PEMODELAN MATEMATIKA DAN ANALISIS KESTABILAN PADAPENYEBARAN PENYAKIT CAMPAK DENGAN PENGARUH

VAKSINASI

(Skripsi)

Oleh

Farida

JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNGBANDAR LAMPUNG

2018

ABSTRAK

PEMODELAN MATEMATIKA DAN ANALISIS KESTABILAN PADAPENYEBARAN PENYAKIT CAMPAK DENGAN PENGARUH

VAKSINASI

Oleh

Farida

Penelitian ini membahas analisis model matematika pada penyebaran penyakitcampak. Pada model ini digunakan sistem persamaan diferensial dengan peubahSusceptible, Infected, Recovered (SIR). Sebagai upaya pencegahan penyebaranpenyakit campak, vaksinasi akan ditambahkan ke dalam model tersebut. Modelyang diamati terdiri atas dua kasus berdasarkan titik kesetimbangannya denganmenggunakan kriteria Routh-Hurwitz. Kemudian, diberikan simulasi untuk setiapkasus yang menggambarkan perilaku dan kestabilan di sekitar titikkesetimbangan.

Kata kunci : model SIR, campak, vaksinasi, sistem persamaan diferensial,kestabilan Routh-Hurwitz.

ABSTRACT

MATHEMATICAL MODELING AND STABILITY ANALYSIS ON THESPREAD OF MEASLES WITH THE INFLUENCE OF VACCINATION

By

Farida

This research discusses the analysis of mathematical models on the spread ofmeasles. In this model a system of differential equations is used with theSusceptible, Infected, Recovered (SIR) variable. In an effort to prevent the spreadof measles, vaccination will be added to the model. The model observed consistedof two cases based on equilibrium points using the Routh-Hurwitz criteria. Then,given a simulation for each case that describes the behavior and stability aroundthe equilibrium point.

Keywords: SIR model, measles, vaccination, system of differential equations,stability of Routh-Hurwitz.

PEMODELAN MATEMATIKA DAN ANALISIS KESTABILAN PADAPENYEBARAN PENYAKIT CAMPAK DENGAN PENGARUH

VAKSINASI

Oleh

FARIDA

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Mencapai GelarSarjana Sains

Pada

Jurusan MatematikaFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG2018

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Gunung Sugih Besar, pada tanggal 23 Juli 1997, sebagai

anak pertama dari tiga bersaudara, putri dari bapak Daud David dan ibu Endri

Astuti, serta kakak dari Junaidi dan Widya Sari.

Jenjang pendidikan diawali dari TK Aisyiyah Pugung Raharjo diselesaikan pada

tahun 2003. Kemudian, penulis melanjutkan pendidikan sekolah dasar di SD

Negeri 2 Pugung Raharjo diselesaikan pada tahun 2009. Sekolah menengah

pertama di SMP Negeri 1 Sekampung Udik diselesaikan pada tahun 2012, dan

sekolah menengah atas di SMA Negeri 1 Sekampung Udik diselesaikan pada

tahun 2015. Tahun 2015, penulis terdaftar sebagai Mahasiswa Jurusan

Matematika FMIPA Unila melalui jalur SNMPTN (Seleksi Nasional Masuk

Perguruan Tinggi Negeri).

Pada tahun 2018, penulis melakukan Praktek Kerja Lapangan selama 40 hari di

PT. Kereta Api Indonesia (Persero) Divisi Regional IV Tanjung Karang.

Selanjutnya sebagai bentuk pengabdian kepada masyarakat, penulis telah

melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) selama 32 hari di Tiyuh Karta Sari,

Kecamatan Tulang Bawang Udik, Kabupaten Tulang Bawang Barat.

Dengan megucapkan Alhamdulillah.

Puji dan syukur kepada Allah SWT atas rahmat dan hidayah-Nya

sebuah karya sederhana yang penuh perjuangan telah terselesaikan

ku persembahkan Skripsi ini untuk:

Kedua orang tuaku tercinta :Bapak Daud David & Ibu Endri Astuti

SertaAdik-adikku tercinta :Junaidi & Widya Sari

Terima kasih atas cinta dan kasih sayang yang telah diberikan.

Terima kasih atas doa, dukungan, dan semangat yang telah diberikan.

Terima kasih atas kesabaran yang telah diberikan.

Percayalah ini adalah sebuah titik awal perjuangan baktiku untuk kalian,

Karena kalianlah motivasi terbesar di hidupku.

KATA INSPIRASI

“Sesungguhnya hanya orang-orang yang bersabarlah Yang dicukupkan pahalamereka tanpa batas”.

(QS. Az-Zumar :10)

“Allah tidak membebani seseorang melainkan sesuai dengan kesanggupannya”.

(QS. Al-Baqarah : 286)

”Barang siapa yang menempuh jalan untuk mencari suatu ilmu. Niscaya Allahmemudahkannya ke jalan menuju surga”.

(HR. Tirmidzi)

"Barang siapa menyusahkan (orang lain), niscaya Allah Menyusahkanurusannya kelak di hari Kiamat."

(HR. Bukhari)

“La Tahzan, Innallaha ma’ana”

(QS. At-Taubah : 40)

“Berdoa dan Berusaha”

(Farida)

SANWACANA

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, karena atas ridho dan

hidayahNya, sehingga penulis memperoleh kesempatan untuk menyelesaikan

skripsi ini. Skripsi dengan judul “Pemodelan Matematika dan Analisis Kestabilan

pada Penyebaran Penyakit Campak dengan Pengaruh Vaksinasi” adalah salah satu

syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika, Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Lampung.

Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan terima kasih sedalam-dalamnya

kepada:

1. Bapak Agus Sutrisno, S.Si., M.Si. selaku Pembimbing I yang telah dengan

sabar dan tulus membimbing, menyemangati, dan memotivasi penulis.

Semoga bapak selalu diberikan kesehatan.

2. Ibu Dra. Dorrah Aziz, M.Si. selaku Pembimbing II yang telah memberikan

bimbingan, kritik, dan saran yang membangun.

3. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D. selaku Dosen Pembahas atas

kesediannya untuk menguji, dan dengan sabar memberikan kritik dan saran.

4. Ibu Dra. Dorrah Aziz, M.Si. selaku Pembimbing Akademik atas bimbingan

dan pembelajarannya dalam menjalani perkuliahan.

5. Ibu Prof. Dra. Wamiliana, MA, Ph.D. selaku Ketua Jurusan Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas

Lampung.

6. Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A, Ph.D. selaku Dekan Fakultas Matematika

dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Lampung.

7. Seluruh Dosen dan Karyawan Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan

Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Lampung.

8. Teristimewa untuk kedua orang tuaku dan keluarga, bapak Daud David dan

Ibu Endri Astuti, terima kasih atas semangat, didikan, ajaran, kasih dan

sayang yang terus diberikan tanpa henti.

9. Rizal Adi Saputra yang selalu menjadi penyemangat dan pendengar setia

keluh kesah penulis.

10. Sahabat-sahabat tercinta, Yola, Putri, Asih, Ani dan Wardhani yang selalu

membantu dan menemani penulis dalam suka maupun duka.

11. Willma, Lita, Irmawati, Pipin, Muthia, Eka, Aulia, Yulia, Rini, Rina, Aura,

Luthfi, Moni, Siti, Friska, Agnes, Zola, Inda, Tia, Firman, Fatur, Dea, Erida,

Lutfi, Sari, Jhelin, Ajeng, Yunda Hizkia, Yunda Fara, Yunda Andan, dan

Yunda Novi, yang selalu membantu dan memberi nasihat kepada penulis.

12. Teman-teman Jurusan Matematika Angkatan 2015.

Akhir kata, semoga Allah senantiasa melimpahkan karunia-Nya dan membalas

kebaikan pada pihak-pihak yang membantu penulis dalam penyusunan skripsi ini.

Bandar Lampung, 17 Desember 2018Penulis

Farida

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR GAMBAR

DAFTAR TABEL

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah ....................................................... 11.2 Tujuan Penelitian ........................................................................ 31.3 Manfaat Penelitian ...................................................................... 3

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Pemodelan Matematika ............................................................... 42.2 Model Epidemi SIR..................................................................... 62.3 Persamaan Diferensial................................................................. 72.4 Persamaan Diferensial Biasa....................................................... 72.5 Persamaan Diferensial Biasa Linier ............................................ 82.6 Persamaan Diferensia lBiasa Nonlinier ...................................... 82.7 Sistem Persamaan Diferensial..................................................... 92.8 Titik Kesetimbangan ................................................................... 92.9 Analisis Kestabilan Titik Kesetimbangan ................................... 112.10 Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz ............................................. 132.11 Metode Numerik ......................................................................... 142.12 Bilangan Reproduksi Dasar......................................................... 15

III. METODOOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tepat Penelitian ........................................................163.2 Metode Penelitian........................................................................16

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Campak .......................................................................................174.2 Asumsi-asumsi Model Mateatika SIR pada Penyebaran

Penyakit Campak dengan Pengaruh Vaksinasi ..........................18

4.3 Model Matematika Penyebaran Penyakit Campak denganPengaru Vaksinasi .......................................................................19

4.4 Titik Kesetimbangan dari Model Matematika PenyebaranPenyakit Campak dengan Pengaruh Vaknasi.............................. 22

4.5 Penentuan Bilangan Reproduksi Dasar ( ) .............................. 254.6 Analisis Kestabilan Titik Kesetimbangan dari Model

Matematika Penyebaran Penyakit Campak dengan PengaruhVaksinasi ..................................................................................... 27

4.7 Simulasi Numerik........................................................................ 34

V. KESIMPULAN

5.1 Kesimpulan ................................................................................. 415.2 Saran............................................................................................ 42

DAFTAR PUSTAKA

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 4.1 Skema kompartemen populasi model SIR dengah PengaruhVaksinasi.................................................................................. 20

Gambar 4.2 Simulasi titik kesetimbangan bebas penyakit < 1.............. 36Gambar 4.3 Simulasi titik kesetimbangan bebas penyakit > 1.............. 37Gambar 4.4 Simulasi titik kesetimbangan endemik < 1 ........................ 38Gambar 4.5 Simulasi titik kesetimbangan endemik > 1 ........................ 39

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 41. Nilai Simulasi Parameter ............................................................. 35

1

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah

Kondisi umum kesehatan dipengaruhi oleh berbagai faktor yaitu lingkungan,

perilaku, dan pelayanan kesehatan. Dari faktor inilah muncul masalah kesehatan,

yaitu penyakit. Salah satunya ialah campak. Campak adalah infeksi virus yang

ditandai dengan munculnya ruam yaitu bintik-bintik merah di seluruh tubuh dan

sifatnya sangat menular. Campak merupakan penyakit menular yang sering

menyerang anak-anak. Tapi pada dasarnya semua orang bisa terinfeksi virus ini,

terutama yang belum pernah terkena campak atau yang belum mendapat vaksinasi

campak. Gejala campak mulai muncul sekitar satu hingga dua minggu setelah

virus masuk ke dalam tubuh, ditandai dengan gejala seperti demam, mata merah,

batuk flu, nyeri tenggorokan dan timbul bercak putih pada mulut dan tenggorokan

sebelum akhirnya timbul ruam pada tubuh.

Bagi penderita campak, virus campak ada di dalam percikan cairan yang

dikeluarkan saat mereka bersin dan batuk. Virus campak bisa bertahan di

permukaan selama beberapa jam dan bisa bertahan menempel pada benda-benda

lain. Virus campak akan menyebar, saat menghirup percikan cairan ini atau

menyentuh benda yang sudah terkontaminasi virus ini siapapun dapat tertular.

2

Seiring berkembangnya ilmu pengetahuan khususnya di bidang matematika turut

memberikan peranan dalam memodelkan dan menganalisis suatu permasalahan.

Dengan menggunakan model matematika dapat menghasilkan suatu formulasi

masalah yang dihadapi. Model matematika adalah suatu usaha dalam

menguraikan beberapa bagian yang berhubungan dengan dunia nyata ke dalam

bentuk matematika. Penyebaran penyakit campak yang terjadi pada suatu populasi

dapat dimodelkan ke dalam bentuk matematis. Model matematika yang sering

digunakan untuk menganalisa penyebaran suatu penyakit adalah model SIR

(Susceptible Infected Recovered). Model epidemik membagi populasi menjadi

populasi Susceptible (individu yang rentan terinfeksi penyakit), populasi infected

(individu yang terinfeksi penyakit), dan populasi recovered (individu yang

sembuh dari penyakit).

Penelitian ini menggunakan metode dengan mengkaji secara deskriptif melalui

studi literatur untuk mempelajari hal-hal yang berkaitan model SIR. Vaksinasi

merupakan pemberian vaksin ke dalam tubuh seseorang untuk memberikan

kekebalan terhadap penyakit tersebut. Model yang akan terbentuk merupakan

suatu persamaan diferensial. Persamaan tersebut akan digunakan untuk mencari

titik kesetimbangan dan analisis kestabilan pada model SIR pada penyebaran

penyakit campak dengan pengaruh vaksinasi serta mengetahui simulasi numerik

dengan menggunakan program Matlab R2013b karena dapat menyelesaikan

masalah nonlinier dan menghasilkan pendekatan yang mendekati solusi

sebenarnya.

3

1.2 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini untuk mendapakan pemodelan dan menganalisis

kestabilannya serta simulasi numerik pada penyebaran penyakit campak dengan

pengaruh vaksinasi.

1.3 Manfaat Penelitian

Manfaat yang diperoleh dari penelitian ini adalah untuk mengetahui model

matematika dan analisis kestabilannya serta simulasi numerik penyebaran

penyakit campak dengan pengaruh vaksinasi dan menambah pengetahuan tentang

pemodelan penyebaran penyakit campak.

4

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Pemodelan Matematika

Model adalah suatu konsep atau objek yang digunakan untuk menggambarkan

suatu kenyataan untuk mendapatkan suatu bentuk yang dipahami. Model

matematika adalah suatu bentuk yang bagian-bagiannya mendapatkan konsep

matematika, seperti variabel, konstanta, fungsi, persamaan, pertidaksamaan, dan

sebagainya (Meyer,1985).

Pemodelan matematika merupakan proses dalam menurunkan model matematika

dari suatu fenomena berdasarkan asumsi-asumsi yang digunakan. Proses ini

merupakan langkah awal yang tak terpisahkan dalam menerapkan matematika

untuk mempelajari fenomena-fenomena alam, ekonomi, sosial maupun fenomena-

fenomena lainnya. Secara umum dalam menerapkan matematika untuk

mempelajari suatu fenomena meliputi 3 langkah, yaitu:

1. Pemodelan matematika suatu fenomena, perumusan masalah. Langkah ini

untuk menerjemahkan data maupun informasi yang diperoleh tentang suatu

fenomena dari masalah nyata menjadi model matematika. Data maupun

informasi tentang suatu fenomena dapat diperoleh melalui eksperimen di

laboratorium, pengamatan di industri ataupun dalam kehidupan sehari-hari.

5

Dalam model matematika, suatu fenomena dapat dipelajari secara lebih

terukur (kuantitatif) dalam bentuk (sistem) persamaan/pertidaksamaan

matematika maupun ekspresi matematika. Namun demikian karena asumsi-

asumsi yang digunakan dalam prosesnya, model matematika juga mempunyai

kelemahan-kelemahan dibandingkan dengan fenomena sebenarnya, yaitu

keterbatasan dalam generalisasi interpretasinya.

2. Pencarian solusi/kesimpulan matematika. Setelah model matematika

diperoleh, solusi atas model tersebut dicari dengan menggunakan metode-

metode matematika yang sesuai. Ada kalanya belum terdapat metode

matematika pencarian solusi yang sesuai dengan permasalahan yang dihadapi.

Hal ini sering menjadi motivasi para ahli matematika terapan untuk

menciptakan metode matematika baru. Solusi matematika ini sering

dinyatakan dalam fungsi-fungsi matematika, angka-angka maupun grafik.

3. Interpretasi solusi/kesimpulan matematika pada fenomena yang dipelajari.

Dalam matematika terapan, solusi yang berupa fungsi, angka-angka maupun

grafik tidak berarti banyak apabila solusi tersebut tidak menjelaskan

permasalahan awalnya. Oleh karena itu, interpretasi solusi penting untuk

mengerti arti dan implikasi solusi tersebut terhadap fenomena awal dari mana

masalahnya berasal (Cahyono, 2013).

6

2.2 Model Epidemi SIR

Model matematis epidemiologi SIR (Susceptible, Infected, Recovered) pertama

kali diperkenalkan oleh Kermack dan Mc Kendrick pada tahun 1927. Model

tersebut terdiri dari tiga kategori yaitu: susceptible (S) atau individu yang rentan

terserang penyakit, infected (I) atau individu yang terinfeksi dan dapat

menyebarkan penyakit tersebut kepada individu yang rentan dan recovered (R)

atau individu yang diasumsikan telah sembuh atau kekebalan tubuhnya telah

kembali normal sehingga kebal terhadap penyakit (Murray, 2002).

Model epidemi SIR diasumsikan sebagai berikut.

= −= −= ⎭⎪⎬⎪⎫ (2.1)

Dimana : = jumlah individu yang rentan dalam populasi pada waktu t

= jumlah individu yang terinfeksi dalam populasi pada waktu t

= jumlah individu yang sembuh dalam populasi pada waktu t

= laju kesembuhan dari infected menjadi recovered

= laju penularan penyakit dari susceptible menjadi infected

Model epidemiologi pada umumnya berfokus pada dinamika dari transisi atau

perpindahan karakter antara individu dengan individu, populasi dengan populasi,

komunitas dengan komunitas, daerah dengan daerah, bahkan negara dengan

negara (Fred and Carlos, 2000).

7

2.3 Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan diantara derivatif-derivatif yang di

spesifikasikan pada suatu fungsi yang tidak diketahui nilainya, dan diketahui

jumlah serta fungsinya (Birkhoff., dkk, 1978).

Contoh:

1. + = 02. + =3. + + = 0

2.4 Persamaan Diferensial Biasa

Suatu persamaan diferensial yang memuat turunan biasa dinamakan persamaan

diferensial biasa (Munzir, 2009).

Contoh:

1.( ) = , ( ), ( )

2. = + sin( )3. + 5 = 64. = (1 − tan ) + cos

8

2.5 Persamaan Diferensial Biasa Linier

Suatu persamaan diferensial biasa , , , … , ( ) = 0 dikatakan linier jika F

merupakan suatu fungsi linier dari peubah , , … , . Secara umum persamaan

diferensial biasa linier ditulis sebagai ( ) ( ) + ( ) ( ) +…+ ( ) =( ), jadi linear disini adalah linear terhadap variabel tak bebas dan derivatif-

derivatifnya (Munzir, 2009).

Contoh :

1. + + 2 = 02. +2 + 4 − 6 = 23. + 4 − = cos2.6 Persamaan Diferensial Biasa Nonlinier

Suatu persamaan diferensial yang tidak memiliki bentuk ( ) ( ) +( ) ( ) + ………+ ( ) = ( ) dinamakan persamaan non linier.

Sebuah contoh persamaan diferensial non linier adalah

+ cos = 0yang merupakan persamaan diferensial non linier, karena F tak berbentuk

polinom dalam , , (Munzir, 2009).

9

2.7 Sistem Persamaan Diferensial

Sistem persamaan diferensial adalah suatu sistem yang memuat n buah persamaan

diferensial, dengan n buah fungsi yang tidak diketahui, dimana n merupakan

bilangan bulat positif lebih besar sama dengan dua. Antara persamaan diferensial

yang satu dengan yang lain saling berkaitan dan konsisten. Bentuk umum dari

suatu sistem n persamaan orde pertama mempunyai bentuk sebagai berikut:

= ( , , , … , )= ( , , , … , )⋮= ( , , , … , ) ⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫ (2.2)

Dengan , , … , adalah variabel bebas dan t adalah variabel terikat, sehingga= ( ), = ( ), … , = ( ), dimana merupakan sebuah derivatif

fungsi terhadap t, dan adalah fungsi yang tergantung pada variabel, , … , dan t (Neuhauser, 2004).

2.8 Titik Kesetimbangan

Titik kesetimbangan adalah sebuah keadaan dari suatu sistem yang tidak berubah

terhadap waktu. Jika sistem dinamika diuraikan dalam sebuah persamaan

differensial, maka titik kesetimbangan dapat diperoleh dengan mengambil turunan

pertama yang sama dengan nol.

10

Definisi 2.8.1 (Haberman, 1997) Titik ̅ ∈ disebut titik kesetimbangan

(equilibrium point) dari ̇ = ( ) jika memenuhi ( ̅) = 0, dimana

( ) = ( , , … , )( , , … , )⋮( , , … , )Misalkan diberikan suatu sistem persamaan differensial yang terbentuk

= ( , )= ( , ) (2.3)Sebuah titik ( , ) dapat dikatakan sebagai titik kesetimbangan dari sistem (2.3),

apabila dipenuhi syarat ( , ) = 0 dan ( , ) = 0. Karena turunan suatu

konstanta sama dengan nol, maka sepasang fungsi konstan ( ) = dan( ) = merupakan penyelesaian keseimbangan dari sistem (2.3) (Campbell

and Haberman, 2008).

Teorema 1 (Olsder et al., 2011) diberikan teorema mengenai kestabilan suatu

sistem nonlinier yang ditinjau dari nilai eigen matriks Jacobian.

1. Apabila semua bagian real nilai eigen matriks Jacobian dari suatu sistem

persamaan diferensial bernilai negatif, maka titik kesetimbangan dari sistem

tersebut stabil.

2. Jika terdapat satu nilai eigen matriks Jacobian dari sistem persamaan

diferensial bernilai positif, maka titik kesetimbangan dari sistem tersebut

tidak stabil.

11

2.9 Analisis Kestabilan Titik Kesetimbangan

Kestabilan titik kesetimbangan merupakan kestabilan dari sistem linier atau

kestabilan dari linierisasi sistem tak linier. Kestabilan pada titik kesetimbangan

ditentukan oleh tanda bagian real dari matriks Jacobian yang dihitung di sekitar

titik kesetimbangan.

Definisi 2. Jika J adalah matriks yang berukuran × maka vektor tak nol

dinamakan vektor karakteristik dari J jika memenuhi:= (2.4)Untuk suatu skalar yang memenuhi disebut nilai karakteristik matriks dan

dikatakan vektor karakteristik yang bersesuaian dengan .

Matriks Jacobi dinyatakan sebagai berikut :

= ( ̅) =⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡ ⋯…⋮ ⋮ ⋱ ⋮⋯ ⎦⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎤

Untuk mencari nilai karakteristik matriks yang berukuran × , maka dapat

dituliskan kembali persamaan = atau ekuivalen dengan ( − ) = 0,mempunyai penyelesaian tak nol jika dan hanya jika | − | = 0. Jika matriks= dan = 1 00 1 , maka dapat ditulis − − atau −( + ) + ( − ) = 0 (Derouich dan Boutayeb, 2008).

12

Tinjau sistem persamaan differensial non liear orde n, sebagai berikut= + ( , , … , ) (2.5)Dimana = 1, 2, … ,Langkah awal penyelesaian persamaan (2.5) yakni dengan mencari titik

kesetimbangan. Misalkan titik kesetimbangan yang diperoleh adalah( ̅ , ̅ , … , ̅ ), maka langkah selanjutnya mencari matriks Jacobinya.

Misalkan ( , , … , ) = + ( , , … , ), maka matriks Jacobinya

adalah

= ⎝⎜⎛ ⋯⋮ ⋱ ⋮⋯ ⎠⎟

⎞Selanjutnya subtitusi titik kesetimbangan pada matriks berikut,̇ = ( ̅ , ̅ ,…, ̅ )

(Anton, 1995).

Penentuan kestabilan titik kesetimbangan didapat dengan melihat nilai-nilai

eigennya, yaitu dengan = 1, 2, . . . , yang diperoleh dari:( − ) = 0Secara umum kestabilan suatu titik kesetimbangan mempunyai 2 prilaku, yaitu:

1. Stabil, jika

a. ( ) < 0 untuk setiap , atau

b. Terdapat ( ) = 0 untuk sebarang , dan ( ) < 0 untuk setiap≠ .

2. Tidak stabil, jika terdapat paling sedikit satu sehingga ( ) > 0 (Tu,

1994).

13

2.10 Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz

Kriteria kestabilan Routh-Hurwitz merupakan suatu kriteria yang digunakan untuk

memperlihatkan koefisien dari persamaan karakteristik tanpa menghitung akar-

akarnya secara langsung. Jika suatu persamaan polinomial adalah persamaan

karakteristik, maka metode ini dapat digunakan untuk menentukan kestabilan dari

suatu sistem. Adapun prosedur dalam kriteria Routh-Hurwitz adalah :

1. Persamaan polinom orde ke- ditulis dalam bentuk − ++ … + + = 0,2. Jika terdapat koefisien bernilai 0 atau negatif, maka terdapat satu akar atau

akar-akar imajiner atau memiliki bagian real positif yang berarti sistem

tersebut tidak stabil.

3. Jika seluruh koefisien bernilai positif, maka dapat dibentuk suatu matriks

yang sering disebut array Routh sebagai berikut

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡⋮ ⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤ =⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡⋮ℎ ⋮00

⋯⋯⋯⋯⋱……0⋮00 ⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤

(2.6)

Koefisien , ,… , dan , ,… , dapat ditentukan dengan formula-

formula berikut.= − ,

= − ,

= − ,

14

= − ,

= − ,

= − .

4. Jumlah akar yang tidak stabil dapat terlihat pada banyaknya perubahan tanda

dikolom pertama matriks (2.6).

5. Syarat perlu agar sistem dikatakan stabil adalah apabila koefisien dari

persamaan karakteristik bernilai positif, sedangkan syarat cukupnya adalah

apabila suku dari kolom pertama matriks (2.6) bernilai positif (Derouich dan

Boutayeb, 2008).

2.11 Metode Numerik

Metode numerik disebut juga sebagai alternatif dari metode analitik. Disebut

demikian karena sering kali persoalan matematika sulit diselesaikan atau bahkan

tidak dapat diselesaikan secara analitik. Solusi yang dihasilkan dari penyebaran

secara numerik merupakan solusi hampiran atau pendekatan yang mendekati

solusi eksak atau solusi sebenarnya. Hasil penyelesaian yang didapatkan dari

metode numerik dan metode analitik memiliki selisih, dimana selisih tersebut

dinamakan kesalahan (error) (Triatmodjo, 2002).

15

2.12 Bilangan Reproduksi Dasar

Bilangan reproduksi dasar yang dinotasikan dengan merupakan parameter

yang dapat digunakan untuk melihat seberapa besar potensi penyebaran penyakit

dalam suatu populasi. Bilangan reproduksi dasar mempunyai nilai batas 1 (satu)

sehingga jika nilai kurang dari satu ( < 1), maka satu individu yang

terinfeksi akan menginfeksi kurang dari satu individu rentan sehingga penyakit

kemungkinan akan hilang dari populasi. Sebaliknya, jika lebih dari satu( > 1), maka individu yang terinfeksi penyakit akan menginfeksi lebih dari

satu individu yang rentan sehingga individu yang terinfeksi di dalam populasi

menyebar.

Penentuan bilangan reproduksi dasar menggunakan metode Next Generation

Matrix. Dalam epidemiologi, Next Generation Matrix adalah metode yang

digunakan untuk mendapatkan angka reproduksi dasar, untuk model

kompartemen penyebaran penyakit. Matriks ini merupakan matriks yang

dikontruksi dari sub-sub populasi yang menyebabkan infeksi. Selanjutnya disusun

matriks dan dengan merupakan matriks dari laju individu baru terinfeksi

penyakit dan merupakan matriks laju perkembangan, kematian, atau

kesembuhan. Kemudian perhitungan bilangan reproduksi dasar ( ) berdasarkan

linearisasi dan di titik kesetimbangan bebas penyakit. Selanjutnya

didefinisikan F dan V adalah hasil masing-masing linearisasi dari dan .Sehingga diperoleh Next Generation Matrix yaitu = . Bilangan

reproduksi dasar diperoleh dari nilai eigen terbesar dari Next Generation Matrix

(Derouich dan Boutayeb, 2008).

16

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun ajaran 2018/2019 di Jurusan

Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas

Lampung.

3.2 Metode Penelitian

Adapun tahapan-tahapan dalam penelitian ini adalah:

1. Menentukan parameter laju perubahan individu pada subpopulasi SIR.

2. Mencari model matematika SIR untuk penyebaran penyakit campak dengan

pengaruh vaksinasi.

3. Menentukan titik kesetimbangan dari model penyebaran penyakit campak

dengan pengaruh vaksinasi.

4. Menganalisis kestabilan dari model penyebaran penyakit campak dengan

pengaruh vaksinasi.

5. Melakukan simulasi numerik dengan menggunakan Matlab R2013b untuk

melihat dinamika penyebaran penyakit campak dengan pengaruh vaksinasi.

6. Menginterpretasikan hasil dari solusi dinamik tersebut.

41

V. KESIMPULAN

5.1 Kesimpulan

Dari hasil dan pembahasan penelitian yang telah dilakukan maka dapat

disimpulkan bahwa :

1. Model matematika SIR pada penyebaran penyakit campak dengan pengaruh

vaksinasi yaitu :

= − − −= − − −= − −Karena populasi (susceptible) dan (infected) akan menuju (recovered)

dan jumlah populasi tidak konstan karena perbedaan antara jumlah kelahiran

dan kematian, sehingga pada populasi (recovered) dapat diganti dengan

jumlah populasi ( ), dengan demikian diperoleh sistem persamaan sebagai

berikut.

= − − −= − − −= − −

42

2. Diperoleh dua titik kestabilan dari model matematika pada penyebaran

penyakit campak dengan pengaruh vaksinasi yaitu :

a. Titik kestabilan bebas penyakit yaitu ∗( ∗, ∗, ∗) = , 0, dengan

menggunakan kriteria Routh-Hurwitz titik kesetimbangan stabil.

b. Titik kestabilan endemik penyakit yaitu

∗( ∗, ∗, ∗) = , ( − 1) , ( )( )dengan

menggunakan kriteria Routh-Hurwitz titik kesetimbangan stabil.

5.2 Saran

Penulis menyarankan untuk penelitian selanjutnya dengan menambah asumsi

yang belum disebutkan pada penelitian ini, contohnya faktor imigran dan emigran.

1

DAFTAR PUSTAKA

A’maludin, H., Faruk, A., dan Cahyono, E. S. Analisis Kestabilan ModelEpidemik SIR untuk Penyakit Tuberkolosis, hlm. 207-213. ProsidingSEMIRATA Bidang MIPA 2016; BKS-PTN Barat, Palembang.

Anton H., 1995. Aljabar Linear Elementer Edisi ke 5, Terjemahan Pantur Silabandan I nyoman Susila. Erlangga, Jakarta.

Awaluddin, M., Affandi, P., dan Faisal. 2018. Model Epidemiologi SIR denganVaksinasi dan Pengobatan. Jurnal Matriks. 1:61-70.

Birkhoff, G., dkk. 1978. Ordinary Differential Equations. John Wiley & Sons,New York.

Cahyono. 2013. Pemodelan Matematika. Graha Ilmu, Bandung.

Campbell, S, L., and Haberman, R. 2008. Introduction to Differential Equationswith Dynamical System. Princeton University Press, New Jersey.

Derouich, M. and Boutayeb, A. 2008. An Avian Mathematical Model. AppliedMathematical Science. 36(2): 1749-1760.

Fred B., and Carlos Chavez C., 2000. Mathematical Models in Population Biologyand Epidemiology. Spinger-Vancouver, Canada.

Haberman R. 1997. Mathematical Models An Introduction to AppliedMathematics. Prentice-Hall, Inc.,1987.

Meyer, W.J. 1985. Concep of Mathematical Modeling. Mgraw-Hill BookCompany, New York.

2

Munzir, M. 2009. Persamaan Diferensial. Graha Ilmu, Yogyakarta.

Murray, J. D. 2002. Mathematical Biologi An Introduction. Third edition.Springer-Verlag, New York Berlin Heidelberg.

Neuhauser, C. 2004. Calculus for Biology and Medicine. Pearson Education,New Jersey.

Olsder, G. J., et al. 2011. Mathematical System Theory. 4 Edition. VVSD,Netherland.

Triatmodjo. 2002. Metode Numerik. Beta Offset, Yogyakarta.

Tu, PNV., 1994. Dynamical System An Introduction with Applications inEconomics and Biology. Springer Verlag, New York.