OTVORENI UNIVERZITET APEIRON U TRAVNIKUFAKULTET POSLOVNE INFORMATIKESEMINARSKI RAD MATEMATIKA ZA EKONOMISTEPREDMET: Matematika za ekonomisteMENTOR:prof.dr. Esad JakuboviSTUDENT: Admir DurmoBR. INDEKS: 0141-09/VPISEMESTAR: IISMJER: Poslovna informatikaTRAVNIK, APRIL 2010.SADRAJ1.UVOD U ALGEBRU.....................................................................................................31.1.Matematika logika..................................................................................................31.2.Preslikavanja............................................................................................................92.POJAM I VRSTE SISTEMA LINEARNIH JEDNAINA ........................................163.ASIMPTOTE ...............................................................................................................204.ISPITIVANJE FUNKCIJA SA KONSTRUKCIJOM GRAFIKA...............................2321. UVOD U ALGEBRU1.1. Matematika logikaOsnovno sredstvo sporazumjevanja meu ljudima je jezik, Razlikujemo vie vrsta jezika sporazumjevanja, kao to su npr, slikarski, muziki, obini (govorni) i knjievni jezik, Matematiki jezik je najvii oblik naunog jezika.Za razliku od npr, slikarskog jezika, matematici je potreban jezik pomou koga se izraavamo i sporazumjevamo bez dvosmislenosti i nedorjeenosti, Zadatak matematike logike je prouavanje, istraivanje i stalna dogradnja takvog matematikog jezika, tj, jezika simbola kao sredstva za razvijanje miljenja, rasuivanja, zakljuivanja i komuniciranja u matematici.Najsliniji maternatikomjezikusugovorni i knjievni (pisani) jezik, Osnovuovih jezika ini glas, slovo, rije i reenica, Neto slino vai i za matematiki jezik u kome osnovuinematematiki izrazi (rijei) ili termini, Najprostiji matematiki izrazi su konstante i promjenljive.Konstante su potpuno odreeni matematiki objekti,tj, veliine kojima se vrijednost ne mijenja, npr: -S; 0; 2; 2/3; 5; 4 ; ; e ...Promjenljivesusimboli (znaci i slova)koji mogupredstavljati bilokoji elemenat iz nekogdatogskupa, Dati skupsenazivaoblast definisanosti (domen) promjenljive, Konstante kojima se zamjenjuju promjenljive nazivaju se vrijednosti promjenljivih.Primjer 1.) x,y,z,a,b,c,...,,A su oznake za promjenljive 2.) n je oznaka za prirodan broj. Vrijednosti promjenljive n su konstante 1, 2,

Sloeni matematiki izrazi se dobijaju kad se konstante i promjenljive poveu simbolima ( oznakama) za raunske operacije, kao to su npr, +, -, , : , .Pri formiranju sloenih izraza dozvoljena je i upotreba zagrada, s tim da izraz ima smisla.Primjer 1.) izrazi su: 8+7, 3x-4, 5x/(x+1), (x+2)y i sl.2.) nisu izrazi: 2+, x(y+) i sl.3Dakle, izrazi su rijei ili sklopovi rijei koji ne ine reenicu. Izrazi se sastoje od jedne promjenljive ili od jednog znaka konstante, ili od vie promjenljivih ili znakova konstanti povezanih znacima operacija, uz upotrebu zagrada kao pomonih simbola.Vrijednostmatematikogizrazije konstantakojase dobijenakon tose uizrazu svi simboli promjenljivih zamjene odgovarajuimvrijednostima (konstantama) i izvre naznaene operacije.Matematike formule su reenice koje su: ili (1) istinite, ili (2) neistinite, ili (3) takve da se za njih ne moe, nedvosmisleno i jednoznano, utvrditi vrijednost istinitosti. Za prve vae ovi principi:1. principi ukljuenja treeg, to znai da ne postoji iskaz koji ne bi bio ni istinit ni neistinit,2. princip kontradikcije, to znai da nema iskaza koji je i istinit i neistinit.Primjer1. Iskazi suformule:2+3=5,4>1+2, 45, x+y=z, x+x=3x i sl.PrimjerSvaki iskaz se moe obiljeiti slovom, Ova slova se nazivaju iskazna slova, npi,p, q, r, s, a, b,,,,4Ako je neki iskaz p taan (istinit), onda se vrijednost njegove istinitosti oznaava ovako: p=Tilip=1(itaj:tau od p jednako te ili jedan; T kao prvo slovo engleske reci true=istina).Ako je p netaan (neistinit, laan) iskaz, onda se njegova istinitost vrednuje saili 0, tj, pie se ili p=ili p=0 (itaj: tau od p jednako ne te ili nula).U matematici se taan iskaz naziva stav.Iskaz je prost ako sadri samo jednu informaciju.Dvaili vieprostihiskazapovezanihznacimalogikihoperacijatvoresloeni iskaz. Osnovni meu njima su oni koji povezuju dva prosta iskaza, izuzev negacije , koja se odnosi na jedan iskaz. U nastavku dajemo definicije ovih osnovnih sloenih iskaza.Konjukcija datih iskaza p i q je iskaz u oznaci p q (itaj: p i q), istinit onda i samo onda ako su oba data iskaza istinita.Tablica vrijednosti istinitosti za konjukciju za sve mogue varijante vrijednosti istinitosti iskaza p i q: p qp qT T TT T ili kraeDisjunkcija datih iskaza p i q je iskaz u oznaci p v q (itaj: p ili q), istinit onda i samo onda ako je bar jedan od datih iskaza istinit, odnosno neistinit onda i samo onda ako su obadataiskaza neistinita. Ovako definisana disjunkcija javlja se pod nazivom inkluzivna (ukljuiva) disjunkcija, jer je istinita i onda kada su oba data iskaza istinita.Eksluzivna (iskljuiva) disjunkcija datih iskaza p i q je iskaz u oznaci p v q (itaj: ili p ili q),istinit onda i samo onda ako je samo jedan od datih iskaza istinit.Tablica vrijednosti istinitosti za disjunkciju:p qp q p qT T T T T T5 T T T T T T TPod izrazom"disjunkcija" najee se podrazumjeva inkluzivna, pa je u sluaju upotrebe eksluzivne disjunkcije neophodno to i naglasiti.Implikacija datih iskaza p i q je iskaz u oznaci pq, neistinit onda i samo onda ako je p istinit a q neistinit iskaz, p q se moe itati ovako: p implicira q, iz p slijedi q, p je dovoljan uslov za q, q je potreban uslov za q, p je uzrok za q, a q je posljedica p, p je predpostavka, a q je tvrdnja.Tabla istinitosti za implikaciju:p qpqT T TT T T TEkvivalencija datih iskaza je iskaz u oznaci p q istinit onda i samo onda ako dati iskazi imaju jednake vrijednosti istinitosti, p q se moe itati ovako: p je ekvivalentno sa q, iz p slijedi q i iz q slijedi p, ako je p onda q i obratno, p je dovoljan i potreban uslova za q i obratno, itd,Tablica vrijednosti istinitosti za ekvivalenciju: p qp qT T TT T TEkvivalencija iskaza p i q se moe definisati i kao konjunkcija implikacija p q i qp, tj, vai: p q = ( p q )( q p )6p qp q q p ( p q) (q p)= pqT T T T TT T T T T T TNegacija datog iskaza p je iskaz p (itaj: ne p), koji je neistinit kada je p istinit i obratno. Tablica vrijednosti istinitosti zanegaciju: p pT TNapomena1. ( p) = p, tj, negacija negacije datog iskaza daje iskaz sa jednakom vrijednou istinitosti kao to je ima dati iskaz,2. (pq) = p q i ( pq ) = p q, tj, negacija ekvivalencije je ekskluzivna disjunkcija i obratno.Dakle, vezivanjem prostih iskaza, oznaenih iskaznim slovima p, q....., pomou znakova logikih operacija dobili smo sloene iskaze.Vezujui ove sloene iskaze pomou znakova logikih operacija dobijamo jo sloenije. Svi ovi iskazi se nazivaju iskazne formule ili logike formule.Uobiajeno je da se iskazne formule definiu ovako:1. Iskazna slova su iskazne formule,2. Ako su A i B iskazne formule, onda su i (A B), (AB), (A B), (AB), a takoe iskazne formule,3. Iskazne formulemoguseobrazovatisamokonanimbrojemprimjena 1) i 2), uz mogunost korienja konvencije o brisanju zagrada.Vrijednost istinitosti iskazne formule zavisi od vrijednosti istinitosti iskaznih promjenljivih u njoj.Iskazna formula koja je istinita za svaku moguu varijantu vrijednosti istinitosti prostih iskaza u njoj, naziva se tautologija, Ako je iskazna formula tautologija pie se: A=T ili A T ili A~T.Dvije formule A i B su identiki jednake ako i samo ako je formula A B tautologija.Akosekvantitativnoeli izraziti zakojevrijednosti promjenljivihjeistinitaiskazna funkcija ili predikat, onda se mogu koristiti tzv, kvantifikatori ili kvantori (kolikovnici).7Ako iskaz poinje kvantifikacijom "za svako", onda se rijei "za svako" oznaavaju sa (obratno od prvog slova njemake rijei Alle=svi), i nazivaju univerzalnim kvantifikator (kvantor).Formula ( x A ) P(x) znai: za svako x iz skupa A predikat P(x) je taan.Ako iskaz poinje kvantifikacijom "za neko" ili "postoji bar jedan", onda se ove rijei oznaavajusa(obratnood prvog slova njemake rijei Es gibt=postoji), i nazivaju egzistencijalni kvantifikator (kvantor).Formula ( x A) P(X) znai: predikat P(x) je taan za bar jedno x iz skupa A.U vezi s kvantorima,pored ostalih, znaajne su ove formule kao zakoni predikatskog (kvantifikatorskog) rauna:( x) P(x) ( x) P(x) ; ( x) P(x) (x) P(x)Kvantori, zajedno sa rijei i, ili, ako,,, onda, nije, predstavljaju potpun spisak osnovnih rijei pomou kojih se u matematici polazei odizvjesnih reenica, grade nove sloene reenice.Na kraju ovog poglavlja dajemo objanjenje nekih znaajnijih pojmova u vezi s rasuivanjima i dokazivanjima u matematici.Definicija je reenica, ili skup reenica, kojom se odreuju sadrina nekog pojma.Pojam je misaoni sadraj termina ili simbola.Razlikujemo osnovne i izvedene pojmove. Osnovni pojmovi suoni koje prihvatamo jasnimsame posebi bez potrebe da se objanjavaju nekim drugim pojmovima (npr. broj, skup, taka). Izvedeni pojmovi su oni koje objanjavamo pomou osnovnih i drugih izvedenih pojmova.Pretpostavke(hipoteze) su reenice (formule) od kojili se polazi, kao tanih u nekom rasuivanju.Posljedicesu reenice (formule) koje su, iz pretpostavki, dobijene logikim rasuivanjem i zakljuivanjem.Aksiome su polazne reenice (formule) koje se po dogovoru uzimaju kao tane i ija se istinitost ne dokazuje.8Teoremesu izvedene (dokazane) reenice (formule) zasnovane na aksiomima ili prethodno dokazanim tvrenjima.Dokazje put logikog rasuivanja i zakljuivanja od pretpostavki do posljedica tj. niz koraka od kojili je svaki korak ili aksioma ili ve dokazana teorema.1.2. PreslikavanjaBinarnarelacijaskupova Ai Bukojojsesvaki xA javlja samo jedanput kao prva komponenta u paru, naziva sepreslikavanje ili funkcija, u oznaci:: A B ili je oznaka za operator preslikavanja (funkcije) i predstavlja zakon, postupak ili pravilo ( odn. skup pravila) po kome se svakom elementu skupa A pridruuje (dodeljuje ili korespondira) jedan i samo jedan elemenat skupa B, tj.( x A ) ( 1 y B ( x , y ) f )1znai; postoji tano jedan.Ako je (x,y) , x A,y B, onda se x kao prva komponenta naziva original, argument ili nezavisna promjenljiva, a y = (x) kao druga komponenta se naziva slika (lik) funkcija ili zavisna promjenljiva.Skup svih originala x predstavlja oblast definisanosti, definicioni skup ili domen funkcije, u oznaci Df, pn emu je Df = A. Skup svih slika y=f(x) predstavlja skup vrijednosti funkcije, antidomen ili kodomen funkcije, u oznaci Df, pri emu Df B

Ako jef: ABiDfBonda je rije o tzv.preslikavanju skupa A u skup B, u oznacif: AuB , a ako je, Df=B onda je rije o preslikavanju skupa A na skup B, poznatom pod nazivom sirjekcija, u oznaci f: A naB .Ako je f: AB i ako razliitim originalama odgovaraju uvek razliite slike, tj. ako vai:( X1,X2 A) ( X1 X2f ( X1) f(X2)).Onda se radi o jednoznanom preslikavanju, ili1-1 preslikavanju, ili injektivnom preslikavanju, koje krae nazivamo injekcija i oznaavamo sa:1 1: f A B 9Akojesirjekcija, tj.preslikavanje f:A naB,ujedno iinjekcija, onda setakvo preslikavanje nazivabijektivno, biunivoko ili obostrano jednoznano preslikavanje,poznato pod nazivom bijekcija, u oznaci: 1 1:naf A BPreslikavanje f: RR naziva se realna funkcijPrimjer1.) Za A= {1, 2, 3} i B= {a, b, c, d} vaiA x B = {(1, a), (1,b), (1, c), (1,d), (2, a), (2,b), (2, c), (2,d), (3, a), (3,b), (3, c), (3,d) }Binarne relacije su npr.1={ (1,a),(2,d)}2={ (1,a),(2,b),(3,c)}3={ (1,a),(1,b),(2,d),(3,c)}4={ (1,b),(2,a),(3,a)}5={ (1,b),(2,a),(3,d)}Od ovih relacija: 1nije preslikavanje jer D 1= {1, 2} A, tj.D1 A; 2i3 nisu preslikavanja jer se 1 A kao prva komponenta javlja dva puta i tako daje razliite slike;4je preslikavanje: f: AuBali nije injektivno;5je injektivno preslikavanje, tj. 5 1 1:uf A B 2.) Za A= {1, 2, 3, 4} i B= {a, b, c, } vai AxB =A x B = {(1, a), (1,b), (1, c),(2, a), (2,b), (2, c),(3, a), (3,b), (4, a), (4,b), (4, c) } Binarne relacije su npr. ;1={ (1,a),(2,c)}2={ (1,a),(1,b),(2,b),(3,a),(4,a)}3={ (1,a),(2,a),(3,b),(4,a)}4={ (1,a),(2,c),(3,b),(4,a)}Od ovih relacija 3 i 4 su preslikavanja, i to 3:up f A B ali nije injektivno;4:n af A B ali nije bijektivno.3.) Za A= {1, 2, 3} i B= {a, b, c, } vai A x B = {(1, a), (1,b), (1, c), (2, a), (2,b), (2, c), (3, a), (3,b), (3, c)}101={ (1,a),(1,b),(2,c)}2={ (1,a),(1,b),(2,c),(3,b)}3={ (1,a),(2,b),(3,a)}4={ (1,b),(2,c),(3,a)}5={ (1,a),(2,b),(3,c)}Od ovih relacija 3 , 4, 5 su preslikavanja, i to;34 1 15 1 1:::unanaf A Bf A Bf A B 4.) Za A={1,2,3} vai:A x A={(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3) }Binarne relacije su npr.:1={ (1,1),(1,2)}2={ (1,1),(2,2),(2,3)}3={ (1,1),(2,1),(3,1)}4={ (1,2),(2,3),(3,1)}5={ (1,1),(2,2),(3,3)}Od ovih relacija 3 , 4, 5 su preslikavanja, i to;34 1 15 1 1:::unanaf A Bf A Bf A B Tj. 4, 5 su bijektivna preslikavanja.5 je ujedno i primjer tzv. identinog preslikavanja za koje vai formula( xA) ( f(x) = x ).Preslikavanje f:A B se naziva konstantno preslikavanje, ako is samo ako je svakom x iz skupa A pridruen isti element iz skupa B tj. ( xA) (1 k B f(x) = k ) , k je oznaka za konstantu.Primjer Za A= {1, 2, 3} i B= {a, b} vai A x A = {(1, a), (1,b), (2, a), (2, b), (3,a), (3, b)}Mogue konstantno preslikavanje je relacija:11{ }1(1, ), (2, ), (3, ) :ub b b f A b Naprijed su preslikavanja prikazana skupovno, meutim, mogui su i slijedei naini njihovog prikazivanja:Primjer f: {1, 2, 3 } { a, b, c }= {(1, b), (2, c), (3, a) } se moe prikazati i ovako: Slika br 1. ili tabelrno ovako:ili f=123 bca ili u kordinatnom sistemu slika br.2Slika br.2 kordinatni sistemili analitiki ovako: f (1) = b, f (2) = c, f (3) = a2.) { }1 1(1, 2), ( 2, 4), (3, 6), ... :uf f N N se moe prikazati i ovako: analitiki kao y = f (x) = 2x, x N, ili tabelarnoovako: f=1 2 3...2 4 6... _ ,,odnosno ovako: x 1 2 3 .f(x) 2 4 6 ..12A 1 2 3B b c aili grafiki, u koordinatnom sistemu, ovako ( slika br. 3 ) Slika br 3. ( koordinatni sistem)3.) Ako bi bilo y=f(x)=2x, x R, onda bi grafiki prikaz bio u obliku linearne funkcije (slika br. 4 ) Slika broj 4.Uopteno posmatrano, za y=f(x)= {(x1, f(x1 )), (x2 , f(x2 ),...}mogu je tabelarni prikaz, ovako:X X1 X2 X3 .f(X) f(X1) f(X2) f(X3) ..Ili ovako:1 21 2...( ) ( ) ...x xff x f x _

,ili ematski prikaz , ovako (sl. 5 , 6 ):

slika br.5,6 ( ematski prikaz)13Ili u koordinatnom sistemu, ovako (sl.7 ):Slika br.7( koordinatni sistem)Neka su data preslikavanja: f: A B i g: B C onda se preslikavanje f o g = h: AC naziva proizvod, kompozicija ili slaganje preslikavanja f sa preslikavanjern g, tj:( x A) ( ( fog) (x) = g( f(x) ) = h ( x )).Napomena g o f f o g, ak je mogu sluaj da postoji f o g, a ne postoji g o fili obratno.Primjer1.) Neka je A = {1, 2, 3, }, B = {a, b, c, d, e}, C = {m, n, p} ili neka je1 2 3,a b c d ef a gc a b n m p m n _ _ , , , pri emu je1 1:uf A B a :nag B C , tada je1 1:nah A C jer je npr. f(1)=c, a h(1)=g(f(1))=g(c)=p. Formiranje preslikavanja h se moe grafiki predoiti (vidi sl. 8).Slika br.8 Formiranje preslikavanja hDakle, h(x)=(f o g)(x)=g(f(x))={p,m.n}, x=(1, 2, 3).142.)Neka je f: R R | f(x)=2x-5 i g: R R | g(x)=3x+1, tada je (fog (x) = h(x) = g(f(x)) = g (2x-5)= -3 (2x-5) + 1 = -6x + 16, a (gof) (x) = t(x) = f(g(x)) = f(-3x+1) = 2(-3x+1) -5 = -6x-3Na slian nain se formira proizvod tri i vie preslikavanja.Tako npr. ako je f: A B, g : B C, h : C D, onda je (f o g) o h = f o (g o h) = h(g(f(x))) = h : A D.PrimjerNeka je: f(x)=5x + 1, g(x)=-2x - 5, h(x)=-3x + 2, tada je:(fog)(x) = g(f(x)) = g (5x +1) = -2(5x + 1) -5 = -10x - 7, dok je ((fog)oh) (x) = h (g (f(x)) = h (-10x - 7) =h(-10x - 7) = -3 (-10x-7) + 2 = 30x + 23.Do istog rezultata se dolazi i ovako:(goh)(x) = h(g(x)) = h(-2x -5) = -3 (2x -5) + 2 = 6x + 17, dok je:(fo(goh)) (x)=(goh) (f(x)) = (goh) (5x + 1) = 6 (5x + 1) + 17 = 30x + 23 = h(g(f(x))).Ako jefbijektivno preslikavanje, tj.1 1:naf A B , onda se preslikavanje 11 1:naf B A naziva inverzno preslikavanje preslikavanjaf, koje zadovoljava uslov:( ) ( ) ( )( ) ( )1 11 1( ) ,( ( ))x A fof f f x x odnosnoy B f of f f y y Ako je 1 1:n af A A onda vai( ) ( )1 1 1( ( )) ( ( )) x A f f f x f f f x x Primjer1.)Neka je A = {1, 2, 3} i B = {a, b, c}, tada je npr. = {(1, b), (2, c), (3, a)}, mogua relacija koja ujedno predstavlja mogue preslikavanje1 1:n af A A pa se inverzna relacija -1 = {(b, 1), (c, 2), (a, 3)} moe smatrati inverznim preslikavanjemf , tj.

11 1:naf B A 2.) Neka je A = {1, 2, 3} i neka je

{ }{ }1 111 1: (1, 2), ( 2, 3), (3, 1) ,je: ( 2, 1), (3, 2), (1, 3)nanaf A A t adaf A A 153.) Neka je 1 1:n af R R realna funkcija data u analitikom obliku y = f(x) = -2x+5, tada vai:1 1-11( ( )) ( ( ))pa ce dalje biti:2 ( ) 5 ,odnosno( ) 1/ 2 5 / 2f f x f f x xf x xf x x + +4.) Neka je( ) 2 f x x + , tada e biti11 21 21 2( ( )) , .( ) 2 /( ) 2 , :( ) 2 2f f x x tjf x xf x x odnosnof x x+ + + 5.) Neka je 7( ) log ( 2 3) f x x +, tada e biti:1 171log ( 2 ( ) 3) 2 ( ) 3 7:( ) ( 7 3) / 2xxf x x f xo dn o s n of x + + NapomenaMeusobnoinverzne funkcijeimaju zamjenjene koordinate u ureenim parovima,pa, ako se grafikipredstavljaju u Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu imaju simetrine dijagrame u odnosu na pravu koja ide kroz sredinu I i III kvadranta, tj. u odnosu na pravu y = x.2. POJAM I VRSTE SISTEMA LINEARNIH JEDNAINA Formulu F(xi)=G(x,). i=1,2,,n nazivamo jednakost, pri emu su xi oznake zanepoznate(promjenljive) veliine. Provjerutacnosti jednakosti vrimotakoto umjestoxi zamjenimokonstante,azatimuporedimobrojnevrijednosti izrazaF(xi)i G(xi) istinitaformulazabilokoji skupvrijednosti promjenljivihxi (atosemoe konstatovati i bez neposrednog uvrtavanja konstanti na mesto promjenljivih), onda se za F(xi)=G(xi) kae da je identika ili bezuslovna jednakost, krae reeno identinost (identitet).Ovakvejednakosti se, bezzamjene konstanti umjestopromjenljivih,mogusvesti na oblik:0=0(npr.x-y=(x-y)(x+y)x-y-x+xy+y=00=0).16Ako je jednakost F(xi)=G(xi) istinita samo za odreene strukture vrijednosti nepoznatih (pa makar ih bilo i beskonano mnogo), dakle ne za bilo koji odnos vrijednosti nepoznatih,onda za F(xi)=G(xi) odnosno za P(xi)=F(xi)-G(xi)=0 kaemoda je uslovna jednakost ilijednama.Jednaina se moe svesti na oblik 0=0 tek nakon uvrtavanja vrijednosti nepoznatih za koje je istinita (zadovoljena).Vrijednost promjenljivih za koje je tana jednakostP(xi)=0nazivamo rjeenje jednaine. Ako je svako rjeenje jednaine P(xi)=0 ujedno i rjeenje jednaine Q(xi)=0, onda je za ove jednaine kae da su ekvivalentne.Jednainaukojoj senepoznatepojavljujusamouoblikustepenasaeksponentom 1, razdvojene znacima + i naziva se linearna jednaina. Opa oblik linearne jednaine sa n nepoznatih je:a1x1+a2 x2+...+an xn+b=0 a1,a2ann su oznake za koeficijente nepoznatih x1 , x2 , , xn b je oznaka za slobodni lan.Opti oblik jednaine sa jednom nepoznatom je:ax + b = 0Rjeenje ove linearne jednaine je: Xo = -b/aS obzirom na vrijednosti a i b mogui su slijedei sluajevi;1. Ako je a 0, jednaina ima jedno realno rjeenje i to: x0=0 ako je b=0, a x0 0 ako je b 0.2. Ako je a=0 i b=0, onda je x0=0/0, a to znai da je rjeenje jednaine bilo koji realan broj.3. Ako je a=0 i b 0, onda je x0=-b/0,pa zbog nemogunosti djeljenja broja koji nije mila sa nulom zakljuujemo da jednaina nema rjeenje.Opti oblik linearne jednaine sa dvije nepoznate je: ax + by + c = 0Rjeenja ove jednaine moemo dobiti tako to jednu od nepoznatih izrazimo u funkciji druge, npr. ovako: y = (-a/b)x - c/b.x je u ovomsluaju tzv. slobodna promjenljiva kojoj po volji moemo odrediti vnjednost,a vrijednost y zavisi od odabrane vrijednosti za x. dakle,jednaina ima bezbroj rjeenjapasekaedajeneodreena. Rjeenjaovakvejednainesemoguprikazan uopteno parametarskipreko nove nepoznate (parametra). Za posmatranu jednainu e biti:17x = t y =(-a/b)t-c/bto znai da se rjeenja jednaine mogu prikazati kao ureeni par:(x,y) = (t.(-a/b) t-c/b).Odredimo li, po volji, vrijednost za t odredili smo i rjeenjejednaine, aima bezbroj mogunosti za to.Za linearnu jednainu sa tri nepoznate: ax + by + cz + d = 0 rjeenja emo dobit u vidu ureene trojke:(x,y,z) = (t1,t2,(-a/c) t1 - (b/c) t2 - d/c) pazakljuujemodajejednainadvostrukoneodreena, tj. dapovolji odreujemo vrijednosti za dve promjenljive (nepoznate).Dalje zakljuujemo da je jedna linearna jednaina sa n nepoznatih (n-l)-struko neodreena.Osimkada se jednaine posmatraju kaofunkcije, pri rjeavanju jednaina sa vie nepoznatih susreemo se sa skupom (sistemom) jednaina koje sadre iste nepoznate.Nadalje je, po pravilu, broj jednaina u sistemu jednak broju nepoznatih, ali moe biti manji ih vei.Opti oblik sistema od m linearnih jednaina sa po n nepoznatih x1 , x2 ,..., xnmoe se prikazati ovako:a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2....am1x1+am2x2+...+amnxn=bmPri emu su:* aij oznake za koeficijente nepoznatih xj (i=1,2,,m: j=1,2,...,n);* bi oznake za takozvane slobodne lanove (konstante).Ako je bar jedan od bi razliit od nule za sistem S se kae da je nehomogen, a ako su svi bi=0 onda se za sistem S kae da je homogen.Sistemu S se moe pridruiti odgovarajui matrini oblik:11 12 1 1 121 22 2 2 21 2nnm m mn n na a a x ba a a x ba a a x b 111 111 111 + 111 111 ] ] ]LLKLodnosno skraeno; 18Ax = bpri emujeAoznakazamatricu sistema (matrica koeficijenta sistema),x oznaka za vektor nepoznatih, a b vektor slobodnih lanova.Ntorka (x10,x20 , xno) se naziva rjeenje sistema ako se,zamjenom lanova ove ntorke umjestoxj(j=1,2, ,...n) da timredomu date jednaine, svaka jednaina transformie u identinost, tj. u oblik u kome je brojna vrijednost lijeve jednaka brojnoj vrijednosti desnestranejednaine. Rjeenjesistemaje, prematome, presjekskupova rjeenja svih njegovih jednaina.Neki sistemSmoe biti saglasan, tj. da ima reenja ili nesaglasan (protivrean, kontradiktoran), tj. da nema reenje. Ako je sistemsaglasan moe da ime jedno (jedinstveno) rjeenje pa se kae da je sistem odreen, a moe da ima vie rjeenja pa se kae da je sistemneodreen. Ako ima vie rjeenja onda ih ima beskonano mnogoPostoji vie naina da se odredi da li i koliko rjeenja ima posmatrani sistem. Za pouzdano utvrivanje saglasnosti odnosno nesaglasnosti sistema linearnih jednaina moemo se posluiti poznatim Kroneker-Kapelijevim stavom koji, u slobodnoj integraciji (bez dokaza) glasi ovako:proirenom matricom sistema, onda je sistem saglasan akoi samoako je r(A,b)=r(A), anesaglasanakojer(A.b)>r(A). Inae, kadajer(A,b)>r(A) ondaje r(A,b)-r(A)=1.Posljedice ovoga stava su:1. Ako je r(A,b)=r(A)=n, onda jesistemodreen.Ovo se moe desiti u sluajevima m=n i m>n.2. Ako je r(A,b)=r(A)r(A), onda je sistem kontradiktoran,bez obzira da li je mn, aliuz uslov da je m>1.4. Homogen sistem tj.sistem u kome je b=0, ne moe biti kontradiktoran, jer je r(A,b)=r(A).Homogeni sistem ima bar jedno rjeenja, a to rjeenje je n-torka (0,0,,0). Rije je o tzv. trivijalnom rjeenju ije postojanje uoavamo jednostavno bez rjeavanja sistema. Ako je r(A)=n, onda sistem osim trivijalnog, nema drugih rjeenja, pa je sistem odreen. Ako je r(A)0, dovoljan uslov za egzistenciju minimuma je ispunjen. Prema tome, take minimuma su (-1,2) i (1,2).8 Interval monotonosti se odreuje na osnovu ve izraunatog prvog izvoda, koji emo rastavili na prole faktore:Tabela za odreivanje znaka prvog izvoda, tj. rastenje i opadanje funkcije24( )431lim limx xf xxx xt t+ t422 21 10xxx x++ ( )221f x xx +( )43 32 12 2 0xf x xx x ( )462 f xx +( )( ) ( ) ( )232 1 1 1 x x xf xx + + 9 Prevojne take se odreuju na osnovu drugog odnosno treeg izvoda funkcije. Jednainanema realnih rjeenja, odavde slijedi da funkcija nema prevojnih taaka. 10Poto je drugi izvod pozitivan za svako x iz oblasti definisanosti. funkcija je svuda konkavna.Na osnovu dobijenih rezultata konstruisan je grafik funkcije Vidi sliku 9Slika broj 102)Ispitati funkciju i konstruisati njen grafik. 1. Funkcija je definisana za svako x za koje je x2 -10. Prema tome, oblast definisanosti funkcije jex(-,-1) (-1,1)(1, ) .Za x = 1 funkcija ima prekida.25x -< x < -1-1< x < 0 0 < x < 1 1< x < + x - - + +x-1 - - - +x+1 - + + +y' - + - +y( )( )44 42 362 0xf xx x+ + ( )221f x xx +221xyx ( )( )( )( )332 211x xf x f xxx 2 , pa je funkcija neparna.3Ovim graninim vrijednostima je utvreno ponaanje funkcije u takama prekida, i na krajevima definisanosti.4 Na osnovu prethodne take se zna da je , funkcija nema horizontalnih asimptota. vertikalna asimptota funkcije.

je vertikalna asimptota funkcije.Poto je prava y=x je kosa asimptota funkcije.5Presjena taka grafika funkcije sa x osom se dobija za y=0, tj. rjeavanjem jednaineJednaina ima realno rjeenje i to za x=0, to znai da je koordinatni poetak O (0,0) jednaina prosjena taka sa koordinatnim osama.6Prvo se rastavlja funkcija na proste faktorea zatim se odreuje znak funkcije pomou slijedee tabele:26x -< x < -1-1< x < 00 < x < 1 0< x < + x - - + +x-1 - - - +x+1 - + + +y - + - +3 32 21 0 1 03 32 21 0 1 03 32 2lim lim1 1lim lim1 1lim lim1 1x xx xx xx xx xx xx xx xx x + + + + + + ( ) limxf xt t ( ) ( )1 0 1 0lim lim ; 1x xf x i f x x + + ( ) ( )1 0 1 0lim lim ; 1x xf x i f x x + + ( )( )2 22 2lim lim 1 lim lim 01 1x x x xf x x xi f x xx x x t t t t 1 ] 3201xx( )( ) ( )3,1 1xf xx x +7Potreban uslov za egzistenciju eksternih vrijednosti da jeKorjeni ove jednaine su x = 0, x =3, x = -3Poto jef( -3)< 0,dovoljan uslov za egzistenciju maksimuma u taki x = - 3 je ispunjen . f"(0)=0, dovoljan uslov za egzistenciju ekstrema u taki x = 0 nije ispunjen. f( -3)> 0 , dovoljan uslov za egzistenciju minimuma u takix = - 3je ispunjen.Prema tome. funkcija ima ekstremne vrijednosti u takama maksimum i 8 Intervali monotonosti se odreuju na osnovu prvog izvoda. Tabela za odreivanje znaka prvog izvoda, tj. rastenje i opadanje funkcije.9 Potreban uslov za postojanje prevojne takeda jeRealno rjeenje gornje jednaine je x=0. Poto jedovoljan uslov za egzistenciju prevojne take je ispunjen. Taka (0,0) je prevojna taka funkcije.27x-< x