Parametarska sinteza regulatora(izbor parametara)

bull Ponašanje sistema zavisi od strukture regulatora i od vrednosti parametara

bull Struktura regulatora se bira u zavisnosti od strukture objekta (astatizmi)

bull Za određenu strukturu potrebno je odabrati odgovarajuće vrednosti parametara

bull Parametri sistema su nepromenljivi

bull Biramo vrednosti parametara regulatora

KompenzacijaPosmatrajmo objekat upravljanja sa prenosnom funkcijom

Regulator

( )1

OO

O

KF p

p T

( ) 1K KF p p T

1( ) ( )

1K

K O O OO

p TF p F p K K

p T

uy(t)

t

Kašnjenje

Idealni kompenzator

FO(p)y

FK(p) ( ) ( )Oy t K u t

K OT T

Kompenzacija sa PD regulatorom

Regulator ( ) (1 )R R dF p K p T

( ) ( ) ( ) (1 )1

OR O R d

O

KF p F p F p K p T

p T

OR KKpF )(

za 0t p lim ( ) dR O

pO

Tp F p K K

T

za 0t p 0

lim ( ) R Op

p F p K K

y(t)

t

y(t)

t

y(t)

t

Td gt TO

TO

Td = TO

O

dR O

TK K

T

TO

Td lt TO dR O

O

TK K

T

R OK K R OK K R OK K

d OT T

Kompenzacija sa PI regulatorom

Regulatorn

nRR Tp

TpKpF

1

)(

1 1( ) ( ) ( )

1 1n O R O n

R O Rn O n O

p T K K K p TF p F p F p K

p T p T p T p T

Tn=TO - kompenzacija 0

1( )F p

p T

y(t)u(t)

t

1

O

R O

TT

K K

Pol u ldquonulirdquo ndash nestabilan sistem ali ako se zatvori povratna veza

u y

1

Tp+ _ 1

1)(

TppFw

OR

O

KK

TT

TO i KO ndash fiksirane vrednosti

KR ndash može se menjati i na taj način se može podesiti odziv

Kompenzacija sa PID

Regulator(1 ) (1 )

( )(1 )

n dR R

n g

p T p TF p K

p T p T

Za slučajeve sa1 2

1 2

( )1 1O

K KF p

p T p T

n d gT T T

Kompenzacija

1nT T 2dT T

1 20 ( )

1R

n g

K K KF p

p T p T

1( )

1wF pp T

1 2

n

R

TT

K K K

1 2T T

1 22

1 2

( ) Rw

n g n R

K K KF p

p T T p T K K K

Optimizacija parametara regulatora

bull Postupak kompenzacije ne određuje sve parametre regulatora egzaktno

bull Većina metoda ostavlja određeni stepen slobode kod određivanja vrednosti parametara

bull Optimizacija se vrši po različitim kriterijumimabull Kriterijum optimizacije modula funkcije prenosa

sistema u frekventnom domenu

Optimizacija parametara regulatoraPođimo od opšteg blok dijagrama sistema kao kod pogona sa povratnom vezom

( )( )

( )R

RR

Z pF p

N p

Funkcija prenosa sistema u otvorenoj sprezi

FR(p)(referenca) u y

+ _F1(p)

+

_z (poremećaj)

F2(p)

1

e

11

1

( )( )

( )

Z pF p

N p 2

22

( )( )

( )

Z pF p

N p

00 1 2

0

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )R

Z pF p F p F p F p

N p

Optimizacija parametara regulatora

Funkcija prenosa sistema u zatvorenoj sprezi

FR(p)(referenca) u y

+ _F1(p)

+

_z (poremećaj)

F2(p)

1

e

0 0

0 0 0

( ) ( )( )( )

( ) 1 ( ) ( ) ( )w

F p Z py pF p

u p F p Z p N p

1 2

1 2 1 2

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )R

wR R

Z p Z p Z pF p

Z p Z p Z p N p N p N p

Optimizacija parametara regulatora

Prenos ovog sistema je jednak ldquo1rdquo u stacionarnom stanju

Kada se u menja (dudt ne 0) prenos nije 1

Ako posmatramo funkciju Fw(j) možemo reći da je sistem dobar

ako je izlaz jednak ili približno jednak ulazu u ldquoodređenom opsegurdquo učestanosti tj

00

dtdz

idt

du

( ) 1wF j

Šta je to ldquoodređeni opsegrdquo

Optimizacija parametara regulatora

Frekventna karakteristika

Nas interesuje opseg od malih ka većim učestanostima

Sa prebačajem

Opadajuća

Optimalna

Optimizacija parametara regulatora

Posmatrajmo dva karateristična oblika prenosnih funkcija u frekventnom domenu

0 2

0 1 2

( )( )

( ) ( )w

by jF j

u j a j a j a

0 1 2 3

0 1 2 3

( )( )

( ) ( ) ( )w

b j by jF j

u j a j a j a j a

Optimizacija parametara regulatora

U prvom slučaju

22

10

0 )()(

)()(

ajaja

b

ju

jyjFw

)(0 pFRegulator Objekat

Samo I

Nema integracionog člana u objektu

pa je 0022

10 )( baapappN

Primer

0

1( )

1O

i O

KF p

p T p T

1 2

20 0( ) ( ) 1O i O i i O

a a

Z p K N p p T p T p T p T T

02

0 0

( )( )

( ) ( )O

wO i O i

Z p KF p

Z p N p K p T p T T

Primer

Optimizacija parametara regulatora

U prvom slučaju

22

420

21

220

20

)2()(

aaaaa

ajFw

Ovo će biti asymp1 za male učestanosti ako je

02 2021 aaa 20

21 2 aaa

20241

1)(

aajFw

Posle čega se dobija

Optimizacija parametara regulatora

U drugom slučaju

)(0 pF RegulatorObjekat

pa je )( 110033

22

0 babaapappN

33

22

10

10

)()()(

ajajaja

bjbjFw

Primer

Optimizacija parametara regulatora

U drugom slučaju

23

631

22

420

21

220

21

220

)2()2()(

aaaaaaaa

aajFw

Ovo će biti asymp1 za male učestanosti ako je

02 2021 aaa 20

21 2 aaa

203

6

201

2

1

1)(

aa

aajFw

02 3122 aaa 31

22 2 aaa

Posle čega se dobija

Optimizacija parametara regulatora

Prvi slučaj

Drugi slučaj

Prvi slučaj

Drugi slučaj

Za funkciju prenosa drugog reda

Ako nema integratora u objektu i

0

1( )

1O

I e

KF p

p T p T

Objekat

Regulator

Samo I

_

+u y

2

( )( )

( )O

wO I I e

Ky pF p

u p K p T p T T

21 0 22a a a 2I O eT K T 0 1 2O I I ea K a T a T T

1

11

K

p T 1n

n

K

p T

1 2 nT T T

1 2 e nT T T T

1 2 O nK K K K

Ako je u(t) step funkcija h(t) onda je

2 2

( ) 1( )

( ) 1 2 2we e

y pF p

u p p T p T

1

2

( ) pound ( ) ( )

1 cos sin2 2

e

w

t

T

e e

y t u p F p

t te

T T

06 05 04 03 02 01 0

06

05

04

03

02

01

01

02

03

04

05

06

Re osa

Im o

sa

Polovi prenosne funkcijeFw(p) za Te=1

12

1 1

2 2

11

2

e e

e

p iT T

i iT

43 plusmn2

Tr=47Te

Ts=84Te

2 2

2 2

10707

2

1 1

2n

eT

Tr ndash Vreme reagovanjaTs ndash Vreme smirenja

Ako je jedna vremenska konstanta ldquovelikardquo

+

ndash

u y

1 nR

n

p TK

p T

11

OK

p T 1

1 ep T

01

1 1

1 1n O

Rn e

p T KF p K

p T p T p T

Da bi se kompenzovala velika vremenska konstanta

01 1

R O

e

K KF p

p T p T

2

1 1

R Ow

R O e

K KF p

K K p T p T T

1 eT T

1nT T

0 1 1 2 1 R O ea K K a T a T T

1

2RO e

TK

K T

1

2R Oe

TK K

T

2 2

1

1 2 2w opte e

y pF p

u p p T p T

bull Ako su obe bdquovremenske konstanterdquo velike primenjuje se PID

bull Ako je jedna vremenska konstanta 20 puta veća od druge može se primeniti P regulator ali tada postoji problem statičke greške

Modulni optimum za funkciju prenosa trećeg reda

+

ndash

u yRegulator

1O

e

K

p T

1

Op T

Ako primenimo kompenzaciju Tn=Te

02

1OR

n On O

R O

KKF p

T Tp T p T pK K

1 nR

n

p TK

p T

2

1

1w

n O

R O

y pF p

T Tu p pK K

Ako je u(t) impulsna funkcija

n O n O

R O R O

t tj j

T T T T

K K K Ky t e e

Neprigušene oscilacije

Zaključak Ne može se primeniti kompenzacija

Koristimo se opet principom ( ) 1wF j

0

1 1

1n O

Rn e O

p T KF p K

p T p T p T

20 1 3

2 3

1R O nw

R O R O n n O n O e

aa a a

K K p TF p

K K p K K T p T T p T T T

0 1 2 3 R O R O n n O n O ea K K a K K T a T T a T T T 2 21 0 2 2 1 32 2a a a a a a

4n eT T

1

2O

RO e

TK

K T

2 2 3 3

1 4

1 4 8 8e

w opte e e

y p p TF p

u p p T p T p T

Optimum ćemo ostvariti ukoliko je

Odziv u vremenskom domenu

434

plusmn2

Tr=31TeTs=165Te

Odziv brži premašaj

Manje je optimalan u odnosu na slučaj drugog

reda

Ako se na red stavi filter sa

81plusmn2

Tr=76Te Ts=133Te

1

1 4 ep T

Ako se na red stavi soft-start

7plusmn2

Tr=25TeTs=32Te

Uporedimo odzive sa filtrom sa soft-startom i bez filtra

a 2 241 3 4 5

05 0707 1 15 2

2 1 O

n e RO e

TT a T K

a K T

Modifikacija parametara

12 a

Ako je objekat sa dve vremenske konstante i integratorom

+

ndash

1 1n dR

n

p T p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T 1

ip T

1 eT T

Tn=T1 ndash kompenzacija najveće vremenske konstante posle optimizacija modula

PID

Ako je

+

ndash

1 nR

n

p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T

14 eT T

Optimizacijom se dobija 1

2RO e

TK

K T

4n eT T

Odziv na poremećaj z

+ndash

1 nR

n

p TK

p T

21OK

p T 1

1

1 p T 3

1

1 p T

u yzndash

+

T1 ndash ldquovelikardquo vremenska konstantaT2 i T3 ndash ldquomalerdquo vremenske konstante

2 3eT T T

14 eT T

Odziv na poremećaj z = h(t)

Drugi red

Treći red

Treći red+ filter

• Parametarska sinteza regulatora (izbor parametara)
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Optimizacija parametara regulatora
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33

KompenzacijaPosmatrajmo objekat upravljanja sa prenosnom funkcijom

Regulator

( )1

OO

O

KF p

p T

( ) 1K KF p p T

1( ) ( )

1K

K O O OO

p TF p F p K K

p T

uy(t)

t

Kašnjenje

Idealni kompenzator

FO(p)y

FK(p) ( ) ( )Oy t K u t

K OT T

Kompenzacija sa PD regulatorom

Regulator ( ) (1 )R R dF p K p T

( ) ( ) ( ) (1 )1

OR O R d

O

KF p F p F p K p T

p T

OR KKpF )(

za 0t p lim ( ) dR O

pO

Tp F p K K

T

za 0t p 0

lim ( ) R Op

p F p K K

y(t)

t

y(t)

t

y(t)

t

Td gt TO

TO

Td = TO

O

dR O

TK K

T

TO

Td lt TO dR O

O

TK K

T

R OK K R OK K R OK K

d OT T

Kompenzacija sa PI regulatorom

Regulatorn

nRR Tp

TpKpF

1

)(

1 1( ) ( ) ( )

1 1n O R O n

R O Rn O n O

p T K K K p TF p F p F p K

p T p T p T p T

Tn=TO - kompenzacija 0

1( )F p

p T

y(t)u(t)

t

1

O

R O

TT

K K

Pol u ldquonulirdquo ndash nestabilan sistem ali ako se zatvori povratna veza

u y

1

Tp+ _ 1

1)(

TppFw

OR

O

KK

TT

TO i KO ndash fiksirane vrednosti

KR ndash može se menjati i na taj način se može podesiti odziv

Kompenzacija sa PID

Regulator(1 ) (1 )

( )(1 )

n dR R

n g

p T p TF p K

p T p T

Za slučajeve sa1 2

1 2

( )1 1O

K KF p

p T p T

n d gT T T

Kompenzacija

1nT T 2dT T

1 20 ( )

1R

n g

K K KF p

p T p T

1( )

1wF pp T

1 2

n

R

TT

K K K

1 2T T

1 22

1 2

( ) Rw

n g n R

K K KF p

p T T p T K K K

Optimizacija parametara regulatora

bull Postupak kompenzacije ne određuje sve parametre regulatora egzaktno

bull Većina metoda ostavlja određeni stepen slobode kod određivanja vrednosti parametara

bull Optimizacija se vrši po različitim kriterijumimabull Kriterijum optimizacije modula funkcije prenosa

sistema u frekventnom domenu

Optimizacija parametara regulatoraPođimo od opšteg blok dijagrama sistema kao kod pogona sa povratnom vezom

( )( )

( )R

RR

Z pF p

N p

Funkcija prenosa sistema u otvorenoj sprezi

FR(p)(referenca) u y

+ _F1(p)

+

_z (poremećaj)

F2(p)

1

e

11

1

( )( )

( )

Z pF p

N p 2

22

( )( )

( )

Z pF p

N p

00 1 2

0

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )R

Z pF p F p F p F p

N p

Optimizacija parametara regulatora

Funkcija prenosa sistema u zatvorenoj sprezi

FR(p)(referenca) u y

+ _F1(p)

+

_z (poremećaj)

F2(p)

1

e

0 0

0 0 0

( ) ( )( )( )

( ) 1 ( ) ( ) ( )w

F p Z py pF p

u p F p Z p N p

1 2

1 2 1 2

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )R

wR R

Z p Z p Z pF p

Z p Z p Z p N p N p N p

Optimizacija parametara regulatora

Prenos ovog sistema je jednak ldquo1rdquo u stacionarnom stanju

Kada se u menja (dudt ne 0) prenos nije 1

Ako posmatramo funkciju Fw(j) možemo reći da je sistem dobar

ako je izlaz jednak ili približno jednak ulazu u ldquoodređenom opsegurdquo učestanosti tj

00

dtdz

idt

du

( ) 1wF j

Šta je to ldquoodređeni opsegrdquo

Optimizacija parametara regulatora

Frekventna karakteristika

Nas interesuje opseg od malih ka većim učestanostima

Sa prebačajem

Opadajuća

Optimalna

Optimizacija parametara regulatora

Posmatrajmo dva karateristična oblika prenosnih funkcija u frekventnom domenu

0 2

0 1 2

( )( )

( ) ( )w

by jF j

u j a j a j a

0 1 2 3

0 1 2 3

( )( )

( ) ( ) ( )w

b j by jF j

u j a j a j a j a

Optimizacija parametara regulatora

U prvom slučaju

22

10

0 )()(

)()(

ajaja

b

ju

jyjFw

)(0 pFRegulator Objekat

Samo I

Nema integracionog člana u objektu

pa je 0022

10 )( baapappN

Primer

0

1( )

1O

i O

KF p

p T p T

1 2

20 0( ) ( ) 1O i O i i O

a a

Z p K N p p T p T p T p T T

02

0 0

( )( )

( ) ( )O

wO i O i

Z p KF p

Z p N p K p T p T T

Primer

Optimizacija parametara regulatora

U prvom slučaju

22

420

21

220

20

)2()(

aaaaa

ajFw

Ovo će biti asymp1 za male učestanosti ako je

02 2021 aaa 20

21 2 aaa

20241

1)(

aajFw

Posle čega se dobija

Optimizacija parametara regulatora

U drugom slučaju

)(0 pF RegulatorObjekat

pa je )( 110033

22

0 babaapappN

33

22

10

10

)()()(

ajajaja

bjbjFw

Primer

Optimizacija parametara regulatora

U drugom slučaju

23

631

22

420

21

220

21

220

)2()2()(

aaaaaaaa

aajFw

Ovo će biti asymp1 za male učestanosti ako je

02 2021 aaa 20

21 2 aaa

203

6

201

2

1

1)(

aa

aajFw

02 3122 aaa 31

22 2 aaa

Posle čega se dobija

Optimizacija parametara regulatora

Prvi slučaj

Drugi slučaj

Prvi slučaj

Drugi slučaj

Za funkciju prenosa drugog reda

Ako nema integratora u objektu i

0

1( )

1O

I e

KF p

p T p T

Objekat

Regulator

Samo I

_

+u y

2

( )( )

( )O

wO I I e

Ky pF p

u p K p T p T T

21 0 22a a a 2I O eT K T 0 1 2O I I ea K a T a T T

1

11

K

p T 1n

n

K

p T

1 2 nT T T

1 2 e nT T T T

1 2 O nK K K K

Ako je u(t) step funkcija h(t) onda je

2 2

( ) 1( )

( ) 1 2 2we e

y pF p

u p p T p T

1

2

( ) pound ( ) ( )

1 cos sin2 2

e

w

t

T

e e

y t u p F p

t te

T T

06 05 04 03 02 01 0

06

05

04

03

02

01

01

02

03

04

05

06

Re osa

Im o

sa

Polovi prenosne funkcijeFw(p) za Te=1

12

1 1

2 2

11

2

e e

e

p iT T

i iT

43 plusmn2

Tr=47Te

Ts=84Te

2 2

2 2

10707

2

1 1

2n

eT

Tr ndash Vreme reagovanjaTs ndash Vreme smirenja

Ako je jedna vremenska konstanta ldquovelikardquo

+

ndash

u y

1 nR

n

p TK

p T

11

OK

p T 1

1 ep T

01

1 1

1 1n O

Rn e

p T KF p K

p T p T p T

Da bi se kompenzovala velika vremenska konstanta

01 1

R O

e

K KF p

p T p T

2

1 1

R Ow

R O e

K KF p

K K p T p T T

1 eT T

1nT T

0 1 1 2 1 R O ea K K a T a T T

1

2RO e

TK

K T

1

2R Oe

TK K

T

2 2

1

1 2 2w opte e

y pF p

u p p T p T

bull Ako su obe bdquovremenske konstanterdquo velike primenjuje se PID

bull Ako je jedna vremenska konstanta 20 puta veća od druge može se primeniti P regulator ali tada postoji problem statičke greške

Modulni optimum za funkciju prenosa trećeg reda

+

ndash

u yRegulator

1O

e

K

p T

1

Op T

Ako primenimo kompenzaciju Tn=Te

02

1OR

n On O

R O

KKF p

T Tp T p T pK K

1 nR

n

p TK

p T

2

1

1w

n O

R O

y pF p

T Tu p pK K

Ako je u(t) impulsna funkcija

n O n O

R O R O

t tj j

T T T T

K K K Ky t e e

Neprigušene oscilacije

Zaključak Ne može se primeniti kompenzacija

Koristimo se opet principom ( ) 1wF j

0

1 1

1n O

Rn e O

p T KF p K

p T p T p T

20 1 3

2 3

1R O nw

R O R O n n O n O e

aa a a

K K p TF p

K K p K K T p T T p T T T

0 1 2 3 R O R O n n O n O ea K K a K K T a T T a T T T 2 21 0 2 2 1 32 2a a a a a a

4n eT T

1

2O

RO e

TK

K T

2 2 3 3

1 4

1 4 8 8e

w opte e e

y p p TF p

u p p T p T p T

Optimum ćemo ostvariti ukoliko je

Odziv u vremenskom domenu

434

plusmn2

Tr=31TeTs=165Te

Odziv brži premašaj

Manje je optimalan u odnosu na slučaj drugog

reda

Ako se na red stavi filter sa

81plusmn2

Tr=76Te Ts=133Te

1

1 4 ep T

Ako se na red stavi soft-start

7plusmn2

Tr=25TeTs=32Te

Uporedimo odzive sa filtrom sa soft-startom i bez filtra

a 2 241 3 4 5

05 0707 1 15 2

2 1 O

n e RO e

TT a T K

a K T

Modifikacija parametara

12 a

Ako je objekat sa dve vremenske konstante i integratorom

+

ndash

1 1n dR

n

p T p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T 1

ip T

1 eT T

Tn=T1 ndash kompenzacija najveće vremenske konstante posle optimizacija modula

PID

Ako je

+

ndash

1 nR

n

p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T

14 eT T

Optimizacijom se dobija 1

2RO e

TK

K T

4n eT T

Odziv na poremećaj z

+ndash

1 nR

n

p TK

p T

21OK

p T 1

1

1 p T 3

1

1 p T

u yzndash

+

T1 ndash ldquovelikardquo vremenska konstantaT2 i T3 ndash ldquomalerdquo vremenske konstante

2 3eT T T

14 eT T

Odziv na poremećaj z = h(t)

Drugi red

Treći red

Treći red+ filter

• Parametarska sinteza regulatora (izbor parametara)
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Optimizacija parametara regulatora
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33

Kompenzacija sa PD regulatorom

Regulator ( ) (1 )R R dF p K p T

( ) ( ) ( ) (1 )1

OR O R d

O

KF p F p F p K p T

p T

OR KKpF )(

za 0t p lim ( ) dR O

pO

Tp F p K K

T

za 0t p 0

lim ( ) R Op

p F p K K

y(t)

t

y(t)

t

y(t)

t

Td gt TO

TO

Td = TO

O

dR O

TK K

T

TO

Td lt TO dR O

O

TK K

T

R OK K R OK K R OK K

d OT T

Kompenzacija sa PI regulatorom

Regulatorn

nRR Tp

TpKpF

1

)(

1 1( ) ( ) ( )

1 1n O R O n

R O Rn O n O

p T K K K p TF p F p F p K

p T p T p T p T

Tn=TO - kompenzacija 0

1( )F p

p T

y(t)u(t)

t

1

O

R O

TT

K K

Pol u ldquonulirdquo ndash nestabilan sistem ali ako se zatvori povratna veza

u y

1

Tp+ _ 1

1)(

TppFw

OR

O

KK

TT

TO i KO ndash fiksirane vrednosti

KR ndash može se menjati i na taj način se može podesiti odziv

Kompenzacija sa PID

Regulator(1 ) (1 )

( )(1 )

n dR R

n g

p T p TF p K

p T p T

Za slučajeve sa1 2

1 2

( )1 1O

K KF p

p T p T

n d gT T T

Kompenzacija

1nT T 2dT T

1 20 ( )

1R

n g

K K KF p

p T p T

1( )

1wF pp T

1 2

n

R

TT

K K K

1 2T T

1 22

1 2

( ) Rw

n g n R

K K KF p

p T T p T K K K

Optimizacija parametara regulatora

bull Postupak kompenzacije ne određuje sve parametre regulatora egzaktno

bull Većina metoda ostavlja određeni stepen slobode kod određivanja vrednosti parametara

bull Optimizacija se vrši po različitim kriterijumimabull Kriterijum optimizacije modula funkcije prenosa

sistema u frekventnom domenu

Optimizacija parametara regulatoraPođimo od opšteg blok dijagrama sistema kao kod pogona sa povratnom vezom

( )( )

( )R

RR

Z pF p

N p

Funkcija prenosa sistema u otvorenoj sprezi

FR(p)(referenca) u y

+ _F1(p)

+

_z (poremećaj)

F2(p)

1

e

11

1

( )( )

( )

Z pF p

N p 2

22

( )( )

( )

Z pF p

N p

00 1 2

0

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )R

Z pF p F p F p F p

N p

Optimizacija parametara regulatora

Funkcija prenosa sistema u zatvorenoj sprezi

FR(p)(referenca) u y

+ _F1(p)

+

_z (poremećaj)

F2(p)

1

e

0 0

0 0 0

( ) ( )( )( )

( ) 1 ( ) ( ) ( )w

F p Z py pF p

u p F p Z p N p

1 2

1 2 1 2

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )R

wR R

Z p Z p Z pF p

Z p Z p Z p N p N p N p

Optimizacija parametara regulatora

Prenos ovog sistema je jednak ldquo1rdquo u stacionarnom stanju

Kada se u menja (dudt ne 0) prenos nije 1

Ako posmatramo funkciju Fw(j) možemo reći da je sistem dobar

ako je izlaz jednak ili približno jednak ulazu u ldquoodređenom opsegurdquo učestanosti tj

00

dtdz

idt

du

( ) 1wF j

Šta je to ldquoodređeni opsegrdquo

Optimizacija parametara regulatora

Frekventna karakteristika

Nas interesuje opseg od malih ka većim učestanostima

Sa prebačajem

Opadajuća

Optimalna

Optimizacija parametara regulatora

Posmatrajmo dva karateristična oblika prenosnih funkcija u frekventnom domenu

0 2

0 1 2

( )( )

( ) ( )w

by jF j

u j a j a j a

0 1 2 3

0 1 2 3

( )( )

( ) ( ) ( )w

b j by jF j

u j a j a j a j a

Optimizacija parametara regulatora

U prvom slučaju

22

10

0 )()(

)()(

ajaja

b

ju

jyjFw

)(0 pFRegulator Objekat

Samo I

Nema integracionog člana u objektu

pa je 0022

10 )( baapappN

Primer

0

1( )

1O

i O

KF p

p T p T

1 2

20 0( ) ( ) 1O i O i i O

a a

Z p K N p p T p T p T p T T

02

0 0

( )( )

( ) ( )O

wO i O i

Z p KF p

Z p N p K p T p T T

Primer

Optimizacija parametara regulatora

U prvom slučaju

22

420

21

220

20

)2()(

aaaaa

ajFw

Ovo će biti asymp1 za male učestanosti ako je

02 2021 aaa 20

21 2 aaa

20241

1)(

aajFw

Posle čega se dobija

Optimizacija parametara regulatora

U drugom slučaju

)(0 pF RegulatorObjekat

pa je )( 110033

22

0 babaapappN

33

22

10

10

)()()(

ajajaja

bjbjFw

Primer

Optimizacija parametara regulatora

U drugom slučaju

23

631

22

420

21

220

21

220

)2()2()(

aaaaaaaa

aajFw

Ovo će biti asymp1 za male učestanosti ako je

02 2021 aaa 20

21 2 aaa

203

6

201

2

1

1)(

aa

aajFw

02 3122 aaa 31

22 2 aaa

Posle čega se dobija

Optimizacija parametara regulatora

Prvi slučaj

Drugi slučaj

Prvi slučaj

Drugi slučaj

Za funkciju prenosa drugog reda

Ako nema integratora u objektu i

0

1( )

1O

I e

KF p

p T p T

Objekat

Regulator

Samo I

_

+u y

2

( )( )

( )O

wO I I e

Ky pF p

u p K p T p T T

21 0 22a a a 2I O eT K T 0 1 2O I I ea K a T a T T

1

11

K

p T 1n

n

K

p T

1 2 nT T T

1 2 e nT T T T

1 2 O nK K K K

Ako je u(t) step funkcija h(t) onda je

2 2

( ) 1( )

( ) 1 2 2we e

y pF p

u p p T p T

1

2

( ) pound ( ) ( )

1 cos sin2 2

e

w

t

T

e e

y t u p F p

t te

T T

06 05 04 03 02 01 0

06

05

04

03

02

01

01

02

03

04

05

06

Re osa

Im o

sa

Polovi prenosne funkcijeFw(p) za Te=1

12

1 1

2 2

11

2

e e

e

p iT T

i iT

43 plusmn2

Tr=47Te

Ts=84Te

2 2

2 2

10707

2

1 1

2n

eT

Tr ndash Vreme reagovanjaTs ndash Vreme smirenja

Ako je jedna vremenska konstanta ldquovelikardquo

+

ndash

u y

1 nR

n

p TK

p T

11

OK

p T 1

1 ep T

01

1 1

1 1n O

Rn e

p T KF p K

p T p T p T

Da bi se kompenzovala velika vremenska konstanta

01 1

R O

e

K KF p

p T p T

2

1 1

R Ow

R O e

K KF p

K K p T p T T

1 eT T

1nT T

0 1 1 2 1 R O ea K K a T a T T

1

2RO e

TK

K T

1

2R Oe

TK K

T

2 2

1

1 2 2w opte e

y pF p

u p p T p T

bull Ako su obe bdquovremenske konstanterdquo velike primenjuje se PID

bull Ako je jedna vremenska konstanta 20 puta veća od druge može se primeniti P regulator ali tada postoji problem statičke greške

Modulni optimum za funkciju prenosa trećeg reda

+

ndash

u yRegulator

1O

e

K

p T

1

Op T

Ako primenimo kompenzaciju Tn=Te

02

1OR

n On O

R O

KKF p

T Tp T p T pK K

1 nR

n

p TK

p T

2

1

1w

n O

R O

y pF p

T Tu p pK K

Ako je u(t) impulsna funkcija

n O n O

R O R O

t tj j

T T T T

K K K Ky t e e

Neprigušene oscilacije

Zaključak Ne može se primeniti kompenzacija

Koristimo se opet principom ( ) 1wF j

0

1 1

1n O

Rn e O

p T KF p K

p T p T p T

20 1 3

2 3

1R O nw

R O R O n n O n O e

aa a a

K K p TF p

K K p K K T p T T p T T T

0 1 2 3 R O R O n n O n O ea K K a K K T a T T a T T T 2 21 0 2 2 1 32 2a a a a a a

4n eT T

1

2O

RO e

TK

K T

2 2 3 3

1 4

1 4 8 8e

w opte e e

y p p TF p

u p p T p T p T

Optimum ćemo ostvariti ukoliko je

Odziv u vremenskom domenu

434

plusmn2

Tr=31TeTs=165Te

Odziv brži premašaj

Manje je optimalan u odnosu na slučaj drugog

reda

Ako se na red stavi filter sa

81plusmn2

Tr=76Te Ts=133Te

1

1 4 ep T

Ako se na red stavi soft-start

7plusmn2

Tr=25TeTs=32Te

Uporedimo odzive sa filtrom sa soft-startom i bez filtra

a 2 241 3 4 5

05 0707 1 15 2

2 1 O

n e RO e

TT a T K

a K T

Modifikacija parametara

12 a

Ako je objekat sa dve vremenske konstante i integratorom

+

ndash

1 1n dR

n

p T p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T 1

ip T

1 eT T

Tn=T1 ndash kompenzacija najveće vremenske konstante posle optimizacija modula

PID

Ako je

+

ndash

1 nR

n

p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T

14 eT T

Optimizacijom se dobija 1

2RO e

TK

K T

4n eT T

Odziv na poremećaj z

+ndash

1 nR

n

p TK

p T

21OK

p T 1

1

1 p T 3

1

1 p T

u yzndash

+

T1 ndash ldquovelikardquo vremenska konstantaT2 i T3 ndash ldquomalerdquo vremenske konstante

2 3eT T T

14 eT T

Odziv na poremećaj z = h(t)

Drugi red

Treći red

Treći red+ filter

• Parametarska sinteza regulatora (izbor parametara)
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Optimizacija parametara regulatora
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33

Kompenzacija sa PI regulatorom

Regulatorn

nRR Tp

TpKpF

1

)(

1 1( ) ( ) ( )

1 1n O R O n

R O Rn O n O

p T K K K p TF p F p F p K

p T p T p T p T

Tn=TO - kompenzacija 0

1( )F p

p T

y(t)u(t)

t

1

O

R O

TT

K K

Pol u ldquonulirdquo ndash nestabilan sistem ali ako se zatvori povratna veza

u y

1

Tp+ _ 1

1)(

TppFw

OR

O

KK

TT

TO i KO ndash fiksirane vrednosti

KR ndash može se menjati i na taj način se može podesiti odziv

Kompenzacija sa PID

Regulator(1 ) (1 )

( )(1 )

n dR R

n g

p T p TF p K

p T p T

Za slučajeve sa1 2

1 2

( )1 1O

K KF p

p T p T

n d gT T T

Kompenzacija

1nT T 2dT T

1 20 ( )

1R

n g

K K KF p

p T p T

1( )

1wF pp T

1 2

n

R

TT

K K K

1 2T T

1 22

1 2

( ) Rw

n g n R

K K KF p

p T T p T K K K

Optimizacija parametara regulatora

bull Postupak kompenzacije ne određuje sve parametre regulatora egzaktno

bull Većina metoda ostavlja određeni stepen slobode kod određivanja vrednosti parametara

bull Optimizacija se vrši po različitim kriterijumimabull Kriterijum optimizacije modula funkcije prenosa

sistema u frekventnom domenu

Optimizacija parametara regulatoraPođimo od opšteg blok dijagrama sistema kao kod pogona sa povratnom vezom

( )( )

( )R

RR

Z pF p

N p

Funkcija prenosa sistema u otvorenoj sprezi

FR(p)(referenca) u y

+ _F1(p)

+

_z (poremećaj)

F2(p)

1

e

11

1

( )( )

( )

Z pF p

N p 2

22

( )( )

( )

Z pF p

N p

00 1 2

0

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )R

Z pF p F p F p F p

N p

Optimizacija parametara regulatora

Funkcija prenosa sistema u zatvorenoj sprezi

FR(p)(referenca) u y

+ _F1(p)

+

_z (poremećaj)

F2(p)

1

e

0 0

0 0 0

( ) ( )( )( )

( ) 1 ( ) ( ) ( )w

F p Z py pF p

u p F p Z p N p

1 2

1 2 1 2

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )R

wR R

Z p Z p Z pF p

Z p Z p Z p N p N p N p

Optimizacija parametara regulatora

Prenos ovog sistema je jednak ldquo1rdquo u stacionarnom stanju

Kada se u menja (dudt ne 0) prenos nije 1

Ako posmatramo funkciju Fw(j) možemo reći da je sistem dobar

ako je izlaz jednak ili približno jednak ulazu u ldquoodređenom opsegurdquo učestanosti tj

00

dtdz

idt

du

( ) 1wF j

Šta je to ldquoodređeni opsegrdquo

Optimizacija parametara regulatora

Frekventna karakteristika

Nas interesuje opseg od malih ka većim učestanostima

Sa prebačajem

Opadajuća

Optimalna

Optimizacija parametara regulatora

Posmatrajmo dva karateristična oblika prenosnih funkcija u frekventnom domenu

0 2

0 1 2

( )( )

( ) ( )w

by jF j

u j a j a j a

0 1 2 3

0 1 2 3

( )( )

( ) ( ) ( )w

b j by jF j

u j a j a j a j a

Optimizacija parametara regulatora

U prvom slučaju

22

10

0 )()(

)()(

ajaja

b

ju

jyjFw

)(0 pFRegulator Objekat

Samo I

Nema integracionog člana u objektu

pa je 0022

10 )( baapappN

Primer

0

1( )

1O

i O

KF p

p T p T

1 2

20 0( ) ( ) 1O i O i i O

a a

Z p K N p p T p T p T p T T

02

0 0

( )( )

( ) ( )O

wO i O i

Z p KF p

Z p N p K p T p T T

Primer

Optimizacija parametara regulatora

U prvom slučaju

22

420

21

220

20

)2()(

aaaaa

ajFw

Ovo će biti asymp1 za male učestanosti ako je

02 2021 aaa 20

21 2 aaa

20241

1)(

aajFw

Posle čega se dobija

Optimizacija parametara regulatora

U drugom slučaju

)(0 pF RegulatorObjekat

pa je )( 110033

22

0 babaapappN

33

22

10

10

)()()(

ajajaja

bjbjFw

Primer

Optimizacija parametara regulatora

U drugom slučaju

23

631

22

420

21

220

21

220

)2()2()(

aaaaaaaa

aajFw

Ovo će biti asymp1 za male učestanosti ako je

02 2021 aaa 20

21 2 aaa

203

6

201

2

1

1)(

aa

aajFw

02 3122 aaa 31

22 2 aaa

Posle čega se dobija

Optimizacija parametara regulatora

Prvi slučaj

Drugi slučaj

Prvi slučaj

Drugi slučaj

Za funkciju prenosa drugog reda

Ako nema integratora u objektu i

0

1( )

1O

I e

KF p

p T p T

Objekat

Regulator

Samo I

_

+u y

2

( )( )

( )O

wO I I e

Ky pF p

u p K p T p T T

21 0 22a a a 2I O eT K T 0 1 2O I I ea K a T a T T

1

11

K

p T 1n

n

K

p T

1 2 nT T T

1 2 e nT T T T

1 2 O nK K K K

Ako je u(t) step funkcija h(t) onda je

2 2

( ) 1( )

( ) 1 2 2we e

y pF p

u p p T p T

1

2

( ) pound ( ) ( )

1 cos sin2 2

e

w

t

T

e e

y t u p F p

t te

T T

06 05 04 03 02 01 0

06

05

04

03

02

01

01

02

03

04

05

06

Re osa

Im o

sa

Polovi prenosne funkcijeFw(p) za Te=1

12

1 1

2 2

11

2

e e

e

p iT T

i iT

43 plusmn2

Tr=47Te

Ts=84Te

2 2

2 2

10707

2

1 1

2n

eT

Tr ndash Vreme reagovanjaTs ndash Vreme smirenja

Ako je jedna vremenska konstanta ldquovelikardquo

+

ndash

u y

1 nR

n

p TK

p T

11

OK

p T 1

1 ep T

01

1 1

1 1n O

Rn e

p T KF p K

p T p T p T

Da bi se kompenzovala velika vremenska konstanta

01 1

R O

e

K KF p

p T p T

2

1 1

R Ow

R O e

K KF p

K K p T p T T

1 eT T

1nT T

0 1 1 2 1 R O ea K K a T a T T

1

2RO e

TK

K T

1

2R Oe

TK K

T

2 2

1

1 2 2w opte e

y pF p

u p p T p T

bull Ako su obe bdquovremenske konstanterdquo velike primenjuje se PID

bull Ako je jedna vremenska konstanta 20 puta veća od druge može se primeniti P regulator ali tada postoji problem statičke greške

Modulni optimum za funkciju prenosa trećeg reda

+

ndash

u yRegulator

1O

e

K

p T

1

Op T

Ako primenimo kompenzaciju Tn=Te

02

1OR

n On O

R O

KKF p

T Tp T p T pK K

1 nR

n

p TK

p T

2

1

1w

n O

R O

y pF p

T Tu p pK K

Ako je u(t) impulsna funkcija

n O n O

R O R O

t tj j

T T T T

K K K Ky t e e

Neprigušene oscilacije

Zaključak Ne može se primeniti kompenzacija

Koristimo se opet principom ( ) 1wF j

0

1 1

1n O

Rn e O

p T KF p K

p T p T p T

20 1 3

2 3

1R O nw

R O R O n n O n O e

aa a a

K K p TF p

K K p K K T p T T p T T T

0 1 2 3 R O R O n n O n O ea K K a K K T a T T a T T T 2 21 0 2 2 1 32 2a a a a a a

4n eT T

1

2O

RO e

TK

K T

2 2 3 3

1 4

1 4 8 8e

w opte e e

y p p TF p

u p p T p T p T

Optimum ćemo ostvariti ukoliko je

Odziv u vremenskom domenu

434

plusmn2

Tr=31TeTs=165Te

Odziv brži premašaj

Manje je optimalan u odnosu na slučaj drugog

reda

Ako se na red stavi filter sa

81plusmn2

Tr=76Te Ts=133Te

1

1 4 ep T

Ako se na red stavi soft-start

7plusmn2

Tr=25TeTs=32Te

Uporedimo odzive sa filtrom sa soft-startom i bez filtra

a 2 241 3 4 5

05 0707 1 15 2

2 1 O

n e RO e

TT a T K

a K T

Modifikacija parametara

12 a

Ako je objekat sa dve vremenske konstante i integratorom

+

ndash

1 1n dR

n

p T p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T 1

ip T

1 eT T

Tn=T1 ndash kompenzacija najveće vremenske konstante posle optimizacija modula

PID

Ako je

+

ndash

1 nR

n

p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T

14 eT T

Optimizacijom se dobija 1

2RO e

TK

K T

4n eT T

Odziv na poremećaj z

+ndash

1 nR

n

p TK

p T

21OK

p T 1

1

1 p T 3

1

1 p T

u yzndash

+

T1 ndash ldquovelikardquo vremenska konstantaT2 i T3 ndash ldquomalerdquo vremenske konstante

2 3eT T T

14 eT T

Odziv na poremećaj z = h(t)

Drugi red

Treći red

Treći red+ filter

• Parametarska sinteza regulatora (izbor parametara)
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Optimizacija parametara regulatora
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33

Kompenzacija sa PID

Regulator(1 ) (1 )

( )(1 )

n dR R

n g

p T p TF p K

p T p T

Za slučajeve sa1 2

1 2

( )1 1O

K KF p

p T p T

n d gT T T

Kompenzacija

1nT T 2dT T

1 20 ( )

1R

n g

K K KF p

p T p T

1( )

1wF pp T

1 2

n

R

TT

K K K

1 2T T

1 22

1 2

( ) Rw

n g n R

K K KF p

p T T p T K K K

Optimizacija parametara regulatora

bull Postupak kompenzacije ne određuje sve parametre regulatora egzaktno

bull Većina metoda ostavlja određeni stepen slobode kod određivanja vrednosti parametara

bull Optimizacija se vrši po različitim kriterijumimabull Kriterijum optimizacije modula funkcije prenosa

sistema u frekventnom domenu

Optimizacija parametara regulatoraPođimo od opšteg blok dijagrama sistema kao kod pogona sa povratnom vezom

( )( )

( )R

RR

Z pF p

N p

Funkcija prenosa sistema u otvorenoj sprezi

FR(p)(referenca) u y

+ _F1(p)

+

_z (poremećaj)

F2(p)

1

e

11

1

( )( )

( )

Z pF p

N p 2

22

( )( )

( )

Z pF p

N p

00 1 2

0

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )R

Z pF p F p F p F p

N p

Optimizacija parametara regulatora

Funkcija prenosa sistema u zatvorenoj sprezi

FR(p)(referenca) u y

+ _F1(p)

+

_z (poremećaj)

F2(p)

1

e

0 0

0 0 0

( ) ( )( )( )

( ) 1 ( ) ( ) ( )w

F p Z py pF p

u p F p Z p N p

1 2

1 2 1 2

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )R

wR R

Z p Z p Z pF p

Z p Z p Z p N p N p N p

Optimizacija parametara regulatora

Prenos ovog sistema je jednak ldquo1rdquo u stacionarnom stanju

Kada se u menja (dudt ne 0) prenos nije 1

Ako posmatramo funkciju Fw(j) možemo reći da je sistem dobar

ako je izlaz jednak ili približno jednak ulazu u ldquoodređenom opsegurdquo učestanosti tj

00

dtdz

idt

du

( ) 1wF j

Šta je to ldquoodređeni opsegrdquo

Optimizacija parametara regulatora

Frekventna karakteristika

Nas interesuje opseg od malih ka većim učestanostima

Sa prebačajem

Opadajuća

Optimalna

Optimizacija parametara regulatora

Posmatrajmo dva karateristična oblika prenosnih funkcija u frekventnom domenu

0 2

0 1 2

( )( )

( ) ( )w

by jF j

u j a j a j a

0 1 2 3

0 1 2 3

( )( )

( ) ( ) ( )w

b j by jF j

u j a j a j a j a

Optimizacija parametara regulatora

U prvom slučaju

22

10

0 )()(

)()(

ajaja

b

ju

jyjFw

)(0 pFRegulator Objekat

Samo I

Nema integracionog člana u objektu

pa je 0022

10 )( baapappN

Primer

0

1( )

1O

i O

KF p

p T p T

1 2

20 0( ) ( ) 1O i O i i O

a a

Z p K N p p T p T p T p T T

02

0 0

( )( )

( ) ( )O

wO i O i

Z p KF p

Z p N p K p T p T T

Primer

Optimizacija parametara regulatora

U prvom slučaju

22

420

21

220

20

)2()(

aaaaa

ajFw

Ovo će biti asymp1 za male učestanosti ako je

02 2021 aaa 20

21 2 aaa

20241

1)(

aajFw

Posle čega se dobija

Optimizacija parametara regulatora

U drugom slučaju

)(0 pF RegulatorObjekat

pa je )( 110033

22

0 babaapappN

33

22

10

10

)()()(

ajajaja

bjbjFw

Primer

Optimizacija parametara regulatora

U drugom slučaju

23

631

22

420

21

220

21

220

)2()2()(

aaaaaaaa

aajFw

Ovo će biti asymp1 za male učestanosti ako je

02 2021 aaa 20

21 2 aaa

203

6

201

2

1

1)(

aa

aajFw

02 3122 aaa 31

22 2 aaa

Posle čega se dobija

Optimizacija parametara regulatora

Prvi slučaj

Drugi slučaj

Prvi slučaj

Drugi slučaj

Za funkciju prenosa drugog reda

Ako nema integratora u objektu i

0

1( )

1O

I e

KF p

p T p T

Objekat

Regulator

Samo I

_

+u y

2

( )( )

( )O

wO I I e

Ky pF p

u p K p T p T T

21 0 22a a a 2I O eT K T 0 1 2O I I ea K a T a T T

1

11

K

p T 1n

n

K

p T

1 2 nT T T

1 2 e nT T T T

1 2 O nK K K K

Ako je u(t) step funkcija h(t) onda je

2 2

( ) 1( )

( ) 1 2 2we e

y pF p

u p p T p T

1

2

( ) pound ( ) ( )

1 cos sin2 2

e

w

t

T

e e

y t u p F p

t te

T T

06 05 04 03 02 01 0

06

05

04

03

02

01

01

02

03

04

05

06

Re osa

Im o

sa

Polovi prenosne funkcijeFw(p) za Te=1

12

1 1

2 2

11

2

e e

e

p iT T

i iT

43 plusmn2

Tr=47Te

Ts=84Te

2 2

2 2

10707

2

1 1

2n

eT

Tr ndash Vreme reagovanjaTs ndash Vreme smirenja

Ako je jedna vremenska konstanta ldquovelikardquo

+

ndash

u y

1 nR

n

p TK

p T

11

OK

p T 1

1 ep T

01

1 1

1 1n O

Rn e

p T KF p K

p T p T p T

Da bi se kompenzovala velika vremenska konstanta

01 1

R O

e

K KF p

p T p T

2

1 1

R Ow

R O e

K KF p

K K p T p T T

1 eT T

1nT T

0 1 1 2 1 R O ea K K a T a T T

1

2RO e

TK

K T

1

2R Oe

TK K

T

2 2

1

1 2 2w opte e

y pF p

u p p T p T

bull Ako su obe bdquovremenske konstanterdquo velike primenjuje se PID

bull Ako je jedna vremenska konstanta 20 puta veća od druge može se primeniti P regulator ali tada postoji problem statičke greške

Modulni optimum za funkciju prenosa trećeg reda

+

ndash

u yRegulator

1O

e

K

p T

1

Op T

Ako primenimo kompenzaciju Tn=Te

02

1OR

n On O

R O

KKF p

T Tp T p T pK K

1 nR

n

p TK

p T

2

1

1w

n O

R O

y pF p

T Tu p pK K

Ako je u(t) impulsna funkcija

n O n O

R O R O

t tj j

T T T T

K K K Ky t e e

Neprigušene oscilacije

Zaključak Ne može se primeniti kompenzacija

Koristimo se opet principom ( ) 1wF j

0

1 1

1n O

Rn e O

p T KF p K

p T p T p T

20 1 3

2 3

1R O nw

R O R O n n O n O e

aa a a

K K p TF p

K K p K K T p T T p T T T

0 1 2 3 R O R O n n O n O ea K K a K K T a T T a T T T 2 21 0 2 2 1 32 2a a a a a a

4n eT T

1

2O

RO e

TK

K T

2 2 3 3

1 4

1 4 8 8e

w opte e e

y p p TF p

u p p T p T p T

Optimum ćemo ostvariti ukoliko je

Odziv u vremenskom domenu

434

plusmn2

Tr=31TeTs=165Te

Odziv brži premašaj

Manje je optimalan u odnosu na slučaj drugog

reda

Ako se na red stavi filter sa

81plusmn2

Tr=76Te Ts=133Te

1

1 4 ep T

Ako se na red stavi soft-start

7plusmn2

Tr=25TeTs=32Te

Uporedimo odzive sa filtrom sa soft-startom i bez filtra

a 2 241 3 4 5

05 0707 1 15 2

2 1 O

n e RO e

TT a T K

a K T

Modifikacija parametara

12 a

Ako je objekat sa dve vremenske konstante i integratorom

+

ndash

1 1n dR

n

p T p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T 1

ip T

1 eT T

Tn=T1 ndash kompenzacija najveće vremenske konstante posle optimizacija modula

PID

Ako je

+

ndash

1 nR

n

p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T

14 eT T

Optimizacijom se dobija 1

2RO e

TK

K T

4n eT T

Odziv na poremećaj z

+ndash

1 nR

n

p TK

p T

21OK

p T 1

1

1 p T 3

1

1 p T

u yzndash

+

T1 ndash ldquovelikardquo vremenska konstantaT2 i T3 ndash ldquomalerdquo vremenske konstante

2 3eT T T

14 eT T

Odziv na poremećaj z = h(t)

Drugi red

Treći red

Treći red+ filter

• Parametarska sinteza regulatora (izbor parametara)
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Optimizacija parametara regulatora
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33

Optimizacija parametara regulatora

bull Postupak kompenzacije ne određuje sve parametre regulatora egzaktno

bull Većina metoda ostavlja određeni stepen slobode kod određivanja vrednosti parametara

bull Optimizacija se vrši po različitim kriterijumimabull Kriterijum optimizacije modula funkcije prenosa

sistema u frekventnom domenu

Optimizacija parametara regulatoraPođimo od opšteg blok dijagrama sistema kao kod pogona sa povratnom vezom

( )( )

( )R

RR

Z pF p

N p

Funkcija prenosa sistema u otvorenoj sprezi

FR(p)(referenca) u y

+ _F1(p)

+

_z (poremećaj)

F2(p)

1

e

11

1

( )( )

( )

Z pF p

N p 2

22

( )( )

( )

Z pF p

N p

00 1 2

0

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )R

Z pF p F p F p F p

N p

Optimizacija parametara regulatora

Funkcija prenosa sistema u zatvorenoj sprezi

FR(p)(referenca) u y

+ _F1(p)

+

_z (poremećaj)

F2(p)

1

e

0 0

0 0 0

( ) ( )( )( )

( ) 1 ( ) ( ) ( )w

F p Z py pF p

u p F p Z p N p

1 2

1 2 1 2

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )R

wR R

Z p Z p Z pF p

Z p Z p Z p N p N p N p

Optimizacija parametara regulatora

Prenos ovog sistema je jednak ldquo1rdquo u stacionarnom stanju

Kada se u menja (dudt ne 0) prenos nije 1

Ako posmatramo funkciju Fw(j) možemo reći da je sistem dobar

ako je izlaz jednak ili približno jednak ulazu u ldquoodređenom opsegurdquo učestanosti tj

00

dtdz

idt

du

( ) 1wF j

Šta je to ldquoodređeni opsegrdquo

Optimizacija parametara regulatora

Frekventna karakteristika

Nas interesuje opseg od malih ka većim učestanostima

Sa prebačajem

Opadajuća

Optimalna

Optimizacija parametara regulatora

Posmatrajmo dva karateristična oblika prenosnih funkcija u frekventnom domenu

0 2

0 1 2

( )( )

( ) ( )w

by jF j

u j a j a j a

0 1 2 3

0 1 2 3

( )( )

( ) ( ) ( )w

b j by jF j

u j a j a j a j a

Optimizacija parametara regulatora

U prvom slučaju

22

10

0 )()(

)()(

ajaja

b

ju

jyjFw

)(0 pFRegulator Objekat

Samo I

Nema integracionog člana u objektu

pa je 0022

10 )( baapappN

Primer

0

1( )

1O

i O

KF p

p T p T

1 2

20 0( ) ( ) 1O i O i i O

a a

Z p K N p p T p T p T p T T

02

0 0

( )( )

( ) ( )O

wO i O i

Z p KF p

Z p N p K p T p T T

Primer

Optimizacija parametara regulatora

U prvom slučaju

22

420

21

220

20

)2()(

aaaaa

ajFw

Ovo će biti asymp1 za male učestanosti ako je

02 2021 aaa 20

21 2 aaa

20241

1)(

aajFw

Posle čega se dobija

Optimizacija parametara regulatora

U drugom slučaju

)(0 pF RegulatorObjekat

pa je )( 110033

22

0 babaapappN

33

22

10

10

)()()(

ajajaja

bjbjFw

Primer

Optimizacija parametara regulatora

U drugom slučaju

23

631

22

420

21

220

21

220

)2()2()(

aaaaaaaa

aajFw

Ovo će biti asymp1 za male učestanosti ako je

02 2021 aaa 20

21 2 aaa

203

6

201

2

1

1)(

aa

aajFw

02 3122 aaa 31

22 2 aaa

Posle čega se dobija

Optimizacija parametara regulatora

Prvi slučaj

Drugi slučaj

Prvi slučaj

Drugi slučaj

Za funkciju prenosa drugog reda

Ako nema integratora u objektu i

0

1( )

1O

I e

KF p

p T p T

Objekat

Regulator

Samo I

_

+u y

2

( )( )

( )O

wO I I e

Ky pF p

u p K p T p T T

21 0 22a a a 2I O eT K T 0 1 2O I I ea K a T a T T

1

11

K

p T 1n

n

K

p T

1 2 nT T T

1 2 e nT T T T

1 2 O nK K K K

Ako je u(t) step funkcija h(t) onda je

2 2

( ) 1( )

( ) 1 2 2we e

y pF p

u p p T p T

1

2

( ) pound ( ) ( )

1 cos sin2 2

e

w

t

T

e e

y t u p F p

t te

T T

06 05 04 03 02 01 0

06

05

04

03

02

01

01

02

03

04

05

06

Re osa

Im o

sa

Polovi prenosne funkcijeFw(p) za Te=1

12

1 1

2 2

11

2

e e

e

p iT T

i iT

43 plusmn2

Tr=47Te

Ts=84Te

2 2

2 2

10707

2

1 1

2n

eT

Tr ndash Vreme reagovanjaTs ndash Vreme smirenja

Ako je jedna vremenska konstanta ldquovelikardquo

+

ndash

u y

1 nR

n

p TK

p T

11

OK

p T 1

1 ep T

01

1 1

1 1n O

Rn e

p T KF p K

p T p T p T

Da bi se kompenzovala velika vremenska konstanta

01 1

R O

e

K KF p

p T p T

2

1 1

R Ow

R O e

K KF p

K K p T p T T

1 eT T

1nT T

0 1 1 2 1 R O ea K K a T a T T

1

2RO e

TK

K T

1

2R Oe

TK K

T

2 2

1

1 2 2w opte e

y pF p

u p p T p T

bull Ako su obe bdquovremenske konstanterdquo velike primenjuje se PID

bull Ako je jedna vremenska konstanta 20 puta veća od druge može se primeniti P regulator ali tada postoji problem statičke greške

Modulni optimum za funkciju prenosa trećeg reda

+

ndash

u yRegulator

1O

e

K

p T

1

Op T

Ako primenimo kompenzaciju Tn=Te

02

1OR

n On O

R O

KKF p

T Tp T p T pK K

1 nR

n

p TK

p T

2

1

1w

n O

R O

y pF p

T Tu p pK K

Ako je u(t) impulsna funkcija

n O n O

R O R O

t tj j

T T T T

K K K Ky t e e

Neprigušene oscilacije

Zaključak Ne može se primeniti kompenzacija

Koristimo se opet principom ( ) 1wF j

0

1 1

1n O

Rn e O

p T KF p K

p T p T p T

20 1 3

2 3

1R O nw

R O R O n n O n O e

aa a a

K K p TF p

K K p K K T p T T p T T T

0 1 2 3 R O R O n n O n O ea K K a K K T a T T a T T T 2 21 0 2 2 1 32 2a a a a a a

4n eT T

1

2O

RO e

TK

K T

2 2 3 3

1 4

1 4 8 8e

w opte e e

y p p TF p

u p p T p T p T

Optimum ćemo ostvariti ukoliko je

Odziv u vremenskom domenu

434

plusmn2

Tr=31TeTs=165Te

Odziv brži premašaj

Manje je optimalan u odnosu na slučaj drugog

reda

Ako se na red stavi filter sa

81plusmn2

Tr=76Te Ts=133Te

1

1 4 ep T

Ako se na red stavi soft-start

7plusmn2

Tr=25TeTs=32Te

Uporedimo odzive sa filtrom sa soft-startom i bez filtra

a 2 241 3 4 5

05 0707 1 15 2

2 1 O

n e RO e

TT a T K

a K T

Modifikacija parametara

12 a

Ako je objekat sa dve vremenske konstante i integratorom

+

ndash

1 1n dR

n

p T p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T 1

ip T

1 eT T

Tn=T1 ndash kompenzacija najveće vremenske konstante posle optimizacija modula

PID

Ako je

+

ndash

1 nR

n

p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T

14 eT T

Optimizacijom se dobija 1

2RO e

TK

K T

4n eT T

Odziv na poremećaj z

+ndash

1 nR

n

p TK

p T

21OK

p T 1

1

1 p T 3

1

1 p T

u yzndash

+

T1 ndash ldquovelikardquo vremenska konstantaT2 i T3 ndash ldquomalerdquo vremenske konstante

2 3eT T T

14 eT T

Odziv na poremećaj z = h(t)

Drugi red

Treći red

Treći red+ filter

• Parametarska sinteza regulatora (izbor parametara)
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Optimizacija parametara regulatora
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33

Optimizacija parametara regulatoraPođimo od opšteg blok dijagrama sistema kao kod pogona sa povratnom vezom

( )( )

( )R

RR

Z pF p

N p

Funkcija prenosa sistema u otvorenoj sprezi

FR(p)(referenca) u y

+ _F1(p)

+

_z (poremećaj)

F2(p)

1

e

11

1

( )( )

( )

Z pF p

N p 2

22

( )( )

( )

Z pF p

N p

00 1 2

0

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )R

Z pF p F p F p F p

N p

Optimizacija parametara regulatora

Funkcija prenosa sistema u zatvorenoj sprezi

FR(p)(referenca) u y

+ _F1(p)

+

_z (poremećaj)

F2(p)

1

e

0 0

0 0 0

( ) ( )( )( )

( ) 1 ( ) ( ) ( )w

F p Z py pF p

u p F p Z p N p

1 2

1 2 1 2

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )R

wR R

Z p Z p Z pF p

Z p Z p Z p N p N p N p

Optimizacija parametara regulatora

Prenos ovog sistema je jednak ldquo1rdquo u stacionarnom stanju

Kada se u menja (dudt ne 0) prenos nije 1

Ako posmatramo funkciju Fw(j) možemo reći da je sistem dobar

ako je izlaz jednak ili približno jednak ulazu u ldquoodređenom opsegurdquo učestanosti tj

00

dtdz

idt

du

( ) 1wF j

Šta je to ldquoodređeni opsegrdquo

Optimizacija parametara regulatora

Frekventna karakteristika

Nas interesuje opseg od malih ka većim učestanostima

Sa prebačajem

Opadajuća

Optimalna

Optimizacija parametara regulatora

Posmatrajmo dva karateristična oblika prenosnih funkcija u frekventnom domenu

0 2

0 1 2

( )( )

( ) ( )w

by jF j

u j a j a j a

0 1 2 3

0 1 2 3

( )( )

( ) ( ) ( )w

b j by jF j

u j a j a j a j a

Optimizacija parametara regulatora

U prvom slučaju

22

10

0 )()(

)()(

ajaja

b

ju

jyjFw

)(0 pFRegulator Objekat

Samo I

Nema integracionog člana u objektu

pa je 0022

10 )( baapappN

Primer

0

1( )

1O

i O

KF p

p T p T

1 2

20 0( ) ( ) 1O i O i i O

a a

Z p K N p p T p T p T p T T

02

0 0

( )( )

( ) ( )O

wO i O i

Z p KF p

Z p N p K p T p T T

Primer

Optimizacija parametara regulatora

U prvom slučaju

22

420

21

220

20

)2()(

aaaaa

ajFw

Ovo će biti asymp1 za male učestanosti ako je

02 2021 aaa 20

21 2 aaa

20241

1)(

aajFw

Posle čega se dobija

Optimizacija parametara regulatora

U drugom slučaju

)(0 pF RegulatorObjekat

pa je )( 110033

22

0 babaapappN

33

22

10

10

)()()(

ajajaja

bjbjFw

Primer

Optimizacija parametara regulatora

U drugom slučaju

23

631

22

420

21

220

21

220

)2()2()(

aaaaaaaa

aajFw

Ovo će biti asymp1 za male učestanosti ako je

02 2021 aaa 20

21 2 aaa

203

6

201

2

1

1)(

aa

aajFw

02 3122 aaa 31

22 2 aaa

Posle čega se dobija

Optimizacija parametara regulatora

Prvi slučaj

Drugi slučaj

Prvi slučaj

Drugi slučaj

Za funkciju prenosa drugog reda

Ako nema integratora u objektu i

0

1( )

1O

I e

KF p

p T p T

Objekat

Regulator

Samo I

_

+u y

2

( )( )

( )O

wO I I e

Ky pF p

u p K p T p T T

21 0 22a a a 2I O eT K T 0 1 2O I I ea K a T a T T

1

11

K

p T 1n

n

K

p T

1 2 nT T T

1 2 e nT T T T

1 2 O nK K K K

Ako je u(t) step funkcija h(t) onda je

2 2

( ) 1( )

( ) 1 2 2we e

y pF p

u p p T p T

1

2

( ) pound ( ) ( )

1 cos sin2 2

e

w

t

T

e e

y t u p F p

t te

T T

06 05 04 03 02 01 0

06

05

04

03

02

01

01

02

03

04

05

06

Re osa

Im o

sa

Polovi prenosne funkcijeFw(p) za Te=1

12

1 1

2 2

11

2

e e

e

p iT T

i iT

43 plusmn2

Tr=47Te

Ts=84Te

2 2

2 2

10707

2

1 1

2n

eT

Tr ndash Vreme reagovanjaTs ndash Vreme smirenja

Ako je jedna vremenska konstanta ldquovelikardquo

+

ndash

u y

1 nR

n

p TK

p T

11

OK

p T 1

1 ep T

01

1 1

1 1n O

Rn e

p T KF p K

p T p T p T

Da bi se kompenzovala velika vremenska konstanta

01 1

R O

e

K KF p

p T p T

2

1 1

R Ow

R O e

K KF p

K K p T p T T

1 eT T

1nT T

0 1 1 2 1 R O ea K K a T a T T

1

2RO e

TK

K T

1

2R Oe

TK K

T

2 2

1

1 2 2w opte e

y pF p

u p p T p T

bull Ako su obe bdquovremenske konstanterdquo velike primenjuje se PID

bull Ako je jedna vremenska konstanta 20 puta veća od druge može se primeniti P regulator ali tada postoji problem statičke greške

Modulni optimum za funkciju prenosa trećeg reda

+

ndash

u yRegulator

1O

e

K

p T

1

Op T

Ako primenimo kompenzaciju Tn=Te

02

1OR

n On O

R O

KKF p

T Tp T p T pK K

1 nR

n

p TK

p T

2

1

1w

n O

R O

y pF p

T Tu p pK K

Ako je u(t) impulsna funkcija

n O n O

R O R O

t tj j

T T T T

K K K Ky t e e

Neprigušene oscilacije

Zaključak Ne može se primeniti kompenzacija

Koristimo se opet principom ( ) 1wF j

0

1 1

1n O

Rn e O

p T KF p K

p T p T p T

20 1 3

2 3

1R O nw

R O R O n n O n O e

aa a a

K K p TF p

K K p K K T p T T p T T T

0 1 2 3 R O R O n n O n O ea K K a K K T a T T a T T T 2 21 0 2 2 1 32 2a a a a a a

4n eT T

1

2O

RO e

TK

K T

2 2 3 3

1 4

1 4 8 8e

w opte e e

y p p TF p

u p p T p T p T

Optimum ćemo ostvariti ukoliko je

Odziv u vremenskom domenu

434

plusmn2

Tr=31TeTs=165Te

Odziv brži premašaj

Manje je optimalan u odnosu na slučaj drugog

reda

Ako se na red stavi filter sa

81plusmn2

Tr=76Te Ts=133Te

1

1 4 ep T

Ako se na red stavi soft-start

7plusmn2

Tr=25TeTs=32Te

Uporedimo odzive sa filtrom sa soft-startom i bez filtra

a 2 241 3 4 5

05 0707 1 15 2

2 1 O

n e RO e

TT a T K

a K T

Modifikacija parametara

12 a

Ako je objekat sa dve vremenske konstante i integratorom

+

ndash

1 1n dR

n

p T p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T 1

ip T

1 eT T

Tn=T1 ndash kompenzacija najveće vremenske konstante posle optimizacija modula

PID

Ako je

+

ndash

1 nR

n

p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T

14 eT T

Optimizacijom se dobija 1

2RO e

TK

K T

4n eT T

Odziv na poremećaj z

+ndash

1 nR

n

p TK

p T

21OK

p T 1

1

1 p T 3

1

1 p T

u yzndash

+

T1 ndash ldquovelikardquo vremenska konstantaT2 i T3 ndash ldquomalerdquo vremenske konstante

2 3eT T T

14 eT T

Odziv na poremećaj z = h(t)

Drugi red

Treći red

Treći red+ filter

• Parametarska sinteza regulatora (izbor parametara)
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Optimizacija parametara regulatora
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33

Optimizacija parametara regulatora

Funkcija prenosa sistema u zatvorenoj sprezi

FR(p)(referenca) u y

+ _F1(p)

+

_z (poremećaj)

F2(p)

1

e

0 0

0 0 0

( ) ( )( )( )

( ) 1 ( ) ( ) ( )w

F p Z py pF p

u p F p Z p N p

1 2

1 2 1 2

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )R

wR R

Z p Z p Z pF p

Z p Z p Z p N p N p N p

Optimizacija parametara regulatora

Prenos ovog sistema je jednak ldquo1rdquo u stacionarnom stanju

Kada se u menja (dudt ne 0) prenos nije 1

Ako posmatramo funkciju Fw(j) možemo reći da je sistem dobar

ako je izlaz jednak ili približno jednak ulazu u ldquoodređenom opsegurdquo učestanosti tj

00

dtdz

idt

du

( ) 1wF j

Šta je to ldquoodređeni opsegrdquo

Optimizacija parametara regulatora

Frekventna karakteristika

Nas interesuje opseg od malih ka većim učestanostima

Sa prebačajem

Opadajuća

Optimalna

Optimizacija parametara regulatora

Posmatrajmo dva karateristična oblika prenosnih funkcija u frekventnom domenu

0 2

0 1 2

( )( )

( ) ( )w

by jF j

u j a j a j a

0 1 2 3

0 1 2 3

( )( )

( ) ( ) ( )w

b j by jF j

u j a j a j a j a

Optimizacija parametara regulatora

U prvom slučaju

22

10

0 )()(

)()(

ajaja

b

ju

jyjFw

)(0 pFRegulator Objekat

Samo I

Nema integracionog člana u objektu

pa je 0022

10 )( baapappN

Primer

0

1( )

1O

i O

KF p

p T p T

1 2

20 0( ) ( ) 1O i O i i O

a a

Z p K N p p T p T p T p T T

02

0 0

( )( )

( ) ( )O

wO i O i

Z p KF p

Z p N p K p T p T T

Primer

Optimizacija parametara regulatora

U prvom slučaju

22

420

21

220

20

)2()(

aaaaa

ajFw

Ovo će biti asymp1 za male učestanosti ako je

02 2021 aaa 20

21 2 aaa

20241

1)(

aajFw

Posle čega se dobija

Optimizacija parametara regulatora

U drugom slučaju

)(0 pF RegulatorObjekat

pa je )( 110033

22

0 babaapappN

33

22

10

10

)()()(

ajajaja

bjbjFw

Primer

Optimizacija parametara regulatora

U drugom slučaju

23

631

22

420

21

220

21

220

)2()2()(

aaaaaaaa

aajFw

Ovo će biti asymp1 za male učestanosti ako je

02 2021 aaa 20

21 2 aaa

203

6

201

2

1

1)(

aa

aajFw

02 3122 aaa 31

22 2 aaa

Posle čega se dobija

Optimizacija parametara regulatora

Prvi slučaj

Drugi slučaj

Prvi slučaj

Drugi slučaj

Za funkciju prenosa drugog reda

Ako nema integratora u objektu i

0

1( )

1O

I e

KF p

p T p T

Objekat

Regulator

Samo I

_

+u y

2

( )( )

( )O

wO I I e

Ky pF p

u p K p T p T T

21 0 22a a a 2I O eT K T 0 1 2O I I ea K a T a T T

1

11

K

p T 1n

n

K

p T

1 2 nT T T

1 2 e nT T T T

1 2 O nK K K K

Ako je u(t) step funkcija h(t) onda je

2 2

( ) 1( )

( ) 1 2 2we e

y pF p

u p p T p T

1

2

( ) pound ( ) ( )

1 cos sin2 2

e

w

t

T

e e

y t u p F p

t te

T T

06 05 04 03 02 01 0

06

05

04

03

02

01

01

02

03

04

05

06

Re osa

Im o

sa

Polovi prenosne funkcijeFw(p) za Te=1

12

1 1

2 2

11

2

e e

e

p iT T

i iT

43 plusmn2

Tr=47Te

Ts=84Te

2 2

2 2

10707

2

1 1

2n

eT

Tr ndash Vreme reagovanjaTs ndash Vreme smirenja

Ako je jedna vremenska konstanta ldquovelikardquo

+

ndash

u y

1 nR

n

p TK

p T

11

OK

p T 1

1 ep T

01

1 1

1 1n O

Rn e

p T KF p K

p T p T p T

Da bi se kompenzovala velika vremenska konstanta

01 1

R O

e

K KF p

p T p T

2

1 1

R Ow

R O e

K KF p

K K p T p T T

1 eT T

1nT T

0 1 1 2 1 R O ea K K a T a T T

1

2RO e

TK

K T

1

2R Oe

TK K

T

2 2

1

1 2 2w opte e

y pF p

u p p T p T

bull Ako su obe bdquovremenske konstanterdquo velike primenjuje se PID

bull Ako je jedna vremenska konstanta 20 puta veća od druge može se primeniti P regulator ali tada postoji problem statičke greške

Modulni optimum za funkciju prenosa trećeg reda

+

ndash

u yRegulator

1O

e

K

p T

1

Op T

Ako primenimo kompenzaciju Tn=Te

02

1OR

n On O

R O

KKF p

T Tp T p T pK K

1 nR

n

p TK

p T

2

1

1w

n O

R O

y pF p

T Tu p pK K

Ako je u(t) impulsna funkcija

n O n O

R O R O

t tj j

T T T T

K K K Ky t e e

Neprigušene oscilacije

Zaključak Ne može se primeniti kompenzacija

Koristimo se opet principom ( ) 1wF j

0

1 1

1n O

Rn e O

p T KF p K

p T p T p T

20 1 3

2 3

1R O nw

R O R O n n O n O e

aa a a

K K p TF p

K K p K K T p T T p T T T

0 1 2 3 R O R O n n O n O ea K K a K K T a T T a T T T 2 21 0 2 2 1 32 2a a a a a a

4n eT T

1

2O

RO e

TK

K T

2 2 3 3

1 4

1 4 8 8e

w opte e e

y p p TF p

u p p T p T p T

Optimum ćemo ostvariti ukoliko je

Odziv u vremenskom domenu

434

plusmn2

Tr=31TeTs=165Te

Odziv brži premašaj

Manje je optimalan u odnosu na slučaj drugog

reda

Ako se na red stavi filter sa

81plusmn2

Tr=76Te Ts=133Te

1

1 4 ep T

Ako se na red stavi soft-start

7plusmn2

Tr=25TeTs=32Te

Uporedimo odzive sa filtrom sa soft-startom i bez filtra

a 2 241 3 4 5

05 0707 1 15 2

2 1 O

n e RO e

TT a T K

a K T

Modifikacija parametara

12 a

Ako je objekat sa dve vremenske konstante i integratorom

+

ndash

1 1n dR

n

p T p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T 1

ip T

1 eT T

Tn=T1 ndash kompenzacija najveće vremenske konstante posle optimizacija modula

PID

Ako je

+

ndash

1 nR

n

p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T

14 eT T

Optimizacijom se dobija 1

2RO e

TK

K T

4n eT T

Odziv na poremećaj z

+ndash

1 nR

n

p TK

p T

21OK

p T 1

1

1 p T 3

1

1 p T

u yzndash

+

T1 ndash ldquovelikardquo vremenska konstantaT2 i T3 ndash ldquomalerdquo vremenske konstante

2 3eT T T

14 eT T

Odziv na poremećaj z = h(t)

Drugi red

Treći red

Treći red+ filter

• Parametarska sinteza regulatora (izbor parametara)
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Optimizacija parametara regulatora
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33

Optimizacija parametara regulatora

Prenos ovog sistema je jednak ldquo1rdquo u stacionarnom stanju

Kada se u menja (dudt ne 0) prenos nije 1

Ako posmatramo funkciju Fw(j) možemo reći da je sistem dobar

ako je izlaz jednak ili približno jednak ulazu u ldquoodređenom opsegurdquo učestanosti tj

00

dtdz

idt

du

( ) 1wF j

Šta je to ldquoodređeni opsegrdquo

Optimizacija parametara regulatora

Frekventna karakteristika

Nas interesuje opseg od malih ka većim učestanostima

Sa prebačajem

Opadajuća

Optimalna

Optimizacija parametara regulatora

Posmatrajmo dva karateristična oblika prenosnih funkcija u frekventnom domenu

0 2

0 1 2

( )( )

( ) ( )w

by jF j

u j a j a j a

0 1 2 3

0 1 2 3

( )( )

( ) ( ) ( )w

b j by jF j

u j a j a j a j a

Optimizacija parametara regulatora

U prvom slučaju

22

10

0 )()(

)()(

ajaja

b

ju

jyjFw

)(0 pFRegulator Objekat

Samo I

Nema integracionog člana u objektu

pa je 0022

10 )( baapappN

Primer

0

1( )

1O

i O

KF p

p T p T

1 2

20 0( ) ( ) 1O i O i i O

a a

Z p K N p p T p T p T p T T

02

0 0

( )( )

( ) ( )O

wO i O i

Z p KF p

Z p N p K p T p T T

Primer

Optimizacija parametara regulatora

U prvom slučaju

22

420

21

220

20

)2()(

aaaaa

ajFw

Ovo će biti asymp1 za male učestanosti ako je

02 2021 aaa 20

21 2 aaa

20241

1)(

aajFw

Posle čega se dobija

Optimizacija parametara regulatora

U drugom slučaju

)(0 pF RegulatorObjekat

pa je )( 110033

22

0 babaapappN

33

22

10

10

)()()(

ajajaja

bjbjFw

Primer

Optimizacija parametara regulatora

U drugom slučaju

23

631

22

420

21

220

21

220

)2()2()(

aaaaaaaa

aajFw

Ovo će biti asymp1 za male učestanosti ako je

02 2021 aaa 20

21 2 aaa

203

6

201

2

1

1)(

aa

aajFw

02 3122 aaa 31

22 2 aaa

Posle čega se dobija

Optimizacija parametara regulatora

Prvi slučaj

Drugi slučaj

Prvi slučaj

Drugi slučaj

Za funkciju prenosa drugog reda

Ako nema integratora u objektu i

0

1( )

1O

I e

KF p

p T p T

Objekat

Regulator

Samo I

_

+u y

2

( )( )

( )O

wO I I e

Ky pF p

u p K p T p T T

21 0 22a a a 2I O eT K T 0 1 2O I I ea K a T a T T

1

11

K

p T 1n

n

K

p T

1 2 nT T T

1 2 e nT T T T

1 2 O nK K K K

Ako je u(t) step funkcija h(t) onda je

2 2

( ) 1( )

( ) 1 2 2we e

y pF p

u p p T p T

1

2

( ) pound ( ) ( )

1 cos sin2 2

e

w

t

T

e e

y t u p F p

t te

T T

06 05 04 03 02 01 0

06

05

04

03

02

01

01

02

03

04

05

06

Re osa

Im o

sa

Polovi prenosne funkcijeFw(p) za Te=1

12

1 1

2 2

11

2

e e

e

p iT T

i iT

43 plusmn2

Tr=47Te

Ts=84Te

2 2

2 2

10707

2

1 1

2n

eT

Tr ndash Vreme reagovanjaTs ndash Vreme smirenja

Ako je jedna vremenska konstanta ldquovelikardquo

+

ndash

u y

1 nR

n

p TK

p T

11

OK

p T 1

1 ep T

01

1 1

1 1n O

Rn e

p T KF p K

p T p T p T

Da bi se kompenzovala velika vremenska konstanta

01 1

R O

e

K KF p

p T p T

2

1 1

R Ow

R O e

K KF p

K K p T p T T

1 eT T

1nT T

0 1 1 2 1 R O ea K K a T a T T

1

2RO e

TK

K T

1

2R Oe

TK K

T

2 2

1

1 2 2w opte e

y pF p

u p p T p T

bull Ako su obe bdquovremenske konstanterdquo velike primenjuje se PID

bull Ako je jedna vremenska konstanta 20 puta veća od druge može se primeniti P regulator ali tada postoji problem statičke greške

Modulni optimum za funkciju prenosa trećeg reda

+

ndash

u yRegulator

1O

e

K

p T

1

Op T

Ako primenimo kompenzaciju Tn=Te

02

1OR

n On O

R O

KKF p

T Tp T p T pK K

1 nR

n

p TK

p T

2

1

1w

n O

R O

y pF p

T Tu p pK K

Ako je u(t) impulsna funkcija

n O n O

R O R O

t tj j

T T T T

K K K Ky t e e

Neprigušene oscilacije

Zaključak Ne može se primeniti kompenzacija

Koristimo se opet principom ( ) 1wF j

0

1 1

1n O

Rn e O

p T KF p K

p T p T p T

20 1 3

2 3

1R O nw

R O R O n n O n O e

aa a a

K K p TF p

K K p K K T p T T p T T T

0 1 2 3 R O R O n n O n O ea K K a K K T a T T a T T T 2 21 0 2 2 1 32 2a a a a a a

4n eT T

1

2O

RO e

TK

K T

2 2 3 3

1 4

1 4 8 8e

w opte e e

y p p TF p

u p p T p T p T

Optimum ćemo ostvariti ukoliko je

Odziv u vremenskom domenu

434

plusmn2

Tr=31TeTs=165Te

Odziv brži premašaj

Manje je optimalan u odnosu na slučaj drugog

reda

Ako se na red stavi filter sa

81plusmn2

Tr=76Te Ts=133Te

1

1 4 ep T

Ako se na red stavi soft-start

7plusmn2

Tr=25TeTs=32Te

Uporedimo odzive sa filtrom sa soft-startom i bez filtra

a 2 241 3 4 5

05 0707 1 15 2

2 1 O

n e RO e

TT a T K

a K T

Modifikacija parametara

12 a

Ako je objekat sa dve vremenske konstante i integratorom

+

ndash

1 1n dR

n

p T p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T 1

ip T

1 eT T

Tn=T1 ndash kompenzacija najveće vremenske konstante posle optimizacija modula

PID

Ako je

+

ndash

1 nR

n

p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T

14 eT T

Optimizacijom se dobija 1

2RO e

TK

K T

4n eT T

Odziv na poremećaj z

+ndash

1 nR

n

p TK

p T

21OK

p T 1

1

1 p T 3

1

1 p T

u yzndash

+

T1 ndash ldquovelikardquo vremenska konstantaT2 i T3 ndash ldquomalerdquo vremenske konstante

2 3eT T T

14 eT T

Odziv na poremećaj z = h(t)

Drugi red

Treći red

Treći red+ filter

• Parametarska sinteza regulatora (izbor parametara)
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Optimizacija parametara regulatora
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33

Optimizacija parametara regulatora

Frekventna karakteristika

Nas interesuje opseg od malih ka većim učestanostima

Sa prebačajem

Opadajuća

Optimalna

Optimizacija parametara regulatora

Posmatrajmo dva karateristična oblika prenosnih funkcija u frekventnom domenu

0 2

0 1 2

( )( )

( ) ( )w

by jF j

u j a j a j a

0 1 2 3

0 1 2 3

( )( )

( ) ( ) ( )w

b j by jF j

u j a j a j a j a

Optimizacija parametara regulatora

U prvom slučaju

22

10

0 )()(

)()(

ajaja

b

ju

jyjFw

)(0 pFRegulator Objekat

Samo I

Nema integracionog člana u objektu

pa je 0022

10 )( baapappN

Primer

0

1( )

1O

i O

KF p

p T p T

1 2

20 0( ) ( ) 1O i O i i O

a a

Z p K N p p T p T p T p T T

02

0 0

( )( )

( ) ( )O

wO i O i

Z p KF p

Z p N p K p T p T T

Primer

Optimizacija parametara regulatora

U prvom slučaju

22

420

21

220

20

)2()(

aaaaa

ajFw

Ovo će biti asymp1 za male učestanosti ako je

02 2021 aaa 20

21 2 aaa

20241

1)(

aajFw

Posle čega se dobija

Optimizacija parametara regulatora

U drugom slučaju

)(0 pF RegulatorObjekat

pa je )( 110033

22

0 babaapappN

33

22

10

10

)()()(

ajajaja

bjbjFw

Primer

Optimizacija parametara regulatora

U drugom slučaju

23

631

22

420

21

220

21

220

)2()2()(

aaaaaaaa

aajFw

Ovo će biti asymp1 za male učestanosti ako je

02 2021 aaa 20

21 2 aaa

203

6

201

2

1

1)(

aa

aajFw

02 3122 aaa 31

22 2 aaa

Posle čega se dobija

Optimizacija parametara regulatora

Prvi slučaj

Drugi slučaj

Prvi slučaj

Drugi slučaj

Za funkciju prenosa drugog reda

Ako nema integratora u objektu i

0

1( )

1O

I e

KF p

p T p T

Objekat

Regulator

Samo I

_

+u y

2

( )( )

( )O

wO I I e

Ky pF p

u p K p T p T T

21 0 22a a a 2I O eT K T 0 1 2O I I ea K a T a T T

1

11

K

p T 1n

n

K

p T

1 2 nT T T

1 2 e nT T T T

1 2 O nK K K K

Ako je u(t) step funkcija h(t) onda je

2 2

( ) 1( )

( ) 1 2 2we e

y pF p

u p p T p T

1

2

( ) pound ( ) ( )

1 cos sin2 2

e

w

t

T

e e

y t u p F p

t te

T T

06 05 04 03 02 01 0

06

05

04

03

02

01

01

02

03

04

05

06

Re osa

Im o

sa

Polovi prenosne funkcijeFw(p) za Te=1

12

1 1

2 2

11

2

e e

e

p iT T

i iT

43 plusmn2

Tr=47Te

Ts=84Te

2 2

2 2

10707

2

1 1

2n

eT

Tr ndash Vreme reagovanjaTs ndash Vreme smirenja

Ako je jedna vremenska konstanta ldquovelikardquo

+

ndash

u y

1 nR

n

p TK

p T

11

OK

p T 1

1 ep T

01

1 1

1 1n O

Rn e

p T KF p K

p T p T p T

Da bi se kompenzovala velika vremenska konstanta

01 1

R O

e

K KF p

p T p T

2

1 1

R Ow

R O e

K KF p

K K p T p T T

1 eT T

1nT T

0 1 1 2 1 R O ea K K a T a T T

1

2RO e

TK

K T

1

2R Oe

TK K

T

2 2

1

1 2 2w opte e

y pF p

u p p T p T

bull Ako su obe bdquovremenske konstanterdquo velike primenjuje se PID

bull Ako je jedna vremenska konstanta 20 puta veća od druge može se primeniti P regulator ali tada postoji problem statičke greške

Modulni optimum za funkciju prenosa trećeg reda

+

ndash

u yRegulator

1O

e

K

p T

1

Op T

Ako primenimo kompenzaciju Tn=Te

02

1OR

n On O

R O

KKF p

T Tp T p T pK K

1 nR

n

p TK

p T

2

1

1w

n O

R O

y pF p

T Tu p pK K

Ako je u(t) impulsna funkcija

n O n O

R O R O

t tj j

T T T T

K K K Ky t e e

Neprigušene oscilacije

Zaključak Ne može se primeniti kompenzacija

Koristimo se opet principom ( ) 1wF j

0

1 1

1n O

Rn e O

p T KF p K

p T p T p T

20 1 3

2 3

1R O nw

R O R O n n O n O e

aa a a

K K p TF p

K K p K K T p T T p T T T

0 1 2 3 R O R O n n O n O ea K K a K K T a T T a T T T 2 21 0 2 2 1 32 2a a a a a a

4n eT T

1

2O

RO e

TK

K T

2 2 3 3

1 4

1 4 8 8e

w opte e e

y p p TF p

u p p T p T p T

Optimum ćemo ostvariti ukoliko je

Odziv u vremenskom domenu

434

plusmn2

Tr=31TeTs=165Te

Odziv brži premašaj

Manje je optimalan u odnosu na slučaj drugog

reda

Ako se na red stavi filter sa

81plusmn2

Tr=76Te Ts=133Te

1

1 4 ep T

Ako se na red stavi soft-start

7plusmn2

Tr=25TeTs=32Te

Uporedimo odzive sa filtrom sa soft-startom i bez filtra

a 2 241 3 4 5

05 0707 1 15 2

2 1 O

n e RO e

TT a T K

a K T

Modifikacija parametara

12 a

Ako je objekat sa dve vremenske konstante i integratorom

+

ndash

1 1n dR

n

p T p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T 1

ip T

1 eT T

Tn=T1 ndash kompenzacija najveće vremenske konstante posle optimizacija modula

PID

Ako je

+

ndash

1 nR

n

p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T

14 eT T

Optimizacijom se dobija 1

2RO e

TK

K T

4n eT T

Odziv na poremećaj z

+ndash

1 nR

n

p TK

p T

21OK

p T 1

1

1 p T 3

1

1 p T

u yzndash

+

T1 ndash ldquovelikardquo vremenska konstantaT2 i T3 ndash ldquomalerdquo vremenske konstante

2 3eT T T

14 eT T

Odziv na poremećaj z = h(t)

Drugi red

Treći red

Treći red+ filter

• Parametarska sinteza regulatora (izbor parametara)
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Optimizacija parametara regulatora
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33

Optimizacija parametara regulatora

Posmatrajmo dva karateristična oblika prenosnih funkcija u frekventnom domenu

0 2

0 1 2

( )( )

( ) ( )w

by jF j

u j a j a j a

0 1 2 3

0 1 2 3

( )( )

( ) ( ) ( )w

b j by jF j

u j a j a j a j a

Optimizacija parametara regulatora

U prvom slučaju

22

10

0 )()(

)()(

ajaja

b

ju

jyjFw

)(0 pFRegulator Objekat

Samo I

Nema integracionog člana u objektu

pa je 0022

10 )( baapappN

Primer

0

1( )

1O

i O

KF p

p T p T

1 2

20 0( ) ( ) 1O i O i i O

a a

Z p K N p p T p T p T p T T

02

0 0

( )( )

( ) ( )O

wO i O i

Z p KF p

Z p N p K p T p T T

Primer

Optimizacija parametara regulatora

U prvom slučaju

22

420

21

220

20

)2()(

aaaaa

ajFw

Ovo će biti asymp1 za male učestanosti ako je

02 2021 aaa 20

21 2 aaa

20241

1)(

aajFw

Posle čega se dobija

Optimizacija parametara regulatora

U drugom slučaju

)(0 pF RegulatorObjekat

pa je )( 110033

22

0 babaapappN

33

22

10

10

)()()(

ajajaja

bjbjFw

Primer

Optimizacija parametara regulatora

U drugom slučaju

23

631

22

420

21

220

21

220

)2()2()(

aaaaaaaa

aajFw

Ovo će biti asymp1 za male učestanosti ako je

02 2021 aaa 20

21 2 aaa

203

6

201

2

1

1)(

aa

aajFw

02 3122 aaa 31

22 2 aaa

Posle čega se dobija

Optimizacija parametara regulatora

Prvi slučaj

Drugi slučaj

Prvi slučaj

Drugi slučaj

Za funkciju prenosa drugog reda

Ako nema integratora u objektu i

0

1( )

1O

I e

KF p

p T p T

Objekat

Regulator

Samo I

_

+u y

2

( )( )

( )O

wO I I e

Ky pF p

u p K p T p T T

21 0 22a a a 2I O eT K T 0 1 2O I I ea K a T a T T

1

11

K

p T 1n

n

K

p T

1 2 nT T T

1 2 e nT T T T

1 2 O nK K K K

Ako je u(t) step funkcija h(t) onda je

2 2

( ) 1( )

( ) 1 2 2we e

y pF p

u p p T p T

1

2

( ) pound ( ) ( )

1 cos sin2 2

e

w

t

T

e e

y t u p F p

t te

T T

06 05 04 03 02 01 0

06

05

04

03

02

01

01

02

03

04

05

06

Re osa

Im o

sa

Polovi prenosne funkcijeFw(p) za Te=1

12

1 1

2 2

11

2

e e

e

p iT T

i iT

43 plusmn2

Tr=47Te

Ts=84Te

2 2

2 2

10707

2

1 1

2n

eT

Tr ndash Vreme reagovanjaTs ndash Vreme smirenja

Ako je jedna vremenska konstanta ldquovelikardquo

+

ndash

u y

1 nR

n

p TK

p T

11

OK

p T 1

1 ep T

01

1 1

1 1n O

Rn e

p T KF p K

p T p T p T

Da bi se kompenzovala velika vremenska konstanta

01 1

R O

e

K KF p

p T p T

2

1 1

R Ow

R O e

K KF p

K K p T p T T

1 eT T

1nT T

0 1 1 2 1 R O ea K K a T a T T

1

2RO e

TK

K T

1

2R Oe

TK K

T

2 2

1

1 2 2w opte e

y pF p

u p p T p T

bull Ako su obe bdquovremenske konstanterdquo velike primenjuje se PID

bull Ako je jedna vremenska konstanta 20 puta veća od druge može se primeniti P regulator ali tada postoji problem statičke greške

Modulni optimum za funkciju prenosa trećeg reda

+

ndash

u yRegulator

1O

e

K

p T

1

Op T

Ako primenimo kompenzaciju Tn=Te

02

1OR

n On O

R O

KKF p

T Tp T p T pK K

1 nR

n

p TK

p T

2

1

1w

n O

R O

y pF p

T Tu p pK K

Ako je u(t) impulsna funkcija

n O n O

R O R O

t tj j

T T T T

K K K Ky t e e

Neprigušene oscilacije

Zaključak Ne može se primeniti kompenzacija

Koristimo se opet principom ( ) 1wF j

0

1 1

1n O

Rn e O

p T KF p K

p T p T p T

20 1 3

2 3

1R O nw

R O R O n n O n O e

aa a a

K K p TF p

K K p K K T p T T p T T T

0 1 2 3 R O R O n n O n O ea K K a K K T a T T a T T T 2 21 0 2 2 1 32 2a a a a a a

4n eT T

1

2O

RO e

TK

K T

2 2 3 3

1 4

1 4 8 8e

w opte e e

y p p TF p

u p p T p T p T

Optimum ćemo ostvariti ukoliko je

Odziv u vremenskom domenu

434

plusmn2

Tr=31TeTs=165Te

Odziv brži premašaj

Manje je optimalan u odnosu na slučaj drugog

reda

Ako se na red stavi filter sa

81plusmn2

Tr=76Te Ts=133Te

1

1 4 ep T

Ako se na red stavi soft-start

7plusmn2

Tr=25TeTs=32Te

Uporedimo odzive sa filtrom sa soft-startom i bez filtra

a 2 241 3 4 5

05 0707 1 15 2

2 1 O

n e RO e

TT a T K

a K T

Modifikacija parametara

12 a

Ako je objekat sa dve vremenske konstante i integratorom

+

ndash

1 1n dR

n

p T p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T 1

ip T

1 eT T

Tn=T1 ndash kompenzacija najveće vremenske konstante posle optimizacija modula

PID

Ako je

+

ndash

1 nR

n

p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T

14 eT T

Optimizacijom se dobija 1

2RO e

TK

K T

4n eT T

Odziv na poremećaj z

+ndash

1 nR

n

p TK

p T

21OK

p T 1

1

1 p T 3

1

1 p T

u yzndash

+

T1 ndash ldquovelikardquo vremenska konstantaT2 i T3 ndash ldquomalerdquo vremenske konstante

2 3eT T T

14 eT T

Odziv na poremećaj z = h(t)

Drugi red

Treći red

Treći red+ filter

• Parametarska sinteza regulatora (izbor parametara)
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Optimizacija parametara regulatora
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33

Optimizacija parametara regulatora

U prvom slučaju

22

10

0 )()(

)()(

ajaja

b

ju

jyjFw

)(0 pFRegulator Objekat

Samo I

Nema integracionog člana u objektu

pa je 0022

10 )( baapappN

Primer

0

1( )

1O

i O

KF p

p T p T

1 2

20 0( ) ( ) 1O i O i i O

a a

Z p K N p p T p T p T p T T

02

0 0

( )( )

( ) ( )O

wO i O i

Z p KF p

Z p N p K p T p T T

Primer

Optimizacija parametara regulatora

U prvom slučaju

22

420

21

220

20

)2()(

aaaaa

ajFw

Ovo će biti asymp1 za male učestanosti ako je

02 2021 aaa 20

21 2 aaa

20241

1)(

aajFw

Posle čega se dobija

Optimizacija parametara regulatora

U drugom slučaju

)(0 pF RegulatorObjekat

pa je )( 110033

22

0 babaapappN

33

22

10

10

)()()(

ajajaja

bjbjFw

Primer

Optimizacija parametara regulatora

U drugom slučaju

23

631

22

420

21

220

21

220

)2()2()(

aaaaaaaa

aajFw

Ovo će biti asymp1 za male učestanosti ako je

02 2021 aaa 20

21 2 aaa

203

6

201

2

1

1)(

aa

aajFw

02 3122 aaa 31

22 2 aaa

Posle čega se dobija

Optimizacija parametara regulatora

Prvi slučaj

Drugi slučaj

Prvi slučaj

Drugi slučaj

Za funkciju prenosa drugog reda

Ako nema integratora u objektu i

0

1( )

1O

I e

KF p

p T p T

Objekat

Regulator

Samo I

_

+u y

2

( )( )

( )O

wO I I e

Ky pF p

u p K p T p T T

21 0 22a a a 2I O eT K T 0 1 2O I I ea K a T a T T

1

11

K

p T 1n

n

K

p T

1 2 nT T T

1 2 e nT T T T

1 2 O nK K K K

Ako je u(t) step funkcija h(t) onda je

2 2

( ) 1( )

( ) 1 2 2we e

y pF p

u p p T p T

1

2

( ) pound ( ) ( )

1 cos sin2 2

e

w

t

T

e e

y t u p F p

t te

T T

06 05 04 03 02 01 0

06

05

04

03

02

01

01

02

03

04

05

06

Re osa

Im o

sa

Polovi prenosne funkcijeFw(p) za Te=1

12

1 1

2 2

11

2

e e

e

p iT T

i iT

43 plusmn2

Tr=47Te

Ts=84Te

2 2

2 2

10707

2

1 1

2n

eT

Tr ndash Vreme reagovanjaTs ndash Vreme smirenja

Ako je jedna vremenska konstanta ldquovelikardquo

+

ndash

u y

1 nR

n

p TK

p T

11

OK

p T 1

1 ep T

01

1 1

1 1n O

Rn e

p T KF p K

p T p T p T

Da bi se kompenzovala velika vremenska konstanta

01 1

R O

e

K KF p

p T p T

2

1 1

R Ow

R O e

K KF p

K K p T p T T

1 eT T

1nT T

0 1 1 2 1 R O ea K K a T a T T

1

2RO e

TK

K T

1

2R Oe

TK K

T

2 2

1

1 2 2w opte e

y pF p

u p p T p T

bull Ako su obe bdquovremenske konstanterdquo velike primenjuje se PID

bull Ako je jedna vremenska konstanta 20 puta veća od druge može se primeniti P regulator ali tada postoji problem statičke greške

Modulni optimum za funkciju prenosa trećeg reda

+

ndash

u yRegulator

1O

e

K

p T

1

Op T

Ako primenimo kompenzaciju Tn=Te

02

1OR

n On O

R O

KKF p

T Tp T p T pK K

1 nR

n

p TK

p T

2

1

1w

n O

R O

y pF p

T Tu p pK K

Ako je u(t) impulsna funkcija

n O n O

R O R O

t tj j

T T T T

K K K Ky t e e

Neprigušene oscilacije

Zaključak Ne može se primeniti kompenzacija

Koristimo se opet principom ( ) 1wF j

0

1 1

1n O

Rn e O

p T KF p K

p T p T p T

20 1 3

2 3

1R O nw

R O R O n n O n O e

aa a a

K K p TF p

K K p K K T p T T p T T T

0 1 2 3 R O R O n n O n O ea K K a K K T a T T a T T T 2 21 0 2 2 1 32 2a a a a a a

4n eT T

1

2O

RO e

TK

K T

2 2 3 3

1 4

1 4 8 8e

w opte e e

y p p TF p

u p p T p T p T

Optimum ćemo ostvariti ukoliko je

Odziv u vremenskom domenu

434

plusmn2

Tr=31TeTs=165Te

Odziv brži premašaj

Manje je optimalan u odnosu na slučaj drugog

reda

Ako se na red stavi filter sa

81plusmn2

Tr=76Te Ts=133Te

1

1 4 ep T

Ako se na red stavi soft-start

7plusmn2

Tr=25TeTs=32Te

Uporedimo odzive sa filtrom sa soft-startom i bez filtra

a 2 241 3 4 5

05 0707 1 15 2

2 1 O

n e RO e

TT a T K

a K T

Modifikacija parametara

12 a

Ako je objekat sa dve vremenske konstante i integratorom

+

ndash

1 1n dR

n

p T p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T 1

ip T

1 eT T

Tn=T1 ndash kompenzacija najveće vremenske konstante posle optimizacija modula

PID

Ako je

+

ndash

1 nR

n

p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T

14 eT T

Optimizacijom se dobija 1

2RO e

TK

K T

4n eT T

Odziv na poremećaj z

+ndash

1 nR

n

p TK

p T

21OK

p T 1

1

1 p T 3

1

1 p T

u yzndash

+

T1 ndash ldquovelikardquo vremenska konstantaT2 i T3 ndash ldquomalerdquo vremenske konstante

2 3eT T T

14 eT T

Odziv na poremećaj z = h(t)

Drugi red

Treći red

Treći red+ filter

• Parametarska sinteza regulatora (izbor parametara)
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Optimizacija parametara regulatora
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33

Optimizacija parametara regulatora

U prvom slučaju

22

420

21

220

20

)2()(

aaaaa

ajFw

Ovo će biti asymp1 za male učestanosti ako je

02 2021 aaa 20

21 2 aaa

20241

1)(

aajFw

Posle čega se dobija

Optimizacija parametara regulatora

U drugom slučaju

)(0 pF RegulatorObjekat

pa je )( 110033

22

0 babaapappN

33

22

10

10

)()()(

ajajaja

bjbjFw

Primer

Optimizacija parametara regulatora

U drugom slučaju

23

631

22

420

21

220

21

220

)2()2()(

aaaaaaaa

aajFw

Ovo će biti asymp1 za male učestanosti ako je

02 2021 aaa 20

21 2 aaa

203

6

201

2

1

1)(

aa

aajFw

02 3122 aaa 31

22 2 aaa

Posle čega se dobija

Optimizacija parametara regulatora

Prvi slučaj

Drugi slučaj

Prvi slučaj

Drugi slučaj

Za funkciju prenosa drugog reda

Ako nema integratora u objektu i

0

1( )

1O

I e

KF p

p T p T

Objekat

Regulator

Samo I

_

+u y

2

( )( )

( )O

wO I I e

Ky pF p

u p K p T p T T

21 0 22a a a 2I O eT K T 0 1 2O I I ea K a T a T T

1

11

K

p T 1n

n

K

p T

1 2 nT T T

1 2 e nT T T T

1 2 O nK K K K

Ako je u(t) step funkcija h(t) onda je

2 2

( ) 1( )

( ) 1 2 2we e

y pF p

u p p T p T

1

2

( ) pound ( ) ( )

1 cos sin2 2

e

w

t

T

e e

y t u p F p

t te

T T

06 05 04 03 02 01 0

06

05

04

03

02

01

01

02

03

04

05

06

Re osa

Im o

sa

Polovi prenosne funkcijeFw(p) za Te=1

12

1 1

2 2

11

2

e e

e

p iT T

i iT

43 plusmn2

Tr=47Te

Ts=84Te

2 2

2 2

10707

2

1 1

2n

eT

Tr ndash Vreme reagovanjaTs ndash Vreme smirenja

Ako je jedna vremenska konstanta ldquovelikardquo

+

ndash

u y

1 nR

n

p TK

p T

11

OK

p T 1

1 ep T

01

1 1

1 1n O

Rn e

p T KF p K

p T p T p T

Da bi se kompenzovala velika vremenska konstanta

01 1

R O

e

K KF p

p T p T

2

1 1

R Ow

R O e

K KF p

K K p T p T T

1 eT T

1nT T

0 1 1 2 1 R O ea K K a T a T T

1

2RO e

TK

K T

1

2R Oe

TK K

T

2 2

1

1 2 2w opte e

y pF p

u p p T p T

bull Ako su obe bdquovremenske konstanterdquo velike primenjuje se PID

bull Ako je jedna vremenska konstanta 20 puta veća od druge može se primeniti P regulator ali tada postoji problem statičke greške

Modulni optimum za funkciju prenosa trećeg reda

+

ndash

u yRegulator

1O

e

K

p T

1

Op T

Ako primenimo kompenzaciju Tn=Te

02

1OR

n On O

R O

KKF p

T Tp T p T pK K

1 nR

n

p TK

p T

2

1

1w

n O

R O

y pF p

T Tu p pK K

Ako je u(t) impulsna funkcija

n O n O

R O R O

t tj j

T T T T

K K K Ky t e e

Neprigušene oscilacije

Zaključak Ne može se primeniti kompenzacija

Koristimo se opet principom ( ) 1wF j

0

1 1

1n O

Rn e O

p T KF p K

p T p T p T

20 1 3

2 3

1R O nw

R O R O n n O n O e

aa a a

K K p TF p

K K p K K T p T T p T T T

0 1 2 3 R O R O n n O n O ea K K a K K T a T T a T T T 2 21 0 2 2 1 32 2a a a a a a

4n eT T

1

2O

RO e

TK

K T

2 2 3 3

1 4

1 4 8 8e

w opte e e

y p p TF p

u p p T p T p T

Optimum ćemo ostvariti ukoliko je

Odziv u vremenskom domenu

434

plusmn2

Tr=31TeTs=165Te

Odziv brži premašaj

Manje je optimalan u odnosu na slučaj drugog

reda

Ako se na red stavi filter sa

81plusmn2

Tr=76Te Ts=133Te

1

1 4 ep T

Ako se na red stavi soft-start

7plusmn2

Tr=25TeTs=32Te

Uporedimo odzive sa filtrom sa soft-startom i bez filtra

a 2 241 3 4 5

05 0707 1 15 2

2 1 O

n e RO e

TT a T K

a K T

Modifikacija parametara

12 a

Ako je objekat sa dve vremenske konstante i integratorom

+

ndash

1 1n dR

n

p T p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T 1

ip T

1 eT T

Tn=T1 ndash kompenzacija najveće vremenske konstante posle optimizacija modula

PID

Ako je

+

ndash

1 nR

n

p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T

14 eT T

Optimizacijom se dobija 1

2RO e

TK

K T

4n eT T

Odziv na poremećaj z

+ndash

1 nR

n

p TK

p T

21OK

p T 1

1

1 p T 3

1

1 p T

u yzndash

+

T1 ndash ldquovelikardquo vremenska konstantaT2 i T3 ndash ldquomalerdquo vremenske konstante

2 3eT T T

14 eT T

Odziv na poremećaj z = h(t)

Drugi red

Treći red

Treći red+ filter

• Parametarska sinteza regulatora (izbor parametara)
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Optimizacija parametara regulatora
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33

Optimizacija parametara regulatora

U drugom slučaju

)(0 pF RegulatorObjekat

pa je )( 110033

22

0 babaapappN

33

22

10

10

)()()(

ajajaja

bjbjFw

Primer

Optimizacija parametara regulatora

U drugom slučaju

23

631

22

420

21

220

21

220

)2()2()(

aaaaaaaa

aajFw

Ovo će biti asymp1 za male učestanosti ako je

02 2021 aaa 20

21 2 aaa

203

6

201

2

1

1)(

aa

aajFw

02 3122 aaa 31

22 2 aaa

Posle čega se dobija

Optimizacija parametara regulatora

Prvi slučaj

Drugi slučaj

Prvi slučaj

Drugi slučaj

Za funkciju prenosa drugog reda

Ako nema integratora u objektu i

0

1( )

1O

I e

KF p

p T p T

Objekat

Regulator

Samo I

_

+u y

2

( )( )

( )O

wO I I e

Ky pF p

u p K p T p T T

21 0 22a a a 2I O eT K T 0 1 2O I I ea K a T a T T

1

11

K

p T 1n

n

K

p T

1 2 nT T T

1 2 e nT T T T

1 2 O nK K K K

Ako je u(t) step funkcija h(t) onda je

2 2

( ) 1( )

( ) 1 2 2we e

y pF p

u p p T p T

1

2

( ) pound ( ) ( )

1 cos sin2 2

e

w

t

T

e e

y t u p F p

t te

T T

06 05 04 03 02 01 0

06

05

04

03

02

01

01

02

03

04

05

06

Re osa

Im o

sa

Polovi prenosne funkcijeFw(p) za Te=1

12

1 1

2 2

11

2

e e

e

p iT T

i iT

43 plusmn2

Tr=47Te

Ts=84Te

2 2

2 2

10707

2

1 1

2n

eT

Tr ndash Vreme reagovanjaTs ndash Vreme smirenja

Ako je jedna vremenska konstanta ldquovelikardquo

+

ndash

u y

1 nR

n

p TK

p T

11

OK

p T 1

1 ep T

01

1 1

1 1n O

Rn e

p T KF p K

p T p T p T

Da bi se kompenzovala velika vremenska konstanta

01 1

R O

e

K KF p

p T p T

2

1 1

R Ow

R O e

K KF p

K K p T p T T

1 eT T

1nT T

0 1 1 2 1 R O ea K K a T a T T

1

2RO e

TK

K T

1

2R Oe

TK K

T

2 2

1

1 2 2w opte e

y pF p

u p p T p T

bull Ako su obe bdquovremenske konstanterdquo velike primenjuje se PID

bull Ako je jedna vremenska konstanta 20 puta veća od druge može se primeniti P regulator ali tada postoji problem statičke greške

Modulni optimum za funkciju prenosa trećeg reda

+

ndash

u yRegulator

1O

e

K

p T

1

Op T

Ako primenimo kompenzaciju Tn=Te

02

1OR

n On O

R O

KKF p

T Tp T p T pK K

1 nR

n

p TK

p T

2

1

1w

n O

R O

y pF p

T Tu p pK K

Ako je u(t) impulsna funkcija

n O n O

R O R O

t tj j

T T T T

K K K Ky t e e

Neprigušene oscilacije

Zaključak Ne može se primeniti kompenzacija

Koristimo se opet principom ( ) 1wF j

0

1 1

1n O

Rn e O

p T KF p K

p T p T p T

20 1 3

2 3

1R O nw

R O R O n n O n O e

aa a a

K K p TF p

K K p K K T p T T p T T T

0 1 2 3 R O R O n n O n O ea K K a K K T a T T a T T T 2 21 0 2 2 1 32 2a a a a a a

4n eT T

1

2O

RO e

TK

K T

2 2 3 3

1 4

1 4 8 8e

w opte e e

y p p TF p

u p p T p T p T

Optimum ćemo ostvariti ukoliko je

Odziv u vremenskom domenu

434

plusmn2

Tr=31TeTs=165Te

Odziv brži premašaj

Manje je optimalan u odnosu na slučaj drugog

reda

Ako se na red stavi filter sa

81plusmn2

Tr=76Te Ts=133Te

1

1 4 ep T

Ako se na red stavi soft-start

7plusmn2

Tr=25TeTs=32Te

Uporedimo odzive sa filtrom sa soft-startom i bez filtra

a 2 241 3 4 5

05 0707 1 15 2

2 1 O

n e RO e

TT a T K

a K T

Modifikacija parametara

12 a

Ako je objekat sa dve vremenske konstante i integratorom

+

ndash

1 1n dR

n

p T p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T 1

ip T

1 eT T

Tn=T1 ndash kompenzacija najveće vremenske konstante posle optimizacija modula

PID

Ako je

+

ndash

1 nR

n

p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T

14 eT T

Optimizacijom se dobija 1

2RO e

TK

K T

4n eT T

Odziv na poremećaj z

+ndash

1 nR

n

p TK

p T

21OK

p T 1

1

1 p T 3

1

1 p T

u yzndash

+

T1 ndash ldquovelikardquo vremenska konstantaT2 i T3 ndash ldquomalerdquo vremenske konstante

2 3eT T T

14 eT T

Odziv na poremećaj z = h(t)

Drugi red

Treći red

Treći red+ filter

• Parametarska sinteza regulatora (izbor parametara)
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Optimizacija parametara regulatora
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33

Optimizacija parametara regulatora

U drugom slučaju

23

631

22

420

21

220

21

220

)2()2()(

aaaaaaaa

aajFw

Ovo će biti asymp1 za male učestanosti ako je

02 2021 aaa 20

21 2 aaa

203

6

201

2

1

1)(

aa

aajFw

02 3122 aaa 31

22 2 aaa

Posle čega se dobija

Optimizacija parametara regulatora

Prvi slučaj

Drugi slučaj

Prvi slučaj

Drugi slučaj

Za funkciju prenosa drugog reda

Ako nema integratora u objektu i

0

1( )

1O

I e

KF p

p T p T

Objekat

Regulator

Samo I

_

+u y

2

( )( )

( )O

wO I I e

Ky pF p

u p K p T p T T

21 0 22a a a 2I O eT K T 0 1 2O I I ea K a T a T T

1

11

K

p T 1n

n

K

p T

1 2 nT T T

1 2 e nT T T T

1 2 O nK K K K

Ako je u(t) step funkcija h(t) onda je

2 2

( ) 1( )

( ) 1 2 2we e

y pF p

u p p T p T

1

2

( ) pound ( ) ( )

1 cos sin2 2

e

w

t

T

e e

y t u p F p

t te

T T

06 05 04 03 02 01 0

06

05

04

03

02

01

01

02

03

04

05

06

Re osa

Im o

sa

Polovi prenosne funkcijeFw(p) za Te=1

12

1 1

2 2

11

2

e e

e

p iT T

i iT

43 plusmn2

Tr=47Te

Ts=84Te

2 2

2 2

10707

2

1 1

2n

eT

Tr ndash Vreme reagovanjaTs ndash Vreme smirenja

Ako je jedna vremenska konstanta ldquovelikardquo

+

ndash

u y

1 nR

n

p TK

p T

11

OK

p T 1

1 ep T

01

1 1

1 1n O

Rn e

p T KF p K

p T p T p T

Da bi se kompenzovala velika vremenska konstanta

01 1

R O

e

K KF p

p T p T

2

1 1

R Ow

R O e

K KF p

K K p T p T T

1 eT T

1nT T

0 1 1 2 1 R O ea K K a T a T T

1

2RO e

TK

K T

1

2R Oe

TK K

T

2 2

1

1 2 2w opte e

y pF p

u p p T p T

bull Ako su obe bdquovremenske konstanterdquo velike primenjuje se PID

bull Ako je jedna vremenska konstanta 20 puta veća od druge može se primeniti P regulator ali tada postoji problem statičke greške

Modulni optimum za funkciju prenosa trećeg reda

+

ndash

u yRegulator

1O

e

K

p T

1

Op T

Ako primenimo kompenzaciju Tn=Te

02

1OR

n On O

R O

KKF p

T Tp T p T pK K

1 nR

n

p TK

p T

2

1

1w

n O

R O

y pF p

T Tu p pK K

Ako je u(t) impulsna funkcija

n O n O

R O R O

t tj j

T T T T

K K K Ky t e e

Neprigušene oscilacije

Zaključak Ne može se primeniti kompenzacija

Koristimo se opet principom ( ) 1wF j

0

1 1

1n O

Rn e O

p T KF p K

p T p T p T

20 1 3

2 3

1R O nw

R O R O n n O n O e

aa a a

K K p TF p

K K p K K T p T T p T T T

0 1 2 3 R O R O n n O n O ea K K a K K T a T T a T T T 2 21 0 2 2 1 32 2a a a a a a

4n eT T

1

2O

RO e

TK

K T

2 2 3 3

1 4

1 4 8 8e

w opte e e

y p p TF p

u p p T p T p T

Optimum ćemo ostvariti ukoliko je

Odziv u vremenskom domenu

434

plusmn2

Tr=31TeTs=165Te

Odziv brži premašaj

Manje je optimalan u odnosu na slučaj drugog

reda

Ako se na red stavi filter sa

81plusmn2

Tr=76Te Ts=133Te

1

1 4 ep T

Ako se na red stavi soft-start

7plusmn2

Tr=25TeTs=32Te

Uporedimo odzive sa filtrom sa soft-startom i bez filtra

a 2 241 3 4 5

05 0707 1 15 2

2 1 O

n e RO e

TT a T K

a K T

Modifikacija parametara

12 a

Ako je objekat sa dve vremenske konstante i integratorom

+

ndash

1 1n dR

n

p T p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T 1

ip T

1 eT T

Tn=T1 ndash kompenzacija najveće vremenske konstante posle optimizacija modula

PID

Ako je

+

ndash

1 nR

n

p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T

14 eT T

Optimizacijom se dobija 1

2RO e

TK

K T

4n eT T

Odziv na poremećaj z

+ndash

1 nR

n

p TK

p T

21OK

p T 1

1

1 p T 3

1

1 p T

u yzndash

+

T1 ndash ldquovelikardquo vremenska konstantaT2 i T3 ndash ldquomalerdquo vremenske konstante

2 3eT T T

14 eT T

Odziv na poremećaj z = h(t)

Drugi red

Treći red

Treći red+ filter

• Parametarska sinteza regulatora (izbor parametara)
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Optimizacija parametara regulatora
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33

Optimizacija parametara regulatora

Prvi slučaj

Drugi slučaj

Prvi slučaj

Drugi slučaj

Za funkciju prenosa drugog reda

Ako nema integratora u objektu i

0

1( )

1O

I e

KF p

p T p T

Objekat

Regulator

Samo I

_

+u y

2

( )( )

( )O

wO I I e

Ky pF p

u p K p T p T T

21 0 22a a a 2I O eT K T 0 1 2O I I ea K a T a T T

1

11

K

p T 1n

n

K

p T

1 2 nT T T

1 2 e nT T T T

1 2 O nK K K K

Ako je u(t) step funkcija h(t) onda je

2 2

( ) 1( )

( ) 1 2 2we e

y pF p

u p p T p T

1

2

( ) pound ( ) ( )

1 cos sin2 2

e

w

t

T

e e

y t u p F p

t te

T T

06 05 04 03 02 01 0

06

05

04

03

02

01

01

02

03

04

05

06

Re osa

Im o

sa

Polovi prenosne funkcijeFw(p) za Te=1

12

1 1

2 2

11

2

e e

e

p iT T

i iT

43 plusmn2

Tr=47Te

Ts=84Te

2 2

2 2

10707

2

1 1

2n

eT

Tr ndash Vreme reagovanjaTs ndash Vreme smirenja

Ako je jedna vremenska konstanta ldquovelikardquo

+

ndash

u y

1 nR

n

p TK

p T

11

OK

p T 1

1 ep T

01

1 1

1 1n O

Rn e

p T KF p K

p T p T p T

Da bi se kompenzovala velika vremenska konstanta

01 1

R O

e

K KF p

p T p T

2

1 1

R Ow

R O e

K KF p

K K p T p T T

1 eT T

1nT T

0 1 1 2 1 R O ea K K a T a T T

1

2RO e

TK

K T

1

2R Oe

TK K

T

2 2

1

1 2 2w opte e

y pF p

u p p T p T

bull Ako su obe bdquovremenske konstanterdquo velike primenjuje se PID

bull Ako je jedna vremenska konstanta 20 puta veća od druge može se primeniti P regulator ali tada postoji problem statičke greške

Modulni optimum za funkciju prenosa trećeg reda

+

ndash

u yRegulator

1O

e

K

p T

1

Op T

Ako primenimo kompenzaciju Tn=Te

02

1OR

n On O

R O

KKF p

T Tp T p T pK K

1 nR

n

p TK

p T

2

1

1w

n O

R O

y pF p

T Tu p pK K

Ako je u(t) impulsna funkcija

n O n O

R O R O

t tj j

T T T T

K K K Ky t e e

Neprigušene oscilacije

Zaključak Ne može se primeniti kompenzacija

Koristimo se opet principom ( ) 1wF j

0

1 1

1n O

Rn e O

p T KF p K

p T p T p T

20 1 3

2 3

1R O nw

R O R O n n O n O e

aa a a

K K p TF p

K K p K K T p T T p T T T

0 1 2 3 R O R O n n O n O ea K K a K K T a T T a T T T 2 21 0 2 2 1 32 2a a a a a a

4n eT T

1

2O

RO e

TK

K T

2 2 3 3

1 4

1 4 8 8e

w opte e e

y p p TF p

u p p T p T p T

Optimum ćemo ostvariti ukoliko je

Odziv u vremenskom domenu

434

plusmn2

Tr=31TeTs=165Te

Odziv brži premašaj

Manje je optimalan u odnosu na slučaj drugog

reda

Ako se na red stavi filter sa

81plusmn2

Tr=76Te Ts=133Te

1

1 4 ep T

Ako se na red stavi soft-start

7plusmn2

Tr=25TeTs=32Te

Uporedimo odzive sa filtrom sa soft-startom i bez filtra

a 2 241 3 4 5

05 0707 1 15 2

2 1 O

n e RO e

TT a T K

a K T

Modifikacija parametara

12 a

Ako je objekat sa dve vremenske konstante i integratorom

+

ndash

1 1n dR

n

p T p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T 1

ip T

1 eT T

Tn=T1 ndash kompenzacija najveće vremenske konstante posle optimizacija modula

PID

Ako je

+

ndash

1 nR

n

p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T

14 eT T

Optimizacijom se dobija 1

2RO e

TK

K T

4n eT T

Odziv na poremećaj z

+ndash

1 nR

n

p TK

p T

21OK

p T 1

1

1 p T 3

1

1 p T

u yzndash

+

T1 ndash ldquovelikardquo vremenska konstantaT2 i T3 ndash ldquomalerdquo vremenske konstante

2 3eT T T

14 eT T

Odziv na poremećaj z = h(t)

Drugi red

Treći red

Treći red+ filter

• Parametarska sinteza regulatora (izbor parametara)
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Optimizacija parametara regulatora
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33

Za funkciju prenosa drugog reda

Ako nema integratora u objektu i

0

1( )

1O

I e

KF p

p T p T

Objekat

Regulator

Samo I

_

+u y

2

( )( )

( )O

wO I I e

Ky pF p

u p K p T p T T

21 0 22a a a 2I O eT K T 0 1 2O I I ea K a T a T T

1

11

K

p T 1n

n

K

p T

1 2 nT T T

1 2 e nT T T T

1 2 O nK K K K

Ako je u(t) step funkcija h(t) onda je

2 2

( ) 1( )

( ) 1 2 2we e

y pF p

u p p T p T

1

2

( ) pound ( ) ( )

1 cos sin2 2

e

w

t

T

e e

y t u p F p

t te

T T

06 05 04 03 02 01 0

06

05

04

03

02

01

01

02

03

04

05

06

Re osa

Im o

sa

Polovi prenosne funkcijeFw(p) za Te=1

12

1 1

2 2

11

2

e e

e

p iT T

i iT

43 plusmn2

Tr=47Te

Ts=84Te

2 2

2 2

10707

2

1 1

2n

eT

Tr ndash Vreme reagovanjaTs ndash Vreme smirenja

Ako je jedna vremenska konstanta ldquovelikardquo

+

ndash

u y

1 nR

n

p TK

p T

11

OK

p T 1

1 ep T

01

1 1

1 1n O

Rn e

p T KF p K

p T p T p T

Da bi se kompenzovala velika vremenska konstanta

01 1

R O

e

K KF p

p T p T

2

1 1

R Ow

R O e

K KF p

K K p T p T T

1 eT T

1nT T

0 1 1 2 1 R O ea K K a T a T T

1

2RO e

TK

K T

1

2R Oe

TK K

T

2 2

1

1 2 2w opte e

y pF p

u p p T p T

bull Ako su obe bdquovremenske konstanterdquo velike primenjuje se PID

bull Ako je jedna vremenska konstanta 20 puta veća od druge može se primeniti P regulator ali tada postoji problem statičke greške

Modulni optimum za funkciju prenosa trećeg reda

+

ndash

u yRegulator

1O

e

K

p T

1

Op T

Ako primenimo kompenzaciju Tn=Te

02

1OR

n On O

R O

KKF p

T Tp T p T pK K

1 nR

n

p TK

p T

2

1

1w

n O

R O

y pF p

T Tu p pK K

Ako je u(t) impulsna funkcija

n O n O

R O R O

t tj j

T T T T

K K K Ky t e e

Neprigušene oscilacije

Zaključak Ne može se primeniti kompenzacija

Koristimo se opet principom ( ) 1wF j

0

1 1

1n O

Rn e O

p T KF p K

p T p T p T

20 1 3

2 3

1R O nw

R O R O n n O n O e

aa a a

K K p TF p

K K p K K T p T T p T T T

0 1 2 3 R O R O n n O n O ea K K a K K T a T T a T T T 2 21 0 2 2 1 32 2a a a a a a

4n eT T

1

2O

RO e

TK

K T

2 2 3 3

1 4

1 4 8 8e

w opte e e

y p p TF p

u p p T p T p T

Optimum ćemo ostvariti ukoliko je

Odziv u vremenskom domenu

434

plusmn2

Tr=31TeTs=165Te

Odziv brži premašaj

Manje je optimalan u odnosu na slučaj drugog

reda

Ako se na red stavi filter sa

81plusmn2

Tr=76Te Ts=133Te

1

1 4 ep T

Ako se na red stavi soft-start

7plusmn2

Tr=25TeTs=32Te

Uporedimo odzive sa filtrom sa soft-startom i bez filtra

a 2 241 3 4 5

05 0707 1 15 2

2 1 O

n e RO e

TT a T K

a K T

Modifikacija parametara

12 a

Ako je objekat sa dve vremenske konstante i integratorom

+

ndash

1 1n dR

n

p T p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T 1

ip T

1 eT T

Tn=T1 ndash kompenzacija najveće vremenske konstante posle optimizacija modula

PID

Ako je

+

ndash

1 nR

n

p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T

14 eT T

Optimizacijom se dobija 1

2RO e

TK

K T

4n eT T

Odziv na poremećaj z

+ndash

1 nR

n

p TK

p T

21OK

p T 1

1

1 p T 3

1

1 p T

u yzndash

+

T1 ndash ldquovelikardquo vremenska konstantaT2 i T3 ndash ldquomalerdquo vremenske konstante

2 3eT T T

14 eT T

Odziv na poremećaj z = h(t)

Drugi red

Treći red

Treći red+ filter

• Parametarska sinteza regulatora (izbor parametara)
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Optimizacija parametara regulatora
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33

Ako je u(t) step funkcija h(t) onda je

2 2

( ) 1( )

( ) 1 2 2we e

y pF p

u p p T p T

1

2

( ) pound ( ) ( )

1 cos sin2 2

e

w

t

T

e e

y t u p F p

t te

T T

06 05 04 03 02 01 0

06

05

04

03

02

01

01

02

03

04

05

06

Re osa

Im o

sa

Polovi prenosne funkcijeFw(p) za Te=1

12

1 1

2 2

11

2

e e

e

p iT T

i iT

43 plusmn2

Tr=47Te

Ts=84Te

2 2

2 2

10707

2

1 1

2n

eT

Tr ndash Vreme reagovanjaTs ndash Vreme smirenja

Ako je jedna vremenska konstanta ldquovelikardquo

+

ndash

u y

1 nR

n

p TK

p T

11

OK

p T 1

1 ep T

01

1 1

1 1n O

Rn e

p T KF p K

p T p T p T

Da bi se kompenzovala velika vremenska konstanta

01 1

R O

e

K KF p

p T p T

2

1 1

R Ow

R O e

K KF p

K K p T p T T

1 eT T

1nT T

0 1 1 2 1 R O ea K K a T a T T

1

2RO e

TK

K T

1

2R Oe

TK K

T

2 2

1

1 2 2w opte e

y pF p

u p p T p T

bull Ako su obe bdquovremenske konstanterdquo velike primenjuje se PID

bull Ako je jedna vremenska konstanta 20 puta veća od druge može se primeniti P regulator ali tada postoji problem statičke greške

Modulni optimum za funkciju prenosa trećeg reda

+

ndash

u yRegulator

1O

e

K

p T

1

Op T

Ako primenimo kompenzaciju Tn=Te

02

1OR

n On O

R O

KKF p

T Tp T p T pK K

1 nR

n

p TK

p T

2

1

1w

n O

R O

y pF p

T Tu p pK K

Ako je u(t) impulsna funkcija

n O n O

R O R O

t tj j

T T T T

K K K Ky t e e

Neprigušene oscilacije

Zaključak Ne može se primeniti kompenzacija

Koristimo se opet principom ( ) 1wF j

0

1 1

1n O

Rn e O

p T KF p K

p T p T p T

20 1 3

2 3

1R O nw

R O R O n n O n O e

aa a a

K K p TF p

K K p K K T p T T p T T T

0 1 2 3 R O R O n n O n O ea K K a K K T a T T a T T T 2 21 0 2 2 1 32 2a a a a a a

4n eT T

1

2O

RO e

TK

K T

2 2 3 3

1 4

1 4 8 8e

w opte e e

y p p TF p

u p p T p T p T

Optimum ćemo ostvariti ukoliko je

Odziv u vremenskom domenu

434

plusmn2

Tr=31TeTs=165Te

Odziv brži premašaj

Manje je optimalan u odnosu na slučaj drugog

reda

Ako se na red stavi filter sa

81plusmn2

Tr=76Te Ts=133Te

1

1 4 ep T

Ako se na red stavi soft-start

7plusmn2

Tr=25TeTs=32Te

Uporedimo odzive sa filtrom sa soft-startom i bez filtra

a 2 241 3 4 5

05 0707 1 15 2

2 1 O

n e RO e

TT a T K

a K T

Modifikacija parametara

12 a

Ako je objekat sa dve vremenske konstante i integratorom

+

ndash

1 1n dR

n

p T p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T 1

ip T

1 eT T

Tn=T1 ndash kompenzacija najveće vremenske konstante posle optimizacija modula

PID

Ako je

+

ndash

1 nR

n

p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T

14 eT T

Optimizacijom se dobija 1

2RO e

TK

K T

4n eT T

Odziv na poremećaj z

+ndash

1 nR

n

p TK

p T

21OK

p T 1

1

1 p T 3

1

1 p T

u yzndash

+

T1 ndash ldquovelikardquo vremenska konstantaT2 i T3 ndash ldquomalerdquo vremenske konstante

2 3eT T T

14 eT T

Odziv na poremećaj z = h(t)

Drugi red

Treći red

Treći red+ filter

• Parametarska sinteza regulatora (izbor parametara)
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Optimizacija parametara regulatora
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33

43 plusmn2

Tr=47Te

Ts=84Te

2 2

2 2

10707

2

1 1

2n

eT

Tr ndash Vreme reagovanjaTs ndash Vreme smirenja

Ako je jedna vremenska konstanta ldquovelikardquo

+

ndash

u y

1 nR

n

p TK

p T

11

OK

p T 1

1 ep T

01

1 1

1 1n O

Rn e

p T KF p K

p T p T p T

Da bi se kompenzovala velika vremenska konstanta

01 1

R O

e

K KF p

p T p T

2

1 1

R Ow

R O e

K KF p

K K p T p T T

1 eT T

1nT T

0 1 1 2 1 R O ea K K a T a T T

1

2RO e

TK

K T

1

2R Oe

TK K

T

2 2

1

1 2 2w opte e

y pF p

u p p T p T

bull Ako su obe bdquovremenske konstanterdquo velike primenjuje se PID

bull Ako je jedna vremenska konstanta 20 puta veća od druge može se primeniti P regulator ali tada postoji problem statičke greške

Modulni optimum za funkciju prenosa trećeg reda

+

ndash

u yRegulator

1O

e

K

p T

1

Op T

Ako primenimo kompenzaciju Tn=Te

02

1OR

n On O

R O

KKF p

T Tp T p T pK K

1 nR

n

p TK

p T

2

1

1w

n O

R O

y pF p

T Tu p pK K

Ako je u(t) impulsna funkcija

n O n O

R O R O

t tj j

T T T T

K K K Ky t e e

Neprigušene oscilacije

Zaključak Ne može se primeniti kompenzacija

Koristimo se opet principom ( ) 1wF j

0

1 1

1n O

Rn e O

p T KF p K

p T p T p T

20 1 3

2 3

1R O nw

R O R O n n O n O e

aa a a

K K p TF p

K K p K K T p T T p T T T

0 1 2 3 R O R O n n O n O ea K K a K K T a T T a T T T 2 21 0 2 2 1 32 2a a a a a a

4n eT T

1

2O

RO e

TK

K T

2 2 3 3

1 4

1 4 8 8e

w opte e e

y p p TF p

u p p T p T p T

Optimum ćemo ostvariti ukoliko je

Odziv u vremenskom domenu

434

plusmn2

Tr=31TeTs=165Te

Odziv brži premašaj

Manje je optimalan u odnosu na slučaj drugog

reda

Ako se na red stavi filter sa

81plusmn2

Tr=76Te Ts=133Te

1

1 4 ep T

Ako se na red stavi soft-start

7plusmn2

Tr=25TeTs=32Te

Uporedimo odzive sa filtrom sa soft-startom i bez filtra

a 2 241 3 4 5

05 0707 1 15 2

2 1 O

n e RO e

TT a T K

a K T

Modifikacija parametara

12 a

Ako je objekat sa dve vremenske konstante i integratorom

+

ndash

1 1n dR

n

p T p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T 1

ip T

1 eT T

Tn=T1 ndash kompenzacija najveće vremenske konstante posle optimizacija modula

PID

Ako je

+

ndash

1 nR

n

p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T

14 eT T

Optimizacijom se dobija 1

2RO e

TK

K T

4n eT T

Odziv na poremećaj z

+ndash

1 nR

n

p TK

p T

21OK

p T 1

1

1 p T 3

1

1 p T

u yzndash

+

T1 ndash ldquovelikardquo vremenska konstantaT2 i T3 ndash ldquomalerdquo vremenske konstante

2 3eT T T

14 eT T

Odziv na poremećaj z = h(t)

Drugi red

Treći red

Treći red+ filter

• Parametarska sinteza regulatora (izbor parametara)
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Optimizacija parametara regulatora
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33

Ako je jedna vremenska konstanta ldquovelikardquo

+

ndash

u y

1 nR

n

p TK

p T

11

OK

p T 1

1 ep T

01

1 1

1 1n O

Rn e

p T KF p K

p T p T p T

Da bi se kompenzovala velika vremenska konstanta

01 1

R O

e

K KF p

p T p T

2

1 1

R Ow

R O e

K KF p

K K p T p T T

1 eT T

1nT T

0 1 1 2 1 R O ea K K a T a T T

1

2RO e

TK

K T

1

2R Oe

TK K

T

2 2

1

1 2 2w opte e

y pF p

u p p T p T

bull Ako su obe bdquovremenske konstanterdquo velike primenjuje se PID

bull Ako je jedna vremenska konstanta 20 puta veća od druge može se primeniti P regulator ali tada postoji problem statičke greške

Modulni optimum za funkciju prenosa trećeg reda

+

ndash

u yRegulator

1O

e

K

p T

1

Op T

Ako primenimo kompenzaciju Tn=Te

02

1OR

n On O

R O

KKF p

T Tp T p T pK K

1 nR

n

p TK

p T

2

1

1w

n O

R O

y pF p

T Tu p pK K

Ako je u(t) impulsna funkcija

n O n O

R O R O

t tj j

T T T T

K K K Ky t e e

Neprigušene oscilacije

Zaključak Ne može se primeniti kompenzacija

Koristimo se opet principom ( ) 1wF j

0

1 1

1n O

Rn e O

p T KF p K

p T p T p T

20 1 3

2 3

1R O nw

R O R O n n O n O e

aa a a

K K p TF p

K K p K K T p T T p T T T

0 1 2 3 R O R O n n O n O ea K K a K K T a T T a T T T 2 21 0 2 2 1 32 2a a a a a a

4n eT T

1

2O

RO e

TK

K T

2 2 3 3

1 4

1 4 8 8e

w opte e e

y p p TF p

u p p T p T p T

Optimum ćemo ostvariti ukoliko je

Odziv u vremenskom domenu

434

plusmn2

Tr=31TeTs=165Te

Odziv brži premašaj

Manje je optimalan u odnosu na slučaj drugog

reda

Ako se na red stavi filter sa

81plusmn2

Tr=76Te Ts=133Te

1

1 4 ep T

Ako se na red stavi soft-start

7plusmn2

Tr=25TeTs=32Te

Uporedimo odzive sa filtrom sa soft-startom i bez filtra

a 2 241 3 4 5

05 0707 1 15 2

2 1 O

n e RO e

TT a T K

a K T

Modifikacija parametara

12 a

Ako je objekat sa dve vremenske konstante i integratorom

+

ndash

1 1n dR

n

p T p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T 1

ip T

1 eT T

Tn=T1 ndash kompenzacija najveće vremenske konstante posle optimizacija modula

PID

Ako je

+

ndash

1 nR

n

p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T

14 eT T

Optimizacijom se dobija 1

2RO e

TK

K T

4n eT T

Odziv na poremećaj z

+ndash

1 nR

n

p TK

p T

21OK

p T 1

1

1 p T 3

1

1 p T

u yzndash

+

T1 ndash ldquovelikardquo vremenska konstantaT2 i T3 ndash ldquomalerdquo vremenske konstante

2 3eT T T

14 eT T

Odziv na poremećaj z = h(t)

Drugi red

Treći red

Treći red+ filter

• Parametarska sinteza regulatora (izbor parametara)
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Optimizacija parametara regulatora
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33

0 1 1 2 1 R O ea K K a T a T T

1

2RO e

TK

K T

1

2R Oe

TK K

T

2 2

1

1 2 2w opte e

y pF p

u p p T p T

bull Ako su obe bdquovremenske konstanterdquo velike primenjuje se PID

bull Ako je jedna vremenska konstanta 20 puta veća od druge može se primeniti P regulator ali tada postoji problem statičke greške

Modulni optimum za funkciju prenosa trećeg reda

+

ndash

u yRegulator

1O

e

K

p T

1

Op T

Ako primenimo kompenzaciju Tn=Te

02

1OR

n On O

R O

KKF p

T Tp T p T pK K

1 nR

n

p TK

p T

2

1

1w

n O

R O

y pF p

T Tu p pK K

Ako je u(t) impulsna funkcija

n O n O

R O R O

t tj j

T T T T

K K K Ky t e e

Neprigušene oscilacije

Zaključak Ne može se primeniti kompenzacija

Koristimo se opet principom ( ) 1wF j

0

1 1

1n O

Rn e O

p T KF p K

p T p T p T

20 1 3

2 3

1R O nw

R O R O n n O n O e

aa a a

K K p TF p

K K p K K T p T T p T T T

0 1 2 3 R O R O n n O n O ea K K a K K T a T T a T T T 2 21 0 2 2 1 32 2a a a a a a

4n eT T

1

2O

RO e

TK

K T

2 2 3 3

1 4

1 4 8 8e

w opte e e

y p p TF p

u p p T p T p T

Optimum ćemo ostvariti ukoliko je

Odziv u vremenskom domenu

434

plusmn2

Tr=31TeTs=165Te

Odziv brži premašaj

Manje je optimalan u odnosu na slučaj drugog

reda

Ako se na red stavi filter sa

81plusmn2

Tr=76Te Ts=133Te

1

1 4 ep T

Ako se na red stavi soft-start

7plusmn2

Tr=25TeTs=32Te

Uporedimo odzive sa filtrom sa soft-startom i bez filtra

a 2 241 3 4 5

05 0707 1 15 2

2 1 O

n e RO e

TT a T K

a K T

Modifikacija parametara

12 a

Ako je objekat sa dve vremenske konstante i integratorom

+

ndash

1 1n dR

n

p T p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T 1

ip T

1 eT T

Tn=T1 ndash kompenzacija najveće vremenske konstante posle optimizacija modula

PID

Ako je

+

ndash

1 nR

n

p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T

14 eT T

Optimizacijom se dobija 1

2RO e

TK

K T

4n eT T

Odziv na poremećaj z

+ndash

1 nR

n

p TK

p T

21OK

p T 1

1

1 p T 3

1

1 p T

u yzndash

+

T1 ndash ldquovelikardquo vremenska konstantaT2 i T3 ndash ldquomalerdquo vremenske konstante

2 3eT T T

14 eT T

Odziv na poremećaj z = h(t)

Drugi red

Treći red

Treći red+ filter

• Parametarska sinteza regulatora (izbor parametara)
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Optimizacija parametara regulatora
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33

Modulni optimum za funkciju prenosa trećeg reda

+

ndash

u yRegulator

1O

e

K

p T

1

Op T

Ako primenimo kompenzaciju Tn=Te

02

1OR

n On O

R O

KKF p

T Tp T p T pK K

1 nR

n

p TK

p T

2

1

1w

n O

R O

y pF p

T Tu p pK K

Ako je u(t) impulsna funkcija

n O n O

R O R O

t tj j

T T T T

K K K Ky t e e

Neprigušene oscilacije

Zaključak Ne može se primeniti kompenzacija

Koristimo se opet principom ( ) 1wF j

0

1 1

1n O

Rn e O

p T KF p K

p T p T p T

20 1 3

2 3

1R O nw

R O R O n n O n O e

aa a a

K K p TF p

K K p K K T p T T p T T T

0 1 2 3 R O R O n n O n O ea K K a K K T a T T a T T T 2 21 0 2 2 1 32 2a a a a a a

4n eT T

1

2O

RO e

TK

K T

2 2 3 3

1 4

1 4 8 8e

w opte e e

y p p TF p

u p p T p T p T

Optimum ćemo ostvariti ukoliko je

Odziv u vremenskom domenu

434

plusmn2

Tr=31TeTs=165Te

Odziv brži premašaj

Manje je optimalan u odnosu na slučaj drugog

reda

Ako se na red stavi filter sa

81plusmn2

Tr=76Te Ts=133Te

1

1 4 ep T

Ako se na red stavi soft-start

7plusmn2

Tr=25TeTs=32Te

Uporedimo odzive sa filtrom sa soft-startom i bez filtra

a 2 241 3 4 5

05 0707 1 15 2

2 1 O

n e RO e

TT a T K

a K T

Modifikacija parametara

12 a

Ako je objekat sa dve vremenske konstante i integratorom

+

ndash

1 1n dR

n

p T p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T 1

ip T

1 eT T

Tn=T1 ndash kompenzacija najveće vremenske konstante posle optimizacija modula

PID

Ako je

+

ndash

1 nR

n

p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T

14 eT T

Optimizacijom se dobija 1

2RO e

TK

K T

4n eT T

Odziv na poremećaj z

+ndash

1 nR

n

p TK

p T

21OK

p T 1

1

1 p T 3

1

1 p T

u yzndash

+

T1 ndash ldquovelikardquo vremenska konstantaT2 i T3 ndash ldquomalerdquo vremenske konstante

2 3eT T T

14 eT T

Odziv na poremećaj z = h(t)

Drugi red

Treći red

Treći red+ filter

• Parametarska sinteza regulatora (izbor parametara)
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Optimizacija parametara regulatora
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33

2

1

1w

n O

R O

y pF p

T Tu p pK K

Ako je u(t) impulsna funkcija

n O n O

R O R O

t tj j

T T T T

K K K Ky t e e

Neprigušene oscilacije

Zaključak Ne može se primeniti kompenzacija

Koristimo se opet principom ( ) 1wF j

0

1 1

1n O

Rn e O

p T KF p K

p T p T p T

20 1 3

2 3

1R O nw

R O R O n n O n O e

aa a a

K K p TF p

K K p K K T p T T p T T T

0 1 2 3 R O R O n n O n O ea K K a K K T a T T a T T T 2 21 0 2 2 1 32 2a a a a a a

4n eT T

1

2O

RO e

TK

K T

2 2 3 3

1 4

1 4 8 8e

w opte e e

y p p TF p

u p p T p T p T

Optimum ćemo ostvariti ukoliko je

Odziv u vremenskom domenu

434

plusmn2

Tr=31TeTs=165Te

Odziv brži premašaj

Manje je optimalan u odnosu na slučaj drugog

reda

Ako se na red stavi filter sa

81plusmn2

Tr=76Te Ts=133Te

1

1 4 ep T

Ako se na red stavi soft-start

7plusmn2

Tr=25TeTs=32Te

Uporedimo odzive sa filtrom sa soft-startom i bez filtra

a 2 241 3 4 5

05 0707 1 15 2

2 1 O

n e RO e

TT a T K

a K T

Modifikacija parametara

12 a

Ako je objekat sa dve vremenske konstante i integratorom

+

ndash

1 1n dR

n

p T p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T 1

ip T

1 eT T

Tn=T1 ndash kompenzacija najveće vremenske konstante posle optimizacija modula

PID

Ako je

+

ndash

1 nR

n

p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T

14 eT T

Optimizacijom se dobija 1

2RO e

TK

K T

4n eT T

Odziv na poremećaj z

+ndash

1 nR

n

p TK

p T

21OK

p T 1

1

1 p T 3

1

1 p T

u yzndash

+

T1 ndash ldquovelikardquo vremenska konstantaT2 i T3 ndash ldquomalerdquo vremenske konstante

2 3eT T T

14 eT T

Odziv na poremećaj z = h(t)

Drugi red

Treći red

Treći red+ filter

• Parametarska sinteza regulatora (izbor parametara)
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Optimizacija parametara regulatora
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33

0

1 1

1n O

Rn e O

p T KF p K

p T p T p T

20 1 3

2 3

1R O nw

R O R O n n O n O e

aa a a

K K p TF p

K K p K K T p T T p T T T

0 1 2 3 R O R O n n O n O ea K K a K K T a T T a T T T 2 21 0 2 2 1 32 2a a a a a a

4n eT T

1

2O

RO e

TK

K T

2 2 3 3

1 4

1 4 8 8e

w opte e e

y p p TF p

u p p T p T p T

Optimum ćemo ostvariti ukoliko je

Odziv u vremenskom domenu

434

plusmn2

Tr=31TeTs=165Te

Odziv brži premašaj

Manje je optimalan u odnosu na slučaj drugog

reda

Ako se na red stavi filter sa

81plusmn2

Tr=76Te Ts=133Te

1

1 4 ep T

Ako se na red stavi soft-start

7plusmn2

Tr=25TeTs=32Te

Uporedimo odzive sa filtrom sa soft-startom i bez filtra

a 2 241 3 4 5

05 0707 1 15 2

2 1 O

n e RO e

TT a T K

a K T

Modifikacija parametara

12 a

Ako je objekat sa dve vremenske konstante i integratorom

+

ndash

1 1n dR

n

p T p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T 1

ip T

1 eT T

Tn=T1 ndash kompenzacija najveće vremenske konstante posle optimizacija modula

PID

Ako je

+

ndash

1 nR

n

p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T

14 eT T

Optimizacijom se dobija 1

2RO e

TK

K T

4n eT T

Odziv na poremećaj z

+ndash

1 nR

n

p TK

p T

21OK

p T 1

1

1 p T 3

1

1 p T

u yzndash

+

T1 ndash ldquovelikardquo vremenska konstantaT2 i T3 ndash ldquomalerdquo vremenske konstante

2 3eT T T

14 eT T

Odziv na poremećaj z = h(t)

Drugi red

Treći red

Treći red+ filter

• Parametarska sinteza regulatora (izbor parametara)
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Optimizacija parametara regulatora
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33

Odziv u vremenskom domenu

434

plusmn2

Tr=31TeTs=165Te

Odziv brži premašaj

Manje je optimalan u odnosu na slučaj drugog

reda

Ako se na red stavi filter sa

81plusmn2

Tr=76Te Ts=133Te

1

1 4 ep T

Ako se na red stavi soft-start

7plusmn2

Tr=25TeTs=32Te

Uporedimo odzive sa filtrom sa soft-startom i bez filtra

a 2 241 3 4 5

05 0707 1 15 2

2 1 O

n e RO e

TT a T K

a K T

Modifikacija parametara

12 a

Ako je objekat sa dve vremenske konstante i integratorom

+

ndash

1 1n dR

n

p T p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T 1

ip T

1 eT T

Tn=T1 ndash kompenzacija najveće vremenske konstante posle optimizacija modula

PID

Ako je

+

ndash

1 nR

n

p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T

14 eT T

Optimizacijom se dobija 1

2RO e

TK

K T

4n eT T

Odziv na poremećaj z

+ndash

1 nR

n

p TK

p T

21OK

p T 1

1

1 p T 3

1

1 p T

u yzndash

+

T1 ndash ldquovelikardquo vremenska konstantaT2 i T3 ndash ldquomalerdquo vremenske konstante

2 3eT T T

14 eT T

Odziv na poremećaj z = h(t)

Drugi red

Treći red

Treći red+ filter

• Parametarska sinteza regulatora (izbor parametara)
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Optimizacija parametara regulatora
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33

Ako se na red stavi filter sa

81plusmn2

Tr=76Te Ts=133Te

1

1 4 ep T

Ako se na red stavi soft-start

7plusmn2

Tr=25TeTs=32Te

Uporedimo odzive sa filtrom sa soft-startom i bez filtra

a 2 241 3 4 5

05 0707 1 15 2

2 1 O

n e RO e

TT a T K

a K T

Modifikacija parametara

12 a

Ako je objekat sa dve vremenske konstante i integratorom

+

ndash

1 1n dR

n

p T p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T 1

ip T

1 eT T

Tn=T1 ndash kompenzacija najveće vremenske konstante posle optimizacija modula

PID

Ako je

+

ndash

1 nR

n

p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T

14 eT T

Optimizacijom se dobija 1

2RO e

TK

K T

4n eT T

Odziv na poremećaj z

+ndash

1 nR

n

p TK

p T

21OK

p T 1

1

1 p T 3

1

1 p T

u yzndash

+

T1 ndash ldquovelikardquo vremenska konstantaT2 i T3 ndash ldquomalerdquo vremenske konstante

2 3eT T T

14 eT T

Odziv na poremećaj z = h(t)

Drugi red

Treći red

Treći red+ filter

• Parametarska sinteza regulatora (izbor parametara)
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Optimizacija parametara regulatora
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33

Ako se na red stavi soft-start

7plusmn2

Tr=25TeTs=32Te

Uporedimo odzive sa filtrom sa soft-startom i bez filtra

a 2 241 3 4 5

05 0707 1 15 2

2 1 O

n e RO e

TT a T K

a K T

Modifikacija parametara

12 a

Ako je objekat sa dve vremenske konstante i integratorom

+

ndash

1 1n dR

n

p T p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T 1

ip T

1 eT T

Tn=T1 ndash kompenzacija najveće vremenske konstante posle optimizacija modula

PID

Ako je

+

ndash

1 nR

n

p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T

14 eT T

Optimizacijom se dobija 1

2RO e

TK

K T

4n eT T

Odziv na poremećaj z

+ndash

1 nR

n

p TK

p T

21OK

p T 1

1

1 p T 3

1

1 p T

u yzndash

+

T1 ndash ldquovelikardquo vremenska konstantaT2 i T3 ndash ldquomalerdquo vremenske konstante

2 3eT T T

14 eT T

Odziv na poremećaj z = h(t)

Drugi red

Treći red

Treći red+ filter

• Parametarska sinteza regulatora (izbor parametara)
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Optimizacija parametara regulatora
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33

Uporedimo odzive sa filtrom sa soft-startom i bez filtra

a 2 241 3 4 5

05 0707 1 15 2

2 1 O

n e RO e

TT a T K

a K T

Modifikacija parametara

12 a

Ako je objekat sa dve vremenske konstante i integratorom

+

ndash

1 1n dR

n

p T p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T 1

ip T

1 eT T

Tn=T1 ndash kompenzacija najveće vremenske konstante posle optimizacija modula

PID

Ako je

+

ndash

1 nR

n

p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T

14 eT T

Optimizacijom se dobija 1

2RO e

TK

K T

4n eT T

Odziv na poremećaj z

+ndash

1 nR

n

p TK

p T

21OK

p T 1

1

1 p T 3

1

1 p T

u yzndash

+

T1 ndash ldquovelikardquo vremenska konstantaT2 i T3 ndash ldquomalerdquo vremenske konstante

2 3eT T T

14 eT T

Odziv na poremećaj z = h(t)

Drugi red

Treći red

Treći red+ filter

• Parametarska sinteza regulatora (izbor parametara)
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Optimizacija parametara regulatora
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33

a 2 241 3 4 5

05 0707 1 15 2

2 1 O

n e RO e

TT a T K

a K T

Modifikacija parametara

12 a

Ako je objekat sa dve vremenske konstante i integratorom

+

ndash

1 1n dR

n

p T p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T 1

ip T

1 eT T

Tn=T1 ndash kompenzacija najveće vremenske konstante posle optimizacija modula

PID

Ako je

+

ndash

1 nR

n

p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T

14 eT T

Optimizacijom se dobija 1

2RO e

TK

K T

4n eT T

Odziv na poremećaj z

+ndash

1 nR

n

p TK

p T

21OK

p T 1

1

1 p T 3

1

1 p T

u yzndash

+

T1 ndash ldquovelikardquo vremenska konstantaT2 i T3 ndash ldquomalerdquo vremenske konstante

2 3eT T T

14 eT T

Odziv na poremećaj z = h(t)

Drugi red

Treći red

Treći red+ filter

• Parametarska sinteza regulatora (izbor parametara)
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Optimizacija parametara regulatora
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33

Ako je objekat sa dve vremenske konstante i integratorom

+

ndash

1 1n dR

n

p T p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T 1

ip T

1 eT T

Tn=T1 ndash kompenzacija najveće vremenske konstante posle optimizacija modula

PID

Ako je

+

ndash

1 nR

n

p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T

14 eT T

Optimizacijom se dobija 1

2RO e

TK

K T

4n eT T

Odziv na poremećaj z

+ndash

1 nR

n

p TK

p T

21OK

p T 1

1

1 p T 3

1

1 p T

u yzndash

+

T1 ndash ldquovelikardquo vremenska konstantaT2 i T3 ndash ldquomalerdquo vremenske konstante

2 3eT T T

14 eT T

Odziv na poremećaj z = h(t)

Drugi red

Treći red

Treći red+ filter

• Parametarska sinteza regulatora (izbor parametara)
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Optimizacija parametara regulatora
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33

Ako je

+

ndash

1 nR

n

p TK

p T

11OK

p T 1

1 ep T

14 eT T

Optimizacijom se dobija 1

2RO e

TK

K T

4n eT T

Odziv na poremećaj z

+ndash

1 nR

n

p TK

p T

21OK

p T 1

1

1 p T 3

1

1 p T

u yzndash

+

T1 ndash ldquovelikardquo vremenska konstantaT2 i T3 ndash ldquomalerdquo vremenske konstante

2 3eT T T

14 eT T

Odziv na poremećaj z = h(t)

Drugi red

Treći red

Treći red+ filter

• Parametarska sinteza regulatora (izbor parametara)
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Optimizacija parametara regulatora
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33

Odziv na poremećaj z

+ndash

1 nR

n

p TK

p T

21OK

p T 1

1

1 p T 3

1

1 p T

u yzndash

+

T1 ndash ldquovelikardquo vremenska konstantaT2 i T3 ndash ldquomalerdquo vremenske konstante

2 3eT T T

14 eT T

Odziv na poremećaj z = h(t)

Drugi red

Treći red

Treći red+ filter

• Parametarska sinteza regulatora (izbor parametara)
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Optimizacija parametara regulatora
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33

Odziv na poremećaj z = h(t)

Drugi red

Treći red

Treći red+ filter

• Parametarska sinteza regulatora (izbor parametara)
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Optimizacija parametara regulatora
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33