Embed Size (px)
Citation preview
1
Vremenski promjenjive veliVremenski promjenjive veliččineine
Vrijednost funkcije mijenja se s vremenom,
Trenutna vrijednost je vrijednost veličine u nekom određenom trenutku f(t),
2
Trenutna vrijednost se vremenom periodički ponavlja:
)()()( kTtfTtftf +=+= .....3,2,1 ±±±=kT – period unutar kojeg se ponavlja vrijednost vremenski promjenjive funkcije
3
15.1 SINUSNO PROMJENJIVA STRUJA15.1 SINUSNO PROMJENJIVA STRUJA
Zašto sinusno promjenjive struje?
1. Titrajni procesi u prirodi odvijaju se po sinusoidnom zakonu (titranje opruge, njihanje ljuljačke bez trenja...)
2. Sinus funkcija je najjednostavnija od svih vremenski promjenjivih funkcija i ne možese dalje razlagati
3. Sve ostale funkcije mogu se razlagati temeljem Fouriereve transformacije na sumusinusnih komponenti i istosmjernih komponenti
4. Valni oblik sinusne veličine se ne mijenja:- zbrajanjem sinusnih oblika iste frekvencije
)sin()sin()sin( γβα +⋅=+⋅++⋅ tCtBtA
βαβαγ
coscossinsin⋅+⋅⋅+⋅
=BABAtg)cos(222 αβ −⋅⋅++= BABAC
- množenjem s konstantom:
)sin()sin( αα +⋅⋅=⋅+⋅ tAkktA
4afrekvencijkružna _−ω
- deriviranjem i integriranjem
)2
sin(cos)(sin π+== ttt
dtd
)2
sin()2
sin(cossin ππ−=+−=−=∫ ttttdt
Veza između kuta sinusne funkcije i vremena:
1α π π2 π3 α
ttu αsin)( =
1t2T tT
23 T
ttu ωsin)( =
πα 2:: =Tt
tT
⋅=πα 2πα2
=Tt
fT 1=
tf ⋅= πα 2t⋅= ωα
5
Osnovni parametri sinusnih izmjeniOsnovni parametri sinusnih izmjeniččnih velinih veliččinaina
Vršna (maksimalna) vrijednost ili amplituda: Um,Im , Pm, Em
Period /Frekvencija: T/fPeriod je vrijeme za koje izmjenična veličina izvrši jednu punu oscilaciju tj. punu promjenu po veličini i po smjeru
U jednom periodu izmjenična veličina postiže dva puta maksimalnu (vršnu) vrijednost,jednom u pozitivnom drugi put u negativnom smjeru)
Frekvencija je broj perioda ostvarenih u jednoj sekundi. )(1 HzT
f =
111 −== ssekundaciklusHz
6
Početni fazni kut: (psi)Kut koji odgovara početnom vremenskom trenutku, određuje se kao fazna razlika izmeđurazmatranog sinusoidalnog valnog oblika i referentnog sinusoidalnog oblika (funkcija kojau trenutku t=0 ima vrijednost nula tj. funkcija počinje rasti iz nule).
kutna frekvencija: )/(22 sradfT
⋅⋅=⋅
= ππω
tUtu m ωsin)( ⋅=Referentni sinusoidalni valni oblik(funkcija počinje rasti iz nule)
)sin()( ψω −⋅= tUtu m
SINUSOIDALNI VALNI OBLIK KOJI ZAOSTAJEza referentnim valnim oblikom jer maksimalnuvrijednost postiže nakon referentne funkcije ( <0)
7
SINUSOIDALNI VALNI OBLIK KOJI PRETHODI za referentnim valnim oblikom jer maksimalnu vrijednost postiže prije referentne funkcije ( >0)
)sin()( ψω +⋅= tUtu m
8
15.2. Vektorski (fazorski) prikaz sinusoidalnih veli15.2. Vektorski (fazorski) prikaz sinusoidalnih veliččinaina
Rješavanje zadataka sa sinusnim veličinama iskazanim u vremenskom obliku je vrlo komplicirano jer je potrebno dobro poznavanje rješavanje sustava diferencijalnihjednadžbi.
Preslikavanje sinusne veličine u kompleksno područje izbjegava se vremenski zapis i pojednostavljuje se proračun:
)sin()( ψω +⋅= tUtu m )(Im ψω +⋅⇒ tjeUm
Izraz u zagradi može se predočiti s rotirajućim vektorom (fazorom) gdje je kutna brzina kojom vektor rotira oko svog hvatišta a Umax je maksimalna vrijednost vektora.
9
Rotirajući vektor je dvodimenzionalan pa se može prikazati na sljedeći način:
mUA
=ψcos
mUB
=ψsin
ABtg =ψ
ψcos⋅=⇒ mUA
ψsin⋅=⇒ mUB
22 BAUm +=
ABarctg=⇒ψ
jBAUm +=•
(1. način)
ψ∠=•
mm UU (2. način)
10
)sin()( ψω +⋅= tUtu m ψ∠=•
mm UU Fazor maksimalne vrijednosti napona
)sin()( ψω +⋅= tIti m ψ∠=•
mm II Fazor maksimalne vrijednosti struje
Rotirajući vektor (fazor) opisuje sinusoidu
11
090∠=•
mm UU
Primjer 1.
VtUtu m )90sin()( 0+⋅= ω
?=•
mU
Primjer 2.
?
)30sin(5)( 0
=
+=•
mI
Atti ω
AI m 0305∠=•
12
15.3. OSNOVNE MATEMATIČKE OPERACIJE S FAZORIMA
222
111
jBAU
jBAU
m
m
+=
+=•
•
222
111
ψ
ψ
∠=
∠=•
•
mm
mm
UU
UU
•••
±= mmm UUU 21
Zbrajanje/oduzimanje
)()( 2121 BBjAA +±+=+±+= )()( 2211 jBAjBA
22
11
ψ
ψ
∠
∠•
•
m
m
U
U
••
⋅ mm UU 21
Množenje/dijeljenje
)( 2121 ψψ +∠⋅=••
mm UU
=•
•
m
m
U
U
2
1 )( 21
2
1 ψψ −∠= •
•
m
m
U
U
Primjer. Za zadani strujni krug izračunati vrijednost ukupnog napona:
?)()()(
)60sin(100)(
)30sin(100)(
21
02
01
=+=
+=
+=
tututu
ttuttu
ω
ω
13
a) Rješenje zadatka koristeći napone u vremenskoj domeni:
++= )30sin(100)( 0ttu ω )60sin(100 0+tω Općenito:
βαβαβα sincoscossin)sin( ⋅±⋅=±
⋅+⋅= tttu ωω cos
21sin
23100)(
[ ]tttu ωω cos30sin30cossin100)( 00 ⋅+⋅= [ ]tt ωω cos60sin60cossin100 00 ⋅+⋅+
⋅+⋅+ tt ωω cos
23
21sin100
)21
23([sin100)( += ttu ω )]
23
21(cos ++ tω
[ ]tttu ωω cossin)2
13(100)( ++
⋅=
++
+⋅= )
2sin(sin)
213(100)( πωω tttu
Općenito:
2cos
2sin2sinsin βαβαβα −
⋅+
=+
14
)22cos()
22
4
sin(2)2
13(100)(
ππω−
⋅
+
⋅⋅+
⋅=
t
tu
++
+⋅= )
2sin(sin)
213(100)( πωω tttu
Općenito:
2cos
2sin2sinsin βαβαβα −
⋅+
=+
)2
2sin(2)2
13(100)(
πωω ++⋅⋅
+⋅=
tttu )
22cos(
πωω −−⋅
tt
)4
cos()4
4sin(2)2
13(100)( ππω−⋅
+⋅⋅
+⋅=
ttu
22)
44sin(2)
213(100)( ⋅
+⋅⋅
+⋅=
πωttu )4
sin()31(250)( πω ++⋅⋅=⇒ ttu
))(45sin(193)( 0 Vttu += ω
15
b) Rješenje zadatka koristeći fazore:
)60sin(100)(
)30sin(100)(0
2
01
+=
+=
ttuttu
ω
ω
001 30sin10030cos100 jU m +⋅=•
002 60sin10060cos100 jU m +⋅=•
ψcos⋅= mUA ψsin⋅= mUB22 BAUm +=
ABarctg=ψ
jBAUm +=•
]60sin10060cos100[]30sin10030cos100[ 0000 jjUm +⋅++⋅=•
•••
+= mmm UUU 21
++=•
]60cos30[cos100 00mU ]60sin30[sin100 00 +j
)23
21()
21
23(100 +++=
•
jUm
)2
31(1002
13100 +⋅+
+⋅=
•
jUm
6,1366,136 jUm +=•
16
VUm 1936,1366,136 22 =+=
0456,1366,136
=⇒= ψψtg)(45193 0 VUm ∠=
•
))(45sin(193)( 0 Vttu += ωGrafičko zbrajanja/oduzimanja fazora
?
)sin()()sin()(
21
222
111
=+=
+=+=
uuu
tUtutUtu
m
m
ψωψω
)sin()( ψω += tUtu m
2
1
22
11
ψ
ψ
∠=
∠=•
•
mm
mm
UU
UU
17
geometrijskim zbrajanjem fazora napona:
?, =mymx UU
18
2211 coscos Ψ+Ψ= mmmx UUU
2211 sinsin Ψ+Ψ= mmmy UUU
=+= mymxm UUU 22
22211
22211 )sinsin()coscos( Ψ+Ψ+Ψ+Ψ= mmmmm UUUUU
2211
2211
coscossinsin
Ψ+ΨΨ+Ψ
=Ψmm
mm
UUUUtg
2211
2211
coscossinsin
Ψ+ΨΨ+Ψ
=Ψmm
mm
UUUUarctg
Primjer 1
?)(
)60sin(20)(
)30sin(10)(0
2
01
=
+=
+=
tu
ttuttuω
ω
2160cos;
2330cos
2360sin;
2130sin
00
00
==
==
19
22211
22211 )sinsin()coscos( Ψ+Ψ+Ψ+Ψ= mmmmm UUUUU
22 )2320
2110()
2120
2310( ⋅+⋅+⋅+⋅=mU
2200 )60sin2030sin10()60cos2030cos10( +++=mU
22 )3105()1035( ⋅+++⋅=mU
VUm 093.29=
2211
2211
coscossinsin
Ψ+ΨΨ+Ψ
=Ψmm
mm
UUUUarctg 01.50
2120
2310
2320
2110
=⋅+⋅
⋅+⋅= arctg
Vttu )1.50sin(093.29)( 0+= ω
20
Primjer 2
?)()()(
)90sin(4)(
sin3)(
21
02
1
=+=
+=
=
tititi
AttitAtiω
ω
02
01
904
03
∠=
∠=•
•
m
m
I
I
AIII mmm 52543 2222
21 ==+=+=
013,535∠=•
mI
0
1
2 13,5334===Ψ arctg
IIarctgm
m
)13,53sin(5)( 0+= tti ω
21
Oduzimanje fazora:
?
)sin()()sin()(
21
222
111
=−=
+=+=
uuu
tUtutUtu
m
m
ψωψω
?)( 21 =−+= uuu
2
1
22
11
ψ
ψ
∠=
∠=•
•
mm
mm
UU
UU
2211 coscos Ψ−Ψ= mmmx UUU
2211 sinsin Ψ−Ψ= mmmy UUU
mymxm UUU 22 +=2
22112
2211 )sinsin()coscos( Ψ−Ψ+Ψ−Ψ= mmmmm UUUUU
2211
2211
coscossinsin
Ψ−ΨΨ−Ψ
=Ψmm
mm
UUUUtg
2211
2211
coscossinsin
Ψ−ΨΨ−Ψ
=Ψmm
mm
UUUUarctg
22
15.4. Princip rada generatora sinusnog napona15.4. Princip rada generatora sinusnog napona
Primjer dobivanja izmjeničnog napona pomoću elektromagnetske indukcije, vremenskipromjenjiv po sinusnom zakonu:
Svitak s N zavoja rotira konstantom brzinom u homogenom magnetskom polju gustoće magnetskih silnica B:
SBt
⋅=Φ=
max
0'SB
tt⋅=Φ
=
αcos'
'
⋅=
−
SSS efektivna površina
αcos⋅⋅=Φ SB
αcosmax ⋅Φ=Φ
Magnetski tok u bilo kojem trenutku:
t⋅= ωα tωcosmax ⋅Φ=Φ→
23
Inducirani napon za N=1:
=Φ
−=dtde tSB ωω sin⋅⋅⋅=)cos( tSB
dtd ω⋅⋅− )sin( tSB ωω −⋅⋅⋅−= tEm ωsin⋅=
16. Elementi elektri16. Elementi električčnih mrenih mrežža u elektria u električčnom krugu sinusne strujenom krugu sinusne struje
16.1. Otpor na sinusnom naponu16.1. Otpor na sinusnom naponu
tUtu m ωsin)( ⋅=zadano:
tUtutu mR ωsin)()( ⋅==
Ohmov zakon:
Rtui )(
= tItRU
mm ωω sinsin ⋅=⋅=
Struja kroz otpor je sinusnog oblika i frekvencije kao i napon.
24
tUtu m ωsin)( ⋅= tIti m ωsin)( ⋅=
Napon i struja na otporu prikazani u vremenskoj domeni
Napon i struja na otporu prikazani preko fazora
0
0
0
0
∠=
∠=•
•
mm
mm
II
UUNAPON I STRUJA NA OTPORU SU U FAZI
(istovremeno prolaze krozminimum i maksimum)
25
Trenutna snaga koja se troši na otporu:
)()( titup ⋅= tItU mm ωω sinsin ⋅= tIU mm ω2sin⋅= tPm ω2sin⋅=
0min =P
mm UIP ⋅=max
2minmax PPPsr
+=
2mm UI ⋅
=
RUI m
m = RIU mm ⋅=
[ ]WRIP msr ⋅=
2
2
[ ]WR
UP msr ⋅=2
2
26
Na trošilima koja rade na izmjenični napon daje se podatak za srednju snagu i efektivnu vrijednost napona:
Efektivna vrijednost izmjenične sinusne veličine?
Način označavanja jednom brojkom (velikog broja vremenski promjenjivih vrijednosti) naziva se efektivna vrijednost izmjenične veličine.
Iz tog razloga ampermetar i voltmetar mjere efektivne vrijednosti struje odnosno napona, dok vatmetar srednju vrijednost snage.Efektivna vrijednost izmjenične struje jednaka je onoj vrijednosti istosmjerne struje koja u otporu R za vrijeme T proizvede istu količinu topline kao i promatrana izmjenična struja:
2IRP ⋅=
RIP msr ⋅=
2
2 RIIR m ⋅=⋅2
22
2mII =⇒
efektivna vrijednostizmjenične struje
27
analogno vrijedi za napone
RUP
2
=
2mUU =⇒ efektivna vrijednost
izmjeničnog napona
RUP m
sr ⋅=2
2 RU
RU m
⋅=2
22
Primjer. Kolika je maksimalna vrijednost izmjeničnog sinusnog napona ako je voltmetrom izmjereno 230V:
?
50230
max =
==
U
HzfVU
2maxUU = 2max ⋅=⇒ UU V3.3242230 =⋅=
Tπω ⋅
=2 srad /3145014,32 =⋅⋅=f⋅⋅= π2
ttUtu m 314sin3,324sin)( == ω (V)
28
16.2. Induktivitet na sinusnom naponu16.2. Induktivitet na sinusnom naponu
tIti m ωsin)( ⋅=
?)( =tu
dtdiLtu ⋅=)( tIL m ωω cos⋅⋅⋅=)sin( tI
dtdL m ω⋅⋅=
)90sin(cos 0+= tt ωω
)90sin()( 0+⋅⋅= tLItu m ωω )90sin( 0+⋅= tUm ωinduktivni ili reaktivni otporLxL ω=
29
tIti m ωsin)( ⋅=
)90sin()( 0+⋅= tUmtu ω
090=ϕ
ϕ fazni kut između napona i struje
NA INDUKTIVITETIMA U KRUGU SINUSNE STRUJE NAPON PRETHODI STRUJI ZA 900(na zavojnicu prvo “sjedne” napon, a onda nakon 900 prođe struja)
ILI: Struja na induktivitetima u krugu sinusne struje kasni za naponom za 900:
tUtu m ωsin)( ⋅=
)90sin()( 0−⋅= tIti m ω
30
Trenutna snaga koja se troši na induktivitetu:
)()( titup ⋅= tUtI mm ωω cossin ⋅=22sin tIU mmω
⋅=
Prelazak na efektivne vrijednosti napona i struja:
=⋅⋅=2
2sin22 tIUp ωtIU ω2sin⋅
02
minmax =+
=PPPsr
minmax PP =
31
Za vrijeme (+) poluperiode p(t), električna energija iz električnog izvora struji premazavojnici i akumulira se u obliku magnetskog polja koje je u cijeloj zavojnici.
Za vrijeme (+) poluperiode p(t), električna energija magnetskog polja se razgrađuje i energija se vraća u izvor.
Za konstrukciju zavojnice i uvid u energetske odnose važan je podatak o maksimalnom iznosu trenutne snage - QL reaktivna ili prazna (jalova) snaga:
IUQL ⋅=
IxU L ⋅=LxUI =⇒
LL xIQ ⋅=⇒ 2
LL x
UQ2
=⇒ (VAr)
(Volt_Amper_reaktivno)
32
Primjer: Kroz zavojnicu L=10mH teče struja i=5sin1000t A. Izračunati iznos Um, XL, u(t), QL, p(t).
sradAIm
/10005
==
ω
LxL ⋅= ω
mLm IxU ⋅=
)90sin()( 0+= tUtu m ω
IUQL ⋅=
tIUtp ω2sin)( ⋅⋅=
333 10101010101000 −− ⋅⋅=⋅⋅= Ω=10
V50510 =⋅=
Vt )90sin(50 0+= ω
2250
25
250
=⋅=22mm IU
⋅= VAr125=
t2000sin125=
33
16.3. Kapacitet na sinusnom naponu16.3. Kapacitet na sinusnom naponu
tUtu m ωsin)( ⋅=?)( =ti
dttduCti )()( ⋅= )sin( tU
dtdC m ω⋅⋅= tUC m ωω cos⋅⋅⋅=
)90sin(cos 0+= tt ωω
)90sin()( 0+⋅⋅= tUCti m ωω )90sin( 0+⋅= tIm ω
ω⋅⋅= CUI mm
ω⋅
=
C
Um
1C
m
xU
=ω⋅
=C
xC1 kapacitvni ili
reaktivni otpor fC ⋅⋅⋅=
π21
34
tUtu m ωsin)( =
)90sin()( 0+= tIti m ω090=ϕ
NA KAPACITETIMA U KRUGU SINUSNE STRUJE STRUJA PRETHODI NAPONU ZA 900(kroz kondenzator prvo prođe struja a onda ‘sjedne’ napon nakon 900)
ILI: Napon na kapacitetima u krugu sinusne struje kasni za strujom za 900:
tIti m ωsin)( ⋅=
)90sin()( 0−⋅= tUtu m ω
35
Trenutna snaga koja se troši na kapacitetu:
)()( titup ⋅= tUtI mm ωω sincos ⋅=22sin tIU mmω
⋅=prelazak na efektivne vrijednosti napona i struja:
22sin22 tIUp ω
⋅⋅= tIU ω2sin⋅=
02
minmax =+
=PPPsr
minmax PP =
36
Za (+) poluperiode p(t), električna energijaiz električnog izvora struji premakondenzatoru i akumulira se u njemu.
Za (-) poluperiode p(t), označeno s ‘-’električna energija se razgrađuje vraća u izvor.
Za konstrukciju kondenzatora i uvid u energetske odnose važan je podatak o maksimalnom iznosu trenutne snage - QC reaktivna ili prazna (jalova) snaga:
IUQC ⋅=
CC x
UIIxU =⇒⋅=
CC xIQ ⋅=⇒ 2
CC x
UQ2
=⇒ (VAr)
(Volt_Amper_reaktivno)
37
17. Trokut snaga17. Trokut snagaPrividna snaga [S]:
)(VAIUS ⋅=
Umnožak efektivnih vrijednosti napona i struja, prividno predočuje snagu, jer sve ovisi o faktoru snage (kosinusu kuta između napona i struje)
Djelatna (radna) snaga [P]:
)(cos WIUP ϕ⋅⋅=Električna energija koju izvor predaje strujnom krugu i u trošilu koristi za koristan rad.
Jalova snaga [Q]:
)(sin VArIUQ ϕ⋅⋅=Električna energija koja ne obavlja koristan rad, nego energija predana trošilu se u potpunosti vraća izvoru.
38
Ovisnost triju veličina (S, P i Q) može se prikazati trokutom koji se naziva trokut snaga
ϕ
ϕcos⋅⋅= IUP
ϕsin⋅⋅= IUQ
22 QPS +=
Iz trokuta snaga se vidi da ako povećavamo jalovu snagu povećava se i prividna snaga, odnosno dodatno se opterećuje izvor a za isti iznos korisne energije.
39
18. Strujni krugovi izmjeni18. Strujni krugovi izmjeniččne strujene struje
18.1, Serijski spoj R i L18.1, Serijski spoj R i L
)()()( tititi LR ==serijski spoj:
tUtu RmR ωsin)( =
?)(sin)(
=⋅=
tutIti m ω
Zadano:
napon na otporniku i struja su u fazi
)90sin()( 0+= tUtu LmL ω napon na induktivitetu prethodi struji za 900
00∠=•
mm II00∠=
•
RmRm UU
090∠=•
LmLm UU?=
•
mU
fazori padova napona i struje izvora:
)()()( tututu LR +=
tRIm ωsin⋅⋅=
)90sin( 0+⋅⋅= txI Lm ω
40
Fazorski dijagram napona i struja:
-struja je referentna veličina za sve elemente mrežepa prvo ucrtavamo fazor struje:
- fazor napona URm je u fazi s fazorom struje:
- fazor napona ULm prethodi fazoru struje za 900:
- fazor napona izvora Um dobije se geometrijskim zbrajanjem ULm i URm:
41
=+= 22LmRmm UUU
22L
mm
xRUI+
= 22LxRZ += ukupni ili rezultanti
prividni otpor ili impedancija
•
•
=Rm
Lm
U
Utgϕ
Rxtg L=⇒ ϕ
)sin()( ϕω += tUtu m
22 )()( Lmm xIRI ⋅+⋅ 22Lm xRI +=
ZUm=
RIxI
m
Lm
⋅⋅
=
Rxarctg L=⇒ϕ
42
Ako se u električnoj mreži nalazi više serijski spojenih otpornika i induktiviteta:
serijski spoj:
)()()()()( 2121 tititititi LLRR ====
)()()()()( 2121 tututututu LLRR +++=
fazorski dijagram napona i struja
221
221
221
221 )()()()( LLmLLRRm xxRRIUUUUU +++⋅=+++=
Općenito:
∑
∑
∑∑
=
=
==
=
+
=
n
ii
n
iLi
n
iLi
n
ii
mm
R
xtg
xR
UI
1
1
2
1
2
1
)()(
ϕ
43
18.2. Serijski spoj R i C18.2. Serijski spoj R i C
?)(sin)(
=⋅=
tutIti m ω
Zadano:
)()()()()()(tututu
tititi
CR
CR
+===
serijski spoj:
tRItUtu mRmR ωω sinsin)( ⋅⋅== napon na otporniku i struja su u fazi
)90sin()90sin()( 00 −⋅⋅=−= txItUtu CmCmC ωω napon na kapacitetu kasni za strujom 900
00∠=•
mm II
00∠=•
RmRm UU
090−∠=•
CmCm UU ?=•
mU
fazori padova napona i struje izvora:
44
Fazorski dijagram napona i struja:
-struja je referentna veličina za sve elemente mrežepa prvo ucrtavamo fazor struje:
- fazor napona URm je u fazi s fazorom struje:
- fazor napona UCm kasni za fazorom struje za 900:
- fazor napona izvora Um dobije se geometrijskim zbrajanjem Ucm i URm:
45
=+= 22CmRmm UUU
ZU
xRUI m
C
mm =
+=
2222CxRZ += ukupni ili rezultanti
prividni otpor ili impedancija
RIxI
U
Utgm
Cm
Rm
Cm
⋅⋅
== •
•
ϕ
Rxarctg
Rxtg CC =⇒=⇒ ϕϕ
)sin()( ϕω −= tUtu m
ϕ
22 )()( Cmm xIRI ⋅+⋅ 22Cm xRI +=
46
Ako se u električnoj mreži nalazi više serijski spojenih otpornika i kapaciteta:
serijski spoj:
)()()()()( 2121 tititititi CCRR ====
)()()()()( 2121 tututututu CCRR +++=
fazorski dijagram napona i struja2
212
212
212
21 )()()()( CCmCCRRm xxRRIUUUUU +++⋅=+++=
Općenito:
∑
∑
∑∑
=
=
==
=
+
=
n
ii
n
iCi
n
iLi
n
ii
mm
R
xtg
xR
UI
1
1
2
1
2
1
)()(
ϕ
47
18.3. Serijski spoj R, L i C18.3. Serijski spoj R, L i C
?)(sin)(
=⋅=
tutIti m ω
Zadano:
)()()()()()()()(tutututu
titititi
LCR
LCR
++====
serijski spoj:
tRItUtu mRmR ωω sinsin)( ⋅⋅==
)90sin()90sin()( 00 −⋅⋅=−= txItUtu CmCmC ωω
)90sin()90sin()( 00 +⋅⋅=+= txItUtu LmLmL ωω
?=•
mU00∠=•
mm II00∠=
•
RmRm UU
090−∠=•
CmCm UU
fazori padova napona i struje izvora:
090+∠=•
LmLm UU
48
Fazorski dijagram napona i struja:
-struja je referentna veličina za sve elemente mrežepa prvo ucrtavamo fazor struje:
- fazor napona URm je u fazi s fazorom struje:
- fazor napona UCm kasni za fazorom struje za 900:
- fazor napona ULm prethodi fazoru struje za 900:
49
fazor napona izvora Um dobije se geometrijskim zbrajanjem Ucm, ULm i U Rm:
ϕ
CL xx >22 )( CmLmRmm UUUU −+=
22 )()( CmLmmm xIxIRIU ⋅−⋅+⋅=
2222 )( CLmmm xxIRIU −+⋅=22 )( CLmm xxRIU −+=
22 )()( CmLmmm xIxIRIU ⋅−⋅+⋅= ZU
xxRUI m
CL
mm =
−+=
22 )(
22 )( CL xxRZ −+=ukupni ili rezultanti
prividni otpor ili impedancija
Rm
CmLm
UUUtg −
=ϕRxxartg
Rxx CLCL −
=⇒−
= ϕ
Rxxartg CL −=⇒ϕ
50
Serijski RLC spoj može imati tri sljedeća karaktera:
CL xx >1) 0>ϕ induktivni karakter(napon prethodi struji za kut )
CL xx <2) 0<ϕ kapacitvni karakter(napon kasni za strujom za kut )
CL xx =3) 0=ϕ radni karakter(nastupila je serijska ili naponskarezonancija – napon i struja su u fazi)
Radna snaga P se troši samo na radnom trošilu:
)(cos2
2 WIUIURURIP R
R ϕ⋅⋅=⋅==⋅=Jalova snaga:
)(sin VArIUQQQ CL ϕ⋅⋅=−=
Prividna snaga:
)(2
2 VAZUZIIUS =⋅=⋅=
51
Primjer. Za serijski RLC strujni krug napisati vrijednost napona izvora u vremenskom obliku.
?
1921988
=
===
U
VUVU
VU
C
L
R =−+= 22 )( CLR UUUU
V101003664 ==+=
22 )192198(8 −+
?=mU 2mUU = 2UUm =⇒ A1,14210 ==
Rm
CmLm
UUUtg −
=ϕ 09,368192198
=−
= artgR
CL
U
UUartg
⋅
−⋅=⇒
21
)(21
ϕ
)9,36sin(1,14)sin()( 0+=+= ttUtu m ωϕω
induktivni karakter
52
18.4. Paralelni spoj R, L i C18.4. Paralelni spoj R, L i C
?)(sin)(
=⋅=
titUtu m ω
Zadano:
)()()()( tutututu LCR ===paralelni spoj:
)()()()( titititi LCR ++=
tRUtIti m
RmR ωω sinsin)( ⋅==
)90sin()( 0+= tIti CmC ω )90sin( 0+⋅= txU
C
m ω
)90sin()( 0−= tIti LmL ω )90sin( 0−⋅= txU
L
m ω
?=•
mI00∠=
•
RmRm II
00∠=•
mm UU
090+∠=•
CmCm II
fazori padova napona i struja grana:
090−∠=•
LmLm II
53
fazor struje izvora Im dobije se geometrijskim zbrajanjem Icm, ILm i IRm:
ϕ
22 )( CmLmRmm IIII −+=
22 )()(C
m
L
mmm x
UxU
RUI −+=
22 )11()1(CL
mm xxRUI −+=
22 )11()1(CLm
m
xxRUI
−+=
22 )11()1(CL
m xxRY −+=
22 )( CLm BBGY −+=ukupna ili rezultanta
admitancija
Rm
CmLm
IIItg −
=ϕRm
CmLm
IIIartg −
=⇒ϕ
54
Napon na kondenzatoru C1:
Primjer. Odrediti izraz za trenutnu vrijednost napon na kondenzatoru C1(t) za zadani električni krug. Zadano:
mHLFCmFC
RR
Atti
Atti
Vttu
8100,1
5,2
),3
314sin(5)(
),6
314sin(6)(
),2
314sin(20)(
21
21
2
1
1
===Ω=Ω=
−=
+=
−=
µ
π
π
π
•••
⋅= 11 cc xIU0
11 902,3 −∠=−=•
cc xjx1
11C
xc ⋅=ω 3101314
1−⋅⋅
= Ω= 2,3
)6
314sin(6)(1π
+= tti 01 30
26∠=⇒
•
I
)3
314sin(5)(2π
−= tti 02 60
25
−∠=⇒•
I
55
21
•••
+= IIIKZS:
00 602530
26
−∠+∠=•
I
++=•
)30sin30(cos26 00 jI ))60sin()60(cos(
25 00 −+− j
++=•
)21
23(
26 jI ))
23(
21(
25
−+ j
jI 1,27,3 +=•
j1.38,1 −+ j15,5 −=
AI 6,5)1(5,5 22 =−+=03,10
5,51
−=−
= arctgϕ AI 03,106,5 −∠=⇒•
•••
⋅= 11 cc xIU 00 902,33,106,5 −∠⋅−∠= 03,1009,17 −∠=
Vtuc ),3,100314sin(29,17)( 01 −⋅=
27/30
56
19. Trofazni sustavi 19. Trofazni sustavi
Stvaranje trofaznog sustava: tri vodljive petlje rotiraju konstantnom kutnom brzinom oko iste osi u homogenom magnetskom polju.
Tako razmaknute petlje tijekom jednog perioda induciraju napone fazno pomaknute za 1200 jedan u odnosu na drugog.
Petlje su geometrijski razmaknute za 1200 i uvijek zadržavaju isti razmak.
tUtu m ωsin)(1 =
)240sin()( 03 −= tUtu m ω
)120sin()( 02 −= tUtu m ω
)120sin( 0+= tUm ω
57
ω
02
022
022
011
120240
120
0
+∠=−∠=
−∠=
∠=
•
•
•
UUU
UU
UU
Zbroj napona izvora je nula:
0321 =++•••
UUU
58
Prednost 3f sustava u odnosu na 1f sustav:
ekonomičniji prijenos energije: za prijenos iste energije 3f sustav koristi manji broj vodiča (4 umjesto 6, u nekim slučajevima i 3 vodiča kada je spoj generatora u trokut)
jedan 3f generator jeftiniji je od tri 1f generatora
pomoću 3f sustava dobija se okretno magnetsko polje koje se koristi za pogon motora
3f uređaji su jednostavniji, robusniji i ekonomičniji
Trenutna snaga simetričnog trofaznog trošila je konstantna bez obzira na vrstu spoja(trokut ili zvijezda)
Trofazni sustavi izvora i trošila mogu biti spojeni u dva osnovna spoja:
• spoj u trokut ∆
• spoj u zvijezdu
59
19.1. Trofazni spoj zvijezda 19.1. Trofazni spoj zvijezda
Trofazni spoj: krajevi svakog namotaja (generatora ili trošila) međusobno se spoje u zajedničku točku koja se naziva nultočka (nula) ili zvjezdište (0).
Vodovi koji idu od početka namotaja generatora prema trošilu nazivaju se linijskim, a vod izveden iz nulte točke je nulti vod.
60
Fazni napon je napon između linijskog voda i nultog voda, jednaki su po iznosu i fazno pomaknuti za 1200:
33
22
11
UUUUUU
f
f
f
=
=
= 0321 =++ UUUspoj u zvijezdu je takozvani serijski protuspoju kojem su vektori napona tako usmjerenida njihova suma počinje i završava u istojtočci.
Linijski napon je napon između bilo koja dva linijskog voda:
311,3
233,2
122,1
UUUUUU
LL
LL
LL
=
=
=vektorski dijagram faznih i linijskih napona:
61
Odnos efektivnih vrijednosti linijskih i faznih napona:
f
l
U
U230cos 0 =
232 ⋅⋅= fl UU
030cos2
⋅= fl UU
030cos2 ⋅⋅= fl UU
fU⋅= 3fl II =
fl
fl
IIUU
=
⋅= 3
VUl 400= VU f 2303
400==⇒
1200
U3(U)f
U (U )23 l300
U2(U )f
300
Ul
2
62
Spoj generatora i trošila se ostvaruje na taj način da se počeci namotaja generatora spoje s početcima triju trošila.
Pošto su zvjezdišta 0 i 0’ međusobno spojena nalaze se na istom potencijalu, tako da nasvakoj fazi trošila djeluje odgovarajući napon faze generatora. Kaže se da je sustav napona na trošilu SIMETRIČNI TROFAZNI SUSTAV NAPONA GENERATORA U1, U2, U3.
Najvažniji razlog postojanja nul – voda je u tome što sva fazna trošila rade na napon za kojeg su predviđeni.
63
Trošilo spojem u zvijezdu može biti simetrično i nesimetrično:SIMETRIČNO TROŠILO: ZZZZ === 321
Sve faze su ravnomjerno opterećene, fazne struje će imati jednake iznose i isti kut u odnosu na napon:
ZU
III f=== 321 Rxxarctg CL −==== ϕϕϕϕ 321
(pretpostavka da impedanciju čini serijski RLC spoj)
ϕ
ϕϕ
Struja kroz nul - vodič:
0321 =++= IIIIN
64
Ukupna radna, jalova i prividna snaga kod simetričnog trošila u spoju zvijezda (SIMETRIČNO TROŠILO):
321 PPP ==
PPuk 3= =⋅⋅⋅= ϕcos3 ff IU ϕcos3
3 ⋅⋅⋅ fl IU
ϕcos33
33 ⋅⋅⋅⋅= f
luk IUP
ϕcos3 ⋅⋅⋅= lluk IUP
ϕcos3 ⋅⋅⋅= ll IU
QQuk 3= ϕsin3 ⋅⋅⋅= ff IU ϕsin3 ⋅⋅⋅= ll IU
SSuk 3= llff IUIU ⋅⋅=⋅⋅= 33
65
NESIMETRIČNO TROŠILO: 321 ZZZ ≠≠Faze generatora su neravnomjerno opterećene, fazne struje su različitih iznosa kao kut u odnosu na napone:
11 Z
UI f=
22 Z
UI f=
33 Z
UI f=
1
111 R
xxarctg CL −=ϕ
2
222 R
xxarctg CL −=ϕ
3
333 R
xxarctg CL −=ϕ
Struja kroz nul - vodič:
0321 ≠++= IIIIN
1ϕ
2ϕ3ϕ
66
Ukupna radna, jalova i prividna snaga kod nesimetričnog trošila u spoju zvijezda:
111 cos3 ϕ⋅⋅⋅= IUP l
222 cos3 ϕ⋅⋅⋅= IUP l
321 PPPPuk ++=333 cos3 ϕ⋅⋅⋅= IUP l
111 3 IUS ⋅⋅=
222 3 IUS ⋅⋅=
333 3 IUS ⋅⋅=
321 SSSSuk ++=
111 sin3 ϕ⋅⋅⋅= IUQ l
222 sin3 ϕ⋅⋅⋅= IUQ l
333 sin3 ϕ⋅⋅⋅= IUQ l
321 QQQQuk ++=
19.2. Trofazni spoj trokut 19.2. Trofazni spoj trokut Trofazni spoj u trokut nastaje tako da se krajevi namotaja (generatora ili trošila) povezujuna način da tvore električnu shemu u obliku trokuta.
U trokutnom spoju nema nul - vodiča i prijenos energije vrši se samo trofaznom linijom.
67
Strujne i naponske prilike u trokutnom spoju:
U uvjetima praznog hoda (bez trošila), izgleda kao da su namotaji kratko spojeni.
0321 =++ UUUPri zbrajanju referentni smjerovi svih faznih napona su istog smjera pa je ukupni napon:
Kratkog spoja nema jer je rezultanta napona faza generatora jednaka nuli.
To se postiže spajanjem svitaka u zatvoreni strujni krug ispravnim serijskim spojem: početak namota jedne faze veže se sa završetkom namota susjedne faze.
Na krajevima jednog svitka priključena su dva linijska voda, linijski napon će biti jednakfaznom:
fl UU =Odnos fazne i linijske struje dobiva se temeljem istog razmatranja kao kod spoja zvijezdaizmeđu napona:
fl II ⋅= 3
68
Spoj generatora i trošila :
69
SIMETRIČNO TROŠILO:
ZZZZ === 321
ZU
III fZZZ === 321 R
xxarctg CL −==== ϕϕϕϕ 321
NESIMETRIČNO TROŠILO:
321 ZZZ ≠≠
33
22
11 ;;
ZU
IZU
IZU
I fZ
fZ
fZ ===
3
333
2
222
1
111
Rxxarctg
Rxxarctg
Rxxarctg
CL
CL
CL
−=
−=
−=
ϕ
ϕ
ϕ
70
Ukupna radna, jalova i prividna snaga kod simetričnog trošila u spoju TROKUT:
ϕϕ sin3sin33 ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅== llffuk IUIUQQ
llffuk IUIUSS ⋅⋅=⋅⋅== 333
ϕ
ϕϕ
ϕϕ
cos3
cos3cos33
33
cos3
3cos33
321
⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅=⋅⋅⋅==
==
lluk
llll
uk
llffuk
IUP
IUUIP
IUIUPP
PPP
71
Ukupna radna, jalova i prividna snaga kod nesimetričnog trošila u spoju TROKUT:
321
333
222
111
sin3
sin3
sin3
QQQQIUQ
IUQ
IUQ
uk
l
l
l
++=⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅=
ϕ
ϕ
ϕ
321
333
222
111
3
3
3
SSSSIUS
IUS
IUS
uk ++=⋅⋅=
⋅⋅=
⋅⋅=
321
333
222
111
cos3
cos3
cos3
PPPPIUP
IUP
IUP
uk
l
l
l
++=⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅=
ϕ
ϕ
ϕ
Izrazi za snagu ostaju isti bez obzira da li je u pitanju spoj zvijezda ili trokut
72
MJEŠ ANI simetrični SPOJ:- generator spoj zvijezda, trošilo spoj trokut
VUU fgenl 39823033 =⋅=⋅=
Za spoj zvijezda linijski napon: Struja faze trošila:
ARU
RU
I lftrošftroš 8,39
10398
====
linijska struja:
AII fl 85,688,3933 =⋅=⋅=
Struja faze generatora:
AII lfgen 85,68==
Ω=10R Ω=10R
Ω=10R
73
Ω=10R
Ω=10R
Ω=10R
MJEŠANI simetrični SPOJ:- generator spoj trokut, trošilo spoj zvijezda
VUU fgenl 230==
Za spoj trokut linijski napon jednak je faznom generatora: Napon faze trošila:
VUUUU lftftl 133
3230
33 ===⇒⋅=
fazna struja trošila:
ARU
I ftft 3,13
10133
===
Jakost linijske struje:
AII ftl 3,13==Struja faze generatora
AII lfg 7,7
3==
74
Jednofazna izmjenična trošila čine većinu trošila široke potrošnje (perilica rublja, hladnjak, klima -uređaj, perilica suđa, pećnica...) te se uključuju u rad prema potrebama potrošača ne vodeći računa o simetričnosti opterećenja.
Da bi se u pogonu donekle postigla što manja nesimetrija, već kod instaliranja se pokušava razdijeliti ukupni jednofazni teret što jednoličnije na sve tri faze generatora.
To se postiže tako da se jednofazna trošila priključuju na četverovodnu trofaznu mrežu naizmjence redom na faze L1 L2 L3, L1 L2 L3, L1 L2 L3 ... kako je pokazano na slici.
Priključak jednofaznih i trofaznih trošila na četverolinijsku trofaznu mrežu
Simetrična trofazna trošila priključujemo smo na tri fazna vodiča bez priključka na nulvod, a jednofazne priključujemo preko faznog i nulvoda.
75
20. Štetni utjecaj električne energije i osnovne metode zaštite od previsokog napona dodira:
Električna energija uslijed nestručnog i neodgovornog rukovanja može prouzročiti niz štetnih utjecaja na ljude, životinje i materijalna dobra.
Moguće štetne posljedice učinka električne energije:
• zbog toplinskog učinka mogu nastati požari zbog preopterećenja vodiča, pregrijanih uređaja, kratkih spojeva labavih kontakata.
20.1. Štetni utjecaj električne energije
• zbog kemijskog učinka dolazi do razlaganja tekućina, stvaranja eksplozivnih ili otrovnih plinova, korozija...
• zbog magnetskog učinka nastaju jake sile zbog visokih struja kratkog spoja i generiraju po zdravlje štetna polja
• zbog svjetlosnog učinka od svjetlosnog luka nastalog zbog kratkog spoja, zavarivanja mogu nastati oštećenja očiju.
• fiziološki učinak je utjecaj na ljudsko tijelo koje se ogledava u grčenju mišića, blokada disanja, rast krvnog tlaka, opekline, živčane smetnje, treptanje i zastoj srca.
76
Elektroenergetski distributer je dužan osigurati potrošaču pouzdanu opskrbu električnomenergijom odgovarajuće kvalitete (frekvencija, napon i oblik napona unutar dopuštenihgranica odstupanja) potrošač mora pouzdano koristiti sva trošila i pri tom biti siguran od dodira vodljivih dijelova uređaja pod naponom.
Prema IEC (International Electrotechnical Commision) i EN (Europska Norma) normamanapon koji nije štetan za ljudski život je u < 50 VAC, U < 120 VDC , pa se prema tim naponima provodi i odgovarajuća zaštita od izravnog i neizravnog dodira dijelova podnaponom.
4.8.2. Zaštitne mjere od električnog udara u električnim instalacijama
1) Istovremena zaštita od izravnog i neizravnog dodira
2) Zaštita od električnog udara u pravilnom radu
3) Zaštita od električnog udara u slučaju kvara
77
1) Istovremena zaštita od izravnog i neizravnog dodira
a) zaštita sigurnosnim malim naponom (SELV – Safty Extra Low Voltage) –napon ispod 50VAC ili 120 VDC
b) zaštita malim naponom (PELV – Protective Extra Low Voltage) – napon ispod 50VAC ili 120 VDC
b) zaštite ograničavanjem ustaljene struje i naboja (izbijanje)
osigurava da najveći napon strujnog kruga ne prelazi efektivnu vrijednost 50V u normalnom pogonu niti u slučaju kvara pri čemu izvor može biti: sigurnosni izolacijskitransformator, elektrokemijski izvor (akumulator, baterija) ili drugi izvor npr. diesel – generator.
postiže se izvorom s ograničenom strujom i zaštitnom impedancijom( prag osjetljivosti 0,5maAC ili 2mA DC za ustaljenu dodirnu struju koja teče između istodobno dodirljivih vodljivih dijelova kroz omski otpor od 2k i za naboj između istodobno dodirljivih dijelova 0,5 C – prag boli 3,5 mA AC/10 mA DC odnosno 50 C)
78
2) Zaštita od električnog udara u pravilnom radu
a) Zaštita aktivnih (pod naponom) dijelova izoliranjem
b) Zaštite pregradama i kućištima
c) Zaštite zaprekama
d) Zaštite smještajem izvan dohvata ruke
e) Dodatne zaštite strujnom zaštitnom sklopkom (RCD – Residual Current Device)
Izvodi se na svim dijelovima pod naponom, kao osnovna izolacija, radi sprječavanja dodira s opasnim aktivnim dijelovima. Ako se kao osnovna izolacija koristi zrak, dodir s aktivnim dijelovima sprječava se pregradama ili kućištima, zaprekama ili smještajem izvan dohvata ruke.
Mehanička je zaštita električnih uređaja i mora spriječiti pristup opasnim aktivnim dijelovima osiguravajući zaštitu od električnog udara.
RCD sklopka je električni uređaj koji isključuje, uslijed kvara, električno trošilo s električne mreže i tako štiti od električnog udara.(npr.40/0,03A)
79
3) Zaštita od električnog udara u slučaju kvara
a) Zaštite automatskim isklopom struje napajanja u TN, TT i IT sustavima električnih mreža uz uzemljenje i izjednačavanje potencijala.
b) Zaštite uporabom opreme razreda II ili istovrijedne izolacije.
Dodatna izolacija je mjera zaštite u slučaju kvara i čini zajedno s osnovnom izolacijom dvostruku izolaciju. Istovrijedna dvostrukoj je pojačana izolacija tj. potpuna izolacija električnog uređaja (kućište električnog uređaja napravljeno je od izolacijskog materijala – oprema razreda II). Simbol na uređajima je
c) Zaštite nevodljivim prostorom
Zaštita nevodljivim prostorom postiže se izolacijskim podom, zidovima i razmakom između dostupnihvodljivih dijelova i stranih vodljivih dijelova.
d) Zaštite električnim odjeljivanjem
Električno odjeljivanje je galvansko odvajanje trošila od opskrbne mreže pomoću transformatora za odjeljivanje
80
20.2. Zaštite automatskim isklopom struje napajanja u TN, TT i IT sustavima električnih mreža uz uzemljenje i izjednač avanje potencijala
Zaštitni vodič - povezuje vodljive dijelove kućišta i označava se zeleno – žutom bojom.
Ako je zaštitni vodič poveza s nul-točkom transformatora ne kao dio strujnog kruga većkao dio zaštitnog sistema, što znači da nije protjecan pogonskom strujom, onda ga smatramo zaštitnim nul-vodičem (zeleno-žuta PE) za razliku od pogonskog nul-vodiča plave boje (N).
Ako je iz posebnog razloga potrebno provesti izjednačavanje potencijala vodljivih dijelovakoji nisu pod naponom, provodi se neovisno o el. mreži povezivanjem vodljivih dijelova i neelektričnih uređaja najkraćim putem, što se normalno provodi neizoliranim vodičem ili FeZn trakom koristeći se i metalnim strukturama postrojenja - vodič za izjednačavanje potencijala (IP).
81
Sustavi električnih mreža razlikuju se prema načinu uzemljenja zvjezdišta opskrbne mreže i uzemljenja dostupnih vodljivih dijelova električnih uređaja
Način označavanja sistema električne mreže i uzemljenja
Prvo slovo se odnosi na opskrbnu mrežu i znači:T - direktno povezivanje jedne točke mreže na zemlju (nul-točka transformatora)I - svi dijelovi mreže izolirani od zemlje ili u jednoj točki spojeni sa zemljom preko impedancije
Drugo slovo se odnosi na uzemljenje dohvatljivih vodljivih dijelova električnih uređaja i znači:T - direktno električno spajanje dohvatljivih vodljivih dijelova (kućišta) na zemlju,
neovisno o sistemu uzemljenja mreže.N - direktno električno spajanje dohvatljivih vodljivih dijelova (kućišta) na uzemljenu točku
sistema mreže (na nul - točku transformatora)Dodatna slova – raspoloživost neutralnog i zaštitnog vodiča:S – za zaštitnu funkciju predviđen je posebni vodič odijeljen od neutralnog vodiča ili uzemljenog
aktivnog vodičaC – funkcije neutralnog i zaštitnog vodiča objedinjene u jednom vodiču PEN vodiču
82
TN – S: znači da je zaštitni vodič PE u cijeloj mreži odvojen od nul - voda N, što znači da pogonska struja ne protječe kroz PE (5 – žični sustav)
83
TN – C znači da su nul-vodič N i zaštitni vodič PE kombinirani u jednom vodiču, kroz koji potječe i pogonska strujai struja greške ( 4 žični sustav).
84
TN – C – S je kombinacija TN – C i TN – S, na dijelu mreže bliže transformatoru izveden je TN – C, a u pojedinimograncima mreže TN - S sustav.
85
TT mreže – zvjezdište (neutralna točka) i dostupni vodljivi dijelovi električne opreme uzemljeni su, ali tako da supriključeni na različite uzemljivače.
86
IT mreže – mreža je ovdje izolirana prema zemlji ili spojena preko dovoljno velike impedancije, a dostupni vodljividijelovi električne opreme posredovanjem zaštitnog vodiča spojeni su s uzemljivačem pojedinačno, u skupinama ili svi zajedno.
