1

OTVORENI UNIVERZITET APEIRON U TRAVNIKUFAKULTET POSLOVNE INFORMATIKE

TRAVNIK

BUZA ADNANMATEMATIKA ZA EKONOMISTE

SEMINARSKI RAD

Predmet : Matematika za ekonomisteMentor : Prof.dr Esad JakupovićStudent : Buza Adnan Broj indexa : 0124-09/VPI Odsjek : Poslovna informatika

Travnik, april 2010

2

Sadržaj

Matematicka logika....................................................................................3

Vektori .......................................................................................................8

Linearna zavisnost ...................................................................................18

Pojam i vrsta numerickih funkcija ...........................................................22

Izvod i diferencijali funkcija sa jednim argumentom ..............................25

Literatura ..................................................................................................30

1.

3

Matematička logika

Osnovno sredstvo sporazumjevanja medu ljudima je jezik, Razlikujemo više vrsta jezika sporazumjevanja, kao što su npr, slikarski, muzički, obični (govorni) i književni jezik, Matematički jezik je najviši oblik naučnog jezika,

Za razliku od npr, slikarskog jezika, matematici je potreban jezik pomoću koga se izražavamo i sporazumjevamo bez dvosmislenosti i nedorječenosti. Zadatak matematičke logike je proučavanje, istraživanje i stalna dogradnja takvog matematičkog jezika, tj. jezika simbola kao sredstva za razvijanje mišljenja, rasuđivanja, zaključivanja i komuniciranja u matematici.

Najsličniji maternatičkom jeziku su govorni i književni (pisani) jezik. Osnovu ovih jezika čini glas, slovo, riječ i rečenica. Nešto slično važi i za matematički jezik u kome osnovu čine matematički izrazi (riječi) ili termini, Najprostiji matematički izrazi su konstante i promjenljive.

Konstante su potpuno određeni matematički objekti, tj, veličine kojima se vrijednost ne mijenja, npr,

-S; 0; 2; 2/3; 5; ; Π; e ,,,

Promjenljive su simboli (znaci i slova) koji mogu predstavljati bilo koji elemenat iz nekog datog skupa, Dati skup se naziva oblast definisanosti (domen) promjenljive, Konstante kojima se zamjenjuju promjenljive nazivaju se vrijednosti promjenljivih.

Primjer su oznake za promjenljive 2,) n je oznaka za prirodan broj, Vrijednosti promjenljive n su konstante 1, 2, …

Složeni matematički izrazi se dobijaju kad se konstante I promjenljive povežu simbolima ( oznakama) za računske operacije, kao što su npr, +, -, ·, : , Pri formiranju slođenih izraza dozvoljena je I upotreba zagrada, s tim da izraz ima smisla,

Primjer 1,) izrazi su: 8+7, 3x-4, 5x/(x+1), (x+2)y I sl, 2,) nisu izrazi: 2+, x(y+) I sl,

Dakle, izrazi su riječi ili sklopovi riječi koji ne čine rečenicu, Izrazi se sastoje od jedne promjenljive ili od jednog znaka konstante, ili od više promjenljivih ili znakova konstanti povezanih znacima operacija, uz upotrebu zagrada kao pomoćnih simbola,

Viijednost matematičkog izrazi je konstanta koja se dobije nakon što se u izrazu svi simboli promjenljivih zamjene odgovarajućim vrijednostima (konstantama) i izvrše naznačene operacije,

Matematičke formule su rečenice koje su: ili (1) istinite, ili (2) neistinite, ili (3) takve da se za njih ne može, nedvosmisleno i jednoznačno, utvrditi vrijednost istinitosti, Za prve važe ovi principi:

1) principi uključenja trećeg, što znači da ne postoji iskaz koji ne bi bio ni istinit ni neistinit,2) princip kontradikcije, što znači da nema iskaza koji je i istinit i neistinit,

Primjer

1) Iskazi su formule: 2+3=5, 4>1+2, 4<1+2, 2+3=7, x+x=2x, x+x=3x za x#0, x+2=5 za x=3, x+2=5 za x=8, x+y=y+x i si,2) Nisu iskazi formule: x+2=5, x+y=z, x+x=3x i si, jer nisu definisane vrijednosti promjenljivih njima, pa se ne može nedvosmisleno i jednoznačno utvrditi da li su tačne ili netačne,3) Iskazi su i ove rečenice: Južna i Zapadna Morava se spajaju i grade Moravu; Subotica je grad sa najviše stanovnika u Jugoslaviji, prema popisu od 1981, godine,4) Nisu izkazi rečenice: Broj 2 je zelen; Ekononomija je slatka; Mis univerzum je najljepša žena na svetu, i si, Prve dve rečenice nemaju smisla, dok se za treću ne može pouzdano (nedvosmisleno) utvrditi vrijednost istinitosti, jer je ljepota stvar ukusa, tj, za nekoga je Mis

4

univerzuma najljepša a za nekoga nije,

Matematičke formule koje sadrže promjenljive kojima vrijednost nije definisana i za koje se zbog toga ne može jednoznačno utvrditi vrijednost istinitosti, su neodređeni iskazi i nazivaju se iskazne forme, iskazne funkcije, ili predikati, Predikati postaju iskazi kada se u njima na mjesto promjenljivih uvrste konstante, tj, vrijednosti promjenljivih, Za predikate sa jednom, dve, tri, itd, promjenljivih se kaže da su dužine: jedan, dva, tri, itd,

Primjer Predikati su ove formule: x+2=5, x>5, x+y=z, x+x=3x i sl,

Svaki iskaz se može obilježiti slovom, Ova slova se nazivaju iskazna slova, npi, p, q, r, s, a, b,,,,

Ako je neki iskaz p tačan (istinit), onda se vrijednost njegove istinitosti označava ovako: τ p=T ili τ p=1 (čitaj: tau od p jednako te ili jedan; T kao prvo slovo engleske reci true=istina),

Ako je p netačan (neistinit, lažan) iskaz, onda se njegova istinitost vrednuje sa ili 0, tj, piše se ili

τ p= ili τ p=0 (čitaj: tau od p jednako ne te ili nula),

U matematici se tačan iskaz naziva stav,

Iskaz je prost ako sadrži samo jednu informaciju,

Dva ili više prostih iskaza povezanih znacima logičkih operacija tvore složeni iskaz, Osnovni medu njima su oni koji povezuju dva prosta iskaza, izuzev negacije ┐, koja se odnosi na jedan iskaz, U nastavku dajemo definicije ovih osnovnih složenih iskaza,

Konjukcija datih iskaza p i q je iskaz u oznaci p q (čitaj: p i q), istinit onda i samo onda ako su oba data iskaza istinita,

Tablica vrednosti istinitosti za konjukciju za sve moguće varijante vrijednosti istinitosti iskaza piq:

ili kraće

Disjunkcija datih iskaza p i q je iskaz u oznaci pvq (čitaj: p ili q), istinit onda i samo onda ako je bar jedan od datih iskaza istinit, odnosno neistinit onda i samo onda ako su oba data iskaza neistinita, Ovako definisana disjunkcija javlja se pod nazivom inkluzivna (uključiva) disjunkcija, jer je istinita i onda kada su oba data iskaza istinita,

Eksluzivna (isključiva) disjunkcija datih iskaza p i q je iskaz u oznaci pvq (čitaj: ili p ili q), istinit onda i samo onda ako je samo jedan od datih iskaza istinit,

Tablica vrednosti istinitosti za disjunkciju:

5

Pod izrazom "disjunkcija" najčešće se podrazumjeva inkluzivna, pa je u slučaju upotrebe eksluzivne disjunkcije neophodno to i naglasiti,

Implikacija datih iskaza p i q je iskaz u oznaci p q, neistinit onda i samo onda ako je p istinit a q neistinit iskaz, p q se može čitati ovako:

p implicira q, iz p slijedi q, p je dovoljan uslov za q, q je potreban uslov za q, p je uzrok za q, a q je posljedica p, p je predpostavka, a q je tvrdnja,

Tabla istinitosti za implikaciju:

Ekvivalencija datih iskaza je iskaz u oznaci p q istinit onda i samo onda ako dati iskazi imaju jednake vrednosri istinitosti, p q se može čitati ovako:

* p je ekvivalentno sa q,

* iz p slijedi q i iz q slijedi p,

* ako je p onda q i obratno,

* p je dovoljan i potreban uslova za q i obratno, itd,

Tablica vrednosti istinitosti za ekvivalenciju:

Ekvivalencija iskaza p i q se može definisati i kao konjunkcija implikacija p q i q p, tj, važi:

6

Negacija datog iskaza p je iskaz ┐ p (čitaj: ne p), koji je neistinit kada je p istinit i obratno, Tablica vrijednosti istinitosti za negaciju:

Napomena

1. ┐(┐ p)=p, tj, negacija negacije datog iskaza daje iskaz sa jednakom vrijednošću istinitosti kao što je ima dati iskaz,

2. ┐ ( p q ) = p q i ┐ ( p q ) = p q, tj, negacija ekvivalencije je ekskluzivna

disjunkcija i obratno.

Dakle, vezivanjem prostih iskaza, označenih iskaznim slovima p, q,,,,, pomoću znakova logičkih operacija dobili smo složene iskaze, Vezujući ove složene iskaze pomoću znakova logičkih operacija dobijamo još složenije, Svi ovi iskazi se nazivaju iskazne formule ili logičke formule.

Uobičajeno je da se iskazne formule definišu ovako:

1) Iskazna slova su iskazne formule,2) Ako su A i B iskazne formule, onda su i (A B), (AV B), (A B), (A B), ┐A takođe iskazne formule,3) Iskazne formule mogu se obrazovati samo konačnim brojem primjena 1) i 2), uz mogućnost korišćenja konvencije o brisanju zagrada,

Vrijednost istinitosti iskazne formule zavisi od vrijednosti istinitosti iskaznih promjenljivih u njoj.

Iskazna formula koja je istinita za svaku moguću varijantu vrijednosti istinitosti prostih iskaza u njoj, naziva se tautologija, Ako je iskazna formula tautologija piše se: A=T ili A ≡ T ili A~T.

Dve formule A i B su identički jednake ako i samo ako je formula A B tautologija.

Ako se kvantitativno želi izraziti za koje vrijednosti promjenljivih je istinita iskazna funkcija ili predikat, onda se mogu koristiti tzv, kvantifikatori ili kvantori (kolikovnici).

Ako iskaz počinje kvantifikacijom "za svako", onda se riječi "za svako" označavaju sa (obratno od prvog slova njemačke riječi Alle=svi), i nazivaju univerzalnim kvantifikator (kvantor).

Formula ( x A) P(x) znači: za svako x iz skupa A predikat P(x) je tačan.

Ako iskaz počinje kvantifikacijom "za neko" ili "postoji bar jedan", onda se ove riječi označavaju sa (obratno od prvog slova njemačke riječi Es gibt=postoji), i nazivaju egzistencijalni kvantifikator

(kvantor).

7

Formula ( x A) P(X) znači: predikat P(x) je tačan za bar jedno x iz skupa A.

U vezi s kvantorima, pored ostalih, značajne su ove formule kao zakoni predikatskog (kvantifikatorskog) računa:

;

Kvantori, zajedno sa riječi i, ili, ako,,,onda, nije, predstavljaju potpun spisak osnovnih riječi pomoću kojih se u matematici polazeći od izvjesnih rečenica, grade nove složene rečenice.

Na kraju ovog poglavlja dajemo objašnjenje nekih značajnijih pojmova u vezi s rasuđivanjima i dokazivanjima u matematici.

Definicija je rečenica, ili skup rečenica, kojom se određuju sadržina nekog pojma.

Pojam je misaoni sadržaj termina ili simbola, Razlikujemo osnovne i izvedene pojmove, Osnovni pojmovi su oni koje prihvatamo jasnim same po sebi bez potrebe da se objašnjavaju nekim drugim pojmovima (npr, broj, skup, tačka), Izvedeni pojmovi su oni koje objašnjavamo pomoću osnovnih i drugih izvedenih pojmova.

Pretpostavke (hipoteze) su rečenice (formule) od kojili se polazi, kao taćnih u nekom rasuđivanju.

Posledice su rečenice (formule) koje su, iz pretpostavki, dobijene logičkim rasuđivanjem i zaključivanjem.

Aksiome su polazne rečenice (formule) koje se po dogovoru uzimaju kao tačne i čija se istinitost ne dokazuje.

Teoreme su izvedene (dokazane) rečenice (formule) zasnovane na aksiomima ili prethodno dokazanim tvrđenjima.

Dokaz je put logičkog rasuđivanja i zaključivanja od pretpostavki do posljedica tj, niz koraka od kojili je svaki korak ili aksioma ili već dokazana teorema.

8

Vektori

Za veličine koje definišemo (određujemo) samo brojnom vrijednošću kažemo da su skalarne veličine ili kraće skalari. Prema tome, svaki bioj se može smatrati skalarom. Veličine koje se tako određuju su npr. dobit određenog preduzeća u određenom periodu, površina ili zapremina poslovnog ili drugog prostora, i dr.

Za veličine koje određujemo brojnom vrijednošću, pravcem i smjerom kažemo da su vektorske veličine ili kraće vektori. Vektore možemo predočiti u geometrijski i analitički (numerički). Za izučavanje ekonomije je značajnije analitičko predstavljanje vektora, ali ih je za njihovo dobro razumjevanje potrebno geometrijski objasniti.

U geometriji se vektor definiše kao orijentisana (usmjerena)duž, sa slijedećim elementima:

1) Dužina, intenzitet, modul ili apsolutna vrijednost, tj. rastojanje između krajnje i početne tačke, određene brojnom vrijednošću:

2) Pravac vektora, tj. prava - nosač kojoj vektor pripada (vidi sl. 2-1).3) Smjer vektora, tj. orijentacija duži od početne prema krajnjoj tački.

Razlikujemo: vektore vezane za tačku, vektore vezane za pravu i slobodne vektore.

Vektori vezani za tačku imaju istu početnu tačku, a jednaki su ako su im moduli isti, nosači isu i smjerovi isti.

Vektori vezani za pravu se ne mogu odvojiti od prave - nosača, a jednaki su ako imaju iste module i iste smjerove.

Slobodni vektori su jednaki ako imaju iste module i smjerove, a leže na istoj ili paralelnim pravama. Zbog mogućnosti translatornog kretanja u analitičkoj (koordinarnoj) geometriji se koriste slobodni vektori; pa če dalje biti riječi o slobodnim vektorima. Inače smjer i dužina vektora koji se translira ostaju nepromjenjeni.

Vektor kod koga se poklapaju početna i krajnja tačka i čiji smjer nije određen, naziva se nula vektor, u oznaci . Intenzitet nula-vektora se izražava brojem nula (0).

Zbir konačnog broja vektora je vektor čiji se početak nalazi u početnoj tački prvog,

a kraj u krajnjoj tački posljednjeg vektora, pod uslovom da su dati vektori datim redom nadovezani jedan na drugi tako da se početna tačka svakog vektora poklapa sa krajnjom tačkom prethodnog (sl. 2-2.).

9

Ova definicija sabiranja vektora se naziva pravilo poligona.

Ako se pri sabiranju vektora krajnja tačka poslednjeg vektora-sabirka poklopi sa početnom tačkom prvog, onda je zbir datih vektora jednak nula-vektoru.

Ako se radi o sabiranju dva vektora, onda je reč o tzv. pravilu trougla (sl. 2-3).

Za sabiranje dva vektora važi:

Ako se radi o sabiranju tri vektora, onda je riječ o tzv. pravilu červorougla. (sl. 2-4).

10

Za sabiranje tri vektora važi:

S obzirom na mogućnost translacije, sabiranje dva vektora se može definisati ; kao p r a v i l i paralelograma (sl. 2-5-A.), a sabiranje tri vektora kao pravilo paralelopipeda (sl. 2-5-B.).

11

Vektori su kolinearni ako, dovedeni u zajednčki početak, leže na istoj pravoj. Ako je icdan od dva vektora nula-vektor, onda su oni kolinearni.

Vektori su komplanarni ako, dovedeni u zajednički početak, leže u istoj ravni.Ako je barem jedan od tri vektora nula-vektor, onda su oni komplanarni.

Proizvod ma kojeg skalara λ i ma kojeg vektora je vektor koji ima:

1.) i isti pravac kao

2.) modul

3.) smjer vektora ako je λ>0, a suprotan smjer vektora a ako je λ <0.

Zbir proizvoda i skalara λ1 , λ2 , …, λn i vektori naziva se linearnu kombinacija

vektora . Linearna kombinacija vektora za rezultat daje vektor tj.

Ako je pri tome onda se radi o tzv. konveksnoj linearnoj kombinaciji.

Vektori dužine 1, nazivamo jedinični vektor, ort ili signum u oznaci:

pri čemu važi

Skalarni proizvod dva vektora je skalar dobijen množenjem proizvoda modula datih vektora sa kosinusom ugla koga čine, tj.

Prava na kojoj je jedna od dve moguće orijentacije izabrana za pozitivan smet naziva se osa.

Algebarska vrednost vektora je broj čija je apsolutna vrijednost jednaka modulu vektora. Predznak ovoga broja je pozitivan ako je smjer vektora pozitivan, a negativan ako je smjer vektora negativan.

Projekcija vektora AB na pravu p je vektor ApBp , pri čemu su Ap i Bp ortogonalne projekcije tačaka

A i B na pravoj p (sl. 2-7).

12

U Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu koordinate vektora položaja tačke su algebarske vrijednost projekcija toga vektora na koordinatnim osama (sl. 2-8).

Na osnovu slike 2.8 neposredno zaključujemo da važi:

i su oznake za jedinične duži na koordmatnim osama.

ax i ay su oznake za module vektora i , a nazivaju se apcisa odnosno

ordinaza ručke T. Slično važi i za koordinatni sistem u prostoru (tzv. trodimenzionalni koordinatni sistem) (sl. 2-9)

13

Na osnovu slike 2-9 neposredno zaključujemo da važi:

Na osnovu slike 2-12 zaključujemo da važi:

je modul vektora ; inače poznata formula za

izračunavanje rastojanja bilo koje dve tačke u Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu u ravni.Za vektor prikazan u koordinatnom sistemu u prostoru važi:

Primjer 1.) Na sl. 2-13 prikazan je vektor sa početnom tačkom A (6, 3) i krajnkom tačkom B (11, 5).

14

Na osnovu sl. 2-13 zaključujemo da važi:

Modul ax i az i az se- nazivaju i apcisa, ordinata odnosno aplikata tačke T

Primjer 1.) Dat je vektor koji prikazan u koordinatnom sistemu u ravni izgleda kao na sl. 2-10

Na osnovu sl. 2-10 neposredno zaključujemo da važi:

2.) Dat je vektor u trodimenzionalnom koordinatnom sistemu (sl. 2-11).

15

Na osnovu sl. 2-11 neposredno zaključujemo da važi:

Slika 2-12 pokazuje da su u Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu i koordinate bilo kojeg vektora takođe algebarske vrijednosti projekcije posmatranog vektora.

2.) Za vektor u prostoru koji ima početnu tačku A (3, 6, 4) i krajnju tačku B (5, 11, 7)

važi:

Naprijed rečeno pokazuje da o vektoru možemo imati predstavu i kada ga geometrijski neposredno ne prikazujemo, jer se svaki vektor može i numerički prikazati uređenim skupom brojevima sa konačnim brojem elemenata koji predstavljaju koordinate krajnje tačke vektora, uz pretpostavku da je koordinatni početak (ongo) početna tačka vektora. Vektor kome početna tačka nije u koordinatnom početku može translacijom da se dovede u takav položaj. Prema tome, o vektorima sa slike 2-10 i 2-11 možemo, i bez njihovog geometrijskog prikaza, imati predstavu i računati sa njima ako ih numerički prikažemo pomoću koordinata, ovako:

a neka bude oznaka za numerički oblik za . Numeričko predstavljanje vektora omogućuje računanje sa njim čak i u slučaju kada se oni geometrijski ne mogu predočiti (vektori sa četiri i više komponenata - koordinata).

Za operacije sa vektorima (numerički predstavljenim) važe pravila računanja sa matricama.

Primjer

16

Tada je na primjer:

O4: tj. u V za svaki elemenat postoji invcrzni elemenat.

O5: tj. operacija sabiranja vektora u skupu V je komutativna.

Prema tome algebarska struktura (V, +) je Abelova ili komutativna grupa.

O6 : tj. proizvod ma kojeg skalara X iz skupa skalara S i ma kojeg

vektora x iz V je vektor koji takode pripada skupu V. Riječ je o tzv. spoljašnjoj (eksternoj) operaciji, tj. o preslikavanju SxV V .

Iz O1 i O6 slijedi:

tj. svaka linearna kombinacija vektora iz V je vektor koji pripada skupu V. Tako važi i slijedeće:

O7: tj. važi zakon asocijativnosti za množenje

vektora skalarom.

O8: tj, broj 1 je neutralni elemenat za operaciju množenja vektora

skalarom.

O9 : tj. operacija množenja vektora skalarom je komutarivna.

O10: Operacija množenja skalarom je distributivna prema operaciji sabiranja vektora i operacija množenja vektora je distributivna prema operaciji sabiranja skalara, tj. važi:

Sada je lakše razumjeti slijedeću moguću definiciju vektorskog prostora:

17

Skup vektora V sa internom operacijom sabiranja vektora, rj. VxV V i operaci'iom množenja

vektora skalarom, tj. SxV V , čini linearni vektorski prostor nad S, ako je (V,+) Abelova ili

komutativna grupa, tj. ako za VxV V važe osobine od O1 – O5 i ako je S polje skalara (S,

+. ), te ako operacija SxV V ima osobine od O6 – O10. Kraće kažemo da je V vektorski prostor

nad S.

Ako je S R onda se za V kaže da je realni vektorski ili realni linearni vektorski prostor, o kome će dalje biti riječi.

Osobine od O1 – O10 mogu da posjeduju samo skupovi vektora sa istim brojem komponenti (koordinata), pa ćemo skup svih vektora koji imaju po dve komponente smatran vektorskim prostorom V2 , skup svih vektora koji imaju po tri komponente smatraćemo vektorskim prostorom V3, itd. Skup svih vektora koji imaju po n komponenti smatraćemo vektorskim prostorom Vn

Svaki podskup W V nazivamo potprostorom vektorskog prostora V, ako je W prostor u odnosu na operacije sabiranja vektora i množenja vektora skalarom, .tj. operacije koje važe I za V. Po definiciji svaki prostor V ima najmanje dva potprostora: (1) tzv. nula prosror, tj. W={0) i (2) sam prostor V. Ova dva prostora smatramo trivijalnim slučajevima prostora.

Na primjer sve moguće linearne kombinacije konačnog broja v e k t o r a a1, a2,...,an iz skupa V, tj. vektori koji se mogu prikazati u obliku:

obrazuju linearni potprostor.

Napomena I sami vektori a1, a2,...,an se pojedinačno mogu prikazati kao linearna kombinacija datog skupa vektora, ako ne drugačije, na trivijalan način, tj.:

Ako je u nekom linearnom prostoru, pored sabiranja vektora i množenja vektora skalarom, definisana i operacija skalarnog proizvoda, onda je reč o tzv. Euklidskom prostoru E.

Slijedeći primjeri skupova vektora mogu da posluže boljem razumjevanju 1 razlikovanju prethodno objašnjenih pojmova.

Primjer 1.) je skup vektora sa različitim brojem komponenti.Ovaj skup vektora

nema posebnog matematičkog značaja.

2.)

18

Skup od konačno mnogo (pet) vektora sa istim brojem komponenti (četiri). Ovaj skup (vektorski sistem) je podskup od V4

Vektorski sistem, bez obzira koliko (konačno mnogo) vektora, ne može biti vektorski potprostor jer ne posjeduje ni O1: osobinu zatvorenosti skupa u odnosu na operaciju sabiranja vektora

3.)

je skup od beskonačno mnogo vektora sa istim brojem komponenti.Ovaj skup je podskup od V4 , ali nije vektorski podprostor jer ne posjeduje osobinu O1

4.)

je skup od beskonačno mnogo vektora sa istim brojem komponenti. Ovaj skup je podskup od V4 , ali nije vektorski podprostor, i pored toga što posjeduje osobinu O1 .Ovaj skup ne posjeduje osobinu O3

jer ne sadrži neutralni element (nula vektor).

5.)

Za razliku od (4) ovaj skup posjeduje O3 jer sadrži nula vektor, kao neutralni elemenat, ali ne posjeduje osobinu O4 , jer ne sadrži inverzne elemente za svoje elemente.

6.)

Ovaj skup posjeduje osobine O1 – O5 , a za skup skalara S=Z, posjeduje i osobine O6 – O10 , pa se može smatrati vektorskim potprostorom nad skupom skalara S=Z.

Linearna zavisnost

Naprijed je rečeno da je rezultat linearne kombinacije datih vektora uvijek neki vektor. Kao rezultat linearne kombinacije može da se pojavi i nula-vektor. Najprostija (trivijalna) mogućnost dobijanja nula-vektora kao rezultata linearne kombinacije je ona u kojoj se za sve skalare uzmu nule, tj.

Ova trivijalna mogućnost dobijanja-nula-vektora, linearnom kombinacijom datih vektora, postoji uvijek, bez obzira na strukturu darih vektora. U nekim slučajevima, pored trivijalne, postoje i druge (tzv. netrivijalne) mogućnosti za dobijanje nula-vektora linearnom kombinacijom datih vektora, tj.:

Dakle, nula-vektor se dobije linearnom kombinacijom u kojoj bar jedan od skalara nije jednak nuli.

19

Primjer 1.) Dati su vektori

Rješenje:

Sigurno je da je jednakost λ1a1 + λ2a2 = 0 zadovoljena za λ1 = λ2 = 0, tj:

Postavlja se pitanje, da li postoji i druga (netrivijalna) rješenja? Odgovor dobijamo rješavanjem sledeće jednačine:

Zamjenom λ1=0 u jednačini 2 λ1+4 λ2=0 a λ2=0. pa zaključujemo da, osim trivijalne, nema drugih mogućnosti za rešavanje date jednačine.

2.) Dati su tzv. jedinični vektori

Lako se dokazuje da jednačina λ1 e1 + λ2 e1 + λ3 e3 =0 osim trivijalnih nema drugih rešenja. Isto važi i za ostale slučajeve jediničnih vektora.

3.) Dati su vektori :

Da li osim trivijalnog ima i drugih rješenja jednačina λ1 a1 + λ2 a1 + λ3 a3 =0?

Rješenje:

20

Sabiranjem druge jednačine i proizvoda prve sa -2, te sabiranjem treće jednačina i proizvoda prve sa -3 dobije se sistem:3λ2- 6 λ3=0

6 λ2- 30λ3=0

Djeljenjem druge jednačine ovog sistema sa -2 i nakon toga sabiranjem sa prvom dobije se:

Dakle, osim trivijalnog nema drugih rješenja.

4.) dati se vektori:

Da li osim trivijalnog postoje i druga rješenja jednačine λ1 a1 + λ2 a1 =0?

Rješenje:

/·3/·2 ] +

0/0 je neodređen izraz, jer rezultat djeljenja nule sa nulom može biti bilo koji broj. Prema tome, osim trivijalnog, postoji i bezbroj drugih rješenja date jednačine.

Do ovog saznanja se može doći i ovako:

Jednačina λ1= 5λ2 ima bezbroj rješenja. Prikazujemo neka od njih.

1.) Neka je λ2 = 0, onda je λ1 = 5 , pa je:

2.) Neka je λ2= 1 , onda je λ1= -10 , pa je:

3.) Neka je λ2=0, onda je λ1 = 0,pa je riječ o trivijalnom rješenju. Dakle, trivijalno rješenje postoji uvijek, a u ovom slučaju ono je jedno od bezbroj riješenja.

Pokazaćemo da nezavisno od konkretne veličine λ1 i λ2 , kad god je λ1 = 5 λ2 data jednačina je zadovoljena:

21

5.) Dati su vektori:

Da li je jednačina λ1 a1 + λ2 a2 + λ3 a3 =0 osim trivijalnih ima i drugih rešenja?

Rješenje:

Sabiranjem druge jednačine i umnoška prve sa -2, te sabiranjem treće i umnoška prve sa -3 dobije se sistem:

-3 λ2 -6 λ3 =0-6 λ2 -12 λ3 =0

Sabiranjem druge jednačine i umnoška prve sa -2 dobije se:

Dakle, data jednačina ima bezbroj rješenja. Pokazaćemo neka od njih.

Iz jednačine -3 λ2 -6 λ3 =0 slijedi λ2 =-2 λ3 . Zamjenom ove jednakosti u jednačini λ1 +4 λ2 +7 λ3 =0 dobije se:

λ1 -8 λ3 +7 λ3 =0 λ1 = λ3

Ako uzmemo da je λ3 =k, onda je λ1 =k, λ2 =-2k, pa su rješenja date jednačine { k, -2k, k}.

1.) Neka je k =1 , tada je λ2 =3, λ1 = λ3 -2, pa je;

2.) Neka je k = -2, tada je λ2 =3, λ1 = λ3 -2, pa je:

3.) Neka je k = 0, tada je i λ2 = λ1 =0, pa je riječ o trivijalnom rješenju:

Uopšteno:

22

Vektori a1 , a2 ,..., an nekog vektorskog prostora V nazivamo linearno nezavisnim ako njihovom linearnom kombinacijom nula – vektor možemo dobiti samo na trivijalni način. Za skup vektora a1 , a2 ,..., an možemo reći da u tom sličaju čini linearno nazavisan sistem vektora.Takvi su sistemi vektora u prva tri primjera.

Ako pored trivijalne postoje i druge mogućnosti da se linearnom kombinacijom datih vektora kao rezultat dobije nula—vektor, onda se za dati skup kaže da čini linearno zavisan sistem vektora. Takta su sistemi vektora u 4. i 5. primjeru.

Ako dati skup vektora a1 , a2 ,..., an čini linearno zavisan vektorski sistem, onda se bar jedan oddatih vektora može izraziti (ili dobiti) linearnom kombinacijom ostalih. Takav slučaj predstavljaju vektori a1, a2, i a3, iz 5. primjera, gde smo dobili λ1 = λ3 , λ2 = -2 λ3 . Zamjenom ovih jednakosti u jednačini λ1 a1 + λ2 a2 + λ3 a3 = 0 dobijamo:

Iz ove jednačine možemo dobiti slijedeće:

Najveći broj linearno nezavisnih vektora koji se može naći u datom vektorskom sistemu se naziva rang vektorskog sistema. Ovaj broj ne može biti veći od broja komponenti datih vektora. U 5. primeru taj broj je 2, tj. r(a1, a2, a3)=2, pa se svaki vektor može izraziti linearnom kombinacijom preostala dva linearno nezavisna vektora. Lako se može pokazan da su {a1, a2}{a1, a3}{a2,a3} u pomenutom primeru linearno nezavisni sistemi vektora.

Pojam i vrste numeričkih funkcija

U temi pod 1.4. izučavali smo pojam preslikavanja (funkcija) uopšte, kao binarne relacije koja mora ispunjavati određene uslove. Elementi (komponente, koordinate) uređenih parova su bili različiti objekti, a mogli su biti (i bili su) i brojevi, pre svega realni. Sa gledišta primjene matematike u ekonomskim istraživanjima važna su upravo takva preslikavanja. Takva preslikavanja se obično nazivaju numenčke funkcije, ili kraće funkcije. Zavisno od prirode problema, domen

, a kodomen takode ili .

Ako je onda je riječ o preslikavanju skupa realnih brojeva na skup realnih

brojeva, tj. o funkciji , a ako je Df = R i = R, onda je riječ o preslikavanju skupa

realnih brojeva u skup realnih brojeva, tj. o funkciji . Ovako objašnjen pojam

funkcije podrazumjeva funkcije sa jednim argumentom.Predmet posebnog razmatranja će biti funkcije sa dva i više argumenata

1. Za funkciju y = f (x) = 2x +5 biće:

2. Data je funkcija y = f (x) = x2 -6x +5.

23

Domen ove funkcije je skup realnih brojeva, tj. Df = R, a kodomen je

Kada je riječ o kodomenu ove i sličnih funkcija,onda treba primjetiti da npr. za x = 7 u posmalranoj

funkciji dobijemo y = = ±2. a to je protivno definiciji funkcije kao preslikavanja u kome se

svakom originalu pridružuje samo jedna slika. Da bi se ovaj problem prevazišao (razrešio), y =

se tretira kao skup od dve funkcije od kojih je jedna y = + a druga y = -

. Kodomen prve je [0. + ∞), a druge (- ∞, 0], dok im je domen isti.

Kada je bilo riječi o preslikavanju uopšte, pokazano je da se funkcije mogu prikazati skupovno, tabelarno, grafički i analitički.

Kada je na jasan način (bez potrebe transformacije jednačine kojom je funkcija zadata) izražen skup pravila izračunavanja vrijednosti funkcije za daru vrijednost argumenta,onda se kaže da je funkcija data u cksplicitnom obliku y = f(x) U svih prethodnih šest primjera funkcija je data u cksplicitnom obliku

Ako je funkcija data u obliku jednačine F(x,y)=0, onda se kaže da je funkcija data u implicitnom obliku. Za dobijanje eksplicitnog oblika potrebno je vršiti transformaciju jednačine kojom je funkcija data u implicitnom obliku. Funkcija data (zadata) u cksplicitnom obliku se uvek može trans formi sa ti u implicitni oblik. Svaka funkcija koja se iz eksplicitnog transformiše u implicitni oblik može i obratno, da se iz implicitnog transformiše u cksplicimi oblik. Međutim, ne može se svaka funkcija zadata u implicitnom obliku rransforrnisari i: cksplicimi oblik.

Ako se u jednačini koja predstavlja funkciju i argument i funkcija mogu prikazati kao funkcip neke treće promjenljive (parametra) onda se kaže da je data funkcija prikazana u parametarskom obliku, tj. u obliku x=l(t) , y=g(t).

147.

24

Da je to tačno provjerićemo ovako: kvadrirajmo obe jednačine parametarskog oblika i dobijene jednačine saberemo, pa ćemo dobiti:

S obzirom na ulogu koju u funkciji ima argument, razlikujemo sledeće osnovne tipove numeričkih realnih funkcija:

1) Stepene funkcije, tj. funkcije oblika y=xn; neR je konstanta. Naziv "stepena" zbog toga što se argument stepenuje.2) Eksponencijalne funkcije, tj. funkcije oblika y=ax; a=R. je konstanta y=10x i y=ex su eksponencijalne funkcije od posebnog značaja.3) Logaritamske funkcije, tj. funkcije oblika y=loga x ; a>0 i a<1 je konstanta. y=logi10x=logx i y=logex=ln x su logaritamske funkcije od posebnog značaja4) Trigonometrijske funkcije, tj. funkcije y=sin x, y=cos x, itd.5) Ciklonitrijske ili arkus funkcije, odnosno invcrznc funkcije trigonometrijskih funkcija, tj. funkcija, tj. funkcije y=arc sin x, y=arc cos x, itd.

S obzirom na računske operacije koje treba vršiti sa argumentom da bi se dobila vrijednost funkcije, sve funkcije se mogu svrstati u algebarske il i transcendentne.

Ako su u y=f(x) zastupljene algebarske računske operacije: sabiranje, oduzimanje, množenie. cijeljenje i stepenovanje racionalnim eksponentom, onda je riječ o algebarskim funkcijama. Algebarske funkcije se dijele na racionalne i iracionalne.

Racionalne funkcije se dijele na cijele i razlomljene.

Racionalna funkcija je cijela ako je y=f(x) u obliku polinoma, tj. y = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn

Od ovih funkcija najviše se koriste:• linearna funkcija: y = a0 + a1 x i■ kvadratna funkcija: y = aQ + a1 x + a2 x2.

Razlomljena racionalna funkcija je količnik dve cijele racionalne funkcije, rj.

Elementarni oblik ove funkcije je y=a/x.

Algebarska funkcija je iracionalna, ako se u y=f(x) argument pojavljuje i pod korjenom.

25

Funkcija je transcendentna, ako se u njoj bar jedan dio može tretiran kao eksponencijalna, logaritamska, trigonometrijska ili ciklometnjska funkcija.

6) Funkcija nije ni parna ni neparna.

26

Izvodi i diferencijali funkcija sa jednim argumentom

Neka je y=f(x) neprekidna funkcija u intervalu (a,b). Na osnovu definisane funkcionalne zavisnosti f, bilo kojoj vrijednosti argumenta x iz oblasti definisanosti funkcije, pridružena je odgovarajuća vrijednost funkcije y. Postavlja se p i t an je kako utiče promena (priraštaj) vrijednosti nezavisne promcnljive x na promenu vrijednosti funkcije y. Neka je x0 jedna tačka iz intervala (a,b) kojoj odgovara vrijednost funkcije y0=f(x0). Ako x0 dobije priraštaj Δx, onda će i vrijednost funkcije y0 dobiti priraštaj Δy, tj.

Neka je S kriva jednačine y=f(x), a M0(x0, y0) i M1(x0 + Δx, y0 + Δy) su dve tačke na njoj (si. 4-1).

Uticaj prumene (priraštaja) vrijednosti nezavisne promjenljive na promenu vrijednosti zavisne promjenljive je karaktensan količnikom priraštaja funkcije Δy i priraštaja argumenta Δx. Količnik priraštaja funkcije i priraštaja argumenta

predstavlja prosečnu brzinu promene vrijednosti funkcije y=f(x) u odnosu na promenu argumenta x u intervalu (x0, x0+Δx), odnosno prirastaj funkcije f(x) računat na j ed in icu priraštaja argumenta x u tniervalu (x0, x0+Δx). Pozitivan odnos Δy/Δx naziva se uspon funkcije, a negativan pad funkcije.

27

Slika 4-1

28

Geometrijski, to je koeficijent pravca sječice M0M1 t j . tqβ (slika 4-1).Količnik Δy/Δx u nekoj tački x0 ne zavisi samo od te izabrane tačke, nego je funkcija od Δx. Zbog toga odnos Ay/Ax nije prikladna mera za relativnu promenu vrijednosti funkcije. Da bi brzina promene vrijednosti funkcije y=f(x) zavisila samo od izabrane tačke x0, a ne i od priraštaja argumenta, Δx se postepeno smanjuje sve dok ne postane sasvim malo, tj. ΔX→0. Ako postoji granična vrijednost količnika Δy/Δx kada Δx teži nuli, onda se ta granična vrijednost naziva izvod funkcije y=f(x) u tački x0 i obilježava se

Geometrijski ako ΔX teži nuli,tada se tačka M1, duž krive S približava tački M0, Granični položaj sječice M0M1, je tangenta t, krive S u tački M0. Izvod funkcije y=f(x) u tački x0, ij. f'(x0) predstavlja koeficijent pravca tangente t, tj. tqα (slika 4-1}. Jednnčina tangente na krivu funkcije f(x) u tački M0 izgleda ovako:

Ako se umesio x0 uzme proizvoljna tačka x iz intervala (a,b),onda relativna promjena vrijednosti funkcije glasi (1)

Ako količnik Δy/Δx teži konačnoj granici kada 0x teži nuli, onda se ta granična vrijednost zove izvod funkcije y=f(x) u tački x i obilježava se sa f'(x) tj.

Izvod funkcije y=f(x) se obeležava još i sa y'.

Za funkciju y=f(x) koja ima izvod u nekoj tački x kaže se da je derivabilna u toj tački. Ako funkcija y=f(x) ima izvod u svakoj tački intervala (a,b), onda je ona derivabilna u tom intervalu. Funkcija koja je derivabilna u čitavoj oblasti definisanosti naziva se derivabilna funkcija.

Za postojanje izvoda funkcije u nekoj tački je potrebno da ona u toj tački bude neprekidna. Obrnuto ne mora da važi, tj. funkcija neprekidna u jednoj tački ne mora imati izvod u toj tački.

Izvod derivabilne funkcije y=f(x) je takode funkcija, koja zavisi samo od x. Funkcija y'=f'(x) za svako x iz oblasti definisanosti ima određenu konačnu realnu vrijednost, koja je jednaka graničnoj vrijednosti količnika Δy/Δx u posmatranoj tački.

Primjer

Odrediti koeficijent pravca sječice krive y =x2 u tački x0 = 3 ako je

a)Δx = 1b) Δx = 0,01c) Δx = 0,001

d) Δx = 0,0001

Zatim naći izvod funkcije y=x2 i odrediti jednačinu tangente u tački M0(3,9). Početna tačka sječice je fiksirana, a to je M0(3,9).

Može se primetiti da vrijednost koeficijenta pravca sječice teži 6 kada priraštaj teži nuli, tj. da vrednost koeficijenta pravca sječice zavisi od priraštaja argumenta.

y + Δy = (x + Δx)2

Δy = (x+Δx)2 - x2 = 2xΔx + Δx3

Pošto je jednačina tangente

29

to je

2. Izračunati izvod funkcije po definiciji

3 Odrediti tangentu krive y = 4x2 + 5 u tački M(3,41).

Dobijeni rezultat znači da je ugaoni koeficijent tantente u tački M(3,41), tqα = 24, pa je jednačina tan

yt = 41 + 2 4 (x-3) odnosno

y = 24x-31

Neka je f(x) funkcija koja ima izvod u nekoj tački x intervala (a,b), tj.

1

tada prema definiciji granične vrijednosti

pri čemu ε teži nuli kada Δx teži nuli.

Na osnovu prethodne jednačine, priraštaj funkcije je moguće izraziti kao

Ax = f'(x) Δx + εΔx (3)

gdje izraz f'(x)Δx predstavlja glavni dio priraštaja funkcije, a izraz εΔX predstavlja sporedni dio priraštaja funkcije. Glavni dio priraštaja funkcije se naziva diferencijal prvog reda funkcije y=f(x) i obilježava se

dy = df(x) = f'(x) Δx = y'Δx. (4)

Prema tome, diferencijal funkcije y=f(x) je jednak proizvodu izvoda funkcije i proizvoljnog priraštaja argumenta.

Koristeći funkciju y=x moguće je dokazati da se priraštaj argumenta poklapa sa diferencijalom argumenta, tj.

Δx = dx

Ako se polazi od jednačine y=x, onda je dy=dx. Pošto je y'=1, onda je

dy = 1 ∙ Δx = Δx,

a odavde slijedi da je Δx = dx.

Zamjenom ove jednakosti (4) postaje

dy = df (x) = f'(x)dx = y'x. (4')

Prema tome, diferencijal funkcije y=f(x) je jednak proizvodu izvoda funkcije i diferencijala argumenta.

30

Jednačina (4') se može napisati u obliku tj. izvod neke funkcije jednak je

količniku diferencijala funkcije i diferencijala argumenta. Zbog toga se izvod zove još i diferencijalni količnik.

Prema jednačini (3) kada je Δx relativno malo u odnosu na x moguće je odrediti približnu vrijednost priraštaja funkcije pomoću diferencijala funkcije, tj.

Δy = f'(x) dx = dy. (5)

Primjer

1. Data je funkcija y=x2.Za x=100 i Δx=0,01 odrediti priraštaj funkcije i približnu vrijednost priraštaja funkcije pomoću diferencijala funkcije. Zatim izraziti učinjenu apsolutnu grešku i relativnu grešku. y + Δy = (x + Δ x)2

Δy = (x + Δx)2 - x2 = 2x Δx + (Δx)2

Δy (x=100, Δx=0,01) = 2,000dy = 2xΔxdy(x=100. Ax=0,01) = 2

Apsolutna greška iznosi Δy - dy = 2,0001 - 2 = 0,0001.

Relativna greška iznosi

Ovaj zadatak može da bude korišćen, na primer, za rješavanje slijedećeg praktičnog problema.

Želi se izračunati površina kvadrata sa stranom 100m i pri merenju ove strane učini greška Δx=0,01 m. Kolika će biti greška u površini?

Izračunavanje te greške preko priraštaja površine (Δy) se može zamjeniti sa diferencijalom površine (dy), što znači da greška u površini iznosi približno 2m2.

3 Za koliko će se povećati zapremina kocke sa ivicom 2,3 m, ako se njena ivica poveća za 0.1 m?

x = x3

y+Δy = (x +Δx)3

Δy = (x+Δx)3 - x3 = 3x2 Δx + 3xΔx2 + Δx3

Δy(x=2.3; Δx=0,1)= 1,657dy = 3x2 Δxdy(x=2.3; Δx=0,1) = 1.587

Stvarno povećanje zapremine kocke iznosi 1,675 m3, dok se približnim računanjem dobija vrijednost 1.587 m .

Apsolutna greška iznosi Δy - dy = 1,657 - 1,587 = 0,070.

Relativna greška iznosi

Za x = 2,3 i Δx = 0,01 biće:

Δy = 0,159391 i dy = 0.1587, tj. apsolutna greška iznosi 0,000691; a relativna greška 0,04%.

1. Navedeni primeri potvrđuju kako se u približnim računanjima Δy može zameniti sa dy, jer su greške zanemarljive.

Literatuta;

31

Viša matematika …………………………………………………….. Prof. dr. Esad Jakupović