Upload
-
View
113
Download
9
Embed Size (px)
Citation preview
1
Elektrotehni čki fakultet Osijek – Stru čni studij Osnove elektrotehnike IET
FO
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku
• Vektorski produkt je vektor koji ima: • smjer okomit na oba faktora, a • iznos jednak površini koju razapinju faktori.
• Kao vektor možemo prikazati bilo kakvu površinu, bez obzira na njen oblik.
• Vektor površine je pri tome okomit na samu površinu.
Gaussov zakonGaussov zakon Tok vektora jakosti elektri čnog polja
bv
av
ϕ
bacvvv ×=
S••
Sc =v
S •
Sv
• Ako stranicama nekog paralelograma pridijelimo vektorski karakter, onda njegovu površinu možemo prikazati kao vektorski produkt, okomit na tu površinu.
2
Elektrotehni čki fakultet Osijek – Stru čni studij Osnove elektrotehnike IET
FO
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku
• Na zakrivljenoj plohi možemodiferencijal površine prikazati kao vektor okomit na tu površinu.
• Može se smatrati dijelom ravnine, bez obzira na polumjer zakrivljenosti plohe.
• Ako je ploha zatvorena u sebe (kao npr. kuglinaploha), tada su vektori diferencijala površine takve plohe usmjereni prema napolje.
Sv
d
S
Sd
•
• Diferencijal površine plohe je neizmjerno malen.
3
Elektrotehni čki fakultet Osijek – Stru čni studij Osnove elektrotehnike IET
FO
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku
Tok homogenog polja
Sv
Ev
αααα
ααααααααcosS
ααααΦΦΦΦ cosSEE ====
ESESE ΦΦΦΦαααα ========⋅⋅⋅⋅ cosvv
tok vektora jakostielektričnog polja
projekcija površine ploheokomito na smjer polja
Ev
S
Sv
Ev
Sv
Ev
Sv
4
Elektrotehni čki fakultet Osijek – Stru čni studij Osnove elektrotehnike IET
FO
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku
S
Sv
d
Ev
Ev
SEE
vvdd ⋅⋅⋅⋅====ΦΦΦΦ
Tok nehomogenog polja kroz zakrivljenu plohu
∫∫∫∫ ⋅⋅⋅⋅====S
E SEvv
dΦΦΦΦ
tok vektora jakostielektričnog polja
5
Elektrotehni čki fakultet Osijek – Stru čni studij Osnove elektrotehnike IET
FO
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku
• Diferencijal toka je jednak umnošku vektora diferencijala površine i jakosti polja na promatranom mjestu.
• Ukupni tok je integral skalarnog produkta vektora diferencijala površine plohe i jakosti polja po plohi.
• Mjerna jedinica za tok vektora jakosti električnog polja:
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]][[[[ ]]]][[[[ ]]]]ααααΦΦΦΦ cosSEE ==== Vm1mm
V 2 =⋅⋅=
• Općenito imamo nehomogeno polje i zakrivljenu površinu.
6
Elektrotehni čki fakultet Osijek – Stru čni studij Osnove elektrotehnike IET
FO
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku
V
Tvrdnja i dokaz Gaussovog zakona
1Q
2QiQ
nQ
Ev
0
1dεεεε
∑∑∑∑∫∫∫∫ ========⋅⋅⋅⋅
n
ii
S
QSEvv
Tok vektora jakosti električnog polja kroz zatvorenu plohu jednak je iznosu naboja obuhvaćenog tom plohom podijeljenog s dielektričnom konstantom εεεε0.
S
u vakuumu
7
Elektrotehni čki fakultet Osijek – Stru čni studij Osnove elektrotehnike IET
FO
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku
ααααl
r
Ravninski kutrl=αααα
Puni ravninski kut: ππππαααα 2==ro
r
ωωωωωωωω2rs= 2r
s====ωωωω Prostorni kut
Puni prostorni kut: π4=Ω
24 rSkugle ππππ=
8
Elektrotehni čki fakultet Osijek – Stru čni studij Osnove elektrotehnike IET
FO
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku
r
ΩΩΩΩd ======== ΩΩΩΩdd 2rSn
0rvS
vd αααα
Sd
======== ααααcosdS
Srvv
d0 ⋅⋅⋅⋅====Površina okomita
na radijvektor
9
Elektrotehni čki fakultet Osijek – Stru čni studij Osnove elektrotehnike IET
FO
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku
V
Qr
SEvv
dd ⋅⋅⋅⋅====ΦΦΦΦ
02
04r
rQ
Evv
πε=
SES
vvd⋅⋅⋅⋅==== ∫∫∫∫ΦΦΦΦ
Ev
0rv
Sv
d
10
Elektrotehni čki fakultet Osijek – Stru čni studij Osnove elektrotehnike IET
FO
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku
Srr
Q
S
vvd
40
20
⋅⋅⋅⋅==== ∫∫∫∫ πεπεπεπε
02
04r
rQ
Evv
πε=
ΩΩΩΩdd 20 rSr ====⋅⋅⋅⋅vv
∫∫∫∫====
====
====ππππΩΩΩΩ
ΩΩΩΩ
ΩΩΩΩπεπεπεπε
4
0
22
0
d4
rr
Q
∫∫∫∫====
====
====ππππΩΩΩΩ
ΩΩΩΩ
ΩΩΩΩπεπεπεπε
4
00
d4
Q
0εεεεQ=
SES
vvd⋅=Φ ∫
• Budući da se možemo koristiti superpozicijom, onda dokaz vrijedi i za više naboja: 0
1dεεεε
∑∑∑∑∫∫∫∫ ========⋅⋅⋅⋅
n
ii
S
QSEvv
11
Elektrotehni čki fakultet Osijek – Stru čni studij Osnove elektrotehnike IET
FO
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku
Primjene Gaussovog zakona
Q
S
Sv
d
0rrrvv ⋅⋅⋅⋅====
Ev
Zadano: Q
E = ?
ZamiZamiššljena ljena kuglinakuglina ploha sa ploha sa sredisredišštem na mjestu naboja Qtem na mjestu naboja Q
Elektri čno polje to čkastog naboja
12
Elektrotehni čki fakultet Osijek – Stru čni studij Osnove elektrotehnike IET
FO
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku
====⋅⋅⋅⋅∫∫∫∫S
SEvv
dErE
SrS0
0ddvv
vv
========
∫∫∫∫ ⋅⋅⋅⋅====S
SrEr d00 vv∫∫∫∫====S
SE d
1====
0
24εεεε
ππππ QEr ====
204 r
QE
εεεεππππ====
Ovaj rezultat smo naravno znali već ranije!
0
1dεεεε
∑∑∑∑∫∫∫∫ ========⋅⋅⋅⋅
n
ii
S
QSEvv
24 rππππu vakuumu
13
Elektrotehni čki fakultet Osijek – Stru čni studij Osnove elektrotehnike IET
FO
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku
Elektri čno polje naelektrizirane šuplje kugle
S1
a
Q > 0
Ev
• Zbog homogenog prostora polje će izvan kugle biti simetrično i radijalno.
.4 2 konst
aQ ========ππππ
σσσσ
14
Elektrotehni čki fakultet Osijek – Stru čni studij Osnove elektrotehnike IET
FO
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku
ar <<<<obuhvaćeni naboj = 0
ar >>>>obuhvaćeni naboj = Q
izvan kugle:
unutar kugle:S1
a
r
S2
r
aS1
S2
15
Elektrotehni čki fakultet Osijek – Stru čni studij Osnove elektrotehnike IET
FO
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku
0: =< Qar
QQar => :
0
1dεεεε
∑∑∑∑∫∫∫∫ ========⋅⋅⋅⋅
n
ii
S
QSEvv
∫∫∫∫ ⋅⋅⋅⋅2
dS
SEvv
∫∫∫∫====2
dS
SE ∫∫∫∫====2
dS
SE 24 rE ππππ=0εεεε
Q=
204 r
QE
πεπεπεπε=
0=E
204 r
QE
πεπεπεπε=
u vakuumu
16
Elektrotehni čki fakultet Osijek – Stru čni studij Osnove elektrotehnike IET
FO
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku
r
E
0 a
0====Ear <
204 r
QE
πεπεπεπε=ar >
02
04 εεεεσσσσ
πεπεπεπε==
aQ
E xam
S1
a
izvan kugle:
unutar kugle:
na kugli:
• Polje izvan kugle i na površini kugle jednakog je iznosa kao da je sav naboj u središtu kugle.
17
Elektrotehni čki fakultet Osijek – Stru čni studij Osnove elektrotehnike IET
FO
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku
Elektri čno polje kugle s jednoliko raspore ñenim prostornim nabojem
Va
Ev
Zbog homogenog prostora polje će izvan i unutar kugle biti simetrično i radijalno.
ππππρρρρρρρρ 3
3
4d aVQ
V
======== ∫∫∫∫
Ne možemo bez računa zaključiti o iznosu polja ni unutar, ni izvan kugle!
18
Elektrotehni čki fakultet Osijek – Stru čni studij Osnove elektrotehnike IET
FO
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku
ar <<<<obuhvaćeni naboj:
ar >>>>obuhvaćeni naboj:
ππππρρρρ 3
3
4rQ ar =<
QaQ ar ==> ππππρρρρ 3
3
4
izvan kugle:
unutar kugle:S1
a
r
S2
r
aS1
S2
19
Elektrotehni čki fakultet Osijek – Stru čni studij Osnove elektrotehnike IET
FO
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku
∫∫∫∫ ⋅⋅⋅⋅2
dS
SEvv
∫∫∫∫====2
dS
SE
20
3
3 ra
εεεερρρρ====2
04 rQ
Eπεπεπεπε
====
ar <<<<
2SE==== 24 rE ππππ====0
3 1
3
4
εεεεππππρρρρ r====
03εεεερρρρ r
E =
ar >>>>izvan kugle:
unutar kugle:
u vakuumu
u vakuumu
20
Elektrotehni čki fakultet Osijek – Stru čni studij Osnove elektrotehnike IET
FO
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku
204 r
QE
πεπεπεπε=ar >
204 a
QE xam πεπεπεπε
=
ar <03εεεε
ρρρρ rE =
a
E
0 r
Va
izvan kugle:
unutar kugle:
na kugli:
• Polje izvan kugle i na površini kugle jednakog je iznosa kao da je sav naboj u središtu kugle.
21
Elektrotehni čki fakultet Osijek – Stru čni studij Osnove elektrotehnike IET
FO
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku
a2
σσσσ
Elektri čno polje naelektriziranog beskona čno dugačkog valjka
hr2
Sv
d
Ev
0S
1BS2BS
Zbog simetrije polje će biti radijalno i jednako u svim poprečnim presjecima.
.konst====σσσσ
?=Ev
22
Elektrotehni čki fakultet Osijek – Stru čni studij Osnove elektrotehnike IET
FO
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku
++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫21
dddBB SSS
SESESEvvvvvv
∫∫∫∫====0
dS
SE
rhE ππππ2=
0= 0=
0εεεεQ=
0
2
εεεεσσσσππππ ha=
ra
E0εεεεσσσσ=
∫∫∫∫ ⋅⋅⋅⋅++++0
dS
SEvv
Primijenimo Gaussov zakon na vanjski zamišljeni valjak
rhππππ2=
23
Elektrotehni čki fakultet Osijek – Stru čni studij Osnove elektrotehnike IET
FO
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku
E
o ra
0=Ear <
ra
E0εεεεσσσσ=ar >
0εεεεσσσσ=xamE a2
σσσσ
izvan valjka:
unutar valjka:
na valjku:
24
Elektrotehni čki fakultet Osijek – Stru čni studij Osnove elektrotehnike IET
FO
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku
2B
Ev
Elektri čno polje naelektrizirane ravnine
.konst====σσσσ?=E
v
Polje će biti okomito na ravninu i jednako u svim točkama ravnine.
1B
x−
xσσσσ0=x
PEv
25
Elektrotehni čki fakultet Osijek – Stru čni studij Osnove elektrotehnike IET
FO
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku
++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫21
dddBB SSS
SESESEv
vvvvvv
∫∫∫∫====S
SE d2
0=
0εεεεQ=
0εεεεσσσσ S=
02εεεεσσσσ=E
∫∫∫∫ ⋅⋅⋅⋅++++P
SEvv
d Primijenimo Gaussov zakon na zamišljeni valjakS=
SSS ==21 BB
ES2=
26
Elektrotehni čki fakultet Osijek – Stru čni studij Osnove elektrotehnike IET
FO
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku
xE
0 x
02εεεεσσσσ=E
xx--komponenta jakosti polja pozitivno nabijene ravninekomponenta jakosti polja pozitivno nabijene ravnine
27
Elektrotehni čki fakultet Osijek – Stru čni studij Osnove elektrotehnike IET
FO
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku
• Polje nabijene ravnine okomito je na ravninu i konstantnog je iznosa:
• Polje uopće ne ovisi o udaljenosti od ravnine!
• Polje mijenja smjer na mjestu položaja ravnine.
• Pri pozitivnom naboju ravnine polje je usmjereno od ravnine, a pri negativnom prema ravnini.
02εεεεσσσσ=E
u vakuumu
28
Elektrotehni čki fakultet Osijek – Stru čni studij Osnove elektrotehnike IET
FO
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku
Dvije paralelne ravnine nabijene jednakom ploDvije paralelne ravnine nabijene jednakom ploššnom nom gustogustoććom naboja suprotnih predznakaom naboja suprotnih predznaka
+Ev
+Ev
+Ev
.konst====σσσσ
A B
σσσσ+
−Ev −E
v−Ev
σσσσ−
29
Elektrotehni čki fakultet Osijek – Stru čni studij Osnove elektrotehnike IET
FO
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku
02εεεεσσσσ=+E
02εεεεσσσσ=−E
xE
0 xAx Bx
0εεεεσσσσ=E
izmeñu ravnina:
000 22 εεεεσσσσ
εεεεσσσσ
εεεεσσσσ =+=+= −+ EEE
ravnine okomite na ravnine okomite na xx--osos
izvan ravnina:
0====E