New Ecuatii cu derivate partiale de ordin IImath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Ecuatii cu... · 2018. 1. 5. · Integrarea ecua¸tiei coardei vibrante ﬁnite Integrarea

Introducere. Condiţii iniţiale, condiţii la limtăIntegrarea ecuaţiei coardei vibrante finite

Integrarea ecuaţiei căldurii într-o bară de lungime finită

Ecuaţii cu derivate parţiale de ordin II

Metoda separării variabilelor




Metoda separării variabilelor

1 Introducere. Condiţii iniţiale, condiţii la limtă

2 Integrarea ecuaţiei coardei vibrante finite

3 Integrarea ecuaţiei căldurii într-o bară de lungime finită




Introducere. Condiţii iniţiale, condiţii la limtă




O clasă largă de probleme la limită asociate unor ecuaţii cuderivate parţial de ordiul al doilea se pot rezolv prin metodaseparării variabilelor atribuită lui Fourier. Expunem în cele ceurmează această metodă pentru rezolvarea ecuaţiei coardeivibrante şi a ecuaţiei căldurii, cu diverse condiţii iniţiale şicondiţii la limită. Vom considera t variabila temporală, xvariabila spaţială iar funcţia necunoscută este u = u(t , x),(t , x) ∈ [0,+∞)× [0, ` ], I ⊆ R interval.




Condiţiile iniţiale

Condiţiile iniţiale se referă la variabila timp t ∈ [0,+∞), dauinformaţii despre funcţia necunoscută la un moment de timpt0 ∈ [0,+∞) precizat şi pot fi de forma

u(t0, x) = u0(x), x ∈ I,

sau u(t0, x) = ϕ(x),∂u∂t

(t0, x) = ψ(x), x ∈ I,

unde ϕ,ψ sunt funcţii cunoscute. O problemă în care nu existădecât condiţii iniţiale se numeşte problemă Cauchy.




Condiţiile la limită

Condiţiile la limită se referă la variabila spaţială x ∈ I şiprecizează valorile funcţiei necunoscute în punctele frontierăale intervalului I la orice moment de timp t . Dacă I = [0, ` ]atunci condiţiile la limită pot fi de forma{

u(t ,0) = f (t),u(t , `) = g(t), t ∈ [0,+∞),

unde f ,g sunt funcţii cunoscute. Situaţia f (t) = g(t) = 0, pentruorice t ∈ [0,+∞) corespunde condiţiilor la limită omogene.În caz contrar spunem că problema este cu condiţii la limităneomogene.




Ecuaţia omogenă a coardei vibrante finite

cu condiţii la limită omogene




Fie o coardă vibrantă (fir material extensibil şi omogen) delungime finită ` şi fixată la capetele x = 0 şi x = `. În poziţia deechilibru coarda ocupa segmentul [0, ` ]. Notăm u(t , x)elongaţia sau abaterea de la poziţia de echilibru la momentulde timp t şi în punctul de abascisă x . Atunci u(t , x) verificăecuaţia hiperbolică omogenă:

1a2∂2u∂t2− ∂

2u∂x2

= 0, (t , x) ∈ [0,+∞)× [0, ` ]. (2.1)

Constanta a2 depinde de densitatea materialului ρ şi de T0,proiecţia ortogonală pe 0x a vectorului tensiune în coarda

aflată în poziţia de echilibru; a2 =T0ρ.




Admitem că la momentul de timp t = 0 se cunosc poziţia iniţialăϕ şi viteza iniţială ψ a coardei. Acest fapt se reflectă încondiţiile iniţiale:

(C.I.)

u(0, x) = ϕ(x),∂u∂t

(0, x) = ψ(x), x ∈ [0, ` ],(2.2)

cu ϕ,ψ : [0, ` ]→ R funcţii continue.




Presupunem că la capetele sale coarda este fixată, decielongaţia în aceste puncte este nulă. Aceasta se transcrie princondiţiile la limită omogene:

(C.L.)

{u(t ,0) = 0,u(t , `) = 0, t ∈ [0,+∞). (2.3)




Metoda separării variabilelor pentru problema omogenă(2.1)+(2.2) cu condiţiile la limită omogene (2.3) constă încăutarea soluţiilor de forma

u(t , x) = T (t) · X (x), (2.4)

unde funcţiile T (t) şi X (x) urmează a fi determinate astfelîncât ecuaţia (2.1) să fie satisfăcută iar condiţiile iniţiale (2.2) şicele la limită (2.3) să fie îndeplinite.




Avem

∂2u∂t2

= T ′′(t) · X (x) şi ∂2u∂x2

= T (t) · X ′′(x),

şi atunci ecuaţia (2.1) se scrie

T ′′(t) · X (x)− a2T (t) · X ′′(x) = 0.

RezultăX ′′(x)X (x)

=T ′′(t)a2T (t)

= k , (2.5)

unde k nu poate fi decât o constantă deoarece trebuie să fieegală simultan şi cu un raport de funcţii de x , şi cu un raport defuncţii de t , iar variabilele t şi x sunt independente.




Egalităţile (2.5) sunt echivalente cu

X ′′(x)− kX (x) = 0 (2.6)

şiT ′′(t)− ka2T (t) = 0. (2.7)

Condiţiile la limită (2.3) sunt echivalente cu X (0) = 0 şiX (`) = 0. Astfel, X trebuie să fie soluţie pentru problema

X ′′(x)− kX (x) = 0, x ∈ [0, ` ],X (0) = 0,X (`) = 0.

(2.8)

Ecuaţia caracteristică asociată este λ2 − k = 0.




(i) k > 0. Atunci λ1 =√

k , λ2 = −√

k , iar soluţia generală aecuaţiei este

X (x) = C1ex√

k + C2e−x√

k , x ∈ [0, ` ], C1,C2 ∈ R.

Condiţiile X (0) = 0 şi X (`) = 0 conduc la{C1 + C2 = 0C1e`

√k + C2e−`

√k = 0,

sistem ce are soluţia C1 = C2 = 0. Atunci X (x) = 0, pentruorice x ∈ [0, ` ], deci u(t , x) = 0, pentru orice(t , x) ∈ [0,+∞)× [0, ` ], iar această soluţie nu convine (a sevedea (2.2)).




(ii) k = 0. Atunci λ1 = λ2 = 0 şi soluţia generală a ecuaţieieste

X (x) = C1 + C2x , x ∈ [0, ` ], C1,C2 ∈ R,

iar din condiţiile X (0) = 0 şi X (`) = 0 găsim ca mai susC1 = C2 = 0, deci u(t , x) = 0, pentru orice(t , x) ∈ [0,+∞)× [0, ` ], soluţie ce nu convine.




(iii) k < 0. Notăm k = −ν2. Atunci λ1,2 = ±jν şi soluţiagenerală a ecuaţiei este

X (x) = C1 cos νx + C2 sin νx , x ∈ [0, ` ], C1,C2 ∈ R.Impunem condiţiile X (0) = 0 şi X (`) = 0 şi găsim{

C1 = 0C2 sin ν` = 0.

Nu putem avea C2 = 0 şi atunci rezultă sin ν` = 0 de underezultă ν` = nπ, n ∈ N∗. Am obţinut astfel

νn =nπ`, kn = −

(nπ`

)2, n ∈ N∗, (2.9)

iar familia de soluţii pentru problema (2.8) este

Xn(x) = sinnπ`

x , n ∈ N∗. (2.10)




Revenim la ecuaţia pentru T , (2.7), unde kn este dat de (2.9) şi,pentru fiecare n ∈ N∗, obţinem o ecuaţie diferenţială liniară şiomogenă cu coeficienţi constanţi,

T ′′(t) + a2(

nπ`

)2T (t) = 0.

Soluţia generală este

Tn(t) = an cosnπa`

t + bn sinnπa`

t , t ∈ [0, ` ], n ∈ N∗, (2.11)

unde an,bn sunt constante reale ce urmează a fi determinate.




Toate funcţiile un : [0,+∞)× [0, ` ]→ R,

un(t , x) =(

an cosnπa`

t + bn sinnπa`

t)

sinnπ`

x , n ∈ N∗,

sunt soluţii ale ecuaţiei coardei vibrante (2.1) ce satisfaccondiţiile la limită (2.3).Datorită omogenităţii ecuaţiei (2.1) şi condiţiilor la limită (2.3),rezultă că suma tuturor acestor soluţii este de asemenea osoluţie pentru (2.1)+(2.3).Considerăm soluţia u : [0,+∞)× [0, ` ]→ R,

u(t , x) =∞∑

n=1

(an cos

nπa`

t + bn sinnπa`

t)

sinnπ`

x , (2.12)

unde an,bn, n ∈ N∗, sunt constante reale ce urmează a fideterminate din condiţiile iniţiale (2.2).




Calculăm, prin derivarea seriei termen cu termen,

∂un∂t

(t , x) =πa`

∞∑n=1

n(−an sin

nπa`

t + bn cosnπa`

t)

sinnπ`

x .

Impunem condiţiile (2.2) şi rezultă

∞∑n=1

an sinnπ`

x = ϕ(x)

πa`

∞∑n=1

nbn sinnπ`

x = ψ(x)

pentru orice x ∈ [0, ` ].




Să observăm că an şinπa`

bn reprezintă coeficieni̧i Fourier aidezvoltărilor funcţiilor ϕ şi, respectiv, ψ în serie de sinusuri peintervalul [0, ` ]. Rezultă

an =2`

`∫0

ϕ(x) sinnπ`

x dx ,

bn =2

nπa

`∫0

ψ(x) sinnπ`

x dx , n ∈ N∗.

(2.13)

Soluţia ecuaţiei omogene a coardei vibrante finite cu condiţii lalimită omogene (2.1)+(2.2)+(2.3) este dată de suma seriei(2.12) unde coeficienţii an şi bn sunt determinaţi de relaţiile(2.13).




Ecuaţia omogenă a căldurii cu condiţii la limită omogene




Propagarea temperaturii într-o bară omogenă de lungime finită,`, în ipoteza că între suprafaţa barei şi mediul înconjurător nuexistă schimb de căldură, este descrisă de o ecuaţie parabolicăomogenă

1a2∂u∂t− ∂

2u∂x2

= 0, (t , x) ∈ [0,+∞)× [0, ` ], (3.1)

u(t , x) reprezentând temperatura la momentul de timp t şi înpunctul de abscisă x . Constanta a2 se numeşte difuzivitatetermică a barei prin care se propagă căldura şi depinde deproprietăţile fizico-chimice ale materialului barei.




Admitem că la momentul de timp t = 0 când se incepe studiulpropagării temparaturii în bară, se cunoaşte temperatură înbară ϕ. Acest fapt se reflectă în condiţia iniţială:

(C.I.) u(0, x) = ϕ(x), x ∈ [0, ` ], (3.2)

unde ϕ : [0, ` ]→ R este o funcţie de clasă C2.




Presupunem că la capetele barei, în orice moment de timp,temperatura este zero. Această ipoteză se transcrie princondiţiile la limită omogene:

(C.L.)

{u(t ,0) = 0,u(t , `) = 0, t ∈ [0,+∞). (3.3)




Metoda separării variabilelor pentru problema(3.1)+(3.2)+(3.3) constă în determinarea soluţiei de forma

u(t , x) = T (t) · X (x), (3.4)pentru orice (t , x) ∈ [0,+∞)× [0, ` ], unde funcţiile T (t) şiX (x) urmează a fi determinate astfel încât ecuaţia (3.1) să fiesatisfăcută iar condiţia iniţiă (3.2) şi condiţiile la limită (3.3) săfie îndeplinite.

∂u∂t

= T ′(t) · X (x) şi ∂2u∂x2

= T (t) · X ′′(x),

şi atunci ecuaţia (3.1) se scrie

T ′(t) · X (x)− a2T (t) · X ′′(x) = 0sau echivalent

X ′′(x)X (x)

=T ′(t)

a2T (t)= k , (3.5)

unde k nu poate fi decât o constantă.Ecuaţii cu derivate parţiale de ordin II



X ′′(x)− kX (x) = 0X (0) = 0X (`) = 0.

(3.6)

Situaţiile k > 0 şi k = 0 conduc la soluţia banală X (x) = 0, deciu(t , x) = 0, care nu convine.Situaţia k < 0, notăm k = −ν2; ecuaţia caracteristicăλ2 + ν2 = 0, admite rădăcinile λ1,2 = ±jν şi soluţia generală aecuaţiei este

X (x) = C1 cos νx + C2 sin νx , x ∈ [0, ` ], C1,C2 ∈ R.




Impunem condiţiile X (0) = 0 şi X (`) = 0 şi găsim{C1 = 0C2 sin ν` = 0.

Nu putem avea C2 = 0 (implică X (x) = 0, deci u(t , x) = 0 carenu convine) şi atunci rezultă sin ν` = 0 de unde rezultă

νn =nπ`, n ∈ N∗.

Familia de soluţii pentru problema (3.6) este

Xn(x) = sinnπ`

x , x ∈ [0, ` ], n ∈ N∗. (3.7)




Ecuaţia pentru TT ′(t)

a2T (t)= k cu k = −

(nπ`

)2devine

T ′(t) + a2(

nπ`

)2T (t) = 0,

iar soluţie generală este

Tn(t) = ane−(nπ` )

2 t , t ∈ [0,+∞), n ∈ N∗, (3.8)

unde an sunt constante reale ce urmează a fi determinate.




Funcţiile un : [0,+∞)× [0, ` ]→ R,

un(t , x) = ane−(nπ` )

2 t · sin nπ`

x , n ∈ N∗,

sunt soluţii ale ecuaţiei (3.1) ce satisfac condiţiile la limită (3.3).Rezultă că u : [0,+∞)× [0, ` ]→ R,

u(t , x) =∞∑

n=1

ane−(nπ` )

2 t · sin nπ`

x , (3.9)

(t , x) ∈ [0,+∞)× [0, ` ], este soluţie pentru (3.1)+(3.3), undecoeficienţii an, n ∈ N∗, urmeză a fi determinaţi din condiţia lainiţială (3.2).




Condiţia u(0, x) = ϕ(x), pentru orice x ∈ [0, ` ] ne conduce la

∞∑n=1

an sinnπ`

x = ϕ(x),

pentru orice x ∈ [0, ` ]. Să observăm că (an)n reprezintăcoeficienţii Fourier ai dezvoltării funcţiei ϕ în serie de sinusuripe intervalul [0, ` ]. Atunci

an =2`

`∫0

ϕ(x) sinnπ`

x dx , n ∈ N∗. (3.10)


Introducere. Conditii initiale, conditii la limtaIntegrarea ecuatiei coardei vibrante finiteIntegrarea ecuatiei caldurii într-o bara de lungime finita

Documents

New Ecuatii cu derivate partiale de ordin IImath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Ecuatii cu... · 2018. 1. 5. · Integrarea ecua¸tiei coardei vibrante ﬁnite Integrarea