1. Elektrostatika

120 8 ELEKTROSTATIKA

8. ELEKTROSTATIKA Jednostavnim eksperimentom može se pokazati da kao rezultat međusobnog trljanja (trenja) neki materijali pokazuju svojstvo koje se naziva elektricitet (od grčke rieči elektron = ćilibar). Ako trljamo štapić od ćilibara vunenom krpom, natrljani štapić pokazuje svojstvo privlačenja sitnih predmeta, kao što su komadići papira. Sličan fenomen iskazivanja privlačne sile pokazuje i stakleni štap natrljan svilenom krpom. Kao rezultat trenja javlja se električna interakcija tj. električna sila koja može nadvladati silu gravitacije. Za razliku od sile gravitacije koja je uvek privlačna, rezultat električne interakcije naelektrisanih tela može biti privlačna ili odbojna sila. Na primer, dva prethodno natrljana staklena štapa međusobno se odbijaju. Na osnovu spomenutih eksperimenata može se zaključiti kako postoje dve vrste naelektrisanja. Američki fizičar B. Frenklin smatrao je elektricitet jedinstvenim fluidom koji je svojstven svakoj materiji i koji onda može prelaziti s jednog tela na drugo. Obzirom na tadašnja znanja zaključak je bio logičan, ali kako se kasnije pokazalo, neispravan. Ne radi se o fluidu, nego je stvarni uzrok stvaranja statičkog elektriciteta trenjem u unutrašnjoj strukturi materije. Frenklin je smatrao da je telo pozitivno naelektrisano, ako mu je količina elektriciteta veća od normalne, odnosno negativno za količinu elektriciteta manju od normalne. Eksperimentalno je utvrđeno da je rezultat interakcije dva tela s istom vrstom naelektrisanja (oba pozitivna ili oba negativna) odbojna sila, a s različitom vrstom naelektrisanja (jedno telo pozitivno, a drugo negativno) je privlačna sila. Kod opisivanja među delovanja u gravitacionom polju svakom telu se pridružuje odgovarajuća masa. Tako i vrstu naelektrisanja nekog tela, pozitivnu ili negativnu, opisujemo pridruživanjem "električne mase", koju nazivamo električno naelektrisanje ili jednostavnije naelektrisanje. Naelektrisanje se označava sa: Q – statičko naelektrisanje (naelektrisanje u stanju mirovanja) q – dinamičko naelektrisanje (naelektrisanje u stanju kretanja) Jedinica električnog naelektrisanja 1C (Kulon) izražena preko osnovnih jedinica SI 1C=1As. Za pojednostavljivanje analize odnosa među naelektrisanjima uvodi se pojam tačkastog naelektrisanja, tj. naelektrisanja kojem se dimenzije mogu zanemariti i za koje se može smatrati da je svo naelektrisanje skoncentrisano u jednoj tački. Područje elektrotehnike koje proučava međudelovanje električnih naelektrisanja u mirovanju naziva se elektrostatika. 8.1 Kulonov zakon

Elektrostatika se temelji na eksperimentalno utvrđenom zakonu, do koga je došao 1785. god., francuski fizičar Šarl Augustin de Kulon: Intenzitet elektrostatičke (Kulonove) sile FC između dva naelektrisana tela direktno je proporcionalan proizvodu njihovih naelektrisanja Q

i q, a obrnuto je proporcionalna kvadratu

udaljenosti među njima . Matematička formulacija zakona glasi:

0204

1 rrQq

FCrr

⋅=επ

, (8.1)

gde je, C2/Nm2 dielektrična permitivnost (propustljivost) vakuuma. Ista vrednost navedene konstante se uzima i u vazduhu, a u nekoj drugoj materijalnoj sredini mora se uvesti apsolutna dielektrična permitivnost:

120 1085,8 −⋅=ε

0εεε r= , gde je rε relativna dielektrična permitivnost date sredine i ukazuje na to koliko je puta dielektrična propustljivost date sredine veća nego u vakuumu ili vazduhu. Pravac Kulonove sile, kojom posmatrano nelektrisanje Q deluje na probno naelektrisanje q, je duž radijalnog pravca koji spaja centre tačkastih naelektrisanja, određenog jediničnim vektorom

koji je usmeren ka probnom naelektrisanju (vidi sliku 8.1). Kako Kulonova 0rr

8.1 Kulonov zakon 121

sila podleže trećem Njutnovom zakonu sila kojom probno naelektrisanje deluje na posmatrano je istog intenziteta i pravca, a suprotnog smera.

Eksperimentalno je potvrđeno da se za Kulonovu silu može primeniti princip superpozicije. To je fizički princip nezavisnog delovanja sila, po kojem se parcijalna sila između bilo koja dva naelektrisanja može izračunati nezavisno od prisutnosti ostalih naelektrisanja. Pretpostavimo da se u okolini probnog naelektrisanja q nalazi n naelektrisanja (Q

1, Q

2, ... , Q

n). Tada je

ukupna sila jednaka vektorskoj sumi pojedinih sila kojima naelektrisanja (Q

1, Q

2, ... , Q

n) deluju na q. Ukupna sila kojoj podleže q je, dakle,

superpozicija sila kojima pojedina naelektrisanja deluju na njega:

in

i i

iCrez r

rQqF rr

⋅∑⋅==1 2

04πε, (8.2)

gde je vektor položaja probnog naelektrisanja q u odnosu na naelektrisanje . irr

iQ 8.2 Električno polje

8.2.1 Električno polje tačkastog naelektrisanja

Kada se probno naelektrisanje dovede u blizinu posmatranog naelektrisanja na njega deluje Kulonova elektrostatička sila, pa tvrdimo kako je delovanje te sile posledica činjenice da se probno naelektrisanje nalazi u električnom polju. Električno polje je prostor u kojem probno naelektrisanje oseća delovanje sile i vektorska je veličina. U širem značenju električno polje je funkcija prostornih koordinata i vremena. Narednu analizu ograničićemo samo na poseban slučaj električnog polja koje zavisi samo od prostornih koordinata (elektrostatičko polje). Za određivanje intenziteta i smera električnog polja primenjuje se probno naelektrisanje koje svojim intenzitetom ne remeti polje koje se proučava, tj. slika polja se zbog prisustva probnog naelektrisanja ne deformiše. Probno naelektrisanje se zbog jednoznačnog tretiranja polja uvek uzima pozitivnim. Proučavanje električnog polja svodi se na ispitivanje sile koja deluje na probno naelektrisanje kada ga smeštamo u različite tačke polja. Ako na probno naelektrisanje deluje sila, tada u toj tački prostora postoji električno polje. Intenzitet električnog polja u nekoj tački prostora po intenzitetu je jednak sili koja deluje na jedinično probno naelektrisanje. Smer vektora električnog polja je smer vektora sile koja deluje na pozitivno probno naelektrisanje.

0204

1 rrQ

qFE c rr

r⋅==

πε. (8.3)

Iz gornje relacije može se zaključiti: • Intenzitet električnog polja, u datoj tački prostora, proporcionalan je veličini naelektrisanja Q koji je i uzrok nastajanja polja, a opada s kvadratom rastojanja posmatrane tačke od naelektrisanja Q. • Polje tačkastog naelektrisanja jednako je u svim tačkama koje su jednako udaljene od naelektrisanja, tj. polje je radijalno (centralno simetrično). • Sve tačke na nekoj koncentričnoj sfernoj površini kojoj je Q središte imaju isti intenzitet električnog polja. To su tzv. ekvipotencijalne površi.

( 0>⋅qQFCr )

Q

q 0rr

( )0<⋅qQFCr

r

0

Slika 8.1 Uz definiciju Kulonove sile


8.2.2 Električno polje sistema tačkastih naelektrisanja

Ako se posmatra skup od n naelektrisanja Q1, Q

2, ... , Q

n, proizvoljno smeštenih u prostoru,

rezultujuće električno polje u nekoj tački dobije se primenom principa superpozicije. U datu tačku postavi se probno naelektrisanje q i odredi rezultujuća sila, kao što je već opisano u prethodnom poglavlju. Primeni li se na dobijenu silu relacija za električno polje dobije se:

in

i i

iCrezrez r

rQ

qFE rr

r⋅∑⋅==

=1 204

1πε

. (2.4)

Direktna primena Kulonove sile za određivanje polja moguća je u jednostavnom slučaju tačkastih naelektrisanja, gde je svo naelektrisanje skoncentrisano u jednoj tački. Ako je naelektrisanje na određen način raspoređen u prostoru (linijsko, površinsko ili prostorno naelektrisanje) dobija se složeno električno polje koje se proračunava drugim metodama (vidi sledeće poglavlje). 8.2.3 Linije električnog polja

U nastojanju da se "učini vidljivim" električno polje Faradej je u svojim eksperimentalnim istraživanjima uveo pojam linija električnog polja. To su imaginarni putevi, kojom bi se kretalo probno naelektrisanje doneseno u tu tačku i prepušteno samo sili polja. Smer u kom bi se kretalo probno naelektrisanje određuje smer linije. Nacrtane su na način da je njihov smer u bilo kojoj tački istovremeno i smer električnog polja u toj tački. Svojstva linija električnog polja su: • Izlaze iz pozitivnih i završavaju u negativnim naelektrisanjima. Pozitivna naelektrisanja su

izvori, a negativna su ponori linija; • Ne mogu se seći međusobno; • Električno polje je tangencijalno usmereno na svaku tačku na liniji; • Celi prostor oko naelektrisanja ispunjen je linijama. • Gustina linija predstavlja meru intenziteta polja. Za izolovano pozitivno naelektrisanje +Q probno naelektrisanje (+q) bi se pod uticajem sile udaljavao radijalno po pravcu. U slučaju izolovanog negativnog naelektrisanja na isti bi se način probno naelektrisanje približavalo uzroku polja, naelektrisanju -Q. Slika električnog polja izololovanih naelektrisanja +Q i -Q reprezentovana električnim linijama prikazana je na slici 8.2.

Slika 8.2 Linije električnog polja pozitivnog i negativnog naelektrisanja,

Malešević, 2004 Slika polja postaje znatno složenija čim se razmatra polje sistem naelektrisanja. Na slici 8.3. prikazana je jedna od mogućih putanja probnog naelektrisanja u sistemu dva jednaka naelektrisanja suprotnog predznaka.

8.2 Električno polje 123

Slika 8.3 Jedna od putanja probnog naelektrisanja u sistemu naelektrisanja +Q i –Q,

Malešević, 2004 Probno naelektrisanje izvodi složeno kretanje. Na njega deluju dve sile +Fri −Fr zbog delovanja pozitivnog, odnosno negativnog naelektrisanja, a rezultantna sila u svakoj tački tangencijalna je u odnosu na putanju probnog naelektrisanja. Na isti se način mogu odrediti putanje (linije polja) za bilo koje položaje probnog naelektrisanja u prostoru. Potpuni prikaz linija polja za gornji slučaj dat je na slici 8.4.

Slika 8.4 Linije polja sistema dva naelektrisanja različitog predznaka,

Malešević, 2004

8.2.4 Određivanje vektora električnog polja tela s linijskom raspodelom gustine naelektrisanja

Odredićemo polje tankog pravolinijskog provodnika ograničene dužine l, naelektrisanog pozitivnom količinom naelektrisanja Q, u tački A koja se nalazi na rastojanju x od provodnika. Provodnik je homogeno naelektrisan po celoj dužini, tako da mu je podužna količina naelektrisanja lQ /=λ . Gornji kraj provodnika iz tačke A vidi se pod uglom 2α , a donji kraj pod uglom 1α− . Najpre posmatramo polje od dela provodnika beskonačne male dužine , koji se nalazi na rastojanju

dly od normale na pravac

provodnika koja prolazi kroz tačku A-osa x , koga možemo smatrati materijalnom tačkom. Osu smo postavili duž pravca provodnika. Položaj tačke A u odnosu na uočeni delić određen je vektorom položaja

y

0rrr rr⋅= . Količina naelektrisanja na

uočenom delićuje:

y

dydldQ ⋅=⋅= λλ . (8.5)

2α

1α−

dydl = α αdr ⋅dydl =

0rr

r

AEdr

αx

αdy

A

x

Slika 8.5 Uz određivanje vektora električnog polja tela s linijskom gustinom naelektrisanja


Infinitezimalni (beskonačno mali) vektor električnog polja u tački A koje potiče od uočenog delića na provodniku je:

20

04 rrdyEd A

rr⋅

⋅=

πελ . (8.6)

Veza između intenziteta vektora položaja i rastojanja tačke A od provodnika je sledeća:

αcos/xr = . (8.7)

Sa slike 8.5 uočavamo da je:

αα cos// drdy = . (8.8)

Ubacivanjem (8.7) i (8.8) u (8.6) dobijamo:

xrdEd A0

04

rr⋅

⋅=

πεαλ . (8.9)

Kako je:

jirrrr⋅−⋅= αα sincos0 , (8.10)

gde su ir

i jr

jedinični vektori x i y ose, respektivno, na osnovu (8.9) i (8.10) dobijamo da je:

( )jix

dEd Arrr⋅−⋅⋅

⋅= αα

πεαλ sincos

4 0. (8.11)

Vršenjem integracije po uglu α u granicama od 1α− do 2α dobijamo vektor električnog polja u tački A:

( ) ( )[ ]jix

EArrr⋅− 12 cosα+⋅+⋅= 12

0cossinsin

4ααα

πελ . (8.12)

U slučaju beskonačno dugačkog pravolinijskog provodnika 2/21 παα == :

ix

EArr⋅=

02πελ . (8.12a)

8.3 Fluks vektora električnog polja- Gausov zakon Za razumevanje Gausovog zakona potrebno je predznanje o matematičkoj interpretaciji određenih fizičkih veličina i pojava. U tom smislu potrebno je zasnovati prikazivanje površi vektorom i definisati fluks vektora električnog polja. Neka površ u prostoru može imati bilo koji položaj, orijentaciju i veličinu. Radi prikladnije matematičke interpretacije površ se definiše pridruženim vektorom. Intenzitet vektora jednak je veličini površine odabranoga elementa površi, a smer vektora normalan je na element površi. Samo u posebnim slučajevima jednostavnih tela (kugla, cilindar, kocka, kvadar,.....) površine pojedinih površi mogu se direktno izraziti jednim vektorom. Kako kod složenijih tela to nije slučaj, potrebno je razmatranu površ izdeliti na diferencijalne površine dS. Pri tome je svaki element površine dS odabran dovoljno malim, tako da se može smatrati ravnim. Po pravilu smer se definiše

Slika 8.6 Primer prikazivanja površine površi vektorom, Malešević, 2004

8.3 Fluks vektora električnog polja-Gausov zakon 125

jediničnim vektorom površine 0nr , pa je vektor elementa površine dat sa:

0ndSdS r⋅= . (8.13)

Na slici 8.6 prikazano je proizvoljno telo na kojem su naznačeni primeri elemenata površine na različitim površima tela. Fluks vektora električnog polja ψ je skalarna veličina, a dobije se kao proizvod intenziteta vektora električnog polja E i efektivne površine S

ef u koju "ulazi" vektor polja. Efektivna

površina je promenljiva, jer zavisi od položaja površine prema pravcu vektora električnog polja. Definiše se kao površina koja se dobije projekcijom površine S na površinu kroz koju fluks ima maksimalni intenzitet. Matematička formulacija fluksa je data preko skalarnog proizvoda:

SEESrr⋅==Ψ αcos , (8.14)

Slika 8.7 Uz definiciju fluksa električnog polja. Malešević, 2004

S

αcos⋅S

normala

α

αgde je α ugao između pravaca vektora električnog polja E

r i normale na površ, vidi

sliku 8.7. Poseban slučaj je izračunavanje fluksa električnog polja kroz zatvorenu površ proizvoljnog oblika. Ako unutar površi postoji električno polje, postojaće i električni fluks kroz zatvorenu površ. Zatvorena površ podeli se, kako je već opisano, na vrlo male površi površine dS. Smer im je određen smerom spoljne normale na taj deo površine površi. U opštem slučaju vektor električnog polja i vektor elementa zatvorene površi nalaze se pod nekim uglom, kako je to prikazano na slici 8.8.

Ukupni fluks vektora električnog polja Er

kroz zatvorenu površinu S dobije se zbirom svih proizvoda dSE ⋅ za sve elemente površine S:

∫ ∫ ⋅=Ψ=ΨS S

dSEdr

. (8.15)

Fluks električnog polja može se povezati s brojem linija polja koje prolaze kroz zatvorenu površinu. Linije polja koje ulaze mogu se smatrati negativnima, a one koje izlaze iz zatvorene površine, pozitivnima. Kada je broj linija polja koje u površinu ulaze jednak broju koje iz nje izlaze, ukupni fluks je nula.

Slika 8.8 Određivanje fluksa kroz zatvorenu površ Malešević, 2004

8.3.1 Gausov zakon za elektrostatiku

Gausov zakon, jedan od osnovnih zakona elektromagnetizma, glasi u integralnoj formi, u vakuumu:

ε 0

uk

s

QdSE =∫ ⋅=Ψ . (8.16)


Ukupni fluks Ψ električnog polja Er

kroz bilo koju zatvorenu površ S jednak je ukupnom električnom naelektrisanju obuhvaćenog tom površi, podeljenom dielektričnom permitivnošću vakuuma.

ukQ

Iz Gausovaog zakona slede važni zaključci: • Fluks električnog polja zavisi samo od veličine naelektrisanja obuhvaćenog zatvorenom površi. • Položaj naelektrisanja unutar površi, kao ni veličina i oblik zatvorene površi nemaju uticaja na

električni fluks. • Ako zatvorenom površi nije obuhvaćeno nikakvo naelektrisanje , fluks električnog polja kroz

nju jednak je nuli. • Naelektrisanja izvan zatvorene površi ne utiču na fluks (broj ulaznih jednak je broju

izlaznihlinija polja) kroz nju. 8.4 Primena Gausovog zakona

8.4.1 Električno polje tačkastog naelektrisanja

Za određivanje polja izolovanog tačkastog naelektrisanja po intenzitetu i smeru u svim tačkama prostora, potrebno je postaviti odgovarajuću zatvorenu površ - Gausovu površ. Linije polja polja radijalno izviru iz naelektrisanja, pa je polje konstantno u svim tačkama udaljenim za rastojanje r od naelektrisanja. Očigledno je da je polje tačkastog naelektrisanja sferno simetrično. Kugla poluprečnika r s naelektrisanjem Q u središtu kugle zadovoljava uslove sferne simetrije kako je to prikazano na slici 8.9.

Gausova površ

Slika 8.

9 Gausova površ oko tačkastog naelektrisanja, Malešević, 2004

Ukupno naelektrisanje obuhvaćeno Gausovom površi S

G je tačkasto naelektrisanje Q, pa je:

ε 0

QdSEs

=∫ ⋅=Ψ . (8.17)

Vektori električnog polja i pridruženi elementi vektora Gausove površi kolinearni su (α=0) u svakoj tački zatvorene površi . U svim tačkama Gausove površi vektor električnog polja ima konstantan intenzitet i može se izvući ispred integrala:

∫ =S

QdSEε 0

. (8.18)

Preostaje integracija po svim elementima zatvorene površi - kugle poluprečnika r. Jasno je kako rezultat integracije mora biti površina kugle:

8.4 Primena Gausovog zakona 127

επ

0

24 QrE =⋅ . (8.19)

Intenzitet električnog polja tačkastog naelektrisanja je:

204

1rQE ⋅=

πε, (8.20)

a to je već poznati izraz dobijen iz Kulonovog zakona. 8.4.2 Električno polje beskonačno duge naelektrisane ravne ploče Za vrlo veliku ravnu ploču površine S, naelektrisanu pozitivnom površinskom gustinom naelektrisanja SQ /=σ , potrebno je upotrebom Gausovog zakona odrediti električno polje u svim tačkama prostora. Linije polja izviru normalno iz naelektrisane ploče s obe strane ploče. Gausovu površ možemo birati u obliku cilindra čije su baze paralelne s ravnom površi. Isto tako Gausova površ može biti i simetrično postavljeni kvadar čije su baze površine S paralelne s naelektrisanom pločom, a sve bočne strane normalne na nju, kao na slici 8.10.

Gausova površ

Naelektrisanapovrš

Slika 8.10 Primena Gausovog zakona na beskonačnu naelektrisanu ravnu površ, Malešević, 2004

Početni oblik Gausovog zakona:

∫ ⋅==∫ ⋅S

uk

SdSQdSE

G

σεε 00

1r. (8.21)

može se bitno pojednostavniti. Fluks kroz zatvorenu površ potrebno je razložiti na fluks kroz baze (B

1,B

2) i četiri bočne površi (p) Gausovog kvadra. Doprinos fluksa kroz sve bočne površi

jednak je nuli, jer su vektori polja i pridruženi elemenati Gausove površi međusobno normalni (vidi sliku). Preostaje samo fluks kroz obe baze kvadra:

∫ ⋅==∫ ⋅+∫ ⋅S

uk

SB

SB dSQdSEdSE

BB

σεε 00

211

21

rr. (8.22)

Polje Er

i elementi površine obe baze 1BdS i 2BdS kolinearni su u svakoj tački površi. Budući da su polje ploče i gustina σ konstantni, gornja jednačina postaje:

∫ ⋅=∫+∫SS

BS

B dSSEdSEBB

σεσ

021

21

. (8.23)


Integracijom elemenata površine naelektrisane površi dS dobija se površina S, a integracijom elemenata površine obe baze i takođe ukupna površina S za svaku od baza. Dakle, sledi:

1BdS 2BdS

00 2εσεσ =⇒=⋅+⋅ ESSESE . (8.24)

Polje ne zavisi od udaljenosti od naelektrisane ploče, već samo od površinske gustine naelektrisanja i sredine u kojoj se ravna ploča nalazi. Na sličan se način može odrediti polje između dve ravne ploče sa površinskim gustinama naelektrisanja ±σ. Linije polja negativne ploče usmerene su u negativnu ploču. Ukupno polje dobija se superpozicijom polja pozitivne i polja negativne ploče. Intenziteti intenziteta polja obe ploče su jednaki:

02εσ== −+ EE . (8.25)

Raspored linija polja pozitivne i negativne ploče prikazan je na slici 8.11a). Vidi se da se polja između ploča sabiraju, a izvan ploča rezultujuće polje jednako je nuli, jer su polja suprotno usmerena, a pokazali smo da im intenzitet ne zavisi od udaljenosti. Slika ukupnog polja prikazana je na slici 8.11b).

a) b)

Slika 8.11 Polje dve ravne naelektrisane ploče, Malešević, 2004

Intenzitet ukupnog polja je:

0εσ=+= −+ EEE . (8.26)

Polje postoji samo između ploča, homogeno je i usmereno od pozitivne k negativnoj ploči. Striktno gledajući gornji izraz je važeći samo za beskonačno velike ploče. Međutim, može se primeniti i na ploče ograničenih dimenzija, ako je udaljenost između ploča vrlo mala u odnosu na njihove dimenzije. Odstupanja, odnosno izobličenja polja nastaju samo u blizini krajeva ploča (ivični efekti).

8.5 Rad Kulonove sile 129

8.5 Rad Kulonove sile, električni potencijal i potencijalna energija Rad Kulonove sile prikazačemo u slučaju pomeranja probnog naelektrisanja q, u polju tačkastog naelektrisanja Q. Kao što se na slici 8.12 može videti sila je privlačna, što znači da su naelektrisanja suprotna po znaku (Q<0). Pomeranje probnog naelektrisanja se vrši iz tačke 1u 3. Kako je Kulonova sila stacionarna, centralna, radijalna i intenzitet joj zavisi od međusobnog rastojanja između naelektrisanja- rr to je možemo smatrati konzervativnom. U tom slučaju rad Kulonove sile pri bilo kojoj putanji između tačaka 1i 2 ima istu vrednost. Odaberimo putanju najpre po radijalnom pravcu 1-3, a zatim po delu kružnice poluprečnoka r2 odn. od 3-2. Dakle:

∫ ⋅+∫ ⋅=∫ ⋅=2

3

3

1

2

112 dsFdsFdsFA CCC

rrr. (8.27)

Kako su na delu puta 3-2 vektori CFr

i

ds ortogonali njihov skalarni proizvod jednak je nuli, tako da je rad Kulonove sile na tom delu puta jednak nuli. Skalarni proizvod na delu puta 1-3 je:

2

( ) drr

Qqrdrr

rQq

dsFC ⋅−=⋅⋅−⋅=⋅ 20

0020 44 επεπ

rrr

. (8.28)

Ubacivanjem (8.28) u (8.27) dobijamo izraz za rad Kulonove sile:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−∫ =⋅−==

rrQq

rr

Qqdr

rQq

AAr

r

210

2102

01312

114

1144

3

1

επ

επεπ

. (8.29)

U sredini koja nije vakuum ili vazduh u jednačini (8.29) umesto 0ε treba staviti 0εεε ⋅= r . Definišimo, sada, skalarnu fizičku veličinu, koja se javlja u sredini apsolutne dielektrične permitivnosti ε u kojoj se nalazi tačkasto naelektrisanje Q, a koju ćemo nazvati električni potencijal ili samo potencijal V:

( )r

QrV 14

⋅=πε

. (8.30)

Iz (8.29) i (8.30) sledi da je rad Kulonove sile pri pomeranju probnog naelektrisanja iz jedne u drugu tačku prostora jednak proizvodu količine probnog naelektrisanja i razlike potencijala između te dve tačke:

( ) ( )( ) ( )VVqrVrVqA 212112 −⋅=−⋅= . (8.31)

Rad pri pomeranju probnog naelektrisanja iz proizvoljne tačke na rastojanju r od centra naelektrisanja Q do beskonačno udaljene tačke prema (8.31) je:

( ) ( )( )r

QqQqr

QqVrVqArεπεπεπ 000 444

⋅=∞

⋅−⋅=∞−⋅=∞ . (8.32)

U slučaju da umesto naelektrisanja Q imamo sistem od n naelektrisanja (Q1, Q

2, ... , Q

n) tada

jednačina (8.32) glasi:

Q

q 1 3r

r1 r2

0rdrds r⋅=

dsCF

r

0rr

CFr

Slika 8.12 Uz rad Kulonove sile


∑⋅==

∞

n

i i

ir r

QqA1 04 επ

, (8.32a)

gde su Qi i ri naelektrisanje i rastojanje i-tog naelektrisanja od date tačke u prostoru, respektivno. Kako je rad konzervativne sile jednak negativnom priračtaju potencijalne energije, koja je posledica interakcije naelektrisanja, dolazimo do izraza za potencijalnu energiju kulonovske interakcije:

( ) ( )( ) ( )rErEEEA CpCpCpCpr =−∞−=Δ−=∞ . (8.33)

Kako je potencijalna energija posledica interakcije među naelektrisanjima, a na beskonačno velikom rastojanju nema iterakcije, to ima za posledicu da je potencijalna energija u beskonačnosti jednaka nuli . Na osnovu (8.32) i (8.33) dobijamo željeni izraz: ( ) 0=∞CpE

( ) ( )r

QqrVqrECp1

4 0⋅=⋅=

πε. (8.34)

Za razliku od gravitacione potencijalne energije koja je uvek negativna (referenti nivo u beskonačnosti), što je posledica privlačnog dejstva gravitacione sile, kulonovska potencijalna energija je negativna u slučaju raznorodnih naelektrisanja 0<⋅qQ (privlačenje), i pozitivna u slučaju istog tipa naelektrisanja (odbijanje). 0>⋅qQ 8.6 Kapacitivnost

8.6.1 Kapacitivnost pločastog kondenzatora Na slici 8.13. prikazane su dve paralelne ploče međusobno razmaknute na udaljenost d i naelektrisane površinskim gustinama naelektrisanja ±σ (pločasti kondenzator).

K Kako je ranije pokazano električno polje između dve ploče je konstantnog intenziteta 0εσ=E . Na osnovu (8.3) i (8.31) rad pri pomeranju probnog naelektrisanja q od pozitivno ka negativno naelekttrisanoj ploči je:

( ) dqdxEqdscFVVqAdx

x

dx

x εσ

000=∫ ⋅=⋅∫=−⋅=

=

=

=

=−+−+

r.

(8.35)

Razliku potencijala izmežđu pozitivne i negativno naelektrisane ploče-napon obeležimo sa U. Tako, na osnovu (8.35) dobijamo vezu između napona na pločama pločastog kondenzatora, jačine električnog polja, odn. površinske gustine naelektrisanja i rastojanja između ploča kondenzatora:

iqEFC

r⋅=r

idxdsr⋅=

+V

dEdU ⋅=⋅=εσ

0. (8.36)

Definišimo, sada, veličinu koja predstavlja odnos između količine naelektrisanja na pozitivnoj ploči kondenzatora (ista tolika količina samo suprotnog znaka je na negativnoj) i napona između ploča kondenzatora, a koju ćemo nazvati kapacitivnost kondenzatora:

US

UQC σ⋅== , (8.37)

−V

ir

Slika 8.13 Suprotno naelektrisane ploče

8.5 Kapacitivnost 131

gde je S površina jedne ploče kondenzatora.Na osnovu (8.36) i (8.37) dobijamo izraz za kapacitivnost pločastog kondenzatora:

dSC 0ε= . (8.38)

Ukoliko je između ploča kondenzatora dielektrik umesto 0ε treba staviti 0εεε ⋅= r . Elektrostatičku energiju sadržanu između ploča kondenzatora možemo dobiti tako što ćemo smatrati da je ona jednaka radu koji treba da izvrši spoljašnja sila da bi se slepljene ploče razmakle na rastojanje d, odnosno radu da se izvrši razdvajanje naelektrisanja. Na jedno naelektrisanje na desnoj ploči deluje leva ploča silom:

qqEF ⋅=⋅=+022 ε

σ , (8.39)

jer uzimamo u obzir električno polje samo leve ploče. Ako na desnoj ploči imamo ukupnu količinu naelektrisanja , onda je ukupna sila kojom leva ploča deluje na naelektrisanjea na desnoj ploči:

qNQ ⋅=

QQENFF rez ⋅=⋅== ++022 ε

σ . (8.39a)

To je sila konstantnog intenziteta, po pravcu normalnom na ravan ploča i usmerena ka desnoj ploči. Njen rad pri razdvajanju naelektrisanja na rastojanje d iznosi:

dQdQEAC ⋅⋅−=⋅⋅−=022 ε

σ . (8.40)

Rad spoljne sile jednak je negativnom radu Kulonove sile i stoga je vrednost elektrostatičke energije sadržane između ploča kondenzatora:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 20

20

21

21

21

21

21 ESdEd

dSEdEdCEdCUEdQAW C εε

=⋅=⋅=⋅=⋅=−= . (8.41)

Kako predstavlja zapreminu prostora između ploča kondenzatora V , gustina elelktrostatičke energije-enegija po jedinici zapremine pločastog kondenzatora, između čijih ploča je vakuum ili vazduh, iznosi:

dS ⋅

202

1 EVWw ε== . (8.42)

Ukoliko je između ploča kondenzatora dielektrik umesto 0ε treba staviti 0εεε ⋅= r .

8.6.2 Kapacitivnost sfernog i cilindričnog kondenzatora

Pri određivanju polja unutar sfernog kondenzatora za Gausovu površ SG uzimamo sferu poluprečnika r .

ε 0

QdSESG

G =∫ ⋅r

. (8.43)

Sa slike 4.3 uočavamo da je:

GG dSEdSE ⋅=⋅r

. (8.44)

Ubacivanjem (8.44) u (8.43) i uzimajući u obzir da

.constE = po Gausovoj površi, dobijamo:

-Q

0rr

SG

Q

ra

b

ds

Erq GdS

r

Slika 8.14 Sferni kondezator


ε 0

QSE G =⋅ . (8.45)

Kako je , iz (8.45) sledi da je intenzitet električnog polja unutar kondenzatora: 24 rSG π=

20

14 r

QE ⋅=επ

, . bra ≤≤ (8.46)

Treba primetiti da ukoliko je poluprečnik Gausove površi obuhvaćena količina naelektrisanja u tom slučaju je

br >( ) ( ) 0=−++= QQQuk , što ima za posledicu da je fluks, odnosno

električno polje jednako nuli. Napon između unutrašnje i spoljašnje sfere na osnovu je:

ababQ

rdrQdsEq

qAqVVU

b

a

b

aab

−⋅=∫=⋅∫⋅=⋅=−= −+

02

0 4411

πεπε

r. (8.47)

Kapacitivnost sfernog kondenzatora, između čijih je obloga vakuum ili vazduh,iznosi:

abba

UQC

−== 04πε . (8.48)

Pri određivanju polja unutar cilindričnog kondenzatora za Gausovu površ uzimamo cilindar poluprečnika bazisa bra ≤≤ (vidi sliku 8.15). Fluks vektora električnog polja kroz bazise je nula iz razloga što su E

vi GdS ortogonalni, te je njihov skalarni proizvod jednak nuli. Dakle, ostao nam

je fluks kroz omotač, po kojem su ta dva vektora kolinearni:

ε 0

QdSEdSEdSEomotomotG S

GS

GGS

=∫ ⋅=∫ ⋅=∫ ⋅rr

. (8.49)

SG Q 0rr

ra

b

ds Er

q a

-QGdS

GdS

GdS

Er

Er

Slika 8.15 Cilindrični kondezator

Vektor električnog polja po omotaču ima konstantan intenzitet, , a površina omotača iznosi:

.constE =lr ⋅Somot = π2 , gde je l dužina

cilindara. Na osnovu rečenog i (8.49) dobijamo intenzitet polja u obliku:

rlQE 1

2/

0⋅=

πε. (8.50)

Napon između unutrašnjeg i spoljašnjeg cilindra je:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=∫=

⋅∫⋅=⋅=−= −+

ablQ

rdrlQ

dsEqqAq

VVU

b

a

b

aab

ln2

/2

/

11

00 πεπε

r

. (8.51)

Kapacitivnost cilindričnog kondenzatora, između čijih je obloga vacuum ili vazduh, je:

( ablC /ln/2 0 )πε= . (8.52)

Ukoliko je između obloga kondenzatora dielektrik u izrazima (4.22) i (4.26) umesto 0ε treba staviti 0εεε ⋅= r .

8.6 Dielektrici u elektrostatičkom polju 133

8.7 Dielektrici u elektrostatičkom polju Do sada smo proučavali elektrostatička polja slobodnih naelektrisanja u vakuumu, odnosno vazduhu. Međutim ako polje deluje u materijalnoj sredini onda se, osim u provodnicima, ne može govoriti o slobodnim naelektrisanjima. U tim se slučajevima uvodi pojam električnog pomeraja zbog efekta pomeranja naelektrisanja u materijalnoj sredini pod dejstvom električnog polja. Pomeranje naelektrisanja u materijalnoj sredini koja se sastoji od atoma i molekula je pojava koju nazivamo električna polarizacija. U izolatorima (dielektricima) nema slobodnih naelektrisanja (elektrona). Ako se takvi materijali unesu u električno polje dolazi do razmeštanja centara pozitivnog i negativnog naelektrisanja unutar atoma i/ili molekula. S obzirom na mikrostrukturu dielektrika razlikuju se dva slučaja: • Dielektrici s nepolarnim atomima/molekulima kao što su kiseonik, vodonik, azot, natrijum, retki gasovi, ... • Dielektrici s polarnim molekulima kao voda, hlorovodična kiselina, metanol, sumpor dioksid, ugljen monoksid, amonijak, ... Materijali s nepolarnim molekulima pre unošenja u električno polje ponašaju se električki neutralno u odnosu na okolinu. Takva je većina dielektrika. Za razumevanje efekata u dielektriku razmatraćemo atom dielektrika koji se sastoji od negativnog naelektrisanja (elektronski oblak) -q=-z·e i pozitivnog naelektrisanja (jezgra) q=z·e, kao na slici 8.16a). Pri tome je z broj elektrona u elektronskom oblaku (redni broj elementa u periodičnom sistemu elemenata), a e naelektrisanje elektrona. Atom je električki neutralan zbog jednake količine pozitivnog i negativnog naelektrisanja. Centri pozitivnog i negativnog naelektrisanja se poklapaju, pa se u prostoru izvan atoma polja pozitivnog jezgra i negativnog oblaka međusobno poništavaju. Slično se tretira i molekul dielektrika - jezgro molekula tretiramo kao tačkasto naelektrisanje, a strukturu elektrona kao oblak negativnog naelektrisanja.

Promatrajmo što se dešava kada se atom unese u električno polje E

r(slika 8.16b)).

Pozitivna naelektrisanja se pomaknu iz ravnotežnog stanja u smeru polja pod djelovanjem sile EqF

rr⋅=+ , a negativna

naelektrisanja u suprotnom smeru zbog sile EqF

rr⋅−=− .Nastala je elastična

deformacija koja predstavlja novo ravnotežno stanje u kojem Kulonovim silama ravnotežu drže unutrašnje (privlačne) sile naelektrisanja atoma. Kao ukupni rezultat pomaka naelektrisanja formira se električni dipol, a dielektrik postaje polarizovan. Dipol je sastavljen od dva tačkasta naelektrisanja jednake količine, a suprotnog predznaka. Njihova međusobna udaljenost je mnogo manja od udaljenosti od tačke posmatranja (vidi sliku 8.17). Karakteristika dipola je električni dipolni momenat:

dqprr

⋅= , (8.53)

Slika 8.16 Polarizacija nepolarnog atoma ili molekula, Malešević, 2004

Slika 8.17 Dipol-ekvivalent polarizovanog atoma ili molekula, Malešević, 2004

+q -q

a stanje polarizacije se može definisati vektorom polarizacije:


pVNP rr⋅= , (8.54)

gde je N broj formiranih dipola u zapremini dielektrika V. Vektor polarizacije je srazmeran jačini električnog polja koje je dovelo do polarizacije:

EPrr

⋅=α , (8.55)

gde je α koeficijent polarizacije dielektrika. Dielektrici s polarnim molekulima imaju dipolni moment različit od nule i kad se ne nalaze u spoljačnjem električnom polju. Molekuli sami po sebi su već dipoli, pa ih nazivamo permanentni dipoli. Međutim, zbog termičkog kretanja, ose permanentnih dipola su haotično raspoređene u prostoru, tako da se i takav dielektrik prema spolja ponaša električki neutralno 0=∑

iipr . U

prisustvu spoljašnjeg električnog polja osa dipola se postavlja u smeru polja. Na dipole deluje obrtni moment koji pozitivno naelektrisanje zaokreće u smeru polja, a negativno u suprotnom smeru. Kao posledica toga imamo da je 0≠∑

iipr . Što je polje jače to je više izraženo

usmeravanje dipola. Tek kada se dipolni moment postavi kolinearno s vektorom polja, prestaje zaokretanje dipola, kao što je prikazano na slici 8.18.

EqFrr

⋅=+

Intenzitet rezultujućeg obrtnog momenat sila +Fr

i −Fr

u odnosu na osu dipola iznosi:

ααα sinsinsin2

2 pEdqEFdM ==⋅⋅= +

rr, (8.56)

gde je α ugao između dipolnog momenta i vektora električnog polja. Obrtni moment u vektorskom obliku je:

EpMrrr

×= . (8.57)

Relcija (8.55) važi i za polarne i za nepolarne dielektrike. Za opisivanje polarizacije nije bitan samo intenzitet električnog polja, već i priroda samog dielektrika. Da bi se obuhvatio uticaj dielektrika Maksvel je uveo pojam vektora dielektričnog pomeraja D

r kao meru električne deformacije materijala u električnom polju. Po intenzitetu je taj

vektor jednak količini naelektrisanja koji se tokom uspostavljanja polja pomeri kroz element površine normalan na pravac pomeraja. Posmatrajmo pločasti kondezator između čijih ploča smo ubacili određeni dielektrik. Usled polarizacije dobijamo sledeću sliku (vidi sliku 8.19). Između vektora dielektričnog pomeraja, vektora polarizacije i vektora rezultujućeg električnog polja, između ploča kondenzatora, važi sledeća relacija:

EPDrrr

0ε+= . (8.58)

Na osnovu (8.55) i (8.58) dobijamo:

( )EDrr

0εα += . (8.59)

EqFrr

⋅−=−

+q -q +q

Slika 8.18 Polarizacija polarnih molekula s pemanentnim dipolima, Malešević, 2004 -q

8.6 Dielektrici u elektrostatičkom polju 135

Koeficijent polarizacije može se najčešće iskazati preko konstante električne susceptibilnosti χ (osetljivosti) dielektrika:

χεα ⋅= 0 . (8.60)

Tako, iz (8.59) i (8.60) sledi:

( )EDrr

χε += 10 . (8.61)

Konstanta χε +=1r predstavlja relativnu dielektričnu permitivnost sredine i kao neimenovani broj ukazuje na to koliko je permitivnost date sredine veća od permitivnosti vakuuma ili vazduha.

Slika 8.19 Polarizacija dielektrika u pločastom kondezatoru, Malešević, 2004

Er

Dr

Pr

pQ− pQ+

Konačno dolazimo do veze između vektora dielektričnog pomeraja i vektora električnog polja za linearne sredine:

EED r

rrrεεε == 0 . (8.62)

Uzimajući da je površina ploča kondenzatora S i rastojanje među njima d, kao i jednačine (8.53) i (8.54), vektor polarizacije dobijamo u obliku:

( ) iiS

QiS

NqdqSdNP P

P rrrrr⋅=⋅=⋅=⋅= σ , (8.63)

gde su Q i σ PP , ir količina naelektrisnja indukovana usled polarizacije uz pozitivno

naelektrisanu ploču, površinska gustina idukovanih naelektrisanja i jedinični vector usmeren od pozitivno naelektrisane ploče ka negativnoj, respektivno. Na osnovu (8.58) i (8.63) dobijamo:

( ) ( ) iEEP rrrrr⋅⋅−=⋅−= 11 00 εεεε . (8.64)

Intenzitet rezultujućeg polja između ploča kondenzatora je:

εσσ

0

pE−

= . (8.65)

Iz (8.63), (8.64) i (8,65) sledi:

εεσ

rE

0= i σ

εσ ⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

rP

11 . (8.66)

Kao što vidimo na osnovu (8.66) električno polje u kondezatoru u prisustvu dielekrika opada onoliko puta koliko iznosi vrednost relativne dielektrične permitivnosti rε .

Documents

1. Elektrostatika