หนงสอเรยน รายวชาพนฐาน

คณตศาสตร ม.๑ เลม ๑ชนมธยมศกษาปท ๑กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร

ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช ๒๕๕๑

ผเรยบเรยงนางกนกวล อษณกรกลนางสาวปาจรย วชชวลคดร. สเทพ บญซอน

ผตรวจนางจนดา อยเปนสขนายรณชย มาเจรญทรพยนางสาวสายสณ สทธจกษ

บรรณาธการศ.ดร. ณรงค ปนนมนางสาวนวลนอย เจรญผล

พมพครงท ๑สงวนลขสทธตามพระราชบญญตISBN : 978-616-203-545-6

รหสสนคา ๒๑๑๖๐๐๙

( ดผงมโนทศน ไดทปกหลงดานใน)

˹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ·Õè 1 µÑÇ»ÃСͺ¢Í§¨íҹǹ¹Ñº 1 - 30

● µÑÇ»ÃСͺ 2

● ¨íҹǹ੾ÒÐ 5

● ¡ÒÃᡵÑÇ»ÃСͺ 6

● µÑÇËÒÃËÇÁÁÒ¡ (Ë.Ã.Á.) áÅСÒùíÒä»ãªŒ 8

● µÑǤٳËÇÁ¹ŒÍ (¤.Ã.¹.) áÅСÒùíÒä»ãªŒ 18

˹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ·Õè 2 Ãкº¨íҹǹàµçÁ 31 - 82

● ¨íҹǹàµçÁ 32

● ¡ÒÃà»ÃÕºà·Õº¨íҹǹàµçÁ 34

● ¨íҹǹµÃ§¢ŒÒÁáÅФ‹ÒÊÑÁºÙó� 37

● ¡Òúǡ¨íҹǹàµçÁ 40

● ¡ÒÃź¨íҹǹàµçÁ 51

● ¡Òäٳ¨íҹǹàµçÁ 54

● ¡ÒÃËÒèíҹǹàµçÁ 62

● ÊÁºÑµÔ¢Í§¨íҹǹàµçÁáÅСÒùíÒä»ãªŒ 66

˹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ·Õè 3 àŢ¡¡íÒÅѧ 83 - 112

● ¡ÒÃà¢Õ¹àŢ¡¡íÒÅѧ·ÕèÁÕàÅ¢ªÕé¡íÒÅѧ໚¹¨íҹǹàµçÁ 84

● ¡ÒäٳàŢ¡¡íÒÅѧ àÁ×èÍàÅ¢ªÕé¡íÒÅѧ໚¹¨íҹǹàµçÁºÇ¡ 89

● ¡ÒÃËÒÃàŢ¡¡íÒÅѧ àÁ×èÍàÅ¢ªÕé¡íÒÅѧ໚¹¨íҹǹàµçÁºÇ¡ 92

● ¡ÒÃà¢Õ¹¨íҹǹã¹ÃÙ»ÊÑޡó�ÇÔ·ÂÒÈÒʵÃ� 98

ÊÒúÑÞ¤³ÔµÈÒʵÃ� Á.1 àÅ‹Á 1

˹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ·Õè 2

˹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ·Õè

¤³ÔµÈÒʵÃ�ÁÕº·ºÒ·ÊíÒ¤ÑÞÂÔ觵‹Í¡ÒþѲ¹Ò¤ÇÒÁ¤Ô´¢Í§Á¹ØÉÂ� ·íÒãËŒÁ¹ØÉÂ�ÁÕ¤ÇÒÁ¤Ô´Í‹ҧÁÕà˵ؼÅ໚¹ÃкºÃÐàºÕº ÁÕẺἹ ÊÒÁÒöÇÔà¤ÃÒÐË�á¡Œ»˜ÞËÒã¹Ê¶Ò¹¡Òó�µ‹Ò§æ 䴌͋ҧàËÁÒÐÊÁ ÃÇÁ·Ñé§ÁÕ¤ÇÒÁ¤Ô´ÃÔàÃÔèÁÊÌҧÊÃä�

¤³ÔµÈÒʵÃ�໚¹ÇÔªÒ·ÕèÇ‹Ò´ŒÇÂËÅÑ¡¡ÒÃáÅÐà˵ؼŠ«Öè§Á¹ØÉÂ�¤Ô´¤Œ¹áÅÐÊÃØ»ÁÒ¨Ò¡¡®à¡³±�¸ÃÃÁªÒµÔ áÅÐÊÔ觷Õè»ÃÐʺ¾ºàËç¹ã¹ªÕÇÔµ»ÃШíÒÇѹ ´Ñ§¹Ñé¹¼ÙŒàÃÕ¹¤³ÔµÈÒʵÃ�ä´Œ´Õ¤ÇèÐ໚¹¼ÙŒ·Õ誋ҧÊѧࡵ ª‹Ò§¤Ô´ áÅÐÂÍÁÃѺ¢ŒÍµ¡Å§ËÃ×ÍËÅÑ¡¡ÒÃËÃ×͹ÔÂÒÁàº×éͧµŒ¹¡‹Í¹ áÅŒÇÍÒÈÑÂËÅÑ¡¤ÇÒÁ¨ÃÔ§áÅÐà˵ؼŵ‹Ò§æ 㹡Òê‹Ç¤Դ¤íҹdz ¤Ô´ÊÌҧÊÃä� áÅФԴᡌ»˜ÞËÒµ‹Í䴌͋ҧÁÕ»ÃÐÊÔ·¸ÔÀÒ¾ ¹Ñ¡àÃÕ¹¨Ö§¤ÇèÐࢌÒ㨡®à¡³±�µ‹Ò§æ ·Ò§¤³ÔµÈÒʵÃ� ã¹áµ‹ÅÐàÃ×èͧ áÅÐÊÒÁÒö¹íÒËÅÑ¡¡Ò÷ѡÉÐáÅСÃкǹ¡Ò÷ҧ¤³ÔµÈÒʵÃ�ä»ãªŒã¹ªÕÇÔµ»ÃШíÒÇѹ µÅÍ´¨¹ÊÒÁÒöᡌ»˜ÞËÒã¹Ê¶Ò¹¡Òó�µ‹Ò§æ ä´Œ ÊíÒËÃѺ˹ѧÊ×ÍàÃÕ¹ÊÒÃСÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ¾×é¹°Ò¹ ¡ÅØ‹ÁÊÒÃСÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ¤³ÔµÈÒʵÃ�ã¹ÃдѺªÑé¹ÁѸÂÁÈÖ¡ÉÒ»‚·Õè 1 ¹Õé ¤³Ð¼ÙŒàÃÕºàÃÕ§䴌¨Ñ´áº‹§Í͡໚¹ 2 àÅ‹Á ѧ¹Õé

¤³ÔµÈÒʵÃ� Á.1 àÅ‹Á 1 ˹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ·Õè 1 - 5

¤³ÔµÈÒʵÃ� Á.1 àÅ‹Á 2 ˹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ·Õè 1 - 6

·Ñ駹Õ餳мٌàÃÕºàÃÕ§䴌àÃÕºàÃÕ§à¹×éÍËÒÊÒÃÐãËŒÊÍ´¤ÅŒÍ§¡ÑºµÑǪÕéÇÑ´áÅÐÊÒÃСÒÃàÃÕ¹Ãٌ᡹¡ÅÒ§¡ÅØ‹ÁÊÒÃСÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ¤³ÔµÈÒʵÃ� µÒÁËÅÑ¡ÊÙµÃ᡹¡ÅÒ§¡ÒÃÈÖ¡ÉÒ¢Ñé¹¾×é¹°Ò¹ ¾Ø·¸ÈÑ¡ÃÒª 2551 â´Â¨Ñ´ÊÒÃСÒÃàÃÕ¹Ãٌ໚¹Ë¹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ·Õè¤ÇÃÈÖ¡ÉÒµÒÁÅíҴѺ¡‹Í¹ËÅѧÍ‹ҧàËÁÒÐÊÁ ã¹áµ‹ÅÐ˹‹ÇÂ Ñ à¹×éÍËÒá¡໚¹ËÑÇ¢ŒÍàÁ×èÍÈÖ¡ÉÒᵋÅÐËÑÇ¢ŒÍáŌǨÐÁÕÁØÁ¤ÇÒÁ¤Ô´ à¾×èÍÊÃػͧ¤�¤ÇÒÁÃÙŒ·Õè໚¹»ÃÐà´ç¹ÊíÒ¤Ñޢͧà¹×éÍËÒ¹Ñé¹ «Öè§ÍÒ¨¨Ð໚¹¡ÒÃÊÃØ»¤ÇÒÁ¤Ô´ÃǺÂÍ´ á¹Ç¤Ô´ ¹ÔÂÒÁ ÊѨ¾¨¹� ËÃ×Í·Äɮպ·Í‹ҧã´Í‹ҧ˹Öè§áÅŒÇᵋàËÁÒÐÊÁ ÃÇÁ·Ñé§ÁÕẺµÃǨÊͺ¤ÇÒÁࢌÒ㨷ÕèËÅÒ¡ËÅÒ ÁÕ¡Ô ¡ÃÃÁàÊÃÔÁ·Ñ¡ÉÐáÅСÃкǹ¡Ò÷ҧ¤³ÔµÈÒʵÃ� ¡Ô ¡ÃÃÁàÊÃÔÁ·Ñ¡ÉÐàªÔ§à·¤â¹âÅÂÕ à¾×è;Ѳ¹Ò¼ÙŒàÃÕ¹ãËŒàµçÁµÒÁÈÑ¡ÂÀÒ¾ ÃÇÁ·Ñé§àÁ×èÍàÃÕ¹¨ºã¹áµ‹ÅÐ˹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒáÅŒÇ ÂѧÁÕẺ½ƒ¡ËÑ´»ÃÐ íÒ˹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ à¾×èÍ·º·Ç¹¤ÇÒÁÃÙŒÍÕ¡¤ÃÑé§Ë¹Öè§ ¤³Ð¼ÙŒàÃÕºàÃÕ§ËÇѧ໚¹Í‹ҧÂÔè§Ç‹Ò ˹ѧÊ×ÍàÃÕ¹ªØ´¹Õé ¤§¨Ð໚¹»ÃÐ⪹�㹡ÒèѴ¡ÒÃàÃÕ¹¡ÒÃÊ͹ãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹䴌ÊÑÁÄ·¸Ô¼Å¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒµÃ§µÒÁ·ÕèËÅÑ¡ÊÙµÃ᡹¡ÅÒ§¡ÒÃÈÖ¡ÉÒ¢Ñé¹¾×鹰ҹ䴌¡íÒ˹´äÇŒ

คณะผเรยบเรยง

¤íÒ¹íÒ

จานวนนบเปนจานวนทมนษยนามาใชเพอ

ประโยชนในการบอกปรมาณของสงตางๆ เชน

บอกจานวนสมาชกในครอบครว บอกจานวน

สตวเลยง เปนตน

การศกษาเรองตวประกอบของจานวนนบ

เราสามารถนาความรเรองตวประกอบของ

จานวนนบไปใชแกปญหาได โดยเฉพาะเรองการ

หา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. รวมทงเปนพนฐานในการ

ศกษาวชาคณตศาสตรในระดบสงขนตอไป

ตวประกอบของจำ�นวนนบหนวยก�รเรยนรท 1ตวชวด

ค 1.4 ม.1/1

■ นาความรและสมบตเกยวกบจานวนเตมไปใชในการ

แกปญหา

ค 6.1 ม.1-3/1-6

■ ใชวธการทหลากหลายแกปญหา

■ ใชความร ทกษะ และกระบวนการทางคณตศาสตร

และเทคโนโลยในการแกปญหาในสถานการณตางๆ

ไดอยางเหมาะสม

■ ใหเหตผลประกอบการตดสนใจ และสรปผลไดอยาง

เหมาะสม

■ ใชภาษาและสญลกษณทางคณตศาสตรในการสอสาร

การสอความหมาย และการนาเสนอไดอยางถกตอง

และชดเจน

■ เชอมโยงความรตางๆ ในคณตศาสตร และนาความร

หลกการ กระบวนการทางคณตศาสตรไปเชอมโยงกบ

ศาสตรอนๆ

■ มความคดรเรมสรางสรรค

ส�ระก�รเรยนรแกนกล�ง ■ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจานวนนบ และการนาไปใช

˹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ·Õè 4 ¾×é¹°Ò¹·Ò§àâҤ³Ôµ 113 - 160

● ¨Ø´ àÊŒ¹µÃ§ ʋǹ¢Í§àÊŒ¹µÃ§ áÅÐÃѧÊÕ 114

● ÁØÁáÅЪ¹Ô´¢Í§ÁØÁ 118

● ¡ÒÃÊÌҧ¾×é¹°Ò¹ 121

● ¡ÒÃÊÌҧÃÙ»àâҤ³ÔµÍ‹ҧ§‹Ò 142

˹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ·Õè 5 âÍ¡Òʢͧà˵ءÒó� 161 - 178

● à˵ءÒó� 168

● âÍ¡Òʢͧà˵ءÒó� 171

ºÃóҹءÃÁ 179 - 180

¤³ÔµÈÒʵÃ� Á.1 àÅ‹Á 2

หนวยการเรยนรท 1 เศษสวน

หนวยการเรยนรท 4 คอนดบและกราฟ

หนวยการเรยนรท 2 ทศนยม

หนวยการเรยนรท 6 ความสมพนธระหวาง รปเรขาคณต สองมตและสามมต

หนวยการเรยนรท 5

สมการเชงเสน ตวแปรเดยว

หนวยการเรยนรท 3 การประมาณคา

หนวยการเรยนรท4

หนวยการเรยนรทหนวยการเรยนรท

-10 -5 50

10

-5

5

10

-10

y

x-10-10 -5-5 55

01010

-5-5

-10

x

3

แตถานกเรยนจดดนสอแถวละ 5 แทง จะเหนวาแถวทสามจดได 2 แทงซงไมพอด

และถานกเรยนจดดนสอแถวละ 7 แทง จะเหนวาแถวทสองจดได 5 แทง ซงไมพอดเชนกน

ทงนเพราะ 5 และ 7 หาร 12 ไมลงตว หรอกลาววา 5 และ 7 ไมเปนตวประกอบ

ของ 12

เนองจาก จำานวนนบทหาร 12 ลงตว ไดแก 1, 2, 3, 4, 6 และ 12

ดงนน จำานวนนบทเปนตวประกอบของ 12 คอ 1, 2, 3, 4, 6 และ 12

การหาตวประกอบของจำานวนนบใดๆ สามารถหาไดหลายวธ ดงตวอยางตอไปน

จงหาตวประกอบทงหมดของ 15

วธท 1 หาจำานวนนบตางๆ ทหาร 15 ลงตว

เนองจาก 15 เปนจำานวนนบทหารดวย 2 แลวเหลอเศษ 1 ดงนน 15 เปน

จำานวนค และเมอนำาจำานวนคอนๆ เชน 4 และ 6 ไปหาร 15 กหารไมลงตว

จำานวนนบทนำาไปหาร 15 ไดลงตว ตองเปน 15 หรอจำานวนคทไมเกนครง

หนงของ 15 จงตรวจสอบการหารดวย 1, 3, 5, 7 และ 15 ดงน

15 หารดวย 1 ไดผลหารเปน 15 เหลอเศษเปน 0 แสดงวา 15 หารดวย 1 ลงตว

15 หารดวย 3 ไดผลหารเปน 5 เหลอเศษเปน 0 แสดงวา 15 หารดวย 3 ลงตว

15 หารดวย 5 ไดผลหารเปน 3 เหลอเศษเปน 0 แสดงวา 15 หารดวย 5 ลงตว

15 หารดวย 7 ไดผลหารเปน 2 เหลอเศษเปน 1 แสดงวา 15 หารดวย 7 ไมลงตว

15 หารดวย 15 ไดผลหารเปน 1 เหลอเศษเปน 0 แสดงวา 15 หารดวย 15 ลงตว

จากการหารขางตนพบวา จำานวนนบทกจำานวนทหาร 15 ลงตว ไดแก 1, 3, 5, 15

ดงนน ตวประกอบทงหมดของ 15 คอ 1, 3, 5 และ 15

วธทำ�

ตวอย�งท

1

จดแถวละ 5 แทง ได 2 แถว

แถวทสามจดได 2 แทง

จดแถวละ 7 แทง ได 1 แถว

แถวทสองจดได 5 แทง

2

จดแถวละ 4 แทง ได 3 แถว จดแถวละ 6 แทง ได 2 แถวจดแถวละ 3 แทง ได 4 แถว

1. ตวประกอบ

ในระดบประถมศกษา นกเรยนไดทราบแลววา จำานวนนบ ไดแก จำานวน 1, 2, 3, 4, 5, ...

ซงเรมตนจาก 1 และมคาเพมขนทละหนงไปเรอยๆ ไมสนสด

เราสามารถเรยกจำานวนนบวา จำานวนธรรมชาต และสามารถนำาจำานวนนบเหลานนมา

บวก ลบ คณ และหารกนได ซงผลลพธอาจเปนจำานวนนบหรอไมกได

ในเรองการหารจำานวนนบจะมทงการหารลงตวและการหารไมลงตว เชน เมอนำา

2 ไปหาร 8 ไดผลหารเปน 4 เหลอเศษเปน 0 นนคอ 8 หารดวย 2 ลงตว เมอนำา 2 ไปหาร 7

ไดผลหารเปน 3 เหลอเศษเปน 1 นนคอ 7 หารดวย 2 ไมลงตว

เศษทเกดจากการหารจำานวนนบใดๆ ดวย 2 คอ 0 และ 1

เรยกจำานวนนบทหารดวย 2 แลวเหลอเศษเปน 0 วา จำ�นวนค เชน 2, 4, 6

เรยกจำานวนนบทหารดวย 2 แลวเหลอเศษเปน 1 วา จำ�นวนค เชน 1, 3, 5

ใหนกเรยนพจารณาการจดดนสอ 12 แทง ทกำาหนดใหตอไปน

นกเรยนคดวายงมจ�านวนนบอนๆทเปนตวประกอบของ 12

อกหรอไมเรยกจำ�นวนนบใดๆ ทห�รจำ�นวนนบทกำ�หนดใหไดลงตวว�

ตวประกอบของจำ�นวนนบนน หรอตวห�รลงตว

ของจำ�นวนนบนน

จากตวอยางการจดวางดนสอแบบตางๆ นกเรยนจะเหนวา

เมอจดดนสอแถวละ 3, 4 หรอ 6 แทง จะจดไดพอดแถว ทเปนเชนนเพราะ 3, 4

และ 6 สามารถหาร 12 ไดลงตว

เรยก 3, 4 และ 6 ซงสามารถหาร 12 ไดลงตววา ตวประกอบของ 12

5

1. จงหาตวประกอบทงหมดของจำานวนตอไปน

1) 24 2) 48 3) 117 4) 120 5) 132

6) 225 7) 279 8) 380 9) 420 10) 540

2. จำานวนนบใดทเปนตวประกอบของจำานวนนบทกจำานวน

3. จำานวนนบทอยระหวาง 20 กบ 40 ซงม 6 เปนตวประกอบมกจำานวน และมจำานวนใดบาง

4. จำานวนนบทอยระหวาง 10 - 99 ซงม 12 เปนตวประกอบมกจำานวน และมจำานวนใดบาง

1. จง

2.

3.

4.

2. จานวนเฉพาะ

ใหนกเรยนพจารณาตารางแสดงตวประกอบของจำานวนนบตงแต 1 ถง 12

เรยกจำ�นวนนบทมตวประกอบทแตกต�งกนเพยงสองตวว� จำ�นวนเฉพ�ะ

แบบตรวจสอบคว�มเข�ใจท 1.1

จำานวนนบทเปนตวประกอบของ 1 คอ 1 จำานวนนบทเปนตวประกอบของ 4 คอ 1, 2, 4

จำานวนนบทเปนตวประกอบของ 2 คอ 1, 2 จำานวนนบทเปนตวประกอบของ 6 คอ 1, 2, 3, 6

จำานวนนบทเปนตวประกอบของ 3 คอ 1, 3 จำานวนนบทเปนตวประกอบของ 8 คอ 1, 2, 4, 8

จำานวนนบทเปนตวประกอบของ 5 คอ 1, 5 จำานวนนบทเปนตวประกอบของ 9 คอ 1, 3, 9

จำานวนนบทเปนตวประกอบของ 7 คอ 1, 7 จำานวนนบทเปนตวประกอบของ 10 คอ 1, 2, 5, 10

จำานวนนบทเปนตวประกอบของ 11 คอ 1, 11 จำานวนนบทเปนตวประกอบของ 12

คอ 1, 2, 3, 4, 6, 12

จากตารางแสดงตวประกอบขางตน จะเหนวา

1 มตวประกอบทเปนจำานวนนบเพยง 1 ตว คอ 1

1 เปนตวประกอบของจำานวนนบทกจำานวน

2, 3, 5, 7, 11 มตวประกอบทเปนจำานวนนบทแตกตางกนเพยงสองตว คอ 1 และจำานวนนนเอง

เราเรยก 2, 3, 5, 7, 11 และจำานวนนบทมลกษณะดงกลาววาเปนจำ�นวนเฉพ�ะ

4, 6, 8, 9, 10, 12 มตวประกอบทเปนจำานวนนบทแตกตางกนมากกวาสองตว

ดงนน 1, 4, 6, 8, 9, 10, 12 ไมเปนจำานวนเฉพาะ

March 9, 2015 1:26 PM

4

วธท 2 หาจำานวนนบสองจำานวนทคณกนได15

เนองจาก15หารดวย1 ไดผลหารเปน15 เหลอเศษเปน0 เราสามารถ

เขยนความสมพนธไดวา15=1×15ซงแสดงวา15หารดวย1ลงตวและ15หารดวย

15ลงตวดวยเราจงสามารถหาตวประกอบของ15ไดโดยพจารณาจากการคณของ

จำานวนนบทมผลคณเปน15

15=1×15จะได1และ15เปนตวประกอบของ15

15=3×5จะได3และ5เปนตวประกอบของ15

เนองจากจำานวนทนอยกวาครงหนงของ15ทเหลอคอ2,4,6และ7ไมใช

ตวประกอบของ15และจำานวนคไมมตวประกอบเปนจำานวนค

ดงนนตวประกอบทงหมดของ15คอ1, 3, 5 และ 15

จงหาตวประกอบทงหมดของ385

เนองจาก 385=1×385

385=5×77

385=7×55

385=11×35

เนองจากจำานวนทนอยกวาครงหนงของ385ทเหลออนๆคอจำานวนคตงแต2ถง192

และจำานวนคอนๆทไมไดกลาวมาขางตนไดแก3,9,13,...,191ไมใชตวประกอบของ385

ดงนนตวประกอบทงหมดของ385คอ1, 5, 7, 11, 35, 55, 77และ385

จากตวอยางท2สามารถอธบายโดยใชแผนภาพการจบคจำานวนสองจำานวนทคณกนได

385ดงน

จากแผนภาพจะเหนวาจำานวนนบทอยระหวาง11กบ35ไมมจำานวนคใดทคณกนได

385อก

ดงนนตวประกอบของ385มทงหมด8จำานวนคอ1,5,7,11,35,55,77และ385

ตวประกอบของ 385

1และ385

5และ77

7และ55

11และ35

วธทำ�

ตวอยางท

2

ตอบ

15711355577385

7

จากการเขยน 12 ในรปการคณของตวประกอบในขอ 4) จะเหนวานอกจากจะเปน

การเขยน 12 ในรปการคณของตวประกอบแลว ยงเปนการเขยน 12 ในรปการคณของ

ตวประกอบเฉพาะอกดวย เราเรยกการเขยนในลกษณะน�วา การแยกตวประกอบของ 12

จงแยกตวประกอบของ 120

วธท 1 ใชแผนภาพตนไม

ดงนน 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5

วธท 2 ใชการหาร

2 120

2 60

2 30

3 15

5

ดงนน 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5

หรอ

2

3120

30

2

5

610

124

3

2

5120

22

2

4

การแยกตวประกอบของจานวนนบใดๆ สามารถทาไดหลายวธ ดงตวอยางตอไปน�

à¹×èͧ¨Ò¡ ¡ÒÃᡵÑÇ»ÃСͺ¢Í§ 120໚¹¡ÒÃà¢Õ¹ 120 ã¹ÃÙ»¡Òäٳ¢Í§µÑÇ»ÃСͺ੾Òдѧ¹Ñé¹ ¨íҹǹ·ÕèËÒà 120 ŧµÑÇáÅÐ໚¹¨íҹǹ੾ÒÐ

¤×Í 2, 3 áÅÐ 5

การแยกตวประกอบของจานวนนบใดๆ

เปนการเขยนจานวนนบนนในรปการคณของตวประกอบเฉพาะ

วธทา

ตวอยางท

1

ตอบ

March 9, 2015 1:26 PM

6

3. การแยกตวประกอบ

นกเรยนจะเหนวา ตวประกอบของ 12 ไดแก 1, 2,

3, 4, 6 และ 12 ในบรรดาตวประกอบของ 12 จะม 2 และ 3

ซ�งเปนจานวนเฉพาะ

เรยก 2 และ 3 วาเปนตวประกอบเฉพาะของ 12

พจารณาการเขยน 12 ในรปการคณของตวประกอบ จะพบวา สามารถเขยนได

หลายวธดงน�

1) 12 = 1 × 12 2) 12 = 2 × 6

3) 12 = 3 × 4 4) 12 = 2 × 2 × 3

©Ñ¹äÁ‹ 㪋¨íҹǹ੾ÒÐ

ᵋ©Ñ¹à»š¹¨íҹǹ੾ÒÐ

1. จานวนนบทเปนจานวนเฉพาะซงเปนจานวนคมกจานวน จานวนใดบาง

2. จงหาจานวนเฉพาะทงหมดทอยระหวาง 26 กบ 50

3. จงเขยนจานวนเฉพาะทนอยทสด ซงมากกวาจานวนตอไปน

1) 10 2) 20 3) 30 4) 40

4. จงเขยนจานวนเฉพาะทมากทสด ซ�งนอยกวาจานวนตอไปน�

1) 10 2) 20 3) 30 4) 40

5. จงหาจานวนเฉพาะทงหมดทอยระหวาง 1 ถง 50

1.

2.

3.

4. จง

5.คณตคดสนก

จานวนใดทขาดหายไปจากหวงโซ

37 5

9

7

11

9

11

15

?

เรยกตวประกอบทเปนจานวนเฉพาะวา ตวประกอบเฉพาะ

แบบตรวจสอบความเขาใจท 1.2

11

44

22

8

8

9

9

6

48

48

36

6

24

2436

3

1

4

2

63

3 12

12

12

18

16

16

18

เรยกตวประกอบรวมทมากทสด หรอตวหารรวมทมากทสดของ12 และ18 วา

ตวหารรวมมากของ12และ18ซงเขยนยอๆวาห.ร.ม.ของ12และ18จงกลาวไดวา6เปน

ห.ร.ม.ของ12และ18

อธบายดวยแผนภาพไดดงน

หาตวหารรวมมากของ36และ48ดวยแผนภาพ

จ�านวนนบทหาร12ลงตว

จ�านวนนบทหาร36ลงตว

ตวหารรวมของ12และ18

ตวประกอบรวมของ36และ48

ตวหารรวมทมากทสดคอ6ดงนนห.ร.ม.ของ12และ18คอ6

ตวหารรวมทมากทสดคอ12ดงนนห.ร.ม.ของ36และ48คอ12

จ�านวนนบทหาร18ลงตว

จ�านวนนบทหาร48ลงตว

ตวอยางท

วธทำ�

1

9

ตอบ

แยกตวประกอบของ693

3693

3 231

7 77

11

ดงนน693=3 × 3 × 7 × 11

1. จงแยกตวประกอบของจ�านวนในแตละขอตอไปน

1)63 2)81 3)105 4)125 5) 145

6)189 7)315 8)1,183 9)1,260 10) 2,572

2. จงหาจ�านวนนบทมหนงหลก ซงเมอแยกตวประกอบแลวจะไดตวประกอบเฉพาะไมซ�ากน

2จ�านวน

1.

2.

4. ตวหารรวมมาก (ห.ร.ม.) และการนาไปใช

ถานกเรยนมเชอกอย3เสนยาว84,108และ156เมตรตามล�าดบและตองการ

ตดเชอกแตละเสนเปนเสนสนๆ ใหเชอกแตละเสนทตดนนยาวเทาๆ กน และยาวมากทสดเทาท

จะยาวไดนกเรยนจะทราบไดอยางไรวาเชอกทตดแลวนนจะยาวทสดเสนละกเมตร

ในทางคณตศาสตรเราตอบค�าถามนไดอยางรวดเรวโดยใชความรเรองห.ร.ม.นกเรยน

อยากรจกห.ร.ม.หรอไม

พจารณา จ�านวนนบทกจ�านวนทหาร12ลงตวคอ1,2,3,4,6และ12

จ�านวนนบทกจ�านวนทหาร18ลงตวคอ1,2,3,6,9และ18

เรยก1,2,3และ6วาตวประกอบรวมหรอตวหารรวมของ12และ18

ในบรรดาตวหารรวมของ12และ18จะเหนวา6 เปนตวประกอบรวมทมากทสด

หรอตวหารรวมทมากทสด

พจารณา จ�านวนนบทกจ�านวนทหาร12ลงตวคอ1,2,2,3,3,4,64,6และ12

จ�านวนนบทกจ�านวนทหาร18ลงตวคอ1,2,2,3,3,6,6,9และ18

เรยก1,2,2,33และ6และ6วา

ในบรรดาตวหารรวมของ12และ18จะเหนวา6 เปนตวประกอบรวมทมากทสด

ใหŒนกเรยนลÍงใªŒวÔ¸แ¼นÀา¾ตŒนäÁŒแยกตว»ระกͺ

¢Íง 693

ตวอยางท

วธทำ�

2

8

แบบตรวจสอบความเขาใจท 1.3

ตอบ

ตวอยางท

ตวอยางท

วธทำ�

วธทำ�

5

จากการแยกตวประกอบของ56,84และ140จะไดตวหารรวมมากของ56,

84และ140คอ2×2×7ซงเทากบ28

ดงนนห.ร.ม.ของ56,84และ140คอ28

จงหาห.ร.ม.ของ8และ15

8 = 2×2×2

15 = 3×5

จากการแยกตวประกอบ จะเหนวา ไมมจ�านวนเฉพาะทเปนตวหารรวม

ของ8และ15แตเนองจาก1เปนตวหารรวมของจ�านวนนบทกจ�านวน

ดงนนห.ร.ม.ของ8และ15คอ1

จงหาห.ร.ม.ของ20,21และ27

20 = 2×2×5

21 = 3× 7

27 = 3×3×3

จากการแยกตวประกอบ จะเหนวา ไมมจ�านวนเฉพาะทเปนตวหารรวม

ของ20,21และ27แตเนองจาก1เปนตวหารรวมของจ�านวนนบทกจ�านวน

ดงนนห.ร.ม.ของ20,21และ27คอ1

4.3การหาห.ร.ม.โดยวธหารสน

การหาห.ร.ม.โดยวธหารสนของจ�านวนนบตงแตสองจ�านวนขนไปมวธการดงน

ขนท 1 เขยนจ�านวนนบทกจ�านวนทก�าหนดใหในแถวทหนง

ขนท 2 น�าจ�านวนเฉพาะทเปนตวประกอบรวมของจ�านวนนบทกจ�านวน หาร

จ�านวนนบเหลานน แลวเขยนผลลพธในแถวทสอง ท�าเชนนไปเรอยๆ

จนกระทงไมสามารถหาจ�านวนเฉพาะใดๆ มาหารผลหารทกจ�านวนนน

ไดลงตวอกแลว

จะไดวา ห.ร.ม. ของจ�านวนนบทก�าหนดให คอ ผลคณของจ�านวนเฉพาะทเปน

ตวหารทกตว

กรณทไมสามารถหาจ�านวนเฉพาะมาหารไดลงตว แต1 เปนตวหารรวมของ

จ�านวนนบทกจ�านวนดงนน1จงเปนตวหารรวมมากของจ�านวนนบทก�าหนดให

6

11

ตอบ

ตอบ

ตอบ

หาห.ร.ม.ของ18และ24

จ�านวนนบทกจ�านวนทหาร18ลงตวคอ1,2,3,6,9และ18

จ�านวนนบทกจ�านวนทหาร24ลงตวคอ1,2,3,4,6,8,12,และ24

ตวหารรวมของ18และ24คอ1,2,3และ6

ตวหารรวมมากของ18และ24คอ6

ดงนนห.ร.ม.ของ18และ24คอ6

4.2การหาห.ร.ม.โดยการแยกตวประกอบ เราสามารถหาห.ร.ม.ของจ�านวนนบตงแตสองจ�านวนขนไปทตองการโดยการ

แยกตวประกอบของจ�านวนนบแตละจ�านวนซงห.ร.ม.หาไดจากผลคณของจ�านวนเฉพาะทเปน

ตวอยางท

วธทำ�

3

ตวอยางท

วธทำ�

4

เนองจากการหา ห.ร.ม. ของจ�านวนนบตงแตสองจ�านวนขนไป เปนการหา

ตวหารรวมมากของจ�านวนนบเหลานนเราจะใชการหาตวหารรวมในการหาห.ร.ม.ของจ�านวนนบ

โดยวธตางๆดงน

4.1การหาห.ร.ม.โดยการพจารณาตวหารรวม เราสามารถหาห.ร.ม.ของจ�านวนนบตงแตสองจ�านวนขนไปทตองการโดยเลอก

จ�านวนนบทมากทสดทหารจ�านวนทก�าหนดใหทงหมดลงตวดงตวอยางตอไปน

ตวอยางท

วธทำ�

2

ตวประกอบรวมหรอตวหารรวมของจ�านวนเหลานนดงตวอยางตอไปน

จงหาห.ร.ม.ของ18และ24

18 = 2×3×3

24 = 2×2×2×3

จากการแยกตวประกอบของ18 และ24 จะไดตวหารรวมมากของ18

และ24คอ2×3ซงเทากบ6

ดงนนห.ร.ม.ของ18และ24คอ6

จงหาห.ร.ม.ของ56,84และ140

56 = 2×2×2 × 7

84 = 2×2×3 × 7

140 = 2×2×5 × 7

10

ตอบ

ตอบ

ขนท 2 น�า150 ซงเปนจ�านวนทมคานอยกวา ไปหาร675 ซงเปนจ�านวน

ทมคามากกวาและเขยนผลหารและเศษในรปแบบตอไปน

150 675 4 ผลหาร

600

75 เศษ

ขนท 3 น�า75ซงเปนเศษทไดจากขนท2ไปหาร150ซงเปนตวหารในขนท2

และเขยนผลหารและเศษในรปแบบตอไปน

ผลหาร 2 150 675 4

150 600

เศษ 0 75

ขนท 4 จากขนท3พบวาเศษเหลอจากการหารเปน0

แสดงวา75หาร150ลงตว

และจะเหนวา75หาร675ลงตวเชนกน

จะไดวา ห.ร.ม. ของจ�านวนนบทงสองเปนจ�านวนนบตวสดทายทน�าไป

หาร150ไดลงตวซงในทนคอ75

ดงนนห.ร.ม.ของ150และ675คอ75

จงหาห.ร.ม.ของ70,105และ150โดยใชขนตอนวธการหาร

น�า70กบ105มาหาห.ร.ม.กอนดงน

2 70 105 1

70 70

0 35

จะไดวาห.ร.ม.ของ70กบ105คอ35

น�า35และ150มาหาห.ร.ม.ตอดงน

วธทำ�

675 = 75 × 9แสดงวา 75 หาร 675

ลงตว

13

ตวอยางท

10

March 6, 2015 9:40 AM

พจารณาการหาห.ร.ม.โดยวธการหารสนในตวอยางตอไปน

จงหาห.ร.ม.ของ18และ24โดยวธหารสน

2 18 24

3 9 12

3 4

2× 3 = 6

ดงนนตวหารรวมมากคอ2×3เทากบ6

นนคอห.ร.ม.ของ18และ24คอ6

จงหาห.ร.ม.ของ18,36และ54โดยวธหารสน

2 18 36 54

3 9 18 27

3 3 6 9

1 2 3

2× 3 ×3=18

ดงนนตวหารรวมมากคอ2× 3 ×3เทากบ18

นนคอห.ร.ม.ของ18,36และ54คอ18

จงหาห.ร.ม.ของ28,30และ45

พจารณาจ�านวนนบ28,30 และ45พบวาไมมจ�านวนเฉพาะใดทหารทง

สามจ�านวนลงตว

ดงนนห.ร.ม.ของ28,30และ45คอ1

4.4การหาห.ร.ม.โดยใชขนตอนวธการหาร

ขนตอนของการหาห.ร.ม.โดยขนตอนวธการหารมวธการดงน

ถาตองการหาห.ร.ม.ของ150และ675

ขนท 1เขยนจ�านวนนบสองจ�านวนในรปแบบตอไปน

150 675

3,4ไมมตวประกอบรวมทเปนจ�ำนวนเฉพำะอก

1,2,3ไมมตวประกอบรวมทเปนจ�ำนวนเฉพำะอก

วธทำ�

วธทำ�

วธทำ�

12

ตวอยางท

7

ตวอยางท

8

ตวอยางท

9

ตอบ

ตอบ

ตอบ

จะไดวา ห.ร.ม. ของ 15 กบ 70 คอ 5

ดงนน ห.ร.ม. ของ 70, 105 และ 150 คอ 5

การนาความรเกยวกบ ห.ร.ม. ไปใช

ความรเกยวกบ ห.ร.ม. สามารถนาไปประยกตใชกบโจทยปญหาทเกยวของกบการหาร

ซงตองการทราบจานวนทมากทสด ดงตวอยางตอไปน

ลงสมานมเชอกอย 3 เสน ยาว 84, 108 และ 156 เมตร ตามลาดบ ตองการตดเชอก

แตละเสนเปนเสนสนๆ ใหเชอกแตละเสนทตดนนยาวเทาๆ กน และยาวมากทสด

เทาทจะยาวได จะไดเชอกยาวเสนละกเมตร และไดเชอกกเสน

ความยาวของเชอกเสนสนๆ ทยาวเทากนและยาวมากทสด หาไดจากการหา

จานวนนบทมากทสด ทนาไปหาร 84, 108 และ 156 ลงตว

โดยหา ห.ร.ม. ของ 84, 108 และ 156

2 84 108 156

2 42 54 78

3 21 27 39

7 9 13

ห.ร.ม. ของ 84, 108 และ 156 คอ 2 × 2 × 3 เทากบ 12

หมายความวาจะไดเชอกทตดแลวยาวทสดเสนละ 12 เมตร

เชอกเสนแรกยาว 84 เมตร ตดได 8412

เทากบ 7 เสน

เชอกเสนทสองยาว 108 เมตร ตดได 10812

เทากบ 9 เสน

เชอกเสนทสามยาว 156 เมตร ตดได 15612

เทากบ 13 เสน

จะไดเชอกทงหมด 7 + 9 + 13 = 29 เสน

ดงนน เชอกยาวเสนละ 12 เมตร และไดเชอก 29 เสน

วธทา

ตวอยางท

11

15

ตอบ

ตอบ

3 35 150 4

30 140

5 10 2

10

0

จะไดวาห.ร.ม.ของ35กบ150คอ5

ดงนนห.ร.ม.ของ70,105และ150คอ5

การหา ห.ร.ม. ของ70,105 และ150 ทแสดงวธท�าไปแลวน นกเรยนจะเหนวา

เราหาห.ร.ม.ของ70และ105กอนจะไดวาห.ร.ม.คอ35แลวจงน�าจ�านวนทเหลอคอ150

และ35 ไปหา ห.ร.ม. อกครงหนง นกเรยนสามารถหา ห.ร.ม. ของจ�านวนสองจ�านวนใดๆ

กอนกไดจาก70,105 และ150 แลวจงน�าจ�านวนทเหลอกบ ห.ร.ม. ทหามาไดไปหา ห.ร.ม.

อกครงหนงกจะไดห.ร.ม.ของ70,105และ150ดงน

น�า105กบ150มาหาห.ร.ม.กอนดงน

2 105 150 1

90 105

15 45 3

45

0

จะไดวาห.ร.ม.ของ105กบ150คอ15

ขนตอไปน�า15กบ70มาหาห.ร.ม.อกครงหนง

1 15 70 4

10 60

5 10 2

10

0

14

ตอบ

3 140 180 1

120 140

20 40 2

40

0

จะไดวา ห.ร.ม. ของ 140 และ 180 คอ 20

ตองตดกระดาษแผนนความยาวดานละ 20 เซนตเมตร หรอ 20100

= 0.2 เมตร

กระดาษความกวาง 140 เซนตเมตร ตดได 14020

= 7 สวน

กระดาษความยาว 180 เซนตเมตร ตดได 18020

= 9 สวน

ตดกระดาษได 7 × 9 = 63 แผน

ดงนน ยอดหญงจะตดกระดาษยาวดานละ 0.2 เมตร

และไดกระดาษทงหมด 63 แผน

จงทา 120135

ใหเปนเศษสวนอยางตา

การทา 120135

ใหเปนเศษสวนอยางตา สามารถทาไดโดยการนา ห.ร.ม.

ของ 120 และ 135 มาหารทงตวเศษ และตวสวน

หา ห.ร.ม. ของ 120 และ 135 ไดดงน

8 120 135 1

120 120

0 15

ห.ร.ม. ของ 120 และ 135 คอ 15

ดงนน 120135

= 120 ÷ 15135 ÷ 15

= 89

วธทา

ตวอยางท

14

อาจทาไดอกวธหนง ดงน

= 120 ÷ 5135 ÷ 5

= 2427

= 24 ÷ 327 ÷ 3

= 89

120135

1. จงหา ห.ร.ม. ของจานวนตอไปน

1) 27 และ 36 2) 16, 72 และ 104

3) 16, 24 และ 32 4) 12, 42 และ 72

5) 108, 216 และ 621 6) 35, 245 และ 420

1.

17

ตอบ

แบบตรวจสอบความเขาใจท 1.4

March 9, 2015 2:22 PM

สมหมายเลยงหม 38 ตว ไก 86 ตว และวว 122 ตว เขาตองการแบง หม ไก และวว

เปนกลม กลมละเทาๆ กน ใหแตละกลมมจ�านวนสตวมากทสดและเปนสตวชนดเดยวกน

โดยทเมอแบงแลวจะตองเหลอสตวส�ารองไวชนดละ 2 ตว เขาจะแบงสตวไดทงหมด

กกลม กลมละกตว

เนองจากตองการหาจ�านวนนบทมากทสดทหาร 38, 86 และ 122 แลวจะ

เหลอเศษ 2 เทากน ซงหมายถงการหาจ�านวนนบทมากทสดทหาร 38 - 2,

86 - 2 และ 122 - 2 ลงตว หรอจ�านวนนบทมากทสดทหาร 36, 84 และ

120 ลงตว

โดยหา ห.ร.ม. ของ 36, 84 และ 120

2 36 84 120

2 18 42 60

3 9 21 30

3 7 10

ห.ร.ม. ของ 36, 84 และ 120 คอ 2 × 2 × 3 = 12

แสดงวา เขาจะตองแบงสตวแตละชนดเปนกลม กลมละ 12 ตว

จ�านวนกลมของสตวทแบงไดเทากบ (36 ÷ 12) + (84 ÷ 12) + (120 ÷ 12)

= 3 + 7 + 10

= 20 กลม

ดงนน สมหมายแบงสตวไดทงหมด 20 กลม กลมละ 12 ตว

กระดาษรปสเหลยมมมฉากแผนหนงมความกวาง 1.4 เมตร และความยาว 1.8 เมตร

ถายอดหญงตองการตดกระดาษแผนนเปนรปสเหลยมจตรสมพนทมากทสด และไมให

เหลอเศษ จะตดกระดาษความยาวดานละกเมตร และไดกระดาษกแผน

กระดาษ กวาง 1.4 เมตร = 140 เซนตเมตร

ยาว 1.8 เมตร = 180 เซนตเมตร

ยอดหญงตองการตดกระดาษเปนรปสเหลยมจตรสทมพนทมากทสด

และไมใหเหลอเศษ

โดยหา ห.ร.ม. ของ 140 และ 180

วธทำ�

วธทำ�

ตวอยางท

12

ตวอยางท

13

16

ตอบ

วชยมแกวอยจ�ำนวนหนง เขำตองกำรน�ำแกวทมอยทงหมดบรรจลงในกลอง ซงม

สำมขนำด โดยทกลองขนำดเลกบรรจแกวได4 ใบ กลองขนำดกลำงบรรจแกวได6 ใบ และ

กลองขนำดใหญบรรจแกวได8 ใบ ไมวำจะเลอกใชกลองขนำดใดกตำม เพยงขนำดเดยวก

สำมำรถบรรจแกวทมอยไดเตมกลอง

จำกขอควำมขำงตนนกเรยนทรำบหรอไมวำวชยมแกวอยำงนอยทสดกใบ

กำรใชควำมรเรองค.ร.น.จะชวยใหนกเรยนหำจ�ำนวนแกวนไดดงน

จ�ำนวนนบทเปนพหคณของ4ไดแก4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,...

จ�ำนวนนบทเปนพหคณของ6ไดแก6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,...

จ�ำนวนนบทเปนพหคณของ8ไดแก8,16,24,32,40,48,56,64,...

จะเหนวำ มจ�ำนวนนบทเปนพหคณของ4,6 และ8 บำงจ�ำนวนซ�ำกน ไดแก24,

48,...

เรยก24,48,...วำพหคณรวมของ4,6และ8

เรยก24วำพหคณรวมทนอยทสดของ4,6และ8

หรอเรยก24วำตวคณรวมนอย(ค.ร.น.)ของ4,6และ8

ซงกลำวไดวำค.ร.น.ของ4,6และ8คอ24

นนคอจำกขอควำมขำงตนวชยจะตองมแกวอยำงนอยทสด24ใบ

จงจะสำมำรถบรรจแกวทงหมดลงในกลองขนำด4,6หรอ8ใบไดพอด

จงหำจ�ำนวนนบทเปนพหคณรวมของ3และ5

จ�ำนวนนบทเปนพหคณของ3ไดแก3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,

33,36,39,42,45,...

จ�ำนวนนบทเปนพหคณของ5ไดแก5,10,15,20,25,30,35,40,45,...

ดงนนจ�ำนวนนบทเปนพหคณรวมของ3และ5ไดแก15, 30, 45, ...

จงหำตวคณรวมนอยของ4และ6

จ�ำนวนนบทเปนพหคณของ4ไดแก4,8,12,16,20,24,28,32,36,...

จ�ำนวนนบทเปนพหคณของ6ไดแก6,12,18,24,30,36,...

จ�ำนวนนบทเปนพหคณรวมของ4และ6ไดแก12,24,36,...

ดงนนตวคณรวมนอยของ4และ6เทำกบ12

วธทำ�

วธทำ�

ตวอยางท

1

ตวอยางท

2

“...” เปนสญลกษณแสดงวามจ�านวนอนๆ อก ทมความสมพนธ

ในลกษณะเดยวกน

19

ตอบ

ตอบ

2. จงหาจ�านวนทมากทสดทหาร218 และ371 แลวเหลอเศษ2 เทากน

3. กบมลกปดสแดง750เมดเกมลกปดสเขยว625เมดและกงมลกปดสเหลอง450เมด

ตองการแบงลกปดออกเปนกองกองละเทาๆกนใหแตละกองมจ�านวนลกปดมากทสดและ

ไมเหลอเศษ แตละกองเปนสเดยวกน จะแบงลกปดไดกกอง กองละกเมด

4. แมคามสมโชกน120 ผล สมบางมด150 ผล และสมโอ180 ผล ตองการแบงสมออก

เปนกองกองละเทาๆกนใหแตละกองมจ�านวนมากทสดและไมเหลอเศษแตละกองจะตอง

เปนสมชนดเดยวกน จะแบงสมไดทงหมดกกอง กองละกผล

5. สมชยตองการตดตงพดลมเพดานในหอประชม ซงมความกวาง16 เมตร ความยาว24

เมตร โดยใหพดลมแตละตวมระยะหางเทากน และตวทอยใกลฝาผนง มระยะหางจาก

ฝาผนงทใกลนนเทากบระยะหางจากพดลมตวอนๆ หาวา ตองใชพดลมอยางนอยกตว

6. ลงชายตองการลอมรวทดนรปสเหลยมผนผา ซงมความกวาง135 เมตร ความยาว216

เมตร โดยปกเสาตนทอยถดกนตามแนวรวใหมระยะหางเทากน ตองใชเสาอยางนอยทสด

กตน

7. แปลงปลกผกรปสามเหลยมแปลงหนง มความยาวดานเทากบ3.5,4.9 และ5.6 เมตร

ตองการปกเสาเพอท�ารวโดยปกเสาตนทอยถดกนตามแนวรวใหมระยะหางเทากนและหาง

มากทสด ใหหาวา

1) เสาแตละตนหางกนกเมตร 3) ดานทยาว3.5 เมตร ใชเสากตน

2) จะตองใชเสาทงหมดกตน 4) ดานทยาว5.6 เมตร ใชเสากตน

2.

3.

4.

5.

6.

7.

5. ตวคณรวมนอย (ค.ร.น.) และการนาไปใช

จากความรเรองตวประกอบของจ�านวนนบ เราทราบวา3 เปนตวประกอบของ9

และ4เปนตวประกอบของ12ในทางคณตศาสตรเรากลาววา

9 เปนพหคณของ3เพราะ9หารดวย 3ลงตว

12เปนพหคณของ4เพราะ12หารดวย 4ลงตว

จ�านวนนบทหารดวยจ�านวนนบทก�าหนดใหลงตว เรยกวา พหคณของจ�านวนนบท

ก�าหนดใหนนเชน

ก�าหนดจ�านวนนบคอ3จ�านวนนบทเปนพหคณของ3ไดแก3,6,9,12,15,18,...

ก�าหนดจ�านวนนบคอ4จ�านวนนบทเปนพหคณของ4ไดแก4,8,12,16,20,24,...

ใหนกเรยนพจารณาขอความตอไปน

18

21

5.2การหาค.ร.น.โดยการแยกตวประกอบ การหา ค.ร.น. โดยการแยกตวประกอบ มขนตอนดงน

ขนท 1 แยกตวประกอบของแตละจ�านวนทโจทยก�าหนด

ขนท 2 เลอกจ�านวนเฉพาะทเปนตวประกอบรวมของทกจ�านวน หรอเปน

ตวประกอบรวมของอยางนอยสองจ�านวนในแตละชด

ขนท 3 หา ค.ร.น. โดยการหาผลคณของจ�านวนเฉพาะทเลอกในขนท 2 และ

จ�านวนเฉพาะทเหลออยทงหมด

จงหา ค.ร.น. ของ 12 และ 30

แยกตวประกอบของ 12 และ 30 ไดดงน

12 = 2 × 2 × 3 12 = 2 × 2 × 3

30 = 2 × 3 × 5 30 = 2 × 3 × 5

2 × 3 × 5 × 2

จากการแยกตวประกอบของ 12 และ 30 จะเหนวาพหคณรวมทนอยทสด

ของ 12 และ 30 คอ 2 × 3 × 5 × 2 เทากบ 60

ดงนน ค.ร.น. ของ 12 และ 30 เทากบ 60

เราสามารถน�าวธการหา ค.ร.น. ของจ�านวนนบสองจ�านวนไปใชหา ค.ร.น. ของ

จ�านวนนบทมากกวาสองจ�านวนได ดงตวอยางตอไปน

จงหา ค.ร.น. ของ 12, 60 และ 45

12 = 2 × 2 × 3

60 = 2 × 2 × 3 × 5

45 = 3 × 3 × 5

นนคอ ค.ร.น. ของ 12, 60 และ 45 คอ 2 × 2 × 3 × 5 × 3

เทากบ 180

วธทำ�

วธทำ�

ตวอยางท

5

ตวอยางท

6

2 × 2 × 3 × 5 × 3

12 = 2 × 2 × 3 60 = 2 × 2 × 3 × 5 45 = 3 × 3 × 5

ตอบ

ตอบ

March 9, 2015 2:36 PM

จงหาพหคณรวมของ3,4และ6

จ�านวนนบทเปนพหคณของ3ไดแก 3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,...

จ�านวนนบทเปนพหคณของ4ไดแก 4,8,12,16,20,24,28,32,36,...

จ�านวนนบทเปนพหคณของ6ไดแก 6,12,18,24,30,36,...

ดงนนจ�านวนนบทเปนพหคณรวมของ3,4และ6ไดแก12, 24, 36, ...

เนองจากการหาค.ร.น.ของจ�านวนนบตงแตสองจ�านวนขนไปเปนการหาพหคณรวม

ทนอยทสดของจ�านวนนบเหลานน เราจะใชการหาพหคณรวมในการหา ค.ร.น. ของจ�านวนนบ

โดยวธการตางๆดงน

5.1การหาค.ร.น.โดยการพจารณาพหคณ

การหาค.ร.น.โดยการพจารณาพหคณมขนตอนดงน

ขนท 1 หาจ�านวนนบทเปนพหคณของแตละจ�านวนทโจทยก�าหนด

ขนท 2 หาจ�านวนนบทเปนพหคณรวมของจ�านวนนบทโจทยก�าหนด

ขนท 3 หาพหคณรวมทนอยทสดของจ�านวนนบทเปนพหคณรวมทไดในขนท2

วธทำ�

วธทำ�

ตวอยางท

3

ตวอยางท

4 จงหาค.ร.น.ของ6และ8

จ�านวนนบทเปนพหคณของ6ไดแก6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,...

จ�านวนนบทเปนพหคณของ8ไดแก8,16,24,32,40,48,56,64,72,...

จ�านวนนบทเปนพหคณรวมของ6และ8ไดแก24,48,72,...

ดงนนค.ร.น.ของ6และ8เทากบ24

การหา ค.ร.น. ของจำานวนนบตงแตสองจำานวนขนไป

เปนการหาพหคณรวมทนอยทสดของจำานวนนบเหลานน

ตอบ

ตอบ

20

23

เนองจาก 1, 5 และ 3 ไมมตวประกอบรวมทเปนจ�านวนเฉพาะ จงยตการหาร

นนคอ ค.ร.น. ของ 12, 30 และ 36 หาไดจาก 2 × 3 × 2 × 5 × 3 ซงเทากบ

180

จงหา ค.ร.น. ของ 12, 30 และ 45

3 12 30 45

2 4 10 15

5 2 5 15

2 1 3

ค.ร.น. ของ 12, 30 และ 45 คอ 3 × 2 × 5 × 2 × 3 เทากบ 180

จงหา ค.ร.น. ของ 35, 245 และ 420

5 35 245 420

7 7 49 84

1 7 12

ค.ร.น. ของ 35, 245 และ 420 เทากบ 5 × 7 × 7 × 12 เทากบ 2,940

จงหา ค.ร.น. ของ 23, 39 และ 41

เนองจาก 23, 39 และ 41 ไมมตวประกอบรวมทเปนจ�านวนเฉพาะ

ดงนน ค.ร.น. ของ 23, 39 และ 41 คอ 23 × 39 × 41 เทากบ 36,777

วธทำ�

วธทำ�

วธทำ�

ตวอยางท

7

ตวอยางท

8

ตวอยางท

9

ตอบ

ตอบ

ตอบ

3 เปนตวประกอบรวมทเปนจ�ำนวนเฉพำะของทกจ�ำนวน

2 เปนตวประกอบรวมทเปนจ�ำนวนเฉพำะของ 4 และ 10

5 เปนตวประกอบรวมทเปนจ�ำนวนเฉพำะของทกจ�ำนวน

7 เปนตวประกอบรวมทเปนจ�ำนวนเฉพำะของทกจ�ำนวน

5 เปนตวประกอบรวมทเปนจ�ำนวนเฉพำะของ 5 และ 15

22

5.3การหาค.ร.น.โดยการตงหาร การหา ค.ร.น. โดยการตงหาร มขนตอนดงน

ขนท 1 เขยนจ�านวนนบทกจ�านวนทก�าหนดใหในบรรทดทหนง

ขนท 2 หาตวประกอบรวมทเปนจ�านวนเฉพาะของจ�านวนนบ ดงน

1) ถาจ�านวนนบทกจ�านวนมตวประกอบรวม ใหน�าตวประกอบรวมนน

หารจ�านวนนบเหลานน เขยนผลหารลงในบรรทดตอไป

2) ถามจ�านวนเฉพาะซงเปนตวประกอบรวมของจ�านวนบางจ�านวนใหน�า

ตวประกอบรวมนนหารและเขยนผลหารของจ�านวนนบทหารลงตว

ในบรรทดตอไป ส�าหรบจ�านวนนบทหารไมลงตวใหเขยนจ�านวนนบนน

ในบรรทดเดยวกน

ขนท 3 ด�าเนนการเชนเดยวกบขนท 2 ขอ 2) ไปเรอยๆ จนกวาจะไมสามารถ

หาตวประกอบรวมทเปนจ�านวนเฉพาะใดๆ ไดอก จงยตการหาร

ขนท 4 หา ค.ร.น. ของจ�านวนนบทก�าหนดให โดยหาผลคณของตวประกอบรวม

ทเปนจ�านวนเฉพาะทกจ�านวน และจ�านวนนบในบรรทดสดทาย

ถาตองการหา ค.ร.น. ของ 12, 30 และ 36

ขนท 1 เขยน 12, 30 และ 36 เรยงในบรรทดทหนง

ขนท 2 น�า 2 ซงเปนจ�านวนเฉพาะทเปนตวประกอบรวมของ 12, 30 และ 36

ไปหาร 12, 30 และ 36 ไดดงน

2 12 30 36

6 15 18

ขนท 3 น�า 3 ซงเปนจ�านวนเฉพาะทเปนตวประกอบรวมของ 6, 15 และ 18

ไปหาร 6, 15 และ 18 ไดดงน

2 12 30 36

3 6 15 18

2 5 6

ขนท 4 น�า 2 ซงเปนจ�านวนเฉพาะทเปนตวประกอบรวมของ 2 และ 6 ไปหาร

2, 5, 6

2 12 30 36

3 6 15 18

2 2 5 6

1 5 3

5 หารดวย 2 ไมลงตวจงเขยน 5 ซ�าอกครง

25

ความสมพนธระหวาง ห.ร.ม. และ ค.ร.น.

เมอกาหนดจานวนนบสองจานวน เราหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจานวนนบทงสองได

กาหนดจานวนนบสองจานวน คอ 12 และ 15

หา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ 12 และ 15 ไดดงน

12 = 2 × 2 × 3

15 = 3 × 5

ห.ร.ม. ของ 12 และ 15 คอ 3

ค.ร.น. ของ 12 และ 15 คอ 2 × 2 × 3 × 5 = 60

หาผลคณของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ 12 และ 15 ไดเทากบ 3 × 60 = 180

หาผลคณของจานวนนบทกาหนดให ไดเทากบ 12 × 15 = 180

จะไดผลคณของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ 12 และ 15 เทากบผลคณของ 12 และ 15

เพราะตางเทากบ 180

กาหนดจานวนนบสองจานวน คอ 18 และ 36

หา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ 18 และ 36 ไดดงน

18 = 2 × 3 × 3

36 = 2 × 2 × 3 × 3

ห.ร.ม. ของ 18 และ 36 คอ 2 × 3 × 3 = 18

ค.ร.น. ของ 18 และ 36 คอ 2 × 3 × 3 × 2 = 36

หาผลคณของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ 18 และ 36 ไดเทากบ 18 × 36 = 648

หาผลคณของจานวนนบทกาหนดให ไดเทากบ 18 × 36 = 648

จะไดผลคณของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ 18 และ 36 เทากบผลคณของ 18 และ 36

เพราะตางเทากบ 648

ผลคณของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจานวนนบสองจานวน

เทากบผลคณของจานวนนบทงสอง

March 9, 2015 2:47 PM

24

การนาความรเกยวกบ ค.ร.น. ไปใช

ความรเกยวกบ ค.ร.น. สามารถนาไปใชแกโจทยปญหาได ดงตวอยางตอไปน

จงหาจานวนนบทนอยทสดซงหารดวย 36, 54 และ 63 แลวเหลอเศษ 5 เทากน

จานวนนบทนอยทสด ซงหารดวย 36, 54 และ 63 แลวลงตว คอ ค.ร.น.

ของ 36, 54 และ 63 แตตองการหาจานวนนบทนอยทสดซงหารดวย 36, 54

และ 63 แลวเหลอเศษ 5 เทากน แสดงวาจานวนนบทตองการ ตองมากกวา

ค.ร.น. ของจานวนนบทงสามจานวนอก 5 จงหาไดจากการนา ค.ร.น. ของ

ทงสามจานวนบวกดวย 5

หา ค.ร.น. ของ 36, 54 และ 63 ไดดงน

3 36 54 63

3 12 18 21

2 4 6 7

2 3 7

ค.ร.น. ของ 36, 54 และ 63 คอ 3 × 3 × 2 × 2 × 3 × 7 = 756

ดงนน จานวนนบทนอยทสดซงหารดวย 36, 54 และ 63

แลวเหลอเศษ 5 เทากน คอ 756 + 5 = 761

ทาเรอโดยสารแหงหนงกาหนดเวลาปลอยเรอออกจากทาเรอ ดงน

เรอธรรมดาออกจากทาเรอทกๆ 15 นาท

เรอดวนออกจากทาเรอทกๆ 10 นาท

ถานายทาปลอยเรอทงสองประเภทออกจากทาเรอพรอมกนครงแรกแลว เวลาผานไป

อยางนอยทสด กนาท จงจะปลอยเรอทงสองประเภทออกจากทาเรอพรอมกนเปนครง

ทสอง

หาเวลาทนอยทสด โดยการหา ค.ร.น. ของ 10 และ 15

หา ค.ร.น. ของ 10 และ 15 ไดดงน

5 10 15 2 3

ค.ร.น. ของ 10 และ 15 คอ 5 × 2 × 3 = 30 ดงนน นายทาจะปลอยเรอทงสองประเภทออกจากทาเรอพรอมกนเปน

ครงทสอง เมอเวลาผานไป 30 นาท

วธทา

วธทา

ตวอยางท

10

ตวอยางท

11

ตอบ

ตอบ

27

1. จงหา ค.ร.น. ของจานวนนบตอไปน

1) 12 และ 18 2) 5, 12, 18 และ 20

3) 75, 135 และ 225 4) 140, 220 และ 385

5) 78, 302 และ 522 6) 81, 135 และ 243

2. กาหนดจานวนนบตอไปน

1) 7, 28 2) 12, 18

3) 12, 35 4) 96, 120

5) 136, 510 6) 128, 160

จงหา ก. ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจานวนในแตละขอ

ข. ผลคณของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจานวนในแตละขอ

ค. ผลคณของจานวนนบทกาหนดใหในแตละขอ เปรยบเทยบผลคณทไดนนกบผลลพธ

ทไดจากขอ ข. และเขยนผลสรปทได

3. จานวนนบสองจานวนม ค.ร.น. เปน 425 และ ห.ร.ม. เปน 5 ถาจานวนหนงเปน 25 แลว

ใหหาอกจานวนหนง

4. จานวนนบสองจานวนม ห.ร.ม. และ ค.ร.น. เทากบ 6 และ 540 ตามลาดบ ถาจานวนแรก

มคาเทากบ 54 ใหหาอกจานวนหนง

5. จงหาจานวนนบทนอยทสด ซงหารดวย 12, 30 และ 36 แลวเหลอเศษ 3 เทากน

6. รานขายขนมไทยแหงหนงรบขนมจากผผลตเปนงวดๆ ดงน รบขนมกลวยทก 2 วน รบขนม

ฟกทองทก 3 วน และรบขนมสอดไสทก 4 วน ขนมทเหลอของแตละวนจะไมนามาขายใหม

ถารานนรบขนมทงสามอยางนพรอมกน เมอวนท 22 ตลาคม 2552 ใหหาวาครงตอไป

1) รานนจะรบขนมฟกทองและขนมสอดไสมาขายพรอมกนเมอไร

2) รานนจะรบขนมทงสามอยางมาขายพรอมกนเมอไร

7. นาฬกาปลกสามเรอน เรอนแรกปลกทก 30 นาท เรอนทสองปลกทก 50 นาท เรอนทสาม

ปลกทก 1 ชวโมง ถานาฬกาปลกทงสามเรอนปลกพรอมกนครงแรกเวลา 15.00 น. ใหหาวา

นาฬกาจะปลกพรอมกนครงตอไปเวลาใด

1.

2.

3.

4.

5. จง

6.

7.

ใหเตมจานวนนบตงแต 1 ถง 7

ลงในวงกลมโดยใหจานวนในวงกลม

แตละวงรวมกนไดผลลพธเทากน

ทกวง จะทาไดกแบบ

คณตคดสนก

แบบตรวจสอบความเขาใจท 1.5

March 9, 2015 2:57 PM

26

ถาผลคณของจ�านวนนบสองจ�านวนเทากบ1,350และห.ร.ม.ของจ�านวนนบทงสอง

เปน15แลวจงหาค.ร.น.ของจ�านวนนบทงสองจ�านวน

ใหค.ร.น.ของจ�านวนนบทงสองเปนa

เนองจากผลคณของห.ร.ม.และค.ร.น.ของจ�านวนนบสองจ�านวนเทากบ

ผลคณของจ�านวนนบทงสอง

จะได 15×a = 1,350

15× a15

= 1,35015

a = 90

ดงนนค.ร.น.ของจ�านวนนบทงสองเปน90

ถา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจ�านวนนบสองจ�านวนเทากบ11 และ616 ตามล�าดบ

ถาจ�านวนหนงเปน77แลวอกจ�านวนหนงมคาเทาไร

ห.ร.ม.ของจ�านวนนบทงสองคอ11

ค.ร.น.ของจ�านวนนบทงสองคอ616

จ�านวนหนงคอ77

ใหอกจ�านวนหนงคอa

เนองจากผลคณของห.ร.ม.และค.ร.น.ของจ�านวนนบสองจ�านวนเทากบ

ผลคณของจ�านวนนบทงสอง

จะได 11×616 = 6,776

77×a = 6,776

77× a77

= 6,77677

a = 88

ดงนนจ�านวนนบอกจ�านวนหนงคอ88

วธทำ�

วธทำ�

ตวอยางท

12

ตวอยางท

13

เปดโลกคณตศาสตร

พจารณาผลคณจากการคณกนของจำานวนทางดานขวามอ

นกเรยนสามารถบอกผลคณของจำานวนทเหลอไดหรอไม

ทมา:HougtonMiffin.TheMathematicsExperience.

11 × 11 = 121 111 × 111 = 12,321 1,111 × 1,111 = 1,234,321 11,111 × 11,111 = ? 111,111 × 111,111 = ?

ตอบ

ตอบ

29

(มความสามารถในการแกปญหา การนาเสนอ การเชอมโยงความรตางๆ ทางคณตศาสตร)

กจกรรมท1

คณครทวทปรกษาชมรมโลกคณตศาสตร ตองการตดกระดาษรปสเหลยมจตรส เพอ

ท�าบตรเลขโดด 0 ถง 9 ไวใชในกจกรรมตางๆ คณครจงใหนกเรยนในชมรมชวยกนท�า คณคร

ไดน�ากระดาษขนาดกวาง 21 เซนตเมตร ยาว 28 เซนตเมตร จ�านวน 5 แผน มาใหนกเรยน

ในชมรมชวยกนตด และบอกนกเรยนวาใหตดกระดาษแตละแผนใหไดรปสเหลยมจตรสขนาด

เทาๆ กน ทมขนาดใหญทสด และตดแบงไดพอดโดยไมเหลอเศษ

ถานกเรยนเปนสมาชกของชมรมโลกคณตศาสตรทตองชวยคณครทว รปสเหลยม

จตรสทนกเรยนตดได จะมขนาดกเซนตเมตร และจะท�าบตรเลขโดด 0 ถง 9 ไดทงหมดกชด

กจกรรมท2

หมบานกลเจรญจะจดงานปใหม มการประดบไฟกะพรบตามตนไมตนละสรอบ

หมบาน ไฟกะพรบมสแดง สน�าเงน สชมพ และสเหลอง ไฟแตละสกะพรบทก 2, 4, 6

และ 8 วนาท ตามล�าดบ ถาเรมเปดไฟเวลา 18.30 น. ไฟทงสสจะกะพรบพรอมกนครงแรก

เวลาใด

กจกรรมเสรมทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตรเสรมทกษะเชงเทคโนโลย

28

นกเรยนทราบมาแลววา ผลคณของ ห.ร.ม และ ค.ร.น. ของจ�านวนนบสองจ�านวน

เทากบผลคณของจ�านวนนบทงสอง

ใหนกเรยนหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจ�านวนนบในแตละขอตอไปน แลวใช

เครองค�านวณตรวจสอบวา ผลคณของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. เทากบผลคณของจ�านวน

สองจ�านวนนนหรอไม

จำานวนนบ ห.ร.ม. ค.ร.น. ห.ร.ม.×ค.ร.น.ผลคณของ

จำานวนสองจำานวน

42, 75

56, 84

54, 63

112, 208

517, 611

แบบฝกหดประจำาหนวยการเรยนรท 1

30

1. ใหหาตวประกอบของจ�านวนนบตอไปน

1) 24 2) 60 3) 125 4) 185

2. ใหแยกตวประกอบของจ�านวนนบตอไปน

1) 1,573 2) 1,859 3) 1,960 4) 2,057

3. ใหหาตวประกอบเฉพาะของ 72

4. ใหหา ห.ร.ม. ของ 234, 312 และ 429

5. ใหหา ค.ร.น. ของ 72, 96 และ 124

6. ใหหาจ�านวนนบทมากทสด เมอน�าไปหารตวเศษและตวสวนของ 113791

แลวท�าให 113791

เปน

เศษสวนอยางต�า

7. ค.ร.น. และ ห.ร.ม. ของ 108, 720 และ 864 ตางกนเทาไร

8. ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจ�านวนนบสองจ�านวนเทากบ 4 และ 252 ตามล�าดบ ถาจ�านวนหนง

เปน 36 แลวอกจ�านวนหนงมคาเทาไร

9. จงหาจ�านวนนบทมากทสดทหาร 88, 139 และ 190 แลวเหลอเศษ 3 เทากน

10. จงหาจ�านวนนบทนอยทสด ซงหารดวย 24, 60 และ 120 แลวเหลอเศษ 13 เทากน

11. โอคมแกวขนาดเลก 168 ใบ ขนาดกลาง 264 ใบ และขนาดใหญ 312 ใบ ตองการบรรจลง

กลอง กลองละเทาๆ กน แตละกลองเปนแกวขนาดเดยวกน โดยจดแบงไดพอด จะแบงได

มากทสดกลองละกใบ และแบงไดทงหมดกกลอง

12. ทดนรปสเหลยมผนผาแปลงหนง กวาง 18 เมตร ยาว 30 เมตร ตองการปกเสาเพอท�ารว

โดยใหระยะหางระหวางเสาทอยถดกนมระยะหางระหวางเสาเทากน และมระยะหางมากทสด

เทาทจะแบงใหพอดได จงหาวา เสาแตละตนหางกนกเมตร และใชเสาทงหมดกตน

13. กระดาษรปสเหลยมผนผาแผนหนงกวาง 18 เซนตเมตร ยาว 60 เซนตเมตร ตองการตดออก

เปนรปสเหลยมจตรสทมขนาดใหญทสด โดยตดแบงไดพอด จะตดไดกแผน และแตละแผน

ยาวกเซนตเมตร

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.