Embed Size (px)
Citation preview
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREŞTI
ASANDULUI MIRCEA
MODELE HETEROSCEDASTICE
REPREZENTATIVE APLICATE
ÎN ECONOMIE
Colecţia
Cercetare avansată postdoctorală în ştiinţe economice
ISBN 978-606-505-961-0
Editura ASE
Bucureşti
2015
Copyright © 2015, Nume autor
Toate drepturile asupra acestei ediţii sunt rezervate autorului.
Editura ASE
Piaţa Romană nr. 6, sector 1, Bucureşti, România
cod 010374
www.ase.ro
www.editura.ase.ro
Referenţi:
Prof. univ. dr. Pavel NĂSTASE
Prof. univ. dr. Nicolae ISTUDOR
ISBN 978-606-505-961-0
Autorul îşi asumă întreaga responsabilitate pentru ideile exprimate, pentru originalitatea
materialului şi pentru sursele bibliografice menţionate.
Această lucrare a fost cofinanţată din Fondul Social European, prin Programul Operaţional
Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane 2007-2013, proiect POSDRU/159/1.5/S/142115
„Performanţă şi excelenţă în cercetarea doctorală şi postdoctorală în domeniul ştiinţelor
economice din România”.
3
Cuprins
Introducere .............................................................................................................................................................. 5
1 Noțiuni și concepte privind analiza seriilor de timp ........................................................................................... 7
1.1 Serii de timp. Definiţii şi caracteristici ........................................................................................................ 7
1.2 Procese stochastice....................................................................................................................................... 8
1.3 Scurt istoric privind analiza seriilor de timp .............................................................................................. 11
1.4 Metodologia Box-Jenkins .......................................................................................................................... 17
2 Modele heteroscedastice ................................................................................................................................... 20
2.1 Modelul Auto Regressive Conditional Heteroscedasticity (ARCH) .......................................................... 21
2.2 Modelul Generalized Auto Regressive Conditional Heteroscedasticity (GARCH) ................................... 22
2.3 Modelul Integrated Generalized Auto Regressive Conditional Heteroscedasticity (IGARCH) ............... 24
2.4 Modelul Exponential Generalized Auto Regressive Conditional Heteroscedasticity (EGARCH) ............ 25
2.5 Modelul Glosten-Jagannathan-Runkle Generalized Auto Regressive Conditional Heteroscedasticity
(GJR-GARCH) .......................................................................................................................................... 25
2.6 Modelul Threshold Generalized Auto Regressive Conditional Heteroscedasticity (TGARCH) ............... 26
3 Analiza şi prognoza volatilităţii opţiunilor Total tranzacţionate la bursa Euronext Paris ................................. 27
3.1 Noțiuni teoretice despre tranzacționarea opțiunilor ................................................................................... 27
3.2 Prognoza volatilității folosind serii de timp ............................................................................................... 31
3.3 Modelarea volatilităţii opţiunilor companiei Total .................................................................................... 36
3.4 Prognoza volatilităţii zilnice a opţiunilor pe acţiuni Total ......................................................................... 52
4 Analiza relației de cauzalitate dintre creștere economică, inflație și incertitudinile acestora.
Studiu empiric pentru România ........................................................................................................................ 57
4.1 Stadiul actual al cunoașterii ....................................................................................................................... 58
4.2 Rezultate empirice și concluzii .................................................................................................................. 65
Summary ............................................................................................................................................................... 69
Surse bibliografice ................................................................................................................................................ 70
Anexe .................................................................................................................................................................... 76
4
Contents
Introduction ............................................................................................................................................................. 5
1 Notions and concepts regarding time series analysis .......................................................................................... 7
1.1 Times series. Definitions and characteristics ............................................................................................... 7
1.2 Stochastic proceses ...................................................................................................................................... 8
1.3 Short history of the time series analysis ..................................................................................................... 11
1.4 Box-Jenkins methodology.......................................................................................................................... 17
2 Heteroskedastic models .................................................................................................................................... 20
2.1 Auto Regressive Conditional Heteroscedasticity model (ARCH) ............................................................. 21
2.2 Generalized Auto Regressive Conditional Heteroscedasticity model (GARCH) ...................................... 22
2.3 Integrated Generalized Auto Regressive Conditional Heteroscedasticity model (IGARCH) .................... 24
2.4 Exponential Generalized Auto Regressive Conditional Heteroscedasticity model (EGARCH) ................ 25
2.5 Glosten-Jagannathan-Runkle Generalized Auto Regressive Conditional Heteroscedasticity model
(GJR-GARCH) .......................................................................................................................................... 25
2.6 Threshold Generalized Auto Regressive Conditional Heteroscedasticity model (TGARCH) ................... 26
3 Analysis and forecast of the Total options volatility traded at Euronext Pari Stock Exchange ........................ 27
3.1 Theoretical notions on options tranzactions ............................................................................................... 27
3.2 Forecast of the volatility using times series analysis ................................................................................. 31
3.3 Modelling the volatility of the Total options ............................................................................................. 36
3.4 Forecast of the daily volatility of the options based on Total stocks ......................................................... 52
4 The analysis of the causal relationships between output growth, inflation and their uncertainties.
Empirical study for Romania ............................................................................................................................ 57
4.1 Literature review ........................................................................................................................................ 58
4.2 Empirical results and conclusions .............................................................................................................. 65
Summary ............................................................................................................................................................... 69
References ............................................................................................................................................................. 70
Anexxes ................................................................................................................................................................ 76
Introducere
Fenomenele economice, mai ales în contextual actualei crize economice, au prezentat și
prezintă o variabilitatea crescută; în sensul analizei acestei variabilități în timp, apare termenul
de volatilitate, care ajută în cuantificarea acestei variabilități.
În sens statistic, volatilitatea este văzută ca o măsură a dispersiei valorilor unei variabile în
timp și în termenul de volatilitate este cel mai ușor asociat cu riscul; în mod logic, o
volatilitate crescută, determinantă pentru o incertitudine mare, face ca riscul asociat să fie mai
mare.
Modelarea cât mai eficientă a volatilității, pe baza informațiilor anterioare, face mai robustă
prognoza valorilor viitoare ale fenomenelor studiate. Din punct de vedere statistic, un
fenomen economic studiat în timp, poate fi modelat cu ajutor unei serii de timp. Estimarea
unui model econometric care să modeleze cât mai precis respectiva serie de timp se lovește,
de cele mai multe ori, de nerespectare ipotezei de homoscedasticitate – de la varianță
constantă a reziduului. Motivele pentru care se întâmplă acestor lucru vin atât din natura
fenomenului analizat, dar și din perioada alaeasă pentru analiză. Detectarea violării ipotezei
de homoscedasticitate se poate realiza cu o serie de teste statistice, precum Glejser, White sau
Breusch-Pagan.
Un moment de importanță deosebită în rezolvarea acestei probleme a fost cel în care Engle
(1982) introduce primul model heteroscedastic, ARCH (autoregressive conditional
heteroskedasticity). De atunci și până în prezent, familia modelelor heteroscedastice a devenit
numeroasă, iar estimare cu modele heteroscedastice a găsit multe aplicații în econometrie: de
la analiza și prognoza seriilor financiare, precum rate de schimb valutar, rate ale dobânzii,
valori ale indicilor bursieri, volatilitate bursieră sau analiza și prognoza unor variabile
macroeconomice – rata inflației, rata șomajului sau estimarea volatilității macroeconomice,
reală sau nominală.
În proiectul de cercetare postdoctorală, ar cărui titlu este Creștere și volatilitate
macroeconomică în țările Uniunii Europene, ne-am propus să analizăm, la nivelul țărilor
membre ale Uniunii Europene, posibilele relații de cauzalitate existente între creștere
economică, inflație, incertitudinea creșterii economice și incertitudinea inflației din prisma
celor mai importante ipoteze fundamentate în teoria economic.
Studiul impactului pe care îl are incertitudinea macroeconomică, în mod direct sau indirect,
asupra creșterii economice reprezintă o temă de o importanță deosebită pentru economiști. În
general, termenul de volatilitate macroeconomică este asociat cu incertitudinea evoluției
6
principalilor indicatori macroeconomici. Dintre aceștia, inflația are o influență puternică
asupra creșterii economice. Din această cauză, atât incertitudinea reală (derivată din
volatilitatea creșterii economice), cât și cea nominală (inflația) pot afecta rata de creștere
economică. Atât incertitudinea reală, cât și cea nominală, pot fi estimate cu ajutorul varianței
condiționate generate de modele heteroscedastice. Așa cum exemplificat și mai sus, aceste
modele își găsesc utilizare în diverse analiza ale fenomenelor economice.
În prezentul material ne propunem să prezentăm suportul teoretic necesar în abordarea
modelării cu modele heteroscedastice – seriile de timp, dar și unele din cele mai reprezentaive
modele heteroscedastice. Astfel, în decursul primului capitol prezentăm noțiunile și
conceptele fundamentale cu privire la analiza seriilor de timp, pornind de la cadrul teoretic de
definire a seriilor de timp și a proceselor stochastice, pentru ca ulterior să prezentăm evoluția
modului în care acest domeniu s-a dezvolvat în timp. Apoi prezentăm metodologia Box-
Jenkins de tratare a seriilor de timp. În cel de al doilea capitol, prezentăm teoretic o serie de
modele heteroscedastice, considerate de noi a fi cele mai importante, pornind de la primul
model ARCH, introdus de Engle în 1982 și continuând cu familia modelelor generalizate,
dintre care îl amintim pe GARCH (Bollerslev, 1986).
Ulterior, în ultimele două capitole, dorim prezentare unor exemple clare de utilizare a acestor
modele.
În capitolul al treilea folosim modele heteroscedastice pentru analiza și prognoza unui
fenomen microeconomic și anume, analiza și prognoza volatilității opțiunilor companiei
Total, tranzacționare la bursa Euronext Paris.
Capitolul al patrulea prezintă modalitatea de utilizare a acestor modele în cazul analizei
relației de cauzalitate dintre creșterea economic, inflație, incertiudinea creșterii economice și
incertitudinea inflației, luând în considerare cazul acestora mărimi macroeconomice
înregistrate în România începând cu anul 1990.
7
Noțiuni și concepte privind analiza seriilor de timp
Specialiştii din domeniul economic, dar şi din domenii precum ingineria, ştiinţele fizice,
biologia, sociologia, hidrologia s-au confruntat de-a lungul timpului – şi încă se confruntă –
cu analiza unor date de măsură şi de observaţie. Scopul unor astfel de analize cantitative, în
cele mai multe dintre cazuri, este acela de a caracteriza succint, dar cu un nivel ridicat al
calităţii, sistemul investigat, printr-un model matematic. Acest model poate fi utilizat pentru
analiza sistemului şi prognoza evoluţiei sale viitoare. Informaţia obţinută în urma unei astfel
de analize poate fi utilizată pentru a modifica anumiţi factori şi variabile ale sistemului, în
scopul atingerii unor performanţe optimale într-un anumit sens.
Putem spune că, în sens general, sistemul care a generat aceste date poate apărea în mod clar,
ca de exemplu în cazul unui proces mecanic, sau se poate prezenta într-o formă abstractă, greu
de rerezentat, cum ar fi, de exemplu, evoluţia unui indicator economic.
O serie de observaţii, ordonată în mod obişnuit în timp, este denumită serie de timp.
Metodologia statistică care se ocupă cu analiza unor astfel de secvenţe de date se numeşte
analiza seriilor de timp. Caracteristica esenţială a acestei abordări, care o diferenţiază de alte
analize statistice, constă în recunoaşterea explicită a importanţei ordinii de apariţie a
observaţiilor.
Serii de timp. Definiţii şi caracteristici
O serie de timp reprezintă un set de observaţii, o secvenţă de date, un set de valori pe care le
ia o variabilă y la diferite momente sau intervale de timp. O serie de timp se reprezintă sub
forma unei secvenţe de valori y1, y2, ..., yT.
În funcţie de numărul de variabile considerate simultan, o serie de timp poate fi univariată sau
multivariată.
Prin modul în care definim seria de timp, constatăm că variabila timp are un rol deosebit de
important în definirea acesteia. Prin prisma acestui lucru, timpul poate fi considerat ca fiind o
variabila discretă sau o variabilă continuă. Timpul, ca variabilă discretă, este exprimat printr-o
înşiruire de momente aflate, în cele mai multe dintre cazuri, la distanţe egale în timp
t 1,T . Timpul, ca variabilă continuă, este exprimat ca o succesiune continuă de momente de timp
t 1,T .
O serie de timp poate fi considerată ca o serie de valori ale variabilei aleatoare {Yt}t. Conform
acestei abordări, descrierea seriei de timp se poate face prin specificarea distribuţiei cu mai
8
multe variabile a variabilei Yt. Acesta fiind un lucru destul de complicat şi nefiind foarte des
folosit în practică, se face frecvent definirea momentelor de ordinul 1 şi 2 corespunzătoare
variabilei Yt, şi anume media tyEt
, dispersia tyt var2
şi autocovarianţa
t1,t2 cov yt1,yt2 .
Procese stochastice
Un pas important în analiza seriilor de timp a fost realizat prin modelarea econometrică a
seriilor de timp, în cazul căreia seria de timp este tratată ca un proces stochastic.
Definim un proces stochastic ca fiind o familie de variabile aleatoare care depinde de
variabila timp: Yt , t T. În funcţie de t, procesul este discret sau continuu. Variabila Yt
este o variabilă aleatoare, de densitate de probabilitate )y(f t numită funcţie densitate
necondiţionată a lui Yt . Şirul (y1, y2, ..., yt) este o posibilă realizare a procesului stochastic,
respectiv T valori particulare dintr-un ansamblu (infinit) de valori
,....1,,1,2,1,0,1 ...,..., ttt yyyyyyy.
Printre caracteristicile numerice ale unui proces stochastic amintim media, dispersia,
autocovarianţa, funcţia de autocorelaţie şi funcţia de autocorelaţie parţială (Pindyck,
Rubienfield, 1998).
Media seriei este egală cu t = E(Yt), tT; t
R
ttt dyyfyYE )()(
, pentru un proces continuu şi
n
i
i
tn
t Yn
YE1
)(1lim)(
, pentru un proces discret.
Dispersia seriei este tYt var2
, iar autocovarianţa:
2,cov, 21 tt YYtt
q
Caracteristici ale unei serii de timp definită de un proces stochastic
Seria de timp {Yt}t se numeşte strict staţionară dacă distribuţia oricărui şir de n observaţii,
ntytyty ,...,, 21 , este aceiaşi cu a şirului ktyktykty n ,...,, 21 , pentru orice
*Nn
şi Rk .
În cazul în care n=1 se obţine t = M(Yt), tT. Pentru n=2 rezultă că distribuţia lui 1ty şi
2ty este aceiaşi cu distribuţia lui kty 1 şi kty 2 . Astfel, constatăm că diferenţa 12 tt
9
are un rol foarte important în caracterisiticile seriei de date; aceasta este numită defazaj sau
întârziere.
Luând în calcul acest lucru, rescriem autocovarianţa 21,tt ca k , unde 12 ttk .
Definim funcţia ,: RZ 21 ,cov tyktyk ca funcţie de autocovarianţă. Pentru
valorea k=0 ea reprezintă dispersia 2 .
Întrucât coeficienţii de autocovarianţă depind de unitatea de măsură a lui Yt, este mult mai
convenabilă considerarea coeficientului de autocorelaţie, adimensional:
0
kkr
.
Funcţia 1,1: Zr definită în baza regulii r(k) de mai sus este numită funcţie de
autocorelaţie. Reprezentarea grafică a funcţiei de autocorelaţie în raport cu k este definită ca
fiind corelograma seriei de timp. Printre proprietăţile funcţiei de autocorelaţie, amintim faptul
că este o funcţie pară kk (Andrei, Bourbonnais, 2008).
Seria de timp {Yt}t se numeşte slab staţionară dacă media sa este constantă şi valoarea
funcţiei . depinde doar de defazaj: tYE şi kktyty ,cov .
O serie de timp se numeşte nestaţionară dacă nu respectă condiţile staţionarităţii.
Tipuri de procese stochastice
Cele mai importante procese stochastice sunt procesul aleatoriu, mişcarea aleatorie,
procesul de medie mobilă, procesul autoregresiv, procesul autoregresiv de medie mobilă şi
procesul autoregresiv integrat de medie mobilă. Acestea sunt prezentate pe scurt în
continuare.
Proces aleatoriu
Cunoscut în literatura de specialitate sub denumirea de zgomot alb (white noise),
procesul aleatoriu complet este reprezentat de un proces discret ttY , format dintr-o secvenţă
de variabile independente şi distribuite aleatoriu, având media şi dispersia constante, funcţia
de autocovarianţă egală cu 0 pentru 0k şi funcţia de autocorelaţia egală cu 1 pentru 0k şi
egală cu 0 pentru 0k .
10
Mişcare aleatorie
Cunoscută în literatură sub denumirea de Random Walk, mişcarea aleatorie este
reprezentată de un proces ttY care satisface egalitatea:
ttt YY 1 , unde tt este o serie aleatorie de medie μ şi dispersie σ2.
Proces de medie mobilă
Un proces ttY este un proces de medie mobilă de ordin q (notat MA(q)) dacă este
definit prin:
qtqtttY ...110 , unde tt este o serie aleatorie de medie 0 şi dispersie σ2.
Proces autoregresiv
Un proces ttY este un proces autoregresiv de ordin p (notat AR(p)) dacă este definit
prin:
tptpttt YYYY ...2211 , unde tt este o serie aleatorie de medie 0 şi
dispersie σ2 (Andrei, Stancu, Iacob, Tuşa, 2008).
Considerăm operatorul de decalaj definit prin jtt
j YYL , deci 1 tt YYL , 2
2
tt YYL ,
1
1
tt YYL .
Definim operatorul de diferenţiere Δ=1-L prin funcţia:
1 ttt YYY
Pe baza operatorului de decalaj, procesul AR(p) poate fi scris sub forma echivalentă:
t
p
pt YLLL ...1 2
21
Proces autoregresiv de medie mobilă
Un proces autoregresiv de medie mobilă, notat ARMA(p,q), reprezintă o combinaţie a
modelelor AR(p) şi MA(q), având reprezentarea:
qtqttptpttt YYYY ...... 112211 , unde tt este o serie
aleatorie de medie 0 şi dispersie σ2.
11
Proces autoregresiv integrat de medie mobilă
În cazul în care t
sY este o serie staţionară ce poate fi reprezentată de un proces
ARMA(p,q), atunci se poate spune că tY poate fi reprezentat de un proces integrat de medie
mobilă ARIMA (p,q,s).
Scurt istoric privind analiza seriilor de timp
Analiza seriilor de timp economic-financiare constituie un domeniu vast de cercetare în
domeniul economic, având o importanţă deosebită în multe activităţi, precum acoperirea
riscurilor, obţinerea de venituri superioare prin intermediul speculaţiilor financiare, realizarea
de portofolii de active şi altele.
O scurtă analiză a literaturii de specialitate scoate în evidenţă două concepţii în tratarea
seriilor de timp, clasică şi modernă. Concepţiile au la bază o definiţie comună a seriei de timp
ca şir de valori ale unei variabile aleatoare care desemnează fenomenul cercetat, realizate la
momente sau intervale succesive de timp. Adepţii celor două concepţii de analiză a seriilor de
timp au dat semnificaţii diferite termenilor seriei.
Clasicii au considerat termenii
TttY,1 ai unei serii de timp ca realizări ale fenomenului
cercetat, observate şi înregistrate efectiv la momente sau intervale succesive de timp.
Concepţia modernă are la bază o dezvoltare a concepţiei clasice, considerând că o observaţie
yt a seriei de timp este o realizare a unei variabile aleatoare Yt, iar şirul observaţiilor
Ttty,1
reprezintă o succesiune de realizări ale unor variabile aleatoare
TttY,1 , ordonate în timp.
Ansamblul variabilelor aleatoare
TttY,1 ordonate cronologic reprezintă un proces stochastic
şi seria de timp este considerată o realizare a procesului stochastic, această tratare fiind
propusă în anul 1970 de către Box şi Jenkins.
Din acest punct de vedere, metodele statistice de analiză şi prognoză a seriilor de timp pot fi
clasificate în metode clasice de analiză şi prognoză şi în metode moderne de analiză şi
prognoză.
Analiza unei serii de timp presupune estimarea parametrilor modelului luat în calcul, pe baza
observaţiilor existente a seriei de timp, pentru ca apoi să se facă prognoza cu ajutorul
modelului propus. Sunt o serie de autori care parcurg aceste două etape, pentru ca apoi să
evalueze performanţa modelului folosit în prognoză prin comparaţia valorilor prognozate cu
cele reale.
12
În ultimele decenii au fost elaborate diverse tehnici pentru obţinerea unor estimatori ai
volatilităţii, ele pornind de la modele extrem de simple care utilizează aşa-numitele ipoteze
„naive” (de tip aleatoriu („random walk”)), până la modele condiţional heteroscedastice
complexe ale grupului ARCH şi modele de volatilitate stochastică.
În dezvoltarea modelelor de analiză a seriilor de timp, un moment important îl constituie
introducerea de către Engle în anul 1982 a modelului ARCH. În literatura de specialitate,
modelele folosit anterior acestui moment fac parte din aşa numita perioadă “pre ARCH” sau a
volatilităţii istorice (Historical volatility models). Între acestea amintim modelul HISvol
(Historical volatility), EWMA (exponential weighted moving average), TAR (threshold
autoregressive). Menţionăm că în această perioadă nu sunt studii pe tema volatilităţii
opţiunilor, poate şi din cauza faptului că acest tip de instrument financiar derivat nu era foarte
folosit.
Taylor (1987) este unul dintre primii care testează peformanţele modelelor de volatilitate
istorică, el folosind valorile extreme (minim, maxim şi preţ de închidere) pentru a face
prognoza pe 20 de zile a instrumentelor financiare derivate de tip futures pe rata de schimb
DEM/ USD. Modele precum mersul aleator (Random walk) sau media mobilă pot părea ca
fiind deosebit de naive în acest moment, mai ales prin prisma faptului că puterea de calcul şi
disponibilitate datelor a crescut, dar în urmă cu 20 de ani erau folosite, chiar şi cu succes, în
prognoză.
Sill (1993) arată că volatilitatea indexului S&P500 este mai ridicată în timpul recesiunilor şi
că evoluţia dinamicii bonurilor de trezorerie emise în SUA (t-bills) determină volatilitatea
bursei. Alford şi Boatsman (1995) analizează un set de 6879 de acţiuni şi recomandă, pentru
realizarea de investiţii pe termen de cel puţin 5 ani, estimarea randamentelor pe baza
volatilităţii săptămânale şi lunare, făcând o ajustare relativă la domeniul de activitate şi la
mărimea respectivei companii. Figlewski (1997) analizează volatilitatea indicelui S&P500, a
ratei de referintă a dobânzii pe termen scurt şi lung din SUA şi a ratei de schimb DEM/USD.
Cele mai utilizate modele de volatilitate de tip univariat sunt modelele autoregresive
condiţional heteroscedastice propuse de Engle (1982) și cele generale ARCH (GARCH)
propuse de Bollerslev (1986). Numeroase extensii ale acestor modele, precum ”exponenţial
GARCH” (EGARCH) propus de Nelson (1991) sau “conditional heteroskedastic
autoregressive moving average” (CHARMA) elaborat de Tsay (1987), sunt foarte utilizate în
analiza volatilităţii. Alte modele utilizate pentru previzionarea volatilităţii au fost modelul
„random coefficient autoregressive” (RCA) dezvoltat de Nicholls şi Quinn (1982) şi modelele
de volatilitate stochastică (SV) propuse de Melino și Turnbull (1990), Taylor (1994), Harvey,
13
Ruiz şi Shephard (1994) şi Jacquier, Polson și Rossi (1994). Recenzii extinse ale literaturii
scrise în acest domeniu sunt oferite în lucrările referitoare la modelarea volatilităţii elaborate
de către Bollerslev, Chou și Kroner (1992), Bera şi Higgins (1993), Bollerslev, Engle şi
Nelson (1994) şi mai recent de către Andersen, Bollerslev, Christoffersen şi Diebold (2005).
După o analiză a celor mai multe dintre modele, putem spune că fiecare model are propriile
avantaje şi dezavantaje, astfel că având la dispoziţie un număr relativ mare de modele, toate
create în acelaşi scop, este foarte important de a distinge şi identifica în mod corect fiecare
model, cu caracteristicile fiecăruia, în scopul stabilirii aceluia ce oferă cele mai bune
prognoze. Cu toate acestea, un consens general în privinţa ierarhizării modelelor din punctul
de vedere al calităţii prognozelor realizate, nu a fost găsit. Acest lucru poate proveni din faptul
că literatura conţine studii cu concluzii contradictorii în ceea ce priveşte calitatea prognozelor
oferite de fiecare model. Subiectivismul se formează din numeroase surse, începând de la
faptul că observaţiile condiţionale sunt neobservate şi astfel nu există nici o modalitate
naturală şi intuitivă de a modela heteroscedasticitatea condiţională, astfel că fiecare model va
face cât mai mult posibil să înglobeze în interiorul său elemente pe care autorul său le
consideră importante şi până la faptul că modele cu capacităţi de prognoză deficitare în toate
aplicaţiile nu au fost găsite.
O eventuală ierarhizare a modelelor depinde de o varietate de cauze ce pot fi legate fie de
modul în care modelele au fost definite, fie de simplitatea modelului, de numărul de parametri
estimaţi , de metodologia de comparare folosită (metode ”in sample” sau ”out-of-sample”), de
subiectul analizei (volatilitatea opţiunilor, volatilitatea randamentelor acţiunilor), de orizontul
de prognoză, de alegerea modului de calculare a erorilor, de provenienţa datelor pe care se
face analiza (ţări diferite, burse diferite) sau de natura datelor (intra-day, zilnice, săptămânale,
lunare). Spre exemplu, Brailsford şi Faff (1996) au găsit că ierarhizarea performanţelor
modelelor depinde de alegerea parametrilor de calcul a erorilor, pentru fiecare dintre aceştia
fiind identificate diferite structuri de clasificare.
Poate cea mai potrivită caracterizare a literaturii este aceea a unui cadru compus dintr-un set
eterogen de rezultate. Totuşi, în ciuda complexităţii evidente şi a lipsei de omogenitate,
literatura tinde să susţină ideea ca modelele de tip GARCH oferă în general prognoze bune ale
volatilităţi (faţă de celelalte modelele de prognoză a volatilităţii) (Brailsford şi Faff, 1996).
Folosind patru estimatori ai erorii, ei au investigat abilitatea predictivă ”out-of-sample” a
unsprezece modele (un model ”random walk”, un model ”historical mean”, un model
”moving average”, un model ”exponential smoothing”, un model ”exponentially weighted
moving average”, un model ”simple regression”, două modele GJR (Glosten-Jagannathan-
14
Runkle) GARCH (un model GJR-GARCH(1,1), un model GJR-GARCH(3,1)) şi două modele
GARCH (un GARCH(1,1) şi un GARCH(3,1)), testate pe date lunare la nivelul pieţei de
capital din Australia. Concluzia acestui studiu a fost că modelele de tip ARCH şi regresia
simplă oferă prognoze mai bune, cu rezerva că alegerea modelelor de prognoză depinde de
alegerea formulei de calcul a erorilor statistice. Akgiray (1989) ajunge tot la concluzia
superiorităţii modelului GARCH(1,1) (în comparaţie cu modelele tradiţionale, mai simple) pe
baza testelor efectuate cu date privind pieţele financiare din SUA. Pe de altă parte parte,
Dimson și Marsh (1990) obţin rezultate ce se află în favoarea modelelor mai simple. Totuşi,
toate studiile converg spre considerarea modelului EWMA (”exponential weighted moving
average”) ca fiind unul dintre cele mai bune modele de prognoză.
Aşa cum am menţionat mai sus, literatura de specialitate cu privire la acest domeniu conţine
concluzii contradictorii cu privire la calitatea prognozelor diferitelor modele. Prognoza
volatilităţii ramâne astfel un demers extrem de complicat.
Există studii care subliniază superioritatea modelelor mai complexe, precum cele din
categoria ARCH (precum a fost exemplificat în paragraful anterior), în timp ce alte studii
susţin superioritatea modelelor mai simple. Această situaţie poate fi considerată drept una
extrem de problematică, din cauza alegerii celui mai potrivit model în prognoza volatilităţii.
În cea de a doua categorii de studii, şi anume aceea care susţine ideea superiorităţii modelelor
mai simple, este inclus şi studiul efectuat de Dimson și Marsh (1990). Conform acestuia,
modelele de bază oferă o acurateţe sporită a prognozelor, cu menţiunea că modelele de tip
ARCH nu au fost incluse în studiu. Mai exact, modelul ”exponential smoothing” şi cel de
regresie au fost identificate ca fiind superioare, însoţind concluzia cu un semnal de alarmă
îndreptat către literatură conform căruia printre cele mai bune modele de prognoză se găsesc o
serie de modele care să nu fie atât de complexe și recente. O concluzie similară a fost
avansată de Tse (1991) şi Tse şi Tung (1992) care, prelucrând date din Japonia şi Singapore,
au găsit că modelul ”exponentially weighted moving average” (EWMA) oferă prognoze mai
bune decât modelele ARCH, punând totodată sub semnul întrebării superioritatea modelelor
ARCH. Aceluiaşi grup de studii îi aparţine lucrarea lui Hansen și Lunde (2001) care utilizează
valori estimate la intervale mai mici de o zi (intraday) pentru compararea modelelor de
prognoză a volatilităţii. Concluziile acestora indică faptul că modelele mai avansate nu oferă
prognoze îmbunătăţite faţă de modelul GARCH(1,1). Deşi a fost evidenţiat efectul de
„clustering” (concentrare a volatilităţii pe perioade mici de timp) al volatilităţii randamentelor
acţiunilor, se pare că doar de când modelul GARCH a fost enunţat de către Bollerslev (1986),
dependenţele temporale au putut fi formal modelate folosind modele econometrice. Aceasta a
15
sprijinit succesul empiric al modelelor de tip GARCH, numeroase articole remarcând succesul
în modelarea „in-sample” a volatilităţii randamentelor. Ulterior câteva articole, precum
Andersen şi Bollerslev (1998) şi Andersen (1999), au evidenţiat caracterul latent (sau
neobservabil) al volatilităţii ce evoluează stochastic în timp. Volatilitatea acţiunilor constă în
volatilităţi “intra-day” şi fluctuaţii între zile. Spre deosebire de preţ, care este o variabilă ce
poate fi măsurată instantaneu, volatilitatea este o variabilă de stoc şi, prin urmare, trebuie
măsurată pe o anumită perioadă. Aceasta a fost considerată în mod constant o problemă
pentru econometricieni deoarece volatilitatea nu este observabilă şi măsurabilă în mod exact,
ci mai degrabă estimată. Neobservabilitatea acesteia face ca evaluarea performanţelor de
prognoză a modelelor condiţional heteroscedastice să fie destul de dificilă. Caracterul latent al
volatilităţii poate transforma estimarea volatilităţii şi problema prognozei într-o problema de
„filtrare” în care „adevarăta” volatilitate nu poate fi determinată exact, ci doar extrasă cu un
anumit grad de eroare. Acest lucru ar putea ridica probleme întrucât volatilitatea estimată de
către modele trebuie să fie comparată cu volatilitatea ”reală”, implicită. Erorile pot fi atunci
un efect al modelului prin care se realizează prognozele sau un efect al modului în care
”adevărata” volatilitate este estimată. Din acest punct de vedere, articolele menţionate anterior
în acest paragraf au adus noi abordări pentru înţelegerea posibilelor surse ale coexistenţei unui
număr atât de mare de concluzii contradictorii legate de ierarhizarea modelelor din punct de
vedere al performanţelor de prognoză. Acestea menţionează că eşecul clasei de modele de tip
GARCH în a obţine prognoze bune ale volatilităţii nu reprezintă un eşec în sine al modelului
GARCH, ci mai degrabă un eşec de estimare corectă a volatilităţii „reale” cu care prognoza
este comparată şi pe baza căreia se calculează estimatorii de eroare ai modelului.
Andersen şi Bollerslev sugerează folosirea valorilor „intraday” ca alternativă a exprimării
volatilităţii „reale”, „adevărate”. O astfel de masură, numită „volatilitate integrată” oferă
posibilitatea unei estimari a volatilităţii mult mai precisă şi mai consistentă. Aceasta
reprezintă un pas înainte în problema previzionării volatilităţii, întrucât poate indica
necesitatea utilizării de date de înaltă frecvenţă (tip „tick by tick”) în estimările empirice.
În ceea ce priveşte subiectul testelor, există o mare prevalenţă pentru pieţele internaţionale ale
cursului de schimb şi pentru pieţele naţionale de valori mobiliare. Autori care au testat
volatilităţi cu privire la ratele de schimb sunt Taylor (1987), Lee (1991), West şi Cho (1995),
Andersen şi Bollerslev (1998), Brooks şi Burke (1998), Andersen, Bollerslev şi Lange (1999),
McKenzie (1999), Andersen, Bollerslev, Diebold şi Labys (2002), Klaasen (2002), Vilasuso
(2002) şi Balaban (2004).
16
O notă diferită este dată de West şi Cho (1995) care nu au putut arăta superioritatea nici unuia
dintre modelele incluse în studiu. Testele empirice au fost făcute folosind atât metode „in-
sample”, cât şi „out-of-sample”. Testele, în general, sunt făcute cu date privind volatilitatea
dintr-o anumită ţară: Australia (Brailsford şi Faff, 1996, Walsh şi Tsou, 1998), Japonia (Tse,
1991), Germania (Bluhm şi Yu, 2000), Noua Zeelandă (Yu, 2002), Suedia (Frennberg şi
Hannsson, 1996), Elveţia (Adjaoute, Bruand şi Gibson-Asner, 1998), Turcia (Balaban, 2000),
Marea Britanie (Dimson şi Marsh, 1990, Loudon, Watt și Yadav, 2000 şi McMillan, Speight
şi Gwilym, 2000), Statele Unite (Akgiray, 1989, Pagan şi Schwert, 1990, Hamilton şi Lin,
1996, Brooks, 1998). O abordare aparte este oferită de Franses şi Ghijsels (1999) care au
realizat un studiu cu date din patru ţări (Olanda, Germania, Spania și Italia). Comun tuturor
acestor studii este numărul relativ mic de modele luate în considerare. O analiză mult mai
complexă a fost întreprinsă de Balaban, Bayar şi Faff (2004) care au luat în considerare un
număr extins de metode de prognoză ce au fost testate cu date provenind atât din cadrul ţarilor
cu economii emergente, cât şi din cadrul ţărilor dezvoltate. Procedeul utilizat a fost cel propus
iniţial de Brailsford şi Faff (1996), însă baza de date a fost extinsă de la o singură ţară
(Australia) la 15 ţări. S-au testat 11 modele, aceleaşi cu cele propuse de Brailsford şi Faff
(1996), folosind totodată aceleaşi formule de calcul a erorilor (simetrice şi asimetrice).
Concluzia a fost că, în condiţiile utilizării funcţiilor de eroare convenţionale, simetrice,
modelul „exponential smoothing” oferă previziunile cele mai bune. În acelaşi context, al
măsuratorilor simetrice, modelele de tip ARCH au fost găsite drept inferioare din punct de
vedere al calităţii estimatorilor. Atunci când însă s-au folosit parametri asimetrici de
măsurare a erorilor, în cazul în care prognozele negative (cele care s-au dovedit a fi sub
nivelul volatilităţii reale) au fost penalizate mai mult, grupul ARCH de modele a oferit cele
mai bune prognoze. Însă când prognozele pozitive (cele dovedite a fi peste nivelul volatilităţii
reale) au fost penalizate mai mult, modelul ”exponential smoothing„ s-a dovedit din nou mai
bun, iar modelele de tip ARCH, inferioare. Studii desfăşurate pe eşantioane unitare, ce
cuprind o singură ţară, au luat de asemenea în considerare performanţele modelelor derivate
din GARCH. Deşi datele utilizate în aplicaţii au un spectru mai degrabă restrâns, concluziile
acestora sunt de menţionat în legătură cu cele mai recente reformulări ale modelelor GARCH.
Astfel, Marcucci (2005) a demonstrat faptul că modelele de tip „Markov regime switching
GARCH” sunt superioare tuturor modelelor standard de tip GARCH în prognoza volatilităţii
pentru orizonturi scurte de timp, în timp ce pentru orizonturi mai largi, modelele simetrice
standard GARCH se dovedesc mai bune. Barucci și Renó (2001) susţin că utilizând serii de
timp simulate (bazate pe integrarea seriilor de timp care ar permite exploatarea structurii
17
temporale a datelor cu frecvenţă înaltă prin includerea tuturor observaţiilor în estimarea
volatilităţii) performanţa modelului GARCH ar fi sporită.
Revenind la clasificare metodelor de analiză şi prognoză a seriilor de timp, dar şi la analiza
realizată de Poon (2005), asupra modelelor de analiză şi prognoză a seriilor de timp, putem
afirma că:
în cadrul metodelor clasice de analiză şi prognoză putem include toate modelele
care se bazează pe modelul volatilităţii istorice, a sporului mediu şi a indicelui
mediu, modelul mediilor mobile, cel al ajustării exponenţiale;
în cadrul metodelor moderne de analiză şi prognoză a seriilor de timp sunt incluse
modelele ce au la bază procesele de tip autoregresiv medie mobilă (ARMA),
autoregresiv condiţionat heteroscedastic (ARCH) sau de volatilitatea stochastică
(SV).
Metodologia Box-Jenkins
În analiza seriilor de timp, metodologia cea mai utilizată în estimarea parametrilor este cea
introdusă în anul 1970 de către statisticienii George Box şi Gwilym Jenkins, cunoscută sub
numele de Box-Jenkins, care aplică modelele ARIMA pentru a estima cel mai bun model
folosind comportamentul trecut al seriei de timp. Estimarea parametrilor modelelor de tip
ARIMA prezintă limitări severe bazate și pe faptul că parametrii estimați ai modelelor
ARIMA pot fi, în unele cazuri, destul de instabili; această problem poate fi rezolvată prin
modificarea eşantionului utilizat, în acest caz existând posibilitatea estimării parametrilor prin
valori diferite de la o estimare la alta. De asemena, alegerea unui model ARIMA cât mai
potrivit depinde în multe cazuri de experienţa statisticianului în acest domeniu. Există toutși
riscul ca, un model odată selectat, să nu realizeze prognoze foarte bune. În procesul de
estimare a modelului de tip ARIMA se parcurg următoarele etape:
1. Testarea staţionarităţii seriei. Aceasta se poate face atât grafic, cât şi numeric, cu
ajutorul testelor Philips-Peron, Dickey-Fuller, Dickey-Fuller îmbunătăţit (ADF) şi altele.
Dacă seria nu este staţionară, aceasta se staţionarizează prin diferenţiere. În cazul multor serii
de timp nestaţionare se folosește integrarea de ordinul 1, I(1), staţionarizarea realizându-se
prin calculul primei diferenţe a seriei.
2. După executarea transformărilor necesare asupra seriei pentru staţionarizare, trebuie
identificat procesul stochastic care reprezintă cel mai bine structura seriei noi.
Prin intermediul caracteristicilor funcţiilor de autocorelaţie totală şi autocorelaţie parţială sunt
determinate modele autoregresive pentru analiza seriei de date. Identificarea proceselor
18
ARMA pe baza acestor două funcţii poate fi destul de dificilă, în principal din cauza
neconcordanţelor dintre funcţiile estimate şi cele teoretice şi din cauza propriilor structuri
complexe ale proceselor mixte ARMA. În mod sintetic, aceste caracteristici sunt prezentate în
continuare:
Tabel 1.1. Identificarea tipului de proces stochastic în raport de funcția de autocorelație
și funcția de autocorelație parțială
Proces stochastic Funcţia de autocorelaţie Funcţia de autocorelaţie
parţială
MA(q)
Vârfuri semnificative pentru
primele q decalaje. Se anulează
pentru decalaje superioare
ordinului procesului.
Descreşte rapid, fără a se anula
AR(p) Descreşte rapid, fără a se anula
Vârfuri semnificative pentru
primele p decalaje. Se anulează
pentru decalaje superioare
ordinului procesului.
ARMA(p,q) După primele q-p decalaje are o
formă specifică termenilor AR.
După primele p-q decalaje are o
formă specifică termenilor MA.
Luând în calcul aceste caracteristici se estimează parametrii modelelor autoregresive. După
estimare, se testează caracteristicile modelelor autoregresive estimate.
Ipotezele care trebuie testate pentru validare sunt:
Ipoteza de necocelare a erorilor: pentru testarea acestei ipoteze pot fi folosite
testele multiplicatorului lui Lagrange (LM), Box-Pierce, testul Q sau Durbin-
Watson;
Ipoteza de homoscedasticitate: pentru testarea acestei ipoteze se pot folosi testul
verosimilităţii, testul Goldfeld-Quandt sau testul Breusch-Pagan;
Ipoteza de normalitate a reziduurilor.
19
În urma aplicării testelor pentru validarea ipotezelor, ne putem afla în una din următoarele
situaţii:
Nici un model nu este valid, caz în care, după introducerea unor noi factori, se
reface procesul de identificare a modelului de analiză a seriei de timp;
Există un singur model valid, moment în care se poate trece la etapa de prognoză;
Mai multe modele sunt validate şi trebuie ales cel mai potrivit model, care este şi
cea mai întâlnită situaţie.
Identificarea procesului ARMA cel mai potrivit, prin metodologia propusă de Box şi Jenkins,
are la bază compararea caracteristicilor seriei de timp empirice cu cele teoretice ale proceselor
ARMA validate. Pentru această comparare se folosesc indicatorii construiţi pe baza teoriei
informaţiei, şi anume criteriul informaţionale Akaike (AIC), criteriul Schwartz (SC) şi
criteriul Hannan-Quinn (HQC). Aceşti indicatori funcţionează pe principiul minimizării
numărului de parametri ai modelului şi ai varianţei erorilor de modelare. Este considerat ca
fiind cel mai bun modelul cel pentru care valorile indicatorilor menţionaţi sunt cele mai mici.
Indicatorii informaţionali se definesc prin relaţiile:
Criteriul informaţional Akaike: kTAIC 2log 2 ;
Criteriul Schwartz: TkTSC loglog 2 ;
Criteriul Hannan-Quinn: TkTHQC loglog2log 2 ,
unde 2
reprezintă varianţa erorilor de modelare;
T-numărul valorilor observate ale seriei de timp (mărimea eşantionului);
k-numărul de parametri ai modelului de proces stochastic.
Există multe cazuri în care cele trei valori nu indică acelaşi model de proces stochastic, caz în
care Mills şi Markellos (2008) susţin că trebuie să privilegiem criteriul Schwartz.
20
Modele heteroscedastice
Având în vedere că tipurile de procese prezentate mai sus nu au oferit de-a lungul timpului
destulă acurateţe în prognoza seriilor de timp, dezvoltarea modelelor de analiză şi prognoză a
intrat într-o nouă etapă, prin introducerea modelelor tip ARCH (Autoregressive Conditional
Heteroskedasticity).
Această abordare se datorează şi faptului că prin analiza seriilor de timp financiare s-a constat
o clusterizare a volatilităţii, gama aceasta de modele fiind capabilă de a captura această
proprietate empirică a seriilor de timp. O perioadă de timp caracterizată de o volatilitate
ridicată persistă în timp, înainte ca reacţiile pieţei să revină la normal. Pe baza analizelor
realizate, s-a constatat de-a lungul timpului că modelele tip ARCH modelează destul de robust
o gamă largă de serii de timp financiare. Gradul ridicat de aplicabilitate a acestor modele a
determinat acordarea, în anul 2003, a premiului Nobel pentru Economie creatorului acestuia,
profesorul Robert Engle.
Dovezi empirice sugerează faptul că modelul de tip GARCH este un model mult mai
parsimonios decât un model de tip ARCH și din acest motic GARCH(1,1) este una dintre
structurile cele mai populare în estimarea seriilor de timp cu date financiare. Modelul
EGARCH (Exponential GARCH) creat de Nelson (1991) utulizaeză varianţa condiţionată
logaritmată și din acest motiv nu mai sunt necesare constrângeri asupra estimărilor (dispare
din start posibilitate unei varianţe negative). Există studii empirice în literatura de speicliate
financiară care subliniază robusteţea modelelor de tip ARCH sau de tip GARCH , dar și
extensii ale acestor modele. Astfel, Akgiray (1989) arată că modelele de tip GARCH pot
oferi rezultate mai robuste decât alte modele iar Pagan şi Schwert (1990) descoperă că
EGARCH performează mai bine decât alte modele neparametrice. Cao şi Tsay (1992)
demonstrează că modelul tip EGARCH oferă prognozele cele mai exacte în cazul acţiunilor
unor companii care au o capitalizare mai redusă; acest lucru este explicabil prin efectul de
levier. Bali (2000) analizează utlizarea modelelor de tip GARCH pentru prognoza volatilităţii
randamentelor T-Bills-urilor pe piaţa nord americană. Acele modele care permit asimetria
volatilităţii au performanțe mai bune în prognoză; acest lucru poate fi pus pe seama legăturii
negative și puternice existente între volatilitate şi şocurile care au avut efect asupra ei. Cao şi
Tsay (1992), Heynen şi Kat (1994), Lee (1991), Pagan şi Schwert (1990) au evidenţiat
importanţa modelării cu ajutorul modelelor de tip EGARCH în estimarea volatilităţii unor
21
indicii bursieri sau a cursului de schimb; Brailsford și Faff (1996) şi Taylor (2001) susțin că
modelele de tip GJR-GARCH sunt mai potrivite decât cele de tip GARCH la modelarea
volatilității indicilor de acţiuni.
2.1 Modelul Auto Regressive Conditional Heteroscedasticity (ARCH)
Modelul ARCH, introdus în anul 1982 de către Engle, constituie punctul de plecare pentru
multe dezvoltări ulterioare, pe care le vom prezenta în cele ce urmează, dar a fost şi foarte
dezbătut şi analizat în studii deosebit de importante, precum cele ale lui Bera şi Higgins
(1993), Bollerslev, Chou şi Kroner (1992), Bollerslev, Engle şi Nelson (1994) sau Diebold şi
Lopez (1995). Spre deosebire de modelele cu volatilitate istorică, modelele tip ARCH nu se
bazează pe deviaţia standard din trecut, ci pe varianţa condiţionată, ht Notăm tt h2 .
tty
ttt zh (2.1)
)1,0(~ Dzt (white noise)
În multe dintre cazuri distribuţia, D este considerată normală. Procesul zt este dependent de
ht, varianţa condiţionată, care la rândul ei este funcţie de reziduurile pătratice din trecut.
Procesul ARCH de ordin q propus de Engle în 1982 este de forma:
2
1
jt
q
j
jth
(2.2)
unde ω>0 şi αj≥0 pentru a asigura condiţiile ca ht să fie tot timpul pozitiv.
În mod obişnuit se observă un ordin q înalt datorită persistenţei în timp a volatilităţii în pieţele
financiare. Pe baza felului în care volatilitatea este definită, la momentul t-1, ht este cunoscut,
aşadar prognoza pentru o perioadă fiind uşor estimată:
q
j
jtjth1
2
1ˆ
Prognoza pe o perioadă mai lungă se formulează pe baza faptului că tt hE 2 .
Varianţa condiţionată a randamentului este definită prin:
q
j
j
1
2
1
22
Procesul este considerat ca fiind covariant staţionar dacă şi numai dacă suma parametrilor
autoregresivi este mai mică decât 1:
11
q
j
j
2.2 Modelul Generalized Auto Regressive Conditional Heteroscedasticity
(GARCH)
În cazul necesităţii utilizării unui proces ARCH de ordin mai înalt, s-a constatat că este mai
eficientă introducerea unui model GARCH(p,q), propus în anul 1986 de către Bollerslev şi
Taylor, prin introducerea unor noi termeni, numiţi dependente adiţionale, prin care sunt
suprinse în forma lui h la momentul t şi o parte din valorile sale până la lag-ul de ordin p, aşa
cum este exemplificat mai jos:
2
11
jt
q
j
j
p
i
itit hh
,
cu restricţia ca ω>0. Coeficientii αi şi βi se presupune a fi toţi pozitivi pentru ca varianţa
condiţionată să fie întotdeauna pozitivă, aceasta fiind calculată astfel:
q
j
j
p
i
i
11
2
1
Procesul este considerat ca fiind covariant staţionar dacă şi numai dacă:
111
q
j
j
p
i
i
Pentru ca parametrii βi din modelul GARCH(p,q) să poată fi estimaţi, condiţia necesară este
ca măcar unul dintre parametrii αi din procesul ARCH(q) să fie diferiţi de zero. Termenii de
tip ARCH aduc în model date despre volatilitatea precedentă şi se măsoara ca diferenţe ale
reziduurilor pătratice din ecuaţia mediei. Termenii de tip GARCH reprezintă persistenţa
şocurilor trecute asupra volatilităţii sau persistenţa impactului informaţiilor din trecut asupra
volatilităţii.
Pe piaţa financiară, modelul GARCH poate descrie modalitate în care un anumit agent poate
prognoza nivelul volatilităţii viitoare pe baza mediei pe termen lung (ω) a varianţei, a
varianţei anterioare, asociată termenului GARCH, dar şi a informaţiilor disponibile cu privire
la volatilitatea din perioada anterioară, asociată termenului ARCH.
23
Studii empirice au arătat că în cele mai multe cazuri, un model GARCH(1,1), folosind doar
trei parametri la estimarea ecuaţiei varianţei condiţionate, poate fi suficient pentru a modela
destul de multe serii financiare (Hansen, Lunde, 2004).
Pentru modelele mai complexe, de ordin înalt, constrângerile sunt mai dure, o analiză foarte
riguroasă în acest sens fiind făcută de Nelson şi Cao (1992).
Prognoza volatilităţii printr-un model GARCH(1,1) poate fi tranformată prin mai multe
substituţii. Luând ca bază ecuaţia (2.1), se estimează erorile reziduale aşteptate:
E t2 htE zt2 ht
Varianţa condiţionată ht+1 , prognoza pe o singură perioadă cunoscută la momentul t, este:
ttt hh 1
2
11ˆ (2.3)
Pentru prognoza lui ht+2 ştiind că 1
2
1 tt hE , obţinem:
11
2
112ˆ
ttt hh
111 th
Pentru orizontul t+3,obţinem:
2113ˆ
tt hh
1
2
1111 th
tt h1
2
1
2
11
2
1111
Pentru un orizont de prognoză de τ perioade:
ttt hh 1
2
111
111ˆ
(2.4)
Dacă este îndeplinită condiţia ca α1+ β1<1, al doilea termen al sumei din dreapta ecuaţiei (2.4)
tinde la 0, iar th converge la 111
, varianţa condiţionată.
Dacă notăm ttt h 2 şi înlocuim ttth 2 , obţinem:
11
2
11
2
11
2
ttttt
11
2
111
2
tttt (2.5)
prin urmare, 2
t , reziduurile pătratice urmează un proces ARMA, de parametru autoregresiv
11 . Dacă 11 este apropiat de 1, procesul autoregresiv (2.5) tinde la 0.
24
2.3 Modelul Integrated Generalized Auto Regressive Conditional
Heteroscedasticity (IGARCH)
Pentru un proces GARCH(p,q), când 111
q
j
j
p
i
i , varianţa condiţionată tinde la infinit (
2 ), deci nu mai poate fi definită. Seria rt nu mai este covariant staţionară, deşi ea este
în continuare staţionară şi ergodică. În acest caz varianţa condiţionată este descrisă de un
proces GARCH integrat (IGARCH), nemaiexistând al patrulea moment finit; procesul a fost
propus tot de către Bollerslev şi Taylor în 1986.
Deşi intuitiv s-ar putea spunea că acest lucru nu poate fi prezent în fenomene economice şi
financiare (acela că volatilitatea este infinită), există studii empirice care demonstrează
existenţa unor asemenea cazuri.
Putem demonstra că modelul Riskmetrics EWMA este o versiune nestaţionară a modelului tip
GARCH (1,1), în care suma parametrilor α1 şi β1 este 1.
1
2
12 ttt hh ,
dar
ttttttt hhhh 222
12
2
1 ,
Generalizând
t
i
t
i
i
i
t hh
1
2
1
1
1
1 .
Pentru şi luând în considerare că β<1:
1
21
1 i
it
i
th
. (2.6)
Considerăm modelul EWMA pentru deviaţia standard a eşantionului considerat, unde:
22
1
2
12
2 ......1
1nt
n
ttnt
.
Când n şi ştiind că 1 :
1
212 1i
it
i
t
. (2.7)
25
2.4 Modelul Exponential Generalized Auto Regressive Conditional
Heteroscedasticity (EGARCH)
Modelul GARCH exponenţial (EGARCH) a fost introdus în anul 1991 de către Nelson.
Modelul EGARCH(p,q) prezintă varianţa condiţionată în formă logaritmică, din acest motiv
nemaifiind necesară impunerea unei restrângeri pentru obţinerea unei varianţe pozitivei:
p
k
ktkktk
q
j
jtjt hh11
0
2lnln
unde t
tt
h
.
În acest model ht depinde atât de valoarea, cât şi de semnul lui εt. Această abordare permite
captarea în model a faptului că un şoc negativ determină o valoare a varianţei condiţionate
mai mare în perioada următoare şocului, decât în cazul unui şoc pozitiv. Procesul este
covariant staţionar dacă şi numai dacă
q
j
j
1
1 .
Prognoza cu ajutorul modelului EGARCH este puţin mai complicată datorită transformării
logaritmice aplicate datelor iniţiale. Tsay (2002) prezintă procesul EGARCH(1,0) şi prognoza
pentru următoarea perioadă astfel:
ghh tt exp1expˆ
01
2
11
unde
211 ttg .
Pentru o prognoză pe o perioadă mai lungă se obţine:
2225.0exp5.0expexp1ˆ 1
tt hh
unde
2
1 01
şi este funcţia de densitatea cumulată a distribuţiei normale standard.
2.5 Modelul Glosten-Jagannathan-Runkle Generalized Auto Regressive
Conditional Heteroscedasticity (GJR-GARCH)
Un alte model dezvoltat pe baza modelului tip ARCH este GJR-GARCH introdus în 1993 de
către Glosten, Jagannathan şi Runkle. Forma generală a modelului este:
q
j
jttjjjtj
p
i
itit Dhh1
2
1,
2
1
26
unde
00
01
1
1
1
t
t
tdacă
dacăD
.
Volatilitatea condiţionată este pozitivă când parametrii îndeplinesc următoarele condiţii:
pişiqjpentruşi ijjj ,,1,,10,0,0,00
Procesul este covariant staţionar dacă şi numai dacă
p
i
q
j
jji
1 1
12
1 .
Considerăm modelul GJR-GARCH(1,1). Prognoza pentru un orizont de prognoză egal cu 1
este:
ttttt Dhh 2
1
2
11 1ˆ .
Prognoza pentru mai multe perioade este:
11112
1ˆ
tt hh , iar ht+τ-1 se calculează prin substituţii repetate.
2.6 Modelul Threshold Generalized Auto Regressive Conditional
Heteroscedasticity (TGARCH)
Modelul tip TGARCH (threshold GARCH) a fost propus de către Zakoian în 1994, fiind
similar cu modelul GJR-GARCH, cu excepţia faptului că este formulat pe baza valorii
absolute a erorilor:
q
j
jtj
p
i
ititiiitit D11
,0
Volatilitatea condiţionată este pozitivă când parametrii îndeplinesc următoarele condiţii:
qjşipipentruşi jiii ,,1,,10,0,0,00
Procesul este covariant staţionar, în cazul în care p=q=1, dacă şi numai dacă
12
2
2
1111
2
11
2
1
2
1
.
27
3 Analiza şi prognoza volatilităţii opţiunilor Total tranzacţionate la bursa
Euronext Paris
Pe baza valorilor totale tranzacţionate în perioada 2009-2010, ne propunem să analizăm
volatilitatea opţiunilor pe acţiuni ale companiei Total. Ne propunem ca pentru această opțiune
pe acțiune să analizăm volatilitatea zilnică în perioada 1 ianuarie 2009 - 17 mai 2011 (619 zile
de tranzacţionare) şi să determinăm modele de estimare a evoluţiei volatilităţii pentru
perioada de baza; pe baza acestor modele vom realiza prognoze pentru un orizont de prognoză
de 10 zile lucrătoare, pentru ca apoi să comparăm rezultatele determinate prin prognoză cu
valorile reale înregistrate în intervalul 18 mai 2011 – 31 mai 2011; pe baza erorilor
determinate la nivelul fiecărui model de prognoză, vom încerca ierarhizarea acestor modele de
prognoză.
3.1 Noțiuni teoretice despre tranzacționarea opțiunilor
Opţiunile sunt instrumente financiare derivate care oferă posibilităţi de câştig investitorilor
care nu doresc să îşi asume riscuri mari. Aceste instrumente financiare nu sunt foarte
populare la nivelul pieţei de capital din România. Singura piaţă pe care se pot tranzacţiona în
ţara noastră acest tip de instrumente este piaţa monetar-financiară şi de mărfuri SIBEX de la
Sibiu. Pe această piaţă volumul tranzacţiilor cu opţiuni sunt de câteva zeci de ori mai mici
decât cele cu instrumente de tip futures, deşi volumul total al tranzacţiilor cu instrumente
financare derivate a crescut semnificativ în ultimii ani. Pentru prezentarea sintetică a acestui
produs financiar, vom face aprecieri asupra elementelor sale definitorii, modului de
tranzacţionare, a modului de clasificare şi a elementelor sale caracteristice.
Opţiunea sau contractul cu opţiuni este un acord perfectat între un cumpărător şi un vânzător
prin care cumpărătorul are dreptul, dar nu şi obligaţia, de a achiziţiona/ vinde un anumit
număr de active financiare sau reale, numite active suport, la scadenţă sau în orice moment
până la scadenţă, la un preţ prestabilit numit preţ de exercitare în schimbul plăţii primei, în
timp ce vânzătorul are obligaţia de a livra sau nu activul suport în funcţie de decizia
cumpărătorului (Prisacariu, Ursu, Andrieş, 2008). Înţelegem prin aceasta că este vorba de un
contract în care principalele elemente ale viitoarei tranzacţii de active suport sunt fixate în
momentul încheierii tranzacţiei, ne ma contând dacă piaţa evoluează sau nu în direcţia
estimată de participanţi.
Cumpărătorul unei opţiuni are dreptul, dar nu şi obligaţia, să cumpere sau să vândă, la un
termen fixat denumit scadenţă şi la un preţ (de exerciţiu) fixat, o anumită cantitate, fixată, de
28
active suport (materiale, financiare, valutare etc.). Este vorba de un contract opţional în care
principalele elemente ale viitoarei tranzacţii (cumpărare/vânzare) de active suport sunt fixate
din momentul încheierii contractului, indiferent dacă piaţa va evolua sau nu în direcţia
aşteptărilor iniţiale.
La rândul său, vânzătorul unei opţiuni îşi asumă irevocabil obligaţia de a vinde (sau de a
cumpăra) activele suport comandate de cumpărător, în condiţiile din contractul opţional,
indiferent dacă, la momentul exercitării opţiunii, piaţa îi este sau nu favorabilă. Asumarea
acestui risc se face în schimbul încasării, de la început, a unei prime care este preţul opţiunii
(Stancu, 1997).
Putem considera că vânzătorul va obține în cazul acestui tip de contract câştiguri limitate dar
certe, sub forma primei încasate, în schimbul asumării unor riscuri nelimitate. Pentru
cumpărător, opţiunea poate fi considerată o poliţă de asigurare. Cumpărarea opţiunii îi
permite cumpărătorului obţinerea de câştiguri aproape nelimitate, în cazul în care piaţa
evoluează în direcţia previzionată, sau acoperirea pierderilor cauzate de evoluţia în sens opus.
Totodată se poate conchide că tranzacţiile cu opţiuni sunt, în fapt, operaţiuni de vânzare sau
de cumpărare de riscuri. Cumpărătorul opţiunii are o aversiune mai ridicată faţă de risc şi îl
vinde, iar vânzătorul opţiunii, în schimb, are o aversiune scăzută (preferinţă) pentru risc şi îl
cumpără (Hull, 2008).
Opţiunea, fiind un contract între doi investitori, este caraterizată, alături de cele două părţi
contractuale, şi de alte câteva elemente specifice:
scadenţa (expiry ori the expiration date) întâlnită în literatura română de specialitate
şi sub denumirea de „termen de maturizare" sau „data expirării" reprezintă
termenul viitor la care sau până la care deţinătorul contractului poate să cumpere sau
să vândă activul suport;
activul de bază (underlying asset), numit şi „activ suport", reprezintă activul real
sau financiar care face obiectul contractului;
preţul de exerciţiu (exercice price sau strike price) reprezintă preţul la care se va
realiza tranzacţia, preţ stabilit la încheierea contractului;
prima (the premium) reprezintă suma plătită de către cumpărător vânzătorului, pentru
a avea dreptul de opţiune până la scadenţă sau la scadenţă.
În practică există posibilitatea ca la semnarea contractului să se achite numai o parte din
primă, iar diferenţa să se plătească pe măsură ce preţul de piaţă al activului de bază scade sub
preţul de exerciţiu. Tot în practică este uzual ca la exercitarea unei opţiuni să nu se vândă,
respectiv să nu se cumpere efectiv activul de bază, ci numai să se achite diferenţa de preţ
29
dintre valoarea lui şi preţul de exerciţiu. Acest mecanism, denumit decontare netă a
contractelor de opţiuni, în cazul în care la exercitare se realizează transferul efectiv al
activului suport, atunci aceste contracte de opţiuni se numesc cu decontare brută. Deci nu
există întotdeauna o legătură neapărat necesară între deţinerea efectivă a activului de bază şi
emiterea opţiunilor. Opţiunea reprezintă doar un contract între doi agenţi economici dornici
să investească în scopul obţinerii de profit sau pentru acoperirea riscurilor financiare
(Castagnino, 2009).
Opţiunile oferă o serie de avantaje în comparație cu alte instrumente financiare, şi anume:
flexibilitate. Indiferent de evoluţia preţurilor, opţiunile ajută investitorul să-şi
realizeze obiectivele de tranzacţionare şi management al riscului;
multifuncţionalitate. Chiar dacă un investitor nu are formată o opinie cu privire la
evoluţia pieţei, el poate să profite de modificarea volatilităţii pieţei sau de trecerea
timpului până la scadenţă;
posibiliatatea unor câştiguri nelimitate generate de operațiuni cu risc limitat. De
exemplu, la cumpărarea unei opţiuni, expunerea dată de preţul plătit pentu acea
opţiune, iar potențialul profit este teoretic nelimitat;
standardizare – prin care se elimină riscul de neplată al contrapărţii.
Opţiunile au apărut pentru prima dată, în mod oficial, în anul 1973 la Chicago Board
Options Exchange (CBOE). În acelaşi an au apărut şi primele modele matematice
referitoare la ele (F. Black, M. Scholes şi R. C. Merton), modele care îşi păstrează şi astăzi
valabilitatea. În toată perioada care a urmat, volumul tranzacţiilor cu opţiuni a avut o
expansiune nemaiîntâlnită în alte domenii. După unele estimări (o evaluare exactă este
imposibil de făcut), ordinul de mărime al tranzacţiilor cu cele mai comune tipuri de opţiuni
(vanilla) a ajuns la nivel mondial la cifre depăşind 14.000 de miliarde de dolari anual. Nu
lipsit de semnificaţie este şi faptul că numărul activelor de bază este depăşit simţitor de
numărul opţiunilor, de unde concluzia că există mai multe opţiuni emise asupra aceluiaşi
activ de bază (Hull, 2008).
Din punctul de vedere al modului de tranzacţionare a activului de bază prevăzut în contract,
există două formule posibile ale opţiunilor:
• opţiunea de cumpărare (CALL) conferă cumpărătorului dreptul (dar nu prevede şi
obligaţia) să cumpere de la vânzător activul suport în orice moment până la data expirării sau
la data expirării la preţul de exercitare, în schimbul unei sume numite primă; vânzătorul
opţiunii în schimbul primei încasate este obligat să vândă activul de bază, dacă acest lucru
este solicitat de cumpărător; cu alte cuvinte, în momentul emiterii unei opţiuni call,
30
cumpărătorul plăteşte vânzătorului o sumă de bani (primă) în schimbul căreia, dacă doreşte,
va cumpăra activul de bază la preţul de exerciţiu în termenul prevăzut de contract; vânzătorul
are obligaţia de a se supune deciziei cumpărătorului, indiferent care este aceasta. Termenul
provine de la expresia “call to purchase”, adică un îndemn la cumpărare.
• opţiunea de vânzare (PUT) dă dreptul (dar nu prevede şi obligaţia) cumpărătorului
să vândă activul suport la o dată ulterioară la preţul de exercitare în schimbul unei prime
plătite iniţial; vânzătorul opţiunii are obligaţia să cumpere activul de bază la cererea
deţinătorului; cumpărătorul dobândeşte acest drept achitând o primă vânzătorului în
momentul în care cumpărp opţiunea; la fel ca şi în cazul opţiunii CALL, termenul provine de
la expresia ”put to sell”, un îndemn la vânzare.
Uzual, situaţia în care se află cumpărătorul unei opţiuni este numită poziţie lungă
(long position), spre deosebire de situaţia în care se găseşte vânzătorul, numită poziţie scurtă
(short position) (Stancu, 1997).
Contractul de opţiune se pronunţă în legătură cu două momente specifice: termenul de
expirare şi termenul de exerciţiu, care pot sau nu să coincidă.
Termenul de expirare (scadenţă) reprezintă data până la care a fost emisă opţiunea, adică
durata ei de viaţă. La orice moment de timp, un activ financiar poate fi activ de bază pentru
trei serii de opţiuni având date posibile de expirare la intervale de trei luni. Prima serie care
expiră este numită serie apropiată, urmată în ordine de seria medie şi de seria îndepărtată.
De exemplu, orice serie de opţiuni expiră în sâmbăta care urmează celei de a 3-a vineri a lunii
statuate în contract. Când expiră o serie apropiată, este emisă o nouă serie de nouă luni. Deci
în cursul unui an pot exista serii cu data de expirare: ianuarie, februarie sau martie, serii cu
data de expirare: aprilie, mai sau iunie, serii cu data de expirare iulie, august sau septembrie,
şi serii cu data de expirare octombrie, noiembrie sau decembrie. Pe măsură ce se scurge
timpul, oricare dintre acestea pot fi apropiate, medii sau depărtate (Geman, 2005).
Termenul de exerciţiu este momentul în care deţinătorul unei opţiuni îşi exercită drepturile
prevăzute de contract, dacă doreşte acest lucru. Din punct de vedere al sensului atribuit
termenului de exerciţiu, există două categorii de opţiuni:
opţiuni în stil (de tip) american care dau dreptul cumpărătorului să exercite sau să
abandoneze contractul în orice moment până la data expirării, inclusiv această dată;
opţiuni în stil (de tip) european care dau dreptul cumpărătorului să exercite sau să
abandoneze contractul numai la data expirării.
Aceşti termeni cu iz geografic nu au nimic comun cu o plasare zonală a opţiunilor. De altfel,
vom mai întâlni şi alte astfel de denumiri (Hull, 2008).
31
În căutarea informaţiilor necesare pentru crearea bazei de date, am luat în calcul observaţia lui
Beckers (1981), care susţine că pentru analizele cu privire la volatilitatea opţiunilor este
indicat, dacă este posibil, folosirea de date cu privire la volatilitatea opţiunilor CALL de tip
american. Opţiunile de tip american dau dreptul cumpărătorului să exercite sau să abandoneze
contractul în orice moment până la data expirării, inclusiv la această dată. Analizând situaţiile
pentru perioada analizatp, observăm că, pentru opţiunile pe acţiuni pe care le-am considerat,
între 98% din valoarea tranzacţionată a fost cu opţiuni de tip american. Sursa datelor este
reprezentată de către baza de date Thomson Datastream. Datele furnizate reprezintă
volatilitatea zilnică a opţiunilor pe acţiuni CALL de tip american, a celor 4 companii în
perioada 1 ianuarie 2009 – 17 mai 2011, valorea acestora fiind calculată pe baza algoritmului
binomial de tip Cox-Rubinstein. Prelucrarea datelor a fost realizată cu programul Eviews 7.2.
3.2 Prognoza volatilității folosind serii de timp
Deşi prima analiză a puterii de prognoză a modelelor tip ARCH a fost realizată de către
Taylor în 1986, Akigray (1989) este mult mai des citat în studii ca fiind iniţiatorul acestui
demers. Ulterior, Poon (2005) într-un studiu destul de precis cu privire la puterea şi acurateţea
modelelor de prognoză a volatilităţii, realizează o comparaţie între aceste modele, luând în
considerare volatilitatea indicilor bursier şi a ratelor de schimb.
Clasa de modele ARCH, cu toate variantele sale derivate, îşi găseşte mulţi susţinători.
Akigray consideră modelul GARCH superior modelului EWMA din punctul de vedere al
acurateţei prognozei. Pagan şi Schwert (1990) consideră modelul EGARH ca fiind cea mai
bună metodă, mai ales în comparaţie cu o serie de metode neparametrice.
Hansen şi Lunde (2005), într-un studiu cu un titlul destul de provocator (A forecast
comparison of volatility models: Does anything beat a GARCH(1,1)?), publicat în Journal of
Applied Econometrics, consideră că, deşi au apărut multe dezvoltări ale modelului
GARCH(1,1), puterea acestuia de a da prognoze cât mai precise este în continuare la fel de
bună comparativ cu celelalte modele mai noi.
Cumby, Figlewski şi Hasbrouck (1993) demonstrează că modelul EGARCH este superior
celorlalte modele, deşi în cazul datelor analizate de către aceştia, există un raport de
determinaţie R2 mult mai mic pentru EGARCH. Figlewski (1997) propune modelul GARCH
ca fiind cel mai propice pentru prognoza volatilităţii acţiunilor pe o perioadă scurtă de timp.
Poon (2005) constată că modelele care iau în calcul asimetria volatilităţii au rezultate mai
bune în prognoză datorită legăturii inverse între volatilitate şi un eventual şoc. Cao şi Tsay
(1992), Heynen şi Kat (1994), Lee (1991) dar şi Pagan şi Schwert (1990) susţin că modelul
32
EGARCH are performanţe superioare, iar Brailsford şi Faff (1996) şi Taylor (2004) consideră
modelul GJR-GARCH ca fiind superior în prognoza volatilităţii indicilor bursieri.
Există o serie de autori care nu pot ierarhiza foarte clar modelele între ele, printre aceştia
incluzându-se Lee (1991), West şi Cho (1995), Brailsford şi Faff (1996), Brooks (1998),
McMillan, Speight şi Gwilym (2000). Toate studiile evocate, dar şi altele care evaluează
modele, prezintă următoarele similitudini:
Testează un număr mare de modele în scopul de a captura (extrage) persistenţa
volatilităţii;
Utilizează mai multe metode de determinare a erorii de prognoză, fiecare având
modalităţi de explicare a erorii, pe care şi noi le vom enumera şi folosi ulterior;
Fac referire atât la volatilitatea intra-day, zilnică, săptămânală sau lunară, rezultând
astfel estimări foarte ”zgomotoase” (nu foarte precise) ale volatilităţii.
Spre deosebire de modelele de tip ARCH, modele mai simple de prognoză, precum EWMA,
nu separă total persistenţa volatilităţii de volatilitatea dată de şocuri şi cele mai multe nu
înglobează în model inversa volatilităţii medii (volatility mean reversion).
Metodele mai simple tind să ofere valori prognozate ale volatilităţii mai mari în cele mai
multe dintre cazuri deoarece nu există constrângeri cu privire la staţionaritate sau la
convergenţa varianţei necondiţionale, prezentând astfel erori multi mai puternice. Modelul
GJR permite o aşa zisă redresare a volatilităţii mult mai rapidă în unele cazuri, spre exemplu
la schimbarea semnului randamentului de la o etapă la alta. În cazul acestui model,
probabilitatea de ”subprognoză” este mai mare, acesta putând fi unul dintre motivele pentru
care Franses şi Van Dijk (1996) îl consideră cel mai ineficient model, dar şi datorită faptului
că iau în calcul ca şi criteriu de evaluare a prognozei doar eroarea medie standard, spre
deosebire de studiul lui Brailsford şi Faff (1996) unde un model GJR(1,1) are rezultatele cele
mai bune luând ca şi criterii eroarea medie absolută (MAE) şi eroarea media procentuală
absolută (MAPE).
Acurateţea prognozei
Compararea performanţelor diferitelor modele de prognoză a volatilităţii este aspectul cel mai
important în demersul de modelare şi prognoză a unui fenomen financiar. Deşi această
comparare constituie un element central în acest domeniu, Poon (2005) consideră că în toată
literatura de specialitate nu se abordează destul de atent această problematică, nefiind foarte
multe analize în care să se facă modelare, prognoză şi apoi evaluare. În primă fază, găsim în
33
literatura de specialitate multe întrebări cu privire la forma datelor ce ar trebui analizate
pentru obţinerea unor criterii cât mai potrivite.
Considerăm o serie de timp (yt) pentru care, pe baza unui anumit model, facem prognoza (ft),
unde t variază de la 1 până la N (numărul de prognoze realizate) şi et=yt-ft eroarea de
prognoză pentru fiecare dintre prognoze. Există două păreri cu privire la forma datelor ce
trebuie comparate. Unii consideră că ar trebui luată în calcul t abaterea standard calculată la
nivelul celor două serii ce se compară, alţii consideră oportună folosirea varianţei
condiţionate.
Dat fiind comportamentul foarte volatil al seriilor de date financiare şi faptul că prognoza se
bazează pe datele anterioare, modelul prognozat nu este creat în vederea furnizării de
informaţii cu privire la apariţia unor şocuri în piaţă; astfel, la apariţia unui şoc, meritul
modelului este acela de a îl capta cât mai precis şi de a îl integra în valorile viitoare. Dacă s-
ar lua în calcul varianţa condiţionată 2
t , aceasta ar da o pondere prea mare erorilor cauzate
de şocuri noi, distorsionând astfel prea puternic comportamentul seriei (Davidian şi Carol,
1987).
Există autori (Pagan şi Schwert, 1990) care propun tln pentru o rescalare a mărimii erorilor
de prognoză. Poate este prea mult deoarece magnitudinea erorilor are un impact direct şi
puternic asupra preţului opţiunii în cazul pe care îl studiem noi, putând da rezultate mult mai
eronate în cazul decizei de investiţie. Luând în calcul logaritmarea erorii poate distorsiona
foarte puternic viitoare previziuni asupra mărimilor derivate din prognoza volatilităţii.
Hansen şi Lunde (2004) folosesc o serie de simulări pentru a demonstra că în cazul
substituţiei randamentelor zilnice cu randamente pătrate în calculul varianţei condiţionate
determină în cazul evaluării mai multor modele ARCH o eroare nebănuită iniţial: modelele
inferioare ca şi performanţă pot fi alese ca fiind cele mai bune cu cât eşantionul folosit în
prognoză depăşeste o anumită limită.
Erorile de prognoză
Cock (2006) sugerează o serie de mărimi pentru evaluarea performanţelor modelelor de
prognoză şi anume eroarea medie (mean error, ME), eroarea medie pătrată (mean squred
error, MSE), eroarea medie absolută (mean absolute error, MAE), eroarea medie procentuală
(mean percentage error, MPE), eroarea medie procentuală absolută (mean absolute
percentage error, MAPE) şi doi coeficienţi de inegalitate Theil U, pe care îi prezentăm mai
jos:
34
T
t
teT
ME1
1
T
t
teT
MSE1
21
T
t
teT
MAE1
1
T
t t
t
y
e
TMPE
1
*1001
T
t t
t
y
e
TMAPE
1
*1001
T
t
t
T
t
t
T
t
tt
fT
yT
fyT
U
1
2
1
2
1
2
1
11
1
1
1
2
11
1
1
2
11
2
1
1
T
t t
tt
T
t t
tt
y
yy
T
y
yf
TU
Acestea sunt de fapt mărimi statistice medii pentru eşantionul observat şi cel prognozat pe
perioada 1, T. Încercăm acum o scurtă interpretare a posibilelor rezultate obţinute prin
calculul acestor evaluatori.
Considerăm următorul exemplu pentru a trage o serie de concluzii cu privire la aceşti
evaluatori. Yt reprezintă seria iniţială, iar f1t şi f2t sunt două prognoze diferite pentru perioada
n, n+6 cu erorile de prognoză respective e1t, respectiv e2t:
yt f1t e1t f2t e2t
n-1 21
n 23 21 2 25 -2
n+1 19 23 -4 21 -2
n+2 22 19 3 22 0
n+3 24 22 2 25 -1
n+4 24 24 0 26 -2
n+5 26 24 2 27 -1
n+6 21 26 -5 23 -2
35
Calculând erorile de prognoză, rezultă următoarele valori ale evaluatorilor celor două
prognoze:
f1t f2t
ME 0.00 -1.43
MSE 8.86 2.57
MAE 2.57 1.43
MPE -0.93 -6.44
MAPE 11.89 6.44
Theil U1 0.07 0.03
Theil U2 1.00 0.48
O valoare mică a erorii medii (ME) poate da informaţii cu privire la o posibilă inexactitate a
prognozei datorată efectului de compensare dintre erorile pozitive şi cele negative. În cazul de
faţă acest lucru este evident, dat fiind faptul că pentru f1t avem valoarea 0, care în nici un caz
nu reflectă faptul că prognoza ar fi perfectă. Nu este un evaluator foarte clar, fiind necesară şi
studierea în paralel cu acesta şi a altor evaluatori din lista prezentată anterior.
Erorile medii pătratice (MSE) şi erorile medii absolute (MAE) pot depăşi anulările dintre
erorile positive şi negative care nu pot fi captate de către ME, dar nu reuşesc să furnizeze
informaţii suficiente cu privire la acurateţea previziunilor relativ la scala seriilor de timp
examinate. Această problemă se observă prin comparaţia celor două prognoze. Pe baza MAE
şi MSE, f1t pare a oferi prognoze mai precise decât f2t. Cu toate acestea, aceste statistici nu
ţin cont de faptul că valorile prognozelor f2t sunt mai mari decât valorile de prognozate de f1t.
În schimb, luând în calcul MPE, MAPE şi Theil U1, observăm că f2t oferă informaţii mai
precise cu privire la valorile viitoare şi aceasta datorită faptului că deşi erorile prognozelor f2t
sunt mai mari decât cele ale f1t, ele sunt mai mici relativ la scala seriei iniţiale.
Criteriile Theil U1 şi U2, propuse de către Theil în 1958, respectiv în 1966, oferă o situaţie
mult mai clară şi sunt folosite în multe dintre evaluări pentru a da un verdict corect în cazul
comparării mai multor modele de prognoză. Criteriul U1, denumit claritate a prognozei, ia
valori între 0 şi 1, iar prognoza este cu atât mai exactă cu cât valoarea criteriului este mai
mică. Dacă valoarea lui U2 este mai mică decât 1, atunci prognoza oferită este mai bună, iar o
valoare peste 1 oferă indicii cu privire la o prognoză inferioară. Bliemel (1973) analizează
cele două criterii şi concluzionează că U1 are lipsuri serioase şi susţine că U2 ar trebui folosit.
Granger (1999) propune evaluarea modelelor de prognoză pe baza valorii LINEX:
36
T
t
tttt yfayfaT
LINEX1
1exp1
În acest caz erorile pozitive sunt ponderate diferit de cele negative , prin parametrul a cărui
alegere este una subiectivă; pentru o valoare pozitivă, funcţia LINEX este o aproximare
liniară a supraprognozelor şi una exponenţială a subprognozelor.
Alegerea celui mai bun model de prognoză
Atunci când toate criteriile indică faptul că un model dintre cele analizate este mai potrivit,
alegerea este simplă (Granger, 1999). În practică, însă, foarte rar se întâmplă acest lucru.
Este important de spus că aceste criterii pot fi subiectul unor posibile erori, dar şi a unor
elemente parazite care pot influenţa informaţiile oferite, lucru confirmat de West (1996), West
şi Cho (1995), West şi McCracken (1998); printre altele, se subliniază că o eroare apărută în
unul dintre primele momente ale prognozei determină succesiv ca toate celelalte prognoze de
după să fie parazitate de respectiva eroare şi acest lucru este cu atât mai grav cu cât perioada
de prognoză este mai îndelungată.
Mai mulţi autori (Fleming, Kirky şi Ostdiek, 2000, 2002) sunt de părere că evaluarea
unui model nu trebuie făcută total pe baza acestor critetii, ci şi pe baza semnificaţiei
economice reale a modelului prognozat, cum ar fi cazul îmbunătăţirii unui anumit portofoliu
de active prin corectarea celor existente corelat cu informaţiile furnizate de valorile
prognozate ale activelor. Karolyi (1993) face evaluarea erorilor de prognoză a volatilităţii prin
evaluarea preţului opţiunii calculat pe baza volatilităţii. Analizele din domeniul volatilităţii
pun accentul pe modelarea seriei de timp şi nu pe studiul capacităţii de prognoze a modelului.
3.3 Modelarea volatilităţii opţiunilor companiei Total
În perioada 2009-2010, opţiunile pe acţiuni ale companiei Total au însumat tranzacţii de 23 de
miliarde de EURO, reprezentând astfel cea mai tranzacţionată opţiune la Bursa Euronext
Paris. Compania Total activează la nivel global în domeniul energetic, fiind cea mai
importantă companie din acest domeniu din Franţa. Pentru analiza volatilităţii opţiunilor
înregistrăm volatilitatea opţiunilor pe acţiuni emise de compania Total şi tranzacţionate la
filiala din Paris a grupului bursier Euronext.
Pe baza observaţiei lui Beckers (1981), vom folosi date cu privire la volatilitatea opţiunilor
americane de tip CALL. Opţiunile de tip american dau dreptul cumpărătorului să exercite sau
să abandoneze contractul în orice moment până la data expirării, inclusiv la această dată. În
perioada 2009-2010, 98% din valoarea tranzacţionată a fost cu opţiuni de tip american.
37
Analiza grafică a seriei de date
Reprezentarea grafică a seriei reprezentând volatilitatea opţiunilor pe acţiuni ale companiei
Total este realizată în figura de mai jos.
Figura 3.1. Volatilitatea zilnică a opţiunilor pe acţiuni Total în perioada analizată
(619 zile de tranzacționare, 1 ianuarie 2009 - 17 mai 2011)
Sursa: Prelucrare după Thomson Datastream
În figura nr. 3.1 observăm o volatilitate ridicată, mai ales în perioada de început a anului
2009, datorată turbulenţelor de pe pieţele financiare. Din analiza grafică putem observa că
seria de timp nu este staţionară.
Testarea staţionarităţii seriei de timp
Pentru modelarea seriei volatilităţii zilnice a opţiunilor pe acţiuni Total pe baza metodologiei
Box&Jenkins, este necesară în primă fază staţionarizarea seriei de date.
J.P.Berdot (2001) arată că o variabilă econometrică, cum este în acest caz volatilitatea, este
nestaţionară dacă:
- este o funcţie de timp (nestaţionaritate deterministă)
- urmează un proces autoregresiv nestaţionar (nestaţionaritate stochastică).
.3
.4
.5
.6
.7
.8
I II III IV I II III IV I II
2009 2010 2011
38
O variabilă este staţionară dacă îndeplineşte următoarele condiţii:
- speranţa sa (estimată prin media empirică) este constantă şi independentă de timp;
- varianţa sa (estimată prin varianţa sa) este constantă şi independentă de timp;
- autocovarianţele (covarianţa între valoarea prezentă şi valorile anterioare ale variabilei)
sunt independente de timp.
Proprietatea de staţionaritate este foarte importantă în analiza econometrică, deoarece:
- inferenţa statistică tradiţională nu are sens decât pentru variabilele staţionare. Este
imposibilă estimarea unui moment (speranţa sau varianţa) al unei serii de timp atunci
când acest moment variază în timp. Estimarea momentului în t plecând de la o singură
valoarea disponibilă realizată în momentul t nu ar avea sens;
- căutarea unei relaţii între două variabile nestaţionare este imposibilă: regresille devin
astfel artificiale (spurious regressions) şi nu acoperă decât existenţa unor trenduri
atificiale comune fără semnificaţie reală;
- prognoza devine adesea hazardată pentru variabilele nestaţionare, atunci când
variabilele urmează comportament de tip mers aleator.
Pentru verificarea staţionarităţii unei variabile există testele statistice Dickey-Fuller,
Augmented Dickey-Fuller şi Philips-Perron. Testul Dickey-Fuller este pentru variabilele
autoregresive de ordin 1 şi se bazează pe ecuaţia generală:
ttt YatcY 1 sau, într-o formulă mai simplă, ttt YtcY 1 ,
unde α=a-1.
În cadrul acestui test se verifică prezenţa unei rădăcini unitate; cu ajutorul testului Student se
testează următoarele ipoteze:
0:
0:
1
0
H
H
Dacă în urma testării statistice se observă că variabila urmează un model autoregresiv
de ordin superior lui 1, se utilizează un model de forma:
tntnttt YYYtcY ...111
Pentru studiul de faţă, vom folosi testul Augmented Dickey-Fuller pentru a verifica
staţionaritatea seriei de timp, folosind trei modele şi anume un model cu constantă, un model
cu trend şi constantă şi un model fără trend şi constantă. Rezultatele complete ale testării sunt
prezentate în Anexa nr.1.
39
În urma prelucrării datelor şi estimării modelelor prezentate, s-au obţinut rezultatele
prezentate în mod sintetic în tabelul nr. 3.1. În acest tabel sunt prezentate şi valorile teoretice
ale statisticii test.
Tabel 3.1. Testarea staţionarităţii seriei de timp cu ajutorul testului îmbunătăţit
Dickey-Fuller
Model cu
constantă
Model cu trend
şi constantă
Model fără trend
şi constantă
Valoare test calculată -1.954129 -3.349449 -1.437271
Valoare teoretică pentru
un prag de 5% -2.866006 -3.417107 -1.941337
Sursa: Prelucrare după rezultatele testului ADF din Eviews.
Pentru toate cele trei modele estimate, valorile calculate ale statisticii test înregistrează
niveluri superioare faţă de valorile teroretice, considerând un prag de semnificaţie de 5%. Se
poate considera, cu o probabilitate de 95%, că se acceptă ipoteza nulă, deci seria are o
rădăcină unitară – nu este staţionară.
Staţionarizarea seriei de timp
Pentru a realiza staţionarizarea seriei, vom calcula diferenţele de ordin I, respectiv valorile
ΔYt=Yt-Yt-1. Reprezentarea grafică a seriei obţinute prin diferenţierea de ordin I este realizată
în figura nr.3.2.
40
Figura 3.2. Seria diferenţelor de ordin I a volatilităţii zilnice a opţiunilor pe acţiuni
Total în perioada analizată (619 zile de tranzacționare, 1 ianuarie 2009 - 17 mai 2011)
Sursă: prelucrarea datelor în EViews.
Din reprezentarea grafică a seriei diferenţelor de ordin I se poate constanta, vizual, că seria
este staţionară. Testarea staţionarităţii acestei serii o vom realiza cu ajutorul testului
Augmented Dickey-Fuller, estimând trei modele, şi anume un model cu constantă, un model
cu trend şi constantă şi un model fără trend şi constantă.
Tabel 3.2. Testarea staţionarităţii seriei de timp a diferenţelor de ordin I
cu ajutorul testului îmbunătăţit Dickey-Fuller (inclus în ecuaţia de testare intercept,
trend and intercept şi none)
Model cu
constantă
Model cu trend
şi constantă
Model fără trend
şi constantă
Valoare test
calculată -27.57613 -27.55388 -27.54395
Pragul de 5% -2.866006 -3.417119 -1.941337
Sursa: Prelucrare după rezultatele testului ADF din Eviews.
-.08
-.06
-.04
-.02
.00
.02
.04
.06
.08
I II III IV I II III IV I II
2009 2010 2011
41
Pentru toate cele trei modele estimate, valorile calculate ale statisticii test înregistrează
niveluri inferioare faţă de valorile teroretice, considerând un prag de semnificaţie de 5%.
Aceasta arată că se poate considera, cu o probabilitate de 95%, că se respinge ipoteză nulă,
deci seria este staţionară.
Identificarea „efectului de luni”
Identificarea sezonalităţii seriei volatilităţii opţiunilor pe acţiuni Total este necesară deoarece,
în literatura de specialitate este prezentat aşa-zisul efect de luni, conform căruia există
diferenţe semnificative între tranzacţiile efectuate în zilele de luni şi cele efectuate în restul
zilelor săptămânii; această diferenţă poate fi pusă pe baza faptului că pe parcursul celor 2 zile
de week-end, investitorii pot afla şi prelucra mai multe informaţii decât în celelalte zile ale
săptămânii. În cazul nostru, vom testa dacă diferenţele de volatilitate între ziua de luni şi ziua
de vineri sunt semnificativ diferite de diferenţele dintre oricare alte două zile consecutive de
tranzacţionare.
Pentru aceasta, vom formula următoarele ipoteze statistice:
joivinerimiercurijoimartimiercurilunimartivineriluni VVVVVVVVVVH ,,,:0 (seria de
timp nu prezintă o evoluţie sezonieră la nivelul zilei de luni);
joivinerimiercurijoimartimiercurilunimartivineriluni VVVVVVVVVVH ,,,:1 (seria de
timp prezintă o evoluţie sezonieră la nivelul zilei de luni).
Pentru testarea acestor diferenţe se foloseşte testul statistic t Student. Rezultatele prelucrării
datelor sunt prezentate în tabelul nr. 3.3.
Tabel 3.3. Testarea efectului de luni
Test for Equality of Means of D_TOTAL
Categorized by values of EFECT_LUNI
Sample (adjusted): 1/02/2009 5/17/2011
Included observations: 618 after adjustments
Method df Value Probability
t-test 616 1.010142 0.3128
Satterthwaite-Welch
t-test* 181.4104 0.973490 0.3316
Anova F-test (1, 616) 1.020387 0.3128
Welch F-test* (1, 181.41) 0.947683 0.3316
*Test allows for unequal cell variances
42
Analysis of Variance
Source of Variation df Sum of Sq. Mean Sq.
Between 1 0.000158 0.000158
Within 616 0.095400 0.000155
Total 617 0.095558 0.000155
Category Statistics
Std. Err.
EFECT_LUNI Count Mean Std. Dev. of Mean
luni 124 0.000513 0.013066 0.001173
obisnuita 494 -0.000750 0.012285 0.000553
All 618 -0.000496 0.012445 0.000501
Sursă: prelucrarea datelor în EViews.
Se observă că probabilitatea asociată statisticii calculate este mai mare decât 0.05, ceea ce
arată că se acceptă ipoteza 0H , conform căreia nu există diferenţe de volatilitate
semnificative între zilele de luni şi celelalte zile ale săptămânii de tranzacţionare, constatând
astfel că seria nu prezintă evoluţii sezoniere.
Funcţia de autocorelaţie
Pentru determinarea modelului de proces stochastic de tip ARMA, vom analiza vizual
corelograma seriei de timp, prezentată în figura nr. 3.3.
43
Figura 3.3. Corelograma seriei de timp diferenţiate a volatilităţii zilnice
a opţiunilor pe acţiuni Total
Sursă: prelucrarea datelor în EViews.
Corelograma din figura nr. 3.3. prezintă valorile funcţiilor de autocorelaţie şi autocorelaţie
parţială, statistica Ljung-Box şi probabilitatea asociată acestei statistici. Deoarece
probabilitatea asociată statisticii Ljung-Box este mai mare decât riscul asumat de 5%, rezultă
că seria de timp analizată nu este autocorelată.
Examinând vizual corelograma seriei, observăm că valorile coeficienţilor funcţiei de
autocorelaţie ne indică că ar trebui introduşi termeni autoregresivi de ordin 1, 10 şi 18. Din
analiza valorilor coeficienţilor funcţiei de autocorelaţie parţială rezultă că ar trebui introduşi
termeni de medie mobilă de ordin 1, 10 şi 18. Pe baza corelogramei, vom testa modele care au
în componenţa lor termenii AR(1) AR(10) AR(18) MA(1) MA(10) MA(18).
44
Estimarea şi testarea semnificaţiei parametrilor modelului de tip ARMA
La estimarea tuturor variantelor care conţin aceşti termeni, constatăm că doar 2 modele
respectă condiţiile de validare a parametrilor. Rezultatele estimărilor sunt prezentate în
Anexa 1. Dintre cele două modele ale căror parametri sunt semnificativi, şi anume
ARMA(1,1) şi AR(1) AR(10) AR(18) MA(1), trebuie ales modelul care descrie cel mai bine
comportamentul volatilităţii opţiunilor pe acţiuni Total din perioada considerată în analiză.
Alegerea modelului cel mai potrivit se va face pe baza valorilor oferite de criteriile
informaţionale Schwartz, Akaike şi Hannan-Quinn. Rezultatele sintetice cu privire la valorile
criteriilor informaţionale sunt prezentate în tabelul nr. 3.4.
Tabel 3.4. Valorile criteriilor informaţionale Schwartz, Akaike şi Hannan-Quinn pentru
modele ARMA(1,1) şi AR(1) AR(10) AR(18) MA(1)
Model AR MA
Valoare criteriu informaţional
Schwartz Akaike Hannan-Quinn
ARMA(1,1) -5.911619 -5.945962 -5.940386
AR(1) AR(10) AR(18) MA(1) -5.927148 -5.955835 -5.944682
Notă: Calculat cu ajutorul programului Eviews
Modelul care are valori ale criteriilor informaţionale Akaike, Schwartz şi Hannan-Quinn
minime este considerat ca fiind cel mai bun în analiza seriei de timp. Pe baza acestui
principiu, putem considera modelul AR(1) AR(10) AR(18) MA(1) ca fiind modelul care
descrie cel mai bine evoluţia în timp a variabilei volatilitatea opţiunii pe acţiuni Total
Conform datelor prezentate în Anexa nr.1, ecuaţia care defineşte cel mai bine seria de date
este de forma:
tt
tttt dtotaldtotaldtotaldtotal
1
18101
654714.0
069245.0070161.0519932.0
45
Testarea validităţii modelului estimat
Pentru a testa validitatea modelului estimat, în primă fază s-a verificat semnificaţia statistică a
coeficienţilor estimaţi prin compararea valorii statisticii Student cu valoarea critică
corespunzătoare pragului de semnificaţie de ales. Prin analiza datelor din Anexa nr. 1, putem
considera că valorile coeficienţilor estimaţi pentru ecuaţia de tip AR(1) MA(1) AR(10)
AR(18) sunt semnificative statistic.
Pentru validarea acestuia, mai trebuie îndeplinite ipoteza de autocorelare a reziduurilor,
ipoteza distribuţiei normale a seriei reziduurilor şi ipoteza de homoscedasticitate a seriei
reziduurilor.
Ipoteza de autocorelare a reziduurilor
Ipoteza de necorelare a reziduurilor se referă la lipsa unei corelaţii între erorile εt la nivelul
distribuţiilor condiţionate. Cu alte cuvinte, această ipoteză presupune că eroarea asociată unui
moment nu este influenţată de eroarea asociată altui moment.
Pentru testarea ipotezei de autocorelare a reziduurilor, se formulează următoarele ipoteze
statistice:
0,cov: 10 ttH (nu există autocorelare între reziduuri);
0,cov: 11 ttH (ipoteza de necorelare a reziduurilor este încălcată).
Pentru testarea autocorelării reziduurilor se foloseşte statistica Ljung-Box; probabilitatea
asociată statisticii Ljung-Box este prezentată în corelograma reziduurilor (tabelul nr. 3.5.).
46
Tabel 3.5. Corelograma reziduurilor
Sample: 1/28/2009 5/17/2011
Included observations: 600
Q-statistic
probabilities
adjusted for 4
ARMA term(s)
Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob
.|. | .|. | 1 -0.004 -0.004 0.0106
.|. | .|. | 2 0.015 0.015 0.1448
.|. | .|. | 3 0.015 0.015 0.2850
.|. | .|. | 4 -0.044 -0.044 1.4358
.|. | .|. | 5 0.003 0.002 1.4410 0.230
.|. | .|. | 6 -0.018 -0.017 1.6299 0.443
.|. | .|. | 7 0.017 0.018 1.8057 0.614
.|. | .|. | 8 -0.046 -0.048 3.1048 0.540
.|. | .|. | 9 -0.027 -0.027 3.5530 0.615
.|. | .|. | 10 -0.036 -0.037 4.3590 0.628
.|. | .|. | 11 0.006 0.009 4.3784 0.735
.|* | .|* | 12 0.078 0.076 8.1532 0.419
.|. | .|. | 13 0.031 0.032 8.7485 0.461
.|. | .|. | 14 -0.021 -0.029 9.0300 0.529
.|. | .|. | 15 0.014 0.012 9.1559 0.608
.|. | .|. | 16 0.038 0.043 10.060 0.611
.|. | .|. | 17 -0.014 -0.012 10.188 0.679
.|. | .|. | 18 -0.002 -0.008 10.190 0.748
.|. | .|. | 19 0.023 0.020 10.512 0.786
.|. | .|. | 20 -0.035 -0.027 11.272 0.792
Sursă: prelucrarea datelor în EViews.
Valorile probabilităţilor asociate statisticii test calculate Ljung-Box pentru reziduurile
modelului AR(1) AR(10) AR(18) MA(1) sunt mai mari decât pragul de semnificaţie de 0.05,
deci se acceptă ipoteza H0 de absenţă a autocorelării reziduurilor. Se poate astfel garanta cu o
probabilitate de 0.95 că ipoteza de necorelare a reziduurilor este îndeplinită.
Ipoteza de normalitate a seriei reziduurilor
Aprecierea normalităţii distribuţiei reziduurilor pentru modelul estimat presupune formularea
următoarelor ipoteze statistice:
2
0 ,~: ONH (ipoteza de normalitate);
2
1 ,~: ONH (distribuţia reziduurilor nu urmează o lege normală).
47
În figura nr. 3.4. este prezentată histograma reziduurilor alături de câteva statistici descriptive,
printre care şi testul Jarque-Bera.
Figura 3.4. Distribuţia reziduurilor modelului AR(1) AR(10) AR(18) MA(1)
Sursă: prelucrarea datelor în EViews.
Pe baza probabilităţii asociate testului Jarque-Bera, care este mai mică decât pragul de
semnificaţie de 0.05, respingem ipoteza de distribuţie normală a reziduurilor. Distribuţia
reziduurilor nu urmează o distribuţie normală deoarece prezintă o boltire mare comparativ cu
distribuţie normală, în schimb media este apropiată de 0, indicând simetrie. Această ipoteză
poate fi escaladată şi prin prisma indicaţiilor oferite de Jemna (2007), conform căruia, în cazul
eşantioanelor de volum mare, proprietatea de normalitate este atinsă asimptotic.
Ipoteza de homoscedasticitate a reziduurilor
Ipoteza de homoscedasticitate presuspune ca varianţa erorilor să fie constantă. Pentru testarea
acesteia, se formulează următoarele ipoteze statistice:
2
0 : VH (ipoteza de homoscedasticitate);
2
1 : VH (ipoteza de heteroscedasticitate).
Pentru testarea ipotezei de homoscedasticitate a reziduurilor se foloseşte statistica Ljung-Box;
probabilitatea asociată statisticii Ljung-Box este prezentată în corelograma pătratului
reziduurilor (tabelul nr. 3.6).
0
20
40
60
80
100
120
140
-0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06
Series: Residuals
Sample 1/28/2009 5/17/2011
Observations 600
Mean -0.000967
Median -0.001076
Maximum 0.066583
Minimum -0.052177
Std. Dev. 0.012107
Skewness 0.362632
Kurtosis 7.147392
Jarque-Bera 443.1716
Probability 0.000000
48
Tabel 3.6. Corelograma reziduurilor pătratice pentru modelul AR(1) AR(10) AR(18)
MA(1)
Sample: 1/28/2009 5/17/2011
Included observations: 600
Q-statistic
probabilities
adjusted for 4
ARMA term(s)
Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob
.|** | .|** | 1 0.225 0.225 30.546
.|. | .|. | 2 0.051 0.001 32.138
.|* | .|* | 3 0.139 0.134 43.857
.|* | .|* | 4 0.176 0.125 62.677
.|* | .|* | 5 0.165 0.107 79.194 0.000
.|. | .|. | 6 0.029 -0.045 79.706 0.000
.|* | .|* | 7 0.176 0.161 98.616 0.000
.|* | .|* | 8 0.197 0.093 122.20 0.000
.|. | *|. | 9 0.017 -0.075 122.37 0.000
.|. | .|. | 10 -0.017 -0.053 122.54 0.000
.|* | .|. | 11 0.104 0.067 129.17 0.000
.|* | .|. | 12 0.113 0.015 136.99 0.000
.|. | .|. | 13 0.029 -0.011 137.51 0.000
.|. | .|. | 14 0.057 0.053 139.55 0.000
.|. | *|. | 15 0.015 -0.072 139.69 0.000
.|. | .|. | 16 0.007 -0.033 139.72 0.000
.|. | .|. | 17 -0.021 -0.013 139.99 0.000
.|. | .|. | 18 0.000 -0.003 139.99 0.000
.|. | .|. | 19 0.040 -0.007 140.98 0.000
.|. | .|. | 20 0.010 0.011 141.05 0.000
.|. | .|. | 21 -0.007 -0.004 141.09 0.000
.|. | .|. | 22 0.001 -0.001 141.09 0.000
.|. | .|. | 23 -0.007 -0.003 141.12 0.000
.|. | .|. | 24 -0.017 -0.008 141.30 0.000
.|. | .|. | 25 0.043 0.053 142.45 0.000
.|. | .|. | 26 0.008 -0.017 142.49 0.000
.|. | .|. | 27 -0.015 -0.012 142.63 0.000
.|. | .|. | 28 -0.021 -0.016 142.90 0.000
.|. | .|. | 29 0.008 0.024 142.94 0.000
.|. | .|. | 30 -0.015 -0.035 143.08 0.000
.|. | .|. | 31 -0.002 0.027 143.08 0.000
.|* | .|* | 32 0.094 0.100 148.67 0.000
.|. | .|. | 33 0.030 -0.023 149.22 0.000
.|. | .|* | 34 0.061 0.076 151.58 0.000
.|. | .|. | 35 -0.019 -0.040 151.80 0.000
.|. | .|. | 36 -0.010 -0.031 151.86 0.000
Sursă: prelucrarea datelor în EViews.
49
Valorile probabilităţilor asociate statisticii test calculate Ljung-Box pentru pătratele
reziduurilor modelului AR(1) AR(10) AR(18) MA(1) sunt mai mici decât pragul de
semnificaţie de 0.05, deci se respinge ipoteza H0 de homoscedasticitate a reziduurilor.
Din acest motiv nu putem folosi modelul AR(1) AR(10) AR(18) MA(1) pentru prognoza
volatilităţi zilnice a opţiunilor pe acţiuni Total. De aceea, vom estima ecuaţia varianţei cu
ajutorul modelelor heteroscedastice.
Estimarea volatilității cu modele heteroscedastice
Având în vedere faptul că în cazul modelului AR(1) AR(10) AR(18) MA(1) am constatat că
reziduurile determinate în urma modelării nu respectă ipoteza de homoscedasticitate, suntem
nevoiţi ca pentru realizarea de prognoze pe baza acestui model, să căutăm modele
heteroscedastice de estimare a varianţei. Vom încerca pe rând toate tipurile din familia de
modele ARCH-GARCH.
La estimarea parametrilor ecuaţiei de tip ARCH până la ordin 9 (ordinul maxim în Eviews) nu
găsim nici un model care să respecte ipotezele modelului şi prin urmare vom încerca
estimarea prin modele generalizate ARCH.
Estimarea cu modele tip GARCH
La estimarea parametrilor ecuaţiei de tip GARCH până la ordinul (9,9) există un singur
model care să respecte criteriile de construcţie a modelui (parametri pozitivi) şi ipotezele de
validare. Valorile corespunzătoare parametrilor modelului şi cele ale criteriilor informaţionale
Schwartz, Akaike şi Hannan-Quinn sunt prezentate în Anexa nr. 1. Pe baza corelogramei
reziduurilor şi a corelogramei pătratelor reziduurilor, prezentate în Anexa nr. 1, verificăm
faptul că seria reziduurilor nu prezintă autocorelaţie şi validăm ipoteza de homoscedasticitate
a reziduurilor.
Acceptăm modelul GARCH(1,1) ca fiind potrivit pentru estimarea varianţei. Ecuaţia estimată
a varianţei (volatilitatea volatilităţii) este următoarea:
21
2
1 388822.0064295.0323019.00000357.0 tttt hhh
Această ecuaţie va constitui suportul pentru realizarea de prognoze volatilităţii opţiunilor pe
acţiuni Total pentru un orizont de prognoză de 10 zile lucrătoare.
50
Estimarea cu modele tip EGARCH
Având în vedere că la estimarea ecuaţiei varianţei am găsit un singur model GARCH valid,
vom încerca estimarea cu ajutorul unor modele mai puţin restrictive; în prima etapă vom
încerca estimarea cu ajutorul ecuaţiilor de tip EGARCH.
Pe baza unor estimări repetate, determinăm 3 modele care respectă toate criteriile şi ipotezele
impuse. Rezultatele estimărilor celor trei ecuaţii sunt prezentate în Anexa nr. 1.
Valorile corespunzătoare ale criteriilor informaţionale Schwartz, Akaike şi Hannan-Quinn
sunt prezentate în tabelul numărul 3.7.
Tabel 3.7. Valorile criteriilor informaţionale pentru modele EGARCH validate
Model EGARCH
Valoarea criteriu informaţional
Schwartz Akaike Hannan-Quinn
EGARCH(1,1,0) -6.118718 -6.170015 -6.150046
EGARCH(1,1,1) -6.114028 -6.172653 -6.149832
EGARCH(1,1,2) -6.120470 -6.186424 -6.160750
Sursa: Prelucrarea datelor în Eviews.
Pe baza valorilor furnizate de criteriile informaţionale putem considera că modelul cel mai
potrivit pentru estimarea varianţei este EGARCH(1,1,2). Parametrii modelului, corelograma
reziduurilor şi corelograma pătratelor reziduurilor sunt prezentate în Anexa nr.1
În urma analizei semnificaţiei statistice a parametrilor ecuaţiei, validăm aceşti parametri.
Constatăm pe baza corelogramei reziduurilor că ipoteza de necorelare a reziduurilor este
acceptată şi că ipoteza de homoscedasticitate a reziduurilor este acceptată. În concluzie,
acceptăm modelul EGARCH(1,1,2) ca fiind potrivit pentru estimarea varianţei. Ecuaţia
estimată a varianţei (volatilitatea volatilităţii) este următoarea:
1
1
1
1
2
1
1 log948252.0196773.0316620.0326605.0478209.0log
t
t
t
t
t
t
tt h
hhhh
Pe baza ecuaţiei de mai sus vom realiza prognoza volatilităţii opţiunilor pe acţiuni Total
pentru un orizont de prognoză de 10 zile.
51
Estimarea cu modele tip IGARCH
Vom încerca estimarea cu ajutorul unui model mai restrictiv şi anume modelul IGARCH.
Estimând mai multe ecuaţii posibile, constatăm că doar 2 modele respectă toate criteriile şi
ipotezele impuse (Anexa 1). Valorile corespunzătoare ale criteriilor informaţionale Schwartz,
Akaike şi Hannan-Quinn sunt prezentate în tabelul numărul 3.8.
Tabel 3.8. Valorile criteriilor informaţionale pentru modele IGARCH validate
Model IGARCH
Valoarea criteriu informaţional
Schwartz Akaike Hannan-Quinn
IGARCH(1,1) -5.978470 -6.015111 -6.000848
IGARCH(2,1) -5.984551 -6.028520 -6.0011404
Sursa: Prelucrarea datelor în Eviews.
Pe baza valorilor furnizate de criteriile informaţionale putem considera că modelul potrivit
pentru estimarea varianţei este IGARCH(2,1). Ecuaţia estimată a varianţei (volatilitatea
volatilităţii) este următoarea:
21
2
1 627233.0248704.0124063.0 tttt hhh
Pe baza acestei ecuaţii vom face prognoza seriei de timp pentru o perioadă de 10 zile.
Estimarea cu modele tip TGARCH
O altă estimare a ecuaţiei varianţei se poate face pe baza unui model TGARCH. În acest
model, veştile bune 01 t şi veştile rele 01 t au efect diferit asupra varianţei. Pe baza
estimărilor realizate am determinat existenţa unui singur model din această clasă care respectă
toate ipotezele pentru validare şi anume TGARCH (2,1,1). Parametrii modelului sunt
prezentaţi în Anexa nr. 1. Ecuaţia estimată a varianţei (volatilitatea volatilităţii) este
următoarea:
2
2
21
2
11
2
1 126974.0111380.0661667.0256757.00000264.0 ttttttt IIhh
Unde
0,0
0,1
1
1
1
t
t
tI
şi
0,0
0,1
2
2
2
t
t
tI
Pe baza ecuaţiei, facem prognoza seriei de timp pentru o perioadă de 10 zile.
52
3.4 Prognoza volatilităţii zilnice a opţiunilor pe acţiuni Total
Pe baza analizei seriei de timp reprezentând volatilitatea opţiunilor pe acţiuni ale companiei
Total am determinat modele heteroscedastice care explică evoluţia volatilităţii în perioada de
bază, 1 ianurie 2009 – 17 mai 2011. Pentru seria de date reprezentând volatilitatea opţiunilor
pe acţiuni Total am determinat 4 modele heteroscedastice (GARCH(1,1), EGARCH(1,1,2),
IGARCH(2,1), TGARCH(2,1,1)) care explică evoluţia seriei în perioada considerată; pe baza
acestor 4 modele, realizăm prognoza volatilităţii opţiunilor pe acţiuni Total pentru un orizont
de prognoză de 10 zile lucrătoare.
Rezultatele obţinute în urma prognozelor, cât și valorile real înregistrate în respectivele zile
sunt prezentate în tabelul nr. 3. 9.
Tabel 3.9. Valorile volatilităţii prognozate de cele 4 modele şi valorile real înregistrate
Sursa: Prelucrarea datelor în Eviews
O primă analiză a rezultatelor generate de cele 4 modele cu care am realizat prognoza
volatilităţii opţiunilor pe acţiuni Total ne indică o evoluţie relativ scăzută a valorilor
prognozate.
Reprezentarea grafică a acestor valori este realizată în figura de mai jos.
Ziua Valorile prognozate de modelul Valori
înregistrate GARCH(1,1) EGARCH(1,1,2) IGARCH(2,1) TGARCH(2,1,1)
1 0.350046 0.35009 0.353408 0.349962 0.332867
2 0.349438 0.349539 0.354909 0.349388 0.31289
3 0.34976 0.349776 0.356092 0.349983 0.309031
4 0.349491 0.349521 0.356741 0.349661 0.479584
5 0.351481 0.351423 0.35807 0.351604 0.471699
6 0.352206 0.352119 0.359218 0.352016 0.458694
7 0.355014 0.354965 0.361134 0.354145 0.451332
8 0.355956 0.355772 0.3628 0.35498 0.450223
9 0.35498 0.354806 0.36345 0.354016 0.449222
10 0.355275 0.355073 0.364042 0.354475 0.438863
53
Figura 3.5. Reprezentarea grafică a valorii volatilităţii opţiunilor pe acţiuni Total
prognozate de cele 4 modele şi valorile reale înregistrate în orizontul de prognoză
Sursă: prelucrarea datelor în EViews.
Din analiza vizuală a valorilor reale înregistrate pentru volatilitatea opţiunilor pe acţiuni Total
şi a celor prognozate de cele 4 modele propuse în studiu rezultă diferenţe mari între valorile
reale înregistrate şi valorile estimate. Acestea se explică şi prin faptul că, începând cu prima zi
de prognoză, volatilitatea creşte la un nivel ridicat faţă de primele 3 zile. Observăm totuşi că
nici unul dintre modele nu anticipează această evoluţie.
Compararea rezultatelor prognozei
Vom analiza erorile de prognoză determinate prin compararea rezultatelor prognozate cu
valorile reale înregistrate în acele zile. Prin prisma acestor erori, ne propunem ierarhizarea
acestor modele pentru 3 orizonturi de prognoză şi anume o zi, 5 zile şi 10 zile. Alegerea
acestor perioade se bazează pe faptul că cele mai mlte dintre studiile similare realizate oferă
aceaşi termeni de comparaţie.
54
Analiza valorilor prognozate pentru o zi
În urma analizei diferenţelor dintre valorile prognozate şi valorile reale ale volatilităţii opţiunilor
din data prima zi a intervalului de prognoză rezultă erori semnificative. Din prisma erorilor
determinate am încercat ca pentru fiecare opţiune să evidenţiem, modelul care duce la erorile
cele mai mici și modelul care duce la erorile cele mai mari.
Pentru analiza erorilor, vom folosi valorile indicilor Theil U1 şi U2 şi valorile funcţiilor LINEX
cu penalizarea erorilor -20, -10, 10 şi 20 (aceste valori sunt alese în general în mod subiectiv.
În analiza riscului unui portofoliu de active, acest gen de prognoze sunt utilizate pentru a
simula diferite pierderi sau creşteri pentru investitori. Facem şi noi o serie de analize pentru
orizonturi de timp de o zi, 5 zile şi 10 zile. Vom folosi în analiză valorile indicilor Theil U1 şi
U2 şi valorile funcţiilor LINEX cu penalizarea erorilor -20, -10, 10 şi 20 (aceste valori sunt
alese în general în mod subiectiv; noi am folosit aceste valori pe baza observaţiilor făcute în
mai multe studii de acelaşi gen). În acest caz erorile pozitive sunt ponderate diferit de cele
negative , iar parametrul ales subiectiv determină ca pentru o valoare pozitivă, funcţia
LINEX să fie o aproximare liniară a supraprognozelor şi una exponenţială a subprognozelor.
Pe baza valorilor prognozate pentru un orizont de o zi de către cele 4 modele de prognoză
propuse pentru volatilitatea opţiunilor pe acţiuni Total am calculat valorile criteriilor de
ierarhizare. Rezultatele sunt expuse în tabelul nr.3.10.
Tabel 3.10. Valorile criteriilor de ierarhizare pentru un orizont de prognoză de o zi
pentru volatilitatea opţiunilor pe acţiuni Total
Model
prognoză
Valoare criteriu de ierarhizare
Theil U1 Theil U2 LINEX
( a=-20)
LINEX
( a=-10)
LINEX
( a=10)
LINEX
( a=20)
GARCH(1,1) 0.025156 0.962571 0.066408 0.015639 0.013946 0.052808
EGARCH(1,1,2) 0.025219 0.965037 0.066769 0.015721 0.014016 0.053064
IGARCH(2,1) 0.029931 1.150948 0.097236 0.022619 0.019724 0.073928
TGARCH(2,1,1) 0.025036 0.957865 0.065721 0.015482 0.013814 0.052321
Sursă: prelucrarea datelor în EViews.
Pe baza indicatorului Theil U1, care consideră o prognoză cu atât mai bună cu cât valoarea
criteriului este mai apropiată de 0, putem spune că modelul TGARCH(2,1,1) este cel mai
performant în prognoză. Acelaşi diagnostic îl oferă şi valorile funcţiile LINEX pentru toate
55
gradele de penalizare. Modelul care oferă erorile cele mai mari este în cazul volatilităţii
opţiunilor pe acţiuni Total este IGARCH.
Analiza valorilor prognozate pentru 5 zile
Pentru analiza diferenţelor dintre valorile prognozate şi valorile reale ale volatilităţii
opţiunilor din primele cinci zi ale intervalului de prognoză, identificăm modelele care
prognozează cu cea mai mare acurateţe valorile şi cele care prognozează cu cele mai mare
erori aceste valori. Pe baza valorilor prognozate pentru un orizont de 5 zile pentru volatilitatea
opţiunilor pe acţiuni Total am calculat valorile criteriilor de ierarhizare Theil şi LINEX. Am
obţinut următoarele rezultate:
Tabel 3.11. Valorile criteriilor de ierarhizarea pentru un orizont de prognoză de 5 zile
pentru volatilitatea opţiunilor pe acţiuni Total
Model
prognoză
Valoare criteriu de ierarhizare
Theil U1 Theil U2
LINEX
( a=-20)
LINEX
( a=-10)
LINEX
( a=10)
LINEX
( a=20)
GARCH(1,1) 0.112664 0.933954 0.805368 0.252548 0.528599 3.615308
EGARCH(1,1,2) 0.112686 0.934076 0.806057 0.252707 0.528795 3.616445
IGARCH(2,1) 0.108077 0.907229 0.822834 0.246704 0.471680 3.064061
TGARCH(2,1,1) 0.112551 0.933159 0.805065 0.252278 0.527212 3.602180
Sursă: prelucrarea datelor în EViews.
Pe baza indicatorului Theil U1 şi Theil U2 putem spune că modelul IGARCH(2,1) este cel
mai performant în prognoză. Cele mai mari diferenţe între valorile reale înregistrate şi cele
prognozate sunt obţinute, în cazul volatilităţii opţiunilor pe acşini Total de către modelul
EGARCH(1,1,2).
Analiza valorilor prognozate pentru 10 zile
Pe baza valorilor prognozate pentru un orizont de 10 zile pentru volatilitatea opţiunilor pe
acţiuni Total de către cele 4 modele de prognoză propuse pe baza estimărilor am calculat
valorile criteriilor de ierarhizare şi am obţinut următoarele rezultate:
56
Tabel 3.12. Valorile criteriilor de ierarhizarea pentru un orizont de prognoză de 10 zile
pentru volatilitatea opţiunilor pe acţiuni Total
Model
prognoză
Valoare criteriu de ierarhizare
Theil U1 Theil U2 LINEX
( a=-20)
LINEX
( a=-10)
LINEX
( a=10)
LINEX
( a=20)
GARCH(1,1) 0.11576 1.249849 0.928098 0.295097 0.585431 3.735116
EGARCH(1,1,2) 0.115874 1.250744 0.929615 0.295598 0.5866 3.743309
IGARCH(2,1) 0.108126 1.18722 0.874722 0.270052 0.501806 3.072267
TGARCH(2,1,1) 0.11628 1.253674 0.934367 0.297268 0.590633 3.770581
Sursă: prelucrarea datelor în EViews.
În cazul prognozelor pentru 10 zile, toate criteriile folosite desemnează modelul
IGARCH(2,1) ca fiind cel mai performant şi TGARCH(2,1,1) ca fiind cel mai puţin
performant în prognoza volatilităţii opţiunilor pe acţiuni Total.
Există un model mai bun?
În cazul celor 4 modele heteroscedastice utilizate în prognoza volatilității, am analizat erorile
de prognoză pentru 1,5, și 10 zile, comparând valorile prognozate cu cele real înregistrate. Nu
putem concluziona spunând că unul dintre cele 4 modele oferă rezultate mai robuste, însă
observăm că modelul IGARCH performează pentru 5 și 10 zile, motivul pentru care se
întâmplă această putând fi legat de evoluția volatilității de după ziua a treia de prognoză;
modelul integrat are posibilitatea de a integra acest șoc și de a face ca comportamentul seriei
de timp să includă șocul inițial.
57
4. Analiza relației de cauzalitate dintre creștere economică, inflație și
incertitudinile acestora. Studiu empiric pentru România
Relațiile dintre variabilele economice și incertitudinile lor constituie o temă de interes pentru
cercetătorii din domeniu începând din anii 1970, de la publicarea lucrării lui Okun şi a notelor
laureatului la premiul Nobel, Milton Friedman, care au investigat relaţia dintre inflaţie și
incertitudinea inflaţiei. Literatura de specialitate pe tema legăturilor statistice dintre
variabilele macroeconomice şi incertitudinile generate de acestea cuprinde atât fundamentele
teoretice pentru existența acestor relații și sensul lor, cât și evidențe empirice la nivelul
economiilor dezvoltate, emergente sau în curs de dezvoltare (Grier și Perry, 2000; Neanidis și
Savva, 2012; Hartmann și Roestel, 2013).
Interdependențele dintre creșterea economică, inflație și incertitudinile lor sunt determinate în
principal de strategiile de politică monetară și modul de implementare a acestor strategii.
România a înregistrat în ultimele decenii o mare variabilitate a output-ului şi a inflaţiei, în
special în anii 90, determinată de reformele economice, politice şi instituţionale adoptate.
Perioadele de incertitudine ridicată privind creşterea economică, specifice ultimilor ani, au
determinat autorităţile guvernamentale să intensifice eforturile în direcţia obţinerii unei
creşteri economice sustenabile, împreună cu asigurarea şi menţinerea unui nivel redus de
inflaţie. Prin această lucrare ne propunem analiza statistică a relaţiilor dintre inflaţie, creştere
economică şi incertitudinile acestora, la nivelul României. Vom enunţa aceste relaţii sub
forma unor ipoteze cu privire la sensul cauzalităţii existente între creşeterea economică,
inflaţie şi incerctitudinile generate de acestea. Rezultă astfel 12 ipoteze posibile, dintre care
vom testa 7, pentru a vedea dacă există suport empiric pentru a le valida pentru România.
Cele şapte ipoteze au fost alese având în vedere faptul că sunt cele mai puternic fundamentate
teoretic din cele 12. Incertitudinea unei variabile macroeconomice este determinată statistic
prin volatilitatea acesteia și poate fi estimată cu ajutorul varianței condiționate generată de un
model heteroscedastic, cum ar cele de tip GARCH, PARCH sau EGARCH.
Rezultatele studiului relaţiei dintre inflaţie, creștere economică și incertitudinile acestora la
nivelul României constituie un subiect actual de interes pentru aparatul guvernamental cu
atribuţii în domeniul politicii monetare, având în vedere faptul că incertitudinea ridicată cu
privire la creşterea economică în această perioadă de criză conduce la intensificarea
eforturilor autorităţilor pentru a susţine creşerea economică, împreună cu menţinerea unui
nivel redus al inflaţiei.
58
Lucrarea este structurată după cum urmează: Secţiunea a 2-a prezintă stadiul actual al
cunoaşterii pe marginea acestei teme. Secţiunea 3 tratează aspectele referitoare la datele şi
metodologia utlizată pentru estimarea varianţelor condiţionate ale reziduurilor ca măsură
statistică de evaluare a incertitudinii. Secţiunea 4 prezintă rezultatele empirice obţinute în
urma testarii celor 7 ipoteze investigate. Ultima secţiune prezintă principalele concluzii ale
cercetării.
4.1 Stadiul actual al cunoașterii
Actuala criză economică a diminuat creșterea economică a multor state membre ale Uniunii
Europene, iar atingerea unui nivel ridicat de creștere economică coroborat cu o stabilitate
macroeconomică reprezintă o necesitate în vederea asigurării unei convergenţe reale.
Asigurarea unei creșteri economice sustenabile și a stabilităţii macroeconomice reprezintă
principalul obiectiv al fiecărui stat. În acest context, studiul relaţiei dintre inflaţie, creștere
economică și incertitudinile acestora, care au cunoscut schimbări semnificative în evoluţia lor,
reprezintă un subiect extrem de important, atât pentru factorii de decizie la nivel naţional,
regional sau global, cât și pentru cercetătorii în domeniu.
Ipoteze tratate în literature de specialitate
Literatura de specialitate oferă un important suport teoretic pentru un număr de 7 ipoteze.
Aceste ipoteze sunt formulate sub forma unor cauzalităţi în sens Granger între inflație,
creștere economică și incertitudinile acestora. Datele pe care le vom folosi în analiză sunt
valori lunare, iar lungimea eșantionului va fi de 24 de ani. Metodologia folosită va fi cea
utilizată în studii precum ale lui Dibooglu și Kutan (2005), Fountas et al (2006), Gillman și
Harris (2008), Mladenovic (2009), Hasanov și Omay (2011) sau Khan et al (2013).
Dintre toate cele 12 ipoteze posibile (Grier și Perry, 2000) în cadrul relaţiei de cauzalitate
dintre inflaţie, creștere economică și incertitudinile acestora, ne propunem să analizăm, în
cadrul proiectului de cercetare, cele mai importante şapte ipoteze fundamentate în teoria
economică și pentru care au fost identificate dovezi empirice în studiile de specialitate,
conform lui Grier et al (2004), Fountas et al (2006)sau Fountas et al (2007).
Pornind de la studiile realizate, vom testa în cadrul analizelor empirice şapte ipoteze
formulate sub forma unor relaţii de cauzalitate. Pentru toate ipotezele ce urmează a fi testate
au fost fundamentate la nivel teoretic două tipuri de relaţii cauzale, una pozitivă și una
negativă. În tabelul de mai jos sunt prezentate cele şapte ipoteze și cele mai importante
contribuţii teoretice aduse pentru fiecare tip de relaţie de cauzalitate.
59
Tabel 4.1. Ipotezele investigate și principalele contribuţii teoretice pentru fiecare ipoteză
Ipoteza Semnul relației
de cauzalitate
H1: Inflația cauzează în sens Granger incertitudinea inflației
Friedman (1977), Ball (1992)
Pourgerami și Maskus (1987), Ungar și Zilberfarb (1993)
H2: Inflația cauzează în sens Granger creșterea economică
Dotsey și Sarte (2000)
Friedman (1977)
H3: Incertitudinea inflației cauzează în sens Granger inflația
Cukierman și Meltzer (1986)
Holland (1995)
H4: Incertitudinea creșterii economice cauzează în sens Granger
inflația
Devereux (1989), Cukierman și Gerlach (2003)
Cukierman și Meltzer (1986)
H5: Incertitudinea creșterii economice cauzează în sens Granger
creșterea economică
Mirman (1971), Black (1987), Blackburn (1999)
Pindyck (1991)
H6: Creșterea economică cauzează în sens Granger incertitudinea
inflației
Ungar și Zilberfarb (1993)
Bruner (1993)
H7: Creșterea economică cauzează în sens Granger incertitudinea
creșterii economice
Bruner (1993)
Taylor (1979)
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
În continuare, prezentăm succint fiecare din cele 7 ipoteze, alături de fundamentul teoretic ce
stă la baza lor.
H1: Inflaţia cauzează în sens Granger incertitudinea inflaţiei
Prima ipoteză este cea mai investigată dintre cele şapte ipoteze propuse spre analiză; această
ipoteză are și cea mai puternică fundamentare teroretică, beneficiind în acest sens de
dezbaterile din jurul contribuţiei lui Milton Friedman pentru care i s-a acordat premiul Nobel.
Friedman (1977) și Ball (1992) au investigat această relaţie și au găsit dovezile unei relaţii
pozitive între inflaţie și incertitudinea inflaţiei. Aceștia au arătat că dacă rata inflaţiei crește și
60
autoritatea monetară nu oferă un răspuns predictibil și credibil, atunci incertitudinea cu privire
la rata viitoare a inflaţiei crește, deoarece agenţii nu pot prognoza corect creșterea masei
monetare. Pe de altă parte, Pourgerami și Maskus (1987) și Ungar și Zilberfarb (1993) au
arătat că un nivel ridicat al inflaţiei poate determina reducerea incertitudinii inflaţiei deoarece
autoritatea monetară trebuie să utilizeze mai multe resurse pentru controlul inflaţiei, acest
lucru conducând la reducerea incertitudinii.
H2: Inflaţia cauzează în sens Granger creșterea economică
Dotsey și Sarte (2000) au estimat un model de tip “cash-in-advance” care utilizează ca factor
de influenţă economiile realizate în scop preventiv; pe baza acestui model au demonstrat că
un nivel ridicat al incertitudinii inflaţiei are un impact pozitiv asupra creșterii economice. De
asemenea, aceștia au arătat că în cazul în care creșterea masei monetară este mai volatilă,
atunci agenţii iși majorează economiile realizate în scop preventiv și astfel fondurile
disponibile pentru investiţii cresc, determinând astfel o creștere economică mai ridicată.
La polul opus, Friedman (1977) susţine ideea că dacă incertitudinea inflaţiei crește, atunci
aceasta afectează în mod negativ mecanismul de formare al preţurilor prin distorsionarea
eficienţei sale de alocare. Incertitudinea afectează alocarea resurselor prin influenţa sa asupra
ratei dobânzii, a costului real al factorilor de producţie și a preţurilor bunurilor finale și, prin
urmare, are un impact negativ asupra creșterii economice.
H3: Incertitudinea inflaţiei cauzează în sens Granger inflaţia
Cukierman și Meltzer (1986) sprijină prin analiza lor o relaţie pozitivă între cele două
variabile, susţinând că, atunci când incertitudinea inflaţiei crește, autorităţile monetare adoptă
un comportament oportunist, generând o inflaţie mai ridicată prin mărirea ratei de creștere a
masei monetare în vederea obţinerii unei creșteri economice mai ridicate. În sens opus,
Holland (1995) demonstrază existenţa unei legături negative, sugerând că în condiţiile unei
incertitudini ridicate, autorităţile monetare au un comportament de stabilizare, ceea ce
înseamnă că acestea reduc rata de creștere a masei monetare în vederea reducerii efectelor
negative asupra creșterii economice. Legat de acest subiect, Grier și Perry (1998) sugerează că
comportamentul oportunist sau de stabilizare a autorităţilor monetare este legat de nivelul de
independenţă al băncii centrale. Cu cât nivelul de independenţă al băncii centrale este mai
ridicat, cu atât rata inflaţiei va fi mai mică.
61
H4: Incertitudinea creșterii economice cauzează în sens Granger inflaţia
Devereux (1989) a analizat relaţia pozitivă dintre cele două variabile și susţine că o creștere a
incertitudinii creșterii economice conduce la o scădere a valorii optime de indexare a
veniturilor, iar această situaţie obligă autoritatea monetară să crească nivelul inflaţiei prin
generare de inflaţie neașteptată pentru agenţi, în vederea obţinerii de creștere economică.
Cukierman și Meltzer (1986) au fundamentat din punct de vedere teoretic o relaţie negativă
între incertitudinea creșterii economice și inflaţie. Ei afirmă că o incertitudine mai mare cu
privire la creșterea economică reduce incertitudinea inflaţiei și, prin urmare, reduce și rata
inflaţiei.
H5: Incertitudinea creșterii economice cauzează în sens Granger creștere economică
Mirman (1971) susţine că un nivel ridicat al incertitudinii creșterii economice determină o
creștere a ratei de economisire în scop preventiv și astfel conduce la o rată de creștere
economică mai mare. Black (1987) susţine această relaţie există doar dacă profitul prognozat
al investiţiei este suficient de mare pentru a compensa riscul asociat investiţiei. Pe de altă
parte, Pindyck (1991) a arătat că între incertitudinea creșterii economice și creșterea
economică există o relaţie negativă determinată de faptul că o incertitudine mai ridicată cu
privire la profiturile viitoare generate de investiţii determină o amânare sau anulare a
investiţiilor, conducând astfel la un nivel mai scăzut al creșterii economice.
H6: Creșterea economică cauzează în sens Granger incertitudinea inflației
În ceea ce privește impactul creșterii economice asupra incertitudiniii inflației, prezenta unei
curbe Philips pe termen scurt sugerează că creșterea economică ar putea influența pozitiv
incertitudinea inflației. Bruner (1993) demonstrează existența unei asociei negative între cele
două mărimi. Pe de altă parte, Ungar și Zilberfarb (1993) constată că un nivel ridicat al
creșterii economice poate conduce la un nivel redus al inflației, ceea determină și un nivel
redus al incertitudinii acesteia.
H7: Creșterea economică cauzează în sens Granger incertitudinea creșterii economice
Cel mai rar tratată ipoteză, aceasta a fost, cu câteva excepții, ignorată de literatura de
specialitate.Teoretic vorbind, semnul acestei relații de cauzalitate este ambiguu. Dacă luăm în
considerare existența unui efect negative, îl putem explica prin faptul că, o variația pozitivă a
creșterii economic educe pe termen scurt, conform curbei lui Philips, la o creștere a inflației.
În baza teoriei lui Friedman (1977), acest lucru va determina creșterea incertitudinii inflației;
62
acest lucru, asociat cu teoria lui Taylor (1979), conform căreia există un compromis între
incertitudine inflației și incertitudinea creșterii economice, determină o scădere a incertitudinii
creșterii economice. Există și argumente pentru existența unui impact pozitiv. Explicăm
această posibilitate prin cazul în care creșterea economic scade, generând un răspuns din parte
politicii monetare, care face ca rata inflației să devină mai nesigure – caracterizată de o
incertitudine mai ridicată. (Brunner, 1993) Tot în baza efectului Taylor, putem concluziona că
în acest caz incertitudinea creșterii economice va crește, evidențiind astfel sensul pozitiv al
legăturii discutate.
În ceea ce priveşte rezultatele empirice obţinute, în literatura de specialitate există un număr
considerabil de studii privind posibililele legături dintre inflaţie, creștere economică și
incertitudinile acestora. Un sondaj foarte vast asupra literaturii existente este realizat de către
Davis și Kanago (2000), care evidenţiază faptul că, cel puţin în cazul ipotezei Friedman-Ball
(H1+), literatura oferă răspunsuri neconcordante; aceștia consideră că acest lucru se poate
datora fie faptului că grupul de ţări studiate nu este omogen sau că metodologia folosită nu
este destul de robustă.
Studii precum cele ale lui Grier și Perry (1998), Fountas (2001) sau Thornton (2007,2008)
aderă la aceleași concluzii odată cu utilizarea unei metodologii de tip GARCH la estimarea
incertitudinii. Mai exact, Grier și Perry (1998) aprobă această ipoteză pentru ţările G7, la fel
ca și Fountas (2001) pentru Anglia, Fountas et al (2004) pentru ţările din zona euro, Thornton
(2007) pentru un număr de 12 economii emergente precum și Jiranyakul și Opiela (2010,
2011) pentru ţări din Asia. În contradicţie cu aceștia, Hwang (2001), folosind serii de date de
lungă durată la nivelul SUA, respinge ideea conform căreia o perioadă caracterizată de un
nivel ridicat al inflaţiei este asociată cu o incertitudine a inflaţiei mai mare.
În ceea ce privește ipoteza Cukierman-Meltzer (H3+), aceasta este demonstrată în studii lui
Apergis (2004) și Jiranyakul și Opiela (2010), luând în considerare ţări G7, respectiv din
Asia. Spre deosebire de aceștia, Baillie et al (1996) nu demostrează nici o cauzalitate în acest
sens. Alţi autori, precum Grier și Perry (1998) sau Narayan et al (2009) au arătat că
incertitudinea inflaţiei are, mai degrabă, un efect negativ asupra inflaţiei, susţinând astfel
ipoteza Holland (H3-). Rezultate neconcludente cu privire la această ipoteză au fost obţinute
de către Fountas et al (2004) pentru ţările din zona euro sau Bredin et al (2009) pentru cinci
ţări din Asia.
63
În ceea ce privește relaţia dintre inflaţie și creșterea economică, ea este confirmată de
analizele efectuate de Hasanov și Omay (2011) sau Khan et al (2013), care investigează
fenomenul la nivelul unor ţări din Europa Centrală și de Est, existând însă contradicţii foarte
puternice între semnul legăturii de la o economie la alta. Efectele incertitudinii creșterii
economice asupra inflaţiei sunt susţinute de rezultatele analizei realizate de Fountas și
Karanasos (2007) pentru Italia și Anglia, dar nu sunt confirmate de către Grier și Perry (2000)
sau Grier et al (2004) pentru date la nivelul SUA.
În ceea ce privește relaţia dintre incertitudinea creșterii economice și creșterea economică,
Blackburn și Pelloni (2004), precum și Caporale și McKiernan (1996, 1998), Grier et al
(2004), Fountas și Karanasos (2007) sau Narayan (2009) confirmă o relaţie pozitivă. În sens
negativ relaţia este evidenţiată de către Henry și Olekalns (2002), Speight(1999) și Fountas et
al (2004).
Date și metodologie
În analiza empirică am folosit ca măsură a inflației indicele prețurilor de consum (IPC),
similar studiilor realizate de Dibooglu și Kutan (2005), Gillman și Harris (2008), Mladenovic
(2009), Khan, Kebewar și Nenovsky (2013) și Jemna et al(2014). Pentru măsurarea creșterii
economice am folosit indicele producției industriale (IPI), folosit în analize precum cele ale
lui Fountas, Karanasos și Kim (2006), Hasanov și Omay (2011) sau Pintilescu et al (2014).
Date au fost preluate din baza de date a Fondului Monetar Internațional (FMI), din capitolul
International Financial Statistics (IFS); eșantionul este format din date lunare pentru perioada
ianuarie 1990- aprilie 2014. Am considerat inflația (π) ca find valoarea anualizată a
diferențelor anuale ale logaritmului indicelui prețurilor de consum [πt=ln(CPIt/CPIt-1)x1200]
și creșterea econimică (yt) ca valoarea anualizată a diferențelor anuale ale indicelui producției
industrial IPI [yt=ln(IPIt/IPIt-1)x1200].
Pentru estimarea incertitudinilor celor două variabile macroeconomice, literatura de
specialitatea oferă mai multe posibilități. Cea simplă dintre acestea, propusă în studii precum
cele ale lui Hafer (1986) sau Davis și Kanago (2000), estimează incertitudinea având la bază
abaterea standard; Johnson (2002) estimează incertituinea pe baza erorii de prognoză a unui
model simplu de prognoză.
O parte mult mai vastă a literaturii de specialitate utilizează în estimarea incertitudinii, cu
rezultate notabile, varianța condiționată a unui model heteroscedastic. Din această familie de
modele, unul dintre cele mai simplu de manipulat sunt cele din categoria GARCH (Evans,
1991; Võrk, 2000; Neanidis și Savva, 2010). În estimarea incertitudinii alți autori, precum
64
Asghar, Ahmad, Ullah, Zaman și Rashid (2011) sau Baharumshah, Hasanov și Fountas
(2011), utilizează modele EGARCH sau modele mai complexe ca GARCH-M (Grier, Henry,
Olekalns și Shields, 2004; Ajevskis, 2007; Khan, 2010). Berument, Yalcin și Yildirim (2011)
utilizează o tehnică total diferită și anume estimarea incertitudinii printr-un model de
volatilitate stochastică (SVM).
În analiza de față vom lua în considerare mai multe model heteroscedastice (GARCH,
EGARCH, GARCH-M); dintre acestea, pentru fiecare dintre cele două incertitudini, îl vom
utiliza pe acela care oferă mai multă robustețe în estimare din punctul de vedere al criteriilor
informaționale Schwartz, Akaike și Hannan-Quinn.
În prima faza a analizei vom testa staționaritate celor două serii de timp cu testele ADF
(Augmented Dickey-Fuller), Phillips-Perron și KPSS (Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin).
Dacă seriile nu sunt staționare, le vom staționariza cu ajutorului primei diferențe.
Apoi, în baza metodologiei propuse de Fountas și Karanasos (2007), serii staționare vor fi
introduse într-un model VAR bivariat; în urma acestei etape vom determina numărul optim de
decalaje luate în considerare la estimarea celor două ecuații (creșterea economică și inflația).
Tot în cadrul ecuației VAR, pe baza unui test de cauzalitate Granger, vom afla dacă între cele
două serii există o relație de cauzalitate de care trebuie să ținem cont în scrierea ecuațiilor.
După estimarea ecuației creșterii economice și a inflației, vom estima pentru fiecare dintre
cele două ecuații, mai multe modele heteroscedastice. Dintre ecuațiile valide statistic, o vom
utilize pe accea care ne este indicată ca fiind cea mai potrivită din punctual de vedere a
criteriilor informaționale.
Metodologia GARCH (Bollerslev, 1986) oferă posbilitatea de măsurare a incertitudinii
creșterii economice și a inflației luând în considerare varianțele condiționate decalate ca
termini autoregresivi. Un model GARCH (1,1) este de forma:
tt
'
t XY ,
Unde Xt este vectorul de dimensiune k a variabilei independente, β este este vectorul de
dimensiune k a coeficienților de regresie și εt este variabila reziduală, care respect condiția de
normalitate tt h,0N~
.
ht este varianța condiționată, de forma:
2
1t21t10t hh .
65
Modelul EGARCH (1,1) (Nelson, 1991) are aceleași specificații, cu deosebirea că ecuația
varianței condiționate este obținută cu ajutorul ecuației:
1t21t11t10t hlnhln
,
unde t
tt
h
.
Modelul GARCH-M (1,1) (Engle, Lilien și Robins, 1987) are aceași ecuație pentru varianța
condiționată ca și GARCH (1,1), cu diferența că media condiționată depinde de propria sa
varianța condiționată, fiind specificat după ecuația:
ttt
'
t hXY .
Odată ales modelul heteroscedastic care descrie cel mai bine ecuația și estimate cele două
incertitudini, efectuăm teste de cauzalitate Granger pentru 4, 8 și 12 decalaje. Testele de
cauzalitate sunt aplicate pentru toate cele 7 relații de cauzalitate considerate ca fiind ipotezele
de testat. Rezultatele obținute evidențiază corelațiile obținute între cele 4 variabile; corelațiile
semnificative statistic sunt apoi teste pentru semnul cauzalității cu ajutorul unui model VAR.
4.2 Rezultate empirice și concluzii
Așa cum am precizat anterior, în prezentul studiu inflația este măsurată cu ajutorul indicelui
prețurilor de consum, iar creșterea economică prin indicele producției industriale. Valorile
indicatorilor statisticii descriptive pentru aceste variabile sunt prezentate în tabelul de mai jos.
Tabel 4.2. Indicatorii statisticii descriptive pentru inflație și creștere economică
Indicator macroeconomic Medie Abatere standard Jarque-Bera
Inflația (IPC) 34.92 50.31 1428.75
Creșterea economică (IPI) 1.33 89.46 3.79
Sursă: prelucrarea datelor în EViews.
Analizând valorile din tabelul de mai sus observăm, pentru perioada observată (ianuarie 1990-
aprilie 2014) o valoare medie relativ mare a inflației și o valoare medie redusă a creșterii
economice. Acest lucru este influențat de perioada considerată în analiză. Ea cuprinde
perioada anilor 90, caracterizați prin trecerea economiei românești de la model centralizat la
modelul economiei de piață. În urma reformelor din anii 90, inflația a atins în România cote
alarmante, de peste 200 %. De asemenea, restructurea sistemului economiei centralizate a
determinat scăderea drastică a nivelului creșterii economice în perioada de tranziție.
66
Așa cum am precizat și partea de descriere a metodologiei, am testat în primă staționaritatea
celor două serii de timp cu ajutorul testelor ADF, PP și KPSS. Aplicarea acestor teste a
dovedit staționaritatea seriilor de timp. În continuare am estimate ecuațiile inflației și a
creșterii economice prin modele autoregressive; dintre modele valide statistic, am ales pe cele
două care sunt cele mai potrivite din prisma criteriilor informaționale. Cele două ecuații sunt
prezentate în tabelul de mai jos împreună cu ecuația incertitudinii inflației și a creșterii
economice.
Tabel 4.3. Ecuații estimate
Inflația 1021 22.417.359.837.1178.0187.0507.016.3 tttt
Creșterea economică
111211
10221
10.269.1211.2
58.238.405.432.502.2
143.0593.0095.0
116.0193.0184.0248.056.8
ttt
tttt
yy
yyyyt
y
Incertitudinea inflației 362.0
1,1, 839.0996.0146.0203.098.33
41.2
362.01,
)76.4()17.2(41.2
362.0
tth htt
Incertitudinea creșterii
economice 1,
21, 7996.0126.0173
)47.14()83.2()41.2(
tyty
h hyt
Notă: În paranteze sunt prezentate valorile statisticii Student
Sursă: prelucrarea datelor în EViews.
Am estimat mai multe modele heteroscedastice (ARCH, GARCH, EGARCH, PARCH,
GARCH-M) pentru cele două ecuații. În cazul incertitudinii inflației, în baza criteriilor
informaționale Akaike, Schwartz și Hannan-Quinn, modelul cel mai potrivit este de tip
PARCH (1,1). După alegerea acestuia, am generat șirul varianței condiționate, reprezentând
incertitudinea inflației. Incertitudinea creșterii economice a fost generată cu ajutorul unui
model GARCH(1,1).
În următoarea etapă a analizei am testat cele 7 ipoteze considerate. Acest lucru l-am realizat
cu ajutorul testelor de cauzalitate Granger. Pentru a identifica persistența efectului în timp
această testate am realizat-o pentru un număr de 4, 8 și 12 decalaje. În tabelul de mai jos sunt
prezentate rezultatele obținute.
67
Tabel 4.4. Rezultatele testelor de cauzalitate Granger dintre inflație, creștere economică
și incertitudinile acestora
Ipoteza testată 4 decalaje 8 decalaje 12 decalaje
H1: Inflația cauzează în sens Granger
incertitudinea inflației
356.83*
(-)
195.12*
(+)
132.99*
(+)
H2: Incertitudinea inflației cauzează în sens
Granger creșterea economică
2.48*
(-)
2.61*
(-)
2.59*
(-)
H3: Incertitudinea inflației cauzează în sens
Granger inflația
9.33*
(-)
3.71*
(-)
4.55*
(-)
H4: Incertitudinea creșterii economice cauzează în
sens Granger inflația
5.97*
(+)
5.06*
(+)
5.42*
(+)
H5: Incertitudinea creșterii economice cauzează în
sens Granger creșterea economică 2.14 0.85 1.78
H6: Creșterea economică cauzează în sens
Granger incertitudinea inflației 0.47 0.75 1.26
H7: Creșterea economică cauzează în sens
Granger incertitudinea creșterii economice 0.30 0.42 1.03
Notă: Valorile prezentate sunt cele ale stastisticii Fisher. Semnul +(-) indică faptul că suma coeficienților
decalați ai variabilei cauzatoare este pozitivă sau negativă. *nivel de semnificație de 5%
Sursă: prelucrarea datelor în EViews.
Așa cum putem observa în tabel, pentru relațiile de cauzalitate valide statistic am determinat
semnul legăturii de cauzalitate cu ajutorul vectorului auto-regresiv, prin însumarea
coeficienților de regresie. În urma aplicării testelor de cauzalitate Granger, am identificat 4
relații semnificative statistice. Ipoteza H1 este confirmată și anume că inflația cauzează în
sens Granger incertitudinea inflației, ănsp semnul cauzalității nu este persistent la schimbarea
decalajelor.
În perioada analizată, pentru România, se confirmă ipoteza Friedman (1977), care
demonstrează faptul că, atunci când incertitudinea inflației crește, aceasta afectează în mod
negativ mecanismul de formare al prețurilor prin distorsionarea eficienței sale de alocare. Din
acest motiv incertitudinea afectează alocarea resurselor prin influența sa asupra ratei dobânzii,
a costului real al factorilor de producție și a prețurilor bunurilor finale și, prin urmare,
dezvoltă un efect negativ asupra creșterii economice.
68
Am confirmat, de asemenea, faptul că Incertitudinea inflației cauzează în sens Granger
inflația printr-o relație pozitivă; pentru perioada considerată în studiu, în condițiile unei
incertitudini ridicate, autoritățile monetare au avut comportament de stabilizare manifestat și
prin reducerea ratei de creștere a masei monetare, menținând o rata a inflației cât mai mică.
În ceea ce privește relația de cauzalitate în sens Granger dintre incertitudinea creșterii
economice și inflație, acceptăm ipoteza Devereux (1989); în perioada analizată, creșterea
incertitudinii creșterii economice a condus la o scădere a valorii optime de indexare a
veniturilor; autoritatea monetară a fost obligată să crească nivelul inflației prin generare de
inflație neașteptată pentru agenți, în vederea obținerii de creștere economică.
Inflația este un fenomen economic care a afectat foarte puternic economia românească la
începutul anilor 90, România înregistrând rate foarte mari ale inflației, dar și fiind
caracterizată de un nivel ridicat al incertitudinii cu privire la acest fenomen. În schimb, rate de
creștere economică a fost destul de redusă, mai ales la începutul intervalului studiat. În
prezentul studiu am testat un număr de 7 ipoteze, formulate sub forma unor relații de
cauzalitate Granger între inflație, creștere economică și incertitudinile acestora. Studiul
empiric a confirmat parțial una dintre aceste ipoteze și total 3 ipoteze. Rezultatele obținute vin
să confirme o serie de alte studii efectuate în acest domeniu.
În baza acestoa rezulate putem spune că incertitudinea a avut o influență semnificativă asupra
creșterii economice și a inflației în România, în perioada analizată. Volatilitatea ridicată a
inflației și a creșterii economice a condus la un mediu macroeconomic incert.
Din acest motiv, în România, factorii de decizie, în speță Banca Națională a României și
Guvernul, a trebuit să ia măsuri atât pentru reducerea inflației, dar și pentru stimularea
creșterii economice. Măsurile adoptate și efortul de stabilizare a economiei au început de dea
roade după trecerea unui interval relativ lung de timp. Complexitatea fenomenelor în cauză a
făcut foarte grea prognoza cu erori reduse a valorilor viitoare ale inflației, generând astfel
incertitudine crescută cu inflației, afectând astfel rata de creștere economică. În această spiral
greu de controlat, rolul politicii monetare a fost acela de asigirurare a stabilității
macroeconomice.
69
Summary
Economic phenomena, especially in the context of the current economic crisis, presented and
present a high variability; for the purpose of analyzing variability over time, volatility term
appears, which helps in quantifying the variability.
In statistical terms, volatility is seen as a measure of the dispersion values of a time-varying
variable and volatility is easiest associated with the risk; logically, increased volatility, drives
to a large uncertainty that makes the associated risk greater.
The present material is developed within the postdoctoral research project entitled “Growth
and macroeconomic volatility in EU countries”, in which we wanted to analyze, at the EU
states level, possible causal relationships between output growth, inflation, output growth
uncertainty and inflation uncertainty.
Study of the impact that macroeconomic uncertainty has, directly or indirectly, on output
growth, is an issue of particular importance for economists. In general, the term
macroeconomic volatility is associated with uncertainty of main macroeconomic indicators.
Of these, inflation has a strong influence on economic growth. Therefore, both the real
uncertainty (volatility derived growth) and nominal (derived from inflation) may affect the
rate of economic growth. Both, the real uncertainty and the nominal uncertainty, can be
estimated using heteroskedastic models. As exemplified above, these models find use in
various analyses of the economic phenomena.
In this material we intend to present the theoretical support necessary to use heteroskedastic
models - time series models and also some of the most used heterokcedastic models.
In the last two chapters, we present some clear examples of using these models. In the first
case, we use heteroskedastic models to analyze and forecast a microeconomic phenomenon,
namely the analysis and the forecast of the volatility of the options based on Total company
stocks, traded at Euronext Paris Stock Exchange. The second case of using these model and
exemplified in this material is the analysis of the causal relationships between output growth,
inflation, output growth uncertainty and inflation uncertainty in Romania after 1990.
70
Surse bibliografice
Adjaoute, K., Bruand, M., Gibson-Asner, R. (1998) “On the predictability of the stock
market: Does history matter?”, European Financial Management, 4: 293-319
Ahlburg, D. (1984) “Forecast evaluation and improvement using Theil’s decomposition”,
Journal of Forecasting, 3:345-351
Alford, A.W., Boatsman, J.R. (1995) “Predicting long-term stock return volatility:
Implications for accounting and valuation of equity derivatives”, Accounting Review,
70, 4: 599-618
Akgiray, V. (1989) “Conditional Heteroscedasticity in Time Series of Stock Returns:
Evidence and Forecasts”, Journal of Business, 62 (1): 55-80
Andersen, T., Bollerslev, T. (1998) “Answering the skeptics: Yes, standard volatility models
do provide accurate forecasts”, International Economic Review, 39(4): 885-905
Andersen,T., Bollerslev, T., Lange, S. (1999) “Forecasting financial market volatility: Sample
frequency vis-a-vis forecast horizon”, Journal of Empirical Finance, 6(5): 457-477
Andersen, T.G., Sorensen, B.E. (1997) “GMM and QML asymptotic standard deviations in
stochastic volatility models”, Journal of Econometrics, 76: 397-403
Andrei, T., Borubonnais, R. (2008) “Econometrie”, Economica, Bucureşti
Balaban, E. (2000) “Forecasting Stock Market Volatility: Evidence from Turkey”, Istanbul
Stock Exchange Finance Award Series, 1(1)
Balaban, E. (2004) “Comparative Forecasting Performance of Symmetric and Asymmetric
Conditional Volatility Models of an Exchange Rate”, Economic Letters, 83(1): 99-105
Balaban E., Bayar A., Faff R. (2004) “Forecasting Stock Market Volatility:
FurtherInternational Evidence”, The European Journal of Finance, 12: 171-188
Bali, T.G. (2000) “Testing the empirical performance of stochastic volatility models of the
short-term interest rate”, Journal of Financial and Quantitative Analysis, 35(2): 191-
215
Ball, L. (1992) “Why Does High Inflation Raise Inflation Uncertainty?”, Journal of Monetary
Economics, 29(3): 371–388.
Barucci E., Renò, F. (2002) “On Measuring Volatility and the GARCH Forecasting
Performance”, Journal of International Financial Markets, Institutions and Money, 12:
183-200
Beckers, S. (1981) “Standard deviations implied in option prices as predictors of future stock
price variability”, Journal of Banking and Finance, 5: 363-381
71
Berdot, J.P. (2001), Econometrie, Universite de Poitiers
Berument, M., Yalcin, Y., Yildirim, J. (2011) “The inflation and inflation uncertainty
relationship for Turkey: a dynamic framework”, Empirical Economics, 41(2): 293-309
Black, F., Scholes, M. (1973) “The pricing of options and corporate liabilities”, Journal of
Political Economy, 81: 637-659
Blair, B., Poon, S.H., Taylor, S.J. (2001) “Forecasting S&P 100 volatility: The incremental
information content of implied volatilities and high frequency index returns”, Journal of
Econometrics, 105:1333-1344
Bliemel, F.W. (1973) “Theil’s forecast accuracy coefficient: A clarification”, Journal of
Marketing Research, 10: 444-446
Bluhm, H.H.W., Yu, J. (2000) “Forecasting volatility: Evidence from the German stock
market”, Working paper, University of Auckland
Bollerslev, T. (1986) “Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity”, Journal of
Econometrics, 31(3): 307-327
Bollerslev T., Chou R. Y., Kroner K. F. (1992) “ARCH Modeling in Finance”, Journal of
Econometrics, 52(1): 5-59
Box, G. , Jenkins, G. (1970) “Time series analysis: Forecasting and control”, San Francisco:
Holden-Day
Brace, A., Hodgson, A. (1991) “Index futures options in Australia – An empirical focus on
volatility”, Accounting and Finance, 31(2): 13-30
Brailsford, T.J., Faff, R.W. (1996) “An evaluation of volatility forecasting techniques”,
Journal of Banking and Finance, 20(3): 419–438
Brooks, C. (1998) “Predicting stock market volatility: Can market volume help?”, Journal of
Forecasting, 17(1): 59–80
Canina, L., Figlewski, S. (1993) “The informational content of implied volatility”, Review of
Financial Studies, 6(3): 659-681
Cao, C.Q., Tsay, R.S. (1992) “Nonlinear time-series analysis of stock volatilities”, Journal of
Applied Econometrics, 7: 165-185
Casella, G., Fienberg, S., Okin, I. (2008) “Statistical models and methods for financial
markets”, Springer, New York
Castagnino, J.P. (2009) “Derivatives: The Key Principles”, Oxford University Press, Oxford
Cukierman, A., Meltzer, A. (1986) “A Theory of Ambiguity, Credibility, and Inflation Under
Discretion and Asymmetric Information”, Econometrica, 54(5): 1099–1128
Cukierman, A., Gerlach, S. (2003) “The inflation bias revisited: theory and some international
evidence”, Manchester School, University of Manchester, 71: 541-565
72
Cumby, R., Figlewski, S., Hasbrouck, J. (1993) “Forecasting volatilities and correlations with
EGARCH models”, Journal of Derivatives, 1: 51-63
Devereux, M. (1989) “A Positive Theory of Inflation and Inflation Variance”, Economic
Inquiry, 27(1): 105–116
Dibooglu, S., Kutan, A.M. (2005) “Sources of Inflation and Output Movements in Poland and
Hungary: Policy Implications for Accession to the Economic and Monetary Union.”
Journal of Macroeconomics, 27(1): 107–131
Diebold, F.X., Lopez, J.A., (1995) “Modelling volatility dynamics”, in: Hoover, K. (ed.),
Macroeconomics: Developments, Tensions and Prospects, Kluwer, Dordtecht
Dimson, E., Marsh, P. (1990) “Volatility forecasting without data-snooping”, Journal of
Banking and Finance, 14(2): 399-421
Dotsey, M., Sarte, P. (2000) “Inflation Uncertainty and Growth in a Cash-in-Advance
Economy”, Journal of Monetary Economics, 45(3): 631–655
Engle, R. F., Ng, V., Rothschild, M. (1990) “Asset pricing with a factor-ARCH covariance
structure: Empirical estimates for Treasury Bills”, Journal of Econometrics, 45(1):
213-237
Engle, R.F. (1982) “Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the
variance of United Kingdom inflation”, Econometrica, 50(4): 897-1007
Figlewski, S. (1997) “Forecasting volatility”, Financial Markets, Institutions and Instruments,
6(1): 1–88
Fleming, J., Kirby, C., Ostdiek, B. (2000) “The economic value of volatility timing”, Journal
of Finance, 56(1): 329-352
Fleming, J., Kirby, C., Ostdiek, B. (2003) “The economic value of volatility timing using
realized volatility”, Journal of Financial Economics, 67(3): 473-509
Fountas, S., Karanaso, M., Kim, J. (2006) “Inflation Uncertainty, Output Growth Uncertainty
and Macroeconomic Performance”, Oxford Bulletin of Economics and Statistics, 68(3):
319–343
Fountas, S., Karanasos, M. (2007) “Inflation, Output Growth, and Nominal and Real
Uncertainty: Empirical Evidence for the G7.” Journal of International Money and
Finance, 26(2): 229–250
Friedman, M. (1977) “Nobel Lecture: Inflation and Unemployment”, Journal of Political
Economy, 85(3): 451–472
Franses, P.H., Ghijsels, H. (1999) “Additive outliers, GARCH and forecasting volatility”,
International Journal of Forecasting, 15(1): 1-9
73
Glosten, L.R., Jagannathan, R., Runkle, D.E. (1993) “On the relation between the expected
value and the volatility of the nominal excess return on stocks”, Journal of Finance, 48:
1779–1801
Granger, C.W.R. (1999) “Empirical Modeling in Economics. Specification and Evaluation”.
Cambridge University Press, Cambridge
Grier, K., Perry, M. (2000) “The effects of real and nominal uncertainty on inflation and
output growth: some GARCH-M evidence”, Journal of Applied Econometrics, 14:
45-58.
Hamilton, J.D., Lin, G. (1996) “Stock market volatility and the business cycle”, Journal of
Applied Econometrics, 11(5): 573-593
Hansen, P.R., Lunde, A. (2001) “A comparison of volatility models: does anything beat a
GARCH(1,1)?”, Working Paper Series, Aarhus School of Business
Hansen, P.R., Lunde, A. (2006) “Consistent ranking of volatility models”, Journal of
Econometrics, 131(1): 97-121
Hansen, P. R., Lunde, A. (2005) “A forecast comparison of volatility models: does anything
beat a GARCH (1, 1)?”, Journal of Applied Econometrics, 20(7): 873-889
Harvey, A.C., Ruiz, E., Shephard, N. (1994) “Multivariate stochastic variance models”,
Review of Economic Studies, 61(2): 247-264
Hartmann, M., Roestel, J. (2013) “Inflation, output and uncertainty in the era of inflation
targeting – A multi-economy view on causal linkages”, Journal of International Money
and Finance, 37: 98-112
Hasanov, M., Omay, T. (2011) “The Relationship Between Inflation, Output Growth, and
Their Uncertainties: Evidence from Selected CEE Countries”, Emerging Markets
Finance and Trade, 47: 5-20
Heynen, R.C., Kat, H.M. (1994) “Volatility prediction: A comparison of stochastic volatility,
GARCH(1,1) and EGARCH(1,1) models”, Journal of Derivatives, 2(2): 50-65
Holland, S. (1995) “Inflation and Uncertainty: Tests for Temporal Ordering”, Journal of
Money, Credit and Banking, 27(3): 827–837
Hull, J. (2008) “Options, Futures and Other Derivatives”, Pearson Education, New Jersey
Jemna, D.V. (2007) “Econometrie”, Editura Universităţii ”Alexandru Ioan Cuza” Iaşi
Karolyi, G.A. (1995) “A multivariate GARCH model of international transmissions of stock
returns and volatility: The case of the United States and Canada”, Journal of Business
and Economic Statistics, 13(1): 11-25
Keskek, S., Orhan, M. (2010) “Inflation and inflation uncertainty in Turkey”, Applied
Economics, 42: 1281-1291
74
Lee, K.Y. (1991) “Are the ARCH models best in out-of-sample performance?”, Economics
Letters, 37(3): 305-308
Loudon, G.F., Watt, W.H., Yadav, P.K. (2000) “An empirical analysis of alternative
parametric ARCH models”, Journal of Applied Econometrics, 15: 137-136
Mirman, L. J. (1971) “Uncertainty and Optimal Consumption Decisions”, Econometrica,
39(1): 179-185
Mills, T., Markellos, R. (2008) “The econometric modeling of financial time series”,
Cambridge
Mladenović, Z. (2009) “Relationship between inflation and inflation uncertainty: The case of
Serbia”, Yugoslav Journal of Operations Research, 19(1): 171-183
Nas, T.F., Perry, M.J. (2000) “Inflation, inflation uncertainty, and monetary policy in Turkey:
1960–1998”m Contemporary Economic Policy, 18(2): 170–180
Neanidis, K., Savva, C.(2010) “Macroeconomic Uncertainty, Inflation and Growth: Regime-
Dependent Effects in the G7”, Centre for Growth and Business Cycle Research
Discussion Paper Series 145, Economics, The University of Manchester.
Neanidis, K., Savva, C. (2012) “Macroeconomic uncertainty, inflation and growth: Regime-
dependent effects in the G7”, Journal of Macroeconomics, 35: 81-92
Nelson, D.B. (1991) “Conditional heteroskedasticity in asset returns: A new approach”,
Econometrica, 59(2): 347-370
Nelson, D. B., Cao, C.Q. (1992) “Inequality Constraints in the Univariate GARCH Model”,
Journal of Business and Economic Statistics, 10(2): 229-235
Nicholls D. F., Quinn, B. G. (1982) “Random Coefficient Autoregressive Model: An
introduction”, New York, Springer-Verlag
Okun, A. (1971) “The Mirage of Steady Inflation”, Brookings Papers on Economic Activity,
2: 485–498
Pagan, A., Schwert, G.W. (1990) “Alternative Models for Conditional Volatility”, Journal of
Econometrics, 45(1): 267-290
Pindyck, R., Rubienfeld, D. (1998) “Econometric models and economic forecast”,
McGraw Hill
Pindyck, R. (1991) “Irreversibility, uncertainty, and investment”, Journal of Economic
Literature, 29: 1110–1148
Popescu, Th. (2000) “Serii de timp. Aplicaţii în analiza sistemelor”, Editura Tehnică,
Bucureşti
Poon, S.H. (2005) “A practical guide for forecasting financial market volatility”, John Wiley
& Sons Ltd, West Sussex
75
Poon, S.H., Granger, C.W.J (2003) “Forecasting financial market volatility: A review”,
Journal of Economic Literature, 41(2): 478-539
Pourgerami, A., Maskus, K.E. (1987) “The effects of inflation on the predictability of price
changes in Latin America: Some estimates and policy implications”, World
Development, 15(2): 287-290
Prisacariu, M., Ursu, S., Andrieş, A. (2008) “Pieţe și instrumente financiare”, Editura
Universităţii Alexandru Ioan Cuza, Iaşi
Stancu, I. (1997) “Finanţe: Teoria pieţelor financiare. Finanţele întreprinderii. Analiza şi
gestiunea financiară”, Editura Economică, Bucureşti
Taylor, S.J. (1987) “Forecasting of the volatility of currency exchange rates”, International
Journal of Forecasting, 3(1): 159-170
Taylor, S.J. (1994) “Modeling stochastic volatility: A review and comparative study”,
Mathematical Finance, 4(2): 183-204
Theil, H. (1958) “Economic Forecasts and Policy”, Amsterdam, North Holland
Thiel, H. (1966) “Applied Economic Forecasting”, Chicago, Rand McNally
Tsay, R. S. (1987) “Conditional heteroskedastic time series models”, Journal of American
Statistical Association, 82: 509-604
Ungar, M., Zilberfarb, B. (1993) “Inflation and its unpredictability: theory and empirical
evidence.” Journal of Money, Credit, and Banking, 25: 709-720
Vilasuso, J. (2002) “Forecasting exchange rate volatility”, Economics Letters, 76(1): 59-64
Võrk, A. (2000) “Inflation Uncertainty and its Impact on Economic Activity in Estonia.”
Transformation of Economic and Political Systems in the Baltic Sea Region II, Selected
Student Papers, University of Tartu 2000: 281-297
West, K.D., Cho, D. (1995) “The predictive ability of several models of exchange rate
volatility”, Journal of Econometrics, 69(2): 367-391
Yu, J. (2002) “Forecasting volatility in the New Zealand Stock Market”, Applied Financial
Economics, 12(3): 193-202
Zakoian, J.M. (1994) “Threshold heteroskedastic models”, Journal of Economic Dynamics
and Control, 18(5): 931-955
76
Anexe
Anexa nr. 1A. Verificarea staţionarităţii seriei de timp reprezentând volatilitatea zilnică a opţiunilor
pe acţiuni TOTAL
Tabelul nr.1. Rezultatele aplicării testului Augmented Dickey-Fuller pentru un model cu constantă şi trend
asupra seriei iniţiale
Null Hypothesis: RADTOTAL has a unit root
Exogenous: Constant, Linear Trend
Lag Length: 0 (Automatic - based on SIC, maxlag=18) t-Statistic Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic -3.349449 0.0594
Test critical values: 1% level -3.972973
5% level -3.417107
10% level -3.130932
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(RADTOTAL)
Method: Least Squares
Sample (adjusted): 1/02/2009 5/17/2011
Included observations: 618 after adjustments
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
RADTOTAL(-1) -0.035977 0.010741 -3.349449 0.0009
C 0.021491 0.006634 3.239640 0.0013
@TREND(1/01/2009) -1.22E-05 4.57E-06 -2.668245 0.0078
R-squared 0.017916 Mean dependent var -0.000496
Adjusted R-squared 0.014722 S.D. dependent var 0.012445
S.E. of regression 0.012353 Akaike info criterion -5.945001
Sum squared resid 0.093846 Schwarz criterion -5.923513
Log likelihood 1840.005 Hannan-Quinn criter. -5.936647
F-statistic 5.609653 Durbin-Watson stat 2.163988
Prob(F-statistic) 0.003852
Tabelul nr.2. Rezultatele aplicării testului Augmented Dickey-Fuller pentru un model cu constantă asupra
seriei iniţiale
Null Hypothesis: RADTOTAL has a unit root
Exogenous: Constant
Lag Length: 1 (Automatic - based on SIC, maxlag=18) t-Statistic Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic -1.954129 0.3074
Test critical values: 1% level -3.440719
5% level -2.866006
10% level -2.569207
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
77
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(RADTOTAL)
Method: Least Squares
Sample (adjusted): 1/05/2009 5/17/2011
Included observations: 617 after adjustments
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
RADTOTAL(-1) -0.012875 0.006589 -1.954129 0.0511
D(RADTOTAL(-1)) -0.097349 0.040071 -2.429395 0.0154
C 0.005939 0.003373 1.761075 0.0787
R-squared 0.016928 Mean dependent var -0.000528
Adjusted R-squared 0.013726 S.D. dependent var 0.012430
S.E. of regression 0.012344 Akaike info criterion -5.946430
Sum squared resid 0.093559 Schwarz criterion -5.924916
Log likelihood 1837.474 Hannan-Quinn criter. -5.938066
F-statistic 5.286391 Durbin-Watson stat 2.004912
Prob(F-statistic) 0.005293
Tabelul nr.3. Rezultatele aplicării testului Augmented Dickey-Fuller pentru un model fără constantă şi trend
asupra seriei iniţiale
Null Hypothesis: RADTOTAL has a unit root
Exogenous: None
Lag Length: 1 (Automatic - based on SIC, maxlag=18) t-Statistic Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic -1.437271 0.1406
Test critical values: 1% level -2.568715
5% level -1.941337
10% level -1.616354
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(RADTOTAL)
Method: Least Squares
Sample (adjusted): 1/05/2009 5/17/2011
Included observations: 617 after adjustments
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
RADTOTAL(-1) -0.001399 0.000973 -1.437271 0.1511
D(RADTOTAL(-1)) -0.103496 0.039987 -2.588239 0.0099
R-squared 0.011962 Mean dependent var -0.000528
Adjusted R-squared 0.010356 S.D. dependent var 0.012430
S.E. of regression 0.012365 Akaike info criterion -5.944634
Sum squared resid 0.094032 Schwarz criterion -5.930290
Log likelihood 1835.919 Hannan-Quinn criter. -5.939057
Durbin-Watson stat 2.005870
78
Tabelul nr.4. Rezultatele aplicării testului Augmented Dickey-Fuller pentru un model cu constantă şi trend
asupra seriei diferenţiate
Null Hypothesis: DRAD has a unit root
Exogenous: Constant, Linear Trend
Lag Length: 0 (Automatic - based on SIC, maxlag=18)
t-Statistic Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic -27.55388 0.0000
Test critical values: 1% level -3.972998
5% level -3.417119
10% level -3.130939
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(DRAD)
Method: Least Squares
Sample (adjusted): 1/05/2009 5/17/2011
Included observations: 617 after adjustments
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
DRAD(-1) -1.103787 0.040059 -27.55388 0.0000
C -0.000656 0.001001 -0.655468 0.5124
@TREND(1/01/2009) 2.48E-07 2.80E-06 0.088700 0.9293
R-squared 0.552877 Mean dependent var -3.82E-05
Adjusted R-squared 0.551421 S.D. dependent var 0.018488
S.E. of regression 0.012382 Akaike info criterion -5.940243
Sum squared resid 0.094140 Schwarz criterion -5.918729
Log likelihood 1835.565 Hannan-Quinn criter. -5.931879
F-statistic 379.6122 Durbin-Watson stat 2.005799
Prob(F-statistic) 0.000000
Tabelul nr.5. Rezultatele aplicării testului Augmented Dickey-Fuller pentru un model cu constantă asupra
seriei diferenţiate
Null Hypothesis: DRAD has a unit root
Exogenous: Constant
Lag Length: 0 (Automatic - based on SIC, maxlag=18)
t-Statistic Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic -27.57613 0.0000
Test critical values: 1% level -3.440719
5% level -2.866006
10% level -2.569207
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
79
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(DRAD)
Method: Least Squares
Sample (adjusted): 1/05/2009 5/17/2011
Included observations: 617 after adjustments
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
DRAD(-1) -1.103787 0.040027 -27.57613 0.0000
C -0.000579 0.000498 -1.161632 0.2458
R-squared 0.552871 Mean dependent var -3.82E-05
Adjusted R-squared 0.552144 S.D. dependent var 0.018488
S.E. of regression 0.012372 Akaike info criterion -5.943472
Sum squared resid 0.094141 Schwarz criterion -5.929129
Log likelihood 1835.561 Hannan-Quinn criter. -5.937895
F-statistic 760.4432 Durbin-Watson stat 2.005774
Prob(F-statistic) 0.000000
Tabelul nr.6. Rezultatele aplicării testului Augmented Dickey-Fuller pentru un model fără constantă şi trend
asupra seriei diferenţiate
Null Hypothesis: DRAD has a unit root
Exogenous: None
Lag Length: 0 (Automatic - based on SIC, maxlag=18)
t-Statistic Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic -27.54395 0.0000
Test critical values: 1% level -2.568715
5% level -1.941337
10% level -1.616354
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(DRAD)
Method: Least Squares
Sample (adjusted): 1/05/2009 5/17/2011
Included observations: 617 after adjustments
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
DRAD(-1) -1.101958 0.040007 -27.54395 0.0000
R-squared 0.551890 Mean dependent var -3.82E-05
Adjusted R-squared 0.551890 S.D. dependent var 0.018488
S.E. of regression 0.012376 Akaike info criterion -5.944522
Sum squared resid 0.094347 Schwarz criterion -5.937350
Log likelihood 1834.885 Hannan-Quinn criter. -5.941733
Durbin-Watson stat 2.004905
80
Anexa nr. 1B. Estimarea parametrilor ecuaţiilor pentru modelarea volatilităţii zilnice a opţiunilor
pe acţiuni TOTAL
Tabelul nr.1 Estimarea ecuaţiei AR(1) MA(1) AR(10) AR(18)
Dependent Variable: DRAD
Method: Least Squares
Sample (adjusted): 1/28/2009 5/17/2011
Included observations: 600 after adjustments
Convergence achieved after 10 iterations
MA Backcast: 1/27/2009
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
AR(1) 0.519932 0.121382 4.283433 0.0000
AR(10) -0.070161 0.034647 -2.024993 0.0433
AR(18) -0.069245 0.035127 -1.971255 0.0492
MA(1) -0.654714 0.109172 -5.997082 0.0000
R-squared 0.046813 Mean dependent var -0.000623
Adjusted R-squared 0.042015 S.D. dependent var 0.012440
S.E. of regression 0.012176 Akaike info criterion -5.972087
Sum squared resid 0.088357 Schwarz criterion -5.942774
Log likelihood 1795.626 Hannan-Quinn criter. -5.960676
Durbin-Watson stat 1.978434
Inverted AR Roots .89+.17i .89-.17i .78-.40i .78+.40i
.59-.67i .59+.67i .32-.79i .32+.79i
.03-.87i .03+.87i -.27-.79i -.27+.79i
-.53-.67i -.53+.67i -.72+.42i -.72-.42i
-.83+.16i -.83-.16i
Inverted MA Roots .65
Tabelul nr.2 Estimarea ecuaţiei ARMA(1,1)
Dependent Variable: DRAD
Method: Least Squares
Sample (adjusted): 1/05/2009 5/17/2011
Included observations: 617 after adjustments
Convergence achieved after 11 iterations
MA Backcast: 1/02/2009
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
AR(1) 0.822217 0.083785 9.813474 0.0000
MA(1) -0.891165 0.067113 -13.27855 0.0000
R-squared 0.013274 Mean dependent var -0.000528
Adjusted R-squared 0.011670 S.D. dependent var 0.012430
S.E. of regression 0.012357 Akaike info criterion -5.945962
Sum squared resid 0.093907 Schwarz criterion -5.911619
Log likelihood 1836.329 Hannan-Quinn criter. -5.940386
Durbin-Watson stat 2.085212
Inverted AR Roots .82
Inverted MA Roots .89
81
Tabelul nr.3 Estimarea modelului GARCH(1,1) pentru ecuaţia varianţei
Dependent Variable: D_TOTAL
Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution
Sample (adjusted): 1/28/2009 5/17/2011
Included observations: 600 after adjustments
Convergence achieved after 22 iterations
MA Backcast: 1/27/2009
Presample variance: backcast (parameter = 0.7)
GARCH = C(5) + C(6)*RESID(-1)^2 + C(7)*GARCH(-1)
Variable Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.
Variance Equation
C 3.08E-05 5.62E-06 5.478785 0.0000
RESID(-1)^2 0.251799 0.042915 5.867367 0.0000
GARCH(-1) 0.546096 0.063647 8.580102 0.0000
R-squared 0.028631 Mean dependent var -0.000623
Adjusted R-squared 0.023742 S.D. dependent var 0.012440
S.E. of regression 0.012291 Akaike info criterion -6.106139
Sum squared resid 0.090043 Schwarz criterion -6.054841
Log likelihood 1838.842 Hannan-Quinn criter. -6.086170
Durbin-Watson stat 2.041565
Sursa: Prelucrarea datelor în Eviews.
Tabelul nr.4. Corelograma reziduurilor rezultate în urma estimării modelului GARCH(1,1) pentru
ecuaţia varianţei
Sample: 1/28/2009 5/17/2011
Included observations: 600 Q-statistic probabilities
adjusted for 4 ARMA
term(s)
Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob
.|. | .|. | 1 -0.000 -0.000 1.E-07
.|. | .|. | 2 -0.013 -0.013 0.1092
.|. | .|. | 3 -0.037 -0.037 0.9191
.|. | .|. | 4 -0.028 -0.029 1.4104
.|. | .|. | 5 0.016 0.015 1.5589 0.212
.|. | .|. | 6 -0.019 -0.021 1.7736 0.412
.|. | .|. | 7 0.038 0.036 2.6531 0.448
.|. | .|. | 8 -0.028 -0.028 3.1310 0.536
.|. | .|. | 9 -0.046 -0.045 4.3970 0.494
.|. | .|. | 10 0.030 0.030 4.9370 0.552
.|. | .|. | 11 0.026 0.025 5.3478 0.618
.|. | .|. | 12 0.012 0.006 5.4295 0.711
82
Tabelul nr.5. Corelograma pătratelor reziduurilor rezultate în urma estimării modelului GARCH(1,1)
pentru ecuaţia varianţei(Homoscedasticitatea erorilor)
Sample: 1/28/2009 5/17/2011
Included observations: 600 Q-statistic probabilities
adjusted for 4 ARMA
term(s)
Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob
.|. | .|. | 1 -0.016 -0.016 0.1563
.|. | .|. | 2 -0.062 -0.063 2.5129
.|. | .|. | 3 0.014 0.012 2.6263
.|. | .|. | 4 0.013 0.010 2.7327
.|. | .|. | 5 -0.005 -0.003 2.7450 0.098
.|. | .|. | 6 0.005 0.006 2.7608 0.251
.|. | .|. | 7 0.006 0.006 2.7842 0.426
.|. | .|. | 8 -0.005 -0.004 2.7982 0.592
.|. | .|. | 9 -0.049 -0.049 4.2594 0.513
.|. | .|. | 10 -0.029 -0.032 4.7786 0.573
.|* | .|* | 11 0.191 0.185 27.123 0.000
.|. | .|. | 12 -0.030 -0.028 27.682 0.001
Tabelul nr.6 Estimarea modelului EGARCH(1,1,0) pentru ecuaţia varianţei
Dependent Variable: DRAD
Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution
Sample (adjusted): 1/28/2009 5/17/2011
Included observations: 600 after adjustments
Convergence achieved after 21 iterations
MA Backcast: 1/27/2009
Presample variance: backcast (parameter = 0.7)
LOG(GARCH) = C(5) + C(6)*RESID(-1)/@SQRT(GARCH(-1)) + C(7)
*LOG(GARCH(-1))
Variable Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.
Variance Equation
C(5) -0.448267 0.084191 -5.324406 0.0000
C(6) 0.192111 0.019040 10.08974 0.0000
C(7) 0.949799 0.009439 100.6276 0.0000
R-squared 0.034660 Mean dependent var -0.000623
Adjusted R-squared 0.029801 S.D. dependent var 0.012440
S.E. of regression 0.012253 Akaike info criterion -6.170015
Sum squared resid 0.089484 Schwarz criterion -6.118718
Log likelihood 1858.005 Hannan-Quinn criter. -6.150046
Durbin-Watson stat 2.073246
Inverted AR Roots .85-.17i .85+.17i .75+.40i .75-.40i
.56-.66i .56+.66i .30-.78i .30+.78i
.02-.86i .02+.86i -.28+.78i -.28-.78i
-.53-.66i -.53+.66i -.72-.41i -.72+.41i
-.82+.16i -.82-.16i
Inverted MA Roots .36
83
Tabelul nr.7 Estimarea modelului EGARCH(1,1,1) pentru ecuaţia varianţei
Dependent Variable: DRAD
Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution
Sample (adjusted): 1/28/2009 5/17/2011
Included observations: 600 after adjustments
Convergence achieved after 31 iterations
MA Backcast: 1/27/2009
Presample variance: backcast (parameter = 0.7)
LOG(GARCH) = C(5) + C(6)*ABS(RESID(-1)/@SQRT(GARCH(-1))) + C(7)
*RESID(-1)/@SQRT(GARCH(-1)) + C(8)*LOG(GARCH(-1))
Variable Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.
Variance Equation
C(5) -0.639387 0.137541 -4.648700 0.0000
C(6) 0.057367 0.020513 2.796605 0.0052
C(7) 0.203665 0.021938 9.283855 0.0000
C(8) 0.933265 0.014682 63.56576 0.0000
R-squared 0.031359 Mean dependent var -0.000623
Adjusted R-squared 0.026483 S.D. dependent var 0.012440
S.E. of regression 0.012274 Akaike info criterion -6.172653
Sum squared resid 0.089790 Schwarz criterion -6.114028
Log likelihood 1859.796 Hannan-Quinn criter. -6.149832
Durbin-Watson stat 2.057634
Inverted AR Roots .85+.17i .85-.17i .75+.40i .75-.40i
.56-.68i .56+.68i .30+.78i .30-.78i
.01+.88i .01-.88i -.29+.78i -.29-.78i
-.54-.68i -.54+.68i -.73-.41i -.73+.41i
-.84-.17i -.84+.17i
Inverted MA Roots .20
Tabelul nr.8 Estimarea modelului EGARCH(1,1,2) pentru ecuaţia varianţei
Dependent Variable: DRAD
Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution
Sample (adjusted): 1/28/2009 5/17/2011
Included observations: 600 after adjustments
Convergence achieved after 38 iterations
MA Backcast: 1/27/2009
Presample variance: backcast (parameter = 0.7)
LOG(GARCH) = C(5) + C(6)*ABS(RESID(-1)/@SQRT(GARCH(-1))) + C(7)
*ABS(RESID(-2)/@SQRT(GARCH(-2))) + C(8)*RESID(-1)
/@SQRT(GARCH(-1)) + C(9)*LOG(GARCH(-1))
Variable Coefficient Std. Error z-Statistic Prob. Variance Equation
C(5) -0.478209 0.099317 -4.814968 0.0000
C(6) 0.336605 0.071247 4.724468 0.0000
C(7) -0.316620 0.070944 -4.462976 0.0000
C(8) 0.196773 0.022621 8.698690 0.0000
C(9) 0.948252 0.010493 90.36702 0.0000
84
R-squared 0.028124 Mean dependent var -0.000623
Adjusted R-squared 0.023232 S.D. dependent var 0.012440
S.E. of regression 0.012295 Akaike info criterion -6.186424
Sum squared resid 0.090090 Schwarz criterion -6.120470
Log likelihood 1864.927 Hannan-Quinn criter. -6.160750
Durbin-Watson stat 2.044616
Tabelul nr.9. Corelograma reziduurilor rezultate în urma estimării modelului EGARCH(1,1,2) pentru
ecuaţia varianţei
Sample: 1/28/2009 5/17/2011
Included observations: 600
Q-statistic probabilities adjusted for 4 ARMA
term(s)
Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob
.|. | .|. | 1 0.021 0.021 0.2599
.|. | .|. | 2 -0.018 -0.019 0.4578
.|. | .|. | 3 -0.035 -0.034 1.1982
.|. | .|. | 4 -0.041 -0.040 2.2416
.|. | .|. | 5 0.012 0.013 2.3318 0.127
.|. | .|. | 6 -0.001 -0.005 2.3330 0.311
.|. | .|. | 7 0.039 0.037 3.2571 0.354
.|. | .|. | 8 -0.014 -0.017 3.3778 0.497
.|. | .|. | 9 -0.043 -0.040 4.5111 0.478
.|. | .|. | 10 0.010 0.013 4.5715 0.600
.|. | .|. | 11 0.026 0.026 4.9824 0.662
.|. | .|. | 12 0.004 -0.002 4.9908 0.759
Tabelul nr.10. Corelograma pătratelor reziduurilor rezultate în urma estimării modelului EGARCH(1,2)
pentru ecuaţia varianţei(Homoscedasticitatea erorilor)
Sample: 1/28/2009 5/17/2011
Included observations: 600
Q-statistic probabilities
adjusted for 4 ARMA
term(s)
Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob
.|. | .|. | 1 -0.014 -0.014 0.1189
.|. | .|. | 2 -0.011 -0.011 0.1901
.|. | .|. | 3 0.029 0.028 0.6902
.|. | .|. | 4 0.047 0.048 2.0463
.|. | .|. | 5 0.013 0.015 2.1472 0.143
.|. | .|. | 6 0.004 0.005 2.1576 0.340
.|. | .|. | 7 -0.030 -0.032 2.7009 0.440
.|. | .|. | 8 -0.005 -0.009 2.7183 0.606
.|. | .|. | 9 -0.043 -0.046 3.8388 0.573
.|. | .|. | 10 0.014 0.013 3.9536 0.683
.|* | .|* | 11 0.133 0.137 14.877 0.038
.|. | .|. | 12 -0.019 -0.010 15.101 0.057
85
Tabelul nr.11 Estimarea modelului IGARCH(1,1) pentru ecuaţia varianţei
Dependent Variable: DRAD
Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution
Sample (adjusted): 1/28/2009 5/17/2011
Included observations: 600 after adjustments
Convergence achieved after 69 iterations
MA Backcast: 1/27/2009
Presample variance: backcast (parameter = 0.7)
GARCH = C(5)*RESID(-1)^2 + (1 - C(5))*GARCH(-1)
Variable Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.
Variance Equation
RESID(-1)^2 0.069645 0.005272 13.21063 0.0000
GARCH(-1) 0.930355 0.005272 176.4757 0.0000
R-squared 0.042188 Mean dependent var -0.000623
Adjusted R-squared 0.037367 S.D. dependent var 0.012440
S.E. of regression 0.012205 Akaike info criterion -6.015111
Sum squared resid 0.088786 Schwarz criterion -5.978470
Log likelihood 1809.533 Hannan-Quinn criter. -6.000848
Durbin-Watson stat 2.065150
Inverted AR Roots .88-.17i .88+.17i .75+.37i .75-.37i
.58-.64i .58+.64i .31-.74i .31+.74i
.04-.83i .04+.83i -.26-.75i -.26+.75i
-.50-.64i -.50+.64i -.69+.39i -.69-.39i
-.78+.16i -.78-.16i
Inverted MA Roots .72
Tabelul nr. 12. Estimarea modelului IGARCH(2,1) pentru ecuaţia varianţei
Dependent Variable: DRAD
Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution
Sample (adjusted): 1/28/2009 5/17/2011
Included observations: 600 after adjustments
Convergence achieved after 68 iterations
MA Backcast: 1/27/2009
Presample variance: backcast (parameter = 0.7)
GARCH = C(5)*RESID(-1)^2 + C(6)*GARCH(-1) + (1 - C(5) - C(6))*GARCH(
-2)
Variable Coefficient Std. Error z-Statistic Prob. Variance Equation
RESID(-1)^2 0.124063 0.010374 11.95930 0.0000
GARCH(-1) 0.248704 0.098965 2.513051 0.0120
GARCH(-2) 0.627233 0.094381 6.645738 0.0000
R-squared 0.041664 Mean dependent var -0.000623
Adjusted R-squared 0.036840 S.D. dependent var 0.012440
S.E. of regression 0.012209 Akaike info criterion -6.028520
Sum squared resid 0.088834 Schwarz criterion -5.984551
Log likelihood 1814.556 Hannan-Quinn criter. -6.011404
Durbin-Watson stat 2.060164
86
Inverted AR Roots .87-.17i .87+.17i .74+.36i .74-.36i
.57-.63i .57+.63i .30-.72i .30+.72i
.04+.82i .04-.82i -.25-.73i -.25+.73i
-.49+.63i -.49-.63i -.68-.38i -.68+.38i
-.77+.16i -.77-.16i
Inverted MA Roots .75
Tabelul nr. 13. Corelograma reziduurilor rezultate în urma estimării modelului IGARCH(2,1) pentru
ecuaţia varianţei
Sample: 1/28/2009 5/17/2011
Included observations: 600
Q-statistic probabilities
adjusted for 4 ARMA term(s)
Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob
.|. | .|. | 1 0.016 0.016 0.1606
.|. | .|. | 2 0.011 0.011 0.2394
.|. | .|. | 3 -0.021 -0.021 0.5000
.|. | .|. | 4 -0.010 -0.010 0.5623
.|. | .|. | 5 0.015 0.016 0.6954 0.404
.|. | .|. | 6 -0.023 -0.024 1.0162 0.602
.|. | .|. | 7 0.052 0.052 2.6770 0.444
.|. | .|. | 8 -0.015 -0.016 2.8108 0.590
.|. | .|. | 9 -0.028 -0.030 3.3057 0.653
.|. | .|. | 10 -0.033 -0.030 3.9747 0.680
.|. | .|. | 11 0.055 0.058 5.8050 0.563
.|. | .|. | 12 0.011 0.006 5.8820 0.660
Tabelul nr. 14. Corelograma pătratelor reziduurilor rezultate în urma estimării modelului IGARCH(2,1)
pentru ecuaţia varianţei(Homoscedasticitatea erorilor)
Sample: 1/28/2009 5/17/2011
Included observations: 600
Q-statistic probabilities
adjusted for 4 ARMA
term(s)
Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob
.|. | .|. | 1 0.040 0.040 0.9501
.|. | .|. | 2 0.002 0.001 0.9527
.|. | .|. | 3 0.026 0.026 1.3641
.|. | .|. | 4 0.070 0.068 4.2916
.|. | .|. | 5 -0.024 -0.030 4.6399 0.051
.|. | .|. | 6 0.020 0.022 4.8903 0.087
.|. | .|. | 7 0.014 0.009 5.0080 0.171
.|. | .|. | 8 -0.007 -0.011 5.0379 0.283
.|. | .|. | 9 -0.038 -0.035 5.9277 0.313
.|. | .|. | 10 -0.034 -0.036 6.6559 0.354
.|* | .|* | 11 0.084 0.087 10.947 0.141
.|. | .|. | 12 -0.029 -0.033 11.466 0.177
87
Tabelul nr. 15. Estimarea modelului TGARCH(2,1,1) pentru ecuaţia varianţei
Dependent Variable: DRAD
Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution
Sample (adjusted): 1/28/2009 5/17/2011
Included observations: 600 after adjustments
Convergence achieved after 5 iterations
MA Backcast: 1/27/2009
Presample variance: backcast (parameter = 0.7)
GARCH = C(5) + C(6)*RESID(-1)^2 + C(7)*RESID(-1)^2*(RESID(-1)<0) +
C(8)*RESID(-2)^2*(RESID(-2)<0) + C(9)*GARCH(-1)
Variable Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.
Variance Equation
C 2.64E-05 4.12E-06 6.391795 0.0000
RESID(-1)^2 0.256757 0.046320 5.543125 0.0000
RESID(-1)^2*(RESID(-1)<0) -0.111380 0.034323 -3.245113 0.0012
RESID(-2)^2*(RESID(-2)<0) -0.126974 0.019390 -6.548448 0.0000
GARCH(-1) 0.661667 0.049750 13.29991 0.0000
R-squared 0.025287 Mean dependent var -0.000623
Adjusted R-squared 0.020381 S.D. dependent var 0.012440
S.E. of regression 0.012313 Akaike info criterion -6.154757
Sum squared resid 0.090353 Schwarz criterion -6.088803
Log likelihood 1855.427 Hannan-Quinn criter. -6.129082
Durbin-Watson stat 2.024434
Inverted AR Roots .82-.18i .82+.18i .72+.38i .72-.38i
.54-.68i .54+.68i .28-.75i .28+.75i
-.00-.87i -.00+.87i -.29+.75i -.29-.75i
-.54-.68i -.54+.68i -.73+.38i -.73-.38i
-.83+.18i -.83-.18i
Inverted MA Roots .05
Tabelul nr. 16. Corelograma reziduurilor rezultate în urma estimării modelului TGARCH(2,1,1) pentru
ecuaţia varianţei Sample: 1/28/2009 5/17/2011
Included observations: 600
Q-statistic probabilities
adjusted for 4 ARMA term(s)
Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob
.|. | .|. | 1 0.025 0.025 0.3760
.|. | .|. | 2 -0.019 -0.020 0.6001
.|. | .|. | 3 -0.038 -0.037 1.4829
.|. | .|. | 4 -0.040 -0.039 2.4679
.|. | .|. | 5 0.012 0.012 2.5550 0.110
.|. | .|. | 6 -0.010 -0.013 2.6137 0.271
.|. | .|. | 7 0.028 0.026 3.0751 0.380
.|. | .|. | 8 -0.033 -0.035 3.7311 0.444
.|. | .|. | 9 -0.055 -0.053 5.5921 0.348
.|. | .|. | 10 0.021 0.023 5.8642 0.439
.|. | .|. | 11 0.012 0.009 5.9507 0.546
.|. | .|. | 12 0.012 0.005 6.0332 0.644
88
Tabelul nr. 17. Corelograma pătratelor reziduurilor rezultate în urma estimării modelului TGARCH(2,1,1)
pentru ecuaţia varianţei(Homoscedasticitatea erorilor)
Sample: 1/28/2009 5/17/2011
Included observations: 600 Q-statistic probabilities
adjusted for 4 ARMA
term(s)
Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob
.|. | .|. | 1 -0.028 -0.028 0.4742
.|. | .|. | 2 -0.009 -0.010 0.5249
.|. | .|. | 3 0.006 0.005 0.5449
.|. | .|. | 4 0.043 0.043 1.6419
.|. | .|. | 5 0.015 0.018 1.7842 0.182
.|. | .|. | 6 0.002 0.004 1.7868 0.409
.|. | .|. | 7 -0.003 -0.003 1.7909 0.617
.|. | .|. | 8 -0.005 -0.007 1.8054 0.771
.|. | .|. | 9 -0.049 -0.051 3.2717 0.658
.|. | .|. | 10 -0.003 -0.007 3.2776 0.773
.|. | .|. | 11 0.140 0.140 15.269 0.053
.|. | .|. | 12 -0.013 -0.003 15.370 0.052
