Nacrtna Geometrija Predavanja Zagreb

DESKRIPTIVNA GEOMETRIJA

HDKGIKG & GF Zagreb

Vlasta Szirovicza

Ema Jurkin

UDBENICI SVEUILITA U ZAGREBU

MANUALIA UNIVERSITATIS STUDIORUM ZAGRABIENSIS

Doc. dr. sc. Vlasta Szirovicza

Mr. sc. Ema Jurkin

Zagreb, 2005.

DESKRIPTIVNA GEOMETRIJA

I. izdanje

Izdavai: Graevinski fakultet Sveuilita u Zagrebu i

Hrvatsko drutvo za konstruktivnu geometriju i kompjutorsku grafiku

Recenzenti:

Doc. dr. sc. Ivanka Babi

Prof. dr. sc. Branko Kuini

Doc. dr. sc. eljka Milin ipu

Prof. dr. sc. Sanja Varoanec

Lektor:

Prof. dr. sc. Lada Badurina

Objavljivanje ovog sveuilinog udbenika odobrilo je Povjerenstvo za znanstveno-nastavnu literaturu

Sveuilita u Zagrebu rjeenjem broj 02-528/5-2005. od 23. lipnja 2005.

ISBN 953-98814-2-0

Grafiko oblikovanje ovitka:

Ranko eri, akad. slikar - grafiar

CIP - Katalogizacija u publikaciji

Nacionalna i sveuilina knjinica - Zagreb

UDK 514.18(075.8)(086) SZIROVICZA, Vlasta

Deskriptivna geometrija / Vlasta Szirovicza, Ema Jurkin. -

1. izd. - Zagreb : Graevinski fakultet

Sveuilita : Hrvatsko drutvo za

konstruktivnu geometriju i kompjutorsku

grafiku, 2005. - (Udbenici Sveuilita u

Zagrebu = Manualia Universitatis studiorum

Zagrabiensis)

Zahtjevi sustava: Windows 2000, XP; MS

PowerPoint 2000 ili noviji. - Stv. nasl. s

nasl. zaslona. - Bibliografija. ISBN 953-98814-2-0 (Drutvo) 1. Jurkin, Ema

I. Nacrtna geometrija -- Udbenik

450704099

Predgovor

Ova je knjiga napravljena u programskom paketu Microsoft PowerPoint koji, iako nije crtaki

program, prua izuzetne edukacijske i didaktike mogunosti.

ini se da je upravo sada pravi trenutak za objavljivanje ovakva udbenika deskriptivne

geometrije, matematike discipline kojoj je primarni cilj razvijanje prostornog zora i matematikog

naina zakljuivanja, a tek onda izraavanje ideja crteom kao vanim komunikacijskim oblikom

to datira iz prapovijesti ovjeanstva. Znatan broj inenjera nije svjestan uloge deskriptivne

geometrije u vlastitoj naobrazbi. Nastanak ovakve knjige pokazuje prednost uporabe raunala, koje

je samo sredstvo komunikacije, a nipoto ne kreator.

Velika je prednost ove knjige animacija svake konstrukcije; animacija zamjenjuje tekst opisa

konstrukcije u klasinom udbeniku. Druga je prednost mogunost pozivanja na raniju

konstrukciju (zahvaljujui hipertekstnoj organizaciji, tj. linkovima), a to skrauje vrijeme uenja.

Knjigom se moe sluiti svaki korisnik koji ima pristup raunalu, i to bez ikakva prethodnog

znanja o raunalu i programskoj podrci.

Sadraj ove knjige zajednike su osnove dodiplomskog kolegija Deskriptivna geometrija koji se

izvodi na veini tehnikih fakulteta, napose na onima koji su znali procijeniti ulogu deskriptivne

geometrije u izobrazbi buduih inenjera. Knjiga je namijenjena studentima i profesorima, ali i

uenicima srednjih kola jer ne pretpostavlja prethodno znanje geometrije, osim elementarnog.

Pretpostavka je da e animacija i dopadljiv kolorit knjige zainteresirati i druge znatieljnike, a

moda neke potaknuti na slian pokuaj u nekom drugom podruju.

Autorice

U Zagrebu 2005.

Upute za koritenje udbenika

Ovu je knjigu mogue koristiti pod Microsoftovim operativnim sustavom Windows

2000 ili Windows XP pomou programa MS PowerPoint 2000 te vieg.

Kazalo otvarate dvostrukim klikom lijevom tipkom mia na ime 00-Kazalo.

eljenu prezentaciju otvarate dvostrukim klikom na broj u Kazalu uz naziv prezentacije. Svaki klik lijevom tipkom mia (ili pritisak na tipku ENTER) proizvodi jednu radnju na ekranu. Zavretkom prezentacije iste nas naredbe klik lijevom tipkom mia ili pritisak tipke ENTER vraaju u Kazalo.

Pritiskom tipke ESC u svakom je trenutku mogue prekinuti prezentaciju i vratiti se u Kazalo.

Pojedina prezentacija moe se otvoriti i neposrednim klikom na odgovarajui broj.

Unutar teksta podcrtan broj znai hipertekstnu vezu (link) s odreenim slajdom. Ako se taj slajd ne nalazi u istoj prezentaciji, pritiskom se tipke ESC vraamo na poetnu poziciju. Ako je pozvani slajd u istoj prezentaciji, povratak je na raniji slajd mogu klikom na crnu strelicu na desnoj strani tog slajda.

U gornjem desnom kutu svakog slajda ploica je s naredbama za kretanje unutar prezentacije. Naredbe su ove: otvoriti idui slajd, otvoriti prethodni slajd, vratiti se na poetak prezentacije, otii na kraj prezentacije.

KAZALO:

1. Konstrukcije krivulja 2. stupnja

O krivuljama drugog reda 18

Elipsa prema definiciji 21

Hiperbola prema definiciji 30

Parabola prema definiciji 41

Konstrukcije parabole 43

2. Neke ravninske konstrukcije

Rytzova konstrukcija 57

Tangente krunice 58

Rektifikacija krunice 64

Konstrukcija pravilnih mnogokuta 67

Konstrukcija nekih elemenata elipse 70

3. Geometrijske transformacije u ravnini

Perspektivna kolineacija i afinost 72

Afinost krunice i elipse 86

4. Mongeova metoda projiciranja

O projiciranju. Projekcije toke 97

Projekcije pravca 108

Ravnina 118

Pravac u ravnini 124

Zadavanje ravnine 138

Presjenica dviju ravnina 141

Probodite pravca i ravnine 147

Okomitost 157

Bokocrt 165

Stranocrt 175

Projiciranje ravninskih likova 188

2

5. Geometrijska tijela s osnovicom u jednoj od ravnina projekcija

a) uglata tijela

Prizme. Piramide 199

b) obla tijela

Valjci. Stoci. Kugle 202

6. Geometrijska tijela s osnovicom u opoj ravnini

Pravilna uglata geometrijska tijela 207

Kocka 208

Stoac 1 204

Stoac 2 205

Stoac 3 205

Kvadratska piramida 201

Valjak 202

3

8. Presjeci

a) Presjeci uglatih ploha

Prizmatine plohe. Prizme 265

Piramidalne plohe. Piramide 271

b) Presjeci oblih ploha

Oble plohe 278

Presjek stoca 283

Presjek valjka 300

Presjek kugle 311

Presjek elipsoida i hiperboloida 314

Presjek nekih oblih ploha 321

4

7. Aksonometrijske metode

Kosa aksonometrija 220

Kosa projekcija 234

Eckhartova metoda 248

Ortogonalna aksonometrija 251

Kupole 261

5

9. Probodita pravca i plohe. Dirne ravnine

a) Probodita plohe pravcem

Probodita stoca pravcem 321

Probodita valjka pravcem 329

Probodite kugle pravcem 330

b) Dirna ravnina plohe

O dirnoj ravnini plohe 331

Dirna ravnina stoca 332

Dirna ravnina valjka 334

Dirna ravnina kugle 335

Dirna ravnina elipsoida 336

Dirna ravnina torusa 337

6

11. Kotirana projekcija

O kotiranoj projekciji. Mjerilo 471

Ravnina 475

Okomitost 481

Rotacija 484

Pravilno geometrijsko tijelo 487

10. Prodori

O prodorima uglatih i oblih ploha 339

Vrste prodornih krivulja 4. reda. Prodor

stoca i valjka 348

Prodor rotacijskih valjaka 381

Prodor kosih krunih valjaka 399

Prodor rotacijskih stoaca 417

Prodori s kuglom. Metoda koncentrinih kugala 433

Prodori s torusom 459

7

12. Primjena kotirane projekcije. Metoda slojnica.

Idealni tereni. Topografske plohe 494

Horizontalna prometnica 505

Prometnica u nagibu 517

Raskrije 528

8Bibliografija

[1] I. Babi, S. Gorjanc, A. Sliepevi, V. Szirovicza: Konstruktivna geometrija

vjebe, HDKGIKG Zagreb, 1994.

[2] I. Babi, S. Gorjanc, A. Sliepevi, V. Szirovicza: Nacrtna geometrija zadaci,

HDKGIKG Zagreb, 2002.

[3] V. Nie, Deskriptivna geometrija, kolska knjiga, Zagreb, 1971.

[4] V. Szirovicza, A. Sliepevi: Nacrtna geometrija I, Element HDKGIKG,

Zagreb, 1995.

[5] A. Sliepevi, V. Szirovicza: Nacrtna geometrija II, Element HDKGIKG,

Zagreb, 1996.

[6] N. Sudeta, I. Petruni: Svodovi kao dijelovi kugline plohe u ortogonalnoj

aksonometriji, KoG7, 2003, 29-34.

O ravninskim krivuljama

Definicija 1. Svaki skup od 1 toaka ili pravaca u ravnini neprekinuto povezanih nekim

zakonom naziva se ravninskom krivuljom.

Ovisno o matematikom zakonu koji ih definira, krivulje se dijele na algebarske i

transcendentne, ve prema tome je li ih mogue u pravokutnom Kartezijevu koordinatnom

sustavu predoiti algebarskom ili transcendentnom jednadbom. Algebarske krivulje mogu se

klasificirati u odnosu na neka svojstva: red, razred i stupanj.

Definicija 2. Red realne algebarske krivulje jednak je broju n svih sjecita, realnih i

imaginarnih, te krivulje i bilo kojeg pravca njezine ravnine.

Definicija 3. Razred realne algebarske krivulje jednak je broju m svih tangenata, realnih i

imaginarnih, koje je mogue poloiti na tu krivulju iz bilo koje toke njezine ravnine.

Ako su za neku krivulju red i razred jednaki, n = m, krivulja ima stupanj n.

Teorem. Dvije realne ravninske algebarske krivulje km i kn od kojih je jedna m-tog, a

druga n-tog reda sijeku se u m n toaka. Sjecita mogu biti realna i konjugirano

imaginarna.

O zakrivljenosti krivuljaSvaka krunica sijee svaku krivulju kn n-tog

reda svoje ravnine u 2n toaka.

Padnu li zajedno dva

realna sjecita krunice i

krivulje, krunica se zove

dirna krunica krivulje kn

u toj toki.

T T

Padnu li zajedno tri realna sjecita

krunice i krivulje, krunica se zove

oskulacijska krunica ili krunica

zakrivljenosti krivulje kn u toj toki.

Padnu li zajedno etiri

sjecita krunice i krivulje,

krunica se zove

hiperoskulacijska krunica

krivulje kn u toj toki.

T

Napomena. Hiperoskulacijska krunica postoji samo u tjemenima krivulje, odnosno u tokama u kojima

zakrivljenost poprima ekstremne vrijednosti.

Definicija 4. Zakrivljenost krivulje u toki T jednaka je recipronoj vrijednosti polumjera

oskulacijske krunice u toj toki.

Dvije krivulje 2. reda sijeku se u etiri toke.

rr

O krivuljama drugog stupnja

Krivulja drugog reda ima s nekim pravcem dva sjecita koja mogu biti:

realna i razliita

sekanta

konjugirano imaginarna

pasanta

realna koja su pala u istu

toku tangenta

Krivulje drugog stupnja zovu se jo unjosjenice ili konike.

Vano! Prostor u kojemu e se provoditi daljnja razmatranja bit e realni projektivni

prostor, odnosno uobiajeni prostor naeg zamiljanja, nadopunjen beskonano

dalekim elementima na sljedei nain:

Svaki pravac ima jednu beskonano daleku toku u kojoj ga sijeku svi s njim paralelni pravci.

Svaka ravnina ima jedan beskonano dalek pravac u kojem se sijee sa svima njoj paralelnim

ravninama. Sve beskonano daleke toke svih pravaca jedne ravnine lee na njezinu beskonano

daleku pravcu.

Klasifikacija krivulja 2. stupnja prema vrsti sjecita s beskonano dalekim pravcem ravnine:

1 21 2E E1 2g P = P H H

elipsa (krunica) parabola hiperbola

Svaki pravac ravnine, pa i beskonano dalek pravac, sijee svaku

koniku te ravnine u dvjema tokama. Slijedi:

konjugirano imaginarna sjecita realna sjecita pala zajedno realna i razliita sjecita

S

O promjerima krivulja drugog stupnja

Definicija 5. Promjer krivulje 2. reda skup je polovita meusobno paralelnih tetiva.

Sredite krivulje 2. reda polovite je svakog promjera.

Konjugirani promjeri konika

Definicija 6. Dva su promjera konike konjugirana ako prvi raspolavlja tetive paralelne s drugim

promjerom, i obratno.

Definicija 7. Dva su promjera konike konjugirana ako su tangente na koniku u krajnjim tokama

jednog promjera paralelne s drugim promjerom, i obratno.

Par konjugiranih promjera konike koji su meusobno okomiti zovu se osi konike.

Iz def.7. Svaka dva meusobno okomita promjera krunice konjugiran su par promjera.

S

S.

Elipsa

vrste toke F1 i F2 nazivamo aritima ili fokusima elipse,

a udaljenosti toke T elipse od arita radij-vektorima r1 i r2 te toke.

E = {T : r1 + r2 = 2a}

r1 = d(T,F1)

r2 = d(T,F2)

Elipsa je skup od neprekinuto povezanih toaka

ravnine za koje je zbroj udaljenosti od dviju vrstih

toaka te ravnine konstantan.

8

1

F1 F2SA B

aa

a

b

b

e e

T

r1

r2

mala os

velika os

a2 - b2 = e2

S sredite

F1, F2 arita, fokusi

A, B, C, D tjemena

r1 + r2 = 2a

a velika poluos

d(S,A) = d(S,B) = a

b mala poluos

d(S,C) = d(S,D) = b

e linearni ekscentricitet

d(S,F1) = d(S,F2) = e

a

a

C

D

k (S,b)

k (S,a)

S

C

D

BA

k (C,a)

F2F1

Konstrukcija elipse kojoj su zadane velika

poluos a i mala poluos b:

a = 5,5 cm, b = 3,5 cm

S F2F1 BA

C

D

r1 r2



k (F1,r1)

k (F2,r2)

k (F2,r1)

k (F1,r2)

a = 5,5 cm, b = 3,5 cm

S F2F1 BA

C

D

r1 r2

k (F2,r1) k (F1,r1)

k (F1,r2) k (F2,r2)



a = 5,5 cm, b = 3,5 cm

S F2F1 BA

C

D

r1 r2



k (F1,r1)k (F2,r1)

k (F1,r2) k (F2,r2)

a = 5,5 cm, b = 3,5 cm

S F2F1 BA

C

D

RB

RD

rA

rC

RC

RA



Konstrukcija sredita hiperoskulacijskih

krunica (krunica zakrivljenosti)

S F2F1 BA

C

D

t

T



Konstrukcija tangente u toki elipse kao

simetrale vanjskog kuta radij-vektora

S F2F1 BA

C

D

t

T


poluos a i mala poluos b: Konstrukcija normale u toki elipse te sredita oskulacijske

krunice (krunice zakrivljenosti)

.

RT

n

Hiperbola

Te dvije vrste toke F1 i F2 nazivamo aritima ili fokusima

hiperbole, a udaljenosti toke T hiperbole od arita radij-vektorima

r1 i r2 te toke.

r1 = d(T,F1)

r2 = d(T,F2)

H = {T : | r1 - r2 | = 2a}

Hiperbola je skup od neprekidno povezanih toaka

ravnine za koje je apsolutna vrijednost razlike

udaljenosti od dviju vrstih toaka te ravnine

konstantna.

8

1

F1 F2SA B

aae

b

b

e

e

T

r1

r2

asimptote tangente u beskonano dalekim tokama

imaginarna os

realna os

a2 + b2 = c2

S sredite

F1, F2 arita, fokusi

A, B tjemena

a realna poluos

d(S,A) = d(S,B) = a

b imaginarna poluos

e linearni ekscentricitet

d(S,F1) = d(S,F2) = e

| r1 - r2 | = 2a

S

k (S,e)k (S,a)

F2F1 BA

Konstrukcija hiperbole kojoj je zadana realna poluos a i linearni

ekscentricitet e:

a = 2 cm, e = 3 cm.

S B F2AF1

asimptote


ekscentricitet e:

a = 2 cm, e = 3 cm.

S B F2AF1

r2r1


ekscentricitet e.

k (F2,r2)

k (F1,r1)

k (F2,r1)

k (F1,r2)

S B F2AF1

r2r1


ekscentricitet e.

S B F2AF1

r2r1

k (F1,r2) k (F2,r2)


ekscentricitet e.

k (F2,r1) k (F1,r1)

S B F2AF1

r2r1

k (F2,r2)

k (F1,r1)

k (F1,r2)

k (F2,r1)


ekscentricitet e.

S B F2AF1

r1

r2

t

T

Konstrukcija tangente

u nekoj toki T


ekscentricitet e.

S B F2AF1

t


ekscentricitet e.

T

R

Konstrukcija sredita hiperoskulacijskih

krunica (krunica zakrivljenosti)
../a) O krivuljama drugog reda.ppt../a) O krivuljama drugog reda.ppt

S B F2AF1

T

t


ekscentricitet e.

Na svakoj sekanti udaljenosti

su toaka hiperbole od asimptota jednake.

Parabola

Ta se vrsta toka F naziva aritem ili fokusom, a vrsti pravac

d ravnalicom ili direktrisom parabole.

d(T,F) = r r radij-vektor

P = {T : d(T,F) = d(T,d)}

p = d(F,d) = parametar parabole

Parabola je skup od neprekidno povezanih toaka u ravnini

koje su jednako udaljene od jednog vrstog pravca i jedne vrste

toke te ravnine.8

1

d (T,F) = d (T,d)d

o

A

T

F

F arite, fokus

A tjeme

o os

d ravnalica, direktrisa

p = d (F,d) = parametar

d

o

FA

Konstrukcija parabole kojoj su zadani direktrisa, fokus i os.

d(F,d) = 14 mm

p

d

o

FA

k (F,p)


d(F,d) = 14 mm

r

d

o

FA

k (F,r)


d(F,d) = 14 mm

d

o

FA R


Konstrukcija sredita

hiperoskulacijske

krunice u tjemenu

d(F,d) = 14 mm

d

o

FA

t

T

K L

d (K,A) = d (A,L)


Konstrukcija tangente

u toki parabole kao

simetrale vanjskog

kuta radij-vektora.

d(F,d) = 14 mm

Napomena. Drugi je fokus

parabole u beskonano

dalekoj toki osi.

d

o

FA

t

T


d(F,d) = 14 mm

1. Razredna parabola

Definicija. Ravninska krivulja koju omata neprekinuti skup od 1 pravaca

povezanih nekim zakonom zove se omotaljka ili razredna krivulja, a pravci te

familije jesu tangente omotaljke.

Teorem. Sve tangente parabole sijeku svake njezine dvije tangente u slinim

nizovima.

Beskonano dalek pravac ravnine jest tangenta svake parabole u toj ravnini.

Neka su zadane dvije tangente parabole s diralitima T i T.

Konstruirati parabolu.

t

t T

T

P

Neka su zadane dvije tangente parabole s diralitima T i T.

Konstruirati parabolu.

t

t T

T

P

F

os

K

L

KA = AL

A

d

Konstruirani su arite, os, tjeme i ravnalica parabole na osnovi

sljedeih svojstava:

1. Polovite spojnice diralita dviju tangenata parabole spojeno sa sjecitem tih

tangenata ini promjer parabole (slijedi iz afinog preslikavanja parabole).

2. Svi promjeri parabole meusobno su paralelni.

3. Tangenta parabole u nekoj je toki simetrala kuta radij-vektora; jedan radij-vektor usporedan je s osi, odnosno promjerom parabole.

4. Sjecite bilo koje tangente parabole s njezinom osi udaljeno je od tjemena

parabole koliko i sjecite osi i okomice na os poloene tim diralitem (04-10).
04.pps04.pps04.pps

2. Konstrukcija parabole pomou projektiviteta

Zadano je tjeme, tjemena tangenta i toka parabole. Konstruirati parabolu.

A a

B

C

Iz zadanog

smjer beskonano daleke

toke parabole

parabola je proizvod

projektiviteta dvaju pramenova

pravaca (A) (C )

Na temelju navedenog

slijedi konstrukcija.
04.ppt04.ppt

Rytzova konstrukcija

Elipsa je zadana parom konjugiranih promjera. Konstruirati veliku i malu os elipse.

SM

N

P

Q

P1

a

a velika poluos

A

B

b

b mala poluos

C

D

Konstrukcija krunica zakrivljenosti u

tjemenima elipse.

Tangente krunice

Meusobni odnos pravca i krunice:

sekanta tangenta pasanta

t

Tangenta t jest pravac kroz T

okomit na ST.

t1

t2

prema Talesovu teoremu kutovi supravi.

TSDTSD21

,

c

Tangente povuene iz toke na krunicu

r

1. toka T na krunici k

S

Tk

S

k

2. toka T izvan krunice k

T

3. toka T unutar krunice k

Tangente nisu realne.

konstrukcija krunice c kojoj je duina ST promjer

D1

D2

sjecita krunica k i c diralita su D1 i D2tangenata t1 i t2.

Zajednike tangente dviju krunica

t1

Tangenta t1 paralelna je s t.

c

Konstrukcija zajednikih tangenata

krunica k1 i k2

21rrNeka je .

k3

Konstruirana je krunica k3 (S1,r3), r3 = r1- r2. Odreene su tangente t i t iz toke S2 na k3.

t2

Tangenta t2 paralelna je s t i prolazi kroz D21.

A

t

t

B

S2

k2

S1

k1

Diralite D11 sjecite je krunice k1 sa S1A.

D11

D12

D22

D21

t1

c

S2

k2

S1

k1

21rrNeka je .

t2

Konstruirana je krunica k4 (S1,r4), r4 = r1+ r2.

Tangente t3 i t4 paralelne su s tangentama iz toke S2 na k4.

t3

t4

k4


krunica k1 i k2

t1

S2

k2

S1

k1

t2

t3

t4


krunica k1 i k2

3. tangenta t u toki B

t

4. toka C na t takva da je 30CSB

C

30

Rektifikacija krunice

Prenoenje krunog luka na pravac

14159.3

14153.31 ADr

rrrrBDABAD

2

222

3

332

r

1. krunica k sa sreditem S

S

2. promjer AB krunice k

B

A

r

Konstrukcija A. Kochanskog priblina konstrukcija broja

5. toka D na t takva da je rCD 3

Dr r r

r r

2. toka C na pravcu p takva da je rAC 3

3. sjecite D tangente t i pravca BC

Prenoenje krunog luka na pravac

t

1. tangenta t krunice k u toki A

D

Duljina duine AD priblino

je jednaka duljini luka AB.

C

S

B

A

Dan je kruni luk krunice k nad sredinjim kutom .

r

k

p

to je kut manji, pogreka je manja.

Veliina pogreke ovisi o kutu .

Konstrukcija ima praktinu vrijednost

za

Napomena:

.300

2

3. prenoenje krunog luka A1B1 na tangentu t

Prenoenje krunog luka s jedne krunice na drugu

Kruni luk krunice k1 (S1,r1) nad sredinjim kutom 1treba prenijeti na krunicu k2 (S2,r2).

5. prenoenje duine AD na krunicu k2

r2 r2 C2

2. zajednika tangenta t u toki A

t

C1 r1r1

D

4. duljina duine AD priblino je jednaka duljini luka AB1

1. diralite A krunica k1 i k2

r2r1 S2

k2k1

B1

S1

1

A

B2

6. duljina luka AB2 priblino je jednaka duljini duine AD

Napomena. 030

Peterokut

Konstrukcija peterokuta, ako je poznat polumjer opisane krunice

SGP

a) konstruirati polovite

G duine PS

b) konstruirati krunicu

k(G,GQ)

Q

s5

Peterokut Konstrukcija peterokuta, ako je poznata stranica AB

a) konstruirati polovite G

stranice AB

b) konstruirati krunicu

k(G,GQ) NQ

A Ba

a

G d N

k(A,AN)k(B,AN)

D

c) C = k(B,a) k(D,a)

E = k(D,a) k(A,a)

CE

Sedmerokut

Konstrukcija stranice sedmerokuta, ako je poznat polumjer opisane krunice

OA

a) konstruirati simetralu

duine AO

b) duina PS priblino

je jednaka stranici

sedmerokuta

S

P

s7

B

C

D

E

F

H

A BS

T

k1

C

D

Konstrukcija male osi elipse ako je poznata velika os i bilo koja toka elipse

k2

T2

T1

k

Zadana je velika os elipse

AB=2a i toka T.

Krunica k(T,a)

sijee simetralu

duine AB pravac

na kojem je mala os

u dvije toke M i

N.

M

N

K Polumjer TM sijee

veliku os u toki K.

Duljina duine TK

mala je poluos elipse,

jer je jednaka duini

ST2.

Dokaz konstrukcije temelji se na (12-5).
12.pps12.pps12.pps

S

T

Konstrukcija tangente u toki elipse ako su poznate bilo koje dvije njene

meusobno paralelne tangente s diralitima

T1

T2

P1P2 G polovite T1P2

G

H polovite T2P1

Ht t tangenta elipse s

diralitem u toki T

Napomena. Analitiki dokaz konstrukcije izveden je u

knjizi H. Sachsa Ebene isotrope Geometrie.

Perspektivna kolineacija u ravnini

Kolineacija u ravnini jest transformacija ravnine koja uva kolinearnost toaka.

Ili: Kolineacija u ravnini bijektivno je preslikavanje ravnine na sebe koje

preslikava toke u toke, a pravce u pravce, pri emu je sauvana incidencija

toke i pravca. (Toka T1 na pravcu p1 preslikava se u toku T2 koja mora leati

na slici p2 pravca p1.)

Definicija: Kolineaciju u ravnini u kojoj postoji tono jedan fiksni pravac o,

ije se sve toke preslikavaju same u sebe, i tono jedna fiksna toka S o,

koja se preslikava sama u sebe, nazivamo perspektivnom kolineacijom.

Fiksni se pravac zove os perspektivne kolineacije, a fiksna toka sredite ili

centar perspektivne kolineacije. Pravci koji prolaze sreditem zovu se zrake

perspektivne kolineacije i jedini su pravci (osim osi) koji se preslikavaju sami

u sebe. Na njima lee parovi pridruenih toaka.

Teorem: Perspektivna kolineacija jednoznano je odreena sreditem S, osi o i

parom pridruenih toaka A1 i A2.

S1 S2

o1 o2

z1= z2

A1

A2

Napomena 1. Osim sredita i toaka na osi perspektivne kolineacije nema

daljnjih toaka koje se preslikavaju same u sebe.

Napomena 2. Os nije jedini pravac koji se preslikava sam u sebe. Zrake se

preslikavaju same u sebe, ali tako da su im fiksne samo dvije toke (sredite S i

sjecite s osi).

K1 K2

Preslikavanje toke perspektivnom kolineacijom

S

o

z

A1

A2

B2

q2

K1=K2q1

B1

Pri konstrukciji se koriste sljedea svojstva perspektivne kolineacije:

parovi pridruenih toaka lee na zrakama perspektivne kolineacije,

parovi pridruenih pravaca sijeku se na osi perspektivne kolineacije.

Trai se toka B1 kao perspektivno kolinearna slika toke B2.

o

A1

A2

S

Preslikavanje pravca perspektivnom kolineacijom

p1

Pravac preslikavamo pomou bilo koje njegove toke.

Sjecite s osi perspektivne kolineacije fiksna je toka.

B1

B2

p2

Konstruirati p2 ako je zadan p1.

o

A1

A2

S

p1

B1

B2

p2

P1

P2

n

Slike svih toaka beskonano daleka pravca ravnine lee na nedoglednom pravcu n.

Pravac koji se preslikava u beskonano dalek pravac ravnine zove se izbjeni pravac i.

Q1

i

Trai se slika beskonano daleke toke pravca p1.

Q2

Q2

Preslikavanje trokuta perspektivnom kolineacijom

S

oA1

A2

B1

C1

B2

C2

Konstrukcija se temelji na

svojstvima (11-3).
11.pps11.pps11.pps

Preslikavanje trokuta perspektivnom kolineacijom

S

oA1

A2

B2

C2

D2

D1

C1

B1

Trokut B2C2D2 sijee

izbjeni pravac!

i

Preslikavanje etverokuta perspektivnom kolineacijom

S

o A1

X2

X1

A2

B2C2

D2

D1

B1

C2

Zakljuak: perspektivno kolinearna

slika paralelograma nije paralelogram

jer preslikavanje ne uva paralelnost.

Preslikavanje krivulja perspektivnom kolineacijom

Budui da se perspektivnom kolineacijom beskonano daleke toke openito

preslikavaju u konane, te neke konane toke u beskonane (nedogledni i izbjeni

pravac /11-5/), krivulja drugog reda preslikava se u bilo koju drugu krivulju drugog

reda.

Pri tome je vaan poloaj krivulje koju preslikavamo prema izbjenom pravcu.

Ovisno o tome sijee li zadana konika izbjeni pravac u paru realnih ili

konjugirano imaginarnih toaka, ili ga dodiruje, slika te konike bit e hiperbola,

elipsa ili parabola.

Za razumijevanje treba znati klasifikaciju konika (01-4) u odnosu na vrste

sjecita s beskonano dalekim pravcem ravnine.
11.pps11.pps11.pps01.pps01.pps01.pps

Definicija: Afinost je perspektivna kolineacija kojoj je

os u konanosti, a sredite u beskonanosti.

o

z

A1

A2

Teorem: Afinost u ravnini jednoznano je odreena s osi i parom

pridruenih toaka.

zrake afinosti paralelni su pravci

g je zraka svake afinosti

Svojstva:

uva paralelnost

uva djelini omjer

oA1

A2

Preslikavanje pravca pomou afinosti

p1M1

M2

p2

oX1

Preslikavanje trokuta pomou afinosti

X2

A2

B2

C2

B1

C1

A1

Parovi afino pridruenih stranica sijeku se na osi afinosti!

o

X1

Preslikavanje paralelograma pomou afinosti

X2

A1

B1

C1

D1

A2

D2

C2

B2

Afina slika paralelograma jest paralelogram. Zato? (11-10).
11.pps11.pps11.pps

Preslikavanje krivulja afinou

Budui da se afinou u ravnini toke u konanosti preslikavaju u toke u

konanosti, a beskonano daleke toke u beskonano daleke, slijedi da se

elipse preslikavaju u elipse (ili krunice), hiperbole u hiperbole, a parabole u

parabole (01-4).

Iz svojstava perspektivne afinosti slijedi:

promjer konike preslikava se u promjer pridruene konike

konjugirani promjeri konike preslikavaju se u konjugirane promjere

pridruene konike.
01.pps01.pps01.pps

os

C

BA

D

S

S1A1 B1

Konstruirati elipsu e1 kao

afinu sliku krunice k u

afinitetu (o, S, S1). Pri tome

vrijedi

D1

C1

Definicija 1. Dva su promjera

elipse konjugirana ako su pri

afinom preslikavanju krunice

u elipsu nastali kao afina slika

meusobno okomitih promjera

krunice (01-5).

Par okomitih promjera krunice

preslikava se u par konjugiranih

promjera elipse.

Afinost izmeu krunice i elipse
01.pps01.pps01.pps

os

C

BA

D

S

S1

A1B1

D1

C1

Konstruirati veliku i malu os elipse

zadane parom konjugiranih promjera

koja je afino pridruena danoj

krunici

Velika i mala os elipse

konstruiraju se pomou

Talesova teorema.

G

oT1

Preslikavanje krunice ortogonalnim afinitetom

T2

S1

S2

k1

BA S

C1

D1

Afinost krunice i elipse u kojoj je jedan promjer zajedniki zraka

afinosti okomita je na taj promjer.

AB = A1B1 svaka toka na tom pravcu

pridruena je sama sebi, pa je on os afinosti

A 1= =B1=S1

os

C

D

smjer zrake

CD = C2D2 zajedniki promjer krunice i

elipse, pa je taj pravac os afinosti

os

C

D

S

=C2

=S2

=D2

smjer zrake

A B

Elipsa je zadana velikom i malom osi.

a) b)

Promjeru CD elipse pridruen je onaj

promjer C1D1 krunice koji je okomit na

A1B1 def. 1 (12-1) .

Afinost je ovdje odreena osi i parom

pridruenih toaka C C1 (ili D D1).

k2

Promjeru AB elipse pridruen je onaj

promjer A2B2 krunice koji je okomit na

C2D2 def. 1 (12-1) .

B2A2

Afinost je ovdje odreena osi i parom

pridruenih toaka A A2 (ili B B2).

Elipsa je zadana velikom i malom osi AB i CD.

Istodobnom kombinacijom obaju afiniteta

dobivamo toke afino pridruene elipse.

Toka T, koja je afino pridruena tokama T1i T2, sjecite je dviju zraka dvaju afiniteta.

C

D

SA B

k1

k2

1. U afinitetu izmeu zadane elipse i krunice

k1 os je incidentna s AB, a zrake su

paralelne s CD.

2. U afinitetu izmeu elipse i krunice k2 os

je incidentna s CD, a zrake su paralelne s

AB.

p1= p2

Moe se dokazati da je nekom pravcu p

kroz S u podruju elipse pridruen u oba

afiniteta isti pravac p1 p2.

p

TT2

T1

Na temelju navedenih zakljuaka izvodi se sljedea konstrukcija elipse.

Konstrukcija toaka elipse pomou afinosti

Konstrukcija elipse iz velike i male osi pomou afiniteta

A B

C

D

S

T2

T1

t2 t1

t

T

Napomena. Konstrukcija toaka

elipse pomou afinosti izvodi se na

onim dijelovima krivulje na kojima

krivulja nije aproksimirana

hiperoskulacijskim krunicama.

Tangenta t u toki T elipse

afino je pridruena tangenti

t1 u afinitetu s krunicom k1,

odnosno tangenti t2 u

afinitetu s krunicom k2.

k1

k2

Zadaci

1. Konstruirati tangente iz toke P na elipsu koja je zadana velikom i malom osi.

A B

C

D

a) Odabran je afinitet nad krunicom k2(12-4) jer se u tom afinitetu toka P

nalazi na osi afinosti, pa je sama sebi

pridruena.

k2

P

A2 B2

b) A-A2 (odnosno B-B2) u tom su

afinitetu par pridruenih toaka.

P2

o

c) Konstruiraju se tangente u2 i v2 iz

toke P (07-2) na krunicu k2.U2 V2

u2 v2

d) Diralita U2 i V2 preslikavaju se

u toke U i V elipse pomou para

pridruenih toaka ili prethodnom

konstrukcijom.

VU

u v

Zadaci

2. Konstruirati sjecita pravca p i elipse koja je zadana velikom i malom osi.

A B

C

Dk1

p

a) Odabran je afinitet izmeu elipse i

krunice k1 (12-4).

C1

o

b) Pravac p iz podruja elipse

preslikava se u pravac p1 iz podruja

krunice pomou neke toke X.

X

X1

p1

c) Odrede se sjecita M1 i N1 pravca

p1 i krunice k1.

M1

N1 d) Na zrakama afinosti odrede se

afino pridruene toke M i N, koje

su traena sjecita pravca p i elipse.

N

M

Napomena. Ta su sjecita geometrijski

tono odreena bez iscrtavanja elipse.
12.pps12.pps12.pps

Afinost izmeu elipse zadane parom konjugiranih promjera

i krunice nad veim promjerom

SM

N

P

Q

k1

P1

Q1

Iz def. 1 (12-1) slijedi:

MN je zajedniki promjer elipse i krunice MN je os afinosti,

promjer PQ elipse preslikava se u promjer P1Q1 krunice P P1 je zraka afinosti.

Konstrukcija toke T (odnosno

R) elipse ako je zadana njezina

afina slika T1 k1 (R1 k1 ):

a) pomou para pridruenih

toaka P P1,

o

T1

T

Tangenta t elipse u toki T afina je slika

tangente t1 krunice s diralitem u toki T1.

t1

tb) koristei svojstvo da se paralelni pravci preslikavaju u paralelne pravce (R R1).

Velika i mala os elipse moe se dobiti Rytzovom konstrukcijom (06).

R1

R
12.pps12.pps12.pps06.pps

Afinost izmeu elipse zadane parom konjugiranih promjera i

krunice nad manjim promjerom

SM

N

P

Q

k2

M2

N2

Par konjugiranih promjera

elipse jest afina slika para

konjugiranih promjera

krunice, a oni su uvijek

meusobno okomiti.

PQ zajedniki promjer

elipse i krunice PQ je

os afinosti. P2

Q2

o

MN je afina slika promjera

M2N2 krunice, pa su M i M2(odnosno N i N2) par

pridruenih toaka, a njihova

je spojnica zraka afinosti.

Tangenta u toki elipse jest afina

slika tangente afino pridruene

krunice u pridruenoj toki.

T2

T

t2

t

.

Zadaci

3. Konstruirati tangente iz toke izvan elipse na elipsu zadanu parom

konjugiranih promjera

SM N

P

Q

T

k1

P1

Opi princip:

a) uspostaviti afinost

elipse i jedne od

krunica sa

zajednikim

promjerom

b) preslikati toku T u

podruje krunice

c) zadatak rijeiti u

podruju krunice

(07-2)

d) rjeenja preslikati u

podruje elipse

T1

G1

H1HG
07.pps07.pps07.pps

zrake projiciranja

O projiciranju

Dva osnovna naina projiciranja: centralno i paralelno

a) centralno

O centar projiciranja

A

B

C

AcBc

Cc

Trokut AcBcCc centralna je projekcija trokuta ABC.

ravnina projekcije

AcBc

Cc

O projiciranju

Trokut AcBcCc kosa je paralelna projekcija trokuta ABC.

b) paralelno koso projiciranje

A

B

C

Paralelno projiciranje kod

kojeg su zrake projiciranja

okomite na ravninu projekcije

naziva se ortogonalnim

projiciranjem.

Mongeova metoda projiciranjaT

Tc je ortogonalna projekcija toke T na

ravninu , koja se zove ravnina

projekcije ili ravnina slike.

Mongeova metoda metoda je ortogonalnog projiciranja na dvije meusobno

okomite ravnine projekcija, od kojih je jedna horizontalna, a druga vertikalna.

Horizontalna ravnina 1 zove se

tlocrtnom ravninom, a vertikalna

ravnina 2 zove se nacrtnom

ravninom.

2

1

.Tc

Projekcije toke

1

2

1x2

T tlocrt toke

T nacrt toke

T

T

T

Tx

Odredimo ortogonalne

projekcije toke T na

ravnine projekcija 1 i 2.

TT = TTx jest udaljenost toke T od ravnine 1.

TT = TTx jest udaljenost toke T od ravnine 2.

T

Projekcije toke

x

T

T

Tx

Spojnica TT okomita na os x

zove se ordinala toke T.

2

1

Kvadranti

I.

II.

III.

IV.

Toka T u I. je kvadrantu

T ispod osi x

T iznad osi x

Ravninama 1 i 2trodimenzionalan je prostor

podijeljen u etiri dijela

kvadranta.

B

B

III.

x

2

1

A

A

Toke u kvadrantima

2

1

x

II.

A

Ax

A

A

Toka A u drugom

je kvadrantu

B

B

x

Toka B u treem

je kvadrantu

B

B

C

Toke u kvadrantima

2

1

x

x

C

C

Toka C u etvrtom je

kvadrantu

C

C

C

IV.

2

1

x

E =E

Ex

E = E

E

E 1

F = F

F

F = F

F

F 2

Koordinate toke

2

1

I.

II.

III.

IV.

+x

+z

+y

0x

T( x,+y,+z)

0 1

x

y

y

zz

T

T

T

B

B

B( x,-y,+z) II. kvadrant

C

C

C( x,-y,-z) III. kvadrant

D

D D( x,+y,-z) IV. kvadrant

+x

+z

+y

0 1

+z

+y

+x

(-z)

(-y)

(-x)

Projekcije duine

1

2

1x2

A

B

A

Bx

A

B

A

B

Prava veliina duine, koja je u opem

poloaju prema ravninama projekcija,

odreuje se prevaljivanjem projicirajueg

trapeza ABBA oko AB u ravninu 1.

A0B0

d

A0

B0d

Openito vrijedi:

d d, d d

.

.

..A

B

Ista se prava veliina moe

dobiti prevaljivanjem trapeza

ABBA u 2.

x

A

BA

BA0

B0

d

Prava se veliina duine moe

odrediti i pomou tzv.

diferencijalnog trokuta.

x

C

D

C

D

D0

d

Posebni poloaji duina naspram ravnina projekcija

x

A

B

A B

AB || 1

x

C D

C D

CD || 1 CD || 2

x

E

F

E F

EF 1 EF || 2

x

G H

G

H

GH 2

b) Duina se projicira u pravoj veliini ako lei na ravnini projekcije ili je s njom

paralelna.

c) Duina se projicira u toku ako je okomita na ravninu projekcije.

Zakljuak

a) Ortogonalna projekcija duine na ravninu manja je od prave veliine duine.

Koje se projekcije gornjih duina vide u pravoj veliini ?

d

d

d

d

d

Projekcije pravca

1

2

1x2

p

P1

P2

p

P1 = p 1P1 prvo probodite pravca

P2 = p 2P2 drugo probodite pravca

p P1P2 tlocrt pravca

P1 P1 P2 1x2

P2

p

P1

P2 P2 P1 1x2

p P1P2 nacrt pravca

Ili: Tlocrt pravca dobije se tako da pravcem

poloena ravnina okomita na 1, koja se zove

prva projicirajua ravnina, presijee 1.

Ili: Nacrt pravca dobije se tako da pravcem

poloena ravnina okomita na 2, koja se zove

druga projicirajua ravnina, presijee 2.

P1

P2

Odreivanje prvog i drugog probodita

1x2

p

p

P1

P1

P2

P2

1x2

q

q

Q1

Q1

Q2

Q2

Posebni poloaji pravaca prema ravninama projekcija

Ako je pravac paralelan s nekom ravninom

projekcije, njegovo je probodite s tom

ravninom u beskonanosti.

1

2

xp

P1p

p

P1

P1

P1

p

p

x

a)

Pravac p na sl. a) paralelan je s 2, dok je q na sl. b) paralelan s 1.

Q2

Q2

x

q

q

b)

P2

Q1

Posebni poloaji pravaca prema ravninama projekcija

p

x

pa)

p || 1 p || 2

x

q

q

b)

q 2 q || 1

d)

x

t

t

t 2

f)

x

s = s

s 1x2

x

m

m

c)

m 2 m 1

x

e)

d

d

d 1

Prvi i drugi prikloni kut pravca

1

2

1x2

p

P1

P2

pP2

p

P1

Prvi prikloni kut pravca, 1= (p,p), kut je koji pravac zatvara sa svojim tlocrtom .

1

Prava veliina 1 u prvoj se projicirajuoj ravnini odreuje tako da pravac prevalimo u 1 (13-9).

p0

1

2P1

0

Prevaljivanjem pravca p u 2 odreuje se prava veliina drugog priklonog kuta 2= (p,p).

p0

2

Drugi je prikloni kut pravca, 2= (p,p), kut koji pravac zatvara sa svojim nacrtom.

.
13.pps13.pps13.pps

.

Prvi i drugi prikloni kut pravca

1x2

p

p

P1

P1

P2

P2

P20

p0

1

P10

p0

2

1= (p,p)

2= (p,p)

A

A

Pravac se moe prevaliti

pomou bilo koje svoje

toke, ali je ponekad

jednostavnije koristiti

prvo ili drugo probodite.

A0

Toka i pravac

1x2

p

p

P

P

P

P

T

T a) T p

T p T p T p

N

Nb) N p

M

M

c) M p

d) P p i njegovo je drugo probodite

e) P1 p i njegovo je prvo probodite

1

1

Zadatak

x

p

p

Na pravac p od njegove toke

T nanijeti zadanu duinu d.

d

T

T

P1

P1

T0

p0

d

d

A0

B0

A

B

d

d

B

A

d

d

Uputa. Prava se veliina

duine vidi na projekciji

pravca samo onda ako taj

pravac lei u jednoj od

ravnina projekcija ili je

paralelan s njom.

U opem sluaju pravac je

potrebno prevaliti u jednu

od ravnina projekcija.

Dva pravca

Dva razliita pravca trodimenzionalnog prostora mogu biti:

a) paralelni,

b) ukrteni (ukrieni),

c) mimosmjerni (mimoilazni).

a || b a || b a || b

d

c d = S

a b

a

b

x

a)

x

c d

c

b)e

x

e

f

f

c)

S

S

Napomena. Ako su projekcije pravaca paralelne, pravci ne moraju

biti paralelni.

Primjer. Ako pravci okomiti na os x imaju paralelne projekcije, ne

moraju u prostoru biti paralelni (21-8 zad. d).
21.pps21.pps21.pps..\Deskriptivna geometrija sve\21.ppt

Zadaci

a) Nacrtati projekcije pravca q

koji sadrava toku T, paralelan

je s ravninom 1 i sijee zadani

pravac p.

q

q

b) Nacrtati projekcije pravca p koji je

u toki A(1,-,-) ukrten s pravcem g, a

paralelan je s 1 i 2. Pravac g zadan

je tokama F(4,1,1) i G(0,3,3).

x0 1

G

F

F

G

p

p

g

g

x

p

p

T

T

S

S

A

A

RavninaZajedniki pravac dviju ravnina zove se presjenica tih ravnina. Presjenica ravnine s

ravninom 1 zove se prvi trag, a s ravninom 2 drugi trag ravnine.

1

2

1x2

r1

r2

Ravnina je svojim dvama tragovima u prostoru potpuno odreena, osim ako

prolazi kroz os 1x2 (21-8). Ravnine se oznaavaju velikim grkim slovima,

npr. (r1,r2), (s1,s2), (d1,d2), (a1,a2),...

x

r2

r1

r1= P 1

r2 = P 2

P
21.pps21.pps21.pps

Posebni poloaji ravnina prema ravninama projekcija

1

2

x

x

a)

r2

P 1 ( r2 1x2 )

P je prva projicirajua ravnina B je druga projicirajua ravnina

r1

r1

r2.

1

2

x

b)

x

b2

b1

b2

b1

B 2 ( b1 1x2 )

.

Posebni poloaji ravnina prema ravninama projekcija

1

2

x

a2

A

x

c)

a2

A 1 A 2 ( a1)

A je druga projicirajua ravnina

1

2

x

x

d)

s1

2 1 ( s2)

je prva projicirajua ravnina

s1

Posebni poloaj ravnine prema ravninama projekcija

e)

1

2

x

d1

d2

d1

x

d2

1x2

1

2

x

g1

g2

x

g2

g1

1x2 1 2

f)

Koordinatizacija ravnine

r1

1

2

r2

x

z

y

OX(x,0,0)

Ravnina P(X,Y,Z)

Y(0,y,0)

Z(0,0,z)

x

z

y

r1

r2

x

y

z

Ravnine zadane tragovima

A(5,2,3)

0 1

a1

a2

x

B(3,3,-4)

0 1 x

b2

b1

(4,2,)

0 1 x

s1

s2

(,2,1) (-2,,2)

x0 1

d1

d2x0 1

d1

d2

p

P1

pP2

Pravac u ravnini

s11

2

1x2

s2

Ako je pravac u ravnini, prvo mu je probodite na prvom tragu,

a drugo probodite na drugom tragu te ravnine.

p

P1

P2

p P1 s1, P2 s2 (1)

Pravac u ravnini

p P1 s1, P2 s2

s1

s2

p

p

P1

P1= p s1, P1 x P1 p

P1P2= p s2, P2 x P2 p

P2

P2Pravac u ravnini zadan je samo

jednom svojom projekcijom. Druga

je projekcija odreena gornjim

uvjetom.

x

Zadaci

Odrediti nacrt pravca a u ravnini .

s1

s2

aA1

A1A2

A2

aa)

b)

A2

A2 A1

A1

ac)

Napomena: ako je prva projicirajua

ravnina, nacrt pravca a nije odreen.

x

s2

s1

a

x

s1

s2

a

x

d)

s1

s2

x

= a

a

M2

m

m

m

Sutranice

r1

1

2r2

m

Pravac ravnine paralelan s 1, a time i s prvim

tragom, zove se sutranica prve skupine ravnine. x

r1

r2

m

M2

M2

m P m 1 m r1, m x

M2

Sve su sutranice prve skupine

ravnine P meusobno paralelne.

P

N1

n

n

Sutranice

r1

1

2r2

Pravac ravnine paralelan s 2, a time i s drugim

tragom, zove se sutranica druge skupine ravnine. x

r1

r2

n P n 2 n r2, n x

n

n

n

N1

N1

N1Sve su sutranice druge skupine

ravnine P meusobno paralelne.

n

Zadaci

a) Odrediti nacrt

sutranice a ravnine .

s1

s2

a

a

b) Odrediti nacrt

sutranice m ravnine P.

m

r1

r2

x

m

c) Nai nacrt sutranice n ravnine .

x

d2

d1

n

Uputa. Potrebno je

uzeti neki pomoni

pravac q ravnine

koji sijee n u nekoj

toki T.

qT

q

T

A2

A2

M1

M1

Q1

Q2

Q1

Q2

x

t

t

Priklonice

r1

1

2r2

Pravac ravnine okomit na prvi trag zove se

priklonica prve skupine ravnine. x

r1

r2

t

.

Sve su priklonice prve skupine ravnine P meusobno paralelne.

T1

T2

t.

T1

T1

T2

T2

t

t P t r1 t r1

Prvi prikloni kut ravnine jednak je prvom priklonom

kutu jedne njezine priklonice prve skupine.

1

t

t

Priklonice

r1

1

2r2

Pravac se ravnine okomit na prvi trag zove

priklonica prve skupine ravnine. x

r1

r2

t

.

Sve su priklonice prve skupine ravnine P meusobno

paralelne.

T1

T2

t.

T1

T1

T2

T2

t

Prvi prikloni kut ravnine jednak je prvom

priklonom kutu jedne njezine priklonice prve skupine.

1

1

T20

1t P t r1 t r1

Priklonice

Pravac ravnine okomit na drugi trag zove se priklonica druge skupine ravnine.

Sve su priklonice druge skupine ravnine meusobno paralelne.

q P q r2 q r2

Drugi prikloni kut ravnine

jednak je drugom priklonom

kutu jedne njezine priklonice

druge skupine.

r2

x

r1

q

2

q.Q2

Q1 Q2

Q1

Q10

m

m

x

Zadaci

a) Odrediti nacrt

priklonice prve skupine

a u ravnini .

s1

s2

b) Odrediti tragove

ravnine P kojoj je

pravac m priklonica

prve skupine.

a

a

M1

M1

M2

M2r2

c) Odrediti prvi prikloni kut

ravnine kojoj je pravac p

priklonica druge skupine.

s1

s2

.

Za odreivanje se prvog

priklonog kuta ravnine

moe odabrati bilo koja

priklonica t prve

skupine te ravnine.

t

1

.

A2

A1

A2 A1

r1

.

P1

P1P2

P2

T1

T2

T20

T2x

p

p

x

Toka u ravnini

s11

2

1x2

s2

p

P1

P2

T T p

Toka je u ravnini ako je na bilo kojem pravcu te ravnine (14-7).

T
14.pps14.pps14.pps

B

A

Toka u projicirajuoj ravnini

1

2

x

x

r2

r1

r1

r2.

A

A

A

A

Sve toke koje lee u prvoj

projicirajuoj ravnini imaju

tlocrt na prvom tragu te ravnine.

1

2

x

x

s2

s1

s2

s1

.B

B

B

B

Sve toke koje lee u drugoj

projicirajuoj ravnini imaju nacrt

na drugom tragu te ravnine.

s1

s2

T

x

Zadaci

a) Odrediti nacrt

toke T u ravnini

pomou priklonice

prve skupine.

s1

s2b

T

T

b) Odrediti tlocrt toke T u ravnini

pomou sutranice druge skupine.

m

m

T

c) Odrediti nacrt toke u ravnini koja je

zadana dvama ukrtenim pravcima.

Uputa. Svaki pravac

ravnine sijee sve

ostale pravce te

ravnine. Tokom T

poloen je bilo koji

pravac p.

p

b

.B1

B2

B1

B2

M1

M1

AB

pA

B

x

T a

a

b

bN

N

x

T

p

p

x

Pramen ravnina

Sve ravnine koje sadravaju jedan pravac ine pramen ravnina. Taj se pravac zove

nosilac pramena ravnina.

U pramenu ima 1 ravnina. Njihovi prvi tragovi prolaze prvim, a drugi tragovi drugim proboditem

pravca nosioca (16-1).

P1

P1

P2

P2

a1

a2

b1

b2

d2

d1e1

e2

g2

g1
16.pps16.pps16.pps

Odreenost ravnine

Ravninu odreuju:

dva ukrtena (ukriena) pravca,

dva paralelna pravca,

jedan pravac i toka izvan njega,

tri nekolinearne toke (tri toke koje ne lee na istom pravcu).

Konstrukcija tragova ravnine odreene

a) dvama ukrtenim pravcima

a

aA1

A1

A2

A2

B2

b

b

B2

B1

B1r1

r2

x

b) dvama paralelnim pravcima

x

m

m

n

n

N1

N1

N2

N2

M1

M1

M2

M2r2

r1

S

S

m

m

n

n

m

m

c) pravcem i tokom koja ne lei na pravcu

x

d) trima nekolinearnim tokama

p

p

T

T

Uputa. Tokom T poloimo bilo koji

pravac ukrten (ili paralelan) s pravcem

p. Odabrana je sutranica druge skupine.

M

M

M1

M1

P2

P2

P1

P1

s1

x

A

A

C

C

B

B

r1

r2

r2

M1

M1

M2

M2

N1

N1

N2

N2

Napomena. Zadaci c) i d) temelje se na zadacima a) i b).

Presjenica dviju ravnina

Zajedniki se pravac dviju ravnina zove presjenica tih ravnina.

Aa1

a2

Bb1

b2


Zajedniki se pravac dviju ravnina zove presjenica tih ravnina.

q

Q1

Q2

Aa1

a2

Bb1

b2

q

q


r1

r2

s1

s2

Q1

Q1

Q2

Q2

Q1 r1, Q1 s1 Q1 = r1 s1

Q2 r2, Q2 s2 Q2 = r2 s2

q

x

Napomena. Tlocrt presjenice

pada u prvi trag ravnine (prva

projicirajua ravnina).

Na temelju slijedi:

a)

s1 r1

r2

s2

x

b)

Q1

Q1

Q2

Q2

q


r1

s2 q

q

Napomena 2. Q1 je u beskonanosti.

x

r2

r1

r2

x

s1

s2 p

p

Napomena 3. Presjenica drugih

projicirajuih ravnina okomita je

na 2.

Napomena 1. Presjenica je sutranica

prve skupine ravnine P jer je druga

projicirajua ravnina paralelna s 1.

Q2

Q2

Presjenica dviju paralelnih ravnina

|| d1 || s1 d2 || s2

Paralelne ravnine imaju

paralelne tragove.

d1

d2

s1

s2

x

Ne vrijedi obrat!

x

d2

d1

s2

s1

Ove dvije ravnine nisu paralelne,

iako su im tragovi paralelni (21-6).

Presjenica paralelnih ravnina

beskonano je dalek pravac.
21.pps21.pps21.pps

Zadaci

a) Odrediti tragove ravnine koja je

paralelna sa zadanom ravninom P, a

sadri toku T.

r1

r2

x

T

T

m

m

M1

M1

b) Konstruirati tragove ravnine

koja sadri toku P, a paralelna

je s pravcima a i b.

x

b

b

a

a

P

P

Napomena. Pravac je paralelan s ravninom ako je

paralelan s bilo kojim pravcem te ravnine.

Uputa: Tokom P poloiti pravce p || b i q || a.

p

p q

q

r2

r1

s1

s2

P2

P2P1

P1

Q1

Q1

Probodite pravca i ravnine

Pravac koji ne lei u danoj ravnini ima s njom tono jednu zajedniku toku

koja se zove probodite pravca i ravnine.

Ako je pravac paralelan s ravninom, probodite je u beskonanosti.

Konstrukcija probodita

pravca p i ravnine P:

1. pravcem p poloi se bilo

koja ravnina ;

2. odredi se presjenica q

ravnina P i ;

3. sjecite pravaca p i q

traeno je probodite N.P

q

N

p

Napomena. Pravcem p moe se poloiti bilo koja ravnina iz pramena [p].

Presjenice svake od njih sa zadanom ravninom P prolaze tokom N.

p

Nq

P

Napomena. Pravcem p moe se poloiti bilo koja ravnina iz pramena [p].

Presjenice svake od njih sa zadanom ravninom P prolaze tokom N.

p

N

q

P

1. p

2. = q (18-3)

3. q p = N

1x2

r1

r2p

p = d1

d2

Q1

Q1

Q2

Q2

q

= q

N

N

a) Probodite pravca i ravnine

zadane tragovima

Shema rjeenja:

Radi jednostavnosti konstrukcije

je projicirajua ravnina.
18.pps18.pps18.pps

b) Probodite pravca p i ravnine

zadane ukrtenim pravcima (a, b)

1) p 1

Pravcem je postavljena prva

projicirajua ravnina .

2) P = q

Pravci a i b probadaju ravninu

u tokama 1 i 2, a njihova je spojnica presjenica q ravnina

P i .

a

bp

12

2

1

M

M

q

a

b

p

N

N

=q=d1

Napomena. Na isti se nain

konstruira probodite pravca i

ravnine zadane dvama

paralelnim pravcima.

3) q p = N

c) Probodite pravca i

projicirajue ravnine

r1

r2p

p

Zajednika toka N pravca p i

ravnine P projicirat e se u prvi

trag ravnine. Zato?

N

N

x

p

p

x

s1

s2

d2 q

Presjenica druge projicirajue

ravnine poloene pravcem p i

ravnine jest sutranica q ravnine

(18-4).

qS

S

Konstruirati probodite pravca p

(paralelan s osi x) i ravnine .
18.pps18.pps18.pps

Probodite trokuta pravcem

p

p

x

A

B

C

A

B

CUputa. Radi jednostavnosti

konstrukcije pravcem je

poloena druga projicirajua

ravnina , te konstruirana

njezina presjenica s

ravninom trokuta (19-7).

d2

d1

q

M

N

M

N

q

P

P

Napomena. Na isti se

nain konstruira

probodite pravca i

ravnine zadane

paralelogramom.
19.pps19.pps19.pps

Transverzala dvaju mimosmjernih pravaca

Definicija. Transverzalom mimosmjernih

pravaca nazivamo svaki pravac koji sijee

te pravce.

Zadatak. Konstruirati transverzalu

pravaca a i b koja sadri toku T.

a

b

T

Shema rjeenja:

1. (a, T) =

2. b = N

N

3. (T, N) = t

t

M

4. t a = M

x

a

a

T

T

sS

S

s

A1

A1

A2

A2

S2

S2

s1

s2

b

d1

= d2

bt

t

N

N

M

M

Okomitost

Neka je N toka ravnine P. Postoji samo jedan pravac koji prolazi tokom N i okomit je

na danu ravninu P. Taj se pravac zove okomica ili normala ravnine P u toki N.

Vane injenice:

Pravac je okomit na ravninu ako je

okomit na barem dva pravca te ravnine.

Ako je pravac okomit na ravninu, onda je

okomit na sve njezine pravce

(napomenimo pritom da se okomiti pravci

ne moraju nuno sjei, npr. n i q).N

P

. Svakom tokom prostora prolazi jedan i

samo jedan pravac okomit na zadanu

ravninu.

Ravnina je okomita na neku

ravninu ako sadrava barem jedan

pravac okomit na tu ravninu.

q

T

on

.

Okomitost pravca i ravnine

n P n r1 n r2

r2

r1

n

m

q

N n m P, m || 1 n r1

n q P, q || 2 n r2

Objanjenje. Projekcije su meusobno

okomitih pravaca okomite ako je barem jedan

od tih pravaca paralelan s ravninom

projekcije.

P

Pravac okomit na ravninu okomit je

na svaki njezin pravac, pa i na njezine

tragove pravac n okomit je i na sve

sutranice prve i druge skupine.

m sutranica 1. skupine

q sutranica 2. skupine

Zakljuak:

U trodimenzionalnom prostoru okomiti mogu biti:

1) pravac i ravnina

2) dva pravca

3) dvije ravnine

1) za pravac okomit na ravninu:

n P n r1 n r2

x

r2

r1

n

n

.

.

2) za dva meusobno okomita pravca: a b a b a b

3) za dvije meusobno okomite ravnine: P r1 s1 r2 s2

U projekcijama openito vrijedi sljedee:

Dva temeljna zadatka

1. Zadanom tokom postaviti

pravac okomit na zadanu

ravninu.

r2

r1

x

T

T

2. Zadanom tokom

postaviti ravninu okomitu

na zadani pravac.

x

p

p

T

T

Uputa. Za konstrukciju tragova ravnine koristi

se sutranica druge skupine (ili prve skupine!)

koja sadri toku T.

r1

r2

n

n

.

.

.

s

s S1

S1

Zadaci

a) Konstruirati tragove simetralne

ravnine duine AB.

Definicija. Skup toaka u prostoru od kojih

je svaka jednako udaljena od krajnjih toaka

duine lei u simetralnoj ravnini te duine.

A

B

A

B

Simetralna ravnina okomita je na duinu i

sadrava njezino polovite.

P

P

m

m

M1

M1

s1

.

s2.

Uputa. Koristiti bilo koje sutranice prve i druge skupine.

1 2

1

2

s

s

n

.m

3

3

m

.n

b) Zadanom tokom T postaviti

pravac okomit na ravninu zadanu

dvama ukrtenim pravcima (bez

uporabe tragova).

a

b

S

ba

x

T

T

S

Metriki zadaci

c) Odrediti udaljenost toke T od ravnine P.

r2

r1

x

T

T

n

n

Shema rjeenja: 1) T n, n P

2) n P = N (19-6)

d1

d2

q

q

N

N

3) d (T,N) (13-10)

T0N0

d

d) Odrediti udaljenost toke T

od pravca p.

x

T

T

p

p

Shema rjeenja: 1) T P p (20-4)

r2

r1

2) n P = N (19-6)

d1

d2

N

N

3) d (T,N) (13-10)

T0d
19.pps19.pps19.pps13.pps13.pps13.pps20.pps20.pps20.pps19.pps19.pps19.pps13.pps13.pps13.pps

e) U toki S ravnine P uzdignuti

okomicu na ravninu duljine d.

x

r2

r1

S

s

sS

n

n

d

S0p0

n0

.

V0

V

V

f) Pravcem p postaviti ravninu

koja je okomita na ravninu P.

x

r1

r2

p

p

S

S

d

s2

Uputa! Ravnina je okomita na

drugu ravninu ako sadri barem

jedan pravac okomit na tu ravninu.

s1 n

.

n

.

g) Odrediti udaljenost toke T od ravnine .

s2

x

s1

T

T

Shema rjeenja: 1. T n, n

n

n

2. n = S (19-6)

S

S

3. d (T,S)

d

d = d

f) Odrediti udaljenost toke T od pravca p.

x

p

p

T

Td

d.
19.pps19.pps19.pps

Bokocrt

1

2

+x3

T

T

T

T

T

Ravnina 3 zove se bokocrtna ravnina,

a okomita je na ravnine 1 i 2.

+z

+y

O-x

-z

-y

Ravnina 2 odabrana je za ravninu

slike ili projekcije, pa se u nju rotira

3 oko osi z. Dobiveni se bokocrt

naziva lijevim bokocrtom.1, 2, 3 dijele prostor na 8 oktanata.

Toka

+x

+y

+y

+z

T

T

T

+x

+z

+y

+y

U

U

U

Toka T nalazi se u prvom, dok se toka U nalazi u drugom oktantu.

Pravac

x

y

y

z

p

p

P2

P1

P1

P1

P2P2

p

P3

P3

P3

Odrediti trei prikloni kut pravca!

Trei prikloni kut pravca kut je koji tvori pravac sa svojom treom projekcijom.

P20

p0

3

b) Odrediti treu projekciju i

tree probodite pravca a.

y

y

z

x

a

a

A3

A3 A3

a) Odrediti probodita pravca p sa svim trima ravninama projekcije.

A2

A2

A2

a

Ravnina

r1

1

2r2

3

r3

z

x

r2

r1

r3

y

yr3 = P 3

Sutranice i priklonice tree skupine

x

y

y

z

s2

s1

r3

Sutranica tree skupine ravnine pravac je

ravnine paralelan s 3, dakle i s njezinim

treim tragom.

ss=s

Priklonica tree skupine ravnine pravac je

ravnine okomit na trei trag te ravnine.

x

z

y

y

s2s3

s1

p

Bilo koja priklonica tree skupine ravnine i njezina trea projekcija odreuju trei prikloni kut te ravnine.

Postoji 1 sutranica i priklonica tree skupine.

p.

p

Zadaci

x

y

y

z

a) Odrediti udaljenost

toke A od ravnine .

s2

s1

A

A

s3

A

NN

N

b) Odrediti presjenicu

dviju ravnina P i .

x

z

y

y

r2

r1

s1

s2r3

s3t

t

t

Napomena 1. Ravnina trea je projicirajua ravnina.

Napomena 2. Isti je princip rjeenja zadatka: U toki

ravnine postaviti okomicu na ravninu zadane duljine.

d.

q q

Zadaci

c) Odrediti probodite pravca p i ravnine .

s1

s2

x

p= p

z

y

y

Napomena. Pravac paralelan s 3 nije jednoznano

odreen svojim tlocrtom i nacrtom, nego mu je

potrebno zadati projekcije nekih dviju toaka.

B

B

A

A

s3

A

B

p

NN

N

d) Konstruirati projekcije pravca q

koji sadrava toku A, a paralelan

je sa zadanim pravcem p.

x

y

y

z

p p

P2

M

M

P2

A

A

Napomena. Svi pravci q || 3tokom A ine pramen pravaca.

Svaki od njih ima projekciju q q.

Jednoznano rjeenje daje bokocrt.

P2

M

p

A

qB

B

B

Ravnina simetrije i ravnina koincidencije

1

2

A

Ravnina simetrije raspolavlja I. i III. kvadrant.

I.II.

III. IV.

A

AKB

Ravnina koincidencije raspolavlja II. i IV. kvadrant.

B B

C

C

D D

A, C B, D K

a = AC b = BD K

a

a

A1=A1=A2=A2

b = b

x s1 s2 k1 k2

a

a

a) Probodite pravca s ravninom

simetrije i ravninom koincidencije

x

p

p

s1 s2 k1 k2

A

A

B B

p = A

p K = B

b) Presjenica ravnine s ravninom


x s1 s2 k1 k2

r1

r2

m

m

A

AB = B

b= b

P = a

P K = b

c) Probodite pravca s ravninom


pomou bokocrta

x s1 s2 k1 k2

z

y

s3

k3

p

p

P1

P1

P2

P1

P2P2

p

N N

N

N = p

R

R = p K

R= R

d) Tokom T poloiti ravninu

paralelnu s ravninom simetrije

s1 s2 k1 k2

z

y

s3

T

TT

d3

d1=d2

1

2

x

.

Stranocrt

T

T

T3

Svaka se nova ravnina projekcije 3, okomita na jednu od ravnina projekcija ( 1 ili 2), zove

stranocrtna ravnina.Ortogonalna se projekcija toke na

stranocrtnu ravninu zove stranocrt toke.

T

1 3 = 1x3

1x3

Stranocrtnu ravninu prevalimo u tlocrtnu ravninu oko osi 1x3 na jednu ili drugu stranu.

3T

I. stranocrtna ravnina 3

T

T

1x2

.

T

Na isti bi se nain konstruirao stranocrt toke na

ravnini 3, okomitoj na ravninu projekcije 2.

P

P

1x2

2x3

1x3

P

Napomena. Openito je svejedno je li izabrana stranocrtna ravnina okomita na 1 ili 2.

3

s3

s1

s2

1

2

x

Stranocrtna projekcija ravnine

3

.

1x3T

T

s3

s3 = 3

T s3

T

T

T

T

3 1 3 3 s1

1x2

s1

s2

T

T

Ts3

1x3

.

Ravnina za stranocrtnu je ravninu projicirajua.

Zadaci

1) Odrediti udaljenost toke T od ravnine .

s2

s1

1x2

T

T

Uputa. Za stranocrtnu ravninu 3 odabrati takvu

ravninu koja je okomita na 1 i na . Time zadana

ravnina postaje trea projicirajua ravnina.

T

Za konstrukciju treeg traga s3 umjesto bilo

koje toke T ravnine P odabrana je toka G na

drugom tragu ravnine. Zato tako odabrana

toka pojednostavljuje konstrukciju?

G

G

G

s3.

dTraena se udaljenost projicira na stranocrtnu ravninu

u pravoj veliini (20-8). Zato?

N

N

N

1x3

.

Napomena. Na isti se nain rjeava zadatak: U toki ravnine postaviti okomicu na ravninu zadane duljine.

.

.
20.pps20.pps20.pps

2) Odrediti udaljenost toke T od pravca p.

Uputa. Budui da je pravac

paralelan s 1, zadatak je

mogue rijeiti uvoenjem

jedne stranocrtne ravnine

usporediti 20-8 f).

1x2

p

p

T

T

1x3

.

p

T

d

d.

N

N

d
20.pps20.pps20.pps

3) Konstruirati probodite pravca p i ravnine .

s1

1x2

s2p

p

1x3

A

A

A

P1

P1

P1p

G

G

G

s3

Stranocrt traenog

probodita N na treem

je tragu s3 ravnine .

Zato? (20-8).

N

N

N

Napomena. Isti je zadatak

rijeen na drugi nain u

(19). Rjeavanje na ovaj

nain preporuuje se kod

onih zadataka kod kojih se

trae probodita vie

pravaca s istom ravninom.

4) Zadanom tokom D poloiti ravninu P paralelnu s

ravninom te odrediti udaljenost tih ravnina.

x

s1

s2

D

D

Napomena 1. Udaljenost dviju ravnina mjeri se po bilo kojem pravcu

okomitom na te dvije ravnine i

jednaka je udaljenosti probodita tog

pravca s ravninama.

2x3

D

M

M

M

s3P || r1 || s1 r2 || s2 r3 || s3 r3

r2

r1

d (P, ) = d (r3, s3)

d

II. stranocrtna ravnina 4

1

2

x

3

1x3

A

A

.

AA

4

3x4

4 3

3 4 = 3x4

. AIV

AIV

Druga stranocrtna ravnina 4 s prvom stranocrtnom ravninom 3 ini jedan novi sustav ortogonalnih

ravnina projekcija. On je neovisan o tlocrtnoj i nacrtnoj ravnini.

II. stranocrtna ravnina

1x2

1x3

.

T

T

T

3x4

.TIV

Po istom se principu mogu postavljati

nove stranocrtne ravnine projekcija.

I. stranocrtna ravnina 3 postavljena je

okomito na 1 i zatvara s 2 bilo koji kut.

II. stranocrtna ravnina 4 postavljena je

okomito na 3 i zatvara s 1 i 2 bilo koji kut.

pIV

3

1x3

II. stranocrtna projekcija pravca

1

2

x

4

3x4

4 3 4 p 3 4 = 3x4 p

.

p

p

P1

p

.

P1

3 || p 3 1

pIV

p || p

p 4 = pIV

Zadaci

4) Odrediti udaljenost toke T

od pravca p.

Uputa. Zadatak se rjeava

dvostrukom primjenom

stranocrta:

3 || p 3 1

p

1x2

p

T

T

1x3

T

A

A

A

P2

P2

P2

p

3x4

pIV

TIVd

d

.N

Nd

N

d

4 usporedi 22-5.
22.pps22.pps22.pps

Po istom se principu rjeavaju sljedei zadaci:

5) Odrediti najkrau udaljenost (odnosno najkrau transverzalu) dvaju mimosmjernih pravaca.

Uputa. Pomou dvije stranocrtne ravnine treba postii da se jedan od pravaca projicira u toku.

6) Odrediti udaljenost dvaju paralelnih pravaca.

Uputa. Dvostrukom se primjenom stranocrta pravci projiciraju u toke. Udaljenost je toaka

jednaka udaljenosti pravaca.

8) Odrediti pravu veliinu kuta dviju ravnina.

Uputa. Prva se stranocrtna ravnina postavlja paralelno s presjenicom dviju ravnina, a druga

okomito na nju, tako da je etvrta projekcija presjenice toka. etvrti tragovi ravnina odreuju

traeni kut.

7) Konstruirati projekcije pravca koji je jednako udaljen od triju paralelnih pravaca.

Uputa. Pomou dvije stranocrtne ravnine treba postii da se pravci projiciraju u tri toke.

Sredite krunice opisane tom trokutu etvrta je projekcija traenog pravca.

Odrediti pravu veliinu kuta dviju ravnina

zadanih trima nekolinearnim tokama

1x2

1x3

A

B

D

C

A

B D

C

q

q

C

B

D

q

3x4

qIV

DIV

BIV

Projiciranje ravninskih likova

a) Trokut. etverokut. Krunica.

A B

C

C

BA

A

B

C

AB

C

1a. 1b.

Trokut se ABC na sl. 1a. vidi u tlocrtu i nacrtu s razliitih strana,

dok se onaj na sl. 1b. vidi s iste strane u objema projekcijama.

Trokut na sl. 1c. paralelan je s 2, pa se u nacrtu vidi u pravoj veliini.

x x

A

B

C

B

A

C

1c.

x

A

B

CD

A

B

C x



A

A

B

C

D

B

C

Nacrt toke D odreen je iz injenice da projekcija

paralelograma mora biti paralelogram.

D

Trai se nacrt toke D.

D

S

S

x



S

S

Projekcija je krunice krunica

ako je ravnina krunice paralelna

s ravninom projekcije.

Projekcija je krunice duina ako je

ravnina krunice okomita na ravninu

projekcije.

x

Konstrukcija prave veliine ravninskog lika

b) Geometrijski likovi u projicirajuim ravninama

1. Odrediti pravu veliinu trokuta u prvoj projicirajuoj ravnini P.

r1

r2

x

A

B

C

A

C

B

r20

.

A0

C0

B0

2. Konstruirati projekcije krunice koja lei u drugoj projicirajuoj ravnini ako je zadan

tlocrt sredita i polumjer r.

r2

x

r1

S

r

S

A

B

C

D

C D

Uputa. Prava se veliina

lika odreuje

prevaljivanjem lika u 1.

r

r

t

St

Konstrukcija prave veliine ravninskog lika

b) Geometrijski likovi u opim ravninama rotacija ravnine oko traga

r1

1

2r2

.

(S)

Napomena. Uoite da ravnina P moe rotirati

oko traga r1 u 1 na dva naina!

P = t t r1

t

S

T1

T2

1 P r1

.

Rotacija jedne toke ravnine P oko r1 u 1

t priklonica prve

skupine ravnine P

ST1 polumjer

rotacije

Rotacija toke ravnine oko traga u 1.

r2

r1

x

S

S

S0

(S)

Antirotacija toke F

iz 1 u ravninu P.

Za antirotaciju se moe koristiti priklonica

prve skupine t tokom T.

t

t

t0T0

T

T

Napomena. Na isti bi se nain izvela rotacija oko

drugog traga u ravninu 2.

t

t0

(T)

(T)(S*)

T*0

T*

r1

r2

x

F

F

T1

T1

T2 T1

T2

T20

Zadaci

1) Konstruirati pravu

veliinu trokuta ABC.

A B

C

B

A

C

Uputa.

a) Odrediti tragove ravnine

trokuta pomou dvaju

ukrtenih pravaca (17-4 d).

r1

r2

b) Rotirati toku A u 1.A0

(A)

c) Toke (B) i (C) konstruirati

pomou afinosti (os r1) (11-12).(B)

(C)

Zadaci

2) Ravnina zadana je

tragovima s1 i s2. Konstruirati

projekcije krunice k

kojoj je sredite toka S, ako

je zadana duljina polumjera r.x

s2

s1

S

S

S0

(S)

r

(k)

Projekcija je krunice openito

elipsa kojoj treba odrediti

veliku i malu os.

VANO!

U svakoj je projekciji velika

os na sutranici, a mala na

priklonici odgovarajue

skupine (duljina se male osi

odreuje pomou prevaljene

priklonice).

rr

k

r

r

S0

k

Velika se i mala os tlocrtne

elipse projiciraju u konjugirane

promjere nacrtne elipse.

Zadaci

3) Konstruirati projekcije kvadrata

kojemu je jedna stranica na pravcu p,

a jedan vrh u toki A.

Uputa.

a) (p, q) = (pomou

dvaju paralelnih pravaca)

b) Rotirati toku A u 1.

c) p || q (p) || (q)

p

p

x

A

A

q

q

s1

s2

A0

(p)

d) (A)(B)(C)(D)

jedno od dvaju rjeenja

(A)

(B)(C)

(D)

C

D

B

B

C

D

(q)

Napomena. Projekcija je kvadrata uvijek paralelogram.

e) Pomou afinosti (11-13)

ABCD

f) Ordinalama

ABCD
11.pps11.pps11.pps

Zadaci

4) Trokut ABC lei u

ravnini 1. Treba ga

rotirati u ravninu .

s2

s1

(A)

(B)

(C)

Uputa.

a) Konstruirati prevaljenu

priklonicu prve skupine

nekom tokom T zadane

ravnine (23-6).

T

T

T0

A0

A

c) Tlocrte preostalih

toaka odrediti pomou

afinosti (11-12.)C

B

d) Nacrti se toaka mogu

konstruirati pomou

sutranica, ali i na razne

druge naine. Istrai kako!

C

B

A

b) Sve su prevaljene

priklonice prve

skupine meusobno

paralelne.
23.pps23.pps23.pps11.pps11.pps11.pps../11.ppt

Geometrijska tijela

Dio prostora omeen ravnim i oblim plohama, ili samo ravnim, ili samo oblim

plohama geometrijsko je tijelo koje moe biti uglato ili oblo, pravilno ili

nepravilno, uspravno ili koso.

Kaemo da je geometrijsko tijelo pravilno ako mu je baza pravilan

geometrijski lik, a os tijela okomita na ravninu baze sve izvodnice

odnosno bridovi pravilnog tijela jednake su duljine.

Uglata geometrijska tijela zovemo poliedrima. (O pravilnim poliedrima 26. )

Pri projiciranju tijela na neku ravninu nisu vidljive projekcije svih njegovih

ploha. Bridovi se, odnosno crte koje dijele vidljive dijelove tijela od nevidljivih

pri projiciranju na neku ravninu projekcije, zovu konture toga tijela.

Neka je toka na plohi geometrijskog tijela ako je na pravcu odnosno krivulji

koja pripada toj plohi.

Napomena. Neka tijela imaju bazu koja je pravilan geometrijski lik i izvodnice ili bridove jednakih

duljina, ali je os tijela kosa u odnosu na ravninu baze, pa se nazivaju kosim tijelima (25-2).

PrizmePrizme mogu biti trostrane, etverostrane,..., pravilne ili nepravilne, uspravne ili kose.

a) uspravna pravilna trostrana

A= D

B=E

C=F

x

A B C

D E F

T

T

Napomena. Iz tlocrta se toke ne moe

zakljuiti o njezinu poloaju u nacrtu.

b) kosa trostrana

x

A

B

C

CA B

E

F

D

D F E

Nacrt se toke T na poboki ABDE moe nai

pomou bilo koje duine te poboke.

T

T

Trostrane

tlocrtna kontura

nacrtna kontura

tlocrtna kontura

nacrtna kontura

etverostrane prizme

c) paralelopiped (kvadar)

A= E B= F

x

C= GD= H

A= B C= D

E= H F= G

x

d) kosa kvadratska

Oznake vrhova pokazuju da je rije o kvadru.

T

Pravac nosilac toke T pokazuje na kojoj se

poboki ona nalazi. Ovdje je taj pravac sutranica

prve skupine ravnine poboke. Toka T na gornjoj

je strani poboke koja je u nacrtu nevidljiva.

Paralelopiped je etverostrana prizma

kojoj je baza paralelogram. Moe biti

uspravni ili kosi.

tlocrtna kontura

nacrtna konturaT

Rjeenje. Dodati bokocrtnu projekciju!

Piramide

Piramide mogu biti trostrane, etverostrane, peterostrane,..., pravilne ili nepravilne,

uspravne ili kose.

x

a) pravilna trostrana

A B

CCA B

V

V

Toka T lei na poboki ABV. Odrediti joj tlocrt.

T

T

b) kosa kvadratska

x

T

T

Zakljuak: Toka T nalazi se na

donjoj prednjoj strani piramide.

tlocrtna kontura

nacrtna kontura

tlocrtna kontura

nacrtna kontura

Valjci

a) uspravni kruni ili rotacijski

x

M

M

N

N

Nacrt toke M na vidljivoj izvodnici

nije jednoznano odreen.

Tlocrt je toke N na nevidljivoj

izvodnici jednoznaan.

a b

a b

Izvodnice su a i b konturne za nacrt;

sve su izvodnice valjka, ija su prva

probodita (noita) na prednjem dijelu

krunice baze, u nacrtu vidljive.

Valjci mogu biti uspravni ili kosi; kruni, eliptiki, paraboliki, hiperboliki, ...

to ovisi o krivulji baze.

Valjci

b) kosi kruni

x

N

M

M

N

U tlocrtu su vidljive one izvodnice

ija prva probodita lee na vidljivom

dijelu krunice baze izmeu izvodnica

a i b.

a

b

U nacrtu su vidljive one izvodnice

ija prva probodita lee na prednjem


c i d. c d

c d

Toka T na donjem je dijelu

valjka. Odrediti njezin nacrt

pomou izvodnice.

T

T

Tlocrt se toke P, koja je na stranjem

dijelu valjka, moe geometrijski tono

odrediti pomou izvodnice

S

S

P

P

ili krunog presjeka.

Stoci

a) uspravni kruni ili rotacijski

V

V

xToka T zadana nacrtom moe leati s

prednje ili stranje strane stoca. Njezin

poloaj pokazuje vidljivost izvodnice

koja njome prolazi.

T

T Nacrt se toke P moe odrediti pomou

izvodnice ili krunog presjeka.

U tlocrtu su vidljive sve izvodnice stoca.


ija prva probodita lee na prednjem


a i b.

P

P

Stoci mogu biti uspravni ili kosi; kruni, eliptiki, paraboliki, hiperboliki, ...

to ovisi o krivulji baze.

a b

a b

Stoci

b) kosi kruni

x

U tlocrtu su vidljive one izvodnice

ija druga probodita lee na

gornjem dijelu krunice baze

izmeu izvodnica a i b.

a b

a b


ija druga probodita lee na

vidljivom dijelu krunice baze

izmeu izvodnica c i d.

(Konstrukcija konturnih izvodnica

07-2).

c

d

c d

Nacrt se toke P, koja je na gornjem

dijelu stoca, moe geometrijski

tono odrediti pomou izvodnice ili

krunog presjeka.

S

S

P

P
07.pps07.pps07.pps

Kugle

x

S

S

Kontura kugle u tlocrtu je krunica

e, koja se u nacrt projicira u duinu.

e

e

Kontura kugle u nacrtu krunica je m,

koja se u tlocrtu projicira u duinu.

m

m

Toka je na kugli ako je na nekoj

krunici kugle. Pogodne su one

krunice koje su paralelne s

jednom od ravnina projekcija.

Odrediti nacrt toke T koja je na

gornjoj strani kugle.

e ekvator

m - meridijan

k

k

k - paralela

T

T

Pravilna uglata geometrijska tijela

Pravilna uglata geometrijska tijela omeena su pravilnim, meusobno sukladnim

geometrijskim likovima i zovu se pravilni poliedri. Moe im se upisati i opisati kugla.

Pet pravilnih poliedara jesu:

TETRAEDAR

Sastoji se od:

4 jednakostranina trokuta

6 jednakih bridova

4 vrha; svakim prolaze po 3 brida

Sastoji se od:

6 sukladnih kvadrata

12 jednakih bridova

8 vrhova; svakim prolaze po 3 brida

OKTAEDAR

Sastoji se od:

8 sukladnih jednakostraninih trokuta

12 jednakih bridova

6 vrhova; svakim prolaze po 4 brida

3 jednake, meusobno okomite

dijagonale triju k

Documents

Nacrtna Geometrija Predavanja Zagreb