1

Stany nieustalone w obwodach elektrycznych

Analiza stanów nieustalonych metodą klasyczną

Rozpatrujemy zachowanie się prądów i napięć w obwodach elektrycznych w czasie przełączania. Jeśli w obwodzie występują kondensatory lub cewki, to energia w nich zgromadzona może się zmienić w wyniku przełączenia,a zmiana ta musi się odbyć w skończonym czasie.

Stanem nieustalonym nazywamy stan w którym następują te zmiany. Zakładamy, że przed przełączeniem występujew obwodzie stan ustalony. Zwykle istnieje również stan ustalony po przełączeniu.

2

Prawa komutacji

Rozwiązując zadania ze stanów nieustalonych posługujemy się prawem Ohma, prawami Kirchhoffa oraz dodatkowo prawami komutacji. W uproszczeniu możemy je zapisaćw bardzo krótkiej formie:

1. Prąd na indukcyjności nie zmienia się skokowo.

2. Napięcie na pojemności nie zmienia się skokowo.

Stany nieustalone w obwodach elektrycznych

3

1. Prąd na indukcyjności nie zmienia się skokowo.

2. Napięcie na pojemności nie zmienia się skokowo.

Z powyższych praw korzystamy określając warunki początkowe, czyli:

prąd na indukcyjności i napięcie na kondensatorze.Skoro wielkości te nie zmieniają się skokowo, to w momencie przełączenia i tuż po nim muszą mieć wartości dokładnie takie same jak przed przełączeniem.

Stany nieustalone w obwodach elektrycznych

4

Rozwiązanie zadania dzielimy na trzy etapy:

1. (t < 0) Stan ustalony w obwodzie przed przełączeniem. W takim stanie wyznaczamy warunki początkowe.

2. (t ≥ 0) Stan nieustalony. Stosujemy prawa Ohma i Kirchhoffa do zapisania równania dla obwodu. Otrzymujemy równanie różniczkowe, zwykle niejednorodne. Wyodrębniamy dwie części rozwiązania: przejściową – z równania jednorodnego oraz ustaloną.

3. (t → ∞) Stan ustalony w obwodzie po przełączeniu. W takim stanie wyznaczamy część ustaloną rozwiązania.

Stany nieustalone w obwodach elektrycznych

5

Zadanie 1

E

Stany nieustalone w obwodach elektrycznych

6

Zadanie 1 1. Stan ustalony, początkowy Warunek początkowy – prąd na cewce: i(0) = 0

2. Stan przejściowy Drugie prawo Kirchhoffa uR + uL = E

R∙i + L∙di/dt = E ← równanieniejednorodne

R∙ip + L∙dip/dt = 0 ← równanie jednorodne

i(t) = ip + iu

i(0) = 0 i(t) = ip + iu

E

i(t)1)

Stany nieustalone w obwodach elektrycznych

7

Zadanie 1

i(0) = 0

2. Stan przejściowy Równanie różniczkowe jednorodne R∙ip + L∙dip/dt = 0

i(t) = ip + iu

L∙dip/dt = – R∙ip

dip/ip = – R/L∙dt

dip/dt = – R/L∙ip

ln(ip)= – R/L∙t + A1

ip(t)= A∙e– R/L∙t

ip(t)= A∙e– R/L∙t

E

i(t)1)

2)

Stany nieustalone w obwodach elektrycznych

8

Zadanie 1

i(0) = 0

3. Stan ustalony po przełączeniu iu = E/R

i(t) = ip + iu

i(t)= – E/R∙e– R/L∙t + E/R ip(t)= A∙e– R/L∙t

i(t) = ip + iu i(t) = A∙e– R/L∙t + E/R i(0) = A∙e– R/L∙0 + E/R

A + E/R = 0 => A = – E/R

i(t)= E/R∙(1 - e– t/τ) τ = L/R

E

i(t)

iu = E/R

1)

2)

3)

4. Rozwiązanie

Stany nieustalone w obwodach elektrycznych

i(0) = 0

9

Zadanie 2E(t)=Emsin(ωt+φ)

i(t)

Stany nieustalone w obwodach elektrycznych

10

Zadanie 3

E

Stany nieustalone w obwodach elektrycznych

11

Zadanie 4

E

Stany nieustalone w obwodach elektrycznych

12

Zadanie 4

=

+E

E

Stany nieustalone w obwodach elektrycznych

13

Zadanie 5

E

Stany nieustalone w obwodach elektrycznych

14

Zadanie 6

E

Stany nieustalone w obwodach elektrycznych

15

Zadanie 7

Kondensator C3 = 40 μF rozładowuje się przez rezystor. Energia zgromadzona w kondensatorze w chwili załączenia wynosi W0 = 5 J.Po czasie t1 = 5,56 ms energia zgromadzona w kondensatorze wynosi W1=0,5 W0.Znaleźć:u(t) – napięcie na kondensatorzeR17 – wartość rezystancji.

Stany nieustalone w obwodach elektrycznych

16

Zadanie 8

E

Stany nieustalone w obwodach elektrycznych

17

Zadanie 9 Stany nieustalone w obwodach elektrycznych

18

Zadanie 10 Stany nieustalone w obwodach elektrycznych

19

Zadanie 11

E(t)=Emsin(ωt)

Stany nieustalone w obwodach elektrycznych

20

Zadanie 12

Stany nieustalone w obwodach elektrycznych