MODELE OPERATOROWE

Modele operatorowe elementów obwodów wyprowadza się

wykorzystując znane zależności napięciowo-prądowe dla elementów R,

L, C oraz źródeł idealnych. Modele te opisują zależności pomiędzy

transformatami napięć na elementach R, L, C i prądów płynących przez

te elementy.

Przyjmuje się umowę, że:

− wielkości (przebiegi) czasowe oznacza się małymi literami, np.

przebiegi czasowe prądu, napięcia: i(t), u(t) itp.,

− wszystkie wielkości (przebiegi) czasowe są określane dla czasu t ≥ 0 i

mają transformaty Laplace’a.

Przyjęta metodyka postępowania jest podobna do stosowanej w anali-

zie stanów ustalonych w obwodach liniowych z wymuszeniami sinusoi-

dalnymi metodą symboliczną, gdzie elementom R, L, C przyporządko-

wuje się impedancje (admitancje) zespolone wiążące wartości zespolo-

ne skuteczne napięć i prądów tych elementów.

Prowadzone rozważania dotyczyć będą kolejno elementów R, L, C oraz

źródeł autonomicznych.

Rezystor R

Opis rezystora liniowego w dziedzinie czasu określa prawo Ohma:

u(t) = R i(t),

Po obustronnej transformacji Laplace’a powyższych wzorów oraz

wykorzystaniu twierdzenia o liniowości uzyskujemy:

U(s) = L[u(t)] = L[R i(t)] = R L[i(t)] = R I(s),

R

u(t)

i(t) R

U(s)

I(s)

a) b)

Wzory powyższe określają opis rezystora w dziedzinie transformat. Należy podkreślić, że ponieważ rezystor nie magazynuje energii pola elektrycznego, to jego opis zarówno w dziedzinie czasu, jak i w dziedzinie transformat nie zależy od warunków początkowych, których dla rezystora się nie określa.

Induktor L (Cewka indukcyjna)

Opis induktora L przedstawiony na rys. z warunkiem początkowym

== +

t 0i(t) i(0 ) stanowią w dziedzinie czasu równania:

=di(t)

u(t) Ldt

, + = 0i(0 ) i ,

= +∫t

0

0

1i(t) u(t)dt i

L.

Po obustronnej transformacie Laplace’a wzoru z wykorzystaniem twier-

dzeń o liniowości i o pochodnej transformaty uzyskujemy:

= = = = −

0

di(t) di(t)U(s) u(t) L L sL I(s) L i

dt dtL L L .

Wyznaczając z równania prąd I(s) w funkcji napięcia U(s):

= + 0i1I(s) U(s)

sL s

u(t)

i(t) L

0i)0(i ====++++

I(s)sL

0iL

U(s)

I(s) sL

s

i0

U(s)

a) b)

sL

U(s)

I(s)

d)c)

Model dla zerowego

warunku początkowego

=i(0) 0

Modele przedstawione na powyższych rys. są równoważne. W

szczególnym przypadku, gdy + = =0i(0 ) i 0 obowiązują równania:

= = LU(s) sL I(s) Z (s) I(s),

= = L

1I(s) U(s) Y (s)U(s)

sL,

gdzie:

LZ (s), LY (s) − impedancja i admitancja operatorowa induktora:

=LZ (s) sL,

=L

1Y (s)

sL.

Kondensator C

Dla kondensatora C z warunkiem początkowym =

= + = 0t 0u(t) u(0 ) u

obowiązują równania w dziedzinie czasu:

=du(t)

i(t) Cdt

, + = 0u(0 ) u ,

= +∫t

0

0

1u(t) i(t)dt u

C.

Po obustronnej transformacie Laplace’a i wykorzystaniu twierdzeń o

liniowości i transformacie całki uzyskujemy:

= = + = + = +

∫ ∫t t

00 0

0 0

u1 1 1U(s) u(t) i(t)dt u i(t)dt u I(s)

C C sC sL L L L .

Przekształcenie wzoru prowadzi do zależności:

= − 0I(s) sCU(s) u C

i(t)

u(t)

u(0+)

C I(s) sC

1 s

u0

U(s)

sC

1

I(s)

U(s)

sC

1

I(s)

U(s)

a) b)

d)c)

C u0 Model dla zerowego

warunku początkowego

=u(0) 0

W szczególności gdy + = =0u(0 ) u 0, a zatem dla zerowego napięcia na

kondensatorze w chwili komutacji obowiązują równania:

= = C

1U(s) I(s) Z (s)I(s)

sC,

= = CI(s) sCU(s) Y (s)U(s),

gdzie:

LZ (s), LY (s) − impedancja i admitancja operatorowa kondensatora:

=C

1Z (s)

sC,

=LY (s) sC.

Podsumowując, należy stwierdzić, że:

− jeżeli elementy L, C mają niezerowe warunki początkowe, to ich

modele operatorowe stanowią połączenia impedancji (admi-

tancji) operatorowych tych elementów i źródeł autonomicz-

nych napięciowych lub prądowych reprezentujących warunki po-

czątkowe,

− jeżeli warunki początkowe elementów L, C są zerowe, to ich mode-

le operatorowe stanowią impedancje (admitancje) operato-

rowe.

Źródła autonomiczne

Idealne źródła autonomiczne są opisane poprzez zależności czasowe

określające przebiegi napięć źródeł napięciowych (SEM) i prądów

źródeł prądowych (SPM). W dziedzinie transformat źródła te są

opisane poprzez transformaty Laplace’a przebiegów czasowych prądów

i napięć źródeł.

e(t)

j(t)

[e(t)]E(s) L=

[j(t)]J(s) L=

a)

c)

b)

d)

Impedancje i admitancje operatorowe układów SLS

Rozpatrzmy pojedynczą gałąź obwodu elektrycznego złożoną z

szeregowego połączenia elementów R, L, C z niezerowymi warunkami

początkowymi i źródła autonomicznego napięciowego e(t). W postaci

czasowej napięcie u(t) na gałęzi określa wzór:

= + + + +∫t

0

0

di(t) 1u(t) R i(t) L i(t)dt u e(t)

dt C,

oraz:

+ =C 0u (0 ) u , + = 0i(0 ) i .

Po transformacji Laplace’a równania z uwzględnieniem warunków po-

czątkowych uzyskujemy wzór:

= + − + + + =

= + + − + + =

= − + +

00

00

00

u1U(s) R I(s) sL I(s) Li I(s) E(s)

sC s

u1R sL I(s) Li E(s)

sC s

uZ(s) I(s) Li E(s).

s

Występujące we wzorze wielkości U(s), I(s), E(s) stanowią transforma-

ty Laplace’a przebiegów czasowych u(t), i(t), e(t). Wielkość Z(s):

= + +1

Z(s) R sLsC

,

nazywamy impedancją operatorową gałęzi szeregowej RLC

nazywanej także gałęzią szeregową normalną. Jeżeli źródło

napięcia e(t) w gałęzi szeregowej nie występuje, a warunki początkowe

są zerowe, to dwójnik pasywny jest opisany impedancją Z(s) oraz

równaniem:

=U(s) Z(s)I(s),

lub też:

=I(s) Y(s)U(s),

gdzie:

Y(s) − admitancja operatorowa gałęzi RLC:

=1

Y(s)Z(s)

.

W obwodach, zawierających gałęzie szeregowe RLC z zerowymi

warunkami początkowymi bez źródeł autonomicznych lub też dowolne

dwójniki pasywne, występują podobne jak dla metody symbolicznej

zasady tworzenia impedancji i admitancji zastępczych.

Dla połączenia szeregowego dowolnych (niekoniecznie złożonych z

gałęzi szeregowych) dwójników pasywnych zachodzą zależności:

= + +1 2 nU(s) U (s) U (s) ... U (s),

= + +1 1 2 2 n nZ(s)I(s) Z (s)I (s) Z (s)I (s) ... Z (s) I (s),

= + +1 2 nZ(s) Z (s) Z (s) ... Z (s).

Podobnie dla połączenia równoległego:

= + +1 2 nI(s) I (s) I (s) ... I (s),

= + +1 1 2 2 n nY(s)U(s) Y (s)U (s) Y (s)U (s) ... Y (s)U (s),

= + +1 2 nY(s) Y (s) Y (s) ... Y (s).

⋅⋅⋅Z

1(s) Z

2(s) Z

n(s)

I(s)

U1(s) U

2(s) U

n(s)

U(s)

U(s)

I(s)

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

I(s)

I1(s) I

2(s) I

n(s)

Y1(s) Y

2(s) Y

n(s)U(s) U(s)

I(s)

Z(s)

Y(s)

a)

b)

Przykład

sL

RsC

1

Z1(s),Y

1(s)

a)

Z2(s),Y

2(s)

b)

RsC

1

sL1

sL2

Impedancja zastępcza Z1(s) układu przedstawionego na rys. a) stanowi

sumę impedancji operatorowej cewki L i impedancji dwójnika będącego

równoległym połączeniem rezystora i kondensatora. Stąd:

−+ +

= + + = + = + +

1 2

1

1 1 RCLs sL RZ (s) sL sC sL

1R 1 RCssC

R

.

+= =

+ +1 2

1

1 1 RCsY (s)

Z (s) RCLs sL R.

Admitancja zastępcza Y2(s) układu przedstawionego na rys. b) jest

sumą admitancji dwóch dwójników. Pierwszy z nich stanowi połączenie

szeregowe elementów R, L1, drugi natomiast połączenie szeregowe

elementów L2, C. Zatem:

+ + += + =

+ + ++

21 2

2 21 1 2

2

s (L L )C sCR 11 1Y (s) ,

1R sL (R sL )(s L C 1)sLsC

+ += =

+ + +

21 2

2 22 1 2

(R sL )(s L C 1)1Z (s) .

Y (s) s (L L )C sCR 1

Przykład

Dla obwodu z rys. należy wyznaczyć przebieg czasowy prądu po

zamknięciu wyłącznika w, w chwili t = 0.

e(t)

w

t = 0

i(t)R L C

i(0+)u(0+)

Równanie różniczkowe obwodu ma postać:

= + + +∫t

0

0

di(t) 1e(t) R i(t) L i(t)dt u

dt C, dla t ≥ 0,

przy warunkach:

+ =C 0u (0 ) u , + = 0i(0 ) i .

W wyniku obustronnej transformacji Laplace’a równania uzyskujemy

wzór:

= + − + + 00

u1E(s) R I(s) sL I(s) L i I(s)

sC s

i stąd:

= + + − + = − +

0 00 0

u u1E(s) R sL I(s) L i Z(s) I(s) L i

sC s s.

Transformatę Laplace’a prądu w obwodzie określa zatem wzór:

= + −0 0L i uE(s)I(s)

Z(s) Z(s) s Z(s).

W tym momencie należałoby obliczyć transformatę odwrotną prądu

I(s), co jednak wymaga konkretnego wzoru na napięcie e(t) źródła.

W zależności od tego napięcia (stałe, sinusoidalne, okresowe itp.)

stosuje się różne metody obliczenia transformaty odwrotnej

( )−=

1i(t) I(s)L .

Przykład

Dla obwodu z powyższego przykładu należy wyznaczyć przebieg prądu

i(t).

Obwodowi z powyższego rys. odpowiada schemat wynikły z opisu

elementów obwodu w dziedzinie transformat.

E(s)

I(s)R sL

sC

1Li

0 s

u0

uR(s)

uL(s)

uC

(s)

Na podstawie II prawa Kirchhoffa w dziedzinie operatorowej i równań

elementów mamy:

= + +R L CE(s) U (s) U (s) U (s),

=RU (s) R I(s),

= −L 0U (s) sL I(s) L i ,

= + 0C

u1U (s) I(s)

sC s,

stąd:

= + − + + =

= − +

00

00

u1E(s) R I(s) sL I(s) L i I(s)

sC s

uZ(s)I(s) L i .

s

Transformatę Laplace’a prądu w obwodzie określa zatem wzór:

= + −0 0L i uE(s)I(s)

Z(s) Z(s) s Z(s).

Także i tutaj należałoby obliczyć transformatę odwrotną prądu I(s), co

jednak wymaga konkretnego wzoru na napięcie e(t) źródła. Najła-

twiejszym przypadkiem będzie napięcie stałe, a przypadkiem szczegól-

nie istotnym napięcie sinusoidalnie zmienne.