Pag. 1 Estadstica I Prof. Luis Ramrez MUESTRAS ALEATORIAS Y
DISTRIBUCIONES DE MUESTREO
Definicin:Silasvariablesaleatoriasx1.x2...........xn.tienenlamismafuncinde
densidaddeprobabilidadqueladeladistribucindelapoblacin,ysufuncinde
distribucinconjuntadeprobabilidadesigualalproductodelasmarginales,entonces
x1.x2............xn
formanunconjuntodenvariablesaleatoriasindependientese
idnticamentedistribuidas(IID)queconstituyenunamuestraaleatoriadela
poblacin.
Definicin:UnParmetroesunacaracterizacinnumricadeladistribucindela
poblacin de manera que describe, parcial o completamente la funcin
de densidad de poblacin de la caracterstica de inters.
Definicin:Unaestadstica(unestadstico)escualquierfuncindelasvariables
aleatoriasqueseobservaronenlamuestra,demaneraqueestafuncinnocontiene
cantidades desconocidas.
Definicin:Ladistribucindemuestreodeunaestadsticaesladistribucinde
probabilidadquepuedeobtenersecomoresultadodeunnmeroinfinitodemuestras
aleatoriasindependientes,cadaunadetamaonprovenientesdelapoblacinde
inters.
TEOREMA:Seanx1.x2...........xn,unconjuntodevariablesaleatoriasindependientes
normalmentedistribuidasconmediasE(xi)=yvarianzasVar(xi)=oi2,parai=
1.2.......n.SiY=a1x1+a2x2+......+anxn,endondea1.a2...ansonconstantes,entonces
Y es una variable aleatoria distribuida normalmente con mediaE(y) =
a11 + a22 +......+ ann y varianzaVar(y) = a12o12 + a22o22
+...+an2on2. TEOREMA DEL LMITE CENTRAL : Sean x1.x2.........xn, n
variables aleatorias independientes idnticamente distribuidas con
media y varianza o2 ambas finitas. La suma de esas variables Sn =
x1+x2+ ...+ xn es una variable aleatoria con media n y varianza
no2, entonces Z= 2 nno
SnsedistribuyecomounanormalN(0;1).Enotraspalabras,elteorema expresa
que cuandon crece sin lmite, la variable z tiende a distribuirse
normalmente. Si las variables no son idnticamente distribuidas, se
podra demostrar igualmente que: z=-2ii o
xisedistribuyecomounanormalN(0;1),esdecirquelasumade
variablesindependientestiendeasernormalconmediasumademediasyvarianza
suma de varianzas. Pag. 2 Estadstica I Prof. Luis Ramrez
DISTRIBUCIN DE LA MEDIA MUESTRALX : Def.Seax1,x2,
xnunamuestraaleatoriadetamaondeunapoblacinconfuncin de densidad
f(x) con mediay varianza 2 . La media muestral representada porx ,
es la media aritmtica de los elementos de la muestra, es
decir:nxxn1 ii == . Teorema: Sea x1,x2,..,xn, una muestra aleatoria
que consiste de n variables aleatorias independientes normalmente
distribuidas con medias E(xi) =y varianzas Var(xi) = 2 , i = 1,2, ,
n. Entonces la distribucin de la media muestralxes normal con
mediay varianza no2. En efecto: E ( x ) = E (nxi) = n1) ( xiE=
1/n(n.) E( x ) = . Var ( x ) = Var||.|
\|nxi = nxiVar2) (= nn22o Var ( x ) = no2. De aqu se tiene quex
~N(, no2.)Luego: Z = ( )nxo ~ N(0,1) Teorema: Sean x1,x2, ..xn una
muestra aleatoria de tamao n, de una distribucin
normalconmediayvarianza2.Entonceszi= (xi)/sonvariablesaleatorias
normalesestndareindependientes,i=1,2,..,ny ni z12= ||.|
\|=n1 i2-oxitieneuna distribucin_2 con n grados de libertad En
la tabla correspondiente a esta distribucin, podemos encontrar
valores de _o2 tales que P ( _2 > _o2) = o .
_o2 Pag. 3 Estadstica I Prof. Luis Ramrez
La distribucin de muestreo de S2: Teorema: Sea X1, X 2,, Xn, una
muestra aleatoria de una distribucin normal con media y varianza 2.
Entonces:( )21 i2xo =nix = ( )221os n tiene unadistribucin_2 con
(n-1) grados de libertad.xy s2 son tambin variables aleatorias
independientes. Ejemplo: Si X1, X2,.,X10 es una muestra aleatoria
de una poblacin distribuida normalmente con media 8 y varianza 9.
Calcular la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que
3,753 Definicin: Sea Z una variable aleatoria normal estndar y sea
_2una aleatoria Ji-cuadrada con v grados de libertad. Entonces si Z
y _2 son independientes: T = vZ2_ se dice que tiene una distribucin
t con v grados de libertad. Si no se conoce y n < 30, se tiene
sustituyendo en la expresin anterior: T = 221) - (n 1)s - (n
-oonx|.|
\| = - xsn ~ t n-1g.l. Distribucin F: Supngase que deseamos
comparar las varianzas de dos poblaciones
normalesbasadosenlainformacincontenidaenmuestrasaleatoriasindependientes
delaspoblaciones.Supngasequeunamuestraaleatoriacontienen1 variables
aleatorias distribuidas normalmente con una varianza comn o21 y que
la otra muestra aleatoriacontienen2
variablesaleatoriasdistribuidasnormalmenteconunavarianza comn
o22.Sicalculamos s21delasobservacionesenlamuestra1,entonces s21es
unaestimacinde o21.Demanerasimilar
s22calculadaapartirdelasobservaciones
delasegundamuestraesunaestimacinpara o22.Asintuitivamentepodramos
pensar en utilizar ss2221 para hacer inferencias con respecto a las
magnitudes relativas de o21 y o22; si dividimos cada s21 por
o21entonces la razn siguiente: Pag. 4 Estadstica I Prof. Luis
Ramrez oo22222121ss=
ss22212122ootieneunadistribucinFcon(n1-1)y(n2-1)gradosdelibertad.La
definicin general de una distribucin F es como sigue:
Definicin:Sean _21y
_22variablesaleatoriasindependientesconv1yv2gradosde libertad
respectivamente. Entonces: F = 222121vv__ se dice que tiene una
distribucin F con v1 grados de libertad del numerador y v2 grados
de libertad del denominador. DISTRIBUCIN DE LA PROPORCIN MUESTRAL:
En unapoblacinbinomial, dada una muestra aleatoria (con
reemplazamiento), la proporcin muestral se define como el cociente
delnmerodeelementos de lamuestra que tienenla caracterstica
deseada, entre el nmero total de elementos de la muestranx = p . E
( p ) = E(x/n) = 1/n E(x) = n1np E ( p ) = p Var ( p ) = Var(x/n) =
21nVar(x) = 21nn.p.q Var ( p ) = nq p.luego p ~N (p; pq/n), es
decir: Z = npqp - p ~ N (0,1). PROBLEMAS
1.-Unafbricaproductoradealimentosenvasamermeladadefrutaspormediodeunproceso
automtico.ELpesonetodeunfrascoseconsideraunavariablealeatoriaconunpromediode
420 gr.Y una desviacin estndar de 15gr. El peso neto de cada frasco
no afecta ni es afectado por el peso neto de los otros. Una vez
llenos los frascos se empacan en cajas de 72 frascos cada una. cul
es la probabilidad de que una caja contenga menos de 30 Kg. De
mermelada. 2.- Una empresa firma un contrato para la entrega de
1290 unidades de un producto en un mes. La empresa tiene 64
obreros, el nmero de unidades producidas por obrero por
mesesunavariablealeatoriaconmediade20unidadesydesviacinestndarde
2..Cul es la probabilidad de que el contrato sea cumplido?. Pag. 5
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3.-Paraunniveldeingresos,elSENIATsabequelascantidadesdeclaradaspor
conceptodededuccionesmdicas,contribucionescaritativasygastosvariosson
variables aleatorias independientes, normalmente distribuidas con
medias $400; $800 y
$100ydesviacionesestndar$100;$250y$40respectivamente.A)Culesla
probabilidad de que la cantidad total declarada por concepto de
estas tres deducciones
noseamayorde$1600?B)Siunapersonaconesteniveldeingresosdeclarapor
conceptodeestasdeduccionesuntotalde$2100,qutanprobableesteneruna
cantidad igual o mayor a este monto bajo las condiciones dadas?.
4.-Setieneunamquinadellenadoparavaciar500gr.decerealenunacajade
cartn.Supngasequelacantidaddecerealquesecolocaencadacajaesuna
variable aleatoria normalmente distribuida con media 500gr. Y
desviacin estndar igual a 20gr. Para verificar que el peso promedio
de cada caja semantieneen 500 gr., se toma una muestra aleatoria de
25 de stas en forma peridica y se pesa el contenido de
cadacaja.Elgerentedelaplantahadecididodetenerelprocesoyencontrarlafalla
cada vez que el valor promedio de la muestra sea mayor de 510gr. o
menor de 490gr. Obtener la probabilidad de detener e proceso.
5.-Supngasequeelnmerodebarrilesdepetrleocrudoqueproduceunpozo
diariamente es una variable aleatoria con una distribucin no
especificada.Se observa
laproduccinen64das,seleccionadosenformaaleatoria,ysisesabequela
desviacinestndardelnmerodebarrilespordaes16,determneselaprobabilidad
de que la media muestral se encuentra a no ms de 4 barriles del
verdadero valor de la produccin por da.
6.-Uninvestigadordeseaestimarlamediadeunapoblacinusandounamuestra
suficientemente grande, para que la probabilidad de que la media
muestral no difiera de la media de la poblacin en ms del 25% de la
desviacin estndar, sea 0,95. De qu tamao debe tomarse la muestra?
7.- Si x1.x2.........x10es una muestra aleatoria de una poblacin
distribuida normalmente con media 8 y varianza 9.Calcular la
probabilidad de que lamedia de lamuestra sea mayor que 9. 8.- La
resistencia a la tensin para cierto tipo de alambre se distribuye
normalmente con una mediay una varianza desconocida o2.Se
seleccionaron al azar 6 segmentos de alambre de un rollo grande;
encuentre la probabilidadde que lamediamuestral esta lo sumo a
2,015 ns de la verdadera media poblacional . 9.-Si x1.x2.....x16es
una muestra aleatoria de una poblacin binomial con p =0,7. Cul es
la probabilidad de que la proporcin muestral sea menor que 0,5?.
10.-SupngasequequiereencontrarlaproporcindeloshabitantesdeCaracasque
favorecelaconstruccindeunalneadelMETRO.Acuntoshabitantesseledebe
preguntarparaquelaprobabilidaddequelaproporcinobservadaafavordela
construccin de la lnea difiera de la verdadera proporcin en menos
del 5% sea0,98?. Pag. 6 Estadstica I Prof. Luis Ramrez 11.-Un
fabricante de cigarrillos asegura que el contenido promedio de
nicotina en una de susmarcas, es de 0,6mg. por cigarrillo.Una
organizacin independientemide el contenido de nicotina de 16
cigarrillos de esta marcay, encuentra que el promedio y la
desviacin estndar es de 0,75 y 0,175 mg. Respectivamente de
nicotina.Si se supone que la cantidad denicotinaen estoscigarrillos
es una variable aleatorianormal, qu tan probable es el resultado
muestral dado el dato proporcionado por el fabricante?. 12.-El
Departamento de Proteccin al Medio Ambiente asegura que, para un
automvil
compactoenparticular,elconsumodegasolinaencarreteraesdeungalnporcada
45millas.Unaorganizacinindependientedeconsumidoresadquierenunodeestos
automviles y lo somete a prueba con el propsito de verificar la
cifra proporcionada por el DPMA.El automvil recorri una distancia
de 100 millas en 25 ocasiones.En cada
recorridoseanotelnmerodegalonesnecesariospararealizarelviaje.Los25
ensayos,elvalorpromedioyladesviacinestndartuvieronunvalorde43,5y2,5
millas por galn respectivamente.Si se supone que el nmero de milla
que se recorre
porgalnesunavariablealeatoriadistribuidanormalmente,conbaseenestaprueba
existe alguna razn para dudar de la veracidad del dato dado por el
DPMA?.
