5-1 Nacrtna geometrija za I god_ALB_PRINT_WEB.pdf

8/15/2019 5-1 Nacrtna geometrija za I god_ALB_PRINT_WEB.pdf

1/142

. -

GJEOMETRIADESKRIPTIVE

Për vitin Itë profesionit tëndërtimtarisë dhegjeodezisë

Prof Dr. Biljana KrsteskaProf. Vesna Hristovska


2/142

Autorë:Dr. Biljana Krsteska

profesor në “Fakultetin e shkencave matematikore”, Shkup

Inxh.dipl.ark. Vesna Hristovskaprofesor në SHMNGJ të qytetit të Shkupit “Zdravko Cvetkovski”, Shkup

Recensentë:Dr. Valentina Miovska

profesor në “Fakultetin e Shkencave Matematikore”, Shkup

Inxh.dipl.ark. Ruzhica Josifovskaprofesor në SHMNGJ të qytetit të Shkupit “Zdravko Cvetkovski”, Shkup

Inxh.dipl.ark Snezhana Trajkovskaprofesor në SHMQSH “Gjorgji Dimitrov”, Shkup

Përkthyes:Inxh.dipl. imat.-inf. Pranvera Xhaferiprofesor në SHMQSH “Zef Lush Marku”, Shkup

Redaktor profesional i botimit në gjuhën shqipe:Doc. dr. Abdyl Koleci

Lektor:Abdulla Mehmeti

Përpunimi kompjuterik dhe kopertona:

Stoile Davçevski

Botuesi: Ministria e arsimit dhe shkencës e Republikës së Maqedonisë

Shtypi: Graficki centar dooel, Shkup

Tirazhi: 250

Me vendim të Ministrisë për arsim dhe shkencë ë Republikës së Maqedonisë Nr. 22-4678/1 prej datës

27.08.2010 lejohet përdorimi i këtij teksti shkollor.

CIP - Каталогизација во публикацијаНационална и универзитетска библиотека “Св.Климент Охридски” , Скопје514 . 18 (075.3)КРСТЕСКА, БилјанаНацртна геометрија за прва година на градежно-геодетска струка / Билјана Крстеска, Весна Христовска. - Скопје : Министерство за образование и наука на Република Македонија, 2010. -142 стр. : цртежи ; 30 см

Библиографија: стр.140ISBN 978-608-226-191-1COBISS.MK-ID 84327690


3/142

3

Parathënie

Libri GJEOMETRIA DESKRIPTIVE për vitine parë të arsimit katërvjeçar profesional ështëshkruar sipas programit arsimor për lëndën edetyrueshme në fjalë për vitin e parë të arsimitkatërvjeçar profesional. Para së gjithash, sipasplanit arsimor i dedikohet nxënësve të profesionittë ndërtimtarisë dhe gjeodezisë në profilet arsi-more teknik arkitektonik, teknik ndërtimor dhe te-knik gjeodezik.

Autorët u përpoqën ti përpunojnë përmbajtjete parapara në pajtim me parimet didaktike –me-todike për realizimin e mësimit. Libri përbëhetprej shtatë tërësive tematike. Në suaza të secilës

temë mësimore janë të përpunuara përmbajtjettë cilat, sipas rregullës, janë të ilustruara meshembuj të zgjidhur dhe vizatime. Në fund tësecilës temë mësimore janë dhënë detyra përpunë të pavarur në orë ose për detyrë shtëpie, tëcilat paraqesin vazhdimin e punës në orë dhe ajoparaqet shkallën më të lartë të punës së pavarurtë nxënësit.

Tema e parë mësimore “Hyrje në gjeometrinëdeskriptive” ka për qëllim të bëj pasqyrë të

shkurtër të zhvillimit historik të lëndës, qëllimevedhe përmbajtjeve të gjeometrisë deskriptive.

Zotërimi i materialit të ekspozuar në temënmësimore të dytë “Bazat e projektimit ortogo-nal” jep mundësi për përvetësimin e njohurivedhe aftësive në lidhje me projektimin ortogonal tëfigurave të rrafshëta dhe trupave gjeometrik nëdy apo tre rrafshe.

Tema e tretë mësimore “Projeksioni i pjer-

rët” është e orientuar kah aplikimi (futja) e kon-ceptit projeksion i pjerrët, si dhe kah kryerja eprojeksionit të pjerrët të figurave të rrafshëta dhetrupave gjeometrik. Vëmendje të veçantë i ësh-të kushtuar zbatimit të projeksionit të pjerrët nëndërtimtari dhe arkitekturë.

Me zotërimin e materialit që i referohettemës së katërt mësimore “Rrafshet” nxënësido ti përvetësoj njohurit dhe aftësitë themelorenë pjesën e rrafsheve paralele apo normale me

rrafshe të projeksionit.

Parathënie


4/142

4

Në temën e pestë “Transformacionet”nxënësit udhëzohen në përvetësimin e meto-dave për transformimin e figurave gjeometrikedhe trupave gjeometrik, si dhe të trupave ngapraktika.

Zotërimi i materialit të ekspozuar në temëne gjashtë:,,Rrafshi i përgjithshëm” mundësonzgjerimin e njohurive për hapësirën dhe para-qitjen e formave më të ndërlikuara me lidhjet etyre reciproke.

Materiali i prezantuar në temën “Projek-sioni i kuotuar” mundëson njoftimin me meto-dat e projeksionit të kuotuar, si dhe zbatimin e tijnë zgjidhjen e problemeve nga ndërtimtaria dhearkitektura.

Gjatë realizimit të programit në këtë libërmësimdhënësi lehtë mund të insistoj në punën epavarur të nxënësve.

Mirënjohje të veçantë i detyrohemi re-censentëve të këtij libri, sugjerimet dhe vërejtjete të cilëve kontribuuan në përmirësimin e kual-itetit të tij.

Autorët, që më parë do të jenë mirënjohëspër secilën kritikë qëllimmirë, apo vërejtje përpërmirësimin e përmbajtjes, pasi që besojnë seky libër do të kontribuojë që nxënësit e profesionittë ndërtimtarisë dhe gjeodezisë të njoftohen mepërmbajtjet të cilat do të jenë të dobishme nëpërsosjen e tyre të mëtutjeshme profesionale.

Qershor, 2010

Autorët

Parathënie


5/142


6/142

6

TËRËSIA TEMATIKE

1. HYRJE NË GJEOMETRI DESKRIPTIVE

1.1 Hyrje në gjeometri deskriptive

Hyrje në gjeometri deskriptive


7/142

7

1. HYRJE NË GJEOMETRI DESKRIPTIVE

1.1. HYRJE NË GJEOMETRI DESKRIPTIVE

,,Vizatimi është mjet i rëndësishëm për kuptimin

e teknikës. Prandaj vizatimi llogaritet si gjuhë einxhinierëve, ndërsa gjeometria deskriptive sigramatika e saj.”

Valter Bunderlih

Gjeometria deskriptive është dega e gjeom-etrisë e cila merret me studimin e metodave metë cilat mundësohet paraqitja e objekteve ngahapësira me ndihmën e vizatimit.

Mund të thuhet se gjeometria deskriptiveështë e vjetër sa është e vjetër edhe gjeometria.Por hovin e vet si disiplinë e veçantë e përjetoinë shekullin e XVIII, kur shumë matematikanëdhe inxhinierë intensivisht punuan në metodat eparaqitjes së objekteve nga hapësira. Për arritjete veta në atë drejtim posaçërisht u veçua inxhin-ieri francez Gaspar Monzh i cili llogaritet si “ba-bai i gjeometrisë deskriptive”Ai kah fundi i shek-

ullit të XVIII zhvilloi teknikat e veta për zgjidhjene problemeve gjeometrike, përderisa punonte siraportues për fortifikimet ushtarake. Ato zbulimetmë vonë i publikonte në librin e tij “Gjeometriadeskriptive”. Prej atëherë e deri më sot gjeome-tria deskriptive shënon zhvillim të shpejt dhe in-tensiv, posaçërisht në fushën e zbatimit të saj.

Me çka merret gjeometria deskriptive?

Gjeometria deskriptive është disiplinëshkencore e cila merret me studimin e metodave me të cilat objektet hapësinore paraqiten me objektet gjegjëse në rrafsh.

Në atë mënyrë, me ndihmën e metodavetë gjeometrisë deskriptive zgjidhja e problemitkonkret në hapësirë identifikohet me zgjidhjen eproblemit përkatës në rrafsh. Të gjitha vetitë tëcilat e mundësojnë lidhjen e problemit hapësi-

nor dhe atij përkatës në rrafsh e karakterizojnëpërmbajtjen e gjeometrisë deskriptive.

Gaspar Monzh (1746 - 1818)



8/142

8

Prandaj, qëllimi i mësimit të teknikave tëgjeometrisë deskriptive është e dyfishtë. Nganjëra anë ajo na mëson si ta vizatojmë ndonjëobjekt të cilin e shikojmë ose e paramendojmë,ndërsa nga ana tjetër na zhvillon aftësinë që nëbazë të vizatimit të fitojmë paraqitjen hapësinorepër objektin e vizatuar.

Vështirësia kryesore gjatë zgjidhjeve tëproblemeve në gjeometrinë deskriptive rrjedhnga fakti se objektet në hapësirë, ashtu si edhevet hapësira që na rrethon ka tre dimensione,ndërsa objektet e rrafshëta, ashti si edhe viza-timi kanë dy dimensione. Për tejkalimin e kësajvështirësie janë futur projeksionet gjeometriken rrafsh, të cilat në esencë janë bazë e gjeom-

etrisë deskriptive.Metodat dhe teknikat e fituara janë me rëndë-

si të madhe në jetën e përditshme dhe në prak-tikë, posaçërisht në inxhinieri, arkitekturë, dizajndhe në art. Për ne, me rëndësi të veçantë ështëzbatimi i gjeometrisë deskriptive në ndërtimtari.Prej andej edhe nevoja edhe lidhja e gjeometrisëdeskriptive me lëndët mësimore të cilat studiojnëtemat nga lëmit:konstruksionet ndërtimore, viza-timi teknik, projektimi dhe urbanizmi etj.

Inxhinierët kanë nevojë të veçantë ngagjeometria deskriptive. Para së gjithash, ështëe nevojshme të vendosen në letër të gjitha idetëpër ndonjë objekt me çka do të mundësohet re-alizimi i tij i planifikuar.

Zhvillimi i aplikacioneve të shumta softuerikemundësojnë zbatimin e shpejt dhe efikas tëgjeometrisë deskriptive në të gjitha lëmit e jetësbashkëkohore.

Pyetje dhe detyra:

1. Ceki momentet më të rëndësishme në zhvil-limin historik të gjeometrisë deskriptive.2. Ç’është objekti i studimit të gjeometrisëdeskriptive?3. Në cilat lëmenj të jetës së përditshme është i

potencuar zbatimi i gjeometrisë deskriptive?4. Në cilat lëndë që i mëson zbatohet gjeometriadeskriptive?



9/142

Tërësia tematike

2. BAZAT E PROJEKTIMIT ORTOGONAL

Në këtë tërësi tematike nxënësi mund:

■ të njoftohet me rrafshet e projeksionitdhe projektimin ortogonal të

elementeve nga hapësira, ■ të mësoj t’i caktojë koordinatat, ■ të mësoj ta dalloj paraqitjen

hapësinore dhe ortogonale tëelementeve mbi rrafshet e projeksionit,

■ ta mësoj projeksionin ortogonal tëpikës dhe pikës në pozitë të veçantë,

■ ta mësoj projeksionin ortogonal tëdrejtëzës dhe segmentit,

■ ta mësojë projeksionin ortogonal tësegmentit në pozitë të veçantë,

■ të mësoj t’i përcaktoj depërtimet edrejtëzës,

■ të mësoj ta përcaktoj madhësinë evërtetë dhe këndet e pjerrësisë tësegmentit,

■ të mësoj t’i vizatoj figurat gjeometrikenë tre projeksione,

■ të përpunoj në mënyrë të pavarurmodele të rrafsheve të projeksionit,

■ në mënyrë të pavarur të përpunojëmodele të trupave të përbërë dhe atogjeometrik.


10/142

10


TËRËSIA TEMATIKE


2.1. Paraqitja hapësinore dhe ortogonale e objekteve2.2. Projektimi dhe llojet e projeksioneve

2.3. Projektimi ortogonal i pikës

2.4. Projektimi ortogonal i pikës në pozitë të veçantë

2.5. Kuadrantet. Koordinatat e pikave

2.6. Projektimi ortogonal i segmentit

2.7. Projektimi ortogonal i segmentit në pozitë të

veçantë2.8. Madhësia e vërtetë e segmentit dhe këndeve e

pjerrësisë

2.9. Projektimi ortogonal i drejtëzës

2.10. Depërtimet e drejtëzës dhe këndet e pjerrësisë

2.11. Rrafshi i tretë i projeksionit. Projektimi ortogonal ipikës.

2.12. Projektimi ortogonal i figurave gjeometrike

2.13. Projektimi ortogonal i trupave gjeometrik


11/142

11



2.1. PARAQITJA HAPËSINORE DHEORTOGONALE E OBJEKTEVE

Siç thamë edhe më herët njëra nga vësh-

tirësitë e cila paraqitet në gjeometrinë deskrip-tive është fakti se objektet në hapësirë kanë tredimensione: gjatësinë, gjerësinë dhe lartësinë,ndërsa fleta në të cilën vizatojmë ka vetëm dy di-mensione. Prandaj është e nevojshme që objek-tet në fletë të jenë të vizatuara në atë mënyrë qënga vizatimi të fitohet paraqitja e drejtë e formës,dimensioneve dhe pozitës së objektit në hapë-sirë. Në gjeometrinë deskriptive ekzistojnë dymënyra për paraqitjen e objekteve në fletën për

vizatim:■ paraqitja hapësinore, dhe■ paraqitja ortogonale e objekteve.

Cilën mënyrë do ta zgjedhim varet nga ajo seçfarë dëshirojmë të kuptojmë nga vizatimi. Athuanga vizatimi dëshirojmë ta vështrojmë objektin,formën dhe pozitën e tij në hapësirë apo ta sho-him madhësinë e tij të vërtetë.

Paraqitja hapësinoree objekteve

Paraqitja hapësinore e objekteve krijon para-qitjen më të mirë për objektin që është paraqitur.Nga vizatimi drejtpërdrejt i vërejmë të tre dimen-sionet dhe pozitën e objektit të paraqitur. Por kjomënyrë e paraqitjes së objekteve ka mangësinëe vet. Gjegjësisht, nga vizatimi nuk mundemi tavërejmë madhësinë e vërtetë dhe formën e objektit. Kjo është pasojë para së gjithash e faktit

se kjo mënyrë e paraqitjes nuk i ruan këndet teobjekti (për shembull, këndi i drejtë paraqitet si ingushtë apo i gjerë)

Në vizatimin 2.1 në mënyrë hapësinore ështëparaqitur objekti. Nga vizatimi qartë shihen të tredimensionet e objektit si dhe faqet anësore të tij.Por faqet anësore të objektit janë drejtkëndësha,të cilat këtu nuk janë të vizatuar si drejtkëndësha.Kjo rrjedh nga fakti se këndet mes teheve anë-sore janë kënde të drejtë, por në vizatim nuk janëtë drejtë.

Vizatimi 2.1


12/142

12


Projeksioni ortogonali objekteve

Me qëllim që ti evitojmë mangësitë e para-qitjes hapësinore, objektet mund ti paraqesimedhe në mënyrë tjetër.

Me paraqitjen ortogonale objektet paraqitenme vizatime për sipërfaqen anësore. Për këtë ar-sye objektin e vërejmë sipas drejtimeve të ndry-shme të cilat janë normale në sipërfaqen anë-sore. Më së shpeshti këtë e bëjmë nga lartë, ngapërpara dhe nga anash. Për secilin drejtim fitojmëvizatim të veçantë.

Në vizatimin 2.2 është treguar paraqitja or-togonale e objektit, në rast kur objektin e shiko- jmë normal në faqet e tij anësore, nga lartë, nga

para dhe anash.Kur objektin e shikojmë nga lartë (pamja I)

faqet anësore S3 dhe S6 do të paraqiten në mad-hësi të vërtetë. Vëre pozitën e kulmit A. Ku gjen-det kulmi A në vizatim? Nga tre dimensionet e objektit në madhësi të vërtetë do të shihen gjatësia(a) dhe gjerësia (b). Në këtë rast mungon infor-mata për madhësinë e lartësisë (c).

Kur objektin e shikojmë nga përpara (pam-

ja II) faqet anësore S1 dhe S4 do të tregohen nëmadhësi të vërtetë. Ku gjendet kulmi A në viza-tim? Nga tre dimensionet e objektit në madhësi tëvërtetë do te shihen gjatësia (a) dhe lartësia (c).Mungon informata për madhësinë e gjerësisë (b).

Kur objektin e shikojmë nga anash (pamjaIII) faqet anësore S2 dhe S5 do të paraqiten nëmadhësi të vërtetë. Ku gjendet kulmi A në viza-tim? Nga tre dimensionet e objektit në madhësi tëvërtetë do te shihen gjerësia (b) dhe lartësia (c).

Në këtë rast mungon informata për madhësinë egjatësisë (a).

Që të mos i vizatojmë të tre pamjet e objektitkudo qoftë në fletë ato i organizojmë si në viza-timin 2.3. Gjegjësisht, së pari e vizatojmë pamjennga lartë (pamja I), mbi të me gjatësi të njëjtë (a)e vizatojmë pamjen nga përpara (pamja II), ndër-sa majtas nga ajo me lartësi të njëjtë (c) e vizato- jmë pamjen nga anash. Më tutje në këtë mënyrë

do ti vizatojmë të gjitha objektet, ndërsa paraqitjahapësinore e objekteve do të jetë vetëm metodandihmëse për paraqitjen e tyre.

nga lartë

nga lartë (III)

nga përpara (II)

nga anash (I)

nga përpara

nga anash

Vizatimi 2.2

Vizatimi 2.3


13/142

13


Pyetje dhe detyra:

1. Në sa mënyra mund t’i paraqesim objektet nëfletën vizatuese?

2. Numëro mangësitë e paraqitjes hapësinore tëobjekteve.

3. Vizato bazën e klasës tënde, e pastaj vizatoinventarin në bazë dhe futi dimensionet e bazës.

4. Për objektin e vizatuar në pamjen hapësinorenë vizatimin 2.4. vizato pamjet e tij nga lartë, ngapërpara dhe nga anash, e pastaj në secilën prej

atyre pamjeve cakto pozitën e pikës B.

2.2 PROJEKTIMI DHE LLOJET EPROJEKSIONEVE

Siç përmendëm më parë, baza teorike egjeometrisë deskriptive dhe zbatimet e saj janëprojeksionet. Në vazhdim do ti shqyrtojmë disalloje të projeksioneve.

Projektimi qendror Në vizatimin 2.5 është paraqitur burimi i dritës

S dhe rrafshi . Nga burimi i dritës, rrezet e dritësshpërndahen në të gjitha anët dhe e ndriçojnërrafshin . Nëse ndërmjet burimit të dritës S dherrafshit paramendojmë pikën material T e cilaështë e jotejdukshme, ajo do ta ndaloj atë rrezetë dritës e cila bie mbi të. Atëherë në rrafsh do tëparaqitet pika e errët TC e cila faktikisht është hijae rënë nga pika T. Pika TC është ajo pikë në të

cilën rrezja ST e ndaluar me pikën T do ta kishtedepërtuar rrafshin nëse do ta kishim vazhduarderi te rrafshi.

Nëse ndërmjet burimit të dritës dhe rrafshit vendosim trekëndësh nga kartoni i jotejdukshëm,ai do ti ndaloj të gjitha rrezet të cilat bien mbi të. Atëherë në rrafshin do ta paraqitet trekëndëshii errët ACBCCC i cili është hija e rënë nga aitrekëndësh. Pikat AC, BC dhe CC janë ato pika në

të cilat rrezet SA, SB dhe SC të ndaluar me pikat A, B dhe C do ta kishin depërtuar rrafshin nësedo të ishin vazhduar deri te rrafshi.

Vizatimi 2.5

Vizatimi 2.4


14/142


15/142

15


Nëse nga pika T lëshojmë normalen në rraf-shin e pastaj e caktojmë rënzën e saj T ’, atëherëthemi se pikën T e kemi projektuar në mënyrëortogonale (normale) në rrafshin Drejtëza TT’ quhet drejtimi i projektimit ortogonal, ndërsarrafshi quhet rrafshi i projektimit ortogonal.Në këtë kuptim trekëndëshi A’B’C’ është projeksioni ortogonal i trekëndëshit ABC në rraf-shin

Mënyra e këtillë e përcaktimit të pasqyrëssë një objekti quhet projektimi ortogonal,pasi që të gjitha pikat e objektit projektohen nëmënyrë ortogonale mbi ndonjë rrafsh .

Projektimi i pjerrët

Në vizatimin 2.7 është paraqitur rrafshi mbi të cilin bien rrezet e diellit s të cilat me rraf-shin formojnë këndin . Nëse përsëri ndërmjetDiellit dhe rrafshit vendosim pikën materiale Tdhe trekëndësh të patejdukshëm ABC, ato dotë hedhin hije mbi rrafshin që do të jenë pikatT dhe ABC.

Ta shqyrtojmë aspektin gjeometrik të ecur-isë për fitimin e hijes së hedhur në pikën T dhetrekëndëshin ABC.

Nëpër pikën T tërhoqëm drejtëz paralele medrejtimin projektues s dhe e gjetëm depërtimine saj me rrafshin . Po ashtu, nëpër secilin kulmtë trekëndëshit ABC tërhoqëm drejtëza paraleleme drejtimin projektues s dhe gjetëm depër-timet e tyre A, B dhe C në rrafshin me çkafituam kulmet e trekëndëshit ABC.

Nëse nga pika T tërheqim drejtëz paraleleme drejtimi projektues s dhe e gjejmë depërtimin

e saj T me rrafshin atëherë themi se pikën Te kemi projektuar pjerrtas në rrafshin . Drejtë-za TT quhet drejtimi i projektimit të pjerrët,ndërsa rrafshi quhet rrafshi i projektimit tëpjerrët. Në këtë kuptim trekëndëshi ABC ësh-të projeksioni i pjerrët i trekëndëshit ABC nërrafshin

Mënyra e këtillë e përcaktimit të pasqyrëssë një objekti quhet projektimi i pjerrët, pasiqë të gjitha pikat e objektit projektohen pjerrtas

mbi ndonjë rrafsh .

Vizatimi 2.7


16/142

16


Në fund, të vërejmë se projektimi ortogonaldhe ai i pjerrët kanë veti të përbashkët, e ajoështë se drejtimet projektuese janë paralele, përdallim nga projektimi qendror ku drejtimet pro-

jektuese kalojnë nëpër një pikë. Prandaj projek-timi ortogonal dhe ai i pjerrët shpesh emërtohensi projektimet paralele.

Pyetje dhe detyra:

1. Cilat lloje të projektimeve i shqyrtuam?

2. Sqaro ecurinë me të cilën fitohet projeksioni ipikës së dhënë me:

a) projektim qendror,

b) projektim ortogonal,c) projektim të pjerrët.

3. Paramendo se tavolina jote e punës ështërrafshi i projektimit. Bëj model të drejtkëndëshitnga kartoni dhe vendose mbi tavolinën punuese.Sqaro çka do të jetë projeksioni i tij me projek-tim qendror me qendër në llambën elektrike tëhapësirës në të cilën gjendet.

4. Përpuno model të katrorit nga kartoni dhe

vendose mbi tavolinën punuese. Sqaro çka dotë jetë:

a) projeksioni i tij ortogonal,

b) projeksioni i tij i pjerrët.

2.3. PROJEKTIMI ORTOGONAL I PIKËS

Njëra nga metodat më të rëndësishme tëgjeometrisë deskriptive është projektimi ortogo-

nal i dy rrafsheve.Le të jenë dhënë rrafshi horizontal 1 dhe

pika A, e cila nuk shtrihet në të (vizatimi 2.8).Siç thamë më parë, pika A’ në të cilën normaljae tërhequr nga pika A e depërton rrafshin ësh-të projeksion ortogonal i pikës A mbi rrafshin 1.Pasi që nga pika A mund të lëshojmë normaletë vetme në rrafshin 1 përfundojmë se secilapikë nga hapësira ka projeksion të vetëm ortog-onal në rrafshin 1.

Parashtrohet pyetja, më dhënien e projeksionit ortogonal A’ të pikës A në rrafshin 1

Vizatimi 2.8


17/142

17


a është plotësisht e përcaktuar pozita e saj nëhapësirë?

Përgjigja në këtë pyetje është negative,gjegjësisht nga projeksioni ortogonal A’ i pikës Amund të përfundojmë vetëm se ajo pikë shtrihetnë normalen e ngritur nga pika A’, por nuk dimëse sa ajo pikë është e larguar nga rrafshi 1. Tëgjitha pikat e asaj normales për projeksion or-togonal kanë pikën A.

Që ta përcaktojmë pozitën e pikës A nëhapësirë fusim rrafshin vertikal 2, normal nërrafshin e dhënë 1. Pika A” është projeksionortogonal i pikës A në rrafshin 2 (vizatimi 2.9).

Projeksioni ortogonal A’ i pikës A në rrafshin1 quhet projeksioni i parë i pikës A, ndërsa

projeksioni ortogonal A” i pikës A në rrafshin 2 quhet projeksioni i dytë i pikës A. Rrafshi hori-zontal 1 quhet rrafshi i parë i projeksionit, ndërsa rrafshi vertikal 2 quhet rrafshi i dytëi projeksionit. Drejtëza në të cilën priten rraf-shet e projeksionit quhet boshti-x.

Nëse nëpër drejtëzat AA’ dhe AA” vendosimrrafsh atëherë është e qartë se ai rrafsh dotë jetë normal në rrafshe 1 dhe 2, po ashtuedhe në boshtin-x. Rrafshi i tillë, do ta presrrafshin 1 në drejtëzën A’Ax, ndërsa rrafshin2 në drejtëzën A”Ax. Katërkëndëshi AA’ AX A”është drejtëkëndësh, prandaj

x A'' A' AA dhe. A' A'' AA x Kjo do të thotë se largesa nga pika

A deri te rrafshi horizontal 1 është e barabartëme largesën nga projeksioni i dytë i saj A” derite boshti-x, ndërsa largesa nga pika A deri terrafshi vertikal 2 është e barabartë me largesënnga projeksioni i parë i saj A’ deri te boshti-x.

Le të jetë dhënë së bashku me projeksionine parë A’ të pikës A edhe projeksioni i dytë i saj

A”. Që ta caktojmë pozitën e pikës A në hapë-sirë nga pika A’ ngrehim normalen në rrafshin1, e pastaj nga pika A” ngrehim normale në 2.

Atëherë pika A është në pikëprerjen e atyre nor-maleve. Prandaj pozita e një pike në hapësirëështë plotësisht e përcaktuar me projeksionin edytë të saj dhe projeksionin e parë të saj.

Në vizatimin 2.9 është paraqitur vendosja e

rrafsheve 1 dhe 2 në hapësirë dhe projeksio-net A’ dhe A”. Parashtrohet pyetja: projeksionet

Vizatimi 2.9


18/142

18


dhe dy rrafshet si ti vizatojmë në rrafsh të njëjtë-në rrafshin e fletës për vizatim. Këtë e arrijmënë atë mënyrë që rrafshin 1 e rrotullojmë rrethboshtit-x teposhtë për 90o ashtu që të përputhetmë rrafshin 2 (vizatimi 2.10).

Pastaj rrafshet e përputhura në atë mënyrëi paramendojmë si fletë për vizatim dhe fitojmëvizatimin 2.11. Rrotullimin e këtillë të rrafshitderi te përputhja e dy rrafsheve do ta quajmëzbërthimi i rrafsheve të projeksionit.

Projeksioni i parë A’ dhe i dytë A” i pikës Anë rrafshet e këtilla të zbërthyera quhen projek-sionet shoqëruese të pikës A. Segmentet A’Ax dhe A”Ax janë normale në boshtin-x, prandajdrejtëza A”A”, e quajtur ordinalja, është normal

në boshtin-x.Siç është me rëndësi të dijmë se si mund

të vijmë deri te projeksionet shoqëruese të njëpike në hapësirë, po ashtu me rëndësi ështëedhe të dimë si mund ta përcaktojmë pozitën enjë pike në hapësirë nëse i dimë projeksionet esaja shoqëruese (vizatimi 2.11).

Nga pika A” ngrehim normale në rrafshin evizatimit, e pastaj nga pika A” në normale bartim

gjatësinë Ax A’, pasi që ' A A A" A x

fi

tojmë poz-itën e pikës A në hapësirë. Kështu:

Pozita e një pike në hapësirë është plotë- sisht e përcaktuar me projeksionet e sajashoqëruese.

Pyetje dhe detyra:

1. Emërto rrafshin e parë dhe të dytë të projek-sionit.

2. Çka janë projeksionet shoqëruese të pikës?

3. Sqaro pse pozita e një pike në të dhënë.

4. Përpuno një model të rrafsheve të projeksionitnë mënyrë vijuese. Në karton të trashë vizatodrejtkëndësh me gjatësi 26cm dhe gjerësi 15cm,e pastaj në mes vizato boshtin-x (vizatimi 2.12).

Preje drejtkëndëshin, pastaj thyeje gjysmëne sipërme të tij nëpër boshtin-x ashtu që të

Vizatimi 2.11

Vizatimi 2.10


19/142

19


formoj kënd të drejtë me gjysmën e poshtme(vizatimi 2.13). Nëse tani pjesën e poshtme1 e vendosish në rrafshin horizontal, pjesa esipërme do të jetë në rrafshin vertikal.

5. Shfrytëzo modelin e detyrës 3. Merr një topthprej tape dhe nëpër të kalo një gjilpërë.

a) Gjilpërën ngule në mënyrë ortogonale nërrafshin horizontal. Nëse topthin e paramendojesi pikë në hapësirë, cilin projeksion të saj fitove?

b) Gjilpërën ngule në mënyrë ortogonale nërrafshin vertikal. Nëse topthin e paramendoje sipikë në hapësirë, cilin projeksion të saj fitove?

2.4. PROJEKTIMI ORTOGONAL IPIKËS NË POZITË TË VEÇANTË

Pika të cilën duhet ta projektojmë në rast tëveçantë mund të shtrihet në rrafshin horizontalapo në atë vertikal, ose në vet boshtin-x.

Në vazhdim do ti shqyrtojmë raste të për-mendura.

Të paramendojmë se pikën e dhënë A elëshojmë nëpër drejtëzën e parë projektuese AA’kah rrafshi horizontal 1. Atëherë projeksioni isaj i dytë A” lëshohet kah boshti-x. Në momentin

kur pika do të bie në rrafsh, projeksioni i saj idytë do të bie në boshtin-x (vizatimi 2.14)

Nëse pika shtrihet në rrafshin e parë

projektues 1, atëherë projeksioni i saj i parëështë në pikën e njëjtë, ndërsa projeksioni isaj i dytë shtrihet në boshtin-x.

Nëse pikën e dhënë B e lëshojmë sipas

drejtëzës së dytë projektuese BB” kah rrafshivertikal 2 (vizatimi 2.14), atëherë projeksioni isaj i parë B’ lëshohet kah boshti-x. Në momen-tin kur pika bie në rrafsh, projeksioni i saj i parëdo të bie në boshtin-x. Kështu:

Nëse pika shtrihet në rrafshin e dytë të projeksionit π 2, atëherë projeksioni i saj idytë është në pikën e njëjtë, ndërsa projeksioni i saj i parë shtrihet në boshtin-x.

Vizatimi 2.12

Vizatimi 2.13

Vizatimi 2.14


20/142

20


Nëse pika C shtrihet në boshtin-x, atëherëprojeksionet e saja shoqëruese do të puthitenme vet pikën, gjegjësisht

Nëse pika shtrihet në boshtin-x, atëherë

projeksionet e saj shoqëruese shtrihen nëboshtin-x.

Në vizatim 2.15 janë të paraqitur pika A ecila shtrihet në rrafshin horizontal 1, pika B ecila shtrihet në rrafshin vertikal 2 dhe pika C ecila shtrihet në boshtin-x.

Pyetje dhe detyra:

1. Shfrytëzo modelin nga detyra 4 dhe detyra 5,nga kapitulli 2.3.

a) Topthin prej tape ngule në rrafshin horizontal.Nëse topthin e paramendojmë si pikë në hapë-sirë, përcakto projeksionet e saj në raport merrafshet e projeksionit.

b) Topthin prej tape ngule në rrafshin vertikal.Nëse topthin e paramendojmë si pikë në hapë-

sirë, përcakto projeksionet e saj në raport merrafshet e projeksionit.

c) Topthin prej tape ngule në boshtin-x. Nësetopthin e paramendojmë si pikë në hapësirë,përcakto projeksionet e saj ortogonale.

2. Numëro karakteristikat themelore të projek-sioneve shoqëruese të pikës e cila shtrihet

a) në 1, b) në 2, c) në boshtin-x.

Vizatimi 2.15


21/142

21


2.5. KUADRANTET. KOORDINATETE PIKAVE

Rrafshi vertikal dhe horizontal i projeksionit e

ndajnë hapësirën në katër kuadrante: kuadranti i

parë (I),, kuadranti i dytë (II), kuadranti i tretë(III) dhe kuadranti i katërt (IV) (vizatimi 2.16).

Nga vizatimi vërejmë se pika A është në kuad-

rantin I dhe gjendet mbi 1 dhe para 2, pika B është

në kuadrantin II dhe gjendet mbi 1 dhe prapa 2,

pika C është në kuadrantin e III dhe gjendet nën 1

dhe prapa 2, ndërsa pika D është në kuadrantin e

IV dhe gjendet nën 1 dhe para 2. Në vizatim 2.17

janë dhënë projeksionet e tyre shoqëruese.

Nëse i zbërthejmë rrafshet e projeksionitdo ta fitojmë vizatimin 2.17 në të cilin janë para-qitur projeksionet shoqëruese të secilës pikë ngaparaqitja hapësinore në vizatimin 2.16, prej kudrejtpërdrejt përfundojmë se:

• Nëse pika është në kuadrantin e parë,atëherë projeksioni i saj i parë është nënboshtin-x, ndërsa projeksioni i saj i dytë ështëmbi boshtin-x.

• Nëse pika është në kuadrantin e dytë,atëherë projeksioni i saj i parë dhe projeksio-

ni i saj i dytë janë mbi boshtin-x.

• Nëse pika është në kuadrantin e tretë,

atëherë projeksioni i saj i parë është mbi

boshtin-x, ndërsa projeksioni i saj i dytë është

nën boshtin-x.

• Nëse pika është në kuadrantin e katërt,atëherë projeksioni i saj i parë dhe projeksioni i saj i dytë janë nën boshtin-x.

Në vizatimin 2.17 distanca OAx është 0,5cm,distanca Ax A’ është 1,5cm, distanca Ax A” është2cm. Me këto tre numra plotësisht është e për-caktuar pozita e projeksioneve shoqëruese tëpikës A, ndërsa nëpërmjet tyre edhe pozita epikës A në hapësirë.

Pika O është cilado pikë e zgjedhur në bosh-tin-x, e quajtur fillim koordinativ; distanca OAx quhet abshisa e pikës A, A

x A’ quhet ordinata

e pikës A, ndërsa distanca Ax A” quhet aplikatae pikës A. Këto numra me emër të përbashkët

Vizatimi 2.17

Vizatimi 2.16


22/142

22


quhen koordinatat e pikës A në sistemin koor-dinativ kënddrejtë hapësinor Oxyz dhe shkruajmë A(0,5;2;1,5).

Nëse pika Ax është në anën e djathtë tëpikës O marrim për abshisë të saj të jetë numripozitiv, ndërsa nëse është në anën e majtë mar-rim për abshisë të saj të jetë numri negativ.

Nëse projeksioni i parë i pikës është nënboshtin-x marrim ordinata e saj të jetë numërpozitiv, ndërsa nëse është mbi boshtin-x marri or-dinata e saj të jetë numër negativ.

Nëse projeksioni i dytë i pikës është mbiboshtin-x marrim aplikata e saj të jetë numër poz-itiv, ndërsa nëse është nën boshtin-x marrim ap-likata e saj të jetë numër negativ.

Sipas kësaj marrëveshje për pikat në viza-timin 2.17 kemi:

A(0,5;2;1,5),B(2,5;-2,5;1),

C(3;-1,5;-2) dhe D(1,5;1;-2,5).

Pyetje dhe detyra:

1. Ku shtrihen në hapësirë pikat për të cilat x=4?

2. Vizato projeksionin e parë dhe të dytë tëpikave të cilat janë në largesë të njëjtë (përshembull 2cm) nga dy rrafshe të projeksionit.Sa pika të këtillë ka? Në cilin kuadrant gjendetsecila prej tyre?

3. Vizato projeksionet shoqëruese të pikës A ecila ka abshisë 3cm dhe është e larguar 2 cmnga 1, ndërsa 4cm nga 2.

4. Vizato projeksionet shoqëruese të pikavevijuese:

A(2;1;5), B(3,5;2;4), C(–3;2;3), D(0;6;1),E(5,5;3;0), F(7;0;3), G(–1;2;0), H(–4;0;6),I(8;0;0), J(0;0;3), K(0;9;0), O(0;0;0).

a) Cilat pika janë njëlloj të larguara nga 1, e cilatnga 2?

b) Cilat pika shtrihen në 1, cilat në 2, e cilat nëboshtin-x?

5. Vizato projeksionet shoqëruese të pikave tëdhënë dhe për secilën prej tyre cakto në cilin

kuadrant gjendet:а) A(1;3;3); b) B(3,5;2;4);c) C(3;–2,5;–2,5); d) D(4;3;–3).


23/142

23


2.6. PROJEKTIMI ORTOGONAL ISEGMENTIT

Në vizatimin 2.18 është dhënë segmenti AB icili është në pozitë të përgjithshme ndaj rrafsheve

të projeksionit.Projeksionet shoqëruese të segmentit AB i

përcaktojmë në atë mënyrë që i përcaktojmë projeksionet e para A’ dhe B’, e pastaj projeksionet edyta A” dhe B”, të pikave të skajshme A dhe B. Melidhjen e tyre fitojmë projeksionin e parë A’B’ dheprojeksionin e dytë A”B” të segmentit AB. Prandaj:

Projeksionet shoqëruese të segmentit në pozitë të përgjithshme ndaj rrafsheve të projeksionit janë segmente.

Gjatë zbërthimit të rrafsheve të projeksionit,i fitojmë projeksionet shoqëruese (vizatimi 2.19).Që të dy projeksionet shoqëruese në këtë rast janë me madhësi më të vogël se segmenti AB,dhe nuk janë paralele me të.

Nëse pika C është pika e mesme e segmentit AB, atëherë projeksioni i saj i parë C’ është pikae mesme e projeksionit të parë të A’B’, ndërsaprojeksioni i dytë C” është pika e mesme e pro-

jeksionit të dytë A”B”. Prandaj:Pika e mesme e segmentit projektohet në

pikën e mesme të projeksioneve shoqëruesetë segmentit.

Në vizatimin 2.19 janë vizatuar projeksio-net shoqëruese të segmentit AB, pikat e skajshme të të cilit kanë koordinata A(0,5;2;1,5) dheB(3;2,5;2,2), që shkurtimisht shënohet me:

AB[A(0,5;2;1,5),B(3;2,5;2,2)].

Pyetje dhe detyra:

1. Çka paraqesin projeksionet shoqëruese tësegmentit?

2. Në çka projektohet pika e mesme esegmentit?

3. Vizato projeksionet shoqëruese të segmentit AB, i dhënë me

AB[A(1;2,5;3,5),B(4;1,5;4)].

Pastaj cakto projeksionet shoqëruese të pikëssë mesme C të segmentit AB.

Vizatimi 2.19

Vizatimi 2.18


24/142


25/142


26/142

26


Nga drejtkëndëshi ABB’A’ vlen se projeksionii parë A’B’ është segment paralel dhe i barabartësipas gjatësisë me segmentin AB, e pasi që pikate skajshme A dhe B janë njëlloj të larguara nga 1,projeksionet e dyta të tyre janë njëlloj të larguar ngaboshti-x, prandaj për shkak të kësaj projeksioni i

dytë A”B” është segment paralel me boshtin-x.

Nëse segmenti është paralel me rrafshin e projeksionit 1, atëherë projeksioni i tij i parëështë paralel me të dhe ka gjatësi të barabar- të me gjatësinë e tij, ndërsa projeksioni i dytëështë paralel me boshtin-x dhe ka gjatësi më tëvogël se gjatësia e tij.

Në vizatimin 2.27 janë vizatuar projeksionetshoqëruese të segmentit AB me gjatësi 2,5cm, pa-

ralel me 1, të larguar 1,5cm nga ai, ndërsa me 2 formon kënd prej 300. Pika e tij e skajshme A ështëe larguar 2cm nga 2.

Segmenti AB në vizatimin 2.28 është paralelme rrafshin e projeksionit 2 dhe është në pozitë tëpërgjithshme me rrafshin e projeksionit 1.

Nga drejtkëndëshi ABB”A” kemi se projeksionii dytë A”B” është segment paralel dhe i barabartësipas gjatësisë me segmentin AB, e pasi që pikate skajshme A dhe B të segmentit janë njëlloj tëlarguara nga

2, projeksionet e para të tyre A’ dhe

B’ janë njëlloj të larguara nga boshti-x, prandajprojeksioni i parë A’B’ është segment paralel meboshtin-x.

Nëse segmenti është paralel me rrafshin e projeksionit π 2, atëherë projeksioni i tij i parëështë paralel me boshtin-x dhe ka gjatësi më tëvogël se gjatësia e tij, ndërsa projeksioni i dytëi tij është paralel dhe me gjatësi të barabartëme gjatësinë e tij.

Në vizatimin 2.29 janë të vizatuar projeksionetshoqëruese të segmentit AB me gjatësi 3cm, pa-ralel me 2, të larguar 1,5cm nga ai, ndërsa me 1 formon kënd prej 30o. Pika e skajshme e tij A ështëe larguar 2,5cm nga 1.

Pyetje dhe detyra:

1. Përpuno model të rrafsheve të projeksionit ngakartoni. Vendose lapsin tënd para modelit ashtu

që ai:a) të jetë paralel me rrafshet 1 dhe 2;b) të jetë normal në rrafshin 1;

Vizatimi 2.28

Vizatimi 2.27

Vizatimi 2.26


27/142

27


c) të jetë normal në rrafshin 2;d) të shtrihet në rrafshin 1;e) të shtrihet në rrafshin 2;f) të jetë paralel me rrafshin 1;g) të jetë paralel me rrafshin 2.Nëse lapsin e paramendojmë si segment në hapë-

sirë, cakto projeksionet për secilën prej pozitaveprej a) deri g).2. Në cilin projeksion fitohet madhësia e vërtetë esegmentit, nëse ai është:a) paralel me rrafshet 1 dhe 2;b) normal në rrafshin 1;c) normal në rrafshin 2;d) shtrihet në rrafshin 1;e) shtrihet në rrafshin 2;f) paralel me rrafshin 1;g) paralel me rrafshin 2.

3. Vizato projeksionet shoqëruese të segmentit AB i cili është i gjatë 3cm, paralel me 1, i larguar3cm nga ai, ndërsa me rrafshin 2 formon këndprej 45o. Pika e skajshme e tij A është e larguar3cm nga 2.

4. Vizato projeksionet shoqëruese të segmentitCD i cili është i gjatë 3,5cm, paralel me rrafshin2 dhe i larguar 3cm nga ai, ndërsa me rrafshin 1 formon kënd prej 45o. Pika e skajshme e tij C ështëe larguar 4cm nga 1.

2.8. MADHËSIA E VËRTETË E SEGMENTITDHE KËNDET E PJERRËSISË

Siç thamë më parë, projeksionet shoqëruese A’B’ dhe A”B” të segmentit AB në pozitë të përgjith-shme janë me gjatësi më të vogël se gjatësia esegmentit dhe nuk janë paralele me të. Në atë rastmadhësinë e vërtetë të segmentit duhet ta përcak-

tojmë vetë. Konstruksioni i madhësisë së vërtetë tësegmentit të dhënë mund të kryhet në disa mënyra,por ne këtu do t’i shqyrtojmë dy prej tyre.

Metoda e trapezit

Në vizatimin 2.30 është paraqitur segmenti AB, në pozitë të përgjithshme, projeksioni i parëi tij A’B’ dhe projeksioni i dytë i tij A”B”. Në viza-tim janë hijezuar të dy katërkëndësha ABB’A’ dhe

ABB”A”. Këto katërkëndësha janë trapeze dhekanë brinjën e përbashkët AB. Secili prej tyre ka

nga dy kënde të drejta, dy te kulmet A’ dhe B’, dhedy te kulmet A” dhe B”.

Vizatimi 2.29

Vizatimi 2.30


28/142


29/142

29


herë (në 1 apo 2), , por, nëse duhet ti përcakto- jmë këndet e tij të pjerrësisë 1 dhe 2, atëherëatë duhet ta rrëzojmë edhe në 1 edhe në 2.Madhësia e vërtetë e segmentit vizatohet mevizë- pikë - vizë linje.

Metoda e trekëndëshit diferencialNë vizatimin 2.33 janë dhënë segmenti

AB dhe projeksione të tij shoqëruese A’B’ dhe A”B”. Nga pika B është tërhequr drejtëza BCparalele me A’B’, e pastaj nga pika A është tër-hequr drejtëza AD paralele me A”B”. Kështu ifitojmë trekëndëshat kënddrejtë ABC, i quaj-tur trekëndëshi i parë diferencial, dhe ABD,i quajtur trekëndëshi i dytë diferencial. Atokanë hipotenuzë të përbashkët AB. Për katete të

trekëndëshit të parë diferencial kemiCB = A’B’ dhe "BB" A AB'B A' ACA xx ,

ndërsa për trekëndëshin e dytë diferencial

'' A''BDA dhe .' A A'BB A'' AB"BDB xx

Sipas kësaj, nëse janë dhënë projeksionetshoqëruese të segmentit AB, atëherë i kemi tëgjitha elementet të nevojshme për konstruktimine dy trekëndëshave diferencial.

Si në vizatimin 2.34 së pari tërheqim drejtëzatparalele me boshtin-x në pikat A’ dhe B”, gjegjë-sisht nëpër ato pika të skajshme që kanë koor-dinatën më të vogël dhe fitojmë pikat D’ dhe C”.Pastaj në pikën A’ tërheqim normale në segmen-tin A’B’ dhe në atë normale bartim '' A''C A' A 0 . Nga puthitshmëria e trekëndëshave A’B’A0 dhe ABC rrjedh se me përcaktimin e segmentit A0B’e kemi përcaktuar madhësinë e vërtetë të seg-mentit AB. Këndi mes A0B’ dhe A’B’ është këndii parë i pjerrësisë

1. Ose, në pikën B” tërheqim

normale në segmentin A”B” dhe në atë normalebartim .B''B 0 Nga puthitshmëria e trekëndëshave A”B”B0 dhe ADB rrjedh se me përcaktimin esegmentit A”B0 e kemi përcaktuar madhësinëe vërtetë të segmentit AB. Këndi mes A”B0 dhe A”B” është këndi i dytë i pjerrësisë 2. Pas kry-erjes së konstruktimeve fitojmë B'' A'B A 00 .

Pika T le ta ndajë segmentin AB në raporttë dhënë, gjegjësisht .kBT: AT Zgjedhim pikën

T0 në segmentin A0B’ e cila e ndan segmentin nëraport të njëjtë, .kT'B:T A 000 Nëse me ndihmëne pikës T0 i gjejmë projeksionet shoqëruese T’

Vizatimi 2.33

Vizatimi 2.34


30/142

30


dhe T” të pikës T, atëherë T’ dhe T” i ndajnë projeksionet shoqëruese të segmentit AB në raport tënjëjtë, gjegjësisht

.''T''B:''T'' A'T'B:'T' AT'B:T A 000

Sipas kësaj kemi:

Nëse pika T e ndan segmentin AB në raport të dhënë, atëherë projeksionet shoqëruesetë pikës T i ndajnë projeksionet shoqëruese tësegmentit AB në raport të njëjtë.

Pyetje dhe detyra:

1. Përpuno model të rrafsheve të projeksionit nga

kartoni për përcaktimin e madhësisë së vërtetë tësegmentit me metodën e trapezit.

2. Vizato projeksionin e parë dhe të dytë të seg-mentit AB me AB[(-1;4;6),B(3;1;2)] dhe gjeje mad-hësinë e tij të vërtetë me metodën e trapezit. Gjejemadhësinë e këndeve të pjerrësisë.

3. Vizato projeksionin e parë dhe të dytë të seg-mentit CD të dhënë me CD[(1;2;0),D(5;5;2)] dhegjeje madhësinë e tij të vërtetë me metodën etrekëndëshit. Gjeje madhësinë e këndeve të pjer-rësisë.

4. Vizato projeksionin e parë dhe të dytë të seg-mentit EF të dhënë me EF [E(2;0;2),F(6;4;5)] dhegjeji projeksionet shoqëruese të pikës T e cilaështë mesi i segmentit EF.

2.9 PROJEKTIMI ORTOGONAL I DREJTËZËS

Nëpër drejtëzën e [çfarëdoshme a tërheqimrrafshin 1, normal në rrafshin e projeksionit 1,dhe rrafshin 2 normal në rrafshin e projeksionit2. Prerja e rrafsheve 1 dhe 1 është drejtëza a’që është projeksioni i parë i drejtëzës a. Ngjas-hëm, prerja e rrafsheve 2 dhe 2 është drejtëzaa” që është projeksioni i dytë i drejtëzës a. D.m.th:

Projeksionet shoqëruese a’ dhe a” të

drejtëzës a janë drejtëza në rrafshe 1 dhe 2.

Në vizatim 2.35 janë dhënë projeksionetshoqëruese të drejtëzës a=(a’,a”) të përcaktuar

Vizatimi 2.35


31/142

31


me pikat A dhe B, gjegjësisht a=AB[A(0,5;1;1,5),B(3;2;2)]. Pika C shtrihet në drejtëzën a, pasi qëprojeksionet shoqëruese të saj shtrihen përkatë-sisht në projeksionet shoqëruese të drejtëzës,gjegjësisht C’a’ dhe C”a”. Pikat E dhe D nukshtrihen në drejtëzën a, pasi që E’a’ dhe D”a”.

Në vazhdim do ti shqyrtojmë disa pozita tëveçanta të drejtëzës në lidhje me rrafshet e projeksionit.

Drejtëza b=(b’,b”) është paralele me rrafshete projeksionit 1 dhe 2. Projeksionet shoqëruesetë saj b’ dhe b” janë paralele me boshtin-x (viza-timi 2.36).

Drejtëza c=(c’,c”) është normale në rrafshine projeksionit 1. Projeksioni i saj i parë c’ është

pikë, ndërsa projeksioni i saj i dytë c” është nor-mal në boshtin-x (vizatimi 2.37).

Drejtëza d=(d’,d”) është normale në rrafshine projeksionit 2. Projeksioni i saj i dytë d” ështëpikë, ndërsa projeksioni i saj i parë d’ është nor-mal në boshtin-x (vizatimi 2.37).

Drejtëza e=(e’,e”) shtrihet në rrafshin e projeksionit 1. Projeksioni i saj i parë e’ puthitet medrejtëzën e, ndërsa projeksioni i saj i dytë e” ështënë boshtin-x (vizatimi 2.38).

Drejtëza f=(f’,f”) shtrihet në rrafshin e projeksionit 2. Projeksioni i saj i dytë f” puthitet medrejtëzën f, ndërsa projeksioni i saj i parë f’ ështënë boshtin-x (vizatimi 2.38).

Drejtëza g=(g’,g”) është paralele me rrafshine projeksionit 1. Projeksioni i saj i dytë g” ështëdrejtëz paralele me boshtin-x (vizatimi 2.39).Drejtëzat me këtë pozitë quhen horizontale.

Drejtëza h=(h’,h”) është paralele me rraf-

shin e projeksionit

2. Projeksioni i saj i parë h’është drejtëz paralele me boshtin-x (vizatimi2.39). Drejtëzat me këtë pozitë quhen frontale.

Detyra1. Në drejtëzën a=(a’,a”) të përcaktuarme pikat A dhe B, duhet të përcaktojmë pikën D ecila është në largësi d nga pika A (vizatimi 2.40).

Me metodën e trekëndëshit diferencial e për-

caktojmë segmentin e rrëzuar A’B0 të segmentit AB.

Në drejtëzën e rrëzuar a0 në largesë d ngapika A’ gjendet pika D0. Pastaj vizatojmë normalen

në a’. Pika e rrënzës D’ në normale është projek-sioni i parë i pikës D.

Vizatimi 2.36

Vizatimi 2.39

Vizatimi 2.38

Vizatimi 2.37


32/142

32


Projeksionin e dytë e gjejmë sipas ordinales,me kusht që D” të shtrihet në a”.

Me ecuri të ngjashme në drejtëzën a mund tëpërcaktojmë edhe pika tjera që plotësojnë kushtetë caktuara. Për shembull, pika E është pikë edrejtëzës a që shtrihet jashtë segmentit AB.

Pyetje dhe detyra:

1. Përpuno model të rrafsheve të projeksionit prejkartoni. Vendos shufër të gjatë para modelit ashtuqë ajo:a) të jetë paralele me rrafshe 1 dhe 2;b) të jetë normale në rrafshin 1;c) të jetë normale në rrafshin 2;

d) të shtrihet në rrafshin 1;e) të shtrihet në rrafshin 2;f) të jetë paralele me rrafshin 1;g) të jetë paralele me rrafshin 2.Nëse shufrën e paramendojmë si drejtëz nëhapësirë, përcakto projeksionet për secilën prejpozitave prej a) deri g).

2. Vizato projeksionet shoqëruese të drejtëzës mtë dhënë me m=AB[a(0;3;2),B(7;4;6)] dhe përcak-to pozitën e saj në hapësirë.

3. Vizato projeksionet shoqëruese të drejtëzës n ecila kalon nëpër pikën N(3;6;7) dhe:a) është paralele me rrafshe 1 dhe 2;b) është normale në rrafshin 1;c) është normale në rrafshin 2;d) shtrihet në rrafshin 1;e) shtrihet në rrafshin 2;f) është paralele me rrafshin 1;g) është paralele me rrafshin 2.

2.10. DEPËRTIMET E DREJTËZËSDHE KËNDET E PJERRËSISË

Në vizatimin 2.41 është dhënë drejtëzaa=(a’,a”) e cila e depërton rrafshin 1 në pikën A1,ndërsa rrafshin 2 në pikën A2.

Pika A1 quhet gjurma e parë, ndërsa pika A2 gjurma e dytë e drejtëzës a.

Projeksioni i parë A1’ përputhet me pikën A1,

ndërsa projeksioni i dytë i saj A1” është në bosh-tin-x. Ngjashëm, projeksioni i dytë A2” përputhet

Vizatimi 2.40

Vizatimi 2.41


33/142

33


me pikën A2, ndërsa projeksioni i saj i parë A2’është në boshtin-x.

Këndi i ngushtë 1 të cilin e formon drejtëzaa me projeksionin e parë a’ quhet këndi i parë ipjerrësisë, ndërsa këndi i ngushtë 2 të cilin eformon drejtëza a me projeksionin e dytë a” quhetkëndi i dytë i pjerrësisë.

Detyra 1. Cakto projeksionet shoqëruese tëgjurmëve dhe këndeve të pjerrësisë të drejtëzësa të dhënë me projeksionet e saja shoqëruese a’dhe a” (vizatimi 2.42).

Në prerjen e projeksionit të dytë të drejtëzësa” dhe boshtit-x gjendet projeksioni i dytë A1” igjurmës së parë A1. Nëse nëpër pikën A1” tërhe-qim ordinalen, ajo do ta pres projeksionin e parë

të drejtëzës a’ në gjurmën A1 e cila përputhet meprojeksionin e parë A1’.

Në prerjen e projeksionit të parë të drejtëzësa’ dhe boshtit-x gjendet projeksioni i parë A2’ igjurmës së dytë A2. Nëse nëpër pikën A2’ tërhe-qim ordinalen, ajo do ta pres projeksionin e dytëtë drejtëzës a” në gjurmën A2 e cila përputhet meprojeksionin e dytë A2”.

Kur e shikojmë drejtëzën a në drejtim të pro-

jektimit në 1, gjegjësisht nga lart do ta shikojmëvetëm pjesën e drejtëzës që është mbi 1. Pjesëne dukshme të drejtëzës e vizatojmë më vijën eplotë, ndërsa atë të padukshme me vijën e ndër-prerë. Sipas kësaj, me vijë të plotë vizatojmëpjesën majtas nga gjurma e parë A1, ndërsa mevijë të ndërprerë pjesën djathtas nga A1.

Nëse e vështrojmë drejtëzën a në drejtimtë projektimit në 2, gjegjësisht nga përpara dota shikojmë vetëm pjesën e drejtëzës që është

përpara 2. Prandaj, me vijë të plotë vizatojmëpjesën djathtas nga gjurma e dytë A2, ndërsa mevijë të ndërprerë pjesën majtas nga A2.

Që t’i gjejmë madhësitë e këndeve të pjerrë-sisë 1 dhe 2 i rrëzojmë trekëndëshin kënddrejtë A1 A2 A2’ rreth kasetës A1 A2’ në 1 dhe trekëndëshinkënddrejtë A1 A2 A1” rreth katetes A2 A1” në 2.Prandaj nga pika A2’ tërheqim normale në a’ dhenë të bartim , A' A A' A 22

0

22 e pastaj e lidhim

pikën A20 me A1. Kështu fituam trekëndëshin

kënddrejtë A1 A20 A2’ në të cilin këndi i parë i pjerrë-sisë 1 është në madhësi të vërtetë. Më tutje, nga

Vizatimi 2.42


34/142


35/142

35


jeksionin e parë dhe të dytë. Nga pika A lëshojmënormale në rrafshin 3. Pika e rrënzës në nor-malen kah rrafshi 3 quhet projeksioni i tretë ipikës A, dhe to ta shënojmë me A’’’. Në vizatimin2.43 është paraqitur pika A dhe projeksionet esaja A’, A” dhe A’” në rrafshet 1, 2 dhe 3.

Nga drejtkëndëshi AA’’’Az A” kemi A''' A z .'' AA Pasi që x A' A'' AA , kemi A''' A z x A' A ,

gjegjësisht:

Projeksioni i tretë i pikës A është i larguarnga boshti-z për aq sa është i larguar projeksioni i saj i parë nga boshti-x.

Nga drejtkëndëshi AA’’’Ay A’ kemi A''' A y .' AA Pasi që x

A'' A' AA kemi , A'' A A''' A xy

gjegjësisht:

Projeksioni i tretë i pikës A është i larguarnga boshti-y për aq sa është i larguar projeksioni i saj i dytë nga boshti-x.

Tani bëhet pyetja si ti vizatojmë projeksionet

dhe të tre rrafshet në një rrafsh të vetëm- rrafshin

e fletës për vizatim. Për këtë qëllim rrafshin 1 e

rrotullojmë rreth boshtit-x teposhtë për 900 ashtu

që të përputhet me rrafshin 2, ndërsa rrafshin 3

e rrotullojmë rreth boshtit-z në të majtë poshtë për

90o ashtu që të përputhet me rrafshin 2. Pastaj

rrafshet e zbërthyera i paramendojmë si fletë për

vizatim dhe fitojmë vizatimin 2.44, në të cilin është

paraqitur si fitohet projeksioni i tretë A’’’ i pikës A,

nëse është dhënë projeksioni i parë A’ dhe projek-

sioni i dyte A”. Vëre se mënyra më e thjeshtë e

fitimit të projeksionit të tretë A’’’ të pikës A është të

tërhiqet normalja në boshtin-z nëpër A”, e pastaj në

të të bartet largesa A’Ax në të majtë nga boshti-z.

Pyetje dhe detyra:

1. Përpuno model nga kartoni të tri rrafsheve tëprojeksionit.

2. Gjeje projeksionin e tretë të pikës:a) A(3;2;4), b) B(5;7;2).

3. Gjeje projeksionin e tretë të pikës:

a) M(0;2;4), b)N(4;0;2), c)K(5;7;0).

Vizatimi 2.44


36/142

36


2.12. PROJEKTIMI ORTOGONAL IFIGURAVE RAFSHORE

Në vizatimin 2.45 janë paraqitur tre rrafshetë projeksionit 1, 2 dhe 3, pastaj segmenti AB

dhe tre projeksione të tij. Nëse A’’’ është projek-sioni i tretë i njërës, ndërsa B”’ është projeksionii tretë i tjetrës pikë të skajshme të segmentit AB,atëherë segmenti A”’B”’ është projeksioni i tretë isegmentit AB.

Detyra 1. Janë dhënë projeksioni i parë dhei dytë i segmentit AB. Gjeje projeksionin e tretë tësegmentit AB.

Që ta gjejmë projeksionin e tretë të segmen-tit AB duhet ti gjejmë projeksione të treta A’’’ dheB’’’ të pikave të skajshme të tij A dhe B.

Për këtë arsye tërheqim normale në boshtin-z nga A” e pastaj në të bartim largesën prej A’ deri Ax në të ,majtë nga boshti-z. Ngjashëm, tërheqimnormale në boshtin-z nga B” e pastaj në të bartimlargesën prej B’ deri Bx në të ,majtë nga boshti-z.

Projeksionin e tretë të segmentit AB do tagjejmë me lidhjen e projeksioneve të treta A’’’ dheB’’’ të pikave të skajshme të tij A dhe B (vizatimi

2.46).Detyra 2. Janë dhënë projeksioni i parë dhe

i dytë të trekëndëshit ABC. Gjeje projeksionin etretë të trekëndëshit ABC.

Projeksionin e tretë të trekëndëshit ABC dota gjejmë me lidhjen e projeksioneve të treta A’’’,B’’’ dhe C’’’ të kulmeve të tij A, B dhe C (vizatimi2.47).

Siç përmendëm në fillim, futja e projeksionittë tretë mundëson ta vërejmë formën, madhës-inë dhe pozitën e objektit në hapësirë, në rast kurkjo nuk është e mundshme të vërehet nga projeksioni i parë dhe i dytë, Ta shqyrtojmë detyrënvijuese.

Detyra 3. Janë dhënë projeksioni i parë dhe idytë i katërkëndëshit ABCD. Gjeje projeksionin etretë të katërkëndëshit ABCD.

Projeksionin e tretë të katërkëndëshit ABCDdo ta gjejmë me lidhjen e projeksioneve të treta

A’’’, B’’’, C’’’ dhe D’’’ të kulmeve të tij A, B, C dheD (vizatimi 2.48).Vizatimi 2.47

Vizatimi 2.46

Vizatimi 2.45


37/142

37


Pyetje dhe detyra:

1. Përdore modelin e detyrës 1, nga kapitulli 2.11.Preje:

a) trekëndëshin,b) katrori,c) gjashtëkëndëshin,nga kartoni dhe vendose para modelit. Çkaparaqesin projeksionet e tyre ortogonale?

2. Vizato projeksionin e tretë të trekëndëshit ABC,nëse A(3;2;3), B(6;4;5) dhe C(4;7;1).

3. Vizato projeksionin e tretë të katërkëndëshit ABCD, nëse A(1;2;3), B(3;1;5), C(5;3;1) dhe D(7;1;5).

2.13. PROJEKTIMI ORTOGONAL ITRUPAVE GJEOMETRIK

Projeksionet ortogonale të trupit gjeometrik ifitojmë me projektimin e sipërfaqeve që e kufizo- jnë trupin mbi tre rrafshe të projeksionit (vizatimi2.49).

Sipërfaqet që e kufi

zojnë trupin janë të kufi

-zuara me tehe ose lakore, prandaj projeksionet etyre i fitojmë me projektimin e teheve ose lakore-ve. Në veçanti, tehet i projektojmë me projektimine kulmeve të tyre. D.m.th. nëse përcaktohen projeksionet e të gjitha kulmeve të trupit, dhe nëseato lidhen sipas radhitjes së njëjtë siç janë të ra-dhitur në hapësirë, fitohen projeksionet e tehevedhe sipërfaqeve me të cilat trupi është kufizuar.

Kur njërin trup gjeometrik e vërejmë në drej-

timin projektues, njërën pjesë të trupit e shohim,ndërsa pjesën tjetër jo. Tehet apo lakoret që endajnë pjesën e dukshme prej asaj të padukshmeformojnë konturën apo kufirin e trupit në lidhje medrejtimin e zgjedhur projektues, ndërsa projeksio-net e atyre teheve apo lakoreve në rrafshin e projeksionit e formojnë konturën apo kufirin e trupitnë lidhje me drejtimin e zgjedhur projektues.

Nëse e vërejmë trupin e paraqitur në viza-timin 2.49, në drejtimin projektues ortogonal në

rrafshin 1, do t’i shohim vetëm drejtëkëndëshatEFGH dhe FIJG. Për atë drejtim projektues,shumëkëndëshi hapësinor EFIJGH është kufiri,

Vizatimi 2.50

Vizatimi 2.49

Vizatimi 2.48


38/142

38


ndërsa projeksioni i parë E’F’I’J’G’H’ është kufiri iprojeksionit të parë të trupit.

Ngjashëm, nëse e vërejmë trupin nëdrejtimin projektues ortogonal në rrafshin 2,shumëkëndëshi ABIFE është kufiri i trupi, ndërsaprojeksioni i dytë A”B”I”F”E” është kufiri i projek-sionit të dytë të trupit.

Në drejtimin projektues ortogonal në rrafshin3, shumëkëndëshi hapësinor BCJGFI është kufirii trupi, ndërsa B’’’C’’’J’’’G’’’F’’’I’’’ është kufiri i projeksionit të tretë të trupit.

Në vizatimin 2.50 janë dhënë të tre projek-sione të trupit të paraqitur në 2.49.

Në vizatimin 2.51 janë dhënë të tre projek-sione të konit me bosht normal në rrafshin 1.

Rrezja e bazës së tij r=1cm, qendra e bazës ështënë pikën S(1,5;1,5;0), ndërsa lartësia h=2,5cm.

Projeksioni i parë është rreth me rreze r=1cmdhe qendër në pikën S’. Në atë rreth projektohetedhe mbështjellësi i konit, ndërsa në qendër tërrethit është projeksioni i parë V’ i majës V, si dheprojeksioni i parë o’ i boshtit o. Rrezet e atij rrethi janë projeksionet e para të gjeneratrisave të konit.Të gjitha gjeneratrisa janë të dukshme në projek-sionin e parë.

Kufiri i projeksionit të dytë të konit ështëtrekëndëshi A”B”V”. Kjo në të vërtetë është projeksioni i dytë i prerjes boshtore të konit që ështëparalel me rrafshin 2 dhe e ndan konin në dypjesë, në pjesën e përparme dhe të pasme. Gjen-eratrisat AV dhe BV janë gjeneratrisa kufitare tëpjesës së përparme dhe të pasme, prandaj nëprojeksionin e dytë janë të dukshme.

Kufiri i projeksionit të tretë të konit ështëtrekëndëshi C’’’D’’’V’’’. Kjo është projeksioni i tretëi prerjes boshtore të konit që është paralel merrafshin 3 dhe e ndan konin në dy pjesë, pjesëtë majtë dhe të djathtë. Gjeneratrisat CV dhe DV janë gjeneratrisa kufitare, prandaj në projeksionine tretë janë të dukshme.

Pyetje dhe detyra:

1. Vizato të tre projeksione të trupit të dhënë në

vizatimin 2.52a dhe 2.52b.2. Vizato të tre projeksione të trupit të dhënë nëvizatimin 2.53a dhe 2.53b.

Vizatimi 2.53

Vizatimi 2.52

Vizatimi 2.51


39/142

Tërësia tematike

3. PROJEKSIONI I PJERRËT

Në këtë temë mësimore nxënësi mund

■ të mësojë objektet e dhënë në

projeksionet ortogonale t’i paraqesë në

projeksion të pjerrët■ të mësoj këtë metodë ta zbatoj në lëndët

tjera profesionale.


40/142


41/142

41

Projeksioni i pjerrët

3. PROJEKSIONI I PJERRËT

3.1. KONCEPTI PËR PROJEKSIONINE PJERRËT

Projeksioni i pjerrët i objekteve shpesh për-doret në arkitekturë dhe ndërtimtari, pasi që ,mendihmën e tij fitohet paraqitja e qartë e objektitdhe në mënyrë të lehtë vërehen raportet e caktu-ara hapësinore.

Nëse nga pika T (vizatim 3.1) në hapësirë tër-heqim drejtëz të pjerrët s dhe e gjejmë depërtiminT me rrafshin vertikal 2 atëherë themi se pikën Te kemi projektuar pjerrtas në rrafshin 2. Pika Tquhet projeksioni i pjerrët i pikës T në rrafshin2. Drejtëza s quhet drejtimi projektues, ndërsarrafshi 2 quhet rrafshi i projektimit. Në pikën Tpriten drejtimi i projektimit s dhe projeksioni i tijortogonal s” në 2.

Të vërejmë se gjatë projektimit ortogonalshfrytëzojmë dy apo tre rrafshe, ndërsa gjatë projektimit të pjerrët shfrytëzojmë një rrafsh.

Në vizatimin 3.1 është vizatuar segmenti ABi cili është paralel me rrafshin 2. Segmenti A”B”është projeksioni i dytë i tij, ndërsa segmenti

A B është projeksioni i pjerrët i segmentit AB.Nga paralelogrami AA BB rrjedh se segmenti AB është paralel me segmentin AB dhe ka gjatësitë barabartë me të. Në vizatimin e njëjtë ështëvizatuar trekëndëshi CDE që është paralel merrafshin 2. Trekëndëshi C D E është projeksion ipjerrët i trekëndëshit CDE. Pasi që të gjitha brinjëte tij janë të puthitshëm me brinjët e trekëndëshitCDE, trekëndëshi C D E është i puthitshëm meCDE.

Prandaj: Projeksioni i pjerrët i fi gurës sërrafshët që është paralele me rrafshin e projektimit është fi gurë e puthitshme dhe paraleleme të.

Në vizatimin 3.2 janë vizatuar rrafshi 2 dhedy segmente paralele me gjatësi të ndryshme:

A B=4n dhe C D =3n. Segmenti A B është projek-sion i pjerrët i segmentit AB, ndërsa segmenti CDështë projeksion i pjerrët i segmentit CD. Pasi që

rrafshi nëpër A A BB është paralel me rrafshin CD DC, ato priten në rrafshin e projektimit 2 nëdrejtëza paralele. Kështu:

Vizatimi 3.1

Vizatimi 3.2


42/142

42


Segmentet paralele, projeksionet e pjer- rëta i kanë paralele dhe në raport të njëjtë tëvazhduara, gjegjësisht të shkurtuara.

Nga kjo veti rrjedh:

Segmentet e barabartë dhe paralele kanë projeksionet e pjerrëta të barabartë dhe paralele.

Në vizatimin 3.2 është vizatuar segmenti EFqë është normal në rrafshin 2 dhe pika e tij eskajshme E shtrihet në 2. Projeksioni i pjerrët Ei pikës E është në pikën e njëjtë. Janë vizatuarprojeksionet e pjerrëta F1, F2 dhe F3 të pikës sëdytë të skajshme F të atij segmenti kur drejtimetprojektuese s1, s2 dhe s3 me rrafshin 2 formojnëkënde 1>45o, 2=45o dhe 3


43/142

43


kulmet A, B, C dhe E tërheqim drejtëza paraleleme drejtimin e projektimit s dhe i gjejmë pikat etyre depërtuese me rrafshin 2 do ti fitojmë pro-

jeksionet e tyre të pjerrëta A, B, C dhe E Nësee bashkojmë pikën B me pikat A, C dhe E do tifitojmë projeksionet e pjerrëta BA, BC dhe BE të teheve BA, BC dhe BE të cilët kanë gjatësi tëbarabartë, përkatësisht. Projeksionet e pjerrëtatë teheve tjera mund të gjinden në mënyrë tëngjashme.

Katrori i përparmë ABCD i kubit, si dhe ka-trori i tij i pasmë OEFG projektohen në katrorë tëputhitshëm.

Tehet OA, EB, FC, dhe GD janë reciprokishtparalele dhe normale në rrafshin 2. Projeksionet

e tyre të pjerrëta janë paralele, kanë gjatësi tëbarabartë dhe formojnë kënd me projeksionine pjerrët OE të tehut OE, i cili është paralel merrafshin e projektimit 2. Atëherë projeksionete pjerrëta të atyre teheve mund të jenë më tëvegjël, të barabartë apo më të mëdhenj se gjatë-sia e teheve në hapësirë. Zakonisht zgjidhet, te-het të cilat janë normale në rrafshin 2 të jenëme gjatësi 1/2, 2/3 apo 3/4 të gjatësisë së vërtettë tyre. Këto raporte shënohen me shkronjën q

dhe quhen koeficienti i shkurtesës. Nëse janëtë njohur këndi dhe koeficienti i shkurtesësq, atëherë plotësisht është i përcaktuar edhedrejtimi projektues s. Prandaj dhe q quhen tëdhënat e projektimit të pjerrët.

Nga kulmi O në hapësirë bien tre tehe të ku-bit OE, OA dhe OG. Nëse ato tehe i vazhdojmë,fitojmë tre drejtëza x, y dhe z, në drejtim të gjatë-sisë, gjerësisë dhe lartësisë së kubit, të cilat

janë reciprokisht normale dhe përbëjnë sisteminkoordinativ O(x,y,z) në të cilin është ndryshuarkubi. Projeksionet e pjerrëta x, y dhe z të drejtë-zave x, y dhe z quhen boshtet e projeksionit tëpjerrët,ndërsa pika O fillimi koordinativ.

Të gjitha tehet e objektit të cilët janë paralel me boshtin-x, gjegjësisht boshtin-z vizatohen paralelisht me boshtin-x, gjegjësishtboshtin-z dhe atë me madhësi të vërtetë,ndërsa ato tehet të cilët janë paralel me bosh-

tin-y, vizatohen në drejtim i cili me boshtin-xformon kënd , në raport q me madhësinë evërtetë.


44/142

44


Për secilin objekt mund të vizatohet projek-sioni i pjerrët ashtu siç ai është bërë për kubinme teh me gjatësi 1,5cm për =30o dhe q=1/2(vizatimi 3.4). Në vizatimin nën a) shikimi ështëprej lartë nga e djathta, pasi që në të janë tëdukshëm baza e sipërme dhe faqja anësore edjathtë, ndërsa në vizatimin nën b) shikimi ështëprej lartë nga e majta, pasi që në të janë tëdukshëm baza e sipërme dhe faqja anësore emajtë. Në vizatimin nën c) dhe d) shikimi ështëprej poshtë, dhe atë në c) nga e djathta, ndërsanë d) nga e majta.

Pyetje dhe detyra:

1. Çka paraqet projeksioni i pjerrët?

2. Çfarë është pozita reciproke e projeksionevetë pjerrëta e segmenteve paralele?

3. Numëro të dhënat e projeksionit të pjerrët?

4. Trego rregullën për vizatim në projeksion tëpjerrët në rrafshin 2 të objektit i cili është nëpozitë frontale.

5. Numëro faqet anësore të dukshme të kubit nëvizatim 3.4 në secilin prej katër rasteve.

3.2. PROJEKSIONI I PJERRËT I FIGURAVETË RRAFSHËTA DHE ZBATIMI

Detyra1. Vizato projeksion të pjerrët të pikës A(2;3;3,5) (vizatimi 3.5).

Në sistemin koordinativ kënddrejtë tëdhënë O(x,y,z) kemi tre boshte koordinative

x,y,z që janë reciprokisht normale dhe tre rraf-she koordinative 1=(x,y), 2=(x,z) dhe 3=(y,z)që po ashtu janë reciprokisht normal. Në vi-zatimin 3.5 janë vizatuar projeksionet e të treboshteve koordinative dhe projeksionet e pikës( ,cm2OAx cm3' A Ax dhe " A Ax =3,5cm).Që të mundemi të vizatojmë projeksionin e pjer-rët të pikës A duhet të zgjedhim kënd, koeficienttë shkurtesës q dhe shikimin të cilin dëshirojmëta fitojmë në atë sistem koordinativ me projek-

sion të pjerrët. Le të jetë, për shembull =45o,q=1/2, shikimi është prej lartë dhe nga e djathta.

Vizatimi 3.5

Vizatimi 3.4


45/142

45


Nëse për rrafsh projektues marrim rrafshinkoordinativ 2, atëherë projeksioni i pjerrët iboshteve x dhe z janë vet ato boshte, ndërsaprojeksioni i pjerrët y i y me boshtin-x duhet tëformoj kënd =45o.

Njësitë e boshteve x dhe y do të jenë nëmadhësi të vërtetë, ndërsa njësitë të boshtit ydo të jenë sa gjysma e madhësisë së vërtetë,pasi që q=1/2. Sipas kësaj: x AO , do të jetë megjatësi 2cm, pastaj ,y||' A Ax ' A Ax do të jetë igjatë 1/23cm=1,5cm, z|| A' A dhe A’A do të jetëe gjatë 3cm. Pika A’ është projeksioni i pjerrëti projeksionit të parë të pikës A në rrafshin 1,ndërsa pika A është projeksioni i pjerrët i pikës A.

Detyra 2. Vizato projeksion të pjerrët të

trekëndëshit me kulme B(3;1;1), C(5;4;3,5)D(6;2;2,5).

Nëse supozojmë se trekëndëshi BCD gjen-det në sistemin e njëjtë koordinativ në të cilingjendej pika A, atëherë konstruktimi i projek-sionit të pjerrët të kulmeve të trekëndëshit ështëi njëjtë me konstruktimin e projeksionit të pjerrëttë pikës A. Trekëndëshi B’C’D’ është projeksionii pjerrët i projeksionit të parë të trekëndëshit nërrafshin

2, ndërsa trekëndëshi BCD është pro-

jeksioni i pjerrët i kërkuar (vizatimi 3.6). Prandaj:

Projeksioni i pjerrët i trekëndëshit,gjegjësisht shumëkëndëshit gjendet ashtuqë konstruktohet projeksioni i pjerrët i pro-

jeksionit të parë të tij, e pastaj prej secilitkulm të projeksionit të pjerrët të projeksionittë parë ngrihet drejtëza paralele me boshtin- z dhe barten aplikatet në atë kulm. Kështufi tohet projeksioni i pjerrët i trekëndëshit,

gjegjësisht shumëkëndëshit.

Në detyrën vijuese do të tregojmë si mundetpraktikisht të thjeshtohet ecuria e mësipërme.

Detyra 2. Vizato projeksion të pjerrët tëgjashtëkëndëshit të rregullt ABCDEF me brinjë1,5cm dhe të dhënat =30o dhe q=1/2.

Vizatojmë gjashtëkëndëshin e rregulltnë madhësi të vërtetë nën boshtin-x (A0B0C0D0E0F0). Pastaj në boshtin-x zgjedhim pikë të

çfarëdoshme T1. Nga Pika T1 tërheqim dy gjys-mëdrejtëza, njëra normale në boshtin-x dhetjetra formon kënd prej =30o me boshtin-x. Në

Vizatimi 3.7

Vizatimi 3.6


46/142

46


gjysmëdrejtëzën e pjerrët bartim njësi të çfarë-doshme matëse, ndërsa në gjysmëdrejtëzënnormale dy njësi matëse pasi që q=1/2 (vizatimi3.7). Kështu i fitojmë pikat T dhe T0 të cilat sëbashku me pikën T1 janë kulme të trekëndëshitndihmës T0T1T.

Më tutje, nga kulmet e gjashtëkëndëshit A0B0C0D0E0F0 tërheqim drejtëza paralele meT0T1 dhe fitojmë pikat A1, B1, C1, D1, E1 dhe F1.Nga pikat A1, B1, C1, D1, E1 dhe F1 tërheqim gjys-mëdrejtëza paralele me T1T. Nga pikat A0, B0, C0,D0, E0 dhe Fo tërheqim gjysmëdrejtëza paraleleT0T. Në prerjen e çdo dy gjysmëdrejtëzave për-katëse të tërhequr nga A1 dhe Ao, B1 dhe Bo, C1 dhe Co, D1 dhe Do, E1 dhe Eo, F1 dhe Fo, fitojmë

pikat A, B, C, D, E dhe F, me lidhjen e të cilavefitojmë projeksionin e pjerrët A B C D E F të gjas-htëkëndëshit ABCDEF.

Detyra3. Vizato projeksion të pjerrët të rre-thit me rreze r dhe të dhëna =45o dhe q=1/2.

Vizatojmë rrethin me madhësi të vërtetë nënboshtin-x (vizatimi 3.8). Pastaj sipas të dhënavevizatojmë trekëndëshin ndihmës T0T1T.

Pasi që kufiri i rrethit nuk ka pika të shquara,për përcaktimin e projeksionit të tij të pjerrëtduhet të zgjedhim numër të caktuar të pikave tëvijës rrethore (kufirit të rrethit) dhe ti gjejmë pro-

jeksionet e tyre të pjerrëta të cilat më tutje do tilidhim në një vijë të lakuar. Sa më shumë pikaprojektojmë aq më saktë do ta përcaktojmë pro-

jeksionin e pjerrët të rrethit.

Tërheqim diametrin AoBo, i cili është paralelme boshtin-x dhe e ndajmë në numër të çfarë-doshëm të pjesëve të barabartë, për shembull,

katër pjesë të barabartë. Pastaj nëpër pika tëskajshme Ao dhe Bo, si dhe nëpër tre pika të fit-uara të ndarjes tërheqim normale në diametrin

AoBo. Ata e presn vijën rrethore në pikat Co, Do,Eo, Fo, Go dhe Ho, ndërsa boshtin-x në pikat A1,C1=O1=D1, E1=F1, G1=H1 dhe B1.

Projektimin e pikave të fituara Ao, Bo, Co, Do,Eo, Fo, Go dhe Ho të vijës rrethore në rrafshin 2 e kryejmë ashtu që, nëpër pikat A1, C1=O1=D1,E1=F1, G1=H1 dhe B1 tërheqim gjysmëdrejtëza

paralele me T1T, ndërsa nëpër pikat Ao, Bo, Co,Do, Eo, Fo, Go dhe Ho tërheqim gjysmëdrejtëza

Vizatimi 3.8


47/142

47


paralele me T0T. Në prerjen e secilit çift të gjys-mëdrejtëzave përkatëse nga të dy bashkësi tëgjysmëdrejtëzave fitojmë pika A, B, C, D, E, F,G dhe H me lidhjen e njëpasnjëshme të të cilavefitojmë projeksionin e pjerrët të vijës rrethore,gjegjësisht rrethit. Të vërejmë se projeksioni ifituar i vijës rrethore është lakorja e mbyllur ecila quhet elips.

Pyetje dhe detyra:

1. Vizato projeksion të pjerrët të trekëndëshitbarabrinjës ABC me brinjë 2cm dhe të dhënat=45o dhe q=1/2.

2. Vizato projeksion të pjerrët të katrorit ABCD

me brinjë 3cm dhe të dhënat =30o dhe q=3/4.3. Vizato në raport 1:10 për =45o dhe q=2/3projeksionin e pjerrët të prerjes horizontale tështyllës së betonit të paraqitur në vizatim 3.9 nëraport 1:15.

4. Vizato në raport 1:20 për =45o dhe q=1/2projeksionin e pjerrët të kalldrëmit të betonit tëparaqitur në vizatimin 3.10 në raport 1:40.

3.3. PROJEKSIONI I PJERRËT I TRUPAVEGJEOMETRIKË DHE ZBATIMI

Detyra 1. Vizato projeksion të pjerrët të ku-bit me teh 2cm dhe të dhënat =45o dhe q=1/2.

Kubi me bazën e poshtme le të shtrihet nërrafshin 1 para rrafshit vertikal 2, ashtu që dyfaqet e tij anësore janë paralele me rrafshin 2 dhe janë në largësi të caktuar nga ai.

Vizatojmë bazën e poshtme të kubit, gjegjë-sisht katrorin AoBoCoDo, nën boshtin-x me mad-hësi të vërtetë dhe me një teh paralel me bosh-tin-x. Pastaj vizatojmë projeksionin e pjerrët tëkatrorit AoBoCoDo në rrafshin 2, sipas njërës ngady mënyra të përshkruara më parë (e rekoman-dojmë mënyrën me trekëndësh ndihmës T0T1T).Kështu fitojmë paralelogramin A B C D, i cili ësh-të projeksion i pjerrët i bazës së poshtme të ku-bit, më saktë i katrorit AoBoCoDo (vizatimi 3.11).

Tehet anësore të kubit janë paralel me rraf-shin 2, prandaj ato do të projektohen në seg-

Vizatimi 3.9

Vizatimi 3.10

Vizatimi 3.11


48/142

48


mente paralele me gjatësi të barabartë me ta.Që ti vizatojmë projeksionet e tyre mjafton ngapikat A, B, C, dhe D, të ngrehim normale në rraf-shin 2 dhe në to të bartim gjatësinë prej 2cm (sakanë gjatësinë tehet anësore të kubit). Pikat e

fituara E, F, G dhe H janë projeksione të pjerrëtatë kulmeve të bazës së sipërme të kubit. Me lid-hjen e tyre fitojmë projeksionin e pjerrët të bazëssë sipërme të kubit, e me këtë fituam kubin nëprojeksion të pjerrët.

Projeksioni i pjerrët i kubit i vizatuar në këtëmënyrë lë përshtypje të ngjashme sikur kur atëe vështrojmë prej lartë dhe nga djathtas. Në këtërast nëse faqet e kubit janë të jotejdukshme,mes teheve të tij do të ketë edhe të atillë të cilët

nuk do ti shohim. Ato janë tehet AD, CD dhe CH,dhe ato i vizatojmë me vijë të ndërprerë, ndërsatehet tjera –të dukshme pak i potencojmë.

Detyra 2. Vizato projeksion të pjerrët të pira-midës së drejtë të rregullt katërkëndore me tehtë bazës 2cm dhe teh anësor 4cm, me të dhëna=30o dhe q=1/2.

Nën boshtin-x konstruktojmë bazën e pira-midës – katrorin AoBoCoDo me brinjë 2cm. Në

të gjejmë qendrën Oo e vijës rrethore të jash-tëshkruar rreth katrorit si pikëprerje e diagonal-eve të katrorit. Pastaj konstruktojmë projeksion-in e pjerrët të katrorit së bashku me projeksionine qendrës së tij (vizatimi 3.12).

Pasi që lartësia e piramidës nuk ështëdhënë, atë do ta caktojmë në mënyrë konstruk-tive. Lartësia e piramidës është normale në bazë(katror), prandaj, ajo është normale edhe me di-agonalet e katrorit. Kjo do të thotë se lartësia e

piramidës dhe gjysma e diagonales së katrorit janë katete, ndërsa tehu anësor është hipotenu-za e trekëndëshit kënddrejtë. Me konstruktimine trekëndëshit kënddrejtë mbi gjysmën e diago-nales së katrorit e fitojmë lartësinë e kërkuar tëpiramidës OoS.

Tani nga pika O ngrehim normale në seg-mentin O S kah boshti-x, e cila me gjatësi ështëe barabartë me lartësinë OoS e piramidës. Pra,

kështu e përcaktojmë projeksionin e pjerrët S të majës se piramidës. Në fund, duke e lidhurmajën e piramidës S me kulmet A, B, C, dhe D,

Vizatimi 3.12


49/142

49


fitojmë projeksionin e kërkuar të pjerrët të pira-midës.

Tehet e padukshme janë C D, A D dhe D S.

Detyra 3. Vizato projeksion të pjerrët të cili-ndrit të drejtë me rreze të bazës r=1,5cm dhe

lartësi h=3cm, me të dhëna =30o dhe q=1/2.Paramendojmë se cilindri me bazën e tij të

poshtme shtrihet në rrafshin 1. Në atë rast ësh-të e qartë se lartësia dhe të gjitha gjeneratrisat ecilindrit do të jenë paralel me rrafshin 2, prandajdo të projektohen në të në madhësi të vërtetë(vizatimi 3.13).

Së pari do ta vizatojmë projeksionin e pjerrëttë bazës së cilindrit, e cila paraqet rreth. Pastaj

në secilën pikë të kufirit të projeksioni të pjer-rët të kufirit të bazës (vijës rrethore) së cilindrit,që është elips, ngrehim normale në boshtin-x, tëcilat sipas gjatësisë janë të barabartë me gjener-atrisën, gjegjësisht me lartësinë e cilindrit. Pikate skajshme të sipërme të atyre segmenteve, kurt’i bashkojmë një pas një, japin projeksionin epjerrët të bazës së sipërme të cilindrit.

Prej të gjitha gjeneratrisave të ngritura i po-

tencojmë vetëm dy, ato të cilat shtrihen në kon-turë. Në fund e përcaktojmë dukshmërinë. Shiki-mi është prej lartë dhe nga e djathta, prandajelipsa nga baza e sipërme është tërësisht e duk-shme, ndërsa prej elipsës nga baza e poshtmeështë e dukshme vetëm pjesa e përparme meskonturave të gjeneratrisës.

Pyetje dhe detyra:

1. Kuadri me gjatësi 5cm, gjerësi 3cm dhe lartësi2cm është vendosur në rrafshin 1, ashtu që dytehet e tij të bazës janë paralele me boshtin-x,ndërsa ai më i afërt është i larguar nga ai për1,5cm. Vizato projeksion të pjerrët të kuadrit metë dhëna:a) =30o dhe q=1/2 b) =60o dhe q=1/3

2. Vizato projeksion të pjerrët të prizmës sëdrejtë të rregullt gjashtëkëndore me teh të bazës3,5cm dhe lartësi 4,5cm gjatë të dhënave:a) =45o dhe q=1/2; b) =30o dhe q=3/4.

Vizatimi 3.13


50/142

50


3. Vizato projeksion të pjerrët të tetraedrit tërregullt me teh të bazës 4cm gjatë të dhënave:a) =30o dhe q=1/2; b) =45o dhe q=2/3.

4. Vizato projeksion të pjerrët të konit me për-masa:a) r=2cm, h=5cm; b) s=3cm, h=4,5cm;gjatë të dhënave =45o dhe q=1/2.

5. Në raport 1:10 vizato projeksionin e pjerrët tëgurit të gdhendur , nëse pozita e tij në sisteminkoordinativ O(x,y,z) është si në vizatimin 3.14 nëraport 1:15, gjatë të dhënave =45o dhe q=1/2.

Vizatimi 3.14


51/142


52/142

52

Rrafshet

TËRËSIA TEMATIKE

4. RRAFSHET

4.1. Gjurmët e rrafshit

4.2. Koordinatat e rrafshit

4.3. Rrafshe paralele me rrafshet e projeksionit

4.4. Figurat gjeometrike në rrafshe paralele me rrafshe të projeksionit

4.5. Rrafshe normal në rrafshe të projeksionit

4.6. Pika dhe drejtëza në rrafshin projektues

4.7. Depërtimi i drejtëzës nëpër rrafshin projektues

4.8. Rrëzimi i rrafsheve projektuese

4.9. Figurat gjeometrike që shtrihen në rrafshet projektuese

4.10.Trupat gjeometrikë të cilët me bazë shtrihen në rrafshet projektuese


53/142

53

Rrafshet

4. RRAFSHET

4.1. GJURMAT E RRAFSHIT

Nga gjeometria na është e njohur se njërrafsh është i përcaktuar me dy drejtëza që priten.Praktike tregohet rrafshin ta përcaktojmë me dydrejtëzat e tij që priten dhe që janë në pozitë tëveçantë. Ato janë dy drejtëza në të cilat rrafshi ipret rrafshet e projeksionit 1 dhe 2 (vizatimi 4.1). Ato drejtëza quhen gjurma të rrafshit dhe zakon-isht shënohen me shkronjë të vogël të alfabetitlatin e cila i përgjigjet shkronjës greke me të cilënështë shënuar rrafshi. Në atë kuptim e1 është

gjurma e parë, e2 është gjurma e dytë e rrafshit, ndërsa d1 është gjurma e parë, d2 është gjur-ma e dytë e rrafshit . Gjurma të rrafshit priten nëpikë e cila shtrihet në boshtin-x, pasi që ajo ështëpikë depërtuese e boshtit-x me rrafshin. Kështugjurma të rrafshit priten në pikën Ex, gjurma tërrafshit priten në pikën Dx. Ato pika shënohenme shkronjë të madhe të alfabetit latin e cila kor-respondon me shkronjën greke me të cilën ështëshënuar rrafshi.

Zakonisht me vijë të plotë vizatohet ajo pjesëe gjurmës së parë e cila është para rrafshit 1,si dhe pjesa e gjurmës së dytë e cila është mbirrafshin 2.

Pasi që gjurma e parë e rrafshit është në 1,ajo puthitet me projeksionin e vet të parë, ndërsaprojeksioni i saj i dytë është në boshtin-x. Kësh-tu e1e1’ dhe d1d1’, ndërsa e1” dhe d1” janë nëboshtin-x. Gjurma e dytë e rrafshit është në 2,prandaj ajo puthitet me projeksionin e vet të dytë,

ndërsa projeksioni i saj i parë është në boshtin-x.Kështu e2e2” dhe d2d2”, ndërsa e2’ dhe d2’ janënë boshtin-x.

Rrafshet E dhe janë njëtrajtësisht të përcak-tuar me projeksionet e gjurmëve të tyre (vizatimi4.2). Nëse rrafshin 1 me rrotullim rreth boshtit-x esjellim në pozitë vertikale atëherë me drejtëzat e1 dhe e2, gjegjësisht d1 dhe d2 njëtrajtësisht janë tëpërcaktuara rrafshet E dhe . Secila pikë e gjur-mës së parë, për shembull, pika A ka projeksion të

parë në vet atë pikë, ndërsa projeksion të dytë nëboshtin-x, përderisa secila pikë e gjurmës së dytë,

Vizatimi 4.1

Vizatimi 4.2


54/142

54

Rrafshet

për shembull, pika B ka projeksion të dytë në vetatë pikë, ndërsa projeksion të parë në boshtin-x.

Rrafshet E dhe janë në pozitë të përgjith-shme, por megjithatë ato dallohen sipas asaj segjurmë të rrafshi E janë nga ana e njëjtë e pikës

Ex, përderisa gjurma të rrafshit

janë në anë tëndryshme nga pika Dx. Për rrafshin E themi seka gjurma konvergjente, ndërsa për rrafshin themi se ka gjurma divergjente. Të vërejmë sekëndi të cilin e formojnë gjurma e1 dhe e2 të rraf-shit E është më i vogël se 90o, përderisa këndi δ të cilin e formojnë gjurma d1 dhe d2 të rrafshit është më i madh se 90o. D.m.th:

Rrafshi gjurmët e të cilit formojnë kënd më

të vogël se 90 o ka gjurma konvergjente, ndër-

sa rrafshi gjurmët e të cilit formojnë kënd më

të madh se 90 o ka gjurma divergjente.

Të vërejmë, nëse rrafshi ka gjurma kon-vergjente, atëherë kur e shikojmë në drejtimprojektues në 1 apo 2, e shikojmë anën e tijtë sipërme. Nëse rrafshi ka gjurma divergjente,atëherë kur e shikojmë në drejtim projektues në1, e shikojmë anën e tij të sipërme, ndërsa kur eshikojmë në drejtim projektues në 2 e shikojmë

anën e tij të poshtme.Në të ardhmen, projeksioneve të gjurmëve do

ti vëmë vetëm shenjën për gjurmën e parë dhe tëdytë, ndërsa do ti lëmë pas dore shenjat për projeksionin e parë dhe të dytë të gjurmës së parëdhe të dytë.

Pyetje dhe detyra:

1.Çka janë gjurmët e rrafsheve?2. a) Cilat gjurmë të rrafshit quhen konvergjente,e cila divergjente?

b) Çfarë kënd formojnë gjurma konvergjente, eçfarë gjurma divergjente?

3. Përpuno model të dy rrafsheve të projeksionitnga kartoni dhe para tij vendos drejtkëndësh ngakartoni, nga njëra anë të ngjyrosur me ngjyrë tëkaltër, ndërsa nga ana tjetër të ngjyrosur me ngjyrë

të kuqe. Pjesën nga kartoni paramendoje si rrafshnë hapësirë. Ceki gjurmët e rrafshit dhe emërtojengjyrën e anës së fletës të cilën e shikon, së pari


55/142

55

Rrafshet

në drejtim pro

Documents

5-1 Nacrtna geometrija za I god_ALB_PRINT_WEB.pdf