NA Tematska Jedinica Nedelja334

8/18/2019 NA Tematska Jedinica Nedelja334

http://slidepdf.com/reader/full/na-tematska-jedinica-nedelja334 1/19



нети наслов тематске јединице која се

обрађујеРадна

недеља Тематска целина Циљ

3

Нумеричке методе за решавањенелинеарних једначина

Овладавање методамаза решавањенелинеарних једначина

Тематска јединица

Егзистенција решења. Изолацијакорена

тудент !е битис"особан да "ре"озна

егзистенцију решењакоја !е битиилустрована гра#ичкимметодама. $и!е у"ознатса дово%ним условимаизолованости корена.

&етоде засноване на су'авањуинтервала (&етода "олов%ењаинтервала) *+,-/ 0/12

тудент !е бити у"ознатса суштином методазаснованих на су'авањуинтервала и би!ес"особан да самостално"римени методе"олов%ења интервала и

*+,-/ 0/12.



нети наслов тематске јединице која се

обрађује

Раднанедеља Тематска јединица

ЦИЉ УЧ!"

3Егзистенција решења.Изолација корена

тудент !е бити с"особан да "ре"ознаегзистенцију решења која !е бити илустрованагра#ичким методама. $и!е у"ознат са дово%нимусловима изолованости корена.

3 &етоде засноване насу'авању интервала(&етода "олов%ењаинтервала) *+,-/ 0/12

тудент !е бити у"ознат са суштином методазаснованих на су'авању интервала и би!ес"особан да самостално "римени методе"олов%ења интервала и *+,-/ 0/12.

Н"#Т"$НИ %Т&'()редавање



4,5216+7829/ :+;+79/. <5=/829/ >=:+7/

?@=A7+ 7/B=C+7+D

*+ ,-./01D E[a, bF G 1>-B 0-7>829/ >=9+ 1- 7+B:+>2A7+ 7/ =A1+H>- Ia, bF

EJIa, bF G 1>-B 0-7>829/ H292 9+ B:@2 25@=A 7+B:+>2A/7 7/ Ia, bF

K. 234/ 5678 9 :6;</.64/ =1631>/( L>= 9+ 0-7>829/ f 7+B:+>2A7/ 7/ =A1+H>- Ia, bF

2 7/ >:/9+@2C/ =A1+H>/ 2C/ @:+A7=162 :/52H26=, 57/>/) 6/A/ B=16=92 86/>@= A/ 9+ f (8 MN.

3. 238.<8? >/=1>/=8@01 8.AB0<8C1( O@:P+79+ O(n 9+ 6/H7= 5/ 1@/>2 B:2:=A/7 Q:=9 n

/>=D

J. O(n 9+ 6/H7= 5/ n=J (22 5/ n=nN

K. <5 B:+6B=16/@>+ A/ 9+ O(n 6/H7= 5/ 7+>= n=k 1+A2 A/ 9+ 6/H7= 2 5/ n=k +1.



)1(0)( = x f

R R →: f

D=/?1(

*E 8-6;64/.C1 3171.C/ F0631./E

GE ./;/H1.C1 ?38I;8H.1 431A.6J=8 3171.C/

4,5216+7829/ :+;+79/. <5=/829/ >=:+7/



K1631>/(K1631>/( L10/ C1 K/A/ ?6J=6C8 -/06C1 C1

.0)()(],,[ <∈ b f a f baC f ),( bac∈( ) 0. f c =

M1A8.J=41.6J= 3171.C/(

∗ x

4,5216+7829/ :+;+79/. <5=/829/ >=:+7/

(/) Q G 276+:@/ 25=/829+ :+;+79/



K1631>/ F6 6<1.8 N31701E(K1631>/ F6 6<1.8 N31701E( L10/ C1 =/@./O / ?38I;8H./ 431A.6J=0631./ C1A./@8.1 8

ξ ∗ x1, [ , ], [ , ], ( ) 0, [ , ]. x a b f C a b f x x a bξ ∗

′∈ ∈ ≠ ∈

K/A/ C1

)(min)(

1

1

x f mm

x f x

b xa′=≤−

≤≤

∗

∗ξ

1

( ) ( ) ( )( )

( )( ) 0 ,

( )

( ) ( ).

( )

f f x f c x

f x f x

f c

f x f x x

f c m

ξ ξ

ξ ξ

ξ

∗ ∗

∗∗

∗ ∗∗

′− = −

= ⇒ − = −′

− = ≤′

)(m!")(min )()( x f M x f m k

b xak

k

b xak

≤≤≤≤

==

P60/-(P60/-(

,-./01(

4,5216+7829/ :+;+79/. <5=/829/ >=:+7/

(R/,:/7S=@/ 6+=:+C/

T 6 A S 9 2 6 (T 6 A



LQRDSTU5D RDK,PD( *E >1=6A1 JBH/4/.C/ 8.=134/;/

GE >1=6A1 -/J.64/.1 ./ =1631>8 6 V80J.6C =/@08

T+6=A+ 5/17=@/7+ 7/ 1-S/@/79- 276+:@// (T+6=A/

B==@9+79/ 276+:@//) *+,-/ 0/12



RDK,PW 2,X,YXMDLMW TLKDSYWXWRDK,PW 2,X,YXMDLMW TLKDSYWXW

0 0

0 00

0 0 0 1

1 1

0 0 1 0

[ , ] [ , ]

#

[ , ] !$% &' ( ) ( ) 0[ , ]

[ , ] !$% &' ( ) ( ) 0

1( ), ( 0, 1, ...)

#k k k

a b a b

a b x

a x f a f xa b

x b f x f b

x a b k

=

+=

<= <

= + =

M

T+6=A+ 5/17=@/7+ 7/ 1-S/@/79- 276+:@// (T+6=A/

B==@9+79/ 276+:@//) *+,-/ 0/12



K1631>/(K1631>/( L10/ NA1 C1 8.=134/; 8-6;/<8C1 0631./ C1A./@8.1 K/A/ .8- 06.413N83/ 0631.B C1A./@8.1 8 4/H8

],[ baC f ∈ ),( ba

( ) 0. f x = 1 ( )#n n n

x a b= +

...),1,0(,#

1 =

−≤− + n

ab x

nn ξ

)(,0###

1

# 1 ∞→→

−=

−⋅=

−≤− + n

ababab x

nn

nnn ξ

P60/-(

T+6=A+ 5/17=@/7+ 7/ 1-S/@/79- 276+:@// (T+6=A/

B==@9+79/ 276+:@//) *+,-/ 0/12

ξ



RDK,PW SDZQXW [WX\TRDK,PW SDZQXW [WX\T

1

( ) ( ): ( ) ( )

0 : ( )( ) ( )

f b f a y f a x a

b a

b a y x a f a x

f b f a

−− = −

−−

= = − =−

T+6=A+ 5/17=@/7+ 7/ 1-S/@/79- 276+:@// (T+6=A/

B==@9+79/ 276+:@//) *+,-/ 0/12



T+6=A+ 5/17=@/7+ 7/ 1-S/@/79- 276+:@// (T+6=A/

B==@9+79/ 276+:@//) *+,-/ 0/12



K1631>/ F6 8-I63B V80J.1 =/@01E(K1631>/ F6 8-I63B V80J.1 =/@01E( U+>/ 9+ 7+B:+>2A7=

A20+:+7829/Q27/ 7/ 1+,C+76- 2 - 1@/>=9 6/H>2 B=16=92

V/9+) 7+>/ 1- 21B-79+72 -1=@2D

R →],[: ba f [ , ] x a b∈ ).(** x f

J. ,0)()( <b f a f

K. 2 1- 16/7=, 57/>/ 7/ .)(* x f )(** x f ],[ ba

L>= 1- 6/H>+ 5/ >=9+ 1- 5/A=@=9+72 -1=@2],[, 0 ba x x F ∈

0( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0, F F F f x f x f x f x< >

6/A/ 725 A+02721/7 :+>-:+767=C 0=C-=C -n x

1

( )( ), 0,1, #,...

( ) ( )

n F nn n

F n

f x x x x x n

f x f x+

−= − =

−

>=7@+:,2:/ >/ >=:+7- 9+A7/H27+),( ba∈ξ .0)( = x f

(J

(K

T+6=A+ 5/17=@/7+ 7/ 1-S/@/79- 276+:@// (T+6=A/

B==@9+79/ 276+:@//) *+,-/ 0/12

],[ ba



P60/-(P60/-( W:+6B=16/@2C=) =A:+P+7=162 :/A2) A/ 9+

( [ , ]) *( ) 0, +( ) 0. x a b f x f x∀ ∈ > >

( ) 0 F f x ><5 (J 1+A2D 2 .0( ) 0 f x <

W=;6= 9+ f C=7=6=7= :/16-X/ Q2X+ 2 .0 x ξ < F x ξ >

T/6+C/62H>=C 27A->829=C A=>/5/X+C= A/ 9+

( 0,1,...)n x nξ < =

7MN D (6/H7=0 x ξ <

7M> D (B:+6B=16/@>/k x ξ <

7M>YJ D />= 9+ ( ) ( )( ) ( )

F

F

x x g x x f x

f x f x

−= − ×

−

( )

*( ) 1 *( )( ) ( ) ( ) ( )

F F

F F

f x x x

g x f x f x f x f x f x

−= × − × ÷− −

=7A/ 1+ C=S+ A=>/5/62 A/ 9+

69. A/ 9+ 725 =,:/72H+7 =A=5,=. -n x

T+6=A+ 5/17=@/7+ 7/ 1-S/@/79- 276+:@// (T+6=A/

B==@9+79/ 276+:@//) *+,-/ 0/12



O/A/ 9+ )))((*)()(1 ξ ξ ξ −=−=−+ k k k k xc g g x g x ( , ).k k c x ξ ∈

T+P-62C)

*( )( ) ( )*( ) 1 *( ) 1 ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) *( )

F k k F F k k k k F

F k F k F k k

x c f c f x f x g c f c c c x

f x f c f x f c f x f c f c

−= × − = × − < < ÷ ÷

− − −

9+: 9+ B:+C/ 27A->62@7=9 Z2B=6+52

k x ξ k c

1 *( )( ) 0,k k k x g c xξ ξ + − = − <

([:/9 A+/ A=>/5/ C/6+C/62H>=C 27A->829=C

.k x ξ <

T+6=A+ 5/17=@/7+ 7/ 1-S/@/79- 276+:@// (T+6=A/

B==@9+79/ 276+:@//) *+,-/ 0/12

\-7>829/ f 2 79+7 25@=A f ] 1- C=7=6=7= :/16-X2 7/ I/) QF) B/ 9+

2 . V/>+ B/ 9+

( ) ( ) 0 F k f x f c− >

0 ( ) ( )k k f c f c′ ′< < *( ) 0,k g c >



V/9+ 9+

1 ( ) 0,

( ) ( )

F nn n n

F n

x x x x f x

f x f x+

−− = − >

−

9+: 9+ U25 9+ >=7@+:,+76/7D( ) 0.n f x < -n x im .nn

c x→∞

=

W:2 6=C+ 9+. F c xξ ≤ <

W:+/1>=C - (3 7/ ,:/72H7- @:+A7=16 >/A A=Q29/ 1+n → ∞

( ) .( ) ( )

F

F

x cc c f c

f x f c

−= −

−

^A/@A+ 1+A2 A/ 9+ ) / B=;6= 9+ 9+A272 >=:+7 9+A7/H27+( ) 0 f c = ξ ( ) 0, f x =

6= 9+ ) =A7=17=c ξ =im .nn

xξ →∞

=

([:/9 A=>/5/.

T+6=A+ 5/17=@/7+ 7/ 1-S/@/79- 276+:@// (T+6=A/

B==@9+79/ 276+:@//) *+,-/ 0/12

(/)



,<1./ N31701(,<1./ N31701(

W:2C+7=C R/,:/7S=@+ 6+=:+C+ A=Q29/ 1+D

1

( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

n n F nn n n n F

n F n F

f x x x f x f x x x x x

f x f x f x f x

ξ ξ ξ ξ +

− −− = − − = − − − =

− −

1

#

( ) *( ) ( )( ) *( )

nn F n

F n

x f c x x x x x f c

ξ ξ −− − − =−

1 11 1

# #

*( ) *( )( ) 1 ( ) 1

*( ) *( )n n n n

f c f c x x x x

f c f cξ ξ + +

− − = − + − − = ÷ ÷

1 11 1

# #

*( ) *( )( ) 1 ( ) 1 .

*( ) *( )n n n

f c f c x x x

f c f cξ + +

= − − + − − ÷ ÷

<5 B:+6Z=A7=, 1+A2

1 #1 1

1

*( ) *( )( )

*( )n n n

f c f c x x x

f cξ

+ +

−− = −

=A7=17=

1 11 1

1.n n n

M m x x xmξ + +

−− ≤ −

T+6=A+ 5/17=@/7+ 7/ 1-S/@/79- 276+:@// (T+6=A/

B==@9+79/ 276+:@//) *+,-/ 0/12

T+6=A+ 5/17=@/7+ 7/ 1-S/@/79- 276+:@//



_И`abaD

J. cта је интервал изолације корена једначинеd

K. eавести дово%не услове за изолацију корена.

3. Објаснити идеју методе "олов%ења интервала.

f. gормулисати и доказати теорему о конвергенцији методе "олов%ењаинтервала.

h. Објаснити идеју методе *+,-/ \/12.

i. gормулисати теорему о конвергенцији методе *+,-/ \/12.

j. Иста!и главне елементе доказа теореме о конвергенцији методе

*+,-/ \/12.

k. Извести #ормулу за оцену грешке методе *+,-/ \/12.

T+6=A+ 5/17=@/7+ 7/ 1-S/@/79- 276+:@//

(T+6=A/ B==@9+79/ 276+:@//) *+,-/ 0/12l

4,5216+7829/ :+;+79/. <5=/829/ >=:+7/



Documents

NA Tematska Jedinica Nedelja334