คํานํา

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี (สสวท.) ไดรับมอบหมายจากกระทรวงศึกษาธิการใหพัฒนาหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2544 ของกลุมสาระ การเรียนรูคณิตศาสตร กลุมสาระการเรียนรูวิทยาศาสตร รวมทั้งสาระการออกแบบและเทคโนโลยี และสาระเทคโนโลยีสารสนเทศในกลุมสาระการเรียนรูการงานอาชีพและเทคโนโลยี ตลอดจน จัดทําสื่อการเรียนรูตามหลักสูตรดังกลาว

คูมือครูเลมนี้เปนสวนหนึ่งของสื่อการเรียนรูตามหลักสูตรของกลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ใชประกอบการเรียนการสอนควบคูกับหนังสือเรียนสาระการเรียนรูพื้นฐาน คณิตศาสตร เลม 2 ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 2 เพื่อใหครูผูสอนใชเปนแนวทางในการจัดการเรียนรูคณิตศาสตรใหผูเรียนบรรลุมาตรฐานการเรียนรูที่กําหนดไว

ในการจัดทําคูมือครูเลมนี้ สสวท. ไดรับความรวมมืออยางดียิ่งจากคณาจารย ผูทรงคุณวุฒิ นักวิชาการและครูผูสอน จากหลายหนวยงานทั้งภาครัฐและเอกชน สสวท. จึงขอขอบคุณทุกทานไว ณ ที่นี้ และหวังเปนอยางยิ่งวาคูมือครูเลมนี้จะเปนประโยชนสําหรับครูผูสอนคณิตศาสตรใหสามารถนําไปใชหรือปรับใชใหเหมาะสมกับศักยภาพของผูเรียน

หากมีขอเสนอแนะใดที่จะทําใหคูมือครูเลมนี้สมบูรณยิ่งขึ้นโปรดแจง สสวท. ทราบดวย จักขอบคุณยิ่ง

(นายพิศาล สรอยธุหรํ่า) ผูอํานวยการ

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คําชี้แจง

สาขาคณิตศาสตรมัธยมศึกษา สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี (สสวท.) ไดรับมอบหมายจากกระทรวงศึกษาธิการใหพัฒนาหลักสูตรกลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ชวงชั้นที่ 3 (มัธยมศึกษาปที่ 1–3) ชวงชั้นที่ 4 (มัธยมศึกษาปที่ 4–6) ในหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2544 นอกจากนั้นยังไดพัฒนาสื่อการเรียนการสอนคณิตศาสตรเพื่อใชประกอบหลักสูตรของชวงชั้นที่ 3 และ 4 อีกดวย

หนังสือเรียนและคูมือครูสาระการเรียนรูพื้นฐาน คณิตศาสตรของชวงชั้นที่ 3 จะมีดวยกันทั้งหมดอยางละ 6 เลม ไดแก หนังสือเรียนและคูมือครูสาระการเรียนรูพื้นฐาน คณิตศาสตร เลม 1 ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 1 เลม 2 ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 1 เลม 1 ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 2 เลม 2 ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 2 เลม 1 ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 3 และเลม 2 ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 3 ตามลําดับ ทั้งนี้สถานศึกษาสามารถนําไปปรับใชใหเหมาะสมกับหลักสูตรของแตละสถานศึกษา

คูมือครูคณิตศาสตรเลมนี้จัดทําขึ้นเพื่อใชประกอบการเรียนการสอนควบคูกับหนังสือเรียนสาระการเรียนรูพื้นฐาน คณิตศาสตร เลม 2 ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 2 ใชเวลาในการเรียนการสอน 3 ช่ัวโมงตอสัปดาหตอภาค สวนหนาของเลมประกอบดวยคําชี้แจงการใชคูมือครู ในการใชคูมือครูขอใหอานคําชี้แจงการใชคูมือครูดังกลาวกอนที่จะศึกษารายละเอียดในแตละบท ในแตละบทของคูมือครูประกอบดวย คํานําประจําบท ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป แนวทางการจัดการเรียนรู จุดประสงค (ประจําหัวขอ) ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน กจิกรรมเสนอแนะ คําตอบของกิจกรรมหรือแบบฝกหัด

คณะผูจัดทําหวังวาคูมือครูเลมนี้จะเปนประโยชนตอการเรียนการสอนคณิตศาสตร อยางไรก็ดีหากทานผูใชคูมือครูเลมนี้มีขอเสนอแนะประการใด โปรดแจงใหสาขาคณิตศาสตรมัธยมศึกษา สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยีทราบ เพื่อปรับปรุงเอกสารใหสมบูรณยิ่งขึ้น ตอไป

(นางสาวจารุวรรณ แสงทอง) หัวหนาสาขาคณิตศาสตรมัธยมศึกษา

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คําชี้แจงการใชคูมือครู

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยีไดพิจารณาเห็นวา เพื่อใหการจัดการเรียนการสอนคณิตศาสตรไดอยางมีประสิทธิภาพและบรรลุมาตรฐานการเรียนรูที่กําหนดไวในหลักสูตรครบถวนทั้งสามดาน ไดแก ดานความรู ดานทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร และดานคุณธรรมจริยธรรมและคานิยม จึงไดจัดทําคูมือครูซ่ึงเสนอแนะแนวการจดักจิกรรมการเรยีนการสอนไวโดยละเอยีดเพือ่ใชควบคูกบัหนงัสอืเรียนสาระการเรยีนรูพืน้ฐานคณติศาสตร เลม 2 ช้ันมธัยมศกึษาปที ่2 ดงันัน้ครตูองศกึษาคูมอืครูใหเขาใจถองแท ควรทดลองปฏิบัติกิจกรรมเพื่อใหเกิดความพรอมในการสอนกอนเขาสอนทุกบทเรียน และดําเนินกิจกรรมตามที่เสนอแนะไว ครูอาจปรับเปลี่ยนกิจกรรมและวิธีจัดกิจกรรมการเรียนการสอนไดตามความเหมาะสมโดยคํานึงถึงศักยภาพของนักเรียนเปนสําคัญ

คูมือครูของแตละบทประกอบดวยหัวขอตอไปนี้ 1. ชือ่บทและหวัขอเร่ืองประจาํบท ระบจุาํนวนชัว่โมงทีใ่ชในการเรยีนการสอนของแตละบทและแตละหวัขอไวโดยประมาณ ครูอาจยืดหยุนไดตามที่เห็นสมควร 2. คํานําประจําบท บอกสาระสําคัญของบทเรียนทั่วไป ส่ิงที่ควรปฏิบัติและสิ่งที่ควรย้ํา

3. ผลการเรียนรูท่ีคาดหวังรายป ในแตละบทเรียนจะระบุผลการเรียนรูที่คาดหวังรายปตามที่ปรากฏอยูในหนังสือคูมือการจัดการเรียนรูกลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ครูตองคํานึงถึงเสมอวาจะตองจดักจิกรรมการเรยีนรูใหนกัเรยีนเกดิผลการเรยีนรูตามทีก่าํหนด เพือ่การวดัและประเมนิผลหลังจบการเรยีนการสอน ผลการเรียนรูที่ผานการประเมินนี้จะทําใหผูเรียนบรรลุผลตามมาตรฐานการเรียนรูชวงชั้นที่ 3 ดวย

4. แนวทางในการจัดการเรียนรู ในแตละหัวขอยอยของแตละบทไดใหรายละเอียดของหัวขอตอไปนี้

1) จุดประสงค ระบุไวเพื่อใหครูคํานึงถึงเสมอวาจะตองจัดกิจกรรมการเรียนการสอนใหนักเรยีนมีความรูและมีความสามารถตรงตามจุดประสงคที่วางไว ซ่ึงจะตองเกิดขึ้นระหวางเรียนหรือดําเนินกิจกรรม ครูตองประเมินผลใหตรงตามจุดประสงคและใชวิธีการประเมินผลที่หลากหลายเพื่อใหบรรลุถึงผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป

การประเมินผลที่หลากหลายอาจเปนการสังเกต การตอบคําถาม การทําแบบฝกหัด การทํากิจกรรม หรือการทดสอบยอย จุดประสงคใดที่ครูเห็นวานักเรียนสวนใหญยังไมผาน ในชั่วโมงตอไปครูควรนําบทเรียนนั้นมาสอนซอมเสริมใหม

ข

2) เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม ในบางหัวขอไดระบุรายการกิจกรรมเสนอแนะหรือใบประกอบกิจกรรมไวดังรายละเอียดในขอ 6

3) ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน เปนสวนสําคัญของคูมือครูครูควรศึกษาและทําความเขาใจควบคูกับหนังสือเรียน เพื่อเตรียมจัดกิจกรรมการเรียนการสอนใหสอดคลองกับจุดประสงคและเหมาะสมกับความสามารถของนักเรียน

5. คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม คําถามทุกคําถามในกิจกรรมและแบบฝกหัดทุกขอมีคําตอบใหและบางขอมีเฉลยแนวคิดไวใหเพื่อเปนแนวทางในการหาคําตอบ บางขอมีหลายคําตอบแตใหไวเปนตัวอยางอยางนอยหนึ่งคําตอบ ทั้งนี้เพราะกิจกรรมหรือแบบฝกหัดที่ใหนักเรียนทําไดสอดแทรกปญหาที่เปดโอกาสใหนักเรียนไดสืบเสาะ สังเกต รวบรวมขอมูล วิเคราะห สรางขอความคาดการณและพิสูจนงาย ๆ การเฉลยคําตอบหรือการใหเหตุผลประกอบคําตอบไดคํานึงถึงพื้นฐานความรูและวุฒิภาวะของนักเรียนเปนหลัก การใหเหตุผลหรือคําอธิบายของนักเรียนอาจแตกตางจากที่เฉลยไว ในการตรวจแบบฝกหัดครูควรพิจารณาอยางรอบคอบ ยอมรับคําตอบที่เห็นวามีความถูกตองและเปนไปได ถึงแมวาจะไมเหมือนกับคําตอบที่เฉลยไว ปญหาที่มีลักษณะเปนปญหาชวนคิด มีคําตอบอยูในสวนนี้ดวย 6. กิจกรรมเสนอแนะ บางบทเรียนไดเสนอแนะกจิกรรมทีพ่ฒันาทกัษะกระบวนการทางคณติศาสตรเพือ่ใหครูเลือกใช ในแตละกจิกรรมครอูาจปรบัเปลีย่นใหเหมาะสมกบัเวลาและความสามารถของนักเรียน

กอนดําเนินกิจกรรม ครูควรสนทนากับนักเรียนดวยบรรยากาศที่เปนกันเอง เพื่อใหเกิดความเขาใจและมองเห็นแงมุมตาง ๆ ของกิจกรรมที่จะทํา ไมควรดวนอธิบายหรือช้ีนําแนวคิด ขณะทํากิจกรรมครูตองสงเสริมใหนักเรียนไดมีโอกาสแสดงความคิดเห็นที่หลากหลาย ตลอดจนฝกฝนใหนักเรียนรูจัก วิเคราะหปญหา ตัดสินใจและหาขอสรุป ทั้งนี้ในบางกิจกรรมไดแสดงคําตอบไวในวงเล็บสีแดง

7. แบบฝกหัดเพิ่มเติม ในบางบทเรียนไดเตรียมแบบฝกหัดเพิ่มเติมไวใหครูเลือกหรือปรับใชใหเหมาะสมกับนักเรียนของตนเองและในบางขอไดแสดงคาํตอบไวในวงเล็บดวยเชนกัน

ค

คําแนะนําการใชหนังสือเรียนสาระการเรียนรูพ้ืนฐาน คณิตศาสตร

หนังสือเรียนสาระการเรียนรูพื้นฐาน คณิตศาสตร ประกอบดวย1. เนื้อหาสาระ ในการนําเสนอเนื้อหาสาระของแตละบทเรียน ไดคํานึงถึงการเชื่อมโยงความรูใหม

กับความรูพื้นฐานเดิมของนักเรียน โดยพยายามใชตัวอยางจากชีวิตจริงและความรูจากศาสตรอ่ืนประกอบการอธิบายเพื่อใหไดขอสรุปเปนความรูใหมตอไป

2. ตัวอยาง มีไวเสริมความเขาใจในเนื้อหาสาระและการนําไปใช3. แบบฝกหัดทายหัวขอ แบบฝกหัดที่นําเสนอไวมีหลายลักษณะ คือฝกทักษะการคิดคํานวณ แก โจทยปญหา ฝกวิเคราะห ใหเหตุผล และฝกหาขอสรุปเพื่อนําไปสูการสรางขอความคาดการณ4. ปญหาชวนคิดหรือเร่ืองนารู เปนโจทยปญหาหรือสถานการณกระตุนใหนักเรียนไดใชความรูที่ เรียนมาเพื่อแกปญหาหรือหาขอสรุปใหม

เพื่อใหเกิดประสิทธิภาพสูงสุดในการใชหนังสือเรียน ครูควรปฏิบัติดังนี้1. ศึกษาเนื้อหาสาระและวิธีนําเสนอควบคูกับกิจกรรมของแตละเร่ืองที่เสนอแนะไวในคูมือครู ให

เขาใจอยางถองแท2. ทําแบบฝกหัดทายหัวขอและแสวงหาวิธีการที่เหมาะสมที่สุดในการหาคําตอบ โดยเฉพาะอยางยิ่ง

ขอที่มีวิธีคิดหรือคําตอบที่หลากหลาย3. วางแผนการจัดการเรียนรูตลอดภาคเรียนใหครอบคลุมทุกเนื้อหาสาระและเหมาะสมกับเวลา4. ในการสอนเนื้อหาสาระแตละเรื่องไมควรดวนบอกนักเรียนทันที ควรใชวิธีการสอนผานกิจกรรม

หรืออภิปรายโตตอบ เพื่อใหนักเรียนสรุปความคิดรวบยอดดวยตนเองเทาที่จะสามารถทําได5. สรางสถานการณหรือโจทยที่สอดคลองกับเนื้อหาสาระในบทเรียนเพิ่มเติมจากสิ่งที่อยูใกลตัวหรือ

ภูมิปญญาทองถ่ิน เพื่อใหนักเรียนมีความเขาใจในเนื้อหาสาระมากขึ้นและสามารถเชื่อมโยงความรูตาง ๆ เปนแนวทางในการประยุกตตอไป

กําหนดเวลาสอนโดยประมาณ

หนังสือเรียนสาระการเรียนรูพื้นฐานคณิตศาสตร เลม 2

ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 2

บทท่ี เร่ือง จํานวนชั่วโมง1

2

3

4

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ความรูเบื้องตนเกี่ยวกับจํานวนจริง

การประยุกตของสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว

เสนขนาน

12

18

12

18

รวม 60

สารบัญ หนา

คํานําคําชี้แจงคําชี้แจงการใชคูมือครู กกําหนดเวลาสอนโดยประมาณ งบทท่ี 1 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 1

ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป 1แนวทางในการจัดการเรียนรู 2

1.1 สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 2จุดประสงค 2

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม 2ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 2

1.2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 3จุดประสงค 3เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม 3ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 3

1.3 บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส 5 จุดประสงค 5 เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม 5 ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 5

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม 6กิจกรรมเสนอแนะ แบบฝกหัดเพิ่มเติมและคําตอบ 13

บทท่ี 2 ความรูเบื้องตนเกี่ยวกับจํานวนจริง 26ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป 26

แนวทางในการจัดการเรียนรู 27 2.1 จํานวนตรรกยะ 27

จุดประสงค 27 เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม 27

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 27

2.2 จํานวนอตรรกยะ 28จุดประสงค 28ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 28

2.3 รากที่สอง 29 จุดประสงค 29

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 292.4 รากที่สาม 31 จุดประสงค 31

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม 31ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 31

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม 32 กิจกรรมเสนอแนะและคําตอบ 44บทท่ี 3 การประยุกตของสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว 47 ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป 47 แนวทางในการจัดการเรียนรู 48 3.1 ทบทวนการแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว 48

จุดประสงค 48 เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม 48

ขอเสนอแนะในการจดักิจกรรมการเรียนการสอน 483.2 การนําไปใช 49

จุดประสงค 49 เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม 49

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 49คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม 52

แบบฝกหัดเพิ่มเติมและคําตอบ 57บทท่ี 4 เสนขนาน 62 ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป 62 แนวทางในการจัดการเรียนรู 63 4.1 เสนขนานและมุมภายใน 63

จุดประสงค 63ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 63

4.2 เสนขนานและมุมแยง 65จุดประสงค 65ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 65

ความรูเพิ่มเติมสําหรับครู 664.3 เสนขนานและมุมภายนอกกับมุมภายใน 67

จุดประสงค 67ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 67

4.4 เสนขนานและรูปสามเหลี่ยม 69จุดประสงค 69ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 69

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม 72 กิจกรรมเสนอแนะและคําตอบ 91คณะกรรมการจัดทําสื่อการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร ระดับมัธยมศึกษาตอนตน 94

บทที่ 1ทฤษฎีบทพีทาโกรัส (12 ชั่วโมง)

1.1 สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (2 ช่ัวโมง)1.2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส (5 ช่ัวโมง)1.3 บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส (5 ช่ัวโมง)

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเปนทฤษฎีบทที่มีความสําคัญบทหนึ่งในเรขาคณิต สาระของบทนี้นักเรียนจะไดทราบถึงสมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทกลับ ทั้งในแงของความสัมพันธของความยาวของดานและพื้นที่ของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสบนดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก บทพิสูจนของทฤษฎีบทพีทาโกรัสมีหลายวิธี สําหรับในบทนี้จะยังไมใชการพิสูจนอยางเปนทางการตามหลักคณิตศาสตร แตไดเลือกแสดงแนวการพิสูจนวิธีหนึ่งในลักษณะเปนกิจกรรมบนพื้นฐานความรูเกี่ยวกับการแปลงทางเรขาคณิตที่นักเรียนเคยเรียนมาแลว ในกิจกรรมเสนอแนะยังไดเสนอแนวการพิสูจนเชิงกิจกรรมอีกวิธีหนึ่งไวใหครูไดนํามาใหนักเรียนไดเรียนรูเพิ่มเติมไดอีก

สาระของการนําทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทกลับไปใชในการแกปญหา จํากัดขอบเขตเฉพาะรูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวของดานเปนจํานวนตรรกยะ สําหรับความยาวของดานที่เปนจํานวนอตรรกยะจะไดเรียนในบทตอไป ดังนั้นในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนครูจึงควรระมัดระวังในการใหโจทยเพิ่มเติมดวย

ผลการเรียนรูท่ีคาดหวังรายป1. อธิบายความสัมพันธตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทกลับได2. ใชทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทกลับในการใหเหตุผลและแกปญหาได

3. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได

2

แนวทางในการจัดการเรียนรู

1.1 สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (2 ชั่วโมง)จุดประสงค ใหนักเรียนสามารถ

1. เขียนสมการแสดงความสัมพันธระหวางความยาวของดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 2. นําความสัมพันธระหวางความยาวของดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากไปใชใน การแกปญหา

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 1.1

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูใหนักเรียนสังเกตอาคารเรียนหรือส่ิงกอสรางใกลเคียงแลวนําสนทนาเกี่ยวกับรูปเรขาคณิตที่พบในโครงสรางของอาคารนั้น ๆ จะเห็นวามีรูปสี่เหล่ียม รูปสามเหลี่ยม ซ่ึงเปนการนําไปสูการคนหาสมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

2. สําหรับกิจกรรม “ลองวัดดูซิ” ครูควรใหนักเรียนลงมือปฏิบัติจริงและเติมคําตอบลงในชองวาง แลวใหนักเรียนชวยกันคาดการณสรุปความสัมพันธของความยาวของดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเปนสูตร c2 = a2 + b2 เมื่อ a, b แทนความยาวของดานประกอบมุมฉาก และ c แทนความยาวของดานตรงขามมุมฉาก สําหรับนําไปใชในการหาความยาวของดานของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่ตองการ นักเรียนอาจใชเครื่องคํานวณชวยในการหาคําตอบก็ได

3. กิจกรรม “เขียนไดหรือไม” นําเสนอไวเพื่อใหนักเรียนไดสํารวจ สังเกตและลงมือปฏิบัติดวยตนเองโดยใชสมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากมาเขียนแสดงความสัมพันธระหวางความยาวของดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมในรูปสมการ ครูควรทบทวนความรูทางคณิตศาสตรที่เกี่ยวของ เชน เร่ืองเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนสอง โดยช้ีใหนักเรียนสังเกตวา กําลังสองของจํานวนเต็ม เศษสวนและทศนิยมมีคาเปนจํานวนบวกเสมอ แตฐานของเลขยกกําลังของจํานวนเหลานั้นอาจเปนจํานวนบวกหรือจํานวนลบก็ได และเนื่องจากฐานของเลขยกกําลังเหลานี้เปนความยาวของดานของรูปสามเหลี่ยมจึงเปนจํานวนลบไมได เชน c2 = 49 เมื่อ c แทนความยาวของดาน c ตองเปนจํานวนบวกเทานั้น นั่นคือc = 7 4. ครูอาจใชกิจกรรมเสนอแนะ 1.1 มาเปนปญหาสนทนาตามแนวคําถามที่ใหไว เพื่อใหนักเรียนเห็นการใชความสัมพันธของดานของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากแกปญหาในชีวิตจริง

3

1.2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส (4 ชั่วโมง)จุดประสงค ใหนักเรียนสามารถ

1. เขียนความสัมพันธของพื้นที่ของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสบนดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสได 2. หาความยาวของดานใดดานหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เมื่อกําหนดความยาวของดาน สองดานใหโดยใชทฤษฎีบทพีทาโกรัสได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 1.2 ก – 1.2 ค

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ในหัวขอนี้จะกลาวถึงทฤษฎีบทพีทาโกรัสในรูปของความสัมพันธของพื้นที่ของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสบนดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยการสรางรูปและใหแนวการพิสูจน บทพิสูจนของทฤษฎีบทพีทาโกรัสไดมีผูพิสูจนไวหลายวิธี แนวการพิสูจนที่เสนอไวในกิจกรรม “หมุนแลวเห็น” เปนตัวอยางเพื่อแสดงวาทฤษฎีบทพีทาโกรัสเปนจริง ครูอาจแสดงดวยภาพหรือใชส่ืออุปกรณทํากิจกรรมใหนักเรียนมองเห็นภาพการหมุนรูปอยางเปนรูปธรรม แสดงใหเห็นจริงโดยวาดรูปบนแผนโปรงใส แลวสาธิตการหมุนใหนักเรียนดูพรอมกับการใชคําถามตามลําดับขั้นตอนใหนักเรียนชวยกันสรุปผล หรือครูอาจมอบหมายงานเปนกลุมใหนักเรียนใชกระดาษแข็งตัดตามรูปศึกษากิจกรรมและตอบคําถามตามลําดับที่ใหไวในหนังสือเรียน หลังจากนั้นอาจใหตัวแทนกลุมสาธิตใหเพื่อนดูหนาชั้น พรอมกับสรุปผลตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ครูอาจเลือกกิจกรรมเสนอแนะ 1.2 ก – 1.2 คใหนักเรียนทําบางกิจกรรมเพิ่มเติมตามความเหมาะสมและความพรอมของนักเรียน 2. สําหรับกิจกรรม “คิด” มีเจตนาใหนักเรียนหาความยาวของดานของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสโดยอาศัยความสัมพันธของดานของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ครูอาจชี้ใหนักเรียนสังเกตความยาวของรัศมีของวงกลม เพื่อนําไปสูความยาวของดานของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสที่ลอมรอบครึ่งวงกลมบนดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากนั้น 3. กิจกรรม “ยังมีอีกไหม” มีเจตนาใหนักเรียนสังเกตเห็นความสัมพันธของพื้นที่ของรูปเรขาคณิตอื่น ๆ บนดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ครูอาจแบงนักเรียนเปนกลุมโดยใหนักเรียนสรางรูปเรขาคณิตอื่น ๆ บนดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก แลวหาพื้นที่เพื่อตรวจสอบดูวามีความสัมพันธกันแบบทฤษฎีบทพีทาโกรัสหรือไม และใหแตละกลุมนําผลที่ไดมาอภิปรายหนาชั้น 4. เพื่อความสะดวกในการสรางโจทยเพิ่มเติมใหกับนักเรียน ครูอาจหาความยาวของดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีความยาวแตละดานเปนจํานวนเต็มที่มากกวา 1 ชุดอื่น ๆ ที่แตกตางจากจํานวนที่นักเรียนคุนเคย จากสูตรตอไปนี้

4

กําหนดให c เปนดานตรงขามมุมฉาก a และ b เปนดานประกอบมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

กรณีท่ี 1 ถา n เปนจํานวนคี่ที่มากกวา 1 และให a = n จะได b = 21 n 2

− และ

c = 21 n 2 +

a = n b = 21 n2

− c = 21 n 2 + a : b : c

3 4 5 3 : 4 : 55 12 13 5 : 12 : 137 24 25 7 : 24 : 259 40 41 9 : 40 : 4111 60 61 11 : 60 : 6113 84 85 13 : 84 : 85...

.

.

....

.

.

.

กรณีท่ี 2 ถา n เปนจํานวนเต็มที่มากกวา 1 และให a = 2n จะได b = n2 – 1 และ c = n2 + 1

n a = 2n b = n2 – 1 c = n2 + 1 a : b : c2 4 3 5 4 : 3 : 5 หรือ 3 : 4 : 53 6 8 10 6 : 8 : 10 หรือ 3 : 4 : 54 8 15 17 8 : 15 : 175 10 24 26 10 : 24 : 26 หรือ 5 : 12 : 136 12 35 35 12 : 35 : 357 14 48 50 14 : 48 : 50 หรือ 7 : 24 : 258 16 63 65 16 : 63 : 65...

.

.

....

.

.

....

หมายเหตุ สําหรับสูตรดังกลาวนี้ ครูไมควรนําไปสอน ในที่นี้ใหไวเปนความรูสําหรับครูเพื่อ นําไปใชในการสรางโจทยอ่ืน ๆ

5

1.3 บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส (4 ชั่วโมง)จุดประสงค ใหนักเรียนสามารถ 1. เขียนบทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัสได 2. นําทฤษฎีบทและบทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัสมาใชในการแกปญหาได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม แบบฝกหัดเพิ่มเติม 1.3

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูนําสนทนาเกี่ยวกับการสรางมุมฉากดวยเครื่องมือในปจจุบันและชี้ใหนักเรียนเห็นวาในสมัยโบราณสรางมุมฉากโดยใชเชือก 13 ปมอยางไร ครูอาจเตรียมส่ืออุปกรณเชือก 13 ปม มาใหนักเรียนลองตรวจสอบกับมุมโตะของครูหรือของนักเรียน เพื่อดูวาการจัดขึงเชือกใหเปนรูปสามเหลี่ยมเมื่อใหความยาวของดานเปน 3, 4 และ 5 หนวย แลวไดมุมมีขนาดเทากับขนาดมุมฉากของโตะจริงหรือไม 2. สําหรับกิจกรรม “ลองทําดู” มีเจตนาใหนักเรียนสํารวจวา ถารูปสามเหลี่ยมใดมีความสัมพันธของความยาวของดานเปนแบบ c2 = a2 + b2 เมื่อ a, b และ c แทนความยาวของดาน แลวรูปสามเหลี่ยมนั้นจะเปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเสมอเพื่อนําเขาสูบทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส และนําไปใชในการตรวจสอบวา รูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวของดานทั้งสามตามที่กําหนดใหเปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม 3. เพื่อเปนการทําความเขาใจเกี่ยวกับขอความของทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส ครูอาจใหนักเรียนสังเกตวาขอความใดเปนเหตุหรือส่ิงกําหนดให และขอความใดเปนผล ซ่ึงจะเห็นวาสวนที่เปนเหตุของทฤษฎีบทคือสวนที่เปนผลของบทกลับ สวนที่เปนเหตุของบทกลับคือสวนที่เปนผลของทฤษฎีบท 4. การพิสูจนบทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส ตองการใหนักเรียนเห็นการพิสูจนเทานั้น ไมตองนํามาวัดผล 5. สําหรับกิจกรรม “ลองคาดการณ” มีเจตนาเสนอไวเพื่อใหนักเรียนไดขอสรุปความสัมพันธเกี่ยวกับความยาวของดานและขนาดของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม นอกเหนือจากทฤษฎีบทของพีทาโกรัส นักเรียนอาจหาขอคาดการณไดจากการสังเกตหรือจากการสรางรูปสามเหลี่ยมตามเงื่อนไขของโจทยก็ได

6. สําหรับแบบฝกหัด 1.3 ขอ 3 ครูควรแนะนําใหนักเรียนวาดรูปสามเหลี่ยมประกอบการคํานวณ และขอ 7 ควรวาดรูปตามขนาดที่กําหนดใหเพื่อสํารวจเสนทแยงมุมทั้งสองเสนวายาวเทากันหรือไม

6

7. สําหรับแบบฝกหัดเพิ่มเติม 1.3 มีเจตนาใหเปนแบบฝกหัดระคน เพื่อฝกทักษะการนําความรูเร่ืองทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทกลับไปใชในการแกโจทยปญหา ควรใหนักเรียนทําหลังจบบทเรียนแลวเพื่อเปนการประเมินตนเอง อาจมีโจทยบางขอที่คอนขางซับซอน ครูควรพิจารณาเลือกเปนบางขอใหนักเรียนทําตามความเหมาะสม

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรมคําตอบกิจกรรม “ลองวัดดูซิ”

1. 1) 5 2) 4 3) 6.5 4) 10 5) 13 2.

ขอท่ี a b c a2 b2 c2 a2 + b2

1 3 4 5 9 16 25 252 2.4 3.2 4 5.76 10.24 16 163 2.5 6 6.5 6.25 36 42.25 42.254 6 8 10 36 64 100 1005 5 12 13 25 144 169 169

จากตารางสามารถบอกความสัมพันธของความยาวของดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากไดวา c2 = a2 + b2

คําตอบกิจกรรม “เขียนไดหรือไม”

1. d2 = e2 + f2

2. x2 = y2 + z2

3. p2 = q2 + r2

4. 102 = 62 + a2

5. 252 = b2 + 242

6. x2 = 52 + 122

7

คําตอบแบบฝกหัด 1.1

1. 1) 15 2) 61

3) 29 4) 1.7 5) 1.3 6) 5

27 หรือ 7.4 2. 1) 16 2) 25

3) 0.5 4) 2.0

3. 1) 36 2) 132

3) 9 4) 10.8

คําตอบกิจกรรม “หมุนแลวเห็น”

1. พื้นที่ของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส ABCD = a2

พื้นที่ของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส BEFG = b2

2.

จากรูปจะได 1) ∆ HEF เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เพราะมี FEH

∧ เปนมุมฉาก

2) HE = a หนวย เนื่องจาก AE = AB + BE = a + b แต AH = b หนวย (กําหนดให)

D C

a

A B E

G Fb

423

1

Hb

c

8

ดังนั้น HE = AE – AH = a + b – b นั่นคือ HE = a หนวย 3) EF = b หนวย EF เปนดานของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส BEFG ที่มีดานยาวดานละ b หนวย 4) ∆ DAH ≅ ∆ HEF (ด.ม.ด.) 5) HF = c หนวย (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน)

3. 1)

∧1 =

∧2 (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน)

2) ∧1 +

∧3 = 90o

3) ∧2 +

∧3 = 90o

4) FHD∧

= 90o

4.

1) ใช 2) ใช 3) เปนมุมฉาก

เนื่องจาก IFG∧

= HFE∧

= ∧4 ( IFG

∧ เปนภาพที่ไดจากการหมุน HFE

∧)

เนื่องจาก HFG∧

+ HFE∧

= 90o (ขนาดของมุมภายในของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส) ดังนั้น HFG

∧ + IFG

∧ = 90o (สมบัติของการเทากัน)

นั่นคือ IFH∧

เปนมุมฉาก

D C

a

A B E

G Fb

4

2

3

1

H

c

2

I3

1

4

9

4) เปนมุมฉาก เนื่องจาก IDC

∧ =

∧1 ( IDC

∧ เปนภาพที่ไดจากการหมุน AH

∧D )

และ CDA∧

= ∧1 + CDH

∧ = 90o (ขนาดของมุมภายในของรูป

ส่ีเหล่ียมจัตุรัส) ดังนั้น IDH

∧ = IDC

∧ + CDH

∧(สมบัติของการเทากัน)

จะได IDH∧

= CDA∧

= 90o (สมบัติของการเทากัน) นั่นคือ IDH

∧ เปนมุมฉาก

5) เปนมุมฉาก เนื่องจาก GIF

∧ =

∧2 ( GIF

∧ เปนภาพที่ไดจากการหมุน

FHE∧

) และ CID

∧ =

∧3 ( CID

∧เปนภาพที่ไดจากการหมุน

DHA∧

) GIF

∧ + CID

∧ =

∧2 +

∧3 (สมบัติของการเทากัน)

เนื่องจาก ∧2 +

∧3 = 90o (ผลที่ไดจากขอ 3 ขอยอย 3))

ดังนั้น GIF∧

+ CID∧

= 90o (สมบัติของการเทากัน) นั่นคือ FID

∧ เปนมุมฉาก

5. DHFI เปนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส เพราะ DHFI มี FHD∧

= IFH∧

= IDH∧

= FID∧

= 90o

และ DH = HF = FI = ID = c หนวย 6. จากการหมุน ∆ HEF และหมุน ∆ DAH แสดงใหเห็นวารูปสี่เหล่ียมจัตุรัส DHFI ประกอบขึ้นมา จากรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส ABCD และรูปสี่เหล่ียม BEFG โดยแบงเปนชิ้นสวนตามที่กําหนดใหและนํามา เรียงตอกัน ดังรูป

Dc

A B E

F

H

I

C

Gc

10

คําตอบกิจกรรม “คิด”

พื้นที่ของรูปสี่เหล่ียม PQRS = 12 × 12 = 144 ตารางหนวย

คําตอบแบบฝกหัด 1.2

1. 13 เซนติเมตร 2. 7.2 กิโลเมตร 3. 84 ตารางเซนติเมตร 4. 1) 17 หนวย 2) 60 ตารางหนวย 3) ประมาณ 7.06 หนวย 5. 22 ฟุต 6. 1) 6 เมตร 2) มากกวา 2.5 เมตร 7. 24 ฟุต

คําตอบกิจกรรม “ยังมีอีกไหม”

ยังมีอีกเชน 1. รูปวงกลมที่แตละรูปมีเสนผานศูนยกลางเปนดานของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 2. รูปสามเหลี่ยมดานเทาบนดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 3. รูปหกเหลี่ยมดานเทามุมเทาบนดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

11

คําตอบกิจกรรม “ลองทําดู”

a2 + b2 เทากับ c2

หรือไม∆ ABC เปน ∆ มุมฉาก

หรือไมขอ a b c a2 + b2 c2

เทา ไมเทา เปน ไมเปน(1)(2)(3)(4)(5)(6)

66976

1.4

8121213

6.253.6

10131514

7.254

36 + 6436 + 14481 + 14449 + 169

36 + 39.0251.96 + 12.96

100169225196

52.562516

(7) 212 6 2

16 425 + 36 4

169

(8) 4 6.5 8.5 16 + 42.25 72.25

คําตอบกิจกรรม “ลองคาดการณ”

1. c2 < a2 + b2 แลว BCA∧

< 90o

2. c2 > a2 + b2 แลว BCA∧

> 90o

คําตอบแบบฝกหัด 1.3

1. ขอ 1) ขอ 4) และ ขอ 6) 2. 1) ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เนื่องจาก AB2 = 242 + 182 = 900 AC2 = 242 + 322 = 1600 จะได AB2 + AC2 = 900 + 1600 = 2500 เนื่องจาก BC2 = (18 + 32)2 = 2500

ดังนั้น BC2 = AB2 + AC2

นั่นคือ ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

A

CB3218

24

12

2) ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

เนื่องจาก AB2 = 252 + 602 = 4,225 AC2 = 602 + 1442 = 24,336 จะได AB2 + AC2 = 4,225 + 24,336 = 28,561 เนื่องจาก BC2 = (25 + 144)2 = 28,561 ดังนั้น BC2 = AB2 + AC2

นั่นคือ ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

3. ความยาวที่กําหนดใหในขอ 3) ทําให ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เนื่องจาก AD2 = AC2 – CD2

= 32 – 2.42 = 3.24 ดังนั้น AD = 1.8

เนื่องจาก BD2 = CB2 – CD2

= 42 – 2.42 = 10.24 ดังนั้น BD = 3.2 AB = AD + DB = 1.8 + 3.2 = 5

จะได AB2 = 25 และ AC2 + CB2 = 32 + 42 = 25 ดังนั้น AB2 = AC2 + CB2

นั่นคือ ∆ ABC เปนสามเหลี่ยมมุมฉาก

4. ประมาณ 43.45 เซนติเมตร 5. 210 ตารางหนวย 6. 6 ฟุต 7. ไมเปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ส้ันกวา 15 เซนติเมตร

A

CB14425

60

A D B

C

2.4 43

13

กิจกรรมเสนอแนะ แบบฝกหัดเพิ่มเติมและคําตอบ

14

กิจกรรมเสนอแนะ 1.1

กิจกรรมนี้เปนกิจกรรมเกี่ยวกับความสัมพันธระหวางความยาวของดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ใหเห็นการนําความสัมพันธระหวางความยาวของดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากไปใชในการแกปญหา

ปญหา รถยนตสามคันจอดขนานฟุตบาทเรียงกันดังภาพ รถคันสีน้ําเงินจะตองอยูหางจากรถคันสี แดงมากนอยเพียงใด จึงจะสามารถนํารถคันสีเหลืองออกมาไดโดยไมเกิดความเสียหายและไมตอง เล่ือนรถคันหนาและรถคันหลัง

สื่ออุปกรณ รถยนตจําลอง 3 คัน หรือกระดาษแข็งรูปสี่เหล่ียมมุมฉาก 3 แผน แทนรถยนต

แนวการดําเนินกิจกรรม ครูอาจจําลองภาพการจอดรถขนานฟุตบาท ดังรูป แลวใหนักเรียนชวยกันอภิปรายจนไดขอสรุปวา รถคันสีน้ําเงินจะตองอยูหางจากรถคันสีแดงมากกวาความยาวของเสนทแยงมุมของรถคันสีเหลืองดังรูป

15

กิจกรรมเสนอแนะ 1.2 ก

กิจกรรมนี้มีเจตนาใหนักเรียนเห็นแนวการพิสูจนทฤษฎีบทพีทาโกรัสอีกวิธีหนึ่ง

อุปกรณ กระดาษตัดเปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่เทากันทุกประการ 8 รูป โดยใหดานตรงขาม มุมฉากยาว c หนวย ดานประกอบมุมฉากยาว a และ b หนวย และรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสที่มี ดานยาว a, b และ c หนวย อยางละหนึ่งรูป

1. ครูนํารูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหล่ียมที่ตัดไวในขอ 1 มาประกอบกันเปนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสสองรูปที่เทากันทุกประการ ดังรูปที่ 1 และรูปที่ 2

2. ใหนักเรียนชวยกันอภิปรายวาพื้นที่ของรูปที่ประกอบแลวในรูปที่ 1 และรูปที่ 2มีความสัมพันธกันอยางไร

c

a

bc

a

ab

b c

a

a

b

b

ab

b

a

รูปที่ 1 รูปที่ 2

a

b

ba

16

ครูอาจใชคําถามดังตอไปนี้ 1) รูปที่ 1 และรูปที่ 2 เปนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสหรือไม [เปน]

2) รูปที่1 และรูปที่ 2 มีพื้นที่เทากันหรือไม เพราะเหตุใด [เทากัน เพราะวาทั้งสองรูปเปนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสที่มีความยาวของดานเปน a + b หนวย เทากัน] 3) รูปที่ 1 และรูปที่ 2 แตละรูปมีรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่เทากันทุกประการอยูกี่รูป [4 รูป] 4) เมื่อหักพื้นที่รูปสามเหลี่ยมทั้งหมดออกจากรูปที่ 1 และรูปที่ 2 พื้นที่ของรูปที่เหลือเทากัน หรือไม เพราะเหตุใด [เทากัน เพราะโดยสมบัติของการเทากัน] 5) พื้นที่ของรูปที่ 1 ที่เหลือเปนเทาไร และพื้นที่ของรูปที่ 2 ที่เหลือเปนเทาไร [c2 และ a2 + b2 ] 6) พื้นที่ของรูปที่เหลือทั้งสองรูปมีความสัมพันธกันอยางไร [c2 = a2 + b2] 7) ผลที่ไดในขอ 6) เปนไปตามทฤษฎีบทของพีทาโกรัสหรือไม [เปน]

เมื่อนักเรียนไดแนวคิดจากคําถามขางตนแลว ครูควรใหนักเรียนชวยกันสรุปความสัมพันธที่ไดดังนี้ จะไดรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสสองรูปมีความยาวดานละ a + b หนวย พื้นที่ของ จัตุรัสรูปที่ 1 = พื้นที่ของ จัตุรัสที่มีดานยาว c + พื้นที่ของ ∆ มุมฉาก 4 รูป (a + b)2 = c2 + (4 × 2

1 ab) = c2 + 2ab

พื้นที่ของ จัตุรัสรูปที่ 2 = พื้นที่ของ จัตุรัสที่มีดานยาว a + พื้นที่ของ จัตุรัสดานยาว b + พื้นที่ของ ∆ มุมฉาก 4 รูป (a + b )2 = a2 + b2 + (4 × 2

1 ab) = a2 + b2 + 2ab

เนื่องจาก พื้นที่ของ จัตุรัสรูปที่ 1 เทากับพื้นที่ของ จัตุรัสรูปที่ 2 ดังนั้น c2 + 2ab = a2 + b2 + 2ab

นั่นคือ c2 = a2 + b2 (สมบัติของการเทากัน)

เมื่อนักเรียนมองเห็นภาพรวมของความสัมพันธระหวางพื้นที่ของรูปทั้งสองแลว ครูควรใหนักเรียนพิจารณาหาเหตุผลที่จะสรุปวารูปที่ 1 และรูปที่ 2 เปนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสไดดวยเหตุผลใด

17

ครูควรใชคําถามเพื่อเชื่อมโยงไปสูขอสรุป ดังนี้ 1) จากรูปที่ 1 นักเรียนบอกเหตุผลไดหรือไมวา รูปที่นํามาตอกันทําใหดานที่ยาว a หนวย และ b หนวย ตอกันเปนสวนของเสนตรงที่ยาว a + b หนวย [แนวคิด เนื่องจาก

∧1 +

∧2 = 90o และ

∧3 +

∧4 = 90o

ดังนั้น (∧1 +

∧2 ) + (

∧3 +

∧4 ) = 90 + 90

= 180o

เนื่องจาก ∆ ABC ≅ ∆ CDE จะได

∧1 =

∧4 และ

∧2 =

∧3

ดังนั้น 2(∧1 + ∧3 ) = 180

แลว ∧1 + ∧3 =

2180

= 90o

และ ∧1 + ∧3 + ∧5 = 90 + 90

= 180o

แสดงวา BC ตอกับ CD แลวได DCB∧

เปนมุมตรง นั่นคือ BD ยาวเทากับ a + b หนวย]

2) จากรูปที่ 2 นักเรียนบอกเหตุผลไดหรือไมวา รูปที่นํามาตอกันทําใหดานที่ยาว a และ b หนวย ตอกันเปนสวนของเสนตรงที่ยาว a + b หนวย

[แนวคิด เนื่องจาก ∧1 = 90o (เปนมุมของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสที่มี

ดานยาว a หนวย) และ

∧2 = 90o (เปนมุมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก)

ดังนั้น ∧1 +

∧2 = 90 + 90

= 180o

แสดงวา BC ตอกับ CD แลวได DB∧C เปนมุมตรง

นั่นคือ BD ยาวเทากับ a + b หนวย

2

ab C D

A

E

B1 35

4

ba

A

B C D

E

1 2ba

18

กิจกรรมเสนอแนะ 1.2 ข

กิจกรรมนี้เพื่อเจตนาใหนักเรียนไดเห็นความสัมพันธตามทฤษฎีบทของพีทาโกรัส

ใหนักเรียนทํากิจกรรมตามลําดับขั้นตอนตอไปนี้ 1. สรางรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหนึ่งรูป กําหนดความยาวของดานทั้งสามตามใจชอบ

2. สรางรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสบนดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

3. ลากเสนทแยงมุมของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส 2 ใหตัดกันที่จุด O 4. บนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส 2 ลากเสนขนานกับดานของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส 1 ผานจุด O ดังรูป

1

3

2

3

1

2

a

dc

b

O

19

5. ตัดกระดาษในรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส 2 เปนรูปสี่เหล่ียมรูป a รูป b รูป c และ รูป d 6. ตัดรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส 3 7. นํารูปที่ตัดไดในขอ 4 และ ขอ 5 ทั้งหมด 5 รูปมาเรียงซอนบนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสรูป 1 โดยแตละชิ้นไมมีสวนใดซอนกันเลย 8. สามารถวางไดเต็มรูป 1 พอดีหรือไม [จัดไดพอดี] ดังรูป

9. นักเรียนคิดวากิจกรรมนี้ไดขอสรุปวาอยางไร [พื้นที่ของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสบนดานตรงขามมุมฉาก เทากับผลบวกของพื้นที่ของ รูปสี่เหล่ียมจัตุรัสบนดานประกอบมุมฉาก]

b

c

d

a 3

20

กิจกรรมเสนอแนะ 1.2 ค

กิจกรรมนี้ใชเพื่อใหนักเรียนไดเห็นความสัมพันธตามทฤษฎีบทของพีทาโกรัส

ใหนักเรียนทํากิจกรรมตามลําดับขั้นตอนตอไปนี้ 1. สราง ∆ ABC มี BCA

∧ เปนมุมฉาก

2. สรางรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสบนดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังรูป

3. ลาก IJ // AB ตัด AH ที่จุด J 4. ตอ EA มาทางจุด A ตัด CG ที่จุด K 5. ลาก JN // AK ตัด BC ที่จุด N จะไดรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหล่ียม 1 , 2 , 3 , 4 และ 5 ดังรูป

D

E

A

B

F

G C

H I

21

6. ตัดรูป 1 2 3 4 และ 5 นํารูปทั้งหามาจัดเรียงลงบนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสบน ดาน AB โดยแตละชิ้นไมมีสวนใดซอนกันเลย 7. สามารถวางรูปทั้งหารูปบนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส ABDE ไดพอดีหรือไม [จัดไดพอดี] ดังรูป

8. กิจกรรมนี้จะไดขอสรุปวาอยางไร [พื้นที่ของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสบนดานตรงขามมุมฉาก เทากับผลบวกของพื้นที่ของ

รูปสี่เหล่ียมจัตุรัสบนดานประกอบมุมฉาก]

42

1

53

D

E

A

B

F

G C

H I

4

N1

23

5

K

J

22

แบบฝกหัดเพิ่มเติม 1.3

1. จงใชทฤษฎีบทพีทาโกรัสตอบคําถามในแตละขอตอไปนี้ 1) จากรูป a เทากับเทาไร 2) จากรูป b เทากับเทาไร

[a = 7] [b = 12]

3) จากรูป ความยาวรอบรูปของ 4) จากรูป c เทากับเทาไร ∆ ABC เปนเทาไร

[12] [c = 3]

5) จากรูป d เทากับเทาไร เมื่อพื้นที่ของสี่เหล่ียมมุมฉากเทากับ 168 ตารางหนวย

[d = 25]

6) จากรูป c เทากับเทาไร

[c = 25]

2524

a

13b

5

13

124

c

7d

5

4

A B

C

12

15

16

c

23

7) จากรูป พื้นที่ของสวนที่แรเงาเปนเทาไร

[51 ตารางเซนติเมตร]

2. จากรูป ∆ ABF และ ∆ DCF เปนรูปสามเหลี่ยม มุมฉาก มี CF = 5 หนวย, CD = 3 หนวย และ AF = 12 หนวย จงหาความยาวของ AB และ BF

[9 หนวย และ 15 หนวย]

3. จากรูป ∆ ABC มี AB , BC และ AC ยาว 16, 30 และ 34 หนวย ตามลําดับ BD ตั้งฉากกับ AC จงหาความยาวของ BD

[ 17214 หนวย]

4. จากรูป DFBC เปนรูปสี่เหล่ียมดานขนาน มี DC = 11 หนวย, EF = 9 หนวย และ BC = 15 หนวย จงหาพื้นที่ของ DFBC

[132 ตารางหนวย]

5. จากรูป ทรงสี่เหล่ียมมุมฉาก มี AB = 16 หนวย BG = 21 หนวย และ FG = 12 หนวย จงหาความยาวของ AF [29 หนวย]

3 ซม.8 ซม.

15 ซม.

16 34

C

DA

B 30

A B

CD 11

15

9E F

AD

E FG

C

H

21

16 B

12

D

CF

A

B

125

3

24

A12 5

B C

6. จากรูป ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มี AC = 17 หนวย, CB = 8 หนวย ∆ ACD เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มี AC = CD จงหาพื้นที่ของสวนที่แรเงา [84.5 ตารางหนวย]

7. จากรูป BCDE เปนรูปสี่เหล่ียมผืนผา มี CD , AE และ AC ยาว 8, 18 และ 26 หนวย จงหาพื้นที่ของ สวนที่แรเงา [96 ตารางหนวย]

8. จากรูป ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มีดานประกอบมุมฉากยาว 5 และ 12 หนวย มีรูปครึ่งวงกลมอยูบนดานทั้งสามของ ∆ ABC จงหาพื้นที่ของสวนที่แรเงา [30 ตารางหนวย] [แนวคิด ครูอาจใหนักเรียนวาดภาพครึ่งวงกลมบนดาน BC จะไดวงกลมที่มี BC เปน เสนผานศูนยกลาง แลวกําหนด 1 , 2 , 3 , 4 , 5 และ 6 แทน พื้นที่แตละสวนดังแสดงในภาพ

จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได 1 + 2 + 4 + 5 = 6 แต 2 + 3 + 4 = 6 (เปนพื้นที่คร่ึงวงกลมของ วงกลมเดียวกัน)

A

C

D

B

E

A 17 C

8

B

D

A

B C

12

3

6

5

4

25

ดังนั้น 1 + 2 + 4 + 5 = 2 + 3 + 4 (สมบัติของการเทากัน) แต 1 + 5 = 3 (นําพื้นที่ที่เทากันมาลบ ทั้งสองขางของสมการ) นั่นคือ พื้นที่สวนที่แรเงารวมกัน เทากับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ซ่ึงเทากับ 2

1 × 5 × 12 = 30 ตารางหนวย]

บทที่ 2ความรูเบื้องตนเกี่ยวกับจํานวนจริง (18 ช่ัวโมง)

2.1 จํานวนตรรกยะ (3 ช่ัวโมง)2.2 จํานวนอตรรกยะ (2 ช่ัวโมง)2.3 รากที่สอง (7 ช่ัวโมง)2.4 รากที่สาม (6 ช่ัวโมง)

นักเรียนไดรูจักและใชจํานวนเต็ม เศษสวนและทศนิยมมาแลว ในบทนี้มุงใหนักเรียนมีความคดิรวบยอดเกีย่วกบัจาํนวนตรรกยะ จาํนวนอตรรกยะและจาํนวนจรงิ สําหรับสาระเกีย่วกบัจาํนวนอตรรกยะมีเจตนาเพียงใหนักเรียนไดรูจักจํานวนอตรรกยะและสามารถยกตัวอยางได ในบทนี้จะยังไมกลาวถึงสมบัติของจํานวนจริงและการคํานวณเกี่ยวกับจํานวนจริงที่อยูในรูป a เมื่อ a > 0 หัวขอรากที่สองและรากที่สามไดเสนอวิธีหารากไวหลายวิธี สําหรับรากที่สามจะไมกลาวถึงวิธีการประมาณ เพราะมีการคํานวณที่คอนขางยุงยาก ในการจัดการเรียนการสอน ครูจะตองดําเนินกิจกรรมใหนักเรียนรูและตระหนักเสมอวาจํานวนจริงจํานวนหนึ่งจะตองเปนจํานวนตรรกยะ หรือจํานวนอตรรกยะอยางใดอยางหนึ่งเทานั้น และรูวาในการคํานวณทั่ว ๆ ไปจะใชคาประมาณที่เปนจํานวนตรรกยะแทนจํานวนอตรรกยะ เชน ใช 7

22 แทนπ ใช 1.414 แทน 2 เปนตน

ผลการเรียนรูท่ีคาดหวังรายป 1. เขียนเศษสวนในรูปทศนิยมซ้ําและเขียนทศนิยมซ้ําในรูปเศษสวนได 2. ระบุหรือยกตัวอยางจํานวนจริง จํานวนตรรกยะ และจํานวนอตรรกยะได 3. บอกความเกี่ยวของระหวางจํานวนเต็ม จํานวนตรรกยะ และจํานวนอตรรกยะได

4. อธิบายและระบุรากที่สองและรากที่สามของจํานวนจริงได 5. บอกความสัมพันธของการยกกําลังและการหารากของจํานวนเต็มและจํานวนตรรกยะได 6. หารากที่สองของจํานวนตรรกยะที่กําหนดใหโดยการแยกตัวประกอบการประมาณ การเปดตาราง หรือการใชเครื่องคํานวณ และนําไปใชแกปญหาได 7. หารากที่สามของจํานวนตรรกยะที่กําหนดใหโดยการแยกตัวประกอบ การเปดตาราง หรือ การใชเครื่องคํานวณ และนําไปใชแกปญหาได 8. อธิบายผลที่เกิดขึ้นจากการหารากที่สองและรากที่สามของจํานวนเต็มและจํานวนตรรกยะได 9. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได

27

แนวทางในการจัดการเรียนรู

2.1 จํานวนตรรกยะ (3 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. เขียนเศษสวนใหอยูในรูปทศนิยมซ้ํา 2. เขียนทศนิยมซ้ําใหอยูในรูปเศษสวน 3. บอกไดวาจํานวนที่กําหนดใหเปนจํานวนตรรกยะหรือไม 4. ยกตัวอยางจํานวนตรรกยะได 5. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 2.1

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูควรทบทวนการเขียนเศษสวนใหอยูในรูปทศนิยมซ้ํา และการเขียนทศนิยมซ้ําศูนยใหอยูในรูปเศษสวน เพื่อเชื่อมโยงไปสูการเขียนทศนิยมซ้ําอื่น ๆ ใหอยูในรูปเศษสวน 2. หลังจากที่นักเรียนไดเรียนการเขียนทศนิยมซ้ําที่ตัวซํ้าไมใชศูนยใหอยูในรูปเศษสวนแลวครูอาจใหนักเรียนทํากิจกรรมเสนอแนะ 2.1 และชวยกันหาวิธีลัดในการเขียนทศนิยมเปนเศษสวนไดอยางรวดเร็ว เชน ใหสังเกตแบบรูปดังตอไปนี้

⋅7.0 = 9

7

⋅⋅34.0 = 99

43⋅⋅853.0 = 990

3 358 −

= 990535 หรือ 198

71

ครูอาจพบคําถามของนักเรียนวา ⋅9.0 เขียนเปนเศษสวนไดเทาไร ถาทําตามวิธีการดังที่เสนอ

ไวจะได ⋅9.0 = 9

9 หรือ ⋅9.0 = 1 ถามีนักเรียนไมยอมรับคําตอบนี้ ใหครูบอกวา ในทางคณิตศาสตร

ถือเปนขอตกลงในการเขียน ⋅9.0 เปนเศษสวนไดเปน 1

3. กิจกรรม “มารูจักจํานวนตรรกยะกันเถอะ” มุงใหนักเรียนอภิปรายเพื่อใหไดขอสรุปวาจํานวนตรรกยะทุกจํานวน สามารถแทนไดดวยจุดบนเสนจํานวนและไมมีจํานวนตรรกยะที่มากที่สุดและนอยที่สุด หลังจากนั้นครูจึงใหนักเรียนชวยกันสรุปเปนแผนผังจํานวนตรรกยะ

28

4. ครูควรใชการสนทนาใหเห็นการใชจํานวนตรรกยะในชีวิตประจําวัน ดังตัวอยางสถานการณที่เสนอไวในหนังสือเรียนหนา 40 ครูควรชี้ใหเห็นความจําเปนและประโยชนของการใชคาประมาณในชีวิตประจําวันประกอบกันดวย

5. สําหรับแบบฝกหัด 2.1 ขอ 5, 6 และ 7 มุงใหนักเรียนเห็นการใชจํานวนตรรกยะในชีวิตประจําวัน ซ่ึงอาจมีทางเลือกหลากหลายรวมทั้งใหสามารถตัดสินใจแกปญหาโดยใชขอมูลที่มีอยู บางขออาจมีคําตอบไดมากกวาหนึ่งคําตอบ ครูควรใหนักเรียนไดอภิปรายแสดงเหตุผลประกอบคําตอบดวย 6. สําหรับกิจกรรม “เปนจํานวนตรรกยะหรือไม” ตองการใหนักเรียนหาขอสรุปเกี่ยวกับผลลัพธที่เกิดจากการบวก ลบ คูณ และหารจํานวนตรรกยะกับจํานวนตรรกยะ โดยอาจใชการยกตัวอยางหลาย ๆ ตัวอยางเพื่อคาดการณหาขอสรุป 7. สําหรับกิจกรรม “หาไดอยางไร” มุงฝกการคิดและพัฒนาความรูสึกเชิงจํานวนของนักเรียนนักเรียนอาจใชวิธีคิดคํานวณที่แตกตางกัน ครูควรพิจารณาและยอมรับคําตอบที่สมเหตุสมผลของนักเรียน

2.2 จํานวนอตรรกยะ (2 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. บอกไดวาทศนิยมที่กําหนดใหเปนทศนิยมซ้ําหรือไม 2. บอกไดวาจํานวนที่กําหนดใหเปนจํานวนอตรรกยะหรือไม 3. ยกตัวอยางจํานวนอตรรกยะได 4. บอกความเกี่ยวของระหวางจํานวนเต็ม จํานวนตรรกยะ และจํานวนอตรรกยะได 5. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. เนื่องจากนักเรียนเคยรูจักและใช π ในการหาความยาวของเสนรอบวงของวงกลมและหาพื้นที่ของวงกลมมาแลว ครูอาจนําเขาสูบทเรียนโดยนําเรื่องของ π มาแนะนําเปนตัวอยางจํานวนอตรรกยะ แลวจึงแนะนําใหรูจัก 2 ซ่ึงเปนจํานวนอตรรกยะอีกจํานวนหนึ่งที่ใชบอยก็ได 2. ในการดําเนินกิจกรรมการเรียนการสอนหาคาประมาณของ 2 ตามหนังสือเรียน ครูอาจใหนักเรียนใชเครื่องคํานวณหาทศนิยมแสดงคา 2 ไปพรอม ๆ กับที่ครูอธิบายและแสดงใหเห็นคาประมาณที่ใกลเคียงเปนทศนิยมหลาย ๆ ตําแหนงตามที่ตองการ ครูควรยกตัวอยางทศนิยมที่ไมใชทศนิยมซ้ํา ใหนักเรียนสังเกตเห็นความแตกตางจากทศนิยมซํ้า และอาจใหนักเรียนยกตัวอยางทศนิยมที่ไมใชทศนิยมซ้ําเพิ่มเติม ครูควรใหนักเรียนอภิปรายเกี่ยวกับ π, 7

22 , 3.14, 3.141592… วาจํานวนใดเปนจํานวนตรรกยะ จํานวนใดเปนจํานวนอตรรกยะ เพราะเหตุใด

29

3. 2 และ π เปนตัวอยางของจํานวนอตรรกยะที่มีการนําไปใชงานมาก แตไมสามารถเขียนในรูปเศษสวนหรือทศนิยมซ้ําได นักเรียนจึงอาจสงสัยวาจะเขียน 2 และ π บนเสนจํานวนไดหรือไมการหาจุดบนเสนจํานวนที่แทน 2 โดยใชทฤษฎีบทพีทาโกรัส และแทน π โดยการกลิ้งรูปวงกลมที่มีเสนผานศูนยกลางยาวเทากับ 1 หนวย ที่นําเสนอไวมีเจตนาใหนักเรียนเห็นวา เราสามารถเขียนแทนจํานวนอตรรกยะ ดวยจุดบนเสนจํานวนไดเชนเดียวกับจํานวนตรรกยะ 4. สําหรับกิจกรรม “ลองคิดดู” ตองการใหนักเรียนไดอภิปรายกันและใหไดขอสรุปวา จํานวนตรงขามของจํานวนอตรรกยะบวกเปนจํานวนอตรรกยะลบ และไมมีจํานวนจริงใดที่เปนทั้งจํานวนตรรกยะและจํานวนอตรรกยะ 5. π เปนจํานวนอตรรกยะที่ใชในการคํานวณหาพื้นที่และความยาวของเสนรอบวงของวงกลมในหลายระดับชั้น แตนักเรียนอาจยังไมทราบรายละเอียดเกี่ยวกับ π กรอบความรูเร่ือง “คาของ π” จึงมุงใหนักเรียนไดความรูเกี่ยวกับ π และวิธีการคํานวณคาของ π ตั้งแตในอดีตจนถึงปจจุบัน ครูอาจใหนักเรียนหาความรูเพิ่มเติมเกี่ยวกับคาของ π จากหนา 128 – 129 ของหนังสือเรียนสาระการเรียนรูเพิ่มเติม คณิตศาสตร เลม 1 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 2

2.3 รากที่สอง (7 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. อธิบายความหมายของรากที่สองของจํานวนจริงบวกหรือศูนยได 2. อานและใชสัญลักษณ ไดถูกตอง 3. อธิบายความสัมพันธของการยกกําลังสองและการหารากที่สองของจํานวนจริงบวกหรือศูนยได 4. หารากที่สองของจํานวนจริงที่กําหนดใหโดยการประมาณ การเปดตาราง หรือการใช เครื่องคํานวณ และนําไปใชแกปญหาได 5. อธิบายผลที่เกิดขึ้นจากการหารากที่สองของจํานวนจริงบวกหรือศูนยได 6. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ในการกลาวถึงรากที่สองของจํานวนจริงบวกใด ๆ หรือศูนย ครูควรจัดกิจกรรมใหนักเรียนมีความคิดรวบยอดและเห็นความแตกตางระหวางการหา “รากที่สอง” กับ “ ” ครูอาจแนะใหนักเรียนเรียกจํานวน เชน 2 วา กรณฑที่สองของ 2 และเรียก 2- วาลบกรณฑที่สองของ 2 2. ในการเรียนการสอนหากนักเรียนเขียนคําตอบของรากที่สองอยูในรูปที่มีเครื่องหมายกรณฑเชน ตอบวารากที่สองของ 81 คือ 81 และ 81- ครูก็ไมควรถือวาผิด ถึงแมวาจะไมใชคําตอบที่

30

สมบูรณ เพื่อใหนักเรียนไดตระหนักถึงคําตอบในกรณีเชนนี้ที่นิยมเขียนเปนจํานวนเต็ม ครูจึงควรย้ําใหนักเรียนพิจารณาและตรวจสอบวาสามารถหาคําตอบเปนจํานวนเต็มไดหรือไม ถาไดก็ควรตอบเปนจํานวนเต็ม 3. สําหรับกิจกรรม “ทําไดหรือไม” มีเจตนาใหนักเรียนเห็นความแตกตางของคําสั่งเกี่ยวกับรากที่สอง ครูควรฝกใหนักเรียนอานโจทยอยางชา ๆ และตีความหมายโจทยใหถูกตอง 4. สําหรับแบบฝกหัด 2.3 ก ขอ 3 ไมตองการใหครูสอนการหาคําตอบดวยวิธีการแกสมการโดยใชสมบัติของการเทากัน แตตองการใหใชบทนิยามมาวิเคราะหหาคําตอบ เชน

x2 = 9 (จํานวนที่ตองการ (x) คือ จํานวนที่ยกกําลังสองแลวได 9) x = 5 (จํานวนที่ตองการ (x) คือ จํานวนซึ่งมีรากที่สองเปน 5 ซ่ึงจะหาไดงาย โดยหากําลังสองของ 5) 5. การหาคารากที่สองของจํานวนนับที่กําหนดใหโดยวิธีแยกตัวประกอบจะกลาวถึงเฉพาะคําตอบที่เปนจํานวนเต็ม ครูจึงควรระมัดระวังในการใหโจทยเพิ่มเติม อยาใหโจทยมีคําตอบที่ตองเขียนอยูในรูปที่มีเครื่องหมายกรณฑ เชน 32 6. การหารากที่สองโดยการประมาณ มีขอสังเกตสําหรับครูวาในหนังสือเรียนไดใหตัวอยางจํานวนเต็มที่นักเรียนสามารถบอกไดอยางรวดเร็ววา รากที่สองที่ประมาณเปนจํานวนเต็มคือจํานวนใดในการหาคําตอบลักษณะนี้ ครูควรตรวจสอบวานักเรียนไดใชความรูสึกเชิงจํานวนมาชวยในการหาคําตอบดวยหรือไม

7. สําหรับกิจกรรม “คาประมาณของรากที่สอง” มุงเนนใหนักเรียนใชวิธีการเดียวกันกับการประมาณคา 2 ในการประมาณรากที่สองของจํานวนเต็มบวกเปนทศนิยมตําแหนงตาง ๆ 8. สําหรับกิจกรรม “ดูตารางรากที่สอง” มีเจตนาใหนักเรียนใชความเขาใจเรื่องรากที่สองแกปญหา เชน ใหหาคา n เมื่อ n = 5041 นักเรียนไมสามารถหา n จากตาราง แตนักเรียนตองดูชองn2 วาแถวใดคือ 5041 จะได n ของแถวนั้นเปนคําตอบของ 5041 ซ่ึงเปนความสัมพันธระหวางการยกกําลังสองกับการหารากที่สอง 9. สําหรับกิจกรรม “เปนจริงหรือไม” มีเจตนาเพื่อตรวจสอบความรูความเขาใจเกี่ยวกับรากที่สองและเพื่อฝกทักษะการใชความรูสึกเชิงจํานวนชวยในการหาคําตอบ 10. สําหรับกิจกรรม “คิดไมยาก” มีเจตนาที่จะใหนักเรียนแกปญหาโดยใชวิธีการใดก็ได เชนการแยกตัวประกอบ การเปดตาราง หรือการใชเครื่องคํานวณหรือจะใชมากกวา 1 วิธีก็ได แตวิธีที่สะดวกคือเปดตารางทายเลม 11. สําหรับกิจกรรม “คิดไดไหม” มีเจตนาเชื่อมโยงความรูกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส ซ่ึงอาจมีนักเรียนบางคนสังเกตพบคําตอบบางขอจากหนาปกของหนังสือเรียน ก็ถือวาเปนเรื่องที่ดี

31

12. เมื่อจบหัวขอการหารากที่สอง นักเรียนควรเขาใจวาการหารากที่สองแตละวิธีมีขอดีและขอจํากัดตางกัน นักเรียนจึงตองมีทักษะในการตัดสินใจเลือกใชวิธีหารากที่สองใหเหมาะสมกับขอมูล และเครื่องมือที่ตนมีอยู 13. ครูควรใหนักเรียนอภิปรายเพื่อหาขอสรุปวา รากที่สองของจํานวนจริงที่กําหนดใหอาจนอยกวา มากกวาหรือเทากับจํานวนนั้นก็ได เชน 4 = 2 และ 2 < 4 ดังนั้น 4 < 4 0 = 0 และ 0 = 0 ดังนั้น 0 = 0 01.0 = 0.1 แต 0.1 > 0.01 ดังนั้น 01.0 > 0.01 2.4 รากที่สาม (6 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. อธิบายความหมายของรากที่สามของจํานวนจริงได 2. อานและใชสัญลักษณ 3 ไดถูกตอง 3. อธิบายความสัมพันธของการยกกําลังสามและการหารากที่สามของจํานวนจริงได 4. หารากที่สามของจํานวนจริงที่กําหนดใหโดยการแยกตัวประกอบ การเปดตาราง หรือการใช เครื่องคํานวณ และนําไปใชแกปญหาได 5. อธิบายผลที่เกิดขึ้นจากการหารากที่สามของจํานวนจริงได 6. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 2.4

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูควรใหนักเรียนอภิปรายในประเด็นตอไปนี้ 1.1 เพราะเหตุใดจึงไมสามารถหา x เมื่อ x เปนจํานวนลบแตสามารถหา 3 x เมื่อ x เปนจํานวนจริงลบได 1.2 จํานวนคําตอบของรากที่สองและรากที่สามของจํานวนที่กําหนดให 2. แบบฝกหัด 2.4 ก ขอ 3 มุงใหนักเรียนเห็นความแตกตางระหวางการหารากที่สามของจํานวนจริงใด ๆ และการหาจํานวนใด ๆ เมื่อทราบรากที่สามของจํานวนนั้น ซ่ึงนักเรียนตองคิดโดยใชความสัมพันธระหวางการยกกําลังสามกับการหารากที่สาม การหาคําตอบของขอ 3 ไมตองการใหครูสอนการหาคําตอบดวยวิธีการแกสมการโดยใชสมบัติของการเทากัน แตครูควรใหนักเรียนวิเคราะหและพิจารณาหาคําตอบ ดังเชน

32

x3 = 216 (จํานวนที่ตองการ (x) คือ จํานวนที่ยกกําลังสามแลวได 216) 3 x = -7 (จํานวนที่ตองการ (x) คือ จํานวนที่มีรากที่สามเปน -7 ซ่ึงจะหาไดงาย โดยหากําลังสามของ -7) 3. สําหรับกิจกรรม “ดูตารางรากที่สาม” เชน ใหหา 3 4096 นักเรียนตองใชความรูเกี่ยวกับความสัมพันธของการยกกําลังสามและการหารากที่สาม ครูควรแนะนําใหนักเรียนดูที่ชอง n3 วาแถวใดมีคา 4096 จะได n ของแถวนั้นเปนคําตอบของ 3 4096 4. กิจกรรม “จริง – ไมจริง” มุงใหนักเรียนใชความรูเร่ืองรากที่สามในการตอบคําถามและใหเหตุผล โดยเฉพาะขอ 12 ที่ตองการใหนักเรียนเห็นวารากที่สามของจํานวนจริงอาจนอยกวา มากกวา หรือเทากับตัวเองได เชน

3 8 = 2 และ 2 < 8 ดังนั้น 3 8 < 8 3 0 = 0 และ 0 = 0 ดังนั้น 3 0 = 0 3

271 = 3

1 แต 31 > 27

1 ดังนั้น 3271 > 27

1

5. สําหรับกิจกรรม “ระนาบจริง” เจตนาเพื่อเพิ่มเติมความรูที่นักเรียนเคยมีเกี่ยวกับเสนจํานวนและระนาบครอบคลุมถึงตําแหนงที่แทนจํานวนอตรรกยะบนเสนจํานวน ในการหาตําแหนงของจุดที่มีพิกัดเปนจํานวนอตรรกยะ เชน )3 ,2( ครูควรใหนักเรียนเขียนรองรอยแสดงการหาตําแหนงของจุดดังกลาวประกอบดวย เชน จุด R )3- ,2( ที่เสนอไวในคําตอบกิจกรรม “ระนาบจริง” แสดงรองรอยการหา 2 และ 3 โดยการสรางสวนของเสนตรงใหยาวเทากับ 2 และ 3 บนเสนจํานวนและนําความยาวที่เทากับ 2 และ 3 มาใชหาตําแหนงของจุด R ที่มีพิกัดเปน R )3- ,2(ในจตุภาคที่ 4 6. สําหรับกิจกรรม “ลูกบาศกมหัศจรรย” มุงใหนักเรียนไดใชความรูเกี่ยวกับรากที่สามโดยการวิเคราะหหาจํานวนที่ทําใหไดผลลัพธสอดคลองกับเงื่อนไขโจทย 7. หลังจบบทเรียนแลว ครูอาจใหนักเรียนทํากิจกรรมเสนอแนะ 2.4 เพื่อเปนการนําความรูเกี่ยวกับจํานวนจริงไปใชในการแกปญหา

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรมคําตอบกิจกรรม “มารูจักจํานวนตรรกยะกันเถอะ”

1. ได 2. ได 3. ได 4. เปน เพราะจํานวนเต็ม a ที่กําหนดให สามารถเขียนแทนไดดวยเศษสวน 1

a

33

5. ไมสามารถบอกได 6. ไมมี 7. ไมมี 8. ไมมี 9. ไมมี

คําตอบกิจกรรม “นาคิด”

เปน เพราะ ab เขียนแทนไดดวยเศษสวนที่ทั้งตัวเศษและตัวสวนเปนจํานวนเต็มซึ่ง

ไมเทากับศูนย

คําตอบแบบฝกหัด 2.1

1. 1)

⋅6.0 2) -1.875

3) ⋅3458.1 4)

⋅⋅45.0

5) ⋅⋅8703.0- 6)

⋅⋅504.0

2. 1) 9

7 2) 9047

3) 3316 4) 55

13

3. 1) เปน เพราะ เขียนไดเปน 5

11

2) เปน เพราะ เขียนไดเปน 1332

3) เปน เพราะ ไดผลลัพธเปน 2129

4) เปน เพราะ ไดผลลัพธเปน -8.37 5) เปน เพราะ ไดผลลัพธเปน 3.22

6) เปน เพราะ ไดผลลัพธเปน 1415

7) เปน เพราะ เขียนไดเปน 1156-

34

8) เปน เพราะ เขียนไดเปน 303-

4. ปาซื้อไดถูกกวา เพราะ แมซ้ือผลละ ⋅3.0 แตปาซื้อไดผลละ 0.33 บาท

5. ตัวอยางคําตอบ ซ้ือคร่ึงโหล เพราะ ถาซื้อคร่ึงโหลราคาตออันจะถูกกวา 6. 1)

⋅3.108 บาท

2) ไมได เพราะ เหรียญที่มีหนวยเปนสตางคและใชแลกเปลี่ยนกันในทองตลาดคือ 25 สตางค และ 50 สตางค ไมสามารถรวมกันเปน 33 สตางค หรือ

⋅3.0 บาท ได

3) อาจใชการปดขึ้นหรือลงเพื่อใหไดผลรวมเปน 325 บาท เชน 108.25 108.25 และ 108.50 หรือ 108.50 108.50 และ 108.00 หรือ 109 109 และ 107 หรืออาจปดเปนจํานวน ชุดอื่นตามที่นักเรียนจะคิดได 7. ตัวอยางคําตอบ 1) น้ํามันเบนซินออกเทน 95 ราคาลิตรละ 21.79 บาท 2) กิ่งและกอยแบงน้ําเปลากันคนละคร่ึงขวด

คําตอบกิจกรรม “เปนจํานวนตรรกยะหรือไม”

1. เปน 2. เปน 3. เปน 4. เปน

คําตอบกิจกรรม “หาไดอยางไร”

ผืนละ 45.75 บาท หาคําตอบโดยนํา 15 ไปคูณ 4 จะได 60 ตัวเลขขางหนาสุดจึงเปน 6 จากนั้นจึงนํา 15 ไปหาร 686.2 จะไดตัวเลขขางหลังสุดเปน 5 และไดผลลัพธเปน 45.75

35

คําตอบกิจกรรม “ลองคิดดู”

1. เปน 2. เปน 3. ไมมี

คําตอบแบบฝกหัด 2.2

1. 1) ตรรกยะ 2) ตรรกยะ

3) ตรรกยะ 4) ตรรกยะ5) ตรรกยะ 6) ตรรกยะ7) อตรรกยะ 8) ตรรกยะ9) ตรรกยะ 10) อตรรกยะ

2. ⋅61391.153 บาท เปนจํานวนตรรกยะ

คําตอบกิจกรรม “ทําไดหรือไม”

1. 0, 1, 9, 16, 91 , 0.04, 6, 5

2

2. 1 และ -1 3 และ -3 5 และ -5 7

2 และ 72-

0.04 และ -0.04 1.1 และ -1.1 8 และ 8-

36

คําตอบแบบฝกหัด 2.3 ก

1. 1) 14 และ -14 2) 27 และ -27 3) 36 และ -36 4) 110 และ 110- 5) 115 และ 115- 6) 7

3 และ 73-

7) 115 และ 11

5- 8) 20715 และ 207

15- 9) 0.08 และ -0.08 10) 0.012 และ -0.01211) 0116.0 และ 0116.0- 12) 40.0 และ 40.0-

2. 1) 25 2) -51 3) 3.6 4) -0.06 5) 25

9- 6) 19

7) 1712 8) -0.037

3. 1) 6 และ -6 2) 0.09 และ -0.09

3) 0 4) 81 5) 0.0625 6) 9

4

คําตอบกิจกรรม “คาประมาณของรากที่สอง”

1. 1) 3 2) 5

3) 11 4) -15 2.

1) 2.65 2) 4.47 3) 5.57 4) 7.28

37

คําตอบกิจกรรม “ดูตารางรากที่สอง”

1. 1) 4 2) 4.243 3) 17 4) 18

2. 1) 4.472 2) 39 3) 76 4) 71 5) 5.099 6) 31

คําตอบกิจกรรม “เปนจริงหรือไม”

1. ไมจริง เพราะ รากที่สองของ 25 คือ 5 และ -5 2. ไมจริง เพราะ รากที่สองที่เปนบวกของ 25 คือ 5 เทานั้น 3. ไมจริง เพราะ ไมมีจํานวนเต็มใดที่ยกกําลังสองแลวได -16 4. ไมจริง เพราะ 4

1 = 21 และ 2

1 > 41

5. จริง เพราะ 01.0 = 0.1 และ 0.1 > 0.01 6. จริง เพราะ 04.0 = 0.2 และ 0004.0 = 0.02 จะได 0.2 > 0.02 7. ไมจริง เพราะ เมื่อใชคาประมาณของ 2 คือ 1.414 และคาประมาณของ 3

คือ 1.732 จะได 2 + 3 ≈ 1.414 + 1.732 = 3.146 แต คาประมาณของ 5 คือ 2.236

8. ไมจริง เพราะ 27 = 7 และ 2)7-( = 7 9. ไมจริง เพราะ 22- = 4- และไมมีจํานวนเต็มใดที่ยกกําลังสองแลวได -410. ไมจริง เพราะ ถา x2 = 4 แลว x = 2 หรือ x = -211. จริง เพราะ 32 = 912. ไมจริง เพราะ รูปสี่เหล่ียมจัตุรัสบางรูปมีพื้นที่เปนจํานวนคี่ แตมีความยาวของแตละ

ดานไมเปนจํานวนคี่ เชน มีพื้นที่เปน 3 ตารางหนวย มีความยาวของแตละ ดานเปน 3 หนวย

38

คําตอบกิจกรรม “คิดไมยาก”

3,741

คําตอบแบบฝกหัด 2.3 ข

1. 1) 51 2) 55

3) 65 4) 70 5) 78 6) 90

2. 6 และ 9 ตามลําดับ 3. 15.8 4.

1) 27.71 2) -97.89 3) 2.87 4) -60.97

5. 4.12 เซนติเมตร 6. ประมาณ 18 เซนติเมตร 7. ประมาณ 35.36 หนวย 8. ประมาณ 7.07 หนวย 9. ตองหาความยาวของผนังหอง ซ่ึงได 18 เมตร หรือประมาณ 4.24 เมตร จุดกึ่งกลางผนังอยูหาง จากมุมหองประมาณ 2

24.4 หรือ 2.12 เมตร10. ไมได เพราะ รูปสี่เหล่ียมจัตุรัสมีดานแตละดานยาวประมาณ 12.41 เซนติเมตร และรูปวงกลม มีเสนผานศูนยกลางยาว 14 เซนติเมตร

คําตอบกิจกรรม “คิดไดไหม”

1. 3 หนวย 2. OJ 3. 20 หนวย

39

คําตอบแบบฝกหัด 2.4 ก

1. 1) 3 2) 3 40

3) 8 4) 3 650 5) 4

3- 6) 96

7) 35018 8) 0.2

9) 3 05.0 10) 0.09

2. 1) 5 2) 7 3) 2 4) 5

4

5) 83- 6) -0.2

7) -0.6 8) 0.03

3. 1) 6 2) 3 350

3) 0.3 4) 3 49.0- 5) 0 6) -343 7) 125

8 8) 2.197

คําตอบกิจกรรม “ดูตารางรากที่สาม”

1. 1) 2.759 2) 22 3) 19 4) 10,648

2. 1) 2.924 2) 12 3) 50 4) -4.309 5) 2.351 6) 16 7) -22

40

คําตอบกิจกรรม “จริง – ไมจริง”

1. ไมจริง เพราะ รากที่สามของ 64 คือ 4 เทานั้น 2. ไมจริง เพราะ 3 27-- = 3 3. จริง เพราะ 8 ≈ 2.83 และ 3 8 = 2 4. ไมจริง เพราะ 3

81 = 2

1 และ 21 > 8

1

5. จริง เพราะ 3 064.0 = 0.4 และ 0.4 > 0.064 6. ไมจริง เพราะ 3 32 = 2 แต 3 3)2-( = -2 7. ไมจริง เพราะ 3 3 + 3 5 ≈ 3.152 แต 3 8 = 2 8. ไมจริง เพราะ ถา x3 = 2 แลว x = 3 2 9. ไมจริง เพราะ ถา 3 x = 8 แลว x = 83 = 512 10. จริง เพราะ รากที่สามของ 125 คือ 511. ไมจริง เพราะ รากที่สามของจํานวนคู อาจไมเปนจํานวนคู เชน 3 1612. ไมจริง เพราะ รากที่สามของจํานวนจริงใด ๆ อาจเทากับจํานวนจริงนั้น เชน

3 0 = 0

คําตอบแบบฝกหัด 2.4 ข

1. 1) -1 2) 3 20 3) 3 116 4) -12 5) 3

752 6) 7

3-

7) 1513- 8) -0.4

9) 0.07 10) 3 180.0 2. 1) -6 2) 6.4 3) 50 4) -39 5) 0.04 3. 12 นิ้ว 4. 3 นิ้ว

41

5. ไมถูกตอง เพราะ บอเดิมมีปริมาตร 1 ลูกบาศกเมตร มีความกวาง ยาว และลึก 1 เมตร ถาขุดบอมีความกวาง ยาว และลึกเปน 2 เมตร จะมีปริมาตรเปน 8 ลูกบาศกเมตร ซ่ึงไมเปน สองเทาของหนึ่งลูกบาศกเมตร ขนาดของบอใหมจะตองมีความกวาง ยาว และลึกเปน 3 2 เมตร หรือประมาณ 1.260 เมตร 6. ของออม เพราะ 33 = 27 และ 43 = 64 จึงไดวา 33 ใกลเคียง 30 มากกวา

คําตอบกิจกรรม “ระนาบจริง”

0 1 2 3 4-1-2-3-4

3

11

2

R )- ,( 32

Q ) ,-( 23

0 1 2 3-1-2-3-1

-2

-3

1

2

3

X

Y

2

2- 3

- 3

P ) ,( 22

S )- ,-( 33

42

22

11

18

27

25

7 21

8 19

1 17

23 16

10 26

13 20

6

3

14

15

24

129

2

4

5

คําตอบกิจกรรม “ลูกบาศกมหัศจรรย”

43

กิจกรรมเสนอแนะและคําตอบ

44

กิจกรรมเสนอแนะ 2.1

กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนสังเกตแบบรูปการเขียนทศนิยมซ้ําบางแบบที่ไมใชทศนิยมซํ้าศูนยใหเปนเศษสวนไดอยางรวดเร็ว

1. ใหนักเรียนพิจารณาการแปลงทศนิยมซ้ําเปนเศษสวนจากตัวอยางที่กําหนดใหแลวเขียนคําตอบเติมในชองวางในตารางตอไปนี้

ชุดที่ 1 ชุดที่ 2 ชุดที่ 3ทศนิยมซ้ํา เศษสวน ทศนิยมซ้ํา เศษสวน ทศนิยมซ้ํา เศษสวน

1) ⋅1.0 9

1 1) ⋅⋅21.0 99

12 1) ⋅⋅432.0 990

2 234 − หรือ 990223

2) ⋅2.0 9

2 2) ⋅⋅53.0 99

35 2) ⋅⋅615.0 990

5 516 − หรือ 990511

3) ⋅3.0 9

3 3) ⋅⋅46.0 99

64 3) ⋅⋅568.0 990

8 865 − หรือ 990657

4) ⋅4.0 ....................... 4)

⋅⋅15.0 ....................... 4)

⋅⋅194.0 ..............................................

5) ⋅7.0 ....................... 5)

⋅⋅57.0 ....................... 5)

⋅⋅837.0 ..............................................

6) ⋅8.0 ....................... 6)

⋅⋅38.0 ....................... 6)

⋅⋅719.0 ..............................................

2. ใหนักเรียนใชแบบรูปการแปลงทศนิยมซ้ําเปนเศษสวนที่สังเกตเห็นจากการตอบในขอ 1 แปลงทศนิยมซ้ําตอไปนี้ใหเปนเศษสวน 1)

⋅⋅613.0 2)

⋅⋅1835.0

3) ⋅⋅2407.3 4)

⋅⋅6543.1

45

คําตอบกิจกรรมเสนอแนะ 2.1

1. ชุดที่ 1 94 , 9

7 และ 98

ชุดที่ 2 9951 , 99

75 และ 9983

ชุดที่ 3 9904 491− หรือ 990

874

9907 738 − หรือ 990

731

9909 917 − หรือ 990

908

2. 1) 999

316 2) 990035 3581− หรือ 9900

3546

3) 999974023 4) 9990

34531

แนวคิด ⋅⋅6543.1 = 1 + 9990

3 3456 −

46

กิจกรรมเสนอแนะ 2.4

กิจกรรมนี้เสนอไวเพื่อใหนักเรียนไดนําความรูเร่ืองจํานวนตรรกยะ อตรรกยะ รากที่สองและรากที่สาม ไปใชในการแกปญหา

1. ครูจัดเตรียมบัตรคําเปน 2 กลุม เขียนขอความในบัตรคํากลุมที่หนึ่งและกลุมที่สองให สัมพันธกัน ดังตัวอยางตอไปนี้

กลุมที่หนึ่งเปนบัตรคําถาม กลุมที่สองเปนบัตรคําตอบ

หนาบัตร หลังบัตร

ครูเตรียมจํานวนบัตรทั้งสองกลุมใหมีจํานวนเทา ๆ กัน และตองระวังมิใหบัตรมีคําตอบซ้ํากัน 2. ครูแบงนักเรียนเปน 2 กลุม จํานวนเทากัน กลุมหนึ่งเปนฝายคําถาม อีกกลุมหนึ่งเปนฝายคําตอบ ใหนักเรียนถือบัตรไวคนละ 1 ใบ 3. ครูสุมเรียกนักเรียน 1 คน จากฝายคําถาม ชูหนาบัตรที่เปนตัวเลขใหเพื่อน ๆ ดู พรอมกับอานคําถามหลังบัตร 4. ใหนักเรียนที่ถือบัตรคําตอบออกมายืนคูกันหนาหอง เพื่อใหเพื่อน ๆ ตรวจสอบความถูกตอง ทําเชนนี้เร่ือย ๆ ไปตามเวลาที่มีในชั้นเรียน

2x = 3

⋅⋅284.0

3 0

จงหาคําตอบของสมการ 2x = 3

⋅⋅284.0 เปนจํานวน

ตรรกยะหรืออตรรกยะ

กรณฑที่สามของ 0เปนเทาไร

3 และ -3

จํานวนตรรกยะ

0

บทที่ 3การประยุกตของสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว (12 ช่ัวโมง)

3.1 ทบทวนการแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว (3 ช่ัวโมง) 3.2 การนําไปใช (9 ช่ัวโมง)

นักเรียนเคยเรียนการแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวมาแลว ในตอนตนของบทนี้จึงไดทบทวนเนื้อหาเหลานั้น และไดแนะนําใหนักเรียนรูจักสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวที่มี x เปนตัวแปรและมีรูปทั่วไปเปน ax + b = 0 เมื่อ a, b เปนคาคงตัว และ a ≠ 0 พรอมทั้งไดใหตัวอยางของการแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวและโจทยแบบฝกหัดที่ซับซอนขึ้น สําหรับการประยุกตของสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เนนการแกโจทยปญหาเกี่ยวกับจํานวนอัตราสวนและรอยละ และอัตราเร็ว การแกโจทยปญหาโดยใชสมการเปนวิธีหนึ่งที่นักเรียนสามารถนําไปประยุกตใชแกปญหาที่อาจพบในชีวิตประจําวันได ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนครูควรใหนักเรียนตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ไดดวย

ผลการเรียนรูท่ีคาดหวังรายป 1. แกโจทยปญหาเกี่ยวกับสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวได 2. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ไดในสถานการณตาง ๆ

48

แนวทางในการจัดการเรียนรู

3.1 ทบทวนการแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว (3 ชั่วโมง) จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. บอกสมบัติของการเทากันได 2. แกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวโดยใชสมบัติของการเทากันได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม แบบฝกหัดเพิ่มเติม 3.1

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูอาจทบทวนความหมายของสมการ คําตอบของสมการ การแกสมการ และสมบัติของการเทากันที่นํามาใชในการหาคําตอบของสมการโดยซักถามหรืออาจเลือกใชแบบฝกหัดเพิ่มเติม 3.1

ครูยกตัวอยางสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวในรูปแบบตาง ๆ เชน 2x = 7, x21- + 5 = 2x,

5(x – 1) = 21 , -4.5x + 2 = 0 และใหนักเรียนสังเกตวา สมการดังตัวอยางที่กลาวมานี้ สามารถเขียนให

อยูในรูปทั่วไปเปน ax + b = 0 เมื่อ a, b เปนคาคงตัวและ a ≠ 0 ครูอาจถามนักเรียนวาทําไมจึงตองมีเงื่อนไข a ≠ 0 กํากับไวหรืออาจถามวา ถา a = 0 แลว สมการ ax + b = 0 จะเปนสมการในลักษณะใด ครูควรชี้แจงกับนักเรียนวา คําสั่งของโจทยที่ใหหาคําตอบของสมการหรือใหแกสมการมีความหมายอยางเดียวกัน กลาวคือ ใหหาจํานวนที่แทนตัวแปรในสมการนั้นแลวทําใหไดสมการที่เปนจริงถาโจทยไมระบุวิธีหา นักเรียนจะใชวิธีการลองแทนคาหรือใชสมบัติของการเทากันก็ได

2. ตัวอยางการแกสมการในหนังสือเรียน แสดงใหเห็นการนําสมบัติของการเทากันมาใชครูควรชี้ใหนักเรียนสังเกตเห็นการใชสมบัติเหลานั้นโดยใชคําถามประกอบคําอธิบาย ในตัวอยางที่ 5แสดงใหเห็นการนําสมบัติการแจกแจงมาชวยในการหาผลคูณ และในตัวอยางที่ 6 จะเห็นวาทุกจํานวนในโจทยอยูในรูปเศษสวน เพื่อความสะดวกในการแกสมการ นิยมทําตัวสวนใหเปน 1 โดยนํา ค.ร.น. ของตัวสวนของแตละเศษสวนในสมการนั้นมาคูณทั้งสองขางของสมการกอน ในการแกสมการโดยใชสมบัติของการเทากันทุกครั้ง ครูควรเนนใหนักเรียนตรวจสอบคาของตัวแปรที่คํานวณไดวา เปนคําตอบของสมการที่กําหนดใหหรือไม

3. โจทยในแบบฝกหัด 3.1 เปนโจทยที่เนนทักษะการแกสมการโดยใชสมบัติของการเทากันซ่ึงมีทั้งงายและยาก ครูอาจเลือกใหทําเปนบางขอหรือใหทําทุกขอตามความเหมาะสมกับความสามารถของนักเรียน 4. สําหรับกิจกรรม “ลองหาดู” มีไวเพื่อใหนักเรียนไดฝกหาคําตอบของสมการโดยวิธีลองแทนคา คําตอบอาจมีไดหลากหลาย ครูอาจใหนักเรียนนําเสนอคําตอบหนาชั้น พรอมอธิบายเหตุผลประกอบ

49

3.2 การนําไปใช (9 ชั่วโมง) จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. แกโจทยปญหาโดยใชสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวได 2. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม แบบฝกหัดเพิ่มเติม 3.2

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ขั้นตอนที่สําคัญในการแกโจทยปญหา คือ ขั้นวิเคราะหเงื่อนไขในโจทยและเขียนสมการครูอาจทบทวนการเขียนประโยคสัญลักษณแทนขอความ โดยใชแบบฝกหัดเพิ่มเติม 3.2กอนการใหตัวอยางการแกโจทยปญหา ครูควรชี้ใหนักเรียนเห็นขั้นตอนการแกปญหาโดยใชสมการในการหาอายุของไดโอแฟนทัส ซ่ึงเปนไปตามลําดับขั้นตอนดังแผนภูมิในหนังสือเรียนหนา 95 สําหรับโจทยปญหาทุกขอ ขั้นตอนการตรวจสอบคําตอบของสมการตามเงื่อนไขในโจทยถือเปนสวนสาํคญัทีจ่าํเปนตองทาํ ครูจะตองอธบิายใหนกัเรยีนเขาใจวธีิการตรวจสอบและย้าํใหมกีารตรวจสอบทุกครั้งที่แกโจทยปญหา 2. สําหรับกิจกรรม “ปญหาเกี่ยวกับจํานวน” ครูอาจทบทวนเกี่ยวกับจํานวนคู จํานวนคี่จํานวนคูสามจํานวนที่เรียงติดกัน และจํานวนคี่สามจํานวนที่เรียงติดกัน โดยใชเสนจํานวนพรอมยกตัวอยางประกอบ

ตัวอยางจํานวนคูสามจํานวนที่เรียงติดกัน 10, 12, 14 -8, -6, -4 -2, 0, 2 ตัวอยางจํานวนคี่สามจํานวนที่เรียงติดกัน 3, 5, 7 1, -1, -3 -9, -11, -13 ตัวอยางที่ 4 ตองการใหนักเรียนเห็นวา ในการแกโจทยปญหา อาจกําหนดตัวแปรแทนจํานวนที่โจทยถามโดยตรง หรือแทนจํานวนที่เกี่ยวของกับจํานวนที่โจทยถามก็ได ในการกําหนดตัวแปรที่แตกตางกันดังตัวอยางขางตน อาจทําใหไดสมการที่งายหรือยากตอการหาคําตอบ ครูจึงควรฝกใหนักเรียนรูจักกําหนดตัวแปรใหเหมาะสมกับเงื่อนไขในโจทยปญหา

50

ในตัวอยางที่ 5 ตองการใหนักเรียนเห็นและรูความหมายของคําวา ผลตางระหวางจํานวนสองจํานวน เชน ตัวอยางนี้ แสดงใหเห็นผลตางของจํานวนจํานวนหนึ่งกับ 7 ซ่ึงเรายังไมทราบวาจํานวนนั้นมีคามากกวา 7 หรือนอยกวา 7 ผลตางจึงอาจเปน x – 7 หรือ 7 – x ก็ได ครูตองเนนใหนักเรียนเขาใจและแสดงวิธีหาคําตอบใหครบทั้งสองกรณี จึงจะถือวาถูกตอง ในตัวอยางที่ 6 เปนโจทยลักษณะเดียวกันที่นักเรียนบางคนเคยพบเปนโจทยขอ 7 ของแบบฝกหัด 3.3 เร่ืองการประยุกตของเศษสวนและทศนิยม ในหนังสือเรียนสาระการเรียนรูเพิ่มเติมคณิตศาสตร เลม 2 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 1 แตที่นํามาไวในสาระนี้เพราะมีเจตนาตองการจะสื่อวา โจทยในลักษณะนี้ถาคิดคํานวณโดยวิธีเลขคณิต อาจทําใหเกิดความผิดพลาดไดงาย เนื่องจากนักเรียนมักเกิดความสับสน ไมนําไข 12 ฟองที่ใหเพื่อนบานมาคิดเปนสวนหนึ่งของกําไรดวย มักคิดวากําไรที่โจทยกําหนดเปนกําไรที่ไดจากการขายไขที่เหลือจากใหเพื่อนบานไปแลวเทานั้น วิธีที่นักเรียนสวนใหญคํานวณผิดเปนดังนี้ ซ้ือไขฟองละ 2.75 บาท ขายไขฟองละ 3.25 บาท ดังนั้น ขายไข 1 ฟอง ไดกําไร 3.25 – 2.75 = 0.50 บาท กําไร 0.50 บาท ไดจากการขายไข 1 ฟอง ถาไดกําไร 111 บาท จะไดจากการขายไข 111 50.0

1 × = 222 ฟอง มีไขใหเพื่อนบาน 12 ฟอง ดังนั้น ซ้ือไขมาทั้งหมด 222 + 12 = 234 ฟอง ถานักเรียนตรวจสอบคําตอบกับเงื่อนไขในโจทยจะพบวาไมสอดคลองตามโจทย กลาวคือ ซ้ือไขมา 234 ฟอง คิดเปนตนทุน 234 × 2.75 = 643.50 บาท ขายไข 234 – 12 = 222 ฟอง ไดเงิน 222 × 3.25 = 721.50 บาท คิดเปนกําไร 78 บาท ซ่ึงไมเปนจริงตามเงื่อนไขในโจทยที่ใหกําไรไว 111 บาท

แตถาหาคําตอบโดยใชสมการ จะไดคําตอบที่ถูกตองดังแสดงในตัวอยางที่ 6 ในหนังสือเรียน สําหรับโจทยขอ 20 ในแบบฝกหัดเปนโจทยที่นักเรียนอาจเกิดความสับสนเกี่ยวกับเวลาที่คิดอายุได เพื่อแกปญหานี้ครูอาจนํามาเปนตัวอยางแนะนําการใชตารางวิเคราะหเงื่อนไขในโจทยแสดงอายุในอดีต ปจจุบัน และอนาคตของบิดาและบุตร ดังนี้

อายุ อดีต3 ปท่ีแลว

ปจจุบัน(ป)

อนาคต5 ปขางหนา

บิดาบุตร

x – 3x5

1x

x51 + 3

x + 5

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ + 3 x5

1 + 5 หรือ x51 + 8

51

จากขอมูลที่ไดในตารางจะชวยใหทราบอายุของแตละคนในแตละชวงเวลาตาง ๆ ซ่ึงจะชวยใหเขียนสมการไดตรงตามเงื่อนไขและงายขึ้น 3. สําหรับกิจกรรม “คิด” ครูอาจใหนักเรียนชวยกันหาคําตอบเปนกลุม แลวใหตัวแทนกลุมนําเสนอคําตอบหนาชั้น พรอมแสดงเหตุผลประกอบ 4. สําหรับกิจกรรม “เกมทายจํานวน” ตองการใหนักเรียนมีความคิดริเร่ิมสรางสรรค รูจักนําความรู ทักษะ กระบวนการทางคณิตศาสตรมาสรางกฎเกณฑไดเองอยางเหมาะสม และสามารถอธิบายลําดับขั้นตอนของเกมได ในการจัดกิจกรรมนี้ครูอาจแสดงบทบาทปรีชา ใหนักเรียนแสดงบทบาทของสุดาครูอาจสุมถามนักเรียนแลวทายจํานวนที่นักเรียนคิดไวในใจ ประมาณ 4 – 5 คน หลังจากนั้นใหนักเรียนชวยกันคิดและคนหากระบวนการทายจํานวนของปรีชาวาทําไดอยางไร พรอมทั้งออกมานําเสนอวิธีแกเกมนี้ หลังจากนั้นใหนักเรียนชวยกันสรางเกมเปนกลุมและออกมานําเสนอทายเกมกับกลุมอื่น ๆ 5. สําหรับโจทยปญหาเกี่ยวกับอัตราสวนและรอยละ ตองการใหนักเรียนนําความรูพื้นฐานเกี่ยวกับอัตราสวนและรอยละมาใชแกโจทยที่มีความซับซอนโดยใชสมการ ครูอาจถามทบทวนความรูเกี่ยวกับความหมายของอัตราสวนและรอยละ รวมทั้งของผสมที่นักเรียนเคยเรียนมาแลว เมื่อเห็นวานักเรียนมีพื้นฐานเพียงพอ จึงใหตัวอยางตามหนังสือเรียนและทําแบบฝกหัด 6. สําหรับกิจกรรม “ขายเทาไรดี” ตองการใหเห็นการนําความรูทางคณิตศาสตรไปใชในการดํารงชีวิต ครูอาจใหนักเรียนทํางานเปนกลุมชวยกันคิดวางแผนทําธุรกิจเล็ก ๆ ตั้งแตสินคาที่จะผลิตควรตั้งราคาเทาไร จึงจะไดกําไรตามแนวคิดของกลุม 7. สําหรับกิจกรรม “ปญหาเกี่ยวกับอัตราเร็ว” เปนปญหาที่นักเรียนพบเห็นไดในชีวิตประจําวันเพื่อใหเกิดความเขาใจที่ถูกตองและสามารถนําไปใชไดในชีวิตจริง ครูอาจเสนอแนะใหนักเรียนเขียนแผนภาพประกอบ เพื่อชวยใหการกําหนดตัวแปร การเขียนสมการ เปนไปอยางถูกตอง ดังตัวอยางโจทยขอ 9หนา 118 อาจเขียนแผนภาพไดดังนี้

8. สําหรับกิจกรรม “กระตายกับเตา” มีเจตนาใหเปนกิจกรรมที่สรางความสนใจใหกับนักเรียนเนื่องจากนักเรียนสวนใหญจะเคยฟงนิทานอีสปมากอนแลว ครูอาจใหนักเรียนชวยกันคิดหาคําตอบเปนกลุม แลวใหตัวแทนกลุมนําเสนอคําตอบ มีการอภิปรายรวมกนั เมือ่ไดขอสรุปตรงกนัแลว ครูเสนอคติเตอืนใจทีไ่ดจากเรือ่งนี ้ ใหนกัเรยีนไดเหน็ถึงความกลาหาญ ไมยอทอ สูดวยความขยันหมั่นเพียรและอดทน

สถานีทุงเขียว สถานีโพธิ์งาม สถานีบัวขาวขบวน ก. ขบวน ข.

ถึงเวลา 8.20 น. ออกเวลา 7.00 น.อัตราเร็ว 45 กม./ ชม.

ออกเวลา 7.03 น. ถึงเวลา 8.15 น.

150 กม.

52

ของเตาจนประสบความสําเร็จเอาชนะกระตายผูมากดวยความสามารถ ปราดเปรียว วิ่งเร็วดุจลมพัด แตตกอยูในความประมาทและชะลาใจ

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรมคําตอบแบบฝกหัด 3.1

1. 537 หรือ 5

27 2. 201-

3. 3 4. -16 5. -1 6. 21 7. 2

7- หรือ 213- 8. 4

9. 71 10. 0

11. 0 12. -613. 4 14. 115. 12 16. 1217. -5 18. 219. -5 20. -421. -18 22. -723. -1 24. -4825. 1 26. -28

คําตอบกิจกรรม “ลองหาดู”ตัวอยางคําตอบ

1. a = 2, b = 3 และ c = 6 2. a = 4, b = 2 และ c = 4 3. a = 6, b = 2 และ c = 3

53

คําตอบกิจกรรม “ปญหาเกี่ยวกับจํานวน”

1. -86, -85 และ -84 2. -31, -29 และ -27 3. -50 และ -11 4. -10 และ -8 5. 9 และ 11 6. 2.05 และ 5.05 7. 10 และ 25 8. -5, -4 และ -3 9. 85 คะแนน10. 33 คน11. 15 บาท12. 36 เมตร13. กวาง 7 เมตร และยาว 11 เมตร14. 140 ลูกบาศกเซนติเมตร15. 4.25 เมตร16. 129 บาท17. 50 ไร18. นิภา นที และนัท มีอายุ 15 ป 9 ป และ 14 ป ตามลําดับ19. นายชูเล้ียงไก 2,500 ตัว นายชมเลี้ยงไก 3,000 ตัว 20. ปจจุบันบิดามีอายุ 35 ป และบุตรมีอายุ 10 ป21. 2.17 กรัมตอลูกบาศกเซนติเมตร22. 49 เซนติเมตร

คําตอบกิจกรรม “คิด”

639แนวคิด ใหจํานวนที่มีสามหลัก คือ abc

จะไดสมการเปน a + b + c = 18 c = 3bและ a = 2b

54

คําตอบกิจกรรม “เกมทายจํานวน”

1. จํานวนที่สุดานึกไว คือ 341 ปรีชาบอกไดโดยนํา 10 มาลบออกจาก 351 2. นักเรียนสรางไดหลากหลาย ซ่ึงเกมที่สรางตองบอกลําดับขั้นตอนได

คําตอบกิจกรรม “ปญหาเกี่ยวกับอัตราสวนและรอยละ” 1. 1,180 คน แนวคิด ใหจํานวนนักเรียนทั้งหมดของโรงเรียนนี้เปน x คน ตัวอยางสมการ x = x100

50 + x10040 + 118

2. ซ้ือมะมวงน้ําดอกไม 25 กิโลกรัม และมะมวงเขียวเสวย 35 กิโลกรัมแนวคิด ใหซ้ือมะมวงน้ําดอกไม x กิโลกรัม

ตัวอยางสมการ )x 60(50x60−

= 76

3. กวาง 42 เมตร และยาว 70 เมตรแนวคิด ใหดานกวางยาว x เมตร

ตัวอยางสมการ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛+ x3

5 100120 x100

120 2 = 268.8

4. 800 บาทแนวคิด ใหตนทุนของกระเปาเปน x บาท

ตัวอยางสมการ 100 100125x 90×× = 900

5. 280 กิโลเมตรแนวคิด ใหระยะทางที่วิ่งทั้งหมดเปน x กิโลเมตร

ตัวอยางสมการ x10020 + 64 + 100

50 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ − 64 x100

80 = 200

6. 625 ลูกบาศกเซนติเมตรแนวคิด ใหใชน้ําเชื่อมจากขวดที่สองจํานวน x ลูกบาศกเซนติเมตร

ตัวอยางสมการ x 250x100

20 250 10090

+

+× ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

= 10040

55

คําตอบกิจกรรม “ขายเทาไรดี”30 บาทแนวคิด ใหตั้งราคาขายไวชุดละ x บาท

ตัวอยางสมการ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ × x100

50 8 + 52x = 1001200 140×

คําตอบกิจกรรม “ปญหาเกี่ยวกับอัตราเร็ว” 1. 1) อัตราเร็วของรถอีแตน 36 กิโลเมตรตอช่ัวโมง อัตราเร็วของรถจักรยานยนต 60 กิโลเมตรตอช่ัวโมง 2) 24 กิโลเมตร

แนวคิดขอ 1 ใหติ๊กขับรถอีแตนดวยอัตราเร็ว x กิโลเมตรตอช่ัวโมง ตัวอยางสมการ 60

24) x(12 + = 6020x

2. 6512 กิโลเมตร

แนวคิด ใหปรีชาวิ่งไดระยะทาง x กิโลเมตร ตัวอยางสมการ 13

)2 x(60 1160x −

− = 20

3. 13.00 น.แนวคิด ใหชายอีกคนหนึ่งออกเดินตามเปนเวลานาน x ช่ัวโมง

ตัวอยางสมการ 10x = 5(x + 2)

4. เวลาผานไป 3 นาที และพบกันเวลา 7.03 น.แนวคิด ใหรถบดทั้งสองคันเคลื่อนมาพบกันเมื่อเวลาผานไป x นาที

ตัวอยางสมการ 10x + 12x = 66

5. 100 กิโลเมตรแนวคิด ใหอําเภออยูหางจากบานของศรัญ x กิโลเมตร

ตัวอยางสมการ 60x – 80

20 x + = 6010

56

6. ชวงแรกขี่ไดระยะทาง 21 กิโลเมตร ใชเวลา 431 ช่ัวโมง และ

ชวงสองขี่ไดระยะทาง 36 กิโลเมตร ใชเวลา 412 ช่ัวโมง

แนวคิด ใหขี่จักรยานในชวงแรกไดระยะทาง x กิโลเมตร ตัวอยางสมการ 12

x + 16x 57 − = 4

7. 1) 74 กิโลเมตรตอช่ัวโมง 2) 87 กิโลเมตร

แนวคิด ใหขับรถในเวลากลางวันดวยอัตราเร็ว x กิโลเมตรตอช่ัวโมง ตัวอยางสมการ 2x + 2

3 (x – 16) = 235

8. รถไฟขบวน ข แลนไปทันขบวน ก เมื่อเวลา 13.30 น. ณ จุดที่หางจากสถานีบานมา 300 กิโลเมตร

แนวคิด ใหรถไฟขบวน ข แลนออกจากสถานีบานมาเปนเวลานาน x ช่ัวโมง

ตัวอยางสมการ 60x = 40x + ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ × 60

150 40

9. 75 กิโลเมตรตอช่ัวโมงแนวคิด ใหรถไฟขบวน ข วิ่งดวยอัตราเร็ว x กิโลเมตรตอช่ัวโมง

ตัวอยางสมการ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ × 60

80 45 + x6072 = 150

คําตอบกิจกรรม “กระตายกับเตา” 1. 80 เสน 2. 10.00 น. 3. กระตายชนะเตา และถึงเสนชัยกอนเตา 2 นาที 4. 3 ช่ัวโมง 26 นาที

แนวคิดขอ 1 ใหระยะทางแขงขันยาว x เสนตัวอยางสมการ x – 20 = 20 × 3

57

แบบฝกหัดเพิ่มเติมและคําตอบ

58

แบบฝกหัดเพิ่มเติม 3.1

แบบฝกหัดชุดนี้มีเจตนาใหใชเพื่อทบทวนการใชสมบัติของการเทากัน การแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวตามความรูที่นักเรียนเคยเรียนมาแลว ซ่ึงจะใชเปนพื้นฐานในการแกสมการที่ซับซอนขึ้นกอนขึ้นตัวอยางและเนื้อหาในหัวขอ 3.1

1. จงเติมขอความใหสอดคลองกับสมบัติของการเทากัน หรือสมบัติการแจกแจงที่นํามาใชในแตละขอ ตอไปนี้ 1) ถา x = y แลว …………… = y – 10 2) ถา 3x = -2 + 7 และ -2 + 7 = 5 แลว 3x = …………… 3) ถา 5x – 7 = -3 แลว (5x – 7) + (……………) = (-3) + (-2) 4) ถา x – 2 = 3a แลว …………… = 2

1 (3a)

5) ถา 31 (x + 5) = x – 1 แลว 3 × 3

1 (x + 5) = ……………

6) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ × x 2

1 – ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ × y 2

1 = ……… × (x – y)

7) y × (……………) = (y × a) + (y × b) 8) (…… × ……) + (b × c) = (a + b) × c

2. ใหแกสมการโดยแสดงขั้นตอนการใชสมบัติของการเทากันในตารางตอไปนี้

สมการ ขั้นท่ี 1 ขั้นท่ี 2 คําตอบของสมการ

ตัวอยาง 5x + 2 = -13 5x + 2 – 2 = -13 – 2 5

x5 = 515- -3

1) 7(x – 2) = 21

2) 1.2 – 8x = -6

3) 5.5y + 3.5 = -2

4) 32 (x + 1) = 2

1

5) 25 y + = -3

59

คําตอบแบบฝกหัดเพิ่มเติม 3.1 1. 1) x – 10 2) 5 3) -2 4) 2

1 (x – 2) 5) 3(x – 1) 6) 2

1

7) a + b 8) a × c

2.

สมการ ขั้นท่ี 1 ขั้นท่ี 2 คําตอบของสมการ

1) 7(x – 2) = 217

2) 7(x − = 721 x – 2 + 2 = 3 + 2 5

2) 1.2 – 8x = -6 1.2 – 8x – 1.2 = -6 – 1.2 8-8x- = 8-

7.2- 0.9

3) 5.5y + 3.5 = -2 5.5y + 3.5 – 3.5 = -2 – 3.55.55.5y = 5.5

5.5- -1

4) 32 (x + 1) = 2

132 (x + 1) × 2

3 = 21 × 2

3 x + 1 – 1 = 43 – 1 - 4

1

5) 25 y + = -3 2

5 y + × 2 = (-3) × 2 y + 5 – 5 = -6 – 5 -11

60

แบบฝกหัดเพิ่มเติม 3.2

แบบฝกหัดชุดนี้มีเจตนาใหใชเพื่อทบทวนการวิเคราะหเงื่อนไขในโจทยและเขียนสมการกอนขึ้นตัวอยางและเนื้อหาในหัวขอ 3.2

จงเขียนสัญลักษณที่มีความหมายตรงกับขอความ / ประโยคทางซายมือในชองวางเพื่อตอบปญหาตอไปนี้

ขอความ / ประโยค สัญลักษณ

1. ผลบวกของ 83 กับหาเทาของจํานวนจํานวนหนึ่งเทากับ - 4

1

1) หาเทาของจํานวนจํานวนหนึ่ง 2) ผลบวกของ 8

3 กับหาเทาของจํานวนจํานวนหนึ่งเทากับ

- 41

ให x แทนจํานวนจํานวนหนึ่ง

1) .…………….. 2) …..………….

2. ปจจุบันอายุของตอเปน 65 เทาของอายุของติ๊ก ถาปหนาตอ

มีอายุครบ 21 ป ปจจุบันติ๊กมีอายุกี่ป 1) ปจจุบันอายุของตอเปน 6

5 เทาของอายุของติ๊ก 2) สมการที่แสดงอายุของตอในปหนา

ใหปจจุบันติ๊กมีอายุ x ป

1) …..………….

2) …..………….3. มานะตัดเชือกยาว 100 เซนติเมตร ออกเปนสองทอน เชือกทอนยาวมีความยาวมากกวาสองเทาของความยาวของ เชือกทอนสั้น 7 เซนติเมตร เชือกแตละทอนยาวเทาไร 1) สองเทาของความยาวของเชือกทอนสั้น 2) ความยาวของเชือกทอนยาว 3) สมการแสดงความสัมพันธระหวางเชือกทั้งสองทอน

ให x แทนความยาวของเชือกทอนสั้น

1) …..…………. 2) …..…………. 3) …..………….

4. เศษสองสวนสามของจํานวนจํานวนหนึ่งมากกวาสิบหาอยู เจ็ด 1) เศษสองสวนสามของจํานวนจํานวนหนึ่ง

2) เศษสองสวนสามของจํานวนจํานวนหนึ่งมากกวาสิบหา

3) เศษสองสวนสามของจํานวนจํานวนหนึ่งมากกวาสิบหา อยูเจ็ด

ให x แทนจํานวนจํานวนหนึ่ง

1) …..………….

2) …..………….

3) …..………….

61

ขอความ / ประโยค สัญลักษณ5. เศษสองสวนสามของสวนที่จํานวนจํานวนหนึ่งมากกวา สิบหาเทากับเจ็ด 1) สวนที่จํานวนจํานวนหนึ่งมากกวาสิบหา 2) เศษสองสวนสามของสวนที่จํานวนจํานวนหนึ่งมากกวา สิบหา 3) เศษสองสวนสามของสวนที่จํานวนจํานวนหนึ่งมากกวา สิบหาเทากับเจ็ด

ให x แทนจํานวนจํานวนหนึ่ง

1) …..…………. 2) …..………….

3) …..………….

คําตอบแบบฝกหัดเพิ่มเติม 3.2

1. 1) 5x 2) 8

3 + 5x = - 41

2. 1) x6

5 2) x65 + 1 = 21

3. 1) 2x 2) 100 – x 3) (100 – x) – 2x = 7 4. 1) x3

2 2) x32 – 15

3) x32 – 15 = 7

5. 1) x – 15 2) 3

2 (x – 15)

3) 32 (x – 15) = 7

บทที่ 4เสนขนาน (18 ช่ัวโมง)

4.1 เสนขนานและมุมภายใน (4 ช่ัวโมง) 4.2 เสนขนานและมุมแยง (4 ช่ัวโมง) 4.3 เสนขนานและมุมภายนอกกับมุมภายใน (4 ช่ัวโมง) 4.4 เสนขนานและรูปสามเหลี่ยม (6 ช่ัวโมง)

นักเรียนเคยเรียนรูเกี่ยวกับเสนขนานและสมบัติบางประการของเสนขนานมาแลว ในบทนี้จะเพิ่มเติมความรูเกี่ยวกับสมบัติของเสนขนานและการนําสมบัติเหลานั้นไปใชในการใหเหตุผลเกี่ยวกับขนาดของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม ซ่ึงสามารถนําไปใชในการใหเหตุผลอยางตอเนื่องเกี่ยวกับเงื่อนไขของความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ มุม – มุม – ดาน ลักษณะการนําเสนอสาระในแตละหัวขอ จะมีกิจกรรมสํารวจที่เกี่ยวของกับสมบัติของเสนขนานซึ่งเปนทั้งทฤษฎีบทและบทกลับของทฤษฎีบทเหลานั้น ครูควรใหนักเรียนไดสรางขอความคาดการณจากผลการสํารวจแลวเขียนขอสรุปเปนทฤษฎีบท พรอมทั้งทําความเขาใจเกี่ยวกับขอความที่มีคําวา “ก็ตอเมื่อ” ในทฤษฎีบทดวย สําหรับแบบฝกหัดในบทนี้ตองการฝกใหนักเรียนรูจักใหเหตุผลบางเพียงเพื่อเปนพื้นฐานในการพิสูจนในชั้นตอไป ถึงแมวาโจทยแบบฝกหัดบางขอจะเปนการคํานวณหาขนาดของมุมตาง ๆ ครูก็อาจนําโจทยเหลานั้นมาใหนักเรียนไดบอกเหตุผลและเรียนรูรวมกันในชั้นเรียนดวย การเขียนคําอธิบายหรือการใหรายละเอียดในการบอกเหตุผลใหอยูในดุลพินิจของครู สําหรับตัวอยางการอางเหตุผลที่นําเสนอในหนังสือเรียนจะอางโดยใชขอความที่เปนทฤษฎีบท หรือสมบัติที่นักเรียนเคยเรียนมาแลว ซ่ึงเปนการอางเหตุผลที่นิยมใชกันโดยทั่วไป อีกทั้งเพื่อใหนักเรียนคุนเคยและจดจําขอความนั้น ๆ ได

ผลการเรียนรูท่ีคาดหวังรายป1. บอกสมบัติของเสนขนาน และบอกเงื่อนไขที่ทําใหเสนตรงสองเสนขนานกัน

2. ระบุไดวารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ มุม – มุม – ดาน เทากันทุกประการ 3. ใชสมบัติเกี่ยวกับเสนขนานและความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมในการ ใหเหตุผลและแกปญหาได

63

แนวทางในการจัดการเรียนรู

4.1 เสนขนานและมุมภายใน (4 ชั่วโมง)จุดประสงค ใหนักเรียนสามารถ 1. บอกบทนิยามของเสนขนานได 2. บอกไดวา ถาเสนตรงสองเสนขนานกัน แลวระยะหางระหวางเสนตรงคูนั้นจะเทากันเสมอ 3. บอกไดวา ถาเสนตรงสองเสนมีระยะหางระหวางเสนตรงเทากันเสมอ แลวเสนตรงคูนั้นจะ ขนานกัน 4. บอกไดวา มุมคูใดเปนมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัด เมื่อกําหนดใหเสนตรง เสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง 5. บอกไดวา เมื่อเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง เสนตรงคูนั้นขนานกัน ก็ตอเมื่อ ขนาด ของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัดรวมกันเทากับ 180 องศา และนําสมบัตินี้ ไปใชได

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูใหนักเรียนยกตัวอยางสิ่งตาง ๆ ในสิ่งแวดลอมรอบตัวที่มีลักษณะของเสนขนานบนระนาบเดียวกัน เพื่อนําเขาสูบทนิยามของการขนานกันของเสนตรง ครูควรชี้แจงใหนักเรียนเห็นวา บทนิยามดังกลาวนี้สามารถนําไปใชกับการขนานกันของสวนของเสนตรงและรังสี เมื่อสวนของเสนตรงและรังสีนั้นเปนสวนหนึ่งของเสนตรงที่ขนานกัน 2. ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน เพื่อใหนักเรียนเกิดความคิดรวบยอดเกี่ยวกับระยะหางระหวางเสนขนาน ครูอาจทบทวนความรูและทําความเขาใจเพิ่มเติมกับนักเรียนใน 2 ประเด็น ดังนี้ 1) ระยะหางระหวางจุดจุดหนึ่งกับเสนตรงจะหมายถึง ความยาวของสวนของเสนตรงที่ ลากจากจุดนั้นไปตั้งฉากกับเสนตรง ดังรูป

จากรูป PQ ตั้งฉากกับ AB จะได PQ คือระยะหางระหวางจุด P กับ AB

P

A Q B

64

2) เมื่อกลาวถึงระยะหางระหวางเสนขนานที่กลาววา มีระยะหางระหวางเสนตรง เทากันเสมอนั้น ในการตรวจสอบการเทากันของระยะหางของเสนขนานนี้ ในทางปฏิบัติ จะวัดหาระยะหางจากจุดที่แตกตางกันอยางนอยสองจุดบนเสนตรง เสนหนึ่งไปยังเสนตรงอีกเสนหนึ่งก็เปนการเพียงพอแลว ทั้งนี้เนื่องจากมีเสนตรงเพียง เสนเดียวเทานั้นที่ลากผานจุดสองจุดที่กําหนดใหได 3. สําหรับกิจกรรม “เสนตรงคูใดขนานกัน” เปนกิจกรรมที่ทําใหนักเรียนเกิดความตระหนักวาในการตรวจสอบวาเสนตรงคูใดขนานกันหรือไม ถาใชบทนิยามของเสนขนานโดยตรงหรือพิจารณาจากระยะหางระหางเสนตรงทั้งสองนั้นอาจไมสะดวก จึงใชกิจกรรมนี้นําเขาสูการตรวจสอบโดยใชวิธีการอื่นเชน ตรวจสอบจาก ผลบวกของขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัดของเสนตรงสองเสนที่กําหนดใหนั้น 4. ในกิจกรรม “ผลบวกของขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัด” สําหรับกิจกรรมขอ 3 ตองการใหนักเรียนสรางขอความคาดการณจากกิจกรรมขอ 1 และขอ 2 เพื่อใหไดผลสรุปเกี่ยวกบัผลบวกของขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัด กิจกรรมนี้ไดเชื่อมโยงสมบัติของเสนขนานที่เปนประโยคเงื่อนไข “ถา…แลว…” สองประโยคเปนทฤษฎีบทที่ใชคําวา “ก็ตอเมื่อ”ซ่ึงความรูในสวนนี้ เคยกลาวไวแลวในสาระการเรียนรูเพิ่มเติม ม.1 เลม 2 เร่ืองการเตรียมความพรอมในการใหเหตุผล จึงอาจมีนักเรียนบางคนไมไดเรียนเนื้อหานี้มากอน ครูจึงตองใหความรูเพิ่มเติมกับนักเรียนกลุมนี้และอาจทบทวนความรูกับกลุมนักเรียนที่เคยรูจักคํานี้มาแลว ดังนั้นในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน ครูจะตองใหนักเรียนเขาใจความหมายของทฤษฎีบทและบทกลับของทฤษฎีบทนั้น พรอมทั้งชี้ใหเห็นวา เมื่อพบขอความที่ตองพิสูจนมีคําวา“ก็ตอเมื่อ” เชื่อมขอความอยู เราจะตองแยกขอความนั้นเปนประโยคเงื่อนไขสองประโยคแลวพิสูจนวาทั้งสองประโยคเปนจริง จึงจะถือวาเปนการพิสูจนขอความที่มีคําวา “ก็ตอเมื่อ” ซ่ึงขอความเหลานี้มักเปนทฤษฎีบทที่มีบทกลับ เชน ทฤษฎีบทที่กลาววา “เมื่อเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่งเสนตรงคูนั้นขนานกัน ก็ตอเมื่อขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัดรวมกันเทากับ 180 องศา” 5. หลังจากนักเรียนไดเรียนตัวอยางที่ 4 แลว ครูควรสรุปใหนักเรียนเห็นวาการขนานกันของเสนตรงมีสมบัติถายทอด เมื่อมีเสนตรงสามเสนขนานกันก็จะไมใชสัญลักษณ เชน AB // CD // EF แตจะใชขอความวา AB, CD และ EF ขนานกัน 6. สําหรับแบบฝกหัด 4.1 มีโจทยบางขอไดเชื่อมโยงความรูโดยใชสมการมาชวยหาขนาดของมุมที่เกี่ยวกับเสนขนาน ครูควรประเมินโดยการสังเกตวา นักเรียนสามารถเชื่อมโยงความรูดังกลาวนี้ไดหรือไม

65

4.2 เสนขนานและมุมแยง (4 ชั่วโมง)จุดประสงค ใหนักเรียนสามารถ 1. บอกไดวามุมคูใดเปนมุมแยง เมื่อกําหนดใหเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง 2. บอกไดวาเมื่อเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง เสนตรงคูนั้นขนานกัน ก็ตอเมื่อ มุมแยงมี ขนาดเทากัน และนําสมบัตินี้ไปใชได

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ในหัวขอนี้ครูควรชี้ใหนักเรียนเห็นการเชื่อมโยงสาระวา การพิจารณาหรือตรวจสอบวาเสนตรงสองเสนขนานกันหรือไม นอกจากจะใชความรูเกี่ยวกับเสนขนานและขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัด มาตรวจสอบแลวยังสามารถใชสมบัติของมุมแยงมาตรวจสอบได ดังกิจกรรมที่เสนอไวในหัวขอนี้ 2. ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน เพื่อใหนักเรียนเกิดความคิดรวบยอดเกี่ยวกับลักษณะของมุมแยงและขนาดของมุมแยง ครูควรกลาวถึงในประเด็นตอไปนี้ 1) มุมแยงที่เกิดจากเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง อาจเกิดจากเสนตรงที่ขนานกัน หรือไมขนานกันก็ได 2) มุมแยงที่มีขนาดเทากันจะตองเกิดจากเสนตรงที่ขนานกันเทานั้น ดังนั้นเมื่อกลาวถึง มุมแยงทั่ว ๆ ไป จะสรุปวามีขนาดเทากันไมได 3) การอางดวยสมบัติของมุมแยง ควรเขียนขอความของสมบัตินั้นใหสมบูรณ ไมควร เขียนอางวา “เพราะเปนมุมแยง” หรือเขียนวา “มุมแยงยอมมีขนาดเทากัน” 4) การพิสูจนทฤษฎีบทที่กลาววา “เมื่อเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง เสนตรงคูนั้น ขนานกัน ก็ตอเมื่อ มุมแยงมีขนาดเทากัน” จะตองรูวาประโยคนี้คือประโยคเงื่อนไข “ถา…แลว…” สองประโยคไดแก (1) ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน (2) ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําใหมุมแยงมีขนาดเทากัน แลว เสนตรงคูนั้นขนานกัน

66

ความรูเพิ่มเติมสําหรับครู

มุมแยงที่กลาวถึงในบทเรียนเปนมุมแยงภายใน (alternate interior angles) ในทางคณิตศาสตรกําหนดมุมแยง เปนดังนี้ กําหนดให EF เปนเสนตัด AB และ CD ดังรูป

∧2 และ

∧8 เปนมุมแยงภายนอก (alternate exterior angles)

∧1 และ

∧7 เปนมุมแยงภายนอก

∧3 และ

∧5 เปนมุมแยงภายใน

∧4 และ

∧6 เปนมุมแยงภายใน

เนื่องจาก ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขามมีขนาดเทากัน จึงทําใหได ∧1 =

∧3 ,

∧2 =

∧4 ,

∧5 =

∧7 และ

∧6 =

∧8

ดังนั้นสมบัติตาง ๆ ของเสนขนานที่เกี่ยวกับมุมแยงภายใน จึงยังคงเปนจริงสําหรับมุมแยงภายนอกดวย หนังสือหลายเลมเมื่อกลาวถึงสมบัติตาง ๆ ของเสนขนานเกี่ยวกับมุมแยง จึงไมระบุวาเปนมุมแยงภายในหรือมุมแยงภายนอก

1

8

A B

DC

243

756

E

F

67

4.3 เสนขนานและมุมภายนอกกับมุมภายใน (4 ชั่วโมง)จุดประสงค ใหนักเรียนสามารถ 1. บอกไดวา มุมคูใดเปนมุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบนขางเดียวกันของเสนตัด เมื่อ กําหนดใหเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง 2. บอกไดวา เมื่อเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง เสนตรงคูนั้นขนานกัน ก็ตอเมื่อ มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบนขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน และนํา สมบัตินี้ไปใชได

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ในการดําเนินกิจกรรมการเรียนการสอนในหัวขอนี้ ก็ทําเชนเดียวกันกับหัวขอ 4.2 นักเรียนจะตองเกิดความคิดรวบยอดวา ในการตรวจสอบวาเสนตรงสองเสนขนานกันหรือไมนั้น นอกจากจะตรวจสอบโดยใชผลบวกของขนาดของมุมภายในหรือพิจารณาขนาดของมุมแยงแลว ยังสามารถตรวจสอบไดอีกวิธีหนึ่งโดยใชความสัมพันธของขนาดของมุมภายนอกและมุมภายใน ตามกิจกรรมที่เสนอไวในหัวขอนี้ 2. การพิสูจนทฤษฎีบท “ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบนขางเดียวกันของเสนตัด มีขนาดเทากัน” วิธีพิสูจนที่นําเสนอในหนังสือเรียนใชสมบัติของเสนขนานเกี่ยวกับมุมแยง ครูอาจแนะนําใหนักเรียนพิสูจนโดยใชสมบัติของเสนขนานเกี่ยวกับผลบวกของขนาดมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัด เพื่อใหเห็นความหลากหลายของวิธีการพิสูจนก็ได ดังการพิสูจนตอไปนี้

กําหนดให AB // CD มี EF เปนเสนตัดตองการพิสูจนวา ∧

1 = ∧5 ,

∧2 =

∧6 ,

∧7 =

∧3 และ

∧8 =

∧4

1

8

A B

DC

243

75 6

E

F

68

พิสูจน AB // CD (กําหนดให)

∧5 +

∧3 = 180o (ขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของ

เสนตัดเสนขนาน รวมกันเทากับ 180o)

∧1 +

∧3 = 180o (ขนาดของมุมตรง)

∧1 +

∧3 =

∧5 +

∧3 (สมบัติของการเทากัน)

ดังนั้น ∧1 =

∧5 (นํา

∧3 มาลบทั้งสองขางของสมการ)

การพิสูจนวา ∧2 = ∧6 , ∧7 = ∧3 และ ∧8 = ∧4 อาจใหนักเรียนลองพิสูจนโดยใชสมบัติ

ดังตัวอยางขางตนก็ได ในทํานองเดียวกันการพิสูจนทฤษฎีบท “ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําใหมุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบนขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน แลวเสนตรงคูนั้นขนานกัน”วิธีพิสูจนที่นําเสนอไวในหนังสือเรียน ใชสมบัติของเสนขนานเกี่ยวกับผลบวกของขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัด ครูอาจแนะนําใหนักเรียนพิสูจนโดยใชสมบัติของเสนขนานเกี่ยวกับมุมแยงดังการพิสูจนตอไปนี้

กําหนดให EF ตัด AB และ CD ทําให EXA∧

= XYC∧

ตองการพิสูจนวา AB // CDพิสูจน เนื่องจาก EXA

∧ = YXB

∧ (ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขามมี

ขนาดเทากัน) และ EXA

∧ = XYC

∧ (กําหนดให) จะได YXB

∧ = XYC

∧ (สมบัติของการเทากัน) เนื่องจาก YXB

∧ และ XYC

∧ เปนมุมแยงที่มีขนาดเทากัน ดังนั้น AB // CD (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําให มุมแยงมีขนาดเทากัน แลวเสนตรงคูนั้นขนาน

กัน)

A B

DCY

XE

F

69

1

3

22 3 1

4.4 เสนขนานและรูปสามเหลี่ยม (6 ชั่วโมง)จุดประสงค ใหนักเรียนสามารถ 1. บอกไดวา ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเทากับ 180 องศา และ นําสมบัตินี้ไปใชได 2. บอกไดวา ถาตอดานใดดานหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมออกไป มุมภายนอกที่เกิดขึ้นจะมีขนาด เทากับผลบวกของขนาดของมุมภายในที่ไมใชมุมประชิดของมุมภายนอกนั้น และนําสมบัตินี้ ไปใชได 3. บอกไดวา รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีความสัมพันธกันแบบ มุม – มุม – ดาน เทากันทุกประการและนําสมบัตินี้ไปใชได 4. ใชสมบัติเกี่ยวกับเสนขนานและความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมในการใหเหตุผล และแกปญหาได

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูอาจจัดกิจกรรมเพื่อทบทวนวา “ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเทากับ 180 องศา” ดวยการใหนักเรียนสังเกตผลจากการลงมือปฏิบัติ เชน การใหนักเรียนเขียนรูปสามเหลี่ยม กลุมละ 3 – 4 รูป วัดขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมแตละรูป แลวหาผลรวมโดยบันทึกผลในตาราง

ขนาดของมุม (องศา)รูปสามเหลี่ยม ∧1

∧2

∧3

ผลรวมของขนาดของมุมทั้งสาม(องศา)

ครูอาจแนะใหนักเรียนตัดหรือฉีกมุมทั้งสามของกระดาษรูปสามเหลี่ยม เพื่อแสดงผลบวกของขนาดของมุมทั้งสามมุม ดังรูป

3

1 2

70

1 2

3

1 23

นอกจากนี้แลว ครูอาจแนะใหนักเรียนทํากิจกรรม “หมุนดินสอแลวไดอะไร” หนา172 – 177 หนังสือเรียนสาระการเรียนรูเพิ่มเติม คณิตศาสตร เลม 1 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตรช้ันมัธยมศึกษาปที่ 2 ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2544 พิมพคร้ังที่ 1 ขอคนพบหรือผลสรุปจากการสํารวจตัวอยางหลาย ๆ ตัวอยางเปนการใหเหตุผลแบบอุปนัยผลสรุปที่ไดนี้อาจเปนจริงทุกกรณีหรือไมก็ได เพื่อเปนการยืนยันวา ผลสรุปนี้เปนจริง จึงตองใชการใหเหตุผลแบบนิรนัย ซ่ึงแสดงไดโดยการพิสูจน สมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่วา “ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเทากับ 180 องศา” สามารถนําไปใชพิสูจนเกี่ยวกับความสัมพันธของขนาดของมุมภายนอกและมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม” และที่สําคัญคือนําไปใชในการพิสูจนวา “รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีความสัมพันธกันแบบ มุม – มุม – ดาน จะเทากันทุกประการ” 2. ในการดําเนินกิจกรรมการเรียนการสอนในหัวขอนี้ ครูอาจชี้ใหนักเรียนเห็นการเชื่อมโยงความรูในการนําสมบัติของเสนขนานมาใชในการพิสูจน ซ่ึงทําใหไดทฤษฎีบทใหม ๆ ตอเนื่องกันดังแผนภูมิตอไปนี้

สมบัติของเสนขนานเกี่ยวกับมุมแยง

สมบัติเกี่ยวกับผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม

สมบัติเกี่ยวกับขนาดของมุมภายนอกและมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม

สมบัติเกี่ยวกับความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมแบบ ม.ม.ด.

ทําใหไดความคิดรวบยอดวาความสัมพันธแบบ ม.ด.ม. มีความสัมพันธแบบ ม.ม.ด. ดวย

71

3. สําหรับกิจกรรม “x และ y มีคาเทาไร” มีเจตนาใหเปนแบบฝกหัดระคนที่นําความรูทั้งหมดมาใชในการแกปญหา ครูอาจใหนักเรียนชวยกันทําเปนกลุมยอยและสุมใหนักเรียนออกมานําเสนอหนาช้ันเรียนและใหบอกเหตุผลในการคิดคํานวณดวย 4. สําหรับกิจกรรม “หาไดหรือไม” นอกจากจะมีเจตนาใหนักเรียนไดฝกทักษะการคํานวณโดยใชสมบัติตาง ๆ ที่เรียนรูมาแลว ยังมีเจตนาใหนักเรียนเห็นรูปที่มีความสวยงามคลายรูปดาวหาแฉก และสามารถเขียนรูปจากการลากเสนตอเนื่องกันไดในครั้งเดียว (ไมตองยกดินสอขึ้น) 5. สําหรับแบบฝกหัด 4.4 ขอ 8 หลังจากนักเรียนไดพิสูจนแลว ครูอาจใหนักเรียนพิสูจนวา“ขนาดของมุมภายนอกของรูปสี่เหล่ียมใด ๆ รวมกันเทากับ 360 องศา” 6. ครูอาจใหนักเรียนทํากิจกรรมเสนอแนะ 4.4 เพื่อใหเห็นวา สมบัติเกี่ยวกับผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม สามารถนํามาใชหาสูตรผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูป n เหล่ียมเมื่อ n แทนจํานวนเต็มบวก และเมื่อนักเรียนไดทํากิจกรรมนี้แลว ครูอาจใหนักเรียนวิเคราะหตอวาผลบวกของขนาดของมุมภายนอกของรูป n เหล่ียมเทากับเทาไร 7. สําหรับกิจกรรม “เฉลว” มีเจตนาเชื่อมโยงความรูทางคณิตศาสตรกับงานจักสานซึ่งเปนภูมิปญญาทองถ่ิน ครูควรชี้ใหนักเรียนเห็นวาที่จริงแลวงานจักสานลวนมีความเกี่ยวของกับสมบัติทางเรขาคณิต ผูจักสานประดิษฐงานโดยใชความรูเกี่ยวกับขนาดของมุม ความยาวของดาน ตลอดจนใชเสนขนานมาประดิษฐเปนลวดลายที่สวยงาม เชน ทําฝาชีครอบอาหาร ทําหมวก ตะกรา ฯลฯ ซ่ึงความรูทางดานเรขาคณิตนี้ ผูจักสานเรียนรูมาจากบรรพบุรุษที่ไดส่ังสอนกันตอ ๆ มา อาจ ไมไดเรียนรูเชิงทฤษฎีโดยตรง นอกจากนี้ครูอาจสนทนาและใหนักเรียนชวยกันยกตัวอยางสิ่งตาง ๆ ที่ใชประโยชนจากเสนขนาน เชน การสรางรั้วสนามที่ทําใหลูกกรงอยูในแนวขนานกัน การตัดถนนหรือทําขอบสนามใหขนานกัน การทําขอบประตูหรือหนาตางใหขนานกนั เพื่อใหดูสวยงามและปดเปดไดสะดวก

72

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรมคําตอบกิจกรรม “เสนตรงคูใดขนานกัน”

1. ขนานกัน เพราะมีระยะหางซึ่งวัดจากจุดที่แตกตางกัน 2 จุดยาวเทากัน 2. ไมขนานกัน เพราะมีระยะหางซึ่งวัดจากจุดที่แตกตางกัน 2 จุดยาวไมเทากัน 3. ไมขนานกัน เพราะมีระยะหางซึ่งวัดจากจุดที่แตกตางกัน 2 จุดยาวไมเทากัน 4. ไมขนานกัน เพราะมีระยะหางซึ่งวัดจากจุดที่แตกตางกัน 2 จุดยาวไมเทากัน

คําตอบกิจกรรม “มุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัด”

1. FEA∧

และ EFC∧

FEB∧

และ EFD∧

2. YXM∧

และ XYP∧

YXN∧

และ XYQ∧

คําตอบกิจกรรม “ผลบวกของขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัด”

1. 1) ไมเทากับ 180o 2) ไมเทากับ 180o

2. 1) เทากับ 180o 2) เทากับ 180o

3. 1) ผลบวกของขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัดเสนตรงคูหนึ่งที่ไมขนานกัน ไมเทากับ 180o

2) ผลบวกของขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัดเสนตรงคูหนึ่งที่ขนานกัน เทากับ 180o

คําตอบและแนวการพิสูจนแบบฝกหัด 4.1

1. 1) ขนานกัน เพราะ 117 + 63 = 180o 2) ไมขนานกัน เพราะ 112 + 58 ≠ 180o

3) ไมขนานกัน เพราะ 90 + 80 ≠ 180o 4) ขนานกัน เพราะ 90 + 90 = 180o

73

2. 1) x = 79 2) x = 88 3) x = 60 4) x = 61 3. 1)

FDC∧

= 148o

2)

FDC∧

= 50o

4. CDA∧

= 127o และ DCB∧

= 109o

5.

เนื่องจาก PL // MN และมี AB เปนเสนตัด (กําหนดให) LKM

∧ + NMK

∧ = 180o (ขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของ

เสนตัดเสนขนาน รวมกันเทากับ 180o)

P

BN

LA

M

K

A B

FE D

C 32o

D

130o

CA B

FE

74

NMB∧

+ NMK∧

= 180o (ขนาดของมุมตรง) จะได NMB

∧ + NMK

∧ = LKM

∧ + NMK

∧ (สมบัติของการเทากัน)

ดังนั้น NMB∧

= LKM∧

(นํา NMK∧

มาลบทั้งสองขาง ของสมการ) 6. x = 90 และ y = 90 7. ขนานกัน เพราะ ถาขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัดเสนตรงคูหนึ่ง รวมกัน เทากับ 180o แลวเสนตรงคูนั้นขนานกัน

คําตอบกิจกรรม “สํารวจมุมแยง”

1. 1) FEA

∧ และ EFD

∧

FEB∧

และ EFC∧

2) FEA∧

และ EFD∧

FEB∧

และ EFC∧

2. 1) FEA

∧ และ EFD

∧

FEB∧

และ EFC∧

2) FEA∧

และ EFD∧

FEB∧

และ EFC∧

คําตอบและแนวการพิสูจนแบบฝกหัด 4.2 ก

1. BAF∧

= NBA∧

เพราะ BN // FM มี AB เปนเสนตัด จะไดมุมแยงมีขนาดเทากัน 2. AEM

∧ = KAE

∧ เพราะ EM // KY มี NB เปนเสนตัด จะไดมุมแยงมีขนาดเทากัน

3. EBO∧

= 126o

4. ECA∧

= 131o

5. EDC∧

= 40o

75

6.

เนื่องจาก AB // CD (กําหนดให) จะได CBA

∧ = DCB

∧ (ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด

แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน) เนื่องจาก BC // DE (กําหนดให) จะได DCB

∧ = EDC

∧ (ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด

แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน) ดังนั้น CBA

∧ = EDC

∧ (สมบัติของการเทากัน)

7.

เนื่องจาก PQ // RS (กําหนดให) จะได CAP

∧ = SBA

∧ (ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด

แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน)SBA

∧ = CBR

∧ (ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขาม

มีขนาดเทากัน) ดังนั้น CAP

∧ = CBR

∧ (สมบัติของการเทากัน)

AB

CD

E

R

B C

Q S

P

A

76

8.

เนื่องจาก AD // CF (ดานตรงขามของรูปสี่เหล่ียมดานขนาน ยอม ขนานกัน) จะได EAD

∧ = EBF

∧ (ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด

แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน) AE = BE (E เปนจุดกึ่งกลางของ AB )

DEA∧

= FEB∧

(ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขาม มีขนาดเทากัน) จะได ∆ AED ≅ ∆ FEB

∧(ม.ด.ม.)

ดังนั้น DE = FE (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน)

9.

เนื่องจาก AE // HB (กําหนดให) จะได FAE

∧ = GBH

∧ (ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด

แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน) AF = BG (กําหนดให) เนื่องจาก FE // HG (กําหนดให)

CD

F

E BA

E

FG

H

BA

77

จะได GFE∧

= FGH∧

(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน) EFA

∧ + GFE

∧ = 180o (ขนาดของมุมตรง)

HGB∧

+ FGH∧

= 180o (ขนาดของมุมตรง) EFA

∧ + GFE

∧ = HGB

∧ + FGH

∧ (สมบัติของการเทากัน)

ดังนั้น EFA∧

= HGB∧

(สมบัติของการเทากัน โดยนํา GFE∧

และ FGH

∧ ที่มีขนาดเทากันมาลบทั้งสองขางของ

สมการ) จะได ∆ AFE ≅ ∆ BGH (ม.ด.ม.โดยมี FAE

∧ = GBH

∧, AF = BG,

EFA∧

= HGB∧

) ดังนั้น FE = GH (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน)

คําตอบและแนวการพิสูจนแบบฝกหัด 4.2 ข

1. 1) AE // BC 2) AD // BM 3) SR // PQ 4) ไมมีสวนของเสนตรงคูใดขนานกันเลย

2. x = 98 และ y = 60 3.

เนื่องจาก AO = BO (กําหนดให CD แบงครึ่ง AB ที่จุด O) DOA

∧ = COB

∧ (ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขาม

มีขนาดเทากัน) DO = CO (กําหนดให AB แบงครึ่ง CD ที่จุด O)

DA

C B

O

78

ดังนั้น ∆ AOD ≅ ∆ BOC (ด.ม.ด.) จะได ODA

∧ = OCB

∧ (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน

ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) นั่นคือ AD // BC (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่งทําให มุมแยงมีขนาดเทากัน แลวเสนตรงคูนั้น ขนานกัน)

4.

เนื่องจาก BAC∧

= DBE∧

(กําหนดให) EBA

∧ + DBE

∧ = 180o (ขนาดของมุมตรง)

จะได EBA∧

+ BAC∧

= 180o (สมบัติของการเทากัน โดยแทน DBE∧

ดวย BAC

∧)

เนื่องจาก EBA∧

และ BAC∧

เปนมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัด AB ซ่ึงตัด AC และ BE ดังนั้น AC // BE (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําให ขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของ เสนตัดรวมกันเทากับ 180o แลวเสนตรงคูนั้น ขนานกัน) ในทํานองเดียวกันจะพิสูจนไดวา BC // DE

คําตอบกิจกรรม “สํารวจมุมภายนอกและมุมภายใน” 1. 1) PRA

∧และ PSC

∧

SRA∧

และ QSC∧

PRB∧

และ PSD∧

SRB∧

และ QSD∧

A B D

EC

79

2) PRA∧

และ PSC∧

SRA∧

และ QSC∧

PRB∧

และ PSD∧

SRB∧

และ QSD∧

2. 1) และ 2) PEA

∧ และ PFC

∧

QEA∧

และ QFC∧

QEB∧

และ QFD∧

PEB∧

และ PFD∧

คําตอบและแนวการพิสูจนแบบฝกหัด 4.3 ก

1. QPA∧

= SRP∧

และ SRB∧

= QPR∧

เพราะวา ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมภายนอกและมุมภายในที่อยู ตรงขามบนขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน 2. TSN

∧ = MSQ

∧ (ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขามมีขนาดเทากัน)

TSN∧

= KTS∧

(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน) TSN

∧ = PTL

∧ (ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมภายนอกและมุมภายในที่อยู

ตรงขามบนขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน) 3. DYX

∧ = 52o

4. DCE∧

= 128o

5. BAD∧

= DCB∧

= 47o

CBA∧

= CDA∧

= 133o

6. x = 65

80

7.

เนื่องจาก AB // CD (กําหนดให) จะได CAB

∧ = ECD

∧ (เสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลว

มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบน ขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน) AC = CE (กําหนดให) เนื่องจาก CB // ED (กําหนดให)

จะได BCA∧

= DEC∧

(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลว มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบนขาง เดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน) ดังนั้น ∆ ABC ≅ ∆ CDE (ม.ด.ม.)

คําตอบแบบฝกหัด 4.3 ข

1. 1) DF // CB เพราะ DAE

∧ เปนมุมภายนอกและ CBA

∧ เปนมุมภายในที่อยูตรงขามบน

ขางเดียวกันของเสนตัด BE มีขนาดเทากัน 2) AB // MN เพราะ CNM

∧ เปนมุมภายนอกและ CBA

∧ เปนมุมภายในที่อยูตรงขามบนขาง

เดียวกันของเสนตัด BC มีขนาดเทากัน 3) AB // CD เพราะ ABP

∧ เปนมุมภายนอกและ CDB

∧ เปนมุมภายในที่อยูตรงขามบน

ขางเดียวกันของเสนตัด PD มีขนาดเทากับ 44o เทากัน 4) MN // PQ

เนื่องจาก QDA∧

+ 50 = 180 (ขนาดของมุมตรง) จะได QDA

∧ = 180 – 50

= 130o

เนื่องจาก NBA∧

= 130o (กําหนดให)

DB

A C E

81

ดังนั้น NBA∧

= QDA∧

= 130o (สมบัติของการเทากัน) นั่นคือ MN // PQ (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่งทําให มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบนขาง เดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน แลวเสนตรง คูนั้นขนานกัน) QR // NP เพราะ FEQ

∧ = DCN

∧ = 96o (ใหเหตุผลในทํานองเดียวกันกับขางตน)

2. ECD∧

= 98o

3.

เนื่องจาก YM // QR (กําหนดให) จะได MAP

∧ = RQP

∧ (ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลว

มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบน ขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน) MYX

∧ = RQP

∧ (กําหนดให)

จะได MAP∧

= MYX∧

(สมบัติของการเทากัน) ดังนั้น YX // QP (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําให มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบน ขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน แลว เสนตรงคูนั้นขนานกัน)

Y

Q R

M

PX

A

82

4.

เนื่องจาก ∆ ABC และ ∆ DEF เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว จะได CAB

∧ = ACB

∧ (มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว มีขนาด

เทากัน) และ FDE

∧ = DFE

∧ (มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว มีขนาด

เทากัน) CAB

∧ = DFE

∧ (กําหนดให)

ดังนั้น CAB∧

= FDE∧

และ ACB∧

= DFE∧

(สมบัติของการเทากัน) นั่นคือ AB // DE และBC // EF (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําให มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบน ขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน แลว เสนตรงคูนั้นขนานกัน)

คําตอบกิจกรรม “x และ y มีคาเทาไร”

1. x = 48 2. x = 75 และ y = 15 3. x = 130 และ y = 110 4. x = 54 และ y = 78 5. x = 107 6. x = 56 และ y = 68 7. x = 25 และ y = 10

แนวคิด เนื่องจาก 2x + y + 120 = 180 2x + y = 60 y = 60 – 2x

A D C F

EB

83

เนื่องจาก 2x – y + 140 = 180 จะได 2x – (60 – 2x) + 140 = 180 (แทน y ดวย 60 – 2x) 2x – 60 + 2x + 140 = 180 4x = 100 x = 25 จะได y = 60 – (2 × 25) = 10 8. x = 15 และ y = 57.5

แนวคิด เนื่องจาก 3x + 25 = x + 55 2x = 30 x = 15 เนื่องจาก (x + 55) + (2y – 5) = 180 15 + 55 + 2y – 5 = 180 (แทน x ดวย 15) 2y + 65 = 180 2y = 115 y = 57.5 9. x = 8 และ y = 12

แนวคิด เนื่องจาก (5x + y) + (5x – y) + 100 = 180 10x + 100 = 180 10x = 80 x = 8 เนื่องจาก 100 + (5x + y) + (2x + y) = 180 100 + (5 × 8) + (2 × 8) + 2y = 180 (แทน x ดวย 8) 100 + 40 + 16 + 2y = 180 2y = 24 y = 12

84

10. x = 12 และ y = 28แนวคิด

เนื่องจาก HEA∧

= CGH∧

= 48o

จะได 2x + 2y = 32 + 48 = 80 เนื่องจาก 5y – 8 + 48 = 180 5y = 140 y = 28 จะได 2x + (2 × 28) = 80 2x = 24 x = 12

คําตอบกิจกรรม “หาไดหรือไม”

m = 26 r = 36n = 50 s = 72p = 86 t = 118q = 22 u = 44

คําตอบและแนวการพิสูจนแบบฝกหัด 4.4

1. 1. DCE

∧, XCA

∧, EDC

∧, YDB

∧ และ EBA

∧

2. BAE∧

= 68o

2. PQ // ADเนื่องจาก PAB

∧ = 32 + 28 (ขนาดของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยม

เทากับผลบวกของขนาดของมุมภายใน ที่ไมใชมุมประชิดของมุมภายนอกนั้น)

= 60o

PAB∧

+ PAD∧

= 180o (ขนาดของมุมตรง)

85

จะได PAD∧

= 180 – 60 (แทน PAB∧

ดวย 60) = 120o

ดังนั้น PQ // AD (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําให มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบน ขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน แลว เสนตรงคูนั้นขนานกัน)

3.

สราง ลาก BDเนื่องจาก

∧1 +

∧2 +

∧3 = 180o (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูป

สามเหลี่ยมรวมกันเทากับ 180o)

∧4 +

∧5 +

∧6 = 180o (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูป

สามเหลี่ยมรวมกันเทากับ 180o) จะได

∧1 +

∧2 +

∧3 +

∧4 +

∧5 +

∧6 = 180 + 180 (สมบัติของการเทากัน)

หรือ ∧1 + (

∧2 +

∧5 ) +

∧4 + (

∧3 +

∧6 ) = 360o

ดังนั้น DAB∧

+ CDA∧

+ BCD∧

+ ABC∧

= 360o (สมบัติของการเทากัน) นั่นคือ ขนาดของมุมภายในทั้งสี่มุมของรูปสี่เหล่ียมใด ๆ รวมกัน เทากับ 360 องศา

4.

เนื่องจาก ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว

52

13 6

4

AB

CD

A FE

B C

86

ดังนั้น CBA∧

= BCA∧

(มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมีขนาด เทากัน) เนื่องจาก EF // BC (กําหนดให) จะได EAB

∧ = CBA

∧ และ FAC

∧ = BCA

∧ (ถาเสนตรงสองเสนขนานกัน

และมีเสนตัด แลวมุมแยง มีขนาดเทากัน) ดังนั้น EAB

∧ = FAC

∧ (สมบัติของการเทากัน)

5.

เนื่องจาก AB = EF (กําหนดให) CG // DH มี AE เปนเสนตัด (กําหนดให)

จะได FBG∧

= BFH∧

(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลว มุมแยงมีขนาดเทากัน)

FBG∧

= CBA∧

และ BFH∧

= DFE∧

(ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลว มุมตรงขามมีขนาดเทากัน) ดังนั้น CBA

∧ = DFE

∧ (สมบัติของการเทากัน)

BC = FD (กําหนดให) จะได ∆ ABC ≅ ∆ EFD (ด.ม.ด.) ดังนั้น BAC

∧ = FED

∧ (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน

ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) นั่นคือ AC // ED (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําให มุมแยงมีขนาดเทากัน แลวเสนตรงคูนั้น ขนานกัน)

F E

DGBA

C H

87

6.

สราง ลาก BDเนื่องจาก AB // CD มี BD เปนเสนตัด (สมบัติของรูปสี่เหล่ียมดานขนาน)

จะได DBA∧

= BDC∧

(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลว มุมแยงมีขนาดเทากัน) เนื่องจาก AD // BC มี BD เปนเสนตัด (สมบัติรูปสี่เหล่ียมดานขนาน)

จะได BDA∧

= DBC∧

(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลว มุมแยงมีขนาดเทากัน) BD = DB (เปนดานรวม) ดังนั้น ∆ ABD ≅ ∆ CDB (ม.ด.ม.) นั่นคือ

∧A =

∧C (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน

ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) ในทํานองเดียวกัน ถาลาก AC จะพิสูจนไดวา

∧B =

∧D

7.

เนื่องจาก ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว (กําหนดให) จะได CBA

∧ = CAB

∧ (มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมีขนาด

เทากัน) CE // AB (กําหนดให)

จะได DCE∧

= CBA∧

(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขาม บนขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน)

B

D

A

C

E

D

A

B C

88

และ CAB∧

= ACE∧

(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน)

จะได CAB∧

= DCE∧

(สมบัติของการเทากัน โดยตางก็มีขนาดเทากับ CBA

∧)

ดังนั้น ACE∧

= DCE∧

(สมบัติของการเทากัน โดยตางก็มีขนาดเทากับ CAB

∧)

นั่นคือ CE แบงครึ่ง DCA∧

8.

เนื่องจาก ∧1 +

∧4 =

∧2 +

∧5 =

∧3 +

∧6 = 180o (ขนาดของมุมตรง)

∧1 +

∧4 +

∧2 +

∧5 +

∧3 +

∧6 = 180 + 180 + 180 (สมบัติของการเทากัน)

= 540 o

แต ∧1 +

∧2 +

∧3 = 180o (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของ

รูปสามเหลี่ยมรวมกันเทากับ 180o)จะได

∧4 +

∧5 +

∧6 = 540 – 180 (สมบัติของการเทากัน)

= 360 o

ดังนั้น ขนาดของมุมภายนอกของ ∆ ABC รวมกันเทากับ 360 o

9.

C

B

A3

6

2514

E

BD

C

F

A

89

เนื่องจาก ∧A +

∧B +

∧C = 180o (ขนาดของมุมภายในทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม

รวมกันเทากับ 180o) และ

∧D +

∧E +

∧F = 180o (ขนาดของมุมภายในทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม

รวมกันเทากับ 180o) จะได

∧A +

∧B +

∧C +

∧D +

∧E +

∧F = 180 + 180

= 360o (สมบัติของการเทากัน) ดังนั้น ขนาดของมุมภายในที่จุดยอดทั้งหกมุมของรูปดาวหกแฉกใด ๆ รวมกัน เทากับ 360o

10.

เนื่องจาก ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว มี BC เปนฐานจะได

∧1 =

∧2 (มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว มีขนาด

เทากัน) เนื่องจาก BC // ED (กําหนดให) จะได

∧1 =

∧3 และ

∧2 =

∧4 (ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด

แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน) ดังนั้น

∧3 =

∧4 (สมบัติของการเทากัน)

∧3 +

∧5 =

∧4 +

∧6 = 180o (ขนาดของมุมตรง)

จะได ∧5 =

∧6 (สมบัติของการเทากัน)

EG = DF (กําหนดให) GAE

∧ = FAD

∧ (กําหนดให)

ดังนั้น ∆ AEG = ∆ ADF (ม.ม.ด.) นั่นคือ AE = AD (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน)

1

A

DE 5 6

B C

FG243

90

คําตอบกิจกรรม “เฉลว”

พิจารณามุมภายในและมุมภายนอกของ ∆ BDF จะได

∧1 =

∧B +

∧D (ขนาดของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเทากับ

ผลบวกของขนาดของมุมภายในที่ไมใชมุมประชิดของมุมภายนอกนั้น)

พิจารณามุมภายในและมุมภายนอกของ ∆ CEG จะได

∧2 =

∧C +

∧E

เนื่องจาก ∧A +

∧1 +

∧2 = 180o (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของ

รูปสามเหลี่ยมรวมกันเทากับ 180o) นั่นคือ

∧A +

∧B +

∧D +

∧C +

∧E = 180o

(สมบัติของการเทากันโดยแทน ∧1 ดวย

∧B +

∧D และแทน

∧2 ดวย

∧C +

∧E )

หรือ ∧A +

∧B +

∧C +

∧D +

∧E = 180o

E

D C

B

A

F G1 2

91

กิจกรรมเสนอแนะและคําตอบ

92

กิจกรรมเสนอแนะ 4.4

กิจกรรมนี้มีจุดประสงคใหนักเรียนสามารถนําสมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่วา “ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเทากับ 180 องศา” ไปใชสรางขอความคาดการณเกี่ยวกับผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยม

1. จงหาผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมตอไปนี้ 1) รูปสี่เหล่ียม 2) รูปหาเหล่ียม 3) รูปหกเหลี่ยม

2. ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมในขอ 1 เกี่ยวของกับผลบวกของขนาดของ มุมภายในของรูปสามเหลี่ยมหรือไม อยางไร

3. ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยม เกี่ยวของกับจํานวนเหลี่ยมของรูปหลายเหลี่ยม หรือไม อยางไร

4. จงหาสูตรการหาผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูป n เหล่ียม

คําตอบกิจกรรมเสนอแนะ 4.4

1. 1) 360 องศา

2) 540 องศา 3) 720 องศา

2. 1) เกี่ยวของกัน คือ ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปสี่เหล่ียมเทากับสองเทาของผลบวก ของขนาดของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม 2) เกี่ยวของกัน คือ ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปหาเหล่ียมเทากับสามเทาของ ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม 3) เกี่ยวของกัน คือ ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปหกเหลี่ยมเทากับสี่เทาของ ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม

93

3. เกี่ยวของกัน คือ ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมเทากับ จํานวนเหลี่ยมของรูปหลายเหลี่ยมลบดวย 2 แลวคูณดวยผลบวกของขนาดของมุมภายในของ รูปสามเหลี่ยม 4. ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูป n เหล่ียม เทากับ 180(n – 2) องศา

คณะกรรมการจัดทําสื่อการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร ระดับมัธยมศึกษาตอนตน

นางปยรัตน จาตุรันตบุตร มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนดุสิตนางสาวลัดดาวัลย เพ็ญสุภา มหาวิทยาลัยธรรมศาสตรนายปรีชา เนาวเย็นผล มหาวิทยาลัยสุโขทัยธรรมาธิราชนางจารุนี สูตะบุตร สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยีนายสมพล เล็กสกุล สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยีนางอารียา สุวรรณคํา สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยีนางเจริญศรี จันไพบูลย สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยีนางสาวจารุวรรณ แสงทอง สถาบนัสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยีนางสาวปานทอง กุลนาถศิริ สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยีนางชุลีพร สุภธีระ สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยีนางชมัยพร ตั้งตน สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยีนางสาวรจนา รัตนานิคม สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยีนางสาววันดี ตีระสหกุล สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คณะบรรณาธิการนางจารุนี สูตะบุตร นายสมพล เล็กสกุลนางปยรัตน จาตุรันตบุตร นางสาวจารุวรรณ แสงทอง นางชุลีพร สุภธีระ

ผูจัดพิมพตนฉบับนางสาวเสาวนีย ประมูลทรัพย