Podesavanje Fuzzy PID Regulatora

Projektovanje i podešavanje fuzzy PID regulatora Materijal za vežbe

1

Projektovanje i podešavanje fuzzy regulatora PID tipa na bazi fazifikacije konvencionalnih regulatora

Kada je problem upravljanja regulacija izlaza procesa oko željene radne tačke, i u slučaju primene fuzzy kontrolera, prirodno je razmotriti grešku praćenja reference kao ulaznu veličinu, dok se integral i izvod greške takođe mogu upotrebiti kao korisni ulazi. Kod fuzzy PID kontrolera je teško predvideti uticaj promene parametara na vreme uspona, preskok i vreme smirenja, jer je kontroler nelinearan i postoji veći broj parametara koje je moguće podesiti nego kod PID kontrolera. Čini se razumnim da proces projektovanja fuzzy upravljanja započne podešavanjem običnog PID regulatora (možda čak i prostog P kontrolera) i da se izvrši stabilizacija sistema. Nakon toga je lakše preći na fuzzy upravljanje.

Cilj ovog poglavlja je da ustanovi sistematsku proceduru za podešavanje parametara fuzzy regulatora prenošenjem odgovarajućih pravila iz PID u fuzzy domen i to po sledećim koracima:

1. podešavanje konvencionalnog PID regulatora,

2. zamena PID-a ekvivalentnim linearnim fuzzy kontrolerom,

3. transformacija u nelinearni fuzzy kontroler,

4. fino podešavanje.

Ovaj metod se može primeniti kada god je moguća implementacija PID kontrolera, uz korišćenje poznatih tehnika za dizajn konvencionalnih PID-a, pre implementiranja finalnog fuzzy kontrolera.

1. Podešavanje PID regulatora

Prvi korak u predloženoj strategiji upravljanja je podešavanje konvencionalnog PID regulatora. Parametri PID kontrolera se mogu podešavati na razne načine: ručno, Ziegler-Nichols-ovim metodom, različitim drugim analitičkim i eksperimentalnim metodama, optimizacijom, podešavanjem polova, autopodešavanjem (Smith, 1979, Åström & Hägglund, 1995). Fuzzy kontroleri pod određenim pretpostavkama pokazuju određene sličnosti sa PID kontrolerima (Siler & Ying, 1989; Mizumoto, 1992; Qiao & Mizumoto, 1996; Tso & Fung, 1997), što ćemo iskoristiti u narednim fazama projektovanja.

Zakon upravljanja idealnog kontinualnog PID regulatora je:

0

1( )t

p di

deu K e e d TT dt

τ= + ⋅ +∫ (1)

gde je u upravljačka promenljiva, konstanta Kp je proporcionalno pojačanje, Ti i Td su vremenske konstante integralnog i diferencijalnog dejstva, a e je signal greške jednak razlici između


2

+-

++

++

Kontroler Proces

Kp KRef e u

ln

y

referentnog signala i upravljane promenljive y (e = Ref – y). Pri maloj periodi odabiranja Ts diskretni ekvivalent zakonu upravljanja (1) može se dobiti aproksimacijom izvoda diferenciranjem unazad, a integrala – sumom pravougaonika širine Ts i visine e(jTs) (j = 0, 1, 2,…). Tako se dobija zakon upravljanja diskretnog PID regulatora:

1

1

1 nn n

n p n j S dji S

e eu K e e T TT T

−

=

⎛ ⎞−= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ , (2)

pri čemu se oznaka un odnosi na vrednost upravljačke promenljive u n-tom trenutku odabiranja u(nTS). Pod pojmom podešavanja PID regulatora podrazumevaćemo menjanje vrednosti parametara Kp , Ti i Td sve dok ne postignemo željeno ponašanje sistema u zatvorenoj sprezi.

Neki zanimljivi aspekti podešavanja parametara se mogu ilustrovati posmatranjem statičkih karakteristika (Åström & Hägglund, 1995). U slučaju čisto proporcionalnog regulatora (Td = 0 i 1/Ti = 0), zakon upravljanja (2) se svodi na:

n p nu K e= (3)

Posmatrajmo sistem sa zatvorenom spregom na sl. 1, gde kontroler ima pojačanje proporcionalnog dejstva Kp, a proces poseduje pojačanje K u stacionarnom stanju. Izlaz procesa x je povezan sa referencom Ref, ulaznim poremećajem l i mernim šumom n preko jednačine:

( )1 1

p

p p

K K Kx Ref n lK K K K

= − ++ +

(4)

x

Sl. 1: Proporcionalni kontroler kod sistema sa opterećenjem l i šumom n.

Ako su n i l jednaki nuli, tada Kp treba da ima veliku vrednost da bi se obezbedilo da izlaz procesa x bude blizak referenci Ref. Šta više, u slučaju da l ima nenultu vrednost, visokom vrednošću Kp će se postići da je sistem manje osetljiv na promene ulaznog poremećaja l. Ali u slučaju da postoji merni šum n, Kp treba da bude umereno da sistem ne bi bio preosetljiv na šum. Ukoliko posmatramo dinamiku procesa, sistem sa velikom vrednošću Kp će obično biti nestabilan. Očigledno je da se pri podešavanju Kp mora postići balans između različitih ciljeva upravljanja: stabilnosti, osetljivosti na šum i regulacije opterećenja. Jedna od metoda podesavanja parametara PID regulatora je Ziegler-Nicholsova procedura (Ziegler & Nichols in Åström & Hägglund, 1995).

1.1. Procedura Ziegler-Nicholsa

Bez obzira na tip primenjenog regulatora (P, PI ili PID) u eksperimentu se najpre isključe integralno (I) i diferencijalno (D) dejstvo postavljanjem vremenske konstante Ti na maksimalnu vrednost i Td na nulu. Pri tome se faktor proporcionalnog dejstva Kp postavlja na neku malu vrednost pri kojoj je kontura regulacije stabilna. Zatim se u malim iznosima korak po korak


3

povećava Kp , u svakom koraku izaziva poremećaj i na regulatoru snima regulisana promenljiva. Eksperiment se ponavlja sve dok se u nekom koraku kontura ne nađe na oscilatornoj granici stabilnosti. Tada se regulisana promenljiva posle poremećaja tipa početnih uslova ne vraća u prvobitno stacionarno stanje, već u stacionarnom stanju poprima periodične oscilacije konstantne amplitude. Na osnovu dostignute vrednosti pojačanja Kkr i vremena između dva sukcesivna maksimuma u oscilacijama regulisane promenljive Tkr , kao i tabele 1 može se pristupiti podešavanju parametra PID (odnosno P ili PI) regulatora.

Tabela 1. Ziegler – Nicholsova pravila

Regulator Kp Ti Td

P 0.5 Kkr

PI 0.45 Kkr Tkr / 1.2

PID 0.6 Kkr Tkr / 2 Tkr / 8

Može se uspostaviti veza između periode odabiranja i vremenske konstante diferencijalnog dejstva Td . Åström i Wittenmark (1984) su predložili da periodu odabiranja (Ts) treba birati između 1/10 i 1/2 Td . Odnosno, na osnovu pravila Zieglera i Nicholsa, Ts treba da bude 1 – 5 % Tkr . Postoji i drugo pravilo koje kaže da periodu odabiranja treba birati između 1/10 i 1/5 dominantne vremenske konstante.

Ziegler i Nichols su predložili i drugu metodu za podešavanje parametara PID (odnosno P ili PI) regulatora, pri čemu se parametri određuju na osnovu odskočnog odziva sistema u otvorenoj povratnoj sprezi. Ova metoda se može primeniti kod sistema kod kojih se oscilacije u sistemu sa zatvorenom povratnom spregom ne mogu tolerisati.

Primer 1. (Ziegler Nicholsova procedura) Neka proces sa sl. 1 ima funkciju prenosa

( )( )3

11

G ss

=+

. Stavimo na mesto kontrolera PID regulator sa uklonjenim integralnim i

diferencijalnim dejstvom: Td = 0 i 1/Ti = 0. Treba postepeno povećavati proporcionalno pojačanje dok ne dođe do stabilnih oscilacija (sl. 2). U tom trenutku će biti Kkr = 8 i Tkr ≈ 15/4. Pošto proces nema integralni karakter (astatizam), radi uklanjanja greške stacionarnog stanja, regulator mora posedovati integralno dejstvo. Na osnovu treće vrste iz tabele 1 može se podesiti: Kp = 0.6 Kkr = 4.8, Ti = Tkr / 2 = 15/8 i Td = Tkr / 8 = 15/32. Sl. 3 prikazuje odziv sistema u zatvorenoj sprezi na odskočnu referencu (u nultom trenutku) i pri skokovitoj promeni ulaznog poremećaja nakon 20 sekundi.

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

t (s)

y

Sl. 2: Ziegler-Nicholsove oscilacije procesa 1/(1+s)3.


4

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.5

1

1.5

t (s)

y

0 5 10 15 20 25 30 35 40-1

0

1

2

3

4

5

6

t (s)

u

Odziv procesa Upravljački signal

Sl. 3: PID upravljanje procesom 1/(1+s)3. Za skokom reference u trenutku t=0 sledi skok ulaznog poremećaja u trenutku t = 20 sec.

Ziegler i Nichols su svoja pravila razvili za slučaj linearnog sistema sa transportnim kašnjenjem i polom u koordinatnom početku. Zahtev koji su sebi postavili pri projektovanju je bio da pri skokovitoj promeni reference ili ulaznog poremećaja svaki sledeći maksimum signala greške bude 25% prethodnog. Prema tome, drugi preskok signala greške će biti četiri puta manji od prvog što predstavlja kompromis između brzog odziva i malog preskoka. Primena ovog metoda na sisteme čije je transportno kašnjenje znatno veće od dominantne vremenske konstante ne daje dobre rezultate. Generalno, navedena procedura često ne daje zadovoljavajuće rezultate ali se dobijeni parametri ne razlikuju mnogo od parametara idealno podešenog PID-a za dati proces.

Srodna ali tačnija procedura je Kappa-Tau podešavanje parametara koja se zasniva na bezdimenzionim parametrima: relativnom pojačanju k i relativnom mrtvom vremenu procesa τ (Åström & Hägglund, 1995; Åström, Hang, Persson & Ho, 1992).

1.2. Procedura ručnog podešavanja

Pojačanja dobijena bilo kojom analitičkom metodom mogu se posmatrati kao približne vrednosti i dobro polazište za ručno podešavanje parametara. Ručno podešavanje se zasniva na nekim empirijskim pravilima korišćenim od strane iskusnih inženjera (tabela 2).

Tabela 2. Iskustvena pravila za podešavanje PID regulatora.

Akcija Vreme uspona Preskok Stabilnost

Povećanje Kp Kraće Povećava se Pogoršava se

Povećanje Td Duže Smanjuje se Poboljšava se

Povećanje 1/Ti Kraće Povećava se Pogoršava se

Podešavanjem parametara treba postići kompromis između brzog odziva i stabilnosti. Postoje izuzeci od pravila navedenih u tabeli. Ako, na primer, proces sadrži integraciju, povećanje Kp često kao posledicu ima stabilnije upravljanje. Iskustvena pravila se mogu


5

ilustrovati pomoću “mapa podešavanja” (videti npr. Åström & Hägglund, 1995). Sledeća procedura ručnog podešavanja parametara potiče od Smith-a (1979).

Procedura ručnog podešavanja:

(a) Ukloniti integralno i diferencijalno dejstvo podešavanjem Td = 0 i 1/Ti = 0.

(b) Podesiti proporcionalno pojačanje Kp tako da se dobije željeni odziv, ignorišući grešku stacionarnog stanja.

(c) Povećati pojačanje proporcionalnog dejstva pa podesiti vremensku konstantu diferencijalnog dejstva Td tako da se smanji preskok.

(d) Podesiti pojačanje integralnog dejstva 1/Ti tako da se eliminiše greška stacionarnog stanja.

(e) Ponavljati (c) i (d) dok se ne postigne zadovoljavajući odziv sa što većim Kp.

Prema ovoj proceduri, diferencijalno dejstvo se podešava pre integralnog dejstva, ali u praksi ovaj redosled može biti i obrnut. Prednost ručnog podešavanja je što ga inženjer može primeniti na licu mesta, on-line i tako razviti osećaj o ponašanju sistema u zatvorenoj sprezi. Mane su što može potrajati dok se ne razvije taj osećaj i što je teško osetiti da li su finalna podešavanja optimalna.

Primer 2. Posmatrajmo laboratorijsku aparaturu koja se sastoji od pumpe, rezervoara sa vodom i ventila za ispuštanje vode. Zadatak upravljanja je podešavanje nivoa vode u rezervoaru nakon skokovite promene reference.

(a) Pretpostavimo da je ventil zatvoren. U tom slučaju za rešavanje problema je dovoljan P regulator - čim nivo vode dostigne predviđeni nivo greška postaje nula i kontroler zaustavlja pumpu. Ukoliko pumpa sporo reaguje, korišćenje samo P regulatora bi dovelo do preskoka, tj. kontroler mora početi da smanjuje dotok vode pre nego što voda dostigne predviđeni nivo – u tom slučaju je neophodan PD regulator.

(b) Pretpostavimo sada da je ventil otvoren. Nivo vode mora dostići zahtevani nivo, pri čemu pumpa mora i dalje da radi da bi se kompenzovala količina vode koja kroz ventil izlazi iz rezervoara. Potrebno je zadržati upravljački signal i u stacionarnom stanju, tj. kontroler mora da sadrži integralno dejstvo, pa se koriste PI ili PID regulatori.

2. Linearni fuzzy kontroleri

Drugi korak u našoj proceduri projektovanja je zamena sumiranja kod PID regulatora linearnim fuzzy kontrolerom koji vrši funkciju sumiranja. Sistem u zatvorenoj povratnoj sprezi bi prema tome trebao da ima isti odskočni odziv; na taj način se može proveriti da li nam je interpretacija dobra. Razmotrićemo pojedinačne elemente fuzzy sistema zaključivanja i nelinearnosti koje oni unose u sistem upravljanja.

Upravljačka površina – Ako imamo dva ulaza i jedan izlaz, ulazno-izlazna mapa je površina. Na sl. 4 je prikazan primer odnosa između ulaznih signala greške ê i promene greške êd i izlaza


6

kontrolera û. Slika je nastala kao posledica baze pravila koja se sastoji od 9 pravila i površina je manje ili više naborana. Horizontalni platoi su nastali kao posledica ravnih vrhova u ulaznim skupovima (trapezne funkcije pripadnosti). Plato u okolini koordinatnog početka implicira malu osetljivost na promene bilo signala greške bilo signala promene greške u okolini reference. Ovo je prednost ako osetljivost na šum mora biti mala kada se proces nalazi blizu reference. Sa druge strane, teško je zadržati proces u referentnom položaju, pa je potrebno povećati pojačanje u okolini koordinatnog početka.

-1-0.5

00.5

1

-1-0.5

00.5

1-2

-1

0

1

2

êêd

û

Sl. 4: Primer upravljačke površine.

Kod fuzzy kontrolera postoje tri izvora nelinearnosti:

• Funkcije pripadnosti. Pozicija, oblik i broj fuzzy skupova pripadnosti, kao i nelinearno skaliranje ulaza prouzrokuju nelinearne transformacije. Pravila opisuju nelinearnu upravljačku strategiju koji ustvaruje fuzzy regulator.

• Baza zaključivanja. Ako su veznici and i or implementirani kao na primer min i max respektivno, tada su oni nelinearni.

• Defazifikacija. Neke od metoda defazifikacije su nelinearne.

Moguće je napraviti bazu pravila sa linearnim ulazno – izlaznim mapiranjem koja se ponaša kao sumiranje (Silver & Ying, 1989; Mizumoto, 1992; Qiao & Mizumoto, 1996; Jantzen, 1998), ako su zadovoljeni sledeći uslovi:

Ulazni univerzumi – Ulazni univerzumi moraju biti dovoljno veliki da bi ulazni signali ostali u okviru zahtevanih granica (bez zasićenja). Svaka ulazna familija treba da ima određeni broj članova, odabranih tako da suma nivoa preklapanja za svaki ulaz bude 1. Ovo se može postići u slučaju kada su skupovi trougaoni i seku sebi susedne skupove u tačkama u kojima je nivo preklapanja μ = 0.5; prema tome, njihovi maksimumi će biti ekvidistantni. Svaka ulazna vrednost prema tome može da bude član najviše dva skupa i njena pripadnost svakom od njih je linearna funkcija ulazne vrednosti.

Broj pravila – Broj članova u svakoj familiji određuje broj pravila, pošto pravila moraju sadržati and kombinacije svih članova da bi se obezbedila kompletnost. Preporučljivo je da izlazni skupovi budu singltoni si jednaki sumi pozicija vršnih vrednosti ulaznih skupova. Izlazni skupovi mogu takođe biti trougaoni, simetrični u odnosu na svoje maksimume, ali singltoni čine proces defazifikacije jednostavnijim.

Veznici – Da bi osigurali linearnost, moramo izabrati algebarski proizvod za realizaciju veznika and. Koristeći ponderisan prosek doprinosa pravila upravljačkom signalu (što odgovara metodi


7

defazifikacije koja se naziva centar gravitacije, COG), imenilac nestaje u izrazu za rezultat deazifikacije, jer zbir svih članova iznosi jedan.

Sve do sada rečeno se može generalizovati na ulazne familije sa više od dva ulazna skupa po ulazu, jer će samo dva ulazna skupa biti aktivna u isto vreme. Sledeća lista sumira izbore koje treba napraviti tokom procedure dizajniranja da bi se dobila baza pravila ekvivalentna sumiranju:

• Koristiti trougaone ulazne skupove sa nivoom preklapanja μ = 0.5

• Koristiti algebarski proizvod (·) za realizaciju veznika and.

• Baza pravila mora sadržati and kombinaciju svih članova iz ulaznih familija.

• Treba koristiti izlazne singltone čija pozicija se određuje kao suma pozicija vršnih vrednosti ulaznih skupova.

• Koristiti COG metod defazifikacije.

Nakon ovih izbora upravljačka površina postaje potpuno glatka dijagonalna ravan.

3. Prevođenje pojačanja iz PID u fuzzy domen Treći korak u našoj proceduri je da za pojačanja iz PID domena nađemo ekvivalentna

pojačanja linearnog fuzzy kontrolera.

3.1. Proporcionalno upravljanje

Ulaz fuzzy proporcionalnog (FP) kontrolera je signal greške e, a izlaz je upravljanje u, kao što je prikazano na sl. 5, gde je usvojeno, a koristiće se i nadalje, označavanje veličinama sa "kapicom" ^ za normirane ulaze i izlaze fuzzy regulatora.

FuzzyInference

Systemˆ

uKû ue ˆ

pKê

Sl. 5: Fuzzy proporcionalni kontroler (FP).

Fuzzy proporcionalni kontroler je najjednostavniji fuzzy kontroler koji postoji. On ima primenu kod zatvaranja povratne sprege po stanju ili izlazu u kontroleru na bazi prostora stanja. Za razliku od običnog proporcionalnog kontrolera sa jednim pojačanjem, fuzzy P kontroler ima dva pojačanja – ˆ

pK i ûK . Pojačanja se koriste za podešavanje odziva, ali sa dva pojačanja

imamo dodatni stepen slobode, koji možemo koristiti za skaliranje izlaznog signala da bi u potpunosti iskoristili opseg dozvoljenog upravljanja procesom..

Izlaz kontrolera je signal u koji je generalno nelinearna funkcija ulaznog signala e:

( )ˆ û pu K f K e= ⋅ ⋅ (5)


8

Funkcija f predstavlja ulazno – izlazno preslikavanje fuzzy kontrolera. Korišćenjem linearne aproksimacije ( )ˆ ˆ

p pf K e K e⋅ = ⋅ , dobija se

ˆ û pu K K e= ⋅ ⋅ (6)

Poređenjem poslednjeg izraza sa izrazom (3) može se zaključiti da je proizvod pojačanja FP kontrolera ekvivalentan proporcionalnom pojačanju, tj.

ˆ ˆp p uK K K= (7)

Tačnost aproksimacije uglavnom zavisi od funkcija pripadnosti i pravila. Potpuno linearni FP regulator ostvarujemo izborom normirane širine [-1, 1] i ulaznog i izlaznog univerzuma i setom pravila:

1. ako ê = Poz tada û = 1

2. ako ê = Nula tada û = 0

3. ako ê = Neg tada û = –1

gde su Poz, Nula i Neg trougaoni, kao što je ranije definisano, a upravljanje je definisano singltonima û ∈ {-1, 0, 1}. Ako znamo koje Kp hoćemo da postignemo (npr. iz Ziegler-Nicholsovih pravila), jednačina (7) nam pomaže da odaberemo pojačanja. Jednačina ima jedan dodatni stepen slobode, jer fuzzy P kontroler ima jedno pojačanje više od običnog P regulatora. Ovo svojstvo se koristi da bi se iskoristio ceo opseg izlaznog univerzuma. Npr, ako je opseg dozvoljenog upravljanja u ∈ [–Umax , Umax], tada biramo max

ûK U= , a ˆ

pK se određuje iz

jednačine (7) kao ˆ ˆ/p p uK K K= .

Zbog dinamike procesa biće potrebno neko vreme pre nego što se promena upravljačkog signala oseti na izlazu procesa, te će proporcionalni kontroler kasniti više ili manje u ispravljanju greške.

3.2. Proporcionalno-diferencijalno upravljanje

Diferenciranje pomaže da se predvidi greška i proporcionalno – diferencijalni (PD) regulator koristi diferencijalno dejstvo za poboljšanje stabilnosti u zatvorenoj sprezi. PD regulator se obično koristi kada objekt upravljanja ima integralni karakter (astatizam), jer sam kontroler nema u sebi integralno dejstvo i ne može da otkloni grešku ustaljenog stanja. Osnovna struktura PD regulatora je:

p d p p d ddeu K e T K e K T edt

⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

, (8a)

odnosno za diskretni ekvivalent:

1n nn p n d p n p d d n

S

e eu K e T K e K T eT

−⎛ ⎞−= + = +⎜ ⎟

⎝ ⎠. (8b)

Za Td = 0 kontroler je čisto proporcionalan, a kada postepeno povećavamo Td doći će do smanjivanja oscilacija. Ako Td postane previše veliko sistem će postati prekompenzovan i može postati i nestabilan.


9

Direktni ulazi fuzzy proporcionalno – diferencijalnog (FPD) kontrolera su normirani signal greške ê i normirani izvod signala greške êd (sl. 6).

FuzzyInference

System

e ˆpK

ûK

êû u

ed ˆdK

êd

Sl. 6: Fuzzy PD kontroler (FPD).

Kod kontinualnog kontrolera, izvod /de de dt= signala greške obično se dobija propuštanjem signala greške e kroz realni (kauzalni) diferencijator funkcije prenosa:

( )/ 1d

sD ss ω

=+

, (9)

gde se učestanost ωd bira da bude veća od propusnog opsega sistema zatvorene sprege.

Kod diskretnog kontrolera, za dobijanje izvoda greške, obično se koristi aproksimacija diferenciranjem unazad:

1n nd n

S

e eeT

−−= . (10)

Izlaz kontrolera je nelinearna funkcija greške e i izvoda greške ed :

( )ˆ ˆ ˆ,u p d du K f K e K e= ⋅ (11)

Ponovo funkcija f predstavlja ulazno – izlaznu mapu fuzzy kontrolera, samo što je to ovog puta površina u koja zavisi od dve ulazne koordinate – e i ed. Korišćenjem linearne aproksimacije ˆ ˆ

p d dK e K e+ , dobija se:

( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ û p d d p u d u du K K e K e K K e K K e= + = + (12)

Poređenjem izraza (8) i (12), dobijaju se veze:

ˆ ˆ/p p uK K K= (13)

ˆ ˆ/d p d uK K T K= (14)

Iskorišćena aproksimacija odgovara zameni nelinearne fuzzy ulazno – izlazne površine jednom glatkom ravni koju ostvaruje linearni FPD kontroler. Linearni FPD kontroler se realizuje normiranim ulaznim univerzumom [–1, 1] i za ê i za êd , dok se za normirano upravljanje usvajaju singltoni û ∈ {–2, –1, 0, 1, 2}. Izlazni univerzum je dvostruko širi, jer kontroler ima dva ulaza, pa se maksimalne vrednosti oba ulaza ê i êd u iznosu 1, po linearnoj relaciji û = ê + êd, preslikavaju u 2.

Ako je opseg dozvoljenog upravljanja sistemom definisan sa u ∈ [–Umax , Umax], tada biramo max

ûK U= /2, a ˆ

pK i ˆdK relacijama (13) i (14), konsekventno.


10

Fuzzy PD kontroler može biti primenjen kada rešenje sa proporcionalnim kontrolerom nije adekvatno. Diferencijalni član smanjuje preskok, ali može biti osetljiv na šum, kao i na naglu promenu referentnog signala koja će izazvati diferencijalni skok. Uobičajene protivmere mogu da reše ovaj problem su: pomenuti realni diferencijator (9) za filtriranje pri diferenciranju signala greške ili korišćenje izvoda izlaza procesa y umesto izvoda signala greške.

3.3. Inkrementalno proporcionalno-integralno upravljanje

Ako postoji greška stacionarnog stanja, uz proporcionalno, neophodno je i integralno dejstvo. Integralno dejstvo će povećati upravljački signal u slučaju postojanja pozitivne greške, bez obzira koliko je greška mala, a smanjiti upravljački signal, ukoliko je greška negativna. Kontroler sa integralnim dejstvom će uvek postići nultu grešku stacionarnog stanja.

Moguće je dobiti fuzzy PI kontroler koristeći grešku e i promenu greške ed kao ulazne signale baze pravila. Međutim, iskustvo je pokazalo da je veoma teško napisati pravila za integralno dejstvo. Mora da se vodi računa i o problemima koji nastaju zbog “navijanja integratora”. Do “navijanja” dolazi ako aktuator poseduje ograničenje, kao što su maksimalna brzina kod motora ili maksimalna otvorenost ventila. Kada aktuator uđe u zasićenje upravljačka akcija postaje konstantna, ali kontroler nastavlja da integrali grešku i dolazi do “navijanja integratora”. Integralni član može postati veoma veliki i trebaće puno vremena da se smanji nakon što signal greške promeni znak. Kao posledica ovog fenomena može doći do velikog preskoka ili čak nestabilnosti. Postoje metode da se ovo izbegne (Åström & Hägglund, 1995).

Često je bolje rešenje da se kontroler konfiguriše kao inkrementalni kontroler. Inkrementalni kontroler kreira promenu Δu upravljačkog signala:

0 0 0

1 t t tp

p pi i

Kdeu K e e d K e d u dT dt T

τ τ τ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + ⋅ = + = Δ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ , (15)

p pp p d

i i

K Kdeu e K e K eT dt T

Δ = + = + . (16)

Izraz (16) je dobijen iz (1) uz Td = 0, a kontroler efektivno realizuje signal koji se dodatno integrali da bi se ostvario PI zakon upravljanja. Za diskretni ekvivalent, realizacija integracije Δu, za dobijanje upravljanja u, vrši se pomoću numeričke aproksimacije integracijom unazad tj.

1n n n Su u u T−= + Δ ⋅ , a relacija (16) važi, uz realizaciju ed pomoću diferenciranja unazad (10).

Inkrementalni kontroler se, kao i konvencionalni PI, koristi kada sam proces nema integralni karakter (astatizam). Npr, prirodno je koristiti inkrementalni kontroler kada se kao aktuator koristi koračni motor. Izlaz kontrolera je inkrement upravljačkog signala dok sam motor vrši integraciju. Prednost je to što je izlaz kontrolera izveden direktno iz integratora, tako da je lako rešavati problem navijanja, npr. ograničavanjem izlaza integratora ili nekim drugim metodom. Mana Finc regulatora je što se u zakon upravljanja ne može uključiti diferencijalno dejstvo.

Fuzzy inkrementalni (FInc) kontroler sa sl. 7 je skoro iste konfiguracije kao FPD kontroler, jedina razlika je u integratoru na izlazu.


11

FuzzyInference

System

e ˆpK

ûK

êû u

ed ˆdK

êd1/s

u

Sl. 7: Fuzzy inkrementalni PI kontroler (FInc).

Iz relacije (16) zakona upravljanja inkrementalog kontrolera vidi se da je on efektivno PD kontroler, sa proporcionalnim delovanjem u iznosu Kp/Ti i diferencijalnim delovanjem u iznosu Kp. Stoga, relacije, ekvivalentne relacijama (13) i (14) FPD kontrolera, ali sada za podešavanje parametara inkrementalnog kontrolera, na bazi poznatih parametara PI regulatora Kp i Ti, glase:

ˆˆp

pi u

KK

T K= (17)

ˆ ˆ/d p uK K K= (18)

U određivanju pojačanja ûK treba imati u vidu da opseg izlaznog univerzuma linearnog

FPD bloka iznosi Δû ∈ [–2, 2], a da objekt upravljanja obično poseduje ograničenje u vidu maksimalne brzine promene upravljačkog signala |du/dt|max , pa tada biramo:

max/2u

du dtK = . (19)

3.4. Proporcionalno-integralno-diferencijalno upravljanje

Izvođenje fuzzy PID kontrolera sa tri ulaza: greška, integral greške i izvod greške je pravolinijsko. Međutim, baza pravila u slučaju tri ulaza može lako postati veoma velika a pravila koja se tiču integralnog dejstva su problematična, kao što je ranije pomenuto. Prema tome, uobičajeno je da se integralno dejstvo izdvoji, kao u slučaju fuzzy PD + I (FPD + I) kontrolera na sl. 8.

e ˆpK

ûK

êûpd u

ed ˆdK

êd

ei êi=ûiîK

û+

+

FuzzyInference

System

Sl. 8: Fuzzy PD+I kontroler (FPD+I).


12

Regulator FPD+I predstavlja proširenje FPD regulatora dodatnim sabirkom integralnog upravljanja, čiji se ulaz ei kod analognog regulatora dobija kao izlaz integratora koji integrali signal greške e, a u diskretnoj realizaciji preko aproksimacije integracijom unazad:

1i n i n n Se e e T−= + ⋅ (20)

Relacije za podešavanje parametara FPD+I kontrolera, na bazi poznatih parametara PID regulatora Kp , Ti i Td, glase: ˆ ˆ/p p uK K K= (21)

ˆ ˆ/d p d uK K T K= (22)

ˆˆp

ii u

KK

T K= (23)

Ovaj kontroler pruža iste pogodnosti kao i konvencionalni PID regulator, ali takođe poseduje i mane koje se odnose na diferencijalni skok i navijanje integratora.

Pravila podešavanja (21) – (23) podrazumevaju da se prvo usvoji pojačanje ûK .

Međutim, pošto je integralno delovanje nezavisno od fuzzy PD regulatora, ne postoji unapred predviđena granica opsega û, na osnovu koje bi mogli da usvojimo ˆ

uK . Podešavanje parametara može se izvesti maksimalnim korišćenjem ulaznih univerzuma fuzzy regulatora, što je ilustrovano sledećim primerom.

Primer 3. Primenimo fuzzy PD + I kontroler na proces iz primera 1, za koji je prvobitno projektovan konvencionalan PID sa parametrima Kp = 4.8, Ti = 15/8 i Td = 15/32. Pošto je, prema sl. 3 za konvencionalno PID upravljanje, opseg promene greške e = r – y u opsegu e ∈ [–0.5, 1], da bi grešku e preveli na usvojeni normalizovani opseg ê ∈ [–1, 1], usvojićemo ˆ 1pK = . Pojačanje ˆ

uK je sada fiksirano, na osnovu (21), relacijom:

ˆ ˆ/ 4.8 /1 4.8u p pK K K= = =

Pojačanje promene greške je fiksirano relacijom (22):

ˆ ˆ/ 4.8 15 / 32 / 4.8 15 / 32d p d uK K T K= = ⋅ = .

Poslednje pojačanje je, na osnovu (23):

4.8ˆ 8 /15ˆ 15 / 8 4.8p

ii u

KK

T K= = =

⋅.

Odskočni odziv sa linearnim FPD + I kontrolerom je identičan odzivu na sl. 3. Provera ulaznih univerzuma (sl. 9) pokazuje da važi ê ∈ [–0.5, 1] i êd ∈ [–0.5, 0.2], odnosno da ne dolazi do zasićenja nijednog normiranog ulaza FPD dela kontrolera.

U slučaju da je bilo kritično êd , tj. da je ono prelazilo normirani opseg [–1, 1], usvojili bi ˆ

dK tako da êd ulazi u dozvoljeni opseg ulaznog univerzuma, podešavanje ûK bi izveli pomoću

relacije (22), a preostala pojačanja na osnovu relacija (21) i (23).


13

0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.5

0

0.5

1

t (s)

ê

0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

t (s)

ê d

Sl. 9: FPD + I kontrola procesa 1/(1+s)3; iskorišćenje ulaznih univerzuma

3.5. Komparacija FP, FPD, Finc i FPD+I kontrolera

Mane i prednosti sva četiri fuzzy kontrolera su prikazane u tabeli 3. Fuzzy P kontroler može da se koristi kod modela u prostoru stanja ili za potrebe vežbanja. Radi poboljšanja vremena smirenja i smanjenja preskoka preporučuje se fuzzy PD kontroler. Ukoliko postoji problem sa greškom stacionarnog stanja tada treba birati fuzzy inkrementalni ili fuzzy PD + I kontroler.

Tabela 3. Pregled prednosti i mana fuzzy kontrolera.

Kontroler Prednosti Mane

FP Jednostavan Možda i previše jednostavan

FPD Manji preskok Osetljiv na šum, diferencijalni skok

FInc Uklanja grešku stacionarnog stanja, gladak upravlj. signal Spor je

FPD + I Sve u jednom Navijanje, diferencijalni skok

Odnosi između PID pojačanja i fuzzy pojačanja su pregledno prikazani u tabeli 4. Treba naglasiti da su kontroleri, kod kojih je f zamenjeno sumiranjem, u stvari linearne aproksimacije odgovarajućih fuzzy konfiguracija; relacije navedene u tabeli važe samo za linearne fuzzy aproksimacije. One su validne i za analogne i diskretne kontrolere, pri čemu se u realizaciji mora voditi računa o diskretnim aproksimacijama signala diferencijala êd (10) i integrala êi (20), te izračunavanja integrala upravljanja kod Finc kontrolera.

Takođe, treba imati u vidu da je, pri izvođenju linearnih fuzzy kontrolera, vođeno računa da izlazni univerzum mora biti suma ulaznih univerzuma. Npr, za ulazne univerzume [–1, 1] izlazni univerzum FPD kontrolera treba da bude [-2, 2]. Kada fuzzy kontroler nije linearan, opseg izlaznog univerzuma ima uticaj na izbor vrednosti pojačanja ˆ

uK kojim se u potpunosti iskorišćava raspoloživi dozvoljeni opseg signala upravljanja.


14

Tabela 4. Odnosi između fuzzy i PID pojačanja sa usvojenim ûK

Kontroler ˆpK ˆ

iK ˆdK

FP ˆ/p uK K – –

FInc ( )ˆ/p i uK T K – ˆ/p uK K

FPD ˆ/p uK K – ˆ/p d uK T K

FPD + I ˆ/p uK K ( )ˆ/p i uK T K ˆ/p d uK T K

3.6. Zasićenje, kvantizacija i šum

Na ovom mestu potrebno je izneti nekoliko praktičnih razmatranja. Važno je znati da li dolazi do zasićenja ulaznih signala u njihovim univerzumima. Uzmimo kao primer proces trećeg reda 1 / (s+1)3 iz primera 1. Odgovarajuća vrednost pojačanja signala greške je ˆ

pK = 1. Ilustracije radi, na sl. 10a je prikazano šta se dešava kada dođe do zasićenja signala greške – pojačanje je sada ˆ

pK = 4, ˆ ˆ/ 4.8 / 4 1.2u p pK K K= = = , a sva ostala pojačanja se dobijaju iz tabele 4. Do zasićenja signala greške dolazi rano tokom prelaznog procesa, što se jasno vidi na sl. 10b kao „udaranje“ trajektorije o granice faznog dijagrama u ravni (ê, êd). Kao posledica toga, dolazi do većeg preskoka, sporijeg odziva i nepravilnog signala greške.

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

t (s)

y

0 5 10 15 20 25 30 35 40-2

-1

0

1

2

3

4

t (s)

u


Sl. 10a: FPD + I kontrola procesa 1/(1+s)3; ˆpK = 4 izaziva zasićenje.

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ê

ê d

Sl. 10b: Fazni dijagram prikazuje zasićenje.


15

Ako su ulazni univerzumi kontrolera diskretni, uvek je moguće sračunati sve zamislive kombinacije ulaza pre puštanja kontrolera u pogon. Kod kontrolera na bazi look-up tabele, odnosi između svih ulaznih kombinacija i njima odgovarajućih izlaza su poređani u look-up tabelu. Ova implementacija poboljšava brzinu izvršavanja jer se vreme izvršavanja svodi na vreme potrebno za očitavanje vrednosti iz tabele što je brže ukoliko se potrebna vrednost može naći bez previše pretraživanja. Kod kontrolera na bazi tabele koji ne vrši interpolaciju, kvantizacija u tabeli utiče na performanse.

Lako se može pokazati da će prilikom primene ovakvog kontrolera doći do pojave graničnih krugova, tj. stabilnih oscilacija u stacionarnom stanju. Kontroler dozvoljava procesu da “šeta” u okviru jedne ćelije look-up tabele, sve dok ne pređe u drugu ćeliju i tek tada se menja upravljački signal. Postoje tri načina da se smanji granični krug: 1) povećanjem ˆ

pK , 2) smanjenjem kvanta diskretizacije i 3) pomoću interpolacije. Prva opcija čini kontroler osetljivijim na mala odstupanja od radne tačke i može izazvati zasićenje. Druga opcija se ostvaruje korišćenjem nove look-up tabele, sa finijom rezolucijom kada se proces približi radnoj tački. Ovo je dobra alternativa u slučaju da je interpolacija vremenski i/ili memorijski previše zahtevna, inače koristimo treću opciju, kojom se potpuno oslobađamo efekata kvantizacije.

Šum merenja takođe utiče na performanse. Sl. 11 prikazuje odziv sistema sa kontrolerom koji ima linearnu upravljačku tabelu i ˆ

pK = 1, kao u originalnom primeru, i merni beli Gausov šum varijanse 10–6. Iako se šum jedva može uočiti na izlazu procesa, upravljački signal je značajno promenjen u odnosu na slučaj kada šuma nema. Sistem je i dalje stabilan, ali diferencijalno dejstvo pojačava šum i unoseći ga u upravljački signal.

0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

t(s)

y

0 5 10 15 20 25 30 35 40-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

t(s)

u


Sl. 11: FPD + I kontrola procesa 1/(1+s)3 sa šumom.

Ako je šum preveliki on će pomeriti fazni dijagram ka ivici univerzuma signala promena greške êd, a nakon toga ulazni univerzum će ograničiti uticaj šuma. Ukoliko pod uticajem šuma dolazi do nestabilnosti ili značajnog poremećaja upravljačkog signala mora se staviti filtar.

Druga opcija je da se koristi fuzzy inkrementalni kontroler kod koga će integrator na izlazu ispraviti poremećaje upravljačkog signala. Međutim, Ziegler – Nicholsova pravila daju loše rezultate kada se primene na FInc kontroler, pa se mora pristupiti ručnom podešavanju parametara. Na taj način se dobija: ˆ

pK = 1, ˆdK = 2, ˆ

uK = 0.5 što daje relativno dobar odziv (sl. 12). Vreme uspona je duže nego kod FPD + I kontrolera i veći je uticaj promene ulaznog poremećaja na odziv, ali je preskok u ovom slučaju manji. Šum u odzivu sistema se može uočiti, ali je uticaj šuma na upravljački signal znatno manji nego u slučaju FPD + I kontrolera.


16

0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

t(s)

y

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.5

1

1.5

2

2.5

t(s)

u


Sl. 12: FInc kontrola procesa 1/(1+s)3 sa šumom.

Sličnost sa PID regulatorom implicira postojanje tradicionalnih PID problema i kod fuzzy kontrolera. Signal promena greške je osetljiv na šum mada se primenom konačnog univerzuma može ograničiti uticaj šuma. Često se javlja potreba za primenom neke vrste filtra. Može doći do pojave navijanja integratora kada je upravljački signal u ograničen osobinama aktuatora. Međutim, ove probleme je moguće prevazići poznatim PID tehnikama (videti npr. Åström & Hägglund, 1995).

4. Kako učiniti fuzzy kontroler nelinearnim

Četvrti korak u našoj proceduri projektovanja je da linearni fuzzy kontroler postepeno učinimo nelinearnim. Česta je praksa da se baza pravila gradi od članova kao što su Poz, Nula i Neg, koji predstavljaju labele – lingvistički opis fuzzy skupova. Ulazna familija može da se sastoji od ova tri člana. Zbog toga kao i zbog dva ulazna signala moguće je formirati 3 x 3 = 9 pravila i ovaj broj pravila se često koristi u praksi.

Oblik skupova i izbor pravila utiču na upravljačku strategiju i na dinamiku sistema u zatvorenoj sprezi. Postoje u suštini četiri karakteristična oblika upravljačke površine.

Linearna površina (sl. 13, levo) nastaje kao posledica sledećih pravila (uz primenu trougaonih ulaznih skupova)

1. ako greška = Neg i promena greške = Neg tada upravljanje = –2

2. ako greška = Neg i promena greške = Nula tada upravljanje = –1

3. ako greška = Neg i promena greške = Poz tada upravljanje = 0 4. ako greška = Nula i promena greške = Neg tada upravljanje = –1

5. ako greška = Nula i promena greške = Nula tada upravljanje = 0 (26)

6. ako greška = Nula i promena greške = Poz tada upravljanje = 1

7. ako greška = Poz i promena greške = Neg tada upravljanje = 0

8. ako greška = Poz i promena greške = Nula tada upravljanje = 1

9. ako greška = Poz i promena greške = Poz tada upravljanje = 2


17

Površ na slici je u stvari ekvivalentna sumiranju dva ulazna signala (vrednosti na osama). Pošto je površ ekvivalentna sumiranju, kontroler je ekvivalentan PD regulatoru.

Strma površina (sl. 13, desno) se gradi korišćenjem samo pravila 1, 3, 7 i 9, zajedno sa ulaznim skupovima prikazanim na slici (ovi skupovi su segmenti sinusne funkcije). Treba primetiti odsustvo centralnog pravila (broj 5) kod koga je greška = Nula i promena greške = Nula. Ova površina ima strmiji nagib, odnosno veće pojačanje u blizini centra tabele u odnosu na linearnu površinu, ali obe površine imaju iste vrednosti u sva četiri ugla.

-1-0.5

00.5

1

-1-0.5

00.5

1-2

-1

0

1

2

êêd

û

-1-0.5

00.5

1

-1-0.5

00.5

1-2

-1

0

1

2

êêdû

-1 -0.5 0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ê, êd

Deg

ree

of m

embe

rshi

p

Neg Nula Poz

-1 -0.5 0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ê, êd

Deg

ree

of m

embe

rshi

p

Neg Poz

Sl. 13:Linearna površina (gore levo) i strma površina (gore desno) sa ulaznim familijama na

osnovu kojih su generisane (dole levo i desno).

Blaga površina se gradi korišćenjem ista četiri pravila 1, 3, 7 i 9 kao i u prethodnom slučaju, ali su sada ulazni skupovi promenjeni. Oni su sada bazirani na inverznim trigonometrijskim funkcijama, tj. Poz (x) = 0.5 + arcsin (x) / π i Neg (x) = arccos (x) / π . Ova površina ima blaži nagib, odnosno manje pojačanje u blizini centra tabele u odnosu na linearnu površinu, ali i ova površina ima iste vrednosti u sva četiri ugla kao i linearna površina.

Naborana površina nastala je dobijena korišćenjem skupa od devet pravila (26) i nelinearnim ulaznim funkcijama pripadanja – gausovskim sa σ = 0.3. Ova površina ima ravan plato u blizini centra i nabore na nekoliko mesta. I ona, takođe, ima iste vrednosti u sva četiri ugla kao i sve prethodne površine.


18

-1-0.5

00.5

1

-1-0.5

00.5

1-2

-1

0

1

2

êêd

û

-1-0.5

00.5

1

-1-0.5

00.5

1-2

-1

0

1

2

êêd

û

-1 -0.5 0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ê, êd

Deg

ree

of m

embe

rshi

p

Neg Poz

-1 -0.5 0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ê, êd

Deg

ree

of m

embe

rshi

p

Neg Nula Poz

Sl. 14:Blaga površina (gore levo) i naborana površina (gore desno) sa ulaznim familijama na

osnovu kojih su generisane (dole levo i desno).

Teško je napraviti objektivno poređenje upravljačkih karakteristika ove četiri upravljačke površine. Radi studije o tome kako razne nelinearne površine utiču na odziv pogledati Jantzen-a (1997).

5. Fino podešavanje nelinearnog fuzzy kontrolera

Peti korak u našoj proceduri projektovanja podrazumeva fino podešavanje pojačanja dobijenog nelinearnog fuzzy kontrolera. Izbor pojačanja koje je potrebno fino podesiti obično se vrši na osnovu iskustva i intuicije. Nekoliko iskustvenih pravila je moguće izvesti iz linearne aproksimacije:

Perioda odabiranja kod diskretne realizacije. Nijedno od pojačanja fuzzy kontrolera ne zavisi od periode odabiranja Međutim, ako je perioda odabiranja premala, računanje ed će postati previše osetljivo na šum. Ovo se obično ispoljava tako što ne dolazi do smirivanja upravljačkog signala. Takođe, računanje integralnog upravljanja kod inkrementalnog kontrolera može postati osetljivo na greške zaokruživanja.

Pojačanje ˆpK . Ako signal greške treba da koristi ceo opseg svog univerzuma tada maksimalno ê

treba da bude jednako ograničenju univerzuma, tj.

max maxˆ

pK e Universe⋅ = (27)


19

Sa skokom reference u iznosu R i univerzumom ê ∈ [–1, 1], iz jednačine (27) sledi: ˆpK = 1/R.

Kod FPD i FPD + I kontrolera, ˆpK utiče samo na proporcionalno dejstvo regulatora i poželjno je

što veće ˆpK da bi se povećalo pojačanje povratne sprege, ali se ne sme preterati da se ne bi

narušila stabilnost. U inkrementalnom kontroler, ˆpK realizuje integralno dejstvo, pa njegove

previsoke vrednosti mogu destabilisati sistem.

diferencijalno dejstvo. U tom slučaju poželjno je da ˆpK bude što veće da bi se smanjio uticaj

šuma i imalo veliko proporcionalno pojačanje.

Pojačanje ˆdK . Sličan argument gore navedenom važi u slučaju kada signal promena greške

treba da koristi ceo opseg svog univerzuma,

max maxˆ

d dK e Universe⋅ = (28)

Kod FPD i FPD+I kontrolera, veće ˆdK znači veće diferencijalno pojačanje, bez efekta na

proporcionalno pojačanje. Prema tome, da bi se problemi sa šumom sveli na minimum treba smanjiti ˆ

dK što više. Kod FInc kontrolera, ˆdK realizuje proporcionalno dejstvo; prema tome

odgovara nam što veće ˆdK .

Pojačanje ûK . Ovo pojačanje utiče na sva tri dejstva regulatora. Treba ga što više povećati, ali

pri tom treba paziti da upravljački signal ne ulazi u zasićenje i da ne nastane preveliki preskok. Ako je ovo pojačanje previše malo, sistem će biti prespor, a ako je preveliko, sistem može postati i nestabilan.

Sledeći postupak predstavlja proceduru za ručno podešavanje parametara FPD + I kontrolera (a uz trivijalne modifikacije ova procedura se takođe može upotrebiti i za FPD i FInc kontrolere):

1. Podesiti ˆpK na osnovu amplitude odskočne pobude, tako da se iskoristi ceo opseg

univerzuma ê ∈ [–1, 1].

2. Ukloniti integralno i diferencijalno dejstvo postavljanjem ˆ ˆ 0d iK K= = . Podesiti ûK tako

da se dobije željeni oblik odziva, ignorišući grešku stacionarnog stanja.

3. Povećati proporcionalno pojačanje menjanjem ûK , a zatim podesiti diferencijalno

pojačanje menjanjem ˆdK tako da se smanji preskok.

4. Podesiti integralno pojačanje menjanjem îK tako da se odstrani greška stacionarnog

stanja.

5. Ponavljati celu proceduru sve dok se ne postigne da ûK bude najveće moguće, a da

signal upravljanja ne uđe u zasićenje.


20

6. Rezime i zaključak

Ako na kraju sumirajmo sve prethodno rečeno možemo doći do procedure za podešavanje parametara fuzzy kontrolera. Procedura koja će dole biti navedena odnosi se na FPD+I kontroler, pošto je to najopštiji slučaj, ali se sličan postupak može primeniti i na ostale kontrolere.

1. Podesiti postojeći PID regulator jednom od poznatih metoda (Ziegler – Nichols, Kappa – Tau, optimizacija, ručno podešavanje ili neka druga metoda).

2. Uneti linearan FPD + I.

3. Korišćenjem tabele 4, na osnovu Kp , Td i Ti, odrediti ˆpK , ˆ

dK , îK i ˆ

uK . Ukoliko ne dođe do zasićenja u univerzumima, odzivi PID i fuzzy kontrolera bi trebalo da su identični.

4. Uneti nelinearnu bazu pravila.

5. Ručnim podešavanjem fino podesiti parametre; koristiti ˆpK za iskorišćenje ulaznog

univerzuma greške, ûK za poboljšanje vremena uspona, ˆ

dK za smanjenje preskoka,

a îK za otklanjanje greške stacionarnog stanja.

FPD + I kontroler ima jedan dodatni stepen slobode, pošto ima jedno pojačanje više od običnog PID regulatora. Ovaj stepen slobode se koristi da bi se iskoristio ceo opseg ulaznog univerzuma. Npr, ako se projektuje kontroler za praćenje reference koja može da se menja u opsegu r ∈ [–R, R], a univerzum za normiranu grešku je ê ∈ [–1, 1], tada treba postaviti ˆ

pK = 1/R da bi se iskoristio pun opseg univerzuma. Ako je signal êd veće amplitude i ulazi u

zasićenje, tada se pomuću ˆdK normira da bude êd ∈ [–1, 1], a ˆ

pK određuje iz formula.

Dobijene performanse fuzzy kontrolera će zavisiti od upravljačke tabele. Fuzzy PID kontroler sa linearnom upravljačkom tabelom se može podesiti tako da ima potpuno isti odziv kao i običan PID regulator. U nekim slučajevima fuzzy kontroler sa nelinearnom upravljačkom tabelom može da ima bolje performanse od konvencionalnog PID kontrolera, ali to zavisi od samog procesa i od pravilnog izbora nelinearne upravljačke tabele.

Documents

Podesavanje Fuzzy PID Regulatora