Modul 01 Siskom1 Transformasi Fourier

Modul #01

TE3113 TE3113 SISTEM KOMUNIKASI 1SISTEM KOMUNIKASI 1

TRANSFORMASIFOURIER

Program Studi S1 Teknik TelekomunikasiDepartemen Teknik Elektro - Sekolah Tinggi Teknologi Telkomp gg g

Bandung – 2007

FUNGSI & DEFINISISpektral sinyal periodik s(t) selalu dapat dianalisis denganbantuan Deret Fourier.Pada kenyataannya banyak sinyal-sinyal dalam sistemPada kenyataannya banyak sinyal-sinyal dalam sistemkomunikasi yang bersifat random non periodik, misalnyasinyal informasi.Untuk kasus sinyal non periodik kita gunakan formula yangdisebut Transformasi Fourier.Fungsi Transformasi Fourier yaitu utk menganalisis bentukFungsi Transformasi Fourier yaitu utk menganalisis bentukspektral S(f) dari suatu sinyal kawasan waktu s(t)Fungsi Inverse Transformasi Fourier yaitu utk menganalisisbentuk suatu sinyal kawasan waktu s(t) jika spektral sinyalS(f)

Modul 01 - Siskom I - Transformasi Fourier 2

Formula Transformasi Fourier

dtetsfS ftj∫+∞

∞

−= π2).()(

S(f) dinamakan Transformasi Fourier dari s(t)∞−

Jika Transformasi Fourier S(f) suatu sinyal diketahui maka kita dapat menghitung persamaan sinyal dalam domain waktu s(t) dengan formula Inverse Transformasi Fourier

dfefSts ftj∫+∞

= π2).()(


∞−

Beberapa Transformasi pentingTransformasi Fourier impulse (sinyal delta dirac):

1).()( 2 == ∫+∞

− dtetfS ftj πδ 1).()( ∫∞−

dtetfS δ


Beberapa Transformasi pentingTransformasi Fourier dari fungsi pulsa:

s(t)

A

S(f)AT

- T/2 0 t+ T/2 f- 1/T +1/T

0 1/T +1/T

|S(f)|AT

harga modulus

f- 1/T +1/T0

Φ(f)| harga fasa

π


f- 1/T +1/T0

Sifat-sifat Transformasi Fourier (yang sering dipakai di siskom)(yang sering dipakai di siskom)

a. Time Scaling


Sifat-sifat Transformasi Fourierb Time shiftb. Time shift

Bila s(t) ↔ S(f) maka s(t-to) ↔ S(f).e-j2πfto


Sifat-sifat Transformasi Fourierc Frequency shiftc. Frequency shift

Bila s(t) ↔ S(f) maka S(f-fo) ↔ s(t).e-j2πfot

Contoh : s(t) = A Cos 2πfct = ( )tfjtfj cc eeA ππ 22

2−+

maka

2

( ) ( ) ( )cc ffAffAfS −++= δδ( ) ( ) ( )cc fffff22


Sifat-sifat Transformasi Fourierd Transformasi Fourier Sinyal Periodikd. Transformasi Fourier Sinyal Periodik

Bila x(t) ↔ X(f) (untuk sinyal tidak periodik)M k t k +∞Maka untuk ( ) ( )∑

+∞

−∞=

−=n

p nTtxtx 0

( x(t) periodik dengan periode To )Transformasi fourier dari xp(t) a s o as ou e da p(t)

( ) ∑+∞

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ mffmXfX .1 δ( ) ∑

−∞=⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

−⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

=m o

p Tf

TfX

TfX

00

.δ


Sifat-sifat Transformasi Fouriere Integrasi pada kawasan waktu:e. Integrasi pada kawasan waktu:

Bila s(t) ↔ S(f), kemudian menghasilkan S(0)=0,maka :maka :

)(.21).( fS

fjdtts

t

π⇔∫

f. Diferensiasi pada kawasan waktu:

2 fj π∞−

Bila s(t) ↔ S(f), jika pada kawasan waktudilakukan diferensiasi sekali, maka :

)(.2)( fSfjtsdtd π⇔


dt

Sifat-sifat Transformasi Fourierg Konvolusi pada kawasan waktu:g. Konvolusi pada kawasan waktu:

Bila s1(t) ↔ S1(f) dan s2(t) ↔ S2(f),maka :maka :

)().()().( 2121 fSfSdtsts ⇔−∫∞

ττ

h. Perkalian pada kawasan waktu:

∞−

Bila s1(t) ↔ S1(f) dan s2(t) ↔ S2(f),maka :

∫∞

−⇔ λλλ dfSStsts )().()().( 2121


∞−

Transmisi Sinyal melalui Sistem Linier

Respon Time :

Time Domain Perhitungan Konvolusi :

h (t)x (t) y (t)

g

Representasi Grafis ; contoh

X (t)h (t) ≡ respon impuls h (t)

t0y (t) = h (λ) x (t-λ) dλ

= x (λ) h (t λ) dλ h(-λ) h(t-λ)

∫∞

∞−

∫∞

t0

= x (λ) h (t-λ) dλ

= x (t) ⊗h (t) = h (t) ⊗x (t)

∫∞−

( ) ( )λ λ

12Modul 01 - Siskom I - Transformasi Fourier

x(λ)x(λ)

V (1 )t/T

λ

(λ) h(t λ)

V (1-e )-t/T

x(λ) h(t-λ)

A (λ) h (t λ) dλ∫t

λ

Area = x (λ) h (t-λ) dλ∫0


Contoh Perhitungan Konvolusi dgn representasi Grafis :

h (t)x (t) y (t)

h(t)

B

tN0 N0

h(λ)

B

λ 0 λN 14Modul 01 - Siskom I - Transformasi Fourier

x (t-λ) h(λ)O

ABArea = A B t

x (t λ) h(λ)O ≤ t ≤ M

0λ t

Perhitungan

Karena N > M :x (t-λ) h(λ)

N > MKarena N M :

# untuk 0 ≤ t ≤ M : y(t) = ABt

# untuk M ≤ t ≤ N :

N > MA Area= AB M

tM0 λN


# untuk t ≥ N :

x (t-λ) h(λ)

AB A AB(N M t)AB Area= AB(N+M-t)

- M + t0 λN

Sehingga:Sehingga:

y(t)=x (t)⊗ h(t)


Konvolusi dengan fungsi δ ( t - to )

Kasus Khusus :Konvolusi dengan fungsi δ ( t - to )

● x (t) ⊗ δ (t - to) = x (t - λ) δ (λ - to) dλ = x (t – to)∫∞

∞−

● x (t) ⊗ A δ (t - to) = A x (t - to)


Transmisi Sinyal Melalui SistemLinierLinier

Input Output

Deterministic signals:

Linear system

g

Random signals:

Y(f) = Sinyal output dalam domain frekuensiX(f) = Sinyal input dalam domain frekuensiX(f) Sinyal input dalam domain frekuensiH(f) = Respons frekuensi sistem linierGY(f) = PSD (Power Spectral Density) sinyal outputGX(f) = PSD (Power Spectral Density) sinyal input


Sistem Lowpass vs BandpassInput Output

Linear system

Jika h (t) riil ⇒ H (f) kompleks → | H (f) | merupakan fungsi genap

→ θ (f) merupakan fungsi ganjil

Sistem “bandpass”H(f) , θ (f)

Sistem “lowpass”

H(f) (f)( ) ( )

H(f), θ (f)

0- fc fc0 f


●Kondisi “distortionless transmission”

x (t) y (t)K

X (f) , H (f) , θ (f)

y(t) = K.X(t – to)j2 fto fH (f) = K e-j2πfto 2πto f

Untuk sistem “bandpass”●Untuk sistem bandpass

H(f)

0 ffc- fc


● Distorsi Linier dan Prinsip Ekualisasi Kanal

kanal EqualizerK (t t )X(t) K.x(t-to)

Hc(f) Heq(f) = K e-j2πfto

Heq(f) = K e-j2πfto

Hc(f)


Latihan Soal1. Perhatian gambar sinyal x(t) diawah ini :

a. Tentukan X(f) yang merupakan transformasifourier dari sinyal tersebut !

b. Jika sinyal z(t)= x(t).y(t)dimana y(t) = Cos ( 4π t/T ), tentukan Z(f) !dimana y(t) Cos ( 4π t/T ), tentukan Z(f) !


Latihan Soal2 Suatu sinyal memasuki sistem yang diwakili2. Suatu sinyal memasuki sistem yang diwakili

oleh LPF berikut ini :

T t k S (f) S (f) S (t) !Tentukan SA(f) , SB(f), SB(t) !Modul 01 - Siskom I - Transformasi Fourier 23

Latihan Soal3. Diketahui sinyal dalam domain frekuensi

sebagai berikut:

a. Untuk fc > fm, Gambarkan Z(f) = X(f)∗Y(f) !b. Tentukan persamaan z(t), gambar diagram

proses yang terjadi !


Documents

Modul 01 Siskom1 Transformasi Fourier