Microsoft Word - MATEMATIKA ZA BIZNIS.pdf

8/20/2019 Microsoft Word - MATEMATIKA ZA BIZNIS.pdf

1/336

СОДРЖИНА

Математика за бизнис 1

СОДРЖИНА

СОДРЖИНА ...................................................................................................................... 1

ПРЕДГОВОР ..................................................................................................................... 6

Глава 1

Множества и релации ....................................................................... 8

1.1

Поим за множество ..................... ..................... ..................... ................... 8

1.2 Операции со множества ..................... ..................... ...................... ...... 11

1.3 Подредено множество и Декартов производ .................... ...... 13

1.4 Бинарна релација ...................................... ..................... ...................... .. 14

1.5 Задачи за вежбање ...................... ..................... ...................... ................ 17

Глава 2 Детерминанти и матрици ................... ...................... .................... 22

2.1 Детерминанти .................... ..................... ...................... ...................... ..... 22

2.2 Својства на детерминантите ...................... ..................... ................. 24

2.3 Минори и кофактори .................... ..................... ...................... ............. 28

2.4 Матрици ...................................................................................................... 31

2.5 Операции со матрици ................... ..................... ...................... ............. 32

2.6 Инверзна матрица 1 A− ........................................................................ 42

2.6.1

Пресметување на инверзна матрица 1− со метод накофактори ............................................................................................................ 43

2.6.2 Пресметување на инверзна матрица 1 A− со Гаус Џорданов метод ................... ..................... ...................... ..................... ............. 47

2.6.3

Пресметување на инверзна матрица 1 A−

сонумерички метод ................... ..................... ...................... ...................... ......... 53

2.7 Примена на матрици во решавање на матрични равенки 60

2.8 Задачи за вежбање ...................... ..................... ..................... ................. 64

Глава 3 Систем линеарни равенки ........................................ .................... 68

3.1 Решавање на системи линеарни равенки со помош надетерминанти ..................... ..................... ...................... ..................... .................... 68

3.2

Решавање на систем линеарни равенки со помош наинверзна матрица ................................................................................................ 78


2/336

Поим за множество

2 Математика за бизнис

3.3 Гаусова постапка за решавање на системи линеарниравенки ...................................................................................................................... 82

3.4 Задачи за вежбање ................................................................................ 88

Глава 4 Низи од реални броеви .................... ..................... ...................... ... 90

4.1

Поим за низа ............................................................................................. 90

4.2 Аритметичка прогресија.................................................................... 93

4.3 Геометриска прогресија ................... ..................... ...................... ....... 96

4.4 Гранична вредност на низа .................... .................... .................... 101

4.5 Задачи за вежбање .................... ..................... ..................... ................ 106

Глава 5 Функции од една реална променлива .................... ............. 114

5.1 Поим за функции од една реална променлива .................... 114

5.2 Својства на функциите од една реална променлива ........ 119

5.2.1

Ограниченост на функции ....................................... ............. 119

5.2.2 Монотоност на функции ...................... ...................... ............ 119

5.2.3 Парност и непарност на функции ................................... .. 122

5.2.4 Периодичност на функции ............................ ..................... .. 123

5.3 Елементарни функции ...................... ..................... ...................... ..... 124

5.3.1 Линеарна функција .................................... ...................... ......... 124

5.3.2 Квадратна функција .................................. ...................... ......... 126

5.3.3 Експоненцијална функција ..................... ..................... ......... 129

5.3.4 Логаритамска функција ..................... ..................... ................ 130

5.3.5

Хиперболична функција .................... ..................... ................ 131

(Функција на обратна пропорционалност) ..................... ................ 131

5.4 Гранична вредност на функција .................... ..................... ......... 132

5.5 Некои карактеристични гранични вредности на функции 140

5.6 Непрекинатост на функции. Точки на прекин .................... 142

5.7 Асимптоти на функција .................... ..................... ...................... ..... 145

5.8 Задачи за вежбање .................... .................... ...................... ................ 148


3/336

СОДРЖИНА


Глава 6 Диференцијално сметање ................... ...................... ................. 154

6.1 Поим за извод на функција ...................... ..................... ................. 154

6.2 Правила за диференцирање .................... ..................... ................. 156

6.3 Извод од сложена функција .................... ...................... ................. 161

6.4

Геометриско толкување на поимот извод на функција . 162

6.5 Извод од повисок ред ................... ..................... ...................... .......... 165

6.6 Тајлорова формула ..................... ..................... ...................... ............. 167

6.7 Лопиталово правило .................... ..................... ...................... .......... 169

6.8 Примена на изводите за испитување на функциите ....... 171

6.8.1 Монотоност на функции ..................... ..................... .............. 171

6.8.2 Локални екстреми на функции ..................... ..................... 173

6.8.3 Конкавност, конвексност и превојни точки ............... 176

6.9

Конструкција на график на функција ............................ .......... 178

6.10 Задачи за вежбање ...................... ..................... ...................... ............. 182

Глава 7 Интегрално сметање на функции од една променлива 186

7.1 Поим за примитивна функција и неопределен интеграл 186

7.2

Методи на интегрирање ..................... .................... ...................... ... 189

7.2.1 Метод на замена на променливи ............................ .......... 190

7.2.2

Метод на парцијална интеграција ............................ ....... 192

7.3

Интегрирање на дробно рационални функции. Метод нанеопределени коефициенти ................... ..................... ...................... .......... 194

7.4 Интегрирање ирационални функции .................... .................. 201

7.5 Интегрирање со рекурентни формули ...................... .............. 211

7.6 Интеграл од биномен диференцијал ................... ..................... 215

7.7 Поим за определен интеграл ..................... ..................... .............. 218

7.8 Плоштина на рамнинска фигура ..................... .................... ....... 224

7.9

Плоштина на геометриска слика на параметарскизададени функции ................... ..................... ...................... ...................... ......... 230


4/336



7.10 Плоштина на геометриска слика во поларни координати 234

7.11 Задачи за вежбање .................... .................... ...................... ................ 237

Глава 8 Каматни пресметувања .................................... ...................... ..... 240

8.1

Камата. Видови камати................................... ...................... ............ 240

8.2 Проста камата ................... ..................... ...................... ..................... ..... 244

8.3 Декурзивно пресметување на сложената............................... 252

8.4 Антиципативно пресметување на сложена камата .......... 260

8.5 Терминска сметка ...................... ..................... ..................... ................ 267


Глава 9 ПЕРИОДИЧНИ ВЛОГОВИ ..................... .................... .................... 279

9.1 Поим за периодичен влог .................... ..................... ...................... . 279

9.2

Еднакви поединечни вложувања кај кои вложувањето сесовпаѓа со вкаматувањето............................................................................. 280

9.2.1

Антиципативно вложување .... ...................... ..................... .. 280

9.2.2 ДЕКУРЗИВНО ВЛОЖУВАЊЕ ........................... .................... .. 285

9.3 Еднакви поединечни вложувања кај кои вкаматувањето епочество од вложувањето ........................................ ..................... ................ 288

9.3.1 Антиципативно вложување .... ...................... ..................... .. 288

9.3.2 Декурзивно вложување ............................... ...................... ..... 290

9.4

Еднакви поединечни вложувања кај кои вложувањето епочесто од вкаматувањето .................... ..................... ...................... ............ 292


Глава 10 Периодични ренти ...................... ..................... ..................... ......... 299

10.1 Поим за рента. Видови ренти ................... ..................... ................ 299

10.2 Периодични ренти кај кои примањето на рентата сесовпаѓа со вкаматувањето............................................................................. 300

10.2.1 ДЕКУРЗИВНА PEHATA..................... ..................... .................... 300

10.2.2 Антиципативна рента ...................... .................... .................... 303


5/336


10.3 Периодични ренти кај кои вкаматувањето е почесто одпримањето ............................................................................................................. 306

10.3.1

Декурзивна рента ..................... ..................... ...................... ...... 306

10.3.2 Антиципативна рента .................................... ...................... ... 308

10.4

Периодични ренти кај кои примањето е почесто одвкаматувањето ................... ..................... ...................... ..................... ................. 310

10.5 Вечна рента............................................................................................. 313

10.5.1 АНТИЦИПАТИВНА РЕНТА ................................... .................. 313

10.5.2 Декурзивна рента ..................... ..................... ...................... ...... 315

10.6 Задачи за вежбање ...................... ..................... ..................... .............. 317

Глава 11

Амортизација нa заеми ...................... ..................... ..................... 321

11.1 Поим за заем. Видови заеми .................... ..................... ................. 321

11.2 Амортизација на заеми co еднакви отплати и декурзивно

пресметување нa каматата ................... ..................... ...................... ............. 325

11.3 Амортизација на заеми co еднакви ануитети и декурзивнопресметување нa каматата ................... ..................... ...................... ............. 328

11.4 Амортизација нa заеми co заокружени ануитети идекурзивно пресметување нa каматата .................... ...................... ...... 330

11.5 Задачи за вежбање ...................... ..................... ...................... ............. 334

ЛИТЕРАТУРА ............................................................................................................. 337


6/336



ПРЕДГОВОР

Оваа книга ја содржи предвидената материја со наставниотплан и програма на економскиот факултет во прва година наПрвиот Приватен Европски Универзитет на РепубликаМакедонија, Скопје, по предметот Математика за бизнис. Истатаможат да ја користат и студентите од други сродни факултети,бидејќи се опфатени неопходните поими од Елементарна алгебра,Калкулус и Финансиска математика.

Материјалот во книгата е поделен во 11 глави:Во првата глава дефинирани се основните поими од множества

и релации, со решени примери и задачи.

Понатаму во втората глава, почнуваме да се запознаваме соелементарните алгебарски поими, како што се матрици идетерминанти, за да во третата се потсетуваме на системилинеарни равенки, проширувајќи ги нашите знаења за нивнорешавање со нови методи на решавања на системите линеарниравенки.

Во четвртата глава се разработени низите од реални броеви,

при што се дефинира поимот за граница на низа и некоикарактеристични граници, за да накрај се воведат поимите зааритметичка и геометриска прогресија, кои што се неопходни заизведување на карактеристични поими од финансискаматематика кои ќе се разгледуваат во последните глави.

Во петтата глава е образложен поимот за функција, при што енаправен пресек на некои карактеристични елементарнифункции, за да накрај се обрнува внимание на гранична вредности непрекинатост на функција во одредена точка.

Во шестата глава и седмата глава се запознаваме со основнитепоими на Калкулус: диференцирање и интегрирање на функции,


7/336

ПРЕДГОВОР


при што на крајот од шестата глава се резимира со испитување натекот на функција, додека во седмата глава се пресметуваатплоштините на фигури ограничени со графиците на даденифункции.

Во осмата глава се дефинираат основните поими на финансиска

математика, проста и сложена каматна сметка, за веќе во деветтаи десетта глава преку решени примери се запознаваме соповеќекратни еднакви влогови и примање на рента врз основа напретходно вложен капитал.

Со единаесетта глава се завршува со основните поими нафинансиска математика, преку формирањето на амортизационенплан на непосредни заеми со еднакви отплати и еднаквиануитети.

Презентираната содржина во оваа книга е со цел студентите одпрва година од Економскиот факултет на Првиот ПриватенЕвропски Универзитет, Република Македонија, Скопје, како идругите читатели да ги освежат своите познавања одЕлементарната алгебра, Калкулус и Финансиска математика иистите да ги прошират преку многубројните решени примери избирката од задачи за вежбање.

Им благодариме на рецензентите проф. др Биљана Јанева ипроф. др Зоран Ивановски кои со своите сугестии придонесоа воподобрувањето на текстот.

Однапред сме благодарни на секоја добронамерна критика исугестија, бидејќи овој учебник претставува прво издание наавторите од оваа област.

Скопје, Септември, 2009 Авторите


8/336



Глава 1 Множества и релации

1.1 Поим за множество

Поимот множество е основен поим во математиката и тој не седефинира. Множество претставува обединување на повеќеелементи во една целина, меѓутоа ова не треба да се разбере какопрецизна математичка дефиниција. Множествата ќе гиобележуваме со големите букви од латиницата A, B, C,…

Симболот Aa ∈ означува дека, множеството A го содржиелементот a или a припаѓа на множеството A , односно a еелемент на множеството A . Додека со симболот Aa ∉ се означувадека a не се содржи т.е не му припаѓа на множеството A .

Постојат три начини на претставување на множествата и тоа :

со набројување на елементите,

описен начин, односно со наведување на карактеристикитешто ги има секој елемент од множеството,

со Венов дијаграм.

Пример 1.1: Множеството од првите шест природни броеви ќе гопретставиме на трите горенаведени начини.

1) }6,5,4,3,2,1{= A


9/336

МНОЖЕСТВА И РЕЛАЦИИ


2) },7{ Ν∈


10/336



Дефиниција 1.1.4: Ако A е подмножество од множеството B ипритоа постои барем еден елемент од множеството B што не муприпаѓа на множеството A , тогаш велиме дека множеството A евистинско подмножество од множеството B и означуваме B A ⊂ .

Со помош на квантификатори поимот за вистинско подмножествоможе да се запише на следниов начин:

B A A y B y y B x A x x ⊂⇔∉∧∈∃∧∈⇒∈∀ ))(())(( .

Дефиниција 1.1.5: Ако множеството A е подмножество одмножеството B и обратно ако множесвото B е подмножество одмножеството A , тогаш велиме дека A и B се идентични(еднакви) множества, односно B A A B B A =⇔⊆∧⊆ .

Од претходно напишаното можеме да ги донесеме следнивезаклучоци :

секое множество е подмножество од самото себе,

празното множество е подмножество од секое другоподмножество па и од самото себе,

празното множество е вистинско подмножество од секоенепразно множество.

Дефиниција 1.1.6: Ако A е произволно множество тогашпартитативно множество )( A P е множеството составено од

сите подмножества на даденото множество A . Во секоепартитативното множество се состои и празното множествобидејќи тоа е подмножество од било кое множество.

Пример 1.3: Нека е дадено множеството }3,2,1{= A . Тогаш

партитативното множество на множеството A е множеството

},3,2,1{},3,2{},3,1{},2,1{},3{},2{},1{{)( = A P ∅} .

■


11/336



1.2 Операции со множества

Дефиниција 1.2.1: Унија на две множества A и B преставува

множеството од сите елементи кои припаѓаат барем на едно одмножествата A или B и се означува со B A ∪ .

Унијата на две множества A и B можеме да ја претставиме икако:

}{ B x A x x B A ∈∨∈=∪ .

Пример 1.4: Нека се дадени множествата }5,4,3,2,1{= A и}9,8,6,2,1{= B . Тогаш унијата на множествата A и B е

претставена со множеството }9,8,6,5,4,3,2,1{=∪ B A .

■

Дефиниција 1.2.2: Пресек на две множества A и B преставувамножеството од сите елементи кои истовремено припаѓаат и намножеството A и на множеството B и се означува со B A ∩ .

Пресекот на две множества A и B може да се запише и како :

}{ B x A x x B A ∈∧∈=∩ .

Пример 1.5: Нека се дадени множествата {1,2,3,4,5} A = и

{1,2,6,8,9} B = . Тогаш пресекот на множествата A и B е

претставена со множеството {1,2} A B∩ = .

■

Дефиниција 1.2.3: За две множества велиме дека се дисјунктни ако немаат заеднички елементи, односно ако нивниот пресек епразно множество.


12/336

Подредено множество и Декартов производ


Дефиниција 1.2.4: Разлика на две множества A и B преставувамножеството од сите елементи кои припаѓаат на множеството A ,

а не припаѓаат на множеството B и таа се означува со A ∖ B .

Истотака разликата на две множества A и B се запишува како: A∖ }{ B x A x x B ∉∧∈= .

Пример 1.6: Нека { 1,2,3,4,5 } A = и {1,2,6,8,9} B = тогаш разликата

на множествата A и B е \ {3,4,5} A B = .

■

Дефиниција 1.2.5: Ако множеството A е подмножество одмножеството B , тогаш комплемент на множеството A во однос

на множеството B е множеството составено од сите елементи намножеството B кои не припаѓаат во множеството A при што се

користи ознаката c B .

Комплементот на множеството A во однос на множеството B може да се престави со:

}{ A x B x x A c

B ∉∧∈= .

Пример 1.7: Нека {1,2,3,4,5} A = и {1,2,6,8,9} B = тогаш

комплементот на множеството A во однос на множеството B еc

B A ={6,8,9}, додека комплементот на множеството B во однос на

множеството A е }5,4,3{=c A B .

■


13/336



1.3 Подредено множество и Декартов производ

Дефиниција 1.3.1: За едно множество велиме дека е подредено ако

распоредот на неговите елементи е строго утврден.

Дефиниција 1.3.2: Парот елементи a и b за кои точно е одреденокој елемент ќе биде прв а кој втор се нарекува подреден пар илиподредена двојка и се означува со ),( ba . Елементот a од

подредениот пар ),( ba се нарекува прва координата, а елементот

b втора координата.

На сличен начин се дефинираат подредни тројки ),,( cba и

подредени четворки на елементи ),,,( d cba .

Дефиниција 1.3.3: Декартов производ на две непразни множества A и B е множеството од сите подредени парови на елементи такашто првиот елемент од парот припаѓа на множеството A авториот елемент е од множеството B . Ознаката за Декартовиотпроизвод е B A× и се чита „ A по B .

Според дефиницијата добиваме {( , ) , } A B x y x A y B× = ∈ ∈ каде што

, A B ≠ ∅.

Пример 1.8: За множествата {1,2,3} A = и { , , , } B a b c d = ,

Декартовиот производ B× е :

{(1, ), (1, ), (1, ), (1, ), (2, ), (2, ), (2, ), (2, ), (3, ), (3, ), (3, ), (3, )} A B a b c d a b c d a b c d × =

,

додека декартовиот производ B A× е :

{( ,1), ( , 2), ( , 3), ( ,1), ( , 2), ( , 3), ( ,1), ( , 2), ( , 3), ( ,1), ( , 2), ( , 3)} B A a a a b b b c c c d d d × =

■


14/336

Бинарна релација


На сличен начин се дефинира Декартовиот производ на тримножества , A B и C {( , , ) , , } A B C x y z x A y B z C × × = ∈ ∈ ∈ .

1.4


Дефиниција 1.4.1: Секое непразно подмножество од Декартовиотпроизвод се нарекува релација.

За математиката од посебно значење се таканаречените бинарнирелации, односно релации со должина 2, кои се најблиску донашата интуитивна претстава за релации.

Дефиниција 1.4.2: Значи секое подмножество α од декартовиотпроизвод A B× така што B A×⊆α се нарекува бинарна релација и таа се означува со {( , ) ( , ) } x y x yα α = ∈ .

Дефиниција 1.4.3: Ако B A×⊆α , тогаш за 1 {( , ) ( , ) } y x x yα α − = ∈

велиме дека е инверзна релација на релацијата α , односно1

B Aα − ⊆ × .

Ако ( , ) x y α ∈ , тогаш велиме дека x е во релација со y или дека

и се во релација α , и тоа се означува со yα , односно y x y x α α ⇔∈),( .

Пример 1.9: За множествата {5,6,7} A = и { , , } B X Y Z = имаме:

{(5, ), (5, ),(5, ),(6, ), (6, ),(6, ),(7, ), (7, ),(7, )} A B X Y Z X Y Z X Y Z × =

{( ,5), ( ,6),( ,7), ( ,5),( ,6),( ,7),( ,5),( ,6),( ,7)} B A X X X Y Y Y Z Z Z × =

Можни бинарни операции се на пример :


15/336



1 {(6, ),(7, ), (5, )} X Z Y α =

2 {(5, ),(7, ), (5, )} X Y Y α =

3 {(7, ),(7, ),(5, )} Z Y X α = .

Додека 4 {(6, ), ( ,5)} X Z α = не е бинарна релација бидејќи 4α не е

подмножество од A B× , а не е подмножество ни од B A× .

За инверзните релации имаме :

11 {( ,6),( ,7),( ,5)} X Z Y α − =

12 {( ,5),( ,7),( ,5)} X Y Y α − =

13 {( ,7),( ,7),( ,5)} Z Y X α − = .

■

Пример 1.10: За множеството {1,2,3,4} A = можеме да ја

формираме следната релација

{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4), (2,1),(3,1),(4,1),(3,2),(4, 2),(4,3)} A A× =

.

За истото множество A може да се формираат следните релации :

1 {( , ) } {(1,1),(2, 2), (3,3),(4, 4)} x y x yα = = =

22 {( , ) } {(1,1),(2,4)} x y x yα = = =

3 {( , ) 6} {(2,4), (4,2), (3,3)} x y x yα = + = = .

■


16/336



Дефиниција 1.4.4: Бинарната релација A Aα ⊆ × може да гипоседува следниве својства:

1) Рефлексивност, ако е исполнет условот ( ) ( ) x A x xα ∀ ∈ ,

односно ( ) (( , ) ) x A x x α ∀ ∈ ∈

2) Симетричност, ако е исполнет условот( , ) ( ) x y A x y y xα α ∀ ∈ ⇒ , односно

( , ) (( , ) ( , ) ) x y A x y y xα α ∀ ∈ ∈ ⇒ ∈ .

3) Транзитивност, ако е исполнет условот

( , , ) ( ) x y z A x y y z x z α α α ∀ ∈ ∧ ⇒ , односно

( , , )(( , ) ( , ) ( , ) ) x y z A x y y z x z α α α ∀ ∈ ∈ ∧ ∈ ⇒ ∈

4) Антисиметричност, ако е исполнет условот( , ) ( ) x y A x y y x x yα α ∀ ∈ ∧ ⇒ = , односно

( , ) (( , ) ( , ) ) x y A x y y x x yα α ∀ ∈ ∈ ∧ ∈ ⇒ = .

Пример 1.11: Да се испита дали релацијата

}(1,6),(3,3),(4,5),(4,6),(5,6),(6,1),(6,5)α =

е рефлексивна, симетрична, транзитивна и антисиметрична во

множеството {1,2,3,4,5,6} A = .

Решение :

o Релацијата α не е рефлексивна бидејќи секој елемент одмножеството A не е во релација самиот со себе т.е.( ) (( , ) ) x A x x α ∀ ∈ ∉ .

o Релацијата α не е симетрична бидејќи (4,5) α ∈ , но (5,4) α ∉ ,

односно


17/336



( , ) x y A∃ ∈ така што ( , ) x y α ∈ , но ( , ) y x α ∉ .

o Релацијата α не е транзитивна бидејќи подредените парови(5,6),(6,1) α ∈ , но (5,1) α ∉ , односно ( , , ) x y z A∃ ∈ така што

( , ) x y α ∈ и ( , ) y z α ∈ но ( , ) x z α ∉ .

o Релацијата α не е антисиметрична бидејќи постојатподредените парови (1,6) α ∈ и (6,1) α ∈ .

Дефиниција 1.4.5: Секоја бинарна релација α во множеството A која е рефлексивна, симетрична и транзитивна се нарекува

релација за еквиваленција.

Дефиниција 1.4.6: Секоја бинарна релација α во множеството A која е рефлексивна, антисиметрична и транзитивна се нарекува

релација за подредување.

1.5 Задачи за вежбање

1.

Нека се дадени множествата }3,2,1{= A и }13,12,11{= B . Да сеопределат множествата B A× и A B × и да се провери даливажи A B B A ×=× .

2. Да се определи партитативното множество на множеството}7,5,3,1{= A .

3. Нека се дадени множествата }22{ ≤≤−∧∈= x Z x x A и

}31{ ≤≤∧∈= y Z y y B . Да се определат множествата B A× ,

A B × и )()( A B B A ×∩× .


18/336

Задачи за вежбање


4.

Нека се дадени множествата }6,5,4,3,2,1{= A , }9,8,7,5,3,2{= B и }10,7,6,5,3,1{=C . Да се определат множествата B A ∪ ,

BC A ∩∪ )( , C A \ и )\()\( C B B A ∪ .

5.

Нека се дадени множествата }9{2

=∧∈= x R x x A и}034{ 2 =+−∧∈= x x R x x B . Да се определат множествата

B A ∪ , B A ∩ , B A \ и A B \ .

6. Дадени се множествата { 6 6} A x x x= ∈ ∧ − <


19/336



10. Да се испита дали дадените релации се рефлексивни,симетрични, транзитивни и антисиметрични:

а) )}2,3(),3,2{(1 =α

б) )}3,3(),2,2(),1,1{(2 =α

в) )}3,2(),3,1(),2,1(),3,3(),2,2(),1,1{(3 =α

г) )}2,3(),2,1(),3,3(),2,2(),1,1{(4 =α

д) )}2,3(),1,3(),4,2(),2,2(),1,1{(5 =α

во множеството }3,2,1{= A .

11. Во множеството 2{ 85} A x x x= ∈ ∧ ≤N е дефинирана

релацијата:

{( , ) 9 ; , } y x y x y Aα = + = ∈ .

Да се испитаат својствата на релацијата α .

12. Да се одреди која следните релациите дефинирани вомножеството {0,1,2,3} A = , се релации за подредување :

а) )}3,3(),2,2(),3,2(),3,1(),1,1(),2,1(),0,0(),1,0{(=α ,

б) )}3,3(),2,2(),1,1(),0,0{(=α ,

в) )}1,3(),2,3(),3,1(),3,2(),1,0{(=α ,

г) )}3,2{(=α .

13. Да се одреди која следните релациите дефинирани во

множеството }4,3,2,1{= A , се релации за еквиваленција :


20/336

Задачи за вежбање


а) )}2,2(),3,1(),3,2(),2,1{(=α

б) )}1,3(),2,2(),3,1(),1,1{(=α

в) )}4,4(),4,3(),3,4(),3,3(),2,2(),1,1{(=α

г) )}2,1(),4,4(),1,1(),3,2(),3,3(),2,2{(=α

д) )}3,1(),3,2(),2,1(),1,1{(=α

14. Која од следните релации дефинирани во множеството}4,3,2,1{= A , се релации за подредување :

а) )}3,3(),2,2(),1,1{(=α

б) )}2,3(),4,4(),3,2(),3,3(),2,2(),1,1{(=α

в) )}3,1(),3,2(),2,1{(=α

г) )}2,1{(=α

д) )}4,4(),3,3(),3,2(),2,2(),4,1(),1,1{(=α .

15. Да се одреди која следните релациите дефинирани во

множеството }3,2,1,0{= A , се релации за подредување :

а) )}3,3(),2,2(),3,2(),3,1(),1,1(),2,1(),0,0(),1,0{(=α ,

б) )}3,3(),2,2(),1,1(),0,0{(=α ,

в) )}1,3(),2,3(),3,1(),3,2(),1,0{(=α ,

г) )}3,2{(=α .


21/336



16. Да се одреди која следните релациите дефинирани вомножеството }4,3,2,1{= A , се релации за еквиваленција :

а) )}2,2(),3,1(),3,2(),2,1{(=α

б) )}1,3(),2,2(),3,1(),1,1{(=α

в) )}4,4(),4,3(),3,4(),3,3(),2,2(),1,1{(=α

г) )}2,1(),4,4(),1,1(),3,2(),3,3(),2,2{(=α

д) )}3,1(),3,2(),2,1(),1,1{(=α .

17. Која од следните релации дефинирани во множеството}4,3,2,1{= A , се релации за подредување :

а) )}3,3(),2,2(),1,1{(=α

б) )}2,3(),4,4(),3,2(),3,3(),2,2(),1,1{(=α

в) )}3,1(),3,2(),2,1{(=α

г) α ={(1,2)}

д) )}4,4(),3,3(),3,2(),2,2(),4,1(),1,1{(=α .


22/336

Детерминанти


Глава 2 Детерминанти и матрици

2.1 Детерминанти

Дефиниција 2.1.1: Под детерминанта од n − ти ред се подразбираквадратна шема од броеви i ja кои се подредени во редици и

колони, каде што i го означува бројот на редиците додека j

бројот на колоните, и се означува со:

11 12 13 1

21 22 23 2

1 2 3

...

...

... ... ... ... ...

... ... ... ... ...

...

n

n

n n n nn

a a a a

a a a a

D

a a a a

=

каде што 1,2,3,...,i n= и 1,2,3,..., j n= . Бројот на редици и колони во

оваа детерминанта изнесува n и затоа таа се нарекувадетерминанта од n − ти ред. Детерминатата може да се пресмета итаа има нумеричка вредност која може да се изрази со еден број.Од дефиницијата следува дека детерминантата има !n членови идека секој член е производ од елементите кои припаѓаат наразлични редици односно колони.

Дијагоналата која започнува од левиот горен агол, кон десниотдолен агол од детерминантата се нарекува главна дијагонала,додека дијагоналата која започнува од десниот горен кон левиотдолен агол се нарекува споредна дијагонала.

За 2n = се добива детерминанта од втор ред и тоа:

11 122

21 22

a a D

a a= .


23/336

ДЕТЕРМИНАНТИ И МАТРИЦИ


Вредноста на детерминатата од втор ред е еднаква на разликатаод производите на елементите што се наоѓаат во нејзинитедијагонали, односно 2 11 22 12 21 D a a a a= ⋅ − ⋅ .

За 3n = се добива детерминанта од трет ред и тоа:

11 12 13

3 21 22 23

31 32 33

a a a

D a a a

a a a

=

Вредноста на детерминантата од трет ред се пресметува наследниов начин:

3 11 22 33 12 23 31 13 21 32 11 23 32 12 21 33 13 22 31 D a a a a a a a a a a a a a a a a a a= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

Детерминанта од трет ред може да се пресмета со т.н Сарусовоправило: се запишуваат првата и втората колона десно одматрицата од трет ред и ја добиваме следната правоаголна шема:

потоа се собираат производите од елементите од дијагоналите одлево горе кон десно долу и од нив се одземаат производите оделементите од дијагоналите од лево долу кон десно горе. Овааметода може да се искористи за пресметување на детерминанта одтрет ред. За да се пресметаат детерминанти од повисок ред првотреба да се дефинираат т.н минори, за кои подоцна ќедискутираме.

11 12 13 11 12a a a a a

21 22 23 21 22a a a a a

31 32 33 31 32a a a a a

+ + +


24/336

Својства на детерминантите


Пример 2.1: Да се пресметаат детерминантите на матриците:

1

1 2

4 0 D = , 2

1 3

2 1 D

−=

− и 3

2 3 5

0 1 1

1 1 0

D = .

Решение:

1

1 21 0 2 4 8

4 0 D = = ⋅ − ⋅ = −

( )21 3

1 1 2 3 1 6 52 1

D−

= = − ⋅ − − ⋅ = − + =−

.

■

2.2 Својства на детерминантите

Ќе наведеме неколку правила односно својства кои важат задетерминантите и кои служат за полесно пресметување на истите.

1. Ако во детерминантата редиците се заменат со колонитогаш вредоста на детерминантата не се менува.

2. Ако две колони или две редици од една детерминанта си гипроменат местата, тогаш детерминантата го менува својотзнак.

2 3 5 2 3

0 1 1 0 1

1 1 0 1 1

+ + +

3 D =

2 1 0 3 1 1 5 0 1

1 1 5 1 1 2 0 0 3 4

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ −

− ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = −


25/336



3. Ако сите елементи од една редица или од една колона сенули, тогаш и вредноста на детерминантата е нула.

4.

Вредноста на детерминантата е нула ако таа има барем двеисти редици или колони т.е. ако елементите во барем две

редици или колони се исти.

5. Ако детермината се множи или дели со реален број, тогашсо тој реален број се множат, односно делат сите елементиод една нејзина редица или колона.

6. Ако на елементите од една редица или колона им седодадат соодветните елементи од друга редица, односноколона помножени со ист број, тогаш детерминантата не јаменува својата вредност.

Во продолжение ќе дадеме по еден пример за секое својство:

Пример 2.2: Нека е дадена детерминантата

2 42 ( 5) ( 4) 1 10 4 6

1 5 D

−= = ⋅ − − − ⋅ = − + = −

− .

Ако во детерминантата D ги замениме редиците со колони седобива

2 1

2 ( 5) 1 ( 4) 10 4 64 5 D = = ⋅ − − ⋅ − = − + = −− − .

Со што покажавме дека со менување на редиците со колони иобратно вредноста на детерминантата не се менува.

■

Пример 2.3: Нека е дадена детерминантата

6 26 3 2 1 18 2 16

1 3 D = = ⋅ − ⋅ = − = .


26/336

Својства на детерминантите


Тогаш детерминантата2 6

2 1 6 3 2 18 163 1

D = = ⋅ − ⋅ = − = − .

Покажавме дека ако две редици или колони си ги заменат

местата тогаш вредноста на детерминантата останува иста само соспротивен знак.

■

Пример 2.4:

1 3 8

0 0 0 1 0 4 ( 3) 0 3 8 0 ( 1)

3 1 4

4 0 ( 3) ( 1) 0 1 8 0 3 0

D

−

= = ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − −

−

− ⋅ ⋅ − − − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =

.

Со што покажaвме дека, ако сите елементи од една редица иликолона се нули тогаш и вредноста на детерминантата е еднаква нанула.

■

Пример 2.5:

4 1 3

1 5 1 4 5 3 1 1 4 3 ( 1) 1 3 ( 1) 1 1 1 4 4 5 3

4 1 3

60 4 3 3 4 60 0

D = − = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =

= + − + − − =

..

Со овој пример го покажавме својството дека детерминанта енула ако таа има барем две исти редици или колони.

■


27/336



Пример 2.6:

( )

2 3 1

5 5 0 5 3 5 90 9 5 42 260

1 7 9

5 2 3 1 10 3 1

5 0 5 3 0 5 3 450 45 25 210 260 5

5 1 7 9 5 7 9

D

D

−

⋅ = ⋅ − = − − + + = −

−

⋅ − −

⋅ − = − = − − + + = − = ⋅

⋅ − −

Со што покажавме дека ако една детерманата се помножи илиподели со еден реален број, тогаш со тој реален број се множи ситеелементи од било која редица или колона.

■

Пример 2.7:2 3

2 7 ( 3) 4 14 12 264 7

D−

= = ⋅ − − ⋅ = + =

2 2 ( 3) 3 2 6 3 4 3.

4 2 7 7 4 14 7 18 7

( 4) 7 ( 3) 18 28 54 26 D

+ ⋅ − − − − − −= = =

+ ⋅ +

= − ⋅ − − ⋅ = − + = =

.

Значи, ако елементите од една редица или колона помножени соист број им се додадат на соодветните елементи од друга редица,

тогаш вредноста на детерминанта не се менува.

■


28/336

Минори и кофактори


2.3 Минори и кофактори

Дефиниција 2.3.1: Детерминантите кои се добиваат кога од

почетната детерминанта ќе се изостават една редица и еднаколона се нарекуваат минори.

Минорите имаат ред за еден помал од редот на почетнатадетерминанта и притоа за секој елемент од детерминантата ija

одговара само еден минор ij M кој се добива ако во

детерминантата се изостави i − тата редица и − тата колона,

односно редицата и колоната во коишто се наоѓа соодветниотелемент.

Во општ случај, нека е дадена детрминантата од трет ред11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

D a a a

a a a

= . Тогаш на пример минорот што одговара на

елементот 12a ќе го добиеме со испуштање на првата редица и

втората колона, односно редицата и колоната во која се наоѓа

елементот 12a и ќе имаме21 23

1231 33

a a M

a a= .

Пример 2.8: Ќе го запишеме минорот што одговара на елементот

32a од детерминантата

1 0 2

3 5 1

3 2 6

A

−

=

−

, односно 321 2

( 1) 1 2 3 1 6 73 1

M −

= = − ⋅ − ⋅ = − − = − .

■


29/336



Дефиниција 2.32: Алгебарски комплемент или кофактор

претставува производот ( 1)i jij ij A M += − ⋅ , односно кофактор е

минор на кој напред му се става знак „ + или „ , кој се

пресметува со степенување на ( 1)i j+− . Знакот пред минорот,

односно алгебарскиот комплемент ќе биде „ + ако збирот i j+ е

парен број, додека тој ќе биде „ ако збирот i j+ е непарен број.

Значи ако збирот на индексите i и j е парен број тогаш

кофакторот на даден елемент од детерминанта е еднаков сонеговиот минор, односно ij ij A M = , ако пак збирот на индексите i

и j е непарен број тогаш кофакторот на даден елемент од

детерминанта е еднаков со неговиот минор само со спротивензнак, односно ij ij A M = − .

Со кофакторите може дадена детерминанта да се разложи поелементите на било која нејзина редица или колона.

Така на пример детерминантата од трет ред11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

D a a a

a a a

=

можеме да ја разложиме по елементите од првата редица наследниов начин:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

22 23 21 23 21 221 1 1 2 1 311 12 13

32 33 31 33 31 32

( 1) ( 1) ( 1)

a a a

D a a aa a a

a a a a a aa a a

a a a a a a

+ + +

= =

= ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ =

11 22 33 23 32 12 21 33 23 31 13 21 32 22 31( ) ( ) ( ) .a a a a a a a a a a a a a a a= ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅

На сличен начин истата детерминантата користејќи кофакториможеме да ја разложиме по елементите од втората колона:


30/336

Матрици


11 12 13

21 22 23

31 32 33

21 23 11 13 11 131 2 2 2 3 2

12 22 3231 33 31 33 21 23( 1) ( 1) ( 1)

a a a

D a a a

a a a

a a a a a a

a a aa a a a a a

+ + +

= =

= ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ =

12 21 33 23 31 22 11 33 13 31 32 11 23 13 21( ) ( ) ( )a a a a a a a a a a a a a a a= − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ .

Разложувањето со помош на кофактори е многу корисно, бидејќипри решавање на детерминанти од повисок ред, тие можат да серазложат на кофакторите што одговараат на елементите од еднаредица или колона, и со тоа редот на детерминантата ќе се намалии пресметувањето на таа детерминанта значително се олеснува.

Пример 2.9: Со примена на кофактори вредноста на

детерминантата

523

645

231

= A ќе ја пресметаме така што прво ќе ја

разложиме на пример по елементите од втората редица, со штопочетната детерминанта ќе ја разложиме на три детерминанти одвтор ред.

2 1 2 2 2 3

1 3 23 2 1 2 1 30

5 4 6 5 ( 1) 4 ( 1) 6 ( 1)2 5 3 5 3 23 2 5

A + + +

= = ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ =

5 ( 1) (3 2 2 2) 4 1 (1 5 2 3) 6 ( 1) (1 2 30 3)

5 (6 4) 4 (5 6) 6 (2 90) 10 4 528 514

= ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ =

= − ⋅ − + ⋅ − − ⋅ − = − − + =

■


31/336



2.4 Матрици

Дефиниција 2.4.1: Матрица A од ред m n× е правоаголна шемакоја нема бројна вредност, а е составена од броеви или елементи

ija ( 1,2,3,...,i m= и 1,2,3,..., j n= ) кои што се наредени во m редиции n колони, односно

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

...

...

...

... ... ... ... ...

...

n

n

n

m m m mn

a a a a

a a a a

A a a a a

a a a a

=

или пократко матриците ги означуваме со [ ]i j m n A a ×= . Елементитеija можат да бидат било какви математички објекти меѓутоа ние

ќе работиме само матрици составени од реални броеви. Првиотиндекс i претставува реден број на редицата, а вториот индекс j

е редниот број на колоната во која се наоѓа тој елемент.

Под главна дијагонала на една квадратна матрица сеподразбираат елементите што се наоѓаат во насока од горниот левагол кон долниот десен агол, односно елементите 11 22 33, , ,..., nna a a a .

Споредната дијагонала пак има насока од горниот десен агол кондолниот лев агол на една матрица.

Матрицата со други зборови можеме да ја дефинираме какомножество од броеви или елементи подрени во редици и колони.Притоа треба да се напомене дека меѓу елементите од една редицаили колона не постои никаква дефинирана релација.

Ако една матрица има m редици и n колони, тогаш велиме декатаа матрица е од ред m n× .


32/336

Операции со матрици


Ако бројот на редиците е еднаков на бројот на колоните во еднаматрица, односно m n= , тогаш таа се нарекува квадратна матрца,додека пак ако бројот на редици е еднаков на бројот на колони,односно m n≠ тогаш таа матрица има правоаголна форма.

2.5 Операции со матрици

• Еднаквост на матрици

За две матрици велиме дека се еднакви ако имаат ист број наредици и на колони, односно само ако се од ист ред и акосоодветните елементи се еднакви.

Нека се дадени матриците 11 12

21 22

a a A

a a

=

и 11 12

21 22

b b B

b b

=

. Овие

матрици ќе бидат еднакви, односно A B= само ако 1111 ba = ,

1212 ba = , 2121 ba = , 2222 ba = .

Пример 2.11: Матриците2 3

0 1 A

= −

и2 3

0 1 B

= −

се еднакви

бидејќи

11 11 2a b= = , 12 12 3a b= = , 21 21 0a b= = , 22 22 1a b= = − .

■

• Собирање на матрици

Две матрици може да се соберат ако имаат ист број на редици иколони, односно ако се од ист ред. Собирањето на две матрици севрши такашто секој елемент од првата матрица се собира сосоодвртниот елемент од втората матрица. Според тоа имаме:


33/336



Ако се дадени матриците 11 12

21 22

a a A

a a

=

и 11 12

21 22

b b B

b b

=

, тогаш

имаме

B+ = 11 12

21 22

a a

a a

+

11 12 11 11 12 12

21 22 21 21 22 22

b b a b a b

b b a b a b

+ + = + +

.

При собирањето на матрици важи комутативниот закон, односно A B B A+ = + и асоцијативниот закон, односно

( ) ( ) A B C A B C A B C + + = + + = + + .

• Одземање на матрици

Одземањето на матрици се дефинира на ист начин како исобирањето, односно две матрици може да се одземат само акоимаат ист број на редици и колони односно ако се од ист ред.

Според тоа имаме A B− = 11 12

21 22

a a

a a

−

11 12 11 11 12 12

21 22 21 21 22 22

b b a b a b

b b a b a b

− − = − −

.

Пример 2.12: Нека се дадени матриците

3 4 2

1 5 0

6 3 2

A

= − −

и

1 2 3

0 1 3

7 1 4

B

− = −

.

Тогаш имаме


34/336



3 4 2 1 2 3 3 1 4 ( 2) 2 3

1 5 0 0 1 3 1 0 5 ( 1) 0 3

6 3 2 7 1 4 6 7 3 1 2 4

2 4 2 1 2 6 1

1 5 1 3 1 6 3

1 4 2 1 4 2

A B

− − − − − − = − − − = − − − − − = − − − − −

+ − −

= − + − = − − − − − − − −

■

• Множење на матрица со скалар

Дадена матрица се множи со скалар такашто скаларот се множисо секој елемент од матрицата, односно нека е дадена матрицата

11 12

21 22

a a A

a a

=

и нека k ∈R е скалар, односно реален број. Тогаш за

множењето на матрицата со скаларот k ќе имаме:

11 12 11 12

21 22 12 22

a a k a k ak

a a k a k a

⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

Пример 2.13: Ако се дадена матрицата2 3

1 2 A

− = −

и скаларот

3k = , тогаш производот k A⋅ ќе биде

2 3 3 2 3 ( 3) 6 93

1 2 3 1 3 ( 2) 3 6k A

− ⋅ ⋅ − − ⋅ = ⋅ = = − ⋅ ⋅ − −

.

■

• Множење на матрици

Множењето на две матрици A и B е можно само ако прватаматрица има онолку колони колку што втората има редици, итогаш велиме дека матриците се согласни, односно компатибилни.


35/336



Добиената матрица по множењето ќе има ист број на редици какопрвата матрица и ист број на колони како втората матрица.

На пример, ако сакаме да ги помножиме матриците [ ]ij m n A a ×= и

[ ]ij n p B b ×= , прво гледаме дали бројот на редици на матрицата A се

совпаѓа со бројот на редици на матрицата B , односно тој број е n .Со тоа е исполнет условот матриците A и B да се компатибилни,односно множењето може да се изврши. Па новодобиенатаматрица C A B= ⋅ ќе биде од ред m p× , односно бројот на

редиците како матрицата и број на колони како матрицата B .

Постапката за множење на матрицата [ ]ij m n A a ×= со матрицата

[ ]ij n p B b ×= се одвива во следниве чекори:

- Елементите од првата редица од матрицата A се множат со

елементите од првата колона од матрицата B , соодветно избирот од тие производи преставува елемент одноводобиената матрица што се наоѓа во првата редица ипрвата колона.

- Елементите од првата редица од матрицата A се множат соелементите од втората колона од матрицата B , соодветно избирот од тие производи преставува елемент одноводобиената матрица што се наоѓа во првата редица ивтората колона

-

Елементите од првата редица од матрицата A се множат соелементите од n − тата колона од матрицата B , соодветно избирот од тие производи преставува елемент одноводобиената матрица што се наоѓа во првата редица иn − тата колона

Понатаму, множењето се одвива на ист начин, односно акосакаме да го најдеме елементот од новата матрица што се наоѓа воi − тата редица и во j − тата колона, тогаш треба да го пресметаме

збирот од производите на елементите што се наоѓаат во i − татаредица и во j − тата колона, соодветно.


36/336



Пример 2.14: Производот A B⋅ помеѓу матриците 4 1

2 3 A

− =

и

2 5

1 2 B

− =

ќе го добиеме на следниов начин:

=⋅ B A4 1 2 5

2 3 1 2

− − ⋅ =

4 ( 2) ( 1) 1 4 5 ( 1) 2 8 1 20 2 9 18

2 ( 2) 3 1 2 5 3 2 4 3 10 6 1 16

⋅ − + − ⋅ ⋅ + − ⋅ − − − − = = = ⋅ − + ⋅ ⋅ + ⋅ − + + −

.

■

Пример 2.15: Да се пресмета производот меѓу матриците

1

34

A

− =

и [ ]2 5 6 B = − .

Решение:

Прво ќе провериме дали множењето може да се изврши, односнодали се компатибилни матриците. Забележуваме дека матрицата

е од ред 3 1× , додека матрицата B е со ред 1 3× што значи декабројот на колони на матрицата A изнесува 1 и бројот на редици наматрицата B изнесува 1, што значи дека множењето може да сеизврши. Новодобиената матрица ќе биде од ред 3 3× бидејќибројот на редици на матрицата A изнесува 3 и бројот на колони наматрицата B изнесува 3.

A B⋅ =

1

3

4

−

[ ]2 5 6⋅ − =( 1) ( 2) ( 1) 5 ( 1) 6 2 5 6

3 ( 2) 3 5 3 6 6 15 18

4 ( 2) 4 5 4 6 8 20 24

− ⋅ − − ⋅ − ⋅ − − ⋅ − ⋅ ⋅ = − ⋅ − ⋅ ⋅ −

.

■


37/336



• Степенување на матрици

Степенувањето на матрици е дефинирано само кај квадратнитематрици, односно кај оние матрици што имаат ист број на редиции колони. Добиената матрица, по извршеното степенување, ќе

претставува квадратна матрица од ист ред како почетната.

Пример 2.16: Ќе ги пресметаме 2 A и 3 A од матрицата1 2

3 4 A

=

.

Решение:

21 2 1 2 1 1 2 3 1 2 2 4 7 10

3 4 3 4 3 1 4 3 3 2 4 4 15 22 A A A

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ = ⋅ = = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

,

3 2 7 10 1 2 7 1 10 3 7 2 10 4 37 5415 22 3 4 15 1 22 3 15 2 22 4 81 118

A A A ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ = ⋅ = = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ■

При тоа мора да се внимава на фактот дека комутативниотзакон при множење на матрици не важи, односно 2 2 A A A A⋅ ≠ ⋅ т.е.воопшто ако сакаме да ја пресметаме матрицата 1n+ мора најпрвода ја пресметаме n A , па потоа 1n n A A A+ = ⋅ .

Дефиниција 2.5.1: Матрицата 0 A ≠ , за која важи равенството2

A A= се нарекува идемпотентна матрица.

Пример 2.17: Нека е дадена матрицата16 12

20 15 A

− = −

. Ќе

провериме дали матрицата A е идемпотентна, односно ќе гопресметаме производот на матриците

16 12 16 12 16 16 ( 12) 20 16 ( 12) ( 12) ( 15)

20 15 20 15 20 16 ( 15) 20 20 ( 12) ( 15) ( 15) A A

− − ⋅ + − ⋅ ⋅ − + − ⋅ − ⋅ = ⋅ = = − − ⋅ + − ⋅ ⋅ − + − ⋅ −


38/336



256 240 192 180 16 12

320 300 240 225 20 15 A

− − + − = = = − − + −

.

Со што докажавме дека матрицата A е идемпотентна.

■

Дефиниција 2.5.2: Ако 0k A = за 1k > , тогаш матрицата A сенарекува нилпотентна матрица.

Пример 2.18: Да се провери дали матрицата

0 1 0

0 0 1

0 0 0

A

=

е

нилпотентна матрица.

Решение: Најпрво ќе го пресметаме производот 2 A A A= ⋅ .

2

0 1 0 0 1 0 0 0 1

0 0 1 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

A A A

= ⋅ = ⋅ =

,

Потоа, имаме:

3 2

0 0 1 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

A A A

= ⋅ = ⋅ =

.

■

Со ова докажавме дека матрицата A е нилпотентна матрица соиндекс 3, односно 3 0 A = .


39/336



Дефиниција 2.5.3: За матрицата A се вели дека е инволуторна ако 2 A E = , каде што E е единечната матрица (сите елементи одглавната дијагонала се единици, а останатите се нули).

Пример 2.19: Да се провери дали матрицата

1 2 2

3 3 32 1 2

3 3 3

2 2 1

3 3 3

A

− −

= − − − −

е

инволуторна матрица.

Решение: 2

1 2 2 1 2 2

3 3 3 3 3 3 1 0 02 1 2 2 1 2

0 1 03 3 3 3 3 3

0 0 12 2 1 2 2 1

3 3 3 3 3 3

A A A

− − − −

= ⋅ = − − ⋅ − − =

− − − −

.

Значи матрицата A е инволуторна.

■

Дефиниција 2.5.4: Ако во матрицата A сите редици си ги заменатместата со колоните според истиот редослед, односно колоните сезаменат со редиците по истиот редослед се добива нова матрица,која се нарекува транспонирана матрица. Транспониранатаматрица најчесто се означува со T A .

Ако почетната матрица A е од ред m n× тогаш нејзинатасоодветна транспонирана T A матрица ќе биде од ред n m× ,

односно ако


40/336



11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

...

...

...

... ... ... ... ...

...

n

n

n

m m m mn

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

=

тогаш нејзината транспонирана матрица ќе биде

11 21 31 1

12 22 32 2

13 23 33 3

1 2 3

...

...

...

... ... ... ... ...

...

n

n

T

n

m m m nm

a a a a

a a a a

A a a a a

a a a a

=

Пример 2.20: Транспонираната матрица на матрицата

1 3

5 2

4 6

A

=

ќе биде ,1 5 4

3 2 6

T A

=

.

■

Пример 2.21: Нека е дадена матрицата6 8

4 9

A−

= −

тогаш

нејзината транспонирана матрица е6 4

8 9

T A

= − −

.

■

За транспонираната матрица важат следниве правила:

- ( )T

T A A= , што значи ако транспонираната матрица

повторно ја транспонираме ќе се добие почетната матрица


41/336



- ( )T T T A B A B+ = + , што значи транспонирана матрица од

збир на две матрици е еднаква на збирот од двете матриципосебно транспонирани

-

( )

T T T A B B A⋅ = ⋅

- ( )T T k A k A⋅ = ⋅

Пример 2.22: Нека се дадени матриците2 5 4

1 6 3 A

− = −

и

1 0 3

2 5 4 B

=

.

Тогаш за збирот на матриците ќе имаме

2 1 5 0 4 3 3 5 7

1 2 6 5 3 4 3 11 1 A B

+ − + + − + = = + + − +

,

додека

3 3

( ) 5 11

7 1

T A B

+ = −

.

Транспонираните матрици на матриците A и B се:

2 1

5 6

4 3

T A

= − −

и

1 2

0 5

3 4

T B

=

.

Па, за збирот на транспонираните матрици имаме


42/336

Инверзна матрица


2 1 1 2 3 3

5 0 6 5 5 11

4 3 3 4 7 1

T T A B

+ + + = − + + = − + − +

.

Според ова докажавме дека3 3

( ) 5 11

7 1

T T T A B A B + = − = +

.

■

2.6 Инверзна матрица 1 A−

Кај матриците како и кај реалните броеви постои инверзнаматрица 1 A− за која важи 1 1 A A A A E − −⋅ = ⋅ = , каде што E еединечната матрица.

Кај реалните броеви ако a ∈R , тогаш постои 11

aa

− = така што

11a

a⋅ = , само ако 0a ≠ .

За дадена матрица постои нејзина инверзна матрица, ако таа еквадратна и ако нејзината детерминанта е различна од нула(несингуларна матрица).

За пресметување на инверзна матрица постојат три методи и тоа:

1) Медот со кофактори

2) Гаус Џорданов метод

3) Нумерички метод


43/336



Инверзната матрица ги има следниве особини:

• Ако од единечната матрица E се пресмета инверзнаматрица, тогаш повторно ќе се добие единечната матрица.

•

Ако од инверзната матрица на матрицата A повторно сепресмета инверзна матрица 1 A− , ќе се добие почетнатаматрица, односно матриците A и 1 A− се заемно инверзни.

• Матриците A и 1 A− се комутативни, односно A A A A ⋅=⋅ −− 11 .

• Инверзната матрица од производот на матриците A и B ееднаков на производот од инверзните матрици посебно,односно

Documents

Microsoft Word - MATEMATIKA ZA BIZNIS.pdf