4

AÑO

.

Números Complejos I

Campo de los Números Complejos Dentro del campo de los números reales (IR) podemos

2) Al par ordenado (0; 1) se le llama unidad imaginaria y

se le representa por el símbolo “ ”.

siempre hallar números “x” tales que:

x2 - 1 = 0 Pero que sobre la ecuación: x2 + 1 = 0

No existe ningún número real “x” que satisfaga esta ecuación puesto que el cuadrado de todo número real es positivo o cero (x2 0) y en consecuencia: x2 + 1 > 0

Teorema

Demostración:

= (0; 1) = - 1

2 = - 1

2=

Se hace necesaria la ampliación de IR a un conjunto en el cual pueda resolverse situaciones del tipo anterior, tal conjunto es el de los Números Complejos en la que definimos un nuevo número “ ”, tal que:

= (0; 1)(0; 1)

Efectuando la multiplicación:

= (0.0 - 1.1; 0.1 + 1.0)

= (-1; 0)

= -1

2 = - 1

Número Complejos

Finalmente:

2 = -1

Definición.- Se llama número complejo a todo par

ordenado (a; b) de componentes reales. Notación:

Forma cartesiana o binómica de un complejo El número complejo: Z = (a; b); lo podemos expresar como:

Z = (a; b); donde: a; b IR

Z = (a; b) = a (1;0) + b (0;1)

Al número “a” se le llama parte real de “Z”:

IRe(Z) = a

Al número “b” se le llama parte imaginaria de “Z”:

1

Z = a + b

i

III m(Z) = b

En el sistema de los números complejos se define dos operaciones:

Adición: (a; b) + (c; d) = (a + c; b + d)

Multiplicación: (a; b).(c; d) = (ac - bd; ad + bc)

Observación:

Representación geométrica (Plano de Gauss) En el plano cartesiano denominaremos al eje “y” como eje imaginario y al eje “x” como eje real. Sea:

Z = a + b / a < 0 b > 0 Su representación en el plano de Gauss será como sigue:

1) Al número complejo (x; 0) se le identifica con el número

real “x”, lo cual se puede escribir:

x = (x; 0)

P

Afijo

y (eje imaginario)

b

Donde OP es el radio vector del complejo:

a 0 x (eje real)

Z = a + bi

3

)

Ejemplo: Z1; Z

2 y Z

3 están ubicados en el plano de Gauss.

Imaginario

Ejemplo: Cuál es la relación existente entre “m” y “x” para que el

3

Z2 2

Z1 Real

producto: sea un número imaginario puro.

- 4 4 Solución:

Luego:

-2 Z3

Efectuando la operación dada:

(m + ix)(2 + 3i) = 2m + 3m + 2 x + 3x 2

Z1 = (4; 3) = 4 + 3 ; Z

2 = (-4; 2) = -4 + 2 ;

Z3 = (0; -2) = -2

Cantidades imaginarias Son aquellos números que resultan de extraer una raíz de índice par a un número real negativo.

Agrupando términos:

(2m - 3x) + (3m + 2x

para que la expresión sea imaginario puro se debe cumplir que:

3 2m - 3x = 0 2m = 3x m =

2 x

La relación pedida es: m = 1,5x

16 - 1 = 4

- 16 = 16(-1) = i

Potencias enteras de la unidad imaginaria

5 - 1 = 5

- 5 = 5(-1) = i

Relación de igualdad

Dos complejos son iguales, si y sólo si, sus partes reales y sus partes imaginarias son iguales respectivamente. Así:

a + b = c + d a = c b = d

Tipos de números complejos A. Complejo real o puramente real

Es aquel número complejo que carece de la parte imaginaria; es decir su parte imaginaria es cero. Notación:

Estudiaremos el comportamiento del número: n; n ZZ,

teniendo en cuenta la siguiente definición:

0 = 1; 1 =

1= 7 = 4. 3 = - 2 = -1 8 = 4. 4 = 1 3 = 2. = - 9 = 8. = 4 = 2. 2 = (-1)(-1) = 1 10 = 8. 2 = -1 5 = 4. = 11 = 8. 3 = - 6 = 4. 2 = -1 12 = 8. 4 = 1

Se observa que las potencias de “ ” se repiten cada cuatro veces y sólo toman uno de los cuatro valores:

; -1; - ; 1

Z = a + 0 = a ; a IR

B. Complejo imaginario puro

Propiedades 1. Se observa:

4 = 1; 8 = 1; 12 = 1; ...

Es aquel número complejo que carece de la parte real; es decir su parte real es cero, además su parte imaginaria es diferente de cero. Notación:

Z = 0 + b ; b IR - {0}

esto implica que la unidad imaginaria elevada a un

múltiplo de cuatro es igual a la unidad. o

i 4

1

también:

C. Complejo nulo

Es aquel número complejo que presenta la parte real e

o

i 4 1 i Ejemplo:

o

o

i 4 2 -1 o

i 4 3

o

-i

imaginaria igual al número cero, es decir las dos

componentes son nulas. Notación:

Z = 0 + 0 = 0

22 = i4 2 = -1 43 = i4 3 = - o

81 = i4 1 =

1

+ +

-2

20

i i i i

Z

Calcular:

Solución:

Se observa:

3682 + 1783 + -214

o

3 682 = 4 + 2 o

1 783 = 4 + 3

Opuesto de un complejo

El opuesto de un complejo: Z = a + b , es:

Z* = - a - b

La representación geométrica de: Z = a + b (a > 0 b > o o

- 214 = -( 4 + 2) = 4 - 2 0) de su conjugado y su opuesto:

o o o b Z = a + bi 3682 + 783 -214 = i4 2 + i4 3 + i4 -2

= 2 3 + = - 1 - - 1 = - 2 - 2. + 2 + 3 + ... + 4n = 0 ; n IN

-a a

(Eje real)

Ejemplo:

Calcular:

Solución:

1 i1 i2 i3 ... i1999

1 i i2

-b Z* = -a - bi

Propiedades

Z = a - bi

Como: 1 = 00 ; entonces el numerador será: 2000 + + 2 + 3 + ... + 1999

Ordenando:

Z; Z1; Z

2 C|

1. Z = Z Z es complejo real.

1

2

3

4

0

+ i5 i6 i7 i8 + ... + 2000 0

2. Z = Z

Se observa que cada cuatro términos se obtiene cero, luego el numerador será cero, entonces se tiene:

0 = 0

1 i i2

3. Z = - Z = Z* Z es complejo imaginario puro. 4. Z + Z = 2IRe(Z) 5. Z - Z = 2 IIm(Z)

3. Propiedades de potenciación: 6. Z1 Z2 = Z1 ± Z2

(1 + i )2= 2 i

(1 + i )3= 2 i(1 + i )

(1 + i )4= - 4

(1 - i)2= -2 i

(1 - i)3= -2 i (1 - i)

(1 - i)4= - 4

7. Z1.Z2

= Z1 . Z2

Z Z 1 1

1 + i

1 - i = i

1 - i

1 + i = - i

8. = 2

; Z2 (0; 0) Z 2

Conjugado de un complejo

9. ( Zn ) = ( Z )n; n IN

Dado el conjunto: Z = a + b ; se define el complejo conjugado de Z, denotado por Z como:

10.( n Z ) =

n Z ; n IN

Z = a - b

Módulo o valor absoluto de un complejo

Ejemplo:

Z = 3 + 5 Z = 3 - 5

Dado: Z = a + b ; el módulo o valor absoluto de Z es un

número real no negativo denotado por |Z| tal que:

2

2

2

Z

Eje imaginario

|Z + Z |2 = (Z

+ Z )( Z Z )

b (a; b) = a + bi 1 2 1 2 1 2

|Z| |Z

1 + Z

2|2 = (Z

1 + Z

2)( Z1 + Z2 )

Efectuando se tiene:

Eje real

= Z Z + Z

Z + Z

Z + Z Z

a 1 1 1 2

2 1 2 2

|Z| =

a2 b2

pero:

= |Z1|2 + (Z1 Z2 + Z2 Z1 ) + |Z2|

2

Z1 Z2 + Z2 Z1 = 2IRe(Z1. Z2 )

Geométricamente, el módulo nos representa la magnitud

y IRe(Z . Z ) |Z . Z |

del radio vector del complejo Z de origen (0; 0) y extremo final el afijo de Z.

Entonces: 1 2 1 2

Ejemplo:

Hallar el módulo de los siguientes complejos:

|Z1

+ Z2|2 = |Z

1|2 + 2IRe(Z

1. Z2 ) + |Z2|

2

|Z1|2 + 2|Z1. Z2 | + |Z2|

2

|Z1|2 + 2|Z1|.| Z2 | + |Z2|

2

a) Z = 3 + 4 |Z| = 32 42 = 5 Pero: | Z2 | = |Z2|

b) W = 1

- 3

| Z

|2 2 | Z

| . | Z

| | Z |2

2 2 1 1 2 2

2

1 3 4

Trinomio cuadrado perfecto

|Z1 + Z2|2 (|Z1| + |Z2|)

2

|W| = - = = 1

2 4

Propiedades

Quitando exponentes por ser números positivos: |Z

1 + Z

2| |Z

1| + |Z

2| l.q.q.d.

10.||Z1| - |Z

2|| |Z

1 - Z

2|

11.|Z1 + Z2|2 + |Z1 - Z2|

2 = 2[|Z1|2 + |Z2|

2] 1. |Z| 0

Z; Z1; Z

2 C|

Ejemplo: Siendo Z un número complejo, calcular:

M = |Z + 1|2 + |Z - 1|2

2. |Z| = | Z | = |Z*|

3. |Z|2 = Z. Z 4. |IRe(Z)| |Z|; |IIm(Z)| |Z|

5. |Z1.Z2| = |Z1|.|Z2|

si: |Z| = 2 Solución:

Utilizando la propiedad:

M = |Z + 1|2 + |Z - 1|2 = 2[|Z1|2 + 12]

como: |Z| = 2

M = 2[22 + 1] M = 10

6. Z1 Z2

Z1 = ; Z2

2

(0; 0)

Problemas resueltos

7. |Zn| = |Z|n; n IN

1. Efectuar:

1 3i 2 - 3i

8. | n Z | = n | Z | ; n IN; n 2 Z =

9. |Z

1 + Z

2| |Z

1| + |Z

2|

Solución:

5 2i 1 - i

Demostración: Partiendo de la siguiente igualdad:

Multiplicando se tiene:

2 - 3i 6i - 9i2

11 3i Z = Z =

5 - 5i 2i - 2i 7 - 3i

a) 1 b) 2 c) 3i d) 2i e) N.A.

1

i

Multiplicando al numerador y denominador por: 7 + 3 .

11 3i 7 3i

5. Hallar los valores reales de “x” e “y” que satisfacen la

ecuación: Z = x - 2y + x - y = 2 + 5

7 - 3i 7 3i

77 33i 21i 9i2 Z =

49 - 9i2

Solución: Ordenando:

(x - 2y) + (x - y) = 2 + 5 2. Reducir:

68 54i Z =

58

68 Z =

58

5

54 +

58

9

Igualando:

Resolviendo:

x - 2y 2

x - y 5

1 i 1 - i W = + x = 8; y = 3

Solución: Se sabe:

1 i

1 - i

1 - i

=

1 i

1 - i

1 i = -

6. Cuál debe ser el valor que se le asigne a “k” a fin de

que:

3 4i

1 - ki

sea real; sea imaginario puro. W = 5 + (- )9 = - = 0

W = 0 Solución:

3. Simplificar: 3 4i

1 - ki

es real

3 4i = a

1 - ki 1 + i

1 + i 1 -

1 + i 1 -

2000

3 + 4 = a - ak de la igualdad: a = 3; -ak = 4

4

1 - i k = - 3

3 4i es imaginario puro

3 4i = b

Solución:

Como:

entonces tenemos:

1 i

1 - i =

i

2000

1 - ki

de donde: 3 + 4 = bk + b

de la igualdad:

bk = 3; b = 4

k =

1 - ki

3

4

1 + i 1 + i

1 - 1 - i

i

2000 1 =

1 -

o

Bloque I

Problemas para la clase

4. Reducir:

= 2000 = i4 = 1 1. Simplificar:

(1 i)2 Z

(1 i)2

232

41

45 9 5

S = - 37 + i + i i i

Solución: 22.230

(401)

45

a) 1 b) 0 c) 2

1

S = ( - 1)37 + i + i

37

d) -1 e) 2

1

4.230 o 45

i + i + i

2. Reducir:

S = 4

o o

i8 i13 i32

S = (- )37 + i4 + i4 1 o

S = - 37 + 1 + i4 1

W 2 - i17

i18 - i

- i23

o

S = - i4 1 o

+ 1 + i4 1 = 1

a) -2 b) -4 c) -8 d) 8 e) 16

-

2

3. Reducir:

Z = (1 + i)4 + (1 - i)4 + (1 + i)8

9. Hallar “n” para que al dividir:

5 3ni

2 i

el resultado sea un número imaginario puro. 4. Simplificar:

3(1 i)6 Z

(1 - i)6

2(1 - i)7 -

(1 i)7

5 a)

3

3 d) -

5

5 b) -

3

10 e) -

3

3 c)

5

a) -3 - 4i b) -3 - 2i c) 3 + 2i

d) -3 + 2i e) 2 - i

5. Reducir:

10.Reducir:

3(1 - i)

S 1 i

- i

3(1 i)

i

1 - i

1 - i

- 4 3i

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

a) 2

1 i d)

2

b) 2

i e)

2

c) 2 Bloque II

1. Simplificar:

1 E

4

i 1 - i

6. Dar W , si:

W 1 i

i

1 - i 1 i

i 1 - i a) 16i b) 16 c) -16 16

1 - i

a) 2

1 - 4i d)

2

1 i

b) 2

e) -i

1 4i

c) 2

d) 18 e) 2. Reducir:

S i

i 473

3i515

i9

5i

989

7. Hallar el módulo del siguiente complejo: Z = 4 + 3i

a) 5 b) 5 c) 2

d) 7 e) 10

8. Hallar “a” para que el resultado de dividir:

4 3ai

2 - i

a) 3i b) i c) -i d) -3i e) 3

3. Sumar:

S = (1 + i) + (2 + i2) + (3 + i3)+(4 + i4) + ... + (4n + i4n)

a) n(2n + 1) b) 2n(4n + 1) c) 0 d) n(4n + 1) e) 2n(4n - 1)

4. Reducir:

18

sea un número real.

3 4 4

101112

i9 K

141516

i13

i423679

18192002

i17

a) 4

3 d) -

4

b) 3

2 e) -

3

c) - 3 a) 3 b) -3 c) 3i

d) 1 e) -3i

5. Siendo: i = - 1 , calcular:

i i2 i3 i4 ... i1003 W

2 i i2 i3

2

1 a) -1 b) 1 c)

2

Bloque III

1. El equivalente de:

1 d) -

2

1 e)

2 i

S 1 i

1 1 i

1 1 i

6. Si:

1 1 i

1 1 i

1

1 a

(i 3 a)

A i 3 3i

1 i

2

1 1

2

a 9 3i 9

a) 1 - i b) 1 c) 0 d) 1 + i e) i

donde: i = - 1 ; a = 2; calcular: A4 + 1 2. Sean los números complejos:

a) i + 1 b) 80i + 1 c) 81

d) 82 e) a + 81

m = 1 + yi

i = - 1

7. El equivalente de:

x y - y x

n = u + vi tal que: {y, u, v} z+ cumpliéndose además:

m + n = a + 7i

mn = -7 + 11i

Siendo: 2 < a < 8

es “S”. Si la raíz cuadrada del número complejo: (1 + i) es

“x + yi”. Hallar el valor de “S”.

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

8. Reducir:

Calcule: a2 + y2 + u2 + v2

a) 48 b) 50 c) 52 d) 54 e) 56

3. Si “Z” es un número complejo y satisface:

1 - z

W (1 i)

(1 3i) 1

1 z

donde: i = - 1

i - 3 entonces:

a) 1 - 3i b) -2 c) 10 d) 2 e) -10

9. Simplificar:

- 2 9

i S

1 i5

a) Re(z) > 0 b) Im(z) 0

c) “z” es un número real.

d) “z” es un número imaginario puro.

e) Re(z) < 0 4. En “C| ” los valores de “x” e “y” al resolver la ecuación:

a) 1 b) i c) -i d) 10 e) 0

10.Reducir:

son:

xi

1 yi 3

3x 4i

x 3y

3

3 4 6 5

a) x = ±1 ; y = ± 4

b) x = ±2 ; y = ± 2

W1 - 2i 4i i - - 8 i 4 c) x = ±3 ; y = ±

3 2

d) x = ±3 ; y = ± 3

a) 1 + i b) i - 1 c) -1 - i

d) 1 - i e) 2i - 1

5 e) x = ±2 ; y = ±

4

5. Reducir:

W 1 2i

3 4i

5 6i

... + 2 002 términos

2 - i 4 - 3i 6 - 5i

a) 2 002 b) 2 002i c) -2 002i d) 2 000 e) 2 008i

6. Un valor de “n” que verifica la igualdad:

Autoevaluación

1. Reducir la expresión:

(1 i)n ( 2i)n 64i

1 - i9 W =

1 i3 a) 10 b) 5 c) 100

d) 5i e) 3

7. Hallar el módulo del número complejo “z”:

z = (3 + 4i) (5 - 12i) (2 2 + i) (1 + 3 i)

a) i b) - i c) 1 d) 0 e) - 1

a) 170 b) 250 c) 390

d) 420 e) 510 2. E l v a l o r d e (-

es: - 1 ) 4n + 3 , donde “n” es entero y positivo

8. Si la gráfica del número complejo:

Z 1 ai

; a IR+

a) - 1 b)

-

i

e 2

c) i

1 - ai

en el que se muestra en la figura, el valor de “a” es:

Im

z

0 Re

a) 4 b) -2 c) 1 d) -1 e) 2

9. A partir de:

(1 + i)2 + (1 + i)4 + (1 + i)6 + (1 + i)8 = x + yi

Calcular:

x y

x - y

d) - i e) 1

3. Calcular “x - y” si se cumple:

(1-i)2 + (1-i)4 + (1-i)6 + (1-i)8 = x + yi sugerencia, buscar en cada paréntesis (1 - i)2

a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2

4. Calcular el valor de:

|4 + |12i - |-3 + 4i|||

donde: i = - 1 sugerencia, empezar a calcular los módulos de adentro hacia afuera.

a) 185 b) 185 c) 17 d) 17 e) 16

donde: i = - 1

1 a)

2

1 d)

6

1 b)

4

1 e)

3

1 c)

5

5. Calcular el valor de “a” para que el complejo:

2 - ai

1 2i

sea imaginario puro.

a) 1 b) - 1 c) 0 10.Si: z C| , hallar “Z” en: d) - 2 e) 2

z - 12

5

z - 8i 3

z - 4 1

z - 8

a) 6 + 17i b) 4 + 9i c) 6 + 10i d) 6 + 8i e) -4i

4

AÑO

4

Números Complejos II

Forma polar o t rigonomét rica de un número complejo

Ejemplo: Hallar la forma trigonométrica de:

Sea: Z = a + b , un número complejo diferente del nulo. Es

decir: |Z| 0.

Eje imaginario

Z = a + bi

Solución:

Z = - 1

+ 3

2 2

1

3

|Z| b |Z| = -

2 2

|Z| = 1

a Eje real

2

De la figura: a = |Z| cos ; b = |Z| sendonde:

tan = b

a

tan =

- 1 2

Gráficamente:

- 1

+ 3

i

= - 3 = 120°

3

entonces:

Z = a + b Z = |Z|cos + |Z| sen

Z = |Z| (cos + sen)

Observación: al ángulo “” se le denomina el argumento del complejo “Z” denotado por: Arg(Z), es decir:

2 2

- 1 2

Luego:

2

|Z|

Arg(Z) = . “” puede tomar infinitos valores como:

1 = ;

2 = + 2;

3 = + 4; ...

Z = - 1

+ 2

Observación:

3 = 1(cos120° + sen120°)

2

Argumento principal de un número complejo

De todos los valores de “”; elejimos aquel que se encuentra en el intervalo [0; 2> es decir: 0 < 2; a dicho “” se le denomina argumento principal, cuya notación es:

Arg(Z) =

- Para calcular el argumento principal de “Z” se debe

observar en qué cuadrante se encuentra el afijo de “Z”

y luego calculamos a partir de:

tan = - b

a

- Otra notación que se emplea frecuentemente al expresar

un número complejo en su forma polar es:

Z = |Z| (cos + sen) = |Z| c s

Así:

Observación: Z = 5 cos

isen = 5c s 4 4

- Al argumento de “Z” también se le denomina Amplitud. - El argumento es el ángulo generado por el radio vector

al girar en sentido antihorario desde el eje real positivo hacia un punto cualquiera del radio vector.

Operaciones con número complejos Dados los números complejos:

Z = |Z| (cos + sen) W = |W| (cos + sen)

n n

Multiplicación para: k = 0; 1; 2; ...; (n - 1), se obtienen las “n” raíces. Ejemplo:

Z.W:

ZW = |Z||W| (cos( + ) + sen( + )]

ZW = |Z||W| c s( + )

Z = 3(cos25° + sen25°)

W = 2(cos20° + sen20°)

Ejemplo:

Hallar las tres raíces de: 3 1

Solución:

Z = 1 = 1 + 0

| Z | 1

0

ZW = 6[cos(25° + 20°) + sen(25° + 20°)] 0 2k

0 2k

= 6[cos45° + sen45°] 3 1 = 1 cos isen

3 3

División

Z | Z |

W =

| W | [cos( - ) + sen( - )]

3 1 = cos120°k + sen120°k

Si: k = 0 Primera raíz: cos0° + sen0° = 1

Si: k = 1 Segunda raíz: cos120° + sen120° =

Z | Z |

W =

| W | c s( - )

- cos60° + sen60° = - 1

+ 3

2 2

Ejemplo: Z ÷ W:

Z = 8 (cos65° + sen65°)

W = 2 (cos35° + sen35°)

Si: k = 2 Tercera raíz: cos240° + sen240° =

1 3 - cos60° - sen60° = - -

2 2

Z 8

W =

2 [cos(65° - 35°) + sen(65° - 35°)]

= 2(cos30° + sen30°)

Finalmente:

1 1

3 1 = -

2

3 i w 2

Potenciación (Teorema de Moivre) - 1

- 3 i w 2

Ejemplo:

Dado:

Calcular: Z9

Solución:

Zn = |Z|n(cosn + senn)

Zn = |Z|n c sn

Z = 2(cos20° + sen20°)

Z9 = [2(cos20° + sen20°)]9

Z9 = 29[cos180° + sen180°]

Z9 = 512(cos180° + sen180°)

Geométricamente:

w

w2

Propiedades

1

2 2

Eje imaginario

1

Eje real

Radicación 1. 3 1 = w

2 w

donde: w2 = w

La raíz de un complejo es en forma general, otro complejo y tiene tantas soluciones como lo indique el índice de la raíz.

2. La suma de las tres raíces cúbicas de la unidad es igual a cero.

n | Z |cos

2k

sen 2k

1 + w + w2 = 1 -

1 +

3 -

1 -

3 = 0

n Z = i

2 2 2 2

1 + w + w2 = 0

3. 3 1 = w w3 = 1

4. En general “w” elevado a una potencia múltiplo de tres

es igual a la unidad.

w3n = 1 ; n IN

Solución:

Sea: Calculando:

Z = r (c o s + sen)

Z = r(cos - sen)

Z = r[cos(-) + sen(-)]

Forma exponencial de un complejo

Z r(cos isen)

Z =

r[cos(-) isen(-)]

Teorema de Euler

donde:

e = cos + sen

= cos2 + sen2

dato: argumento = 60°

2 = 60° = 30°

Además:

e: es el número de Euler: e 2,718281... : argumento en radianes

| (ZZ)

2 | =

| (Z)

4 | = |Z|4 = r4 = 16

= (0; 1) Luego:

r = |Z| = 2

Entonces tenemos una nueva representación para el complejo.

Z1 = Z = 2 = 2(cos30° + isen30°) = 3 + i

Z2 = Z = 3 - i

Ejemplo:

Z = |Z| (cos + sen) = |Z|e 3. Resolver:

(Z - )n = (Z + )n

Expresar: Z = 1 + ; en la forma exponencial. Donde: Z C; n ZZ+

Solución: Calculamos el módulo de Z:

Solución:

i n

(Z - )n = (Z + )n Z -

= 1

|Z| = 12 12 |Z| = 2 Z iCalculamos el argumento principal:

Z - i n 1

1 1 Z i

=

= arctan = arctan = arctan(1) = 1 1

4 Aplicando proporciones:

(Z - i) (Z i) n 1 1

Z = 2 e 4 (Z i) - (Z - i)

= 1 - n 1

Problemas resueltos

1. Calcular:

2Z

2i =

n 1 1

1 - n 1

Solución:

Z = (cos10° - sen10°)12

Z = [cos(-10°) + sen(-10°)]12

Calculando:

( 1 1)i Z = ...

1 - n 1

2k i

Z = cos12(-10°) + sen12(-10°)

Z = cos(-120°) + sen(-120°)

Z = cos120° - sen120°

“” en “”:

3 1 = e n

2k

(e n

... 1)i

1 3 Z = -

2 -

2

Z =

1 - e

2ki

n

2. El cociente de dos números complejos, conjugados entre

sí, tiene argumento 60° y el conjugado del cuadrado de su producto tiene módulo 16. Hallar ambos números complejos.

donde: k = 0; 1; 2; ...; (n - 1) 4. Reducir:

[4(cos 7 isen7)]8 [2(cos 8 isen8)]9

[4(cos 9 isen9)]10 [2(cos 2 isen2)]4

Solución:

3 -

1

48 (cos 56 isen56)29 (cos 72 isen72)

410 (cos 90 isen90)24 (cos 8 isen8)

48.29 [cos(56 72) isen(56 72)]

Ordenando:

3

= 2 2

1 3 1 3 1

410.24 [cos(90 8) isen(90 8)

(22 )8 .29 [cos 128 isen128]

(22 )10 .24 [cos 98 isen98]

6 - 1 = 2

+ 2

; 2

- 2

- 3

- 1

2 2

; ; - ; - + ; 2 2

225

224 [cos(128° - 98°) + sen(128° - 98°)]

2[cos30° + sen30°]

6. Si: 1, w, w2 son las tres raíces cúbicas de la unidad.

Calcular el valor de:

R = (1 + w - w2)(1 + w2 - w4)(1 + w4 - w8) (1 + w8 - w16) ... 6n factores

3

1

2 i Solución: 2

3 +

2 Reduciendo las potencias, considerando que: w3n = 1,

tendremos:

R= (1 w - w2 )(1 w2 - w)(1 w - w2 )... 5. Hallar las seis raíces de 6 - 1 .

Solución:

Z = -1 |Z| = 1

"6n" factores

observamos que los factores se repiten en forma

alternada, ordenando:

R = (1 w - w2 )...(1 w2 - w)... "3n" factores "3n" factores

=

-1

R = (1 + w - w2)3n(1 + w2 - w)3n

Recordando:

Z = 1[cos + isen]

1 + w + w2 = 0 1 w -w

2

1 w

2 -w

6 1 cos

2k

sen

2k

Reemplazando valores:

6 Z =

i 6

6

(-w2 - w2)3n(-w - w)3n = (-2w2)3n(-2w)3n

como: = 180°

6 Z = cos30°(2k + 1) + sen30°(2k + 1)

Para: k = 0

[(-2w2)(-2w)]3n = (4w3)3n

R = 43n

Problemas para la clase

cos30° + sen30° = 3 +

1

Para: k= 1

Para: k = 2

2 2

cos90° + sen90° =

Bloque I 1. Cuántos complejos están puestos en forma polar o

trigonométrica:

cos150° + sen150° = -cos30° + sen30°

I. Z 1

= 3 [cos80º + isen60º]

= - 3

+ 1 II. Z2 = -3[cos30º + isen30º]

2 2 III. Z3 = - 2 [cos140º + isen180º]

Para: k = 3

IV. Z

= 3 [cos + isen ]

cos210° + sen210° = -cos30° - sen30° 4 2 2

= - 3

- 1

2 2

Para: k = 4

a) I, II, III b) II y III c) I y IV

d) Sólo IV e) N.A.

Para: k = 5

cos270° + sen270° = - 2. Expresar: Z = 1 + 3 i, en forma polar.

cos330° + sen330° = cos 30° - sen30° a) 2[cos + isen ] b) 4[cos + isen ]

3 3 2 2

c) 2[cos

6 + isen

6 ] d) 4[cos

3 + isen

3 ] b) 2[cos 3

+ isen 3

]

e) 4[cos120º + isen120º]

3. Expresar: Z = 3 + 3 i, en forma polar.

7c) 128[cos

3

5

7+ isen

3 ]

5

a) 2 3 [cos 5

+ isen 5

]

d) 64[cos 3

+ isen 3

]

6 6

b) 3 [cosp + isenp]

e) N.A. 7. Hallar e indicar una de las tres raíces cúbicas de la

unidad:

c) 2 [cos 5

+ isen 5

] 6 6

1 2 1 3

5d) 3 [cos

3

5+ isen

3 ]

a) - 2

+ 2

i b) - 2

+ 2

i c) -1

e) N.A. 4. Sean los complejos:

1 d) -

2 +

6

i e) 2

1 +

3 i

2 2

8. Hallar la forma polar del complejo: Z

1 = 3[cos

6

Z

2 = 4[cos

3

+ isen 6

]

+ isen

3 ]

Z1

= 3 + i

hallar: (Z1

Z2)

a) 2[cos 6

c) 6[cos

+ isen 6

+ isen

] b) 3[cos 3

] d) 4[cos

+ isen 3

]

+ isen ] a) 4[cos

2 + isen

3 ] b) 12[cos

2 + isen

2 ] 4 4 6 6

e) N.A. c) 3[cos + isen] d) 12[cos + isen] e) N.A.

5. Sean los complejos:

9. Hallar la forma polar del complejo:

Z = -2 - 2 3 i

Z1 = 4[cos 3

+ isen 3

]

4 4 3

a) 4cis b) 2cis c) 6cis

Z

2 = 3[cos

6

+ isen 6

]

3 3 4

4 d) cis e) N.A.

3 4

Hallar: Z1 Z 2

4

10.Hallar la forma polar de: Z

1 = -1 - i

a) 3

[cos 6

4

+ isen 6

]

a) 2 cis

4

b) - 2 cis

4

5c) 2 cis

4

b) 3

[cos(- 6

) + isen(- 6

)]

3 c)

4 [cos + isen]

3d) cis

4

e) cis

3

4

Bloque II

d) 3

[cos 2

e) N.A.

+ isen 2

] 1. Expresar en forma exponencial el complejo:

Z = 1 + 3 i

6. Sea el complejo: Z = (1 + 3 i)

hallar "Z7" en forma polar.

i a) 2e 3

2 i

i

b) 3e 3

i

c) 2e 4

a) 128[cos

3

+ isen

3 ]

d) 3e 3 e) N.A.

a) 1 b) 1,1 c) 1,2 d) 1,3 e) 1,5

3 2

5

2. Expresar:

Z = -3 + 3 i

7. Hallar la forma exponencial del complejo:

Z

1 = 3 + i

en forma exponencial.

i

5 i

5 i

a) 2e 6

i

b) e 6

i

c) 2e 6

a) 2 3e 6

i

b) 2 2e 6

-

c) 2 3e 6

i

d) 3e 6

i

e) e 4

d) 3e e) e

8. Hallar la forma exponencial del complejo:

Z = -2 - 2 3 i 3. Sean los complejos:

4 4

4

Z1

= 2 [cos 6

Z2

= 8 [cos 3

+ isen 6

]

+ isen 3

]

a) 4e 3

d) e 3

i

b) 3e 3

4 i

e) e 3

i

c) 4e 3

Hallar “Z1.Z

2”

i

9. Hallar el módulo de:

Z = 1 + cos106º + isen106º

i

a) 4e 2

i

b) 4e 2 c) 16e 3

d) 8e 2 e) N.A. 10.Calcular: P = ii

4. Sean los complejos:

Z1 = 4cis 3

- a) e 2

-

i

2

b) e 2

i

c) e 2

Z2 = 3cis 6 d) e e) e

Z

Bloque III Hallar:

1

Z 2

4

a) e 6 3

4 i

4

i

b) e 6 3

3

i

c) e 3 4

1. Reducir:

siendo:

N 3(cis72º )(4cis70º )(5cis38º ) 10(cis17º )(2cis85º )(cis78º )

cis = cos + isen

d) e 2 3

e) N.A.

a) 2 b) 3 c) cis180º d) 1 e) N.A.

5. Sea: Z = 1 + 3 i

Hallar “Z10”.

2. Efectuar:

M (2cis10º )

(3cis40º )2

(5cis15º )4 7

i

a) 1024e 3

i

b) 1024e 16

3 10

i

c) 1024e 3 (2cis30º )2 (5cis20º )3 (24cis33º )

a) 9 + 12i b) 12 + 9i c) 4 + 3i

d) 1024e 3 e) N.A. d) 3 + i e) 2 - i

6. Hallar e indicar una de las tres raíces cúbicas de la

unidad: 3. Si "W" es una raíz cúbica de la unidad, reducir:

E = 1 + W + W2 + W3 + W4 + ... + W1997

a) - 1

8 i

2 2

d) - 1

6 i

2 2

b) - 1

- 3

i 2 2

e) 1

3 i

2 2

c) -1

a) 1 b) W c) W2

d) -W e) 0

a) 3e b) 2e c) e d) i e) i-2

a) 1 b) 2 c) 4 d) 2 e) 0

a) 22 u2 b) 21 c) 19

a) i

2e 2

b) d) 18 e) 3

4. Señale una raíz quinta de la unidad:

a) -1 b) cis 2

c) cis

Autoevaluación

1. La forma cartesiana del siguiente complejo:

5 15 [cos 17 isen17]3 [

2 (cos 28 isen28]2

d) cis

e) cis (cos 7 isen7)11

8

5. Reducir:

4

i - i

es:

a) 2 + i b) 2 + 2i c) 3 + i

d) 2 + 3 i e) N.A.

L e 4

i

e 4

e 4

-

i

- e 4

2. Sea el complejo:

a) 1 b) -1 c) i d) -i e) e

6. Calcular "a" en la igualdad:

Z = 3

+ 1

i 2 2

calcular: Z6

1

2

a

1i

i 1-i

a) 1 b) 2 c) 3

d) - 1 e) - 2

3. Expresar: Z = 4i, en su forma trigonométrica.

7. Reducir: W668 + W273 + W855 + W542 + W115 + W439

a) 2[cos 2

+ isen 2

] b) 2[cos 2

- isen 2

]

siendo: 1, W, W2 las tres raíces cúbicas de la unidad. c) 2[sen + icos ] d) 4[sen - icos ] 2 2 2 2

e) 2[cos + isen]

8. Calcular el área que genera el complejo "Z" si se cumple:

2 |Z| 5

4. Expresar: Z = 1 + 3 i, en su forma exponencial.

i

9. Calcular:

E 4 27 [(2W 1)6 (2W 2 1)6 ]

d) 2ei e)

2e3i c)

i

2e 3

2e 4

siendo "W" una raíz cúbica de la unidad.

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

10.Si: 1, W, W2 son las raíces cúbicas de la unidad, calcular: R = (1 + W - W2)(1 + W2 - W4)(1 + W4 - W8) ...

"18n" factores

a) 43 b) 2n c) 43n

d) 42n e) 49n

5. Indicar verdadero (V) o falso (F):

I. [r(cos + isen)]n = n(cosr + isenr) II. cis = sen + icos

III. cos - isen = e-i

a) VFV b) FFF c) FVV

d) VVV e) FFV