คณติศำสตร ์ตำมมำตรฐำนกำรเรียนรู้และตัวชี้วัดกลุ่มสำระกำรเรียนรู้คณิตศำสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560)ตำมหลักสูตรแกนกลำงกำรศึกษำขั้นพื้นฐำน พุทธศักรำช 2551

ชั้นมัธยมศึกษำปที่ 3 เล่ม 2

ผูเรียบเรียงนำงกนกวลีอุษณกรกุล

นำงสำวปำจรีย์วัชชวัลคุ

ดร.สุเทพบุญซ้อน

ผูตรวจนำยทวีศักดิ์จันทรมณี

นำงสำวบูรนำถเฉยฉิน

ผศ.สัญชัยภู่เงิน

บรรณาธิการรศ.ดร.อ�ำพลธรรมเจริญ

หนังสือเรียนรำยวิชำพื้นฐำน

ม.3เล่ม 2

สงวนลิขสิทธิ์ตามพระราชบัญญัติปที่พิมพ 2563

พิมพครั้งที่ 1จํานวนพิมพ 30,000 เลมISBN : 978-616-203-928-7

รหัสสินคา 2316012

แสดงวามีคา x และ y สอดคลองกับสมการทั้งสองมากมาย นั่นคือ คูอันดับที่แทนจุด

ทุกจุดบนเสนตรงเปนคําตอบของระบบสมการเชิงเสนที่กําหนดให

เมื่อพิจารณาสมการ x - 2y = 4

จะได 2y = x - 4

y = x - 42

และพิจารณาสมการ 3x - 6y = 12

จะได 6y = 3x - 12 นํา 3 มาหารทั้งสองขางของสมการ

จะได 2y = x - 4

y = x - 42

จะเห็นวา สมการ ➀ และ ➁ เปนสมการเดียวกัน

จงึกลาวไดวา ระบบสมการนีมี้คาของ x และ y ทีส่อดคลองกับสมการมากมายไมจํากดั

ไดแก จุดทุกจุดบนเสนตรง ซึ่งเขียนในรูป (x, x - 42 ) เมื่อ x เปนจํานวนจริงใด ๆ

ตอบ

ลองทําดู

กําหนดให x, y เปนจํานวนจริงใด ๆ จงเขียนกราฟของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร

ที่มี 2 สมการดังตอไปนี้ ในระบบพิกัดฉากเดียวกัน พรอมทั้งหาคําตอบของระบบสมการ

x + 2y = 9

2x + 4y = 18

¤³Ôµ¹‹ÒÃÙŒ

ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรที่ประกอบดวยสมการที่สามารถจัดใหอยูในรูป ax + by = c ไดทุกสมการ

เปนระบบสมการที่มีคําตอบมากมาย

ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรอาจไมมีคําตอบ หรือมีคําตอบเดียว หรือมีคําตอบมากมาย

ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร 11

เกร็ดน่ำรู้เสริมความรูทั่วไปที่สอดคลองกับเนื้อหา

แนะแนวคิด เทคนิคตาง ๆ ที่ชี้แนะวิธีการแกโจทย์ทางคณิตศาสตร์

สรุปแนวคิดหลัก โดยรวมของทั้งหนวยการเรียนรู เพื่อทบทวนความรูใหแกผูเรียน

Thinking Timeคําถามกระตุนใหผูเรียน คิดตอยอดจากเนื้อหาที่เรียน

มุมเทคโนโลยี ความรูเกี่ยวกับการใชเทคโนโลยีเปนเครื่องมือเพื่อชวยตรวจสอบคําตอบ

แบบฝึกทักษะประจ�ำหน่วย กำรเรียนรู้ เพื่อประเมินความรูความเขาใจของผูเรียนประจําหนวยการเรียนรู

แนวข้อสอบ O-NET เพื่อใหผูเรียนไดศึกษาแนวคิด กอนสอบจริง

ถานักเรียนตองการหาคาฟงกชันตรีโกณมิติ ไซน โคไซน และแทนเจนตของมุมที่มีความละเอียดมากกวา

มุมที่กําหนดใหในตาราง นักเรียนตองใชเครื่องคิดเลขวิทยาศาสตรมาชวยในการคํานวณ ดังรูป

ตัวอยาง

1) จงหาคาของ sin 38 ํ โดยใชเครื่องคิดเลข

กดปุม MODE 1 sin 3 8 =

จะปรากฏจํานวน 0.6156614753

ดังนั้น sin 38 ํ มีคาประมาณ 0.616

2) จงหาคาของ cos 21.4 ํ โดยใชเครื่องคิดเลข

กดปุม MODE 1 cos 2 1 . 4 =

จะปรากฏจํานวน 0.9310558159

ดังนั้น cos 21.4 ํ มีคาประมาณ 0.931

3) จงหาคาของ tan 73.8 ํ โดยใชเครื่องคิดเลข

กดปุม MODE 1 tan 7 3 . 8 =

จะปรากฏจํานวน 3.442022577

ดังนั้น tan 73.8 ํ มีคาประมาณ 3.442

หมายเหตุ ในปจจุบันมีการผลิตเครื่องคิดเลขออกมาหลายรุน ซึ่งแตละรุนมีวิธีการใชท่ีแตกตางกัน ใหอางอิงวิธีการตามเครื่องคิดเลขรุนนั้น ๆ

เทคโนโลยีÁØÁ

สวนประกอบหลักบนเครื่องคิดเลข

1 หนาจอแสดงผลการทํางาน

2 ปุมเปดเครื่อง

3 ปุม MODE/SETUP ใชสําหรับเลือก

โหมดหรือตั้งคาเครื่อง

4 ปุม SHIFT สําหรับเรียกใช

คําสั่งที่เปนสีเหลือง แลวตามดวยปุม

คําสั่งนั้น ๆ

5 ปุม ALPHA สําหรับเรียกใชคําสั่ง

ที่เปนตัวอักษรสีแดง แลวตามดวยปุม

คําสั่งนั้น ๆ

6 ปุมควบคุมทิศทาง ใชเลื่อนดูคําตอบ

หรือแกไขการคํานวณ

7 ปุมฟงก์ชันและสูตรการคํานวณ

8 ปุมตัวเลข/เครื่องหมายการดําเนินการ

1

2

8

7

5 3

6

4

ที่มา : คลังภาพ อจท.

150

จากกิจกรรมคณิตศาสตร์ จะเห็นวา รูปเรขาคณิตที่

คลายกันจะมีรูปรางเหมือนกัน แตอาจจะมีขนาดเทากันหรือ

แตกตางกันก็ได เชน รูป A และรูป H เปนรูปท่ีคลายกัน

เพราะมีรูปรางเหมือนกัน และมีขนาดเทากัน รูป B และรูป E

เปนรูปที่คลายกัน เพราะมีรูปรางเหมือนกัน แตมีขนาด

แตกตางกัน ซึ่งอาจกลาวไดวา รูปเรขาคณิต 2 รูปเปนรูปที่

คลายกัน ก็ตอเมื่อ รูปเรขาคณิตทั้งสองมีรูปรางเหมือนกัน

กิจกรรม คณิตศาสตร

ãËŒ¹Ñ¡àÃÕ¹¾Ô̈ ÒóÒÇ‹Ò ÃÙ»àâҤ³Ôµã¹áµ‹ÅТŒÍµ‹Í仹Õé ÃÙ»àâҤ³Ôµ¤Ù‹ã´¤ÅŒÒ¡ѹ

เมื่อรูปเรขาคณิต A คลายกับรูปเรขาคณิต B จะเขียนแทนดวยสัญลักษณ์ รูปเรขาคณิต

A ∼ รูปเรขาคณิต B อานวา รูปเรขาคณิต A คลายกับรูปเรขาคณิต B

รูปเรขาคณิตที่เทากันทุกประการ

จะเปนรูปที่คลายกันเสมอ แตรูป

เรขาคณิตที่คลายกันอาจจะไมเปน

รูปที่เทากันทุกประการ

¤³Ôµ¹‹ÒÃÙŒ

นักเรียนคิดวา

1) รูปเรขาคณิตรูปหนึ่ง ๆ จะคลายกับรูปเรขาคณิตรูปนั้นหรือไม

2) ถารูปเรขาคณติ A คลายกับรูปเรขาคณิต B แลวรูปเรขาคณิต B จะคลายกบัรูปเรขาคณติ A หรือไม

3) ถารูปเรขาคณิต A คลายกับรูปเรขาคณิต B และรูปเรขาคณิต B คลายกับกับรูปเรขาคณิต C

แลวรูปเรขาคณิต A คลายกับรูปเรขาคณิต C หรือไม

Thinking Time

ความคลาย 81

AB EDC

HGF IJ

ลองทําดู

แบตเตอรี่ 2 กอนที่มียี่หอตางกัน ผลิตแรงเคลื่อนไฟฟารวมกันได 7.5 โวลต ถาแบตเตอรี่

2 กอนนี้ ผลิตแรงเคลื่อนไฟฟาไดตางกัน 4.5 โวลต จงหาวา แบตเตอรี่แตละกอนผลิต

แรงเคลื่อนไฟฟาไดกี่โวลต

ปฏิกิริยาเคมีระหวางโพรเพน (C3H8) กับออกซิเจน (O2) เขียนเปนสมการเคมีไดเปน

C3H8 + pO2 4H2O + qCO2

เมื่อ p และ q เปนจํานวนเต็ม

จากสมการเคมีขางตน ถา p และ q มีความสัมพันธ ดังนี้

p = 2q - 1 และ 3p = 4q + 3

ใหหาคาของ p และ q

วิธีทํา จากความสัมพันธ์ของ p และ q ไดเปนระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร ดังนี้

p = 2q - 1 .....➀ 3p = 4q + 3 .....➁ แทนสมการ ➀ ในสมการ ➁ จะได 3(2q - 1) = 4q + 3

6q - 3 = 4q + 3

2q = 6

หรือ q = 3

เมื่อแทน q ดวย 3 ในสมการ ➀ จะได p = 2(3) - 1

หรือ p = 5

ตรวจสอบคําตอบ

เมื่อแทน p ดวย 5 ทางดานซายของสมการเคมีขางตน

จะได C3H8 + 5O2

ทําใหมี C จํานวน 3 อะตอม H จํานวน 8 อะตอม และ O จํานวน 10 อะตอม

ตัวอย่างที่ 16

ในตัวอยางที่ 16 เปนปฏิกิริยาเคมีที่เรียกวา ปฏิกิริยาการเผาไหมของเชื้อเพลิง ซึ่งเปนปฏิกิริยาระหวางเชื้อเพลิงท่ีมีธาตุคาร์บอน (C) เปนองค์ประกอบกับแกสออกซิเจน (O2) ปฏิกิริยาเผาไหม จะกอใหเกิดพลังงานซึ่งมนุษย์สามารถนํากลับมาใชประโยชน์ไดมากมาย เชน ใชในการหุงตมอาหาร ใชผลิตกระแสไฟฟา

เกร็ด น่ารู้

ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร 35

ตรวจสอบตนเองแบบประเมินเพื่อใหผูเรียนสามารถตรวจสอบความรูความเขาใจของตนเอง

H.O.T.S. ค�ำถำมท้ำทำย กำรคิดขั้นสูงตามทฤษฎีการเรียนรูของบลูม (Bloom’s Taxonomy)

ลองทําดู

ครูสมศรีซื้อหนังสือและสมุดรวมกัน 60 เลม โดยหนังสือราคาเลมละ 60 บาท และสมุดราคา

เลมละ 40 บาท ถาครูสมศรีใชเงินซ้ือหนังสือและสมุดรวมเปนเงิน 2,860 บาท จงหาวา

ครูสมศรีซื้อหนังสือและสมุดอยางละกี่เลม

บัวมีเงิน 300 บาท ไปซื้อของที่หางสรรพสินคาแหงหนึ่ง บัวซื้อจาน 3 ใบ ชาม 5 ใบ จะขาดเงิน

15 บาท แตถาซื้อจาน 5 ใบ ชาม 3 ใบ จะเหลือเงิน 15 บาท ถาบัวตองการซื้อจานและชาม

อยางละ 4 ใบ ขอความใดกลาวถูกตอง

1) บัวจะเหลือเงิน 5 บาท

3) บัวจะเหลือเงิน 10 บาท

2) บัวจะขาดเงินอีก 5 บาท

4) บัวใชเงินหมดพอดี

วิธีทํา ให จานราคาใบละ x บาท

ชามราคาใบละ y บาท

เนื่องจากบัวซื้อจาน 3 ใบ ชาม 5 ใบ จะขาดเงิน 15 บาท

เขียนเปนสมการได

3x + 5y - 15 = 300

หรือ 3x + 5y = 315

และบัวซื้อจาน 5 ใบ ชาม 3 ใบ จะเหลือเงิน 15 บาท

เขียนเปนสมการได

5x + 3y + 15 = 300 หรือ 5x + 3y = 285

ซึ่งจะไดระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร ดังนี้

3x + 5y = 315 …..➀ 5x + 3y = 285 …..➁

➀ × 5 จะได 15x + 25y = 1,575 …..➂➁ × (-3) จะได -15x - 9y = -855 …..➃➂ + ➃ จะได 16y = 720

y = 72016

หรือ y = 45

แนวขอสอบ O-NET

ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร 41

แบบฝึกทักษะ แบงระดับความยากงาย เหมาะสมกับระดับการเรียนรูของผูเรียน

กิจกรรมคณิตศำสตร ์เพื่อสงเสริมการเรียนรูแบบ Active Learning

คณิตศำสตร์ในชีวิตจริง เชื่อมโยงความรูคณิตศาสตร์ ไปใชในชีวิตจริง

คณิตน่ำรู้ เสริมความรูหรือขอสังเกตที่ไดจากเนื้อหา

วิธีที่ 2 x3 + x2 - x - 1 = (x3 - 1) + (x2 - x) = (x - 1)(x2 + x + 1) + x(x - 1) = (x - 1)(x2 + x + 1 + x) = (x - 1)(x2 + 2x + 1) = (x - 1)(x + 1)(x + 1) = (x - 1)(x + 1)2

ดังนั้น x3 + x2 - x - 1 = (x - 1)(x + 1)2 ตอบ

ตัวอย่างที่ 15

จงแยกตัวประกอบของพหุนาม 6x3 + 12x2y + 4xy2 + 8y3

วิธีทํา 6x3 + 12x2y + 4xy2 + 8y3 = (6x3 + 12x2y) + (4xy2 + 8y3)

= 6x2(x + 2y) + 4y2(x + 2y) = (x + 2y)(6x2 + 4y2)

= 2(x + 2y)(3x2 + 2y2)

ดังนั้น 6x3 + 12x2y + 4xy2 + 8y3 = 2(x + 2y)(3x2 + 2y2) ตอบ

กําหนดให x3 - 3x2 - 9x + 27 = (x + 3)(ax2 + bx + c) จงหาคาของ a, b และ c

ที่ทําใหสมการเปนจริง

คาํถามทาทายการคดิข้ันสูง

ตัวอย่างที่ 16

จงแยกตัวประกอบของพหุนาม x4 - 6x2 + 9 - y2

วิธีทํา x4 - 6x2 + 9 - y2 = (x4 - 6x2 + 9) - y2

= (x2 - 3)(x2 - 3) - y2

= (x2 - 3)2 - y2

= (x2 - 3 + y)(x2 - 3 - y)

= (x2 + y - 3)(x2 - y - 3)

ดังนั้น x4 - 6x2 + 9 - y2 = (x2 + y - 3)(x2 - y - 3) ตอบ

จัดพหุนาม X4 - 6X2 + 9ใหอยู ในรปูกําลังสองสมบูรณโดยใหพจนหนาเปน X2

และพจนหลังเปน 3

á¹Ðá¹Ç¤Ô´

7272

จงแยกตัวประกอบของพหุนามในแตละขอตอไปนี้

1) x3 - x2 - x + 12) 4x3 + 8x2y - xy2 - 2y3

3) x4 + 10x2 + 25 - y2

ลองทําดู

แบบฝกทักษะ 2.1 คระดับ พื้นฐาน

1. จงแยกตัวประกอบของพหุนามในแตละขอตอไปนี้

1) x3 + x2 + x + 1 3) x3 + x2 - 4x - 4

2) x3 - 2x2 + x - 2 4) x4 - x3 - 3x - 9

2. จงแยกตัวประกอบของพหุนามในแตละขอตอไปนี้

1) 4x4 - x2 - 8x - 16

3) 16 - x2 + 2xy2 - y4

5) x3 + 9x2 - 54x - 216

2) x4 - 6x2 + 8

4) 9x4 - 6x2y + y2 - 25

6) x4 + 2x2y + y2 - z2

ระดับ กลาง

หลังจากเรียนจบหนวยนี้แลว ใหนักเรียนบอกสัญลักษณที่ตรงกับระดับความสามารถของตนเอง

ตรวจสอบตนเอง

ดี พอใชควร

ปรบัปรุง

1. แยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสามที่อยู ในรูปผลบวก ของกําลังสามหรือผลตางของกําลังสามโดยใชสูตรได

2. แยกตัวประกอบของพหุนามดกีรสีงูกวาสองทีส่ามารถจดัให อยูในรูปกําลังสองสมบูรณ์ ผลตางกําลังสอง ผลบวก ของกําลังสาม หรือผลตางของกําลังสาม โดยใชสมบัติ การเปลี่ยนหมู สมบัติการสลับที่ หรือสมบัติการแจกแจงได

การแยกตัวประกอบของพหุนาม 73

คณิตศาสตรในชีวิตจริง

งานรังวัด เปนการสํารวจ วัด และคํานวณเพื่อหาตําแหนงบนจุดของผิวโลก หรือเปนการ

หาความสัมพันธ์ของจุดตาง ๆ ที่เปนตัวแทนของสิ่งที่อยูบนภูมิประเทศ

การสํารวจโดยวดับนพืน้ดนิ (ground survey) เปนงานสํารวจในทางวศิวกรรม ซึง่สวนใหญ

เปนการหาระยะและวัดมุมของแนวตาง ๆ ในพื้นที่ที่สํารวจ

การวดัระยะทางเปนงานพืน้ฐานของงานรงัวดั กลาวไดวา ในงานรงัวดัทกุงานจะตองมีการ

วัดระยะทาง ซึ่งในการวัดระยะทางในพื้นที่ที่มีความลาดชันมาก สามารถใชเครื่องมือแถบวัดระยะ

โดยวางแถบวัดระยะไปตามพื้นลาดเอียง วัดระยะเอียงและมุมของความลาดเอียงดวยเครื่องวัด

ความลาด แลวคํานวณหาระยะราบ

ที่มา : http://www.lampangtc.ac.th/mnfile/branch6/file/LectureDoc.pdf

จากขอมูลขางตน นกัเรียนจะหาระยะราบของพืน้ทีท่ีท่าํการสาํรวจโดยการวดัระยะทางตาม

แนวลาดเอียงไดอยางไร

Ls เปนระยะเอียง

α เปนมุมของความลาดเอียง

α

ระยะราบ

Ls

ที่มา : คลังภาพ อจท.

อัตราสวนตรีโกณมิติ 171

สรุปแนวคิดหลัก

ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร กําหนดให a, b, c, d, e และ f เปนจํานวนจริงใด ๆ ที่ a และ b ไมเทากับศูนย์พรอมกัน

และ d, e ไมเทากับศูนย์พรอมกัน

เรียก ax + by = c

dx + ey = f

วา ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร

คําตอบของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร คําตอบของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร คือ จํานวนที่แทน x และ y แลวทําใหสมการ

เปนจริงทั้ง 2 สมการ และนิยมเขียนคําตอบของระบบสมการในรูป (x, y) โดยระบบสมการ

เชิงเสนสองตัวแปรอาจไมมีคําตอบ หรือมีคําตอบเดียว หรือมีคําตอบมากมายก็ได

การแกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร การแกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรสามารถทําได 3 วิธี ดังนี้

1. หาจุดตัดของกราฟของสมการเชิงเสนสองตัวแปรในระบบสมการ

ให ax + by = c …..➀ dx + ey = f …..➁ เปนระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร

Y

0

ax + by = c

dx + ey = fX

ระบบสมการมีคําตอบเดียวระบบสมการไมมีคําตอบ

ax + by = c

dx + ey = f

Y

0 X

ระบบสมการมีคําตอบมากมาย

Y

0 X

ax + by = c

dx + ey = f

54

แบบฝกทักษะประจําหนวยการเรียนรูที่ 3

1. จงพิจารณาวา รูปสามเหลี่ยม 2 รูป ที่กําหนดใหในแตละขอตอไปนี้ ขอใดเปนรูปสามเหลี่ยม

ที่คลายกัน เพราะเหตุใด

1)

3)

2)

4)

2. กําหนดให AC // BE, DE // AB

และ CAB = DGC ดังรูป จงพิจารณาวา

รูปสามเหลี่ยมในแตละขอตอไปนี้

เปนรูปสามเหลี่ยมที่คลายกันหรือไม

เพราะเหตุใด

1) ∆ ABC กับ ∆ DFC

3) ∆ DFC กับ ∆ GDC

2) ∆ ABC กับ ∆ GDC

4) ∆ CDF กับ ∆ BEF

∧ ∧

60 ํ

60 ํ

D

A

E

CB

M

N

RQ

P

30 ํ

30 ํ

B

C

A

D E40 ํ

40 ํ

TS

U

V W

C

F E

G

BA

D

ความคลาย 127

พิจารณาเงินที่เกงและกลามีในตอนแรก

จากรูปที่ 2 จะเห็นวา และ มีคาเทากัน จะไดวา

11 หนวย รวมกับ 6 5 หนวย เทากับ 580 บาท

11 หนวย เทากับ 580 - (5 × 6) = 550 บาท

1 หนวย เทากับ 55011 = 50 บาท

ดังนั้น เกงและกลาใชเงินรวมกันทั้งหมด 7 หนวย รวมกับ 6 3 หนวย เทากับ

(7 × 50) + (3 × 6) = 368 บาท

คําถาม

จิ๊บและจอยมีเงินรวมกัน 600 บาท จิ๊บใชเงินไป 35 ของเงินที่จิ๊บมีอยู จอยใชเงินไป 23 ของเงิน

ที่จอยมีอยู ปรากฏวาจอยเหลือเงินมากกวาจิ๊บ 24 บาท อยากทราบวา จิ๊บและจอยใชเงิน

ไปรวมกันทั้งหมดกี่บาท

คําถาม

เทคนิคการแกโจทยปญหาระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร

6

6

6

6

6

เงินที่กลาใชไป

กลา เกง

580

รูปที่ 2

เงินที่เกงใชไป

ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร 33

ตัวชี้วัด

• ประยุกตใชระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรในการแกปญหาคณิตศาสตร (ค 1.3 ม.3/3)

สาระการเรียนรูแกนกลาง

• ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร• การแกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร• การนําความรูเกี่ยวกับการแกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรไปใชในการแกปญหา

ความสัมพันธระหวางอุณหภูมิในหนวยองศาเซลเซียส ( ํC)

และหนวยองศาฟาเรนไฮต ( ํF) เปนความสัมพันธเชิงเสน โดยที่

จุดเยือกแข็งของนํ้าเทากับ 0 ํC หรือ 32 ํF และจุดเดือดของนํ้า

เทากับ 100 ํC หรอื 212 ํF ถานักเรยีนตองการหาสมการแสดงความ

สัมพันธระหวางหนวยองศาเซลเซียสและหนวยองศาฟาเรนไฮต

นักเรียน

จะใชความรู

เกี่ยวกับÊÁ¡ÒÃในàÃ×èͧã´บางและหา

¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸�ไดอยางไร

Q.

ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

หน่วยการเรียนรู้ที่

1

ที่มา : คลังภาพ อจท.

หนังสอืเรยีนรายวชิาพืน้ฐาน คณติศาสตร์ ชัน้มธัยมศกึษาปีที ่3 เล่ม 2 จดัทาํขึน้

สําหรับใชประกอบการเรียนการสอนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 โดยดําเนินการจัดทําใหสอดคลอง

ตามมาตรฐานการเรียนรูและตัวชี้วัด กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560)

ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 ทุกประการ เพื่อสงเสริมทักษะ

ทีจํ่าเป็นสาํหรับการเรยีนรูในศตวรรษที ่21 ทัง้ทกัษะดานการคดิวเิคราะห การคดิอยางมวิีจารณญาณ

การแกปญหา การคดิสรางสรรค การใชเทคโนโลย ีการส่ือสาร และการรวมมือ เพือ่ใหผูเรยีนรูเทาทัน

การเปลี่ยนแปลงของระบบเศรษฐกิจ สังคม วัฒนธรรม และสภาพแวดลอม สามารถแขงขันและ

อยูรวมกับประชาคมโลกได

หนังสือเรียนกลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตรในระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 นี้

คณะผูเรียบเรียงไดจัดแบงออกเป็น 2 เลม ดังนี้

ข้อควรระวัง อธิบายในสิ่งที่ผูเรียนมกัเขาใจผดิหรอืคลาดเคลือ่น

ลองท�ำดูเพื่อใหผูเรียนไดฝึกทํา จนเกิดความชํานาญ

แนวข้อสอบเน้นกำรคิด เพื่อใหผูเรียนไดศึกษาแนวคิดกอนสอบจริง

ควรรูกอนเรียน

สมบัติของเสนขนาน

จากรูป XY ตัด AB และ CD ที่จุด E และจุด F ตามลําดับ จะไดวา AB // CD ก็ตอเมื่อ

1) มุมแยงมีขนาดเทากัน เชน BEF = CFE

หรือ 2) มุมภายนอกและมมุภายในทีอ่ยูตรงขามบนขางเดยีวกนัของเสนตดัจะมขีนาดเทากนั เชน

DFY = BEF

หรือ 3) มุมภายในที่อยูบนดานเดียวกันของเสนตัดมีขนาดรวมกันเทากับ 180 องศา เชน

AEF + CFE = 180 ํ

ความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม

รูปสามเหลี่ยม 2 รูป เทากันทุกประการ ก็ตอเมื่อ ดานคูที่สมนัยกันและมุมคูที่สมนัยกันของ

รูปสามเหลี่ยมทั้ง 2 รูป นั้นมีขนาดเทากันเป็นคู ๆ

∧ ∧

∧ ∧

∧ ∧

ความคล้าย

BA E

X

C DF

Y

Δ ABC ≅ Δ DEF

A

C

B D

F

E

แบบทดสอบพื้นฐานกอนเรียน

ความคลาย 79

จงแยกตัวประกอบของพหุนามในแตละขอตอไปนี้

1) (x + 2)3 - (x - 1)3 2) (2x + 1)3 + (x + 3)3

ลองทําดู

2) (2x - 3)3 + (x + 2)3

= [(2x - 3) + (x + 2)][(2x - 3)2 - (2x - 3)(x + 2) + (x + 2)2] = (3x - 1)(4x2 - 12x + 9 - 2x2 - x + 6 + x2 + 4x + 4) = (3x - 1)(3x2 - 9x + 19) ดังนั้น (2x - 3)3 + (x + 2)3 = (3x - 1)(3x2 - 9x + 19) ตอบ

ให m เปนคําตอบของสมการ x2 + 6x - 36 = 0 แลวคาของ m3 - 216

m3 - 36m เปนเทาใด

แนวคิด จาก m เป็นคําตอบของสมการ x2 + 6x - 36 = 0 จะได m2 + 6m - 36 = 0

m2 + 6m = 36

จาก m3 - 216m3 - 36m

= m3 - 63

m(m2 - 36)

= (m - 6)(m2 + 6m + 36)m(m + 6)(m - 6)

= -m2 + 6m + 36m(m + 6)

= m2 + 6m + 36

m2 + 6m

แทนคา m2 + 6m = 36 ในสมการ

จะได m3 - 216m3 - 36m

= 36 + 3636

= 2

แนวขอสอบเน้นการคดิ

การแยกตัวประกอบของพหุนาม 65

ตัวอย่างที่ 1

ตัวอย่างที่ 2

จงแยกตัวประกอบของพหุนามในแตละขอตอไปนี้

1) x3 + 27 2) x3 - 125

วิธีทํา 1) x3 + 27 = x3 + 33

= (x + 3)[x2 - (x)(3) + 32]

= (x + 3)(x2 - 3x + 9) ดังนั้น x3 + 27 = (x + 3)(x2 - 3x + 9)

2) x3 - 125 = x3 - 53

= (x - 5)[x2 + (x)(5) + 52]

= (x - 5)(x2 + 5x + 25) ดังนั้น x3 - 125 = (x - 5)(x2 + 5x + 25) ตอบ

จงแยกตัวประกอบของพหุนามในแตละขอตอไปนี้

1) 8x3 + 729 2) 1,000x3 - 343

วิธีทํา 1) 8x3 + 729 = (2x)3 + 93

= (2x + 9)[(2x)2 - (2x)(9) + 92]

= (2x + 9)(4x2 - 18x + 81) ดังนั้น 8x3 + 729 = (2x + 9)(4x2 - 18x + 81)

2) 1,000x3 - 343 = (10x)3 - 73

= (10x - 7)[(10x)2 + (10x)(7) + 72]

= (10x - 7)(100x2 + 70x + 49) ดังนั้น 1,000x3 - 343 = (10x - 7)(100x2 + 70x + 49) ตอบ

จงแยกตัวประกอบของพหุนามในแตละขอตอไปนี้

1) x3 + 1 2) x3 - 216

ลองทําดู

A3 + B3 ≠ (A + B)3

A3 - B3 ≠ (A - B)3

¢ŒÍ¤ÇÃÃÐÇѧ

62

ค�ำถำมประจ�ำหน่วย กำรเรียนรู้ ที่ครอบคลุมตัวชี้วัดสูงสุด ในหนวยการเรียนรู

ตัวชี้วัด ที่สอดคลองกับเนื้อหา ในหนวยการเรียนรู

หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 เล่ม 1 หนวยการเรียนรูที่ 1-6

หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 เล่ม 2 หนวยการเรียนรูที่ 1-5

ค�ำแนะน�ำในกำรใช้สื่อ

องค์ประกอบต่ำง ๆ ในแต่ละหน่วย

ควรรู้ก่อนเรียน ทบทวนความรูเดิม เพื่อเชื่อมโยงเขาสูเนื้อหาใหม

สำระกำรเรียนรู้แกนกลำง ขอบขายเนื้อหา ในหนวยการเรียนรู

QR Code รองรับการเรียนรูผานสื่อดิจิทัล

ระบบสมกำรเชิงเส้นสองตัวแปร 2

1.1ระบบสมกำรเชิงเส้นสองตัวแปร 4

1.2กำรแก้ระบบสมกำรเชิงเส้นสองตัวแปร 14

1.3กำรน�ำระบบสมกำรเชิงเส้นสองตัวแปรไปประยุกต์ใช้

ในกำรแก้ปัญหำในสถำนกำรณ์ต่ำงๆ 27

คณิตศาสตรในชีวิตจริง 53 สรุปแนวคิดหลัก 54 แบบฝกทักษะประจําหนวยการเรียนรูที่ 1 56

กำรแยกตัวประกอบของพหุนำม 58

ดีกรีสูงกว่ำสอง2.1กำรแยกตัวประกอบของพหุนำมดีกรีสูงกว่ำสอง

ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจ�ำนวนเต็ม 60

คณิตศาสตรในชีวิตจริง 75 สรุปแนวคิดหลัก 76 แบบฝกทักษะประจําหนวยการเรียนรูที่ 2 77

ควำมคล้ำย 78

3.1รูปที่คล้ำยกัน 80

3.2รูปสำมเหลี่ยมที่คล้ำยกัน 89

3.3กำรน�ำรูปสำมเหลี่ยมคล้ำยไปใช้ในทำงคณิตศำสตร์ 104

3.4กำรน�ำรูปสำมเหลี่ยมคล้ำยไปใช้ในชีวิตประจ�ำวัน 114

คณิตศาสตรในชีวิตจริง 124 สรุปแนวคิดหลัก 126 แบบฝกทักษะประจําหนวยการเรียนรูที่ 3 127

กิจกรรมคณิตศำสตร์เชิงสะเต็ม 238ภำคผนวก 240อภิธำนศัพท์ 241บรรณำนุกรม 243

อัตรำส่วนตรีโกณมิติ 132

4.1อัตรำส่วนตรีโกณมิติ 134

4.2กำรน�ำควำมรู้เกี่ยวกับอัตรำส่วนตรีโกณมิติ

ไปใช้ในกำรแก้ปัญหำ 159

คณิตศาสตรในชีวิตจริง 171 สรุปแนวคิดหลัก 172 แบบฝกทักษะประจําหนวยการเรียนรูที่ 4 174

วงกลม 176

5.1วงกลม 178

5.2มุมที่จุดศูนย์กลำงและมุมในส่วนโค้งของวงกลม 181

5.3คอร์ด 203

5.4เส้นสัมผัสวงกลม 219

คณิตศาสตรในชีวิตจริง 231 สรุปแนวคิดหลัก 232 แบบฝกทักษะประจําหนวยการเรียนรูที่ 5 236

หน่วยกำรเรียนรู้ที่

4

หน่วยกำรเรียนรู้ที่

5

QR Code หนา 33, 143, 181

สำรบัญ

ระบบสมกำรเชิงเส้นสองตัวแปร 2

1.1ระบบสมกำรเชิงเส้นสองตัวแปร 4

1.2กำรแก้ระบบสมกำรเชิงเส้นสองตัวแปร 14

1.3กำรน�ำระบบสมกำรเชิงเส้นสองตัวแปรไปประยุกต์ใช้

ในกำรแก้ปัญหำในสถำนกำรณ์ต่ำงๆ 27

คณิตศาสตรในชีวิตจริง 53 สรุปแนวคิดหลัก 54 แบบฝกทักษะประจําหนวยการเรียนรูที่ 1 56

กำรแยกตัวประกอบของพหุนำม 58

ดีกรีสูงกว่ำสอง2.1กำรแยกตัวประกอบของพหุนำมดีกรีสูงกว่ำสอง

ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจ�ำนวนเต็ม 60

คณิตศาสตรในชีวิตจริง 75 สรุปแนวคิดหลัก 76 แบบฝกทักษะประจําหนวยการเรียนรูที่ 2 77

ควำมคล้ำย 78

3.1รูปที่คล้ำยกัน 80

3.2รูปสำมเหลี่ยมที่คล้ำยกัน 89

3.3กำรน�ำรูปสำมเหลี่ยมคล้ำยไปใช้ในทำงคณิตศำสตร์ 104

3.4กำรน�ำรูปสำมเหลี่ยมคล้ำยไปใช้ในชีวิตประจ�ำวัน 114

คณิตศาสตรในชีวิตจริง 124 สรุปแนวคิดหลัก 126 แบบฝกทักษะประจําหนวยการเรียนรูที่ 3 127

หน่วยกำรเรียนรู้ที่

หน่วยกำรเรียนรู้ที่

1

หน่วยกำรเรียนรู้ที่

2

3

คณิตศำสตร์ ชั้นมัธยมศึกษำปที่ 3 เล่ม 2

ควรรูกอนเรียน

สมการเชิงเสนสองตัวแปร

กําหนด x, y เปนตัวแปร เรียกสมการ Ax + By + C = 0 เมื่อ A, B และ C เปนคาคงตัว

ที่ A และ B ไมเทากับศูนยพรอมกันวา รูปทั่วไปของสมการเชิงเสนสองตัวแปร เมื่อนํารูปทั่วไป

ของสมการเชิงเสนสองตัวแปรมาจัดรูป จะไดสมการเชิงเสนสองตัวแปร 2 แบบ ดังนี้

1. ax + by = c เมื่อ a, b และ c เปนคาคงตัวที่ a และ b ไมเทากับศูนยพรอมกัน

2. y = ax + b เมื่อ a, b เปนคาคงตัว เรียก a วา สัมประสิทธิ์ของ x

คําตอบของสมการเชิงเสนสองตัวแปร

คําตอบของสมการเชิงเสนสองตัวแปรในรูป ax + by = c ที่มี x, y เปนตัวแปร คือ จํานวน

ที่แทน x และ y แลวทําใหสมการเปนจริง

กราฟของสมการเชิงเสนสองตัวแปร

1. สมการเชิงเสนสองตัวแปร ax + by = c โดยที่ a และ b ไมเทากับศูนย จะเปนเสนตรง

ที่ตัดแกน X และแกน Y กลาวคือ ถา x = 0 แลว y = cb แสดงวาเสนตรงตัดแกน Y ที่ (0, cb)และถา y = 0 แลว x = ca แสดงวาเสนตรงตัดแกน X ที่ (ca, 0) 2. ถาสมการเชิงเสนสองตัวแปร มีสมการในรูป y = ax + b และ y = ax + d เมื่อ

a, b และ d เปนจํานวนจริงใด ๆ และ b ≠ d แลว กราฟของสมการเชิงเสนทั้ง 2 เสนนี้

จะขนานกัน

3. กําหนดสมการเชิงเสนสองตัวแปร y = ax + b ถา a > 0 จะไดกราฟเสนตรงเอียง

ทํามุมแหลมกับแกน X (เมื่อวัดมุมจากแกน X ในทิศทวนเข็มนาฬกาไปยังเสนตรงนั้น) และถา

a < 0 จะไดกราฟเสนตรงเอยีงทาํมมุปานกบัแกน X (เมือ่วดัมมุจากแกน X ในทิศทวนเขม็นาฬกา

ไปยังเสนตรงนั้น)

4. กราฟของสมการ y = c เมื่อ c เปนจํานวนจริงใด ๆ เปนเสนตรงที่ขนานกับแกน X

และตัดแกน Y ท่ีจุด (0, c) และกราฟของสมการ x = m เม่ือ m เปนจํานวนจริงใด ๆ

เปนเสนตรงที่ตั้งฉากกับแกน X และตัดแกน X ที่จุด (m, 0)

แบบทดสอบพื้นฐานกอนเรียน

ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร 3

ตัวชี้วัด

• ประยุกตใชระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรในการแกปญหาคณิตศาสตร (ค 1.3 ม.3/3)

สาระการเรียนรูแกนกลาง

• ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร• การแกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร• การนําความรูเกี่ยวกับการแกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรไปใชในการแกปญหา

ความสัมพันธระหวางอุณหภูมิในหนวยองศาเซลเซียส ( ํC)

และหนวยองศาฟาเรนไฮต ( ํF) เปนความสัมพันธเชิงเสน โดยที่

จุดเยือกแข็งของนํ้าเทากับ 0 ํC หรือ 32 ํF และจุดเดือดของนํ้า

เทากับ 100 ํC หรอื 212 ํF ถานกัเรยีนตองการหาสมการแสดงความ

สัมพันธระหวางหนวยองศาเซลเซียสและหนวยองศาฟาเรนไฮต

นักเรียน

จะใชความรู

เกี่ยวกับÊÁ¡ÒÃในàÃ×èͧã´บางและหา

¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸�ไดอยางไร

Q.

ระบบสมการเชงิเส้นสองตวัแปร

หน่วยการเรียนรู้ที่

1

ที่มา : คลังภาพ อจท.

ถานักเรียนทราบเพิ่มขึ้นอีกวา “ฟามีเหรียญบาทมากกวานํ้า 2 เหรียญ” นักเรียนสามารถ

บอกไดหรือไมวา ฟาและนํ้ามีเหรียญบาทคนละกี่เหรียญ

จากขอความ “ฟามีเหรียญบาทมากกวานํ้า 2 เหรียญ” นักเรียนสามารถเขียนประโยค

สัญลักษณไดเปน x - y = 2 ซึ่งคําตอบของสมการนี้มีหลายคําตอบ ไดแก (2, 0), (3, 1), (4, 2),

(5, 3), (6, 4), (7, 5), (8, 6), (9, 7), … เมื่อพิจารณาคําตอบของสมการ x + y = 12 และx - y = 2 จะเห็นวา (7, 5) เปนเพียงคําตอบเดียวที่สอดคลองกับสมการทั้ง 2 สมการ นั่นคือ

เมือ่นกัเรยีนทราบรายละเอยีดเพิม่ขึน้ ทาํใหนักเรยีนสามารถบอกไดวา ฟามเีหรียญบาท 7 เหรยีญ

และนํ้ามีเหรียญบาท 5 เหรียญ

เรียก x + y = 12 x - y = 2

วา ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร

และเรียก (7, 5) วา คําตอบของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร

เมื่อเขียนกราฟแสดงคําตอบของสมการ x + y = 12 และ x - y = 2 มาเขียนกราฟ

ในระบบพิกัดฉากเดียวกันจะพบวา สมการทั้งสองมีจุด (7, 5) เปนจุดรวม

เมือ่พจิารณากราฟจะพบวา คาํตอบ

ของระบบสมการ คือ จุดตัดของ

กราฟของสมการ

¤³Ôµ¹‹ÒÃÙŒ

X

Y

0 2 4 6 8 10

6

12

10

8

4

2 x + y = 12

x - y = 2

ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร 5

1.1 ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรนักเรียนทราบมาแลววา สมการเชิงเสนสองตัวแปร หมายถึง สมการที่อยูในรูป

Ax + By + C = 0 เมื่อ A, B และ C เปนคาคงตัวที่ A และ B ไมเทากับศูนยพรอมกัน หรือ

สามารถจัดรูปสมการเชิงเสนสองตัวแปรได 2 แบบ ดังนี้

1. ax + by = c เมื่อ a, b และ c เปนคาคงตัวที่ a และ b ไมเทากับศูนยพรอมกัน

2. y = ax + b เมื่อ a และ b เปนคาคงตัวที่ a ไมเทากับศูนย

นอกจากนี้ นักเรียนไดทราบมาแลววา คําตอบของสมการเชิงเสนสองตัวแปรที่มี x และ y เปนตัวแปร คือ จํานวนที่แทน x และ y แลวทําใหสมการเปนจริง เมื่อนักเรียนนําคูอันดับที่เปน

คําตอบของสมการเชิงเสนไปเขียนกราฟในระบบพิกัดฉาก จะได กราฟของสมการเชิงเสน

ในหัวขอน้ี นักเรียนจะไดศึกษาระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร ซึ่งตองใชความรูเกี่ยวกับ

สมการที่อยูในรูป ax + by = c

ใหนักเรียนพิจารณาสถานการณตอไปนี้

ถานกัเรยีนทราบแตเพยีงวา “ฟาและนํา้มเีหรยีญบาทรวมกัน 12 เหรยีญ” นกัเรยีนจะทราบ

แนนอนหรือไมวา ฟาและนํ้ามีเหรียญบาทคนละกี่เหรียญ

กําหนดให x แทนจํานวนเหรียญบาทของฟา

y แทนจํานวนเหรียญบาทของนํ้า

นักเรียนสามารถเขียนขอความขางตนเปนประโยคสัญลักษณไดเปน x + y = 12 จะเห็นวา

คําตอบของสมการนี้มีหลายคําตอบ ไดแก (0, 12), (1, 11), (2, 10), (3, 9), (4, 8), (5, 7),

(6, 6), (7, 5), (8, 4), (9, 3), (10, 2), (11, 1) และ (12, 0) ซึ่งนักเรียนไมสามารถบอกไดวา

ฟาและนํ้ามีเหรียญบาทคนละกี่เหรียญ

4

ถาเอาจํานวนเหรียญมารวมกันตองเปน x + y ใชไหม

ใหจํานวนเหรียญของฉันเปน x แลวใหจํานวนเหรียญ

ของเธอเปน y แลวกัน

จากที่กลาวมา จะเห็นวา ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรประกอบดวยสมการเชิงเสนที่มี

ตัวแปร 2 ตัว และมีจํานวนสมการจํานวนจํากัด ซึ่งในระดับชั้นนี้นักเรียนจะไดศึกษาระบบสมการ

เชิงเสนสองตัวแปรที่ประกอบดวยสมการเชิงเสนสองตัวแปร 2 สมการ

ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรประกอบดวยสมการเชิงเสนที่มีตัวแปร 2 ตัว

และมีจํานวนสมการจํานวนจํากัด

กําหนดให a, b, c, d, e และ f เปนจํานวนจริงใด ๆ ที่ a และ b ไมเทากับศูนย

พรอมกัน และ d, e ไมเทากับศูนยพรอมกัน

เรียก ax + by = c

dx + ey = f

วา ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรที่ประกอบดวย 2 สมการ

และคําตอบของระบบสมการ คือ จํานวนที่แทน x และ y แลวทําใหสมการ

เปนจริงทั้ง 2 สมการ และนิยมเขียนคําตอบของระบบสมการในรูป (x, y)

ใหนักเรียนพิจารณาคําตอบของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรดวยการเขียนกราฟของ

แตละสมการในระบบพิกัดฉากเดียวกัน ดังตัวอยางตอไปนี้

กําหนดให x, y เปนจํานวนจริงใด ๆ จงเขียนกราฟของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรท่ีมี

2 สมการดังตอไปนี้ ในระบบพิกัดฉากเดียวกัน พรอมทั้งหาคําตอบของระบบสมการ

2x - y = 5

3x + y = 10

วิธีทํา ให 2x - y = 5 .....➀ 3x + y = 10 .....➁ เขียนกราฟของสมการ ➀ และ ➁ ได ดังนี้

ตัวอย่างที่ 1

ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร 7

จากสถานการณเดมิทีน่กัเรยีนทราบแตเพยีงวา “ฟาและนํา้มเีหรยีญบาทรวมกนั 12 เหรยีญ”

ถามีรายละเอียดเพิ่มเติมเปนอยางอ่ืน นักเรียนคิดวา ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรยังคงเปน

ระบบสมการเดิมหรือไม และคําตอบของระบบสมการยังคงเปนคําตอบเดิมหรือไม

ใหนักเรียนพิจารณารายละเอียดเพิ่มเติมในแตละขอตอไปนี้

1. ถารายละเอยีดทีท่ราบเพิม่เติม คือ “นํา้มเีหรยีญบาทเปน 2 เทาของเหรยีญบาททีฟ่าม”ี

นักเรียนสามารถเขียนขอความนี้เปนประโยคสัญลักษณไดเปน y = 2x ซึ่งคําตอบ

ของสมการนี้มีหลายคําตอบ ไดแก (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10), …

เมื่อพิจารณาคําตอบของสมการ x + y = 12 และ y = 2x จะเห็นวา (4, 8) เปนเพียง

คําตอบเดียวที่สอดคลองกับทั้ง 2 สมการ และทําใหนักเรียนทราบแนนอนวา ฟามี

เหรียญบาท 4 เหรียญ และนํ้ามีเหรียญบาท 8 เหรียญ

เรียก x + y = 12 y = 2x วา ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร

และเรียก (4, 8) วา คําตอบของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร

นักเรียนจะเห็นวา จากสถานการณที่กําหนด เมื่อใชระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรจะหา

คําตอบไดแนนอนวา ฟาและนํ้ามีเหรียญบาทคนละกี่เหรียญ แตคําตอบของระบบสมการตางไป

จากคําตอบเดิม

2. ถาทราบรายละเอียดเพิ่มเติมจากขอ 1. วา “นํ้ามีเหรียญบาทมากกวาฟาอยู 4 เหรียญ”

นักเรียนสามารถเขียนขอความนี้เปนประโยคสัญลักษณไดเปน y - x = 4 ซึ่งคําตอบ

ของสมการนี้มีหลายคําตอบ ไดแก (1, 5), (2, 6), (3, 7), (4, 8), (5, 9), … เมื่อนํา

สถานการณเดิมและรายละเอียดเพิ่มเติมมาเขียนเปนประโยคสัญลักษณ จะไดระบบ

สมการเชิงเสนสองตัวแปร ซึ่งมี 3 สมการ ดังนี้

x + y = 12 y = 2x y - x = 4 จะเห็นวา (4, 8) เปนคําตอบของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรนี้

นกัเรียนจะเหน็วา ระบบสมการเชงิเสนสองตวัแปร เมือ่บางสมการมรีายละเอยีดแตกตางกนั

อาจทําใหมีคําตอบของสมการเปลี่ยนแปลงหรือไมเปลี่ยนแปลงก็ได

6

กําหนดให x, y เปนจํานวนจริงใด ๆ จงเขียนกราฟของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรท่ีมี

2 สมการดังตอไปนี้ ในระบบพิกัดฉากเดียวกัน พรอมทั้งหาคําตอบของระบบสมการ

x + 2y = 8

2x + 4y = 20

วิธีทํา ให x + 2y = 8 .....➀ 2x + 4y = 20 .....➁ เขียนกราฟของสมการ ➀ และ ➁ ได ดังนี้

ตัวอย่างที่ 2

ลองทําดู

กําหนดให x, y เปนจํานวนจริงใด ๆ จงเขียนกราฟของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร

ที่มี 2 สมการดังตอไปนี้ ในระบบพิกัดฉากเดียวกัน พรอมทั้งหาคําตอบของระบบสมการ

x - 3y = 4

2x - 6y = 10

เนื่องจากเสนตรงที่ไดจากสมการ ➀ และ ➁ ขนานกัน จึงไมมีจุดตัดของระบบสมการ

ซึ่งแสดงวาไมมีคา x และ y ที่สอดคลองกับระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรนี้

ดังนั้น ระบบสมการเชิงเสนนี้ไมมีคําตอบ ตอบ

ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร 9

X

Y

0

8

6

4

2

42 6 8

2x + 4y = 20x + 2y = 8

10

จากกราฟ จะเห็นวา มีคูอันดับมากมายที่เปนคําตอบของสมการ 2x - y = 5 และมีคูอันดับมากมายที่เปนคําตอบของสมการ 3x + y = 10

เนื่องจากกราฟของสมการทั้งสองเปนเสนตรง 2 เสนซึ่งตัดกันที่จุด (3, 1) หรือกราฟ

ของสมการทั้งสองมีจุด (3, 1) เปนจุดรวมเพียงจุดเดียว แสดงวามีคูอันดับเพียงคูเดียว

คือ (3, 1) ที่เปนคําตอบของระบบสมการ

ดังนั้น ระบบสมการนี้จึงมีคําตอบเพียงคําตอบเดียว คือ (3, 1) หรือคําตอบของระบบ

สมการเชิงเสนสองตัวแปร คือ x = 3 และ y = 1 ตอบ

ลองทําดู

กําหนดให x, y เปนจํานวนจริงใด ๆ จงเขียนกราฟของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร

ที่มี 2 สมการดังตอไปนี้ ในระบบพิกัดฉากเดียวกัน พรอมทั้งหาคําตอบของระบบสมการ

2x + y = 5

3x - y = 10

นกัเรยีนคดิวา ระบบสมการเชงิเสนสองตวัแปรมคีาํตอบเดยีวเสมอไปใชหรอืไม ใหนกัเรยีน

ศึกษาตัวอยางที่ 2 และ 3

8

X0

15

20

10

-10

5

-5

-5

5 10 15 20

3x + y = 102x - y = 5

(3, 1)

Y

แสดงวามีคา x และ y สอดคลองกับสมการทั้งสองมากมาย นั่นคือ คูอันดับที่แทนจุด

ทุกจุดบนเสนตรงเปนคําตอบของระบบสมการเชิงเสนที่กําหนดให

เมื่อพิจารณาสมการ x - 2y = 4

จะได 2y = x - 4

y = x - 42

และพิจารณาสมการ 3x - 6y = 12

จะได 6y = 3x - 12 นํา 3 มาหารทั้งสองขางของสมการ

จะได 2y = x - 4

y = x - 42

จะเห็นวา สมการ ➀ และ ➁ เปนสมการเดียวกัน

จงึกลาวไดวา ระบบสมการนีม้คีาของ x และ y ทีส่อดคลองกบัสมการมากมายไมจํากดั

ไดแก จุดทุกจุดบนเสนตรง ซึ่งเขียนในรูป (x, x - 42 ) เมื่อ x เปนจํานวนจริงใด ๆ

ตอบ

ลองทําดู

กําหนดให x, y เปนจํานวนจริงใด ๆ จงเขียนกราฟของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร

ที่มี 2 สมการดังตอไปนี้ ในระบบพิกัดฉากเดียวกัน พรอมทั้งหาคําตอบของระบบสมการ

x + 2y = 9

2x + 4y = 18

¤³Ôµ¹‹ÒÃÙŒ

ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรที่ประกอบดวยสมการที่สามารถจัดใหอยูในรูป ax + by = c ไดทุกสมการ

เปนระบบสมการที่มีคําตอบมากมาย

ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรอาจไมมีคําตอบ หรือมีคําตอบเดียว หรือมีคําตอบมากมาย

ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร 11

กําหนดให x, y เปนจํานวนจริงใด ๆ จงเขียนกราฟของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรท่ีมี

2 สมการดังตอไปนี้ ในระบบพิกัดฉากเดียวกัน พรอมทั้งหาคําตอบของระบบสมการ

x - 2y = 4

3x - 6y = 12

วิธีทํา ให x - 2y = 4 .....➀ 3x - 6y = 12 .....➁ เขียนกราฟของสมการ ➀ และ ➁ ได ดังนี้

ตัวอย่างที่ 3

¤³Ôµ¹‹ÒÃÙŒ

กําหนดให a, b, c และ d เปนจํานวนจริงใด ๆ ที่ไมเทากับศูนย

ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร

ax + by = c

ax + by = d

เปนระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรที่ไมมีคําตอบ

จากกราฟ จะเห็นวา เสนตรงที่ไดจากสมการ ➀ และ ➁ เปนเสนตรงเสนเดียวกัน

หรือกลาววาเสนตรงทั้งสองนั้นซอนทับกัน

10

X

Y

-1 0

1

-1

-2

-3

1 2 3

3x - 6y = 12

4 5

x - 2y = 4

ระดับ กลาง

5) 6)

7) 8)

Y

0 X

Y

0 X

Y

0 X

Y

0 X

2. จงหาคําตอบของระบบสมการตอไปนี้ โดยใชกราฟ

1) x + y = 8 และ x - y = 2

2) 3x + 4y = -5 และ 2x - 3y = 8

3) 2x + 3y = 8 และ 4x + 5y = 12

4) x - 3y = 6 และ x - 3y = 9

5) x - 2y = 6 และ 2x - 4y = 8

6) 4x + 3y = 12 และ 8x + 6y = 24

7) x = 2 และ 2x - y = 7

8) x + 2y = 3 และ y = 4

9) x - y = -6 และ x - y = 6

10) 2x + y = 4 และ 4x + 2y = 12

ระดับ ทาทาย

3. จงพิจารณาวา ระบบสมการตอไปนี้มีคําตอบหรือไม ถามีคําตอบ มี 1 คําตอบ หรือมีคําตอบ

มากมาย โดยใชวิธีการสังเกตสัมประสิทธิ์ของตัวแปรในระบบสมการ

1) x + y = 3 และ 2x - y = 8

2) 3x - y = -4 และ 9x - 3y = -12

3) -2x + 4y = 3 และ -6x + 12y = 1

ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร 13

จากตัวอยางที่ 1, 2 และ 3 ซึ่งหาคําตอบของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรโดยใชกราฟ

ถาพิจารณาความสัมพันธระหวางสัมประสิทธิ์ของตัวแปรและพจนคาคงตัว จะเห็นวา

ในตัวอยางที่ 1 ซึ่งเปนระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรที่มีคําตอบของระบบสมการเพียง

คําตอบเดียว สัมประสิทธิ์ของตัวแปร x สัมประสิทธิ์ของตัวแปร y และคาคงตัว ทั้ง 2 สมการ

ไมเทากัน

ในตวัอยางที ่2 ซึง่เปนระบบสมการเชงิเสนสองตวัแปรท่ีไมมคีาํตอบ สมัประสทิธิข์องตัวแปร

x สัมประสิทธิ์ของตัวแปร y และคาคงตัว มีลักษณะทํานองเดียวกับตัวอยางที่ 1 แตเมื่อนํา 2 หาร

ทุกพจนของสมการ ➁ จะทําใหสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x และสัมประสิทธิ์ของตัวแปร y เทากัน

แตพจนคาคงตัวไมเทากัน

ในตัวอยางที่ 3 ซึ่งเปนระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรที่มีคําตอบมากมายไมจํากัด

สมัประสทิธิข์องตวัแปร x สมัประสทิธิข์องตวัแปร y และคาคงตวั มลีกัษณะทาํนองเดยีวกบัตัวอยาง

ที่ 1 แตเมื่อนํา 3 หารสมการ ➁ จะทําใหสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x และสัมประสิทธิ์ของตัวแปร

y และคาคงตัว เทากันทั้ง 2 สมการ

แบบฝกทักษะ 1.1ระดับ พื้นฐาน

1. จากกราฟของระบบสมการเชงิเสนสองตวัแปรในแตละขอตอไปนี ้จงพจิารณาวา ระบบสมการ

มีคําตอบหรือไม ถามีคําตอบ มี 1 คําตอบ หรือมีคําตอบมากมาย

1) 2)

3) 4) Y

0 X

Y

0 X

Y

0 X

Y

0 X

12

จากสมการ ➀ เขียน y ในรูปของ x ไดเปน

y = 3x - 17 .....➂ นํา y ที่ไดจากสมการ ➂ แทนในสมการ ➁ จะได x + 2(3x - 17) = 8

สมการนี้เปนสมการตัวแปรเดียว แกสมการหาคา x จะได x + 6x - 34 = 8

x + 6x = 8 + 34

7x = 42

x = 427

หรือ x = 6

เมื่อแทน x ดวย 6 ในสมการ ➂ จะได y = 3(6) - 17

= 18 - 17

หรือ y = 1

ตรวจสอบคําตอบ

เมื่อแทน x ดวย 6 และแทน y ดวย 1 ในสมการ ➀ และ ➁ จะได 3(6) - 1 = 17 จะได 6 + 2(1) = 8

18 - 1 = 17 6 + 2 = 8

17 = 17 8 = 8

ซึ่งทําใหสมการเปนจริง ซึ่งทําใหสมการเปนจริง

ดังนั้น คําตอบของระบบสมการ คือ (6, 1) ตอบ

ลองทําดู

จงแกระบบสมการตอไปนี้

4x - y = 11

x + 3y = -7

ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร 15

1.2 การแกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรการแกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร หมายถึง การหาคําตอบของระบบสมการเชิงเสน

สองตัวแปรนั้น ในหัวขอที่ผานมา นักเรียนจะเห็นวา คําตอบของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร

สามารถหาไดโดยใชกราฟ ในหัวขอนี้ นักเรียนจะไดศึกษาวิธีการหาคําตอบหรือวิธีการแกระบบ

สมการเชิงเสนสองตัวแปรมี 2 วิธี ดังนี้

1. วิธีแกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรโดยการแทนคา

กําหนดระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร

ax + by = c …..➀ dx + ey = f …..➁

วิธีการแกสมการโดยการแทนคามีขั้นตอน ดังนี้

1) เลือกสมการ ➀ หรือ ➁ เพื่อเขียนตัวแปรหนึ่งในรูปของอีกตัวแปรหนึ่ง เชน เขียน x ในรูปของ y หรือเขียน y ในรูปของ x 2) นําสมการที่ไดจากการจัดรูปในขอ 1) แทนที่ตัวแปรนั้นในอีกสมการหนึ่ง

3) แกสมการในขอ 2) จะไดคาของตัวแปรหนึ่ง

4) นาํคาของตัวแปรทีไ่ดจากขอ 3) แทนคาสมการในขอ 1) จะไดคาของตัวแปรอกีตวัหนึง่

นําคาของตัวแปรทั้งสองซึ่งเปนคําตอบของระบบสมการเชิงเสนนี้มาเขียนในรูปของ

คูอันดับ

เมือ่นกัเรียนทราบวิธกีารแกระบบสมการเชงิเสนสองตวัแปรโดยการแทนคาแลว ใหนกัเรยีน

ศึกษาตัวอยางตอไปนี้

จงแกระบบสมการตอไปนี้

3x - y = 17

x + 2y = 8

วิธีทํา ให 3x - y = 17 .....➀ x + 2y = 8 .....➁

ตัวอย่างที่ 4

14

ลองทําดู

จงแกระบบสมการตอไปนี้

4x = 9 - 3y

x - y = 4

ลองทําดู

จงแกระบบสมการตอไปนี้

3x - y = -6

6x = 11 + 2y

จงแกระบบสมการตอไปนี้

2x - y = -4

4x = 7 + 2y

วิธีทํา ให 2x - y = -4 .....➀ 4x = 7 + 2y .....➁ จากสมการ ➀ เขียน y ในรูปของ x ไดเปน

y = 2x + 4 .....➂ นํา y ที่ไดจากสมการ ➂ แทนในสมการ ➁ จะได 4x = 7 + 2(2x + 4) 4x = 7 + 4x + 8 4x - 4x = 15

0 = 15 ทําใหสมการนี้เปนเท็จ

แสดงวา ไมสามารถหาคา x และ y ท่ีทําใหสมการท้ัง 2 สมการในระบบสมการ

เชิงเสนสองตัวแปรเปนจริงได

ดังนั้น ระบบสมการนี้ไมมีคําตอบ ตอบ

ตัวอย่างที่ 6

ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร 17

จงแกระบบสมการตอไปนี้

3x = 9 - 2y

x + y = 3

วิธีทํา ให 3x = 9 - 2y .....➀ x + y = 3 …..➁ จากสมการ ➁ เขียน x ในรูปของ y ไดเปน

x = 3 - y …..➂ นํา x ที่ไดจากสมการ ➂ แทนในสมการ ➀ จะได 3(3 - y) = 9 - 2y

9 - 3y = 9 - 2y

9 - 9 = -2y + 3y

หรือ y = 0

เมื่อแทน y ดวย 0 ในสมการ ➂ จะได x = 3 - 0

หรือ x = 3

ตรวจสอบคําตอบ

เมื่อแทน x ดวย 3 และแทน y ดวย 0 ในสมการ ➀ และ ➁ จะได 3(3) = 9 - 2(0) จะได 3 + 0 = 3

9 = 9 3 = 3

ซึ่งทําใหสมการเปนจริง ซึ่งทําใหสมการเปนจริง

ดังนั้น คําตอบของระบบสมการ คือ (3, 0) ตอบ

ตัวอย่างที่ 5

นกัเรยีนคดิวา การตรวจสอบคาํตอบของระบบสมการสามารถตรวจสอบจากสมการใดสมการหน่ึงเพยีงพอ

หรือไม เพราะเหตุใด

Thinking Time

16

ในตัวอยางที่ 7 เปนการแกระบบ

สมการเชิงเสนสองตัวแปร โดย

การกําจัดตัวแปร y กอน

1) ถานักเรียนตองการแกระบบ

สมการเชิงเส นสองตัวแปร

โดยการกําจัดตัวแปร x กอน

จะทําไดหรือไม และทําได

อยางไร

2) นกัเรยีนคดิวา การกาํจดัตวัแปร

ใดงายตอการหาคําตอบของ

ระบบสมการมากกว ากัน

เพราะเหตุใด

Thinking Time

จงแกระบบสมการตอไปนี้

7x + 3y = 25

2x - 3y = 11

วิธีทํา ให 7x + 3y = 25 .....➀ 2x - 3y = 11 .....➁ กําจัดตัวแปร y โดยใชสมบัติการเทากันสําหรับการบวก ดังนี้

➀ + ➁ จะได

(7x + 3y) + (2x - 3y) = 25 + 11

9x = 36

x = 369

หรือ x = 4

เมื่อแทน x ดวย 4 ในสมการ ➀ จะได 7(4) + 3y = 25

28 + 3y = 25

3y = 25 - 28

3y = -3

y = -33

หรือ y = -1

ดังนั้น คําตอบของระบบสมการ คือ (4, -1) ตอบ

ตัวอย่างที่ 7

ลองทําดู

จงแกระบบสมการตอไปนี้

7x - 5y = -29

4x + 5y = 7

ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร 19

2. วิธีแกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรโดยการกําจัดตัวแปร

การแกสมการเชงิเสนสองตวัแปรโดยการกาํจดัตวัแปร เปนวธิกีารทีน่าํมาเพือ่จดัรปูสมการ

เชงิเสนสองตวัแปรใหไดสมการเชงิเสนตัวแปรเดียวโดยใชสมบติัการเทากันสําหรับการคณู เพือ่ทาํให

สัมประสิทธิ์ของตัวแปรใดตัวแปรหนึ่งเปนจํานวนตรงขามกัน แลวใชสมบัติการเทากันสําหรับ

การบวก เพื่อทําใหไดสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว

สมบัติ

กําหนดให a, b, c และ d แทนจํานวนจริงใด ๆ

1. สมบัติการเทากันสําหรับการบวก

ถา a = b และ c = d แลว a + c = b + d

2. สมบัติการเทากันสําหรับการคูณ

ถา a = b แลว ac = bc เมื่อ c ≠ 0

กําหนดระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร

ax + by = c .....➀ dx + ey = f .....➁

วิธีการแกสมการโดยการกําจัดตัวแปร มีขั้นตอน ดังนี้

1) ทําสัมประสิทธิ์ของตัวแปรที่ตองการกําจัดใหเปนจํานวนตรงขามกันโดยใชสมบัติการ

เทากันสําหรับการคูณ

2) ใชสมบัติการเทากันสําหรับการบวกกําจัดตัวแปรที่มีสัมประสิทธิ์ตรงขามกันในขอ 1)

เมื่อกําจัดตัวแปรตัวหนึ่งออกแลว สมการที่ไดจะเปนสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว

3) หาคําตอบของสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวในขอ 2) คําตอบที่ไดจะเปนคาคงตัว

ของตัวแปรตัวหนึ่ง

4) หาคาของตัวแปรอีกตัวหนึ่ง โดยนําคาของตัวแปรในขอ 3) แทนคาในสมการ ➀หรือ ➁ ก็ได

เมื่อนักเรียนทราบวิธีการแกสมการโดยการกําจัดตัวแปรแลว ใหนักเรียนศึกษาตัวอยาง

ตอไปนี้

18

จงแกระบบสมการตอไปนี้32 x - 34 y = 15

443 x - 53 y = 3

วิธีทํา ให 32 x - 34 y = 15

4 …..➀ 4

3 x - 53 y = 3 …..➁ เพื่อทําใหสัมประสิทธิ์ของ x และ y เปนจํานวนเต็ม จึงตองนํา ค.ร.น. ของ 2, 4

คือ 4 คูณทั้งสองขางของสมการ ➀ และนํา 3 คูณทั้งสองขางของสมการ ➁ ดังนี้

➀ × 4 จะได 6x - 3y = 15 …..➂➁ × 3 จะได 4x - 5y = 9 …..➃

เลือกกําจัดตัวแปร y ตองทําใหสัมประสิทธิ์ของตัวแปร y ใหเปนจํานวนตรงขามกัน

โดยใชสมบัติการเทากันสําหรับการคูณ ดังนี้

➂ × 5 จะได 30x - 15y = 75 …..➄➃ × (-3) จะได -12x + 15y = -27 …..➅

กําจัดตัวแปร y โดยใชสมบัติการเทากันสําหรับการบวก ดังนี้

➄ + ➅ จะได (30x - 15y) + (-12x + 15y) = 75 + (-27)

18x = 48

x = 4818

หรือ x = 83

เมื่อแทน x ดวย 83 ในสมการ ➂ จะได 6 (83) - 3y = 15

16 - 3y = 15

-3y = 15 - 16

-3y = -1

y = -1-3

หรือ y = 13

ดังนั้น คําตอบของระบบสมการ คือ (83, 13) ตอบ

ตัวอย่างที่ 9

ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร 21

จงแกระบบสมการตอไปนี้

4x - 3y = 11

5x + 2y = 8

วิธีทํา ให 4x - 3y = 11 .....➀ 5x + 2y = 8 .....➁ เลือกกําจัดตัวแปร y ตองทําใหสัมประสิทธิ์ของตัวแปร y ใหเปนจํานวนตรงขามกัน

โดยใชสมบัติการเทากันสําหรับการคูณ ดังนี้

➀ × 2 จะได 8x - 6y = 22 .....➂➁ × 3 จะได 15x + 6y = 24 .....➃

กําจัดตัวแปร y โดยใชสมบัติการเทากันสําหรับการบวก ดังนี้

➂ + ➃ จะได (8x - 6y) + (15x + 6y) = 22 + 24

23x = 46

x = 4623

หรือ x = 2

เมื่อแทน x ดวย 2 ในสมการ ➀ จะได 4(2) - 3y = 11

8 - 3y = 11

-3y = 11 - 8

-3y = 3

y = 3-3

หรือ y = -1

ดังนั้น คําตอบของระบบสมการ คือ (2, -1) ตอบ

ตัวอย่างที่ 8

ลองทําดู

จงแกระบบสมการตอไปนี้

4x - 5y = 6

3x - 4y = 3

จากตัวอยางที่ 8 จะเห็นวา

สัมประสิทธิ์ 6 ของ y ในสมการ

➂ และ ➃ เปน ค.ร.น. ของ 2

และ 3 ซึ่งเปนสัมประสิทธิ์ของ y

ในสมการ ➀ และ ➁

¤³Ôµ¹‹ÒÃÙŒ

20

จงแกระบบสมการตอไปนี้

2x + 3y = 6

6x + 9y = 18

วิธีทํา ให 2x + 3y = 6 …..➀ 6x + 9y = 18 …..➁ พิจารณาสมการ ➀ จะเห็นวา เมื่อนํา 3 คูณทั้งสองขางของสมการ ➀ จะไดผลลัพธเปนสมการ ➁ แสดงวา เสนตรง 2 เสนนี้เปนเสนตรงเดียวกัน

ดังนั้น ระบบสมการนี้มีคําตอบมากมายไมจํากัด ไดแก จุดทุกจุดบนเสนตรง

2x + 3y = 6 จาก 2x + 3y = 6 เมื่อเขียน y ในรูปของ x จะได 3y = 6 - 2x

หรือ y = 6 - 2x3

กลาวไดวา ระบบสมการนี้มีคําตอบมากมายไมจํากัดในรูป (x, 6 - 2x3 ) เมื่อ x เปนจํานวนจริงใด ๆ ตอบ

ตัวอย่างที่ 11

เมื่อแทนคา y ดวย 3 ในสมการ ➂ จะได 2x + 3(3) = 5

2x + 9 = 5

2x = 5 - 9

2x = -4

x = -42

หรือ x = -2

ดังนั้น คําตอบของระบบสมการ คือ (-2, 3) ตอบ

ลองทําดู

จงแกระบบสมการตอไปนี้ 0.4x + 0.7y = 0.2

0.5x + 0.9y = 0.3

ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร 23

1. จากตัวอยางที่ 9 ถานักเรียนตองการทําใหสัมประสิทธิ์ของตัวแปรที่ตองการกําจัดเปนเศษสวน

ที่เทากันจะทําไดหรือไม และทําไดอยางไร

2. ถานักเรียนตองการทําใหสัมประสิทธิ์ของตัวแปรที่ตองการกําจัดเปนจํานวนเต็มจะทําไดหรือไม

และทําไดอยางไร

3. นักเรียนคิดวา วิธีในขอ 1. และ 2. วิธีใดเหมาะสมมากกวากัน เพราะเหตุใด

Thinking Time

จงแกระบบสมการตอไปนี้ 0.2x + 0.3y = 0.5

0.7x + 0.4y = -0.2

วิธีทํา ให 0.2x + 0.3y = 0.5 …..➀ 0.7x + 0.4y = -0.2 …..➁ เพื่อทําใหสัมประสิทธิ์ของ x และ y ซึ่งเปนทศนิยม 1 ตําแหนงเปนจํานวนเต็ม

จึงตองนํา 10 คูณทั้งสองขางของสมการ ➀ และ ➁ ดังนี้

➀ × 10 จะได 2x + 3y = 5 …..➂➁ × 10 จะได 7x + 4y = -2 …..➃

เลือกกําจัดตัวแปร x ตองทําใหสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x ใหเปนจํานวนตรงขามกัน

โดยใชสมบัติการเทากันสําหรับการคูณ ดังนี้

➂ × 7 จะได 14x + 21y = 35 …..➄➃ × (-2) จะได -14x - 8y = 4 …..➅

กําจัดตัวแปร x โดยใชสมบัติการเทากันสําหรับการบวก ดังนี้

➄ + ➅ จะได (14x + 21y) + (-14x - 8y) = 35 + 4

13y = 39

y = 3913

หรือ y = 3

ตัวอย่างที่ 10

ลองทําดู

จงแกระบบสมการตอไปนี้32 x - 54 y = 17

223 x - 12 y = 11

3

22

แบบฝกทักษะ 1.2ระดับ พื้นฐาน

1. จงแกระบบสมการในแตละขอตอไปนี้ โดยการแทนคา

1) x + 2y = 7

2x - y = 4

3) x + 3y = 1

2x + 3y = 5

5) x - 3y = -7

21x - 14y = 49

7) 3y + 5x = -3

2x - 3y = -30

2) x - 2y = 0

2x - y = 3

4) 3x - 2y = 7

x - 3y = 2

6) 3y - x = 17

6y - 2x = 10

8) 3y + 5x = -3

9y + 15x = -9

2. จงแกระบบสมการในแตละขอตอไปนี้ โดยการกําจัดตัวแปร

1) 3x + y = 1

5x + y = 2

3) 9x + 8y = 9

3x + 4y = 2

5) 7x - 3y = -9

14x - 6y = 10

7) 3x + 2y = -4

9x + 8y = -11

2) 4x + 6y = 5

x - 3y = 2

4) 2x + 3y = 5

7x + 4y = -3

6) 3x - 8y = 4

15x - 40y = 20

8) 2x - 9y = 9

6x + 3y = 7

ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร 25

ลองทําดู

จงแกระบบสมการตอไปนี้

4x - 5y = 6

20x - 25y = 30

ถา (a, b) เปนคําตอบของระบบสมการ 5x + 3y = -7 และ x + 4y = 2 แลว a + b เทากับเทาใด

1) -3 2) -1 3) 1 4) 3

วิธีทํา ให 5x + 3y = -7 …..➀ x + 4y = 2 …..➁ เลือกกําจัดตัวแปร x ตองทําใหสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x ใหเปนจํานวนตรงขามกัน

โดยใชสมบัติการเทากันสําหรับการคูณ ดังนี้

➁ × (-5) จะได -5x - 20y = -10 …..➂ กําจัดตัวแปร x โดยใชสมบัติการเทากันสําหรับการบวก ดังนี้

➀ + ➂ จะได (5x + 3y) + [-5x + (-20y)] = -7 + (-10)

-17y = -17

y = -17-17

หรือ y = 1

เมื่อแทน y ดวย 1 ในสมการ ➁ จะได x + 4(1) = 2

หรือ x = -2

ดังนั้น คําตอบของระบบสมการ คือ (-2, 1)

จากโจทย (a, b) เปนคําตอบของระบบสมการ แสดงวา a = -2 และ b = 1

จะได a + b = -2 + 1 = -1

ดังนั้น คําตอบ คือ ขอ 2) ตอบ

แนวขอสอบ O-NET

24

1.3 การนําระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร ไปประยกุต ใชในการแกปญหาในสถานการณตาง ๆ ปญหาท่ีเกิดข้ึนในสถานการณตาง ๆ หลายปญหา สามารถนํามาเขียนเปนระบบสมการ

เชิงเสนสองตัวแปรได และใชระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรในการแกปญหา ซ่ึงมีข้ันตอนการ

แกปญหา ดังนี้

1. สมมติตัวแปรสองตัวเพื่อแทนปริมาณ 2 ปริมาณที่ตองการทราบคา

2. สรางระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรที่ประกอบดวยสมการเชิงเสนสองตัวแปร 2

สมการ โดยใชเงื่อนไขจากโจทยปญหานี้

3. แกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร

เม่ือนักเรียนทราบวิธีการแกปญหาโดยใชระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรแลว ใหนักเรียน

ศึกษาตัวอยางการแกปญหาตาง ๆ ตอไปนี้

1. การประยุกต ใชในโจทยปญหาเกี่ยวกับจํานวน

3 เทาของจํานวนที่หนึ่งนอยกวา 2 เทาของจํานวนที่สองอยู 14 และ 9 เทาของจํานวน

ที่สองนอยกวา 16 เทาของจํานวนที่หนึ่งอยู 12 จงหาจํานวนทั้งสองนี้

วิธีทํา ให x แทนจํานวนที่หนึ่ง

y แทนจํานวนที่สอง

จากโจทย 3 เทาของจํานวนที่หนึ่งนอยกวา 2 เทาของจํานวนที่สองอยู 14

มีความหมายเหมือนกับ 2 เทาของจํานวนที่สองมากกวา 3 เทาของจํานวนที่หนึ่ง

อยู 14 เขียนเปนสมการได 2y - 3x = 14 และ 9 เทาของจํานวนที่สองนอยกวา 16 เทาของจํานวนที่หนึ่งอยู 12

มีความหมายเหมือนกับ 16 เทาของจํานวนที่หนึ่งมากกวา 9 เทาของจํานวนที่สอง

อยู 12 เขียนเปนสมการได 16x - 9y = 12

ตัวอย่างที่ 12

ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร 27

ระดับ ทาทาย

ระดับ กลาง

3. จงแกระบบสมการในแตละขอตอไปนี้ โดยการกําจัดตัวแปร

1) 32 x + 54 y = 18

13

- 32 x + 34 y = 1813

3) 3x - 2y4 = -5x + y

2y - 23x = 5

2) 6x + 37 y = 193

3x + 37 y = 43

4) y - 2x5 = 4x - 2y

3

x + 23 = 1 - y

9

4. จงแกระบบสมการในแตละขอตอไปนี้ ที่มี a, b, m, n, p, q, x และ y เปนตัวแปร

1) 0.2x + 0.3y = 0.1

0.8x + 1.2y = 0.4

3) 4(x + 3) = 3y + 7

2(y - 5) = x + 5

5) 13 x = - 13 y + 4

83 = x + 13 y

7) p + 23 = q + 3

4q = p + 23

2) 0.3x + 0.2y = -0.6

0.2x + 0.5y = 0.7

4) 2(p + 3) = 3 - q

3(p - 1) = q - 4

6) m + n2 = 3n - 2

2

3n + 82 = - (m + n

2 )

8) -2a + b5 = 4a - 2b

4

a + 23 = 2 - b

12

5. ถา x = -2 และ y = 5 เปนคําตอบของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร

px + y = 3q

5x + 2qy = -5p

จงหาคาของ p และ q

26

จํานวนที่มี 2 หลักจํานวนหนึ่งมีเลขโดดในหลักหนวยนอยกวาเลขโดดในหลักสิบอยู 3 ถาสลับ

เลขโดดในหลักหนวยและเลขโดดในหลักสิบ ทําให 2 เทาของจํานวนเดิมมากกวา 3 เทาของ

จํานวนใหมที่มีเลขโดดสลับหลักกันอยู 7 จงหาจํานวนนี้

วิธีทํา ให x แทนเลขโดดที่อยูในหลักสิบ

y แทนเลขโดดที่อยูในหลักหนวย

จากโจทย เลขโดดในหลักหนวยนอยกวาเลขโดดในหลักสิบอยู 3

เขียนเปนสมการได x - y = 3 โดยจํานวนนี้เทากับ 10x + y ดังนั้น จํานวนที่มีเลขโดดสลับหลักกันกับจํานวน 10x + y คือ 10y + x และ 2 เทาของจํานวนเดิมมากกวา 3 เทาของ

จํานวนใหมที่มีเลขโดดสลับหลักกันอยู 7

เขียนเปนสมการได

2(10x + y) - 3(10y + x) = 7

20x + 2y - 30y - 3x = 7

17x - 28y = 7

ซึ่งจะไดระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร ดังนี้

x - y = 3 .....➀ 17x - 28y = 7 .....➁ เลอืกกาํจัดตวัแปร x โดยใชสมบัตกิารเทากนัสาํหรบัการคณูและสมบัตกิารเทากนัสาํหรบั

การบวก ดังนี้

➀ × (-17) จะได -17x + 17y = -51 .....➂➁ + ➂ จะได -11y = -44

y = -44-11

หรือ y = 4

แทนคา y ดวย 4 ในสมการ ➀ จะได x - 4 = 3

หรือ x = 7

ตัวอย่างที่ 13

นักเรียนคิดวา จํานวนหาไดจาก

ผลคูณของคาประจําตําแหนง

ในหลักสิบกับเลขโดดท่ีอยูในหลัก

สิบบวกดวยผลคูณของคาประจํา

ตําแหนงในหลักหนวยกับเลขโดด

ที่อยูในหลักหนวยใชหรือไม

Thinking Time

ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร 29

ซึ่งจะไดระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร ดังนี้

2y - 3x = 14 .....➀ 16x - 9y = 12 .....➁

➀ × 9 จะได -27x + 18y = 126 …..➂➁ × 2 จะได 32x - 18y = 24 …..➃➂ + ➃ จะได 5x = 150

x = 1505

หรือ x = 30

เมื่อแทน x ดวย 30 ในสมการ ➀ จะได 2y - 3(30) = 14

2y - 90 = 14

2y = 14 + 90

y = 1042

หรือ y = 52

ตรวจสอบคําตอบ

เนื่องจาก 2(52) - 3(30) = 104 - 90 = 14

จะไดวา 3 เทาของจํานวนที่หนึ่งนอยกวา 2 เทาของจํานวนที่สองอยู 14

ตามที่โจทยกําหนด

และเนื่องจาก 16(30) - 9(52) = 480 - 468 = 12

จะไดวา 9 เทาของจํานวนที่สองนอยกวา 16 เทาของจํานวนที่หนึ่งอยู 12

ตามที่โจทยกําหนด

ดังนั้น จํานวนที่หนึ่งเทากับ 30 และจํานวนที่สองเทากับ 52 ตอบ

ลองทําดู

2 เทาของจํานวนที่หนึ่งมากกวา 5 เทาของจํานวนที่สองอยู 7 และ 3 เทาของจํานวนที่สอง

นอยกวา 4 เทาของจํานวนที่หนึ่งอยู 21 จงหาจํานวนทั้งสองนี้

28

ดังนั้น คาปลูกดอกกุหลาบตามขอบสนามหญาดานยาวที่อยูติดกับถนนใหญ

เทากับ 10y บาท

คาปลูกดอกกุหลาบตามขอบสนามหญาดานยาวที่ไมติดกับถนนใหญเทากับ 5y บาท

และคาปลูกดอกกุหลาบตามขอบสนามหญาดานกวางอีก 2 ดานเทากับ 5x + 5x บาท

เขียนเปนสมการได

10y + 5y + 5x + 5x = 11,325

15y + 10x = 11,325

นํา 5 มาหารทั้งสองขางของสมการ

จะได 3y + 2x = 2,265

ซึ่งจะไดระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร ดังนี้

3y + 2x = 2,265 .....➀ x + y = 870 …..➁ เลอืกกําจดัตวัแปร x โดยใชสมบัตกิารเทากนัสาํหรบัการคณูและสมบตักิารเทากนัสาํหรบั

การบวก ดังนี้

➁ × (-2) จะได -2y - 2x = -1,740 …..➂➀ + ➂ จะได y = 525

เมื่อแทน y ดวย 525 ในสมการ ➁ จะได x + 525 = 870

x = 870 - 525

หรือ x = 345

ตรวจสอบคําตอบ

คาปลูกดอกกุหลาบตามขอบสนามหญาดานยาวที่ติดกับถนนใหญเทากับ 10(525)

= 5,250 บาท

คาปลูกดอกกุหลาบตามขอบสนามหญาดานยาวที่ไมติดกับถนนใหญเทากับ 5(525)

= 2,625 บาท

คาปลูกดอกกุหลาบตามขอบสนามหญาดานกวางอีก 2 ดาน เทากับ 5 × (345 × 2)

= 3,450 บาท

เสียคาปลูกดอกกุหลาบทั้งหมดเทากับ 5,250 + 2,625 + 3,450 = 11,325 บาท

และเสนรอบรูปของสนามหญายาว 2 × (525 + 345) = 1,740 ฟุต

ดังนั้น สนามหญานี้มีความกวางเทากับ 345 ฟุต และมีความยาวเทากับ 525 ฟุต

ตอบ

ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร 31

ตรวจสอบคําตอบ

จากเลขโดดในหลักหนวยนอยกวาเลขโดดในหลักสิบอยู 3 จะได 7 - 4 = 3

และจากผลตางของ 2 เทาของจํานวนเดิมกับ 3 เทาของจํานวนใหมที่มีเลขโดด

สลับหลักกันอยู 7

จะได (2 × 74) - (3 × 47) = 148 - 141 = 7

ดังนั้น จํานวนนี้ คือ 74 ตอบ

ลองทําดู

จํานวนที่มี 2 หลักจํานวนหนึ่งมีเลขโดดในหลักหนวยมากกวาเลขโดดในหลักสิบอยู 5

ถาสลับเลขโดดในหลักหนวยและเลขโดดในหลักสิบ ทําให 5 เทาของจํานวนเดิมนอยกวา

3 เทาของจํานวนใหมที่มีเลขโดดสลับหลักกันอยู 37 จงหาจํานวนนี้

คุณพิมพใจวาจางลุงบุญสมมาตกแตงสวน โดยใหชวยปลูกตนกุหลาบตามแนวขอบสนามหญา

รูปสี่เหลี่ยมผืนผา ขอบสนามหญาดานยาวดานหนึ่งอยูติดถนนใหญ ลุงบุญสมคิดคาปลูกฟุตละ

10 บาท และที่ขอบสนามดานอื่นอีก 3 ดาน คิดคาปลูกฟุตละ 5 บาท ถาเสนรอบรูปของสนาม

หญายาว 1,740 ฟุต และคุณพิมพใจตองจายคาจางทั้งหมด 11,325 บาท จงหาความยาวและ

ความกวางของสนามหญานี้

วิธีทํา ให x แทนความยาวดานกวางของสนามหญา

y แทนความยาวดานยาวของสนามหญา

จากโจทย เสนรอบรูปของสนามหญายาว 1,740 ฟุต

เขียนเปนสมการได

2(x + y) = 1,740

นํา 2 มาหารทั้งสองขางของสมการ

จะได x + y = 870

และลุงบุญสมคิดคาปลูกดอกกุหลาบตามขอบสนามหญาดานยาวที่อยูติดกับถนนใหญ

ฟุตละ 10 บาท สวนขอบสนามหญาดานอื่นอีก 3 ดาน คิดคาปลูกฟุตละ 5 บาท

และคุณพิมพใจตองจายคาจางทั้งหมด 11,325 บาท

ตัวอย่างที่ 14

ความยาวรอบรูปของรูป

สี่เหลี่ยมผืนผาเทากับ

2(ความกวาง + ความยาว)

¤³Ôµ¹‹ÒÃÙŒ

30

พิจารณาเงินที่เกงและกลามีในตอนแรก

จากรูปที่ 2 จะเห็นวา และ มีคาเทากัน จะไดวา

11 หนวย รวมกับ 6 5 หนวย เทากับ 580 บาท

11 หนวย เทากับ 580 - (5 × 6) = 550 บาท

1 หนวย เทากับ 55011 = 50 บาท

ดังนั้น เกงและกลาใชเงินรวมกันทั้งหมด 7 หนวย รวมกับ 6 3 หนวย เทากับ

(7 × 50) + (3 × 6) = 368 บาท

คําถาม

จิ๊บและจอยมีเงินรวมกัน 600 บาท จิ๊บใชเงินไป 35 ของเงินที่จิ๊บมีอยู จอยใชเงินไป 23 ของเงิน

ที่จอยมีอยู ปรากฏวาจอยเหลือเงินมากกวาจิ๊บ 24 บาท อยากทราบวา จิ๊บและจอยใชเงิน

ไปรวมกันทั้งหมดกี่บาท

คําถาม

เทคนิคการแกโจทยปญหาระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร

6

6

6

6

6

เงินที่กลาใชไป

กลา เกง

580

รูปที่ 2

เงินที่เกงใชไป

ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร 33

ลองทําดู

ในการจัดสวนหยอมรูปส่ีเหล่ียมผืนผาครั้งหน่ึง โดยตกลงใหปลูกตนเบญจมาศตามแนวขอบ

ดานยาวของสวนหยอม และปลูกตนดาวเรืองตามแนวขอบดานกวางของสวนหยอม ซึ่งการ

ปลูกตนเบญจมาศคิดคาปลูกเมตรละ 100 บาท แตการปลูกตนดาวเรืองคิดคาปลูกเมตรละ

75 บาท ถาเสนรอบรูปของสวนหยอมยาว 114 เมตร และเสียคาปลูกตนไมทั้งหมด 10,800

บาท จงหาความยาวและความกวางของสวนหยอมนี้

กิจกรรม คณิตศาสตร

ãËŒ¹Ñ¡àÃÕ¹ᡌ⨷Â�»̃ÞËÒâ´Â㪌ºÒÃ�âÁà´Å (Bar model)

ตัวอยาง เกงและกลามเีงนิรวมกนั 580 บาท กลาใชเงนิไป 35 ของเงนิทีก่ลามีอยู เกงใชเงนิไป 23 ของเงินที่เกงมีอยู ปรากฏวากลาเหลือเงินมากกวาเกง 12 บาท อยากทราบวา

เกงและกลาใชเงินรวมกันทั้งหมดกี่บาท

จากโจทย เขียนเปนบารโมเดลโดย

พิจารณาเงินที่เกงและกลาเหลืออยูได ดังนี้

เกง 13

ของเงินที่เกงมีอยู

กลา 25

ของเงินที่กลามีอยู

กลา 6 15

ของเงินที่กลามีอยู

รูปที่ 1

12 บาท

32

ลองทําดู

แบตเตอรี่ 2 กอนที่มียี่หอตางกัน ผลิตแรงเคลื่อนไฟฟารวมกันได 7.5 โวลต ถาแบตเตอรี่

2 กอนนี้ ผลิตแรงเคลื่อนไฟฟาไดตางกัน 4.5 โวลต จงหาวา แบตเตอรี่แตละกอนผลิต

แรงเคลื่อนไฟฟาไดกี่โวลต

ปฏิกิริยาเคมีระหวางโพรเพน (C3H8) กับออกซิเจน (O2) เขียนเปนสมการเคมีไดเปน

C3H8 + pO2 4H2O + qCO2

เมื่อ p และ q เปนจํานวนเต็ม

จากสมการเคมีขางตน ถา p และ q มีความสัมพันธ ดังนี้

p = 2q - 1 และ 3p = 4q + 3

ใหหาคาของ p และ q

วิธีทํา จากความสัมพันธของ p และ q ไดเปนระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร ดังนี้

p = 2q - 1 .....➀ 3p = 4q + 3 .....➁ แทนสมการ ➀ ในสมการ ➁ จะได 3(2q - 1) = 4q + 3

6q - 3 = 4q + 3

2q = 6

หรือ q = 3

เมื่อแทน q ดวย 3 ในสมการ ➀ จะได p = 2(3) - 1

หรือ p = 5

ตรวจสอบคําตอบ

เมื่อแทน p ดวย 5 ทางดานซายของสมการเคมีขางตน

จะได C3H8 + 5O2

ทําใหมี C จํานวน 3 อะตอม H จํานวน 8 อะตอม และ O จํานวน 10 อะตอม

ตัวอย่างที่ 16

ในตัวอยางที่ 16 เปนปฏิกิริยาเคมีที่เรียกวา ปฏิกิริยาการเผาไหมของเชื้อเพลิง ซึ่งเปนปฏิกิริยาระหวางเชื้อเพลิงท่ีมีธาตุคารบอน (C) เปนองคประกอบกับแกสออกซิเจน (O2) ปฏิกิริยาเผาไหม จะกอใหเกิดพลังงานซึ่งมนุษยสามารถนํากลับมาใชประโยชนไดมากมาย เชน ใชในการหุงตมอาหาร ใชผลิตกระแสไฟฟา

เกร็ด น่ารู้

ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร 35

2. การประยุกต ใชทางวิทยาศาสตร

แบตเตอรี่ 2 กอนที่มียี่หอตางกัน ผลิตแรงเคลื่อนไฟฟารวมกันได 4.5 โวลต ถาแบตเตอร่ี

2 กอนนี้ ผลิตแรงเคล่ือนไฟฟาไดตางกัน 1.5 โวลต จงหาวา แบตเตอรี่แตละกอนผลิต

แรงเคลื่อนไฟฟาไดกี่โวลต

วิธีทํา ให แบตเตอรี่กอนที่หนึ่งผลิตแรงเคลื่อนไฟฟาได x โวลต แบตเตอรี่กอนที่สองผลิตแรงเคลื่อนไฟฟาได y โวลต

จากโจทย แบตเตอรี่ 2 กอน ผลิตแรงเคลื่อนไฟฟารวมกันได 4.5 โวลต

เขียนเปนสมการได

x + y = 4.5

และแบตเตอรี่ 2 กอน ผลิตแรงเคลื่อนไฟฟาไดตางกัน 1.5 โวลต

เขียนเปนสมการได

x - y = 1.5

ซึ่งจะไดระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร ดังนี้

x + y = 4.5 .....➀ x - y = 1.5 …..➁ เลือกกําจัดตัวแปร y โดยใชสมบัติการเทากันสําหรับการบวก ดังนี้

➀ + ➁ จะได 2x = 6

x = 62

หรือ x = 3

เมื่อแทน x ดวย 3 ในสมการ ➀ จะได 3 + y = 4.5

หรือ y = 1.5

ตรวจสอบคําตอบ

แบตเตอรี่ 2 กอน ผลิตแรงเคลื่อนไฟฟารวมกันได 3 + 1.5 = 4.5 โวลต

แบตเตอรี่ 2 กอน ผลิตแรงเคลื่อนไฟฟาไดตางกัน 3 - 1.5 = 1.5 โวลต

ดังนั้น แบตเตอรี่กอนที่หนึ่งผลิตแรงเคลื่อนไฟฟาได 3 โวลต

แบตเตอรี่กอนที่สองผลิตแรงเคลื่อนไฟฟาได 1.5 โวลต ตอบ

ตัวอย่างที่ 15

34

เขียนเปนสมการได

x - y = 80

ซึ่งจะไดระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร ดังนี้

x + y = 240 .....➀ x - y = 80 .....➁ เลือกกําจัดตัวแปร y โดยใชสมบัติการเทากันสําหรับการบวก ดังนี้

➀ + ➁ จะได 2x = 320

x = 3202

หรือ x = 160

เมื่อแทน x ดวย 160 ในสมการ ➀ จะได 160 + y = 240

หรือ y = 80

ตรวจสอบคําตอบ

ครอบครัวนี้ปลูกถั่วเหลืองและขาวโพดรวมกัน 160 + 80 = 240 ไร

และปลูกถั่วเหลืองมากกวาขาวโพด 160 - 80 = 80 ไร

ดังนั้น ครอบครัวนี้ปลูกถั่วเหลือง 160 ไร และปลูกขาวโพด 80 ไร ตอบ

นายกนกเปนเกษตรกร ผลิตนํ้าหมักชีวภาพ 2 สูตร ซึ่งนํ้าหมักชีวภาพประกอบดวยกากนํ้าตาล

และเศษอาหาร โดยนํ้าหมักชีวภาพสูตรที่หนึ่งมีกากนํ้าตาล 10% และนํ้าหมักชีวภาพสูตรที่สอง

มีกากนํ้าตาล 30% นายกนกไดทําการทดลองโดยนํานํ้าหมักชีวภาพทั้ง 2 สูตรมาผสมกันเพื่อ

ใหไดนํา้หมกัชวีภาพสตูรใหมจํานวน 20 ลติร ทีม่กีากนํา้ตาลอยู 15% นายกนกจะตองใชนํา้หมกั

ชวีภาพแตละสตูรอยางละกีล่ติรมาผสมกนั จงึจะไดนํา้หมกัชีวภาพสตูรใหมตามจาํนวนทีต่องการ

วิธีทํา ให ใชนํ้าหมักชีวภาพสูตรที่หนึ่งซึ่งมีกากนํ้าตาล 10% จํานวน x ลิตร ใชนํ้าหมักชีวภาพสูตรที่สองซึ่งมีกากนํ้าตาล 30% จํานวน y ลิตร

ตัวอย่างที่ 18

ลองทําดู

ลุงตรีมีที่ดิน 250 ไร วางแผนที่จะปลูกองุนและสตรอวเบอรรีในปนี้วา ปลูกองุนมากกวา

สตรอวเบอรรี 110 ไร จงหาวา ลุงตรีปลูกองุนและสตรอวเบอรรีอยางละกี่ไร

ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร 37

และเมื่อ แทน q ดวย 3 ทางดานขวาของสมการเคมีขางตน

จะได 4H2O + 3CO2

ทําใหมี C จํานวน 3 อะตอม H จํานวน 8 อะตอม และ O จํานวน 10 อะตอม

จะเห็นวา สมการเคมีทั้งสองขางมีจํานวนของ C, H และ O เทากัน

ดังนั้น สมการทั้งสองขางสมดุลกัน

นั่นคือ คาของ p เทากับ 5 และคาของ q เทากับ 3 ตอบ

ลองทําดู

ปฏิกิริยาเคมีระหวางฟอสฟอรัสเพนตะคลอไรด (PCl5) กับนํ้า (H2O) เขียนเปนสมการเคมี

ไดเปน

PCl5 + pH2O qH3PO4 + 5HCl

เมื่อ p และ q เปนจํานวนเต็ม

จากสมการเคมีขางตน ถา p และ q มีความสัมพันธ ดังนี้

p = 2q + 2 และ 2p = 5q + 3

ใหหาคาของ p และ q

3. การประยุกต ใชทางเกษตรกรรม

ครอบครัว “รักทําสวน” มีพื้นที่ 240 ไร วางแผนท่ีจะปลูกถั่วเหลืองและขาวโพดในปนี้วา

ปลกูถัว่เหลอืงมากกวาขาวโพด 80 ไร จงหาวา ครอบครวันีป้ลูกถัว่เหลอืงและขาวโพดอยางละกีไ่ร

วิธีทํา ให ครอบครัวนี้ปลูกถั่วเหลืองจํานวน x ไร ครอบครัวนี้ปลูกขาวโพดจํานวน y ไร

จากโจทย ครอบครัวนี้มีพื้นที่สําหรับปลูกถั่วเหลืองและขาวโพด 240 ไร

เขียนเปนสมการได

x + y = 240

และปลูกถั่วเหลืองมากกวาขาวโพด 80 ไร

ตัวอย่างที่ 17

36

เมื่อแทน y ดวย 5 ในสมการ ➀ จะได x + 5 = 20

หรือ x = 15

ตรวจสอบคําตอบ

ใชนํ้าหมักชีวภาพสูตรที่หนึ่งมาผสม 15 ลิตร จะมีกากนํ้าตาล 10100 × 15 = 1.5 ลิตร

ใชนํ้าหมักชีวภาพสูตรที่สองมาผสม 5 ลิตร จะมีกากนํ้าตาล 30100 × 5 = 1.5 ลิตร

จะไดวา ในนํ้าหมักชีวภาพสูตรใหมที่ผสมกัน 20 ลิตร จะมีกากนํ้าตาล

1.5 + 1.5 = 3 ลิตร

คิดเปนกากนํ้าตาลเทากับ 320 × 100 = 15%

ดังนั้น ใชนํ้าหมักชีวภาพสูตรที่หนึ่ง 15 ลิตร

และใชนํ้าหมักชีวภาพสูตรที่สอง 5 ลิตร ตอบ

ลองทําดู

ลุงกอนเปนเจาของสวนผักแหงหน่ึง สนใจจะปลูกผัก

ไฮโดรพอนิกส โดยปุยไฮโดรพอนิกสมีสวนผสมของปุย

2 ชนิด คือ ปุย A และปุย B ซึ่งปุยแตละชนิดประกอบดวย

ผงปุยและนํ้า โดยปุย A มีผงปุย 30% และปุย B มีผงปุย

40% ลุงกอนไดทําการทดลองโดยการนําปุยทั้ง 2 ชนิดมา

ผสมกนั เพือ่ใหไดปุยไฮโดรพอนกิสสตูรใหมจาํนวน 20 ลติร

ทีม่ผีงปุย A และผงปุย B รวมกนั 33% ลงุกอนจะตองนาํปุย

แตละชนิดมาผสมกันอยางละกี่ลิตร

4. การประยุกต ใชทางเศรษฐกิจ

หางสรรพสินคาแหงหน่ึงลดราคาถุงนองสตรี 2 แบบ โดยขายถุงนองแบบที่หนึ่งราคาคูละ

20 บาท และขายถุงนองแบบท่ีสองราคาคูละ 25 บาท เมื่อสิ้นสุดการขายวันหนึ่ง พนักงาน

สํารวจยอดขายแลวพบวา ไดขายถุงนองทั้ง 2 แบบจํานวน 55 คู และไดเงินรวม 1,250 บาท

จงหาวา พนักงานขายถุงนองแตละแบบไดจํานวนกี่คู

ตัวอย่างที่ 19

ผักไฮโดรพอนิกสเปนผักที่ปลูกโดยใชรากแชในสารละลายธาตุอาหารพืช และบางสวนสัมผัสอากาศหรือเปนผักท่ีปลูกบนวัสดุท่ีไมใชดินและรดดวยสารละลายธาตุอาหารพืชหรือนํ้าปุยที่มา : สภาเกษตรกรแหงชาติ

เกร็ด น่ารู้

ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร 39

จากโจทย นายกนกตองการนํานํ้าหมักชีวภาพทั้ง 2 สูตรมาผสมกัน เพื่อใหไดนํ้าหมัก

ชีวภาพสูตรใหมจํานวน 20 ลิตร

เขียนเปนสมการได

x + y = 20

เนื่องจากนํ้าหมักชีวภาพสูตรที่หนึ่งมีกากนํ้าตาล 10%

หมายความวา นํ้าหมักชีวภาพ 100 ลิตร มีกากนํ้าตาล 10 ลิตร

ดังนั้น ถาใชนํ้าหมักชีวภาพสูตรที่หนึ่ง x ลิตร จะมีกากนํ้าตาล 10x100 ลิตร

เนื่องจากนํ้าหมักชีวภาพสูตรที่สองมีกากนํ้าตาล 30%

หมายความวา นํ้าหมักชีวภาพ 100 ลิตร มีกากนํ้าตาล 30 ลิตร

ดังนั้น ถาใชนํ้าหมักชีวภาพสูตรที่สอง y ลิตร จะมีกากนํ้าตาล 30y100

ลิตร

นั่นคือ นํ้าหมักชีวภาพที่ผสมกันจะมีกากนํ้าตาล 10x100 + 30y100

ลิตร

เนื่องจากนํ้าหมักชีวภาพที่ผสมกันแลวมีกากนํ้าตาล 15%

หมายความวา นํ้าหมักชีวภาพที่ผสมกันแลว 100 ลิตร มีกากนํ้าตาล 15 ลิตร

จะไดวา นํา้หมกัชวีภาพสตูรทีห่นึง่มกีากนํา้ตาล 10% ผสมกบันํา้หมกัชวีภาพสูตรท่ีสอง

มีกากนํ้าตาล 30% ไดเปนนํ้าหมักชีวภาพสูตรใหมจํานวน 20 ลิตร ที่มีกาก

นํ้าตาล 15%

เขียนเปนสมการได

10x100 + 30y

100 = 20 × 15

100 นํา 100 มาคูณทั้งสองขางของสมการ

จะได 10x + 30y = 300

ซึ่งจะไดระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร ดังนี้

x + y = 20 .....➀ 10x + 30y = 300 .....➁ เลอืกกาํจัดตัวแปร x โดยใชสมบติัการเทากนัสาํหรบัการคณูและสมบัตกิารเทากนัสาํหรบั

การบวก ดังนี้

➀ × (-10) จะได -10x - 10y = -200 .....➂➁ + ➂ จะได 20y = 100

y = 10020

หรือ y = 5

38

ลองทําดู

ครูสมศรีซื้อหนังสือและสมุดรวมกัน 60 เลม โดยหนังสือราคาเลมละ 60 บาท และสมุดราคา

เลมละ 40 บาท ถาครูสมศรีใชเงินซื้อหนังสือและสมุดรวมเปนเงิน 2,860 บาท จงหาวา

ครูสมศรีซื้อหนังสือและสมุดอยางละกี่เลม

บัวมีเงิน 300 บาท ไปซื้อของที่หางสรรพสินคาแหงหนึ่ง บัวซื้อจาน 3 ใบ ชาม 5 ใบ จะขาดเงิน

15 บาท แตถาซื้อจาน 5 ใบ ชาม 3 ใบ จะเหลือเงิน 15 บาท ถาบัวตองการซื้อจานและชาม

อยางละ 4 ใบ ขอความใดกลาวถูกตอง

1) บัวจะเหลือเงิน 5 บาท

3) บัวจะเหลือเงิน 10 บาท

2) บัวจะขาดเงินอีก 5 บาท

4) บัวใชเงินหมดพอดี

วิธีทํา ให จานราคาใบละ x บาท

ชามราคาใบละ y บาท

เนื่องจากบัวซื้อจาน 3 ใบ ชาม 5 ใบ จะขาดเงิน 15 บาท

เขียนเปนสมการได

3x + 5y - 15 = 300

หรือ 3x + 5y = 315

และบัวซื้อจาน 5 ใบ ชาม 3 ใบ จะเหลือเงิน 15 บาท

เขียนเปนสมการได

5x + 3y + 15 = 300 หรือ 5x + 3y = 285

ซึ่งจะไดระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร ดังนี้

3x + 5y = 315 …..➀ 5x + 3y = 285 …..➁

➀ × 5 จะได 15x + 25y = 1,575 …..➂➁ × (-3) จะได -15x - 9y = -855 …..➃➂ + ➃ จะได 16y = 720

y = 72016

หรือ y = 45

แนวขอสอบ O-NET

ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร 41

วิธีทํา ให x แทนจํานวนถุงนองแบบที่หนึ่งที่พนักงานขายได

y แทนจํานวนถุงนองแบบที่สองที่พนักงานขายได

จากโจทย พนักงานขายถุงนองทั้ง 2 แบบจํานวน 55 คู

เขียนเปนสมการได

x + y = 55

ซึ่งขายถุงนองแบบที่หนึ่งราคาคูละ 20 บาท และขายถุงนองแบบที่สองราคาคูละ

25 บาท โดยไดเงินรวม 1,250 บาท

เขียนเปนสมการได

20x + 25y = 1,250

ซึ่งจะไดระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร ดังนี้

x + y = 55 .....➀ 20x + 25y = 1,250 …..➁ เลอืกกาํจัดตัวแปร x โดยใชสมบติัการเทากนัสาํหรบัการคณูและสมบัตกิารเทากนัสาํหรบั

การบวก ดังนี้

➀ × (-20) จะได -20x - 20y = -1,100 …..➂➁ + ➂ จะได 5y = 150

y = 1505

หรือ y = 30

เมื่อแทน y ดวย 30 ในสมการ ➀ จะได x + 30 = 55

หรือ x = 25

ตรวจสอบคําตอบ

จํานวนถุงนองทั้ง 2 แบบที่พนักงานขายไดเทากับ 25 + 30 = 55 คู

พนักงานขายถุงนองทั้ง 2 แบบไดเงินรวมกันเทากับ 20(25) + 25(30)

= 500 + 750

= 1,250 บาท

ดังนั้น พนักงานขายถุงนองแบบที่หนึ่งจํานวน 25 คู และขายถุงนองแบบที่สอง

จํานวน 30 คู ตอบ

40

เขียนเปนสมการได

7x100 +

85y1,000

= 3,800

นํา 1,000 มาคูณทั้งสองขางของสมการ

จะได 70x + 85y = 3,800,000

ซึ่งจะไดระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร ดังนี้

x + y = 50,000 .....➀ 70x + 85y = 3,800,000 …..➁ เลอืกกาํจดัตวัแปร x โดยใชสมบัตกิารเทากนัสาํหรบัการคณูและสมบัตกิารเทากนัสาํหรบั

การบวก ดังนี้

➀ × (-70) จะได -70x - 70y = -3,500,000 …..➂➁ + ➂ จะได 15y = 300,000

y = 300,00015

หรือ y = 20,000

เมื่อแทน y ดวย 20,000 ในสมการ ➀ จะได x + 20,000 = 50,000

หรือ x = 30,000

ตรวจสอบคําตอบ

สินีฝากเงินไวกับกองทุนทั้ง 2 แหงเปนจํานวนเงิน 30,000 + 20,000

= 50,000 บาท

สินีฝากเงินไวกับกองทุนรวงทองไดดอกเบี้ย 7100 × 30,000 = 2,100 บาท

สินีฝากเงินไวกับกองทุนบัวทิพยไดดอกเบี้ย 8.5100 × 20,000 = 1,700 บาท

สินีไดรับดอกเบี้ยทั้งหมดเทากับ 2,100 + 1,700 = 3,800 บาท

ดังนั้น สินีควรฝากเงินไวกับกองทุนรวงทอง 30,000 บาท และควรฝากเงินไวกับ

กองทุนบัวทิพย 20,000 บาท ตอบ

ลองทําดู

นิธิศนําเงินจํานวน 70,000 บาท ไปลงทุนในกองทุนมั่งมีและกองทุนศรีสุข โดยกองทุนมั่งมี

จายดอกเบี้ย 5% ตอป ในขณะที่กองทุนศรีสุขจายดอกเบี้ย 7.5% ตอป ถานิธิศตองการได

ดอกเบี้ยปละ 4,625 บาท นิธิศควรลงทุนไวกับกองทุนแตละแหงเปนจํานวนเทาใด

ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร 43

สินีวางแผนที่จะลงทุนโดยนําเงินจํานวน 50,000 บาท ฝากไวกับกองทุน 2 แหง คือ กองทุน

รวงทองและกองทุนบัวทพิย โดยกองทนุรวงทองจายดอกเบ้ีย 7% ตอป ในขณะท่ีกองทุนบัวทิพย

จายดอกเบ้ีย 8.5% ตอป ถาสนิตีองการไดดอกเบ้ียปละ 3,800 บาท สนิคีวรฝากเงินไวกบักองทุน

แตละแหงจํานวนเทาใด

วิธีทํา ให x แทนจํานวนเงินที่สินีฝากไวกับกองทุนรวงทอง

y แทนจํานวนเงินที่สินีฝากไวกับกองทุนบัวทิพย

จากโจทย สินีฝากเงินจํานวน 50,000 บาท ไวกับกองทุนรวงทองและกองทุนบัวทิพย

เขียนเปนสมการได

x + y = 50,000

เนื่องจากกองทุนรวงทองจายดอกเบี้ย 7% ตอป สินีฝากเงิน x บาท

จะได ดอกเบี้ยเทากับ 7x100 บาท

เนื่องจากกองทุนบัวทิพยจายดอกเบี้ย 8.5% ตอป สินีฝากเงิน y บาท

จะได ดอกเบี้ยเทากับ 8.5y100

หรือ 85y1,000

บาท

และสินีตองการไดดอกเบี้ยปละ 3,800

ตัวอย่างที่ 20

เมื่อแทน y ดวย 45 ในสมการ ➁ จะได 5x + 3(45) = 285

5x + 135 = 285

5x = 150

x = 1505

หรือ x = 30

ดังนั้น จานราคาใบละ 30 บาท และชามราคาใบละ 45 บาท

เนื่องจากบัวตองการซื้อจานและชามอยางละ 4 ใบ

จะไดวา บัวจะตองจายเงินทั้งหมด 30(4) + 45(4) = 120 + 180 = 300 บาท

ดังนั้น บัวใชเงินหมดพอดี

นั่นคือ คําตอบ คือ ขอ 4)

42

เมื่อแทน y ดวย 177 ในสมการ ➀

จะได 28x + 28 ( 177) = 1

28x = 1 - 2877 28x = 49

77 x = 49

77 × 28 หรือ x = 1

44

ภพทํางาน 1 ชั่วโมง ไดงาน 144 ของงาน

นวัตทํางาน 1 ชั่วโมง ไดงาน 177 ของงาน

ภพทํางาน 144 ของงาน ใชเวลา 1 ชั่วโมง

ภพทํางาน 1 ของงาน ใชเวลา 1 × 44 = 44 ชั่วโมง

นวัตทํางาน 177 ของงาน ใชเวลา 1 ชั่วโมง

นวัตทํางาน 1 ของงาน ใชเวลา 1 × 77 = 77 ชั่วโมง

ตรวจสอบคําตอบ

ภพและนวัตชวยกันทํางาน 28 ชั่วโมง จะไดงานเทากับ 28 ( 144) + 28 (177)

= 711 +

411

= 1111

= 1

ดังนั้น งานเสร็จ

ภพทํางาน 8 ชั่วโมง และนวัตทํางาน 63 ชั่วโมง จะไดงานเทากับ 8 ( 144) + 63 (177)

= 211 +

911

= 1111

= 1

ดังนั้น งานเสร็จ

นั่นคือ ภพทํางานนี้คนเดียวจนเสร็จจะใชเวลา 44 ชั่วโมง และถานวัตทํางานนี้

คนเดียวจนงานเสร็จจะใชเวลา 77 ชั่วโมง ตอบ

ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร 45

5. การประยุกต ใชเรื่องแรงงาน

ภพและนวัตชวยกันทํางานอยางหนึ่งจนงานเสร็จ ใชเวลาท้ังสิ้น 28 ชั่วโมง ถาภพทํางานน้ี

คนเดียวเปนเวลา 8 ชั่วโมง แลวจึงใหนวัตมาทํางานนี้ตออีก 63 ชั่วโมง งานจึงจะเสร็จ จงหาวา

ถาใหแตละคนทํางานนี้คนเดียวจะใชเวลากี่ชั่วโมงงานจึงจะเสร็จ

วิธีทํา ทํางานเสร็จหมายถึง ไดงาน 1 ของงาน

ให ภพทํางาน 1 ชั่วโมง ไดงาน x ของงาน นวัตทํางาน 1 ชั่วโมง ไดงาน y ของงาน

จากโจทย ภพและนวัตชวยกันทํางานจนเสร็จใชเวลาทั้งสิ้น 28 ชั่วโมง

เขียนเปนสมการได

28x + 28y = 1

เนื่องจากภพทํางานคนเดียว 8 ชั่วโมง แลวใหนวัตมาทําตออีก 63 ชั่วโมง

งานจึงจะเสร็จ

เขียนเปนสมการได

8x + 63y = 1

ซึ่งจะไดระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร ดังนี้

28x + 28y = 1 .....➀ 8x + 63y = 1 .....➁ เลอืกกาํจัดตัวแปร x โดยใชสมบติัการเทากนัสาํหรบัการคณูและสมบตักิารเทากนัสาํหรับ

การบวก ดังนี้

➀ × 2 จะได 56x + 56y = 2 .....➂➁ × (-7) จะได -56x - 441y = -7 .....➃➂ + ➃ จะได -385y = -5

y = -5-385

หรือ y = 177

ตัวอย่างที่ 21

44

= 14y + 6y

= 20y หนวย

เนื่องจากผูชาย 7 คน กับผูหญิง 6 คน ทาสีตึกได 20y หนวย ในเวลา 1 วัน

จะไดวา ผูชาย 7 คน กับผูหญิง 6 คน ทาสีตึกได 140y หนวย ในเวลา 140y20y = 7 วัน

ตรวจสอบคําตอบ

ในเวลา 7 วัน ผูชาย 7 คน กับผูหญิง 6 คน ทาสีตึกได (7 × 7 × x) + (7 × 6 × y)

= 49x + 42y หนวย

เมื่อแทน x ดวย 2y จะไดวา ทาสีตึกไดเทากับ 49(2y) + 42y

= 98y + 42y

= 140y หนวย

ซึ่งเทากับจํานวนหนวยที่ตองการทาสีตึกทั้งหมด

ดังนั้น ผูชาย 7 คน กับผูหญิง 6 คน ทาสีตึกแบบเดียวกันและขนาดเทากัน

เสร็จในเวลา 7 วัน ตอบ

ลองทําดู

งานชิ้นหนึ่ง มีคนงานชาย 9 คน และคนงานหญิง 6 คน ชวยกันทําจนเสร็จในเวลา 2 วัน

แตถาคนงานชาย 5 คน และคนงานหญิง 7 คน ทํางานเทาเดิมจะทําเสร็จใน 3 วัน

จงหาวา คนงานชาย 2 คน และคนงานหญิง 5 คน จะทํางานนี้เสร็จในกี่วัน

6. การประยกุต ใชในโจทยปญหาเกีย่วกบัระยะทาง อตัราเรว็ และเวลา

โจทยปญหาเกี่ยวกับระยะทาง อัตราเร็ว และเวลา สามารถใชความรู เรื่อง ระบบสมการ

เชิงเสนสองตัวแปร ในการหาคําตอบได โดยตองใชความสัมพันธจาก

ระยะทาง = อัตราเร็ว × เวลา

ซึ่งอัตราเร็วจากความสัมพันธนี้เปนอัตราเร็วคงที่

ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร 47

ลองทําดู

เอกและอายชวยกันทํางานอยางหนึ่งเสร็จภายใน 12 วัน ถาเอกทํางานนี้คนเดียว 9 วัน

แลวจึงใหอายมาทํางานนี้ตออีก 14 วัน งานจึงจะเสร็จ จงหาวา ถาใหแตละคนทํางานนี้

คนเดียวจะใชเวลากี่ชั่วโมงงานจึงจะเสร็จ

ผูชาย 3 คน กับผูหญงิ 4 คน ทาสตีกึหลงัหนึง่เสรจ็ใน 14 วัน และผูชาย 10 คน กบัผูหญิง 15 คน

ทาสีตึกแบบเดียวกันและขนาดเทากันกับกลุมคนกลุมแรกเสร็จใน 4 วัน ถาผูชาย 7 คน

กับผูหญิง 6 คน ทาสีตึกแบบเดียวกันและขนาดเทากันกับคนทั้ง 2 กลุม จะเสร็จในเวลากี่วัน

วิธีทํา ให ในเวลา 1 วัน ผูชาย 1 คน ทาสีตึกได x หนวย

ในเวลา 1 วัน ผูหญิง 1 คน ทาสีตึกได y หนวย

จากโจทย ในเวลา 14 วัน ผูชาย 3 คน กับผูหญิง 4 คน ทาสีตึกหลังนี้เสร็จ

ไดงานเทากับ (14 × 3 × x) + (14 × 4 × y) = 42x + 56y หนวย

และในเวลา 4 วัน ผูชาย 10 คน กับผูหญิง 15 คน ทาสีตึกแบบเดียวกันจนเสร็จ

ไดงานเทากับ (4 × 10 × x) + (4 × 15 × y) = 40x + 60y หนวย

เนื่องจากคนทั้ง 2 กลุมตางทาสีตึกเสร็จ

เขียนเปนสมการได

42x + 56y = 40x + 60y 42x - 40x = 60y - 56y

2x = 4y

x = 2y

เมื่อแทน x ดวย 2y ใน 42x + 56y จะไดวา สีที่ตองทาทั้งหมดเทากับ 42(2y) + 56y

= 84y + 56y

= 140y หนวย

ในเวลา 1 วัน ผูชาย 7 คน กับผูหญิง 6 คน ทาสีตึกได 7x + 6y หนวย

เมื่อแทน x ดวย 2y ใน 7x + 6y จะไดวา ในเวลา 1 วัน ทาสีตึกไดเทากับ 7(2y) + 6y

ตัวอย่างที่ 22

46

จากโจทย บานของออมและเอมอยูหางกัน 18 กิโลเมตร

เขียนเปนสมการได

x6 + y6

= 18

เนื่องจากในเวลา 10 นาที ออมขี่รถจักรยานยนตไดระยะทางมากกวาเอม 2 กิโลเมตร

จะไดวา x6 - y6

= 2

ซึ่งจะไดระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร ดังนี้

x6 + y6

= 18 …..➀

x6 - y6

= 2 …..➁

➀ × 6 จะได x + y = 108 …..➂➁ × 6 จะได x - y = 12 …..➃➂ + ➃ จะได 2x = 120

หรือ x = 60

เมื่อแทน x ดวย 60 ในสมการ ➀

จะได 606 + y

6 = 18

10 + y6 = 18

y6 = 8

y = 8 × 6

หรือ y = 48

ตรวจสอบคําตอบ

ในเวลา 10 นาที ออมจะขี่รถจักรยานยนตไดระยะทางเทากับ 606 = 10 กิโลเมตร

เอมจะขี่รถจักรยานยนตไดระยะทางเทากับ 486 = 8 กิโลเมตร

จะไดวา ออมและเอมขี่รถจักรยานยนตไดระยะทางทั้งหมด 10 + 8 = 18 กิโลเมตร

และออมขี่รถจักรยานยนตไดระยะทางมากกวาเอมเทากับ 10 - 8 = 2 กิโลเมตร

ดังนั้น ออมขี่รถจักรยานยนตดวยอัตราเร็ว 60 กิโลเมตรตอชั่วโมง

และเอมขี่รถจักรยานยนตดวยอัตราเร็ว 48 กิโลเมตรตอชั่วโมง ตอบ

ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร 49

ออมและเอมเปนเพื่อนสนิทกัน ซึ่งบานของออมและเอมอยูหางกัน 18 กิโลเมตร ถาในเวลา

เดียวกันออมและเอมข่ีรถจักรยานยนตไปหากันที่บานโดยใชเสนทางเดียวกันจะพบวา ท้ังคู

เจอกนัระหวางทางเมือ่เวลาผานไป 10 นาท ีโดยออมขีร่ถจกัรยานยนตไดระยะทางมากกวาเอม

2 กิโลเมตร จงหาวา ออมและเอมขี่รถจักรยานยนตดวยอัตราเร็วกี่กิโลเมตรตอชั่วโมง

วิธีทํา

ให ออมขี่รถจักรยานยนตดวยอัตราเร็ว x กิโลเมตรตอชั่วโมง

เอมขี่รถจักรยานยนตดวยอัตราเร็ว y กิโลเมตรตอชั่วโมง

เนื่องจากออมและเอมขี่รถจักรยานยนตไปหากันที่บานโดยใชเสนทางเดียวกัน

และเจอกันระหวางทางเมื่อเวลาผานไป 10 นาที

จะไดวา ในเวลา 60 นาที ออมจะขี่รถจักรยานยนตไดระยะทางเทากับ x กิโลเมตร

ในเวลา 10 นาที ออมจะขี่รถจักรยานยนตไดระยะทางเทากับ 10x60

= x6 กิโลเมตร

และ ในเวลา 60 นาที เอมจะขี่รถจักรยานยนตไดระยะทางเทากับ y กิโลเมตร

ในเวลา 10 นาที เอมจะขี่รถจักรยานยนตไดระยะทางเทากับ 10y60

= y6 กิโลเมตร

ตัวอย่างที่ 23

18 กิโลเมตร

ออม เอม

48

แบบฝกทักษะ 1.3ระดับ พื้นฐาน

1. จํานวนจํานวนหนึ่งเปน 3 เทาของจํานวนอีกจํานวนหนึ่ง ผลตางของจํานวนทั้งสองนี้เทากับ

10 จงหาจํานวน 2 จํานวนนี้

2. จํานวนจํานวนหนึ่งมากกวาครึ่งหนึ่งของจํานวนอีกจํานวนหนึ่งอยู 4 ผลตางของจํานวน

ทั้งสองนี้เทากับ 2 จงหาจํานวน 2 จํานวนนี้

3. ในการทําโครงงานคณิตศาสตรครั้งหนึ่ง ครูแบงนักเรียน 27 คน เปน 2 กลุม โดยกลุมหนึ่ง

มจีาํนวนนกัเรยีนมากกวา 2 เทาของอีกกลุมหนึง่อยู 3 คน จงหาจาํนวนนกัเรยีนในแตละกลุม

4. ความยาวเสนรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วเทากับ 32 นิ้ว ถาความยาวของฐานมากกวา

ครึ่งหนึ่งของความยาวดานประกอบมุมยอดอยู 2 น้ิว จงหาความยาวแตละดานของ

รูปสามเหลี่ยมหนาจั่วนี้

5. เสนรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมผืนผารูปหนึ่งเทากับ 10 ฟุต ถา 2 เทาของความยาวดานกวาง

เทากับครึ่งหนึ่งของความยาวดานยาว จงหาความกวางและความยาวของรูปสี่เหลี่ยมผืนผา

รูปนี้

6. จํานวนท่ีมี 2 หลักจํานวนหนึ่ง มีเลขโดดในหลักหนวยมีคาเปน 3 เทาของเลขโดดใน

หลักสิบ และจํานวนที่มีเลขโดดสลับหลักกันจะมากกวาจํานวนเดิมอยู 54 จงหาจํานวน

จํานวนนี้

7. จํานวนที่มี 2 หลักจํานวนหนึ่ง มีคามากกวาผลบวกของเลขโดดในแตละหลักอยู 9 และ

จํานวนท่ีมีเลขโดดสลับหลักกันจะมีคานอยกวา 4 เทาของจํานวนเดิมอยู 3 จงหาจํานวน

จํานวนนี้

8. ผลรวมของอายพุีห่นอยและนองนอยเทากบั 26 ป ผลตางระหวาง 4 เทาของอายขุองพีห่นอย

และ 2 เทาของอายุของนองนอยเทากับ 32 ป จงหาอายุของพี่หนอยและนองนอย

9. เมื่อ 10 ปที่แลว พูกันมีอายุนอยกวานํ้าหวาน 18 ป ปจจุบันอายุของทั้ง 2 คนรวมกันได

100 ป จงหาอายุในปจจุบันของคนทั้งสอง

ระดับ กลาง

ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร 51

ลองทําดู

คณิตและวารีอยูคนละจังหวัดจึงนัดเจอกันระหวางทาง โดยทั้งคูเริ่มขับรถยนตออกจากบาน

ในเวลาเดยีวกนั ซ่ึงบานของคณติและวารมีรีะยะทางหางกนั 90 กโิลเมตร ถาคณติและวารขีบั

รถยนตโดยใชเสนทางเดียวกัน จะพบวา ทั้งคูจะเจอกันระหวางทางเมื่อเวลาผานไป 30 นาที

โดยคณิตขับรถยนตไดระยะทางมากกวาวารี 10 กิโลเมตร จงหาวา คณิตและวารีขับรถยนต

ดวยอัตราเร็วกี่กิโลเมตรตอชั่วโมง

สวนสนุกแหงหนึ่งเก็บคาบัตรผานประตูสําหรับผูใหญคนละ 250 บาท และเด็กคนละ

200 บาท ในวันเสารที่ผานมา มีผูใหญและเด็กเขาไปเลนในสวนสนุกรวมทั้งหมด 2,000 คน

ซึ่งในจํานวนนี้มีเด็กที่ไดเขาฟรีจํานวน 310 คน และผูใหญทุกคนจายคาบัตรผานประตู ถา

ในวันเสารนั้นสวนสนุกไดรับเงินคาบัตรผานประตูทั้งหมด 381,000 บาท จงหาจํานวนเด็ก

ทั้งหมดที่เขาไปเลนในสวนสนุก

คาํถามทาทายการคดิข้ันสงู

ที่มา : คลังภาพ อจท.

50

ในการประกอบธุรกจิ ผูประกอบการจะตองมีการบรหิารจัดการธุรกจิของตนใหประสบความ

สาํเรจ็ มกีาํไรหรอืไมใหขาดทนุ ซึง่การทีจ่ะทาํใหธรุกจิไมขาดทนุนัน้ อยางนอยจะตองมผีลประกอบการ

ที่อยูในจุดคุมทุน

จุดคุมทุน คือ จํานวนของสินคาที่ผูประกอบการจะตองสรางและขายใหไดเพื่อใหมีราย

ไดเทากับตนทุนหรืออีกความหมายหนึ่ง จุดคุมทุน คือ ยอดขายในแตละเดือนที่จะทําใหธุรกิจมี

รายไดที่เพียงพอกับคาใชจายในการดําเนินงานในแตละเดือน กลาวคือ รายรับทั้งหมดที่ไดเทากับ

รายจายท้ังหมด ถารายรับที่ไดมากกวาจุดคุมทุนแสดงวาธุรกิจนั้นไดกําไร แตถาเกิดรายรับที่ได

นอยกวาจุดคุมทุนแสดงวาธุรกิจนั้นขาดทุน

ที่มา : www.thaifranchisecenter.com/calculator/break-even-analysis.php

บรษัิทแหงหนึง่ผลติสนิคาเพือ่จําหนาย ซ่ึงในแตละเดือนจะตองจายคาเชาโรงงานและคาจาง

พนักงานเดือนละ 100,000 บาท และตนทุนในการผลิตสินคาแตละชิ้น คือ 100 บาท ถาบริษัท

แหงนี้ตั้งราคาขายสินคาชิ้นละ 500 บาท

นักเรียนจะใชความรู เรื่อง ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร ไปใชในการหาจํานวนสินคา

ที่บริษัทจะตองขายในแตละเดือนเพื่อไมใหขาดทุนไดอยางไร

คณิตศาสตรในชีวิตจริง

ที่มา : คลังภาพ อจท.

ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร 53

10. กัณฐฝากเงิน 10,000 บาท ไวกับกองทุน 3 แหง เขาฝากเงินจํานวนเทากันไวกับกองทุน

2 แหงแรกซึง่ใหดอกเบีย้ 6% ตอป ในขณะทีก่องทนุแหงทีส่ามใหดอกเบีย้ 7% ตอป เม่ือส้ินป

เขาไดรับดอกเบี้ย 640 บาท จงหาวา กัณฐฝากเงินไวกับกองทุนแตละแหงกี่บาท

11. นํ้าหนึ่งเปนเจาของกิจการขายซอสรายหนึ่ง ไดคิดคนสูตรสวนผสมของซอสที่เขมขนขึ้น

โดยการผสมซอสที่มีมะเขือเทศ 70% เขากับซอสที่เคยใชซึ่งมีมะเขือเทศ 40% นํ้าหนึ่ง

จะตองใชซอสแตละชนิดจํานวนกี่ลิตร จึงจะไดซอสสูตรมะเขือเทศ 60% จํานวน 5 ลิตร

12. ผูชาย 2 คน กับผูหญิง 5 คน ชวยกันปูพื้นกระเบื้องโรงงานแหงหนึ่งเสร็จในเวลา 4 วัน

แตถาใหผูชาย 3 คน และผูหญิง 4 คน ชวยกันปูกระเบื้องโดยใชกระเบื้องขนาดเดียวกัน

และปริมาณงานเทากันกับคนกลุมแรก จะเสร็จในเวลา 3 วัน จงหาวา ถาใหผูชายคนเดียว

ปูกระเบื้องจะเสร็จในเวลากี่วัน

13. วีขับรถยนตจากตําบล ก และแวนขับรถยนตจากตําบล ข ไปพบกันที่หางสรรพสินคา

แหงหนึ่ง ซึ่งอยูกึ่งกลางระหวางตําบล ก และตําบล ข ถาวีขับรถยนตดวยอัตราเร็วมากกวา

แวน 24 กิโลเมตรตอชั่วโมง และวีใชเวลาในการเดินทางเพียง 10 นาที ก็ถึงจุดนัดพบ

สวนแวนไปถงึชากวาวี 5 นาที จงหาวา อัตราเรว็ของรถยนตทัง้ 2 คนั มคีาเทาใด และถาแวน

เพิ่มอัตราเร็วจากเดิมอีก 18 กิโลเมตรตอชั่วโมง ใครจะถึงจุดนัดพบกอนกัน

ระดับ ทาทาย

หลังจากเรียนจบหนวยนี้แลว ใหนักเรียนบอกสัญลักษณที่ตรงกับระดับความสามารถของตนเอง

ตรวจสอบตนเอง

ดี พอใชควร

ปรบัปรุง

1. อธิบายความหมายของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรได

2. สามารถหาคําตอบของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร โดยใชกราฟได

3. สามารถหาคําตอบของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร โดยใชวิธีการแทนคาได

4. สามารถหาคําตอบของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร โดยใชวิธีการกําจัดตัวแปรได

5. สามารถนําระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรไปประยุกตใช ในการแกปญหาในสถานการณตาง ๆ ได

52

2. แกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรโดยการแทนคา

วิธีการแกสมการโดยการแทนคามีขั้นตอน ดังนี้

1) เลือกสมการ ➀ หรือ ➁ เพื่อเขียนตัวแปรหนึ่งในรูปของอีกตัวแปรหนึ่ง เชน

เขียน x ในรูปของ y หรือเขียน y ในรูปของ x 2) นําสมการที่ไดจากการจัดรูปในขอ 1) แทนที่ตัวแปรนั้นในอีกสมการหนึ่ง

3) แกสมการในขอ 2) จะไดคาของตัวแปรหนึ่ง

4) นําคาของตัวแปรที่ไดจากขอ 3) แทนคาสมการในขอ 1) จะไดคาของตัวแปร

อีกตัวหนึ่ง นําคาของตัวแปรทั้งสองซึ่งเปนคําตอบของระบบสมการเชิงเสนนี้

มาเขียนในรูปของคูอันดับ

3. แกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรโดยการกําจัดตัวแปร

วิธีการแกสมการโดยการกําจัดตัวแปรมีขั้นตอน ดังนี้

1) ทําสัมประสิทธิ์ของตัวแปรที่ตองการกําจัดใหเปนจํานวนตรงขามกันโดยใชสมบัติ

การเทากันสําหรับการคูณ

2) ใชสมบัติการเทากันสําหรับการบวกกําจัดตัวแปรที่มีสัมประสิทธิ์ตรงขามกันในขอ 1)

เมื่อกําจัดตัวแปรตัวหนึ่งออกแลว สมการที่ไดจะเปนสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว

3) หาคําตอบของสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวในขอ 2) คําตอบที่ไดจะเปนคาคงตัว

ของตัวแปรตัวหนึ่ง

4) หาคาของตัวแปรอีกตัวหนึ่ง โดยนําคาของตัวแปรในขอ 3) แทนคาในสมการ ➀

หรือ ➁ ก็ได

การนําระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรไปประยุกตใชแกปญหาในสถานการณตาง ๆ

นักเรียนสามารถนําความรู เรื่อง การแกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร ไปประยุกตใชในการ

แกปญหาในสถานการณตาง ๆ เชน โจทยปญหาเกี่ยวกับจํานวน วิทยาศาสตร เกษตรกรรม

เศรษฐกิจ แรงงาน ระยะทาง อัตราเร็ว และเวลา

ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร 55

สรุปแนวคิดหลัก

ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร กําหนดให a, b, c, d, e และ f เปนจํานวนจริงใด ๆ ที่ a และ b ไมเทากับศูนยพรอมกัน

และ d, e ไมเทากับศูนยพรอมกัน

เรียก ax + by = c

dx + ey = f

วา ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร

คําตอบของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร คําตอบของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร คือ จํานวนที่แทน x และ y แลวทําใหสมการ

เปนจริงทั้ง 2 สมการ และนิยมเขียนคําตอบของระบบสมการในรูป (x, y) โดยระบบสมการ

เชิงเสนสองตัวแปรอาจไมมีคําตอบ หรือมีคําตอบเดียว หรือมีคําตอบมากมายก็ได

การแกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร การแกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรสามารถทําได 3 วิธี ดังนี้

1. หาจุดตัดของกราฟของสมการเชิงเสนสองตัวแปรในระบบสมการ

ให ax + by = c …..➀ dx + ey = f …..➁ เปนระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร

Y

0

ax + by = c

dx + ey = fX

ระบบสมการมีคําตอบเดียวระบบสมการไมมีคําตอบ

ax + by = c

dx + ey = f

Y

0 X

ระบบสมการมีคําตอบมากมาย

Y

0 X

ax + by = c

dx + ey = f

54

5. เศษหนึ่งสวนสี่ของจํานวนท่ีหนึ่งรวมกับเศษหนึ่งสวนหาของจํานวนที่สองจะไดผลลัพธ

เทากับ 8 และเมื่อนําเศษหนึ่งสวนสี่ของจํานวนที่สองลบออกจากเศษหนึ่งสวนสอง

ของจํานวนที่หนึ่งจะไดผลลัพธเทากับ 3 จงหาจํานวนทั้ง 2 จํานวนนี้

6. กําหนดรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่ง ถาดานยาวของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากรูปนี้เพิ่มขึ้น 2

น้ิว และดานกวางของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากรูปนี้ลดลง 1 น้ิว พื้นท่ีของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก

จะเพิ่มขึ้นจากเดิม 3 ตารางนิ้ว แตถาดานยาวลดลง 4 นิ้ว และดานกวางเพิ่มขึ้น 3 นิ้ว พื้นที่

จะลดลง 11 ตารางนิ้ว จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่กําหนด

7. เมื่อ 7 ปที่แลว จอมขวัญมีอายุเทากับ 15 ของอายุพอของเธอ แตอีก 17 ปขางหนา

จอมขวญัจะมอีายเุปนครึง่หนึง่ของอายพุอของเธอ จงหาอายใุนปจจุบนัของจอมขวัญและพอ

8. จํานวนท่ีมี 2 หลักจํานวนหน่ึง มีเลขโดดในหลักหนวยมีคาเปน 3 เทาของเลขโดด

ในหลักสิบ จํานวนนี้มีคามากกวาเลขโดดในหลักสิบอยู 12 จงหาจํานวนจํานวนนี้

9. ในหองปฏิบัติการ นักวิทยาศาสตรมีสารละลายซึ่งมีแอลกอฮอล 30% และ 80% ตามลําดับ

เขาตองการนําสารละลายมาผสมกันเพื่อใหไดสารละลายท่ีมีแอลกอฮอล 50% จํานวน

100 ลิตร เขาจะตองใชสารละลายชนิดละกี่ลิตรมาผสมกัน

10. จํานวนที่มี 2 หลักจํานวนหนึ่ง มีเลขโดดในหลักสิบมากกวาเลขโดดในหลักหนวยอยู 2

ถานําผลบวกของเลขโดดทั้ง 2 หลักไปหารจํานวนนั้น จะไดผลหารเปน 6 เหลือเศษ 3

จงหาจํานวนจํานวนนั้น

11. ผูชาย 2 คน และผูหญิง 5 คน ทํางานอยางหนึ่งจะเสร็จในเวลา 8 วัน ผูชาย 3 คน

และผูหญิง 6 คน ทํางานชนิดเดียวกันเสร็จในเวลา 6 วัน จงหาวา

1) ผูชายคนเดียวทํางานนี้จะเสร็จในกี่วัน

2) ผูหญิงคนเดียวทํางานนี้จะเสร็จในกี่วัน

12. เมื่อเวลา 10.00 น. เอกขี่รถจักรยานยนตออกจากรานอาหารแหงหนึ่งไปตามถนนเสนหนึ่ง

ดวยอัตราเร็ว 50 กิโลเมตรตอช่ัวโมง อีกครึ่งช่ัวโมงตอมาบอยข่ีรถจักรยานยนตออกจาก

ที่เดียวกับเอกดวยอัตราเร็วมากกวาเอก 10 กิโลเมตรตอชั่วโมง จงหาวา บอยจะตามเอกทัน

ในเวลาใด

ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร 57

แบบฝกทักษะประจําหนวยการเรียนรูที่ 1

1. จงหาคําตอบของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรตอไปนี้ โดยใชกราฟ

1) x - 2y = 2

2x + y = 4

3) x + y = 2

2x + 3y = 3

5) x + 2y = 5

3x + 6y = 20

2) x + y = 4

4x - y = 1

4) 2x + 3y = 1

6x + 9y = 3

6) 3x - 4y = 6

3x - 4y = 12

2. จงหาคําตอบของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรตอไปนี้ โดยใชวิธีแทนคา

1) x + y = 3

2x - y = 3

3) x - 4y = 1

x - 2y = -1

5) 4x - 2y = 5

2x - y = 4

2) 2x - y = 6

3x + y = 4

4) x + 3y = 7

x - y = -5

6) 2x + y = 3

x + 3y = 4

3. จงหาคําตอบของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรตอไปนี้ โดยใชวิธีกําจัดตัวแปร

1) x + 4y = 1

4x + 16y = 4

3) 9x + 16y = 1

3x + y = -5

5) 3x - 4y = 1

4x - 3y = -1

2) 3x + y = 5

6x + 2y = 11

4) 3x - 4y = 12

9x + 16y = 1

6) 3x - y = -1

6x - 2y = -2

4. ถา x = 1, y = 2 เปนคําตอบของระบบสมการ x + my = 3 และ nx - y = 4 จงหาคาของ

m + n

56