-
ix
PERSAMAAN KUADRATIK
Jika ax2 + bx + c = 0,
x = b b2 4ac
2a
Penyempurnaan kuasa dua p(x + q)2 + r = 0
Jika punca bagi ax2 + bx + c = 0ialah dan , maka
hasil tambah punca
= + = ba
hasil darab punca = = ca
b2 4ac > 0 : Dua punca berbeza
b2 4ac = 0 : Dua punca sama b2 4ac < 0 : Tiada punca
nyata
INDEKS DAN LOGARITMA
Indeks am an = am+n am an = amn (am)n = amn
loga N = x N = ax
Logaritma loga xy = loga x + loga y
loga xy
= loga x loga y
loga x p = p loga x
logab = logc blogc a
GEOMETRI KOORDINAT
Jarak
= (x2 x1)2 + (y2 y1)
2
Titik tengah
= x1 + x22 , y1 + y2
2 Titik yang membahagi suatu
tembereng garis: Koordinat titik P pada AB dengan keadaan AP :
PB = m : n ialah
P = nx1 + mx2m + n , ny1 + my2
m + n Luas segitiga
= 12 |
x1y1
x2y2
x3y3
x1y1 |
= 12
[(x1 y2 + x2 y3 + x3 y1)
( y1x2 y2x3 y3x1)]
Kecerunan, m = y2 y1x2 x1
Bagi dua garis lurus yang selari, m1 m2
Bagi dua garis lurus yang berserenjang, m1 m2 = 1
STATISTIK
Min, x = xN
= fx f
RUMUS
WTMTRumus(ix-xi).indd ixWTMTRumus(ix-xi).indd ix 9/1/12 10:57:22
AM9/1/12 10:57:22 AM
-
26
TIN
GK
ATA
N
4
3.1 Fungsi Kuadratik dan Grafnya
1 Bentuk am satu fungsi kuadratik ialah f (x) = ax2 + bx + c
dengan keadaan a, b dan c ialah pemalar dan a 0.
2 Graf fungsi kuadratik berbentuk parabola. 3 Jika a > 0,
f(x) mempunyai nilai minimum dan grafnya berbentuk
Paksisimetri
Titik minimum
4 Jika a < 0, f(x) mempunyai nilai maksimum dan grafnya
berbentuk
Paksisimetri
Titik minimum
5 Bentuk dan kedudukan graf fungsi kuadratik, f (x) = ax2 + bx +
c, bergantung kepada nilai a dan nilai b2 4ac.(a) b2 4ac > 0:
Graf bersilang dengan paksi-x pada dua titik.
x xataua > 0 a < 0
(b) b2 4ac = 0: Graf menyentuh paksi-x pada satu titik.
x
x
ataua > 0 a < 0
(c) b2 4ac < 0 : Graf tidak bersilang dengan paksi-x.
x
x
ataua > 0 a < 0
Tingkatan 4
FUNGSI KUADRATIK
WTMT4_03_(26-37).indd 26WTMT4_03_(26-37).indd 26 1/11/11
10:57:04 AM1/11/11 10:57:04 AM
-
3 Fungsi Kuadratik 27
4
TIN
GK
ATA
N
Cari julat nilai k jika lengkung f (x) = 10 3x (k 1)x2(a)
bersilang dengan paksi-x
pada dua titik,(b) tidak bersilang dengan
paksi-x.
1
Penyelesaian(a) a = (k 1), b = 3, c = 10 b2 4ac > 0 (3)2 4(k
+ 1)(10) > 0 9 + 40k 40 > 0 40k > 31
k > 3140
(b) a = (k 1), b = 3, c = 10 b2 4ac < 0 (3)2 4(k + 1)(10)
< 0 9 + 40k 40 < 0 40k < 31
k < 3140
Klon Klon SPM
Klon
10
Rajah berikut menunjukkan graf bagi fungsi kuadratik y =
f(x).
2 7
y
x
(a) Selesaikan persamaan y = f(x) = 0.(b) Nyatakan persamaan
paksi
simetri bagi fungsi tersebut.
Penyelesaian(a) Selesaikan persamaan f(x) = 0
bermaksud mencari nilai x apabila y = 0.
Maka, x = 2 dan 7 apabila f(x) = 0.
Nota: Nilai x juga dinamai punca bagi persamaan kuadratik.
(b) Persamaan paksi simetri
x = 2 + 72
= 92
Klon SPM
Suatu fungsi f ditakrifkan oleh f (x) = 2(x 5)(3x + 1).(a)
Tentukan bentuk graf f (x).(b) Tentukan kedudukan graf
f (x).(c) Lakar graf f (x) pada paksi-x.
Penyelesaian(a) f (x) = 2(x 5)(3x + 1) f (x) = 6x2 28x 10 Nilai
a = 6 > 0, maka bentuk graf f(x) ialah .
(b) a = 6, b = 28, c = 10 b2 4ac = (28)2 4(6)(10)
= 1024 > 0. Maka, graf f(x) menyilang
paksi-x pada dua titik.
(c)
x
10
WTMT4_03_(26-37).indd 27WTMT4_03_(26-37).indd 27 1/12/11
11:35:12 AM1/12/11 11:35:12 AM
-
3 Fungsi Kuadratik34
TIN
GK
ATA
N
4
Klon
Klon Klon SPM 09, 10
Cari julat nilai p jika persamaan kuadratik 2p (p 1)x2 = 0 tidak
mempunyai punca nyata.
Penyelesaian (p 1)x2 + 2p = 0a = p + 1, b = 0, c = 2p
b2 4ac < 002 4(p + 1)(2p) < 0 (4p 4)(2p) < 0 8p (p1)
< 0
10
Maka, julat nilai p ialah 0 < p < 1.
x2 12x + 20 0 (x 10)(x 2) 0 2 x 10
102
Gabungkan kedua-dua ketaksamaan
8 2 10
2 x 10
x
x 8
Maka, julat nilai x yang memenuhi kedua-dua ketaksamaan ialah 2
x 10.
3 Cari julat nilai k jika lengkung x2 + (1 k)x = k tidak
bersilang dengan paksi-x.
4 Diberi lengkung f(x) = x2 + 2px + p2 5p 3 menyilang paksi-x
pada satu titik sahaja. Cari nilai p.
5 Graf bagi fungsi kuadratik f(x) = 2x2 + 8x + k bersilang
dengan paksi-x pada dua titik berbeza. Cari julat nilai k.
3.1 Fungsi Kuadratik dan Grafnya
1 Tentukan kedudukan graf bagi fungsi-fungsi berikut apabila
f(x) = 0.(a) f(x) = 3x2 + 5x 7(b) f(x) = x(3 x) + 2x + 10
2 Persamaan kuadratik mx2 4mx + 4m 5 = 0 tidak mempunyai punca
nyata. Cari julat nilai m.
3PRAKTIS SPMKertas 1
WTMT4_03_(26-37).indd 34WTMT4_03_(26-37).indd 34 1/11/11
10:57:09 AM1/11/11 10:57:09 AM
-
KER
TAS
MO
DEL S
PM
341
1 Rajah 1 menunjukkan graf f(x) = 3|1 x| bagi domain 1 x 2.
Rajah 1
Nyatakan(a) nilai a,(b) objek bagi 6,(c) julat bagi f(x) yang
sepadan dengan domain yang diberi,(d) jenis hubungan bagi fungsi di
atas. [4 markah]
2 Diberi fungsi f : x x2 12
dan g : x 5 2x, cari(a) fg1(1),(b) nilai-nilai x dengan keadaan
gf(x) = 3. [4 markah]
3 Diberi fungsi v : t t2 + 3 dan s : t 8t + k dengan keadaan k
ialah pemalar. Cari nilai-nilai k yang mungkin jika vs1(2) = 4. [3
markah]
Jawab semua soalan.
Masa: 2 jamKERTAS 1 [80 markah]
WTMT_KM(341-353).indd 341WTMT_KM(341-353).indd 341 31/10/11
4:18:04 PM31/10/11 4:18:04 PM
/ColorImageDict > /JPEG2000ColorACSImageDict >
/JPEG2000ColorImageDict > /AntiAliasGrayImages false
/DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict >
/GrayImageDict > /JPEG2000GrayACSImageDict >
/JPEG2000GrayImageDict > /AntiAliasMonoImages false
/DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict >
/AllowPSXObjects false /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile ()
/PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName (http://www.color.org)
/PDFXTrapped /Unknown
/Description >>> setdistillerparams>
setpagedevice
