Nacrtna geometrija - Predavanja 1

7/16/2019 Nacrtna geometrija - Predavanja 1

http://slidepdf.com/reader/full/nacrtna-geometrija-predavanja-1 1/138

MF Banja Luka28.1.2008 Dr Živko Babić, NG-2007/08

Naziv predmeta:

NACRTNA GEOMETRIJI semestar

Dr Živko Babi ć

predavanja / vježbe

2 + 2

(5 ECTS)

I DIO

MAŠINSKI FAKULTET

BANJA LUKA




Literatura iz Nacrtne geometrije:

Ž. Babić: Nacrtna geometrija, predavanja, Mašinski faBanja Luka

[1] V. Đurović: Nacrtna geometrija, Naučna knjiga, Beog[2] J. Justinijanović: Nacrtna geometrija I i II, Školska knZagreb[3] P. Anagnosti: Nacrtna geometrija, Naučna knjiga, Be[4] K. Horvatić - Baldasar , I. Babić: Nacrtna geometrija,Zagreb[5] V. Niče: Deskriptivna geometrija I, II, Školska knjiga,

Zagreb[6] Z. Kurnik, D. Palman, B. Pavković: Zadaci iz nacrtngeometrije, Tehnička knjiga, Zagreb

Za predavanja:

-sveska A4 bez linija

-2 trougla (300 i 450), šestar, olovke (meka i tvrda), gumica, olovke u b

Za vježbe:-listovi A3 (dvolisnice) bez linija




Садржај предмета:

1.недјеља: Врсте пројектовања. Координатни систем. Квадранти и окт

2. недјеља: Пројекције дужи и праве. Раван.

3. недјеља: Узајамни просторни односи тачке, праве равни (специпродор праве кроз раван и лик , обарање равни, нагибни и прик

4. недјеља: Трансформација и ротација. Права величина дужи, уг

5. недјеља: Перспективни афинитет. Кружница у равни. Конструкц

6. недјеља: Геометријска тијела и површи.

7. недјеља Први колоквијум

8. недјеља Пресјеци ваљка и купе са равни.

9. недјеља Пресјеци лопте и торуса са равни.

10.недјеља Продори. Методе одређивања продора.

11.недјеља Продори рогљастих тијела.

12.недјеља Продори облих тијела. Примјене у пракси.

13.недјеља Завојне линије и завојне површине.

14. недјеља Аксонометрија и коса пројекција.

15. недјеља Други колоквијум

16. не еља Зав шни испит




Inženjer = stručnjak tehničkih ili tehnoloških nauka.

UVOD

Tehnička zanimanja:mašinstvo, građevinarstvo, geodezija, elektrotehnika, rudarstvo, mtehnologija (hemijska, tekstilna, prehrambena, grafička, drvna ...), sradu, agronomija, šumarstvo

Grafika je vizuelno prikazivanje nečega na nekoj površini kao što zid, platno u cilju informisanja ili zabave.

Primjeri su: inženjerski crteži, skice, grafovi, dijagrami, simboli, geometrijski oblici, karte i ostale vrste slika koje nisu tekst.Grafika može biti funkcionalna i umjetnička. Grafika može biti nepopredstavljati nešto iz stvarnog svijeta.

Danas se značajno koristi računar koji mnogo ubrzava izračunavadosadna ponavljanja crtanja. Ali treba poznavati osnove nacrtne gemogle pročitati projekcije.Računarska grafika (en. Computer graphics, CG) - pomoću računDva pristupa u 2D grafici: vektorska i rasterska grafika.




Rasterska grafika je stalna dvo dimenzionalna mreža piksela. Svavrijednost, kao što je osvijetljenost, boja, providnost. Rasterska grarezoluciju i ako se ona poveća najčešće se gubi kvalitet.

Vektorska grafika sadrži tačne geometrijske podatke, topologiju, k

tačaka, veze između tačaka (za formiranje linija i putanja), boju i tagrafika koristi jednostavne geometrijske oblike kao što su tačke, linkoji su opisani matematičkim jednačinama. Vektorska grafika sepomoću nekog vanjskog programa (kao što je web browser naprimprepoznaje program pomoću kojeg je ta grafika nastala iako je česprogrami za vektorsku grafiku bez poteškoća mogu čitati druge formvektorska grafika pretvara u rastersku (.jpg, .bmp itd.).

Prvi monitori su mogli prikazati oko 72 do 130 piksela po inču (PPI)mogu štampati 2400 tačaka po jednom inču (DPI).

Rač unarom podržano modeliranje - razlikujemo računarom pod(Computer Aided Drafting -CAD) i računarom podržano modeliranjeDesign-CAD) i računarom podržana proizvodnja (Computer Aided

CAM ). CAD alati su komercijalni računarski programi, koji omogoć

upotrebu metoda i postupaka geometrijskog oblikovanja-modeliran

Programski paketi: AutoCAD, ArchiCAD

CATIA

Pro Ingineer




Rasterska grafika(Slike zahtjevaju mnogo memorije)

Bitmap (bmp) - nesažeta datoteka koja nekoristi nijednu vrstu sažimanjaFormat Jpeg ( jpg) - sažima sliku a da semnogo ne primjeti gubitak kvaliteta slike

Vektorska grafika je donepotrebnih detalja sa




Npr.: krug radiusa r

Glavni podaci koje računarski program treba da zna kako bi iscrtao1.radius r

2.koordinate centra kruga

3.stil i boju linije (može biti i nevidljiva-providna)4.stil i boju punjenja objekta (može biti i providno)

Prednosti ovakvog načina crtanja nad rasterskom grafikom:•Ovako mala količina informacija znači malu veličinu datoteke•Mogućnost uvećanja (zoom) bez gubitka kvaliteta

Sve ove informacije su zapamćene i mogu se kasnije mijenjati, to z

uvećanje, okretanje i bojenje itd. ne smanjuje kvalitet crteža kao ko




TEHNIČKA DOKUMENTACIJA

DOKUMENT= informacijska cjelina koja sadrži međusobno l

skup informacija o tehničkom uređaju ili sistemuDokument sadrži informacije predstavljene u obliku slike ili teSkup svih relevantnih dokumenta o nekom objektu ili sistem

tehnička dokumentacija.Pri stvaranju tehničke dokumentacije treba težiti optimalnoj m

ljudskog rada i obima dokumentacije.

Prema namjeni razlikujemo sledeće oblike tehničke dokume· projektni zadatak - sadrži sve bitne zahtjeve projekta uekonomske, pravne i ostale,· idejno rješenje - sadrži osnovne informacije o predloženom· idejni projekat - sadrži temeljnu razradu informacija o pr

uključujući troškove,· investicioni eleborat - sadrži informacije iz idejnog prekonomskom analizom,




glavni projekat - sadrži detaljnu razradu idejnog projekta za izvođenje. Služi kao osnova za izradu izvedbene dokumprikupljanje ponuda,· glavni izvedbeni projekat - izrađuje se na temelju glavnoizbora proizvođača ili dobavljača,· dokumentacija za pogon i održavanje - sadrži deupotrebu i održavanje.Tekstovni dio tehničke dokumentacije predstavlja:· tehni č ki opis,

· tehni č ko-ekonomska analiza,· obavezni prorač uni,

· uputstva za rukovanje,

· uputstva za ispitivanje i održavanja,

· popis opreme,

· troškovnici.

Slikovni dio tehničke dokumentacije predstavljaju tehničkSLIKA vrijedi 1000 riječi.(ne u muzici)




Tehnički crtež treba biti: jednostavan, precizan i jasan.

Nacrtna geometrija je naučna osnova tehničkog crteža.

Nacrtna geometrija je nauka o metodama koje omogućuju prikatrodimenzionalnog oblika i rješavanje prostornih problema crdvodimenzionalnoj ravni konstruktivno geometrijskim postup

Svaki problem treba najprije dobro prostorno shvatiti i misaonotek onda metodama nacrtne geometrije riješiti crtanjem.




Životni ciklus građevine:- - Idejna osnova- - Idejni crtež:- - pravni

- - ekonomski- - tehnički dio:- - arhitekturni crtež- - situacija- - tehničko uputstvo- - projekti instalacija (elektro, cijevi- - zaštitni i odbrambeni crteži- - Detaljni crtež- - Projekat za dobijanje građevinske dozvo- - Projekat za konkurs (tenderska dokumen- - Izvedbeni projekat- - Pripreme na gradnju- - Gradnja

- - Upotreba i odr žavanje- - Rušenje




NACRTNA GEOMETRIJAUVOD

Osnovni pojmovi:

Geometrija- dio matematike, koja pomaže opisati prostor oko nas pomoću atačka, prava i ravan (osnovni elementi od kojih se izvode svi oblici u ge(gr čki: ge=zemlja, metron=mjera)

OZNAKETač ke: A, B, C,...,T,... ili 1, 2, 3, ...

Prave: a, b, c,...,t,..., xRavni : α, β, ... ili Γ (gama), ∆ (delta), Ε (epsilon), Π (pi), Ρ(ro), T(t

Neki aksiomi:- sa dvije tačke određena je jedna i samo jedna prava,- sa tri tačke, koje nisu na jednoj pravoj, određena je jedna i samGeometrija se dijeli na :- analitička (koristi algebru i koordinatni sistem)

- diferencijalna (koristi diferencijalni račun)- nacrtna ili deskriptivna (koristi konstruktivne metode projiciranjadescribere=opisivati)




- u školi za vojne inženjereriješio probleme utvr đenjabez dugotrajnih proračuna- primijenio geometrijskemetode- njegovu metodu

projiciranja na dvije okomiteravni zovemoMongeovo projiciranje

Gaspard Monge (Monž) (1746-1818) je osnivač nacrtne geometrije.




CENTRALNA

PROJEKCIJA

Objekat

POSMATRANA KONA NOMRASTOJANJU

OD OBJEKTA

Č

Č

S

Projekcijski zrak

(usmjeren prema okuposmatra a-centar S)č

R A V A N S L I K E

h o r i z o n t

A

A'

Projekcijski

Centar pro

Pr P r o j e k c

i j s k a r a v

a n

Crtež ili slika objekta u nacrtnoj geometriji se dobija projiciranjem i nazi

VRSTE PROJEKCIJA




A

A'

B

Π

B'

C

C'

A

A'

B'

B

Π

C

C'

PARALELNAPROJEKCIJA

projekcijski zraci su paralelni

Paralelna projekcija može biti:

- ortogonalna ili normalna - projekcijski zraci su okomiti na projekcijsku- kosa - projekcijski zraci su kosi prema projekcijskoj ravni

ortogonalna kosa

Ortoosn

teh




KOTIRANAPROJEKCIJA

Kotirana projekcija se koristi kod prikazivaprojektovanja puteva, pruga, nasipa, kanarudnika.Projiciranje se vrši na horizontalnu ravan

tačke od horizontalne ravni- kota.

A

D

E

BB'(0)

A' A'(2)

E' E'(2)D'

D'(3)

B'

C'

C'

C'

C'(-2)

C

Π Π

Projekcija tijela na jednu ravan

H

W

H

W

DD

B

P R O J E K C I J SK AR AV AN

Pomoću jedne projekcije ne može se opisati 3




π2

π1

horizontalnica

vertikalnica

(frontalnica)




PROJEKCIJA TAČKE

Položaj tačke u prostoru potpuno je određen sa dvije projekcije:- tlocrt A' (projekcija na horizontalnu ravan) i- nacrt A'' (projekcija na vertikalnu ravan)

A’A’’-ordinala

A"

A

xAx

Π2

A,

Π1

A"

Ax

A,

Tački A prosto

uređeni par pro




KVADRANTI I KOORDINATE TAČKE

VERTIKALNICA(druga projekcijska ravan)

HORIZONTALNICAprva projekcijska ravan)

A

A"

A,

z

x

y

Π2

Π1

I

IV

x

Ax

y

z

H

V

-Duž A'Ax se naziva prva ordinata i označava sa y

-Duž A''Ax se naziva druga ordinata (ili aplikata) i označava sa z

-Tačka u prostoru je određena sa tri koordinate A(x, y, z)

(F)

(FRONTALNIC




A

D

C

B

A"

D" C"

B"

A"

B"

C"

A,

D,

C,B,

A,

B,

C,

+z

-z

-z

+z

+y+y

-y-y

π1

π2

I II III

y

y>0

y<0 y<0

z<0

z>0

z>0z

H

V

B’

Bπ2

π1

xB’

B’’II.

Tačka B udrugom kvadrantu




T

A

B

S

TAČKA U SPECIJALNOM POLOŽAJU

A"

A

,

B,,

B,

¾ Ako tačka leži u jednoj od projekcijskih ravni kažemo da je u specijalnom

¾ Ako tačka A leži u horizontalnici, njena druga projekcija A'' ležaće na x -os¾

Ako tačka B leži u vertikalnici, njena prva projekcija B' ležaće na x -osi.¾ Ako tačka C leži istovremeno i u horizontalnici i u vertikalnici (znači na njipresjeku), njena prva i druga projekcija leži na x-osi.




OKTANTI

A

A"

z

x

Π2

Π1

II

VI

III

VIII

IV

y

z

0

A,

A,,,

Π1

Π3

IV

¾Oktanti I-IV su desno od profilnice, a V-VIII lijevo od profilnice.¾Da bi se prostor sveo na ravan crtanja, tj. ravan papira, sve projekcijske rdovedu u jednu ravan

¾Tačka u prostoru je udaljena od π1 za toliko koliko je druga projekci(ordinata z).¾Tačka u prostoru je udaljena od π2 za toliko koliko je prva projekcija(ordinata y).¾Tačka u prostoru je udaljena od π3 za vrijednost x (apscisa).

-x

y y

z

y

A"’

A'(x,y

A''(x,z

A'''(y,zπ3 -PROFILNICA P




PROJEKCIJE DUŽI

B

A

B"B"

A" A"

B,

B,

A,

A,

π1

π2

x

y

z

H

V

Prava veličina dužiKada je duž nagnuta projekcije su kraće odnjene prave veličinePrava veličina duži AB može se dobitiobaranjem (preklapanjem) trapeza iliobaranjem trougla

B"

A"

zA

zA

zB

zB

X

B,

d',

d'

d0

B0

B0

d0

A,

A0

A0

Zadatak: Odrediti sve tri projekcije i pravu veličinu duži: a) A(10,30,10b) C(10,-20,10




PROJEKCIJE PRAVE

Π1

Π2

1

2

1''a

a'

a''

2'




Projekcije na dvije ravni

¾-Prava probija ravan H (horizontalnica) u tački 1, a ravan V (vertikalnica¾-Projekcija prave je ponovo prava¾-Prva projekcija a' je presjek ravni Π 1 i ravni kroz pravu koja je okomita¾-Druga projekcija a" je presjek ravni Π 2 i ravni kroz pravu koja je okomi¾-Ako neka tačka C leži na pravoj a, tada i C' leži na a', C" leži na a"Tačka prvog prodora 1 se poklapa sa svojom prvom projekcijom 1',projekcija 1'' leži na x-osi.Tačka drugog prodora 2 se poklapa sa svojom drugom projekcijom projekcija 2' leži na x-osi.

2=2"

2=2"

1"

C"

a"

1=1,

a

2, 2

,

C,

C

a,

π1

π2

H

V




Projekcije prave na tri ravni

¾Vidljivost prave - posmatrač u I oktantu.¾Vidljiv je dio prave iznad horizontalnice (H), ispred vertikalnice (V) i desno¾Vidljivost se određuje posebno za svaku projekciju.¾Granične tačke vidljivosti su prodori kroz H, V i P ravni (tačke 1, 2, 3).

¾Prava se u prvoj projekciji vidi kada prolazi kroz gornje oktante (iznad H): drugoj projekciji vidi kada prolazi kroz prednje oktante: I, IV, V i VIII. Prava kada prolazi kroz desne oktante: I, II, III i IV.¾Za određivanje oktanata kroz koje prolazi prava treba analizirati položaj pna oktante i redosljed prodora kroz H, V i P ravni. Ovi parametri (a', a'', a''', posmatraju s desna na lijevo ili obratno.




PRAVA (DUŽ) U SPECIJALNOM POLOŽAJU

Prava je u specijalnom položaju ako je paralelna ili okomita na jednu od pro

B"B''' A"

B,

A,

h,

x

z

y

h,,

A"' h

,,,

B'''

A"'

A

z

y

f ,,,

10 h//Π1⇒h''//x

B"B'''

A"

B,

A,

p,

x

z

y

p,,

A"'

p,,,

30 p //Π3⇒ p'⊥x i p''⊥x

l,

m,

l,, m

,,

40 l ⊥Π1⇒l ''⊥x 50 m⊥Π2⇒m




Dvije prave

Međusobni položaj dvije prave u prostoru može biti:

a,

b,

a,’

b,’ ¾prave su paralelne a//b⇒a'//b' i a''//b''

Projekcije dvije paralelneprave na jednu ravan možebiti: dvije paralelne prave,

jedna prava ili dvije tačke

¾prave se sijeku

S"

S,

a,

b,

x

a,’

b,’

Presječ

na tač

ka S mora biti naoba pravca i njene projekcijeS' i S'' se nalaze na istojordinali

¾prave se mimoilaze

a,

b,

x

a,’

b,’

Kod mimoilaznih pravihpresjek prvih i drugihprojekcija nije na istojordinali




Zadatak 1: Kroz tačku A(30, 20, 10) povući pravu tako da bude pahorizontalnicom H, a sa vertikalnicom zaklapa ugao od 300.

Zadatak 2: Kroz tačke A(20, 30, 50) i B(60, 10, 20) povući pravu a,40, 10) pravu b paralelnu pravoj a.

Zadatak 3: Zadana je druga projekcija trougla ABC A(20, ?, -10), B10). Odrediti prvu projekciju trougla pod uslovom da je okomit na puglom 450 prema vertikalnici.Rj.: Ako je okomit na profilnicu njegova treća projekcija će biti duž.




Uglovi nagiba prave

Ugao α između prave i njene prve projekcije se zove nagibni ugao

Ugao β između prave i njene druge projekcije se zove prikloni uga

Ovi uglovi se dobiju obaranjem prave u prvu ili drugu projekcijsku r

Zadatak: Prava prolazi kroztačke A(30,5,30) i B(70,30,10).Odrediti prodore krozprojekcijske ravni i uglove α i β.[0(20,60)]




Vidljivost mimoilaznih pravih:

Vidljivost u prvoj projekciji se dobijaposmatranjem druge projekcije i obrnuto.Posmatranjem odozgo dobijamo prvu projekciju

i pošto je D'' bliža posmatraču biće zaklonjena B'' ipošto je D na pravoj b biće vidlljiva b'.Vidljivost u drugoj projekciji odredimo analizomtačaka A i C.Druga projekcija se dobije kao pogled sprijeda (upravcu strelice II). Tačka A' je bliža posmatraču(dalje je od x ose) i pošto leži na pravoj a, znači

da je vidlljivo a'' i A''.

A'

C'

a'

a''

II

A''

C''

Za vježbu: Odrediti prodore, vidljivost i oktante krozkoje prolazi prava p određena tačkama:a) A(10,20,10) i B(30,5,20)b) A(10,15,10) i B(25,5,10)c) A(-10,35,40) i B(20,15,10)




Ravan je neograničena površina. Ako prava ima dvije tačke zajedničke sa ravni, onda ona sva leži u ravni.

Određenost ravniRavan je određena sa:a) dvije prave koje se sijekub) dvije paralelne pravec) tri tačked) jedna prava i tačka

a) b) c)

PROJEKCIJE RAVNI




Tragovi ravniRavan siječe projekcijske ravni Π

1 , Π

2 , Π

3 po linijama koje se nazivaju

t1 - prvi trag (presjek ravni Τ sa Π 1 )

t2 - drugi trag (presjek ravni Τ sa Π 2 )

t3

- treći trag (presjek ravni Τ sa Π 3

)

t3

Tz

Ty

Ty 0

z

y

Tačke Tx, Ty i Tz su osni

Koordinate ravniKoordinate ravni su odsječci na koordinatnim osama.Označavamo Τ(Tx, Ty, Tz), npr. ravan Σ(30,15,25)Kao što je tačka potpuno određena sa dvije projekcije, tako je i ravan određ

(jer sadrže sva tri osna prodora).




Vrste ravniZavisno od položaja ravni u prostoru, tragovi mogu biti vrlorazličito postavljeni.Razlikujemo konvergentne i divergentne tragove ravni.

a) b)

a) konvergentni tragovi (tragovi su sa iste strane vertikale u tački Tx)b) divergentni tragovi (tragovi su sa različitih strana vertikale u tački Gx)

Kao što je tačka potpuno određena sa dvije projekcije, tako je i ratraga (jer sadrže sva tri osna prodora).

g1

g2g3

Tz

Gx

Gy

Gy 0 x

z

y

t1

t2

Tx0x

z

y

Zadaci: Nacrtati tragove ravni i odrediti tip ravni: a) ρ(3,2,4) b) ε(3,2,-3.5) c) γ(3,-2,-3) d




RAVAN U SPECIJALNOM POLOŽAJU

Ravan je u specijalnom položaju ako je okomita ili paralelna sa projekcijsProjektna ravan je ravan koja je okomita na projekcijsku ravan.

Prva projektna ravan je okomita na Π 1.

x

Π2

y

z

t1 t1

t2 t2t2

t3t3

t3

Tx

Ty

Ty

Π1

Π3

0

z

y

Vrijedi pravilo:Sve što leži u prvoj projektnoj ravni ima tlocrt (1. projekciju) na prvom




x

Π2

y

z

t1t1

t2t2

t3

t3

Π1

Π3

0x

z

y

Druga projektna ravan je okomita na Π 2 .

Vrijedi pravilo:Sve što leži u drugoj pr(2. projekciju) na drugo

Treć a projektna ravan je okomita na Π 3.

x

Π2

y

z

t1t1

t2

t2t2

t3

t3

Π1

Π

3

0x

z

y

Vrijedi pravilo:Sve što leži u trećbokocrt (3. projek




Ravan paralelna sa projekcijskim ravnima:

T//Π2 T//Π1 T

t1Ty

Tz

t2

t3

t3

0 0 0x x

zz z

y y y




ME ĐUSOBNI POLOŽAJ TAČKE, PRAVE I RAVNIPrava i tačka na ravniPrava na ravni može biti u proizvoljnom i specijalnom položaju. Specijalnprava paralelna sa tragom ili kada je okomita na trag.

Prava na ravni :

Ako prava leži na ravni ona onda siječe prvi trag ravni u tački 1, a drugi tragtačke su ujedno prodori prave kroz projekcijske ravni (p∈Τ⇒1∈t1 i 2∈t2)

Znači vrijedi pravilo:

Prava p je na ravni Τ

ako su njeni prodori kroz projekcijske ravni na trZato se može samo jedna projekcija prave zadati proizvoljno, dok druuslova.

Ako je tačka u ravni ona je i na jednoj od pravih koja je u ravni. Ako je zadana jedna projekcija tačke koja je na ravni, onda drugu projekcijušto kroz tačku postavimo neku pravu. Projekcije tačke će biti na istoj ordinaprave.




Sutražnice :

Prava koja je u ravni i paralelna je sa jednim tragom zove se sutraPrva sutražnica ( horizontala -h ) je paralelna sa prvim tragom t1, a

sa ravni Π1, što znači da joj je druga projekcija h'' paralelna sa x-osDruga sutražnica ( frontala-f ) je paralelna sa drugim tragom t2, a tosa ravni Π2, što znači da joj je prva projekcija f' paralelna sa x-osom

Upotreba sutražnice

Kada treba odrediti projekciju tačke koja leži na ravni, mnogo jkoristiti sutražnicu nego neku proizvoljnu pravu.

Π2

t1

t1

t2

t2

Tx

Π1

x h

h’

h’

h’’

h’’

2’ 2’

2=2’’

2=2’’

Horizontala h i frontala f

Zadatak:1. Data je ravan Τ(30,20,-30). Kroz tačku A(25,10,?) povući: a) ho




Nagibnica i priklonica :

Nagibnica n je prava koja leži u ravni i okomita je na prvi trag t 1njena prva projekcija n' okomita na prvi trag, a druga projekcija se

tačaka prodora.Kako je prva projekcija nagibnice n' okomita na prvi trag t 1, ona jprojekciju bilo koje prve sutražnice (horizontale) h'.Priklonica p je prava koja leži u ravni i okomita je na drugi trprojekcija p'' okomita je na drugi trag ravni i na drugu projekciju fron

Nagibnica n i priklonica p




ODRE ĐIVANJE TRAGOVA RAVNI

¾ Tragovi ravni koja je određena sa dvije prave koje se sijNeka je ravan određena sa dvije prave a i b koje se sijeku utragove te ravni.

Tragovi tražene ravni moraju prolaziti kroz prodore zadanih praviravni. Tragovi ravni takođe prolaze kroz zajedničku tačku Tx na x-

¾ Postupak je isti ako je ravan data sa dvije paralelne prav¾ Ako je ravan određena sa 3 tačke možemo kroz te tri tačprave koje se sijeku ili dvije paralelne prave, pa ponovo primpostupak.¾ Ako je ravan određena sa pravom i tačkom izvan prave, kroz zadanu tačku, svodimo problem ponovo na prethodni s




DVIJE RAVNI

Dvije ravni mogu biti međusobno paralelne ili se sijeku poParalelne ravni imaju sva tri traga međusobno paralelna.

Dvije proizvoljne ravni se sijeku po pravoj koja pripada i jednosu poznati tragovi presječnih ravni, za određivanje presječnicetačku u kojoj se sijeku prvi tragovi i tačku u kojoj se sijeku drug

Presječ na prava p dvije ravni




Ako je prava a(a',a'') u proizvoljnom položaju (pod uglom ϕ) u ravan Τ(Tx,Ty,Tz) ona će prodirati kroz ravan u tački S. Za određprodora postavimo kroz pravu a pomoćnu ravan Γ. U presjekuΤ i Γ sa zadanom pravom dobija se prodor S.

Umjesto proizvoljne ravni, kroz pravu a postavimo specijalnu ravanravan Π1 (prva projektna ravan).Drugi trag g 2 te ravni je paralelan sa z-osom. Pošto je ravan Γ post(prava a leži u ravni) prva projekcija a' , prvi trag g 1 i prva projekcijapoklapaju (a' =g 1= p' ). U presjeku a'' i p'' dobija se druga projekcija pprojekcija prodora S' je na ordinali kroz tačku S''

Prodor prave a kroz ravan Τ (prostorni prikaz)

PRODOR PRAVE KROZ RAVAN




Prodor prave a kroz ravan Τ (u projekcijama )

Druga mogućnost je da kroz pravu a postavimo pomoćnprojekcijsku ravan Π2. Tada bi prvo odredili projekciju S', a iz nj

Zadaci:1. Odrediti presječnu liniju ravni Τ(10,∞,-10) i Ρ(55,40,50).2. Odrediti presječnu liniju ravni Τ(20,-10, ∞) i Ρ(60,50, ∞).




PRODOR PRAVE KROZ LIK

Ako treba odrediti prodor prave a kroz neki lik (trougao, četvoro

kroz pravu jednu od projektnih ravni (ravan okomita na prodredimo presječnicu p lika i te ravni. U presjeku presječnice p

prodor S prave kroz lik .

Zadatak:

Odrediti prodor pravea=[E(20,10,10); F(70,20,50)]kroz trougao ABC[A(10,20,35);B(50,0,10); C(70,30,30)]

Prodor prave kroz trougao




Zadatak možemo riješiti bez određivanja tragova ravni trougla smo postavili prvu projektnu ravan čiji se trag poklapa sa prvom

a' (drugi trag je okomit na x-osu, a nije ni prikazan jer nam ninašli presječnicu p treba odrediti probodišta 1 i 2 stranica trougla jer je presječnica određena sa te dvije tačke. Druga projekcija pdrugu projekciju zadane prave a'' u tački S'' , a prva projekcijpresjeku prave a' i ordinale iz tačke S'' .Zadatak se takođe može riješiti postavljanjem druge projektne ra




Presječnica dva lika (ravni zadane tačkama)

Zadatak: Odrediti presjek dvije ravni zadanetrouglovima ABC i DEF, kao i vidljivost.

ABC [A(15,10,30); B(40,60,55); C(90,30,5)]DEF [D(0,40,10); E(60,15,50); F(80,50,20)]

Presjek ova dva trougla odredimo tako da

odaberemo dvije stranice jednog trougla i

odredimo njihov prodor kroz drugi trougao.

Ovdje je određ en prodor du ž i DE i du ž i DF

kroz ravan trougla ABC postavljajući pomoćne ravni okomite na vertikalnicu kroz

druge projekcije du ž i. Pomoću tač aka 1'',2'' i

3'',4'' odredimo prodore P 1 i P 2 kroz ravan

koja je određ ena trouglom ABC. Spajanjem

projekcija tač aka P 1 i P 2 dobijamo liniju na

kojoj se nalazi presječ na du ž koja pripada i

jednom i drugom trouglu.




PRAVA OKOMITA NA RAVAN

Prava je okomita na ravan (normala) ako je okomita bar na dsu na toj ravni.

Prava a koja je okomita na ravan Τ ima svoju prvu projekciju otrag n'⊥t1 (na prvu projekciju horizontale n'⊥h') i svoju drugu pokomitu na drugi trag n''⊥t2 (time i na drugu projekciju frontaleobrnuto.

t1

t2

z

y

n’

n’’

n

A’’A

A’

T




Zadatak:Odrediti simetralnu ravan duži AB (polovi duž i okomitaA(5,5,5); B(40,30,30).

Rješenje: Tragovi ravni moraju biti okomiti na pravu određe

tačku S' koja polovi prvu projekciju duži A'B' povučemo hbude okomita na tu duž (h'⊥A'B'). Kroz prodor horizontale spovučemo trag t2 okomit na duž A''B'', a iz tačke Tx povučemna A'B' .

T




T

Zadatak: Naći udaljenost tačke A(40,35,35) od ravni Τ(60,3

UDALJENOST TAČKE OD RAVN

Rješenje: Da bi stačke A od ravni Τ- iz tačke spustiti- odrediti prodor ravan (tačka S)- odrediti pravu v(rastojanje d0)




OBARANJE RAVNI

Da bi dobili pravu veličinu nekog lika u proizvoljnoj ravni Τ, potrebnotraga, zajedno sa likom oboriti u projekcijsku ravan (npr. oboriti ravanΠ1).

Pošto je ravan određena pravom i tačkom, dovoljno je zarotirati jednut1.Svaka tačka na ravni vršiće rotiranje po kružnici koja je okomita na trrotacije. Kružnica leži u projektnoj ravni koja je okomita na trag i pobaramo.Proizvoljnu tačku A koja leži na ravni možemo oboriti pomoću sunjenog prodora 2.




TRANSFORMACIJA

Kod projiciranja duž se ne pokazuje u svojoj pravoj veliosim u slučaju kada je paralelna sa projekcijskom ravni. Ko

mašinskih dijelova ne može se odabrati položaj da sve povveličini. Da bi se ovo riješilo pomjeramo treću projekciproizvoljan položaj.

Kružni otvor u kosoj površini je u projekcijama elipsa.




Transformacija je uvođenje novih projekcijskih ravni i novih pZa određivanje položaja tačke dovoljne su dvije projekcije (prva i nova treća projekcija.

1x2 –stara osa

1x3 –nova osaA''- stara projekcijaA'''- nova projekcija

1 2x 1 2x

1 3x

1 3x

Π2

Π2

Π1

Π1

Π3

Π3




Transformacija tačke

A’’

A’’’

A’

1 2x

1 3x

zA

zA

Važi pravilo:Udaljenost nove projekcije od nove ose jednaka je udaljenosti stare p

Može se koristiti više transformacijskih ravni Π3, Π4, ... zavisno od predmetcrtanja.

stara projekcija

nova projekcija

stara osa

nova osa




Transformacija duži (prave)

Pomoću transformacije možemo odrediti pravu veličinu duži (prave) takravan Π3 postavimo na proizvoljnom rastojanju paralelno sa pravom a i ose može postaviti paralelno sa pravom a i okomito na ravan Π2. Projiciranjravan dobiće se njena prava veličina.a0 -prava veličina duži aϕH -nagibni ugao prema horizontalnici

1x2

1x3

Π2

Π1

Π3 a

a'

1 2

x

1 3x

1 3x

Π2

Π1

Π3

a'

III

A"

A'

A

zA

zA

1 3x A'''

Ravan Π3 se može postaviti kroz pravu a, pa će se u tomslučaju osa 1x3 poklopiti sa a'.




Udaljenost tačke od prave pomoću transformacije

Udaljenost tačke od prave se može odreditipovlačenjem normale iz tačke na pravu. Uprojekcijama ta normala nije pod pravim uglom. Zatotreba transformacijom dobiti projekciju prave u

jednoj tački. Prvo postavimo ravan Π3 paralelnu sapravom (osa 1x3 paralelna sa a') pa će a''' ujedno biti iprava veličina duži AB. Sljedeću projekcijsku ravanΠ4 postavimo okomito na Π3 i treću projekciju pravea'''. Projekcija prave na tu ravan će biti tačka, pa u tojprojekciji imamo rastojanje između dvije tačke

1 3x

a

a

A"

B= AIV

A'

zA

z

xA




Prodor prave kroz trougao pomoću transformacije

Ako treba odrediti prodor prave AB kroztrougao 123, zgodno je primjenomtransformacije dobiti projekciju trougla u

obliku duži, pa prodornu tačku S odrediti kaopresjek dvije duži

Presjek dva lika pomoću transformacije

1 2x

2 3x

B"

B"’C”’

A"

A"’

B'

C'

C'’

A'

1’

1’’

2’

2’’

2’’’=4’’’

1’’’=3’’’

4’

4’’

3’

3’’

Presjek dva lika tako da se postucije jedan od njih

S”

S’

A"

A'

1’

1’’

3’

3’’




ROTACIJA

Drugi način za postizanje jasnije projekcije predmeta, a da se ne mravni je rotacija. Tačka, prava ili ravan se obr će oko određene pravse ne dovede u paralelan položaj sa projekcijskom ravni da bi se n

pravoj veličini.Rotacija tačkeRadi jednostavnijeg rješavanja postavljamo osu rotacije o okomitu

Ako je osa rotacije okomita na Π1 (H ravan) njena prva projekcija oprojekcija o'' paralelna sa z -osom. Ako tačka A rotira oko ose rotazauzme položaj A1, krug rotacije je paralelan sa H ravni i u drugoj kao duž A''A1'' paralelna sa x-osom.

A’’

o’’

A’

o’

ϕA

A’’1




Rotacija duži (prave)Duž AB rotira oko ose koja prolazi kroz tačku A i okomita je

x

A’’

o’’a’’a0

a’

A’=o’

ϕ

ϕΗ0

B’’1

B’1

B’

B’’

Poluprečnik rotacije je može biti na jednu ili dpreglednosti crteža. Tadok nije prva projekcija

paralelna sa x-osom (š AB postala paralelna su drugoj projekciji pokaa i ugao nagiba prematakođe prikazuje u pra




Zadaci:1. Tačke A(10,15,15) i B(60,30,15) zarotirati u smjeru kazaljk

ϕ=1200 oko prave p koja je okomita na Π2 ako je zadanop=CD[C(40,10,20),D(40,50,20)].

2. Trougao ABC zarotirati u smjeru kazaljke na satu za ugao ϕ

ako je A(0,10,30), B(25,50,50), C(40,25,20), q:[Q(50,40,1

3. Odrediti projekcije duži čija je prava veličina AB=40mm, ako A(10,10,5),B(35,?,25).

4. Tačku P(30,40,10) zarotirati za ugao ϕ=1200 oko prave a=AB(30,40,10)]. Koristiti transformaciju, tako da se osa rotacijtačka.




KRIVE

Kriva može biti ravanska (sve tačke krive leže u jednoj ravni, npprostorna (sve tačke ne leže u jednoj ravni, npr. zavojnica). Akomatematičkim izrazom naziva se analitička (može biti algebarskaMeđutim,kriva može biti zadana samo crtežom i tada je definisandio.Kriva prvog reda je prava.Krive drugog reda su: kružnica, elipsa, parabola i hiperbola. One

presjeci .Krive višeg reda se mogu raspasti u krive nižeg reda. Kriva drugoraspasti u dvije krive prvog reda, a kriva četvrtog reda se može rdrugog reda.

Ako dvije algebarske krive koje leže u istoj ravni imaju jednu zajeu toj tački imati ili jednu zajedničku tangentu ili dvije tangente. U krive dodiruju, a u drugom slučaju se sijeku. Ugao između krivihugao između njihovih tangenti u presječnoj tački. Ako prava siječ

uglom kažemo da je to normala na krivu.Projekcije krive

Algebarska kriva n-tog reda ostaje i u projekciji kriva istog reda. Tprojekciji će takođe biti tangenta t' na krivu K' . Isto vrijedi i za asiProstorna kriva imaće projekciju na neku ravan istog reda kao i




OBLE POVRŠINE

Kada se prava ili kriva linija kreće po nekom pravilu sve njene tač

površinu. Tu liniju koja u toku svog kretanja zauzima neki položaj

izvodnica. Ove površine se nazivaju analitičke površine. U tehnicpovršine zadane samo grafički (npr. korito broda, karoserija autoSvaki presjek oble površine n-tog sa nekom ravni je kriva n-tog rtog reda siječe se sa nekom drugom površinom n-tog reda po prmxn-tog reda.Konus (stožac, kupa), Cilindar (valjak), Kugla (lopta, sfera), ToKonus opisuje prava koja prolazi kroz neku stalnu tačku V i klizi

Valjak opisuje prava koja klizi po nekoj krivoj i pri tom ostaje paraprvom položaju.Prava koja klizi zaustavljena u bilo kojoj tački krive zove se izvodvaljka.Rotacijom polukružnice oko prečnika nastaje lopta.Rotacijom kružnice oko prave nastaje torus.




KONSTRUKCIJA ELIPSE

Metoda dodirnih krugova

Elipsa može biti zadana:

- velika i mala osa- spregnuti prečnici

-zadan-spojim-povuč

AC iz -tačkeradijus




Metoda par četa papira-zadane ose

B

P

P

M

M

R

R

Aa

a

b

b

-zadane-nanesePM=a i -tačka Ptačka R opisuje




Metoda par četa papira-zadanispregnuti prečnici

-zadani sprednuti prečnici AB i CD-u tački C normala na veći prečnik-na normali se nanese CP=PM=ASi povuče prava PS-P klizi po pravoj PS a R poprečniku AB-M opisuje elipsu

D

P

A

S




Ricova (Ritz) metoda za određivanje osa elipse

B

D

C

P

A0

R

O

A

S

a

b

-zadani spregnuti prečnici AB i CD-u tački S normala na veći prečnik AB i na nju nanese veći polupreč

i dobije A0, te prepolovi A0C (dobije se tačka O)

-iz O se opiše krug i dobiju tačke P i R kroz koje prolazi velika i mal




KRUŽNICA U PROJEKTNOJ RAVNI

S’’=C’’=D’’A

A’’

D

S

B

B’’

Τ

C

Zadana je ravan T okomita na Π2 sat2. Neka kružnica leži u ravni T i projekcija centra kružnice S' i pprojekcija centra i svih tačaka krudugom tragu t2.

Ortogonalna projekcija kružnicenagnute prema projekcijskoj ravni jeelipsa.''Spljoštenost'' elipse zavisi od uglanagiba.

Ako je kružnica okomita na projekcijskuravan projicira se kao duž, a ako je

paralelna sa projekcijskom ravniprojicira se kao kružnica u pravojveličini.

t1

t2

Tx

S’

C’

S’’

C’’=D''

B’

B'’

A’

A’'

D’




KRUŽNICA U PROIZVOLJNOJ RAVNI

Zadatak:Na ravni Τ(70,60,45) leži kružnica

poluprečnika r=20 mm sa centromS(20,20,?). Nacrtati prvu i druguprojekciju. 0(30,60)




Rješenje:Oborimo ravan Τ u π1 inacrtamo kružnicu u pravojveličini. Spregnuti prečnici AB iCD u prvoj projekciji

predstavljaju veliku i malu osuelipse (na horizontali h' je velikaosa elipse jednaka prečniku).U drugoj projekciji na frontali EF

je osa elipse jednaka prečnikukruga.




KOLINEACIJA I AFINITET

PERSPEKTIVNI AFINITET

Za dvije ravni kažemo da su afine ako svakoj tački jedne ravni jedna tačka druge ravni, a da paralelne prave ostaju paralelne

Perspektivni afinitet-sve prave

jednog lika se sijeku saodgovarajućim pravama drugoglika na jednoj pravoj-osa afiniteta(prava koincidencije). Stalni pravacna kojem jedna tačka odgovaradrugoj naziva se zrak afiniteta.

3 2

C

A

C’

B’




Preslikavanje koje svim tačkama ravni α1 pridružuje tačke ravn

spojnice parova pridruženih tačaka paralelne nazivamo prostoTočka V∝ je centar, a pravac o (presječnica ravniα1 i α2

) je osa




Zadatak:Trougao ABC[A(10,10,15); B(40,?,20); C(20,?,35)] leži u prvoj projkoja sa vertikalnicom gradi ugao 300. Naći pravu veličinu trougla.

Kroz A' pod uglo

je okomravan Τ

Nacrt Apoložaperspe

Perspe je odreosa afintačaka U ovom

je trag




PROJEKCIJE TIJELABAZA U Π1

Prizma (ograni č en prizmati č ni prostor sa dvije paralelne ravni)

Prizmati č na površina nastaje kada prava kliže po poligonu

kvadratna, krnja č etverostrana, trostrana, šesterostran

x

USPRAVNA KOSA




Piramida ( ograni č en piramidni prostor sa vrhom i jednom ravni)

Piramidna površina nastaje kada prava kliže po poligonu i prolazi kroz jedn

č etverostrana pravilna, šesterostrana kosa i č etverostr

x

USPRAVNA KOSA




Kupa (konus)Valjak (c

uspravni, omotač ,

x

Torus

x







PRESJECI TIJELA I RAVNI




PRESJEK KUPE (KONUSA) SA RAVN

Presjek konusa i ravni može biti:

- kružnica- elipsa- parabola- hiperbola

p a

kružnicaPresjek konusa i ravni može se odrediti :- prodorom izvodnica kupe kroz ravan- transformacijom

- kolineacijom- prodor neke od pravih na ravni kroz kupu




Zadatak:Naći projekcije kupepresječene po paraboli saravni Τ(55,∞,?).Centar baze S(40,40,?) leži

u horizontalnici H (Π1),prečnik je 2r=60 mm ivisina v=50mm. [O(30,80)]

Drugi trag ravni je paralelan sakonturnom izvodnicom B''V'' (da bipresjek bio parabola). Pošto jeravan T okomita na ravan V,

presječna površina u drugojprojekciji se projicira na trag t2.Podijelimo na proizvoljan brojdijelova I'', II'', ..., IX''. Kroz ovetačke provučemo izvodnice izvrha V'' i odredimo pridruženetačke na bazi 1'', 2'',..., 9''.Odredimo prve projekcije tih

tačaka 1', 2',...,9' i povučemo prveprojekcije izvodnica 1'V',2'V',...,9'V'. Na presjeku ordinalaiz I'', II'',... i izvodnica dobijamoparabolu I', II',...‚Pravu veličinuodredimo transformacijom.




Zadatak:

Naći presjek konusa (kupe) sa ravniT(120,95,50) i nacrtati mrežu.Centar baze S(30,35,0) leži uhorizontalnici H, prečnik je 2r=50mm i visina v=45mm. [O(70,100)]

PRESJEK KONUSA SA RAVNI PO ELIPSI




Može se koristiti i transformacijska ravan Π3 čija je osa 1x3 okomita na t1. Nelipsa se projektuje u duž I’’’II’’’ čija sredina predstavlja centar elipse C’’’. Poodredimo C’’.Horizontalna ravan kroz C" i h’’ siječe kupu po uporedniku u’’ (krug u’ daje tU prvoj projekciji imamo veliku osu I’II’ i malu osu III’IV’ pa se može konstru

Ravan simna ravan Tkroz V' okoravni i ravnPovučemona t1) kroz nagibnice izvodnica A

tačke I’’ i II




KrupodpodizvelipproObtrat1

0)prePra(zateć

Kodrudodmoposkro







Mreža kupeObaranjem ravni se dobije prava veličina presječnepovršine, a iz transformacije prava veličinaizvodnica (treća projekcija).Ugao omotača

α=360xR/izvodnica=360x25/51,48=174,80

.




PRESJEK VALJKA SA RAVNI Zadatak:Naći presjek valjka i ravniΤ(100,80,55) i nacrtati mrežuod baze do presjeka.

Centar baze S(30,25,?) leži uhorizontalnici H (Π1), prečnik

je 2r=40 mm i visinav=55mm. [O(80,70)]

Presjek valjka i ravni je elipsakoja leži u ravni Τ. Koristećitransformaciju (ravan Π3 okomitana Π1 i t1) presječna površina seprojektuje u duž C'''D''' na tragut3. AB i CD su par konjugiranih(spregnutih) prečnika presjeka(CD-velika osa, AB-mala osaelipse). Obaranjem ravni Τ u Π1

oko prvog traga t1 dobijamopravu veličinu presjeka.




Mreža valjka:




LOPTA (KUGLA)

Lopta (kugla) nastaje rotacijompolukružnice oko prečnika.u-uporednik

e-ekvator (najveći uporednik)m-meridijan (kružnica koja ide krozpolove-jednaki su)Tlocrt meridijana je prečnik.Tačke M1 i M2 se nalaze na površini kugle.Presjek kugle i ravni je kružnica.




PRESJEK KUGLE SA RAVNI Zadatak:Naći presjek kugle sa centrom S(50,35,30) poluprečnikar=30mm sa ravni T(-25,20,15).[O(40,80)]




CensredpredpresOsa

duž(III'Ipreč

kružTač

nagcenNa

konNa tačk







TORUS (Prstenasta površina)

Torus nastaje rotacijom kružnice oko prave

koja je izvan nje.o -osa torusas -središna kružnicag -grlena kružnicae -ekvator (najveći uporednik)i -kružnica izvodnicau -uporednikTorus je površina 4 reda (prava može imati 4

probodišta).




Zadatak:Naći presjek torusa sa ravniΤ(45, ∞, 45). Torus dodiruje H i V

i P ravan i nastaje rotacijomkružnice poluprečnika r=17,5mmoko ose okomite na Π1. Centar kružnice S opisuje radijus R=32,5mm.[O(40,80)]










Naziv predmeta:

NACRTNA GEOMETRIJI semestar

Dr Živko Babi ć

predavanja / vježbe

2 + 2

(5 ECTS)

II DIO

MAŠINSKI FAKULTET

BANJA LUKA




PRODOR PRAVE KROZ POVR INUOdređuje se tako da postavimo kroz pravu p pomoćnu ravan Τ takona što jednostavniji način.

PRODOR PRAVE KROZ KUPUPrava p i vrh V određuju pomsiječe kupu po izvodnicamaDa bi odredili trag ravni t1 krotačku T provučemo pravu mprodorima Tp i Tm.Trag t1 siječe bazu kupe u takupu u izvodnicama 1V i 2V.

Zadatak: Naći prodor prave p[A(30,45,45), B(90,35,10)] kroz

kupu sa centrom baze S(60,30,0) ir=25 mm i visinom v=60mm.[O(40,70)]




Tačke prodora (probodišta I i II) suna prednjoj polovini kupe pa su obevidljive i u tlocrtu i u nacrtu, a nevidi se dio prave između prodora.




PRODOR PRAVE KROZ VALJAK

Postavimo ravan okomito na Π1,, pa je t1=p'.




PRODORI TIJELAProdor dva tijela može biti:• potpun (kriva na ulazu i kriva na izlazu jednog tijela iz drugog) i• nepotpun (kada jedno tijelo zadire u drugo).

Prodor površina dva tijela je prostorna kriva linija, dvodjelna ili jednprodora pripadaju i jednom i drugom tijelu.Red prostorne krive je mogući broj prodora krive kroz ravan.

Red ravanske krive je broj presjeka sa pravom (elipsa, kružnica, pareda).Red prodorna krive je R=mxn (gdje su m i n redovi oblih površina.Npr. prodor dva valjka je kriva 4-tog reda.

Metode određivanja prodorne linije su:1. Pomoću ravni

2. Pomoću koncentričnih kugli3. Pomoću kliznih kugli




PRIMJERI PRIMJENE PRODORA




Kada rogljasta tijela prodiru jedno u drugo njihove strane se međizlomljenim ivicama prodora.

PRODOR DVIJE PRIZME

PRODORI ROGLJASTIH TIJELA




Odrediti prodor dvije kose prizme čije su baze u ravni Π1. Četverostrana kovrhovima [A(35,20,0), B(20,17,0), C(10,5,0), D(47,15,0), A1(80,10,45)], a trovrhovima [E(90,25,0), F(100,14,0), G(60,9,0), E1(40,12,45)]

Da odredimo prodor neke ivice četverostrane prizme kroz stranicu trostranečetverostrane prizme postaviti ravan paralelnu sa ivicama trostrane prizme.određivanje probodišta ivice trostrane prizme kroz stranicu četverostrane.Znači, pomoćne ravni su paralelne sa ivicama jedne i druge prizme (Iz neke

u // AA1, v//EE1). Tada je u’//AA1’ i v’//EE1’. Sa u i v je određena neka ravanPomoćna ravan kroz A imaće trag a1//s1 i izvodnice iz presjeka sa bazom stačkama 1 i 2. Analogno dobijemo 3 i 4, te 5 i 6, dok ravan kroz CC1 ne sijese probodišta vide-vide se sva 1,2,3,4,5,6.Pomoću ravni e, f, g odredimo probodišta 7,8 i 9,10 (EE1 ne probada) od koSpojimo 1,3,10,8,4,2,6,7,9,5,1.




PRODOR DVIJE PIRAMIDE

Sve ravni sječenja treba da prolaze kroz vrhove obe piramide V1 i V







PRODORI ROTACIONIH POVRŠINA

Postupak određivanja prodora:Oba tijela se presijeku pomoćnom površinom (ravan ili kugla) i to tpresjeka dužina ili kružnica.

Ravni se obično biraju paralelne sa Π1 ili sa Π2.Izbor metode

2 valjka

ravni // Π2

kupa i

kugla

valjak i kupa

ravni //Π

1

ravni // Π1

valjak i torus

r




PRODOR DVA VALJKA

Pomoćne ravni trebaju biti // sa obe ose valjka (ovdje su one // Π2







PRODORNE KRIVE DVA VALJAKA

ZADOR jednodijelna kriva 4. reda

POTPUNdvodijelna




ZAJEDNIČKA DODIRNA RAVANkriva 4. reda sa jednom dvostrukom tačkom

ZAJEDNIČKE DVIkriva 4. reda se raspada n




Simetralna ravavaljak A u izvodB u izvodnicamPresjek ovih izv

prodorne krive




Pomoćna ra(trag t1) siječizvodnicamaizvodnicamatačke (5 do 8Za određivanu drugoj projbazu valjka uoko njenog hprečnika (poprenesemo u




PRODOR VALJKA I KONUSA

Pomoćne ravni paralelne sa Π1 (tragovi a2, b2).(Postoji i ovdje zajednička ravan simetrije za oba tijela paralelna sa Π2 u koU trećoj projekciji sve izvodnice valjka, pa i prodorne tačke padaju na kružn

Ako nema treće projekcije, za određivanje položaja izvodnice u prvoj projekvaljka u paralelan položaj sa Π2 i prenesemo u tlocrtu udaljenost u.




Kupu i valjak siječemo ravnima kupe, a paralelne su sa osom va




POTPUNI PRODORdvodijelna prostorna kriva 4. reda




ZADOR jednodijelna prostorna kriva 4. reda

ZAJEDNIČKA JEDNA Dprostorna kriva 4. reda s jedn




ZAJEDNIČKE DVIJE DODIRNE RAVNIprostorna kriva 4. reda raspada se na dvije krive 2. red




PRODOR DVA KONUSA

Postoji i ovdje zajednička raoba tijela paralelna sa Π2 u 1,2,3,4.Pomoćne kugle se postavljapresjeku osa tijela.

Na presjeku prodornih kruždrugog tijela su tačke prodo




Kupe siječemo ravnima koje sadrženjihove vrhove.

PRODORNE

ZA jednodijelna




POTPUNI PRODORdvodijelna kriva 4. reda

ZAJEDNIČKA JEDNAkriva 4. reda s jednom




ZAJEDNIČKE DVIJE DODIRNE RAVNIkriva 4. reda raspada se na dvije krive 2. reda (elip




PRODOR DVA KONUSA(druga varijanta)




PRODOR KONUSA i TORUSA

Pošto se ose tijela

primjenjuje se meTreba naći centarda presjek sa zadili duž ili kružnica.




PRODOR KONUSA (KUPE) I VALJKA

Odrediti prodor konusa i valjka.

Konus: centar baze C(40,50,0), r =40,visina v=70Valjak: osa valjka S1S2: S1(90,50,50),S2(40,50,10), r 1=27,5Valjak postoji od baze S1 do prodora sakonusom.O(30,80)




Metoda pomoćnih ksa centrom u presjekonusa (tačka S2).Presjek kugle i konukugle i valjka kružnic

dvije kružnice su tač




Položaj najmanjesa unutrašnje str




Kugla siječe konus popa će biti 4 prodorne t







PRODOR KUGLE I VALJKA

ZADOR jednodijelna kriva 4. reda POTPUNI Pdvodijelna kr




ZAJEDNIČKA DODIRNA RAVANkriva 4. reda s jednom dvostrukom tačkom

ZAJEDNkriva 4. reda raspa




ZAVOJNICA I ZAVOJNA POVRŠINA (HELIKOID

Zavojnicu opisuje tačka koja se jednolikom brzinom, pri čemu pparalelne ose konstantnom uga

Put koji pređe tačka dok se okrezove se "jedan hod" zavojne krose je korak.

Zavojnica na razvijenoj površinipredstavlja pravu liniju, čiji je na

tgα=h/2r π.

Ako neka prava kreće po zavojispunjava neki drugi uslov nasta(helikoidna) površina.Primjena: vijak, puž, zupčanik, razvrtač, rotor kompresora i tur2r π

h

α

osa

T

r




KONSTRUKCIJA ZAVOJNICE

Zadatak:Nacrtati projekciju cilindrične zavojnice koju opisuje početna tačka zavojnice prolazi kroz tačku O(25,25,0) i okomita je na Π1. Polupre

mm, korak h=60 mm, smjer desni.

Svaka tangenta na zavojnu linbazom.Sve tangente su paralelne sa konusa koji se naziva direkcioDirekcioni konus ima bazu jedzavojnice, a visinuk=r/tgα=h/2π.

Tlocrt zavojnice se poklapa sazavojnica.Podijelimo kružnicu i visinu naNakon rotacije tačke T za 1/1visine zavoja.




KOSA PROJEKCIJA.AKSONOMETRIJA

Kod ortogonalnog projiciranja gubi se predstava prostornog oblika jprikazuje kao tačka, pa se ravan projicira u duž.

P O S M

A T R A Č

U

B E S K O

N A Č N O

S T I

L I N I J A

P O G L E

D A

PARALELNI PROJEKCIJSKIZRACI OKOMITI NA RAVAN SLIKE

R A V A N S L I K E

ORTOGONALNAPROJEKCIJA OR

AKS

nijedna ivica kocke nije paralelnapa su sve ivice različito skraćene




KOSA PROJEKCIJA -poseban slučaj kose aksonometrije

R A V A N S L I K E

POSM AT R AČ U BESK ON AČNOST I

LINIJ A

POGLED A

PARALELNIPROJEKCIJSKI ZRACIKOSI NA RAVAN SLIKE

-biramo kosi projekci

nemaju skraćenje, ne

Koordinatni sistem x,yose x i z budu paralelugao između x i z je 9Osa y je obično pod uskraćenje 1/2, 2/3, 3/4

xy

z

0α




KOSA PROJEKCIJA KOCKE

Nacrtati kocku u kosoj projekciji ako je α=300, a skraćenje 3/4.

x

x

y

z

0 α=300

a

1010

20

20

30

30

40a



MAŠINSKI FAKULTET Banja Luka

ZADACI ZA VJEŽBANJE IZ NACRTNE GEOMETRIJE –I dio

1. Prava p(A, B) leži u ravni Τ. Odrediti projekcije prave, ako je zadano:

a) Τ(30, 40, 30), A(-20, 40, z), B(30,10, z)

b) Τ(-30,20, 30), A(-20, 40, z), B(40, -10, z)

c) Τ(40, 40, 20), A(-10,y, 0), B(60, y, 20).

2. U ravni Ε(30, 40, 50) nalaze se tačke A(-10, y, 20), B(30, -20, z) i C(10, y, 50) a u ravnini Τ(-20, -40, 20)

nalaze se tačke R(30, y, 20), S(-20, y, 20) i T(0, 30, z). Pomo

ću sutražnica odredite projekcije ta

čaka kojenedostaju.

3. U ravni Σ(50, 50, 40) zadana je tačka S(20, 20, z).

Odrediti projekcije nagibnice koja prolazi tačkom S i nagibne uglove ravni Σ prema H i V ravni.

4. Ravan Ε je zadana tačkom T(10, 20, 10) i pravom a(A,B). Odredite tragove ravni ako je A(70, -10, 20), B(0, 40, 40). (Uputa: Koristiti frontalu.)

5. Odrediti tragove ravni u kojoj leže tačke M, N, R:a) M(-20, 30,-10), N(20, 10, 30), R(40, 50, 10)b) M(20, 30, 10), N(40, -10, 40), R(50, 30, 40)(Uputa: Koristiti dvije paralelne ili dvije prave koje se sijeku.)

6. Tačkama A(20,30,40) i B(50,-10,20) je zadana prava a. Odrediti prodore kroz ravni H, V i P, te vidljivost i

prvi nagibni ugao.

7. Nacrtati pravu a ako su poznati njeni prodori kroz projekcijske ravni:a) P1(40;50;0), P2(90;0;-30)b) P1(40;-50;0), P2(90;0;-30)

8. U ravni Τ(100;80;60) naći tačku koja je :a) od horizontalne ravni H udaljena 40 mm a od profilne ravni P udaljena 50 mm.b) od horizontalne ravni H udaljena 30 mm a od vertikalne ravni V udaljena 40 mm.c) od vertikalne ravni V udaljena 50 mm a od profilne ravni udaljena P 60 mm.

9. Tačkom T(20,y,z) prave a≡ AB[A(0,40,10), B(30,0,30)] položiti pravu q paralelnu s Π1 a drugi prikloni ugao joj je 30

0.

10. Odrediti ravan Τ kroz tačku M(120;10;20) koja je paralelna ravni trougla A(40;40;10), B(85;20;0) i

C(65;10;20).

11. Utvrditi međusobni položaj pravih a=[ A(-80;50;20), B(0;10;20)] i b=[C(-80;25;35), D(0;65;65)].a) Kroz tačku M(0,60,40) postaviti ravan Τ paralelnu pravama a i b.

b) Odrediti tačku G prodora prave [E(40,0,30), F(150,110,30)] kroz ravan Τ.

12. Data je ravan Τ =[ A(50;0;40), B(100;60;60), C(40;45;0)] i prava a=[P(25;60;70), Q(70;0;20)]. Kroz pravu a

postaviti ravan Ρ upravnu na Τ.

13. Odrediti prodor prave a=[M(0;50;-30), N(40;15;40)] kroz ravan trougla [ A(10;10;10), B(50;20;10),

C(20;50;40)] ne određujući tragove ravni trougla.

14. Zadane su 2 paralelne ravni Σ(-120; 90; 100) i Ρ(-80; y; z). Odrediti njihovo međusobno rastojanje.

15. Naći rastojanje izme

đu dvije mimoilazne prave a=[A(0; 10; 20), B(50; 30; 50)], b=[C(30; 50; 55), D(100; 10;45)].

16. Odrediti rastojanje tačke P(-50, y, 30), koja leži u ravni Ε(-120, 60, 80) od traga e1.

17. Odrediti rastojanje tačke T(30, 80, 40) od ravni Ε(50, -30, 60).

18. Nacrtati prvi i drugi trag ravni Ε(30; 40; z) u kojoj leži tačka T(-10; 30; -10).

19. Odrediti pravu veličinu kao i projekcije udaljenosti tačke T(60, 40, 50) od prave p koja prolazi tačkama K(30,30, 0) i L(110,0,40).

20. U tački A(-10,15,25) koja leži u ravni Ε(-50,40,50) postaviti normalu na ovu ravan date dužine d=35.

21. Odrediti rastojanje tačke M(60;20;30) od ravni [ A(0;0;20), B(30;50;50), C(50;20;0)].



2

22. Odrediti presek paralelograma ABCD= [ A(20;40;40), B(40;10;60), C(80;30;30), D(60;?;?)] i trougla

EFG=[E(20;50;60), F(70;70;80), G(90;10;20)].

23. Kroz tačku A(50,50,20) postaviti ravan Γ upravnu na pravu p = [M(20,50,20), N(60,10,50)].

24. Konstruisati projekcije kružnice koja prolazi tačkom M(40,20,40) poluprečnika r=30 ako dodiruje pravu

a=[ A(10,50,0), B(40,0,50)].

25. Pravom a = [ A(20,70,70), B(60,40,20)] postaviti ravan Σ upravnu na ravan ∆(30,-50,-40).

26. U ravni Σ(80;70; 60) nalazi se kvadrat kome stranica dužine 40 mm leži na prvom tragu s 1 ravni Σ, a jedanvrh kvadrata je na drugom tragu s2. Konstruisati projekcije tog kvadrata.

27. Nacrtati dvije projekcije kocke kojoj osnova leži u ravni Τ(120; 120; 60) ako je dijagonala osnove definisanatačkama A(0; 40; z), B(50; 30, z).

28. Nacrtati prvu i drugu projekciju prave piramide čiji je bazis jednakostranični trougao koji leži u ravni Τ(20; ∞;-40) i čija su dva tjemena tačke A (55; 55; z) i B (35; 20; z). Visina piramide v = 60.

29. Nacrtati prvu i drugu projekciju kvadratne prizme čiji je bazis u ravni Ε(55; 95; ∞), jedan bazični vrh A(35; y;77), v=80.

30. Nacrtati prvu i drugu projekciju pravilne četverostrane piramide čija osnova ABCD: A (40, y, 10), B (70, y,

40) leži u ravni Τ(90, 120, ∞ ). Visina piramide h = 100.

31. Nacrtati sve tri projekcije pravilne četverostrane piramide čija osnova leži u ravni Τ(70, 65,45). Dijagonalaosnove AC je A (0, 35, z), C (45, 15, z). Visina piramide h = 70.

32. Nacrtati prvu i drugu projekciju uspravnog rotacionog konusa ako on leži u ravni Τ(90, 45, -90). Centar konusa S(45,45,z), poluprečnik baze r=35, visina konusa h=90. Pravu veličinu bazisa odrediti obaranjem

ravni u Π1.

33. Nacrtati prvu i drugu projekciju kocke ABCDA1B1C1D1 čija osnova ABCD=⎨B(30,y,z), D(65,y,z)⎬ leži u ravni

Τ(130,70,130), tjeme B∈Π1, D∈ Π 2.

34. Nacrtati prvu i drugu projekciju uspravnog valjka ako osnova leži u ravni Τ(110, 100, 80) pri čemu baznikrug dodiruje horizontalnicu i vertikalnicu; r=30, h=60.

35. Nacrtati prvu i drugu projekciju obrtnog konusa kome je baza u ravni Τ(150,100,90), ako je tačka S(45,y,35)

središte bazisa, a tačka T(35,y,60) leži na periferiji bazisa. Visina v=80.

36. Data je ravan Τ(130;90;80) i tačka V(70;70;60). Nacrtati pravu kupu čiji vrh je V, bazisni krug u ravni Τ , aizvodnice imaju dužinu 70 mm.

37. Data je ravan Τ(160;90;80) i duž [ A(30;40;?) B(40;20;?)] u njoj. Nacrtati pravilan šestougao u ravni Τ čija jedna strana je data duž AB. Zatim nacrtati pravilnu šestostranu prizmu čiji jedan bazis je nađenišestougao, a visina 50 mm.

38. Nacrtati kocku ABCDA1B1C1D1 ako je AB na pravoj [P(50; 75; 10), Q(110;-10;60)], a središte kvadrata ABCD je S(55;35;50).

39. Nacrtati kocku ako joj je jedno tjeme A(20;40;30), a ivica BC je na pravoj [M(10;0;70), N(90;30;10)].

40. Nacrtati kocku ABCDA1B1C1D1 ako se zna tjeme A1(90;50;50), strana ABCD leži u ravni Τ(130;90;120), a

pri tome su četiri ivice kocke horizontalne.

41. Nacrtati valjak čija je osa [S(60;30;30) S1(100;70;80)]. Poluprečnik valjka jednak je polovini visine valjka.

42. Nacrtati pravu kupu [V(-100; 85; 40), r=25 mm] čiji bazis leži u ravni Τ(-130;70;∞).

43. Nacrtati pravilan tetraedar ABCD ako se zna tjeme A(-10; 30; 15), a ivica BC je na pravoj [M(0; 10; 40),

N(20; 60; 15)].

44. Nacrtati pravilan tetraedar [ A(30; 65; ?), B(55; 25; ?) CD] čija strana ABC ležI u ravni Τ(160;130;90).



3

ZADACI ZA VJEŽBANJE IZ NACRTNE GEOMETRIJE –II dio

1. Odrediti prodor prave a=[ A(10;80;60), B(100;30;0)] i lopte S(50;40;45), r = 30.

2. Odrediti prodor prave a=[ A(10;70;20), B(100;10;20)] i konusa K [S(50;40;0), r =30, v=60].

3. Odrediti sve tri projekcije presjeka lopte S(45;45;45), r = 30, sa ravninom ∆(10,-10, ∝).

4. Nacrtati projekcije presjeka lopte L ⎨S(40,40,40), r=35⎬ i ravni Σ(50,40,-40).

5. Nacrtati prvu i drugu projekciju presjeka lopte S(40,40,30), r=30 sa ravni Ρ(-20,45,30).

6. Nacrtati projekcije presjeka lopte L ⎨S(50,35,30), r=30⎬ sa ravni Ρ(-25,20,15).

7. Odrediti sve tri projekcije presjeka lopte S(30;40;40), r = 30, sa ravninom ∆(∝,55,70).

8. Odrediti sve tri projekcije kao i pravu veličinu presjeka polulopte K[S (50; 40; 5), r = 30, ekvator

e⎥⎥ π1] sa ravni Σ(85, ∝ ,80).

9. Nacrtati prvu i drugu projekciju, kao i pravu veličinu presjeka kugle K[S(40; 35; 40), r = 30] i ravni

Τ(80; 90; ∞). U proizvoljnoj tački presječne krive ucrtati tangentu.

10. Nacrtati prvu i drugu projekciju, kao i pravu veličinu presjeka uspravnog valjka V [S(35; 30; 0), r =

25, v = 80], određenog baznim krugom koji leži u π1, sa ravninom ∆(110; 100; 70). U proizvoljnojtački presječne krive ucrtati tangentu.

11. Nacrtati projekcije presjeka valjka sa ravninom ∆(20,-25,-15). Valjak je uspravan sa bazom u π1

određen centrom C(90,35,0), r=30 i visinom h=90. U proizvoljnoj tački presječne krive povućitangentu.

12. Nacrtati projekcije presjeka uspravnog valjka sa ravninom Γ(-110,100,80). Valjku je baza u π1 S(-40,40,0), r = 30, h = 80. U proizvoljnoj tački presječne krive nacrtati tangentu.

13. Odrediti presjek rotacionog konusa [S(50; 0; 40), r = 30, v = 65] čija baza leži u π2 i ravni Τ(-30;

20; 40). Naći pravu veličinu presjeka obaranjem ravni Τ u π2.

14. Nacrtati projekcije presjeka uspravnog konusa sa ravni Σ(130,130, 70). Konus je određen baznimkrugom koji leži u π1. Centar konusa S(40,35,0), r = 30, h = 60.

15. Nacrtati projekcije presjeka torusa sa ravninom Ρ(10,-15, ∝). Torus nastaje rotacijom kruga čiji je

centar tačka S(60,80,30) poluprečnika r=20. Krug rotira oko prave p⊥ π1 koja prolazi kroz tačkuO(110,80,30).

16. Nacrtati presjek torusa sa ravninom Σ(20, -38, ∞). Torus nastaje rotacijom kruga čiji je centar

tačka S(45, 70, 25) poluprečnika r = 15. Krug rotira oko prave p upravne na π1, koja prolazi kroz

tačku O(80, 70, 25).

17. Nacrtati projekcije presjeka torusa sa ravninom Γ(20,y,∝). Torus nastaje rotacijom kruga čiji je

centar tačka S(60,70,20) poluprečnika r=20. Krug rotira oko prave p⊥ π1 koja prolazi kroz tačkuO(110,70,20). Prva trasa ravni tangenta je na grlenu kružnicu. Nacrtati pravu veličinu presječnekrive.

18. Naći prvu i drugu projekciju krive prodora lopte L [SL(65; 65; 60), r = 50] i valjka V [SV(75; 75; 0),r V = 30, hV = 120].

19. Nacrtati prvu i drugu projekciju krive prodora dva konusa K1 [S1(90; 50; 0), r 1 = 40, h1= 90], K2 [S2(30; 50; 40), r 2 = 40, h2 = 110], ako je osa drugog konusa paralelna sa π1.

20. Nacrtati prvu i drugu projekciju krive prodora dva konusa K1 [S1(60; 50; 100), r 1 = 40, h1 = 100], K2 [V2(0; 50; 20), r 2 = 40, h2 = 140], ose konusa se sijeku.

21. Naći prvu i drugu projekciju krive prodora rotacionog konusa K[C(130; 55; 0), V(130; 55; 80), r =

45] čiji je bazis krug u Π1 i obrtnog valjka C1(75; 55; 60), r = 25. Osa valjka prolazi kroz tačku A(130,55,20). Valjak postoji od C1 do prodora kroz konus.

22. Naći prvu i drugu projekciju krive prodora lopte L [S1(100; 60; 45), r 1 = 40] kroz konus K[S2(70;60; 0), r 2 = 45, h2 = 80] čija baza leži u π1.

23. Nacrtati prvu i drugu projekciju krive prodora lopte L= [C(90,65,60), r = 55] i uspravnog valjka sabazom u π1 V=[S(100,75,0), r = 35, v=130].

24. Zadane su projekcije dvaju valjaka. Baza prvog valjka leži u π1, a osa drugog valjka je paralelna

sa π2. Odrediti projekcije krive prodora ako je V1 [S1(90, 50, 0), r 1 = 35, h1 = 110], V2 [S2(160, 50,80), S3(20, 50, 30), r 2 = 30].

25. Nacrtati prvu i drugu projekciju krive prodora dva valjka ako je baza prvog valjka u π1 S1(50, 50,



0), r 1 = 40, v1=80], a baza drugog valjka je u π3 S2(0, 60, 40), r 2 = 25, v2=100].

26. Nacrtati prvu i drugu projekciju krive prodora dva valjka V1 [S1 (50, 30, 40), S2(140, 70, 40), r 1 =30], V2 [S3(95, 50, 0), r 2 = 30, h2=80]. Baza drugog valjka je u π1.

27. Nacrtati prvu i drugu projekciju kriveprodora konusa S(80; 65; 110), r = 55,v = 110 i torusa zadatih skicom.

28. Nacrtati prvu i drugu projekciju kriveprodora torusa i konusa K [S(65; 50;0), r = 40, h=90] sa skice.

Documents

Nacrtna geometrija - Predavanja 1