Modul 9 Analisa Fourier Dan Transformasi Fourier

MODUL 9

ANALISA FOURIER DAN TRANSFORMASI FOURIER

Penggunaan Simetri

Kedua jenis simetri yang paling mudah dikenal adalah simetri fungsi genap dan

simetri fungsi ganjil, atau singkatnya simetri genap dan simetri ganjil.

Kita katakan bahwa f(t) simetri genap, jika dan hanya jika

Fungsi-fungsi seperti t2, cos 5t, ln (cos t), sin2 7t, t sin t dan konstanta C, semua fungsi

tersebut simetri genap sebab penggantian t dengan ( - t ) tidak mengubah nilai fungsi-

fungsi tersebut. Jenis simetri seperti ini dapat juga dikenal secara grafis, karena jika

f(t)=f(-t) maka terdapat simetri cermin pada sumbu f(t)/sumbu Y.

Contoh gelombang simetri fungsi genap :

v (V)

1

t (s)

-2 0 2 4 6

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Fina Supegina, ST. MT.

MATEMATIKA IV 1

f(t) = f(-t)

Kita definisikan bahwa f(t) simetri ganjil, jika dan hanya jika :

Dengan kata lain , jika t diganti dengan ( - t ), maka akan didapatkan negatif dari fungsi

yang diketahui, contohnya : t, sin t, t cos 35t, . Karakteristik grafis dari simetri

ganjil adalah jelas, yaitu jika kita bergerak dari t = 0 sejauh a kearah kanan ( sumbu t

positif) dan bergerak dari t = 0 sejauh a juga kearah kiri ( sumbu t negatif) , maka nilai

f(t) berlawanan tanda.

Contoh gelombang simetri fungsi ganjil :

v (V)

1

-1 0 1 2 3 t (s)

-1

1. Fungsi periodik simetri genap tidak mungkin mengandung komponen sinus (sebab

fungsi sinus adalah simetri ganjil), dengan kata lain konstanta bn = 0


MATEMATIKA IV 2

f(t) = - f(-t)

2. Fungsi periodik simetri ganjil tidak mungkin mengandung komponen cosinus (sebab

fungsi cosinus adalah simetri genap), dengan kata lain konstanta an = 0

Secara matematis dapat dituliskan persamaan untuk menghitung konstanta an dan

bn untuk fungsi simetri genap dan simetri ganjil.

Deret Fourier untuk setiap gelombang siku-siku (square wave) mempunyai unik dan

menarik, yaitu tidak mengandung harmonisa genap (harga an dan bn berharga nol untuk

n genap), artinya komponenfrekuensi yang terdapat dalam deret Fourier hanya

mempunyai frekuensi yang merupakan kelipatan ganjil dari frekuensi fundamentalnya.

Hal ini disebabkan oleh jenis simetri lain, yang dinamai simetri gelombang setengah

(half wave symmetry). Kita definisikan bahwa f(t) memiliki simetri gelombang setengah ,

jika dan hanya jika :

Contoh lain dari fungsi simetri gelombang setengah adalah fungsi segi tiga (gigi gergaji)

atau fungsi tegangan pada contoh soal dan dan kedua fungsi pada soal latihan diatas.


MATEMATIKA IV 3

Simetri Genap :

bn = 0

Simetri Ganjil :

an = 0

Persamaan matematis untuk menghitung an dan bn untuk fungsi simetri

gelombang setengah :

Contoh Soal :

F(x) = Periode 6

a0 = 0

an = 1/3 f(x) cos dx

= 1/3 -2 cos dx + 1/3 2 cos dx

= - 2/3 cos dx + 2/3 2 cos dx


MATEMATIKA IV 4

Simetri gelombang setengah :

n ganjil

an = 0 n genap

n ganjil

bn = 0 n genap

Simetri genap +gelombang setengah :

n ganjil

an = 0 n genap

bn = 0 semua n

Misal u =

du =

dx =

= - 2/3 cos u + 2/3 2 cos u

= - +

= +

= 0

bn = 1/3 f(x). Sin n x/3 dx

=

= 1/3 -2 sin dx + 1/3 2 sin dx

= - 2/3 sin dx + 2/3 2 sin dx

Misal u = dx


MATEMATIKA IV 5

du =

dx =

= - 2/3 sin u + 2/3 2 cos u du

= -

= -

= - = 0

= =

F(x) = a0 + (an + bn )

= 0 + 0 + 4/n (1- cos n ) sin )

n =1 F(x) = 0 + 0 + 4/ (1- cos ) sin )

= 8/ sin x/3

n = 2 = 0 + 0 + 4/2 ( 1- cos 2 ) sin x/3 = 0

n = 3 = 0 + 0 + 4/3 ( 1- cos 3 ) sin 3/3 = 8/3 sin x

n = 4 = 0

f(x) =

Transformasi Fourier


MATEMATIKA IV 6

Untuk fungsi-fungsi non periodik (meski dapat juga untuk fungsi periodik),

Fourier menggunakan sebuah bentuk transformasi. Transformasi Fourier adalah operasi-

operasi yang mengubah fungsi waktu menjadi jw (frekuensi), seperti halnya transformasi

Laplace yang mengubah fungsi waktu menjadi s, seperti pernah dibahas pada modul-

modul sebelum ini. Meski demikian transformasi Fourier mempunyai beberapa

kelemahan, jika dibandingkan dengan transformasi Laplace, diantaranya :

1. Banyak fungsi yang tidak didapat bentuk transformasi Fouriernya, yaitu fungsi-

fungsi yang tak mendekati nol untuk t mendekati tak berhingga

2. Menggunakan transformasi Fourier hanya dapat untuk menghitung respons steady

state saja.

3. Menggunakan transformasi Fourier hanya dapat menganalisis sistem linier tanpa

kondisi awal (kondisi awal sama dengan nol)

Definisi Transformasi Fourier

Fourier mendefinisikan transformasi Fourier dari deret Fourier bentuk kompleks

(eksponensial), yaitu dengan menganggap fungsi non periodik adalah fungsi periodik

dengan perioda tak berhingga. Kita mulai dengan bentuk bentuk eksponensial deret

Fourier :

(1)

dengan : (2)

dan (3)

seperti telah dijelaskan diatas fungsi non periodik, boleh kita sebut fungsi periodik

dengan perioda tak berhinggga, sehingga dapat ditulis :

T ~

Sehingga dari persamaan (3), adalah bilangan yang amat kecil ( 0). Kita nyatakan

limit ini dengan diferensial


MATEMATIKA IV 7

Maka (4)

Akhirnya karena n bilangan - ~ sampai + ~, maka mudah kita fahami haruslah

menunjukkan variabel frekuensi , sebab untuk n tak berhingga dan mendekati nol,

perkaliannya adalah terbatas, sehingga dapat kita nyatakan :

(5)

Jika keempat operasi limit ini digunakan untuk persamaan (2), maka kita dapatkan bahwa

cn haruslah mendekati nol, kemudian jika kita mengalikan tiap ruas pada persamaaan (2)

dengan perioda T dan kemudian menggunakan proses limit, maka diperoleh :

Ruas kanan fungsi ini adalah fungsi dari (dan bukan fungsi t), dan pernyataan inilah

yang dipakai oleh Fourier sebagai definisi transformasi Fourier (F(jw)). Jadi definisi

transformasi fourier adalah :

Jika kita rangkum definisi transformasi Fourier dan invers transformasi Fourier adalah

:


MATEMATIKA IV 8

Beberapa Sifat/Teorema Transformasi Fourier

Teorema Linieritas

Jika :

dan :

maka :

Diferensiasi dan Integrasi

Jika : maka :

dan

Scaling Waktu atau Frekuensi

Jika : maka :

Pergeseran Waktu

Jika : maka :

Pergeseran Frekuensi

Jika : maka :

Diferensiasi dan Integrasi pada Domain Frekuensi

Jika :

Maka :

Sebagai kesimpulan dibawah ini diberikan tabel sifat/teorema transformasi Fourier

Tabel 1 Sifat/Teorema Transformasi Laplace

No Nama Sifat/Teorema Persamaannya

1 Linieritas

2 Diferensiasi (domain waktu)


MATEMATIKA IV 9

3 Integrasi (domain waktu)

4 Scaling waktu atau Frekuensi

5 Pergeseran waktu

6 Pergeseran frekuensi

7 Diferensiasi (domain frekuensi)


MATEMATIKA IV 10

Documents

Modul 9 Analisa Fourier Dan Transformasi Fourier