PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TỔ HỢP - LÊ HỒNG ĐỨC

8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TỔ HỢP - LÊ HỒNG ĐỨC

http://slidepdf.com/reader/full/phuong-phap-giai-toan-to-hop-le-hong-duc 1/130

' 111 1 ■<•%■i«ẽSnir ĩi Mg«SfiSrBftn ffiắii»»í lit ■"-"'

GÔM 11 CHỦ ĐÊ CHODẠNG TOÁN VỚ1100 81 BÀI TOÁN CHỌN LVÀ 200 BÀI TẬP ĐẺ N

£; Đ ạ o h à m n

k == n

n ‐

( l + x ) n = I C n X k vk

n n kỉ n

Đ K ỊCgG

/ f ( x ) d xk=0 k+1

Ằ n k= 2 C n

k

Hă Nộl|NHÀ XUẤT BẢN ĐẠỈ HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN

.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú





BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





LÊ HỒNG ĐỨC - LÊ HỮU TRÍ - LÊ BÍCH NGỌC

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Tổ HỢPe

NHAXUẤT BẢN ĐẠI HỌC ọ ư ó c GIA HÀ NÔỊ



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





LỜI GIỚI THIỆU Xn tỉ'ận trọng giới thiệu tới bạn đọc hộ tà i ỉicu

PHƯỢNG PHẤP GIẪI TOÁN T RU ỈV G EỌ C P H ổ TH ÔĨV G

do Thạc sĩToán học Lê Hổng Đức chỉỉ biên. Bộ ĩàì ỉiệtt gổm ỉ0 ĩập

Tập 1: Phương pháp giải Tõán Lượng giác.Tập 2: Phương pháp giải Toán Hình học Giải tích trong Mật phảng.Tập 3: Phương pháp giải Toán Hình học Giải tích trong Khóug gian.Tập 4: Phương pháp giải Toán Hình học Khồng gian.Tập 5: Phương pháp giải Toán Véctơ.Tập : Phương pháp giải Toán Đại số.Tập 7: Phương pháp giải Toán Hàm số.Tập : Phượng pháp giải Toán Tích phân.Tập 9: Phương pháp giải Toán Tổ hợp.Tập 10: Ôn tập Toán thi Tốt nghiệp Trung học phổ thông.

Với muc đích giúp cắc Thầy, Cô giáo có được hài giảng có hiệu quả hơn và các em cô được cá i nhìn tổng qiian, hiểu được bân chất của mỏi vấn đề đặt ra, từ đó đưa ra, phương pháp giải mạch lạc phù hợp vối những đòi hài của một bài thi. nên trong mỗi tập tài ỉiệu chúng tôi sắp xếp, hệ thống các kiêh rhức được đề cập trong chiỉơng trình Toán Tning học Phổ thông thành các Chit đề.

?ơ mỗi chủ đề:

í , Với việc trình bày dưới dạng các bài toán cơ bản. cũng ví dụ minh họa ngơv sau đó, s ẽ giúp tăng chất lượng bài giâng cho các Thầy. Có giáo và với các em học sinh sẽ hiểu và biết cách trình bày bài.

2. Tiếp đó tới các bài toán chọn ỉọc được lấy ra từ cức đề rhi vào các trườiỉỵ Đại học, s ẽ giúp các Thầy, Cô giáo dẫn dắt các em học sinh tiếp cận nhanh chóng với những đòi hỏi của thĩ(c tế.

3. Đặc biệt là nội dung của các chú ý sau một vài ví dụ hoặc bài toán chọn ỉọc sẽ giúp các Thầy, Cô giáo, cùng cố những hiểu biết chưa thật thấu đáo, cùng với cách nhìn nhận vấn đề đặt ra cho các em học sinh để trả lời một cách thỏa đáng câu hỏi ‘Tạ i sao ìại nghĩ và ỉàrii như vậy ? ”

4. Ngoài ra có rất nhiều bài toán dược giải bằng nhiều cách khác nhau sẽ giúp các học sinh trở lên linh hoạt trong việc lựa chọn phương pháp giải.

Bộ tà i liệu được viết trên một tư tưởng hoàn toàn mới mẻ, có tính sư phạm, có tính tổng hợp cao, giải quyết tương đối triệt để các vấn đề của toán học sơ cấp. Bộ tài liệu này chắc chắn phù hợp với nhiều đối titợng bạn đọc ĩừ các Thầy, Cô giáo đến các em Học sinh ìớp 10, 11,12 VÀcác em chuẩn bị dự ĩki môn Toán Tổt nghiệp PTTH hoạc vào các Trườỉìg Đại học.

3



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Cuốn PHKTtfNG p h á p g iả i TOÁrc Tổ 990Pđược chia thành 3 chương:

CHƯƠNG I: CÁC QUY TẮC ĐẾMCHƯONGII: HÓANVỊ - CHỈNH HỢP - Tổ HỢP

CHƯƠNG ni: NHỊ IHỨC NEWTON VÀ ỦNG DỤNG Xn được bày tỏ lòng biết ơn sáu sắc tới sự giúp đỡ đông viên tinh thần củ

ngườiThàym à tôì hẩng k ính Trọng, gồm:GS.TS Trần Mạiih Tuânnguycn Phó Giám ĐTning Tâm KHĨN & CNQG, Nhà Giáo ưu tú Đào Thiện Khái nguyên Hiệu TìKỜnFTTH Hà Nội - Amsterdam, PGSTSKH Đình Quang Lưii, GSTSKIi Nguyền Văn vngười Thày thủa lìủếu then của tôi Bác Ngở Lõm.

Cuối càng, cho dù đã rất cố gắng ỉĩẳng việc tham khao mội lượng rấi lớn cáchiện nay để vừa viểi, vừa mang đi giảng dạy ngay chơ các học sinh của mình từnghiệm và b ổ XUÍIỊỊ thiểu só t, cùng vợi việc ĩiếp ĩhu c ô chọn-lọc Vk iến cửa câc bạn đ

nghiệp dể hoàn ĩhiệỉì bộ íài liệu này, nhưng thật khó ỉrầĩih khỏi những thiếu sót, ĩâc

mong nhận được những ỷ kiến đóng góp quý báu của bạn đọc gần xa.Hà nội, ngày 1 tháng I nám 20

LÈ HỔNG ĐỨC

4



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





MỤCLỤCGIỚI THIỆU CHUNG

CHƯƠNGI

CÁC QỤY TẮC ĐẾM Cơ BẢNChủ đề 1. Quy tắc cộng..............................................................................9Chủ đề2, Quy tắc nhân............................. ............................ .............. .............. .....Chủ đề 3. Nguyói lý bù trừ......... ............................................................15Chủ để 4. Biểu đổ cây,.. .............................................................. .............21

CHƯƠNG n

HOÁN VỊ - CHÍNH HỢP - T ổ HỢP

Chủ đề 1. Hoán vị và các bài toán liẽn quan..............................................23■ Rút gọn biểu thức............................ ...................................23■ Chứng, mình đằng thức, bất đẳng thức............................... .24■ Giải phương trình, bất phương trình....................................26■ Thực hiện bài toán đếm........................................................11

Chủ đề 2. Chỉnh hợp........................ ..........................................................31■ Rút gọn biểu thức................................................................. 32

■ Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức................................32H Giải phưang trình, bấ! phương trình....................................33■ Tliực hiện bài toán đếm........................................................33

Chủ đề 3. Tổ hợp....................................................................................... 37■ Rút gọn biểu thức............ ..................................................37■ Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức..................................38■ Giải phương trình, bất phương trình...................................40

■ Thực hiên bài toán đếm ...:..................................................41Chủ đề 4. Bài toán đếm..............................................................................47

* Đếm số các chữ số ...............................................................47■ Đếm số phương án................................................................09■ Các bài toán khác.................................................................75

Bài đọc thêm: Chỉnh hợp và tổ họp suy rộng....... ........................................77



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





CHƯƠNG III NHỊ THỨC NEWTON VÀ T3NG DỤNG

Mở đầu...................................................................................................................Chủ đề 1. Sử dụng khai triển Newton chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức

tổ hợp........................................................ ................. . ..........103Chủ ứề 2. Giá tri của hệ số trong khai triển Newton. ..................................115Chủ đề 3. Hệ số ỉớn nhất trong khái triển Newton......................................125

TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................. .......................... ............130



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





CHƯƠNGICÁC QU Y TẮC ttẾM C0 BẢN

CHỦ ĐỂ 1QUY TẮC CỘNG

I. KIẾN THỨC Cơ BẢN1. QUY TẮC CỘNG

Giả sử cổ hai công việc:■ Việc thứ nhất có thể làm bằng nt cách■ Việc thứ hai có thể làm bằng ncách

và nếu hai việc này không thể ỉàm đồng thời, khi đố sẽ có:nt + n

cách làm một trong hai việc trên.Ví.dụ duới dây minh họa việc ,sử dụng quy tắc cộng nliư thế nào.

Ví dụ 1: Giải sử cần chọn hoặc là một học sinh nam củỉLkhối ỉ 2 hoặc làmột học sinh nữ của khối làm đại biểu trong hội đồng của một trườngTHFT. Hỏi có bao nhiêu cách chọn vị đại biểu này nếu khối có 81 học sinhnam và khối 11có 72 học sinh nữ ?Giải

Ta gọi:■ Việc thứ nhất là việc chọn một học sinh nam của khối 12, nó có thể

làm bằng 81 cách.■ Việc thứ hai là việc chọn một học sinh nữ của khối, nó có thể làm

bằng 72 cách.Theo quy tắc cống có:

81+72=153cách chọn vị đại đỉện này.

. QUY TẮC CỘNG DẠNG TổNG QUÁTChúng ta mở rộng quy tắc cộng cho trường hợp có nhiều hon hai còng việc.

Giả sử các việc T T2, Tni có thể làm tương ứng bằng n,, n2..., nmcách vàgiả sử không có hai việc nào có thể làm đồng thời. Khi đó số cách làm mộttrong m việc đó là:

Ũ! + n +...+ nm.Quy tắc cộng mở rộng có thể chứng minh bẳng quy nạp toán học từ quy lắc

cộng cho hai tập hợp.



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Chương I: Các quy tác đếm cơ bản

Ví dụ 2. Một sinh viên có thể chọn bàithực hành máytính từ một trong badanhsách tương ứng có 23, 15 và 19 bàì. Có bao nhiêú cách chọn bài thhành?Giải

Ta nhận thấy:■ Có 23 cách chọn bài thực hành từ danh sách thứ nhất .° Có 15 cách từ danh sách thứ hai.a Có 19 cách từ danh sách thứ ba.Vì vậy có:

23 + 15 + 19 = 57cách chọn bài thực hành.

3. BIỂU DIỄN DƯỚI DẠNG TẬP HỢP

Quy tắc cộng có thể phát biểu đuối dạng của ngôn ngữ tâp hợp như saú:1. Nếu X, Y là hai tập hữu hạn, không giao nhau, thì: . '

IX + Yỉ = IXI + IYI.2. Nếu x 2, ...Xn là n tập hữu hạn, từng đôi một không giao nhau, th

\Xy + x +... + XJ = IX!!+ IX2I+... + IX„I.3. Nếu X, Y là hai tập hữu hạn và X c Y, thì:

! XI = lYNXi = IY1 - IX!.

II. BÀI TẬP ĐỂ NGHỊ

Bài tập 1: Nếu có đầu sách Toán và 5 đầu sách Lý thì một học sinh có + 5=13 cách để mượn một quyển Toán hoặc Lý từ thư viện.

Bài tập 2: Quán Tản Đà có 4 món bò: nhúng dấm, lục lắc, nướng mỡ cnướng lá cách; có 3 món gà: xối mỡ, quay Tứ Xuyên, rút xương và hai m

cua: rang muối, rang me. Hỏi nhà văn Vương Hà có mấy cách gọi hai mónrai.

10



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





ACHỦ ĐỂ 2

QUY TẮC NHÂNL KIẾN THỨC Cơ BẠN1. QUY TẮC NHÂN

Giả sừ một nhiệm vụ nào đó được tách ra làm hai việc:■ Việc thứ nhất có thể làm ‘bằng j cách■ Việc thứ hai có thể làm bằng ncách sau khi việc thứ nhất đã được

làm khi đó sẽ có:n,n

cách thực hiện nhiệm vụ này.Các ví dụ dưới đây sẽ minh họa việc sử dụng quy tắc nhân như thế nào.

Ví dụ 1: Người ta có thể ghi nhãn cho những chiếc ghế trong một giảng đường

bằng một chữ cái và một số nguyên dương lchông vượt quá 100. Bằng cách nhưvậy, nhiều nhất có bao nhiêu chiếc ghế cổ thể được ghi nhãn khác nhau?Giải \

Thủ tục ghi nhãn cho một chiếc ghế gồm hai việc:■ Gán một trong 26 chữ cái.* Và sau đó gán một trong 100 số nguyên dương.

Quy tắc nhân chỉ ra rằng cố ị

26.100 = 2600cách khác nhau để gán nhãn cho một chiẽc ghế.

Như vậy, nhiều nhít ta có thể gán nhãn cho 2600 chiếc ghế.Ví dụ 2: Trong một trung tâm máy tính có 32 chiếc máy vi tính. Mỗi máy có24 cổng. Hỏi có bao nhiẽu cổng khác nhau trong trung tâm này?

GiảiThủ tục chọn cổng gồm hai việc, việc chọn máy và sau đó chọn cổng của

chiếc máy này.* Có 32 cách chọn máy.■ Có 24 cách chọn cổng bất kể máy nào đã được chọn.

Quy tắc nhân cho thấy có 32.24 = 768 cổng.2. QUY TẮC NHÂN DẠNG TỔNG QUÁT

Giả sử rằng một nhiệm vụ nào đó được thi hành bằng cách thực hiện cácviệc Tj, T2, ..., Tm. Nếu việc Tị có thể làm bằng; cách sau khi các việcTit T2,... Tị.1 đã được làm, khi đó có:

. ' n l» n2—nmcách thi hành nhiệm vụ đã cho.

Quy tắc nhân mở rộng này có thể chứng minh bằng quy nạp toán học từquy tắc nhân cho hai công việc.

11



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Outage ĩ: Các guv tác dán cơ bản

Ví dụ 3: -Có..nhiều- nhất bao nhiêu biển đăng ký xe ô tô nêu mỗi một dãy ba chữ cái tiếp sau là ba chữ số (không bỏ dãy chữ nào ngaycó ý nghĩa không đẹp).Giải

Ta nhận thấy:■ Cố tất cả 26 cách chọn cho mỗi một trong ba c" Có 10 cách chọn cho mỗi chữ số.Vì thế thèo quy tắc nhân; nhiềunhất có:

26.26.26.10.10.10=17 576 000biển đẳng ký xe.

3. BIỂU DIỄN DƯỚI DẠNG TẬP HỢP

Quy tắc nhân thường được phát biểu bằng ngôn ngữ tập hơp như s Nếu Aj, A2, Amlà các tập hữu hạn, khi đó số phần tử của tíc

của các tập này bằng tích của số các phầri tử .của mọi tập thành ohầnhệ với quy tắc nhàn hãy nhớ là việc chọn một phần tử của tích Đề-cX . . .X Amdược tiến hành bằng cách chọn iần iượt mội phẩn tử cùa A)tử của A2, . một phần tử của Am. Tlieo quy tắc nhân ta nhận được đ

Ị A i X A 2 X . ..X A m| = I A , | . Ị A 2 | . . . I A raỊ.

n. QUY TẮC NHÂN CỦA PHÉP ĐẾM

1. PHƯƠNG PHÁP

Phương pháp sử dụng quy tắc nhân để thực hiện bài toán đếm dhiện theo các bưởc:

Bước ỉ: Phân tách một hành đông H gồm nhiều giai đoạn liên riế■* 3ii*

Bước 2: Nếu ta có:■ kLlối khác nhau để thực biện giai đoạn aj.

■ Một khi thực hiện xong ai ta có k cách chọn khác nhau thiện giai đoạnã).

* Một klii thực hiện xong aj, a2...., ai,.! ta có k„ cách-chnhau thực hiện giai đoạn an.

Bước 3: Khi đó ta có tất cảk1xk2x...xkn cách chọn dểthực hiện hành động H.

17



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Chú ý:1. Thông thựờng, ở phổ thông các em học sinh phải đếm số các số gồm kchữa số phân biệt hình thành từ tập A. Trong trường họp này chúng tá Irìnỉi bày như sau:

Bước ỉ Mội số gồm k chữa số phân biệt hình thành từ tập A có dạng:

■ ai -a fc Bước 2: Đếm số cách chọn cho các Oi, i= ỉ, k không nhất thiết phải theo

thứ tự.2. Nhiều bài toán đếm phức tạp không thể giải được nếu chỉ sứ dụng hoặcquy tắc cộng hoặc quy tắc nhân. Nhưng chúng có thể giải được nếu sử dụng cảhai quy tắc này.

2. VÍ DỤMINH HOẠ

Ví dụ 1: Trong một phiên bản của ngôn ngữ iập trình BASIC, íèn một biếnià một xâu chứa một hoặc hai chữ số hoặc chữ cái, trong đó không phân biẹtchữ in thường và chữ in hoa. Hon thế nữa tên biến bắĩ đầu bằng một chữ cái và phải khác với nàm xâu hai ký tự dành riêng. Có bao nhiêu tên biến khác nhautrong phiên bản này của BASIC.Giải

Gọi V ỉà số cáp tên khác nhau ĩrong phiên bản này của BASIC, V, ]à số cáctên gồm,1 ký tự, v2 số các íên gổni2 ky tự.

Khi đó theo quy tắc cộng, ta có:. V y - y i + v,.

Ta có ngay Vj = 2ố, ,vì tên biến một ký tự thì nhất thiết phải là chữ cái.Để tính V ta thấy:* Ký tự đầu là chữ cái (chọn một trong 26 chữ cái).■ Ký tự thứ hai có thể là chữ cái hoặc chữ số (chọn một trong 26 chữ cái

và 10 chữ số). Nhưng cần Dhải bớ! di 5 xâu dàrili riêng.Do dó

V2 = 26 .3 6 -5 = 931.Vì vậy, có

V=V.+V2=26+931=957tên biẽn kliác nhau ưong phiên bản này của BASIC.Ví đụ 2: Mỗi người sử dụng hệ Ìhống máy tíiili đều có mật kliẩu dài từ sáutới tám ký tự, trong dó mỗi ký tự lạ một chữ hoa hay chữ số. Mỗi mật khẩu phải chứa ít nhất một chữ số. Hỏi bao nhiêu mật khẩu?Giải

Gọi p íà tổng số mật khẩu có thể và pố, p7. ps tương ứng là số mật ĩdiẩu dài,, 7, kỷ lự.

13



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





v-nưtTng I: Các qụy lắc đếm co bàn

Theo quy tắc cộng ta có: .P = P + PT+P,. ■

Bây giờ chúng ta sẽ tính p6, p7, Pg.* Tính trực tiếp psẽ rất khó. Để tìm pdễ han ta tính số các xâu dài

ký tự là các chữ in hoa hoặc chõ số, rềi bớt đi số các xâu dài ký tự là

các chữ in hoa và không chúa chữ sô' nào. Theo quy tắc nhân số xâu dài ký tự là 366 và các số các xâu không chứa, các chữ số Iă 2Vì vậy

p = 366 - 266 = 1867866560.* Hoàn toàn tương tự ta cóĩ

p7= 367- 267= 70332353920.Pg = 36* - 268 =2612282842880.

Vậy, ta được p = p6+ p7+ pg= 268.4 483063360.

ra. BÀI TẬP ĐỂ NGHỊ

Bàỉ tập 1: Một bé có thể mang họ cha ỉà Lê hay họ mẹ là Đỗ, chữ lót có Vàn, Hữu, Hồng, Bích hoặc Đình, còn tên có thể là Nhân, Nghĩa, Trí, Đ Ngọc hoặc Dũng. Hỏi có bao nhiêu cách để đặt tên họ cho bé.Bài tập 2: Một nhóm sinh viên gồm n nam và n nữ. Có bao nhiêu cáchthành một hàng sao cho nam và nữ đứng xen nhau?Bài tập 3: Trong vòng đấu loại của một cuộc thi cờ vua có 2n người thamMỗi người chơi đúng một bàn với một ngườỉ khác. Chứng minh rằn1.3.5.779... (n - ỉ ) cách sắp đặt.Bài tập 4: Có bao nhiêu số chẩn, lớn hon 5000, gồm 4 chữ số khác nhau.Bài tập 5: Giả sử Pi, P, P n là các số nguyên tố khác nhau. Hỏi có bao nhiướe số của số q - pỊ'1, P2... Pn° .

Bàị tập : Có bao nhiêu số khác nhau (không được bắt đầu bằng 0), nhỗ h2.108, chia hết cho 3, có thể viết bởi các chữ số, , .Bài tập 7: Có tất cả 3 đường đi từ trường Lê Hồng Phong đến trường NgThi Minh Khai và 4 đường đi từ trường Lê Hồng Phong đến trường Lê Đôn. Vậy có tất cả mấy cach đi khác nhau từ trương Lê Quý Đôn đến trư Nguyền Thị Minh Khai qua ngã ba trường Lê Hồng Phong.Bài tập : Có tái: cả mấy số có thể thành lập với chữ số 2 ,4 , nếu

a. SỐ đó nằm từ 200 đến 600 b. Số đó gồm 3 con số khác nhauc. Số đó gồm 3 con số không cần khác nhau.

14



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





CHỦ ĐỂ 3 NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ

I. KIẾN THỨC Cơ BẢN1. NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ

Khi hai công việc có thể được làm đồng thời, chúng ta không thể dùng quytắc cộng để tính số cách thực hiện nhiệm vụ gồm cả hai việc. Cộng số cách lammỗi việc sẽ dẫn đến sự trùng lặp, vì những cách làm cả hai việc sẽ được tínhhai lần. Để tính đúng số cách thực hiện nhiệm vụ này ta cộng số cách làm mỗimột trong hai việc rồi trừ đi số cách làm đổng thời ca hai việc. Đó là nguyênlý bù trừ.

2. BIỂU DIỄN DƯỚI DẠNG TẬP HỢPChúng ta cộ thể phát biểu nguyên lý bù trừ bằng ngôn ngữ tập hợp như sau:Cho Als A2-Ià các tập hợp. Gọi Ti là việc cbọn một phần tử của At còn Tlà

việc chọn một phần tử của A2.■ Có IAjí cách làm việc Tị. •■ Có !A21cách làm việc T2.

SỐ eách làm hoặc Tị hoặc T bằng tổng số cách làm việc Tj và số cách làmviệc T trừ đi sô' cách làm cả hai việc. Vì có IA}u À2Ỉ cách làm hoặc Tj hoặcT2, và có IA]n A2Icách làm câ hai việc T) và Tnên chúng ta có:

IA, u A 2I - !A,I + IA2Ì - IẠi o AI.

Đó chính là công thức đưa ra để xác định số các phần .tử của hợp hai tậphợp. Nguyên ỉý bù trừ có thểtổng quát hóa để tìm số cách thực hiện nhiệm vụgồm n việc khác nhau, hoặc là tìm số phẫn tử của hợp n tập hợp vói n là sốnguyên dương.

Định lý l: Cho A1?A2, .. ., A„ là các tập hữu hạn, khi đó

|A,uA u.. .uA n|= X |AjỊ- X ịẢị nAj|1ái £U 1ái <j Sn+ X |AjnA j nA k|-...+ (-ỉ)n+i|AA n...nAn|.

í i <j <k 5n

Nguyên lý bù trừ chó ta công thức tính số phần tử của hợp n tập hợp vớimọi n nguyên đương. Nó gồm C02n - 1 sốhạng* -

n . VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ sau sẽ minh họa chúng ta có thể giai quyết bài toán đếm nhữ thế nàokhi sừ dụng nguyên lý bù trừ.

15



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Chttcmg ĩ: Các QUYtác đếm co ban

Ví dụ 'l ĩ Có bao nhiêu xâu nhị phân độ đài bit hoặc được bắt đầu ì hoặc kết thúc bằng hai bit ?Giải

Ta có:■ Việc thứ nhất, xây dụng các \;mnhị,pMn độ đài bit bắt đầu b

, có thể được làm bằng' = 128 cách, vĩ bit đầu chỉ có thể cmột cáchị mỗi một trong bẩy bit sau có thể chon bằng hai *: Việc thứ hai, xây dựng các dãy nhị phân độ dài bít kết thúc b

bit 00, có thể làm bằng26 = 64 cách, vì mồi môt trong sáu bthể làm bẵng hai cách, hai bit cuối cùng có thể chọn chỉ bằ

■ Có thế làin cả hai việc đổng thời, xây dựng các xâu nhị p bắt đầu bằng bit 1 và kết thúc bằng hai bit 00, bằng = 32 cámỗi một trdng 5 bit từ bit thứ liai tói bit thứ sáu có thể chcách, bit đầu và hai bit cuôì eùng có-thể chọn chỉ bằng một

Cuối cùng, số xâu nhị phân độ dài bit hoặc được bắt đầu bằng bkết thức bằng hai bitỚ bằng số cácli làm hoặc công việc một họãhai và bằng

■ 128+64-32=160.Ví dụ 2: Lớp toán rời rạccó 25 sinh vĩèn giòi tin học, 13 sinh vtoán và .sinh viên giỏi cả toán và tin học. Hỏi trong lớp này có baviên, nếu mỗi sinh viên hoặc giỏi toán Ĩioặe giỏi tin học gịỏi cả hGiải .

Gọi A là tập các sinh viên giòi tin học và B ìặ tập các sinh vihọc. Khi đó A n B là tập các sinh viên giội cả toán và tin học.

Vì mỗị sinh viên trohg lớp hoặc giòi ĩoãn giỏi tin lioặc giòi cả hai mởta suy ra số sinh viên ứong lớp ĩà ịA oB|. Do vậy:

.|AoB|=|Aị+|Đ|-|AoB| +13-8 = 30Ví dụ 3: Bao nhièu số nguyên không lớn hon 1000 chia hết choGiải

Gọi A sổ nguyên không lớn.hơn 1000 chia hết cho 7, và B là nguyên không lớn hơn 1000 chia hết cho. Khi đó Ịa^bỊ là tập nguyên không lỡn hơn 1000 chia hết cho 7 hoạc 11 và ADB lànguyên kkồnglớn hơn 1000 chia hết cho cả 7 và 11.

Ta biết, trong số các số nguyên không lớn hơn 1G00 có■ [_1000/ 7j số nguyên chia hết cho 7■ [lOOO/llJ chiahêt cho 11.■ Vì 7 và 11 là hai-số nguyên tố cùng nhau nên số nguyẻh c

cả 7 và 11 là số nguyên chia hết cho 7.11. Số các [1000/(7.1 !)J •



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Từ đó suy ra:

|AwBỊ = |A|+|B|-|Ar>B| 1000

7 +

220

tức là có 220 số nguyên không lớn hon 1000 chia hết cho 7 hoặc li.Ví dụ tiếp theo diĩ ra cách tìm số các phần tử trong phần bù của ihợp haí tập

hợp.Ví dụ 4; Giả sử trong trường hợp bail có 1807 sinh viên năin ĩhứ nhất.Trong số này có 453 sinh viên chọn môn íin học, 567 chọn mớn toán học và299 học cả hai môn toán và tin. Có bao nhiêu sinh viên không theo học toáncùng không học tin học?Giải

Số sinh viên không theo học toán cũng khổng học tin học sẽ bàng tổng sốsinh viên trừ đi số sinh viên theo học hoặc toán hoặc tin học.. Gọí A là tập các sinh viên năm thứ nhất theo học tin học, còn B Là tập các'

siàh viên học môn toán.Khi đó ta có :

|AỊ=453, |B|=567, và AfiB=299.SỐ sinh viên theo học hoặc tin học hoặc toán học là:

|A u B| = |A|+|B| - |A n B| =453+567-299=721.Do vậy có 1807 - 721 = 1086 sinh viên nãm thứ nhất không í heo học cả

.oán và cả tin học.Ví dụ 5: Biết rằng có 1232 sinh viên học tiếhg Tầy Ban Nlia, 879 học ĩiếngPháp và 114 sinh viên học tiếng Nga, 103 sinh viên học cả íiếng lầy Bail Nhavà tiếng Pháp, 23 học cả tiếng Tây Ban Nha và tiếng Nga, 14 học cả tiềhgPháp và tiếng Nga, Nếu tất cả 2092 sinh viên đều theo học ít nhất một ngoạingữ, thì có bao nhiêu sinh viên học cả bá thứ tiêng ?Giải . . . . - ■ . ' ■■■';-

Gọi s ỉà tập các sinh viên học liếng Tây Ban Nha, F là tập các sinh viên lioctiéág Hiáp, R là tập các sinh viên học tiếng Nga,

ỊSỊ=1232,ỊF|=879, |R|=114,ịSTlFị=103, ị SORỊ=23, |FnRỊ=14,và’|SYF YR| = 2092. *

Thay vào công thức tổng qtíát:|SYF YRị=ỊSỊ+PF|+ỊR|-íSnFị-ỊSnRỊ-ỊFnR|+ỊSnFnRỊ

ta nhân được:2092= 1232 + 879 + 114 - 103 - 23 - 14 + |S nr r k;

Khi đó:

17



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Ourcmg I: Các trov lắc đếmca bản

Giải ra ta được:|S n F HRỊ = 7.

Do vậy có 7 sinh viên theo học cả ba thó tiếng.Ví dụ : Hãy viết ra công thứe tính số phần tử của hợp 4 tập hợp.Giải

Nguyên lý bù trừ chỉ ra rằng|AiYA Y3YA4|=|a |+1a 1+|a |+|A4|-- | a , I A2|- |A i I a 3| - Ị a , I a 4| - | à 2 I a 3| - Ị a 2 I a 4| - | a 3 í /u |+

+[a, I A21 'AịỊ+ỊAi I .Aj I A4|+|A! I A3 ĩ A 31 Ajị|-- |A , I A2 I A j I Ạ 4|.

Chú ỷ. Công thức trên chứa 15 số hạng khác nhau, môi số hạng cho mỗconlchông rỗng của {Aj, A2, A3, AỊ.

m.BÀ I TẬP OỂ NGHỊBài tập 1: Tập Aj YA có baơ nhiêu phần tử nếu A! có 12 phẩn tử, A cổ 18

phần tử vàa. A, I A = 0 - ,■b. jAj n A.2ị=ỉ.c. ỊAin A |- .d . A ịCA, .

Bài tập 2: Hãy tìm số phẩn tử của Aj y A Y A nếu mỗi tập có 100 phẩn tửvà nếù:

a. Các tập họp là từng cặp rời nhau. b. Ó50 phần tố chung của mỗi cặp tập và không có phần tử chung củ

ba tập.c. Có 50 phần tử chung của mỗi cặp tập và 25 phần tử chung của c

tập.Bài tập 3: Hãy tìm số phần tử của A Ị Y A Y A nếii At có 100 phần tử, Acó 1000 phần tử và A 'có 10 000 phần tử và nếu

a. AjcA và A c A b. Các tập hợp là từng cặp rời nhau.c. Có 2 phẩn tử chung của mồi cặp tạp và 1 phần tử chung của cả ba ĩ

Bài tập 4; Phương trình X!+X+X =20 với 2<Xj<6, Ểkx<10, và 0<x3<5 có bao nhiêu nghiệm nguyên dương ?Bài tập5: Có bao nhiêu số nguyên dương nhỏ hơn 1000000

a. Chia hết cho 2, 3'Ĩĩiiậc 5 ?

18



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





b. Không chia hết cho 7, 11 hoặc 13 ị?c. Chia hết cho 3 nhưng không chia hết -no 7 ?

Bài tập : Có bao nhiêu số nguyên dương nhỏ hơn 200 làa. Luỹ thừa bậc hai hoặc cao liơn của số nguyên ? b. Luỹ thừa bậc hai hoặc cao hơn của số nguyên hoặccủa số nguyên ĩố ?

c. Không chia hết cho bình phương của một số nguyên lớn hơn 1 ?d. Không chia hết cho lập phương củà một số nguyên lớn hơn r?e. Không chia hết cho ít nhất ba sốngúyên tố ?

Bài tập 7: Tìm số các số nguyên không vượt quá 100 không chia hết hoặccho 5 hoặc cho 7.Ị?ài cập : ĩlm các số nguyên đương khởng vượt quá và hoặc là số lẻhoặc là bình phương của một số nguyôn.Bài tập 9: lìm các số nguyên không vượt quá 100 và họặc là số lè hoặc là bình phương hoặc lặ lập phương của một số nguyên.

Bài tập 10: Trong một trường đại học có 345 sinh viên theo học mồn toán caocấp, 212 sinh viên học môn toán rời rạc và 188 học cả hai môn. Hỏi có baonhiêu sinh viên hoặc học môn toán cao cấp hoặc học môn toán rời rạc ?Bài tập l ì : Trong tổng số 2504 sinh viên của một trường đại học tin họe có1876 theo học raon Ngón ngữ Pascal;.999 học môn Ngôn ngữ Fortran, vá 345học Ngôn ngữ c. Ngoài ra ta còn biết 876 sinh viẽn học cả Pascal và Fortran,232 học cả Fortran và c, 290 học cả Pascal và c. Nếu 189 sinh viên học cả 3môn Pascal, Fortran và c , thì trong trường hợp đó có bao nhiêu sinh viênkhông học môn nào trong ba môn về ngôn ngữ lập trình kể trên ?Bài tập 12ĩ Sau môt cuộc phỏng vâh 270 sinh viên các trường đại bọcngười i'd thấy 64 sinh viên thích ãn cải xanh, 94 thích ăn bắp cải, 58 thích ăn xứp lơ,26 thích cả cải xanh và bắp cải, 28 thích cải xanh và xúp lơ, thích bấp cải và

I xốp ỉơ và 14 thích cả ba lợi rau. Hỏi trong số 270 sinh viên nàv cứ hao nhiêukhông thích cả ba loại rau kể irên ? .Bài tập 13: Có bao nhiêu sinh viên trong một trường đại hoc ghi ĩẻm học hoặc

Ị là toán cao cấp, toán học. rời rạc, cấụ trúc đữ liệu hoặc là ngôn ngữ íập ĩrmh;nếu tuơttg ứng có 507, 292, 312 và 344 gỉii têĩi Ỉ1ỌCcác môn học trôn, và 34 học cả toán cao cấp và cấu trúc đũ liệu,. 213 học toán cao cấp và ĨISÔB ngữ íậptrình, 211 học toán rời rạc và cấu trúc dữ liệu, 43 học toán rời rạc và ngôn ngưlập trình, và không có sinh viên nào-học đổng thời hoặc là toán cao cấp vàloán rời rạc hoặc là cấu trúc dữ liệu và ngôn ngữ lập trình ?Bài tập 14: Có bao nhiêu-hoán vị của 26 chữ cái trong bảng chữ cái ĩiếng Anh

Ị không chứa một trong các xâu Fish, rat, hoặc "bird ?Ị Sài tập 15: Có bao nhiêu hoán vị của 10 chữ số hoặc là bắt đầu bằng ba chữI số 987, hoặc chứa các chữ số 45ở vị trí thứ nãm và thứ sạn, hoặc íù kếí thúc



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





rinrơugI: CácQKVỉắcđếm cơ bàn

„ài tập 16: Có bao nhiêu phần tử trong họp của bốn tập hợp, nế10 phần tử, mỗi cặp tập họp có chung 50 phần tà, moi bộ ba tậ

phần tử chung và có 5 phần tử thuộc -cả'4 tập họp ?Bài tập 17: Có bao nhiêu phần tỏ. trong hợp của bốn tập hợp, nếutương ứngcó 50, 60, 7Ọ, vàỠ phần tử, mỗi cặp tậphợp có chung 5 ph

mỗi bộ ba tập hợp có phần tử chung và khổng có phần tử nàọ cùn4 tập hợp?Bài tập 18: Có bao nhiêu số hạng ưong công thức tứih số phần ttập hợp theo nguyênlý bù trừ.Bài tập 19: Hãy viết cổng thức hiển tính số phần tử của hợp 5 nguyên ỉý bù trừ.Bài tập 20:Có bao nhiêu phần tử trong hợp của năm tập hợp, nếu000 phẩnĩử, mỗi cặp ĩập hợp có chung 1GÕ0 "phần tử, mỗi bộ ba

phẩn tử cỉumg, mỗi bộ bốn ĩập họp có phần tử churig và có phthuộc cả 5 tập hợp ?Bai tập 21: Hãy viết công thức hiển tính số phần tử của họp tập íheo nlý bù trừ nến biết rằng không có bộ ba tập nẳo írong cầc tập nàchung.Bài tập 22: Giả sà có 14 sinh viên nhận tíượe điểm A trong kỳ ihimôn toán rời rạc, 18 nhận được điểm A trong kỳ thi thứ hai. Nếviên nhận dược điểm A hoặc ừong kỳ thi đầu hoặc trong kỳ thĩ.tcó bao nhiêu sính viên nhận được điểm A trong cả hai lần thi ?Bài tập23ỉ Nìiữns cấu hỏi cho-eơ sở dữ liệu về số sinh viên trongđại học đã nỉìận được các dữ ỉiệu như sau: toàntrường có 2175 sinh viên

số đó 1675 klìôag ỉà sinh viên năn* thứ nhất, 1074 học môn toán học môn toán rời rạc, 607 không là sinli viên nãin thứ nhất và có cấp, 350 có học íoán cao cấp và toán rời rạc, vấ 143 khôrig ỉà sinthứ liliất và có học cả hai môn toán cáo cấp và tòán rời rạc. Có phcâu Trả lời cho các câu hỏi là chính xác không ?Bàỉ tập 24: Gác sinh viên khoa toán troiig một trường đạị học themột trong bốn chuyên ngành sau đây; toán ứng dụng (ẦM), toá(PM),.vận trù học (OR) và ĩin Iioc (CS). Hỗ ’ tữih số sinh viên tocó 23 sinh viên tbêo học ngành AM (kể cả người theo học nhiềsinh viên tỉịec bọc ngàrủì PM, 44 theo học ngành ỌR, 63 theo họctheo học ngầnh AM và PM, theohọc ngành ẢM và cs, 4 theo học AM và OR, theo học ngànlì PM và GS, 5 theo học ngành PM và Oliọc ngành OR và cs, 2 theo học ngành PM, OR và cs , 2 theo họcOR và cs, theo học ngành PM, AM và OR, theo học ngành PM, c s và 1 theo học cả 4 chuyên ngành.Bài tập 25: Cẩn bao nhiêu số hạng khi dừrg nguyên ỉý bù trừ để

phần tử của bảy tập hợp nếu không có qui năm trong các tập nàchung ?



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





C HƯ ĐẺ 4

BIỂU ĐỔ CÂYí. BIỂU Đổ CÂY

Bài toán đêm có thể được giải bằng biểu đồ cây.Một cây bao gồm một gộc và các cành đi ra từ gốc, và các cành phụ đi ra từ

điểm cuối cùng cành khác.Để sử dụng cây trong bài toán đếm chúng ta dùng cành biểu diền mồi một

lựa chọn, các kết cục bằng các lá, đó ià điểm cuối của cành không có cànhkhác bắt đầu trên nó.

II. VÍ DỰMINHHOẠVí dụ 1: Có bao nhiêu xâu nhị phân có chiều dài 4 bit không có hai số Iliên tiêp ?TỈải

Biểu thị tất cả các dãy nhị phân dài 4 bit không có ỉiêiì tiếp hai số 1.

Ta thấy có dãy nhị phân như vậy.

IILIỈÀI TẬP ĐỂ NGHỊBài tập 1: Trận thi đấu thể thao giũa hai đội A và B gổm năm ván. Đội nàothắng ba ván írước sẽ kết thúc cuộc thi và giành chiến thắng- Cuộc thí dấu cóthể diễn ra íheo bao nhiêu cách khác nhau ?Bài tập 2: Trong một cuộc đánh độ bóng bàn giữa Ất và Bính, kẻ thắng đô là*người đầu tiên thắng ba ván hoặc thắng hai ván liên tiếp. Có bao nhiêu trườnghợp cỏ thể xảy ra ? 'Bài tập 3: Hai đội bóng rổ A và B đấu loại. Đội đổu tiên thắng 2 hiêp liêntiếp hoặc thắng tổng cộng 4 hiệp sẽ thắng vòng ỉoại. Tính số cách vòng loại cóthể xảy ra.Bài tập4: Bé Ti Ti đang đứngC gốco của trục x'Ox và có thể bước về bẽn

phải hoặc bên trái mỗi bước là 1 đơn vị độ đài. Bé sẽ dừng lại sau5 bước hoặckhi đến với Ba ở hoành độ 3 hav đến với Mẹở hoành độ - 2. Dựng sơ dồnhánh mô tả tất cả lộ trình có íhể xảy ra.



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Cĩnĩơiig I: Các giiy lác de'mcơ bàn

Bài tập 5: Trong sơ dồ sau Ạ, B, c, D, E, F là các đảo trong vịnh NThuỷ và các đường nối là các cầù bắc ngang. Bùi Hàng cất bưởe lãng đảo A và tham quan từ đảo này đêh đảo khác. Thi nhân sẽ dừng lại đề thkhi không thể tiếp tục di mà không phải bước qua cùng một chiếc cầu hTìm số cách mà anh có tkể ngao du trước khi đề thơ.Sài tập : Có 11 cách ngao du vì có 11 điểm ngọn của so đổ nhánh. Anđể thơ ở B, D hoặc E.Bài íập 7: Xem sơ đồ sau với 9 địa điểm A, B?c , R, s, T, X, Y,z của khuHội Hoa Đăĩỉg Bàn Cờ. Giắng Hương khởi đi từ X và ehi được đi tlieo ngang hoặc dọc. Cô sẽ dừng lại khi thấy không thể tiếp tục 4i mà khônđen cùng môt địa điểm tới hai lần. Tìm số cách mà cô có thể đi nếu trướcô đi từ X đến R. .

22



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





CHƯƠNG IIHOẮN VỊ - CIIẺVII1IOP - Tổ HỢP

CHỎ ĐỂ 1

HOÁN VỊ &CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

L KIẾN THỨC c ơ BẲNHoán vị cùa một tập các dối tượng khác nhau là môt cách sắp xếp có thứ tự

các đối tượng này.

DLCÁC DẠNG TOÁN

1. RÚT GỌN BIỂU THỨCĐể thực hiện việc rút gọn biểu thức chứa các toán tử hoán vị, chúng ra

thường sử dụng công thức phân tích, ngoài ra trong nliiều trường hợp cần vầndụng kỹ năng đơn giản dần.Ví d ụ i : Rút gộri biểu thức:

6! (m + 1)!m(m+l) 4!(m-l)!

Giải ■■■"■■

Biến đổi A về dạng:A=. !‐‐ (m -1) •Jp-(m+1) _3Q

m(m+l) 4ỉ(m-l)! Nhận xét: Như vậy để rứt gọn đẳng thớc đã cho chúng ta tliực hiện phép phântích đựa trên:

n!=n (n-l)...(n-k+l).(n-l)!Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:

Au= ếkk!.

• k=lGiải Ta có nhận xét:

k k!=[(k+l)-l].k!=(k+l)!-k!suy ra:

Aa= kk! =2! -1 !+3! -2!+.. .+(n+1)! -n!= (n+1)!-1.k=l

23



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Nhận xét : Như vậy để chứng miiih đẳng thóc đã cho chúng ta thực phân tích 'dựa trên: : ' • ;

A^ẨỊ -A? ■■ : ;■■■■■và từ đó các nhận tử loại dần nhau. Gần nhớ rằng đây là phép biến

mà chúng ta đã được làm quen khi tính tổng' dãy số.. c h ú n g m ĩ nh đẳn g t hứ c , bấ t đẳn g t h ứ c

-Để chứng minh đẳng thức, bâít đẳng thức chứa các toán tử hoán thường sử dụng một trong haị cách sau:

Cách ỉ: Sừ dụng các đánh giá về bất đẳng thức.Cách 2: Sử dụng phương pháp chứng minh qui nạp.

VídụX: Chứng minh rằng:

■ V JL+ I + i +...+ i < ,1! 2! 3! 11ÌGiải

■Tạ Cổ nhận xét:

! '

- ! 'ì =_L =r_i3! 2-3 2 '3 l +

4! < 3.4 3 4

• Chươaa 11: Hoãn vi - Chỉnh hơp - Tổ hơỉ> .

_Ị_ _ __ _ n! (tt - l)n n‐ n

suy ra< -—< , đpcm.

1! 2! 3! n! nVí dụ 2; Qiứng minh rằng:

n“<(n!)2< [*±L Ị , với neZ, n>2.Giải

Biến đổị bất đẳng thức về dạng;



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





a. Ta có đánh giá:k(n-k+l)>n, bởi (n-k)(k-Ị)>.

Áp đụng bất đẳng thức trên Á/Ới k=l,...n, ta được:1.n> 11

.(tt-l)> un phần tửk(n-k+l)>a

n.l > n

suy ra(l.n). [ .(n-ỉ)]~.k(n-k+ l)..(n, ỉ)>n".

b. Sử dụng bất dẳng thức Côsi, ta đựợc:

k + Q-k + l j 2_ û + lýk(n-k+l)<

Áp dụng bất đẳng thức trên với k=l,...n, ta được:

l.n <

Q.l <

n +1

n + 1

«n phần tử

suy ra(l.n).[ .(n-l)]...k(n-k+l)..(n.l)< Í í | i j °.IS __s //IV 1A ^ *1__ô„Từ (1) và (2) ta nhận được bất đẳng thức cần chứng minh.

Ví dụ 3: Chứng minh rằng:n!>2"*1, với neZ, n>3.

GiảiTa có thể lựa chọn một trong hai phương pháp sau:

Cách ỉ: Sử dụng phương pháp đánh giáTa có nhận xét:

2^212 <3 n‐ phần tử

2 < n

suy ira:

1

2

2”' <2.3...n=l. 2.3...n=n!, đpcm.



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Clntang II: Hoãn vi ■Chinh hop - Tổ hop

Cách 2: Sử dụng phương pháp chứng minli qui nạp■ Với n=3, ta có:

3!>2 <=>6>4, luôn đúngVậy, bất đẳng thức đứng với n==3.° Giả sử bất đẳng thức đóng với n-k, tức íà ta có: *

k!>2k*Vvới keZ, k>3.a Ta đi chứng minh, bất đẳng thức đúng với n=k+l, tức là chứng minh

(k+l)!>2k, với keZ, k>3.Thật vậy:

■kè 3(k+l)!=(k+l).k!>(k+l)." > . k-= k, đpcm.

3. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNHĐể giải phương trình, bất phương trình chứa các toán tử hoán vị, chúng

môt trong hai cách sau:Cách ỉ: Tliực hiên việc đơn giản biểu thức hoán vị để chuyển phươ

trình, bất phương trình về đạng đại số quen thuộc.Cách 2: Đánh giá thông qua giá trị cận trên hoặc cận dưới.

Ví dụ 1: Giải phương trình:

— ——— - —, với n nguyên, dương.(n + 1)! 6 *

Giải Biến đổi phương trình về dạng:

n!-(n - )? _ ^ n.(a-l) i-(n-l) ĩ_ _ n‐ (n+ )! (n +l).n.(n -I)! (n+l).n

o n -5n+6=0 <=> a = ~.n =3Vậy, phương trình có hai nghiệm n=2 và n=3.

Chú ý: Các em học sinh cần lưu ý rằng công thức hoán vị n! chỉ có ý nghĩa vneN, đo đó khi thực hiện xong việc giải phương trình hoặc bất phương tcần lựa chọn nghiêm phù hợp. Để minh hoạ chúng ta xém xét ví dụ sau:Ví dụ 2: Giải phương trình: f

! =72, với n nguyên, dương.


n = -9 loại11 8(a-1)!

Vậy, phương trình có nghiệm. n=.



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Ví dụ 3: Giải bất phưoíig trình:3<n!+(n+l)!<33.

Giải ' .Ta cổ: . - _;■ Với D=1 thì n!+(n+l)!=3.■ Vội n=2 thì n!+(n+l)!=.■ Với J thì n!+(n+l)!=30.■ Với ii -4 thì n !+(n+l)!=144:Vậy, nghiệm của bất phương trình là n-2 và n-3.

4. THỰC HIỆN BÀI TOÁN ĐẾM

Ví dụ 1: Giả sử rằng một thương nhân định di bán hàng tại tám thành phố.Chị ta bắt đầu cuộc hành trình của mình tại một tliành phố nào đó, nhưng cóthể đối bảy thành phố kia theo bất fcỳ thứ tự nào mà chị ta muốn. Hỏi chị ía cóthể đi qua tất cả các thành phố này theo bao nhiêu lộ trình khác nhau?

GiảiSố lộ trình có thể giữa các thành phố bằng số hoán vị của bảy phần tử, vì

thành phố đầụ tiên đã được xác định, nhung bảy thành phố còn lại có thể cóthứ tự tuỳ ý. Đo đó có:

7 !“ 5040 cách 4ể người bán hànệ chọn hành trình của mình.Chú ý: Nếu muốn tìm lộ trìnli ngắn nhất till chi ta phải tính tổng khoảng cáchclio inỗi hành trình có thể, tức là tổng cộng phải tính cho 5040 hành trinh.Ví dụ 2: Cho tậ p E ^ l, 2, 3,4, 5 ,, 7}.

a. Có bao nhiêu số gổm 7 chữ số phân biệt hình thành từ tập E ? b. Có bao nhiêu số gổm 7 chữ số phân biệt, hình thành từ tập E, trong đó

các chữ số 3,4 , 5 đúng cạnh nhau ?c. Có báo nhiêu số gồm 7 chữ số phân biệt, hình thành từ tập E, bắt dầu

bằng 123?Giảia. Mỗi số gồm 7 chữ số phân biệt hình thành từ tập E ứng với chỉ một hoánvị của 7 phần tử của lập E, và ngược lại-

Vậy số các số phải tìm bằng;

p7=7!=5040số. b. Xét hai trường hợp:Trường hợp ỉ: Các số 3 ,4 ,5 đúng cạnh nhau theo thứ tự đó.

Giả sử a=(3 ,4,5) là'bộ ba chữ số 3,4, 5 đứng cạnh nhau theo thứ tự.đó-Mồi số gồm 7 chữ số phân biệt, hình thành từ tập E, trong đó các chữ số 3,

4, 5 đứng cạnh nliau (theo thứ tự đó) ứng với chỉ một hoán vị của 5 phần tửcủa tập F={ 1,2, a,,7 ), và ngược lại.

27



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Chưcng II: Hoãn vi - Chỉnh hợp - Tổ liơp

Vậy SỐ các SỐ phải tìm bằng: p =5!=120 số. - - ■

Trường ỉiợp 2: Gác số 3; 4 ,5 đứng cạnh nliau theo thứ tự bất kỳ.Ta biết rằng có 3! cách-chọn các bộ 3 cliữ số (3, 4, 5)đứngcạnh nha

theo thứ tự bất kỳ. ' -

Vậy số các số phải tìm bằng:3!.P5=720số.C- Mỗi sọ gổra 7 chữ số phân biệt, liìnli tliành từ tập E, bắt đầu bvới. cbl một hoàn vị của. 4 chữ số (4, 5,, 7).

Vậy số các số phải tìm bằng: p,=41=24 số.

Ví dụ 3: >a. CÓ bao nhiêu cách sắp xếp 4 người ngồi quanh một bàn hìn b. c<5 bao nhiêu cách sắp xếp 4 người ngồi quanh một bàn tròn

Giải.' Đặt £={ct,az a 3, . } là tập hợp 4 người.a. Với bàn hình chữu, có thể phân biệt vị trí chỗ ngổí bằng cách đátự. KIii đó mỗi cách sắp xếp ứng với chỉ một bộ 4 phần tử của tập

Vậy-Số cách sắp xếp bằng:P4=4!=24 cách.

b. Với một bàn tròn, người ta không phân biệt vị trí chỗ ngổi, có kết quả chỉ do .đổi chỗ vòng tròn, sẽ không coi là khác nhàu. Ví đxếp sau đây được coi là một cách sáp xếp:

a - a:

ctj -Vậy số cách sắp xếp bầng:

— cách.4

m.CÁCBÀI TOÁN CHỌN LỌC

Bài 1: Rứt gọn biểu thức:i k ‐

k=2 KỉBÀI GÙI

Ta có nhận xét:k ‐ _ -kĩ (k - 1)!"k!

28



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





BÀI GIẢISử dụng phương pháp chứng minh qui nạp.* Vớỉ n=l, ta có:

!> - , luôn đúnge

Vậy, bất đẳng thức đúng với11=1.■ Giả sử bấtđẳng thức đúng vớin=k, tức là ĩa có:

k!> í—ì , k€Z+. '

■ Ta đi chứng minh bất đẳng thức đúng với n=k+ ỉ , íức ỉà chứng minh / ị - \ k + 1

. : (k+l)!>[ — I , keZ*.

Thật vậy:

« ,N,_„ + ( k Ý Í t + I f +I(k+l)!=(k+l).k!>(k -H )|jj - ^ ± Ì J | ^ j , e > ^ j

Bài 3: Chứng minh rẳng:(n-fl)(n+2)„.2n, neZ+

chia hết cho tích số J.3 .5—(2ỉi- l).BÀI GIẢI

Ta có:P ^ l ^ —2n =n!.(n+l).(n-$-2)....2ĩỉ (ỉ)

=[1.3.5...(2n-l)j.[2.4.-.2n]=[1.3.5 ..(2n-l)j.2n(1.2...n)

-1.3.5...(2n-l).2n.ũ! (2)Từ (1) và (2), suy ra:

n! .(n-f1).(n+2)... ,2n= 1.3.5... (2n-1).2“.nỉ o (n+l).(n+2)....2n=1.3.5...(2n-l)-2"

từ đó ta có ngay được'kết luận rằng (n+l)(n+)... n chia hết cho tích số1.3 5...(2n-i).



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





rhĩTơng II: Hoán vi - Chĩah hạp - Tổ họp

IV. BÀI TẬP ĐỂ NGHỊBài tập 1: Giải các phương trình sau:

ị a. — =(n- )!,! 2QnI b. Px -P x= .

j b! a[c. —— --------- — =3.(n-2)! (n-1)!

Bài tập 2: Giải các bất phương trình sau:a. n!<999.

b. n3+— - <10.(tt-2)!

Bài tập 3: Liệtkê tất cả các hoán vị củaỊa, b, c}.Bài tập 4: Tập hợp {a, b, c, đ, e, f} có tất cẩ bao nhiêu hoán vị ?Bài tập 5: Có tất cả bao nhiêu hoán vị của tập hợp {ai b, c, d, e, f) với phtử cuối cùng bằng a.Bài tập : Có sáu ứng cừ viên chức thống đốc bang. TínhSốcách in tên cùacác ứng cử viên lên phiêu bầu cử,Bài tập 7: Có bao nhiêu cách xếp ngườỉ ngổi xung quanh một bàn tròn, haicách ngổi được xem là như nhau nếu cách này cỗ thể nhận được từ cácỉi bằng cách quay bàn đi một góc nào đổ ?

30



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





CHỦ ĐỂ 2CHỈNH HỢP

Ị. KIẾN THỨC cơ BẢN

1. ĐỊNH NGHĨACho E là mỡt tập hợp gổm n phần tử phân biệt.Bộ r ptìần-tử. phân biệt, có kề thứ tự, các phần tử của tập E (l<r<n), dược

gọi là mọichỉnh họp n chập r.Thí dụ ỉ Cho E=(a, b, c}, các chỉnh hợp 2 chập 3 là:

(a,b) (b, a)(a,c) (c, a)(b, c) (c, b)

Chú ỷ . ■' V1. ĩl ie o định nghĩa, các phần lử phân biệt dược hiểu là các phần tử không

•trùng nhau.2. Bộ r phần từ có kể thứ tự được hiểu như sau: giấ sử a; b là hai bô r pliần tử

của tạp E •âj) & b=(b1, br)

• a, b được coi là có kể Ihứ tự nếu a=b<=>ai=bi, Vi= I,r.• a /b được còi là không kể thứ tự nếu a=b mỗi aj ưùng với một bj

nào dó i, j= ì,r .3. Một chỉnh họp n chập n được gọi là một hoấn vị của n phẩn lử.

2. SỐ CÁC CHÌNH HỢP N CHẬP R

. Ký kiệu AỊ, để chỉ chỉnli hợp n chập r, ta có:

A' =n(n-l)...(n-r+l). ^

Từ đó suy ra:

. a ;= ———, với mọi l<r<nVàquy ước!= . ( ) ;

Kết quả này được phát biểu nliư sau: " Số các iioári VỊ cồá J phần tử phân biệt bằng số các chỉnh hợp n chập r của các phần tử đó, nhân với số các hoánvị của (n-r) phần tử còn lại

n- (n-r)!2. A” =Pn=n!.

3- A"=A '. A”: ', với mọi l<r<n.

(3)(4)

31



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





C-hift-mp II: Hoág ví - n iình hợp - Tổ hơo

ELCÁC DẠNG TOÁN1. RÚT GỌN BIỂU THỨC

£>ể thực hiện việc rút gọn biểu thức chứa các toán tử chỉnh hợp,thường sử dụng công thức khai triển.

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức:

_ a(q - l)(p -2 )(a - 3)(n - 4)(a - 5) + o(n - l ) ( u - 2)(ii - 3)(n - 4)

n (n - l ) (n -2 ) (n -3 )=(n-4)(n-5)+n-4=(n-4)2.Chú ý: Phương pliáp rút gọn biểu thức cho phép chúng ta có thể tính trị của biểu thức, để minh hoạ chúng ta xem xét ví dụ sau:Ví dụ : TỊnh giá trị biểu thốc:

=( +ầ ®.)-(Ỹ í +2L' )=(39.38+39)-(9.8+9)= 1440.37! 38! 7! 8!

. CHỨttG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐANG th ứ c

Để chứng minh đằng thức, bất đẳng thức chứa các toán tử chỉnh hợta thườag sử dụng công thức khai triển.V ídụ l: -Chúng minli rằng: ,

A? +A?A= ■ " ■,với <neN.A 4

GiảiTa có:

Xf- A 49 + A 49 A nAỊ0 ' A8A 49 A Ĩ7

Giãi Ta có:

39! 9!

Giải Ta có:



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





3. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Để giải phượng trình, bất phương trình chứa các toán tử Chĩnh họp, cỉiúngta một trong hai cách sau:

Cách ì: Thực hiện việc đon giản biểu thức để chuyển phương trình bấíphương trình về dạng đại số quen thuộc.

Cách 2: Đánh giá tliông qua giá ĩrị cận trên hoặc cận dưới.Ví dụ : Tìm n nguyên, dương biết rằng:

a. AỈ =20n.

b. AỈ=18AỈ_2!Giảia. Ta có:

Ai=20n o - A r = 2 0 n o H l z Ị ỊÍ £ c W =20nn (n-3)! (n - 3)!<-u«gL+ >n2-3n-18=& < ueN+ . ) n=6.

Vậy, phương trìnhcó nghiêm n=. b. Ta có:

AÍ=18AỈ_2ó - ĩ L - = 1 8 . = 18n n 2 (a -5 ) í (0 - 6) ! 11-5

<=>n2-19n+90=0 <^>n=9 V n=10.

Vậy, pbương trinh có nghiên 11=9 V n=10.Ví dụ 2: lìm n nguyên, dương, biết rằng:PD.3-720 p„.;.


(n+3)!=720. — .(n-5)! <=>(n+3)(n+2)(n+l)=720 o n=7.(q -5)!Vậy, phương trình cố nghiêm n=7.

4. THỰC HIỆN BÀI TOÁN ĐẾM

Ví dụ 1: Có bao nhiêuC*C.I chọn bốn cầu thu khác nhau trong mười cầuthủ của đội bóng aiiầii vợt để chơi bốn trân đấu đơn, các trận đấu Ịà có thó tự ?Giải

Mỗi cách chọn cố thứ tự bốn cầu thủ của đội bóng là mội chỉnh hợp chậpbốn của mười phần từ. Ta có:

Aịq =5040 cách chọn.

33



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





OiltcTue il: IlOĩiti vi - rhinh hop - T hop

Ví dụ 2: Giả sử rằng có tám vận đông viênchạy thi. Người thắng sẽ nhậnđược huy chưtmg vàng, người về đíeh thứ hai nliận huy chương bạc, ngườđích thứ ba nhận huy chương đổng. Có bao nhiêu cách trao các huy chươnày nếu tất cả các kết cục của cuộc thi 'đều có thể xảy ra ?Giải

Số cách trao huy chương chính là số chỉnh hợp chập ba của tập liợp tám phần tử.

Vì thế có p(8,3) = 8.7.6 = 336 cách trao huy chương.

UI.CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC

ÍBài ĩỉ Chứng minh rằng: I

BẪĨGĨẢĨTa có:A^ A£ . _ 5 £ i L r+ J ^ = J a z M _ a + J L r)

a l (n-l-k)? (n-k)! (n-l-k )! n -k a.(n-l)! 11.! _ . k

---- --------------= —_ —= A„ , đpcm.(u - k)(D -1 - k)! (n - k)! u

BÀI GIẢIĐiểu kiện y<xeN. (*)Biến đổi phương írình về dạng:

y)ì _ (*) —— ----------=72 <=>(x+l)x=72 <=>x2+x-72=0 o x=.

(x-l)iVậy, phương trình có nghiệm x & 7>yeN.

IV.BÀI TẬP ĐỂ NGHỊBài tập 1: Tìm giá trị của các đại lượng sau:a. a Ị b. A5 c. Ag

Bài tập 2: Giải phương trình:2 Ax+50=A2x, với neN.

Bài tập 3: Giải phương trình:



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Bàl tập 4: (ĐHQG HN D-2001) Giải phương trình:

P?A Ỉ+72 =<(A Ỉ+2 PJ.Bài tập 5: Giải bất phương trình:

a Ị +1 143 <0

Pn+2 4PU-1Bài tập : Giải bất phưtaig trìnli:

AĨ-h <■ 15 (n+ )! ( - )!'

Bài tập 7; Tìm miền giá trị của hàm số: ' :

; f(x)=AỈ=|.Bài tập : (CĐSP TPHCM-D/2001)

a. lìm tất cả cầc số tự nliiên Xthoả mãn hệ thức:AỈ° + A’=8Ạt V; b. Từ cẩc chữ số, 2, 5, 7, lập được bao nhiêu số íự.nhiên có 3 chữ số

khác nhau và nhỏ hơn 276.Bài tập 9: Có bao nhiêu thứ tự có thể xảy ra trong cuộc thi chạy giữa nămvận động viên ?Bài tập 10: Bao nhiêu khả nãng có thể xảy ra đối với các vị trí ĩhứ nhất, Ihứnhì và ba trong cuộc đua có12 con ngựa, nếu mọi thứ tự tới đích đểu cố thể ?Bài tập 11: Có một trăm vé đánh số từ 1 đến 100 được bán cho 100 ngườikhác nhau. Ngưctì ta sẽ trao 4 giải thưởng kể cả giải độc đấè. Hỏi

a. Cổ bao nhiêu cách trao giải thưởng ? b. Có bao nhiêu cách trao giải thưởng, nếu người giữ vé 47 trúng giải độc

đắc ?c. Có bao nhiêu cách trạo giải thưởng, nếu người giữ vé 47 trúĩia niọí

trong các giải ?đ. Có bao nhiêu cáeh trao giải thương, nếu người giữ vé- 47 không trúng

thưàng ?

e. Có bao nhiêu cách trao giải thưởng, nêu ba ngựòi giữ vổ 19 và 47 ĩrúngthường?f. Có bao nhiêu cách trao giải thưởng, riếu ba người giữ v<619. 47 và 73

trứng thưởng ?g. Có bao nhiêu cácli trao gĩải thường, nêu bốn người giữ vé 19, 47,73 và

97 trúng thưởng ?h. Có bao nhiêu cách trao giải thưởng, nếu không ai ĩrong bốn người giữ

vé 1 9 ,4 7 ,7 3 và 97 trúng thưởng ?

35



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Cbưciig lIÍHoán vi - Cbiiiiihau - Tỏbơp

Ị- Có bao nhiêu cách tráo giải .thưởng, nêu mệt ttong bốn ngườ19, 47, 83 và 97 trúng giải độc đác?

j. Có baọ nhiêu cách trao giải thưởng, nêu những người gitrúng giải nhtíttg những người có vé 73 và 97 không trúng gi

Bại tập 12: Có bạo nhiêu biển đãng ký xe chứa 3 chữ cái tiếp thepnếu các chữ cá í hoặc chữ số không xuất hiện quá một lần ?Bài tập 13: Trong trận chung kết giải vô địch bóng đá thế giới đtình trang ngang điểm người ta áp đụng thủ tục đá luân lưu như schọn rã nam cầu thũ thẽo một thứ tự nhất định. Mỗi cầu thủ thực i

. đá phạt đền, cầu thủ đội này đá xong thì đên lượt eẩu thủ của đội kia vdiễn như thế theo ĩhứ tự cửa các cầu thử đã xác định. Nếu tỷ số trậquả đá phạt đền vẫn bằng nhau till thủ tục này được lặp lại. Và nế

phạt đền thứ nia tỷ so trận đấu vẫn còn bằng nhau thì ỉụật “cángờ” sẽ được áp dụng, tức là, dội đầú tiên ghi bàn thắng mà khôngsẽ là đội giành cúp vàng.

a. Có bao nhiêu tỷ số khác nhạu có thể xảy ra nếu trận đấu vòng đá quả phạt đền ĩhứ nhất ?

b. Có bao nhiêu tỷ số khác nhau có thể xảy ra nếu trận dấu kếvòng đá 10 quả phạt đền thứ hai ?

c. Cổ bao nhiêu tỷ số khác nhau có thể xảym nêu trận đấu kết thkhi thực hiện không quá quả phạt đển theo luậĩ “cái chết bấ



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





CHỦ ĐỂ 3 TỔ HỢP

I. KỊẾN THỨC Cơ BẢN1. ĐỊNH NGHĨA

Cho E ià một tập hợp gồm n phần tử phân biệt.Một tập con của E, gổm r phần tử phân biệt (l<r<n), được gọi là niiột tổ

hợp n chập r.

Thí dụ; Cho E={a, b, C, đ J, các tổ hợp 4 chập 3 của E là:{a, b, c},{a, b,d},]a, c, d},{b, c, d}.

Chú ý:1. Theo địnK nghĩa, mỗi tổhợp n chập r là một tập con r phần tử phân biệt,

khòng kể thứ tự, của một tập gồm n phần tử.2. Mủốn hình thành các chỉnh họp n chập r của một tập gồm n phần lử, ta có

thể tiến hành theo hai bước liên íiếp sau: Bước 1. Tìm tất cả các tổ họp r chậpT.

Bước 2. Tìm tắt câ các hoán vị ưong từng tổ hợp n chập r.2. SỐ CÁC TỔ HỢP N CHẬP R

Ký hiệu c ' để GỈ1Ỉ tổ hợp n chập r, ta có:

Cp = n tt • - r + 1 t với 0<r<n và quy ướcc ị =1. (1)r!

Từ đó suy ra:

1. c í .~ — —— , với0<r<n. (2)

n r!(u-r)!2. Cn=Cn“r , với 0<r<n. (3)

3. c '= (:'_! +c'11! , với 0<r<n. (4)

n. CÁC DẠNG TOÁNI. RÚT GỌN BIỂU THỨC

Để thực hiện việc rút gọn biểu thức chứa các toán tử tổ họp, chúng tathường sử dụng công thức kbai triển.

37



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Chưong li: Hoan vi - Chình liơo - TĂ ÌỊgp

Ví dụ 1: Rút Ịgọn biểu thớc:c ìA=Cn + —5-+...+nc 1n ptt-l

v-'a

Giải Ta ỉần lượt có:

r i =nn!

ali.(u-l)!

( a - l )L l !

suy ra:- _n =n+(n-l)+...+ĩ=pQ-1

II

n(n+l) ~ 2

2. CHÚNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC

* Để chứng minh đẳng thức, bất đẳng thốc chứa cáctòán tử tổp, chúthường sử dụng công thức khai triển. ; ■

■ Đối với bất đẳng thứccy /u Gác toán tử tổp mang tính đặc thù tronnhiều trường hợp chứng ta sử dụng tính đơn điệu của dãy số để cminh, cụ thể với dãy số {un}để chứng minhuj<u0 ta đi chứng minh dãy{u„} đơn điệu giảm.

Ví dụ 1: CMR với các số r, n nguyên, không âm sao cho 0<r<n ta có:

— — — — . — — ------ — * HUl/ilL .r r (r-l)! (n-r)! r!(a-r)!

Ví dụ\2ĩ CMR với các số rf n nguyên, không âm sao cho 0<r<n ta có:

Giải Ta CÓ:

ttCpJt _ n . (n-l )ĩ

n. Cq =(r+l)Cý +rCỊi.Giải .

Ta c ó :

:(r+l).-------- —— ------+r.———— (r + I) !(n -r -l )! r!(u-r)!

, x n! n!(n-r). — —— +r. ———i!(n-r)! . r!(n-r)!

-=( r+l )C '++rC*, đpcm.

n!

38



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Nhận xét: Như vậy , qua 2 ví dụ trên chúng ta đã làm quen được với phương pháp chứng minh đẫng thức tổ hợp đựa ữên công thức tinh ban đầu, tiếp theochúng ta minh hoạ ví dụ sử đụng công thức phântách.Ví dụ 3: CMR vói các sốr, n nguyên, không âm sáo cho 0<r<n ta cố:

c;=ciz‘,+c'i,t...+c;:l,

Giải Ta có:vp=(c;-cỉ,.i)+(cUi-cá-2)+-+Gí;i=c'=vT,đpcm.

Nhận xét :Như vậy , chúng ta dã chứng minh đẳng thức tổ hợp bằng vịệc biên đổi vế phức tạp thanh vế đơn gian dựa trên công thức tính ban đầu hoặc cổngthức phân tách. Ví dụ tiếp theo sẽ minh họạ phương pháp gom các toán tử liên

' kết. ... ;Ví dụ 4: (ĐHTL 99): CMR với k, neN, 3<k<n Ịta có:

C Ỉ+ 3 C Ĩ - * + 3 C Ỉ - 2 + C Ỉ - 3 = C Ỉ+ 3 .Giải

Ta có: :

VT=c£ + c j -1 +2( c£_1 + c£-2)+ c ỉ“2 + c£ '3

=cỉ*,+ CĨ;Ỉ =(CỈ+1+ c ỉ;ỉ )+ (c^ |+ c ỉ; f)

= c i +2+ C ^ = c S +3,d pcm .

Ví dụ 5: (Đề 144). CMR với 0<k<n và k, n<=z iuôn có:

C L + k ' C f a - k - ^ t t) 2*

GiảiCố địnli n, ta xét dẩy số:

uk-=cẳx+i. CfQ_j- vói 0<keZ,khi đó, bất đẳng thức được biểu điển đưới dạng:

UJ.<U0với 0<keZ.Ta đi chứng minh dãy {uj đơn điệu giảm, thật vậy;

_ ( a+k+l)! (n~k-l)! (n+k)! ( n-k)!“k+l Uj£ n!.(n+k+l)! \a!.(n—k -)! uL(a+k)!'ó!.(o-Ì;)!

^ n+lc+l < nj-k <=>n+nk luôn đúng.n+ k -k

Suy ra:uk<u với 0<keZ c?a+k. C^_fc<( c?n )2, đpcm.

39



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





3. GĨẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TKÌNH

Để giải phương trình, bất phương trình chứa các toán tử tổ hợpmột trong hai cách sau:

Cách 1: Thực hiện việc đon giản biểu thức để chuyển phương trì phương trình về dạng đại số quên thuộc.

Cách 2: Đánh giá thòng qua giá trị cận-trên hoặc cận dưới.Ví dụ l ĩ (CĐSP TPHCM 99). lìm keNbiết rằrig:

r*k I i ik+2 _ _ /Yf-'ik+l , ■ . .^14 + U14 MW ‘ ^Giải

..Điều kiện >keN. . ___ Biến đổi phương trình về dạng:

ChKơpg II: HoánVI -Chình Ĩ1ƠP -Tổ hot)

14! - 14! .. 2.14!

kĩ.(14-1:)! (k+2)!;.(12-.Jk)! ~ (k + I)! .(Ĩ3-k)! _ ĩ_ _

(14-k)(13 -k ) (k +)(k + ) ~ (k f. 1)(13 - k)k = 4, thoả mãn điều kiện (*).i = ;

Vậy, tồn tại hai .giá trị của k là k=4 hoặc k thoả mãn diều kiện đầuVí dụ 2: (ĐHNN HN-99)Tìm các số Xnguyên dương thoả mãtrình:

CỈ+ó CỈ+6C^=9x2-14x .Giải

Điều kiện 3<’xeN. Biên đổi VP phương trình về dạng:

vp_ ĩì Ị fa! f fa!(x -1 )! 2! .(x -2 )! 3!.(x -3 )!

=x+3x(x-1 )+x(x-1 )(X“2)=X3.Khi đó, phương trình đựợc biến đổi về dạng:

(*)x3=9x2-14x <=>x3-9x2+14x=0 <=> x=7.

Vậy, phương trìnli có nghiêm x=7.Ví dụ 3: lìm k sao eho các số C , C +1, C theo thứ tự lập thàiisố cộng.Giải

Điều ỉđện 5>keN. (*

40



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





<=> c£ + c$+2=2c£+1 <=>---- — ---- + ------- — -------= - ----- — ------k*.(7-k)! (k+2)!.(5-k)! (k + ì)!.(6-k)l

1 1 _ 2 - .(7 - k - k) (k+ 2)(fc +1) “ (fc+1)(6 - k)

<=> k2-5k+4=0 <=> k - * thoả mãn điều kiện (*)".k = 4 . w

Vậy, phương trìnli có hai nghiệm k=l hoặc k=4.4. THỰC HIỆN BÀI TOÁN ĐẾM

Ví dụ 1: Có bao nhiêu cách tuyển 5 trong số 10 cầu thủ của một đội bónsquần vợt để đi thi đấu tại một trường khác ?Giải

Đó chính là số tổ hợp chập 5 của 10 phân tử., do đó ta đượcCiQ =252 cách.

Ví dụ 2: Cho 7 điểm trên mặt phảng sao cho không có ba điểm nào thẳnghàng.

a. Cớ bao nhiêu đường thẳng mà mồi đường thẳng đi qua 2 trong 7 điểmnói trên ?

b. Có bao nhiêu tam giác với các đỉnh là 3 trong 7 điểm nói trên ?Giâỉ a. Mỗi cặp điểm không kể thứ tự, trong 7 điểm đã cho xác định một đường

thẳng và ngược lại.Vậy số đường thẳng đì qua 2 trong 7 điểm nói trên bằng:T 6 7 204 = — ------ đường thẳng.' 21.(7-2)1

b. Mỗi bộ 3 điểm kliông kể thó tự, trong 7 điểm đã cho xác định một tamsiác và ngược lại.

Vậy số tani giác có đỉnh là 3 trong 7 điểm nói trên bằng:

‐

Các sốC7 , cệ+1, C7+2 tlieo thứ tự lập thành cấp số cộng

7! _ 5.6.7 ..%- — _■- ■ = — =35 tam giác.' 3! .(7- 3)! 1.2.3

Ví dụ 3:a. Có bao nhiêu đường chéo trong 1 đa giác lồi n cạnh ? b. Một đa giác lồicó bao nhiêu cạnh để số đường chéo bằng 35 ?

Giảia. Ta có:

Mỗi đa giác lồi n cạnh thì có n đỉnh.Mỗi đoạn thẳng nối 2 đỉnh bất kỳ, không kể thứ tự, thìhoặc là mộtcạnh, ìioặc là một đường chéo của đa giác đó.

41



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Vậy số đường chéo (ký hiệu là Q) của đa giác n cạnh bằng:,Q=CỈ-n. (1)

b. Với 0=35, ta được:

c ỉ -n=35 o n2-3n-70=0 ( >n=10.Vậy, đa giác lồi 10 cạnh sẽ có 35 đường chéo.

III.BÀI TẬP CHỌN LỌC

Bài 1: (ĐHQG Khối D 99): GMR vỗi k,neZ, 2<k<n luôn có:k(k-l)CỈ=n(n-l)CỈ:§.

Oiirrtnp II: Hoán vi - Chình hop - Tổhơp

BÀI GIẢITa CÓ:

V£= n(n -l)cH =n (n-l).---- ^ ---------n (k - )!.(u-k)!

a!±.(fc-l)k . ( k - l ). ( k - 2 )! .(q - k )!

= k(k-l).— =k(k-l)Cuk. kĩ-(u-k)!

Bài 2: (Đề 123 & ĐHQG TPHCM Khối Đ 97). CMR vớik, neZ, 4<k<nta có: *

C* =e£+4 .

BÀI GIẢI

Ắp dụng công thức biến đổi:

c u = CB‐ + C£Lj, , với 0<r<n.

Ta có:

V T - C * + c r1+3( cl~l + C * " 2 )+3( c£~2 + ) + c£~3+ c£-4

_ nk I“ĩ pk“i Io I r-%k“3^^n+ '

=<í+1+c ỉ ; |+ ( c ỉ ; i+c ỉ ; ? )+c ỉ ; f+c ỉ ; ?

__ Jc »o pk-1 t nỉc—2 . / k _Ị_ I , y k~2 — a + 2 ^ n + 2 + *-rĩ+2 ^ a + 2 ^ + *

= Cn+3 + Cầ;Ì = CỈ+4 ,đp cm .

Bài 3; (ĐHQG Khối A 2000). CMR:

42



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





^ +^ v<5i 0<k<1000, keZ.BÀI GIẢI

Biến đổi bất đẳng thức về dạng: pk+1 / plOỌlu2002s ^2002Ta xét dãy số:

uk= C vì 0<k<1000, k e Z .

Ta đi chứng minh dãy {uj đcm điệu tăng, thật vậy: _^k _ ! * . !.. _ r k+2 s-k+1 _ !, ' !uM>uk- vJinno > L ---------r— --------- -------- — — ---------

2 ( k + 2 ) ! . (2 0 0 0 - k ) ! ( k + l ) ! .( 2 0 0 0 - k + i)!

^ —L -> - <z> 1999>2ko k<999k + 2 2 0 0 1 - k - - ; -

_ K - VpkH'l pỊỌỌO=? Ut^ll W i‐ - ^ '

^ G2002—£2002 ’ dpcm.Bài 4: (ĐHBK 2000). Giải bất phương trình :

ị A 5 , -a ỉ < - c x+10.

BÀI GUI

Điều kiện 3<xeN.Biên đổi bất phương trìnli về dạng:

1 (2x)ĩ xĩ 1102 ■(2x -2 )! (X -2 )! X ■3!.(x -3 )!

o - .(2x -l).2x-(x-l).x<4 . (x~-2)(x~- )X2 X 3!

<=>(2x-l)x-(x-l)x<(x-2)(x-l) +10 3x-12<0 o x<4.Vậy, nghiệm cùa bất phương trình là 3<x<4.

Bàĩ 5: (HVBCVT 98). TìmX, yeZ+để: ~1

C L ,, c r ' . c r 17

BÀI GIẢIĐiều kiện:

0 < y < x + l , ■I \ í y^ l< y +1 <; X o ịI Ịx ằ y + 10 < y - 1 < X L

43



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





oi'£ƠIlitII: Hoãn vi - Chìnhbqọ- Tổ hop

.u Xct phương trình:

<Ĩ± - 1 *!6 5 ố yĩ . (x+ l-y)! 5 (y

<=>5(x+l)(y+l)=6(x-y)(x-y+l) , (1) b. Xét phương trình:

c r 1- C T 1 ^ 1 X? _1 xi'5 2 5' (y +1)! .(x - y -1 )! 2' (y

<=>2(x-y)(x-y+ l)=5y(y+1) (2)Từ ( ), (2) suy ra:

5(x+l)(y+l)=3. 5y(y+l) o x+l=3y <=>x=3y-l (Thay (3) vào (2) dược:

2{3y-l-y)(3y-l-y+i)=5y(y+l) <=>3y=9y <=>y=3 & x=sVậy, ngliiệm của hệlà x & ỵ=3.

IV.BÀI TẬPĐỂ NGHỊ ’Bài tập : Giả sửs= {1, 2, 3, 4, 5}.

a. Liệt kê tất cả cách chỉnh họp chập 3 của s. b. Liệt kê tất cả các tổ chập 3 của s.

Bài tập 2ĩ lìm giá trị của các đại lượng sau:a. c ị . b. cfi. C. Cộ .

Bài tập 3: Chứng minh rằng:n Đ

Bài tập 4: Chứng minh rằng:iOO /V

2 50 2

2C;+5CÍ+I+4CỈ + C f = C^+v+Ck+3m+3.

,100

10V2 ' ~ I00<V 'Bài tập 5: (ĐH-CSND-99)

a. Chứng minh rằns c * 4-2 c + c k~2 = c ^ 2 với 2<k<n trong đó tổ họp n chập k phẩn íử.

b. Hỏi với 10 chữ SỐtừ 0 đến 9 có thể lập được bao nhiêu số gồmsố khác nhau.

Bài tập : Cho dãy số (Sm) với meZ+, m>4 định nghĩa bở i:

_ với m>4.[Sm+I = s m + “ 2) + 2(m - 3) + 3(m - 4) +... + (m - 2)

Chứng minh rằng:$ .=c* .

Bài tập 7: lìm miền giá trị của hàm số:tw=q*78.

■ỈA



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Ê"

Bài tập ỉ Chúng tỏ rằng nếu p là nguyên tố và k là số nguyên sao cho <k<p - khi đó c P chia hết cho p.

Bài tập 9: Giứng minh cống thức:pr

u* r D ■

trong đó n, r, k là các số nguyên không âm vớỉ r < n và k < r.a. Bằng Ịỷ thuyết tổ họp. b. Bằng cách sử dựng .công thức tính số tổ hợp chập r của tập có n phần

tử.Bài tập 10: Giải các phương trình:

a. cl x+cị +cl =-x. b. C ^| = 5A + v ix Z+.

c. C + C f + C*~3+...+ C£“10=1023.Bài tập 11: Giải các bất phương trình:

a. c “ <C +2, m eN . . c. C n < C fl,n e Z+.

b. c ^ “ > c ^ , me ZV đ. c |£ f -C*;i <100, ne Z \Bài tập 12: Giải cẩc bấĩ phương trình:

a. ^SỊL< P neZV c. (ĐHHH99): £ s i < — .c t ì .. . A ỉ 14.P3

b- CÍ-i.-C Ỉ-i-“ A ^<0,xeZ.

Bài tập 13: Định Xvà y sao cho:a. c ĩ+1:c r ‘:c r ‘ =6:5:2.b. ( A ^ + y A ^ i ỉ^ r ^ c r 1=10:2:1.

Bài tập 14: (ĐHBK HN-A/2.001) Giải hệ phương trình:Í2A£ -fC£ =90

[5Ay x -2C Ị =80Bài tập 15: (ĐH Nông Lâm TPHCM-D/2001)

a. Trong một hộp có 7 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ và 4 quả cầu vàng, cáccầu đều khác nhau. Chọn ngẫu nhiên 4 quả trong hộp. Hỏi có bao nhiêucách chọn sao cho trong 4 quả cầu chọn ra có đủ 3 màu.

b. Giải bất phương trình:2CỈ+1+3AỈ<30.

Bài tập 16: Chứng minh ràng với số nguyên dương IỊ cho trước có không quáhai số nguyên dương k<n-l sao cho Cq , Cg‐ , Cy lập thành cấp số cộng.

4 5



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





( lnĩvnig11: Hoán vi -Chình họp - Tổ hơữ

Bài tập 17: (ĐH Vinli-2001) Cho n là một số nguyên dương.cố định. Giứnminh rằng: lớn nhất nếu k là số tự nhiênỔÍ nhất không vượt quá .

Bài tập 18:12. Có bao nhiêu cách chọn mộí Ắp hợp 2 số nguyên đương nhhơn ? .

Bài tập 19: Có bao nhiêu cách chọn một tập hợp 5 chữ từ bảng chữ cái tiến’"Anh ? f Bài tàp 20: Một tập hợp 10 phần tử có bao nỉviCu tập con vói số phần tử lẻ ?Bài tập 21: Một tập hợp 100 phần tử có bao nhiêu tập con có nhiều hơn h phần tử ?Bàỉ tập 22: Một đội bóng có 13 cầu thủ.

a. Cớ bao nhiêu cách cíiọn 10 cầu thủ để rhi đấu? b. Có bao ntiiẻu cách chọn 10 cầu thủ trong 13 cầu thủ của đội sao ch

mỗi cầu thủ được phân công chơi ở một trong vị trí đã định.c. Trong 13 cầu thủ có 3 ỉà nữ. 05 bao nhiêu cầch chọn 10 cầu thủ để th

đấu, nếu ít nhất có một cầu thủ Là nữ ?Bài tập 23: Một câu lạc bộ có 25 thành viên.a. Có bao nhiêu cách chọn 4 thành viên vào ủy ban thường trực ? b. Có bao nlìiêu cách chọn chủ tịch, phó chủ tịch, thư ký và thủ quỹ ?

Bài tập 24: Một giáo sư soạn 40 câu hòi đúng / sai về toán rời rạc, trong đó c17 câu phải trả lời là đúng. Nếu thứ tự các câu hỏi có thể tuỳ ý, till có banhiêu đáp án khác nhau?Bàí tập 25: Từ tập các số nguyên dương không vượt quá íõo, có thể tạo đượ bao nhiêu chỉnh hợp chập 4 chứa 3 số nguyên liên tiếp

a. Theo trật tự thông thường và có thể bị phân cách bòi các số khác củacíiĩnh họp ?

b. Tại nhữrrg vị trí liên tiếp của chỉn họp ?Bài tập 26: Tổ bộ môn toán học cùa một trường đại học có 7 cán bộ nữ và cán bộ nam.

a. Có bao nhiêu cách chọn một hội đồng gổm 5 thành viên của tổ nế{rong hội đồng có Íí nhấí mộí là nữ ?

b. Có hao nhiêu cách chọn một hội đồng gồm 5 thành viên của tổ nêutrong hội đồng có ít nhất một là nữ và ít nhất một là nam ?

Bài tập 27: Giả sử một tồ bộ môn có 10 nam và 15 nữ. Có bao nhiẽu cách

chọn một hội đồng gồm uỷ viên írong đó số uỷ viên nam bằng số uỷ viên nữ.Bài tập 28: Một tổ bộ môn có 10 nam và 15 nừ. Có bao nhiêu cách chọn mộhội đổng gồm uỷ viên trong đó số uỷ viên namít hơn số uỷ viên nữ ?Bài tập 29: Có bao nhiêu cách chọn 12 nước ĩrong Liên hiệp quốc vào mộhọ^đồng nếu 3 nước được bầu từ nhóm 45 nước, 4 nước được bầu từ nhóm 5nước, các nước khác được bầu từ 69 nước còn lại ?

4 6



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





CHỦ ĐỂ 4BÀI TOÁN ĐẾM

I. ĐẾM SỐ CÁC CHỮ SỐ THOẢ MÃN TÍNH CHẤT K HÌNH THÀNHTỪ MỘT TẬP1. PHƯƠNG PHÁP

Sử dụng:■ Mô phỏng số trong tập họp số.■ Các định nghĩa hoán vị, chỉnh hợp, tổ họp.■ Các quy tắc đếm CO' bản.

2. Ví Dự MINH HOẠ

Ví dụ 1: Cho tập E=},2, 3,4, 5, , 7}. Tìm sế các số tự nhiên gổra 5 chữsố lấy từ 7 số trên sao cho:

a. Các chữ số đều kliác nhau. b. Chữ số đầu tiên là.đĩ5: số 3.c. Không ĩận cùng bằng chữ số 4. .

Giải.Một số 5 chữ số được ký hiệu:

a= 3 ịâ2<1 ) với cL]eE \íi 1"a. Cớ ỉliổ tiếp cận theo một irong hai cách:Cách 1: Thực hiện vỉệc lựa chọn đần:

H a được chọn từ tập E - có 7 phẩri tử=> có 7 cách chọn.

9 a được chọntừ tập H\{at} - có phầntừ .=> có cách chọn.

“ a được cliọn từ tập E\f a a Ị - có 5 phần tử

=ỉ> có 5 cách chọn.■ được chọn từ tập E\{ăj, a2, a3} - có 4 Đhầĩi ỉửcó 4 cách chọn.

■ a được chọn từ tập PXjaj, a?, a3, a4} - có 3 phần tử=> có 3 cách chọn.

Theo quy tắc nhân, số các số gồm5 chữ số phẫn biệt, hình ĩhành từ íậD E, bảng:

7.6.5.4.3=2520 số.



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





■JUSU: Hoán vi - Chình liqp - Tó bcfp

Cách 2; Sử đụng định nghĩa chỉnhhợpSố các số tự nhiên gồm 5 chữ số phân biệt hình ĩhănh từ E bằng

A7=2520

b. Ta có:* aj=3=> có cách chọn." a2, a?, S L j , % đề được chọn từ E do dổ mỗi pliần tử có 7cách chọn.

Vậy, số các số tự nhiên gồm 5 chữ số bắt đầu bằng chữ số 3 hình É bằng

1.7.7.7.7=2401.c. Tacó:

■ a €E\{ }=>có cách chọn.aj, a2, a3>a4đề được chọn từ E do đó mỗi phẫn tử có 7cách chọn.

Vậy, số các số ĩự nhiên gồm 5 chữ sồ bắt đầubằng chữ số 3 hình thành E bằng

6.7.7.7.7=14406 số.Ví dụ 2: Với 4 chữ số 1, 2, 3, 4 có thể lập đừợc bao nhiêú số có các phân biệt.Giải

Đặt E={ 1, , 3, 4}.■ Gọi A là tập các số có các chữ số Ịđiác nhau,, hình thành tờ E.

* Gọi Ak, k= 1.4 ỉà tập các số cớ k chữ số phân biệt, hình thành từTa có ngay:

A jcA & IA;I=A4 .

A7czA & 1A 2ỉ= A 4 .

A CA & lÀs^ AÍịì

A jCA & IA4I= A 4 .

A=Aịo A2w A3Â4và các tập Aị, A2, Aị , A đõi một không giao nhau.

Theo quy tắc cộng:

IAỈ=[Al+IAl+ỈAl+IAjt= A + A +' A + A —64 sô.

fớ



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Ví dụ 3: Với5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có ihể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữsố pliâà biệt và là

a. Số lẻ. b. Số chẵn.

GiảiĐặt E={1, 2, 3, 4, 5}.Một sô' 5 chữ số đựợc ký hiệu:

= , với at€E và i= 1,5

a. Số a lẻ, ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau:Cách ỉ: Thực hiện việa lựa chọn dần:

■ a5được chọn từ tập F= {1, 3, 5}

=> có 3 cách chọn.1 a< được chọn từ tập E\{a5}- có 4 phần tử

=ĩ> có 4 cách chọn. B a3được chọn từ tập E\{ %, a4} - có 3 pliần tử

=> có 3 cách chọn.■ ạ được chọn từ tập EM a5, a^, a3}-co phần tử

=> có 2 cách chọn.

■ aj được chọn từ tập E\{a5, a4, a3, a2j - có Ị phần tử=> có 1 cách chọn.

Theo quy tẳc nhân, số các số lẻ gồm 5 chữ số phân biệt, hình Ihành lừ tripE, bằng:

3.4.3.2.1=72 số.Cách2: Sử dụng kiến thức về hoán vị:

* a5 được chọn từ tập F={ 1, 3, 5}=> cổ 3 cách chọn.

■ a a2, a3, là một bộ phân biệt thứ tự được chọn từ E\{ Ị do dỏ nó ĩymột hoán vị của 4 phần tử

=> có p4 cách chọn.Theo quy tấc nhân, số các số lẻ gồm 5 chữ số phân biệt, hình thành từ íập

E, bằns:3.P=3.4! =72 số. *

b. Tưons tự câu a), ta được kết quả bằng 48 số.

49



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





fTiitrmp II: Hoán vi - Chình bop - Tổ liơp

Ví dụ 4: Với ỉập E={ 1,2, 3, 4, 5, 6, 7 } có thể lập được bao nhiêu số gồm 5chữ số phân biệt và

a. Là số chẩn. b. Trong đó có chữ số1.c. Trong đócó chữ số 7 và chữ số hàng ngàn luôn là chữ số 1.

GiảiMột số 5 chữ số được ký hiệu:

= ^ , với a, E và i=l,5a. Số a chẵn, ta có tbé lựa chọn một Ưong hai cácli trình bày sau:Cách ỉ : Thực hiện việc iựa chọn đần:

* được điCtt ĩừĩậpF={2, 4,6}=> có 3 cách chọn.

* a đươc chọn từ tập-EM } - có phần tử -=>có cách chọn.

■ a3được chọn từ tập B\{a5>ai j - có 5 phần tử => có 5 cách chọn.

* a được chọn từ íập E\{a3, a4, a3}- có 4 phần tử=> cổ 4 cách chọn.

* aj được chọn từ lập E\{a5, a4, a3, a2}- có 3 phần tử=> có 3 cádi chọn.

Theo quy tắc nhân, số các số chẵn gồm 5 chữ số phán biệt, hình thành ttập E, bằng:

3.6.5.4.3=72 số.Cách 2: Sử dụng kiến thức về hoán vi:

■ as được chọn từĩậpF={2, 4, 6}có 3 cách chọn.

■ al5 a, a3> là một bộ phán biệt thứ tự được chọn từ EMas} do đó nó làchỉnh hợp chập 4

=> có cách chọn.Hieo quy tắc nhân, số các số chẩn gồm 5 chữ số phân biệt, hình thành tì

tập E, bằng:3. Aị =1080 số.

b. Muốn số a có chữ số 7, ta có thể tiến hành Iheo hai bước sau: Bước ỉ: Chọn 1 vị trí trong 5 vị trí của các chữ số, để đật chữ số 7

=> Có 5 cách chọn.

5 0



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Bước 2: Bốn vị trí còn lại nhận giá trị là một bộ phân biẹt ĩhứ tự dượcchọn từ E\{7} do đó nó la một chỉnh hợp chập 4

=? Cổ As cách chọn.Vậy, số các số gổm 5 cliữ số phân biệt, hình thành từ tập E, trong đ<5 có

chữ số 7, bằng:5. Aộ =1800 số.

c. Muốn số a có chữ số 7 và chữ số hàng ngàn là chữ số 1, ta có thể tiếnhành theo hai bước sau:

Bước l: Gán ầ2==l => G5 1 cách chọn. Bước 2: Chọn 1 vị trí trong 4 vị trí của các chữ số, để đặt chữ số 7

=> Gó 4 cách chọn. Bước 3: Ba \ ị trí cốn lại nhận giá tộ là môt bộ phân biệt ỉliứ tự được chọn

từE\{7, X}do đó rió ia môi chĩnh hợp 5 chập 3=>Có A cách chọn.

Vậy, số các số gổm 5 chữ số phân biệt, hình thành lừ tập E, trong đó cóchữ sô' 7 và chữ số hàng ngàn lắ chữ số 1, bằng:

1.4.a | =240 số.Ví dụ 5: (ĐHQG TPHCM Khối A 99): Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 Có thểlập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số:

a. Phân biệt. b. Không bắt đầu bằng chữ số 1.c. Không bắt đầu bang 123.

Giải . -ĐặtE=U ,2, 3,4,5}.

a. Gọi A là tập các số gồm 5 chữ số phân biệt, hình thành từ ETa có ngay, mỗi số thuộc A ứng vớỉ chỉ một hoán vị 5 chữ sế của tập E và

ngược lại, vì vây:iAi=P5=5!=120 số.

b. Với tập A nliư câu a).

Gọi At là tập các số gồm 5 chữ số phân biệt, hình thành từ £■;. và bấi đầu bằng chữ số 1, suy ra:• Alc A.•• IAlNE>f=4ỉ=24số. ;Gọi A2 là tập các số gồm 5 chữ số phân biẹt, hình thành từ E, và khôUíì bắí

đầu bằng chữ số 1, suy ra:A2c A. .

. A=A1' u A7 và A1r>A2=0. .



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Chương II: Hoán vi - Qiùih hơp - Tô betp

Theo quy tắc cộng:IAI=IAỉ ì+ỈA2I <í=>(A2I=ỈAI-IA11=120-24=96 số.

c. Với tập Á như cầu a).

Gọi Bi ià tặp các sô' gồm 5 chữ số phân bịêt, hình thành từ E, và bắt bằng 123, suy rã:• B1cA.• \Bịỉ~Ỹr=2ỉ-2 số.Gọi B là tập các số gồm 5 chữ số phàn biệt, hình thành từ E, và kh

đầu bang 123, suy ra:BsCA. ' " ■ /■A^Bịu B và

Theo quy lắc cộng:ỈA M B^& Ỉ <=>iB2!=ỈAỈ-íB1l=Ì20-2=118sỐ.

Ví dụ 6: Với 5 chữ số 1 ,2 ,5, 7,8. Có thể ìập được bão nhiêu số gổm 3số phân biệĩ và thoả mãn điều kiện:

a. Là một số chẵn. b. Là một số nhỏ hơn hoặc bằng 278. c. Là một số chẵn và'nhỏ hơn hoặc bằng 278. . ; *

Giải.Đặt E=(l, 2, 5 ,7 ,}.Một số 3 chữ số được ký hiệu:

a=ajaâ , với a ^ E và 1= 1,3

a. Sô' a chẵn, ta có:“ a3đượcchọntùtậpF={2>8}

=> có 2 cách chọn.■ a1?% là một bô phân biệt thứ tự được chọn từ E\{a3} đo đó nó

chỉnh hợp 4 chập 2=> có A% cách chọn.

Theo quy tắc nhận, số các số chẵn gồm 3 chữ số phân biệt, hình ttập E, bằng:

2. A =24 SỐ.

b. SỐ a nhỏ hơn hoặc bằng 278, ta có at e {1, 2}Ta có thể lựa chọn mộí ưong hai cách trình bày sau:



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Cách 1: Ta xét hai trường hợp:Trường hợp 1: Nếu aj=l

=> Có I cách chọn.■ a2, a là một bộ phân biệt thứ íự được chọn từ E\{ 1} do đó nó -là một

chỉnh hợp 4 chập 2=> có A cách chọn.Vậy, trong trường liợp này ta nhận được:

I .a 5=12số.Trường hợp 2: Nếu a

=> Có 1 cách chọn.■ a được chọn từ tập F=E\ị 2,8}

.=> có 3 cách chọn.■ a được chọn từ tậpG=E\{2, a2}

=> có 3 cách chọn.Vậy, trong trường hợp này ta nhận được:

1.33=9 số.Vậy, số các sô' gồm 3 chữ số phân biệt nhỏ hoa 278, hình Ihành từ tập E,

bằng:12+9=21 số.

Cách 2: Ta có:* Gọi B .là tập các số gồm 3 chữ số phân biệí, hình ĩhành từ E, và nhỏ

hơn hoặc bằng 278.■ Gọi Bt là tập các số gổm 3 chữ số phân biệt, hình thành từ E, và bắt

đầu bằng chữ số, súy raBjcB & 1Bí= A ì;12.

* Gọi B lậ lập các số gồm 3 chữ số phần biệt, hình íhành từ E, và bắtđầu bằng cliữ số, suy ra

* Gọi B ỉà tập các số gồm 3 chữ số phân biệt, hình thành từ E, và bắtđầu bằng 28, suy ra BCB & các phẩn tử thuộc B là 281,285, 287.

Ta cóB=BjU»(B\B3) và Bo(B \B )=0.

Theo quy tắc cộng:IBMB jI+IB^MB jI+IB -IB j^ I số.

c. SỐ a là số chạn nhỏ hon hoặc bằng 278, ta có aj e {1,2} & ae{ , }Ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau:

53



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Cĩr.tone II: Hoán vi - Chiali hop - Tổ hơn

Cách ỉ: Ta xét haị trường hợp:Trường hợp ỉ: Nếu aj=l

:=> Có cách chọn.* a đứợc chọn từtậpF={, }

=> có cách chọn.■ a được chọn từtậpG=E\{, a3}

=> có 3 cách chọn.Vậy, trong trường hợp này ta nhận được:

1.2.3=6 số.Trường hợp 2: Nếu a J=2

=> Có cách chọn.■ a => cổ cách chọn.

■ a được chọn từ tập H=EX{, }=> có 3 cách chọn.Vậy, trong trường hợp này ta nhận được:

1.1.3=3 số.Vậy, số các số gồm 3 chữ sô' phân biệt nhỏ hơn 278, hình thành từ tậ

bằng:6+3=9 số.

Cách 2: Ta có:

■ Gọi c là tập các số chẩn gồm 3 chữ số phân biệt, hình thànlí từ Enhỏ hơn hoặc bằng 278.■ Gọi Cj là tập các số gồm 3 chữ số phâh biệt, hình ĩhành từ E, và bắ

đầu bằng chữ số, và tận cùng bằng chữ số, suy raCu cC & ỈCI(!=3.

■ Gọi Cj s là tập các số gồm 3 chữ số phân biệt, hình thành từ E, vdầu bằng chữ số, và tận cùng bằng chữ sô', suy ra

C l s a C & I C u l = 3 .

■ Gọi c là tập các số gồm 3 chữ số phân biệt, hình thành từ E, vàđầụ bằng chữ số, và tận cùng bằng chữ số, suy raC^scC & 10^81=3.

Ta cóvà Q , ClfS, c^g đôi một không giao nhau.

Theo quy tấc công:ICNQ ^+IB^W C^^ số.

54



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Chú ý: Chúng ta đều biết rằng một số:CC—£1^2 >•' >

chỉ có nghĩa kliiŨ,*Q.Do đó trong trường hợp OeE chúnfí ta cần xét các trường hợp riêng.

Ví dụ 7: Với 10 chữ số 0,,2, 3, 4, 5, , 7, , 9 có tíiể lập được bao nhiêu

số có 5 chữ số phân biệt.Giải.Đặt E={0, 1,2, 3,4, 5,, 7, ,9}.Ta có thể iựa chọn một ưong hai cách trình bày sau:

Cách Ị: Một số 5 chữ số được ký hiệu:Ot= íl|3233 4 5 ?VỚI âj€E, 1— 1,5 và âj O.

Ta CÓ:■ a] được chọn từ tập E\{ Oi

=> Có 9 cách chọn.■ a2>a3, a4, alà một bộ phân biệt thứ tự được chọn rờEMai} do đó nó là

một chỉnh họp 9 chập 4=í> Có Aạ cách chọn.

Vậy, số các số gồm 5 chữ số phần biệt, hình thành từ tập E, bằng:9. Aộ =27216 số.

Cách 2: Ta có:

■ Gọi A là rập các sốcó 5 chữ số khác nhau,hình thầiủì ỉừ E suy ra:1AI= A JO.

■ Gội Ai là tập cầc số có 5 chữ số khẳc nhau, hình thành từ E, bắt đầu bằng chữ số, suy ra:

AìCA&IAÂạ ...

■ Gọị A là tập các số có 5 cliữ số khác nhau, hình ĩhành lừ E, không bắtđầu bằng chữ số, suy ra:

A=AtuA và Aln\A2- 0 .Theo quy tắc cộng:

IAI=lAii+lA2! o IA jMAI-IAJÂiq - Agi =27216 số.Ví dụ : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số trong đó hai chữ số kềnhau phải khác nhau.Giải

Đặt E={0, ’ , 3, 4, , , , , 9}.

55



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Oiươús li: Hoáiì vi - Chinh hop - Tó bơr>

Một số 5 chữ số được ký hiệụ:= , với 1,5 và ạpO.

Ta có:■ aj được chọn từ tập E\{0} =í> Có 9 .cách chọn.

" % được chọn từ tập E\{aj}=>Có 9 cách chọn.■ a được chọn từtậpE\{a2}=> Có 9 cách chọn.a a được chọn từ tập E\{a3}=> Cố 9 cách chọn." a được chọn từ tập EVỊa}=> Có 9 cách ehọn.Vậy, số các số tlioả mãn điều kiện'đầu bài, bằng:

9.9-9.9.9=59049 số.Ví dụ 9: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, ta có thể iập dược bao ngồm chữ số và trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần; còn môi số khác nhauđúng một lần. 'Giải

Bộ (0, , , , , 3,4, 5) sẽ tạo ra dược các số có chữ số dạng:CC— VỚI

từ đó suy ra: ............■ a! có 7 cách chọn.■ a2, ...,aglà một bộ phân biệt ứiứ tự đuợc chọn từ 7 chữ số còn lạ

nó là một hoán vị của 7 pM^.tử, như vi cố 3 số nện sẽ bị iạp lại 3! l

? . .. , .=> 05 — cách chọn.3!Vậy, số các số tlioả mãn điều kiện đầu bài, bằng:

7. “ =5880 số.3!

Ví dụ 10: Với tập E={0,,2, 3,4, 5} c<5thể lập được baô nhiêua. Số gồm 5 chữ số phân biệt. b. Số chẵn gồm 5 chữ số phân biệt.c. Số gồm 5 chữ số phân biệt, trong đó có chữ số (X

GiảiMột số 5 chữ sổ được ký hiệu:

a=a a a a a , với ajsE, i=l,5 và a ^ .a. Ta có:

■ aj được chọn từ tập E\{0}=> Có 5 cách chọn.

56



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





■ a2, a3, ạ, % là một bộ phân biệt thứ tự được chọn từ E\{ai}do đó nó iàmột chĩnli hợp 5 chập 4

=> Có Ag cách chọn.Vậy, số các số gổm 5 chữ số phân biệt, hình thành từ tập E, bằng:

5. A ị =600 số. b. Ta xét hai truờng hợp:Trường hợp ỉ: Nếu a

=> 05 cách chọn.Khi đó, aj, a2, a3, a< là một bộ phân biệt thứ tự được chọn từE\{0} đo đó nó

là một chỉnh hợp5 chập 4=>CÓ A cách chọn.

Vậy, trong trường hợp này chúng ta nhận được:

. A số.Trường hờp 2: Nếu as được chọn từ tập {2, 4}

=> Có 2 cách chọn.■ âị được chọn từ tập E\{0, a5Ị

=> Có 4 cách chọn.■ a2, a3? ỉà một bộ phân biệt thứ tự được chọn từ E\{a1?%} đo đó nó là

một chỉnh họp 4 chập 3

=> Có A cách chọn.Vậy, trong trường hợp này chúng ta nhận được:2..4.AỈ=192số.

Vậy, số các số chẵn gồm 5 chữ số phân biệt, hình thành từ tập E, bằng:120+192=312 số.

c. Ta có lập luận:■ Gọi B là tập các số gồm 5 chữ số phân biệt, hình thành từ E. Theo a) !a

có:

IBI=600.■ Gọi Bj là tập các số gồm 5 chữ số phân biệt, hình thành từ E, trong đó

không có chữ số, suy raBjcB & IBjI=P=5!=120 số

Khi đó B: =EN3i là tập các số gồm 5 chữ số khác nhau, hình thành từ tập E,trong đó có chữ số 0. Ta được:

l i ; l=IB\Bj l=IBl-IBj i=480 số.

57



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





ChươngII:Hoãp vi -Chinh họp - Tổhan

Ví dạ 11: Cho tập hợp E={0, 1, 2, 3, 4, 5,6, 7} có thể lập được bao nhiêu sốgồm 5 chữ số khác nhau đôi một lấy íừ E trong mỗi trường hợp sau:

a. Là số chẵn. b. Một trong 3 chữ số đầu tiên pbải bằng 1.

GiảiMột số 5 chữ số được ký hiệu;

a=a1aâ3a4a5 , với a,eE, i=l,5 và a?K).a. Ta xét hai trường hợp:Trườìĩg hợp ỉ : Nếu a5=0

=> Có 1 cách chọn.■ a,, a2, a3, alà một bộ phân biệt thứ tự được chọn từ E\{0Ỉ đo dó nó

một chỉnh hợp 7 chập 4=> Có A cácli chọn.

Vậy, tro;:-ỉ trường hợp này chúng ta nhận được:1. A =840 số.

Trường hợp 2: Nếu a được chọn từ tập\2ị 4 }=> Cổ 3 cách chọn.

■ a! đượe chọn từtập EV{0, ạsỊ=> Có cách chọn.

■ a2, a3, a ỉà một bộ phân biệt thứ tự được chọn từ EV{a1?a5j do đó nómột chỉnh hợp chập 3

=> Có Ag cách chọn.Vậy, trong trường hợp này chúng ta nhận được:

3.6. Á ị =2160 số.Vậy, số các số chẵn gồm 5 chữ số phân biệt, hình thành từ tập E, hằng

8404-2160=3000 số. b. Tá xét hai trường hợp:Trường hợp I: Nếu aj=l

=> Có 1 cách chọn.■ a2, a3, ÍI, a ỉà một bộ phân biệt thứ tự được chọn từ Ev{} do đó nó là

một chỉnh hợp 7 chập 4=> Có A cách chọn.

Vậy, trong trường họp này chúng ta nhận được:1. Aị=840 số.

58



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Trường hợp 2: Nếu a2=l hoặc a3=l=>CÓ 2 cách chọn.

■ at được chọn từ tập Đk{, }=> Có cách chọn.

■ a3, a, &Ị (hoặc a2, a<, a5) là một bộ phân biệt thứ tự được chọn từ E\{a

a }đo đó nó là một chỉnh .hợp chập 3=> Có Ag cách chọn.

Vậy, trong trường hợp này chúng ta nhận được:2.6.a | =1440 số.

Vậy, số các số thoả mãn điều kiện đầu bài, bằng: .840+1440=2280 số.

Ví dụ 12: Từ sáu chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 cổ thể lập được bao nhiêu số gổm 4chữ số khác nhau, trong đó có bao nhiêu sốchiạ hết cho 5.Giải :

Đặt E={0,1,2, 3, 4,5}.Một số 4 chữ số được ký hiệu:

a=a a a a ', với aÊ , i= 1,4 và aA0.Ta xét hai trường họp:

Trường hợp ỉ : Nếu a => Có 1 cách chọn.■ SLl} a2, a3, a* là một bộ phân biệt thứ tự đưcte chọn từ E\{ 1} do đó nó !à

một chỉnh hợp 5 chập 4^>CÓ cách chọn.

Vậy, trong trường hợp này chúng ta nhận được: ■-. A số.

Trường hợp 2: Nếuãỹ=5 => Có ỉ cách chộn.■ at được chọn từ tập E\{ 0, 5}

=> Có 4 cách chọn.

■ a2, a3, a là một bộ phân biệt thứ tự được chọn từ EX{5, aj } do đó nó làmột chỉnh hợp 4 chập 3=> Cố. A cặch chọn.

Vậy, trong trường hợp này chúng ta nhận dược:1.4. A =96 số.

Vậy, các số thoả niãn điều kiện đầu bài hình thnhf từ E bằng:120+96=216 số.

59



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





n Ịuo'ng lĩ: Hoán vi - Chínli Ixơp - Tó hơp

Ví dụ 13: Cho tập các chữ số E={ 1, 2, n}. Có thể lập được bgồm n chữ số phân biệt sao cho các chữ số và không đứng cạnh nhaGiải

Tạ có lập luận:■ Gọi A là tập các số gồm n chữ số phân ì)iẽt, hình thành từ t

1A!=Pn=nL■ Gọi B là tập các số gồm n chữ số phân biệt sao cho các ch vđứng cạnh nhau. Để tínli IBI ta tiến hành theo hài bước sau: Bước 1: Chọn một bộ n-1 phần tử từ tập F={a, 3, 4, n}

a=(l> ) /=> Có Pn.Ị cách chọn.

Bước 2: Chọn một hoán vị các phần tử của a=> Có p cách chọn.

VậyIBI=Pni.P=2.(n-l)i.

Ta cóB =À\B là tập các số gổm n chữ số phân biệt sao cho các ch

đứng cạnli nhau. Ta được:IBI=lA\BI=[AMBI=n!-2.(n-l)!=(n-2).(n-l)! cách.

Ví dụ 14: Với 5 chữ số 1, 2, 3,4 , 5. cỏ thể lập được bao nhiêu s5 số phân biệt và thoả mãn điều kiện : >

a. Mỗi số nliỏ hơn 40000. b. Mỗi số nhộ hơn 45000.

GiảiĐặtE=U,2,3,4,5}.Một số 5 chữ số được ký hiệu:

a=aIa a a a , với ajsE, i=l,5 .a. Ta có thể lựa. chọn hai cách trình bày sau:Cách ỉ : Ta có:

■ Vì a nhỏ hơn 40Ồ0Ỏ nên ai-s.-Ị 1,2,3}= *Có 3 cách chọn.

■■ . aj, a3, a4, as là một bộ phân biệt thứ tự được chọn từ E\{a!}một hoán vị của 4 phần tử

=> có P cách chọn.Vậy, số các số gổm 5 chữ số phân biệt nhỏ hơn 40000, hìnlì thà

bằng:3.P=3Ố0 số.

60



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Cách 2: Gọi A ỉà tập các số gồm 5 chữ số phân biệt, hình thành từ E„ và mỗisố nhỏ hơn 40000.

■ Gọi Aj. là tập các số gồm 5 chữ số phân biệt, hình Thành lừ E, và bắđầu bằng chừ số, suy ra:

A ịCA.& ỈAjI=P4=2 4 .■ Gọi A là tập các số gổm 5 chữ sổ' phân biệt, hình thành từ E, và bắt

đầu bằng chữ sổ', suy ra;A?cA & ỈA2I=P,,=24

“ Gọi A là, tập các số gồm 5 chữ số phân biệt, hình thành lừ E, và bátđầu bằng chữ số 3, suy ra:

A cA & ÍẠ3MR,=24Ta có:

A=Aj<uAuA và Aj, A?, Ađôi một không giao nhau.Theo quy tắc cộng:lAMAÎAah-IA,1=3.24=72 sổ.

b. Vì a nhỏ hơn 45000 nẻiv ÍÌJ e {I, 2, 3, 4}Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu {1,2, 31=> Có 3 cách chọn.

■ a2. a3,ã , a là một bộ phân biệt thứ tự .được chọn từ E\| at\ do dó nó là

một hoán vị của 4 phần tử=> có Pcách chọn.

Vậy, trong trường hợp này ta được:3.p4=72số.

Trường hợp 2: Nếu aj=4=> có cách chọn-

B a2<={ 1,2, 3}=$■có’3 cách chọn.

■ as,2 l4, as là một bộ phân biệt Thứ íự được chọn từ Ev'aj, a21do đó nó làmột hoán vị cửa 3 phần tử

=> có p cách chọn.Vậy, trong trường hợp riày ta được:

1.3.P3=18số.VẠy, số các số gồm 5 chữ số phân biệt nhỏ hơn 45000, hình tliànli từ tập H,

bằng:72+18-90 số.



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Onfrtnc II: Hoáu vi - Chinh ÌƯD- Tò hơp

Ví dụ 15: Có bao nhiêu số nguyên, dương với các chữ sô phân biệt, nhỏ hlòooò ?Giải

ĐặtE={0, 1,2, ...,9} ,Gọi A ià ĩập các số gồm các chữ số phân biệt, hình thành từ tập E, nliỏ h

10000.Gọi Ak>k= 1,4 là tập các số có k chữ số phân biệt, hình thành từ tập E.Ta có:• AkcA.• Mỗi số thuộc At, k= M ứng với một chỉnh hợp 10 chập k các phần

của E, trong đó chữ số đứng đầu khác 0, suy ra:

|A ^ A f o - A | - '= i M .( -k)í ĩừdó:

ỈA J1=9,ỈA2I=81,1A5I=648,ỈA4I=4536.

Ta có:A= YAk & Ak, k= ĨÃ đôi một không giao nhau.

k=l,4 ,

Theo quy tắc cộng:IAWA, !+IA2l+ÌA5l+IA<1=5274 số.

Chú ý. Trong lời giải trên ta đã sử dụng công thức tính:Ak Ak ‐ - a! (n - i)ĩ _ (a - l).(n - )!

u” u_! (u-k)! (n-k)í (n-k)!'rất nhiên, chóng ta có thể không cần sử dụng tới công thức trên.

3. CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC

I Bnỉ 1: (ĐHAN 97). Từ 7 chữ số 0, 1,..., có thể lập được -bao nhiêu sốchẩn có5 chữ số khác nhau.

BÀIGIẢITa có thể trình bày theo hai cách sau:

Cách ỉ : Đặt E={0, 1,2, 3> 4, 5 ,}.Mộ! số chẩn có 5 chữ số được ký hiệu:

a= a a a a a , với ajeE, i=l,5 , vàae{0,2 ,4 , Ị.

62



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Ta xét hai trường hợp:Trường hợp ỉ: Nếu as=0

= -Có 1 cách chọn. .Khi đó, ar, a2, a3, alà một bộ phân biệt thứ tự dược chộú từ EM 0} do đó nó

ỉà một chỉnh họp chập 4=> Có Aị cách chọn.

Vậy, trong trường họp này ta có:

1. Aộ =360 sốTrường hợp 2: Nếuas.được chọn từtập {2, 4,}

=> Có 3 cách chọn.■ aj được chọn từ tập E\{, a5}

=> c<5 5 cách chọn.■ a2, a3, a ỉà một bộ phân biêt thứ tự được chọn từ E\{aj. a5) đođó Ólà

một chỉnh họp 5 chập 3

=> Có Áị cách uiCii.

Vậy, trong trường họp này ta có:

3.5. a | =900 sốVậy, số các số chẵn gồm 5 chữ số phân biệt, hình tMĩih từ tập E. bằng:

360+900=1260 số.Cách 2: Ta cổ:

■ Gọi A là tập các số chẩn có 5 chữ số khác nhau, hình thành từ tập E.® Gọi Ao là ĩập các sộ' cMĩì gổm 5 chữ số phân biệt, hình thành từ E, và

kết thúc bằng chữ số, suỵ ra:A q c A & !A ợl= A ỹ -

■ Gọi A ià tập các số chẵỉì gổm 5 chữ số phân biệt, hình thành từ E, vàkết thúc bằng chữ số, suy xa:

A cA & !A,1=Õ, a | .* Gọi Aa là tập các số chẩn gồm 5 chữ số phân biêt. hình thành từ E, và

kết thúc bằng chữ số 4, suy ra:AqcA & lA^S. Á ị .

■ Gọi A(Slà tập các số chẩn gồm 5 chữ số phân biệt, hình thành từ E, vàkết thúc bằng chữ số, suy ra:

A c:A & IAf=5. A .

63



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Ta có A=A0 j A2\ j A^ j A6 và Ao, A2, A4, Aộđôi một không giao nh

Tlxco quy tắc cộng:lAHAol-í-^l+IAÎ+IAoí^ôO số. , '

Vậy, có thể lập dược 1260 sốtầoảmãn điều kiện đầu bài.Ị Bài : (ĐHKT HN-98): Cho 5 cliữ số, , , 3, 4, Từ^chữ số đócóI iập được bao nhiẻu chữ số chẵn có năm chữ số sao cho trong mI minõi chữ số trên cổ mặt một lần.

BẦIGIÂIĐặt E={0, 1,2, 3,4}.Một số 5 chữ số được ký hiệu:

a= a a a a a , với ajeE, i= l,5 và aj=?K).Ta xét hai trường hớp:

Trường hợp i: Nêu a5=0=> Có i cách chọn.

Khi đó, ai, a2, a, a là một bộ phân biệt thứ tự được chọn từ£\{0ỉà một bóán vị cỗa 4 phẩn tử

=> Có P số.Vậy, trong trường hợp này chúng ta nhận được:

l.p4=24 số.Trưởng hợp 2: Nếu as được chọn từ tập {2,4}

=> Có 2 cách chọn.■ aj được chọn từ tập ĩ^{, a5}

Có 3 cách chọn.« a2, a3, a ỉà một bô phân biệt thứ tự được chọn từ E\{a a5}đo đó

một hoán vị của 3 phần tử => Có p cách chọn.

Vậy, trong trường hợp này chúng ta nhận được:2..3.p*=36 số.Vậy, số các số chận gồm 5 chữ số phân biệt, hình thành từ tập.

24+36=60 số. : ■■■,I Bài 3: (ĐHY 97). Cho 10 chữ số 0,1, 2,9. Có bao nhiêu số lẻ1chữ số khác nhau nhỏ hoìi 600.000 xây dựng từ 10 chữ số dó . ________

BÀI GIẢITa có thể lựa chọn hai cách trình bày sau:

(Interne II: Hoán ví - Chình hop - Tổ hơp .

64



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Cách ỉ: Đặt:E={0, , 2, 3, 4, 5, ó, 7,, 9}. > •

Một số lẻ gổm chữ số nhỏ hơn 60Ỏ.00Ò được kỷ hiệu:a=aja a a a a , với ajeE,= và aô và ageF=i L 3, 5, 7, 9}

■ V ia nhỏ hơn 600.000 nên ax€ {1, 2, -3, 4, 5 ì , ta xét hai trường hợp:Trường hợp 1: Nếu 1, 3, 5|

=>.Cb 3 cách chọn.■ aêFâj}•=> Có 4 cách chọn.■ a2? a,, a , a là một bộ phân biệt thứ tự được chọn từ .EMa,. a^ị do dó nổ

làniộtchĩnh họp chập 4 phần tử=> có Aị cách chọn.

Vậy, trong trường hợp này ta nhận được:3.4. Ag=20160 số.

Trường hợp 2: Nếu ateị2, 4}’=> Có 2 cách chọn.

■ aêF => Có 5 cách chọn.■ a2, a3, a4j as là một bộ phân biệt thứ tự được chộn từ E\{ Ei, a<}do dó nó

là một chỉnh hợp chập 4 phần tử=> có Ag cách chọn.

Vây, trong trường hợp này .ta nhận được:2.5. Ag =16800 số.

Vậy, số các số gổm chữ số phân biệt nhỏ hoìi 600.000, hình ibành !ừ tọpE, bầng:

20160+16800=36960 số.Cách 2: Ta có:

■ Gọi Á là tập các số lẻ CC6 chữ số khác nhau nhỏ lioTi 600.000 hình thành từ tập E.

* Gọi Aj là tậ;“ các số lẻ gồm chữ số phân biệt nhỏ hơn 600.G0Ũ, hìíihthành từ E, va kết thúc bang chữ số 1, suy ra:

AxcA & IAjl=4. Ag .■ Gọi A ỉà tập các số íẻ gồm chữ số phân biệt nhỏ hơn 600.000, lỉìiìh

thành từ E, và kết thúc băng chữ số 3, suy ra:A cA & IAI=4. Ag .

■ Gọi A5 là tập các số lẻ gồm6 chữ số ohân biệt nhỏ hơii 600.00(5, hìnhthành từ E, và kết Ihúc bằng chữ số 5, suy ra:

A5c A & IASI=4 . Ag .



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





■ Gọi A là tạp các số lẻ gổm chữ số phân biệt nhỏ hơn 600.000, hìnhthành từ E, và kết thúc bằng chữ số 7, suy ra: '

A7cA & IAÍ=5. Ag.■ Gọi Aạ là tập các số lẻ gồm chữ số phân biệt nhỏ hơn 600.000, hình

thànli từ E, và kết thúc bằng chữ số 9, suy ra:A 9c A & !A ị l= 5 . A g .

Ta cóA=AÂ oA ‘ A Âvà Aj, A.ị, A5, A?, Aạđôi một không giao nhau.

Theo quy ĩắc cộng:ỈAMA^+ỈA Ỉ-í-IAsí+IAyl+lAọỉ SóPóO sô.

Vậy cổ ỉlìể lập được 36960 số ihoả mãn điều kiện đầu bài.

ChỊXơag. Ui Hoãn vi - Ciĩùih hop - Tó hqp

cóú lể lập được 36960 số ihoả mãn điều kiện đầu bài.

(BVBCVT mĩCM-99): Hỏi từ 10 chữ số Ồ, u 2, 3 ,4 ,5 ,, 7, »9

jập ỉhàih bao nhiêu số gồm chữ số khác nhạu, sao cho trong cácdó có mặt chữ số và LBÀIGỈẢI

Đặt £={0.’ỉ, 2, 3, 4, 5,, 7, , 9}.Ta có lạp luận:m Gọi B là tập cấc số gồm chữ số phán biệt, hình ĩhành từ E, ta có:

I8í=9. A ị . .• GọiBi ìằ ĩập các số gồm chữ số phân biệt, hình thành từ E, trong đó

không có chữ số và , suy raBjcB.IB;l=.v .

Khi đó 15Ị =B\B| là íập các số gồm 5 chu số khắc ĩíliau, hình thánh từ tậpE trong đó có chừ số 0. Ta được:

IBị’ Aị - à| =115920 số.

Bài 5: (HVNH TPHCM-99): Xét những số gồm 9 chữ số, trong dó có 5I chữ số 1 và bốn chữ số còn-ỉại ià 2,3, 4, 5. Hôicó bao nhiêu số như thế nếu:

I a. Nãni chữ số dứợc xếp kề nhau. b. Các chữ số được xếp tuỳ ý. •

BÀI GIÂIa Mỗi số như vậy, được hình thành bằng viậc chọn một vị trí của một Siố có chữ số tạo bời E={2?3, 4, 5}, ta có:

■ vị trí cho Ỉ . B CÓp.ị số được hình thành từ lì.

66



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Vậy, ta có dược:5.P4=120số thoả mãn điều kiện đầu bài.

b. Sử dụng 9 chữ số gổm 5 chữ số 1 và bốn chữ số 2, 3,4, 5,. thực iìiện phéphoấn vị ta sẽ nhận được môt trong các số cần tìm. Nhưng khi đó sẽ bị lặp íại 5!lần.

Vậy, số các số thoả mãn điều kiện đầu bài, bằng:9! • ■'* / ■- /.-■ " ■ ■ — =3024 SỐ.. - ■■ -

: . 5!_ - ỵ _ .. . _ _______ ỊBài : (ĐHCSND 2000).. Có bao nhiêu số lẻ c chữ số chia hết cho 9 .

BÀIGIẲI Nhận xét rằng:• Các số có chữ số chia hết cho 9 là:

100008,100017, 100026, 100035,...,999999• Các số lẻ có chữ số chia ỉìết cho 9 lập thành một cấp số cộng với:

uîooon, un-999999 và d=18Do đó:

100017+(n-l). 18=999999 <=>n=50000.Vậy ,có 50000 số lẻ cổ chữ. số chia hết cho 9 .

Bài 7: (ĐH Thái Nguyèn 2000). Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao chotổng các chữ số của mỗi số ỉà I số lẻ.

BÀIGĨẮI

Xét số-có 5 chữ sốcc= <xị<x2a3(x4a5 , để a có tổng các chữ sô' là một số lẻ,có hai khả năng xảy ra:

® Nếu (a+a +a +<xi,) chẩn thì ae ,3, 5, 7, 9}.• Nếu (a+(x+á +a4) lẻ thì oụe{0,2, 4,, }.

Mặt khác, số các số có 4 CỈỠsố aa a a bằỉlg 9.10.10..i0=9.10* và mỗisố đó sinh 5 số có 5 chữ $ố mà tổng các chữ số là một số lẻ.

Vậy có tất cả:

5. 9.10'=45000 số.I Bài 8: (ĐH SP Vinh Khối D 2000): Tìm tất cả- các số tự nhiên cỏ đúng5 II chữ số sao cho trong mỗi số đó chữ số đứng sau ỉơn hoYt chữ số dứngỉiền ỊI trước, J

BẦIGIÂI Nhận xét :• Các số ứioả mãn điều kiện'dầu bài khỏng thổ có số. 0, clo đó 5 chữ số

thuộc tập E={ 1,



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





• Với mỗi bộ 5 chữ số phân biệt bất kỳ trong E có duy nhất mxếp tlioả mãn điều kiên đầu bài.

Vậy số các số cần tìm bằngCạ =126-số. ■

4. BÀI TẬP ĐỂ NGHỊBài tập 1: (ĐH Mở 2000). Cho 4 chữ số, 2T3,4.

a. C6 thể lập được bạo nhiêu số hàng ngìn gồm 4 chữ số khácsố đó.

b. Tính tổng các số tìm đượe ở câu a).Bài tập 2: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, ta có thể lập được bagồm 5 chữ số khác nhau và trong đó phải có mặt chữ SỐ5.Bài tập 3; (ĐHUNÍ 97). Chó các chữ số 0,, 4, 5, , , 9. Hỏi có thđược bao nỉtiêu số:

a. Có 3 chữ số mà trong mồi số các chữ số khác nhau. b. Có 4 chữ số khác nhau và có chữ số 5.

Bài tập4ỉ (ĐHQG Khối G 97). Từ 0,1 , 3 ,5 ,7 có thể Ịập được bagồm 4 chữ số khác niiau và không chia hết cho 5.Bài íập 5: (ĐHSP Vinh 98). Viết các số có chữ số từ ,2 , 3,4, 5 nhưtrong mỗi số cổ chữ số xưất hiện iầa còn các số còn lại xuất hiện lHõìcó bao nhiêu sốnhưyậy.Bài tập : (ĐHSP Vinh 99). Cho chữ số 0, Ị , 7. Từ chữ số trênđược bao nhiêu số, mỗi số ạồm 4 cỉìữ số, đôi một khác nhau và khcho .Bài tập 7: (ĐH SP Vỉnh Khối À 2000).' Có bao nhiêu sô' khác nchữ số sao cho lổng các chữ số của mồi số là i số chẵnBài tập : (ĐH Huê' Khối Đ 2000). Từ 0, 1,2, 3,4, 5 có thổ ìập đượ

a. Bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau. b. Bao nhiêu số cMa hết cho 5 cổ 3 chữ số khác nhau.c. - Bao nhiêụ số chia hết cho 9 có 3 chữ số khác nhau.

Bài tập 9: (CĐSP Hà Nội Kliối A 99). Cố 5 miếng bìa ghi một số 0,1 ,% 3,4. Lấy 3 miẽhg từ 5 miếng bìa đặt lầa ỉượt cạnh nhau t phải được số gổin 3 chữ sộ'. Có thể lập được bao nhiêu số có nghĩsố và trong đó có bao nhidu số chán ?Bài tập 10: Từ các chữ số 0, 1 ,2 ,3 ,4 có tbể lập được:

a. Bao nhiêu số tự nhiên lẻ gổm 4 chữ số đôi một khác nhau. b ,, Bao ĩứiiêĩi số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi mội khác nhau chìa

Chương II; Hoàu vi - Chỉoli hQ[> - Tó hơp

68



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Il.ĐẾM Số PHƯƠNG ÁN

. PHƯƠNG PHÁP

Sử dụng phép mô bình hoá cùng các quy tắc đếm cơ bản.

2. VÍDỰMHNIHHOẠVí dụ 1: Cổ 5 tem thư khác nhau và bì thư cũng khác nhau. Người tamuốn chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì thư và dãn 3 tem thư ấy lên 3 ỈỊÌ thư đãchọn. Một bì thư chỉ đán Xtèm thư. Hỏi có bao nhiêu cách ỉàm như vậy.Giải

Ta có ngay:■ c cách chọn tem thư.

■ Cg cách chọn bì thư.■ 3! cách dán tem.đo đó, số cách làm bằng

c ị.c ị3lVí dụ 2: Một ban chấp hành thanh niên có I ỉ người, trong dó có 7 nam và4 nữ. Người ta muốn chọn một ban thường trực 3 người, trong đó phải có ítnhất một nữ. Có bao nhiêu cách chọn ban thường trực ?Giải

Ta có:- ■ Gọi A là tập các cách chọn ban thường trực, suy ra

IAI=C?,.“ Gọi B là tập các cách chọn ban thường trực không có nữ, suy ra

ÍBI=c| -Ta có B=A\B là tập các cách thành ban thường ĩrực 3 người, trong đó phải

có ít nhất một nữ. Ta được:

IB 1=1A\BI=IAt-IBI= 130 cách.Ví dụ 3: Trong 100 vé số có 2 vé trúng thưởng. Nếu mua 12 vé số thì có bao nhiêu trường hợp:

a. Không vé nào trúng thưởng ? b. Có ít nhất một vé trúng thưởng ?c. Có đúng một vé tráng thưởng ?

GiảiTrong 100 vé số có 2 vé trúng thưởng còn 98 vé không trúng thưởng.

69



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





rtìitcniL’[I i j<u» vi - Chình hop - Tá !;.<!■

Gọi A íà tập các bộ 12 vé số trong bộ 100 chiếc, suy raIAI—cỊổo-

a Gọi At là tập các bộ vé số không vé nào trúng thưởng, suy raIA,I=CẶ|.

b. Ta có Aj =A\At là tập các bộ vé sốYcó ít nhất một vé trúng thưởngđược:

ỈÃ^MANAÎAI-IA^cỊẫo-Cịi.c Số các bộ vé, có đúng một vé tráng thưởng bằng:

pl pllUị *<-98 *

Ví du 4: Người ta muốn ỉhành lập một tổ công tác gồm 3 nữ và 4 nam, 3có thể chọn trong 10 nữ, còn 4 nam có thể chọn trong 7 nam, trong đó có aBình và chị An.

a. Có bao nhiêu cách thành lập tổ ? b. Có bao nhiêu cách thành lập tổ mà anh Bình và chị An khôngở cùng

một tổ?Giảia. Muốn thành lập ỉổ công ỉác, có tliể tiến hành theo hái bước sau:

Bước ỉ: ơiọn 3 nữ trong Ỉ0 nữ=> CóCịũ cách chọn.

Bước 2: Chọn 4 nam trong 7 nam=>CÓ C cách chọn.

I Vẩy số cách chọn tổ bằngị CẶ>.C =4200 cách,ib. Gọi A là số cách thành iập tổ, ta có:

!AI=4200. j Gọi B là tập các cách‘thành lập tổ mà anli Bình và chỊ An ở cùng một tổ

suy fa BcA. Muốn tính ÌBI ta tiến hành theo hai bướe sau: Bưởcl: Chọn 2 nữ trong 9 nữ (vì đã có chị An): => Có c | cáchchọn.

Bước 2; Chọn 3 nam trong rtam ( vì đã có anh Bình)=> Có Có cách chọn.

VậyI' IB!=c ị . Cg =720 cách.

ịi 10



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Ta cổ B =A\B là tập các cách thànli lập tổ.mà anil Bình và chị An kỉiông ởcùng một tổ. Ta được:

IB l=ỈA\BI=iAMBỈ=3480 cách.Ví dụ 5: Trong môt hộp chứa 100 sản phẩm có 90 sản phẩm đại yêu cầu và10 sản phẩm không đạt yêu cầu. Lấy ngẩu nhiên từ hộp ra 10 sần phẩm:

a. Có bao nhiêu kết quả khác nhau ? b. Có bao nhiêu bộ 10 sản pỉiẩni trong đó có sản phẩm đạt. yêu cầu ?

Giảia. Số bệ 10 sản phẩm khác nhau là:

/", : tUĨÕÕ* ' , b. SỐ bộ 10 sảri phẩm tròng đó có sản pliẩin đạt yêu cầu ỉà:

Ví dụ : Người ta muốn phân loại một thế'hệ thanh niên theo giới tính(nam hoặc nữ), theo tình trạng hôn nhân (đã lập gia đình lioặc chua lập gia đình), và theo nghề nghiệp (17 nghề nghiệp trong xã hội). Có bao nhiêu cách phân loại khác nhau ?Giải

Mổi cách phần loại ứng với mộỊÍ bộ ba phần tử (Xị, yJ5 zk), trong dó:• . Xị là phần tử của tập E={ nam và nữ}• y; là phần tử của tập.F={dãiập gia đình, chưa lập gia đình}.

• zk ỉà phần tử của tập K, gồm 17 phần tử về nghề nghiệp trong xã hội.Vậy, mỗi bộ (xy_j, zk) lạ phẩn tử của tícli Đềcác ExFxK-Vậy số cách phân loại bằng: -

!ExFxK ME!xlFlxlKi=2.2.17=68 cách.Ví dụ 7: Giẹo 1 con xúc sắc mặt k lần.

a. Có bao nhiêukếĩ quả khầò nhau ? b. Cố bao nhiêu kết quả, tròng đó mặt 1 điểm không lần nào xuất hiện ?

Giải

Đặt E={ i ,2y 3, 4,5} là tập các số điểm trên mặt xúc sắc.a. Một kết quả của k lần gieo con xúc sắc ứng với một bộ (<xLỉ, ...ak) có k phần tử', trong đó oêE;, i=l,k , cq chỉ số điểnitrèn mặt xúc sắc ở lần gieo thứ ì.

Vậy, mỗi bộ(a{, a7, ...at) ìà phần tử của tích Đềcác =Ert>.k lan

Vậy số cách phân loại bằng:I E(k' l=!Elk=kcách.

71



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Oiitơng II: i-ỉoâa v» - Chìiih hơp - Tổ hợp

b. Một kết quả của k lần gieo con xức sắc, trong đó mặt 1 điểmnào xuất hiện, ứng với mộ t bộ (<Xj, a 2, ...a^)có k phần tử , tronga-eEÊM }, ỉ= l,k , Oị ciiỉ số điểmtrên mặt xóc sắc ở lần gieo thứ i

Vậý, mỗi bộ (ạj, a 2, ... a j ìà phần tử của tíchĐềcác =E\k). , klan

Vậy số cách phân loài bằng:IEj1'' !=!Elk=5k cách.

3. CẤC SÀI TOÁN CHỌN LỌC

Bài 1: (ĐH Thái Nguyên 99). Có 12 chiếc bánh ngọt khác nhabao nhiêu cách xếp chứng và6 chiếc hộp giống nliau, mỗi chiếc hộpchiếc bánh. - .

BÀI GIẢITa CÓ:

Số cách ghép cặp bánh bằng:Cj2=6ố. . ■. ' _ ■’.. • Số cách xếp bánh vằo hộp bằng:

c i =9085768.

Bài 2: (ĐHSP Vĩnh 99). Một tổ sinh viên có 20 em, trong đó cố em c biết tiếng Anli, 7 em chỉ biết tiếng Pháp, 5 em chỉ biết tiếng E)ứmột nhóm đi thực tế gồm 3 em biết tiếng Anh, 4 em biểt tíêhg P biết tiếng Đức. Hỏi có bao nliiêu oạch lập nhóm.

BÀIGIẲIMuốn ỉập nhóm, có thể tiến hành theo 3 bước sau: Bước ỉ: Chọn 3 em biết tiếng Anh trong em

=> Có c | cách chọn. Bước 2: Chọn 4 em biết tiêng Pháp trong 7 em

=> Có C cách chọn Bước 3: Chọn 2 em biết tiếng Đức trong 5„ẹm

=>Có C cách chọn.

Vậy, số cách lập bằngCg.C .C =19600 cácli.

[Bài 3: (ĐHY 98). Một chi đoàn có 20 đoàn viên ữong đó 10 nữ.tác có 5 người. C5 bao nhiêu cách chọri nêu tổ cần ít nhất 1 nữ.

BÀIGIẢỈGọi A íập các tổ công tác, .suy ra

AỈ= C •

72



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Gọi Aị ià tập các tổ công tác gồm 5 nam, suy ra1A j1=C jq.

Ta có Aị =A\Aj ià tập các tổ công tác, có ít nhất một nữ.Ta được:

IÃ7 l=IA\Atl=lAl-IAi 1=c - cfo=15252 cách.Vậy, có 15252 cách lập tổ công tác thoả mãn điều kiện đầu bài.Bàỉ 4: Một ỉớp có 40 học sinh gổm 25 nam và 15 nữ. Người ta muốn chọnra một ban điều lỉành gổm 3 học sình.

a. Có bao nhiêu cách chọn ban điều hành ? b. Có bao nhiêu cách chọn ban điều hành có 1 namvà 2 nữ ?c. Có bao nhiêu cách chọn ban điều hành có ít nhất 1 nam ?

BÀI GIẢI

Nhận xét:a. SỐ cách chọn ban diều hành bằngC =9880 cách.

b. Muốn chọn ban điều hành có nam và 2 nữ, có thể tiến hành theo haibước sau:

Bước ỉ: Chọn 2 nữ trong 15 nữ= “Có Cị5 cách chọn.

. Bước 2: Chọn 1 nam trong 25 nam=> Có 25 cách chọn.

Vậy số cách chọn bằngc? .25=2625 cách.

c. Gọi A ià số cách chọn ban điều hành, ta có' IA1=9880.

Gọi B là tập các cách chọn ban điều hành kliông có nani, ta cóib i-C j5.

Ta có B=A\B là tập các cách chọn ban điều hành có ít nhất 1 nam. Tađược:

. 1B l=ÍA\BÍ=lAI-ỈBi=4925 cách. _________________

Bài 5: (ĐH Mở 98). Một tổ học sinh gồm xo người trong đó có 2 nữ,nam ngồi vào 10 chiếc ghế đặt quanh một bàn tròn. Hỏi:a. Có bao nliiêu cách xếp chỗ ngồi khác nhau. b. Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi khác nhau để bai bạn nữ ngồi cạnh

nhau.BÀI GIẢI'

a. Vớ i mộ t bàn tròn, người ta không phân biệt vị trí chỗ ngồ i, có nghĩa là các kếi quả chỉ do đổi chỗ vòng tròn, sẽ không coi là khác nhau.

73



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





( Intone ĩl: H oán vi - chìu h hạp - Tò hcrp

Vậy số cách sắp xếp bằng:

^2. =9 »=103680 cách.10

b. Ta coi 2 bạn nữ ià 1, với 1 chỗ ngồi, khi đó:■ Bàn có 9 chỗ ngồi, đo đó có:

-ệ-= ! cách.9■ Số cách xếp 2 bạn nừ bằng 2! cách.Vây, số cách sắp xếp bằng:

8!.21=23040 cách.

I Bài : (ĐHY 2000). Có 5 nhà ĩoán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhỊ vật lý nam. Lập một đoàn công tác cổ3“người cẩn có cả nam và nữ, cần cóI cả nhà toán học và nhà vật ỉý. Hỏicó bao nhiêu cách.

BÀI GIẢIGọi A là lập các cách chọn đoàn cõng tác thoả mãn diều kiện đầu bài.Gọi Aj là tập các cách chọn đoàn cõng tác gổm 1 nhà tóán học nam, 1 nh

loán học nữ, nhà vật ỉ ý học nam, suy ra:AjCzA & IAjI=C . C . C . -

Gọi A Là tập các cách chọn đoàn công tác gồm l nhà toán học nữ, 2 nhàvật íý học nam, suy ra:

A2cA & IAỉ=cị'.c5Gọi A ?là lập các cách chọn đoàn công tác gồm 2 nhà tòán học nữ, I nh

vậi lý học nam, suy ra:A cA & ÌAI= c .C .

Ta cóA=AvA uA và Aj, Aj, A; đòi một khống giáo nhau.

Theo quy lấc cộng:IAMA;!+!A,1+1A,1=90 cách.

Vậv có thể lập dược 90 đoàn công tác thoả n)ãn điều kiện dầu bàỉ.4. 1ỈÀỈ TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài tập 1: Người ta muốn tồ chức một thí nghiệm nông nghiệp trên ba ylố: giống lúa (có 3 loại giống), phân bón ( có 2 loại phân bón) và chế dộ tưnưức (có 3 chế dộ). Có bao nliiêu cách bố trí thí nghiêm ?Bài tập 2: (CĐSP Hà Nội Khối D 99). Một đội vãnnghệ gồm 10 học sinhnữ và 10 học sình nam. Chọn ra một tốp ca gồm5 em họe sình, trong đó có ítnhất 2 nam và ít nhât2 riữ. fíỏ i có hao nhiêu cách chọn.Bài tập 3: (ĐH Thái Nguyên Khối A 2000). Mộ! đội văn nghệ gồm 10 hsinh nữ và 10 học sinh nam. Hỏi CQ bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho:

a. Có đúns. 2 nam Ìrong 5 người đó.

74



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





b. Cổ ít nhất 2 nam và ít nhất nữ.Bài tập 4:. (CĐSPHà Nội Kliối D 2000).. Nam được.tặng 1 bó hoa có hổngnhung và hồng bạch. Nam muốn chọn ra 10 bông saọ cho cổ nhiều nhất bông hồng nhung và ít nhất 3 bông hổng bạch. Hỏicó bao nhiêu cácli chọn.Bài tập 5: (HVQY 2000). Xếp 3 bi đỏ có bán kính khác nhau và ba bi xanhgiống nhau vào một dây 7 ô trông.

a. Hỏi có mấy cách xếp khác nhau. b. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao clio 3 bi đỏ xếp cạnh nhau và 3

bị xanh xếp cạnh nhau.Bài. tập : (HVKTQS 2000). Một đồn cảnh sát khu vực -có 9 người. Trongngày cần cử người làm nhiệm vụ ở địa điểm A, người làm nhiệm vụ ở. địa-điểm B, 4 ngườiờ lại trực đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phận-công.Bài tập 7: (ĐHQG Khối G 97). Cho 100000 chiếc vé được đánh số từ 00000đến 99999. Hỏi các vé gổm 5 chữ số khác nhau là bao nhiêu.Bài tập : (ĐH Thãna Long 99). Một hộp đụng quả cầu xanh đánh số từ

đến ; 5 quả cầu đỏ đánh số từ 1dến 5; 4 quả cầu vàng đánh sô' từ dến 4.a. Có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu cùng mầu ? 3 quả cầu cùng số ? b. Có bao nhiêu cách lấỳ ra 3 quả cầu khác màu ? 3 quá cầu khác màu và

khác số?Bài tập 9: (DHL 99). Một đoàn tàu có 3 tòa I, n, H Ị Sân ga có 4 hànhkhách chuẩn bị đi tàu, có ít nhất 4 chỗ trống.

a. Có mấy cách xếp 4 khách lên 3 toa. b. Có mấy cách xếp 4 khách lên tàu có toa có 3 trong 4 vị khách trên.

Bãi tập 10: (HVKTQS 98). Có n học sinh nam và n học sinh nữ ngồi quanhmội bàn tròn. Có bao nhiêu cách xếp để không có 2 học sinh còng giới ngồicạnh nhau.Bài tập 11: (ĐHHH TPHCM 99), có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh A, B, c,D, E vào một cjiếc ghế dài sao cho:

a. Bạn C ngổi chính giũa. b. Bạn A, E ngồiở hai đầu ghế.

III. CÁC BÀĨ TOẤN KHÁC

I. VÍ DỤ MINH HOẠ

Ví dụ l í Số 210 có bao nhiêu ước số.Giãi

Phần tích 210 ra thừa số nguỵên .tố:210=2.3.5.7 '

Đặt E={2, 3,5 ,7}.Khi đó, từ E ta xây dựng được các ước số của 210 khác .Vậy, số ước số của 210 bằng số tập con của tập E, và bằng

2 = 16 .

75



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Chưcmg H: Hoáa vi - Chình bao - Tổ hơp

Tổng quàí koứ: Để tìm số các ước của số A, ta thực hiện theo các bư Bước 1: Phân tích A ra thành tích thừa số nguyên tố:

A=pi:..pk, với Pi^l, ì=l,Jk và đôi một khác nh Bước2: Đặt tập£={pi> ...,'pk}. '

Bước 3: Khi đó, từ E ta xây dựng được các ước số củà Ạ khác, do đóứớc số của A bằng sô tập con của tập E, và bằng 21'.Chú ýL‘ Bạn đọc sệthắc mắc tập con 0 sẽ ứng với ước nàocùã A, câu trả lờứng với ước .Ví dụ 2í Xem ỈỊOằn vị của 3 chữ số, 2, 3, 4. Tínli tổng s của tất cả tạo thành bởi hoán vị đó.Giải

Đặt E={ 1,2, 3,4}.Từ tập E có thể lập dược41=24 sô' gồm 4 chữ số khác nhau.

Nhận xét rằng, các số 1, 2, 3, 4 xuất hiện ở các bàng dơn vị hhàng trăm, lỉàng ngàn6 lần, tò đó:s =X03.6.(l+2+3+4)+102.6.(l+2+3+4)+10.6.(l+2+3+4)+6.(l+2+3

=66660.c&ú ý: Đề nghị bạn đọc đề xuất phương pháp thực hiện bài toán tổnVí dụ 3: Với các chữ số 1,2, 3,4, 5, ố, 7. Xét tập liợp E gồm 7 chnhau viết từ các số đã cho.. Chứng minh rằng tổng s tất cả các số cchia hết cho 9.Giải

Đặt E={1, 2, 3,4, 5,, 7}/.Từ tập E có tliể lập được 7!=5040 số gồm 7 chữ số khác lùiàu.

Nhận xét rằng, các số1, 2, 3, 4, 5, , 7 xuất hiệnở các hàng đơn .vị hchục, hàng trăm, hàng ngàn 720 lần, từ dó:

s = 0Ộ:720.( l+2+3+4+5-f6+7)-k.+10°.720. (Ỉ+2+3+4+5+Ó+7)=720.28(106+...+10o)

suy ra s chia hêì. cho 9 bởi 720 chia hết cho 9.2. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊBài tập 1: Số 2310 có bao nhièu ước số.Bài íập 2: Số 1638 có bao'nhiêu ước sổ.Bài tập 3: Xem hoán vị của chữ số 1, 2, 3, 4, 5, ố. Tính tổng s củacác số tạo thành bởi hoán VỊ đó.



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





BÀI ĐỌC THÊM CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP SUY RỘNG

MỞ ĐẦUTrong nhiều bài toán đếm, các phần tử có thể được sử dụng íặo lại. Vì dụ,

các chữ cái hoặc các chữ số được dùng nhiều lần trong một biển dăng ký xe. Khí mua một tá quà tặng, mỗi loại có thể được lấy nhiều lần. Điều này khônggiống với bài. toán đếm đã thảo ìụận ở các tiết trên írong đó chúng ta chỉnghiên cứu các hoán vị và tổ họp mà mỗi đổi tượng chỉ được dùng nhiều nhất một lần. Trong tiết này chúng sẽ trmỉi bàv cách giải các bài toán đếm khi các phần tử có thể được dùng nhiễu lần.

Cũng như vậy, một sộ bài toán đếm có chứa các phần tử giống nhau. Ví dụ,để đếm số cách khác nhau mà các chữ cẩi của từ SUCCES có thể được sáp xếplại, cần phải xẹm xét tới việc sắp xếp các chữ cái giống nhau.

Ngoài ra, trong tiết này chúng ta cũng sê giải thích cách giải một lớp khá rộng các bài toán đếm khác, đó Tà bài toán đếm cách dặt các phần ĩử khác nhau vào trong hộp. Ví dụ, tíiìh số cách chia một cỗ bài cho 4 người chơi.

Tóm ỉại, những phươÃiS pỉìííp mô tả írưổe đây trong chương nàv và những phương pháp sẽ đưa vào trong tiết này sẽ ĩạo thànỉi mội bở công cụ rất có íchđể giải nĩõt lớp rất rộng các bài toán đếm. Klio công; cụ này sẽ còn phong phúhơn khi mà trong chương 5 chúne Ta sẽ đưa tỉìèm rnột số phương pháp nữa, lúcđó các bạa sẽ có thể giải được hẩu hết cậc bài toán đếm ihường gặp ỉrong mội phạm vi rộng iớn của các ỉĩiilvvực nshiên cứu.

IHOÁNV ỊCÓLẶP

Ví dụ ỉ : Từ bảng chữ cái tiếng Anh có thổ Cạo ra được bao nhièụ xâu có độdài n ?Giả!

Theo quy tắc nhân, vì có 26 chữ cái và''Vi mỗi chScó thể đưực đùng lại nênchúng ta có 26" xâu với độ đài fi.Ví dụ 2: Tính xác suất lấy liên tiệp được 3 quả bóĩìs đỏ ra kỉiỏị bình kínchứa 5 quả đỏ và 7 quả xạnh, nêu saa mồi ỉần ỉấy một quả bóng ra lại bỏ nó

trờ lại bình.Giải

Theo quỵ tắc nhân, số các kết cục có iợị - tức ià, số cách lấy được 3 quả bóng đỏ - là 5 \ vì mỗi lầii lấy ta có 5 qua đỏ ỏ' trong bình. Toàn bộ các kốỉcục có thể là \ vì mỗi lần ỉấy bóng trong bình có quá. Nlĩư Vậy, xác suĩứcần tìm là / 3. Đây là một ví dụ về việc ỉấy mẫu có hoàn lại.

Số các chỉnli họp ỉặp chập r từ tậo n phẩn tử được cho trong định ỉý sauđây.

77



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Vliươug II: Hoác ..

Địnk lý: Số các chỉnh hợp lặp chạp r từ tập n phần tử bằng nr.Chứ)ỉg ììùnhRõ ràng có cách n chọn một phần tử từ tập n phần tử CỈÍOraỗi một trong r vị

trí của chỉnh hợp khi cho phép lặp.- VI-vậy theo quy tắc nhân, có nr chỉnh hợlặp chập r từ tập n phần tử.

II. T ổ HỢP LẶP

Ví dụ 1: Giả sử troiig một đĩa quả có táo, cam, lê mỗi loại cớ ít nhất 4 quảTinh số cách lấy 4 quả từ đĩa này nếu giả sử rằng thứ tự các quả được chọkhông quan trọng, va cầc quả thuộc cùng một loại là không phân biệt.Giải

Ta iiệt kê danh sách tất cả Ti 5 cách chọn 4 quả như sau:4 láo 4 cam 4 Lê3 táo, 1 cam 3 táo, 1 lẻ 3 cam, 1 táo3 cam, I lê 3 lẽ, 1 táo 3 lẽ, cam

táo, cam táo, ỉê cam, lètáo, cam, lê cam, táo, lê lê, táo,

camLời giải ià số các tổ hợp lặp chập 4 từ tập ba phần tử {táo, cam, lê ỊĐể giải những bài toán đếm phức tạp hơn có dạng như ưên chúng ta cần c

phương pháp tổng quát đếm số tổ hợp chập r từ tập n phần tử.Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách chọn 5 tờ giấy bạc từ một két đựng tiền gồmnhữngtờ ỉ$, tờ 2$, lờ 5$, íờ 10$, tờ 20$, tờ 50$ và tờ 100$? Giả sử, thứ tự màcác tờ iiền dược chọn ra ià không quan trọng, các tờ tiền cùng loại là khôn phùn biệt và mỗi loại có ít nhất 5 tờ.Giải

Vỉ ta không kể ĩới ihứ tự chọn tờ tiền, và vì ta chọn đúng 5 lần, mỗi lần lấ Ỉtìộỉ iừ 1 trong 7 loại tiền nốn bài toán này ỉiên quan tới việc tính tổ hợp lặp chập 5 từ 7 phần tử.

Chúng la sẽ minh họa cách sử dụng kỹ tliuật đếm các tổ họp lặp.Giả sử kéĩ tiền có 7 ngăn, mỗi ngân đựng một loạỉ tiền. Các ngãn được

phần cách bằng vách ngân. Việc chọn 5 tờ tiền tương ứng với việc đật 5 vậđánh dấu vào 7 ngăn chứa 7 íoại tiền.

Số cách chọn 5 ĩờ ĩiền ứng với số cách sắp xếp thanh-và 5 ngôi sao. Dqvậy, số cách chọn 5 tờ tiền bằng số cách chọi! các'vịtrí cho 5 ngòi sao từ vịtrí có thể, tức là bằng

!C( 1,5) = ——= 4625!6!

Tổng quát hoá điều vừa thảo luận cliúng ta có định lý sau đây.

78



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Định lý: Số tổ hợp ỉăp chập r từ íập n phần ỉử bằng Cq+i._j .CkứngmìnhMỗi tổ hợp lặp chập r từ tập R phần tử có thể biểu diển hằng mội dãy (n~l)

thanh đứng và r ngời sao. Ta dùng (n-1) thanli để phân cách cáó ngăn. Ngănthứ i chứa thèm một ngô i sao mỗi lần khi phần tử thứ i của lập xuất ỉiiệa irong

tổ hợp. Ví dụ, tổ hợp lạp chập cùa tập 4 phần tử được biểá thị bằng 3 thanhđứng và ngồi sao.^ Ị $ Ị I íí Ý ^

Biểu thị tổ hợp chừa đúng 2 phần tử thứ nhât, 1 phần íử tlvứ hái. không có phần tử thứ ba và 3 phần tử thứ tư của tập hợp.

Như ta đã thấy mỗi dãy (n-) thanh và r ngôi sao ỨR . với mội. lổ'hợp tậpchập r của tập n phần tử. Số các dãy như vậy bằng c^+r_, vìĨỎÌ dãy ứng vớimột cách chọn r chỗ cho r ngôi sao lịr n-ỉ+r chỗ chứa ri-I ihanh và - ngôi sao.Đó là điều cần chứng minh.'

Những ví dụ sau đây minh họa cách sử dụng định lý .Ví dụ 3; Một cửa hàng bánh bích quy có 4 loại khác nhau. Có bao nhiêucách chọn hộp bánh? Giảsừ là ĩa ch: quan lốm tó'i loại bánh mà khỏGg quan tâm tới liộp bánh cụ thể nà-j và ỉhứ 'í ự ehọn C))ứn£.Giải

Số cách chọn hộp bánh bằBg số í ổ hợp lặp chập cửa 4 phần lừ. Theo định ỉý la nhận được

cẵ+6-1 =€9=54 cách chọn 6 hộp bánh quy.

Định ỉv cũng có thể dòng để tìm sớạghiệỉn ìréàyôĩĩ cửadịíi phứoìitĩ irình tuyến tính chịu những ràng buộc nào đố- Bãv xét ví dụ sau.Ví dụ 4: Phương trình:

x +x +x3= ilCó bao nhiêu nghiệm nguyên khỏng ảm?

GiảiChúng ta nhận ĩhấy mỗinghiệm của phựơna trlỉĩÌỊ ứng với một cách chọn

] ] phần tử từ một tập có 3 loại, sao cho có X; phều íử loại i, x phẩn tủ ioại 2 và x phần tử loại 3 đirợc chọn. VI vậy số ngầíệìxs hằsg số tổ họp ỉập chập ỉ Ịtừ tập có 3 phần tử. Theo định ỉ ỷ số đó hằng:'

cilii-i=ciỉ=78.Chúng ta cũng có thể tìm được số nghiện? của phương ĩrìhh nàv khi các ẩn

số chịu những ràng buộc nào đó. V: dụ, lìm số nghiệm nguyên của phươngtrình thoả mão điều kiện Xj > 1 , X‐ > 2. x? > 3. Đễ ihấy một nghiệm của phương trình íhoả mãn những điều kiện nàv ốna với một cách cliọn pkẩn ĩửtrong đó có X! phần tử loại i , x phần tử loại 2 và x_; ữhẩĩỉ Tử ỉ oại 3 trong dó cóít nhất một .phần tử loại 1, hai phần tử loại 2 và ba DỈìán tử ìoại 3. Vì thế, ỉrướe

79



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





tiên ta chọn i phần tử loại 1, 2 phần tử loại 2 và 3 phần tử loại 3,thêm phần tử nữa. Theo dịnli lý ta cộ '

03+5-1“ ^7“^^ 'Vây pliưcmg tnnh có 21 nghiêm tlioả mãn các điều kiên đã. cho

m HOÁN VỊ CỦA TẬP HỢP CÓ CÁC PHẦN TỬ GIỐNG NHAUTiong bài toán đếm, một số phần tử có thể giống nhau. Khi đó

thân tranh đếm chúng hơn một lần; Chúng ta xét ví dụ sau.Ví du 1: - Có thể nhận được bao nhiêu xâu khác nhau bằng cáccác chữ cái eủa từ SUCCESS ?

GiảiVì môt số chữ cái của từ SUCCẸSS là như nliau nên câu trả lời

ỉắ so hoan vị cỏa 7 chữ cái được. Từ này chứa 3 chữ s, 2 chữ c, 1

chữ E Để xác định số xâu khác nhau có thể tạo ra được ta nhận th■ C cách chọn 3 chỗ cho 3 cỉìữ s, còn ỉại 4 chỗ trống.

■ C cách chọn hai chỡ cho hai chữ c, còn lại “hai chỗ trống.

» Có thể đặt chữ u bằng C cách, và cỊ cẩch đặt chứ E vào xâu

Theo quy tắc nhân, số các xâu khác nhau có thể tạo được Là:,c?.cẫ.cị=420.'

Bằng cách ỉý luận tương tợ như trong ví dụ trên chúng ta có thểminh được định iý sau. Đinh lý' Số hoán vị của n phần tử trong đổ có iỊi pliẩn tử.như nhauL n phần tử như nhau thuộc' loại, và nk phần tử như nhau thuộbằng

n! ' "Ỉiiỉu r-.ak!

Chứng minhDc xác định số hoán vị- trước tiên chúng ta nhận thấy có:■ cách giữ nt chỗ chò H-! phần tử loại, còn lại n - hi chỗ trố

» Sau dó có c “2 cách đặt n2 phần tử Ịoại 2 vào hoán vị, còn lại

n chỗ trống.Ị 'Tiếp tục đặí các phẩn tử loại 3. loại 4 , loại k - 1 vào chỗ

hoán vị. Cuối cùng có c “k __ cách đặt phần tử loạihcánvị. •’

80



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Theo quy tắc nhân tất cả các hoán vị có thể làCaI < C'uk _ ____ Q'

n ......... a - u , - . . - n k ^ D 1 ! u 2 ! . .. u k !

IV .sự PHÂN Bổ CÁC ĐỔ VẬT VÀO TRONG HỘP

Một số bài toán đêm có thể giải bằng Cách liệt kê những cách đật các đổtượng khác nhau .vào trong những hộp khác nhau. Chúng ta xct ví dụ sau,trong đó các đối tứợng là các lá bài còn các liộp ỉà “những người chơi”.Ví dụ l ĩ Có bao,nhiêu cách chia những xấp bài 5 quân cho mỗi một trong4 người chơi từ'một cỗ bài chuẩn 52 quân ? :Giải

Chúng ta sẽ dùng quy tắc nhân đẹ giải bài toán này.Trước tiên chúng ta thấy:

■ Người đầu liên có thể nhận được 5 quân bài bằng C cách.■ Người ĩhứ hai có thể được chia 5 quân bài bằngc% cácl), vì chỉ còn

47 auân bài.a Người thứ ba có thể nhận được 5 quân bài bằiig C cách.

■ Cuối cùng, người thứ tư nhận được 5 quân bài bang C‐ cách.Vì vậy, tổng cộng có.

C52 • 47 • C42 - C37 = — —— cách clùa.

Chú ý:1. Lời giải của ví dụ cũng bằng số các hoán vị 52 phần tử ĩrong dổ cổ 4 ỉoạiEiỗi loại có 5 phần tử giống hệt nhau, và loạ i thứ năm có 32 phần ÚV, TnẠi vậy, chúng ta có thể xây đụtig được một phép tương ứng mội -mội giữa các hoổnvị và các cách chia bài. Để làm điều đó, giả sử chúng ta có 52 ò dược đáĩỉb sốtừ 1 tới 52. Mỗi một trong 4 người chơi được “phát 5 ô. Những ô cỏa ỵgvíhỉ ílìứnhất là ô loại 1, những ô chia cho người thứ hai là ô loại hai, và 32 ỏ cònlại là các ô ioại 5. Klii đó mộl cách chia xấp 5 quân bài cho 4 ÌRƯỜ chính làniộí cách sắp xếp mỗi quân bài vào một ô.2. Ví dụ ià một bài toán điểrí hình về việc phân bố các đổ vật klìác nhau vào các hộp khác nhau. Các dồ vật iù 52 quân bài, CÕR5 hộp là 4 người chơi và sốcòn lại để trên bàn. Số cách sắp xếp các đổ vật vào trong hộp dược cho bờđịnh lý sau. Định lý: Số cách phân chia n dồ. vật khác nhau vào trong k hộp khílc nhau saocho có Hi vật được đặt vào hộp thứ i, với i =, ,..., k, bằng

nĩ u 1 ! D 2 ! .. .D k !

81



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Hi.1io;lu vt - a -“Ll hợp -ĩểầsa

V. BÀI TẬP ĐỂ NGHỊ

Bà; tập 1: Có bao nhiêu cách chọn có hoàn iại lần lượt 5 phần tử từ một tập phần tử?Bài tập 2: CỔ bao nhiêu cách chọn có hóàn lại lẩn lượt 5 phần lử từ một tập

phần tử?Bái tẽp 3? Có bao nhiêu nhiêụ xâu gồm chữ cái ?Bài tâp4' Hàng ngày một sinh viên chọn ngẫụ nhiên một chiếc bánh san-duycii để ăn trưa từ một chồng báíih được gói kín. Giả sử có loại bánh hỏi có bao nhiêu cách anh sinh viên chọữ bậph trong 7 ngày của một tuần, nếu có kten thứ tự những chiếc bánh được chọn ?Bài tãp 5' Có bao nhiêu cách phân 3 công vỉệc cho 5 người làm, nếu mộngứời có íhể ỉàm được nhiều việc ?Bài tập óĩ Tính số cách chọn 5 phần tử không có thứ tự từ một tậpcó 3 phẩn tử nếu cho phép chọn có hoàn lại.

Bài tập 7 ỉ Tính số cách chọn 3 phần tử không có thứ tựtừ một tập có 5 phẩntử nểú cho phép chọn có hoàn lại.Bài tập : Có bao nhiôu cách chọn một tá quà tặng từ inôt cửa hàngcó 21loại khác uhau ?Bài tảp9: Trong một cửa hàng bán túi đựng hàng có. các loại túi sau: túiđưng bạt giông cây thuốc lá, túi đựng trứng; tứi đựng .muối, túỉ đựng hạt vừngtúi đựng Hạt cải, tói đựng nho, và tứi bình thường. Có bao nhiẽu cách chọn:

a. túi ? b. Mộ! tá túi ?ct Hai tá tứi ?d Mội tá tói sao cho mỗi loại cổ ít nhất một túi ?e Một tá tứi. sao cho ít nhất cỏ 3 túi trứng và có khòng quá 2 ttíi muối ?

Bài tập ỈOĩMộĩ cửa hàng bánh sừng bò có loại, bánh bình thương, bánh cóanh đao, bánh có hạnh nhân, bánh có sôcồla, bánh táo, bánh mận. Có baonhiêu cách chọn:

a. Một tá bánh ? • b. Ba lá ?c. Hai tá sao cho mồi ỉoại có ít nhất hai chiếc ?

đ. Hai tá sao cho có không quá hai chĩẽc bárih táo ? ■e. Hai tá sao cho có ít nhất 5 chiếc bánh có sôcỗla và 3 chiếc bánh mận ?f. Hai (á sao cho có ít nhất một chiếc bá ỉiỊ) bhu. ihựờng, ít nhất hai chiếc

có anh đào, ít nhất chiểc có hạnh nhân, ít nhất có hai chiếc bẳnh táovà cố khổng quá ba chiếc có mận ?

Bài tập 11: Có bao nhiêu cách chọn tám đồng tiền xu từ một hộp chứa 100dồng một xu giống nhaự \ 80 đổng nãm xu giống hệt nhau ?

82



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Bài tập 12: Một “chú lợn tiết kiệm” diứa 20 đồng xụ: Có thể có bao nhiêu tôhợp khác nhau các đổng một xu, đổng năm xu, đổng mười xu, đồng hai ỉãmxu, đồng nãm mươi xu trong đó ?

. Bài tập 13: Một nhà xuất bản có 3000 bản của ruột cuốn sách toánhọc rờirạc. Có bao nhiêu cách cất chúng vào trong ba kho hàng nếu các cuộn sáchgiốtig hệt nhaụ? /Bài tập 14: Phương trình:

x +x + x + x4= 17.Có bao nhiêu nghiệm nguyên không âm?

Bài tập 15; Phưong trình:Xj + x2 + x3 + x4 + x5 = 21

Có bao nhiêu nghiệm ngũyên không âm. sao choa. Xj > 1. ...■

b. Xí > 2 vđì i = 1 ,2 , 3 ,4 , 5.c. <Xj < . '. ; ■'d. 0 < Xj < 3 và 1 < x < 4, và x > 15.

Bài tập 16: Phươíig trình:Xj + x2 + x3 + x4+ x5 + x<s- 2 9

Cố bao nhiêu nghiệm nguyẽn khdng âm sao choa. Xj > 1với i = 1,2, 3,4, 5,. b. > 1, x > 2, x > 3, x > 4, x > 5 và x > .

c. Xi <5. . •đ. Xi < 8 và x2 > 8 . .

Bài tập 17:05 bao nhiêu xâu .gồm 10 'chữ số của hộ tạm phân (0,1 hoặc 2}chứa đống hai cliữ số, ba chữ số và năm chữ số ?Bàí tập 18: Có bao nhiêu xâu chữ sổ của hệ thập phân chứa đúng hai chữsố 0, bốn chữ số 1, ba chữ số 2, một chữ số 3, haí chữ số 4, ba chữ số 5, haichữ số 7 và ba chữ số 9 ?Bài tập 19: Một gia đình có 14 đứa con trong đó có hai nhóm súih ba, ba cặpsinh đôi và hai đứa .trẻ sinh một- Những đứa ưệ cùng sinh đôi iìoặc sinh ba

íiiống nhàu nhử đúc. Hỗi Có bao nhiêu cảch sắp xếp bọn irẻ ngổi thành mộtdãy ?Bài tập 20: Bất đẳng thức

Xj + x2+ x3< 11Có bao nhiêu nghiệm nguyên không âm?, (gợi ý: đua vàọ một biến phụ X.,

saochoXj+ x + x + x4= ).Bái tập 21: Có bao nhiêu số nguyên đương nhỏ hơn 000 có tổng cácchữ số của nó bằng 19 ?

83



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





ctiươnp II:Hoáiivi - Chinh boi>- Tôkot>

Bàì tập 22: Có bao nliiêu số nguyên dương nhỏ ỈƠ 1 000 000 có đúngchữ số bằng 9 và có ĩổng các chữ số bằng 13 ■?Bài tập 23: Trong kỳ thi kết ŨÚCmôn toán học rời rạc có 10 câu hỏi.nhiêu, cách gán điểm cho các câu hỏi nếu tổng số điểm bằng và mỗi cnhấr được 5 điểm ?

Bài tạp 24: Chứng tỏ rằng cộ C(n + r qi - q - q, —1, n - qi ~q - cách chọn không kể thứ tự n phẩn tử VỚI r loại kliác nhau trong đó cổ qjtử loại , q phần tử loại , và qrphẫn tử loại r,Bài tập 25:CÓ bao nhiêiixâu nhị phân khác nhau nếu chúng đượ

bằng bit và chứa thêm ba bit nữa, nó còn chứa tất cả bit ọ và sau mcó ít nhất hai bit ?

Bài tập26: Có bao nliiêu xâụ khác nhau có thể lập đứợc từ các chữtừMISSĩSSIPPĩ, yêu cầu phải dùng tất cả các chứ ?Bài tập 27: Có bao nhiêu xâu kliác nhau có thể iập dược từ các chtừ ABRACADABRA ỵêu cầu phải dùng tất cả. các chữ ?Bài tập 28? Có bao nhiêu xậu kỉiác nhau có thể lấp được từ các chtừ à ÂRĐVARK yêu cẩu phải dùng tất cả các chữ và ba chữ À phảinhau ?Bài tập 29: Có bao nhiêu xâu khác nhau có thể lập được từ các chữtừ ORONO nếu dùng một vài hoặc tất cả các chữ ?Bài tập 30: Có bao nhiêu xâu khác nhàu có: 5 hoặc nhiồu hơn các klập đữợc từ các chữ cái trong từ SEERJSSS ? ■Bài tập 31 ĩ Có bao nhiêu xâu khác nhau có 7 hoặc nlìiềư hơn các klập được từ các chữ cái trong íừ EVERGREEN ?Bài tập 32í Có bao nhiêu xâu nhị phân khác nhau có thể lập được nchữ Số và chữ số ?Bài tập 33: Một sinh viên có bá quả xoài, ìiai quả du đủ và liai quảanh ta ắn mỡi ngày một quả và chị có loại quả là quan trọng, Thì annhiêu cách ãn các quả này ? V •■Bài tập 34: Một gỉáo sứ cất bộ sưu íập gồm 40 sô'.báo toán học vngân tủ, mỗi ỉigăn đựng io số. Có bao nhiêr cách cớ thể cất các íờ bngăn nếu:

a. Mỗi ngăn dược đánh sổ sao CỈ có thể phân biệt được. b. Các ngăn iàgiốhg hệt iứiau.?

Bài tập 35: Trong không gian Oxyz một con bọ. di chụyển bằng từng bước đài 1 đơn vị theo hướng cùa trục Xhoặc của trục y hoặc của (không được Dhay giật lùi theo chiều âm cìía các trục tọa độ). Tínhcon bọ đó co thể di chuyển lừ gốc tọa độ (0, 0, 0) tới điểni (4,-3, 5)Bàỉ tập 36: Tính số cách một con bọ Long không gian Oxyzw chuỵển từ gốc tọa độ (Ọ, 0,0 ,0 ) tới điểm (4,3 ,5 ,4) bằng cách nhảydài 1 đơn vị theo hướn' đương của irục Xhoặc cùa trục y hoặc của trục zcửa ỉrục vv.

84



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Bài tập 37: Có bao nhiêu cách chia một cỗ bài chuẩn 52 quân cho năm ngườichơi, mỗi người một xấp bảy quân ?Bài tập 38: Khi choi bridge, người ta chiâ cỗ bài chuẩn 52 quận cho 4 người.Tính số cách chia cho 4 người ?Bài tập 39: Người ta chia một cỗ bài chuẩn 52 quân cho 4 người chơi. Hãytính xác suất đề mỗi người nhận được một quân át.Bài tập 40: Có bao nhiêucách xếp l2 cuốn sách lên 4 giá sách khác nhaunếu:

a. Các cuốn sách là các bản chụp của cùng một đầu sách ?. b. Không có hai cuốn cùng đầu sách, và có kể tới vị trí của các cuốn sách

trên giá ?Bài tập 41: Có bao nhiêu cách xếp n cuốn sách lên k giá sách khác nhau nếu:

a. Các cuốn sách là các bản chụp cùa cùng một đầu sách? b. Không có hai cốn cùng đầu sách, và có kể tới vị trí của các cuốn sách

trêngiá.Bài tập 42: Trên giá sách có 12 cuốn xếp thành một hàng. Có bao nhiêu cáchchọn nãm cuốn sao cho không có hai cuốn nàoở liền kề nhau'?Bài tập 43: Dùng quy tắc nhân, hãy chứng minh định lý 4 bằng cách đầu tiênđạt các vật vào hộp thứ nhất, sau đó vào hộp thứ hai, v.v...Bài tập 44: Chứng minh định lý 4 bằng cách đầu tiên xâỵ đựng một phéptươìig ứng một -một giữa các hoán vị của một tập n phần tử chia thành k ỉoại, loại i có nj phần tử giống nhau (i = 1, 2, ...k) và các cách bỏ n vậĩ vào k hộpsao cho có ; vật được bỏ vào hộp i (i -, , k) và sau đó áp đụng định lý

3.Bài tập 45: Trong bài tập này chúng ía sẽ chứng minh địnhiý bằng cáchxây đựng một phép tương ứng một - một giữa tập các tổ bợp có ỉặp chập r từtập s = {ỉ, 2 , n} và íập các tổ hợp chập r từ tập T = {1, 2, 3,..., n + r -}

a. Sấp xếp các phần tử ưong một tổ hợp Lặp chập r của s ỉ.lìành một dãytăng Xj < x2 < ...< xr chỉ ra rằng đãy lạo nên bầiì.e cách thêm k - 1 vào số hạng thó k là ĩhực sự tăng. Kỉìâng định dãy này được tạo bởi r phầntử khác nhau của T.

b. Chứng tỏ rằng thủ tục mô tả trong a) xác định môt phép tương ứng một.- một giữa tập các tổ hợp lặp chập r từ tập s và tập các tổ hợp chậtập T. -V ' .

c. Kết luận rằng có C(n + r - , r) tổ hợp lặp chập r từ tập có n phần tử.Bài tập 46: Có bao nhiêu cách phân phốỉ năm đối tượng khác nhau vào ba hộpgiống nhau ?Bài tập 47: Có bao nhiêu cách phân phôi nãm đối tượng giống nhau vào bahộp giống nhau ?Bài tập 48: Có bao nhiêu số hạng idiác nhau irons khai triển của

(x l + x2 + .,.+ xm)"

8 5



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Qiirong H- Ho.iaV) - Où nli iiơp - TÒhơtĩ

sau khi cộng tất cả các số hạng đồng dạng với nhau?Bài tập. 49: Hãy chứng minh định lý da thức: nếu n là một nguyên dương t

(Xj +x +... + xm)n C(n,n ,n ,...,njn)xf X ...xSỉHnx+H+--+nm=n

Í

trong đó C(n,ni?n,...nm):=--------•——- ià hệ số đa thức.iĩj!a L.flm! ■

86



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





BẢI TẬP LÀM THÊM

Bài tập1: (ĐHVL-A/2000): Ọio 6 c iữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. - 'a. Trong tập hợp 6 chữ số trêrí có thể lập được bao nhiêu số mỗi số cổ 5

, chữ số khác nhau và tròng đó nhất thiết phải có mặt số 5. b. Trong tập hợp 6 chữ số ỀTèn có thể lập đừợc bao nhiêu số môi số có 5chữ số khác nhau.

Bài tập 2: Cho tập họp 0, 1, 2, 3 ,4,5, 6, 7, 8, 9}á. Hỏi có bao nlùêu tập con của È chứa số 9. b. Hòi có bao nliiêu số gồm 5 chữ số khác nhau từ É mà chia hết cho 5.

Bài tập 3: (ĐH NN&TH-D/2000): Hỏi từ 9 chữ số 1, 2, 3, 4, 5,6, 7, 8,9 cóthể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau trong các chữ số đó cớ mặichữ số 1.Bài tập 4: (DHKTQD-A/2001): Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lậpthành baa nhiêu số mà mỗi số có 5 chữ số khác nhau và ĩrone; đó nhất tliiết phải có mặt chữ số 5.Bài tập 5: (CĐKTĐN-2001):

ã. Cớ bao nhiêu số khác nhàu gồm 10 chữ số trong đócó 4 chữ số 2 và 6chữ số 1.

' b. Có báo nhiêu vectơ ấ =(x, y, z) kiiác nhau sao cho a, y, z là các sốnguyên không âm tlioả niãn x+y+= .

Bài tập 6: (DHKTTPHCM-V/2001):a. Từ 4 chữ số4, 5, 6, 7 có thể tliành lập dược bao nhiêu số có các chữ số

phân biệt. b. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể thành lập được bao nỊiiêu số chẵngồra 5 chữ số đôi một khác nhau.

Bài tập 7: (ĐHKTrúc TPHCM-A/2001):a. Có tliể tìm được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau dôi một. b. Từ cấc chữ số 0, x; 2, 3, 4, 5, 6, 7 có Uiể tíiành lập được bao nhiêu số

chẵn gồm 5 cliữ số đôi một khác nhau.Bài tập 8: (ĐHNT TPHCM-D/2001): Từ các chữ sổ ■1, 2, .3, 4, 5, 6 có thểthành lập được bao nhiêu số gổtũ 6 chữ số khác nhau. Hỏi trong các số đã lậpc<5 bao nhiêu số mà cả 2 cliữ số 1 và 6 khòng đứng cạnh nliau.

Bàỉtập 9: Từ các chữ số 0,1,% 3,4, 5,6 có thể thănli lập được bao nliiêu sốcổ. 5 chữ số đôi một khác nhau và'trong đó có chứa chữ số 4.Bài tập 10: (ĐHNN 1-B/2001): Từ các chữ sế 0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6r 7 có thể thànhlập được bao nhiêu số có 10 chữ số được cbọn lữ 8 chữ số trên, trong đó chữ

. sô 6 có mặt đúng 3 lần, các chữ sốkhác có mặt đúng l lần. 'Bàì tập 11: Cho tậpliợp A={ 1,2, 3,4 , 5)7 Hỏi:

a. Cổ bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau từng đôi một được lậptừ các phần tử của Ạ.

b. Trong các số tự nhiên ờ cẩaa. có bao nhiêu số bắt đầu bởi chữ số 5.

87



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Chitong il- Hoác vi - Giinli hạp - Tổ bơĐ

Bài tập 12: Có bao nhiêu số từ 100 đến 999 gồm 3 chữ số theo thứhay giảm dần.Bài tập 13: (CĐ KTĐN-A/2000): Có bao nhiêu số gồm .7 chữ sốđôi một được lập bằng cách dùng 7 chữ số 1, '2, 3,4,-5, 7,9 sao chchẵn không nằm liềĩi nhau.Bài tập 14: Cho 2 số tự nhiôn p và q khác 0. Saỏ cho tổng p+q=a nhiên đã biết. Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nliất của Pp.qhoán vị n số. .. .Bàitập 15: Người ta viết các chữ số 0, 1,. 2, 3, 4, 5 lên các tấin phsấp xếp Ibứ tự ngẫu nhiên tíìành một hàng.

a, Có bao nhiêu số lè gồm 6 chữ số được sắp thành. b. Có bao nhiêu số chẵn gổm 6 chữ số được sắp thành.

Bài tập 16: Có. bao nhiêu số tự nhiên khác nhau có 4 chữ số, nhỏđược tạo thành từ 5 chữ số 0 ,1 ,2 , 3,4.Bàỉ tập 17: Từ Các chữ số 1, 3, 4, 7 người ta thành lập số n. Hỏi tấ

n, nếu:a. n gổin 3 chữ số không cần khác nhau. b. n gồm 3 chữ số khác nhau.c. n là một số thuộc klioảng (100,400).

Bài tập 18: (ĐHSP Vinh-99): Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7. T[rên có-thể lập được bao nhiêu số, mỗi số gổm 4 chữ số đôi một kkhông chí á hết cho .Bài tập 19: (CĐSP HN-99): Có 5 miếng bìa ghi một trong năm chữ3 4. Lấy 3 miểhg bìa từ 5 miếng P Y đạt lần lượt cạnh nhau từ trái được các số gồm 3 chữ số. Hỏi có bao nhiêu số có nghĩa gồm 3 chđó có bao nhiêu số chẵn.Bài tập 20: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số chịa hết cho 4 cliữ số 1,2, 3, 4 , 5 trong 2 trường họp sau:

a.. Các chữ sốcó ỉbê trùng nhau, b Các chữ số khác nliàụ.

Bài tập 21: (ĐHLN-99): Cho các số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Hổi có thể lậnhiêu số có 3 chữ sô'không chia hết cho 3 mà các chữ trong mỗinhau. .Bài tập 22; Tim tất cả các số có 4 chữ số cô thể lập được từ 4 chữ số 1, 5

Bài tập 23: Có bao nhiêu số tự nhiên gổm 5 chữ số mà các chữ số 4 và đôi một khác nhau. Hẩy tính tổng của tất cả cáe số tự nhiên nóBài tập 24: Với 5 chữ sệ 1,2, 3,4 ,5 ta có thè lập được bao nhiêú số gỉchác nhau.Bài tập 25: Tír các chữ số 1,2, 3 ,4, 5 ,6 ,7 , 8,9, ta lập tất cằ cá số gổmSỐ khác nhau.

a. Cố bao nhiêu số được lập thành. b. Trong đó có bao nhiêu số chia bết cho 5.c. Cổ bão nhiêu số chẵn.



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Bài tập 26: (ĐH Huế-D/2000): Cho các chữ số 0, 1,2, 3, 4. 5. tờ các chữ sốđã cho tà ỉập được:

a. Bao nliiêu số chẵn có 4 chữ số và 4 chữ số đó Idiác nhau từng đôi một. b. Bao nhiêu số chia hết cho 5, có 3 chữ số và 4 chữ số đó khác nhau từn

đôi một.c. Bao nhiêu số cilia hết cho 9, có 3 chữ số và 4 chữ số dó khác, nhau từng

đôi một.Bài tập 27: (ĐH CầnTliơ-D/2000): Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ta lập cácsố mà mỗi số có 5 chữ số trong đó các chữ số khác nhau từng đôi một- Hỏi:

a. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt chữ số 2. b. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt 2 chữ số 1 và 6.

Bài tập 28: (HVCSND-G/2000): t ó bao nliièu số lẻ gồm 6 chữ số, chia hếcho 9. •Bài tập 29: (ĐHQG TPHCM-A/200Ọ):

a. Có bao nhiêu số chẩn cổ 6 chữ số khác nhau đỏi một trong đó chữ sốđầu tim là chữ số ỉẻ.

b. Có t>aò nỉiiêu số chắn cổ 6 chữ số khác nhau đôi một ưong đó có đúng3 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn.Bài tập 30: Cho tập hợp §={ 1; 2, 4, 6, 8} . Có bao nhiêu số lẻ gồm 3 CỈỮsốkhác nhau đôi'một, trong đó mỗi chữ số lấy từ s.Bài tập 31: Cho tập hợp s={2, 3, 4, 5, 6, 8} - 05 bao nhiêu số n gổm 3 chữ sốkhác nhau đôi một, ỉấy từ s thoả rmãn diều kiện sau:

a. Không có diều kiện gì thêm. b. n phải là số chẩn.

,Bài tập 32: Từ các số 0, 1,2, 3, 4, 5, 6. Có thể lập thành bao nhiêu số tự nhiêcó 5 chữ số khác nhau và trong đó có chữ số 4.Bài tập 33: Cho 7 chữ số 1,2, 3,4, 5,6, 7.

a. Có bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau dược viết từ các chữ số đãcho.

b. Trong các số dó có bao nhiêu số luôn eó mặt chữ số 4.c. Trong các số đó có bao nhiêu số luôn có mặt chữ số 4 và chữ số hàng

ngàn iuôn là chữ số 1.Bài tập 34: Xét cầc số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, lập nên từ các chữ s1, 2, 3,4, 5. Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số.

a. Bát đầu bởi chữ số 5. b. Không bắt đầu bởi chữ số 1.

c. Bắt đầu bởi 23.d. Không bắt đầu bởi 345.Bài tập 35: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khấc nhau.Bài tạp 36: (ĐHLN-97): Chơ các chữ số 0, 2, 4, 5, 6, 8,9.

a. Hỏi có thể lập thành bao nhiêu chữ số có 3 chữ số mà trong mỗi số cáchữ số khác nhau.

b. Hỏi có thể lập thànli bao nhiêu chữ số có 4 chữ số khác nhau mà trongđó nhất thiết phải có chữ số 5.

89



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





: «ft II: Hoán vi - Chilli! hap - Tò hem

Bài tập 37: Người ta viết các số có 6 chữ số bằng các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 nsau: Trong mỗi số được viết có mội chữ số xuất hiện hai lần, còn các số clại xúất hiện một lần. Hỏi có bao nhiêu số như vậy.Bài tạp 38: (CĐGTVT-99): Từ sáu chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được banhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chia hết cho 5.Bài tập 39: Có bao nhiêu số có 7 chữ số được viết bởi duy nliất ba chữ số 13 trong đó chữ số 2 xuất hiện 2lần.Bài tập 40: Có bao nhỉêu số khác nhau có 7 chữ số mà tổng các chữ số Là chẩn.Bài tập 41: Với các chữ số 0, 1, 3, 6, 9 có thể lập được bao nhiêu số, mỗi gồm 4 chữ số lchác nhau. Trong đổ có bao nhiêu số cliẩn ? Có bao nhiêu chia hết cho 3 ?Bài tập 42: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 ta có thể lập được bạò nhiêu số gồmchữ số. Trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số có mặt đúng một iần.Bài tập 43: (ĐHQG TPHCM-D/2000): Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồtrắng và 4 bông hổng đo. Người ta chọn ra một bó hoa gồm 7 bông.

a. Có bao nhiêu cách chọn một bó hoa trong đó có đúng i bông hổng đ b. Có bao nhiêu cách chọn một bó hoa trong đó cộ ít nhất 3 bòrig hồn

vàng vằ ít nhất 3 bông hồng đỏ.Bài tập44: (HVQS-2000): Một íớp có 20 em học sinh rong đố có 14 nam v6 nũ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một đội gổm 4 em học sinh trong đó có:

a. SỔ nam và số nữ bằng nhau. b. CÓ ít nhất 1 nữ.

Bài tập 45: Có 12 người gỗni 10 nani và 2 nữ.a. Có bao nhiêu cách chọn 1 tổ gồm 8 người từ 12 người đó sao cho có

nhất 1 nữ. b. Có bao nhiêu cách chọn 1 tổ gồm 8 người nam.Bài tập 46: Một cuộc khiêu vũ cổ 10 nam và 6 nữ. Người tạ chọn có thứ tựnam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.Bài tập 47: Mọt lớp học tò 25 em học sinh. Họ muốn chọn ra một lớp ĩrưởnmột lớp phó và một thủ quỹ mà không cần kiêm nhiệm. Hỏì có bao nhiêu cáchọn.Bài tập 48: Một nlióm học sinh gồm 10 nam, 6 nữ. .Chọn một tổ gồm 8 ngưCó bao nhiêu cách chọn để được nhiều nhất 5 nữ.Bài tập 49: Một lớp học có 40 ỈỌC sinh gồm 25 nam, 15 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 4 họe sinh sao cho:a. Số học sinh nam hoặc nữ ỉà tuỳ ý-

b. Phải có 2 nam 2 nữ. .c.. Phải có ít nhất 1 nữ.

Bài tập 50: Một lớp học có 40 học .sinh, cần cử ra 1 ban cán sự lớp gồm 1 ltrưởng, ỉ lóp phó và 3 uỷ viên. Hỏi có mấy cách lập ra ban cán sự.Bài tập 51: Một tổ gổn. nam và 6 nữ. Cần lấy 1 nhóm 5 người trong đó có 2nữ. Hỏi có bao nhiệú cách chọn.



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Bài tập 52: Một lớp có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Giáo viên chủnhiệm muốn chọn 4 em vào ban trật tự. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu: •

a. Phải cỏ Ị nam vă 3 nữ. b. Có ít nhất 1 nam.

Bài tập 53: Trong 1 buổi học bơi có 20 em học sinh trong đó có 4 em biết boi.Thầy giáo thể dục muốn chia thành 2 nhổm, mồi nhóm có 10 em trong đó có 2em biết bơi. Tim xem có bao nhiẻu cách chìa nhỏm như trên.Bài tập 54: Cần phải chia một lớp học gồm 40 học sinh thành 4 tổ, mỗi tổ có10 người. Hỏi có bao nhiêu cách chia tổ.Bài tập 55: Một tổ có 7 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Thầy chủ nhiệm chọnmột nliórn 6 học sinh để dự 'thi nấu cơm sao cho trong nhóm có không ít hơn 2nữ. Hỏi thầy chủ nhiệm có bào nhiêu cách chọn.Bài tập 56: Một nhóm học sinh gồm 4 trai và 3 gái. Chon ra 3 trong đó có ítnhất 1 trai, 1gái. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.Bài tập ,57: Ông X eó. 7 người bạn, muốn mời 4 người đến dự tiệc, có2 ngườighét nhau không muốn dự tiệc cùng. Hỏi ỏng X có bao nhiêu cách mòi.

Bài tập 58: Ông X có 11 người bạn, muốn mời 5 người đến dự tiệc, trorig đó•CỚ ruột cặp vợ chồng hoặc cùng được mời, hoặc không cùng được mời. Hỏiông X có bao nhiêu cách mời.Bài tập 59: Một đội vãn nghệ gồm ìo học sinh nam và 10 học sinh nữ. Cô,giáo muốn chọn ra một tốp ca gồm 5 em, trong đó có ít nhất 2 nam và ít nhất 2nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.Bài tập 60: Một trường tiểu học có 50 em học sinh đạt danh hiệu học sinh tiênliến, trong đócó 4 cặp anh em sinh đôi. Cần chọn nhóm 3 em trong số 50 emtrẽn đi dự. trại cấp thanh phố. Sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinhđôi nào? Hỏi có bao nhiêu cách chọn.

Bài tạp 61: Một lớp học có 50 học sinli, mỗi. ngày có 3 người, trực nhật lớp.Chứng minh rang không thể xếp được lịch trực để hai người bất kì chỉ trựccùng nhau 1 lần.Bài tập 62: Có hai giáo viẽn toản và 10 giao viên sử. Hỏi có bao nhiêu cáchlập Ị ban công tác gồm 8 nguời mà trong đổ phảicó ĩt nhất 1 giáo viên toán.Bài tấp 63: Một ban .khảo thí gồrà 9người. Mọi tài liệu củá kì thi được bầoqụản trong lủ sắt: Hỏi cần có báó nhiêu ổ khoá cho tủ sắt đó và . mỗi ổ khoácần có bao nhỉêu chìa khoá và chìa số chìa khọá này cho các thành viên ban

khảo thí sao cho đani bảõ nguyên tắc: Tử chỉ được mở khỉcó ít nhất — số■ ■ ' •• 3

thành, viên trênBài tập 64: (HVNH TPHCM-200Ó): Xét các biển số xe là dãy gồm 2 chữ cáiđứng, trước và 4 chữ số đứng sau. Gác chữ cái được lấy từ 26 chữ cái A, B,z. Các chữ số được lấy từ 10 chữ số 0,1 ,2 ,..., 9.

- a. Có bao nhiêu biển số xe trong đó cố ít nhất một chữ cái khác chữ cấi ovà các chữ số đôi một khác nhau,

b. Có bao nhiêu biển số xe có hai chữ cái kliáC/nhau đổng thời có đúnghai chữ số iê và hai chữ sọ lả đó giống nhau.

91



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





rong II: Hoán vi - Chình hon - Tổ hop

Bài tập 65: (ĐHQG TPHCM-D/99): Một bọc sinh có 12 cuốn sáckhác nhau. Trong đó có 2 cuốn sách mòn toán, 4 cuốn môn vãn, 6anh vãn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả cá cuốn sách đó lên kệ dcuốn sách riặy được xếp kề nhau, những cúốn có cùng mồn học đnhau.Bài tập 66 : Có bao nhiêu số tợ nhiên có 7 chữ số, chỉ tạo bởi các 3 với điều kiện chữ số 2 xuất hiện 2 lần trong mỗi số.Bài tập 67: Một tàú điện có 3-toa dừng tại một ga. Ở sân ga có 1tàu. Hoi khi tàu đến cớ mấy cách lên tàu của 15 hàng khacli đó, sđầu có 6 người, toa tliứ hai có 7 người.Bài tập 68: Người ta lập tất cả tích số của 2 số nguyên từ ] đến 1 bao niíiêutích số là bội của 3.Bài tập 69: Trong 3 lần chọn ngẫu nhiên 3 chữ số thì có mấy trườn

a. Có hai lần Lập lại. b. Có 1 lần lập lại.c. Không có lần nào lập lại.

Bài tập 70: Có bao nhiêu cách gói lOOOOđ bằng xấp giấy bạc gồm200-1000, 2000 và 5000 đổng.Bài tập 71: (HVNH-D/2000): Trong một mặt phậng cho đa giác đcạnh. Xét tam giác có 3 đỉnh được Ịấy từ các đỉnh của H.

a. Có tất cả bao nhiêu ỉani giác như vậy? Có bao nhiêu tam giá2 cạnh là cạnh của H.

b. Có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của H? Cótam giác không có cạnh nào là cạnh của H.

Bài tập 72: (ĐHQG TPHCM-A/2000): Một thầy giáo có 12 cuộmột khác nhau, trong đó có 5 cuốn sách văn học, 4 cuốn sách âmcuốn sách hội hoạ. Ông muốn lấy ra 6 cuốn đem tặng chò 6 học sD, E, F mỗi em một cuốn.

a. Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các ẹm học sinh trên nsách tliuộc hai thể loại văn học và âm nhạc. Hỏi có tấí cả cách tàng.

b. Giả sử thầỵ giáo muôn rằng sau khi tặng sách xòng, mỗi ruthể loại vãn học, âm nhạc và hội hoạ đều còn lại ít nhất i cu bao nhiêu cách tặng.

Bài tập 73: Một hội nghị bàri tròn có phái đoàn các nước Việt NaLào 5 người, Campuchia 2 người, Thái'Lan 3 người, Trung Quốc 4 có bao nhiêu cách xếp chỗ cho mọi thành viên sao cho người cùntill ngồi cạnh nhau.Bài tập 74:Mộĩ cặp vợ chồng mời 2n người bạn đự tiệc. Hỏi cócách xếp đặt, chỗ ngồi trên bàn tròn sao cho chổng luôn luôn ngòidiện với vạ Áp đụng= .Bài táp 75: Tìm hoán vị của 7 em học sinh, biết rằng cổ 3 học sindinh dứng cạnh nhau.Bài tập 76: Một tổng đài có 106 số điện thoại có 6 chữ số. Hỏi có bdiện thoại có chữ số khác nhau.Bai tập 77: (ĐHQG TPHCM-98):



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





a. Từ 12 em học sinh ưu tú của một trường trung học, người ta muốnchọn ra 1 đoàn đại biểu có 5 người (gổm trưởng đoàn, thư kí và 3 thànhviên) đi dự trại hè quốc tế. Hỏi có bao nhiêu cách chọn đoàn đại biểunói trên.

b. Xét dãy số gồm 7 chừ số ,được chọn ĩrong các số 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9, thoả mãn các tính chất sau:■ Chữ số ở vị trí thứ 3 là một số chẩn.■ Chữ số cuộ'i cùng không chia hết cho 5.■ Các chữ số ở những .vị-trí thứ 4?5, 6 đôi một khác nhau.Hỏi tất cả có bao nhiêu day số như vây. ,

Bài tập 78; Cho 10 câu hỏi trong đó cổ 4 câu lý ỉhuyết và 6 câu bài tập. Ngườita cần cấu tạo thành một đề thi từ các câu hỏi đó. Biết rằng đề thi phải có 1câulý thuyết và 1 câu bài tập. Hỏi có bao nhiêu khả năng cấu tạo đề thi.Bai tập 79:10 học sinh còng ngồi trên một hàng ghế dài, chơi trò đổi chỗ.Chorằng 1 lần dổi chỗ mất hết 1 phút. Hỏi thời gian họ đổi chồ hết cho nliaulà bao nhiêu.

Bầi tập 80: (ĐH Vãn Lang-A/99): Một người muốn chọn 6 bông hoa từ 3 bóhoa để cắm và lọ. Bó thứ nhất có 10 bồng hổng, boa thứ hai có 6 bồng tlìUựcđược và bó thứ ba có 4 bông cúc.

‘a. Hỏí người đó có bao nhiêu cách chọn, b. Nêu người đó muốn chọn đúng 2 bông hoa hồng , 2 bông hoa thược

dược và 2 bông hoa cúc thì người đó có bao nhiêu cách chọn.Bài tập 81: Bốn tác giả soạn chung í cuốn sách có 17 chương. Người thứ nhấtvà người thứ ba phải soạn 5 chương. Người thứ hai phải soạn 4 cương và ngưừithứ tư phải soạn 3 chương. Hỏi có bao nhiêu cách để chia cuốn sách cho 4soạn giả.

Bài tập 82: Một ò tô có 4 chỗ ngồi. Có bao nhiêu cách xếp chỗ cho 4 ngườitrong đó có 2 tài xể.Bài tập 83: Có 12 chiếc bánh ngọt khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếpchúng vào 6 hộp giống nhau. Mỗi hộp có 2. chiếc bánh.Bài tạp 84: Ba bạn A, B, C cùng đến nhà bạn D mượn sách. Bạn D có 9 quyểnsácli khác nhau, trong đó có 1 quyển tiểu thuyết. Ban A muón mượn 2 quyển.trong đó có I quyển tiểu thuyết. Rin B mượn 2 quyển và bạn c mứợn 3 quyển.Hỏi.bạn D có bao nhiêu cáđi cho mượn.Bài tập 85: (DHL HN-99): Một đoàn tàu có 3 íoa chở khách. Toa I, II, III.Trên sân ga có 4 hành khách chuẩn bị lên tàu. Biết mỗi loa có ít nhất 4 chỗ.Hỏi:

a. Có bao nhiêu cách xếp cho 4 vị khách lên 3 toa. b. Cổ bao nhiêu cách xếp cho 4 vị khách lên tàu để có i toa có 3 trong 4

vị khách nói trẽn.Bài tập 86: Trong một toa tàu có 2 ghế xa-ỉông đối mặt nhau, mỏi ghế có 4chỗ ngồi. Trong số 8 hành khách thì 3 người muốn ngồi nhìn theo hướng tàuchạy, còn 2 ngudi thì muốn ngồi ngược lại. Hỏi có bạo nhiêu cách xếp cho họmà thoả mãn dược yêu cầu của khách.Bài tập 87: Tìm số cách phân phối n vật giống vào k ỉiặp.

93



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Chưang II: Hoàn vi - Giìnli hợp - Tổ hoo

Bài tập 88: (ĐHQG TPHCM-A/99): Một bàn dài có 2 dãy ghế đốì diện nhamỗi dãy gổm 6 ghế. Người ta muốn xếp'chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A vhọc sính trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong m ĩrường hợp sau:

a. Bất cứ 2 'học sinh nào ngổi gẩn nhau hoặc đối diệri nhau till khtrường với nhau. ’

b. Bất cứ 2 hộc sinh nào ngồi đối diện nhau till khác trường với nhau.Bài tập 89: (ĐHQG TPHCM - B/99): Một bàn đài có 2 dây ghế đối diện nhmỗi dâv gổm 4 ghế. Người ta muốn xếp chõ ngồi cho 4 học sinh trườgn A vhọc sinh trường B nói trên. Hỏi CÓbao nhiêu cách xêp trong mội trường hnói trên.

a. Bất cứ 2 học sinh nào ngổi cạnh nhau hoậc đối diện nhau cùng khátrường với nhau.

b. Bất cứ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau.Bài tập 90: (ĐH HH TPHCM-99): Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn A, B, D, E vào ngồi một ghế dài sao cho:

a. Bạn c ngổi chính giũa. b. Hai bạn A và E Bgồi ở hai dầu ghế.Bài tập 91: (ĐH Cẩn Thơ-B/99); Trong một phong học có 2 bàn dài, mỗi bcó 5 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 em học sinh gồm 5 nam v5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cáp xếp nếu:

a.. Các học sinh ngồi tuỳ ý. b. Các học sinh nam ngồi một bàn và các học sinh nữ ngoi một bàn.

Bài tập 92: Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu thứ tự từ 1 đến 5 cạnh nhaua. Có bao nhiêu cách xếp để các lá phiếu số chẩn luôn ơ cạnh nhau.

b. Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành 2 nhóm chẵn lẻ riê biệt.Bài tập 93: Cho 2 đường thẳng song sòng. Trênđường thẳngtỉíứ nhấL có 10điểm. Trên đường thẳng thứ 2 có 20 điểm. Có baonhiêu tam giác tạo bởi cácđiểm đã cho.Bài tập 94: Có bao nhiêu cách xếp đặt Khởi nghĩa vật liệu khác nhau thànhnhóm. Mỗí nhóm có n vật. 1Bài tập 95: (Trường hàng không Việt Nam-2000): Một người C6 12 cây giốgổm 3 loại là xoài, mít, ổi. Trong đó có 6 cây xoài, 4 cây mít và 2 cây ổ Ncười đó muốn .chọn ra 6 cây giống để Irồng sau nhà.

a. Có bao nhiêu cách chọn, sao cho mỗi loai có đúng 2 cây. b. Có bao nhiêu cácli chọn sao cho mỗi loai có ít nhất 1 cây.

Bài tập 96: (ĐHQG HN-97): Có 10000 chìểc vé sổ xố được đánh dấu 00000 đến 99999. Hỏỉ các vé gồm 5 chữ số khác nhau là bao nhiêu.Bài tập 97: Có baọ nhiêu biển đãng kí khác nhau, nếu mỗi biển đãng kí gồ3 chữ số trong các chữ số 0, 1,2., 3, 4; 5, 6,7, 7, 8,9-Bài tập 98:05 bao nhiêu cách xếp đặt 3 người Pháp, 2 người Nga ngồi trmột ghế dài sao cho người cùng quốc tịch ngồi gần nhau.

04



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Bài tập 99: Có 10 chữ cái khác nhau. Hãv cho biết:a. Có thể lập được bao nhieu chữ có 5 chữ cái. b. Có thể lập được bao nhiêu chữ cái có 5 chữ cái khác nhau.

Bàỉ tập 100: 03 mấy cách phân phối 15 phần thưởng cho 3 học sinh, sao cho.học sinh thớ nhất có 2 phần thưởng, học sinh thứ hai có 3 phần thưởng và họcsinh thứ ba có 10 phần thưởng.

Bài tập 101: (ĐH Huế-A/99): Một hôp dựng 4 viên,bi đỏ, 5.viên bi trắng và6 viên bi vàng. Người tạ chọn ra 4 viên bi từ hộp dó. Hỏi có bao nhiêu cáchchọn để trong số bi lấy ra khỏng có đủ ba màu.Bài tập 102: Một tổ sv có 20 em, trong đó 'CÓ8 enì biết tiẽhg Anh, 7 em biếttiếng Pháp, 5 em biết tiếng Đức. Cần lập một nLóm đi thực tế gồm 3 em biếttiếng Anh, 4 em biết tiếng Pháp, 2 em biết tiếng Đức. Hỏi có bao nhiêu cáchỉập nlìóm đi thực tế từ 20 sinh viên đóBài tập 103; Cho tam giác ABC, xét tập 4 đường thẳng song song với AB, 5đường thẳng song song với BC và 6 đường thẳng song song với CÀ. Hỏi cácđường thẳng này tạo được bao nhiêu tàm giác, bao nhiêu hình thang (không kể

các hình bình hành) vởi diều kiện không có 3 dường nàó của họ đường tlìẳngdồng .quy.Bài tập 104:. Mội học. sinh ohảị thi 4 IÌỘLÌ írong 10 ngày (mỗi ngày chỉ thi ỉmôn). Hỏi có mấy cách lập chương trìnỉi tỉii.Bài tập 105: Có bao nhiêu số lự nhiêu nhỏ hơn 10p mà tone,các chữ số bằn ti3.Bài tập 106: Cố bao nhiêu số tự nhicn gồm 4 chữ số khách nhau mà tổng.củacác chữ số của mỗi số bằng 12.'Bài tập 107: Có bao nhiêu cách chia 3 thầy £iáo dạy toán vào dạy 6 lớp 12.mỗi thầy dạy đúng 2 lớp.Bài tập 108: Phải chia nhóm đu khách n người'thánh 2 nhóm, nhóm thamquan lăng Minh Mạng và nhóm tham quan chùa Linh Mụ. Hỏi có bao nhiêucách chia,Bài tập 109: Có bao nhiêu cách phân phát 10 giải thườngaiống nhau .cho 6học sinh sao cho mồi học sinh có ít nliất 1 phần thưởng.Bài tập 110: Cho đa giác lồi n cạnh.

a. Tìm số đường chéo của da giác này. b. Thii số tam giác có đĩnh là đỉnh của R-giác.c. Tìm số giao diểm của các đường chéo. Biếi rằng khổng cố 3 đưừne

chéo nào đồng quy.Bài tập 111 ĩ Cho x= {a, b, c, d, e}. Hãy lập tất cả các Xập hợp con của X ĩhoảmãn:

a. Chứa phần tỏ a. b. Không chứa phần tử a. Có bao nhiêu lập con thu được trong mỗi tập

đó.Bài tập 112: Xếp 3 quýển sách văn, 4 sách sử, 2 sách địa và 5 sách công dânvào một kệ ỉheo từng môn. Hỏi có bao nhiều cách xếp.

95



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Chươũ II: Hoán vi - Chình liqp - Tổ hơn

Bài tập 113: Cho n-giác lổi. Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnhgiác? Trong đó có bao nhiêu tam giác có cạnh không phải là cạnh của Bài tập 114: Để-viêt số đăng kí xe hời, người ta dùng 3 chữ (30 chữ đùng) và mởĩ số có 4 chữ số (10 chữ sộ được dùng). Hỏi số'tối đa xe hđãng kí cho biết không có hai xe hơi nàò có số đăng kí trùng nliau.Bài tập 115: Có bao nhiêu số điện thoại có 6 chữ số. Trong đó có ba

số có .6 chữ số khác nhau.Bài tập 116: Có bao nhiêu cách phát 10 phần thưởng giống nhau chsinh sao cho mõi người có ít nhất 1 phần thưởng. -Bài tập 117: Một hội nghị y khoa có 40 bác sĩ tham dự. Người ta mmột nhóm bác sĩ thực hành một ca phẫu thuật để mmh họa. Hỏi có bacách lập một nhóm có:

a. Một bác sĩ chính và 1 phụ tá. b. Một bác sĩ chính và 4 phụ tá.

Bài tập 118: (CĐHQ-2Ọ00): Một tổ học sinh gồm 7 nam và 4 nữ. Gmuốn chọn ra 3 học sinh xếp bàn ghế của lớp, trong đỏ có ít nhất 1 ncó bao nhiêu cách chọn.Bài tập 119: Có 6 học sinh được xếp ngồi vào 6 chỗ đã dược ghi strên một băn dài.

a.Tìm số cách sắp xếp ố học sinh này ngồi vào bàn. b.Tìm số cách xếp 6 học sinh hày sao cho 2 học sinh A và B khô

cạnh nhau.Bài tập 120: Một lớp học có 30 học sinh nam vặ 15 học sinh nữ. Csinh dược chọn ra để .lập 1 -tốp ca. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.

a. Nếu phải có ít nhất là 2 nữ.

b. Nếu phải chọn tuỳ ý.Bài tập 121: (ĐH Y HN-2000): Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán nhà vật lý nam. Lập một đoàn công ĩác 3 người có cả nam và nữ, cần ctoán bọc và nhà vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách.Bài tập 122: (ĐH Thái Nguyên-A/2000): Một đội vân nghệ có 20trong đó có 10 nam, 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao

a. Có đúng 2 nam trong 5 người đó. b. Có ít nhất 2.nam và íĩ nhất 1 nữ trong 5 người đó.

Bài tập 123: (ĐH Tlìái Nguyên-Đ/2000): Từ 3 chữ số 2, 3, 4 có ỉhểdược bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong đó có mặt đủ cả 3 chữBài tập 124: (ĐH Thái Nguyên-G/2000): Có bao nhiêu số gồm .5 chữcho tổna; các chữ số của mỗi số là một số lè.Bài tập 125: (ĐH Cẩn nìơ-A/2000): Có 9 viên bi xanh, 6 đỏ, 4 vàngThước đôi một khác nhau.

a. Cổ bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi trong đố có đúng 2 viên bib. Có bao nhiêu cách chọn ra vién bi trong dó Số bi xanh bằng số bi đ

96



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Bài tập 126: (ĐHĐL-D/2000): Có 5 thẻ trắng và 5 thẻ đen, đánh dấu mỗỉoại theo các số 1, 2, 3, 4, 5. Có bao nhiêu cách xếp tất cả các thẻ này thànhmột hàng sao cho hai thẻ cùng màu không nằmg liền nhau.Bài tập 127: (ĐHSP HN 2-A/2000): Có thể lập được bao nhiêu số gốm 8 chsố từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, trong đó các chữ số 1 và 6 đều có mạt mổí iầncòn các chữ số khác có mặt 2 lần.

® Bài tặp 128: (ĐHSP Vinh-2000): Có bao nhiêu số kMc nhau gồm 7 chữ sốsao cho tổng các chữ số củá mỗi sô'ỉà mộí số chẵn.Bài tập 129: (ĐHSP. Vinh-2000): Tìm tất cả các số tự nhiên có đúng5 chữ sốsao cho trong mồi số đó chữ số đứng sau lớn hữa chữ số đứng liền trước.Bài tập 130; (HVKTQS-2000): Một đồn cảnh sát khu vựủ có 9 ngưdi. Trongngày cần cử 3 người íàm nhiệm vụở địa điểm A, 2 người ở địa diểm B, còn 4ngườiở đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân công.B à ỉỉậpl31: (ĐHGTVT-2000): Một lớp học có 20 học sinh, trong đổ có 2cán bô lớp. Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 người đi dự hội nghi hội sinh viên củatrường são cho trong 3 người đó có ít nhất một cán bộ lớp.Bài tập 132: (HVQY-2000): Xếp 3 bì đỏ có bán kính khác nhau và 3 bi xanhgiống nhau vào một dãy 7 ô trống.

a. Hỏi có bao nhiêu cách xếp khác nhau. b. Hỏi có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho 3 bi đỏ xếp cạnh lìhau và

3 bi xanh .xếp cạnh nhau.Bài tập 133: Từ một íập thể 8 người gồm 5 nam và 3 nữ. Hỏi có nao nhiêucách chọn một tổ công tác gồm 4 người tlioả mãn điều kiện, trong mỗi ?rườnhợp sau:

a. Không có diều kiên gì thêm.

b. Tổ chỉ gồm 4 nam.c. Tổ gồm 2 nam, 2 nữ.Bài tập 134: Có 6 học sinh được xếp ngồi vào 6 chỗ dã dược ỉỉhi sô 'thứ íựưên một bàn dài.

a. Tìm số cách xếp 6 học sinh này ngổi vào bàn. b. ĩìm số cách xếp 6 học sình này sao cho 2 học sinh A và B kiiỏnii dược

ngồi cạnh nhau.Bài tập 135: (ĐHQG TPHCM-A/2001):

a. Có bao nhiêu số gồm chữ số đôi một khác nhau, trongỔ6 cổ ỉìựit diữ số 0 nhưng khồng có mặt chữ số 1.

b. Có bao nhiêu số gổra 7 chữ số, trong đó chữ số 2 có mạt đúng 2 lẩn,chữ số. 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt khôn a quá íiìộỉiần.

lĩỉiỉ íâp 136: (ĐHCT-2001): Một nhóm gồm 10 học sinh trong dó 7 nam và 3nừ. nỏi có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh trên thành một hàng đọc sao CỈÌO7bọc sinh nam phải đứng liền nhau.lỉài tập 137: (ĐH Huế-D/2001): Một nhóm học sinh gồm 7 iiam và 6 nữ.llìàv giáo cầri chọn ra5 em tham dự lễ mít tinh lại trường với yêu cẩu có cả naitf và nữ. ĨIỎi có bao nhiêu cách chọn.

97



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





/-h.rrmp II: Hoáu vi - Chinh, hop - Tổ hop

Bài tập 138: (ĐH Huế-A/2001): Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 ohữ số saocho không có chữ số nào lặp lại đúng 4 íần.Bài tập 139: (ĐHSP TPHCM'D/2001): Cho A là một tập hợp cổ Xo phần tử:

a. 0 0 bao nhiêu tập con của A. b. Có bao nhiêu tập con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chẩn.

Bài tập 140: Một tập thể gổm 11 người gồm 6 nam và 8 nữ trong đó có Anvà Bình, hai người muốn chọn 1 tổ cônglấc gồm 6 người. Tìni số cách chọntrong mỗi trường hợp sau:

a. Trong tổ phải có cả nam và nử.b. Trong rổ cómột tổ trưởng, 5 tổ viên, hơn nữa An và Bình không đồng

thời có mặt trong tổ.Bài tập 141: (ĐHNT TPHCM-A/2001): Trên mặt phảng cho thập giác lồi.Xét tất cả các tam giác mà 3 đỉnh của nó ỉà 3 đỉnh tlíập giác. Hòi trong số lamgiác đổ có bao nhiêu tam giác rnà::ẳ 3 cạnh củanó đều không phải là cạnhcủá thập giác.Bài tập 142ĩ (HVKTQS-2001): Trong số 16 em học. sinh có 3 học sinh giỏi,5 hoc sinh khá, 8 học sinh trung bình. Có bào nhiêu cách chìa số học sinh đóthànli hai tổ, mỗi tổ 8 học sinh sao cho mỗi tổ đều cổ hộc sinh giỏi và có nhất 2 học sinh khá.Bài tập 143: Một bộ bài lú lơ khơ có 52 quân, moi chất cổ 13 quân. Gần lấyra từ bộ bài 8 quân trong đ6 có 1 quâncơ, 3 quân rô và không quá 2 quân pic.Hỏi có bao nbièu cách lấy .Bài tập 144: (ĐH khối B-2002): Cho da giác đều nội tiép đứờng tròn (O).Biết rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong 2n điểm At, An nhiều gấp 20 ỉầnsố hình chữ nhật có các đỉnh ià 4 trong 2n điểmAf. A2,. An. lìm ii.



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





CHƯƠNG III . N i n T H Ứ C N E W T O N V À ỨN G n p e

MỎ' ĐẦU

1. NHỊ THỨG NEWTON1 CỚNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON

Với mọi cập số a, b và mọi số n nguyên dứơng, ta. có:(a+b)n= c ja “+ cỊ, a ^b + cf a"'2b2+...+ c “’ ĩa ỉ f A+ c£ b* (1)

= . b \i=0

2. CÁC NHẬN XÉT VỀ CÔNG THỨC KHAI TRIỂN *

1. Số Các số hạngở bên pliải của công thức (*) bằng n+1, n là số mũ củanhị thức ở vế trái.2. Tổng các số mũ cùa a và b trong mỗi số hạng bằng n.3. Các hệ số của khai triển lần lượt là:

1*0 pl p2 1 pn

với chú ý :

c n - Cn_fc) 0<k<n.4 c k _ H - k + l C k-Ị .

o Ị. ■ n3. MỘT SỐ DẠNG ĐẶC BIỆT

3.1. Dạng 1Thay a=l & b=x vào (*), ta được:

(l+x)n=C° + C^x+cJx2+...+C*~1xn'1+C°xV- (2)

3J2. Dạng 2 ĩliay a=l & b=-x vào (*), ta được:

(l-x)“=C2-C|lX+CnX2--..+(-l)t CnXt+...+(-l)nC“xn. (3)3.3. Một số hệ thức giữa các hệ số nhị thức

Thay X=1 vào (2), ta được:c°+ ci+ c£+ ...+ c£= 2V ■ ' ■ -

Thay X=1 vào (3), ta được:c -c!,+cJ-...+(-j)’c “=.

99



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





n . CÁC VÍ DỤ MỞ ĐẨU

Ví dụ i: Thựcbiện:a, Khai triển (1+X)1CI. b, So sánh hai số (1, l)10 và 2. 7

Giảia. Ta có:

(l+x)10= c?+ c |0 x+cf0 x2+ -+ c ịg x 10,.trong khai triển đó:

■ Có 11 số hạng, do đó có 1 số ỉiạng đứng giữá, đó là số liạn® Các hệ số nhị thức đối xứng ĩitỉiau qua số hạng thứ 6 của

bằngnhatỉ.Do đó chỉ cầa íìm các hệ số' củà 6 :ìố hạng đầu của công thức

là các hệ số:cfo=l, c}o=10, cfo=45, CỈo=120, cfo=210, 0=252.

Vậy:(I+x)10- 1+10x445x2+120x3+2ỉ Đx *+252xs+210x6+

■ +12Óx7+45x s+10x

b. Từ khai triểnirẽĩi, vớí x>0, suy ra:(l+ x )10>l+10 x.

từ dó, với X=0,1, ta dược:(1,1) >2.

,Ví đụ 2: Thực hiện khaị triển:(3x-4)5. ■■ ;

Giải Ta có:

(3x-4)5=ị cị(3x)5_i.(-4Ỷ =35 c? X5- /.34 c ị XV..-45 c |• i=0 ■-

trong khai triển đó:

■ Có 6 số hạng.* Các hệ số nhị íỉiức đối xứng nhau qup. số hạng thứ 6 của bằng nliau.

Do đó chỉ cần ỉìm các hệ số của 3 số hạn;' dầu của công thức là các hệ số:

cị=l, cị=5, c ị = l O .

Vậy: ;(3x -4)s=243x5-1620x4+4320x3-5760x :+3840x -1024.

Qntopg HI: Nhi ibức Nemou và' tine dung

im



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Ví dụ 3: Tính giá trị cảa các biểu thức sau:a. S,=CỈ+CJ + C Ì-|L + C |.b. S2=C§+2Cị+22Ọf+...-i-25C .

Giảia. Ta có ngay:

Sj= cg+c ị + c J.+...+c ị =2Ó=64. ' b. Ta có:

(l+x)5= ỵ c Ỷ ý . (ỉ)i=0

Thay x=2 vầo (1), tía được:S = C?+2 c ị- f ,'22cf+...+2s c | =35=243.

Ví. dụ 4: Tíhh giá ti ị của các biểu thức sau:a. S1=2ncS+2n-2C:2+2^CỈ+...+ C“ .

b. Sỉ=2n-1cỊ1+2n-3cl+ 2a*C5a+...+Cl.Giải

Ta có:

1 (2+l)n= 2a~[ <=> i o a"J=3". ; (1)i i‐

(2-1)“- Z C l a 20-{(-l)1<=> ic ì . l^ c - lỳ =1.i=0 i=0

-<ầ*. *............... .. 'Suy ra:■ (l)+(2), la đìj;ợc:

(2;

2nC °+2n'2CỈ+2n-4CÍ+...+ C“= ^ ~ ^ . (3)

■ (l)-(2), tađurợe:

2° -1Cl n +2a-3c ị +2“'5c ị +...+ c “ = . (4)

Ví dụ 5: Tính gi: á trị của các biểu, thức sau:o _ i - lO ,-.2001 1(^1 /~t200Q , , /''•k /-i20

-2002 ^ ỉoơ á + u 2002 ^2001 + —+ ^2002 '“2002-k + --'+ ^'2002 MGiải

Ta xét:cỉ e200I-k- 2002! (2002-lc)i_ 2

20 02 2 <M 2:-k (;! ( 2 0 0 2 - k ) ! ' ( 2 0 0 1 - k ) ! k ! . ( 2 0 0 1 - k ) !

= 7^ 2 i L =2002CỈooi-k!.(200l -k)!Từ đós được vií ĩt lại dưới dạng:

S=20Ọ2(c|l001+ c ịũ01+..:+Cpi)=2002(ỉ+l)2a)1=100L220ứ'.

101



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





m . BÀI TẬP ĐỂ NGHỊBài tập 1: Tĩnh các ĩổng sau:

a. T=317C j7 -41.316CỊ7 +42.315Cr7 -43.3WC:7 ...-4 ỉ7CỈ7. b. (DHQG-1997): s= cf, +CỈ! + c?! + củ + CẸ +• cj[.

c. S=l-10C ị[J+102CỈu-105C?u4...-102ll-ỉC;“' 1+ỉ!02nd. SsCÍo + C^+C Ỉo + CĨo+CỈĨe. (ĐHAN-D/2000). S = C ^ 0 + 2 C ^ + 3 C |J0ọ+...4-2OO1CịX-

Bài tập 2: Tính các tổng sau:A° A 1 A°a. (CĐHQ-2001):s=—5-+— -+.-+—s-.0! 1! n!

b. S=Cri;+3CÌ+32CÍị+33G^+...+3nC“.c. S=C22n+C24a+C^+...+ C22l“.

d. S=/i-2C*~2Cị +27c l '2 3c l +...+(-l)”2nC“ .Bài tập 3 ỉ (ĐHBK98). Khai triển.(3x-l)16. CMR:

316C?6-315CỈ6+...+ c ỉ|=216.Bài tập 4: (ĐH khối D -2002) tìm số nguyôn đương n sao cho:

c j+ 2 C ‘ 44Cf+,..+2RC“ =240.Bài tập 5: (ĐH Đà Lạt-99): Tính hệ số của x^ỹ10trong khai'triển (xJ+xBài tập 6: (ĐHSP TPHCM-2000): Cho n là raột số nguyên dương.

a. Tình ĩích phân:

ĩ=J(l + x)ndx.

b. Tính: . ° !

s=c? + - c i + - C-+...+ —— C“.2 “ 3 ° n+1 °Bài tập 7: (ĐHNN-99): Tínlĩ tích phân:

1=Jx(l-x)19dx.0

Rút gọn iổng:s= - c%- - c ;9 + ì c ỉ9 -...+ —c ỉl - — ic Jị0 Ĩ9 3 19 4 19 192 1 19

Bài tập 8: (CĐSP TPHCM-A+B/2001) Cho f(x)=x(x+l)2ftai.a Tính f (x). b. Tính tổngs=cịm +2c l2aữl +..... Cg£J+2002 Cg£Ị

c litrơnK ilf: Ni)l flu'ci' N w to a và i'mg dung

102



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





CHŨĐẼ1SỬ DỤNG KHAI TRIENn e w t o n* 9

CHỨNG MINÌI ĐANG THỨC,BẤT ĐANG THỨC TỔ H ộp

L PHƯƠNG PHÁP

Sử đụng dạng khai triển Newton, kết họp với việc:■ Lựa chọn giá trị thực phù hợp.■ Các phép biên đổi dại số.■ Phép tính đạo hàm và tích phân.■ Phép đảnh giá cho bất đẳng thức cùng với các phương pháp chứng

minh đang thức và bất đẳng thức (ĩởn.

II.VÍ DỤ MINH HOẠ

Ví dụ Ị : Với n-là sô' nguyên đương, chứng minh rằng:1+4c l a +42c ị + ...+4n-1c“-1 +4“c ị =5".

GiảiVới mọiX, và với n là số nguyên đương ta có:

(l+x)n- cỊỊ+ cj, x+c ị x2+...+c"~‘ x1*'1* c£ x,ẫr

Tìiay x=4 vào (1), ta được:5n = 1+4 c„ +42d ị +.. .+40_1Cq’1+4° c£, đpcm.Ví dụ 2: Với n là số nguyên dương, chứng niinh rằng:

c ỉ + c ỉ+ ...= c^ c ỉ+ ...= 2 a“1,

(ỉ)

2n=c ị + c ì +c ị +...+c ị =c ũa +C* +.CỈ +...+c ị +....6= c° - cầ + Cq ..•+(-)“ c£ = Cq - c n + cẳ -...+(- l)nc£ +....

1

2

(3)

103



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Q u t o u e II I; N h i t hứ c N e v v l o a v à ứ n g d i iq g

■ (l)-(2), ta được:2“ =2( Cq + Cq +...) <=> Ci + C^+...=2a-\ (

Từ (3), (4), suy ra điều phải chúng minh.Ví dụ 3: Với n là số nguyên dương, chứng minh rằng:

. a. cị -2cl+22C“ 2nc“ =(-iy\ ':b. c; -2cị +3cl -...+(-l)MkC* +...+(-l)nlnc“ =0. ' ' -

Giải ■ •Với mọi X,. và với n là số nguyên dương .ta c6:

(l-x)“= c° - C* x+ cẳ TíV. 1 Cq xk+.. 1 ) “c° x”. . CDa. Thay X-2 vào (1), ta được:

(-l)”=cS-2CÌ+22C Ỉ 2 " C Ỉ ; đpcm. b. Lấy đạo hàm theo Xhai vế của (1), ta được:

-n(l-x)nl=- c i +2c ị x+...+n(-l)n c° xnI. (2Thay X=1 vào (2), ta được:

* 0=- Cfl +2 Cq +...+n(-l)" c “ _

o c i -2 c ỉ+3 c ỉ-,.-+ (-i r1n cs =0, đpcm.Ví dụ 4: Với n là'số nguyêi> dương, chứng minh rằng:

a. (ĐHTCKT 2000): Ca +2c ị +. +(n-l) c“_1 +n c “ n.2"'1. b. 2.1 c ỉ +3.2c ị -k..+n(n~l)c£ =n(n-l).2n-2.

c. H )rc[ c^ + (- i r i c [+1c r 1+ . ..+( - i rc 'cs=0,với r nguyên dương và r<n.

GiảiVới mọi X, và với n là số nguyên đương ta có:

(l+x)n=c2+c£ X+ x2+.„+xV

Lấy đao hàm theo X hai vế cùa (1), ta được:n i l + x T ^ C ^ l c ị x+...+(n-l) c£ _1 r t n C Ỉ X*"1. (2)

a. Thay X=1 vào (2), ta được:n.2n-1=CÌ+2C Ỉ+:..+(n-l)C“’1+nCS, đpcm.

b. Lấy đạo hàm theo X hai vế của (2), ta được:n(n-l)(l+x)n‘2=2.1 Cq+ 3 ã c ị x+...+n(n-l)c£x°-2. (3)

104



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Thay X=1 vào (3), ta được:

n(n-l).2n-2=2.1C Ỉ+3.2CỈ+...+n(n-l)C“ ,đpcm.c. Lấy đạọ hàm cấp r theoXhai vế của (1), ta được:

n(n-1). ..(n-r+1)( l+x)D'r= ẳk ( Ị- - r + l)C^xk_r. (4)k = r

Chia hai vế của (4) cho r!, ta được:

4n(n-l)...(n-r+l)(l+X)n"-= £ k f r - D - p - r +12 c ỉX k“rr! t =r r!

- Ì h T T T ĩ CĨ**"k=r r!.(k-r)!

= ẳ c [c ỉx k-r . (5)k= r

Thay x=-l vào (5), ta được:

0= Ề c tâ c - lỷ - 1o Ề c t ò - l ) k = , đpcm.t = r k = r

Ví dụ 5: Với n là số nguyên dương, chứng minh rằng:

Cq +2 Cn +...+ (n-l)Ca >(n-2)2"'1.Giải

Ta lần lượt thực hiện:■ Với mọi X, và với n ỉầ số nguyên dương ta có:

(l+x)ú=c2 + Cồx+CnX2+...+ CỊỊ"1x^+CỊỊx". (1)

ThayX=1vào (1), ta đuợc:2“=C°+ c ịl + cJ+..*+Cẵ'1+nC“ . (2)

■ Lấy đạo hàm tlieoXhai vế cùa (1), ta được:

n(I+x)nl= Cq +2c ị x+...+(n-l) c ““*xn'2+n c “ x"*1. (3)

Thay X=1 vào (3), ta được:

n ^ CÌ + a c ỉ+ . - . + í n - DC^ + n CS . ( 4 )Lấy (4)-(3), ta được:

n.2a'1-2a=", c° + Cq +.. -+(n-2) c “-1 +(n-1) c£

<=> C Ỉ+2C*+...+ (n-l)C° =(n-2)2”'1+?>{n-2)2a'1, đpcm.

105



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Ví dụ 6: Với n là số nguyên dương, chứng rhinh rằng:Cl a+4Cl+...+n2~\C°a=

=n.4°'\c ; -(n-1)415'2C^+(n-2).4n"3c l +...+(-!) c “-1

Qiifone IJI: Nhi thức Newion và ứng dime

Giải ’

a. Với mọiX, và với n ỉàsô' nguyên dương ta có:(l+x)n=cJ+C Ỉlx+Cẳx2+...+Cn“i xn'1+C“xn.

Lấy đạo hàm theoXhai vế của (1), ta được:n(l+ xr!= c i +2 Cu x+...+(n-l) CỊỊ'1x"'ỉ+nC“ xB'1.

Thay x=2 vào (2), ta được:n3“-1=C i+4C;+...+n2n l. C ".

b. Với mọiX, và với n là số nguyên dương ta có:

(x - l ) °=c ị XĐ- c i x^ + .-C -l )”c ị .Lấy đạo hàm theoXhai vế của (4), ta được:

n (x - ir 1=nC£x"'t-(n-l)CixD-2+ ...+ (- ir iC“-1.Thay x=4 vào (5), ta được:

n.3B-1=n.4“-1. c J -(n-l).4a'2C* +(n-2).4n c ị +...+(-1 ) n'1.C l ' 1.Từ (3) và (6), suy ra điều cần chứng minh.

Ví dụ 7: Với n là số nguyên dương, chứng minh Tằng:

pl pk pD 'Ịii+la. (ĐHGTVT 2000): +11 1+1 ,1 +2 1+k 1+a 1+a

1

2

(3)

(4)

(5)

6

-1

c* c2V' f\ v_*r c nv-'rt b. + ...+(-1 )".-^ = '- L-u 1+1 1+2 ỉ+n I + nGiải

Với mọiX, và với n là số nguyên dương ta có:

(l+x)n= i c £ x k .k=0

Lấy tích phân theoXhai vế của (1), ta được:

(ì )

Ị(l + x)“dx = J ỵc ịxk « .0 Ok=0 n + 1

. = ẳ c ỉ ____ 0 Ào .“ k + i

<=>(I+t)a+1- ĩ = £ tk+1c rfcn + ỉ (-)

106



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





a. Thaý t=l vào (2), ta được:^n+l _ 1 n p t

— “ ẳ - ~ r >đpcm.1+ữ fc-ok+1

b. Thay t=-l vào (2), ta được:

T a c_nfc+Ick “ í-ỉìfcck n + 1 k=6 • k+t j ' a+1 k=0 ív +,1- "Ví dụ 8: Với n, k ià số nguyên đươììg và l<k<n, chứng minh rằng:

c ỉ c ỉ - c i c ỉ ; ỉ+ c ỉ c ỉ: |- .. .+ ( -i) tc ỉ c s k=.

GiaiVớimọi X, và vởi k là số nguyên dương ta có:

(1+x)1 c ĩ + c í x+ c Ị x2+...+c ị xk

o c l ( Ị + x f = c ị C*+ c ị c l x+c ị C * x2+...+c ị cỊ; x \ (1)Ta có:

c ? . c ĩ = k! k! _ ũ! (a-m )!m!(k-m)! u!(n -k)! m!(n-m)! (k-m)!(n-k)!

_ jnfll pk—m

Dođó ( ) có dạng:

c ỉ(i+x)‘= c ỉc ỉ+ c ! 1-.c ỉ:;x + c ỉc ỉ;fx í+.. .+c ĩc5-kxt. (2)Thay X--I vào (2), ta được:

=c£ c ỉ -c j c* : |+c ỉ c £ f -.Ị .+ (-iyc ì eg -1 ,dpcra.

Ví đụ 9: Chứng minh rằng với các số m, n, p nguyên, dương sao cho p<nvà p<m ta có:

nP ~cũ pp 4-P1 pp_l4- -t-pp-1 p 1 , pp pO ' - 'n+m — ' 'a v-m ' ~ A~n '“ in •

GiảiVới mọi X, và vởi n; m là số nguyên dương ta có:

(l+x)n+“=(l+x)n. (l+x)m. . . . ; (1)Mật khác:

. (l+x)n+m= “i f c s +mxp . • (2)p= 0

(i+x)n.(i+xr=ic * x k . I c* x k= ttzm[<z c t c ^ k)xP}.k=0 k=0 p=0 k=0

(3 )

107



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Chircmg IĨI: Nhi thức Newton và õng đùné

Do (1) nên các hệ số của xp, p= 0,n +m trong các khai triển (2) & (3nhau. Vậy:

C ỉ+J»= i c i e r * , đpcm.k=0

Nhận xét quart trofig :1. Với p=n=m/ía được:

(c J )J+(Ci)2+...+(C»)i=G^.2. Với p=r, N=n+m, ta được:

Cr _ ^ 0 r * ĩ , p i p f - l , , p r “ l p i I p o N Vn - u i ^N -m ^ N “- rn’ ^ N —m ^ a i ’

3. Bạn đọc hãy lấy ý tường trong ví dụ trên áp dụng vối khai triển (l-xđó chứng rninli rằng:

(c ịn )J- ( c £ )2+...+( c | ỉ M -)"c ịa .Ví dụ 10: 11011 tích phân:

2 . . .I=J(l-x)ndx.

0

Từ đó chóng minh rằng:

2Cy -22—C* +23— c ị +...+ M !- 2 u+1C“= ^ [ l + ( - l ) n].“ 2 n 3 + :n+:i

Giải• Ta có: -

1= j ( Ị x ) ađx =-J(!-x )ad(l~X) =- - ~ x>r 4=-1— K-l)n+13- (ỉ)0 0 U+1 0 11+ 1

Với mọi X, và với n ỉa số nguyên đương ta có:

(1-X)D= i( - l)* c £ x k . (2)k=0

Lấy tích phân theo X hai vế của (2), ta được:

■ 2 2.[ ữ U . xk+l|2f( l- x )I1đx = / X(-l) c£xk= I (-1) ^0 ófc=0 k=0 lo

=2C„-22—C^+23—Ctt+...+ ^ ^ - 2 n+1Cn- (32 3 + 1

Từ (1) và (3) suy ra điều cần. chứng minh.

108



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





an+bn>— .2n_1

Giải Ta cổ:

a =— +x a+b=l => ~

H - 'Suy ra:

V +bJ > + j + í± -* ì° =

1 C 2 X2 C 4X4 1= _L _+^ãi_ + L + „ .ằ _L_, dpcm.ọn-l û-1 2a ^n-1ffl. CÁCBÀI TOÁN CHỌN LỌCBài 1; (ĐH Mở 97): Với n Ịả số nguyên dương, chứng minh rằng:

Ví dụ 11: Chứng minh rằng nếu a+b=l thì với mọi số tự nhiênĩì ta có:

3-[C°4 ° i +-T CỈ+...+(-l)pỊCĩ 1=2”. J -ĩ- 3“« _ ”” - BÀĨGIẢIVới mọiX,và với n là sổ nguyên đương ta có:

(l-x)a=c2-Cix+C^x2-...+(-i)kC^xk+...+(-i)llC“xn. (1)

Thay x=—vào (1), ta được:

( i - i ) ° = c ỉ - ì c i +± c - +...4<-ưJr cs

« ^ - = c ỉ - ì c ỉ , +^ - c ỉ+...+(-J)"ir c ;

■»2"=3*[CỈ 4 ci+4-cỉ *-~*<-iy‘-èr c“)’ dPcm'“ 3 ■“ 32 “ 3n

Bài 2: Với n là số nguyên dương, chứng minh rằng:r 1-Lii"-2r - J. J.i'.nn r.“ -4n c o _4«-t C1+ 4 ^ d +...+(-1)n. C“ =

=c° +2 cí, +22C? +...+2" cỉì.BÀiGIÃI

a. Với mọiX, và với n ià số nguyên dương ta có:(4-x)n=C Ỉ4”-C l4n’1.x+CỈ4n-2.x2+...+(-l)n.C “ xn. (1)

109



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





I ~hi«B)p III: Nhi lht'tc Newton và ứng dung

Thay X=1 vào (1); ta được:

3"=4nC °-4D-C i + 4 - C j+ . ..+(- l )n.C “ .

b. Vớimọi X, và với n làsốnguyên dương ta có:

( i +x )ii= c ° + c ì x +.. .+c ;ỉ x i\

Thay x=2 vào (3), ta được:3n= c j +2c l a +22c ị +...+2nc“.

Từ (2) và (4), suy ra điều cần chứng minh.

(3)

(4)

(2)

Bài 3: Với n là số nguyên dương, chứng minh rằng:

±(CÍ +2CỈ +3CỈ +...+ n c “ )<n!.n

BÀI GỈẢ1Với mọiX, và với n là số nguyên dương ta có:

(l+x)“=c°a + c l x+c ị x2+...+ C“_I x"’!+ c “ XD.Lấyđạo hàm theo Xhai vế của (1), ta được:

níl+x)0'^c l a +2c ị x+...+(n-l) c “_1 x”'2+n c “ xnỉ .ThayX=1vào (2), ta được:

n.2a'1=CÌ+2C^+...+(n-l)C2"1+nC“ .Khi đó, bất đẳng thức được chuyển về dạng:

2”'1<n!.Ta sẽ đi chúng minh bất đẳng Ihức .trên bàng phương pháp qui nạp

ứọc tham kỉiảo trong chủđèhoán vị.

ụ>

2

(3)

- Bạn

Bài 4: Với n là số nguyên dương, chứng minh rằng:,n+l

C° + — c i + —CÍ+...+n +

c n =3n+1 -1a +

BÀI GIẢIVới mọi X, và với n là số nguyên dươQg ta có:

(1+X)D= ỵ c ị x k . 1k=0

Lấy tích phân theoXhai vế của (ỉ), ta được:

t t n í']+x'>u+1 1 u t |l|(l + x)udx = ì f c y <=> L t * r = ỵ c k a^ 0 0k=0 0 + 1 0 k=0 k + lị0

<=> (ỉ + t)u+1 - ỉ tk+1c^tt+1 ■= ẳ - .kto k+1

(2)

110



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Thayĩ-2 vào (2), ta dược:oH+1 1 a 'jkc'k - ------ì= ỵ ^,đpcm.

a + 1 t=0 k+1Bài 5: (ĐHQG TPHCM Khối A 97). Tính tích phân:

1 .I„= J(1 -X )Qdx, với neN.0

Từ đó suy ra:. c,‘, | C* 4 (-n °c ; _ 2.4...ĨP

2n+l 3.5...(2n + i)BÀIGIÂi

Ta xác định tích phân I„ bằng phương pháp tích phân từng phần, với đặt:

I dv = dxKhi đó:

u = (1 - x2)n •^ I du = -2íix(l - x2)n_1.dxV = X

I„=x(l-x2yiịci +2n ]ạ - ./Alx =-2n |(i -x 2)u_1.[(l -x2)-ỉ jdx

=-2n [ i (1 - x2)ndx - }(I - X j^ d x )*=-2nOU;-i)0 0 '

^ T _ 2n T _ 2n 2(n-l) 2- 2.4...2U *o L=———.1, — —-..... —lú- —— — ------. íđx2ũ + ỉ 2n+l 2 n - ỉ 33.5...(2q+1)

2.4...211” 3.5...(2n + l)

Ta có:

(1-x)1 Ề (-l)kcỊ;xkfc=o

(ỉ)

<»(i-x^= ỉ(- ỉ)kC^x2k.k-0 ■■■• : ■- . •

Lấy tích phân ĩheo Xhai vế của (2), ta được:■7

-1 1 n u x ^+1 j a - x 2)Ddx=j£(-i)fcc*x2k= 2 (-i)kCnẶr~r 0 Ók=0 i=0 2 'Ó

2

(-l)ac£:3 5 2n + l

Từ (1) và (3) suy ra điều cần chứng minh.

(3)

111



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Chưcmg Iĩ ĩ: Nhi thức Newton và ling dune

Bài 6: Với n Là số nguyên, dương và lớn hơii 1, chứng min

BÀI GIẢI,

Với mọiX,vàvới n là số nguyên đương ta có:(1+x)^ £c£xk .

t-=h

Ta lần lượt có các đánh giả sau:■ Ta có:

■ Ta có nhận xét sau với k>2:± nỊ < 1 < JL - 1 I

nk nkJk! .(n - k)! kỉ (k-l)k k -1 VÁp dụng với k=2, a , ta nhận được: '

2< <3;

. fc=oThayX—— vào (1), ta đuợc:

n“ n-1 nsuy ra:

n-1 n

Từ (1) và (3) suy ra điều cần chứng minh.

IV. BÀI TẬP ĐỂ NGHỊBài tập 1: Chứng minh rằng:

112



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Bài tập 3: Chứng minh:

(CỊL )2-(cí„)2+ (t ì„ )V..-KCỈ;)2=(-ifc;„ .■Bài tập 4: Chứng minh rằng:

(-1)nc ° +(-1)n-l2 c ’ +...+(- ) n'k2 k C* nGJ 5=1

Bài tập 5: Chứng minh rằng:1

Bài tập 6: Qiứng minh rằng:c ° +6 c ; +62Gl +6Jc l +...+6" c "=7".

Bài tập 7: (ĐHSP TPHCM-A/2001) ,Cĩiứng minh rằng:c ;.3 nl4-2C;.3n‘2+...+ nC"=n.4R-1.

Bài tập 8: Qiứng minh ning:3n Cfv44I.316CỊ744a.3isC77+..i4417CỊỊ=7ỉ7.

Bài tập 9: Qiứng minh rằng:C'-2C;+3C|-4Ci+...+(-l)"'nC;=0.

Bài tập 10: (ĐHKTQD-A/2000): Chứng minh rằng:; 2n 1CỊ, +2”'2 +3. 2'“3 +4. +...+ ncI

Bài tập 11: (ĐHBK 97 & ĐHCSND 2Ọ00 & DHL 97-). CMR:

1+2cjj+22c„ +...+20c “ =3” với n là số nguyên dương.

Bài tập 15: (ĐH Hổng Đức 2000). CMR với các số k, neN và 5<k<n ta có:c*+5=c?c i+c!c£ - ‘+ . . .+c^- s .

Bài tập 16: Tính tích phân:Ị o ..I=Jx(l-x )udx.

Bài tập 12: (ĐHKTQD 2000). CMR 2n.l +2n-L 2 "-\ c ỉ +...+n. c “=n.yl.

Bài tập 13: (CĐSPKT 2000). CMR :

(3) Bài tập 14: (ĐH Mở 98). CMR:

2n+ì _ ỉ3<n+l)

0

113



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





CliiRftig HI: Nhi Ilii'fc Ncvvtou và ứng dime

Chứng minh rằng:

Bài tập 17: (ĐHMỞ-99):Ơ Ì O n ỉà một số tự nhiên lớn hon 2.a. Tính tích phân:

1J= j x 2(l + x V d s .

0h. Chứng minh rằng:

Bài tập 18: Chúng minh rằng:nn+1>(n+l)" với mọi neZ+v à n>3.

Bài tập 19: (ĐHAN 97). CMR với Vxô và n lẻ thoả mãn 3<neZ luôn có:

X2 X11 X2 x “(1+X+ — +...+ — K1-X+ — ) <L2! u! 2! a!

Bài tập 20: Giả sửs là một lập'cho trước nào đó. Qiứng minh rằng số các tậpcon củas có số phần tử là lè cũng bàng số các tập cọn của nó với sô' phần tử lchẩn.



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





CHỦ ĐỂ 2 GIÁ TR Ị CỦÀ HỆ SỐ

TRONG KHAI TKIENn e w t o n

I. PHƯƠNG PHÁPVới các yêu cầu về hệ sổ trong khai triển Newton, ta cần lưu ý:1. Ta có:

(a+b)“= 2 °***.b *i=0

do đó hệ số của số hạng tíiứ i làc ln, và số hạng thứ i là b‘ .2. Ta có:

(x“+ xp)n= Ế C* (xa )n_i -(xpý = i- i=p "■■■■■1'. ' ■i=0do đó:

• Hệ số của xk trong khai triển trên ià Cq vdi i ỉà nghiệm của phương trình: . ......

a(n-i)+pi=k.B Đặc biệt, khi k=0 đó chính là số hạng không phụ thuộc X.

n . Ví DỤ MINH HOẠVí dụ 1: Tìm 2 hạng tử chíiih giữa của kliai triển (x3-xy)15.Giải

Trong khai triển trên có n=15, do đó có 16 hạng tử nên hai hạng tử ciiínhgiữa là:

Cị5(x3)8:(-xy)7 =-6435x31.y7.

C?5(x3)7.(-xy)8=6435x29.ys.Ví dụ 2: Đặt:

(x-2)100=a0+a1x+a2x2+...+a100x100. , (ỉ)

a. Tính hệ sốãcỊT b. TÊih tổng S1=a0+a1+...+a100.c. Tính tổng S2=a1+2a2+...+100a100.

Giải :Ta có:

f(x)=(x-2)100= rc ịooX100- - ! )1.i=0

115



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





nii tơn g ĨII: Nhi thức Newton và ứng dutig

a. Từ đó hệ Số được cho bở i:.397= C?oo(-2)3=-1293600.

b. Ta có:S,=a0+a1+...+a100=f(l)=(l-2)lũo=l. V

c Lấy đạo hàn iựieo X hai vếcủ a (1), ta được:. ỊỌ0(x-2)” =a1+2a2x+—+100a100x".

- suy ra . •S=a5+2a2+...+100aloo= f (1 )= 100( 1 -2)"=-100.

Ví dụ 3: (ĐHTL'2000): Cho đa ứiức:P(x)=(l+x)9+(i+x)10+...4-(l+x)1‘i-

Có khai ĩriển P(x)= ao+ ajX+ajX^+.-.+aHX1,1. Tính hẽ số aạ.Giải . , : . : / ' -

Ta có:P(x)=(i+x)9+(i+x)10+...-Ki+x)14= ỵ c ự + ỵ ớ lũxi +„,+ scUx*

1=0 i=0 1=0do đó hậ số aọ được cho bởi: .

ãỹ= c | +Cj0 +..+c Ị4 =3003., Ví dụ 4: 'Đặt:

(l+x+x2+x3) 5=ao+a1x+a2x2+...+a15x15.

a. Imh hệ số a10. b. Tổng S1=a0+a1+a2+.. .+a 15.c: Tổng S= a0-a1+ar ...-a15.

Giải Ta có:.

f(x) =(l+x+x2+x3) 5=[(l+x)(l+x2)]5=(^+x)s(l+x2)5

• = Ế cW ' ỉệ> (* 2?- *;L=0 i=0 "a. Từ đó hệ số a10được cho bởi:

a10= c ? .c |+ c |.c ỉ + c , c i = . : b. Ta có:

Sj= a0+a1+a2+. ..+a15=f(1)=45=1024.c. Ta có:

Sj—ao-aj+a -—-a ^=f(-1 )=0.

116



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Ví dụ 5: (CĐSPKT 2000). Trong khai triển nhị ềiức (2x3+ ~ ) 10với xvOX* '

hãy tìm số hạng không phụ thuộc X.Giải .

Ta có:

(2x3+ 4 ) 10= ZCÌo(2x3)lữ-i .( -ị )i = X 210ci0x3°-5i.X i=0 K i=0Từ đổ, số hạng i+1 không phụ thuộc Xĩhoả mãn:

30-5i=0 <=>i-6suy ra, số hạng không phụ lliuộc Xcổ giá trị bằng 2C ị0.

Ví dụ 6: Cho biết hệ số của số hạng thứ 3 của khai triển nhị thức

bằng 36. Tìm số hạng thứ1. r~ V* t V X + —

Giải Ta có:

+ X = ễ c U x ^ - ^ x ^ ỹi=0

tù đó, hệ số của số hạng thứ 3 của khai triển nliị thức làn!

cl =36 =36 <=>n(n-l)=722!.(q -2)! __ neN

<=>n2-n-72=0<=> n~9.Vậy, số hạng thứ 7 được cho bởi:

5 2 1cị'(x 2)3(x- 3 )e^84x2 .

Ví dụ 7ĩ Tìm số nguyên đữotig bé nhất n sao cho trong khai ĩriển (l+x)‘‘cổ7

hai hệ số liên tiếp có tỉ số là — .Giải

Ta có:

(1+X)‘= ỵ c ứ i=0

do đó, hai hộ số liến tiếp làc ‘n và of*1.

117



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Oiircmg III: Nhi ibức Newtou và ứng dime

Theo giả thiết, tacó:

_2a_=2. » ---- S f c i !---- = 2 . «, i± i= -L «n=3i+2+i±i.c 15 ______ ! ______ 15 n - i 15 7

• n ( i+ l) !.(n- i-l)!Vậy, số ngụyên đương bé nhất n tương ứng 'với i nliộ nhất sao cho i+1

hết ctío 7=> i=6 => n=21.Vậy, với n=21thoả mãn điều kiện đầu bài.

Ví đụ : Trong khái triển sau đầy có bao nh iêu 'Số liạng hữu tỉ

( v V t s f * .Giải

Ta có:

= t c i 24<v3> < -# 5 > = I ( - 1 ) C Ì2 4 3 2 5 4 .i=0 1=0

Số hạng íhit if] là hữutỉ khi và chỉ khi Ị 124 - ì ieN í *GN

0 î < ỉ 24 _ * . ^ ÍOák<310<l>siẩ l24<=>^124-i M . U = 4 k e Ni = 4k e N14 ịiM

Ọ có 32 số hạng hữu tỉ.Ví dụ9ĩ Xác địr/h hệ •số của x” trong khai ỉriển (1+x-f2x2+...4-nx“)2.Giải

Tacó:V1 +X+2XM-... +r-xn)2=( 1+x+2x2-k. .+nx“). (l+x+2x2+-..+nx’0

lừ đó thấy ngay ìiệ số của xa trcng khai trìển bằag:A„= 1 .n-i-1(n-1 )-f 2(!1'2)ỷ . . .+n. 1 =2n+n( I+2+.. .+n)-( 12+22+.. .+n2)

n(n+l) n(n + ỉ)(2n-hl) _ II3+ 1luJ ~ —- - - 6

m.CÁC BẲI TOÁN CHỌN'LỌC

BauTcHVKTQS 97),’ Viết lại P(x)=(r-rx)+2(l+x)V...+20(l+x)20 dướdạng:

P(x)=a0-fà1x-f.. .-fa20x20.Tìm a15.

BÀIGĨẲITa. CÓ:

P(x )=(1+xH2(1+x )2+...+20(1+x )2C

= ( x + Ì ) + . . . H 4(x +1)14+15I C ^ x 1+...+20 f c 12ũxi .1 = 0 i=0

1 Ỉ8



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





do đó hệ số a15được cho bởi:09=15c \ ị + ..+ OC =400995.

28Bài2: (ĐHSPKhổỉ A 2000). Trong iđìai ĩriển nhị thúc(x ÌỊx +x 15 )” hãytìm sốhạng không phụthuộc X, biết:

cs + c “_1+c?“2=79. 'BÀIGIẢĩ

Giải phương trình:

c “ + + c “"2 =79 <=> 1+ĩH- =79 <=>n2+n-156=0 cT 11=12.Khi đó: / . .... .

_28 p 4 ' _28 J2 4(12-0 28i(Xi f e+ X )n= z c | (x ) ?: l( x 15 Ỷ = z c ị 2x

. i=0 i=0từ đó, số hạng thứ i+1 không phụ tliuộcXtrong khai triển trên ỉhoẩ mãn:

4(12-i) 28i. r n . L „ = 0 o 1-5.3 15

Vậy, số hạng kỉiởng phụ thuộcX bằng cf2Bài 3: (ĐHSP Khối B 2000 & HVHCQG 2000). Biêĩ tổng tất cả các hệ sốcủa kliai triển nhị thức (x2+l)n bằng 1024, hãy tìm hệ sớâeNcủa số hạnga.x12trong khai triển. ....................

BÀI GIẢITa có:

f (x )= (x 2+ l )n= ẳ ơ n íx 2 )11* ^ Ễ ơ ux ^ n“^ . i=0 . i=0

suy ra, tổng tất cả các hệ số của khai Iriển bằrĩg

Ề cồ =f(l)=2n => 2C- 1024 <» n=10,i=0 ■ '■ '■ '■

số ià 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Tìm tất cả cầc hạng tử hữu tỉcủa khai triển đã cho. ______ ■ _____ ’

BÀI GIẢITa có: ■

+ 2 - l.x~4)“ = Ề c U x ^ - C T ĨỴ =Ị 2ĨIxJ - £ó i=0

119



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Do .đó, ba hạng tử đầu tiên cửa khấi triển có các hệ số iàc°. Cy2-:, c ỉ’-2.

Ba số hạng trên theo tliứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi:

Chương III: Nhi thức Newton vã ớng dung

c° + c%2-2 =2cl n2~l + ũ(n *■ỉ=n ■<=>n- n+a = 1

a - 8a. Với n=l, ta được:

Ị - JVx + —~= , n6 không có hang tử hữu tỉ.

2 \/x b. Với = , ta được:

í r - 1 ì8 i. i ■ — '

( 2^] ~ ẩc' 2 4SỐ hạng thứ 1*1: ỉà hữu tỉ. khi và chỉ khi

i = 016-3i °-*-8 — -— eN<=>16>3iM <=>i = 4Q-,0 „4__ 4■ Với 1=0, ta được hạng tử thứ nhất ỉà Cg2 X =x .

■ Với i=4, ta đượchạng tử thứnám là Cg 2 X= — X.8

Bài 5: Khai triển:

' (l+x+x2)1996= ao+ a1x+a2x2+...+a3992x3992.3-. Tínil tôĩlg Sj= clrj-!- —“1“£3992- b. Tinh tổng Sj—ăo-âi+íiỊ" &+...,+&^.c. Chứng minh rằng %f 2aj+22a2+...+2mf2SL39n chia hết cho 2401.

BÀI GIẢIĐặt:

f(x)=(l+x+x2)1996.a. Ta có:

s,=áo+aỉ+a2+...+a3992= f(lH l+ l+ l2)1996=31996. b. Ta cổ:$2— 3.3+.. -+a.3<)92—f (-1 )=( 1 -1+1) 1?9(5= 1.

c. Ta có:Sj- %+ 2aj+22a2+...+ 23992a3992=f(2)=(l+244)199ồ=71996=719M.7- r > A C \ \ '71992=2401.7 .

Vậy, Si chia hết cho 2401.

120



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





IV.BÀI TẬP ĐỂ NGHỊBài tập Ỉ ỉ Khai triển:

(x+2x+3x2)10=3 o a.x+a2x2+-. +a20x20.a. Tính hệ số a<j.

b. Tổng T= ao+aj+a^k-.+a^.Bài tập 2: Khai triển:(x-5-2x+3x2)n=a o +alx+a2x2+...+a2„xỉ'l1\

Tính tổng T= ao+aj+aj+.-.+a^.Bài tập 3: Khai triển:

S=(l+x)12+(l+x)13+(l+x)I4+(I+x)13+(l+x)16+(l+x)17,Hãy tìm hệ số của số hạng chứaXs.

Bài tập 4: Tìm hệ số cùaX7 trong khai triển của (1 + x)11.

Bài tập 5: Tìm hệ số của X9 trong khai triển của (2 - x)19.Bài tập 6: Tìm hẹ số của X8 y9 trong khai triển của (3x + 2y)17.Bài tập 7í Tìm hệ số của x5ys trong khai triển của (x 4- y)1\Bài tập 8: Tinh hệ số của x^y10trong khai triển (x3+xy)15.Bài tập 9: Tìm hệ số của X101y" trong khai triển của (2x - Sy)200.Bài tập 10: (ĐHQG Khối B 2000). Trong khai triển nhị íhức:

với XĩO, hãý tìm số hạng không phụ thuộc X.Bài tập 11: (CĐSP Hà Nội Khối D 99). Trong khai triển nhị thức:

sốhạng độclập đốì với X.Bài tập 13: (ĐHQG HN-B/2000):

a. Từ 5 chữ số.o, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số, mồi số gồm 4chữ số khác nhau và không chia hết cho 5.

b. lìm mộts ố hạng không chứaX trong khai triển cùa biểu thức:

. (x+ i )10X

với X?K), hãy tìm số hạng không phụ thuộc XBàì tập 12: Tìm trong khai triển:

18

( 17

121



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN







Bài tập 25: Tỉm hạng tử của khai íriểri ( -s Is + V )9là một số nguyên.Bài tập 26: Tim số na«yên dựợng n sao cho hạng tử thứ năm của khái triển

là 240.Bài tập 27: Trong khai triển nhị thức

Cho biết hiệu số giữa hệ số của hạng tử thứ 3 và hạng tử thứ 2 là 44. Tim n.Bài tập 28: Tìm sô' nguyên đươngX, chọ biết tróng khai triển

( Yề , ■ : .

Tĩ số cùa hạng tử thứ 7 kể từ hạng tử đầủ và hạng tử thứ 7 kể từ liạng tử

cuối ià —.6

*Bài tập 29: 'lìm các giá trị của số tliựcX sao cho trong khai triển củaX \m ■ *

S F 1tổng các hạng tử thứ 3 và thứ 5 là 135; tổng hệ số ba hạng tử cuối là 22.Bài tập 30: ĩĩữig iẩt n củaX sao cho hạng tử thứ ba của kỉiaí ĩriển:

(x+xls*)5là 1000000.Bài táp 31: Tìm giá trịX cho biết hạng tử thứ 6 của khái triển:

- |lọgjí3x-‘+I))7

là 84.Bài tập 32: Tim số thựcX biết hạng tử thưa 4 trong khai triển :

/ r— -— Ị~igĩ-ỉg x+1 + 1 2 ^

là 200.Bài tập 33: Tìm giá trị của Xsao cho hiệu số giữa hạng tử thứ 4 và hạng tử tliứ6 của khai triển

^32\m

. ' V ? , ^ bằng 56 và cho biết thêm luỹ thừa bằng hệ số của hạng tử thứ. ba trừ đi 20.

123



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





OuTcmg III: Nhi thức Newton và ứne ditne

Bài tập 34: Giứng minh rằng trong khai triển:.[(s-2)x2+nx-s](x+l)Y

bệ số của Xs lànc*=2.Bặỉ tập 35: Tìm tấr cả cẩc gia'trị của' số nguyên dương n sao cho ĩrtriển (x+a)n có 3 hạng tử liên tiếp là 3 .số hạng ỉiên tiếp của một cấp

Bài tập 36: Xét khai triển:£ ^/ọ lg U 0-3 :0 _J.ị Ị ỹ ỹ - Ĩ Ã ĩ ỉ y a .

Cho biết hạng tử thứ 6 là 21 và các hệ số thứ hai, ba và bốn của khcác hệ số hạng tử thứ nhất, bav à năm của 1 cấp số cộng. lìm giát r ị củaX

Bài tập 37: Xét khai triển:

■ í

• Gọi T3>Ts là các hạng tử thứ 3 và 5 của khaiữiển. là cáccủa hạng tử thứ 4 và thứ 2. TìmXsao cho:í l gỢC ^ - I g C ^ l|9T3 -T 5 =240

Bài tập 38: (ĐHSPQN-A/2000): Cho hàm số: p(x)=(l+2x+3x2)10.

a. Tính tích phân1

I=J(1 +3x)p(x)đx..0

b. Xác địnli hộ số của X3 trong khai triểnp(x) theoquy tắcluỹ thùa cBặỉ tập 39: Tìm hạ sộ cỏa xmtrong khai triển:

(i+xf+a+xy^+.-.+a+x)11.Xét các trường họp m<k và m>k.

Bài tập 40: Tun hệ số của XR-1và x"'2của khai triển:

P„=|x + i ) ( x + - L ) ( x + ± ] . . . ( x + i L

Bài tập 4Ị: Hãy tìm khai triển:(x + y + z)4Bài tập 42: Tìm hệ số của x3y2z5trong:

(x + y + z)10.Bài tập 43: Có bao nhiêu số hạng trong khai triển củạ :

(x + y + z )100?

124



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





CHỦ ĐỂ 3 HỆ SỐ LỚN NHẤT

TRONG KHAI TRIEN n e w to n

I. CÁC DẠNG TOÁN Cơ BẢN

PHƯƠNG PHẤP CHUNGTa biết rằng với k, n nguyên, không âm và k<n, ta có:

c k- °’ - ____ — . ” k!(n-k)! ° - (k - 1)!(q - k +1)!

Thục hiện, so sánh c„ & cj["1, bằngcách xét:

aiCạ __ k!(n-k)ĩ _ n - k + ĩ _ m-l J

c k í ứ k k (k-l )! (n-k + l)!

Từ (1), suy ra:

Bài toán 1: Tìm giá trị lớn nhất trong các0 pl pB

• <=> crn, >1 <=> ~ - l > l o k <“ “ c k n + 12

J,

• Cn_1>CỈ <=> l<l<=>k>c r 1 k

0 + 1k

11 1

~ ~ 2 ~

Tức là:

• Cn tăng khi k tăng và .

■t -■> » * *• ^ li + l• Cq giảm khi k tãng và K> ——.Vậy:

• Với n lè, thì cjj đạt giá trị lớn nhất tại ỉc= .

• Với nchẩn, thì Cq đạt giá ưịỚĨ nhấttại k=—.

125



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





rĩiircínp III: Nhi tbitc Newton và ime d«pg

Bàỉ toán 2. Tìin số hạng có giá trị lổn nhất của khai triển:(p+q)“

biết ràng p>0, q>0, |>fq=l __________ PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Gọi ti là số hạng thứ k+1 trong khai triển (p+q')D, ta có:

c ị P°V-Để tìm số hạng có giá trị lớn nhất khi k chạy từ Ođến n, thực hiên so sán

tk & tk.j, bằng cách xét:

Ẹk = c£ptt“kqk _ (u -ic + Dq (n + l)q - k tk ‐ CỈ"Ipa"k+!qk"1 kp kp ■ ( )

Từ (ỉ), suy ra:

® tw<tk <=> — >1 <=> > 1 k<(n+

• tk-i>?k ^ 1+—— ——<1 <=>k>(n+l)q.Ik-I kp ^ ,

Tức là, khỉ k chạy từ 0 đến n Ihì:• tktảng khi ktãng vàk<(n+l)q.a tk giảm khi k tâng và k>(n+l)q.Vậy:• tk đạt giá trị ỉớn nhất bằng mộĩ số nguyên m thoầ mãn .

(n+1)q-1 <m<(n+1)q.•® Nếu (n-M)q ỉàmột số nguyên m, ĩhì tm= i^ , tức là có hai số hạng có giá

trị lớn nhất ỉàĩw&tm.i. .

II. VÍ DỤ MĨNH HÒẠVí dụ 1: Tìm hệ số có giá trị ión nhất của khai triển (a+b)nbiết ràng tổncác hệ số bẳng 4096.Giải

Tổng các hệ số trong khai triển (a+b)“ bằng:c ° a + ci +c l + c£ =2n=> 2n=4096 «> n=12.

Đo đó, hệ số có giá trị íớn nhồi trong khai triển là cf2 =924.Chú ý: Vì kết quả trong bài toán 1 không được trình bày trong sách giao khoanên các eni học sinh cẩn trình bày như sau ĩròng bài thi:

Ta đi tìm giá trị ỉớn nhất trong các èiá trị C p , c |2 Cp .

126



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN







Outageni: Nhi thức NewtdP và áng dung

Để tìm SỐhạng có giá trị lớn nhất khi k chạy từ 0 đến 8, thực h& tk.j, bằng cách xét:

Cĩ l -Lk _ t i

. . I-

, ; ^ n i vTừ (1), suy ra:• tfc_i<tk o -^ -> 1 « ■ <í=>k<6.

Ik-1 k • t t r ^ « — <1 o ^ — ^<1 o k>6.

‐ ‐ ‐

Tức là, khi k chạỵ từ 0 đến 8 thì:• tk tăng khi k tăng và k<6.:• tt giảm khi k tăng và k>ố.Vậy, tfc đạt giá trị lớn nhất tại k-6 và có giá trị bằng:

c f i i f ( i f . ™ ,\3 ) 2187

m.CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC

Bài 1: Khai triển đạ thúc:P(x)=(l+2x)12

thành dạng:P(x)= 3o+ ajx+a^x2+.. .+a20xỉo.

lìm max(at, a,..., ai>.BÀI GIẢI

Tá có:

(l+2x)12= i c ị 2(2x)i = i c i 22ixi i=0 . i=0

suy ra a~ C|22*, vởi i= 1,12.Để tìm max(a1? a12) với is=U2; thực hiện so sánh ai & ái+1,

xét:n\

ai - Cĩ2^ _ i!-(12-i)l _ i+1>M Cị212‘+1 Ĩ M 2(12-0' ' .

<i+l)!.ai-i)!

228



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN







TẢI LIỆU THAM KHẢ©

G.KORN-T.KOHN. sổ tay Toán học (Phan Vãn Hạp và Nguyễn Trọng Bá dịch). Nhà xuất bản đại học và trang học chuyên nghiệp giáo đục -1977.

MICHAEL SULLIVAN. College Aígebra: Delien Publííiing Company, San Francisco, Caliomia 1990

Văn Như Cương. Tài liệu chuẩn kiến thức Toán 12. Nhà xuất bản giáo đục -1994.

Phan Đức Chính, Vũ Dương Tlmỵ, Tạ Mần, Đào Tam, Lê Thống Nhất. Các bài giảng luyện thi môn toán-Tập 3. Nhà xuất bản giáo dục-1996.

Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên).Giải Toán và Ôn tập Giải tích. Nhà xuất bảu giáo dục - 2001.

Tạp chí Toáu học tuổi trẻ - Nhà xuất bàn Gáo dục.

LÒI CUỐI

Tác g iả luôn sẩn ỉòng gỉầ i đáp m ọi thắc mắc của cầc em học snih và độc giạ về nộ i dung của cuôh tà i ỉiệu này.

Mọi chi tiết xin liên hệ trực ĩiếp tới:Ths. Lê Hồng Đức

Số nhà 20 - Ngõ 86 - Đường Tô Ngọc Vân - Tây Hồ - Hà Nội.Điện thoại: 04 7196671.



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





NHÒ XUấT BẢN ĐỌI HỌC QUỐC Gift HR NỘI16 Hàng Chuối - Hat' Bà .Trung - Hà Nội

Đién thoai: Biên tảp-Chế.bần: -TQ4Í3971:4896:Hành chính: f041 39714899; Tổng Biến tập: (04Ì 39714897:

Fax: (04Ì 39714899

Chịu trách nhiệm xuấ t bảnĩ

Giám đốc: PHÙNG QUỐC- BẢO

Tổng biên tập: PHẠM THỊ TRÂM

Biên tập: TRƯỜNG THÀNH - HUY HÙNG

Trình bày bìa: TRẦN ĐẠI THẮNG

Đối tác liên kết xuất bản:

CTY TNHH SÁCH VÀ VÃN HOÁ PHAMq u ầ n g LỢ ĩ


CẤP

2 3 1

000B

TRẦ

N HƯ

NG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N


Documents

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TỔ HỢP - LÊ HỒNG ĐỨC