Denkinger Gza

Analzis

Nemzeti Tanknyvkiad, Budapest

TO 54442. !"iost kt ttelben megfogalmazzuk azokat az sszefggseket, amelyek~lalPJan halmazokkal is szinte ugyangy "szmolhatunk". mint a vals szmok-a.

kifejezst. Ez nincs rtelmezve az A = {-I , l} halmaz elemeire. Ha most alap -halmaznak az R-et tekintjk, ak kor az adott kifejezs rtelmezsi tartomnyanyilvnvalan az

V!!'nn . J. (1834-- 1923). Ang ol ma lematlkus.

halmazt rtjk. Ltju k, ennek elemeit H azon elemei alkotjk, amelyek nincse-nek az A-ban.

A definicibJ rgtn k vetkezik, hogy

15

B) Az eddigiekben megismert fogalmak s sszefggsek szemlltets re isvan lehetsg. Ehhez az adw:t halmazokat geomet riai a lakzato kkal (pl. k rk-kel, ngyszgekkel stb.), a halmaz elemeit pedig bizonyos ponto kkal szimbol l-zlhatjuk. Az gy kszlt brzolst Yenn-diagramnak s szoks nevezni. Ezek.001 mutatunk be nhnyat az I. brn. Az egyes brarszletek al felfrtuk , hogyazon mit szemlltetnk ... Ez a szemlltetsi md gyakran megknnyti bizonyos halmazokra vonatkozossz~f~gsek igazo lst is. Ha ui. adott alaphalmazon .megrajzoljuk' ' az sz-szefugg.es~ ~erepl halmazokat, az llts sokszor a szemllet alapjn nyil-

V~~al~va vlik, s ezt a "beltst" lta lba n nem nehz teljesen pontos bizo-nyltassa tenn i. PI. az i. b ra tdik rszlete vilgosan mutatj a, hogy ha A c B,

ak~o~ A -B= (J. Ez egybknt az e lzkben megismert definci "; alapjn isnyJlvanval .

(7)

(6)

(5)x +I>O}2x- 4~O

A -B~ (x l xEA s x ,B}

A~H-A= {x I xEH s x , A }

e) Az A s B halmazok A - B-vel jellt klnbsgn az

Pldaknt az

14

halmaz elemei. gy (5) megoldshalmaza :M~ ulnU,= (x l - l < x,,; Z, xER}.

Az is knnyen beltha t, hogy ha A -;r. B. akkor

U.= (x Ix> -I, xER)halmaz elemei elgtik ki. a msodikat pedig az

Vilgos, hogy ha An B=@,akkor

ha lmazt rtjk. Ez a halmaz azokat s csak azokat az elemeket tartalmazza ,amelyek A-nak elemei, de B-nek nem.

U, ~ {x Ix ssZ, xER}

d) A kvetkez defincinak csak akkor lesz rtelme, ha felttelezzk, hogya szba jv halmaz valamilyen .,tgabb" halmaz rszha lmaza. Mr az el

zkben is feltehettk volna , hogy az ott elfordul halmazok mind egy n.alaphalmaznak vagy univerzumnak nevezett halmaz rszha lmaza i, de erre eddigmg nem volt szksg. A kvetkezkben mindig felttelezzk, hogy az alap-halmaz ismert. Az alaphalmazt halmazelmleti vizsglatok sorn H-val jelljk .(Megjegyezzk. hogy a ksbbiekben a vals szm ok halmazr vagy ms, ebblszrmaztathat halmazt fogunk leggyakrabban alaphalmazul vlasztani.)

Legyen most AcH . Az A halmaz kiegszt halmatn vagy komptementerhalmazdn az

egyenltlensg-rendszermegold shalmazat rjuk fel. Rendezssel bel that .hogyaz els egyenltlensget az

.bA

.a

H HA (10) alatti egyenl sgek azt fejezik ki, hogy az egyests, ill. metszetk pzsidempotens mvelct ; a ( l l) alattiak azt, hogy kommutatv, a (l2) egyenl s gelepedig, hogy asszociatv mvelet. A (13) alatti els egyenlsg szerint a metszet-kpzs az egyesirsre nzve disz tribut vmvelet, a msodik ezerint az egyes tsa metszetkpzsre nzve disztributiv. A (II) alatti egyenlsgele szerint a (13)alattiakat termsze tesen

(BU CJn A ~ (Bn A )U (cn A ), ill. (BnCJUA ~(BUA)n(CUA)

AH

A u Balakban is rha tj uk.

A (IOH13) sszefggsek igen k nnyen belthatk pl. a mveletek defini-el i alapjn, de brk ksztsvel is, ezrt csak az utols egyenlsg igazols-val foglalkozunk. Az AU(BnC) halmaz nyilvn valan azokat s csak azokataz elemeket tartalmazza, amel yek vagy az A-ban vagy egyidejleg B-ben s e-ben vannak. Az AUB, ill . AUC halmazok tartalmazzk A rninden elem t, gyezek kzs rszt az A elemei, tovbb B s C kzs rsznek elemei alk otj k .Ltjuk , A U(B n C) s (A UB)n(A UC) elemei azonosak, gy e halmazokvalban egyenlk .

A nB A- B 1.2. TTEL. Legyenek A s B ugyanazon II alaphalmaz rszhalmazai, egy b-knt tetsz legesek. rvnyesek a k vetkez egyentsgek :

,

AUB~ n B~AnB.(

A (17) alatti egyenlegek az n. deM organ-kpletek. * Csak ezeket igazoljuk,az elbbiek ui. teljesen mag uktl rtet d ek .

. (17) els egyenlsgnek baloldala azt a halmazt jelenti , amelynek elemeimncsenek A s B egyestsben. vagyis nincsenek sem A-ban, sem B-ben. A jobboldal ugyanezt a halmazt jelenti, az egyen lsg teht igaz . A (17) alatti msod ikegyenlsget pl. gy igazolhatjuk, hogy az ppen bebizonytott kpletet A sE~re alkalmazzuk . Ekkor, felhaszn lva a (8) alatt i har madik sszefggst is,

D" .\1organ. Augustus (1806 - 187 1), Angol matema tiku s. Jelentsek matemarika i logikai,a lgebrai es valszin sgszmusi kutat sai.

AnA - A ( l~A n B- BnA ( l l)

An(BnC)-(A nB)nC (12)AU(Bn CJ- (A UB)n (AU CJ (13)

I . b ra

AUO~A AnO~O (14)HA ,IH~ Ff, AnJI =A (15)

AUA~ H A nA~O (16)AUB~AnB AnB~AUB (17)

A UA ~A

AUB~BUAA U(BUCJ~(A UB)UCAn (BU C) ~(A nB)U(A n cl

A-a -o ha AcB

1.1. TTEL. Tetszleges A, B s C halmazokkal rvenyesek a kvetkez szszefggsek:

16 a 17

?Vegyk most mindkt oldal komplementer halmazt ; ekkor ppen a bizony-tand kplet addik.

Pldaknt bebizonytjuk, hogy

(A - Cl -(B- Cl~ (A -B) - C.Elszr (9) felhasznlsval alak tjuk t a bal oldalt. majd alkalmazzuk (17)msodik kplett :

Ezek utn a disztributv trvny s az elzkben ltott kpletek kzl nhny-nak alkalmazsval kapjuk az igazoland egyenlsg jobb oldal t :

Ha pl. A az egyenloldal hromszgek halmazt jelenti s ~EA-val aza oldal szablyos hromszget szimbolizljuk (aER, a>O), akkor az

F : A-R [~_a'Pl (20)lekpezs az egyenloldal hromszgek halmaznak minden elemhez egyvals szmot. a krdses hromszg terlett rendeli.

Ha F egy (IS) alak lekpezs s a EA. akkor azt a B ha1mazbeli elemet, ame-lyet F-fel az a-hoz rendelnk, gyakra n F(a}val jelljk. Ha ez ppen a bEB,akkor termszetesen felrhat a

b ~ F(a)

(Ano n(BUCl= [(AnC)nBjU [A no ncl~ [(A n B)nC]U [A n(cnC)]~~ [(A nB)n C]U(A no)~ [(Anll) nC]uO~(A n B)nc ~ (A - B) - C.

egyenlsg is. Az aEA elemet ilyenkor t rgyelemnek mondjuk, b-t pedig aza-hoz rendelt kpe/emnek vagy rviden csak kpnek. Magt az A halmaz t t rgy-halmaznak is szoks nevezni, s B-nek azon rszhalmazt, amelyet A elemelnekkpei alkotnak, az A kphalmazdnak. Az A halmaznak az F Iekpezssel meg-alkotott kphalmazt F(A} val jelljk.

1.3. Lekpezsek

szimblumot alk alma zzuk. Mg tovbb rszletezve, megadhatjuk azt is, hogyaz A halmaz a elemnek a B melyk b eJemt feleJtetjk meg:

A) A gyakorlatban sokszor szrevehetjk, hogy a vizsglt halmazok kzttvalamely jelensg mlyebb megrtst elsegt kapcsolat van . Ez gyak ra n gyjelenik meg, hogy valamilyen szempont alapjn egy adott halmaz elemeiheztartoznak tekintjk (vagy kell tekin tennk) egy msik halmaz elemeit, mint pl.valamilyen gazdasgi dnts minden egyes lehetsghez az ezzel jr nyeres-get (ill . vesztesget mint negatv nyeresget). A dnts nyomn megvalsulnyeresg a meghozott dnts "kpnek". s ennek megfelelen, az a "hozz -rendels" , "szably", amelynek alapjn a nyeresghalmaz elemeit a dntshal-maz elemeinek megfeleltetjk, lek pezsnek mondhat .

ltalban is, lekpezsnek , mgpedig egy A halmaz B-be val tek pezsnekmondunk minden olyan megfele tetst, amely egy nem res A halmaz mindenegyes elemhez az A -tl nem felttlenl klnbz B halmaz egyetlen, megha td-rozott elemt rendeli. A lekpezst legtbbszr F betvel jelljk. Ha az ezzelkapcsolatos halm azokat is fel akarjuk tntetni. az

19

(21)

'o

B) Egy F : A --Blekpezst inj ek tlv lekpezsnek neveznk. ha az egymstlklnbz trgyelemek kpei is klnbznek egymstl, vagyis

Ez esetben teht B-nek egyetlen olyan eleme sincs, amelyik kt vagy tbb A-belielemhez tartozna. (Olyan eleme persze lehet, amelyik egyetlen trgyelemneksem k pe.)

Az F : A _ B lekpezs t szrjektv lekpezsnek mondjuk, ha F(A)= B, vagyisha az A kpelemeinek halmaza a B-vel azonos. Ilyenkor B-nek nincsen olyaneleme, amely ne tartozna valamelyik trgyelemhez. (Az termszetesen elfordulhat, hogy ugyanaz az elem tbb trgyelemnek is kpe.)

~a az F : A -- Blekpezsegyidej1eg injektv is s szrjektiv is, akkor bijektvlekepezsnek nevezzk. Egy bijektv lekpezs teht az A elemeihez a B mindenelemt hozzrendell. s B egyetlen elemt scm rendeli egynl tbb trgyelern-hez.

Megjegyezzk, hogy az injektv lekpezst szoks egy-egyrtelm lekpez s-nek is mondan, a bijektv lekpezst ped ig klcsnsen egyrtelm lekpezs-nek. Ha az F: A -B lekpezs szrjek v, akkor f-et gyakran az A halmaz B-reval lekpezs nek mondjk.

c) Legyen F s G egy-efty lekpezs, mgpedig F : A -Bs G: C-D. Tegykfel, hogy F(A)c C. Ekk or tetszleges a EA elemhez olyan F(a) kpelem tartozik.(19)

(18)F:A- B

F: A-B (a-b).

18l

amelyhez a G Iek pezs a D halmaz egy egyrtelmen meg hatrozott G (F(a))elem t 'rendeli. Azt a lekpezst, amely az A halmaz b rmelyik a elemnek aG (f (a) elemet felelteti meg, a G s F lekpezsekbl alkotott sszetett Iekpe-z snek mondj uk. Ezt a lek pezst a G o f szimblummal jel ljk (olv. "G krF" ). A defincibl nyilv nval, hogy

G oF : A - D.

s tetszleges aE A-ra

Az sszetett lek pezs dcfinicija alapjn rgtn l tj uk, hogy az F s az F-Ilekpezsekbl ktfle sszetett lek pezs kszthet : az F~ l o F s az F o F - l.Ezek mindegyike az n . identik us Iekpezs. vagyis olya n, amelyik a trgyhal -maz brmel yik elem nek nmagt felel teti meg . Ezeket a megllaptsokat az

F- I OF: A - A (a-a) s F oF - I : B - B (b- b)

egyenlsgek fejezik ki , vagy ms formban az

G o F(a)~ G(F(a) . (22) F- l oF(a) = a s F OF- l(b)= b (26)Lekpezsek sszettelt illusztrljuk a kvetkez pld va l.Legyen F a (20) al atti lekpezs, s legyen G a kvetkezkppen definilva :

G : R+ - R [a-61;;] ,egyenls gek, aho l aEA s bEB.

Pldaknt vizsg ljuk meg az

F: R - R (a - 3a+ l) (27)ahol R + = {a I ce-O, a ER}. M ost nyilvnval , ho gy F(A)cR+, s gy (22) alap-jn

(-- - a'y'3 a' y'3G o F(a) ~ G (F(a))~ G [-1 ~6) -~ 3a.- - 4 4y'3

lckpez st. Ismeretes, hogy k l nb z va ls sz mo k h romszo rosai is kl n-b znek egymstl , s ezeket l -gyel meg nvelve is egy mst l klnbz szmokaddnak; msrszt b rmelyik b vals szm egy rtelm en meg hatrozott a-va l

rhat 3a+ l alakba~a= b; I -mal. Az F lekpez steht b ijek tv. Az F invcrze azA pldban szerepl G s F lekpezsek ssze ttel vel teht az t a G o F lek re-zst kapt uk, amely brmelyik egyenloldal hromszgnek a sajt kerlettfelelteti meg.

[ b-I]"F- ' : R-R b-- r- (28)D) Legyen F : A - 8 bijektv lekpezs. Ekkor az A halmaz klnbz ele-

meihez a B kl nbz ele mei tartoznak, s brmelyik B ha lmazbeli elem pon to-san egy Abeli elemhez van rendelve. Jel Jje F - I azt a lek pezst, amely a 8 ha l-maz elemeinek az A elemeit gy felelteti meg, hogy tetszleges bE8 eset n

(23)

Jekpezs, hiszen ez valban eleget tesz a (23) alatti kvetelmnynek:

F-'(b) ~ b ; l s F[b ;11 ~ 3 [b ; l l + l ~ b.~em nehz beltni az sszetett lekpezsekre vonatkoz (26) egyenls gek tel.Jeslst sem . Az elsnek az

Az gy definiltF- I: B -A. (24) F- ' o F(a) ~ F- '(3a+ 1 ) ~ (3a + 1)- 1

3 a (29)lek pez st az F inverz Iekepez snek: vagy rviden: F inverznek ne vezzk.

A de fincib l nyilv nva l , hogy F - l : B,--+ A is bij ektv lekpezs, tovbbaz is, hogy F- l nverze maga az F Iekpcz s, teh t

felel meg, s ugyangyegyszeren felrha t a msodik egyenlsg is.

(25)

20 21

1.4. Halmazok szmossga

A) Az eddigiekben nem trdtnk azzal, hogy egy halmaznak hny elemevan. A megismert fogalmak s ttelek lta lnos rvnyek voltak, fggetleneka halmaz eleme inek szmtl.

Vgesnek neveznk egy halmazt, ha e1emeinek szma vges. A nem vgeshalmazokat nevezz k vgtelen halmazoknak. A termszetes szmok halmaza,az egsz szmok halmaza, a vals szmok halmaza pldul vgtelen halmaz.Felmerl a krds: ezek kzl melyik halmaz "nagyobb". melyiknek van ..tbb "eleme?

Vges halmazokat knny sszehasonltani. Egyszeren megszmlljuk akrdses halmazok elemeit, s azt nevezzk nagyobbnak, amelyiknek tbbeleme van . Vgtelen ha lmaz elemeinek .megszml lsr t" nem beszlhetnk.

Mgis, vgtelen ha lmazok sszehasonltsra is kaphatunk mdszert, ha avges halmazok elemei megszmllsnak .J nyeg t" szrevesszk. Ez rvidenIgy fogalmazhat meg: amikor egy vges halmaz elemeit megszmlljuk, akkora halmaz eleme ihez valamilyen sorrendben hozzrendelj k a termszetes sz -IDok valamely {l, 2, . . . , n } rszha lmaznak elemei t, majd azt mondj uk, hogya vizsglt halmaznak ugyanannyi eleme van, mint az {l , 2, ... , n} halmaznak.Ezzel a hozzrendelessel - mvel egymstl klnbz elemek hez kl nbztermszetes szmoka t rendelnk, s az {l, 2, .. . , n} halmaz min degyik szmavalamelyik halmazelemhez tartozik - lnyegben bijek tv lekpez st, vagyisk lcsnsen egyrtelm hozzrendelst ltestnk a vizsg lt halmaz s az {l,2, . . . , n} halmaz elemei kztt. Azt a kijelen tst, hogya k t vges hal maznakugyanannyi eleme van, ppen az rt tek intjk igaznak, mert az emltett bijekt vlekpezs ltezik.

Ez az az szrevtel, amelynek lta lnostsva l ezek utn mr tetszleges,teh t vgtele n halmazokat is sszehasonlthatunk egymssal.

Kt ha lmazrl, Arl s B-rl akkor mondjuk, hogyelemeik szma egyenlvagy egyenl szdmossgak. vagy ugyanannyi elemk van. vagy ek vivalensek.ha a kt ha lmaz kztt ltesthet bijektv lekpezs. Ha az A s B halmazoknem ekv ivalensek, de az A halmaz ek vivalens a -nek egy valdi rszhalmazval.akkor azt mondjuk, hogya B-nek tbb eleme van. mint az A-nak vagy, hogyB nagyobb szmossdg, mint A.

Az A s B halmazok kztt l tes thet bijek tv lek pezst ebben a fejezetbenegyszeren az

a-b

szimblummal jelljk, ahol aE A s bE R ; a tek pezs betjelt s a sz banforg halmazok jei t - ha nem kell flre rthet sgtl tartani - elhagyjuk.

22

B) A termszetes szmok halmazt s minden ezzel ekvivalens ha lmazt meg.szdmlJhat szmosstignak vagy rviden megszdmllhatnak neveznk .

Az elz szakaszban adott definicik alapjn a vgtelen halmazok olyan tu -lajdonsgairl is tudomst szerezhetnk, amelyek vges halmazok krbensohasem teljeslnek . Az

n-n- \ (nEN)

klcsnsen egyrtelm hozzrendel s pldul azt mutat]a, hogya nemnegatvegsz szmok halmaznak ugyanannyi eleme van, rnint a termszetes szmokhalmaz nak. Az is rgtn lthat az

n-2n. ill . n-Hl" (nEN)

bijektv lekpezsekbl. hogya pros termszetes szmok halmaza, ill . a 10pozitv egsz kitevs hatvnyainak halmaza is megszmllha t. Lehetsgesteht, hogy egy vgtelen halmaznak ugyanannyi eleme van, mint egy valdirszhalmaznak .

Kt egyenl szmossg halmaz ekvivalencij nak megmutat shoz nemmindig knny .Jormut kkat'' megadhat, klcsnsen egyrtelm megfelel.tetst tall ni. Megsz mllhat halmazok esetn a megszm llhatsg gyakra n

y

10.2) (1,2J 12.2)

(O.JJ fI,JJ

(0,0) nOJx

(-1,-l j (O,- lJ 0 , -ll

a. bra

23

gy bizony that , hogy megmu ta tjuk, hogya halmaz elemei soroza tba rendez-het k . Ezzel ui. azt mu tatjuk meg, hogy melyik az els elem, melyik a msodik.harmad ik, ... vagyis melyik elem van az l -es szmhoz rendelve, melyik a 2-es-hez, 3ashoz, . . . , s ezzel ppen egy. az adott halmaz s a termszetes szm okhalmaza kztt i bijektv lekpezst adunk meg. gy lthat be pldu l, hogyaz (x , y ) alak szmpdrok halmaza, ahol x s y egsz szmok, megszmllhathalmaz . A 2. br r l rgtn lthat a sorozatba rendezs mdja, ha a (O. O)pontbl indulva a nyilakkal jelzett ton haladunk.

Nha geometriai megfontolsok is adhatnak ekvivalencia kim utatsra al-kalmas mdszereket . Azt pldul, hogy az egsz szmegyenesnek ugyanannyipontja van, mint a (0.1) nyilt intervallumnak . a 3. bra ala pjn lt hatju k be.

YII

1.4. TTEL. Megszdmllhat6 halmaz minden rszhalmaza vges vagy meg-szmllhaM.

Egy megszmllhat halmaz elemei ui. sorozatba szedhetk, s ha ebbl el-hagyjuk azok at, amelyek nem elemei a tekintett rszhalmaznak, vagy vges,vagy vgtelen sorozat marad vissza.

1.5. TTEL. A racionlis szmok halmaza megszmIdlhat.Az sszes racionlis szm felrhat olyan E. alak trtknt, amelyben p s qq

egsz,qti-O. s a trt nem egyszersthet . Ha minden ~ trtnek a (P, q) szmprtfeleltetjk meg, ltjuk , hogy e szmprok halmaza vgtelen rszhalmaza a meg-szmllhat szmossg

{(x, y) I x, y egsz sz mok }

halmaznak , gy az 1.4. TTEL szerint ez is megszmllhat.

,, 1.6. TTEL. Ha A vges vagy megszmllhat , B pedig megszmllhat6 szd-mossg halmaz, akkor az AUB halmaz is megszmllhat.

Feltehetjk, hogy A n B=O. Ellenkez esetben ugyanis. mivel

o PI p x A UB~ [A - (An B)J UB~ A'UB,

3. bra

Ezen a klcsnsen egyrtelm p-r hozz rendeIst vet tsugarak ment nhaladva hozzuk ltre : a P pont nak megfeleltetjk a P(x, O) s a Q n, ~) pon-ton tmen sug m k a flkrrel k zs pontjt, maj d ezt az Y tengellyel pr-huzamos sugrra l a szmegyenesre vettve kapjuk a P ' pontot . Az brrl rg-tn vilgos . hogy a nyilak megfordtsval r -nek a P pont felel meg, az adotthozz rendels teht valban klcsnsen egyrtelm.

c) Most a szamossgokra vonatkoz legfontosabb ttelekkel foglalkozunk.

1.3. TTEL. M inden vgtelen halmaznak van megszmllhat6 rszhalmaza.Ezt gy l tha tjuk be. Legyen A vgtelen halmaz. Vegyk ki ennek egy al

eleni t. A marad A - {aj} =A 1 halmaz vgtelen ha lmaz, mert ha nem gy len-ne, akk or A1 U,{a. }= A is vges lenne. Vegyk ki most AI-nek egy 02 elemt.Vilgos, hogy A 2= A 1 - {a2} is vgtelen halmaz, s a megkezdett eljrs vgnlkl folytathat. Ltju k, hogy az {al' a2' ... } halmaz elemei sorozatot alkot-nak, s az is nyilvnval, hogy {al' 02, } az A-nak rszhalmaza .

24

s gy A UB szmossga az A'UB szmcssgva l megegyezik, to vbb A' isvges vagy megsz mllhatb (az 1.4. TTEL szerint, mert A'c A), ezrt elglenne a tte lt A'-re s B-re bizony tani , ahol mr A'n B={} fe~nll.

Legyen teht A nB=O. Ha A =O, akkor a tte l nyilvnvalan igaz. HaA :;{}, akkor elemei vges vagy vgtelen sorozatba rendezhetk :

A = {al> O2 , an} vagy A = {a.. 02' } .

A B halmaz elemei is sorozatba szedhetk:

Vges A esetn

vgtelen A esetn pedig

25

D) Van-e egy ltaln olyan ha lmaz, amely nem megszmllhat? Erre advlaszt - s egyben pldt is - az

s ebbl mr ltsz ik a ttel lltsnak igazsga: az AU B elemei min dk t eset -ben sorozatot alkotnak.

Bebizonythat, hogy akr megsz mklhatan vgtelen sok megszmlthathalmaz egyesit se is megszdmllhat .

l.7. T T EL. A vats szmok halmaza nem megsz mllhat.Elg, ha az t b izonytjuk, hogya (O, l) nylt intervallum szmai nem meg-

szmllha t ha lmazt alk otnak. Azt ui. mr lttuk, hogy ebben ugya nannyiszm van, mln t a mennyi a vals szmo k szma az egsz szmegyenesen . Indi-rekt bizonytsi mdot a lkalmazunk. Feltesszk, hogy (O, I) elemei megszm-llhatk, azaz so rozatba rendezhetk, majd megm utatjuk, hogy van olyanszm is a (O, I) intervallumon, amely a sorozatban biztosan nem szerepel. Eb-

bl valba n kvetkezik, hogy a vizsglt ha lmaz nem lehet megszmllhat.Ksztsk el teht a (O, I) intervallum tizedestrt a lakban rt elemeibl a

O, a li a ll an0 , 02 1 a 22 a 23

O, a 31 a32 an(30)

uum szmossg. Knnyen bebizonythat, hogyaszmegyenes minden, leg-albb kt elemet tartalmaz nylt intervalluma kontinuum szmossg halmaztalkot.

1.8. TTEL. Ha A vges vagy megszmllhat halmaz. s B-nek van meg-szmldlhat rszhalmaza, akkor A UB szmossdga megegyezik B szmos-sgval.

Legyen B' a B halmaz egy megszml lha t rszhalm aza , s O"=B- B' .Tekintsk AUB kvetkez felbontst :

AUB~AU(B'U 8") ~ (A UB') Ue-,

Ebben az 1.6. TTEL rtelmben A UB' megszmllhat . Ha teh t az A UB'halmaz s a B' halmaz kztt klcsn sen egyrtelm hozzrendelst ltes-tnk, majd B" minden elemnek nmagt feleltetjk meg, klcsnsen egy-rtelm Iekpezst alkotunk az A U B s a B halmaz elemei kztt. Az A U Bszmossga teht valban egyezik B szmcssgval.

E ttel szerint pl. a [O. I) balrl zrt, jobbrl nylt intervalIwn pontjai is kon-tinuum szmossg halmazt alkotnak, mert [O, 1) = {O}U(O, I), s a (O, l) hal-maz kontinuum szmossg.

soroza tot. Ebben OU- mindegyike sz mjegyeket jell. Ha felttelezzk , hogy akrdses halmaz megszml lha t, akkor ezt a sorozatot gy is elkszithetn nk,hogy a hal maz minden e1emt tartalmazza. Megmu ta tjuk, hogy ez nem lehet-sges. Brhogyan ksztjk el ui. a (30) alatt i sorozatot, az az

(31)

(O, 1) intervall umba es vals szm, amelynek szmjegyeit a

(32)

egyenlsgnek megfelelen vlasztjuk, biztosan nincs a (30) al~tti szmok ~zt t. Az x ugya nis a sorozat egyik elemvel sem egyezhet meg. hiszen (32) miat tbl klnbzik ali-tl. b2 klnbzik 022t6I, .. . , bk klnbzik aa-tl, s gytovbb.

A vals szmok hatmazt. s minden ezzel ekvivalens halmazt kontinuum szd-mossgnak nevezzk. Lttuk, hogyaszmegyenes (O, l) in tervatluma konti-

26

1.9. TTEL. Az irracionlis szmok halmaza kontinuum szmossg.Ez az elz ttelbl kve tkezik. Ha ui. a racionlis szmok halmazt az irra-.

clonlls szmok ha lmazval egyestjk, olyan halmazt kapunk , amely az Irra-cionlis szmok halmazval egyenl sz mcssg. Az egyests az onban a valsszmok halmazt adja, amely kontinuum szrnossg .

1.10. TTEL. Azok o zedestrtek, amelyek a balrl zrt, jobbrl nyilt (O, 1)intervatlumba es szmot jellemeznek. kontinuum szmossg hatmattalkotnak.

Ez a ttel tbbet mond, mint amennyit az 1.7. ttelben bebizonytottunk.':'- vges zedestrtekke jellemezhet szmok u i. vgtelen tizedestrt a lakba isIrhatk, pldul a

0,12 s 0, 1I9 99 .. o

tizedestrt ugyanazt a racionlis szmot jelenti. (G OndOljUk meg : az x==::

01119 99... szm kielgti a

101x=1 19,99...sa

102x = 11.99 .. .

27

egyenleteket, gy alOlx -102x = 108

9OOx~ 108

egyenletet is. Ebbl azonban x=~= I~=O, 1 2, a kt tizedestrt teht val-ban ugyanazt a szmot adja .)

A ttel ezek utn knnyen belthat . Mlvel a [0, 1) intervallum vals szmai- mindegy iket csak egyik alakjb an szmtsba vve - kontinuum szamos-sg halmazt a lkotnak, gy a vges tizedestrt ek msik a lakjnak megszm-llhat halmazat ezzel egyestve, az 1.8. ttel szerint jra ko ntinuu m szamos-s g halmazt kapunk.

Befejezsl megemltjk , hogy vannak a kontinuumnl nagyobb szmoss ghalmazok, st, tetszlegesen nagy szmossg ha lmazn l nagyobb szmoss-gak is. Bebizonytha t, hogy egy halmaz sszes rszhalma::ainak halmaza m n-dig nagyobb szmossg, mint az adott halmaz .

1.5. Halmazok szorzataA) Legyenek Al' A2, , A ~ tetszleges, nem res ha lmazok (n ~ 2). E hal-

mazok Al XA2X ... x A~-nel jellt Descartes-szorzatn" vagy egyszer en csakszorzat n a kvetkez halmazt rtjk :

A balolda lon ll szmblumot gy olvassuk : ..A l kereszt A 2 kereszt . . .", Lt-juk. ez a ha lmaz az A l' A2 A~ elemeibl kszi tett, rendezel! elem-n-eseketta rtalmazza - s csakis ezeket - , amelyekben teht az els elem az A l eleme,a msodik az Az eleme, s gy tovb b.

Ha (33)-ba n AJ= Az= .. . = A ~ = A, akkor ezek szorzatt A ~-nel (olv. " A adn") jelljk. Ez a ha lmaz az A e lemeibl kszitett elem-n-esek halmaza, tehts z cscreo:

B) A tovbbiakban mi csak a va ls szmok halmazbl kszitet t szorzat-halmazok ismeretre fogunk tmaszkodni . (34}nek megfelelerr n ~ 2 esetn

(35)

s R1=R. Az R" halmaz elemeit legtbbszr vektoroknak nevezzk, s ha azelemek szmra is utalni akarunk, n elem vek toroknak vagy n dimenzis vek -toroknak. A vektorok rvid jellsre kzrsban alhzott kisbetket hasz-nlunk , nyomtatsban pedig flkvren szedett kisbetket. Pldul

Az x vektort a lkot x I> Xz, . , X~ vals szmokat a vektor koordintdinakmondjuk. Mr a kzpiskolai tanulmn yokbl ismeretes . hogy

s az

halmazok elemeit, a kt-, ill. hromdimenzis vek torokat , a skban , ill. a trbenfelvett koordin ta-rendszerben brzoln i is tudjuk pldul egy olyan "nyllal",amely a koordinta-rendszer kezdpontjbl a P(XIo xz), ill. P(Xh Xz, xJ) pontbamutat.

~.~ Rz s R " elemeit a ke1-, ill. hromdimenzis tr pon tjainak is megfelelte t-hetjk. Ennek lta lnost saknt nevezzk R~-et gyakran n dimenzis trnekvagy n dimenzis vektortrnek. az R~ elemeit pedig az n dimenzis tr pon tjai-nak.

Mq Tudjuk az e lz fejezetbl . hogy az R kontinuum szmoss g halmaz .?st az~ a meglep tnyt igazoljuk, hogy R" elemeivel sem j utottunk naevobb

SZlirnossag halmazhoz, vagyis : - ~

1.11. TTEL Az R" h I koru . . . h lEI ' . ' , amaz onunuum szamos.mgu amaz.eg azt bzonyltani, hogy a

IHscar'~$ . Ren ( 1596 - 1650) . Francia filozfus . matemalikus cs fizikus. Maleffill tikai munk s"sa~a a geometria s az algebra te rl eten a legjekmscbb.

A ~ = {(X., Xz, ... , x,,) I x ,EA , i= l , 2, . . ., n}.

Ha n = 1, ak kor legyen AI = A.

(34) K = {(XI> .. , X~) ! O~ Xj

a K halmaz s a [O, l ) intervallum pontjait jellemz tizedestrtek kztt kl-csnsen egyrtelm megfeleitets ltesthet.

Legyen (x" X2 ' , X,,) EK. Ekkor az x / koordintk mindegyike egy, a [O. I)intervaUumba es vges vagy vgtelen tizedes trt. Ha a vges tizedestrteketO szmjegyek hozzirsval vgtelen tizedestrtknt rjuk, akkor az x rk mind-egyike

XI=O, a/I aa ... (i= l . 2, . . . n)

alak lesz, ahol alI. aa . . sz.mjegyek.Feleltessk meg most az (XI' . . x,,)vektomak a

Ha X ==(XI.X2' x,,)EM. akkor az ehhez tartoz y ER rtket fggvny~rtknek vagyazffggvny x-hez tartoz helyettesttsi rtknek mondjuk. Eztgyakranf(arszel vagy f(x" x,. " " x,rnel jelljk, azaz

Y =f(a)~f(x"x" ... ,x,). (3 i)

Ha a fggvny definicijban n = l, akkor egyvdltozdsfggvnyrlJlvagy egy-vdltozs vals fiiggvnYT61 beszlnk. Ez esetben teht

f:M - R, MeR,

s az xEMhez tartoz fggvnyrtk jele :

y =f(x) (38)vgtelen tizedestrtet. Nyilvnval, hogy gy a K halmaz elemei s a [O. I)inter vallum tizedestrtjei kztt bijektv lekpezst hoztunk ltre, s ezzel attelt mris igazo ltuk.

Megjegyezzk, hogy y ~f(xrszel gyakran jelljk magt azffggvnyt is,ktnseo, ha ez igy ltszik clszernek. Ilyenkor x-et fggetlen vdltozdnak isszoks nevezni, y-t pedig fgg6 vdltozdnak. A tbbvltozs esetben hasonl ahelyzet ; ha (37}te1 egy n-vltozs fggvnyt jellnk, akkor itt Xh X2 X.jtsszk: a fggetlen vltozk szerept, y pedig a fgg vltozt.

F:M- A

1.6. A fggvny fogalma

A) A fggvn y teljesen ltalnos fogalma azonos a lekpezs fogalmval.Enn ek ellenre nem szek s minden lekpezst fggvnynek mondani , hanemcsak azoka t, amelyek

lekpezst rtnk, amelyben MeRn (nEN). Ez teht olyan megfeleltets, ame lyaz M halmaz minden elemhez egy egyrtelmen meghatrozott vals szmotrendel. Az M halmazt a fggvny rtelmezsi tartomnynak nevezzk. azf(M)e R halmazt pedig a fggvny rtkkszletnek.

egyenJ.etet kt fggvny. az

!.(x)=Yr2 x 2 s J2(x)=-yr2 x 2Sszefoglal jellsnek tekintjk.

B) Ahhoz, hogy egy fggvnyt megadjunk, kt dologra van SZkSg. Egy-rszt, meg kell mondan, hogy mi a fggvny rtelmezsi tartomnya, msrsztismertetni kell azt a lekpezst (szablyt. utastst), amelynek alapjn az rtel-mezsi tartomny brmely rtkhez a hozz tartoz fggvnyrtket meg lehethatrozni. Ez utbbi sokflekppen trtnhet: kplettel. egyenlettel, tblzat-tal. grafkonnal, szbel kzlssel stb. E megadsi mdoknak klnfle elnyeivannak. A kplettel adott fgg vny pl. teljesen pontos szmtsok: elvgzsre is

~a1mas. gy ilyen esetben a problmk egzakt megoldsra is lehetsg nylik.telnosabban, egyenIettel akkor adjuk meg a fggvnyt, amikor a definci-?aD~I halmazok elemei kztt sszefggst legknyelmesebben gy fe-J~e~Jk ki. Megjegyezzk, hogy egy egyenletbl az xEM-hez tartoz y nem

:'~dl~ ha~rozhat meg egyrtelmen . teht egy egyenlet nem mndg tekint -Ia~os~u~enynek. Ilyenkor az egyrtelmsg biztos tsra valamilyen "ptl-h egllapodst kell tenni. Ilyen pl. az. amikor abban llapodunk meg~~ .

x 2+y2=r2(36)f : M - R

alakak, ahol az A valamilyen szmhalmaz.A fggvnyek jellsre legtbbszr az fbett hasznljuk. soksz or alkalma-

zunk azonban nagy betket, st grg betket is.Ebben a knyvben csak n. vals fggvnyekk el foglalkozunk. Erre vonat-

kozik a kvetkez definci.Egy n vltozs vals figgvenyen olyan

30 31

A t blza tta l megadott fggvny rendszerint igen egyszeren kez lhet.A grafikonnal adott fggvnynek az az elnye, hogy arrl a fggv ny bizo nyostu lajdonsgai "rnzsre", kzvtlenl lthatk. A szbeli kzlst fleg akkoralkalmazzuk, amikor ms mdon kr lmnyes lenne a fggv ny definilsavagy. amikor a gyakorlati felhasznls gy vlik egyszerbb. Pldul a pos tailevlkldemnyek brmentesitsre megadott "uta sts" is ilyen sz beli kz-lssel definilt fggvny.

C) A kvetkezkben fleg kptettel adott fggvnyekke l foglalkozun k. Ilyen-ko r a kpletet is

Amikor kplettet ado~~ fg~vn,yhez val~~ilyen okbl az rte1m~z~si tart,o-, yt is megadjuk, ezt tbbnyire ugy kzljk. hogy a kplet mell rjuk az er-:~;ezsi tartomnyt megha t roz kvetelmnyt. Pl. az

. [ ~ ~lj esm x - 2;:; x;; 2mdon adott fggvny az

halmazon rtelmezett sinusfggvny.

alakban szoks rn i, s - pongyoln - ezt is fggvnynek nevezni. A ..fgg.vny" persze nem maga a kplet, hanem a kpletben rgztett lekpezs (hozz-rendelsi szably).

A kplettel adott fggvnyek et explicitfggvnyeknek is nevezzk . Azokat afggvnyeket, amelyeket olyan egyenie ttel rtelmez nk, amelybl az )' nincs.,kifejezve". teht nem (39) alakak. implicit fggvnyeknek mondjuk . Ezeketgyakran rjuk

y =f(x ) vagy y=f(x) (39) Megjegyezzk. hogy gyakorlati feladatokban szinte mindig szksg van akrlmnyek ltal.,behatrolt" rtelmezsi tartomny ismeretre. hiszen bizto -san megvalsthat eredmnyt csak gy nyerh etnk.

D) A kvetkez defincikban az Ml s Mz halmazok legyenek R rszhal-mazai.

Kt fggvnyt , azf: M 1-R s g : Mz- R fggvnyt akkor mondunk egyen-lnek. ha M I=Mz=M, s minden x EM-re

f(x,y) =O vagy f(x" x" . . . , x.,y)=O f(x) =g(x).

Azf s g fggvnyek hnyodos nok azt az f alakban rt fggvnyt nevezzk ,amelynek rtelmezsi tartomnya az

Fggvnyek sszegt, k lnbsg t s szorzatt csak az r telmezsi tartom-nyuk kz s rszn rtelmezzk . Igy pl. azf: M1-R s g : Mz-R fggvnyeksszege, kidnbsge, ill. szo--:'zata az azf+g,f- g. ill. j". g szimblumokkal jelltfggvny, amelyeknek rtelmezsi tartomnya az M = M1n M z halmaz. s br-mely xEM-re

alakban , (Ha az adott egyenletet "o-ra redukljuk", ilyen formj egyenlsgetkapunk.}

Ha kple ttel rtelmeznk egy fggvnyt, akkor ennek rtelmezsi ta rtom-nyt - ha nem felttlenl szksges - nem emltjk. Ilyenkor azt a halmazttekintjk rtelmezsi tartomnynak, amelyre az adott kpletnek rtelme l'on,

Ha pldul egy ktvltozs vals fggv nyt az

kplettel ad unk meg, akk or a fggvny rtelmezsi tartomnynak az egsz RZhalmazt tekintjk . Ha egy egyvltozs vals fggvnyt az

ill.

(f+g)(x) = f(x)+ g(x),(f- g)(x) = f(x ) - g(x),

(f. g)(x)=f(x) g(x) .

M= {x l -c l cs x a l }

kpletben foglalt szabllyal defini lunk , akkor rtelmezsi tartomnynak azonx-ek halmazr vlasztjuk, amelyre Yl- X Z ltezik, teht amelyre 1- X Z5:=" O,vagyis az

halmazt.

32

M= (., I xEM, nM" g(x),eO }halmaz, s minden xEM-re

(l j(x)=/Cx) .g g(x)33

Az eddigiekben adott definicik tbbvltozs fggvnyekre is rvnyesek, haMIc R", M2cR" s az x helyett az x szimblumot szerepeltetjk.

E) A kplettel megadott egyvltozs vals fggvnyeket. tpusaik szerint, akvetkez elnevezsekkel foglaljuk ssze.

Racion lis egszfggvnynek vagypoinomfilggvnynek, vagy egyszeruen csakpolinomnakaz

Egy ktvltozs racionlis trtfggvny:

f(x)= ~+;d+ 3XI~2-~x,+ 5X2- 1 .Xl X 2

A tbbi tpuara is krmy pldkat felrni.

f(x) =o.,x"+O,X'-'+ ... + 0, (nENU{OJ)

(n, mENU{O}, b,;o'O)

1.7. Az sszetett fggvny s az inverz fggvny

35

(42)

(41)

(40)(g o!xx) = g(f(x)).

f -'(Y) =x, ha f(x) =y,

,.

Az inverz fggvny fogalmt az inverz lekpezsfogalmnak megfelelen de-fn ljuk. Ha ez f : MI- R (MIe R) fggvny olyan, amely az MI s az/(MI)halmazok kztt injektCv 'fekipezst ltest (ekkor a lekpezs az Ml s/(M.)

kztt nyilvnvalan bijektv is), akkor azt azj-l-gyel jellt fggvnyt. amely-nekrtelmezsi tartomnya azf(M,) halmaz, sbrmelyy E/(Ml) esetn teljesl.hogy

A) Az sszetett f ggvny s az inverz fggvny fogalmt most csak egyvlto-zOO fggvnyekre fogalmazzuk meg.

A g:M,-R s f:M,-R (M,c R,M,c R) fggvnyekbl ksztett, gofalak sszetett fggvny vagy kzvetett juggvny az SSZetett lekpezs defn-cijnak megfelelen akkor van rtelmezve. ha / (MI)c M2 Ekkor a g off~vny az a fggvny. amelynek rtelmezsi tartomnya az MI halmaz. s mm-den xEMJ-re

az f fggvny inverznek nevezzk.Megjegyezzk, hogy amikor azffggvny ltal adott lekpezsMI s/(M1)

kztt nem injektv, az inverz fggvny nem definilhat egyrtelmen. Ilyen-kor az adott I fggvny rtelmezsi tartomnyt ltalban clszeren lesskltjk valamely M,cMI halmazra gy, hogylaz MJ s f (M,) kztt mr injektfvlekpezst adjon, s azfinverzt azf: M,-f(M,) fggvny inverzeknt rtel-mezzk.

Nyilvnval, hogy az inverz fggvnyekre nzve is igazak a (25}-nek s a(26)-nak megfelel kpletek:

alak fggvnyeket nevezzk, ahol az a t egytthatk vals szmok (v= O, l, . .tn). Ha ao;;O!O. akkor a fggvnyt n-edfok racionlis egsz fggvnynek vagyn-edfok polinomnak mondjuk.

Racionlis trtfggvinynek kt polinomfggvnyhnyadost nevezzk. tehtaz

f(x) = 5' , f (x )=xl'. f(x) =sinx, f (x )=lgx+l'x', ..

34

~' Ix2-ax+-2x - 2 xf(x)=2x- I, f(x)= y'2, f(x) = +x'.I'xL J I'.r'+bA nem algebrai fggvnyeket transzcendens fggvnyeknek mondjuk. Ilye-

nek pl.

Ezeket az elnevezseket tbbvltozs fggvnyekre is kiterjeszthetjk. Ekkora jobb oldalon x helyett az x koordin ti szerepelnek, teljesen "szabad" ssze-ttelben. Igy pl. egy msodfok, hromvltozs polinom vagy racionlis egszfggvny a kvetkez :

f() 0.,x"+0,X'- '+ . +0"x boX*+blx'" I+ . . . +b",

alak fggvnyeket. Ezek nyilvnvalan nincsenek rtelmezve a nevez nulla-helyein.

A racionlis egsz- s racionlis trtfggvnyeket sszefoglalan racionlisfggv/nyeknek mondjuk.

Azokat a vals fggvnyeket, amelyekben a vltoz6 s a vals szmok, ill. avals szmokat jelent betk kztt a ngy alapmvelet, tovbb az egsz- sracionlis trt kitevj hatvnyozs legfeljebb vges sokszor fordul el , algeb-raijggvnyeknek nevezzk. gy algebrai fggvnyek pl. a kvetkezk:

l

tovbb(43)

ahol termszetesen xE M, (vagy xEM,), s y Ef(M,) (vagy YEf(M,)).

B) Sszetett fggvnnyel a gyakorlatban igen sokszor tallkozunk, olyankorpl. mindig, am ikor egy fggvny helyettestsi rtkt tbb lpsben hat rozzukmeg. Pldul az

y ~J'I-x (x ,,!)

egyenlet gykel ppen a szban forg inverz fggvnyek b helyen felvett rtkei,ennyiben ezek lteznek.

arnAz edd igiekbl ltj uk : injektv Ifggvrry inverznek meghatrozsa lnye-gben azt jelenti, hogy x-re nzve megoldjuk az

f(x)=y

egyenletet , majd megmondjuk, hogy melyek azok az y rtkek, amelyek egyl-taln szba jhetnek.

Kplettel adott f ggvny esetben ez nha egszen egyszeru. Ha pl. az

fggvny is tekinthet sszetett fggvnynek. amelyik az

kplettel definilt - nyilvnvalan injek tv - f ggvnyt vizsglj uk , ak kor en-nek inverzt az

s azy~g(u)~ ru (u"o O)u=f(x) ~ !- x {x ss l )

y 2x- 34

egyenlsggel adott sszefggs fejezi k i, ahol y tetszleges vals szm lehet.A kvetkez szakaszokban azokkal a fggvnyekkel foglalkozunk, amelyek

a gyakorlatban a legfontosa bbak. Ezek inverzeit fogjuk defin ilni az A szakasz-ban mondottaknak megfelelen.

D) Az Y =x 2 vagy ltalban a pros kl tevs y =x" alak hatvnyfggvnyek-kel defini lt lek pezs nem injektv : ha x r!-O, a kkor x-hez s (-x)-hez ugyanaza: rtk tartozik . llapodjunk meg a bban, hogy az y = x" (fl pdros) hatvny-fggveny inverzen az

alakban rjuk, ahol y ~ O.t A. p~atlan fl kltevs y = x" fg gvny - mnt ismeretes - az egsz rtelmezsir:~:omany?n ~njektv lekpezst a d, hiszen klnbz szmok ugya nazon p-Eztan ~ kltevos hatvnyai kl nbznek egymstl, gy ennek inverze ltezik.

az mverzet is

fggvnyekb l keletkezik. Nyilvnval , hogy most j"rtkkszlete rszhalmazaa g fggvny rtelmezsi tartomnynak, s valban, ezzel a g-vel sj-fel:

amint lltottuk.Megjegyezzk, hogy mi nden fggvny tekinthet sszetett fggvnynek, s az

..sszettelt.. ltes t fggvnyek sokflekppen megvlaszthat k.

c) A gyako rla tban egy-egy fggvny inverzve1 is sokszor dolgozunk. -Hapldul az / fggvny injektv, s a Oeleme az f rtkkszlet nek, akkor az

egyenlet megoldsa tulajdonkppen az 1 - 1(0) fggvnyrtk meghatrozstjelenti. ltalnosabban, ha a b paramte r az/rtkkszletnek elemein futhatvg ig, az

egyenlet megoldsa : x =I -I(b). Mg l ta ln osabban : ha 1 nem injektv, de r-telmezsi tartomnya pl. olya n intervallum okra bonthat, amelyekben 1 mrinjektv lekpezst biztos t - azaz, amely intervallumok mndegykben azezen interva llumokra lesz k tett rtelmezsi tartomny f fgg vny tnverzeltezik -, az

36

4y+3x~-2-

y~.'" (x "o O)fgg~'ny inverz t rtjk. Ezt az inverzet az

"x= J'Y (n pros)

"x= yy (n pra tlan)alakba '. k

n IfJU ahol y tetszleges val s szm.

(44)

(45)

(46)

37

. Jeszkreu" rtelmezsi tartomny - s, mint ismert, itt injektiv lekpezstad - fggvnyek inverzeikn t definiljuk. Igy a sinusfggvny inverze az az

E) Hasonl a helyzet a trigonometrikus fggvnyek inverzeivel is. Mivel atrigonometrikus fg gvnyek sem definilnak injektlv lekpezst, igy inverzei-ket az

y = tg x ( - ; ", d''' vagyis k lnbz rtkek hezk~lon~zo f?ggvnyrtke{ tartoznak.} Az (57) inverz t, mint ismeretes, logo-titmusfggvnynek nevezzk, s az

szimb lummal jellt fggvny, az n . arcus sinusfggvny, amelynek rtelmez-si tartomnya az M= {y l-l ~Y~ l} halmaz, s amely tetszleges Y EM-hez azta [ - ; , ;] zrt ntervallumba es sz get adja (radidnban) , amelynek sinusa y.

Hasonlkp pen : az y e cos xfggvny inverzn a (49) a lat ti f ggvny nverz trtjk . Ezt

y =aX (a>O,a> I) (57)

jelli. ahol YEM = ' I - l :=iY;; l }, s amelyben x azt a [O, :t] intervallumba esss get jelent ( radinban), amelynek cosinusa y.

A tangensfggvny inverzn az (50) alatti els fggvny inverzt rtjk. Ezt az

x e-arc cos y (52) x~log"y (es-, a ,,< l) (58)

SZimblummal jelljk. Nyilvnval. hogy y ::>O (mert (57) rtkkszlete az:>0 e~y,enlt1ensgnek eleget tev vals szmok halmaza), s XER. A (43)gyenlosegeknek most az

jelli , ah ol YE R, s x az a (- ; , ;) nylt intervallumba es szgrtk (radin-ban), amelynek tangense y.

A cotangensfggvny inverz t

(59)x e arc tg y (53)log~a" == x, ill. alOll4Y == yegyen lsgek felelnek meg.

az~!t~egj~g~eZZk. hogy inverz fggvnyek esetben is sokszor jelljk X-szelnllam~zesl_tartomny elemeit - annl is inkbb. mert e fggvnyek gyakran

n IS elofordulnak - s y-nal a fggvnyrtkeker. Ilyenkor teht az

x=arc ctg y (54) y =f(x ) inverznek az y =f- 1(x)

38 39

fggvnyt tek intjk, s ennek megfelelen pl. (44) helyett az4x+3Y~ 2

kpleteI rjuk, (45), ill . (46) helyett azY~ fx

kpletet, (51) helyett az

y e a rc sin x

(60)

(61)

(62)

f elletet alkot. Ezt a fellet et a ktv ltozs fggvny brjnak, ill. kpnek

ne~~~~ s ktvltozs vals fggvny brj nak elksz itsvel e-cha ez egyl-taln lehetsges - a fggvnyrl igen szemlletes kpet nyerhetnk . Sajnos,

kettnl tbb vltozs fggvnyek ilyen szemlletes brzolsra mr nincslehetsg.

B) Egy egyv ltozs fggvny kpt vzlatosan tbbnyire gy rajzoljuk meg,hogy a fggvny rtelmezsi tartomnybl vett XI> X2' , x" rtkekkel el-ksztjk az

kifejezst , s gy tovbb. Ekkor termszetesen a (43) msodi k egyenlsgnekmegfelel egyenlsget is

(x ,,f(x,)), (x,,f(x,)), . . . , (x",f(x"))szmprokat, ezeket az X Y skon br zoljuk . majd a kapott pontokat "rzsalapjn" sszektjk. Ha elg sok pontot rajzolunk meg s elg krltekintenvgezzk munknkat, a fggvnyr l elg j brt kaphatunk. Ltni fogjuk a

kvetkezkben, hogy egy j b ra e1ksztshez igen sok mlyebb ismeretre isszksg lehet.

Felttelezzk - a kzpiskolai tanulmnyok a lapjn - a legfontosabb f gg-vnyek grafikonjainak ismerett. Ezrt a 4. brn az y ox-cb, y =x2 s y=x3kpletekkel adott f ggvnyek grafikonjai t - egyenest. paraboli s n. harmad-fok parabatt -, tovbb az y=! egyenlet hiperbolt, az y =2"'" egyenlet

xexponencilis!gg}'ny kpt. az y = sin x , y=cos x ,)'= tg X egyenletekkel ad otttrgonometrikus figgvnyek brit, s az

- (64)y = [x]=n, ha n ~x 0, a eF l .

add ik, (59) msodik egyenlsgbl pedig x > o-ra

1.8. A fggvny brzolsakpl~!tel .rtelmezett n . egszrsz-fggvnyt vagy idegen szval : ent er (olv.a?tY1:)jUggvny t, amel yben n tetszleges egsz sz mot jelent, minden tovbbivizsglat nlkl felsoroljuk . Vgezetl megrajzoljuk mg az

l.i 2. TTEL . ... Legyen az f. M-R (M cR)fuggvny brdja ismert, Ekkor

a) az

(65)

(66)y~!(x)+C (CER)

Y~ [x]= I x, ha v a- x, ha x-e O

kplettel definilt abszolt rtk fggvny brjt is.

,g~ EgYVltozs fggvn yek b r inak elksztshez sokszor adnak segtsgetlen elemi tt I k J El k ji'emltjk : e e is. so ent az un. iiggvny transzf ormdci kr l szlt

GI~ {(x" ... , x" y) I (x" .. . , x,)EM, Y ~!(x" . ... x,)}

A) Legyen M cR", s f : M - R egy ad ott fggvny. A

halmazt az f fggvny grdfjnak nevezzk . Nyilvnval, hogy GjcRn tl , gyn= l esetri G j az XY sk bizonyos pontjainak sszessgeknt szemll.teth:to n=2 eset n pedig a hromdimenzis tr bizonyos pontjainak sszessegeke nt.

Elfordul, hogy egy egyvlt ozs fggvny grfja a koordintaskon foly t~~osvonalk nt vagy ilyenekbl sszetett alakzatknt jelenik meg, ezrt - fo.~egezekben az esetekben - a f ggvn y grfjt a f ggvny brjnak is nevezzk-A fggvny b rjt gyakran a fggvny grafikonjnak- grbjnek, kpnek. ismondjuk. Egy ktvl tozs vals f ggvny grfja a trben brzolva t bbnyrt

40 41

fiiggvny kpe az y=f(x) grafikonjnak Y tengely irny eltolsvalnyerhet5. G:> eseln az eltols C egysggel .felfel", a nvekv y rt-kek irnyban vgzend : C -e: O esetn az elto/ds irnya ezze l ellenttes,nagysga ICI egysg.

b) Azx y=-f(x) (67)

Y~'fI --

f ggvny kpe az y=f(x) grafikonjnak az X tenge/yre vaJ tkrkpe.c) Az

fggvny kpe az y=I(x) grafikonjnak Y tengely ir ny . az X tengelytlszmftott c-sreres nyjtsval keletkezik.

d) Az

(68)y~ Cf(x) (CER, C>O)x

y y y ~f(x+ C) (CER) (69)

o x lK X

fg gvny kpe az y =[(x) grafikonjnak X tengely irny eltols valkaphat meg. C>O esetben az e/tols C egysggel "balra", vagyis a

cskken x-rtkek irnyban vgzend; C O)

[ggvny kpe az y = lex) grafikonjnak X tengely irny. az Y tengelytl" I

szamuon C -szeres nyjtsval keletkezik.o':: els hrom llts magtl rtetd: tetszleges x EM esetn az (x,f(x)

p t helyett az (x.[(x)+ C) vagy az (x, - [ (xl) , vagy az (x, C[(x)) po ntot kell:cgraJzolm. A kvetkez hrom llit s beltshoz csak azt kell szrevenni

ogy tetszleges xEM eser n (69) az x- C helyen az/ex) rtket veszi fel, (70)a -x helyen, (71) pedig az ~ x helyen lesz ugyanekkora, vagyis a (69), (70) s(71) alatti fggvnyck brit az (x- C,f(x). a ( -x,f(x)). ill. az [~ X,f(X))Pontok alkotjk, ahol x EM.y,,=,~?8), .ill. a (71)-ben szerepl felttelek a C>O esetet tartalmazzk. Azjuk (x), tI.1. Y=f(Cx) fggvnyek kpt termszetesen C < Oesetn is meg tud-

rajzolnt. Az elst pl. gy. hogy az y =f(x ) grafikonjbl elbb az y =

fggl"ny kpe az y =f(x) grafikonjnak az y tengelyre val tkrkpe .f) Az ."

x

y

y-cos z

4.bra

r-~ y_[x].

o---'

y

y

'1 0 2 J ' X'1

f 'f ,< X -f

42 43

= IClf(x) grafikonjt ksztjk el, majd ebbl tkrz/ssel az y ~ Cf(x)== - jCI/ (x) fggvny kpt. A msodik fggvny brja hasonl mdon raj-zolhat meg.

A ttel a "bonyolultabb" fggvnyek br tnak elksztsben is segtsgn krevan. gy pl., ha a~ O. az

b'- 4acI4a'

egyeniettel adott lineris trtfggvny brja is, ha a nevez a szmllnak nemosztja, azaz: ha ad-bc#-O. Ek kor az

(73)

A a--+-d cx+-

c

ax+bex -s- d

Hasonl mdon kszthet el az

ax +b (c>'O)y= cx+d

(72)

ax2+ bx+c= a [(x+~razonossgbl lthat , hogy az

y = ax 2+ bx+c (0# 0)

msodfok racionlis egsz f ggvny kpe az y =x2 grafikonj bl a ttelbenemltett talak tsok (transzformci k) felhasznlsval mndg megrajzolhat :mindig olyan paraboldt kapunk, amelynek tengelye az Y tengellyeJ pdrhuzamos.

azonossgbl ltszik, hogy (73) kpe az y = ! hiperbolabl rhet el a ttelbenx

szerepl transzformcikkal, s gy (73) kpe ad-bc#- O eseten mindig olyanhiperbola. amelynek aszimptot la koordintatengelyekkelprhuzamos egyenesek.

iiI aHbI y. cx..dII A OIIIII

-- -, - -- - - -I,

Yl

45

6. bra

(Haad -bc =O, akk or (73) kpe az X tengcllyel prhuzamos olyan egyenes,melyrl a (-~ ~l pont hinyzik" l

c' c " .

Egy fggvny s a hozz tar toz inverz fggvny b ri k z tt kapcsolatramutat az

1.13. TTEL. Ha az y =f(x) injektlv f ggvny. akkor az y =f- l(X) inverzf ggvny brja az y = f (x ) grajikonjnak az y = x egyentet egyenesrevonatkoz tkrkpe.

A ttel beltshoz elg, ha arra gondolunk: az y=f(x) kpt az (x,f(x)Pontok alkotjk, az y=f-I (X) kpt pedig az inverz fggvny definci6ja szerint

X

X

X

a >Ob'-4oc aO

(\y

5.bm

X

y .oJt'+bJl+c y

a>Ob2-40C OYI

b1- I, oc>O

X

y

y

y

44l

D) Tovbbi segtsget jelenthe t a f ggvny brjnak elksztshez, ha fel-ismerjk, hogy a fgg vny bizonyos "j" tulajdonsgoknak eleget tesz. Mosthrom ilyen tu lajdonsgot emltnk.

AZ f: M ....R (MeR) fggvnyt pdros fggvnynek nevezzk , ha brmelyxEM eseren - XEM is teljesl, tovbb min den xEM-re fennll az

az (j(x), x) pontok , ahol x vgigfut az/rtelmezsi tartomnyn; ezutn elemigeometr iai meggo ndolsok alapjn rgtn ltha t, hogy brmely x-re az(f(x), x) pont az (x,f(x)) pontnak az y= x egyenlet egyenesre vonatkoztkrkpe.

E ttel alapjn egy sor jabb fggv ny brja vlik ismertt. A 7. brnazo knak a fon tosabb f ggvnyeknek s inverzeiknek grafikonjait rajzoljuk meg(az inverzek grafikonjt vastagabb vo nallal), amelyekkel az elzkben mr fog-lalkoztunk.

f(-x) ~f(x) (74)

y

x

egyenlsg. Rgtn ltha t, hogy ekkor az f gr fikonja szimmetrikus az Y ten-gelyre. gy elg, ha az bra elksztsekor elszr csak pl. az X~O rtkekreszortkozunk, maj d az gy nyert brt ennek az Y tengelyre vonatkoz tkr-kpvei kiegsztjk. K nny ellenrizni , hogy minden olyan racionlis egszfggvny, amely az x-nek csak pros kltevs hatvanyt tartalmazza, prosfggvny. s pros fggvnyek pl. a kvetkezk is:

lY~-'-l' y e cos x, y=IOI"I.x -

y y

Az f: M -R (Me R) fggvnyt pratlan fggvnynek nevezzk , ha x-szelegytt ( - x ) is eleme M-nek, tovbb minden x EM-re fennll az

l -x2y= ----x- ' y =sin x , y=arc tg x.

egyenlsg. Eszerint az (x,f(x)) po nttal egytt a (-x, - f (x)) is pontj a f gra-fikonjnak, teh t az f brjaaz origta sz;mrwtrikus. Kn nyen belthat, hogyminden olyan racionlis egsz fggvny, amely az x-nek csak pratlan kitev shatvnyait tartalmazza, pratla n f ggvny. Pratla n f ggvnyek pl. a kvet-kezk is:

(75)f( - x)~ - f (x )r- orccosr

x

y _x

yaorct.xy.sinx. (-j ~ Kt; ~ )

~eg~en p> Q vals szm, sf : M .... R egyvltozs fggvny. AzffggvnytperIOdikusnak, pontosabban p szernt periodikusnak nevezzk, ha brmely xEM~re (x+ kp) EM is teljes l, ahol k tetszleges egsz szm, s minden x EM-re

~ I! szmot az / peridusdnak mondjuk. Egy p szerint period ikus fg gvnyftYJl~an a p pozitv egsz tbbszrse! szerint is periodikus. A legkisebb olyanp szarnot. ame ly szer-int/ mg periodikus, alapperidusnak nevezzk ha ilyenp Q egyltaln ltezik. ltalban ezt adjuk meg, ha egy fggvny peridus r lbeszlnk. Nyilvnval, hogy ha egy p szerint periodikus fggvnyt egy p hosz-

(76)f(x+p) ~ f(x).

y

y- '

7. bra

x

y..orctg x

y

46 47

f (x + I)~(x + I)-[x+ l] ~ x+ l -[x]-l ~f(x).

fggvny is, mgpedig p= 1 per idussal. Ez utbbi llts a (65)-b! kzvetlenllthat [x+ 1]= [x]+ 1 egyenlsg alapjn mutathat meg: tetsz leges x ER-re

szsg zrt vagy flig zrt intervalluma n ismer nk, akkor azt mr teljesenismerjk.

Per iodiku s f ggvnyekre pldk a m r ismert trigonomet rikus f ggvnyek,az y e sln x , j e-cos x , p e tg x stb., de periodikus az

f(x)~ x - [x] (77)

halmaz pontjai alkotjk . Mivel a hromdimenzts trben e pontok meglehetsen krlmnyesen, gyakorlatilag alig-alig b rzolhatk (trbeli modellt kel -lene kszteni), megelgsznk azzal, hogy az ily mdon keletkez fel letet n-hny jellegzetes vonalnak valamilyen skra va l vettsvel tesszk elk pzel-

hetv. Termszetesen a trbeli koordinta-rendszert is e skra vettjk. Azokata vonalakat, amelyeket a krdses fellet szeml ltetsre akarunk hasznlni,ltalban az adott fellet s bizonyos skok metszsvonalai kzl vlasztjuk.A metsz skok szerept tbbnyire akoordintatengelyek sikjai vagy ezekketprhuzamos skok jtsszk. Az elkpzels megknnytsre persze msfle vo-nalakat is hasznlhatunk.

Az elmondottakat egy egyszer pldn illusztrljuk. Tekintsk az

A (77) grafik onjt a 8. brn szemlltetjk. (79)

y

-] -2 -I o

8. bra

)' ",x-[x]

s X

fggvnyt. Vegynk fel a trben egy X tX2Y derkszg koordinta-rendszert.Nyilvnval, hogy a (79)cel adott felletnek azok s csak is azok a pontjailesznek az XtX2 skon, amelyeknek y koordintja O, hiszen e sk minden pont-jt az y= O egyenlsg jellemzi. Knnyen lthat ezek utn - (79)-ben yhelyre o-t rva - , hogy az adott fellet s az X lX2 sk kzs pontjaira a 4 -

- 2Xt -~ x2 = Oegyenlsgnek kell teljes lni, vagyis az3

x2=3 -2: x t

(78)

E) Nem brzolhat fgg vnyre is adunk pldt. Ilyen tbbek kztt az n.Dirichlet-Jle fggvny*, amelyet az

10, ha x racionlisy = ll , ha x irracionlis

sszefggsnek. Ez pedig az X 1X2 sk egyegyenesnek egyenlete, amelyet nemnehz brzolni.

Hasonlkppen ltha t, hogya (79)-cel adott felle tnek az Xl Y skkal kzspontjai e sk

elrssal rtelmeznk. A fggvny racionlis abszcissz j pontjai mi nd azX tengelyen, az irracionlis abszclsszj pontok pedig az y= 1 egyenlet egye-nesen fekszenek. E kt egyenes ugyan megrajzolhat, ennek ellen re ez nyilvnnem tek in thet (78) kpnek.

egyenlet egyenesn helyezkednek el, az X 2Y skkal kzs pontjai ped ig azX2Ysk

49

egyenlet egyenesn.Keressnk tovbbi metszsvonalakat, az adott felletet az X IX 2 skkal pr-

hUZamos skokkal elmetszve. Legyen c tetszleges vals szm. Az y = c egyen-le~et mnt ktvltozs fgg vnyt, az Y tengelyt a c pontban metsz , XIX sikkalParhuzamos sk egy enletnek tek inthetjk, mer t ennek s csakis ennek pontjai ra

.e,\.emj

X,

X,5

10. bra

X,

ha a koordintatengelyekkel val dfspontok koordntit meghat rozzuk

(az X2 tengely pl. a(81)-gyel ad ott skot. amennyiben 07"-0. olyan pontbanmetszi. amelynek X I s Y koordin tja O. vagyis a (o,- ~ .o) po ntban).e pontokat brzoljuk, majd ezeket egyenesekkel sszek tjk. A krdses skezek utn mr tbbnyire knnyen e lkpzelhet.

G) Megjegyezzk, hogy ktvltozs f ggvnyek brzolsra gyakran aik al-maznak egy, a gyakorlati kvetelmnyeknek j l megfelel , de az elzn l sokkalkevsb kpszer szemlltets m dot is. Ennek lnyegr a kvetkezkben fog-laljuk ssze.

Legyen az brzo land fellet az y =f(x" X 2) f ggvny kpe . Vegynk felpl. az X .X 2 skkal prhuzamos sikokat. majd ezeknek az adott fellettel alkotottmetszsvonalait vettsk (merlegesen) az X .X 2 skra . A kapott vonalrendszerminden egyes vonalhoz hozzrjuk, hogy melyik metsz skhoz tartoz vonal.rl van sz. Az igy nyert rajzet is az f fggvny brjnak tekintjk.

Az adott felletnek egy adott koordin taskkal p rhuza mos skokkal valmetszsvonalait szint vona aknak vagy nfvvonalaknak szek s nevezni. Az eml-tett brzolsi md az n. szintvonalas br zols.

A gyakorlatban a metsz skokat tbbnyire gy vesszk fl, hogy ezek egyen.l tvolsgban legyenek egymstl. Az y = c egyenlet skkal vett metszsvona -lat - vagyis a megrajzoland grb t - a c=f (x, . x2) egyenlet adja.

(81)

(SO)

y =Ax,+ Bx2+ C

alakfggvny k pe egy sik. Ilyen elsfok fggvnyek brzo~sa ~nnek is~er tben mr egyszerbben is elvgezhet, mint ahogy azt az elobb Ittuk. Elg ,

y

A most megismert eljrst persze msfaj ta fggvnyek br zolsra is fellehet hasznlni. Nem e l sfok fggvnyek brzolsa azonban mr lnyegesennehezebb is lehet.

Az analitikus geometria eszkzei vel bebizonythat, hogy minden

9. bra

egyenlet addik (trendezs utn), amely szintn egyenes egyenlete.Ha ezutn brzolju k az eddigiekben meghatrozott egyeneseket, - az

utbbit pl. c= 1 esetn - , a 9. brn lthat fellet, egy sk kpe alakul ki arajzon.

teljesl az y = cegyenlsg. E sk s az adott fellet metszsvonalnak egyerrlett_ az elzkh z hasonlan - gy kapjuk meg. hogy (79)-ben y helyre a c sz-mot rjuk. Ekkor az

50'" 5 1

A (80) a latti sszefggs a (79}-ben szerepl fggvny y = c-hez ta rtoz sznt-vonalnak egyenlere. A 10. brn a c= ~ 2, O, 2 s 4 rtkekhez tartoz szfnt-vonalakat rajzolt uk meg.

Ennek az brzolsi mdnak - egyszersge mellett - az a legnagyobb elnye, hogy az gy kszlt rajzrl a fggvny bizonyos tu lajdonsgait kzvetlenmrssel meg llaptha tjuk. H trn ya viszont, hogy a fggvny kpe ez alapjnviszo nylag nehezebben kpzelhet el.

Befejezs l megjegyezzk, hog y ez a szintvonalas brzolsi md , a megfe-lel fogalmak lta lnostsa utn, kettnl tbb vltozs fggvnyek ..brzo-lsra " is alkalmas. Egy gy kszlt bra azonban a tbbvltozs f ggvny ltalmeghatrozott n . h pesfet let elkpzelst nem teszi lehetv .

2. HATRRTK S FO LYTONOSSG

A tulajdonkeppeni matematikai analzist most kezdjk majd tanulmnyozn i.A hatrrtk fogalma az az eszkz, amelynek segtsgvel a fggvnyek egszenmlyrehat elemzse is lehetsgess vlik . Ezs az ezzel kapcsolatos vizsglatokeredmnyei teszik lehetv pldul annak vizsglatt, hogy bizonyos, fggv-nyekke11erhat gazdasgi folyamatok hogyan fggnek az ezt befolysol t-

nyezktl , s pl. azt is meg llapithassuk, hogy milyen krlmnyek kztt r-het el a - valamilyen szempontbl - legjobb eredmny. Igen sok fontos kz-gazdasgi fogalom rtelmezse is a hatrrtk fogalmn alapul (pl. hatrkl t-sg, hatrtermelkenysg stb.). Ezekkel ebben a knyvben termszetesen nemfoglalkozhatunk, ismertetsk s a lkal mazsuk a megfelel szakterletek fel-adata .

A tananyag feldolgozsa sorn ebben s a kvetkez hrom nagy fejezetbencsak egyv ltoz s vals f ggvnyekre szortkozu nk. A mr megismert s elmly-tett fogalmak ltalnostst s tbbv ltozs fggvn yekre val alkalmazsta ksbbi fejezetek fogjk ta rta lmazn i.

2.1. Az abszolt rtk fontosabb tulajdonsgai. A) Ebben a fejezetben a kzpisko lai tanulmnyokbl tbb -kevsb ismert ,es a kvetkezkben fontos szerepet jtsz ssze fggsekkel fog lalkozunk. Is-meretes, hogy a vals szmok nagysg szerint elrendezhetk, s a szmegyene-s~n pp gy szemlltetjk ket: brmely kt va ls szm kzl a nagyobbik a~lsebbik tl jobbra helyezkedik eJ. Ismeretes tovbb a vals szm abszoltertknek fogalma: tetszleges aER-ra

52

lal= f a, ha aaol-a, ha a

2.1. TTEL. Legyen ae-O vals szm. Ekkor az x vals szmra vonatkoz

egyenltlensgek ekvivalensek (egyenrtkek) egymssal.Az llts igaz voltrl egyszeru ellenrzssel meggyzdhetnk. Legyenelszr - a~x~o. Ha O ;;:x~a, akkor Ixl = x~ a. Ha pedig -a;;:x< O, akkoress -x>O, s gy lxi= - x~o.

Legyen most Ix l:!5 o. Ha x~O. akkor egyrszt x= lxl:::50, msrszt nyilvn-val, hogy x ~ - o, gy ez esetben (83) els egyenltlensge igaz. Ha pedig x-e ,akkor Ixl= - X:!5 o. vagyis x~ -o, msrszt nyilvnval, hogy x ;io, teht- o ;'; X :::5 a jra rvnyes.

A ttel termszetesen akk or is igaz, ha (83)-bao nem engedjk meg az egyen-lsgek teljeslst.

c) vals szmok sszegnek abszolt rtke nem nagyobb a szmok ab-szol t rtknek sszegnl :

2.2. TTEL. Legyenek o s b tetszleges vals szmok. Ek kora) oz 101 =0 egyenlsg akkor s csak akkor teljesl. ha 0 =0 ; mdskln-

ben ~ o: > 0 ;b) vals szmo k szorzatnak: abszolt rtke egyenl o tnyezk abszolt

rtknek szorzatval :

- a~x~ a s Ixl~ a

labl~ lallbl ;

la+ bl" lal+ [b].

(83)

(84)

(85)

addik, ez pedig a 2.1. TTEL szeri nt ugyanazt jelenti, mint a (85) egyenltlensg

Ha (84}et a b~Oesetn rvnyesajj . b=a

azonossgra alk almazzuk. a vals szdmok hnyadosnak abszolt rtk re vo-natkoz

lal . lal laljj [bl= lal. m. jj =Ibf(i5sZefggst kapjuk. Ha pedig (85)-t alkalmazzuk az a~(a-b)+b s a -b~=a+ ( - b) azonossgokra, az

lal " [a- bl+ lbl s az la- bl" lal+ [- b!= lal+ lb[.illeti..e az ezekbl elll. vals szmok klnbsge abszolt rtknek a ls s

fels becslsre alkalmas

(86)egyenltlensg add ik.

Klnbsg als becslsre (86)-nl ..jobb" egyenltlensget is kszthetnk.A (86) baloldali egyenltlensgt (b -arra a lka lmazva, a

egyenltlensgeket kapjuk. Esze rint (86)-ot is felhasznlva. rvnyes a k vet-kez becsls :

add'kI . l ,s ez, mvel a baloldal nemnegativ az la - bl nek (86)-nl valban jobba So becst 'ese.

Ezt az utols egyenltlensget hromszg-egyenlttensgnek is szoks nevezni.Az a) ll ts igazolsra elg megmuta tni. hogy a~Oesetn lal >0. Ez azon-

ban nyilvnva l, ha 0>0, s akkor is. ha 0< 0, mert ez esetben - 0> 0, s gy101= - 0> 0.

A b) llts igaz voltt rszletes ellenrzssellthatjuk be. Ha a ~O s b ~ O,akkor (84) nyilvnval. Ha o e=-O s b~O, akkor egyrszt 101=0 s Ibj= -sb,teht lallbl= - ab, msrszt ob:::5 0, vagyis labl= - ab, az llts most is igaz.Hasonla n ellenrizhetjk (84)-et az 0 ~0, b ~O, ill. 0 :=:0, b :20 esetekre is.

A c) lltst gy igazo lha tjuk : nyilvnvalan igazak a- 101:::50 =::: 101 s - Ibl:::fb:::f lbl

- Ia-bl" [ai- Ibi"Ia- bl.Ebbl a 2.1. TTEL alapjn

I lal - Ibi I" Ia - bl (87)

egyenltlensgek. Ezeket sszeadva

-(Ial+ Ibl)" a+ boolal+ Ibi

54

azB) A 2.2. TTEL b) s c) llt sa nemcsak kt vals szmra igaz . Mielttt onb~n ezeket ltalnosabban megfogalmazn nk, tbbtag sszegek s tbb-

nyezs szorzatok rvi debb s tmrebb jellsre j rsmdot vezetnk be.

55

Az sszeads ra s szorzsra vonat koz mvelet i szablyok alkalmazsvalkzv tlen l belthat. hogy

A baloldalt gy olvassuk : "szumma ak' ahol k megy l-ll n-ig", Ha specillsann = l, akkor a bal oldali formula jelentse az a l-et. Pldul:

Legyenek al' 02 ,. Olf tetszleges sszeadan dk (nEN). Ezek sszegt agrg nagy szigma CE) betvel a kvetkezkppen szlmbolizljuk :

(90)

(9 1)Ii a. l" i la.l.k _I k . 1tovbb

egyenlsg .

e) Ezutn a 2.2. TTEL b) s c) llitsa gy hangzik:Tetszleges ah 01" a. vals szmokra :

A (91) egyenltlensg bizonytsa nem kvn j go ndolato t. Ha feJrjuk azak sszeadandkra vonat koz

esetn vagy tetszleges vges 1 halmaz esetn rvnyes a n a,b, ~ n ac- n b ill. a n a,b, ~ na. n b

k-I k_ I 1{ - 1 H l H l HJ

(88)

,

~=I '=1..-,

s c ! ak= ! ca.Il -I k _l

! (o4 bk )= L a.. 1: blc.\:_1 4 .1 Il _ I

! k 2= J2 +22+ .. .+n2, ha s-I, s' -0

A szumma-jelet gyakran alkalmazzu k a

~ ak= al+a2+ +a~.H

Az elst igy olvassuk: "produktum ak, ahol k megy l -tl n-ig". A (89)-nekmegfelel jellst is alkalmazzuk:

TI Ok> ill. TI a k>k _ no k El

(92)

egyenltlens geket. majd ezeket sszeadjuk. (91}gyel egyenrtk egyenltlensget kapunk .

A (90) egyenlsg "ellenrzs" tjn mr nem igazolhat. Olyan esetek ben.amikor valam ilyen adott, termszetes szmokka l kapcsola tos llts t kvnun kigazolni - mint pl. a (9

teljesl , akkor igaz az m + l termszetes szmra is. Ezt pedig a k vetkez kblltjuk. Mivel a ttel kt tnyezre igaz,

I Yl o. I ~ I ( fI o.la.+' I~ 'ri 0. 1' 10.+, 1.k_I k ") 1.1: _ 1Az els tnyezre alkalmazva (92}-t :

Nyilvnval, hogy min den nem res vges halmaz korltos, tovbb egy kor-I'toS halmaz nak brmely nem res rszhalmaza is korltos.a Knnyen belthat ll tst tartalmaz a

2.3, TTEL. Egy M halmaz akkor s csak akkor korltos. ha tal lhat olyanKER. amellyel mnden x EM-re

K=max (IK,I. IK,!).

A ttel "akkor" llitsa magt l rtetdik: ha (95) teljesl, akkor a 2.1.TTEL szerint -K~xK is teljesl minden x EM-re. A "csak akkor" lltsbizonytsra azt kell megmutatni, hogy ha M korltos, vagyis (93) fennll ,akkor a ttelben szerepl K sz.rn ltezik. Ezt gy igazoljuk, hogy megadunk egyilyen K szmot : legyen K= IKII s IK21kzl a nagyobbik. vagyis

addik, s ezzel a bizonytst be is fejeztk.

2.2. Korltos halmaz. Krnyezet. Srsds i hely.

lxi '" K. (95)

A) Legyen M e R s M ;(:J. Az M halmazt alulrl korltosnak mondjuk, haltezik olyan KI vals szm, amellyel tetszleges x EM-re Ekkor nyilvn KI e - K s K2~K, vagyis tetszleges xE M-re

- K ;.x ;. K,

teljes l. Hasonlkppen : az M fellrl korltos. ha van olyan K2 amellyelb rmely x E M-re

Az M halmazt korltosnak mondjuk, ha egyidejleg alulr l is, fellrl is kor-ltos, vagyis, ha ltezik olyan K, s K2 szm, amellyel minden xE M-re

s ez (95)-tel ekvivalens. A kvetkez ttelben egy alapvet fon tossg krdst tisztzunk : van-e afels korltok kztt legkisebb s az als korltok kztt legnagyobb. Vgeshalmazokra , tovbb olyan vgtelen halmazokra, amelyeknek van legnagyobbs legkisebb eleme, a vlasz nyilvnvalan: igen. A felelet azonban ltalnosabb

rvny .

halmaz; ennek elemei mind Os I kz esnek. Alulrl kort tos, de nem korltosa termszetes szmok halmaza. Csak fellrl korltos pl. a nega tv vals sz-m ok halmaza .

A Kl szmot a halmaz als korl/jnak, Kl-t pedig a halmaz/els6 korldtjnaknevezzk. Nyilvnval, hogy ha KI als korlt, akkor minden, a Kj-nl-kisebbszm is als korlt, s ha K2 fels korlt, akkor minden, Krnl nagyobb szm is

fels korlt.Ko rltos halmazra plda az

(96)

2.4. TTEL. Ha M eR s M fellrl korkitos, akkor a fels korltok kzttvan legkisebb. Ha M alulrl kor/dtos, akkor az als korltok: kz tt vanlegnagyobb.

,A ttel els rszt bizo nytjuk. A msodik rsz bizon ytsa haso nlkppenvegezhet.

l-egyen M fellrl korl tos, legyen K l egy fels korlt, AI ped ig egy olyanszm, amely M-nek nem fels korltja. Felezzk meg az [Ah Kl] z rt interval-lumot. E kt fl kzl az egyik biztosan olyan, amelyiknek egyik vgpontjanem fels korlt, de a msik fels korlt. Jelljk ezt a flintervallumot [A 2, K 2]-f el. F~lezzk meg most ezt az ntervallu mo t, majd folytassuk az elbbi eljrst..gy zart intervallum oknak n . egymsba skatuly zott vgtelen sorozatt kap-Juk:

(93)

(94)

59

vgtelen sok elemt tartalmazza . Ltjuk, a definci nem kveteli meg, hogy aeleme legyen az M halmaznak.

Nyilvnval, hogy vges halmazna k nincs s rs ds ! helye.Vgtelen halmaznak sincs felttlenl s rs ds ! helye. Plda erre a ter m-

szetes szmo k halmaza, de ak r az egsz sz mok halmaza is.Az

ha n>!. Knnyen l that, hogy M-nek ms srsdsi helye nincs. Negatv,szm srsds ! helyknt most szba se jn. De a>O sem lehet s rsd s! hely.mert pl. az E =~ vlaszts escten E> O, s az a-nak ezen e sugar krnyezetenem tartalmazza az n>~ termszetes szmokhoz tartoz elemeket ; msszva l,

a

a szban forg krnyezet legfeljebb [~] 'szm tagot ta rtalmaz hat, azaz: vgessokat.

A (O, I) Int erva llumnak nyilv n minden pontja s rsdsi hely, st azx=O s az x = I is. A (O, 1) intervallum s r sds! helyeinek halmaza teht a[0,1] zrt inter vallum.

Nevezetes lltst fejez ki a kvetkez, n. Bohano-e-We ierstrass-fle ttel :

Szemlletnk alapjn nyilvnval, hogy van legalbb egy olyan ~ szm, amelyezen intervaIlumok mindegyiknek eleme, hiszen egyik intervallum sem res.s mindegyik rszhalmaza az sszes elznek. (Ezt a megllaptst egybkntaximdnak tekintjk.) A (96)-ban szerepl elg nagy n index intervallum okhossza az onba n a felezsek miatt tetszleges kicsiv tehet. Ennek az a kvet-kezmnye, hogy ez az intervallumsoroza t csak egyetlen kzs elemet tartalmaz-hat; ha ui. ~' is k zs elem lenne, akkor (96) egyik intervalIuma sem lehetnervidebb l lX - ~' I > o-nl .

Legyen teht IX a (96)-ban szerepl intervallumsorozat (egyetlen) kz s eleme.Megmutatjuk, hogy ez az M halmaz legkisebb fels korltja.

Elszr is, M-nek nincs e-nl nagyobb eleme. Ha ui . .x> lenne, ak kor a (96)-ban szerepl K.. (nEN) szmok mindegyikre K,.~x teljeslne. Az A,. szmokkztt viszont nincs e-n l nagyobb, hiszen -x minden intervallumnak eleme.Eszerint az [A... KJ intervallumok egyike sem lehetne (x --x o-n l kise bb,holott. mint tudjuk. [A... KJ tetszleges kicsiv tehet, ha n-et elg nagynakvlasztjuk. Az ~ teht M-n ek valbanfels kor/rja .

Hasonl okoskods mutatja , hogy %a legkisebb fels korlt. Tegyk fel ui.,hogy (J is fels ko rlt s p'-e z, Akkor ugyan gy, mint az elbb, azt ltjuk. hogy(96) egyik intervall uma sem lehet rvidebb (%-po-nl, hiszen. mivel A.egyike sem fels korlt, A.. O vals sz m. Az a szm Esugar nyilt krnyezetn az

c) Legyen M eR. Az aE R szmot az M halmaz .~~.sds; helynek, nhatorlds; hely nek nevezzk , ha az a szm brmelyik. krnyezete az M ha lmaz

halmazt rtjk . Ezt nyilvnvalan a szmegyenes (a - E. 0+F.) nylt interva l-luma szemllteti. ltalnosabban: az a szm nylt krnyezetnek vagy egysze-

ren csak krnyezetnek neveznk minden olyan nylt intervallumot, amelynekaz a eleme. Jele: U(a). Nyilvnva l, hogya-nak minden krnyezete tartalmazzaaz a-nak alkalmas e> O-val ksztett UtCa) krn yezett is.

Ha (97)-ben a ,,

vgtelen sok eleme van. Felezzk mos t ezt az Intervallumot, s folytassuk azeljrst. Olyan egymsba ska tulyzott, zrt intervallumokbl ll forIl1ban szimb olizlh atunk. Az nEN szmhoz tartoz f ggvnyrtket tbb -

nyire an~nel jelljk, teht

(98) 0.=/(0), (99)sezt a sorozat ltalnos elemnek vagy n-edik tagjnak nevezzk.

A fggvny f(N.) rtkkszlett , azaz az a" elemek sszessgt , soroza tok ese-tben {an}-nel jelljk. Ez termszetesen nem azonos az adott sorozattal, mertegy sorozatban egy-egy elem tbb termszetes szmhoz is hozz lehet rendelve{a,,}'benazonban a sorozatban tbbszr elfordul elemek is csak egyszer sze:repeInek. Vilgos, hogy {a,,} lehet vges halmaz is.

Egy sorozatot ltalba n a k~tkez-mdoLvalamelyik'ieLadUJlk.meg:a) Jf!pk11eJ. amelynek jellsre ugyancsak a (99) a latti egyenlsget hasz-

nljuk: pl. ilyenek az

vgtelen sorozatot kap unk, amelynek elemei n elg nagy rtkeire mr tetszlegesen kis poz itv szmnl is kisebb hosszsgak lesznek, s mind vgtel ensok elemet tartalmaznak az M elemei k zl . Ahogya 2.4. TTEL bizonyts-ban lttuk , ltezik egy s csakis egy olyan :x szm, amelyik (98) minden inter-vallumnak eleme.

Megmutatjuk, hogy :x az M halmaznak srsds! helye. Legyen adott egytetszleges E>O szm, s tek intsk az e-nak U.(:x) kmyezet t . Vlasszunk kia (98) intervallumok kzl egy olyant, amelyiknek hossza e-n l k isebb. Az U.(:x)ezt az intervallumot nyilvnvalan rszhalmazknt tartalmazza - hiszen :xeleme ennek az intervallumnak -, vagyis U.(:x) is vgtelen sok elemet tartalmazaz M elemei kzl, s ezt kellett beltni.

(100)

2.3. A vgtelen sorozat fogalmakpletekkel definilt so rozatok, tovbb a mr ismert - a szmtani s a m r-tan sorozatot rtelmez -

(a l' a2 . . . , a", ... ).

kpletek is, ahol al' d s q tetszleges vals szmok, n ped ig vgigfut Nelemein.b) FelsoTol~~(1I, azaz mega djuk a sorozat nhny elemr, majd azt a szablyt,ameI~nek alapjan az adottakat felrtuk s a tovbbiakat is felrhatjuk, pl. ilyenformaban :

Szimboliz lja .ha~~ ~~~t..kpJnte~. v~gyiS megadjuk. hogy az 0" sorozatelem hogyan llt-

o elo bizonyos n-nel kisebb index sorozatelemek segtsgvel s t .tesen d k . I ' errnesze-. . mega un a~nYl e em~t a sorozat elejrl. amennyi ah hoz szks es hd teljeS sorozatot rtelmezni tudjuk. Az g ogy

(101)

.. l. .. . fi'lAz a,,=- sor ozat ot ezen a mdonn

H) A tovbbiakba n a sorozat fogalmt szkebb rtelemben fogjuk haszn lni.Sorozaton - ha mst nem mondunk - mindig vgtelen szmsorozatot rtnk.azaz olyan f vals fggvnyt, amelynek rtelmezsi tartomnya a tennszetesszmok halmaza. Egy sorozatot ebben az rtelemben az

A) A sorozat, ill. vgtelen sorozat fogalmt kznapi rtelemben igen sokszorhasznljuk. Akkor beszlnk sorozatrl. ha bizonyos dolgoknak (szmok nak,intervallumoknak , trtnseknek stb.) ltezik va lamilyen meghat rozott egy-msutnisga, teht ltezik kztt k els, msodik , ha rmadik, . .. s gy to-vbb. Egy sorozat eszerint akkor ismert , ha megadunk egy olyan lek pezst,amelynek trgyhalmaza a terms zetes szmok halm aza vagy ennek valamilyenrszhalmaza , kp halmaza pedig azoknak a dolgoknak az sszessge, amelyeka sorozatot alk otjk. Clszer az gy definilt lekpezst magt is sorozatnakmonda ni.

Nevezznk teht sorozatnak minden olyan lek pezst, amely a termszetesszmok halmazon vagy ennek valamilyen rszhalmazn van rtelmezve. Ha azemltett rszhalmaz vges ha lmaz, vges sorozatrl beszlnk, ms klnbenvegt eten sorozatrl.

f:N -R

62 6>

egyenlsgekkel definilt sorozat els nyolc eleme pl. a kvetkez:

1, 2, 4, 7, 12, 20, 33, 54.

zat elemeit a szmegyenesen bejelljk. s az gy kapott pontsorozatot tekintjk

Sorozat kpnek. gy ksztettk el az a~ =! sorozat kpt a l l. brn.a nKnnyen lt hat, hogy a (100) alatti harmadik sorozat rekurzv kp lettel gy

rhat: oe... . t I

11. bra

2.4. Monoton sorozatok. Korltossg. Torldsi helyA) Sokszor jelent hasznos infonncit, ha tudjuk, hogy egy soroza t elemeik z tt fennll bizonyos nagysg rendi sszefggs.

Az (a,,) sorozatot szigoran monoton n vetcednek: mondjuk, ha minden n-reteljesl az

egyenltlensg. Ha ez az egyenltlensg csak meghatrozott no-n l nagyobbn-ekre teljesl, akkor azt mondjuk, hogy (a,,) az n >no rtkekre szigoran mo-noton nveked.

Egyszeren csak mon%n n vekednek nevezzk az (a~) sorozato t, ha mindenn-re

Ez a megadsi m6d .,ciklikus" jellegnl fogva klnsen alkalmas szmt-gpes feldolgozsra .

c) Sokszor , kln sen kplettel megadhat sorozatok esetn, c lszer meg-engedni, hogy az

a. ~f(n)

kpletben az n ne csak az N halmaz rtkeit vehesse fel, hanem az egsz szm~kvalamely vgtelen rszhalmaznak rtkeit, meghatrozott , tbbnyire nagysgszerinti sorrendben. Termszetesen ez esetben is sorozatot kap unk, hiszen ekkoris lesz els elem, msodik elem, ... s gy tovbb. Ezzel, a sorozat fogalmnakltszlagos kib vitsvel , csak azt nyerjk, hogy bizonyos sorozatokat egy-szerbben is megadhatu nk. Az

n 16

a" l l>a" (102)

sorozatot tbbnyire (a~)-nel szimbolizljuk, s csak akkor rjuk ki az n-re vo-natkoz feltteleket . ha n nem a termszetes szmok halmazn fut vgig.

alakba is. Ltjuk, a sorozat tagjainak kiszm tsa gy jval knnyebb vlik.llapodjunk meg abban, hogya tovbbiakban az

(103)

teljesl. Termszetesen az is elfordu lhat , hogy egy soroza t csak az n :>-no r-tkekre monoton nveked.

Hasonlkppen definiljuk a szigoran manaton fogy, ill. monoton f ogysorozat fogalm t ; az else) esetben az a, i 1 -c o, egyenltlensgnek. a msod ikbanPedig az 0" f 1:i 0 " egyenltlensgnek kell teljeslnie minden n-re, il l. mindenn>, rtkre.

Azoka t az (a,,) sorozatokat , amel yek n minden rtkre monoton nnek vagymonoton fogynak , rv iden monotOll sorozatoknak nevezzk.

A mr ismert a; =1sorozat nyilvnvalan szigoran rnonoton fogy.Az a~ = k~l ~ sorozat saiger an monoton n veked. Az an =[l~] sorozat,amelyben a szglctcs zrjel az "egszrsz" jele, monoton nveked. Az a"=< sin nx sorozat tekinthet monoton n veked nek is, rnonoton fogynak is.Az o, = ( - 1)~ sorozat nyilvn valan nem monoton.

(n ~ - 15)na' =('n-+~1;;;71 _~n)-sorozatot pldul rha tjuk az

D) A sorozatok brzolsra is van lehetsg . Erre ltalban nem az 1.8. fe-jezetben megismert mdo t clszer v lasztani. b r nha ez is hasznos lehet.A sorozat bizon yos tulajdonsgai t sokszor jobban szemlltethetjk, ha a soro-64 , 65

2.6. TTEL. Ha lJ :> - l 1'016.\' szdm, akkor minden 1/ termszetes .szmra :

talak tsok s becslsek azt mutatj k, hogy e fltevsbl h> - 1 esetn - eztaz els egyenltlensg felrsakor hasznltuk ki -, az llts rvnyessge(n+ I} re rkldik, gy (106) valban min den tenn~z~t~s ?-r~. i~:u:: ~.

A kvetkez ttel kt igen fon tos so rozat mon otont s r l kz l lltst.

[ l J" n1+ - - -_n 2 _ l n+l

[1+ l ] "n+T [I+_I_J ~

1 l n+ 1+-n

[ I +-n~lj"b" ' 1~

b" [l+~r

[1+~r~ [ l (n1 1),H+n1 d .

Mivel - 11P :> - l, az els tnyezre alka lmazha t a Bernoulli-egyenJt-(n+lensg. Ezutn tov bbi ta laktsoka t vgznk :

Ltjuk, a job b oldal minden termszetes n-re nagyobb l -nl, gy (105) szerintaz (a,,)sorozat valban nvek v.

bA msod ik lltst lnyegbe n ugyangy igazolhatjak. Tek ints k a ;'-1h-"nyadost minden n ~ 2 te rmszetes szmra, majd hozzuk ezt egyszerbb alakra :

Az els llts igazolsra rjuk fel az a,,+ I hnyadost, s vgezznk el nhn ya"

talaktst;

add ik az elbb ltott szmtashoz hasonl mdon. Az els tnyezre a lka l-mazzuk a Bernoulli-egyenlt lensget, majd a kapott kifejezst trta lakra hoz-zuk:

(106)

(105)

( l +h)- ,;1+nh.

tov bb, ha on>-O s mlndcn n-re

a..+1 j :1r I, akkor (a,,) monoton n.---a::- l, akko r (a,,) monot on fogy.

Ha az (a,,) sorozat elemei mind negatvak, akkor (I05)t a ( - a,,) soroza t ~aalka lmazhatj uk. Ha ( -a,,) moncton n, akkor (an) mon cton fogy, ha pedig( - an) monoto n fogy, akkor ,(an) monoton ni). . .

Sorozatek monotont snak igazolsra gyakr an j l hasznalhat o az un. Ber-noult-egyenltlens g " is, amelyet a kvetkez ttelben foga lma zunk meg.

D) Annak eldntse, hogy egy (a,,) sorozat mon oton-e vagy sem, gyakransikerl az a" I I - 0 " klnbsg, il l. az a~f l hnyados vizsglat val. Ny ilvnva l

"ugyan is, hogy ha minden n-re

j- O akkor (a,,) monoton n . (104)a..~ l - a.. ~ o: akk or (a,,) monoton fogy,

A ttel bizonytst teljes indukcival vgezzk.Az ll ts n= l-re nyilvnva la n igaz. Tegyk fel, hogy igaz n-re is, azaz (106)

teljesl. Az

(1+hl"+'~ (1 +hl"(l +h) 'o (1 +nhXl +h)~ 1+ (n+ l)h +nh' " 1+ (n+ l)h

2.7. TTEL. Legyen nEN b

a ~ [I + !J-" n ' [ lJ'+Iil l. b,,= 1+jj . (107)

[ l J" n [ n J n n'+n' - nI +,i2- 1 n+ l ;g 1+ n2=1 n+ 1= n3+n2_n _ l .Mivel a jobb oldal nevezle mln dg kisebb a szml ln l, ez a trt az n ~ 2rtkek esetn mindig nagyobb l-nl. Fenn ll teht a

Az (a,,) sorozat monoton n, a (b,,) sorozat monoton fogy.

"~O J ha (1667-1748 ). Svjci ma tematikus . A differencial- s in lcgr lsz,? t.:i.s. to~'ah~&,.tJ()u I. o nn .' "1 (A ' L 'Hos pila l-szabal)"t IS

a differencialegyen\elek elmlete volt legfbb mu nklkodsi teru ele. z un. fedez te fe!.)

s.. to

_ 1- h- =

"

egyenltlensg. vagyis b,, :::: b,, _t minden szbajv n-re, s ez az lltst iga -lolja .

66 ,. 67

h [I+ ~r (JOS)Egy fels korl tot - figyelembe vve, hogy a b; (1 +~rj - l sorozat monotot'fogysa matt (l + ~rj 1;;::; 4 - a kvetkezkppen kapunk :

sup (a,)~sup {a,}, s inf(a,)~jnf {a,}.

Iha n> K '

Fontos ll tst tartalmaz a

69

2.9. TTEL. M nden korltos vgtelen sorozatnak van tor/dsi helye .ll~~ a korltos-

rtknek vagy limesznek nevezzk. Ha A az (a,,) sorozat harr rtke, akkorezt a

(114)lim n= 00, lim ( -n) = _ 00.,, _ _ " -o ",,

lim ( - 1)" nem ltezik .

A (11 3}-ban ado tt so rozatrl nem mondhatj uk, hogy hatrr tke a vgtelen.mert van torldsi helye. Az a,, =( - I )" sorozat is divergens, teht

Szimblumokkal jelljk .Msfaj ta divergens so rozatok divergencijnak kzlsrc nem vezetnk be

jabb jellsi m dot, ezt tbbnyire szavakkal rgztjk.Ezutn az elzkbl ismert soroza tok kzl nhn ynak a konvergencra,

ill. divergenci ra vonatkoz tu lajdo nsgait gy rhatjuk :

a" '. - 00 , ha 11 _

(112)

(ll l)

(110)lim a,,=A.--

a,,-A, ha n- vagy az

szimblumok valamelyikvel jelljk. Ez utbbit gy olvassuk: "a" tart az Ahoz, ha n tart a vgtelenbe".

Az elz vizsglatokbl mr tudjuk, hogy az a,,=~ sorozat eleget tesz a ha-n

trrtk defincijban megadott feltteleknek, ez a sorozat teht konvergens,s

.--

lim sin n::r=OUgyangy, igaz a

egyenlsg is.A nem konvergens sorozatokat divergens sorozatoknak nevezzk . Ilyenek a

nem korltos sorozatok , s azok is, amelyeknek egynl t bb torldsi helykvan. Az

B) A ko nvergencia (II I) alatti j llse tulajdon kppen az t fejezi ki, hogy az(a.) sorozat elemei az A szm hoz te tszlegesen kzel ker lhetnek. ha az n-etelg nagyra vlasztjuk. Ez a konve rgenc ia defincijbl kzvetlenl vilgos.Ennl azonba n tb bet is llitha tunk .

2.10. T TEL. Az (a,.) sorozatnak: akkor s csak akkor hatrrtke az A szm.ha brmilyen e s- sz mhoz taldlhat6 olyan noEN, hogy minden n ~ notermszetes szmra fennll az(113)H,2, ~, 3,~ , 4, .... ~, n, ..legyenltlensg.

E ttel, ms sz val, azt fejezi ki, hogy ha az (a,,) sorozat kon vergens, akk or \legfeliebb vges sok elem kivtelvel valamennyi sorozatelem az (A - e, A +e)~n~erva ll.um~ esik; s fordtva, ha az (a,,) so rozat olyan , hogy brmilyen e> O Izamot IS valasztunk, a sorozatnak legfeljebb vges sok eleme van az (A - e,

A +f) intervallurnun kvl, a sorozat konvergens .Azt.' hogy legfeljebb "vges sok kivtelve l", a kvetkezkben t bbnyire gy:~n~Juk; "majdnem minden". A ttelben szerepl nu szmot az e-hoz tartoz

uszobszamnak is szeks nevezni.

kA ttel els rsznek bizonytsa egszen egyszer. Ha (a ) konvergens akkor

ori' t ' " ,I' a os, es csak egyetlen to rlds! helye van. Ha tetszleges es-Ochoz nemve.tezne olyan no, hogy minden n~ no esetn (115) teljeslne, akkor (a,,}-nekegtelen sok eleme lenne az (A - r, A + e) intervallurnon kvl, s gy a Bol-

lana-Weierstrass ttel szer int lenne A-tl klnbz torl dast helye is am iellentmond a feltevsnek. '

sorozat pldu l divergens, mert nem korl tos, br csak egyetlen torlds i helyevan.

A divergens soroza tok kzl font osak azok, amelyek csak alulr61, ill. csakfellrl korltosak. s nincs torldsi helyk. Az els tipus sorozatokrl aztmondj uk, hogy a vgtelenbe tartanak vagy, hogy hatrrtkk a vgtelen (anl-kl , hogy ezzel a ..vgtelent" szmnak ismernnk el), s ezt gy je lljk :

lim a,,= 00

vagya"- 00, ha n _ 00.

A msodik sorozattpusrl azt mondjuk, hogya mfnusz vgtelenbe tartanakvagy, hogy hatrrtk k a mfnusz vgtelen, s ezt a

lim a,, = - =

la,,- Aj < e ( 1\5)

l 70 7 \

minden no-nl nem kisebb n termszetes szmra. Ha ezek utn

ezrt

A felttel elgsges is. Azt kell megmuta tni, hogy (117) teljeslse esetn aza sorozat korItos, s a konvergencia defincijnak eleget tev A szm ltezik .;,. korltossg az elz ttel bizon ytsban ltott m don igazolh~t_ Mivel afelttel szer int n";no s m= no esetn is

(116)Ha most a K szmot a

K~max {la,l, la,I, . . ., la",_,I, lA- d, IA+,I}

Tegyk fel most, hogy brmilyen ae--hoz ta llhat olya n no, amellyel min-den n e no-ra (IlS) fennll. Ekkor az A szm egyetlen to rldsi helye a so-

lA A' Irozatnak ; ha ui. A ' is torlds i hely len ne, s A ' r A , akkor az e = 2 vlasztssal az .-nak e sugar krnyezete nem tartalmazna a sorozat minden,no-nl nagyobb i ndex tagj t, hiszen, mivel A is torldsi hely, ennek e sugarkrnyezetben is no' nl tbb soroza telem lenne. Meg kell mg mutatni, hogy(an) korltos. Ez a sorozat n ~ no i ndex elemeire igaz , hiszen (Il S) miatt

egyen lsggel definiljuk (vges sok elem kz tt mlndig van legnagyobb), ak-kor ezzel nyilvn val, hogy minden n-re

la,,1" K,vagyis (an) korl tos.

A kvetk ez nevezetes ttel az n. Cauchy-fle konvergenciat tel.* Ebben akonvergencia felt telt az A szmra, vagy is a hatrrtkre va l hivatkozs nl-kl fogaJmazzuk meg.

akkor nyilvnva l, hog y l an l ~ K. Mlvel eszerint (an) korltos, a Bolza no-c-Weierstrass t tel szerlnt van torldsi helye. Legyen A az egyik torldsi hely.Azt kell mg beltni, hogy sorozatnak nincs t bb torldsi helye, azaz: A azegyetlen.

Tegyk fel, hogy (an)-nek az A' is torldsi helye, s A' ''''A. Vlasszuk mege-t a k vetkez k ppen :

c~ "IAc--,'-'A-,'I3

2.11. TTEL. Az (an) sorozat konvergencijnak szksges s elgsges fel-ttele az, hogy brmilyen e> O-hoz ta//hat legyen olyan noEN, amely-lyel minden n ~no s m ~n o eseten

Ekkor az Ut(A') s az U.(A) krnyezetek mindegyike vgtelen sok sor oza telemettartalmaz. Ltezik olyan nj~ no, amellyel an, EU.(A') , s olyan n2~ no, amellye!

Iatt, A'

an, EU.(A). E kt elemnek egymstl va l tvolsga azonbannagyobb , mint e (12. bra), vagyis

(118)

nyilvnvalan

UefA'),

Alkalmazzuk a Cau chy-fle konvergenciattelt az2n- 1

a ~---" n

12. bra

s ez a felttellel ellenkezik.

(111)

, ,

l a,, - aml ~ la,, -A+A - ami" la,, - AI+lA- ami

sorozat konvcrgencljnak vizsg la tra . Legyen n s m egyelre tetszleges te r-mszetes sz m. Ekkor - (86) ot is felhaszn lva - :

12n

-

1 2m -l 1_\ l l l--!..+ !10"- 0,,,1= - n----;;:;- - m-fi " m n'

Ebbl mr lthat, hogy tetszleges E>Oeset n elg, ha m-et s n-et ([+]+1) -n l nagyobbnak vlasztjuk (a szgletes zrjel az egszrsz-fggvny jele).Ez esetben ugya nis

egyenltlensg teljesl minden n~ no termszetes szmra, vagyis

jA-a"I< E

majd nem minden n-re, s ezt kellett bel tni. A monoton sorozatok konvergencl j ra, ill . dvergenclj ra vo natkoz elbbi

ttelt jl kiegszti a

2.13. TTEL. Ha az (a,,) sorozat monoton, de nem konvergens, akkor

Pldaknt vizsg ljuk meg a l

att lfgg en, hogy (a,,)monoton n-e, vagy fogy.A ttel lltsa szinte magtl rtetd. Az elz ttel alapjn (a,,) nem lehet

korltos. Ahhoz, hogy (I 19)-et kimondhassuk , mg csak azt kell igazolni, hogynincs olya n :tER, amely (a,,}-nek to rld s! helye lenne. Most is elg, ha a bizo-nytst monoton nveked sorozatokra vgezzk .

Legyen (a,,)monoton nveked, ::r. tetsz leges vals szm, s a"oolyan sorozat-elem, amely::r.-nl nagyobb. (Ilyen ltezik, mert (ali) fel lrl nem korltos.)Ekkor az e-nak e= a"o- :t> 0 sugar krnyezetben a sorozatna k - a monotonnvekeds miatt - legfeljebb no-l szm eleme lehet, teh t ::r. nem lehet asorozat torld si helye. Mivel ::r. tetszleges vals szmot jelentett, eredmnynkazt mondja, hogy (a,,) nek nin cs torld s! helye. gy (119) valban igaz .

I I I 1a,,= l "l T= l +2+3+ ' " +fi

Sorozatot. Legyen O2n +2n + ... +2n=2n= "2

a krmilyen n ENre. Nincs teh t olyan nu sz m, amely az adott e-nal a Cauchy-fle ko nvergencia ttelt kielgten, gy az (a,,) soroza t nem konvergens. Mivelpedig (a,,) monoton nveked, ezrt az elz ttel rtelmben

lim a,, = lim [1 +2! + ... + ~1= 00 . (120)"...~ ,,~ _ n

(119)" -

lim a,,= 00 mgy lim a,,= - oo"-

vagyis a vizsg lt so rozat konvergens.

Igen egyszer kon vergenciakr ttriumot adha tun k meg monoton sorozotokravo na tkozan.

I I I E-

sokat) elhagyunk , az (a~) rszsorozatdnak nevezzk. A (b~) sorozatban az ele-mek sorrendje termszetesen megegyezik azzal a sorrenddel, amellyel az (a~}-beneredetileg elfordultak .

Vilgos, hogy pl. a

D) Legyen (a~) tetszleges sorozat. Ha (an) fel l rl korl tos. akkor azt alegnagyobb ct vals szmot, amelyhez (a,,}-nek valamilyen rszsorozata kon-vergl - ha egyltaln ltezik ilyen szm -, az (a,,) sorozat fels hatrrt-knek vagy limess szuperiorjnak nevezzk . Jele:

e e lm sup a~.l ,

soroza t az a~ = - sorozat reszsorozata.n

A rszsorozatokra vonatkozan kt font os ttelt emltnk.Ha az (a~) sorozat fellrl nem korlt os, akk or azt mondjuk, hogy limes z

szuperiorja a vgtelen, azaz

2.14. TTEL. Mnden korld tos sorozatbl kivtaszthat kon vergens rszsoro-zat.

Az llts a 2.9. TTEL egyszer kvetkezmnye. Ha {a~} vges halmaz,akkor azt az elemet kivlasztva, amely (a~}-ben vgtelen sokszor szerepel, az

ebbl alkotott vgtelen sorozat az (a~}-nek rszsorozata. Ha pedig {a~} vgtelenhalmaz, akkor ennek van sr sds! helye. Legyen A egy s r sd sl hely, s

c~=l (n E~). Vlasszunk az U.,(A), U.JA), . .. krnyezetek mindegyik bln

egy-egy sorozatelemet, legyenek ezek rendre b., b2, " Mivel U(A) vgtelensok elemet tarta lmaz, abi' bl , elemek megvlaszthat k gy, hogy egyik se

el zzn meg olyan tagot, amelynek az erede ti sorozatban nlnl kisebb indexevan. A (b~) soroza t teht (a~}-nek rszsorozata, s a kpzsi mdb l lthat,hogy az A szmhoz ta rt, vagyis konvergens.

lim sup a~ = ""'.

Ha (a~) fellrl korl tos s a ( - ""'}-be tart, ha n- QD, akkor a sorozat limeszszuperiorjn a (- QQ}t rtj k, vagyis ez esetben

lim sup a~= - ""'.

A definci alapjn k rt ny meggyzdni arrl , hogy

lirn sup ( - l)" ~ l . lim sup tg (2+3n) ~ ~1'3.

s ha (a~) a (113) alatti soroza tot jelenti, akkor

lim sup a~ = QQ.2.15. TTEL. Egy kon vergens sorozat minden vgtelen rszsorozata konver-

gens, s hatdrrtke megegyezik az eredeti sorozat hat rrtkvel.

A feltevs szerint ugyanis az eredeti sorozat majdnem minden eleme a soro-zat (ltez, egyetlen) torl dsi helynek C>O sugar krnyezetben van, ak r-milyennek is vlasztjuk az 1' > 0 szmot ; gy a sorozat b rmel yik vgtelen rsz-sorozatna k elemei is majd nem mind e torl dast hely Fo suga r krnyezetbenvannak.

A oo be vagy ( - oo)-be tart sorozatokra is igaz egy knnyen bebizonythathason l ttel: egy oo-be ( ifi . ( - =)-be) tart sorozat minden vgtelen rszsoro-zala is "",, be (ifi. ( - "",, )he) tart.

Ttelei nk alapjn kzvetlenl lthat, hogy pl.

2.16. TTEL. lIa az (a~) sorozat fellrl kor ltos. s nem tart a ( - QQ)-be,akkor van olyan ::t ER, amelyre

~egmutatjuk, hogy ez az IX a sorozat fels hatrrtke. Az co:: nyilvn torldsielye (a,,}-nek ; ha nem gy lenne, akkor volna olyan ~>O amellyel az ( _ '

" + ) ' ll ' ' co:: f,f" mterva um csak veges sok sorozatelemet tar talmazna, vagyis (x-e)EM

(122)e e Inf M .

Ha (a,,) fellrl korltos, akkor ltezik olyan x vals szm amelynek az atulajdo'" h ' I ' 'I 'n~aga , ogy na ana nagyobb eleme a sorozatnak legfeljebb vges sok~an..Az Ilyen tulajdonsg x-ek halmaza - jelljk ezt M -mel - rnindenesetre

ortatcs alulrl, hiszen ha az A ER torl ds! helye (a l-nek akkor az A szmaZM k als korl " ,

-ne a so orltja. Legyen most ct az M halmaz als hatra, vagyis

(121 )Jim ~=O, lim l 1 O,"... .. n ~ ...~n +n +l

k I. .hiszen az itt szerepl sorozato az a~ =n reszsorozatar.

76 77

lenne, ami (I 22)-nek ellentmond. Van teht (all}-nek olyan rszsorozate, amelyIX-hoz konverg l. Legyen IX' olyan vals szm, amelyre IX' > IX. Ekkor IX' - IX>O,

s az

2.20. T TEL Ha (a,,)s (b,,) konvergens, a" -- A, b,,"'" B,akkor az (a"bn)sorozatis konve rgens. s

2.19. TTEL. Ha az (an) s (bn) sorozatok konvergensek, s an- A, bn- B,akkor az (an+bn) s az (an -bn) sorozatok is konvergensele. Ezek hat r-rtke A +B, ill. A - B, vagy is

Elg azt bebizonytan i, hogy a (b,,) sorozatra tett felttelezsek mellett

o,b.~(o. -AXb. - B)+ A(b. - B)+ 8(0. - A)+ AB.Ezek szorzata :

Vegyk szre. hogy 0. - A -O, b. - B -O. A s B pedig vals szmok, igy (124)-s az el bbiekben igazolt speeilis eseteket figyelembe vve

js teljesl, s ezzel ppen (l 27)-et Igazoltuk.ej Most bizonytjuk be (l 26)-ot a ttelben szerepl ltalnossgban. rjuk

fel a,,-et s bn-et a kvetkezkppen :o. ~ (o.- A)+A s b.~(b.-B)+B.

2.21 . TTEL. Ha (an) s (b,,) konvergens. b,,;t! O(n =: I, 2, . .. ) tovbb an-A,b, - B s B ji! O, akkor az ( :: ) sorozat is konvergens, s

o. Ab. -O ' (128)

egyenltlensg. Ezzel az no-val azonban n~ no-ra

I co.- cAI~l cl lo.- AI O adott. A sorozatok kenver-gencija miatt van olyan n1 EN, hogy minden n ~nl-re la,,- AI< ; , s olyann2 EN, hogy minden n~nl-re Jbn- Hj

nylt intervallum a B szmnak egy krnyezete . A (b,,) sorozat ~onve~enc~jamiatt ltezik olyan no szm, hogy (b,,) minden , no-nl nagyobb index tagja aB-nek ezen krnyezetbe esik, azaz

b:-B. (132)b) Ha (b,, ) konvergens. bIt -B. s az % pozitiv valds szm, akkor az(%/;>~) sorozat is konvergens. s

Etekbl leolvashat, hogy konvergens sorozatok esetben a hatrtmenet azalapmveletekmindegyikvelfelcserlhet6. Igen knny beltni (pl. teljes induk-d val). hogy megjegyzsnk mnden olyan sorozatra alkalmazhat, amely kon-vergens sorozatokbl a ngy alapmvelet vges szm alkalmazsval llthat

el, feltve termszetesen. hogy ha oszts is elfordul, a nevezben sohasem llnulla.

A kvetkez ttel nhny jabb mveletre tartalmaz olyan lltsokat, ame--lyek a hatrtrnenet s a mvelet sorrendjnek felcser lhetsgre vonatkoznak.

2.22. TTEL. a) Ha (b,,) konvergens, b,, ~O (n= l . 2. . .). b,,-B. s ~ tetsz leges valds szm, akkor a (b:) sorozat konvergens. s

ll- - ,B

Az

s e vlasztsa miatt ~ - e> O, az egyenltlensg reciprokt vve1 1

l < B< lB + e B- e

is fenn ll minden n~no-ra, s ezt kellett beltni. Eddigi eredmnyeinke t, feltve. hogy (a,,}-re s (b..)-re a megfelel kiktsek

teljeslnek. a kvetkezkppen is rhatjuk :

lim (a,,- b,,)= lim alt-lim b",

lim a,p,,=lim a,, ' lim b",

lim (a"+b,,)= lim Q..+ lim bm

(135) ~-B', ill. '{b.- ff (kEN)

log,b.- log,B (134)

A ttelben fogla lt lltsokat a gyakorlat sorn igen sokszor felhasznljuk.A (132) a lattit pl. igen gyakran

alakban . Az els ezek k zl (126) kzvetlen kve tkezmnye ; a msodikat m rnehezebb igazolni.

A ttel b) rsze, azonkvl. hogy igen hasznos ismeretet kzl, rdekes msSZempontbl is. Ez ui. az alapja a pozitv vals cl szm irracionlis kitevs hat-vdnya szok sos rtelmezsnek. Emlkezznk: ha (b~) tetsz leges, csupa racio-nlis szmokbl ll sorozat, s bn-- B, ahol B irracion lis akkor az aB ha t-vnyon ppen az (ab") sorozat hatrrtkt rtjk, feltve, hogy e.e-O., A ttel bizonytsval itt most nem foglalkozunk. A 2.9. s 2.10. fejezetekben

latni fogjuk , hogy ezek a 2,48. s 2.61. TTELek specilis eseteiknt addnak.

c) Ha (b..) konvergens. b..> O (n= l, 2, ... ), b,,- B, B>O, tovbba>O s a j"! I . akkor a (log,.b,,) sorozat is konvergens, s

(131)

.-.

.--

.-.

IJ.. _J.. I

84

(139)

(140)

a,, +h,, - 00. a,,-b,, _ _ 00,

aj> _ { =. ha A >O" - 00. ha A K.a.

1- _ 00 , ill. - _ - 00.a, a"

hogy egy sorozat konvergencijt vagy divergenciajt nem befoly solja az, hogya sorozat vges sok tagja hogyan "viselkedik" , a kvetkez ttelek nyilvnva-lan akkor is rvnyesek lesznek, ha a kzlt Felttelek nmelyike csak bizonyos

n~n l EN rtkekre teljesl.

Ebbl azonban rgtn lthat, hogy n~ ntl-ra

teht ( ~" J nem korlt os. Mivel pedig ( 137) legfeljebb vges sok n-re nem igaz.[_l_ ] '!nek tor lds! helye sincs, gy valban...!.-- 00 . Legyen most 0,,0 s _...!.- _ 00. teht [ _ _1_] Fellrl nem korl tos. sa" an

torldsi helye sincs. igy nyilvn valan ( ;" J-nek sincs to