МАТЕМАТИКА 5 - Izdavačka kuća Klett · 2016-10-13 · 6 1 . Опште напомене о математици у v разреду 1 .1 . Наставни садржаји

Небојша Икодиновић Слађана Димитријевић

МАТЕМАТИКА 5

Приручник за наставнике математикеу петом разреду основне школе

МАТЕМАТИКА 5Приручник за наставнике математикеу петом разреду основне школе

Друго издање

Аутори: др Небојша Икодиновић, др Слађана ДимитријевићРецензенти: проф. др Радосав Ђорђевић, Природно-математички факултет у Крагујевцу проф. др Бранислав Поповић, Природно-математички факултет у Крагујевцу Зорица Станковић, професор математике, ОШ „Мома Станојловић” у Крагујевцу

Фотографије и илустрације: Небојша Икодиновић, архива Издавачке куће „Klett”Компјутерско обликовање: „АБРАКА ДАБРА”, Нови СадОбликовање корица: Издавачка кућа „Klett”Лектура и коректура: др Јелена Петковић

Издавач: Издавачка кућа „Klett”, д.о.о. Маршала Бирјузова 3–5, 11000 Београд Тел.: 011/3348-384, факс: 011/3348-385 [email protected], www.klett.rs

За издавача: Гордана Кнежевић ОрлићГлавни уредник: Александар РајковићУредник: др Бранислав ПоповићРуководилац пројекта: Александра СтаменковићШтампа: Newpress, СмедеревоТираж: 500 примерака

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући и фотокопирање, штампање, чување у електорнском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу с места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторским и сродним правима.

© Klett, 2016.

ISBN 978-86-7762-753-9

CIP - Каталогизација у публикацији Народна библиотека Србије, Београд

371.3::51(035)

ИКОДИНОВИЋ, Небојша, 1973- Математика 5 : приручник за наставнике математике : у петом разреду основне школе / Небојша Икодиновић, Слађана Димитријевић ; [фотографије и илустрације Небојша Икодиновић]. - 2. изд. - Београд : Klett, 2016 (Смедерево : Newpress). - 91 стр. : илустр. ; 29 cm

Тираж 500. - Библиографија: стр. 91.

ISBN 978-86-7762-753-9

a) Математика - Настава - Методика - ПриручнициCOBISS.SR-ID 223346188

Садржај

Увод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1 . Опште напомене о математици у V разреду . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1. Наставни садржаји . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2. Основне идеје на основу којих су обрађене теме у уџбенику. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Вертикална и хоризонтална повезаност градива математике у петом разреду . . . . . 71.4. Планирање наставе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.1. Предлог за глобални план рада . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 . Приказ садржаја програма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.0. Природни бројеви (поредак и операције) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1. Скупови . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.1. Скуп и припадање скупу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1.2. Једнакост скупова. Подскуп скупа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.3. Операције са скуповима . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1.4. Скуп природних бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.5. Придруживање (бројање, мерење, вредност израза са променљивом). . . . . . . 22

2.2. Геометријски објекти . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.1. Основни геометријски појмови . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.2. Делови праве. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.3. Делови равни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.4. Конвексност . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2.5. Кругови и кружнице. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3. Дељивост . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.1. Дељење са остатком у скупу N0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3.2. Дељивост природних бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3.3. Делиоци и садржаоци природног броја. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3.4. Услови за дељивост неким природним бројевима . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3.5. Прости и сложени бројеви . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3.6. Растављање природних бројева на просте чиниоце. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3.7. Заједнички делилац и највећи заједнички делилац . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3.8. Заједнички садржалац и најмањи заједнички садржалац. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4. Угао . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.4.1. Појам угла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.4.2. Углови и кружни лукови . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4.3. Једнакост углова. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4.4. Упоређивање углова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.4.5. Надовезивање углова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.4.6. Врсте углова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.4.7. Мерење углова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.4.8. Унакрсни углови . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.4.9. Угао између две праве. Нормалне праве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.4.10. Углови на трансверзали . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.5 Разломци. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.5.1. Појам разломка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.5.2. Врсте разломака. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.5.3. Децимални запис разломака. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.5.4. Упоређивање разломака. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.5.5. Бројевна полуправа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.5.6. Заокругљивање бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.5.7. Сабирање и одузимање разломака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.5.8. Једначине . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.5.9. Неједначине. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.5.10. Множење и дељење разломака. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.5.11. Једначине . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.5.12. Неједначине. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.5.13. Аритметичка средина. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.5.14. Размера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.6. Осна симетрија. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.6.1. Појам и особине осне симетрије . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.6.2. Осносиметричне фигуре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.6.3. Симетрала дужи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.6.4. Симетрала угла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3 . Прилози . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66Срећан почетак петог разреда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Математички ланац. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Израчунај напамет. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Скуп и припадање скупу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Српски језик – математички језик – слика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Критеријум дељивости бројем 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Мерење углова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Сабирање и одузимање углова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Разломци на тракама. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Сабирање разломака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82Математички бинго. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Осна симетрија . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Шта смо научили из геометрије . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Шта смо научили из аритметике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5

Увод

Приручник је део уџбеничког комплета издавачке куће „Клет” за наставни предмет мате-матика у петом разреду основне школе. Представља методичко-дидактичку подршку новом издању уџбеника (пре свега) и збирци задатака. Садржи објашњења изабраних приступа при обради наставних тема. Трудили смо се да понудимо структурна решења за свакоднев-но организовање наставе, као и да посебно истакнемо осетљива места у настави математике и понудимо наше виђење превазилажења тих проблема. Надамо се да ће последња глава приручника, Прилози, бити посебно корисна, јер нуди конкретна решења за реализовање појединих наставних садржаја, а која су настала као реализација претходно описаних и сугерисаних методичких идеја и ставова.

Уџбенички комплет потпуно прати важећи наставни план и програм, при чему смо на-стојали да прати савремене тенденције наставе математике. Сматрамо да је главна новина коју доноси овај уџбенички комплет та што је он пре свега намењен ученицима. Настојали смо да буде написан тако да испуњава основну улогу коју имају књиге ове врсте, то јест да ученици из њега могу учити.

Поред класичних објашњења и типичних примера и задатака, понуђени су и други, ра- знолики методички приступи, који помало одударају од уобичајене праксе. Начини обраде наставних јединица бирани су пажљиво, при чему смо углавном имали на уму да ученици не треба само да усвоје чињенице, већ их треба мотивисати да сами уче, откривају законитости, те да се активно укључују у процес истраживања и учења. Велики број примера има циљ да илуструје важност математике у свакодневном животу и да постепено навикава ученике на логичко размишљање, али да истовремено побуди ентузијазам, како би се остварио један од најважнијих циљева школске математике – оспособљавање младог нараштаја да мисли. Ско-ро сви апстрактни наставни садржаји повезани су са реалним окружењем, било приликом упознавања ученика са новим концептима, било када научено треба и применити.

Слојевитост и разноврсност је једна од важних одлика наших уџбеничких комплета. Јасно су истицана кључна места (дефиниције и тврђења) одговарајућег математичког садр-жаја. Поред тога, дате су и неке језичке напомене, порекло назива појединих појмова, као и објашњење неких недоумица. За оне који желе више, понуђена су одговарајућа проширења већ изложених садржаја, као и неки занимљиви детаљи из историје математике.

Иако је програм за V разред знатно захтевнији од програма нижих разреда основне шко- ле, уџбенички комплет представља природни наставак математичке литературе на коју су ученици навикли. Постепено навикавање на све озбиљније математичке садржаје основни је услов оспособљавања ученика да самостално учи, чита и разуме прочитано. Дозвоља-вајући да уџбеници математике остају „нови” након сваке школске године, добијамо велики број ученика (средњошколаца и студената) који не могу самостално да науче елементар-не ствари (те је неопходно ангажовање родитеља или приватних наставника, што за собом даље повлачи читав низ негативних последица). Основни принципи приликом писања ком-плета били су засновани на чињеници да ученици овог узраста не могу да читају дугачке математичке текстове нити да разумеју формални начин излагања математике (будући да им је потпуно нејасно, на пример, шта су дефиниције, шта теореме, шта докази).

Свакодневна запажања великог броја колега који раде у основним школама уткана су у наш комплет, те користимо ову прилику да им се најтоплије захвалимо. Значајно су на текст утицали и ученици са којима смо радили и које смо пажљиво слушали, покушавајући да се приближимо њиховом начину размишљања.

Aутори

6

1 . Опште напомене о математици у V разреду

1 .1 . Наставни садржаји

Градиво V разреда је подељено на пет целина (наставних тема):1. Скупови,2. Геометријски објекти,3. Дељивост,4. Разломци,5. Осна симетрија.

Програм садржи велики број нових појмова, односа и поступака који су знатно сложе-нији од сличних обрађиваних у претходним разредима. Поред тога, предвиђени садржаји су много апстрактнији и формалнији, што чини програм за V разред знатно захтевнијим од програма нижих разреда основне школе. Но, осим тога, тешкоће у његовој реализацији проистичу и из значајних промена у окружењу и самој организацији наставе. Прелазак са разредне на предметну наставу са собом носи и промену наставника математике, а тиме и сусрет са новим ставовима поводом значаја математике у образовном систему. Тешкоће у адаптацији на нове околности представљају додатне тешкоће у реализацији наставе мате-матике у V разреду основне школе.

1 .2 . Основне идеје на основу којих су обрађене теме у уџбенику

Стварност и математика . Скоро сви садржаји који чине градиво математике у основној школи, а посебно у V разреду, базирани су на опажањима до којих су људи дошли посма-трањем и објашњавањем природе. Ту чињеницу не бисмо смели да заборављамо било при-ликом упознавања ученика са новим концептима, било када научено треба и применити.

Откривање математичких законитости . Углавном смо се трудили да описивање и пи-сано убеђивање заменимо навођењем ученика да експериментисањем, посматрањем и ра- змишљањем сами изводе исправне закључке. Добро је познато да се много дуже памте и знатно боље разумеју законитости које сами откријемо. У овом случају, под самосталним откривањем мислимо на закључке до којих ученици долазе правилним навођењем од стра-не наставника. Активна настава постаје императив савременог школског система.

Извођење закључака . У уџбенику нису употребљаване речи теорема и доказ. Пракса показује да су ученици овог узраста апсолутно неспремни за суштинско прихватање ових појмова. Са овим значајним појмовима математике морамо их постепено упознавати. У слу-чајевима када се и дају експлицитна објашњења о томе шта су теореме и докази, доста ства-ри остаје нејасно. Тако, уместо речи теорема, коришћени су термини тврђење, чињеница и слично. Реч доказ је замењена изразима хајде да размислимо, шта можемо да закључимо, из-ведимо закључак и тако даље. Употребом ових израза посредно ћемо их приближавати логи-ци и правилима исправног логичког мишљења – стварима на којима се базирају математички

7

докази. Када науче да разликују посебно од општег, да уоче дато и претпостављено, када стекну навику да исправно мисле и рутину да изводе исправне закључке, схватиће шта је теорема, а шта математички доказ. Овим вештинама их, наравно, не можемо научити одмах. Градиво V разреда излагано је на начин који ученике само припрема за математичку вештину звану доказивање.

Математичка строгост . Јако је важно поштовати математичку строгост у највећој мо-гућој мери. Математичари врло често под математичком строгошћу подразумевају строго формалне оквире (дефиниције, теореме, доказе, дефиниције, теореме, доказе и тако даље) у којима се излаже неки математички садржај. Наше мишљење је да је немогуће математи-ку излагати на тај начин у основној школи. Математичку строгост у основној школи тре-ба схватити као излагање основних токова мисли и размишљања који карактеришу (са-времену) математику на језику који је потпуно прилагођен језику ученика одговарајућег узраста. Тако, упознавањем са основним концептима математике на свом језику, ученик ће постепено богатити свој речник, подизати ниво апстракције и постајати све спремнији за математичку строгост, те у крајњем исходу схватити и основну идеју њене изградње као науке.

1 .3 . Вертикална и хоризонтална повезаност градива математике у петом разреду

Математика је предмет који нас, поред матерњег језика, прати од самог почетка шко-ловања. Разлога за то има доста. Наведимо, на пример, један од закључака конференције УНЕСКО-а о образовању: „Математика и њен стил размишљања морају постати саставни део опште културе савременог човека, човека који се образује у данашњим школама, без обзира на то да ли ће он вршити посао који користи математику или не.”

Чињеница је да се математика, као школски предмет, издваја по много чему у односу на остале предмете. Навешћемо само неке њене специфичности.

У поређењу са другим предметима, у математици је број нових појмова који се уводе на једном часу мали у односу на број појмова неопходних за разумевање нових. Другим ре-чима, учење математике је у великој мери условљено претходним знањима. (Ствари стоје слично са страним језицима.) У другим предметима часови обраде новог градива могу оби-ловати новим информацијама, а да потребно предзнање буде минимално.

Друга специфичност јесте посебан језик математике. Фонд нових речи карактеристичних само за математику (ортогоналан, разломак, делилац, садржалац и тако даље) временом по-стаје све већи; повећава се и број „свакодневних” речи које добијају нова, математичка зна-чења (израз, нормалан, унија, симетрија и тако даље); најпроблематичније могу бити ознаке апстрактних математичких објеката. Овај сегмент учења математике доводи до проблема у учењу, сличних онима који се појављују приликом учења страног језика. Временом, ученик са „рупама” у знању веома тешко се сналази јер не разуме „језик” на коме му се предаје.

Математика захтева активирање великог броја мисаоних процеса. При томе, углавном је потребно размишљати о апстрактним објектима. Зато је један од главних задатака наставе математике уопште, научити младе да мисле. Данас је доста истраживања посвећено управо трагањима за могућностима и начинима остварења овог задатка. Тако, на пример, модерна класификација наставних метода је извршена у складу управо са мисаоним процесима које треба активирати на неком часу.

8

Све побројане специфичности указују на јаку условљеност математичких садржаја, што нас приморава да посебну пажњу посветимо вертикалној повезаности градива математике.

Један од основних циљева наставе математике у нижим разредима основне школе је ра- звијање интуитивних представа о разним апстрактним математичким појмовима као што су: број, бројање, тачка, права, паралелне праве, тачно, нетачно, скуп и тако даље. Како ин-туитивна математика оставља веома јак печат на образовање, њен значај је веома велики.

У V разреду се први пут формулишу математичка тврђења (теореме) и захтева се из-вођење директних последица и њихова примена приликом решавања задатака, што ово гра-диво чини знатно тежим и захтевнијим. Великом броју ученика математика сада постаје тешка и чини им се да не препознају математику коју знају. Зато је важно да ученици уоче да се нови садржаји природно и логично настављају на оно што они већ знају. Фокусирајући се на важне целине које се провлаче кроз све разреде основне школе, илустроваћемо вертикал-ну повезаност математике V разреда са математичким садржајима осталих разреда.

Скупови

Пре . Ученици поседују примарну интуицију у вези са појмовима скуп и елемент и одно-сом припадања. Такође, познато им је задавање скупа набрајањем елемената и „графичко формирање” скупа: међу датим (нацртаним) објектима издвојити затвореном кривом ли-нијом у целину оне који имају неку посебну особину.

V разред. Главна новина је посматрање више скупова, па у складу са тим и односа бити подскуп и скуповних операција: унија, пресек, разлика, комплемент. Посебно је осетљив су-срет са скуповима који одударају од стечене примарне интуиције: празан скуп и бесконачан скуп природних бројева. Окупљање бројева у скупове и описивање геометријских објеката као скупова тачака главни су мотив за увођење скупова на овом нивоу.

После. За увођење нових скупова бројева у вишим разредима неопходно је познавање релације подскуп и основних скуповних операција: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, Z = Z– {0} Z+, R = Q I, Q I = и тако даље. Такође, као скупови се третирају и геометријски објекти, а посебно такозвана геометријска места тачака, која ће ученици разматрати (откривати) приликом из-вођења разних геометријских конструкција. Без обзира на то што се у математици често на-глашава реч скуп, потребно је доста времена да ученици разне математичке објекте виде као скупове. Углавном се дешава да реч скуп сматрају искључиво језичким синонимом за сви ... такви да важи особина ..., а никако као математички објекат подложан даљим истраживањи-ма. Додуше, у школама се углавном користи појам скупа због једноставнијег изражавања.

Дељивост

Пре. Убрзо након упознавања са дељењем природних бројева, ученици откривају да је у општем случају немогуће (без остатка!) поделити сваки природан број било којим другим.

V разред. Могућност, односно немогућност дељења природних бројева без остатка пред-ставља однос међу бројевима назван дељивост. Битно је уочити да је дељивост један важан однос међу бројевима, као што су и ≥. Упознавање са овим односом подразумева и први значајнији сусрет са математичким тврђењима (теоремама). Иако је неопходно обра- зложити зашто је неко тврђење тачно (при чему су наравно објашњења базирана на докази-ма), нагласак треба ставити на формулацијама и применама (основне особине дељивости, критеријуми дељивости и тако даље). Посебно су важни поступци растављања броја на просте чиниоце, као и поступци налажења највећег заједничког делиоца и најмањег зајед-ничког садржаоца.

9

После. Поступак налажења најмањег заједничког садржаоца је поступак неопходан за сабирање и одузимање разломака. Осим овог поступка, ова тема (за разлику од неких других) је релативно слабо повезана са осталим садржајима математике у основној шко-ли. Значајније освежавање сећања у вези са дељивошћу јавља се у VII разреду, приликом увођења операције кореновање и појма ирационалног броја (растављање бројева на просте чиниоце може бити веома корисно приликом израчунавања квадратних корена бројева, коришћењем појединих особина дељивости доказује се ирационалност квадратних корена простих бројева и тако даље).

Разломци

Пре. У нижим разредима основне школе ученици су упознали рачун са природним броје-вима: поступке израчунавања збира, разлике, производа и количника, као и основне осо-бине ове четири основне операције. Требало би да умеју да решавају (у скупу природних бројева) и основне једначине и неједначине у којима се јављају ове четири операције. Такође, на елементарном нивоу упознали су се са појмом разломка.

V разред. Увођење скупа позитивних рационалних бројева и основне операције са њима представљају најобимнију тему у V разреду. Пре свега, новина је то што елементе овог ску-па представљамо на два начина: као разломак и као децималан број. Велики број поступака којима треба овладати чине ову тему веома захтевном и важном. Поступци рачунања са деци-малним бројевима слични су поступцима рачунања које ученици већ познају. С друге стране, поступци рачунања са разломцима задају много више муке и представљају новину за ученике, па је важно ове поступке изводити и повезивати са онима који су им већ познати. Решавање једначина и неједначина са позитивним рационалним бројевима не представља потпуну но-вину будући да се научени поступци углавном примењују и у овом ширем контексту.

После. Успешан наставак школовања у великој мери зависи од степена овладавања ра-чуном са разломцима. Шести разред је (можда последња права) прилика да се савладају поступци рачунања са рационалним бројевима. Поред тога што је у огромном броју зада-така који следе неопходно нешто израчунати, вешта манипулација разломцима представља услов за рачун пропорција, трансформацију израза и тако даље.

Геометрија

Пре . У нижим разредима основне школе ученици се упознају готово са свим основним геометријским објектима у равни, али углавном на нивоу препознавања, графичког пред-стављања и обележавања. Стичу вештине руковања лењиром и шестаром. Упознати су са јединицама мере за дужину и умеју да одреде дужине дужи помоћу лењира.

V разред . Поред једног систематског подсећања на равне геометријске објекте, појављује се доста нових појмова у вези са односима међу објектима. Посматрање геометријских обје-ката као скупова тачака такође представља једну новину (кружница је најпогоднија да се де-финише као скуп, истицањем особине тачака које образују овај објекат). Нарочито је важно да ученици потпуно „савладају” дужи и углове (преношење и надовезивање, упоређивање, мерење, симетрале) јер је то основна претпоставка успешног праћења геометријских садр-жаја у вишим разредима. Осна симетрија је једина изометријска трансформација која се посебно обрађује у основној школи. Особине осне симетрије и теорема о угловима на тран-сверзали јесу геометријска тврђења на којима ће бити базирани докази великог броја нових тврђења која следе у вишим разредима.

После . Геометрија заузима веома значајно место у оквиру математике у основној школи, те су садржаји геометрије V разреда важна основа за оно што тек следи.

10

1 .4 . Планирање наставе

На сајту издавачке куће Klett, http://www.klett.rs, регистровани корисници могу преузети глобалне планове, оперативне планове и дневне припреме, класификоване по предметима и разредима.

У наставку дајемо предлог на основу кога се може формирати глабални и оперативни план рада који је потпуно усклађен са нашим уџбеником. Наравно, предлог треба прила-годити сопственим потребама и актуелним околностима. У наредном поглављу Приказ садржаја програма детаљно су описане лекције уџбеника са методичко-математичког стано-вишта, тако да ови садржаји могу послужити за дневне припреме часова.

1 .4 .1 . Предлог за глобални план рада

О – час обраде П – час провереУ – час утврђивања С – систематизацијаК – комбиновани час (час утврђивања са неким новим садржајима)

Редни број часа

Наставна јединицаТип часа

Стандардобрада остало

1 1. Поредак и операције природних бројева у МА 1.1.1. МА 1.1.3.МА 1.1.4МА 1.1.5.МА 2.1.2.

2 2. Основна својства операција у

3 3. Основна својства операција у

4 4. Иницијални тест п

Наставна тема: 1 . СКУПОВИ (14 часова; 7 о + 6 у + 1п)




5 1. Скуп и припадање скупу; Венов дијаграм о

6 2. Једнакост скупова; подскуп скупа о

7 3. Пресек скупова о

8 4. Унија скупова о

9 5. Пресек и унија скупова у

10 6. Разлика скупова; комплемент скупа о

11 7. Скуповне операције у

12 8. Скуповне операције у

11

13 9. Скуп природних бројева; број елемената коначног скупа о МА 2.1.4.

14 10. Број елемената коначног скупа у МА2.1.4.

15 11. Придруживање о МА 1.1.4МА 1.1.5.МА 1.2.4.МА 2.1.2.МА 2.1.4.МА 3.1.3.

16 12. Придруживање у

17 13. Придруживање у

18 14. Скупови – контролна вежба п

Наставна тема: 2 . ГЕОМЕТРИЈСКИ ОБЈЕКТИ (10; 5 о + 3 у + 1 к + 1 с)




19 1. Тачка, права, раван; припадање и распоред оМА 1.3.1.

20 2. Однос две праве у равни; паралелност о

21 3. Полуправа и дуж о МА 1.3.1МА 1.4.1.22 4. Полуправа и дуж у

23 5. Полураван, изломљена линија, многоугао оМА 1.3.1.

24 6. Многоугао; конвексност к

25 7. Кружница и круг о

МА 1.3.3.26 8. Узајамни положај две кружнице у

27 9. Узајамни положај две кружнице у

28 10. Геометријски објекти с МА 1.3.1. МА 1.3.3.

29 Први писмени задатак п

30 Исправка првог писменог задатка с

Наставна тема: 3 . ДЕЉИВОСТ (15; 7 o + 6 у + 1 к + 1 п)




31 1. Дељење са остатком у N0; дељивост природних бројева кМА 1.1.4.МА 1.1.5.

32 2. Својства дељивости у МА 1.1.5.МА 3.1.2.33 3. Делиоци и садржаоци природних бројева о

12

34 4. Дељивост декадним јединицима и бројевима 2 и 5 о

МА 2.1.3.35 5. Дељивост бројевима 4 и 25 о36 6. Дељивост бројевима 3 и 9 о37 7. Услови дељивости у

38 8. Прости и сложени бројеви; растављање на просте чиниоце о

МА 1.1.4.МА 1.1.5.МА 2.1.3.МА 3.1.2.

39 9. Растављање на просте чиниоце у40 10. Заједнички делилац; НЗД о41 11. Највећи заједнички делилац у42 12. Заједнички садржалац; НЗС о43 13. Најмањи заједнички садржалац у44 14. НЗД и НЗС у45 15. Дељивост – контролна вежба п

Наставна тема: 4 . РАЗЛОМЦИ (58; 22 + 36) – први деоПојам разломка; проширивање, скраћивање и упоређивање разломака (14)




46 1. Појам разломка о МА 1.1.1.47 2. Проширивање и скраћивање разломака о МА 1.1.4.

МА 2.1.3.48 3. Проширивање и скраћивање разломака у

49 4. Врсте разломака; прави и неправи разломци; мешовити бројеви о МА 1.1.4.МА 1.1.5.

50 5. Мешовити бројеви у51 6. Децимални запис разломка о

МА 1.1.2.52 7. Децимални запис у

53 8. Врсте разломака у МА 1.1.1МА 1.1.2.54 9. Упоређивање разломака о

МА 1.1.3.МА 2.1.1.55 10. Упоређивање разломака у

56 11. Бројевна полуправа о57 12. Заокругљивање бројева о МА 1.4.4.

МА 2.4.3.58 13. Заокругљивање бројева у

59 14. Врсте разломака; упоређивање разломака у

МА 1.1.1.МА 1.1.2.МА 1.1.3.МА 2.1.1.

13

Наставна тема: 3 . УГАО (20; 9 + 11) – први деоПојам угла и основни конструктивни поступци у вези са њима (8)




60 1. Појам угла; Углови и кружни лукови о

МА 1.3.1.61 2. Једнакост углова о

62 3. Једнакост углова; Преношење углова у

63 4. Упоређивање углова о

64 5. Надовезивање углова о

МА 1.3.1.МА 2.3.1.

65 6. Упоређивање и надовезивање у

66 7. Врсте углова о

67 8. Основни конструктивни поступци у вези са угловима у

68 Други писмени задатак п

69 Исправка другог писменог задатка с

Наставна тема: 4 . РАЗЛОМЦИ (58; 22 + 36) – други деоСабирање и одузимање разломака (16)




70 15. Сабирање и одузимање разломака једнаких именилаца о MA 1.1.4.

71 16. Сабирање и одузимање разломака оMA 1.1.4.MA 1.1.5.MA 2.1.3.МА 2.1.4.

72 17. Сабирање и одузимање разломака у

73 18. Сабирање и одузимање разломака у

74 19. Сабирање и одузимање децималних бројева о

75 20. Сабирање и одузимање децималних бројева у

76 21. Својства сабирања разломака о MA 1.1.4.MA 2.1.4.MA 3.1.1.

77 22. Изрази са разломцима у

78 23. Изрази са разломцима у

79 24. Једначине о МА 1.2.1.МА 2.2.1.МА 2.2.5.

80 25. Једначине у


14

82 27. Неједначине о

МА 3.2.183 28. Неједначине у

84 29. Неједначине у

85 30. Сабирање и одузимање разломака – контролна вежба пMA 1.1.4.МА 2.1.4.МА 2.2.1.

Наставна тема: 3 . УГАО (20; 9 + 11) – други деоМерење углова (12)




86 9. Мерење углова о МА 1.4.1.

87 10. Сабирање и одузимање углова у МА 1.4.1.МА 3.3.1.88 11. Сабирање и одузимање углова у

89 12. Унакрсни углови; угао између две праве о МА 1.4.1.МА 2.3.1.МА 3.3.1.90 13. Унакрсни углови; угао између две праве у

91 14. Нормалне праве; однос праве и кружнице о МА 1.3.1.МА 1.3.3.92 15. Однос праве и кружнице у

93 16. Углови на трансверзали оМА 1.4.1.МА 1.3.1.МА 3.3.1.

94 17. Углови на трансверзали у

95 18. Углови на трансверзали у

96 19. Углови са паралелним крацима у

97 20. Мерење углова с

98 Трећи писмени задатак п

99 Исправка трећег писменог задатка с

15

Наставна тема: 4 . РАЗЛОМЦИ (58; 22 + 36) – трећи деоМножење и дељење разломака (28)




100 31. Множење и дељење разломака природним бројем о

МА 1.1.4.101 32. Множење разломака о

102 33. Множење разломака у

103 34. Дељење разломака о

МА 1.1.4.МА 2.1.2.

104 35. Дељење разломака у

105 36. Множење и дељење разломака у

106 37. Множење децималних бројева о

107 38. Множење децималних бројева у

108 39. Дељење децималних бројева о

109 40. Дељење децималних бројева у

110 41. Множење и дељење децималних бројева у

111 42. Множење и дељење децималних бројева у

112 43. Својства множења оMA 1.1.4.МА 2.1.2.MA 2.1.4.MA 3.1.1.

113 44. Бројевни изрази у



116 47. Једначине о МА 1.2.1.МА 2.2.1.МА 2.2.5.



119 50. Неједначине о

МА 3.2.1120 51. Неједначине у

121 52. Неједначине у

122 53. Једначине и неједначине у

123 54. Аритметичка средина о МА 2.1.4.МА 2.5.2.

124 55. Размера о МА 2.1.4.МА 3.1.3.125 56. Размера

126 57. Множење и дељење разломака у МА 2.1.2.МА 2.1.4.MA 3.1.1.127

58. Множење и дељење разломака – контролна вежба п

16

Наставна тема: 5 . ОСНА СИМЕТРИЈА (12; 4 + 8)




128 1. Појам и особине осне симетрије о

MA 2.3.6.

129 2. Конструкција осносиметричне слике у

130 3. Конструкција осносиметричне слике у

131 4. Оснасиметричност о

132 5. Симетрала дужи о

133 6. Симетрала дужи у

134 7. Конструкција нормале у

135 8. Симетрала угла о

136 9. Симетрала угла у

137 10. Симетрала дужи и угла у

138 11. Симетрала дужи и угла у

139 12. Осна симетрија с

140 Четврти писмени задатак п

141 Исправка четвртог писменог задатка с

142 1. Шта смо научили из геометрије у

МА 1.3.1.МА 1.3.3.МА 1.4.1.МА 1.4.2.МА 2.3.1.МА 2.3.6.МА 3.3.1.

143 2. Шта смо научили из аритметике у

МА 1.1.1.МА 1.1.2.МА 1.1.3.МА 2.1.2.МА 2.1.4.МА 3.1.2.МА 3.1.3.МА 1.2.1.МА 2.2.5.

144 3. Шта смо научили у петом разреду с

17

2 . Приказ садржаја програма

2 .0 . Природни бројеви (поредак и операције)

У уводном поглављу поновљено је неколико важнијих целина са којима су се ученици упознали у нижим разредима основне школе:

• декадни запис природног броја и поредак међу природним бројевима (страна 7 у уџбе-нику);

• основне рачунске операције – сабирање, одузимање, множење и дељење (страна 8 у уџ-бенику);

• везе између сабирања и одузимања, одн. множења и дељења, и поступци решавања јед-ноставних једначина (страна 9 у уџбенику);

• основне особине основних рачунских операција (страна 10 у уџбенику);• промене збира, разлике, производа и количника бројева у зависности од промена броје-

ва на које је одговарајућа операција примењена (стране 11 и 12 у уџбенику). Постоје два основна разлога због којих су прве странице уџбеника посвећене природним

бројевима (поретку међу природним бројевима и рачунским операцијама). Први разлог произлази из чињенице да су ови садржаји неопходни за успешни наставак математичког образовања и квалитетно разумевање новог градива. То се посебно односи на наставне теме Дељивост и Разломци. Други разлог је тај што прелазак у више разреде за ученике предста-вља велику промену, па смо сматрали да је погодније наставу математике у петом разреду започети садржајима који су ученицима много ближи од садржаја теме Скупови.

1 . Фамилијарност са декадним записима природних бројева претпоставка је елементарне писмености. Подсећање на значење ових записа увек је корисно.

2 . Иако се подразумева да ученик познаје стандардне поступке израчунавања збира, ра- злике, производа и количника природних бројева, веома је корисно на једном часу обнови-ти све поступке. Посебно треба истаћи да скуп природних бројева није затворен за одузи-мање и дељење. Подсећање на тзв. „дељење са остатком” веома је важно због наставне теме Дељивост.

3 . Будући да су ученици у нижим разредима углавном били усмерени на израчунавања, неопходно је обновити и нагласити сва важна својства основних рачунских операција. Та својства свакако треба повезати са познатим поступцима решавања једноставних једначи-на, али и са олакшицама при рачунању (задаци 4, 6, 7, 10, 11 и 12 на странама 11 и 12 у уџ-бенику).

4 . Промене количника када се дељеник и/или делилац повећавају, одн. смањују одређени број пута од суштинског су значаја приликом увођења операција са разломцима. Зато је овим законитостима посвећена значајна пажња. На пример, последње две чињенице наве-дене у апаратури „слон”, на 12. страни уџбеника, у директној су вези са проширивањем и скраћивањем разломака.

5 . На крају приручника (стране 70 и 71) наводимо и неколико наставних листића који се могу искористити приликом обнављања поменутих садржаја (Математички ланац, Израчу-нај напамет).

18

2 .1 . Скупови

Поглавље Скупови садржи пет одељака:1. Скуп и припадање скупу2. Једнакост скупова. Подскуп скупа3. Операције са скуповима4. Скуп природних бројева 5. Придруживање (бројање, мерење, вредност израза са променљивом)

2 .1 .1 . Скуп и припадање скупу

Кључни појмови: скуп, припадање, елемент, Венов дијаграм, празан скуп Ученик треба да: • усвоји интуитивни појам скупа и схвати како се скуп може задати, тј. једнозначно опи-

сати – набрајањем свих елемената скупа или прецизним навођењем својства које имају само елементи неког скупа;

• користи знак за припадање да изрази однос између скупа и његовог елемента; • уме да прикаже скуп са малим бројем елемената Веновим дијаграмом; • прихвати празан скуп као скуп који нема елемената.

1 . Интуитивни појам скупа, који су ученици делимично усвојили у нижим разредима ос-новне школе, треба даље развијати кроз разноврсне примере, блиске ученицима, у којима се извесни објекти окупљају у целине. Будући да скупови представљају посебне математичке објекте, ученици треба да усвоје и потребу да се сваки скуп посебно означи, по договору, великим словом латинице. Важно је одмах истаћи да скупове можемо прецизно одредити на разне начине. На пример, следеће реченице одређују један исти скуп (видети задатак 3.б на страни 14 у уџбенику):

• скуп садржи слова л, о, п, т, а;• скуп садржи сва слова речи лопта;• скуп садржи сва слова речи топла;• скуп садржи сва слова речи лапто (чињеница да реч „лапто” нема значење у српском

језику овде није од значаја);• скуп садржи прво, тринаесто, осамнаесто, деветнаесто и двадесет друго слово азбуке. Корисно би било навести и нека својства која задовољавају елементи уоченог скупа, али

која не одређују тај скуп: „скуп који садржи три сугласника и два самогласника”, „скуп који садржи нека слова речи лопта”, „скуп слова речи која означава спортски реквизит” итд. На-ведена својства не одређују скуп, јер се за свако од њих може одредити више скупова који их задовољавају.

2 . Како год да је описан неки скуп, на основу тог описа морамо прецизно знати који су његови елементи. Да бисмо означили (не)припадање скупу користимо знак ∈ (∉). Употребу ових ознака најпре треба илустровати примерима скупова који су задати набрајањем елеме-ната (пример 1, на страни 14 у уџбенику).

3 . Скупове са малим бројем елемената графички приказујемо Веновим дијаграмима (при-мер 2 на 14. страни у уџбенику). Корисно би било успоставити везу између скупа задатог на-брајањем елемената и одговарајућег Веновог дијаграма: тачке представљају елементе скупа, а затворена линија у чијој се унутрашњости налазе те тачке одговара витичастој загради; ознаке елемената уписујемо поред тачака, а ознаку скупа поред затворене линије.

19

4 . Скупове са великим бројем елемената, које не можемо у реалном времену све навести, задајемо само навођењем одговарајућег својства и притом користимо запис који је за учени-ке петог разреда нов и на који се постепено морају навикавати и то пре свега кроз примере. Ипак, ваљало би навести и неке опште напомене. Реченицу „S је скуп чији су елементи сви објекти x који задовољавају својство ...” записујемо на следећи начин

(*) S = {x x има својство ...}.

Делове наведене реченице препознајемо у појединим деловима записа (*). • „S је скуп” у запису (*) препознајемо у следећим симболима S = { }.• Прво наведено x у (*) означава произвољан елемент скупа S, вертикална црта „ ” одго-

вара речима „такви да” , док описом са десне стране црте „x има својство ... ” истичемо својство којим задајемо сам скуп.

Приликом навођења својства треба бити посебно обазрив. Из теорије скупова (чије се основе на овом нивоу не могу излагати) знамо да се својства којим задајемо скуп не могу сасвим произвољно формулисати, као и да је између осталог важно да увек јасно прецизи-рамо и шири скуп из кога издвајамо елементе са жељеним својством. Будући да се у свим примерима који се наводе у петом разреду овај шири скуп имплицитно подразумева, нема потребе на томе инсистирати. Ипак, приликом формирања скупова који садрже природне бројеве, требало би приликом формулисања одговарајућих својстава наводити и „x је при-родан број”, одн. „x ∈ N” .

Записе облика (*) ученици ће најбрже прихватити кроз примере и задатке. У прилогу на странама 72 и 73 приручника, наводимо неколико корисних задатака у којима је реч о ску-повима који садрже неке природне бројеве.

Иако су записи облика (*) уведени пре свега због скупова чије елементе не можемо ек- сплицитно навести, веома је корисно на овај начин описивати и неколико скупова са малим бројем елемената, јер ће то свакако допринети бољем разумевању оваквих записа.

5 . Празан скуп, као скуп који нема елемената, помало одудара од интуитивне представе коју ученици имају о скуповима, па га зато пажљиво треба увести. Корисно је послужити се неким немогућим ситуацијама које не може да испуни ниједан објекат, на пример „скуп свих аутобуса паркираних у учионици” или „скуп свих зебри које живе у Тихом океану” и сл. По-ред ових примера, важно је навести и оне који су математичке природе, као на пример „скуп свих природних бројева који су већи од 2 и мањи од 3”. Након увођења ознаке за празан скуп , посебно треба нагласити да скуп {} није празан, јер садржи један елемент – празан скуп.

2 .1 .2 . Једнакост скупова . Подскуп скупа

Кључни појмови: једнакост скупова, подскуп скупаУченик треба да: • зна да је сваки скуп одређен својим елементима, те да су два скупа једнака ако имају исте

елементе;• усвоји појам подскупа и користи Венове дијаграме за приказивање скупа и неког њего-

вог подскупа;• уме да образује подскупове неког задатог скупа на основу задатог својства, као и да за

дати подскуп неког скупа формулише својство на основу кога је тај подскуп формиран.

20

1 . Једнакост међу скуповима (прећутно) је подразумевана у претходној лекцији када је било речи о различитим описивањима једног истог скупа. Овом приликом то треба посебно истаћи. Поред тога, важно је нагласити да у случајевима када скуп задајемо навођењем еле-мената није важан редослед навођења, као ни то што су (можда) неки елементи више пута наведени.

2 . У савременој математичкој литератури релација инклузије (подскупа) уобичајено се означава ознаком ⊆, па је та ознака коришћена у уџбенику. Ознака ⊂ резервисана је за стро-ги подскуп, тј. прави подскуп датог скупа који притом сигурно није једнак том скупу. Дакле, за било који скуп S важи S ⊆ S, али не важи S ⊂ S. Ознаке ⊆ и ⊂ треба упоредити са познатим ознакама ≤ и < за одговарајуће релације међу бројевима.

3 . Формирање скупа свих подскупова неког задатог скупа треба поменути само уколико су ученици потпуно савладали претходно поменуте садржаје.

2 .1 .3 . Операције са скуповима

Кључни појмови: пресек два скупа, дисјунктни скупови, унија два скупа, разлика два скупа, комплемент скупа у односу на неки његов надскуп

Ученик треба да: • зна да одреди пресек, унију и разлику два скупа у неким једноставним ситуацијама, ко-

ристећи по потреби и Венове дијаграме;• зна да одреди комплемент подскупа неког задатог скупа, користећи по потреби и Вено-

ве дијаграме.

1 . Приликом увођења пресека и уније посебно треба нагласити њихову везу са везницима „и” и „или” . Исказ x ∈ A B је тачан ако је тачно „x ∈ A и x ∈ B” , тј. ако су тачна оба једно- ставнија исказа x ∈ A, x ∈ B. Исказ x ∈ A B је тачан ако је тачно „x ∈ A или x ∈ B” , тј. ако је тачан бар један од једноставнијих исказа x ∈ A, x ∈ B. Ово се може илустровати једноставним примерима скупова и формирањем одговарајуће таблице. На пример, за скупове A = {1, 2, 3} и B = {2, 3, 4} добијамо следеће таблице:

x x ∈ A x ∈ B x ∈ A B

1 тачно нетачно тачно

2 тачно тачно тачно


4 нетачно тачно тачно

x x ∈ A x ∈ B x ∈ A B

1 тачно нетачно нетачно



4 нетачно тачно нетачно

21

2 . У дефиницији разлике скупова поред везника „и” битну улогу има и негација исказа. Разлика A\B може се неформално описати као скуп елемената из A који остају када уклони-мо све оне који припадају скупу B.

3 . Комплемент (допуна) скупа дефинише се само за подскупове неког задатог скупа. Дакле, када је задат неки скуп S, онда је комплемент у односу на S дефинисан само за његове подскупове. Погодно је за неки скуп са три елемента, на пример S = {1, 2, 3}, одредити ком-плементе свих његових подскупова.

X {1} {2} {3} {1, 2} {1, 3} {2, 3} {1, 2, 3}

CS(X) {1, 2, 3} {2, 3} {1, 3} {1, 2} {3} {2} {1}

Уз овај пример, корисно би било истаћи и неке опште чињенице:• сваки подскуп неког скупа је дисјунктан са својим комплементом;• унија подскупа и његовог комплемента једанака је читавом скупу.

4 . Изрази са више скуповних операција, као и сложенији скуповни идентитети спадају у напредније садржаје, па им треба посветити онолико пажње колико околности дозвољавају.

2 .1 .4 . Скуп природних бројева

Кључни појмови: коначан и бесконачан скуп, број елемената коначног скупа, скуп при-родних бројева и проширен скуп природних бројева, бројевна полуправа

Ученик треба да: • уме да реши најједноставније комбинаторне задатке у којима се захтева одређивање

броја елемената неког коначног скупа;• зна да је проширен скуп природних бројева бесконачан скуп и користи бројевну полуп-

раву за приказ овог скупа;• у скупу N0 решава једноставне неједначине са сабирањем и одузимањем и уме да одреди

да ли је скуп решења коначан или бесконачан.

1 . Једноставни комбинаторни задаци који се могу решити применом једнакости

A B = A + B – A B,

представљају најочигледнију примену садржаја ове наставне теме и подстичу развој логи- чког мишљења. Корисно је истаћи и следећу последицу наведене једнакости: ако су A и B дисјунктни скупови, онда је

A B = A + B.

2 . Прича о бесконачним скуповима треба да буде усмерена на скуп природних бројева (N) и проширени скуп природних бројева (N0 ), као и на неке њихове подскупове (пример 3 на 25. страни у уџбенику).

3 . Решавање неједначина у вези са сабирањем и одузимањем погодно је обновити на овом месту, при чему би након сваке неједначине требало дискутовати о скупу њених решења.

22

Пожељно је решити и бар једну неједначину која нема решења у N0, тј. чији је скуп решења празан скуп. Примери неједначина без решења треба да буду сасвим једноставни: x + 5 < 4; 7 – x > 10 и слично. На овакве неједначине не морају се примењивати уобичајена правила решавања – довољно је након одговарајуће дискусије са ученицима закључити да оне немају решења.

2 .1 .5 . Придруживање (бројање, мерење, вредност израза са променљивом)

Кључни појмови: придруживање, бројање, мерење, изрази са променљивамаУченик треба да: • уочава једноставне функционалне зависности између два скупа;• бројање и мерење схвата као придруживање бројева елементима неког задатог скупа;• изразе са променљивама повезује са функционалним зависностима међу скуповима

бројева и уме да формира одговарајуће табеле и дијаграме.

1 . Програмом за пети разред није предвиђено увођење појма функције (пресликавања), али је зато експлицитно наведено да треба „уочавати и наводити примере једноставнијих (функцијских) зависности у разним областима (откривање правила придруживања, при-друживање по датом правилу: бројева – бројевима, бројева – дужима, бројева – површима, бројева – именима и др.)” . Нарочито је препоручено да се користе дијаграми и табеле (табе-ла вредности израза, табела резултата неког пребројавања или мерења и др.).

2 . Током обраде и утврђивања ових садржаја требало би да се смењују задаци у којиме се од ученика захтева да обави придруживање по задатом правилу и задаци у којима се очекује да ученик уочи правило по којем је обављено неко дато придруживање. Задаци овог другог типа су знатно тежи, тако да су у почетку пожељна упутства наставника. Приметимо да су овакви задаци веома блиски задацима типа „настави низ” који се често појављују на те- стовима интелигенције, у енигматским часописима и слично. Тако, задатак 4 на страни 29 у уџбенику могао би бити формулисан и на следећи начин.

Задатак 5 (29. страна у уџбенику) – друга варијантаНастави низа) 3, 5, 7, 9, 11; б) 2, 4, 6, 8, 10; в) 0, 3, 8, 15, 24.

Иако је наведена реформулација задатка можда атрактивнија за ученике, идеја решавања је иста јер се и у новој поставци очекује откривање израза којим је одређена вредност сваког члана низа у зависности од његовог места у низу. Тражени изрази су а) 2x + 1, б) 2x, в) x 2, па су решења нове варијанте задатка а) 13; б) 12; в) 35.

У случајевима када је задато неко придруживање међу елементима два коначна скупа, углавном је могуће формулисати више правила која одговарају том придруживању.

23

2 .2 . Геометријски објекти

Поглавље Геометријски објекти садржи пет одељака:• Основни геометријски појмови• Делови праве• Делови равни• Конвексност• Кругови и кружнице

Веома важно питање које на самом почетку треба размотрити јесте: „Зашто учимо гео-метрију?” Геометрија је једна од првих правих наука уопште. Зато је значајно нешто рећи и о њеном настанку, пре свега зато што су настанак и развој геометрије тесно повезани са развојем човечанства уопште. Такође, историја математике нам пружа обиље мотивацио-них примера који се могу лепо искористити приликом упознавања ученика са новим садр-жајима.

Дискусија о настанку и значају геометрије са ученицима се може водити и током ре-шавања једноставног задатка 1 на страни 32 у уџбенику (којим започињемо причу о гео-метрији). Цртањем слика које представљају реалност (окружење), дошло се до основних ге-ометријских појмова и односа. Задатак управо приказуј

Documents

МАТЕМАТИКА 5 - Izdavačka kuća Klett · 2016-10-13 · 6 1 . Опште напомене о математици у v разреду 1 .1 . Наставни садржаји