1

1. Veza nastanka slike u ljudskom oku i centralne projekcije

- nastala prvo iz potrebi slikarstva, u umjetnosti

- temelji se na prirodnom zakonu da se udaljavanjem od promatrača likovu smanjuju

razmjerno udaljenosti pravocrtno, linearno i svi nestaju u jednoj te istoj točci- nedogledu

- otkrili renesansni umjetnici

2. Osnovni elementi centralnog projiciranja (perspektive)

Osnove centralnog projiciranja: π- ravnina slike

O- centar projiciranja (O∉ π)

T- bilo koja točka u prostoru

(T O; O ∉ π)

z (O,T)- zraka projiciranja

Tc = z∩ π centralna projekcija točke T

Probodište zrake projiciranja z (O,T) s ravninom slike π je točka Tc, centralna projekcija točke

T. * Jednoznačnost? Da T -> Tc; Ne Tc -> T

Perspektiva je metoda centralnog projiciranja u kojem je preslikavanje T <-> Tc obostrano

jednoznačno.

Osnovni elementi perspektive:

O- očište

GLAVNA ZRAKA- zraka koja iz očišta ide

okomito na ravninu slike π Njeno probodište s ravninom slike je

GLAVNA TOČKA Oc

Udaljenost d= d(O,Oc) je OČNA UDALJENOST ili DISTANCIJA

c= k (Oc,d) - kružnica očne udaljenosti

(distankcijska kružnica). Pišemo još i Oc(d). * Sve zrake koje prolaze točkama distankcijske kružnice zatvaraju s ravninom slike kut od 45®

Ravnina slike π u centralnom položaju

Osnovni elementi perpsketive: (π, Oc, d)

2

3. Kako se određuje centralna projekcija pravca u metodi perspektive?

Zadano: (π,Oc, d) i pravac p

Spojimo svaku točku pravca p s očištem O. Dobivene zrake de ležati u jednoj ravnini:

∑- projicirajuda ravnina pravca p

∑ ∩ π = pc

*pc je jednoznačno određen Obrat?

pc može predstavljati centralni projekciju bilo kojeg pravca iz ravnine ∑!!!! Da bi ovo izbjegli izabrat demo na pravcu pc dvije točke s kojima de pravac p biti u prostoru jednoznačno određen.

Nastavak

Na pravcu pc biramo dvije točke s kojima de pravac p biti u prostoru jednoznačno određen. 1) PRAVO PROBODIŠTE PRAVCA p

P = p ∩ π, P ≡ Pc

2) NEPRAVO PROBODIŠTE/ NEDOGLED PRAVCA p

Pn = pn ∩ π

pn

- nedogledni pravac pravca p

tj. zraka (kroz O) paralelna s pravcem p * Pravac sada zadajemo s njegovim pravim probodištem i nedogledom: p (P, P

n).

3

Zadano: (π,Oc, d)

Ako je u ravnini slike zadan neki pravac pc točkama P i Pn mogude je jednoznačno odrediti orginalni pravac. Ako je zadana točka Tc ∈ pc mogude je jednoznačno odrediti originalnu točku T. Specijalni slučajevi:

4. Što je nedogled pravca?

Nedogled pravca je nepravo probodište (točka). Pn

Pn = pn ∩ π

pn- nedogledni pravac pravca p tj. zraka (kroz O) paralelna s pravcem p

5. Na crtežu skicirajte položaj očišta O, nedoglednog pravca pn, pravca p i točke T.

Tc ≡ T ≡ O

p ≡ pn ≡ pc

6. Ako je pravac a paralelan s pravcem b, u kakvom su odnosu nedogledni pravci an i bn,

odnosno nedogledi An i Bn?

Nedogledan pravac an je ujedno i nedogledan pravac bn, odnosno nedogledi An i Bn su

zapravo jedna te ista točka.

4

7. Ako je pravac n okomit na ravninu slike π, gdje se nalazi njegov nedogled Nn?

Nedogled Nn se nalazi na GLAVNOJ TOČKI Oc.

8. Ako je pravac c paralelan s ravninom slike π, gdje mu se nalazi pravo, a gdje nepravo

probodište?

Pravo probodište i nepravo (nedogled) su u beskonačno dalekoj točki.

9. Kako se određuje centralna projekcija ravnine u perspektivi?

Ravnina Σ (s, sn)

S = Σ ∩ π PRAVI TRAG

sn= Σ ∩ π NEDOGLEDNI ili NEPRAVI TRAG

ili NEDOGLEDNICA

Σn je nedogledna ravnina (paralelna je sa Σ i

sadrži O) Vrijedi: pravi i nepravi trag su međusobno paralelni, tj. s||sn

Specijalni slučajevi:

Od svih ravnina koje su okomite na ravninu slike π najvažnije su nam one u horizontalnom

položaju- HORIZONTALNE ili OSNOVNE RAVNINE.

5

10. Ako su ravnine Σ i Σ1 paralelne, u kakvom su odnosu njihove nedoglednice sn i s1n?

Ako su ravnine Σ i Σ1 paralelne, njihove nedoglednice sn i s1n su u istoj točki.

11. Ako je ravnina P okomita na ravninu slike Π, što vrijedi za njenu nedoglednicu rn?

Ako je ravnina P okomita na ravninu slike Π, glavna točka Oc je element nepravog traga rn.

12. Što je u perspektivi OSNOVNA RAVNINA?

U perspektivi osnovna ravnina je HORIZONTALNA RAVNINA (ona koja je okomita na ravninu

slike π u horizontalnom položaju).

OSNOVNA RAVNINA = HORIZONTALNA RAVNINA

13. Što u perspektivi znači simbol: H (o,h)?

U perspektivi simbol H (o,h) označava HORIZONTALNU RAVNINU.

14. Ako pravac t leži u ravnini H (o,h), gdje mu se nalazi pravo probodište T, a gdje njegov

nedogled Tn?

Ako pravac t ležu u ravnini H, pravo probodište T nalazi mu se na osnovnom tragu, a njegov

nedogled Tn na horizontu.

15. Ako je pravac m sutražnica ravnine H (o,h) (tj. p je pravac u H, okomit na π), što vrijedi za

njenu perspektivnu sliku mc?

6

16. Ako je pravac p priklonica ravnine H(o,h) (tj. m je pravac u H, paralelan s π), što vrijedi za

njenu perspektivnu sliku pc?

17. Ako je pravac n vertikalan pravac (tj. n je pravac okomit na H (o,h)), što vrijedi za njegovu

perspektivnu sliku nc?

Ako je pravac n vertikalan pravac (tj. n je pravac okomit na H (o,h)), njegova perspektivna

slika je okomita na osnovni trag.

18. Gdje se nalaze nedogledi horizontalnih pravaca?

Nedogledi horizontalnih pravaca (horizontalni pravci= pravi/ osnovni i nepravi/ osnovni trag) se nalaze na nepravom tragu horizontalne ravnine- HORIZONTU.

* Horizont je zajednički nedogledni trag svih horizontalnih ravnina u prostoru.

19. Gdje se nalaze nedogledi pravaca koji s ravninom slike π zatvaraju kut od 45®?

Ako pravac zatvara kut od 45® s ravninom slike π, tada se njegov nedogled Pn nalazi na

distancijskoj kružnici c.

20. Gdje se nalaze nedogledi horizontalnih pravaca koji s ravninom slike π zatvaraju kut od

45®?

Za horizontalan pravac koji zatvara kut od 45® s ravninom slike π, njegov nedogled je jedna

od tzv. DISTANCIJSKIH TOČAKA D1, D2 (one se nalaze na horizontu).

21. Što su DISTANCIJSKE TOČKE?

Točke očne udaljenosti.

7

22. Kako se dobije prava veličina dužine AB, koja se nalazi na sutražnici m od H (o,h), ako je

zadana centralna projekcija AcBc?

Prava veličina AB koja se nalazi na sutražnici mc dobije se centralnom projekcijom iz bilo koje

točke horizonta na osnovni trag o (specijalno može i iz Oc).

23. Kako se dobije prava veličina dužine AB, koja se nalazi na priklonici p od H (o,h), ako je

zadana centralna projekcija AcBc?

Prava veličina dužine A0B0 dobije se centralnom projekcijom iz bilo koje od distancijskih

točaka, tj. iz D1 ili D2 na osnovni trag o.

24. Kako se dobije prava veličina dužine AB, koja se nalazi na vertikalnom pravcu n, ako je

zadana centralna projekcija AcBc uz zadani Nc?

Prava veličina dužine se dobije centralnom projekcijom iz bilo koje točke horizonta (može i iz

Oc) na vertikalan pravac n u ravnini slike (nožište N0 od n mora biti na o!)

8

25. Koja metoda spaja Mongeovu metodu s metodom perspektive? Opišite tu metodu.

Perspektiva + mongeova metoda = METODA PROBODIŠTA

26. Kako se dobije centralna projekcija točke u METODI PROBODIŠTA?

27. Koliko velike kutove mogu zatvarati tlocrti zraka projiciranja koje sijeku tlocrt objekta, s

GLAVNOM ZRAKOM?

Tlocrti zraka projiciranja mogu zatvarati s glavnom zrakom kut do 20®.

28. Kada demo redi da je objekt u FRONTALNOM POLOŽAJU?

Objekt je u frontalnom položaju ako je paralelan s ravninom slike π.

9

29. Kada i kako koristimo nedoglede pravaca u metodi probodišta?

Nedoglede koristimo za konstruiranje perspektivnih slika objekata koji se nalaze u

horizontalnoj ravnini H (o,h) i zadani su svojim tlocrtom. Paralelni pravci imaju isti nedogled.

*Pravci na horizontalnoj ravnini imaju nedogled na horizontu, a priklonice (horizontalni pravci okomiti na

ravninu slike) imaju nedogled u Oc.

30. Gdje se stavlja nacrt objekta u metodi probodišta?

Iznad osnovnog traga (odnosno x).