GIẢI TOÁN LƯỢNG GIÁC NÂNG CAO 11 - LÊ HỮU TRÍ - LÊ HỒNG ĐỨC

8/10/2019 GIẢI TOÁN LƯỢNG GIÁC NÂNG CAO 11 - LÊ HỮU TRÍ - LÊ HỒNG ĐỨC

http://slidepdf.com/reader/full/giai-toan-luong-giac-nang-cao-11-le-huu-tri-le-hong-duc 1/198



WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

B

Ồ

I D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

- L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

ƯN

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N

WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM



CH Ơ NG ỉ P H Ư Ơ N G T H Ì N H L Ư Ợ N G G IÁ C

CHỦ ĐỀ 1

PHƯ Ơ NG TRÌNH LƯ Ợ NG GIÁ£ c ơ B NL PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I CÁC DẠ NG PHƯ Ơ NG TRÌNH LƯ Ợ NG GIÁC c ơ BẲ N

Bài toán 1: Giải và biện luận phương trinh:sinx = m

PHƯ Ơ NG PHÁP CHUNG Ta biện luận theo. Các bước sau:

B ớ c 1: Nếu Iml > 1 phương trình vở nghiệm. B ớ c 2: Nếu Iml á 1, xét hai khả năng:.

Khả nănq /: Nếu m được biểu diễn qứa sin củạ góc đặc biệt, giảsử a, khi đó .phương trình có dạng :

X = a + 2k7tsinx = sina

X = 7t - a + 2 k n , keZ.

/ ' . . I "Ạ K hâ năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua sin của góc đặc

. biệt, khi đó đặt m = sina, ta được:

• ỵ . ■ ■ rx-ec + 2k7t ’sinx = sina <=> ,keZ .

X= 71- a + 2kTC

Trong cả hai trường hợp ta đều kết luận phương trình có hai họ nghiệm.

Đặ c biệ t

■ sinx = 0<=>x = k7i,keZ. , .7t

■ sinx = l o x = - + 2kn, keZ.• 2

■ sinx = -1 <=>X = - — + 2k7i, kẹZ.2

Vi du 1: Giải các phương trình sau:Ia. sinx =3

Giả i

. Đ ặt — - sincx, khi đó:3

sinx = sina <=>X = a + 2k7t

X = 71 - a + 2 k n

Vậy phựơng trình cỏ hai họ nghiệm.

, keZ.

5


WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

OÁ

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N


óng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú



b. j a có:

sin(2x - —) + sin(3x + —) = 04- 3

<=>sin(2x - • £ ) = - sin(3x + - ) sin(2x - - ) = sin( - 3x - - )4 3 4 3

« • o2x - —= -3 x - —■+2krc4 3

2x - —= n - (-3 x - —) + 2k n 4 3 .

Vậy phương trình có hai họ nghiệm.Ví dti 2: Giải phương trình sin(7rs'rn2x) = 1.Giả i

Ta có:

7t 2knX = — — + ——

60 5197t

X = — --— 2k7t 12

, keZ .

sin(7tsin2x) = 1<=> 7isin2x = —-H2k7i o sin2x = —+ 2k, keZ. (1)

Phương trình (1) có nghiêm khi và chỉkhi:1 1 Ị k ê Z

1— + 2k I < 1 <=> - Ị < k 5 - ọ k = 0.2 4 4

Khi đó (1) có dạng:

sin2x = — « •. 2

2x = —+ 2\n 6

2x = — + 2Í7t6

<=>X = — + lrc

12

X ——“ + Ỉ7C. 12

M Z .

Vậy phương trình có hai họ nghiệm.

Bài toán 2: Giải vằ biện luận phương trình:cosx = m.

PHƯ Ơ NGPHÁPCHUNG .Tá biện luận theọ các bước sau:

B ớ c ỉ : Nếu Iml > 1 phương trình vô nghiệm. B ớ c 2: Nếu ỉml ẩ 1, xét hai trường hợp:

Khả năng ỉ: Nếu m được biểu diễn qua COS của góc đặc biệt, giả sử

a , khi đó phương trình có dạng :X= a + 2kĩt , _

cosx = cosà <=> , keZ.X = - a + 2kn

Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua COS của góc đậe biệt,khi đó.đặt m = cosa, ta được:

X= a + 2kn cosx = co sa <=> ,k eZ .

X = - a + 2kn

. Trong cả hai trường hợp ta đều kết luận phương trinh cố hai họ nghiệm.

6



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

TO

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N


ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú



Đặ c biệ t o.'rr

■ cosx = 0 <=> X = -- + k7t, keZ.2

4 ■ cosx = 1 <=> X = 2kTC, keZ.

■ còsx = — I <=>X = TC+ 2 k n , keZ.

Ví du 3: Giải các phương trình sau:

,, a. sjn3x = cos2x.

Giả i

3f. Ta^èó: ^

71

sin3x = cos2x o sin3x = sin(—- 2x) TT

<=>3x = —- 2x + 2kĩc

2

3x = n - (-- - 2x) + 2ỈOT. 2

<=>

n 2knX = — + —

10 5

X = — + 2 k ĩ t . 2

, keZ.

Vậy phương trình có hai họ nghiệm,

b. Ta có:cos(2x - —) + sin(x + —) = 0 <=> cos(2x - —) = - sin(x +

4 4 4

<=> cos(2x - —) = cos(x + —+ —)

<=>

« n _ 3n2x - —= X + — + 2kn

4 4n ^ 3% *

2 \ - —= -X - — + 2k7t. 4 4

X = 71 + 2kn

7t 2kn>keZ.X =

6 3


Ví d» 4: Giải phương trình:

ã cos[ —cos(x - —)] = ---- .2 -4 2

Giả i

Phương trình tương đựơng với:-- cos(x - —) = —+ 2krc2 4 4

— cos(x + 2kĩt.2 4 4

<=>

cos(x - —) = —+ 4k (1)4 2

cos(x + 4k (2). 4 2

, keZ.


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N




■ Phương trình (1) có nghiệm khi và chi khi:1 3 1 ke7-

I - + 4k I< 1<=>- ^ < k < -7 <=>k = 0: 2 8 8

Khi đó (1) có dạng: K 71

X - — = — + 2171 4 3

X —— = + 21714 3

<=>

7nX= — + 2l7t

12 leZ. (3)

A----= ——1- -6171. 4 3

Phương trình (2) có nghiệm khỉvà chỉkhi:

\ ^ . 1 ^ ^ 3 keZ

X =12

■+ 2ìn

1 ì keZ. < k < 4 «• k = 0.8 8


<=>

n 2n+ 2171

X - —= - - - - + 2171. 4 3

<=>

_ I 1.71X = — — + 2ln

12

_ 5% , OlX = + 21tc12

, IeZ. (4)

Kết hợp (3) và (4), ta được:

117ĨX = —— + l7t 12

X = —7- + 17T12

, IeZ.

Vậy phương trình.có hai họ nghiệm.

Bài toán 3: Giải và biện luận phương trình: _____ tgx = m. ________________

PHƯ Ơ NG PHẤ P CHUNGTa biện luận theo các bước sau: *Đ ặt điều kiện: - » ft

' ' ncosx * 0 <=> X^ —+ k7i, keZ.

2

Xét hai khả năng: »-Khả nans, 1: Nếu m được biểu diễn qua tg của góc đặc biệt, giả sử a , khi đó

phương trình có dạng:

tgx = tga •» X= a + kn, keZ.Khả nâng 2: Nếu m không biểu diễn được qua tg của góc đặc biệt, khi đó

đặt m = tga, ta được:tgx = tga <=> X= a + kĩt, keZ.

Trong cả hai trưòng hợp ta đều kết luận phương trình có một họ nghiệm.Nh n xét: Như vậy với mọi giá trịcủa tham số phương trìnîluôn có nghiệm

X


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í -

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N




Ví du 5: Giải phương trình:

Tt tg[ —(cosx + sinx)] = 1.

4Giả i

Đ iều kiện:

cos[ —(cosx + sinx)] * 0.4

Phương trình tương đương vói:

—(cosx + sinx) = — + k7i<=> cosx + sinx = 1 + 4k, keZ.4 . 4

Phương trình (1) có nghiêm khi và chỉkhi:

II + 4k I£ V2 — Z k < k = 0./I. 4

Khi đó (1) có dạng:cosx + sinx = 1 <=> sin(x + —) = 1 <=> sin(x + — ) =

* 4 4 A

2

óc + ^ = —■ + 2 ln

I ĩTC 371

X+ —= — +^l7t1 4 4

4

X = 2171

7t , le Z thoả mãn (*).X = — + 2171 . 2


Bài toán 4: Giải và biện luận phương trình:cotgx = m.

(*)

( 1)

PHƯ Ơ NG PHÁP CHUNG

Ta biện luận theo các bước sau:

Đ ặt điều kiện:

sinx * 0 <=> X* k7t, keZ.

Xét hai khả năng:

Khả năng 1: Nếu m được biểu diễiT qua cotg của góc đặc biệt, giả sử a, khiđó phương trình có dạng :

c ot gx = c o t g a « X = a + kn , k e Z .

Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua cotg của góc đặc biệt, khi đóđặt m = cotga, ta được:

cotgx = cotga o X= a + k7t, ke Z .Trong cả hai trường hợp ta đều kết luận phường trình có một họ nghiệm.

Nhậ n xét : Như vậy với mọi giá trịcủa tham số phương trình luôn có nghiệm.

9



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

TO

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

ẤP

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





Ví du 6: Giải các phương trình sau:

. a. co tg (- - x) = — b- cosx = sinX-4 V3 .

Giả ia. Đ iều kiện:

sin(— - x)*0 <=> — - X*k7i <=> r.#— - k7t, keZ . (*)4 . 4 4 ' ■

Ta có:

co tg(— - x) = cotg-71- <=> — - x = — +k7T & 4 Ễ 3 4 3

<=> X= — -— k7t, keZ thoả mãn điề u kiệ n (*).12

Vậy phương trình có một họ nghiệm. b. Ta co: .

cosx = sinx » cotgx = = cotg— o X= — + k7t, keZ.6 6

Vậy phương trình có một họ nghiệm.

Bài toán 5: Biện luận theo m số nghiệm thuộc (a, P) của phương trìnhlượng giác cơ bản.

PHƯ Ơ NG PHÁP CHUNG — 7“^ = —

Giả sừ với phương trình: ,sinx - m. ■ ' t / f

Ta lựa chọn một trong hai cáổh sau: •?Cách 1: Thực hiện theo các bước sau:

B ớ c ỉ : Biểu diễn (a , P) trên đường tròn đơn vịthành cung AB . B ớ c 2: Tịnh tiến đường thắng m song song với trục cosin, khi đó số giao

điểm của nó với cung AB bằng số nghiệm thuộc (a, p) của phương trình.

Cách 2: Thực hiện theo các bước sau: B ớ c 1: Vẽ đồ thịhàm số y = sinx, lấy trén (a , p). B ớ c 2: Tịnh tiến đường thẳng y = m song song với trục Ox, khi đó số

giao điểm của nó vói phần đồ thịhàm số y = sinx bằng số righiệmthuộc (a , p) của phương trinh.

10



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

OÁ

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





Chú ý: Phương phág.trân được mở rộng tự nhiên cho:1. Phương trình cosx = m, vói fưu ý khi sử dụng cách 1 ta tịnh tiến đường

thẳng m song song với trục sin.2. Với các phương trình tgx = m và cotgx = m ta chỉcó thể sử dụng cách 2.

Ví du 7: Biên luân theo m số nghiêm thuôc ( —, — ) của phương trình6 3smx = m.

Giả iTa Ịựa chọn một trong hai cằch biểu diễn

■ • • yi ‘

T r ' t 1 ỵ 71 8 TI f Kết luận: đặt D = (—, — ta có:

6 3

ì ri 1/2

■

.

.

.

. . . . .

\1

ỊX, x2/

Ị l ' y= s>nx

M ! X0 n/ố n \J 1 P 7 1 871/3

y= m

■ Với Iml > 1, phương trình vô nghiệm,■ Với IT = -1 , phương trình có 1nghiệm thuộc D.

■ Với -1 < m < - hoặc m = 1, phương trình có 2 nghiệm phân biệt thuộc D.r~

■ Với —< m < — , phương trình có 3 nghiệm phân biệt thuộc D.

■ Vởi —— < m < 1, phương trình có 4 nghiệm phân biệt thuộc D.

■

Ví du S: Biên luân theo m số nghiêm thuôc , 7t) của phương trình• • ■ ■ 4

(m + 1)sinx = (m - 1)cosx. ( 1)

Giả iBiến đổi phương trình về dạng:

sinx + cosx = m(cosx - sinx) <=> 4 Ỉ sin(x + —) = m V2 cos(x + —)

o t g ( x + ^ ) = m.

Ta có kết luận:

■ Với m > 1 hoặc m < 0, phươngtrình có 2 nghiệm phân biệtthuộc D.

■ Với 0 < m < 1, phương trình có3 nghiệm phân biệt thuộc Đ .


B

Ồ

I D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

- L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

ƯN

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




II. CÁC BÀI TOÁN THI

Bài 1: (Đ HSP II - 2000): Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:

• c o s [ - ( 3 x - a /9 x 2 + 60X + 800 )1 = 1. .8

BÀI GI I " " " "Biến đổi tương đương phương trình về dạng:

—(3x - ^ 9 x 2 + 160x + 800 ) = 2kTC <=> v.9x2 + 160x + 800 = 3x - 16k

|3 x - 16k > 0

19x2 + 160x + 800 = (3x - 16k)2

<=>

8k2 - 25 16k . „

> ——- k e z3k + 5 38k2-25

<=> •

X = •

X > —7- , k e z 3

(3k + 5)x = 8k2 -2 5

(1)k < , k è Z3

9x = 24k - 40 - -25

3k +5Muốn X n gu yê n thì trước hế t từ (2) ta phả i có:

3k + 5

25 (1)eZ <=> 3k + 5 là ước của 25 <=>

3k + 5

3k + 5 = - lkeZ

3k + 5 = -5 c>

3k + 5 = -25

(2)

k = -2

k = - 1 0

■ Với k = - 2, ta được X = - 7.■ Với k. = - 10, ta được X - - 3 1 .

V ậ y phư ơ n g trình c ó hai n gh iệ m n gu yê n X = - 7 v à x = - 3 1 . '

Bài 2: (Đ H Tổng Hợp Lôữiôhốp - 1982): Giải phương trình::

V - Xs + 3x4 - 2 ,sin[7t(16x2+ 2x ] = 0BÀI GI I

Biến đổi tương đương phương trình về dạng:X8 + 3x4 - 2 = 0 (1)

Ị- X8 + 3x4 - 2 > 0 ( 2 ) .

Ịsin[n(16x2 + 2x)| = 0 (3)

't = l - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - - -

J

X = 1 X —<=> <=>

t = 2 . X4 = 2 _x ỹ

(1) .<=>t2 - 3t + 2 = 0 «•

Giải (2), dựa vào lời giải của (1) ta được:

(2 ) <=> 1 < t < 2 <=> 1 < X4< 2 <=> -1 < Ixl < Ĩ Ỉ 2 <=>- i Ị ĩ < X< -I

I < X< \/2


B

Ồ

I D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

- L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

ƯN

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




■ Giải (3), ta có:

(3) <=> 7i(16x' + 2x) = k7i <=> 16x2+ 2x - k = 0Phương trình (4) có nghiệm khi:

I k ẹ / .

A’ằ 0 <=> 1 + 16k > 0 <í=>k > - — <=> k ^ O16

hi đó (4) có nghệm X,, =

—1± Vl 16k

16

• Đ ể nghiệm X| = —jjt— L t lỂ l l (>0) thoả mãn (2) điều kiện là:

1<

<=>

16

- l + V l + 16k

16<#2 «■ 17<Vr + 16k <1 + Ì6ÌỈ 2

_ keZ18<k<16V2 +2ĨÍ2 Ồ k = | 19,20, 2 1 i 22, 23,24,25}.

Ị--------- r

■ Đ ể nghiêm Xj = — ----- + ——(<0) thoả mãn (2) điểu kiên là:16

- 4 / 2 < ^ j— ^ + 1 6 - < - 1 o 15<Vl.+ 16k < l6 i/2 - 11 16

‘ ‘ _ • k e Z

...ý' -<=> 14<k<16V2 -2^/2 o k = {15, 16, 17, 18, 19,20}.Vâỹ?phụfQng trình có các nghiệm:

X= ị±ỉ',±<Ỉ2 ỊuỊx = ~ 1+^ 1+ 16k Ik = 1925 M X= — l A ì + l6k Ị k = 15 20

Bài 3: Giải và biện luận phương trình:

a 2 s i n 2 X + a 2 - 2

COS 2xl - t g 2 x

BÀI GIẢ I

Đ iều kiện:

cos X * 0

.2

cos2x * 0

, í cos X & 0 í cos X # 01 - Ìg 2x * 0 <=> r o r » 1' z l n l l - t g 2x * 0 Ị tgx * ±1

^ 71 1_ X*: —+ kĩi2, 71 . _ X * ± —+ k7t

4

, keZ .

Biến đổi phương trình về dạng:

s i n 2 x + a 2 - 2- = — J —---- 2 ^ ■— T

1 —tg ^ X COS x - s i n X 1 - tg X

« ( a 2- l)tg2x = 2. c

Với a2 - 1 = 0 «> a = ±1, khi đó (1) vô nghiệm.

t g 2x + ( a 2 - 2 ) ( l + t g 2x)

l - t g 2 x

( 1)

13

2



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

OÁ

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





■ Với a2- 1 =É0 » a ±1, khi đó (1) có dạng:

, ’ - 2*8 X = ^ ĩ '

Đ ể (2) có nghiệm và thoả mãn điều kiện ta cầíi có:

2 0 Í U M| a ^ ±-JĨ

(2)

a2 - 12

<=>

■ít 1a -1

Khi đó: .(2) <=> tgx = ±tgá <=ỉ>X = ±a + k7t, keZ.

Kết luận:■ Với lal<l hoặc a = ± V í , phương trình v ô n g h iệ m .

■ Với ae(-oo, - l ) u ( l , + oo)\{± V3 Ị, phương trình cổ hai họ nghiệm.

BÀI TẬ P ĐỂ NGHỊBài tập 1: Giải các phương trình sau:

a. sin(7tccs2x) = 1.Bài tập 2: Giải các phương trình sau:

a. cos(Ttsinx) = 1.

b. c o s (7ĩ c o s 3 x ) = 1.

b. sin —= c o s ( j i x ).X

b. cotgf —(cosx + sinx)] = 1.4

Bài tập 3: Giải các phương trình sau:

a. tg[—(cosx - sinx)] = 1.

Bài tập 4: Giải và biện luận các phương trình sau:

a. cos(x+a)+oos(x-a)=2óosa • c. (m + l ) s in2 x+ l - m2 = 0.

b. ãn(x+a)+cos(x-a)=l+sina d. (m + 2)tg2x - Vm = 0.

Bài tập 5: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

a. sinx = mr, với X; e ( - —, — 4 3

b. sin(2x - —) = m, với x e [ - — ,4 ' 248

_ , Tt . ___ _ r 571 13tĩ , .c. cosíx - —) = m, với xe [ — , ——1.

3 6 6

. - TZ . , 5tĩd. cotg(x - —) = m, với xe ( ---- -, 71).

4 4

14



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P 2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





CHỦ ĐỀ 2

PHƯ Ơ NG TRÌNH BẬ G HAI

. 1ĐỐ I VỚ I MỘ T HÀM SỐ LƯ Ợ NG GIÁC

L PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I CÁC DẠ NG PHƯ Ơ NG TRÌNH LƯ Ợ NG GIÁC BẬ C HAI

Bài toán 1: Giải và biện luận phương trình :a.sirrx + b.sinx + c = 0. ( 1)

PHƯ Ơ NG PHÁP CHUNG Tạt, biện luận theo các bướe sau:

, B ớ c 1: Đ ặt slnx = t, điều kiện Itl á 1, khi đó phương trình có dạng:

f(t) = a.t2 + b.t + c = 0 . (2 )* B ớ c 2: Xét túỳ theo yêu eầu của bài toán:

1. Nếu bài toán yêu cầu giải .phương trình thì ta giải phươngtrình (2) theo t và chọn nghiệm t0 thoả mãn điều kiện Itl < 1.

2. Nếu bài toán yêu cầu giải và biện luàn phương trình theotham sô' thì ta giải và biện luận phương trình (2) theo t, điềukiện íti < 1, cụ thể:

■ Ta tính các biểu thửc A, a f ( l) , af( - 1), —- 1, - + 1

* Lập bảng tổng kết:

m A ' a f ( — I )

a f ( l ) s- - 12

i + i2

S o s á n h c á c

ngh iệm vớ i ±1

00

+ 00 \

3. Nếu bài toán yêu cầu tìm giá trịcủa tham số để pnựơng trìnhcó nghiêm

Tr ờ ng hợ p ỉ: a = 0, thử vào phương trình => kết luận.

Tr ờ ng hợ p 2: a 5*0

<=> phương trình (2) có nghiệm thoả mãn lt!<lr f ( - l ) . f ( l ) < 0

<=> (2 ) CÓI ngh iệm thuộc I - ỉ, 1|

(2 ) có 2 ngh iệm thuộ c I -1 ,1 1<í=>

A > 0

a f ( - l ) £ 0 -

a f ( l ) > 0

2 ■

15


B

Ồ

I D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

- L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

ƯN

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




4. Nếu bài toán vêu cầu tìm giá trịcủa thạm số để phương tcó k nghiệm thuộc (a , (3)

Tr ờ ní> hợ j7 1: Nếu a = 0, thử vào phương trình => kết luậTr ờ ng hợ p 2: Nếu a * 0

Vj xe(a', p) <=> te((x„ pt). (*)

Từ đó dựa vào tính chất nghiệm của phương trình sinx = sinyvà đựờng tròn đơn vịbiểu diễn khoảng (a, p), ta có được điềukiện cần và đủ cho phương trình (2).

Chú ý:1. Với các yêu cầu 3.. 4 la ƯUtiên việc lựa chọn phương pháp hàm số để eiải

phương trình.2. Phương pháp trên cũng được sử dụng đổ giái và biệv. luận phương trình:

a.cos2x + b.cosx + c = 0. •

3. Thông thường phương rrình ban đầu chưa phải phương trình bậc hai theo 1hàm số lượng giác, khi đó ta cần thực hiện một vài phép biến đổi lựợng giácdựa trên nguyên tắc:

■"''Nếi^phuưng trình chứa nhiều hàm lượng giác khác nhau thì biến đổitương đtreng về phương trình chỉchứa một hàm,

° Nếu phương trình chứa các, hàm lượng giác củíi nhiều cung khácnhau thì biến đổi tương đương về phương trình chỉ chứa các hàmlượng giác cúa một cung. •

Ví du 1: (CĐ SPHà Nội - 1997): Giải phươns trình:cos2x + súrx + 2cosx +1=0.

Gìâi

Biến đổi lương đương phương trình về dạng:

2cos2x - 1 + 1 - cos2x + 2cosx + 1 = 0 « - cos’x + 2cosx + 1 = 0

<=>(cosx + 1): = 0 <=> cosx = - 1<=í>X= 7t + 2k7T, keZ.

Vậy phươns trình có một họ nghiệm X= 3T+ 2k7T, keZ.-* *■ * p

Ví du 2: Cho phương trình:

4sin:2x + 8cos:x - 5 + 3m = 0. „ (1)^

4a. Giải phương trình với m = - —.

b. Tìm m nguyên dươns để phương trình có nghiệm.Giả i ' ,

Biến đổi phựơng trình vể dạng: '

4( 1- cos22x) + 4(1+ cos2x) - 5 + 3m = 0 o ^ o s2 - 4cos2x - 3 - 3m = 0.

Đ ặt t = cos2x, điều kiện Itl 5 1.Khi đó, phương trình có dạng:

4t2- 4t - 3 - 3nl = 0 <=>4t’ - 4t - 3 = 3m' ■ (2)■ ' '■ ■ ■


B

Ồ

I

D

ƯỠ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í -

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

10

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




4a. Với m = - —, phương trình có dạng:

4t2- 4t + 1= 0 <=>t = -ị cos2x = — 2 2 . •

<=> 2x = ± — + *2k7t « X= ± — + 2krt, keZ .3 6

4Vậy với m = - —, phương trình có hai họ nghiệm.

b. Ta lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách / : Phương trình (1) có nghiêm <=>(2) có nghiệm thuộc Ị- L, ỉ]

(2)có í nghiêmthuộc'1-l,II

(2 )có2 nghiệm thuộcJ—1.1 J<=>

f(-! ) . f ( l )<0

A'^0a f(- l) > 0

af( l)> 0

-1 < ^ < 1■ '>

<=>

(5 -3m )(-3 -3m )S 0

16 + 12m > 05 - 3m > 0

- 3 -3m > 0

9

/

<=>

4 ỹ m e Z

<=> <m < — Cĩ>

3 3

m =—l

ĨÍỊ= 0 . .m = I

- 1 < m < 5 /3 .

m > -4 /3

•ni <, 5 / 3m <—1

Vậy với m = ±1 hoặc m = 0 phướng trình có nghiêm'.

Cách 2: Phương trình (1) có nghiệin <=> đường thẳng y = 3m cắt ổổ thịhàm síy = 4t: - 4t - 3 trên đoạn f - 1, 1J .

Xét hàm số y = 4t2 - 4t - 3 trên đoạn [ - ỉ, 11-

Đ ạo hàm ..

y ’ = 8t —4, ỳ’ = 0 <=>8t - 4 = 0 <=> t = —-2

Bảng biến thiên' .t I —co

I



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

TO

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

ẤP

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





Dựa vào bảng biến thiên, ta được điêu kiện là:

m = -]4 5 ineZ*

- 4 5 3m < 5 <=> — < m < — «.3 3

m = 0

m = 1

Vậy với m = ±1 hoặc m = 0 phương trình cố nghiệm.Ví du 3: Cho phương trình:

sin23x + (n r - 3)sin3x + n r - 4 = 0.a. Giải phương trình với m = 1.

b. Tìm m để phương trình có đúng 4 nghiệm thuộc [ — , — ].

Giả i

Đ ặt t = siri3x, điều kiện Itl < 1.

Khi đổ phương trình Gỏ dạng:, , ■ ■ ■ ■ ■ ' ■ t = -1t2 + (m2 - 3)t + m2 - 4 = 0 <=>

(1)

sin3x = -1

t = 4 - m

n 2k7tX = + ——

6 3 , k e Z .Isin3x = 4 —m2 . 2 /o\L sin3x = 4 - m (2)

a. Với TĨ1 = 1, phương trình (2) có dạng:

sin3x = 3 vô nghiệm Ị '7Ĩ. Vây vớí m = I phương trình có nghiêm X = + —— , kéZ.

• • 6 3 b. Trước hết nghiệm '

71 . 2 k n 2 n 4t: , ■ l úX = - — + — e — , — 1 là X, = — .

6 3 3 3 \ 6 ■> 2.71 4-71

Vậy để phuơng trình (1) có đúng 4 nghiệm thuộc [——, — ] điều kiện là

7)t 471' phương trình (2) có đúng 3 nghiên 1 khác —— thuôc [ — , — 1.6 '3 3, _ r 271 4 j i , _ r_ „ ,Vì x e [ — , — ]<=> 3xe[2ĩỊ, 47rJ, ■

. 3. 3 ■ ’I do đổ điều kiện Ịà:

sịn3x = 0 <=>4 - m2 =: 0 m = ±2 • ■"

khi đó ta đượe các nghiệm 3xe[27t, 3n, 4n] o x e[ — ; 7t, — ]

' 27C 47CVây vỡi m = +2 phương trinh (1) có 4 nghiêm thuỡc [ t — , — ].’ ' 3/ 3

18



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

OÁ

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





Bài toán 2: Giải vằ biện luận phương trình : _____________ a.tg2x + b.tgx + c = 0 (1)

PHƯ Ơ NG PHẮ P CHUNG ,Ta biện luận theo các bước sau:

Bư ớ c 1: Đặ t điề u kiệ n cosx * 0 <í=>X * — + k7t, keZ.. 2

B ớ c 2: 'Đ ặt tgx = t, khi đó phương trình có dạng:. a.t2 + b.t + c = 0. (2);

B ớ c 3: Giải và biện luận phương trình (2) the.0 t.

Chú % •* 1 Phương pháp trên được sử dụng để giải và biện luận phương trình:

a.cotg2x + b.cotgx + c = 0* vói điề u kiệ n sinx * 0 <=> X5* kn, keZ.

2. Ư u tiên Ịựa chọn phươrig pháp hàm số đế’giải.


s cotg2x - 4cotgx +> / 3=0 .

Gidi '

Đ iều kiện:

sinx * 0 <=> X * k7t, keZ.Đ ặt cotgx = t, khi đó phương trình cộ đặng: /

s t 2 - 4 t + s = 0

"t = s CDt X = V3

<=>

H rV3

1 <=> cò t X = —=

. V3

_ n 1X - — + kiĩ6

_ 71 1_ X = — + K7T3

, keZ .

*- - L 3

Vậy phương trình có hai họ nghiệm X = 71 + 2k7i, keZ.

Vị-dụ.5: Gho phương trình:

nr —1

COS2 X- 2 m tgx - m 2 + 2 = 0 . (1)

a. Giải phương trình với m =; 2.

t b. Tìm m đế phương trình có đúng ba nghiệm thuộc (-71, — ).

Giả i

Đ iều kiện:

cosx 0 <=>X * — + k7t, keZ.. 2


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

LÍ

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3 1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

ƯN

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N




Biến đổi phương trình vổ dạng:( n r - 1)(1 + tg2x )- 2mtgx- rrr + 2 = 0 <=>(rrr - l)tg2x - 2mtgx + 1=0.

Đ ặt tgx = t, khi đó phương trình có dạng:"(m -l)t = l

(m + l)t = 1(m2- 1)t2- 2mt + 1 = 0 <=>

Với m = 2, ta được:

(2)

, ■ rct = 1 tgx = 1 = t g - j

<=>1 <=>t = - • 1

3 tgx = ^ = tga. 3 .

n 1_x = - + k7i , „4 ,keZ.

X = a -t- k7t

Vậy với m = 2, phưcmg trình có hai họ nghiệm,

b. Đ ể phướng trình có đúng ba nghiệm thuộc ( - 71, —)

m * ±1

1 I<=>(2) có hai nghiệm trái dấu <=>

„m -1 m + 1Vậy vói. Iml < 1 íhoả mận điều kiện đầu bài.


<0o m 2- 1 < 0 <=>lmi< 1 .

Bài 1: (Đ HCSNĐ - 99): Tìm các nghiệm thoả mãn điều kiện cosx > 0 của phương trình: 1 - 5sinx + 2cos2x = 0.

BÀI GI IBiến đổi phương trình về dạng:

sin X = 3. (loại)

=_ - 1 ^sinx = —

X = —+ 2k7i 6

X = — + . 6

i

Q _ r\ _—ksin

D —u X*

5n/6

\ °

/* ajsirr

\ —^ *

Ẹằng cách biểu diễn các họ nghiệm trên lên đường tròn đttn vị^ta tháty7 Ĩ ^ í *

nghiệm Ặ = —+ 2kĩt, keZ thoả mãn điều kiện COSX>0.

Chú ý: Các em học sinh cũng có thể kiểm tra bằng phươiig pháp đại scTnhư sau:

° Với X = — + 2kn => cosx = cos(— + 2k7i) = COS— = 0 ,thoả mãn.6 6 . 6 2

_ . 571 ‘Với X= —- + 2kn 6

.5:1___

571 7 3 _ . .cosx = cos(— + 2kn) = COS —*7 = <0, loại.6 6 2

Vậy họ nghiệm của phương trình thoả mãn điều kiện COSX>0 là X = — + 2kn.■■■ n

20


B

Ồ

I D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

- L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

ƯN

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Bài 2: (Đ H Đ à Nãng - 96): Chọ phương trình:cos2x - (2m + 1)cosx + m + 1 = 0.

3a. Giậi phương trình với m = —i >

b. Tìm m để phương trình có nghiệm thuôc [ —, — ].______________________ ~ _____________________ _______________________________________________________________ _______________ 2____________ 2

BẲ Ĩ GI IĐ ật t = cosx, điều kiên Itl <, 1.Khi đó phương trình có dạng:

t: - (2m + I )t + m + I =0

<=>1 1

t = — ■cosx =— ■2 <=> 2 <=>

t = IĨ1 cosx ==m

V - + —+ k.71 . . _ 3 , ksZ .

c&áX= m (*)

. Với m = —, phương trình (*) vồ nghiệm.

'•Vi

■í-2

Vậy với m = —phương trình có hai họ nghiệm X= ±—+ 2k7t, kẹZ.

). Với xe -1 £cosx á 0.

j a r 2 ■ ' " . , 3Dcpđo, phương trình (1) có ng hiêm thuôc [ —, — ] <=> - 1 < m < 0.

■V ■ _______ _ ẵ 2 ________

Bài 3: (CĐ CNIV TPHCM - 2000): Cho phương trình:*cos2x + 2(1 - m)cosx + 2m - I = 0.

a. Giải phương tririh với m = —.

b. Tìm m để phư ơ ng trình có 4 nghiệ m thuộ c [0, 271],

%

ti)

BÀI GI I

Đ ặt t = COSX; điềụ kiện Itl < 1.

Khi đó phương trình có dạng:

t2- 2(m - l)t + 2m - 1 = G.

. Với m = —, phương trình có dạng:

t2+ t = 0 <=>

. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

(2)

' t = 0 cos X= 0<=> •»

t = - l cosx - -1

n , _X= —+ kn , „2 , kéZ.

X= n + 2kn

21



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

OÁ

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





Cách ỉ: Phương trình (1) có 4 nghiệm thuộc [0, 271] <=> phựơrig trình (2) có 2nghiệm thoả mãn -1 < t, < t, 5 1 5

ÍA’> 0 , . . -m -4 m + 2 > 0

af(—1)>0

af(l) > 0 <=>'■

- 1 < —< 1

2

4m - 2 > 0

2 > 0

-1 < m —1 < 1

<=> — < m < 2 - V2 .2 7 ■<

Vậy vởi — < m < 2 - V2 phương trình (1) có 4 nghiệm thuộc [0, 2rtj.

■ Cách 2: Biên đổi (2) về dạng: -

t2 + 2t - 1 = 2m(t —1). 1=\ không \ầ nghiệm f2 + 2t — 1

«• ----------

t - 1= 2m.

Phương trình (1) có 4 nghiệm thuỘ G [0, 2 tc] <=> đường thẳng y = 2m cẳt đồ

thịhàm số y = -— — - trên (-1, 1) tại 2 điểm phân biệt.t—l

Xét hàm số y =

Đ ạo hấm

r + 2 t - l

t - 1trên (-1, 1)

lo hàm4.2__Ọ ị__1

y ’ = - • —• . y ’ = 0 ọ t 2 - 2t - 1 = 0 « - 1= 1± yÍ2". ỵ. . . ( t - 1 ) 2 , ■

Bảng biến thiên- i t -00 - 1 1-V2

0 ■

+C0

4-2 V2! y Ị p |p j . ■ , I , ■

Dựa vào bảng biến thiên, ta được điều kiện là:

1 V'ì— ,**! A o /ĩ x-v /a1 < 2 m < 4 - 2 - 7 2 < = > - < m < 2 - V 2 .2

Vậy với - < m < 2 - V2 phượng trình (1) có 4 nghiệm thuộc [0, 2:t].

Bài 4: (HVKTQS - 2001): Giải phương trìn.h:

3cotg2x + 2 V2 sin2x = (2 + 3 V2 )cosx. (1)

BÀI GI IBiến đổi phương trình về dạng:

(3cotg2x - 3 V2 cosx) + (2 V2 sin2x - 2cosx) = 0

<=>3( 00 3x— V2 )cosx + 2( V2 sin2x - cosx) = 0sin X- ■

3(cosx - -/2 sin 2x)G0sx + + 2( -Ị Ĩ sin2x. - cơsx)sin2x = 0

22



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N







Vởì — - < m < 1, phưong trình có nghiêm A

—IĨ1 —1 —i/ 4 n i2 - 3 m + 3 ■t, = — ---------------—------------------- <=> cosx = t, = c ố sa1 m —1

<=>X = ± a + 2krc, keZ .

Với m = 1, phương trình có nghiệm ,

* = — <=> t o s x = — = COS(3<=>X = ±B + 2kií, keZ.4 4

Với m > 1, phưcmg trình có nghiệm

—m —1 + - v 4 i n —3 m + 3t, = --------------- — --------------- <=>COSX = t2= cosy

m -1<=>X = ±v + 2kn, keZ.

BẰ I TẬ P ĐỂ NGHỊBài tập ỉ: Cho phương trình:

;os:2

Y5 4siirx - 8cos2 -7 = 3m.

. 4a. Giải phương trình với m = —- .

b. Tìm m nguyên dương để phương trình có nghiệm.Bài tập 2: Cho phương trình: .cos2x + 5sinx + m = 0.

a. (Đ HNN Hà Nội - 97): Giải phương trình với m = 2. b. Tim m nguyên dương để phương trình có nghiệm.

Bài ỉập 3: Cho phương ỉrình:4 c o s2x - 2(m - 1 )cosx - m = 0.

ạ. Giải phương tnnh với m = V3 .b. Tìm m nguyên dư ơ ng để phư ợ ng trình có nghiệ m.

Bài tập 4: Xác định m để phương trình: ,m co s2x —, 4(m —2)cósx + 3 (m — 2) = 0

có đúng 2 n g hiệ m t hu ộ c

Bài tập 5; Giả i và bịện luận theo m phương trình:

(m - lí s in ^ - 2(m + ỉ)cosx + 2m - I = 0

Bài íập 6: Giải và biện ỉuận ĩheo a, b phương trình:cosax + cos2bx - cos[(a + 2b)x] = 1

Bài íập 7: Biện luận số nghiệm của phương trrnh:c os 2x + (1 - m ) c osx + m - ỉ = 0 v ớ i 0 < X < 7t

tu ỳ t h eo c ác s i á trị c ố a m .

*


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í -

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

10

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N




CHỦ ĐỆ 3

PHƯ Ơ NG TRÌNH BẬ C CAO

ĐỐ I VỚ I MỘ T HÀM SỔ LƯ Ợ NG GIẤ C

I. PHƯ Ơ NG PHÁP

Bài toán 1: Giải phương trình bậc cao dối vđi một hàm sô' lượng giác.PHƯ Ơ NG PHÁP CHUNG

1. Đ ối với phương trình bậc 3:at3+ bt2 + ct + d - 0. (1)

ta lựa chọn một trong ba hướng: H ớ ng 1: Nếu xác định được nghiệm t0 thì:

. ■, t = t 0 •(1) <=>(t - t0)(at + Bt + C) = 0 <=> .at +B t + c = 0 (2)

. Khi đó việc giải (1) được dẫ n vể việc giải (2). H ự ớ ngĩ: Sử dụ ng phư ơ ng pháp hằ ng sô' biế n thiên.

H ớ ng 3: Sử dụng phương pháp hàm sô' đổ thị.2. Đ ối với phương trình bậc 4:

^ > at4 + bt3+ ct2 + dt + e = 0. (3)a^Ịllợa chọn một trong bốn hướng: Hy0ng I; Nếu xác định được nghiệm t0 thì:

. (3) <=> (t - t0)(at3+ Bt2 + Ct + D) = 0 •

't = t0 .

at3 + Bt2 + Ct + D = 0 (4) \

Khi đó việc giậi (3) được dẫn về việc giải (4). H ớ ng 2: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ. H ớ ng 3: Sử dụng phương pháp,hằng số biến thiên. H ớ m> 4: Sử đụng phương pháp hàm sô' đồ thị.

Ví du 1: (Đ H Thái Nguyên - 97): Giải phương trình:

4cos2x - cos3x = 6cosx + 2( 1 + cos2x).Giả i

Biến đổi phượng trình về dạng:

4 c o s 2x - ( 4 c o s 3x - 3 c o s x ) = 6 c o s x + 4 c o s 2x

<=> 4cos3x + 3cosx = 0 <=> (4cos2x + 3)cosx = 0

<=> cosx = 0 <=> X= - + k7t, keZ .2 ,


<=>

25



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

TO

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

ẤP

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





Ví du 2: Gho phương trình:. cos3x - cos2x + mcòsx - 1 = 0 . (1)

a. Giải phương trình vói m = 1. . . ■ b; (Đ H Y&D TPHCM — 99): Tìm m để phương trình có đúng 7 nghiệm

thuộ c khoang ( - —,271).

Giả i t • ■ • • , ... . ■ .Biến đổi phựơng trình về dạng: •4cos3x-3eosx-(2cos2x - l)+m cosx -1=0 '»4xjs3x-2cos2x+(in-3)eosx=0

Đ ặt t = cosx, điệu kiện Itl < 1, ptiương trình cổ dạng: -4f’ - 2t2 + (m - 3)t = 0 <=>(4t2- 2t + rh - 3)t = 0

t = 0

4 t2 -2 t + m -3 = 0 (2)

■ Với t = 0

' <=> cosx = 0<=> x‘= —+ krc (*>. .2a. Với m = 1, ta được: .

<=>

(2) <=> 4t2-2t-2=0<=> . 1 <=> 1 <=> ■ 2n , ,1t = ■ cosx = —- X = ± — + 2kn

- ■ 2 . 2 L 3 . ỵVậy, với m = 1, phương trình có 4 họ nghiêm.

b. Trước hết ta tìm các nghiệm thoả mãn điều kiện đầu bài từ (*), .ttftfabe:

nX, = —, 2 .

371

- 2 2

Vậy để.phương trình (1) có đúng 7 nghiệm thuộc ( - - , 2rt )

<í=>phương trình (2) có nghiêm thoả mãn - 1 < t, < 0 < t2 < 1

af (-ì) > 0

af(0) < 0 <=> •af(l) > 0

m + 3 > 0

m - 3 < 0 < = > l< m < 3.ỈĨỊ—1> 0MỊ 1 ^ w .

Vậy với 1 < m .< 3 thoả mãn điều kiện đầu bài.Chú ý. Đ ể các em học sinh tiện theo dội ta có thể lý giải điều kiện trên có được bởi:

1. Với t2e(0 , 1), thì bằng cách dựng đơòmg thẳng qua t2 vuông góc với trục

cosin ta được ba nghiệm « 1, a 2 và a 3thuộc cụng AB.2. Với t ,e ( - 1, 0), thì bằng cách dụng đường thẳng qua tịvuông góc với trục

cosin ta được hai nghiêm a 4 và a 5thuộc cung AB.

26



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

OÁ

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





Ví du 3: ■ Cho phương trình:. ' cotg*W - 3co tg2x + m . = 0 . ( 1)

a. Với m = -1 , phượng trình có mấy nghiệm thuộe (0, —) ? •■ 2 ..

b. Tìm m để phư ơ ng trình có ba nghiệ iri phân biệ t thuộ c (0 ,7t).Giả i ' ■

Đ iều kiện:sinx * 0 <í=>X k.71, keZ.

Đ ặt cotgx = t, khi đó phương trình có dạng:•t’ - 3t 2 + m = 0 . -

Nghiệm cũa phương trình (1) là hoành độ giao điểm của đồ tỉíị hàm sốy = t3 - 3 t2 vớ i đ ư ờ n g thẳ n g y. = - m .

4 X é t l ià iĩi 9Ô ỵ = X3 - 3 x 2 t rê n R.

*Đ ạo hàm:

y ’ = 3t2 - 6t, y’ = 0 <=>3t2- 6t = 0 <=>

Bảng biến thiên

t = 0t = 2

t —00 0 2 + co

y' + 0 - 0 +

y —00__ r 0 - A * • + 00

a ' Với m = - 1, đường thẳng y = 1 cắt đồ thịhàm số tại một điểm có hoành độtị > 2 , suy ra phươiig trình (1) nghiệm duy nhất thuộc (0, —).

b. Đ ể phương trình cố ha nghiệm phâri biệt thuộc (0,71) điều kiện là:

- 4 < - m < 0 < = > 0 < m < 4 .

Ví du 4:! Cho phương trình:Ịg ^ + Í ^ - l)tg’x+(m2-2ni)tg2x-(m 2-m + l)tg x -m +1=0. (1)

a. Giải phương trình với m = - 1.

b. Xấc định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thuộc ( - - , -

Giả iĐ iều kiện:

cosx *0 <=>X * — + k7t, keZ:2

Đ ặt tgx = t, khi đố phương trình có dạng:

t4 + (2m - 1)t3+ (ựi2 - 2rti)t2 - (m2- m - + l ) t - m + l = 0<=> (t - lXt3+ 2mt2 + m2t + m - 1) = 0

« ■ t 3_ l = ° 2 2 _ (I) ,t +2 mt +m t + m -1 = 0 (2)

27


B

Ồ

I D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

- L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

ƯN

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Đ ể tiếp tục phân tích (2), ta viết lại (2) dưới dạng:

t.m2+ (2t2+ 1)m + t3- 1 = 0. .Coi m íà ẩn, còn t là ửiam số, ta được phương trình bậc 2 theơrii và gĩải ra ta được:

m = ĩ- 1

t 2 + 14- 1 •m = ------ — ---- .

tDo đó (2) được chuyển về dạng:

(t.+ m - 1)ft2+ (m + 1)t + 1] = 0.Khi đó: ,

' t - 1= 0

(I) <=> t + m - 1= 0 I (II)

g(t) = t2 +(m +.l)t + 1=0 (3)

a. Với m = - 1:

(II)«

‘t - 1 = 0

t - 2 = 0 « .'t = 1 tgx = 1

<=>t = 2 : tgx = 2 = tga

_t2 + 1 = 0

X = — + k7Ị , „4 , keZ.

x = a + k r t

Vậy phương trinh có hai họ nghiệm,

b. Đ ể phương trình có 4 nghiệm phân biệt x e ( - —, —)

<=>(3) có 2 nghiệm phân biệt khác ] và 1 - m và 1 - m^l

m2 + 2rĩi -3 > 0

m + 3 * 0

3 - 2m 5*0

m ĩ* 0

<=> ì

AV>0

g(ĩ)*0

g(l - m ) * 0

1- m * 1

», . 31< m 5*-

2 .g(l - m) u n í< -31 - m # 1 m * 0

. ■ T, •■■ ■ ; *Vây với mé( 00, 3 )u ( l , + oo)\j - } phương trình có 4 nghiêm phân biêt.

■ T ; 2 ■ *’, . % , %. , . ý ILCÁC BÀI TOÁN THI

Bài 1: (Đ BNN - 2000): Giải phương trình:1

BÀI GI IĐ iều kiện:

■ C0SX.5É 0 <=> X * —+ k ĩ t , keZ.2

Biến đổi phương trình về dạng:[2(2c o s 2x - 1) - 8cosx + 7]cosx = 1<=>4cos3x - 8cos2x + 5cosx - 1 = 0 .

28


B

Ồ

I D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

- L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

ƯN

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Đ ặt t = cosx, điều kiện ltl<l. .


4t3 - 8t2 + 5t - 1 = 0 <=>(t - l)(4t2 - 4t + 1) = 0 <±>(t - l)(2t - l)2 = 0

X = 2kn

X = ± — + 2k 7t

. 3Vậy phương.trình CQ ba họ nghiệm-

t = 1 COS X = 1'

<=> 1 <-> 1 <=>COS X = —

. ~ 2 2

Bài 2: (Đ HỌ G TPHCM Khối D - 99): Cho phương trình:( c o s x + l)(cos2x - m co sx ) = r r i:SÌn2x.

a. Giải phương trình với m = -2 .

BÀI GI I

Biến đổi phương trinh về dạng:(cOsx + 1)(cos2x - mcosx) = m( 1 - cos2x)<=> (co sx + l)[c os2x - m c o s x - m ( l - cosx)] = 0 <=> (cosx + 1 )(cos2x - m) = 0

cosx = -1

*cos 2x = m

X = 7C.+ 2kĩt, keZ .

cos2x = m (*)

a. Vcjj0&=-2, phương trình (*) vô nghiệm.vậy = -2 , phữơrig trìrih có một họ nghiệm X = n + 2k n, keZ.

b. Đ ể phương trình có đủng 2 nghiệm thúôc ỊO, — ]

4tc<=> phương trình cost = m (với t = 2x) có đúng 2 nghiệm thuộc [0, — Ị

<=> - 1 < m< - - .2

Vậy với - 1 < m< - — thoả mặn điều kiện đầu bài.

Chú ý: Đ ể các em học sinh tiện theo dõi ta có thể lý

iả i điề u kiệ n trên cỏ đứ ợ c bở i:■ Nếu —— < m ắ I, thì bằng cách dựng đường thẳng vuông góc với trục

cosin ta được hai nghiệm a, và a 2 nhưng khi đó dễ thấy a 2 không- thuộc

cung AB , tức là chỉcó 1 nghiệm được chấp nhận.

■ Nếu - 1 < m ắ , thì bằng cách dựng đưcmg thẳng vuông, góc vói

trụ c cọ sin ta đư ợ c hai nghiệ m X|, X, và cả hai nghiệ m nàỳ đề u thuộ c cung

AB , tức là có 2 nghiệm được ctíấp nhận.

b. Tim ri) để phương trình có đúng 2 nghiêm thuôc [0, — ].

29



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

OÁ

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





Bài 3: (Đ HSP TPHCM Khối A - 2000): Cho phương trình:

sin3x - mcos2x - (m + l)sinx + m = 0.

Tìm m để phương trình có đúng 8 nghiệm thuộc (0, 371).BÀI GI I

Biên đổi phương trình về dạng:3sinx - 4sin3x - m(l - 2sin2x) - (m + 1<=>(4sin2x - 2msinx + m - 2)sịnx = 0

sinx .= 0 <=> ,

4 sin X - 2 m s i n x + m - 2 = 0 ( 1 )

Với sinx = 0' X, = nx e ( - 0 ,3 i t) r X , = n V

<=> X —k rt o . \ 2 =2n -I

'Với phương trình (1), đặt t - sinx, điểu kiện Itl < 1, ta được:4t2 - 2mt + m - 2 = 0„ .H-L —Z,IIU T 111—

Vậy để phương trÌỊih cố'đúng 8 nghiệm thuộc (0, 371)<=>phương trình (1) có 6 nghiệiti thuộc (0, 371 )\| 71, 2n}<=>phương trình (2) có nghiệm thoả mãn - 1 < t, < 0 < t2< 1'

(.2)

<=>

ạf(- l) > 0

af(0) < 0 <=> •

af(l) > 0

3 m + 2 > 0

m - 2 < 0

- m + 2 > 0

2 *Vậy với - - < m < 2 thoả mãn điều kiện đầu bài.

Chú ý: Đ ể các em học sinh tiên theo dối ta cố thể lý giải điều kiện trên có được bởi:1. Với t,e(Ọ , 1), thì bằng cách dựng đưòng thẳng qua t2 vuông góc với trục sin

. ta được bôn nghiệ m <X|, ạ „ ot3và ạ 4 thụộc cung ÁB .2: Với t ,e ( - l , 0), thì bắng cách dựng đường thẳng qua t| vuông góc với trục

sin ta được hai nghiệm a 5 và a6 thuộc cung AB.

BÀr TẬ P ĐỂ NGHỊBài tập 1: Giải phương trìrih:

4(sin3x - cos2x) = 5(sinx - 1)

Bài tập 2: Cho phương trình:

sin3x + sinx - 2cos2x = m.a. Giải phương trình với m = 0.

b. Tìm m để phư ơ ng trình có 6 nghiệ m phân biệ t thuộ c [0 ,7t].Bài tập 3: Xác định m để phường trình:

cos4x + (m - 2)sin2x + 4 = 0 vô nghiêm.

30



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

TO

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

ẤP

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





• ■' * CHỦ ĐỀ 4

PHƯ Ơ NG TRÌNH BẬ C NHẤ T

ĐỐ I VỚ I s i n x VÀ e o s xI. PHƯ Ơ NG PHÁP

Bài tọán 1: Giải và biện luận phương trình:' __________ .asinx + bcosx = c. (1)

PHƯ Ơ NG PHÁP CHUNG ,

Ta CÓ thế lư a chọ n m ộ t trong eác cách sau:Cách 1: Thực hiện theo các bước:

B ớ c 1. Kiểm tra:1. Nếu à2+ b2< c2phương trình vở nghiêm.2. .Nếu a2 + b2>c2, khi đó để tìrri nghiệm của phương trình,(1) ta

thực hiện tiếp bước 2.

B ớ c 2. Chia hai vế phương trình (1) cho Va2 +b2 , ta được:a b ___ c

—ĩ— . sinx. + J= cosx = ;Va2 +b2 ì/a2 + b2 Va2 +b2

Vì ( a )2+ ( b ^ )2 = 1 nên tổn tại góc B sao choV a2 +b2 Va2 + I

Va2 +b2 ■ Va2 +b2Khi đó phương trình (1) có dạng:

sinx.cosp + sinp.cosx = . c o sin(x + P) =Va2 + b2 • Va2 + b2

Đ ây là phương trình cơ bản của sin.Cách 2: Thực theo các bước:

B ớ c 1. - Với c o s- = .0 <=>X= n + 2kn, kiểmtra vào phương trình:

B ớ c 2. Với COS —#0 <=> x*n + 2kn, đật t = tg—, suy ra:

, . _ 2t . _ 1 -t2’sinx = , và cosx = -——.1 + t2 ■ 1+ t2

Khi đó phương trình (1) có dạng:a .-—1■ - + b .1~ 1-,- = c <=>(c + b)^- 2at + c - b = 0. (2)

1+ 12 1+t* B ớ c 3. Giải phương trình <2) theo t.

Cách 3: Vớ i nhữ ng yêu tầ u biên luậ n số nghiệ m củ aphư ơ ng trình trong( ) ó hể lự họ hươ há hà ố đổ hị


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í -

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

10

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N




Cách 4: Với. những yêu cẩu biện luân tính chất nghiêm của phương trìnhtrong (a, (3), ta có thể lựa chọn phương pháp điều kiện cần và đủ.

Nhậ n xét quan trọ ng: -1. Cách 1 thư ờ ng đư ợ c sử dụ ng vớ i các bài toán, yêu cầ ụ giả i phư ơ ng trình và

tìm điều kiện của thảm số để phương trình có nghiệm, vô nghiệm hoặc giải

và biệ n luậ n phư ơ ng trìrih theo tham số . . ,2. Cách 2 thường được sử dụng với các bài toán yêu cầugiải phương trình và

tìm điểu kiện của tham sỏ' để phương trình có nghiệm thuộc tập D vớiDc[0,2rt] , . .

3. Cách 3 thường được sử dụng với các bài toán yêu cầu biện luântheo thamsố để phương trinh k có nghiệrrvthuộc tập D với DnfO, 2n\ 0.

4. Từ cách giải 1 ta có được kết quả sau: '

- Va2 + b2 < asịnx + bcosx < Va2+ b2kết quả đó gợi ý cho bài toán về giá trịlớn nhất và nhỏ nhất củacác hàm

• , . , • a.sìnx + b.cosx . , " . . . ,số dang y = a.sinx + b.cosx, y = — ----------------- và phư ơ ng pháp đánh

' c.sin X+ d.cosxgiá cho một số phương trình lượng giác.

Dạ ng đặ c biệ t: .

B sinx + cosx = 0<=í>x = - —+ k7i, keZ.4 .

B sinx - cosx = 0 <=> X = —+ k7t, keZ.4

Ví du 1: Giải phương trình:V ĩ sin3x + cos3x = \Ỉ2.


V3 . , . 1 -5 _ V2 . _ n . .n_'tỊĨ ——sin3x + —cos3x = — <=>sin3x.cos—+Cós3x.sin—= -r-2 2 2 6 * 6 2

2kĩt+ ZK7C X = ----- +6 4« ’SĨn(3x+ —)=sin—<=>

6 4<=>

3x + ^ = 71- —+ 2k7t. 6 4

Vậý phương trình có hai họ nghiệm.Ví du 2; Giải phương trình:

%X= -—+■36 3 _ 7n 2k n

x ~ 36 +

X'

,keZ

3sinx - 4cosx = - .2

GiáiBiến đổi phương trình về dạng:

3 4 1 —sinx - —cosx - -5 5 2


B

Ồ

I

D

ƯỠ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í -

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

10

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




3 4Đ ặt —= cósa thì — = sinạ, khi đọ ta được:

5 5

s i n x . c o s a - c o s x . s i n à = - - < = > sin(x - à) = sin(- — )

<=>

x - a = —•—+ 2krc 6

71x - a = 3T+ —+ 2k7t 6

X = a —— + 2 k n 6

571X = —- + a + 2kn

, keZ .

Vậ y phư ơ ng trình có hai họ nghiệ m.

í t e à i Giả i phư ơ ng trình:

sin2x - 3cos2x = 3Giả i

Ta có thể lựa chọn rriột trong haỉcách sau:Cách I: Biến đổi phương trình về dạng:

1 : . 3 3 —J=r sĩn2x----

= c o s 2 x = —= r ■,.■■■V10 V10 vĩo

Đ ặt -;Lr = cosa thì —J= = sina, khỉđó ta đươc:' V10 VI0

sin2x.cosa - cos2x.sinạ = sĩna <=>sin(2x - a) = sina

X= a + kĩt2x - a = a + 2kn

2x —a = 7t - a + 2k% 71 >keZ.X = — + k ĩt. 2

Vậy phường trình, có hai họ nghiệm.Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng:

sirứx = 3( 1+ cos2x) <=>2sinx.cosx = 6cos2x <=>(sinx - 3eosx).cosx = 0

X=; a + kn<=>

sin X- 3 cos X- 0

cos X= 0o

tgx = 3 = tga

cọsx = 0<=>

Vậy phương trình có hai ho nghiệm.

Ví du 4: Giả i phư ơ ng trình:

2sinx - 3cơsx = - 2Giỏ i

Ta có thể lựa chọn một trong haí cách sau:Cách ĩ: Biên đổi phương trình về dạng:

2 3 2-—= sinx---- j= cosx = - . .V13 ■ V13Vl3



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





2 3Đ ăt ~ = = epsa thì -j== = sina, khi đó ta đươc:' V13 Vl3

sinx.cosa —cosx.sina = cosa <=>sin(x - a) = sin(a - —)

<=> x - a = ? a - - Ỉ7 + 2kn 1

x - ạ = 7 i - a + -r + 2ks . 2

<=> X = 2 a - - - + 2kĩc2 3n J ' .

X = —- + 2krc. 2 . .

, keZ .

Vậy phưang trình có hai họ nghiệm.

Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng:X

22(1 + sinx) = 3cosx <=>2(cos— + sin —)2 = 3(cos2—- sin2—)

<=>I2(cos—+ sin—) - 3(cos— - sin —)](cos— + sin —) = 0

2 2 2 2 2 2

<í=>5s in— - c o s —= 0

2 . 2 ‘• <=>X X

co s-r+ sin-^ = 0. 2 2

X = 2cx + 2kĩt

_ 3 t i ,keZ.X = — - + 2 k n . 2

X 1 _ t í ± = i = , ga

_ x 1í g f = - l

<=> —= a + kTt „2X 3rt ., _

—= — + k7t

Vậy phương trình có hai họ nghiệm. -

Chú ý: Gác em học sinh cần có thói quen kiểm trạ điều kiện ạ2 + b2>c2ra nháptrước khi đi giảị phương trình bởi có nhiều bài thi đã cố tình tạo ra những phương trình không thoẳ mận điều kiện trên vối mục đích kiểm tra kiến thức cơ bin của các em! Gụ thể nhự đề thi Đ HGTVT - 2000.

Ví du 5: (Đ HGTVT - 2000)' Giải phương trình:

2 -Ị ĩ (siiủc + cosx)cosx = 3 + cos2x.Giả i •

Biế n đổ i phư ợ ng trình về dạ ng: ■

V2 sin2x+ V2 (1 +cos2x)=3+pos2x<^> V2 sừứ x+(VĨ - I)cos2x=3- V2

Ta có:

W 2

b = 1 / 2 - 1 =>

c = 3 - -J 2 \ .

Vậy phương trình vồ nghiệm.

+ h2 = 2 + (V2 - l ) 2 = 5 - 2/ 2 .

p2 = (3- - y2)2 = I I - 6V2=> a2 + b: < c2

34



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N





Chú ý: Việc lựa chọn cầc phép biến đổi lượng giác phù hợp trong nhiềiì trường hợp ta■sẽ tìm được phép biểiKổiễn chẵn cho các họ nghiệm. Chúng ta xem xét ví dụ sạu:

Vì du 6: Giải phương trình:

(1 + V3 )sinx + (1 - V3 )cosx = 2G iả i

Cách 1: Biến đổi phương trình về 'dạng:

I + V3 • / 1 - / 3 1

2V2■sinx + _ cosx = .

2V2 v'2

Đ ặt yỉ- = cosa thì -í— = sina, khi đó ta được:2V2 2V2

sìnx.cósa + cosx.sina = - 7 = <=>.sin(x + a) = sin — . V2 4

<=>x + a = —+ 2kn

4'

x + a = 7t- —+ 2k7i. 4

<=>X = — - a + 2 k n

43tc - , _

X = — - a + 2k7t 4

, keZ.

Vậy phương tành có hai họ nghiệm.

Các/ỉ2: Biên đổi phương trình về dạng:

(sinx+ cosx) + V3 (sinxcosx) = 2 « V2 sin(x + —) - cos{x + —) = 2* 4 4

- 1 . , 7U. V 3 __ , 71s 1<=> - sin(x +■ —) - — cos(x + —) = -pr2 4 2 . 4' V2

<=>sin(x + —).gos —- cos(x + —).sin— = ~ <=> sin(x + — - —) = sin—4 3 4 3 t /2 4 3 4

<=>X - — = — + 2k7t

12 *4

n 7tX ----— = 7t — —+ 2KJI. 12 4

<=>X = — + 2k7t

3

571 _ X = — + 2k7i

. 6

,keZ.

Vậy phươrlg trình có hai họ nghiệm.'

ATíận xét:

1. Như vậy bàng cách 1 ta tìm đuơc nghiệm của phửơng trình không tường minh,trong khi đó nẽu sử dụng cách 2 ta thấy nghiệm của phương trình rất chẩn.

2. Một vài tài lịệu tham khảọ giải phương trình bằng cách đặt t = tg —, dẫn tới

phương trinh 1


B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

- H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

100

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Với tị= ta được:V3

tg—= = tg—<=> —= —+k7T«>x = - + 2kn, ke Z.2 >/ 3 , 6 2 6 . 3 ;

* Với t, = ta .được-.2 & - Ỉ

, X _ V 3 .+ I _ t S 3 + t g 4 _ ,.„771 X _ 5j[ wtg — = — — = -------- =2------- a— = —t g- - f = t e - - <=>— = — + K7I

. 2 V3 - 1 1 - H . l j a l 12 12 2 123 4

<=> X = — + 2krc, k e Z . •6

Ví du 7; Giải phương trình:2 ( -v/5 s i n x - c o s x ) * 3 s i n 2 x + -/ 7 c o s 2 x

Giả iBiến đổi phựơng trình về dạng:

2 V3 sinx ~ 2cosx = 3sin2x + V7 cos2x

<=> — sinx - -Ị- eósx = —sin2x + — cos2x2 2 4 4

Đ ặt — = cosa thì — = sina, khi đó ta đựợc:4 4 ■

sinx.cos — - co sx sin — = sin2 x c o s a + cos2xsina <=> sin(x — —) = sin(2x + a ) 6 6 . 6

<=>

„ 7f 2 x + a = X - — + 2k7t

6 07t

2x + a = 7t-x + —+ 2k7t X6 _


X = - a + 2k7t

_ 6 , keZ. _ 77C a 2kn

X~ Ã Ĩ ~ J +~

Chú ý: Ví dụ trên đã minh hoạ cụ thể phương pháp giải, phương trình dạng:a.sin(kx) + b.cos(kx) = c.sin(lx) + d.cos(Ix) .. (I)

với điều kiên a2 + b2 = c2 + d2.Và sự mở rộ ng khác cho dạ ng phư ơ ng trình trên như sau:

a.sin(kx) + b.cos(kx) = Va2 +b2 .sin(lx) (II)để mình hoạ ta xem xét ví dụ sau: .

Ví du 8: Giải phương trình:2sinx(cosx - ì) = cos2x

Giả i . .Biến đổi phương trình về dạng:

2sinx.cosx —2sinx = V ĩ cos2x <=> sin2x - J 3 cos2x = 2sinx (*)


B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

- H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

100

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




1 7^ —sin2x - — 'Cos2x = sinx <=>sin2x.eos4 - cos2x.sin— = sinx2 2 33

<=>sin(2x ——) = sinx *£>2x = X+ 2kjt

3

2x - 4- = 71 - X + 2kit. 3

<=>X= —+ 2kit.

3471 ’2k7t

X = —— + r — 9 3

, keZ .

■Vậy phương trình có haỉhọ nghiệm.Nhậ n xét: Như vậy bằng một vài phép biẽn đổi lượng giác thông thường ta đãchuyển phirơng trình ban đầu về (*) và đó chính ỉặ dạng (II).

Ví d u 9: Giải phương trình:

4 Ĩ (sinx + -J 3 cosx) = V3 cos2x - sin2xGiả i

Biến đổi phương trình về dạng:_ Ị 's/s ị

V2 ( - sinx+ — cosx) = — coá2x - -- sin2x2 2 2 2

<=> V2 (sinx.cos —+ cosx.sin — ) = sịn — .cos2x - COS— ,sin2x3 3 3 3

<=> V2 sin(x + —) = sin( —- 2x) = sin(2x + Q )

<=> V2 sin(x + —) = 2sin(x + —}.cos(x + —)

<=>[ V2 - 2 cos(x +'■—)]sin(x + —) = 0

<=>Jt &C O S ( X + r - ) = - ---3 2

sin(x + — ) = 03

<=>x + - - ± - + 2tar' 3 4

X+— = kiĩ3

<=>

X= — + 2krt

X * -— + 2kjr, k€Z. . 12

X= - —+ kĩt .3

Vậy phương trình có ba họ nghiệm.

Ví du 10: Cho phươhg trình:

4 Ĩ sin2x - mcos2x = ỉ'.a. Giải phượng trình với m = 1.

b. Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm với mọi m.Giả ia. Với m = 1, phượng trình có dạng: •

r~ .

sin2x - mcos2x = 1 <=>— sin2x - —cos2x = — 2 2 2

<=>sin2x.cos —- cos2x.sin - = - < = > sin(2x - —) = ST1 — 6 6 2 6 6

37



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N





- + 2ka n r X = — + k ĩt

6 » .0

71n - —■+2kn n 1X = — k7C6 . 2

, keZ .71

X - — ■6

Vậy với m = 1 phương trình cộ hai họ nghiệm.. b. Ta có: . ' •

a2 + b2= 3 + m2 > 1 = c2, VmVậy phương trình có nghiệm vói mọi m.

Ví du. 11: (Đ HKT - 2G01): Giải và biện luận phương trìnhr 4m(sinx + cosx) = 4m2 + 2(ịG0SX - sinx) + 3. -

Giả iBiến đểi phựợng trình về dạng: i

' . 2(2m + l)sinx + 2(2m l)cọsx» = 4m2 + y Xếthiệu •

a2+fc?-cz=4(2m+ ỉ f+4Ọ m-ự -(4nr+3)2= -(16m4-8n í+ Ị)= -<4n í- i;fe.OVậy phương trình chỉcó nghiệm

•• 1 • w •<=>a2 + b2 - c2 = 0 <=>m = ± —.

2

■ Với m = —, phương trình có dạng:

sinx = 1 <=>X= 3 + 2k7T, keZ.2

■ Với m = ——, phương trình có dạng:

COS = ỉ » X = 2kn , keZ .

■ Vớ i m * ± —, phư ớ ng trình vô nghiệ m.

Ví du Ĩ2: Cho phương trình:(m + 2)sinx - 2nìcosx = 2m + 2. (1) •

a. Giầi phựơng trình với m = - 2., 71

b. Tim m đế phư ơ ng trình có nghiệ m thuộ c [ - —, 0].

Giả iXét hai trường hợp

■ Vớicos- =ũ<=> —= —t k7T<=>X= TU+ 2krc, thay vào phương trình ta được:

(m + 2)sin(7t + 2k7t) - 2mcos(7i + 2kit) = 2m + 2 <=>: 2m = 2m + 2 (MT)

; Vậy X= 7t + 2kĩt, k eZ không phải là nghiệm của phương ỉrình với mọi m.



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N





» Với COS — * 0O ' — * — + k7i «■ X * 71+ 2k7t, keZ; -2 2 2

_ X .. . _ 2 t - . Í - 12 *

Đăt t = tg —,SUV ra sinx = -——& GOSX = -—— .2 , 1 + t 2 1+ t 2

Khi đó phương trình (1) có dạng:

(m - ^ - 2m^'~ t 1 = 2m + 2 <:> t2 - (m ■+2)t +í 2m + 1 - 0. (2) 1+ t2 1 + t2

a. Vớ úm = - 2, phư ơ ng trìrih (2) có dạ ng:

tgẶ = VJ

t - 3 = 0 <=>

271

:=VãVã'<=>

X n — = — + k7T

2 3 .X 71 ,-7 = —- + k7I ■.2 3

<=> X = ± — - + 2kn, keZ3

Vậy với m = - 2, phơơng trình có hai họ nghiệm.

b. Vì x e[ - —, 0] «=> —s ỉ ——, 0] suy ra teị - 1,0],2 2 4

Cách 1: Đ ể (1) có nghiệm tHuộe [ - —, 0] <=> (2) có nghiệm thụộc [ - 1, 0]

<=>

<=>

(2) có 1nghiệm thuộc [-1,0]

(2) có 2 nghiệm thủộc [-1,0]

(3m + 4)(2m + 1) áO

m2 - 4m > 0

f(- l) . f(0)<0

A £ 0

a f(- l )2 0af(0)2-0

2

<& 3m + 4 > 02m +1 £ 0

4 1Vậý với — - < m < — -ị pHương trình có nghiệm.

Cách 2: Viết lại phữơng trình dưới dạ ng:

t - 2t + 1

t - 2= m

y =

Phương trình (1) cố ngHiệm <=> đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số

t2 ~2t + ltrẽn đoạn ['- 1,0].


Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

- H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

00

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Đ ạo hăm

y’ =t - 4 t + 3

>Ovới Vte [- 1,0] o hàm số đồng biến tiên [ - 1,0].( t - 2 ) 2

Do đó đường thẳng y = m cắt đồ thịhàm số (C) trên đoạn [ - 1,0]

<=>y(-l) á m < y(0) < => -— < m <— .4 1

Vậy với —— ắ m ỉ- - phương trình có.nghiệm.

Ví du 13: Gho phương trình:-J5 sinx + cosx =' m.

a. Giải phương trình vói m = - 1.

b. Biên luân theo m số nghiêm thuôc ( - —, 2ĩt] củ a phư ơ ng trình.■ " ’ ‘

6Giả i' a. Với m = - 1, phư ơ ng trình có dạng:

s sinx + cosx = - ! < = > — sinx + —cosx = . - — <=> sin(x + —) = sứ i( - —)

( 1)

<=>

71 _ 71 Ó I _ X + —= - - f + 2k7i 6 6

71 71^. ,X + — = 71 + — + 2k7t 6 6

X = - — + 2kn3 , keZ .

X + — = 71 + — + 2k7t X = n + 2kn . 6 6 LVậy với m = - 1 phương trình có hái họ nghiệm. ->

b. SỐ nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đường thẳng y = m vói

phần đồ thi hàm số y = sinx + cosx trên Đ = ( , 2n\.

Xét hàm số y = :'S sinx + cosx.

Miền xác đinh D = , 2n].

■ 6Đ ạo hàm:y ’ = V? cosx - sinx,

r n xeDy’ = 0 <=> V3 cosx - sinx = 0 <=>cos(x + —) = 0 o

X = 71/3

X = 4 T iị3

Bảng biện, thiên: —Tí/ố 71/3 4t ĩ/3 271

0 0

Kết luận:a . Với lml > 2, phưotng trình vô nghiệm.B Với m = ±2, phương trình có 1 nghiệm thuộc D. v


B

Ồ

I

D

ƯỠ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í -

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

10

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N




■ - Với - 2 < m < 0 hoặc 1 < m < 2, phương trình có 2 nghiệm thuộc Đ .■ Với 0 < m < I , phương trình éó 3 nghiệm thuộc D.

3 txVí du 14: Biện luận theo m số nghiệm thuộc [0, — ] của phương tình:

m s in x + c o sx = 2 m . ( ì )

Giả i

5'


■ ^ C O S X -co s x = m (2 - sinx) <=> — —— — = m

2 - sin X ;

Số nghiệm của phường trình bằng số giao điểm của đường thẳng y =■ m với

ồ thi hàm số y = COSX trên D = [0, — ].■ 2 - s in X 2

Xét hàm số y =cosx

2 - s i n x

Miền xác đinh D = [0, — . . 2

Đ ạo hàm:

y ’ =-s in x. (2 -si nx) + cosx.cosx _ l--2sinx.

(2 - s inx )2 (2 - sin x)2

Ị x e D

y ’ = 0 o 1 - 2sinx = 0 <=>sinx = — ó. . 2

Bảng biến thiên:

X = 71/6

X = 5rt/6

X 0 tc /6 5Ù/6 3n/2V ,

y + 0 0 +

'y - * 01/2------- - -—*.-l/V3 —

Kết luận:

■ Với Iml > - L - , phương trình vô nghiêm.r 3 '

■ Vớ i m = ±-Ị = hoăc 0 < m < —, phự ơ ng trình có 1 nghiêm thuộ c D.V3 '2

■ V ó i---- 1 < m < 0 hoăc - < rii < -Ị =r, phư ơ ng trình có 2 nghicm thuôc D., V3 2 V3

Ví du 15: Gho phương trình:r- , .

V3 sinx + mcosx = 1.•> •

Tim m đ ế phư ơ ng trình c ọ 2 ng h iệ m X ,, x 2e [ 0 , 2n) s ao cho X, + Xj = — .

41



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

TO

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

ẤP

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





Giả i

Điều kiệ n cẩ n: Giả str-phơơng trình cổ nghiệm X= oce[0, — khi đó X = — - a

cũ ng là nghiệ m, nhữ vậ y:

■ v/3 sin a + m GOSa = 1

\ /3 sin(— - a) + m cos(— - a) = 1

<=> ■m cosa = 1—-*/3 sin a

ã •2 2

=>

Ị ^/3 ~ 3 1m(— -COSOC + — -s ỉ n a ) = 1 - V3(——COSa + —sinos)

-2 2 2 2

cosa 1- %/3 sin a ,

- c o s a + V3 s in a 2 - 3 c o s a - sin a

- o (2 - 3 co sa - >/3 sina)cosa = ( - cosa + -v/3 sina)( l - -y/ĩ sỉná )

3cọ s2a + s siư 2a = 3cosa - s sina

^ -Jĩ - I :_<■> . -Jĩ _ 1 . '4—cos2a+ —sĩn2á= — co sa - - sinoi 2 2 2. 2

<=> cos2a.eos-^ -HFtn2a.sin -7 =co sa.cos4 - s ina.cos4

<=>

_ 7C 7C2 a - —= a + —+ 2kit a = —+ 2kĩt

6 6 3<=> <=>_ 7t 7t _ 2k7t2 a - — = - a - —+ 2kít a = ——

6 6 . 3

■ v ớ i a = —, thạ y vào phư ơ ng trình ta đuợ c:

Ví sin—+ mcos = 1 o m = - 1.-3 3

■ Với a - 0, thây vào phương trình ta được:

■ Jĩ sinCl + mcosO = 1 <=> m = 1.

2n■ Vớ i a = — , thay vào phư ơ ng trình ta đư ợ c:

Vs sin — + mcos — = lo m - - lv- 3 3 •

.Vậy vói m = ± ĩ là điều kiện cần.

271

na = —3

a = 0

2ỉra = —-

42



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N





Điề u kiệ n dử .■ Với m = 1, thay vào phuơng trình ta được:

s .s sinx + cosx = ì <=> — sinx + ~ cosx = - o sin(x + —) = sin — 2 2 2 6 6

71X + — = — + 2 k rt X= 2kn X€[0,2ff) X,

■ . 6 6- <=>. «• 2n <=>

71 X = í —+ 2kit x2X + — = 71- —+ 2k?t _ 3

. 6 6

2tt

T

V 271 Nhận xết rằng khi đó X, + x2 = — , do đố m = 1 thoả mãn.

■ Với m = -1 - Đề ngRị bạ n đọ c tự làm.

u . CÁC BÀI TOÁN THI

Bài 1: (Đ HMĐ C - 95): Giải phương trình:3sin3x - cos9x = I + 4sin33x

• BÀIG1ÁIBiến đổi phương trình về dạiìg:

3sin3x - 4ậin33x - s cos9x = ỉ sin9x - Vs cos9x = 1 Bạ n đọ c tự giả i tiế p.

Bài 2: (Đ HMTCN - 96): Giải phương trình:cos7x.cos5x - Vĩ sin2x = 1 -sin7x.sin5x _____________

BÀI GI IBiến đổi phuơng trình VỀ dạng:

òos7x.cos5x +■ sỉn7x.sin5x - sin2x = 1 <=ỉ>cos2x - V? sin2x = 1

Bạ n đọ e tự giả i tiế p.

Bài 3: (Đ Ẻ KTQĐ - 97): Tìm các nghiệm thuộc khoảng C— , — ) của

phương trình: _____________ -Jĩ sin7x —cos7x = V2

_ BÀI GI IBiến đổi phương trình về dạng:

1/3 1 ■_ _ V2 . _ n n . n _ 42<=> ——siii7x - —cos7x = — <=> sin7x.cos— - co s7 x.sin — = ——2 2 2 6 6 2

«sin(7x- —)=ãn—<=>6 4

_ 71 71 _.7x - —= —+ 2k7t

6 4

7x - —= 7t - —+ 2kTt6 4

<=>

571 2k7i

X _ 84. + _ 7~117t ■2kĩi

“ 84 i

,keZ


B

Ồ

I

D

ƯỠ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í -

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

10

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N




Vối họ nghiệ m X = — + ,ta được:V 6 . Y 84 7 » V

2 n 571 2 k n Ó7Ĩ 2 5 ' 2 k 6 5 . _ _

5 84 7 7 5 -84 . ■••7 7 84

Khi đó ta đươc nghiêm X, = — + — = 2 1 ĩ . ,. 184 7 84

Với ho nghiêm X = , ta đư ơ c:v & • 84 7 v

2 t i 1 Ỉ7t 2k7t Ô7t ^ '2 — < — + < T W -

5 84 7 7 5n_ 2k 6 _ _n_ 84 7 7 . 84

>k= 1,2

- i _ _________ I I7C 2 lt 3571 o I lrc 4 ti 597tKhi đó ta được nghiệm X, = —— + =: — - & X, - —— + —- = — —.• M 7 84 3 84 . 7 »4

a. Bạ n đọ c tự giả i. b. Biến đổi phương trình về dạng:

B I GI I

sinx = m(l - cosx) oCOS X = 1

sỉnx

1 - COS X

<=>= m

X = 0 V X = 2n

sinx

1 - COS X = m (*).

Vậy để phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thuộc ( - 7t, — ) điều

:n là phư ơ ng trình (*) có 2 nghiệ m phân biệ t thuộ c (-71.,, — ).

Số nghiệm của phương tònh (*) bằng sô' giao điểm của đường thẳng y = mV _ sinx 7n ,

[đố thị hàm số y = — ■— — trên D = (-71,

kiệ n là phư ơ ng trình (*) có 2 nghiệ m phân biệ t thuộ c (-71.,, — ).

Số nghiệm của ph

với đố thịhàm số y =

Xét hàm số y =

trên D = (-n , ).1- cos X 3sinx

1 - COS X

Miền xắc định D = ( - n, — ).í V > 3 /

Đ ạo hàm y ’ = COS*— <0, VxeD,(1-cosx)2

Bảng biến thiên:X - 71 0 2 tc 7 t ĩ /3y ’ - •• —

y 0 + GO-~----^ + 00

-00 —00


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N






B I TẰ P ĐỂ NGHỊBài tập 1: Giải các phư ơ ng trình sau: -

.. ạ. cos2x - Vs sỉn2x = sin3x +1. b. 3sinx - S cos3x = 4sĩn3x - 1.Bài tập 2: Giải các phương trình sau:

a. 2cosx( s inx - 1) = -J ĩ cos2 x. b. 2s in3x - s in2x.'+ s cos2x = 0 .Bài tập 3: Giải các phương trình sau:

• a. 3sin2x + 4cos2x + 5cos2003x=0. b. -Jĩ sin4x—cos4x = sinx —-Jị cosx.Bài tập 4: Giải các phương trình sau: . .

à. V ĩ sin(x - —) + sin(x + —) - 2sinl97 2x = 0.3 6

b. sinx = —(3 - 1/3 cosx).3

Bài ỉậ p 5: Giải các phương trình sau:

a. sin2x + ( J ĩ - 2)cos2x = 1. b. (1 - s )sinx + (l + -J3 )cosx = 2.Bài tập 6: 'Giải các phương trình sau: •a. 3cosx - s in2x = s (cos2x + s inx) .

b. 4 Ĩ cos{- - — ) - Vó sin(—- — ) = 2sin(— + — ) - 2sin(— + -) .5 12 5 T2 ' 5 3 5 6

Bài tập 7: Cho phương trình: (m—l)sirix - cosx = 1.a. Giải phương trình với m = 1. •

b. Tìm IĨ1 để phư ơ ng trình cồ nghiệ m thuộ c [ - — Ị.

Bài tập 8: Cho phương trình: msinx + 2cosx = 1 - m.a. Giải phương tfinh với m = 2 & .

b. Tim m để .phự ơ ng trình CQnghiệ m thụ ộ c [ - —, —

Bài tảp 9: Cho phường trình: s sinx - cosx = m.a. Giải phương trình với m = ĩ. .

■ • b. ■ Biên luân theọ IĨ1 s ố nghiệ m thụ ôc ( - — , 3n] củ a phư ơ ng trình.’ ’ 6

Bài tập 10: Tìm IĨ1 để phương trình sạu có 2 nghiệm X,, x2e[0, 2n] và 2 nghiệm

này cách nhau —: ■ .sin3x + mcos3x = V2 .

Bài tập 11: Giải và biện lụận theo m phương trình:

ạ - b co s x _ 2 \ a 2 - b 2tgy

sinx l + tg2y

Bài tập 12: Giải và biện luận theo m phương trình:

msinx + (2m - Ị)cosx = 3m - 1 v ớ i 0 < x < —.

46



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





CHU ĐẼ 5

PHƯ Ơ NG TRÌNH THUẦ N n h ấ t

BẬ C HAI ĐỐ I VỚ I s i n x VÀ e o s x

1.KIẾN THỨ C c ơ BẢ N

Bài toán 1: . Giải phương trình• asin X + bsin x.co sx + cc os 2x = d- ______(1 )

. PHƯ Ơ NGPHÁPCHUNG •'.

Ta lựa chọn một trong hài cách sau: ■Cách 1: Thực hiện theo các bước: ,

B ớ c 1: V ớ i COSX = 0 <=> X = — + kíi, k eZ . • .2

Khi đó phương trình (1) có dạng a = d.

■ Nế u a = d, thì (1) rrhân X= - + kíi làm nghiệ m.

■ N ế u a i d , thì ( 1) k hô ng nh ậ n X = • — + k ĩi là m n gh iệ m .

B ớ c 2. Với cosx * 0 <=>X* —+ ktt, keZ. _ 2 .

Chia hai vế của phương trình (1) cho cos2x*Ọ , ta đựợc:atg2x. + btgx + c = d(l + tg2x)

Đ ặt t = tgx, phương trình có dạng: '(a - d)t2 + bt + c - d = 0 (2)

B ớ c 3. Giải phương trình (2) theo t. ■Cách 2: Sử dụng các công thức:

. - 2 l - c o s 2 x _ 2 l + c o s 2 x V ; 1sin X = — —— -, cos X = — —— và ắ ínx,cosx = - sinzx

2 - 2 2ta được : ,

b.sin-2x + (c - a)cos2x = d - c - a (3)• Đây là phư ơ ng trình bậ c nhấ t củ a sin và COS.

Nhân xét quan trọ ng:. 1. Cách 1 thư ờ ng đư ợ c sử dụ ng vớ i các bài toán yêu cầu giả i phư ơ ng trình và

tìm điều kiên của tham số để phương trình có. nghiệm thuộc tập D với D.2. Cách 2 thường được sử dụng với các bài toán yêu cầu giải phương trình và

tìm điề u kiệ n củ a tham sộ ' để phư ơ ng trình có nghiệ m, vô nghiệ ni hoặ c giả i và biệ n luậ n phư ơ ng trình theo thaiỊti số .

Chú ý: Nhiều phương trĩnh ở dạng ban đầu không phải là phương trình đẳng cấp bậc hai, khi đó chúng ta cần đánh giá thông qua một hoặc nhiều phép biến đổilượng giác. Cụ thể chúng ta đi xem xét ví dụ sau:

Ví du 1: Giải phương trình:2 s c o s 2x + ó s i n x . c o sx - 3 + .


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í -

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N




Giả iCách I: Biến đổi phương trình về dạng:

(1 + cos2x) + 3sin2x = 3 + -/ 3 <=>cos2x + V3 sin2x = 1/3

o - cos2x + — sin2x = — <=>cos(2x -■ - ) = — 2 2 2 3 2

o2 x - — = — + 2 k7i 3 6 _ 71 7t ■2 x — — — + 2 k n. 3 6

X = — + k n4 , keZX = —r + k7t

12

Vậy phương trình có hai họ nghiệm.Cách 2: Xét hai trư ờ ng-hợp:

■ V ớ i co sx = 0 <=> X = — + kĩt , k e Z .2 ■

Khi đó phương trình có dạng:0 = 3 + 4 Ĩ mâu thuẫn

Vậy phương trình không nhận X = - + ỈÍ7I ĩàm-nghiệm.

■ Với cosx 0 <=> X* —+ kĩt, keZ.7 .

Chia hai vế của phương trình cho CỌ S2X &0, ta được;2 V3 + 6tgx = (3 + s )(1 + tg2x) <=>(3 + s )tg2x - 6tgx + 3 - s

r tgx = 1<=> _ " 3 - V 3 __ »

tgx = -— -ị= = tga3 + V3

_ 71 1X = — + k7t , _ 4 , keZ

X = a + k7t

( 1)

Vậy phư ang trình có hai họ nghiệ m.

Ví du 2: Cho phường trình: m.sin2x - 3sinx.eosx - m - I = 0..a. Giải phựơng trình với m = 1.

371b. Tìm ni để phư ơ ng trình có đúng 3 nghiệ m thuộ c (0, — ).

Giả iXét hai trường hợp: .

lĩ■ Với cosx = 0<=>x = — + krc, keZ.

2 ' . ,Khi đó phương trình có dạng: - 1 = 0 mâu thuẫn

% , ’ *

Vậ y phư ơ ng trình không nhậ n X= —■ + kn làm nghiệ m. .

71■ Vớ i cosx 5* 0 X5* — + k7t, keZ .

2Chia hai vế của phường trình cho cos2x * 0, ta được:

m.tg2x - 3tgx - (m + 1)(1 + tg2x) = 0 tg2x + 3tgx + m + 1 = ò.


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í -

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

10

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Đ ặt t = tgx, phương trình có dạng:f(t) = t2+ 3t + m + 1 = 0.

. Với m = 1, ta được:

t2+ 3t + 2 = Ọ <=>

•t = - l tgx = - l

<=>t.= -2 tgx = -2 = tga

(2)

x = —- + kji „4 , keZ.

X = a + ta i

Vậy với m = 1phương trình có hai họ nghiệm.. Đ ể phương trình có đúng 3 nghiệm thuộc (0, — )

2<=> (2) có 2 nghiệ m phân biệ t thoả mãn t| < 0 < t2 •

<=> a f (0 ) < 0 < = > m + l < 0 < = > m < - l .

Vậ y vớ i m < -1 thóả mãn điề u kiệ n đầ u bài.

Ví du 3: (Đ HTS - 2000): Cho phương trình:. 2 s in2x + s inx .cosx - eos2x + m = 0 .

a. Giải phương trình với m = 1.

b. Giải và biện luận phương trình theo m.Giả iBiến đổi phương trình về dạng:

_ l - c o s 2 x 1 . l + cos2x2. ------- + —sin2x-------- — -----= - m

2 2 2<=>sin2x - 3cơs2x = - 2m - 1.

. Với. m = 1, ta được: .sin2x - 3cos2x - - 3

Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Biến đổi phương trình về dạng: ,1 3 3- ==r sin 2x -----p=r cos2x -------- J=V10 V10 VlO

1 3Đ ăt = cosa thì’- —= = sina, khi đố ta đươc:

Vĩo V10

sin2x.cosa - cos2x.sina = - sina o sin(2x - a) = sin( - a)

X = k7t

<1)

(2)

2 x - a = - a + 2 k n

2 x - a = n + ' a + 2 k n

<=>

Vậy phương trình có hai họ nghiệm.Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng:

sin2x = 3 (1- cos2x) <=>2sìnx.cosx = 6sin2x <=>(cosx - 3sinx).sinx = 0

<=>co s X —3 si n X —0

sin X = 0o

cot X = 3 = eot ga

sin X = 0<=>

X = a + kn

\ = k n , keZ.

Vậy phương trình có hai họ nghiệm..

49



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

TO

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





b. Biến đổi phương trình về dạng:

- ; = s i n 2 x - , - -7=.-cos2 x = 2”L 1 <=> sin(2x —a) = 2™_ -V10 V10 Vio : Vũ )

Nếu—2 m -l

7Ũ T

phương trình vô nghiệm. _ X T » ' -2 m - 1- Nêu

ta đựợc:

^ ^ - l W i o , . _ - - 1- V Ĩ Õ> 1 <=> m > — —— hoặc m < ------1— “ì • .

■ Jĩo-l + ý ĩ õ -2 m - 1 _ ; R

■ , đặ t — -==— = siripVĩõ

sin(2x —a) = sin(3 <=>2x - á = P + 2Rji

. <=>■2x —a = 71- (3+ 2k7t

a,+ pX= + kĩĩ

2it + a -B

,keZ.

. ỉ. .

Chú ỷ . Nhiều phương ti rứ 1 dạng ban đầu chưa phảilà phương trình đẳng cấp

bậc'hai, khi đó tự các em học sinh cần biết đánh giá hoặc thựe hiện một vài phép biến đổi lượng giác.

Ví du 4: Cho phương trình: m.sinx + eosx = —!— , với m ^ 0. (1) ,“ cósx

a. (Đ HAN - 98): Giải phương trình khi m= s . b. Xác định m để phương trình có nghiệmc. Giả sử m là giá trị làm eho phương trình có nghiệm X|, X, thoẫ mãn:

X, + X, * —+ kn. Tính cos2(x, + x7) theo m.2

Giả i

Đ iều kiện: cosx * 0 <=>X* — + k7T, keZ.2

Cách I: Biến đổi phương trình về dạng:msinx.cosx + cos2x = 1 <=>msinx.cosx = siirx

<=>sin X= 0

m.cosx =sỉnx

cosxÔo

a. Với m = t/3 , ta được:

( 1 ) 0

sin X = 0

tgx = m (I)

sinX =

0Ị - <=>tgx = V3

x = krc

1T , k£Z<X = — + k7l

3

Vậy, với m = phương trình có hai họ nghiệm. , , b. Từ (I) ta có ngay nhặn xét phương trình (1) có nghiệm với mọi m.

c. Vì X. + X, 5É-5 + kít, do đó có thể coi: 2 2

■ X| là nghiệm của phương trình sinx = ơ=> tgx, = 0.■ là nghiệm của phương trình tgx = m => tgx2 = m.

50

X =



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N





suy ra:cos 2(X | + x 2) = COS2XJ.COS2X,-- sin 2 x |.s in 2 x 2

_ l - t g 2x, l - t g 2x2 _ 2tgx, 2tgx2 _

~ l + tg2X, l + t g 2X2 -l + tg2X, ‘ l + tg2X: _i>nhlfnmo trĩnh f'hrxnr ÌCYí n ta'

1- m

1-f m2Cách 2: Chia hai vế của phương trình (1) cho còsx * 0, ta được:

mtgx + ị = 1 + tg2x <=> tg2x - mtgx = 0 <=>

a. Với m = -J ĩ , ta được:

tgx = 0

tgx = m(II)

tgx = 0

tg x ■= 1/3

X = ku

7ĩ , k X = — + kít3

Vậ y vố i m = V3 phư ơ ng trình có hai họ nghiệ m.b. Từ (I) ta có ngay nhận xét phương trình (1) có nghiệm với mọi m.

c. Vì X, + x2 * —+ krc, do đó có thể coi:

■ X, là nghiệm của phương trình tgx = 0 => tgx, = 0.

■ x2 là nghiệm củ a phư ơ ng trinh tgx = m => tgx2 = m.1 - m

suỵ ra cos2(x, + x2) =1+m

n . CÁG BÀI TOẨ N THI

Bài 1: (Đ HKTCN TPHCM - 98): Cho phương trình:sin2x + 2(m - l)sinx.cosx - (m + l)cos2x = m. (1)

a. Giải phương trình với m = - 2. b. Tìm m để phương trình có nghiệm. _________ BÀI GI I

Biến đổi phương trình về dạng:l- c o s 2 x , .. l + cos2x------------+ (m - l)sin2x - (m + 1).------ — -----= m .

2 2<=> 2(m - 1)sin2x - (m + 2)cos2x = 3m. (2)

a. Với m = — 2, ta được:

sin2x = 1 2x = ^ + 2kn <=> X = — + kĩc, keZ .-2 - 4 . ..

Vậy vói m = - 2 phướng trình có một ho nghiệm.b. Phương trình (1) có nghiệm <=>(2) có nghiêm:

<=>a2+ b2> c2<=>4(m - l ý + (m + 2 f t 9m2o m 2+ m - 2 <0


Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

- H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

00

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Bài 2: (Đ HGTVT - 99): Tìm m để phương trình sau có nghiêm xe(0 , —):4

m.cos2x - 4sinx.cosx + m - 2 = 0. (1)BÀI GI I

Vớ i xe (0 , —} => COSX. 0, ehia hai vế củ a phư ơ ng trình cho cos2x 5* 0, đư ờ c:4 ■

m - 4tgx + (m - 2)(1 + tg^) = 0 (m - 2)tg2x - 4tgx + 2m - 2 = 0. (2). . * _ ,1 »____

Đ ặt t = tgx, vì xe(0, —) nên te(0, 1), ta được:

(m - 2 )t2 - 4t + 2m - 2 = 0.

Khi đó (1) có nghiêm xe(0, —) <=>(3) có nghiêm te(0, 1).4

Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:Cách : Đạ i số :

■ Với m - 2 = 0 <=>m = 2, khi đó :(3) có dạng:

- 4 t + 2 = 0 o t = - e(0 , 1)

Vậy m = 2 thoả mãn điều kiện đầu bài.* Với m- 27t0<=>m* 2, khi đó (3) có nghiệm te(0, 1)

(3) CÓI nghiệm thuộc (0,1) :

(3) có 2 nghiệm thuộc (0,1)

(3)

<=>

f(l).f(0) < 0

Ã'à 0

af(l) > 0

af(0) > 0

0 < - < l2

<=>

(3m - 8)(2m - 2) < 0

- 2 m 2 + 6m ằ 0

(m - 2)(3m - 8) > ỡ

(m -2 )(2 m - 2 ) > 0

1 2U <. -

m -2

<1

8 A 7tVậy với 1 < m < —phương trình có nghiệm X€(0, —).

Cách 2: Viết lại phương trình dưới dạng:

2 t2 + 4 t + 2

t2+2= m

Phương trình (1) có nghiêm X6 (0, —)■ ' 4

<=>đường thẳng y = m cắt đồ thịhàm số y =2t +4t + 2

ừ + 2

trên (0, 1).

Xét hàm số (C) y =2t +4t + 2

t2+2trên khoảng (0, 1).


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

- H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

100

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




1 - 4 t +4t + 8 _ - 4(t + l)(t - 2) „Đ ạo hàm: y = — ■= — —■;■■■■ ■ -— - > 0 với*Vte(0,1)

(t +2) (t + 2)ức là hàm số đồng biến trên (0, 1).

Do đó đường thẳng y = m cắt đồ thịhàm sô' (C) trên khoảng (0, 1)g

o y (0 ) < m < y(l) <=> 1 < m < —.

8

Vây, với 1 < m < —phương trình có nghiêm xe(0, —). .3 • . ■ 4

BÀI TẬ P ĐỂ NGHỊ

Bài tập 1. Giải các phương ữình:

a. 4sin2x + 3 V3 sin2x —2cos2x = 4.b. 2sin2x + 3cọs2x = Ssinx.cosx.

Bài tập 2. Giải các phương trình:

a. sin2x - 3sinx.cosx = 1. B. 4sinx + 6cosx = —ỉ— .COS X

Bài tập 3. Cho phương trình: 3sin2x + m.sin2x + 4cos2x = 0.a. Giải phương trình khi m = 4.

b, Xác định m để phương trình có nghiệm.Bài tập 4.- Cho phương trình:

(m + l)sin2x - 2sinx,cosx + còs2x = 0.a. Giải phường trình khi m = 0;

b. Xác định m để phương trình đúng hai nghiêm thuộc (0, —).

Bài tập 5. Cho phương trinh:** 2sin2x + (5m - 2)sin2x - 3(m + 1)cos?x = 3m.• 2 • ■ ’

a. Giải phương trình khi m = - .

b. Xác định m để phương trình đúng ba nghiệm thuộc ( - —, 7t).

ài íâp 6, Cho phương trình: msinx + (m + l)ơosx = — .r r o . cosx

a. Giải phươỉ?4? trình khi m = —•

b. Xác định m đe phương trình cố nghiệm. ^c. Giả sử m là gia r4 làm cho phư ơ ng trìnhcó nghiệ m X|,X2 thoả mãn:

X, + x2 * - + k7t. Tứ ,:h cos2(x, + x2) theo m.

ài tập 7. Giải và biện luận phưmặs trình: cos2x + 8sinx.cosx + 7sin2x = m.ài tập 8. Giải và biện luận phương iXin : (m2 + 2)cos X- 2m.sin2x + 1 = 0 .

■ 53



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N





C H Ủ Đ Ề 6

PHƯ Ơ NG TRÌNH THUẦ N n h ấ t BẬ C BA ĐỐ I VỚ I s i n x VÀ c ò s x

I. PHƯ Ơ NG PHÁP -

Bài toán 1: Giải phương trình: ___ a.sin3x + b.sin^.cosx + c.sinx.cps2x + d.cos3x = Q. (1)

^ PHƯ Ơ NG PHÁP c h u n g

Thực hiện theo các bửớc:

Bư ớ c 1: Vớ i cosx = 0 <=>X= — + k7t, keZ, .2 . ,

Khi đó phương trình (1) có dạng a = 0.

■ Nếu a = 0, thì (1) nhận X= — + krc làm nghiệm.• . *.

• Nếu a * 0, thì (1) không nhận X= — + kĩt làm nghiệm.

B ớ c 2: Với cosx * 0 <=>X* — + kĩi, keZ.2

Chia hai vế của phương tcình (1) cho cos3x 5*0, ta được:a.tg3x + b.tg2x + c.tgx + d = 0.

Đ ặt t = tgx, phương trinh có dạng: .

a.t3+ b.t2 + c.t + d = 0. (2) B ớ c 3: Giải phương trình (2) theo t.

Mở rộng: Phương pháp giải trên được mở rộng cho phương trình đẳng cấp bậc nđ ố i v ớ i s i n v à COS, đ ó l à p h ư ơ n g t r ì n h c ó d ạ n g :

£ a k s in n_k x .c o sk X = 0 . k=0

Tuy nhiên để linh hoạt, các em học sinh eần nhớ rằng vì sin2x + cos2x = 1nên với các nhân tử có bậc k cũng được coi là có bậc k + 21, do vậy chúng ta códạng mở rộng của phương trình thuần nhất bậc ba như sau:

a.sin3x + b.sin2x.cosx + c.sinx.cos2x + d.cos3x + (e.sinx + f.cosx) = 0.Ví du 1: (Đ HNT - 96): Giải phương trình sau: /

4sin3x + 3sin2x.cosx - sinx - cos3x = ô.Giả i . , "

Xét hai trường hợp: V"71 ỵ ỵ

■ Với cosx = 0 <=>X= — + k7t, keZ. /2 .

54



B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.QU

Y

N

H

Ơ

N





Khí đó phương trình cỏ dạng:

4sin3( -- +. kĩt) - sin( -- + kĩt) = 0 mâu thuẫn.2 . 2

Vậy phương trình không nhận X= — + k7t làm nghiệm.

■ Vớ i cosx * 0 o X* — + k7t, keZ.. 2

Chia hai vế của* phương trình (l).cho cos3x 5* 0, ta được4l:g3x + Stg^ - (1 + tg*x).tgx - ] =0<=> 3tgíx + Stg^ - tgx -1 = 0.

Đ ật t = tgx, phương trình có dạng:

’ 3t* + 3t2- 1- 1 = 0 » (t + 1)(3t2- 1) = 0

<=>

t = - l

t = 1/ V? <->

t = -1 / V3

tgx = - 1

tgx = 1 / V s <=>

tgx — —1 / a/3

X = — —+ k ĩi4

X = — + kTi , keZ.6

Vậy phượng trình có ba họ nghiệm.Ví rill 2; Giải phương trình sau:

sin4x - 3sin2x.cos2x - 4sinx.cos3x - 3cos4x = 0Giả i

Xét hai trường hợp:

■ Với cosx = 0 <=> X= - + kTtvkeZ.2

Khi đó phương trình có dạng sin4( —+ kn) = 0 mâu thuẫn.Vậy phương trình không nhận X = - + kn làm nghiệm.

■ Với c o s x * 0 <=> X * — + k ít, keZ.2 .

Chia hai vế của phường trình (1) cho cos4x Tí 0, ta được:tg4x - 3tg2x - 4tgx - 3 = 0 .

Đ ặt t = tgx, phương trình có dạng:

t4- 3 P - 4 t- 3 = 0 o ( t4-2ti + l)- ( t2+4t+4)=0<=>(l2-t-3X l2+t+l)=0 .

<=>t2 - 1 - 3 = 0

t 2 + t + l = 0 (vn)

<£>t , = -

t-> =

l * - V Ĩ 3

2

1+ VĨ 3

tgx =1-VĨ3

=.tga

1+VĨ3 tgx = ' = tgP


D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

ÓA

C

Ấ

P

2

3

1

0

00B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chú ý: Tồn tại nhũng phương trình ở dạng ban đầu chưa phải là phương trìnhthuần nhất, khi đó cần thực hiện một vài phép biến đổi lượng giác thích hợp.Ví du 3: (Đ HNNI Khối B - 99): Giải phương trình sau:

(tgx + l)sin2x = 3(cosx - sinx)sinx + 3.Giả i

—• • 5* * r. ^ _ t ryi>tCU K iCỉì! cosx TÊ U v v A T - ”i ' K I Ĩ, K t ó .v 2

Chia hai vế của phương trình (1) cho cos2x * 0, ta được:(tgx + l ítg ^ = 3(1 - tgx)tgx + 3(1 + tg2x) <=>tg3x + tg2x - 3tgx - 3 = 0.

Đ ặt t = tgx, phương trình có dạng:

't = - l tgx = -1

<=> t = V3 <=> tgx = V3 «■

t = —/3 tgx = -V3

X = —— + kĩi4

71 , _ X = ± —+ K7I

, keZ.

Vậy phượng ttình có ba họ nghiệm.Ví du 4: (Đ HQG TPHCM - 98): Giải phương trình sau:


2 -Jĩ sin3(x - —) = 4sinx <=>[ -1/2 sin(x - —)]3= 4sinx4 4

<=> (sinx - cosx)3= 4sinx.Xét hai trường hợp:

71■ Với cosx = 0 <=> X= —■+ k7T, keZ.

2Khi đó phương trình có dạng:

sin3(— + kn) = 4sin(— + k7i) mâu thuẫ n.

Vậy phựơng trình không nhận X= - + k7t làm nghiệm.

7t= Với cosx * 0 « X* — + kụ, keZ . '

2Chia hại vê'của phương trình (1) cho cos3x 3* 0, ta được: '

(tgx - l)3= 4(1 + tg2x)tgx <=>3tg3x + 3tg2x + tgx - 1= 0Đ ặt t = tgx, phương trình có dạng:

' 3t + 3t2 + t - 1 = 0 <=>(t + l)(3t2+ 1) = 0 <=>t = - 1

<=> X= — + kĩỉ, keZ.4

Vậ y phư ơ ng trình có mộ t họ nghiệ m. i iV

56


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

LÍ

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3 1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

ƯN

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N




hú ý'. Các em học sinh cũng cẩn rihớ rằng ngoài phường pháp chính quy đểải mọi phương trình đẳng cấp bậc 3 thì tròng một vài trường hợp riêng biệt

ũng có thể giảỉnó bằng phương pháp phân tích thành phương trình tích. Cụ thểđi xem xét ví dụ sau:

í du 5: (Đ HTS - 96): Giải phương trình sau:

iả iách 1: S ử d ụ n g p h ư ơ n g p h á p g iải p h ư ơ n g t r ìn h đ ả n g c ấ p b ậ c 3:

Xét hai t r ư ờ n g hợp:

7t■ Với cosx = 0 <=>X= -r + ku, keZ.

2Khi đó phương trình có dạng:

±1=±1

Vậy p h ư ơ n g tr ìn h n h ận X = — f k ĩt là m n g h i ệ m .

7t •■ Với ccsx 0 <=>X * — + k r t , kẽZ.o . ■ ■ .

Chia hai vê' eủa phương trình (1) cho cos3x 0, ta được: -

1 + tg*x = (1 + tgSc)tgx - (1 + tgV) o tg^ - tgx+2= 0 vồ nghiệmVậy phơơng trình có một họ nghiệm. •

ách 2: Sử dụng phương pháp phân tíchBiến đổi phướng trình về dạng:

cos3x + sin3x = (sinx - cosx)(đos2x + sin2x)<=>2c o s 3x + cosx.sin2x - sìnx.cos2x = 0<=> (2co s2x + s in^x - s inx.cos x)cosx = 0 < > (1 + c o s h í — s inx . c os x ) c os x = 0

cos3x + sin3x = sinx —cosx. ( 1)

71<=>cosx = 0 <=> X = — + kĩt, keZ.

2Vậy phương trình có một họ nghiệm.

í du 6: Giải phương trình:

(I)

4

57



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

ẤP

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N







Nhận xét rằng đây'không phải là một phương trình hồi quy, tuy nhiên nếuđặt ẩn phụ. thích hập ta sẽ có một phương trình hồi quy. '

Thật vậy, đặt y = t - 2.( l)< » y 4 + y[5(y + 2)2- 14(y + 2)+ 13] + 1= 0

<=>y4 + 5y3+ 6y2 + 5 y + 1=0. (2) Nhận xệt rằng y = 0 không phai là nghiệm củá phương trình. Chia cả haivế của phương trình: cho y2^ 0, ta được phương trình tương đương:

' (y2+ 7^-) + 5(y + - ' ) + 6 = 0y y

v- Ị ỊĐ ặt u = y + —, điều kiện lul > 2, suy ra y2 + — = u2 - 2.

y . yKhi đó phứơng trình trên có dạng:

u = - l (loại)

u = -4u2 + 5u + 4 = Ổ <=>

Với u = - 4, ta được:

y + — = - 4 « • y2 + 4y + 1 = 0 <=>1

y + —y

Í!o<=> _ <=>t2 = V3 . |_tgx =

Vậy phương trình có hài họ nghiệm.

y, = - 2 - S

y 2 = -2 + V3

tgx V3 ^ ^ ± ft + ^k e 2tgx = V ĩ 3

Ví du 8 : . Cho phương trình:2(m - 2)sin3x - (5m - 2)sin2x.cosx + 2sinx.cos2x - (m + 1)cos3x = 0. (1)

a. Giải phương trình với m = 3. «

b. Xác định m để phương trình có đúng một nghiệm x e( - y , y ).

Giả i

• Với cosx = Q « X = —+k7t, keZ:2

Xét hai trường hợp:

Với cosx = 0 <=>;


2(m - 2)sin3( —+ kĩt) = 0 o m = 2

Với cosxÔ <=> X *- + kn, keZ.2Chia hai vế của phương trình (1) cho cos3x 0, ta được:

2(m - 2)tg3x - (5m - 2)tg2x + 2tgx - m - 1 = 0.Đ ặt t = tgx, phương trình có dạng:

2(m-2)t3-(5m-2)t2+ 2 t-m -1=Q «(2 t- l)[(m-2)t2-2mt+ni+1]=0

■


B

Ồ

I

D

ƯỠ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í -

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

10

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N




<=> _ 1 _ I jil —i = i

g(t) = (m - 2)t2 - 2mt + tin + 1 = 0 (2)

a. Vớ i m = 3, ta đư ợ c:

( D »

2t —1=0

t2 -6 t + 4 = 0 <=>

1t = -

2t -» 3 - Vs <=>

t = 3+VH”

tgx = - = tga

tgx = 3 -V 5 = tgP <=>

tgx = 3 + V5 = tgy

(I)

X= a + k7t X= [3+ k7i

X = y + k n


b. Để phư ơ ng trình có đúng mộ t nghiệ m X e , —)

<=>(I) có duy nhất nghiệm t = —.

Tr ờ ng hợ p 1: Nếu m —2 = 0 <=>m = 2Khi đo:

(2) - 4t + 3 = 0 <=> t = — * - .4 2

=> m = 2 không thoả mãn.Tr ờ ng hợ p 2: Nếu m - 2 * 0 o m * 2 .

Khi đó điềụ kiện:

<=>

A'g <0

A's = ° «

4 = 0

m + 2 < 0

m + 2 = 0 o m < - 2.

m + 2 = 0

Vậy với mẩ - 2 phương trình có nghiệm duy nhất.

Ví du 9ĩ Cho phương trình:

sin3x 3m.sứi2x.cosx + 3(m2 - ljsinx.cos^ - (m2- l)cos3x = 0. (1)a. Giải phương trình với m = 1.

b. Xác định m để phương trình có đúng ba nghiệm xe(0, —).

Giả i. ‘ .Xét hai trường hợp:

8 Với cosx = 0 <=>X= —+ kn, keZ. .*2


sin3( —+ kĩi) = 0 mâu thuẫn.

■ Với cosx ^ 0 X^ — + k7i, keZ.2 _

60


B

ỒI

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


ễ



Chia hai vế của phương trình (]) cho cos3x * G, ta được:tg3x - 3mtg2x + 3(m2- 1)tgx - m2+ 1 = 0

Đ ặt t = tgx, phương trình có dạng:t3 - 3mt2 + 3(m2- l)t - m2 + 1 = 0.

Với m = 1, ta đượe:(2)

t = 0 tg? = o

tgx = 3 = tga} *

ọX = k í t

X= a + k7t( 2 ) « t3- 3t2 = 0 <=>

t = 3ậy phương trình có hai họ nghiệm., 1 7Cế phương trình có đúng ba nghiệm xe(0, —)

<=>(2) có ba nghiộm phân biệt dương.ét hàm số y = t3- 3mt2+ 3(m2- l)t - m2+ 1.ạ có:

y' = 3t2 - 6mt + 3(m2 - 1),

y' = 0 <=> 3t2 - 6m t.+ 3(m2 - 1) = 0 .«• X2- 2mx + m2 - 1 = 0. (3)a có:

A' = m2 - m2 + 1 = ] > 0, Vm

Khi đó (3) luôn có 2 nghiệm phân biệt t1= m - l& t1 = m + lvói Vm.

ước hết điều kiện để đổ thịhàm số cắt Ot tại ba điểm phân biệt

<=>hàm số có cự c đạ i, cự c tiể u và ycĐ-ycr < 0 <=>y(ti)y(t2) < 0- (4)Khi đó để giải bất phương trình (4) trước hết đi tính y(t|), y(t2) bằng cách:

Thực hiện phép chia y cho y' ta được:

y = - y'(t - m)t - 2t + m3- m2- m + 1.

Khi đó:

uy ra :y(t|) = (m - l)(m2- 3) & y(t2) = (m + l)(m2- 2m - 1).

(4) <=>(m- l)(m2 - 3)(m + l)(m2 - 2m -1 ) < 0 <=>

- V3 < m < -1

1- V2 < m < 1 .

V3 < m < 1+ V2

ổ thịhàm số cắt Ot tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương là:

t, >0 "

<=> t 2 > 0 o

m - 1> 0

m + l> 0 <=>m > 1.

-(m 2 -1) <0

(II)y(0) < 0

Kết hợp (I) và (II) được V3 < m < I + V2 .

Vậy, với V3 < m < 1 + V2 thoả mãn điều kiện đầu bài.

61



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

ÁN

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

HƯ

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N





Ví du 10: Chq phương trình:m c o s X + cos2x(sinx + 3.cosx)(sinx + 5cosx) = 0. (1)

a. Giải phương trình với m = 9. .

b. Xác định m để phương trình có đúng bộn nghiệm Xe (—, —).

Giả i.Biẽn đổi phương trình về dạng:

mcos4x - (sinx - cosx)(sinx + cosx)(sinx + 3cosx)(sinx + 5cosx) = 0. (2)Xét hai trường hợp:

■ Với cosx = 0 <=>X = - +kn, keZ.2

Khi đó phương trình có dạng: ,

- sin4(— + kri) = 0 mâu thuẫn.

' 7Ĩ■ Với cosx * 0 <=>X # — + k7t, ke Z

2 *Chia hai vệ' của phương trình (2) cho cos4x * 0, ta được:

m - (tgx - l)(tgx + l)(tgx + 3)(tgx + 5) = ơĐ ặt ũ = tgx, phương trình có dạng:

m - ( u - l)(ụ+ l)(u + 3Xu+5)=0<=>(u2+4 u-5)(u2+4u+3)=m.

Đ ặt t = ti2 + 4u - 5, điều kiện u > - 9.

Suy ra u2 + 4u + 3 = t + 8. Khi đó phương trình trện có dạng:t(t + 8) = m <=>f(t) = t2+ 8t - m = 0. (3)

a. Với m = 9, ta được:

(3) t2 + 8t - 9 = 0t = l

t s=-9

u* + 4 u - 5 = l

u2 +4u - 5 = -9

"u = 2 -V ế r - » ơ q * I I N

> 1 i n I I Ơ Q ổ X = a + k7T

o u = 2 + 78 o tgx = 2 + V8 = tg(3 o X =P + k 7 t , keZ .

u = 2 tgx = 2 = tgy X = y + kn. Vậy phương trình có ba họ nghiệm.

Phương trình (1) có 4 nghiệm xe( —, —) <=>(3) có nghiệm —9 < t|

'A’>0 16 + m > 0

«• f (-9) > 0 <=> • 9 - m > 0 <=> - 16 < m < 9.

S / 2 > - 9 . 1 V i

. ■ , 71 Tĩ

Vậy, với - Ỉ6 < m < 9 phương trình có bốn nghiệm phân biệt xe( —, —).

62;



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

ẤP

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





II. CÁC BÀI TOẨ N THI.________________________________ ______________

Bài 1: (HVKTQS - 96): Giải phương trình sau:sin3x = 2cos3x. _________________________ . _________

~ GIÁIBiến đổi phương trình về dạng:3sinx —4sin3x = 2cos3x <=>4sin3x —3sinx + 2cos3x = 0 —Bạ n đọ c tự giả i tiế p.

Bài 2: (Đ HQG - 96): Giải phương trình sau:1. + 3sin2x = 2tgx.

X . BÀI GĨa Ĩ

Đ iềú kiện cosxÔ <=> + kĩc, keZ.2

Biến đổi phương trinh về dạng:

• cosx + 6sinx.cos2x = 2sinx - Bạ n đọ c tự giả i tiế p.

Bài 3: (Đ HQG - 98): Giải phương trình 8cos3(x + —) = cos3x.=“ B J GI J — ~ =


8( —cosx - '-Ậ sinx)3= 4cos3x - 3co.sx2 2 ■

<=> (cosx - V3 sinx)3= 4cos3x - 3cosx. (1)

Xét hai trường hợp:■ Với cosx = 0 <=>X= —+ kn, keZ.

2Khi đố phương trình có dạng

[ -V 3 s in (— + kTi)]3 = 0 m âu th uẫn .

Vậy phương trình không nhận X= - + k7t làm nghiệm.

■ Với cosx * 0 o X* - + lời, keZ .2 ■Chia hai vê' của phương trình (1) cho cos3x * 0, ta được:

[1 - s (1 + tg2x)tgx]3= 4 - 3(1 + tg2x)< = > 1/3 t g 3 x - 4 t g 2 x + V 3 t g x - 0

Đ ặt t = tgx, phương trình có dạng:Vã t* - 4t + Vĩ t = 0 ■» t( Vĩ t2 - 4t + -s/ĩ) = 0

t = 0 tg x = 0I I X

<=> t = V 3 <=> tg x = s <=> X = — + k 7T , k e Z . ri

1 _ 1 J

t=-^rV 3

tgx” / r

V 3

nX = — + k7t

. 6

Vậ y phư ớ ng trình có ba họ nghiệ m.


B

Ồ

I

DƯ

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

LÍ

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3 1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

ƯN

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N




I Bài 4: Cho phương trình:msin3x + (3m - 4) sin^.cosx + (3m - 7).sinx.cos2x + (m - 3)cos3x =0 (1)


b. Xác định m đê phương trình có 3 nghiêm phân biệt thuộc , 0]

BÀI GI IXét hai trường hợp:

■ Với cosx = 0 <=>X = — + k'7t, keZ, ta được:2

msin3( —+ kít) = 0 <=>m = 0.

71* Với cosx í O o x í - + k7t, keZ.

2Chia hai vế của phương trình (1) cho cos3x 0, ta được:. m.tg3x + (3m - 4)tg2x + (3m - 7)tgx + m - 3 = 0

Đ ặt t = tgx, phương trình có dạng:mt3+ (3m - 4)t2 + (3m - 7)t + m - 3 = 0<=>(t + l^m t2 + 2(m - 2)t + m - 3] = 0

. t + 1= 0 <=> ,

g(t) = mt + 2(m - 2)t + m - 3 = 0 (2)


0 ) 0

't = - lt + 1= 0

t = 0 <=>, <=>3t + 2t = 0

t = -2 /3

tgx = -1

tgx = 0

tgx = -2 /3 = tga

<=>

(I)

X = + k n4

X = kn

X = 'a + kit

Vậy, với m = 3 phương trình có ba họ nghiệm, b. Đ ể phương trinh có 3 nghiệm phân biệt thuộc ( - —, 0]

<=>(2) có 2 nghiệm phân biệt không dương (t( < tj£ 0) khác -1

a * 0

<=>

A-g>0

ag(0) ằ O o

ĩ < 02

m * 0

4 - m > 0

m(m - 3) > 0 <=>3<m <4.

m - 2<0

mg ( - l ) * 0 1 * 0

Vậy, với m 6 [3, 4) phiíơrig trình có ba nghiệm phân biệt không dương.


Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

00

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N





Bài tập 1. Giải các phương trình sau:a. (Đ H Đ à Nẵng - 99): cos3x - sin3x = cosx - sinx.

b. (DHL - 96): 4sin3x - sin2x.cosx - 3sinx + 3cos3x 5=ọ.c. sin3x - 5sin2x.cosx + 7sinx.cos2x - 2cos3x = ò.

Bài tập 2. Giải các phương trình sau:

a. 5(sinx + cosx) + sin3x -cos3x = 2Vỉ (2 + sin2x). b. sin3x - 5sin2x.cosx - Ssinx.cos^ + 3 cos3x = 0.Bài tập 3. Giải các phương trình sau:

a. sin3x - 3sinx.cos2x - cos3x = 0. b. sinsx + sinx.cos2x - cos3x = 0. .

Bài tập 4. Giải các phương trình sáu:a. (HVNH TPHCM - 2000): sin3x + cos3x + 2cosx = 0.

b.‘ (Đ HY Hà Nội - 99): 4sin’x - sinx - cosx = 0.

Bài tâp 5. Tìm tất cả các nghiêm Xe [0, —] của các phương trình:’ ' 4

ạ. sinx.(2sin2x - cos2x)(8sin4x - 8sin2x.cos2x + cos4x) = 0. b. 64sin6x - 96sin4x.cos2x + 36sin2x.cos4x - 3cos6x = 0.

Bài tập 6. Cho phương trình :sin3x-3(m + 1)súi2x.cosx + 2(m2+4m + 1)sinx.cos2x - 4m(m +1 ).cos3x =0.

a. Giẵi phương trình với m = -1 .

b. Xác đinh m để phương trình có ba nghiêm phân biêt thuôc ( —, —).. " ’ 4 2

Bài tập 7. Cho phương trình :sin3x - Ssin^.cosx + 2(m - l)sinx.cos2x + (m - 3)cos3x = 0.

a. Giả i phư ơ ng trình vớ i III = 1. b. Xác định m để phứơng trình có ba nghiệm Xị, x2, Xj.thoả nÌẵn:

< X, < - —< x, < x3< —.2 1 4 2 3 2

Bài tập 8. Cho phương trình :2(2 - 3m)sin3x + 3(2m - 1)sinx + 2(m - 2)sin2x.cosx - (4m - 3)cosx = 0

a. Giải phương trình khi m - 2.

b. Tim mđể [0,—] chứa đúng 1 nghiêm của phương trình.4

Bài tập 9. Xác định m * 0 để phương trình:

m2sin3x - 3m.sm2x.cosx + (m2 + 2)sinx.cos2x - m.cos3x = 0có đúng ba nghiệm x s ( - —, —).

Bài tập 10. Giải và biện luận phương trình:(8a2 + l)sin3x - (4a2 + l)sinx + 2cos3x = 0.

65



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

NG

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N





CHỦ ĐỀ 7

PHƯ Ơ NG TRÌNH ĐỐ I XỨ NG ĐỐ I VỚ I s i n x VÀ e o s x

I. PHƯ Ơ NG PHÁP

Bài toán 1: Giải phương trình : ____ a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0. (1)

PHƯ Ơ NG PHÁP CHUNG Ta biện luận theo các bước sau:

■ B ớ c 1: Đ ặt sịnx + cosx = t, đk lt!<V2 => sinx.cosx = - .• 2

Rhi đố phương trình có dạng:t2 - ì • , ...

at + b------ + c = Ọ o bt2 + 2at + 2c - b = 0. (2)2 ;■■■■ •

B ớ c 2: Giải (2) thep t và chọri nghiệm to thoả mãn điều kiện it) < V2Vói t = t0, ta được: :

sinx + cósx — 10<=> -v/2 sin(x + —) = to o sin(x + —) = -7L .4 4 ^ / 2

"■% Đ ây là phương trình cơ bản của sin.

Chú ý : Ta cố thể giải (1) bằng cách đăt ẩn phu z = —- X, khi đó ta cp:

sinx + cosx = V2 cos( ĩ- - x) = V2 COSZ

4sinx.cosx = —sin2x = —sin2(—- z)= —sin(—-2z)= —cos2z= —(2cos2z - i)

2 2 4 2 2 2 2Vậy ta chuyển phương trình ban đầu về dạng phương trình bậc 2 đối vối COSZ.

Ví du ĩ: Giải phương trình:sinx + cosx - 2sinxcosx + 1=0. . "

Giả iTa có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

'2

Cách ỉ: Đ ặt sinx + cosx = t, điều kiện ltl< V2 , suy ra sinx.cosx = — — .

Khi đó phươrig trình eó dạng:

t - ( t 2 - 1) + 1 = 0<=>t2 - t - 2 = 0<=> t = - 1 ^ ,» sinx + cosx =-1t = 2 (ioại)

<=> V2 sin(x + —) = -1 o s in (x + —)= '— ị=<=>4 4 V2

Vậ y phư ơ ng trình eổ hai họ nghiệ m.

_ n 01 _ X = ■ + 2kjt , _2 , keZ.

X = n + 2kn



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N





■ ị .n ' ■’

Cách 2: Đ ăt z = — - X. Khi đó, phương trình có dạng:-(41:

V2 eos( —- x) - sin2x + 1 = 0 <=> \ f ĩ COSZ- sin2( — - z) + 1= 04 4

<=> V 2 COSZ- s in( -r- 2z) + 1 = 0 » V 2 COSZ - cos2z + 1 = 02 .. ”

<=> V2 COSZ - (2 co s2z - 1) + 1 = ơ <=> - 2 co s2z + ỳ í ĩ COSZ + 2 = 0

COSZ = (loại)<=*

cos z = — V2 <=>

_ 3-rtz = - — + 2kn

4•3ĩị

z = — + 2kJt .

<=>

71 3ft —- x = - — + 2k7i4 4 ,71 3tc •

— - X = — + 2kit

<=>X = - 2 k ĩ t _

2 , keZ.X = 7t - 2kn ■

Vậy phương trình có hai họ nghiệm.CA« ỷ . Tồn tặi những phương trình ở đạng bàn đầu chưa phải là phương trìnhđối xứng, khi đó cần thực hiện một vặi phép biến đổi lượng giác thích hợp.

Ví du 2: (Đ HMĐ C - 99): Giải phương trình: 1 + tgx = 2 V2 sinx.Giả i

Đ iều kiện: cosx * 0 X ^ —+ lot, keZ.2 ■ ■

Biến đổi phương trìhh về dạng:

1 + sm x = 2 V2 sinx <=>sinx + cosx = 2 V2 sinx.còsx

Đ ặt sinx + cosx = t, điều kiện ltl< V2 , suy ra sinx.cosx =

Khi đỏ phương trình có dạng: 't = \ l ĩ (t2 —!)<=> V2 t2—t —V2 = 0

t 2 - l

<=>t = —

2 <=>

= V2

sinx + cosx = - 1/2

sin X + cos X = V2

<=>sin(x+ —) = - —

4 2

sin(x + —) = 1. 4

<=>

X + —•= - — + 2 k n 4 6

X + — = — + 2k7i <=>4 6

.. n n _ X + — = — + 2 k 7t4 2

_ 5ícX = - — + 2 k n

12

x = i ^ + 2kĩt , (keZ).12

ítX = — + 2 k n

4

2


B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

- H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

00

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N






Bài toán 2: Giải phương trình:____________a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0. (11

■ PHƯ Ơ NG PHÁP C HUN G

Ta biện luận theo các bước sau:

' 1 - t2 B ớ c 1: Đ ãt sinx —cosx = t, điều kíén ltl<-Jĩ => sinx.cosx — ---- —.2


1 _ t2 . . ' at + b— — + c = 0 » bt2 J 2at - 2c - b = 0. (2)

B ớ c 2: Giải phương trình (2) theo t và chọn nghiệm to thoả mãn điềú kiện

l tl < V 2 . • .

Với t = tg, ta được:

sinx + cosx = tn <=> -Jỉ sin(x + —) = to «> sin(x + —) =., 4 4 ■ V2

Đ ầy là phương trình cơ bản của sin. ,

hú ý :Cũng như trong bài toán 1, ta có thể giải phương trình nửa đối xứng đốii sinx và cosx bằng cách đật ẩn phụ.z = — - X.

* 4ídn.4; Giả i phư ơ ng trình:

6(sinx - cosx) + sinxcosx + 6 = 0.i •Ta có thể ỉựa chọn một trong hai cách saũ:

ách ỉ : Đ ặt sinx - cosx =■ t, đỉều kiện Ịtl < V2 , suy ra sinx.c JSX= * 1

2Khi dó phương trình có dạng:2 .

+6 = 0<=>t2-12 t-13 =0 <= >t = -1 .

<=>sinx-cosx=-lt = 13 (Ioaị)

<=> V2 sin(x - —) = - 1 <->sin(x - —) m —- ịr <=>4 4 V2

X = + 2 k n ■ _ _ 2 ,keZ.

X = 71 + 2knVậy phương trình có hai họ nghiệm.

ách 2: Đ ăt z = — - X.■ • 4 ■ ' .

Khỉđó phương trình cỏ dạng:

6V2 sin(x- —)+ -sin 2x + 6=0<=> I2 V2 sin(-z) + sin2(—-? )+ 1 2 = 04 2 4

<=> - Ì2 V2 sinz + sin(—-2z )+ 1 2 = ồ ó - I2 V2 sinz+cos2z+12=0

<=> - I2 V2 sinz +(1 -2sin2z) + 12 = 0<=> - 2sin2z - I2 V2 skiz+ 13 = 0

69



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

TO

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

ẤP

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





<=>

• - Ỉ3^ 2 n ^sin z = ------ — (loại)

sinz = ã <=>

z = —+ 2k7i43it _

z = — + 2kn 4

<=i>— - X = — + 2kn4 471 3 t t _ — - X = - — + 2kn .4 4

<=>X = - 2 k ĩ ỉ

n , keZ .X = - - - 2 k n . 2 ,

Vậy phương trình có hai họ nghiệm.Ví du 5; Cho phương trình sau:

4(cosx - sinx) + sin2x = m.a. Giải phương trình với m = 1. b. Tìm m để phương trình vô nghiệm.


4(cosx - sinx) + 2sinx.cosx = m

Đ ặt eosx - sinx = t, điềụ kiện Itl < y ỉ ĩ , suy ra sinx.cosx =

Khi đó phương trình có dạng:4t + 1- 12 = m <=> - 12 + 4t + 1 - m = 0.

a. Với m = 1, ta được:' t = 0

(1)

1 - r

<2)

- t2 + 4t = 0 <=>71

<=>cosx - sinx = 0 « x = - + kít, keZ.t = 4 (loại) 4

Vậy p h ư ơ n g tr ìn h GÓ m ộ t h ọ n g h iệm ,

b. Ta cỏ thể lựa chọn một trong hai cách sau:Cách 1: Ta.đi xét bài toári ngược “ Tìm m để ph ơ ng trình cộ nghiệ m

Phương trình (ĩ) có nghiệm » (2) có nghiệm thoả mãn ltlS-v/2

(2)cỏ 1nghiệm thuộc [ -V2, V2 ]

(2) có 2 nghiệm thuộc [-- /2 ,72]<=>

<=> <=>

(-1 - 4V2 - m).(l + 4V2 - m) 2 0

5 - m > 0

l+ 4 - s /2 -m ^ 0 <£>lml £4-^2 +1

- Ị- 4-1/2 - ni £ 0

Vậ y phư ơ ng trình vô nghiệ m khi Iml > 4 + Ị .

A'£0

af(V2)>0

af(-V2)^0

- V 2 á - < V 22

2

’Ọ



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

TO

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





!

Cách 2: Viết lại (â) dưới dạng:

- t2 + 4t + 1 = mVậy phương trình vô nghiêm <=>đường thẳng y = m không cật phần dồ thị

hàm sô' y = - 12 + 4t + 1 trên [ - -Jĩ , V2 ].Xét hàm sô' y = - 12 + 4t + 1 trên [— -Jĩ , V2 ].Đ ạo hàm:-

y’= -2 t+ 4>0, Vte[— \ Ị Ĩ , V2 ],dođóhàmsốđồngbiấitiên[— <Ỉ2, *ỊĨ ].T8f.đó, ta được điều kiện là:

m < -4 J 2 -1m < y(W 2 )

m > y(V2 )<=> <=>Iml >a 4 + 1.

m>4v2 +1

Vậy phượng trình vô nghiệm khi Iml > 4 V2 + 1.v r du 6: Cho phương trình sau:

sin3x - cos3x = m:a. Giải phương trình với m = ].

b. Tìm m để phương trình có đúng ba nghiệm thuộc [0, Ji].Giẩ i


(sinx - cosx) + 3sinx.cosx(sinx - cosx) = m1 - t 2

Đặ t sinx - CQSX = t, điề u kiệ n ltláV2 , suy ra sinx.cosx = — —

Khi đó phương trình eó dạng:1 - t 2

(1)

t3 + 3t. - = m <=> - 13+ 3t = 2m. (2)


t3 - 3t + 2 = 0 <=>(t - Ị)(t2+ 1+ 2) = 0 t = ỉ <=ỉ>sinx - cosx = 1

<=> V2 sin(x - —) = 1 <=>sin(x -£■ )=■ -!=<=>4 4 V2

X = — + 2k7i2 , keZ.

X = 71+ 2k7t

Vậy phương trình có hai họ nghiêm.. b. Ta có: thể lụa chọn một troqg hai cách sau:

Cách 1: Với x e [0 ,7ĩ] => te [ - 1, 4 Ĩ ].

Ta có nhận xét sau:■ Với mỗi to€( - 1,1) hoặc t0= V2 thì phươngtình:

sinx -cosx = t> <=> sin(x - = to <=>sin(x - -7 ) = -J=4 4 V2

sẽ có đúng 1nghiệm xe[0,71],


B

Ồ

I

DƯ

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

LÍ

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3 1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N




■. Với mỗi t0e [ l , V2 ) thì phương trình:

s in x - c o sx = to « V2 s in( x - — ) = to <=> s ir i (x - — ) = —F=4 ■ 4 V2.

sẽ có đúng 2 nghiêm X e [0 ,7t]. .Vậy để phương trình (1) có đúng ba nghiêm thuộc to, 71]

<0 (2) có 2 n g h i ệ m tj, t2 thoả mãn - 1 < tị< 1 < Í2 < V2 .Xết hàm số .y = - 13+ 3t trên [ - 1, s/2 ].Đ ạò hàm:

y’ = - 3t2 + 3, y’ = 0 o - 3t2 + 3 = 0 <=> t = ±1Bảng biến thiên:

t I -00 - 1 1 J 2 +00


J 2v2 < 2m < 2 <=> — - < m < I .

2Cách 2: Số nghiệm thuộc [0 ,71] của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồthịhàm sô' y = sin3x - cos3x trên [0 ,7t] với đường thẳng y = m.

Xét hàm sô' y = sirv3x' - cos3x trên [0,71].Đ ạo hàm:y’ = - 3cosx.sin2x + 3sinx.cos2x.

y’ = 0 «■ 3cosx.sin X + 3sinx.cos2x = 0 <=> —(sinx + cosx)sin2x = 0

o

sin 2x = 0

sinx + cosx = 0 <=>

sin2x = 0

-Jĩ sin(x + —) = 04

<=>

2x = kn ,X6 [0 ,7t]

X + — = K7t4

X = 0

nX = —

2 x = n

3nX = —


Dựa vào bảng biến thiên, ta được điểu kiện là:

— < m < 1.2 •_


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

- H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

10

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N








Vậy phương trifrh có nghiệm thuộc [-1, 1] khi:

f(- l) < m < f(l) <=>-2 ắm s 2.


'‘f s in x ^ o k7t , __ i <=>x* — ,keZ .I cos X * 0 2

Biến đổi phương trình về dạng:s in x -c o sx , - . , .„

— k = 0 <=>sinx - cosx - ksinx.cosx = 0.sin X. co s X

Đ ặt sinx - cosx = t, điều kiện Itl <-JĨ, say ra sinx.cosx = -—— 2

Khi đó phương trình có dạng:1 - t 2 _ _ _

t - k . — — = 0 <=> f(t) = kt2 + 2t - k = 0.(2)

1. Với k = 0, ta được:

t = 0 o sinx + co sx = 0 <=> X = - — + k7t, keZ.4

Vậy với k = 0 phương trình có một họ nghiệm.2. Với k 0, ta có:

A = I + k2 > 0 Vk, suy ra phương trình (2) có hai nghiệm là:

_ - 1 - V l + k3 _ - l + Vl + k2t | ------------ — -------- ; t 2 = — — -— ——-1 k k

Phương trình (1) có nghiệm => (2) có nghiệm thoả mãn - V2 < t < V2 .Xét hai trường hợp:

Tr ờ ng hợ p 1: Phương trình (2) có 1 nghiệm thuộc [ - V2 , V2 ]

<=>f( - & )f( V2 )<0 <=>(k - 2 -ã )(k + 2 V2 )<0 <=> - 2 V2 ák £2 V2

Khi đó nghiệm thuộc [ - V2 , V2 ] là t2 = —1+Vl + k2

<=>sinx - cosx = - 1 + 1/ĩ+ k o sin(x - —) =

- I + V1 + I

kV2= sina

oX - — = a + 2kJt

4 <5>X = a + - ‘ + 2k7t

4 keZ

k


Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

HÓ

A

C

Ấ

P

2

3

1

00

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Tr ờ ng hợ p 2: Phương trình (2) có 2 nghiệm thuộc [ - 1/2 , -s/2 }

<=>

Khi đó:

A > 0

af(V2) 2: 0

af(—V2 ) 2 0 °

2 ■■

ĩ + k2 > 0

k(k + 2-/Ì) > 0

k(k — 2V2 ) £ 0 ^

- ^ < 4 ^k

k £ 2V2

k < - 2V2

• Với t, = - 1 - V ĩ + k

<=>sinx - cosx =—I —V1+ k 2 <=>sin(x - —) =

4- 1 - VĩTi

kV2

X - —= a + 2kn4

X - — = 7 t - a + 2kit. 4

<=>X= a + —+ 2kit

4

571 o. _ X = - a + 2kiĩ

4

, keZ

■ Với t2 = l + Vl + k2

<=> sinx - cosx = -1 + Vl + k2 rc. -1 + VĨ"+ k2sin(x - 7 ) = - P — 4 kV2

<=>X - — = B+ 2kn

4 ■

X - — = ^ - ( 3 + . 2 k n. 4

<=>X= p + —+ 2kĩt

■ 4

X= — - p + 2k7i . 4

*keZ .

Vậy phương trình có bốn họ nghiệm.

BÀI TẬ P ĐÊ NGHỊBài tập 1. Giải các phương trình sau:

a. 3(siiix + cosx) - 4sinxcosx = 0.

b. l'2(sinx - cosx) - 2sinxcosx -1 2 = 0.c. (1 + cosx)(l + sinx) = 2.

Bài tập 2. Giải các phương trình sạu:

a , . Isinx —cosxl + 4sin2x = 1. b. Isinx + cosx! - sin2x = 0.Bài tập 3. (Đ HQG Hà Nội Khối B - 97): Giải phương trình:

2 V2 sin(x + —) = —í—+ —-— .4 sinx cosx

= sina

= siap


B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

- H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

00

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Bài tập 4. Tim m để phương trình:3(sinx + cosx) = 4msinx.cosx

ó nghiêm thuôc (0, —-)..‘ ' 4

Bài tập 5. Cho phương trình:(1 - cosx)(l - sinx) = m


b . J ì m ĨJ1 đ ể p h ự ơ n g t r ìn h c ó đ ú n g 1 n g h i ệ m t h u ộ c [ 0 , —

Bài tập 6. Cho phương trình:2sin3x + cos2x + cosx = m.

a. Giải phương trình với m = 0. b. Tim m để phương trình có nghiệm.

Bài .tập 7. Cho phương ừình:m(-sinx + cosx) + sịnxcosx + 1=0.

a. Giải phương trình với m = - - J ĩ . b. Tìm m để phương trình có nghiệm.

c. Tìm m để phương trình có đúng 1nghiệm thuộc f - —, 0],

Bài tập 8. Cho phương trình: ;m(sinx + cosx) + sin2x = 0.

a. Giải phương trình với m = 1. b. Tìm m để phương trình vô nghiêm.c. Tim m để phựợng trình có đúng 2 nghiệm thuộc [0,7T].

Bài tập 9. Giải vã biện luận theo k phượng trình:

’ + J L = k .cos X sin X

Bài tập 10. Cho phương trĩnh;m(sinx - cosx) + 2sinxcosx - m.

• a. Giải phương trình với m = 1+ 4 Ĩ . b. Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc [0,7t].

Bài tập 11. Cho phương trình:m + sm3x + cos3x - 3sinxcosx = 0.

a. Giải phương trình với m = 1. b. Tím m để phương trình có đúng 3 nghiệm thuộc [0 ,7t].c. Tim m để phương trình có đúng 4 nghiệm thuộc [0, 7t].

Bài tập 12. Xác định m đề phương trình:’ . _ ’ , 1' „ 1 1 , ___

sinx + cosx + 1+ —(tgx + cotgx + — + —-— ) = m2 sinx cosx

ó nghiêm xe(0,—).

Bài tập 13. Tìm m để phương trình sau có nghiệm:sin2x + 4(cosx - sinx) = m.



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N





CHỦ ĐỀ 8

PHƯ Ơ NG TRÌNH ĐỐ I XỨ NG

ĐỐ I VỚ I tgx VÀ eotgx

I. PHƯ Ơ NG PHÁPBài toán 1: Giải phương trình:

a(tg2x + cotg2*) + b(tgx + cotgx) + + c = 0. (1)


Ta thực hiện theo cắ c bước sau: B ớ c 1: Đ ặt điều kiện:

sinx 0 . kn „<=>sin2x * 0 <=>X* — , keZ.

cosxÔ 2

B ớ c 2: Đ ặt tgx + cotgx = t, điiêù kiện Itl > 2 => tg2x + co tg^ = t2 - 2.Khi đó phương trình có dạng: '

a(t2 - 2) + bt + c = 0 <=>at2 + bt + c - 2a = 0. (2) B ớ c 3: Giải phương trình (2) theo t và chọn nghiệm to thoả mãn điều kiện Itl > 2 B ớ c 4: Với t = t0 <=>tgx + cotgx = to , khi đó ta có thể lựa ehọn một trong

hai hướng biến đổi sau: H ớ ng 1: Ta có: .

tgx + — = t0 <=>tg^x - tgtgx + 1 =0 .tgx «

Đ ây là phương trình bậc hai theo tgx. H ớ ng 2: Ta có:

sinx cosx sin2x + cọs2x+ =to<=> ' 7 =to

• cosx sinx sin X. cos X

o sin2x = — .2t0

Đ ây là phương trình cơ bản của sin.Chú ý: Cũng có thể lựa chọn phép đổi biến t = tgx, tuy nhiên khi đó ta sẽ thuđược một phương trình bậc cạo.

Ví du ĩ; Giải phương trình:(tgx + 7)tgx + (cotgx + 7)cotgx + 14 = 0.


ís in x^ o ■ k7t . . „< <=> sin2x * 0 <=>X* — , k eZ .

COSx ^ 0 2

78



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N





Biến đổi phương trình về dạng:(tg2x + coig%) + 7(tgx + cotgx) + 14 = 0.

Đ ặt tgx + cotgx = t, điều kiện ltl£2, suy ra tg2x + cotgax = t2 - 2.Khi đó phương trình có dạng:

"t = -3t - 2 + 7t + 14 = 0<=> t2 + 7t + 12 = 0 <=>

t = -4

■ Với t = —3, ta được:

x tgx + cotgx = - 3 <=> tgx T — = - 3 <=>tg2x + 3tgx + 1 = 0 .tgx

.. _ -3 - 75tgx = — —----- = tga

tgx =

2-3 + V5

<=>

= tgP

X= a + kTtX= p + kjt

, keZ .

■ Với t = - 4, ta được:

. sinx cosx . sin2x + cọs2x ,tgx + cotgx = - 4 » ——- + — = - 4 o — ;— -— ------= - ị

<=>sin2x = —- c=>2

cos X si n X

2x = - * + 2kn 6- 7 ĩt _2x = — + 2kn . 6

sin X. cos X

<=>X = — — + k n

12

_ 771 1X = — + kĩc. 12

, keZ.


Nhậ n xét. Qua việc lựa chọn hai phương pháp giải để tìm ra nghiệm X khi biếtto các em hãy lựa chọn cho mình một phương pháp phù hợp.

Ví du 2: Cho phương trình:- tg2X+ cotg2x + m(tgx + cotgx) + 2m = 0. (1)

a. Giải phương trình với m = —- .

b. Tìm m để phương trình có nghiệm.Giả i

Đ iều kiện:

{sin X * 0 k7t _

<=> sin2x # 0 <=>X * — , keZ .

COS x ^ O 2

Đ ặt tgx + cotgx = t với Itl > 2 suy ra tg2x + cotg2x = t2- 2


Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

00

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




a. Vớ i m = , ta đư ợ c:2

t3- - 1 - 3 = 0 »2

t = 2

t = - 3 /2 (loại)<=> tgx + cotgx = 2

o tgx = 1 <=>X = — + kít, keZ .5 4

Vậ y, vớ i liy = - — phư ơ ng trình có mộ t họ nghiệ m.

b. Đ ể tìm m sao cho phương trình có nghiệm ta lựa chọn 1 trong 2 cách sau:

Cách I: Phương trình (1) .có nghiệm <=> phương trình (2) có nghiệm lt£2.Xét bài toán ngược: "Tìm điề u kiệ n để ph ơ ng trình đã cho vô nghiệ m".

Phương trình đã cho vô nghiệm

<=>(2) vô nghiệ m

(2) có hai nghiệ m thuộ c (-2,2 )<=>

A < 0

A 2:0

a f ( -2 ) > 0

af(2) > 0

- 2 < — < 2

2

<=>

m2 -8 m - 8 < 0

m2 -8 m - 8 £ 0

2>0

4m + 2 > 0

„ m -

- 2 < — — <2

2

0 - — < m < 4 + 2 V2 .2

Vậy với m £ - — hoặc m > 4 + 2 V2 phương trình đã cho có nghiệm.2 '

Cách 2: Vì t = -2 không phải là nghiệm của phương trình, nên viết lại (2) duới dạng:

- t 2 +2

t + 2 = m

số y =

Vậy phương trình (1) có nghiệm <=> đưòng thẳng y = m cẳt phần đổ thịSàm

- t + 2

t + 2trên ( - 00, - 2] u [ 2, + 00).

Xét hàm số y =- t z +2

t + 2trên ( - 00, - 2] u [ 2 , + 00).

Đ ạo hàm:

y ’ =- t 2 - 4 t - 2

(t + 2) 2

y’ = 0 <=> —£2 —4t —2 = 0 <=> t = - 2+V2 .

80


B

Ồ

I

D

ƯỠ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í -

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

10

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N




Dựa vào bảng biến thiên, ta được điểu kiện là:

m < —— hoăc m ằ 4 + 2ll'2 .2

Chú ý: Phương pháp được mở rộng tự nhiên cho eác phương trình đốì xứng bậcao hơn 2.

Ví du 3: Cho phương trình:2tgx + tg2x + íg3x + 2cotgx + cotg2x + cot^ x = m. (1)

a. Giải phương trình với m = 8. b. Tìm m để phương trình có nghiệm.

Giả i

Đ iều kiện:í s inxÔ kĩt ị <=>sin2x * 0 <=>X 5* — , keZ.[cosx * 0 2

Đ ặt tgx + cotgx = t, điều kiện Itl > 2, suy ra:tg2x + cotg2x = t2 - 2tg3x + cotg3x = (tgx + cotgx)3- 3tgx.cotgx.(tgx + cotgx) = t3 - 3t.

Khi đó phượng trình có dạng:2t + 12 —2 + 13- 3t = m t3+ 12- 1- 2 = m. (2)

. Với m = 8, ta được:í3+ t2- 1- 10 = 0 (t - 2)(t2 + 3t + 5) = 0<^>t = 2<=>tgx + cotgx - 2

o tgx = 1 o x = — + k7i, keZ. »4 ■

Vậy, với m = 10 phương trình có một họ nghiệm.. Phượng trình (1) có nghiệm <=>đườhg. thẳng y = m cắt phần đồ thị hàm số.= t3+ t2 - t - 2 trên (- 00, - 2] u [ 2, + oò).

Xét hàm số y = t3+ t2 - t - 2 trẽn D = (-00, -2 ] u [ 2, + 00).Đ ạo hàm;

y’ = 3t2 + 2t - 1 > 0, VíeD o hàm số đổrig biến trẽn D..Bảng biến ihiên: '

t —00 - 2 2 +00

y' -

W -+

—00^+00

Dự a vào bả ng biế n thiên, tá đư ợ c điề u kiệ n là m ắ - 4 hoặ c m ằ 8 .

81



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





' Bài toán 2: Giải phương trình:

_____ aCtg x + eot^x) + b(tgx - cotgx) + c = 0. (1)

PHƯ Ơ NG PHÁP CH UN G

Ta thực hiện theo các bước sau:

B ớ c 1: Đ ặt điều kiện:ísinx ^ 0 Íc7t■í <=> sin2x * 0 <Ị> X — ,keZ .[cosx & 0 2

B ớ c 2: Đ ặt tgx - cotgx = t => tg2x + cotg2x =t2 + 2.Khi đó phương trình có dạng:

a(t2+ 2) + bt + c = 0 <=>at2 + bt+ c + 2a = 0. (2) B ớ c 3: Giải phương trình (2) theo t. B ớ c 4: Với t = to <=> tgx - cotgx = to , khi đó ta có thể lựa chọn một trong

hai hướng biến đổi sau:

H ớ ng ỉ: Ta có:

tgx---- — =t0o tg2x - totgx - 1 = 0 /tgx

Đ ây là phương trình bậc hai theo tgx. V Hừ ớ ng2: Tá có:

sinx cosx „ sin2x -c o s 2x~ 77 = ^ n T = tocosx sinx sin X. cos X

-2cos2x - tn<=» -„■■■ = t0o co tg2 x = - ^ - .

sinzx 2Đ ây là phương trình cơ bản của cotg.

Chú ý: Cũng có thể Ufa chọn phép đổi biếrt t = tgx, tuy nhiên khi đó ta sẽ thuđược một phương trình bậc cao.

Ví dn 4: Giải phừơng trình:

y ịĩ (ítg2x + cọtg2x) + 2 (\ fỉ - 1)(tgx - cotgx) —4 —2 V3 =0.

Giả i

Đ iều kiện:

s in x * ơ . _ „ kn , ■<=> sin2x * 0 <=>X* — , keZ.

cosxÔ 2

Đ ặt tgx - cotgx = t, suy ra tg2x + cotg2x = t2+ 2.Khi đó phương trình có dạng:

S ( f + 2) + 2 ( S - l ) t - 4 - 2 V 3 = 0<=> + - l ) t- 4 = 0

Tt = —2

82



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





■ Với t = -p-fia đươc:V3

2

. _____ 2 s i n x c o s xtgx - cotgx = ~i= <=>—— ------- —— ■ J3 c o s x s i n x

2 s in X - cos2 X 2

Vĩ sin X. cos X /3

<=>cotg2x = ---- Ị= o 2x = - —+ loi<=>x , keZ.V3 3 6 2

Với t - -2 , ta được:

- c otg x

tgx = —1- V2 = tga

tg x - c o tg x = - 2 o t g x ------ — = - 2 « > tg 2x + 2 tg x - 1 = 0 .tg x

<=> _tgx = - l + V2 =tgp


<=>X= a + krt

X= p + kĩi , keZ.

Nhậ n xét: Qua v i ệc l ự a c h ọ n h a i p h ư ơ n g p h á p g i ải đ ể t ìm r a n g h i ệ m X k h i b iết

t 0 l ờ i k h u y ê n d à n h c h o c á c e m h ọ c s i n h l à h ã y l ự a c h ọ n h ư ó n g 2 đ ể g i ải , b ở i

ngay vói t = -2 , ta được:

tgx - cotgx = -2s i n x

cosx

c o s x _ s i n 2 X - c o s 2 X „ — — = - 2 o — -------------- = -2

smx sin X. cos X

o cotg2x = l<=>2x= —+k 7i<=> x=- + — , keZ.6 4 8 2

Chú ý: Phương pháp được mở rộng tự nhiên cho các phương trình đối xứng bậcc a o h ơ n 2 .


tg x - cotg x - + cotg x) - 3(tgx - cotgx) + m + 6=0. (1)


b. Biện luận theo m số nghiệm thuộc (0, —) của phương trình.


[sinx * 0 . k7t , „0 sin2x 5*0 <=>X* — , keZ.

cos X 5* 0 2

Đ ặt tgx - cotgx = t, suy ra tg2x + cotg2x = t2 + 2 và:

tg3x - cotg3x = (tgx - cotgx)3+ 3tgx.cotgx.(tgx - cọtgx) = t3+ 3t.Khi đó phướng trình có dạng:

t3+ 3t - 3(t2 + 2) - 3t + m + 6 = 0 o t3- 3t2 + m - 0. (2)a. Vói m - 4, ta được:


B

Ồ

I

D

ƯỠ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í -

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

10

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




<=>

<=>

t = - l

t = 2<=>

tgx - c o t g x = -1

tgx - cot gx = 2<=>

2x = 2a + k7t

71 <=>2x = - —+ k7t

krtX = a + —

2 n k7tX «= —

8 2

cot g2 x = — = cot g 2 a

cot g2x = -1

,keZ.

Vậy với m = 4 phương trình có hai họ nghiệm, b. Với mỗi nghiệm t0 của phương trình (2), ta được:

tgx - cotgx = to <=>C0tg2x = - — .

Mặt khác vì xe(0, —) <=>2xe(0, Tt)' 2 •

Do đó với mỗi nghiệm to của (2) ta có được 1 nghiêm x0e(0, —) của (1).

Số nghiệm của (2) bằng số giao điểm của đường thẳng y = - m với đồ thịhàm số y = t3- 3t2.

Xét hàm số y = t3- 3t2Đ ạo hàm:

y’ = 3t2 - 6t, y’ = 0 <=>3t2- 6t = 0 <=> t = 0 hoặc t = 2.

Bảng biến thiên: .- 00 0 + 00

0 0

00

Dựa vào bảng biến thiên, ta có kết luận — Bạ n đọ c tự đ a ra lờ i kế t luậ n

■II. CÁC BÀI TOÁN THI

BÀI GIẰ I

Đ iều kiện:ísinx 5* 0 . „ „ k7r , •

\ <=>sin2x 0 <=>X * — ,ksZ .[c os X 5 í 0 2

Biến đổi phương trình về dạng:3(1 + co tg2x) + 3 tg2x + m( tgx + co tgx) - 1 = 0

3(tg2x + cotg 2x) + m (tgx + co tgx) + 2 = 0

Đ ặt tgx + cotgx = t, đ iề u kiệ n ltl>2, suy ra tg2x + cotg2X'« t2 - 2.


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í -

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N




Khi đó phư ơ ng trình có dạ ng:

3(t2- 2 ) + mt + 2 = 0< »f( t) = 3t2 + m t- 4 = 0. . (2)Đ ể tìm m sao cho phương trình có nghiệm ta lựa chọn 1 trong 2 cách sau:

Cách ỉ: Ta đi xét bài toán ngược “Tìm m để ph ơ ng trình vô nghiệ m” Phương trình (1) vô nghiệm

- 2 < S/2 < 2

Vậy phương trình có nghiệm khi msRX - 4,4).Cách 2' Viết lại (2) dưới dạng:

- 3 t2 +4 _ — ------ = m

tVậy phương trình (1) có nghiệm <=>đường thẳng y = m cắt phần đồ thịhàm

r —3t~ + 4 A r _ .

ô y = ----------- trên D - ( - co, - 2] u [ 2, + oo).

, —3t2 -t-4 _ Xét hàm số ỵ = ----------- trên D = (-00, -2 ]{ J [2, + co).

Đ ạo hặm:- 3 t 2 - 4

y’ = — -T----- < 0, VteD, do đó hàm số nghịch biến trên Đ .t*

Từ đó, ta được điéu kiện là:

m 5 v(2) ị"m < -4’m £ y(-2) m ầ . 4

Vậy phương trình có nghiệm khi Iml ầ 4.

Bàì 2: Gho phuơng trình:tgỉx-cotg3x-3(tg2x+ cotgfx)- 12(tgx-cotgx)+m+6=0. (1)


b. Tìm m để ( !) có 3 nghiệ m phậ n biệ t Xị, x2, x3e(0, —) và thoả mãn:

(2) vô nghiệm •<=> ' <=>(2) có 2 nghiệm thuộc (-2,2)

A < 0

A > 0

af(2) > 0 o - 4 < m < 4.

' af(-2) > 0 '


ísinx * 0

j c o s x * 0<=>sin2x í O o x í - - , k eZ.

2

85



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

TO

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N







BẰ I TẬ P ĐỂ NGHỊBài tập 1. Giải các phương trình: .

a. cotgx —tgx = sinx - cosx.

b. tgx + tg2x + cotgx + cotg2x = 6.Bài tập 2. Cho phương trình:3(tg2x + cotg2x) + 4(tgx + cotgx) + m = ò.

a. (CĐ H.Q - 2000): Giải phương trình với m = 2. b. Tìm m để phương trình có nghiệm.

Ẹ àì tập 3. Cho phương trình: >tgx + tg2x + tg3x + cotgx + cotg2x + cotg3x = m.

a. Giải phương trình với m = 6. b. . Tìm m để phương trình có nghiệm.

• Bài tập 4. Cho phương trình:

— í-— + cotg2x + m(tgx + cọtgx) + 2 = 0. *COS X

a. Giải phương trình khi m = —.2

b. Xác định m để phương trình có nghiệm.Bài tập 5. Với giá trịnào'của m thì phương trình sau đây có nghiêm:

3

— ---- H.tg3x + m(tgx + cotgx) - 1 = 0 .sin X

Bài tập 6. Giải và biện luận phương trình:(m - 2)(fg2x + cotg2x) 2m(tgx - cotgx) - m + 5 = 0.


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

- H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

10

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




CHỦ ĐỀ 9

LOẠ I NGHIỆ M KHÔNG THÍCH HỢ P

I. PHƯ Ơ NG PHÁP

I Bậi toán 1: Loại nghiệm không thích hợp củạ phương trình lượng giác. ịPHƯ Ơ NG PHẲ P CHUNG

Ta thường gặp 2 dạng toán sau: Dạ ng 1: lìm nghiệm thuộc (a, b) của phương trình.

Ta thực hiện theo các bước: B ớ c 1: Đ ặt điều kiện có nghía cho phương trình.

2ỈC7Ĩ B ớ c 2: Giải phương trình để tìm nghiệm X= a + —— , k, neZ.

■ n B ớ c 3: TJm nghiệm thuộc (a, b):

__ 2k7i k'neZ ' _ 2k07ta < a + —— < b <=> (k0,10) => x0 = a + - - .

n n 0 Dạ ng 2: Phương trinh chứa ẩn ở mẫu.

Ta thực hiện theo các bước:* 2ln

B ớ c 1: Đ ặt điều kiộn có nghĩa cho phương trình X* p + , 1, neZ' ' n

B ớ c 2: Giải phương trình để tìm nghiệm x0 = a + ——, k, neZ.' n B ớ c 3: Kiểm tra điều kiện ta lựa chọn một trong hài phương pháp sau:

Ph ơ ng pháp đai số :■ Nghiệm x0bịloại khi và chỉkhi:

2kiĩ _ „ 2bt ■a + —— = p + .

n n■ Nghiệm Xo chấp nhận được khi và chỉkhi:

2kn n 2ỉn á + .n n ^

Phusơ ne pháp hình hoc:

■ Biểu diển các điểm X= 3 + — , l, neZ trên đườngstròn đờnn

vị, khi đó ta được tập các điểm c = {Cị,..., CpỊ.2kn •'

° Biể u điể n các điể m X= a + , k, n eZ . trên đư ờ ng tròn đơ nn

vị, khi đó ta được tập các điểm D = ( D ịD q}. .■ Lấy tập E = D\c = ỊE|v..,Erh từ đó kết luận nghiệm của

phương trình là:X = E; + 2k7T,... X= E, + 2k7ĩ, keZ.


B

Ồ

I

D

ƯỠ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í -

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

10

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N




_ 7Cí du 1: (Đ ề 16): Tìm các nghiệm thuộc (—, 3rc) của phương trình:

sin(2x + — ) - 3c o s(ị - — ) = i + 2sinx.2 2

iả iBiến đổi phương trình về dạng:

sin(2x + —+ 2tt) - 3cos(x + -- - 4n) = 1 + 2sinx2 2

<=>cos2x + 3sinx = 1 +2sinx o 1 -2 sin2x = 1 -sin x <^2sin2x - sinx = 0

<=>sin X= 0

1 °sin X= —

X= kĩr . X£(ĩ,3n)

71 2X= —+ 2kn o

6

X= — + 2kn . 6

X= 71, X= 271

Ì3nX= —

_ 5 ĩt _ 1 7 j i

x ~ ~ 6 , x ~~6~

Vậy, phương trình có 5 nghiệm.

Ví du 2: (Đ H Việt Nam Khối D - 2002) Tìm các nghiệm thuộc [0,271] củahương trình:

' cos3x + sin 3x . - _ 5(sinx + ------- ——;----- ) = COSZX+ 3.

1+ 2sin2xGiả i

Đ iều kiện:

t

1 + 2 s i n 2 x s i n 2 x * —ị <=>* 2

2x # — + 2kĩt6

2x * — + 2kn6

<=> X* ——+kiĩ 12

7ítX* —r + kTt

12

,keZ.

Ta có :cos3x + sin3x = 4cos3x - 3cosx + 3sinx - 4sin3x

= 4(cps3x - sin3x) - 3(cosx - sinx)= (cosx - sinx)[4(l + cosx.sinx) - 3] = (cosx - sinx)(l + 2sin2x)

Khi đó phương trình có dạng:5(sinx + cosx - sinx) = cos2x + 3 <=>2cos2x - 5cosx + 2 = 0

<=>cos X= 2 (1)

' 711 o x = ± -+ 2 k 7 t ,k e Z oi 7.

x e [ 0 , 2 x ]

COS X= — 2

nX= —

35t i

Vậ y phư ơ ng trình có hai nghiệ m —, — .

X

89



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

TO

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

ẤP

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





Ví du 3: (Đ HKT - 99): Giải phương trình:1 1 . 2------ + ------- — ------- .

cos X sin 2x ■ sin 4xGiả i

Đ iều kiện:

sin4x 0 <=> X * — , ke Z .. (*)T 4 v '

Biến đổi phương trình về dạng:4sinx.cos2x + 2cos2x = 2 4=> 2sinx.cos2x = ì - cos2x'

<=>2sinx.cos2x = 2sin2x <=>(cos2x - sinx)sinx = 0

<=>(1 - 2sin2x - sinx)sinx = 0 <=>(sinx + l)(2sinx - l)sinx = 0

<•> . ___ 1 . .<=> sinx = — <tí>

2

X = —+ 2kn 6

X = — + 2kn 6

,k e Z .

' L VVậy phương trình cổ hai họ nghiệm.

Nhậ n xét: Trong lời giải trên chúng ta đã linh hoạt trong việc kiểm tra điều kiện(*) để loại đi các nghiệm sinx = 0 và sinx = - 1, bởi:

■ sin4x = 4sinx.cosx.eos2x. .

Ví du 4: ; (Đ H Huế Khối A - 99): Giải phương trình:

sin X. cot g5x _

cos9xGiả i

Đ iềú kiện:

|sin5x i* 0

[cos9x * 0<=>

5x * 171 .

71 <=>9x ^'-7- + 1tt .

2

1n X#—571 Ỉ7t '

X 5É— +■ —18 9

,lẹ Z . (*)

Biẽn đổi phương trình về dạng:

cosSx.sinx = cos9x.sin5x <=> -3 (sin6x - sin4x) = —(sinl4x - sin4x)2 2

<=>sinl4x = sinóx <=>

Kiểm ừa điều kiện (*):

14x = 6x + 2kiĩ

14x = lĩ, - 6x + 2k 7t•«=>

k7iX =

. % k7i X = — + —-

20 10

, keZ.

90



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N





Với X= — . ta cần có:4-*-.Ic7ĩ

krc Itc ——

4 5k7t 71 Ỉ7Ĩ

—- — + —4 18 9

oỊ5k*41

9k * 2 + 41<=>k =4n +1

k =4n +3

X=-(4n +1)7:

X= -(4n + 3)71 ,neZ.

'71 kĩi - ,Với X= + — 3-, ta cẩn có:

20 1071 k7t It i

TT+ . ^ .20 10 5 <=>

íl + 2k*41

18k 5*1+ 20171kn 71 lít--- + --- —*f----L20 10 18 9Vậy phương trình có ba họ nghiệm.

'Nhậ n xét: Trong lờịgiải trên .từ

luôn đúng => X= — + — ,keZ.20 1 0 .

[5k * 41 (1) k = 4n + 1

k = 4n + 3[ 9 k # 2 + 41 (2 )

bởi từ (1) suy ra k không chia hết cho 4 và từ (2) suy ra k lẻ, do đó:

k = 4n +1k - 4n + 3 . ‘

rồi Iạí thực hiện phép thử (I) và .(2). . •Còn đối VỚI

Ịì + 2k*41

[l8k *1 + 201

xuất phát từ ựnh chẵn Ịẻ của hai vế. • ■

Ví du 5: , (Đ rtQGHàNội - 2001): Giải phương trình:sin3x = cosx.cos2x.(tg2x + tg2x).

Giả i

(I)

luôn đúng

Đ iều kiện:

fcosx * 0

cos 2x * 0

X -T + k7i

<=> *

2x * —+ k7ĩ2

X* —+ kĩt2n krt

X* —+ — 4 2

keZ. (*).


sừi3x= cosx.cos2x.(. 2

. sin X

COS2 X

s i n 2 x . ~ s i n2 x . c o s 2 x . _ _ + — ) o sin3x = ----- — ----- + sin2x.cosx

cos2x cosx


Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

00

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




<=> 1(3 - 4sin2x).cosx - (cos2x.sinx + 2 co s3x)]sinx = 0

(*)<=> (c osx sin x )c os2 x .sin x = 0 <s> sin x = 0 <=> X = k i t , keZ.



Bài 1: (Đ H Việt Nam Khối D - 2002): Tim X thuộc đoạn [0, 14] là nghiệmđúng nghiệm phượng trình:cos3x - 4cos2x + 3cosx - 4 = 0.

BÀI GI I

Biến đổi phương trình về dạng:4cos3x - 3cosx - 4 (cos2x + 1) + 3cosx = 0

<=> 4cos3x - 8cos2x = 0 c=> cosx = 0 <=>X = — + kĩi, k e Z.2

Vì xe[0, 14] nên:

,--------------1 4 -

0 < —+ k7i 14 <=> - - < k < ----- 2. o k = 0 , 1 ,2 ,3 .2 2- 7T '

Vậy phương trình có các nghiệm x = —, x = — , - x =— , x = — .

Bài 2: (Đ HKTQD TPHCM - 90): Giải phương trình:

c o s 2 x + 3 c o t g 2 x + s i n 4 x 2

cot g 2 x - c o s 2 x

BÀI GI I

Đ iều kiện:sin 2x 5* 0

COS2x 0

. - sin2x * 0sin 2x * 0

■ < = > 1 1 <=>C 0 t g 2 x - c o s 2 x * 0 i (— -------^ l ) c o s 2 x * 0

I sin2x sin2x * 1

o sin4x^0 <=>X?Ế— , keZ .4


cos2x +-3. - o s2x + 2sin2x.cos2x = 2( cos^x - cos2x)sin 2x sin2x

o 1 + —-— + 2sin2x = 2(— ------ -1) <=>2sin22x + 3skÌ2x + 1 = 0cin0 V í?insin2x sin2x


B

Ồ

I

D

ƯỠ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í -

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

10

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N




ài 3: (Đ HKT - 96): Giải phương trình:2 , „ , . r\2 ..

I 2 _ 1 + Sin X _■)t g x. s in x = — —— + tg X.

( 1 - c o s x ) + ( l + c o s x ) t 1 . _ 1 + s i n x

4(1 - sin x)

BÀI GIẢ I

Đ iều kiện:

ísin X * 1 _ _ 7tị

cosxÔ <=>X*—+ k7i, keZ.(COS X # 0 2


+ (1 + sinx)tg2xọ

2 + 2 co s X _ 1 + s i n x n . u 2

4(1 - sin x) 2

<=>l + c o s ^x 1 + s i n x , , „ - 2 . 1+ s in x COS x + 2s in 2 x

= ° (1 + 2tg X) = ; - —— — 2 (1 — s in x) 2 2 . cos X

_ l + s i n x cos2 x + 2 s ịn 2 x _ c o s 2 x + 2 s i n 2 x

2 1 - s in 2 X 2 ( 1 - s in x)

» 1+ cos2x = cps2x + 2sirrx <=> 1- 2sin2x = 0

•» cos2x = 0 <=> X= — + — ,ke Z. •4 2

Vậy phương trình có một họ nghiêm X = — + — , keZ.

ài 4: ( Đ HQG - 96): Giải phương trình:

„ . 2 1' . „ „ 7 Sfsin*1X + c o s 4 X —1)3sin X + —sin2x + 2cos X = ----- ------ - ,---------

2 sin x + c o s ° x -l» BÀI GI I

Ta có:

sin4x + cos4x - 1= (sin^ + cos^)2- 2 sin^.cos^ - 1= - 2 sin^.cos^.sin6x + cọs6x - 1 = (sin2x + pos2x)3- 3sin2x.cos2x(sin2x + cos2x) - 1

= -3 sin2x.cos2x.Đ iều kiện: '

sin6x + cos6x -1 - SsiiA.cosSc^0<=>sirứx^0<=>X^ — ,keZ. (*)

2Biến đổi phương trình về dạng:

3sin2x + - sin2x + 2cos2x = 2 o sin2x + sinx.cosx = 02

(*) n<=>sinx(sinx + cosx) = 0 o sinx + cosx = 0 <=>X = - — +k7t, keZ.

Vậy phương trình có một họ nghiệm X = - — + k7i, keZ .■. . . .. 4

93



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





Bài 5: ( Đ HXD - 97): Giải phựơng trình:sin42x + cos42x

,TC . .71 .tg(~7 - x)tg(' .+ x)

4 4

—cos42x.

BẰ I GI I

Ta có:tg (.í - x ) t g ( y + x ) = t g(y - x ) c o tg ( ệ - J —x)= tg(J -x)cotg( J -x )= 1.

4 4 4 2 4 4 4Đ iều kiện

cos(—- x )^047E

cos(—+ x) * 04

<=>

71 n , X - — í t -T- + kí t

4 271 7t ,

— + X 5* — + ls.714 2 '


3nX * — + k ít ,

4' ^Jt k7t . ™o X5É-7 + — , keZ.ĩt . 4 2

X * — + k7t4

k7tsin 2x + cos 2x = COS 2x <=> sin 2x = 0 <=>sin2x = 0 <=>X = -T-, keZ.- 2

k1!Vậy phương trình có một họ nghiệm X = — , keZ.

Bài 6: (Đ HMĐ C - 97): Giải phương trình:sin 5x

5 s in X= 1.

BÀI GIẢ I

Đ iều kiện:sinx * 0 <=> X k7t, k e Z .Biến đổi phương trình về dạng:

sin5x = 5sinx <=>sin5x - sinx = 4sinx <=>2cos3x.sin2x = 4sịnx<=>4cos3x.sinx.cosx = 4sinx <=>(cos3x.cosx - l)sinx = 0 <=>cọs3x.cosx =

íco s X = 1

[cos3x = 1o ■ vi pham điều kiên vì sinx 0.

I COS X = - 1 ’ '

[cos3x = -1Vậy phương trình vỏ nghiệm. _________ -

Bài 7: ( Đ HNN,- 98): Giải phương trình:, c o sx - 2 sinx.cosx

2 COS2x - s i n x - 1BÀI GI I

Ta có:■2cos2x - sinx - 1 = - 2sin2x - s i n x + 1= (sinx + 1)(1 - 2 s i n x ) . ■

94



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

TO

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

ẤP

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





2cos:x + sinx - 15*0 <=>(sinx + 1)(1 - 2sinx) * 0

Điề u kiệ n:*

<=>

sinx -1

. 1 ^sin X 7* —2

X* + 2kn2

x ^ — + 2kn , keZ.6

X — + 2k7i 6


c o s x ( l - 2 s i n x ) r r _ _ / r . IT--------------------— ----- = V3 <=>cosx = V3 sinx + V3(sinx + 1)(1 -2 sin x )

s<=> Vĩ sinx - cosx = - -Jĩ <=>sin(x - —) =6 2

<=>X - — = + 2k:t

6 371 4n _

X - — = + 2k 7t. 6 3

<=>x = - —+ 2k7t

6

x = — + 2kn (loại), keZ.


Bài 8: ( DHL - 98). Giải phương trinh :

tgx - sin2x - cos2x + 2(2cosx----- ỉ— ) = 0.cosx

BÀI GI I

Đ iều kiện:

71cosx 9^0 «■ X * — + kn, keZ.

. 2Biến đổi phương trình về dạng:

s i n x - . _ _ . 2 c o s 2 x — 1- 2sinx.cosx - cos2x + 2(----- -------- ) = 0

COS X cos X

■ , 1 „ V „ 2cos2x -<=>sinx(— ------ 2cosx) - COSZX+ ——— = 0COS X ’ còs X

. cos2x „ 2cos2x _ . cos2x .<=> -sinx.:—— -----cos2x+— —— = 0 o —-— (-sinx- C0SX+2)=0

e o s X cos X co s Xcos2x = 0 n k7t , __

o X = — + — , keZ.cosx + sinx = 2 (vn) 4 2

<=>

Vậy phương trình có một họ nghiệm


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í -

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

10

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N




Đ iều kiện:BÀI GI I

k7tsin2x ;*0«=>2x*k7i<=>x^ — ; keZ.

2Biến đổi phương trình về dạng:

(*)

cos2x 1 - COS 2x e o s 2x + s in 2 x1 +

sin 2x 1- COS 2x sin 2x<=>(cos2x + sin2x)(l + cos2x) = sin2x<=>cos2x + sin2x + (cos2x + sin2x)cos2x = sin2x<=>(cos2x + sin2x + l)cos2x = 0

1

1+ COS 2x

<=>cos2x = 0

\Ỉ 2 cos(2x - —) = -1. 4

<=>

<=>2x = —■+ k7i2

2x = +— + 2kn

COS2x = 0

cos(2x4 2

71 kiĩ X = — + — 1

4 27T , _ (*) 71 k 1 t

X = - 1 + K7Io X = — + - T - ,keZ.2 4 2

X = + k7ĩ .4

Vậy phư ơ ng trình có mộ t họ nghiệ m.

BÀI TẬ P ĐỂ NGHẸ


a. (Đ HY Hà Nội - 95): 6sinx - 2cos3x =5sin4x.cosx

b. (Đ HBK Hà Nội - 2000):• 4 _ _ 4 _ sin X+ cos X

sin2xBài tập 2. Giải các phương trình sau:

sin X+ sin 2x + sin 3x _ £•

2cos2x

= ^ (tgx + cotgx).

a. (Đ ể 90): cos X+ cos 2x + cos 3x

, l + 2sin2x - 3 i\/2sinx +sin2 x ,b. (Đ ẽ 99 ):-------------;----- ------------------- = 1.

2 sin X. cos X -1

c. (ĐHTM - 99): 2(sin3x - cos3x) =


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í -

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

10

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N




d. (Đ é 121): .s in 3 ^ c o s3 x = c o s 2 x.2 c o s X - s i n X

e. ( Đ H Q G -97): 2 V2sin(x+ - ) = —!— + —L_. .4 sinx cosx

f. (Đ HBK Hà Nội - 98): ------- ---------= ^(cosx-sinx)t g x -r c o t g 2 x c o t g x - 1

g. (Đ HGTVTTPHCM - 98): ?otg2x - tg2x = 16(1 + cos4x).cos2x

ài tập 3. Giải các phương trình sau:

a. sin4x + cos4x = —cotg(x + —).cotg(— - x). >

1 1 2 b. r—-— +

cosx sin2x sin4xài tập 4. Giải các phương trình sau:

5sin4x.cosxa. 6sinx - 2cos*x =

2 cos 2x

b. sin2x - sinx + — \ ----- ■*—— = 0.sin X sinx

ài tập 5. Tim các nghiệm của phương trình:. X _____ X . .

sin—- cos—= 1 - sinx

2 2oả mãn điều kiện

X 71

2 - 2

ài íâp 6ĩ Tim các nghiệm của phương trình:

1 — (cos5x + cos7x) - cos22x + sin23x = 0

oả mãn điều kiện Ixl < 2.ài tập 7. Tìm các nghiêm của phương trình:

371 . 5tc . _ . I n . , - . — sin(2x + — ) - 3cos(x— — ) = 1+ 2sinx4 2 2 .

„ TI voả mãn điều kiên x e ( r . 37t).V 2

ài tập 8. Tim tổng các nghiệm thoả mãn 1 ắ X ắ 7t củá phương trình:

- 2 COS2 x - c o s 3 x - 1cos2x - tg X = ----------- - --------- .

COS X

97



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





CEỈỨ A CÁC BIỂ U THỨ C ĐỐ I XỨ NG

VỚ I s ln 2nx VÀ c o s 2nx

L PHƯ Ơ NG PHÁP

I Bài toán 1: Giải phương trình lượng giác hỗn hợp chứa cầc biểu thức đối xứng ịí vói sin2”* và cos^x ' II

PHƯ Ơ NG PHÁP CHUNG _

Tã thục hiện ỉheo cấc bứớc sau: B ớ c l : Đ ặt điều kiện để phương trình cố nghĩa. B ớ c 2: Thực hiện vịệc khử biểu thức đôi xứng với sin2"; và cos2líx dựa

trên 2 hằng đẳng thức:

ĩ. Vái n = 2k, k-eN + ta òử dụng:a2 + b2 = (a + b)2 2ab và a2 - b2 = (a + b)(a - b)

• khi đó:. sin4x + cos4x = (sin2x + cos2x)2 - 2sin2x.cos2x

= 1 - —sin22x= 1 - 1 ( 1 - cos22x) —cos22x2 2 2 2

= 1 - —(1- cos4x) = —- —cos4x.4 4 4

sin4x-CĐ s4x =(sin2x+cos^xXsin2x-cos2x)= -cos2x.' 2. Với n = 3k, k e N + ta sử dụng:

a3 + b3 = (a + b)3 —3ab(a + b)

a3 - b3 = (a - b)3 + 3ab(a - b) .khi đó:

sin6*+cos6x = (sirfa+ coề xý - Sisin^+ cos2x)sin2x.cos2x

= 1 - —sin22x= 1- —(1 - cos22x) = - + —cos22x4 4 4 43 *5 3

= 1 - 4(1 —cos4x) = —+ -cos4x.

8 8 8 ,shíx cos®x -(sm2x-Cos2x)3+ 3(sm2x-cos2x)sin2x.cos x

= - cos32x - —sin22x.cos2jc. 4 ;

• • ' ' ' ' 3 •- 9= - cos32x - —(1 - cos22x)cos2x

= — ỉ c o s 32 x — — c o s 2 x .4 4

98



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N





Ví du Ĩĩ (Đ HT85"—97): Giải phương trình:

cos'1— - sin4— =sin2x.2 2

Giả i Ta có:

• 4 X . 4 X * 2 X • 2 ^ _ 2 ^ • 2 ^ V _ COS — - s i n —'= (s in -7 ; + COS — )( cos ~ sin - r ) = COSX;

2 2 2 2 2 2Do đó phương trinh được biến đổi về dạng:

^cosx = sin2x <=> cosx = 2sinx.cosx <=> (1 - 2sinx).cosx = 0

<=>sin x = —

2 Ọcos X = 0

X= —+ 2kit

65tc

X = — + 2kn , keZ.6

X = — + k7t2

Vậy phượng trình có ba họ nghiệm. f

Ví du 2: (Đ H Huế - 2001): Cho phương trình:

sin4x + cos4x = m.sin2x - —. (1)

a. Giải phương trình với m = 1.s, b. Chứng minh rằng với mọi m thoả mãn Iml > 1phương trình luỏn có nghiệm.

Giả i ' '• Ta cổ:

sin4x + cos4x = (sin2x + cos?x)2 - 2sin2x.cos2x as ỉ' - ị sin22x

? 2Do đó phượng trình đượe biến đổi về dạng:

1- —sỉn22x = m.sin2x - — o sin22x +2m.sin2x - 3 = 02 2

Đ ặt t = sin2x, điều kiện ft) < ỉ.Khí đó phương trình có dạng:

f(t) = t2 + 2mt - 3 = 0. . .. (2)a. Vái m = 1, ta được;

t2+2t-.-;3=’0 o 1 ^^ °ại^<»sm2x= 1<=>2x= —+2k7T<=>x = í +Ioĩ,keZ,t = l , . 2 4

Vậy phương trình có một họ nghiệm. b. Nhấn xét rằng:

f ( -l ) .f ( l) = ( l + 2 m - 3 ) ( l - 2 m - 3 ) = - 4 ( m - O á O vói lml* 1


Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

00

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Ví du 3: Cho phương trình:sin6x + cos6x = msin22x.

a. Giải phư ơ ng trình với m = —.

(1)

b. Tìm m để phương trình có đúng 4 nghiệm thuộc [— , —

GiảiTa có: '3

sin6x + cos6x = (s'arx + coshíỹ - Sísin^ + cos2x)sin2x.cos2x = 1- —sin^x4

Do đồ phương trình được biến đổi về dạng:3

1 - —sin22x = m.sin22x o (4m + 3)sin22x = 4.4 v '

Đ ặt t = sin2x, điều kiện ltl<l.Khỉđó phương trình có dạnp:(4m + 3)t = 4. ' (2)

a. Vói m = —, ta được:4

4t2 = 4 t2= 1 sin22x = 1<=>cos2x = 0 <=> 2x = —+ kĩĩ ■' • 2

71 krc ,<=>X = —+ — , keZ.

4 2Vậy phương trình có một họ nghiệm,

n 11 b. Với x e [ 2 x e [ - 71,7t].

2 2

Đ ể phự ợ ng trình (1) có đúng 4 nghiệ m thuộ c [ - — ]

<=>

34m + 3 ^ 0 3

m*

m *4 ,

1 44m + 3

<=i> •<1 4 <=> • 14m + 3 l> 4

4m + 3 > 4 ^

4m + 3 < -4

m > —

4 7 ■m < —- . 4

7 * 1 • *Vậy với m -e ( - 00, — ị ) u (—, + co) thoả mãn điều kiện đầu bài.

Ví du 4: (HVKTMM - 99): Giải phư ơ ng trình: •

17sin X + cos X = —7 .

32Giả iTa có:

sin8x + cos8x = (sin4x + cos4x)2 - 2sin4xcos4x ■ >-

100


B

Ồ

I D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

- L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3 1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

ƯN

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




= [(sin2x + cos2x)2- 2sin2xxos2x]2 - - sin^x

= ,(1 - —sin22x)2- -sin 42x = -s in 42x - sin22x + 112 8

Do đó phương trình được biến đổi về dạng:

—sin42x — sin22x + 1 =. — <=>4sin42x —32sin22x + 1 5 = 08 —

<=>

• 1 , _ is in 2 x = —

sin -2 2x = — ( loạ i )

32

o cos4x = Q<=>4x = —+ fc-7t <=>X= — + — , keZ.2 8 4


hú ý: Nếu bài toán chứa hai biểu thức đối xứng sinkx + coskx và sink +2x + cosk

2Xcổ hệ s ố đố i xứ ng, ta nên sử dụ ng phép biế n đổ i:A(sinkx + coskx) - A(sink+2X+ cosk+2x) =

= A(1 - sin2x)sinitx + A(1 - cos2x)coskx= Acos2x.sinkx + Asin2x.coskx= Acos2x.sin2x.sink ~2X + A sin 2x.co s2x.cos k" 2X

= — (sink■ 2X+ cosk" 2x).sin22x.

? du 5: Cho phương trình:

2(sin4x + cos4x) - 2(siri6x + cos6x) = msín2x. (1)a. Giải phương trình vối m = 1.

b. ’Tìm m để phương trình có đúng 3 nghiệm thuộc [0,71].iả i ;

Ta có:

• VT=2(sirí,x + cos4x)-2(sín 6x+cQs6x)= 2(l -s in xx)sin4x + 2 (l - cos*x)cos4x = 2cosAx.sin2x.sin2x + 2sin’lx.cos2x.cos2x

= ị- (sin2x + cos2x).sin22x = —sin22x.2 2

Dọ đó phương trình được biến đổi về dạng:

krc —sin22x = msin2x <=>2

sin 2x = 0 (2)

sin 2x = 2m (3)<p>

2x = k7t

sin 2x = 2m<=>

X=-2

sin 2x = 2m

' I. ỈCĨĨ Như vậy với moi m phương trình lụởn có môt ho nghiêm X = —— , keZ.

■ ’ " ‘ 2

101



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

ẤP

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





ụ í â. Vớỉm = 1, (3) vô nghiệm do đó phương trình chỉcó 1 họ nghiệm X. = — .*'1^ 2

Theo biẽn đổi trên ta luôn CC

Vậy điều kiện đầu bài là: .

_ , kit xe[G,it]b. Theo biẽn đổ i trên ta luôn có X = — =i> X = {0, —,n } - ba nghiêm.

2 2 õ

(3) ịvô nghiệm 12m l> 1 S;(3><* (2) ° 2m = 0

m l> — 2 ,

2m = 0

+ cosk+2x) có - B = 2A, tạ nên sử dụng phép biến đổi: ■

A(sinkx + coskx) - 2A(sink+2X + cosk+2x) -

= A(1 - 2siií2x)sinkx + A(1 - 2cos2xjcoskx

= Acos2x.sinkx —Acos2x.coskx = A(sinkx - cõskx).cos2x.

Vf du 6: (HVKTQS - 99): Giải phương trình: *

2sin3x - sinx = 2cos3x - cosx + cos2x.Giả i .


(2sin2x - l)sinx = (2cos2x - l)cosx + cos2x —- cos2x.sinx = cos2x.cosx + cos2x <=í>(sinx + cosx + l)cos2x = 0

<=>

V2 sìn(x + —) = - ỉ4 <=>cos2x = 0 ..-1

71 ítX + — = - — + 2k7t4 4n 5n _

x + -7= ' + 2k7t4 4

2x = —+ kTt- 2

. , 5* . 1

sin(x +-“ ) = —~ r 4 ■ V2

cos2x = 0

X = - r - + 2 k 7 I ,2

X = 71 + 2k7ĩ , k e Z .

71 kítX = — + — .

4 2

Vậy phương trinh có ba hD nghiêm.

Ví du 7; Cho phương trình:sin8x + cos8x - 2(sinJ0x + cos‘°x) = mcos2x.

. 7 ■ ■■ :a. Giải phương trinh vối m = —.

b. Tìm m để phương trình cỏ nghiêm * * — + — .* A. /

(1)



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





Giờ i Ta có:

VT = (1 - 2sin2x)sin8x + (1 - 2cos2x)cossx

= cos2x.sin8x - cos2x.cos8x = (sin8x - cos8x).cos2x» (sin4x - cos4x)(sin4x + cos4x).cos2x

c o s 2 x = 0 ( 2 )

cos3 2x + cos2x + 2m = 0 (3)

= (sirra - còs2x)(sin2x + cos^Ksin2* + cos^)2 - 2sin2x.cos7x].cos2x

- -r (1 - —sin22x).cos22x = - [1 - —(1 —cos22x)].cos22x

'*■ = - —(1 + cos22x).cos22x. .

Do đó phương trình, được biến đổi về dạng:

- —(í + cos22x).cos22x = mcos2x <=>

Giả i ( l ì : Ta được:

2x = — +k7t<=>x= —+ — ,keZ .2 4 2 - ,

Như vậy vói mọi m phương trình luôn cò một họ nghiệm x = — + — , keZ.

Gìả iJ2)\ Đ ặt t = cos2x. điều ỉ én ItbíỊ, ta đươct3+ 1= - 2m. ' . / ■ ■ ■ ... (4)

7 .. , ..a. Với m = —, tà được:

314

t3+ t = - — , phương trìnỉi này vô r

b. Đ ể phương trinh có nghiệm X*—+ —

; phương trình này vô nghiệm bởi VT > - 2.

<=> đưòng thẳng y = -2m Gắ t phần đồ thịhàm số y = t3 + 1 lấy tiên miềnD = [ - 1 ,1 N 0 Ị. '

Xét hàm số y = t3+ 1lấy trên miển D = [ - ì, 1]\{0}. „Đ ạo hàm: ?

y’ = 3t2 + 1 > 0, V teD => hàm số luôn đổng biến.Do đố điều kiện là:

í f( - l) < - 2 m á f ( l) f - 2 < -2m < 2 í - l S m < l

t - 2 m * f ( 0 ) ^ ị —2 m 5* 0 ^ j m * 0Vậy với m 6 [ - 1,1 ]\{ 0} thoả mãn điều kiện đẩu bài.

VírtnSi (Đ HBKHàNội - >9): Với n là số tự nhtôn ỉớn hơn 2, tìm x e (0 ,- )

thoầ mãn phương trình:


B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

- H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

00

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N






Bài 2: (HVBCVT TPHCM - 2001): Cho phương trình:’sin6x + cos6x = m.sin2x.

a. Giả i phư ơ ng trình vói m = 1. b. Tìm m để phương trình có nghiêm. ____________

(1)

BÀI GI ITa có:

sin^ + cos6x = (sirfx + cos^)3- SCsũỏí + cos2x)sin2x.cosix = 1 — sin^x■ 4Do đó phư ơ ng trình đư ợ c biế n đổ i về dạ ng:

■1 - —sin22x = m.sin2x <=>3sin22x + 4msin2x - 4 = 0:4 ,

Đ ặt t = sin2x, điều kiện ltl<l. ,Khi đó phương trình cố dạng:

3t2 + 4mt - 4 = 0. (2). Với m = 1, ta được:

t = -2 loại3t2 + 4t - 4 = 0 <=*

<=>2x = 2a + 2k7t

2x = 71 - 2a + 2kn<=>

<=> sin2x = — = sin2a3

X = a + k7i

ít X = — - a + krc . . 2

Vậy phương trình có hai họ nghiệm,. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sãú:

Cách 1: Phương trình (1) có nghiệm <=>(2) có nghiệm thuộc [ -1 ,1 ](2)cólnghiệmthuốc[-l, 1]

(2)có2 nghiệm thuộc [-1,1]<=>

<=>

f ( - l ) . f ( l )S0

A'ằ 0

af(- l ) >0

af (l)> 0

- l Ạ * i. 2

<=>

(4m - l)( -4 m - 1 ) ắ 0

4m2 + 12^0

4m -1 > 0

- 4 m - I £ 0

-1 < — <13

<=> lml>1

Vây với Iml > — phương trình có nghiêm!■ 4 *

Cách 2: Ỵ ì t = 0 không phải là nghiệm của (2) nên phương trình được viết lại;

4-3t2 _ . — -— =4m.



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

OÁ

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





* • ' 4 - 3 t 2' Phưong írình (1) cỏ nghiệm <=>đường thẳng y = 4m cắt đồ thịhàm số y = ---- ——

từên đoạn [- 1 ,1 ] .

4 - 3 t 2. X éthàm sốy = ---- — trên đoạn [ - 1 , 1],

Đ ạo hàm:

y >-4-3t


< 0 => hàm số nghịch biến trêri [ - 1, 1],

t —00 —1 0 1 +00y ’

y

+■oữ


"4m < -1 1<=>Iml > — .

4m 1 1 . 4

Vây. với iml > — phương trình có nghiêm.4 ■

Bàỉ3: (Đ HQG TPHCM - 97): Tìm m để phương trình sau có nghiệm ________ 4(sin4x + cos4x) —4(sin6x + cos6x) —sin24x = m. (Ị)

BÀI GI ITa có:

sirfo + cos6x = (sinSc + cos^)3- Sísin^ + cos2x)sin2x.cos2x = 1- —sin^x4

sin4x + cos4x = (sin2x + cos2x)2 - 2sin2x.cos2x = 1 - —sin22x

sin24x = 4sin22x.cos22x = 4sin22x.(l - sin22x) = 4sin22x. - 4sin42xDo đó phương trình được biến đổi về dạrig:

4(1 - —sin22x) - 4(1 - —sin22x) - (4sin22x - 4sin42x) = m<=> 4sin42x - 3sirr2x = m

Đ ặt t = sin22x, điều kiện 0 < t < 1.Khi đó phương trình có dạng:

412 - 3t = m. (2)Ta có thể lựa chọn một trong hai cách saú:

'ách Ị: Phựơng trìrih (1) có nghiệm <=>(2) có nghiệm thuộc [0,1](2) có 1 nghiệm thuộc [0,1]

(2) có 2 nghiệm thuộc [0,1]

36



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

OÁ

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





<=>

f(0).f(l) < 0A’>0 ***

af( 0) > 0

af(l)> 0

0 < - < 12

<±>

-m(l -m) < 09 + 16m à 0 — m > 0

1-mỉr0

0 < —< 18

<=>O í m í l

9 , <=>- — < m < 1.-r--<ni<0 16

.1 6

Vây vói — — ắ m < 1 phương trình có nghiêm.16

Cách 2: ỊỊhương trình (1) có nghiệm<=>đưcfng thẳng y = m cắt đồ thịhàm số y = 4-t2 —3t trên đóạn [0,1],

Xét hàm số y =; 4t2 - 3t trên đoạn [0,1].- Đ ạo hàm: >

y’ = 8t - 3, y’ = 0 <=> t =o

Bảng biến thiên:t —00 0 3/8 1 +00

y'

y ■ ° ' 9/16—

+

' i —

Dưa vào bảng biến thiên, ta đươc điều kiên là: — — < m < 116

9 .Vây với — —< m < 1 phương trình có nghiệm.

16

BÀI TẬ P ĐỂ NGHỊBài tập 1. Giải phương trình:

a. 4(sin4x + cos4x) + Vã sin4x. = 2.

b. (Đ HCĐ Hà Nội - 2001): sin4- + C O S 4 - = 1 - 2sinx.

c. (Đ HGT Hà Nội - 99): sin4x + cos4x = \ cotg(x + ^ ).c otg(^ - x).8 3 6

Bài tập 2. Giải phương trình:a. (HVNH - 98): sin6x + cos6x = cos4x.

b. (Đ H Huế - 99): sin6x + cos6x = — .« 16

c. (HVQY - 97): sin X + COS X =

Bài tập 3. Giải phương trinh:a. (Đ HNT Hà Nôi - 2000): sin8x + cos8x = 2(sin'°x + g o s '°x ) + - cos2x.

b. (ĐHQG Hà Nộ i - 98): sin3x + cqs3x = 2(sin X + CĐS x).


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

LÍ

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3 1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

ƯN

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N




CHỦ ĐỀ 11

PHƯ Ơ NG TRÌNH LƯ Ợ NG GIÁC Hỗ N HỢ P

CHỬ A CÁC BIỂ U THỨ C ĐỐ I XỨ NG VỚ I TANx VÀ COTx

I. PHƯ Ơ NG PHÁP

Bài toán 1: Giải phương trình lượng giác hỗn hợp chứa các biểu thức đối xứngvới tg và cotg. . ___________ _ ________ __________ _____

PHƯ Ơ NG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau:

B ớ c 1: Đ ặt điều kiện để phương trình có nghĩa.

B ớ c 2: Chuyển phương trình về sin và COS đ ể giải.Thông thường ở bước này ta thừòng sử dụng các công thức biẽn đổi sau:

1. tgx =sinx

cosx1. cotgx =

cosx

sinx

cos X. cosy

3. ,g(x±y) = J £ ỊỈÍ S L1 + tgx.tgy

ngoài ra còn có:

tgx + còtgx =

2. cotgx±cotgy = -

3. cotg(x±y) =

sin(x ± y)

sin X. sin y

cot gx.cot gy + 1

cotgx ± cotgy

sin2x& tgx - cotgx = -2cotg2x.

Ví du li Giải phương trình:

cotgx - tgx = 2tg2x.


co s X 5* 0 , ' . „ sin2x 0 k7i , __

-sinxÔ <» { <=> sin4x * 0 « • 4x ± kít « • X* — , keZ.. COS 2 x ^ 0 ■

cos2x5t0

Biến đổi phương ữình về dạng:

2cotg2x = 2tg2x <=>cotg2x = tg2xo C0tg2x = cotg( — - 2x)

„ 71 „ , 7t kn . „ .<=>2x = — -2 x + k 7 to x = —+ — , keZ.

2 8 4


4


Ồ

I

D

Ư

Ỡ

NG

T

O

Á

N

-

L

Í

-

HÓ

A

C

Ấ

P

2

3

1

000

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Ví du 2: Cho phương trình:m(tgx + cotgx) = 2(2 + sin2x).

a. Giải phư ơ ng trình với m = 3. b. Tìm m để phương trình có đúng 3 nghiệm thuộc (0 ,7t).

Giả i

(1)

Đ iều kiện: sin2x ^0<=>2x*k7i<=>x* , keZ.2


- — - = 2(2 + sin2x) <=>sin22x + 2sin2x - m = 0.sin2x

Đ ặt t = sin2x, điều kiện ltl<l. Khi đó phương trình có dạng:t2 + 2t - m = 0. (2)


t2+2t-3=0<=> «sin2x= l <=>2x= —+ 2kjrox= — +krt,keZ.. t = -3 2 4

Vậy với m = 3 phương trình có một họ nghiệm.

b. Với xe(0,7i) <=>2xe(0, 271)

<=>(2) có nghiệm-1 = t, < t2 <1

(2) có nghiệm - 1 < t| < t2 = 1<=>

rf(- l) = 0 -1 - m = 0

A’> 0 1+ m > 0

âf(l)>0 3 - m > 0: •»f(l) = 0 3 - m = 0

A’>0 <1+ m > 0

a f ( - l ) > 0 -1 - m > 0

vongfi&n.

Vậy Tchông tồn tại m để phương trình có đúng 3 nghiệm thuộc (0,7t).Chú ý: Với các phương trình mà sự hiện diện của tg và cotg không đối xứng,khi đó ta cần linh hoạt biến đổi dựa trên phương pháp lụận về hệ số cho phéptách. Cụ thể ta đi xem xét ví dụ sau:

Ví du 3: (Đ ề 97): Giải phương trình:6tgx + 5cotg3x = tg2x.


rcos X* 0

sin3x*0 <=>

cos2x *0

71 . _

X * — + k7t2

3x *k7i

2x —+ k7t. 2

<=>

X * — + k7i 2

X?s--k7Ị

, keZ.

n k7tx?t —+ —

4. 2

109



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

NG

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N





Biến đổi phừong trình về dạng:5(tgx + cọtg3x) = tg2x - tgx

_ sinx cos3x, sinx 5cos2x sinx<=>5(-—— + -----—— ----- - = ----- -

cosx sin3x cos2x.cosx cosx.sin3x cos2x.coSx

<=> 10cos22x = cos2x - (2cos22x - 1 ) 0 12cọs22x - cos2x - 1 = 0

Vậy phương trình có bốn họ nghiệm

Chú ý: Nhiều bài toán đòi hỏi các em học sinh ngoài việc sử dụng phương phápluận về hệ số còn phải thật linh hoạt trong phép biẽn đổi toàn cục hqặc cục bộđể chuyển đổi phương trình ban đầu về dạng đơn giản hơn, cụ thể ta đi xem xétví dụ sau:Ví du 4: (Đ HQG Hà Nội - 98): Giải phương trình: ■

Đ iều kiện:

COSX*0 . „ - _ , kn , „<=>sin2x * 0 <=>2x * kít <=>X* — , keZ.sin 2x 5*0 2


tgx + (tgx+cotg2x)=2sin2x+ —ỉ— -í >tgx + — — =2sừi2x+ —-sin2x sin2x.cosx sin i

<=> sin—= 4sinx.cosx <=>4cos2x = 1 <=>2(1 + cos2x) = 1<=>cos2x = - — cosX 2

<=>2x = ± — + 2kiỉ <=>X = +—+ k7t, keZ.3 3

Vậy phương trình có hai họ nghiệm.VLdu 5: Giải phương trình:

3tg2x - 4tg3x = tg23x.tg2x. .Giả i '

Đ iều kiện:

cos 2x = —= COS2a3 2 x = ±2a + 2k7i X = ±a + kK

<=> , keZ.2x = ±2p + 2kn X = ±p + k7i

cos2x = = COS28. 4

2tgx + cotg2x = 2sin2x +' sin 2x

Giả i

(I)

u o



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

TO

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





Biến đổi phương trình về dạng:3(tg2x - Íg3x) = tg3x + tg23x.tg2x<=> 3(tg2x - tg3x) = (1 + tg3x.tg2x)tg3x.

Nếu 1 + tg3x.tg2x = 0 thì (*). tương đương với

ị 1+ tg3x.tg2x = 0 fl+ .tg23x = 0

(*)

do đó:

Íl + tg3x.tg2x = 0 íl +.tg23x = 0 „ ___

< <=> < . v ô nghiệm => 1 + tg3x.tg2x * 0Ịtg2x - tg3x = 0 Ịtg2x = tg3x 6

• ■

1+ tg3x.tg2x 1—3tg X oI I X b

b 1 .

t g x = 0

<=> 2 3 <=>, t g x 5

VĨ5 <=>tg x = ± - y - = tg (±cc)

X = k7I

X = ± a + k7i , keZ.

tg2x - tg3xta đằ phải


Chá ý: Trong lời giải trên để làm xuất hiên công thức’ 1+ tg3x.tg2x

xéí hai trường hợp 1 + tg3x.tg2x = 0 và 1 + tg3x.tg2x*0, kiểu biến đổi nàyt r o n g n h i ề u b à i to án * s ẽ r ất c ề n g k ề n h , d o v ậ y đ ể t rá n h t r ư ờ n g h ợ p m ấ t n g h i ệm

c á c e m h ọ c s i n h n ê n q u y p h ư ơ n g t r ìn h v ề s i n , COS đ ể b i ế n đ ổ i , c ụ t h ể: .

„ 3sin(2x-3 x) sin3x sin2x( )<=>- — — =( ! + - - X - - ~ )tg3x

cos2x.cos3x cos3x cos2x

<=> - 3sinx = (cos3x.cos2x + sin3x.sin2x).sin3x

cos3x3 1

<=>, - 3cos3x.sữix = cosx.sin3x o - —(sin4x - sin2x) = — (sin4x + sin2x)• 2 2

<» sin2x - 2sin4xsin2x = 2sin4x <=>sirí2x = 4sin2x.cos2xsin X = 0

<=>sin 2x = 0

1= 4cos2x

(I)<=> <=>

X = k ĩt

X = ±cc + k «, keZ.

Vây phương trình có hai họ nghiệm.Chú ý: Như chúng ta đã thấy trong các ví dụ trên, công việc trước tiên luôn làđặt điều kiện để phương trình cố nghĩa, tuy nhiên đối vói một số phương trình

phân thức các em học sinh nên có thói quen biến đổi mẫu sô' trước khi thiết lậpđiều kiện có nghĩa cho phương trình. Cụ thể ta đi xem xét ví dụ sau:

Vi du 6: (Đ HBK Hà Nội - 98): Giải phương trình:

_____ 1 V2(cosx-sinx) .tgx + cot g2x cot gx -1


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

- H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

10

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Giả i

Ta có: tgx + C 0 tg 2 x =

. cotgx 1 =

sinx c o s 2 x c o s x 1

cosx sữi2x sin2x.cosxcos X . cos X - sin X

sinx- 1 =

smxĐ iều kiện:

COS x í O

• sin 2 x * 0

cot gx - 1^ 0


fs in2x * 01 <=>[cot gx 1

2x * kĩi

n 4

n <=>X* — + kn

s i n 2 x

kĩiX * — 2

71 1 _X 5* — + K7I

4

(I)

r- I- M J ĩ (I) nsin2x = v2 sinx o 2sinx.cosx = V2 sinx o cosx = — <=> X= - —+ 7kn.

2 4

V ậ y phư ơ ng trình c ó m ộ t h ọ n gh iệ m .Chú ý: Như chúng ta đã thấ y vớ i các phư ơ ng trinh có chứ a tg, cotg và sin, COS ta

thư ờ ng b iế n đổ i:

sinx n cosxtgx = ——— & co tg x = ------— .

c o s x s i n x

Ví du 7:(Đ HQG Hà Nội - 95): Giải phương trình:(1 - sin3x)tg2x + (cos3?. - 1) = 0. .

Giả i . •

Đ iều kiện: cosx 0 <=>X & -z + k7t, kèZ.2

(*)

Biến đổi phương trình vế dạng:

(1 - sin3x) s m x + (co s3x — 1) = 0 <=> (1 —sin 3x)s in2x + (cos3x - 1)g o s 2x = 0 COS X

<=>(1 - sin3x)(l - cos2x) + (coS3x - i)(l - sin2x) = 0•£> (1 - sinx)(l - cosx)[(l + sinx + síri2x)(l + cosx) -

- (cos2x + cosx + 1)(1 + sinx)] = 0(*) ,o (1 —cósx)[ (s inx - cosx)(sinx + g o s x ) + (sinx - còsx)sinx.cosxJ = 0 •

«• (1 —cosx)(sinx - cosx)(sinx + cosx + sinx.cosx) = 0

<=>COS X= 1 .(1)

s in x -co sx = 0 (2)

sin X+ COS X+ sin X. CĐS X= 0 (3)

Giả i (1): Ta được X = 2kn, keZGiả i (2): Ta đượe tgx = 1 X = —+ kn, keZ-

G iả i (31'. Đ ặt sinx + cosx-= t , điều kiệ n ltl< V ĩ , suy ra sinx.cọ sx =t 2 - l


Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

- H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

00

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N






Biến đổi phương trình về dạng:- 2

tgx + (tgx + cotgx) = -n/3 + ——— <=>tgx + ——— = V3 +s i n 2 x

<3- tgx = -v/3 <=> X = — + k7t, keZ.

Vậy phương trình có một họ nghiệm

sin 2x s i n 2 x

Bài 3: (Đ HD - 2001): Giải phương trình:tg2x.cotg22x.cotg3x = tg2x - cotg22x + C0tg3x.

BÀI GIẢ IĐ iều kiện:

cps X 5* 0Ísin2xít0 Í2x5*k7i

sin 2x 5* 0 <=> i < <=>ịsin 3x * 0 13x ¥=k7t

sin3x 5Ế'0

X * ■kĩt

X *■k7t

, keZ. (ì)

Biến đổi phương trình về dạng:cotg^x - tg2x = (1 - tg2x.cotg22x).cotg3x '<=> cos22x.cos2x - sin22x.sirrx = (sin22x. cos2x-:~ cos22x.sirrx).cotg3x

„ _ 1 __ _ :_•> C0s3x<=> cos3x.cosx = sĩn3x.sịnx,-

<=>

<=>

cos3x = Ọ

c o s X = s in X

(I)<=>

sin3x

4 cos X - 3 = 0

co s X = s in X<=>

cos 2x =

tgx = 1

1

2x = ± —+ 2kn 3

_ 71 1X = — + K7I. 4

<=>X = ± —•-f kĩc

6

X = — + k7i4

, keZ .

Vậy phương ‘trình có ba họ nghiệm.V • / T ~ \ ỉ T I \ / - 1 •7- t __________________*,_1

Đ iều kiện:

______________ • _____________ . • ■ ____ . ______ J i l l T A

BÀI GIẢ I _ kiện:COS3x^0sin 2 x * 0 Í cọ s3 x ì* 0 3 x * — + k 7t

o o < 2C O S X * 0 l s i n 4 x * 0 ! „ . .I sin 4x * 0 Ị„ , .

1 [4 x * ki;sin 4x ĩt 0


2(tg3x - tgx) + (tg3x + cotg2x) =

<=>

71 kít X* —+ —6 3kTi

, keZ.. (I)

sin4x

114



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

TO

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

ẤP

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





<=>2sin2x cosx 2

cos3x.cosx cos3x.sin2x sin4x<=>4sin4x.sinx + 2cos2x.cosx = 2cos3x<n> 4sin4x.sinx + cos3x + cosx = 2cos3x <=>4sin4x.sinx = cos3x - cosx

(I) '1«• 8sin2x.cos2x.sinx = - 2sin2x.sinx <=> cos2x = - — =cos2a4

c ? 2 x = ± 2 a + 2kn <=> X = ±ct + k7i, keZ.Vậy phươrtg trình có hai họ nghiệm

Bài 5lí, (Đ HTL TPHGM - 2001): Giải phương trình:; __________ tgx - 3cotgx = 4(sinx + V3 cosx).

BÀI GI I

Đ iều kiện:ícosx Ô kĩt „

<=> sin2x * 0 <=>2x * kn <=>X7* — , keZ. (I)[sin X 5* 0 2

Biến đổi phương trình về dạng:s in x 3 c o s x . . . r s------------------- = 4(sinx + V3 cosx)cosx" sinx<=> sin2x - 3cos2x = 2(sinx + V3 cosx)sin2x

<=>[2sin2x - (sinx - -/3 cosx)](sinx + V3 cosx) = 0

<=> [sin2x —( —sinx - — cosx)]( —sinx + — cosx) = 0

<=>[sin2x - sin(x ——)] .sin(x + —) = 0

Bạ n đọ c tự ýái tiế p.


Bài tập 1. (Đ HQG TPHCM - 96): Giải phương trình:tg2x - tgx.tg3‘x = 2.

Bài tập 2. Giải các phương trình:a. tgx + cotgx = 2(sin2x + cos2x).

b. 2(cotg2x - cotg3x) = tg2x + cotg3x.c. tg2x + cotg2x = 2sin4x.d. 2cotg2x - 3cotg3x = tg2x.

Bài tập 3. Cho phương trình:2 —\ — + 2tg2x + (2m + 3)(tgx + cotgx) + 4 = 0.sin X

a. . Giải phương trình khi m = 1. b. Xác định m để phưomg trình có nghiệm.


B

Ồ

I

D

ƯỠ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í -

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

10

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N






Phư ơ ng pháp biế n đổ i thành phư ơ ng trình tích.Thí dụ : Giả i phư ơ ng trình:

sin2x + sín4x = 2cosx Lờ i giả i

Biến đổi phương trình về dạng:COS

2sin3x.cosx = 2cosx <=>2cósx(sín3x - 1) = 0 «•cos X = 0

sin 3x = 1sinPh ơ ng pháp tổ ng các số ỉmng không âm. Thí dụ : Giải phương trình:

2sin2x - 2 J Ĩ sinx + 3tg22x - 2 v3 tg2x + 2 = 0 Lờ i giãi


( V2 sinx - l)2 + (V3 tg2x - l)2 = 0 <=> •

.g2x = i

Ph ơ ng pháp đánh giá dụng để giải các phương trình không mẫu mực.Thí dụ : Giải phương trình: cosx.cos2Ọ 05x = 1.

Lờ i giả i ■ f . •■■ ■Ta có lcosxl<l & Icos2005xi<l.Suy ra phương trình đã cho tương đương vói hệ:

[cos X = 1 &COS 2005x = 1

Ph ơ ng pháp hàm sô': sử dụng các tính chất của hàm sô' để giải phương trình.

Thí dụ : Giải phương trình:X 2“ sx - 2sinx = sinx - cosx. Lờ i giả i •

Biến đổi phương trình về dạng:2C0SX+ cơsx = T mx + siiix.

Xét hàm số f(t) = 2‘ + 1đồng biến trên R.Vậy phượng trình được viết dưới dạng:

f(cosx) = f(sinx) •«> cosx = sinx o X= - + kiĩ, keZ.* A

<=> X = kĩt.

H ớ ng th ứ hai:

Dùng lập luận khẳng định phương trình cần giải là vô nghiệm.Thí dụ : Giải phương trình:sin2x —cos2x = tgx + cotgx (1)

Lờ i giả i

■ Vế trái của (I) ta có I sin2x - cos2x I<^2 .■ Vế phải của (1) ta' có: I tgx + cotgx 1^2.Vậy phương trình (1) là vô nghiệm.



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N





I Bải toán ì: Giả i phư ớ ng trình lư ợ ng giác bả ng phư ơ ng pháp đặt ẩ n phụ .

PHƯ Ơ NG PHẤ P CHUNG Chúng ta thực chất đã làm quen với phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương

trình lượng giãc trong các chủ đề

. ■ Phương trình bậc 2 và bậc cao đối với một hàm số lượng giác.■ Phương trình đẳng cấp bậc 2 và bậc cao đối vởi sin vàCOS.■ Phương trình đối xứng; .

trong bài toán này chúng xét thêm những trường hợp khác, bao gồm:1. Mọi phương trình lượng giác đều có thể thực hiện việc đại số hoá thông

qua hàm tg, cụ thể nếu đặt t = tgx thì:Ị

cotgx = - .

sin2x =

2. Đ ặt t =

l + t ‘

hoặc t =

l + r

điều kiện ltl>l.

1- t

sin X cos X

3. ’ Đ ặt t = a.sinx + b.cosx, điều kiện ItlWa2 +b2Ví du 1: Giầi phương trình:

cotgx = tgx + 2tg2x.Giả i

Đ iều kiện:sin X * 0 ,

|sin2x * 0<=>sin4x * 0 « X *

[eos2x*0 4• cos X 0 <=> -Ị

COS2 x # 0

Cách 1: Sử dụng phựơng pháp đặt ẩn phụ:

Đ ặt t = tgx, suy ra cotgx = - và tg2x =


kítk e Z .

2t

l - t 2 •

4t

1- t2<=> 1 - t 2 = t2(l - t 2) + 4t2

t4 - 6 r + 1 = 0 <=>(t2 - l)2= 4-t2 <=>t2 -1 = 2t

t2-1 = -2 t

<=>t2 - 2 t -1 = 0

t 2 + 2t -1 = 0

<=>

tgx = l -V 2 = tg a ,

tgx = 1+ 4Ĩ . = tgạ2

tg \ = - l - V 2 = t g a 3

tgx = -1 + V2 = tga,


\ = ì±y f ĩ

t = - l±V 2 °

X = a , + kĩi

X = a 2 + k7t

X = a 3 + k7i

X = a 4 + k7i

, k eZ .

1 1



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

NG

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N





Cách 2: Sử dung phương pháp luân hê số để phân tích:Biến đổi phương trình về dạng: .

cotgx - tg2x = tgx + tg2x <=>cos X sin 2x sin3x

sinx cos2x cosx.cos2xo (cos2x.cosx - sin2x.sinx)cosx = sin3x.sinx

cos3x,cởsx - sin3x.sinx = 0 <=>cos4x = 0^ A 71 1_ „ 71 kn . ■o 4x'= ---+k7t<=>x = -^ + — keZ.

2 8 4Vậỵ phương trình có một họ nghiệm.

Nhậ n xét'. Thông qua 2 cách giải trên các em học sinh cần lưu ý rằng vói nhiều phương trình lượng giác phương pháp giải chính quy đôi khi không tỏ ra hiệu quả.Ví du 2: Cho phương trình:

1 4;n , „4tg X + ——— + 5 = 0 .

cosxa. Giải phương trình với m = - 1.

b. Tìm m để phương .trình có nghiệm thuộc

(1)

Giả i

Đ iều kiện: TI'cosx 5 í 0 o x ^ - + k n,k eZ .

2Viết lại phương trình dưới dạng:

4(1

COS2 X

, , 4m - .- 1) + ——— + 5 = 0 <=>

cosx COS2 X

4m

cosx+ 1= 0

, điều kiện Itl > 2, khi đó phương trình có dạng:Đ ặt t =

■ cosxf(t) = t2+ 2mt + 1 = 0 .a. Với m = - 1, ta được:

t2 - 2t + 1 = 0 <» t = 1 (loại).Vậy, VỚỊm = - 1 phương trình vô nghiệm.

b. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau :71 7ĩ

Cách 1: Phương trình (1) có nghiệm thuộc

<=> Phương trình (2) có nghiệm t ằ 2a f ( 2 ) ắ 0

(2)có nghiệmt) á 2 ắ t 2

(2)

<=>(2)có nghiệm 2 á t] á t2

<=>A’£ 0af(2) > 0.S/2ỉ 2

<=>

4m + 5 < 0

m2-1 £ 0m< ■

4 m + 5 s 0 4

ì


Ồ

I

D

Ư

Ỡ

NG

T

O

Á

N

-

L

Í

-

HÓ

A

C

Ấ

P

2

3

1

000

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Cách 2: Phương trình (1) có nghiệm thuộc ( - — )

<=ĩ>đường thẳng y= m cắtphần đồ thịhàm sô'y = - t - - trên D = [2, +oo)

Xét hàm số y = —t — — trên D = [2. + oo).

Đ ao hàm y’ = —1 + 4 r < 0, VteD => hàm số nghich biến trên D.t2

Bảng biến thiênt i - 00 2 +C0

Dựa vào bảng biến thiêq, ta được điều kiện là Iĩi < - —.


(m + l)tg4x - 3m(l + tg2x)tg2x +4m

7 4”COS X

= 0. (1)

Giả i

ấ . Giải phương trình với m = -——>

b. Tim m để phương trình có nghiệm khác k7T, keZ.

Đ iều kiện; cosx * 0 <=>X — + kít, keZ.• 2

Viết ỉạá phương trình dưới dạng:(m + ỉ)tg4x - 3m(ĩ + tg2x)tg2x + 4m(l + tg2x)2 = 0.

Chia cả hai vế của phương trình cho (1 + tg2x)2*0, ta được:

(n .+ l ) . í - ^ Ị - ì

U+Ig X,* 2V

- 3m. tg- x +4m = 0.1 + tg X

tg XĐ ăt t = — — , diều kiên 0 ắ t < 1, khi đỏ phương trình có dang:

■ l + tg2x ■

(m + ỉ)!2 - 3mt + 4m = 0. \2)

a. Với m = ——- , ta được:37 .

2 8 Í2 + 2 7 t - 3 6 = 0 <=>t = 3 /4 tg2x 3

o — T- = —

t = —12/7 loại 1+ tg X 4<=>tg2x = 3 « t g x = ±-\/3 <=>x = ±— + kn,k eZ .

120


B

Ồ

I

DƯ

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

LÍ

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3 1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

ƯN

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N




Vậy phương trình có hai họ nghiệm. ,Xét hai trường hợp:

ờ ng hợ p 1: Nếu m + 1 = 0 <=>m = —1, ta được:4

( 2 ) o 3 t - 4 = 0 « ! = - loại => phương trình vô nghiệm.

r ờ nẹ hợ p 2: Nếu m + l*0< =>m ;É^l

Phương trình (1) có nghiệm : _ , __ , .. [(2) có một nghiêm thuôc(0,l)<=>(2) có nghiêm te (0, 1) «■ e ■

[(2) có hai nghiệm thuộc (0,í)

4m(2m +1) <0

- m2 - 16m > 0

4m(m + i)> ọ 1

(m + l)(2m +1) > 0 2<=>

f(0).f(l) < 0

A > 0

af(0) > 0

af(l) > 0

0 < - < l2

1

<=>

0<-3m

2(ra +1)•<1

Vậy với m > - —thoả mãn điềụ kiện đẫu bài.

du 4: Cho phương trình:4 2

2(— — + cos2x) + m(—^------ cosx) = 1COS2 X cosx


b. Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc (0, —).iĐ iều kiện:

cosx * 0 <=>X * — + k7i, keZ.2

2 4 .Đ ăt t = —— -cosx, suy ra — —Z — + cos2x = t2 + 4.

■ c o s x COS X

Khi đó phương trình (1) có dạng:

2(t2 + 4) + mt - 1 = 0 <=>f(t) = 2t2 + mt + 7 = 0.Với m = 9,' ta được:

2t2 + 9t + 7 = 0

(1)

(2)

<=>

_ ■ 2- cosx = -1t = -1

cosx7 <=> <=>

. ~ ~ 22 7

- COS X = — - Lcosx 2

cos X -co sx - 2 = 0

2 cos2 X - 7 cos X - 4 = 0

121



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

OÁ

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





<=>

cosx = -1

cosx = 2 (loại)1

cosx =2

<=>X= 71+ 2kn

2n , keZ .X = ± -i — + 2kn

3cosx = 4 (loại)

Vậy, với m = 9, phương trình có ba họ nghiệm.

b. Trước tiên ta đi tìm điều kiện cho t khi xe(0 , —).2

Đ ặt u = cosx, với xe (0 , —) thì ue(0, 1), khi đó xét hàm sô' t

tập Du= (0, 1).Đ ạo hàm:

2u

t’ = — ^— 1 < 0, với Vu6Du=> hàm '■ố nghịch biến trên Du.

. * ‘ • ■*.1 +00

Bảng biến thiên:u I -00 0

t pDựa vào bảng biến thiên, ta được điều kiện là t > 3.

Vậy để (1) có nghiệrr thuộc (0, —):

o (2) có nghiệm thoả mãn t > 3

<=>(2) có một nghiệm t à 3

(2) có hai nghiệm t > 3<=>

af(3)< 0

A > 0 25<=>m ắ - -

af (3) Z 0 3

S/2Ĩ-3

25Vậy với m ầ thoả mãn điều kiên đầu bài.

BÀI TẬ P ĐỂ NGHỊBài tậ p 1. Giải các phương trình:

a. (Đ HQG Hà Nội - 96): Ị+ 3sin2x = 2tgx.

b. (Đ HQG Hà Nội - 2000): 1 + 3tgx = 2sin2x.c. 6tgx = tg2x.d. sin2x + 2tgx = 3.

122

- u trên



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N







I Bài toán 2: Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đổi biến.PHƯ Ơ NG PHÁP CHUNG

Ta sử dụ ng biế n t để chuyể n phư ơ ng trình ban đầ u về chứ a các cung t, 2t, 3t, kt, rồi sử dụng các công thức góc nhân đôi, nhân ba ...

Ví du ĩ: Giải phương 'rình:

Giả i

Đ ặt t = X - - => 2x - —= 2t & 3x = 3t + - .6 3 2

Khi đó, phương trình được biến đổi về dạng:

sin2t = 5sint + cos(3t + —)<=> sin2t = 5sint - sin3t

<=>sin3t + sin2t = 5sint <=>3sint - 4sin3t + 2sint.cost = 5sint<=>(3 - 4sin2t + 2cost - 5)sint = 0 <=>(2sin2t - cost + l)sint = 0<=>[2(1 - cos2t) - cost + l]sint = 0 « (2cos2t + cost - 3)sint = 0

sin t = 0COS t = 1

COS t = - 3 / 2 loại

Vậy, phưcmg trình có một họ nghiệm.


<=> C3>sint=0<í=>t=]at<=>x- —= k7t <=> X = — +Iơ LkeZ 6 6

Giả i

Đ ăt t = x + —=>6x = 6 t - — .4 2

Khi đó, phương trình được biến đổi về dạng:

32cos6t - sin(6t —— ) = 1 <=>32rf1+cos2t2 { 2

- cosót = 1

o 4(1 + 3cos2t + 3cos22t + cos32t) - (4cos32t - 3cos2t) = 1cos2t=-l

<=>4cos22t + 5cos2t + 1 = 0 <=>

<=>

71 7 ,X-r —= —+ ktt

t =—+tai 4 22

t = a T kít X+ —= a + k7ĩ <=> At = -a + k7i

4% ,

X+—= -a + kn. 4

1 <=>cos2t = —- = cos2a .

4

X= —+ kn4

2t = 71+ 2kn

2t = ± 2 a + 2kn

Vậ y, phư ơ ng trinh cổ ba họ nghiệ m.

x = a - —+kJt ,keZ. 4

X » - a - — + kJi4


B

Ồ

I

D

ƯỠ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í -

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

10

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N






I

Với cost * 0 <=>t * — + k7T, keZ.2 ,

Chia hai vế của phương trình (1) cho cos3t & 0, ta được:4 - (1 + tg?t) + 3(1 + tg2t).tgt - 4tg3t = 0

<=>

tgt = -1

tgt ■=V3

tgt = s

71 71 . .t = - — + to ĩ X + — - — + k7I

4 6 4

t = — + k t t <=>l í 7Ĩ .

X + — = — + k7t3 6 3 .

71 71 ,t = - — + k n X + — = ------ + k rt ■

3 6 3

_ ĩn lX = — - + kTT12 .

X = — + k rc6

'. = — + k7t2

, keZ .

BÀI TẬ P ĐỂ NGHỊBài tập 1. Giải các phương trình sau:

a. sin3x = 2cos(—- x).

b. cos3x = 2sin(x +

Bài tập 2. Giải các phương trình sau:, 3 x 7T . __ - . 3 7 1 X .

a. sin(— + —-) = 3sin(—-- - ) .2 10 10 2

b. sin(— + - ) = 3sin(* - - ) .2 4 4 2

Bậi tập 3. Giải phương trình:a. cos9x + 2cos(6x + — ) + 2 = 0.

b. 2cos — + 1 = 3cos — :5 5 :

Bài tập 4. (HVCNBCVT - 99): Giải phương trình:

sin(3x - —) = sin2x. sin(x + —).. .4 4

Bài tập 5. (Đ HTL - 2001): Giải phương trình:

. ,3 71 X . 1 . ■ . 71 3x,,sin( —sin( — + — ■ 10 2 2 10 2

HSài toán 3: Giải phương trình lượng giác sử dụng công thức hạ bậc.PHƯ Ơ NG PHÁP CHUNG

Ta thực hiện theo các bước sau: B ớ c ỉ : Đ ặt điều kiện để phương trình có nghĩa. B ớ c 2: Thực hiện việc hạ bậc của phương trình bằng cáe công thức:

126



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





Giả i

Ha hâc đở mỊ

1. si n X = —(1 - cos2x)

'ĩ 12. COS X= —(1 + cos2x)

3. t^ x =. : 2 sin X

COS2 X

COS X4 . c o tg X = — Tsin X

ngoài ra còn cồ:

1-cos2xi + c o s 2 x

_ l + c o s 2 x

1 - COS 2x

1

1. sih' X= —(3sinx - sin3x)

2. COS'X = - (3ÒOSX + cós 3 x )

3. tg3x =3 cos X+ cọ s 3x

5 3 c o s x + c o s 3x4. cotg x = -

3 sin X - sin 3x

sinx.cosx = 4- sin2x.

2 Ha bâc toàn cuc: Chúng ta đã được biết trong dạng phương trìnhhỗn hợp chứa sinnx và cosnx. Ha bâc đố i xứ ng. Giả sử cần biến đổi biểu thức dạng:

A = sin3x..cos3x + cos3x.sin3xta .có thể lựa chọn hai cách sau: f Cách ỉ: Ta.có:

A = sin2x.sinx.cos3x + cos2x.cosx.$in3x= (1 - cos2x).sinx.cos3x + (1 - sin2x).cosx.sin3x= sinx.cos3x + cosx.sin3x - (cosx.cos3x + sinx.sin3x)sinx.cosx

1 1 3= sin4x — - cos2x.sin2x = sin4x - —sin4x = -Ị sin4x.

2 4 4Cách 2: Ta có:

A = —(3sinx - sinSxìco^Sx + —(3cosX + cos3x)sín3x4 ' 43 ' 3

= - (sịnx.cos3x + cosx.sin3x) = - sin4x.

Vídn 1: 4(Đ ề 48): Giải phương trình:

sin22x - cos28x = sin(10x + ).

Biến đổi phương trìnii về dạng:l- c o s4 x l + cosl6x . 71---- - r --------------— ----- = sin(10x + - + 8?:)

2 2 2

<=>2cosl0x + coslóx + cos4x = 0 o 2cosl0x + 2cosl0x.cos6x = 0o (cosóx + l)coslOx = 0

<=>c o s ỗ x = - I

<=>6 x = n + 2 k n

71 ^lOx = —+ k7i

• 2COSIOx = 0

n krcX = — + -T -

6 3

_ K knX 2Õ+ TÕ

,keZ.


B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

- H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

100

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chú ỷ . Với những phương trình chứa số lẻ các nhân tử bậc cao (giả sử bằng 3),thông thường ta không đi hạ bậc tất cả các nhân tử đó mà chỉ chọn ra 2 nhân tửđể hạ bậ c. Cụ thể ta xem xét ví dụ sau:

Ví du 2: (Đ HQG Hà Nội - 98): Giải phương trình:sin2x = c ọ s22x + co s23x.

Giả i

Phương trình được biến đổi về dạng:l - c o s 2 x l + c o s 4 x ___ 2-1 ^ ^ __ 2 -> / ___ /1 . _ \

—— -i— — = — — i ------1-COS 3x <=>2cos 3x + (cos4x + cos2x) = 02 2

<=> 2 c o s 23 x + 2co s3x .cosx = 0 <=> (cos3x + cos x)co s3x = 0

<=> 2c os 2x .co sx .co s3 x = 0

<=>COS 2x = 0 2x = — + kíi

c o s X = 0c o s 2 x = 0 2

<=> <=>COS 3x = 0

COS 3x = 03x = — + k7T

. 2

71 k7lX = — + - T -

4 2

7Ĩ kjt X = - - + - T -

6 3

, keZ.

(1)


Ví du 3: Cho phương trình:sin3x.cos3x + sin3x.cos3x = sin34x + m.

a. (Đ HNT Hà Nội - 99): Giải phương trình với m = 0.

b. Tìm m để phương trình có đúng 3 nghiệm thuộc [0, —].

Giả i Ta có:

VT = —(3sinx - sin3x)cos3x + —(3cosx + cos3x)sin3x4 4

3 3= —(siiix.cos3x + cosx.sin3x) = —sin4x.4 4

Phương trình được biến đổi về dạng:

- sin4x = sin34x + IĨ1 <=> 3sin4x - 4sin34x = IĨ1 ■» sinl2x = IĨ1.(2)4

a. Với m = 0, ta được:kítsinl2x = 0 <=> 12x = k7t <=>X= — , keZ.12


b. SỐ nghiêm thuôc [0, —] của phương trình (1) bằng sô' giao điểm của đường6 .

thẳng y = 4m với phần đổ thi hàm sô' y = sinl2x lấy trên [0, —].. * 6

Xét hàm sô' y = sinl2x trên đoan [0, —].’ 6

Đ ạo hàm:y’ = 12così2x,


B

Ồ

I

D

ƯỠ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í -

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

10

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




y’ = 0<=> 12cosl2x = 0<=> 12x = —+k7t• . 2

71,, X€í°v)71 k7t 6

<=> X = — + — «•24 12


X = ——2471

X = —. 8

t —00 0 71/24 7t/8 1371/72 +00.

y' + 0 — 0 + ,,

y HÌ 0 - ^1"-"

* -K " 1/2HỈDựa vào bảng biến thiên, ta được điều kiện là:

0 á 4m ắ — <=> 0 < m á —.2 8

1

Vậy với 0 < m < —thoả Itìãn điềụ kiện đầu bài.8 ■' 'hú ý: Việc hạ bậc trong Khiêu trưòng hợp sẽ giúp chóng ta đánh giá đúng đắnối liên hệ giữa các cung góc trong phượng trình. Cụ thể ta xem xét ví dụ sau:í du 4: (Đ ề 52): Giải phương trình:

iả i Ta có:

co s2x = COS — .

2x

cos X = — (1 + cos 2x) = — [1 + cos(3. — )].’ 2x ,... ... ,

Đ ặt t = — , phương trình được biến đổi về dạng:

—(1 + cos3t) = cos2t ọ 1 + 4cos3t + 3cost = 2(2cos2t - 1).

<=>4cõs3t - 4cos2t - 3cost + 3 = 0 <=>(cost —1)(4cos2t - 3) = 0còs t = 1

<=>

COS t = 1

4 COS2 1- 3 = 0

<=>COS t = 1

2(1 +COS

2t) - 3 =Ó

<=> _ „ 1

COS 2t = —22x .

— = 2kn 3

„ 2x ,71 _ 2.— = ± —+ 2kĩt. 3 6

<=>X = 3kíi

, n 3kít»keZ.X = ± —+ ——

4 2 .

Vậ y phư ơ ng trình có ba họ nghiệ m.

129

I



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





Chú ý: Vớí các nhân tử bậc cao hơn 3, ta cần hạ bậc dần. Cụ thể ta xem xét vídụ sau:

Ví du 5; (Đ HHH - 95): Giải phương trình:

sin4x + cos4(x + —) = —. *4 4

Giả i

Biến đổi phương trinh v ề dạng:

—(1 - cos2x)2 + —[1 + cos(2x + —)]2 = — <=>(1 - cos2x)2 + (1 - sin2x)2 = 14 4 2 4

<=>cos2x + sin2x = 1<=>V2 sin(2x + —) = 1 <=>siti(2x + —) = — A A 'ĩ

<=>

_ 7t n2x.+—= —+ 2k7t

4 4

2x+—=— +2kĩt. 4 4

4'

X = k ĩt

J[ , k€Z.X = — + k ĩi

4

Vậy phương trinh có hai họ nghiệm.BÀI TẬ P ĐỂ NGHỊ


a. (Đ ề 48): sin24x - cos26x = sin(10x + ^2-)..

b. (Đ HKTQD Hà Nội - 99): sin2x + sin23x = cos22x + cos24x.

c. (Đ H Huế - 98): siii23x + sin^x + sin2x = —

d. ( Đ HY - 98): sịn23x - sin22 x —sin2x —0.

e. (Đ H Việt Nam Khối B - 2002): sin23x - cọs24x = sin25x - cos26x.Bài tập 2. Giải các phương trình sau:

- >2a. (Đ ề 135): sin3x.sin3jt -r c _ ’x.cos3x = — .

b. (Đ ề 142): sin3x.sin3x + cos3x.cos3x = cds34x.

G. (Đ HNN - 2001): cos3x.cos3x - sin3x.sin3x 5*cos34x + - .

d. (Đ HLN - 97): sin32x.cos6x + sin6x.cos32x = —.

Bài tặp 3. Giải các phương ưình sau:a. 32eos6x = 1 + cos6x.

b. sin22x - cos28x = sin(^y^ + lOx).


a. cos3x.eos3x + sin3x.sin3x = ệ .4

b . c o s 34 x = c o s 3 x . c o s 3x + s i n 3x . s i n 3 x .

130



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N





Bài tập 5. Giải các phựơng trình sầu:

ạ. sinsx + cosêx = — cos22x.16

sb. c os 4x - Cps2x + 2sin6x = 0.

Bài tập 6. Giải các phương trình sau:a . c o s 4x + c o s 4(x + — ) = — .

. 4 4 .

, s i n 10 X '+ c o s'10 X sin6 X + COS6 Xb. —

4 4sin2 2x + cos2 2xBài tập 7 . (Đ HSP TPHCM - 2000): Giải phương trình:

2cos2x + 2cos22x + 2cọs?3x - 3 = (2sin2x + l)cos4x.Bài tập 8. (Đ HTDTT - 2001): Giải phương trình:

„ . „ _ . 5x 7t\ _ 2 9 xcos3x + sin7x = 2sin (— + —) - 2coa — .

2 4 2Bài tập 9. Cho phương trình:

sin2[(x + l)y] = sin2(xy) + sin2[(x - l)y].Tìm nghiệm X, y của phương trình để (x + l)y, xy, (x - l)y là số đo các góc

của tam giẩc.Bài tập 10. Xác định m để phương trình :

sin4x + cos4x + —m.sin4x - (2m+ l)sin2x.cos2x = 0

71 71'tó 2 nghiêm phân biêt thuôc khoảng ( —, —

■ ■ 4 2 -Bài tập 11. Xác định a để phương trình sau có nghiệm:

sin6x + cos6x = a(sin4x + cos4x)Bặi tập 12. Cho phương trình:

sin6x + cos6x _ _ — — —V - = 2mtg2xc o s^ x - s i n X

. 1a. Giải phương trình khi m = —.

b. Xác định m để phương trinh có nghiệmBài tập 13. Tìm ã để phương trình sau có nghiệm :

sin6x + c q s 6x =alsin2xl

Bài tập 14. Giải và biện luận phựơng trình:sin6x + cos6x = m(sin4x + cos4x)

Bài tập 15. Tìm tổng các nghiệm củaphừơng trình:

_ a. sin3 x + 12COSTC + cotgTc = - — - —

sin X


I

D

Ư

Ỡ

NG

T

O

Á

N

-

L

Í

-

HÓ

A

C

Ấ

P

2

3

1

000

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Bài toán 4: Biến dổi phương trình lượng giác thành phưcmg trình tích.PHƯ Ơ NG PHẤ P CHUNG

Việc biến đổi phương trình lượng giấc về phương trình tích phụ thuộc vàocác phép biển đổi dạng:

Dạ ng I: Biến đổi tổng, hiệu thành tích.

Biến đểi tích thành tổng.Lựa chọn phép biến đổi cho cos2x.Phượng phấp luận hệ số. •Phương pháp hằng số biến thiên.Phương pháp nhân.Sử dụng các phép biến đổi hỗn hờp.

ta đưa phương trình cần giải về dạng tích:A = 0 ,B = 0 ’

trong đó các phượng trình A = 0, B = 0 là các phương trình có dạng chuẩn.Với các bài toán cỏ tham số, để xác định điều kiện sao cho phượng trình có

đũng k nghiệm trên miền D, cần chú ý tới số nghiệm của mỗi phượng trìnhthành phần.

Sau đây ta sẽ đi xét từng dạng.

1. Phương pháp biến đổi tổng, hiệu thành tích

Dạ ng 2: Dạ ng 3: Dạ ng 4: Dạ ng 5: Dạ ng 6: Dạ ng 7:

A.B = 0 <=>

Ví (lu ll

Giả i

(Đ HNL TPHCM - 2001): Giải phựơng trình:1 + cosx + cos2x + cos3x = 0.

Ta có thể lựa 'chọn một trong hai cách sau:Cách ỉ: Biến đổi tổng thành tích.

Biến đổi phương trình về dạng:(1 + cos2x) + (cos3x + cosx) = 0 o 2cos2x + 2cos2x.cosx

3x X(cosx + cos2x).cosx = 0 « 2cos— .COS —.cosx = 0

X= —+kít 271 2krt

_ x= —+.— -COS— = 0 - - 2 2 3 . 3. 2

Vậy phương trình có hai họ nghiệm.Cách 2: Biến đổi về phương trình chứa 1hàm lượng giác.Biến đổi phương trình về dạng:

1 + cosx + 2cos2x - 1 + 4cos3x - 3cosx = ò

o 4 c o s 3x + 2cos2x - 2cosx = 0 <=>(2cos2x + cosjfc—l)cosx = 0

, COS— = 0 _ 2 cos X = 0 X- —+ kn

<=> cos X = 0 <=> 3x 2 0

cos— = 0 3x 71 ,3x 2 — = — + kn

cos— ■= 0 . 2 2. 2

,ìteZ.


B

Ồ

I

D

ƯỠ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í -

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

10

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




COS X = 0n 1 rX = — + K7I2

<=> c o s x = - 1 <=> X = 71 + 2k7t o

1COS X = — X = ± — + 2kĩt

. 2 . 3

f t .X = — + ÌC7t

271 2kn

X = — + —T — 3 3

,keZ.

Vậy phương trình có hai họ nghiệinNhậ n xét: Cách 1 tỏ ra đơn giản hơn nhưng các em học sinh cần nhớ rằng nếu

p là hằng số khác 0 hoặc chứa tham số thì cách 2 là sự iựa chọn đụng đắn.

Ví du 2: (HVQHQT - 99): Giải phương trình:cosx + cos2x + cos3x + cos4x = ọ .

iả iBiến đổi phương trình về dạng;

(cosx + cos3x) + (cos2x + cos4x) = 0 <=>2cos2x.cosx + 2cos3x.cosx = 05x X•£=>(cos2x + cos3x).cosx = 0 <=>2cos — .COS—.cosx = 0

<=>

co s— = 02

cos X= 0 <=>5xcos — = 0 2

X n . — = —+ kit2 2

Tt , .X= — + k7t <=>2

5x n .r f - = - - + k it2 2

X = 7t + 2k7t.

x = —+ kn2i t 2 k n

X = — + —r - .. 5 5

<=» _ JC. 2kn * ~ ĩ +~5~

Vậy phương trình có hai họ nghiệm.hậ n xét: Trong lời giải trên ta lụa chọn cách gọm theo hiêu (hiệu hai góc bằnghau) do đó đương nhiền có thể nhóm:

(cosx + cos2x) + (cos3x + cos4x) = 0. Ngoài ra còn có thể gom theo tổ ne (tổng hai gộc bằng nhau)

(cosx + cos4x) + (cos2x + cos3x) = 0.

í dư 3: (Đ HNT TPHCM - 2000): Giải phương trình:55 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x.

iả iBiến đổi phiíởng trình ỹề dạng: -

(1 - cos2x) + sinx + (cos3x - c q s x ) - sin2x = 0<=> 2sin2x + sinx - 2sin2x.sinx - 2sinx.cosx =; 0

(2sinx + 1- 4sinx.cosx - 2cosx)sinx = 0 ó (2sinx + ĩ)(l - 2cosx)sinx=0

<=>

cosx s Ị_

2sin X = 0 <=>. ___ 1

sin X = - —2

X = ± —- + 2k7t3 .

X = k7 t

X = -~-+2kn

InX = —- + 2k7i6

Vậ y phư ơ ng trình có năm họ nghiệ m.

133



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





Nhăn xé t Trong lời giải trên sở đĩta lựạ chọn cách gom như vậy bởi nhận thấyrằng chúng đều có chung nhân tử sinx.Vt đu 4: (Đ HNT Hà Nội - 98): Giải phương trình:

sinx + sin2x + sín3x + sin4x = COSX + cos2x + cos3x + cos4x.

Giả iBỉến đổi phương trình về dạng:(sinx - cosx) + (sin ^ - coshí) + (sin3x - cos3x) + (sin4x - cos4x) = 0<=>(sinx - cosx)[l + (sinx + cosx) + (1 + sinxcosx) + (sinx + cosx)] = 0<=>(sinx - cosx)[2 + 2(sinx + cosx) + sinxcosx] = 0

sin x -co sx = 0 (1)

2 + 2(sĩnx + cosx) + sinx.cosx = 0 (2)

Giả i ( l ì : Ta đúợc:

<=>

sinx = cọsx o tgx = 1 <=>X = —

+ k7t, keZOIUA — VVUA tCA — A v- j ' A “ -- I IVIV,

« 4 -

Giả i (2): Đ ật sinx + cosx = t, đĩều kiện ltlá-v/2 , suy ra sinx.cosx = t 2 - l

Khi đỏ phương trình'cổ đạng:^ ....

2 + 2t+ ----- - »Ổ <»t2 + 4t + 3 = 0 «t = - I

t = -3 (loại)o sinx + COSX= -1

<=> -Ị ĩ sin(x + —) = - 1 <=>sin(x + —) = .---- ỉsr 4 4 V2

<=>X+—= +2kit4 4

. * 5n _•x+-^ = — +2kỉt

4 4

<=>»■ -N. _X= - —+ 2tC7T . _ _ 2 , kẹ Z.

X = n + Zkn .


Ví đu 5; (Đ ề 129): Giải và biện luận theo a, t> phướng trình:cosax + cos2bx - cos(a + 2b)x = 1.

Giả iBiến đổi phứơhg trình về dạng:

<1 - cosax) + [cos(a + 2b)x - cos2bx] = 0<=>2sinz— -2sin(- +2b)x.sin— =0<=> [sin— -s in (- +2b)x].sin— =0

2 2 2 2 2 2 ;

. ọ 2cos(—+ b)x.sin( - bx).sinỉí- cos(—+b)x.sinbx.sin— = 0

<=>

cos(—+b)x = 02

sin bx = ủ . .

sin — = 02

fl)



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N





■ Với a = 0, ta^ẩược:cosbx = 0

(I) -» sin bx = 0sin 0.X = 0

■ Với b = 0, ta được:

(!)<=>

ax COS——= 0 2

<• a x _ n

sin—- = 0. 2

•phương trình nghiệm đứng với VxeR.

sin0.x = 0 => phương trình nghiệm đóng với VxeR.I J *

■ Với - + b = 0 và a, b * 0, ta được:2

( I ) «

bx = kĩt

ax

ĩ

ax . _<=>= k7t

X = ■k7t

X = •2kn

, keZ .

■ Vói —+ b # 0 và á, b * 0, ta đươc:2

( 1 ) «

(—+ b)x = —+ kjr2 2

bx = k7i <=>

dx , — = kn

2

X = ■

X =

X =

7t + 2k7t

a + 2blạt

T2krc

, k-eZ.

7 3t ĩVí dll 6: Tìm m đế phương trình sau có đúng hai nghiêm thuôc [0, — ]

' ■ 4sin2x +ĩn = siĩix + 2mcosx. (1)


2sinx.cosx + m = si»x + 2mcosx » (2cosx - l)(sinx - m) = 0

_ - 1cosx = — 2<=>

sinx = m

n 3nX = —£ [0,— J3 4 .

sinx=ín (1)

3ĩĩVây để phương trình có đóng hai nghiêm thuôc [0, — ]

■ ' 4


Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

HÓ

A

C

Ấ

P

2

3

1

00

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Nhận xét rang phương trình sinx = m nếu có nghiệm aẹ[0,7t] thì cũng sệ cónghiệm n ~ ae[0,7i], do đó điều kiện là phương trình sinx = m có nghiệm

71 I — _ r _ 71 „X = -- ho ặc X= —- hoặc X e [0, — ):

3 2 4

<=>

. 71m = sin —

3. 71m = sin — <=>

2

0 < m <

s

m = •m = 1

0 < m <•V2

(1)

2. Phương pháp biến đổi tích thành tổng

Ví du 7: (Đ ề 118): Cho phương trình:2cosx.cos2x.cos3x + m = 7cos2x.

a. Giải phương trình với m = - 7.

b. Tìm để phương trình có nhiều hơn một nghiệm X6 ].- 8 8

Giả iBiến đổi phương trình v! dạng:

(cos4x + cos2x).cos2x + m = 7cos2x

<=> (2cos22x - 1 + cos2x).cos2x + m = 7cos2x<=>2cos32x + cos22x - 8cọs2x + m = 0.

Đ ặt t - cos2x,'điều kiện ltl<!.Khi đó phương trình cồ dạng:

2t3+ 12 - 8t + m 0. (2),a. Với m = 7, ta được:

2t3 + 12 - 8t - 7 = 0 <=>(t + l)(2t2 - 1- 7) = 0 <=> t =

‘<=>cos2x =' - 1 <=> 2x = 7t + 2kn <=>X = - + k7t, keZ:2


, - . T * . Ị 3ti 7t , r -Jĩ -Jĩ , *b. Với x e [ - t e [ -

1 8 8 2 2

t = - l

1±V57 ,( lo ạ i)

Vậy để phứơng trình (Ị) cổ nhiều hơn một nghiệm x e [ -' J ĩ 4 Ĩ

c=> (2) có nhiều hơn một nghiệm te[ - — , — ].

3ĩt

8

136


B

Ồ

I D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

- L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

ƯN

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Xét hàm số y = 2t3+ 12 - 8t + m trân D = [ - — , — J 2 2

Đ ạo hàm .y’ = 6t2 + 2t > 0, VteD => hàrri số luôn đồng biến trên D

, . JF J ĩ "■o đó (2) không thể có nhiều hơn một nghiệm tẽ [ - — , — - ].

Vậy không tổn tại m thoả mãn điều kiện đầu bài.

Lựa chọn phép biến đổi chọ cos2x

í du 8: (Đ ề 68): Giải phương trình:2cos3x + cos2x + sinx = 0.

iả iBiến đổi phương trình về dạng:

2cos3x + 2cos2x - 1 + sinx = 0 <=>2(cọsx + l)cos2x + sinx - 1 * 0<=>2(cosx+ 1X1 -ãrfic) + sinx-1=0<=>(1 - sinx)[2(cosx + 1X1 +sinx)-l]=0

0 ( 1 - sinx)[l + 2sinx.cosx + 2(sinx + cosx)í = 0

0 ( 1 - sinx)[(sinx + cosx)2 + 2(sinx + cosx)] = 0<=>(1 - sinx)(sinx + cosx)(sinx + cosx + 2) = 0 -

1 - sin X = 0

<=> sinx + cosx = 0 <=>

sin X + cos X + 2 = 0 vn

sin X = 1

71 <=>sin(x + —) = 0. 4

X = — + 2kn2 ' , k e Z

X = + k7t


hậ n xét :a. Trong lời giải ữện sở đĩchúng ta lựa chọn phép biến đổi:

* í cos2x = 2cos2x - 1 bởi 2 nhấn tử còn lại là 2cos3x (cos có hệ số 2) và sỉnx (sin có hệ số 1).

Ix Như vậy trong trường hợp trái lại, ta sẽ lựa chọn phép biến đổi:

cos2x = 1 - 2sin2xCụ thể chúng ta xem xét ví dụ sau:

í du 9; (Đ HNNI - 99): Giải, phượng trình:

2sin3x —cos2x + cosx = 0.iả i


2sin3x - 1. + 2sin2x + cosx = 0 o 2(sinx + l)sin2x 4 cosx -1 = 0 <=>2(sinx+ 1X1 -cos2x)+cosx-l=0<=ỉ>(l - cosx)[2(súíx+1)(1 + cosx) -1 ]= 0

(1 - cỏsx)[l + 2sinx.cosx + 2(sinx + CQSX)J = 0

<=> (1 - cosx)[(sinx + cosx)2 + 2(sinx + cosx)] = ồ 1

13'



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

OÁ

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





I

% .1_ >keZ.X = • + KTt

X = 2kit

<= >( 1- cos x)(sin x + co sx)(sín x + CGSX + 2) = 0

1—cos X= 0 cosx = 1

<=> sinX + co sx = 0 <=> Jt <=>~ sin(x + -;) = 0

sin X + COS X + 2 = 0 vn L 4

Vậy phương trình có hai họ nghiệm. Nhậ n xét: Như vậy chúng ta đã có được phương pháp suy luận trong việc lựachọn hai hướng biển đổi cho cos2x. Cuối cùng, trong trường họip hệ sỗ đối xứngta sẽ lựa chọn phép biến đổi:

cos2x = cos2x - sin c.Cụ thể chúng ta xem xét VỊdụ sau:

Ví dulO : (Đ HY Hà Nội - 2000): Giải phương trình:sin3x + CÓS3X = cos2x.

Giả i

Biến đổi phương trình vễ dạng:sin3x + cos3x = cos^ - sirAí <=>(sinx + cosx)(l - sinxicosx + sinx - cosx) = 0sinx + cosx = 0 (1)

l-sinx .cosx + sinx -cosx = 0 (2)Giả i (1): Ta được:

sinx = - cosx o tgx = - 1 <=> X = - — + kĩt, ke Z .

Giãi (2): Đ ặt sinx - cosx = t, điều kiện ltl< V2 , suy ra sinx.cosx = — .' 2

Khi đó (2) có dạng:1 - 1- t + t = 0 « t 2 + 2t+ 1= 0 (t + l)2 = 0

<=>t = - ' 1 - 0 sinx - cosx = - 1 <=> 4 Ĩ sin(x

o sin(x - —) = — 7= <=> 4 V2

” 2 + 2t” ,k eZ .X = 7t + 2k7t


Chú ý: Đ ôi khi việc gom các toán tử trorig đầu bài nhằm tãng độ phức tạp của bài toán. Khi đó để tiện eho việc căn nhấc lựa chọn phép bíẽn đổi, các-em họcsinh hãy chuyển phương trình về dạng đơn. Cụ thể ta xem xét ví dụ sau:

Ví du 11: (Đ HQG Hà Nội - 95): Giải nhương trình: .

,4sin2x - 3cos2x ;= 3(4sinx - 1).Giả i

Biến đổi phương- trình 'Về dạng: ■

4sin2x - 3cos2x = 12sinx - 3 <=>4sin2x - 3(1 - 2sin2x) = 12sinx - 3

138



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N





<=>8sinx.cễfex + 6sin2x = 12sinx <=>2(4cosx + 3sinx - 6)sinx = 0sin X = 0

<=> . <=>X= kít, keZ.4 co s X + 3sin X = 6 v ô n gh iệ m

Nhậ n x é t Trong lòi giải trên khi chuyển phương trình về dạng đơii, ta lựa chọn phép biến đổi cos2x = 1- 2sin2x bởi khi đó sẽ kh& được số hạng tự do và cùngvới nhận xét các toán tử còn lại đều chứa sinx.

Ví da 12: (Đ HTS - 99): Tìm m để phương trình sau có nghiêm xe(0 , —):V ' . , ' 4

sin4x + Cõs2x + m.cos6x = 0. (1)Giả i

Biến đổi phương trình về dạng:(1 - cos2x)2 + 2cos2x - ỉ + m.cós6x = 0 o cos4x + m.cos6x = 0<=> (1 + m.cos2x).cos4x = 0 «■ m.eos2x = - 1. (2)

Vì xe(0, í ) => — < cosx < 1o —< cos2x < 1, Á 0 o

dò đó để phương trình (1) cộ nghiêm xè(0 , —) điều kiên là:. 4 •

m ^ 0

• 1 1 < = > -2 < m < -l.- - < — - < 1.2 m

Vậy, vói -2 < m < -1 thoả mãn điều kiện đầu bài.

4. Phương pháp luận hệ số

Ví du 13; (HVQHQT - 2000): Giải phương trình:cosx + cos3x + 2cos5x = 0.


(cos5x + cosx) + (cos3x + cos5x) = 0<=> 2cos3x.cos2x + 2cos4x.cosx = 0<=> (4c o s3x - 3cosx).cos2x + cos4x.cosx = 0<=>t(4cos2x - 3)xos2x + cos4x].cosx = 0<=> {[2(1 + Cós2x) - 3].cos2x + 2eos22x - 1Ị.cosx = 0» (4cos22x - cos2x - I).G0SX = 0

<=>

cosx = 0

- 1 ± V Ĩ 7 _ «cos2x = r— — COS2 a !2

8

71 , _

X =.—+ kit22x = ± 2 a1;2 +2k7i

_ 71 I.X = — + kTi2<=> 2 ,keZ


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

- H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

10

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Ví du 14: (ĐHTL — 2000): Giả i phư ơ ng trình:

sin3x sin.5x

Giả iBiến đổi phương trình vể dạng:

5sin3x = 3sin5x <=> 2sin3x = 3(siri5x - sin3x)

<=>2{3sìnx - 4sin3x) = 6cos4x.sinx <=> (3 - 4sin2x - 3cos4x).sinx = 0<=>[3 - 2(1 - cos2x) - 3(2cosỉ2x - l)].sinx=0 <=>(3cos2x - cos2x - 2).sinx=0

"cos 2x = 1

<=>

<=i>

cos2x = <=>3

sin X = 0

2x = ±2a + 2k7i

X = kĩi

cos2x = = eos2 a3

sin X = 0

X = ± a + kĩt<=> ,keZ

X = k 7 i

Chú ý'. Các em học sinh cũng có thể giải ví dụ trẽn theo phương pháp tách dần:sin3x = 3sinx - 4sin3x,sin5x = sin(x + 4x) = sinx.cos4x + cosx.sin4x

= sừix.cos4x + 2cosx.cos2x.sin2x = sinx.cos4x + 4cos2x.cos2x.sỉnx.

Ví du 15: (Đ HGT - 97): Giải phương trình:3(cotgx - cosx) - 5(tgx - sinx) = 2.

Giả i .Đ iếu kiện:

ícosx * 0<=> sin2x *0<=>2x?ik7c<=>x7i— , keZ.

sinX 0 an: 2

Biến đổi phương trình về dạng: .3(cotgx - cosx + 1) - 5(tgx - sinx + 1) = 0

nt cosX _ 1X e / sinx •_ , n ;_ ft<=>3(—f—-— cosx + l) - 5 (-— - sinx + l) = 0sinx cosx

<=> 3(cosx - sin x.cos X+ sin x) 5(sin X- sin X. COS X+ COS x)

3sinx

(sinx + cosx - sinx.cosx)(

3 5

eosx

<=>

sinx

(1)

c o s x) = 0

sin X cos Xsinx + cosx -s inx .co sx = 0 (2)

Giả i ( lì: Ta được:3tgx = —= tga <=> X= a + krc, keZ.

140


B

Ồ

I

DƯ

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

LÍ

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3 1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N




Giả i (2): Đ ặt sinx + cosx = t, điều k iệ n ItK-v/ĩ , suy ra sinx.cosx = í 2 - l

Khi đó phương trình cố dạng:

t 2 - i _ t - —— = 0 <=>t2 - 2t - 1 =0<=>

t = I-V 2

t = 1+ y /ĩ (loạ i)<=>sinx + cosx - 1 - 4 Ĩ

<=> V2 sin(x + —) = 1 - V2 <=>sin(x + —) =4 7 4 V

l - V Ĩ = sinỊ3

<=>X + — = (3 + 2kn

4

X + — = 7 1 -8 + 2kn ■ 4

.<=>X = B- — + 2kn

• 4

X = — - (3+ 2kn . 4

, k eZ .


du 16: (Đ HQG Hà Nội Khối A - 2000): Giải phương trình:2sinx + cotgx = 2sin2x + 1.

iĐ iều kiện:

sinx & 0 <=> X* k7i, keZ.Biến đổi phương trình về dạng:

(2sinx - 1) - (2sin2x - cotgx)=0 <=>(2sinx -1 ) ■“ (4sinx.cơsx - - ^ - x ) = 0siĩỊịA

_ . (4 sin2 X - Ilcosx - .. . ,.r . . . . ...... i -<»(2sinx-l)------- —— ------------ =0<=>(2sinx-l)[sinx-(2sinx + l)cosx}=0

sin X<=>(2sinx - í)(sinx - cosx - 2sinxcosx) = 0

2 s in x -l = 0 (1)

sin x r - c o s x - 2 sin X. COS X= 0 (2)

Giả i (1): Ta được:

<=>

s ___ 1'sinx = — <=>

2

X= —+ 2k7t 6

X =•— + 2k7t 6

, keZ

l z ỉ .■■,2

“ X =•— + 2k7t . 6

Giả i £2): Đ ặt sinx - cosx = t, điều kiện ltl£1/2 , suy ra sinx.cosx =


t - ( l - t 2) = 0<=>t2 + f - l = 0 o t = zlẼ a!Ẵ <=>sinx - cosx =2 2

<=> Vĩ sin(x - —) = ^ — <=>sin(x - —) = ^— 7=- = sina4 2 .4 2V2

141



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

OÁ

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





<=>X - — = a + 2kn

4

X - — = 7 t - a + 2kn 4

<=>X= à + —+ 2k7t

457C _

X =■— - a + 2kn. 4

, keZ .

Vậy phương trình có bốn họ nghiêm.

5. Phương pháp hằng số biến thiênVí du 17: (HVQY - 97): Giải phương trình:

(sinx + 3)sin4—- (sinx + 3)sin2— + 1 = 0 .

Giả i .Ta có thể lựa chọn một trong hại cách sau:

Cách 1: Phương pháp hằng số biến thiên.

Đ ăt t = sin2—, điều kiên 0 ắ 15 1.2 '

Khi đó phương trình có dạng;(sinx + 3)^ —(sínx + 3)t + 1= ọ

Ta có A = (sinx + 3)2 - 4(sinx + 3) = (sinx + 3)(sinx - 1)£Qdo đố phương trình được chuyển thành:

A = 0

t = — b_<z>

2a

sin X - 1 = 0

2 X 1 <»1 - COS X = 1

<=>sinx = 1 <=ì>X = — + 2kĩt,ksZ

Vậy phương trình có một họ nghiệm.Cách 2: Phương pháp phân tích.

Biến đổi phương trình về dạng:(sin2—- l)(sinx + 3)sin2—+ 1= 0 <=> - (sinx + 3)sin2— .COS2— + 1=0

Ó - —(sinx + 3)sin2x + 1 = 0 « sin3x + 3sin2x - 4 = 0

» (sinx - l.)(sin2x + 4sinx + 4) = 0 « (sinx - l)(sinx + 2)2 = 0

<» sinx = 1<=>X = — + 2kn, keZ.2

Vậy phương trình cớ một họ nghiệm.

6. Phương pháp nhânVí du 18; (HVQHQT - 96): Giải phương trình:

Giả i

5x __ X . Xsin-- Sicos'x.sin—.2 2

a. Với cos— = 0, tạ đựợc:2

cosx = 2cos2— - 1 = - 1 & sin—= ±1 => VP = ±5

142

ísin X = 1



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N





Khi đó, phương trình có dạng:5x

sin— = ±5 vô nghiệm.

b . Với cos—* 0 <=> i * — + fcrt <=> X * 71 + 2kn, keZ.

- 2 2 2 Nhân cả hai vế của phương trình với 2cos—* 0, ta được:

(*)

2 s in ^ .c o s — = 10cos3x.s in—.COS—2- 2 2 2

<=> sin3x + sin2x= 5cos3x.sinx <=> 3sinx - 4sin3x + 2sinx.cosx = 5cos?x.sinx■5» (3 - 4sin2x + 2cosx - Scos^-sinx = 0 <=>(Scos’x - 4cos2x - 2cosx + l).sinx = 0

5 co s2 X + cos X - 1 = 0

cos X = 1<=> (Scos^x + cosx - l)(cosx - l)sinx, = 0 osin X = 0

<=>

.. 1-V 21 .c o s x = — —— = COS a

10

cosx =

sin X= 0

1+ V21

10= cosp <=>

X= ± a + 2k7i(*>

X = ± p + 2kn o

X = k7t

X = ± ạ + 2 k n

X = ± p + 2 k n , keZ

X = 2k7t

Vậy phương trình có năm họ nghiệm.

7. Sử dụng các phép biến đổi hỏn hợp

Ví du 19; (Đ ề 76): Giải phương trình:cọslOx + 2cos24x + 6cos3x.cosx = cosx + 8cosx.cos33x.

Giả ịBiến đổi phương trình vệ dạng:

coslOx + 1 + cos8x = eosx + 2(4cos33x - 3cos3x)cosx

<=> 2cos9x.cosx + 1‘= cosx + 2cos9x.cosx <=> cosx = 1 0 X = 2kjr ,keZ.


Ví du 20; (HVQY - 2000): Giải phương trình:

cos2x + sin3x + cosx = ò.Giả i

Biến đổi phương trình về dạng:cos2x + cosx + sin2x.sinx = 0 « (cpsx + l)cosx + (1 - cos2x)sinx = 0

o (cosx + l)[cosx + (1 -cosx)sinx]=0ocosx = - l (1)


B

Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

- H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

00

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N







(2)<=>r + t- 2 = 0<=>t = l

<=>cos2x = i <=>2x = 2kn <=>X=krt, keZ= -2 Joai

Vậy với m = 4, phương trình c ó một họ nghiệm X = kĩr, k€Z.Đ ể phương trình (1) có nghiệm X k r t , k eZ <=>(2) có nghiệm te f - l , 1)

<=>đưòng thẳng y = m cát phần đô (hịhàm sổ y = 2r + 2t trên phẩn f—1,1)

Xét hàm số y = 2t2+ 2t trên D = f - l , 1) ,Đ ạo hàm:

y’ = 4t + 2, y ’ = 0 <=>4t + 2 = 0 <=>t = - —

- 1/2

Bảng b iến th iên :

t I - co - 1

Dựa vào bảng biến thiên, ta được điều kiện là ——< m < 4.

BÀI TẬ P ĐÊ NGHỊBài tập 1. Giải các phương trình sau:

a. (Đ H Huế 98): ^sin 'x + cos2x - sinx = ọ.

b. (Đ H Đ à Nẵng Khối B - 97): sin3x - sinx + sin2x = 0.

c. (HVNH TPHCM - 2000): sin2x + cos3x + sinx = 0.d. (Đ HHH - 2000): (2sinx + 1)(3cos4x + 2sinx - 4 ) + 4cos2x = 3.


a. (Đ ề 100): tg2x =, ì I - COS X

l - . sĩn ' X

b. (Đ HTS - 97): cotg-x = 1 + s i l l X

I + COS X

c. tg2x =1+ cos X

1 - s in X

_ Td. cotg X =

1—cós3 X7 ~1—sin X

c. tg2X= 1 + COS' X1+ s in ' X


a. (HVNH Hà Nội - 99): CỌ S2X + cos3x + 2sinx - 2 = 0.

b. (Đ HBK TPHCM - 9 l) :sin3x— — sin2x = 2cos2x.sinx.• V 3

145



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N





Bài tập 4. Gĩẫi các phương trình sau:

3(cos2x +coig2x>a. -------- - — ------------ - 2sin2x = 2.

cotg2x —cos2x

, cosx cos5x .. . . „ b. —— — — —— = 8sinx.sin3x.

•:os3x cosxBài tập 5. Giải các phương trình sau:

' 2 ■a. 3tg3x +cotg2x = 2tgx + ———

' sin4x . b. cotgx - tgx = sinx + cosx


a. 3 sin3x - ->/3 cos9x = 1 + 4sin33x. b. I + sịnx + cơsx + sin2x + 2cos2x = 0.

c. ( Đ HSP- 97): sinx + sin2x + sin3x + sin4x + sin5x + sinóx = 0.

d. 4cosx - 2cos2x - cos4x = 1.

e. ( Đ HQG/TPHCM - 97): COSX.COS—.COST— - sinx.sin—-sin— = —.2 2 2 2 2

Bài tập 7. Giài các phương trình sau:

a. sin’x + cos’x = sinx - cosx.

b. sin’x.cosx - cos2x + sinx -c o s2x.sinx cosx =0.Bài tập 8. Giải các phương trình sau:

a. sin3x.sin6x = sirt9x.

. 1 l - s i n 2 x. b. 1 + tg2x = — COS 2x


a. sin’x - cos3x = sinx + cosx. b. 2cos2x - sin2x = 2(sinx + cosx).

Bài tâp 10. Giải cắc phương trình sau:a. sinx( 1 + cosx) = 1 + cosx + cos2x.

b. sin’x + 2sin2^ - 2sinx. sin2ị + cotgx = 0.

2 2Bài tập 11. (Đ HY Hải Phòng - 2000): Tìm X thuộc đoạn [0, 14] nghiệmđúng phuomg trình:

sin3x + sin2x = 5sinxBài tập 12. Cho phương trình:

(2sinx - l)(2cos2x + 2sinx + m) = 3 - 4cos2x.a. Giải phương trình khi m = 1.

b. Xác định m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc [0,71 ].

146



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N





Bài tập 13. Cho phương trinh:4sini?x + mcosx = cos3x.

a. Giái phự ơ ng trình: sin2(x - 71) - sin(3x - Tt) = sinx.

b. Tìm a để phư ơ ng, trình sin2(x-7t) - sin(3x - 71) = asinx có ít nhấ t m ộ t nghiệ m X* kTi (keZ).Bài tập 14. Cho phương trinh:

c os3 x - co s2 x + m cosx - 1 = 0 .

Xác định m để phương trình cỏ đúng 7 nghiệm thuộc khoảng ( —,2t i).

Bài tập 15. Xác định m để phương trình:mcos3x + 4(1 - 2m)sin2x + (7m - 4)cosx + 8m - 4 = 0

có đúng 3 nghiệm thuộc'khoảng (0, 2t i).

Bài toán 5: Biên dổi phương trình lượng giác thành tổng các dại lượng khòng âm.PHƯ Ơ NGPHÁP CHUNG

Ta cần nhớ các đại lượng không âm trong lượng giác, bao g,ổm:A2, IBI, ltcosx, l±sinx,'

đo đó để sử dụng phương pháp nấy giải phương trình lượng giác ta thực hiệntheo các bước sau:

B ớ c ỉ: Biến đổi phương trình ban đầu về dạng:

(I)

(1)

<=>sin^x = 0 <=>4x = k7T<=>X= —- , keZ.4sinl2x = 0


Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

- H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

00

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Ví du 2: (Đ ề 32): Giải phương trình:

4cos2x + 3tg2x - 4 cosx + 2 Ví tgx + 4 = ó .


(2cosx - -Jĩ )2 + ( Vã tgx + 1)2= 0 o

.. V3 „cosx = —— (1)

2

(2)

■ Giải (1) ta được X = ±—+ 2kn, keZ.w V - ■ 6

■ Kiểm tra điều kiện (2)

- Vói X = —+ 2kn, ta đươc:SJ

tgx = tg( —+ 2\/t) = tg —= - L ,không thòả mãn.6 6 V3

- Với X = - —+ 2k7t, ta được:6

tgx = tg( - —+ 2kn) = tg( - —) = — thoả mãn.6 6 V3

do đó X = — — + 2kn là n gh iệ m cũ a phự ơ ngtrình.

Ví du 3: (Đ ề 131): Giẳi phương trình:

sìn?x + —sin23x = sinx.sin23x.4 .

Giả iTa có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau:

Cách I: Biến đổi phương trình về dạng:4sin2x - 4sinx.sín23x + sin43x - sin43x +sin23x = 0

(2sinx - sin23x)" + (1 - sinỉ3x)sin’3x = 0

s in2 3x = 1

«•2 s in X - s in 2 3x = 0

( 1 - s in 2 3 x ) sin 2 3x = 0<=>

• - 1 • 2 7sin X = -7 s i n 3 x

sin2 3x = 1

s in 2 3 x = 0

<=>

<=>

(3 -s in X - 4 s i n _1 x )2 = 1

. 1 .s in X = — . 2 < »

‘ . 1s in X = — 2 <=>.

3 s in X - 4 . s in 3 X = 0 sin X = 0

sin X = 0

1sin X = —

2

sin-2 3x = 0 '>-

sin X = 0

X = — + 2kíi6

X = — + 2kn, k.eZ.6

X = k7t


B

Ồ

I

D

ƯỠ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í -

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

10

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N




Vây phương trình có ba họ nghiêm.Cách 2: Viết iại phương trình dưới dạng:

s in 2x - s in x . s in 23 x + — s in 23 x = 0 .4

Coi (1) là phương trình bậc 2 theo sinx, ta có;A = sin43x - sin23x = (sin23x - l)sin23x ắ 0, Vx

do đó được chuyển thành hệ;

(1)

A = 0

• _ i • í * ° sinx = —sin 3 x

s i n 3 x = 1

sin2 3x = 0

sin x= --s in 3x2

<=>

sin2 3x = 11sin X = —

. 2

sin2 3x = 0

sin X = 0

(3sin x-4 sin x) = 1

1sin X = —

2 <=>

s i n x = —

2 <=>sin X * ơ

•71 __ 1X = — + 2k n

. ^ '

X = — + 2Y.Ĩ I , keZ.6X = kTiJ3sinx -4 si n 3X= 0

[siri X = 0

Vây phương trình cộ ba họ nghiêm.

BÀI TẬ P ĐỂ NGHỊBài tập 1. Giải phương trình:

a. (Đ HYHàNội - 97): cos4x + sin6x = cos2x.

b. sin2x + —siin23x = sinx.sin23x.Ị J 4 " .Bài tập 2, (Đ ề 83): Giải phượng trình:

cos2x - cosổx + 4(3sinx - 4sin3x + 1) = 0.Bài tập 3. Giải phương trình:

9sỉn2x + sirry + sin2(x + y) - —.

4Bài tập 4. Gỉải phương trình:

tg2x + tg2y + cotg2(x + y) = I.

Bài tập 5. Giải phương trình:X2 - 2x.s inxy + 1 - 0 .

Bài toàn 6: Giải phương trình lượng giác báng phương pháp đánh giá;

PHƯ Ơ NG PHÁP CHUNG Ta đánh giá phương trình dựa trên eác dạng:

Dạ ng 1: Tính chất của các hàm số lượng giác và biểụ thửc lượng giác.

149



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

TO

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





Dạ ng 2: Phương trình lượng giác dạng Pitago. Dạ ng 3: Sử dụng bất đẳng thức Côsi. Dạ ng 4: Sử dụng bất đẳng thức BunhiacôpskiSau đày ta sẽ đi xét từng dạng.

1. Tính chất của các hàm số lượng giác và biểu thức lượng giác

Ví du 1: Giải phương trình:(sinx + -Jĩ cosx)sin3x = 2.

Giả iTa có nhận xét:

í Isin X+ a/3 COS X l< 2

|l sin3x l< 1

do đó phương trình tương đương với:

l(sinx + v3 cosx)sịn3xl á 2

Ịs in X +V s c osx = 2

ì s in 3x = 1V

sin X + V 3 co s X = - 2

s i n 3 x = - 1

x = — + 2k7t6

ịsi n (x + —

[s:

ì*1

sin 3x = 1

sin (x +■—) = - 13

Isin 3x = - 1

Ị n nX + — = —

I 3 2[sin 3x = 1

+ 2krc

x + - r = - - | - + 2k7i3 2

sin 3x = - 1

<=>[sin 3x = 1

3* _X = - + 2kn

6s in 3 x = - l .

X = — + 2krc

6 o x = - +k7i,keZ._ •<’7t TP 6

X = - + 2 k n

6

Vậy phương trình có một họ nghiệm.Ví du 2: (Đ HD 2000): Giải phứơng trình:

cos2x + cos4x + cosóx = cosx.cos2x.cos3x + 2.Giả i

Biến đổi phương trình vể dạng:

cos2x + cos4x + cosóx = —(cos3x + cosx).cos3x + 2

<=>2cos2x + 2cos4x + 2cos6x = cos23x + cosx.cos3x + 4

<=>2cos2x + 2cos4x + 2cos6x = —(1 + cosóx) + —(cos4x + cos2x) + 4

<=>cos2x + cos4x + cosóx = 3Ta có nhận xét: *

c o s2 x s ]

•cos 4x £ I => VT = cos2x + cos4x + cosôx ắ 3cosốxắỉ ,

(*)

150



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

NG

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

QU

Y

N

H

Ơ

N





do đó phương trình tương đương với:cos2x ='Ỷ ‘ cos2x = 1

• cos4x = \ <=>■- 2 cos22x - 1= 1

c o s ó x = 1

<=> cos2x = 1<=>X = kTi, keZ.

4 cos 2x -3 co s2x = 1Vậy phương trình có một họ nghiêm.

Nhậ n xét : Trong ví dụ trên bằng phư ơ ng pháp biến đổi tích thành tổng chủng tađã chuyển phương trình ban đầu về dạng để đánh giá, điều đó khạng định rằnghầ u hế t các phư ơ ng trình lư ợ ng giác ở dậ ng ban đầ u chúng ta chưa thể khẳ ng định đtíợc rằng nó có thuộc loại đánh giá hay không. Tất cả chỉ được khẳngđịnh sau nhữ ng b iế n đ ổ i lư ợ ng g iác mà chúng ta đã b iế t .

Ví du 3: (Đ HNT Hà Nội - 2000): Giải phương trình:sin8x + cos8x = 2(sin'°x + cos'°x) + —cos2x.


(1 - 2sin2x)sin8x - (2cos'x - l)cosẳx = —cos2xd

<=>cos2x.sin8x - cos2x.cos8x = -cos2x4

<=>(sin8x - c o s8x )c o s2x = —cos2x o

cos2x =0 (1)

sin 8 X -COS8 X = — (2 )_ 4


o _ 71 _ 71 k71 1 ' 2x = -r+ k n < = > x = — + — , keZ.2 4 2

Giả i <2): Ta c ó nhận xé t :

VT = sin8x - cos8x ắ sin8x á 1 => (2) vô nghiệm.Vậy phươrig trình có một họ nghiệm.

Ví du 4: (Đ HNT Hà Nội - 95): Giải phương trình:. 4cosx - 2cos2x - cos4x = 1.


4cosx - 2cos2x - (2c o s22x - 1) = 12cosx —XI + cos2x)cos2x = 0<=» 2cosx - 2cos2x.cos2x = 0 <=>(1 - cosx.cos2x)cosx = ớ

C O S X = 0 ( 1 )

<=>(2 - cos3x - cosx)cosx = 0 «cos 3x + cos X = 2 (2)

Gi i (I): Ta đượcr


Ồ

I

D

Ư

Ỡ

NG

T

O

Á

N

-

L

Í

-

HÓ

A

C

Ấ

P

2

3

1

000

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Giả i (2ì: Tá có nhận xét:

f cos3x ầ 1- VT = cos3x + cosx < 2Ịcosx < 1

do đó:

[ c o s 3 x = 1 | 4 c o s 3 X - 3 c o s x = 1

- (2) ° I T T . , ■° ìỊ cos X—1 [cos X= 1

<=> CCỊSX = ! <=> X = 2 k 7 t , k e Z .

Vậy phượng trình có hai họ nghiệm.

Ví du 5: (HVCNBCVT —98): Gịải phương trình:sin4x - cos4x = 1 + 4(sinx - cosx).

Giả i

Biến đổi phương trình về dạng:sin4x - (1 + cos4x)= 4(sinx - cosx) <=> 2sin2x.cos2x - 2cos22x = 4(sinx - cqsx)

<=> 2(sin2x - cos2x)(cos2x - sin2x) = 4(sinx - cosx)<=>(cosx - sinx)[(sin2x - cos2x)(cosx + sinx) + 2] = 0

co sx -sin x = 0 (1)

( s in 2 x - c o s 2 x ) (c o s X + sin x ) + 2 = 0 ( 2 )


sinx = cosx <=> tgx = 1 <=> X = — + k ĩ t , ke Z& 4

Giả i (2ị: Ta có:

2sin(2x - —).cos(x + —) = - 2 <=>sin3x + sín(x - —) = -2

<=> sin3x - cosx = - 2.Ta có nhận xét:

Ísin3 x£ -1 . ■ =5» VT = sin3x •- cosx > 2[-COSX > —1

♦ • ■ I

■ Ísin3x = -1 Ísin3x = -1(2) <=> < => < vô nghiêm. '*■

[—cosx = -1 [s in x= 0 '

Vậy phương trình có một họ nghiệm. *Chú ý: Có thể giẫi (2) bằng cách:

Ta có:[l sinx+ COSX lắ-s/2 .•ỉ =ỉ> l(sinx + cosx)(cos2x - sin2x)l <2.[l cos2x -s in 2 x l< V2

đo đó:

152


B

Ồ

I

D

ƯỠ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í -

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

10

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Vậ y phư ơ ng trình có nghiệ m

Jsinx + cosx = V2

[cọs 2x - sin 2x = s íĩ

Isinx + cosx = -V2

GOS 2x - sin 2 x = — V2

. <=>

X = — + 2kn 4

X = - —+ k.7t 8

vô nghiệ m.

X= + 2krt

4. _ 371 ,

X = — - + k 7Ỉ8

Phương trình lượng giắc dạng PitagoVí du 6: (Đ ề 109): Giải phương trình:

—(sin'°x + cos10x) =4

s i n 6 x + cos 6 X

s i n 2 2x + 4 COS2 2x(1)

iả iTa có nhậirxẹt:

sin 2xY P _ ( s i n 2 X + COS2 x)"1 - 3 s i n 2 x . c o s 2 X _ 4 I

4 ( s i n 2 2 x + COS2 2 x ) - 3 s i n 2 2 x 4 — 3 s i n 2 2 x 4

Mặt khácỊQ 2

COS X < COS X 1 | 0 1 0 , ^ 1 , •> , ■ ■> V _ 1VT = —(sin X+ cos x) < —(cos X+ sin x) = — s i n 1 x á s i n 2 x 4 4 4

o đó:

< i ) o v r = ịo 008 x = cos4 [ s i n10 X - s i n2 X

co s X = 0

c o s x = ± 1sin X = 0

sin X = ± 1

<=> co s X = 0 kĩĩ . „<=>x=— ,keZsin X ** 0 2

Vậy phương trình có một họ nghiệm.hú ý: víêc: mở rộng phương trình lượng .giác dạng Pitago bẳng cách nhúngêm vào đó những toán (ử khác để rồi đánh giá chúng bằng Jihững nhận xét

hẩe là.điều thường gặp. Chúng ta xem xét ví dụ sau:í du 7: (Đ HNN I - 2000): Giại phương trình: ,

cos5x + sinsx + sin2x + cos2x = 1 + V2 . (1)

iả i ■Ta có nhận xét:

ÍCOS5 X < cos2 X ,=» COS X.+ sin XÚ COS X+ sin X= 1,

sin5 X ^ sin2 X

sin2x + qos2x = V2 sin(2x + —) < V24

153



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

TO

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





suy ra:

do đó:VT = COSX + si-rr X+ sin2x + cos2x < 1+ V2

( 1 ) «

COS5 X = COS2 X

sin5 X = sin2 X <=> ■

sin(2x + —) = 14

COS' X= COS X

s ir rx = s in 2x vô nghiệm.

_ 71 i.X = — + K7t8

Vậy phương trình vô nghiệm.

3. Sử dụng bất đẳng thức Cósi

Ví du 8: (HVQY - 97): Giải phướng trình:

1

sin 2x + COS 2x = ( I )

Giả iCách I : Sử dụng phương pháp giải phương trình lượng giác hỗn hợp chứa các

biểu thức, đối xứng với sin2"x và cos2nxTa có:

sin82x + cos82x = (sin42x + cos42x)2- 2sin42x.ộos42x

= í(sin22x + cos22x)2- 2sirr2x.cos22x]2 - 2sin42x.cos42x

= (1 - —sin24x)2- - sin44x = - sin44x - sin24x + 1.2 8 8

Do đó phương trình đứợc biến đổi về dạng:

— sin44x sin24x +!:= — <=>sin44x - 8sin24x + 7 = 08 8. !

I .

<=> sin- 4x = l A —TÌ 1 ■ ^ _ 71 kĩr ] r y<=>cos4x = 0 <=>4x =.—+ kít <=>X= —+ — , keZ.sin2 4x = 1(loại) 2 8 4

Vậy phương trình có một họ nghiệm.Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi

Ta có nhận xét:

COS 2x +' i Y ' l Y 2 .

i)Hí)Hì)2 2 “ 2s .8 í 1V í 1 V / IV c*si Ị 2

sin 2x+ — + — + — ằ —sin 2xU J U J 2

+ / ỊN4 I Ị=> sin82x + cos®2x + 6. —1 £ —(sin22x + cos^x) <=>sin®2x + cos82x £ -

2 ■ 8

154



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





do đó:

( 1 ) »

sin

COS8 2x = Í — IU J

-Ồ Í<=>sin22x = cos22x = —o cos4x2

. 7 Ĩ . 7 Ĩ ÍC7I I f - j

<=>4x^ — + krc<=>X = — + — ,keZ.2 . 8 4

Vậy^phương trình cómột họ nghiệm.

Ví du 9: (Đ ề 77): Với 2 < neN, giải phương trình:

(tgx + —cotgx)” - sinnx + cosnx4Gidì

Đ iều kiện:

ícosxÔ kít <=>sin2x * 0 <=>2x * kn <=>X — , keZ.[sin X 0 - 2

Ta có nhận xét:

IVTI = l(tgx + - cotgx)" I = (Itgxl + - lcotgxl)" ,£ (2.1-1 tgx I

e 2I COS X < COS X

j s i n "=> VP = sin"x + cosnxắcos:x + sin2x = 1

do đó:

(!)<=>VT = VP = 1 (') ÍVT = 1

LVT = VP = -1o

11 = 2

1 ___

t g x = — c o t g x lls‘

[lgx = ±—= +tga fx = ±a + kjt|n = 2

n = 2

, keZ.n = 2-

Vậy phương trình có hai họ nghiệm và với n = 2.

4. Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski

Ví du 10: (Đ ề 146).-'Giải phứơng trình:

sinx + v 2 - s i n 2 X + sinx. V2-s in2 X = 3 .

Giả iTa có:

VT2= (l.sinx + V2 -s in 2 X .1.+ sin x .v 2 -s in 2 X )2

< (1 + 2 - sin2x + sin2x)(sin2x + 1 + 2 - sin2x) = 9

n =

= 0

(1)

(*)

. I cot gx I )n

IX = —

4

■ 2


B

Ồ

I

D

ƯỠ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í -

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

10

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




<=>si -> = 1 <=>X= ĩ- + 2kn, keZ.. 2

Vậy phuơng trình có một họ nghiệm.

Ví du 1ì : (Đ HAN): Giải phương trình:

2cosx + Vĩ sinlOx = 3 V2 + 2cos28x.sinx. (1)Giả i'

Biến đổi phương trình về dạng:2(cosx - cos28xsìnx ) = V2 (3 - sinlOx) ■

Ta có: •

Vậ y phư ờ ng trình có nghiêm

VT < 2. Vl + COS2 28X< 2 V2 .

VP > V2 (3 - 1)= 2 V2 .

Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉkhi:(VT = 2 -/2 ícos228x = 1 Ísin28x = 0ì 1- ^ 1 <=> i[VP = 2 v2 [sin lOx = 1 [Sinl0x = l

Í3Ìn(20x+8x) = Ò Ísin8x = 0<> ỉ <=> ^

[sinlOx = l [cos8x.sin2x = 1

<=> sin2x = ±1 <=> cos2x = 0 <=> X= — + keZ.4 2


BÀI TẬ P ĐỂ NGHỊBài tập 1. (Đ ề 130): Giải phương trình:

c o t g 3 x + C 0 t g 2 x + --------------- — --------- — = 0 .sin3x.sin2x.sinx

Bài tập 2. (HVKTQS - 98): Giải phương trình:

cos2x - ’/3 sin2x - V3 sinx - cosx + 4 = 0.Bài tập 3. (Đ ề 94): Giải phương trình:

cos-’x + sin3x = 2 - sin4x.

Bài tập 4., Giải các phương trình:

a. sinx + cosx - V2 (2 - sin3x). b. sin2x.cos8x = 1. »

c. sin3x + cos3x = (2 - s.in4x).

d. (còs4x - eos2x)2 = 5 + sịn3x.

e. 4eosx - 2cos2x —cos4x = 1. .

f. sin2x + —sin23x = sinx.sin23x.sin23x +,sin24x + sin25x + sirrỗ x.4 £


B

Ồ

I

D

ƯỠ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í -

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

10

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




ài tập 5. Giải các phương trình:, ' , 9

a. sirrVx - tịrx = —cos2x.

, sin3-x cos3x 2 b . —— — +

cos2x sin2x sin3x

c. 2sin3x - —— = 2cos3x + 1sinx cosx

ài tập 6. Giải các phựơng trình:a. 7 c o s 2x + 1 9 9 5 sin |(,94x = 1995. c. c o s 13x + si n '4x = 1.

b. (Đ ề 94): cos'-’x + sinl4x =1. d. sin2000x + eos2000x = 1.ài tập 7. Giải các phương trình:

á. (Đ ề 83): (sin3—+ — !— )2+ (cos3—+ — l — )2= ^-cọs24x.2 3 X 2 'X 4

■ s in ' - co s -2 2 . . . . .

b. Ịtgx+ỉcotgx j = cos"x + siri’x, với neNị n>2.

ài tập 8. Giải các phương trình: _ ■ X2a. cosx = Ị - —-.

2 b. cosx = 1 + X.

c. sinx + tgx - 2x = 0, với 0 < X< —.2

d. X - sin—(x + l)sin — = 0 vói x e [0,1]

ài tập 9. Giải các phương trình:

a. X2 - 2x.sin'xy + 1 = 0 . b. lisinx + 5cosx = 2y2 - 8x + 21.

- X2tgệ

c. -------— = y2 - 4y + 5.. )X

1 + tg \

' 2 1 V í . 2 1 „ 1COS x + — ^ — + s in x + ■2 ị ' . '

COS x j V sin X/= 12 + —siny.

ài tập 10. Giải các phương trình:a. (2m + l)(sinx - cosx) - (sinx + cosx) + 2m2+ 2m + 2 = 0.

3 b. 2ITV2- 2m(cosx +.sinx) + —= cosx - sinx.

ài tập 11. (Đ ề 74): Tìm a để phương trình có nghiệm:(cos4x - cos2x)2= (a2 + 4a + 3)(a2+ 4a + 6) + 7 + siii3x.



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





CHỦ ĐỂ 13

PHƯ Ơ NG TRÌNH HỆ QƯ Ấ , HAI PHƯ Ơ NG TRÌNH TƯ Ơ NG ĐƯ Ơ NG

ĩ. PHƯ Ơ NG PHÁP1 Bài toán 1: Xác định ìham số để phương trình này là hệ quả của phương trình kia.

■ PHƯ Ơ NG PHÁPCHUNG

. Cho hỉii phương trình:f(x, m) = 0 (1)g(x ,m) = 0 (2)

Xác định tham số để phương trình (1) ià hệ quả của phương rrình (2) (nóicách khác "đổ mọ i nạ hiệ m cứ u (I) cũ niỊ là nghiệ m củ a (2)1 ;).

Ta thự c hiệ n theo các bư ớ c sau:

Bư ớ c ì : Điêu kiệ n cẩ n: ‘'• Giả i và tìm nghiệ m X= x0 củ a (1).*' Để phư cme trình (1) là hệ quả củ a phư ơ ng trình (2), trư ớ c hế t

cẩ n X = x0 cũ ng là nghiệ m củ a (2), tứ c là:

g(x0,.m) =0 = > m =m 0.' ■ Vậy m = m0 chính là điều kiện cần.

Bư ớ c 2: Điề u kiệ n dủ \

■ Với m = m0

. (1) «> f(x, mu) = 0 => nghiệm của (1)(2) <=>g(x, m(|) = 0 => nchìệm của (2)* K ết luẠ n. ■

Ví du 1: Chó hai phư ơ ng tiìnli:, 1-sinx . . .

. l+t!ĩX = ---- -r — ■ (1)cos X

I ,m(l + sinx) - sin2x = m . (2)

Tìm m để mọ i nghiêm cúa (I) cũ ng ]à nghiệ m củ a (2).

GiãiTrư ớ c hế t ta đi Lriải (1), điề u kiệ n:

cosx =£0 <=>X* —+ kn, k € z.2

Biế n đổ i (1) về dạ ng:

, sin X 1 - s i n x , ... . . . . . ___

1 + —— = ---—— <=>(cosx + sinx)( 1. + sinx) = cosxc o s x l - s i n 2 x

o cosx + sinx + cosx.sinx + siirx = cosx <=>(1 + cosx +-sinx)sinx =

158



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N





X - k7t

<=>sin X= 0

sinx + c osx = -1C5> : - - - ■+ 2kĩz (loạ i) <=> X = k7t, keZ.

.7

m = 0

m = 1

X= # - 2knDo đó để mọ i nghiệ m củ a (1) cũ ng là nghiệ m củ a (2) điề u kiệ n là X ='kn,

k eZ cũng là nghiệm của (2), tức tà:

m(l + sinkĩi) - sin2k7T = m2<=>m = m2<=>

Vậy với m = 0 hoặc m = 1 thoả mãn điều kiện đầu bài.

Nhậ n xét: Như vậy trong lời giải của bài toán trêntì đã không sử dụng mẫu

phương pháp điều kiện cần và đủ bởi các lý do sau:1 Phượng trình (1) không chứa tham số.2 Dễ dàng tìm được tất cả các righiệm của (1) và phép thử cácnghiệm đó

vào (2) đơn giản:.Trong những trường hợp một trong các lý do trên bị vi phạm các em học

sinh nên thực hiện đúng mẫu điều kiện cần và đủ để giải.TrOrtg trường hợp (1) có chứa tham số ta cần chỉ ra được mọ nghiệnl tường

minh của (1) để tìm được điều kiện cần cho m. Cụ thể ta đi xem xét ví dụ sau:

Ví du 2: (Đ ề 42): Cho hai phương trình:siúx + m.cosx = 1 (1)m.sinx + cosx = m2. (2)

Tìm m để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2).Giả i

Điề u kiệ n cầ n: Nhận xét rằng với mọi m, (1) luôn có nghiệm X= —+ 2k7i, keZ.

Do đó để mọ i nghiệ m củ a (1) cũ ng là nghiệ m củ a (2) trư ớ c hế t cầ n X= — + krt,

keZ cũng là nghiêm của (2), tức là:

m.sin( —+ 2kn) + cos( —+ 2kn) = m2<=>m = m2<£>

Đ ó chính là điều kiện cần của m. Điề u kiệ n đủ :

■ vỏi m = 0, ta được:

(1) <=>sịnx. = 1(2) <=>cosx = 0

suy ra mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2).■ Với m'= 1, ta được:

(1), (2) «=> sinx + cosx = 1ọi hiệ ủ ( l) ũ là hiệ ủ ( )

m = 0m = 1


Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

00

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Chú ý: Tổn tại những bài toán mà không thể chỉ ra được dạng nghiệm tườngm i n h c ho p h ư ơ n g t rìn h ( 1 ) k h i đ ó ta c ần đ á n h g iá th ô n g q u a t ín h c h ấ t n g h iệ m

của các phương trình lượng giác, thí dụ như phương trình sinx = m có nghiệm x0thì cũng nhan 71- x0 làm nghiệm, khi đó bằng cách thay vào (2) cả x0 và 71- x0ta sẽ tìm được điều kiện cần cho tham số. Cụ thế ta đi xem xét ví dụ sau:

Ví du 3 :! Cho hai phương trình:

cos(x + y) = a (1)sin(x + y) = b. . (2)

Tìm a, b để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2).

Giả i

Điề u kiệ n cầ n: ‘

Nhận xét ràng nếu (x0, y„) là nghiệmcủa (1) thì ( - x0,- y0) cũng là nghiệmcủa (1), đo đó để mọi nghiệm của (1) cũnglà nghiệm của phương trình (2) trước

hết cần (x0, y0) và ( - xu, - y0) cũng là nghiệm của (2), tức là:|sin(x0 + ỵ 0) = b |sin(x0 + y 0) = b jb = 0

_Ịsin(-x0 - y 0) = b Ị-s in (x 0 + y0) = b [sin(xổ + y 0) = 0

fb = 0 fb = 0 íb = 0<=> => < <=> -Ị .

lx0 + y0 = krc lcớ s k7t = a ụ a i= 1 .

Đ ó chính là điều kiện cần của a và b.

Điề u kiệ n đủ :■ Với a = 1 & b = 0, ta được:

(1) <=>cos(x + y) = 1

(2) <=> sin(x + y) = 0suy ra mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2).

■ Với a = - 1& b = 0, ta được:

(1) <=>cos(x + y) = - 1

(2) <=>sin(x + y) = 0 ,suy ra mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2).

Vây với a = ỉ & b = 0 hoặc a = - 1 & b = 0 thòả mãn điều kiện đầu bài.’ • j ‘ 1 II - ^ -

Bài toán 2: Xác địrih tham số để hai phướng trình lượng giác tươngđương. ______________ ______________ : ____________ _____________

PHƯ Ơ NG PHÁP CHUNGCho hai phương trình:

f(x, m) = 0 (1)g(x, m) = 0 (2)

Xẩc định tham sô' để (1) và (2) tương đương.

160


B

Ồ

I D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

- L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

ƯN

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Ta lựa chọn theo hai hướng sau:

H ớ ng 1: Nếu (1) & (2) đều giải được.Ta thực hiện theo các bước sau:

B ớ c ỉ : Giải (1) để tìm tập nghiệm D|.Gĩải (2) để tìm tập nghiệm D2.

B ớ c 2: Thiết lập điều kiện để Dị= Đ 2.

H ớ ng 2: Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ B ớ c 1: £>iều kiệ n cạ n;

B Giải và tìm nghiệm X = x0 của (1).■ Đ ể phương trình (1) & (2.) tựơng đương, trửớc hêl

c ầ n X = x„ c ũ ng là ngh iệ m c ủ a (2 ) , t ứ c là:

. g(xn, m) = 0 => m = m0;■ Vậy m = m0 chính là điều kiện cạn.

B ớ c2: Điề u kiệ n đừ .

• Với m = m0(1) ọ f ( x , m0) = 0 =

(2) » g(x, m0) = 0:

_ ■ Kềt luận.

• nghiệm của (1)

>nghiệm cửa (2)

Ví du 4: (Đ ề 10): Tim m để hai phương trình sau tương đương:2cos2x.cosx = 1+ cos2x + cos3x

4cos2x - cos3x = mcosx + (4 - m)(l + cos2x).

Giả iGiả i (1k Ta được:

co s X = 0

cos3x + cosx = 2cos2x + cos3x <=> 1 .COS X = -

. 2


4cos2x - (4cos3x - 3cosx) = mcosx + 2(4 - rrOcos^

<=> 4c os 3x - 2(m - 2)cos2x + (m - 3)cosx = 0

<=> [ 4 c o s 2x - 2(m - 2)cosx + (m - 3)]eosx = 0

(1)(2)

<=> [4cosx - 2(m - 5)](qosx - —)cosx = 0 <=>

cosx = 0

1cosx =-r

2

cosx =-m - 3

161



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

ẤP

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





I

Vậy để (1) và (2) tương đương điều kiện là:

m —32

m - 3

= 0

2m - 3

1= —<=>2

> 1

m —3

m = 4m < 1

m > 5

Vậy với e( — 00,1) KJ (5, + oo) u |3 ,4} thoả.mãn điều kiện đầu bài.

Ví du 5: (Đ ề 10): Tìm m để'hai phưang trành sau tương đương:

sinx.cos2x = sin2x.cos3x - L- sin5x. • (1). 2

m.cos2x + Iml.cós4x + cosóx = 1. (2)Giả i Điề u kiệ n cầ n

Gữ ii (1): Ta được: * »

— (siii3x - sinx) = —(sínSx - sinx) - —sin5x •

o sín3x = 0 <=> 3x = kĩi <=>X= —., keZ.3

Do đó (1) & (2) tư ơ ng đư ơ ng trư ớ c hế t cầ n X= 0 (là mộ t nghiệm củ a họ X= — )

cũng là nghiệm của (2), tức là:m.cosO + Iml.cosO + cosO = 1 <=>m + Iml = 0 « mắO.

Đ ó chính là điều kiện cần của a và b.

Diề u kiệ n đủ■ Với IĨ1 = 0, ta được:

(2)o cosôx = 1 <=>1- 2sin23x = I <=>sin3x = 0 « 3 x = k:i<=>x = — , keZ3

Vậy m = 0 thoả mãn điều kiện đầu bài.

■ Với m < 0, ta được:(2)e> m.cos2x - m.cos4x + cosóx = 1 ■<=>cosóx —1- m(cos4x - cos2x) = 0 <=> - 2sin23x + 2msin3x.sinx = 0

sin 3x = 0(sin3x - msinx)sin3x = 0 o

<=>3x = kít

4sin2 X- m + 3 = 0

X = -

3sinx-4s in x-m .s inx = 0

k7t

sin2 X=

3 - m

(3)4

62



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

OÁ

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





!

Từ đó để (2) chỉC0 nghiệm X = — , thì điều kiện là (3) vô nghiệm

<=>

■m <0

4.Vậy với m - 0 hoặc m < -1 thóả mãn điểu kiện đầu bài.

^ BÀI TẬ P ĐÊ NGHỊBài tập 1. Tìm giá trịcủa m để hai phương trình tương đương:

cos2x + sinx - 1 = 0 ,

‘ msin3x + (m - 2)cos2x - (m + 2)sinx + 2 - m = 0.Bài tập 2. Tìm giá trịcủa m để hai phương trình tương đương:

2cosx.cos2x = 1 + cos2x + cos3x,

4cos2x - cos3x = acosx. + (4 - a)( 1 + cos2x).Bài tập 3. Tìm giá trịcủa m để hai phương trình tương đương:

• . cos3x = 4c o s(3t i + x),

mc.os2x + (1 - m)sin(— + x) = 0.

Bài tập 4. (Đ ề 40): Tìm m để hai phương trình sau tương đương:3cosx + cos2x - cos3x + 1 = 2sinx.sin2x,m.cos3x + (4 - 8m)sin2x + (7m - 4)cosx + 8'm - 4 = 0.

Bài tập 5. (Đ ề 117): Tim a, b để hai phương trình sau tương đương:

a.sin2x + 4 Ĩ - 2cosx + a 4 Ĩ sinx,2sin2x + cos2x + sin2x + b = 2bsinx + cosx + 1.

Bài tập 6. Xác định a, b để hai phương trình sau tương đương:sin3x + cos2x = 1 + 2sinx.cos2x,

sin3x = ainx + (4 - 2a)sin2x..Bài tập 7. Xác định a, b để hai phượng trình sau tương đương:

asin2x - 2 yỈ3 = a yÍ3 cosx - 4sinx,

sin2x + cos2x + b-JĨ + 1 = V2 sinx + 2cosx(cosx + b)

3


B

Ồ

I

DƯ

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

LÍ

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3 1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N




CH Ơ NG II

H Ệ P H Ư Ơ N G T R Ì N H L t Ợ N G g i á c

CHỦ ĐỀ 1

CÁC PHƯ Ơ NG PHÁP GI I

HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH LƯ Ợ NG GIÁC c ơ BAN

I. PHƯ Ợ NG PHÁP

Bài toán 1: Giải hệ phương trình:í f( x)±f (y) = m

Ịx ± y = a

vớ i f(x) là mộ t hàm sỏ ' lư ợ ng giác củ a X.

PHƯ Ơ NG PHÁP CHUNG Ta xét các hệ phương trình:

ísinx± siny = m Jcosx ±co sỵ = m

[x ± y = a Ị x± y = a

Ị tgx + tgy = m ícotgx ± cotgy = m

[x± y = a [x± y = a

Ta chuyển tổng f(x)±f(y) = m thành tích bằng một trong các công thức:. . „ . x + y X- y

■ sinx + siny = 2sin — ■— .COS-------2 2

_ ■ ■ ~ x + y . X —y■ sinx - siny = 2cos — -— .sin------

2 2

■ cosx + cosy = 2cos x + y .COS x— yJ 2 2

_ . x + y . X- y■ cosx - cosy = - 2sin—— .sin ——-2 2

^ _ sin(x±y)■ tgx ± tgy =

cos X. c o sy

sin(x ± y)■ cotgx ± cotgy =

sin X. sin y

Chứ ý: Phượng pháp chung là nếu biết tổngX

+ y thì cần tìm hiệuX

- y hayngược lại, bằng các công thức biến đổi, tức là:■ Ta đi biẽn đổi phương trình:

f(x) ± f(y) = m <=>gj(x + y).g2(x - y) = m,. (*)

■ Từ đó thay phương trình x±y = a vào (*) để tìm biểu thức còn lại.


Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

- H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

00

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Víxlu 1: Cho hệ phương trình:

sinx + sỉny = m (1)

(2)7t

x + v = — 3

a. Giải hệ vớịm = 1. b. Tim m để hệ có nghiệm.

Giả iBiến đổi (I) về dạng:

2sin(2)x + y x - y „ .

------ — = m «• 2sin— .COS.cos-2 2

711—,6

— — =m<=>cos-——=m. (3)2 2


x - y ,COS------ = 1 - = 2k7ĩ X - y = 4 k 7 i

2 2<=>• <=>‘ 71 <=>•

n 71 x + y = — X+ y = -r X + y = 3

3 . 3

X = —■+ 2k 7t6

X = — - 2k7t

6

,keZ

b. Hệ có nghiệm

<=>(3) có nghiệm <=>Iml < 1.

Vậy với Iml < 1 hệ có nghiệm.

Ví du 2: Giải hộ phương trình:

s in X + COS y = —— (1)

* - y - - (2)

Giả i

Biến đổi (1) về dạng:

W . 71o sin-r.cos(

8

lõ■y) = — « 2sin

x + y n 4 Ĩ

2 4 4

. . 7t _ V2 „ õ . , X- y 71 X + y t u, a /2 sinx + sin(— - y) = ——<=>2sin(---- —+ —).cos(—— - —) = ——

2

(3)

Ta có:

'V ĩ V2 - V 2 _ _ Jl _ ,„ . , 7 1 _ 7t _ - — = COS— = 1- 2sin -r => sin-r =2 4 8 8 2

8 8

165



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

ẦN

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N





Khi đó:

(3) o cos(X + y n

2 4)= -=■V2 + V2

x + y 7T 71<=> —— - —= ± —+ 2kn <=>2 4 8

Đ o đó hệ tương đương với:

V2 .V 2 - V 2 2

' _ 3t ĩX + y = — + 4K7I

71= COS —

8

X + y = — + 4 k 7 t

, k e Z .

3iĩX+ y = —- + 4k7t

4 .

71x - y . - i

x + y = —+ 4k7t 4

<=>

x - y = - Tu

Ví du 3: Cho hệ phương trình:'tgx - tgy - m (1)

X = — + 2 k n

4

y = —+ 2kn2 , keZ.

X= 2kn

y - —+ 2kn J ả

x + y = ~ r (2)4

a. Giải hệ với m = 2. b. Tim m để hệ có nghiệm.


ícosx ^ 0

ị c o s y 5* 0<=>

X * — + krc

2 k, íeZ .


sin(x. ỵ>_ = tn •» sin(x - y) = — fcos(x + y) + cos(x - y)]cos X. co sy

(2) . , ’ IĨ1V2ò 2sin(x - y) - mcos(x - y) = ---- — (3)


£ (3) <=>sin(x - y) - cos(x - y) = —y - <=> . . 71N- Ể l~ y ~ 4 2

166



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

TO

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

ẤP

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





•. 71]<=>sin(x-y- —) = - - - <=>

4 2

Do đó, hệ tương đương với:

n 7tX .-V - —= - —+ 2k7t

■ 4 671 7 t i

X - y - — = — + 2k7T4 6

<=>X - y = — + 2k.7t

■ 12

'17* ■X - y = — — + 2kĩt

12

keZ

571 .X - y = — + 2 k n X = — + K7I

12 12

3 nX + y = — y = — - k7t

4 . . 3<=>

1771 1371

X - y = ——- + 2 k n X = — - + k ít12 . 12

3 tc n ,X + V = — y = -K7I

• 4 . 3

, k e Z

b. Hệ có nghiệm2

<=> (3) có nghiệm <=>a2+ b2> c2<=>4 + m2> — <=> 8 + n 2 > 0 l u ô n đúng

Vậy hệ có nghiệm với mọi m.

Bài toán 2: Giải hệ phư ơ ng trình:

|f(x).g(y ) = m

Ị x ± y = a

■VỚi f(x) là mộ t hàm số lư ợ ng giác củ a X.

PHƯ Ơ NG PHÁP CHUNGTa xét các hệ phương trình:

ísinx .siny = rh ícosx.cosy = mỊ x ± y = a •' Ị x ± y = a

ísinx.cosy = m ítgx.tgy = m

Ị x ± y = a Ị x ± y = aTa chuyển tích f(x).g(ỵ) = m thành tổng bằng một trong các công'thức:

■ 'sinx.siny = —[cos(x - y) - cos(x + y)]

■ cosx.cosy = —[cos(x + y) + cos(x - y)]

■ s inx .cosy = — [sin(x + y) + sin(x - y)]

cosx.siny = —[sỉn(x + y) - sin(x - y)]■


B

Ồ

I

D

ƯỠ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í -

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

10

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Ví du 4: Cho hệ phướng trình:

tgx.tgy = m (1)

x-+y = j (2)

a. Giải hệ với m = 3.

b. Tìm m để hệ có nghiệm.Giả i

Đ iều kiện:

Ịco sx 5t 0

Ịcosy 0o

71 1X* -- + k7t2

71 I _ y * —+ K7I2

, keZ.

Biến đổi (1) về dạng:sinx siny 1 r . , . , m __ ,

— =m<=í> —[cos(x-y)-cos(x+y)] = — fcos(x + ý ) + cos(x - y)cosx cosy 2 2

» cos(x-y)-cos—=m[cos—+c x» (x-y )]o(l-m )co s(x-y )= (3)

a. Với m = 3, ta được: .(3) <=> - 2cos(x - y) = 2 <=>cos(x - y) = - 1 <=>X - ỵ = 7t + 2kn, keZ.

Đo đó hệ tư ơ ng đư ơ ng vớ i:

X — ý = 7t + 2 k 7 t

7tX-í- y = —-

* 3

<=>

271X = — + k7t

3

y = - —- k ít 3

, keZ .

b. Ta xét hai trường hợp:■ Với ỉ - m = 0 <=> m = 1, khi đó:

(3)<=>0 = 1mâu thuẫn => hệ vô nghiệm.■■ Với 1 —m ^ O o m ^ l

Khi đó:, . m +1

' (3) <=> eos(x - y) =2(1 - m)

Hệ có nghiệm

<=> (4) có nghiệ m <=>

m +1

2 ( ĩ- m ) < 1 <=>

m > 3

m < ị


B

Ồ

I

D

ƯỠ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í -

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

10

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




Ví du 5: Cho hệ phương trình:sinx .siny = m (1)

71X - y = —

3

a. Giải hệ với m = —.2

(2)

b. Tim m để hệ có nghiệm.iả i

Biến đổi (1) về dạng:] (2) 71- [cos(x - y) - cos(x + y)] = m <=> COS — - cos(x + y) = 2m

<=>cos(x + y) =1-4m

Với m = -r , ta được:2

(3) <=>cos(x + y) = - — X+ y = ± — + 2krc, keZ.Do đó hệ tương đương với:

X+ y = — + 2k7i 3

rtx - y = —

3

X+ y = + 2kĩt•

71- * - y = —

3Hệ có nghiệm

<=>(3) có nghiệm <=>

X= —+ loi2:

71 1_V= —+ K7I6

X= —- + kn6

_ 71 . _ y = - —4-K7T2

, keZ

1-4m< l o - - í m ấ - .

1 3Vây với - — ^ m < — hê có nghiêm.

' _______ 4_______4 ' 'Bài toán 3: Giải hệ phương trình:

= m (!)f(y) •x ± y = a (2)

vói f(x) là một hàm sổ lượng giác của X.

(3)

PHƯ Ơ NG PHÁP CHUNG Ta thựe hiện theo các 5c: 1

169



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N





I

B ớ c 2: Biến đổi (1) dựa vào phương pháp luận hệ .sô' để làm xuất hiện (2)và biểu thữc còn lại.

B ớ c 3: Tìm nghiệm c ủ a hặ.

Bư ớ c ỉ : Đặ t điề u kiệ n cho f(y) * 0.

Ví du 6: Giải hệ phương trình:

SỊnxs i n y .

= 2 (1)

3(x + y) = 2-JI (2)

Giả i

Đ iều kiện: siny ^ 0 <=>y ^ fcít, kẽZ

Biến đổi (1) về dạng;

sínx = 2siny <=>2sinx = 4siny o 3(sinx - siny) = sinx + siny

^ x + y . x - y „ . x + y X—y .<=>6cos—-— .sin—-— =2sin—-— .COS—-—

(2) 7C. . X - y . 71 x - yo 3cos —!sin:

3 2= sin- -.cos: _

3. 2

„ X - y 1 - x - y 7t , 71 _ . „<=>tg------ = —= <=> ———= — + k7t <=>X- y = -- + 2kn, ke Z .

2 s 2 6 3 3 ■ .

Do đó hệ tương đương với:

X - y = —+ 2ku3

X + y = -2it

<=>71 . _X= —+ krc3

_ 71 1y = —- K7T6

, keZ

n. CÁC JBÀI TOÁN THI

I Bài 1: Giải hệ phưomg trình:

cos (7 rx ) . cos (7 t ý ) = (1)1

.. : 1* - * 4

(2)

BAI GIẢ I

Biến đổi (1) về dạng:• 1 J 2 ^ 71 r~

— {co s[7i(x+ y ) ] + c o s [t c(x - y )] Ị = — <s> c o s [ n (x + y)} + c o s( - — ) = V22 2 4

<=>cosỊĩt(x + y)] = — <=>7i(x + y) = ± —+ 2krt <=>X + y = ± - + 2k

170:



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

TO

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





X+ y = —+ 2k 3 4

Do đó hệ tư ơ ng đứ ợ iig vớ i:

x - y = —

1

<=>

x - y = - -

X = k

, keZ.

X = —- + k4

y = k

Bài 2: (Đ HKT TPHCM - 93): Giải và biện luận theo a hệ phữơng trình:

Í2(cos2x + cos2y) = 1+ 4cos2(x -y ) (1)| x - y = a (2)

BÀI GIẢ I


4cos(x+y).cos(x-y)=1+ 4cos2(x- y)<=>4cos(x+y).cosa = 1+4cos2a (3)

«• [cos(x + y) - 2cosa]2 + sin2(x + y) = 0

l x + y = 2k7iỊcos(x + y) = l

<=>[cos(x + y) —2 cos a = 0

lsin2(x + y) = 0<=>

Ị2 cos a = 1

fcos(x + y) = -1

[2 cosa = -1

<=>

a = ± —+ 21713

X+ y = 1C + 2kn

a = ± — + 21713

K;IeZ.

Với a = —+ 2ln, lsZ, hệ có dạng:3 ■ ■

X+ y = 2kn

n <=> •x - y = —+ 2Ỉ7T

3

X= —+ (k + l)7t6

y = - ^ + ( k -l) 7 t

, k; IeZ.

Với a = - —+ 2ln, leZ,. hệ có dạng:

X+ y = 2kn

X - y = + 21713 ■

X= — — + (k + 1)716

y = + (k -l)7t

, k; leZ.


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

- H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

10

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




■ Với a = - - + 21t , leZ , hệ có dạng:3 '

2n

X+ y = 2k7t

. 271 ° X—y = + 21ĩi

3

2n ■■ Với a = + 2171, ỊeZ, hệ có dạng:

3 ' '

X= — + (k +1)713

y = - y + (k-l)7t

, k; leZ.

X+ y = 2krt

271 <=>x - y = - — + 2171

. 3

X = - — + ( k + 1)71

J , k; leZ .

y = -j + (k-I)7 t

■ Ngoài ra hệ vỡ ngỉ ằm.BÀI TẬ P ĐỂ NGHỊ

Bài tập 1. Giải các hệ phương trình sau:ís in x+ . s iny = 3 /2

a. •( 271

r y ‘ TBài tập 2. Giải các hệ phương trình sau:

tgx+tgy=1

b.

a.x + y = —

4

b.

s in x .s in y = V3 / 2

2 71 ’x + y = —-

3

x + y = 7t / 3sin X _2 .siny

Bài tập 3. Cho hệ phương trình:ícosx + cosy =2m[ COSX+ cos'

2nIX- y = —I 3

a. Giải hệ với m = - 1. b. Tìm m để hệ có nghiệm.Bài tập 4. Cho hệ phương trình:

Isinx.siny=2tn

Ị k ■

x + y = T

a. Giải hệ với m = 1.

b. Tim m để hệ có nghiệm.Bài tập 5. Cho hệ phương trình:

[ tgx. tgy=mx - y = -


B

Ồ

I

D

ƯỠ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í -

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

10

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N








<=>1 >** ' r

I - —sin 2x = cos(x-y ) J3 + cos4x = 4cos(x - y ) (1)

-co s2 x = cos(x + y) ~ \cos2x = cos(7t - x - y ) (2)

Giải (2), ta được:

2x = 7t - X - y + 2kn

2x = J 7I + X + y + 2kn<=>

X - y = 4x - n - 2knkeZ.

X - y = - 7T + 2 k7 i

V4i x - y = 4 x - r c - 2kn, thay vào (1) ta được:

3 + cos4x = 4cos(4x - 71- 2krc) Ọ 3 + cos4x = - 4cos4x

<=>cos4x = ——= cos4a <=>4x = ±4a + 2\n <=>X = ±a + —

<=>

l:r 31x = a + — & y = 7C- 3a + (2k - ~r)n

2 2

x = - a + — & y = 71+ 3 a + (2k— 2 2

, leZ.

■ Với X - y = 71 + 2kn, thay vào (1) ta được:

3 + cos4x = 4cos(7i + 2ku) o '3 + cos4x = -4<=>cos4x = -7 vô nghiệmVậy hệ có nghiệm:

x = a + -^ & y = 71- 3 a + (2k )ĩu 2 2lít „ _ - . 31.

X = - a + — & y = 71+ 3a + (2k - —):i

Ví du 3: Cho hệ phương trình:[ sin X.co sy = m

\3tgx = tgy

a. (Đ ề 12): Giải hệ phương trình với m = —.

, leZ.

b. Tìm m để hệ cọ nghiệm.Giả i

Đ iều kiện:

ícosx * 0{ <[cosy # 0

<=>X = - r + k7t

2

71y = —+ 1 n 2

,k ; ieZ. (*)


B

Ồ

I

DƯ

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

LÍ

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3 1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N




Biế n đổ i hệ về dạ ng:

[sinx.cosy = m ísinx.cósy = m-i <=> ;13 si n X. c o s y = s in y. COS X [s in y . COS X = 3 m

[sinx.cosy + cosx.siny = IĨ1 _ Jsin(x + y) = 4m<=>

in X.cosy —COSX.siny = -2m Ị sin(x -y ) = -2msin(I)

sin(x + y).= 1

1 <=>sin(x-y) * 2

x + ỵ = kn

x - y = - —+ 2br6

lit 01

X- y = —- + Tm . J 6

<=>

7t . (k + 21)71' 7: ( k - 21)71X = — — + -— — 1— & V = — + ------ —i -

12 2 12 2

1% ( k + 21)71 „ 7iỉ' (k-21)7tX = —- + -— —----- & y = - — + -------------. 12 2 12 2

, k; !eZ thóả mãn (*).

b. Hệ có nghiệm

fm & 0<=>[(I) có nghiệ m

1 1

<=>

m * 0

14m l< 1 - ] \ { 0 Ị.' “ 1 u 4 4I -2m 1< 1

Vãv vớ i m é[-—, |0} hê có nghiêm.4 4

Bài toán 2: Giả i hệ phư ơ ng trình lư ợ ng giác bằ ng phép khử sau khi bình phư ơ ng.____________________________________________ _______

PHƯ Ơ NG PHÁP CHUNG1 Vớ i hệ dạ ng:

, Ịsin X = f( y ) (1)

Ị cosx = g(y) (2)

Ta thự c hiện theo các bư ớ c: B ớ c 1: Bình phư ơ ng (1) và (2) rồi cộng lại để thu đượe phương trình hệ

quả:

f2(y) + g2(y) =1 * (3) B ớ c 2: Giải (3) để nhận được y, rồi thay vào (1) và (2) để thu được X.

Chú ý: Nếu ta chỉ dùng (1) hoặ c (2) để tính X, ta có thể thu được nghiệ m ngoạ i lai, vì ở bư ớ c 1 ta đã thự c hiện rriộ t phép biến đổ i không,,tyơ ng đư ơ ng.

176


B

Ồ

I

DƯ

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

LÍ

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3 1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N




2 Với hệ dạng:A -

1= f(y ) (1) - ~ = f (y ) (1)

sinx

Ịcotgx = g(y) (2)cosx hoặ c -I sin X

.tgx = g(y) (2)Ta thực hiện theo các bưức:

B ớ c í : Binh phương (1) và (2) rồi trừ theo vế để thu được phưong trình hệ quả:

f%) - g2(y) = 1 (3) B ớ c 2: Giải (3) để nhân được y, rồi thay vào (1) và (2) để thu đựợcX.Vĩdu 4: Giải hệ phương trình:

Í2sinx = sỉny (1)

I 2 cos X+ cosy = I (2)Giả i

Biến đổi hệ vể dạng:[ 2s in x=si ny Í2sinx = siny

|2 c os x + cosy = 1 (2cosx = 1-cosy

=>4 = 2 - 2cosy <=>cosy = - 1e> y = n + 2kn, ke Z .Thay (3) vào hệ, ta được:

(3)

[2sinx = sin(7: + 2krt) J2 sinx = 0

[2 cos X+ c o s (t i + 2kit) = 1 Ị2 c o s x - l = l

o c o sx = 1 o X = 2171, leZ.Vậy nghiệm của hệ là:

íx = 2ìĩt

[y = n + 2 k n ’

Ví du 5: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm

ịsinx = m.sin3y (1)

ísinx = 0

cọsx = 1i

, k; le Z .

^ ■(cosx = m .co s'y (2)

GiaiBình phương (1) và (2) rồi cộng lại, thu được:

1 = (m.sin3y)2 + (m.cos3y)<=> 1 = m2[(sin2y + cos:y)3- 3(sin2y + cos2y)sin2y.cos2y]

(*)

= m2(l - - sin22y ) = ITT 1.1 - — (1 - cos4y)J = n r ( - + - c o s 4 y )

m*° . 8-5m<=> cos4y =

3mĐ ể hệ có nghiệm trước hết (3) phải có nghiệm, ta được:

8 -5m 2

(3)

3m 2ắ ỉ •» 1 ^ Iml <, 2.

177



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





I

Với điều kiện đó (3) cộ nghiệm y0 thoả mãn (*), tức là tổn tại x0 sao cho:

. jsinx0 = m.sin5ỵ0

[cosx0 = m.cos3y0tức là (x0, y0) là nghiệm của hặ đã cho.

Vậy với 1 < Iml < 2 hệ có nghiệm.Ví du 6: Giải hệ phương trình:

1 =yj5 cos5y : (1)eosx

tgx = 1/ 4 -sin'1' (2)Giả i

(3)Bình phương (1) và (2) rổi trừ theo vế, thu được:

1= 5cos5y - 4 + sin3y <=>5cos5y + sin1;/ = 5.Ta có nhận xét:

5cos5y + sin’y<5lcos5yl + Isin^yỉ.= 4lcosíyl + (lcos5y! + lsin3yl)<4.1 + (lcos2yl + lsin2yl) = 5

Do đó (3) có nghiệm khi

5 cos5 y + sin 1y = 5 ICOS5 y I+ rsin1y; I

■ ICOS5 y 1= 1 . ■

I cos5y i+1 sin:3y 1= 1

cosy = I y = 2k7T; keZ.

Thay (4) vào hệ, ta được:

(4).

COS X •

[igx = 2

COS X = —=■ = COSa, 0 < a < — V 5 2

2sill X= - ~

V5<=>X = a + 2171, leZ.

Vậy nghiệm củá hệ là:íx = a + 2Ỉ7I< ,k ;IeZ .Ịy = 2k7t .

Bài toán 3: Giái hệ phương trình lượng giác bảng phương pháp đặt ạn phụ. 1PHƯ Ơ NG PHÁP CHUNG,

Bằng phép đật ẩn phụ thích hợp ta sẽ chuyển hệ phương trình lượng giác vềhệ đại số quen thuộc.

V.í.dụ-T: Cho hệ phương trình:

sinx +siny = 3m

. 2 . 1 5msin X+ sin y = —

3 2

178



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

OÁ

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





. , , Ia. Giải hệ với nx= .

2 b. Tìm m để hệ có nghiệm.

Giả i

Đ ật: u = sinx ., điểu kiện lul < 1, Ivl < 1.

[V = siny '

Khi đó hệ có dạng:A1 + V = 3m í u + V = 3m

2 5m ^ ^

(*)

5m «■

u + V = 3m

18m2-5mu + V = — (u + v) - 2uv = uv = ■2 1 2 .

suy ra u, V là nghiệm của phương trình:t2- 3mt + -----— —0 <=>f(t)-= 4t2- 12mt + 18m2- 5m = 0. (1)

a. Với m = 4 , ta được:2

(1) <=> 2t2—3t + 1 = 0

<=>

sin X= 1

. 1siny = Ỷ

. 1si n X = —

2s in y = 1

<=>

X= —+ 2kn

271 _, D7T _,y = —+ 2Ỉ7Ỉ V y = —1+ 2lĩt

6 6

X = — + 2 k n V X = — + 2ku

V= —+ 2bil 2

, k, leZ.

b. Hệ có nghiệm<=>(1) có hai nghiệm thoả mãn - 1 < t, < t,< 1

<=>

A'>0 - 36m2 + 20m > 0 9

L * iaf(—1) > 0 18m2 H- 7m + 4 > 0

af(l)ằ0 <=>• 18m2 - 17m + 4 £ 0 ■ 2 « .4

V

I

G O

1

1

V

I

r * * < 1

- l í ^ s l

m < —. 9

. 2 „ 2 2 ____ 2

0 < m ^ -

0 í m <

—< m <.2

< m < — 3 3

4 1 5Vậ y vớ i m è[0, —] w [—, —] hệ có nghiệ m.


B

Ồ

I

DƯ

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

LÍ

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3 1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N




Ví du 8: Giải và biệ n luận hệ phư ơ ng trình:

ítgx + siny = 2a

[tgx.sin y = a2 -1

Giả i _ í u = tgx . ,Đ ặtx , điều kiện Ivl < 1.

' Ị_v = sin y ■Khi đó hệ có dậng:fu + V= 2a

[uv = a 2 -1

suy ra u, V là nghiệm của phứơng trình:t2 - 2at + a2 - 1 = 0.

Ta có A’ = a2 - a2 + 1 = 1do đó (1) luôn có 2 nghiêm:

íu = a - l

(*)

(1)

t, = a -1

t 2 = a + 1•o

[v = a -t I

Íu = a +1

V = a - 1(II)

Giả i (JY. Với điều kiện (*), ta được:

[ tgx = a +1

Ịsin y = a -1 <=>

tgx = a + 1= tgaj

siny = a -1 = sinPị ol a - l l ắ l

Giả i (IJì: Với điều kiện (*), ta được:

tgx = a - l = t ga2tgx = a -1

sỉn y = a + 1<=>

Ví du 9: Giải hệ phương trình:

j s in 2 X = 1 - tgy

[tg2y = 1 - s in x


[cosx 0Ịcos y * 0

<=>X 5* — + k7i

271 1_

2

, k; leZ.

X = a , + k7t

y = p, +2ln

y = 7t - p, + 2171

0. < a < 2

, k; 1eZ.

siny = a + 1= sinP2 o

Ia + 11< 1

X = a 2 + k7i

y.= P2 + 2171

y = J1 - P 2 + 2 ì n

-2 < a ă 0

, k; leZ.

180


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í -

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

10

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N






Hệ có dạng:[u + V = 2

ju .v = -3

chi đó u, V là nghiệm của phương trình

t2- 2t - 3 = 0 <=> 1 _1 u:>—v—t = 3

u = 3 Í9siny = 3V = —1 l ọ ỉ a * * *

cot gx = 0 ■71 I _ X = — + ln

. 2Bài toán 4: Giải hệ lặp 3 ẩn


Ta thực hiện theo pác bước sau:

Bư ớ c 1: Tim tậ p giá trị củ ạ hàm f(t), giả sử là tậ p I thì X, y, z, f(x),f(y) = f(f(x)),f(z) = f(f(f(x)))el. "

B ớ c 2: Khẳng định rằng hàm sô' f(t) đơn điệu trên I, giảsử là đồng biếntrẽn I. .

B ớ c 3: Ta đi chứng minh f(x) = X.Thật vậy:Từ hệ ta có X= f(f(f(x))) và f(x) đồ ng biế n trên I.

Khi đó:

- N ếu f(x ) > X <=> f(f( x )) > f(x ) <z> f ( f (f ( x ) ) ) > f ( f ( x ) ) > f ( x ) > X

=ì> f(f(f(x ))) > X mâu thuẫ n vớ i hệ .

- Nếu f(x) < X<=>f(f(x)) < f(x) <=>f(f(f(x)» < f(f(x)) < f(x) < X

=> f(f(f(x))) < X mâu thuẫ n vói hệ .

Do đó f(x) = X.Từ đó tìm được nghiệm của hệ.

í du 11: Giải hệ phương trình:

x - s in y = 0

y - s i n z = 0 .

z - sin X = 0

áĩ

xểt hàm số f(t) = sinx, khi đó hê có dạng:

2



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

TO

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

ẤP

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





x = f(y) ^

y = f(z).z = f(x)

Hàm f(t) có tập giá trịlà I = [ - .1,1] c (——, —).

Hàm f(t) đồng biến trên ( - —,—)=> hàm f(t) đổng biến trện Ị.

Ta đi chứ ng minh f(x) = X.Thậ t vậ y: từ hệ ta có X= f(f(f(x))) và f(x) đồ ng biế n trên I.

• N ếu f (x ) > X «■ f ( f (x ) ) > f (x ) <=> f ( f ( f (x ) ) ) > f ( f (x ) ) > f (x ) > X

=> f(f(f(x))) > Xmâu thuẫ n vớ i hệ .

• Nế u f(x) < X f(f(x)) < f(x) <=>f(f(f(x))) < f(f(x)) < f(x) < X=> f(f(f(x))) < X mâu thuẫ n vố i hệ .

Do đó f(x) = X<=> X- sinx = 0. (*)Xét hàm số g(x) = X- sinx:• Miển xác định D = R.* Đ ạo hàm:

g' = 1 - cosx > 0, VxeD=> hàm số đồng biến trên D.

Từ đó:- Với X= 0, ta có: g(0) = 0 <=>phương, trình (*) nghiệm đúng.- Vớ i X> 0, ta có: g(x) > g(0) = 0 « phư ợ ng trình (*) vô nghiệ m.- Vớ i X< 0, ta có: g(x) < g(0) = 0 <=> phư ơ ng trình (*) vô nghiệ m. Kết luận:- Vậ y phư ơ ng trình có nghiệ m duy nhấ t X = 0.

- Vậ y nghiệ m củ a hệ lặ X= y = z = 0.___________________________

Bài toán 5: Giải hộ phương trình lượng giác bằng phương pháp điểu kiện cần

và đủ. PHƯ Ơ NG PHÁP CHUNG Đ ối với hệ này câu hỏi thường được đặt ra là " Tìm điều kiện của tharri số để hệ

có nghiêm duy n h â tK h i đó ta sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ để giải: B ớ c 1: Điề u kiệ n cẩ n:

- Dựa vào tính chất nghiệm của các hàm số lượng giác trong hệ tacó nhận xét rằng nếu hệ cộ nghiệm (x0, y0) thì (Xj , y,) cũng lànghiệm củá hê, do đó hệ có nghiệm dưy nhất khi:

f*0 =*I\y 0=y] Xo.yo hoặ c x0 = - x0 <=>x0= 0 (*)

- Thay vàọ hệ ta được giá trịcủa tham số. Đ ó chính là điều kiện■ cần để hệ có nghiệm duy nhất.

B ớ c 2: Điề u kiệ n đủ :


B

Ồ

I D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

- L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

ƯN

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




(I)

' Ví du 12: (Đ ề 108): Tìm m để hệ phươrig trình sau có nghiệm duy nhất

|x2' + y2 = m -5

[y + cosx = 2

Giả i. Điề u kiệ n cầ n: Nhận xét rằng nếu hệ có nghiệm (x0, yĐj thì cũng có nghiệm( - Xo, y0). Khi đó để hệ có nghiệm duy nhất là :

x0 = - x0 <=ỉ>x0 = 0 (*)

Với x0 = 0, ta được: (I) <=>íyổ = m - 5

ý - 0 => m = 6.l y 0 = 1

(!)<=>

Điề u kiệ n đủ : Với m = 6 ta đứợc:

x 2 + y 2 = l ( i )

y + cos X= 2 (2)T ừ (l) ta có :

f - i < x < l< => y + cosx < 2.Ị - 1< y < 1 7

Vậy hệ có nghiệm khi và chỉkhĩ:

í y ° ' [n = 0< là nghiêm duy nhất.ly = l

(I)

• COSX= 1 <=>

—1< X < 1Vậy vói m ,= 6 hệ có nghiệm duy nhất.

Ví du 13: (Đ HNT —94): lìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất:

íax2 + 1sin 2x I +a = y +1

jltg6xl+ 2y2 =2

Giả i.

Điể u kiệ n cầ n: Nhận xét rằng: nếu hệ cộ nghiệm (x0, y0) thì ( x0, y0) cũng lànghiệm của hệ.Đ o đó hệ có nghiệm duy nhất thì: x0 = - x0 <=> x0 = 0.Với x0 = 0 ta ra:

ja = y + l

w = 2

Điề u kiệ n đủ :

■ Với a = 0, hệ có dạng:Jì sin2x l=y + 1

ịl tgóx I +2.y2 = 2 '

a = Đ

a = 2

(I)

184


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í -

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

10

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N




Nhận'xét rằng X = — , keZ và y = - 1 luôn lầ nghiệm của hệ (I). Vậy hê

Từ (1) => y > 1.

T ừ (2) => - 1 <y ^ 1.

Vậy hệ (li) tương đương vói:

y=2 • _ _ íx = 0 - • '•2x + 1sin 2x 1= 0 <=> < là nghiêm duy nhấ t.Iy = l ■

I tgôx 1= 0 ; r

Vậy với a = 2 hệ có nghiệm duy nhất.Bài toán 6: Giải hệ phương trình lượng giác bàng phương pháp hàm số. Ị

Ta thực hiện theo các bước: B ớ c 1: Đ ặt điều kiện có nghĩa cho hệ. B ớ c 2: Xét một phương trình nhận được từ hệ (có thể là phương trình hệ

quả), sử dụng phương pháp hàm số giải phương trình náy. B ớ c 3: Chuyển hệ vể dạng mói để xác định nghiệm.

Ví du 14: (Đ ề 108): Giải hệ phương trình:

ó vô số nghiệm. Do đó a = 0 không thoả mãn.

■ Với a = 2, hệ có dạng:

Í2x2+ 1sin2x 1= y --1 (1)

(2)' .

(II)


Í5x + 8y = 2n, 0 < x,y < 71 (1)

Ịcot gx - cot gy = X - y (2)

Giả i

Viết lại phương trình (2) dưới dạng:

X - c o tg x = y - c o tg y .

Xét hàm số f(t) = t - cotgt, với te(Q, 7t).Đ ạo hàm:

(3)

f’ = 1 +,— — >0=> hàm số luôn đồng biến trên (0,7t).sin t

Do đó từ (3), ta được:

f(x) = f(y) <=>X= y.

185



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

TO

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

ẤP

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





Khi đó hệ được chuyển về dạng;

5x + 8y = 27t Í13x = 2rc 2rt_ « _ <=>x = y = 7 7 -x = y [x = y 13

Vậy hệ có nghiệm duy nhẩt. -

Ví du 15; Giải hệ phương trình:

[c o s X - COS2y = X- 2y

[tgx =3tgy

Giả i

Đ iều kiẹn:

' Tí

(1)(2)

X * — + kĩi2

,k ; leZ.y * —+ bi ■

Viết lại phương trình (1) dưới dạng:

X —cosx = 2y —cos2y.

Xét hàm số f(t) = t - cost, với te [0 , 271).

Đ ạo hàm :

f = 1 + sint ^ 0 => hàm số luôn đổng biến trên [0, 2ĩi).

Do đó từ (3), ta được:f(x) = f( 2 y ) o x = 2y.


tg2y = 3tgy <=> 2tẽ~ - = 3tgy <=>3tg3y - tgy = 0 <=>1 - t g y

■ Với tgỵ = 0, hệ có dạng:

tgy = 0 [y = l7i Ị.y = l7t

* Với tgy = — , hê có dạng:V3

(3)

tgy = 0

X =2y X I I t o

• 1 <=> • 71 <=> •y = —+ |7I

/ 6

X —— + 21713

71 I y = ~ + \n 6

, i eZ .

86



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

TO

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

ẤP

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





y m ——'+In6

Bài toán 7: Giải hệ phương trình lượng siác bằng phứang pháp đánh giá.

Ta đáỉìh giá mộ t phương trình nhận được từ hệ dựa trên các dạng: Dạ ng 1: Tính chất của các hàm số lượng giác và biểu thức lượng giác.

Dạ ng 2: Phương trình lượng giác dạng Pitago. Dạ ng 3: Sử dụng bất đẳng thức Côsi. Dạ ng 4: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski

Ví du 16; (Đ ề 23): Giải hệ phương trình:

PHƯ Ơ NG PHÁP CHÚNG

_ , . 7Ĩ.tgx + cot gx = 2sin(y + —)

4

tgy + cot gy = 2 sin(x - -7)Giả i

Đ iều kiện:

Ta có:

2tga + cotga = ------ -------

sin a . cos a

do đó hệ đuợc biến đổi về dạng:

sin 2a

sin(y+ —).sin2x = 1

sin(y+ —) = sin2x = 14

sin(x - —).sin2y = 1

Isinal l

o • sin(y + —) = sin 2x = - 1

sin(x ).sin2y = 14


B

Ồ

I D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3 1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

ƯN

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




o

<=>

x = —+ k 7 i& y = —+ 21714 4

X - + k7t & y = + 2hi„ 4 J 4

sin(x ).sin2y = 1

x = — + k 7 t & y = —+ 21714 4

sink7t.sin2(—+ 2l7i) = 1

X = + toi & y = + 2Ỉ7T4 4

sin (-—+ k7t).sin 2 ( -— + 2171) = 1

X =■ -— + lot & y = + 2ỈĨI

k = 2n

3nT <=>

X= ——+ 2mi4371

y = - — + 21714

, n; IeZ.

Vậy hệ có một họ cặp nghiệm.Ví du 17: (Đ HXD 95): Giải hệ phương trình:

Ị2SÌn(x+y)7t _ ị

[2 (x 2 + y 2 ) = l

(i)

(2)'

Giả i

Từ (2) ta có điều kiên : IXi < —Ị= và1y ! < -Ị= .V2 7 V2

Giải (1) ta được:sin(x + y)rc = 0 <=> (x + y)7i = k7i, keZ <=> X + y = k; keZ

Giải (2) ta được:

1 =‘2(x2 + y2) £ (x + y)2 = k2 =>Ikl £ 1 < (3) > k = 0.Vậy hệ được biến đổi thành :

(3)

fx + y = 0 íy = -x

i , <=H , , <=>Ị2(x +y ) = 1[2(x + X ) = 1

y = - x

X = + —2

X = — & y m

2 1 2

x = - l & y = i2 2

Vậ y hệ phư ơ ng trình có 2 cặ p nghiệ m (—, —- ) và (—


B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í -

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

10

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N




Bài toán 8: Giả i hệ phư ơ ng trinh lư ợ ng giác bằ ng phư ơ ng pháp biế n đổ i hỗ n hạ p.

PHƯ Ơ NGPHÁP CHUNG Ta thực hiện theo Các bước sau:

B ớ c ỉ : Đ ặt điều kiện có nghĩa cho hệ. B ớ c 2: Sử dụng các phép biến đổi lượng giác tương ứng, biến đổi hệ hoặc

một phương trình trong hệ từ đó thu được một phương trình hệ quảGiải phương trình hệ quả bằng những phương pháp:■ Tổng, bình phương.

■ Hàm số■ Đ ánh giá... B ớ c 3: Thay kết quả ờ bước 2 vào hệ ta sẽ nhận được nghiệm.

Ví du 18: Giải hệ phựợng trình:2(sinx + siriy) = 1

■ cosx + cosy = —*-. 2

Giả i-Biến đổi hệ về dạng:

x + y x - y 12sin—-— .COS------ — - — 2

„ x + y2 cos—-— .cos

2 2 .

x - y _ V3

2 2

x + y 1 X+ V 7I ■ _ t g — — = - = o — - ỉ - = - + k7t

2 73 2 6

X+ y = —+ 2kn, keZ <=> y = —- X + 2k n, keZ. (1)

Vậy hệ tư ơ ng đư ơ ng với:

y = — - X + 2kn

3sin X+ sin(—- X + 2kn) = Ạ

3 2

71 'y = — - X + 2k7t J 3

y = —- X+ 2kn

3 r ■ ■ f n 1sin X + s in { ^ - x ) = —

3 2

<=> 3 3. <=> i

„ . n n ì _ -7C - 12sin —.cos(—+ x) = —cos(—+ x) = -

6 6 2 1 6 2

<=> ■

y = —- X+ 2k7t J 3

—+ x = ± —+ 2bt

<=>

1 ny = — - X + 2kĩC 3 3X= 2bt

y = — - X + 2kjt3

x = - — + 21tc 3

<=>

y = | + 2 (k -I ) 7 i

X= 2bi

2n . . . .. .k;le Z .y = :y + 2(k-I)ĩc

x = - —+ 2Ỉ7I3

189



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

TO

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

ẤP

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





I

Vi du 19: Giải hệ phương trình:

[tgx - tgy + tgx.tgy = -1 (1)

l y 3' cos2x + cos2y =.-1 (2)

Giả i

Đ iều kiện:

COS X ?í0

COS y 0<=>

• 71 1_ X —+ kn2

n 1y. * —+ k7i2

k s Z .

Biển đổi (1) về dạng:

sinx.cosy. - siny.cosx + sinx.siny = - cosx.cosy<=>sinx.cosy - siny.cosx = - (cosx.cosy + sinx.siny)

<=> sin(x - y) = - cos (x - y) <=> tg(x - y) = - 1 <=> X - y = — +k7t. ■ ' ; 4n r-r <=>X = —+ y + kĩt, keZ.4

Thay (3) vào (2), ta được:

yỈ3 cos( — + 2y + 2k7t) + cos2y = - 1 <=> -

\/3 1<=> — ■sin2y - —cos2y = —<=ỉ>sin(2y - - ■ ) = —

(3)

+ cos2y = - 1

<=> 6 6

_ 71 5712y - —= — + 2Ỉ7t

. 6 6

<=>

71y = —+ 1716

y = _ + Ìrc2

<=>

X= — + (k + 1)71 12

71y = —.+171 6

x= — + (k + l)7i4

71 1 y = Ỷ + ỈJt

, k, leZ .

7í«y: Rất nhiều tài liệu biến đổi (1) như sạu:

tgx - tgy = - 1 - tgx.tgy <=> tgX-~ = - 1 <=>tg(x - y) = - 11+ tgx.tgy

<í=>X - y = — + k7t, k e Z .4

hưng để có được biến đổi như vậy nhất thiết phải xét hai trường hợp:1 + tgx.tgy = 0 và 1 + tgx.tgy ^ 0.

50



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

TO

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

ẤP

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N






Bài 1: (Đ ề 33): Giai hê phương trình:

fsin X + sin y = ,12

[cosx + cosy = sBÀI GI IBằng cách cộng theo vế hai phương trình của hệ, ta được:.

(sinx + cosx) + (siny + cosy) = 2 V2 <=> sin(x + —) + sin(y + —) = 24 4

s ỉ n a £ !

osin(x + —) = 1' 4

sin(y + —) = 1

4

n nX + — = - r + 2 k 7t

4 2

71 71 <11- y + — = -7 + 2171

4 2

<=>X = —+ 2ku

4

y = —+ 2\n

4

, k j e z .

Thử lại nghiệm trên vào hệ ta thấy luôn đúng.Vậy hệ cổ một họ cập nghiệm.

Bài 2: (Đ HSP Vinh - 99): Giải hệ phương trình:

í ■ .. . 3sinx + siny = —2

. -5 • 2 _ 3sin x +sin y = — 4

Đ ặt:u =sinx

Ịv = sinyKhi đó hệ có dạng:

BÀI GIẢ I

, điều kiện luis l.lvlắ 1.

3 3u + V = — u + V = —

2 2<=> • <=> ■2 1 - 5u + V = — (u + v)2 -2 uv = —

. . 4 . 4

u + V = —2

uv = -

khi đó u, V là nghiệm của phương trình:

Vậ y hộ có bố n cặ p họ nghiệ m.

. X = — + 2k7isin X = 1 2

• 1t = l sin y = ■£• y = — + 2K7IV y

2 61 <=>

1- 2 s i n X = — X = —+ 2krt\> X2 6

sin y = 1 ĨT y = —+ 2k7i

2

: ^ + 26

=2L+26

,keZ.

191


B

Ồ

I D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

- L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

ƯN

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




w | g /

Ị 1Cho hệ phương trình:

ícosx = a.cos'1y

[sinx = a.sinJ y(I) .

a. Giải hê với a = —.2

b- (Đ ề 126): Tim à để hê có nghiêm.BÀI GIẢ ITa thực hiện phép biến đổi:

1 2 _ 2 _ 6 COS x = a .COS y

• 2 2 • 6 :sin x = a .sin y

<=> 1 = a2[(sin2y + cos2y)s - 3(sin2y + cos2y)sin2y.cos2y]

sinTc + COSTC= a3(sin“y + cos4y)

o 1 = a2( 1 - —sin22y) <=>3a2.sin22y = 4(a2- 1).4

a. Với a = ị , ta được:2

( 1 ) 0 —sin22y = - 3 vô nghiêm4 '

Vậy với a = —, hệ vô nghiệm.

b. Đ ể hệ có nghiệm trước hết (1) có nghiệm

a * 0

' <=> 1 < lal < 2.

(1)

<=> • 4(a2- l )

3a< 1

Với 1 < lal ắ 2, giả sử (1) có nghiệm yr, tức là:

3a2.sin22y0 = 4(a2- 1) 0 a2(sin6y0 + cos6y0) = 1

<=>(a.sin3y0)2+ (a.cos3y0)2= 1

tức ià hệ (I) luôn có nghiệm x0.Vậy với 1 á lal < 2 hệ đã cho có nghiệm.

Bài 4: (Đ ề 103): Tìm a để hộ phương trình có nghiệm duy nhất:

Ịax2 + a - 1= y - 1sin XI

[tg2x + y2 =l

BÀI GIẢ I •

Điề u kiệ n cầ n: Nhận xét rằng nếu hệ có nghiệm (x0, y0) thì cũng có nghiệm ( - x0, y0). Khiđó để hệ có nghiệm duy nhất là:

x0 = - x0 <=>x0 = 0 (*)

192


B

Ồ

I

D

ƯỠ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í -

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

10

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N






ìài tập 4; Giải các hệ phương trình :

Ịsinx + siny = V2 +a

[cos X+ cos y = V2 - aa.

ìài tập 5: Giảỉcác hệ phương trình : J 3(sin X- sin y) = 4(sin 2x - sin 2y)

b.

ị3(cosx - cosy) = 4(cos2x -cos2 y)

ítgx + sin2y = sìn2x

[2 sin y.. cos(x - y) = sin X’

ìài tập 6: Giải các hẹ phướng trình :

a.

b.

COS2y + — = (cos y - —)(1 + 2 sin 2 x)

sin y(tgx + cot gy) = 2 cot gy

• 2 „ . „ X+ ý ;sin X -2sin x.c os2y = COS—— + cos:

cos2 2y + —(cosx + cosy) -1 = 0

ỉài tập 7: Giải các hệ phương trình :

_ 1sin 7CX. COSny = — „ „4 , 0 < x + y < 2 .3tg7ix = tg7iy

■ __ _ 3sin Ttx.sin7iy = —4 .

a.

b.

tg7tx.tg7ty = 3ìài tập 8: Cho hệ phương trình:

Í

cosx.cosy = m + 1

sin x.sin y = 4m2 + 2m

a. Giải hệ trên khi m4

b. Xác định m để hệ có nghiệm,ỉài tập 9: Cho hệ phương trình:

ísinx + siny = a

Ịcosx .cosy = b

a. Giải hê khi a = 1, b = —.4' b. Tìm điề u kiệ n giữ a a và b để hệ có nghiệ m.



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P 2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N





I

Bài'tập 10: Cho hệ phứơng trình:

ftgx + tgy = a

Ịtg(x + y) = b '

a. Giải hệ khi a = V3 + 1, b = - (2 + V3 ) b. Tìm điều kiện giữa a và b để hệ có nghiệm.Bài tập 11: Cho hệ phương trình:

Í sin 2 x + s i n 2 y = 1

[sin2X+ sin2y = m

3a. Giải hệ trên khi m = --.

. 2

b. Xác định m để hệ có nghiệm.Bài tập 12: Xác định m để hệ phương trình sau có nghiệm:

ícosx + mcosy = 1

Ịsinx.+ msiny = 1

Bài tập 13: Xác định m để hệ phương trình sau có nghiệm:

Ísin2x + sin2y = 1r •

[co s X + COS y = m Bài tập 14: Xác định m để hộ phương trình sau có nghiệm:

ísinx + sin 2y = 1»

[cosx = m(sin y + cosy) Ị


Ịcosx mcos3y

Isinx = msin3y


í sin2 X + mtgy = m

[tg2y + msinx m


ftgx + tgy = m ■

[cos 2x + cos 2y = 1

Bài tập 18: Xác định m để hộ phương trình sau có nghiệm:

jx + ỵ = m

[4(sin2X+ sin2y) = 3 -4 c o s 2(x + y)

195


B

Ồ

I D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

- L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

ƯN

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N





í m co s 2y = sin X + COS X

Ị(m + l)sin2y = sinx -co sx

Bài tập 20: Xác định m để hệ phương trình sau có nghiệm:ísin xsin y = m

Ịtgx = 2tgy .


f sin;' x.cosx = mtgy

cos3 x.sin X = rv, cot gy

Bài tập 22: Xác định m để hệ sau có nghiệm và tìm nghiệm đó:ísinx + sin2x = mị .

[ c o s x + c o s 2 x = mBài tậ p 23: Xác định m để hệ sau có nghiệ m (x,y) mà X± y * k7t

■ j c o s 2 X = m sin y

ì - _ • "[cos y = m sin X

Bài tập 24: Xác định m để hệ sau có nghiệm (x,y) thoả mãn xe(0;-^) và

ỵe(0;7T>: ,

Ícosx + cosy = m -.1cos2x + cos2y = 2m2 - 2 .

Bài tập 25: Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất:

ía(l XI +1) = y + co sx

[l s in x I+ y 2 = 1

Bài tập 26: Tim a để hệ có nghiệm duy nhất:

fax2 + a = y+ Icosx I\ ■I • _2 _ 2 1[sin X+ y = ỉ

Bài tập 27: Tim a để hệ sau có nghiêm duy nhất thoả mãn 0 < Xá 271,0 < y á n:

X .

—+ sin X= a >y

—+ siny = a •X

Bài tập 28: Giải và biện luận các hệ phương trình:tập 28: Giải và br 2!cos X= cos ya. r _ V

[ sinx . = a s in y b.

fsin X+ siny = 2 sin a J J 1 1 - . 1 *[cos x + cos y = 2s in a


B

Ồ

I

D

ƯỠ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í -

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

10

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




T À I L IỆ U T HA M K H Ả O

1. G.KORN-T.KORN. sổ tay Toán học (Phan Vân Hạp và NguyễnTrọng Bá dịch). Nhà xuất bản Đ ại hộc vă Trung học chuyênnghiệp giáo dục - 1977.

2. Trần Thành Minh (Chủ biêh). Giải toán Lượng giác . Nhà xuất bản Giáo dục - 2001.

3. Trần Văn Hạo (Chủ biên). Lượng giác . Nhă xuất bản Giáo đục- 2001. ’ ■

4. Nguyễn Đ ức Đ ồng (Chủ biên). Tuyển tập 599 bài toán tượng

giác chọn lọc . Nhà xuất bản Đ ại học Quốc gia Hà Nội - 2006.

5. Phan Húy Khải. Tuyển tập các bài toán lượng giác - Tập 1 . Nhàxuất bản Giáo dục - 1996.

6. Lê Hồng Đ ức. Phương pháp giải Toán Mũ & Lôgarit. Nhà xuất bản Hà,Nội - 2003

7. Lê Hồng Đ ức. Phương pháp giải Toán Tích phần.'Nhà XHất bảnHà Nội -2003

8. Tạp chí Toán học tụổi trẻ - Nhà xuất bản Giáo dục.

197



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

UY

N

H

Ơ

N







Bàỉtoán 3: Giảịphương trình lượng giác sử dụngcông thức hạ bậc......................................................................126

Bài toán 4: Biến đổi phương trình lượng giác

. thành phương trình tích.............................................................132Bài toán 5: . Biến đổi phương trình lượng giác thànhtổng các số hạng không âm.......................................................147

Bài toán 6: Giải phướng trình lượng giác- bằng phương pháp đánh giá.................................................... 149

Chủ đề Ị3. Phương trình hệ quả và hai phựơng trình tương đương.....................158Bài tóán 1: Xác định tham số để phương trình

này là hệ quả của phương trình kia........................................... 158

. ■Bàỉtoán 2: Xác định tham sô' để hai phương trình tương đương..................160

CHƯ Ơ NG II HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH LƯ Ợ NG GIÁC

Chủ đề 1. Các phương pháp giải hệ phươngtrình lượng giảc cơ bản ..................164Bài toán 1: ơiải và biện luận hệ tổng..........................................................164Bài toán 2: Giải và biện luậíi hệ tích.................. ................................. . 167

Bài toán 3: Giải và biện luận hệ thương......................................................169Chủ đề 2, Các phương pháp giải hệ phương trình lượng giác

không mẫu mực................................................................................. 174Bài toán 1: Giải hệ phương trình lượng giác

bằng phương phắp cộng ...........................................................174Bài toán 2: Giải hệ phương trình lượng giác bằng phép khử

sau khi bình phương................................................................. 176Bài toán 3: Giải hệ phương trình lượng giác bằng

phụpng pháp đặt ẩn phụ........................................................... 178Bài toán 4: Hộ lặp ba ẩn................................................................ ............. 182Bài toán 5: Giải hệ phương trình lượng giác bằng

phươrig phẩp điều kiện cần và đủ...........................................183Bài toán 6: Giải hệ phương trình lượng giác bằng

phương pháp hàm sô '...............................................:.............185Bài toán 7: Giải hệ phương trình lượng giác bằng

phướng pháp đánh giá.............................................................. 187

Bài toán 8: Giải hệ phương trình lựợng giác bằng phưcmg pháp biến đổi hỗn hợp'...!.,.............................................189

TÀI LIỆU THAM KHẢ O---------------------- -------------------------------------------197


Ồ

I

D

Ư

ỠN

G

T

O

Á

N

-

L

Í

- H

Ó

A

C

Ấ

P

2

3

1

00

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




NHÀ XUẤT BẲN DAi HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI16ỤàngChuối- HaiBàTrưng- HàNội

Đ iện thoại: (04) 9718312 - (04) 9724770. Fax: (04) 9714899* * *

4 1 ■

C h ịu tr ác h n h iệ m x u ấ t bả n:

Giám đố c: PHÙNG QUỐ C BẢ O

Tổ ng b iên tậ p: NGUYỄ N BÁ THÀNH


HƯ

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


Documents

GIẢI TOÁN LƯỢNG GIÁC NÂNG CAO 11 - LÊ HỮU TRÍ - LÊ HỒNG ĐỨC