วงรี

วงกล

ม

ไฮเพ

อรโบ

ลา

พารา

โบลา

เสน

�กอกา

ดินเ

เสน

�กอกา

ดินเ

นสเงัผทางรถไฟ

งิรจงาทนสเในโลกคณิตศาสตร

เรื�องไมคาดคิด

数学のはなし77

やさしくわかる

วาว~

ทุกการคนพบ ทุกทฤษฎี ลวนมีที่มาที่จะทำใหคุณประหลาดใจ !!µÑé§áµ‹àÃ×èͧ§‹ÒÂæ Í‹ҧ¡Ò䌹¾ºàÅ¢ÈÙ¹Â� ¨Ó¹Ç¹àªÔ§«ŒÍ¹ 仨¹¶Ö§ÊÁÁص԰ҹ¢Í§ÃÕÁѹ¹�

áÅл˜ÞËÒ¢ŒÒÁȵÇÃÃÉ·ÕèÂѧäÁ‹ÁÕã¤Ãᡌ䴌

by Tsuneharu Okabe

แปลโดย ดร.บัณฑิต โรจนอารยานนท

1

1

ไฮเพอรโบลา (e > 1)

วงรี(0 < e < 1)

ส

ักฟโ

เสนฐาน

พาราโบลา (e = 1)

e

e

วงรี

วงกล

ม

พารา

โบลา

เสน

�กอกา�า�

ดินเ�เ�

เสน

�กอก�า�

ดินเ�เ�

งิรจงาทนสเในโลกคณิตศาสตร

เรื�องไมคาดคิด

วาว~

1

1

ไฮเพอรโบลา (e > 1)

เสนฐานเสนฐาน

พาราโบลา (e = 1)

e

220.-

by… Tsuneharu Okabe

แปลโดย... ดร.บัณฑิต โรจนอารยานนท

แปลจาก... Yasashiku Wakaru Sugaku no Hanashi 77

จัดพิมพ์โดย สำ�นักพิมพ์ ส.ส.ท.

สมาคมส่งเสริมเทคโนโลยี(ไทย-ญี่ปุ่น) 5-7ซอยสุขุมวิท29ถนนสุขุมวิทแขวงคลองเตยเหนือเขตวัฒนากรุงเทพฯ10110 โทร.0-2258-0320(6เลขหมายอัตโนมัติ),0-2259-9160(10เลขหมายอัตโนมัติ) เสนองานเขียน•งานแปลได้ที่www.tpa.or.th/publisher/new ติดต่อสั่งซื้อหนังสือได้ที่www.tpabook.com

จัดจำ�หน่�ยโดย บริษัท ซีเอ็ดยูเคชั่น จำ�กัด (มห�ชน) อาคารทีซีไอเอฟทาวเวอร์ชั้น19เลขที่1858/87-90 ถนนบางนา-ตราดแขวงบางนาเขตบางนากรุงเทพฯ10260 โทร.0-2739-8000,0-2739-8222โทรสาร0-2739-8356-9 www.se-ed.com

ข้อมลูท�งบรรณ�นกุรมของสำ�นกัหอสมดุแห่งช�ติ

โอกาเบะ,สเึนะฮารุ.

77เรื่องไม่คาดคดิในโลกคณติศาสตร์.--กรุงเทพฯ:สมาคมส่งเสรมิเทคโนโลยี(ไทย-ญี่ปุ่น),2557.

200หน้า.

1.คณติศาสตร์. I.บณัฑติโรจน์อารยานนท์,ผู้แปล. II.ชื่อเรื่อง.

510

ISBN978-974-443-598-9

พิมพ์ครั้งที่1 ตุลาคม 2557

“ถ้าหนังสือมีข้อผิดพลาดเนื่องจากการพิมพ์ ให้นำามาแลกเปลี่ยนได้ที่สมาคมฯ” โทร. 0-2258-0320 ต่อ 1560, 1570

ราคา 220 บาท

‘YasashikuWakaruSugakunoHanashi77’ 2010GakkenEducationPublishingAllrightsreserved.FirstpublishedinJapan2010byGakkenEducationPublishingCo.,Ltd.ThaitranslationrightsarrangedwithGakkenEducationPublishingCo.,Ltd.สงวนลิขสิทธิ์ฉบับภาษาไทยโดย สมาคมส่งเสริมเทคโนโลยี (ไทย-ญี่ปุ่น)

■ บรรณ�ธิก�รบริห�ร สุกัญญาจารุการหัวหน้�กองบรรณ�ธิก�ร แทนพรเลิศวุฒิภัทร บรรณ�ธิก�รเล่มพรรณพิมลกิจไพฑูรย์ออกแบบปก

และรูปเล่ม ภาณุพันธ์โนวยุทธ,ธารินีคุตตะสิงคีธุรก�รสำ�นักพิมพ์ อังคณาอรรถพงศ์ธร■ พิมพ์ที่ : ห้างหุ้นส่วนจำากัดที.เอส.บี.โปรดักส์

77 เรื่องไม่คาดคิด ในโลกคณิตศาสตร์

by… Tsuneharu Okabe

แปลโดย... ดร.บัณฑิต โรจน์อารยานนท์

การกำเนิดจำนวนตรรกยะ➝ หนา 14

จำนวนธรรมชาติ ➝ หนา 6

แ ก ะ 1 ตัว ...

เมื่อ x2 = 2แลว x = ?

การกำเนิดจำนวนอตรรกยะ➝ หนา 16

“จ�ำนวน” พัฒนำมำจำกกำรนับสิ่งของ

จ�ำนวน เริ่มต้นมำจำกจ�ำนวนธรรมชำต ิจำกนั้นเมื่อประสบปัญหำที่ไม่สำมำรถแสดง

ผลจำกกำรค�ำนวณได้กม็กีำรพฒันำไปตำมล�ำดบั แล้วกำรพฒันำกเ็สรจ็สมบูรณ์ เมื่อสำมำรถ

แสดงผลได้ในรูปจ�ำนวนเชงิซ้อน

2

การกำเนิดจำนวนเชิงซอน➝ หนา 20

วาว~

เมื่อ x2 = –1

แลว x = ???

การกำเนิดจำนวนลบ และ “0” เขาเปนสวนหนึ่งของจำนวน

➝ หนา 10ãºá¨Œ§Ë¹Õ餋ҹéÓ¼ÅäÁŒ100 à¹

à§Ô¹¤‹Ò¢¹Á–100 à¹...

3

4

ปี ค.ศ. 2010 กับปี ค.ศ. MMX

การแสดงตัวเลขไม่ได้มีวิธีเดียว — สัญลักษณ์แสดงจำานวน

2010, , MMX ตัวเลขและสัญลักษณ์เหล่ำนี้ล้วนแสดงจ�ำนวนเดียวกัน โดยตัว

ซ้ำยสดุเป็นเลขอำรบคิที่เหน็ได้บ่อยที่สดุ ตรงกลำงใช้ในสมยัอยีปิต์โบรำณ และตวัขวำสดุใช้ใน

สมยัโรมนั

ช่วงที่เกิดตวัอักษรในภำษำต่ำงๆ มกีำรแสดงจ�ำนวนในหลำกหลำยรูปแบบ อย่ำงใน

ภำษำจนีกเ็ขยีนแสดงจ�ำนวนนี้เป็น “二千十” กำรเขยีนในลกัษณะนี้เรยีกว่ำ “สญัลกัษณ์แสดง

จ�ำนวน” ซึ่งถูกพฒันำขึ้นในภูมภิำคต่ำงๆ แล้วแพร่กระจำยออกไปตำมที่ต่ำงๆ ในโลกเมื่อมกีำร

แลกเปลี่ยนทำงวฒันธรรมระหว่ำงกนั อย่ำงไรกต็ำม ในที่สดุเลขอารบิคที่คดิค้นขึ้นในประเทศ

อนิเดยี ได้กลายเป็นสัญลักษณ์แสดงจ�านวนที่ได้รับการยอมรับมากที่สุด

แล้วเหตุใดเลขอำรบิคจึงแพร่หลำยมำกที่สุดแทนที่จะเป็นสัญลักษณ์แบบอื่น เหตุผล

เป็นเพรำะว่ำ เลขอารบิคสามารถแสดงจ�านวนขนาดใหญ่ได้ง่าย

ยกตัวอย่ำงเช่น ถ้ำจะเขียนปีคริสต์ศักรำชที่ศำสนำคริสต์เข้ำมำในประเทศญี่ปุ่นเป็น

เลขโรมนั กจ็ะเขยีนได้เป็น ปี ค.ศ. MDXXXXIX แต่เมื่อเขยีนแบบเลขอำรบคิจะเป็น ปี ค.ศ. 1549

เลขแบบโรมนันั้นใช้สญัลกัษณ์หนึ่งตวัแสดงจ�ำนวนหนึ่งตวั แล้วจบัมำเรยีงกนัเพื่อแสดงจ�ำนวน

ทั้งหมด ตำมตวัอย่ำงข้ำงต้น จะเป็นดงันี้ M (1000) + D (500) + X (10) × 4 + IX (9) = 1549

ซึ่งเห็นได้ว่ำ เมื่อต้องแสดงจ�ำนวนขนำดใหญ่ก็ต้องเขียนสัญลักษณ์จ�ำนวนมำก นอกจำกนั้น

ถ้ำต้องกำรแสดงจ�ำนวนที่ใหญ่กว่ำนั้นอกี เช่น 5000, 10000 กต็้องประดษิฐ์สญัลกัษณ์เพิ่มขึ้น

ไปอกีไม่สิ้นสดุ

ส�ำหรบัเลขอำรบคินั้น เนื่องจำกหลกัหรอืต�ำแหน่งของตวัเลขใช้แสดงขนำดของจ�ำนวน

ด้วย จงึสำมำรถใช้สญัลกัษณ์แค่ 0–9 แสดงจ�ำนวนขนำดใหญ่แค่ไหนกไ็ด้ ด้วยควำมสะดวกนี้

เอง จงึท�ำให้เลขอำรบคิเป็นที่ยอมรบัและถกูน�าไปใช้แพร่หลายท่ัวโลก กำรแสดงด้วยเลขอำรบคิ

นี้ จดุส�ำคญัอยู่ที่กำรคดิค้นเลข “0” อย่ำงเช่น 105 ถ้ำเขยีนแบบโรมนักจ็ะใช้สญัลกัษณ์แทน

100 คอื C และสญัลกัษณ์แทน 5 คอื V มำเขยีนเรยีงกนัเป็น CV แต่เลขอำรบคิ ถ้ำเขยีนใน

ลกัษณะเดยีวกนันี้ ควำมหมำยกจ็ะผดิไปกลำยเป็น 15 ดงันั้นในหลกัที่ไม่มคี่ำอะไรนั้นกต็้องใส่

เลข 0 ไว้

5

บทที่ 1 ประวัติศาสตร์ของจ�านวน เริ่มต้นจากจ�านวนธรรมชาติ

1

2

3

4

5

6

一 万 二 千 七 百 五 十 六

X M M D C C L Ⅵ

เส้นผ่านศูนย์กลางของโลกบริเวณเส้นศูนย์สูตร คือ 12,756 kmเมื่อแสดงด้วยเลขแบบต่างๆ จะได้...

1 2 3 4 5 6 … 10 100 1000 10000

เลขอียิปต์

ตัวเลขในสมัยโบราณ

1 2 7 5 6 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ หลักหมื่น หลักพัน หลักร้อย หลักสิบ หลักหน่วย

เลขโรมัน

เลขอารบิคใช้หลักของตัวเลขแสดงขนาด

ไปพร้อมกันด้วย จึงสะดวกมาก!!

สัญลักษณ์แสดงจำ นวนที่แตกต่างกัน

เลขอียิปต์

เลขโรมัน

เลขจีน

เลขอารบิค

8

ทั้งที่ไม่มีค่า แต่กลับมีความหมาย !?!

ตัวเลขที่แสดงความว่างเปล่า — ศูนย์

ปัจจุบันเรำใช้เลขศูนย์กันเป็นเรื่องปกติโดยที่ไม่รู้สึกว่ำมีอะไรพิเศษ แต่ทรำบไหมว่ำ

กว่ำคนเรำจะคดิค้นเลข 0 ขึ้นมำได้ กห็ลงัจำกที่ใช้จ�ำนวนธรรมชำตไิปนำนมำกแล้ว เดมิทเีรำ

ใช้จ�ำนวนกเ็พื่อนบัสิ่งของ ดงันั้นถ้ำไม่มอีะไรเลยกไ็ม่จ�ำเป็นต้องนบั นั่นจงึเป็นเหตผุลที่จ�านวน

เริ่มต้นที่ 1

กำรใช้ “0” ในปัจจุบันถือเป็นเรื่องปรกติมำก ไม่ว่ำจะเป็นกำรนับถอยหลังในวันขึ้น

ปีใหม่หรอืกำรเริ่มต้นอเีวนท์ต่ำงๆ เรำกจ็ะนบัว่ำ 3, 2, 1, 0 โดยศูนย์ที่เรำใช้ในปัจจบุนันั้นจะ

หมำยถงึ “0 ที่เป็นควำมว่ำงเปล่ำ” กบั “0 ที่เป็นจ�ำนวน” โดยควำมหมำยทั้งสองนี้เกดิขึ้นใน

ช่วงเวลำต่ำงกนั

กำรใช้ 0 ที่หมำยถึงควำมว่ำงเปล่ำได้กล่ำวไปแล้วในเรื่องสัญลักษณ์แสดงจ�ำนวน

นั่นคอืเรำจะใช้ 0 เขยีนไว้ในหลกัที่ไม่มอีะไร กำรใช้ 0 ในลกัษณะนี้เกดิขึ้นตั้งแต่สมยัอำรยธรรม

เมโสโปเตเมยีและอำรยธรรมมำยำ แต่ในอารยธรรมท้ังสองไม่ยอมรับว่า 0 เป็นจ�านวน

นั่นคอืคดิว่ำ 0 กบัเลข 1, 2, 3 นั้นแตกต่ำงกนัอย่ำงสิ้นเชงิ ไม่มกีำรค�ำนวณอย่ำงเช่นกำรบวก

หรอืลบกบั 0 เพรำะคนในสมยันั้นคดิว่ำ ถ้ำน�ำ 0 มำร่วมในกำรค�ำนวณด้วยจะเกดิควำมขดัแย้ง

ขึ้น แม้แต่ปำสคำลซึ่งเป็นทั้งนกัปรชัญำ นกัฟิสกิส์ และนกัคณติศำสตร์ในศตวรรษที่ 17 กย็งั

เคยกล่ำวว่ำ “เมื่อน�ำ 4 ลบออกจำก 0 กย็งัเป็น 0” เพรำะในสมยันั้นมภีำพฝังหวัว่ำ “จ�ำนวน”

ต้องเป็นสิ่งที่นบัได้ และคดิว่ำ “ไม่สำมำรถหกัอะไรออกจำก 0 ได้ เพรำะฉะนั้น 0 ลบด้วย 4 จงึ

ยงัคงเป็น 0”

กว่ำ 0 จะได้รบักำรยอมรบัโดยทั่วไปว่ำเป็นจ�ำนวน กห็ลงัจำกที่มกีำรคดิค้นเส้นจ�ำนวน

ออกมำแล้ว ซึ่งนั่นกท็�ำให้จ�ำนวนลบเป็นที่เข้ำใจและรบัรู้ได้ด้วยตำ แต่ทว่ำ ในอินเดียซึ่งเป็น

ต้นก�าเนิดของสัญลักษณ์ 0 นั้นถอืว่ำ 0 เป็นจ�ำนวนมำตั้งแต่ประมำณศตวรรษที่ 6-7 แล้ว

ในปัจจบุนั 0 ถูกใช้ในลกัษณะพเิศษอื่นๆ ด้วย เช่น ไม่สำมำรถน�ำไปหำรจ�ำนวนอื่นได้

เป็นต้น

9

บทที่ 1 ประวัติศาสตร์ของจ�านวน เริ่มต้นจากจ�านวนธรรมชาติ

1

2

3

4

5

6

● 0ที่หมายถึงความว่างเปล่า ในการแสดงขนาดของจำานวนโดยใช้ตำาแหน่งของหลัก

ถ้าในหลักนั้น“ไม่มีอะไร”จะใช้0เป็นสัญลักษณ์แสดงไว้เช่น

การนับชั้นของอาคารในประเทศญี่ปุ่น

กำรนับชั้นอำคำรจะเป็น ชั้น 1, ชั้น 2,

ชั้น 3 ส่วนชั้นที่อยู่ด้ำนล่ำงชั้น 1 คือ

ชั้นใต้ดินที่ 1, ชั้นใต้ดินที่ 2 โดยไม่มีชั้น 0

ปีคริสต์ศักราช

ไม่มีปี ค.ศ. 0 แต่จะเริ่มที่ปี ค.ศ. 1

(ปีก่อนหน้ำก็จะเป็นปีก่อนคริสต์ศักรำช)

เกดิขึ้นที่อนิเดยี ประมำณศตวรรษที่ 6-7

↓

ประมำณศตวรรษที่ 10 แพร่หลำย

ไปยงัอำระเบยี

↓

รำวศตวรรษที่ 12 แพร่หลำยไปยงัยโุรป

ในช่วงสงครำมครูเสด

↓

ศตวรรษที่ 17 แพร่หลำยไปยงั

ประเทศญี่ปุ่น

43201 หลักที่ไม่มีอะไร

● 0ที่หมายถึงจำานวน ใช้0เป็นส่วนหนึ่งของการคำานวณเช่น

2+0=2, 0–2=–2

ในยุคที่ไม่มีจำานวนลบนั้น0–2จะไม่สามารถทำาได้

→ไม่สามารถนำา0มาร่วมคำานวณได้

0 มีความหมายสองอย่าง

ประวัติของ 0 ที่เป็นจำ นวน สิ่งที่ไม่มีเลข 0

3 ปีก่อนครสิต์ศกัรำช

2 ปีก่อนครสิต์ศกัรำช

1 ปีก่อนครสิต์ศกัรำช

ปีค.ศ. 1

ปีค.ศ. 2