UNIVERZITET U ISTOČNOM SARAJEVU ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET

redovni profesor dr Slavko Pokorni, dipl. inž. el.

OSNOVI ELEKTROTEHNIKE 2

Električne mreže sa vremenski promenjivim strujama

2010.

2

Sadržaj1. OPŠTE JEDNAČINE ELEKTRIČNIH MREŽA SA VREMENSKI PROMENJIVIM STRUJAMA ..................... 4 1.1. Pojam promenjive struje ........................................................................................................... 4 1.2. Osnovni elementi u mrežama sa vremenski promenjivim strujama ........................................ 5 1.2.1. Otpornik ............................................................................................................................. 6 1.2.2. Induktivni kalem (idealan) .................................................................................................. 6 1.2.3. Kondenzator (idealan) ........................................................................................................ 7

1.3. Kirhofovi zakoni za mreže sa vremenski promenjivim strujama .............................................. 8 1.4. Snaga u mrežama sa vremenski promenjivim strujama ......................................................... 10 1.5. Osnovne razlike mreža sa vremenski konstantnim i promenjivim strujama .......................... 12

2. OSNOVNI POJMOVI O ELEKTRIČNIM MREŽAMA SA PROSTOPERIODIČNIM STRUJAMA ............... 14 2.1. Osnovni pojmovi o periodičnim i prostoperiodičnim veličinama ........................................... 14 2.2. Prostoperiodične veličine ........................................................................................................ 15 2.3. Poređenje prostoperiodičnih veličina ..................................................................................... 17 2.4. Srednja i efektivna vrednost ................................................................................................... 19 2.5. Osnovni pasivni elementi u prostoperiodičnom režimu ......................................................... 22 2.5.1. Otpornik ........................................................................................................................... 22 2.5.2. Kalem ................................................................................................................................ 23 2.5.3. Kondenzator ..................................................................................................................... 24

2.6. Rešavanje mreža u prostoperiodičnom režimu u vremenskom domenu ............................... 26 2.7 Predstavljanje prostoperiodičnih veličina pomoću obrtnih vektora (fazora) .......................... 28 2.7.1. Obrtni vektori ................................................................................................................... 28 2.7.2. Zaustavljeni obrtni vektori ............................................................................................... 29 2.7.3. Fazorski dijagrami ............................................................................................................. 30 2.7.4. Redna veza otpornika i kalema ........................................................................................ 31 2.7.5. Redna veza otpornika, kalema i kondenzatora ................................................................ 33 2.7.6. Paralelna veza otpornika, kalema i kondenzatora ........................................................... 34

2.8. Snaga u mrežama sa prostoperiodičnim strujama.................................................................. 35 2.8.1. Trenutna i srednja snaga prijemnika ................................................................................ 36 2.8.2. Prividna snaga prijemnika ................................................................................................ 36 2.8.3. Faktor snage prijemnika ................................................................................................... 36 2.8.4. Reaktivna snaga prijemnika ............................................................................................. 37 2.8.5. Faktor reaktivnosti prijemnika ......................................................................................... 38

3. REŠAVANJE ELEKTRIČNIH MREŽA SA PROSTOPERIODIČNIM STRUJAMA KOMPLEKSNIM RAČUNOM .......................................................................................................................................... 39 3.1. Predstavljanje fazora kompleksnim brojevima ....................................................................... 39 3.2. Kirhofovi zakoni u kompleksnom obliku. Impedansa i admitansa .......................................... 40 3.2.1. Kompleksna impedansa i admitansa ................................................................................ 42 3.2.2. Rezistansa, reaktansa, konduktansa i susceptansa .......................................................... 43 3.2.3. Određivanje napona između dve tačke ........................................................................... 44

3.3. Redna, paralelna i mešovita veza prijemnika. Ekvivalencija veze prijemnika u zvezdu i trougao. .......................................................................................................................................... 45 3.3.1. Redna veza prijemnika ..................................................................................................... 45 3.3.2. Paralelna veza prijemnika ................................................................................................ 46 3.3.3. Mešovite veze prijemnika ................................................................................................ 47 3.3.4. Ekvivalencija veze prijemnika u zvezdu i trougao ............................................................ 48 3.3.5. Ekvivalencija naponskog i strujnog generatora ............................................................... 51

3.4. Metoda konturnih struja u kompleksnom obliku ................................................................... 51

3

3.4. Metoda potencijala čvorova u kompleksnom obliku .............................................................. 52 3.5. Kompleksna snaga prijemnika i generatora ............................................................................ 53 3.6. Teoreme električnih mreža u kompleksnom obliku ............................................................... 55 3.6.1. Linearnost, superpozicija i homogenost .......................................................................... 55 3.6.2. Teoreme reciprociteta ...................................................................................................... 56 3.6.3. Teoreme kompenzacije .................................................................................................... 57 3.6.4. Teorema ekvivalentnog generatora (Tevenenova i Nortonova teorema) ....................... 58 3.6.5. Teoreme održanja kompleksne i trenutne snage ............................................................ 59 3.6.6. Prilagođenje prijemnika na generator (prilagođenje po snazi) ....................................... 60 3.6.7. Popravka faktora snage .................................................................................................... 62

4. ELEKTRIČNE MREŽE SA MAGNETSKI SPREGNUTIM GRANAMA ..................................................... 65 4.1. Kola sa spregnutim kalemovima ............................................................................................. 65 4.2. Osnovni pojmovi o transformatoru u linearnom radnom režimu .......................................... 68 4.2.1. Savršeni i idealni transformator ....................................................................................... 69 4.2.2. Autotransformator ........................................................................................................... 72

5. TROFAZNI SISTEMI .......................................................................................................................... 73 5.1. Osnovni pojmovi o monofaznim i polifaznim elementima ..................................................... 73 5.2. Trofazni elementi .................................................................................................................... 73 5.2.1. Trofazni generatori ........................................................................................................... 73 5.2.2. Trofazni prijemnici ............................................................................................................ 74 5.2.3. Priključivanje prijemnika na trofazne generatore ............................................................ 75

5.3. Simetrični, direktni i inverzni sistemi ...................................................................................... 76 5.3. Analiza trofaznih kola .............................................................................................................. 81 5.3.1. Veza prijemnika u zvezdu ................................................................................................. 81 5.3.2. Veza prijemnika u trougao ............................................................................................... 82

5.4. Snage trofaznih generatora i prijemnika ................................................................................. 82 5.5. Prednosti trofaznog sistema nad monofaznim ....................................................................... 84 5.6. Trofazni transformator ............................................................................................................ 85 5.7. Obrtno magnetsko polje ......................................................................................................... 86 5.7.1. Osnovni pojmovi o obrtnom magnetskom polju, sinhronim i asinhronim motorima ..... 86 5.7.2. Dvofazno obrtno magnetsko polje ................................................................................... 87 5.7.3. Trofazno obrtno magnetsko polje .................................................................................... 89

6. FREKVENTNE ZAVISNOSTI .............................................................................................................. 90 6.1. Otpornik, kalem i kondenzator ............................................................................................... 90 6.2. Redno i paralelno oscilatorno kolo ......................................................................................... 91 6.3. Rezonantne i antirezonantne pojave u složenijim mrežama sa jednim parom krajeva ......... 93 6.4. Ponašanje realnih elemenata pri visokim učestanostima ...................................................... 93

LITERATURA ........................................................................................................................................ 95

4

ELEKTRIČNE MREŽE SA VREMENSKI PROMENJIVIM STRUJAMA

1. OPŠTE JEDNAČINE ELEKTRIČNIH MREŽA SA VREMENSKI PROMENJIVIM STRUJAMA

1.1. Pojam promenjive struje

U tehničkoj praksi se češće koriste mreže sa vremenski promenjivim strujama nego mreže sa vremenski konstantnim strujama (na primer, prenos električne energije od elektrane do potrošača). Prenos radio signala, TV signala, signala mobilne telefonije, radarskih signala vrši se samo pomoću vremenski promenjivih struja, posredstvom elektromagnetskih talasa koje takve struje proizvedu.

U mrežama sa promenjivim strujama, kao što im ime kaže, struje i naponi se menjaju u funkciji vremena. Te promene mogu biti različite. Pod vremenski promenjivom strujom, za razliku od vremenski konstantne struje (slika 1.1a) podrazumeva se struja koja u toku vremena menja:

- samo intenzitet (slika 1.1b i e), ili - samo smer (slika 1.1f), ili - jedno i drugo (slika 1.1 c i d). Struja prikazana na slici 1.1a je vremenski konstantna (stalna), a sve ostale su promenjive.

Standardno je da se stalne veličine označavaju velikim slovom (na primer za struju I), a promenjive malim slovom (i).

Postoje različite klasifikacije promenjivih struja. Promenjive veličine se mogu podeliti na: - aperiodične (slike 1.1d) i - periodične (ostale slike osim 1.1a i d. Prema matematičkoj definiciji, periodične funkcije vremena, )(tf , su one funkcije za koje

postoji pozitivna veličina T takva da za svako t važi )()( tfTtf =+ . Najmanja veličina T naziva se (osnovni) period periodične funkcije )(tf . Funkcije koje nisu periodične, nazivaju se aperiodičnim.

Struje prikazane na slikama 1.1a b i e imaju uvek isti smer. Takve veličine su jednosmerne u širem smislu. Sve ostale struje povremeno menjaju smer i predstavljaju naizmenične veličine u širem smislu.

Međutim, termini ''jednosmerne struje'' i ''naizmenične struje'' koriste se u Elektrotehnici i u drugim, užim značenjima. Tako se pod jednosmernim strujama u užem smislu podrazumevaju samo stalne struje. Pod naizmeničnim strujama u užem smislu podrazumevaju se samo simetrične periodične veličine (slike 1.1c i f). Za njih važi )()2/( tfTtf −=+ , gde je T period. U još užem smislu, pod naizmeničnim strujama se podrazumevaju samo sinusoidalne funkcije vremena (slika 1.1c), koje se nazivaju i sinusnim ili prostoperiodičnim veličinama.

Periodične veličine koje nisu prostoperiodične, mogu se, Furijeovom analizom, predstaviti kao zbir (konačnog ili beskonačnog broja) sinusoidalnih funkcija. Zato se takve veličine nazivaju i složenoperiodičnim.

Postoje i druge podele. Na primer, struja sa slike 1.1d se ne može opisati analitički, a sve ostale mogu, pa se razlikuju analitičke i neanalitičke veličine. U elementarnim teorijskim razmatranjima obično se uzimaju veličine čiji je analitički oblik (funkcija vremena) poznat u svakom trenutku vremena, +∞<<−∞ t . Takve veličine se nazivaju determinističkim. Za razliku od njih, u većini

5

praktičnih situacija, naponi i struje su poznati samo u prošlosti, ali ne i u budućnosti, a nazivaju se nedeterminističkim ili stohastičkim veličinama.

U ovom predmetu, bavićemo se, uglavnom, kolima sa prostoperiodičnim strujama i naponima.

Na slici 1.1 su prikazane samo struje, ali te iste slike mogu predstavljati napone u kolu. Struje (naponi) na slikama 1.1b do 1.1f nazivaju se signali. Signal na slici 1.1b naziva se ''podignuta'' sinusoida, na slici 1.1d je prikazan signal koji odgovara ljudskom govoru, na sici 1.1e su unipolarni pravougaoni impulsi, a na slici 1.1f bipolarni pravougaoni impulsi.

Slika 1.1.

1.2. Osnovni elementi u mrežama sa vremenski promenjivim strujama U mrežama sa vremenski promenjivim strujama koristi se veliki broj različitih elemenata.

Obično se dele na: - aktivne (pretvaraju neku drugu vrstu energije u energiju vremenski promenjivog

električnog polja); primer: elektronske cevi, tranzistori; - pasivne (nemaju tu osobinu); primer: otpornici, kondenzatori, poluprovodničke diode. U mrežama sa vremenski promenjivim strujama ćemo posmatrati četiri osnovna elementa: - generatore (naponske i strujne), - linearne otpornike, - kondenzatore sa linearnim dielektrikom, - kalemove bez feromagnetskog jezgra (odnosno sa feromagnetskim jezgrom ali u

linearnom režimu). Mreže sa takvim elementima se nazivaju linearne mreže. Kasnije ćemo ovim elementima

priključiti i magnetski spregnuta kola (spregnute kalemove) i transfomatore kao primer spregnutih kola. Kao i kod vremenski konstantnih struja i ovde se uvodi pojam referentnog smera, ali je ovde smisao drugačiji. Za takvu struju (napon) kažemo da je pozitivna u onim intervalima u kojima joj se stvarni smer poklapa sa referentnim, a da je negativna u suprotnom. U istom smislu važe pojmovi usaglašeni smerovi za napon i struju prijemnika i generatora1, onako kako su definisani

1 Neki autori usklađeni smer napona i struje generatora, onako kako smo ga mi definisali, nazivaju neusklađeni.

6

kod vremenski konstantnih struja (slika 1.2). Za prijemnik, dakle, važi da je pozitivan onaj kraj u koji struja ulazi, a za generator onaj kraj gde struja izlazi.

Slika 1.2. Sa stanovišta teorije električnih mreža, ponašanje nekog elementa karakterišemo isključivo vezom između napona koji postoji između njegovih priključaka i jačine struje kroz te priključke. Sada ćemo definisati te veze za osnovne elemente: otpornik, kalem i kondenzator.

1.2.1. Otpornik Pod otpornikom se podrazumeva element za koji, u skladu sa referentnim smerovima (slika 1.3a) za napon )(tu između njegovih priključaka i jačinu struje )(ti kroz njega važi

)()( tiRtu = gde je R otpornost otpornika, koja je konstanta (ne zavisi ni od priključenog napona, ni od struje koja kroz njega protiče), pa je relacija linearna. Inverzna relacija (istovremeno dualna relacija) glasi

)()( tuGti = , gde je G provodnost otpornika ( 1=RG ). Iz relacija se vidi da se napon i struja otpornika uvek menjaju na isti način. Na primer, ako je struja otpornika bipolarna povorka pravougaonih impulsa (slika 1.3b), onda je i napon otpornika istog oblika.

Slika 1.3.

1.2.2. Induktivni kalem (idealan) Kada u kalemu postoji promenjiva struja, u njemu se indukuje elektromotorna sila. Ta ems

je, po Faradejevom zakonu, ttte

d)(d)(ind

Φ−= , a računa se u odnosu na referentni smer struje. Kako je

)()( ind tetu −= (zbog referentnih smerova sa slike 1.4a) i )()( tLit =Φ (gde je L induktivnost kalema, koja je konstanta), dobijamo relaciju između napona i struje idealnog kalema,

ttiLtu

d)(d)( =

(prema referentnim smerovima kao na slici 1.4a). Gornja relacija važi ako indukovano električno polje postoji samo u kalemu (izvan kalema 0=B i 0=indE ), a specifična provodnost žice kalema veoma velika, tj. ako je napon između priključaka kalema isti duž bilo koje putanje van kalema.

7

Drugim rečima, kod računanja napona kalema zamišljamo da putanja integracije prolazi pored kalema (a ne kroz kalem), kao što je crticama označeno na slici 1.4a.

Veza između napona i struje kalema je linearna diferencijalna jednačina. Ova relacija je jednoznačna: ako je poznata struja, napon je potpuno određen. Inverzna relacija je nejednoznačna i glasi

0d)(1)( IttuL

ti += ∫ ,

gde je 0I integraciona konstanta. Drugim rečima, ako je napon kalema poznat, struja je određena sa tačnošću do aditivne konstante. Ta konstanta se, pri rešavanju kola, određuje na osnovu nekog dodatnog uslova; na primer, na osnovu poznate jačine struje u jednom trenutku vremena (početni uslov).

Napon kalema je, dakle, srazmeran prvom izvodu struje po vremenu. Obrnuto, struja je srazmerna integralu napona. U opštem slučaju, stoga, napon i struja kalema se ne menjaju na isti način, tj. funkcionalno nisu dati istim izrazima. Kao primer, na slici 1.4b, pretpostavljeno je da je struja kalema bipolarna povorka trougaonih impulsa. Napon kalema ima tada oblik bipolarne povorke pravougaonih impulsa.

Slika 1.4.

1.2.3. Kondenzator (idealan)

Opterećenost kondenzatora je srazmerna naponu, )()( tCutQ = , gde je C kapacitivnost kondenzatora. Opterećenost se računa u odnosu na referentni smer struje. Pri tome je naelektrisanje gornje elektrode kondenzatora jednako opterećenosti, )(tQ , a naelektrisanje donje elektrode je uvek suprotno, )(tQ− , slika 1.5a. Kada je napon kondenzatora promenljiv, menja se i njegova

opterećenost, a u provodnicima kondenzatora postoji struja ttQti

d)(d)( = . Odavde sledi relacija

ttuCti

d)(d)( =

(prema referentnim smerovima kao na slici 1.5a), koja je dualna relaciji za kalem (struja i napon su zamenili mesta). Zato su i ostali rezultati za kalem i kondenzator dualni.

Nagomilano naelektrisanje postoji, po pretpostavci, samo u kondenzatoru, ali je ukupno naelektrisanje njegove dve elektrode jednako nuli. Da bi jednačina kontinuiteta, primenjena na

zatvorenu površ, dala prvi Kirhofov zakon, ∫ =⋅S

0dSJ , ta površ ne sme proći između elektroda

kondenzatora, odnosno treba da zaobiđe zatvorenu površ označenu na slici 1.5a. Veza između struje i napona je linearna diferencijalna jednačina. Ova relacija je jednoznačna:

ako je poznat napon, struja je potpuno određena. Inverzna relacija je integralna i glasi

0d)(1)( UttiC

tu += ∫ ,

8

gde je 0U integraciona konstanta. Dakle, ako je struja kalema poznata, napon je određen sa tačnošću do aditivne konstante (koja se može odrediti, na primer, iz početnog uslova).

Na slici 1.5b je pretpostavljeno da je napon kondenzatora bipolarna povorka trougaonih impulsa. Struja kondenzatora ima tada oblik bipolarne povorke pravougaonih impulsa.

Slika 1.5.

1.3. Kirhofovi zakoni za mreže sa vremenski promenjivim strujama Neka se električna mreža sastoji od proizvoljnog broja elemenata i stanje u mreži se može smatrati kvazistacionarnim2 (kvazistacionarnost detaljnije objašnjavamo u odeljku 1.5), tada za svaki čvor mreže, u svakom trenutku, važi I Kirhofov zakon (I KZ)

0)(1

=∑=

n

kk ti

gde je n – broj grana koje se stiču u čvoru. Ako je referentni smer struje od čvora, u zbiru se uzima predznak “+”, a ako je ka čvoru “-“. Može se postaviti )1( č −n linearno nezavisnih jednačina. Posmatrajmo deo neke električne mreža, kao na slici 1.6. Elementi mreže mogu biti generator (strujni i naponski), otpornik, kalem, kondenzator i bilo koji drugi elementi (pa na slici 1.6 nisu korišćeni simboli za R, L, C). Pošto su elementi takvi da se izvan njih zapaža samo kvazistacionarna komponenta električnog polja, napon između krajeva elemenata jednak je razlici potencijala između tih krajeva, pa je napon (razlika potencijala) između bilo koje dve tačke A i B u mreži

( ) ( ) B doA od∑= tutuAB

Pri sumiranju, pri kretanju od A ka B duž grane, predznak “+” se uzima ako se prvo naiđe na referentni kraj, u suprotnom se uzima “-“.

Za primer na slici 1.6. za napon između tačaka A i B računat duž putanje ACEDB (dakle idući od A ka B) je

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tututututuAB 4321 −−+−= Ako se napon računa istom putanjom, ali idući od B ka A, koristi se relacija

( ) ( ) A do B od∑= tutuAB

ali se sada predznak “+” se uzima ako se prvo naiđe na kraj koji nije referentni, u suprotnom se uzima “-“.

Za isti primer na slici 1.6. za napon između tačaka A i B računat duž putanje BDECA (dakle idući od B ka A) je

2 Ako stanje nije stacionarno, površina koja obuhvata čvor mora biti vrlo mala.

9

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tututututuAB 1234 −+−−= što je isti rezultat kao i prethodni.

Slika 1.6.

Ako se tačke A i B poklope, napon između njih je jednak nuli

0)(1

=∑=

n

kk tu

što predstavlja II Kirhofov zakon (II KZ), koji važi za svaku zatvorenu konturu3 formiranu od grana mreža, u svakom trenutku. Predznaci se uzimaju na način kao kada se računa razlika potencijala tačaka A i B, ali idući od tačke B ka tačci A, odnosno ako se smer obilaska konture i smer napona poklapaju uzima se predznak “+”, u suprotnom “-“ (referentni smer napona je od kraja označenog sa “-“ prema kraju označenom sa “+”). Može se postaviti )1( čgk −−= nnn linearno nezavisnih jednačina. Na primer, jednačina po II KZ za konturu ACDBEA je:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 067451 =+−++ tututututu Na isti način bi postupali ako bi imali poznate elemente R, L, C) u granama. Na primer za mrežu na slici 1.7, II KZ za konturu sa pet grana je (“+” se uzima ako se prvo naiđe na kraj koji nije referentni)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0)(21

5

1

=+++−=∑=

tututututetu CRLRk

k

Ovim jednačinama treba pridružiti relacije između struja i napona grana. Te relacije imaju različite oblike, zavisno od elemenata grane. Najjednostavniji slučajevi su idealni generatori (naponski i strujni) i otpornici. Tada su relacije opet jednostavne algebarske jednačine. Međutim, kod kalemova i kondenzatora, kao što smo videli u odeljcima 1.2.2 i 1.2.3, jednačine koje opisuju te elemente su diferencijalne jednačine prvog reda (sa konstantnim koeficijentima). Alternativno, kalemovi i kondenzatori se mogu opisati integralnim jednačinama, ali se takav postupak retko primenjuje u praksi zbog integracionih konstanti.

Prema tome, prethodna relacija se može napisati u obliku:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 01021 21 =++++− ∫ CCRR Udtti

CtiR

dttdiLtiRte

Može se uočiti da ovde, za razliku od mreža sa vremenski konstatntnim strujama ne dobijamo sistem linearnih algebarskih jednačina, jer se pored samih struja pojavljuju i njihovi izvodi i integrali po vremenu, pa rešavanje nije jednostavno.

3 Važi za kvazistacionarna polja, inače postoji indukovana ems u provodniku.

10

Vremenska promena struje i napona može biti, teorijski bilo kakva. Najjednostavniji ali i najvažniji slučaj je kada se napon i struja menjaju na jedan ustaljen način, na primer po prostoperiodičnom (sinusnom) zakonu. Takvo stanje se naziva ustaljeno stanje.

Slika 1.7.

Drugi, praktično važan, slučaj je promena napona i struja prilikom promene radnog režima (uključivanje generatora prostoperiodične struje u mrežu ili isključivanje iz mreže). Tada dolazi do postepenog uspostavljanja ili isčezavanja struje. Proces je obično brz, ali nije trenutan. Isto se događa i pri uključivanju ili isključivanju generatora vremenski konatantne ems. Određivanje napona i struje u ovom slučaju je znatno složenije od analize ustaljenog stanja. Ovakva stanja se nazivaju prelazni procesi (režimi).

Dakle, mreža se može opisati sistemom algebarskih jednačina i linearnih diferencijalnih jednačina. Da bi se rešavanje pojednostavilo, videćemo da, ako u kolu postoji prostoperiodični režim (kada su svi naponi i sve struje prostoperiodične funkcije iste učestanosti), zadatak rešavanja kola je određivanje efektivnih vrednosti i početnih faza napona i struja, što je znatno jednostavnije.

1.4. Snaga u mrežama sa vremenski promenjivim strujama Posmatrajmo bilo kakav prijemnik sa dva kraja (priključka), priključen na napon )(tu . Neka je )(ti jačina struje kroz priključke prijemnika (slika 1.8). U intervalu vremena dt kroz prijemnik prođe količina elektriciteta ( )dttitdq =)( . Prema definiciji napona, u tom intervalu dt električne sile su izvršile rad

( ) ( )dttitutdA silael =)(. pa je trenutna vrednost snage prijemnika (snaga prijemnika u tom trenutku, snaga prijemnika je brzina vršenja rada), za referentne smerove kao na slici 1.8,

( ) ( )titutp =)(

Ukupna energija koja se predaje prijemniku od nekog trenutka 0t do nekog kasnijeg trenutka t dobija se kao zbir (odnosno integral) radova električnih sila u tom vremenskom intervalu

( ) ( )∫=t

t

dttituA0

0 tdo tod sila el.

Ukupna energija koja se predaje prijemniku od nekog trenutka 0t do nekog kasnijeg trenutka t dobija se kao zbir (odnosno integral) radova električnih sila u tom vremenskom intervalu

( ) ( )∫=t

t

dttituA0

0 tdo tod sila el.

11

Slika 1.8. Posmatrajmo idealni generator vremenski promenjive ems ili struje (slika 1.9). Trenutna vrednost snage generatora (tj. snaga koju generator predaje ostatku kola), za referentne smerove kao na slici, je

( ) ( )titutp ggg =)(

Slika 1.9.

Rad generatora od trenutka 0t do nekog kasnijeg trenutka t je

( ) ( )∫=t

tgg dttituA

0

0 tdo tod gen.

Svi izrazi važe za referentne smerove kao na slikama 1.8 i 1.9. Ako se promeni referentni smer za napon ili struju, izrazi dobijaju predznak “-“. U slučaju vremenski promenjivih struja, ( )tpg i ( )tp mogu u toku vremena biti pozitivni i negativni. Zbog toga i rad generatora i rad električnih sila pri održavanju srtruje kroz prijemnik mogu u nekom intervalu biti bilo pozitivni bilo negativni. Uz usvojene referentne smerove, u intervalima vremena kada je snaga prijemnika negativna ( ( ) 0<tp ), on se ponaša kao generator, tj. deo ranije dobijene energije vraća mreži. U intervalima kada je ( ) 0>tp , prijemnik se zaista ponaša kao prijemnik. Primer 1.1. Kondenzator kapacitivnosti C priključen je na napon ( )tu , slika 1.10a. Napon ( )tu se menja kao na slici 1.10b (isto kao na slici 1.5b). Na osnovu opšte relacije koja povezuje

struju i napon kondenzatora ( ) ( )dt

tduCti = , i poznatog zakona promene napona, može se odrediti

zakonitost promene struje kroz kondenzator (slika 1.10b). Na osnovu relacije za snagu ( ) ( )titutp =)( , lako se nacrta i grafik promene snage (slika 1.10c).

12

Slika 1.10.

U intervalima u kojima je ( ) 0<tp , energija iz kondenzatora se vraća mreži u kojoj je kondenzator uključen. Iz tog razloga se kondenzator naziva reaktivni element. Ista je situacija i sa kalemom.

1.5. Osnovne razlike mreža sa vremenski konstantnim i promenjivim strujama

Kod analize mreža sa vremenski konstantnim strujama, videli smo da se one sastoje od dva

osnovna elementa: generatora (naponskog i strujnog) i otpornika, koji su međusobno, na proizvoljne načine, povezani provodnim žicama čija je otpornost ili zanemarivana ili uračunata u otpornost grane. Na kraju smo dodali i treći element, kondenzator, a ovde i kalem, koji smo obrađivali u elektromagnetizmu.

U mrežama sa vremenski promenjivim strujama koristi se veliki broj različitih elemenata. Kod promenjivih polja se javljaju efekti koji ne postoje kod vremenski konstatnih struja: - kroz priključke kondenzatora može postojati promenjiva struja, iako kroz

kondenzator ne postoji galvanska veza između priključaka (u vremenski konstatntnim strujama kondenzator se ponaša kao otvorena veza, tj. stalna struja ne teče kroz kondenzator);

- u poslednjem poglavlju elektromagnetizma je pokazano da su vremenski promenjive struje uvek praćene vremenski promenjivim indukovanim električnim poljem, koje u provodnicima koji se u njemu nalaze, indukuju elektromotornu silu (ems). Posredstvom tog indukovanog električnog polja postoji sprega između grana mreže, koja zavisi od oblika grana i njihovog međusobnog položaja. Zbog toga jačine struja grana zavise, u izvesnoj meri, od geometrijskog oblika mreže. To usložnjava analizu ovih mreža;

- elektromagnetska indukcija (pojava ems u provodnoj konturi) nije uslovljena postojanjem konture, jer je svako promenljivo magnetsko polje praćeno promenjivim električnim poljem, i obratno. Time se objašnjava pojava elektromagnetskih talasa (EMT). U vezi sa tim je konačna brzina postiranja EMT (najveća brzina je brzina svetlosti) i pojava kašnjenja.

Primer 1.2. Za geostacionarni satelit na visini oko 30000 km iznad površi Zemlje, vreme potrebno da EMT sa Zemlje stigne do satelita je

s

skmkm

cltk 1,0

103

300005

=⋅

==

Za telefonsku vezu ukupno kašnjene je 0,2 s u smeru od jednog do drugog pretplatnika. Toliko je i u obrnutom smeru, što se primećuje u razgovoru.

13

Promenjiva polja se dele u dve grupe između kojih ne postoji oštra granica. Prva grupa su polja koja se menjaju dovoljno sporo da se efekti prostiranja mogu zanemariti. To su sporopromenjiva ili kvazistacionarna ili kvazistatička polja. Takva polja, odnosno stanja, ćemo izučavati u elektrotehnici.

Druga grupa su brzopromenjiva polja (pojava kašnjenja se nemože zanemariti), gde spadaju i EMT.

Primer 1.3. Posmatrajmo prostoriju dužine ml 10= , i polje elektroinstalacija Hzf 50=

Vreme prostiranja elektromagnetskog polja je nss

skm

mcltk 331033

103

10 9

5=⋅≈

⋅== −

Period

(ciklus) ovog polja ktmsssf

T >>==== − 2002,050

111 , odnosno Ttk << pa je polje

kvazistacionarno (ili preko talasne dužine lkmfc

>>== 6000λ ).

Primer 1.4. Za distributivnu mrežu elektroenergetskog sistema na teritoriji kml 3000=

msTmss

skmkm

cltk 201010

103

3000 2

5=≈==

⋅== −

, pa stanje nije kvazistacionarno (u ovom slučaju

lkm 26000 ==λ ). Primer 1.5. U prostoriji dužine ml 10= posmatrajmo EMT radio i TV prijemnika, na

primer FM radio prijemnika MHzf 100= ( lm ≈= 3λ ), ili nsTnstk 103,3 =≈= pa je ovo polje brzopromenjivo.

Prema tome periodično polje je kvazistacionarno ako su dimenzije prostora (domena) u

kome se polje posmatra mnogo manje od talasne dužine ( l<<λ ) ili polje je kvazistacionarno ako mu je period mnogo veći od najvećeg vremena kašnjenja u posmatranom domenu ( Ttk >> ).

Na kraju još da konstatujemo: - opšte jednačine mreža sa vremenski promenjivim strujama razlikuju se od jednačina za mreže sa vremenski konstantnim strujama. Može se govoriti samo o trenutnim vrednostima ems, napona, struje i snage, tj. vrednostima tih veličina u nekom trenutku, - jednačine iz kojih treba izračunati struje grana sadrže izvode i integrale struja po vremenu, pa je računanje složeno. Međutim, u slučaju prostoperiodičnih generatora iste učestanosti jednačine je moguće svesti na formalno isti oblik kao u slučaju vremenski konstantnih struja. U nastavku ćemo se baviti upravo metodama za rešavanje takvih mreža.

14

2. OSNOVNI POJMOVI O ELEKTRIČNIM MREŽAMA SA PROSTOPERIODIČNIM STRUJAMA

2.1. Osnovni pojmovi o periodičnim i prostoperiodičnim veličinama Pod vremenski periodičnim veličinama podrazumevaju se veličine čije se vrednosti u jednakim vremenskim razmacima ponavljaju. Na primer periodični napon (slika 2.1). Neka je T (naziva se period ili ciklus) interval vremena posle koga se vrednosti ponavljaju. Matematički periodična funkcija ( )tf , očigledno, mora da u bilo kom trenutku t zadovoljava uslov

( ) ( ) ... 2,-1,1,2,- ..., n , ==+ tfnTtf

Slika 2.1.

Period T se izražava u sekundama (s). U toku jednog perioda posmatrana veličina izvrši sve

svoje promene (koje se zatim periodično ponavljaju), ili se kaže da je izvršen jedan ciklus. Tako je period dužina trajanja jednog ciklusa periodične funkcije.

Neka je Nt vreme za koje periodična funkcija izvrši N potpunih ciklusa. Odnos NtNf /=

naziva se učestanost (frekvencija) periodične funkcije. Ako je N=1, onda je Tt =1 , pa je

Tf 1=

Ova relacija daje vezu učestanosti i perioda. Učestanost je brojno jednaka broju ciklusa periodične funkcije u jedinici vremena, i ne mora biti ceo broj. Izražava se u hercima (Hz), koji

predstavlja 11 −= ss

. Na primer učestanost struje gradske mreže u Evropi je 50 Hz, a u Severnoj

Americi 60 Hz. Opseg učestanosti signala govora je od 20 Hz do 20 kHz, EMT u radiodifuziji je 150 kHz do 100 MHz, TV kanala 50 MHz do 1000 MHz, veza preko satelita 4 do 15 GHz. U elektrotehnici najvažniju ulogu imaju periodične veličine koje se menjaju po sinusnom ili kosinusnom zakonu. Pošto su matematički najjednostavnije dobile su naziv prostoperiodične funkcije. Kako smo kod definicije pojma promenjive struje naveli, sve ostale periodične funkcije se nazivaju periodične ili složenoperiodične da bi se istakla razlika. Razmatraćemo prostoperiodične struje i napone. Tada je analiza prostija nego za neku drugu periodičnu promenu struja.

15

2.2. Prostoperiodične veličine

Na slici 2.2 su prikazane sinusna funkcija ( xy sin= ) i kosinusna funkcija ( xy cos= ). Matematički, argument obeju funkcija (x) je čist broj, a predstavlja ugao izražen u radijanima (rad). Ove funkcije su periodične, sa osnovnim periodom π2 . Obe funkcije su ograničene po modulu ( 1|| ≤y , odnosno 11 ≤≤− y ), tj. maksimumi su 1, a minimumi -1. Maksimumi i minimumi se javljaju alternativno, sa periodom π2 . Obe funkcije imaju nule koje se ponavljaju sa periodom π . Sinusna funkcija je neparna, a kosinusna parna.

Između sinusne i kosinusne funkcije postoje, između ostalih, veze

)2/cos(sin π−= xx i )2/cos(sin xx −π= .

Prva od tih veza će nam biti važnija jer ukazuje na to da se sinusna funkcija može dobiti od kosinusne pomeranjem duž x-ose (translacijom) za četvrtinu perioda ( 2/π ) udesno. I obrnuto, kosinusna funkcija se može dobiti translacijom sinusne za četvrtinu perioda ulevo.

Slika 2.2.

U Elektrotehnici se pod prostoperiodičnom strujom (slika 2.3) podrazumeva struja (i) koja je u, funkciji vremena (t), data analitičkim izrazom

)cos()( m ψ+ω= tIti (*)

gde su mI , ω i ψ konstante. Ova jednačina je kanonični oblik prostoperiodične struje4. U jednačini (*), )(ti je trenutna jačina struje (trenutna vrednost). Konstanta mI ( 0m >I )

naziva se amplitudom prostoperiodične struje. Amplituda je ista po prirodi kao i trenutna vrednost, pa su im i jedinice iste (amper). Zbog ograničenosti kosinusne funkcije, maksimalna trenutna vrednost jednaka je mI , a minimalna mI− , odnosno mm )( ItiI ≤≤− .

Argument kosinusa u jednačini (*) je linearna funkcija vremena ( ψ+ωt ), a naziva se fazom (trenutnom fazom). Matematički, to je neimenovani broj, odnosno odgovara uglu izraženom u radijanima (rad). Za 0=t , faza je jednaka ψ, a naziva se početnom fazom. Početna faza se izražava u radijanima. S obzirom na periodičnost funkcije (*), početna faza je određena sa tačnošću od πk2 , gde je k ceo broj ( ,...2,1,0 ±±=k ). Stoga se početna faza svodi na interval čija je širina π2 , najčešće na π≤ψ<π− , odnosno ],( ππ−∈ψ . Ako početna faza nije u tom intervalu može se svesti na taj interval.

4 Alternativno, za kanonični oblik se može usvojiti )sin()( m ψ+ω= tIti , što se koristilo u starijoj literaturi. Otuda naziv sinusna struja.

16

Primer 2.1. Neka imamo prostoperiodičnu struju )1,7cos()( m πω += tIti . Taj izraz se može napisati i u obliku )9,08cos()( m ππω −+= tIti , odnosno )9,0cos()( m πω −= tIti .

Početna faza, očigledno, može biti pozitivna ili negativna. Uočiti da slika 2.3 odgovara

slučaju 0>ψ , a da je maksimum funkcije (*) koji je najbliži koordinatnom početku5 apscisne ose u trenutku ωψ−= /t . (Ako je 0>ψ , taj maksimum je levo od koordinatnog početka, ako je 0<ψ , taj maksimum je desno od koordinatnog početka, a ako je 0=ψ , maksimum je u koordinatnom početku.)

Konstanta ω ( 0>ω ) predstavlja brzinu kojom se faza menja, a naziva se kružnom (ili ugaonom) učestanošću. Jedinica kružne učestanosti je 1s− ili, ekvivalentno, rad/s .

Period prostoperiodične veličine je ωπ= /2T . Recipročna vrednost perioda je frekvencija (učestanost), Tf /1= , a može se protumačiti kao broj perioda u jedinici vremena. Jedinica frekvencije je herc (Hz). Između kružne učestanosti i ''obične'' učestanosti postoji relacija fπ=ω 2 .

Slika 2.3.

Posmatrajmo šta se dešava sa prostoperiodičnom funkcijom (*) ako se promeni samo jedna od konstanti mI , ω i ψ slika 2.4). Zamislimo jedan skup tih konstanti. Njemu odgovara funkcija označena sa )cos(m ψ+ωtI na slici 2.4.

Slika 2.4.

5 Na apscisu se može naneti proizvod tω umesto vremena t. Tada je period jednak π2 , a maksimum najbliži koordinatnom početku je za ψ−=ωt . Ako se na apscisu nanosi proizvod tc onda jedan period odgovara λ .

17

Ako se amplituda poveća dva puta, dobija se funkcija označena sa )cos(2 m ψ+ωtI , čije se ekstremne vrednosti dobijaju množenjem faktorom 2 ekstremnih vrednosti funkcije )cos(m ψ+ωtI .

Ako se kružna učestanost poveća dva puta (ekvivalentno, ako se učestanost poveća dva puta, odnosno period smanji dva puta), dobija se ''gušća'' sinusoida, označena sa )2cos(m ψ+ωtI . Obrnuto, smanjivanjem kružne učestanosti sinusoida se ''razređuje''.

Najzad, ako se početna faza poveća za ψΔ (konkretno, sa 6/π na 3/π , odnosno 6/π=ψΔ ), grafik funkcije se pomera ulevo za ωψΔ / , što odgovara funciji označenoj sa )2cos(m ψ+ωtI . Obrnuto, smanjivanje početne faze pomera grafik udesno.

Iako su sve definicije navedene za struju, one važe i za druge linearne veličine u kolu, kao što je napon. Kanonični oblik prostoperiodičnog napona je

)cos()( m θ+ω= tUtu , (**)

gde je mU amplituda napona (izražava se u voltima), ω kružna učestanost, a θ početna faza. Oznake početnih faza napona i struje se razlikuju iz operativnih razloga.

Za elektromotornu silu koristićemo izraz

)cos()( m etEte θω +=

Ako su u nekom električnom kolu svi naponi i sve struje prostoperiodične funkcije iste učestanosti, kaže se da u kolu postoji (ustaljeni) prostoperiodični režim. (Amplitude struja i napona su pri tome proizvoljne, kao što su i početne faze proizvoljne.) Takav režim nastaje u linearnoj mreži (kolu)6 pod dejstvom prostoperiodičnih eksitacija (naponskih i strujnih generatora) istih učestanosti.

Kada budemo analizirali kola u prostoperiodičnom režimu, implicitno ćemo podrazumevati da je učestanost (odnosno kružna učestanost) poznata. U tom slučaju, svaka prostoperiodična veličina (napon, struja) je potpuno određena svojom amplitudom i početnom fazom.

2.3. Poređenje prostoperiodičnih veličina

Posmatramo prostoperiodičan režim u nekom kolu. Dve prostoperiodične veličine iste

prirode, na primer, dva napona u tome kolu, )cos()( 1m11 θ+ω= tUtu i )cos()( 2m22 θ+ω= tUtu , mogu se porediti po amplitudi i po fazi (slika 2.5).

Kod poređenja po amplitudi, za napon čija je amplituda veća, kažemo da je veći, iako se između njihovih trenutnih vrednosti ne može uspostaviti relacija koja bi važila nezavisno od vremena. Konkretno, na slici 2.5 je m1m2 7,0 UU = , pa je m2m1 UU > i za napon 1u kažemo da je veći od napona 2u , iako je u nekim trenucima vremena )()( 21 tutu > , a u nekim )()( 21 tutu < .

Kod poređenja po fazi, uvodi se razlika faza (fazna razlika),

212112 )()( θ−θ=θ+ω−θ+ω=θ tt .

Ta razlika, očigledno, ne zavisi od vremena, a jednaka je razlici početnih faza (ako je kružna učestanost ista). Pošto svaka početna faza može biti u poluzatvorenom intervalu ],( ππ− , ovako izračuna razlika faza može biti u poluzatvorenom intervalu ]2,2( ππ− . Međutim, zbog periodičnosti funkcija )(1 tu i )(2 tu , razlika faza se svodi na interval širine π2 , najčešće na ],( ππ− , tj. π≤θ<π− 12 .

6 Kako smo ranije rekli, za mrežu (kolo) se kaže da je linearna ako se sastoji od idealnih (nezavisnih) naponskih i strujnih generatora i linearnih pasivnih elemenata (otpornika, kalemova i kondenzatora).

18

Ako je 012 >θ , promene )(1 tu prednjače promenama napona )(2 tu . Na primer, maksimumi napona )(1 tu nastaju pre maksimuma napona )(2 tu . Kaže se da tada napon )(1 tu fazno prednjači naponu )(2 tu za 12θ . To je konkretno slučaj na slici 2.5 jer je za nju uzeto 6/1 π=θ i 4/2 π−=θ , pa je

12/512 π=θ . Ekvivalentno tome, kaže se da napon )(1 tu prednjači (u vremenu) naponu )(2 tu za ωθ /12 .

Sinusoida na slici 2.5 koja predstavlja )(1 tu pomerena je ulevo u odnosu na sinusoidu koja predstavlja )(2 tu .

Za tu istu situaciju, kaže se da napon )(2 tu fazno zaostaje (kasni) za naponom )(1 tu za 12θ , odnosno napon )(2 tu kasni za naponom )(1 tu za ωθΔ / .

Ako je 012 <θ , onda napon )(1 tu fazno zaostaje za naponom )(2 tu za || 12θ itd. Jasno je da se kod poređenja po fazi mora voditi računa o redosledu veličina koje se porede, tj. koja je veličina prva, a koja druga.

Slika 2.5.

Ako je fazna razlika dve prostoperiodične veličine jednaka nuli, kaže se da su te dve veličine u fazi (slika 2.6a). Ako je fazna razlika jednaka π± , kaže se da su te dve veličine u protivfazi (slika 2.6b). Tada je kašnjenje, odnosno prednjačenje jednako polovini perioda ( 2/T ), a te dve veličine su uvek suprotnih znakova. Najzad, ako je fazna razlika jednaka 2/π± (prednjačenje, odnosno kašnjenje je )4/T± , kaže se da su te dve veličine u kvadraturi (slike 2.6c, )(1 tu prednjači, i 2.6d,

)(2 tu prednjači). Vrednost početne faze je vezana za izabrani referentni smer. struje, napona ili ems. Promena

referentnog smera menja znak ispred izraza trenutne vrednosti te veličine. Kako je )cos()cos()( mm πωω ±Ψ+=Ψ+−=− tItIti to je promena referentnog smera ekvivalentna

promeni početne faze za π+ odnosno π− . Pri tome se usvaja onaj znak koji obezbeđuje da modifikovana faza bude u intervalu ],( ππ− .

Dve prostoperiodične veličine različite prirode (a istih učestanosti), na primer, napon )cos()( m θ+ω= tUtu i struja )cos()( m ψ+ω= tIti , mogu se porediti isključivo po fazi. Tada se uvodi

fazna razlika

ψ−θ=φ ,

sa istom diskusijom kao za dve prostoperiodične veličine iste prirode. Napomenimo da za prostoperiodični režim u nekom kolu, početne faze napona i struja

zavise od izbora početnog trenutka ( 0=t ). U praksi, trenutak 0=t može, na primer, odgovarati početku ispisivanja vremenske baze osciloskopa pomoću koga se posmatraju te veličine. Promenom (pomeranjem) početnog trenutka za tΔ menjaju se početne faze svih veličina za isti iznos, tΔω− . Pri tome se fazne razlike ne menjaju jer se članovi tΔω− potiru pri računanju razlika.

19

Slika 2.6.

U analizi kola u prostoperiodičnom režimu početni trenutak se može zadati, na primer, definisanjem početne faze jedne prostoperiodične veličine. Međutim, ako taj početni trenutak nije unapred definisan, imamo slobodu da ga proizvoljno odaberemo. Jedan od čestih izbora se svodi na to da usvojimo da početna faza neke prostoperiodične veličine u kolu bude jednaka nuli. No, pri tome ne smemo proizvoljno usvojiti početnu fazu nijedne druge prostoperiodične veličine, već ih određivati u odnosu na proizvoljno usvojenu, da ne bismo narušili fazne razlike koje objektivno postoje u posmatranom kolu.

2.4. Srednja i efektivna vrednost

U ovom odeljku ćemo definisati srednju i efektivnu vrednost. Definicije se odnose na bilo

kakve periodične veličine (napone, struje), a ne samo na prostoperiodične veličine Matematički, srednja vrednost funkcije )(tf na intervalu ),( bat∈ generalno definiše se

izrazom ( )∫−=

b

attf

abf d1sr . Posebno, ako je funkcija )(tf periodična sa periodom T, usrednjavanje

se radi na intervalu čija je širina jednaka periodu, odnosno ( )∫+

=Ta

attf

Tf d1sr , gde je a proizvoljna

konstanta. Tako definisana srednja vrednost ne zavisi od a. Često se u računu uzima 0=a , odnosno

( )∫=T

ttfT

f0

sr d1, odnosno za struju ( )∫=

T

ttiT

I0

sr d1

ili 2/Ta −= , imamo

( )∫−

=2/

2/sr d1 T

Tttf

Tf .

20

U Elektrotehnici se srednja vrednost naziva i jednosmernom komponentom (zbog Furijeove analize).

Primer 2.2. Ako je maksimalna trenutna vrednost struja sa slika 2.7a i 2.7b jednaka mI , onda je srednja vrednost obe struje jednaka 2/mI , što se lako pokazuje bilo analitički, a u ovim slučajevima i grafički.

Slika 2.7.

Srednja vrednost simetričnih periodičnih veličina je nula. Primer 2.3. Srednja vrednost sinusoidalne struje (slika 2.8a), i bipolarne povorke

pravougaonih impulsa (slika 2.8b) jednaka je nuli. Dokaz je očigledan jer su geometrijske površine iznad i ispod t-ose jednake, ali se površina iznad ose uzima kao pozitivna, a ona ispod ose kao negativna. Stoga se te dve površine potiru u zbiru. Može se pokazati i analitički (uradite sami).

Slika 2.8.

Primer 2.4. U nekim tehničkim primenama (na primer, kod usmerača) javlja se funkcija

oblika ( ) tUtu ω= cosm (slika 2.9). Period ove funkcije je ωπ / , odnosno dva puta je manji od perioda funkcije tU ωcosm . Srednja vrednost funkcije sa slike 2.9 (srednja vrednost ''usmerene'' ili

''ispravljene'' sinusoide) je ( ) mm

)2(

)2(m 637,02dcos UUttUUtu sr ==== ∫

− πω

πω ωπ

ωπ

.

Slika 2.9.

21

Efektivnu vrednost ćemo definisati na jednom primeru. Posmatrajmo otpornik prikazan na slici 2.10, u kome postoji periodična struja )(ti čiji je period T. Trenutna snaga otpornika je

2)()( tRitp = . Srednja snaga otpornika (usrednjena tokom jednog perioda) je jednaka

2

0

2

0d)(1d(t)1 RIttRi

Ttp

TP

TT=== ∫∫ , gde je (ako je R=1)

∫=T

ttiT

I0

2 d)(1

Prethodni izraz predstavlja definiciju efektivne vrednosti struje )(ti . Efektivnu vrednost ćemo označavati velikom slovom bez indeksa, mada su u upotrebi i oznake efI i effI .

Slika 2.10.

Efektivnoj vrednosti struje se može dati sledeća fizička interpretacija. Posmatramo otpornik

sa slike 2.10. U jednom slučaju u otporniku imamo posmatranu periodičnu struju )(ti . U drugom slučaju zamislimo da u otporniku postoji stalna struja I, takva da je srednja snaga otpornika u intervalu T ista u oba slučaja. Pošto je snaga otpornika pri jednosmernoj struji, 2RIP = , konstantna, odavde sledi da jačina stalne struje treba da bude jednaka efektivnoj vrednosti periodične struje. Uočimo da su oznake za efektivnu vrednost periodične struje i jačinu stalne struje iste, kao i oznake za srednju snagu, odnosno snagu. To neće dovesti do zabune jer, u nastavku, nećemo istovremeno posmatrati stalne i promenjive struje.

Efektivna vrednost prostoperiodične struje tIti ωcos)( m= jednaka je

∫∫∫∫ +=+

==T

mT

mT

mT

ttTIdt

TItt

TIttsI

TI

0

2

0

2

0

2

0

22m d

22cos

2d

22cos1dco1 ωωω .

odnosno

mmm 707,0

22

2IIII ≈==

Odavde se amplituda prostoperiodične struje može izraziti preko efektivne vrednosti kao

III 414,12m ≈=

Naravno, isti oblik izraza važi i za efektivnu vrednost prostoperiodičnog napona, Napomenimo da su praktično svi instrumenti koji mere prostoperiodične veličine (struje i

napone) baždareni tako da pokazuju efektivnu vrednost. Razlog je u tome što je u tehničkim primenama efektivna vrednosti veoma važna jer se na osnovu nje računaju snage. Kao primer, efektivna vrednost napona na koji se priključuje monofazni prijemnik u domaćinstvu (sijalica, računar) je V230 . Zbog takve važnosti efektivnih vrednosti, kanonični oblik prostoperiodične veličine ćemo, umesto u obliku )cos()( m ψ+ω= tIti (videti odeljak 2.2), češće pisati u obliku

22

)cos(2)( ψ+ω= tIti .

U analizi kola u prostoperiodičnom režimu, svaka prostoperiodična veličina (napon, struja) je stoga potpuno određena svojom efektivnom vrednošću i početnom fazom.

Ilustracije radi, pokažimo i primer proračuna efektivne vrednosti za periodičnu veličinu.

Primer 2.5. Efektivna vrednost periodičnog napona sa slike 2.11 je

mmm

Tm UUUtt

TU

TU 577,0

33d

2/21 22/

0

2

===⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫

Slika 2.11.

2.5. Osnovni pasivni elementi u prostoperiodičnom režimu Pretpostavljamo da su elementi priključeni na prostoperiodični napon

)cos()( θω += tUtu m i treba odrediti trenutnu vrednost struje i trenutnu snagu. Referentni smerovi su usklađeni kao za prijemnik.

2.5.1. Otpornik

Neka imamo otpornik kao na slici 1.3a. Za njega važi opšti izraz ( )tRitu =)( (videti

odeljak 1.2). Odatle je struja ( )Rtuti =)( . Posle zamene izraza za )(tu , dobijamo

( )θω += tR

Uti m cos)( .

Iz poređenja ovog izraza sa opštim (kanoničnim) oblikom izraza za prostoperiodičnu struju

)cos()( ψω += tIti m , sledi da je amplituda struje RUI m

m = odnosno efektivna vrednost struje

RUI = , a početna faza struje θψ = . Prema tome struja kroz otpornik je takođe prostoperidična, i

u fazi sa naponom. Kod otpornika, napon i struja su u fazi (pri usklađenim referentnim smerovima; pri neusklađenim smerovima su u protivfazi), ali to nije tako kod drugih prijemnika. Stoga se, kao karakteristika prijemnika, uzima i fazna razlika napona i struje prijemnika (pri usklađenim referentnim smerovima)7: ψ−θ=φ . Kod otpornika, 0=φ .

Grafički prikaz napona i struje dat je na slici 2.12a.

7 Ova fazna razlika jednaka je argumentu kompleksne impedanse prijemnika.

23

Trenutna snaga otpornika (snaga koju otpornik prima od ostatka kola) jednaka je GtiRtutuGtiRtitutp /)(/)()()()()()( 2222 ===== . Kod otpornika je uvek 0)( ≥tp , tj. otpornik se

uvek ponaša kao prijemnik. (Snaga otpornika je nula samo u trenucima kada je struja jednaka nuli, ili, što je isto, kada je napon jednak nuli.)

Slika 2.12.

Snaga otpornika u prostoperiodičnom režimu je

( ) ( )( ) ( )( )θωψωψω 22cos122cos1cos2)()()( 2222 ++=++=+== tGUtRItRItitutp .

Ta snaga je jednaka zbiru jedne konstante ( 22 GURI = ) i jednog prostoperiodičnog člana čija je učestanost dva puta viša od učestanosti struje, odnosno napona (slika 2.12b). Srednja vrednost tog prostoperiodičnog člana jednaka je nuli, pa je srednja snaga otpornika 22 GURIP == , što se i moglo očekivati na osnovu definicije efektivne vrednosti.

2.5.2. Kalem Na isti način, kao za otpornik, za kalem na slici 1.4a, polazeći od opšteg izraza za struju

kroz kalem 0d)(1)( IttuL

ti += ∫ , posle zamene izraza za napon, dobijamo

( ) ( ) 00 sindcos1)( ItL

UIttUL

ti mm ++=++= ∫ θω

ωθω , gde 0I predstavlja moguću vremenski

konstantnu struju kroz kalem (jednosmerna komponenta). U prostoperiodičnom režimu 00 =I .

Slika 2.13.

Imajući u vidu da je ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=+

2cossin πθωθω tt , dobijamo

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

2cos)( πθω

ωt

LUti m

24

Poređenjem sa kanoničnim izrazom za prostoperiodičnu struju, sledi LUI m

m ω= odnosno L

UIω

= ,

i 2πθψ −= . Prema tome struja kroz kalem je takođe prostoperidična, ali kasni za naponom

vremenski za četvrtinu perioda (4T ), odnosno fazno za

2π

. Kod kalema, 2πφ = . Grafički prikaz

napona i struje dat je na slici 2.13a. Primer 2.6. Neka je kalem priključen na prostoperiodičan napon efektivne vrednosti

VU 220= , učestanosti Hz50 , i neka je efektivna vrednost struje kroz kalem AI 10= . Odrediti

induktivnost tog kalema. Koristeći se izrazom LUIω

= , dobija se .7007,0 mHHI

UL ===ω

Trenutna snaga kalema (snaga koju kalem prima od ostatka kola), u opštem slučaju, je

ttWtLi

ttitiLtitutp L

d)(d)(

21

dd

dd)()()()( 2 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=== ,

gde je 2)(21)( tLitWL = magnetska energija akumulirana u kalemu. U intervalu vremena kada struja

kalema raste po apsolutnoj vrednosti, raste i magnetska energija, pa je 0)( >tp i kalem se ponaša kao prijemnik, uzimajući energiju od ostatka kola. Međutim, u intervalu vremena kada struja kalema opada po apsolutnoj vrednosti, opada i magnetska energija, pa je 0)( <tp i kalem se ponaša kao generator, vraćajući energiju ostatku kola. Napomenimo da je kalem pasivni element. On se ne može neograničeno dugo ponašati kao generator, već samo dok se ne iscrpi magnetska energija akumulirana u njemu.

Snaga kalema u prostoperiodičnom režimu je

( ) ( ) ( )θωωθωθωω 22sinsincos2)()()( 22 +=++== tLIttLItitutp Ta snaga ima samo prostoperiodični član čija je učestanost dva puta viša od učestanosti

struje, odnosno napona. Srednja vrednost snage jednaka je nuli, što je u skladu sa činjenicom da je kalem pasivni element bez gubitaka. Tokom jedne četvrtine perioda struje (odnosno napona) kalem prima energiju iz kola, da bi je tokom sledeće četvrtine u potpunosti vratio kolu (slika 2.13b).

2.5.3. Kondenzator

Za kondenzator na slici 1.5a, polazeći od opšteg izraza ttuCti

d)(d)( = , posle zamene izraza

za napon, dobija se ( )[ ] ( )θωωθω +−=+= tCUtUt

Cti mm sincosdd)( , imajući u vidu da

izvod ( ) axaax sincos ' −= . Takođe imajući u vidu već korišćenu vezu sinusa i kosinusa, kod kalema, i da predznak „-„ predstavlja pomeraj za π± ,dobijamo

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−= ππθωωπθωω

2cos

2cos)( tCUtCUti mm

odnosno

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

2cos)( πθωω tCUti m

25

Poređenjem sa kanoničnim izrazom za prostoperiodičnu struju, sledi mm CUI ω= odnosno

CUI ω= , i 2πθψ += . Prema tome struja kroz kalem je takođe prostoperidična, ali prednjači

naponu za 2π

. Kod kondenuatora, 2πφ −= . Grafički prikaz napona i struje dat je na slici 2.14a.

Slika 2.14.

Primer 2.7. Neka je kondenzator kapacitivnosti pFC 100= priključen na prostoperiodičan napon efektivne vrednosti VU 220= i učestanosti Hz50 . Odrediti efektivnu vrednost struje kroz kondenzator. Koristeći se izrazom CUI ω= , dobija se

AAI μ91,61091,6 6 =⋅= − . Trenutna snaga kondenzatora (snaga koju kondenzator prima od ostatka kola), u opštem slučaju, je

ttWtCu

ttutCutitutp C

d)(d)(

21

dd

dd)()()()( 2 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=== ,

gde je 2C )(

21)( tCutW = električna energija akumulirana u kondenzatoru. U intervalu vremena kada

napon kondenzatora raste po apsolutnoj vrednosti, raste i električna energija, pa je 0)( >tp i kondenzator se ponaša kao prijemnik, uzimajući energiju od ostatka kola. Međutim, u intervalu vremena kada napon kondenzatora opada po apsolutnoj vrednosti, opada i električna energija, pa je

0)( <tp i kondenzator se ponaša kao generator, vraćajući energiju ostatku kola. Kondenzator (kao i kalem) je pasivni element, pa se ni on ne može neograničeno dugo ponašati kao generator, već samo dok se ne iscrpi električna energija akumulirana u njemu.

Snaga kondenzatora u prostoperiodičnom režimu je

( ) ( ) ( )θ+ωω−=θ+ωθ+ωω−== 22sinsincos2)()()( 22 tCUttCUtitutp Ta snaga ima samo prostoperiodični član čija je učestanost dva puta viša od učestanosti

struje, odnosno napona. Srednja vrednost snage jednaka je nuli (kondenzator je pasivni element bez gubitaka). Tokom jedne četvrtine perioda struje (odnosno napona) kondenzator prima energiju iz kola, da bi je tokom sledeće četvrtine u potpunosti vratio kolu (slika 1.14b).

Sve što je izvedeno za R, L i C, polazeći od napona, može se uraditi polazeći od struje. Iz dobijenih izraza za struju kroz R, L i C, očigledno je da su struje kroz elemente priključene na prostoperiodičan napon, takođe prostoperiodične, iste učestanosti. Kao što ćemo videti to znatno olakšava rešavanje mreža sa prostoperiodičnim strujama. Ako uporedimo izraze za vezu efektivnih vrednosti napona i struja za R, L i C, tj.

26

RUI = , L

UIω

= , C

UCUI

ω

ω1

==

vidimo da kod pasivnih elemenata (R, L i C) postoji proporcionalnost između efektivne vrednosti

struje i napona8. Ta proporcionalnost se piše u opštem obliku ZUI = ili ZIU = . Veličina koja

izražava tu proporcionalnosti (Z) je karakteristika prijemnika koja ima prirodu otpornosti, jedinica joj je om (Ω) , a naziva se impedansom prijemnika9. Prema ovoj definiciji, 0≥Z . Impedansa

otpornika je RZ R = , impedansa kalema LZ L ω= , a impedansa kondenzatora10 C

ZC ω1

= .

Može se formirati i dualna relacija, YUI = , gde koeficijent proporcionalnosti (Y) ima prirodu provodnosti, jedinica je simens (S), a naziva se admitansom prijemnika11. Između impedanse i admitanse postoji relacija 1=ZY . Takođe važi 0≥Y . Admitansa otpornika je RGYR /1== , kalema

LYL ω

1= , a kondenzatora CYC ω= .

2.6. Rešavanje mreža u prostoperiodičnom režimu u vremenskom domenu

U odeljku 1.3 definisali smo Kirhofove zakone za promenjive struje. Direktno rešavanje ovih jednačina analitičkim metodima, u vremenskom domenu, nije lako. Ilustrujmo to na primeru sabiranja dve prostoperiodične veličine, na primer dva napona, )()()( 21 tututu += , gde su

)cos()( 11 1θω += tUtu m i )cos()( 22 2

θω += tUtu m . Ako pretpostavimo da je rezultantni napon dat relacijom

)cos()( θω += tUtu m ,

onda koristeći trignometrijsku transformaciju βαβαβα sinsincoscos)cos( m=± , možemo pisati identitet

( ) ( ) tUUtUU

tUtUtUtUtUtUtu

mmmm

mmmm

mm

ωθθωθθ

θωθωθωθωθωθω

sinsinsincoscoscos

sinsincoscossinsincoscossinsincoscos)(

2121

2211

2121

21211

+−+=

−+−=−=

Da bi identitet bio ispunjen, koeficijenti uz tωcos i tωsin u oba izraza moraju biti identični

21 coscoscos21

θθθ mmm UUU += (1)

21 sinsinsin21

θθθ mmm UUU += (2)

Ako relaciju (2) podelimo sa relacijom (1) dobijamo

21

21

coscossinsin

21

21

θθθθ

θmm

mm

UUUU

tg+

+= (3)

8 Zbog proporcionalnosti efektivnih vrednosti i amplituda, isto važi i za amplitudne vrednosti struja i napona. 9 Ovako definisana impedansa jednaka je modulu kompleksne impedanse prijemnika, koju ćemo uvesti kasnije. 10 Zbog sličnosti sa relacijom za otpornost R, impedansa kalema i kondenzatora se ponekad nazivaju induktivna i kapacitivna otpornost, što nije korektno. Korektno ih je nazivati reaktansa kalema i reaktansa kondenzatora, kao što ćemo kasnije videti. 11 Ovako definisana admitansa jednaka je modulu kompleksne admitanse prijemnika.

27

Ako napravimo zbir relacija ( ) ( )22 21 + , dobijamo ( )2121

222 sinsincoscos22121

θθθθ +++= mmmmm UUUUU , odnosno, uz primenu već korišćene trigonometrijske transformacije za kosinus razlike uglova, konačno je

( )21222 cos2

2121θθ −++= mmmmm UUUUU (4)

Relacije (3) i (4) služe za određivanje ampitude i početne faze napona koji je zbir dva napona. Isti rezultati bi se dobili i ako bi se naponi menjali po sinusnom zakonu.

Primer 2.8. Ilustrujmo primenu ovih relacija na primeru redne veze otpornika i kalema,

prikazane na slici 2.15. Neka je zadatak da odredimo relaciju između napona i struje te redne veze. Struja je, očigledno, zajednička za oba elementa. Radi daljeg pojednostavljenja, usvojimo da

je početna faza struje jednaka nuli, tj. neka je struja data izrazom tIti ω= cos2)( . Napon otpornika

je tRItRituR ω== cos2)()( , a napon kalema je tLIttiLtuL ωω−== sin2

d)(d)( . Napon redne veze je

( )2/cos2cos2sin2cos2)()()( πωωωωωω ++=−=+= tLItRItLItRItututu LR .

Slika 2.15.

Primenom relacije (4) se dobija ( ) ( ) ( )2/0cos22222222 πωω −++= LIRILIRIU m , a

posle vađenja kvadratnog korena i delenja sa 2 se dobija 22 )( LRIU ω+= .

Količnik ZLRIU =ω+= 22 )(/ je impedansa redne veze otpornika i kalema.

Primenom relacije (3) se dobija ( )( ) R

LLIRILIRI ω

πωπωθ =

++

=2/cos20cos22/sin20sin2tg

0

0

, odnosno

RLω

=θ arctg (jer je 0>R i 0>Lω pa je ugao θ u prvom kvadrantu).

Da smo krenuli obrnutim redom, od poznatog napona )cos(2)( θ+ω= tUtu , struju )(ti bismo

direktno mogli odrediti samo rešavanjem diferencijalne jednačine za ovo kolo, ttiLtRitu

d)(d)()( += .

Međutim, koristeći se rezultatom koji smo dobili polazeći od struje, možemo ovako rezonovati.

Znamo impedansu redne veze, 22 )( LRZ ω+= , a znamo i faznu razliku napona i struje, RLω

=φ arctg . Onda je struja potpuno određena jer joj znamo efektivnu vrednost ( ZUI /= ) i početnu fazu ( φ−θ=ψ ), odnosno ZtUti /)cos(2)( φ−θ+ω= .

Ovakvim rezonovanjem bismo mogli brzo rešiti i problem ako bi bila zadata struja u opštem obliku, )cos(2)( ψ+ω= tIti , a traži se napon redne veze. Rezultat je )cos(2)( φ+ψ+ω= tZItu .

Već iz ovog jednostavnog primera se vidi da je sabiranje prostoperiodičnih veličina glomazno raditi direktno, u vremenskom domenu. U narednom odeljku ćemo uvesti fazore i račun sa fazorima, koji će delimično rešiti taj problem. Koristeći se kompleksnim brojevima, račun sa fazorima se može dalje pojednostaviti i formalizovati tako da analiza kola u prostoperiodičnom

28

režimu postane gotovo identična analizi kola vremenski konstantnih struja. Na taj način ćemo metode rešavanja kola vremenski konstantnih struja moći relativno lako da prilagodimo rešavanju kola u prostoperiodičnom režimu.

2.7 Predstavljanje prostoperiodičnih veličina pomoću obrtnih vektora (fazora)

U ovom odeljku je opisan jedan postupak predstavljanja prostoperiodičnih veličina

vektorima koji se nazivaju fazorima. Taj postupak ima nekoliko korisnih strana. Prvo, omogućava vizuelizaciju međusobnog odnosa napona i struja u posmatranom kolu. Drugo, pomoću fazora, moguće je rešiti neka jednostavnija kola, a ponekad i rešiti probleme na lakši način nego drugim postupcima. Treće, polazeći od računa sa fazorima, lako se uvodi račun sa kompleksnim predstavnicima prostoperiodičnih veličina, koji je osnovni alat za analizu električnih kola, sistema i elektromagnetskih polja.

2.7.1. Obrtni vektori

Posmatrajmo vektor A , koji se nalazi u ravni crteža na slici 2.16a. Početak vektora se

poklapa sa koordinatnim početkom jedne ose, koju ćemo zvati faznom osom (f.o.). Neka je AA = modul (dužina) toga vektora, a α ugao koji taj vektor zaklapa sa faznom osom. Referentni smer za računanje uglova je suprotan smeru okretanja kazaljke na časovniku (matematički pozitivni smer). Projekcija vektora A na faznu osu je α= cosAa . Ta projekcija je skalarna veličina koja uključuje i znak (usmereni skalar). Zamislimo sada da se vektor A obrće u ravni crteža, u matematički pozitivnom smeru, konstantnom ugaonom brzinom ω (slika 2.16b). Tada je 0αωα += t , gde je

0α ugao koji vektor A zaklapa sa faznom osom u trenutku 0=t , pa je projekcija toga vektora na faznu osu prostoperiodična funkcija vremena, )cos(||)( 0αω += tAta . Amplituda projekcije jednaka je dužini vektora A , kružna učestanost je jednaka ugaonoj brzini obrtanja vektora, a početna faza je jednaka uglu koji vektor A zaklapa sa faznom osom u početnom trenutku ( 0=t ). U tom slučaju kažemo da vektor A predstavlja prostoperiodičnu veličinu )(ta , tj. vektor A je predstavnik veličine )(ta . Takav obrtni vektor se naziva fazor. Fazor se izražava u istim jedinicama kao i veličina koju predstavlja.

Slika 2.16.

Posmatrajmo proizvoljno kolo u prostoperiodičnom režimu. Fazorima se mogu predstaviti bilo koje prostoperiodične veličine u tom kolu (naponi, struje). Dužina fazora je, u razmeri crteža, jednaka amplitudi (ili efektivnoj vrednosti) odgovarajuće prostoperiodične veličine, ugaona brzina obrtanja fazora jednaka je kružnoj učestanosti, a ugao koji fazor zaklapa sa faznom osom u trenutku

0=t jednak je početnoj fazi. Kao primer, posmatrajmo rednu vezu dva elementa (slika 2.17a).

29

Pravougaonikom ćemo označiti pasivni element (prijemnik): otpornik, kalem, kondenzator, ili čak njihove kombinacije. Neka je trenutna vrednost napona prvog elementa

)cos(2)cos()( 111m11 θ+ω=θ+ω= tUtUtu , trenutna vrednost napona drugog elementa )cos(2)cos()( 222m22 θ+ω=θ+ω= tUtUtu , a trenutna vrednost napona redne veze

)cos(2)cos()()()( m21 θ+ω=θ+ω=+= tUtUtututu . Fazori (obrtni vektori), koji predstavljaju ova tri napona prikazani su na slici 2.17b.

Pošto je kružna učestanost svih tih prostoperiodičnih veličina ista, svi fazori se obrću sinhrono (istom brzinom), u matematički pozitivnom smeru. Pri tome fazori zadržavaju iste međusobne odnose, tj. uglovi između fazora se ne menjaju. Ti uglovi predstavljaju odgovarajuće fazne razlike.

Iz matematike je poznato da je projekcija zbira dva vektora jednaka zbiru njihovih projekcija. Stoga se fazor koji predstavlja zbir dva napona dobija jednostavno vektorskim sabiranjem fazora koji predstavljaju ta dva pojedinačna napona. (Sabiranje se može uraditi, na primer, po pravilu paralelograma ili nadovezivanjem vektora.) Pošto se svi fazori okreću istom (konstantnom) ugaonom brzinom, projekcija rezultantnog fazora na faznu osu je prostoperiodična veličina. Iz svega sledi da je zbir dve prostoperiodične veličine iste učestanosti takođe prostoperiodična veličina te iste učestanosti.

2.7.2. Zaustavljeni obrtni vektori

Obrtanje fazora je jednoznačno određeno ako je poznat položaj fazora (obrtnog vektora) u trenutku 0=t (slika 2.17c): sliku koja sadrži fazore za 0=t treba rotirati za ugao tω da bi se dobila slika fazora u trenutku t. Zbog toga ćemo nadalje posmatrati samo fazore u početnom trenutku ( 0=t ). Možemo zamisliti da se takva slika dobija fotografisanjem obrtnih fazora u trenutu 0=t ili zaustavljanjem obrtnih vektora u tome trenutku (zaustavljeni fazori).

Slika 2.17.

30

Najzad, kao što je ranije napomenuto, u tehničkim primenama se pretežno operiše sa efektivnim vrednostima, a ne sa amplitudama. Da bi se izbeglo množenje i deljenje sa 2 , ubuduće ćemo crtati fazore tako da su njihove dužine srazmerne efektivnim vrednostima, a ne amplitudama (slika 2.17d) prostoperiodičnih veličina. Poređenjem slika 2.17c i 2.17d vidi se da je u stvari samo promenjena razmera crteža. Takve fazore, zaustavljene i podeljene sa 2 , označavaćemo crtom ispod simbola. Na primer, fazor koji predstavlja napon )cos(2)( θ+ω= tUtu , označićemo sa U . Dužina toga fazora jednaka je efektivnoj vrednosti napona )(tu , U, a ugao koji fazor zaklapa sa faznom osom jednak je početnoj fazi napona, θ. Da bismo to posebno naglasili, fazor napona pišemo u obliku θ= |UU . Uprošćeno ćemo govoriti da je U fazor napona )(tu .

2.7.3. Fazorski dijagrami

Crtež skupa fazora koji predstavljaju napone i struje nekog kola naziva se fazorski dijagram. Koristeći se fazorskim dijagramima, moguće je analizirati neka jednostavnija kola.

Kao uvod u tu analizu, posmatrajmo osnovne pasivne elemente, otpornik, kalem i kondenzator. Referentni smerovi su usaglašeni, kao za prijemnik. U tabeli 2.1 prikazane su osnovne relacije i fazorski dijagrami napona i struja tih elemenata.

Fazor napona elementa označavamo sa θ= |UU , a fazor struje sa ψ= |II . Količnik dužina (modula) fazora napona i struje jednak je impedansi elementa (Z), a ugao između fazora struje i fazora napona jednak je faznoj razlici napona i struje (Φ).

Tabela 2.1.

Element Osnovna relacija I

UZ = ψ−θ=φ Fazorski dijagram

Riu = R 0

tiLu

dd

= Lω 2π

tuCi

dd

= Cω1

2π

−

Napon i struja otpornika su u fazi, pa su fazori napona i struje otpornika kolinearni. Napon

kalema fazno prednjači struji za 2/π . Stoga su fazori napona i struje uzajamno normalni. Pravac i smer fazora napona dobijaju se rotacijom fazora struje za 2/π u matematički pozitivnom smeru. Napon kondenzatora fazno kasni za strujom za 2/π . Fazori napona i struje su uzajamno normalni, a pravac i smer fazora napona se dobijaju rotacijom fazora struje za 2/π u matematički negativnom smeru.

Fazorski dijagrami za idealne generatore su veoma jednostavni, pa ih nećemo crtati. Za

referentne smerove kao na slici 1.2 i 1.9, fazor napona idealnog naponskog generatora se poklapa sa

31

fazorom elektromotorne sile (tj. EU = ), dok je fazor struje proizvoljan. Za referentne smerove kao na slici 1.9b, kod idealnog strujnog generatora je gII = , dok je fazor napona proizvoljan.

Do sada smo na električnim šemama napone i struje označavali njihovim trenutnim vrednostima (napisanim pored odgovarajućeg referentnog smera). U cilju uprošćenja tih šema, nadalje ćemo prostoperiodične napone i struje označavati samo njihovim efektivnim vrednostima (napisanim pored odgovarajućeg referentnog smera). Na slici 2.18a je prikazan primer takvih oznaka. Element prikazan na toj slici je proizvoljan pasivni element (otpornik, kalem, kondenzator ili njihova kombinacija, koja ima dva priključka). Oznaka za takav element je Z (oznaka impedanse toga elementa). Na slici 2.18b je prikazan odgovarajući fazorski dijagram.

Slika 2.18.

2.7.4. Redna veza otpornika i kalema

Posmatrajmo rednu vezu otpornika i kalema, prikazanu na slici 2.19a. To je ista redna veza kao sa slike 2.15, samo uz promenjene oznake. Pretpostavimo da je poznato: otpornost (R), induktivnost (L), efektivna vrednost napona (U) i njegova početna faza (θ). (Uvek pretpostavljamo da je poznata učestanost, odnosno kružna učestanost.) Zadatak je da se odredi efektivna vrednost struje (I) i njena početna faza (ψ).

Struja je zajednička za oba elementa, pa je pri crtanju fazorskog dijagrama lakše krenuti od fazora struje (slika 2.19b), nego od fazora napona. Takođe, fazor struje je pogodno postaviti horizontalno. Međutim, u tom slučaju ne smemo odmah ucrtati faznu osu. Ako bi, na primer, i nju ucrtali horizontalno, to bi značilo da je 0=ψ , čime pravimo grubu grešku. Stoga ćemo faznu osu ucrtati na kraju.

Pošto ni efektivna vrednost struje nije poznata, crtamo samo kvalitativan dijagram, unoseći dužinu fazora I proizvoljno. S obzirom da su referentni smerovi napona i struje usaglašeni za oba elementa, na osnovu tabele 2.1 ucrtavamo fazor napona otpornika ( RU ) kolinearno sa fazorom struje, a fazor napona kalema ( LU ) normalno na fazor I, zakrenut za ugao 2/π u matematički pozitivnom smeru. Kada su zadate konkretne brojne vrednosti za R, L i ω, možemo voditi računa o odnosu dužina fazora napona, tj. )/()/(/ LRLIRIUU LR ω=ω= jer je RIU R = i LIU L ω= .

Zatim ucrtavamo fazor napona redne veze, LR UUU += . Tim korakom već je određen ugao između fazora U i I , odnosno fazna razlika između napona i struje (Φ). Redosled crtanja fazorskog dijagrama prikazan je na slici 2.19b. Iz pravouglog trougla koji čine fazori napona (trougao napona)

imamo RLω

=φ arctg .

Na kraju, ucrtavamo faznu osu tako da ugao između fazora U i fazne ose bude jednak zadatoj početnoj fazi napona (θ). Ugao između fazne ose i fazora I jednak je traženoj početnoj fazi

struje (ψ). Računski, RLω

−θ=φ−θ=ψ arctg . Umesto ovakvog postupka, fazna osa se može ucrtati horizontalno, a onda se svi fazori zarotiraju za isti ugao (θ) tako da se dobije odgovarajući ugao između fazne ose i fazora U.

32

Efektivna vrednost struje se može odrediti računski, koristeći se nacrtanim fazorskim dijagramom. Pošto je ugao između fazora RU i LU prav, po Pitagorinoj teoremi imamo

222LR UUU += , odakle je 2222 )( LRIUUU LR ω+=+= . Odavde je

22 )(/ LRUI ω+=

gde je 22 )( LRZ ω+= impedansa redne veze otpornika i kalema. Uočimo da se impedansa otpornika ( R ) i impedansa kalema ( Lω ) ne sabiraju.

Slika 2.19.

Fazorski dijagram sa slike 2.19b se može nacrtati i na drugi način, polazeći od poznatog

fazora napona (U), kao što je prikazano na slici 2.20. Sa slike 2.19b se vidi da je ugao kod tačke A (slika 2.20) prav ( 2/π ). Stoga se tačka A mora nalaziti na krugu konstruisanom nad fazorom U kao prečnikom. (Taj krug je geometrijsko mesto tačaka pod kojim se data duž, u ovom slučaju fazor U,

vidi pod pravim uglom.) Ugao Φ je poznat ( RLω

=φ arctg ). U ovom primeru taj ugao može biti u

granicama 2/0 π<φ< . Preciznije rečeno, tačka A se zato mora nalaziti na desnom polukrugu na slici 2.20.

Slika 2.20.

Prvi korak crtanja dijagrama je ucrtavanje fazne ose i fazora napona U. Zatim se konstruiše krug nad tim fazorom kao prečnikom i povuče poluprava na kojoj leži fazor RU , pod uglom Φ u odnosu na fazor U. Presek te poluprave i polukruga je tačka A, koja predstavlja vrh fazora RU . Ugao između te poluprave i fazne ose je traženi ugao ψ. U dijagram se mogu ucrtati fazori RU i LU (mada to nije neophodno). Najzad, dužina fazora struje se određuje računski. To se može uraditi

33

polazeći od efektivne vrednosti bilo koga napona (U, RU ili LU ) deleći je odgovarajućom impedansom (Z, R, odnosno Lω ).

Da je u posmatranom primeru bila zadata struja, a ne napon, konstruisanje fazorskog dijagrama na slici 2.19b bi bilo nešto jednostavnije. U prvom koraku, krene se od fazora struje, koji se ucrta zajedno sa faznom osom. (Fazor struje se može postaviti horizontalno, a fazna osa pod odgovarajućim uglom.) U drugom koraku se ucrtaju fazori napona otpornika i kalema, a u poslednjem koraku se ta dva fazora saberu, čime se dobija fazor napona redne veze.

2.7.5. Redna veza otpornika, kalema i kondenzatora

Drugi primer je redna veza otpornika, kalema i kondenzatora, prikazana na slici 2.21a. Pretpostavimo da je poznato: otpornost (R), induktivnost (L), kapacitivnost (C), efektivna vrednost napona (U) i njegova početna faza (θ). Zadatak je da se odredi efektivna vrednost struje (I) i njena početna faza (ψ).

Fazorski dijagram je prikazan na slici 2.21b. Crtamo polazeći od fazora I. Fazor RU je kolinearan sa fazorom struje, a fazori LU i CU normalni na fazor I. Pri tome je RIU R = , LIU L ω= i

)/( CIUC ω= . Pri crtanju slike 2.21b je pretpostavljeno da je CL UU > . Fazor napona redne veze je CLR UUUU ++= . Pogodno je prvo sabrati fazore LU i CU nadovezivanjem (crticama je prikazan

fazor CU nadovezan na LU ), a potom (nadovezivanjem ili paralelogramom) tom zbiru dodati fazor

RU . Fazna razlika između napona i struje je RCL )/(1arctg ω−ω

=φ i može biti u granicama 2/2/ π<φ<π− . Na kraju, ucrtamo faznu osu. Kako je

2222 1)( ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ω−ω+=−+=

CLRIUUUU CLR

imamo ZUI /= , gde je impedansa redne veze otpornika, kalema i kondenzatora jednaka 2

2 1⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ω−ω+=

CLRZ , što se može videti i iz tzv. trougla otpornosti (slika 2.21c), koji prozilazi iz

fazorskog dijagrama na slici 2.21b). Može biti i trougao napona, ako se otpornosti pomnože sa strujom.

Slika 2.21.

34

Iz izraza za impedansu redne veze otpornika, kalema i kondenzatora zaključujemo da se ni

impedanse kalema ( Lω ) i kondenzatora ( Cω1

) ne sabiraju. Ako je 0=R , onda je CLZ

ω−ω=

1.

(Obratiti pažnju na modul.) Ova naizgled nejasna situacija postaće jednostavna kada budemo uveli kompleksne impedanse, jer će se kod redne veze kompleksne impedanse jednostavno sabirati.

Kolo sa slike 2.21a naziva se redno, prosto ili rezonantno oscilatorno kolo. O rezonantnim kolima ćemo još govoriti u poslednjem poglavlju. Uočimo sa fazorskog dijagrama na

slici 2.21b da je, u posebnom slučaju, kada je CL

ω=ω

1, odnosno kada je CL UU = , zbir 0=+ CL UU

(nacrtajte fazorski dijagram za ovaj slučaj). Tada su napon i struja oscilatornog kola u fazi ( 0=φ ), a impedansa je RZ = (realna), kao da u posmatranoj grani postoji samo otpornik, a da kalema i kondenzatora nema. Kažemo da je tada kolo u rezonanciji (zove se i fazna rezonancija, ili

naponska rezonancija). Uslov rezonancije se može napisati i u obliku LC1

r =ω , odnosno

LCf

π=

21

r , gde je rω rezonantna kružna učestanost ( rf je rezonantna učestanost) posmatranog

kola. Tada je RUI = , a UU R = . Ako je CL UU > ( C

Lω

>ω1

, odnosno rω>ω ), tada je 0>φ , što je

slučaj prividno isti kao redna veza otpornika i nekog kalema. Za posmatrano kolo kažemo da je tada

pretežno induktivno. Najzad, ako je CL UU < ( CL

ω<ω

1, odnosno rω<ω ), tada je 0<φ , što je

prividno isto kao redna veza otpornika i nekog kondenzatora, a za kolo kažemo da je pretežno kapacitivno.

2.7.6. Paralelna veza otpornika, kalema i kondenzatora

Paralelna veza otpornika, kalema i kondenzatora prikazana je na slici 2.22a. Pretpostavimo da je poznato: otpornost (R), induktivnost (L), kapacitivnost (C), efektivna vrednost napona (U) i njegova početna faza (θ). Zadatak je da se odredi efektivna vrednost struje (I) i njena početna faza (ψ).

Fazorski dijagram je prikazan na slici 2.22b. Pri crtanju slike 2.22b je pretpostavljeno da je LC II > . Nacrtajte sami trougao provodnosti. Fazna razlika između napona i struje je

RLC

/1)/(1arctg ω−ω

−=φ i može biti u granicama 2/2/ π<φ<π− . Admitansa ove paralelne veze je 2

211⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ω−ω+=

LC

RY , a impedansa Y

Z 1= . Iz ovog primera zaključujemo da se kod paralelne veze

admitanse otpornika ( R/1 ), kalema ( Lω1

) i kondenzatora ( Cω ) ne sabiraju.

Kolo sa slike 2.22a naziva se paralelno ili antirezonantno oscilatorno kolo. Kada je

CL II = , odnosno kada je CL

ω=ω

1, napon i struja ovog oscilatornog kola su u fazi ( 0=φ ), odnosno

CL II −= (nacrtajte fazorski dijagram za ovaj slučaj). Impedansa kola je RZ = (realna), a kolo u antirezonanciji. Uslov (fazne) antirezonancije (zove i strujna rezonancija) se može napisati i u

obliku LC1

r =ω , odnosno LCf

π=

21

r . Ako je CL

ω>ω

1, odnosno rω>ω , tada je 0<φ , pa je kolo

pretežno kapacitivno. Ako je CL

ω<ω

1, odnosno rω<ω , tada je 0>φ , pa je kolo pretežno

induktivno. Paralelno oscilatorno kolo se može prikazati i kao na slici 22c. U ovom slučaju se dolazi do

istog rezultata za antirezonantnu učestanost, pod uslovom da je LR ω<< , kada se dobija

35

( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=+

−≈+

+−

=++

=L

CjLRCj

LLjRCj

LRLjRCj

LjRY e ω

ωω

ωω

ωωωωω

ω11

2222 . Odakle je

LC1

r =ω , pri čemu je ( ) pRU

LRUI == 2ω , što je isto kao da se radi o paralelno vezanom

( )RLRp

2ω= (slika 2.22d), tj. R redno vezano sa L, se preslikava u Rp paralelno vezano sa L.

Slika 2.22.

Kada je u kolu sa slike 2.22c, R=0 (što nije realno, ali R može biti vrlo malo), tada je struja kroz zajedničku granu 0=I , ali kroz paralelne grane (L i C) postoji struja i ispunjava uslov

0=+ CL II (energija sadržana u antirezonantnom kolu se razmenjuje između L i C, bez gubitaka, kolo bi moglo da se odvoji od izvora, i razmena bi se nastavila, teorijski beskonačno dugo)..

2.8. Snaga u mrežama sa prostoperiodičnim strujama

U okviru odeljka 2.5 o elementima kola u periodičnom režimu već smo se upoznali sa trenutnom i srednjom snagom otpornika, kalema i kondenzatora. Sada ćemo dopuniti te pojmove. Posmatraćemo prijemnike (slika 2.23a) i generatore (slika 2.23b). Usvojićemo, kao i do sada usaglašene referentne smerove za prijemnike i generatore.

Slika 2.23.

36

2.8.1. Trenutna i srednja snaga prijemnika

Posmatrajmo najpre prijemnik (slika 2.23a). Kanonični oblici napona i struje prijemnika su )cos(2)( θ+ω= tUtu , odnosno )cos(2)( ψ+ω= tIti . Fazna razlika napona i struje je ψ−θ=φ .

Zamenom izraza za napon i struju, dobija se ( ) ( )ψ+ωθ+ω= ttUItp coscos2)( .

Na osnovu trigonometrijskog identiteta [ ])cos()cos(21coscos βαβαβα −++= imamo

( )[ ])cos(2cos)( ψθψθω −+++= tUItp Prvi član u ovome izrazu, ( )ψ+θ+ωtUI 2cos , je prostoperiodična funkcija dvostruko više

učestanosti od učestanosti napona ili struje. Srednja vrednost toga člana je nula. Drugi član, )cos()cos( φ=ψ−θ= UIUIP

je konstantan i predstavlja srednju (''aktivnu'') snagu prijemnika. Ovaj rezultat je u skladu sa zaključcima izvedenim za srednje snage otpornika, kalema i kondenzatora (odeljak 2.5). Na slici 2.24 prikazana je trenutna snaga prijemnika sa slike 2.23a, )()()( titutp = (za slučaj kada je prijemnik pretežno induktivan).

Osnovna jedinica za trenutnu i srednju snagu je vat (W). Od svih snaga koje se razmatraju u ovome odeljku, jedino te dve snage imaju fizičku interpretaciju, dok su ostale snage veštački uvedene veličine.

Ako je posmatrani element kola stvarno pasivan (prijemnik), mora biti 0≥P . Odavde sledi

uslov 0cos ≥φ (uslov pasivnosti), odnosno 22π

≤φ≤π

− . S obzirom da je Φ argument kompleksne

impedanse prijemnika, sledi da Z mora biti u desnoj poluravni ili na imaginarnoj osi. Ako je u

desnoj poluravni, tada je 0>P . Ako je na imaginarnoj osi ( 2π

−=φ ili 2π

=φ ), tada je 0=P (čisto reaktivan prijemnik).

Slika 2.24.

2.8.2. Prividna snaga prijemnika

Iako nema fizičkog osnova za to, možemo formalno izračunati proizvod efektivnih vrednosti napona i struje, UIS = . Taj proizvod bi bio jednak srednjoj snazi samo kada bi bilo 0=φ (odnosno

1cos =φ ), tj. ako bi prijemnik bio čisto rezistivan. Inače je SP < . Proizvod UIS = se stoga naziva prividnom snagom. Da bi se prividna snaga što bolje razlikovala od snaga koje imaju fizički smisao (trenutne snage i srednje snage), jedinica za nju je volt-ampter (VA). Prividna snaga koristi u nekim praktičnim proračunima (na primer, dimenzionisanje transformatora).

2.8.3. Faktor snage prijemnika

Na osnovu definicije prividne snage, možemo pisati kSSP =φ= cos . Koeficijent

37

SPk /cos =φ= naziva se faktor snage. Za prijemnike je uvek 1≤k .

Faktor snage je maksimalan za čisto rezistivne (aktivne, otporne) prijemnike ( 1=k za 0=φ ). Za čisto reaktivne prijemnike je 0=k .

2.8.4. Reaktivna snaga prijemnika

Da bi se napravila ''simetrija'' sa srednjom snagom, φ= cosUIP , uvodi se reaktivna snaga, φ=φ= sinsin SUIQ . Jedinica za reaktivnu snagu je volt-amper reaktivni (var).

Jedna interpretacija reaktivne snage se dobija iz sledećeg izvođenja. U elektroenergetskim sistemima, generatori i prijemnici su, grubo govoreći, vezani paralelno. Za to postoji više tehničkih razloga. Na primer, da su aparati vezani redno, isključivanje jednog aparata bi poremetilo celu mrežu. Zbog te paralelizacije, često se prijemnik proizvoljnog karaktera ekvivalentno prikazuje u vidu paralelne veze jednog čisto rezistivnog elementa (otpornika) i jednog čisto reaktivnog elementa: kalema ako je prijemnik pretežno induktivan, a kondenzatora ako je prijemnik pretežno kapacitivan, kao na slici 2.25.

I

R LU

IR IL

I

RU

IR IC

C

I

RU

> 0 0 0

Slika 2.25. Ekvivalentiranje prijemnika sa slike 2.23a paralelnom vezom rezistivnog i reaktivnog

elementa.

Pošto je paralelna veza u svemu ekvivalentna posmatranom prijemniku, to su im i snage iste pri istom naponu između priključaka. (Posmatramo napon, a ne struju, jer je napon kod paralelne veze zajednički za oba elementa.) Izraz za trenutnu snagu posmatranog prijemnika,

( ) ( )ψ+ωθ+ω= ttUItp coscos2)( , transformisaćemo tako da izdvojimo deo koji odgovara otporniku i deo koji odgovara paralelno vezanom reaktivnom elementu sa slike 2.25.

Izražavajući početnu fazu struje preko početne faze napona i odgovarajuće fazne razlike, imamo ( ) ( )φ−θ+ωθ+ω= ttUItp coscos2)( . Koristeći se trigonometrijskim identitetom

βα+βα=β−α sinsincoscos)cos( , razvijamo drugi kosinus u izrazu za snagu, čime dobijamo ( ) ( ) ( )[ ]φθωφθωθω sinsincoscoscos2)( ++++= tttUItp , i primenom ( ) ( )[ ]βαβαβα −−+= sinsin

21sincos , je

( ) ( )θωφθωφ 22sinsincoscos2)( 2 +++= tUItUItp . (1) Poredeći sa izrazima za trenutne snage iz odeljka 2.5, vidimo da prvi član odgovara trenutnoj

snazi čisto rezistivnog elementa, a drugi član odgovara trenutnoj snazi čisto reaktivnog elementa (kalema ako je 0>φ , a kondenzatora ako je 0<φ ).

Prvi član se, kao i kod otpornika, može dalje predstaviti u vidu zbira konstante (jednake srednjnoj vrednosti) i prostoperiodičnog člana dvostruke učestanosti,

( ) ( ) 022coscoscoscoscos2 2 ≥θ+ωφ+φ=θ+ωφ tUIUItUI . Drugi član izraza (1) je prostoperiodičan dvostruke učestanosti, a njegova amplituda je jednaka

reaktivnoj snazi.

38

2.8.5. Faktor reaktivnosti prijemnika

Kao ''simetrija'' faktoru snage, uvodi se faktor reaktivnosti, SQk /sinr =φ= (odnosno SkQ r= ). Faktor reaktivnosti može biti u granicama 11 r ≤≤− k . Za čisto reaktivne prijemnike, 1|| r =k , za pretežno kapacitivne prijemnike, 0r <k , za pretežno induktivne prijemnike, 0r >k , a za čisto rezistivne prijemnike, 0r =k .

Očigledno važi 22 QPS += . Ako su poznati S i Q, P je jednoznačno određeno, 22 QSP −= , jer je za prijemnike 0≥P . Međutim, Q se iz S i P može odrediti samo sa tačnošću do znaka,

22 PSQ −±= . Potreban je još neki uslov (na primer, podatak da li je prijemnik pretežno kapacitivan ili induktivan), da bi se razrešila dilema oko znaka. Za faktor snage i faktor reaktivnosti važi relacija 12

r2 =+ kk . Slično kao kod snaga, k je jednoznačno određeno ako je poznato rk , ali je

rk određeno sa tačnošću do znaka ako je poznato k.

39

3. REŠAVANJE ELEKTRIČNIH MREŽA SA PROSTOPERIODIČNIM STRUJAMA KOMPLEKSNIM RAČUNOM

Glavni alat za analizu električnih kola u prostoperiodičnom režimu je račun sa kompleksnim

brojevima, odnosno kompleksnim predstavnicima napona, struja i drugih veličina u kolu. Kompleksni račun se može uvesti u analizu prostoperiodičnog režima u električnim kolima na razne načine. Jednostaviji način je pomoću fazora.

3.1. Predstavljanje fazora kompleksnim brojevima

Posmatramo zaustavljene fazore čije su dužine jednake efektivnim vrednostima (slika 3.1a, koja odgovara slici 2.18b). U odeljku o fazorima pokazali smo da takvi fazori u potpunosti predstavljaju prostoperiodične veličine (u prostoperiodičnom režimu). Preklopimo ravan u kojoj leže ti fazori i kompleksnu ravan, tako da se poklapaju koordinatni počeci, a da se fazna osa poklapa sa realnom osom (slika 3.1b). Vrhu svakog fazora sa slike 3.1a odgovara jedan i samo jedan kompleksni broj12. Prema tome, između prostoperiodičnih veličina i kompleksnih brojeva postoji biunivoka korespondencija.

Slika 3.1.

Kompleksni predstavnici prostoperiodičnih veličina

Kompleksni broj koji odgovara fazoru označićemo na isti način kao i sam fazor. Na primer, fazor U na slici 3.1b predstavlja prostoperiodični napon )cos(2)( θ+ω= tUtu . Odgovarajući kompleksni broj, U, je kompleksni predstavnik napona )(tu , a skraćeno ćemo ga zvati kompleksnim naponom. Modul kompleksnog napona jednak je efektivnoj vrednosti prostoperiodičnog napona, a argument kompleksnog napona jednak je početnoj fazi prostoperiodičnog napona. Dakle,

)jexp( θ=UU . Najjednostavniji način za formiranje kompleksnog predstavnika prostoperiodične veličine

(prelazak iz vremenskog domena u kompleksni) je da se ona napiše u kanoničnom obliku. Iz tog oblika se identifikuju efektivna vrednost i početna faza. Na kraju, formira se kompleksni broj čiji je modul jednak efektivnoj vrednosti, a argument jednak početnoj fazi.

12 Svaki kompleksni broj može se predstaviti tačkom u kompleksnoj ravni. Ta tačka se može opisati bilo svojim koordinatama (realni i imaginarni deo kompleksnog broja), bilo svojim odstojanjem od koordinatnog početka (moduo kompleksnog broja) i uglom koji ta duž zaklapa sa realnom osom (argument kompleksnog broja).

40

Primer 3.1. Neka je zadat prostoperiodični napon Vsin10)( ttu ω= . U kanoničnom obliku, ( ) V

2cos225)( ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−ω= ttu . Efektivna vrednost napona je V25=U , a početna faza je 2π

−=θ .

Kompleksni napon je V25jV)2

jexp(25 −=π

−=U .

Ako je poznat kompleksni predstavnik neke prostoperiodične veličine, ta veličina se u

vremenskom domenu najjednostavnije rekonstruiše na sledeći način (prelazak iz kompleksnog domena u vremenski). Kompleksni predstavnik se napiše u eksponencijalnom obliku, iz koga se identifikuju modul i argument. Veličina u vremenskom domenu se zatim napiše u kanoničnom obliku, pri čemu je efektivna vrednost jednaka modulu kompleksnog predstavnika, a početna faza jednaka argumentu. (Podrazumeva se da je kružna učestanost poznata.)

Primer 3.2. Neka je poznata kompleksna struja A)j1( −−=I . U eksponencijalnom obliku,

A)4

3jexp(2 π−=I . Vektor koji odgovara kompleksnoj struji leži u trećem kvadrantu. Dakle,

efektivna vrednost struje je A2=I , a početna faza 43π

−=ψ . Konačno je trenutna vrednost struje

A4

3cos2)( ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−ω= tti .

Uvođenjem kompleksnih predstavnika, zamenili smo fazorski račun kompleksnim računom.

To je pogodnije za rešavanje većine problema analize kola u prostoperiodičnom režimu. Pomoću računara, moguće je primenom kompleksnog računa rešavati i veoma složena kola, sa stotinama i hiljadama elemenata.

Složena kola prostoperiodične struje rešavaju se na sličan način kao i kola vremenski konstantnih struja, polazeći od prvog i drugog Kirhofovog zakona, kao i relacija između napona i struja elemenata, odnosno grana. Iz Kirhofovih zakona se izvode metod konturnih struja i metod potencijala čvorova, koji obezbeđuju manji sistem jednačina nego direktna primena Kirhofovih zakona. Jednačine za kola u prostoperiodičnom režimu pišu se u kompleksnom domenu, a formalno imaju isti oblik kao jednačine za kola vremenski konstantnih struja, samo su ''obični'' naponi i struje zamenjeni kompleksnim, a otpornosti zamenjene kompleksnim impedansama.

3.2. Kirhofovi zakoni u kompleksnom obliku. Impedansa i admitansa

Kao što je izloženo u odeljku o analizi kola promenjivih struja u vremenskom domenu, smatramo da za ta kola važe Kirhofovi zakoni. Formulacija Kirhofovih zakona i topološki principi formiranja jednačina po ovim zakonima isti su kao kod vremenski konstantnih struja. Kada se, za kola u prostoperiodičnom režimu, jednačine po Kirhofovim zakonima napisane u vremenskom domenu preslikaju u kompleksni domen, dobijaju se jednačine koje su formalno potpuno iste kao za kola vremenski konstantnih struja13, samo što su simboli za napone i struje podvučeni, jer se sada radi sa kompleksnim predstavnicima napona i struja.

13 Do Kirhofovih zakona u kompleksnom obliku može se doći i preko Kirhofovih zakona u algebarskom obliku, o čemu se može videti u prilogu, na kraju ove skripte.

41

Prvi Kirhofov zakon

Za kolo koje ima čn čvorova i gn grana (povezani graf), po prvom Kirhofovom zakonu se može postaviti )1( č −n linearno nezavisna jednačina. Na primer, te jednačine pišemo za sve čvorove osim jednog. Za jedan čvor, jednačina po Kirhofovom zakonu ima oblik

∑ = 0I ,

tj. algebarski zbir struja grana koje se stiču u tom čvoru je nula. Predznak struje grane je “+” ako je referentni smer grane od čvora, a “–“ ako je referentni smer ka čvoru.

Drugi Kirhofov zakon

Broj linearno nezavisnih jednačina po drugom Kirhofovom zakonu je )1( čgk −−= nnn . Te jednačine imaju oblik

∑ = 0U ,

tj. algebarski zbir napona svih grana duž proizvoljnog zatvorenog puta (konture) u kolu jednak je nuli. U taj zbir napon ulazi sa predznakom “+” ako se smer obilaska konture poklapa sa referentnim smerom napona (referentni smer napona je od negativnog ka poyitivnom kraju), a “–“ ako su ti smerovi suprotni.

Alternativni oblik II Kirhofovog zakona je

( ) 0, =−∑ IZE

Zbir je algebarski, a sabiranje ide duž odabrane konture. Pravila o predznacima su ista kao kod računanja napona između dve tačke u kolu. Međutim, ovaj oblik drugog Kirhofovog zakona važi pod uslovom da kontura ne prolazi kroz granu sa idealnim strujnim generatorom (ISG).

Ako u kolu ima ISG, onda je postupak isti kao kod rešavanja kola stalnih struja. Sistem kontura se odabere tako da kroz granu sa ISG prolazi jedna i samo jedna kontura. Za tu konturu se ne sme pisati jednačina oblika ( ) 0, =−∑ IZE . Umesto te jednačine, imamo jednačinu da je struja grane jednaka struji strujnog generatora (sa predznakom + ili -, zavisno od toga da li se smerovi struje grane i strujnog generatora poklapaju ili ne). Ovakva procedura se primenjuje na svaki ISG koji postoji u kolu. Da bi se kolo moglo jednoznačno rešiti, ISG moraju tako biti raspoređeni u kolu da se može formirati (makar jedno) stablo grafa kola koje ne sadrži nijednu granu sa ISG. Drugim rečima, mora postojati makar jedno stablo grafa takvo da sve grane sa ISG pripadaju kostablu.

Izbor kontura

Konture se mogu izabrati na razne načine, kao i kod kola vremenski konstantnih struja. Na šemama ćemo konture crtati i označavati kao i kod vremenski konstantnih struja.

Prvi način je da se za konture uzmu elementarne konture (okca). Taj postupak je primenljiv samo na planarne grafove. Kod nekih formulacija jednačina (po drugom Kirhofovom zakonu i po metodu konturnih struja) poteškoću pravi svaki idealni strujni generator koji se nalazi u grani zajedničkoj za dva okca.

Drugi način je heuristički algoritam. Prva kontura se odabere proizvoljno, a svaka naredna tako da sadrži bar jednu granu koju ne sadrže prethodno odabrane konture. Ovaj postupak nekada jednostavno dovodi do odgovarajućeg sistema kontura, ali ima situacija kada izbor kontura zapadne u ćorsokak. Primer je kolo čiji je graf prikazan na slici 3.2. Ako kao prvu konturu odaberemo levo okce, a kao drugu desno okce, više ne postoji nijedna grana koja nije uključena u ove dve konture, tako da algoritam ne može pronaći treću konturu, iako je očigledno da bi to moglo da bude srednje okce. Dodatnu komplikaciju kod heurističkog algoritma izazivaju idealni strujni generatori ukoliko jednačine koje se pišu zahtevaju da jedan generator može pripadati jednoj i samo jednoj konturi.

42

Slika 3.2.

Treći način je izbor nezavisnih kontura zasnovan na topološkoj analizi, polazeći od stabla grafa. Broj grana stabla je )1( č −n za kola koja posmatramo u okviru ovog predmeta (kola sa povezanim grafom). Ostale grane (spojnice), njih )1( čgk −−= nnn , čine kostablo. Svakoj spojnici se pridruži jedna i samo jedna kontura. Ta kontura obuhvata posmatranu spojnicu, a ostale grane konture su odgovarajuće grane stabla. Grane sa ISG moraju biti u kostablu ako se za konture pišu jednačine u obliku koji zahteva da jedan strujni generator pripada jednoj i samo jednoj konturi.

3.2.1. Kompleksna impedansa i admitansa

Kod otpornika, za usaglašene referentne smerove, u vremenskom domenu važi relacija )()( tRitu = . Operacije sa fazorima direktno se preslikavaju na operacije sa kompleksnim brojevima,

što sledi iz načina uvođenja kompleksnog računa. U relaciji između napona i struje otpornika imamo samo množenje konstantom, koje se u kompleksnom domenu preslikava na množenje istom (realnom) konstantom. Stoga su kompleksni napon i kompleksna struja otpornika povezani relacijom IRU = . Ova jednačina je formalno ista kao za odgovarajuće fazore. Međutim, u domenu fazora ne definišemo deljenje fazora, dok u domenu kompleksnih brojeva nema problema da delimo kompleksne predstavnike. Tako odavde imamo RIU =/ . Videćemo da se količnik kompleksnog napona i struje može formirati za bilo koji prijemnik. Taj količnik se naziva kompleksnom impedansom prijemnika (obično se kaže samo ''impedansa''), odnosno

IUZ /= Jedinica je om (Ω). Za otpornik je RZ = i čisto je relan broj. U opštem slučaju, međutim, kompleksna impedansa je kompleksan broj koji pišemo u

obliku )jexp( φ= ZZ , gde je Z modul kompleksne impedanse, a Φ njen argument. Iz relacije IUZ /= sledi IUZ /= , tj. modul kompleksne impedanse jednak je količniku efektivnih vrednosti

napona i struje prijemnika. Dakle, modul kompleksne impedanse je isto što i impedansa definisana u vremenskom domenu. To se slaže sa rezultatom koji smo dobili za otpornik jer je RZ = . Iz relacije IUZ /= sledi i ψ−θ=φ , odnosno argument kompleksne impedanse jednak je faznoj razlici napona i struje prijemnika. Kompleksna impedansa otpornika je čisto realna, što znači da je njen argument 0=φ , pa su napon i struja u fazi. To je, takođe, u skladu sa rezultatima dobijenim analizom u vremenskom domenu. Kompleksna impedansa impedansa kalema je kalema LZ ωj= , a kondenzatora )/(j)j/(1 CCZ ωω −== .

Kompleksna admitansa je recipročna vrednost kompleksne impedanse,

ZY /1= Argument kompleksne admitanse je φ− , odnosno predstavlja faznu razliku između struje i

napona prijemnika. Kompleksna admitansa otpornika je GRY == /1 , kalema )/(j)j/(1 LLY ω−=ω= , a kondenzatora CY ω= j . Jedinica je simens (S). I ovi izrazi se slažu sa rezultatima analize u vremenskom domenu. O kompleksnoj impedansi i admitansi biće još reči kasnije.

Na osnovu svega izloženog, u kompleksnom domenu su relacije između napona i struje obične algebarske relacije oblika IZU = ili UYI = (pri usaglašenim referentnim smerovima).

43

3.2.2. Rezistansa, reaktansa, konduktansa i susceptansa

U opštem slučaju proizvoljnog prijemnika (koji se sastoji od otpornika, kalemova i kondenzatora), kompleksnu impedansu možemo rastaviti na realni i imaginarni deo, tj. pisati

XRZ j+= ,

gde je ZR Re= realni deo kompleksne impedanse i naziva se rezistansom, dok je ZX Im= imaginarni deo i naziva se reaktansom. Jedinica za rezistansu i reaktansu je om (Ω).

Ne treba mešati oznaku za rezistansu i oznaku za otpornost otpornika. Kod redne veze otpornika i kalema je, slučajno, rezistansa jednaka otpornosti otpornika, dok je kod paralelne veze izraz za rezistansu složen.

Pošto je Z kompleksna veličina, može se grafički prikazati u kompleksnoj ravni (slika 3.3). Ovakav prikaz je isti kao za fazore, pa se naziva i fazorskim dijagramom, iako kompleksna impedansa nije prostoperiodična veličina.

Iz uslova pasivnosti (koji ćemo razmatrati u odeljku o snagama) za rezistansu sledi ograničenje 0≥R , dok reaktansa može biti proizvoljnog znaka.

Slika 3.3.

U algebarskom, eksponencijalnom i trigonometrijskom obliku izrazi za kompleksnu

impedansu glase: ϕ+ϕ==+= ϕ sinjcosej j ZZZXRZ . Odavde je ϕ= cosZR i ϕ= sinZX . Takođe

imamo 22 XRZ += . Pošto je 0≥R , mora biti π≤φ≤π− . Stoga je

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

==

<=π

−

>=π

>

=φ

0,0,0

0,0,2

0,0,2

0,arctg

XR

XR

XR

RRX

.

Analogno kompleksnoj impedansi, kompleksnu admitansu možemo pisati u obliku

BGY j+= ,

gde je YG Re= realni deo kompleksne admitanse i naziva se konduktansom, dok je YB Im= imaginarni deo i naziva se susceptansom. Jedinica za konduktansu i susceptansu je simens (S). Ne treba mešati oznaku za konduktansu i oznaku za provodnost otpornika.

Kompleksna admitansa se može prikazati u kompleksnoj ravni kao na slici 3.4

S obzirom da je ZY 1= , imamo φ−ν == jj e1e

ZYY , odnosno između modula važi relacija 1=ZY ,

a argumenti su suprotni, tj. φ−=ν (slika 3.5). Iako smo ovde uveli oznaku za argument kompleksne admitanse (ν), nju nećemo upotrebljavati, nego ćemo za argument uglavnom uzimati φ− .

Dakle, u Dekartovom, eksponencijalnom i trigonometrijskom obliku izrazi za kompleksnu admitansu glase: ϕ−ϕ==+= ϕ− sinjcosej j YYYBGY . Dalje je ϕ= cosYG i ϕ−= sinYB . Pošto je 0cos ≥φ

44

(jer ν ne može biti u II ni III kvadrantu), za konduktansu važi ograničenje 0≥G , dok susteptansa

može biti proizvoljnog znaka. Takođe imamo 22 BGY += i

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

==

<=π

>=π

−

>−

=φ

0,0,0

0,0,2

0,0,2

0,arctg

BG

BG

BG

GGB

.

Slika 3.4. Slika 3.5.

Iz relacije ZY 1= sledi 222222 jj

j1

XRX

XRR

XRXR

XRY

+−

+=

+

−=

+= , odnosno Z

RXR

RG =+

= 22 i

ZX

XRXB −=+

−= 22 .

Analogno se izvode obrnute relacije, YG

BGGR =+

= 22 i YB

YGBX −=+

−= 22 .

Treba zapaziti da je 1=RG samo u posebnom slučaju kada je 0=X (odnosno 0=B ). Takođe je 1−=XB samo u posebnom slučaju kada je 0=R (odnosno 0=G ).

Napomenimo da se ponegde u literaturi reaktansa kondenzatora definiše kao CX C ω

=1

, ali je

onda kompleksna impedansa kondenzatora CXZ j−= . Analogno važi i za susceptansu kalema.

3.2.3. Određivanje napona između dve tačke

Posledica drugog Kirhofovog zakona je da se napon između dve tačke u kolu može odrediti kao algebarski zbir napona duž proizvoljnog puta u kolu od druge tačke do prve, odnosno

∑=1

212 UU ,

uz isto pravilo o predznacima napona kao prilikom formiranja jednačina po drugom Kirhofovom zakonu.

Ako se duž putanje sumiranja napona nalaze samo idealni naponski generator (ING) i prijemnici (odnosno, ako duž putanje nema ISG), onda se napon može izračunati preko elektromotornih sila generatora i kompleksnih struja i impedansi prijemnika kao

( )∑ −=2

112 , IZEU .

Za svaki ING koji se nađe na putanji sumiranja napona, elektromotorna sila ulazi u zbir sa predznakom “+” ako se smer putanje i referentni smer elektromotorne sile poklapaju, inače je

45

predznak „-„. Za svaki prijemnik koji se nađe na putanji sumiranja, u zbir ulazi član oblika IZ− ako se smer putanje i referentni smer struje grane poklapaju, inače ulazi član oblika IZ+ .

3.3. Redna, paralelna i mešovita veza prijemnika. Ekvivalencija veze prijemnika u zvezdu i trougao.

Ovde ćemo posmatrati veze prijemnika, koji mogu da budu elementi (R, L ili C) ili njihove kombinacije.

3.3.1. Redna veza prijemnika

Posmatrajmo rednu vezu više, n, (pasivnih) prijemnika, prikazanu na slici 3.6a. Tu vezu želimo da ekvivalentiramo jednim pasivnim prijemnikom, čija je kompleksna impedansa eZ (slika 3.6b). (Na šemama se za proizvoljan pasivni element, pored pravougaonika kao simbola, ponekad označava samo modul kompleksne impedanse, radi jednostavnosti.)

Slično kao u analizi kola vremenski konstantnih struja, dve mreže su ekvivalentne ukoliko imaju identične relacije između kompleksnih napona i kompleksnih struja na svojim pristupima. Kod elementa sa slike 3.6b ta relacija glasi IZU e= . Da bismo odredili eZ , potrebna nam je veza između kompleksnog napona (U) i struje (I) posmatrane redne veze prijemnika. Iz drugog Kirhofovog zakona, kompleksni napon te redne veze je nUUUU ,...,21 ++= . Kompleksni napon i kompleksna struja pojedinnih prijemnika vezani su relacijama IZU 11 = , IZU 22 = , ...,

IZU nn = , s obzirom da je struja ista kroz sve prijemnike u rednoj vezi. Posle zamene ovih relacija u prethodnu, i sređivanja, dobija se ( )IZZZU n,...,21 ++= . Upoređujući tu relaciju sa vezom između kompleksnog napona i struje ekvivalentnog elementa, vidimo da je u ovom primeru

ne ZZZZ ,...,21 ++=

Slika 3.6.

Ili drugačije napisano ∑=

=n

kkZZ

1e .

Ovaj rezultat se može izraziti preko admitansi. Ako je ee /1 ZY = ekvivalentna kompleksna admitansa, a nkZY kk ,...,1,/1 == kompleksne admitanse prijemnika, onda je

46

∑=

=++=n

k kn YYYYY 121e

11,...,111

Primer 3.3. Za impedansu redne veze otpornika, kalema i kondenzatora (slika 2.22a, dobija se

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=++=++=

CLR

CLRZZZZ CLR ω

ωω

ω 1jj

1je

ili u obliku Φ= jZeZ e , gde je 2

2 1⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

CLRZ

ωω ,

RC

Larctg ω

ω 1−

=Φ .

Kod računanja ekvivalentne otpornosti redne veze otpornika u kolima stalnih struja, uvek je

ekvivalentna otpornost bila veća od svake pojedinačne otpornosti. Kompleksni brojevi se ne mogu porediti po veličini (mada mogu njihovi moduli ili argumenti). Stoga nema smisla pitanje da li je ekvivalentna kompleksna impedansa redne veze prijemnika veća ili manja od pojedinačnih kompleksnih impedansi. Međutim, moguć je jedan poseban slučaj, koji se ne može javiti kod stalnih struja: ekvivalentna kompleksna impedansa može biti jednaka nuli (ekvivalentna kompleksna admitansa je beskonačna), iako je svaka pojedinačna kompleksna impedansa različita od nule. Najjednostavniji primer je ako je na slici 2.22a za kalem induktivnosti L, i kondenzator kapacitivnosti C ispunjen uslov 12 =ω LC (tj. redna veza kalema i kondenzatora je u rezonanciji).

Tada je RC

LCRC

LRZ =−

+=++=ω

ωω

ω 1jj

1j2

e , odnosno ako je 0=R , tada je

01jj

1j2

e =−

=+=C

LCC

LZω

ωω

ω , odnosno ∞→ω−ω

=LC

CY 2e 1j

.

3.3.2. Paralelna veza prijemnika

Posmatrajmo paralelnu vezu više, n, (pasivnih) prijemnika, prikazanu na slici 3.7a. Iz prvog

Kirhofovog zakona imamo nIIII ,...,21 ++= , gde je 1

1 ZUI = ,

22 Z

UI = , …, n

n ZUI = , jer je

napon isti na svim prijemnicima u paralelnoj vezi.Posle zamene u prethodnu relaciju I sređivanja,

dobija se UZZZ

In⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

1,...,11

21. Upoređujući sa relacijom

eZUI = koja važi za kolo na slici

3.7b, doboja se opšta relacija za kompleksnu impedansu n paralelno vezannih prijemnika, izražena preko impedansi

∑=

=++=n

k kn ZZZZZ 121e

11,...,111

ili izraženo preko admitansi

∑=

=++=n

kkn YYYYY

121e ,..., .

47

Slika 3.7.

Primer 3.4. Neka su kompleksne impedanse dva paralelno vezana prijemnika

111 jXRZ += i 222 jXRZ += . Tada je ( )( )

eee jXRjXRjXRjXRjXR

ZZZZ

ZZ

Z +=+++++

=+

=+

=2211

2211

21

21

21

111

, gde je potrebno odrediti eR i eX .

Kod računanja ekvivalentne kompleksne admitanse paralelne veze prijemnika, moguć je

slučaj da ta admitansa bude jednaka nuli (ekvivalentna kompleksna impedansa je beskonačna), iako je svaka pojedinačna kompleksna admitansa različita od nule. Najjednostavniji primer je ako su na slici 3.7 samo dva elementa, prvi element kalem induktivnosti L, drugi element kondenzator kapacitivnosti C, i ako je uz to ispunjen uslov 12 =ω LC (tj. paralelna veza kalema i kondenzatora je

u antirezonanciji). Tada je 01jj1j

2

e =ω

−ω=

ω+ω=

LLC

LCY , odnosno ∞→

ω−ω

=

ω+ω

ωω

=LC

L

CL

CL

Z 2e 1j

j1j

j1j

.

3.3.3. Mešovite veze prijemnika

Podrazumevaju se kombinacije veza koje čine redne i paralelne veze. Određivanje ekvivalentne impedanse vrši se postepenim zamenama rednih i paralelnih veza ekvivalentnim vezama, slično kao kod mešovitih veza otpornika kod vremenski konstantnih struja. U određivanju se polazi od najjednostavnije (unutrašnje) veze, pa se, korak po korak, ekvivalencijom obuhvata sve više elemenata, dok se ne odredi ekvivalentna impedansa (ili admitansa) čitave mreže. Primer 3.5. Odrediti ekvivalentnu impedansu mešovite veze prijemnika na slici 3.8, gde je

11 RZ = , LjXZ =2 , )0( >LX i CjXZ =1 , )0( <CX .

Slika 3.8.

48

Očigledno, 2Z i 3Z su u paralelnoj vezi, a 1Z sa njima u rednoj, prema tome

( ) CL

CL

CL

CL

CL

CLe XX

XXjR

XXjXX

RjXjX

jXjXR

ZZZZZZ

++=

+−=

++=

++= 111

32

321

3.3.4. Ekvivalencija veze prijemnika u zvezdu i trougao

Posmatramo tri pasivna elementa (tri prijemnika) vezana u zvezdu i trougao, slika 3.9. Uslovi ekvivalencije su isti kao kod otpornika. Izvođenje relacija ekvivalencije je analogno izvođenju u analizi kola vremenski konstantnih struja.

Kompleksne impedanse grana zvezde su 1Z , 2Z i 3Z . Kompleksne impedanse grana trougla su 12Z , 23Z i 31Z . Zvezda se može zameniti ekvivalentim trouglom (tj. zvezda se može transfigurisati u trougao), prikazanim na istoj slici, ako su kompleksne impedanse grana trougla

3

212112 Z

ZZZZZ ++= , 1

323223 Z

ZZZZZ ++= i

2

133131 Z

ZZZZZ ++= .

Izraženi preko admitansi, uslovi ekvivalencije glase:

321

2112 YYY

YYY

++= ,

321

3223 YYY

YYY

++= i

321

1331 YYY

YYY

++= .

Slika 3.9.

I obrnuto, trougao pasivnih elemenata se može zameniti ekvivalentnom zvezdom (tj. trougao se može transfigurisati u zvezdu) čije su kompleksne impedanse

312312

31121 ZZZ

ZZZ

++= ,

312312

12232 ZZZ

ZZZ

++= i

312312

31233 ZZZ

ZZZ

++= .

Izraženi preko admitansi, uslovi ekvivalencije glase:

23

311231121 Y

YYYYY ++= ,

31

122312232 Y

YYYYY ++= i

12

233123313 Y

YYYYY ++= .

Relacije između kompleksnih admitansi grana zvezde i trougla mogu se iskoristiti za izvođenje ekvivalencije između zvezde i trougla kondenzatora. Formalno, jednačine su identične

kao za admitanse, samo su kompleksne admitanse zamenjene kapacitivnostima: 321

2112 CCC

CCC++

= ,

321

3223 CCC

CCC++

= , 321

1331 CCC

CCC++

= , 23

311231121 C

CCCCC ++= , 31

122312232 C

CCCCC ++= i

49

12

233123313 C

CCCCC ++= . Kao primer, na slici 1.10 su prikazani simetrična zvezda i njoj ekvivalentan

trougao.

1

2 3

C

C C

1

2 3

C/3 C/3

C/3

Slika 3.10.

Prilikom transfiguracije zvezde u trougao ili obrnuto, može se naići na neke probleme. Prvi problem je dobijanje negativnih rezistansi.

Primer 3.6. Posmatrajmo zvezdu sa slike 3.11. Neka je, konkretno, Ω==ω 1RL , odnosno

Ω= j1Z , Ω= j2Z i Ω= 13Z . Za ekvivalentni trougao je Ω+−= )j21(12Z i 3123 )j2( ZZ =Ω+= , odnosno rezistansa jedne grane trougla je negativna.

1

2 3

C C

L

LC=2

Slika 3.11. Slika 3.12.

Takav rezultat znači da datoj zvezdi nije moguće fizički realizovati ekvivalentni trougao (jer

ne postoji pasivni element sa negativnom rezistansom). Međutim, ako se transfiguracija radi samo u cilju uprošćavanja kola (na primer, da bi se izračunala ekvivalentna impedansa mosta), negativna rezistansa ne smeta u sledećim koracima. Na primer, ako se uprošćava most, njegova ekvivalentna rezistansa mora biti nenegativna. (Ako se dobije negativna rezistansa, to je samo pokazatelj da je usput napravljena neka omaška.)

Drugi problem je da se dobijaju nulte ili beskonačne kompleksne impedanse ili admitanse.

Primer 3.7. Posmatramo trougao sa slike 3.12. Neka je, konkretno, Ω=ω

11C i Ω=ω 2L .

Tada su kompleksne impedanse grana trougla Ω−= j12Z , Ω= j223Z i Ω−= j31Z , pa se dobija da su kompleksne impedanse sve tri grane ekvivalentne zvezde beskonačne (odnosno admitanse su jednake nuli).

50

Slična (dualna) situacija može nastati kod transfiguracije zvezde u trougao, kada su

impedanse grana trougla jednake nuli (odnosno admitanse su beskonačne). U takvim situacijama treba pokušati rešavanje kola na drugi način, tako da se izbegne transfiguracija posmatranog trougla, odnosno zvezde.

Primer 3.8. Kao primer primene transfiguracija, izračunajmo ekvivalentnu impedansu

mosta prikazanog na slici 3.13a za sledeće brojne podatke: 19 s10 −=ω , pF2021 == CC , nH10021 == LL i Ω=100R . Odavde su impedanse elemenata: Ω−== 50j21 CC ZZ , Ω== 100j21 LL ZZ i

Ω=100RZ . Slično kao u kolima stalnih struja, ako se radi sa impedansama, pogodnije je transfigurisati trouglove u zvezde. Tako se dobija više rednih veza (kod kojih se impedanse sabiraju). Ako se transfigurišu zvezde u trouglove, dobija se više paralelnih veza, što je pogodnije ako se radi sa admitansama (jer se one sabiraju kod paralelnih veza). Međutim, u posmatranom primeru, trougao C1-C2-L2 se ne može transfigurisati jer je 0221 =++ LCC ZZZ . Zato transfigurišemo trougao L1-L2-R u ekvivalentnu zvezdu (slika 3.13b). Impedanse grana zvezde su Ω+−= )40j20(1Z i

Ω+== )20j40(32 ZZ . Dalje, redne veze C1-Z1 i C2-Z2 zamenjujemo ekvivalentnim impedansama (slika 3.13c) Ω−−= )10j20(4Z , odnosno Ω+= )30j40(5Z , pa paralelnu vezu Z4-Z5 zamenjujemo ekvivalentnom impedansom (slika 3.13d) Ω−−= )20j15(6Z . Na kraju, rednu vezu Z6-Z3 zamenjujemo ekvivalentnom impedansom Ω+= )0j25(eZ , što je traženi rezultat (slika 3.13e).

a) b) c)

Ze

Z6 Z3

d) e)

Slika 3.13.

Ekvivalentna impedansa proizvoljne mreže može se izračunati svođenjem na redno-paralelnu vezu primenjujući transfiguracije trougla u zvezdu ili obrnuto. Ta impedansa se može izračunati i na drugi način. Na priključke mreže se veže generator (idealni naponski, idealni strujni ili realni generator), koji se naziva test-generatorom. Zatim se reši dobijeno složeno kolo (na primer, metodom potencijala čvorova) i izračunaju kompleksni napon i kompleksna struja na priključcima mreže. Iz napona i struje dobija se tražena impedansa (kao količnik napona i struje). Određivanje impedanse koristeći se test-generatorom primenjuje se i u merenjima, i programima za simulaciju električnih kola (kao što je, na primer, Spice). Sve što je rečeno za impedansu, važi i za admitansu. Ovako ćemo postupati kod određivanja ekvivalentne impedanse spregnutih kola.

51

3.3.5. Ekvivalencija naponskog i strujnog generatora Šema ING prikazana je na slici 3.14a, a RNG na slici 3.14 b. Šema ISG prikazana je na slici 3.15a, a RSG na slici 3.15 b.

Slika 3.14.

Slika 3.15.

Analogno kao kod vremenski konstantnih struja, dolazi se do uslova ekvivalencije RNG i

RSG:

gS ZZ = , EYZEI g

g

==S

Učestanost f (ili kružna učestanost ω) oba generator su iste.

3.4. Metoda konturnih struja u kompleksnom obliku Kako su sve metode i teoreme za rešavanje električnih mreža sa vremenski konstantnim strujama zasnovane na I i II Kirhofovom zakonu, a ti zakoni su formalno isti u kompleksnom obliku za mreže sa prostoperiodičnim strujama, to sve metode i teoreme izvedene za mreže sa vremenski konstantnim strujama važe i za mreže sa prostoperiodičnim strujama. Razlika je samo u tome što se ovde radi sa kompleksnim naponima i strujama, i što umesto otpornosti stoji impedansa. Ovde te metode nećemo ponovo dokazivati, već samo formulisati i ponegde ilustrovati primenu primerima.

Sistem od )1( čgk −−= nnn jednačina po metodu konturnih struja se može napisati u sledećem opštem obliku (ako nema ISG):

kkkkkk

kk

kk

kk2k21k1

2kk22k221k21

1kk12k121k11

...

...

...

nnnnnn

nn

nn

EIZIZIZ

EIZIZIZ

EIZIZIZ

=+++

=+++

=+++

M. (*)

U ovom sistemu jednačina je:

52

• ,,...,1, kniZ ii = (običan) zbir impedansi svih grana koje pripadaju i-toj konturi (sopstvena impedansa i-te konture), uvek sa predznakom „+“.

• jinjiZ ij ≠= ,,...,1,, k (običan) zbir impedansi svih grana koje istovremeno pripadaju i-toj i j-toj konturi (međusobna impedansa i-te i j-te konture), sa predznakom „+“ ako se duž zajedničkih grana poklapaju smerovi tih kontura, a sa predznakom „-„ ako su smerovi suprotni. Očigledno je jiij ZZ = (recipročnost).

• ,,...,1, kk niE i = algebarski zbir elektromotornih sila svih idealnih naponskih generatora grana koje pripadaju i-toj konturi (elektromotorna sila i-te konture). U taj zbir elektromotorna sila ulazi sa predznakom „+“ ako se orijentacija konture poklapa sa referentnim smerom elektromotorne sila, a sa predznakom „-„ ako su ti smerovi suprotni. Ukoliko u kolu postoje grane sa ISG, postupak je sličan kao kod drugog oblika jednačina po

Kirhofovim zakonima. Konture se odaberu tako da grana sa svakim ISG pripada jednoj i samo jednoj konturi. Jednačina po metodu konturnih struja za takvu konturu se ne piše u obliku (*). Umesto toga, piše se jednačina da je odgovarajuća konturna struja jednaka struji strujnog generatora sa predznakom „+“ ako se orijentacija konture i referentni smer struje generatora poklapaju, a sa predznakom „-„ ako su ti smerovi suprotni.

Ukoliko mreža sadrži RSG, onda se oni mogu pretvoriti u RNG (pa postupiti na način kao kada mreža ima naponske generatore), ili postupiti na prethodni način (jer je RSG paralelna veza grane sa ISG i grane sa unutrašnjom impedansom strujnog generatora).

Rešavanjem sistema linearnih jednačina (*) dobijaju se konturne struje. Ako dve konture nemaju zajedničkih grana, onda je međusobna impedansa te dve konture

jednaka nuli. Međutim, dve konture mogu imati zajedničkih grana, a da međusobna impedansa ipak bude jednaka nuli. Na primer, to je slučaj ako je grana sa ING jedina grana zajednička za dve konture (jer je impedansa takve grane jednaka nuli). Drugi primer je situacija kada su u zajedničkim granama samo reaktivni elementi (kalemovi i kondenzatori), ali je zbir njihovih kompleksnih impedansi jednak nuli. Slična situacija je moguća i za sopstvenu impedansu konture, ako su u konturi samo reaktivni elementi.

3.4. Metoda potencijala čvorova u kompleksnom obliku

Sistem od )1( č −n jednačina po metodu potencijala čvorova može se napisati u sledećem opštem obliku (ako nema ING):

)1(č)1()1)(1(22)1(11)1(

2č)1()1(22k22121

1č)1()1(12k12111

čččččč

čč

čč

...

...

...

−−−−−−

−−

−−

=+++

=+++

=+++

nnnnnn

nn

nn

IVYVYVY

IVYVYVY

IVYVYVY

M. (**)

U ovom sistemu je: • ),1(,...,1, č −= niY ii (običan) zbir admitansi svih grana koje se stiču u i-tom čvoru (sopstvena

admitansa i-tog čvora), uvek sa predznakom „+“.

53

• jinjiY ij ≠−= ),1(,...,1,, č (običan) zbir admitansi svih grana koje direktno spajaju čvorove i i j (međusobna admitansa i-tog i j-og čvora). Taj zbir u jednačine uvek ulazi sa negativnim predznakom, tj. „-„ (u jednačinama je napisan „+“)14. Očigledno je jiij YY = (recipročnost).

• ),1(,...,1, čč −= niI i algebarski zbir struja svih strujnih i ekvivalentnih strujnih generatora grana koje se stiču u i-tom čvoru ( ) ( )

iSiIEY ∑∑ + . Ekvivalentni strujni generator se

dobija transfiguracijom RNG u RSG (kompleksna impedansa Z ostaje ista, a struja ekvivalentnog strujnog generatora je ZEI /g = , gde je E elektromotorna sila naponskog generatora). U ovaj zbir, struje ulaze sa predznakom „+“ ako je referentni smer struje generatora ka čvoru, a sa predznakom „-„ako je referentni smer struje od čvora. (Ovo pravilo je suprotno od pravila za pisanje jednačina po prvom Kirhofovom zakonu.) Ukoliko u kolu postoje grane koje sadrže samo ING, onda svi ti generatori treba da budu

vezani za referentni čvor. Jednačina po metodu potencijala čvorova za ''vrući'' čvor za koji je vezan ING se ne piše u obliku (**). Umesto toga, piše se jednačina da je potencijal toga čvora jednak elektromotornoj sili generatora sa predznakom „+“ ako je referentni smer elektromotorne sile ka tome čvoru, a sa predznakom „-„ ako je referentni smer ka čvoru nultog potencijala.

Rezultujući sistem linearnih jednačina rešava se nekim od standardnih metoda. Ako dva čvora nemaju zajedničkih grana, onda je međusobna admitansa ta dva čvora

jednaka nuli. Međutim, dva čvora mogu imati zajedničkih grana, a da međusobna admitansa ipak bude jednaka nuli. Na primer, to je slučaj kada su dva čvora spojena granom sa ISG (jer je admitansa takve grane jednaka nuli). Drugi primer je situacija kada su u zajedničkim granama samo reaktivni elementi (kalemovi i kondenzatori), ali je zbir njihovih kompleksnih admitansi jednak nuli. Slična situacija je moguća i za sopstvenu admitansu konture, ako su u granama koje se stiču u čvoru samo reaktivni elementi. Najzad, moguće je da admitansa neke grane bude beskonačna. Kada se odrede potencijali svih čvorova, jačina struje u nekoj grani između čvorova j i k (slika 3.16), dobija se relacijom

( )kj VVEYI −+=

Slika 3.16.

3.5. Kompleksna snaga prijemnika i generatora

Kompleksna snaga prijemnika

Najzad, definisaćemo još jednu snagu, a to je kompleksna snaga (kompleksna prividna snaga). To je kompleksan broj čiji je realni deo srednja snaga, a imaginarni deo reaktivna snaga,

QPS j+= , drugačije napisano, ( )ϕ+ϕ= sinjcosUIS .

14 U nekim udžbenicima se relacije pišu tako se već u jednačinama piše „-„, pa onda međusobne admitanse (običan, pozitivan) zbir.

54

Jedinica za kompleksnu snagu je ista kao za prividnu snagu, volt-ampter (VA). Očigledno, SS =|| i φ=)arg(S , odnosno φφ == jj ee UISS .

Kompleksna snaga se može izraziti preko kompleksnog napona ( θ= jeUU ) i kompleksne struje ( ψ= jeII ) prijemnika. Ako pomnožimo te dve kompleksne veličine, dobijamo )j(e ψ+θ=UIIU , što ne odgovara kompleksnoj snazi, jer je argument zbir početnih faza napona i struje, umesto njihova razlika. Međutim, ako kompleksnu struju konjugujemo pre množenja, tj. uzmemo ψ= je* -II , dobijamo SUIUIIU === φψ−θ j)j( ee* . Dakle,

*IUS = . Kao što se kompleksna impedansa može prikazazi fazorskim dijagramom, na isti način se može

prikazati i kompleksna snaga (slika 3.17). Za zadati prijemnik, fazorski dijagrami kompleksne impedanse i kompleksne snage su identični, izuzimajući razmeru crteža.

Napisaćemo izraze za snage prijemnika u još nekoliko oblika. Neka je Z kompleksna impedansa prijemnika. Tada se izraz za kompleksnu snagu može pisati u oblicima

QPXIRIIIIIUS jjZZ 222 +=+==== ∗∗ .

Kako je UYZUI == , imamo i oblike

QPBUGUUYS jj 222 +=−== ∗ .

gde su P i Q aktivna i reaktivna snaga.

S

|S|=S

P

QIm

0 Re

Slika 3.17.

Kompleksne snage generatora

Što se tiče generatora (RNG, RSG, ING, ISG), trenutna, srednja, prividna, reaktivna i kompleksna snaga, kao i faktori snage i reaktivnosti, računaju se po istim formulama kao za prijemnik, samo u odnosu na prirodne referentne smerove (usklađene za generator).

Fazna razlika između napona i struje generatora može, u principu, biti proizvoljna, tj. π≤φ<π− (dok kod pasivnog prijemnika podleže ograničenju 2/2/ π≤φ<π− pri usklađenim referentnim smerovima). Ako je, kod generatora, ugao Φ u I ili IV kvadrantu, srednja snaga generatora je pozitivna (kao i faktor snage). Tada se generator stvarno ponaša kao generator. Ako je ugao Φ u II ili III kvadrantu, srednja snaga generatora je negativna (kao i faktor snage). Tada se generator stvarno ponaša kao prijemnik. Izrazi “aktivna” i “reaktivna” koriste se ponekad i za struju. Tako ΦcosI predstavlja aktivnu komponentu jačine kompleksne struje I (projekcija I na pravac kompleksnog napona U ), a ΦsinI predstavlja reaktivnu komponentu jačine kompleksne struje I (projekcija I na pravac upravan na pravac kompleksnog napona U ).

55

3.6. Teoreme električnih mreža u kompleksnom obliku

Teoreme izvedene kod vremenski konstantnih struja izvedene su polazeći od Kirhofovih zakona. Prema tome one u formalno istom obliku važe i za mreže sa prostoperiodičnim15 strujama, i nećemo ih izvoditi i dokazivati, već samo formulisati. Izuzetak je teorema održanja snage koja postaje teorema održanja kompleksne snage, koju ćemo dokazati.

3.6.1. Linearnost, superpozicija i homogenost

Teorema homogenosti.tvrdi da je bilo koji odziv u kolu linearna homogena kombinacija eksitacija16. Na primer, ako u kolu imamo tri naponske i dve strujne eksitacije, onda se neki odziv (na primer, napon) u tom kolu može napisati u obliku

g55g44332211 IaIaEaEaEaU ++++= Priroda kompleksnih konstanti u ovom izrazu je različita: 1a , 2a i 3a su po prirodi čisti

brojevi (transmitanse napona), a 4a i 5a imaju prirodu admitanse (prenosne admitanse). Da je odziv kompleksna struja, koeficijenti uz elektromotorne sile bi po prirodi bili impedanse (prenosne impedanse), a koeficijenti uz struje idealnih strujnih generatora bi bili čisti brojevi (transmitanse struje).

Iz ovoga rezultata slede tri važna podslučaja. Teorema linearnosti u užem smislu važi za slučaj kada u kolu deluje samo jedna

eksitacija. Tada je bilo koji odziv u kolu linearno srazmeran toj eksitaciji. Na primer, ako je eksitacija naponska (elektromotorna sila), a odziv napon, onda imamo EaU = . Ova teorema se dobija iz teoreme homogenosti kada se u njoj zadrži samo jedan član.

Primer 3.9. Posmatrajmo kolo na slici 3.18. U tom kolu su napon U i struja I linearno

srazmerni elektromotornoj sili generatora: EZZZZZZ

ZZU

133221

32

++= i E

ZZZZZZZ

I133221

3

++= .

Z2

I

UZ3E+

Z1

Slika 3.18.

Teorema superpozicije tvrdi da se bilo koji odziv u kolu može dobiti kao zbir (superpozicija) odziva na svaku pojedinačnu eksitaciju.

Zamislimo da u kolu deluje samo prva eksitacija, pri čemu su sve ostale eksitacije isključene, pa odredimo odziv. Zatim, zamislimo da deluje samo druga eksitacija, pri čemu su sve

15 Prostoperiodični režim implicitno pretpostavlja da je kolo linearno. Da nije tako, prostoperiodični režim ne bi bio moguć. 16 Slično kao i u analizi kola stalnih struja, pod eksitacijom podrazumevamo elektromotornu silu naponskog generatora ili struju strujnog generatora, samo što je sada eksitacija kompleksna. Pod odzivom podrazumevamo neku linearnu veličinu u kolu (kompleksni napon, kompleksnu struju). Napomenimo da kompleksna snaga ne spada u linearne veličine.

56

ostale eksitacije isključene, pa odredimo odziv, itd. Na kraju, dobijene pojedinačne odzive jednostavno saberemo.

Napomenimo da isključivanje naponske eksitacije znači udaljavanje ING iz kola, pri čemu se tačke između kojih je generator bio priključen u kolu kratko spoje. Dualno tome, isključivanje strujne eksitacije znači udaljavanje ISG iz kola, pri čemu se tačke između kojih je generator bio priključen u kolu ostave otvorenim (u praznom hodu).

Teorema linearnosti u širem smislu tvrdi da je, ako u kolu deluje više eksitacija, odziv na jednu eksitaciju linearna funkcija te eksitacije. Za isti hipotetički primer kao za teoremu homogenosti, imamo bEaU += 11 , gde je g55g443322 IaIaEaEab +++= .

Treba razlikovati uslove pod kojima važe teorema linearnosti u užem smislu (samo jedna eksitacija u kolu) i u širem smislu (više eksitacija), kao i iskaze (odziv je linearna homogena funkcija, odnosno linearna funkcija sa slobodnim članom).

3.6.2. Teoreme reciprociteta

Teorema reciprociteta ima više oblika17. Mi ćemo formulisati dva oblika teoreme reciprociteta za pasivne četvoropole. Četvoropol je mreža sa dva pristupa (dva para krajeva). Ovde ćemo posmatrati samo četvoropole sastavljene od otpornika, kalemova i kondenzatora (slika 3.19). Usvojićemo usklađene referentne smerove napona i struja na oba pristupa, uz napomenu da se u analizi kaskadno vezanih četvoropola često uzimaju neusaglašeni smerovi na drugom pristupu (koji su onda automatski usaglašeni za sledeći četvoropol vezan u kaskadi).

U oba oblika teoreme reciprociteta, imamo eksitaciju na jednom pristupu mreže, a odziv ćemo posmatrati na drugom pristupu. U oba oblika su eksitacija i odziv različite prirode: jedno je naponska veličina, a drugo strujna.

Slika 3.19.

Prvi oblik: naponska pobuda. Kada na pristup 1 priključimo ING elektromotorne sile '1E , struja kratkog spoja na pristupu 2 je '2I , prema referentnim smerovima na slici 3.20. Kada na pristup 2 priključimo ING elektromotorne sile "2E , struja kratkog spoja na pristupu 1 je "1I , prema referentnim smerovima na slici 3.20. Teorema reciprociteta tvrdi da ako je "' 21 EE = , onda je "' 12 II = (jednakim eksitacijama odgovaraju jednaki odzivi).

Drugi oblik: strujna pobuda. Kada na pristup 1 priključimo ISG struje '1gI , napon praznog hoda na pristupu 2 je '2U , prema referentnim smerovima na slici 3.21. Kada na pristup 2 priključimo ISG struje "2gI , napon praznog hoda na pristupu 1 je "1U , prema referentnim smerovima na slici 3.21. Teorema reciprociteta tvrdi da ako je "' 2g1g II = , onda je "' 12 UU = (jednakim eksitacijama odgovaraju jednaki odzivi).

17 Teoreme reciprociteta se koriste najviše kod četvoropola, da bi se skratio njihov proračun ili uprostila merenja.

57

Slika 3.20.

Slika 3.21.

3.6.3. Teoreme kompenzacije

Teoreme kompenzacije imaju različite oblike. Zajedničko je da se, pod određenim okolnostima, jedan deo kola (element, grana, složena mreža) može, u odnosu na ostatak kola, zameniti sa ING ili ISG. Ti generatori se zovu kompenzacioni generatori.

Posmatraćemo opšti slučaj, prikazan na slici 3.22. Kolo je podeljeno u dva dela, mrežu A i mrežu B. Ti delovi su međusobno povezani samo pomoću dva provodnika prikazana na slici 3.22. Tačke 1 i 2 su tačke spajanja tih mreža. (U slučaju da te mreže imaju zajedničku ''masu'', ona se računa kao jedan provodnik.)

Teorema kompenzacije ima dva oblika. Prvi oblik: naponska kompenzacija. Mreža A se u odnosu na mrežu B može zameniti sa

ING čija je elektromotorna sila jednaka UE =k (prema referentnim smerovima sa slika 3.22a, b), a da se u mreži B ništa ne promeni.

Drugi oblik: strujna kompenzacija. Mreža A se u odnosu na mrežu B može zameniti sa ISG čija je struja jednaka II =gk (prema referentnim smerovima sa slika 3.22a, c), a da se u mreži B ništa ne promeni.

a) (b) (c)

Slika 3.22.

Mreže A i B su proizvoljne. Mreža može biti samo jedan element, jedna grana ili složena mreža.

Treba uočiti da je kompenzacioni generator idealan.

58

Ako se bilo šta promeni u bilo kojoj od dve mreže (na primer otvori ili zatvori prekidač ili promeni parametar nekog elementa), mora se promeniti i kompenzacioni generator (ems naponskog, odnosno struja strujnog kompenzacionog generatora).

Teoremu kompenzacije implicitno primenjujemo u slučajevima kao na slici 2.19a, kada pretpostavljamo da se u odnosu na posmatranu mrežu (konkretno, redna veza otpornika i kalema) nalazi ostatak kola (druga mreža). U tom slučaju, napon koji je označen između priključaka posmatrane mreže (a za koji smo smatrali da je poznat) zamenjuje, po teoremi kompenzacije, ostatak kola. Dualno, umesto napona, mogli smo smatrati da je poznata struja, kada bi ona, po teoremi kompenzacije, zamenjivala ostatak kola.

Kada se analizira mreža B sa kompenzacionim generatorom (slike 3.22b ili 3.22c), kompenzacioni generator se može tretirati kao bilo koji drugi generator. Mogu se primenjivati odgovarajući metodi rešavanja kola i teoreme (na primer, linearnost i superpozicija). Međutim, treba imati u vidu da bilo kakva promena u mrežama A i B povlači promenu eksitacije kompenzacionog generatora.

3.6.4. Teorema ekvivalentnog generatora (Tevenenova i Nortonova teorema)

Tevenenova i Nortonova teorema omogućavaju da se mreža (slika 3.23a), u odnosu na svoja dva priključka, zameni ekvivalentnim realnim generatorom (naponskim, odnosno strujnim), pri čemu ekvivalencija važi bez obzira na to šta se priključi na mrežu. Po Tevenenovoj teoremi, ekvivalentni realni generator je naponski (slika 3.23b), a po Nortonovoj teoremi, ekvivalentni realni generator je strujni (slika 3.23c). Tevenenova i Nortonova teorema su dualne, a jedan realni generator se može izvesti transfiguracijom drugog.

Odmah treba napraviti razliku između teorema kompenzacije, sa jedne strane, i Tevenenove i Nortonove teoreme, sa druge strane. U oba slučaja se mreža (mreža A sa slike 3.22a i mreža sa slike 3.23a) zamenjuje ekvivalentnim generatorom. No, u prvom slučaju generator je idealan (slike 3.22b i 3.22c), a u drugom realan (slike 3.23a i 3.23b). U prvom slučaju zamena važi samo za jednu, određenu mrežu (mreža B na slici 3.22a) koja se priključuje na posmatranu mrežu. U drugom slučaju, zamena važi bez obzira na to šta se priključuje na posmatranu mrežu. Međutim, u oba slučaja, kada se odredi ekvivalentni generator, bilo kakva promena u mreži koja se zamenjuje (mreži A) povlači promenu ekvivalentnog generatora.

Tevenenova teorema. Mreža sa slike 3.23a se može u odnosu na svoje priključke zameniti sa RNG sa slike 3.23b, čija je elektromotorna sila jednaka naponu praznog hoda te mreže ( 012T UE = ), a impedansa jednaka ekvivalentnoj impedansi te mreže ( 12eT ZZ = ). Zamena važi za proizvoljnu mrežu koja se priključuje na posmatranu mrežu.

Napon praznog hoda mreže sa slike 3.23a ( 012U ) je napon između otvorenih priključaka 1 i 2 (kada je struja te mreže jednaka nuli). Referentni smer toga napona poklapa se sa referentnim smerom napona U označenog na slici.

Nortonova teorema. Mreža sa slike 3.23a se može u odnosu na svoje priključke zameniti sa RSG sa slike 3.23c, čija je struja jednaka struji kratkog spoja te mreže ( 12ksgN II = ), a admitansa jednaka ekvivalentnoj admitansi te mreže ( 12eN YZ = ). Zamena važi za proizvoljnu mrežu koja se priključuje na posmatranu mrežu.

Struja kratkog spoja mreže sa slike 3.23a ( 12ksI ) je struja kroz kratko spojene priključke 1 i 2 (kada je struja te mreže jednaka nuli). Referentni smer te struje poklapa se sa referentnim smerom struje I označene na slici.

Ekvivalentna impedansa, odnosno admitansa mreže računaju se tako što se u mreži isključe eksitacije, čime se dobija pasivna mreža, a onda odredi ekvivalentna impedansa, odnosno admitansa te pasivne mreže. Pasivni element kod Tevenenovog generatora isti je kao kod Nortonovog

59

generatora, samo se u prvom slučaju karakteriše svojom impedansom, a u drugom slučaju admitansom. Važi 1NT =YZ .

a) (b) (c)

Slika 3.23.

Nortonov generator se može dobiti transfiguracijom Tevenenovog i obrnuto. Dokaz se izvodi primenom Nortonove, odnosno Tevenenove teoreme. Pri tome važi TNTTgN / EYZEI == , odnosno gNTNgNT / IZYIE == .

U slučaju da je 012e =Z , može se naći samo Tevenenov generator (koji je tada idealan). U slučaju da je 012e =Y , može se naći samo Nortonov generator (koji je tada idealan).

3.6.5. Teoreme održanja kompleksne i trenutne snage

Najpre ćemo izvesti teoremu održanja trenutne snage, na primeru kola čiji je graf prikazan na slici 3.24. Na toj slici su označeni usvojeni referentni smerovi struja grana. Napišimo jednačine po prvom Kirhofovom zakonu (za trenutne struje) za sve čvorove. Izostavićemo eksplicitno pisanje zavisnosti od vremena. Jednačine glase:

za čvor 1: .. 0141312 =++ iii , čvor 2: 0242312 =++− iii , čvor 3: 0342313 =+−− iii , čvor 4: 0342414 =−−− iii .

Slika 3.24.

Pomnožimo svaku jednačinu potencijalom odgovarajućeg čvora ( 1v , 2v , 3v , odnosno 4v ) i saberimo jednačine, ne vodeći računa o tome gde je referentna tačka. Dobija se

0)()()()()()( 344324422332144113311221 =−+−+−+−+−+− ivvivvvvvivvivvivv (*) Razlika potencijala predstavlja napon grane, tako da svaki član u ovome zbiru predstavlja

trenutnu snagu koju grana prima. Ovim smo dokazali da je zbir snaga koje primaju sve grane u kolu

60

jednak nuli, tj. 0)(p =∑ tp , gde indeks p naglašava da se radi o snazi koju grana prima, što predstavlja teoremu održanja trenutne snage.

Ako se jednačina (*) pomnoži sa „-1“, svaki član u zbiru predstavlja snagu koju grana predaje ostatku kola, pa se rezultat može napisati u obliku 0)(g =∑ tp , tj. zbir snaga koje predaju sve grane u kolu jednak je nuli, što je druga formulacija teoreme održanja trenutne snage. Najzad, ako se neki članovi u jednačini (*) prebace na desnu stranu, onda imamo teoremu održanja snage u obliku ∑∑ = )()( gp tptp , gde neke grane kola figurišu u zbiru sa leve strane, a sve ostale u zbiru sa desne strane.

Teorema održanja se može izvesti i za kompleksne snage. Za isti graf, jednačine po prvom Kirhofovom zakonu u kompleksnom domenu glase:

čvor 1: 0141312 =++ III , čvor 2: 0242312 =++− III , čvor 3: 0342313 =+−− III , čvor 4: 0342414 =−−− III .

Konjugujmo sve ove jednačine i pomnožimo svaku potencijalom odgovarajućeg čvora. Kada se jednačine saberu, dobija se

0)()()()()()( 344324422332144113311221 =−+−+−+−+−+− ∗∗∗∗∗∗ IVVIVVIVVIVVIVVIVV Svaki član u ovome izrazu predstavlja kompleksnu snagu koju prima odgovarajuća grana, pa

imamo teoremu održanja kompleksne snage u obliku 0p =∑ S . Ako se kompleksna snaga razdvoji na realni i imaginarni deo (tj. na aktivnu i reaktivnu snagu),

ova jednačina se razdvaja na dve jednačine. Prva jednačina glasi 0p =∑P i to je iskaz teoreme održanja srednje (aktivne) snage. Druga jednačina glasi 0p =∑Q , što je iskaz teoreme održanja reaktivne snage.

Množenjem „-1“ ili prebacivanjem nekih članova na desnu stranu, dobijaju se i drugi oblici ove tri teoreme, isto kao kod teoreme održanja trenutne snage.

Napomenimo da teorema održanja ne važi za prividne snage.

3.6.6. Prilagođenje prijemnika na generator (prilagođenje po snazi)

Posmatrajmo realni naponski generator, poznate elektromotorne sile E i unutrašnje impedanse gZ . Na taj generator je priključen prijemnik, kao na slici 3.25. Cilj je da se odredi impedansa

prijemnika ( pZ ) tako da aktivna snaga (skraćeno govoreći, snaga) prijemnika bude maksimalno moguća. Drugim rečima, cilj je da generator što veću snagu preda prijemniku.

Predstavimo impedanse generatora i prijemnika preko odgovarajućih rezistansi i reaktansi, ggg jXRZ += i ppp jXRZ += . gR i gX smatramo poznatim, a pR ( 0p >R ) i pX nepoznatim. Struja u

prostom kolu sa slike 3.25 je pg ZZ

EI+

= . Snaga prijemnika je ( ) ( )2gp2

gp

2p2

p XXRR

ERIRP

+++== .

Prisustvo člana ( )2gp XX + u imeniocu samo smanjuje snagu. Očigledno, optimalno bi bilo da je ( ) 02

gp =+ XX , odnosno gp XX −= . Ako je taj uslov ispunjen, izraz za snagu prijemnika se uprošćava

u ( )2gp

2p

RR

ERP

+= . Ovaj izraz se može preurediti u

p

2g

gp

2

2RR

RR

EP++

=. Snaga ima maksimum kada izraz

u imeniocu ima minimum. Diferenciranjem imenioca po pR i izjednačavanjem s nulom dobija se

61

jednačina 01 2p

2g =−

RR

. Ova jednačina ima dva rešenja, gp RR ±= . U obzir dolazi samo rešenje gp RR =

jer je prijemnik pasivan. Imenilac pod ovim uslovom ima minimum (u šta se možemo uveriti preko

drugog izvoda), a snaga prijemnika ima maksimum, g

2

max p 4REP = . Dakle, tražena optimalna

impedansa prijemnika je ∗=−= gggp j ZXRZ (uslov prilagođenja po snazi).

(Dobijeni rezultati su u skladu sa odgovarajućim rezultatima za stalne struje.)

Slika 3.25.

U tehnici se pod snagom realnog generatora podrazumeva snaga koju generator predaje ostatku kola. Ta snaga je različita od snage idealnog generatora (na primer, idealnog naponskog generatora sa slike 3.25) koji ulazi u sastav modela realnog generatora. Ako je postignuto prilagođenje po snazi, generator predaje maksimalnu snagu, koja se naziva raspoloživom snagom generatora. Pri tome, jedna polovina snage koju razvija idealni naponski generator sa slike 3.25 troši se na gubitke u samom generatoru (na rezistansi gR ), a druga polovina se predaje prijemniku (gde se disipira na rezistansi pR ).

U tehnici visokih učestanosti, često se realizuje prilagođenje po snazi. U nekim situacijama, snaga generatora je veoma mala, pa je cilj iz generatora izvući što veću snagu signala, da bi se kasnije lakše obrađivao. U drugim situacijama, raspolaže se skupim generatorom (na primer, radio predajnikom), pa je cilj da se njegova raspoloživa snaga u potpunosti iskoristi (na primer, predajna antena se prilagođava na radio predajnik).

U praksi, često impedansa prijemnika ne ispunjava uslov ∗= gp ZZ . Ako je potrebno postići prilagođenje po snazi, između generatora i prijemnika se umeće mreža za prilagođenje (slika 3.26). Ta mreža je četvoropol sastavljen od elemenata sa što manjim gubicima. Teorijski, ti elementi su idealni kalemovi i kondenzatori. Mreža za prilagođenje ima cilj da preslika impedansu prijemnika ( pZ ) na ∗

gZ . Drugim rečima, ulazna impedansa gledano od generatora u mrežu za prilagođenje treba

da bude ∗gZ . Tako se postiže da generator ostatku kola preda maksimalno moguću snagu. Na osnovu

teoreme održanja snage, pošto u mreži za prilagođenje (teorijski) nema gubitaka, odnosno pošto je srednja snaga te mreže jednaka nuli, sva snaga koju generator predaje ostatku kola dolazi do prijemnika i u njemu se disipira. Može se pokazati da je, u slučaju prilagođenja po snazi, ekvivalentna impedansa koju vidi prijemnik gledajući u mrežu za prilagođenje jednaka ∗

pZ .

62

Slika 3.26.

Vratimo se na kolo sa slike 3.25. U nekim praktičnim situacijama nije moguće podesiti dva parametra prijemnika (rezistansu i reaktansu) da bi se dobilo prilagođenje po snazi. Na primer,

ggg jXRZ += je kompleksno, ali je pp RZ = čisto realno. Tada se može postići samo delimično

prilagođenje po snazi. U posmatranom primeru, struja u kolu je pgg j RXR

EI++

= , a snaga

prijemnika ( ) 2g

2gp

2p2

pXRR

ERIRP

++== , tj.

p

2g

2g

gp

2

2R

XRRR

EP+

++

=. Iz uslova

02d

d

p

2g

2g

gpp

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +++

RXR

RRR , dobija se 01 2

p

2g

2g =

+−

R

XR, odnosno g

2g

2gp ZXRR =+= .

Generator na slici 3.25 može biti ekvivalentni generator kojim se zamenjuje neka mreža po Tevenenovoj teoremi. I u tom slučaju važe sva izvođenja iz ovoga odeljka. Takođe, ukoliko se posmatra RSG, on se može ekvivalentirati sa RNG, pa zatim primeniti rezultati ovoga odeljka.

3.6.7. Popravka faktora snage

U ovom odeljku ćemo razmotriti jedan problem koji je specifičan za elektrodistributivne sisteme. Zadatak takvog sistema je da prijemniku obezbedi nominalni napon (sinusoidalan, propisane efektivne vrednosti i učestanosti) i pri tome prijemniku isporuči odgovarajuću srednju (aktivnu) snagu.

Faktori snage velikih prijemnika u industriji često su manji od 1, a prijemnici su pretežno induktivni (motori). Neka je kompleksna impedansa jednog takvog prijemnika ppp jXRZ += , gde je

pR rezistansa prijemnika, a pX ( 0p >X ) reaktansa prijemnika. Pošto je prijemnik pretežno induktivan, može se ekvivalentirati rednom vezom otpornika i kalema (slika 3.27a) tako da je

ppp j LRZ ω+= (odnosno ω= /pp XL ). Međutim, kao što je već rečeno kod uvođenja reaktivne snage, u elektrodistributivnim sistemima je uobičajena paralelna ekvivalentna šema prijemnika (slika 3.27b). Kompleksne admitanse obe ekvivalentne šeme moraju biti identične, odnosno mora važiti

2p

22p

pp

pp

jj

1j11

LR

LRLRLR ω+

ω−=

ω+=

ω+ . Odavde imamo veze između elemenata ove dve ekvivalentne šeme:

p

2p

22p

RLR

Rω+

= , p

2

2p

22p

LLR

Lω

ω+= .

Uprošćeno gledano, prijemnik je vezan na generator posredstvom voda, kao na slici 3.28. U provodnicima voda postoje Džulovi gubici, pa su provodnici na slici okrakterisani ukupnom otpornošću žica ( žR ). Snaga tih gubitaka se računa kao 2

žž IRP = . Zbog otpornosti žica, napon

63

prijemnika nije jednak elektromotornoj sili generatora. Međutim, regulacijom te elektromotorne sile se u elektroenergetskom sistemu postiže da napon prijemnika ima nominalne parametre. Aktivna snaga prijemnika je pri tome ϕ= cosUIP , a reaktivna ϕ= sinUIQ .

+

. a) b)

Slika 3.27. Slika 3.28.

Fazorski dijagram napona i struje prijemnika prikazan je na slici 3.29. Struja prijemnika nije u fazi sa naponom, već zaostaje za ugao Φ. Početni trenutak nismo definisali, a nije ni bitan za ovo razmatranje, tako da faznu osu nismo ucrtali. (Ako tu osu ucrtamo horizontalno, da se poklapa sa pravcem fazora napona, to odgovara usvajanju početne faze napona 0=θ .)

Slika 3.29.

Fazor struje se, kao i bilo koji vektor, može rastaviti na komponente. Na slici 3.29, jedna komponenta je paralelna fazoru napona, a druga upravna na fazor napona. Prva komponenta (u fazi sa naponom) naziva se aktivnom komponentom struje ( aI ). Njena efektivna vrednost je ϕ= cosa II . U našem primeru, ta komponenta je istovremeno i struja otpornika u paralelnoj ekvivalentnoj šemi prijemnika na slici 3.28 ( RII =a ). Druga komponenta (u kvadraturi sa naponom) naziva se reaktivnom komponentom struje ( rI ). Njena efektivna vrednost je ϕ= sinr II (pretpostavili smo da je 0>φ ). U našem primeru, ta komponenta je istovremeno i struja kalema ( LII =a ). Ovakvo rastavljanje struje na komponente tesno je vezano sa rastavljanjem trenutne snage na dve komponente (odeljak 2.8), od kojih jedna odgovara snazi rezistivnog elementa, a druga snazi reaktivnog elementa, pri čemu su ti elementi vezani paralelno. Aktivna komponenta struje ''nosi'' aktivnu snagu prijemnika, tj. acos UIUIP =ϕ= . Reaktivna komponenta struje ''nosi'' reaktivnu snagu prijemnika, tj. rsin UIUIQ =ϕ= .U kolu na slici 3.28, efektivna vrednost struje napojnog voda može

se napisati u obliku ϕ=

cosUPI . Kada bi prijemnik bio čisto rezistivan (odnosno njegov faktor snage

jednak 1), pri istoj efektivnoj vrednosti napona prijemnika (U) i istoj aktivnoj snazi (P), efektivna

vrednost struje napojnog voda bi bila IUPI <=' . Ovo smanjenje je tehnički i ekonomski veoma

poželjno jer, pri istim uslovima na napojnom vodu, smanjuje snagu Džulovih gubitak u provodnicima. Alternativno, pri istim dozvoljenim gubicima, moguće je upotrebiti tanje provodnike (čime se povećava žR , ali se smanjuje cena voda zbog manje mase provodnika (obično bakra). Stoga se u praksi uvek teži da se prijemnik ponaša kao da je čisto rezistivan (odnosno da mu je

64

faktor snage 1=k ). Faktor snage ekvivalentnog prijemnika kojim je završen vod popravlja se na jedinicu dodavanjem reaktivnog elementa (kondenzatora) paralelno prijemniku, kao što je prikazano na slici 3.30. Kapacitivnost kondenzatora se bira tako da bude 0=+ CL II , odnosno da struja kondenzatora poništi reaktivnu komponentu struje prijemnika. Taj uslov će biti ispunjen ako

je 2p

22p

p

LR

LC

ω+

ω=ω , odnosno 2

p22

p

p

LRL

Cω+

= . Na ovaj način je postignuta potpuna popravka faktora

snage (na 1). Drugačije posmatrano, prijemnik i kondenzator čine paralelno oscilatorno kolo koje je dovedeno u antirezonanciju (slika 3.31).

Rž

+E

I

R

IR

U L C

IL IC

Slika 3.30. Slika 3.31.

U praksi, kapacitivnost potrebna za potpunu popravku faktora snage može biti prevelika, a kondenzator skup za realizaciju. Tada se pribegava delimičnoj popravci faktora snage, biranjem kondenzatora manje kapacitivnosti nego što je potrebno za potpunu popravku.

Takođe teorijski, popravka faktora snage induktivnog prijemnika mogla bi se ostvariti dodavanjem kondenzatora na red sa prijemnikom. Predstavljajući prijemnik u vidu redne veze

otpornika i kalema (slika 3.27a), uslov potpunog popravka je p1 LC

ω=ω . Ovakvom vezom se dobija

redno (rezonantno) kolo. Stavljanjem kondenzatora na red sa prijemnikom, a pri zadatom (nominalnom) naponu prijemnika, efektivna vrednost struje prijemnika bi porasla, a prijemnik zbog toga mogao da pregori. Ovakav postupak, očigledno, nema tehničkog smisla.

65

4. ELEKTRIČNE MREŽE SA MAGNETSKI SPREGNUTIM GRANAMA

4.1. Kola sa spregnutim kalemovima

Posmatrajmo najpre jedan kalem, prikazan na slici 4.1a. Pretpostavljamo da se kalem nalazi u linearnoj sredini i da se njegova induktivnost ne menja u vremenu. Faradejev zakon

elektromagnetske indukcije daje elektromotornu silu indukovanu u kalemu, tte

dd)( 1

1indΦ

−= . Referentni smer ems se poklapa sa referentnim smerom struje kalema. Stoga se kalem ekvivalentno

ponaša kao ING, prikazan na slici 4.1b, a napon kalema je ttetu

dd)()( 1

1ind1Φ

=−= . Ako je režim

prostoperiodičan, ova jednačina se preslikava u kompleksnom domenu na 11 j Φω=U .

U1

I1

+1

1'

L1 U1

I1

+1

1'Eind1

+

Slika 4.1.

Ako je kalem usamljen, onda fluks kroz kalem potiče samo od magnetske indukcije kalema, što pišemo u obliku 111 iL=Φ . Pošto induktivnost, po pretpostavci, ne zavisi od vremena, imamo

tiL

tiLte

dd

d)d()( 1

111

1ind −=−= , tako da je tiLtu

dd)( 1

1 = , što smo već ranije pokazali kada smo razmatrali

jedan kalem. U kompleksnom domenu, 111 j ILU ω= . Kada sumiramo napone u kolu (prilikom postavljanja jednačina po drugom Kirhofovom zakonu ili prilikom računanja napona između dve tačke u kolu), pa naiđemo na kalem, u zbir ulazi član 11j ILω ako su smer sumiranja napona i referentni smer struje kalema suprotni. Ako se smer sumiranja napona i referentni smer struje kalema poklapaju, onda u zbir ulazi član 11j ILω− .

Ako je kalem u sprezi (posredstvom magnetskog polja) sa drugim kalemovima (ukupan broj kalemova je N), onda fluks kroz kalem ( 1Φ ) potiče od magnetske indukcije svih kalemova.

Elektromotorna sila se i dalje računa kao tte

dd)( 1

1Φ

−= . Smatramo da je sredina linearna (inače ne bi mogao da postoji prostoperiodičan režim), što za posledicu ima da važi superpozicija. Takođe smatramo da se sopstvene i međusobne induktivnosti kalemova ne menjaju u vremenu. Tada imamo

N112111 ... Φ++Φ+Φ=Φ , gde je 1Φ sopstveni fluks, a Nnn ,...,2,1 =Φ međusobni fluks (tj. fluks kroz kalem 1 od magnetske indukcije kalema n). I za ostale kalemove možemo pisati analogne relacije,

tako da imamo ∑=

=Φ=Φ++Φ+Φ=ΦN

nmnmNmmm Nm

121 ,...,1,... . Sopstveni fluks kalema je mmmm iL=Φ ,

gde je mL sopstvena induktivnost kalema. Međusobni fluks kalema m koji potiče od magnetske indukcije kalema n je mnNniL nmnmn ≠==Φ ,,...,1, , gde je nmNnmLL nmmn ≠== ,,...,1,, međusobna induktivnost kalemova m i n.

Sopstvena induktivnost kalema ne može biti negativna. Znak međusobne induktivnosti zavisi od toga kako kalemovi fizički izgledaju (način motanja) i od referentnih smerova struja kalemova.

66

Dalje imamo NmiLiLiL NmNmmm ,...,1,...2211 =+++=Φ . Pošto su induktivnosti konstantne, elektromotorna sila indukovana u kalemu m je

Nmt

iLtiL

tiL

tte N

mNmmm

m ,...,1,d

d...dd

dd

dd)( 2

21

1 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++−=

Φ−= . Referentni smer ems se poklapa sa

referentnim smerom struje kalema, isto kao za kalem sa slike 4.1. Napon kalema je

Nmt

iLtiL

tiLtetu N

mNmmmm ,...,1,d

d...dd

dd)()( 2

21

1 =+++=−= , pri čemu su referentni smerovi napona i

struje kalema usklađeni. U kompleksnom domenu, NmILILILU NmNmmm ,...,1,j...jj 2211 =ω++ω+ω= . Napomenimo da jednakost jiij LL = iskazuje reciprocitet. To ima za posledicu da su pasivne

mreže sa otpornicima, kalemovima i kondenzatorima i dalje recipročne, čak i kada su kalemovi međusobno spregnuti.

Kada se, prilikom sumiranja napona, naiđe na kalem koji je u sprezi sa drugim kalemovima, u zbir ulazi izraz NmNmm ILILIL ω++ω+ω j...jj 2211 ako su smer sumiranja napona i referentni smer struje kalema suprotni. U protivnom, u zbir ulazi ( )NmNmm ILILIL ω++ω+ω− j...jj 2211 . Drugim rečima, svi članovi NnIL nmn ,...,1,j =ω ulaze u zbir sa istim predznakom. Međusobna induktivnost, međutim, u sebi uključuje i znak, koji zavisi od izbora referentnih smerova struja spregnutih kalemova.

Posebno, ako posmatramo dva spregnuta kalema ( 2=N ), prikazana na slici 4.2, imamo, u kompleksnom domenu, 212111 jj ILILU ω+ω= i 221212 jj ILILU ω+ω= . Napomenimo da dva spregnuta kalema sa ove slike predstavljaju mrežu sa dva pristupa koja se naziva i transformatorom. Prvi kalem je primar, a drugi sekundar transformatora. Transformatorima čemo se još baviti kasnije.

U2

I2

+ 2

2'

U1

I1

+1

1'

L2L1

k

Slika 4.2.

Podsetimo se i da se koeficijent induktivne sprege dva kalema (prikazana na slici 4.2)

definiše relacijom 21

12 ||LL

Lk = i da mora biti 10 ≤≤ k . Odavde je 2112 LLkL ±= . Na električnim

šemama spregnutih kalemova znak međusobne induktivnosti se određuje koristeći se tačkama koje su označene uz po jedan priključak svakog kalema (slika 4.2). Pogledati odeljak 6.6 elektromagnetizma. Ako su referentni smerovi struja kalemova takvi da oba smera ulaze u priključke kalemova obeležene tačkama, ili oba izlaze iz priključaka obeleženih tačkama, međusobna induktivnost je pozitivna. Ako referentni smer struje jednog kalema ulazi u priključak tog kalema obeležen tačkom, a referentni smer struje drugog kalema izlazi iz priključka tog kalema obeležnog tačkom, međusobna induktivnost je negativna. U slučaju da ima više od jednog para spregnutih kalemova, pravilo o određivanju znaka međusobne induktivnosti dva kalema na osnovu tačaka i definicija koeficijenta induktivne sprege primenjuju se na svaki par kalemova ponaosob.

Napomenimo da ako je 0=k , kalemovi nisu spregnuti. Ako je 1=k (maksimalna sprega), kaže se da je sprega savršena. Teorijski, takva sprega se može ostvariti ako i samo ako je magnetski fluks isti kroz svaki zavojak jednog kalema i isti (po modulu) kroz zavojke prvog i drugog kalema.

Kola koja sadrže spregnute kalemove mogu se rešavati Kirhofovim zakonima.

67

Koristeći se jednačinama po Kirhofovim zakonima u kompleksnom domenu može se izračunati ekvivalentna induktivnost mreža koje se sastoje od kalemova (koji mogu biti spregnuti, ali ne moraju). Takav postupak je jednostavniji od rešavanja u vremenskom domenu18.

Primer 4.1. Rednu vezu dva spregnuta kalema rešavali smo u vremenskom domenu, u

odeljku 6.6 elektromagnetizma. Sami uradite isto u kompleksnom domenu. Primer 4.2. Na slici 4.3a je prikazana paralelna veza dve spregnute grane sa kalemovima.

Želimo da odredimo impedansu sa strane priključaka (generatora). Ekvivalentna impedansa se, u ovom slučaju, ne može nalaziti na način kako smo to radili

kada grane nisu spregnute, već se nalazi kao odnos kompleksnog napona između priključaka u

odnosu na koje se traži impedansa i kompleksne struje kroz te priključke, tj. IUZ e = (videti kraj

odeljka 3.3.4). Na osnovu prvog Kirhofovog zakona imamo

21 III += (1) Na osnovu drugog Kirhofovog zakona, ili računajući napon, za konture na slici 4.3b imamo

2121111 jj ILILIZU ωω ++=

1212222 jj ILILIZU ωω ++= Ove dve jednačine se mogu napisati i u obliku

UIZIZ =+ 212111 (2) UIZIZ =+ 222121 (3)

gde su 1111 j LZZ ω+= , 2222 j LZZ ω+= , MjLLZZ ωωω ==== 21122112 jj , 0>M (u kolu na slici 4.3).

Slika 4.3.

Ako relaciju (2) rešimo po 1I , a relaciju (3) po 2I , i tu relaciju za 2I zamenimo u relaciju

za 1I , dobijamo relaciju samo po 1I , a na sličan način i samo po 2I , odakle je

( )2122211

12221 ZZZ

ZZUI−−

= , ( )

2122211

12112 ZZZ

ZZUI−−

=

18 Аналоган поступак се може применити и на одређивање еквивалентне капацитивности мреже која се састоји само од кондензатора.

68

Posle zamene ova dva izraza u relaciju (1), dobija se relacija koja povezuje U i I i parametre kola, iz koje se može odrediti ekvivalentna impedansa, tj.

( )MjZZ

MZZZZZ

ZZZI

UZ e ωω22 2211

22211

122211

2122211

−+−

=−+−

==

Razmotrimo sada nekoliko slučajeva: 1. Neka je M=0 (nema sprege). Tada se ekvivalentna impedansa svodi na

2211

22110)(M ZZ

ZZZ e +== , a to je poznati izraz za dva paralelno vezana prijemnika impedansi 11Z i 22Z .

2. Neka je 021 == ZZ , a 0≠M , tj. imamo dva paraleno vezana kalema koji su

međusobno spregnuti. Sada se ekvivalentna impedansa svodi na ee LjMLL

MLLjZ ωω =−+−

=221

221 ,

odakle se vidi da je ekvivalentna iduktivnost dva paralelno vezana spregnuta kalema

MLLMLL

Le 221

221

−+−

= .

3. Neka je 021 == ZZ , a 0=M , tj. imamo dva paraleno vezana kalema koji nisu

spregnuti. Sada se ekvivalentna impedansa svodi na ee LjLL

LLj

ZZZZZ ωω =

++=

21

21

21

21 , odakle se

vidi da je ekvivalentna iduktivnost dva paralelno vezana kalema (bez sprege) 21

21

LLLL

Le += .

Ako se međusobna induktivnost piše u obliku 212112 LLkMLL === onda se ekvivalentna induktivnost, u slučaju (2) može pisati u obliku

2121

221

1221

21221

e 2)1(

2 LLkLLkLL

LLLLLL

L−+

−=

−+−

= . Posebno, ako je 1=k , a 21 LL ≠ , imamo 0e =L . Ako je

LLL == 21 , tada je )1(2)1(2

)1( 2

e kLkkLL +=−−

= , pa je za 1=k , 1e =L .

Da je na šemi na slici 4.3 tačka na donjem priključku kalema induktivnosti 2L , međusobna

induktivnost bi bila negativna 0<M , odnosno 2112 LLkL −= , a 2121

221

e 2)1(

LLkLLkLL

L++

−= .

Za rešavanje zadataka korisno je uočiti i da ako se međusobna induktivnost pomnoži sa kružnom učestanošću, dobija se međusobna impedansa preko koeficijenta sprege i reaktansi kalemova, tj.

2121212112 LL ZZkLLkLLkLLM ===== ωωωωωω

4.2. Osnovni pojmovi o transformatoru u linearnom radnom režimu U elektromagnetizmu smo analizirali princip rada transformatora sa feromagnetskim jezgrom pri proizvoljnim promenama napona primara. Ovde ćemo ga analizirati pri prostoperiodičnim naponima i strujama, tj. u linearnom radnom režimu. Magnetsko kolo transformatora prikazano je na slici 4.4a, a električna šema na slici 4.4b. Broj zavojaka primara je

1N a sekundara 2N , srednji obim magnetskog kola je l, površina poprečnog preseka S, a magnetski materijal linearan permeabilnosti μ.

69

Slika 4.4.

Jednačine za napone sa strane primara i sekundara, u kompleksnom obliku, su (uočite da je

na slici 4.4b suprotan smer struje nego na slici 4.2): 211111 jj IMILIRU ωω −+=

1221222 jj IMILIRU ωω +−−= Ove dve jednačine se mogu napisati i u obliku

1212111 UIZIZ =− (1)

2222121 UIZIZ =− (2)

gde su 1111 j LRZ ω+= , 2222 j LRZ ω+= , MjLZZ ωω === 122112 j , 0<M (ali je to već uzeto u obzir u relacijama).

Na osnovu jednačina (1) i (2) može se analizirati rad transformatora u linearnom radnom režimu.

Primer 4.3. Ulazna impedansa transformatora čiji je sekundar zatvoren prijemnikom

impedanse pZ (slika 4.5), se lako računa na osnovu izraza za ulaznu impedansu 1

1

IU

Z ul = . Ako se

u relaciju (2) stavi 22 IZUU pp == i odatle nađe nađe 2I , i zameni u relaciju (1) i nađe količnik 1U i 1I , za ulaznu impedansu se dobija

p22

112122211

p22

212

11ul ZZZZZZZ

ZZZZZ p

++−

=+

−= (*)

Slika 4.5.

4.2.1. Savršeni i idealni transformator

Savršeni transformator je zamišljeni transformator koji ima sledeće osobine:

70

1) nema gubitaka ni u provodnicima ( 021 == RR , pa je 111 j LZ ω= , 222 j LZ ω= ,), ni u jezgru;

2) 1=k , tj. sopstvene i međusobne induktivnosti ovakvoga transformatora su lSNL /211 μ= ,

lSNL /222 μ= i lSNNLLM /212112 μ=== . (Za proveru, 1/|| 2112 == LLLk .) ( 1=k ) Stoga možemo

pisati 211 NLL zav= , 2

22 NLL zav= i 212112 NNLLL zav== , gde je lSLzav /μ= konstanta. Savršeni transfomator je i transformator kod koga su ovi uslovi približno zadovoljeni

( 99,0=k ). Idealni transformator je savršeni transformator kod koga (pored osobina 1) i 2) važi i

osobina 3) +∞→μ (odnosno sve induktivnosti ( 1L , 2L , M ) teže beskonačnosti). Za savršeni transformator, jednačine za napone sa strane primara i sekundara, u

kompleksnom obliku, svode se na ( 021 == RR , M se uvrštava u apsolutnoj vrednosti): 2111 jj IMILU ωω −=

12212 jj IMILU ωω +−=

Posle uvrštavanja relacija za 1L , 2L , M u ove relacije i sređivanja dobija se ( )221111 j ININNLU zav −= ω ( )221122 j ININNLU zav −= ω

Odatle se dobija

2

1

2

1NN

UU

=

Ako se relacije za 1L , 2L reše po 1N , odnosno 2N , dobija se zavLLN /11 = , odnosno

zavLLN /22 = , pa se posle uvrštavanja u prethodnu relaciju dobija

2

1

2

1

2

1

LL

NN

UU

==

Do ovih relacija se može doći i na drugi način. Primer 4.4. Odredimo Tevenenov generator gledano u sekundar mreže prikazane na slici

4.6a. Ako u jednačine savršenog transformatora stavimo EU =1 i 02 =I , dobija se napon praznog

hoda sekundara ( 02 =I ), 1

12

1T02 L

LE

LMEEU === . Ekvivalentna impedansa gledano u sekundar je

čisto reaktivna (induktivna), ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−ω==

1

212

2Te jLLLZZ , i predstavlja impedansu kalema induktivnosti

1

212

2e LLLL −= . Stoga se Tevenenov generator može prikazati u vidu redne veze idealnog naponskog

generatora i kalema, kao na slici 4.6b. Kada je sekundar otvoren ( 02 =I ), gledano u primar se vidi samo induktivnost 1L , ulazna

impedansa transformatora je 1e j LZ ω= , pa je struja praznog hoda (struja magnetisanja jezgra) jednaka )/(j)/(j/ 2

1111e110 SNlULUZUI ωμ=ω== . Za idealni transformator, pod pretpostavkom da je napon primara konačan, onda je i fluks

kroz jezgro konačan ( )j/( 11)1( NU ω=Φ ), a konačna je i magnetska indukcija ( SB /)1(Φ= ). Kako je

μ= /BH i +∞→μ , sledi da mora biti 0=H . Sada se iz uopštenog Amperovog zakona dobija

71

22110 ININ += , odakle je 1

2

2

1NN

II

−= . Uz ovu jednačinu, i dalje važi nNN

UU

==2

1

2

1 , gde je n prenosni

broj transformatora. Ovo su osnovne jednačine idealnog transformatora. Idealni transformator se na šemama označava kao na slici 4.7, gde se ubeležava odnos broja zavojaka primara i sekundara (ne obeležavaju se induktivnosti!) i označavaju tačke.

. a) b)

Slika 4.6.

U2

I2

+ 2

2'

U1

I1

+1

1'

N1:N2

Slika 4.7.

Primer 4.5. Neka je sekundar idealnog transformatora zatvoren impedansom pZ .Treba

odrediti ulaznu impedansu. Koristeći se relacijom (*) iz primera 4.3, u kojoj je, za idealni transformator

02122211 =− ZZZ , i ako je pZZ >>22 , dobija se

pppzav

zavp ZnZ

NNZ

NLNLZ

ZZZ 2

2

2

122

21

22

11ul j

j=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛===

ωω

Primer 4.6. Posmatrajmo transformator, prikazan na slici 4.8, čiji je sekundar kratko spojen.

Drugi Kirhofov zakon daje 212111 jj ILILU ω+ω= i 22112 jj0 ILIL ω+ω= , gde je 2112 LLkL += . Iz druge

jednačine je 2

1212 L

LII −= , pa je 12

212

112

12121 jjj I

LLLI

LLLLU ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−ω=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω−ω= i )1( 2

12

212

1e kLLLLL −=−= .

Uočimo da postojanje kratke veze u podnožju kalemova ne utiče na rezultat, kao ni znak međusobne induktivnosti.

Može se napraviti veliki broj ekvivalentnih šema transformatora, uključujući i one koje

sadrže idealni transformator.

72

I2

U

I1

+L2L1

k

Slika 4.8.

4.2.2. Autotransformator

Na slici 4.9 je prikazan autotransformator. To je savršeni transformator koji ima samo jedan namotaj, ali sa ''srednjim'' izvodom. Ukupan broj zavojaka je N, a izvod deli namotaj na dva dela, sa brojevima zavojaka 1N i 2N , respektivno, gde je NNN =+ 21 . S obzirom da rasipanja nema,

magnetski fluks je isti kroz svaki zavojak, pa imamo 22

1NN

UU

= , nezavisno od struja. Ista relacija se

može izvesti i postavljanjem jednačina za spregnuta kola, ( ) 1122122 jj ILIILU ω++ω= i ( )21121121 jj IILILUU +ω+ω+= , i uvrštavanjem relacija 2

11 NLL zav= , 222 NLL zav= i

212112 NNLLL zav== . (Napomenimo da je ukupna induktivnost namotaja 2NLL zav= ). Autotransformator sa kliznim kontaktom (pomičnim srednjim izvodom) ima promenljiv prenosni odnos, a koristi se kao regulacioni transformator.

U1

I1

+

U2

I2

+N2

N1

NL1

L2

k

Slika 4.9.

73

5. TROFAZNI SISTEMI

5.1. Osnovni pojmovi o monofaznim i polifaznim elementima

Svi generatori i prijemnici sa kojima smo do sada radili imali su po dva priključka (jedan par priključaka). Takvi generatori i prijemnici nazivaju se u elektroenergetici monofaznim (jednofaznim) elementima (slika 5.1a). U praksi, međutim, postoje generatori i prijemnici koji imaju više od dva priključka (na primer, generatori u hidrocentralama i termocentralama, kao i motori u industrijskim pogonima). Takvi generatori i prijemnici nazivaju se polifaznim (višefaznim) elementima (slika 5.1b). Polifazni generator i polifazni prijemnik međusobno se povezuju sistemom provodnika koji čine polifazni vod.

Z+

E, Zg

. a) b)

Slika 5.1.

Međutim, svi polifazni elementi mogu se ekvivalentno prikazati kao mreže sastavljene od monofaznih elemenata. Uokviru ovoga predmeta, posmatraćemo isključivo trofazne elemente: generatore i prijemnike. Svaki od njih se može predstaviti pomoću tri monofazna prijemnika (slike 5.2 i 5.3). Uz te elemente, posmatraćemo samo trofazne vodove.

5.2. Trofazni elementi

5.2.1. Trofazni generatori

Trofazni generator je sastavljen od tri monofazna generatora, koji mogu biti vezani u zvezdu (slika 5.2a) ili u trougao (slika 5.2b). Elektromotorne sile ovih generatora, 1E , 2E i 3E , imaju u opštem slučaju različite efektivne vrednosti i proizvoljne početne faze, a i impedanse generatora,

1gZ , 2gZ i 3gZ , takođe su različite. Svaki od monofaznih generatora sa slike 5.2 modeluje jedan namotaj na stvarnom generatoru. Takav namotaj se naziva fazom (ili granom) generatora.

U slučaju veze u trougao, postoje ukupno tri priključka ovakvog generatora. U slučaju veze u zvezdu, mogu postojati tri ili četiri priključka. Četvrti priključak, koji je povezan sa zvezdištem, u praksi se obično vezuje za uzemljivač, pa je tada njegov potencijal jednak nuli. Potencijali ostala tri (''vruća'') priključka nisu nula. Ako je veza u trougao, onda ne postoji referentni priključak koji bi bio uzemljen. Osim toga, kod veze u trougao je poželjno da što bolje bude ispunjen uslov

0321 =++ EEE , kako bi se izbegle jake struje u granama generatora koje bi inače postojale i kada generator nije vezan u kolo. Iz tih razloga se generator obično vezuje u zvezdu, a ne u trougao.

Bez obzira na način kako je generator vezan (u zvezdu ili trougao), za svaku fazu generatora definišemo odgovarajući napon (napon faze generatora), 1gU , 2gU , odnosno 3gU , i struju (struju faze generatora), 1EI , 2EI , odnosno 3EI , kao što je prikazano na slici 5.2.

74

. a) b)

Slika 5.2.

5.2.2. Trofazni prijemnici

Trofazni prijemnik je, takođe, sastavljen od tri monofazna prijemnika, koji mogu biti vezani u zvezdu (slika 5.3a) ili u trougao (slika 5.3b). U praksi se koriste obe veze. Ako je trofazni prijemnik, na primer, motor, svaki od monofaznih prijemnika modeluje jedan namotaj toga motora, koji se naziva fazom (ili granom) prijemnika. Bez obzira na način vezivanja, za svaku fazu prijemnika definišemo odgovarajući napon (napon faze prijemnika), 1pU , 2pU , odnosno 3pU , i struju (struju faze prijemnika), 1pI , 2pI , odnosno 3pI .

. a) b)

Slika 5.3.

Od trofaznog generatora (vezanog u zvezdu) do prijemnika ide trofazni vod (slika 5.4). Provodnici voda vezani za ''vruće'' priključke generatora nazivaju se fazni provodnici voda (faze), a provodnik vezan za zvezdište (i uzemljenje generatora) naziva se neutralni provodnik (nula). Standardne oznake za faze voda su A, B i C (stare oznake R, S i T), a za neutralni provodnik je N (0).

Na vodu se definišu sledeći naponi. Napon između jednog faznog provodnika i neutralnog provodnika naziva se faznim naponom voda (naponi AU , BU i CU na slici 5.4). Naponi između bilo koja dva fazna provodnika nazivaju se međufaznim, složenim ili linijskim naponima (naponi

75

ABU , BCU i CAU na slici 5.419). Očigledno je BAAB UUU −= , CBBC UUU −= i ACCA UUU −= i 0CABCAB =++ UUU . Na vodu se definišu i struje faznih (''vrućih'') provodnika, AI , BI i CI , kao i

struja neutralnog provodnika, NI . Prema referentnim smerovima sa slike 5.4, CBAN IIII ++= . Ako se drugačije ne naglasi, smatraćemo da je vod idealan, bez gubitaka i drugih parazitnih efekata (kapacitivnosti i induktivnosti). U tom slučaju se naponi i struje ne menjaju duž voda.

Slika 5.4.

Ako je trofazni generator vezan u zvezdu sa izvedenim zvezdištem, kao na slici 5.4, onda je 1g11g1A EIZEUU −== , 2g22g2B EIZEUU −== i 3g33g3C EIZEUU −== . Osim toga, tada je 1A EII = ,

2B EII = i 3C EII = . Ako je trofazni generator idealan (tj. ako su monofazni generatori od kojih je sačinjen idealni), onda je, prema referentnim smerovima sa slike 5.4, 1A EU = , 2B EU = i 3C EU = .

5.2.3. Priključivanje prijemnika na trofazne generatore

Normalno priključivanje prijemnika na vod je prikazano na slici 5.5 ((a) u zvezdu, (b) u trougao). Trofazni prijemnik vezan u zvezdu može imati samo tri priključka, koji se vezuju za faze voda, ili četiri priključka, od kojih se tri vezuju za faze voda, a četvrti, povezan sa zvezdištem, vezuje za neutralni provodnik voda. U ovom drugom slučaju je uvek napon svake faze prijemnika jednak odgovarajućem faznom naponu voda, A1p UU = , B2p UU = , C3p UU = . Osim toga, tada je

A1p II = , B2p II = i C3p II = . Tri priključka trofaznog prijemnika vezanog u trougao vezuju se za faze voda. Pri tome je

napon svake faze prijemnika jednak odgovarajućem linijskom naponu, odnosno AB1p UU = , BC2p UU = i CA3p UU = . Ukoliko prijemnik ima samo tri priključka, neutralni provodnik voda ne mora postojati. Na slici 5.6 prikazano je nekoliko trofaznih i monofaznih prijemnika vezanih na jedan

trofazni vod. Trofazni prijemnici se priključuju kako je gore objašnjeno, a svaki monofazni prijemnik se priključuje između jedne faze voda i nule20. Prijemnici su, u suštini, vezani paralelno na vod.

19 Referentni smerovi za ove napone označeni na slici 5.4 su redundantni jer su ti smerovi već definisani pomoću dva indeksa. 20 У домаћинствима, већина пријемника је монофазна. Термоакумулационе пећи, штедњаци и проточни бојлери обично су трофазни пријемници.

76

. a) b)

Slika 5.5.

Trofazni sistem čine bar jedan trofazni generator, trofazni vod i prijemnik. Na slici 5.6 je prikazan jednostavan primer trofaznog sistema.

Slika 5.6.

5.3. Simetrični, direktni i inverzni sistemi

Iako elektromotorne sile trofaznog generatora mogu, u principu, biti proizvoljne, u praksi su obično njihove efektivne vrednosti jednake, a fazne razlike svake dve uzastopne elektromotorne sile takođe jednake. Takav sistem elektromotornih sila naziva se simetričnim sistemom. Simetričan sistem ems se može dobiti, teorijski, pomoću tri identična zavojka, prikazana na slici 5.7, koji se obrću konstantnom ugaonom brzinom oko zajedničke osovine u homogenom stalnom magnetskom polju21.

Za smer obrtanja zavojaka i numeraciju priključaka prikazanu na slici 5.7a, elektromotorna sila indukovana u drugom zavojku, )()()( 11'12ind tetete == , zaostaje za elektromotornom silom indukovanom u prvom zavojku, )()()( 22'21ind tetete == , za 3/π2 . Slično tome, elektromotorna sila indukovana u trećem zavojku, )()()( 33'33ind tetete == , zaostaje za )(2 te , za 3/π2 . No, možemo

21 У пракси, главни намотај генератора није на ротору, као на слици 5.7, него на статору и сложене је конструкције. Ротор је електромагнет који има свој (помоћни) намотај.

77

posmatrati i dalje u krug, pa )(1 te , zaostaje za )(3 te , za 3/π2 . U kanoničnom obliku,

)cos(2)( 11 θ+ω= tEte , )3

2cos(2)( 12π

−θ+ω= tEte i )3

2cos(2)3

4cos(2)( 113π

+θ+ω=π

−θ+ω= tEtEte . Takav sistem elektromotornih sila, gde svaka naredna fazno zaostaje za prethodnom (za 3/π2 ) naziva se direktnim sistemom. Pošto su u posmatranom slučaju efektivne vrednosti ems i njihove fazne razlike jednake, kažemo da elektromotorne sile generatora čine simetričan direktan sistem. Vremenski dijagram elektromotornih sila takvog sistema prikazan je na slici 5.7b. Fazori tih elektromotornih sila prikazani su na slici 5.8a. Kompleksne ems generatora u granama, mogu se, za prvi, drugi i treći generator, napisati u obliku

1j1 e θ= EE ,

/3j212 e π= -EE ,

/3j21

/3-j413 ee ππ EEE == .

Slika 5.7a.

Slika 5.7b.

. a) b)

Slika 5.8.

78

Za suprotan smer obrtanja zavojaka na slici 5.7, svaka naredna ems fazno prednjači prethodnoj (opet za 3/π2 ), što možemo pisati u obliku )cos(2)( 11 θ+ω= tEte ,

)3

2cos(2)( 12π

+θ+ω= tEte i )3

2cos(2)( 13π

−θ+ω= tEte Takav sistem se naziva inverznim sistemom. U posmatranom primeru imamo simetričan inverzan sistem ems, čiji su fazori prikazani na slici 5.8b. Kompleksne ems su

1j1 e θ= EE ,

/3j212 e π= EE i

/3j213 e π−= EE .

Očigledno, direktan sistem se može dobiti od inverznog zamenom dva priključka (na primer, B i C). Važi i obrnuto, inverzni sistem se može dobiti od direktnog zamenom dva priključka. (Zahvaljujući tome, smer obrtanja asinhronog motora se može promeniti zamenom dva priključka.)

Iz fazorskog dijagrama simetričnog sistema (bez obzira da li je direktan ili inverzan) je očigledno 0321 =++ EEE . U vremenskom domenu, 0)()()( 321 =++ tetete .

Ako su realni generatori vezani u trougao kao na slici 5.2b, a sistem elektromotornih sila je simetričan, onda je struja sve tri grane jednaka nuli kada je generator u praznom hodu. Ako su generatori idealni, onda je takva situacija neodređena, a bila bi nemoguća da je 0321 ≠++ EEE .Ako su generatori na slici 5.4 idealni, a njihove elektromotorne sile čine simetričan sistem, onda i naponi faza voda čine simetričan sistem, jer je tada 1A EU = , 2B EU = i 3C EU = .

Ako elektromotorne sile čine direktan sistem, i naponi faza voda čine direktan sistem jer je 1j

f1A e θ== UEU , 3/2jA

)3/2j(fB ee 1 π−π−θ == UUU i 3/2j

A)3/2j(

fC ee 1 ππ+θ == UUU , gde je sa fU označena efektivna vrednost faznog napona. Pošto je sistem simetričan, efektivne vrednosti sva tri fazna napona su jednake (i jednake su, u posmatranom slučaju, efektivnim vrednostima elektromotornih sila).

Ako elektromotorne sile čine inverzan sistem, isti sistem čine i naponi faza voda jer je 1j

f1A e θ== UEU , 3/2jA

)3/2j(fB ee 1 ππ+θ == UUU i 3/2j

A)3/2j(

fC ee 1 π−π−θ == UUU .

Linijski naponi voda se mogu dobiti iz faznih napona koristeći se relacijama BAAB UUU −= , CBBC UUU −= i ACCA UUU −= , što je ilustrovano fazorskim dijagramom na slici 5.9: a) direktnog i

b) inverznog sistema. Očigledno, linijski naponi takođe čine simetričan sistem, istog redosleda (direktan, odnosno inverzan) kao što je redosled faznih napona voda. Efektivnu vrednost linijskih napona u tom slučaju označićemo sa U (bez indeksa), tj. UUUU === |||||| CABCAB . Iz geometrijskih relacija je očigledno 3fUU = . Kod direktnog sistema, linijski napon ABU fazno prednjači naponu

AU za 6/π . Kod inverznog sistema, linijski napon ABU fazno kasni za naponom AU za 6/π .

Slika 5.9.

79

Isti zaključci se mogu izvesti i analitički. Posmatrajmo simetričan direktan sistem faznih napona voda (slika 5.9a). Pošto je 1j

fA e θ=UU i 3/2jAB e π−=UU , imamo

( ) ( )3

sinej2eeee1 3/jA

3/j3/j3/jA

3/2jABAAB

π=−=−=−= π−π−ππ−π− UUUUUU jer je α=− α−α sinj2ee jj .

Kako je 23

3sin =

π i 2/jej π= , imamo 6/jAAB e3 π=UU . Iz ovoga rezultata sledi da je odnos

efektivnih vrednosti napona ABU i AU jednak 3 , a razlika faza jednaka 6/π . Ostali linijski naponi se mogu dobiti iz napona ABU kao za bilo koji drugi simetričan direktan sistem, odnosno

3/2jABBC e π=UU i 3/2j

ABCA e π−=UU . Na sličan način se za simetričan inverzan sistem faznih napona voda (slika 5.9b) dokazuje

da je 6/jAAB e3 π−=UU , 3/2j

ABBC e π−=UU i 3/2jABCA e π=UU .

Efektivna vrednost linijskog napona se uzima za nominalni napon trofaznog voda. Na primer, kod 400 kV dalekovoda, linijski naponi su 400 kV, a fazni naponi približno 230 kV. Nominalni napon niskonaponske gradske mreže je 400 V (ranije 380 V), pa je fazni napon 230 V (ranije 220 V). Napomenimo da je učestanost kod nas i u svim evropskim zemljama 50 Hz, a u nekim drugim zemljama (na primer, SAD) je 60 Hz.

Kao što i naponi mogu, u opštem slučaju, biti proizvoljni, tako i struje u trofaznom sistemu mogu biti proizvoljne. Međutim, sa tehničke strane, najpovoljnije je da struje čine simetričan sistem (koji može biti direktan ili inverzan). Efektivne vrednosti struja faznih provodnika voda u tom slučaju označićemo sa I (bez indeksa), tj. IIII === |||||| CBA .

Trofazni sistem kod koga i naponi, i struje čine simetrične sisteme (istog redosleda, direktnog, odnosno inverznog) naziva se uravnoteženim sistemom. Da bi se u praksi sistem približio uravnoteženom, ako postoje monofazni prijemnici, oni se raspoređuju tako da su opterećenja faza voda što približnije podjednaka.

Za referentne smerove struja provodnika voda sa slike 5.4, na osnovu prvog Kirhofovog zakona imamo CBAN IIII ++= . Ako je sistem struja na trofaznom vodu simetričan, imamo

0CBA =++ III , pa je 0N =I . Stoga se, teorijski, neutralni provodnik može izostaviti jer njemu nema struje. U praktičnim situacijama, međutim, sistem nikada nije sasvim uravnotežen, pa u neutralnom provodniku postoji struja, ali je ona obično znatno manja od struja u faznim provodnicima voda. To omogućava da se uzme manji poprečni presek neutralnog provodnika, a time uštedi na materijalu.

Slično tome, ako je prijemnik vezan u trougao, a njegove struje čine simetričan sistem, zvezdište se ne mora povezivati jer bi struja odgovarajućeg provodnika bila jednaka nuli.

Posmatrajmo trofazni prijemnik vezan na trofazni vod (slika 5.5). Ako naponi čine simetričan sistem, a prijemnik je takođe simetričan (simetrična zvezda, simetrični trougao), onda struje prijemnika automatski čine simetričan sistem. To možemo dokazati na sledeći način. Pođimo od prijemnika vezanog u zvezdu (slika 5.5a), za koji je pp3p2p1 ZZZZ === i pretpostavimo da je izveden priključak za zvezdište. Fazni naponi na vodu su, po pretpostavci, simetrični. Ti naponi su jednaki odgovarajućim naponima faza prijemnika, tj. naponi 1pU , 2pU i 3pU . čine simetričan sistem, istog redosleda kao i fazni naponi (slika 5.9). Kako je Ap1p1p / IZUI == , Bp2p2p / IZUI == i

Cp3p3p / IZUI == , struje grana prijemnika i struje faznih provodnika voda čine simetričan sistem, kao što je prikazano fazorskim dijagramom na slici 5.10. U tom dijagramu je p11 φ−θ=ψ početna faza struje 1pI , gde je 1θ početna faza napona prve grane prijemnika, odnosno prve faze voda ( A1p UU = ), a pφ argument kompleksne impedanse pZ .

Pošto struje faza voda čine simetričan sistem, struja neutralnog provodnika voda je nula. Stoga se provodnik kojim je vezano zvezdište može, po teoremi kompenzacije, ukloniti, a da se u

80

ostatku kola ništa ne promeni. Kao posledica, struje grana prijemnika i struje faznih provodnika voda i dalje čine simetričan sistem kao na slici 5.10: a) direktan i b) inverzan, iako zvezdište nije vezano na vod.

. a) b)

Slika 5.10.

Ako je simetričan prijemnik vezan u trougao, tj. ako je trougao sa slike 5.5b simetričan, on se može transfigurisati u ekvivalentnu simetričnu zvezdu (čije su impedanse tri puta manje od impedansi grana trougla), čime se analiza svodi na prethodni slučaj. Tada je, dakle, sistem struja faznih provodnika voda simetričan. Međutim, dalje se postavlja pitanje veze između struja na vodu ( AI , BI i CI ) i struja grana prijemnika ( 1pI , 2pI i 3pI ) na slici 5.5b. Odgovor se može dobiti posmatrajući fazorski dijagram na slici 5.11 ili analitički. Taj fazorski dijagram se najlakše crta polazeći od fazora 1pI , 2pI i 3pI , za koje, zbog simetrije, pretpostavljamo da čine simetričan system, slika 5.11: a) direktan i (b) inverzan. Iz prvog Kirhofovog zakona je p3p1A III −= ,

p1p2B III −= i p1p3C III −= , tako da se fazori AI , BI i CI jednostavno konstruišu.

Ako je zadata početna faza napona AU ( 1θ ) i argument kompleksne impedanse pZ ( pφ ), onda je definisana početna faza struje AI . U tom slučaju dobijeni fazorski dijagram treba zarotirati tako da ugao između realne ose i fazora AI bude jednak početnoj fazi te struje ( p11 φ−θ=ψ ).

0Ip1

Re

Im

1

Im

IA

Ip3

Ip2

IB IC

0Ip2

Re

1 IA

Ip3

Ip1

IC IB

. a) b)

Slika 5.11.

81

5.3. Analiza trofaznih kola Trofazna kola se mogu analizirati istim metodima kao bilo koja druga kola u prostoperiodičnom

režimu. Pri tome samo treba imati u vidu odgovarajuće definicije vezane za trofazna kola.

5.3.1. Veza prijemnika u zvezdu

Posmatrajmo trofazno kolo prikazano na slici 5.12. Impedanse grana generatora ( gZ ) su jednake. Prijemnik je simetrična zvezda (impedanse grana su pzZ ). Impedanse vZ modeluju Džulove gubitke (i eventualno parazitne induktivnosti) u faznim provodnicima voda, a impedansa

vNZ modeluje gubitke u neutralnom provodniku. Pretpostavimo, najpre, da su elektromotorne sile generatora proizvoljne. Zadatak je da se reši kolo.

Posmatrano trofazno kolo ima samo dva čvora: zvezdište generatora i zvezdište prijemnika, od kojih je prvo zvezdište već uzemljeno. Logično je da se kolo rešava metodom potencijala čvorova, pri čemu se zvezdište generatora uzima za referentni čvor. Jednačina po metodu

potencijala čvorova za zvezdište prijemnika glasi pzvg

CBA1

vNpzvg

13ZZZEEE

VZZZZ ++

++=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

++ . Iz ove

jednačine se određuje potencijal čvora 1, a odatle struje. Na primer, pzvg

1AA ZZZ

VEI

++−

= ,

pzvg

1N ZZZ

VI

++= , itd.

Slika 5.12. Veza prijemnika u zvezdu.

Pretpostavimo sada da elektromotorne sile generatora u kolu sa slike 5.12 čine simetričan sistem. Tada je 0CBA =++ EEE , pa je 01 =V . Stoga je struja neutralnog provodnika jednaka nuli, pa se on, po teoremi kompenzacije, može ukloniti bez posledica.

Alternativno, pošto je napon između čvorova 1 i 0 jednak nuli, ti čvorovi se mogu, po teoremi kompenzacije, kratko spojiti. Preuređivanjem šeme, vidi se da se tako dobijaju tri nezavisna prosta kola, koja imaju jednu zajedničku tačku. Svako kolo se sastoji od jedne grane (faze) generatora, odgovarajućeg faznog provodnika voda i jedne grane (faze) prijemnika. Jačina struje u prvom od ta

tri kola je pzvg

AA ZZZ

EI

++= . Zbog simetrije (sistem je uravnotežen), struje druga dva kola imaju

iste efektivne vrednosti, ali su fazno pomerene za 3/2π , pa se jednostavno računaju. Opisani

82

postupak je poznat kao analiza svođenjem na jednu fazu, a moguća je u uravnoteženim trofaznim sistemima.

5.3.2. Veza prijemnika u trougao

Posmatrajmo kolo sa slike 5.13 u kome je prijemnik vezan u trougao. Bez obzira na to da li je trougao simetričan ili nije, može se zameniti ekvivalentnom zvezdom, ali zvezdište te zvezde ne sme imati izveden spoljašnji priključak. Zvezdište generatora se može ponovo uzeti za referentni čvor i primeniti metod potencijala čvorova da bi se odredio potencijal zvezdišta transfigurisanog prijemnika. Ako je trougao simetričan (kao na slici 5.13), simetrična je i zvezda. Impedanse njenih grana su 3/ptpz ZZ = . Stoga jednačina po metodu potencijala čvorova za posmatrano kolo glasi

3/3/3

ptvg

CBA1

ptvg ZZZEEE

VZZZ ++

++=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

++ , odnosno 3CBA

1EEE

V++

= . Posebno, ako je sistem

elektromotornih sila simetričan, 01 =V . Dalja analiza kola je slična kao kod prethodnog primera.

Slika 5.13.

5.4. Snage trofaznih generatora i prijemnika Kada govorimo o snazi trofaznog generatora, podrazumevamo ukupnu snagu svih njegovih

grana (faza): trenutnu, aktivnu, reaktivnu ili kompleksnu snagu. (U opštem slučaju, razmatranje prividne snage nema smisla jer za tu snagu ne važi teorema održanja.) Slično je i za prijemnik.

Odredićemo sada snagu prijemnika u uravnoteženom sistemu. Posmatrajmo simetričan trofazni prijemnik vezan u zvezdu i priključen na simetričan sistem napona, kao na slici 5.5a. (Prisustvo priključka zvezdišta nije bitno u ovakvoj situaciji.) Naponi grana prijemnika jednaki su odgovarajućim faznim naponima voda, a struje grana voda jednake su strujama odgovarajućih faznih provodnika voda. Pretpostavimo da naponi faza voda čine direktan sistem. Tada su trenutne

vrednosti napona grana prijemnika jednake )cos(2)( 1f1p θ+ω= tUtu , )3

2cos(2)( 1f2pπ

−θ+ω= tUtu i

)3

2cos(2)( 1f3pπ

+θ+ω= tUtu , gde je fU efektivna vrednost faznog napona voda. Trenutne vrednosti

struja grana prijemnika su jednake )cos(2)( 11p φ−θ+ω= tIti , )3

2cos(2)( 12pπ

−φ−θ+ω= tIti i

83

)3

2cos(2)( 13pπ

+φ−θ+ω= tIti , gde je I efektivna vrednost struje faznog provodnika voda, a φ fazna razlika između napona i struje jedne grane prijemnika. Tolika ista fazna razlika postoji i između napona i struje jedne faze voda. Trenutna snaga trofaznog prijemnika je

)()()()()()()( p3p3p2p2p1p1 titutitutitutp ++= . Trenutne snage prvog, drugog i trećeg prijemnika su: )cos(2)cos(2)()( 11f1p1p φ−θ+ωθ+ω= tItUtitu ,

)3

2cos(2)3

2cos(2)()( 11f2p2pπ

−φ−θ+ωπ

−θ+ω= tItUtitu ,

)3

2cos(2)3

2cos(2)()( 11f3p3pπ

+φ−θ+ωπ

+θ+ω= tItUtitu .

Prethodni izrazi se mogu transformisati koristeći se identitetom ( ))cos()cos(

21coscos β−α+β+α=βα u sledeće izraze

( )φ+θ+ω= cos)22cos()()( 1f1p1p tIUtitu ,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ+

π+θ+ω= cos)

3422cos()()( 1f3p3p tIUtitu ,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ+

π−θ+ω= cos)

3422cos()()( 1f2p2p tIUtitu .

Kada se saberu svi članovi, ova tri izraza, u rezultatu figuriše izraz )

3422cos()

3422cos()22cos( 111

π+θ+ω+

π−θ+ω+θ+ω ttt . Taj izraz je suma tri prostoperiodična člana

istih kružnih učestanosti ( ω2 ) i istih amplituda, a fazna razlika između svaka dva uzastopna člana je 3/4π . Ovi prostoperiodični članovi čine ''simetričan trofazni sistem'', pa je njihov zbir nula. Zato je

trenutna snaga prijemnika u uravnoteženom sistemu jednaka PIUtp =φ= cos3)( f .

Dakle, trenutna snaga prijemnika je konstantna i jednaka zbiru srednjih snaga sve tri grane prijemnika. Ova odlika uravnoteženih trofaznih sistema je važna prednost nad monofaznim sistemima (gde se trenutna snaga menja u vremenu). Isti rezultat se dobija i ako je sistem inverzan.

Napomenimo da se srednja snaga trofaznog prijemnika može jednostavno dobiti sabirajući srednje snage sve tri grane, a bez pozivanja na prethodno izvođenje. Isto važi i za reaktivne i kompleksne snage.

S obzirom da između efektivnih vrednosti faznog i linijskog napona na vodu postoji veza

33

f UU = , srednja snaga prijemnika se može napisati u obliku φ=φ= cos3cos3 f UIIUP . To je,

istovremeno, srednja snaga koja, posredstvom voda, stiže do potrošača. Ako na vodu nema gubitaka, onda je ta srednja snaga ista na početku i kraju voda, pa predstavlja i snagu koju trofazni generator predaje vodu. Reaktivna snaga je φ=φ= sin3sin3 f UIIUQ , a kompleksna snaga je

φφ == jjf e3e33 UIIUS . Napomenimo da u ovim rezultatima u suštini figurišu naponi i struje voda.

Ako je prijemnik vezan u trougao, do istog rezultata se može doći na dva načina. Prvi je direktan proračun snage prijemnika, pri čemu se koristi veza između efektivnih vrednosti struja grana prijemnika i faza voda. Drugi je transfiguracija trougla u zvezdu. Pošto su snage izražene preko napona i struja, a ne preko impedansi, očigledno je da su konačni rezultati isti kao malopre.

Primer 5.1. Posmatrajmo prijemnik sa slike 5.14, koji je priključen na simetričan trofazni

sistem efektivne vrednosti ems E, a impedansa jedne grane prijemnika je φ= jpp eZZ . Zadatak je da

se odredi kompleksna snaga prijemnika kada je prekidač P zatvoren i kada je otvoren.

84

Slika 5.14.

Kada je prekidač zatvoren, trofazni sistem je uravnotežen (zbog simetrije). Efektivna

vrednost napon svake grane prijemnika jednaka je E. Kompleksna snaga jedne grane prijemnika je φ= j

p

22*

p eZEEY , a kompleksna snaga celog trofaznog prijemnika je φ= j

p

2

p e3ZES . Kada je prekidač

otvoren, u grani sa prekidačem nema struje, a prijemnik se svodi na rednu vezu dve grane. Ekvivalentna impedansa te redne veze je p2Z , a efektivna vrednost napona redne veze je

3AB EU = , odnosno jednaka je linijskom naponu. Kompleksna snaga trofaznog prijemnika je sada φ= j

p

2

p e2

3'Z

ES .

Iz dobijenih rezultata može se lako izračunati aktivna i reaktivna snaga prijemnika.

5.5. Prednosti trofaznog sistema nad monofaznim Ukazaćemo još na neke prednosti trofaznog sistema nad monofaznim. Posmatrajmo

uravnoteženi trofazni sistem prikazan na slici 5.15 gore. Neka je efektivna vrednost faznog napona voda fU (koja je jednaka efektivnoj vrednosti napona prijemnika), a srednja snaga prijemnika R.

Efektivna vrednost struje jedne faze voda je φ=

cos3 fUPI . Poprečni presek provodnika voda se

dimenzioniše prema ovoj struji, a ukupan broj provodnika voda je 3. Pri istoj efektivnoj vrednosti napona prijemnika i istoj snazi, prenos snage od generatora do

prijemnika se može obaviti pomoću tri monofazna sistema, kao na slici 5.15 dole. Taj sistem ima tri voda, svaki sa po 2 provodnika (ukupno 6). Efektivne vrednosti struja svih provodnika su iste kao kod posmatranog trofaznog sistema. To znači da su poprečni preseci provodnika isti. Međutim, zbog većeg ukupnog broja provodnika, tri monofazna sistema zahtevaju dva puta više materijala za provodnike (bakra) nego uravnoteženi trofazni sistem. Čak i kada bi u trofaznom sistemu postojao neutralni provodnik istog preseka kao i fazni provodnici, odnos količine materijala bi bio 3:2.

85

Zp

Zp

Zp

+

++

Zp

+

Zp

+

Zp

+

Slika 5.15.

5.6. Trofazni transformator Na slici 5.16a je skiciran trofazni transformator. Magnetsko kolo transformatora se sastoji od

tri stuba. Na svakom stubu su namotani primar i sekundar po jedne faze. Namotaj sekundara je obično preko namotaja primara, ali su na slici 5.16a namotaji razdvojeni zbog preglednosti.

Primar transformatora se najčešće vezuje u trougao, a sekundara u zvezdu. Sekundar se ekvivalentno ponaša kao generator za mrežu koja je na njega vezana, a zvezdište generatora se po pravilu uzemljuje.

. a) b)

Slika 5.16.

86

Ako je trofazni sistem uravnotežen, fluksevi kroz stubove transformatora čine simetričan sistem. Stoga je automatski zadovoljen zakon konzervacije magnetskog fluksa u tačkama grananja magentskog kola.

Umesto jednog trofaznog transformatora, mogu se upotrebiti tri monofazna transformatora (slika 5.16b). Uobičajen oblik magnetskog kola monofaznog transformatora je sličan kao za trofazni transformator. Potrebne dimenzije srednjeg stuba monofaznog transformatora su praktično iste kao za jedan stub trofaznog transformatora, ali je poprečni presek bočnih stubova dva puta manji od preseka centralnog stuba. Uprkos tome, sa slike 5.16 je očigledno da je za tri monofazna transformatora potrebno više materijala (gvožđa) nego za jedan trofazni transformator.

Najzad, trofazni sistemi su pogodni za proizvođenje obrnog magnetskog polja, koje je bitno za rad asinhronih motora. O obrtnom polju će biti reči u sledećem odeljku.

5.7. Obrtno magnetsko polje

5.7.1. Osnovni pojmovi o obrtnom magnetskom polju, sinhronim i asinhronim motorima

Zamislimo stalni magnet u obliku šipke, kao što je gornja magnetska šipka prikazana na slici 5.17, koji se obrće oko vertikalne ose. (Umesto stalnog magneta, može se zamisliti i elektromagnet.) Na slici su označeni severni (N) i južni (S) pol magneta. Smer linija magnetske indukcije izvan magneta je od severnog ka južnom polu (videti vektor magnetske indukcije na slici 5.17). Magnetsko polje magneta se obrće zajedno sa njim. Vektor B u tački O, prikazanoj na slici, okretaće se u horizontalnoj ravni. Pri tome će početak toga vektora stalno biti u tački O (tj. na osi rotacije magneta), a vrh vektora će opisivati krug u horizontalnoj ravni (označen tačkastom linijom na slici 5.17). Ako se stalni magnet obrće konstantnom ugaonom brzinom, onda će se i vektor B obrtati tom istom (konstantnom) brzinom, pri ćemu će intenzitet vektora B biti konstantan. Takvo polje se naziva obrtnim poljem (ovde stvoreno mehaničkim kretanjem izvora polja).

Slika 5.17.

Zamislimo da je u to obrtno polje postavljen drugi stalni magnet u obliku šipke (na primer, magnetska igla), kao što je donja šipka na slici 5.17, i neka se taj magnet može slobodno (bez trenja) obrtati oko iste vertikalne ose kao i gornja šipka. Na donju šipku će delovati spreg magnetskih sila koji će težiti da je postavi u pravcu vektora B , i to tako da je južni pol jedne šipke uz severni pol druge. Pošto se gornja šipka obrće, tj. pošto se obrće i njeno magnetsko polje, istom ugaonom brzinom i u istom smeru će se obrtati i donja šipka. Dakle, donja šipka se obrće sinhrono sa obrtanjem magnetskog polja.

87

Opisani eksperiment opisuje suštinu rada sinhronih motora. Kod tih motora, obrtno magnetsko polje se generiše pomoću elektromagneta, što ćemo prikazati u ovom odeljku, a u tom polju se slobodno obrće stalni magnet, sihnrono sa obrtanjem magnetskog polja.

Umesto donje šipke, u obrtno magnetsko polje možemo uneti kratko spojeni zavojak, nacrtan isprekidanom linijom na slici 5.17. Ravan zavojka je vertikalna, a zavojak se može slobodno obrtati oko iste vertikalne ose kao i gornja šipka. Pošto se zavojak nalazi u promenljivom magnetskom polju, u njemu će se indukovati elektromotorna sila. Zavojak je u kratkom spoju, pa će, pod dejstvom te elektromotorne sile, u zavojku postojati struja. Zavojak se može shvatiti kao strujna kontura u magnetskom polju. Na tu konturu deluje spreg sila koji teži da ravan konture postavi normalno na magnetsko polje. Drugim rečima, spreg sila teži da okreće konturu u smeru obrtanja magnetskog polja. Takvo obrtanje se može objasniti i Lencovim zakonom. Naime ako bi se kontura obrtala sinhrono sa magnetskim poljem, fluks kroz konturu se ne bi menjao, pa ne bi ni postojao uzrok pojave elektromagnetske indukcije.

Međutim, ako bi kontura dostigla sinhronu brzinu, u njoj ne bi više bilo indukovane ems, ne bi bilo ni struje, niti sprega magnetskih sila. Kako u svakom realnom sistemu postoji makar malo trenje, očigledno je da se kontura mora okretati malo sporije od obrtanja magnetskog polja, da bi postojao spreg magnetskih sila koji savlađuje trenje.

Na opisanom principu se zasniva rad asinhronih motora. Rotor takvih motora je načinjen od sistema kratko spojenih zavojaka. U jednostavnijim konstrukcijama, rotor je pun metalni cilindar u kome se indukuju vihorne struje (kao Teslino jaje). Obrtno magnetsko polje se generiše sistemom kalemova.

5.7.2. Dvofazno obrtno magnetsko polje

Najjednostavniji sistem kalemova za generisanje obrtnog magnetskog polja prikazan je na slici 5.18 (dvofazni sistem). Dva identična kalema (na primer, kratka solenoid, elektromagneta) postavljena su tako da im se ose poklapaju sa osama Dekartovog koordinatnog sistema (slika 5.18a). Kalemovi su na istom odstojanju od koordinatnog početka i pri istim strujama ( )(1 ti , odnosno )(2 ti ) daju iste algebarske intenzitete magnetskih indukcija ( )(1 tB , odnosno )(2 tB ) u odnosu na referentne smerove na slici.

Neka su struje kalemova prostoperiodične, istih efektivnih vrednosti, ali u kvadraturi. Neka

struja )(2 ti kasni za 2/π za strujom )(1 ti . Tada je tBtB ω= cos)( m1 i tBtBtB ω=π

−ω= sin)2

cos()( mm2 ,

gde smo početni trenutak usvojili tako da početna faza )(1 tB bude nula. Rezultantni vektor magnetske indukcije se može napisati u obliku

yyxx itBitBBBtB )()()( 21 +=+= , gde su Dekartove komponente rezultantnog vektora tBtBtBx ω== cos)()( m1 i tBtBtBy ω== sin)()( m2 .

Na slici 5.18b prikazani su vektori 1B , 2B i 21 BBB += u nekoliko uzastopnih trenutaka

vremena. Intenzitet vektora )(tB je ( ) ( ) myx BtBtBtB =+= 22)( , tj. ne zavisi od vremena. Ugao

koji vektor )(tB zaklapa sa pozitivnim smerom x-ose (α) zadovoljava relaciju ttBtB

x

y ω==α tg)()(

tg .

Pošto je 0=α kada je 0=ωt , odavde sledi tω=α , odnosno vektor )(tB se okreće u matematički pozitivnom smeru konstatnom ugaonom brzinom ω=w . Dakle, dobili smo obrtno magnetsko polje.

Ako bi struja )(1 ti kasnila za 2/π za strujom )(2 ti , opet bi se dobilo obrtno polje, ali bi se okretalo u suprotnom smeru.

Na slici 5.18c je prikazana jedna šema vezivanja kalemova na monofazni prostoperiodični napon. Ona obezbeđuje da struje kalemova budu istih intenziteta i u kvadraturi pod uslovima da je

88

LR ω= i LC

ω=ω

21. Tada je

)4

jexp(22

j11

j1j

1π

=−

=

ω+ω+

=RU

RU

CLR

UI i

)4

jexp(22

j11

j2π

−=+

=ω+

=RU

RU

LRUI . Promena smera obrtanja se može ostvariti ili zamenom

priključaka jednog kalema, ili premeštanjem kondenzatora iz grane sa prvim kalemom u granu sa drugim kalemom.

. a) c)

. b)

Slika 5.18.

Da dolazi do obrtanja rezultantnog vektora magnetske indukcije, može se pokazati i posmatrajući rezultantni vektor B u karakterističnim trenucima na vremenskom dijagramu magnetskih indukcija )(1 tB i )(2 tB (slika 5.19. Na primer u trenutku t=0, 1BBr = , i ima položaj

vektora 1B jer je 02 =B , itd.

Slika 5.19.

89

5.7.3. Trofazno obrtno magnetsko polje

Na slici 5.20 je prikazan trofazni sistem za generisanje obrtnog magnetskog polja, kakav je uobičajen kod asinhronih motora. Tri identična kalema postavljena su simetrično u ravni crteža

(pod međusobnim uglovima 32π

) i priključena na prostoperiodičan simetričan trofazni sistem napona. Struje kalemova stoga takođe čine simetričan sistem, kao i odgovarajući algebarski intenziteti magnetskih indukcija.

Na primer, za direktan sistem je tBtB ω= cos)( m1 , )3

2cos()( m2π

−ω= tBtB i

)3

2cos()( m3π

+ω= tBtB . Drugi i treći algebarski intenzitet se mogu napisati u obliku

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω+ω−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

π+ω

π= ttBttBtB sin

23cos

21sin

32sincos

32cos)( mm2 , odnosno

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω−ω−= ttBtB sin

23cos

21)( m3 . Dekartove komponente rezultantnog vektora magnetske indukcije

su tBtBtBtBtBx ω=−−= cos23)(

21)(

21)()( m321 i tBtBtBtBy ω=−= sin

23)(

23)(

23)( m32 .

Izuzimajući faktor 23

, ovo su identični izrazi kao kod dvofaznog sistema, tako da smo očigledno i ovde dobili obrtno magnetsko polje.

Smer obrtanja polja može se promeniti priključivanjem kalemova na inverzni sistem napona. Kao što je ranije napomenuto, to se može ostvariti zamenom dva priključka na fazne provodnike voda.

i1B1

B2

0 x

y

B3

i2

i3

Slika 5.20.

Na sličan način, kao na slici 2.19, i kod trofaznog obrtnog magnetkog polja može se, očigledno, pokazati da dolazi do obrtanja rezultantnog vektora magnetske indukcije, kada se on posmatra u karakterističnim tačkama (kada je magnetska indukcija u jednom od elektromagneta jednaka nuli). Nacrtajte takvu sliku sami.

90

6. FREKVENTNE ZAVISNOSTI

U prethodnim odeljcima smo uglavnom razmatrali prostoperiodičan režim za jednu, datu učestanost. Za tehničke primene je često važno znati kako se neke veličine (na primer, ekvivalentna impedansa neke grane ili prenosna funkcija nekog četvoropola) menjaju ako se menja učestanost prostoperiodičnog režima, odnosno kako te veličine zavise od učestanosti. Zavisnost neke veličine od učestanosti naziva se frekvencijska karakteristika te veličine. Posmatraćemo zavisnost od kružne učestanosti ( fπ=ω 2 ), iz koje se lako zaključuje ponašanje u funkciji ''obične'' učestanosti (f).

U prvom odeljku ćemo napraviti uvod u analizu frekventne zavisnosti elemenata (R, L i C), a u drugom dve najjednostavnije veze ovih elemenata (redne i paralelne).

6.1. Otpornik, kalem i kondenzator

Posmatrajmo najpre idealni otpornik, kalem i kondenzator, kao što su na slikama 1.3a, 1.4a i 1.5a, samo što ih posmatramo u prostoperiodičnom režimu. Njihove impedanse22 su, redom,

RZ =ω)( , LZ ω=ω j)( i CZ

ω=ω

j1)( . Moduli tih impedansi su RZ =ω)( , LZ ω=ω)( , odnosno C

Zω

=ω1)(

(slika 6.1). Argumenti su nezavisni od učestanosti, 0)( =ωφ , 2)( π=ωφ i 2

)( π−=ωφ .

Modul i argument impedanse otpornika ne zavise od učestanosti. Drugim rečima, idealni otpornik se isto ponaša pri svim učestanostima.

Modul impedanse kalema linearno raste u funkciji učestanosti. Pri niskim učestanostima, taj modul je veoma mali i teži nuli kada 0→ω , odnosno kalem se ponaša kao kratak spoj. Kada 0→ω , promene prostoperiodične veličine su sve sporije, tako da, teorijski, u limesu, imamo nepromenljive veličine, odnosno stacionaran režim (kao kod stalnih struja). Iz ovoga zaključujemo da se idealni kalem u kolu stalnih struja ponaša kao kratak spoj. Kada +∞→ω (drugačije posmatrano, za veoma brze promene), modul impedanse kalema teži beskonačnosti, a kalem se ponaša kao otvorena veza.

Slika 6.2.

Modul impedanse kondenzatora je recipročna funkcija učestanosti. Taj modul teži

beskonačnosti kada 0→ω , odnosno kondenzator se ponaša kao otvorena veza. (U analizi kola 22 У овом одељку ћемо експлицитно означавати да посматрамо величине у функцији кружне учестаности (ω).

91

stalnih struja smo se već upoznali sa činjenicom da se kondenzator ponaša kao otvorena veza.). Kada +∞→ω , modul impedanse kondenzatora teži nuli, a kondenzator se ponaša kao kratak spoj.

Admitanse otpornika, kalema i kondenzatora su RGY 1)( ==ω , L

Yω

=ωj1)( , odnosno

CY ω=ω j)( , što su dualni izrazi onima za impedanse. Stoga su, kvalitativno, zavisnosti modula admitansi kalema i kondenzatora istog oblika kao zavisnosti modula impedansi kondenzatora, odnosno kalema na slici 6.2.

6.2. Redno i paralelno oscilatorno kolo

Posmatramo dva najjednostavnija oscilatorna kola: redno (rezonantno) kolo (slika 6.2a) i paralelno (antirezonantno) kolo (slika 6.2b), koje smo delomično analizirali i u zavisnosti od promene učestanosti u odeljcima 2.7.5 i 2.7.6. Neka se svako od tih kola se sastoji od po jednog otpornika, kalema i kondenzatora.

I

U

R

L

C

UR

UL

UC

I

R L

IR IL IC

CU

. a) b)

Slika 6.2.

Analiziraćemo detaljnije samo redno oscilatorno kolo, a ti rezultati se direktno mogu primeniti na paralelno kolo zahvaljujući dualnosti.

Impedansa rednog oscilatornog kola je CLRZ

ω+ω+=ω

j1j)( , njen modul je

22 1)( ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ω−ω+=ω

CLRZ , a argument

RC

Lω

−ω=ωφ

1

arctg)( (slika 6.4). Pri niskim učestanostima u

rednoj vezi dominira kondenzator, a pri visokim kalem. Pri rezonantnoj učestanosti, LC1

0 =ω , )(ωZ ima minimum23, a 0=φ . Na slici 6.3 su frekvencijske karakteristike impedanse rednog i

paralelnog oscilatornog kola sa slike 6.3 za LC1

0 =ω i 0/5 ω= RL .

Na rezonantnoj učestanosti, modul admitanse rednog oscilatornog kola, )(ωY , ima maksimum. Na osnovu dualnosti, isti tok ima modul impedanse paralelnog oscilatornog kola, koji je

23 Učestanost, pri kojoj )(ωZ ima minimum, je učestanost amplitudske rezonancije, a učestanost pri kojoj je 0=φ je učestanost fazne rezonancije. Kod rednog oscilatornog kola se te dve učestanosti poklapaju.

92

takođe prikazan na slici 6.3. Modul admitanse paralelnog oscilatornog kola ima isti tok u funkciji učestanosti kao modul impedanse rednog oscilatornog kola.

Ako je redno oscilatorno kolo priključeno na napon čija efektivna vrednost ne zavisi od učestanosti, onda efektivna vrednost struje kola ima isti tok kao )(ωY ovoga kola, odnosno ima

maksimum kada je LC1

0 =ω=ω . (Obrnuto, ako bi efektivna vrednost struje bila nezavisna od

učestanosti, onda bi efektivna vrednost napona imala isti tok kao )(ωZ .)

0 1 20

1

2

3

4

5

paralelno

redno

paralelno

ω/ω0

ω/ω0

φ

rednoZ/R

0 1 2

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Slika 6.3.

Mogu se posmatrati i zavisnosti efektivnih vrednosti struje kroz kolo i napona na pojedinim elementima kola od učestanosti kod rednog oscilatornog kola, ili struje kroz elemente i napon na krajevima paralelnog oscilatornog kola. Pokazuje se da kola neke opsege učestanosti manje ili više favorizuju (ističu), a neke manje ili više potiskuju, pa se ponašaju kao filtri učestanosti, tj. imaju osobine selektivnosti (struja i naponi u kolu su frekventno zavisni), pa se definiše i tzv propusni opseg. Na primer, redno rezonantno kolo ponaša se kao filtar propusnik opsega učestanosti.

Lako pokazuje da su pri rezonantnoj učestanosti (tada je UU R = i QRCR

L==

0

0 1ω

ω.

Ukoliko je Q veći od jedan, tada su efektivne vrednosti napona kalema i kondenzatora veće od efektivnih vrednosti priključenog napona Q puta (pojava prenapona).

Veličina Q naziva se faktor dobrote (Q-faktor) oscilatornog kola24. On ne samo da utiče na veličinu prenapona, nego i na oštrinu zavisnosti od učestanosti (oštrinu rezonancije). Što je Q-faktor veći, to su krive uže, a kolo selektivnije, odnosno propušta sve uži opseg učestanosti. Propusni opseg se računa na nivou 0,707 od maksimuma posmatrane veličine (struje ili napona) u zavisnosti

24 Opšta definicija Q – faktora rezonantnih struktura je

r

r

pri perioda jednogu toku sistemu u izgubljena energija prisistemu u sadržana energija

2ω

ωπ=Q

93

od učestanosti. Može se analitički pokazati da je širina propusnog opsega obrnuto srazmerna Q-faktoru kola (tj. srazmerna sa Q/1 ).

Kolo (mreža) se u rezonanciju može dovesti promenom kružne ω učestanosti generatora, promenom induktivnosti kalema L, promenom kapacitivnosti kondenzatora C, ili kombinovanom promenom ovih parametara.

6.3. Rezonantne i antirezonantne pojave u složenijim mrežama sa jednim parom krajeva

U složenijim mrežama sa jednim parom krajeva (dva priključka), za reaktivne mreže (mreže bez gubitaka), nađe se ekvivalentna impedansa jXRZ += , pa se rezonantne učestanosti (može ih biti više), dobijaju se iz uslova ( ) 0=rX ω , odnosno nađe se ekvivalentna admitansa jBGY += , a antirezonantne učestanosti se nađu iz uslova ( ) 0=rB ω .

Ponekad je pogodnije definisati rezonantne učestanosti iz uslova da je struja maksimalna kroz priključke, tj. ( )II max= , a antirezonantne učestanosti iz uslova da je struja minimalna, tj.

( )II min= . Ako u mreži postoje i otpornici, može se desiti da se uslovi 0=X ili 0=B ne mogu

ispuniti ni za jednu učestanost.

6.4. Ponašanje realnih elemenata pri visokim učestanostima

U teoriji, radimo sa idealizovanim pasivnim elementima (otpornicima, kalemovima i kondenzatorima) koji imaju samo po jednu osobinu, odnosno karakterišu se samo jednim parametrom. U praksi, međutim, ponašanje realnih otpornika, kalemova i kondenzatora odstupa od idealnih zbog raznih neželjenih (parazitnih) efekata uslovljenih konstrukcijom tih elemenata. Rezultate analize realnih elemanata možemo primeniti na sagledavanje osobina realnih elemenata (fizički napravljenih otpornika, kalemova i kondenzatora) u funkciji učestanosti.

Realni otpornici se prave od različitih materijala koji imaju izražene Džulove gubitke (otporne mase na bazi grafita, tankih slojeva nekih metala i legura).

Svaki otpornik ima priključne provodnike. Ti provodnici su napravljeni od dobrih provodnika, ali mogu biti relativno dugački. Kada u otporniku postoji promenjiva struja, u priključcima se indukuje elektromotorna sila. Stoga se priključci ponašaju kao parazitna induktivnost vezana na red sa otpornikom.

Na priključnim provodnicima, a posebno na metalnim kontaktima sa otpornim materijalom, javlja se višak naelektrisanja. Efekat je ekvivalentan paralelnom vezivanju parazitne kapacitivnosti.

Na slici 6.7a je prikazana ekvivalentna šema realnog otpornika, koja uzima u obzir pomenute efekte. Kod otpornika velikih otpornosti, parazitna kapacitivnost na slici 6.7a je dominantan element koji utiče na odstupanje ponašanja od idealnog otpornika. Kod otpornika malih otpornosti, glavni problem je parazitna induktivnost.

Međutim, osim tih efekata, ima i drugih neželjenih pojava. Pomenimo da, sa porastom učestanosti, površinski efekat (skin efekat) postaje izražen i dovodi do povećanja otpornosti.

Kod realnih kondenzatora, osim (željenog) nagomilavanja naelektrisanja na elektrodama, postoje neželjeni efekti. Jedan od njih je parazitna induktivnost priključnih provodnika, ekvivalentno vezana na red sa idealnim kondenzatorom (kao kod otpornika). Drugi efekat su gubici u dielektriku. Ti gubici se mogu modelovati otpornikom vezanim paralelno idealnom kondenzatoru

94

(kada dominiraju gubici usled provodnosti dielektrika) ili na red sa kondenzatorom (kada dominiraju polarizacioni gubici u dielektriku). Ekvivalentna šema realnog kondenzatora je prikazana na slici 6.7b. Pri visokim učestanostima, dolazi do izražaja rezonancija osilatornog kola koje čine kalem i kondenzator. Pri rezonantnoj učestanosti je modul impedanse kondenzatora mali. Ako je učestanost iznad rezonantne, kalem dominira, pa se realni kondenzator ponaša kao pretežno induktivni prijemnik.

(a) (b) (c)

Slika 6.7.

Kod realnih kalemova, postoje gubici (Džulovi u provodnicima, kao i gubici u

feromagnetskom jezgru usled vihornih struja i usled histerezisa). Ti gubici se modeluju otpornikom vezanim na red sa idealnim kalemom. Između zavojaka kalema postoje parazitne kapacitivnosti. One su posebno izražene kod kalemova koji se motaju u više slojeva. U najjednostavnijoj aproksimaciji, te kapacitivnosti se modeluju jednim kondenzatorom koji je vezan paralelno kalemu. Ekvivalentna šema je prikazana na slici 6.7. Ta šema predstavlja paralelno oscilatorno kolo. Pri antirezonantnoj učestanosti, modul impedanse kalema je veoma veliki. Iznad antirezonantne učestanosti dominira kondenzator, pa se realni kalem ponaša kao pretežno kapacitivni prijemnik.

Pri antirezonantnoj učestanosti je, približno, dužina provodnika kalema jednaka polovini talasne dužine. Talasna dužina u vakuumu se računa kao fc /=λ , gde je s brzina prostiranja ( m/s103 8⋅≈c ), a f učestanost. Zbog uticaja materijala (dielektrika i feromagnetika) u okolini provodnika kalema, talasna dužina je manja od one u vakuumu.

U stvarnosti, osim pomenute antirezonantne učestanosti, realni kalem ima niz rezonantnih i antirezonantnih učestanosti, ali one nisu obuhvaćene modelom na slici 6.7.

95

LITERATURA

1. Ђорђевић Р. А.: Основи електротехнике 4. део, кола променљивих струја, Академска мисао, Београд, 2007.

2. Popović B.: Osnovi elektrotehnike 2, Građevinska knjiga, Beograd, 1986. 3. Popović B., Đorđević A.: Osnovi elektrotehnike 3, zbirka pitanja i zadataka, Građevinska

knjiga, Beograd, 1981. 4. Milatović B.: Osnovi elektrotehnike 2, Svjetlost, Sarajevo, 1985. 5. Ranojević M.: Osnovi elektrotehnike, Građevinska knjiga, Beograd, 1968. 6. Ranojević M.: Osnovi elektrotehnike, naizmenične struje, Građevinska knjiga, Beograd,

1971. 7. Pinter V.: Osnove elektrotehnike, knjiga druga, Tehnička knjiga, Zagreb, 1978. 8. Покорни С. Основи електротехнике 1 и 2, практикум за лабораторијске вежбе, ЕТФ,

Источно Сарајево, 2007.