I

Part 1 คมอคณตศาสตร ม.3 เลม 1

บทท 1 พนทผวและปรมาตร .......................................................................3รปเรขาคณตสามมต .................................................................................................................................... 3

ส�ารวจปรซม ................................................................................................................................................. 5

ส�ารวจทรงกระบอก ...................................................................................................................................... 8

ส�ารวจพระมด............................................................................................................................................. 11

ส�ารวจกรวย ............................................................................................................................................... 13

ส�ารวจวงกลม ............................................................................................................................................. 15

ปรมาตรของปรซมและทรงกระบอก .......................................................................................................... 15

แบบฝกหด 1.2 ก ....................................................................................................................................... 16

ตวอยางการหาขนาดของตเยน .................................................................................................................. 28

ตวอยางการหาขนาดของอาคารลกเตา ...................................................................................................... 28

แบบฝกหด 1.2 ข ....................................................................................................................................... 29

เรองนารเกยวกบปรมาตรของทรงกระบอก (เทากนหรอไม) .................................................................... 38

ความสมพนธระหวางสเหลยมมมฉากกบปรมาตรของทรงกระบอก (มขนาดเทาไร) ................................39

ตวอยางการหาปรมาตรของทรงกระบอก (นาคด) .................................................................................... 41

ปรมาตรของพระมดและกรวย ................................................................................................................... 42

แบบฝกหด 1.3 ก ....................................................................................................................................... 42

ตวอยางการหาปรมาตรหนงในเจดของสงมหศจรรยของโลกยคโบราณ ....................................................49

ตวอยางการหาปรมาตรของพระมด (พระมดปรศนา) .............................................................................. 50

ตวอยางประยกตการหาปรมาตร (ชวยคดหนอย) ..................................................................................... 51

ตวอยางประยกตการหาปรมาตรของกรวย (ท�าไดหลายแบบ) ................................................................. 53

แบบฝกหด 1.3 ข ....................................................................................................................................... 54

ตวอยางการหาปรมาตรควบอกตะฮรอน (คดไดไหม) .............................................................................. 60

ปรมาตรของทรงกลม ................................................................................................................................. 61

แบบฝกหด 1.4 .......................................................................................................................................... 61

ความสมพนธระหวางสเหลยมมมฉากกบทรงกลม (คดไดหรอไม) ........................................................... 67

พนทผวของปรซมและทรงกระบอก ........................................................................................................... 68

แบบฝกหด 1.5 .......................................................................................................................................... 69

ตวอยางประยกตการหาปรมาตรทรงกลม (รลกเรองโลก) ........................................................................ 83

บทท 2 กราฟ ........................................................................................... 87กราฟแสดงความสมพนธระหวางปรมาณทมความสมพนธเชงเสน ............................................................ 87

แบบฝกหด 2.1 .......................................................................................................................................... 88

สารบญ

II

สรปห

ลกคด

พชต

โจทย

คณ

ตศาส

ตร ม

.3 ม

นใจเตม

100

ตวอยางเพมความเขาใจความสมพนธเชงเสน (บอกไดหรอไม) ................................................................99

กราฟของสมการเชงเสนสองตวแปร ........................................................................................................100

แบบฝกหด 2.2 ก .....................................................................................................................................102

ตวอยางการใชงานกราฟของ y = -CB, B ≠ 0 ..........................................................................................107

ตวอยางการใชงานกราฟของ y = -CA, A ≠ 0 ..........................................................................................111

ตวอยางการเขยนกราฟ (ลองเขยนด) .....................................................................................................114

ความสมพนธระหวางสมการกบกราฟ (เกยวของกนอยางไร) .................................................................116

ความสมพนธระหวางสมการกบกราฟ (ตดกนทจดใด) ...........................................................................117

แบบฝกหด 2.2 ข .....................................................................................................................................118

แบบฝกหด 2.3 ........................................................................................................................................127

ตวอยางการใชงานกราฟ (บอลกระทบพน) .............................................................................................135

ตวอยางประยกตการใชงานกราฟ (คของใคร) ........................................................................................136

บทท 3 ระบบสมการเชงเสน ...................................................................139ระบบสมการเชงเสนสองตวแปร ...............................................................................................................139

แบบฝกหด 3.1 ........................................................................................................................................141

แบบฝกหด 3.2 ........................................................................................................................................149

แบบฝกหด 3.3 ........................................................................................................................................165

ตวอยางประยกตใชการแกสมการ (หาไดอยางไร) ..................................................................................193

บทท 4 ความคลาย ................................................................................195รปเรขาคณตทคลายกน ............................................................................................................................195

ตวอยางความคลาย (รปคใดคลายกน) ....................................................................................................196

สมบตของความคลายกน .........................................................................................................................197

การส�ารวจรปหลายเหลยม .......................................................................................................................197

แบบฝกหด 4.1 ........................................................................................................................................198

รปสามเหลยมทคลายกน ..........................................................................................................................202

ตวอยางการใชงานความคลาย (ลองหาด) ...............................................................................................203

ตวอยางการคดเกยวกบความคลาย (คดไดไหม) ....................................................................................204

แบบฝกหด 4.2 ก .....................................................................................................................................205

แบบฝกหด 4.2 ข .....................................................................................................................................218

แบบฝกหด 4.3 ........................................................................................................................................222

Part 2 คมอคณตศาสตร ม.3 เลม 2

บทท 1 อสมการ .....................................................................................237อสมการเชงเสนตวแปรเดยว ....................................................................................................................237

แบบฝกหด 1.1 ........................................................................................................................................238

การแกอสมการเชงเสนตวแปรเดยว .........................................................................................................243

III

การแกอสมการ (นาคด) ..........................................................................................................................244

แบบฝกหด 1.2 ........................................................................................................................................245

ตวอยางการแกอสมการ (บอกหนอยซ) ..................................................................................................257

โจทยปญหาเกยวกบอสมการเชงเสนตวแปรเดยว ....................................................................................259

แบบฝกหด 1.3 ........................................................................................................................................259

ตวอยางโจทยปญหาเกยวกบอสมการ (คดหนอย) ..................................................................................266

ตวอยางการแกอสมการองรปสามเหลยม ................................................................................................268

บทท 2 ความนาจะเปน ...........................................................................271ความนาจะเปน .........................................................................................................................................271

ตวอยางความนาจะเปน (คดอยางไร) ......................................................................................................271

ตวอยางความนาจะเปน (ไดเปรยบหรอไม) .............................................................................................272

การทดลองสมและเหตการณ ...................................................................................................................273

ตวอยางการทดลองสม (เปนหรอไม) ......................................................................................................274

แบบฝกหด 2.2 ........................................................................................................................................274

ความนาจะเปนของเหตการณ ..................................................................................................................279

แบบฝกหด 2.3 ........................................................................................................................................280

ตวอยางความนาจะเปน (คาดการณอยางไร) ..........................................................................................290

ตวอยางความนาจะเปน (ชวยกนรณรงค) ...............................................................................................292

ความนาจะเปนกบการตดสนใจ ................................................................................................................292

ตวอยางการค�านวณคาคาดหมาย (หวยทอง) .........................................................................................293

ตวอยางการหาความนาจะเปนของเหตการณ (ไดหรอไม) ......................................................................294

ตวอยางการค�านวณความนาจะเปนของเหตการณ (สลากกนแบงรฐบาล) ..............................................298

ตวอยางประยกตใชความนาจะเปนของเหตการณ (ลลาวดลกผสม) .......................................................300

บทท 3 สถต ...........................................................................................303ตวอยางการด�าเนนการทางสถต (มขนตอนอยางไร) ...............................................................................303

ขอมลและการน�าเสนอขอมล ....................................................................................................................304

ตารางแจกแจงความถ และตารางแจกแจงความถของขอมลทเปนอนตรภาคชน ........................304

ฮสโทแกรม .................................................................................................................................306

ตวอยางการบอกประเภทของขอมล (บอกไดไหม) .................................................................................308

ตวอยางการน�าเสนอขอมลในรปตาราง (ตารางบอกอะไร) ......................................................................308

ตวอยางการน�าเสนอขอมลในรปแผนภมแทง (หมวกกนนอก) ................................................................310

ตวอยางการน�าเสนอขอมลดวยแผนภมรปวงกลม (ตอบไดไหม) ............................................................311

ตวอยางการน�าเสนอขอมลในรปกราฟเสน (ขาวหอมมะล) .....................................................................312

กราฟเสนแสดงปรมาณการสงออกขาวหอมมะลไทยเปนรายเดอนใน พ.ศ. 2544-2547

(มหนวยเปนตน) ........................................................................................................................312

ตวอยางการน�าเสนอขอมลในรปตาราง (วนสงกรานต) ...........................................................................313

ตวอยางการน�าเสนอขอมลในรปตารางแจกแจงความถ (แรงงานขนต�า) .................................................317

ตวอยางการน�าเสนอขอมลในรปตารางแจกแจงความถ (เอดส) ..............................................................319

IV

สรปห

ลกคด

พชต

โจทย

คณ

ตศาส

ตร ม

.3 ม

นใจเตม

100

แบบฝกหด 3.1 ........................................................................................................................................321

ตวอยางการเลอกการน�าเสนอขอมล (แบบไหนด) ..................................................................................327

คากลางของขอมล ....................................................................................................................................328

แบบฝกหด 3.2 ก .....................................................................................................................................331

แบบฝกหด 3.2 ข .....................................................................................................................................335

ตวอยางการใชคากลางขอมล (ตดสนอยางไร) ........................................................................................345

การกระจายของขอมล ..............................................................................................................................346

ตวอยางการหาสวนเบยงเบนมาตรฐาน (หาไดเชนเดยวกน) ...................................................................348

แบบฝกหด (การกระจายขอมล) ..............................................................................................................349

คะแนนเรองนารเกยวกบสวนเบยงเบนมาตรฐาน (คดแลวสนก) .............................................................357

เสนโคงปกต .............................................................................................................................................357

แบบฝกหด (เสนโคงปกต) .......................................................................................................................359

ความคลาดเคลอนทางสถต ......................................................................................................................361

ตวอยางเกยวกบความคลาดเคลอนทางสถต (เชอถอไดหรอไม) .............................................................361

ตวอยางความคลาดเคลอนทางสถต (ภาพลวงตา) ..................................................................................362

ตวอยางความคลาดเคลอนทางสถต (ประชากรของประเทศไทย) ...........................................................363

บทท 4 ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร .....................................367กจกรรมพฒนาทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร ..........................................................................368

กจกรรมชดท 1-1 (มอยเทาไร) ................................................................................................368

กจกรรมชดท 1-2 (มอยกจ�านวน) ............................................................................................372

กจกรรมชดท 2-1 (มพนทเปนเทาไร) ......................................................................................374

กจกรรมชดท 2-2 (ไดเทาไร) ...................................................................................................378

กจกรรมชดท 3-1 (นบอยางไร) ...............................................................................................379

กจกรรมชดท 3-2 (นบไดเทาไร) ..............................................................................................383

กจกรรมชดท 4-1 (กตวกนแน) ................................................................................................387

กจกรรมชดท 4-2 (คดตามจด) ................................................................................................388

กจกรรมชดท 4-3 (คดไดหลายวธ) ..........................................................................................391

กจกรรมชดท 5 (ลดขนตอน) ....................................................................................................395

กจกรรมชดท 6-1 (พนทใตกราฟ)............................................................................................396

กจกรรมชดท 6-2 (ใจเยนๆ คอยๆ คด) ...................................................................................401

ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตรกบตรโกณมต.............................................................................408

กจกรรมชดท 7-1 (ลองท�าด) ...................................................................................................408

กจกรรมชดท 7-2 (บอกไดไหม) ..............................................................................................411

กจกรรมชดท 7-3 (ลองหาด) ...................................................................................................413

กจกรรมชดท 7-4 (ลองคดด) ...................................................................................................415

กจกรรมชดท 7-5 (คด) ............................................................................................................418

กจกรรมชดท 7-6 (หอเอนเมองป�ซา (Tower of Pisa)) ...........................................................419

คมอคณตศาสตร ม.3 เลม 1

PART

1

พนทผวและปรมาตร

บทท 1

รปเรขำคณตสำมมตรปเรขาคณตสามมตในหวขอน มดงน

1. ปรซมคอ รปเรขาคณตสามมตทมฐาน 2 ดานเปนรปเหลยมทเทากนทกประการ โดยฐานทง 2 อยบนระนาบ

เดยวกน และมดานขางแตละดานเปนรปสเหลยมดานขนาน ตวอยางดงรป

2. ทรงกระบอก คอ รปเรขาคณตสามมตทมฐาน 2 ดานเปนรปวงกลม

ทเทากนทกประการ โดยฐานทง 2 อยบนระนาบเดยวกน และเมอ

น�าระนาบทขนานกบฐานมาตด กจะไดหนาตดเปนรปวงกลมท

เทากนทกประการกบฐาน ตวอยางดงรป

4

สรปห

ลกคด

พชต

โจทย

คณ

ตศาส

ตร ม

.3 ม

นใจเตม

100

3. พระมด คอ รปเรขาคณตสามมตทมฐานเปนรปเหลยมใดๆ มยอดแหลมทไมอยบนระนาบเดยวกนกบฐาน และหนา

ทกหนาเปนรปสามเหลยมทมจดยอดรวมกนทยอดแหลมนน ตวอยางดงรป

4. กรวยคอ รปเรขาคณตสามมตทมฐานเปนวงกลม มยอดแหลมทไมอยบนระนาบเดยวกนกบฐาน และเสนทตอ

ระหวางจดยอดและจดใดๆ บนขอบของฐานเปนสวนของเสนตรง ตวอยางดงรป

5. ทรงกลม คอ รปเรขาคณตสามมตทมผวโคงเรยบ และจดทกจดบนผวโคงอยหางจากจดคงทจดหนงเปนระยะ

เทากน โดยจดคงท คอ จดศนยกลาง และระยะทเทากน คอ รศมของทรงกลม ตวอยางดงรป

Chapter 01 พนทผวและปรมาตร

5

จากรปทรงกลมจะไดความสมพนธระหวางรศม (r) เสนผานศนยกลาง (ℓ) และเสนรอบวง โดยให π = 227

ดงน

(1) เสนผานศนยกลาง (ℓ) = 2 × ความยาวรศม = 2r

(2) เสนรอบรปของวงกลม = 2πr

ตวอยางเชน วงกลมวงหนง มรศมยาว 7 เซนตเมตร จะมความยาวของเสนรอบวงกลมเทาไร

วธท�ำ เนองจากรศม (r) = 7

เสนรอบรปของวงกลม = 2πr

= 2 × 22

7 × 7

= 44 เซนตเมตร

ดงนน ความยาวของเสนรอบวงกลมนเทากบ 44 เซนตเมตร

ส�ำรวจปรซม1. ใหนกเรยนพจารณารปของปรซมหาเหลยมดานเทามมเทา แลวตอบค�าถามตอไปน

1) ปรซมนมหนาทงหมดกหนา

ตอบ ม 7 หนา ประกอบดวยหนา ABCDE, AGHB, BHIC, CIJD, DJFE, EFGA และ GHIJF

2) รปเหลยมทเปนฐานของปรซมมกรป ไดแกรปใดบาง

ตอบ ม 2 รป ประกอบดวยรป ABCDE และ GHIJF

3) รปเหลยมทเปนดานขางของปรซมมกรป ไดแกรปใดบาง

ตอบ ม 5 รป ประกอบดวยรป AGHB, BHIC, CIJD, DJFE และ EFGA

4) รปเหลยมทเปนดานขางทกรปเทากนทกประการหรอไม

ตอบ เทากนทกประการ เนองจากเปนรปเหลยมของปรซมหาเหลยมดานเทามมเทา

5) สวนสงของปรซมมความยาวเทากบสวนของเสนตรงใด

ตอบ AG, BH, CI, DJ และ EF

6

สรปห

ลกคด

พชต

โจทย

คณ

ตศาส

ตร ม

.3 ม

นใจเตม

100

6) รปใดตอไปนเปนรปคลของปรซมหาเหลยมดานเทามมเทา

ตอบ รป ข เนองจากประกอบดวยรปสเหลยมทเปนดานขางของปรซมเทากนทง 5 หนา และมฐาน

เทากนทง 2 หนา

2. รปคลในแตละขอตอไปนเปนรปคลของปรซมชนดใด

เทคนคกำรพจำรณำ

ก. ลกษณะรปเหลยมของฐานปรซมทง 2 หนา

ข. ลกษณะรปเหลยมดานขาง และจ�านวนหนาของปรซม

1)

ตอบ ปรซมสามเหลยม

2)

ตอบ ปรซมหกเหลยม

3)

ตอบ ปรซมสามเหลยม

4)

ตอบ ปรซมสามเหลยม

Chapter 01 พนทผวและปรมาตร

7

5)

ตอบ ปรซมสเหลยม

6)

ตอบ ปรซมหกเหลยม

3. รปในแตละขอตอไปน ขอใดเปนรปของปรซม

เทคนคกำรพจำรณำ

ปรซมมฐาน 2 หนาเทากน และมรปเหลยมดานขางประกอบกน

1)

ตอบ เปนปรซมสเหลยม

2)

ตอบ ไมเปนปรซม เนองจากฐานทง 2 หนา

ไมเทากน

3)

ตอบ เปนปรซมหลายเหลยม

4)

ตอบ เปนปรซมหลายเหลยม

8

สรปห

ลกคด

พชต

โจทย

คณ

ตศาส

ตร ม

.3 ม

นใจเตม

100

5)

ตอบ ไมเปนปรซม เนองจากฐานทง 2 หนา

ไมเทากน

6)

ตอบ ไมเปนปรซม เนองจากมฐานเพยงหนาเดยว

ตอบ รปทเปนปรซม คอ ขอ 1), ขอ 3) และขอ 4)

4. รปในแตละขอตอไปนเปนรปของปรซม จงระบฐานทง 2 ของปรซม

1)

ตอบ ฐานของปรซม คอ ABCD และ FGHE

2)

ตอบ ฐานของปรซม คอ ABCD และ FGHE

3)

ตอบ ฐานของปรซม คอ ABCD และ FGHE

4)

ตอบ ฐานของปรซม คอ รป AFEDI และรป BGHCJ

ส�ำรวจทรงกระบอก1. ใหนกเรยนน�าวสดทมลกษณะเปนทรงกระบอกฐานเปดท�าดวยกระดาษ เชน แกนของมวนกระดาษทชช มาปฏบต

ตามขนตอนและตอบค�าถามตอไปน

Chapter 01 พนทผวและปรมาตร

9

1) (เปนค�าถามเชงปฏบต)

2) ตดทรงกระบอกตามแนวสวนสงและคลออก จะไดรปคลเปนรปอะไร ใหนกเรยนวาดรปคลนน

ตอบ รปสเหลยมมมฉาก ดงรป

3) วดความกวางและความยาวของรปคลทไดจากขอ 2)

ตอบ ความกวางและความยาวทวดได ขนอยกบขนาดของทรงกระบอกฐานเปด เชน กวาง 10 เซนตเมตร

และยาว 15 เซนตเมตร

4) เปรยบเทยบความสงและความยาวของเสนรอบวงกลมทหาไดในขอ 1) กบความกวางและความยาวทหาไดใน

ขอ 3) พรอมทงระบความยาวของสวนใดบางทเทากน

ตอบ ความสงของทรงกระบอกเทากบความกวางของรปสเหลยมมมฉาก ความยาวของเสนรอบวงกลมทเปน

ฐานของทรงกระบอกเทากบความยาวรปสเหลยมมมฉาก ดงรป

2. รปในขอใดบางเปนรปคลของทรงกระบอก และถาดานทคลออกมาเปนรปสเหลยมจตรสซงมความยาวรอบรปเปน

ℓ หนวย แลวฐานของทรงกระบอกแตละฐานมความยาวของเสนรอบวงเปนเทาใด

1) 2)

4

10

สรปห

ลกคด

พชต

โจทย

คณ

ตศาส

ตร ม

.3 ม

นใจเตม

100

3) 4)

4

ตอบ รปคลออกทเปนทรงกระบอก คอ ขอ 2) และขอ 4) เพราะเปนรปทมฐาน 2 ดานอยตรงขามกนของ

สเหลยมจตรส และถามวนรปกลบกจะไดเปนทรงกระบอก ดงรปตอไปน

รปคลในขอ2)กอนมวน รปคลในขอ4)กอนมวน รปคลออกแลวมวนเปนทรงกระบอก

4

4

สวนความยาวเสนรอบวงของฐานทรงกระบอกจะเทากบ 1 ใน 4 ของความยาวรอบรป หรอ ℓ4

ℓ4 หนวย แตถาทราบความ

ยาวรศม (r) สตรการหาความยาวเสนรอบวงกลมทใช คอ 2πr

ดงนน จะได ความยาวเสนรอบวงของฐานทรงกระบอก = ความยาวเสนรอบวงกลม

นนคอ 2πr = ℓ4

ℓ4 หรอจะได r = ℓ

8πℓ4

ดงนน ฐานของทรงกระบอกแตละหนามความยาวของเสนรอบวงเปน ℓ4

ℓ4 หนวย โดยมรศมยาว ℓ

8πℓ4

หนวย

3. นกเรยนคดวารปเรขาคณตสามมตตอไปน รปใดเปนทรงกระบอก และรปใดไมเปนทรงกระบอก จงอธบาย

ตอบ รป ก เปนทรงกระบอก เพราะมฐานทง 2 ฐานเปนวงกลมทเทากนและขนานกน และความสงเทากบความ

ยาวของแกนทรงกระบอก

รป ข, ค และ ง ไมเปนทรงกระบอก เพราะ

➀ รป ข มสวนเวาเขาหาแกน ซงท�าใหหนาตดวงกลมทขนานกบฐานไมเทากนตลอดความสงของทรง

กระบอก

➁ รป ค มฐานดานบนและดานลางไมเทากนและไมขนานกน และความสงของทรงกระบอกไมเทากบความสง

ของแกน

➂ รป ง มวงกลมทเปนฐานดานบนและดานลางไมเทากน

Chapter 01 พนทผวและปรมาตร

11

ส�ำรวจพระมด1. ใหนกเรยนพจารณารปของพระมดฐานสเหลยมผนผา แลวตอบค�าถามตอไปน

1) รปเหลยมใดคอฐานของพระมด

ตอบ ∆ ABCD

2) พระมดนมกหนา มกสน และทกสนยาวเทากนหรอไม

ตอบ ม 4 หนา คอ ∆ EAB, ∆ EAD, ∆ EDC และ ∆ ECB

ม 4 สน คอ EA, ED, EC และ EB และทกสนยาวเทากน

3) หนาของพระมดเปนรปสามเหลยมชนดใด

ตอบ รปสามเหลยมหนาจว

4) หนาทกหนาของพระมดเทากนทกประการหรอไม หนาคใดบางทเทากนทกประการ

ตอบ ไมเทากนทกประการทกหนา แตมหนาทอยตรงขามกนเทากนทกประการทกหนา คอ

∆ EAB ≅ ∆ EDC และ ∆ EAD ≅ ∆ ECB

2. รปคลตอไปนเปนรปคลของพระมดชนดใด

เทคนคกำรพจำรณำ

ใหพจารณาจากลกษณะรปเหลยมของฐานพระมด ถาฐานของพระมดเปนรปใด กจะเปนพระมดชนดนน

1)

ตอบ พระมดฐานสามเหลยม

2)

ตอบ พระมดฐานสเหลยม

12

สรปห

ลกคด

พชต

โจทย

คณ

ตศาส

ตร ม

.3 ม

นใจเตม

100

3)

ตอบ พระมดฐานสเหลยม

4)

ตอบ พระมดฐานหาเหลยม

5)

ตอบ พระมดฐานหกเหลยม

6)

ตอบ พระมดฐานแปดเหลยม

3. หลงคาบานในขอใดมลกษณะเปนพระมด จงใหเหตผล

เทคนคกำรพจำรณำ

ลกษณะของพระมดจะมจดยอดแหลมเพยงจดเดยวเทานน

1)

ตอบ ไมเปนพระมด เพราะยอดมความยาว

เทากบหลงคาบาน

2)

ตอบ ไมเปนพระมด เพราะยอดมความยาวเทากบ

หลงคาบาน 3)

ตอบ เปนพระมด เพราะมยอดแหลมเพยง

จดเดยว

4)

ตอบ ไมเปนพระมด เพราะยอดเปนรปสเหลยม

ผนผา

ตอบ ขอ 3) เปนพระมดเพยงขอเดยว เพราะมยอดแหลมเพยงจดเดยว

Chapter 01 พนทผวและปรมาตร

13

4. ใหนกเรยนเขยนรปคลของสวนทครอบดวงไฟของโคมไฟทมลกษณะดงรป

ตอบ จะไดรปคลออกทม 6 หนา

ส�ำรวจกรวย1. ใหนกเรยนเขยนวงกลม 2 วงบนแผนกระดาษใหมรศม 10 เซนตเมตร แบงมมทจดศนยกลางดงรป ตดกระดาษ

รปวงกลมทง 2 เปน 4 ชน คอ A, B, C และ D แลวประกอบกระดาษแตละชนใหไดกรวยฐานเปด 4 อน

โจทยขอน มจดมงหมายเพอใหนกเรยนทราบทมาและเหนองคประกอบของกรวย ซงสามารถน�าความรทไดจาก

กจกรรมฝกปฏบตไปตอบค�าถามในขอตอไป

2. พจารณากรวยทไดในขอ 1. แลวตอบค�าถามตอไปน

1) สวนสงเอยงของกรวยทง 4 อนยาวเทากนหรอไม เพราะเหตใด

ตอบ เทากน เพราะมความยาวเทากบรศมของวงกลมทตดจากกระดาษ คอ 10 เซนตเมตร

2) สวนสงของกรวยทง 4 อนยาวเทากนหรอไม ถาไมเทากน กรวยใดสงทสด และกรวยใดเตยทสด

วธคด การพจารณาความสงของกรวย ใหพจารณาจากขนาดของมมดานในของชนสวนวงกลม หรอขนาด

พนทของชนสวนวงกลมกได ดงรป

14

สรปห

ลกคด

พชต

โจทย

คณ

ตศาส

ตร ม

.3 ม

นใจเตม

100

ดงนน กรวย 4 อนเรยงล�าดบความสงจากมากไปนอยดงน C, A, B และ D ตามล�าดบ

ตอบ ไมเทากน กรวยสงทสด คอ กรวย C และกรวยเตยทสด คอ กรวย D

3) พนทฐานของกรวยเกยวของกบขนาดของมมทจดศนยกลางของวงกลมเดมอยางไร

ตอบ ขนาดของมมทจดศนยกลางของวงกลมใหญกวา จะท�าใหพนทฐานกรวยมากตามไปดวย ในทางตรงขาม

ถาขนาดของมมทจดศนยกลางของวงกลมเลกกวา จะท�าใหพนทฐานกรวยนอยตามไปดวย นนคอ

ขนาดพนทฐานของกรวย ขนอยกบขนาดของมมทจดศนยกลางของวงกลมเดม

4) ฐานของกรวยใดมพนทมากทสด

ตอบ กรวย D เพราะขนาดของมมทจดศนยกลางของวงกลมเดมมากทสด คอ 210 องศา

5) ขอบของฐานกรวยคอสวนใดของรปวงกลมเดม

ตอบ สวนโคงของวงกลม หรอสวนของเสนรอบวงกลม

6) ถาน�ากรวยทงสทไดมารอยเรยงกนเปนโมบาย ดงรปดานลาง กรวยใดท�าจากกระดาษ A, B, C และ D

ตอบ จากรป จะเหนวา ดานลางสดเปนกรวยฐานขนาดใหญและเตยทสด แลวเรยงล�าดบขนไปจนถงกรวย

สงทสด ดงนน ล�าดบการเรยงกรวยจากลางขนบน คอ D, B, A และ C ตามล�าดบ

3. ใหนกเรยนเขยนรปคลของสวนทครอบดวงไฟของโคมไฟทมลกษณะดงรป

ตอบ จากรปขอน จะไดสวนทครอบดวงไฟของโคมไฟเปนรปครงวงกลม

Chapter 01 พนทผวและปรมาตร

15

ส�ำรวจวงกลมก�าหนดทรงกลม ดงรป ใหนกเรยนตอบค�าถามตอไปน

1. ถานกเรยนแตละคนน�าระนาบมาตดทรงกลมทก�าหนดให แลวหนาตดทไดเปนรปอะไร

ตอบ รปวงกลมขนาดตางๆ กน โดยวงกลมทมระนาบผานจดศนยกลางจะเปนวงกลมทใหญทสด

2. หนาตดทนกเรยนแตละคนไดในขอ 1. มขนาดเทากนทกรปหรอไม

ตอบ ไมเทากนทกรป โดยหนาตดของวงกลม จะขนอยกบต�าแหนงของระนาบทถกตดออกจากทรงกลม

3. วงกลมใหญของทรงกลมทก�าหนดให มกวง

ตอบ มหลายวงนบไมถวน เพราะระนาบทผานจดศนยกลางของทรงกลม มไดมากมายหลายทศทาง

4. ถาก�าหนดจดจดหนงบนทรงกลม จะมวงกลมใหญผานจดนไดกวง

ตอบ มหลายวงนบไมถวน เพราะระนาบทผานจดจดหนงของทรงกลม มไดมากมายหลายทศทาง

ปรมำตรของปรซมและทรงกระบอก1. กำรหำปรมำตรของปรซม

ปรมาตรของปรซมตางๆ หาไดจากสตร

ปรมาตรของปรซมใดๆ = พนทฐาน × ความสง

โดยการหาพนทฐาน จะตองพจารณาวาปรซมนนเปนปรซมฐานแบบใด ดงน

(1) ปรซมฐานสเหลยมมมฉาก สามารถหาพนทฐานจากสตร

พนทฐาน = ความกวาง × ความยาว

(2) ปรซมฐานสามเหลยม สามารถหาพนทฐานจากสตร

พนทฐาน = 12× × ความยาวฐาน × ความสง

การหาปรมาตรของปรซมทมความซบซอน อาจตองท�าการแยกสวนปรซมนนๆ ออกมาเปนสวนยอย แลว

ค�านวณปรมาตรของสวนยอยเหลานน หลงจากนนจงน�าเอาปรมาตรทหาไดในแตละสวนมารวมกน

16

สรปห

ลกคด

พชต

โจทย

คณ

ตศาส

ตร ม

.3 ม

นใจเตม

100

2. กำรหำปรมำตรของทรงกระบอก

ปรมาตรของทรงกระบอก หาไดจากสตร

ปรมาตรของปรซมใดๆ = พนทฐาน × สง

โดยพนทฐานของทรงกระบอก หาไดจากฐานทเปนรปวงกลม ดงน

พนทรปวงกลม = πr2 เมอ r เปนความยาวรศมของวงกลม

ดงนน จะไดสตรปรมาตรของทรงกระบอก = πr2 h เมอ h เปนความสงของทรงกระบอก

แบบฝกหด 1.2 ก

%% Note

หลกการส�าคญในการหาปรมาตรของปรซม

1. การหาค�าตอบตองอานโจทยใหเขาใจและใชขอมลทโจทยบอกมาเพอการค�านวณ

2. หาพนทฐานและความสง

• พนทฐานปรซมสเหลยม = ความกวาง × ความยาว

• พนทฐานปรซมสามเหลยม = 12× × ความยาวฐาน × ความสง

3. น�าพนทฐานคณกบความสงตามสตร

ปรมาตรของปรซม = พนทฐาน × สง

4. ถาโจทยไมมรป ควรวาดรปประกอบ เพอใหเหนภาพทชดเจนขน

5. ควรมความรในเรองการแปลงหนวยของขนาด ความยาว หรอปรมาตรใหตรงกบค�าถามในโจทย

1. จงหาปรมาตรของปรซมตอไปน (ความยาวทก�าหนดใหมหนวยเปนเซนตเมตร)

1)

วธท�ำ จากรปทโจทยก�าหนด จะเหนวา เปนปรซมสเหลยมมมฉากทมฐานกวาง 31

2× หรอ 3.5 เซนตเมตร

ยาว 4 เซนตเมตร และมความสง 6 เซนตเมตร

จากสตรปรมาตรของปรซม = พนทฐาน × สง

แตโจทยขอนไมไดบอกขนาดพนทฐานมาให เราจงตองหาพนทฐานกอน

เนองจากพนทฐานของสเหลยมมมฉากใดๆ = กวาง × ยาว

จะไดพนทฐานรปน = 31

2×× 4 = 14 ตารางเซนตเมตร

ดงนน ปรมาตรของปรซมน = 14 × 6 = 84 ลกบาศกเซนตเมตร

ตอบ ปรมาตรของปรซมนเทากบ 84 ลกบาศกเซนตเมตร