Módulo 11•Mínimo común múltiplo de dos o más

polinomios•Adición y sustracción de expresiones

racionales con diferentes denominadores

Pre-prueba

Encuentre, en cada caso, el mínimo común multiplo de los polinomios:

1. 24x, 28y

2. 6y, 9xy2

3. 3x2 + 6x, x2 + 4x + 4

4. x2 - 4x - 5, x2 - 25

5. 6x + 9, 2x2 + 3x, x

Ver Respuestas

Pre-prueba

Efectúe cada operación:

2

5

3

3

xx

1

2

1 2

xx

x

42

1

44

22

xxx

x

Ver Respuestas

Pre-prueba

Efectúe cada operación:

8242

12

2

x

x

x

x

65

4

3

3

2

42

xx

x

x

x

x

x

Ver Respuestas

Mínimo Común Múltiplo

El MCM de dos o más polinomios es el polinomio más pequeño que es múltiplo de cada uno de los polinomios originales.

Mínimo Común Múltiplo

Para obtener el MCM de dos o más polinomios procedemos de la siguiente manera:● Paso 1: Si es posible, factorizamos cada uno

de los polinomios originales.● Paso 2: Para encontrar el MCM, escribimos el

producto de los factores comunes y no comunes de todos los polinomios con su mayor exponente.

Ejemplo 1: Encontrar el MCM de 28 y 24

Paso 1:● 28 = 7 x 22

● 24 = 3 x 23

▲Factorizamos los polinomios

Paso 2:● MCM = 3x7x23

▲Escribimos el producto de los factores comunes y no comunes con su mayor exponente

● MCM = 168▲Multiplicamos (Respuesta)

Ejemplo 2: Encontrar el MCM de 3x2 + 6x y x2 + 4x + 4

Paso 1:● 3x2 + 6x = 3x(x + 2)● x2 + 4x + 4 = (x + 2)2

▲Factorizamos los polinomios

Paso 2:● MCM = 3x(x + 2)2

▲Escribimos el producto de los factores comunes y no comunes con su mayor exponente

Ejemplo 3: Encontrar el MCM de x2 - x - 6, x2 - 9, 7x - 21

Paso 1: ● x2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)● x2 - 9 = (x + 3)(x - 3)● 7x - 21 = 7(x - 3)

▲Factorizamos los polinomios

Paso 2:● MCM = 7(x - 3)(x + 3)(x + 2)

▲Escribimos el producto de los factores comunes y no comunes con su mayor exponente

Adición y sustracción de expresiones racionales con diferentes denominadores

Para sumar o restar expresiones racionales con diferentes denominadores, procedemos de la siguiente manera● Paso 1: Encontramos el mínimo común

múltiplo (MCM) de los denominadores.● Paso 2: Escribimos cada fracción como una

fracción equivalente cuyo denominador sea el MCM de los denominadores.

Adición y sustracción de expresiones racionales con diferentes denominadores

Para sumar o restar expresiones racionales con diferentes denominadores (continuación)…● Paso 3: Todas las fracciones obtenidas en el

paso anterior poseen ahora igual denominador (el MCM). Efectuamos las operaciones de suma o resta de acuerdo a las reglas establecidas para iguales denominadores. (Ver módulo anterior.) Por último, simplificamos la expresión obtenida (si es posible).

Ejemplo 4: Sumar:

Paso 1: Encontramos el MCM de los denominadores● (x - 3)● (x + 2)

▲Denominadores (no se pueden factorizar)

● MCM = (x - 3)(x + 2)

Paso 2: Escribimos cada fracción como una fracción equivalente cuyo denominador sea el MCM de los denominadores

▲Fracciones equivalentes

2

5

3

3

xx

)2)(3(

)2(3

3

3

xx

x

x )3)(2(

)3(5

2

5

xx

x

x

Ejemplo 4: Sumar:

Paso 3: Suma de fracciones con denominadores iguales.

▲Eliminamos los paréntesis

▲Simplificamos los términos semejantes (Respuesta)

2

5

3

3

xx

)2)(3(

15563

)2)(3(

)3(5)2(3

)3)(2(

)3(5

)2)(3(

)2(3

2

5

3

3

xx

xx

xx

xx

xx

x

xx

x

xx

)2)(3(

98

xx

x

Ejemplo 5: Sumar

Paso 1: Encontramos el MCM de los denominadores● (x + 1)● x

▲Denominadores no se pueden factorizar

● MCM = x(x + 1)

Paso 2: Escribimos cada fracción como una fracción equivalente cuyo denominador sea el MCM de los denominadores

▲Fracciones equivalentes

))(1(

)(

1 xx

xx

x

x

)1(

)1(33

xx

x

x

xx

x 3

1

Ejemplo 5: Sumar:

Paso 3: Suma de fracciones con denominadores iguales.

▲Eliminamos los paréntesis (Respuesta)

)1(

33

)1)((

)1(3)(

)1)((

)1(3

))(1(

)(3

1

2

xx

xx

xx

xxx

xx

x

xx

xx

xx

x

xx

x 3

1

Ejemplo 6: Restar

Paso 1: Encontramos el MCD de los denominadores● (x - 1) = (x - 1)● x2 - 1 = (x + 1)(x - 1)

▲Factorizamos el segundo denominador

● MCM = (x - 1)(x + 1)

Paso 2: Escribimos cada fracción como una fracción equivalente cuyo denominador sea el MCM de los denominadores

▲Fracciones equivalentes

)1)(1(

)1(

1

xx

xx

x

x

)1)(1(

2

1

22

xxx

1

2

1 2

xx

x

Ejemplo 6: Restar

Paso 3: Resta de fracciones con denominadores iguales.

▲Eliminamos los paréntesis

)1)(1(

2

)1)(1(

2)1(

)1)(1(

2

)1)(1(

)1(

1

2

1

2

2

xx

xx

xx

xx

xxxx

xx

xx

x

1

2

1 2

xx

x

Ejemplo 6: Restar

Paso 3: Resta de fracciones con denominadores iguales.

▲Factorizamos el numerador

▲Regla de cancelación de funciones

)1)(1(

)1)(2(

xx

xx

1

2

1 2

xx

x

)1)(1(

)1)(2(

xx

xx

Ejemplo 6: Restar

Paso 3: Resta de fracciones con denominadores iguales.

▲Respuesta

)1(

)2(

x

x

1

2

1 2

xx

x

Ejemplo 7: Restar

Paso 1: Encontramos el MCD de los denominadores● (x2 + 4x + 4) = (x + 2)2

● 2x + 4 = 2(x + 2) ▲Factorizamos los dos denominadores

● MCM = 2(x + 2)2

Paso 2: Escribimos cada fracción como una fracción equivalente cuyo denominador sea el MCM de los denominadores

▲Fracciones equivalentes

)2()2(

)2(2

44

222

x

x

xx

x

)2)(2(2

)2(1

42

1

xx

x

x

42

1

44

22

xxx

x

Ejemplo 7: Restar

Paso 3: Resta de fracciones con denominadores iguales.

▲Eliminamos los paréntesis

▲Simplificamos (Respuesta)

42

1

44

22

xxx

x

2

22

)2(2

)2(1)2(2

)2)(2(2

)2(1

)2()2(

)2(2

42

1

44

2

x

xx

xx

x

x

x

xxx

x

2)2(2

23

x

x

Ejemplo 8: Efectuar las operaciones

Paso 1: Encontramos el MCD de los denominadores● 6x + 9 = 3(2x + 3)● 2x2 + 3x = x(2x + 3)● x = x

▲Factorizamos los dos denominadores

● MCM = 3x(2x + 3)

xxxx

x 1

32

4

96

522

Ejemplo 8: Efectuar las operaciones

Paso 2: Escribimos cada fracción como una fracción equivalente cuyo denominador sea el MCM de los denominadores

▲Fracciones equivalentes

xxxx

x 1

32

4

96

522

))(32(3

))(52(

96

52

xx

xx

x

x

))(32(

)3(4

32

42 xxxxx

))32(3(

))32(3(11

xx

x

x

Ejemplo 8: Efectuar las operaciones

Paso 3: Operaciones con fracciones con denominadores iguales.

▲Eliminamos los paréntesis

xxxx

x 1

32

4

96

522

))(32(3

961252

))(32(3

))32(3(1)3(4))(52(

))32(3(

))32(3(1

)3)(32(

)3(4

))(32(3

))(52(1

32

4

96

52

2

2

xx

xxx

xx

xxx

xx

x

xxxx

xx

xxxx

x

Ejemplo 8: Efectuar las operaciones

Paso 3: Operaciones con fracciones con denominadores iguales.

▲Simplificamos los términos semejantes

▲Factorizamos el numerador

▲Regla de cancelación de fracciones (Respuesta)

xxxx

x 1

32

4

96

522

)32(3

32 2

xx

xx

)32(3

)32)(1(

xx

xx

x

x

xx

xx

3

1

)32(3

)32)(1(

Post-prueba

Encuentre, en cada caso, el mínimo común multiplo de los polinomios:

1. 24x, 28y

2. 6y, 9xy2

3. 3x2 + 6x, x2 + 4x + 4

4. X2 - 4x - 5, x2 - 25

5. 6x + 9, 2x2 + 3x, x

Ver Respuestas

Post-prueba

Efectúe cada operación:

2

5

3

3

xx

1

2

1 2

xx

x

42

1

44

22

xxx

x

Ver Respuestas

Post-prueba

Efectúe cada operación:

8242

12

2

x

x

x

x

65

4

3

3

2

42

xx

x

x

x

x

x

Ver Respuestas

FIN

Pre-prueba: Respuestas

Encuentre, en cada caso, el mínimo común múltiplo de los polinomios:

1. 24x, 28y 168xy

2. 6y, 9xy2 18xy2

3. 3x2 + 6x, x2 + 4x + 4 3x(x+2)2

4. x2 - 4x - 5, x2 - 25 (x+1)(x+5)(x-5)

5. 6x + 9, 2x2 + 3x, x 3x(2x + 3)

Pre-prueba: Respuestas

Efectúe cada operación:

2

5

3

3

xx

1

2

1 2

xx

x

42

1

44

22

xxx

x

)2)(3(

98

xx

x

1

2

x

x

2)2(2

23

x

x

Pre-prueba: Respuestas

Efectúe cada operación:

8242

12

2

x

x

x

x

65

4

3

3

2

42

xx

x

x

x

x

x

)2(2

1

x

3xx

Post-prueba: Respuestas

Encuentre, en cada caso, el mínimo común multiplo de los polinomios:

1. 24x, 28y 168xy

2. 6y, 9xy2 18xy2

3. 3x2 + 6x, x2 + 4x + 4 3x(x+2)2

4. X2 - 4x - 5, x2 - 25 (x+1)(x+5)(x-5)

5. 6x + 9, 2x2 + 3x, x 3x(2x + 3)

Post-prueba: Respuestas

Efectúe cada operación:

2

5

3

3

xx

1

2

1 2

xx

x

42

1

44

22

xxx

x

)2)(3(

98

xx

x

1

2

x

x

2)2(2

23

x

x

Post-prueba: Respuestas

Efectúe cada operación:

8242

12

2

x

x

x

x

65

4

3

3

2

42

xx

x

x

x

x

x

)2(2

1

x

3xx