monoton növekedése leolvas-
Legyen most a = l + ^ ; >>=l. Behelyettesítve az egyenlőtlenségbe:
í + é ; - * ' 1 ;
2n 2« :1 ;
1+ :2 .
142
Mindkét oldalt négyzetre emelve:
%«=2/1
:4.
A sorozat már bebizonyított monoton növekedése miatt
sorozat felső korlátja.azaz 4 az l)1 + - n
Három különböző módon bebizonyítottuk, hogy az | l + ~ j sorozat
monoton növekvő és korlátos. Mindegyik bizonyításnak van előnye és hátránya is.
így tehát tudjuk, hogy a sorozat konvergens, a határérték 2 és 4 közé esik. E sorozat határértékét e-vel jelöljük. Néhány tizedesjegy pontossággal :
^=2,718 281 ...
Az e számmal a továbbiakban többször találkozurűc. Más módon is elő fogjuk állítani. Megmutatjuk, hogy irracionális szám. A természetes logaritmus alapszámának is szokás nevezni.
A rendőr-elv
Tekintsük azt a sorozatot, melynek «-edik tagja:
-+«3+l fjS + 2 + . . . + «3+.« *'
Konvergens-e ez a sorozat?
Ha n „nagy”, akkor a jobb oldalon álló összeg minden tagja kicsi, de ebből (erre már láttunk példát) még nem következik, hogy a sorozat 0 - hoz tart, mert az összeadandók száma is », és így ez is „nagy” és n-nel együtt növekszik.
143
Becsüljük alulról és felülről !
-+
■+
Minden n^N+-ra
+ ■n'^+n n^-hl n^ + 2
, n : + . . • +
Az
mert
és az í —I « H 1I sorozatok konvergensek és 1-hez tartanak,
1
1 +1 ■1 ;
1
m3+11 + 4
1.
így azt sejtjük, hogy a „közöttük levő” {a„} sorozatnak is konvergensnek kell lennie és 1-hez kell tartania.
Kissé humoros formában ezt a következőképpen is szemléltethetjük : Az utcán két rendőr elfog egy tolvajt. Két oldalról belekarolnak és elindulnak a rendőrségre. Természetes, hogy így a tolvaj is kénytelen a rendőrségre menni.
Általánosan fogalmazva, ha adott három sorozat: {ű„}; {b„}\ {c„} úgy, hogy minden «€N+-ra
a„^b„^c„ és a„^a és c„-^a,
akkor azt sejtjük, hogy b„-*a is igaz!Bizonyítsuk be!Rögzítsünk egy fi>0 számot. a„~*a miatt van olyan iVj, hogy ha «>Ni,
akkor ja„—aj<e, és c„-*-a miatt van olyan N 2 , hogy ha akkor\c„-a\<e. Legyen n>max(iVi;iV2)> és becsüljük \b„-a\-t. A feltevés szerint minden «6 N+-ra
ezérta „ - a ^ b „ - a ^ c , - a ,
144
azonban ~ e < a „ -a és c„—a ^ s, ha ?i>-max(iV|;iV2), így
~-s-cb„—a-c e,vagyis
e-ról csak azt használtuk ki, hogy pozitív szám, ezért minden o O - hoz létezik olyan JV szám, hogy ha «>iV, akkor
Kimondhatjuk tehát a következőt :Ha c„-*a és minden «6 N+-ra a„^b„^c„, akkor b„-^a.Ennek az úgynevezett „rendőr-elvnek” az alkalmazása azt kívánja,
hogy merjünk becsléseket végezni, és elég sok sorozatról meg tudjuk állapítani a konvergenciát.
1 . példa: ' + - ^ + . . . + . >" H l n H 2
Becsüljük két oldalról ib„-et úgy, hogy az «-tagú összeg legkisebb, illetve legnagyobb tagját vesszük «-szer.
a„~n 1
Mivel
a„= n
n^i-n
1n
1
ezért n
“0 ;
« H 1•=c„.
”0 ,
2. példa: h -/n ^ + l
1a„~n 1
1 , '
-■Cn\
/ , + if n ' í r
z r - 1.
ezért a sorozat konvergens, és határértéke 1.
145
J. példa: Tekintsük az {/«} sorozatot.Első pillantásra nem is tudjuk megsejteni sem, hogy konvergens-e ez
a sorozat. Az biztos, hogy ha 1, akkor A zn „minden határon
túl növekszik”, ugyanakkor a kitevő, az - nagy ti-tq tetszőlegesen közel lesz 0-hoz. "
Az, hogy «-edik gyököt kell vonni, kézenfekvővé teszi, hogy a számtani és mértani középre vonatkozó egyenlőtlenség segítségével próbáljuk /w-et felülről becsülni. Ilyen módon
1+■■■ + » + / " + / »
«~2 darab 1-es
_ n - 2 + 2 jn
Ha ö „ = l ; 1+2 minden «€N-+ra, akkorT
1 1 '
= 1+2 1 1
ezért
ű,= l * V « s l + 2/ í "J
1 h
"Jh
Meglepő, érdekes eredmény, hogy az {jfri} sorozat 1-hez tart.
Feladatok:
1. Állapítsuk meg, hogy a következő — általános tagjukkal adott — sorozatok konvergensek-e:
. n n no)~^r~T+~ir~+...+n^+í «2+ 2
I
■■■
146
2. Tegyük fel, hogy «> és minden »€N+-fa a„^b„. Igaz-e, hogy «?
3. Konvergens-e az
4. Konvergens-e az
-T-+
n n n
sorozat?
sorozat?f|2+ l ‘ n +22 ' *" ' n24-„2(Ha a 4. feladatban is az előző példákhoz hasonlóan próbálunk becsülni, akkor azt
kapjuk, hogy
Most azonban/|2+/j2 rfi+l
n n
! 1 ,= — es c. =
n2 1
1 + 1
•^1.
így legfeljebb csak annyit tudunk mondani, hogy ha a kérdéses sorozat konvergensakkor a határérték - és 1 között van. Persze lehet, hogy ügyesebb becsléssel célhoz,
2érhetnénk, vagy más módszerrel kellene próbálkozni. A feladatra még majd visszatérünk ; itt azért mutattuk be, hogy lássuk, a „rendőr-elv” is olyan, mint a többi módszer: néha eredményre vezet; néha nem látjuk, hogy egyáltalán alkalmazható-e.)
Nevezetes sorozatok
1 . példa: A {2"} sorozat nem korlátos, így nem is konvergens.
Az í í n
| 2konvergens, és ^ - ^ 0 .
1e>-0-t megadva, e, ha •
Vajon igaz-e, hogy a sorozat, ha akkor divergens; ha!g |< l, akkor konvergens; q= 1-re konvergens; q ~ — 1-re pedig divergens?
Tekintsük először a ^> 1 esetet. Rögzítsünk egy pozitív számot, és mutassuk meg, hogy van a sorozatnak K-ná\ nagyobb tagja. A Bernoulli- egyenlőtlenség felhasználásával
ha u>- K - 1
9 - 1 ‘
9"= [1+ (q - i ) f S 1 + n (q - l ) ^ K ,
147
K tetszőleges pozitív valós szám lehet, így azt kapjuk, hogy ha ^ > 1, akkor oo, (Ebből az is következik persze, hogy {q^} nem korlátos.)
Ha — 1, akkor egy X > 0 számot rögzítve
l^ r= [1 + (!^i - l ) r s 1 + n(\q\ -
Ez azt jelenti, hogyX,-nél nagyobb páros n-re ( f ^ K ; i^,-nél nagyobb páratlan n-re —K. Ezért a {<f) sorozat nem korlátos, de nem tart »-hez vagy (— oo)-hez.
Ha q~Q vagy 1, akkor a sorozat konvergens; ha q— — 1, akkor divergens.
Hátra van még a 0< \q\< 1 eset. Azt sejtjük, hogy ekkorRögzítsünk egy e> 0 számot; ekkor
1 1\q»\ b ’
1, ezért a Bernoulli-egyenlőtlenség alkalmazásával
1
ha ?!>“-
IM J1+ !■
1 1- 1
1
(M- 1
1
k\- 1
e-ról csak azt használtuk ki, hogy pozitív szám, így minden 0 -hoz létezik olyan N, hogy ha n=*-iV, akkor \<f\<-e. Ezért, ha 0< |g|-< 1, akkor
2. példa: Legyen adva az {l + g+ . , . + sorozat, ahol \q\-<l.l_ö«+ i I
Az a„—\-\-q-\-. . . -l-g”= — —- , mert |^ |<1 miatt
3 .példa: Legyen ű > l . Mit tudunk állítani az {/ű} sorozatról?®+l _ n _
minden w^N^-ra, mert mindkét oldalt «(w-f l)-edik hatványra emelve,
148
Az ( /a ) sorozat tehát monton csökkenő, 1 miatt alulról korlátos, ezért konvergens is. Mi lesz a határérték?
Az /3 sorozat első néhány tagját kiszámoltuk, a program ABC—80-as gépre készült :
1 0 FÓR N = 1 TO 102 0 K =3t(l/N )3 0 PRINT K 4 0 NEXT N
A következő értékeket kaptuk :
NAT
N f3
1 1,7320 10 1,11612 1,4422 20 1,05643 1,3160 30 1,03734 1,2457 40 1,02785 1,2009 50 1,02226 1,1699 60 1,01847 1,1472 70 1,01588 1,1298 80 1,01389 1,1161 90 1,0122
100 1,0110
Úgy látszik, hogy /3-»-l. A 3 helyett más pozitív számot is vehetünk.n
E próbálkozások alapján azí sejtjük, hogy ha akkorra ™
Az yo— 1 különbséget becsüljük a Bernoulli-egyenlőtlenséggel:
ű = [l + ( í 'á - l ) f s l + n (V ^ -1);ebből
0 < V ö - i s a - 1
ű - 1A csupa 0-ból álló sorozat 0-hoz tart, —— »0 , ezért a „rendőr-elv
fi
alapján ya-* I.
149
Már bebizonyítottuk egy módon» hogy Ezt felhasználva
ha n>-a. A „rendŐr-elv” alapján most is 'ja-^\ következik."r“1 , / 1 n- . .
Ha 0 < ö ^ l , akkor -> 1 , ezért 1/ - ^ 1 , ezért y a - l is igaz, mert
K - i -
t
4 . példa: A í ^ n ) sorozatról már tudjuk, hogy konvergens, és határértéke 1.
Most más módon mutatjuk ezt meg. Egyszerű számolással:
n=[1+(V»-1)]"= 1+n{"yn-1 )+ ^ ^ ^ ( Y n - 1)H ••■ +
Ebből az egyenlőtlenségből
fSezért a „rendŐr-elv” alapján K«-*-l.
5. példa: Mutassuk meg, hogy\n \
Előbb igazoljuk a következő egyenlőtlenséget : Minden n€N+-ra
I W
Teljes indukció segítségével végezzük a bizonyítást. «= 1-re igaz az egyenlőtlenség.
150
Tegyük fel, hogy igaz az egyenlőtlenség «-re, és mutassuk meg, hogy akkor igaz (n+ l)-re is. Valóban igaz, mert
(«+ l)!= (n+ l)(n !)> («4-l)
Itt felhasználtuk azt, hogy az
rt6 iV+-ra teljesül.
/ Vn n í/I+ ll «+i 3 í? i+ n3 3 r« + ll
. n ,n 3V /
« + 1
nn •3 egyenlőtlenség minden
Az n!> ( > 0 ) egyenlőtlenségből
. 1 1 ^ 0 < - -----c —= - .
Ismét a „rendőr-elv” alapján ~ ^ 0 miattn
lim - - ^ = 0 .
6 . példa: Konvergens-e a | ~ f | sorozat?
Legyen ti5*-3 , akkor3 3 3 3 3 9 '3' 32 '3'1 2 ‘3 ' 4 ' “ «= 2 4 “ 3 4
►0 , ezért a „rendőr-elv” felhasználásával
3”lim ~ = 0 .
n\
Feladat: Vegyünk a 6. példában szereplő 3 helyett egy tetszőleges a.valós számot.
Vizsgáljuk meg, hogy konvergens-e az sorozat; ha igen, mi a határértéke.
151
7. példa: Konvergens-e az
__í n '
^ i f J
sorozat?
' n
Y s - ] l(V5)”J ’3 -
K5>1 miatt azt érezzük, hogy a nevező „gyorsabban növekszik”, mint a számláló. így azt sejtjük, hogy a sorozatnak létezik határértéke, és az 0 .
3 —Az egyszerűbb írás kedvéért yS helyett a továbbiakban jc-et írunk. A Bernoulli-egyenlőtlenség alkalmazásával kapjuk, hogy
0 ^ 4 =
A jobb oldalon
l + « (x~ l) 1 x —i-+ X - 1n
Az eredeti sorozat konvergenciájára ennek a becslésnek a segítségével nem tudunk következtetni. A binomiális tétel felhasználásával talán pontosabban tudunk becsülni:
0 -= ^ =
Most a jobb oldalon2 n
n ( n - l ) ( x - i y ( « - l ) ( j c - l )2
Az eredeti sorozatra visszatérve ;
5«
■0 .
ezért a „rendőr-elv” alapján:
lim ^ = 0 .
152
Azt mondhatjuk, hogy 5" gyorsabban tart a oo-hez, mint n . Általánosítsuk a feladatot. Milyen számokat írhatunk 5 és 3 helyébe?
8 . példa: Az a„= sorozat első néhány tagját kiszámoltuk (a
program ABC—80-as gépre készült):1 0 FÓR N = 1 TO 1 02 0 F = ( l + l /N )tN3 0 PRINT F 4 0 NEXT N
N 111 4 -^N
N í, l y
1 2 20 2,65332 2,25 30 2,67403 2,3703 40 2,68504 2,4414 50 2,69155 2,4883 60 2,69646 2,5216 70 2,69987 2,5465 80 2,70148 2,5657 90 2,70309 2,5811 100 2,7047
10 2,5937
Az 1+ 1^nsorozat konvergenciájának vizsgálatánál megmutattuk
hogy ez a sorozat monoton növekvő és korlátos. Az egyik bizonyításban
sorozat monoton fogy, és természetesenazt is láttuk, hogy az i + ‘n
i + in 1+ i
A felsoroltakból következik, hogy mindkét sorozat konvergens. A rövidség kedvéért vezessük be a következő jelöléseket;
n~h 1a = i + in i + in
153
Az {a„) határértékét e-vú jelöltük: é?—2 ,7 1 8 1 ...Mutassuk meg, hogy {b„} határértéke is e. Érvényes a következő
becslés:
0 ^ b - a =l'jn+l
l + ~ nn í l l n= Í 4--n n i + i - in
i + in
A „rendőr-elv” szerint b„-a„-*0 . Tudjuk, hogy a„-*e, ezért
b„=a„+(b„-a„)^e+ 0 =e.
Az előbbi meggondolásokból egy becslést is kapunk arra, hogy adott
«-re az legalább milyen közel van e-hez:
ö ^ e — l l n '14--n
l)n+l1 + i n i+ i ] "n
111 + - nn 1
1 + - - 1 n
9. példa: Ebben a példában az e számot .egy másik sorozat segítségével állítjuk elő.
í l l "1 + - és nLegyen a =
A {c„} sorozat monoton növekvő, mert i~c„= 0 , és
korlátos, mert
c ,= 1+ 1+ ^ + ^ + - - - + ; ^ < 1 + 1 + 5 + ^ + - - + ^ - = 3 -
Ezért tudjuk, hogy {c„} konvergens. Azt fogjuk megmutatni, hogy
154
A binomiális tétel felhasználásával:
« (« -!)• • • 2 - 1 1 . , « (« -!) 1 , « ( « - ! ) ( « - 2 ) 1 ,--------- ----------- * ——1 + 1 + -——— • —H------- - ------------XT4 - . . .' ni ’ '«2 ‘ 2!* ' ' 'n {n -\) -2 l i . l = = l + l + i + l +
Rögzítsünk egy számot, és legyen n>-k. Akkor a^-nek a binomiális tétel segítségével felírt előző alakjában hagyjuk el a (k+ l)-edik utáni tagokat. Ezzel a„-et csökkentjük.
+ n ( n - l ) . . . (n -A :+ l ) 1^ - 1 + 1 + n
1— n +
í l 11 íi 21 1 í. 11 í. 21 í . A :- nl-™- 1— - 4 - .. . +77 1 — 1 — • . • 1 ----------n n ki n n nV /A bal oldal határértéke e, a jobb oldalon (k rögzített, nem változik)
lim 14" 1+777 í l^ i ] 1+ •..+7-7 í l - i ]
2 ! n ki n n
Ebből tehát
= 1+ 1+ ^ + . . . + i .
e * l + l + ^ + . . . + i = C t .
Ez az egyenlőtlenség bármely fe€N+-ra érvényes, ezért itt az egyenlőség nem fordulhat elő valamely kg-ra, mert akkor következne. Ezért ha fc€N+.
összegezve
A „rendőr-elv” szerint c„-^e is igaz.Az e-nek ezt az előállítását a későbbiek miatt is, de azért is érdemes
f - ■'megjegyezni, mert ez „gyorsabban” konvergál e-hez, mint az
sorozat.
155
Rögzítsünk egy k számot (k^N+), akkor1
r + . . . +1
{n+k)l1
{k+ l)\
1
1
1
k + 2
(A:+2)"-‘
1
1-1 (fc+l)!
k + 2
1 k + 2
1 - 1k + 2
1
(A:+l)! ■ ife+1 k - k \ '
Ha oo, akkor e, ezért
Például 0 < e -c ^ -= 1 0“ ^ ha k ^ 9 , azaz
0 < c — 1 + 1 + + . . . + ^ 106 •
W, példa: A. 8 . példában láttuk, hogy n ^ 2 esetén11 n í 1
1+ - 1+ — 7 n - 1n
Alakítsuk át ezt az egyenlőtlenséget:
í« + nn - \
í + n— 1
1 "/T- , 1n n— i
ff f— fx 2.\-< n {fé -1)<--- r= H -----r .' n - l n—l
1, ezért a „rendőr-elv” miatt
Hm n (fe — l)= 1.
É id^es megfigyelni, hogy a szorzat egyik tényezője “ -hez, a másik 0-hQZ konvergál.
ÍS6
1 1 . példa: Tekintsük a következő sorozatot:
í is = /2 ; ö„+i=J^2 +a„, ha «€N+. így is írhatnánk a sorozat tagjait:
/2; f l^ Í 2 \ Í 2 + ^2+1/2; í 2 + í l + .. . + f í \ ....Vajon konvergens-e ez a sorozat?
és ha akkor az ű«+i=2 +ö^; a j= 2 +ű„_, egyenlőségek megfelelő oldalait kivonva
al^ s - a h ¥ n + t- ö«)(a„+ i + a j = a „ - i -
Ebből pedig látjuk, hogy akkor is igaz. A sorozat tehát monoton növekvő. Korlátos-e? Tekintsük a sorozat negyedik tagját:
r 2 + / 2 - I - /2 -I-/2 < 2 + Í 2^ A = ) í 2 + Í 2 + i W Í =
= / 2 + / 2 + 2 = | / ? f 2 = 2 .
Ezt az eljárást a sorozat bármely tagjára végigvihetjük, amiből következik, hogy a sorozat korlátos. Monoton korlátos sorozat konvergens. Mi lesz a határérték? Érdemes lehet a sorozat néhány tagját számológéppel kiszámítani és a határértéket megsejteni.
Most azt használjuk fel, hogy tudjuk, hogy a„-*a (nem tudjuk, hogy
melyik szám), és ö«+ i= /2+ a^ , vagy űJ+,=2-f-a„. Ezért és 2+a„-*2+a. A z ű-ra tehát igaz kell legyen, hogy a?--2+a.
Az a^~ű—2 = 0 egyenlet megoldásai:
öl. 2=l± f '9 1± 3-..... --"»—• .......— ® ö |—2 , Ö2—— 1.
Az {a„} sorozat pozitív tagú, monoton növekvő, így csak az ö j= 2 jöhet szóba. Tudtuk, hogy létezik a határérték, és az eleget tesz az a^~ =s2 +fl egyenletnek, tehát ű= 2 kell legyen.
Ismét hangsúlyozzuk, nagyon lényeges volt az előbb, hogy előre tudtuk a határérték létezését. A következő kis példa is mutatja, hogy ez mennyire fontos;
157
Legyen a |= 2 ; a^+i=^2a„, ha n6N+.Ha a„~^a, akkor és 2a„-^2a miatt a - 2a, azaz 0 kel! legyen.
A vizsgált sorozat a (2'*}, ami nyilván nem tart 0 -hoz, nem is konvergens.
Feladatok:
1. Konvergensek-e a következő — általános tagjukkal adott — sorozatok; ha igen, mi a határérték?
a)
b)
c)
d)-
e)
n—2 2n^+l5/1+1 3/j2+ 2’
h)
1 1 1i + j + - p + - + j ,
1 1 1 ’
1+4+7+...+(3/1-2) 1+/1— '
nl + 3 + 5 + ...+ (2 n -^ ’
1 + 3+ 32+ ...+ 3"-»9 " -l
5/|2+/i—2 2+4+6+...+2/1*
. ,y 2^ ^ + i - y z i ^„+3
3/i2+2n+lj )
k)
l)
(/!+1)+(«+2)+ ...+2/J
(3/1+ l)+(3/i+2)+...+4/1
2+5+8+...+(3/1-1)
1 2 n - \/j2+ l /i2+ l
3+ 6 + 9 + ... + 3/1
/j2+ l
«+5
/|3
} ^ + /i+ l + / r t ^
}^/í^+/|2+ l
2. Konvergensek-e a következő sorozatok (a határértéket nem kell megállapítani)?
^^2+r’ 22+1 2"+i ’
*^3+1*^ 32+1 +•••+ 3»+i ’
2 ! '‘'3 ! ^ ” ’^(/i+‘l)!’
1 1 11+ ^ + ^ + .. .+ -^ .
158
3. Az 1 egység oldalú szabályos háromszögbe írjunk egyenlő sugarú köröket a 39. ábrán látható módon, majd ehhez hasonlóan négy helyett 5 ;6 ; n ; . . . kört helyezzünk egy oldalra, és az előbbi ábra szerint töltsük ki a háromszöget.
így 1+2+ . . .+/ 1 körlap lesz a háromszögben. Az a kérdés, hogy a beírt körlapok területének összegét a háromszög területével osztva, az így kapott hányadosok sorozata konvergál-e, s ha igen, hova.
1 1 14. Legyen o„=— 7+ — -+ ...+ -/í+ 1 /I+ 2 n+n 39. ábra
Számítsuk ki a sorozat első néhány tagját (a program ABC—80-as gépre készült):1 0 FÓR N=1 TO 1 02 0 FÓR G=1 TO N3 0 D=D+1/(N+G)4 0 NEXT G5 0 PRINT D6 0 D=0: NEXT N
N % N %1 0,5 6 0,65322 0,5833 7 0,65873 0,6166 8 0,66284 0,6345 9 0,66615 0,6456 10 0,6687
A táblázatból azt sejtjük, hogy a sorozat monoton növekvő. Igazoljuk ezt! (A sorozat korlátos, mert
1
/í+ 1:1.
Ezért tudjuk, hogy a sorozat konvergens, de a határértéket a táblázatból megsejteni nagyon nehéz. Később majd megmutatjuk, hogy mi a határérték.)
A Cantor-féle axióma
Az előző tanulmányaink során a racionális számok mellett irracionális számokkal is találkoztunk. A véges tizedestörtek és a végtelen szakaszos
159
tizedestörtek a racionális számok — ezeket elő tudjuk állítani két egész szám hányadosaként —, a többi számot irracionális számnak nevezzük.
A racionális számokkal könnyen tudunk számolni; az irracionális számokkal nehezebb a dolgunk. Hogyan kell őket összeadni, szorozni, és mit jelent az irracionális kitevőjű hatvány?
A sorozatokkal való foglalkozás az irracionális számok más, új előállítására is lehetőséget ad.
Tekintsük zárt intervallumoknak egy olyan sorozatát, amelyben a másodiktól kezdve minden intervallum benne van az előtte levőben; ezt úgy is mondjuk, hogy az intervallumok egymásba vannak skatulyázva, és az intervallumok hossza tartson 0 -hoz.
Egy ilyen intervallumsorozat:
A . in
Ilyen i ntervallumsorozat szerepel az egyik bevezető példában is, ahol /2 -t két oldalról közelítjük. Az intervallumsorozat néhány tagja :
[1;2]; [1,4; U ] ; [1,41; 1,42];
és természetesen a kipontozott tagokat az ott leírt szabályoknak megfelelően képezzük.
Nagyon kézenfekvőnek tűnik, hogy az ilyen intervallumsorozatoknak van közös pontja. Példáink esetén a 0, illetve a ]/2 ilyen közös pontok.
Fogadjuk el a következő állítást bizonyítás nélkül:
Cantor-féle axióma: 'Ha az {[ű„ ; b„]} zárt intervallumokból álló sorozat rendelkezik a következő két tulajdonsággal:a) K + 1; [ö„; / z a n=l ; 2 ; . . . ;b)akkor van olyan pont, amely mindegyik intervallumba beletartozik.
(G. Cantor német matematikus (1845—1918). Axiómáknak nevezzük az olyan alapigazságokat, amelyeket bizonyítás nélkül elfogadunk.)
Az axiómában szereplő tulajdonságokkal rendelkező intervallumoknak csak egy közös pontja lehet, mert ha több közös pont lenne, akkor az őket összekötő intervallumok is benne kellene legyenek \[a„\b^} minden elemében, ami b„—ű„ - ^ 0 miatt lehetetlen.
160
A Cantor-axióma a racionális számok ismeretében lehetőséget ad a valós számok következő előállítására :
Vegyük az összes olyan í>„]} intervallumsorozatot, amelyek rendelkeznek a Cantor-axiómában szereplő a) és b) tulajdonsággal, és az intervallumok a„ ; b„ végpontjai racionális számok. A pontot, amit egy- egy intervallumsorozat meghatároz, valós számnak nevezzük. Ha ez a pont nem racionális, akkor irracionálisnak mondjuk. Itt nem foglalkozunk a valós számok ezen előállításának a problémáival (hogyan végezzük a különböző műveleteket stb.),
A Cantor-axiómát más — vele ekvivalens — alakban is szokás kimondani.
Korlátos számhalmazokat vizsgálva a tankönyv elején több alkalommal a felső korlátok között találtunk legkisebbet. Vajon mindig létezik-e a felső korlátok között legkisebb? Mivel végtelen sok elemből álló halmazról van szó, ezt eleve nem tudhatjuk.
Jelöljük .4-val a Cantor-axiómát, és jelöljük 5-vel a következő állítást :B : Minden felülről korlátos halmaznak van legkisebb felső korlátja.(Itt mindig számhalmazra gondolunk. Egy halmaz felülről, illetve
alulról korlátos, ha van olyan M szám, hogy a halmaz minden x elemére érvényes az x ^ M , illetve x ^ M egyenlőtlenség.)
Azt fogjuk megmutatni, hogy ha A-t elfogadjuk, akkor ennek felhasználásával be tudjuk bizonyítani B-t, és fordítva, B-i bizonyítás nélkül elfogadva, ennek segítségével be tudjuk bizonyítani A-i.
Először megmutatjuk, hogy A-ból következik B : A=>B.Legyen adva egy H felülről korlátos halmaz, és legyen K ennek egy
felső korlátja.Vegyük a H halmaz egy tetszőleges a elemét. Ha a=K^ akkor X-nál
kisebb felső korlátja H -m k nincs, tehát K a legkisebb felső korlát. Ha akkor legyen [a j; í>,]= [a;K]. Felezzük meg ezt az intervallumot.
Ha a jobb oldali félben van H-beli elem, akkor ez; ha nincs, akkor a bal oldali fél legyen [%; fcal* Most [%; ^2l”t felezzük, és az előzőhöz hasonlóan határozzuk meg [a^; b^]-at és így tovább (a jobb oldali végpont tehát mindig felső korlátja H-nák). Ezen a módon egymásba skatulyázott zárt intervallumok egy {[a„‘,b„]} sorozatát kapjuk. b„—a„-*0 mert
K - ab - a = *
161
(Megemlítjük itt az úgynevezett Arkhimédész-féle axiómát, melyet — kimondatlanul — már sokszor alkalmaztunk. Ez az axióma is szoros kapcsolatban van a valós számoknak az egyenes pontjaiból való származtatásával. Szemléltetni talán így lehetne : Tekintsük a 0-hoz és az 1-hez rendelt pontokat a számegyenesen; O és E, és legyen X egy valós szám, a hozzá rendelt pont X. Legyen E azO és X között. Toljuk el az egyenesen az OE szakaszt úgy, hogy az O pont £-be kerüljön. E képét £'-vel jelöljük. Most az EE' szakaszt toljuk el úgy, hogy E az E'-he kerüljön és így tovább. Megfelelő számú lépés után az eredeti E képe olyan E* lesz, hogy X az O és az E* között helyezkedik el. Az axiómát a következő alakban szokás kimondani:
Arkbimédész-féle axióma: Bármely valós számhoz található nála nagyobb természetes szám.)
A z A (Cantor-axióma) szerint ezeknek az intervallumoknak van, mégpedig egy közös pontja, legyen ez P. A P felső korlátja H-nak. Ha nem lenne az, akkor volna olyan b^H , hogy P-<b. Ekkor a sorozatban a (b—P)-nél kisebb hosszúságú intervallumokban b nem lehet benne, ami ellentmondás, mert minden b„ a H-nak felső korlátja. Az a feltevés tehát, hogy P a H-nak nem felső korlátja, ellentmondásra vezetett.
Most megmutatjuk, hogy H-nak nincs P-nél kisebb felső korlátja. Ehhez azt használjuk fel, hogy mindegyik [a„; b„] intervallumban van a szerkesztés miatt H-beli elem.
Tegyük fel, hogy Ö <P. Q nem lehet a H felső korlátja, mert a (P—Q)- nál kisebb hosszúságú [a„ ; b„] intervallumok nem tartalmazhatják Q-t (mert tartalmazzák P-t), de tartalmaznak íf-beli elemet.
Ezzel bebizonyítottuk, hogy H-nak van legkisebb felső korlátja.' Most azt igazoljuk, hogy: B=>A.Legyen adva egymásba skatulyázott zárt intervallumoknak egy soro
zata: {[a„\b„]}.
ezért az adott intervallumok bal oldali végpontjaiból álló halmaz felülről korlátos. B szerint tehát van legkisebb felső korlátja, legyen ez P. Minden «€N+-ra igaz, hogy a„^P. Az pontok halmazának minden b^ pont felső korlátja, mert ha akkor a 0 a„-^b^; ha pedig />m , akkor a ^ ^ b ^ b ^ . A felső korlátok közül P a legkisebb, tehát P ^ b ^ minden m€N+-ra. összegezve minden «£N+-ra a„^P^b„, azazP mindegyik [a„ ; b j intervallumban benne van.
162
összefoglalva: A és B közül egyiket igaznak elfogadva, a másik következik : A o B . (B-t elfogadva megmutatható, hogy alulról korlátos sorozatnak van legnagyobb alsó korlátja.)
A korlátos és monoton sorozatok vizsgálatánál kimondtuk a következő tételt:
Korlátos, monoton sorozat konvergens.
Legyen ez a C állítás. A következőkben előbb azt mutatjuk meg, hogy 5 -ből következik C. Legyen adva egy {a„) korlátos monoton növekvő sorozat. (Fogyó sorozatokra a bizonyítás hasonlóan történhet.)
B miatt a sorozatnak van legkisebb felső korlátja. (Az {a„} sorozat különböző elemei halmazt alkotnak.) Jelöljük ezt K-val Megmutatjuk, hogy Rögzítsünk egy 6>0 számot ;K —e az {a„) sorozatnak nemalsó "korlátja, ezért van az ű^-ek között (i^—e)-nál nagyobb, a„ legyen ilyen. A sorozat monoton növekedése miatt minden m-nél nagyobb indexű a„ is benne van a X-nak e sugarú környezetében, e-ról csak azt használtuk ki, hogy pozitív, ezért minden e> 0 -hoz van olyan JV, hogy ha n>iV, akkor \a„—K\<e. Ez azt fejezi ki, hogy
Most azt igazoljuk, hogy C-t elfogadva igaznak, ennek felhasználásával be tudjuk bizonyítani A-t.
Induljunk ki tehát abból, hogy adva van egymásba skatulyázott intervallumok egy sorozata: {[a„; b^}. Az {a„} sorozat monoton növekvő és korlátos, mert — mint láttuk — minden b^ felső korlát, tehát konvergens, határértékét jelöljük a-val. a„^a minden «CN+-ra. a ^ b ^ minden w6 N+-ra, mert ha valamely m-re b^~<a lenne, akkor a„-*a miatt léteznie kellene olyan ö/-nek, hogy b„<a,< a, ami ellentmondás, mert az {a„} sorozatnak mindegyik b,„ felső korlátja. Ezért minden n6 N+-ra
a„^a^b„,
ami azt jelenti, hogy az {[«„;£>„]} intervallumoknak van közös pontja. (Ha b„-a„-*0, akkor egyetlen közös pont van.)
Ily módon B=>C=>A=>B, azaz az A; B; C állítások közül bármelyiket fogadjuk is el axiómának, a másik kettőt ebből be tudjuk bizonyítani.
163
A Bokano— Weierstrass-tétei
Legyen adva egy {a„} sorozat. Azt mondjuk, hogy az a szám az {a„} sorozat torlódási pontja, ha az a pont bármely környezete a sorozat végtelen sok tagját tartalmazza.
A {(— ly } $orozatnak 1 és — 1 torlódási pontja. Például az 1 bármely sugarú környezete a sorozat végtelen sok tagját tartalmazza; ha
e < 2 , akkor a megfelelő környezeten kívül is végtelen sok tag van.Konvergens sorozatnak egyetlen torlódási pontja van. (Ez következik
abból, hogy konvergens sorozatnak egyetlen határértéke van.)Ha az {a„} sorozatnak az a torlódási pontja, akkor van az {a„} soro
zatnak olyan részsorozata, mely ű-hoz tart. Valóban, «-nak válasszuk
sorra az sorozat tagjait. Az a-nak 1 sugarú környezetéből válasszunk
egy tagot. Az ű-nak i sugarú környezetéből válasszunk egy úgy
hogy «2 >-W|, és így tovább. Mindig van alkalmas választásra lehetőségünk, mert a feltevés szerint az a bármely e> 0 sugarú környezete az {a„} sorozatnak végtelen sok tagját tartalmazza.
Legyen az sorozat korlátos. Tegyük fel, hogy minden «6 N+-ra a ^a „ ^b , azaz az [a; b] intervallum a sorozat minden tagját tartalmazza. Elég kézenfekvőnek látszik, hogy kell legyen az intervallumban legalább egy olyan pont, melynek bármely környezetében a sorozatnak végtelen sok tagja van.
Bolzano—Weierstrass-tétel: Minden korlátos sorozatnak van legalább egy torlódási pontja.
A bizonyítás gondolatát a következő módon szokás szemléltetni: Képzeljük el, hogy van a Szaharában oroszlán (legalább egy), és az nem mozog. Hogyan fogunk oroszlánt? Megfelezzük a Szaharát, legalább egyik felében kell legyen oroszlán. Veszünk egy olyan fél-Szaharát, amiben van oroszlán, ezt tovább felezzük, és olyan felet választunk, amiben van oroszlán. Ezt olyan sokáig csináljuk, hogy a végén az oroszlánra csak rá kelljen helyezni a ketrecet.
Sorozatokra megfogalmazni ezt a módszert nem is nehéz. Tegyük fel, hogy az [a; b] intervallum tartalmazza a sorozat tagjait. Felezzük meg
164
az [a; b] intervallumot. Legalább egyik „félintervallum” a sorozat végtelen sok tagját tartalmazza. (Ha mindkettő, akkor bármelyiket választhatjuk.) Legyen ez [%; b^\. Most ezt az intervallumot felezzük, és [a^; bg] olyan fele [űj ; í)2]-nek, mely végtelen sok tagot tartalmaz {ű„}-ből, és így tovább. Az {[a„; b„]} sorozat egymásba skatulyázott zárt intervallu
mokból áll, és ezek hossza b „ - a „ = - ^ miatt 0-hoz tart.
A Cantor-axióma szerint ez a sorozat egy d pontot határoz meg. Ez a d az {a„} torlódási pontja, mert d bármely környezetét véve, ha n elég nagy, [a„ ; b ^ benne van ebben a környezetben, és [a„ ; 6„]-ben az {a„} sorozatnak végtelen sok tagja van.
Az eddigiek alapján a Bolzano—Weierstrass-tételnek egy másik bizonyítását is meg tudjuk adni. Beláttuk már, hogy minden sorozatnak van monoton részsorozata. Ha a sorozat korlátos, akkor minden részsorozata is korlátos. Ezért minden korlátos sorozatnak van korlátos monoton részsorozata. A korlátos monoton sorozatok konvergensek. Tehát bármely korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.
Egy sorozatnak sok torlódási pontja lehet. Erre később majd látunk példát, szintén csak érdekes olvasmányként.
A Cauchy-féle konvergenciakritérium
Amikor azt vizsgáljuk, hogy egy sorozat konvergens-e, akkor a sorozat tagjai vannak adva, és keressük, hogy létezik-e a sorozatnak határértéke. Ha van is határérték, az általában nem fordul elő a sorozat tagjai között. Sokszor nagyon nehéz még számítógép segítségével is megsejteni, hogy mi lesz a határérték.
A Cauchy-féle konvergenciakritérium szükséges és, elegendő feltételt ad arra, hogy a sorozat konvergens legyen, és a feltételben csak a sorozat tagjai szerepelnek.
Cauchy-féle konvergenciakritérium: Ahhoz, hogy az {a„} sorozat konvergens legyen, szükséges és elegendő, hogy minden e:^ 0 -hoz létezzék olyanN, hogy ha n és m>-N, akkor \a„-a„\<e.
Mint szükséges és elegendő tétel, a konvergencia definíciójaként is szerepelhetne.
A tétel bizonyítása minden nagyobb analíziskönyvben megtalálható.
165
A kör kerülete
Egy sokszög kerületét ki tudjuk számítani, ha az oldalak hosszát összeadjuk. De mit értünk a kör kerületén, és hogyan lehet azt meghatározni?
írjunk a körbe és a kör köré 2^; 2 ’ ; . . . ; 2"; . . . oldalszámú szabályos sokszögeket (40. ábra, n -2 ) . Kerületük legyen
40. ábra illetve^2 > ^2® * . . .» fcj” » • • • *
^2 2 j K-23 Í . . . I 2"» • • •
A háromszög-egyenlőtlenség miatt
^2"* k2>**i és K.2n^K.2n+ 1.A ábrából (a 2"-oldalú sokszöget
megfelelően elforgatva) leolvasható, hogy
k^n.
Természetesnek látszik arra gondolni, hogy a kör kerülete — ha létezik— kin és Kin közé esik. A {[k2»;K 2»]} egymásba skatulyázott zárt intervallumok sorozata. Ha sikerülne belátni azt, hogy
-^2"— k 2n~*~0 f
akkor a Cantor-axióma szerint azt nyernénk, hogy ezeknek egyetlen közös pontjuk van, és ezt neveznénk akkor a kör kerületének. Egyszerű átalakítással
166
1 - 2" 1 - 2"
K2"sorozatról mutatjuk
meg, hogy 1-hez tart.Jelöljük űf„-nel a beírt, ^„-nel a
körülírt 2 "-oldalú szabályos sokszög egy oldalát. A 42. ábrán AB~a„;
AD=a„^,\ A E = ^ X BF=A„^,.
Mivel ABDa ^A D E a ’, ezért
‘/»+l . 2 ’
Hasonlóan ABCa ^C EF a , ezért
^n+lA 7 7 1
2"Ezekből
2^2'»jS2"
A:2" *2"2" + 1
t'2«2 ^.2"
mert <LK2"
167
Az így kapottí
egyenlőtlenséget felhasználva
1 k 2Z
1^2" +12 ^ 2« ^ K 2n
ebből
í ^23 12 k 2n.X 12»-i
l^23 js • • Kjn +1
A „rendőr-elv” miatt (figyelembe véve, hogy fí~ ^ 1)
1.^ 2" +
Ezzel a ( * ) egyenlőtlenségre visszatérve beláttuk, hogy ^ 2«~^2"“^0 .Ezért értelme van a következőnek :
Definíció: i? sugarú kör kerületén a {[fe2«>^2"]} intervallumsorozat által meghatározott számot értjük, ahol 2» ésK 2 n az R sugarú körbe, illetve kör köré írt 2 ^-oldalú szabályos sokszög kerülete.
Leolvasható az elmondottakból, hogy a {fe2«} sorozat monoton nö vekvő és korlátos, tehát konvergens, és a határértéke a kör kerülete. (Ennek a segítségével is értelmezhetnénk a kör kerületét.)
Ha adva van két, R \ illetve R" sugarú kör, akkor e körök beírt szabályos 2 '*-oldalú sokszögei hasonlók és a hasonlóság aránya az adott két kör sugarának arányával egyenlő. így
kL R'[-2»R '
Tudjuk, hogy k^^n^k'\ k'^n-^V k^n, k \ A:VO), ezért
k ' W k ' azaz k ' k 'R ' R '
168
Ez az utolsó egyenlőség azt jelenti, hogy a kör kerületének és sugarának aránya minden körre ugyanaz. Jelöljük ezt a számot 2w-vel. így tetszőleges R sugarú kör kerülete:
k=2^R.
A « irracionális szám, így kezdődik :3 ,14...
A ^2” kiszámítása lehetőséget ad a w közelítésére. Tekintsük az 1 sugarú kört.
A ¥i. ábra szerint a2i = / 2 , és Ű2a
43. ábra
Ebből (alz)^—40^3+alz=0. Megoldva
4 - í l 6 - 4 a l 2 = 2 - / 4 - a | z = 2 - / 4 - 2 =
=^2-Y2=>a23= Í l - Y l .
(Itt figyelembe vettük, hogy ű^3 < 2 miatt csak ez a gyök jön szóba.) Ugyanígy megmutatható, hogy
al„^i=2—Í 4 - a\n.
Ezt a formulát felhasználva;
a j . = / 2 ; a^,= Í 2 - Y 2 i
4 = 2 - f í^ ,= 2 - Í i - ( 2 - f 2) = 2 - Í 2 + f 2 ,azaz
Ű 2 4 = ) ^ f ^ V 2 .
169
Teljes indukcióval belátható, hogy
Ü2n = í 2 - í l + .. . + Í 2 {n- 1 darab négyzetgyök).
A 2"-oldalú, szabályos, 1 sugarú körbe írt sokszög kerülete:
k ^ n ^ l - Í 2- 1/ 2 + . .. + / 2 ,
és k2n-*7m, A sorozat első néhány tagja:
Ic23=4,6863 ^24=6,2428^25= 6,2730 ^28= 6,2806.
További példák, kiegészítések
t. Adott egy pozitív tagú {a„} sorozat. Annak szükséges és elegendő
feltétele, hogy a„->- °o, az, hogy i~*-0 .
Szükségesség: Feltevés ö„>-0, állítás — ►O.
Adjunk meg egy e> 0 számot, és legyen K = - . A K-hoz van olyane
hogy ha w>iV, akkor a„-= K. Ebből következik, hogy «>iV-re 0 < —<
< ~ = e . Ebből következik, hogy - —^0.A
Elegendőség: Feltevés —-^0; állítás °°.
Adjunk meg egy ^">0 számot, és legyen s—~ . Ehhez az e-hoz — >-0&
miatt van olyan hogy ha n^N y akkor 0 < —<e. Ezért, ha n>iST,
akkor Ebből pedig következik, hogy a„-^ oa.s
170
2. Ha a„-»0, akkor ■" nA feltevés szerint (ű„} konvergens, ezért van olyan ^>-0 szám, hogy
\aJi-^Ky minden «6 N+-ra. Rögzítsünk egy e> 0 számot. a„-*0 miatt van olyan Ni szám (válasszuk most egész számnak), hogy ha n>iVj, akkor
Ezért
Ö|+Ű2+ . . ATin + ■*Ni +
nM1I + . . . + K J . K .+ il+ --- + K I N íK e n - N i ^e , e_ ^
ha n>-N2 =IN iK
Ebből következik, hogy -.-Q.
Fordítva nem igaz az állítás, azaz az - ’ 0-ból nem követ
kezik, hogy ű„—0. A {(-1)"+^} sorozat például nem konvergens, de
Ezért
n- , ha n páratlan,n0 , ha n páros.
Feladatok:ai + ...+a„
1. Igazoljuk, hogy ha a.-*0, akkor - - "->0 (ez természetesen az előbbin
példa).
Erre valaki a következő bizonyítást javasolja: és —►O miatt azn0l + 02+--- + /i__ l ,
n n n nösszegben minden tag 0-hoz tart, ezért az összeg is 0-hoz tart, azaz
£lfogadható-e ez a bizonyítás?
171
2. Mutassuk meg, hogy ha akkor
ai + Ü2 +... + a„
(Egy ötlet: Vezessük vissza a feladatot az előbbire, figyelembe véve azt, hogy haa„-*ű, akkor a -a -^ O .)n ’ n '
3. Igazoljuk, hogy ha a^-*a, akkor |a,j->-|ű|.
3. a^~*a azt jelenti, hogy az a bármely e> 0 sugarú környezete a sorozat majdnem minden tagját tartalmazza. Ezt kifejezhetjük úgy is, hogy a bármely e> 0 sugarú környezetén kívül a sorozatnak véges sok tagja lehet, vagy azt mondjuk: a bármely e> 0 sugarú környezete valamelyik tagtól kezdve a sorozat minden tagját tartalmazza.
Sokszor kissé a szemléltetésre támaszkodva azt mondjuk, hogy ha n „nagy”, akkor „közel” van ű-hoz. Általában nagyon hasznos erre gondolni és így vizsgálni a sorozatot.
Néha hallhatunk ilyen megfogalmazást is; Az a azt jelenti, hogy minél nagyobb az n, annál közelebb van a„ az ű-hoz.
Ez a megfogalmazás — bár sok esetben így van — nem helyes. Gondoljunk a következő sorozatokra:
,.i. .1.1 , ••• •
Az első példában a sorozat konvergens és határértéke 0, de nem igaz, hogy az a„ az n növekedésével mindig közelebb kerül 0 -hoz.
A második példában a sorozat tagjai egyre közelebb kerülnek például— 1-hez, de a sorozat nem tart — 1-hez.
Ezek alapján érdemesebb kerülni a kritizált megfogalmazást.Ha a„-*a, akkor vagy általában rögzített fc€N+-t véve
is igaz. (Ezt láttuk, amikor azt vizsgáltuk, hogy a sorozat véges sok tagját megváltoztatva a sorozat konvergenciája megváltozik-e.) Ezért
haIgaz-e fordítva, azaz 0-ból következik-e, hogy a sorozat
konvergens?
172
A sorozat egymás után következő tagjainak különbségéből alkotott sorozat 0 -hoz tart, így első pillantásra azt gondolnánk, hogy kell legyen olyan a, hogy a sorozat tagjai e körül „sűrűsödnek”. Ha bizonyítani próbáljuk a határérték létezését, mindig megakadunk. Ekkor arra gondolunk, hogy hátha nem is igaz a sejtés, azaz létezik olyan sorozat, hogy 0, de a sorozat nem konvergens. Visszatekintve az ekönyvben tárgyalt példákra találunk is olyant, amely rendelkezik ezzel a tulajdonsággal.
Az 1 + Í + . . . + Í sorozatról megmutattuk, hogy felülről nem korlá
tos, ezért nem is konvergens. Viszont
— a „= l + « + . . . H— I— —r 2 n M+ 1*rt i-1
1n + 1
- 0.
így kimondhatjuk: — 0 -ból nem következik, hogy az sorozat konvergens.
4. Ha {al} konvergens, következik-e, hogy {a„} is konvergens?Az a„={— 1)"+* általános tagú sorozat mutatja, hogy nem következik.
al= l minden «6 N+-ra, ezért o j—1. Az {a„} pedig nem konvergens.Valaki a kitűzött kérdésre ezt válaszolja: _„M egm utattukho^ ha b„^0 és b„-*b, akkor Ezért aJsO ,
akkor vagyisHol a hiba?
5; A korlátos sorozatokkal foglalkozó példák között beláttuk, hogy az {n sin «) sorozat nem korlátos. így most azt is tudjuk, hogy nem lehet konvergens. Felmerül a kérdés, hogy a nyilvánvalóan korlátos {sin n} sorozat konvergens-e.
A sorok között erre a kérdésre is válaszoltunk az {n sinn} sorozat tárgyalásánál. Ott ugyanis megmutattuk, hogy végtelen sok olyan n ter
mészetes szám van, amelyre sin , és ugyanakkor végtelen sok olyan
természetes szám is van, amelyre s i n n < — Ebből következik, hogy
{sin n} nem lehet konvergens.
173
A trigonometriai függvények tulajdonságainak és a konvergens sorozatokkal végezhető műveleteknek a segítségével is beláthatjuk, hogy (sin n} nem konvergens. Tegyük fel, hogy sin n-*a. Ekkor (sin (n+2)—— sin n)-*-0 , azaz sin (n+ 2 )— sin « = 2 cos (« + 1) sin 1 miatt cos (« + 1)— -*-0 , és ebből következik, hogy cos 0 .
sin n-^üy cos «-*-0 miatt sin 2 n— 2 sin n cos «-^0 , ezért a= 0 kell legyen.sin n-*0 , cos n - * 0 miatt sin^ w-*-0 és cos^ n - ^ 0 is igaz.Ebből pedig sin^ n+cos^ n—0 kellene érvényes legyen, ami nem lehet,
mert minden «-re sin^ n+cos^ n= 1.Az a feltevés, hogy a {sin n} konvergens, ellentmondásra vezetett.
6 . a) Jancsi a következő definíciót mondja ki:
„Az {a„} sorozat konvergens és határértéke a, ha minden e> 0 és minden N szám esetén, ha akkor ű |< e .”
Vizsgáljuk meg, hogy milyen sorozatok lennének ebben az értelemben „konvergensek”.
Tegyük fel, hogy a„-^a, ebben az értelemben. Ekkor bárhogyan is adunk meg egy e> 0 számot, ja„—ű |< e minden n-re teljesül, e tetszőlegesen kicsi lehet, ezért minden «-re a„=a kell legyen. Azaz a sorozat minden tagja ugyanaz a szám.
Fordítva, világos, hogy a csupa a-ból álló sorozat ebben az értelemben is konvergens, a tetszőleges valós szám lehet.
A Jancsi által adott értelemben tehát csak „kevés” nagyon egyszerű sorozat lenne konvergens.
b) Pista a következő definíciót mondja k i :„Az {a„} sorozat konvergens és határértéke a, ha létezik olyan e>0
szám, hogy minden N > 0-ra, ha «>iV, akkor |ű„—ű |< e .”Döntsük el, hogy milyen sorozatok lennének ebben az értelemben
„konvergensek”, és „konvergens” sorozatnak hány határértéke lehetne.Ha a Pista által adott értelemben „konvergens” a sorozat, akkor kor
látos is. Valóban, a feltevés szerint van olyan e>0, hogy |a„| —|ű|^ minden n€N+-ra, ezért
K H e + W .
Fordítva, ha {a„) korlátos, a pedig tetszőleges valós szám, akkor a
174
Pista által adott értelemben [a^] „konvergens” és ö a határértéke. A feltevés szerint létezik olyanK, hogy \a J^K , minden «6 N+-ra. Ezért
\a -a \^ \a „ \ + \a\^K+\a\ + L
Az e>-0-t K+Ml + 1-nek választva, minden «CN+-ra,ezért a Pista által adott értelemben {a„} „konvergens” és ű-hoz tart.
Az adott értelemben a korlátos sorozatok lesznek „konvergensek”, és minden „konvergens” sorozatnak minden a valós szám határértéke lesz.
7. Sorozatokról különböző állításokat mondunk ki. Azt kell eldönteni, hogy igaz-e a kijelentés, vagy nem. Indokoljuk a választ. (Néhány kérdésre felelünk is a szövegben.)
a) Ha egy sorozat monoton növekvő, akkor konvergens.Nem igaz, mert például («} monoton növekvő, és nem konvergens.b) Negatív tagú, monoton növekvő sorozat konvergens.Ez igaz, mert a sorozat monoton növekvő és felülről korlátos, például
a 0 egy felső korlát.c) Ha egy sorozat nem korlátos, akkor divergens.Ez igaz, mert a korlátosság a konvergenciának szükséges feltétele.d) Ha egy sorozat divergens, akkor nem korlátos.Nem igaz. A {(— 1)"} sorozat divergens és korlátos.e) Ha {a„} nem korlátos, akkor laj-*- oo.f ) Ha {a„} monoton és nem korlátos, akkor oo.g) Ha {a„} monoton nem korlátos, akkor al - °o.h) Ha {a„} és {b„} korlátos sorozat, akkor {a„-\-b } is korlátos.i) Ha {a„+b„} korlátos, akkor {a„j és {b„} is korlátos.j ) Ha {a„} és {b„} monoton növekvő, akkor is monoton
növekvő.k) Ha {a„+b„} monoton növekvő, akkor {a„} is és {6„} is monoton
növekvő.l) Ha {a„} monoton növekvő, {b„} monoton csökkenő, akkor
{a„+b„} nem monoton növekvő. m) Ha a„-c 1 és 1, akkor {a„} monoton növekvő.
n) Ha és a„~*0, akkor
175
o) Ha {a„} nem korlátos, akkor —- 0 .p) Ha a„-*0 és b„-*0, akkor a„b„-*0.r) Ha a„-^0 és {b„} korlátos, akkor a„b„-^0.s) aJb„-*0, akkor a„-*0 és
8 . Simonovits Miklós: Számítástechnika című tankönyvében bizonyítás nélkül kimondta a következő tételt :
Ha ű_>0 és akkor fa^-*a.
Az állítás egy bizonyításának gondolatát vázoljuk.Rögzítsünk egy o O számot. A feltevés miatt létezik olyan N, hogy ha
«>JV, akkor
e.
Az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy N pozitív egész szám. Átalakítva az előbbi egyenlőtlenséget és n helyére iV+ l;JV + 2 ; . . . számokat írva:
% +2(ö+ e)< % + 1(^+ *»
%+ a(^+ 1( ^ + ;
űtiv+*< 1(«+ 1(«+ # *.
Az utolsó egyenlőtlenséget így is írhatjuk:
IV+fc,------- N’+fe,------(* ) }f^N+k^ /(« + « ) y v + í= (ö + e) •
Az (a+ * most rögzített számok, így ha k-* «>, akkor
"Y (a+e)^+* 1.
176
Ezért létezik olyan M szám, hogy ha akkor
Ez egyben a (-í ) egyenlőtlenség miatt azt is jelenti, hogy ha akkor
/ö ^ < ű + 2 e.Ha ű=0, akkor a rendőr-elv szerint már ebből leolvasható, hogy
) / í - o = f l .Ha íJ>0, akkor az előbbi eljárást kell megismételni, csak balról be
csüljük •et.
így végül azt nyerjük, hogy elég nagy «-től kezdve fa ^ benne van az a szám 2 e sugarú környezetében, ami e tetszőleges volta miatt azt
!S . I -■jelenti, hogy ya„~*a.
9. Vizsgáljuk a következő, rekurzív módon adott sorozat konvergenciáját : Rögzítsünk egy x6]0; 1[ számot, és legyen
A sorozat pozitív számokból áll, és minden n^N^-ra a„-< 1. A sorozat tehát korlátos. Monoton-e?
Ha valamely n-re akkorazaz
o J + a „ - Is O .
A z /; R -> R ,/(4 = j:2 + x - l függ- vény vázlatos grafikonját a ábra mutatja. Ebből leolvasható, hogy
a„^ I akkor és csak akkor teljesül.
44, ábra
177
ha
í f c i . i2
; ugyanígy akkor és csak akkor igaz, ha
0 ; , ekkor
Ö3
- — l A }í5 - i y s - i
Részfeladatként az olvasó lássa be, hogy x<cÍ2 és ű i^ ö j.Ha ezt tudjuk, akkor a^^a 2 leolvasható, és általánosan ci2„+2 ^ ^ 2n
^2/1+ 1^ <2/1- 1- Ez azt jelenti, hogy az {a„} sorozat páratlan indexű tagjai,
amelyek mind nagyobbak vagy egyenlők, mint
páros indexű tagjai pedig, amelyek mind kisebb vagy egyenlők, mint/ 5 —1 .— :=—-, monoton növekvő sorozatot alkotnak :
^ 5 - 10<íi2^Ű4^ . . ^ .. .^ a 3 ^ £ ii< L
Külön-külön mindkét részszorozat tehát konvergens. Tegyük fel, hogy ^2n+i-*^y a2n-^B. Az Ö2«+!=1^1 "■ 2« egyenlőség miatt A = Í l - B \ az
—Ö2/1-1 egyenlőség miatt pedig B —}/\—A. Ebből következik, hogy A= B, mert A ^ = \—B\ B^—\ — A miatt {B-A){A-{-B—\)=Q. A + B —l — O nem lehet, mert akkor A = \ —B és A ^ = l—B is igaz, tehát A = 0 vagy 1, de 0<A<1. Ezért A= B, és a ( ^ ) egyenlőtlenségeket
/ S —1figyelembe véve A = B —- ~ : — .
178
Vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor
lö. Döntsük el, hogy a következő feltételek közül melyik szükséges, melyik elegendő, melyik szükséges és elegendő, melyik nem szükséges és nem elegendő ahhoz, hogy az {a„} sorozat konvergens legyen!
a) a2n~*a,b) ^ 2n+l~*’b‘c) A sorozat minden tagja egyenlő.d) A sorozatnak véges sok különböző tagja van.e) A sorozatnak végtelen sok különböző tagja van.f ) {|a„|} konvergens.g) Létezik olyan {6„} sorozat, hogy minden «6 N+-ra
h) -106< ű„<106 .i) Az {a„} sorozat monoton.j ) Az {a„} sorozat monoton és korlátos.
179
Folytonos függvények
Példák
1. Van-e olyan valós szám, amely megoldása az
x^+ 3x^~x+ 2= 0egyenletnek?
Ha akkor
x^+ 3 x^-x+ 2 = x^
Ha X „nagy” pozitív szám, akkor a jobb oldalon a második tényező „közel” van 1-hez, így pozitív előjelű; x^ is pozitív, ezért az
/ : R - R , f(x )= x ^ + 3 x ^ -x + 2
függvény „nagy” pozitív x-re pozitív értéket vesz fel.Ha X „nagy” abszolútértékű negatív szám, a jobb oldal második té
nyezője akkor is „közel” van 1-hez, így pozitív előjelű; x^ viszont negatív, ezért / negatív értékű.
A hatványfüggvények grafikonjaira tekintve természetes arra gondolni, hogy ennek az / függvénynek a grafikonja egy „folytonos” vonal, így minden két értéke közötti értéket is felvesz. Ha tehát valahol negatív és valahol pozitív, akkor ezek között 0 is kell legyen. De ezt most még csupán szemléletesen érezzük így.
2. Van-e megoldása a sin x —x —3 egyenletnek?Ismét szemléletesen tárgyaljuk a kérdést. A sin függvény értékkészlete
[—1 ; 1]. Úgy látszik, hogy a függvény „folytonosan” változik; ugyanígy
„folytonosan” változik a zf(x )~ x —3 függvényis. A b e n sin — 3,
180
a 3?»ben s in n < n -3 . Ezért azt érezzük, hogy — és w között sin x és
x - 3 valahol egyenlő kell legyen, azaz létezik az egyenletnek megoldása.
3. Adott egy síkbeli idom és egy irány (45. ábra). Mutassuk meg, hogy létezik olyan — az adott iránnyal párhuzamos — egyenes, amely az idomot két egyenlő területű részre osztja.
Vegyünk először egy olyan egyenest, amely az adott iránnyal párhuzamos és nem metszi az idomot. Közelítsük az egyenest az idomhoz úgy, hogy önmagával párhuzamosan eltoljuk.Akiinduláskor a teljes idom az egyenes egyik partján van. Az egyenes mozgatása soránmetszeni fogja az idomot, majd az idom teljesen az egyenes másik partján lesz (46. ábra).
45. ábra
Az egyenes mozgatása során úgy érezzük, hogy az egyenes két partján levő terület „folytonosan” változik. Ha „kicsit” változtatjuk meg az egyenest, akkor a két terület is „kicsit” változik. Az egyenes két partján levő területek összege az idom teljes T területét adja. A terület az egyenes
18!
egyik partján 0 -tól r-ig változik, ezért a „folytonos változás” miatt úgyy*
érezzük, hogy valamelyik egyenes mindkét oldalán y nagyságú terület
rész lesz.
4. Legyen adva az {/„} függvénysorozat, ahol
Adott n esetén e függvény grafikonja a ^7. ábrán látható. Rögzítsünk egy x€jO; 1] pontot. Ha n-* <», akkor ha 0 < x < l , és hajc= l. így az
haha x = l
függvényt kapjuk (48. ábra).
Úgy látszik, hogy az / függvénynek az 1 pontban szakadása van, „kicsit” megváltoztatva 1-et, az f függvény értéke „nagyot” változik. Az /„ függvények bármelyikét véve, és x-et „kicsit” változtatva fj^x) is kicsit változik.
182
yK
------------------ c)
X
5. Tekintsük az f{x)= sgn x függvényt (49. ábra).
Ha X9 ^ 0 és elegendően „kicsit” változtatjuk az x-et, akkor / nem is változik., A 0 ponttal más a helyzet.Az ábrára tekintve is azt mondjuk, hogy a 0 pontban a függvénynek szakadása van. Nem tudjuk olyan közel venni az x-et a 0 -hoz, hogy az f ( x ) és/(O) eltérése is „kicsi” legyen. Pon
tosabban fogalmazva ez azt jelenti, hogy például --hez nincsen olyan
Ő>-0 szám, hogy ha |x -0 |< ő , akkor ! /(x )- /(0 ) | = i / ( x ) |< ^ . Bármi
lyen kis pozitív ő-t veszünk is, a ]—ő; ő[ intervallumba esik 0 -tól kü- %nböző Xq szám és |/(xo)l = 1.
6 . Értelmezzük az / függvényt a következő módon:
49. ábra
f{x )=sin — , ha x^O,
0 , ha x = 0 .
A függvény grafikonját vázlatosan az 50. ábra mutatja. Ez a függvény — a szemléletből világosnak látszik — bármely két értéke közötti minden értéket felvesz. Mégis senki sem mondaná azt, hogy a 0-ban folytonosan változik. Nem lehet azt mondani, hogy ha x „közel” van 0-hoz, akkor a függvény értéke is „közel” lesz 0 -hoz.
183
y
3 4 5 6 7 8 X
51. ábra
7. Legyen és ?r(x) jelentse az x-nél nem nagyobb primszámok számát.
A n függvény grafikonjának egy részletét az 51. ábra mutatja. Látható, hogy például az x= 3 pontban a függvénynek „szakadása” van. Ez azt
jelenti, van olyan pozitív szám —
például az | ilyen —, hogy bármilyen
kicsire választjuk is a á>-0 számot, az x —3 pont á sugarú környezetében
van olyan x ' pont, hogy !/(^ '’)~-/(3)!>-j. Ez az ábrából közvetlenül
leolvasható.Kifejezhetjük ezt olyan módon is, hogy ki tudunk jelölni olyan
sorozatot, hogy x,^-^3, de Az sorozat nem konvergál/(3)-hoz, nem lesz igaz az, hogy „nagy” n-re f(x„) „közel” van /(3)-hoz.
Visszatekintve a 3. példára, rögzítsünk egy olyan e egyenest, amely metszi az idomot. Ha egy másik / egyenes „elég közel” van e-hez, akkor az idom megfelelő felbontásában szereplő területrészek különbsége „kicsi”. Ezt becsülni is tudjuk. Ha az idom bármely két pontjának távolsága kisebb, mint JC, akkor ha / és e távolsága d, az idomnak a két egyenes közé eső területének nagysága Kd-nél kisebb. A K csak az idomtól függ, így d-t „kicsire” választva Kd is „kicsi” lesz.
8 . Legyen / : [0; 2]—R, f(x )= x^ . Tekintsük az Xq= 1 pontot. Ha x„ „közel” van 1-hez, akkor f(x„) közel van / ( ! ) = 1-hez. Pontosabban, ha
akkor/(A :„)=x5^/(l)= l.
Rögzítve egy e>-0 számot.
gha jx j< 2 és |x ^ - l |< — , ami x„-*l miatt teljesül, ha n nagyobb egy
alkalmas iV-nél.
184
Azt, hogy ha x „közel” van 1-hez, akkor x® „közéi” van 1-hez, a következő módon is kifejezhetjük:
Rögzítsünk egy e> 0 számot,
|x ^ - l |= |x - I | • |x^+ x^+ x^+ x4-1|<31|x- 1|<£,
ha |x |< 2 és | x - l l < — . Az |x l<2 biztosan teljesül, ha | x - l |< l . Ha
tehát d=min , akkor |x— l |< á esetén |x’—Ijc e . Szavakkal így
mondhatjuk: Ha x benne van az 1-nek a d sugarú környezetében, akkor /(x )= x^ benne vaín az /(1 )= 1-nek az e sugarú környezetében. Vagy így is leírhatjuk az előbbit; Ha 1 —ő < x < l + ő, akkor 1 —< / ( ! ) + +
A példáink alapján az látszik természetesnek, hogy egy függvénynek valamely pontban való nemfolytonosságát értelmezzük. Azonban a szokásnak megfelelően, a függvénynek az értelmezési tartománya valamely pontjában való folytonosságát fogjuk értelmezni.
Függvény pontban való folytonosságának értelmezése
Az előző példák alapján értelmezzük függvénynek egy pontban való folytonosságát. Két definíciót is kimondunk.
1. definíció: Legyen az f függvény értelmezve az Xq pont valamely környezetében. Az f függvényt az Xq pontban folytonosnak nevezzük, ha minden x„-^Xq, x„^Df sorozatra f{x„ )-*f(x^.
Ezt a definíciót néha rövidebben így mondjuk: / folytonos az x^-ban, ha minden x„->-Xo sorozatra /(xJ->/(xo).
Ekkor természetesen hozzáértjük, hogy az / az Xq egy környezetében értelmezve van és x„ minden esetén benne van az/függvény értelmezési tartományában. Ezek a feltevések eléggé természetesek, mert a
185
továbbiakban legtöbbször olyan függvényeket vizsgálunk, amelyek egy \a ; b[ intervallumon vannak értelmezve, így ha XQ^]a;b[, akkor van olyan környezete Xo-nak, mely az ]a; b[-ha. tartozik, és ha x „-^Xq, akkor biztos, hogy valamely N-től kezdve x„ is benne van ]a; b[-ha.n.
2. definíció: Legyen az f függvény értelmezve az Xq pont valamely környezetében. Az f függvényt az Xq pontban folytonosnak nevezzük, ha bármely e>-0 -hoz létezik olyan d>0, hogy ha \x - X q\ < 8, akkor lf(x )-f(xo )\ < e.
Azt, hogy a két definíció ekvivalens, később be fogjuk bizonyítani.
Most néhány függvényt vizsgálunk,
1. példa: f : R-^-R, f{x)~2x^-\-1. Az x= 2 pontban folytonos-e az adott függvény?
Az 1. definíció alapján vizsgáljuk először azt, igaz-e, hogy ha x„-^2,akkor /(x „ )= 2 x ^+ 1 - /(2 )= 17.
Rögzítsünk egy e> 0 számöt.
|2a:’+ 1 - 2 • 2 ’ - 1 1 = 2 |x’- 2 >| = 2 \ x ,~ 2 \ - \x l+ 2 x„+2 \<= c 2 (9 + 6 + 4 ) |x „ -2 | = 38|x„-2|-=e.
sha 21<:r5 és lx„|<3. Az |x„l<e biztosan teljesül, ha |x „~ 2 |< l. 3o
Azx„~*>2«iiatt létezik olyan N, hogy ha n>-N, akkor tx„—2| < min A - i38’
Az e-ról csak azt használtuk ki, hogy pozitív szám, ezért minden e>-0- hoz létezik olyan N, hogy ha n>-JV, akkor |/(x„)—/(2 ) |< e . (Itt persze / (x)—2x +1.) Ez azt jelenti ,hogy hax„-*-2, akkor/ (x„) ->/(2). (A rendőrelv segítségével is ugyanilyen következtetésre juthatunk.)
A 2 . definíció alapján is hasonló módon dönthetjük el, hogy / folyto- nos-e a 2 pontban.
Rögzítsünk egy e>-0 számot,
12x3+1-2. 2 3 - l|=2 |x3-23 | = 2 | x - 2 | . |x2+ 2 jc+2 H
< 2 (9 + 6 + 4 ) |x -2 | = 381x-2 |<e.
186
ha |x| < 3 és |x—2|-<— .E za két egyenlőtlenség teljesül, ha á= min
és |x—2 |< á .
Ezért arra következtetünk, hogy minden e> 0-hoz létezik olyan d>0,hogy ha akkor |/(x)-^ /(2)H e.
Ha 2 helyett más valós számot tekintünk, bizonyítsuk be, hogy az /(x)=2x® +1 ebben az Xq pontban is folytonos.
Z példa: A z / : 1 —l,/( x )= s in x függvény grafikonját szemlélve (ezt a grafikont persze kissé önkényesen rajzoljuk fel, mert a giafikon pontjait folytonos vonallal összekötjük) azt sejtjük, hogy ez a függvény minden Xq pontban folytonos.
Adjunk meg egy Xq€R számot. Vizsgáljuk meg, igaz-e, hogy ha x^-^x, akkor sin x„-*-sin Xq. Nyilván
X„+Xo
0»
O^jsin x„—sin Xq|=2 sin " Z- — cos ^ 2. X_—Xn s i n— ^
2
Ha x„—Xq, akkor |x„~Xo|-^0, így a rendőr-elv alapján
Isin x„—sin Xol-^0.
Ez pedig azt jelenti, hogy sin sin Xq. Az Xq pont tetszőleges volt, ezért a sin függvény minden x pontban folytonos. (A bizonyításban felhasználtuk a következő egyenlőtlenséget: |sin aj^iaj.)
Feladat: A 2. példa felhasználásával igazoljuk, hogy a cos függvény is minden pontban folytonos.
3, példa: Az
mha X racionális, ha X irracionális
függvény egyetlen pontban sem folytonos.Ha Xq racionális szám, akkor vegyünk égy csupa irracionális számból
/ 2álló Xo-hoz tartó {x„) sorozatot. (Ilyen van, például legyen x„^Xo+— ;
187
x„ minden «£N+-ra irracionális szám és x„-^Xq.) f(x„)= — 1 minden
w£N+-ra, de csupa - 1-ből álló sorozat nem konvergálhat/ (xq) = 1-hez.Ha Xq irracionális szám, ugyanígy járunk el, csak akkor racionális
számokból álló XQ-hoz tartó sorozatot tekintünk.De gondolkozhatunk a következó'képpen is. Legyen e = - . Az Xq pont
bármilyen 8 sugarú környezetét tekintjük is, abban van irracionális és racionális szám is. Ezért választható a környezetben olyan x, hogy
|/ ( x ) - / ( x o ) l= 2 > i . A függvény tehát Xo-ban nem lehet folytonos.
4. példa: A függvény folytonosságát valamely pontban értelmeztük. Felvetődik az a kérdés, hogy van-e olyan függvény, mely egyetlen pontban folytonos.
Van ilyen függvény. Az
/ ( X ) -x \ ha X racionális,0, ha X irracionális
függvény a 0 pontban folytonos, az összes többi pontban pedig nemfolytonos.
Először azt igazoljuk, hogy az adott függvény a 0 pontban folytonos. Tegyük fel, hogy az {x„} sorozat konvergál Xo-hoz. Ekkor
Oá |/ ( x „ ) - / ( 0 )l = f{x „ )^ x l
Ha x„-*-0 , akkor x j—0 is igaz, ezért a rendőr-elv miatt/(x„)-*-0. Az {x„} sorozat tetszőleges 0-hoz tartó sorozat lehet, ezért a függvény a0 pontban folytonos.
A 2 . defíníció segítségével a következő módon járhatunk el: Rögzítsünk egy e>-0 számot. Ekkor
0 ^ |/ (x ) -^ / ( 0) |= | / ( x ) |^ x 2< e,
ha |x |< /e = ő .Az adott e-hoz f s jó b. Az e-ról csak azt használtuk ki, hogy pozitív,
ezért minden e>-0 -hoz létezik á > 0 úgy, hogy ha | x - 0 |< ő , akkor |/(x )—/ ( 0)|<£ , azaz a 0 pontban a függvény folytonos.
188
Feladat: Mutassuk meg, hogy az Xr 0 pontokban nem folytonos az előbbi függvény. (Vegyük figyelembe a 4. példát.)
E példa segítségével bárki konstruálhat olyan függvényt, mely kettő, három, . . . pontban nem folytonos, a többi pontokban viszont foly» tonos.
5. példa: Már láttuk, hogy racionális, illetve irracionális pontokban más módon értelmezett függvények milyen furcsa tulajdonságokkal rendelkeznek. Most ismét egy ilyen függvényt tekintünk.
Legyen
/(x )=“ s ha x = - ^ , ahol »i, h6N, (ot; «)= 1, «:
0 , ha X irracionális,1, ha x = 0 .
■0 ,
Ez a függvény a racionális pontokban nem folytonos. Valóban, ha Xo racionális szám, akkor vegyünk egy Xo~hoz tartó irracionális számokból álló {x„} sorozatot. Ekkor minden «€N+-ra /(x „ )= 0 és tehát { / ( x j ) nem konvergálhat/(xo)-hoz.
Vegyünk most egy Xq irracionális számot, és rögzítsünk egy e> 0 szá
mot. Tekintsük azokat a pozitív egész k számokat, amelyekre fcVéges sok ilyen van, mondjuk: 1; 2 ; . . . ; p . Az Xo-nak 1 sugarú környe
zetébe véges sok olyan ^ alakú törtszám esik, ahol (m ;n )= l (m-et és
w-et egyszerűsítés után kaptuk), w>-0, és l ^ n ^ p . (Minden alkalmas n-re
X —1< —<Xn+ 1 kell legyen, m tehát níxn— 1) és «(xa4 - 1) közé esik, nez véges sok lehetőség, «-re is />, azaz véges sok lehetőségünk van.)
A véges sok — alakú ]xo— 1; Xq4 - l[-ba eső szám között — ezek mindnracionális számok — van az Xq irracionális számhoz legközelebbi. Ennek távolsága Xo-tól pozitív szám, válasszuk a ő pozitív számot ennél kisebbnek. Ekkor, ha |x -x p |< á , akkor |/ ( x ) “ /(Xo)|= |/ (x ) |< e is teljesül, mert ha x irracionális, akkor / ( x ) = 0 ; ha pedig x racionális, akkor
/ ( x ) = - | ahol ezért /(x)==--< e.n n
189
Ez a függvény tehát minden irracionális pontban folytonos és mindenracionális pontban nem folytonos. (Érdekességként megjegyezzük — bizonyítása nem könnyf —, hogy olyan függvény nem létezik^ amely a racionális pontokban folytonos, az irracionális pontokban pedig nem folytonos.)
Feladat: Már eddigi példáinkban is nem csupán azt mutattuk meg, hogy egy függvény folytonos valamely pontban, hanem az is előfordult, hogy a függvény nem folytonos, Fogalmazzuk meg a definíció alapján, mit jelent az, hogy egy függvény valamely Xq pontban nem folytonos.
Ha a bevezető példák közül a 7, példát tekintjük, akkor az 51. ábrán szereplő grafikonból azt olvashatjuk le, hogy például a 3 pontban a n függvény nem folytonos. Valóban, ha és x„<3, akkor jé /(3 ) = 2 , azaz létezik olyan {x„} sorozat, amelyre x„-*-3, de / ( x j > /»/(3)=2. A függvény a 3 pontban nem folytonos. Ha azonban itt x„-*3 és x„^3, ak k o r/(x J“*-/(3), amint ez a grafikonból is leolvasható. (Persze, ha 3 , x „s3 , akkor elegendően nagy n-től kezdve x„*<5, és ezért ilyen K-ekre f{ x j= 2 = f(2 ) .) Természetesnek látszik azt mondani, hogy a n függvény a 3 pontban jobbról folytonos.
Feladat: A példa és az eddigiek alapján fogalmazzuk meg, mit értünk azon, hogy az/függvény az a pontban jobbról, illetve balról folytonos.
Előfordul az is, hogy egy függvény valamely [a; b] zárt intervallumon van értelmezve. Ebben az esetben is mondjuk azt, hogy az a-h&n és b- ben folytonos az / , ami azt jelenti, hogy ű~ban jobbról, fe-ben balról folytonos. (Ez természetesnek látszik, mert az értelmezési tartománynak csak a kérdéses pontok egyik oldalán vannak pontjai.)
így a bevezető 3. példában az f függvény az 1 pontban nem folytonos.A z / : P ; lj~ ^ l,/(x )= x ^ függvény a [0; 1] intervallum minden pont
jában folytonos. (Nem mondjuk külön, hogy a O-ban jobbról, az 1-ben balról folytonos,)
Feifiiatofc
Vizsgáljuk meg a következő függvények folytonosságát az adott pontokban:
190
! . / : [ - 1;1]. f ( x ) =xHí , 2 4
2 ./: [ -3 ; 4], f(x)=-1
c2+ r ;c=0 ; 2 ; - 1.
3 ./: R -R , f(x)={x), x = l ; 2 ;
4. A tg függvény hol folytonos?
s.Ax)=
6. / (x)=
1ha XJ O,
0 , ha x —0.1 , ha x egész szám,0 , ha X nem egész szám.
6 . példa: Legyen az/függvény folytonos az Xq pontban és/(xo)>0. Például/(x)=x^ folytonos az Xq=1 pontban és vagy /(x )= sin x
folytonos az Xq= ^ pontban és itt sin —4 4 2 -0. E függvények grafi
konjaira nézve azt is látjuk, hogy ezeknek az Xq pontoknak van olyan ■ környezete, hogy / ebben a környezetben csak pozitív értékeket vesz fel. Igaz-e ez általában is?
Legyen tehát / folytonos az Xqpontban és/(xo)>0. Válasszuk az e
szám ot-/(xo)-nak (52. ábra). A
folytonosság miatt van olyan á > 0 ,
hogy ha |x—Xoj<ő, akkor
!/(x )-/(X o)!< e= |/(xo ). 32. ábra
A ~ \a \^ a egyenlőtlenség felhasználásával: ha lx-X ol<ő, akkor
/M a /( ;c „ ) - |/(* )- /(* < ,) |s /(x „ ) - |/ '(x „ )= j/( .« :o )= '0 .
Természetesen ugyanígy mutatható meg, hogy ha f folytonos az Xq pontban és /(x o )< 0 , akkor van az Xq pontnak olyan környezete, hogy az ebbe eső x pontokban az f függvény negatív értéket vesz fel.
191
Feladati Legyen/folyíoiiöi az Xq pöiitbaü. Tegyük fel, hogy Xq bármely környeze- tében az/függvény felvesz negatív és pozitív értéket is. Állapítsuk meg, hogy mi lehet/értéke az Xq pontban?
Műveletek folytonos függvényekkelAmikor valamely függvény folytonosságát vizsgáljuk, előfordulhat,
hogy „egyszerűbb” függvények folytonosságát ismerve, a tárgyalt függvény folytonosságára következtethetünk. Például az f(x )= sin a:+cos a: függvény folytonos-e? Már tudjuk, hogy a sin és a cos függvény minden pontban folytonos, következik-e ebből, hogy az összegük is folytonos.
Kissé hasonló kérdéssel már találkoztunk a sorozatok konvergenciájának vizsgálatánál, ahol azt kérdeztük, hogy ha a„-^a és Z?, akkor igaz-e, hogy a„+b„-*a+b; a„b„-^ab stb.
1. Ha a z /é s g függvény az Xq pontban folytonos, akkor az f+ g függvény is folytonos az Xo-ban.
Ennek igazolására azt kell belátni, hogy ha x„-*Xq, akkor ( f+ g )(x j== fM + g(xJ-^f(xQ )+ g(xo). Ez következik abból, hogy / és g Xo-ban való folytonossága miatt, ha x„~^Xq, akkor/(x„)-/(xo) és g(x„)^g(xo), továbbá a sorozatokról tudjuk, hogy ha b„~^b, akkor a„-i-b„-*- -*a+b. Ezért
/(x„)+g(x„)-^f(xoHg(xo).
A folytonosság 2. defmíciójának felhasználásával is tárgyalhatjuk a problémát.
Rögzítsünk egy e> 0 számot. A feltevés szerint / és g az Xg-ban foly
tonos. Ezért ^h ö z is van olyan á i> 0 , hogy ha |x -X ol<áj, akkor
Bl / ( ^ ) - / W I < 2 » van olyan ^2^ 0 , hogy ha Ix-XqHÓj, akkor
|^(x)— (xo)|-< |, Legyen ő=m in (őj; 6 2 ). Ha |x—Xo|<á, akkor
|/(x )+ ^ (x )~ (/(Xo)+^(Xo))|^
192
5-ról csak azt használtuk ki, hogy pozitív szám, ezért minden e > 0 -hoz létezik ő> 0 úgy, hogy ha |x -X ol<á, akkor |( /+ g-)(x)- ( / + g)(xo)|< e. Ez azt jelenti, hogy f+ g folytonos az XQ-ban.
Feladatok:
1. Folytonosak-e a következő függvények az adott pontokban?jt
a) f : R-*-R, /(x)=sinx+cosx; x=0; — ; n:;
b ) / : R-^R, f (x ) = x ^ + ^ ; x = l ; 3 ;
c) f : U;21-R, / ( x ) =x+- ; x= ^ .X 2
2. Igazoljuk, hogy ha / és folytonos az Xq pontban, akkor/-^ is folytonos azjfg-ban.
3. Igazak-e a következő állítások?a) Unf+g folytonos az Xq pontban, akkor/is és is folytonos az Xg-ban.b) Ha f+g nem folytonos az XQ-ban, akkor/sem és g sem folytonos az XQ-ban.c)Ha./ésg nem folytonos az Xg-ban, akkor/+g sem folytonos XQ-ban.
2. Ha az / és g függvény folytonos az Xq pontban, akkor az fg függvény is folytonos az Xo-ban.
A feltevés szerint, ha x„-»Xo, akkor /(x„)—/(xq) és ^(x„)— (xq). A sorozatok tárgyalásánál bebizonyítottuk, hogy ha a^-*a és b„-*by akkor a„b„-*ab. Ezt felhasználva, ha x„^Xq, akkor
ifg)M =f(xM Xn)-^fiXo)giXo)= (fg)(Xo)-
Feladatok:
1. Az/ : R^R,/(x)=x«, n€N+ függvény mely pontokban folytonos?2. Folytonos-e az/(x)=sinxcos x függvény az x = 0 ; n pontokban? Minden x€R
pontban folytonos ez a függvény?3. a) Igazoljuk, hogy ha az /függvény az Xq pontban folytonos és/(xQ)?^0, akkor
az függvény is folytonos az Xq pontban.
b) Igazoljuk, hogy ha az /é s g függvény folytonos az x pontban és ak-g
kor a - függvény is folytonos az Xjj-ban.
193
4. Hol folytonosak a következő függvények?
A
X
f (x)=— ;' A
a} f : (R\{0))-*R,
6 ; / : ( R \{ l ; - l } ) - R , /(x)=
c) f : (R\{5})-R, /(x )=
d) f : R -R , fix )=
ej/(x )= |__
x2- l ’2 * -3 x -S ’
1l+sln2 x ’
x2+ 2,■•X , ha ac-cO;
g)f ix)=
1X01
T»
SlílX,1,
, ha
, ha
8 ha X“c - 1 ;
ha x^n, ha 0^x-c»,
3 cos X , ha x^O.
5. Döntsük cl hogy a következő álítások közül melyik igaz, melyik hamis:a) Ha az/g függvény folytonos az Xq pontban, akkor/és g is folytonos az Xq
pontban.b) Ha az/g függvény nem folytonos az pontban, akkor/sem és g sem folyto
nos az Xq pontban.cj Ha/ ésg nem folytonos az Xq pontban, akkor/g sem folytonos az x -ban.d) H a/és g közül egyik folytonos az x -ban, a másik nem, aVkot/g nem folyto
nos x -ban.
3. Ha / folytonos az XQ-ban, akkor \ f \ is folytonos az Xo-ban=A feltevés szerint, ha x„-*Xq, akkor f(x„ )^f(xo).Ez azt is jelenti, hogy f(x„)~f(xo)-*0, ebből pedig következik, hogy
l / W - / ( x o ) | - 0 .
A háromszög-egyenlőtlenség miatt
0 ^ ||/(x j! ™ |/(xo)l! á |/(x„)-/(xo)I.
194
Mivel |/(xJ"-/(xo)|-^0, ezért a rendőr-elv miatt
l l / W h l / ( x o ) l ! - 0 ,azaz
Az {x„} sorozat tetszőleges Xo-hoz tartó sorozat volt, ezért | / | is folytonos az Xo-ban.
Feladat: Igaz-e, hogy ha |/ | folytonos az x -ban, akkor/is folytonos ott?
4. Legyen adva két függvény/ésg. Tegyük fel, hogy Xq€Dg ésg{x^^D f. (Az egyszerűség kedvéért gondoljunk arra az esetre, ha Df és Dg egy-egy nyitott intervallum és g értékkészlete benne van az / értelmezési tartományában.) Legyen g az Xo-ban, / pedig a ^(xo)-ban folytonos. Folyto- nos-e az f o g összetett függvény az Xq pontban?
Ha x„-*XQy akkor a feltevés szerint
yn=g(xJ~*g(Xo)=yo^
Az / függvénynek az való folytonossága miatt-/(yo)-
Az {x„} sorozatról csak azt használtuk ki, hogy Xo-hoz konvergál, ezért, ha
X^-Xo, akkor /(g(xJ)-/(g(X o)).
Ez azt jelenti, hogy az fo g = f(g ) függvény az Xq pontban folytonos.
Feladat: Hol folytonosak a következő függvények?a j/:R -R ,/(x )-(2 x + l)» ;6;/:R -R ,/(x)=sin2;c;c ) / : R-»R,/(x)=cos^ x+ 2 cos x + 1;
d) / ix)=
ej/(x)=
1--------, ha xj«í -1 ,ix + íf '
0 ,h a x = - l ;
(x2+1)2, ha x-=0, 0 , ha x=0,
-(x + l)^ ,h a x :-0 .
195
5. Az / : ( 0 ; °o[-*R, / (x)= /x függvény az értelmezési tartomány minden pöiitjában folytonos.
Ha Xqj O, akkor e=»0-t megadva|x-Xo!
:e»_ /x + fXQ fXQ
ha |x-X ol<e/jfo=^- Ebből arra következtetünk, hogy a függvény az Xq pontban folytonos.
Feladatok:
1. Mutassuk meg, hogy a négyzetgyökfüggvény a 0 pontban is folytonos (természetesen jobbról).
2. A sorozatok tanulmányozása során igazolt „ h a é s a ^ -* a , a k k o rtétel felhasználásával is lássuk be, hogy a négyzetgyökfüggvény [0; «[-on folytonos.
3. Hol folytonosak a következő függvények?
, Yx, ha X racionális, 0, ha X irracionális.
4. Hol folytonos az2x+t
a ) / ( x ) =
bJAx)=
5x-l1
C ) / i X ) =
d ) f( ,x )^ \x , n€N+, n ^ l
függvény?(E példákban a függvényeket minden olyan valós jc-re definiáljuk, ahol a jobb oldal
nak értelme van.)
A két folytonossági definíció ekvivalenciája (olvasmány)
A függvény adott pontban való folytonosságát két módon értelmeztük. Ez a gyakorlat szempontjából azért hasznos, mert a függvények folytonosságának vizsgálatánál hol az egyik, hol a másik definíció a könnyebben alkalmazható. Itt most azt igazoljuk, hogy a két definíció ekvivalens.
196
Tegyük fel, hogy a vizsgált függvények valamely ]a; b[ intervallumon vannak értelmezve és Xq^]ú; b[. így, ha x„-*^Xq, akkor valamely /i-től kezdve a sorozat tagjai mind a függvény értelmezési tartományában vannak, ezért elegendő csak ettől a tagtól tekinteni a sorozatot.
1. definíció: Az f függvényt az Xq pontban folytonosnak nevezzük, haminden x„-*Xq sorozatra f(x„)-*f(xQ).
2. definíció: Az f függvényt az Xq pontban folytonosnak nevezzük, haminden e>-0 számhoz létezik olyan d>-0 szám, hogy ha |x-X ol<d, akkor |/(x )~ /(xo)!< e.
Először azt mutatjuk meg, hogy l.=>2.A feltevés tehát az, hogy/ az Xo-ban azzal a tulajdonsággal rendelkezik,
hogy minden x„-*Xq esetén/ (x„) -*■f (xq), és azt állítjuk, ebből következik, hogy minden 0 -hoz van olyan ^>>0 , hogy ha !x—XoHŐ, akkor|/(x)-/(^o)|-<e.
Tegyük fel, hogy nem igaz az állítás. Ez azt jelenti, hogy van olyan eo=^0 szám, amelyikhez nincs „jó” bq-Ihoz tehát az I nem jó ő-nak, ezért van olyan Xj (x i€ö /) pont, hogy
!xj - Xq!< 1 és } /(x ,) - /(X o ) | SCo-
Az \ sem jó á, ezért van olyan Xj (X j^B f), hogy2 »
|x2-Xo!<™ és |/ ( x 2)-/(Xo)|^eo»
Tovább folytatva, az ~ sem jó d, ezért van olyan x„ (x„£Df% hogy
és \f{x„ )-f(xo )\^eo .
Ezen a módon egy olyan {x„} sorozatot kaptunk, amelyre x^-*Xq teljesül, d e /(x J^ /(x o ), mert minden n6 N+-ra
Az a feltevés tehát, hogy nem igaz az állítás, ellentmondásra vezetett.
Igazoljuk most azt, hogy 2.=>1.
197
Azt tesszük fel, hogy minden e>0-hoz van olyan 5>-0, hogy ha fx -;ro H 4 akkor \f{x )- f{x^ \< B , és azt állítjuk, hogy ha x„-*Xq, ak- k o r /(x j- / (x o ) .
Adjunk meg egy e> 0 számot. A feltevés szerint van olyan d>0, hogy ha Ix-X oH ő, akkor \ f i x ) - f { x ^ \ ^ e . Tekintsünk egy x„-^Xq sorozatot. Az előbbi ő-hoz van olyan N, hogy ha «>iV, akkor |x„—XqH^. A feltevés szerint akkor |/(x „ )-/(x o ) |< e is igaz «>N-re. e tetszőleges pozitív szám lehet, így/(x„)-^/(xo).
Az állítás tehát igaz, és következik, hogy a két definíció valóban ekvivalens.
Adott intervallumon folytonos függvények
Az / függvényt folytonosnak nevezzük az 1 intervallumon, ha / az / minden pontjában folytonos. Ha az I zárt intervallum, akkor a végpontokban természetesen a megfelelő oldalról folytonos a függvény.
Példák:a) / : [ - ! ; 1]-R, f(x)=x^+2 ;
fe j/:[l;4 ]-R ,/(x )= 2x3+ l;
cj/;[l;2]-R./(x)=l;d ) f : ] 0 ; l l ~ R , f ( x ) = ^ .
Gyakorlásként vázlatosan rajzoljuk meg a fenti függvények grafikonjait is.
E könyvben tárgyalt függvények legtöbbje egy-egy intervallumon van értelmezve, és folytonos is. Ha megfigyeljük e függvények grafikonjait, akkor néhány közös tulajdonságot veszünk észre. Az [a; b] intervallumon — ahol a; b^R — értelmezett függvény korlátosnak látszik. A grafikonok „folytonos” vonalak; úgy tűnik, hogy ha folytonos egy függvény és felvesz két különböző f{x i) '< f{x ^ értéket, akkor minden közbülső
198
értéket is fel kell vegyen. Természetesen a grafikonokból az ilyen és hasonló tulajdonságokat csak sejteni lehet. A szemléletből vett következtetéseket mindig alaposan meg kell vizsgálni,
A továbbiakban korlátos, zárt [a; b] intervallumon folytonos függvények legfontosabb tulajdonságait vizsgáljuk. A szóba jövő intervallumok végpontjai, a és b valós számok, így a korlátosságot külön kimondani felesleges is, de ki akartuk emelni, hogy pontosan milyen intervallumról lesz szó. A továbbiakban csak zárt intervallumot mondunk, de az előbbiekre gondolunk.
AJ Korlátos függvényekről már beszéltünk. E pont elején tekintett példák között két nagyon hasonló van, a cj és d) példa. Mindkettő folytonos függvény, az egyik korlátos, a másik nem. Több hasonló példát is találhatunk az eddigi tanulmányaink során vizsgált függvények között is. Ezért felvetődik a kérdés, igaz-e az, hogy zárt intervallumon folytonos függvény korlátos.
Legyen adva egy f függvény, amely egy [a; b] intervallumon (a; b^R) folytonos. Azt sejtjük, hogy a függvény korlátos. Megpróbálhatjuk tehát a bizonyítást úgy, hogy keresünk olyan X számot (valamilyen módon megadunk ilyet, vagy létezését igazoljuk), hogy |/(x ) |^ X legyen minden
[a; ^]-re. Próbálkozhatunk úgy is, hogy feltesszük, nem igaz a sejtés, azaz van olyan / valamely [a; 6J-on folytonos függvény, amelyik nem korlátos. Talán ez a második mód most biztatóbbnak látszik, mert a függvény minden pontban folytonos; minden pont körül kijelölhető ezért egy olyan környezet, hogy a függvény ebben korlátos. ( 1-hez van olyan d, hogy ha |x—Xol<ő, akkor
\f(x)-f(Xo)\ < 1 =>f(x)-f(Xo)^ 1 =>/ (x )^ 1 +f(Xo).)
Tegyük fel, hogy az [a; b]-on van olyan/ folytonos függvény, amelyik nem korlátos. Az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy / felülről nem korlátos. Ez a következőt jelenti •
az 1 nem felső korlát, ezért van olyan Xj€[a; b], hogy/(x,)>» 1 ; a 2 nem felső korlát, ezért van olyan X2€ |ű ; Z>], h o g y ;
199
az n nem felső korlát, ezért van olyan [a; b], hogy /(xJ> w ;
Az így konstruált {x^} sorozat minden tagja benne van az [a; b] intervallumban. A sorozat tehát korlátos, a Bolzano—Weierstrass-tétel szerint van konvergens részsorozata. Egy ilyen legyen {x„^}, Xq. Az Xq is az [a; b] egy pontja (lehet végpont is). (Ha XqÍ [a; b], akkor Xq- nak van olyan környezete is, amelynek az [a; l?|-mal nincs közös pontja. Ebben a környezetben az {x„^} sorozatnak nem lehet pontja, tehát Xq az {x„^} sorozatnak nem lehet határértéke.)
A feltevés szerint az / függvény az Xo-ban is folytonos, ezért x„^-^Xq miatt f(x„J-^f(Xo) kellene legyen.
Ez azonban nem lehet, mert az x„^ definíciója m ia tt/(x„J> % , ezért (f(x„J} nem korlátos sorozat, tehát nem is lehet konvergens.
Az a feltevés tehát, hogy a függvény az [a; 6 ]-on nem korlátos, ellentmondásra vezetett. Ezzel bebizonyítottuk, hogy :
Zári intervallumon folytonos függvény korlátos.Ha nem kötnénk ki azt, hogy az intervallum zárt legyen, akkor általá
ban nem igaz az állítás, amint azt például az / : ]0 ; 1[ - ^ R ,/ ( x )= ^ példa is mutatja.
B) Azt mondjuk, hogy az/ függvénynek maximuma (minimuma) van az Xq pontban, ha minden x 6 D /-re/(x)^/(xq) (/(x)^/(X q)).
A sin függvénynek maximuma van a pontokban, és mini
muma van a - ^ + 2 kn pontokban.
Ha a sin függvényt a intervallumon tekintjük, akkor a
~ pontban maximuma, a —~ pontban pedig minimuma van. Ha a
sin függvényt a intervallumon tekintjük, akkor nincs olyan7t nT * 4
pont, ahol a függvénynek maximuma, illetve minimuma lenne.Eddigi függvénygrafikonjainkra gondolva felmerül tehát a kérdés,
hogy zárt intervallumon folytonos függvényhez mindig található-e olyan
200
Xi, illetve X2€[ö; b] pont, ahol a függvénynek maximuma, illetve minimuma van. Sokszor ezt így is kérdezzük: felveszi-e a függvény maximumát, illetve minimumát. Ez a beszédmód abból származik, hogy az eló'bbi szerint zárt intervallumon folytonos függvény korlátos, tehát felülről is, alulról is korlátos.
Vegyük a felső korlátok közül a legkisebbet, legyen qzKq. Ennél kisebb számot véve, az nem felső korlát, annál tehát vesz fel a függvény nagyobb értéket. De felveszi-e a Kq értéket? Ha felveszi valamely Xq pontban, akkor itt a függvénynek maximuma van.
Legyen adva valamely [a; b] intervallumon folytonos/ függvény. Tudjuk, hogy/korlátos függvény kell legyen. Megmutatjuk, hogy van olyan Xo pont, ahol a függvénynek maximuma van.
A z/felső korlátjai közül a legkisebbet (tudjuk, hogy ilyen van) jelöljük K Q - \ a l . A K q — 1 nem felső korlátja /-nek, ezért van olyan Xj€ [ű; b]
pont, ahol Kq-~\< ./{x^^Kq. A nem felső korlátja /-nek, ezért
van olyan X2 ^[a\ b] pont, ahol i < / ( ^ 2)--^o* Tetszőleges wCN+1
számot véve, K q— nem felső korlátja /-nek, ezért van olyan x„£[a;bjn
pont, hogy K Q -^^f(x„)^K Q .
Az ilyen módon konstruált {x„} sorozat korlátos, mert minden tagja benne van az [a; b] intervallumban. A Bolzano—Weierstrass-tétel szerint kiválasztható a sorozatnak egy konvergens részsorozata. Legyen ez {x«fcK x„ -h-Xq. Mivel x„^£[a; b] minden k^N+ esetén, ezért Xq^[ü; b] is igaz. Az X q pontban a függvény folytonos (a feltevés szerint), ezért x„fc-^Xo-ból /(x„J-^/(Xo) is következik. Az {x„} sorozatot úgy választottuk, hogy minden fc€N+-ra
"kEbből az egyenlőtlenségből a rendőr-elv felhasználásával következik,
hogy f{x„J-^KQ. Összevetve azzal, hogy a folytonosság miatt / ( x „ J — ->^(xo), azt kapjuk, hogy /(xo)=Xq. Mivel aiCg (a legkisebb) felső korlátja az /-nek, ezért minden x^[a; b]-vQ /(xq) ( = K q) . Az / függvénynek az X q pontban maximuma van.
201
A minimumfa a bizonyítás teljesen hasonlóan történik, ezt feladatul tűzzük ki. Azt nyertük tehát, hogy :
Ha az f függvény folytonos az [a; b] zárt intervallumon, akkor van olyan Xj, illetve Xj pont, hogy minden [a; b]-re f (xj)^ f ( x ) ^ f (jcj), azaz Xi~ben maximuma, Xj-ben pedig minimuma van az f függvénynek.
Ügy is szokás mondani az előbbit, hogy zárt intervallumon folytonos függvény felveszi szélsőértékeit. Ezen azt értjük, hogy ha kQ és Kq a függvény legnagyobb alsó, illetve legkisebb felső korlátja, akkor van olyan X,; X2 ^[a; b], hogy feo= /te ); ^o= /(^ i)-
Természetesen előfordulhat, hogy a függvény több pontban is felveszi maximumát, illetve minimumát. Az is lehet, hogy az [a; b] végpontjaiban lesz a függvénynek szélsőértéke. Példánk az / : [0; 2]-*-R, f{x)= x^ esetén 0 -ban minimum, 2 -ben maximum van.
C) A folytonos függvények grafikonjait szemlélve úgy látszik, hogy ha a függvény felvesz két különböző értéket, akkor minden ezek közé eső értéket is felvesz. Vajon ez valóban így van-e, vagy csak abban a véges sok példában van így, esetleg ott is a rajz miatti „közelítés” okozza ezt a feltevést?
Problémánkat látszatra speciálisabban fogalmazzuk meg:Ha az/függvény folytonos az [a; b] intervallumon és/(ö)<0,/(Í))>>0,
akkor van-e az (a; b] intervallumnak olyan pontja, ahol a függvény 0 lesz?
Szemléletesen ez azt jelenti, hogy a függvény grafikonja (legalább egy pontban) metszi-e az x tengelyt. Szinte biztosak vagyunk abban, hogy ilyen pont létezik. De hogyan lehetne ezt igazolni?
Egy lehetséges mód a következő: Felezzük meg az [a; b] intervallumot. Ha a felezőpontban a függvény 0, akkor készen vagyunk; ha nem, akkor a kapott két „félintervallum” közül az egyik olyan, hogy a bal végpontjában a függvény értéke negatív, a jobb végpontjában a függvény értéke pozitív. Ez a fél legyen az [ű ,; !>,]. Most erre hajtsuk végre az előbbi eljárást, és azután folytassuk tovább. Ha az eljárás megszakad, akkor már találtunk olyan pontot, ahol a függvény 0 ; ha nem, akkor egymásba skatulyázott zárt intervallumok egy {[a„; b„]} sorozatát kap-
202
b - a 0. A Cintor-axióma szerint az
0 miatt csak egy közös
juk, ahol ezért b„ -a
intervallumsorozatnak van közös pontja, b„—a„ pont van, legyen ez Xq.
Az intervallumokat úgy állapítottuk meg, hogy /(ű„)<0, f{b„)^0. Világos, hogy ü„^X q és b„-^XQ. Az/függvényről feltettük, hogy folytonos az [ a ;6 ]-on, ezért az Xo”ban is folytonos, tehát /(aJ-^/(X o) és f ( b „ ) f ( xq). f(a„)< 0 minden n6 N+-ra, ezért/(xo) ^ 0 (negatív számokból álló konvergens sorozat nem tarthat pozitív számhoz), és hasonlóan f(b„)^0 minden «6 N+-ra, tehát/(xq)^O. Az f{ x ^ -m kapott két egyenlőtlenség csak úgy teljesülhet, h a /(x o )= 0 .
Ha azt tudjuk, hogy f(a)< f(b), és c az f{á) és f(b ) között van, akkor van az a és b között olyan Xq pont, hogy/(xo)= c.
Ezt a problémát az előzőre visszavezetjük a következő módon: A feltevések szerint f{á )~ c< 0</ (b)- c, A ^ (x )= /(x )- c függvény is folytonos az [a; d]-on (m ert/is és az állandófüggvény is folytonos); ^(ö)< 0 , g{b)^% ezért van olyan Xq az ű és 6 között, ahol ^(xo)= 0 , az/(xo)= c.
Természetesen ugyanezeket lehet elmondani akkor is, h a /(ű )>■/(!)).A kapott eredmény azt jelenti, hogy intervallumon folytonos függ
vény bármely két értéke közötti minden értéket felvesz. Ezt a tulajdonságot a példák alapján nagyon szorosan hozzákapcsoltuk a szemlélet alapján folytonosnak tekintett függvényekhez. Magát az eredményt néha „közbülsőérték-tétel”-nek is nevezzük majd.
1. példa: Legyen adott egy folytonos / : [0 ; l]-^[0 ; 1] függvény.
/ tehát a [0 ; l]-ot képezi le önmagába. Egy ilyen / függvény grafikonja az 53. ábrán\iihdX6 . Ugyanebbe az ábrába berajzoltuk a ^ : [0 ; l]-^[0 ; 1], g{x)=x függvény grafikonját is. A két grafikonnak van közös pontja. A közös Xq pont azt jelenti, hogy ezt a pontot az / önmagába viszi át, mert /(xq)=Xo. Azt mondjuk, hogy az / által szolgáltatott leképezésnek fixpontja van.
y1-
y f = X/I / 1
10 <0 1 X
203
Vajon az ábrán látható eset véletlen, vagy minden folytonos f : [0; 1] - -^[0; 1] függvénynek van fixpontja? Az ábrára nézve azt érezzük, hogy kell legyen ilyen pont, mert / grafikonjának kell legyen közös pontja a négyzet átlójával.
A bizonyítás a következőképpen történhet: Tekintsük a ^(x )= /(x )—x függvényt. Ez is folytonos a [0; l]-on. Ha g(0)=0, akkor /(0 )= 0 , és találtunk fixpontot. Ha ^ 0)7^0 , akkor az /-re tett feltevés miatt g(0)>0. g ( l ) = / ( l ) - l ^ l - l = 0 . Ha g (l)= 0 , akko r/(1 )= 1 , az 1 fixpont; ha g(l)?íO, akkor g ( l)< 0 . Összevetve g a [0 ; l]-on folytonos függvény, g(0) > 0 , ^(1) < 0 , ezért a „közbülsó'érték-tétel” szerint kell legyen 0 és 1 között olyan Xq, hogy ^(xo)= 0 , de ez azt jelenti, hogy / { x^ - X q, tehát /-nek van fixpontja.
2. példa: A folytonos függvényekről szóló fejezet elején a bevezető példák egyikében lényegében arról volt szó, hogy páratlan fokszámú egyenletnek van gyöke, tehát az
egyenletnek legalább egy valós szám megoldása van.Akkor a szemlélet alapján úgy éreztük, hogy ennek igaznak kell len
nie. Most a „közbülsőérték-tétel” alapján ezt be is tudjuk bizonyítani. Feladatként tegyük ezt meg, vagy az ott említett példára, vagy pedig az előbbi általános esetre vonatkozóan.
3. példa: Ha a > 0 és «£N, « s 2 , akkor ű-nak van pozitív n-edik gyöke.
A z f{ x ) —yr függvény minden x^R pontban folytonos függvény. Ha a s l , akkor
/ ( 0) < a ^ l = / ( l ) ;ha pedig akkor
/ ( 0)< ű-:ű"= /(ű ).
A „közbülsőérték-tétel” szerint mindkét esetben van olyan 6>0, hogy a—f{ b )~ l f . A b tehát az a szám w-edik gyöke.
A z f{x)=xP^ n6 N, n ^ 2 , függvény a [0 ; oo[-on szigorúan monoton növekvő (ha XjCXj, akkor ezért az értékkészletének minden
204
értékét pontosan egyszer veszi fel. Az előzővel összevetve ez azt jelenti, hogy minden pozitív számnak egy pozitív «-edik gyöke van.
= 3.
4. példa: A z /:[0;w]-->R, / (x )= 1 + 2 sin x függvény folytonos a
[0 ; 7f]-on, Minimuma 1,/(0 )= /( jr)= 1; maximuma pedig 3, /
A „közbülsőérték-tétel” szerint a függvény minden 0 és 3 közötti értéket felvesz, ezért értékkészlete a [0; 3] intervallum.
Általánosan is igaz; Ha a z / függvény folytonos az [a; b] zárt intervallumon, akkor értékkészlete is egy zárt intervallum (esetleg egyetlen pont). Gondoljuk ezt át!
Legyen/ az [a; b] zárt intervallumon folytonos és szigorúan monoton növekvő függvény, az értékkészletét (melyről az előzők szerint tudjuk, hogy egy zárt intervallum) jelölje [c; d]. Az / függvény az [a ; 6 ] és a [c; d] intervallumok pontjai között kölcsönösen egyértelmű kapcsolatot létesít. Az / függvénynek létezik inverze, az a [c; d] intervallumon van értelmezve, szintén monoton növekvő, folytonos függvény, értékkészlete [a; b]. H a/ az [a; 6]-on folytonos függvény, értékkészlete [c; J], és / a z [a; b] és [c; d] pontjai között kölcsönösen egyértelmű kapcsolatot létesít, akkor / vagy szigorúan monoton növekvő, vagy pedig szigorúan monoton fogyó függvény.
A szigorúan monoton függvényekről az előbbieket csak érdekességként, bizonyítás nélkül megemlítettük. Ezekkel a példákkal, megjegyzésekkel csak kicsit tudjuk érzékeltetni, hogy az intervallumon folytonos függvények tulajdonságairól mondottak mennyi sok különböző esetben hasznosíthatók.
Feladatok:1. Az x’ - 6 jc -3 jc*+jc - jc- 1=0 egyenletnek van pozitív gyöke.2. Mutassuk meg, hogy az jc=cos x egyenletnek van megoldása.3. Ha / :R-*»R folytonos függvény és van olyan hogy/(X|)/(x2)-<0,
akkor x, és Xj között van olyan Xj6i)/Pont, hogy/(xj)—0.4. Igazoljuk, hogy ha / folytonos függvény a [0; 4J intervallumon és /(0)=/(4),
akkor található a [0; 4] intervallumon két olyan X|6By& hogy
kí-X 2l = 2 és /(X,)=/(X2).(Egy ötlet a megoldáshoz: Tekintsük a [0;2]-on a g{x)—f{x+2)-f{x} függvényt. Folytonos-e a ^ a [0; 2]-on, és milyen értékeket vesz fel a 0-ban és a 2-ben?)
205
Érdemes talán az e pontban bemutatott bizonyításokat még egyszer átolvasni azért, hogy észrevegyük milyen sok hasonlóság van közöttük.
Példák
A most következő példák, megjegyzések nem mind könnyűek, de segítenek abban, hogy az eddigi fogalmakról helyesebb kép alakuljon ki bennünk.
1. Megmutattuk, hogy zárt intervallumon folytonos függvény felveszi szélsőértékeit.
Azha O oc< 1,
/(x )=X,
i , ha x = 0 vagy 1
függvény nem veszi fel sem maximális, sem pedig minimális értékét.1 31
Ha ezt a függvényt csak az 4 ’ 4intervallumon tekintjük, akkor
már felveszi minimumát és maximumát is.Az
ha X racionális, ha X irracionális/(X )=|i:
függvény egyetlen pontban sem folytonos, de bármely intervallumon felveszi maximumát és minimumát is.
Létezik-e olyan függvény, amely egyetlen intervallumon sem veszi fel maximumát?
Lehet ilyen függvényt konstruálni. Legyen
ha x = ~ , (m ;n )= l, «>-0,j { x ) —<n+1 n
0, ha X irracionális vagy x=0.
Feladatként igazoljuk, hogy bárhogyan is rögzítünk egy — akármilyen kicsi hosszúságú — [a\ b] intervallumot, ebben az / függvény minden pontban 1-nél kisebb; de akármilyen 1-nél kisebb számot adunk is meg, annál nagyobb értéket már vesz fel a függvény.
206
Hogyan kellene megváltoztatni ezt a függvényt úgy, hogy a minimumát se vegye fel egyetlen intervallumon sem?
2. Tekintsük a [0; 1] intervallumon értelmezett következő/ függvényt. /(1 )= 1, és ha 1 és az ű tizedestört alakja ű= 0 , ajűjűj. • • (ha két lehetőség van, akkor a véges tizedestört alakot választjuk, tehát 0 ,09... helyett 0,1-et írunk), akkor/ (ű)= 0 ,0ö,0620ű, . . .
Milyen tulajdonságokkal rendelkezik ez a függvény?Először is a függvény korlátos, minden x6[0; l]-ra O á /(x )á 1. Mo
noton növekvő is a függény, mert ha ű-<6; a= 0, ajű2 • . . ; b= O, b^bj. . . , akkor 0 ,0a ,0ű2 - • . < 0 ,0 6 ,002 . * •» azaz/(a)< /(6 ).
Vajon folytonos-e a függvény?
Tekintsünk néhány pontot. X o = j= 0 ,3 ... . Ha x^-^Xq, akkor minden
/:€N+"hoz van olyan N szám, hogy ha n>-N, akkor |x„—X q H j^ .
Ez azt jelenti, hogy x„-ben a tizedesvessző után k — 1 darab 3-as következik.
/(X o)=0,030303...;/(x „ )= 0,0303 . . .0 3 0 ... .
k — 1 darab 03 párEzért
Az ^ pontban a függvény foly-Ha tehát x „ - i , a k k o r/(x „ )- /
tonos.
Ha Xo=i=0,5, akkor /(x ,)=0,05.
Vegyük a következő {x„} sorozatot: x ,= 0 ,51 ; X2= 0,501; X j=0,5001; . . . . ; x„= 0 ,50 .. .01; . . . .
n ^ T ^ O/ ( x , ) = 0,0501; /(X 2) = 0,050 001; / (x s )^ 0,050 000 01; . . . .
I / W - / W I = jq s t t * ö.
207
Ha most az {y„) sorozatot vesszük, aholj ,= 0 ,4 ; 72=0,49; >3=0,499; . . . ; 7 ^= 0,49.. .9;
n - l db 9
akkorj^-X o=0,5 .
/(j^ ,)= 0,04;/( j2 )= 0 ,0409 ;... ;/();„)=0,040 909.. .09; . . .
Ezért minden u-re / ( y j < 0,041 < 0,05 = / ( xq).Az { f (y„)) sorozat nem tarthat/ (jco)-hoz. Ez pedig azt jelenti, hogy a
függvény az ^ pontban nem folytonos.
Észrevehető, hogy az - és i közötti azt a különbséget használtuk ki,
hogy míg ^ egyetlen módon írható tizedestört alakban, addig ^nek kétw di
előállítása van: 0,5 és 0 ,49... .Döntsük el, igaz-e, hogy e függvény minden olyan pontban folytonos,
amely egyértelmű módon állítható elő tizedestört alakban, és nem folytonos, ha két lehetőségünk van erre.
3. Valaki a 42 kilométeres távot 2 óra 27 perc alatt futotta le. (2 óra 27 perc= 147 perc =42 • 3,5 perc.) Igaz-e, hogy kijelölhető a pályán olyan1 km hosszúságú út, amelyet a futó pontosan 3,5 perc alatt tett meg?
Azt kellene tehát vizsgálnunk, hogy az 1 km hosszúságú szakaszokat mennyi idő alatt tette meg a futónk. Értelmezzük az/függvényt a [0; 41] intervallumon úgy, hogy ha x6[0; 41], akkor /(x ) jelentse azt az időt, amely alatt a futó az x és x + 1 közötti 1 km-es távot megtette. A futónk természetes mozgása miatt ez az / folytonos függvény. A feltevés szerint
/ (0 )+ /( l)+ /(2 )+ . . . + /(41)= 147.
Ha a bal oldalon levő 42 szám között van olyan, mely 3,5-del egyenlő, akkor készen vagyunk. Ha nincs, akkor kell legyen 3,5-nél kisebb és 3,5-nél nagyobb szám is közöttük. (Ha minden szám kisebb lenne 3,5-nél, akkor 42 • 3,5< 147; ha minden szám nagyobb 3,5-nél, akkor 42 • 3,5>
5^147.) Legyen /(/c)<3,5 és /(m )>3,5. Akkor a „közbülsőérték^el” szerint afcésm között (nem tudjuk, hogy k é s m közül melyik a na^obb) van olyan Xq pont (ez nem kell egész szám legyen), hogy /(xo)=3,5.
4 . Adott a síkban két háromszög, H , és Hj. Igaz-e, hogy található olyan egyenes, amely egyszerre mind a két háromszög területét felezi?
Azt a bevezető példák egyikéből tudjuk, hogy például a i í , háromszöget bármely adott iránnyal párhuzamos egyenessel felezni tudjuk.
Vegyünk egy a irányt és egy a irányú egyenessel felezzük a i f | háromszöget (54. ábra). Tegyük fel, hogy a H 2 háromszögnek az jobb partján í/a ), a bal partján í|,(a) területű része van (lehet egyik 0 is, akkor a másik a H 2 teljes területe).
Ha /^(a), akkor készen vagyunk; ez az egyenes akkor mindkét háromszöget felezi.
Tegyük fel most, hogy //a)>r|,(a). Ha a-t 180°-kal elforgatjuk, akkor az egyenes állása változatlan, de iránya ellentétes lett, tehát a jobb és bal part felcserélődött. és ^s8r+« felezi a /7,-et, viszont mint egyenesek egybeesnek, ezért a ífa-re vonatkozóan r/ a )= 4 (1 8 0 ° + a ) és 4 (a )=
= //180°+a). r/a)^/fc(a) miatt í/180°+a)= /*(a)< / /a )= /^(ISO^+a). A zf(y)= t /y )— /*(y) a y-nak nyilvánvalóan folytonos függvénye ;/(« )> 0 , /(a+ 180°)< 0 , ezért a „közbülsőérték-tétel” szerint kell legyen olyan «<, szög az a és a + 180° között, hogy/(ao)=0, azaz
Az ao irányú egyenes mindkét háromszög területét felezi.
208 209
(A szemléletből fogadtuk el azt a nyilvánvalónak látszó tényt, hogy / folytonos függvénye a y-nak.)
Döntsük el, a bizonyításban lényeges volt-e az, hogy háromszögek vannak adva. Fogalmazzuk meg általánosabban a kapott eredményt!
A problémát kissé humorosan is megfogalmazhatjuk: Egy tányéron van két darab különböző fajta tészta. Egy nagy késsel egyetlen vágással szét tudjuk-e vágni a tésztákat úgy, hogy mindegyiket felezzük?
5. A folytonos függvényekről tudjuk, hogy bármely két értékük közötti minden értéket felvesznek. Hogy ezzel a „közbülsőérték-tulajdon- sággal” nem csupán a folytonos függvények rendelkeznek, arra már láttunk is példát; az
/ (x )=. 1sin —
X0,
ha
ha
x?íO,
x=0függvény ilyen.
Most olvasmányként egy nagyon meglepő példát írunk le, melyet H. Lebesgue, a század elejének világhírű francia matematikusa konstruált.
Ez egy olyan függvény, amely a [0; 1] intervallumon van értelmezve, és ennek az intervallumnak bármely (akármilyen kicsi) részintervallumán minden 0 és 1 közötti értéket felvesz. A példá azért is rendkívül megdöbbentő, mert nem csupán azt mondja, hogy a függvény a 0 és 1 közötti értékeket végtelen sokszor felveszi, hanem azt is, hogy ezt a [0 ; 1] bármely részintervallumán is megteszi.■ A [0; 1] pontjait írjuk tizedestört alakba; ha két lehetőség van, mindig a véges tizedestört alakot válasszuk.
Az/függvényt így értelmezzük: Ha x = 0 ,ö,ii2% .. . , akkor
/(0,Ű,Ö2. . .)=
( / ( ! ) = Hegyen.)
0 , ha 0 ,0 ,0305. . . irracionális,ö2A « + 2%«+4- h a 0 ,0103%. • • racionális, és
az első periódus Ö2„_,-gyel kezdődik.
210
Ha most J c [0 ; 1] tetszőleges intervallum, akkor ; ü2 ; . . . ; ö2/»~2
választható úgy, hogy . £Í2n~2 - O,aj0 2 . . benne legyen/-ben, és ö2„_3 ^ 0 vagy 1. (n akármilyen nagy lehet.) A továbbiakban legyen íi2« -i= « 2n+i= • • . = ű4n-5= 0 ; «4/.-3=l» és ezt az n darab számot periodikusan írjuk tovább a páratlan indexű helyekre.
Adjunk meg egy tetszőleges 0 ,6162. . .€[0; 1] számot. Ekkor'X= = 0 ,a,ű2 - . • • € / (az a fk választása miatt) ésaz/ értelmezése miatt
/ ( x ) - 0 ,6 ,62'. • •
Ezzel igazoltuk, hogy ez a furcsa függvény bármely l c [ 0 ; 1] intervallumon minden 0 és 1 közötti értéket felvesz.
6 . Ez a példa egy érdekesség az intervallumon folytonos függvényekről. (A példa elnevezés tulajdonképpen nem is jó r á ; itt olvasmányként mondjuk el.)
Egy adott [a\ b] intervallumon tekintett folytonos függvények, bár mint láttuk, sok jó tulajdonsággal rendelkeznek, elég szabálytalanok is tudnak lenni. Tekintsük például a [0; 1] intervallumon a következő függvényt :
/ (x )=xsin — , ha x€]0 ; 1 ],
0, ha x = 0 .
Ez a függvény a [0; 1] minden pontjában folytonos. Ha Xot^O, akkor
azért, mert a g(x)=x és h{x)= sin ^ folytonos XQ-ban, ezért a szorzatuk
is az; ha pedig Xq= 0 , akkor
O á |/(x J ~ - /( 0)l = x_ sm —" X^x„.
Ha x„~«»0, akkor a rendŐr-elv miatt /(x „ )= x „ s in -—»0=/(0).
Ezért a függvény a 0 pontban is folytonos.
211
A függvény grafikonját vázlatosan egy darabig kihúzhatjuk (55. ábra).
/ ( x ) = 0 , ha x = 0 vagy í ; 2 ;
. . . .Ez azt jelenti, hogy a függvény zérushelyei 0-hoz tartanak. Két szomszédos zérushely között felváltva lesz a függvény pozitív, negatív. Végtelen sok ilyen hullámot nem tudunk rajzolni.
C. Weierstrass, a múlt század egyik nagy német matematikusa bebizonyította, hogy ha az/ függvény a zárt [a; 5| intervallumon folytonos, akkor tetszőlegesen közel hozzá található polinom-
függvény. Pontosabban ez azt jelenti, hogy minden 0-hoz található olyan P polinom, hogy |/(jc)-P (jc)l< e az {a; b] intervallum minden x pontjában. A P fokszáma — ami függ az /-tői, az e-tól — nagyon nagy lehet. Szemléletesen az egyenlőtlenség azt fejezi ki, hogy a P grafikonja benne van az f grafikonja körüli 2e szélességű sávban.
Azt is kifejezi a tétel, hogy ha egy kis hibát megengedünk, akkor / helyett egy P polinomfüggvényt vehetünk. Ezek a függvények több egyszerű tulajdonsággal rendelkeznek.
SS. ábra
7. Ez a példa kissé hasonló a 6.-ban szereplő függvényhez, de talán egyszerűbb annál.
Értelmezzük az / függyényt a |0 ; 1} intervallumon a következő módon:
1 í2«/(O )-O ; az 2 - »
intervallumon
a függvény grafikonja egy erre, mint alapra állított egyenlő szárú három
szög legyen, magassága - , «= 1 ; 2; . . .n(56. ábra). Ez a függvény a [0; I] inter-
212
vallumon folytonos, korlátos függvény, felveszi szélsőértékeit (maximumát vagy minimumát).
A grafikonja egyenesszakaszokból áll. Meg tudjuk-e becsülni e szakaszok összegét? Vegyük a grafikon első n darab háromszögét! A szárak s„ összegére — a háromszögek magasságait figyelembe véve — a következő egyszerű becslést írhatjuk fel:
s „ : ^ 2 - l+ 2 - l+ . . . + 2 . - = 21 n 1 + Í + . . . + Í 2 n
Már tudjuk, hogy az sorozat felülről nem korlátos.
ezért {j„}sem korlátos felülről, ami — durván szólva — azt fejezi ki, hogy a függvény grafikonja végtelen hosszú töröttvonal, így természetesen nem gondolhatunk rá, hogy ki is húzzuk. Ez is egy kissé meglepő tény, és azt mutatja, hogy alaposan gondoljuk mindig meg, mi az, amit nyilvánvalónak elfogadunk.
8. Az / : R —R függvényről tudjuk, hogy a) folytonos és b) minden x; esetén
f(x + y )= f(x )+ f(y ).
Milyen alakú lehet az/ függvény?Az biztos, hogy minden f{ x ) —cx függvény, ahol c állandó, rendelke
zik a fenti tulajdonságokkal. Valóban f{x )= ex folytonos, és
c(x+y)-cx-{-cy.
Van-e más függvény is, ami eleget tesz a fentieknek?Tegyük fel, hogy az/függvény rendelkezik az a) és b) tulajdonsággal.
Akkor/(0)-/(0+0)=/(0)+/(0)=2/(0)^/(ö)=0.
Ha x~yy akkor
/ ( 2 x )= /(x + x )= /(x )+ /(x ) - 2/(x).
Teljes indukcióval belátható, hogy ha x€R, akkor
f(nx)= nf(x).n= 1-re igaz az állítás.
213
Tegyük fel, hogy igaz n-re, és mutassuk meg n+ 1-re. Valóban,
í}x)^f{nx-l~x)= f{nx}+ fix)= nfix)+ fix}= in+ l)/(x).
Továbbá
0 = fi 0 ) = f{ x + { - x ) ) = f ( x ) + f{ - x ) ^ f{ - x ) = - f{ x ) .
Ha «€N+, akkor
/((-/i)A :)= /(-n jí)= - f(n x )= -n f{x ) .
Ezért minden fc£Z-re és x^R-re
f(kx)= kf{x).Legyen w; n>0. Akkor
m f(x)= f(m x)= fm
n- — Xnm— Xn azaz /
Ez azt jelenti, hogy ha r€Q és x^R , akkor/(rx)= r/(x).Ha a€R, jc^R, akkor válasszunk racionális számokból álló olyan
{r^} sorozatot, hogy r„-*cc. Ekkor az/ folytonosságát felhasználva
/(a x )= lim /(r„x)= lim rj(x)= cíf{x).n-*o> «-»<»
írjunk X helyébe 1-et, íg> azt kapjuk, hogy minden a€R esetén/(a)= = a /( l) . Ez tehát azt jelenti, hogy az a), b) tulajdonsággal rendelkező függvények m ind/(x)=cx alakúak, ahol c adott állandó, és ezek a függvények mind rendelkeznek is az a) és b) tulajdonsággal.
9. Az / függvény legyen folytonos az [a; b] intervallumon, f{a)= f(b), és ha x€ ]a; b[y akko r/(x )s /(íi) . Igaz-e, hogy bárhogyan is adunk meg egy (6—fl)-nál kisebb e pozitív számot, van a függvény grafikonjának e hosszúságú, x tengellyel párhuzamos húrja (57. ábra) 7
Legyen ö < e ^ b —a adva. Az [a\ b —é\ intervallumon értelmezzük a h függvényt a következő m ódon: h{x)=f{x-\- « ) - / ( x ) . A feltevések szerint h(a)=f(a+ e ) - f(á )^ 0 , és h ( b - e ) = f ( b ) - f ( b - e)á 0.
Ha a két egyenlőtlenség közül valamelyikben egyenlőség van, akkor készen vagyunk; ha nincs* egyenlőség, akkor a „közbülsőérték-tétel” szerint van a és b - e között olyan Xq, hogy H(Xq)=0, azaz / (x o + e ) - -/(Xo)=0. Ez tehát azt jelenti, hogy van a függvény grafikonjának e hosszúságú, x tengellyel párhuzamos húrja.
10. Legyen/ : R-*R periodikus függvény, és tegyük fel, hogy a pozitív periódusok között nincsen legkisebb. Ha tudjuk még az/függvényről azt, hogy van legalább egy olyan Xq€R, melyben / folytonos, akkor azt állítjuk, hogy / állandó kell legyen.
Amikor e könyv elején periodikus függvényekről volt szó, láttunk példát olyan függvényre, amely nem állandó és nincs legkisebb pozitív periódusa. Ilyen például a
/ \ „ |1 , X racionális,|o , ha X irracionális.
A g függvénynek minden racionális szám periódusa, de ez a függvény egyetlen pontban sem folytonos.
Térjünk vissza az/ függvényhez. A feltevés szerint nincs legkisebb pozitív periódusa. Ezért ki lehet jelölni pozitív periódusoknak egy 0-hoz tartó sorozatát: {r„}, T„^0, Ekkor j-^0 is igaz. Tudjuk, hogy ha T periódus, akkor kT is az, ahol k ^Z , és ha T/,T j periódus, akkor T^—Tj is az (tehát k{T,— Tj) is fc Z-re). Ebből következik, hogy a periódusok az egyenesen „mindenütt sűrűn” vannak, azaz bárhogyan is adunk meg egy intervallumot (akármilyen kicsi is lehet), abban van legalább egy periódus. Ezért tetszőlegesen rögzítve egy x, pontot, ennek bármely környezetében van periódus (ha ő is az, akkor tőle különböző is), így ezekből ki tudunk választani egy Xi-hez tartó sorozatot.
Tekintsük most azt az x© pontot, ahol a függvény folytonos, és rögzítsünk egy tetszőleges x pontot. A {r„} periódusokból álló sorozat legyen olyan, hogy T„~*-Xq~~x és T „ ^X q-x . Ekkor T„-\-x-*Xq, és az Xo-beli folytonosság m iatt/(F „+ x)-/(xo). D e/(T '„+ x)= /(x )-/(xo ), ami (mivel X rögzítve van) csak úgy lehet, hogy/(x)=/(xo). Az x pont tetszőleges lehet, ezért az/ függvény állandó.
214 215
Feladatok:
1. Egy autós reggel 7 órakor elindul Budapestről Szegedre az E5-ös úton. 10 órakor Szegedre ér, és a napot ott tölti. Másnap reggel 7 órakor indul vissza Szegedről ugyanazon az úton Budapestre, ahová 10 órakor érkezik meg. Ha mindkét alkalommal állandó sebességgel tenné meg az utat, akkor mindkét napon 9 óra 30 perckor az út felezőpontjában lenne. Egyenletes sebességgel vezetni nem lehetséges, forgalom és egyéb problémák miatt (pihenőt is tarthat útközben a vezető). Mégis, vajon igaz marad-c, hogy található olyan időpont, hogy mindkét napon ebben az időpontban az útnak ugyanazon a helyén volt az autós?
2. Van-e olyan x valós szám, amely megoldása a
/x ^+ x+ 2 = fx^+ 8 x+ í
egyenletnek? (Csak azt kell eldönteni, hogy létezik-e legalább egy ilyen x szám, nem kell feltétlenül meg is adni ilyet, ha van.)
3. aj Ha az x^+Bx+l=0 egyenletnek két valós gyöke van, akkor létezik olyan e>-0 szám, hogy ha akkor az x^+bx-i-1 =0 egyenletnek is két valós gyökevan.
bj Haazj^+Cx+1=0 egyenletnek három valós gyöke van, akkor létezik olyan e>0 szám, hogy ha |c-C |-<e, akkor az x^+cx+í=0 egyenletnek is három valós gyöke van.
c) Általánosítsuk az előző feladatot, illetve készítsünk hasonlót.4. Adott az/:I0;2]-o[0;4] folytonos függvény. Igaz-e, hogy van olyan x 6ÍO; 2],
hogy/(x)=x2?5. Adott a z /: R-*R folytonos függvény, (/minden x£R pontban folytonos.) Mu
tassuk meg, hogy ha az f (x)=x egyenletnek nincs megoldása, akkor az/(f(x))=x egyenletnek sincs megoldása.
6. Hol folytonosak a következő függvények (a függvényeket minden lehetséges x-re értelmezettnek vesszük)?
d) /(x)=sgn (cos x) ;
e j/(x )= x -[x ];
/J /(x )= [x ] cos TtX.
216
Függvény határértéke
Bevezető példák
Ha a függvény egy x„ pontban folytonos, akkor ha x.-^xg, ebből kö- vetkezik, hogy f ix ^ -* f{ x ^ . Előfordulhat azonban az az eset is, hogy valamely Xq pont olyan, hogy ha a k k o r a h o laz A nem a függvénynek az Xq pontban felvett értéke.
Tekintsük például a következő függvényt :
m =JC-l
■ r ha XT^l; - 1 ,
ha x = l; - 1 .
Vegyük az x — 1 pontot. Ha x„-^l és x„9 1 (azt is feltehetjük az általánosság megszorítása nélkül, hogy x„t^ — 1), akkor
/ W = :1 1
^2'■(x^-l)(x„+l) x„+l
Ha az x = - 1 pontot tekintjük és veszünk egy - 1 , ~ 1 sorozatot (ha n elég nagy, akkor x„9 1 is biztosan teljesül), akkor
f (x ) = - ___ ^(x « -l)(x „ + l) x„+V
Ez a sorozat nem konvergens, mert nem is korlátos.Azt vesszük észre, hogy az x= 1 ponthoz található olyan A szám, hogy
ha x„~* 1 és x„9 1, akkor/(x„)— . Az, hogy az x= 1 pontban értelmezve van-e a függvény, vagy nincs, s ha értelmezve van, mi az értéke, nem játszik szerepet.
Ha az X— 1 pontban / (1 ) = —et veszünk, akkor a függvény az x—1 pontban is folytonos (az xt^ 1; —I pontokban világos, hogy folytonos a
217
0-hoz, akkor
függvény). Az x= — 1 ponthoz nemtalálható olyan A szám, hogy -* -1 , — l esetén f(xJ~ ^A legyen fSS. ábra).
Tekintsük most az
/:(R \{ 0 )) -R , m = ~
függvényt. Ha a függvényfolytonos, mert a számláló és a nevező is folytonos. Az x= 0 pontban a függvény nincs értelmezve.
Vizsgáljuk meg, hogy létezik-e olyan A szám, hogy ha x „közel van”
— — „közel van” J-hoz. Úgy is kérdezhetnénk, hogy ha
x„-*0, x„7^0 , a kor f sin X,I
konvergál-e./» j
Ha az (f(x„)} sorozat minden sorozat esetén konvergál, akkor a határérték mindig ugyanaz kell legyen. Tegyük fel ugyanis, hogy ez nem igaz. Akkor van két olyan, {x„}, (y„) sorozat, hogy x„-*0, x„?^0 és y„9 ^0 ; f(x„)-*A„ / W - ^ 2 . s Ekkor az
• 1 > ^1 » ^ 2 > ^2 > • • * » ^/i » '
sorozat is 0-hoz tart, egyik tagja sem 0, de az
/ (X i) ; f (y i ) ; / f e ) ; / ( j 2) ; • •• ; / W ; •••
sorozat nem konvergens, két különböző torlódási pontja van. Ellentmondásra jutottunk.
sin X — sin (—jc) _ sin (—x)- i - x ) “ i - x ) *
tehát az / (x )= — — páros függvény. Elegendő x^O-ra vizsgálni, ésX
tegyük fel, hogy x < y .
218
Tekintsük az 59. ábrát (x-et ívmértékben mérjük). Ebből leolvasható, hogy
sin x < x < tg x .
Az első egyenlőtlenség nyilvánvaló, a második pedig azért igaz, mert az OBC körcikk benne van az 05DA-ben, ezért
D
59. ábra
tg x--- Y ~ '
x=®-0 figyelembevételével alakítsuk át az egyenlőtlenséget :
1 1sm X cos X
, sin X!> .—__>_cos X.
Ez az egyenlőtlenség-rendszer nem csupán 0 ; -on, hanem a függ
vények párossága miatt -on is érvényes.
Ha x„-^0, x„?íO, akkor a cos függvény folytonossága miatt cos x^—1, a rendőr-elv miatt tehát
sin X,
Ez azt jelenti, hogy minden x„-*0, x„?^0 sorozatrasinx^ ^
Ha tehát a 0 pontban is értelmeznénk a függvényt és azt mondanánk, hogy ott az értéke legyen 1, akkor a függvény a 0 pontban is folytonos lenne.
219
Függvény határértéke egy pontban
1. definíció; Legyen az f függvény az Xq pont valamely környezetébenértelmezve, kivéve ebből esetleg az Xq pontot. Azt mondjuk, hogy az/függvénynek az pontban létezik határértéke, és ez A, ha bármely olyan sorozatra, amelynek minden tagja benne van az f értelmezési tartományában és x„9^Xq, a megfelelő függvényértékek {/(x„)} sorozata A- hoz konvergál.
2. definíció: Legyen az f függvény értelmezve az jCq pont egy környezetében, kivéve ebből esetleg az Xq pontot. Azt mondjuk, hogy az ffüggvénynek az Xq pontban létezik határértéke, és ez Ay ha minden £>0 számhoz létezik olyan szám, hogy ha 0 < |x —XoHá, akkor \f{x )—A \^e .
Szokásos jelölés: Hm f(x )= A ; olvasva: limesz x tart XQ-hoz^f(x)X- XQ
egyenlő A.A definíciókat néha rövidebben írjuk, és amikor használjuk, a nagyon
természetesnek tűnő dolgokat — a függvény értelmezve van egy környezetében ; az sorozat tagjai előbb-utóbb benne vannak az / értelmezési tartományban, ha Xq, x„9^Xq — nem mindig kötjük külön is ki, de hozzágondoljuk. Ez talán lehetőséget ad arra, hogy az írás rövi- debb legyen és az ötletek jobban kiemelhetők legyenek.
Megemlítjük, hogy ha az / függvénynek létezik az Xq pontban határértéke, akkor ez egyértelműen meg van határozva.
ismét hangsúlyozzuk, a függvény határértékének pontban való létezésénél nem lényeges az, hogy a függvény értelmezve van-e az Xq pontban, és ha értelmezve van, akkor mi az értéke.
Ha az/függvény az Xq pontban folytonos, akkor az / határértéke is létezik az Xq pontban, és ez f(xQ).
Ha az/függvénynek létezik Xo-ban határértéke, és ez A, akkor értelmezhető a függvény az Xo-ban úgy, hogy folytonos legyen. Valóban, ha
f(xo)= A-t írunk, akkor a folytonosság bármelyik definícióját használva azt látjuk, hogy / folytonos az Xq pontban.
220
Tekintsük most a következő két példát:
a) / : ( ( - ! ; 1 ! \{ 0 } ) -R ,/W = ^ ; 60. ábra-,
b) / : ( [ - ! ; 1 ] \{ 0 } )-* R ,/M = ^ : 61. ábra.
60. ábra
Egyik esetben sem tudunk olyan A számot találni, hogy ha x„->0, akkor/(xo)-^v4 legyen. De mégis úgy érezzük, hogy különbség van a két eset között. A b) példában, ha x „közel van” 0-hoz, akkor/(x) „nagy”. Pontosabban szólva, minden K számhoz van olyan d>0, hogy ha 0<
< |x |< d , akkor
Rögzítsünk egy K számot (az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogyJC^O). Ekkor
___ a ’warg K a ^ha X azaz ha 0 < |x |Yk
=s.
1. definíció: Legyen f értelmezve az Xq pont egy környezetében, kivéve esetleg az Xq pontot. Azt mondjuk, hogy f határértéke az Xq pontban o°(— ha minden K számhoz van olyan b^O, hogy ha 0< |x -X o H á, akkor f ( x ) ^ K (/(x)<K ).
221
2. áeiniciói-/ határértéke az Xq pontban °o{— oo\ ha minden x„-*Xq,x„ 9 Xq sorozat esetén f (x„) -► oo(— °°).
Szokásos jelölés: lim /(x)= «>(— oo).X-*Xo
Megjegyezzük, hogy a két definíció ekvivalens.Ha csak azt mondjuk, hogy az /függvénynek az Xq pontban létezik a
határértéke akkor ezen mindig véges határértéket értünk. Ha Xg-ban a határérték oo vagy — oo, azt mindig külön is kimondjuk.
Tekintsük most az’O, ha1, ha x = 0 ; 1./(x )=
Ez a függvény a 1 pontokban folytonos. Ha a 0 pontot tekintjük, akkor most a függvény nincs a 0 egy környezetében értelmezve. Mégis elég természetes azt mondani, hogy a 0-ban is létezik az /h a tá r értéke, és az 0. Az x„-'0,x„9^0 mellé most azt is ki kell kötni, hogy legyen. Azaz x„ jobbról tartson a 0-hoz.
Azt is mondjuk, hogy a tekintett pontban a jobb oldali határértéke létezik az /-nek. Hasonlóan az 1 pontban az / b a l oldali határértéke létezik, és az 0. Ez itt azt jelenti, hogy minden 0-hoz létezik olyan ő>0, hogy ha 0 < |x - l |< á és x < l , akkor |/ ( x ) -0 |< e , vagy minden x„-^l, x„9 1, 1, sorozatra/(x„)->0.
Előfordulhat, hogy egy pontban a jobb és bal oldali határérték is létezik, de azok különbözó'ek. Például: f : R-*-R,/(x)=sgn x (olvasd: szig- num x ) :
1, ha x>0, sgn x= ■ 0, ha x= 0,
— 1, ha x < 0.
A 0 pontban a bal oldali határérték —1, a jobb oldali határérték 1. Természetesen a függvénynek nem létezik határértéke a 0-ban.
Ha az/függvénynek létezik határértéke az Xq pontban, és az A, akkor a jobb és bal oldali határérték is létezik az Xq pontban, és mindkettő A. Fordítva is igaz: ha az/függvénynek az Xq pontban létezik a bal és jobb oldali határértéke, és mindkettő A, akkor az /-nek létezik határértéke az XQ-ban, és az is A.
222
l . / : (J 0 ;3 [ \{ 2 )) -R , f (x ) .
P é ld á k
Yx - 2x - 2 ■
Ha x€]0;3f, de x^2, akkor az x pontban az / függvény folytonos, mert a számláló és a nevező külön-külön folytonos, és a nevező nem nulla. A 2-ben a függvény nincs értelmezve. Létezik-e határértéke? Ha csak ezt akarjuk kérdezni, akkor ezt a következőkben röviden így írjuk m ajd:
x-*2 2
Itt hozzáértjük akkor, hogy a megfelelő függvény a 2 egy környezetében értelmezve van. Átalakítva:
fx~~2x - 2
Y x - 2 1( / x - / 2 ) ( / x + / 2 ) / x + / 2
Itt látható,_hogy nagyon kényelmes ezt mondani: ha x-*-2, x^^2, akkor f x-*- f2^ és így
1 1----------- ----------^ ^
fx + Y2 2 f2
Ezen, hogy x-^2, x„-*2-t értünk, ahol {x„} akármilyen sorozat lehet, amelynek határértéke 2. Az n indexet elhagyjuk, de ez nem vezet félreértésre.
Azt nyertük tehát, hogy ha x-^2, x?^2, akkor f ( x ) - * - ^ . Az /-nek2/2
tehát létezik a 2-ben határértéke, és az —L .2/2
Még egyszer hangsúlyozzuk, a „ha x-^2, x ^ 2 , akkor f(x )-
azt jelenti, hogy minden x„—2» x„^2 sorozat esetén / ( x j -
2/2
2/2
223
2. / : (R\{0; 1»-*R, .
E függvény grafikonját vázlatosan a 62. ábra mutatja. A ]0 ; 1[ intervallumon a függvény olyan pontban lesz minimális, ahol x^(l-~x) a legnagyobb. A számtani és mértani középre vonatkozó egyenlőtlenséget felhasználva
x \ l - x ) = Y X -X - (2 ~ 2 x )^ ~( x + x + 2 ~ 2 x Y ^ l
" 2’2Y3
62. ábra
Rögzítsünk egy K ^O számot. Nyilván
Egyenlőség akkor és csak akkor van, ha x = 2 —2x, azaz 3x=2=>x=
2= - .A z x \ l — x) szorzat a ]0; l[-on
2a ^ pontban lesz a legnagyobb, az
7 /-nek tehát itt lesz minimuma.Az / függvény a 0 és 1 pont ki
vételével minden pontban folytonos. Létezik-e az /-nek határértéke a0-ban és az 1-ben?
Tekintsük előbb a 0 pontot. Az ábra alapján azt sejtjük, hogy a függvénynek a 0-ban oo a határértéke.
X2(l
Ha tehát á=m in , akkor 0<l:rl-<á esetén
1
H aX áO lenne, akkor veszünk egyX i^O számot; ha/(a:)>JC„ akkor f(x)>^K is nyilvánvalóan teljesül.
224
Leolvasható a meggondolásból, hogy minden K számhoz van olyan
^5- 0 , hogy ha 0< |x |< ő , akkor/(x )=1 Ez azt jelenti, hogy
lim 1
Más módon — talán rövidebben — is beláthattuk volna, hogy a határérték a 0-ban <». A sorozatokról szóló fejezetben láttuk, hogy ha
n-* oo, akkor —-^0, és fordítva, ha a_>0 és akkor oo.
Ezt felhasználva: ha x„-**0, x^t O, akkor elég nagy n-től kezdveA Í(l-x„)»0 és x J ( l~ x J - 0 , azaz
1------------------ oo.
Az 1 pontban — az ábrából is sejthetően — nem létezik a függvénynek határértéke.
Vegyünk egy olyan {x„} sorozatot, melyre 1 é s x „ - l ..xj(l - xJ-^0 és x j ( l - x j < 0 , ezért
Válasszunk most olyan (y„) sorozatot, amelyre y„^ 1 és y„-* í. Ekkor yl{l -y„)-*0 és > 'í(l-> ’„)=-0, tehát
1
Az / függvénynek az 1 pontban nincs határértéke. Az is leolvasható a meggondolásból, hogy az 1 pontban a függvény jobb oldali határértéke- oo, a bal oldali határérték pedig oo.
3 . í i ; i i m ~ = ?x-*0 X
Az / itt R\{0}-n van értelmezve, és világos, hogy ha x?^0, akkor f{x)= 1. Ezért a 0 pontban létezik a függvénynek határértéke, és az 1.
225
Ezt a függvényt így is írhatjuk:
m=1- 1: ha
ha x-cO.A 0-ban nincs a függvénynek határértéke, mert a 0 bármely környe
zetében van olyan pont, ahol a függvény értéke 1, és van olyan is, ahol a függvény értéke - 1 . Az is világos, hogy a jobb oldali hátárérték létezik, és az 1, a bal oldali határérték is létezik, és az — 1.
c ) M R \ { 0 ) ) ~ R , f ( x ) = ^ .
Ha akkor/(x)=x2 Világos, hogy ha x-*0, akkor 0, azaz az/függvénynek létezik határértéke a 0 pontban, és az 0, azaz
lim ™ =0.
x^O esetén f ( x ) —~ .
1Ha x->0, X9^0, akkor ezért - j-* oo. Ez pedig azt jelenti, hogyv2
lim —T= oo.jc-O •
Mivel X9^0, e z é rt/(x )= — . Ha x-^0, x>»0, akkor —— «>; ha x-^0,^ JC
akkor — °o. A függvénynek tehát nem létezik a 0 pontban
határértéke.
4. A bevezető példák között igazoltuk, hogysin X ,Iim ----- -= 1 .
Más módon leírva, ha x-^0, akkor
, s in2x „ a) lim -— — = ?^^0 ^
sin x1.
226
Számítógépen kiszámoltuk 100-tól 200-ig 10-enként a — j— értékeit:
¥1 0 FÓR N = 100 TO 200 STEP 102 0 D = S IN (2 /N )*N3 0 PRINT D4 0 NEXT N1,999 87; 1,999 89; 1,999 92; 1,999 92; 1,999 94; 1,999 94;
1,999 94; 1,999 97; 1,999 96; 1,999 96; 1,999 96. Határozottan azt sejtjük, hogy a határérték 2. Valóban:
sin 2x 2 sin x cos x _ sin x ^----------------------- ---- = 2 cos X • -------—2,
. 2
, , sm X , ha x->0, mert cosx-*-1 és - —-— ►!.
X
De a következő módon is eljárhatunk:
2x 2x
Azért tanulságos a példa, mert arra hívja fel a figyelmet, hogy nagyon figyelmesen kell az egyszerűbb eseteket alkalmazni.
, , sin lOOx „b) lim ------ — = ?j f -O ^
Az előbbi két módszer közül nyilván a második az, amelyik könnyebben alkalmazható.
lOOxAzt nyertük tehát, hogy
l i „ . ! Í 2 Í ^ = i o o .
(Csak érdekességként említjük meg, hogy az első módszerrel is eredményre juthatunk, csak kissé hosszadalmasabban :
sin lOOx sin (x+ 99x) sin x cos 99 4- cos x sin 99x _
227
sín X , sin 99x—— ■ • cos 99x+ cos X -----------
sm 99xés ebből világos, hogy ha —------- határértékét tudnánk a 0-ban, akkor
sin lOOx határértékét is tudnánk.
így azt sejtjük, hogy
i. s in x , .. s in 2 x « iim —— = 1; iim — — = 2,x-*0 x-*0 ^
amiből
i. sin 99xlim ----------=99,
sin lOOx sin x . sin 99x , ,cos x+ cos X----------- -*• 1+99=100.X X X
így azt is igazolhatjuk, hogy ha n€N+, akkorsin nxIim -------- —n.)
x- O X
S. a) f : (R\{0})-R, / ( x ) = l = ^ .
Az / függvény minden xt^ö pontban folytonos, mert a számláló és a nevező is folytonos, és a nevező nem nulla.
Létezik-e a függvénynek határértéke az x = 0 pontban?Ismét készítettünk ABC 80-as gépre egy kis programot :1 0 FÓR N =1 TO 1 02 0 G = N f2 * (l-C O S (I/N ))3 0 PRINT G4 0 NEXT NA következő számokat kaptuk:
0,4597 ; 0,48968 ; 0,495 36; 0,49744 ; 0,498 25;0,498 96 ; 0,49931; 0,4992 ; 0,4997 ; 0,5.
Azt sejtjük, hogy létezik határérték, és az ^ . Valóban:
. , X , , X 5, X , . . X . . 3 Xl - c o s ; t s .„ í_ + c o s > y - c o s = y + s in > y 2 s m ^ j
r2 “
228
. Xs in y
ha x-^0. Azt nyertük, hogy
limx-oO
1—cosx 1^2— “ 2
. . 1 -c o s x _b) lim ----------- = ?jt-*0 X
Nyilván^ 2 X . X. 2 sin^ — sm1 -c o s x 2 . x 2—---------= —----------= sm » --------
X • X 2 X
. Xsm —ha x-^0, mert ha x-+0, akkor sin —-*-0 é s -------- -►1.
2 X
A feladatot vissza is vezethettük volna az előzőre: 1—cosx 1—cosx--- -----------— ------ -
X x^
és ebből, ha x-*-0, akkor - — ^ , x-+0, ezértX Át
1—cos X -lim ----- — =0,;r-0 ^
. 1 -c o s x _c) iim —X-.0
Átalakítva:
A 0-nak kijelölhető
1—c o sx _ 1—cosx IX^ X^ X
1 -c o s x 1 , _ . — =------, ha x —0 miattx^ 2
olyan környe áte.
amelyben 1<- 1— . De ebben a környezetben az - - bármilyen
adott számnál nagyobb és kisebb értéket is felvesz, ezért i szorzat bármely adott számnál nagyobb is és kisebb is lesz, ami azt jelenti , hogy nem létezik határérték.
229
Ha az utóbbi három példában formálisan beírnánk a 0»t a számlálóba
és a nevezőbe is, akkor ? alakú hányadost kapnánk* aminek természe
tesen nincsen értelme.E példák alapján azt mondhatjuk, hogy 1—cosx és „egyforma
gyorsan” tartanak a 0-hoz, ha jc-0 . A 0-hoz „közel” ugyanis a hánya
dosuk közel van ^hez.A b) példa azt mutatja, hogy 1-cosa: „gyorsabban”, tart a 0-hoz,
mint X, ha x-^ <».A cj példából pedig azt olvassuk le, hogy 1—cosx „lassabban” tart
a 0-hoz, mint ha x-^0.
, .. cosx „ 6. Iim = ? sin4x2
cosxA z / ( x ) = - ^ ~ értelmezve van minden olyan pontban, ahol sin 4x 9^0,
és folytonos is az értelmezési tartomány minden pontjában. A y pont
ban a számláló is és a nevező is 0. Létezik-e határértéke a függvénynek? Végezzük el a következő átalakításokat:
71 ] Af \
71sin - ~ — x sin -^ —x 4 X - —
cos X 2 i 2 i . 2
Sin4x sin 4 n n2 - ^
sin 4 X—n
Tudjuk, hogy ha x-^0, akkor 1, és így természetesenX sin X
is igaz. Ha x - ^ y , akkor x —0, ezért
sin
n — 1 és
n^ - 2
sin 4 x —n -L
Azt nyertük tehát, hogy
limcosxsin4x
230
Érdemes az előző példákon is megfigyelni, hogy mennyire fontos a lehetséges átalakításokat jól ismerni.
Az x = 0-ban a számláló is és a nevező is 0, a ^ n ak nincs értelme,
határérték persze lehet. Érdekes, hogy a különbségben
.tg x 1— , OO es — y - - = -------------
X® X x2 x ’ X x2 ’
ha x->0. A (oo— oo)-nek sincs így értelme, de persze lehet, hogy határérték létezik.
Alakítsuk át a kifejezést :
cos X — 1 1^2 ^ ^ 2 ^
sin x - t g x sinx cosx sin x 1
, sm X ^ha x-^0, mert — -—►l, 1 ■1 és
X cos X
cos X — 1X ' cos X
Azt Kaptuk tehát, hogysin X — tg x 1
x» ” ~ 2 ‘limx -* 0
8. limx-»0
Sem
1 1 = ?sin X tg X
-nek, sem pedig 1-- - r - - « -nek nem létezik a 0-ban határértékesinX tg x
a különbségnek azonban létezhet. Valóban:1 1 1 cosx 1 —cosx A 1—cos X
sin X tg X sin x sin x sin x sin x. ^ sinX . , ,, 1 —cosx - ha .x->0, mert lim —— -= 1 és Iim — —— =0.
) 1 + X -1 l^ l+ X -1 /1 - f x + l ^ 1 + x - l 1 1
^ ^ K íT ^+ 1 ^ Y i+ x + i
231
y i ^ x - í ^ y i + x - i ( r i+ x ) ^ + y i+ j f + iX X
1 + x - l( /IT x )2 + /I+ 3 c + l
1 1---- — •> —3
( / Í + x)2-í-K1 + x4-1
jc-O1/^14-x-l
c) Aza)és*Jb) alapján feladatként határozzuk meg a lim ----- -------
határértéket.
' ‘ 2 '= 710. a) limjt-i x ~ l x ^ ~ l
1Az 1 pontban sem ——pnek, sem pedig - ^ ^ - n e k nem létezik határ-x - l ® x^~~ 1
értéke, a különbségnek lehet.
Tekintsük az x „ = l + - sorozatot. Kiszámoltuk az ennek megfelelő ” n
sorozat tagjainak értékét 10—100-ig 10-esével. A program ABC 80-ra:
10 FÓR N = 1 0 TO 100 STEP 10 20 G = N -2 N t2 /(2 * N + l)30 PRINT G 40 NEXT -N Az eredmények ;
0,4762; 0,4878 ; 0,4915; 0,4928; 0,495;0,4962 ; 0,4959; 0,495; 0,4961; 0,497.
A sejtésünk természetesem az, hogy a határérték létezik, és az
Xr^l esetén 1 2 x + í - 2 x - í 1 1« ,h a x-^1.
x - l x ^ - l (x - l)(x + l) (x - l)(x + l) x+ 1 2
Az I pontban tehát létezik a határérték, és az ^ . Ha x > l és x-*l,
1 2akkor----- r~^ «> és is igaz. Azt lehetne mondani, hogyX— 1 x^— 1
232
„egyenlő gyorsan” tartanak a végtelenbe, mert a különbség yhez tart.
Ha a különbségben szereplő bármelyik számlálót megváltoztatnánk — akármilyen kicsivel is — már nem létezik a különbségnek határértéke. Például:
X- 1 x - 1
2X - 1 x ^ - 1 +
2—a x 2 - r
A zárójelben levő különbség |-hez tart, ha x-* í ; a ^ (x )= -^ -^ -n ek ,
ha a 9 2, nem létezik az 1-ben határértéke,' 1 3 )b) lim
JC-l= ?X—1 a:*—1
Az előzőhöz hasonló példa. X 9^í esetén1 3 x ^ + jc + 1 -3 x ^ - l + x - l x + 1 + 1 •1,x ~ l X » - 1 (x--i)(x2+x+l) (x -l)( ;c 2 + x + l) x2+x+ l'
ha X—1.c) Ezt a példát, mely a)-t és b)-t magában foglalja, feladatként tűz
zük k i : Ha «6N+, « ^ 2 , akkor határozzuk meg a
limx - * l
1X— 1 JC"— 1
határértéket.d) Ha /i;m€N+, akkor határozzuk meg a
' n mlimx-í
határértéket.{Egy ötlet: vezessük vissza a feladatot a ej-re.)
Függvény végtelenben vett határértéke
Az eddigiekben a függvénynek valamely XqCR pontban vett határértékét vizsgáltuk. A sorozatok tárgyalásánál szó volt arról, mit jelent az, hogy «>. Sok probléma esetén érdekes és fontos lehet az, hogy ha
233
az/valam ely (a; « [ Megyenesen van értelmezve, akkor x„ az {/(x„)} sorozatról mit tudunk mondani.
esetén
Például: Az/ : [1; ~ [-»R ,/(x ) = - 2 függvényt tekintve, minden <x>
sorozat esetén
Vizsgálhatjuk a függvényt így is: Rögzítsünk egy e>-0 számot; ekkor
/ ( x ) = 3 < e, ha^ f e
e tetszőleges pozitív szám lehet, ezért minden 0-hoz van olyan JC,
hogy ha x>-K, akkor e.
Azt mondjuk, hogy a függvénynek létezik a oo-ben határértéke, és az 0.I
Legyen most / : [ 1 ; oo[-^R, ,
Átalakítva és x„ tv év e :
/(^ ■ )= 2 * j+ ^ ,+ 2 " 2 + 1 + 1 * 2 •
Az ™ határérték — amint az leolvasható — nem függ attól, hogy
milyen x„~* oo sorozatot vettünk. Ezután sokszor x„-* <» helyett x-*- oo-t fogúnk írni. Ha x-* oo, akkor azt jelenti, hogy minden oo-heztartó sorozat esetén a megfelelő függvényértékek sorozata ^-hoz tart.
Az / : R-*R,/(jc)=sin x függvénynek nem létezik a végtelenben határértéke. Tekintsük ugyanis a következő két, oo-hez tartó sorozatot:
{2mr}; |- y + 2 m t |.
/(2wi:)=sin 2mt=0-*0, és f
234
n _
= sm ^ + 2 n n = 1- 1.
1. definíció: A z f: \a ; «>[->R függvénynek (dC l) a < -bert a határértékeA, ha minden x„-* oo sorozat esetén f{xJ~*A.
2. definíció: A z f: ]a\ °o[-^R függvénynek (a^R) a oo-ben a határértékeA^ ha minden e>-0 számhoz létezik olyan K szám, hogy ha x>ÍC, akkor \f(x )~ Á \< e .
Szokásos jelölés: lim f(x )= A .
A végtelenben vett határérték is egyértelműen meg van határozva.Feladatként fogalmazzuk meg, mit jelent az, hogy az / függvénynek
a (— oo)-ben létezik határértéke.Ha a z / : R -^R ,/(x )= x ’ függvényt tekintjük, azt vesszük észre, hogy
ha x-^ oo, akkor f(x)~* oo is igaz. Ekkor azt mondjuk, hogy / a oo-hez divergál. Szokás azt is mondani, hogy / a végtelenhez tart, de ezen természetesen nem közönséges konvergenciát értünk. Nem hiba ezt mondani, csak azt kell ezen érteni, hogy minden K számhoz van olyan M szám, hogy ha x> M , akkor f{x)>-K. Vagy azt is mondhatjuk, hogy ha x^-* oo, akkor/ ( x j - - oo is igaz.
Azt is mondhatjuk az előbbi esetben, hogy /határértéke a oo-ben «>.
Feladatként fogalmazzuk meg, mit értsünk azon, hogy
a) /határértéke a oo-ben ©o *b) /határértéke a —, 00» ben co Jej /határértéke a — °o-ben
Példák
Létezik-e a függvények határértéke a Legyen x>-0; ha «>, akkor.
-ben és a — oo-ben?
/(x)= x ^ - l3xHx+2
1"3*
235
(Érdemes felsorolni magunkban a konvergens sorozatoknak azokat a tulajdonságait, amelyeket felhasználtunk, hogy ezt belássuk.)
Feladatként döntsük el, igaz-e, hogy a - ~-ben is létezik a függvény határértéke, és az ugyanez.
2. Létezik-e az /függvénynek a - oo-ben határértéke?
/:R -* R , ■
Legyen x-* — o o , és már legyen x-< 0; ekkor
/ (x )=3 + 1 + 4
mert a nevező 3-hoz tart, a számláló pedig — °o-hez tart, ha x-*- — oo, és ebből következik, hogy a hányados is — oo-hez tart.
3. Az / : R -> R ,/(x )= x sin x függvénynek létezik-e határértéke a oo-
ben?Legyen x„ = ^+ 2nn; y„ = ~ -\-2m t. Az {x„} és {j„} sorozatok a oo-
hez tartanak, és
3n/ w = 4-2«7t sm
sin
Sn+ 2lí7t
7t _
~ ~2— "*** 3ti~ —\-2nn
Ezért az / függvénynek a oo ben nem létezik határértéke.
Érdemes talán a következő kapcsolatra felhívni a figyelmet: Az, hogy az / függvénynek — melynek az értelmezési tartománya valamely [a; oo[ félegyenest tartalmaz — a oo-ben a határértéke A, azt jelenti, hogy minden f számhoz van olyanK szám, hogy ha x>/C, akkor l/(x )—A sorozat a természetes számok halmazán értelmezett függvény. Az {«„} sorozat határértéke a, ha minden 0-hoz létezik olyan N, hogy ha akkor \a — a\ < e. A két definíció sok lényeges vonásban megegyezik. (Sok könyvben olvashatjuk a következő jelölést: a„-^a, ha oo. Ez pontosan azt jelenti, amit a sorozatoknál röviden így jelöltünk : a,,-*a, de jobban megfelel a „ha x-* °o, akkor f{x)-^A " jelölésnek.)
236
1. Fogalmazzuk meg, mit jeleai az, hogy az/függvéayftcka) az a pontban nem létezik határértéke;b) & oo-ben nem létezik határértéke;c)a. - oo-ben nem létezik határértéke.
2. Döntsük cl, hogy a kővetkező állítások közül melyik igaz, melyik hamis:a) Ha az/függvény az Xq pontban folytonos, akkor Xg-ban létezik határértéke.b) Ha az/függvény az Xg pontban értelmezve van és létezik határértéke, akkor
/ az Xg-ban folytonos.c) Ha az/függvény az x pontban nem folytonos, akkor nem létezik határértéke
az ACg-ban.<//Ha az/függvfeynek az Xq pontban nem létezik határértéke, akkor/nem is
folytonos az Xq pontban.
Mutassuk meg, hogy ha lim f{x)=A\ Mta g{x)=B, akkorJC-JCo X-*Xq
ü} Mm (/(x)+Mx))=J+B;X-*Xo
b) lim (/(xMx»=^fi;
c) ha még azt is feltesszük, hogy akkor
fix) Al i m ---------= — , ^
4. Döntsük el, hogy a következő állítások közül melyik igaz, melyik hamis:a j Ha ^ z f + g függvénynek az Xq pontban létezik határértéke, akkor/-nek is és
j'-nek is létezik határértéke Xg-ban.b) Ha /-nek és g-nein az Xg-ban nem létezik határértéke, akkor/+ f -n e k sem
létezik.5. Fogalmazzunk a 4. a>hoz és b)-hcz hasonló állításokat a z / + g helyett fg-rc
vonatkozóan.6. Tegyük fel, hogy /-nek létezik, g-nck pedig nem létezik határértéke Xg-ban. Kö
vetkezik-e ebből, hogy/g-nek nem létezik határértéke Xg-ban?7. Vizsgáljuk meg, hogy a következő határértékek léteznek-e, s ha igen, mik azok:
Felfldátok:
a) lim k) limsin*2x
b) limx - a
l) iim
X . Xcos gin 2 2
cosx
237
c) hm ■—— ,
, Y x- f -d) iim------- -;
sin mx ,gj lim ~_— , w;«CN+; x-O S“ ^
sin Xh) lim
tgx i) lim — ;*■-.0 ^
j) lim , m;n€N+;Sin m
sin-m) Iim -T— ;
x-*oS»n1xsm-
n) iini—— ~
o) limx-O
p) MmJc-O
r) limx-O
c o s x - c m l x
cos Ix—cos 3x
cosnx-coswxm; w€N+;
f í + ^ 2 ^ 1 s) Itm -----------— --------- •;
x-*-0 ^/ l + x - / í + ^
t) Um- ---------------x-o / i+ x - 1
Monoton függvény határértéke
A sorozatok tárgyalásánál monoton sorozatokkal külön foglalkoztunk. Megismertük azt a tételt, amely szerint a monoton korlátos sorozat konvergens. Ezt nagyon sokszor és fontos esetekben alkalmazni tudtuk.
Tegyük fel, hogy a z / : ]a; 6[-^R függvény monoton növekvő, és legyen
Az ]ö;xo[ intervallumon az f függvény felülről korlátos, mert ha ű<x<Xo, akkor a függvény monoton növekedése miatt f { x ) ^ f { x ^ . A felső korlátok közül a legkisebbet jelöljük y4-val. Lehet, hogy az éppen /(xq); ha nem, akkor
238
Rögzítsünk egy e> 0 számot. Az A ~ e öém felső korlát (mert A volt a legkisebb), ezért van olyan hogy i4 - e-c/(xj) {^A ). A függvény monoton növekedése miatt akkor minden xj-<x-<x0-ra A~e-< •< /(x ,)^ /(x )^ ^ teljesül, e-ról csak azt használtuk ki, hogy pozitív szám. Ezért minden e>-0-hoz van olyan á>-0 szám, hogy ha 0-<xo~x-<d, akkor 0 ^ ^ —/(x)-<e. Ez azt jelenti, hogy a függvénynek az Xq pontban létezik a bal oldali határértéke, és ez A.
Ugyanígy lehet megmutatni, hogy a függvénynek Xp-ban létezik a jobb oldali határértéke is. Ezért az ]a; b{ minden pontjában létezik az /-nek bal és jobb oldali határértéke.
A függvény akkor és csak akkor folytonos az Xq pontban, ha a jobb oldali és bal oldali határérték egyenlő. Ha a bal és jobb oldali határérték
illetve B nem egyenlő, akkor A ^ f {x^-^B és A ^ B , de /-nek más értéke nem eshet .4 és J? közé.
így minden olyan Xq ponthoz, ahol az / függvény nem folytonos, hozzá tudunk rendelni egy intervallumot, ]A ; B(, és ezek az intervallumok nem nyúlhatnak egymásba. Később még meglátjuk, hogy ebből az észrevételből milyen érdekes következmény vonható le.
Az exponenciális függvény
Legyen a>-l adott valós szám. Előző tanulmányainkból tudjuk, hogy mit jelent íf, ha r racionális szám és milyen tulajdonságokkal rendelkezik a z / ; Q->^R,/(x)=ű* függvény. Tudjuk például azt, hogy ha r„ faCQ,akkor és ha akkorö''* továbbá r€Q esetén#>■0.
Most azt a kérdést tárgyaljuk, hogy az a szám irracionális kitevőjű hatványát tudjuk-e értelmezni úgy, hogy a racionális kitevőjű hatványokra megismert tulajdonságok érvényben maradjanak.
(Valaki például mondhatná azt, hogy ha x irracionális szám, akkor
a^=0 legyen. Ez a kiterjesztés nyilván nem jó, mert például =0* 0=0, másrészt í^eilene legyen, ami természetesen nem 0.)
239
Előbb egy újabb Bernoulli-egyenlŐtleíi séget mutatunk meg, ami a továbbiakban nagy segítségünkre lesz :
Ha h racionális szám, \h\^ \ és 1, akkor
|a‘- l |s 2 ( a - l ) |A | .J
Ha ö>-l és A:6N+, akkor # = l + z, ahol z> 0 . Ezért ű= (H - z)*, és a már igazolt „első” BernouUi-egyenlŐtlenség szerint
a= (1 + 1 + kz=>a>~ 1 + kic^— i)=>-ű^— 1 .
Ha h racionális szám és Ö<.h^ 1, akkor van olyan /c6N+, hogy1 , I
a > l és az / : Q —R, f(x )= a^ monoton növekedése miatt
1S„E_ 1 ^ 2 ^ = * + l . 1). ^ c 2 ( a _ 1)A.
Vegyük továbbá figyelembe azt, hogy 0 < /já 1 eseténa*—1
összegezve, ha a > l , A€Q és |/i|^ 1, akkor
Ezt akartuk igazolni.Ennek a Bemoulli-féle egyenlőtlenségnek az alkalmazásával, h a r; j6 Q,
és 0 < r — 1, akkora' — l ) ^a*2( a— l)(r—j).
Rögzítsünk egy számot, és legyen r; is érvényes; ekkor
( * ) ar~a’>^aP2{a~ \){r—s)=K{r—s).
(A K az ű-tól és a rögzített p-től függ.)Ez az egyenlőtlenség azért nagyon érdekes, mert leolvashatjuk belőle
azt, hogy ha r—s „kis” pozitív szám, akkor a'’—a* is „kicsi”.Legyen x egy tetszőleges p-né\ kisebb irracionális szám. Tekintsünk
egy racionális számokból álló olyan {/•„} sorozatot, amelyre r„-*^x. Mit tudunk mondani az {a''"} sorozatról?
240
(Emlékezzünk a Cauchy-kritériumra; Az (a„) sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha minden e > 0-hoz létezik olyan N, hogyha w; n akkor \a „ ~ a j^e .)
Azt állítjuk, hogy konvergens. Rögzítsünk egy e> 0 számot. r„-*xs
miatt van olyan iV, hogy ha m; n>-N^ akkor és r„ ; r„</>
és |r„—r j < l . Ezért a ( ^ ) egyenlőtlenség miatt
e-ról csak azt használtuk ki, hogy pozitív, ezért a Cauchy-kritérium szerint {űT"} konvergens. A határértéket jelöljük ű*-nel, az ö-nak x-edik hatványa az {a "} sorozat határértéke:
0*= lim d ”.rn-*xAhhoz, hogy a definíciónak értelme legyen, azt kell belátni, hogy bár
milyen racionális számokból álló, x-íiez tartó sorozatot választunk is, ahatárérték mindig ugyanaz. (a*= lim cf" akkor is igaz, ha x racionális.)
Legyen (r„} és {j„}két, racionális számokból álló, x-hez tartó sorozat. r„-s„-*0^ ezért van olyanN, hogy ha n>-N, akkor Ezért
amiből következik, hogy lim lim a*". (Azt, hogy {<f"} és {a*"}tn-*X Í„-JC
konvergens, az előbbiek miatt tudtuk, csak azt kellett itt belátni, hogy a határérték ugyanaz.)
A számot, amely a becslésekben szerepet játszott, tetszőlegesen nagyra választhatjuk, ezért az előbbi módon az a minden irracionális kitevőjű hatványát értelmeztük.
Vegyük észre érdekességként azt, hogy egy x irracionális számot rögzítve mindegy, hogy milyen x-hez tartó {r^} sorozatot veszünk. Legyen először (r„) racionális számokból álló monoton növekvő, x-hez tartósorozat. Ha akkor (mert tudjuk, hogy a racionálisszámokon az/ (x)=a* függvény monoton növekvő), d" -*■ miatt ff*.
241
Ha most | í „} fogyva tart x-hez, ezért Mivelígy
Legyen és minden w^N^-ra. Ha n elég nagy,akkor rJ-^0 . Ezért azt is lehet mondani, hogy ( faz az egyetlen olyan szám, amely azzal a tulajdonsággal rendelkezik, hogy ha r és j racionális számok és r< x< s, akkor Szemlélé-tesen úgy fejezhető ez ki, hogy ha például fS egy környezetében a racionális pontokban felvett függvényértékeket ábrázolnánk (a valóságban persze csak néhányat tudunk), akkor a függvény a ^3 pontban azt az egyetlen lehetséges értéket veszi fel, amivel a függvény monoton növekvő marad.
Vizsgáljuk most a kiterjesztett f ; R-^R,/(x)=a-* függvényt.Ha x; Xo</>^N+, akkor a már többször használt egyenlőtlenség sze
rint, ha jx—Xq|< 1, akkor
(Ez az egyenlőtlenség eddig csak racionális x-re és x^-ra szerepelt, de nyilvánvalóan igaz irracionális x-re és Xg-ra is.)
Ebből az egyenlőtlenségből leolvasható, hogy ha x-^xp, akkor azaz az exponenciálisfüggvény az Xq pontban folytonos. akármilyen nagyra választható, ezért az exponenciális függvény minden pontban folytonos.
Mutassuk most meg, hogy ha X |< Xj, akkor a *-< ű” Azt használjuk fel, hogy racionális számokra, ha r < j , akkor is igaz.
Ha x ,< x 2, akkor található két olyan racionális r és s szám, hogy x ,-<r< j'<X 2. Tartson az {r„) racionális számokból álló sorozat monoton növekedve X|-hez, az racionális számokból álló sorozat pedig monoton fogyva x^-höz. Ekkor
Tehát
Ez pedig azt jelenti, hogy az f{x)= a* függvény szigorúan monoton növekvő.
242
Mivel ű>-1, ezért £f-*- ha n-*- <», és a "-►O, ha n-* Ezért a függvény monotonitását figyelembe véve
Hm ű* cx> és lim ű-*=0.
Az f{x)=a* folytonos volta miatt az előbbi határértékeket figyelembe véve, a függvény értékkészlete ]0; «>[. Tehát az minden pozitív értéket felvesz, és a szigorú monotonitás miatt pontosan egyszer.
Mutassuk meg, hogy a kiterjesztés után is igaz marad Legyen {r„} és racionális számoknak olyan sorozata, hogy r„-*x és s„-^y. Ekkor r„-hs„-^x-\-y. A függvény folytonossága miatt
a^+y= lim lim (ű V '’)= lim a'’"- limn-ooFeladat: Igaz-e
Eddig ű > l volt. Ha ű= 1, akkor legyen minden x€»-re. Ha0 < a < l , akkor pedig
a^=1
0 "minden x^R-re.
A z / : R -R ,/(x )= a ^ exponenciális függvény grafikonját vázlatosan a 63. ábra mutatja.
Amint iáttok a z / : függvény 1-et köl--csönösen egyértelműen képezi le R+-ra, a pozitív valós számok halmazára. Inverz függvénye létezik, értelmezési tartománya ]0; oof, érték- készlete R. Az inverz függvényt így jelöljük: g{x}= log«x {olvasd: a alapú logaritmus x). Grafikonját vázlatosan a 64. ábra mutatja.
243
Érvényes tehá t: Ha jo O , akkor (a>»0, a 9^1).Az exponenciális függvényre ezért
l0Ba*l l08aX2_ logaXl+log«xi
Figyelembe véve, hogy az exponenciális függvény minden értéket pontosan egyszer vesz fel, így
10&(X,X2)= log^i + l0g^2.
Feladatként vegyük sorra a logaritmus már előzőleg megismert tulajdonságait, és igazoljuk azokat.
Különösen sokszor fogjuk használni a 10-es alapú logaritmust, melyet Ig-vel is jelölünk és az e alapú logaritmust, melyet In-nel is jelölünk, ezt szokás természetes alapú logaritmusnak is nevezni (az elnevezés indoklását később meglátjuk).
Példák
1. a) Adjunk meg olyan függvényt, amelynek egyetlen pontban sem létezik határértéke!
Egy ilyen függvény :1, ha X racionális,
— 1, ha X irracionális./(x)=
Feladatként lássuk be, hogy ennek a függvénynek egyetlen pontban sem létezik határértéke.
b) Már találkoztunk az
/(x )=i , ha x = — y (m ;n )= l;n n0, ha X irracionális,1, ha jc=0.
Ez a függvény az irracionális pontokban folytonos, a racionális pontokban pedig nem folytonos (ezt már igazoltuk). Ebből persze következik, hogy az irracionális pontokban határértéke is létezik az/-nek. A kérdés az, hogy racionális pontokban létezik-e a függvénynek határértéke.
Egy ötlet a megoldáshoz: Legyen x—1. Ha x„-*‘l és x„ irracionális, akkor/(x„)"^0. A racionális számokból álló {r„} sorozat 1-hez konver-
244
gál és 1. Az r -eket egyszerűsítettük, ha lehetett. Lássuk be, hogy ha
r„— akkorH
2. Már bebizonyítottuk,hogy lim n ^ e - \ ) = \ . Most azt kérdezzük,
hogy ha a> 0 , akkor mi lesz a
lim n { f a - 1)
határérték.Az 1 eset nem érdekes, a határérték létezik, és persze 0.Legyen ű > l .Az egyszerűbb írás kedvéért bevezetjük a következő jelölést: a- *>.
Az ű>-l miatt ö > ! is igaz. Egyszerű számolással
n(}/a- l)=«(i>"+‘- \)= n {b - l)(6"+l?«~^+ . . . + *+ 1);
(« + 1 )("7 ^ - !)= (« + l)= (n+ l) (b - l)(6 "-í+ . . .+ b + 1);
« (V á - l ) - (n + \ ) C \ a - \ )= (b - . . . - 1 ) ^
Ez azt jelenti, hogy az {n(/a— 1)} sorozat monoton fogyó, és mivel alulról korlátos (hiszen a sorozat minden tagja pozitív szám), ezért konvergens, hatérértékét jelöljük / (ű)-val,
1Ha a< 1, akkor ->-1, ezért a
n{ia-l)==n — 1
fir * ’ "
/ia1 -
1 - " TűJ
i i
Az {n(ya— 1)} sorozat tehát minden ű > 0 esetén konvergens, a határértéket jelöljük/(ű)-val. Azt tudjuk, hogy/(1)=0 é s /(e )= 1,
245
Mutassuk meg, hogy f{ab)=^f{a)-\-f{b) mindeis a \h pozitív számra. Az eddigiek felhasználásával :
f{ab)= lim «(V ő6-1)= lim n ( ^ - f Í > - ^ Y b - 1)=
= lim n {Y ^ ~ y b )+ lim n(fb-~ 1)= lim nQ /a- í)Yb-hn-f< «-í-oo
+ lim n { fb - ])= lim n{/a~ 1) lim Yb-h lim n ( f b - 1)=/j-fco
=/(«)+/(& ).Ebből
fia^}=^f{ad)=f(a)+m =^2f(a).
Teljes indukcióval igazolhatjuk, hogy ha m6N+, akkor
f{ar)=nf{a).n= 1-re igaz az állítás.Feltéve, hogy igaz w-re, mutassuk meg, hogy igaz u+ 1-re is:
f{ íf+ ‘)= /(ű«ű)= /(a")+ /(a)= /j/(ű)+ /(a)= (n+ 1)/(ű). f i\
Már láttuk, hogy f - = —/(« ), ezért minden k^Z -ic
f ( é ) = k m .
Ha n€N+, akkor / ( a ) = / ( ( a " ) )= n /(a " ) , azaz
/ ( J ) = i / ( a ) .így
Ha a-cbf akkor ezért f{a )^ f(b ).
Mutassuk meg, hogy f (a )^ f (b ) nem lehet. Ha akkor
/ ( c ) - /
Legyen x tetszőleges pozitív szám. A g(x)=c"‘ exponenciális függvényről tudjuk, hogy minden pozitív értéket felvesz, és lim c*= «>; lim^ c*=0.
Ezért van olyan A: és m egész szám is, hogy c*< x-< c"*, de akkor
o=fc/W=/(c‘)s/(*)s/(0 =m/W=o.
Ez azt jelenti, hogy ha két a; b számra f(a )= f(b ), akkor/-nek azonosan 0-nak kell lenni, ez nem lehet, mert tudjuk, hogy f(c )= 1.
Azt állítjuk, hogy minden a irracionális számra is
/ ( a “)=a/(a).
Legyen a > l , a k k o r/(a )> /( l)= 0 . Tegyük fel, hogy van olyan irracionális szám, hogy f{ü^)7^§f{a), és legyen mondjuk
Vegyünk egy olyan racionális ^ számot, melyre
n f(a ) ■m/(ö)>»0 miatt f{a^)> —f{a). Másrészt ű>1 miatt
így ellentmondásra jutottunk. (Gondoljuk meg, hogy az 1 feltevés nem jelent megszorítást.)
Azt nyertük tehát, hogy ű> 0 esetén minden a^R számra
Ennek alapján/ ( a “)=tt/(a).
/ (a )= /(e '" “)= lna -/(é")= )na ,
minden a6R+ esetén, összefoglalva tehát, ha ű> 0, akkor
lim l)= ln a,
ahol Ina az ű-nak e alapú logaritmusát jelenti. Feladatként döntsük el, igaz-e, hogy In a c a - L
(Vegyük figyelembe {n { fa -í}} monotonitását.)
246 247
3. Legyen a és b pozitív szám. a és b x-edrendű közepének nevezzükaz
x \
számot. Természetesen feltesszük, hogy
a számtani közép; Á 2(a ; b)= a négyzetes
közép; A_^i(a;b)=-1 2ab
a+b a harmonikus közép. Bebizo
nyítottuk már, hog^A_ |(a ;b )^A i(a ; ^ 2(0 ; b).
Ha «€N+, akkor/ 1 a"+bAjXa;b)=n
Létezik»e határérték, ha 00?1 1
— ------► 1, a kitevő persze „minden határon túl növekszik”, így eleve
nem tudhatunk semmit sem mondani.Számoljunk egy kicsit, mielőtt tovább haladnánk:
10 INPUT A,B 20 FÓR N = 1 TO 1030 G - ((A t(l/N )+ Bt(I/N)/2) f N 40 PRINT G 50 NEXT N
>4=1; J = 2 esetén az eredmények:
1.500 01; 1,45711; 1,447 24; 1,435 62; 1,4313;1,428 42; 1,426 44; 1,424 93; 1,423 68; 1,422 78.
A —3; B —12 esetén pedig:
7.500 02; 6,75023 ; 6,495 63 ; 6,369 61; 6,294 32;6,244 79 ; 6,209 24 ; 6,182 97; 6,162 34; 6,145 97.
248
Az első esetben kissé |^2-re, a másodikban 6-ra gondolhatunk, a közös bennük: az első esetben a másodikban 6.
Az világos, hogy1 i
' 1/ J ir
ezért
= Íab,
Az előbbi példa utolsó, feladataként kitűzött egyenlőtlenségét felhasználva
1 1 , 1 1
In J j( a ; 6 )= « ln
Mivel tiQfa— I)-^ln a és n{^b— l)->ln £», ezért minden e>0-hoz van olyan TV, hogy ha «>iV, akkor
1
azaz
In ^j,(a; b ) ^ ^ (In 0 + In fc)+ e,n
J i(ö; 6)<e*/öfc.
Tudjuk, hogy az /(x )= e* függvény minden pontban, így a 0 pontban is folytonos és így 1, ha e-^0.
}/ab^ A^(a; b)<e*/öb, ha n ^N .m
Ha e-*0, akkor az előbbit figyelembe véve
lim A^{a;b)=fab.n-*-» n
Egy kicsit talán azért is érdekes ez a határérték, mert a többi — „közelében levő” — középtől eltér. A geometriai közép más „szerkezetűnek” látszik, mint a többi közép.
249
Még vegyük észre a következőt: Ha O ^ ű ^b , akkor 1, ígyv i x i
A „ {a ;b )=a"+b'''
1n b» 1 + 'ayÉ ,
2 2
mert 1 + ^ 2 , és 1 ^ 1 + miatt
íö”+fc"l
= b
íl]« 2
- ( í
A két becslést figyelembe véve
lim
Feladatként vizsgáljuk meg azt, hogy mi a következő határérték:1
lim
Feladatok:
Határozzuk meg a következő határértékeket:x^ + x + í
1. lim é. lim •A.-0
7. lim '
1 — cos Xxsin2x
sin 5x
cos2x~cos6x
, Y ^ - b - f ^ - b ■ .8. hm------ r----r— (lttfl^í>).x^-a^
4, limx-»0 sin2 3x
sinx
f x + 2 - 2 9. lim-^——-----
^ -2 /x + 7 -3
10. lim — — , X5-0. »— > + ^
DiíFerenciálható függvények
Példák
1* Tekintsük az / : [0; R, /(x )= sin x függvényt. Valaki azt kér
dezi, a sin függvény grafikonjának van-e az x = ~ pontban érintője.
Ez a kérdés elég természetes, ha a görbevonalakat vizsgáljuk, de megakadunk, ha válaszolni próbálunk rá, mert nem tudjuk, hogy mit is értsünk érintőn. A kör esetén megmondtuk, hogy mi az érintő. Az, hogy az érintőnek egy közös pontja legyen a görbével, biztos, hogy általában nem alkalmas, mert például az /(x )= |x | függvény grafikonjának a (0; 0) pontján végtelen sok különböző egyenes halad át, melyeknek a görbével egyetlen közös pontjuk van (65. ábra).
Térjünk vissza a sin függvényhez. Rögzítsük tehát a ~ pontot. Gon
dolhatunk arra, hogy veszünk egy X| pontot és tekintjük az (x ,; sin Xj);
pontokon átmenő húrt. Ezt persze a szemlélet alapján sem
neveznénk érintőnek.
Tekintsünk egy sorozatot. Ha a P„{x„; s in x j és a
y
\ / /\ X / y'
\ \\ \ / /1/
/ 0 \ ^/
/
n . 7t
250 251
3t n pontokon áthaladó húroknak van „határhelyzete”, ahol
ez a „határhelyzet” nem függ az sorozat választásától persze
, akkor kézenfekvőnek látszik azt mondani, hogy a húroknak
Pn
nX„9^-r-4ez a határhelyzete az érintő.
Vizsgáljuk meg, hogy az adott esetben létezik-e ilyen határhelyzet. A húrok iránytangensét vizsgáljuk.
nVegyünk egy sorozatot.
(ye n 'A P„{x„\ s in A íJésaP - j i sin ^
pontokon átmenő húr iránytangen- se (66. ábra):
tg a „=X —
n
Látjuk, hogy egy határértéket kell vizsgálni. A sin függvény folytonossága miatt a számláló nullához tart, de nullához tart a nevező is; ettől még lehet határérték. Alakítsuk át a kifejezést :
7t n. n ^
sin X — sin — 2 cos----- ---- s in -----------4 2 2
n n"■” 4
n
=:COS--—------------ -——------- ►COS-r-=-7t 4 2 *
252
mert a cos függvény folytonos minden pontban, így x„ -* ^ miatt
cos- ►cos ~ , továbbá tudjuk, hogy lim — ^ = 1, ezért ugyan-
ncsak miatt
sin
n^ ■ -4
n 1.
Kézenfekvő azt mondani, hogy a sin függvény grafikonjának a
pontban létezik érintője, és ennek az érintőnek az irány-n . n T : 4
tangense Y í
2. Egy rakéta motorja 100 s-ig működik. Az indítás után t s múlva a rakéta 25fi m magasságban lesz (Os /á 100). 5 s múlva mekkora a rakéta sebessége?
Itt most ismét az a kérdés, hogy mi is a sebesség. A f másodperc alatt megtett út meg van adva. Ebből világos, hogy durván azt mondanánk, a rakéta egyre sorsabban megy, növekszik a sebessége.
Mit értünk egy adott /q—5 időpontbeli sebességen? Legyen {/„} egy5-höz konvergáló sorozat. Az világos, hogy a és 5 időpontok közötti átlagsebesség
m
Ha ennek a kifejezésnek í„-^5 esetén létezik határértéke (függetlenü- attól, hogy milyen sorozaton át tart az 5-höz, persze akkor terl mészetesnek látszik azt mondani, hogy a 1=5 időpontban ez a rakéta sebessége.
253
Az j(/)= 25/2 jelöléssel, 5 m iatt:
25-5^^ . í L ^ = 25(/„+5)-250. Í . - 5 í„ -5 /„ -5
mAzt mondhatjuk, hogy d(5)=250 — (y a sebességet jelöli).s3. Adott egy d m^ keresztmetszetű, 5 m hosszú rúd, amelynek anyaga
nem homogén. A rúd egyik végétől mérve 2 m hosszú rúd tömege legyen3 kg. A rúd anyagának „sűrűsége” változó. De mit is nevezzünk sűrűségnek? Tekintsük a rúd végétől 2 m-re levő pontot. Vegyünk egy x„9^2 sorozatot. Az és 2 közötti darab átlagos sűrűsége:
{x„^2)dkg
Ha x„r>-2 (jc„?í2) esetén létezik e hányadosnak határértéke, akkor kézenfekvő azt mondani, hogy a 2 pontban ez a rúd „sűrűsége”.
Mivel x„?í2,
x l- 2 ^ ^ jx„ -2){xl+ 2x„+4 )^ xl-{-2x„-^4 12{x„^2)d {x^-2)d d d •
12A határérték tehát létezik, mégpedig
kg
A differenciálhányados
Az előbbi három példában a vizsgált hányadosok nagyon hasonlók voltak. Minden esetben az volt a probléma, hogy ha adva van egy / : ]ö ; 5[~^M függvény, akkor a
g X-Xo
függvénynek létezik-e határértéke az Xq pontban.
254
Definíció: Az f i ja; b[-*R függvényt az XqQ ü; b[ pontban differenciál-
hatónak nevezzük^ ha létezik a lim határérték.x-*xo ^0
Ezt a határértéket nevezzük a függvény Xq pontbeli differenciálhányadosának vagy deriváltjának.
Szokásos jelölések: f '{ x ^ \ é fdx X ~ X o
Ahhoz tehát, hogy eldöntsük, a függvény egy Xq pontban differenciálható-e, azt is mondhatnánk, hogy egy, az /-bői származtatott g függvényt kell vizsgálni. Ez a ^ az ]a; 6(\{xo) intervállumon van értelmezve a következő módon:
sorozat esetén az , úgynevezett különbségi hányadosok-
X-Xf,
Ezt a g függyényt különbségihányados-függvénynek nevezzük.Példáink során az adott függvény differenciálhatóságát sokszor úgy
döntjük el, hogy megvizsgáljuk, igaz-e, hogy minden x^-^Xq; x^^X q í/ f c ) - / ( x o)]I X „ - X o
bőt álló sorozat is konvergens-e. Ha ez igaz, akkor a függvényt az Xq pontban differenciálhatómk nevezzük, a különbségihányados-sorozat határértéke — amelyről világos, hogy minden x„-*XqI x„9^Xq sorozat esetén ugyanaz kell legyen —• pedig a függvény Xq pontbeli differenciálhányadosa.
Az is előfordul, hogy azt nézzük, létezik-e olyan A, hogy minden e>-0- hoz van olyan d>0, hogy ha 0< |x -X o l< í, akkor
X - X q- A e.
Ha ilyen A létezik, akkor a függvény x^-ban differenciálható, ésfX x J ^ A .
Ha az/ függvény az ]a; b[ intervallum minden pontjában differenciál- ható, akkor azt mondjuk, hogy/ az ja; l>|-on differenciálható függvény. Azt a függvényt pedig, amely az ]a; b{ minden pontjához a függvénynek e pontbeli deriváltját rendeli hozzá, a függvény derivált függvényének
255
A fvagy röviden derMitjánúk nevezzük, és így jelöljük:/ ' vagy
A bevezető példákra visszatérve, az 1. példa eredményét így 'is meg-7tfogalmazhatjuk: az / : [0 ;w ]-^R ,/(x)=sin x függvény az x —-^ pont-
Vlbán differenciálható, és differenciálhányadosa - y .
A továbbiakban azt fogjuk mondani, hogy az / függvény grafikonjának az (xo;/(xo)) pontban létezik érintője, ha az /függvény az Xq pontban differenciálható. Az érintő iránytangense f ' (Xo). Az érintő egyenlete :
y=f{Xo)-^r(Xo)(x-Xo).
Ha az/ függvény egy zárt [a; b] intervallumon van értelmezve, akkor az a és b pontban is értelmezhetjük a deriváltat. (Pontosan olyan probléma ez, mint [a; b] zárt intervallumon folytonos függvény esetén hogyan értsük az a, illetve b pontban vett folytonosságot.) Azt mondjuk, hogy/ az a-ban differenciálható, ha minden x„-*a; x„>~a sorozat esetén
a különbségi hányadosok f M -„-^0 J
sorozata konvergens. Ezt a
határértéket néha a függvény a pontban vett jobb oldali deriváltjának nevezzük. A b pontban is hasonló a helyzet, csak itt i>-hez balról tartó sorozatokat veszünk, tehát olyanokat, amelyekre x„~*~b; b.
A 2. példában egy s —25fi függvénynek ( O á 100) a í—5 pontbelimdifferenciálhányadosát állapítottuk meg: í '(5)=250
Ha ismerjük az s=s(í) útfüggvényt, akkor a mozgó test íq pontbeli sebességén a
lim £Í0=4?o)t-*to 0
határértéket értjük, és általában így jelöljük: v(to)> Néha ezt a jelölést is
használjuk: v = ~ .át
256
P é ld ák
l . / : R - R , / ( x ) = x 2Rögzítsünk egy Xq pontot. Differenciálható-e f ebben a pontban? Tekintsünk egy tetszőleges x„-*-Xq (x„ 9 Xq) sorozatot. A különbségi
hányadosok sorozata . Nyilván
x l - 4 _ >2xq.Xn-Xo
Az {x„} sorozatról csak azt használtuk ki, hogy x -*Xq és x^^Xq. Ezért a függvény az Xq pontban differenciálható, és deriváltja 2xq. Az Xq pontnak semmilyen különleges tulajdonságát nem használtuk ki, ezért a függvény minden xCR pontban differenciálható, és a derivált függvény
/ ' : R - R , / ' ( x ) - 2 x .
Az eredmény szemléletesen azt jelenti, hogy az y=x parabolának minden pontjában van érintője. Az (atq; jc ) pontbeli érintő egyenlete
y=xl-h 2xq{x~ Xq)=2xqX- xl2 . / : R —R ,/(x)=jc. Differenciálható-e ez a függvény?Rögzítsünk egy Xq pontot. Ha x,,; x„5^Xq, akkor
fix J ~ f(X o )^ X„-X q ^ , 1
Ebből az előző példához hasonlóan azt a következtetést vonhatjuk le, hogy az /függvény minden x pontban differenciálható, és a derivált függvény :
/ ' : R - R , / ' ( x ) - l .
3 . / : R -^R ,/(x)= c, ahol c€R, egy adott állandó.Rögzítsünk egy x@ pontot. Ha x„-^Xq; x„^Xq, akkor
f(X ,)-f(X o ) C-C p p * ,-* 0 * . - * •
A derivált minden pontban létezik, és az 0.
257
4 / : R-*-R,/(x)=|x|. Hol differenciálható ez a függvény?
Rögzítsünk először egy Xq> 0 számot. Ha |x—X o |< y , akkor x is
pozitív szám, és így:M ^ f(x ) - f iX o )^ \x \ - \ X q\ j
X—Xq X—Xq X—Xq
Ez azt jelenti, hogy az Xq egy környezetében — kivéve ebből az Xq-I — a g függvény 1-gyel egyenlő, -nek tehát létezik Xg-ban határértéke, és azl.
Gondolkodhatunk a következő módon is ; Ha Xq>0 és x„—Xq; x„9^Xq, akkor elég nagy «-től kezdve az {x„} sorozat tagjai is pozitív számok kell legyenek. (Hogy milyen nagy n-től kezdve lesznek a sorozat tagjai pozitív számok, az persze függ a sorozattól. A fontos az, hogy minden adott sorozat esetén valamelyik tagtól kezdve pozitív számokból áll a sorozat.) Ezért
f (X „) - f (X o)^ X„-Xo^ ^ ^
A függvény minden Xo>0 pontban differenciálható, és a derivált 1.Ha Xq< 0, akkor az előzőhöz hasonlóan — feladatként — mutassuk
meg, hogy a függvény differenciálható, és a derivált —1 (67. ábra).' Ha Xo= 0, akkor
/(x )~ /(xo ) |x|X-Xn
1, ha x> 0 , — 1, ha x< 0 .
Ebből leolvasható, hogy a 0 pontban nem létezik határérték.
(így is lehetne:
x„9^0.
f M - mX,
67. ábra
ha n páratlan, ha n páros,
a különbségi hányadosok sorozata nem konvergens.)
Ez a függvény tehát az x= 0 pontban nem differenciálható.
258
Műveletek differenciálható függvényekkel
Éppen úgy, mint a folytonosság vizsgálata esetén, azt várjuk, hogy a számolás szempontjából hasznos lesz megállapítani, mit mondhatunk összeg, szorzat stb. differenciálhányadosáról.
1. összeg deriváltja
Tegyük fel, hogy / és g differenciálható az Xq pontban. (Ehhez természetesen hozzáértjük, hogy f és g értelmezve van egy Xo-t tartalmazó nyitott intervallumon.)
Differenciálható-e az f+ g függvény az Xo-ban; ha igen, akkor mi a deriváltja?
A feltevés szerint, ha x„-^Xo; x„9^Xq, akkor
/ W = / W , / - ( ; , „ ) és s ( í> :5 Í ís ) -g -(x o ) .Xn~~XQ X„ Xq
Az /+g-hez tartozó különbségi hányados így írható :( /+ g )(x J - ( /+ g )(x o ) J (x„ )+ g (x„ )-f(xo )-g (xo )_
X „ ~ X q X „ - X q
Xn Xq X „ XqAzt nyertük tehát, hogy Xo-ban/+g is differenciálható, és
(/+ ^)'(X o)= /'(^o )+ ^ 'W .
azaz/+ g deriváltja a z fé s g deriváltjainak összegével egyenlő.Rövid jelölés: (f+g)'=f'+g'>
Feladatok:
1.(x+x^Y=12. (x+3)'=?3. Ha az / i i / z l . . . ;/„ függvények («£N+) az Xq pontban differenciálhatók, akkor
differenciálható-e a z ( / ,+ / 2 + . . . +/„) függvény az XQ-ban? Ha igen, mi a differenciálhányadosa ?
259
4. Mutassuk meg, hogy h a /és g differenciálható az XQ-ban, akkor f - g is az, ése/-ír)'(jcb)=/W -/(^o).
5. H a /és g egyike sem differenciálható az Xg pontba, kövelkezsk-e ebből, hogy Z+g^sem differenciálható xg-ban?
2. Szorzat deriváltja
Tegyük fel, hogy f és g az Xo-ban differenciálható* differenciálható-e akkor az fg függvény az Xo-ban ?
A feltevés szerint, ha x„-^Xq; x„t Xq, akkor
és & h : |í í2 ) _ g - ( x „ ) .•*/! - 0
Vizsgáljuk, hogy az fg szorzat Xo*hoz tartozó különbségihányados- függvényének létezik-e határértéke Xg-ban. Átalakítva;
f(xM Xn)~f(Xo)g(Xo)_ fiX„)g(X„)-f(Xo)giX„)-hf(Xo)g(X„)-f(Xo)g(XQ'l X„~Xq X„ — Xq
X„—Xq
Ez az átalakítás igazán biztatónak látszik, mert a feltevést szépen fel tudjuk használni. Az összeg második tagjával nincs is semmi probléma; ha x„-'Xo; x„9^Xq, akkor az/(xo)g'(^o)"hoz tart.
De mit tudunk állítani az összeg első tagjáról?Az első tényező/'(xo)-hoz tart. De a {g(xj} sorozat vajon konvergál-e?
Ezt nem tételeztük fel. A ^-ről az Xq pontban differenciálhatóságot tettünk fel. Következik-e ebből, hogy g folytonos is az Xo-ban?
Ha x„-*^XqI x„9^Xq, akkor
?(* ,)-S (*o )= (* ,-*o ) • ■ g ’(x„)=0,Xn~Xoazaz
g(x„)-*g(Xo).
Mivel ha x^=Xo, akkor g(Xm)~g{xo)> ezért minden x„-^Xo sorozatra gix„)-*g(Xo)t ami azt jelenti, hogy g az Xo-ban folytonos. Kimondhatjuk tehát:
Ha egy függvény egy pontban differenciálható, akkor ott folytonos is.
260 ^
Azt, hogy ennek az állításnak a fordítottja nem igaz, azt láttuk már. A z/(x )= |x| az x = 0 pontban folytonos, de nem differenciálható.
Visszatérve a szorzat deriváltjához, így azt kapjuk, hogy
Ez pedig a következőt jelenti:Ha az f és g függvény az Xq pontban differenciálható, akkor itt az fg is
differenciálható, és a deriváltja
{fgyXx^=fiXQ)g{xQ)+f{xQ)gXxQ).
Rövid jelöléssel: {fgy= ^fg+ fg\Fontos speciális eset a következő: Ha f differenciálható az Xq pontban,
akkor cf is differenciálható, és
(cf)Xxo)=cf'(xo).
Ez következik az előbbi állításból, figyelembe véve, hogy az állandófüggvény minden pontban differenciálható, és deriváltja 0.
Már tudjuk, hogy (x)'= 1; (x^)'=2x; minden x^R esetén. x^=x* x \ ezért a szorzat deriváltjára kapott tételt felhasználva, tetszőleges x€R esetén:
(x3)'=(x. x2)'= (xY xH x(x^y= x2+ X• 2x=3x^.
így azt sejtjük, hogy ha n6N+, akkor
(x"y=nx"-‘.
Teljes indukcióval bizonyítjuk az előbbi sejtést.A sejtés n= 1-re igaz.Tegyük fel, hogy igaz a sejtés n-re. Megmutatható, hogy akkor igaz
FI4- 1-re is, ugyanis
(x#t+1) '= . jc)'= (x")'x+ x"(x)'= nx"~ *x-f x"= (»+ l)x".
Azt kaptuk tehát, hogy az/ : R -^R ,/(x)=x", függvény minden x€ R pontban differenciálható, és deriváltja:
/'(x )= (x")'=nx-"* .
Például: (x‘2)'= 12x*»; (x^^ooy^ 10íX)x»
261
Fekdatoks
1 . Differenciálhatók-e a következő, mindenütt értelmezett függvények? Ha igen állapítsuk meg deriváltjukat is.
a)f{x)^{x+\){2>P-+l); c)f(x)=\x\ ;b)fix) = 0 ^ + x ~ 1)(x2-4a:+5); d)f(x)= \x\ ~ \x\ + 2.
2. Állapítsuk meg, hogy ha az/; g'és h függvények az Xq pontban differenciálhatók, akkor &zfgh szorzat is differenciálható-e az Xg-ban; ha igen, mi a differenciálhányados.
3. U a f é s g nem differenciálható az Xq pontban, következik-e ebből, hogy/g sem differenciálható az Xq pontban?
3. Hányados deriváltja
Ha / és ^ az jcq pontban differenciálható, és g(xo)r^O, akkor vajon azf
— függvény is differenciálható Xn-ban?g '
Az —= /• - miatt elegendő azt megvizsgálni, hogy ha g diíferenciál- g g
ható az Xo-ban és g'(xo)?^0, akkor - is differenciálható-e Xo-ban.s
Tegyük fel, hogy Átalakítással kapjuk, hogy
1 1_g{xö)-g{x^)^
X„~Xq
1
g{x„) g(Xö) 1
1
g(x„)g(Xo)
g(x„)-g(Xo),g'(Xo)‘g(X„)g(Xo) X„-Xo g^(Xo)
Itt felhasználtuk azt, hogy g az Xq pontban differenciálható, ezért g(x„)-g(xo)
X —Xt, g'(Xo),
továbbá azt, hogy differenciálhatóságból következik a folytonosság, ezért g(x„)-*g(xQ), ha x„-*Xq. (Természetesen érdemes megnézni azt is, hogy a sorozatokra vonatkozó műveleti szabályok közül is hányat alkalmaztunk.)
262
Eredményünk tehát az, hogy ha g az Xo-ban differenciálható ésg(xó)p^O
akkor - is differenciálható az Xn-ban, és g ®
g'(xo) g^Xo)(Xo)=-^2
Eredeti kérdésünkre visszatérve, a szorzat deriváltjának felhasználásával, ha / és ^ az Xq pontban differenciálható, és g(xo)?íO, akkor / 1“ = /• - is differenciálható az Xo-ban, és
í /1g (Xo)= (Xo)=fXXo)
1^(^o)
+ /(X o ) (Xo) =
_ y 1 /(Xo)g'(Xo) _ f'(Xo)g(Xo)-/(Xo)g'(Xo)^ ” ^(Xo) “
Röviden írva: ' ^ f g - f g '
Példa: Legyen/ (x )= 2 x ^ -x ; g’(x)=x^+ 2 (az f é s g függvények minden x-re legyenek értelmezve).
f és g minden x£R pontban differenciálható, és g(x)> 0 minden x pont
ban. Ezért — minden pontban differenciálható, éss
2x3- x 'x^+2
(6 x 2 - 1 )(jc + 2 ) - ( 2 x 3 - x )4 x 3(x'^+2)2
Feladat:
Az adott függvények deriváltjait számítsuk ki a megadott pontokban:
í V „
<l€N+x„=2;
[4x6+5y»-l0x2-6j '
263
Trigonometriai függvények differenciálhányadosa
Tekintsük először az / : K -^ R ,/(x )= sm x függvényt, és állapítsuk meg, hogy differenciálható-e.
Rögzítsünk egy Xq pontot, és legyen x„-^XqI x„9^Xq. A megfelelő különbségi hányadosok sorozatára kapjuk, hogy
sm x^—sin2 sin cos
X„~Xo
sin
mert a cos függvény minden pontban, így az Xq pontban is folytonos;
miatt ezért cos -^cos Xq; a függvények határ-
sin xértékének vizsgálatánál pedig nevezetes példánk volt a lim------- =1.
A feltevésből következik, hogyX„-Xo
--►0, ezérts in - 2
-^01.
Eredményünk a következőt jelenti: A sin függvény minden pontban differenciálható, és
(sin x)'=cos X.
Tekintsük most a cos függvényt: / : R-^R, /(x )= co s x. Rögzítsünk egy tetszőleges Xq pontot. Ha x„-*Xq; x„j^Xq, akkor
cos X „— COS X q _
X„-Xo
_ . x -4 -X o . x „ - X q2 sin ■ sin " x- --
X —Xn
264
= _ s i „ í 4 ^sm
X^-Xc •sinxo-
Majdnem ugyanazt használtuk fel, mint az előbb, csak a cos függvény folytonossága helyett most a sín függvény folytonossága kellett. Az Xq- TÓI nem használtunk ki semmi különöset, ezért a cos függvény is minden pontban differenciálható, és
(co sx ) '= —sin X.
A z /(x )= tg x , x6R, X9^~+kn , k^Zy az előbbiek alapján az értel
mezési tartományába eső minden x pontban differenciálható, és
(tg x ) '= sin Xcosx
cos X cos x —sin x(-- sin x) 1 cos^x cos^x
Hasonlóan az /(x )= ctg x függvény is az értelmezési tartományába eső minden x pontban differenciálható, és
1(ctgx)^= cosxsin X
— sin X sin X — cos x cos xsin^x sin^x
Feladat:
Differenciáljuk a következő függvényeket:c) f{x)~ún X cos x;a) f ix )=xúnx;
b) f(x)=x^ cos x + ^ sin x;
Az fx függvény deriváltja
Tekintsük előbb a z /: ]0; °o [-^R ,/(x )= /x függvényt. Rögzítsünk egy Xo>0 pontot. Differenciálható-e az f az x© pontban?
Vegyünk egy x„-^Xo; x„t Xq sorozatot. Az általánosság megszorítása
265
nélkül feltehetjük, hogy A megfelelő különbségi hányadosok sorozatára kapjuk, hogy
1 1
l ^ + l ^ 2fxQ
Felhasználtuk azt, hogy ha x„-Xo; Xo>0, akkor Azt kaptuk, hogy ha x> 0, akkor a négyzetgyökfüggvény differenciál
ható az x-ben, és
I f x
A négyzetgyökfüggvény a 0-ban is értelmezve vanj_)/0=^0. Kérdez-
hetjük tehát azt, hogy ha x„>-0 , akkor a j c - 0különb
ségi hányadosokból álló sorozatnak létezik-e határértéke. Nyilván
Tehát nem létezik határérték.Ha «CN+, akkor az / ; ]0; / ( x ) = /x függvény differenciál
ható-e?Legyen Xq>0; x„-*Xq\ x„t Xq; x„>0. (Ez utóbbi kikötés nem jelenti
az általánosság megszorítását.) Ekkorn „ .... n ——. f% w— »» ní ^ n - y X q _ y x , - y x„ _
( í ^ - H i ^ + . . . + ' )
1 i - tv«■*0
266
A számolás során felhasználtuk azt, hogy ha x„-^Xq, akkor ^x„~^^x,
és ha n;fc€N+.A z /te h á t minden x > 0 pontban differenciálható, és
Cc")
Példák5 ._
1. Ha / ( x ) = /x , akkor x>0-ra5 _ 1 l _ i I _ i
r { x ) ^ { íx y = ~ x ^ = i x 5.
2. Ha / ( x ) = x ^ akkor x>0-ra
/ I i \ ' / 1 \' J. 1 / J \ ' 1 __2 J J I 7 _ 1/ ' ( x ) = ( x ^ - x v = ( x 0 + (x^j = ~ . X . X ^=-^X 8.
O O ó
Itt is azt vesszük észre, mint az eddigi hatványfüggvényeknél, hogy a deriváltat úgy kapjuk meg, hogy a kitevőt megszorozzuk az alap 1-gyel csökkentett hatványával.
Feladat:Differenciáljuk a következő függvényeket:
a )m = x^fx-,
b ) /(x)=(2x+ 3fG +1); dj fix)
c ) f ( x ) = f x ú n x ‘,
% + l '
Az exponenciális függvény deriváltja
Különösen aki szakköri füzetként olvassa ezt a könyvet, megteheti, hogy a most következő fejtegetéseket kihagyja és csupán az eredményt olvassa el, mert azt nagyon sokszor alkalmazni fogjuk.
267
Már értelmeztük az
/ : R -R , / ( ^ ) = ű ^ ű > 0
exponenciális függvényt. Az a persze a nevezetes ^ szám is lehet.
Tudjuk azt is, hogy lim
hogy minden x£R számran —e. Először azt fogjuk megmutatni,
lim 1 + nEbben speciális esetként az ;c= 1-re ismert eredmény is benne van.
Amint az sejthető, igazoljuk, hogy minden esetén az
sorozat monoton növekvő és korlátos.Ehhez két egyszerű egyenlőtlenséget használunk.a) Ha akkor
a"+í—/y'+»=(ű— . . . + b")< (a—b)(n+ 1)ű",
ebből pedig
( * ) ű"(ű- (ű— b)(n+1))< 6"+
b) Ha akkor
a*+^—b^+^z=(a~b)(£t-i-(f~^b+ . . . 6)(rt+1)^,ezért
( * * )
Ha x= 0 , akkor
1 + n
(f^+^>-if(b+{a~b){n+1)).
1 + n= 1- 1.
Legyen most x>-0 és ű= 1+ — ; . így teljesül
A (^ ) egyenlőtlenségbe helyettesítve:
í l + i ]n
n 1 +n+1
n+1
De 14-—-n 1 + —n if+ l
(n+1)=1, ezért a sorozat monoton nö
vekvő, hiszen n tetszőleges pozitív egész szám lehet.
268
A sorozat korlátos is, mert legyen ű = l + - ^ , ahol k olyan rögzített
pozitív egész szám, hogy 1—-^ > 0 és b = í. Helyettesítsük be a-t és b-t
a ( ^ ) egyenlőtlenségbe; ekkor\ / X
1 + kn 1+ kn 1.
Ebből következik, hogy
1 + kn
k n 1 V
Ez azt jelenti, hogy az | 1+ -^ | sorozatnak, amelyről már tudjuk,
hogy monoton növekvő, van korlátos részsorozata. Ebből akkor az is
sorozat is korlátos.igaz, hogy az nXHa x< 0 , akkor van olyan «n, hogy ha n>«o, akkor H — >*0.n
Csak ilyen Hg-nál nagyobb n-eket tekintünk.Először megmutatjuk, hogy a sorozat negatív x-re is monoton növekvő*
haX XLegyen ^ = 1 + — , akkor teljesül a ^b ^ O . Helyettesít
sünk a egyenlőtlenségbe:
1 + « + l/!+ 1
1 + n
1 + n 1 + ^ +n
i + i -
] ("+ 1 )K+ 1 W j
(«+ !) í*+-]nn n(«+1)
Most megmutatjuk a korlátosságot. Legyen a = l és Ekkor
teljesül, mert n>Wo. Helyettesítsünk be a (-^ ^ ) egyenlőtlenségbe :
X1: 1 + 2/1 ^ - T
269
Ebből pedigIn
Az
( ' - í2 •
I sorozatnak tehát van korlátos részsorozata; figyelembe
véve, hogy monoton növekvő a sorozat, ezért korlátos is.fi x ¥ ]
Monoton korlátos sorozat konvergens, így az j 1 + “ | mi
esetén konvergens. Vezessük be a következő jelölést;
=E(x).
minden
lim 1 + - Ín
Azt mutatjuk meg, hogy minden x^M-re
E(x)=e-.
Azt tudjuk, hogy £(0)= 1 és E(l)=e.Igazoljuk, hogy ha Xj; XjCM, akkor
£(x,)£(x2)=£(xi + X2).
a) Ha X|X2= 0 , akkor világos, mert £(0)= 1.b) Ha Xi>-0 és X2 > 0 , akkor
Í l+ í^ ln
í i+ í - in \ , Xi+X2 j X1X2)
n\ / n n
Ezt figyelembe véve:
• 1+ ^ 21 + - I4 .£ i± f2 + f £ 2
^(X, + X2)i+ f ! ± £ 2 + í f i ± f a i
IE(Xí)E(X2) 2\
1 + X, + X2
I2nn 4n^ ^
E(x + X2)
A rendőr-elv szerint, ha x ,> 0 ; X2> 0 , akkor
£(x, + X2)=£(x,)£(x2).
270
Feladatként mutassuk meg az előzőhöz hasonlóan, hogy ha x,-=0 és X2< 0 , akkor is £ (x j+ X2)—E(xj)E(x^.
c) Ha X2= — Xj, akkor elég nagy «-től kezdve a BernouUi-egyenlőtlen-séget alkalmazva;
rr-\1 E{x^)E{-x^)
^ 1 .II.
Ismét a rendőr-elv szerint £(xi)£(—x,)= 1.d) Ha X|X2-cO és X3=X,+X2^0, akkor az indexezést válasszuk úgy,
hogy X3 és — X2 egyező előjelű legyen (tehát, ha például Xj^O, akkor X2 negatív, X| pozitív). Ezért
£(x3) £ ( - x 2)=je:(x3- x 2)=í:(x,).
Felhasználva azt, hogy E{—x ^ = - } . -,
E(xi + X2)=£(x3)=£(x,)£(x2).
Feladatként teljes indukcióval mutassuk meg, hogy ha «6 N+, « s 2 ; Xi; X2 ; . . . ; x„ tetszőleges valós számok, akkor
£(x,+X 2+ . . . + x J = £ (x i)+ £ (x 2)+ . . . +E(X„).
Most már tényíeg rátérünk annak igazolására, hogy minden valós x esetén E(x)=e^. Ennek vázlata a következő: sorra megmutatjuk az állítást természetes számokra, egész számokra, racionális számokra, végül irracionális számokra.
E ( l ) = e = e ^ ;£(2)=£(l + l ) - £ ( lM l) = e ^E(3)=E(2+1)=£(2)£(1)=
Azt sejtjük, hogy. ha «6 N+, akkor E(n)=e”. Ezt teljes indukcióval igazoljuk.
«= 1-re igaz az állítás.Tegyük fel, hogy igaz «-re, és mutassuk meg, hogy akkor igaz («-f 1)-
re is.E{n+ l)= £ (« )£ (l)= e"»e=e«+*.
271
Tudjuk, hogy £(0)= 1, ezért
1 = £ (0 )= £ ( « + ( - ?i))=£(is)£(- n).
Ebből következik, hogy ha «6 N+, akkor
£(«) így már minden k^Z -ie E(k)—e^. Mivel
e= E(l)= E
ezért
í ‘ + u . , , .+ i ] = E T E T ’l = E R]n n n n n n
= e"y ha h6 N+.
’m' ^ E í‘ + i + . . •+-1 = E r E T • E Tn n n n n n n
Ezekből
= U'*j =e'*, ha m; n6 N+.
£(jf)£(~x)=£(0) - l - e t figyelembe véve minden r racionális számra
E(r)=e^.
Mielőtt tovább lépnénk, vegyük észre, hogy E monoton növekvő függvény : Ha jc,< X2f akkor
E(X2)=E({X2-XíH Xt)=E(X2~ s)£(Xj)=-£(Xs),
mert X2--Xi> 0 miatt
lim 1 + ^E {X 2-X í) ^ L
Legyen adva egy x irracionális szám, az (r„) és {R„} racionális számokból álló sorozatok legyenek olyanok, hogy minden «€N+-ra és r„-*x és R„-*x.
A Cantor-axiómára gondolva, továbbá az exponenciális függvény bevezetésénél használt egyenlőtlenséget is figyelembe véve, az egymásba skatulyázott zárt intervallumok egyetlen számot határoznak meg, mégpedig e^-et.
272
e^” E { O ^ E { x )^ E { R „ )^ e \
ezért az E(x) is benne van mindegyik [ /" ; e^”] intervallumban, így E{x)—e^ kell legyen.
Ezzel minden x valós számra igazoltuk, hogy✓ N.X
A monotonitás miatt:
lim 1+
Ha !jc| < 1, akkor az (í‘+-lfi
ésn\ / n
I sorozatok n= 1-től kezd
ve monoton növekvők, mert l + x > 0 és 1 —x > 0 .Ezért és e ~ ^ ^ \ - x . Ez a második egyenlőtlenség így is
írható : ^ < - 7 - — .l — xösszevetve a két egyenlőtlenséget; Ha |x |< l , akkor
1\ + x<e^- \ - x '
Ezután rátérünk annak vizsgálatára, hogy differenciálható függvény-e az exponenciális függvény.
Rögzítsünk egy x ^ R pontot. Vizsgáljuk — szokás szerint — a különb- ségihányados-függvényt. Legyen x„-*x; x„t x . Akkor
e*"—e*-=e*'
A feltevés szerint x„-x-*-0, ezért van olyan N, hogy ha akkor lx„— A egyenlőtlenség szerint
1í+ x„—x<e^’' *
x„—x ^ e ^ ”~^—l ^
i - i x „ - x ) *1 . X.— X
Ezért,a) ha x > 0 , akkor
1
273
b) ha .r„-x<0, akkor
1
Ha akkor
pedig a b) esetben
1 -► 1, a rendőr-elv miatt mind az a j, mind
1 1.
összefoglalva: Ha x„-*x; akkor
-=e*‘ —— — - - ►e*.x —x x ~ x
Mivel X tetszőleges valós szám lehet, ezért az /(x )= e* függvény mindért X pontban differenciálható, és
Az/(jc)=e* deriváltfüggvénye tehát önmaga.
Feladat:Differenciáljuk a következő függvényeket:
a) /(x)=e*sinx;
b) /íx)=x^sinx+e*cosx;
C)/(X) = -cosx ,2
d j f ( x ) =e^+x+l
A logaritmusfüggvény folytonossága és differenciálhatósága
A z / : E.-*-% f(x)=a\ a > 0 függvényről tudjuk, hogy monoton, folytonos, értékkészlete — ha 1 ~ ]0; °o[. írjunk a helyébe e-t, és a továbbiakban az / : R-^]0; °°[, f(x)= e* exponenciális függvényt tekintsük. A g :] 0 ; £»[-*-R, g(x)= In x függvény is szigorúan monoton növekvő; mutassuk meg, hogy folytonos is (In x= lo^x ).
274
értéket felvesz, ezért van olyan hagy Xo=^°.Rögzítsünk egy e>0 számot, és legyen = X2=^°'^®- Világos
hogy x,<Xo<X2. Ha ]x ,; Xjí, akkor j g - s d n x-<7 o+e. Ezért jo =
Legyén Xq egy tetszőlegesen adott pozitív szám. Az minden pozitív
= In Xq miatt|ln X — In X o H e .
e-ról csak azt használtuk ki, hogy pozitív szám.Azt kaptuk, hogy minden e>-0-hoz létezik az Xg-nak olyan környezete,
hogy az ebbe a környezetbe eső x pontokban az In x értéke e-nál kevesebbel tér el In Xo-tó . Ez pedig azt jelenti, hogy az In függvény az Xq pontban folytonos. Xg-ról csak azt használtuk ki, hogy pozitív, ezért az Ifi függvény a ]0; °o[-on folytonos.
Vizsgáljuk meg most azt, hogy diíFerenciálható-e az In függvény. Adjunk meg egy Xq pozitív számot. Ha x„-^Xq; x „ 9 Xq I x „ > 0 , akkor
In x„—In Xq_ 1 1X „ - X n X „-X o glnx„_^laxo
In x „ -ln Xq lnx„—Inxo
Ha x„-H-Xo; x^r^xg, akkor a logaritmusfüggvéhy folytonossága és szigorú monotonsága miatt In x„—In Xq és lnx„^ lnxo . Az y„= In x„; yo= In Xq jelöléssel y„-^yo; Jot és így
In x„—In X,o _ 1gyn—e o '* ey»~~ Xq
y n - y öXq tetszőleges pozitív szám lehet, ezért az In függvény minden x£ ]0; <»[
pontban differenciálható, és
g'(x)=(ln x ) '= - j .
Figyelembe véve azt, hogy ha «>•(); űt I, akkorin X
ezért a h(x)= lo g ^ függvény is minden|x>- 0 pontban differenciálható,és
275
Feladat:Differenciáljuk a következő függvényeket:
a ) f ( x ) = ) ^ \ n x \ £>;/(x)==e*lnx;
összetett függvény differenciálása
Gyakran kell differenciálni összetett függvényeket. Ilyenek v f{x)== (x ^+ l)^® ;/(x )-s in (x ^ + l);/(x )= ln (x ^ + 2 ) stb. Már tudjuk, hogy (x)=e* differenciálható függvény, de diíferenciálható-e a z /(x )= a ^ ahol a> 0 . Az így is írható:
A közös kérdés ezekben a példákban az, hogy ha adott az y=f(js{x)') függvény, és tudjuk, hogy g az Xo-ban, / pedig a ^(xo)-ban differenciálható, akkor f{g) diíferenciálható-e az Xo-ban.
Adjunk meg egy x„—Xq; x„9 ^Xq sorozatot.Vizsgáljuk a megfelelő különbségi hányadosok sorozatát, és alakítsuk
át azt az alább leírt módon :
fig (x„ ))-A g(xo))^ /ig(x„))-f(g(Xo)) g(x„)-g(Xo) ^X „ - X q g{X„)-g{Xo) X „ - X q
A feltevés szerint
g az Xq pontban differenciálható, ezért folytonos is : g(xJ-*g(xQ% mert X„-X0- Ha bevezetjük az y„=g{x„); yo=g(xo) jelölést, és y„~*yQ, így a feltevés miatt ( / differenciálható g(Xo)-ban):
✓ 0Visszatérve a különbségi hányadosra:
Röviden : ( /(? (* ) )) '! , . l= / 'f e W ) s V o ) -
276
Elfogadható-e az előbbi „bizonyítás” ?Nézzük meg alaposan, hogy vajon minden lépés jogos-e. A különbségi
hányados átalakításánál szinte rögtön megakadunk: i?(x j—g(xo)-val szorzunk és osztunk is. Az ugyan igaz, hogy x^^Xq, de ettől még lehet giXn)=g(xo% és akkor 0-val osztottunk. Ha kikötnénk azt, hogy a g függvény az Xq egy környezetében, kivéve az Xg pontot, nem lesz g(xo)-val egyenlő, akkor a bizonyítás teljesen rendben van. (A leírásnál az szerepelt, hogy y„~*yo, de nem volt ott, hogy y„9^yo, mert azt nem is tudjuk.)
Eszerint például (sin (x^4- l)) '= 2 x cos (x^+ 1).Próbáljuk menteni a bizonyítást. Lehetne-e javítani rajta?Már láttuk, hogy ha g az Xq egy környezetében csak az Xq pontban
veszi fel a g-(xö) értéket, akkor az előbbi bizonyítást elfogadjuk.Mit jelent az, hogy g az Xq bármely környezetében, XQ-tól különböző
pontban is felveszi a g(xo) értéket? Ez azt jelenti, hogy tudunk találni olyan x^^Xq; x„9^Xq sorozatot, hogy g(xj=g(xg), minden «€N+ esetén.
Ebből következik, hogy
g(xJ-g(X p)^ 0x„-Xo x„-Xc = 0-^0.
Mivel feltettük, hogy az Xq pontban differenciálható, ezért a deriváltja itt 0 kell legyen.
Tekintsünk egy tetszőleges x„—Xq; x„?^Xo sorozatot. Bontsuk most két részsorozatra az {x„} sorozatot a következő módon: az {x„^} részsorozatba tartozzanak azok a tagok, amelyekre g(x„J=g(xo), az {x^^} részsorozatba pedig azok, amelyekre g(x^Jp^g(xo). Előfordulhat természetesen, hogy valamelyik sorozatba csak véges sok tag (esetleg egy sem) tartozik. Ebben az esetben a további számolás egyszerűsödik. (Gondoljuk át.) Itt most azt a komplikáltabb esetet tekintjük, amikor mindkét részsorozatnak végtelen sok tagja van.
A különbségi hányadost írjuk így :
X„-Xo /(g (x ^ J)-/(g (x o ))
'■nk>
Xn.,-Xoha x„=x^^.
277
Ily módon az {x^} sorozathoz tartozó különbségiMnyados-sorozatot is két részsorozatra bontottuk. Az első részsorozat minden tagja 0, mert
/(g(.xJ)-f(g(Xo))=f(g(xo))-f(g{xo))=0.
A második részsorozatot g(x^j9^g(Xo) miatt átalakítjuk, amint már— formálisan — tettük is, és így kapjuk, hogy
f(g(.Xmj)-f(g(Xo)) j(g (X n ,j)- f(g (X o )) ,Xmu-Xo g(XmJ~g{Xo) X ^^-X q
■^f(s(xo))g'(Xo)=f(g(Xo)) • 0=0.
Ez pedig azt jelenti, hogy mindkét részsorozat 0-hoz tart. így a beló'lük alkotott sorozat is 0-hoz tart.
összegezve: kimondhatjuk, ha g differenciálható az Xq,/pedig a g(xo) pontban, akkor f(g ) is differenciálható az Xq pontban, és
( f ig ix w i^ .o = f(g (^ o ))g '(x ,) .
Példák
2 / 1 _2 1. f (x )= x ^ . Már tudjuk, hogy (x^)'=2x, és lx®j x ezért
ix ^ '= { { x ^ y ) '= 2 x ^ ■
Az eredmény most is úgy fogalmazható, hogy a kitevó't szorozzuk az alap 1-gyel csökkentett hatványával.
Általánosabban, ha m; akkor
lx«j — Ux"jl ) =m lx"J - -x'* = — X" .
(Természetesen csak x > 0 jön számításba, de — az írás rövidítése kedvéért — nem mindig írjuk ki a függvény értelmezési tartományát.) Fel
adatként vizsgáljuk meg azt az esetet, ha r = ^ < 0 .
278
2./(x)=ű% ahol ű>0. Az ű= 1 eset „nem érdekes”, akkor / (x ) = l . Ezért tegyük fel, hogy is teljesül.
ű= a^ln a.Itt is az összetett függvény differenciálási szabályát alkalmaztuk.
x / ( x ) = | / x H ^ ;
4./(x)=sin^®x;f { x ) — 50 sín'* X cos x.
5./(x)=cos^(x3+x);
/'(x )= 4eos^ (x^+x)(cos (x^+ x))'== 4 cos^ (x^+ x)(- sin (x3+x))(3x2+1).
Azt vesszük észre, hogy „többszörösen” összetett függvényről van szó. Anélkül, hogy újabb formulát gyártanánk, az összetett függvények differenciálási szabályát kell többször alkalmazni, amint az a példából is leolvasható.
6. Ha az/függvénynek van inverz függvénye, ezt jelöljük / “ ‘-gyei.H a/ differenciálható az Xq pontban, f'(xo)p^O, és / " ^ folytonos az
f(Xo) pontban, akkor az / ~ ‘ inverz függvény is differenciálható az / ( x j pontban. Fogadjuk el ezt az állítást bizonyítás nélkül. (Az irodalom- jegyzékben felsorolt könyvek nagyobb részében megtalálható a bizonyítás.)
Az összetett függvények differenciálási szabályának alkalmazásával/ “ * deriváltját már ki tudjuk számítani. (Felhasználjuk a derivált — bizonyítás nélkül kimondott — létezését.) Mivel
/ ( f - t ( x ) ) s x ,
mindkét oldalt differenciálva:
/ ' ( / - 'W ) ( / - ’W ) '= i .azaz
( / - ‘w y
279
Tudjuk, hogy/(x )= e* inverz függvénye/" *(x)= In x, és (e*)'=e*. Feltéve, hogy In is differenciálható függvény, így
„ . , 1 1- ei„* - •
(Ezt más módon is bebizonyítottuk már.)7t 71
I .A z f : -►[—1; 1],/(;c)=sin x függvény szigorúan monoton
, / “ ^(x)=arcsinx
7Z 7t(olvasd: arkusz szinusz x). arc sin x jelenti tehát azt a —— és — közé
eső szöget, amelynek sinusa x (68. ábra). Az arc sin függvény deriválható, és az inverz függvény differenciálási szabályát alkalmazva:
. V 1 1 1íarc sm x) = -----r—— :— r= -------------------------= ---------- .cos (arc sin a;) / i_ s in 2 (a rc sÍS I)
Nagyon érdekes, hogy az arc sin derivált függvényének első pillantásra semmi köze sincs a trigonometriai függvényekhez.
8. Azi / : [0; 1; 1], f { x )~ c o s x függvény szigorúan monotonfogyó, nverzét így jelöljük: f ~ ^: [ - 1 ; 1 ]-^[0 ;??],/-*(x)= arc cos x Az arc cos x tehát azt a 0 és ?r közé eső szöget jelöli, amelynek cosinusax (69. ábra).
280
(arc cos x)'=
9. Az / : 7t 7tT ’ ~2
= tg x függvény szigorúan monoton növekvő, inverze:
7t 7t
sin (arc cos a:) j/i_cos2(arccosx) '
R ./ W =
/ - * : R 2 ’ 2
/-i( ;v )= a rc tg X. Az arc tg x tehát
azt a — és közé eső szöget
jelenti, amelynek tangense x (70. ábra).
A fentiekhez hasonlóan:
(arc tg x ) '= — 11
cos2 (arc tg x) 1
=cos^ (arc tg x)=
1l + tg2(arc tg x) l+x2*
Amint látható, az arc tg deriváltfüggvénye egy racionális törtfüggvény.
Feladatok:1. Differenciáljuk a következő függvényeket (mindenütt úgy értendő, hogy
a)
b)c)
d) (x2+ l)sin (2jc+l);
e) (x2-x+2)‘00;
k)
l) (sinx+cosx)®; m) e^cos^ x;
2+ínxn)
o)
281
cos**.f)g j xlnx;h ) ( x + l f ^ ;
i) e*lnx;j ) 2 ^ ú n ^ x ;
2. Legyen a irracionális szám: (^Y = ? (Egy ötki : x*=3. Állítsunk össze egy táblázatot a fontosabb függvények deriváltjairól. P é l d áu l l g y .
P) e" r) isin^x+2f; s ) sin sin sin x; t) Inlnx: u) X*.
Az a halmaz, ahol/értelmezve van, és a függvény differenciálható
R sin X
arc sm x
nx”- í
cosx
/ l - x 2
Folytassuk a táblázatot l , - u4, Egy, az x tengelyen mozgó pont a 0 pontból indul útfüggvénye s = a t +bt+c.
dsAz időt másodpercben, az utat méterben mérve: í (3)=21 m és t< 3 )-~ 1 3 ^ .
s
Állapítsuk meg a ; b é s c értékét.5. Állapítsuk meg a következő függvények grafikonjának a megadott pontokban
húzott érintőjének egyenletét:
a) /(x )=x^ + x+ l; P(l; 3);
b ) /(x )= cos2x; P(7í; 1);
c j f ( x ) = \ n x ; P(3;ln 3);
d ) f{x)=x^sin ^; F(í; sin 1).
282
Középértéktételek
2JT
Tekintsük az/ : [0; 2jr] - 1 ; 1 y f{x )= sin X függvény jól ismert grafikonját. sin 0= sin 2^5 és észrevesz- szük, hogy a függvény grafikonjának "ö van olyan érintője, amely az x tengellyel párhuzamos (71. ábra).
Ugyanezt vehetjük észre az 7 Lábra/ : [ - 2 ; 2 ] -R ,/(x )= x* grafikonján.Ha ezt a függvényt csak az [1; 2] intervallumon tekintjük, akkor ott a grafikonnak nem lesz az x tengellyel párhuzamos érintője.
A kérdés tehát az, hogy ha egy / diíferenciálható függvény az ű és & pontokban ugyanazt az értéket veszi fel, akkor mindig található-e az [a; b]-OTi olyan pont, amelyben a függvény deriváltja 0, azaz a függvény grafikonjának az érintője az x tengellyel párhuzamos.
Erre válaszol Rolle tétele (ejtsd: Roll) :
Ha az f : [ a \ b]-*R függvény differenciálható az [a; b]-ban és f (a )— =f(b), akkor van olyan c pont, hogy a^c-<b, és f '{c )~ 0.
Szemléletesen azt mondhatjuk, hogy a grafikonnak van az {a',f{a))\ (b;f(b)) végpontokat összekötő húrral párhuzamos érintője.
Ha az / függvény állandó, akkor c pontnak bármely ]a; ft[-beli pont választható. Ha / nem állandó, akkor figyelembe véve azt, hogy a differenciálhatóságból következik a folytonosság, f az (a; fe]-on folytonos függvény, ezért felveszi maximumát és minimumát. Ezek közül legfeljebb egyik lehet a végpontokban felvett értékkel egyenlő. Tegyük fel, hogy az / a maximumát valamely c pontban felveszi, és a-<c-<b. A feltevés szerint tehát a < x ^ b esetén/(x)^/(c), é s / a c pontban differenciálható.
f{x)~~f{c)/ gO, ha x> c, x —c V sO , ha x<c.
Ha tehát x„-^c és x„>c, akkor a különbségi hányadosok sorozatának határértéke — amelyről feltettük, hogy létezik — kisebb vagy
283
egyenlő, mint 0; ha pedig c, akkor a határérték nagyobb vagy egyenlő, mint 0, ezértf '{ c )~ 0 kell legyen.
Ugyanígy számolhatunk akkor is, h a /a minimumát veszi fel valamely belső pontban. Természetesen, mint a sin függvény említett esete is mutatja, a függvény mind maximumát, mind pedig minimumát felveheti belső pontban.
A Roiie-tétei bizonyítása során azt igazoltuk, hogy ha az/függvénynek a c pontban maximuma van, a< c^hy akkor/'(c)= 0 . Azt használtuk ki lényegesen, hogy a c pontnak van egy olyan környezete, hogy az ebbe eső pontokban f (x ) ^ f( c ) . Az nem volt lényeges, hogy azt is tudjuk, hogy az [a; b] intervallum minden x pontjára igaz legyen/(x)á/(c).
Bevezetjük a következő elnevezéseket: Az f függvénynek az pontban helyi maximuma (minimuma) van, ha létezik az Xq pontnak olyan környezete, hogy az ebbe eső x pon tokban/(x)á/(xo) (illetve/(x)^^ / W ) .
Az ífyen értelemben vett maximumot és minimumot szokás helyi vagy lokális szélsőértéknek' nevezni. A továbbiakban szélsőértéken mindig helyi maximumot, illetve minimumot értünk.
A 72. ábrán egy [a\ b] intervallumon értelmezett/függvény grafikonját látjuk. Az/-nek az öj ; % pontokban helyi maximuma, a ; í>2 pontokban helyi minimuma van. Ha az
f differenciálható az ]a\b[-on, akkor /X ^ l)= /'(ö2 )= /'(^ l)= /'(ft2 )-0 . Jó! láthatóan a függvénynek (néha abszolút) maximuma van a 5-ben, azaz
f{ x )^ f{b ) , minden x^[a\ 5]-re, de itt semmit nem tudnánk mondani a függvény deriváltjáról (természetesen a bal oldali deriváltról lehet csak szó).
Kimondhatjuk tehát a következőt: Ha az ]a; fc[-on differenciálható f függvénynek valamely XQ^]a\b[ pontban szélsőértéke van, akkor
/X x ,) -0 .
A fordított állítás nem igaz. Az / ; ]— 1; /(x)==x® függvény
284
differenciálható, / '(0 )= 0, de a függvénynek az x = 0 pontban sem maximuma, sem pedig minimuma nem lehet.
Tekintsük ismét az / :~2
■*■[0; 1]*/(x)=sin X függvényt. Ha a grafikon két végpontját összekötjük, van-e a függvény grafikonjának a húrral párhuzamos érintője (73. ábra)!
Általánosabban azt kérdezzük, hogy ha / az [a ; 6]-on differenciálható függvény, akkor van-e olyan pont, hogy
m - mb—a
A problémát visszavezetjük a Rolle-tételben széreplő esetre.Fektessünk az. f grafikonjának
{aif{a))\ {b\f{b)) végpontjain át egy egyenest (74. ábra). Ennek egyenlete:
Ix -a )+ f(a ).
Értelmezzük az [a; í>]-on a következő függvényt:
h { x ) = f ( x ) - í ^ ^ ^ {x -a )~ f{a ).
h is differenciálható az [a; 6]-on, és h{a)=h{b)=ö.Teljesülnek a Rolle-tétel feltevései, azaz van olyan a ^ c ^ b , hogy h'(c)=
= 0. De akkor0 = A '( c ) = / - ( c ) - - í í ö ^ .
Ez pedig azt jelenti, hogy
285
és
Kimondhatjuk tehát az úgynevezett Lagrange-tételt;
Ha f á z [a; b]-on differenciálható, akkor van olyan c pont, kogy
m ^ mb - a
A grafikon (c ;/(c )) pontba húzott érintője párhuzamos a grafikon végpontjait összekötő húrral.
A Rolle- és Lagrange-tételt szokás középértéktételnek is nevezni.E tételeket a továbbiakban fontos kérdések tárgyalásánál fogjuk al
kalmazni.
Példák
1. Mutassuk meg, hogy tetszőleges x , ; XjCR esetén
|COS cos
Nem jelenti az általánosság megszorítását, ha feltesszük, hogy A Lagrange-tétel szerint van olyan ^2< hogy
Xt-X^Ebből
[cos Xj - cos X2I =1<-sin c)(Xi - Xj)! á |x, - X2I,
2. Mutassuk meg, hogy az x2=x sin x+cos x egyenletnek pontosan két megoldása van a 2; 2] intervallumban.
A feladatot úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a minden x-re értelmezett
/(x )= x 2 —X sin X — cos X
függvény pontosan két pontban veszi fel a 0 értéket.A z/m inden x pontban differenciálható (természetesen folytonos is),
továbbá/(0 )= ~ c o s 0= - 1 < 0 ; f (2 )= 4 ~ 2 sin 2 -c o s 2 > 4 - 2 - l = = l > 0 ; / ( - 2 ) = 4 - ( - 2 ) s i n ( ~ 2 ) - c o s ( ~ 2 ) > 4 - 2 - l = l > 0 .
A [ - 2 ; 2] intervallumon tekintve az / függvényt, a „közbülsőérték- téteV’ alapján - 2 és 0 , valamint 0 és 2 között a függvény felveszi a 0 ér
286
téket (legalább egyszer). így az egész intervallumon tekintve /-nek legalább két zérushelye van.
Tegyük fel, hogy/-nek három vagy több zérushelye van. A Rolle- tétel szerint bármely két szomszédos zérushely között az /'-nek is van legalább egy zérushelye. így /'-nek legalább két zérushelye kell legyen. Számítsuk ki / '- t .
/ '(x )= 2 x — sin X — X cos x-f sin x= x(2— cos x).
2 —cos x > 0 bármely x esetén, ezért/ ' csak a^,x= 0 pontban lesz nulla, /'-nek egyetlen zérushelye van* ezért /-nek nem lehet három vagy annál több zérushelye.
3. A z/(x )= 5x^— x^—4x+ d függvény a 0 és az 1 pontban ugyanazokat az értékeket veszi fe l;/(0 )= /( l)= J. A Rolle-tétel szerin t/' a 0 és 1 között valahol 0 lesz. Esetünkben
/ ' ( x)=20x3 -3 x2 -4 .
Ez más módon úgy is fogalmazható, hogy a
20x^—3x^—4= 0
egyenletnek a 0 és 1 között van legalább egy gyöke.
4. A z / :R —R ,/(x )= (x —1)(x+ 2)(x—3)(x+4) függvény zérushelyei: —4; —2; 1; 3. A Rolle-tétel szerint az
/ '(x )= (x+ 2)(x -3 )(x+ 4)+ { x - l) (x -3 ) (x + 4 )+ (x - l)(x+2)(x+4)+ + (x-- l)(x + 2 )(x - 3)= 4x3-f 6x2- 26x~ 14
derivált függvénynek esik zérushelye a —4 és —2 , a —2 és 1, és az 1 és3 közé. Ez három különböző valós zérushelyet jelent. így is fogalmazhatnánk: A 4x^4- 6x^—2 6 x - 14= 0 egyenletnek három különböző valós megoldása van.
5. A z / ; R-*-R, f { x ) = x^-f-2x függvény derivált függvénye :
/ '(x )= 3x2+ 2x+ 2 .
A 3x^+2x+2=0 egyenletnek nincs valós megoldása, ezért az / ' függvény egyetlen pontban sem lesz 0. Rolle tétele szerint akkor az/függvény egyetlen értéket sem vehet fel kétszer, vagy többször.
287
1, Határozzuk meg a Lagrange-tétdben szereplő c értéket a következő függvények és intervallumok esetén;
o;/:[0;2]-^[0;4L/(x) - x2;
^ ' , f { x ) ^ - u c t g x .
Feladatok:
b)/:[0 ;iy 0;2. Mulassuk meg, hogy az x ^ + 3 x -6 = 0 egyenletnek egyetlen valós-gyöke van.
Határozzunk meg egy olyan Inicrvallumot, amelyben ez a gyök benne van,3. Mutassuk meg, hogy az 3=0 egyenletnek egyetlen pozitív
1gyöke van, és mutassuk meg azt is, hogy az benne van a 0; - intervallumban.
Monoton függvények
Legyen / értelmezve valamely ]a; b[ intervallumon, és tegyük fel, hogy itt differenciálható is. Tekintve, hogy a különbségi hányados számlálójában két függvényérték, a nevezőben pedig a megfelelő argumentumok különbsége szerepel, ezért várható, hogy a derivált előjele és a függvény monotonsága között szoros kapcsolat van.
H a/X x ) > 0 minden x 6 ]a;fe[-re, akkor bárhogyan adunk is meg az ]a; d[-ból két x ,< x 2 pontot, a Lagrange-tétel szerint van olyan < ^ 2, hogy
/ t e ) - ”/(^l)=/'(c)(X2"-”X|).
A feltevés szerint/'(c)>-0 és X2—X|>0, ebből pedig/ (Xi) < f (x ^ következik. X|-<X2 az ]a;[ ^ két tetszőleges pontja volt, ezért tehát/ szigorúan monoton növekvő függvény az ja; ^[-on.
Ha akkor pontosan az előző számolássalf '( c ) ^ 0 m ia tt/(x ,)^—/( ^ 2), azt jelenti, hogy / monoton növekvő.
Feladatként mutassuk meg, hogy ha / '(x )< 0 , a k k o r/a z ]a; b[ intervallumon szigorúan monoton csökkenő, ha pedig /'(x)sO , akkor / az ]a; fc[-on monoton csökkenő.
Mivel sokszor fogjuk használni, foglaljuk össze az eredményeket:
288
Legyen / az ]a; b[ intervallumon differenciálható függvény.a) Ha / '(x )> 0 , minden ]a; Zj[-re, akkor / szigorúan monoton nö
vekvő az ]a; fe[-on;b) h a /'(x )sO , minden x£]a; b[-XQ, akkor f monoton növekvő függ
vény az ]űt; Z?[-on;c) h a /'(x )< 0 , minden x^]a; Z>[-re, akkor/ szigorúan monoton csök
kenő függvény az ]a\ b[-on;d) ha f'{x)mO, minden x£]a; fc[-re, akkor f monoton csökkenő az
]a; ü>[-on.Ha az/függvény az ]ö; b[ intervallumon differenciálható és monoton
növekvő, akkor minden x , ; X2 ^]a \ b[-xQ
X2- X 1^ 0 .
Ebből következik, hogy/'nemnegatív az ]a; fc[-on.Ha pedig az/függvény az ]a; b[ intervallumon differenciálható és mo
noton csökkenő, akkor minden Xj; XjCja; 6[-re
^ 0 .X2-Xs
Ebből következik, hogy/ ' nempozitív az ]a; b[-on.Érdemes megjegyezni, hogy ha f differenciálható és szigorúan monoton
növekvő, a derivált függvényről akkor is csak azt állíthatjuk, hogy nemnegatív, amint ezt a z / : ] - l ; 1; l[,/(x )= x3 példa m utatja./szigorúan monoton növekvő, de /'(0 )= 0 . Szigorúan monoton függvénynek is lehet az x tengellyel párhuzamos érintője.
A továbbiakban legtöbbször csak azt fogjuk vizsgálni, hogy hol monoton egy függvény, és nem nézzük meg, hogy szigorúan monoton-e. Például:
^ ^ ' R ,/(x)= tg^ X — 3 tg X függvény hol lesz monotonA z / :
növekvő? Deriválva:
/ '(x )= 3 tg 2 x1
COS^ X COS^ X COS^ X
3 _ , - 3 cos2x( tg 2 x - l) = -cos^x
289
ahol COS'* ha n 71¥ * T
7C n- j ; ~~-j
és a
/ tehát a
vő, a
Feladat:
intervallumon; ajr 7tT ’ *4
7t TTT ’ T
. / ' tehát nemnegatív a
intervallumon pedig / '( x ) s 0.
intervallumokon monoton növek-
intervallumon pedig monoton fogyó.
n nés
n n- j ; T ’ y
Állapítsuk meg, hogy hol monoton növekvők, és hol monoton fogyók a következő függvények:
a) / : (R\{0})->R,/(x)=j:+-; c) / : R+ -R ,/ (x ) -x In x;
é j / :R - R , / í x ) =1
x^+x+Vd ) f : [0; 2n:|-4«R,/(x)—sín x+cos x.
A középértéktétel két következménye
1, Ha az / függvény az |ű ; intervallumon diíFerenciálható, és ott a derivált függvény,/' azonosan 0, akkor a szemléletből azt várjuk, hogy az / az egész intervallumon ugyanazt az állandó értéket veszi fel. Ez így is van, de bebizonyítani nem egyszerű. A középértéktétel segítségével azonban röviden igazolhatjuk.
Rögzítsük az ]a\b[ intervallum egy Xq pontját, az x pedig legyen ]a; b[ egy tetszőleges pontja. A Lagrange-tétel szerint van olyan x és Xq közé eső c pont, hogy
f (x ) - f (X o )= f(c ) (x -X q).
A feltevés szerint/'(c)=0, ezért/(x)=/(xo). Az x az ]a\b[ tetszőleges pontja lehet (nem kell, hogy Xo-nál nagyobb legyen), ezért a függvény az ]a; Z)[-on állandó.
Itt lényeges volt, hogy a függvény értelmezési tartománya egy intervallum (az nem lényeges, hogy nyitott legyen).
290
Ha például az
/:(]0 ;l[U ]2 ;3 [)-*R , / W = j ‘;
függvényt tekintjük, ez az értelmezési tartományának minden pontjában diíFerenciálható, f ’(x)= 0, az/ függvény mégsem állandó.
2. Az F és G függvények legyenek az [ö; b] intervallumon differenciálhatók, és Xq^]ü\ b[. Tegyük fel, hogy minden xQ a; fe]-re
F '{x )^G ’{x \
Ebből következik, hogy Oá G \x)—F'{x)= (G(x)-F(x))'. Ez azt jelenti, hogy a G—F függvény az [a; b] intervallumon monoton növekvő. Ezért, ha Xo< X, akkor
G(Xo)--F(xo)^G(x)^F(x),azaz
w F(x)-F(xo)^ G(x)-~ G(xo).Ha x<Xq, akkor a fordított irányú egyenlőtlenség érvényes :
* ) G(x)~^ G(xo)^F(x)-F(xo).
Legyen az / a z [a; b] intervallumon értelmezett, differenciálható függvény. Tegyük fel azt is, hogy az/ ' függvény is differenciálható az [a; í>]-on. Ekkor azt is mondhatjuk, hogy / kétszer differenciálható az [a;b]-on. Az / ' deriváltját /"-vei jelöljük. Például:
/ (x ) = x ’ ; /Xx)=3x2; f(^x)= 6x.
Azt mondjuk, hogy x* második deriváltja 6x. így jelöljük:
{x^y= 6x vagy ^ = 6 x .
Az a kifejezés, hogy/ az [ű; 6]-on kétszer folytonosan differenciálható, azt jelenti, hogy az f " deriváltfüggvény is folytonos az [a; 6]-on.
Legyen adva egy [a: 6]-on kétszer folytonosan differenciálható/függvény.
Rögzítsünk egy Xo€]a; b[ és egy Xq<Xi€ [a; b] pontot. A z /" függvény a feltevés szerint az [xq; x J intervallumon is folytonos, ezért valamely
291
pontban felveszi az m-mel, illetve M-mel jelölt minimumát, illetve maximumát.
Legyen minden Xs]-re F(x)= /'(x) és G(x)=Mx. Ekkor[xo; X|]-re
F (x )-/"(x )^M = G X x ),
A ( * ) egyenlőtlenség szerint [Xq; Xj]-re
/X x)-/'(xo )sM (x^X o).
Ezután F(x)=/(x)-/X xo)(x-X o) és G(x)=M • beírása után
ismét alkalm asuk a (■ ) egyenlőtlenséget:
/(x)~-/(x0)(x--X o)-/(X o)^M » , ha X o^xáX |.
Ezt átírhatjuk így:
m s f ( X o ) + f '( x M x - x „ ) + M - ^ ^ ^ : = ^ .
Ha a (* ) egyenlőtlenségben F{x)-mx~et és G(x)=/'(x)-et frank, akkor
m (x - X o)^fXx)-f'(xo% ha x€ [xq ; x,].
Majd (az előzőhöz hasonlóan) legyen F(x)=m - ^ -— és <j(x)=
= /(x )-/ '(X o )(x - Xq). a ( * ) egyenlőtlenség felhasználásával
(X-Xo
ebből pedig xo^x^x^-re
összegezve: Ha x€Ixq; x,], akkor
/(Xo)+/XXo)(X-Xo)+OT-
^ f{x ^+ f{X Q ){x - Xo)+Af.{x - X qY
292
írjunk X lielyébe X|-et:
f(Xo)+f(xo){Xi~Xo)+m (x,-Xo)^
S / W + / ' W ( ^ , J l / . (ÍL _ Í» 2 .
Ebből a két egyenlőtlenségből leolvasható, hogy van olyan íq szám, hogy m ^ÍQ ^M és
/ M = f M + r M ( x , - x , ) + í„ . Í í i : ^ .
A z/" feltételezett folytonossága miatt minden m és M közötti értéket felvesz az [x@; x,] intervallumon, így van olyan c^{xq\ x J , hogy/"(c)= = Íq. Ezért
/ ( * i ) = / W + / 'W ( ^ . - * o ) + / '( c ) • .
Az X|-ről csak azt használtuk ki, hogy Xo-nál nagyobb, ezért azt mondhatjuk, hogy h a / " folytonos az [a; 6]-on, akkor minden Xo^]a; b[ és X Q ^x^b esetén van olyan Xq és x közé eső c, hogy
/ W = / W + / ’W ( ^ - ^ o ) + / V ) • .
Feladatként tűzzük ki annak igazolását, hogy ha / " folytonos az [ö; &|-on és Xq€ ]a; ^[, akkor minden ű^x^X q ponthoz található x és Xq között olyan c, hogy
m = f ( x ^ w ( x „ ) ( x - x ^ ) + f \ c ) ■ •
Ezért a továbbiakban nem kell kikötni, hogy x az Xq melyik ,'oldalán”legyen.
Ha X közel van Xo-hoz, akkor /'"(c) is közel van /"(xo)-hoz, ezért Xq egy elegendően kis környezetében
/ W '» / W + / 'W ( * - % ) + / V o ) • .
A jobb oldalon szereplő másodfokú függvény „jó” közelítése az /-nek az Xo egy „kis” környezetében. Az eltérés
» 3
és mivel c az Xq és az x között van, /'" folytonossága miatt, ha x-^Xq, akkor/"(c) - / " ( xq) 0. Ezért a szorzat „gyorsabban” tart nullához, mint(x~Xof.
Ha Xo az [a; b] intervallum valamelyik végpontja, akkor is érvényes az előző, ekkor csak egyik irányban, változhatott az x,.
Konvex és konkáv függvények
A továbbiakban olyan függvényeket fogunk vizsgálni, amelyek egy-egy intervallumon kétszer folytonosan differenciálhatók.
Tekintsük az/ : [0; s r |^ R ,/(x )= sin x függvény grafikonját. Szemléletesen úgy látjuk, hogy bármely érintő a függvény grafikonja fölött van. De nem lehetünk ebben teljesen biztosak, mert hátha van valami „hor
padás” a grafikonban. Ettől még lehet a
monoton a függvény (75. ábra).
0;n -on, illetve a
n ■; 7t-on
75. ábra
Hasonló problémával találkozunk, ha a l;lJ"On ábrázoljuk az f(x)= x* függvényt (76. ábra). Ekkor úgy tűnik, hogy minden érintő a grafikon alatt van.
„Alulról” nézve ez utóbbi grafikont konvexnek (domborúnak), a sin függvény grafikonját (a [0;5r]-on) konkávnak (homorúnak) látjuk.
294
Definíció: Ha az f függvény az [a; b] intervallumon differenciálható és a függvény grafikonjának bármely pontjába húzott érintő a grafikon alatt (fölött) van, akkor a függvényt az [a: b]-on konvexnek (konkávnak) nevezzük.
Tegyük fel, hogy az/ függvény az [a; b] intervallumon kétszer folytonosan differenciálható. Ha x ; Xq€[a; b], akkor (az előző pont alapján)
/(x )= /(x o )+ /'(^ o )(^ - o)+f"{c) • ,
ahol c az X és Xq között van.H a/"(x)sO , minden x6[a; fe]-re, akkor
/(X)^/(X0)+/(X0)(X-^X0).
Figyelembe véve, hogy a grafikon (xo;/(xo)) pontjába húzott érintő egyenlete: >'=/(xo)+/'(xo)(x-Xq), az előbbi egyenlőtlenség azt jelenti, hogy a pontjai az (xo;/(xq)) pontba húzott .érintő fölött vannak. Az x© az [a; b] tetszőleges pontja lehet, ezért/az fű; b]-on konvex.
Ugyanígy látható be, hogy h a /" (x )^ 0 az [a; 6]-on, akkor az/ függvény konkáv.
Példák
1. Kiinduló példánkban (sin x)"= — sin x ; x € [0: tt], ezért (sin x)"^0, azaz a függvény ezen az intervallumon valóban alulról konkáv.
2. (x^)"= (4x^)'= 12x^s0 a [—1; 1] intervallumon, ezért a függvény ezen az intervallumon konvex.
3. Tekintsük a z / : R->^R,/(x)=2x^—6x függvényt. Ekkor
/ ' ( x ) = 6 x 2 - 6 ; / " ( x ) = 1 2 x .
Amint azt láttuk, a függvénynek ott lehet szélsőértéke, ahol f'(x)=Q . Esetünkben 6x^—6=0, azazx= 1 vagy x= - 1 . A függvény a ]— «>; - Íjon monoton növekszik, mert itt /'(x)> -0; a ]— I ; l[-on monoton fogy, m ert/'(x)< 0; az ]1; oo[-on ismét monoton növekszik, m ert/'(x )>
295
77. ábra
>0. f \ x ) < 0, ha x < 0 és/"(x)>-0, ha x>-0. Ez azt jelenti, hogy a ] — <»; 0[-on az / függvény konkáv, a ]0; oo[-on pedig konvex. A vázlatos grafikont a 77. áfcra szemlélteti.
Az olyan jcq pontot, ahol a függvény konvexből konkávba megy át — vagy fordítva —, inflexiós pontnak nevezzük. A feltevés szerint az f folytonos függvény az Xq egyik oldalán nemnegatív, a másik oldalán nem- pozitív, ezért az Xq pontban 0 kell legyen. Tehát annak, hogy a kétszer
folytonosan differenciálható / függvénynek az Xq pont inflexiós pontja legyen, szükséges feltétele, hogy f"{xQ)=0 legyen.
Azt, hogy ez nem elegendő, az f(x)= x* függvény mutatja :/''(0 )= 0 , de a 0 nem inflexiós pont.
Előbbi példánkban az f (x )= 2 x ^ -6 x függvénynek az x = 0 pont inflexiós pontja.
(A konvex (konkáv) függvények értelmezésénél nem lényeges, hogy a tekintett intervallum zárt vagy nyitott. Ha zárt, akkor a végpontokban természetesen félérintőre kell gondolni, és a differenciálhányados is jobb, illetve bal oldali differenciálhányadost jelent. Előfordulhat, hogy az érintő (esetleg egy szakaszon) egybeesik a grafikon egy részével, ekkor itt „alatta” is, „fölötte” is van a grafikonnak.)
Feladat:
Hol konvexek és hol konkávok a következő függvények?a) / : R-^R,/(x)=cos x; c) / : R-<‘R,/(x)=arctg x;
71 71b )f: ►R,/(x)=tgx; d )f: R-^R,/(x)=x^-x.
296
Függvényvizsgálat
Adott — elegendően „szabályos” — függvény esetén az előbbi pontok eredményei lehetőséget adnak arra, hogy megállapítsuk, hol lesznek a függvények szélsőértékei; hol lesz a függvény monoton növekvő, monoton csökkenő; hol lesz a függvény grafikonja konvex, konkáv; hol lesznek a függvénynek inflexiós pontjai.
Az ilyen kérdésekre adott válaszok összességét függvényvizsgálatnak vagy függvénydiszkussziónak szokás nevezni. A továbbiakban függvényeink legalább kétszer folytonosan differenciálhatók lesznek.
I. példa: Vizsgáljuk a z / : R-^R, f (x )= e függvényt.
/ '(x )= - 2xe~^^;
/ » = ~2e"^"+i~2x)e~-^\~~2x)^2e~^\2x^~-1).
f '( x )= - 2xe~^^= 0=>x= 0: itt lehet/-nek szélsőértéke. f'(x)>-0, ha x< 0, és/'(x )< 0 , ha x> 0 , azaz a ]— oo; 0[-on a függvény
monoton növekszik; a ]0; oo[-on monoton fogy.
f" (x)= 2e ^ {2x^—1)=0, ha x = — vagy x ^ —f2
1
f2
f"(x)=^0, ha vagy x>-~4r; f" (x )< 0 , ha -—?— •Y2 Í2 Í2 Í2
Ez azt jelenti, hogy a függvény a _1_
Í1-on konvex; a
297
1 ^ 15 -on konkáv; az
1. ; oof i / 2
-on pedig ismét konvex. Ezért
a -~- .L ; -L pontok a függvénynek inflexiós pontjai. |/2 Í2
Megállapíthatjuk még azt is, hogy
lim és lim
(Gondoljunk arra, hogy
lim e^= 0 .)
Foglaljuk össze eredményeinket ^ egy táblázatba, és ábrázoljuk a függ
vényt (78. ábra). (A grafikon a jel-78. ábra legzetes „haranggörbe” .)
X i1
f i
1
K 2 ■■.
1...... ; 0K2
0. i ; .
10 ;-—
f i
■ i ' •
: f i ■■1
l
12
f ' M ! 0
j f " i x ) ; + i 0 1 0 "t'
fix)j
\ max. . \
konvex 1 infle- konkáv ínfle- ' konvex1 ,
• xiós xiós :I pont i pont j
298
Egyébként az / ; R->R, f{x)=e~^^ függvény páros függvény, ezért elegendő lett volna a [ö; °o[ intervallumon vizsgálni, majd a kapott eredményt az y tengelyre tükrözni. Ezt a lehetőséget a következő példában felhasználjuk.
2. példa: Vizsgáljuk a z / : M -^M ,/(x )= ^-~ 3^+ 4x2-32 függvényt. A z/páros függvény, tehát elegendő [0; oo[-on vizsgálni, majd tükröz
zük az y tengelyre vonatkozóan. Ekkor
/ ' ( - ) = 12x’+ 8x= 2x{3x^~ 6x2+4),
ebből 6x2+4>-0 m ia tt/ '(x )= 0 csak akkor, ha Ha x>-0, akkor/(x)> -0 . Továbbá
r (x)= 30x*~ 36jc2+8=2(15a^- 18x2+4);
/" (x ) -0 , ha 15x^-18x2+4=0, azaz
1 8 ± /3 2 4 - 240_18±>^84 9 ± f nx^=-30 30 15
A két pozitív gyök: x ,= [ — • Xj= / .
f { x ) a 0 és X2 között pozitív; Xj és Xj között negatív; x j < x esetén pedig ismét pozitív.
Táblázatban összefoglalva (a párosság miatt csak az xsO esetet tüntetjük fel) :
299
!M
1 M :»n
11a\_
___ j
1%rt
1o\
+
+
\
1M
'2 «3 eu oIQ 0<.a
p
I
A függvény grafikonját a 79. ábra szemlélteti. Az érdekes benne az, hogy például a ]0; oo[-on a függvény monoton növekvő, de van konvex és konkáv íve is a grafikonjának.
3. példa:f : R -M ,
f { x ) —2 sin X—sin 2x.A függvény 2n szerint periodi
kus, és
2 sin {n—x ) - sin 2{n—x)= — (2 sin (n+ x)— sin 2 (n+ x))
miatt az x = n pontra vonatkozóan tükrös a grafikon, ezért elegendő a függvényt a [0; jr] intervallumon vizsgálni. Átalakítva:
f{ x )~ 2 sin X—sin 2x=2 sin x(l —cos x);
/ tehát a 0-ban és a jr-ben 0, közöttük pozitív. Továbbá
f '( x )~ 2 cos X — 2 cos 2x=2 (cos x —2 cos^ x + 1)==2(1—cos x)(2 cos x + 1);
/ '(x )= 0 , ha x = 0 vagy x = -^
2jcf i x ) a 0 ; intervallumon pozitív; a 7t intervallumon
negatív. Továbbáf" (x )= —2 sin x + 4 sin 2x= 2 sin x(4 cos x — 1);
/"^(x)=0, ha x = 0 ; x= jr és x= arc c o s^ .
r ( x ) a
yallumon negatív.
0; arc cos 7 4 intervallumon pozitív; az 1a rc c o s j ;^ 4
300
inter-
301
Készítsük el a táblázatot :
f"{x) 0
fix) / max.
!X : 0 1
) *
If0;arc cos -4i
1 ■ 1arc cos
41 2-t r
arc cos -; ■— 4 3
' 2rr. - y
12 -r ,--- ; rri 1 3
71
f'(x) . 0 +i ]
0 _
\konvex konkáv
Az x=7i pontra vonatkozó tükrözés után megállapítható, hogy a függ-'2n . . 47T . . . 1 2jivenynek - - b á n maximuma, a ~ - b a n mmimuma van; a 0; - j-
és a Alt; 2n intervallumokon monoton növekvő, a
2n An3 ’ 3
inter
vallumon pedig monoton fogyó; a 0, az arc cos a w és a27t—arccos^
pontokban inflexiós pontja van; a110; arc cos - 9 7t; 2rt—arccos -
intervallumokon konvex, az
arc cos - ; n 4 2jt—a r c c o s 2n
intervallumokon pedig konkáv. A 80. ábra szemlélteti a függvény grafikonját a [0; 27r]-on.
4. példa: / : (R \{ -1 ;1 } )
A z/ függvény a ]~ oo; - 1 [ ; ] - 1 ; 1[; ]1 ; oo[ intervallumokon van értelmezve.
302
(X2-1)2 (a;2-1)2»
f tehát minden megengedett x-re negatív. Továbbá
^ y -{x ^ + l)2(x2- l)2x(^2Z i ) T - - -=
^ 4 x(x24-1)~2x(x2~™1)__ 2jc(x2+3)
/ '( x ) csak az x*0-ban 0 ;h a x < - l vagy 0 < x < 1, akkor negatív; ha pedig - 1 < x < 0 vagy x > l , akkor pozitív.
Foglaljuk az eredményeket táblázatba :
1- - 1 1 - 1 l - i ; 0[ 0 10; 11 1 J i; « f
/'(X) -
/ " W - + 0 _ +
m \ \ \konkáv | konvex konkáv konvex
Vegyük még figyelembe, hogy
lim - J ^ = lim — L ~ = 0 és l i m ^,2-^r=0;
továbbá
llmx<--l
•; lim —5—r = 00;;c> -l
limx-l ■ x< I
•; limx > í
303
M
\ Í
'1
A táblázat és e határértékek fel- használásával a függvény grafikonját meg tudjuk rajzolni (81. ábra).
Feladatok:
Vizsgáljuk a következő függvényeket:1 . / : R-R,/(jc)=(x+1)2(x-1).
2 ./: (R \{0})-R ,/(x)=x+ ~ .
1
81. ábra
3 ./; (R\{ -1 ; 1 } )-R ,/íx) -^ 2 -^ .
4 ./: R ^ R ,/(a:)=x3 -3 x2+2==(x-1)(x2~2x-2).
5 ./: [0; 5 |- R , / ( x ) = /x + |/^ .
6 ./: R -R ,/(x) = - 4 ^ .
7./:R -^R ,/(x)=(x-l)e^ .8. / : [0; 2w]-*-R,/(jc) = 2cosx -cos 2x.
9 ./:R ~ *R ,/(x)= fx-/7 -n .{Figyelem: a függvény a 0 és a - 1 pontban is folytonos, de ott nem differenciád
ható!)10 ./: [0; 1ti\ ->R, f{x)—sin x sin 2x.
11./: - y ; - ^ -^R,/(x)=tgx+sinx.
12 ./: [0; 27t] - R ,/ ( x)=sin^x+ cos x.13 ./: ]0; cQ[-^R,/(jc)=ln x-arc tg x.
Vegyes példák
1. Konvergens-e az igen.
mi a határértéke?Vezessük be a következő jelölést:
1t„~ l 2 n ‘
304
Ekkor
5 + 3 +
= ^ + 5 + - - - + 5 é i + i ; ~
‘ -+. > 1
ahol j = l + i +" 2 nAz sorozatról tudjuk, hogy felülről nem korlátos. Most még töb
bet mutatunk meg róla,r/" n«i
1 + - \ növekedve,n ] lkonvergál e-hez. Ezért minden számra teljesül, hogy
Bebizonyítottuk, hogy -Ií‘+-l«+ r
n pedig fogyva
n k1 + 1 k+i
Az In függvény monoton növekvő, ezért
k ín 1 + j-^
ebből pedig1
< !< ( /:+ 1 ) In
n:ln 1+ 1 k ■
írjuk fel ezt az egyenlőtlenség-rendszert k= 1; 2; . , . ; n—1 esetén:
i < l n 2 < l ;
i < l n 3 - l n 2 < i ;
Összeadva a megfelelő oldalakat:
i+|+... + i-=lnn<=l + i+... + ;rendezés u tán :
0 < i< l4 - “+ . ..-\— ?-r4--~ln n=a„.n 2 n ~ í n ”
305
1*n+1 ■
Az {a„} sorozat pozitív tagú és monoton fogyó, mert
i-~a = —In n :0.
(A k helyébe n-et írunk a (* ) egyenlőtlenségben.){ű„} tehát konvergens, határértékét jelöljük c-vel. Ekkor írható, hogy
a„=c-^e„, ahol e„-^0. így
= ! + «+ • . . + -= ln w +c+e ." 2 n "
Ez azt fejezi ki, hogy 1 + 1+ . . . + - olyan „gyorsan” növekszik, mint2 n
az In n.Visszatérve az eredeti problémára, a fentiekbó'l
^ 2 « + C + £ 2 „ - ^ n - C - e „ =-\n2+ e2„ -e„ -^\n2 .
Azt kaptuk tehát, hogy
1 - ; f - l n 2 ,
vagy más alakban
~'ZT + Z 'ö'+ • •. + x—*-ln 2. n+1 n+ 2 2«
Ezt a határértéket megsejteni nagyon nehéz lett volna. Érdemes megfigyelni, hogy a feladat megoldása során milyen sok, előzetesen kapott eredményt használtunk fel.
2. a) Legyen a„= 1 + 11-3 1 +
12 -4 1 +
1n(n+2) . Konver
gens-e az {ű!„} sorozat?A probléma azért érdekes, mert a„ pontosan n darab 1-nél nagyobb
szám szorzata. A tényezó'k száma n-nel együtt növekszik. Első pillanatra azt gondolhatnánk, hogy a sorozat nem korlátos. Alakítsuk át a„-et :
1. 3+1 2 - 4 + 1 « 2 ^2«+ la =1-3
V- 322 -4(n + ir
n(«+2)
= 2 . ^ - . 2 .1 -3 2 -4 n{n+2) n+2
m
Azt kaptuk, hogy a sorozat konvergens, és a határértéke 2.Ha n nagy, akkor „nagyon sok” 1-nél nagyobb számot szorzunk össze,
a szorzat mégis 2 alatt marad.
b) Legyen 5„=(1+1) l+ ~ 1 + 1 í i + l ]2 3 n . Konvergens-e a
{b„} sorozat?Nagyon hasonlít az előző példához. Itt is 1-nél nagyobb számokat
szorzunk össze, és az is közös, hogy 1 +
Alakítsuk át 6„-et. Azt kapjuk, hogy
&„=(! + !)
1«(n+2) 1 és 1 + i - l . n
1 + i 1 + i l + - i jn—l\ Jí i + ‘]2 3 n\ /
3 4 H 2 * 3 * * ’ « - l
H + 1= « + l -
Ez a sorozat tehát nem konvergens.
3. Legyen ű j= 2 ; ű„^., = 2 + — , ha n ^ l .
A sorozat első négy tagja:
2; 2 + ^ ; 2 + ^
^ 4
2+- 1
2+ 1
2+2-Konvergens-e az {a„} sorozat?
Ha {ű„} konvergens és a„-^a, a
használtuk, hogy a 9^ 0 , de ez világos, mert a„>-2.
1= 2 + — -bői tehát ö = 2 + - következik, ahonnan ^ a„ a
ű 2 ^ 2 a ^ l = 0=>ű=l + /2 ;
Ha {ű„} konvergens és a, akkor és 2 + —-> 2+ i . Itt fel-
Az 1 — /2 < 0, így ez nem lehet határérték. Ha tehát igaz, hogy a sorozat konvergens, akkor határértéke 1 + / 2 kell legyen.
Vezessük be a következő jelölést: h„=a„~í — f l .Ha sikerülne belátni, hogy !)„->■ 0, akkor igazoltuk, hogy a sorozat kon
vergens, és határértéke 1 + /2 .
307
Az ű^+i-re és a„-rc érvényes összefüggés szerint :
í + / 2 + ó +.í=2H —l + f l-h b ,
i l - Y 2 ) b ,
ebből
1 + 1^2+!?,
0 ^ \b /i+il\K\ \b„^ú4 4 2 '
1 1!
Mivel 0, ezért a rendőr-elv szerint |fe_. 0.4«Ezzel igazoltuk, hogy az {a„} sorozat konvergens, és határértéke
1 + /2 . Érdemes megfigyelni, milyen sokat segített az, hogy megsejtettük a határértéket.
4. Tudjuk, hogyl + 2+ . . . + «_ «(«+!) 1
1 2 + 2 2 + . . . „(„+1)(2«+1) 1 «3 6«3 ^ 3 ’
P + 2 3 + ...+ /í3 _ « 2 (« + l)2 1 4«4 ■"4*
Vajon igaz-e, hogy ha akkorl*+2* + . . . + « * 1 ^
nk+í ~ "k+ l
Az első három példát megfigyelve nem is az volt a fontos, hogy a számlálóban levő összegre egy „teljes” formulát ismerjünk, hanem csak n legmagasabb hatványának együtthatója kellett.
n (n+ 1) « («+ 1)(2«+1)_2 ” 2 • • • ’ 6 "■3 ' ^***’
„^+1Vajon igaz-e, hogy l*+2*+ .. . + w — ahol p az «-nek
(fc+ l)-nél alacsonyabb fokszámú polinomja? Persze a példák alapján azt sejtjük, hogy igaz. Próbáljuk ezt teljes indukcióval igazolni.
308
k= 1-re igaz az állítás.Tegyük fel, hogy igaz /c^-nál kisebb lc€N+ számokra. Akkor a bino
miális tétel felhasználásával
(n+ l)*o+l^„A:a+l^(^o+ 1 ^ ° + . . . + 1
(«~ 1+ «*«+!=(«- l / “+ ‘+(A:o+1)(«-1 / ° + . . . + 1 ;
(n - l f '> + '= (« - 2 f “ ‘+(A:o+ l ) ( « - 2 f “+ . . . + 1;
2*“+ ‘=l*o+l+(^^+l)lA:o+ +1
Adjuk össze a megfelelő oldalakat, és vegyük észre, hogy a ^o+ 1-edík hatványokból csak (n+ 1)*°+ marad meg (és így
(«+ l)^«+‘= l + (/co+1)(/°+(«™ 1)*“+ . . . + l*°)+r(n),
ahol r az n polinomja, fokszáma kQ-nál kisebb. Ezért
Itt s(n) fokszáma legfeljebb kQ. Ezzel az állítást beláttuk. így pedig tetszőleges fc£N+-ra
w*+ii/t+ 2*+ ...+ «^- 1
„fc+i „&+i
mert a t polinom fokszáma k-k- 1-nél kisebb.1 fc_i_2*+ +w^
Érdekes alakzat területét jelenti a t—--------- ------------ száAi. Osszuk
a [0; 1] intervallumot n egyenlő részre. Egy részintervallum hossza így
Átalakítva;
na +
k\
Ez n darab téglalap területének az összege.Feladatként a fe=2; w=3; 4 esetben rajzoljuk is meg ezeket a tégla
lapokat !
309
5, a \b \c legyenek egy háromszög oldalai: és
(a+ b+ cys=-be
Van-e olyan k és K szám, hogy minden háromszög esetén k ^ S ^ K l Ha a háromszög szabályos, akkor S=9.Ha u= 1; h— c— n, akkor
n w
Vajon igaz-e, hogy -Ss4? Nyilván(a-\-bi-c)^—a^+2a(b + c )+ (6 + c)^ 2a(b +c)4-4fcc>4Z)c.
Ebből az is következik, hogy S>4. De S tetszőlegesen közel lehet 4- hez, mert mint láttuk, ha a háromszög oldalai l ; n ; n , akkor
4 1S = 4 + - + 4 - 4 . n rr
Igaz-e, hogy S á 9 ?(a+b+c))^9bcfennáll, ha (2b+ c)^^9bc, mert a+ b ^c^2b + c, a fel
tevés szerint.Ekvivalens átalakításokat végezve:
4b^-{-4bc+c^^9bc;{2b~cf^bc,
ez igaz, mert az a ^ b ^ c feltevést a háromszög oldalaira figyelembe véve,
0-ca+b--c-c2b—c ^ b és 0-<2b—c ^ c .
Feladatként vizsgáljuk meg, hogy mit mondhatnánk, ha S helyett a
(a+b-hcy (a-hb+c)^T - - ----------— vagy az U=------ :——ac ab
számokat vizsgálnánk. (Természetesen továbbra is a; b; c egy, háromszög oldalai, és O ^ a ^ b ^ c .)
6. Már láttunk néhány komplikált grafikonú függvényt, de a következő példa — amit érdekességként írunk le — még sokkal „rosszabb” lesz. Ezt a példát Sierpimki találta e század elején.
A függvény R-en van értelmezve a következő módon;
b -\-a Í\ ha x —a-\-bÍX ahol a és b alkalmas racionális számok.egyébjcént.
Azaz, ha ;c olyan szám, hogy található a és racionális szám úgy, hogy x~a-\-bÍ% akkor itt f{x)~ b -\-a Í2 .
Ha X például racionális, akkor x= a+ 0)/2, tehát a—x.
Feladatként vizsgáljuk meg, hogy /2 előállítható-e a-^b^2 alakban, ahol ű és 6 racionális szám.
Hogy az előbbi módon tényleg függvényt értelmeztünk, ahhoz azt kell belátni, hogy ha x=ű+í>/2, ahol a és b racionális szám, akkor ez az előállítás egyértelmű. Ha x ~ a + b f2 és x-a '-\-b 'Y2l akkor
0= a -a '+ { b -b ')Y ±
b=b' kell legyen, mert ellenkező esetben /2 előállna két racionális szám hányadosaként, ami nem igaz; de akkor a—a' is érvényes.
Ha ezt az / függvényt ábrázolni próbáljuk, furcsa dolgokat tapasztalunk. Ennek a függvénynek a grafikonja a síkban „mindenütt sűrű”. Bár minden y tengellyel párhuzamos egyenesen egyetlen grafikonpont van, bárhol jelölünk ki a koordinátasíkban akármilyen kis kört, abban van a grafikonnak pontja. Akármilyen kis körben akárhány még kisebb kör van; ha igaz, hogy mindegyikben van a grafikonnak pontja, akkor szemléletesen tényleg úgy érezzük, hogy a grafikon pontjai a koordinátasíkban mindenütt sűrűn helyezkednek el.
Vegyünk a síkban egy tetszőleges P pontot; koordinátái legyenek Xq és A, és adjunk meg egy e> 0 számot. Azt állítjuk tehát, hogy a P körüli e sugarú körbe esik a függvény grafikonjának pontja.
Tegyük fel, hogy {a„} és {b„} olyan racionális számokból álló sorozat hogy a„-\-b„Y2-^XQ és f{a^+ b„f2)= b„+aJÍ2-^A. (Nem tudjuk, hogy ilyen sorozatok egyáltalán léteznek-e; feltesszük, hogy találtunlc) Akkor b„f2+2a^-^Af2, ezéTt_a„-^Af2~-XQ, és hasonló módon aj2+2b^~^ -*XoYÍ ezért b „ -* x ^2 -A .
Most — mintha az előző bekezdés nem is lenne — azt mondjuk: {a„} legyen racionális számoknak egy olyan sorozata, amely ( J |/2 —Xq)- hoz; {b„} pedig racionális számoknak egy olyan sorozata, amely {XqY2 --
310 311
-A )-h o z tart. A racionális számok a számegyenesen sűrűn helyezkednek el; ilyen sorozatokat tehát meg tudunk adni. Ezekre a sorozatokra
a„-hbj2-^AY2~Xo+2xo~AY2=Xoés
b„+a„Y2-^XoY2~A+2A-XoY2=A.(Az előbbi formális számolás azért volt mégis jó, mert onnan kaptuk
az ötletet, hogy éppen (j/2 -X o)-hoz és (xo/2~ J)-hoz konvergáló sorozatokat kell választani. így nem olyan légből kapottak ezek a számok.) Ha tehát x„=a„+b„YX akkorf{x„)=b„+a„Yl A P„(x„; f (x„))pontnak a P(XqI ponttól mért távolsága
had{P„; F)=Y{x„-XQy+ ( f ( x „ ) - a y ^ e,
Y2 Y'2
Az x„-*Xq és f(x„)-^A miatt van olyan N, hogy ha «>iV, akkor az előbbi egyenlőtlenségek teljesülnek. Ez azt jelenti, hogy a P„(x„; f(x„)) grafikonpont e-nál közelebb van P(xq; A)-hoz, ha «>iV.
Az eredmény érdekesen fogalmazható így is: Ez a függvény azzal a tulajdonsággal rendelkezik, hogy megadva Xq-I és A-t, van olyan x„-^Xq, hogy f{x ^ -* A . Ha most változatlanul hagyjuk az Xq-1, és akárhogy megváltoztatjuk az ^-t, akkor ismét van olyan y„-*XQ, hogy az { f{y^} sorozat ehhez az új számhoz tart. Más szóval ez azt jelenti, hogy minden 56 R számhoz létezik x„-*Xq sorozat úgy, hogy f{x„)-*B.
7. Olyan függvényt láttunk már ebben a könyvben, amelyik pontosan egy pontban folytonos. A differenciálhatóság is pontbeli tulajdonság. Van-e olyan függvény, amely egyetlen pontban differenciálható ?
Van ilyen függvény; például a következő :
ha X racionális, ha X irracionális.
Ez a függvény a 0 pontban differenciálható. Tekintsük ugyanis a különbségi hányadost :
312
f M - mx „ -0
— =x„,X "
^ 0-
ha x„ racionális,
ha x„ irracionális.
Világos, hogy ha x„- -0; x„9^0 , akkor
x „ -0 - 0.
A függvény tehát a 0 pontban differenciálható. A többi pontban nem lehet differenciálható, mert mint az könnyen látható, nem is folytonos.
8. Az / : R -^R ,/(x)= cos x+cos x /2 függvényről a periodikus függvények tárgyalásánál beláttuk, hogy nem periodikus, A függvény a 2 értéket csak a 0 pontban veszi fel, máshol kisebb.
A látott módszer nem alkalmazható, ha az
/ : R-»-R, f (x )= sin x+ sin x /2
függvényt vizsgálnánk. De arra gondolunk, hogy ha f periodikus és differenciálható függvény, akkor f is periodikus függvény; ha f nem periodikus, akkor/ sem periodikus. Nyilván
/'(% )= cos x + 1/2 cos xY2; / ' ( 0)= 1 + /2 ,
a többi pontban p?dig kisebb a függvény értéke, mert X9^0 -m nem lehet egyszerre x=2kjt és xY2~2ln, ahol k; /^N. Ezért az / függvény sem periodikus. A differenciálás segítségével tehát éppen olyan egyszerűen oldottuk meg a feladatot, mint az első esetben. {Vigyázat: nemperiodikus függvénynek a deriváltja lehet periodikus függvény: /(Ar)=x-f-sin x nem periodikus, def '{x )= 1 + cos x periodikus függvény.)
Feladat:Tekintsük a következő függvényt: x€[0; 1] esetén legyen
m =2x+í, ha X racionális,3—2x, ha X irracionális.
Mutassuk meg, hogy ennek a függvénynek az értékkészlete az [1; 3], azaz a függvény kölcsönösen egyértelmű kapcsolatot létesít a [0; 1] és az [1; 3] intervallumok pontjai között. Az/ egyetlen — akármilyen kis — intervallumon sem monoton. Folytonos-e valahol ez a függvény?
313
9. Tegyük fel, hogy az / függvény valamely iníervallümon, esetleg az ;sz egyenesen differenciálható. Ez azt is jelenti, hogy a függvény grafi- njának minden pontjában van érintője. A függvény persze folytonos Ezért azt érezzük, hogy az érintő „folytonosan” változik, azaz ha két nt közel van egymáshoz, akkor érintőik iránytangense is kicsit tér el ^mástól.Ezt várnánk az eddig vizsgált ábrákból, de nem mindig van így. Van ran függvény, amely minden pontban differenciálható, a derivált függ- ly pedig nem folytonos. Egy ilyen függvény a következő:
x~ sin — , ha X9^0,X
0, ha x=0.
futassuk meg, hogy ez a függvény minden jc^R pontban differenciál- tó.
ia X 9^0 , akkor g(x)=x^ és h{x)=ún differenciálható függvények,
gy a szorzatuk is differenciálható. Nyilván
2 •x^ sm —1 1
~ 2 x sin — hx^X
1 ^ . 1 1cos —= 2x sm -----cos — .X X X
la x= 0 , akkor vizsgáljuk a különbségihányados-függvényt. Nyilván
x —0 X X
A. sin — -ről csak annyit tudunk, hogy korlátos, de ez elég.) így tehátAT
f '(x )= .2x sin —— cos — , ha jct^O,
-V X
0, ha x = 0 .
lZ / ' függvény a 0 pontban nem folytonos, mert x„=2rm 0, de
1Imt = 2 - 1
Inn sin 2wí—cos 2tm— — 1-AO.
Itt nem magát a példát érdemes megjegyezni, hanem azt, hogy nagyon vigyázni kell a szemléltetésből levont következtetésekre.
10. Ez a példa az előzőhöz kapcsolódik, de egy kicsit még „rosszabb”. Tekintsük a következő függvényt;
x^ sin \ , haocha x —Q.
Vizsgáljuk meg, hogy differenciálható-e ez a függvény.
Ha X9^0, akkor g(x)=x^ és h(x)= sin \ is differenciálható, ezértX
f '(x )= 2 x s in 4 r—— c o s 4 r .
Ha x —0, akkor
/ ( x ) - / ( 0 )x - 0
Összefoglalva:
r ix )= ^
------ -=xsin-^->Os ha x->-0.X x2
1 2 12x sin ----- c o s - r , ha x?íO,
ha x= 0 .
/ ' a 0-ban nemcsak, hogy nem folytonos, hanem a 0 bármely környezetébeli nem is korlátos. Valóban :
X = —• 1f lrm
'0 ;
~— — sin 2m + 2f2m t cos 2 m = 2 f2 mf2m t
Az /függvény a 0-ban differenciálható, deriváltja 0, de a 0-hoz tetszőlegesen közel akármilyen nagy meredekségű érintője is van. (Persze folytonos is a függvény a 0-ban.) A derivált függvény tehát a [ - 1; 1] minden pontjában értelmezve van, de nem korlátos.
315
11. A függvényvizsgálatnál tárgyalt példáknál azt láttuk, hogy ha egy jgvénynek valamely pontban maximuma van, akkor a ponttól balra elég kis intervallumon monoton növekszik a függvény, a ponttól
)bra pedig egy elég kis intervallumon monoton fogy. Minimumnál for- va, előbb fogy, utána növekszik a függvény. Vajon mindig így van ez, gy csak azoknál a példáknál, amiket tárgyaltunk?Az előzőkhöz hasonló függvény választ ad erre a kérdésre. Legyen
/ : R - R , / ( ^ ) =
Ha akkor
^'(x)=4x^
Eía x= 0, akkorf ( x ) - f ( ö ) ^
x -O
. 1 1 2+ sin — 4 1 1 2— -^ cos ——x^ Ax. 1
2+sm — — cos —X X^ X X, X
2 + sin —
Ezért
r ( x ) =4x ^2+ sin — cos
0, ha ;c—0.
n
0,
, ha X 9^0 j
ha ; := 0.
Kz f függvénynek az ;c=0 pontban minimuma van, mert ha Xr^O, kor/(x )> 0 .
f / . n n4 x Í 2 + s in ~\ z x^ — cos —
Xszorzatban az első tényező mindig po-
1Y, ha X 9^0 , a második tényezőben Ax 2 + sin — —O, ha x-*0; a
:os viszont a 0-hoz tetszőlegesen közel a +1 és — 1 értéket is fel-
zi. Ha tehát x „elegendően közel” van a 0-hoz, akkor a 0 mindkét
alán a — cos-^ miatt a második tényező pozitív is és negatív is lesz
intervallumokon. Ez pedig azt jelenti, hogy nem lehet az / a 0 előtt yó, utána pedig növekvő.
12. Ha / : R-^R kétszer folytonosan differenciálható függvény és /" (x )^ 0 , minden x-tc, akkor a^b-re (a;b egyébként tetszőleges valós számok)
/ f m m
x^ í . 11 2+sm — x_
, ha x?í0, A Lagrange-tétel miatt az a+fc «: 2
.0’ ha x= 0 . hogy
Tudjuk, hogy /a feltételek miatt konvex függvény. (Feladatként rajzoljunk ábrát, ami kifejezi a bizonyítandó egyenlőtlenséget I)
intervallumon van olyan C] pont
a+b— a
A z a-k-b; b intervallumon is van olyan Cj pont, hogy
b~ a-\-b
A z f" ( x ) ^ 0 feltétel miatt az / ' függvény monoton növekvő, ezért figyelembe véve, hogy c,<C2, / '( c i ) á / '( c 2). Ez így is írható:
____ ___
ebből pedig
Feladat:
Konvergens-e a
/
b—a
f m m2
2«/l8
sorozat?
317
—; a4=~Tr. Azt sejtem, hogy a„-+0. Ha a„-^ű akkor 61 2*2
ncsi a következő választ adta: „A sorozat első négy tagja; űj—2; 2= ^ ;
2« 2"-‘ „a„=-^=2----------------- s— ==2ű„
« «8 ( n - \ f «8
ű = 2 ö = » a = 0 .”it_ 2
sta a következő választ adta: „Ha o = - 0 . akkor ya^=-~ ^.... Tudjuk hogy(/«)*
1, ezért és — -2. Ebből következik, hogy {o„} nem korlátos,( f n f
nem is konvergens.”intsük el, hogy kinek van igaza. (Egyiküknek sem?) Elfogadjuk-e valamelyik nyitást”, esetleg kiegészítéssel? Tudnánk-e más megoldást adni?
K IEM ELT TERJESZTŐ PARTNEREINK:
M i n t a b o l t j a i n k ,
Ty p o t e x K ia d ó - In d e x K ö n y v e sb o l t
Budapest, 1024, Retek u. 33-35 , 315-0256
ELTE-pultELTE TTK A épület,Budapest, 1117, Pázmány P. sétány l/a.06-30-3087384
O l v a s ó k B o l t ja
V asudvar-Millennium Center,Budapest, 1052, Pesti Barnabás u. 4. 266-0018
M a g is z t e r K ö n y v e s b o l t
Budapest, 1052, Városház u. 1.
Sz a k k ö n y v á r u h á z
Budapest, 1065, Nagymező u. 43.
![numerikus analízis[2]](https://img.dokumen.tips/doc/110x75/577dace61a28ab223f8e7ed3/numerikus-analizis2.jpg)
