ONDAS VIAJERAS

Una onda viajera es una perturbacin que se propaga a lo largo de un medio a una velocidad definida. Una de las formas ms simples para demostrar el movimiento ondulatorio es sacudiendo una cuerda de uno de sus extremos.

Ejemplo de onda viajera

Representacin de una onda

Una onda viajera que causa que las partculas del medio perturbado se muevan perpendicularmente al movimiento de la onda se conoce como onda transversal.

Onda transversal en un resorte

Onda transversal en una cuerda

Una onda viajera que causa que las partculas del medio perturbado se muevan paralelas al movimiento de la onda se conoce como onda longitudinal.

Onda longitudinal en un resorte

Algunas ondas no son ni transversales ni longitudinales como las ondas en la superficie del agua. stas tienen componentes longitudinal y transversal. La perturbacin tiene componentes tanto transversales como longitudinales. Cuando pasa la onda las molculas de agua en la cresta se mueven en la direccin de la onda y las molculas en los valles se mueven en direccin contraria. En consecuencia no hay desplazamiento neto de una molcula de agua de que pase cualquier nmero de ondas completas.

Un ejemplo de ondas longitudinales son las ondas sonoras y estas resultan de la perturbacin del medio. Una perturbacin es aquella en la que una serie de regiones de baja y alta presin que viajan a travs del aire o de cualquier medio material con cierta velocidad por la onda. Ondas viajeras unidimensionales Al mximo desplazamiento to, ym, se le llama amplitud de la onda puesto que la rapidez del pulso ondulatorio es V, recorre hacia la derecha una distancia VT en un tiempo t. Cuando la onda viaja hacia la derecha la ecuacin que se genera es:

y= f( x-vt)

y si el pulso viaja hacia la izquierda la ecuacin es: y= f( x+vt)

La velocidad de fase se representa por la siguiente expresin y esta se define por la velocidad de la onda. v= dx/dt Las ondas lineales obedecen el principio de superposicin que dice: Si dos o ms ondas viajeras se estn moviendo a travs de un medio, la funcin de onda resultante en cualquier punto es la suma algebraica de las funciones de onda de las ondas individuales. Una interferencia en la onda es aquella perturbacin que llega a alterar a la onda ya sea deteriorando la direccin o la amplitud de la misma. La velocidad de la onda sobre una cuerda Se calcula de la siguiente manera: Para el caso de las ondas lineales, la velocidad de las ondas mecnicas solo depende de las propiedades del medio por el que se propaga la perturbacin. V= (F/m) Y dimensionalmente se expresa L/T.

Reflexin y transmisin de las ondas.

Siempre que viaja una onda tiende a ser reflejada. Cuando el pulso alcanza a la pared fija este se reflejar y el pulso no transmitir ninguna parte de la perturbacin a la pared. Las siguientes reglas se aplican a las ondas reflejadas: Cuando un pulso de una onda viaja de un medio "A" a un medio "B" y va > vb (es decir cuando B es ms denso que A), el pulso se invierte con la reflexin. Cuando un pulso de una onda viaja de un medio "A" a un medio "B" y va < vb ("A" es ms denso que "B"), no se invierte con la reflexin. Se aplican reglas similares a otras clases de ondas, tales como las armnicas.

Ondas armnicas. Una onda armnica tiene la forma senoidal. Una curva representa una instantnea de la onda armnica viajera en el tiempo t=0 y la otra representa una instantnea de la onda en un tiempo posterior "t". El desplazamiento de la curva se puede escribir como:

Ecuaciones usadas en ondas armnicas

Ondas armnicas sobre cuerdas. Para producir esto se conecta de un extremo una hoja de metal en la cual se pone a vibrar. A medida que la hoja se mueve verticalmente, siguiendo un movimiento armnico simple se produce una onda viajera que se mueve hacia la derecha sobre la cuerda. Para calcular la velocidad de la onda sobre la cuerda se aplica: (Vy)max= wA para la aceleracin se aplica la siguiente ecuacin: (ay)max= wA La velocidad de ondas en cuerdas: La velocidad de ondas mecnicas lineales depende exclusivamente de las propiedades del medio por la cual viaja la onda. Si la tensin en la cuerda es F y su masa por unidad de longitud es m, la velocidad de la onda es:

Ondas sonoras Esta onda es una de las ms importantes y es de tipo longitudinal, estas se caracterizan debido a que cuando se mueven a travs de algn medio las partculas del medio vibran para producir cambios de densidad y presin a lo largo de la direccin del movimiento de la onda.

Existen tres categoras de onda mecnicas longitudinales que cubren diferentes rangos de frecuencia: y Ondas audibles son ondas sonoras que caen dentro del rango de sensitividad del odo humano por lo general de 20 Hz a 20000 Hz, se pueden generar en diferentes formas tales como instrumentos musicales, cuerdas vocales y altavoces. Ondas infrasnicas son todas longitudinales con frecuencia abajo del rango audible. Las ondas de terremotos son un ejemplo de ellas. Ondas ultrasnicas son ondas longitudinales con frecuencia por arriba del rango audible. Son generadas por vibraciones al aplicar un campo elctrico alternante.

y y

Velocidad de las ondas sonoras. La rapidez del sonido se representa por la siguiente ecuacin: V = (B/r)

Intensidad de una onda sonora.

Se define por intensidad de una onda o la potencia por unidad e rea como la rapidez a la cual fluye la energa sonora a travs de una unidad de rea A perpendicular a la direccin del movimiento de la onda. La ecuacin es: I= potencia/ rea = r (wSm) v de aqu la intensidad de una onda sonora armnica es proporcional al cuadrado de la amplitud y al cuadrado de la frecuencia. La intensidad en decibeles est dada por la ecuacin: b= 10 log (I/Io) Donde Io es la intensidad de referencia, tomada como el umbral de audicin (Io=10 12 W/m)

Ondas esfricas planas.

Si un cuerpo oscila o pulsa peridicamente en tal forma que su radio varia de manera armnica con el tiempo, se produce una onda sonora con frentes de onda esfricos. La onda se mueve hacia afuera de la fuente con rapidez constante si el medio es uniforme. Como todos los puntos de la esfera se comportan de la misma manera, se concluye que la energa de la onda esfrica se propaga igualmente en todas direcciones. Es decir, no hay una direccin preferencial sobre las otras. Si la potencia promedio emitida por la fuente entonces a una distancia "r" de la fuente dicha potencia se distribuye sobre una superficie esfrica de arrea 4pr.

Es til representar las ondas esfricas por una serie de arcos circulares concntricos a la fuente. Cada arco representa una superficie sobre la cual la fase de onda es constante, a dicha superficie con una fase constante se le llamar frente de onda. La distancia entre frentes de ondas

adyacentes es igual a la longitud de onda l.Las lneas radiales que apuntan hacia fuera de la fuente se llaman rayos.

Cuando los rayos estn casi paralelos y los frentes de onda son casi planos y cuando a grandes distancias de la fuente comparadas con la longitud de onda, se pueden aproximar los frentes de onda por planos paralelos; a esto se le llama onda plana, ya que cualquier porcin pequea de un frente de onda que se encuentre lejos de la fuente se puede considerar como una onda plana.

Efecto DOPPLER.

En general, se experimenta un efecto Doppler siempre que hay un movimiento relativo entre la fuente y el observador. Cuando la fuente y el observador se mueven uno hacia el otro, la fuente escuchada por el observador es mayor que la frecuencia de la fuente. Cuando la fuente y el observador se mueve alejndose uno del otro, el observador escucha una frecuencia que es menor que la frecuencia de la fuente.

Este tipo de efecto se manifiesta ms con ondas sonoras, es un fenmeno comn a todas las lneas armnicas. Este tipo de efecto se utiliza en los radares de la polica par medir la rapidez de los vehculos con motor, as como tambin los astrnomos lo utilizan para determinar el movimiento relativo de estrellas, galaxias y otros cuerpos celestes.

La frecuencia de un observador en movimiento se da por la siguiente ecuacin:

= [1 (vo/ v)]

Ondas de choque.

Cuando la velocidad sobrepasa la velocidad de la onda los crculos representan frentes de onda esfricos emitidos por la fuente en diferentes tiempos de su movimiento. En t=0, la fuente se encuentra en So y en un tiempo posterior t la fuente esta en Sn. El tiempo t, el frente de onda centrado en So tiene un radio vt. En ese mismo intervalo de tiempo la fuente viaja una distancia vst hacia Sn. En el instante en que la fuente se encuentra en Sn, las ondas que se empiezan a generar tienen en ese punto un frente de onda con radio igual a cero. La lnea dibujada desde Sn hasta el frente de onda centrado en So es tangente a todos los frentes de onda generados en los tiempos intermedios. La ecuacin se da de la siguiente manera:

Sen q = v/vs

La razn vs / v se conoce como nmero de Match. El frente de onda cnico producido cuando vs< v se conoce como onda de choque.

Ondas estacionarias

Una onda estacionaria se forma por la interferencia de dos ondas de la misma naturaleza con igual amplitud, longitud de onda (o frecuencia) que avanzan en sentido opuesto a travs de un medio. Las ondas estacionarias permanecen confinadas en un espacio (cuerda, tubo con aire, membrana, etc.). La amplitud de la oscilacin para cada punto depende de su posicin, la frecuencia es la misma para todos y coincide con la de las ondas que interfieren. Hay puntos que no vibran (nodos), que permanecen inmviles, estacionarios, mientras que otros (vientres o antinodos) lo hacen con una amplitud de vibracin mxima, igual al doble de la de las ondas que interfieren, y con una energa mxima. El nombre de onda estacionaria proviene de la aparente inmovilidad de los nodos. La distancia que separa dos nodos o dos antinodos consecutivos es media longitud de onda. Se puede considerar que las ondas estacionarias no son ondas de propagacin sino los distintos modos de vibracin de la cuerda, el tubo con aire, la membrana, etc. Para una cuerda, tubo, membrana, determinados, slo hay ciertas frecuencias a las que se producen ondas estacionarias que se llaman frecuencias de resonancia. La ms baja se denomina frecuencia fundamental, y las dems son mltiplos enteros de ella (doble, triple.).

Una onda estacionaria se puede formar por la suma de una onda y su onda reflejada sobre un mismo eje.(x o y).

Por ejemplo, si se ata a una pared el extremo de una cuerda y se agita el otro extremo hacia arriba y hacia abajo, las ondas se reflejan en la pared y vuelven en sentido inverso. Si suponemos que la reflexin es perfectamente eficiente, la onda reflejada estar media longitud de onda retrasada con respecto a la onda inicial. Se producir interferencia entre ambas ondas y el desplazamiento resultante en cualquier punto y momento ser la suma de los desplazamientos correspondientes a la onda incidente y la onda reflejada. En los puntos en los que una cresta de la onda incidente coincide con un valle de la reflejada, no existe movimiento; estos puntos se denominan nodos. A mitad de camino entre dos nodos, las dos ondas estn en fase, es decir, las crestas coinciden con crestas y los valles con valles; en esos puntos, la amplitud de la onda resultante es dos veces mayor que la de la onda incidente; por tanto, la cuerda queda dividida por los nodos en secciones de una longitud de onda. Entre los nodos (que no avanzan a travs de la cuerda), la cuerda vibra transversalmente.Este tipo de ondas estn asociadas a reflexiones en los lmites de separacin de medios de propiedades diferentes. Dichos lmites pueden ser bsicamente de dos tipos, libres y fijos. El nudo de unin de dos cuerdas de diferente grosor sera un ejemplo de lmite libre; por el contrario, el extremo de la cuerda unido a un punto fijo en una pared sera un lmite fijo. Se comprueba experimentalmente que en un lmite libre la onda reflejada tiene las mismas caractersticas que la onda incidente, tan slo difieren en el sentido de avance de la perturbacin. Por el contrario, en un lmite fijo la onda reflejada posee las mismas caractersticas que la incidente, pero est desfasada T radianes respecto a la onda incidente. Considerano en primer lugar las ondas estacionarias (que se propagan en el eje x) por reflexin en un lmite libre. La funcin de onda resultante ser:

Recordando que

se tiene:

Esta no es la ecuacin de una onda que se propaga, sino de un movimiento armnico simple (estacionario) cuya amplitud ( 2A cos kx ) vara de un punto a otro del espacio. La perturbacin no se propaga a lo largo del eje X. Si el medio est limitado por sus dos extremos fijos, una vez que la perturbacin se produce en l se automantiene por reflexiones sucesivas en los lmites dando lugar a una onda estacionaria.

Vientres y nodosLos puntos de mxima amplitud (2A ) se llaman vientres o antinodos. En ellos se debe cumplir:

Los puntos de mnima amplitud (nula) se llaman nodos. En ellos se debe cumplir:

As pues, tanto los nodos como los vientres aparecen a intervalos de longitud P/2, mediando entre un nodo y un antinodo una distancia de P/4.

Imgenes en dos instantes de la onda estacionaria producida por reflexin en un lmite libre, los nodos se representan como N y los antinodos como A

- Condiciones de contorno Las condiciones en los lmites, llamadas condiciones de contorno, imponen restricciones a la hora de formarse ondas estacionarias en el medio correspondiente. As, si los lmites son fijos, en ellos se tendrn que dar nodos necesariamente; si ambos lmites son libres se darn antinodos, y si uno es libre y el otro es fijo se habrn de dar antinodo y nodo respectivamente. y Lmite fijo - Lmite fijo: En este caso las condiciones a imponer son que, si la longitud del medio es L, tanto en x=0 como x=L se habrn de dar nodos. Aplicando la condicin de nodo en un limite fijo, resulta:

o en trminos de frecuencias,

Por tanto, tanto la frecuencia como la longitud de onda slo pueden tomar determinados valores, es decir, estn cuantificadas. La frecuencia ms baja de la serie recibe el nombre de frecuencia fundamental, y las restantes, que son mltiplos de la fundamental, reciben el nombre de armnicos.

Estas frecuencias posibles en la cavidad formada por los lmites fijos, se denominan modos de la cavidad. y Lmite libre - Lmite libre: En este caso las condiciones a imponer son que, si la longitud del medio es L, tanto en x=0 como x=L se habrn de dar antinodos. Aplicando la condicin de antinodo en un lmite libre, resulta:

o en trminos de frecuencias,

Por tanto, igual que antes la frecuencia y la longitud de onda slo podrn tomar determinados valores, y estarn cuantificadas. La frecuencia ms baja de la serie recibe el nombre de frecuencia fundamental, y las restantes, que son mltiplos de la fundamental, reciben el nombre de armnicos. Se representan a continuacin los tres primeros.

y Limite fijo - Lmite libre: En esta situacin se tendr un nodo en x=0 y un antinodo en x=L, lo que implica que en la longitud L de la cuerda han de caber un nmero impar de cuartos de onda. Aplicando la condicin de antinodo reflexin en un lmite fijo resulta:

o, en trminos de frecuencias,

que representan la serie de ondas permitidas por las condiciones de contorno. Se representan a continuacin los tres primeros.

* Resonancia Se ha visto que un sistema tal como una cuerda estirada es capaz de oscilar en uno o ms modos naturales de vibracin. Si se aplica una fuerza peridica a este sistema, la amplitud resultante del movimiento del sistema ser mayor cuando la frecuencia de la fuerza aplicada sea igual o aproximadamente igual a una de las frecuencias naturales del sistema, que cuando la fuerza excitadora se aplique en alguna otra frecuencia. Las correspondientes frecuencias naturales de oscilacin de un sistema generalmente se conocen como frecuencias resonantes.[inicio]

2.- Ejemplos

La formacin de ondas estacionarias est relacionada con los instrumentos musicales tanto de cuerda como de viento. As, el sonido generado por un arpa es consecuencia de la propagacin por el aire de las ondas estacionarias que se producen, entre dos lmites fijos, en las diferentes cuerdas, de modo que los graves (frecuencias bajas) se producirn en las cuerdas ms largas y los agudos (frecuencias altas) en las cuerdas ms cortas. En los rganos, las ondas estacionarias que se forman en los tubos se corresponden con las formadas por reflexin en dos lmites, uno fijo y otro libre. Por tanto, cuanto mayor sea la longitud del rgano menor es la frecuencia: los tubos largos corresponden a frecuencias bajas (sonidos graves) y los cortos a frecuencias altas (sonidos agudos).

Cuerda fija por ambos extremos.Cuando pulsamos una cuerda tensa, fija por sus dos extremos, a lo largo de sta viajan vibraciones transversales que se reflejan en sus extremos y dan lugar al establecimiento de una onda estacionaria en la cuerda. La cuerda tiene cierto nmero de patrones naturales de vibracin, denominados modos normales. Cada uno de stos posee una frecuencia caracterstica. Para calcular estas frecuencias se sigue el siguiente procedimiento. Se requiere que la cuerda est fija en x = 0 y x = L (condiciones de contorno). La funcin de onda, que viene dada por la ecuacin

debe ser cero en estos puntos para todo tiempo t. Es decir, las condiciones lmite exigen que y(0,t) = 0 y y(L,t) = 0. La primera condicin, y(0,t) = 0, se satisface automticamente, porque sen kx = 0 en x = 0. Para satisfacer la segunda condicin, y(L,t) = 0, se requiere que sen kL = 0. Esto ocurre cuando kL es igual o un mltiplo entero de T. Los valores permitidos para k son, por tanto: n = 1, 2, 3... Ya que kn=2T/Pn, se encuentra

o donde el coeficiente n se refiere al n-simo modo de vibracin. Las frecuencias naturales asociadas con estos modos se obtienen de la relacin f = v/P, donde la velocidad de onda v es la misma para todas las frecuencias. Las frecuencias de los modos normales se obtienen mediante

n = 1, 2, 3...

Puesto que donde F es la tensin en la cuerda y Q es su masa por unidad de longitud, las frecuencias naturales de la cuerda tensa tambin pueden expresarse de la siguiente manera:

n = 1, 2, 3... La frecuencia ms baja, que corresponde a n = 1, se denomina fundamental o frecuencia fundamental, f1, y es

Las frecuencias de los modos restantes son mltiplos enteros de la frecuencia fundamental, es decir, 2f1, 3f1, 4f1 y as sucesivamente. Estas frecuencias naturales superiores, junto con la frecuencia fundamental, forman una serie armnica.

Modos normales de vibracin en una cuerda.

3.- Vibraciones de columnas de aire.Si uno de los extremos de un tubo est abierto y se dirige una corriente de aire contra su borde (como hacemos cuando soplamos para hacer silbar un tubo), se originan remolinos y las oscilaciones de presin que stos provocan se propagan por el interior del tubo y se reflejan en el otro extremo del mismo. Se originan as ondas estacionarias longitudinales y la columna de aire resuena en sus frecuencias naturales. Como en el caso de la cuerda tensa, existen simultneamente la vibracin fundamental y sus armnicos.

a) Tubos abiertos. En el caso de un tubo abierto en ambos extremos, en cada uno de ellos tendremos un vientre (antinodo) de desplazamiento, con ninguno o algunos vientres intermedios, como se indica esquemticamente en la figura de abajo. La existencia de vientres de desplazamiento en los extremos se comprende porque, los puntos donde la presin no vara (nodos de presin) son vientres de desplazamiento. En los extremos abiertos del tubo tenemos vientres de desplazamiento porque en dichos extremos reina la presin atmosfrica (constante). Abriendo un tubo sonoro a la altura de un vientre de desplazamiento, el sonido emitido no vara.

Es fcil deducir la relacin existente entre la longitud L del tubo con la longitud de onda estacionariaP:

con n = 1, 2, 3, ..., o bien, para expresarlo de otra manera, si L es la longitud del tubo, pueden establecerse en l ondas estacionarias cuyas longitudes de onda sean

y, puesto que v = c/Py la velocidad de propagacin de las ondas longitudinales es la misma para todas las frecuencias (medio no dispersivo), el tubo resuena para las frecuencias

siendo K el mdulo de compresibilidad del aire.

La frecuencia ms baja, v1=c/2L, es la frecuencia fundamental y est acompaada de la serie completa de armnicos (v2, v3, ...), con vn=nv1. Por tanto: En un tubo abierto, la frecuencia fundamental es c/2L y estn presentes todos los armnicos. b) Tubos cerrados. Si el tubo est cerrado por uno de sus extremos (tubo acstico cerrado), en dicho extremo habr un nodo de desplazamiento, en tanto que en el extremo abierto habr un vientre de desplazamiento; entre ambos, podr haber un nmero cualquiera de parejas nodo-vientre, como se ilustra en la figura.

Es fcil comprender que, puesto que la distancia nodo-vientre es P/4, la relacin entre la longitud L del tubo y la longitud de onda estacionaria es

con n = 1, 2, 3, ..., lo que significa que las longitudes de onda estacionarias que pueden residir en el tubo son

de modo que el tubo resonar con las frecuencias

As, la frecuencia ms baja es v1 = c/4L y los armnicos superiores o sobretonos presentes son:

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Por tanto: En un tubo cerrado, la frecuencia fundamental es c/4L y slo estn presentes los armnicos impares. El timbre de los sonidos emitidos por un tubo abierto es, pues, muy diferente del de un tubo cerrado y, adems, un tubo abierto da el mismo tono que otro cerrado de longitud mitad. Lo que equivale a decir que: El tono fundamental de un tubo abierto es una octava ms alta que el de un tubo cerrado de la misma longitud. La suposicin de que en el extremo abierto de un tubo exista un nodo de presin (vientre de desplazamiento) se fundamenta en la hiptesis de que la onda sonora dentro del tubo sea monodimensional, lo cual slo es aproximadamente cierto si el dimetro del tubo es muy pequeo en comparacin con la longitud de onda. En la prctica, el nodo de presin se encuentra situado fuera del tubo, a una pequea distancia (L del extremo abierto. Por tanto, la longitud efectiva del tubo Lef es algo mayor que la longitud real L del mismo; esto es, Lef = L+(L. La correccin del extremo, (L, es del orden de magnitud del radio del tubo. A pesar de ello, la distancia entre nodos (o entre vientres) sigue siendo igual a P/2, aunque la distancia desde el extremo abierto al primer vientre de presin es algo menor que P/4 debido a la correccin del extremo.

superposicin de ondas estacionarias 1.- Fundamento terico.Si una cuerda se deforma inicialmente de tal manera que su forma sea la misma que la que correspondera a uno cualquiera de los armnicos o modos de vibracin posibles, cuando se la abandone partiendo del reposo vibrar conforme a ese modo de vibracin impuesto por las condiciones iniciales, con la frecuencia correspondiente a ese armnico.

Ahora bien, las condiciones iniciales se originan ordinariamente al golpear (piano), pulsar (guitarra) o frotar la cuerda con un arco (violn) y, en tales casos, se encontrarn presentes muchos armnicos, incluido el fundamental. As pues, tendremos una superposicin de varios modos naturales de vibracin y la vibracin resultante ser la suma de los diversos armnicos con sus amplitudes correspondientes, por lo que vendr descrita por la funcin de onda estacionaria.

que, en el instante inicial t = 0 se reduce a

que representa simplemente el desarrollo de Fourier, en serie de senos, de la funcin f(x) que describe la forma inicial de la cuerda, supuesta en reposo. Una vez ms, el anlisis de Fourier de la forma inicial de la cuerda, supuesta en reposo, nos permitir realizar un anlisis armnico de su vibracin compleja, como ilustramos en el ejemplo.

EjemploHacemos el anlisis armnico de las vibraciones que se producen en una cuerda tensa fija por sus dos extremos cuando se la pulsa exactamente en su centro.Supongamos que la cuerda est inicialmente en reposo en la forma que se muestra en la figura de abajo, que se obtiene como resultado de pulsar la cuerda en su centro con una flecha H. Esta forma inicial est descrita por la funcin

puesto que esta funcin puede ser considerada como impar, de perodo 2L, se desarrollar en serie de senos, con an = 0 y

de modo que, evaluando las integrales, resulta

o sea

por lo que slo estn presentes los armnicos impares, i.e., los que presentan un antinodo en el centro de la cuerda. En la figura se observa la aproximacin resultante de considerar tan slo los cuatro primeros armnicos no nulos.

El desarrollo de Fourier de la funcin de onda estacionaria y(t,x) es

Relaciones de potencia y energa

1 IntroduccinUna onda suele definirse en trminos como una transmisin de energa sin transmisin de materia. Esta definicin, aunque un tanto imprecisa y no lo bastante general (ya que no incluye, por ejemplo, a las ondas estacionarias), s expresa un hecho cierto: una onda viajera transmite energa desde el punto en que se origina hasta el punto al que llega, actuando como mecanismo para la accin a distancia. Un cierto agente desarrolla una potencia al emitir una onda (sea sta en una cuerda, de sonido, electromagntica o de otro tipo), esta potencia se manifiesta en una cierta densidad de energa que se propaga a lo largo de la onda y es entregada en el punto de destino a travs de la potencia desarrollada por el propio medio de propagacin (por ejemplo, la fuerza que ejerce una cuerda sobre un sistema situado en su extremo final. Esta propagacin es simultnea al almacenamiento de energa. La energa se propaga gracias a que en todo momento hay una cierta energa almacenada a lo largo del medio. En particular, en las ondas estacionarias tenemos almacenamiento de energa sin propagacin. A continuacin nos centraremos en el caso particular de la cuerda tensa, con especial atencin a las ondas sinusoidales, aunque muchos de los resultados son generalizables a otros tipos de ondas.

2 Energa almacenada2.1 Energa cinticaLa energa cintica almacenada en un instante dado en una longitud dada de la cuerda es la suma de las energas cinticas de cada una de las partculas que la forman. Si dividimos la cuerda en porciones de longitud dx, la masa de cada porcin es

con

la densidad lineal de masa. La energa cintica de esta pedazo ser

Integrando obtenemos la energa cintica almacenada en una porcin de cuerda

2.1.1 Onda viajera sinusoidal

Aplicando la ecuacin anterior a una longitud de onda de una onda viajera

obtenemos la energa cintica de una porcin de cuerda

y la integral sobre una longitud de onda

donde hemos usado la frmula del ngulo doble

Resultan dos integrales, la primera de las cuales vale simplemente , mientras que la segunda es una integral de cos(s) sobre dos periodos, por lo que se anula. Por tanto

Lo ms importante de este resultado es que resulta una funcin cuadrtica en la amplitud, esto es, a doble amplitud corresponde cudruple energa. Una cantidad derivada de esta es la densidad de energa cintica, obtenida suponiendo que la energa cintica se reparte uniformemente sobre la longitud de onda (lo cual es cierto solo en promedio).

Esta densidad de energa no solo es cuadrtica en en la amplitud, sino tambin la frecuencia.2.1.2 Onda estacionaria sinusoidal

De forma anloga se calcula la energa cintica de la onda estacionaria

y resulta

A diferencia del caso de la onda viajera, para el cual la energa cintica permanece constante en el tiempo, en la onda estacionaria resulta una cantidad oscilante. La razn es que para una onda viajera en una longitud de onda hay en todo momento puntos con velocidad mxima y puntos en reposo, y todas las posibilidades intermedias. En una onda estacionaria todos los puntos oscilan al unsono de forma que en un instante todos tienen la velocidad mxima (y la energa cintica es mxima), y en otro estn todos en reposo (y la energa cintica es nula).2.1.3 Onda triangular

Consideremos ahora el caso de un pulso triangular

y vamos a calcular la energa almacenada en toda la longitud de la onda (desde ) La velocidad de cada punto es

hasta

y la energa cintica

haciendo el cambio de variable s = x

vt y separando la integral en cuatro tramos queda

2.2 Energa potencialUna onda tambin almacena energa potencial ya que al deformarse se estira, almacenando energa elstica. La energa potencial almacenada entre los puntos x y x + dx es el trabajo realizado al aumentar la longitud de un trozo de dx a ds

donde hemos aplicado el teorema de Pitgoras para expresar ds. Si la deformacin es pequea, ds y dx son cantidades muy prximas, por lo que la expresin de arriba tiende a cero. Para evitar quedarnos sin nada, multiplicamos arriba y abajo por ds + dx y nos queda

La variacin de y la da la derivada

lo que nos da el diferencial de energa potencial

y la energa potencial contenida en una una cierta longitud de cuerda

2.2.1 Caso de una onda viajera

En el caso de una onda puramente viajera (no una onda estacionaria, ni una suma de ondas propagndose en los dos sentidos), se cumple que

por lo que esta energa potencial es igual a

pero

esto es, para una onda puramente viajera, su energa cintica y su energa potencial son iguales. Esto no ocurre en el caso general.

2.2.2 Onda viajera sinusoidal

La energa potencial almacenada en una longitud de onda de la onda viajera

es

y densidad de energa potencial por unidad de longitud

Aplicando que

esta densidad de energa se transforma en

esto es, es idntica a la densidad de energa cintica, como dedujimos antes para cualquier onda viajera.2.2.3 Onda estacionaria sinusoidal

De la misma manera podemos calcular la energa potencial de una onda estacionaria

y resulta

Aplicando de nuevo la relacin entre la tensin y la velocidad de la onda

Como con la energa cintica, la energa potencial de una onda estacionaria no es una constante. Es la suma de las dos, la energa mecnica, la que permanece constante. En este caso, podemos ver adems que

por no tratarse de una onda puramente viajera.2.2.4 Onda triangular

Para el pulso triangular

la energa potenical almacenada en toda la longitud de la onda (desde

hasta

) es

La derivada que aparece en el integrando es igual a

haciendo el cambio de variable s = x

vt y separando la integral en cuatro tramos queda

Al tratarse de una onda viajera, la energa potencial coincide con la cintica.

2.3 Energa totalLa energa total de una onda ser la suma de su energa cintica ms la potencial

Para los tres casos anteriores, esta energa es igual aOnda viajera sinusoidal

Onda viajera estacionaria

Vemos que, aunque la energa cintica y la potencial son funciones oscilantes, su suma es una constante. En una onda estacionaria, la energa cintica se transforma en potencial y viceversa. Onda triangular

3 PotenciaSupongamos una cuerda tensa que se extiende desde x = 0 en adelante. Si desde extremo se genera una onda agitando la cuerda, se introduce una energa en el sistema. El ritmo al que entra este energa lo da la potencia desarrollada por el agente que est moviendo la cuerda

En el extremo de la cuerda la velocidad del punto es puramente perpendicular a la cuerda, por tratarse de una onda transversal

por lo que la potencia desarrollada es

La componente transversal de la fuerza la podemos calcular observando que por tratarse de una tensin es tangente a la cuerda

Si el ngulo de desviacin es pequeo se cumple que

y la tangente del ngulo es la pendiente de la curva en x = 0

Por tanto la potencia desarrollada por el agente que mueve la cuerda es

La energa inyectada en el sistema durante un tiempo T ser

3.1 Onda viajera sinusoidal

Para una onda viajera

la potencia desarrollada en x = 0 es

y la energa que se introduce en un periodo

Aplicando que

resulta

que es exactamente la energa almacenada en una longitud de onda. Este resultado nos dice que la cantidad de energa que entra en la onda durante un periodo se distribuye hasta ocupar una longitud de onda, y por tanto la velocidad a la que se propaga la energa es justamente v, la velocidad con la que avanza la onda.http://laplace.us.es/wiki/index.php/Potencia_y_energ%C3%ADa_en_una_onda

http://jair.lab.fi.uva.es/~manugon3/temas/ondas/SupOnd/OndEst/soluciones/soluciones.htm#1 http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/fisicaInteractiva/Ondasbachillerato/e stacionarias/estacionarias_indice.html http://es.wikipedia.org/wiki/Onda_estacionaria http://www.angelfire.com/empire/seigfrid/Ondasestacionarias.html

http://portales.educared.net/wikiEducared/index.php?title=Energ%C3%ADa_e_intensidad _de_las_ondas http://www.fortunecity.es/sopa/chinchulines/99/tareas/ondas.htmhttp://jair.lab.fi.uva.es/~manugon3/temas/ondas/SupOnd/OndEst/OndEst.htm http://galia.fc.uaslp.mx/~medellin/Acetf2/Ondas1.ppt http://www.fortunecity.es/sopa/chinchulines/99/tareas/ondas.zip http://www.esi2.us.es/DFA/FISICATELECO/archivos/curso0405/apuntes/Cap07.pdf http://www.fis.usb.ve/~mcaicedo/education/fisica5/lecture-1.pdf http://www.fis.usb.ve/~mcaicedo/education/fisica5/electromag-waves.pdf http://www.unalmed.edu.co/fisica/paginas/cursos/paginas_cursos/fisica_3/notas/capitulo_1_a_o ndas.pdf http://www.fglongatt.org.ve/Archivos/Archivos/AT/Anexo1.1HV-2007.pdf