1

Mehanika deformabilnih tijela

Otpornost materijalaNauka o vrstoi

I. dio

2

Sadraj

1. Uvod

2. Analiza naprezanja

3. Analiza deformacije

4. Meusobna ovisnost naprezanja i deformacija

5. Geometrijske karakteristike poprenih presjeka

nosaa

6. Temelji i potporni zidovi

3

7. Osnovni naini optereenja tapa

8. Rastezanje tapa N>0 (vlak)

9. Izvijanje tapa N

4

Podjela mehanike

5

Idealizacija realnog vrstog tijela u mehanici

6

Statika - pretpostavke:1. Kontinuum2. Apsolutno kruto tijelo

Otpornost materijala pretpostavke: 1. Kontinuum2. Deformabilno vrsto tijelo

7

KontinumKod kontinuuma je materija tijela jednoliko ineprekinuto raspodijeljena po itavom obujmu tijela.(Prirodno vrsto tijelo je diskretni sustav materijalnih

toaka, t.j. sastavljeno je od malih estica molekula.)

Deformabilno tijelo

je vrsto tijelo koje se pod djelovanjem siladeformira, mijenja svoj oblik i obujam.

8

U svakodnevnoj praksi za rjeavanje problema uvodimo pretpostavke:

- o svojstvima materijala. - o deformiranju tijela, i- o raspodjeli naprezanja po

presjeku tijela.

9

1. Pretpostavka - o svojstvima materijala

Razmatraju se vrsta tijela od materijala idealiziranihsvojstava:

Kontinuum Homogen Izotropan Idealno elastian

10

Homogen

Svojstva materijala su u svim tokama jednaka.

na primjer: gustoa (kg/m3)

homogen elik

(u tokama tijela A, B, C i D =7850 kg/m3)

11

Izotropan

Elastina, mehanika, toplinska i drugafiziko-mehanika svojstva materijala su u svim smjerovima. na primjer: modul elastinosti E (N/m2).izotropan: elik

E = Ex = Ey = Ez E = 21.000 kN/cm2

12

Idealno elastian materijal

Tijelo od idealno elastinog materijala se

nakon rastereenja vraa u prvobitno

stanje poprima prvobitni oblik i obujam.

na primjer elik

(napregnut do granice proporcionalnosti P)

13

Homogen elikHeterogen beton (smjesa agregata i

cementne paste)Izotropan elik E = 21.000 kN/cm2

Anizotropno: drvo (ortotropno)E|| = 1.000 kN/cm2 i E= 30 kN/cm2

Elastino tijelo elikPlastino tijelo Viskoelastino tijelo

14

Homogen elikHeterogen beton (smjesa agregata i

cementne paste)

Izotropan elik E = 21.000 kN/cm2

Anizotropan: drvo (ortotropno)E|| = 1.000 kN/cm2 i E= 30 kN/cm2

Ortotropan: Anizotropan:

15

Plastino tijelo

U plastinom tijelima nakon rastereenja

deformacije tijela ne ieznu potpuno, ve

zaostaju tzv. trajne ili plastine deformacije.

na primjer: nisko-ugljini (meki) graevinski elik poslije granice elastinosti E

16

Viskoelastino tijelo

Viskoelastini materijali imaju svojstva elastinih tijela i viskoznih tekuina.

Viskoelastina tijela karakteriziraju pojave:1. puzanja (beton) i2. relaksacije (polimeri)

17

Puzanje je pojava porasta deformacija tijekom vremena pri konstantnom naprezanju (na pr. beton).

Relaksacije je pojava opadanja naprezanja kod konstantne deformacije tijekom vremena. (na pr. polimerni materijali, asfalt, metali pri povienim temperaturama)

18

2. Pretpostavka - o deformiranju:

1. Hipoteza ravnih presjeka

2. Teorija malih deformacija

3. Zakon superpozicije (elastino podruje)

19

1. Bernoullijeva hipoteza ravnih presjeka:

Zamiljeni ravni presjeci okomiti na os nosaa prije deformiranja ostaju ravni i okomiti na os nosaa i nakon deformiranja.

20

2. Teorija malih deformacija

deformacije tijela su maleu odnosu na dimenzijetijela i usvajamo naelo poetnih dimenzija a, l(nedeformirano tijelo)

Progib:

w

21

proporcionalnost

izmeu optereenja i

pomaka - elastino

podruje

22

3. Zakon superpozicije: progib wk= wk1+ wk2

23

3. Pretpostavka: Postoji jednoznana ovisnost

.

Hookeov zakon:- za normalno naprezanje:

- za posmino naprezanje: = G = E

24

Pretpostavke - ponavljanje1. Pretpostavka o svojstvima materijala: kontinuum,

homogen, izotropan i idealno elastian

2. Pretpostavka o deformiranju: hipoteza o ravnim presjecima, teorija malih deformacija, proporcionalnost izmeu optereenja i pomaka te zakon superpozicije

3. Pretpostavka: jednoznana ovisnost izmeu naprezanja i deformacija

==

G

E

25

1. Gustoa [kg/m3]2. Modul elastinosti E [kN/m2]3. Poissonov koeficijent [-]4. Modul posmika G [kN/m2]5. Obujamski modul elastinosti K [kN/m2]

(bulk modul, modul kompresije)6. Koeficijent linearnog toplinskog

rastezanja t [ / 0C]

Fizikalno-mehanike karakteristike materijala:

262

2

kN/cm 1PaM 10

N/mm 1PaM 1

=

=

t

27

Otpornost materijala

prouava probleme 1. vrstoe, 2. krutosti i 3. elastine stabilnosti konstrukcija i dijelova

konstrukcija od vrstog deformabilnogmaterijala.

Moraju biti zadovoljeni uvjeti sigurnosti i uvjetiekonominosti.

28

1. vrstoa

vrstoa konstrukcije je sposobnost

elemenata konstrukcije prijenosa

optereenja bez pojave loma, bez

trajnih plastinih deformacija ili

oteenja (pukotine).

29

vrstoa

Uvjet vrstoe za:

Normalno naprezanje < dopPosmino naprezanje < dop

30

vrstoa

Najvea naprezanja u elementima konstrukcije ne smiju biti vea od neke normativne vrijednosti - doputenog naprezanja , koja se odreuju normiranim ispitivanjima na ispitnim uzorcima (epruvetama) od tog materijala. Ispitivanja se obavljaju u ovlatenom laboratoriju.

31

2. Krutost

Krutost konstrukcije je otpornost konstrukcije

prema deformiranju (t.j. promjeni oblika i

dimenzija pod optereenjem).

Uvjet krutosti:

Progib nosaa kod savijanja

Kut uvijanja

dopww

dop

32

Krutost

Pri zadanom optereenju deformacije ne smiju biti vee od doputenih, jer bi moglo doi u pitanje iskoritavanje elementa ili itave konstrukcije u primjeni

dopk ww

33

Elastina stabilnost

Elastina stabilnost konstrukcije je

sposobnost konstrukcije da kod

optereivanja zadri poetni

ravnoteni oblik

Izvijanje ravnog tapa

34

3. Elastina stabilnost

Gubitak elastine stabilnosti ravnog tapa zovemo izvijanje.

Dugi i vitki tapovi podvrgnuti velikom osnom optereenju na sabijanje mogu izgubiti svoj prvobitni pravocrtni oblik.

Eksperimentalna i teorijska ispitivanja pokazuju da pojava nestabilnog ravnotenog oblika elementa ili konstrukcije neizbjeno vodi do potpunog unitenja (kolapsa) konstrukcije.

35

Dimenzioniranje:

Zadan je: oblik konstrukcije s optereenjem (nosa) materijal konstrukcijetreba odrediti dimenzije poprenog presjekanosaa tako da budu zadovoljeni uvjeti: vrstoe, krutosti i stabilnosti.

36

Tenzori 2. reda

Tenzor naprezanja Tenzor deformacija

====

zzyzx

yzyyx

xzxyx

ij

=

zzyzx

yzyyx

xzxyx

ij

37

Naprezanja

1. Normalno naprezanje 2. Posmino naprezanje

presjeka poprenog tikakarakteris kageometrijspresjeku poprenom u sila unutarnja

naprezanje =

38

Tenzori 2. reda

Tenzor naprezanja Tenzor deformacija

=

zzyzx

yzyyx

xzxyx

ij

=

zzyzx

yzyyx

xzxyx

ij

21

21

21

21

21

21

39

Tenzor naprezanja

{ j,i i normala ravnine presjeka na kojem djeluje komponenta naprezanjaj koordinatna os s kojom je komponenta naprezanja paralelna

40

Sustav mjernih jedinica SI

Papaskalnaprezanje, tlak

Nnjutnsila, teina

ssekundavrijeme

kgkilogrammasa

mmetarduljina

Naziv jediniceNaziv veliine

41

Jedinica za naprezanje:

2

2

kN/cm 1PaM 10

N/mm 1PaM 1

=

=Vea jedinica je megaPaskal

2N/m 1Pa 1 =

42

Normalno naprezanje

Normalno naprezanje uzrokuju promjenu obujma t.j. utjee na promjenu duljina:

l1 =

l l1

(Jednoosno stanje naprezanja)

43

Posmino naprezanje Posmino naprezanje utjeu samo na

promjenu oblika tijela.

(Ravninsko-dvoosno stanje naprezanja)

44

Duljinska deformacija Duljiska deformacija je relativna

promjena neke duljine tijela koje se deformira

ll=

l1 =

45

Kutna deformacija tijela Kutna deformacija je promjena pravogkuta (/2) tijela koje se deformira(promjena oblika).

46

Kutna deformacija tijela Kutna deformacija javlja se kod uvijanja

tapa kao zakreti presjeka tapa uslijed djelovanja momenta uvijanja Mt

47

Povijest - otpornosti materijala

Leonardo da Vinci Galileo Galilei Robert Hooke Jakob Bernoulli L. Euler C. A. Coulomb T. Young L. Navier A. L. Cauchy i drugi.

48

1. Leonardo da Vinci - eksperimentalna istraivanja proste grede i konzole

2. Galileo Galilei mehanika deformabilnih tijela3. Robert Hooke - mehanika elastinih tijela4. Jakob Bernoulli - hipoteza ravnih presjeka5. L. Euler - stabilnost pritisnutih tapova6. C. A. Coulomb - uvijanje okruglog tapa 7. T. Young - posmino naprezanje, modul E8. L. Navier - ope jednadbe ravnotee 9. A. L. Cauchy - zakon o uzajamnosti posminih

naprezanja

49

Leonardo da Vinci (1452-1519) bavio se prouavanjem vrstoe tehnikih konstrukcija, eksperimentalnim istraivanjima proste grede i konzole.

Galileo Galilei (1564-1642) prvi je primjetio da mehanika krutih tijela nije dovoljna za rjeavanje mnogih problema sigurnosti konstrukcija te da se moraju uzeti u obzir fizikalna svojstva materijala. Njegova publikacija "Discorsi e Dimostrazionimatematiche intorio a due nuove scienze" prva je na podruju znanosti o otpornosti materijala i oznaava poetak povijesnog razdoblja mehanike deformabilnih tijela.

50

Robert Hooke (1635-1703) prouava elastina svojstva materijala. Eksperimentalnim ispitivanjima na oprugama, icama i drvenim konzolama pronalazi Zakon o linearnoj ovisnosti optereenja i deformacija pri rastezanju, na kojoj je kasnije izgraena mehanika elastinih tijela.

Jakob Bernoulli (1654-1705) prouavao je oblik savijene grede i postavio jednu od vanijih hipoteza u znanosti o otpornosti materijala - hipotezu ravnih presjeka.

51

L. Euler (1700-1783) istraivao jestabilnost pritisnutih tapova.

C. A. Coulomb (1785-1806) prouava meu prvima torziju okruglog tapa, mehanika svojstva materijala, odredio granicu elastinosti za neke materijale, dao tono rjeenje savijanja konzole.

52

T. Young (1773-1829) dao je matematiku formulaciju Hookeovog zakona i uveo pojam modula elastinosti E pri rastezanju i pritisku, koji se naziva Youngovim modulom. Uvodi i pojam posminog naprezanja. Prvi je poeo prouavanje djelovanje dinamikog optereenja.

53

L. Navier (1785-1836) izdaje 1862. prvi udbenik o otpornosti materijala. Za razliku od ostalih istraivaa, koji su traili optereenje koje dovodi do ruenja konstrukcije, on je traio optereenje do kojeg se konstrukcija ponaa potpuno elastino bez najave trajnih deformacija. Prvi je formulirao ope jednadbe ravnotee.

A. L. Cauchy (1789-1857) uvodi pojam glavnih naprezanja i glavnih deformacija te dokazuje zakon o uzajamnosti posminih naprezanja.

54

Ostali istraivai su:

Poisson (koeficijent ),

Lame (koeficijenti i ),

Mohr (krunice naprezanja),

Saint-Venant (teorija plastinosti),

Huber, Mises, Hencky (HMH teorija loma),

Rankin, Maxwell, Clapeyron, Castiglian, Betti,

Prandtl, Timoenko, Mushelvilia, Ostrogradski i

drugi.