Obiectivul 1. Studiul metodei de estimare SPMLActivit¼ati plani�cate: Simulatii pentru parametrii modeluluiRezultate promise: Rezultatele simulatiilor

În planul de realizare pentru aceast¼a etap¼a am propus s¼a producem rezultate legate de es-

timatorul semi-parametric de maxim¼a verosimilitate (SPML) propus de Sándor (2012) �care

este o versiune practic¼a a estimatorului dezvoltat de Ai (1997)� în comparatie cu estimatorul

de referint¼a numit metoda generalizat¼a a momentelor (GMM) propus de c¼atre Berry, Lensohn

si Pakes (1995, notat BLP de acum încolo). Aceste rezultate au scopul s¼a completeze rezul-

tatele noastre obtinute anterior în lucrarea Sándor (2012). Reamintim c¼a obiectivul principal

este demonstrarea faptului c¼a estimatorul SPML al parametrilor modelului BLP are o perfor-

mant¼a mai bun¼a pentru esantioane �nite decât estimatorul GMM. Performanta se m¼asoar¼a în

eroarea în medie p¼atratic¼a a estimatorilor, ceea ce este o m¼asur¼a acceptat¼a de c¼atre majori-

tatea econometricienilor. Aceast¼a m¼asur¼a se calculeaz¼a cu ajutorul unor simulatii (de tip Monte

Carlo).

Prin urmare, în aceast¼a etap¼a a proiectului principala activitate a fost executarea unor simu-

latii pentru obtinearea erorii în medie p¼atratice a estimatorilor GMM si SPML. Pentru executarea

acestei proceduri am ales o structur¼a a tuturor variabilelor modelului ce include alegerea valo-

rilor parametrilor, num¼arul de piete, �rme, produse, num¼arul de caracteristici ale produselor si

distributia lor precum si alegerea structurii preturilor. Pentru structuri diferite, speci�cate mai

jos, construite pe baza acestor principii am generat 50 de seturi de date simulate si am estimat

parametrii modelului pentru �ecare folosind cele dou¼a metode. Erorile în medie p¼atratic¼a ale

celor doi estimatori le-am calculat pe baza acestor 50 de valori pentru �ecare estimator în parte.

Estimatorul SPML foloseste mai multe informatii decât GMM, �indc¼a acesta din urm¼a nu

foloseste structura preturilor. O motivatie important¼a pentru compararea celor doi estimatori

este s¼a analiz¼am dac¼a informatia aditional¼a explic¼a faptul c¼a în lucrarea Sándor (2012) estima-

torul SPML are o performant¼a net superioar¼a estimatorului GMM. Din aceast¼a cauz¼a execut¼am

simulatiile prin speci�carea structurii preturilor în moduri diferite de cel presupus pentru es-

timare. Mai precis, analiz¼am performanta estimatorului SPML în dou¼a cazuri; în amândou¼a

cazuri pentru estimare presupunem c¼a preturile sunt determinate într-o competitie perfect¼a si

sunt functii liniare de caracteristicile de cost. În primul caz gener¼am preturile în asa fel încât ele

s¼a formeze un echilibru Nash, ceea ce înseamn¼a c¼a �rmele activeaz¼a într-o situatie de oligopol.

În al doilea caz gener¼am preturile astfel încât ele s¼a re�ecte competitia perfect¼a si s¼a �e functii

exponentiale si nu liniare de caracteristicile de cost.

1

Prezent¼am rezultatele în tabelul de mai jos (Tabelul 1). Pentru de�nitia exact¼a a parametrilor

prezentati în coloana din stânga ne referim la documentul de lucru Sándor (2013, accesibil

pe pagina web a proiectului). Pentru �ecare estimator prezent¼am deplasarea (Bias), abaterea

standard (StD) si r¼ad¼acina erorii în medie p¼atratic¼a (RMSE). Mention¼am c¼a de vreme ce GMM

este estimatorul de referint¼a mentionat mai sus, GMM-OI este un estimator de tip GMM care

este construit pe baza instrumentelor optimale, si de aceea foloseste mai e�cient informatia din

datele observate (Reynaert and Verboven 2013).

Amândoi estimatori GMM au deplas¼ari si abateri standard mari, si, în consecint¼a, RMSE

sunt mari; de fapt majoritatea RMSE este mai mare decât 1.5. Performanta estimatorilor SPML

difer¼a în cele dou¼a cazuri, dar se poate spune c¼a din punctul de vedere al celor trei m¼asuri de

performant¼a, acest estimator este substantial mai bun decât GMM. De exemplu, majoritatea

RMSE sunt sub 0.5.

Putem trage concluzia c¼a SPML are o performant¼a foarte bun¼a în aceste dou¼a cazuri. Rel-

ativ la întrebarea formulat¼a mai sus, si anume dac¼a informatia aditional¼a explic¼a faptul c¼a în

rezultatele anterioare estimatorul SPML are o performant¼a net superioar¼a estimatorului GMM

putem trage concluzia c¼a rezultatele noastre nu suport¼a aceast¼a a�rmatie.

Tabelul 1. Performanta estimatorilor GMM si SPMLT = 50 GMM GMM-OI SPMLTrue Bias StD RMSE Bias StD RMSE Bias StD RMSE

Preturile formeaz¼a un echilibru Nash� = -5.0 0.752 1.649 1.812 0.295 2.743 2.758 -0.097 0.244 0.262�� = 1.0 -0.045 0.615 0.616 0.129 0.871 0.881 0.006 0.068 0.069�1 = -2.0 1.437 3.156 3.468 1.035 2.224 2.453 0.030 0.348 0.349�2 = 2.0 -1.392 1.514 2.056 -1.057 1.375 1.735 -0.066 0.244 0.252�3 = 2.5 -1.570 2.230 2.727 -1.267 1.909 2.291 -0.055 0.296 0.301�1 = 2.5 -0.113 2.321 2.323 0.370 3.318 3.338 -0.046 0.262 0.266�2 = 2.0 0.032 1.442 1.442 0.158 1.498 1.506 0.017 0.242 0.243�3 = 2.0 0.251 1.649 1.668 0.064 1.109 1.111 0.081 0.151 0.172

Preturile sunt functii exponentiale de caracteristicile de cost� = -3.0 1.444 1.202 1.879 0.914 1.863 2.075 0.292 0.435 0.524�� = 1.5 -0.601 0.864 1.052 -0.221 1.299 1.318 -0.179 0.187 0.259�1 = -5.0 -0.717 1.483 1.648 0.014 1.807 1.807 -0.009 0.466 0.466�2 = 2.0 -0.658 1.028 1.220 -0.737 1.010 1.250 -0.288 0.368 0.467�3 = 2.5 -0.902 1.329 1.606 -0.957 1.520 1.796 -0.344 0.406 0.532�1 = 2.5 0.036 2.351 2.351 0.075 2.889 2.890 -0.167 0.395 0.429�2 = 2.0 -0.346 1.351 1.395 0.322 1.715 1.745 -0.061 0.276 0.283�3 = 2.0 -0.394 1.750 1.794 0.305 2.037 2.060 0.020 0.367 0.367

2

Acest tabel contine rezultatele pe care le-am promis pentru aceast¼a etap¼a, asadar rezultate

promise au fost obtinute. În afara acestui fapt mai putem trage concluzia c¼a aceste rezultate

sunt foarte promit¼atoare dat �ind importanta problemei precum si diferenta substantial¼a între

performantele celor doi estimatori.

Bibliogra�e

[1] C. Ai, A semiparametric maximum likelihood estimator, Econometrica 65, 933�963, 1997.

[2] Steven Berry, James Levinsohn and Ariel Pakes, Automobile Prices in Market Equilibrium,�

Econometrica, 63, 841�890, 1995.

[3] M. Reynaert and F. Verboven, Improving the Performance of Random Coe¢ cients Demand

Models: the Role of Optimal Instruments, Working Paper, 2013.

[4] Z. Sándor, Semiparametric Maximum Likelihood Estimation of Di¤erentiated Product De-

mand Systems, Working Paper, 2012.

[5] Z. Sándor, Semiparametric Maximum Likelihood Estimation of Di¤erentiated Product De-

mand Systems, Working Paper, 2013.

3

Obiectivul 2. Studiul echilibrului de pret si al algoritmului de punct�x (nested �xed point)

Activit¼ati plani�cate: Studierea literaturii echilibrului de pretRezultate promise: Referat al literaturii echilibrului de pret

1 Introducere

În acest raport stiinti�c prezent¼am referatul literaturii echilibrului de pret. Mention¼am c¼a ver-

siunea englez¼a a referatului se g¼aseste pe pagina web a proiectului.1 Întâi prezent¼am problema

general¼a si unele exemple speciale importante. Pentru rezolvarea problemei propunem dou¼a

teorii, dup¼a cum urmeaz¼a. În sectiunea a 2-a prezent¼am literatura de specialitate pentru tratarea

problemei echilibrului de pret ca o problem¼a de echilibru vectorial. În sectiunea a 3-a prezen-

t¼am literatura de specialitate pentru tratarea problemei echilibrului de pret ca o problem¼a de

echilibru corelat.

Problema general¼a se poate formaliza în felul urm¼ator. Presupunem c¼a pe piat¼a sunt un

num¼ar de J produse notate 1; :::; J . Pentru j 2 f1; :::; Jg, �e pj, sj si cj pretul, cota de piat¼a sicostul marginal, respectiv, al produsului j.

Pentru �ecare produs j, presupunem c¼a cota de piat¼a sj : (0;1)J ! (0; 1) este o functie

diferentiabil¼a în p = (p1; :::; pJ)0 cu diferentiala continu¼a, unde x0 este transpusul vectorului x.

Presupunem c¼aPJ

j=1 sj (p) < 1 pentru orice p 2 (0;1)J , adic¼a, pe piat¼a exist¼a un asa-numit

produs exterior cu cot¼a de piat¼a strict pozitiv¼a. Presupunem c¼a cele J produse sunt produse de

F �rme si �ecare �rm¼a f 2 f1; :::; Fg vinde o submultime Gf ale celor J produse.Fie pf vectorul (coloan¼a) ale preturilor �rmei f , adic¼a, acele componente pj ale lui p pentru

care j 2 Gf ; �e p�f vectorul (coloan¼a) pentru restul componentelor lui p. Fiecare �rm¼a f

determin¼a propriul vector de preturi pf maximizându-si pro�tul

�f (pf ;p�f ) =Xj2Gf

(pj � cj)sj (p) ;

dat �ind p�f . Vectorul de pret ce rezult¼a este un echilibru Nash (Nash 1951).

1http://csik.sapientia.ro/zsosan/

4

1.1 Caz particular: Modelul logit cu coe�cienti aleatori

În versiunea cel mai des folosit¼a a acestui model cota de piat¼a are forma

sj (p) =

ZRK+1

exp��pj + xj� + �j

�1 +

PJh=1 exp (�ph + xh� + �h)

dG (�; �) ; (1)

unde xj 2 RK , �j 2 R, pentru j = 1; :::; J , si G este functia de distributie a vectorului coe�-

cientilor aleatori (�; �). Aceast¼a cot¼a de piat¼a are originea în functia de utilitate a consuma-

torului i care cump¼ar¼a produsul j:

uij = �ipj + xj�i + �j + "ij; j = 1; :::; J; ui0 = "i0;

unde "ij o variabil¼a aleatoare având distributia valoare extrem¼a (cu functia de distributieH (x) =

e�e�x). Printr-un exemplu numeric se poate ar¼ata c¼a dac¼a suport distributiei lui � include un

interval cu valori pozitive values, atunci pot s¼a existe mai multe echilibre Nash.

Allon et al. (2010) arat¼a unicitatea echilibrului de pret în cazul în care functiile de utilitate

au forma

uij = xj�i � �jpj + �ij

unde distributia lui �i este discret¼a. Cheia demonstratiei este m¼arginirea exogen¼a a preturilor.

1.2 Caz particular: Modelul logit simplu

În acest caz în formula (1) � si � sunt nealeatori si deci

sj (p) =exp

��pj + xj� + �j

�1 +

PJh=1 exp (�ph + xh� + �h)

:

Atunci � < 0 este o conditie su�cient¼a pentru existenta unui echilibru unic (Konovalov and

Sándor 2010). Demonstratia se bazeaz¼a sau pe teorema de punct �x a lui Kellogg (1976) sau

teorema de univalent¼a a lui Gale and Nikaido (1965).

1.3 Caz particular: Firme cu un singur produs

În acest caz �ecare Gf are un singur element. Contributia cea mai important¼a este Caplin and

Nalebu¤ (1991), în care se arat¼a existenta unui echilibru pentru clasele de modele care include

(1) cu � nealeator si � aleator cu �nctie de densitate log-concav¼a. Demonstratia se bazeaz¼a

pe teorema Prékopa-Borel despre cvasi-concavitatea probabilit¼atilor, care este folosit¼a pentru

demonstrarea faptului c¼a functia de pro�t este cvasi-concav¼a. Este important s¼a mention¼am c¼a

5

cvasi-concavitatea esueaz¼a când �rmele au produse multiple. De exemplu, Hanson and Martin

(1996) prezint¼a un exemplu de model cu cot¼a de piat¼a de tip logit simplu în care functia de

pro�t a unei �rme cu trei produse nu este cvasi-concav¼a.

Pentru un model logit cu coe�cienti aleatori în afara coe�cientului pretului Allon et al. (2011)

si Aksoy-Pierson et al. (2013) au demonstrat c¼a, dac¼a cota de piat¼a este mai mic¼a de 1=2 si pretul

este sub un anumit nivel atunci exist¼a echilibru Nash, iar dac¼a cota de piat¼a este sub 1=3 atunci

exist¼a un unic echilibru Nash. Demonstratia se bazeaz¼a pe reducerea intervalului preturilor care

sunt candidate s¼a �e echilibre si stabilirea concavit¼atii functiei de pro�t pe intervalul de preturi

redus.

O alt¼a linie de cercetare a problemei a fost stabilirea unor conditii de supermodularitate ale

jocului de preturi si aplicarea teoremei de punct �x a lui Tarski (e.g., Milgrom and Roberts 1990).

Este important s¼a remarc¼am c¼a conditia de supermodularitate este prea restrictiv¼a pentru modele

în care �rmele au produse multiple. A fost ar¼atat (Sándor 2001) c¼a în modelul logit simplu jocul

de preturi nu poate � nici supermodular si nici log-supermodular.

Folosind o conditie de supermodularitate mai slab¼a Mizuno (2003) a generalizat rezultatele

lui Caplin and Nalebu¤ (1991) speci�când conditii pentru unicitate. Dintre acestea conditia

cheie este c¼a functia de r¼aspuns optim al unei �rme arbitrare este cresc¼atoare.

Bibliogra�e

[1] G. Allon, A.Federgruen, M. Pierson, Price competition under multinomial logit demand

functions with random coe¢ cients, Working paper, Dartmouth College, Hanover, (2010)

[2] G. Allon, A.Federgruen, M. Pierson, Price competition under multinomial logit demand

functions with random coe¢ cients, Working paper, Dartmouth College, Hanover, (2011)

[3] M. Aksoy-Pierson, G. Allon, A.Federgruen, Price competition under mixed multinomial logit

demand functions, Management Science, 59 (2013) 1817-1835.

[4] A. Caplin and B. Nalebu¤, Aggregation and imperfect competition: on the existence of

equilibrium, Econometrica 59, 25�59 (1991)

[5] D. Gale, H. Nikaido, The Jacobian matrix and global univalence of mapping. Math Ann 159,

81�93 (1965)

[6] W. Hanson, K. Martin, Optimizing multinomial logit pro�t functions. Manage Sci 42, 992�

1003 (1996)

6

[7] R.B. Kellogg Uniqueness in the Schauder �xed point theorem. Proc AmMath Soc 60, 207�210

(1976)

[8] A. Konovalov and Z. Sándor, On price equilibrium with multi-product �rms, Econ Theory

44, 271�292 (2010)

[9] P. Milgrom and J. Roberts, Rationalizability, Learning, and Equilibrium in Games with

Strategic Complementarities, Econometrica, 58, 1255�77.(1990)

[10] T. Mizuno, On the existence of a unique price echilibru for models of product di¤erentiation.

Int J Ind. Organ 21, 761�793 (2003)

[11] J. Nash. Noncooperative games. Ann Math 54, 286-295, 1951.

[12] Z. Sándor, Computation, e¢ ciency and endogeneity in discrete choice models, Labyrint

Publication, The Netherlands, (2001)

2 Echilibrul de pret ca echilibru vectorial

Studierea echilibrului de pret constituie de fapt un caz special în studierea problemelor de echili-

bru Nash. Iar la rândul ei, problema de echilibru Nash este un caz particular al problemelor de

echilibru vectorial.

Fie (D; f) un joc cu n persoane, unde Dj sunt multimile strategiilor ale juc¼atorilor, D =

D1� � � � �Dn si Fj : D ! R sunt functiile de pro�t. Strategia (x1; x2; :::; xn) 2 D este un punct

de echilibru Nash dac¼a

Fj (xj; x�j) � Fj (yj; x�j) pentru orice yj 2 Dj:

Dac¼a f (x; y) = (f1 (x; y) ; :::; fn (x; y)) unde

fj (x; y) = Fj (xj; x�j)� Fj (yj; x�j)

pentru orice x = (x1; x2; :::; xn) ; y = (y1; :::; yn) 2 D si C = Rn+, atunci problema de echilibriuNash coincide cu urm¼atorul tip de problem¼a de echilibru vectorial:

Se caut¼a x 2 D astfel încât

f (x; y) 2 C; 8y 2 D:

Am examinat rezultatele de existent¼a deja ap¼arute în domeniul asa-numitelor problemele tari

de echilibru vectorial.

7

Pentru a obtine conditii necesare pentru existenta solutiilor Ansari si Flores Fazan (2005)

au folosit metoda de recesiune, în demonstratie Gong (2006) a aplicat teorema de separare

pentru multimi convexe. Long, Huang si Teo (2008) au utilizat teorema de punct �x Kakutani�

Fan�Glicksberg. Lin (2005) a introdus mai multe notiuni de pseudomonotonitate maximal¼a cu

ajutorul c¼arora a obtinut rezultate de existent¼a. Fu si Wang (2013) au examinat problemele tari

de echilibru vectorial cu structuri de dominatie.

Gong (2007) a studiat problemele tari simetrice de echilibru vectorial, iar Yang si Pu (2013)

au analizat sistemul problemelor tari de echilibru vectorial.

Bibliogra�e

[1] Ansari Q.H., Flores-Bazán F. , Recession methods for generalized vector echilibru problems,

J. Math. Anal. Appl. 321, 132-146 (2006).

[2] Fu, J., Wang, S.: Generalized strong vector cvasi-echilibru problem with domination struc-

ture. J. Glob. Optim. 55, 839-847 (2013)

[3] Gong, X.H.: Strong vector echilibru problems. J. Glob. Optim. 36, 339-349 (2006)

[4] Gong, X. H.: Symmetric strong vector cvasi-echilibru problems. Math. Meth. Oper. Res. 65,

305�314 (2007)

[5] Lin, L.J.: Existence Results for primal and dual generalized vector echilibru problems with

applications to generalized semi-in�nite programming. J. Glob. Optim. 33, 579-595 (2005)

[6] Long, X.J., Huang, N.J., Teo, K.L., Existence and stability of solutions for generalized strong

vector cvasi-echilibru problem. Math. Comp. Modelling 47, 445�451 (2008)

[7] Yang, Z., Pu, Y.J, On existence and essential components for solution set for system of strong

vector cvasi-echilibru problems. J Glob Optim 55, 253�259 (2013)

3 Echilibrul de pret ca echilibru corelat

Echilibrul corelat este o generalizare a echilibrului Nash care permite ca probabilit¼atile pe spatiul

pro�lurilor strategice s¼a �e corelate arbitrar. Prima dat¼a a fost formulat¼a de Aumann (1974).

Un echilibru corelat este o distributie de probabilitate p pe spatiul pro�lurilor strategice care

satisfac urm¼atoarele conditii: pentru �ecare juc¼ator i si oricare dou¼a strategii diferite j, j0 ale

8

Figura 1: Politopul echilibrelor corelate si suprafata sa, pe unde se a�¼a punctele de echilibreNash. Punctele de intersectii (GS), (SG), (MNash) sunt puncte de echilibe Nash.

lui i, conditionat de evenimentul c¼a un pro�l strategic cu j ca strategie a fost extras din acea

distributie, utilitatea asteptat¼a din jucarea lui j nu este mai mic¼a decât cea din jucarea lui j0:Xs2S�i

(us;j � us;j0) ps;j � 0

Inegalit¼atile exprim¼a exact cerinta ca dac¼a un pro�l strategic este extras din distributia p si

�ec¼arui juc¼ator i se spune, în mod privat, componenta sa din rezultatul jocului si dac¼a toti juc¼a-

torii presupun c¼a ceilalti vor urma recomandarea, atunci recomandarea este self-enforcing. Un

echilibru Nash este un caz special de echilibru corelat în care probabilit¼atile p sunt restrictionate

s¼a provin¼a dintr-o distributie produs (necorelat¼a).

Multimea echilibrelor corelate este un politop. Relatia geometric¼a dintre echilibrul Nash si

cel de echilibrul corelat este formulat¼a în articolul (Nau et al; 2003). În orice joc nedegenerat de

dou¼a persoane echilibrele Nash sunt vârfuri ale politopului echilibrelor corelate (vezi Figura 1).

Determinarea unui echilibru Nash este o problem¼a combinatorial¼a: ea implic¼a identi�carea

unui suport adecvat pentru �ecare juc¼ator. Despre niciunul dintre algoritmii cunoscuti pentru

determinarea suporturilor strategiilor mixte nu se cunoaste dac¼a este e�cient (adic¼a s¼a determine

suporturile intr-un num¼ar polinomial de pasi). Aceast¼a problem¼a este studiat¼a în articolele (Jiang

et al, 2013; Papadimitriu et al, 2008).

Recent în literatura de specialitate a ap¼arut o serie de generaliz¼ari ale echilibrului corelat

(Forgo, 2011). Stein et al (2011) a generalizat conceptul de echilibru corelat pentru jocuri, în

care �ecare juc¼ator are functie utilitar¼a continu¼a. Este interesat faptul c¼a logica metodei de

determinare a distributiei de echilibru corelat la aceste jocuri continue este asem¼an¼ator cu cea

estim¼arii în metoda BLP.

9

Cu ajutorul problemelor de echilibru cu operatori se poate studia existenta punctelor de

echilibru correlat. Domokos si Kolumbán (2002) au introdus si au studiat inegalit¼atile vari-

ationale cu operatori. Inspirat din lucrarea lor, Kum si Kim (2005, 2007) a dezvoltat problema

inegalit¼atilor variationale cu operatori de la cazul uniform, la cazuri multivoce. Problemele

parametrice de echilibru cu operatori au fost studiate de Kazmi si Raouf (2005), Kum si Kim

(2008).

Bibliogra�e

[1] R. J. Aumann. Subjectivity and correlation in randomized strategies. Journal of Mathemat-

ical Economics, 1(1): 67-96, 1974.

[2] A. Domokos, J. Kolumbán, Variational inequalities with operator solutions, J. Global Optim.

23 (2002) 99-110.

[3] F. Forgo. Generalized correlated echilibru for two-person games in extensive form with perfect

information. CEJOR 19, 201-213, 2011.

[4] A. X. Jiang, K. Leyton-Brown. Polynomial-time computation of exact correlated echilibru

in compact games. Games and Economic Behavior, 2013.

[5] K.R. Kazmi, A. Raouf, A class of operator echilibru problems, J. Math. Anal. Appl. 308

(2005) 554-564.

[6] S. Kum, W.K. Kim, Generalized vector variational and cvasi-variational inequalities with

operator solutions, J. Global Optim. 32 (2005) 581-595.

[7] S. Kum, W.K. Kim, Applications of generalized variational and cvasi-variational inequalities

with operator solutions in a TVS, J. Optim. Theory Appl. 133 (2007) 65-75.

[8] S. Kum, W.K. Kim, On generalized operator cvasi-echilibru problems, J. Math. Anal. Appl.

345 (2008) 559-565.

[9] R. Nau, S. G. Canovas, P. Hansen. On the geometry of Nash equilibria and correlated equi-

libria. Int. J. Game Theory 32, 443-453, 2003.

[10] C. H. Papadimitriou, T. Roughgarden. Computing correlated equilibria in multi-player

games. J. ACM 55(3), 14, 2008.

10

[11] N. D. Stein, P. A. Parrilo, A. Ozdaglar. Correlated equilibria in continuous games: Char-

acterization and computation. Games and Economic Behavior 71, 436-455, 2011.

[12] N. D. Stein, A. Ozdaglar, P. A. Parrilo. Structure of extreme correlated equilibria: a zero-

sum example and its implications. LIDS Technical Report 2929, January 27, 2011.

11

Obiectivul 2. Studiul echilibrului de pret si al algoritmului de punct�x (nested �xed point)

Activit¼ati plani�cate: Studierea literaturii algoritmului de punct �xRezultate promise: Referat al literaturii algoritmului de punct �x

În acest raport stiinti�c prezent¼am rezumatul referatului literaturii algoritmului de punct

�x (nested �xed point). Mention¼am c¼a versiunea englez¼a complet¼a a referatului se g¼aseste pe

pagina web a proiectului.2

Din punt de vedere algoritmic metoda BLP contine dou¼a cicluri, una exterioar¼a dedicat¼a

pentru estimarea parametrilor modelului si una interioar¼a pentru determinarea factorilor neob-

servabili de c¼atre cercet¼atori. Factorii neobservabili (�) sunt punctele �xe a urm¼atoarei sistem

dinamic discret:

�k+1 = �k + ln (~s)� ln (s (�k)) ; (2)

unde s este functia vectorial¼a a cotelor de piat¼a având componenta j

sj (�) =1

N

NXi=1

exp f�pj; xj; �j; �i

�1 +

JPr=1

exp f (pr; xr; �r; �i)

; (3)

si ~s este vectorul observat al cotei de piat¼a.

Pentru rezolvarea problemelor formulate în acest proiect am studiat problematica algorit-

mului cu punct �x. Am dezvoltat un program MATLAB si am veri�cat rezultatele numerice

ale lui Reynaerts et al. (2012), Dubé et al. (2012) si Song (2008). Acesti autori au ajuns la

concluzia c¼a propagarea erorii din ciclul interior modi�c¼a esential valorile parametrilor obtinute

dup¼a efectuarea ciclului exterior. Pentru a obtine valorile parametrilor cu o precizie de 10�6

factorul neobservabil din ciclul interior trebuie s¼a �e determinat¼a cu o precizie de 10�14 (Dubé

et al. 2012). Acest lucru creste esential timpul necesar pentru executia ciclului interior.

Pentru a elimina acest dezavantaj Reynaerts et al. (2012) ofer¼a alte patru metode numerice,

cunoscute în rezolvarea sistemelor de ecuatii neliniare, pentru determinarea factorului neobserv-

abil �.: metoda Newton-Raphson, metoda Quasi-Newton �Broyden, metoda spectral¼a si metoda

cvadratic¼a. In acest articol este efectuat si comparatiile acestori algoritm. Cu programul MAT-

LAB dezvoltat de noi am veri�cat aceste comparatii si am observat c¼a dac¼a suma cotelor de

piata este sub 0:5, atunci intradev¼ar metoda cvadratic¼a si cea spectrala este cea mai avantajoas¼a

din punct de vedere a timpului de calcul si numarului de iteratii. Daca suma cotelor de piata

2http://csik.sapientia.ro/zsosan/

12

este aprope de 1, atunci functiile exponential¼a devin foarte mari si calculele devin foarte lente.

Am observat ca in acest caz metoda spectral¼a este cea mai avantajoas¼a.

Din punct de vedere teoretic metoda Quasi-Newton �Broyden are un privilegiu, deoarece

calculeaz¼a in mod iterativ si Jacobianul sistemului dinamic. Acest lucru ne ajut¼a s¼a studiem

stabilitatea punctului �x �.

În studiul problemelor neliniare, o prim¼a etap¼a o constituie g¼asirea punctelor �xe ale sistemu-

lui si examinarea stabilit¼atii în vecin¼atatea puncului �x. Natura stabilit¼atii locale în vecin¼atatea

punctului �x poate � determinat¼a analizând valorile proprii ale matricei Jacobiene. Pentru a

determina stabilitatea punctului �x � vom examina locatia valorilor proprii ale matricei Jacobi-

ene în planul complex, în raport cu cercul unitate. Dac¼a valorile proprii ale matricei Jacobiene

sunt �e în¼auntrul, �e în afara cercului unitate, punctul �x corespunz¼ator se numeste punct �x

hiperbolic. Un punct �x hiperbolic se numeste sa dac¼a o parte din valorile proprii sunt în inte-

riorul cercului unitate, iar restul sunt în afara lui. Un punct �x hiperbolic se numeste put dac¼a

toate valorile proprii ale Jacobianului sunt în interiorul cercului unitate. Un punct �x hiperbolic

se numeste surs¼a dac¼a toate valorile proprii ale matricei Jacobiene sunt în exteriorul cercului

unitate. Dac¼a una sau mai multe din valorile proprii ale Jacobianului se a�¼a pe cercul unitate,

punctul �x corespunz¼ator se numeste punct �x nehiperbolic (Nayfeh and Balachandran, 2004).

Aplicând teorema Hartman-Grobman si în cazul punctelor �xe ale mapelor, putem spune c¼a

liniarizarea mapei H (�) = � + ln (~s) � ln (s (�)) este su�cient¼a pentru determinarea stabilit¼atiipunctului �x �. Astfel, dac¼a toate valorile proprii ale matricei Jacobiene se a�¼a în interiorul

cercului unitate, spunem c¼a punctul �x � este asimptotic stabil, dar dac¼a cel putin una din valorile

proprii se a�¼a înafara cercului unitate punctul �x � este instabil. Dac¼a nici una dintre valorile

proprii ale Jacobianului nu se a�¼a înafara cercului unitate, analiza liniar¼a nu mai este su�cient¼a

pentru determinarea stabilit¼atii punctului �x nehiperbolic si, deci, este necesar¼a introducerea

unor termeni neliniari (Nayfeh and Balachandran, 2004).

Berry and Pakes (2007) demonstreaz¼a c¼a, dac¼a functia s satisface conditiile de monotoni-

tate, continuitate, linearitate si de înlocuire atunci pentru orice vector ~s cot¼a de piat¼a cu suma

elementelor strict mai mic¼a decât unu, sistemul dinamic (2) are un singur punct �x. Berry et

al. (1995) au demonstrat c¼a acest punct �x este de tip put (contractie). Acest lucru am veri-

�cat numeric pentru exemple numerice concrete, determinând valorile proprii ale Jacobianului

aproximat cu metoda Quasi-Newton �Broyden.

Analiza de dinamic¼a neliniar¼a are un rol foarte important în furnizarea de informatii noi

cu privire la comportamentul dinamic al sistemelor complexe, câteva din aceste metode �ind:

13

analiza spectral¼a Fourier, trasarea histogramelor, reconstructia spatiului st¼arilor, constructia

mapelor Poincaré, calculul coe�cientilor Lyapunov, constructia mapelor de recurent¼a si a mapelor

wavelet. Dintre acestea, reconstructia atractorilor dinamicii sistemului este una dintre cele mai

interesante si utilizate. Aceste metode sunt descrise si exepli�cate în cartea de specialitate

(Nayfeh and Balachandran, 2004).

Aceast¼a analiz¼a are o important¼a deosebit¼a în cazul modelului cu caracteristici pure propus

de Berry and Pakes (2007). Acest model are unele avantaje fat¼a de modelul BLP (descris

detaliat în documentul de lucru Sándor 2013 pe pagina web). Un avantaj este c¼a structura

substitutiilor produselor este mai putin restrictionat¼a în cazul modelului cu caracteristici pure.

Un alt avantaj este c¼a prin cresterea num¼arului de produse în modelul BLP utilitatea maxim¼a a

consumatorilor creste nem¼arginit, ceea ce nu se întâmpl¼a în cazul modelului cu caracteristici pure.

Song demonstreaz¼a avantajele acestui model din punct de vedere empiric prin analiza bun¼ast¼arii

consumatorilor în piata calculatoarelor personale (Song 2007) si prin calculul indicelui de pret

care re�ect¼a schimb¼arile calitative ale calculatoarelor între 1996 si 2000 (Song 2010).

Îns¼a acest model este mai di�cil din punct de vedere computational �indc¼a, pe de-o parte

functia cotelor de piat¼a nu este diferentiabil¼a, iar pe de alt¼a parte nu se stie dac¼a vectorul facto-

rilor neobservabili este un punct �x put sau nu. Drept urmare analiza punctului �x descris¼a mai

sus precum si aplicarea algoritmilor dezvoltati de Reynaerts et al. (2012) pot facilita substantial

analiza econometric¼a a acestui model.

Bibliogra�e

[1] Jo Reynaerts, Ravi Varadhan, John C. Nash, Enhancing the Convergence Properties of the

BLP (1995) Contraction Mapping, Discussion Paper, Vives, 2012.

[2] Jean-Pierre Dubé, Jeremy Fox and Che-Lin Su, Improving the numerical performance of

static and dynamic aggregate discrete choice random coe¢ cients demand estimation, Econo-

metrica, Vol. 80, No. 5, 2231�2267, 2012.

[3] Steven Berry and Ariel Pakes, The Pure Characteristics Demand Model, International Eco-

nomic Review, Vol. 48, No. 4, November 2007.

[4] Minjae Song, Measuring Consumer Welfare in the CPU Market: An Application of the Pure

Characteristics Demand Model, RAND Journal of Economics, 38, 429�446, 2007.

14

[5] Minjae Song, Estimating the Pure Charasteristics Demand Model: A Computational Note,

Simon School Working Paper No. FR 08-28, 2008.

[6] Minjae Song, The Quality Adjusted Price Index in the Pure Characteristics Demand Model,

Journal of Business and Economic Statistics, 28, 190-199, 2010.

[7] Jong-Shi Pang, Che-Lin Su, and Yu-Ching Leey, Estimation of Pure Characteristics Demand

Models with Pricing, Work Paper, 2013.

[8] Steven Berry, James Levinsohn and Ariel Pakes, Automobile Prices in Market Equilibrium,�

Econometrica, 63, 841�890, 1995.

[9] A. H. Nayfeh, B. Balachandran, Applied Nonlinear Dynamics. Analytical, Computational

and Experimental Methods, Wiley-VCH Verlag, 2004;

15

Obiectivul 3. Studiul echit¼atii m¼arcii (brand equity) si al teorieigarantiei (warranty theory)

Activit¼ati plani�cate: Studierea literaturii echit¼atii m¼arciiRezultate promise: Referat al literaturii echit¼atii m¼arcii

În acest raport stiinti�c prezent¼am pe scurt principiile care au stat la baza întocmirii referat-

ului literaturii echit¼atii m¼arcii. Mention¼am c¼a versiunea englez¼a complet¼a a referatului se g¼aseste

pe pagina web a proiectului.3

Referatul se axeaz¼a pe metodele de m¼asurare a valorii m¼arcii în cadrul modelului BLP. În

prima faz¼a a cercet¼arii am realizat analiza literaturii legate de m¼asurarea m¼arcii si metodologia

BLP. Am fost interesati în primul rând de acele rezultate empirice care au realizat m¼asurarea

m¼arcii prin metodologia BLP ori prin metodologii similare cu aceasta. Totodat¼a am c¼autat si

analizat acele rezultate empirice si metodologice care au introdus nout¼ati inovatoare în modelul

BLP.

Ne-am concentrat asupra anumitor probleme metodologice pe care le-am considerat esentiale

din punctul de vedere a conceptualiz¼arii valorii m¼arcii. Literatura anglo-saxon¼a face distinctie

dintre �brand equity� si �brand value�. Brand equity este valoarea m¼arcii care re�ect¼a prefer-

intele consumatorilor, adic¼a efectul pozitiv a m¼arcii asupra consumatorilor. Brand value reprez-

int¼a valoarea �nanciar¼a a m¼arcii exprimat prin surplusul de pro�t sau cifra de afaceri atribuit

m¼arcii.

O problem¼a important¼a se leag¼a de operationalizarea valorii m¼arcii (brand equity) reprezen-

tând preferinta consumatorilor fat¼a de marca respectiv¼a. Literatura de specialitate pe care noi ne

baz¼am cercetarea urmeaz¼a inovatia metodologica a lui Kamakura and Russel (1993), autori care

au operationalizat valoarea m¼arcii cu ajutorul p¼artii constante a functiei de utilitate aleatoare.

Chiar dac¼a exist¼a o cercetare empiric¼a (Sriram et al. 2007) care analizeaz¼a validitatea unei astfel

de m¼asur¼atori, problema nu este în totalitate rezolvat¼a. Din cauza aceasta o parte din analiza

literaturii am concentrat pe aceast¼a problem¼a, am identi�cat un num¼ar mare de aplicatii care

urmeaz¼a metodologia lui Kamakura and Russel (1993) dar din care numai un num¼ar restrâns de

publicatii se concentreaz¼a pe problema propriu zis¼a a m¼asur¼arii valorii m¼arcii.

Modelul BLP permite conectarea structural¼a a m¼asur¼arii valorii m¼arcii la nivelul consuma-

torilor cu m¼asurarea valorii la nivelul �rmei atribuibil¼a m¼arcii. O cercetare empiric¼a recent¼a

(Goldfarb et al. 2009) estimeaz¼a valoarea m¼arcii din ambele perspective, si astfel permite analiza

leg¼aturii dintre cele dou¼a perspective. Recunoscând anumite de�ciente ale modelului Goldfarb

3http://csik.sapientia.ro/zsosan/

16

et al. (2009) am analizat acele posibile directii de cercetare prin care intention¼am s¼a rezolv¼am

numeroasele probleme ale m¼asur¼arii valorii m¼arcii.

Lista de referinte:

Kamakura, W. A., Russell, G. J.. (1993): Measuring brand value with scanner data. Inter-

national Journal of Research in Marketing, 10(1) 9�22.

Goldfarb, A., Lu, Q. Moorthy, S. (2009): Measuring brand value in an equilibrium

framework, Marketing Science, 28, 69�86.

Sriram, S., Balachander, S. Kalwani, M. U. (2007): Monitoring the dynamics of brand equity

using store-level data. Journal of Marketing, 71(2) 61�78.

17

Obiectivul 3. Studiul echit¼atii m¼arcii (brand equity) si al teorieigarantiei (warranty theory)

Activit¼ati plani�cate: Studierea literaturii teoriei garantieiRezultate promise: Referat al literaturii teoriei garantiei

În acest raport stiinti�c prezent¼am rezumatul referatului literaturii teoriei garantiei (warranty

theory). Mention¼am c¼a versiunea englez¼a complet¼a a referatului se g¼aseste pe pagina web a

proiectului.4 Analiza literaturii a urmat structura: descrierea general¼a a problemei, problemele

teoretice si de modelare, principalele întreb¼ari de cercetare, principalele abord¼ari metodologice.

Referatul se axeaz¼a pe metodele de cuanti�care (m¼asurare) a valorii economice a garantiilor

folosind modelul BLP. Una dintre aplicatiile empirice ale proiectului are ca obiectiv determinarea

modului cum in�uenteaz¼a garantiile cererea produselor. În mod special avem scopul s¼a m¼asur¼am

nivelul în care garantiile functioneaz¼a ca un semnalizator ce indic¼a calitatea produsului c¼atre

cump¼ar¼atori.

Acest plan de cercetare empiric¼a este motivat de trendul global de schimbare a paradigmei

de la "fabricatie pur¼a" ("pure manufacturing") la un model de afaceri în care rolul central

este atribuit componentelor de service. De exemplu, în SUA în anul 2006, 8% din PIB a fost

reprezentat de serviciile dup¼a vânzarea produselor. Industria de automobile poate servi ca un

cadru perfect pentru studiul empiric al efectului garantiei.

Timpul de garantie acordat de c¼atre produc¼atorii de automobile este un aspect important,

proeminent al reclamelor automobilelor, care este de fapt o diferentiere a produsului. Choi and

Ishii (2010) enumer¼a mai multe exemple de pe piata auto din SUA prin care arat¼a c¼a prelungirea

timpului de garantie a avut ca efect cresterea cotei de piat¼a (Hyundai, Dodge), sau reducerea

garantiei a dus la sc¼aderea cotei de piat¼a (Volkswagen).

În aceast¼a prim¼a etap¼a a procesului de cercetare am efectuat o analiz¼a vast¼a a literaturii

de specialiatate aferente temei si am selectat aceea parte a literaturii pe care o consider¼am cea

mai relevant¼a. Concurenta pe piata serviciilor este un subiect de interes major pe de-o parte

în managementul operational (OM), iar pe de alt¼a parte în modelele teoretice si cercet¼arile

empirice care examineaz¼a concurenta, atunci când cererea de consum depinde de pret si de

nivelul serviciilor acordate (So 2000, Bernstein and Federgruen 2007, Allon et al. 2011).

În literatura de specialitate economic¼a modelele teoretice de diferentiere a produsului au

determinat studii empirice, în special în industria de automobile, unde au fost studiate diferite

4http://csik.sapientia.ro/zsosan/

18

aspecte ale concurentei �rmelor si a cererii de consum (de exemplu Berry et al. 1995, 2004,

Petrin 2002, Train and Winston 2007).

În literatura de garantie se disting patru teorii care servesc ca exlicatii pentru fenomenul

observat des, si anume c¼a unele �rme ofer¼a garantii mai lungi. Aceste teorii sunt descrise în

detaliu în Emons (1989). Una dintre aceste teorii este teoria asigur¼arii potrivit c¼areia pen-

tru garantiile de asigurare oferta de asigurare pentru clientii functioneaz¼a ca un mecanism de

partajare a riscului (risk-sharing), deoarece oblig¼a produc¼atorul sau vânz¼atorul s¼a compenseze

cump¼ar¼atorul în caz de probleme cu produsul. O alt¼a teorie este teoria de sortare prin garantii

potrivit c¼areia garantia functionez¼a ca un mijloc de discriminare a pretului de gradul al doilea

în rândul clientilor cu preferinte diferite de risc. O alt¼a teorie este teoria semnaliz¼arii potrivit

c¼areia vânz¼atorii trebuie s¼a semnalizeze calitatea produselor prin garantii, la fel cum apare si

în publicitate (Nelson 1974). Ipoteza cheie este asimetria de informatii în sensul c¼a vânz¼atorii

sunt mai bine informati si stiu mai multe despre calitatea produsului decât cump¼ar¼atorii (Chu

and Chintagunta 2011). Potrivit ultimei teorii garantiile apar ca un mecanism de stimulare

pentru �rme pentru dezv¼aluirea si îmbun¼at¼atirea calit¼atii produsului prin garantiile oferite de

produc¼atori.

Analiza detaliat¼a a literaturii de specialitate ne-a condus la selectarea urm¼atoarelor sase

articole relevante: Choi and Ishii (2010), Chu and Chintagunta (2009, 2011), Emons (1989),

Guajardo et al. (2012), Train and Winston (2007).

Relevanta articolului Choi and Ishii (2010) provine mai mult din rezultatele empirice obtinute.

Metoda de estimare se bazeaz¼a pe Train and Winston (2007). În functia de utilitate durata

garantiei este tratat¼a ca o variabil¼a endogen¼a, îns¼a partea de ofert¼a nu se trateaz¼a (ca de exemplu

în Guajardo et al. 2012).

Contributia cea mai important¼a a articolului Chu and Chintagunta (2009) este modelarea

garantiei în cadrul modelului BLP tratând �rmele produc¼atoare si �rmele vânz¼atoare cu am¼a-

nuntul separat modelând explicit interactia strategic¼a între aceste dou¼a tipuri de �rme.

Chu and Chintagunta (2011) prezint¼a o descriere actualizat¼a a teoriilor garantiei si rezultate

empirice ale test¼arii celor patru teorii. Un rezultat care poate � considerat provocator este c¼a

teoria semnaliz¼arii nu este suportat¼a de date în cazul garantiilor pentru autoturisme noi.

Emons (1989) discut¼a detaliat si într-un cadru comun diferitele teorii ale garantiei si le leag¼a

cu notiunile economice de hazard moral si selectie advers¼a.

Relevanta articolului Guajardo et al. (2012) provine din metodologie, adic¼a din faptul c¼a

autorii propun unmodel care pe lâng¼a endogenizarea preturilor endogenizeaz¼a si durata garantiei.

19

Tr¼as¼atura esential¼a a modelului este c¼a durata garantiei apare atât în functia de utilitate cât si

în functia de cost, ca urmare a presupunerii c¼a num¼arul de defectiuni este modelat ca un proces

Poisson omogen.

Contributia articolului Train and Winston (2007) const¼a �între altele�în m¼asurarea efectului

loialit¼atii consumatorilor fat¼a de m¼arci asupra alegerii. Relevanta articolului provine din metoda

de estimare. Aceast¼a metod¼a este construit¼a pentru prelucrarea datelor din cotele de piat¼a si

date obtinute la nivelul consumatorilor. Metoda foloseste într-un mod mai e�cient aceste dou¼a

surse de date decât literatura existent¼a.

Bibliogra�e

[1] Allon, G., A. Federgruen. 2011. Competition in service industries with segmented markets.

Management Science, 55(4), p. 619-634.

[2] Bernstein, F., A. Federgruen. 2007. Coordination mechanisms for supply chains under price

and service competition. MSOM, 9(3), p. 242-262.

[3] Steven Berry, James Levinsohn and Ariel Pakes. 1995. Automobile prices in market equilib-

rium. Econometrica, 63(4), p.841-890.

[4] Berry, S., J. Levinsohn, A. Pakes. 2004. Di¤erentiated products demand systems from a

combination of micro and macro data: The new vehicle market. Journal of Political Economy,

112(1), p.68-104.

[5] Choi, B, Ishii, J. 2010. Consumer perception of warranty as signal of quality. Working paper.

[6] Chu, J., Chintagunta, P. K. 2009. Quantifying the Economic Value of Warranties in the U.S.

Server Market. Marketing Science, Vol. 28 (1), p. 99�121.

[7] Chu, J., Chintagunta, P. K. 2011. An Empirical Test of Warranty Theories in the U.S.

Computer Server and Automobile Markets. Journal of Marketing, Vol. 75, p. 75�92.

[8] W. Emons. 1989. The Theory of Warranty Contracts. Journal of Economic Surveys, Vol.

3:43�56.

[9] Guajardo, J.A., Cohen, M.A., Netessine, S. 2012. Service Competition and Product Quality

in the U.S.Automobile Industry. Working paper.

20

[10] Nelson, P. 1974. Advertising as information. Journal of Political Economy, 81:729 �54

[11] So, K.C. 2000. Price and time competition for service delivery. MSOM, 2(4), p. 329-409.

[12] Train, K.E., Winston, C. 2007. Vehicle Choice Behavior and the Declining Market Share of

U.S. Automakers. International Economic Review, Vol. 48(4), p. 1469-1496.

21