of 94/94
UNIVERZITET U ISTOČNOM SARAJEVU ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET redovni profesor dr Slavko Pokorni, dipl. inž. el. ELEKTROTEHNIKA 2 Električne mreže sa vremenski promenjivim strujama Istočno Sarajevo, 2015.

UNIVERZITET U ISTOČNOM SARAJEVU - etf.ues.rs.badsuka/OE 2/OE2 - Skripta iz Naizmjenicnih struja/OE2... · 5 vremena, −∞

  • View
    218

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of UNIVERZITET U ISTOČNOM SARAJEVU - etf.ues.rs.badsuka/OE 2/OE2 - Skripta iz Naizmjenicnih...

  • UNIVERZITET U ISTOČNOM SARAJEVU ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET

    redovni profesor

    dr Slavko Pokorni, dipl. inž. el.

    ELEKTROTEHNIKA 2

    Električne mreže sa vremenski promenjivim strujama

    Istočno Sarajevo, 2015.

  • 2

    Sadržaj1. OPŠTE JEDNAČINE ELEKTRIČNIH MREŽA SA VREMENSKI PROMENJIVIM STRUJAMA ..................... 4

    1.1. Pojam promenjive struje ........................................................................................................... 4 1.2. Osnovni elementi u mrežama sa vremenski promenjivim strujama ........................................ 5

    1.2.1. Otpornik ............................................................................................................................. 6 1.2.2. Induktivni kalem (idealan) .................................................................................................. 6 1.2.3. Kondenzator (idealan) ........................................................................................................ 7

    1.3. Kirhofovi zakoni za mreže sa vremenski promenjivim strujama .............................................. 8 1.4. Snaga u mrežama sa vremenski promenjivim strujama ......................................................... 10 1.5. Osnovne razlike mreža sa vremenski konstantnim i promenjivim strujama ......................... 12

    2. OSNOVNI POJMOVI O ELEKTRIČNIM MREŽAMA SA PROSTOPERIODIČNIM STRUJAMA ............... 14 2.1. Osnovni pojmovi o periodičnim i prostoperiodičnim veličinama ........................................... 14 2.2. Prostoperiodične veličine ........................................................................................................ 15 2.3. Poređenje prostoperiodičnih veličina ..................................................................................... 17 2.4. Srednja i efektivna vrednost ................................................................................................... 19 2.5. Osnovni pasivni elementi u prostoperiodičnom režimu ........................................................ 22

    2.5.1. Otpornik ........................................................................................................................... 22 2.5.2. Kalem ................................................................................................................................ 23 2.5.3. Kondenzator ..................................................................................................................... 24

    2.6. Rešavanje mreža u prostoperiodičnom režimu u vremenskom domenu .............................. 26 2.7 Predstavljanje prostoperiodičnih veličina pomoću obrtnih vektora (fazora) ......................... 27

    2.7.1. Obrtni vektori ................................................................................................................... 28 2.7.2. Zaustavljeni obrtni vektori ............................................................................................... 29 2.7.3. Fazorski dijagrami............................................................................................................. 30 2.7.4. Redna veza otpornika i kalema ........................................................................................ 31 2.7.5. Redna veza otpornika, kalema i kondenzatora. Rezonansa ............................................ 33 2.7.6. Paralelna veza otpornika, kalema i kondenzatora. Antirezonansa ................................. 34

    2.8. Snaga u mrežama sa prostoperiodičnim strujama ................................................................. 35 2.8.1. Trenutna i srednja snaga prijemnika ............................................................................... 35 2.8.2. Prividna snaga prijemnika ................................................................................................ 36 2.8.3. Faktor snage prijemnika ................................................................................................... 36 2.8.4. Reaktivna snaga prijemnika ............................................................................................. 36 2.8.5. Faktor reaktivnosti prijemnika ......................................................................................... 37

    3. REŠAVANJE ELEKTRIČNIH MREŽA SA PROSTOPERIODIČNIM STRUJAMA KOMPLEKSNIM RAČUNOM .......................................................................................................................................... 38

    3.1. Predstavljanje fazora kompleksnim brojevima ....................................................................... 38 3.2. Kirhofovi zakoni u kompleksnom obliku. Impedansa i admitansa ......................................... 39

    3.2.1. Kompleksna impedansa i admitansa ............................................................................... 41 3.2.2. Rezistansa, reaktansa, konduktansa i susceptansa ......................................................... 42 3.2.3. Određivanje napona između dve tačke ........................................................................... 43

    3.3. Redna, paralelna i mešovita veza prijemnika. Ekvivalencija veze prijemnika u zvezdu i trougao ........................................................................................................................................... 44

    3.3.1. Redna veza prijemnika ..................................................................................................... 44 3.3.2. Paralelna veza prijemnika ................................................................................................ 45 3.3.3. Mešovite veze prijemnika ................................................................................................ 46 3.3.4. Ekvivalencija veze prijemnika u zvezdu i trougao ............................................................ 47 3.3.5. Ekvivalencija naponskog i strujnog generatora ............................................................... 50

    3.4. Metoda konturnih struja u kompleksnom obliku ................................................................... 50

  • 3

    3.5. Metoda potencijala čvorova u kompleksnom obliku ............................................................. 51 3.6. Kompleksna snaga prijemnika i generatora ............................................................................ 52 3.7. Teoreme električnih mreža u kompleksnom obliku ............................................................... 54

    3.7.1. Teoreme linearnosti ......................................................................................................... 54 3.7.2. Teoreme reciprociteta (uzajamnosti) .............................................................................. 55 3.7.3. Teoreme kompenzacije .................................................................................................... 56 3.7.4. Teorema ekvivalentnog generatora (Tevenenova i Nortonova teorema) ...................... 57 3.7.5. Teoreme održanja kompleksne i trenutne snage ............................................................ 58 3.7.6. Prilagođenje prijemnika na generator (prilagođenje po snazi) ....................................... 59 3.7.7. Popravka faktora snage .................................................................................................... 61

    4. ELEKTRIČNE MREŽE SA MAGNETSKI SPREGNUTIM GRANAMA ..................................................... 64 4.1. Kola sa spregnutim kalemovima ............................................................................................. 64 4.2. Osnovni pojmovi o transformatoru u linearnom radnom režimu .......................................... 67

    4.2.1. Savršeni i idealni transformator ....................................................................................... 69 4.2.2. Autotransformator ........................................................................................................... 71

    5. TROFAZNI SISTEMI .......................................................................................................................... 72 5.1. Osnovni pojmovi o monofaznim i polifaznim elementima..................................................... 72 5.2. Trofazni elementi .................................................................................................................... 72

    5.2.1. Trofazni generatori........................................................................................................... 72 5.2.2. Trofazni prijemnici ........................................................................................................... 73 5.2.3. Priključivanje prijemnika na trofazne generatore ........................................................... 74

    5.3. Simetrični, direktni i inverzni sistemi ...................................................................................... 75 5.4. Analiza trofaznih kola .............................................................................................................. 79

    5.4.1. Veza prijemnika u zvezdu ................................................................................................. 80 5.4.2. Veza prijemnika u trougao ............................................................................................... 81

    5.5. Snage trofaznih generatora i prijemnika ................................................................................ 81 5.6. Prednosti trofaznog sistema nad monofaznim....................................................................... 83 5.7. Trofazni transformator ............................................................................................................ 84 5.8. Obrtno magnetsko polje ......................................................................................................... 85

    5.8.1. Osnovni pojmovi o obrtnom magnetskom polju, sinhronim i asinhronim motorima .... 85 5.8.2. Dvofazno obrtno magnetsko polje .................................................................................. 86 5.8.3. Trofazno obrtno magnetsko polje ................................................................................... 88

    6. FREKVENTNE ZAVISNOSTI .............................................................................................................. 89 6.1. Otpornik, kalem i kondenzator ............................................................................................... 89 6.2. Redno i paralelno oscilatorno kolo ......................................................................................... 90 6.3. Rezonantne i antirezonantne pojave u složenijim mrežama sa jednim parom krajeva ........ 92 6.4. Ponašanje realnih elemenata pri visokim učestanostima ...................................................... 92

    LITERATURA ........................................................................................................................................ 94

  • 4

    ELEKTRIČNE MREŽE SA VREMENSKI PROMENJIVIM STRUJAMA

    1. OPŠTE JEDNAČINE ELEKTRIČNIH MREŽA SA VREMENSKI PROMENJIVIM STRUJAMA

    1.1. Pojam promenjive struje

    U tehničkoj praksi se češće koriste mreže sa vremenski promenjivim strujama nego mreže sa

    vremenski konstantnim strujama (na primer, prenos električne energije od elektrane do potrošača). Prenos radio signala, TV signala, signala mobilne telefonije, radarskih signala vrši se samo pomoću vremenski promenjivih struja, posredstvom elektromagnetskih talasa koje takve struje proizvedu.

    U mrežama sa promenjivim strujama, kao što im ime kaže, struje i naponi se menjaju u funkciji vremena. Te promene mogu biti različite. Pod vremenski promenjivom strujom, za razliku od vremenski konstantne struje (slika 1.1a) podrazumeva se struja koja u toku vremena menja:

    - samo intenzitet (slika 1.1b i e), ili - samo smer (slika 1.1f), ili - jedno i drugo (slika 1.1 c i d).

    Struja prikazana na slici 1.1a je vremenski konstantna (stalna), a sve ostale su promenjive. Standardno je da se stalne veličine označavaju velikim slovom (na primer za struju I), a promenjive malim slovom (i).

    Postoje različite klasifikacije promenjivih struja. Promenjive veličine se mogu podeliti na:

    - aperiodične (slike 1.1d) i

    - periodične (ostale slike osim 1.1a i d.

    Prema matematičkoj definiciji, periodične funkcije vremena, )(tf , su one funkcije za koje postoji pozitivna veličina T takva da za svako t važi )()( tfTtf =+ . Najmanja veličina T naziva se (osnovni) period periodične funkcije )(tf . Funkcije koje nisu periodične, nazivaju se aperiodičnim.

    Struje prikazane na slikama 1.1a b i e imaju uvek isti smer. Takve veličine su jednosmerne u širem smislu. Sve ostale struje povremeno menjaju smer i predstavljaju naizmenične veličine u širem smislu.

    Međutim, termini ''jednosmerne struje'' i ''naizmenične struje'' koriste se u Elektrotehnici i u drugim, užim značenjima. Tako se pod jednosmernim strujama u užem smislu podrazumevaju samo stalne struje. Pod naizmeničnim strujama u užem smislu podrazumevaju se samo simetrične periodične veličine (slike 1.1c i f). Za njih važi )()2/( tfTtf −=+ , gde je T period. U još užem smislu, pod naizmeničnim strujama se podrazumevaju samo sinusoidalne funkcije vremena (slika 1.1c), koje se nazivaju i sinusnim ili prostoperiodičnim veličinama.

    Periodične veličine koje nisu prostoperiodične, mogu se, Furijeovom analizom, predstaviti kao zbir (konačnog ili beskonačnog broja) sinusoidalnih funkcija. Zato se takve veličine nazivaju i složenoperiodičnim.

    Postoje i druge podele. Na primer, struja sa slike 1.1d se ne može opisati analitički, a sve ostale mogu, pa se razlikuju analitičke i neanalitičke veličine. U elementarnim teorijskim razmatranjima obično se uzimaju veličine čiji je analitički oblik (funkcija vremena) poznat u svakom trenutku

  • 5

    vremena, +∞

  • 6

    kod vremenski konstantnih struja (slika 1.2). Za prijemnik, dakle, važi da je pozitivan onaj kraj u koji struja ulazi, a za generator onaj kraj gde struja izlazi.

    Slika 1.2. Usaglašeni smerovi u, i, e za generatore i prijemnik Sa stanovišta teorije električnih mreža, ponašanje nekog elementa karakterišemo isključivo vezom između napona koji postoji između njegovih priključaka i jačine struje kroz te priključke. Sada ćemo definisati te veze za osnovne elemente: otpornik, kalem i kondenzator.

    1.2.1. Otpornik Pod otpornikom se podrazumeva element za koji, u skladu sa referentnim smerovima (slika

    1.3a) za napon )(tu između njegovih priključaka i jačinu struje )(ti kroz njega važi

    )()( tiRtu = gde je R otpornost otpornika, koja je konstanta (ne zavisi ni od priključenog napona, ni od struje koja kroz njega protiče), pa je relacija linearna. Inverzna relacija (istovremeno dualna relacija) glasi

    )()( tuGti = , gde je G provodnost otpornika ( 1=RG ). Iz relacija se vidi da se napon i struja otpornika uvek menjaju na isti način. Na primer, ako je struja otpornika bipolarna povorka pravougaonih impulsa (slika 1.3b), onda je i napon otpornika istog oblika.

    Slika 1.3. Otpornik: a) simbol, b) primer napona i struje

    1.2.2. Induktivni kalem (idealan) Kada u kalemu postoji promenjiva struja, u njemu se indukuje elektromotorna sila. Ta ems

    je, po Faradejevom zakonu, tt

    ted

    )(d)(ind

    Φ−= , a računa se u odnosu na referentni smer struje. Kako je

    )()( ind tetu −= (zbog referentnih smerova sa slike 1.4a) i )()( tLit =Φ (gde je L induktivnost kalema, koja je konstanta), dobijamo relaciju između napona i struje idealnog kalema,

    t

    tiLtu

    d

    )(d)( =

    (prema referentnim smerovima kao na slici 1.4a). Gornja relacija važi ako indukovano električno

    polje postoji samo u kalemu (izvan kalema 0=B i 0=indE ), a specifična provodnost žice kalema veoma velika, tj. ako je napon između priključaka kalema isti duž bilo koje putanje van kalema.

  • 7

    Drugim rečima, kod računanja napona kalema zamišljamo da putanja integracije prolazi pored kalema (a ne kroz kalem), kao što je crticama označeno na slici 1.4a.

    Veza između napona i struje kalema je linearna diferencijalna jednačina. Ova relacija je jednoznačna: ako je poznata struja, napon je potpuno određen. Inverzna relacija je nejednoznačna i glasi

    0d)(1

    )( IttuL

    ti += ∫ ,

    gde je 0I integraciona konstanta. Drugim rečima, ako je napon kalema poznat, struja je određena sa tačnošću do aditivne konstante. Ta konstanta se, pri rešavanju kola, određuje na osnovu nekog dodatnog uslova; na primer, na osnovu poznate jačine struje u jednom trenutku vremena (početni uslov).

    Napon kalema je, dakle, srazmeran prvom izvodu struje po vremenu. Obrnuto, struja je srazmerna integralu napona. U opštem slučaju, stoga, napon i struja kalema se ne menjaju na isti način, tj. funkcionalno nisu dati istim izrazima. Kao primer, na slici 1.4b, pretpostavljeno je da je struja kalema bipolarna povorka trougaonih impulsa. Napon kalema ima tada oblik bipolarne povorke pravougaonih impulsa.

    Slika 1.4. Kalem: a) simbol, b) primer napona i struje

    1.2.3. Kondenzator (idealan)

    Opterećenost kondenzatora je srazmerna naponu, )()( tCutQ = , gde je C kapacitivnost kondenzatora. Opterećenost se računa u odnosu na referentni smer struje. Pri tome je naelektrisanje gornje elektrode kondenzatora jednako opterećenosti, )(tQ , a naelektrisanje donje elektrode je uvek suprotno, )(tQ− , slika 1.5a. Kada je napon kondenzatora promenljiv, menja se i njegova

    opterećenost, a u provodnicima kondenzatora postoji struja t

    tQti

    d

    )(d)( = . Odavde sledi relacija

    t

    tuCti

    d

    )(d)( =

    (prema referentnim smerovima kao na slici 1.5a), koja je dualna relaciji za kalem (struja i napon su zamenili mesta). Zato su i ostali rezultati za kalem i kondenzator dualni.

    Nagomilano naelektrisanje postoji, po pretpostavci, samo u kondenzatoru, ali je ukupno naelektrisanje njegove dve elektrode jednako nuli. Da bi jednačina kontinuiteta, primenjena na

    zatvorenu površ, dala prvi Kirhofov zakon, ∫ =⋅S

    0dSJ, ta površ ne sme proći između elektroda

    kondenzatora, odnosno treba da zaobiđe zatvorenu površ označenu na slici 1.5a.

    Veza između struje i napona je linearna diferencijalna jednačina. Ova relacija je jednoznačna: ako je poznat napon, struja je potpuno određena. Inverzna relacija je integralna i glasi

    0d)(1

    )( UttiC

    tu += ∫ ,

  • 8

    gde je 0U integraciona konstanta. Dakle, ako je struja kondenzatora poznata, napon je određen sa tačnošću do aditivne konstante (koja se može odrediti, na primer, iz početnog uslova).

    Na slici 1.5b je pretpostavljeno da je napon kondenzatora bipolarna povorka trougaonih impulsa. Struja kondenzatora ima tada oblik bipolarne povorke pravougaonih impulsa.

    Slika 1.5. Kondenzator: a) simbol, b) primer napona i struje

    1.3. Kirhofovi zakoni za mreže sa vremenski promenjivim strujama

    Neka se električna mreža sastoji od proizvoljnog broja elemenata i stanje u mreži se može smatrati kvazistacionarnim2 (kvazistacionarnost detaljnije objašnjavamo u odeljku 1.5), tada za svaki čvor mreže, u svakom trenutku, važi I Kirhofov zakon (I KZ)

    0)(1

    =∑=

    n

    kk ti

    gde je n – broj grana koje se stiču u čvoru. Ako je referentni smer struje od čvora, u zbiru se uzima predznak “+”, a ako je ka čvoru “-“. Može se postaviti )1( č −n linearno nezavisnih jednačina. Posmatrajmo deo neke električne mreža, kao na slici 1.6. Elementi mreže mogu biti generator (strujni i naponski), otpornik, kalem, kondenzator i bilo koji drugi elementi (pa na slici 1.6 nisu korišćeni simboli za R, L, C). Pošto su elementi takvi da se izvan njih zapaža samo kvazistacionarna komponenta električnog polja, napon između krajeva elemenata jednak je razlici potencijala između tih krajeva, pa je napon (razlika potencijala) između bilo koje dve tačke A i B u mreži

    ( ) ( ){ }B doA od∑= tutuAB

    Pri sumiranju, pri kretanju od A ka B duž grane, predznak “+” se uzima ako se prvo naiđe na referentni kraj, u suprotnom se uzima “-“.

    Za primer na slici 1.6. za napon između tačaka A i B računat duž putanje ACEDB (dakle idući od A ka B) je

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tututututuAB 4321 −−+−= Ako se napon računa istom putanjom, ali idući od B ka A, koristi se relacija

    ( ) ( ){ }A do B od∑= tutuAB

    ali se sada predznak “+” uzima ako se prvo naiđe na kraj koji nije referentni, u suprotnom se uzima “-“.

    Za isti primer na slici 1.6. za napon između tačaka A i B računat duž putanje BDECA (dakle idući od B ka A) je

    2 Ako stanje nije stacionarno, površina koja obuhvata čvor mora biti vrlo mala.

  • 9

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tututututuAB 1234 −+−−= što je isti rezultat kao i prethodni.

    Slika 1.6. Uz objašnjenje računanja razlike potencijala

    Ako se tačke A i B poklope, napon između njih je jednak nuli

    0)(1

    =∑=

    n

    kk tu

    što predstavlja II Kirhofov zakon (II KZ), koji važi za svaku zatvorenu konturu3 formiranu od grana mreža, u svakom trenutku. Predznaci se uzimaju na način kao kada se računa razlika potencijala tačaka A i B, ali idući od tačke B ka tačci A, odnosno ako se smer obilaska konture i smer napona4 poklapaju uzima se predznak “+”, u suprotnom “-“ (referentni smer napona je od

    kraja označenog sa “-“ prema kraju označenom sa “+”). Može se postaviti )1( čgk −−= nnn linearno nezavisnih jednačina. Na primer, jednačina po II KZ za konturu ACDBEA je:

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 067451 =+−++ tututututu Na isti način bi postupali ako bi imali poznate elemente (R, L, C) u granama. Na primer za mrežu na slici 1.7, II KZ za konturu sa pet grana je (“+” se uzima ako se prvo naiđe na kraj koji nije referentni)

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0)(21

    5

    1

    =+++−=∑=

    tututututetu CRLRk

    k

    Ovim jednačinama treba pridružiti relacije između struja i napona grana. Te relacije imaju različite oblike, zavisno od elemenata grane. Najjednostavniji slučajevi su idealni generatori (naponski i strujni) i otpornici. Tada su relacije opet jednostavne algebarske jednačine. Međutim, kod kalemova i kondenzatora, kao što smo videli u odeljcima 1.2.2 i 1.2.3, jednačine koje opisuju te elemente su diferencijalne jednačine prvog reda (sa konstantnim koeficijentima). Alternativno, kalemovi i kondenzatori se mogu opisati integralnim jednačinama, ali se takav postupak retko primenjuje u praksi zbog integracionih konstanti.

    Prema tome, prethodna relacija se može napisati u obliku:

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 01021 21

    =++++− ∫ CCRR UdttiCtiR

    dt

    tdiLtiRte

    Može se uočiti da ovde, za razliku od mreža sa vremenski konstatntnim strujama ne dobijamo sistem linearnih algebarskih jednačina, jer se pored samih struja pojavljuju i njihovi izvodi i integrali po vremenu, pa rešavanje nije jednostavno.

    3 Važi za kvazistacionarna polja, inače postoji indukovana ems u provodniku. 4 Smer napona je od “-“ ka “+“, kao kod ems.

  • 10

    Vremenska promena struje i napona može biti, teorijski bilo kakva. Najjednostavniji ali i najvažniji slučaj je kada se napon i struja menjaju na jedan ustaljen način, na primer po prostoperiodičnom (sinusnom) zakonu. Takvo stanje se naziva ustaljeno stanje.

    Slika 1.7. Uz objašnjenje pisanja jednačina po II KZ za kolo promenjivih struja

    Drugi, praktično važan, slučaj je promena napona i struja prilikom promene radnog režima (uključivanje generatora prostoperiodične struje u mrežu ili isključivanje iz mreže). Tada dolazi do postepenog uspostavljanja ili isčezavanja struje. Proces je obično brz, ali nije trenutan. Isto se događa i pri uključivanju ili isključivanju generatora vremenski konatantne ems. Određivanje napona i struje u ovom slučaju je znatno složenije od analize ustaljenog stanja. Ovakva stanja se nazivaju prelazni procesi (režimi).

    Dakle, mreža se može opisati sistemom algebarskih jednačina i linearnih diferencijalnih jednačina. Da bi se rešavanje pojednostavilo, videćemo da, ako u kolu postoji prostoperiodični režim (kada su svi naponi i sve struje prostoperiodične funkcije iste učestanosti), zadatak rešavanja kola je određivanje efektivnih vrednosti i početnih faza napona i struja, što je znatno jednostavnije.

    1.4. Snaga u mrežama sa vremenski promenjivim strujama

    Posmatrajmo bilo kakav prijemnik sa dva kraja (priključka), priključen na napon )(tu . Neka

    je )(ti jačina struje kroz priključke prijemnika (slika 1.8a). U intervalu vremena dt kroz prijemnik

    prođe količina elektriciteta ( )dttitdq =)( . Prema definiciji napona, u tom intervalu dt električne sile su izvršile rad

    ( ) ( )dttitutdA silael =)(. pa je trenutna vrednost snage prijemnika (snaga prijemnika u tom trenutku, snaga prijemnika je brzina vršenja rada), za referentne smerove kao na slici 1.8a,

    ( ) ( )titutp =)( Ukupna energija koja se predaje prijemniku od nekog trenutka 0t do nekog kasnijeg trenutka

    t dobija se kao zbir (odnosno integral) radova električnih sila u tom vremenskom intervalu

    ( ) ( )∫=t

    t

    dttituA0

    0 tdo tod sila el.

    Posmatrajmo idealni generator vremenski promenjive ems ili struje (slika 1.8b). Trenutna vrednost snage generatora (tj. snaga koju generator predaje ostatku kola), za referentne smerove kao na slici 1.8b, je

    ( ) ( )titutp ggg =)(

  • 11

    a) b)

    Slika 1.8. Usaglašeni smerovi za napon i struju: a) za prijemnik, b) za generator

    Rad generatora od trenutka 0t do nekog kasnijeg trenutka t je

    ( ) ( )∫=t

    t

    gg dttituA0

    0 tdo tod gen.

    Svi izrazi važe za referentne smerove kao na slikama 1.8a i b. Ako se promeni referentni smer za napon ili struju, izrazi dobijaju predznak “-“.

    U slučaju vremenski promenjivih struja, ( )tpg i ( )tp mogu u toku vremena biti pozitivni i negativni. Zbog toga i rad generatora i rad električnih sila pri održavanju struje kroz prijemnik mogu u nekom intervalu biti bilo pozitivni bilo negativni. Uz usvojene referentne smerove, u intervalima vremena kada je snaga prijemnika negativna

    ( ( ) 0tp , prijemnik se zaista ponaša kao prijemnik.

    Primer 1.1. Kondenzator kapacitivnosti C priključen je na napon ( )tu , slika 1.9a. Napon ( )tu se menja kao na slici 1.9b (isto kao na slici 1.5b). Na osnovu opšte relacije koja povezuje struju

    i napon kondenzatora ( ) ( )dt

    tduCti = , i poznatog zakona promene napona, može se odrediti

    zakonitost promene struje kroz kondenzator (slika 1.9b). Na osnovu relacije za snagu ( ) ( )titutp =)( , lako se nacrta i grafik promene snage (slika 1.9b).

    Slika 1.9. Kondenzator: a) usaglešeni smerovi za napon i struju, b) grafici napona, struje i snage

    U intervalima u kojima je ( ) 0

  • 12

    1.5. Osnovne razlike mreža sa vremenski konstantnim i promenjivim strujama

    Kod analize mreža sa vremenski konstantnim strujama, videli smo da se one sastoje od dva

    osnovna elementa: generatora (naponskog i strujnog) i otpornika, koji su međusobno, na proizvoljne načine, povezani provodnim žicama čija je otpornost ili zanemarivana ili uračunata u otpornost grane. Na kraju smo dodali i treći element, kondenzator, a ovde i kalem, koji smo obrađivali u elektromagnetizmu.

    U mrežama sa vremenski promenjivim strujama koristi se veliki broj različitih elemenata. Kod promenjivih polja se javljaju efekti koji ne postoje kod vremenski konstatnih struja: - kroz priključke kondenzatora može postojati promenjiva struja, iako kroz kondenzator ne

    postoji galvanska veza između priključaka (u vremenski konstatntnim strujama kondenzator se ponaša kao otvorena veza, tj. stalna struja ne teče kroz kondenzator);

    - u poslednjem poglavlju elektromagnetizma je pokazano da su vremenski promenjive struje uvek praćene vremenski promenjivim indukovanim električnim poljem, koje u provodnicima koji se u njemu nalaze, indukuju elektromotornu silu (ems). Posredstvom tog indukovanog električnog polja postoji sprega između grana mreže, koja zavisi od oblika grana i njihovog međusobnog položaja. Zbog toga jačine struja grana zavise, u izvesnoj meri, od geometrijskog oblika mreže. To usložnjava analizu ovih mreža;

    - elektromagnetska indukcija (pojava ems u provodnoj konturi) nije uslovljena postojanjem konture, jer je svako promenljivo magnetsko polje praćeno promenjivim električnim poljem, i obratno. Time se objašnjava pojava elektromagnetskih talasa (EMT). U vezi sa tim je konačna brzina postiranja EMT (najveća brzina je brzina svetlosti) i pojava kašnjenja.

    Primer 1.2. Za geostacionarni satelit na visini oko 30000 km iznad površi Zemlje, vreme potrebno da EMT sa Zemlje stigne do satelita je

    s

    s

    kmkm

    c

    ltk 1,0

    103

    30000

    5

    =⋅

    ==

    Za telefonsku vezu ukupno kašnjene je 0,2 s u smeru od jednog do drugog pretplatnika posredstvom satelita, što se primećuje u razgovoru.

    Promenjiva polja se dele u dve grupe između kojih ne postoji oštra granica. Prva grupa su

    polja koja se menjaju dovoljno sporo da se efekti prostiranja mogu zanemariti. To su sporopromenjiva ili kvazistacionarna (kvazistatička) polja. Takva polja, odnosno stanja, ćemo izučavati u elektrotehnici.

    Druga grupa su brzopromenjiva polja (pojava kašnjenja se nemože zanemariti), gde spadaju i EMT.

    Primer 1.3. Posmatrajmo prostoriju dužine ml 6= , i polje elektroinstalacija Hzf 50= Vreme

    prostiranja elektromagnetskog polja je nss

    s

    kmm

    c

    ltk 201020

    103

    6 95

    =⋅=⋅

    == − . Period (ciklus) ovog polja

    ktmsssfT >>==== − 2002,050

    111

    , odnosno Ttk >== 6000λ ).

  • 13

    Primer 1.4. Za distributivnu mrežu elektroenergetskog sistema na teritoriji kml 3000=

    msTmss

    s

    kmkm

    c

    ltk 201010

    103

    3000 25

    =≈==⋅

    == −, pa stanje nije kvazistacionarno (u ovom slučaju

    lkm 26000 ==λ ). Primer 1.5. U prostoriji dužine ml 6= posmatrajmo EMT radio i TV prijemnika, na primer

    FM radio prijemnika MHzf 100= ( lm ≈= 3λ ), ili nsTnstk 1020 =≈= pa je ovo polje brzopromenjivo.

    Prema tome periodično polje je kvazistacionarno ako su dimenzije prostora (domena) u

    kome se polje posmatra mnogo manje od talasne dužine ( l ).

    Na kraju još da konstatujemo: - opšte jednačine mreža sa vremenski promenjivim strujama razlikuju se od jednačina za mreže sa vremenski konstantnim strujama. Može se govoriti samo o trenutnim vrednostima ems, napona, struje i snage, tj. vrednostima tih veličina u nekom trenutku, - jednačine iz kojih treba izračunati struje grana sadrže izvode i integrale struja po vremenu, pa je računanje složeno. Međutim, u slučaju prostoperiodičnih generatora iste učestanosti jednačine je moguće svesti na formalno isti oblik kao u slučaju vremenski konstantnih struja. U nastavku ćemo se baviti upravo metodama za rešavanje takvih mreža.

  • 14

    2. OSNOVNI POJMOVI O ELEKTRIČNIM MREŽAMA SA PROSTOPERIODIČNIM STRUJAMA

    2.1. Osnovni pojmovi o periodičnim i prostoperiodičnim veličinama

    Pod vremenski periodičnim veličinama podrazumevaju se veličine čije se vrednosti u jednakim vremenskim razmacima ponavljaju. Na primer periodični napon (slika 2.1). Neka je T (naziva se period ili ciklus) interval vremena posle koga se vrednosti ponavljaju. Matematički periodična funkcija ( )tf , očigledno, mora da u bilo kom trenutku t zadovoljava uslov

    ( ) ( ) ... 2,-1,1,2,- ..., n , ==+ tfnTtf

    Slika 2.1. Primer periodične promene napona

    Period T se izražava u sekundama (s). U toku jednog perioda posmatrana veličina izvrši sve svoje promene (koje se zatim periodično ponavljaju), ili se kaže da je izvršen jedan ciklus. Tako period predstavlja dužinu trajanja jednog ciklusa periodične funkcije.

    Neka je Nt vreme za koje periodična funkcija izvrši N potpunih ciklusa. Odnos NtNf /= naziva se učestanost (frekvencija) periodične funkcije. Ako je N=1, onda je Tt =1 , pa je

    Tf

    1=

    Ova relacija daje vezu učestanosti i perioda. Učestanost je brojno jednaka broju ciklusa periodične funkcije u jedinici vremena, i ne mora biti ceo broj. Izražava se u hercima (Hz), koji

    predstavlja 11 −= s

    s. Na primer učestanost struje gradske mreže u Evropi je 50 Hz, a u Severnoj

    Americi 60 Hz. Opseg učestanosti signala govora je od 20 Hz do 20 kHz, EMT u radiodifuziji je 150 kHz do 100 MHz, TV kanala 50 MHz do 1000 MHz, veza preko satelita 4 do 15 GHz.

    U elektrotehnici najvažniju ulogu imaju periodične veličine koje se menjaju po sinusnom ili kosinusnom zakonu. Pošto su matematički najjednostavnije dobile su naziv prostoperiodične funkcije. Kako smo kod definicije pojma promenjive struje naveli, sve ostale periodične funkcije se nazivaju periodične ili složenoperiodične da bi se istakla razlika. Razmatraćemo prostoperiodične struje i napone. Tada je analiza prostija nego za neku drugu periodičnu promenu struja.

  • 15

    2.2. Prostoperiodične veličine

    Na slici 2.2 su prikazane sinusna funkcija ( xy sin= ) i kosinusna funkcija ( xy cos= ). Matematički, argument obeju funkcija (x) je čist broj, a predstavlja ugao izražen u radijanima (rad). Ove funkcije su periodične, sa osnovnim periodom π2 . Obe funkcije su ograničene po modulu ( 1|| ≤y , odnosno 11 ≤≤− y ), tj. maksimumi su 1, a minimumi -1. Maksimumi i minimumi se javljaju alternativno, sa periodom π2 . Obe funkcije imaju nule koje se ponavljaju sa periodom π . Sinusna funkcija je neparna, a kosinusna parna.

    Između sinusne i kosinusne funkcije postoje, između ostalih, veze

    )2/cos(sin π−= xx i )2/cos(sin xx −π= . Prva od tih veza će nam biti važnija jer ukazuje na to da se sinusna funkcija može dobiti od

    kosinusne pomeranjem duž x-ose (translacijom) za četvrtinu perioda ( 2/π ) udesno. I obrnuto, kosinusna funkcija se može dobiti translacijom sinusne za četvrtinu perioda ulevo.

    Slika 2.2. Sinusna i kosinusna funkcija

    U Elektrotehnici se pod prostoperiodičnom strujom (slika 2.3) podrazumeva struja (i) koja je u, funkciji vremena (t), data analitičkim izrazom

    )cos()( m ψ+ω= tIti (*) gde su mI , ω i ψ konstante. Ova jednačina je kanonični oblik prostoperiodične struje5.

    U jednačini (*), )(ti je trenutna jačina struje (trenutna vrednost). Konstanta mI ( 0m >I ) naziva se amplitudom prostoperiodične struje. Amplituda je ista po prirodi kao i trenutna vrednost, pa su im i jedinice iste (amper). Zbog ograničenosti kosinusne funkcije, maksimalna trenutna vrednost jednaka je mI , a minimalna mI− , odnosno mm )( ItiI ≤≤− .

    Argument kosinusa u jednačini (*) je linearna funkcija vremena ( ψ+ω t ), a naziva se fazom (trenutnom fazom). Matematički, to je neimenovani broj, odnosno odgovara uglu izraženom u radijanima (rad). Za 0=t , faza je jednaka ψ, a naziva se početnom fazom. Početna faza se izražava u radijanima. S obzirom na periodičnost funkcije (*), početna faza je određena sa tačnošću od πk2 , gde je k ceo broj ( ,...2,1,0 ±±=k ). Stoga se početna faza svodi na interval čija je širina π2 , najčešće na π≤ψ

  • 16

    Početna faza, očigledno, može biti pozitivna ili negativna. Uočiti da slika 2.3 odgovara slučaju 0>ψ , a da je maksimum funkcije (*) koji je najbliži koordinatnom početku6 apscisne ose u trenutku ωψ−= /t . (Ako je 0>ψ , taj maksimum je levo od koordinatnog početka, ako je 0ω ) predstavlja brzinu kojom se faza menja, a naziva se kružnom (ili ugaonom) učestanošću. Jedinica kružne učestanosti je 1s− ili, ekvivalentno, rad/s .

    Period prostoperiodične veličine je ωπ= /2T . Recipročna vrednost perioda je frekvencija (učestanost), Tf /1= , a može se protumačiti kao broj perioda u jedinici vremena. Jedinica frekvencije je herc (Hz). Između kružne učestanosti i ''obične'' učestanosti postoji relacija fπ=ω 2 .

    Slika 2.3. Uz definiciju prostoperiodične funkcije

    Posmatrajmo šta se dešava sa prostoperiodičnom funkcijom (*) ako se promeni samo jedna od konstanti mI , ω i ψ slika 2.4). Zamislimo jedan skup tih konstanti. Njemu odgovara funkcija označena sa )cos(m ψ+ω tI na slici 2.4.

    Slika 2.4. Uticaj pojedinih parametara na prostoperiodičnu funkciju

    Ako se amplituda poveća dva puta, dobija se funkcija označena sa )cos(2 m ψ+ωtI , čije se ekstremne vrednosti dobijaju množenjem faktorom 2 ekstremnih vrednosti funkcije )cos(m ψ+ω tI .

    6 Na apscisu se može naneti proizvod tω umesto vremena t. Tada je period T odgovara uglu π2 , a maksimum najbliži koordinatnom početku je za ψ−=ωt . Ako se na apscisu nanosi proizvod tc onda jedan period T odgovara talasnoj dužini λ .

  • 17

    Ako se kružna učestanost poveća dva puta (ekvivalentno, ako se učestanost poveća dva puta, odnosno period smanji dva puta), dobija se ''gušća'' sinusoida, označena sa )2cos(m ψ+ωtI . Obrnuto, smanjivanjem kružne učestanosti sinusoida se ''razređuje''.

    Najzad, ako se početna faza poveća za ψ∆ (konkretno, sa 6/π na 3/π , odnosno 6/π=ψ∆ ), grafik funkcije se pomera ulevo za ωψ∆ / , što odgovara funkciji označenoj sa )2cos(m ψ+ωtI . Obrnuto, smanjivanje početne faze pomera grafik udesno.

    Iako su sve definicije navedene za struju, one važe i za druge linearne veličine u kolu, kao što je napon. Kanonični oblik prostoperiodičnog napona je

    )cos()( m θ+ω= tUtu , (**)

    gde je mU amplituda napona (izražava se u voltima), ω kružna učestanost, a θ početna faza. Oznake početnih faza napona i struje se razlikuju iz operativnih razloga.

    Za elektromotornu silu koristićemo izraz

    )cos()( m etEte θω += Ako su u nekom električnom kolu svi naponi i sve struje prostoperiodične funkcije iste

    učestanosti, kaže se da u kolu postoji (ustaljeni) prostoperiodični režim. (Amplitude struja i napona su pri tome proizvoljne, kao što su i početne faze proizvoljne.) Takav režim nastaje u linearnoj mreži (kolu)7 pod dejstvom prostoperiodičnih eksitacija (naponskih i strujnih generatora) istih učestanosti.

    Kada budemo analizirali kola u prostoperiodičnom režimu, implicitno ćemo podrazumevati da je učestanost (odnosno kružna učestanost) poznata. U tom slučaju, svaka prostoperiodična veličina (napon, struja) je potpuno određena svojom amplitudom i početnom fazom.

    2.3. Poređenje prostoperiodičnih veličina

    Posmatramo prostoperiodičan režim u nekom kolu. Dve prostoperiodične veličine iste prirode, na primer, dva napona u tome kolu, )cos()( 1m11 θ+ω= tUtu i )cos()( 2m22 θ+ω= tUtu , mogu se porediti po amplitudi i po fazi (slika 2.5).

    Kod poređenja po amplitudi, za napon čija je amplituda veća, kažemo da je veći, iako se između njihovih trenutnih vrednosti ne može uspostaviti relacija koja bi važila nezavisno od vremena. Konkretno, na slici 2.5 je m1m2 7,0 UU = , pa je m2m1 UU > i za napon 1u kažemo da je veći od napona 2u , iako je u nekim trenucima vremena )()( 21 tutu > , a u nekim )()( 21 tutu < .

    Kod poređenja po fazi, uvodi se razlika faza (fazna razlika),

    212112 )()( θ−θ=θ+ω−θ+ω=θ tt . Ta razlika, očigledno, ne zavisi od vremena, a jednaka je razlici početnih faza (ako je kružna

    učestanost ista). Pošto svaka početna faza može biti u poluzatvorenom intervalu ],( ππ− , ovako izračunata razlika faza može biti u poluzatvorenom intervalu ]2,2( ππ− . Međutim, zbog periodičnosti funkcija )(1 tu i )(2 tu , razlika faza se svodi na interval širine π2 , najčešće na ],( ππ− , tj. π≤θθ , promene )(1 tu prednjače promenama napona )(2 tu . Na primer, maksimumi napona )(1 tu nastaju pre maksimuma napona )(2 tu . Kaže se da tada napon )(1 tu fazno prednjači naponu )(2 tu za 12θ . To je konkretno slučaj na slici 2.5 jer je za nju uzeto 6/1 π=θ i 4/2 π−=θ , pa je

    7 Kako smo ranije rekli, za mrežu (kolo) se kaže da je linearna ako se sastoji od idealnih (nezavisnih) naponskih i strujnih generatora i linearnih pasivnih elemenata (otpornika, kalemova i kondenzatora).

  • 18

    12/512 π=θ . Slično, sinusna funkcija je kosinusna funkcija zakašnjena za 2/π , tj. ( )2/cossin παα −= . Nacrtajte sami takav primer za struje, napon, ili struje i napon.

    Ekvivalentno tome, kaže se da napon )(1 tu prednjači (u vremenu) naponu )(2 tu za ωθ /12 . Sinusoida na slici 2.5 koja predstavlja )(1 tu pomerena je ulevo u odnosu na sinusoidu koja predstavlja )(2 tu .

    Za tu istu situaciju, kaže se da napon )(2 tu fazno zaostaje (kasni) za naponom )(1 tu za 12θ , odnosno napon )(2 tu kasni za naponom )(1 tu za ωθ∆ / .

    Ako je 012

  • 19

    Slika 2.6. Dva prostoperiodična napona: a) u fazi, b) u protivfazi, c) u kvadraturi (u1 prednjači), d) c) u kvadraturi (u2 prednjači)

    U analizi kola u prostoperiodičnom režimu početni trenutak se može zadati, na primer, definisanjem početne faze jedne prostoperiodične veličine. Međutim, ako taj početni trenutak nije unapred definisan, imamo slobodu da ga proizvoljno odaberemo. Jedan od čestih izbora se svodi na to da usvojimo da početna faza neke prostoperiodične veličine u kolu bude jednaka nuli. No, pri tome ne smemo proizvoljno usvojiti početnu fazu nijedne druge prostoperiodične veličine, već ih određivati u odnosu na proizvoljno usvojenu, da ne bismo narušili fazne razlike koje objektivno postoje u posmatranom kolu.

    2.4. Srednja i efektivna vrednost

    U ovom odeljku ćemo definisati srednju i efektivnu vrednost. Definicije se odnose na bilo kakve periodične veličine (napone, struje), a ne samo na prostoperiodične veličine

    Matematički, srednja vrednost funkcije )(tf na intervalu ),( bat ∈ generalno definiše se

    izrazom ( )∫−=b

    a

    ttfab

    f d1

    sr . Posebno, ako je funkcija )(tf periodična sa periodom T, usrednjavanje se

    radi na intervalu čija je širina jednaka periodu, odnosno ( )∫+

    =Ta

    a

    ttfT

    f d1

    sr , gde je a proizvoljna

    konstanta. Tako definisana srednja vrednost ne zavisi od a. Često se u računu uzima 0=a , odnosno

    ( )∫=T

    ttfT

    f0

    sr d1 , odnosno za struju ( )∫=

    T

    ttiT

    I0

    sr d1

    ili 2/Ta −= , imamo

    ( )∫−

    =2/

    2/sr d

    1T

    T

    ttfT

    f .

    U Elektrotehnici se srednja vrednost naziva i jednosmernom komponentom (zbog Furijeove analize).

  • 20

    Primer 2.2. Ako je maksimalna trenutna vrednost struja sa slika 2.7a i 2.7b jednaka mI ,

    onda je srednja vrednost obe struje jednaka 2/mI , što lako možete pokazati sami, analitički, a u ovim slučajevima i grafički.

    Slika 2.7. Primeri periodičnih veličina gde se srednja vrednost može računati i grafički

    Srednja vrednost simetričnih periodičnih veličina je nula.

    Primer 2.3. Srednja vrednost prostoperiodične struje (slika 2.8a), i simetrične bipolarne povorke pravougaonih impulsa (slika 2.8b) jednaka je nuli. Dokaz je očigledan jer su geometrijske površine iznad i ispod t-ose jednake, ali se površina iznad ose uzima kao pozitivna, a ona ispod ose kao negativna. Stoga se te dve površine potiru u zbiru. Može se pokazati i analitički (uradite sami).

    Slika 2.8. Srednja vrednost prostoperiodične struje (a)

    i simetrične bipolarne povorke pravougaonih impulsa (b) je nula

    Primer 2.4. U nekim tehničkim primenama (na primer, kod usmerača) javlja se funkcija oblika ( ) tUtu ω= cosm (slika 2.9). Period ove funkcije je ωπ / , odnosno dva puta je manji od perioda funkcije tU ωcosm . Srednja vrednost funkcije sa slike 2.9 (srednja vrednost ''usmerene'' ili

    ''ispravljene'' (ko)sinusoide) je ( ) mm)2(

    )2(

    m 637,02

    dcos UUttUUtu sr ==== ∫− π

    ωπω ωπ

    ωπ

    .

    Slika 2.9. Uz izračunavanje srednje vrednosti "ispravljene kosinusoide"

  • 21

    Efektivnu vrednost ćemo definisati na jednom primeru. Posmatrajmo otpornik prikazan na slici 2.10, u kome postoji periodična struja )(ti čiji je period T. Trenutna snaga otpornika je

    )()( 2 tRitp = . Srednja snaga otpornika (usrednjena tokom jednog perioda) je jednaka

    2

    0

    2

    0

    d)(1

    d(t)1

    RIttRiT

    tpT

    PTT

    === ∫∫ , gde je (ako je R=1)

    ∫=T

    ttiT

    I0

    2 d)(1

    Prethodni izraz predstavlja definiciju efektivne vrednosti struje )(ti . Efektivnu vrednost ćemo označavati velikom slovom bez indeksa, mada su u upotrebi i oznake efI i effI .

    Slika 2.10. Uz definiciju efektivne vrednosti struje

    Efektivnoj vrednosti struje se može dati sledeća fizička interpretacija. Posmatramo otpornik sa slike 2.10. U jednom slučaju u otporniku imamo posmatranu periodičnu struju )(ti . U drugom slučaju zamislimo da u otporniku postoji vremenski konstantna (stalna) struja I, takva da je srednja snaga otpornika u intervalu T ista u oba slučaja. Pošto je snaga otpornika pri jednosmernoj struji,

    2RIP = , konstantna, odavde sledi da jačina stalne struje treba da bude jednaka efektivnoj vrednosti periodične struje. Uočimo da su oznake za efektivnu vrednost periodične struje i jačinu stalne struje iste, kao i oznake za srednju snagu, odnosno snagu. To neće dovesti do zabune jer, u nastavku, nećemo istovremeno posmatrati stalne i promenjive struje.

    Efektivna vrednost prostoperiodične struje tIti ωcos)( m= jednaka je

    ∫∫∫∫ +=+==

    Tm

    Tm

    Tm

    T

    tt

    T

    Idt

    T

    It

    t

    T

    IttI

    TI

    0

    2

    0

    2

    0

    2

    0

    22m d2

    2cos

    2d

    2

    2cos1dcos

    1 ωωω

    odnosno

    mmm 707,0

    22

    2II

    II ≈==

    Odavde se amplituda prostoperiodične struje može izraziti preko efektivne vrednosti kao

    III 414,12m ≈=

    Naravno, isti oblik izraza važi i za efektivnu vrednost prostoperiodičnog napona,

    Napomenimo da su praktično svi instrumenti koji mere prostoperiodične veličine (struje i napone) baždareni tako da pokazuju efektivnu vrednost. Razlog je u tome što je u tehničkim primenama efektivna vrednosti veoma važna jer se na osnovu nje računaju snage. Kao primer, efektivna vrednost napona na koji se priključuje monofazni prijemnik u domaćinstvu (sijalica, računar) je V230 . Zbog takve važnosti efektivnih vrednosti, kanonični oblik prostoperiodične veličine ćemo, umesto u obliku )cos()( m ψ+ω= tIti (videti odeljak 2.2), češće pisati u obliku

    )cos(2)( ψ+ω= tIti

  • 22

    U analizi kola u prostoperiodičnom režimu, svaka prostoperiodična veličina (napon, struja) je stoga potpuno određena svojom efektivnom vrednošću i početnom fazom.

    Ilustracije radi, pokažimo i primer proračuna efektivne vrednosti za periodičnu veličinu.

    Primer 2.5. Efektivna vrednost periodičnog napona sa slike 2.11 je

    mmm

    Tm U

    UUtt

    T

    U

    TU 577,0

    33d

    2/2

    1 22/

    0

    2

    ===

    = ∫

    Slika 2.11. Primer periodičnog testerastog napona

    2.5. Osnovni pasivni elementi u prostoperiodičnom režimu

    Pretpostavljamo da su elementi priključeni na prostoperiodični napon

    )cos()( θω += tUtu m i treba odrediti trenutnu vrednost struje i trenutnu snagu. Referentni smerovi su usklađeni kao za prijemnik.

    2.5.1. Otpornik Neka imamo otpornik kao na slici 1.3a. Za njega važi opšti izraz ( )tRitu =)( (videti odeljak 1.2.1). Odatle je struja ( )

    R

    tuti =)( . Posle zamene izraza za )(tu , dobijamo

    ( ) ( )θωθω +=+= tR

    Ut

    R

    Uti m cos

    2cos)(

    Iz poređenja ovog izraza sa opštim (kanoničnim) oblikom izraza za prostoperiodičnu struju

    )cos()( ψω += tIti m , sledi da je amplituda struje R

    UI mm = odnosno efektivna vrednost struje

    R

    UI = , a početna faza struje θψ = . Prema tome struja kroz otpornik je takođe prostoperidična, i u

    fazi sa naponom. Kod otpornika, napon i struja su u fazi (pri usklađenim referentnim smerovima; pri neusklađenim smerovima su u protivfazi), ali to nije tako kod drugih prijemnika. Stoga se, kao karakteristika prijemnika, uzima i fazna razlika napona i struje prijemnika (pri usklađenim referentnim smerovima)8: ψ−θ=φ . Kod otpornika, 0=φ .

    Grafički prikaz napona i struje dat je na slici 2.12a (pretpostavljeno je da je 0=θ ). Trenutna snaga otpornika (snaga koju otpornik prima od ostatka kola) jednaka je

    GtiRtutuGtiRtitutp /)(/)()()()()()( 2222 ===== . Kod otpornika je uvek 0)( ≥tp , tj. otpornik se uvek ponaša kao prijemnik. Snaga otpornika je nula samo u trenucima kada je struja jednaka nuli, ili, što je isto, kada je napon jednak nuli.

    8 Ova fazna razlika jednaka je argumentu kompleksne impedanse prijemnika, pojam koji ćemo uvesti u odeljku 3.2.1.

  • 23

    Snaga otpornika u prostoperiodičnom režimu je9

    ( ) ( )[ ] ( )[ ]θωψωψω 22cos122cos1cos2)()()( 2222 ++=++=+== tGUtRItRItitutp . Ta snaga je jednaka zbiru jedne konstante ( 22 GURI = ) i jednog prostoperiodičnog člana čija

    je učestanost dva puta viša od učestanosti struje, odnosno napona (slika 2.12b). Srednja vrednost tog prostoperiodičnog člana jednaka je nuli, pa je srednja snaga otpornika 22 GURIP == , što se i moglo očekivati na osnovu definicije efektivne vrednosti.

    Slika 2.12. Talasni oblici napona i struja (a) i snage (b) otpornika priključenog na prostoperiodični

    napon

    2.5.2. Kalem Na isti način, kao za otpornik, za kalem na slici 1.4a, polazeći od opšteg izraza za struju kroz

    kalem 0d)(

    1)( Ittu

    Lti += ∫ , posle zamene izraza za napon, dobijamo

    ( ) ( ) 00 sindcos1

    )( ItL

    UIttU

    Lti mm ++=++= ∫ θωωθω

    (imajući u vidu da je axa

    xax sin1

    dcos =∫ ), gde 0I

    predstavlja moguću vremenski konstantnu struju kroz kalem (tzv. jednosmerna komponenta). U prostoperiodičnom režimu 00 =I .

    Imajući u vidu da je ( )

    −+=+2

    cossinπθωθω tt , dobijamo

    −+=2

    cos)(πθω

    ωt

    L

    Uti m

    Poređenjem sa kanoničnim izrazom za prostoperiodičnu struju, sledi L

    UI mm ω

    = odnosno

    L

    UI

    ω= , i

    2

    πθψ −= . Prema tome struja kroz kalem je takođe prostoperidična, ali kasni za naponom

    vremenski za četvrtinu perioda (4

    T ), odnosno fazno za 2

    π . Kod kalema, 2

    πφ = . Grafički prikaz

    napona i struje dat je na slici 2.13a (pretpostavljeno je da je 0=θ ).

    Slika 2.13. Napon i struja (a) i snaga (b) kalema priključenog na prostoperiodični napon

    9 Koristi se trigonometrijska transformacija ( )αα 2cos1

    2

    1cos 2 += .

  • 24

    Primer 2.6. Neka je kalem priključen na prostoperiodičan napon efektivne vrednosti

    VU 230= , učestanosti Hz50 , i neka je efektivna vrednost struje kroz kalem AI 10= . Odrediti

    induktivnost tog kalema. Koristeći se izrazom L

    UI

    ω= , dobija se .7007,0 mHH

    I

    UL ===

    ω

    Trenutna snaga kalema (snaga koju kalem prima od ostatka kola), u opštem slučaju, je

    ( )t

    tWtLi

    tt

    titiLtitutp L

    d

    )(d)(

    2

    1

    d

    d

    d

    d)()()()( 2 =

    === ,

    gde je )(2

    1)( 2 tLitWL = magnetska energija akumulirana u kalemu. U intervalu vremena kada struja

    kalema raste po apsolutnoj vrednosti, raste i magnetska energija, pa je 0)( >tp i kalem se ponaša kao prijemnik, uzimajući energiju od ostatka kola. Međutim, u intervalu vremena kada struja kalema opada po apsolutnoj vrednosti, opada i magnetska energija, pa je 0)(

  • 25

    Slika 2.14. Napon i struja (a) i snaga (b) kondenzatora priključenog na prostoperiodični napon

    Primer 2.7. Neka je kondenzator kapacitivnosti pFC 100= priključen na prostoperiodičan napon efektivne vrednosti VU 230= i učestanosti Hz50 . Odrediti efektivnu vrednost struje kroz kondenzator. Koristeći se izrazom CUI ω= , dobija se AAI µ2,7102,7 6 =⋅= − .

    Trenutna snaga kondenzatora (snaga koju kondenzator prima od ostatka kola), u opštem slučaju, je

    t

    tWtCu

    tt

    utCutitutp C

    d

    )(d)(

    2

    1

    d

    d

    d

    d)()()()( 2 =

    ===

    gde je )(2

    1)( 2C tCutW = električna energija akumulirana u kondenzatoru. U intervalu vremena kada

    napon kondenzatora raste po apsolutnoj vrednosti, raste i električna energija, pa je 0)( >tp i kondenzator se ponaša kao prijemnik, uzimajući energiju od ostatka kola. Međutim, u intervalu vremena kada napon kondenzatora opada po apsolutnoj vrednosti, opada i električna energija, pa je

    0)(

  • 26

    joj je om (Ω), a naziva se impedansom prijemnika12. Prema ovoj definiciji, 0≥Z . Impedansa

    otpornika je RZ R = , impedansa kalema LZ L ω= , a impedansa kondenzatora13 CZC ω

    1= .

    Može se formirati i dualna relacija, YUI = , gde koeficijent proporcionalnosti (Y) ima prirodu provodnosti, jedinica je simens (S), a naziva se admitansom prijemnika14. Između impedanse i admitanse postoji relacija 1=ZY . Takođe važi 0≥Y . Admitansa otpornika je RGYR /1== , kalema

    LYL ω

    1= , a kondenzatora CYC ω= .

    2.6. Rešavanje mreža u prostoperiodičnom režimu u vremenskom domenu

    U odeljku 1.3 definisali smo Kirhofove zakone za promenjive struje. Direktno rešavanje ovih jednačina analitičkim metodima, u vremenskom domenu, nije lako. Ilustrujmo to na primeru

    sabiranja dve prostoperiodične veličine, na primer dva napona, )()()( 21 tututu += , gde su )cos()( 11 1 θω += tUtu m i )cos()( 22 2 θω += tUtu m . Ako pretpostavimo da je rezultantni napon

    dat relacijom

    )cos()( θω += tUtu m , onda koristeći trignometrijsku transformaciju βαβαβα sinsincoscos)cos( m=± , možemo pisati identitet

    ( ) ( ) tUUtUUtUtUtUtU

    tUtUtu

    mmmm

    mmmm

    mm

    ωθθωθθθωθωθωθω

    θωθω

    sinsinsincoscoscos

    sinsincoscossinsincoscos

    sinsincoscos)(

    2121

    2211

    2121

    2211

    +−+=

    −+−=−=

    Da bi identitet bio ispunjen, koeficijenti uz tωcos i tωsin u oba izraza moraju biti identični

    21 coscoscos 21 θθθ mmm UUU += (1)

    21 sinsinsin 21 θθθ mmm UUU += (2) Ako relaciju (2) podelimo sa relacijom (1) dobijamo

    21

    21

    coscos

    sinsin

    cos

    sin

    21

    21

    θθθθ

    θθθ

    mm

    mm

    UU

    UUtg

    ++

    == (3)

    Ako napravimo zbir relacija ( ) ( )22 21 + , dobijamo ( )2121222 sinsincoscos2 2121 θθθθ +++= mmmmm UUUUU , odnosno, uz primenu već korišćene

    trigonometrijske transformacije za kosinus razlike uglova, konačno je

    ( )21222 cos2 2121 θθ −++= mmmmm UUUUU (4) Relacije (3) i (4) služe za određivanje ampitude i početne faze napona koji je zbir dva

    napona. Isti rezultati bi se dobili i ako bi se naponi menjali po sinusnom zakonu.

    12 Ovako definisana impedansa jednaka je modulu kompleksne impedanse prijemnika, koju ćemo uvesti u odeljku 3.2.1. 13 Zbog sličnosti sa relacijom za otpornost R, impedansa kalema i kondenzatora se ponekad nazivaju induktivna i kapacitivna otpornost, što nije korektno. Korektno ih je nazivati reaktansa kalema i reaktansa kondenzatora, kao što ćemo videti u odeljku 3.2.2. Reaktansa se u kompleksnom domenu označava sa X, pa se reaktansa kalema označava sa XL, a reaktansa kondenzatora sa XC. 14 Ovako definisana admitansa jednaka je modulu kompleksne admitanse prijemnika.

  • 27

    Primer 2.8. Ilustrujmo primenu ovih relacija na primeru redne veze otpornika i kalema, prikazane na slici 2.15. Neka je zadatak da odredimo relaciju između napona i struje te redne veze.

    Struja je, očigledno, zajednička za oba elementa. Radi daljeg pojednostavljenja, usvojimo da

    je početna faza struje jednaka nuli ( 0=ψ ), tj. neka je struja data izrazom tIti ω= cos2)( . Napon

    otpornika je tRItRituR ω== cos2)()( , a napon kalema je tLItti

    LtuL ωω−== sin2d)(d

    )( . Napon redne

    veze je ( )2/cos2cos2sin2cos2)()()( πωωωωωω ++=−=+= tLItRItLItRItututu LR .

    Slika 2.15. Redna veza otpornika i kalema u prostoperiodičnom režimu

    Primenom relacije (4) se dobija ( ) ( ) ( )2/0cos22222 222 πωω −++= LIRILIRIU m , a posle vađenja kvadratnog korena i delenja sa 2 se dobija 22 )( LRIU ω+= .

    Količnik ZLRIU =ω+= 22 )(/ je impedansa redne veze otpornika i kalema.

    Primenom relacije (3) se dobija ( )( ) R

    L

    LIRI

    LIRI ωπωπωθ =

    ++=

    2/cos20cos2

    2/sin20sin2tg

    0

    0

    , odnosno R

    Lω=θ arctg

    (kako je 0>R i 0>Lω , to je ugao θ u prvom kvadrantu). Konačno, napon je

    ( ) ( )

    ++=+=R

    LarctgtlRItUtu m

    ωωωθω cos2cos)( 22 .

    Da smo krenuli obrnutim redom, od poznatog napona )cos(2)( θ+ω= tUtu , struju )(ti bi

    direktno mogli odrediti samo rešavanjem diferencijalne jednačine za ovo kolo, t

    tiLtRitu

    d

    )(d)()( += .

    Međutim, koristeći se rezultatom koji smo dobili polazeći od struje, možemo ovako rezonovati.

    Znamo impedansu redne veze, 22 )( LRZ ω+= , a znamo i faznu razliku napona i struje, R

    Lω=φ arctg .

    Onda je struja potpuno određena jer joj znamo efektivnu vrednost ( ZUI /= ) i početnu fazu

    ( φ−θ=ψ ), odnosno ZtUti /)cos(2)( φ−θ+ω= .

    Ovakvim rezonovanjem bi mogli brzo rešiti i problem ako bi bila zadata struja u opštem

    obliku, )cos(2)( ψ+ω= tIti , a traži se napon redne veze. Rezultat je )cos(2)( φ+ψ+ω= tZItu .

    Već iz ovog jednostavnog primera se vidi da je sabiranje prostoperiodičnih veličina glomazno raditi direktno, u vremenskom domenu. U narednom odeljku ćemo uvesti fazore i račun sa fazorima, koji će delimično rešiti taj problem. Koristeći se kompleksnim brojevima, račun sa fazorima se može dalje pojednostaviti i formalizovati tako da analiza kola u prostoperiodičnom režimu postane gotovo identična analizi kola vremenski konstantnih struja. Na taj način ćemo metode rešavanja kola vremenski konstantnih struja moći relativno lako da prilagodimo rešavanju kola u prostoperiodičnom režimu.

    2.7 Predstavljanje prostoperiodičnih veličina pomoću obrtnih vektora (fazora)

    U ovom odeljku je opisan jedan postupak predstavljanja prostoperiodičnih veličina vektorima koji se nazivaju fazorima. Taj postupak ima nekoliko korisnih strana. Prvo, omogućava

  • 28

    vizuelizaciju međusobnog odnosa napona i struja u posmatranom kolu. Drugo, pomoću fazora, moguće je rešiti neka jednostavnija kola, a ponekad i rešiti probleme na lakši način nego drugim postupcima. Treće, polazeći od računa sa fazorima, lako se uvodi račun sa kompleksnim predstavnicima prostoperiodičnih veličina, koji je osnovni alat za analizu električnih kola, sistema i elektromagnetskih polja.

    2.7.1. Obrtni vektori

    Posmatrajmo vektor A , koji se nalazi u ravni crteža na slici 2.16a. Početak vektora se

    poklapa sa koordinatnim početkom jedne ose, koju ćemo zvati faznom osom (f.o.). Neka je AA = modul (dužina) toga vektora, a α ugao koji taj vektor zaklapa sa faznom osom. Referentni smer za računanje uglova je suprotan smeru okretanja kazaljke na časovniku (matematički pozitivni smer). Projekcija vektora A na faznu osu je α= cosAa . Ta projekcija je skalarna veličina koja uključuje i

    znak (usmereni skalar). Zamislimo sada da se vektor A obrće u ravni crteža, u matematički

    pozitivnom smeru, konstantnom ugaonom brzinom ω (slika 2.16b). Tada je 0αωα += t , gde je 0α ugao koji vektor A zaklapa sa faznom osom u trenutku 0=t , pa je projekcija toga vektora na

    faznu osu prostoperiodična funkcija vremena, )cos(||)( 0αω += tAta . Amplituda projekcije jednaka je dužini vektora A , kružna učestanost je jednaka ugaonoj brzini obrtanja vektora, a

    početna faza je jednaka uglu koji vektor A zaklapa sa faznom osom u početnom trenutku ( 0=t ). U

    tom slučaju kažemo da vektor A predstavlja prostoperiodičnu veličinu )(ta , tj. vektor A je predstavnik veličine )(ta . Takav obrtni vektor se naziva fazor. Fazor se izražava u istim jedinicama kao i veličina koju predstavlja.

    Slika 2.16. Projekcija vektora na osu: a) nepokretni vektor, b) obrtni vektor

    Posmatrajmo proizvoljno kolo u prostoperiodičnom režimu. Fazorima se mogu predstaviti bilo koje prostoperiodične veličine u tom kolu (naponi, struje). Dužina fazora je, u razmeri crteža, jednaka amplitudi (ili efektivnoj vrednosti) odgovarajuće prostoperiodične veličine, ugaona brzina obrtanja fazora jednaka je kružnoj učestanosti, a ugao koji fazor zaklapa sa faznom osom u trenutku

    0=t jednak je početnoj fazi. Kao primer, posmatrajmo rednu vezu dva elementa (slika 2.17a). Pravougaonikom ćemo označiti pasivni element (prijemnik): otpornik, kalem, kondenzator, ili čak njihove kombinacije. Neka je trenutna vrednost napona prvog elementa

    )cos(2)cos()( 111m11 θωθω +=+= tUtUtu , trenutna vrednost napona drugog elementa )cos(2)cos()( 222m22 θωθω +=+= tUtUtu , a trenutna vrednost napona redne veze

    )cos(2)cos()()()( m21 θωθω +=+=+= tUtUtututu . Fazori (obrtni vektori), koji predstavljaju ova tri napona prikazani su na slici 2.17b.

    Pošto je kružna učestanost svih tih prostoperiodičnih veličina ista, svi fazori se obrću sinhrono (istom brzinom), u matematički pozitivnom smeru. Pri tome fazori zadržavaju iste međusobne odnose, tj. uglovi između fazora se ne menjaju. Ti uglovi predstavljaju odgovarajuće fazne razlike.

  • 29

    Iz matematike je poznato da je projekcija zbira dva vektora jednaka zbiru njihovih projekcija. Stoga se fazor koji predstavlja zbir dva napona dobija jednostavno vektorskim sabiranjem fazora koji predstavljaju ta dva pojedinačna napona. (Sabiranje se može uraditi, na primer, po pravilu paralelograma ili nadovezivanjem vektora.) Pošto se svi fazori okreću istom (konstantnom) ugaonom brzinom, projekcija rezultantnog fazora na faznu osu je prostoperiodična veličina. Iz svega sledi da je zbir dve prostoperiodične veličine iste učestanosti takođe prostoperiodična veličina te iste učestanosti.

    2.7.2. Zaustavljeni obrtni vektori

    Obrtanje fazora je jednoznačno određeno ako je poznat položaj fazora (obrtnog vektora) u trenutku 0=t (slika 2.17c): sliku koja sadrži fazore za 0=t treba rotirati za ugao tω da bi se dobila slika fazora u trenutku t. Zbog toga ćemo nadalje posmatrati samo fazore u početnom trenutku ( 0=t ). Možemo zamisliti da se takva slika dobija fotografisanjem obrtnih fazora u trenutu 0=t ili zaustavljanjem obrtnih vektora u tome trenutku (zaustavljeni fazori).

    Slika 2.17. Redna veza dva elementa (a), obrtni vektori (b), obrtni vektori zaustavljeni u trenutku t =

    0 (c), zaustavljeni vektori čije su dužine srazmerne efektivnim vrednostima (d)

    Najzad, kao što je ranije napomenuto, u tehničkim primenama se pretežno operiše sa efektivnim vrednostima, a ne sa amplitudama. Da bi se izbeglo množenje i deljenje sa 2 , ubuduće ćemo crtati fazore tako da su njihove dužine srazmerne efektivnim vrednostima, a ne amplitudama (slika 2.17d) prostoperiodičnih veličina. Poređenjem slika 2.17c i 2.17d vidi se da je u stvari samo promenjena razmera crteža. Takve fazore, zaustavljene i podeljene sa 2 , označavaćemo crtom ispod simbola.

    Na primer, fazor koji predstavlja napon )cos(2)( θ+ω= tUtu , označićemo sa U . Dužina toga fazora jednaka je efektivnoj vrednosti napona )(tu , U, a ugao koji fazor zaklapa sa faznom osom jednak je početnoj fazi napona, θ. Da bismo to posebno naglasili, fazor napona pišemo u obliku θ= |UU . Uprošćeno ćemo govoriti da je U fazor napona )(tu .

  • 30

    2.7.3. Fazorski dijagrami

    Crtež skupa fazora koji predstavljaju napone i struje nekog kola naziva se fazorski dijagram. Koristeći se fazorskim dijagramima, moguće je analizirati neka jednostavnija kola.

    Kao uvod u tu analizu, posmatrajmo osnovne pasivne elemente, otpornik, kalem i kondenzator. Referentni smerovi su usaglašeni, kao za prijemnik. U tabeli 2.1 prikazane su osnovne relacije i fazorski dijagrami napona i struja tih elemenata.

    Fazor napona elementa označavamo sa θ= |UU , a fazor struje sa ψ= |II . Količnik dužina (modula) fazora napona i struje jednak je impedansi elementa (Z), a ugao između fazora struje i fazora napona jednak je faznoj razlici napona i struje (Φ).

    Tabela 2.1. Osnovni pasivni elementi u prostopriodičnom režimu

    Element Osnovna relacija I

    UZ = ψ−θ=φ

    Fazorski dijagram

    Riu = R 0

    t

    iLu

    d

    d= Lω 2π

    t

    uCi

    d

    d= Cω1

    2π−

    Napon i struja otpornika su u fazi, pa su fazori napona i struje otpornika kolinearni. Napon kalema fazno prednjači struji za 2/π . Stoga su fazori napona i struje uzajamno normalni. Pravac i smer fazora napona dobijaju se rotacijom fazora struje za 2/π u matematički pozitivnom smeru. Napon kondenzatora fazno kasni za strujom za 2/π . Fazori napona i struje su uzajamno normalni, a pravac i smer fazora napona se dobijaju rotacijom fazora struje za 2/π u matematički negativnom smeru.

    Fazorski dijagrami za idealne generatore su veoma jednostavni, pa ih nećemo crtati. Za referentne smerove kao na slici 1.2 i 1.9, fazor napona idealnog naponskog generatora se poklapa sa fazorom elektromotorne sile (tj. EU = ), dok je fazor struje proizvoljan. Za referentne smerove kao na slici 1.9b, kod idealnog strujnog generatora je gII = , dok je fazor napona proizvoljan.

    Do sada smo na električnim šemama napone i struje označavali njihovim trenutnim vrednostima (napisanim pored odgovarajućeg referentnog smera), slika 2.18a. U cilju uprošćenja tih šema, nadalje ćemo prostoperiodične napone i struje označavati samo njihovim efektivnim vrednostima (napisanim pored odgovarajućeg referentnog smera). Na slici 2.18b je prikazan primer takvih oznaka. Element prikazan na toj slici je proizvoljan pasivni element (otpornik, kalem, kondenzator ili njihova kombinacija, koja ima dva priključka). Oznaka za takav element je Z (oznaka impedanse toga elementa). Na slici 2.18c je prikazan odgovarajući fazorski dijagram.

  • 31

    Slika 2.18. Proizvoljan prijemnik (a i b), fazori napona i struje (c)

    2.7.4. Redna veza otpornika i kalema

    Posmatrajmo rednu vezu otpornika i kalema, prikazanu na slici 2.19a. To je ista redna veza kao sa slike 2.15, samo uz promenjene oznake. Pretpostavimo da je poznato: otpornost (R), induktivnost (L), efektivna vrednost napona (U) i njegova početna faza (θ). (Uvek pretpostavljamo da je poznata učestanost, odnosno kružna učestanost.) Zadatak je da se odredi efektivna vrednost struje (I) i njena početna faza (ψ).

    Struja je zajednička za oba elementa, pa je pri crtanju fazorskog dijagrama lakše krenuti od fazora struje (slika 2.19b), nego od fazora napona. Takođe, fazor struje je pogodno postaviti horizontalno. Međutim, u tom slučaju ne smemo odmah ucrtati faznu osu. Ako bi, na primer, i nju ucrtali horizontalno, to bi značilo da je 0=ψ , čime pravimo grubu grešku. Stoga ćemo faznu osu ucrtati na kraju.

    Pošto ni efektivna vrednost struje nije poznata, crtamo samo kvalitativan dijagram, unoseći dužinu fazora I proizvoljno. S obzirom da su referentni smerovi napona i struje usaglašeni za oba elementa, na osnovu tabele 2.1 ucrtavamo fazor napona otpornika ( RU ) kolinearno sa fazorom struje, a fazor napona kalema ( LU ) normalno na fazor I, zakrenut za ugao 2/π u matematički pozitivnom smeru. Kada su zadate konkretne brojne vrednosti za R, L i ω, možemo voditi računa o odnosu dužina fazora napona, tj. )/()/(/ LRLIRIUU LR ω=ω= jer je RIU R = i LIU L ω= .

    Zatim ucrtavamo fazor napona redne veze, LR UUU += . Tim korakom već je određen ugao između fazora U i I , odnosno fazna razlika između napona i struje (Φ). Redosled crtanja fazorskog dijagrama prikazan je na slici 2.19b. Iz pravouglog trougla koji čine fazori napona (trougao napona)

    imamo R

    Lω=φ arctg . Ako se naponi podele sa strujom, dobijamo trougao otpornosti.

    Na kraju, ucrtavamo faznu osu tako da ugao između fazora U i fazne ose bude jednak zadatoj početnoj fazi napona (θ). Ugao između fazne ose i fazora I jednak je traženoj početnoj fazi

    struje (ψ). Računski, R

    Lω−θ=φ−θ=ψ arctg . Umesto ovakvog postupka, fazna osa se može ucrtati

    horizontalno, a onda se svi fazori zarotiraju za isti ugao (θ) tako da se dobije odgovarajući ugao između fazne ose i fazora U.

    Efektivna vrednost struje se može odrediti računski, koristeći se nacrtanim fazorskim dijagramom. Pošto je ugao između fazora RU i LU prav, po Pitagorinoj teoremi imamo

    222LR UUU += , odakle je 2222 )( LRIUUU LR ω+=+= . Odavde je

    Z

    ULRUI =+= 22 )(/ ω

    gde je 22 )( LRZ ω+= impedansa redne veze otpornika i kalema. Uočimo da se impedansa

    otpornika ( R ) i impedansa kalema ( Lω ) ne sabiraju. Pazi !!! ( LRZ ω+≠ ). Napišite izraz za struju ( )ti . Nacrtajte sami fazorski dijagram za rednu vezu R i C elemenata.

  • 32

    Slika 2.19. Redna veza otpornika i kalema (a), postupak crtanja fazorskog dijagrama (b)

    Fazorski dijagram sa slike 2.19b se može nacrtati i na drugi način, polazeći od poznatog fazora napona (U), kao što je prikazano na slici 2.20. Sa slike 2.19b se vidi da je ugao kod tačke A (slika 2.20) prav ( 2/π ). Stoga se tačka A mora nalaziti na krugu konstruisanom nad fazorom U kao prečnikom. (Taj krug je geometrijsko mesto tačaka pod kojim se data duž, u ovom slučaju fazor U,

    vidi pod pravim uglom.) Ugao Φ je poznat (R

    Lω=φ arctg ). U ovom primeru taj ugao može biti u

    granicama 2/0 π

  • 33

    2.7.5. Redna veza otpornika, kalema i kondenzatora. Rezonansa

    Drugi primer je redna veza otpornika, kalema i kondenzatora, prikazana na slici 2.21a. Pretpostavimo da je poznato: otpornost (R), induktivnost (L), kapacitivnost (C), efektivna vrednost napona (U) i njegova početna faza (θ). Zadatak je da se odredi efektivna vrednost struje (I) i njena početna faza (ψ).

    Fazorski dijagram je prikazan na slici 2.21b. Crtamo polazeći od fazora I. Fazor RU je kolinearan sa fazorom struje, a fazori LU i CU normalni na fazor I. Pri tome je RIU R = , LIU L ω= i

    )/( CIUC ω= . Pri crtanju slike 2.21b je pretpostavljeno da je CL UU > . Fazor napona redne veze je CLR UUUU ++= . Pogodno je prvo sabrati fazore LU i CU nadovezivanjem (crticama je prikazan

    fazor CU nadovezan na LU ), a potom (nadovezivanjem ili paralelogramom) tom zbiru dodati fazor

    RU . Fazna razlika između napona i struje je RCL )/(1

    arctgω−ω=φ i može biti u granicama

    2/2/ π

  • 34

    naponska rezonancija). Uslov rezonancije se može napisati i u obliku LC1

    r =ω , odnosno

    LCf

    π=

    2

    1r , gde je rω rezonantna kružna učestanost ( rf je rezonantna učestanost) posmatranog

    kola. Tada je R

    UI = , a UU R = . Takođe je CL UU −= . Nacrtajte fazorski dijagram za rezonanciju.

    Ako je CL UU > (C

    >ω 1 , odnosno rω>ω ), tada je 0>φ , što je slučaj prividno isti kao redna

    veza otpornika i nekog kalema. Za posmatrano kolo kažemo da je tada pretežno induktivno. Najzad,

    ako je CL UU < (C

  • 35

    Sami nacrtajte fazorske dijagrame za paralelno RL i RC kolo.

    2.8. Snaga u mrežama sa prostoperiodičnim strujama

    U okviru odeljka 2.5 o elementima kola u periodičnom režimu već smo se upoznali sa trenutnom i srednjom snagom otpornika, kalema i kondenzatora. Sada ćemo dopuniti te pojmove. Posmatraćemo prijemnike (slika 2.23a) i generatore (slika 2.23b). Usvojićemo, kao i do sada usaglašene referentne smerove za prijemnike i generatore.

    a) b)

    Slika 2.23. Usaglašeni smerovi za proizvoljni prijemnik (a) i generator (b)

    2.8.1. Trenutna i srednja snaga prijemnika

    Posmatrajmo najpre prijemnik (slika 2.23a). Kanonični oblici napona i struje prijemnika su )cos(2)( θ+ω= tUtu , odnosno )cos(2)( ψ+ω= tIti . Fazna razlika napona i struje je ψ−θ=φ .

    Zamenom izraza za napon i struju, dobija se ( ) ( )ψ+ωθ+ω= ttUItp coscos2)( . Na osnovu trigonometrijskog identiteta [ ])cos()cos(2

    1coscos βαβαβα −++= imamo

    ( )[ ])cos(2cos)( ψθψθω −+++= tUItp (*) Prvi član u ovome izrazu, ( )ψ+θ+ωtUI 2cos , je prostoperiodična funkcija dvostruko više

    učestanosti od učestanosti napona ili struje. Srednja vrednost toga člana je nula. Drugi član, )cos()cos( φ=ψ−θ= UIUIP

    je konstantan i predstavlja srednju (''aktivnu'') snagu prijemnika. Ovaj rezultat je u skladu sa zaključcima izvedenim za srednje snage otpornika, kalema i kondenzatora (odeljak 2.5). Na slici 2.24 prikazana je trenutna snaga prijemnika sa slike 2.23a, )()()( titutp = (za slučaj kada je prijemnik pretežno induktivan).

    Slika 2.24. Grafik prostoperiodičnog napona, struje i snage za proizvoljan prijemnik

  • 36

    Osnovna jedinica za trenutnu i srednju snagu je vat [W]. Od svih snaga koje se razmatraju u ovome odeljku, jedino te dve snage imaju fizičku interpretaciju, dok su ostale snage veštački uvedene veličine.

    Ako je posmatrani element kola stvarno pasivan (prijemnik), mora biti 0≥P . Odavde sledi

    uslov 0cos ≥φ (uslov pasivnosti), odnosno 22

    π≤φ≤π− . U odeljku 3.2.2 ćemo videti da je Φ

    argument kompleksne impedanse prijemnika, odakle sledi da Z mora biti u desnoj poluravni ili na

    imaginarnoj osi. Ako je u desnoj poluravni, tada je 0>P . Ako je na imaginarnoj osi (2

    π−=φ ili

    2

    π=φ ), tada je 0=P (čisto reaktivan prijemnik).

    2.8.2. Prividna snaga prijemnika

    Iako nema fizičkog osnova za to, možemo formalno izračunati proizvod efektivnih vrednosti napona i struje, UIS = . Taj proizvod bi bio jednak srednjoj snazi samo kada bi bilo 0=φ (odnosno

    1cos =φ ), tj. ako bi prijemnik bio čisto rezistivan (čist otpornik). Inače je SP < . Proizvod UIS = se stoga naziva prividnom snagom. Da bi se prividna snaga što bolje razlikovala od snaga koje imaju fizički smisao (trenutne snage i srednje snage), jedinica za nju je volt-ampter [VA]. Prividna snaga koristi u nekim praktičnim proračunima (na primer, dimenzionisanje transformatora).

    Posredstvom aktivne i prividne snage i ugla φ , relacija (*) se može napisati u obliku ( )[ ]Φ−++= θω tSPtp 2cos)(

    2.8.3. Faktor snage prijemnika

    Na osnovu definicije prividne snage, možemo pisati kSSP =φ= cos . Koeficijent

    SPk /cos =φ= naziva se faktor snage. Za prijemnike je uvek 1≤k .

    Faktor snage je maksimalan za čisto rezistivne (aktivne, otporne) prijemnike ( 1=k za 0=φ ).

    Za čisto reaktivne prijemnike je 0=k .

    2.8.4. Reaktivna snaga prijemnika

    Da bi se napravila ''simetrija'' sa srednjom snagom, φ= cosUIP , uvodi se reaktivna snaga, φ=φ= sinsin SUIQ . Jedinica za reaktivnu snagu je volt-amper reaktivni [VAr].

    Jedna interpretacija reaktivne snage se dobija iz sledećeg izvođenja. U elektroenergetskim sistemima, generatori i prijemnici su, grubo govoreći, vezani paralelno. Za to postoji više tehničkih razloga. Na primer, da su aparati vezani redno, isključivanje jednog aparata bi poremetilo celu mrežu. Zbog te paralelizacije, često se prijemnik proizvoljnog karaktera (slika 2.23a) ekvivalentno prikazuje u vidu paralelne veze jednog čisto rezistivnog elementa (otpornika) i jednog čisto reaktivnog elementa: kalema ako je prijemnik pretežno induktivan, a kondenzatora ako je prijemnik pretežno kapacitivan, kao na slici 2.25.

    Pošto je paralelna veza u svemu ekvivalentna posmatranom prijemniku, to su im i snage iste pri istom naponu između priključaka. (Posmatramo napon, a ne struju, jer je napon kod paralelne veze zajednički za oba elementa.) Izraz za trenutnu snagu posmatranog prijemnika,

    ( ) ( )ψ+ωθ+ω= ttUItp coscos2)( , transformisaćemo tako da izdvojimo deo koji odgovara otporniku i deo koji odgovara paralelno vezanom reaktivnom elementu sa slike 2.25.

    Izražavajući početnu fazu struje preko početne faze napona i odgovarajuće fazne razlike, imamo ( ) ( )φ−θ+ωθ+ω= ttUItp coscos2)( . Koristeći se trigonometrijskim identitetom

  • 37

    βα+βα=β−α sinsincoscos)cos( , razvijamo drugi kosinus u izrazu za snagu, čime dobijamo ( ) ( ) ( )[ ]φθωφθωθω sinsincoscoscos2)( ++++= tttUItp , i primenom ( ) ( )[ ]βαβαβα −−+= sinsin

    2

    1sincos , je

    ( ) ( )θωφθωφ 22sinsincoscos2)( 2 +++= tUItUItp (1)

    Slika 2.25. Ekvivalentiranje prijemnika sa slike 2.23a paralelnom vezom rezistivnog i reaktivnog elementa

    Poredeći sa izrazima za trenutne snage iz odeljka 2.5, vidimo da prvi član odgovara trenutnoj snazi čisto rezistivnog elementa, a drugi član odgovara trenutnoj snazi čisto reaktivnog elementa (kalema ako je 0>φ , a kondenzatora ako je 0

  • 38

    3. REŠAVANJE ELEKTRIČNIH MREŽA SA PROSTOPERIODIČNIM STRUJAMA KOMPLEKSNIM RAČUNOM

    Glavni alat za analizu električnih kola u prostoperiodičnom režimu je račun sa kompleksnim

    brojevima, odnosno kompleksnim predstavnicima napona, struja i drugih veličina u kolu. Kompleksni račun se može uvesti u analizu prostoperiodičnog režima u električnim kolima na razne načine. Jednostavniji način je pomoću fazora.

    3.1. Predstavljanje fazora kompleksnim brojevima

    Posmatramo zaustavljene fazore čije su dužine jednake efektivnim vrednostima (slika 3.1a,

    koja odgovara slici 2.17d odnosno 2.18b). U odeljku o fazorima pokazali smo da takvi fazori u potpunosti predstavljaju prostoperiodične veličine (u prostoperiodičnom režimu). Preklopimo ravan u kojoj leže ti fazori i kompleksnu ravan, tako da se poklapaju koordinatni počeci, a da se fazna osa poklapa sa realnom osom (slika 3.1b). Vrhu svakog fazora sa slike 3.1a odgovara jedan i samo jedan kompleksni broj15. Prema tome, između prostoperiodičnih veličina i kompleksnih brojeva postoji biunivoka korespondencija.

    Slika 3.1. Prevođenje fazora (a) u kompleksnu ravan (b)

    Kompleksni predstavnici prostoperiodičnih veličina

    Kompleksni broj koji odgovara fazoru označićemo na isti način kao i sam fazor. Na primer,

    fazor U na slici 3.1b predstavlja prostoperiodični napon )cos(2)( θ+ω= tUtu . Odgovarajući kompleksni broj, U, je kompleksni predstavnik napona )(tu , a skraćeno ćemo ga zvati kompleksnim naponom. Modul kompleksnog napona jednak je efektivnoj vrednosti prostoperiodičnog napona, a argument kompleksnog napona jednak je početnoj fazi prostoperiodičnog napona. Dakle,

    θθ jUeUU == )jexp( . Najjednostavniji način za formiranje kompleksnog predstavnika prostoperiodične veličine

    (prelazak iz vremenskog domena u kompleksni) je da se ona napiše u kanoničnom obliku. Iz tog oblika se identifikuju efektivna vrednost i početna faza. Na kraju, formira se kompleksni broj čiji je modul jednak efektivnoj vrednosti, a argument jednak početnoj fazi.

    15 Svaki kompleksni broj može se predstaviti tačkom u kompleksnoj ravni. Ta tačka se može opisati bilo svojim koordinatama (realni i imaginarni deo kompleksnog broja), bilo svojim odstojanjem od koordinatnog početka (moduo kompleksnog broja) i uglom koji ta duž zaklapa sa realnom osom (argument kompleksnog broja).

  • 39

    Primer 3.1. Neka je zadat prostoperiodični napon Vsin10)( ttu ω= . U kanoničnom obliku,

    ( ) V2

    cos225)(

    π−ω= ttu . Efektivna vrednost napona je V25=U , a početna faza je 2

    π−=θ .

    Kompleksni napon je V25j2

    sin2

    cos25V)2

    jexp(25 −=

    −+

    −=−= πππ jU .

    Ako je poznat kompleksni predstavnik neke prostoperiodične veličine, ta veličina se u vremenskom domenu najjednostavnije rekonstruiše na sledeći način (prelazak iz kompleksnog domena u vremenski). Kompleksni predstavnik se napiše u eksponencijalnom obliku, iz koga se identifikuju modul i argument. Veličina u vremenskom domenu se zatim napiše u kanoničnom obliku, pri čemu je efektivna vrednost jednaka modulu kompleksnog predstavnika, a početna faza jednaka argumentu. (Podrazumeva se da je kružna učestanost poznata.)

    Primer 3.2. Neka je poznata kompleksna struja A)j1( −−=I . U eksponencijalnom obliku,

    A)4

    3jexp(2

    π−=I . (Setite se ( ) ( ) 211 22 =−+−=I , 1

    1

    −−= arctgψ ). Vektor koji odgovara

    kompleksnoj struji leži u trećem kvadrantu. Dakle, efektivna vrednost struje je A2=I , a početna

    faza 4

    3π−=ψ . Konačno je trenutna vrednost struje A43

    cos2)(

    π−ω= tti .

    Uvođenjem kompleksnih predstavnika, zamenili smo fazorski račun kompleksnim računom. To je pogodnije za rešavanje većine problema analize kola u prostoperiodičnom režimu. Pomoću računara, moguće je primenom kompleksnog računa rešavati i veoma složena kola, sa stotinama i hiljadama elemenata.

    Složena kola prostoperiodične struje rešavaju se na sličan način kao i kola vremenski konstantnih struja, polazeći od prvog i drugog Kirhofovog zakona, kao i relacija između napona i struja elemenata, odnosno grana. Iz Kirhofovih zakona se izvode metod konturnih struja i metod potencijala čvorova, koji obezbeđuju manji sistem jednačina nego direktna primena Kirhofovih zakona. Jednačine za kola u prostoperiodičnom režimu pišu se u kompleksnom domenu, a formalno imaju isti oblik kao jednačine za kola vremenski konstantnih struja, samo su ''obični'' naponi i struje zamenjeni kompleksnim, a otpornosti zamenjene kompleksnim impedansama.

    3.2. Kirhofovi zakoni u kompleksnom obliku. Impedansa i admitansa

    Kao što je izloženo u odeljku o analizi kola promenjivih struja u vremenskom domenu, smatramo da za ta kola važe Kirhofovi zakoni. Formulacija Kirhofovih zakona i topološki principi formiranja jednačina po ovim zakonima isti su kao kod vremenski konstantnih struja. Kada se, za kola u prostoperiodičnom režimu, jednačine po Kirhofovim zakonima napisane u vremenskom domenu preslikaju u kompleksni domen, dobijaju se jednačine koje su formalno potpuno iste kao za kola vremenski konstantnih struja16, samo što su simboli za napone i struje podvučeni, jer se sada radi sa kompleksnim predstavnicima napona i struja.

    16 Do Kirhofovih zakona u kompleksnom obliku može se doći i preko Kirhofovih zakona u algebarskom obliku.

  • 40

    Prvi Kirhofov zakon

    Za kolo koje ima čn čvorova i gn grana (povezani graf), po prvom Kirhofovom zakonu (I KZ) se može postaviti )1( č −n linearno nezavisna jednačina. Te jednačine pišemo za sve čvorove osim jednog. Za jedan čvor, jednačina po I KZ ima oblik

    ∑ = 0I , tj. algebarski zbir struja grana koje se stiču u tom čvoru je nula. Predznak struje grane je “+” ako je referentni smer grane od čvora, a “–“ ako je referentni smer ka čvoru.

    Drugi Kirhofov zakon

    Broj linearno nezavisnih jednačina po drugom Kirhofovom zakonu (II KZ) je )1( čgk −−= nnn . Te jednačine imaju oblik

    ∑ = 0U , tj. algebarski zbir napona svih grana duž proizvoljnog zatvorenog puta (konture) u kolu jednak je nuli. U taj zbir napon ulazi sa predznakom “+” ako se smer obilaska konture poklapa sa referentnim smerom napona (referentni smer napona je od negativnog ka pozitivnom kraju), a “–“ ako su ti smerovi suprotni.

    Alternativni oblik II KZ je

    ( ) 0, =−∑ IZE Zbir je algebarski, a sabiranje ide duž odabrane konture. Pravila o predznacima su ista kao

    kod računanja napona između dve tačke u kolu (videti i odeljak 3.2.3). Međutim, ovaj oblik II KZ važi pod uslovom da kontura ne prolazi kroz granu sa idealnim strujnim generatorom (ISG).

    Ako u kolu ima ISG, onda je postupak isti kao kod rešavanja kola stalnih struja. Sistem kontura se odabere tako da kroz granu sa ISG prolazi jedna i samo jedna kontura. Za tu konturu se ne sme pisati jednačina oblika ( ) 0, =−∑ IZE . Umesto te jednačine, piše se jednačina da je struja grane jednaka struji strujnog generatora (sa predznakom “+” ili “–„, zavisno od toga da li se smerovi struje grane i strujnog generatora poklapaju ili ne). Ovakva procedura se primenjuje na svaki ISG koji postoji u kolu. Da bi se kolo moglo jednoznačno rešiti, ISG moraju tako biti raspoređeni u kolu da se može formirati (makar jedno) stablo grafa kola koje ne sadrži nijednu granu sa ISG. Drugim rečima, mora postojati makar jedno stablo grafa takvo da sve grane sa ISG pripadaju kostablu.

    Izbor kontura

    Konture se mogu izabrati na razne načine, kao i kod kola vremenski konstantnih struja. Na šemama ćemo konture crtati i označavati kao i kod vremenski konstantnih struja.

    Prvi način je da se za konture uzmu elementarne konture (okca). Taj postupak je primenljiv samo na planarne grafove. Kod nekih formulacija jednačina (po II KZ i po metodu konturnih struja) poteškoću pravi svaki ISG koji se nalazi u grani zajedničkoj za dva okca.

    Drugi način je heuristički algoritam. Prva kontura se odabere proizvoljno, a svaka naredna tako da sadrži bar jednu granu koju ne sadrže prethodno odabrane konture. Ovaj postupak nekada jednostavno dovodi do odgovarajućeg sistema kontura, ali ima situacija kada izbor kontura zapadne u ćorsokak. Primer je kolo čiji je graf prikazan na slici 3.2. Ako kao prvu konturu odaberemo levo okce, a kao drugu desno okce, više ne postoji nijedna grana koja nije uključena u ove dve konture, tako da algoritam ne može pronaći treću konturu, iako je očigledno da bi to moglo da bude srednje okce. Dodatnu komplikaciju kod heurističkog algoritma izazivaju ISG ukoliko jednačine koje se pišu zahtevaju da jedan generator može pripadati jednoj i samo jednoj konturi.

  • 41

    Slika 3.2. Primer grafa i redosled heurističkog izbora kontura koji ne dovodi d