75
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA 1 ELEKTROMAGNETSKA POLJA 1. UVOD Elektromagnetska teorija polja je osnovna teorija koja opisuje sve pojave u elektrotehnici. Temelji se na eksperimentalno utvrđenim zakonima, koji su kasnije uobličeni u jedinstvenu teoriju elektromagnetskih polja: - Coulombov zakon za silu između nabijenih tijela (1785. g.) - Biot-Savartov zakon za magnetsku indukciju proizvedenu strujom (1820. g.) - Ohmov zakon za vođenje struje kroz vodiče (1826. g.) - Ampèreov zakon kružnog protjecanja za statička magnetska polja (1820. g.) - Faradayev zakon elektromagnetske indukcije (1831. g.) - Kirchhoffovi zakoni za strujno-naponske odnose u strujnim krugovima (1847. g.) Sve ove zakone Maxwell je 1862. g. uobličio u jedinstvenu teoriju elektromagnetskih polja opisanu u Maxwellovim jednadžbama. To je tzv. klasična teorija elektromagnetskih polja koja matematički opisuje makroskopske elektromagnetske pojave, povezujući ih s nabojima i strujama kao izvorima elektromagnetskih polja, potpuno primjenjiva za rješavanje inženjerskih zadaća. Prema tome, teorija elektromagnetskih polja nije hipotetska, već je utemeljena na prirodnim, eksperimentalno potvrđenim zakonima. U okviru klasične elektromagnetske teorije razmatraju se sljedeća zasebna područja: - Elektrostatika : razmatraju se električne pojave proizvedene mirujućim nabojima kao izvorima električnog polja - Magnetostatika : razmatraju se magnetske pojave proizvedene istosmjernim strujama nepromjenjivim u vremenu kao izvorima magnetskog polja - Elektromagnetizam : razmatra se jedinstveno vremenski promjenjivo elektromagnetsko polje.

EMP Elektrostatika

Embed Size (px)

DESCRIPTION

EMP Elektrostatika

Citation preview

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    1

    ELEKTROMAGNETSKA POLJA

    1. UVOD

    Elektromagnetska teorija polja je osnovna teorija koja opisuje sve pojave u elektrotehnici. Temelji se na eksperimentalno utvrenim zakonima, koji su kasnije uoblieni u jedinstvenu teoriju elektromagnetskih polja:

    Coulombov zakon za silu izmeu nabijenih tijela (1785. g.) Biot-Savartov zakon za magnetsku indukciju proizvedenu strujom (1820. g.) Ohmov zakon za voenje struje kroz vodie (1826. g.) Ampreov zakon krunog protjecanja za statika magnetska polja (1820. g.) Faradayev zakon elektromagnetske indukcije (1831. g.) Kirchhoffovi zakoni za strujno-naponske odnose u strujnim krugovima (1847. g.)

    Sve ove zakone Maxwell je 1862. g. uobliio u jedinstvenu teoriju elektromagnetskih polja opisanu u Maxwellovim jednadbama. To je tzv. klasina teorija elektromagnetskih polja koja matematiki opisuje makroskopske elektromagnetske pojave, povezujui ih s nabojima i strujama kao izvorima elektromagnetskih polja, potpuno primjenjiva za rjeavanje inenjerskih zadaa. Prema tome, teorija elektromagnetskih polja nije hipotetska, ve je utemeljena na prirodnim, eksperimentalno potvrenim zakonima.

    U okviru klasine elektromagnetske teorije razmatraju se sljedea zasebna podruja: Elektrostatika: razmatraju se elektrine pojave proizvedene mirujuim nabojima kao

    izvorima elektrinog polja Magnetostatika: razmatraju se magnetske pojave proizvedene istosmjernim strujama

    nepromjenjivim u vremenu kao izvorima magnetskog polja Elektromagnetizam: razmatra se jedinstveno vremenski promjenjivo elektromagnetsko

    polje.

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    2

    2. PREDSTAVLJANJE ELEKTROMAGNETSKIH POLJA

    Polje je skup vrijednosti pridruenih svakoj toki prostora u danom podruju, koji opisuje neko stanje. Ako je vrijednost skalarna fizikalna veliina, onda kaemo da se radi o skalarnom polju, a ako je vrijednost vektorska veliina onda kaemo da se radi o vektorskom polju. Dakle, skalarno ili vektorsko polje funkcije su koordinata prostora, a ako im se veliina jo pri tome vremenski mijenja, onda su ta polja jo i funkcije vremena.

    2.1. Definicije polja E i B

    Sile opaene u elektromagnetskim pokusima pripisujemo postojanju elektrinog naboja i njegovom gibanju (elektrina struja). Raspodjelu naboja i njihovo gibanje u prostoru moemo promatrati kao uzrok ili izvor, a opaenu silu kao posljedicu ili uinak. Postojanje naboja i njegovo gibanje stvaraju elektromagnetsko polje u prostoru. Brojni pokusi s elektromagnet-skim silama pokazuju slaganje s nekoliko temeljnih postulata:

    Postojanje elektrinog naboja Prema atomsko-elektronskoj teoriji elektriciteta postoje dvije vrste elektrinih naboja: pozitivni (vezani uz protone) i negativni (vezani uz elektrone). Svi su naboji u prirodi cjelobrojni viekratnici naboja elektrona (elementarni naboj) iznosa 1,60210-19 C.

    Ouvanje elektrinog naboja U svakom izoliranom sustavu algebarska suma naboja je konstantna. Naboj ne moe niti nastati niti nestati. Ovaj postulat uvodi naboj kao temeljnu fizikalnu veliinu u elektromagnetskoj teoriji.

    Zakon Lorentzove sile Elektromagnetsku silu na ispitni naboj koji se nalazi u zadanoj toki u prostoru moe se izaraziti pomou veliina elektromagnetskog polja u toj toki.

    Ukupna sila F na tokasti naboj q koji se giba brzinom v iznosi:

    ( )BvEF x += q (2.1)

    Jednadba (2.1) je jednadba Lorentzove sile na naboj u elektromagnetskom polju ije djelovanje je opisano s dva vektorska polja: jakost elektrinog polja E i magnetska indukcija B. Ova jednadba je definicijska relacija za ova dva vektorska polja.

    Iz jednadbe za Lorentzovu silu (2.1) slijedi definicija za jakost elektrinog polja E:

    0 ; lim0

    =

    =

    v

    FEqq

    (2.2)

    Jakost elektrinog polja E (V/m) omjer je sile na naboj u mirovanju (v = 0) i iznosa naboja q. Pri tome je potrebno da ispitni naboj q bude nabijena estica vrlo malih dimenzija (najbolje bi bilo toka) kako bi se mjerilo polje u toki prostora. Nadalje se jo postavlja uvjet da je iznos ispitnog naboja to je mogue manji (q 0) kako unoenje ispitnog naboja ne bi mijenjalo polje koje se mjeri.

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    3

    Nakon to se odredi jakost elektrinog polja, naboj je potrebno gibati brzinom v i nakon to se od ukupne izmjerene sile odbije sila elektrinog polja qE odredi se magnetska indukcija B:

    ( )EFBv = qq1

    x (2.3)

    Jedinica za magnetsku idukciju je 1T=1Wb/m2.

    Ovo je definicijski postupak za odreivanje magnetske indukcije. Praktina mjerenja magnetske indukcije obavljaju se drugim postupcima.

    Slika 2.1. Lorentzova sila na elektrini naboj

    q+

    Br

    Er

    EqFerr

    =

    vr

    ( )BvqFm rrr =meem FFFrrr

    +=

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    4

    3. IZVORI POLJA: NABOJI I STRUJE

    Obraivat emo makroskopsku teoriju klasinog elektromagnetizma u kojoj se razmatra elektromagnetsko polje unutar vremenskih intervala i dijelova prostora koji su veliki u odnosu na atomska mjerila, tj. razmatraju se prosjene vrijednosti elektromagnetskog polja usljed uinaka velikog broja atoma. U makroskopskom pristupu kao izvori elektromagnetskog polja uzimaju se tzv. glatke razdiobe naboja i struja, koje su kontinuirane funkcije koordinata prostora i vremena. Elektrini naboji i njihovo ureeno gibanje koje tvori elektrinu struju su primarni izvori elektromagnetskog polja, a kako je naboj uvijek udruen s materijom, onda je nabijena materija primarni izvor elektromagnetskog polja. Analiza elektromagnetskih polja u meuatomskim prostorima spada u podruje tzv. mikroskopske odnosno kvantne teorije polja.

    3.1. Makroskopski model vodljivog materijala

    Materijale moemo klasificirati kao vodie, poluvodie i izolatore, ovisno o njihovu odzivu na narinuto elektrino polje. Prema klasinom planetarnom modelu atom se sastoji iz vrsto vezane, pozitivno nabijene jezgre, okruene difuznim elektronskim oblakom koji ima jednaku koliinu negativnog naboja. Veina elektrona je takoer vrsto vezana za jezgru pa ih nazivamo vezani elektroni. Ti vezani elektroni mogu se pomicati, ali ne i napuati matini atom pod djelovanjem elektrinog polja. Osim vezanih elektrona, atomi posjeduju i tzv. slobodne elektrone (elektroni iz vanjskih elektronskih ljuski) koji su stalno u stanju neureenog termikog gibanja, naputajui matini atom i selei se u drugi. Ako nije narinuto vanjsko elektrino polje njihovo gibanje je potpuno nasumino i u globalu se ponitava. Ako se narine elektrino polje, onda e se pod djelovanjem Coulombove sile pojaviti dodatna brzina koja se superponira na nasumina gibanja i prouzrokuje strujanje slobodnih elektrona u smjeru suprotnom od smjera elektrinog polja. Taj proces nazivamo voenjem struje, a materijale u kojima veliki broj slobodnih elektrona moe sudjelovati u voenju struje nazivamo elektrinim vodiima. U nekim materijalima samo mali ili zanemariv broj slobodnih elektrona moe sudjelovati u voenju pa ih nazivamo dielektrinim materijalima ili izolatorima. Za njih je pod djelovanjem narinutog elektrinog polja karakteristian tzv. proces polarizacije. Posebna vrsta materijala su tzv. poluvodii u kojima se voenje struje u materijalu dogaa seljenjem vanjskih elektrona, odnosno upljina u susjedne atome dodanih neistoa drugog materijala, ime se popunjavaju tzv. kovalentne veze.

    3.2. Gustoe naboja i struja

    Gustoa naboja u nekoj toki prostora definira se kao:

    ( )VQ

    VQ

    tV d

    d

    lim,0

    ==

    r (3.1)

    Gustoa naboja mjeri se u (C/m3).

    Koliina naboja u zatvorenom prostoru volumena V je:

    ( ) VttQV

    d,)( = r (3.2)

    Jakost struje prema definiciji je:

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    5

    t

    Qt

    QIt d

    d

    lim0

    ==

    (3.3)

    Jakost struje mjeri se u (A). Dogovorno je definirano da je pozitivan predznak za struju koja tee u smjeru gibanja pozitivnih naboja.

    Slika 3.1. Uz definiciju gustoe prostornog naboja

    Gustoa struje koja tee okomito kroz element povrine S je:

    ( )SI

    SI

    t vS

    v dd

    lim,0

    aarJ =

    =

    (3.4)

    gdje je av jedinini vektor u smjeru gibanja pozitivnog naboja. Gustoa struje mjeri se u (A/m2).

    Za kondukcijske struje koje su rezultat strujanja elektrona i/ili iona u metalima, poluvodiima, elektrolitskim otopinama i plinovitim plazmama, gustoa struje ne ovisi o ukupnoj gustoi naboja ve je izravno proporcionalna jakosti elektrinog polja E prema Ohmovom zakonu:

    EJ = (3.5)

    gdje je elektrina provodnost (S/m) materijala.

    Struja koja prolazi kroz plohu S, na kojoj je normala n je:

    ( ) SttIS

    d,)( = nrJ (3.6)

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    6

    3.3. Jednadba kontinuiteta

    U svim fizikalnim pokusima opaeno je da je ukupni naboj uvijek ouvan pa je postulat o ouvanju elektrinog naboja jedan od temeljnih postulata teorijske fizike. On utvruje da je tok elektrinog naboja (struja) I iz zatvorenog konanog prostora volumena V kojeg obrubljuje ploha S jednak iznosu smanjenja naboja Q unutar tog prostora:

    =

    =

    VSV

    tS

    t

    QI

    dddd

    dd

    nJ (3.7)

    gdje je n normala na plohu S. Ova parcijalna diferencijalna jednadba naziva se jednadba kontinuiteta.

    Primjeni li se Gaussov teorem:

    =S V

    VS dd AnA

    dobije se diferencijalni oblik jednadbe kontinuiteta:

    t

    == JJ div (3.8)

    3.4. Singularne gustoe izvora

    Sva fizikalna polja u prirodi su konana i kontinuirana, stvorena izvorima ije su prostorne gustoe takoer uvijek konane. U priblinoj, makroskopskoj teoriji polja esto je matematiki pogodno stvarne prostorne gustoe naboja i struja kao izvora polja idealizirano predstaviti u obliku plonih ili linijskih gustoa, odnosno kao izvore koncentrirane u toku. Takve idealizacije rezultiraju u beskonanoj, tj. singularnoj prostornoj gustoi naboja i struja. Te nestvarne gustoe izvora proizvode diskontinuirana, a u nekim sluajevima i beskonana polja. Stoga idealizaciju stvarnih raspodjela naboja i struja singularnim gustoama, koja nam omoguava potrebnu matematiku jednostavnost, treba sprovoditi s oprezom.

    3.4.1. Gustoa plonog naboja

    Ploni naboj je naboj raspodijeljen u sloju debljine nula, pa je njegova gustoa na plohi S:

    SQ

    SQ

    S dd

    lim0

    ==

    (3.9)

    Gustoa plonog naboja mjeri se u (C/m2).

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    7

    Slika 3.2. Uz definiciju gustoe plonog naboja

    Zamislimo vrlo mali valjak volumena V = Sl gdje je S povrina baze a l visina u kojem je naboj prostorne gustoe . Ako smanjujemo visinu valjka l, valjak e degenerirati u ploni element povrine S, zbog ega e gustoa prostornog naboja postati beskonana (tj. singularna):

    ( )lS

    lSSQ

    lSS

    ===

    lim

    lim

    lim0

    00 (3.10)

    Ukupna koliina naboja na plohi S je:

    SQS

    d = (3.11)

    3.4.2. Gustoa linijskog naboja

    Za nabijene vodie velike duljine a zanemarivog poprenog presjeka pogodno je uvesti pojam gustoe linijskog naboja. Linijski naboj je naboj raspodijeljen po presjeku debljine nula, pa je njegova gustoa na liniji l:

    lQ

    lQ

    l dd

    lim0

    ==

    (3.12)

    Gustoa linijskog naboja mjeri se u (C/m).

    l

    Q

    S

    Slika 3.3. Uz definiciju gustoe linijskog naboja

    Zamislimo vrlo mali valjak volumena V = Sl gdje je S povrina baze a l visina u kojem je naboj prostorne gustoe . Ako smanjujemo povrinu valjka S, valjak e degenerirati u linijski element duine l, zbog ega e gustoa prostornog naboja postati beskonana (tj. singularna):

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    8

    ( )Sl

    lSlQ

    Sll

    ===

    lim

    lim

    lim0

    00 (3.13)

    Ukupna koliina naboja na liniji (duljini) l je:

    lQl

    d = (3.14)

    3.4.3. Tokasti naboj

    Na velikim udaljenostima od prostorno rasporeenog naboja iji ukupni iznos je q 0 polje se moe pripisati tokastom naboju q smjetenom u sredite raspodjele naboja r'. Takva idealizacija rezultira u beskonanoj, tj. singularnoj gustoi naboja u toki r' pa se pomou Diracove funkcije koja je definirana kao:

    ( )( )

    ( ) ( ) ( )

    =

    =

    =

    V

    VV

    V

    V

    VV

    rr

    r

    rrr

    rrr

    rrrr

    0d

    1d 0

    moe izraziti kao:

    ( ) ( )rrr = q (3.15)

    a ukupni naboj je:

    ( ) ( ) qVqVVV

    = = dd rrr (3.16)

    Ovakve izvore ije su gustoe predstavljene impulsima oblika Diracove funkcije nazivamo diskretnim, odnosno tokastim izvorima.

    3.4.4. Plona struja

    Plona struja (strujni oblog) je struja koja tee du plonog sloja debljine nula. Gustoa plone struje K na plohi S je:

    s

    Is

    III

    s dd

    lim0

    aaK =

    =

    (3.17)

    gdje je I iznos struje koja tee kroz element duljine s postavljen okomito na tok struje I, a aI je jedinini vektor u smjeru toka struje. Gustoa plone struje mjeri se u (A/m). Ako je debljina sloja u kojem tee struja l onda je iznos struje I = Jls pa e gustoa struje J postati beskonana (tj. singularna):

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    9

    ( )ls

    lss

    I

    lJs

    Is

    =

    =

    =

    JJaK lim

    lim

    lim0

    00 (3.18)

    Slika 3.4. Uz definiciju plone struje

    Ukupna struja koja tee vodiem po njegovom opsegu c je:

    ( ) sIc

    I d = aK (3.19)

    Slika 3.5. Ukupna struja vodia protjecanog plonom strujom K

    3.4.5. Linijska struja

    Ako vodiem velike duljine a zanemarivog poprenog presjeka tee struja pogodno je uvesti pojam linijske struje ili strujnice. Linijska struja mjeri se u (A).

    Zamislimo vrlo mali valjak volumena V = Sl gdje je S povrina baze a l visina u kojem je struja prostorne gustoe J. Kroz valjak tee struja gustoe J = Jl/l, gdje je smjer struje vektorski pridijeljen l. Struja kroz popreni presjek S je i = JnS gdje je n vektor okomice na popreni presjek S u smjeru struje. Slijedi:

    ( ) ( )Vi

    VSSidd =

    ===Jl

    JJnllnJl (3.20)

    Ako smanjujemo povrinu valjka S, valjak e degenerirati u linijski element duine l, zbog ega e gustoa prostorne struje J postati beskonana (tj. singularna):

    l

    K

    aI

    s S

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    10

    ( )SiS

    =

    nJJlim

    0

    (3.21)

    l

    J i

    S

    Slika 3.6. Uz definiciju linijske struje i

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    11

    4. COULOMBOV ZAKON

    Jo su stari Grci, najmanje 600 g. prije nove ere, poznavali djelovanje statikog elektriciteta pa i naziv elektricitet potjee iz njihovog naziva za jantar, budui su ustanovili da se trljanjem jantara privlae sitne estice vune. Nakon toga tek se 1600. g. engleski fiziar Gilbert ponovno bavio slinim pokusima.

    Nakon njega, 1785. g. francuski vojni inenjer Charles Coulomb je proveo niz pokusa na posebno konstruiranoj torzionoj vazi u namjeri da precizno utvrdi silu izmeu tijela nabijenih statikim elektricitetom. Coulomb je ustanovio da je sila izmeu dva vrlo mala nabijena tijela koja se nalaze u vakuumu (praznom prostoru) na udaljenosti koja je puno vea od dimenzija tijela proporcionalna naboju na svakom od tijela i obrnuto proporcionalna kvadratu udaljenosti izmeu tijela. Iznos sile koju je izmjerio Coulomb (Coulombov zakon) je:

    221

    RQQkF = (4.1)

    gdje su Q1 i Q2 iznosi naboja na tijelima, R je njihova udaljenost a k je konstanta proporcionalnosti. U meunarodnom sustavu mjera konstanta proporcionalnosti iznosi:

    041

    pi=k (4.2)

    gdje je 0 dielektrina konstanta praznog prostora iznosa:

    F/mAs/Vm 361010854,8

    912

    0 ==

    pi (4.3)

    Coulombov zakon se onda moe pisati:

    20

    21

    4 RQQF

    =

    pi (4.4)

    Po svojem obliku Coulombov zakon je slian Newtonovom zakonu gravitacije.

    U svojim pokusima Coulomb je takoer ustanovio da sila djeluje uzdu spojnice nabijenih tijela i da je privlana ako su naboji raznoimeni, a odbojna ako su naboji istoimeni. Da bi se definirao vektorski karakter sile, oznaimo vektorom poloaja (radijus vektorom) r1 poloaj naboja Q1 i vektorom poloaja r2 poloaj naboja Q2 u prostoru. Vektor udaljenosti izmeu naboja Q1 i Q2 usmjeren od naboja Q1 prema naboju Q2 je R12 = r2 r1. Sila kojom naboj Q1 djeluje na naboj Q2 je:

    122120

    2112 4

    aFR

    QQ

    =

    pi (4.5)

    gdje je a12 jedinini vektor u smjeru vektora udaljenosti R12:

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    12

    12

    12

    12

    12

    12

    1212

    rr

    rrRRR

    a

    ===

    R (4.6)

    odnosno, sila se moe izraziti i kao:

    123120

    2112 4

    RFR

    QQ

    =

    pi (4.7)

    Slika 4.1. Sila kojom naboj Q1 djeluje na naboj Q2

    Naboj Q2 takoer djeluje silom na naboj Q1. Vektor udaljenosti izmeu naboja Q1 i Q2 usmjeren od naboja Q2 prema naboju Q1 je R21 = r1 r2.

    Slika 4.2. Sila kojom naboj Q2 djeluje na naboj Q1

    Sila kojom naboj Q2 djeluje na naboj Q1 je:

    12122210

    21212

    210

    2121 44

    FaaF =

    =

    =

    RQQ

    RQQ

    pipi (4.8)

    gdje je a21 jedinini vektor u smjeru vektora udaljenosti R21:

    :jejer 12211221

    21

    21

    21

    21

    2121 RRR

    ==

    === arr

    rrRRR

    a (4.9)

    Coulombov zakon je linearan: ako n puta uveamo naboj Q1 sila na naboj Q2 e se n puta uveati. Za izraun ukupne sile kojom skupina naboja djeluje na promatrani naboj

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    13

    primjenjujemo naelo superpozicije: ukupna sila na promatrani naboj vektorski je zbroj sila pojedinih naboja na promatrani naboj.

    Coulombov zakon je temeljni zakon elektrostatike, tj. meusobnog djelovanja naboja koji su u mirovanju. Elektrostatika sila definirana Coulombovim zakonom odreuje strukturu materije. Sila izmeu pozitivnih protona u jezgri i negativnih elektrona u elektronskim ljuskama je privlana, ali je uravnoteena centrifugalnom silom krunog gibanja elektrona oko jezgre, pa se elektroni ne mogu zalijepiti za jezgru. U jezgri je odbojna sila izmeu pozitivnih protona uravnoteena snanim nuklearnim privlanim silama koje dre jezgru na okupu.

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    14

    5. JAKOST ELEKTRINOG POLJA

    Ako jedan od dva naboja, npr. naboj Q1 drimo fiksnim a drugi naboj Q2 lagano pomjeramo u okoliu naboja Q1 primjetiemo da u svakoj toki naboj Q1 djeluje silom na naboj Q2. Drugim rijeima, naboj Q2 ukazuje na postojanje polja sila koje stvara naboj Q1. Nazovimo naboj Q2 pokusnim nabojem Qp pa je sila na njega prema Coulombovu zakonu:

    pp

    pp R

    QQ12

    10

    11 4

    aF

    =

    pi (5.1)

    Izrazimo tu silu po jedinici naboja:

    ppp

    p

    RQ

    Q 121011

    4a

    F

    =

    pi (5.2)

    Veliina na desnoj strani funkcija je samo naboja Q1 i vektora udaljenosti od naboja Q1 do pokusnog naboja Qp. Ona dakle opisuje vektorsko polje iju veliinu nazivamo jakost elektrinog polja E:

    p

    p

    Q1FE = (5.3)

    Jakost elektrinog polja definiramo kao silu na jedinini naboj. Mjeri se u (N/C=V/m). Jednadba (5.3) je definicijska relacija za jakost elektrinog polja i u skladu je s jednadbom (2.2) iz Lorentzove sile. Elektrino polje moemo opisati kao pobueno stanje prostora u okoliu mirujuih naboja u kojem se osjea djelovanje elektrine, Coulombove sile na mirujui pokusni naboj.

    Slika 5.1. Grafiki prikaz odreivanja jakosti elektrinog polja pokusnim nabojem Qp

    Iz relacija (5.2) i (5.3) slijedi izraz za jakost elektrinog polja proizvedenog jednim tokastim nabojem Q1 u vakuumu:

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    15

    ppR

    Q12

    10

    1

    4aE

    pi= (5.4)

    Oznaimo s R duljinu vektora udaljenosti R od toke u kojoj se nalazi tokasti naboj Q do toke u kojoj izraunavamo jakost elektrinog polja E i s aR jedinini vektor od R. Jakost elektrinog polja je onda:

    RRQ

    aE 204pi

    = (5.5)

    Ako tokasti naboj Q postavimo u sredite sfernog koordinatnog sustava tada jedinini vektor aR postaje radijalni jedinini vektor ar a udaljenost R postaje r-koordinata u sfernom koordinatnom sustavu, pa je jakost elektrinog polja:

    rr

    QaE 2

    04pi= (5.6)

    U pravocrtnom koordinatnom sustavu vrijedi:

    222

    222 ;

    zyx

    zyx

    zyxRzyx

    zyxr

    zyx

    ++

    ++=

    ++=++==

    aaaa

    aaarR

    pa jakost elektrinog polja ima sve tri komponente:

    ( )

    +++

    +++

    ++++=

    22222222222204 zyx

    z

    zyx

    y

    zyx

    x

    zyxQ

    zyx aaaEpi

    (5.7)

    Ako je naboj Q smjeten u proizvoljnoj toki Q(x', y', z') odreenoj s vektorom poloaja r' a toka u kojoj izraunavamo polje je P(x, y, z), odreena s vektorom poloaja r tada je vektor udaljenosti R = r r':

    ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )222

    ;

    zzyyxxR

    zzyyxx

    zyxzyx

    zyx

    zyxzyx

    ++=

    ++==

    ++=++=

    aaarrRaaaraaar

    a jakost elektrinog polja je:

    ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]zzyyxxzzyyxxQ

    RQ

    RRQ

    RQ

    zyx

    R

    ++

    ++=

    ===

    aaaE

    RRaE

    4

    444

    2/32220

    30

    20

    20

    pi

    pipipi (5.8)

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    16

    ishodite

    Slika 5.2. Jakost elektrinog polja tokastog naboja Q smjetenog u proizvoljnoj toki

    5.1. Elektrino polje skupine tokastih naboja

    Zbog linearnosti, ukupnu jakost elektrinog polja koju u toki prostora P(r) stvara skupina od n tokastih naboja Qi iji poloaji u prostoru su odreeni vektorima poloaja r'i, odreujemo primjenjujui naelo superpozicije kao vektorski zbroj jakosti polja pojedinih naboja u promatranoj toki:

    ( ) ( ) ======

    n

    i i

    iin

    iR

    i

    in

    ii R

    QR

    Qi 1 301

    201 44 pipi

    RarErE (5.9)

    gdje su vektori udaljenosti toke P(r) od pojedinih naboja:

    ii rrR =

    Slika 5.3. Jakost elektrinog polja skupine tokastih naboja

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    17

    5.2. Elektrino polje kontinuiranih raspodjela naboja

    Jakost elektrinog polja kontinuiranih raspodjela naboja: prostorne , plone ili linijske , izraunavamo takoer primjenjujui naelo superpozicije.

    5.2.1.1.Elektrino polje prostorne raspodjele naboja

    Ako je naboj raspodijeljen unutar volumena V sa zadanom prostornom gustoom , diferencijalno mali volumen dV u kojem se nalazi diferencijalna koliina naboja dQ = dV smatramo tokastim nabojem kojemu je jakost elektrinog polja odreena s (5.5).

    Slika 5.4. Jakost elektrinog polja prostornog naboja

    Ukupnu jakost elektrinog polja izraunavamo zbrajanjem doprinosa tih diferencijalnih naboja dQ. Kako se ovdje radi o kontinuiranoj raspodjeli naboja, umjesto vektorske sumacije koju sprovodimo kod skupine diskretnih tokastih naboja (5.9), ovdje je potrebno sprovesti integraciju po volumenu V. Vektor udaljenosti toke P(r) u kojoj izraunavamo jakost polja stvorenog diferencijalnim nabojem dQ u diferencijalnom volumenu dV, iji poloaj je odreen vektorom poloaja r', iznosi R = r r'. Jakost elektrinog polja je:

    ( ) ( )

    =

    =

    =

    =

    VVVVV

    RV

    RV

    RQ

    30

    30

    30

    30

    d4

    1d4

    14

    d4d

    rr

    rrRRRrE

    pi

    pipi

    pi

    (5.10)

    Kod primjene izraza (5.10) potrebno je voditi rauna o tome da je vektor poloaja diferencijalnog naboja r' i vektor udaljenosti R potrebno iskazati kao funkcije prostornih koordinata u odgovarajuem koordinatnom sustavu, te da se integral iz (5.10) rastavi na komponente jakosti polja po koordinatnim osima.

    5.2.1.2.Elektrino polje plone raspodjele naboja

    Ako je naboj raspodijeljen po povrini S sa zadanom plonom gustoom , diferencijalno malu povrinu dS na kojoj se nalazi diferencijalna koliina naboja dQ = dS smatramo tokastim nabojem kojemu je jakost elektrinog polja odreena s (5.5). Ukupnu jakost elektrinog polja izraunavamo zbrajanjem doprinosa tih diferencijalnih naboja dQ. Kako se ovdje radi o kontinuiranoj raspodjeli naboja, takoer je potrebno sprovesti integraciju po povrini S. Vektor udaljenosti toke P(r) u kojoj izraunavamo jakost polja stvorenog

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    18

    diferencijalnim nabojem dQ na diferencijalnoj povrini dS, iji poloaj je odreen vektorom poloaja r' iznosi R = r r'. Jakost elektrinog polja je:

    ( ) ( )

    =

    =

    =

    =

    SSSSS

    RS

    RS

    RQ

    30

    30

    30

    30

    d4

    1d4

    14

    d4d

    rr

    rrRRRrE

    pi

    pipi

    pi (5.11)

    Slika 5.5. Jakost elektrinog polja plonog naboja

    Kod primjene izraza (5.11) takoer je potrebno voditi rauna o tome da je vektor poloaja diferencijalnog naboja r' i vektor udaljenosti R potrebno iskazati kao funkcije prostornih koordinata u odgovarajuem koordinatnom sustavu, te da se integral iz (5.11) rastavi na komponente jakosti polja po koordinatnim osima.

    5.2.1.3.Elektrino polje linijske raspodjele naboja

    Ako je naboj raspodijeljen po liniji l sa zadanom linijskom gustoom , diferencijalno malu duinu dl na kojoj se nalazi diferencijalna koliina naboja dQ = dl smatramo tokastim nabojem kojemu je jakost elektrinog polja odreena s (5.5).

    Slika 5.6. Jakost elektrinog polja linijskog naboja

    Ukupnu jakost elektrinog polja izraunavamo zbrajanjem doprinosa tih diferencijalnih naboja dQ. Kako se ovdje radi o kontinuiranoj raspodjeli naboja, takoer je potrebno

    l

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    19

    sprovesti integraciju po liniji l. Vektor udaljenosti toke P(r) u kojoj izraunavamo jakost polja stvorenog diferencijalnim nabojem dQ na diferencijalnoj duini dl, iji poloaj je odreen vektorom poloaja r' iznosi R = r r'. Jakost elektrinog polja je:

    ( ) ( )

    =

    =

    =

    =

    lllll

    Rl

    Rl

    RQ

    30

    30

    30

    30

    d4

    1d4

    14

    d4d

    rr

    rrRRRrE

    pi

    pipi

    pi

    (5.12)

    Kod primjene izraza (5.12) takoer je potrebno voditi rauna o tome da je vektor poloaja diferencijalnog naboja r' i vektor udaljenosti R potrebno iskazati kao funkcije prostornih koordinata u odgovarajuem koordinatnom sustavu, te da se integral iz (5.12) rastavi na komponente jakosti polja po koordinatnim osima.

    5.3. Elektrini naboj i polje u vodiu

    Statiko elektrino polje je stacionarno polje uzrokovano stacionarnim nabojima, tj. nabojima u mirovanju. Unutar vodljivog materijala ne moe postojati statiko elektrino polje budui bi njegovo prisustvo u vodljivom materijalu uzrokovalo tok slobodnih naboja (elektrinu struju) ime vie ne bismo imali statike uvjete: E 0.

    U vodiu ne mogu postojati niti naboji u statikim uvjetima: 0. Pretpostavimo da smo u unutranjost vodia unijeli neku koliinu naboja. Djelovanjem odbojnih Coulombovih sila naboji e se udaljavati jedan od drugoga i u konanici rasporediti na povrinu vodia. Pri tome e raspodjela naboja na povrini vodia biti takva da se svaki pojedini elementarni naboj nalazi u stanju ravnotee sila svih ostalih naboja koji djeluju na njega.

    Nadalje, moemo zakljuiti da u statikim uvjetima na povrini nabijenog vodia postoji samo komponenta polja okomita na povrinu vodia. Naime, kad bi postojala i komponenta polja koja je tangencijalna na povrinu vodia, ona bi stvarala silu koja bi uzrokovala pomjeranje slobodnih naboja, a time vie ne bi bio ispunjen uvjet stacionarnosti naboja.

    Slika 5.7. Jakost elektrinog polja na povrini nabijenog vodia

    5.4. Silnice elektrinog polja

    Grafiki prikaz elektrinog polja preko vektora jakosti elektrinog polja je neprikladan, kako je vidljivo sa slike 5.8. za pozitivni tokasti naboj. Pokusni naboj se u elektrinom polju pod djelovanjem sile elektrinog polja giba odreenom putanjom. Tu putanju moemo smatrati linijom djelovanja sile. Tangenta u svakoj toki te putanje ima smjer djelovanja sile na pozitivni pokusni naboj, a to je ujedno i smjer elektrinog polja. Naime, vrijedi:

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    20

    tmQ p d

    dvEF == (5.13)

    odakle slijedi da je elektrino polje E u smjeru vektora brzine gibanja v naboja Qp.

    Slika 5.8. Grafiki prikaz vektora jakosti elektrinog polja tokastog naboja Q

    Putanje kojima se u elektrinom polju gibaju pokusni pozitivni naboji nazivamo linijama polja E, linijama sile odnosno silnicama. Silnice nam slue da geometrijski, zorno prikaemo elektrino polje. No, prema navedenoj definiciji, silnice opisuju samo smjer djelovanja elektrinog polja, ali ne i njegovu jakost. Stoga je konvencijom usvojeno da se silnice prikazuju tako da je njihova gustoa proporcionalna jakosti elektrinog polja. Pri tome se konstanta proporcionalnosti odabire potpuno proizvoljno.

    Slika 5.9. Silnice elektrinog polja a) pozitivnog tokastog naboja Q; b) dvaju tokastih naboja Q

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    21

    E Ey

    Ex

    Prikaz elektrinog polja preko silnica je primjenjiv za dvodimenzionalna polja. Neka je polje ovisno o x i y-koordinatama i prikazano na slici 5.10. pomou silnica.

    Slika 5.10. Uz odreivanje jednadbe silnica

    Iz slike je vidljivo da vrijedi:

    x

    yEE

    x

    y

    dd

    tg == (5.14)

    Relacija (5.14) daje nam jednadbu silnica. Potrebno je za zadanu rasopdjelu naboja izraunati funkcijske ovisnosti za komponente polja Ex = Ex (x, y) i Ey = Ey (x, y), uvrstiti ih u (5.14) ime se dobije diferencijalna jednadba silnica.

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    22

    6. MATERIJALI U ELEKTRINOM POLJU

    6.1. Vodi u elektrinom polju

    Znaajka vodljivih materijala (vodia) je da u njima postoje slobodni naboji koji se mogu po vodiu gibati pod djelovanjem sile elektrinog polja. Ako se vodljivi materijal postavi u elektrino polje, elektrino polje e na slobodne elektrone u vodiu djelovati silom koja je usmjerena suprotno od smjera elektrinog polja. Slobodni elektroni u vodiu e se stoga grupirati uz povrinu vodia na dijelu vodia gdje elektrino polje ulazi u vodi, a na suprotnoj strani gdje elektrino polje izlazi iz vodia preostat e manjak slobodnih elektrona, tj. ostat e pozitivni naboji. Ova pojava se naziva elektrina influencija a razdvojeni pozitivni i negativni naboj na vodiu naziva se influencirani (inducirani) naboj. Vodi je i dalje ostao elektriki neutralan (postulat o ouvanju elektrinog naboja), iz ega zakljuujemo da je koliina influenciranog pozitivnog naboja jednaka koliini influenciranog negativnog naboja.

    Slika 6.1. Pojava influenciranog plonog naboja inf na povrini neutralnog vodia uneenog u elektrino polje jakosti E

    Influencirani naboj nalazi se na povrini vodia, jer u unutranjosti vodia ne moe biti naboja. Budui da u unutranjosti vodia nema niti elektrinog polja, influencirani naboj je upravo takav da u unutranjosti vodia u potpunosti ponitava vanjsko elektrino polje. Ujedno, influencirani naboj stvara u vanjskom prostoru svoje vlastito, sekundarno elektrino polje koje se superponira na vanjsko narinuto polje i modificira ga. Ako uklonimo vanjsko elektrino polje doi e do rekombinacije influencijom razdvojenih pozititivnih i negativnih naboja i vodi e ponovno biti neutralan.

    Dakle, djelovanje vanjskog elektrinog polja na vodi moe se nadomjestiti odgovarajuom raspodjelom plonog slobodnog naboja na vodiu gustoe inf.

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    23

    Za ilustraciju ponitavanja vanjskog polja u vodiu uzmimo primjer u kojem je vanjsko polje homogeno elektrino polje E0 stvoreno dvjema paralelnim ravnim ploama velike povrine, koje su nabijene jednakom koliinom naboja suprotnog predznaka Q (slika 6.2.a).

    a) b) c)

    Slika 6.2. Unoenje vodia u elektrino polje

    Postavimo li u prostor izmeu ploa vodljivi materijal, na povrinama vodljivog materijala influencirat e se naboj Qinf, takav da je Qinf = Q. Influencirani naboj stvara unutar vodia svoje elektrino polje Einf istoga iznosa kao vanjsko elektrino polje ali suprotno usmjereno od njega (slika 6.2.b). Ukupno elektrino polje unutar vodia je onda poniteno (slika 6.2.c): E = E0 + Einf = 0.

    6.2. Izolator u elektrinom polju

    Znaajka dielektrinih materijala ili izolatora je da ne posjeduju slobodne elektrone, ve su njihovi elektroni vezani za matine atome i ne mogu ih pod djelovanjem vanjskog elektrinog polja naputati. U dielektrinim materijalima, pod djelovanjem vanjskog elektrinog polja dolazi do poremeaja u raspodjeli pozitivnog i negativnog naboja koji se naziva elektrina polarizacija. Ako nema vanjskog elektrinog polja atom dielektrinog materijala ima simetrinu raspodjelu pozitivnog i negativnog naboja ija djelovanja se u potpunosti neutraliziraju (slika 6.3.a).

    Slika 6.3. Polarizacija vezanog naboja u atomu pod djelovanjem elektrinog polja

    E0

    Einf

    E0 +Q Q

    E0 E0 E0

    E=0 Qinf +Qinf

    Ev

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    24

    Na atome dielektrika vanjsko elektriko polje djeluje tako da uzrokuje pomak pozitivnog i negativnog naboja unutar atoma. Vanjsko elektrino polje uzrokovat e pomak pozitivne jezgre u smjeru polja i deformaciju elektronske putanje izduujui je u elipsast oblik suprotno do smjera polja (slika 6.3.b). U prvoj aproksimaciji takav poremeaj u raspodjeli naboja atoma moe se prikazati kao dipol p (slika 6.3.c) ije elektrino polje je usmjereno suprotno od vanjskog elektrinog polja.

    Za dipol definiramo dipolni moment:

    ap = q (6.1)

    gdje je q koliina naboja svakog od dva po iznosu jednaka, a po predznaku suprotna tokasta naboja koji su meusobno pomaknuti za a, a vektor pomaka a je usmjeren od negativnog prema pozitivnom naboju.

    Za ilustraciju djelovanja polarizacije na polje u dielektriku opet uzmimo da je vanjsko polje homogeno elektrino polje E0 stvoreno dvjema paralelnim ravnim ploama velike povrine, koje su nabijene jednakom koliinom naboja suprotnog predznaka Q (slika 6.4.a).

    a) b) c)

    Slika 6.4. Unoenje izolatora u elektrino polje

    Slika 6.5. Detalj polarizacije unutar dielektrinog materijala

    Postavimo li u prostor izmeu ploa dielektrini materijal, unutar dielektrinog materijala formirat e se dipoli. Djelovanje dipola e se u unutranjosti dielektrinog materijala ponitavati, a samo e na povrinama dielektrinog materijala postojati polarizacijski naboj

    E0

    E0 E0

    Epol

    Qpol +Qpol +Q Q E

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    25

    Qpol, prema slici 6.5. Ukupni naboj u dielektrinom materijalu, makroskopski gledano, ostao je jednak nuli, tj. dielektriki materijal je i dalje ostao elektriki neutralan.

    Polarizacijski naboj stvara unutar dielektrika svoje elektrino polje Epol suprotno usmjereno od vanjskog elektrinog polja (slika 6.4.b). Ukupno elektrino polje unutar dielektrinog materijala je zbog djelovanja polarizacijskog polja smanjeno (slika 6.4.c): E = E0 + Epol < E0.

    6.2.1.1.Vektor elektrine indukcije i dielektrinost

    Opisane fizikalne pojave kvantificiramo u makroskopskom pristupu na sljedei nain. Jakost elektrinog polja kojeg stvara polarizacijski naboj Epol proporcionalna je jakosti ukupnog elektrinog polja u dielektrinom materijalu E i ovisna je o vrsti dielektrinog materijala:

    EE = epol (6.2)

    gdje je e elektrina susceptibilnost. Elektrina susceptibilnost je bezdimenziona konstanta koja je znaajka dielektrinog materijala, a kojom se kvantificira utjecaj vanjskog elektrinog polja na polarizaciju. Predznak u (6.2) oznaava da je polje polarizacijskog naboja suprotno usmjereno od vanjskog elektrinog polja, odnosno ukupnog elektrinog polja u dielektrinom materijalu.

    Ukupno elektrino polje u dielektrinom materijalu je:

    EEEEE =+= epol 00 (6.3)

    Pomnoimo li (6.3) s 0 dobije se:

    PEEEEEE ==+= 000000000 epol (6.4)

    gdje je P vektor polarizacije:

    pole EEP == 00 (6.5)

    Preuredimo (6.4):

    ( )ee +=+=+= 1000000 EEEPEE (6.6)

    Uvodimo novu veliinu:

    00 ED = (6.7)

    koju zovemo vektor elektrine indukcije ili vektor elektrinog pomaka. To je vektor istoga smjera kao i vanjsko elektrino polje. Naziv vektor pomaka je povijesni naziv koji nema suvremeno fizikalno objanjenje, a posljedica je ideje da je on rezultat gibanja, odnosno pomaka unutar dielektrinog materijala. Vektor elektrine indukcije D nema jasno fizikalno znaenje kao jakost elektrinog polja E koja je izravno definirana iz Coulombovog zakona za silu. On nam slui da kvantificiramo utjecaj elektrinog polja na dielektrini materijal i uvodi

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    26

    se kao dodatna veliina, koja takoer spada u kategoriju fundamentalnih veliina za predstavljanje polja. Jedinica za vektore D i P je (C/m2).

    Jednadba (6.6) onda glasi:

    ( ) EEEPED ==+=+= re 000 1 (6.8)

    gdje je r relativna dielektrina konstanta:

    er += 1 (6.9)

    a apsolutna dielektrina konstanta ili dielektrinost sredstva:

    r = 0 (6.10)

    Dielektrinost sredstva je najee konstantna, pa se stoga esto naziva dielektrina konstanta.

    Iz relacije (6.7) vidimo da vektor D odreuju 0 i jakost vanjskog elektrinog polja E0 koje je stvoreno slobodnim nabojima Q te da ne ovisi o polarizaciji materijala.

    Iz jednadbe (6.8) moe se izraziti ukupna jakost elektrinog polja u dielektrinom materijalu E:

    DEDPEPDE ==

    ==

    =

    rr

    0

    000

    0 (6.11)

    Dakle, vanjsko elektrino polje E0 u dielektrinom materijalu smanjuje se usljed polarizacije materijala za iznos P/0, odnosno smanjuje se r puta u odnosu na jakost polja u vakuumu.

    Sloene fizikalne pojave polarizacije dielektrinog materijala u makroskopskom pristupu obuhvatili smo kroz jednu bezdimenzionu konstantu r koja je znaajka materijala.

    Izrazi za Coulombovu silu (4.5) i svi izrazi za jakost elektrinog polja koji su bili dani za vakuum, u prisustvu dielektrinog materijala modificiraju se tako da se umjesto dielektrine konstante vakuuma 0 pie dielektrina konstanta sredstva: = 0r.

    6.2.1.2.Dielektrina vrstoa

    Pri poveavanju jakosti vanjskog elektrinog polja koje je narinuto na izolacijski materijal rastu elektrine sile koje djeluju na vezane elektrone atoma materijala. Kod velikih iznosa jakosti elektrinog polja sile elektrinog polja mogu otrgnuti vezane elektrone iz vanjskih elektronskih ljuski atoma, ime se stvara mnotvo slobodnih naboja. Izolator time gubi svoja izolacijska svojstva i oteuje se. Ta pojava naziva se elektrini proboj a granina vrijednost elektrinog polja pri kojoj proboj nastaje naziva se dielektrina vrstoa i jedna je od znaajki izolacijskih materijala.

    Dielektrina vrstoa ovisi o obliku, trajanju i nainu poveavanja napona koji stvara elektrino polje, o temperaturi, tlaku i vlanosti materijala, o obliku elektroda koje stvaraju

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    27

    elektrino polje, nehomogenosti izolatora i debljini sloja izolatora. Npr. kapljice vode u transformatorskom ulju znatno mu smanjuju dielektrinu vrstou. Kako je dielektrina vrstoa vana znaajka izolacijskih materijala, pri projektiranju i gradnji elektrinih ureaja i naprava vano je oblikovati elektrino polje tako da njegove najvee vrijednosti ne premauju dielektrinu vrstou upotrijebljenog izolacijskog materijala.

    U tablici 6.1. su dane relativne dielektrine konstante i dielektrine vrstoe za neke izolacijske materijale.

    Tablica 6.1. Relativne dielektrinosti i probojne vrstoe nekih izolacijskih materijala

    Materijal Debljina (m) Relativna dielektrinost r

    Dielektrina vrstoa (kV/cm)

    suhi zrak 1 21 30 mineralno ulje 5 120 200 kvarc taljeni 3,2 3,9 120 150

    mramor 8,3 10,3 200 500 porculan 5 7,5 200

    staklo borosilikatno 4,9 6 300 natron-papir 15 - 250 1,4 2,6 80 140

    polietilen 25 - 500 2,2 800 2000 tinjac 6 7 250 2000

    izolacijski lak 3,5 > 300

    6.2.1.3.Linearnost, izotropnost i homogenost dielektrinog materijala

    Dielektrini materijal je linearan ako je u svakoj toki materijala dielektrinost konstanta. Tada je odnos izmeu vektora D i E prema (6.8) linearan. Ako je dielektrinost u svakoj toki materijala ovisna o iznosu jakosti elektrinog polja |E|, tj. = (|E|), materijal je nelinearan.

    Dielektrini materijal je homogen ako se iznos dielektrinosti ne mijenja od toke do toke materijala, tj. neovisan je o poloaju toke unutar materijala. Ako se dielektrinost mijenja s poloajem toke unutar dielektrinog materijala, tj. = (r) tada je materijal nehomogen.

    Ako se dielektrini materijal polarizira jednako u svim smjerovima, takav materijal se naziva izotropnim i u njemu su vektor jakosti elektrinog polja E i vektor polarizacije P u istome smjeru, tj. elektrina susceptibilnost e je u svim smjerovima konstanta. U izotropnom materijalu vrijedi:

    ; ;

    ; ; 000

    zzyyxx

    zezyeyxex

    EDEDED

    EPEPEP

    ===

    ===

    (6.12)

    Za materijal koji nije izotropan (anizotropan), kao to su npr. kristali, vektor jakosti elektrinog polja E i vektor polarizacije P nisu u istome smjeru, poto periodina struktura kristalnih materijala omoguava puno laku polarizaciju uzdu osi kristala. U takvim materijalima elektrina susceptibilnost e je razliita u razliitim smjerovima, pa vrijedi:

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    28

    zeyexez

    zeyexey

    zeyexex

    EEEP

    EEEP

    EEEP

    ++=

    ++=

    ++=

    330320310

    230220210

    130120110

    (6.13)

    gdje openito postoji devet razliitih susceptibilnosti e ovisnih o smjeru polarizacije materijala i iznosu jakosti elektrinog polja koje polarizira materijal u tom smjeru. Vektori elektrine indukcije po smjerovima su:

    zyxz

    zyxy

    zyxx

    EEED

    EEED

    EEED

    ++=

    ++=

    ++=

    333231

    232221

    131211

    (6.14)

    s openito devet razliitih dielektrinosti ij koje tvore tenzor dielektrinosti. Jednadba (6.14) moe se napisati u matrinom obliku:

    =

    z

    y

    x

    z

    y

    x

    EEE

    DDD

    333231

    232221

    131211

    (6.15)

    U vektorskoj i matrinoj formi jednadba (6.15) moe se pisati kao:

    [ ] [ ][ ]ED = (6.16)

    Ako su 11 = 22 = 33 = a svi ostali elementi u matrici [] su jednaki nuli, sredstvo je izotropno i jednadba (6.16) moe se pisati kao:

    [ ] [ ]ED = (6.17)

    Dielektrina konstanta dielektrinih materijala takoer moe ovisiti o frekvenciji polja i temperaturi. Frekvencijska ovisnost kod visokih frekvencija je vana injenica koju treba uzeti u obzir. Mi emo se u osnovi dalje baviti dielektrinim materijalima koji su linearni, homogeni i izotropni.

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    29

    7. ELEKTRINI TOK

    Elektrini tok je integralna veliina koja nam je vana za objanjenje djelovanja elektrinog polja od jedne do druge toke u prostoru.

    Elektrini tok kroz povrinu S je integral normalne komponente vektora D kroz povrinu S:

    SDSDSSS

    nS

    e dcosdd = == nD (7.1)

    gdje je n normala na element povrine dS.

    Slika 7.1. Uz definiciju elektrinog toka

    Elektrini tok vezan je za povrinu S kroz koju prolazi pa je integralna, skalarna veliina za razliku od vektora E i D koje su diferencijalne veliine definirane za svaku toku prostora. Elektrini tok mjeri se u (C).

    Elektrini tok moe biti pozitivan, ako izlazi iz povrine S (slika 7.2.a) ili negativan, ako ulazi kroz povrinu S (slika 7.2.b):

    a) < 90o, otri kut b) > 90o, tupi kut Dn > 0, e > 0 Dn < 0, e < 0.

    Slika 7.2. Elektrini tok koji izlazi (a) i ulazi (b) kroz povrinu S

    Ako je izmeu normale n na povrinu S i vektora D kut = 90o, tada elektrino polje samo tangira povrinu S i nema elektrinog toka kroz povrinu S: e = 0.

    dS

    n

    D

    Dn = Dcos

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    30

    Diferenciramo li izraz (7.1) za elektrini tok dobije se:

    Se dd = nD

    Pomnoi li se dobijeni izraz s n i podijeli s dS dobije se:

    dSD

    dSee d

    ; d

    == nD (7.2)

    Prema tome, vektor D ima jo jedno znaenje: on predstavlja gustou elektrinog toka u bilo kojoj toki prostora.

    U okoliu nabijenih tijela linije vektora D nazivaju se D-linije ili linije elektrinog toka. Za linearni dielektrini materijal one su podudarne s E-linijama odnosno silnicama.

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    31

    dS d

    d' dS'

    R

    8. GAUSSOV ZAKON

    Gaussov zakon je, pored Coulombovog zakona, jedan od temeljnih zakona elektrostatike. Ilustrirat emo ga na primjeru tokastog naboja Q kojeg okruimo s dvije zatvorene povrine: kuglom povrine S, polumjera R ije sredite je podudarno s poloajem tokastog naboja Q i nekom proizvoljnom zatvorenom povrinom S' prema slici 8.1.

    Slika 8.1. Elektrini tok tokastog naboja

    Iz tokastog naboja radijalno (zrakasto) izlaze silnice elektrinog polja (linije elektrinog toka) i njihova gustoa, koja je srazmjerna jakosti elektrinog polja, opada s udaljenou r od tokastog naboja s 1/r2.

    Ako promotrimo jedan stoac kojeg obrubljuju silnice elektrinog polja, kroz sve presjeke takvoga stoca dS i dS', koje su na razliitim udaljenostima od tokastog naboja Q, prolazi isti broj silnica, tj. isti je elektrini tok kroz te presjeke: de = d'e. Nadalje, moemo zakljuiti da e i ukupni elektrini tok kroz obje povrine biti isti:

    = ==S

    eeS

    ee d d (8.1)

    Dakle, tok elektrinog polja kroz bilo kakvu zatvorenu povrinu oko tokastog naboja Q, kao izvora elektrinog polja, uvijek je isti i neovisan o obliku zatvorene povrine.

    Izraunajmo tok elektrinog polja kroz kuglu povrine S sa slike 8.1. Postavimo ishodite sfernog koordinatnog sustava u sredite kugle. Jakost elektrinog polja na povrini kugle je konstantnog iznosa i radijalna:

    konst.4 2

    =

    =

    RQ

    rpi

    aE

    Vektor D na povrini kugle je takoer konstantnog iznosa i radijalan:

    konst.4 2

    =

    ==

    RQ

    rpi

    aED

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    32

    nb

    na

    Normala na kuglu je radijalni vektor n = ar pa vrijedi:

    konst.44 22

    =

    =

    =

    RQ

    RQ

    rrpipi

    aanD

    pa je elektrini tok kroz zatvorenu povrinu (kuglu) S:

    QRR

    QSR

    QSR

    QSR

    QSSSS

    e =

    =

    =

    =

    = =2

    2222 444d

    4d

    4d pi

    pipipipi nD (8.2)

    Dobili smo interesantan rezultat da je ukupni elektrini tok kroz zatvorenu povrinu koja obuhvaa tokasti naboj Q po iznosu tono jednak tokastom naboju Q. Kako smo ve zakljuili da je tok elektrinog polja tokastog naboja Q kroz bilo kakvu zatvorenu povrinu koja je zatvorena oko tokastog naboja uvijek isti, vrijedi da je za bilo kakvu zatvorenu povrinu S:

    QSS

    e = = dnD (8.3)

    Proirimo navedeno razmatranje za dva tokasta naboja Q1 i Q2. Primjenimo naelo superpozicije pa vrijedi:

    =+ = + =

    +=

    QQQSSSSSS

    2121

    21

    ddd nDnDnDDDD

    (8.4)

    Ako unutar zatvorene povrine S nema naboja onda prema (8.4) vrijedi:

    0d = S

    SnD (8.5)

    U tom sluaju, sve silnice elektrinog polja koje ulaze u zatvorenu povrinu i izlaze iz te zatvorene povrine, budui da unutar zatvorene povrine nema pozitivnih odnosno negativnih naboja koji su izvori odnosno ponori elektrinog polja.

    Slika 8.2. Elektrini tok kroz zatvorenu povrinu unutar koje nema naboja

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    33

    Vrijedi:

    0ddd

    ; 0d ; 0d

    =+= + =

    => =

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    34

    Dakle, divergencija vektora elektrine indukcije D jednaka je prostornoj gustoi slobodnog naboja s. Drugim rijeima, slobodni naboji su izvori (pozitivni) i ponori (negativni) vektora elektrine indukcije D. Relacija (8.8) je Gaussov zakon u diferencijalnom obliku i odnosi se na bilo koju toku prostora u kojem postoji elektrino polje.

    Do istog rezultata doli bismo ako na Gaussov zakon primjenimo Gaussov teorem:

    =S V

    VS dd AnA

    Dobije se:

    = =V

    sS V

    VVS ddd DnD

    s== DD div

    U pravocrtnom koordinatnom sustavu (x, y, z) divergencija vektora D je:

    szyx

    z

    Dy

    Dx

    D =

    +

    +

    == DD div (8.9)

    U cilindrinom koordinatnom sustavu (r, , z) divergencija vektora D je:

    ( ) szrz

    DDr

    Drrr

    =

    +

    +

    == 11 div DD (8.10)

    U sfernom koordinatnom sustavu (r, , ) divergencija vektora D je:

    ( ) ( ) sr Dr

    Dr

    Drrr

    =

    +

    +

    ==sin1

    sinsin11

    div 22DD (8.11)

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    35

    9. POTENCIJAL U ELEKTRINOM POLJU

    Materija je u svom osnovnom stanju neutralna, tj. isti je broj pozitivnih i negativnih naboja. Osim toga, vrijedi postulat o ouvanju elektrinog naboja kojim se iskazuje da je u svakom izoliranom sustavu algebarska suma naboja konstantna. Prema tome, ako elimo dobiti izdvojene pozitivne i negativne naboje u izoliranom sustavu, npr. sustavu od dvije paralelne vodljive ploe, onda pozitivni naboj na jednoj ploi i negativni naboj na drugoj ploi moemo stvoriti tako da odvodimo s jedne ploe negativne naboje (ime ona postaje nabijena pozitivnim nabojem +Q) i prenosimo ih na drugu plou (ime ona postaje nabijena negativnim nabojem Q). Budui da je takav sustav izoliran, ukupni naboj i dalje ostaje konstantan, tj. jednak nuli. Za razdvajanje naboja potrebno je utroiti energiju koja se manifestira u privlanoj sili izmeu ploa nabijenih raznoimenim nabojima Q, odnosno u elektrinom polju stvorenom izmeu ploa, koje Coulombovom silom djeluje na pokusni naboj uneen u to polje. Ta energija naboja u elektrinom polju je potencijalna energija naboja koja se moe iskazati preko veliine koja se naziva elektrini potencijal.

    9.1. Potencijalna energija naboja u elektrinom polju

    Analizirajmo primjer u kojem se pozitivni tokasti naboj +q nalazi u elektrinom polju jakosti E. Na tokasti naboj q djeluje sila elektrinog polja FE = qE. Kako je naboj q pozitivan, smjer sile FE bit e isti kao i smjer elektrinog polja E. Ako je naboj q slobodan, tj. ne drimo ga nikakvom silom, sila elektrinog polja e uzrokovati pomak naboja u smjeru polja (slika 9.1.a). Pomakom naboja poveat e se njegova kinetika energija. To poveanje kinetike energije naboja dobija se iz elektrinog polja pa e energija sustava nabijenih ploa biti umanjena za taj iznos.

    Slika 9.1. Prikaz sile na naboj q a) naboj je slobodan u polju E; b) na naboj djeluje vanjska sila Fv

    Diferencijalna energija koju elektrino polje preda tokastom naboju q pri njegovom diferencijalnom pomaku dl je:

    lElF ddd == qW EE (9.1)

    Diferencijalna energija dWE iz (9.1) je diferencijalni rad kojeg je izvrilo elektrino polje E.

    Nainimo sada diferencijalni pomak dl naboja u polju nekom vanjskom silom Fv suprotno smjeru djelovanja polja E (slika 9.1.b). Vanjska sila Fv mora svladati silu elektrinog polja, tj. mora joj biti jednaka po iznosu i suprotnog smjera: Fv = FE = qE (uz ovaj uvjet nema poveanja brzine naboja, odnosno nema poveanja njegove kinetike energije). Diferencijalni rad kojeg obavi vanjska sila Fv je:

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    36

    lElFlF dddd === qW Ev (9.2)

    Vidimo da su diferencijalne energije iz (9.1) i (9.2) jednake po iznosu, suprotnog smjera. To znai da pozitivni rad izvren silom elektrinog polja dWE odgovara negativnom radu kojeg je izvrila vanjska sila dW.

    Ako je pomak dl okomit na smjer polja, tada je Edl jednak nuli i nema promjene energije.

    Pogodno je ove odnose usporediti s pomicanjem mase u gravitacijskom polju. Ako masu podiemo uvis, suprotno djelovanju gravitacijske sile, potrebno je utroiti rad. Taj se rad iskazuje u poveanju potencijalne energije mase. Ako oslobodimo masu, ona e sama padati prema dolje, dakle izvrit e se rad na raun smanjenja potencijalne energije mase. Ako pak, masu pomjeramo okomito na gravitacijsku silu, tj. na istoj visini onda nema promjena u njezinoj potencijalnoj energiji.

    Analizirajmo detaljnije odnose pri pomaku naboja suprotno smjeru elektrinog polja i pretpostavimo da pri takvom pomaku dolazi i do promjene brzine naboja. Vrijedi jednadba gibanja prema II Newtonovom zakonu:

    lv

    vl

    lvv

    aFFdd

    dd

    dd

    dd

    ====+ mt

    mt

    mmEv (9.3)

    gdje je m masa naboja (estice), a je ubrzanje naboja, v brzina naboja a dl diferencijalni pomak naboja. Pomnoimo li (9.3) s dl dobije se:

    vvlFlF ddd =+ mEv (9.4)

    odnosno:

    lFlF d2

    dd2

    = Evvm

    (9.5)

    U (9.5) su:

    Av dd = lF utroeni rad vanjske sile Fv,

    kWvm d

    2d

    2=

    promjena kinetike energije naboja,

    pE Wdd = lF promjena potencijalne energije naboja.

    Dakle, (9.5) se moe pisati u obliku:

    pk WWA ddd += (9.6)

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    37

    Rad vanjske sile dA utroi se na promjenu kinetike energije naboja dWk i promjenu potencijalne energije naboja dWp.

    Ukupni utroeni rad pri pomicanju naboja iz toke b do toke a u elektrinom polju E suprotno smjeru polja je onda:

    = =a

    bE

    v

    v

    a

    bv

    a

    b

    vmA lFlF d2

    dd2

    (9.7)

    gdje su vb i va brzine naboja u toki b, odnosno toki a.

    Ako pri pomaku naboja iz toke b u toku a nije promijenjena njegova kinetrika energija, tj. vb = va, utroeni rad vanjske sile mogao se pretvoriti samo u poveanje njegove potencijalne energije:

    )()(dd bWaWA ppa

    bE

    a

    bv = = = lFlF (9.8)

    Ako pak na naboj ne djeluje vanjska sila Fv = 0, tada je utroeni rad vanjske sile nula i vrijedi:

    0)()()()(

    0d2

    d

    0d

    2

    =+

    =

    = =

    bWaWbWaW

    vm

    A

    ppkk

    a

    bE

    v

    v

    a

    bv

    a

    b

    lF

    lF

    (9.9)

    odnosno:

    )()()()( bWbWaWaW pkpk +=+ (9.10)

    Pod djelovanjem sile elektrinog polja naboj e se pomicati iz toke a u toku b, u smjeru polja. Pri tome e mu se smanjivati njegova potencijalna energija, a poveavati kinetika energija, tj. naboj e se pod djelovanjem sile elektrinog polja ubrzavati.

    Dakle, razlika potencijalnih energija naboja u tokama a i b u elektrinom polju prema (9.8) je:

    = =a

    b

    a

    bEpp qbWaW lElF dd)()( (9.11)

    Potencijalna energija naboja u jednoj toki polja moe se prema (9.11) iskazati samo u odnosu na neku referentnu toku. Naime, svaka je potencijalna energija neodrediva do na konstantu ija vrijednost ovisi o izboru referentne toke u kojoj uzimamo da je potencijalna energija jednaka nuli. Tako npr. za gravitacijsku potencijalnu energiju uzimamo da je referentna toka na razini mora, tj. na nultoj nadmorskoj visini, na kojoj je potencijalna gravitacijska energija nula. U statikom elektrinom polju za referentnu toku obino

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    38

    uzimamo beskonanost. U beskonano dalekoj toki jakost elektrinog polja jednaka je nuli pa je i potencijalna energija naboja jednaka nuli.

    Dakle, ako je toka b = u kojoj je Wp() = 0, onda je potencijalna energija naboja u toki a:

    = =

    aa

    Ep qaW lElF dd)( (9.12)

    Relaciju (9.12) moemo rijeima opisati na sljedei nain: potencijalna energija naboja q u nekoj toki elektrinog polja a jednaka je radu kojeg je potrebno izvriti da bi se naboj q iz beskonanosti (gdje nema polja) doveo u toku polja a, suprotno djelovanju sile elektrinog polja.

    Iz (9.11) i (9.12) vidi se da je potencijalna energija naboja u nekoj toki polja funkcija te toke Wp = Wp(r) ali nije razvidno da li je ovisna o putu kojim smo izvrili pomak naboja iz toke a u toku b, odnosno iz u toku a. Da bi odredili postoji li ovisnost o putu, analizirajmo jednostavni primjer da je polje E stvoreno tokastim nabojem Q smjetenim u sredite sfernog koordinatnog sustava (slika 9.2):

    2 4 r

    Qr

    piaE =

    Slika 9.2. Prikaz izrauna razlike potencijalnih energija u polju tokastog naboja Q

    Izraunajmo razliku potencijalnih energija pri pomaku pokusnog naboja q od toke a(ra, a , a) do toke b(rb, b , b) proizvoljnim putem l prema slici 9.2. Diferencijalni put dl je:

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    39

    dsinddd rrrr aaal ++=

    Razlika potencijalnih energija prema (9.11) je:

    ( )

    =

    =

    =

    ++

    = =

    ba

    r

    r

    r

    rpp

    a

    brr

    a

    bpp

    rr

    qQr

    qQr

    rqQbWaW

    rrrr

    qQqbWaW

    a

    b

    a

    b

    114

    14

    d4

    )()(

    dsindd14

    d)()(

    2

    2

    pipipi

    pi

    aaaalE

    Kako je ra < rb, uz pozitivan tokasti naboj Q, vrijedi da je Wp(a) > Wp(b), tj. vea je potencijalna energija pokusnog naboja q u blioj toki a (gdje je jae polje tokastog naboja Q) nego u daljoj toki b.

    Izraunajmo sada razliku potencijalnih energija pri pomaku pokusnog naboja q od toke a do toke b drugim putem l' prema slici 9.2. Integracija po putu l' ide od toke b do toke c, zatim od toke c do toke d i konano od toke d to toke a. Diferencijalni putevi su:

    od b do c: abbr

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    40

    odnosno:

    0d = lq lE (9.13)

    Promjena potencijalne energije (utroeni rad) pri pomaku naboja q po bilo kojoj zatvorenoj krivulji l (pomak od toke b po bilo kojem putu i povratak natrag u istu toku b) jednaka je nuli, tj. potencijalna energija naboja u statikom elektrinom polju je konzervirana. Stoga za statiko elektrino polje kaemo da je konzervativno, to iskazujemo s:

    0d = l

    lE (9.14)

    Integral jakosti elektrinog polja E po bilo kojoj zatvorenoj krivulji l jednak je nuli.

    9.2. Diferencijalni oblik zakona o konzervativnosti elektrinog polja

    Primjenimo na relaciju (9.14) Stokesov teorem:

    ( ) SSc

    d x d = nAlA

    gdje je A vektorsko polje koje prolazi kroz povrinu S, na kojoj je definirana normala n, a povrina S je obrubljena konturom c. Primjena na (9.14) daje:

    ( ) 0d x d == SSc

    nElE

    odakle slijedi:

    0rot x == EE (9.15)

    Dakle, rotacija vektora jakosti statikog elektrinog polja E jednaka je nuli. Relacija (9.15) iskazuje konzervativnost statikog elektrinog polja u diferencijalnom obliku i odnosi se na bilo koju toku prostora u kojem postoji elektrino polje.

    U pravocrtnom koordinatnom sustavu (x, y, z) rotacija vektora E je:

    0 x =

    +

    +

    =

    =y

    Ex

    Ex

    Ez

    Ez

    Ey

    E

    EEEzyx

    xyz

    zxy

    yzx

    zyx

    zyx

    aaa

    aaa

    E

    (9.16) U cilindrinom koordinatnom sustavu (r, , z) rotacija vektora E je:

    ( ) 011 x =

    +

    +

    =

    rz

    zrzr

    ErE

    rrr

    Ez

    Ez

    EEr

    aaaE (9.17)

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    41

    U sfernom koordinatnom sustavu (r, , ) rotacija vektora E je:

    ( ) ( )

    ( ) 01

    111 x

    =

    +

    +

    +

    =

    r

    rr

    EErrr

    Err

    Esinr

    EEsin

    sinr

    a

    aaE (9.18)

    9.3. Elektrini potencijal

    Elektrini potencijal u nekoj toki elektrinog polja je omjer potencijalne energije naboja u toj toki polja i iznosa tog naboja:

    qaW

    ap )()( = (9.19)

    Moemo takoer rei da je elektrini potencijal u nekoj toki elektrinog polja po iznosu jednak potencijalnoj energiji jedininog naboja q = 1 C u toj toki.

    Jedinica za elektrini potencijal je volt: 1V = 1J/1C. Vee jedinice koje se susreu u energetici su kV i MV, a manje koje susreemo u elektronici mV i V.

    Iz (9.12) slijedi da elektrini potencijal u nekoj toki polja moemo izraunati iz poznate jakosti elektrinog polja E:

    =

    a

    a lE d)( (9.20)

    Prema zakljucima iz prethodnog potpoglavlja, izraun potencijala prema (9.20) takoer je neovisan o putu integracije od do toke a u kojoj se potencijal izraunava.

    Elektrini potencijal je druga veliina koja nam slui za kvantificiranje pojava u elektrinom polju. Prva veliina je bila vektorska veliina jakost elektrinog polja E koja je definirana u svakoj toki polja. Za razliku od jakosti elektrinog polja, elektrini potencijal je skalarna veliina, takoer definirana u svakoj toki polja. Budui da je potencijal skalarna veliina, u mnogim zadaama je jednostavnije izraunati skalarno polje potencijala (r), pa onda naknadno iz njega izraunati vektorsko polje jakosti polja E(r).

    9.3.1.1.Potencijal tokastog naboja

    Izraunajmo potencijal tokastog naboja primjenjujui (9.20). Jakost elektrinog polja tokastog naboja Q u sfernom koordinatnom sustavu je:

    2 4 r

    Qr

    piaE =

    Kako je izraun potencijala prema (9.20) neovisan o putu integracije, treba odabrati najpogodniji put integracije, a to je radijalni, istoga smjera kao i jakost elektrinog polja: dl = ardr. Potencijal toke koja je na udaljenosti r od tokastog naboja je:

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    42

    r

    rr

    r

    r

    r

    r

    Qr

    r

    Qr

    =

    =

    = =

    14

    d14

    d)( 2 pipi aalE

    r

    Q)r( 4pi

    = (9.21)

    9.3.1.2.Potencijal skupine tokastih naboja

    Zbog linearnosti, ukupni elektrini potencijal kojeg u toki prostora P(r) stvara skupina od n tokastih naboja Qi iji poloaji u prostoru su odreeni vektorima poloaja r'i, odreujemo primjenjujui naelo superpozicije kao algebarski zbroj potencijala pojedinih naboja u promatranoj toki:

    ( ) ( )

    = =======

    n

    i i

    in

    i i

    in

    i i

    in

    ii

    QRQ

    RQ

    1111 41

    41

    4 rrrr

    pipipi (9.22)

    gdje su udaljenosti toke P(r) od pojedinih naboja:

    iiiR rrR ==

    9.3.1.3.Potencijal kontinuiranih raspodjela naboja

    Potencijal kontinuiranih raspodjela naboja: prostorne , plone ili linijske , izraunavamo takoer primjenjujui naelo superpozicije.

    9.3.1.3.1. Potencijal prostorne raspodjele naboja

    Ako je naboj raspodijeljen unutar volumena V sa zadanom prostornom gustoom , diferencijalno mali volumen dV u kojem se nalazi diferencijalna koliina naboja dQ = dV smatramo tokastim nabojem kojemu je potencijal odreen s (9.21). Ukupni potencijal izraunavamo zbrajanjem doprinosa tih diferencijalnih naboja dQ. Kako se ovdje radi o kontinuiranoj raspodjeli naboja, umjesto sumacije koju sprovodimo kod skupine diskretnih tokastih naboja (9.22), ovdje je potrebno sprovesti integraciju po volumenu V. Udaljenost toke P(r) u kojoj izraunavamo potencijal stvoren diferencijalnim nabojem dQ u diferencijalnom volumenu dV, iji poloaj je odreen vektorom poloaja r' iznosi R =R = r r'. Potencijal je:

    ( )

    =

    =

    ==VVVV

    VR

    VRV

    RQ

    rrr

    d4

    1d4

    14

    d4d

    pi

    pipi

    pi

    (9.23)

    Kod primjene izraza (9.23) potrebno je voditi rauna o tome da je vektor poloaja diferencijalnog naboja r' i vektor udaljenosti R potrebno iskazati kao funkcije prostornih koordinata u odgovarajuem koordinatnom sustavu.

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    43

    9.3.1.3.2. Potencijal plone raspodjele naboja

    Ako je naboj raspodijeljen po povrini S sa zadanom plonom gustoom , diferencijalno malu povrinu dS na kojoj se nalazi diferencijalna koliina naboja dQ = dS smatramo tokastim nabojem kojemu je potencijal odreen s (9.21). Ukupni potencijal izraunavamo zbrajanjem doprinosa tih diferencijalnih naboja dQ. Kako se ovdje radi o kontinuiranoj raspodjeli naboja, takoer je potrebno sprovesti integraciju po povrini S. Udaljenost toke P(r) u kojoj izraunavamo potencijal stvoren diferencijalnim nabojem dQ na diferencijalnoj povrini dS, iji poloaj je odreen vektorom poloaja r' iznosi R =R = r r'. Potencijal je:

    ( )

    =

    =

    ==SSSS

    SR

    SRS

    RQ

    rrr

    d4

    1d4

    14

    d4d

    pi

    pipi

    pi

    (9.24)

    Kod primjene izraza (9.24) takoer je potrebno voditi rauna o tome da je vektor poloaja diferencijalnog naboja r' i vektor udaljenosti R potrebno iskazati kao funkcije prostornih koordinata u odgovarajuem koordinatnom sustavu.

    9.3.1.3.3. Potencijal linijske raspodjele naboja

    Ako je naboj raspodijeljen po liniji l sa zadanom linijskom gustoom , diferencijalno malu duinu dl na kojoj se nalazi diferencijalna koliina naboja dQ = dl smatramo tokastim nabojem kojemu je potencijal odreen s (9.21). Ukupni potencijal izraunavamo zbrajanjem doprinosa tih diferencijalnih naboja dQ. Kako se ovdje radi o kontinuiranoj raspodjeli naboja, takoer je potrebno sprovesti integraciju po liniji l. Udaljenost toke P(r) u kojoj izraunavamo potencijal stvoren diferencijalnim nabojem dQ na diferencijalnoj duini dl, iji poloaj je odreen vektorom poloaja r' iznosi R =R = r r'. Potencijal je:

    ( )

    =

    =

    ==llll

    lR

    lRl

    RQ

    rrr

    d4

    1d4

    14

    d4d

    pi

    pipi

    pi

    (9.25)

    Kod primjene izraza (9.25) takoer je potrebno voditi rauna o tome da je vektor poloaja diferencijalnog naboja r' i vektor udaljenosti R potrebno iskazati kao funkcije prostornih koordinata u odgovarajuem koordinatnom sustavu.

    9.4. Razlika potencijala (napon)

    Iz (9.11) i (9.19) moemo izraziti razliku potencijala (elektrini napon) izmeu dvije toke a i b elektrinog polja E:

    ==a

    bab baU lE d)()( (9.26)

    Razlika potencijala (napon) Uab oznaava da je to potencijal toke a u odnosu na potencijal toke b. Ako je elektrini napon Uab pozitivan, to znai da je toka a na viem potencijalu (pozitivni tokasti naboj ima viu potencijalnu energiju u toj toki) nego toka b.

    Napon izmeu toaka b i a je:

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    44

    ab

    b

    aba UabU = == lE d)()( (9.27)

    Napon izmeu toaka a i b u polju tokastog naboja Q prema (9.26) je:

    a

    b

    a

    b

    r

    rrr

    r

    rrr

    a

    bab

    r

    Qr

    r

    QU==

    =

    = =

    14

    d14

    d 2 pipiaalE

    ==

    baab

    rr

    QbaU 114

    )()(pi

    (9.28)

    Ako je tokasti naboj Q pozitivan i ako je ra < rb, vrijedi da je Uab > 0, tj. (a) > (b), tj. vei je potencijal u blioj toki a (gdje je jae polje tokastog naboja Q) nego u daljoj toki b.

    Iz (9.28) slijedi takoer potencijal tokastog naboja u odnosu na beskonano daleku toku; ako postavimo b , () 0, slijedi:

    ar

    Q)a( 4pi

    to je identino relaciji (9.21).

    Ako potencijal neke toke a iskaemo u odnosu na potencijal referentne toke b, rb = Rref, (rb) = ref, iz (9.28) slijedi:

    refrefa Rr

    Qa

    pi +

    =

    114

    )( (9.29)

    ili openito, dijeljenjem (9.11) s q dobije se:

    refa

    Rrefa + = lE d)( (9.30)

    Prema tome, potencijal neke toke u elektrinom polju moemo odrediti uz proizvoljan izbor referentne toke Rref i potencijala u referentnoj toki (Rref). Time se ne utjee na razlike potencijala, odnosno napone u polju. To se naziva skaliranje elektrinog potencijala.

    9.5. Veza izmeu jakosti elektrinog polja i potencijala

    Iz definicijske relacije za razliku potencijala (9.26) slijedi da je diferencijalna razlika potencijala d na udaljenosti dl du puta od toke b do toke a:

    lElE l dcosdcosddd ==== lElE (9.31)

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    45

    gdje je kut izmeu vektor jakosti elektrinog polja E i puta dl, a El je komponenta jakosti elektrinog polja E usmjerena du puta dl (slika 9.3).

    Slika 9.3. Uz definiciju veze izmeu jakosti elektrinog polja i potencijala

    Iz (9.31) slijedi:

    lEEl==

    cos

    dd

    (9.32)

    gdje je d/dl derivacija potencijala u smjeru dl. Ova derivacija je usmjerena derivacija koja ovisi o smjeru dl pa time o kutu . Ako je dl u smjeru jedininog vektora aE jakosti elektrinog polja E, tj. dl = aE dl, tada je = 0 i vrijedi:

    El lE

    =

    = dddd

    al

    Ako je dl suprotan od smjera jedininog vektora aE jakosti elektrinog polja E, tj. dl = aE dl, tada je = pi i vrijedi:

    Ell lE

    ==

    = maxdd dd

    dd

    al (9.33)

    Dakle, maksimalna derivacija potencijala je u smjeru suprotnom od smjera elektrinog polja E i po iznosu je jednaka jakosti elektrinog polja E. Pomnoimo li (9.33) s jedininim vektorom aE = aE usmjerenim suprotno od smjera jakosti elektrinog polja E, dobijemo:

    Eaaa ===

    EEl EEE maxd

    d (9.34)

    Izraz na lijevoj strani u (9.34) predstavlja vektorsku veliinu koju nazivamo gradijentom od :

    Ea ===

    graddd

    maxlE (9.35)

    odnosno:

    == gradE (9.36)

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    46

    Relacija (9.36) ukazuje nam da je vektor jakosti elektrinog polja E usmjeren u smjeru pada potencijala, tj. od vieg k niem potencijalu. To je u skladu s objanjenjima danim za napon Uab u polju tokastog naboja (9.28).

    Do istog izraza moemo doi ako u (9.31) uvrstimo vektore E i dl u pravocrtnom koordinatnom sustavu:

    ( ) ( )zyxEEEzyxEEE

    zyxzzyyxx

    zyxzzyyxx

    ddddddddd ;

    aaaaaalEaaalaaaE

    ++++==

    ++=++=

    Ako uzmemo da je dl = axdx i dy = dz = 0, tada je:

    ( ) ( )x

    zy

    xxzzyyxx

    Exx

    xExEEE

    =

    =

    =++==

    =

    =

    konst.konst.d

    d

    dddd aaaalE

    Ako uzmemo da je dl = aydy i dx = dz = 0, tada je:

    ( ) ( )y

    zx

    yyzzyyxx

    Eyy

    yEyEEE

    =

    =

    =++==

    =

    =

    konst.konst.d

    d

    dddd aaaalE

    Ako uzmemo da je dl = azdz i dx = dy = 0, tada je:

    ( ) ( )z

    yx

    zzzzyyxx

    Ezz

    zEzEEE

    =

    =

    =++==

    =

    =

    konst.konst.d

    d

    dddd aaaalE

    Jakost elektrinog polja je onda:

    ==

    +

    +

    =++= grad z

    zyxzzyyxx yxEEE aaaaaaE (9.37)

    U pravocrtnom koordinatnom sustavu (x, y, z) jakost elektrinog polja E izraena preko gradijenta potencijala je:

    +

    +

    ==

    zyx zyx aaaE grad (9.38)

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    47

    U cilindrinom koordinatnom sustavu (r, , z) jakost elektrinog polja E izraena preko gradijenta potencijala je:

    +

    +

    ==

    zrrzr

    aaaE1

    grad (9.39)

    U sfernom koordinatnom sustavu (r, , ) jakost elektrinog polja E izraena preko gradijenta potencijala je:

    +

    +

    ==

    sin11

    gradrrr

    r aaaE (9.40)

    Kako je jakost elektrinog polja E derivacija potencijala prema (9.36) slijedi vano svojstvo elektrinog potencijala : elektrini potencijal je kontinuirana funkcija. Ukoliko bi potencijal bio diskontinuirana funkcija, na mjestu diskontinuiteta bi onda prema (9.36) imali beskonaan iznos jakosti elektrinog polja, to je fizikalno nemogue.

    9.6. Ekvipotencijalne plohe

    Ekvipotencijalne plohe su geometrijsko mjesto toaka u prostoru gdje postoji elektrino polje na kojima je potencijal konstantan:

    ( ) konst.== e r (9.41)

    Ako se radi o elektrinom polju koje je prikazano u ravnini, onda govorimo o ekvipotencijalnim linijama koje su krivulje u prostoru na kojima je potencijal konstantan.

    U skladu s definicijom potencijala (9.19), ekvipotencijalne plohe (linije) su takoer geometrijsko mjesto toaka u prostoru gdje postoji elektrino polje na kojima je konstantna potencijalna energija pokusnog naboja q:

    konst. ; )()( === eep qWq

    aWa (9.42)

    Ekvipotencijalne plohe imaju dva vana svojstva:

    Prema (9.42) u svakoj toki ekvipotencijalne plohe, potencijalna energija pokusnog naboja q je ista. Zato se pri pomicanju pokusnog naboja q po ekvipotencijalnoj plohi ne troi niti dobija nikakav rad. Daljnja posljedica ovoga je da je elektrino polje okomito na ekvipotencijalnu plohu. Naime, kad bi elektrino polje imalo komponentu tangencijalnu na ekvipotencijalnu plohu, onda bi se pri pomicanju naboja po ekvipotencijalnoj plohi dobijao ili troio rad, ime bi se mijenjala potencijalna energija naboja, a to je u suprotnosti s definicijom ekvipotencijalnih ploha. Prema tome silnice elektrinog polja i ekvipotencijalne plohe su meusobno okomite. Nadalje, u potpoglavlju 5.3. zakljuili smo da na povrini vodia u statikim uvjetima postoji samo normalna komponenta polja. Iz toga slijedi da je povrina vodia u statikim uvjetima ekvipotencijalna ploha.

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    48

    Drugo svojstvo slijedi iz injenice da je prema (9.36) jakost elektrinog polja E jednaka derivaciji potencijala. To znai da je gustoa ekvipotencijala srazmjerna jakosti polja. Neka polje ima samo jednu komponentu, npr. Ex. Tada je prema (9.37):

    x

    xxxx Ex

    xxE =

    == aaaE (9.43)

    Ako nacrtamo ekvipotencijale tako da je razlika potencijala izmeu njih jednaka, onda e razmak izmeu ekvipotencijala x biti to manji to je vea jakost elektrinog polja Ex.

    Ekvipotencijalne plohe tokastog naboja su kugle:

    konst.4

    4)( ====

    e

    e

    Qr

    r

    Qr

    pi

    pi (9.44)

    a to je jednadba kugli. U ravninskom prikazu to su krunice. Na slici 9.4. prikazane su ekvipotencijale i silnice tokastog naboja.

    Slika 9.4. Ekvipotencijale i silnice tokastog naboja

    Ua Ub = 15 V

    Uar0 Ubr0 = 15 V

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    49

    Prikaz ekvipotencijala nainjen je s razlikom potencijala izmeu dviju susjednih ekvipotencijala = 5 V. Na slici su takoer dane ekvipotencijale uz dva razliita skaliranja potencijala: na gornjoj polovici slike prikazane su ekvipotencijale uz Rref = r0, a na donjoj uz Rref = . U oba sluaja je (Rref) = 0. Sa slike uoavamo irelevantnost izbora referentne toke na napon (razliku potencijala). Ta irelevantnost prisutna je i kod odreivanja jakosti elektrinog polja. Prema (9.36) ista je jakost elektrinog polja za familiju potencijalnih funkcija koje se meusobno razlikuju za konstantu. Jakost elektrinog polja, koja je jednaka derivaciji potencijala, bit e ista za sve te potencijalne funkcije bez obzira na izbor referentne toke Rref i potencijala u referentnoj toki (Rref). Jakost elektrinog polja je fizikalna veliina, definirana iz sile na naboj (Coulombov zakon) dok je elektrini potencijal izvedena veliina, uvedena da se olaka izraun jakosti elektrinog polja.

    Za ilustraciju, odredimo primjenom izraza (9.29) potencijale tokastog naboja na tri udaljenosti r1 = 1 m, r2 = 2 m, r3 = 3 m, pri emu je:

    a) Rref = , (Rref) = 0, b) Rref = r0 = 2 m, (Rref) = 0.

    Iz (9.29):

    refrefRr

    Qr

    pi +

    =

    114

    )(

    slijedi:

    a)

    32

    4311

    4)()(

    31

    44)( ;

    21

    44)( ;

    44)(

    3113

    33

    22

    11

    pipi

    pipi

    pipi

    pipi

    QQrrU

    Qr

    Qr

    Qr

    Qr

    Qr

    Qr

    =

    ==

    ======

    b)

    32

    461

    21

    4)()(

    61

    4211

    4)( ; 0

    211

    4)( ;

    21

    4211

    4)(

    3113

    33

    22

    11

    pipi

    pipi

    pi

    pipi

    QQrrU

    Qr

    Qr

    r

    Qr

    Qr

    Qr

    =

    ==

    =

    ==

    ==

    =

    Na primjeru ovog jednostavnog izrauna ilustrirana je proizvoljnost izbora referentne toke Rref i potencijala u referentnoj toki (Rref).

    9.7. Diferencijalna jednadba potencijala

    Gaussov zakon u diferencijalnom obliku dan je relacijom (8.8):

    ( ) s === EDD div (8.8)

    Uvrstimo li jakost elektrinog polja E iz (9.32):

    == gradE (9.36)

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    50

    dobije se:

    ( )[ ] s = (9.45)

    Ako je sredstvo homogeno ( = konst.) onda relacija (9.45) prelazi u:

    s= (9.46)

    odnosno:

    s= (9.47)

    Diferencijalna jednadba (9.47) naziva se Poissonova jednadba i primjenjuje se na rjeavanje potencijala u homogenom sredstvu.

    Ako u prostoru nema slobodnih naboja s = 0, tada Poissonova jednadba (9.47) prelazi u Laplaceovu jednadbu u homogenom prostoru:

    0= (9.48)

    U pravocrtnom koordinatnom sustavu (x, y, z) Poissonova jednadba (9.47) je:

    szyx

    =

    +

    +

    = 22

    2

    2

    2

    2 (9.49)

    U cilindrinom koordinatnom sustavu (r, , z) Poissonova jednadba (9.47) je:

    szrr

    rrr

    =

    +

    +

    = 22

    2

    2

    211

    (9.50)

    U sfernom koordinatnom sustavu (r, , ) Poissonova jednadba (9.47) je:

    srrr

    rrr

    =

    +

    +

    = 22

    2222

    2 sin1

    sinsin11

    (9.51)

    Odgovarajue Laplaceove jednadbe na desnoj strani imaju nulu.

    9.8. Jedinstvenost rjeenja Poissonove i Laplaceove jednadbe

    Beskonano mnogo rjeenja za skalarno polje potencijala moe zadovoljiti Laplaceovu (9.48) odnosno Poissonovu jednadbu (9.47). Da bi rjeenje potencijala neke elektrostatike zadae bilo jedinstveno, ono mora zadovoljavati Laplaceovu odnosno Poissonovu jednadbu, te takoer uvjete potencijala na rubovima podruja prorauna (rubni uvjeti).

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    51

    Za odreivanje potrebnih rubnih uvjeta koji daju jednoznano rjeenje potencijala, analizirajmo sustav statikog elektrinog polja prikazanog na slici 9.5. Neka se unutar prostora volumena V ogranienog povrinom S koja se sastoji od vie povrina S0, S1, ..., SN nalazi linearni homogeni dielektrini materijal dielektrinosti i neka se unutar volumena V nalazi slobodni naboj prostorne gustoe (naboj ne mora postojati, pa e onda rjeenje potencijala biti opisano Laplaceovom jednadbom).

    Slika 9.5. Sustav statikog elektrinog polja

    Pretpostavimo da postoje dva razliita rjeenja potencijala 1 i 2 Poissonove jednadbe u volumenu V. Mora vrijediti:

    == 21 ; (9.52)

    Ako te dvije Poissonove jednadbe oduzmemo dobije se:

    ( ) 02121 == (9.53)

    Dakle, razlika rjeenja mora zadovoljavati Laplaceovu jednadbu. Rjeenje statikog elektrinog polja:

    =E

    bit e jedinstveno ako je:

    Vu konst. ili 0 2121 == (9.54)

    Da bismo ispitali pod kojim je uvjetima to ispunjeno, primjenimo prvi Greenov identitet:

    [ ] VvuvuSn

    vu

    VSdd +=

    (9.55)

    u kojeg uvrstimo u = v = 1 2. Dobije se, uvaavajui (9.53):

    ( ) ( ) ( )[ ] VSn VS

    dd 2212121 =

    (9.56)

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    52

    Da bi rjeenje statikog elektrinog polja bilo jedinstveno prema uvjetu (9.54), desna strana u jednadbi (9.56) mora biti jednaka nuli. Lijeva strana u jednadbi (9.56) jednaka je nuli u sljedeim karakteristinim sluajevima:

    1. 1 2 = 0, odnosno 1 = 2 u svim tokama povrine S. Tada i u cijelom podruju V vrijedi 1 = 2.

    2. 1/n 2/n = 0, odnosno 1/n = 2/n u svim tokama povrine S. Tada i u cijelom podruju V vrijedi 1 = 2 + 0.

    3. 1 2 = 0 na jednom dijelu povrine S, a 1/n 2/n = 0 na ostatku povrine S. Tada i u cijelom podruju V vrijedi 1 = 2.

    Sukladno tome, rjeenje Poissonove (Laplaceove) jednadbe je jedinstveno ako su na rubovima prorauna zadani rubni uvjeti definirani u ova tri karakteristina sluaja. Prema tome razlikujemo tri formulacije rubnih uvjeta u rjeavanju Poissonove (Laplaceove) jednadbe:

    1. Dirichletovi uvjeti: Rjeenje Poissonove (Laplaceove) jednadbe jedinstveno je u podruju prorauna V ako je zadan potencijal na zatvorenoj povrini S koja obuhvaa podruje prorauna V.

    2. Neumannovi uvjeti: Rjeenje Poissonove (Laplaceove) jednadbe jedinstveno je do na konstantu u podruju prorauna V ako je zadana derivacija potencijala /n na zatvorenoj povrini S koja obuhvaa podruje prorauna V.

    3. Mijeani uvjeti: Rjeenje Poissonove (Laplaceove) jednadbe jedinstveno je u podruju prorauna V ako je na jednom dijelu zatvorene povrine S koja obuhvaa podruje prorauna V zadan potencijal a na ostatku povrine S zadana derivacija potencijala /n.

    U svakoj od tih formulacija vektori D i E e takoer biti jedinstveni u podruju prorauna V i na zatvorenoj povrini S koja obuhvaa podruje prorauna V.

    Izravna posljedica jedinstvenosti rjeenja Poissonove (Laplaceove) jednadbe je da se statiko elektrino polje ne mijenja ako bilo koji dio ili cijelu ekvipotencijalnu povrinu prekrijemo tankim slojem metala zanemarive debljine. Zbog svojstva metala da je u statikom elektrinom polju ekvipotencijalan, potencijal na toj povrini se nee promijeniti. Zbog jedinstvenosti rjeenja Poissonove (Laplaceove) jednadbe potencijal se nee promijeniti niti u jednoj toki polja.

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    53

    10. UVJETI NA GRANICI

    U makroskopskom pristupu izvore polja koji su stvarne gustoe prostornog naboja idealiziramo u obliku singularnih gustoa naboja: plonih i linijskih. Takve idealizacije mogu onda imati za posljedicu diskontinuitete u veliinama polja.

    10.1. Uvjeti na granici dva dielektrika

    Uzmimo da se na graninoj povrini S dva dielektrika dielektrinosti 1 i 2 nalazi slobodni naboj plone gustoe s. Neka je s n12 oznaena normala na graninu povrinu S, usmjerena iz sredstva 1 u sredstvo 2 prema slici 10.1.

    Slika 10.1. Odreivanje vektora elektrine indukcije D na granici

    Primjenimo Gaussov zakon na mali cilindar povrine baze dS, visine h. Vrijedi: n12 = n1 = n2, te dS = dS1 = dS2. Primjena Gaussovog zakona (8.7) daje:

    ( ) ShSSVS

    s

    Vs

    Sdplat kroz toku doprinosdd

    dd

    222111 =++

    =

    nDnD

    nD (10.1)

    Ako visinu cilindra h smanjujemo (h 0) dobije se:

    ( ){ } { }ShSS shh

    dlimplat kroz toku doprinosddlim0

    1221210

    =++

    nDnD (10.2)

    Kad visina cilindra h 0, doprinos toku kroz plat cilindra takoer 0. Podijelimo li (10.2) s dS, na desnoj strani prema (3.10) dobijemo plonu gustou slobodnog naboja s. Relacija (10.2) prelazi u:

    ( ) s= 1212 DDn (10.3)

    Normalna komponenta vektora elektrine indukcije D mijenja se na granici za iznos gustoe plonog slobodnog naboja na granici. Ako na granici nema slobodnog naboja s = 0, onda su normalne komponente vektora elektrine indukcije D s obje strane granice jednake:

    ( ) 0 211212 nn DD == DDn (10.4)

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    54

    a normalne komponente vektora jakosti elektrinog polja E obrnuto su srazmjerene dielektrinostima:

    1

    2

    2

    1221121

    ===

    n

    nnnnn E

    EEEDD (10.5)

    Primjenimo uvjet konzervativnosti statikog elektrinog polja (9.14) na malu pravokutnu petlju stranica dl i h prema slici 10.2. Vrijedi: dl = dl1 = dl2.

    Slika 10.2. Odreivanje vektora jakosti elektrinog polja E na granici

    Primjena (9.14) daje:

    ( ) 0 stranicama na doprinosidd0d

    2211 =++

    =

    hl

    lElE

    lE (10.6)

    Ako stranice h smanjujemo (h 0) dobije se:

    ( ){ } 0 stranicama na doprinosiddlim 210

    =++

    hh

    lElE (10.7)

    Kad stranice h 0, doprinos na bonim stranicama h takoer 0. Relacija (10.7) prelazi u:

    lElE dd 21 = (10.8)

    Vrijedi:

    ( )( ) 222o22

    111o

    11

    sind90cosddsind90cosdd

    ==

    ==

    lElElElE

    lElE

    (10.9)

    pa (10.8) prelazi u:

    2211 sindsind = lElE (10.10)

    Podijelimo li (10.10) s dl, dobije se:

    ( ) 0 x 1212212211 === EEntt EEsinEsinE (10.11)

    Tangencijalne komponente vektora jakosti elektrinog polja E ne mijenjaju se na granici, a normalne komponente vektora elektrine indukcije D srazmjerene su dielektrinostima:

  • ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA

    55

    2

    1

    2

    1

    2

    2

    1

    121

    ===

    t

    ttttt D

    DDDEE (10.12)

    Iz uvjeta (10.4) i (10.11) slijedi zakon loma silnice elektrinog polja na granici bez slobodnog naboja (slika 10.3):

    Slika 10.3. Zakon loma silnice elektrinog polja

    Vrijedi:

    n

    t

    n

    t

    EE

    EE

    2

    22

    1

    11 tg; tg ==

    2

    1

    12

    21

    2

    2

    1

    1

    2

    1

    tgtg