Ondas estacionarias en una cuerda tensa · a nodo en los extremos de la onda estacionaria), anote esta cantidad, as como el numero de nodos y antinodos en el Cuadro 1. 5.Obtenido

FS-200 Fısica General II UNAH

Universidad Nacional Autonoma de Honduras

Facultad de CienciasEscuela de Fısica

Ondas estacionarias en una cuerda tensa

Objetivos

1. Producir los modos normales de vibracion de una cuerda fija en los extremos.

2. Calcular la frecuencia de un oscilador mecanico que produce las ondas estacionarias en lacuerda fija en los extremos.

3. Establecer y demostrar la relacion entre la tension en una cuerda y su longitud, con lacantidad de nodos y antinodos de una onda estacionaria que se forma en la cuerda

Materiales y equipo

1. Montaje especial concuerda (hilo de ‘nylon’),vibrador, prensas y polea

2. Balanza granataria

3. Vaso de plastico

4. Recipiente con agua

5. Cinta metrica

6. Soporte de mesa, nuez yvarilla roscada

7. Transportadores

Figura 1: Modos diferentes de ondas estacionarias en una cuerda a frecuencia de oscilacion constantey tension en la cuerda variable.

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Marco teoricoSe llaman ondas estacionarias, por contraposicion de ondas viajeras, a aquellas mediante las cualesno se puede transmitir energıa. Es sencillo producirlas generando ondas mecanicas en una cuerdafija en ambos extremos o utilizando ondas sonoras en un tubo cerrado o abierto en un extremo, enel primer caso las ondas estacionarias son transversales y en el segundo caso son longitudinales.

La manera habitual de crear este tipo de ondas consiste en permitir la interferencia entre ondasincidentes y reflejadas. Si una onda incidente, inicialmente viajera, es de la forma yinc = Asen(kx−ωt) y una reflejada necesariamente habra de representarse como yref = Asen(kx + ωt) de formaque la onda resultante de la interferencia de estas dos:

1. Tiene direccion opuesta a la incidente, de ahı el cambio de signo en el argumento del coseno

2. Debido a que el extremo en donde la onda incidente choca esta fijo, la onda reflejada cambiade fase en π . Entonces, cuando interfiere una incidente con una reflejada la onda resultantepresenta la forma:

y(x, t) = yinc(x, t) + yref (x, t) = 2Asen(kx)cos(ωt) (1)

De este tipo de onda resultante vale la pena hacer notar las siguientes cosas:

1. Ya no es una onda viajera, pues no tiene el argumento caracterıstico:kx± ωt

2. Para un determinado punto de la cuerda en x = x0, la ecuacion para y(x0, t) representala ecuacion del movimiento armonico simple de ese elemento del medio en x = x0, paracualquier tiempo t. Es decir:

y(x0, t) = 2Asen(kx)cos(ωt)

Donde la amplitud de oscilacion de ese punto es evidentemente

A(x0) = 2Asen(kx)

3. Este valor de amplitud muestra que un punto o elemento de la cuerda en x = x0 oscilacon amplitud igual a 2Asen(kx0), mientras que hay elementos del medio que oscilan conamplitud 2A (cuando sen(kx0) = 1), en esa posicion se dice que se genera un antinodo dela onda estacionaria, y que hay puntos o elementos del medio que no oscilan nunca o quetienen amplitud de oscilacion igual a cero (cuando sen(kx0) = 0), en esa posicion se dice quese genera un nodo de la onda estacionaria.

4. Si tomamos un cierto valor fijo para el tiempo,t = t0, y(x, t0) representa la forma senoidal queadopta la cuerda en ese momento: y(x, t0) = α(t0)sen(kx), donde ahora α(t0) = 2Acos(ωt0).

5. En este caso el valor para la amplitud nos permite entender que habra momentos en quela cuerda este completamente horizontal, cuando cos(ωt) = 0, y otros momentos en que lasinusoide tendra amplitud maxima, 2A, cuando cos(ωt) = 1.

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Modos normales de vibracion en una cuerda tensaDebido a que la cuerda esta inicialmente sujeta fijamente en sus extremos, en ellos no puede haberoscilacion; entonces si llamamos L a la longitud de la cuerda, obligatoriamente ha de cumplirseque: en el primer extremo en x = 0; y(0, t) = 0 0 y en el segundo extremo en x = L; y(L, t) = 0.La primera condicion impuesta se cumple inmediatamente en la ecuacion 1; el imponer la segundalleva a que:sen(kL) = 0. De ahı que los distintos valores que puede presentar k para que sea posiblela anulacion en el extremo x = L nos dan las distintas longitudes de onda que puede presentarla cuerda de modo que sean acordes con el hecho obligado de no oscilacion en los extremos fijos.Estos valores corresponden a kL = π, 2π, 3π, ..., nπo de forma equivalente:

λn = 2L,2L

2,2L

3, ...,

2L

n(2)

Este resultado nos dice que la cuerda fija en esos extremos solo puede vibrar con esas longitudes deonda, y por lo tanto baj o unas frecuencias igualmente bien definidas. A cada uno de esos modosde vibracion se les denomina MODOS NORMALES DE VIBRACION, o tambien ARMONICOS,y cada uno de ellos aparece visualmente con la forma caracterıstica de un cierto numero de bucles:Cada bucle mide una media longitud de onda. Si la cuerda forma un bucle, ello indica que la cuerdaesta en el primer armonico; si hay presentes dos bucles, la cuerda vibra en el segundo armonico, ysi hay tres bucles, vibre en el tercer armonico, y ası sucesivamente. La relacion frecuencia-longitudde onda-velocidad nos permite decir tambien:

fn =v

λn= n

v

2L=

n

2L

√T

µ(3)

Donde:f , frecuencia en Hz; v, velocidad de la onda en m/s; λ, longitud de onda en m; L, longitud de lacuerda en mT , tension a que la cuerda este sometida en N; µ, densidad lineal de masa de la cuerda en kg/mn, numero natural que indica en que armonico o modo normal esta vibrando la cuerda.

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Montaje experimental para la formacion de ondas estacionarias en unacuerda tensaPara observar en el laboratorio los antes llamados bucles, la tecnica habitual es hacer que uno delos extremos de la cuerda quede unido a un vibrador de frecuencia constante y que el otro permitaregular la tension a la que se somete la cuerda.

(a) (b) (c)

Figura 2: Fotografıas del montaje a utilizar en el laboratorio. (a) Vibrador, (b) Polea y soporte,(c) Vaso con agua para aumentar o reducir la tension en la cuerda.

Figura 3: Esquema basico del montaje a utilizar en el laboratorio.

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Cuando una onda incidente y otra reflejada con las mismas caracterısticas se interfieren en lacuerda, se forma un patron de onda estacionaria que se caracteriza por la formacion de buclesvibrantes, la formacion de estas ondas estacionarias en la cuerda se da bajo ciertas condicionesespecıficas, para nuestro caso en el laboratorio tenemos la facilidad de cambiar:

1. La velocidad de propagacion de la onda.

2. La longitud de la cuerda en donde se forman las ondas estacionarias.

Para entender mejor como desarrollar esta experiencia, y teniendo en cuenta que T = mg,reescribimos la ecuacion (3) de modo que podamos examinarla desde el punto de vista de nuestrolaboratorio:

n2 =4f 2µ

g m(4)

Donde se ha sustituido la tension en la cuerda T por mg donde m corresponde a la masa del vasocon agua, analizando un poco esta ecuacion podemos apreciar que al aumentar la masa colganteaumenta la tension en la cuerda y esto tiene como resultado una reduccion en el valor entero n 2 ,es decir que se observaran menos bucles de onda estacionaria a medida que la tension en la cuerdaaumenta, y se observaran mas bucles a medida que la tension en la cuerda disminuye.Obs: Note que en esta experiencia el extremo en que esta el vibrador no esta fijo. Pero ello noaltera esencialmente los resultados ya que solo se toman en cuenta las mediciones desde el primernodo.

Figura 4: Seccion de cuerda enla balanza.

Procedimiento experimental

1. Antes de conectar el vibrador: Asegurese de que en elmontaje, la polea y el vibrador esta bien firmes sobre la mesa.

2. Proceda a medir la masa (Figura 4), y la longitud de unaseccion de cuerda que servira para determinar la densidadlineal de masa de la cuerda a utilizar, anote su valor.

µ = kg/m (5)

Tambien anote estos valores en el Cuadro 1.

3. Encienda el vibrador y coloque lentamente cierta cantidadde agua en el vaso hasta que se forme una onda estacionaria.Tenga muy en cuenta que una onda estacionaria valida seraaquella que no forma un ovalo tridimensional como bucle, sino aquella que forma bucles“planos”.

4. Una vez que haya obtenido su primera forma de onda estacionaria no coloque mas agua enel vaso y procesa a medir la longitud desde el primer nodo hasta la polea (es decir de nodoa nodo en los extremos de la onda estacionaria), anote esta cantidad, ası como el numero denodos y antinodos en el Cuadro 1.

5. Obtenido el modo normal, mida las longitudes de cada uno de los bucles, cuente el numerode nodos y el numero de antinodos. Del mejor modo que le sea posible, mida tambien ladistancia nodo-antinodo.

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6. Despues de haber obtenido ese armonico, vaya aumentando la tension en la cuerda colocandolentamente mas agua en el vaso, detengase hasta observar el siguiente modo de ondaestacionaria. Cada vez que obtenga uno repita el paso anterior.

7. Trate en la medida de lo posible realizar como mınimo tres mediciones de la misma cantidad,esto permitira obtener un error estadıstico agregando a los resultados una incertidumbre porobservacion, haga una vez todas las mediciones en secuencia y luego vuelva a empezar todaslas mediciones de nuevo.

Registro de datos

1. Registre los datos correspondientes a:

a) Longitud de la parte horizontal de la cuerda en donde se forma una onda estacionariacompleta con nodos en los extremos.

b) Masa y longitud de cuerda usada para obtener la densidad lineal.

2. Registre igualmente los datos obtenidos para cada armonico:

a) Longitud de un bucle formado por cada armonico en la cuerda.

b) Masa colgante (agua mas vaso).

c) Ubique en cada caso la posicion de los nodos y de los antinodos (hubo de medir lo mejorposible la longitud entre un nodo y el antinodo inmediatamente posterior).

Tratamiento de datos experimentales

1. Densidad lineal de masa de la cuerda a utilizar, con su incertidumbre.

2. Tension de la cuerda en cada armonico con su incertidumbre.

3. Velocidad de la cuerda en cada armonico con su incertidumbre.

4. Valor que se obtiene para la frecuencia en cada armonico con su incertidumbre.

Resultados

1. Tabla completa con la informacion de cada armonico (Cuadro 1)

2. Grafica de cuadrado de n(n2) vrs. el inverso de masa colgante ( 1m

) (utilice regresion lineal)

3. Frecuencia de vibracion del vibrador:

a) Como resultado de la pendiente en la grafica anterior.

b) Utilizando el promedio de las frecuencias calculadas con la ecuacion (3), en la ultimafila del Cuadro 1.

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Mediciones para las Columna Columna Columna ColumnaOndas Estacionarias Correspondiente Correspondiente Correspondiente Correspondiente

Formadas en la al al al alCuerda Tensa armonico armonico armonico armonico

Longitud horizontalde la cuerda

(de nodo a nodo extremo)(L± ∆L)

Cantidad debucles observados

Cantidad denodos observados

Cantidad deantinodos observados

Orden delmodo normal

correspondiente(n)

Longitud denodo a antinodo

(medido)Cuarto de

longitud de onda(Calculada apartir de L)Longitud denodo a nodo

(medido)Media longitud

de onda(Calculada apartir de L)

Masa del vaso con agua(Kg)

Tension(N)

Densidad lineal de masa(kg/m)

Velocidad de propagacion(m/s)

Frecuencia del vibrador(Hz)

Cuadro 1: Informacion sobre las ondas estacionarias formadas en la cuerda tensaObs: Utilice las unidades e incertidumbres correspondientes, para el calculo de la tension T , la

densidad lineal de masa µ, la velocidad de propagacion v, y la frecuencia de oscilacion delvibrador f ; sera necesario utilizar la propagacion de errores, Vea anexo.

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Cuestionario

1. Explique por que se dice que las ondas que viajan por esta cuerda son transversales.

2. ¿Por que los nodos no vibran? Ilustre que podrıa hacerse en esta experiencia para mostrarclaramente que efectivamente los nodos no vibran. Explique entonces por que este tipo deondas no permiten transmitir energıa.

3. Explique por que el extremo en donde esta el vibrador nunca puede llegar a ser ni un nodoni un antinodo. ¿Que representarıa entonces ese extremo?

4. Actuando con su mano en el extremo vertical de la cuerda, ¿como podrıa cambiar el modonormal; es decir aumentar o disminuir el numero de bucles?

Bibliografıa

Fısica Para Ciencias E Ingenierıa Vols. I y II Serway, Jewett, 7a. Ed.Fısica. Vols. I y II, Resnick, Halliday, Krane. 4a. ed.Fısica Universitaria, Vols. I y II Sears, Zemansky, Young, Friedman. 11a. ed.Fısica Para Ciencias E Ingenierıa, Vols. I y II. Giancoli. 4a. ed.

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