UD2BENICI S\,EUtILISTA U ZAGREBUMANUALIA UNIVERSITAIIS STUDIORUM ZAGMBIENSIS

Prof.dr.sc. BlaZenka DivjakProf.dr.sc. Tihomir Hunjak

Matematika zainformatitare

T.IYA,V.'. ::r. 2004.

1

222335667

It)o\,q t^ii:vl Y,/\,/ ,l: .. t..i!5ltL=

I1

Predgovor

Diskretna matematikaMatematitki modeli i struktura matematike' I \.4rren a,ick' n.o.'i

r.l. - llodelr1.1.2 5\'l irrnJcl".... ...I l.J I\larenlal'cl' rr ndc i . .

1.1.4 Svrha marematitkih modelal. 5 \lrr.n:rr ''1,, 1rod(. rrrnJP1.1.6 Podjela matematitkih modcla .

t.,,' Kdt .- f ad,n Jr--n.IiilJ r,.ofl.J

Matematiika logika2. I r,,J J nrtcrratiiL,u ,,g'Ir2.2 sud^!r ' per. lp rrPdu n i-rJ

2 2. Po.rn.ud12.2.2 Opttatiy .r . rdor.mr

2.'J ,ol,,r,' .r 'rrdLe_nrl'('2.J.1 Dlrekrr)r dokrr2.1.7 \i/..\i\Jl' rtr \ tr drii2 r I LJal. r, n. \orrrilpo/iciji2.J.4 Prolrrpr'mi'r2.J.5 \.4. , rrdr ikd irdlk.ija

2 4 lofl ru c :l5ebr .udor:2.4.1 Norri nF lorme i rinin ;.,J, rl.2.4.2 tu!',"\i\k upu\

1.5 PrcdikJi2.5.1 Kviln hkrrofl

2.b DodrLrkPr,, eLIr/adoci 7i pona\ lrin'"

Skupovi i relacijel. I \LUpo\ I

3.1.1 Zadavanje skupa .

3.1.2 Relacije medu skupovima .......... ....j.l.J Pirll \nt.lup3.1.4 OPr rdriJF .d {tLPorrmli.l.q (.rrrPlt.'e\ produl.,kupura

3 2 ReldcijP.'1.2.1 BrrarnF I Flact. e3.2.2 Obrat relacije, komplcment relacije i dualna relacija .

3.2 3 q\ot(r'n [,rn1rnil_'elr.r n3.2.4 Po\chn,'bin;' re -elJclle .

3 2.5 Relr.ija eh i\ rlen, ij|3.2.o I\4 od, rlr r n c "1.\irrlenr. ir,J.2.- Relr. j,, p,rrcrtillno8 uredljc .

3.2.8 Grafiika i algel)arska reprezentacija svolstava binamih relacija'. t [unk. r e L,ro r"]1..Je .

1.4 K,,rr: ni ibe.\uraini rLupnriJ.4.1 Ll\r\al"nrnr \kupovrJ.4.2 P "b ojivi i.rFpribrolr\ .LLpo\i

]..r DoddtrL

SadrLaj

10. 10.12.12. 13

17.17. 18. 18

19. t9_22_24. 3I

. :1639

.3939

41.11. 4l.43.45.50. 5l. 51.52.53

5.1.55.57.58.60.60.62.62.63

SADRZAJ

Projekri......Zadaciza ponavljanje

II Linearna algebra4 Matrice

a I \4 or i, J.iji4.1.1 Zapisivanje i obrada podataka4.1.2 Marrice u kompiutorskoj grafici . . . . .

4.2 Definicija matrice i spccijalne vrste matrica .

4.2.1 Defir. jr marr '.c4.2.2 J-dra(1,.tmdl c.rr.2.3 Sfecijdlne nr.rrri c .

e '1 ODer.rcUe. matJi4 3.1 Tr.rn,ponlrdnJe matncila.j.2 Zbr,r,.rnje m.r n, a

4.3.3 Mnozenje marrjce (rcalnim) brojem4 3.4 MDoierje malr r(a

a.a DerermtnJntcr.4 I DPhnrcr.r delerminJnle4.1.2 Svoj,na del.rrr,n3nli4 4.3 Mtnor. i korrkroti4.4.4 Laplaceov razvoj dererminanteI'r! erznJ mJI n( dMarr.rnnjr d naJ,;bc4.6.I Osno!,ne mdl ria.le JeLinadzbea.6.2 j"dni1dib3.lX \8. .

4.s

68696969697l717172737373747s77777981

84858687878789

92

93939496s697

102104105106107107107109112t13113113

4 7 Dod,rrakPro.\uZadaci za ponavljanje

Rje5avanje sustava lincarnih jednadZbi5.1 Lincarnajednadzba s r nepoznanica (varijabli) ...5.2 Sustav iD linearnih jednadZbi s n nepoznanicaS 3 Rjelavanje susrava linearnihjcdnadZbi pomoau inverzne maftjce5.4 RjeSavanje sustava jednadibi pomoiu determjnanri5.5 Gaussov posrupak . . . . . .

5.5.1 Ekvivalentni susravi linearnih j ednad Z bi . .

5.5.2 Ekvivalentne transformacije sustava jednadibi .

5.5.3 Odredivanje inverzne matrice pomoiu Gaussovog postupka .5.6 RanS matrice

5.6. 1 Xronecker-Capelli.jev teorem: - Homuseni lt.rrv llnedr,lihjednrdibl .

58 Sustavi lineamih ncjcdnadZbi s viSe varjjabli . . . .

5.8.1 Susrav linearnih nejednadZbi s dvije varijable5.8.2 Grafiiko rjc(avanje susrava linearnih nejednadibi s dvije varijabte5.8-3 Opie {eienjc susrava nejednad)bi

5 9 Rjeiivost sustava linealnih nejednadzbi .

5I0 Dodatakl:ojekti.......Zada.i za ponavljanje

1V

III MatematidkaAnaliza6 Realne funkcije realne varijable

6.1 Klasifikacija realnih funkcija realne varijable .

6.2 Donene realnih funkcija realnc !,arijable .

6 3 Konpozirijd 'unlcrll6 a Bi ekcr';,. _r\er/ni iunl.cij,t6.s Cra'lurkLije6.6 Svojstva realnih funkcija realne varijable .

6.- Pll-niell hrnk, r;,6.8 Funkcijski model6.o DnJ:taL

6.9.1 Najmanja gornja meala skupaProJcllTidJcr / rpurd\ljdnje

Nizovi realnih brojeva

-.2 A.it-neltiLi t geon-c|| ii.\r .rrr- 3 s\u'.r\r uzora rerlnrh bru'rrr'.4 Comrlillc r irre, -r,,,r_.r \\oln\i lrne'o riza-.6 rcd. CPonrernr,kir.,i . .-.- Dodat .t"

7.7.1 Op6itLanFibonaccijevogniza-._.2 corernr o lrme.irr, r /u\dProtcLrl,rJa.i1a DonJ\ Itrr. e

Limes funkcije8.1 \r,,r \a.lr8.2 1.. nc. lLnk.lP8.J 5voj.r! r :n, 'd 'unkcij ,

b.d \pp PLrJnu.r lu .l kcUe8.4.1 F nkcija neprekidna na zatvorenom inrenalu

8.5 Dod: Jk8.5.1 Limes niza i ncprckidna funkcija komuriraju8.5.2 Dokaz teorcma o ckstremima neprekidne funkcijc na zatvorcnom intenalu

Projckri .

7rdr.r zr ponar lja rje

De vacija tunkcijeq I Bil e(le o po\.ie\li dilpren.rJrln08aZ Probl, n landpIllco.3 Ue i!irflll e

o.3. t /rr\lli,/a dcrv r.rnj. ...u.J.2 labhcJdFrrrdciiir

o 4 D, i'd.i"a in\Prznp fltnrcijPo 5 D"ri'Jcrln in_nlicirno zao.rne lunk, r.,eo 6 LoRrrilrm,Ld Ller i. acijao - t Jvri'r r tr.licJ d, ivarija . .

o 8 Deri\ d.iie vt(eg redJ .

a o D.fe , n, ii.jl lunk.teo l0 Doddrdl"

o.10. LHo p lo\o pPro ekZddcc. zr pona\ ljinte

SadrLaj

116117

...117

. . . 119_ 120... )21_ 122

.. 126

.. 136

...138

.. 138

.. 139

. . 140

144. . 141.. 14s. 147. . t49. 151. . 153. . 157...157. 158. 158. 159

161161

. 16:.1

. 164169

. .172_ 17:l... )73...174...17s...176

t7B

..1B0...182. . . 18.+. 189

tg0192

...193

.. 194

. lgs197197

. 198t99

SADRZAJ

10 Primjena derivacijal0 I li ngclla i normd a k-l! uljP10.2 Kur .zmcdll kfl\ lrl. i10.3 Inter.r'ali monotonosti i ekstremi funkcije10.4 Konveksnost i konkavnost lunkcije. Totke infleksije.10. ' A.imp(ole lunlciie .

10.6 'l ok lurk' ij'l0 / DoJaLdk

10.7.1 versiera (,A.8nesina \ieitica)10.7.2 Cetiri teorema o srednjoj vrijednosti

P oi"kr I

Z.rdd.i ,,:r por.,\ liJr. e

11 Neodrealeni i odrealeni integrali11.1 Primitivna Funkcija i neodrcdcni integml| 1.2 \PodJFder, rnregrll

'I 1.2.1 Tablica neodredenih integrala11.2.2 svojsNa neodrealenog integrala

I l. a \4, udc :1teBr'r.rr]r11.3.1 Neposredno integriranjc .

I LJ.2 Merodl \ul.ll,L. JeILJ. l Melodn pJr..lalne 'ntegracije11.3.4 lntegriranje racionalnih funkcija11.3.5 Integcriranjc nckih triSonometrijskih funkcija

I1.4 Problem po\..rsine i odr€deni integralLI 5 Ne\^roll Lelblxzorr formula .

I l.t' \ro \na odr"dProg integrrlcI 1.7 Raiunanje po\.rsina pomoalr odredenoS integralaIl.8 DodataLProjekliZilda( l zd pondlljanje

RjeSenja zadataka

Bibliografija

Xazalo

201201202204207210213215215277218220

223

2242).5

. 227).).7

. 228

. 230

. 232

. 234

.235

.238

. 240

. 241

. 243

. 243

. 244

246

250

2s2

\111

NZ

ITC;\t) IJ_'l a lJ.,1 xRr\1,VallJ,'

L-n

a

1,1

k,, a,l

(1r.lt)

k,. ,)(,o . bi(-1,1[r.-)

skup prirodnih brojcvaskup c4elih brojevaskup racionalnih brojevaskup rcalnih brojevaskup kompleksnih brojevaunija skupova ..1 i R..1 je podskup od BKartezijev produkt skupova ,1 i Rrazlika skupova -.1 i Buniverzalni kvantifikator ("za svaki")cgzistcncijalni kvantifi kator ("posto;i"1oznaka za kraj dokazaapsolutna vrijednost od .rsumaproductimplikaciiaako i samo akoelement odprazan skupbroj elemenata skupa ,{Kartezijcv produkt{:r' e lRla < :r ! i}, gdje su a.6 e l{{.r e It rr < r a bl,gdje su a.L e R{.r e -{,rr i.r ! r}, gdje su o.L e R{ r V.,t , i,}. gd je su ,r. r, . 1

{:r: e R :r: 1- i.,}, gdje su I e LR

{.r e iR.r > ai, gdie su t L R

IDiskretna matematika

"Inteligencija ne moie btti prisutna bez razumijettanja.tunalo nema svijest o tome ito radi"Roger Penrosel

1.1 Matematidki modeli1.1.1 ModeliOsnova za razumijevanje svijeta je promatranje. Promatranjem prikupljamo in-formacije. Na temelju pojedinatnih informacija radimo generalizacije, najprijejednostavne, a onda dolazimo do razumijevanja na temelju principa. Princip jepoop6enje ili apstraktna twdnja.Jedan od natina da se odgovori na pitanja koja se postavljaju u razlititim znans-wenim podrutjima ili da se rijeli neki problem, je konstrukcija odgovarajuiegmodela. Zbog toga se znanstvena metoda u proutavanju razlititih fenomena usuStini svodi na kreiranje, verifikaciju i stalno modificiranje razlititih modela s

ciljem da se pojednostavni i objasni kompleksnost onoga 5to se promatra i natemelju toga kao konatan cilj predvide i kontroliraju razlititi procesi.

Pojam model koristi se u razliditim kontekstima tako da ponekad i gubi svoj iz-vorni smisao (npr. kada se govori o fotomodelu, ili se govori o modelu automo-bila i s1.). Sultina pojma model je ta da on predstavlja zamjenu za neki realniobjekt ili pojar.u. MoZemo re6i, model je analogija s nekim objektom ili drugiminteresantnim modelom, a koristi se za objaSnjenje nekog procesa ili predviclanjedogadaia.

lRoger Penrose (r. 1931.) - poznati engleski matematitar sa znatajnim radovima u kozmologiji,aigebd i geometriji

Matematitki modeli

1.1.2 Swha modela

Modeli imaju razlititu namjenu; s lutkom koja je rnodel ljudskog biia djeca seigraju (naravno, psiholog ie rcii da ona r:ie), s vciom lutl<om moZe se uvjeZba-vati davanje umjetnog disanja, djeiak ie se s malim brodiiem igr:rti, a znanstvenik u institutu za brodogradnju te na temelju ponaianja modela u bazenu pokuiati predvidjeti ponaianje broda odgovarajuiih karakteristika u rcalnim uvje-tima. Spomenuti modeli su materijalni modeli i najteice predstavljaju umanjenereplike swarnih objekata. Medutim, modeli ne moraju imati fizitku slitnost s

objektom koji je predmet paZnje. U kemiji smo upoznaii modele atoma i mo-lekula koji su bili svedeni na raznobojne kuglice povezane Stapi6ima. Za obiai-njenje .jednostavnijih fizikalnih zakona takoder smo koristili materijalne modele(npr. gibanje po kosini, njihala i sl.) da bi zatim konstruirali apstraktni mate-matitki model za objainjenje promatrane pojave. Spon.renr-rti modeli imaju svojuulogu r-1 prezentaciji nekog efekta. Medutim, ukoliko se Zeli neki f-enomen objas-niti do te mjere da se mole totno predvidjeti buduie stanje sustava s kojim je onpovezan, moramo se posh-riiti sloZenijim modelima. Na primjer, kretanje planetau Suntevom sustavu moZemo prikazati skicon.r ili tak konstrr,rirati fizidki modelpomotu kojeg se mogu objainjavati odnosi izmedu Sunca i planeta, ali da bi sepredvidjela pozicija pojedinog planeta u odredenom dijelu godine, potrebno jekoristiti odgovarajuii matematitki model.

1.1.3 Matematiiki modeli

Matematiiki model sadrii sljedeie bitne komponente: pojalu ili proces iz re-alnog svijeta koji se ieli modelirati, apstraktnu matematidku strukturu i ko-respondenciju izmedu elemenata prve i druge komponente. Realnost opist-t-.jemo objektima, parametrima, vezama i dogaclajima. Tim pojmovima pridruZujuse matematiaki pojmovi iz apstraktne matematiike strukture, varijable, relacijemedu matematitkim pojmovima i operacile s njima. Matematiiki modeli temelje se na razlititim pretpostavkama o realnom sustavu ili fenomcnu koji seproudava, a one se reprezentiraju jednadibama, nejednadZbama, funkcijama idrugim matematiikim pojmovima u kojima se pojavljuir-r razlitite varijable i parametri. Najjednostavniji matematitki modeli su funkcije koje reprezentiraju po\ ezanost dviju ili viSe varrjabli.Kod modeliranja se postavlja pitanje odnosa izmedu sloZenosti modela i njegoveupotrebljivosti. Sloienost modela karakterizirana je prvenstveno brojem varijablikoje se nastoje povezati i matematiikim svojstvima veza izmedu njih. Treba teZitiito jednostavnijem modelu, ali svako pojednostavljrvanje rnodela povez:rno je s

pove6anjem razine apstrakcije i time se smanjuje mogutnost primjene rezultatamodela u obja5njavanju fenomena koji se modelira. S druge strane, nastojanje dase koristimo sloZenim modelom povezano .je s problemirna prikupljanja dovoljne

Matematitki modeli

.. -:crne podataka, problemima rje5ivosti modela i moguino5iu da se kvalitetno:nterpretiraju i prezentiraju rezultati takve analize.

\latematitki modeli opienito sadrie tri razliiite vrste kvantitativnih veliiina; iz-Iazne varijable (output), ulazne varijable (input) i parametre (konstante). Vrijed-nosti izlaznih varijabli iine rjeSenje modela. Izbor ulaznil.r varijabli i parametarau domenije tvorca modela i taj izbor u najveioj mjeri odreduje kvalitetu i sloZe-nost modela.

Op6a upotrebljivost matematitkog modela moZe se objasniti preko svojstava kojase i inate povezuju s matematitkim karakterizacijama. Ta svojswa su:

formalizacija - matematitke relacije omoguiuju jasno razumijevanje odnosa iz,medu dijelova promatranog sustava i njegovo funkcioniranje,preciznost - poznato je da matematika daje precizan rezultat, odnosno totnijereteno, zna se u kojoj mjeri je rezultat primjene odredenog modela precizan.Za situacije kada se modeliraju pojave s nesigurno5iu, postoje statistiike metodekoje u toj nesigurnosti identificiraju skrivene veze i omoguiuju njezino mjerenje,

fleksibi\nost matematidki modeli se temelje na pretpostavkama i sadrie parame-tre koji omoguiuju prilagodavanje modela promjenama u realnom sustavu,

moguinost provjere I predvidljivost - matematitki modeli su jasni i odredeni utolikoj mjeri da se mogu provjeriti i omoguiavaju da se predvide rezultati njihoveprimjene,

ekonomitnost matematika je koncizna, ona nikada ne koristi vise alata nego jeto potrebno.

Bitna prednost matematidkih modela u odnosu na materijalne je ta da se na sim-bolitkom modelu lakie provode promjene nego na materijalnom. Mijenjanjemparametara u modelu model se transformira i prilagodava opaZanjima. Naiini lise npr. matematitki model brodskog trupa on ie sadrZavati parametre koji karak-teriziraju njegove dimenzrje, kroz odnose dimenzija pojedinih djelova modelirajuse specifiine karakteristike oblika tmpa i takav jedan model u biti predstavljamnoitvo modela. S takvim modelom daleko je lakle ispitati ponafanie budu6egbroda itraiiti najbolji oblik trupa nego graditi mnoiwo materijalnih modela ikupati ih u bazenu za ispitivanje. Osim toga, postoje brojni vrlo opieniti mate-matitki modeli koji se mogu lako adaptirati u razliiitim realnim situacijama. Naprimjer, linearna funkcija predstavlja opdi model za mnoge ekonomske pojave,a normalna krivulja se koristi u obja5njavanju mnogih problema u druitvenimznanostima. Osim toga, u mnogim marematitkim modelima moguie .ie izvestitransformacije koje se mogu interpretirati kao promjene u sustavu ili procesukoji se modelira.

ViSe o modeliranju moie se na6i u [15].

Matematitki modeli

1.1.4 Swha matematitkih modela

Mogu se nabrojiti razliiiti motivi za razvoj modela ali rni iemo se ograniEiti natri temeljna koji se odnose na matematiike modele.

Prezentiranje informacija u 5to razumljivijem oblikuDobri primjeri za ovakve modele su plan grada i zemljopisna karta. Uzmalo znanja o simbolima koji se koriste u njima, iz tih prikaza mogu sedobiti bitne informacije za orijentaciju u prostoru. Gledano matematitki,zemljovidi su grafovi. Iako se uz malo dodatnog truda iz informacija kojedaje zemljovid mogu izvesti brojni zakljutci, teSko se mogu dobiti eksplicitniodgovori na pitanja poput: "Kojim putem iii od toike A do toike B u vrijemeprometne Spice?" ili "Kako u najkraiem vremenu obiii odredene gradove?".U traZenju odgovora na ta i slidna pitanja pomaie posebna matematifkadisciplina, teorija grafova.

Jednostavnije ratunanjeMnogi praktitni problemi mogu se nje5iti uz primjenu jednostavnijih ma-tematitkih postupaka opie namjene, ali uz cijenu dugotrajnog ratunanja imanje toinosti. Medutim, razvoj posebnih matematitkih modela omogu-iuje brie dolaienje do rezultata i kvalitetniju analizu problema. Tako npr.modeli linearnog programiranja omoguiuju da se izradi plan proizvodnje s

ciljem optimalizacije profita (ili minimalizacije troikova proizvodnje).

Predvidanje

Treia svrha matematitkih modelaje da se pomodu njih predvide buduia sta-nja sustava koji se modelira ili naiin odvijanja nekog procesa. Takav je npr.matematitki model kojim se nastoji predvidjeti ponaianje broda odgovara-juiih karakteristika. Poznat je primjer da je pomotu matematitkog modelaotkriven planet Neptun na temelju uotenih odstupanja u otekivanoj orbitiplaneta Urana. Vremenske prognoze temelje se na obradi velikog broja po-dataka pomotu sloZenih matematiakih modela. Postoji posebna disciplinakoja se bavi razvojem razlititih prognostiikih modela. Ti modeli daju od-govore na pitanja o otekivanom smjeru poslovnih dogadaja, a razvijeni sui modeli za prognoziranje kretanja vrijednosti dionica na burzama, modeliza prognoziranje udestalosti nesretnih dogadaja (za potrebe osiguranja odSteta.), i drugi. Kod predvidanja se postavlja pitanje toinosti s kojom semoZe predvidjeti neki dogadaj ili pojava. Matematiiki modeli koji se teme-lje na fizikalnim zakonima uglavnom omoguiuju totno predvidanje (nprtoino se moZe odrediti vrijeme nastupanja pomriine nekog nebeskog tijela,putanja lansiranog svemirskog broda i s1.). S druge strane pak, za sada se

(i)

(1i)

iii)

Matematitki modeli

bez obzira na sloZenost matem:rtitkog modela, ne moie sa sigurnosiu predvidjeti buduie stanje ekonomiic na tcmeliu mjera ekonomskc politike kojese mogLl podr-rzcti. Slitan slutaj je i s vremenskim prognozama.

1.1.5 Matematilko modeliranjeMatematiii<o modeliranje je proces matematidke reprezentacije nekog fenomenas cilien.r njegovog boljeg razun.rijevanja. Pri tom vaZnu ulogu igra postupak aps'trakcije. Apstrakcija se u subtini svodi na to da se prepoznaju elementi koii nisutoliko bitni za funkcioniranje sustava koji se modelira i da se oni zanemare kodkreiranja modela.Izgradnia matematitkog modela moie se obiasniti u nekollko koraka:

1. Polednostavllivanje (apstrakcrja) u sustavu ili procesr-i koji se modelira nastojc sc prcpoznati bitni elementi, a ostali se zanemaruju.

2. Prtkaz (reprezentaciia) - elementima sustava ili procesa pridruZujr-tse matematiiki simboli, a odnosima medu elementirna pridruiuju se(ne)jednadZbe.

3. Transformacije - rje5enje matematitkog modela potrebno je oblikovati i in-terpretirati r-r obliku koli predstavlja odgovor na pitanje koje nas je i moti-viralo n:r izgradnju n.rodela.

4. Verifikacija - zakljutke izvedene u prethodnom koraku potrebno je usporediti s rezultatima opaianja sustava ili procesa koji se n.rodeiira. Odstupanjasu temelj za eventualnu prilagodbu modela.

1.1.6 Podjela matematitkih modela

Model jc dcterministitki ukoliko se razvija direktno na temeliu fizrkalnih zakona.Takvi modeli se koriste npr u sluiaju kada se Zeli odrediti putanja po kojoj raketatreba letjeti na mjesec. Za prognozu vremena potrcbno je razvijati modele kojise temelje na empirrjskim podacima, a rezultati koje dalu takvi modeli sadrZeodredenu razinu nesigurnosti. Takvi modeli nazivaju se stohastitki.Matematitki modeli dijele se i po drugim kriterijima, a osnovne podjele temeljese na matematiikoj strukturi koja se koristi u modeliranju. Tako npr govorimoo linearnom rnodelu ako su sve jednadZbe i funkcije koje se javljaju u modelulinearne. Podjcla se moie temeljiti i na specifiinostirna varijabli i parametarau moclelu. To je posebno naglaieno u matematiikirn modelima procesa koji seodvijaju u vremenu; raziikuju se modeli u kontinuiranom vremenu imodeli s

diskretnim \rremenom. Oba ova modela imaju svoje prednosti i nedostatke. Rje-Senja modela s kontinuiranim vremenof1 daju nam informacije o promatranom

Kako se gradi matematitka teorija

fizikalnom fenomenu u nekom neprekidnom intervalu vremena (kontinuumu) zarazliku od modela s diskretnim vremenom koji obja5njavaju pona5anje sustava uodredenim vremenima. Prednost prvih modela nad drugima je sa stajali5ta pri-mjenjivosti rezultata oiita; oni omogudavajr,r da se ponaSanje promatranog sus-tava kontrolira kroz titavo vrijeme i jasnije pokazuiu efekte promjene vrijednostir-rlaznih varrjabli i parametara. S druge strane pak modeli s diskretnim vreme-nom imaju tu prednost da je za njihov razvoi potrebno poznavati jedlrostavnijematematiike discipline ida su pogodniji za raiunarsku primjenu. Veiina modelau raiunarskim i informacijskim znanostima je upravo ovog drugog tipa

1.2 Kako se gradi matematitka teorijaMatematiiki pojmovi

Osnovni elementi svake matematiike teorije su matematitki pojmovi. Oni sedijele na osnovne iizvedene (sloZenc) pojmove. Osnovni matematitki pojmovinajte5ie su apstrakcija objekata ili pojmova iz stvarnog svijeta. Dobre primjereza objainjenje matematidkih pojmova imamo u geometriji. Pojam pravac nastaoie apstrakcijom predmeta poput ravne niti, brida ravne plohe ili sunteve zrake.Pojam rarmina je vrlo rjerojatno nastao apstrakcijom iz ravnih povrSina poputpustinje, povr5ine jezera ili mora. Pod osnovne matematiike pojmove svrstavajuse i osnovni odnosi medu pojmovima poput: pripadati, sjedi, spajati, leiati (u),te izmedu, sukladno i usporedno. Medu ovim pojmovima mogu se uvesti jo5detaljnije podjele. Osnovni matematiiki pojmovi nisu dovoljni da bi se izgradilamatematitka teorija. Pomoiu njih definiraju se sloieni pojmovi. Npr trokut sedefinira kao dio ravnine ome den s tri duZir.re.

Dokazivanje teorema

\a temelju opaZanja i iskustva uotavaju se zakonitosti medu odnosima koji vla-Jaju izmedu predmeta srvarnog svijeta i zatim se te zakonitosti nastoje oblikovatiiao tvrdnje (teoremi, poutci) o odnosima medu odgovarajudim matematitkim:ojmovima. Tvrdnje koje se izritu moraju imati univerzalnu vrijednost koja sedokazuje. Za postupak dokazivanja matematitkih rvrdnji vaZan je proces za-kJjutivanja. Pod zakljutivanjem se podrazumjeva takav oblik mi5ljenja kojim se.:ie n'rdnji dovodi u vezu i izvodi nova tvrdnia. Dokazati neku tvrdnju znaii':okazati da je ta wrdnja logitka posljedica nekih tvrdnji za koje se zna da su isti-..:te. Uspije li se to pokazati na takav naiin da se odabrani skup polaznih wrdnji::ansformira u logiiki ekvivalentne wrdnje sve dok se ne dobije wrdnja koja se: r;azuje, govori se o direktnom dokazu. U matematici se testo koristi i indi--ektan dokaz iija logitka utemeljenost ie biti objainjena kasnrje u poglavlju o

j:-_

B Kako se gradi matematitka teoija

matematitkoj logici. Znanost koja izutava procese zakljuiivanja zove se logika,a osnovni oblici zakljutivanja su analogija, indukcija i dedukcija. Svi oblicizakljuiivanja nisu jednako valni za matematiku.Analogija je takav naiin zakljutivanja pri kojem se na temelju uotenih zakoni-tosti u odredenoj situaciji izvodi zakljutak koji bi trebao vrijediti u nekoj drugojsituaciji. Ovaj natin zakljutivanja nije pouzdan i moie dovesti do potpuno krivihzakljuiaka. U matematici analogija moZe pomodi da se na temelju rezultara izjednog podruija matematike pokuSa razviti teorija koja bi vrijedila u nekom dru-gom podruiju, ali tinjenica da je nova tvrdnja "sli6na" nekoj rvrdnji koja vrijedinema snagu dokaza.Indukcija je takav oblik zakljutivanja pri kojem se zakljutak o ispravnosti nekeopie wrdnje izvodi na temelju provjere o isprar,nosti te tvrdnje u posebnim slu-tajevima. U matematici vrijedi poseban oblik indukcije tzv porpuna indukcija.Vrijednost ovog natina zakljutivanja za matematiku je ograniiena na dokaziva-nje nekih wrdnji koje se odnose na prirodne brojeve. Kasnije iemo pokazati kakose ova metoda primjenjuje na konkretnim primjerima.

Deduktirma metoda

Od navedenih naiina zakljutivanja najveiu vaZnost za matemariku ima deduk-cija. Dedukcija se definira kao takav natin zakljutivanja pri kojem se zakljutak oodnosima medu matemati6kim pojmovima u posebnim situacijama izvodi iz op-6ih svojstava tih odnosa. Mogudnost da se u okviru neke teorije primijeni ovajnaiin zakljutivanja indikator je za visoku razinu razvoja te teorije. Primjenu de-duktivne metode u razvoju matematitke reorije karakteriziraju slijedeii koraci:(1) nabrajanje osnovnih pojmova, (2) definiranje sloZenih pojmova, (3) izricanjeaksioma, (4) postavljanje teorema, (5) dokazivanje teorema. Prvi i drugi ko-rak smo vei komentirali. Koraci (3) i (4) su povezani jer su i aksiomi i teoremiwrdnje o odnosima medu matematiikim pojmovima. Razlika izmedu aksioma iteorema je ta Sto su aksiomi wrdnje koje se ne dokazuju, vei se smatraju totnimapo definiciji ili ukoliko se radi o pojmovima pomoiu kojih se modeliraju pojaveiz realnog svijeta totnima na temelju iskustva, a teoreme je potrebno dokazivati.Pri izboru aksioma potrebno je po5tivati odredena natela; natelo nezavisnosri,naielo potpunosti i naielo neproturjetnosri. Natelo nezavisnosti traZi da niri je-dan aksiom ne smije biti izvediv iz preostalih. Naielo potpunosti zahtijeva dabilo koja tvrdnja unutar razmatrane teorije bude dokaziva ili oboriva na teme-lju aksioma (direktno ili posredno uz pomoi prije dokazanih teorema). Nateloneproturjetnosti zahtijeva da se na temelju izabranih aksioma ne moie dokazatiispravnost dviju tvrdnji koje su kontradiktorne. Iako ovi zahtjevi izgledaju pri-rodno, neki rezultati iz matematitke logike (Godel2 je dokazao da je potpunost

'frn COa"t ( I S06-1978) - ur.trijski marem a riia r, poz na t po rad ovim a vezanim uz aksiomatskemaiematitke sustave.

Kako se gradi matematiika teorija 9

aksioma Peanove teoriie broieva nedokaziva, tj. postoje istine u teoriji brojevakoje se ne mogu dokazati.) pokazuju da nije mogu6 takav sustav aksioma koji bizadovoljio sva tri navedena natela.Kao primjer primjene deduktivne metode u razvoju matematitke teorije i dokazda izbor aksioma nije jednostavan zadatak obiino se spominje euklidska geome-trija. Euklid3 je oko 300.g.p.K. uoiio da se tadainje poznavanje geometrije moZesistematizirati i oblikovati kao teorija koja poiiva na pet aksioma. Sve do polovicedevetnaestog stolje6a brojni matematitari pokuiavali su dokazati da je jedan odtih aksioma (tolnije, peti - tzv. aksiom o paralelama) izvediv iz preostalih. Iakou tome nisu uspjeli, njihov trud ipak nije bio uzaludan. Indirektno, ti su naporidoveli do razvoja neeuklidske geometrije koja, pojednostavljeno reieno, potivana sustar-u aksioma u kolem je jedan od njih negacija petog Euklidovog aksioma.

:lip.K. 265p. K.) najpoznatiji antiaki matematitat poznat po znameflitom djeluElemenri.

.:.].'|:.].],.

''il'llii'

r,rtj,, r.-ia:....:i.,i.

"Svaki dobar matelnatitor je barem upola filozof i svakidobar filozof je barem upola matematitar"Friedrich Gottlob Fregel

2.1 Uvod u matematitku logikuU svakodnevnom se Zivotu pojam logike spominje u dva osnorma konteksta, kaospecifidno ljudsko razmi5ljanje i kao znanost koja izutava zakonitosti u razmi5lja-nju. Prvim logidarom u povijesti smatra se grtki filozofAristotel (384.-322. p.K.),kojeg je slijedila grupa grikih filozofa nazvana stoicima. Posebni razvoj i eks-tremnu formalizaciju matematitka logika doiivljava polovicom devetnaestog sto-ljeia.VaZnost matematiike logike za suvremenu civilizaciju povezana je s bitnim obi-ljeZjem danabnjice koje je sadriano u frazi "informacijsko dru5tvo".Ratunala pohranjuju i procesiraju ogromne kolidine podataka i informacija kojisu posredswom mreZe dostupni svakome tko je prikljuten na nju (zanemarimoli tinjenicu da se dostupnost pojedinim podacima ogranitava po razliiitim krite-rijima). Raspolaganje podacima i moguinost da se iz dostupnih podataka kre-ira informacija nuini su za razvoj modernog dru5wa. Kolitine podataka koji sesvakodnemo prikupljaju su velike i da bi se oni mogli koristiti potrebno je ras-polagati znanjem i tehnologijom za njihovo klasificiranje i spremanje na takavnatin da se oni mogu u prihvatljivom vremenu pretraZiti i upotrijebiti. Osim tevrste znanja, potrebna su znanja za kreiranje informacija iz dostupnih podataka.Nadalje, suvremena ratunarska tehnologija omoguiuje i kompleksnije analizepodataka; moguie je u velikom broju podataka i informacija identificirati zako-nitosti i pravila, a za takve postupke takoder su potrebna specifitna znanja. Sva

lFdedrich Gofilob Frege (1848-1925) - njematki matematitar i filozof, dao znatajni doprinoslogici.

10

Uvod u matematiiku logrku 1 1

ova znanja temelje se na rezultatima istraiivanja u matematiikoj logici. Ratunar-ska tehnologija djeluje na principima koji se temelje na rezultatima istraZivanjau matematitkoj logici, a upravljanje proizvodnim procesima nezamislivo je bezsloZenih programa koji su u biti skupovi kodiranih logiikih operacija.Najjednostavnije lingvistiike tekstove koji mogu prcnositi informacije zovemo re-ienicama, propozicijama (sudovima), frazama itd. Konstrukcija retenice slijedisintaktiika pravila jezika bez obzira na znatenje koje retenica moZe imati. Iziskustva znamo da reienice mogu imati razlitite vrijednosti istinitosti (istina, ne-istina, potpuna istina, skoro istina, djelomilno istina, skoro neistina, itd.) i danije uvijek jednostavno odrediti istinitost sloZene redenice koja je sastavljena odrazlititih tipova jednostavnih reienica. Pogotovo je teSko urvrditi ispravnost za-djutivanja u kojem se povezuje vise argumenata iznesenih slijedom reienica ukojima se koriste razliiti veznici, wrdnjc se odnose na samo jedan objekt ili supak op6enitog znaienja. Logiiari su davno uoiili da se pravila na kojima se te-:nelji ispravno zakljutivanje mogu formalizirati u tolikoj mjeri da ta formalizacija:xa strogost matematiike teorue. U tome je uspio George Bool u ploj polovici\lX. stoljeia napisavii knjigu Matematitka analiza logike. Sa stajaliita primjene'-: modeliranju ispravnog zakljutivanja razJikuju se tri osnovna tipa logike; Iogika..Ldova, kategorijalna Iogika i logika predikata. Logika sudova bavi se zakljuiiva-..rem u kojem se reienice povezuju veznicima "ako", "i", "ili" i "ne". Moguinost:: se zakonitosti koje vaie u ovoj logici formaliziraju takvom strogoSdu da se na..'r: moZe primjeniti apstraktna matematiika struktura nazvana Boolova algebra

::zlog je zaito se ova logika naziva i algebra sudova. Kategorrjalna logika bavi se::ipadno5iu odredenog pojma kategorijama. Ova logika bavi se zakljudivanjem- -ojem se u retenicama pojavljr-rju rijeii "svi", "neki", "nrjedan" i "ne". Logika::dikata ukljutr.rje logiku sudova i kategorijalnu logiku. Ova logika bavi se re-

--ricama koje mogu biti istinite ili laZne ovisno o specificiranju objekta o koiem,: rznosi neka tvrdnja. Postoje i razvijaju se razliiita proiirenja logike predikata

:ur modalne logike i sl. Osrm ovih logika i njihovih prolirenja tijije zajednitki,rorli cilj razviti normativnu teoriju (niz pravila) koja sa sigurnoS6u dovodi do,::':r\nog zakljutka povezivanjem argumenata koji mogu biti istiniti ili laZni, ra-.:'aiu se i logitke teorije u kojima sc odustaje od strogog zahtjeva da wrdnje

- -ru imati samo te dvije istinitosne vrijednosti. Motivacija za istraZivanje takvih-.::kih sustava moie biti iisto teorijske prirode kao nastojanje da se sustav pra-. koja vrijede za situacije u kojima varijabla (sud) moZe poprimiti samo dvije:cnosti (istina i laZ) proiiri na vise moguiih vrijednosti ili na ditav kontinuum.

i=1urim, postoji i pragmatiian motiv za razvoj ovakve logike. U komunikaciji se.,: -r koriste reienice u kojima se neito tvrdi s razlititom gradacijom istinitosti i

.::bno je procijeniti u kojoj je mjeri istinit zakljuiak koji se temelji na takvim- -::.iama. Za modeliranje takvih zakljr-rtaka razvijena je neizrazita (fuzzy) 1o-

- . . Razvoj ove logike ima veliko znatenje za moguinosti primjene raiunala u:.-, 1, anju tehnoloikim procesima i za razvoj podrutja umjetne inteligencije.

.A

72 Sudovi i operacije medu njima

U ovom udZbeniku mi iemo izuiavati algebru sudova koju je potrebno poznavatii da bi se razumio koncept djelovanja raiunala kao tehnoloikog proizvoda i kaosustava s kojim treba upravljati. Osim algebre sudova izloZiti ie se i osnoveraiuna predikata.Specificirani subjekt u reienici zovemo konstantom, a nespecificirani varijablom.Kod sudova su subjekti konstante. Ako u retenici ima barjedna varijabla zovemoje predikatom. Sudove i predikate moZemo povezivati operacijama i kvantifika-torima i tako stvarati nove.Neka je S skup danih (inicijalnih) sudova. Skup svih sudova dobivenih pove-zivanjem sudova iz S pomodu operacija (-, V. A. +. <+) zovemo jezikom propo-zicijske logike generirane sa S i oznaiavamo sa ls(S). Ako osim operacija prikonstrukciji novih sudova upotrebljavamo i kvantifikatore jezik generiran sa "5zovemo jezikom predikatne logike i oznatavamo sa l(5).Logika ima dvije komponente: jezik logike .C i strukturu istinitosti na f. Struk-tura istinitosti moie biti uvedena u semantitkom smislu pomoiu interpretacijaili u sintaktidkom smislu preko logitkih aksioma i pravila. Mi 6emo strukruruistinitosti izutavati u semantitkom smislu i to kao klasiinu bivalentnu logiku.

2.2

2.2.7 Pojam sudaMedu retenicama mogu se izdvojiti one u kojima se ne5to rvrdi i koje s obziromna istinitost mogu biti istinite ili laZne i pri tom vrijedi samo jedna od tih dvijumoguinosti. Takve retenice zovu se sudovi.

Sud je izjava za koju se moZe jednoznatno odrediti da lije istinita ili laZna.

Primjer 2.1. Odredimo sudove meclu sljedeiim rvrdnjama:

(a) 2+3<5.(b) 7 je prost broj.

(c) Mjesecje natinjen od Zutog sira.

(d) x je prost broj.

(e) Na mjestu gdje se danas nalazi VaraZdin padala je kiSa na dan Arhimedovesmrti.

RjeSenje. Retenica (a) je sud, i to laZan. S (b) je oznaten istinir sud. Pod (c) je laiansud. Iako se u retenici (d) neito wrdi ona nije sud. Ta retenica postaje sud ukoliko seumjesto r uvrsti neki odreden broj. Pod (e) se nalazi retenica koja je sud, ali ne postoji

Sudovi i operacije metlu njima

natin da utwdimo da li je istinit ili ne.

Sudovi i operacije medu njima 13

U komunikaciji se ne koristimo samo jednostavnim (prostim) redenicama ved ihpovezujemo u sloZene retenice. Pri tom koristimo veznike. Ukoliko su prosterelenice koje povezujemo sudovi, sloiena retenica postaje takoder sud iija istini-tosna vrijednost ovisi o istinitosti njezinih dijelova i o gramatitkim svojstvima ko-ri5tenih veznika. Istinitosna vrijednost sloienih sudova koji se dobivaju pomo6uoperacija algebre sudova od zadanih sudova odgovara istinitosnoj interpretacijisloienih retenica koje su povezane odgovarajudim veznicima. U razumijevanjualgebre sudova pomaZe analogij a sud - prosta retenica, operaci.ja medu sudovima- veznik, iako ona nije potpuno totna jer se samo neke operacije algebre sudovamogu direktno povezati s odreclenim veznikom. U definiranju operacija algebresudova i proutavanju njihovih svojstava sluiimo se tablicom u kojoj se u prvomdijelu navode sve moguie kombinacije istinitosti sudova koji su ukljuteni u ope-raciju (e), a u preostalom dijelu se unose rezultati operacija za pojedinu kombi-nacdu istinitosti sudova. Takva tablica naziva se tablica istinitosti ili semantitkatablica.Sudove 6emo oznatavati slovima, a za operacije algebre sudova koristit 6e seposebni standardni simboli. U logici se za istinit sud koristi znak T, a za lalanznak I. Uz ove oznake u algebri sudova uobitajeno je da se istinitom sudupridruZuje vrijednost (valencija) 1, a laZnom 0. Dakle,

.r'je laZan r'(r) : 9'

.r'je istinit i'(.r) - 1.

Zbog jednostavnosti umjesto t,(r) - 0 (1), pisemo kratko r - 0 (1). ViSe ogradenju logike moZe se na6i u [20].

2.2.2 Operacije sa sudovimaSudovi su jednostavne izjave, ali ih moZemo povezivati u sloiene pomoiu veznikai. ill, ako, onda itd. Takoder moZemo zadani sud negirati. Sve takve postupkenazivamo operacijama medu sudovima.

Negacija

Pod negacijom suda n podrazumijeva se sud koji se dobiva tako da se negiratvrdnja kojom se izriie sud o.\egacijaje unarna operacijajer djeluje najedan objekt. Oznaka za negaciju suda'r je a ili -o.Definicija 2.2. Negacija suda u je sud. n, koji je istinit jedino ako je sud o laian.Tablica istinitosti za negaciju:

74 Sudovi i operacije medu njima

Primjer 2.3. Negacija suda ".? < 1" je sud "rr. > 1".

Konjunkcija

Konjunkcijaje operacija izmedr: dva suda. Simbol za ovu operacijuje A. Istinirostsuda a,rr 1., odgovara istinitosti sloiene retenice u kojoj su proste retenice rr i Lpovezane veznikom "i".

Definicija 2.4. Konjunkcija sudova r? i D je sud u r,, b. koji je istinit jedino ako su obasuda a ib istinita.

Tablica istinirostiza konj u n kt'iju:

a /\b1

000

Disjunkcija

Disjunkcija je takoder binarna operacija na sudovima. Simbol za ovu operacijuje V i ona odgovara vezniku "ili". Poznato je da ovaj veznik ima dvile semantiikeinterpretacije r.r sloZenim retenicama; razlikuju se inlduzivno ili i ekskluzivnoili. Disjunkcija odgovara inkluzivnom ili.Primjer 2.5. (inkluzivno ili) "Za prijavu doktorske disertacije potrebno je obja-viti jedan znansrveni rad ili godinu dana raditi na znansrveno-istraiivatkom pro-jektu" (obje su moguinosti dozvoljene)Primjer 2.6. (ekskltLzivno ili) "Poloi;it tei taj ispit lli &i prestati studlrati"Definicija 2.7. Disjunkcija sudoya a i b je xtd rt I b. ko.ji je la*an jedino ako su obasudaaIblaina.Tablica istinitosti za dis junkciju:

aI1

00

lt r'11011100

Iako rezultati navedenih operacija odgovaraju istinitosnim interpretacijama slo,Zenih retenica u kojima se korisre odgovarajuii veznici, u sloZenrjim situacijamanema smisla koristiti tu analogiju. Tako npr sloZena retenica ,,Zagreb je glavni

I01

0

Q

1

10

Sudovi i operaci.ie medu njima 15

grad Hrvatske i 2 je manje od 3" nema smisla iako se formalno moie odreditinjezina istinitost.Konjunkcija, disjunkcija inegacija su osnovne operacije medu sudovima. Kasnije6emo vidjeti da se ostale operacije algebre sudova mogu izraziti pomoiu osnovnihoperacija.

Svojswa osno\mih operacija algebre

7. t /,b-b/,ct.2. t1 ,,,b 1,V(.

4. (a v b) Vr'- a \' (bVr'),

$. - (rr A h) - -q \"' -l),

S. - (a r"/ b) -e t,, -b,

7. o'" (b l. c) - (rr Vl)) ,l (u v r ),

8. aA (LVr') (rrAL)V(rrAr'),

9. al'u:u,10. rrVri-4,11. - (-t) - rr,

12. o t,0-0,13. a \'1 - 1.

(komutativnost)

(komutativnost)

(asocijativnost)

(asocijativnost)

(De Morganov zakon)

(De Morganov zakon)

(distributivnost)

(distributivnost)

(idempotentnost za konjunkciju)

(idempotentnost za disjunkci ju)

sudova

(zakon involucije)

Jva se svojstva dokazuju pomodu tabiice istinitosti.

Implikacija

.:plikacila se koristi da bi se izrazila uzrotno-posljeditna veza izmedu dva suda.:plikacija je laina samo ako je pretpostavka istinita a zakljutak laZan. U svimr:alim slutajevima je istinita.

Definicija 2.8. lmplikacija sLLdovo (1 i h je sLtd a .., b. koji je laian jedino ako .je,:--1 c:,tirrlt, asudb Lailn.

16

Tablica istinitosti za implikaciju:

Primjer 2.9. Uzmimo da je otac rekao svom sinu studentu'Ako poloii5 matema-tiku u ljetnom roku, platit iu ti ljetovanje." Ukoliko student poloZi matematiku uljetnom roku, otac mu treba platiti ljetovanje u skladu s obeianjem. Ako studentne poloii matematiku u ljetnom roku, otac mu moZe plati ili ne platiti ljetovanjei ni u jednom slutaju otac nije prekr5io obeianje.Zad.atak 2.'1. Odredite koja je od sljede6ih implikacija istinita.

a) 1.n-'-2+):5.b).l']:16=r( l)2- 1.

Zadatak 2.2, Vrljedi Ii za implikacrju komutativnost?Zadatak 2.3. PrikaZite implikaciju pomoiu osnor'nih operacija.Na vainost implikacije kao logitke operacije ukazuje i razvijena terminologijakoja se koristi u vezi s ovom operacijom. Za sud a koriste se sinonimi pret-postavka, premisa, hipoteza, antecedental dok su za sud I odgovaraju6i naziviposljedica, konkluzija, teza, konzekventa. Izraz o + b tita se "n povlati 6", "a im-plicira 6", "iz a slijedi 6", "ako je o tada je b" , "b je nui.an uvjet za o", "b proizlazriz a","b je logitka posljedica od o", "ije uvijek kadje i a".S implikacijom o + b povezane su joi neke implikacije koje imaju odgovarajuiuulogu u logici i u matematici, a tija je istinitost povezana s istinitoSiu implikacije.U matematici je za implikaciju o + b uobitajen naziv teorem. S teoremom o + lrpovezane su sljedeie implikacije:

^i-1

00

a.=ii=a

obrat teorema,

suprotan teorem,

obrat suprotnog teorema (kontrapozitivna tvrdnja).U sljedecoj rablici nalaze se istinirosne vrijednostiovih implikacija

1011

Vidi se da se istinitost teorema podudara s istinitoS6u obrata suprotnog teorema,a obrnuti teorem je po istinitosti jednak suprotnom teoremu. Obrat suprotnog

b.+u u-+l)

Dokazi u matematici

teorema zove se i kontrapozicija. Ovo Sto smo upravo dokazali moZemo napisatiu obliku teorema:Teorem 2'10'

tt , r) <.+ rt >,.t.lt .) tt .:+ rt .+ i.

Primjer 2.11. Zadani su sudovi A: "iewerokut je pravokutnik" i B: "iewerokutima jednake drjagonale". Od njih se moie formirati implikacija -,1 .+ B: 'Ako jetewerokut pravokutnik, onda on ima jednake dijagonale". Napiiite obrat ovogteoremal suprotan teorem i obrat suprotnog teorema. Analizirajte njihove istini-tosti i navedite geometrijski lik koji pokazuje da obrat teorema i suprotan teoremnisu istiniti.

Ekvivalencija

U matematici se ekvivalencija javlja u dva vida; kao relacija (odnos) medu nekimobjektima koja ima odredena svojsrva i kao posebna logiika operacija. U dosa-da5njem tekstu koristili smo ekvivalenciju kao relaciju; za dva suda rekli smo dasu logitki ekvivalentni ako imaju jednaku logitku vrijednost.Definicija 2.12. Za sudove a i b kaiemo da su logitki ekvivalentni i piiemo a <+ btko istovremeno vrijede implikacije o .+ b i b '- a tj.

, o6-(o + 6) A (b+ a).Izraz o, .i+ b titamo: "o je ekvivalentno s 1", "o je ako i samo ako je i b",'ii je nuian: dovoljan uvjet za l.;".L skladu s ovom definicijom tablica istinitosti za ekvivalenciju je:

Zadatak 2.4. Vrijedi li komutativnost ekvivalencije?Zadatak 2.5. PrikaZite ekvivalenciju pomoiu osnovnih operacija.

2.3 Dokazi u matematici2.3.1 Direktni dokaz

. .iCe5ii oblici rvrdnji u matematici su sljede6eg oblika:

17

Tvrdnja: A + lJ

18 Dokazi u matematici

Direktan dokaz provodi se uspostavljanjem konadnog niza implikacija oblika

A + ,41 + A2.+ .. .+ B.Ponekad dokaz podijelimo na slutajeve da bi pojednostamili argumentacUu.Svaki od sluEajeva mora vrijediti i voditi do traZenog zakljutka.Zadatak 2.6. DokaZite daje izraz n2 n 5je neparan za sve n € N.

2 .3 .2 Niz ekvivalentnih tvrdnjiU matematici se testo susredu tvrdnje sljedeieg tipa:Tvrdnja: Sljede6e wrdnje su ekvivalentne

7. A,2. B,3. C.

Dokaz treba provesti po shemi: A = B .+ C .+ A lli A -+ C .+ B =.+ A.Zadatak 2.7. Dokaiite da wijedi teorem: Sljedete wrdnje su ekvivalentne

1. tetverokut je pravokutnik.2. ietverokutu se susjedne stranice sijeku pod pravim kutem.

3. iewerokutu se dijagonale raspolavljaju i ima dva para paralelnih stranica.

2.3.3 Dokaz po kontrapozicijiVeza izmeclu teorema A .+ B i obrata suprotnog teorema E ..> A koristi seu matematici za dokazivanje teorema. iesto teorem nije mogude ili je telkodokazati direktno, ali je moguie dokazati obrat suprotnog teorema. Pretpostavise da je istinit sud B i pokaZe se da ta pretpostavka vodi do istinitosti suda A ilido suda koji je u kontradikciji s nekim drugim vei prUe dokazanim teoremom iliaksiomom. U tom sludaju se smatra da je dokazan i teorem. Ovakav postupakzovemo indirektnim dokazom teorema.Primjer 2.13. DokaZimo da ,,,/Z ni.le racionalan broj.

Rjelenje, Da bi indirektno dokazivanje ovog teorema bilo jasnije, o\,'u twdnju 6emonapisati u obliku,4 + B. U tom slutaju za sudove A i B imamo A:"m,n su relativnoprosti brojevi", B'.' yA + * ".

rLPretpostavimo da vrijedi B tj. ^/2 e Q. Sada moZemo pisati

-m,n,

(2.1)

m.rl € Z; LI (m,n) :1.Kvadriranjem relacije (2.1) dobivamo

'm,2 : 2r,.2 (2.2)

Dokazi u matematici 1"9

Broj rn2je otito paran broj pa je i m paran. Zbog toga ga moLemo pisati kao m : 2k, pawijedi n2 : 2k2, odnosno n je takoder paran broj. Iz ovog protzlazi da i brojevi m, nimaju zajedniiki faktor 2, Sto je u kontradikciji s pretpostavkom da je M (m,n) - t.Zakljuiujemo da je pretpostavka t/Z e Q pogreJna, odnosno dokazali smo B - A.Dakle rtijedi 1,4 e 1.

Zadatak 2.8. U prethodnom dokazu koristili smo twdnjt "kttadrat parnog broja je paranbroj". Dokaiite tu wrdnju svodenjem na kontradikciju.

Promotrimo opet tvrdnju T: A =+ B. pretpostavimo da je A istinit. Ta pretpos-tavka vodi do suda koji je oiito laZan ili do suda koji je u kontradikciji s nedimdrugim. Sada po principu dvostruke negacije A mora biti istinit. Taj vaZan logitkiprincip sadrZanje u sljededem teoremu.

Teorem 2.14. Vnjedi A + B <+ -B .+ -A.Za twdnju -B .+ -A kaZemo da je kontrapozitivna twdnji A + B. Dokaz te-orema provodi se ispisivanjem tablice istinitosti za obje strane ekvivalencije.Zadatak2.9. Metodom obrata suprotnog teorema dokaZite da ne postoji najmanji realnibroj.

2.3.4 ProtuprimjerPitamo li se da lije neka opienita twdnja istinita poku5ajmo prvo napraviti neko-liko primjera. Naclemo li da nrdnja ne wijedi na jednom primjeru, zakljutujemoda ona ne wijedi op6enito. Takav primjer zovemo protuprimjerom i njime doka-zujemo da twdnja nije istinita.Primjer 2.15. Prisjetimo se Eulerove hipoteze i protuprimjera zan - 4l pomodukojeg obaramo hipotezu.Zadatak 2.10. Vrijedi li twdnja 3ra - 4r2 2 0 za svaki z e IR?

2.3.5 MatematiEka indukcijaGovorili smo o aksiomima kao o matematltkim twdnjama koje se prihvadaju kaoistinite bez dokaza. Intuitivno znamo 5to su prirodni brojevi, ali u matematici seuvode aksiomatski. Tako u aritmetici postoje tzv. Peanovi aksiomi, koji postuiirajupostojanje prirodnih brojeva tj. skupa N. Evo tih aksioma.

Peanovi aksiomi1. 1 € N. (Znadi da N nije prazan skup, ve6 da sadrZi najmanje jedan ele-

ment.)

20 Dokazi u matematici

2. Za svaki ? € N postoji z' e N kojeg zovemo sljedbenikom od rr..

3. n,t I 7. (1 nije nitiji sljedbenik.)

4. rr' - nt.' povlati n : nr. (Razliliti prirodni brojevi imaju razlidite sljedbe-nike.)

5, Aksiom indukcije. Neka je l1 podskup skupa prirodnih brojeva N sa slje-de6im svojsrvima:

1) 1 € ,11.

2) rt e f,I povlati ir' e ,1-1.

Tada je '11 - N.

Aksiom matematitke indukcije, odnosno princip matematitke indukcrje va2no jeorude za dokazivanje u matematici. Taj se princip ne smije mijeiati s induktiv-nom metodom u znanosti. Induktima metoda u znanosti sluii samo za izvodenjeop6ih principa iz pojedinainih slutajeva. Princip matematitke indukcrje sluZi zadokazivanje tvrdnji koje vrijede za sve prirodne brojeve (osim moida za konatnomnogo njih). Tvrdnje dokazive matematitkom indukcijom ovise o cijelom (pri-rodnom) broju l. To su npr. sljedeie tvrdnje.

u tu l)l. I 2 :j ... ,, 2

2. ).+:l+ 5*... t (2rr 1),= r,2.

3. 1; + 2rr + 3ii+ ... + r, : ll1"l l)'I

4. (1 ) 2+3+...+n)2=13+23 !3;J 1 ... * rtir.

q I q r2 o3 o, 2' ) L

- I I I I r,6. , , I ... I -1.2 2':\ J I tt\tt l) ,, -l7. ) 8" 3'.

B. Ako je .t't.r'.1......1',, u tadale 'l 't'2 "

' '' r,',.,'r " .,...n

e. (o +b)" - (l)," + ('i)n" 't + ('l) 1" t1,t + + (,,1,)al" t- (")1,"

10.2">n2zan; \.

Zadatak 2.77. ZapiSi jednakosti iz prethodnog zadatka upotrebom znaka I za sumu.

Dokazi u matematici

Prikladno je wrdnju koju dokazujemo oznaiiti sa P (n) .

Princip matematitke indukcije provodi se u dva koraka:

7. Baza indukcije. Treba dokazati da tvrdnja vrijedi za n : 1. tj. da vrijediP(1).

2. Korak indukcije. Pretpostavimo da wrdnja vrijedi za rr - l. Treba dokazatida wrdnja vrijedi za n - lt - l. Odnosno, P(l.) + P(L' + 1).

Uvijek treba provjeriti oba koraka, jer u suprotnom moiemo pogrije5iti i "doka-zati" tvrdnju koja zapravo ne vrijedi (Eulerov primjer, Goldbachova hipoteza).Primjer 2.16. DokaZite daje moguie ispuniti narudibu od rr ] 32 lirre kompota,koji je pakiran u limenke od 5l i 91.

RjeSenje. 7. Baza. n = ll21 -5.51 + 1.91.2. Korak indukcije. Pretpostavimo da je narudZbu za rr : A mogu6e ispuniti. Moguii susljedeii sluiajevi:

i) l:s 51 +/ 91,

ii) i:-s.5/,iii) A-1.91. 1.se N.

Evo kako iemo ispuniti narudZbu za n - li - 1.

i) ,t | 1 : (s + 2) I-rl + (t l) 91. Znati, jednu staklenku od 9l zamijenimo za 2 staklenke od 51.

Cstale slutajeve izradite za vjeibu. r-

Evo dva primjera neispravnog maremaritkog zakljutivanja.Primjer 2.17 (Euler). Svi brojevi oblika P Qt.) - p2 + ?r +.11 su prosti brojevi.Evo ih prvih nekoliko: 43,47,53,67,77,83,97.Moi.e li se zakljutiti da je P (n )lrost za svaki r/ € N?\e! Za n=41 imamo kontradikciju s prerpostavkom. (l za n=40 pretpostavka ne'.rijedi.)lr'dje nye bio proveden korak indukcije, pa smo zato "dokazali" ono 5to nije isrina.Primjer 2.18. Goldbachova htpoteza (7742.).Sr-aki paran broj veii od 2 jednakje zbroju dvaju prostih brojeva.

1-2+2 6:ittil 8-jtr :J 10:3+7 12_rt:'7...)o danas je provjeren velik skup poietnih prirodnih brojeva, ali sama rvrdnja jos-:r'rlek nije dokazana.

27

2.4 Formule algebre sudovaDefinicija 2.79. Formula algebre sudova je svakii:rdola (.sudoveJ, konstonti algebre sudova (0, 1) i-' : ie nr ./brrn ira ry u s LL zadov olj en a slj e d e fu pr av il a

L znokovi zo varijable algebre sudova su formule,

-2. ako su .r. q formule tada stL formule i :r:, q, .r r', 11,

.r+(aVr)Itt /"lt) --, tt

(rr A (o + |))+ L

((( .+ b) t,,b) .., ai

(a,^. (o ''' bll + L((a + L) ,.l (| > r')) 3 (11 .>11)

Formule algebre sudota

niz znakova varijabli algebreoperacija algebre sudotta pri

.r\J tl, J' = ll, ll ,+ )', .t <= !1,

3. st,aka .formt a moie se dobiti konatnin brojem prinjena pretlrcdnth pravilo.

Definicija 2.2O. Za dvije t'ormule kaiemo da su semontifki ili logiiki ekviva-lentne ako in se podudarajtL logitke vrijednosti u semontitkint tablicanta.

?o-.ebnu vaZnost za deduktivno zakljuiivanje imaju formule koje daju uvijek is-:-:r. bez obzira na logitku vrijednost sudova koje sadrZe. Takve formule zovu serautologije. Najjednostavnija tautologija ie .r' v'.r'. Formula koja daje uvijek laZzr', e se kontradikcija (npr. .r' r' .ir).i.ledu tautologijama se posebno istitu one formule kojima su predstavljena pra-.:-a za deduktivno zakljudivanje. Vainost tih tautologija je takva da one imaju: :osebna imena. U sljedeioj tablici navode se neke od tih tautologrja i njihova-:: ena.

Tautologije deduktivnog zakljutivanja

dodavanjepojednostavljenje

modus ponensmodus tolens

disjunktivni silogizamhipotetitki silogizam

Semantitka tablica

Pn definiraniu operacija sa sudovima sluZili smo se tablicom u koju su u pruomdiielu bile upisane sve mogu6nosti istinitostnih vrijednosti sudova nad kojimase definira operacija, a u posljednjem stupcu upisane su vrijednosti pridruZeneoperaciji. Svakoj formuli algebre sudova takoder moiemo pridruZiti semantiihutablicu 6iju veliiinu (broj redova) odredujc broj razlititih sudova koji se javljajuu formuli. U kombinatorici se takvi slogovi nazivaju varijacijama s ponavljanjemod dva elemcnta i za ri sudova ima ih 2". Uobiiajeno je da se te vanjacrje slaZupo principr-r logitkog stabla; za formule koje sadrze jedan sud trebamo dva redau tablieijer tom sudu moiemo pridruZiti vrijednosti 1 ili 0. Za dva suda trebamo

Formule algebre sudova

svakoj od ovih moguiih vrijednosti za jedan sud dodati dvije mogute wijednostiza drugi sud pa se tako dobije prvi dio tablice kakve smo koristili kod definiranjabinarnih operacija sa sudovima. Primijeni li se taj princip na tri suda dobije sesemantitka tablica kakvu moZemo vidjeti u sljede6em primjeru.Primjer 2.21. Izradimo semantitku tablicu za formulu F : ((a + 6) v c) er6 ,r c).

RjeSenje.

Funkcija algebre sudova definira se u skladu s opdim pojmom funkcije.menu funkcije algebre sudova tine konstante algebre sudova (0 i 1) i sudovi. Ko-domena ove funkcije je dvotlani skup {0, 1}. Pojam jednakosti funkcija algebresudova sukladan je definiciji jednakosti funkcija koja traii da se funkcije za kojerrijedi jednakost podudaraju u domeni, kodomeni i da istom elementu domenepridruZuju jednaku funkcijsku wijednost.Iz definicije pojma formule algebre sudova moie se zakljutiti da je svakom for-mulom odredena funkcija algebre sudova. Nije te5ko zakljutiti da se ista funkcijaalgebre sudova moie zadati razlititim formulama. Takoder je otito da broj for-mula koje se mogu formirati od odredenog broja sudova nije konatan.Hmjer 2.22. Koliko ima funkcija algebre sudova od n sudova?

Rje5enje. Budu6i da svaki od tih n sudova moie poprimiti lrijednosti 0 ili 1 domenuove funkcije tine sve varijacije s ponavljanjem od ta dva elementa. Kako se te varijacije:pisuju u semantiEkoj tabeli, moie se redi da ako je dano n sudova tada je moguii broj:rlnkcija 2uroj reaova u sem. tab. - 22".

Osim formulom, funkcija algebre sudova moZe se zadati i semantitkom tablicom.Jasnoje da ukoliko je funkcija zadana formulom njoj se moie pridruiiti odgova-rajuda semantitka tablica. Ukoliko pakje funkcija zadana tablicom, postavlja seproblem njezine reprezentacije formulom. Pokazat temo kako se u tom slutajurunkcija moZe prikazati pomoiu dviju formula u kojima se koriste samo osnovneoperacije algebre sudova. Te formule zow se normalne forme. Jedna od njih,disjunktivna normalna forma, ima i vaZnu ulogu u rje5avanju problema minimi-zacije formule algebre sudova.

tr

Do-

24 Formule algebre sudova

2.4.7 Normalne forme i minimizacijaMinimizacija formule algebre sudova je postupak kojim se od formule algebresudova u kojoj se pojavljuju osnovne i sloiene operac|e algebre sudova dobijelogitki ekvivalentna formula u kojoj se koriste samo osnovne operacije i to Stojednostavnija. Taj postupak moZe se provesti koriStenjem svojstava operacija al-gebre sudova (npr. formula (rvg),Az primjenom zakona distribucije ekvivalentnajes (nAr) V (y Az), a zbog r t',t - 0 proizlazi da je zadana formula ekvivalentnas formulom y A z. Postoje i drugi postupci minimizacije koji su formalniji. Opisat6emo postupak koji se temelji na disjunktir,noj normalnoj formi funkcije algebresudova. Za svaku formulu logike sudova postoje logiiki ekvivalentne formule:konjunktiwa normalna forma i disjunktirma normalna forma.

Definicija 2.23. Neka je F (r,,11. z. . . . ) funkcija algebre sudova. Svaka konjunkcijak.;(!,i,y.t).2,a...)sudovailinjihovihnegacijakojaimasvojstvoF(...):7kadaje kt (. . . ) : 7 zove se bazitna konjunkcija zadane funkcije F.

Primjer 2.24. Pror,jerimo da li su konjunkcijea) kr:rn !)1,2, b) kz:tA1yAz

bazitne konjunkcije funkcije F (r.y, z): ((" v g) A z) <+ - @ n -g)?

RjeSenje. a) Neka je &r : 1. Da bi to vrijedilo, sudovi koje sadrli ova konjunkcijamoraju imati vrijednosti r - l,y - 1. z : 1. Sad ispitamo vrijednost funkcije za ovevrijednosti sudova

F (1.1.1) - ((1 v1)^ 1) <+ (1 ^1)

:1Dak1e, A1 je bazitna konjunkcija zadane funkcije.b) A, : 1 =.> r - l,u:1,2:7. Buduii daje -F(1.0. 1) - 0 zakljudujemo dar AL) /\znije bazitna konjunkcija. tr

Primjer 2.25. Za funkciju .F. odredimo sve bazitne konjunkcije funkcije.

Rjeienje.

baziine10101010

11001100

11

1

10000

10110010

:xAAAz

rAy^zrArt,z

rA,ljAz

ft

Formule algebre sudova 25

Odreclivanje bazitnih konjunkcija funkcije f' provodi se u dva koraka:

ODREOIVANJE BAZICNIH KONJUNKCIJAFormiramo semantitku tablicu za zadanu funkciju.

Za svaki red u kojem je u stupcu funkcijskih wijednosti wijednost 1 for-miramo konjunkciju koja sadrZi sudove ili njihove negacije tako da takonjukcija ima takocler wijednost 1.

Zadatak 2.72. Za funkciju iz Primjera 2.24 odredite sve bazitne konjunkcije.

VaZno svojswo bazitnih konjunkcija je to da svaka od njih moZe poprimiti wijed-nost 1 samo u jednom redu semantifke tablice.

Definicija 2.26. Dkjunktivna normolna forma neke funkcije algebre sudova je di-sjunkcija svih njezinih bazitnih konjunkcija.

Pimjer 2.27. Odredimo disjunkti',nu normalnu formu funkcije iz Primjera 2.25.

Rjeienje. Disjunktirma normalna forma je ,.r\r.F,(,E) : @, Ay A z) v (z A, A z) VtAyAz) v(t^r^z). n

Sada primjenom svojstava operacija algebre sudova moiemo dobivenu formuluminimizirati.

Definicija 2,28, Neka je F (r,g,2,...) funkcija algebre sudova. Svaka disjunkcijadi (r, r,y,g, z,2...) sudova ili njihovih negacija koja ima svojstvo F (.) :0 kada jedi (.) - 0 zove se bazitna disjunkcija zadane funkcije F.

Definicija 2.29, Konjunktivna normalna forma neke funkcije algebre sudova je ko-njunkcija svih njezinih bazitnih dkjunkcija.

Primjer 2.30. Da li su disjunkcijea) d1 :rVyV2, b) dz:rVyYZ

bazitne disjunkcije funkcije iz Primjera 2.25?

1.

2.

RjeSenje. a) dr : 0 + s:0,s -disjunkcija.b) Nije.

- 1 F (0, 1,1) : 0, prema tome d1 je bazi[na

n

Zadatak 2.13. Odredite sve baziine disjunkcije funkcije iz Primjera 2.25, kao i pripadnukonjunktimu normalnu formu.

26

MINIMIZACIJAMinimizacija se moZe provesti na dva natina:

Formule algebre sudova

1. analitiiki (algebarski) - postupak se temelji na primjeni svojstava opera-cija algebre sudova,

2. grafitki (VejEova metoda, Karnoughov grafl - osnova ove metode je ko-respondencija skupovskih i logitkih operacija.

Primjer 2.31. Skratimo formulu

F(r,y, z) : (r A s A z) v (r n y A z) v (a A a A z) (2.3)

koriste6i svojswa logiikih operacija.

RjeSenje. Primjenimo li zakon distribucije konjunkcije na disjunkciju iz sve tri zagrademoZe se "izluditi" sud r pa se dobije ekvivalentna formula

r t ((s t z) v (r^ z) v (r^ r)). (2.4)

Iz prve dvije zagrade unutar drugog ilana ove konjunkcije moie se "izlutiti" z pa u nas-tavku imamo

r,t ((y A z)'v (, ^

z) v (a ^

z)) - r t ((z n (y v s)) v (a ^

z)) -:r^((z^1) v(r^z)) -rA(zv (a ^.))-r t,((zvy) t'(zv z))::r A((zv y) A 1) -rx19u,r.

tr

Ovaj postupak nije praktitan. Zbog vaZnosti problema skraiivanja formula alge-bre sudova razvijeni su postupci koji do pojednostavljene formule vode u nekolikokoraka koji se mogu precizno opisati. Opisat iemo postupak kojim se minimiziradisjunktir,na normalna forma funkcije algebre sudova. Taj postupak temelji se nakorespondenciji skupovskih i logidkih operacija i na grafitkom prikazu skupa kojiodgovara formuli koja se minimizira. Korespondencija na kojoj se temelji ovametoda je sljede6a

negaci j ct, <'+ komPLementd'isjunkcija *- uni,iakonjunkcija <+ presjek

Ovisno o broju sudova koje sadrii formula skicira se dijagram u kojem se odredidio ravnine koja pripada disjunktivnoj normalnoj formi koja se minimizira. Zatimse na temelju korespondencije logidkih i skupovskih operacija tom dijeu ra-,ninepridruiuje 5to jednostamija formula iz teorije skupova koja nju odreduje.Dijagram koji se pridruiuje formulama koje sadrie jedan sud izgleda ovako

Formule algebrc sudova

Za minimizaciju formula koje sadrZe dva suda treba nacrtati dUagram u kojemse mogu identificirati podjele po pojedinim sudovima po principu prethodnogdijagrama.

Pow5ine unutar tog dijagrama moZemo izraziti pomotu skupovskih operacija, anjima se pridruZuju odgovaraju6e konjunkcije, kao Sto slijedi.

PowSina

r. :x[t_l

Formula (skupovska)Formula (logitka)

Ovakve konjunkcije javljaju se kao bazitne konjunkcije funkcija algebre sudovasastavljenih od dva suda. S prikazanim dijagramom imamo moguinost svakoj di-sjunktivnoj normalnoj formi pridruZiti powlinu kao uniju dijelova koji pripadajubaziinim konjunkcijama koje ona sadrZi. Ideja postupka minimizacije je ta dase tako dobivenoj powiini pridruii }to jednostarrnija skupovska formula, a onapotom na temelju korespondencije skupovskih i logitkih operacija prevede u for-mulu algebre sudova. Ta formula ponekad se moZe job vile skratiti primjenomsvojstava operacija algebre sudova i konatna formula smatra se minimizacijompolazne formule. Naglasimo daje osnovna znaEajka ove formule ta da ona sadrZisamo osnovne operacije algebre sudova.

1 2 J 4

5 6 7 8

z

Dijagram za minimizaciju formula koje sadrie tri suda je natinjen na istom prin-cipu. Na njegovim dijelovima upisane su odgovarajuie bazitne konjunkcije. Zbogjednostavnosti ti djelovi su oznateni i numeridki.Primjer 2.32. Odredimo powlinu koja je pridruZena disjunktivnoj normi funk-cije iz Primjera 2.25.

Rje5enje. 1z dijagrama se vidi da tu powSinu moZemo izraziti kao uniju.

27

TT

v

raA r,aA zay dOgrAA r, AA rAg rAA

28 Formule algebre sudova

--+ r+ r,l 1 3 4,f-[-[F-]tr

Zadatak 2,14, Powiinu iz prethodnog primjera izrazite sto jednostavnijom formulom izteorije skupova i pridruiite njoj odgovaraju6u formulu iz algebre sudova.

KORACIU MINIMIZACIJIU postupku minimizacije zadane formule mogu se prepoznati sljede6i koraci:

1. Za zadarn funkciju .F'formira se semantidka tablica.

2. Odredi se disjunktima normalna forma funkcije. DNr'(r,)3. Formuli Dlr'f'(^F') pridruZi se powiina.

4. Dobivenoj powlini pridruii se skupovska formula.

5. Dobivenoj skupovskoj formuli pridruii se odgovaraju6a formula algebresudova.

6. Dobivena formula algebre sudova po moguinosti se skati primjenomwojstava logiEkih operacija.

Primjer 2.33. Odredimo disjunktivnu normalnu formu implikacije i minimizi-rajte ju.

RjeBenje.

DIfF(a + 6) = (a,r b) v (a^b) v

U dijagramu za minimizaciju formula koje sadrie dva suda ovoj formuli odgovara pow-Sina 1U2U4. Ta pow5ina moZe se jednostamUe izraziti kao komplement preostalog dijela

01

1

Io,

111001

Formule algebre sudova

C( ).Ovoj powiini se pridruZuje formula algebre sudova -(o A b) a zbog De Morgano-vih zakona ova formula je ekvivalentna s a v b (uoiite da je ovo konjunktir,na normalnaforma implikacije).

Do sada smo upoznali tri osnovne operacije algebre sudova (negacija, disjunk-cija i konjunkcija) i dvije sloZene operacije (implikacija i ekvivalencija). Sve oveoperacije povezane su s odgovarajudim tipovima rebenica s kojima se sluZimo ukomuniciranju i imaju svoje semantitke interpretacije koje prepoznajemo u gra-matitkim pravilima koja se primjenjuju u konstrukciji tih retenica. Medutim,matematitka logika nije samo "Matematitka analiza logike" (Georg Boole) vetse u okviru nje izutavaju i zakonitosti koje nemaju neposrednu praktitnu inter-pretaciju. Ako binarne operacije algebre sudova promatramo kao funkcije dvijuvarijabli, lako se vidi da postoji 16 takvih funkcija. Pokazali smo kako se pomoiunormalnih formi svaka binarna funkcija moZe prikazati pomodu dvije osnovnefunkcije i pomoiu negacije. Medutim, moZe se pokazati da metlu preostalimbinarnim funkcijama postoje jo5 neke sa zanimljivim svojsMma. Sa stajali5ta for-malnih mogudnosti izraZavanja funkcija sa Bto manje operacija te funkcije imajusvojswo da se svaka formula moZe zamijeniti semantiEki ekvivalentnom formu-lom koja sadrZi samo jednu operaciju. Ipak, ta moguinost nema veliko praktiinoznadenjejer su dobivene formule obidno dugaike. Pokazat temo dvije takve ope-racije; NOR ("ne ili") i NAND ("ne i").

Peirce-ova strelica (NOR operator)

Primjer 2.34. Izrazimo osnovne operacije algebre sudova pomoiu NOR opera-tora.

RjeSenje. r : r I r, rY y : (rls) I (r J y),s ^a - (" l") J (y J y).

zadatak 2.15. Provjerite da lije NoR operator asocijatitma operacija.

Sheffer-ova operacija (NAND)

Primjer 2.35, Izrazimo osnorme (a onda i sve) operacije algebre sudova pomo6uNAND operatora.

29

30 Formule algebre sudova

Rje5enje. .i - .t / .t,.t'i lt ir/.r)/(u/a),.t' i\. u - i.t ./ a) ,l l.r ,/ l). l-Zadatak 2.76. Provjerite da li je NAND operator asocijativna operacija.U situacijama kada je poznata istinitost viSe povezanih sudova pomo6u algebresudova moZe se ispitati istinitost sloZenog suda kojije formiran pomoiu njih. Nasljededem primjeru pokazuje se kako se pomoiu algebre sudova mogu rje5avatirazlitite zagonetke (glavolomke). Uodite da u ovom sluaaju problem nije postav-ljen kao problem algebre sudova i uz odredenu domi5ljatost on se moZe rijeiiti ibez poznavanja ovog raiuna. Medutim, ukoliko se on modelira pomoiu algebresudova vidi se da se u tom slutaju moie rje3avati na jednostavniji natin.Zadatak2.l7. Izrazite NAND i NOR pomoiu - i V(ili pomo6u - i ^).Primjer 2.36. (Preuzeto iz [16]) Andrija, Boris i Cilika svaki dan u restoranujedu petenku ili Sunku. Kod narudZbe jela drZe se sljede6ih pravila

1. Ako Andrija naruti iunku, onda Boris naruti petenku.

2. Sunku narute Andrija ili Cilika, ali ne oba.

3. Boris i Cilika nejedu istovremeno pefenke.

Tko je danas mogao jesti petenku, a juter Sunku?

Rje5enje. Defi nirajmo sudove:A: 'Andrija je danas narutio 5unku",B: "Boris je danas narutio 5unhu",C: "Cilika je danas naruiila iunku",Zapiiimo uvjete 1,2 i 3 iz zadatka uz upotrebu Sto manje sudova.

1. -A= A

2. -.l.:>('.3. - B',/ (',.

Formirajmo funkciju koja opisuje problem.

F (--1.r.(') (-a ; B) ,'(.1 .= a.r) ,^(B\.'a-r) .

Sastavljamo semantitku tablicu za danu funkcijn.D",(' 1.1 1r) .. ( i..) a') .. iB r. l

1 1 1 11

1

0111

0

00001

01

0

1

1

1

0000

001

100

01

01

01

0

1

0101

01

1

011010

011

1

11

1

Formule algebre sudova

Iz ove tablice vidi se da je sloieni sud u kojem su povezani svi uvjeti koji se poltuju kodslaganja jelovnika istinit samo u slutaju kad je sud A laZan, a sud C istinit, tj. kad Andrijajede 5unku, a Cilika petenku (pa tako i danas). Samo Boris moZe biratijelo.

2.4.2 LogitkrsklopoviVidjeli smo kako se ispravnost zakljuiivanja u kojem se koriste sudovi moZe moZeformalno ispitivati kori5tenjem algebre sudova. Postavljalo se pitanje da li se pos-tupci koji se pri tom koriste mogu prevesti u oblik koji bi omogudio da ih se pro-vodi pomoiu odgovarajuieg stroja. Pokazati iemo koncept realizacUe osnormihlogitkih operacija na temelju kojeg 6e biti razumljivo kako u biti djeluje ratunalo.Idejaje ta da se svakoj operaciji algebre sudova pridruZuje jedan elektri[ni sklopkoji sadrii toliko prekidata koliko sudova sadrZi ta operacija. Svakom sudu pri-druZuje se jedan prekidat. Svaki prekidai ima dva stanja koja se interpretirajukao 0 i 1. Ukoliko je prekidat u stanju 0, smatra se da on ne "propuSta" struju(ukoliko bi u strujni kug s prekidatem u tom poloZaju uklopili iarulju ona ne bisvijetlila). Ukoliko je prekidat u poloZaju 1, on propubta struju. Realizirati odre-denu funkciju algebre sudova znati dizajnirati tako povezan skup prekidada koji(e ra izlazu "davati struju" ukoliko za wijednosti sudova pridruZenih stanjimaprekidata funkcija ima wijednost 1. Naravno, ovo je obja5njenje samo osnovnogprincipa djelovanja ratunala. Za potpunije razumijevanje njegovog funkcionira-nja potrebno je jo5 poznavati temelje teorije algoritama.Neka je

€simbol za prekidad koji je spojen u strujni krug tako da kroz njega prolazi struja,a {I)-simbol za prekidai koji je tako spojen u strujni krug da koz njega ne prolazistruja. Sudu z pridruiuje se prekidat--o-i jasno je da ukoliko wijedi r - 1 onda je taj prekidat u strujni krug uklopljenprema shemi 1, i respektivno za u : 0 prema shemi 2. Na slijedeioj slici prikazanisu elektritni sklopovi pomo6u kojih se mogu realizirati osnovne operacije algebresudova i odgovarajudi sugestivni simboli za te sklopove. Napominjemo da seu dizajniranju logitkih sklopova koriste standardizirani simboli za te osnovnelogitke elemente.

D>l=

31

"ne"

Formule algebre sudova

Kod kreiranja logitkog elementa za zadanu funkciju algebre sudova treba tu funk-ciju prikazati formulom koja sadrZi samo osnovne operacije algebre sudova (naj-bolje disjunktivnom normalnom formom), zatim tu formulu minimizirati i ko-naino skicirati log itki elemenr.Primjer 2.37. Ziri ima tri ilana koji odluke izglasavaju veiinom glasova. Nacr-tajmo sklop s tri prekidaia koji omoguiuje tajno glasanje.

Rjeienje. Svaki od prekidata moZemo smatrati jednim varijabilnim sudom koji moZepoprimiti vrijednost 0 ili 1. Oznatimo li prekidate s rr. 1., i c a s ( i(a . b. c) funkciju koja od'govaraju6oj kombinaciji vrijednosti tih prekidata pridruZuje rezultat glasanja, ta funkcijaje zadana tablicom

011010001000

Formira li se disjunktivna normalna forma ove funkcije i zatim minimizira, dobije seformula {a A l, v' .)) v (ir rr r:). Logitki element za ovu formulu je

fPrimjer 2.38. Nacrtajmo logitki element za implikaciju.

RjeSenje. Poznato nam je da vritcdi a -+ b - i ti /r. Na sljedeioj slici je pripadni logitkisklop.

IL

h

Primjer 2,39, Nacrtajmo logitki element za funkciju algebre sudova

F(.r. y. z) - (.r v :) + (u A z).

RjeSenje. Semantiika tablica za or,.u funkciju je

l)

110101100

01000101

1000100

x A.A AZ

xi Ly AZ

TAgAZ

D N F (F) - (r A a Az) v (i A y A 2) v (r A y A z). Minimizacija ove formule je formulaF-.:z,q (u v x/). Na slijede6oj slici prikazan je logiEki element za zadanu funkciju

tr

2.5 Predikati

Predikate je u matematiku uveo jedan od utemeljitelja matemaEke logike GottlobFrege, godine 1880.Sudovi nisu dovoljni za izricanje svih tipova wrdnji u matematici. Osim njih umatematici se koriste i drugi tipovi reienica. U tim retenicama iznose se wrdnjeu kojima se jedan i1i viSe elemenata nekog skupa povezuju s nekim svojswom.Glavno svojswo strukture takvih retenicaje to da one sadrie subjekt (element(e)nekog skupa) i predikat (wojswo koje se pridruZuje navedenom elementu(ima)).Zbog toga se takve retenice zovu predikati.

Primjer 2.40. Koje su od sljedetih izjava sudovi?

1. "tl Jagi6 ZMo je u VaraZdinu"

2. "Osoba r ZM u VaraZdinu"

3. "5 je prim broj"

4. "r je prim broj"

5. "Kukot je vili od Jordana"

6. "r je ve(e od g"$t€tra I :'

34 Predikari

RjeSenje. Reienice 1, 3 i 5 su sudovi. Oni koji poznaju hrvarsku knjiZevnost znaju i toda.je prva retenica istinit sud, a oni koji znaju neSto o koiarci znaju da je peta retenicaistinit sud. tinjenica daje trcia rcicnica istinit sud spada u op6u kulturu. Druga i ietvrtaretenica imaju zajednitko svojstvo da iznose wrdnje koje se odnose na nepoznatu veli-iinr: .r' i te retenice postaju sudovi ukoliko se odrede te nepoznate veliiine. Posljednjaretenica sadrZi iak dvije takve velitine. Takve reienice, koje sadrZe tvrdnje o nepozna-tim veliiinama, i koje postaju sudovi kada se odrede (specificiraju) te nepoznate velitine,zovu se predikati. Pri tom se joi kaZe da je npr. druga reienica predikat s.jednom vari-jablom, a posljednja retenica je predikat s dvije varijable. Za onu vrijednost od .r' uvrita-vanjem koje predikat 1'l.rlpostaje istinit sud kaiemo da zadovoljava predikat. Ukolikouvritavanjem neke vrijednosti za.r u predikat dobijemo laZan sud, kaZe se da ga ta vri-jednost ne zadovoljava. Tako npr ,i zadovoljava predikat Pr lirr(.r)::".r'je prim broj",a bro.ievi 1 i I8a ne zadovoljavaju. Slitno tome predikat > (.r.u): ".1 je ve6e od y"zadovoljava par (5.1l a ne zadovoljava ga par (1.;). l

Kod rada s predikatima sluiimo se oznakama koje moZemo sami uvesti, npr.VaraZdin(.r'):: ".r'je Zivio ri Varaidinu", pa je V(V Jagii):: "V Jagi6 je iivio uVaraZdinu". Nadalje, stavimo li -1r (.r:. l): ".r: je vi5i od i/", tada jeK(Kukot, Jordan):- "Kukot je vi5i od Jordana".U razliiitim podrutjima matematike koriste se standardne oznake za neke predikate koji se de5te javljaju. Takve oznake su npr. <. :'. -. {. } dok se u geometrijikoriste .-L. = Poznavanje ovih oznaka omoguiuje nam da Sestu retenicu izprethodnog primjera jednostavnije zapiBemo kao .r' > 17.

Zadarak 2.78. Na koje se geometrijske pojmove odnose predikati .,. =? Nacrtajteskice na kojima se pojmovi a i b odnose tako da predikati (rr.l), L (rr.D) i = (rr.L)postanu istiniti sudovi.

lnformatiiaru je od posebnog interesa kako ispitati da li elementi nekog skupaimaju odredeno svojsrvo (npr. tko je sve od studenata odredenog godista poloZio ispit iz matematike?). Taj je problem povezan sa zapisivanjem predikata.Skup elemenata na koje se odnosi zadani predikat 1'zove se univerzum raz-matranja L'. Taj skup za neke predikate nije potrebno posebno odrediti i pritom se podrazumijeva da se radi o najop6enitUem skupu na koji se promatranipredikat moZe primjeniti. Ukoliko pak se promatrano svojstvo koje se opisujepredikatom ispituje na odredenom podskupu nekog veieg skupa potrebno ga jeodrediti. Npr., ukoliko se govori o predikatu Prirn(.r:) onda se podrazr-lmijevada ima smisla proutavati istinitost sudova koji se formiraju tako da se za x uzi-maju prirodni brojevi. Ukoliko se u prouiavanju ovog svojstva ogranitimo naprirodne brojcve manje od 10, onda je potrebno naglasiti da je univerzum raz-matranja 1' - {.r' r' a N A.r < 1t)}. Predikat se zapisuje pomodu tablice u kojojse elementima iz univerzuma razmatranja pridruZuje istinitost suda koji se do-bije uvrStavanjem vrijednosti varijable u predikat. Za tablicu predikata testo sekoristi i pojam matrica predikata.

Predikati 35

Primjer 2.41. Napiiimo tablicu predikata za predikat Prim(r):-"x je prim broj"akoje univerzum razmatranja U - {, lzeNAz<10}.Rje5enje. Tablica predikata:

r ltlz 314 s 617 819ffil o

!Primjer 2,42. ZapiSimo predikat > (r,y) '.-"r ) U" ako je univerzum razmatra-rfaU : {(r,s) | r,s e N,rz,E < 8}

Rjeienje. Ovdje se radi o predikatu s dvije varijable pa trebamo drugaiiju tablicu.

r>a t23 4 5 6 7

n

Neka je P(21,22,...,r") predikat s n varijabli. S obzirom na to koje mogudnostizadovoljavanja ovog predikata postoje koristi se sljedeia terminologija:

. Akoje P(ry,r2,...,r,) zadovoljen za svaki izbor n-torke argumenata iz uni-verzuma razmatranja U, kaZe se da taj predikat wijedi u Ll.

. Ako je P(r1,r2,..., r,) zadovoljen za neku n-torku argumenata iz univer-zuma razmatranj a U , kale se da je taj predikat zadovoljiv u Lr

. Ako ne postoji n-torka argumenata iz univerzuma razmatranja U koja za-dovoljava P(r1, 12, ..., z,n) , kale se da taj predikat nije zadovoljiv u t/.

OganiEavanje varijabli u predikatu. Da bi se od predikata dobio sud nuZnoje odrediti ili ogranititi wijednost(i) varijable(i) koje sadrii predikat. To se moZenapraviti na dva osnolTra naiina:

pridruiivanjem odrealene wijednosti varijablama,

upotrebom kvantifi katora.

1

234567

0000000100000011000001110000111100011111001111110

1.

2.

Prvi naiin smo upoznali tokom dosadalnjeg obja5njavanja pojma predikata.

36 Predik ati

2.5.1 KvantifikatoriUniverzalni kvantifi kator

U matematici se testo koriste retenice tipa "Za svaki z vrijedi twdnja P(r)" priiemu je P(r) zadani predikat. Ova fraza kra6e se piSe "VrP(z)". Znak V zovese univerzalni kvantifikator, a ovisno o konstrukciji retenice on se iita "za svaki","za sve", "za proizvoljan" i sl. Buduti da je upotrebom ovog znaka odredeno nakoje wijednosti od z se odnosi tvrdnja iz predikata P(r), reienica VrP(r) je sudza koji vrijedi:

Definicija 2.43. SudYr P(r') je istinit onda i samo onda ako P(t:) vrijediuU.

Zad,atak 2.79. Odredite istinitost sljede6ih sudova zaU :2. Za sudove koji nisu istinitiu tom univerzumu razmatranja, odredite najmanji univerzum razmatranja u kojem suistiniti.

1. Vrlr<z+113. VrVglr+y>r]

Egzistencijalni kvantifi kator

Reienice tipa "Za neki z vrijedi nrdnja P(z)", tj. retenice koje su logiiki ekviva-lentne s refenicom "postoji takav r daje P(z) istinit sud" mogu se kra6e zapisatikao "!rP(r)". Znak 1 zove se egzistencijalni kvantifikator i iita se "za neki","postoji takav", "za najmanje jedan".

Definicija 2.44. Sud =rP(r) je istinit onda i samo onda ako je P(r') zadowljiv u

U.

Postoji i varijacija ovog kvantifikatora kojom se rzrai.ava wrdnja da P(z) vrijedisamo zajednu vrijednost od r. Oznaka za taj kvantifikator je -!, a ftaza 1lr titase "postoji 1 i samo 1 2", "postoji jedinstven r" i s1.

Zadatak 2,2O. Odredite istinitost sljedetih sudova zaU : Z. Za sudove koji nisu istinitiu tom univerzumu razmatranja, odredite najmanji univerzum razmatranja u kojem suistiniti.

1. Jrlr<r+113. lrlr=z+11q lrrl.- r..l

2. Vzlr:51

2.3xlr-5)4. !!r fr - 5l

Veza izmetlu kvantifikatora i loeitkih operacija

Da bi se u odredenom univerzumu razmatranja ispitala istinitost sudova VjrP(r),-rP(g) i I!zP(z) potrebno je ove sudove zapisati u obliku na koji je moguteprimjeniti poznati postupak ispitivanja istinitosti sloienih sudova s obzirom na

Predikati

istinitosne vrijednosti sudova od kojih su sastavljeni. Ako je zadan predikat p (.r)i pripadni univerzum razmarranja [.r(.r:), tada su sljedeii sudovi ekvivalentni:

Negacija, predikat i kvantifikatorPrimjer 2.45. Sljedeie sudove-retenice

a) "I']je istinit za svaki r'"c) "Pje laian za svaki.ir"

pridruZimo simboliikim zapisima:f . i.r'P (r)3. V.r'-P (;r)s. - (VlP (.r))7. - lnL'-P (r))

(1'(.r1) a P(r'2),r ...,r. P(.r,,,))(P(.r'] )v P(:2)v... v P(.r:,,))((l'(r'1),r -P(;r',:) A ... ,r -P(:r.,,))v

v(-P(.r1) ^

P(12) ^

... ^ -P(r,,)) v

v(-P(.r1) a -P(r':) ,r .. ,r P(.r,,)))

b) "P je istinit za neki.r:"d) "1'je laZan za neki.r'"

2. -:r: P ( t:)4. -.r: .f' (.r)6. - (l.r-l'(.r))8. - (l.r-P (.r)) .

Rje5enje. 7.a,2.b,3.c,4.d,5. d,6. c,7. b, B, a I

-koliko wrdnja sadrZi predikat, negaciju i kvantifikator vrijede sljede6e ekviva.: ncije

-V:'P(.r') -> -rr-P(.2 )

--.rP(.r) -' V.r-P(,r')

?onekad se tuju retenice koje zbunjuju zbog kombinacija negacije i kvantifikatora. rje se javljaju u njima.Primjer 2.46. Relenicu "Nije istina da neki misle da general nije kiv" zapi5ite: rmoiu predikata 1( (:r) :"r: misli da je general kriv", negacije i kvantifikatora. Za-:-n na temelju svojstava odnosa negacije i kvantifikatora zamijenite tu retenicu.inostavnijom.)':ie istina da neki misle da general nije kriv".- -(i.r-Ii(.r)) <+ -(-Vr.Ii(.i )) <+

lir.r) * "Svi misle da je general kriv"Zadatak 2.21. ZapiSite sljedeie retenice pomoiu kvantifikatora i predikata, te odredite

:rovu istinitost.

t. )'trc postoji najveii realan broj.

2. Svi pozitivni realni brojevi imaju realni drugi korijen.

38 Predikati

3. Postoji jedinswena suma svaka dva realna broja.

4. Za svaks realan broj postoji neki drugi realan broj koji je od prvog veii.

5. Postoji realan broj kojije ve6i od svakog drugog realnog broja.

Zbog svojstava odnosa izmedu kvantifikatora i logiikih operacija twdnje koje sa-drZe predikate, kvantifikatore i logitke operac|e mogu se zapisati u razlititimlogitki ekvivalentnim oblicima. Osim ekvivalencija koje se odnose na negacUu ikvantifikatore, koje smo ved pokazali, vrijede i sljedete relacije (nisu sve ekviva-lencije):

(VzP(z) ^

vrQ(r)) <+ Vz(P(r) ,r Q(r))(VrP(r')vvtQ@)) + Vz(P(r) v Q(z))

lz(P(z) ,t Q(r)) + (!rP(r) n =rQ@))(lzP(r) v =rQ@)) e :r(P(e)vQ(r))

Sudovi s viie kvantifikatora

Ukoliko je zadan predikat s viSe varijabli, mogu6e je istowemeno viSe njih ogra-nititi kvantifikatorima i dobiti sud. Pri tom treba paziti na to kojim se redosli-jedom piSu kvantifikatori jer to utjete na smisao retenice kojom se izrite sud,odnosno na njegovu logilku wijednost. Bez detaljnijeg proutavanja zakonitostiveza izmeclu razliEitih kombinacija kvantifikatora i smisla sudova u kojima se tekombinacije koriste, na sljedeiim primjerima se pokazuje da zamjene redoslijedapisanja kvantifikatora i varijabli bitno mijenjaju smisao i istinitost suda u kojemse javljaju.

Zadatak 2.22. Nekaje P(r.y):="Osoba r u braku je s osobom 9". Neka je U nepra-zan skup bradnih parova. Izrazite rijetima sudove a) VrlyP (r.y) i b) SyVrP (r, g), teodredite njihovu istinitost.

Zadatak 2.23. Nekaje Lr: Z. Odredite istinitost sljededih sudova

a) Yxlylx +y - 0l b) lYVrlr+s:01c) YrYyllz lr + Y - z) d) llz lr'6: 0l

e) !!rVs/ [z.y - Q] fl V,1l!a @ y:0)Dopu5tene su sljedeie zamjene kombinacija kvantifikatora:

VrYy +;+ VgYr1t-y <+ )y-t

Dodatak

2.6 Dodatak

Projekt 2.1. Augustus De MorganProjekt 2,2. Osnovni pojmovi i definicije operacija neizrazite (fuzzy) logike.

zadarak 2.24. Koje od sljedeiih izjava predstavljaju sudove?

a) Darwinizam je trenutno znansweno prihvaiena teorija evolucije ("natura non facitsaltum").

b) Eksponencijalna spirala najteS6i je matematitki oblik u prirodi.c) Evolucijsko stablo je binarno stablo.

d) "Blended learning" je kombinacija e-learninga i tradicionalnog podutavanja.

Zadatak 2.25. Napisite tablice istinitosti za sljedede sudove

a) .r: + - (u V.r) .

b) (r r,r) v(.-+r)Zad,atak 2.26. PokaZite da su sljede6e formule semantitki jednake

39

t' (r'. y. .: )

G (.r, y.:)((.r + y) ,r (.r + z))(:r'+(uAu)).

Zad^tak 2.27 .

clj a?

zadatak 2.28.

Mole li formula sjednom varijablom biti kontradikcija, odnosno tautolo-

Minimizirajte i nacrtajte logitki elemement funkcije algebre sudova

F lr,y. z): ((.r-.r :) t+ (y + .r)) v (: v (: ^ r))

.

Zadatak 2.29. Negirajte sljedeie reienrce.

1. Svi labudovi su bijeli.2. Ne postoji najveii broj.

3. NaS je gradonatelnik dobar tovjek i loi polititar.

4. Ivo govori engleski i francuski.

Zadatak 2.30. NapiSite obrat po kontrapoziciji sljededih wrdnji.

1. Ako Zivotinja ima rogove tada ona nije ptica.

2. Utit 6u matematiku ako mi se za to plati.

40 Zadaci za ponavljanle

3. Ako mislim onda postojim.

Zadatak 2.31. Koje su od sljedeiih tvrdnji istinite? ObrazloZite zaSto.a) V.r (.r: i ) .r 1 1) (.r e lR),.\ ,(,2 L) .),\r.-al_' \' _ - /'" _-',

b) l!r'(.r * : : 1.r' . ll) (.r e N)d) rr (.r'2 : :) (.r e Q)

e) Ve'lly (,r: r':) (., e l\)Zadatak 2.32, Izradite semantiike tablice za formule za deduktivno zakljutivanje i uvje-rite se da su to tautologiie.Zadatak 2.33. Provje te da li je funkcija (- (x A ,) <.+.r)-+y tautoloSija.Zad.atak 2.34. Ispitajte da li su funkcije I'r - (.]" V .) -+ Q: .+ !l) 1 1",2 - lt \,/ !r) ""t

(.u ^

a)semantifki jednake (tj. imaju li one jednake vrijednosti za odgovaraju6e vrijednosti vari-iabli). Da li su one sintaktitki jednake (tj. moZe Ii se jedna svesti na drugu)?Zadatak 2.35. Odredite disjunktivnu normalnu formu funkcije

((, v u) ^.) .+: (, t, t:).

Zatim minimizirajte dobivenu formu i nacrtajte logitki element.Zadatak 2.36. Neka je t,r - {lvo(/), JoZa(J), Ana(.-1), Mato(i\'1)}, a predikatOtac(.r.r) :-"r, je otac od r:". Znajuii da je ovaj predikat zadovoljen samo za parove( 1 . ,1), i .1. ,1) i (./. ,i1) odredite istinitost sljedeiih sudova:

1. ll Otac(r'. .J )

2. -l.rOtac(r'../)

3. VrOtac(.r'.,/)4. :riyOtac(:r'. y)

5. rlvrOtac(:r'. y)

6. Ve ixOtac(l:. x)

7. !.qV.r'Otac(J:. u)

Zadatak 2.37 . Zadan je predikat 1'(.r. y. z) : x !/ : z. Napilite pomoiu ovog predikatai kvantifikatora sljedeie sudove

1. Za svaki .r i y postoji : takav da je .r u : ..2. Za svaki .r' i u postoji : takav da je x . - !1.

3. Postoii jedan i samo jedan l takav da za svaki y vrijedi y i : y.

4, Kad se 0 oduzme od bilo kojeg cijelog broja rezultatje taj cijeli broj.

"Umijece postavljanja pravih pitanja i problema u mqtemq-tici treba vrednovati vile nego njihovo rjelatanje"Georg Cantorl

3.1 SkupoviUtemeljitelj teorije skupova je njemaiki matematiiar Cantor. Pojam skupa spadau osnovne matematitke pojmove i u skladu s tim ne definira se. Skup 6ine ele-menti koji su po nekom kriteriju povezani u cjelinu. Izuzetakje prazan skup kojinema elemenata, za koji se upotrebljava standardna oznaka A. Skup je zadan(odreclen) ako su poznati svi njegovi elementi.

3.1.1 Zadavanje skupa

Skupove 6emo oznaiavati velikim slovima, a njihove elemente malim. Ako skup.{ sadrZi element a, to zapisujemo u obliku a € A . Ako b nije element skupa ,4 tose zapisuje kao b ( A. Skup je zadan ako se zna od kojih se elemenata sastoji, amoZe se zadati na dva natina:

7. nabrajanjem elemenata skupaa) A: {3, a, 5} ,

b)N:{1,2,3...},c) C={a, b, >} .

Ovaj natin zadavanja skupova je pogodan samo kada se radi o skupovimakoji nemaju velik broj elemenata ili o skupovima kod kojih je jasno od kojihse elemenata sastde ukoliko ispiSemo nekoliko njegovih elemenata (kaokod skupa N).

lGeorg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor(1845-1918) - njemaiki matematitar utemeljitelj te-erije skupova sa znatajnim doprinosima teoriji brojeva

,/

4r

42 Skupovi

2. definiranjem svojstva e\emenata koje odreduje pripadnost skupu pomoiu pre-dikataOp6i oblik ovako zadanog skupa je S - {z P(.r)} , Sto znati da skup Stine oni elementi koji zadovoljavaju predikat P(.r').

Primjer 3.1.

a) B={;r €N 3<.r:<(Ji,

Zadatak 3.1. Koje su od sljededih tvrdnji istinite, ako se odnose na elemente skupovadefiniranih u prethodnom primjeru?

a)2.8, b)3€8, c)$(8, d) /2.Q.Sa zadavanjem (odredivanjem) skupova bilo je dosta nejasnoia. Pristup Fregeabioje da svako svojsrvo definira neki skup. Pojedini matemati6ari uoiili su da tajpristup dovodi do paradoksa, tj. da se moZe opisati skup i specificirati objekt zakoji se ne moZe uwrditi da li pripada ili ne pripada tom skupu. Tako je Cantorprimijetio 7897. da postoji paradoks skupa svih skupova tija je su5tina ta daon ne sadrZi svoj partitivan skup. Nadalje, Russell2 je dao nekoliko zanimljivihparadoksa od kojih spominjemo paradoks o brijatu koji brije sve one i samo onesuseljane koji ne briju sami sebe. Da Ii brijat brije sam sebe? Ako brijat brije samsebe, onda on radi ono 5to ne bi smio (er mu u opisu radnog mjesta stoji da brijesamo one koji se sami ne briju). Ako pak brijat ne brije sam sebe, morao bi touraditi (er brijat brije one koji se sami ne briju).Na slitnom principu konstruiranje i paradoks s gradonatelnikom. U drZavi Man-noury ima svaki grad svog gradonatelnika i nikoja dva grada nemaju istog gra-donadelnika. Zakon propisuje da u gradu Arcadia stanuju oni gradonatelnici kojine stanuju u gradu u kojem su gradonaielnici. Gdje stanuje gradonatelnik Ar-cadie? Ako gradonatelnik Arcadije ne stanuje u tom gradu, on kli zakon. Akopak stanuje u Arcadiji onda je stanovnik grada kojem je gradonadelnik, pa moraiseliti (ili dati ostavku).Dak1e, Fregeov princip, da svako svojstvo odrecluje neki skup, ne vrijedi. Kodzadavanja skupova potrebno je, uwrdio je Zermelo3, uvaZiti dodatan zahtjev dase elementi koji odreduju skup uzimaju iz nekog univerzalnog skupa U na kojemje definirano svojstvo P(:r:). U konkretnim sluEajevima desto je jasno o kojem seuniverzalnom skupu radi pa se on i ne spominje eksplicitno.Nabrojimo specijalne skupove brojeva koje iesto koristimo kao univerzalne sku-pove.

2Beftrand Russell (7872 t97O) poznati matematiiar, logitar filozof, polititar i miroworac,dobitnik Nobelove nagrade za lorjiZevnost

3Ernst Friedrich Zermelo (1871-1953) - njemaiki matematitar sa znaiajnim doprinosom u te-oriji skupova

o)A:{;,,.r,.N}.

I

Skupovi

N - Il 9 e 1

77-L 1nlr IQ: {T *," e Z,n l0}]R

C : {z + yi r,y eR,i2 : 1}

SKUPOVI BROJEVAskup prirodnih brojevaskup cijelih brojevaskup racionalnih brojevaskup realnih brojeva - brojevi pridruienitotkama brojevnog pravcaskup kompleksnih brojeva

43

3.1.2 Relacije metlu skupovima

Relacije (odnose) medu skupovima definirat iemo pomo6u predikata i logitkihoperacija. Evo osnovnih relacija medu skupovima.

Relacija sadrZavanja

Skup A je podskup skupa B ukoliko su svi elementi skupa A ujedno i elementiskupa B.

AcB++(VteA.+r.eB).

,1 c B titamo "Skup ,,1 sadrZan je u skupu 8".Postoji samo jedan prazan skup, pa sve prazne skupove smatramo jednakima. Natemelju ove relacije definira se jednakost medu skupovima

Jednakost skupova

Za dva skupa kaZemo da su jednaka ukoliko sadrie iste elemente.

A-B<)(AcB^BCA).

Pravi podskup

Skup A je pravi podskup od B ako je A podskup od B i B sadrii barem jedanelement koji nije sadrian u A.

AcBe(AcB^A+B).,-l c B titamo "Skup ,{ je pravi podskup skupa 8".Vrijedi takocler

A c B <+ (A c B A (1r e 8,, 4 A))

Propozicija 3.2. Za svaki skup A vrijedi Ac AiA c A.

Zadatak 3.2 ("Much ado about nothing"). Da li su todne sljede6e twdnje?

(3.1)

(3.2)

44 Skupovi

a) {0} e {{0}},c) {0} q {{0}}.

b) 0 q {{0}},(Preuzeto iz [8]).Za skupove brojeva wijedi sljedeta relacija

NCZCQCRCC.

3.1.3 Partitivni skup

Za zadani skup ,4 moZemo promatrati sve njegove podskupove, Taj skup zovemopartitivnim skupom od A.

Definicija 3.3. Partitivni skup je skup svih podskupova zadanog skupq tj.

P(A)-{x:XcA}. (3.3)

Da li skup svih skupova sadrZi svoj partitil'ni skup? Primijetite da partitivni skupsvakog skupa A sadrli 0 i sam taj skup A. Dakle, partitivni skup je uvijek nepra-zan skup.

Primjer 3.4. Neka je A : {a.,b,c}. Odredimo P (A).

Rje5enje. e@):{tl,\a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} tr

Zadatak 3.3. Ako je broj elemenata skupa A, k(A) : n, dokaZite da je k (P (A)) : 2".

Teorem 3.5. Za sve skupove A i B vrijedi

(a) AcB<+P(A)qP@)(b) P(A).P(B) - P(An B)

(c) P(A)uP(B):P(Ar B)

Dokaz. DokaLimo tvrdnju (a). Primijetite da twdnja ima "dva smjera", odnosnotwdi da je iskaz ,{ C B ekvivalentan iskazu P(,.4) c P(B).DokaZimo prvo smjer A c B .-.? P(A) e P(B). Pretpostavljamo da je A c B,a trebamo zakljuiiti da je onda P (A) a P(B). U tu svrhu uzmimom da je skupX eP(A) iz tega slijedi da je X c A. Buduti da je,4 c B znamo da je X c B,pa je X e P(B). Time je ovaj smjer dokazan.DokaZimo sada suprotni smjer, tj. da iz pretpostavke P(A) g P(B) slijedi da jeA c B. Sada iz A e P(A) znamo da je A eP(B), pa zakijutujemo da je A c B.Preostale dvije twdnje dokaiite za vleibt. tr

Skupovi 45

3.1.4. Operacije sa skupovima

Jedan od nadina da se uvede pojam skupa i upoznaju osnovne operacije i njihovasvojstva je njihova grafitka interpretacija pomo6u Vennovih4 dijagrama. Taj pris-tup je karakteristitan za prvo upoznavanje s ovim pojmovima, a1i unatot pred-nostima vizualizacije pogodan je samo za usvajanje elementarnih tinjenica izovog podrutja. Za nale potrebe pogodnijije formalniji pristup u prezentaciji ovihpojmova i njihovih svojstava. Evo osnovnih operacija medu skupovima:

Unija

Unija skupova A i B je skup svih elemenata koji pripadaju skupu ,4 ili B iti iskupu .4 i skupu B. Simbolitki:

AUB:{t:reAvrcB}.A U B titamo "A unija -B". Evo prikaza unije skupova pomoiu Vennovog dija-grama.

Presjek

Presjek skupova ,4 i B je skup svih elemenata koji pripadaju skupu A i skupu B.SimboliEki:

Aa B - {n: r e A Ar e B} .

-{nB titamo ".4 presjek 8". Na sljededoj slici prikazan je presjek skupova pomoduVennovih dijagrama.

oJohn Venn (1834-\923) - engleski matematita! sa znatajnim doprinosima u logici i teorijiijerojamosti

46 Skupovi

Definiciie unije i presjeka skupova moZemo proliriti na vi5e od dva skupa. Takoza uniju wijedi

U do: lrU A2U...t_) An: {rlr e A1v :L e Any ...v n e An}

a za presjek

nA : ,qrn A2n...rt An: {n u e A1 A r e A2 A... Ar e A*}

Razlika

U razlici skupova Ai B ralaze se oni elementi skupa -4 koji istodobno nisu ele-menti skupa B. Simbolitki:

A\B: {rtr€AAr#B}.,4 \ B titamo "A razlika B" ili "Abez B". Evo pikaza razllke skupova pomoiuVennovog dijagrama.

Za skupove A i B kalemo da su disjunktni ako nemaju zajedniEkih elemenatai. An B :4.

Komplement

Ako je dan skup A njegov se komplement sastoji od svih elemenata iz univerzal-nog skupa U, koji nisu el. skupa ,4. Simbolibki:

CuB : {x,:reUArlB}: U\B

C6B titamo "komplement skupa B s obzirom na skup I/" ili kraie "komplementod B s obzirom na [/"

Skupovi

Ako wijedi A c B, komplement skupa B s obzirom na skup ,4 jednak je razliciovih skupova. Ako je A univerzalni skup, CaB se oznaiava jednostar.nije kaoC(B). Primijetite da je operacija komplementa na skupovima korespond relacijanegacije kod sudova.zadatak 3.4. Nacrtajte Vennove dijagrame za operacije medu skupovima.

Svojstva skupovskih operacija:

1. Zakon idempotencijeAvA: A,AaA: A,

2. Komutativnost

47

3. Asocijativnost

AUBANB

Au (Bu C)An(Bnc)

C (An B)c (Au B)

BU A,BNA

(Ar B)uC,(AoB)oA

(,4u8) n(Auc),(A. B)u (AoC)

c(A)ac(B),c (A)nc (B)

4. Distributirrnost

Au (B nc)Aet (B u C)

5. De Morganovi zakoni

6. Zakon involucijec (c (A)): A.

4B Skupovi

7 . Zakon identitete

.,1 u0:.4.-.1 n(4-0AUU-U.A.tLi-A

Nabrojena svojsrva dokazuju se direktno ili pomotu tablice pripadnosti. U do-kazivanju jednakosti skupova zadanih razlititim formulama korisno je skiciratiVennove dijagrame za te skupove, ali te skice same po sebi ne treba prihvaiatikao dokaz.Primjer 3.6. Dokaiimo C (.A. B): a'(.1) u a'(B).

Direktan dokaz. Kod ovog dokaza koristimo definiciju jednakosti skupova, defi-niciju skupovskih operacija i svojswa logitkih operacija. Su5tina dokaza je da sepretpostavi da je neki element sadrZan u skupu s jedne strane jednakosti i da sedokaZe da u tom slutaju pripada i skupu s druge strane jednakosti.

.L.C(Aar)<+-(./eJnB) <+-(:r'€ AAr.€ B) <+

<+ (-(.r e .1) v -(r € B)) <+ (.r (.4v.t: (D1<+<+r € C(,{) ''t r e C (.81) <+.r € C (A) rC (R).

l-Dokaz pomo(u tablice pripadnosti. Dokaz se temelji na podjeli na slutajeve i zasvaki od njih pokazujemo da wrdnja vrijedi. Iz Vennovog dijagrama je otito daza svaka dva skupa ,4 i B postoje 1 slutaja pripadnosti elementa :r tim skupovima.Tosu sluiajevi: (1) r: €,1 ir e B; (2).r e Ai.r / B; (3) r (.{ ir e B; (4)t'lAirll).

Te slutajeve zapisujemo u tablicu pripadnosti na isti natin kao kod tablice istini-tosti kod sudova.

A B A.B C (Ao B) c(.i) C(B) C(A).C(B\t f + 4 +

e + f 4 ta e €+ a+ + a €€ e

Ll

t

Skupovi 49

Uotite slitnost izmeclu ove tablice i semantiike tablice pomotu koje se ispitujeistinitost formule algebre sudova 7 v B.Primjer 3.7. Nacrtajmo Vennove dijagrame za za skupove C (Ao B) i C (A) UC (B).RjeSenje.

Zadatak 3.5. Simetritnu razliku dva skupa definiramo na dva natina

ALB : (AuB)\(AnB) ,

AAB : (A\B)U(B\A) .

Evo Vennovog dijagrama:

DokaZite na oba natina (direktni dokaz i tablica pripadnosti) da su navedene definicijeekvivalentne ,

Zadatak 3.6. DokaZite daje simetriina razlika skupova asocijatir.na operacija.zadatak 3.7. Naclite C(,4) (U=R) ako je A=( oo, 3l u (2,m) .

Zadatak 3.8. Odredite skupove A i B ako je poznato:

A.B - {7,2,2,4, 5,6, 2,8} ,

A.B:{7,2,4,6},A \ {2,4, 5} : {1, 6} ,

B \ {1,2,3,4} - {6,7,8}.

Zadatak 3.9. fujeiite prethodni zadatak tako da posljednji uvjet zamijenite saB \ {1,2,3,4, 5} : {6, 7, 8}.

tr

50 Skupovi

Definicija 3.8. Neka je A skup. Particijom skupa A zovemo skup {,{; : I e 1}nepraznth pod,kupova od A takvih da vrijedi:

(a) [_.J,., .4; - A(b) A;n Ai-Aako jei + jni.je I.

Prvi uvjet govori da unija svih tlanova particije daje titavi skup -,1, dok se udrugom uvjetu traii da tlanovi particue budu medusobno u parovima disjunktni.Pojam particije skupa povezat 6emo u daljnjem tekstu sa specijalnom vrstom re-Iacija relacijamaekvivalencije.

3.1.5 Kartezijev produkt skupovaiesto je potrebno modelirati veze izmedu elemenata odredenog skupa ili raz-liEitih skupova. Taj problem je posebno vaL.an za informatitare jer je suStinanjihovog posla kreiranje novih informacija povezivanjem razlititih podataka kojimogu pripadati istoj bazi ili razliiitim bazama. Zbog toga rrebamo matematitkikoncept za formiranje novih skupova iz postojeiih i urvrclivanje svojstava takoformiranih skupova.

Par i uredeni par

Dvotlani skup {o. b} zove se par. Buduii da je ovo skup vrijedi ia.6i - {r, r}Ovakav skup moie se urediti tako da razlikujemo njegovu prvu i drugu komponentu i u tom slutaju ga zovemo urealenim parom i za njega koristimo oznaku(o. b). Jednakost (a. b) : (b. a) vrijedi samo u slutaju kadaje rr - 6.

Definicija 3.9. Neko su A. B dva neprozna skupa. Kartezijev produkt (direktniprodukt) skupova ,4 i B je skup uredenih parova (x. A)tako da t pripada skupu da y skupu B, tj.

Ar lJ - {(ri.l) :o C A.b€ B}.Kartezijev produkt .4 x ..1 zapisujemo i kao -42 i taj oblik zovemo Kartezijevimkvadratom. Elemente Kartezijevog skupa moZemo prikazati pomoiu rotaka uravnini.Kartezijev produkt skupova moie se proiiriti na vi5e od dva skupa.

Definicija 3.1O. Neko su A1, A2, ..., A,, neprazni skupovi. Kartezijev produkt(direktni produkt) skupova Ay At, . . ., A,, je skup

,11 r,12x...xAn- {(a1.a2.....o,,) :a.ie Ai. i - 1.2,.... n} . (3.4)

Ovaj skup oznaiavamo i s A" . lzraz (o.t. a.2. .... a,, ) zovemo uredenom n-torkomi kod nje je vaian poredak elemenata. Element o; zove se i-ta komponenta n-torke.

Relacije 51

Zadatak 3.10. Neka je A:{ 1.2.3} i B: {a. ir}. Nadite -,1 x BiD t -1.

Ako ste ispravno izradili prethodni zadatak primijetili ste da Kartezijev produktnije komutativna operacija tj. optenito je

AxBTBxA.Zadatak 3.11. 5to predstavljaju sljede6i Kartezijevi produkti i koliko elemenata imaju?

a) pravac x pravac,

b) pravac x kruZnica.

zad.atak 3.72. PrikaZite grafitki ,.1 x B za skupove

a) ,,1 : {1.2.3}, B: 11.3.5},b) .1 - il.3l, rJ - (2.51.

zadatak 3.13. DokaZite da vrijedi -'1 x (, U al) : (t r a) u (.4 x (-).

3.2 Relacije

Buduii da matematiiki pojam relacije, kao i pojam skupa, pripada osnovnimmatematiikim pojmovima, s relacijom se susre6emo iesto u matematici, ali i udrugim znanswenim disciplinama. Istitemo Siroku primjenu pojma relacije uinformatici, gdje se iesto upotrebljavaju specijalne relacije kao ito su relacijeuredaja, relacije ekvivalencije, te funkcije (koje takoder moZemo promatrati kaorelacije). Direktnu primjenu relacija nalazimo kod (relacijskih) baza podataka, otemu viSe moiete proiitati u [18].

3.2.7 Binarne relacijePosebno iemo se baviti binarnim relacijama zbog njihove utestalosti u primjeni.Njih moiemo promatrati kao parove koji zadovoljavaju dvomjesni predikat, kaoito'Je veii od". Naravno, pri tome je potrebno zadati skupove iz kojih se uzimajukomponente uredenih parova. No, nab pristup ovdje bit ie opienit, buduii daiemo relacijom smatrati bilo koji podskup Kartezijevog produkta.

Definicija 3.11. Neko su A, B neprazni skupovi. Svaki podskup p Kartezijevogprodukta A x B zoyemo relacijom na :l \ B.

Zadatak 3.74. Za skupove..l : {rr.l.r:},, : {1.2} napiiite barem dvije relacije na.1 x BidvijenaB r:1.Zadatak 3.15. Ako je tu (J) : nL, k iB) : rr, koliko razliditih binarnih relacija ima naI x B'l'

52 Relacije

Relacije meclu elementima zadanog skupaPosebno su vaZne relacije izmedu elemenata istog skupa, tj. relacije na ,4 x ,4. Uizutavanju tih relacija pomaie moguinost njihovog grafitkog prikazivanja. Pritom se koriste pojmovi: tvor (wh) grafa - to je svaki element skupa A, i luk -svakom paru (o. b) e ,4 x A pridruZen je jedan luk pri iemu se prva komponentapara naziva izlaznim ivorom grafa, a druga komponenta ulaznim 6vorom. Grafrelacije se obiino nacrta tako da se njegovi vrhovi rasporede otprilike kao whovipravilnog mnogokuta, a zatim se lukom poveZu elementi koji su u relaciji. Gra-fovi imaju veliku vrijednost za vrntalizacljts relacija i njihovih svojstava. Brojnemogu6nosti primjene grafova u modeliranju problema u razlititim znansrvenimpodruijima i sasvim konkretnih problema, potakle su razvoj posebne matema-tiike discipline koja se zove teorija grafova. Algebarska reprezentacija svojstavarelacija omogutila je razvoj specijalnih algoritama za ispitivanje razlititih svoj-stava grafova i identificiranje njihovih posebnih dijelova (pojedinih ivorova, pod-skupova tvorova sa specijalnim svojswima, podskupovima lukova sa specijalnimsvojstvima, putevima itd). Poteci razvoja te teorije veiu se uz Euleras i njegovorje5enje problema Setnje po mostovima Konigsberga. Euler je dokazao da nijemoguie ujednom prolazu prijeii sve mostove a da se preko svakog od njih prodesamo jednom. Evo slike mostova koji su povezivali obalu s dvije ade na rijeci uKrinigsbergu, kao i prikaza pomoiu grafa.

,1

Definicija 3.12. Graf relacije p c A x. A je par (A, p) pri [emu je A skup tvorova(vrhova) gra-fa, a p skup lukova (bridova) grafa.

Zadatak 3.16. PrikaZite sljedede relacije pomoiu grafa:

a).4:{1,2.3.a},pcA2,p={(r,e) r je djelitelj od s},b) A- {o.b.c}, pc A2, p{(a.a),(a,c).(b,b),(c,o)}.

3.2,2 Obrat relacije, komplement relacije i dualna relacijaZadanoj relaciji p C ,42 mogu se pridruZiti jo5 neke relacije prema sljedeioj defi-niciji:

'Leonhard Euler (7707-1783) - svestrani svicarski fizitar i matematitar, znaiajno doprinio ge-ometriji, matematitkoj analizl, teodji brojeva i teodji grafova

Relacije 53

Definicija 3.13. Neka je p c -4 .

Obrat p relacije p: la.b') € p ++ (.b. e) e p.Komplement p' relacije p: (a. b) e p' <+ (a.b) 4 p.Dualna relacija p't relacije p: (o.lt) e pd t- (b. q) 4 p.

Primjer 3.14. A - \a,b.cj.p - {(n.i,), (o.c).(b.o).(b,b)}. Odreditepd, p i p'. Obrat relacije odredi se tako da se u parovima koji pripa-daju zadanoj relaciji zamijene prva i druga komponenta, pa imamo 1 :{(a.b),(b rr). (b.6). (c.o)}. Komplement relacije p' odredi se kao razlika ..l r .,t \ p;p' - \(.a.o.). (a.b). (b.r:), (r:.a). (r:. 1). (r:.c)|. Neito teZe je po definiciji formiratidualnu relaciju pd - \Q.a). (o, c). (6, a). (6.c). (c.6).(c.c)). Zbog toga je korisnasljede6a propozicija.

Propozicija 3.15. pd | - rt.Dokaz. Dokalimo prvo 7,'r tt(o.b1 e p't <+ (0. o) 4. p <...+ (.b.o) e p' ++ (t.h) e 1t . aKompletirajte dokaz! Kojim se joi shemama moZe dokazati ova wrdnja?Zadatak 3.77. Rijesite zadatak 1, str.32 u [7].

3.2.3 Svojswa binarnih relacijaNabrojimo jo5 neka vaZnija svojswa binarnih relacija.

Definicija 3.16. Binarna relacija p c A t A je

1. refleksivna ako vrijedi(V;r e A) (:r.:r) e p. (3.5)

2. simetritna ako vriied,i

(Vr. y. e .4) (..r:.u) e p =+ (!t.x) €. p (3.6)

3. tranzitivna ako vrijedi

(Vr,y, z e A) ((.r.e) € p ^(y.z-)

e p1 -- (.x.:) e p. (3.7)

4. irefleksivna ako vrijedi

(V: e A) (r..r') e p". (3.8)

5. antisimetritna ako vrijedi

(.Vr.'y,e A) Q:.r1) e p,t (.u.t) e p.+ .t) -'!). (3.9)

54

6. asimetridna ako vijedi

(Yr,s,e A)(",y) e p+ (y,r) e p',

7. kompletna ako vrijedi

(vir,y c ,,r.r r a)\x,a)" pv \a,x)e p,

8. strogo kompletno ako vrijedi

2.J.4.

(3.10)

(3.11)

(Vr. y e .4) (x. a) e pv (s,.r) c p. (3.12)

3.2.4 Posebne binarne relacije

Postoje relacije koje imaju po nekoliko od nabrojanih svojstava. Za problem ure-divanja skupova posebno su vaine sljedede koje zajednitkim imenom zovemouretlajne relacije.

UREOAJNE RELACIJE1. relacija djelomitrrog (parcijalnog) uredaja: refleksi,rra, antisime-

tritna, tranzitivna;relacija slabog uretlaja: strogo komplema, tranzitivna;relacija kvazi-ureilaja: refleksivn4 tranzitivna.relacija totalnog (linearnog) uretlaja: antisimetritna, strogo kom-pletna, tranzitivna;

Povezanost uredajnih relacija moZe se prikazati slikom

Relacije 55

3.2.5 Relacija ekvivalencijeRelacija je sinonim za odnos. Pojam relacije potreban nam je da bi modeliralirazlitite odnr:se (veze) izmedu elemenata skupova. Iz iskuswa znamo da odnosimedu elementima konkretnih skupova mogu imati razlitita svojswa. Da bi iz-gradili formalne postupke za rad s relacijama potrebno je karakterizirati njihovasvojstva. S obzirom na to koja od posebnih svojstava neka relacija posjeduje i narazinu vainosti tih svojstava, neke relacije imaju posebna imena. Jedno od njihje i relacija ekvivalencije.Relacija ekvivalencije predstavlja oslabljeni oblik jednakosti.

Definicija 3.77. Neka je pc A2. Relacija p je relacijo ekvivalencije ako je

1. refleksivna tj.(Vz e ,4,) (r,r) e p,

2. simetriLna tj.(Yr,y,e A) (r,a) e p.+ (y,r) e p,

3. tranzitivna tj.

(Vr,y, z e A) ((r,y) € p A (y, z) e p) + (r. z) e p.

Primjer 3. 1 8. Primjeri relacija ekvivalencij e :

1. univerzalna relacija - svi elementi skupa su u relaciji sa svima,

2. fiednakost) " =" na A,

3. (paralelnost) " " na skupu svih pravaca ravnine,

4. sukladnost trokuta na skupu svih trokuta ralrline,

5. sliinost trokuta na skupu svih trokuta rarmine.

Primjer 3.19. Zad.an je skup ,4 - {a.b,c,d.}, i relacija p e E. p :{(.a,b),(o.,c),(b,a),(b,b),(b.c),(c,c)}. Odredite najmanje relacije (s najmanjimbrojem elemenata) p,, p" i p1 tako da p o p, bude refleksivna relacija, p u p"simetriina i pU pl tranzili'wra Da lije pl p,l p" U p1 relacija ekvivalencije?

Rje5enje. p,: {(a,o.).(d,d)}, p" = {(r,o), (".b)), p': {(o,")} tr

Primjer 3.20. Nekaje A={r.2, 3,4}, p c A x A,p : {(r,y) : r-9 je neparan ili 0}. Ispi5ite elemente zadane relacije i relaciju pri-kaZite pomoiu tablice. Koja svojswa iz prethodne definicije ima zadana relacija?PrikaZite zadanu relaciju i pomoiu grafa.

-/

56

RjeSenje.

Relacije

p : {(r, r), (r, z), (1, 4), (2, 1), (2,2), (2,3),(3, 3), (3, 4), (4, 3), (4, 4)}

SVOJSTVA RELACIJE EKVIVALENCIJE1. refleksivnost

2. simetriEnost

3. tranzitivnost

Zadatak 3.18. Kako se iz tablice vidi wijede li svojstva relacije ekvivalencije?Zadatak 3.19. Koja od wojstava iz definicije 3.17 wijede na skupu ljudi za sljede6erelacije?

a) 'le otac od",b) "je prijatelj od",c) "imaju iste roditelje".

Sada 6emo objasniti vezu relacije ekvivalencije na skupu i paniciji tog skupa.

Definicija 3.21,. Neka je p relacijd ekvivalencije na skupu A. Za a e A klasa elro.f-valeacije lal, s obzirom na p je skup

lalr:{r:re A Arpa}. (3.13)

Zadatak 3.20. Odredite (opi3ite) klase ekvivalencije za relaciju p meclu elementimaskupa A={ stano\.rrici RH } danu sa

o : {@,0) € -42 : a i b stanuju u istoj Zupaniji}.

Propozicija 3.22, Neka je p relacija ekvivalencije na A. Skup klosa ekvivalencijeobzirom na p je particija skupa A (kvocijentni skup od A s obzirom na p; oznakaA/p).

Dokaz. Pretpostavimo da je p relacija ekvivalencije na A. Treba dokazati da zaklase ekvivalencije elemenata tog skupa s obzirom na tu relaciju wijede sljedeietwdnje:

110111011101

Relacije

(i) te klase su neprazne,

(ii) svaki element iz .1 nalazi se u nekoj od klasa,

(iii) klase su disjunktne.

Prva wrdnja i druga wrdnja oiito vrijede jer je zbog svojswa refleksivnosti svakielement u relaciji sam sa sobom. Da bi dokazali treiu tvrdnju pretpostavimo dasu lrr],, i ib],, dvije razliiite klase ekvivalencije. Pokazat iemo po kontrapoziciji dasu u tom siuiaju one disjunktne. Pretpostavimo dakle da postoii element:' e lrir,,a't lb'' t, . Zbog toga vrijedi .r gt i .r /t. Budu6i da je 2 relaciia ekvivalencije, r'rijediimplikacija aln l'. r1h +. uplt. To bi pak znaiilo da elemcnti a i b pripadaiuistoj klasi. Zbog tranzitivnosti relacije p u tom slutaju bi i svi elementi koji su urelaciii s jednim od ta dva elementa ujedno bili u relaciii i s drugim elementom,pa njihove klase ekvivalencije ne bi mogle biti razlidite.

Vnjedi i obrat, tj. vrijedi sljedeia propozicija.

Propozicija 3.23. Svako porticija sktLpa A pr{rodno definira jednuIenciie na A.

Doka:. Stavimo: o th .; irt.b) pripadaju istom tlanu dekompozicije. tlSvaka particija skupa inducira jednu re)aciju ekvivalencije na tom skupu, i obr-nuto, svaka relacija ekvivalencije na skupu odreduje jednu particiju tog skupa.

Primjer 3.24. Odredite kvocijentni skup relacije 1., iz Primjera 3.20. Koliko ele-menata ima taj kvocijentni skup?Zadatak 3.21. Dokaiite da je 2 I R2 x E! dana sa

(r.u)l(t.r')i)..? 1,2,i2 -t)relacija ekvivalenciie. Sto su klase ekvivalencije elemenata zadanog skupa za ovu relaciiu?

3.2.6 Modularna ekvivalencija\'lodularna ekvivalencija (kongruencija) je primjer relacije ekvivalencije koja seioristi u informatici (npr. u postupcima programiranja kontrole odredenih ratun-skih postupaka).

Definicija 3.25. Neka su o.lt a 7. A e N. Iada je

a = l.r (rnocl,(:) ':...+ =n a Z. e b- rtk (3.14)

= L (rrrotl i') iitarno "a je ekvivalentno s b modulo l"'). Pri tom broj k zovemo*:odulonr ekviv alenciie.

57

relac{ju ekv[va-

58 Relacije

Zadatak 3.22. Provjedte da wijedi 8:2(mod2) ,8=2(mod3).Zadatak 3.23. S kojim sve modulima su ekvivalentni 3 i 27?

Propozicija 3.26. Modularna ekvivalencija je relacija ekvivalencije.

Dokaz. Treba pokazati da ta relacija ima svojswa refleksivnosti, simetridnosti itranzitirmosti. Refleksivnost je otita jer wijedi Va e Z.+ a - a:0.k gdje jek e N proizvoljan.Dokaiimo simetritnost: a:6(modk) <+ fn e Z,takay da a -b: nk +=+b-a-(-n)k e+ b=a(modk) .

Dokaiimo tranziti\,r1ost: Neka je rz : b (mod k) i b : c (mod k). Slijedi da 32, m <Z takvi d,a wijedi a b - nkib c: mk. Zbroje li se ove dvije jednakostidobivamo a-s:(n |m)k Sto je ekvivalentno sa a = c (mod k). nZadatak 3.24. Odredite kvocijentni skup relacije modularne ekvivalencije.

3.2.7 Relacija parcijalnog urealaja

Relacija parcijalnog uredaja poopiuje relaciju < (uzima tri njezina najvaZnijasvojswa). Ova relacija oznatava se s l.

SVOJSTVA RELACIJE PARCIJALNOG UREDAJA1. refleksir,rrost

2. antisimetritnost

3. tranzitirmost

Skup zajedno sa parcijalnim uredajem zovemo parcijalno uredenim skupom.Primjeri relacije parcijalnog uredaja:

1. Relacija "biti podskup" na partitirmom skupu (2 (,.4) , c) ,

2. Relacija ( na skupu realnih brojeva (1R. <).Zadatak 3.25. Dah je (.2, <) relacija parcijalnog uredaja?

Promatramo 1i podskupove parcijalno uredenih skupova moZemo zakljuditi da sui oni parcijalno uredeni skupovi preko relacije parcijalnog uredaja naslijedene odnadskupa. Tako su npr. svi podskupovi skupa realnih brojeva lR takocler parcijalnouredeni skupovi preko relacije <. Neki od tih skupova imat ie najveii ili najmanjielement, a neki ne.Prvo, evo opienite definicije najvedeg i najmanjeg elementa podskupa parcijalnouredenog skupa.

Definicija 3.27. Neka je (A,<) parcijalno ureden skup i B c A. Tada

Relacije

a) beB je najvedi element u B ako

Vbt€B-+b'<b,

b) be B je najmanji element u B ako

(3.1s)

Vbte B.+b<b'. (3.16)

Primjer 3.28. (f ({a, A}) , c) prikaZimo pomodu grafa. Ispitajte postojanje naj-ve6eg i najmanjeg elementa za razlltite podskupove ovog skupa.

{"} {6}

{", a}

RjeSenje. a) U skupu B : {{"}}, element {a} je najve6i i najmanji element,b) U skupu A : {{o}, {a}} nema ni najve6eg ni najmanjeg elementa,c) U skupu B - {A, {"}} element {o} je najve6i element, 0 je najmanji element.

Teorem 3.29. Neka je (A,<) parcijalno ureden skup i B c A. Ako u B postojinajved element, onda je on jedinsnen.

Dokaz. Pretpostavimo suprotno, tj. neka su a. b dva razlitita najveia elementa.Akoje a najve6i + b 1a,a ako je b je najve6i + a -<b. Zbog antisimetritnostislijedi da je onda a : b.

Relacija < na skupu IR omoguiuje nam usporedivanje bilo koja dva realna broja.ZeHmo li dopuniti svojswa relacije parcijalnog ureclaja tako da moZemo usporedi-vati bilo koja dva elementa u skupu, trebamo dodati svojswo stroge kompletnosti.Parciialni uredaj na skupu A je linearan ili totalni uretlaj ako wijedi

Va,b e A, a < b ilib < a.

Skup,4 sa relacijom lineamog ureclaja (A, <) je linearno ureden skup ili lanac.Lako se prorjeri da je (1R, <) lanac.

Definicija 3.3O. Binarna relacija p na A je relacija dobrog uredaja ako je na Adan linearni uredaj i svaki neprazni podskup iz A ima najmanji element.

Primjer 3.31. (N, <) je relacija dobrog uedaja. (2, <) , (R, <) nisu relacije do-brog uredaja.

59

60 Funkci.je kao relaci.ie

3.2.8 Grafiika i algebarska reprezentacija svojstava binarnih rela-cua

Neka od svojstava binarnih relacija mogu se prepoznati na grafu relacije ina ma-trici rncidencije. Algebarska karakterizacija svojstava binarnih relacija vaZna jezbog toga jer se na njoj temelji mogutnost ratunarshe provjere svojstava relacijekoja je zapisana u obliku matrice incidencije.

Grafibka interpretacija

Primjer 3.32. Svojstvo simetrije se na grafu prepoznaje tako da uvijek kadapostoji luk izmedu dva tvora, izmedu njih postoji i povratan luk. Svojstvo tranzi-tivnosti prepoznaje se tako da uvijek kada izmedu dva ivora postoji put duZinedva, izmedu njih mora postojati i put duZine jedan.Zadatak 3.26. Koja od ostalih nabrojenih svojstava moZete prepozr.rati na grafu reJacije?OpiSite svojstva grafa koja odgovaraju pojedinim svojstvima binarnih relacija.Primjer 3.33. Svojstvo refleksivnosti na matrici incidencije prepoznaje se potome Sto su u toj matrici svi dijagonalni elementi jednaki jedinici. Svojsrvo si-metrije prepoznaje se po tome Sto je matrica incidencije simetritna matrica.Zadatak 3.27. Koja od ostalih nabrojenih svojstava moZete prepoznari na matrici inci-d encije?

Algebarske karakterizacije svojstava binarnih relacija

Zadan je skup A i p ! .4 x -.1. Paru (a. L) pridrr-riuje se kod r',,7, i vnjedi r',,7, - 1<+(o..b) e p. a(nb - 0 4+ (o.b) + p. Svojswa binarnih relacija mogu se algebarskiinterpretirati pomoiu kodova na sljedeii natin:

Svojsworefleksivnostirefleksivnostsimetrijaantisimetrijaasimetrijakompletnoststroga kompletnosttranzitivnost

c,,,,-1vrr€.1t:,,,, -l\Jq = A

(',tL (r,,,-0ltr.lt( tLb + ('ttrL 1.l Vo.I(.ij1 (t), < 1Va.l(ti)+t'L.t I l Xtr.lt11,t,+(Le>1Va.Lcn, / r',,1, I r'1,, 1

€.,1

€,,1€.At',Q+ba-{Va. L. r' e -1

3.3 Funkcije kao relacijeVaian matematitki pojam funkcije moZe se uvesti preko relacije. Iako se funkcijeu matematici upotrebljavaju posljednjih petstotinjak godina, tek su u drugoj polo-

Funkcije kao relacije 67

vici dvadesetog stoljeia posebno dobile na znadaju. Tako se i pojavila i potreba zastrogom matematidkom definicijom pojma funkcije. Jedan od mogu6ih pristupaje preko pojma relacije. Drugi pristup razmotrit iemo u poglavlju Matematiikaanaliza.

Definicija 3.34. Relacija .f t ,1 r. B je funkcija ako vrijedi

(Va e .4) (-h . B) tako da (.o.h) e J' (3.77)

I ne postoje dva razlitita para u relaciji .f s istom prvom komponentom.

Definicija 3.35. .f je konstantna funkcija ili konstanta ako

lllt e B takav do (Vo € .l) (rr.l) e l. (3 18)

Definicija 3.36. Funkcija ;f je injekcija oko V(or. br), (o'2.b'2) e f takve da jet 1 I o.2 slijedi da je b1 I b2.

Funkcija .f c A x tl je surjekcija ako'lb e R 1u e A takav da je (g.b) e .1 .

Funkciju koja je istovremeno injekcija i surjekcija zovemo bijekciiom.

Definicija 3.37. Neka je .[ bijekcija. lnverzna funkcija .[ 1 je obrat relacijet (f '-.t).Definicija 3.38. Permutacija je bijekcija na skupu .4.

Ako je ,1 konaian skup, tada je 7r : '1 - .4 injekcija ako i samo ako je surjekcija.Svaka se permutacija konatnog skupa moZe prikazati na sljedeti naiin:

Definicija 3.39. Svaki slutaj kad u permutacij{ vrijedi

i <.j '-> P(i) > t)(.j)zovemo inverzijom u p.

Oznaaimo sa / q7,7 ukupan broj inr erzija u 7,.

Defi niramo funkciju sigrr

sigrr:S,, - { 11}.sign(P) -( t;1tet

Kad je .ierr'7,.1 I kaZemo da je permutacija parna.Kad je .i,trrr7,t I kaiemo da je permutacija neParna.

Primjer3.40.odrediteparnosrpermul.acijer, f : i lt u\.\- ' ' f' l '')'

zadatak 3.28. Rijeiite zad 10, 11 u [7], str. 43.Zadatak 3.29. Neka su -1..8 I 0. MoZe li -,{ r l, ikad predstavljati lunkciju.{ . 13?

62 Konatni i beskonatni skupovi

3.4 Konatni i beskonatni skupoviSvrha ove toike je uvesti pojam kardinalnosti skupa na nadin kako je to utinioCantor krajem 19. stoljeia. Buduii daje tema prilitno kompleksna ovdje se neiedublje ulaziti u teoriju, veie iemo poku5ati razjasniti osnovne koncepte kao 5tosu jednakobrojnost skupova, konaini i beskonatni skupovi, te pojam prebrojivebeskonatnosti.

3.4.1 Ekvivalentni skupoviDefi nicij a 3.4 1. S kup -1 j e ekv iv alentan ( ektt ip o tentan, b ij ekt iv an, j ednakob r oj an)skupu l) (oznaka: -1 .- IJ, Al - B , 1,(A) - A(B)) ako postoji barem jednabijekclja skupa A na skup B.

Zadatak 3.30. DokaZite da je relacija = relacija ekvivalencije.Kardinalni broj je klasa ekvivalencrje kojoj skup pripada s obzirom na relaciju-. tj. zajedniiko svojstvo svih ekvipotentnih skupova. Stoga za ekvivalentneskupove govorimo da imaju isti kardinalni broj.Primjer 3.42. Pokaiite da skup Rr i skup (0. 1) imaju jednak kardinalni broj.

Rje5enje. Primijerite da je funkcija ./ : Rr - (0. I I dana sa

.f (.r') ;;brjekcija. Ll

Definicija 3.43. Skup A je konotan ako je prazan ili posroji bijekcija iz A u N,, -{1.2.3..... rr}, skup koji se sasroji od prvih n prirodnih brojeva. Ako A nije konaianon je beskonatan.

Ako je skup .,1 konatan, .4 I [4 i bijektivan sa N,, - {1.2.3. .... rr} . tada on ima rrelemenata ipi5emo A -rr.Vri jedi 0 - 0.Evo teorema o konainim skupovima kojeg moZete pronaii u [19], a ovdje gadonosimo bez dokaza.

Teorem 3.44.

1. Svaki podsktLp konatnog skupa je konatan skup.

2. Svaki skup bijektivan konatnom skupu je konatan skup.

3. Ako je svaki pravi dio od S konaiarL, tada je i S konaian.

4. Ako je S konatan skup, tada je i ,S J {i} konatan skup.

Konatni i beskonatni skupovi

7.

Za svaki ne fJ, ll,, .= { 1. '2. .... n} jekonatani,N, - rr.

Neprazan skup S je konafan ako i samo ako -n e N tokav daje S ekv[potentanS N,,,

Skup S je konaian ako i samo ako je svaka injekcija S - 5 ujedno i suryekcija(bijekcija).

Skup Sje konaian ako i samo ako je svaka surjekcija S- ,5 ujedno i injekcija(bijekcija).

9. Skup S je konaian ako i somo ako irr e N i suryekcr.Ta N,, - ,5-.

10. Unija konaino mnogo konatnih skupota je konatan skup.

11. Kartezijev produkt konaino mnogo konatnih skupova je konaian skup.

12. Svaki konatan skup se mo*e totalno urediti.

Karakteristika je beskonainih skupova da se mogu bijektivno preslikati na svojpravi podskup. Skup A je beskonatan ako postoji injekcija

.f:t-4. l(,,1) c.1.Primjer 3.45. Skupovi N i R su beskonatni zbog sljedeiih injekcija

(3.19)

/(,) -rJ l:r) :

63

8.

2t.

I t-l.t;1 \t.

[ ,.,"' lt

Primjer 3.46. Skup [0. 1] je beskonaian jer je funkcija l (r')njegov pravi podskup.

.f,) injekcija na

3.4.2 Prebrojivi i neprebrojivi skupoviSvi beskonatni skupovi nisu medusobno jednaki. Joi je Cantor pokazao da sku-povi N, R imaju razliiite kardinalne brojeve. Dokaz te tvrdnje moie se nadi i ui18l .

Definicija 3.47. Skup A je prebrojivo beskonaian ako i samo ako lma kardinalnitroj jednak kardinalnom broju skupa prirodnih brojeva A - N. Nodolje, .skup'e prebrojiv ako i samo ako je konatan ili prebrojivo beskonaian. Beskona(.ni skup;oii nije prebrojiv je neprebrojiv.

Oznaka za kardinalni broj skupa prirodnih brojeva je N - N1 (alef nula).Primjer3.48. PokaZitedaje N - Z.

64

Dokaz. Trai.ena bilekcija I :N - Z je

Konatni i beskonatni skupovi

.t0) -

l'-'2 ,-3'-I ,.

5l-(i-

Il.trt. I

Dakle, l\ - No.

Primjer 3.49. DokaZite da je Q - P,,.

tr

Dokaz. Elementi skupa Q mogu se ispisati na naiin prikazan na sljede6oj slici.Strelica pokazuje redoslijed kojim se ti elementi "broje" tj. na koji su im natinpridruZeni elementi skupa N. Primijetite daje prikazano pridruZivanje surjekcija.Ono ie biti injekcija ukoliko preskaiemo brojeve koje smo vei ranije napisali.Npr. 2/2 u tablici bi u ovom slutaju preskotili jer smo broj 1 vei "brojali".

_l

Propozicija 3.50. Skup .l).I)nije prebrojivo beskonaian ipliemo 10. 1) = c(kon-tinuum) .

Primjer 3.51. DokaZite daje (0. I) - ..

0l

1

2

'2

3

od nosno. za Lt paran,

, za r/ neparan

Konatnt i beskonaini skupovi

Dokaz. Konstruiramo funkciju J'uzmemo

I (0)

f (..)

I (.)

65

[0. l] - (0. 1) rako da stavimo -{ - .f } I } i

I

-74

t'+ )

.r. za ostale.?' € 0. Il .

I')

Zbog Primjera 3.42 zakljutujemo R - r.Zadatak3.31. DokaZite 0.tl : [t). 11 x [{). 1] .

Uputa: Pogledajte Cantorov dokaz (1877) i Dedekindovu korekciju u [17].

Problem 3.52. Postoji li kardinalni broj k takav da je Ns < ], .- ( (hipoteza konti-nLruma, Cantor) lPaul Cohen6 je 1966. za odgovor dobio Fieldsovu medalju. Odgovor glast: uz standardnl skup akstoma teorije skupova ne moie se odgovoriti nd to pitanje. Zatomatematiiari ovu hipotezu ponekad dodajLL skupLL osnovnih aksioma teorije sktLpova i na taj nattn "odluiuju" da hlpoteza vrijedi. Sant Cohen je to izrazio rijeiima:"Pojam skupa je previie zamagljen da bi hipoteza kontinuuma mogla blti ponrdenaili oborena".

Zadatak 3.32. DokaZite da skupovi i(1. 11 i il.2) imaju jednaki kardinalni broj.Zadatak 3.33. DohaZite da funkcrla./ (r') :2' uspostavlja bijekciju izmedu skupova,R i

-. 3to zakljutujemo o njihovim kardinalnim brojevima?Zadatak 3.34. Odredite koji je od sljedeiih skupova konaian, prebrojivo beskonatan,odnosno nepreb;-ojir,'.

a) {.r'=R: l<.r'<2}.b) {.r'+R:1<.r<2}.c) {',r,' r irr. rr a l{. rrr < i00. rr < 101} .

d) {o lLle Cra.LcI{}.el L"l, ^ l:,, L ll0 {1,.t1.lRxIi:r- \'/t,,'1.

zadatak 3.35. DokaZite (upotrebom funkcije ./ (r') : ''' 1,, ) daje ({). 1) : R .' ttt ll"Paul Joseph Cohen [1934) ' suvremeDi ameriiki matematiiar, osim po rje(avanju hipoteze,rin,,,,m. n^"n.r i n^,i^n"in^citr. ,li{Dr6n.ii"liin i-,ln..1rh.nr .," " €1

.u.z9.r:lI[iKNJ\-

'',ilLrrnJ. po/n. r i po dopr ino''rr dileren, ii:rlrrim jrJrradTb;rm.r

'ij:'''r-/

66

3.5 Dodatak

Projekt 3.1.vidi [8] ).Projekt 3.2.Projekt 3.3,Projekt 3.4.Projekt 3.5.Projekt 3.6.Projekt 3.7.Projekt 3.8.Projekt 3.9.

Zadaci za ponavljanje

Leksikografski uredaj (potraZi "Lexicographic ord.ering" web pretraZivanje,

Fieldsova medalja i njeni posllednji dobitnici (web pretraiivanje).Tko je John Venn?

Sto je algoritam? (vidi t8l).Djeljivost i Euklidov algoritam (vidi IB]).Bertrand Russell - matematitar, dobitnik Nobelove nagrade za knjiievnost.Relacije ekvivalencije.Relacije uredaja.Hassc ovi dijagrami (vidi [8]).

Zadatak 3.36. Zadani su skupovi:

-'1 ir:.+2.3<.t<51.3 - {.r.t c Z..r je vi5ekratnik od 3}.(.' : {.r' (2.r + t)(.r - 1) : i)}.11 - {t t e Z.(2t - t)lt 1) > 0}.F.- - {.r .r e Z. .r je viiekratnik od 6}.

a) Ispilite elemente ovih skupova.

b) Koje relacije postoje medu zadanim skupovima?c) lzratunajte A J (', .1 at D, E) | t-:, t-: \\ D | (' ( D), ako je Lt : Z.

d) Koji su od nabrojenih skupova medusobno disjunktni?e) Izraiunajte P(,1.\, P(B), P( A) . P( B),'P( A t. B), P(l) t ) P( B), te P(A - B).

Zadatak 3.37. Zadana je relacija p {(./. i,) € "9 rr je vi5ekratnik od b},.t {1.2.3. -1.5.6.7. rr.9. 10. 11. 12}

a) Ispisite sve elemente zadane relaci.ja.

b) Koja svojstva ima zadana relacija (refleksivnost, simetridnost, antisimetritnost,tranzitivnost.)?

c) Da li je 2 relacija ekvivalencije?d) Da li je p relacija parcijalnog uredaja?

Zadaci za ponavljanje

Zadatak 3.38. Obrazloiite svoje odgovorc.

a) MoZe li relacija istodobno biti relacija ekvivalencije i relacija parcijalnog uredaja?b) Da li je relacija okomitosti na skupti svih pravaca u ravnini relacija ekvivalencije?

zadatak 3.39. Neka je .1 : {1.2.3}.rr : {1.2.{3}}.4' - {1.{2i.{3}}. /) -{{1} {2} {ll}}. Nadite:

a) ,tr u,c) ,.1 .Be) (l-,) Jr.

b) cu,d) ir.ll) lr .1

Zadatak 3.40. Koji su od navedenih skupova medusobno jednaki: -l : lt.ltj. B :{b.o.}. s. C - {a.Lt} t-) {o}. D - {a. a. bl. E : {e.b.e.} | {o}?Zadatak 3.47. DokaZite da za bilo koje skupove ,{. B. a'vriedi:

a) (-1 ur)\C- ri.{\ar) Lr(B\C)b) (.a \B) \C q .4 \ (/J\,C).

Da li vrijedi jednakost? ObrazloZite svoj odgovor!Zadatak 3.42. NapiSite sve mogude relacije na skupu -{ : {1.2}.Zadatak 3.43. Na skupu 5 - {a.0. r'} napiSite:a) jcdnu rclaciju ekvivalencije,b) jednu relaciju parcijalnog uredaja.

Zadatak 3.44. Na skupu realnih brojeva R promatrajmo relaciju - definiranu sa .r' - ,r/

ako i samo ako je .r - 17 e Z. DokaZite da je - relacija ekvivalencije i odredite kvocijentniskup R/-.Zadatak 3.45. DokaZite daje relacija o definirana na skupu R! ovako: lo.b) o (r .n) --,l + b2 : r'2 I d2, relacija ekvivalencije. odredite klase ekvivalencije.Zadatak3.46. Neka je 5- - { I . 2. 3. 5. 6. 10. 1 5. 30} skup svih djelitelja broja 30. Na skupu.i definiramo relaciju 1 tako da za o. 6 e 5 bude a { b ako je b djeljiv s,,.a) Dokaiite daje (S. () parcijalno uredcn skup. Da Iije lincarno ureden?b) Odredite najmanji, najveii, minimalni i maksimalni element skupa 5.c) Neka je .1 5\{1.30}. Odredite najmanji, najve6i, minimalni i maksimalni element

skupa A.

Sve svoje odgovore detaljno obrazloZite.Zadatak 3,47, Neka je ,1 proizvoljan skup.

a) Dokazite daje (2(,,1). !) parcijalno ureden skup. Da lije linearno ureden?b) Odredite najvedi, najmanji, maksimalni i minimalni element skupa P(l).

Zadatak 3.48. Zadana je ftinkcija / : (0. I ) - R- formulom

.f (..r)

a) DokaZite da je / brjekcija.b) Sto iz toga zakljuiujemo o kardinalnom broju skupova i0. 1) i R+?

67

_1 r..t

-/

IILinearna algebra

68

.ir,:

"' ' lr: ri'ii

.:r

"Ekspert je netko tko poznaje najgore greike koje se mogunapravitt u njegovom podruiju i zna kako ih teba izbjeti"Werner Heisenbergl

4.7 MotivacijaMatrice se koriste izmeclu ostalog

- za zapisivanje i obradu podataka

- za razlitita modeliranja u ekonomici

- u kompjuterskoj grafici

4.1,1 Zapisivanje i obrada podatakaU brojnim sluiajevima se zbog preglednosti podaci zapisuju u tablicama. To jeposebno vaZno kada se neki objekt opisuje s viSe atributa (napr. klijent bankeopisuje se u bazi podataka osobnim podacima, brojevima razlititih ratuna kojemoZe imati u banci i s1.). Ukoliko se s tak\rim tablicama mogu izvoditi odredeneraiunske operacije, onda se one zovu matricama. Zapisivanje podataka pomo6umatrica omogutuje kodiranje razlititih oblika njihove povezanosri i potom ispiti-vanje da li medu odrerlenim objektima postoji neka od moguiih veza. Osnove togkoncepta obja3njene su u poglavlju o binarnim relacijama i njihovim svojsMmakada smo spomenuli matricu incidencije.

4.1.2 Matrice u kompjutorskoj graficiU kompjuterskoj grafici se isprepli6u razlitite znanstvene discipline od ratunar-swa i informatike pa do matematike. Medutim, u temeljima je ipak matematika.

lWerner Heisenberg (7g}l-197 6) poznati teorijski fizitar.

69

-/

70 Motivacija

Tu su ukljutena geometrija, linearna algebra, a1i i matematidka analiza. Ovdje6emo napraviti kratli uvod u geometrijske transformacije rarmine (translacije,rotacije, refleksije, skaliranje) koje iesto upotrebljavamo u kompjuterskoj grafici.Vidjet 6emo da se za njihov prikaz i manipulaciju koriste matrice. ViSe o ovojtemi moiete protitati u [12].Promotrimo simeriju S obzirom na pravac

(rr, v,)

Neka je 7(zs,96) proizvoljna totka rarrnine. Totka njoj simetritna s obzirom nazadani pravac je toEka 7 (-i"o + tuo,t"o a Bso) . Orro pridruiivanje moie sepromatrati i kao preslikavanje ureclenog para u urecleni par:

@,a),-.

Prethodne se transformacije mogu poop6eno zapisati kao

rt : ar tbA,Yt : cr i d'?J,

Ako koeficijente ove transformacije zapi5emo u tablicu tako da se u njezinom pr-vom redu nalaze koeficijenti pomo6u koji se ratuna wijednost prve komponentepridruienog para, a u drugom redu koeficijenti za radunanje druge komponentedobije se

/ 3 4 4 3\(-r'* ba,{+ ba )'

I o, h1L" r]T 3 41ll5 rlL 5 5J

(*o,vo)

Za preslikavanje 5 ta je tablica

(4.7)

Defrnicija matrice i specijalne wste matrica

Pomoiu ove tablice zadanom paru pridruiuje se par odreden definiranom tran-sformacijom matriinim mnoienjem

t -3 i I I , IL, .rlLvl4.2 Definicija matrice i specijalne wste matrica

4,2,t Definicija matriceNeka su M : {1, 2,..., m}, ry : { 1, 2, ..., n} . Tada su elementi Kartezijevog pro-dukta M x ly' urerleni parovi (i,j) .

Definicija 4.1. Realna ili komplelcsna matrica Aformota (tipa) (m,n) je funkcija

A: M x N -- IR fili C). @.2)pri temu se funkcijska vrijednost A(i, j) oznatava s aij i smje{ta u i-ti redak i j-tistupac tablice s m redovo i n stupaca

f o,, a)2 ... or, IttI 0.i a1., ... Ar- |l -- " '" II : : : l'

I o-, ,^, . ,.," lSkup svih mdtrica. formata (m,n) oznatavamo sa M,nn. Za element aij matrice Akoristi se i oznaka lA]4. S druge strane, za matricu tiji su elementi aij upotrebljavase i oznaka fai1l.

4.2.2 Jednakost matricaU sklada s definicijom matrice kao funkcije definira se njihova jednakost.

Matrice su jednake ukoliko su identiine tj. imaju jednaki format i elementi nakorespondentnim mjestima im se podudaraju.

Definicija 4.2, Matrica A(aii) tipa (m,n) i motrica B(ba) tipa (p,q) su jednakeako vrijedi(a) m:pAn- q

(b) ai1 -- bii, Yi,j.Zadatak 4.'1,. Odredite wijednosti realnih parametara o i b tako da matrice A i B budujednake, ako je

136

77

(4.s)

I 02-b2 o.b)2 1,- [-9lo-bt' a2+b') '"-181 l

72 Definicija matrice i specijalne vrste matrica

4.2.3 Specijalne matriceNabrojimo sada neke specijalne tipove matrica.Kvadratna matrica je matrica tipa (/r. //).Matrica

je kvadratna matrica tipa 2.Dijagonalna matrica je kvadratna matrica 6iji su elementi izvan glavne dijago-nale jednaki 0, tj. a1, : 0 za i + j. Elementi uit nalaze se na glarmoj dijagonali.Evo primjera dijagonalne matrice ripa 3:

Trokutasta matrica moZe biti gornja trokutasta (elementi ispod glavne dijago-nale su 0) ili donja trokutasta (elementi iznad glavne dijagonale su 0).Matrica

je gornja trokutasta.Jedinitna matricaje kvadratna matrica tiji su elementi izvan glavne dijagonalejednaki 0. tj. a1, : 0 zai Lj, a na glavnoj su dijagonali jedinice.Matrica

Ir*s]

Ir o o lI rr t, u

ILr) 0 3l

[r., 6'l| {) 5 ,'

IL0 0 -3 l

Ir,- | n

L0

iil

tt rr Ir ,, I

01]jejediniina matrica 3. reda. Standardna oznaka za jediniinu matricu (bez obzirana to kojeg je ona reda) je 1.

Jednoredna matrica je matrica tipa (1. n).Matrica | 1 2 -8 ] primjer je jednoredne matrice tipa (1. 3).Jednostup6ana matrica je matrica tipa (rn. l).Mauica

je primjer jednostuptane matrice (3. 1). Nulmatrica je matrica tiji su svi elementijednaki 0.

Operacije s matricama

4.3 Operacije s matricama4.3.L Transponiranje matricaTransponirana matrica matrice I formataza koju vrijedi

l..r'L, - [-r],,

Transponirana matrica zadane matrice dobije se tako da se njezini redovi zami-jene sa stupcima.Transponiranje matrica je unarna operacija na matricama.Primjer 4.3. Transponirajmo matricu

73

[2 r'll02tlL-1 /i l201l2ir

(nr. ir) je matrica ,4'l formata (n. in)

I koia je ripa ,2.:t,jerje matrica Il t-

Rje5enje. Dobijemo matricu .1/ I

I

tipa (lt. 2 ).

Za svaku matricu .1 vrijedi,1 - (l')'

4.3.2 Zbrajanje matricaZbrajati se mogu samo matrice istog tipa. Zbrojimo li dvije matrice tipa (rr. n)imaffica koja predstavlja njihov zbroj isto je tipa (rn.n), a elementi su zbrojelemenata iz matrica pribrojnika na korespondirajuiim mjestima.

Definicija 4.4. Neka su mdtrice A. B € ]1,,,,,, dane sa A:1.o.;i). B : lbii). Zbrojmatrica A i B je matrica C:i(.i j) @i:emo (' - A + B) ttpa (//1. n) za koju vrijedi

Yi. j c.;.,, - oi.j +b;r.

Primjer 4.5. Zbrajamo dvije marrice:

l,' il [", ;l [,.', 1, ',1,'I li:l|',;l [, r] I-,, , -, I L,nl

(4.4)

Primijetite da zbog komutativnosti zbrajanja realnih brojeva vrijedi i komutativ-nost za zbrajanje matrica. Dakle, za matrice A i B koje su istog tipa wijedi

A+"8-R-A.

^a

74 oPeraci.ie s matricama

Zbrajanje matrica je i asocijativno, tj. za matrice 1, B, C koje su istog tipa vrijedi

(A+ B) + a':.1 + (.8 + C).

Nadalje, za zbrajanje matrica postoji neutralni element i to je nulmatrica. Na-ime, za matricu A tipa (rrr. n) i nulmatricu 0 tipa (rrr. rr) vrijedi

1-O-O+..1 :,.1.

4.3.3 MnoZenje matrice (realnim) brojemPrilikom mnoZenja matrice:1 brojem svaki element matrice mnoZimo tim brojemi rezultirajuia matrica je istog tipa kao i matrica -1.

Definicija 4.6. Neka je A € 1I,,,,,. A - [a1,] i I € R. Produkr m afi-ice A i reolnogbroja k je matrica C .= t,c;i) , C' € f 1t,,,, takvo da je

'li..'j c,1 - l:n,r. (4.5)

Primier 4.7. Mnoiimo matricu brojem 2

.. l, rl [,, 2r r' '. rl'lu r l | 2,, 2.t I L , 2)Slijedi propozicija u kojoj su nabrojena svojstva mnoZenja matrice realnim brojemi svojswa koja opisuju odnos zbrajanja matrica i zbrajanja realnih brojeva. Svasusvojsrva direktna posljedica svojstava koja wijede za zbralanje i mnoienje realnihbrojeva.

Propozicija 4.8. Neka su A, I e R. reolnl brojevi, razlititi od nule, a A. B e lt,,t,.Tada vrljede sljedeia svojsa,a:

r. r(lA) -(kt),{.2. tA-.\s. (k + t) A - k.,{ + 11.

4. k(A+B)-kA+LB.Razliku matrica definiramo na sljedeii natin: Neka su l. B e ,\1,,,,. pod njiho-vom razlikom podrazumjevamo matricu

A-R-A+( t)a. G.6)

Operacije s matricama 75

Primijetite da za svaku matri.r.4 - la;;] tipa (rru. n) postoji tzv suProtna matricaoblika I - I ui,] za koju wijedi

-.1 +( J) -t).gdje je {) nulmatrica tipa (rri. n).

Ustanovili smo dakle da za zbrajanje matrica iz skupa 11,.,,, vrijede sljedeia svoj-stva: zatvorenost (zbroj dviju matrica iz 11,,,.,, je opet matrica iz 11,,,,,), aso-cijativnost, postojanje neutralnog elementa i postojanje inverznog (suprotnog)elementa. Kad za neku operaciju :i: na nekom skupu 5 vrijede gore nabrojenasvojswa, uredeni par (5. +) zovemo grupom. Dakle, (.\-I,,, ,,. +) je grupa.Nadalje, ukoliko je na skupu S definirana i operacija mnoienja skalarom (kojeje u na5em sluiaju predstavljaju realni brojevi) sa svojswima iz Propozicije 4.8uvedenu trojku .5(. =..) zovemo linearnim prostorom. Dakle, skup ll,n.,, 112

operacije zbrajanja matrica i mnoZenja matrica realnim brojem predstavljaju li-nearni prostor.

4.3.4 MnoZenje matricaMnoienje matrica ne definira se na natin sliian zbrajanju. Razlog tome je pri-mjena matrica, pa onda i operacije mnoienja matrica na realne probleme. Da bidefinirali mnoZenje matrica, pruo trebamo definrati skalarni produkt n-torki.

Skalarni produkt n-torkiDefinicija 4,9, Za uredene n-torke a - (ty.a2.....a,,) i b - (.ot.at.....4,,) ska-Iarni produkt je

ab - orlr I a,.2b,2 1 ... 1 u.,,b, -L",b,.i:1

Primjer 4.10. MnoZimo uredene trojke:

(3. 1.5) (-.1.7.0) -3 ( 4) +1.7+ 5 0--5.

Mnoienje matrica

\{noZiti se mogu samo matrice iiji su formati redom (rru. n) . (n.1) tj. matricadrugi faktor mora imati toliko redova koliko matrica prvi faktor ima stupaca.Takve matrice zovemo ulantanim matricama. MnoZenje dviju ulantanih ma-lrica provodi se vi5etrukim ponavljanjem skalarnog mnoZenja n-torki. Tu ope-:aciju izvodimo za svaku kombinaciju rr-torke reda iz prve matrice sa n-torkom.tupcem iz druge matrice.

(4.7)

-/

76 Operaci.ie s matricama

Definicija4.ll.NekasumarriceAe\t,,,,,.Bef,I,,LdanesaA-i_oij).8-lhi.j).Produkt matrica A i B je matrica C' formata lm.l) za iije elemente vrijedi

+L" ''"'' (4 8)

Dak1e, na l.l-tom mjestu u matrici produktu je skalarni produkt i-tog reda ma-trice A s j-tim stupcem matrice 1J.

Primjer 4.12. lzratunajmo -.lB i llA ako je[ ;t t tr I I rr I I I

a) I ] ,, t 2 B | ; I 2 Il-r 20. lr 2 r]

l: i lb).{8 lr ; I

L q 13 l

,,,-[ 1] ,:lj3lRjeSenje.

[ 2,, r ttl I r t t I

ar .t,c-| .i . '.' l. ttt I .,., r; z IL ,, ,' ,r l | .l , l

Produkt Bl nije definiran jer matrice , i ,'1 nisu ulantane.

5to zakljutujete o komutativnosti mnoZenja matrica?MnoZenje matrica op6enito nije komutativno tj. opienito je

l

-1R + RA

Stovise iak ako postoji produkt AB. produkt f1..1 ne mora biti definiran (ulanianematrice !).Dijeljenje matrica nije defi nirano.Zadatak 4.2. Pretpostavimo da jc proizvode-\r, ,\::, ,\r moguie kupiti u trgovinama l,72 po sljededim cijenama:- u Ir po 20, 1lt, 1ti kn redom,- u 72 po 21, 12, 11kn redom,Sastavite matricu A tipa (2.3) tako da sadrZi dane podatke o cijenama. Koji broj se nalazina mjestu a21 r'

Zadatak 4.3. Promotrimo ponovo situaciju uZad.4.2.Zelimo Ii kupitia) i kom -\i, il kom l'r, -1 kom \.b) L'r kom ,\i . A2 kom l'2, 13 kom .\'3.

izratunajte koliko bi to ukupno do5lo u trgovini 71. koliko u '12. Upotrijebite mnoZenjematrica.

Deteminante

Svojstva mnoienja matricaPropozicija 4.13. Neko su .1. B i C takve matrice da su mogu(i produkti u sljed-e-(.im svojsnima, a A realon broj, razlitit od nule. Vrijede sljedefu svojsna:

.1.(BC) - (AB)c(A+B) C-AC+u(:.A(B+C)-AB+AC.k(AB):(kA)8.AI: A. IA: A (A je kvadratna motrica, I jediniina matrica reda jedankog

77

1.

2.

3.

4.

5.redu m(rtrice A),

6. (AfJ)r : B1' Ar .

Zadatak 4.4. Zrdane su malrice .l I ?

.18:IiBA-1.32 1,, - | ? ; ] Provjeritevrijediri

Za matrice A, B iz prethodnog zadatka kaiemo da su medusobno inverzne.

Definicija 4.14. Neka je A kvadratna matrica. Za matricu A 1 za koju vrijedi

.,1A1- !A1-Ikaiemo da je inverzna matrica matrice A.

Za oznatavanje matrica po dogovoru se upotrebljavajupripadne inverzne matrice su ista slova s eksponentom

zadatak 4.5. Pokazite da za matricu t n 'l I rrlledi, ,1 )

1;{i LI I'lt,l

(4.9)

velika slova. Oznake-1.

Uz koji uvjet matrica postoji?

4.4 Determinante

4.4.1 Definicija determinanteIdeja o matricama i determinantama moZe se naii kod Kineza i Babilonaca t 2. i1. st. p. K. No, do razvoja teorije doilo je tek krajem 17. st. i samo je teorija odpotetka vezana uz rjelavanje sustava linearnih jednadibi.

78 Deteminante

Iz rje5enja zadatka 4.5 vidi se da egzistencija rjeienja matrice t - [ ' t; ,l

| , ,i lovisi o izrazu ur' - bd. Taj izraz zovemo determinantom matrice -1 i oznatavamosa dcr.{ ili sa -1. Op6enito, determinanta je broj koji se pridruZuje kvadratnojmatrici.

Definicija 4.15. Determinanta kvodratne matrice A reda n je broj

gdje p - fu.,(t). p(Z). .... p(tl)) prolazi kroz sve permutacije skupa {1.2.. . . . a} i( t lrL'l + 1, ovisno o tome da li je 1t parna ili neparna permtLtacija.

Uotite da se u produktima koji se zbrajaju kao faktori javljaju po jedan elementiz svakog reda i svakog stupca matrice.Primjenimo li ovu definiciju na kvadratnu matricu drugog reda dobtje se

, I tt 1 tlt)r l{,I l1u,,, ,r,, l

(111 (t1)(121 u22 - (t 11t122 {/t2a:1.

Za kvadratnu matricu tre6eg reda determinanta se raduna kao vrijednost izraza

detA - | ( l1ltt'i r,.r,,,r,r,..,\,))...u,t)\,\ (4.10)

'r"' I(111(122(tU:\ - tlttQ,2u(t:12 (121(112(!:\:\ + 021altl:\2 + Q.31Q120.2:\ 0 Jt(l11(122

Zadatak 4,6. Upotrebom definicije determinante provjerite da vrijedi gornja fromula zaratunanje determinante matrice 3. reda.

Pojam determinanta javlja se u dva oblika; kao broj koji smo definirali i kao kva-dratna shema brojeva koju dobijemo tako da uglate zagrade matrice zamijenimovertikalnim crtama.Zad.alak 4.7. Provjerite da r rijedi

J-)0

l9: 12t52.

Sarrusovo pravilo za radunanje determinanti matrica 3. reda:Za determinante tre6eg reda postoji jednostavna shema pomotu koje se formirajusvi produkti koji nam trebaju za raiunanje njezine vrijednosti. Potrebno je dopi-sati prva dva stupca determinante, a zatim odrediti produkte elemenata u smjeruglavne dijagonale, te oduzeti produkte elemenata u smjeru sporedne dijagonale.

,r11 ri11 r11 Itt 2t tt)) tt) \ | -

Itl-\l ll.t ' tt-\.\ |

(l l t (ll2 (? |lulj t12) (1.23

(l:\t (L:D A:l:l

i s5 i)i. ,J5 9i' 79 tt(t

Determinante

- (1it(1))(1:\:t + (11)(l)t\u.:,1 'ull,(121(I:t) - Q:r,ttl'2')t1|\ (l:\2(12:\(11| Q;\tt(121(11')

4.4.2 Svojswa determinantiNeka su .{ i R kvadratne matrice reda ri. Tada wijede sljede6a svojswa za ratu-anje determinante:

(1) Determinanta transponirane matrice jednaka je determinanti polazne ma-trice, tj. rlct,,1/' - dct A. Zbog ovog pravila sva svojslva koja se odnose natransformacije determinante u kojima sudjeluju njezini redovi, vrijede i zastupce.

Ako se neki red (stupac) matrice .,1 zamijeni zbrojem tog reda (stupca) inekog drugog reda (stupca) matrice A, vrijednost determinante tako promi-jenjene matrice jednaka je dct - l.

Akoje umnoZak nekog reda (stupca) matrice .4 s nekim brojem dodan nekomdrugom redu (stupcu) od .'1, determinanta rezultiraju6e matrice jednaka jerlc1 ,'1.

(4) ZamUenimo li mjesta bilo koja dva reda (stupca) od -{ determinanta rezulti-rajuie matrice jednaka je clct -{.

(5) Ako bilo koji red (stupac) od ,1 pomnoiimo realnim brojem i, determinantarezultirajuie matrice jednaka je li rltt ,4.

(6) Zajedni6ki faktor svih elemenatajednog reda (stupca) determinante moie seizlutiti.

dct (A'.4) : 1, " rk.t ;1, gdje je n red matrice -.i.

Determinanta jediniine matrice l jednaka je 1.

Ako su svi elementi jednog reda (stupca) matrice ,1 jednaki nuli, tada i de-terminata ima vrijednost nula.

(10) Ako matrica I ima dva jednaka reda (stupca), tada je njezina determinatajednaka nula.

(11) Ako je A trokutasta matrica, tadaje dct,,l jednaka produktu elemenata nje-zine glavne drjagonale.

79

(2)

(3)

(7)

(8)

(e)

80 Deteminante

(12) Ako su A i B kvadratne matrice istog reda, tada vrijedi dct (.AB) =(dct A) (det A) (BinerCauchyjev teorem).

(13) dct(aa) - 1a"t,1)a ke z\{o}.(14) Neka se .4 i B razlikuju samo u elementima l-tog retka (stupca). Suma

determinanti dr.t A + det B je determinanta tiji je l-ti redak (stupac) sumaodgovarajuiih blanova l-tih redova (stupaca) u dd A i det B, a ostali ele-menti su jednaki odgovarajuiim elementima tih determinanti.

Nabrojena svojstva netemo dokazivati. Dokazt za svojstva 1i 3 svode se na toda se pokaZe da nakon transformacije determinante u izrant kojim je odredenavrijednost zadane determinante eventualno dolazi (ili ne dolazi) do promjenepredznaka svih produkata zbog prelaza parnih permutacija drugih indeksa njiho-vih faktora u neparne. Dokazi za ve6inu ostalih svojstava temelje se na tinjenicida se u svakom od produkata koji se javljaju u wijednosti determinante nalazipo jedan 6lan iz svakog reda i svakog stupca, pa se zajednitki faktor elemenatanekog reda (stupca) moie izluiiti.U mnogim problemima vaZno je razlikovati matrice po tome da li im je determi-nanta razliiita od nule ili ne.

Definicija 4.16. Kvadratnu maticu A za koju je dt:t,4 I lJ kaiemo do je regu-larna, a ako je ilet I - 0 za matricu kaiemo da je singularna.

Primjedba 4.77. Pravilo 11 testo upotrebljavamo kod raiunanja determinanti vi-ieg reda.

Primjedba 4.18. Na temelju pravilade te r min ant e - p r ib r o j nike.

Primjer 4.19, lzratunajmo

14 determinanta se moie rastaviti na

D:1020-1 .1 3 60 2 1 ,33210

a) razvojem po 1. retku,b) svodenjem na trokutastu determinantu.

Rjeienje. Ratunanje determinante svodenjem na trokutastu determinantu temelji sena svojswu (2). U zadanoj determinanti treba u prvom koraku drugom redu dodati pl.,,ired, a tretem produkt prvog reda s 3. Dobije se determinanta

Determinante B1

10'2015021{) 2 5

l0020000

20r370

06

0

02313.1

Oi'

Sada moZemo drugom i treiom redu zamijeniti mjesta i potom novi drugi red pomnoZens 2 dodati treiem. Takoder treba drugi red pribrojiti treiem. Dobije se determinanta 6ijaje vrijednost jednaka vrijednosti prethodne, ali s promijenjenim predznakom.

D,: -

Sada moZemo zamijeniti posljednja dva stupca (ovom promjenom ponovo se mUenjapredznak determinante) i potom posljednja dva reda. Dobije se ffokutasta determinantatija vrijednost je jednaka vrijednosti produkta dijagonalnih elemenata :

Dt:10\)200t) 0

Vruedi /r - J) - D, D.r - L

4.4.3 Minore i kofaktoriZa svaki element kvadratne matrice moiemo raiunati pripadne minore i kofak-Lore. Njih iemo trebati kod ratunanja inverzne matrice.

Definicija 4.20. Neka je A motrica tn x r. Akose iz matrice A ukloni rtt k redovai n 11: stupaca, preostali elementi (.ine jednu submatricu (podmatricu) matrice A,| -tog reda.

Zadatak 4.8. Nekaje,1 matrica rl r rr. Nekaje l, <. rrt. rt. Koliko submatrica l-tog redasadrZi matrica ,{?

Definicija 4.21. Neka je A kvadratna motrica rr-tog reda. Minora ll;1 elementa, t , ; je d.etermlnanta submatrice matrice A kojo sadrii elemente koji preostanu nakonito se uklone i-ti red i .j-ti stupac matrice A.

Primjer 4.22. Izratunajmo minore svih elemenata matrice

[: r rll;t r) 21.[, , , ]

82

RjeSenje.

1

1

1

0

Determinante

-11r r

1

')

: ).')3

').

3

-11rr

1

2

1

).

21:ll2l30

Lr 2l2

32)'2

;l t)31

1

- 2. -11r: -

Definicija 4.23. Kofqktor (algebarski komplement) elemento u11 je broj A;,( 1)'-.r ll) ) .

Primjer 4.24. Izratunajmo kofaktore svih ilanova matrice iz Prrmjera 4.22.

Rjesenje. -,111 : ,1111 - 2. ,1r: - Ilr: : (1. -.1r3 : -'11i3 : ll,121 : )[21 - i]. .'1::: lltt:7...123 - ri/2'- |,131 : _,\1j1 - 2. .1;: : )I.y : i. ,{". - ,14ur : ll

Uodimo da se kofaktori razlikuju od minora u predznaku ili su im jednaki ovisnoo parnosti sume njihovih indeksa.

4.4.4 Laplaceov razvoj determinantePokazat iemo da se ratunanje determinante rr-tog reda moZe svesti na ratunanjen determinanti (n " 1)-og reda.Primjer 4.25. Izratunajmo vrijednost sljedetih izraza

a) rr1;-'111 + artAn * o13.41i b) 412I12 * t2,2A:2 I tt112A;yc) rr11A21 I a 1.2A.22 -l- artA:., d) a12,,11i : o,2.2 -r'\'2;1-l a;r:,4:r:r

za matricu :1 iz primjera 4.22.

Rjeienje. Za (a) i (b) dobijemo istu vrijednost 7, a za izraze (c) i (d) vrijednost r1.

Vrijednost determinante zadane maffice je -{ - 7. L

lzraz (a) zove se razvoj determinante po prvom redu, izraz (b) je razvoj deter-minante po drugom stupcu. Ovo su samo posebni oblici Laplaceovog pravila kojevrijedi za kvadratne matrice: "Zbroj produkata elemenata nekog reda (stupca)s pripadnim kofaktorima jednak je determinanri matrice." Na ovaj natin ratu-naju se determinante reda veieg od tri. Pri tom se zadana determinanta nastoji,koriste6i svojsrva determinante (prvenstveno svojstvo 2), transformirati u deter-minantu kojoj su svi elementi odabranog reda (srupca) osim jednog, jednaki 0.Potom se determinanta razvija upravo po tom redu.Izrazi (c) i (d) su specijalni oblici op6eg svojswa "Zbroj produkata elemenaranekog reda (stupca) kvadratne matrice s kofaktorima odgovarajudih elemenatanekog drugog reda (stupca), jednakje 0."

1,)

Determinante

Ako je -,1 matrica tipa ln. n), tada se njezina determinanta dobije mnoienjemsvakog elementa pruog reda s njegovim kofaktorom, te zbrajanjem tih umnoZaka.Odnosno,

83

r? 1t Ut,ltt21 tl)2

' (t t,' 0t"

- (rlAt1 * rr1241.2 * 1at,-'1r,,.

tt.lt1 0n2 (l n|.

Opienito, determinantu bilo kojeg reda moZemo ratunati razvojem po l-tomretku (Laplaceov2 razvoj) koristeii formulu

dot .;1 - o,tAit ltt.2_!,2 1...]' rt,,,A,,, -\' ,,,,1,,/l

ili razvojem po .i-tom stupcu koristeii formulu

..let-1 - a,,.4,.-r o,.1,, + '- Itrt.\t t )_tl)t.t,J.r1Gornje razvoje determinante po retku ili stupcu zovemo Laplaceovimdeterminante.Dakle determinanta matrice 3. reda moZe se radunati kao

(4.11)

(4.12)

razvojem

Alt Q12 Q t:lQtt (1.22 tt.2t1q:\ (132 0 3:l

4,22 (12i\

(1.32 1:l:]0 )r 4.2,\(l3t {1:tj

(l2t (l'22

(tut 0i)012 .1- ri 13

Uotite da je ovo razvoj determinante po prvom redu.

Propozicija 4.26. Skalarni produkt nekog reda (stupca) s kofaktortma odgovaroiu(lh elemenata nekog drugog reda (stupca) jednak je 0 tj.

odnosno

1r,,,.,,Ar, - o,rArr I tL;2A1,2 ' I o;,,47.,, - 0. A- + i.

L,,, l, ,r.,.1; ,,.t..\t,, - .. ,/,..1.., tt.A , i.tl

(4.13)

(4.74)

:Pierre-Simon Laplace (1749 7827) - poznatl francuski matematitar, dao znaiajne doprinose u-eoriji vjerojatnosti, diferencijalnim jednadibama

-a

84 lnverzna matrica

LAPLACEOV RAZVOJ DETERMINANTEnn

691 1 : \ a;iAij det A : DooiAri

-1-Lo,:A*i :0 za k * j, \-",,,4". :ozaki i./--r "r -"

4.5 Inverzna matricaPojam inverzne matrice kvadratne maftice,4 uveli smo u Definiciji 4.14. Ovdje6emo na6i formulu za ratunanje inverzne matrice dane matrice, kao i ur,jete podkojima inverzna maffica postoji.Dak1e, neka je ,4 kvadratna matrica, a A-1 njezina inverzna matrica. Znamo dawijedi

AA_t : A_1A: I. (4.1s)

Primijenimo li determinantu na obje strane pretiodne jednakosti, sli-jedi det (A,.4-1) : det1, odnosno po Binet-Cauchyjevom teoremu(det A) (det,4-1) : 1, pa je

det ,4-1 - det A' (4.16)

Dakle, ako je matrica A regularna, za determinantu det ,4 1 wijedi (4.16)

Teorcm 4.27, Inverzna matrica A 1 regularne matrice A je matricd_1,L-A*

.let,4gdje je A. tzv. adjungirans mc:trica (adjunka). Adjunkta je traruponironamatricd mdtrice kofaktora elemenata matrice Au tj.

.4- : lArilr . (4.18)

Dokaz. Direktno mnoZimo ,{ s dut A--LA* i primjenjujemo svojswa kofaktora. Vrijedi

t. I ..1 I + ^ It.i iIA-A' I -)

a'uAu' -{ ^.L^dut 1 ^ .l ,, det A Z-u ik^ki \ o' i I ",

(4.77)

mnoZenja realnihn

Dobivamo, dakle, da je A, A 1 : I, a zbog komutatirrnostibrojeva wijedi i A 1.A: I.Propozicija 4.28. Ako je kvadratnamatricu.

matrica regularna onda ona ima inverznu

Matriine jednadZbe 85

Primjer 4.29. Izratunajmo inverznu matricu matrice[2 1 ]l-r- | : u r I

L, , 2 ]Rje5enje. Kofaktore ove matrice smo izratunali u Primjeru 4.24. lmamo

r ., ' f : r .' I, ,, - ' I i ; i I | ; =, ,' l,1,.r ..1 ,1, ; ;rl L ,, L , ]

t

Primjer 4.30. DokaZite direktnim mnoZenjem daje inverzna matrica dijagonalnematrice D - r/,, matrica D I -,liis

[Jr ].Propozicija 4.31 (svojstva inverzne matrice). Za kvadratne matrice A i B jed-nakog reda vrijedi:

l. (A 1) 1:A.

2. (.A, ) ': (A ,)".3.(.48)1-Ptat.

Dokaz. Dokazi da wijede gornja svojswa provode se po definiciji inverzne ma-trice. DokaZimo svojstvo 3. Treba provjertiti da je (,18) t.(B '-4 1) - 1, te(a '.4 ') (.AB) - 1. Raiunamo

(.AB) ' (-B 'A ')- (asocijarivnost) :.4 (A.fJ r).A t:- (BiB Isu inverzne matrice) - A.1 A 1-l.A l:

- (/ i A I su inverzne matrice) : I.Dokaz daje (B tA ') (.AB) - l ide po uzoru na prethodni. Ukoliko je matrica,,1 veiih dimenzija njezin se inverz moie nadi i podjelom matrice A na blokove ofemu moZete protitati u [2] [Barnett, str 69.] ili pomoiu Gaussovog postupka oiemu ie biti rijeti u sljedeiem poglavlju. nZad.atak 4.9. Dokaiite (,18C) I : 6' I g t.4 I .

4.6 Matritne jednadZbe

Matritne jednadZbe su jednadibe u kojima se javljaju poznate i nepoznate ma-trice. Rije5iti matritnu jednadZbu znaii odrediti one matrice koje nju zadovolja-vaju.Promotrimo osnovne tipove matriinih jednadZbi.

-1

86 Matritne jednadibe

4.6.1 osnovne matriEne jednadibe

Najjednostawije nehomogene matridne jednadZbe su jednadZbe oblika

AX: BXA: B

(4.1e)(4.20)

Gornje matridne jednadZbe su nehomogene ukoliko matrica B nije nulmatrica.

Propozicija 4,32. Ako je A regularna matrica rjeienje jednadl;be AX : B jematrica X A tB.

Dokdz. Uwstimo matricu A-18 u jednadZbu (4.19) umjesto matrice X:

A(A-1r): @A 1)B: IB: B.

n

Propozicija 4.33. Ako je A regularna motrica ieienie jednadi;be XA -- B jematrica X: BA 1.

Dokoz. Uwstimo matricu BA 1 u jednadZbu (4.20) umjesto matrice X:

(BA \)A: B@-11,: Br - B.

RJ ESAVANJE MATRIENIH JEDNADZBIAko je A regularna matrica

AX:B+X:A-tBXA:B+X-BA-1

Uotite da smo jednadZbe s jednom nepoznanicom u aritmetici rjelavali svode-njem na oblik or : b i potom dijelili jednadZbu s koeficijentom a' Buduii daza mnoienje matrica ne wijedi zakon komutacije, jednadZbe (4.79) i (4.2O) se

razlikuju i umjesto "dijeljenja" matrice B s "koeficijentom" A matrica B mnoii se

s inverzom ,4-1 s lijeve, odnosno desne strane.Ukoliko su jednadibe (4.19) i (4.20) homogene, tj. B je nulmatrica, one uvijekimaju tzv. trivijalno rjeSenje, tj. rjelenje za X je nulmatrica prikladnog tipa' Pos-tavlja se pitanje postoji 1i i netrivijalno de5enje takve homogene jednadibe. Spe-cijalni slutaj ovog problema obraditi 6emo u totki o homogenim jednadibama usljedefem poglaviju.

Dodatak

4.6.2 Jednad,iba.4.\ - X B - C'

JednadZba,.1-{+-Y1l:C (4.21)

ne moie se rije5iti pomotu inverzne matrice. Rje5ava se tako da se odredi formatmatrice X i u zadanu se jednadZbu uvrsti matrica tog formata s nepoznatim ele-mentima. Izratuna se matrica na lijevoj strani jednadZbe, te sc potom izjednateodgovaraju6i elementi matrice s lijeve strane i matrice s desne strane. Dobije sesustav linearnih jednadZbi koji se rijeli.Primjer 4.34. Rije5imo jednadZbu (4.21) ako je

r [''1., l' ]1.. lt .'II 3 rl- L l2l L; -:r

l

Rje5enje. Nepoznata matrica x mora biti formata (2,2) (zaito?.). Neka je

.t I"'ll[ , ,/ ]Uvrstimo ovu matricu u zadanu jednadibu i dobivamo

B7

11,illrt;l lrl;l jrlMnoZenjem matrica na lijevoj strani i zbra.janjem njihovih produkata dobi.jemo

I .rn h-, tr,, ,t 1 l:, ,; I| :t, ;, 7 :1t, ',;a] l; ,l

]

Prema definiciji jednakosti matrica odgovarajuii elementi ovih matrica moraju biti jed-naki, pa rjeiavanje zadane matriine jednadZbe vodi na rjeiavanje sustava linearnih.jed-nadZbi s-1 varijable:

ilrr b +Lth +d

iJa +5c d :ilb -611 -

l

4.7 Dodatak

r rr I [;r rl [;

0

3

Projekt 4.1. Algebarska struktura grupe i linearnog prostora

88 Projekti

Projekt 4.2. Trag kvadratne matrice A definira se kao zbroj njezinih dijagonalnih ele-menata

tr lA1 -f o,,.r=1

Dokaiite

1. lr (.4 + B) - tr (.{) 1 tr lR) .

2. tr (AB) - tr (BA).

Projekt 4.3. Kvadratna matrica,l je idempotentna ako je -'l'? .1. a involutorna akojeA2 I.

I'; zrrl..l. Da lije matrica ,1 - -; l, I idemporentna ili intolutorna?L ,IU

Projekt 4.4. Nadite sve kvadratne matrice 2. reda koje su idempotentne, odnosno invo-lutorne.Projekt 4.5, Pronadite u literaturi rezultate o idempotentnim i involutornim matricama.

Projekt 4.6 (Specualne !.rste maftica). Definirajte sljede6e specijalne vrste matrica:

1. ortogonalne matrice,

2. hermitske i3, unitarne matrice.

Projekt 4.7 (Komunikacijske mreZe). Objasnite kako se komunikacijske mreie opisujupomocu matrica. Literatura: [10 ].Projekt 4.8 (Leontiefov model). Objasnite primjenu matrica u ekonomskom Leotiefo'vom modelu.Projekt 4.9 (Kodiranje). Objasnite primjenu mnoZenja matrica u kodiranju i dekodiranju. Literatura: [10].Projekt 4.10 (Vektori u trodimenzionalnom Euklidskom prostoru). Definirajte vek-tore u trodimenzionalnom Euklidskom prostoru i prikaZite ih u kordinatnon sustavupreko koordinata.Projekt 4.11 (Projekcije prostora na rarrninu).

1. Raiunala rade i s trodimenzionalnim objektima, pa trodimenzionalne objekte mo-raju pdkazivati u dvodimenzjonalnoj ravnini. Za to su potrebne projekcrje kojetrodimenzionalni prostor reduciraju na dvodimenzionalnu ravninu. Tu se upotreb-ljavaju transformacije iz projektivne geometrije slitne onima kojima se sluZimo prikreiranju karata na papiru koje predstavljaju sferna podrutja. Proutite te transformacije.

2. Zelimo Ii raditi s grafidkim prikazima na ekranu kompjutera upotrebljavamorazne promjene u geometrijskom izgledu objekata (promjena relativnog ili ap-solutnog poloiaja). Proutite geometrijske transforacije koje to omoguiuju(http://rvr,wv.deakin.edu.au).

Zadaci za ponavl.janje

Projekt 4.12. Matrice t1i su elcmenti kompleksni brojevi.

Zadatak 4.10. lspiiite matricu ,1 tipa (11. 1) sa svojstvom a;; i .i + ti +.j",]Zadatak 4.11. \eka ie I - l.' l:t .l

a) Odredite .r:. r7. : € R tako da.je ,1 gornjetrokutasta matrica.b) Odredite r'. q. : e R tako da.je -1 donjetrokutasta matrica.

c) Odredite .?:. ,. : € F. tako da ie ,{ dijagonalna matrica.

d) Odredite .r. ,. : a it tako da je ..'l simetriina matrica.

e) Odredite .r'. r/. .: a R tako da je . I antisimetritna matrica.

Zadatak 4.72. Zadani su elementi matrice tipa (3,3) sljedetom formulom

| -t',.1.2ai ," 1 ',." j za; ,

a) Ispi5ite zadanu matricub) Izraiunajte .1/ + 2.{ 11og,3, gdje je / jedinitna matrica tredeg

reda.c) O kakvoj se wsti matrice radi?

89

' [ "':l ' ;: , ' [i .,]

Upotrebljavajudi te matrice dokaZite da vrijedi:a) asocijativnost -1(.D(;) : ()B)('b.) distributivnost i.] + lrla' - AC' + BC'c) identiteta ,\I : L|. gdje 1e 1 jedinitna matrica reda 2.

Zadatak 4.15. Odredite l1j i tJ--1 ako ie:

[;t IIZadatak4.13. ZamaLricu-I I I Ilr IL

a) I(rl - r'r :lx+2Zadatak 4.74. Zadane su matricc

b)

a)

lt ] '**,,""' / ('1) ako je

b) I (.r') : 2.rrr l.r'

0r0111{) 00l)02

I l ;l (J t l,:l; ,' i ii I i

[; r o r ]I r rlr-1r,I i B: rr I

[rr] Lr I

ii2ll

90

lo'lc) ,4 .t23 r iB lll

L.lZadatak 4.16. Nadite bar tetiri rjeienja jednadZbe

Zadaci za ponavljanje

-Y2 :

Zadarak 4.77 , Nadite .4" za proizvollni n. €Ni1301

Tvrdnju dokaiite matematitkom indukcijom.-" rlZadatak 4.18. Neka ie ,4 - - l.' LU ]1. Odredite r'. g. z € lR tako daje r1 Sornjetrokutasta matrica.

2. Odredite x..q, u e lR tako daje A donjetrokutasta matrica.

3. Odredite z. i7. z € R tako da je A dijagonalna matrica.

4. Odredite r. y. z e JR tako da je / simetritna matrica.

5. Odredite;r. y.: e R tako da je ,4 antisimetriina matrica.

Zadatak 4,79. Pronaalite dvije kvadratne matrice tredeg reda koje su razlitite od nulma'lrice. a aiji produktjejednak nulmatrici.zadatak 4.2o. Neka su ..1 i B matrice tipa (n. n),a) Faktorizirajte izraz A2 - 3A + 21. b) Raspisite izraz (A - B)' .

Zadatak 4.27. Neka je D dijagonalna matrica reda nr. temu je jednako D"? DokaZite.

zadarak 4.22. DokaZite :

1001

a) (,{+B)r:A7 +Rr,c) (,,18)r : Br Ar .

Zadatak 4.23. Izradunajte sljedeie determinante :

a).2ti b)

-l 3 2

2 7 -t

b) (A A)r : 1'1't',

e+2c c

376 -9.:i o

c)

e)

d)?33

1

270210:t233502 1 3 -,1

Zadatak 4.24. Ako je A kvadratna matrica reda 3 i det ,tr - 3 izratunajte

Zadaci za ponavljanje

a) act (lr)Zadatak 4.25. Neka je

,-[

Izratunajte dct ,{. dot B. dtt,4 + dct B. dct (/ + B) . Sto zakljutujete?Zadatak 4.26. Izratunajte dererminanru matrice

| "' r J"gr 'l

t-1."., r .in, l.L " , r ,' l

Zadatak 4.27. Provjerite da li wrjedia) (-{+B)r -.17'+ 81 b) (.1 +B)-1 :A1+81

9L

')5

b) det (Ar) - .r act (,'l'?)

j,l ,-l; ll

-/

r:i:.;rr.:.i:ii?1,4

Sustave linearnih jednadZbi primjenjujemo u svim podrutjima znanosti i tehnike.U ovom poglavlju iznUet iemo najvaZnije metode njihova rjelavanja: rjelavanjesustava upotrebom inverzne matrice sustava i upotrebom determinanti ukolikoje broj jednadZbi u sustal.u jednak broju nepoznanica, a upoznat 6emo i Gaussovpostupak koji se moZe primijeniti na proizvoljni sustav. Na kraju iemo izredi naj-vaZnrji teorem za rje5enje sustava linearnih jednadZbi kojeg zovemo Kronecker-Capellijevim teoremom.

5.1 Linearna jednadZba s n nepoznanica (varijabli)

Linearna jednadZba s n nepoznanica (varijabli) je izraz oblika

a1rl + Q2r2 + ... * antn : 11

pri [emu su a;, ?i - 1,2, . .. ,n, realni brojevi koji se zoi,.u koeficijenti varijabli,b je takoder realan broj koji se zove slobodni koeficijent, a i, i : 1.,2,...,nsu nepoznate velitine iije wijednosti treba odrediti. RjeSenje ove jednadZbe jesvaka ureilena n-torka realnih brojeva koja nju zadovoljava. Za neku rz-torkukaZemo da zadovoljava jednadibu ako nju prewara u brojdanu jednakost.Rje3enja jednadZbe 2r -f3y:5 su npr. urecleni parovi (1,1), (4, 1).

Jednadiba iz prethodnog primjera ima dvije varijable pa nju zadovoljava besko-naino mnogo urerlenih parova. U op6em obliku svi parovi koji zadovoljavaju tujednadibu mogu se zapisati kao (p,L?),p € -R. Izborom posebnih wijednostiza parametar p dobivaju se posebna rjelenja.

Sustav rn linearnih jednadibi s rt nepoznanica 93

5.2 Sustav nr linearnih jednadZbi s n nepoznanicaSustav rrr linearnih jednadZbi s n nepoznanica je skup od nr jednadibi za koje setraZi zajednitko rjeSenje

(llt.Il - (ll2J:')(1)1.t 1 + Q22.1:2

::Q 1t.r:1 + Q.nt2:t:2

+ ... + ltnr:nr ... * 02nJ:

.. : . (s.1)

b1

- lt.t

+ ... + u,,,,,.1:, - b,,,.

Koeficijenti a,1.b,:i - 7.2.....n,j - 1.2.....rn su realni brojevi. Koeficijent(,/ pripada j-toj varijabli u i-toj jednadZbi, a l; je slobodni koeficijent u .l-tojjednadZbi.Rjesenje ovakvog sustava je svaka ureclena n-torka realnih brojeva(rt.r',2. .... r,,) koja uvr5tavanjem u sustav tako daje .r; - 11.i - 1.2.....n zad,o-r.oljava sve iednadZbe sustava.S obzirom na rjelivost sustav moZe biti:

- odreilen, ukoliko ima jedno jedino rjeienje,

- Neodreclen, ukoliko ima beskonatno rjelenja,

Kontradiktoran, ukoliko nema rjeSenje.

5.3 RjeSavanje sustava linearnih jednadZbi pomoduinverzne matrice

Cilj ove totke je verificiranje postupka za rjelavanje sustava od l jednadZbi s rinepoznanica pomoiu determinanti. Promotrimo sustav od ri linearnih jednadZbis rr nepoznanica. Dakle,

(?|iat + (tt)t!:2 + ... + alLn.r'?r

{t.)t.tt I tt22t:2 + . + (th.L'n.. .. .. :

onLrt + or,2:r'2 I ... + 0.,,,,.rr, - b,,

Oznatimo li s ,'l matricu koeficijenata varijabli (ovu matricu zovemo joi matri-com sustava), s X jednostuptanu matricu varijabli i s B jednostuptanu matricuslobodnih koefi cijenata

t\b,2

;,,

ifl.12

:

.t,

Q 1tl0,t,,

:

(s.2)

r? i I tt.72(121 (t.22

::tln1 tt n2

Y- , B- (s.3)

-/

94 Rjeiavanje sustava jednadibi pomo(u determinanti

Sustav 5.2 moZemo napisati u matritnom obliku

AX .. u. (s.4)

Znamo da ako je -4 regularna matrica rje5enje tog sustava je

r : -,1 11]. (5.5)

Primjer 5.1, Pomoiu inverzne matrice rije5imo sustav

2:tt + :t',t - :t::t - 03rr i '24 - 123;r1 + .i2 + 2r'3 : 11

RjeIenje.

Uotite da se pomoiu inverzne matrice moZe rijeliti samo odreden sustav

' i''::[ !ir]tll rl#,i] [i]]

5.4 Rje5avanje sustava jednadibi pomotu determinantiCilj ove toike je verificiranje postupka za rje5avanje sustava od ri jednadZbi s rinepoznanica pomoiu determinanti. U sustalrr 5.2 jednadibe pomnoZimo redoms kofaktorima prvog stupca pripadne matrice sustava ,4. Dobijemo

o11.rr + o,.r,2 + ... * rtt,t.r, - br I ,rrto.2tirt + e,)2r'2 + ... + e2t-:n : lD / -t,t

::i:a,t,t't + utDt,) + ... + rt,,,,.r',, - b,, I 1,,,

Sada sve jednadZbe zbrojirno. Dobivamo

(nrr''lrr l a21-421 * + o,,r.'1,,r)rl * (o12J1 r l u22.t2y + + a,2Au1').t:2+''' F (rr1,,-,111 * rt2,,A21* * o,,,,,,4,,1)r', : 1r,41 ibzlzti +b.,A,,r

Uvaiavanjem svojstava 4.13 i 4.14 zakljutujemo da su vrijedn osti izraza u zagra-dama uz sve varijable osim eventualno r1 jednake 0. Koeficijent od,r'1 jednakjedet ,4 pa se prethodna jednadZba moZe napisati u obliku:

D:t1 - 11,.

Rjeiavanje sustava jednadibi pomo(u determinanti 95

gdje je D - dct,,1 determinanta sustava, a D1 je determinanta matrice koju do-bijemo iz matrice .,1 tako da prvi stupac zamijenimo s elementima jednostup6anematrice slobodnih koeficijenata B. tj.

I

Dt-

Op6enito, mno2imo li sve jednadibe zadanog sustava s kofaktorima elemenatal-tog stupca matrice sustava -1, dobijemo

D.t,- l;1,. (s.6)

gdje je D; determinanta matrice koju dobijemo tako da se I ti stupac matrice :1zamijeni s jednostuptanom matricom 11.

Pravilo 5.6 zovemo Cramerovim praviloml i ono se moZe koristiti da bi se rije5iosustav linearnih jednadibi.Slutajevi koji se mogu dogoditi pri rjeSavanju sustava ri linearnih jednadZbi s rivarijabli pomoiu determinanti su sljedeii:

t. Ako je determinanta sustava D I tl, jednadZba iz Cramerovog pravila moZe

se podijeliti s D pa prorzlazi r, : u; ,, - 1. 2, ..., r?. Sustavje odreden i

njegovojedino rjeSenjeje ,,-ro.lu ( ? ?: ?. )\/) t') D/Ako za determinantu sustava vrijedi D - 0. postoji viSe mogudnosti

(a) Ako lr. i e 11,2.....r1]'. D; I 0 sustav je kontradiktoran (zal-tu komponentu rje5enja prema Cramerovom pravilu vrijedilo bi0..r;10).

(b) Ako je Di - ]Vi € {1.2. . . . . n} postoje sljedeie moguinosti(i) sustav je neodreden,(ii) sustav je kontradiktoran.

Naglasimo da samo Cramerovo pravilo nije dovoljno da bi se razliko-vali slutajevi (i) i (ii).

lGabriel Cramer (770+1752) - Svicarski matematitar, uporrijebio pravilo kasnije nazvano poniemu, u svom prouiavanju krivulja, ipak on pravilo nije izmislio

b1 t12l;2 rt 22

::b, ct,2,,

... o trr

. .. (12n

:

2.

96 Gaussov postupak

CRAMEROVO PRAVILO

D I 0, sustav ima jedinsweno rjelenje ri : fiD:Oa) 1i, Dt I 0 + sustav je kontradikoranb) Di:0, Vi + sustavje neodreclen

Zadatak 5.1. Cramerovim pravilom rijeiite sljedede sustave2rt + 3rz - .t3: 4a) 4r, - 2.r2 + 5"ry : 15 ,

-3rr 5rz + 13 : -20

1.

,

-93:4* 5ca :15,6r-:,

-fi3:4* 523 : 15,

1i

+J.r3:rLF,r--,l9u3:5

b)

c)

U1d) 2rt

3lrt

2:tt4rt

-2rt2st4rt

-3rr

I 3r2I 2r2lsz+ Jfr2I 2x2

- 5rzI 2xzI 4r2I 612

5.5 Gaussov postupakGaussorl postupak eliminacije temelji se na uzastopnoj primjeni tzv. elementar-nih transformacija sustava jednadibi koje dani sustav prevode u njemu ekviva-lentni sustav, tj. u sustav koji ima skup rje5enja jednak danom sustarn.

5.5.1 Ekvivalentni sustavi linearnih jednadibiDefinicija 5.2. Neka su S i ,9/ dva sustava linearnih jednadibi. Kai;emo da su tisustavi elcvivalentni ako je skup rjeienja sustava S jednak skupu rjelenja sustavas'rR(s):R(s').Primjer 5.3. Primjeri ekrivalenmih sustava:

1.

(s)(s,)

zCarl Friedrich Gauss (U77-1855) - slalrd njematki matematital jedan od najveiih matema-titara svih wemen4 dao doprinose wim tada poznatim podruijima matematike

2r-4:2z-3:0

Gaussovpostupak 97

Sustavi (5) i (,9') su ekvivalentni jer im je skup rjeienja jednak, tj. /? (S )

1t (s-') - {3}

2.

(s)

(,s')

Sustavi (S) i (S') su ekvivalentni jer im je skr.rp rje5enja jednak, tj. ft (.5) -,/i(s'') -{(3.-1)}

Primjer 5.4. Evo sustava koji nisu ekvivalentni:

.at ' .I2 - l \..t -.1'2 - 1 J

Lr li.r,:l) r

)'+ta 1 i

.r1-.r1:21r1 .t .2-) )

illL/r-2 i

(s)

(.s')

n (,9) : {(3. 1)} . Par (lt. l)je ujedno i rje5enje sustava S' ali vrijedi /l (.9) cR (S') (sustav S'ima beskonaino rje5enja).

5.5.2 Ekvivalentne transformacije sustava jednadZbi

Na sustavu jednadibi mogu se provoditi postupci koji ne mijenjaju skup rjebenja,a poznavanje tih postupaka temelj je za njegovo rjeSavanje. Evo takvih transfor-macija:

1.

3.

Ako u zadanom sustavu .5 dvije jednadZbe zamijene mjesta dobiveni sustavS' ekvivalentan je sustavu ^5-.

Ako se neka jednadZba sustava S zamijeni produktom te jednadibe i proizvoljnog realnog broja razliiitog od nule, dobiveni sustav ekvivalentan jepolaznom.

Ako se u danom sustavu S neka jednadZba zamijeni zbrojem te jednadZbei neke druge jednadZbe sustava, dobiveni sustav je ekvivalentan sa susta-vom 5.

\abrojene transformacije sustava zovemo elementarnim transformacijama.Kombiniranjem pravila 2 i 3 dobijemo i pravilo:

2.

98 Gaussov postupak

3' Ako se u susta\n S neka jednadiba zamijeni zbrojem te jednadibe i nekedruge jednadibe pomnoZene proizvoljnim realnim brojem, dobiveni sustavekvivalent an je sustavu 5.

Svaki postupak kojim se od zadanog sustava jednadibi dobije ekvivalentan sustavzove se ekvivalentna transformacija sustava. Pokazuje se da vrijedi sljedeiapropozicija, koja osigurava da je dovoljno poznavati elementarne transformacijeako Zelimo transformirati sustav u njemu ekvivalentan.Propozicija 5.5. Svoko ekvivalentna transformacija moie se dobiti pomo(u konai-nog nlza elementornih t ronslormacija.Evo primjera gdje ponavljamo kako se provodi Gaussov postupak, a zatim obraz-laie skraieno pisanje Gaussova postupka pomoiu tablice.Primjer 5.6. RijeSite sustav

jl]L ...f2 : 3

2.r:1 3;r2 -- 5

RjeSenje.i]'I rz - 3i ( 2),/ +

'2tt 3r2 - f

:t'l .12 : i].t2 - 1/ (- 1)

ll't .ll, - ll.1:-) : l//+

Jr : 1

12 - l.Ovaj se postupak moZe prikazati i pomotu tablice.

I ( 2),/ -

/ ( 1)

,/t

tr

Jl .ll h11'2 -3

:t5

1 -1{) -131

i10l

3I

l00I

lI

Gaussov postupak

Primjer 5.7. Rijeiimo sustav

'2rt 3r2 : -16r\+9r'2-3.

RjeSenje. Pomnoiimo Ii pmr jednadZbu s 3 i pribrojimo nju drugoj, dobiveni sustavsadrZavati ie samo jednu jednadibu. Bududi da je taj postupak ekvivalentna transforma-cija, zakljutujemo da je zadani sustav neodreden. Rrjeiimo li preostalu prvu jednadZbupo varijabli .r1 dobijemo r1 - | + )t,r. iz dega proizlazi da svaki put kad za .t,2 izaberemo posebnu vrijednost moZemo izratunati odgovarajuiu vrijednost za .r1 kako bidobilijedno posebno rjeienje zadanog sustava. tr

Varijabla r1 po kojoj smo rijeiili sustav zove se bazitna varijabla, a varijabla 12zove se nebaziEna varijabla ili parametar. Uobiiajeno je da se za tu varUablukoristi oznaka p. U rjeiavanju neodrealenog sustava koristi se sljedeia terminolo-gUa:

- Op6e rjeienje sustava: (-j + |r t') .

- Posebno (partikularno) rje3enje za npr. p - 1je (1.1).

- Bazitno rje5enje dobijemo za 1t - 0 i ono glasi ( ,1.0) .

- SuviSna jednadiba: za jednadzbu kaZemo da je suvi5na ako se moie dobitilinearnom kombinacijom ostalih jednadZbi sustava. U zadanom sustavu jednajednadiba je suvi5na.

Primjer 5.8. Rijeiimo sustav

99

Jr!2t2-2rs3.rrl2tz*1r3lJt + J2 ,1.r'.l

J:1 .l:2 lt .1.:l

+ l-Lt - :l

-f.t:9i -1.r1 - 2

Rjeienje.

1

3222211131

i)I2

.J

248

Provedimo ekvivalentnu transformaciju sustava tako da nakon nje samo jedna jednadZbasadrii varijablu .?rr . U tu svrhu prvi red tablice pomnoZen s -3 pribrojimo drugom, azatim pomnozen s 2 pribrojimo treiem redu. Pri izvodenju ove transformacije kaze seda je varijabla .r1 vode6a varijabla, prui red je vode6i red, a koeficijent od je kljutnielement transformacije. Dobijemo nor.u tablicu

t2)0 I 10057

2

tl

100 Gaussov postupak

Sustavjednadibi koji odgovara ovoj tablici koeficijenata ne sadrii varijablu z1 u drugoj itredoj jednadlbi. Sad provedimo ekrrivalentnu transformaciju sustava kojom 6emo dobitisustav koji sadrZi varijablu ll2 samo u drugoj jednadZbi. Odaberemo Ii drugi red tablicekao vode6i red, na mjestu koeficijenta varijable z2 trebamo dobiti 1. To moiemo pos-ti6i djeleii drugi red s ( a) ili tako da mu dodamo treti red. Budu6i da je ova drugamogudnost jednostavnija, dodajmo dakle drugom redu prethodne tablice treii red:

t2 22 -50 I 3 1 160 5 -7 8 -8

Sad drugi red pomnoZen s -2 dodamo prvom, a zatim pomnoien s -5 treiem. Time smovarijablu 12 eliminirali iz svihjednadZbi osim iz druge. Dobije se tablica

SustavjednadZbi koji odgovara ovoj posljednjoj tablici moZe se jo5 rijeSiti po varijablama:4 ili ra. Zelmo li ga rijeSiti po varijabli ca moramo posljednji red tablice podijelitis -22 i, zatim ga pribrojiti drugom redu, a njegov produkt s 8 pribrojiti prvom redu.Jednostavnije ga je rije5iti po varijabli ta jer je za to dovoljno treii red podijeliti s 3 ioduzeti ga od drugog reda. Dobije se tablica

I 0 ,tt 0t-o 1 ? ol+00 +L

Posljednjoj tablici odgovara sustav jednadZbi

11 - 8,,z*, - tr"

T*" + 'n

:37

Ovaj sustav moZe se zapisati u obliku koji zovemo rjeienjem zadanoS sustava

11 - -or -r o13136 31

x2 = -; ;r3DD88 2214:-T+rrr3Zadani sustav rijelen je po varijablama r\ 12 i 14 i one se zollt baziEne varijable. Vari-jabla u 3 ima ulogu parametra u op6em rjeienjujer se za svaki odabir njezine wijednostidobije jedno posebno rjeienje zadanog sustava. To opde rjelenje moie se zapisati kaoureclena tetvorka (8p - 37, $ - 1*p, p, ?p - ?) !Primjer 5.9. Odredimo bazitno rje5enje sustava iz prethodnog primjera.

Rje5enje.Bazitnorjelenje(37,139,0,-T)dobijemozap:0. tr

_Eq3

- =!!-3

16

-88

10 -8001 3100 223

Gaussov postupak

Primjer 5.10. Prethodni primjer rije5ite tako da nebazidna varijabla bude 13.Primjer 5.11. fuje3imo sustav

101

-5I2

-9:74tako da varijable z1 i c2 budu bazitne varijable i nadite sva baziina rje5enja sustava(ukupno ih je 3 ).

rt-2r2+2rt I 4rz -

8rz13-

523 :

Rje5enje, Provede li se Gaussov postupak dobiju se sljedede tablice

Oduzmemo li od posljednjeg reda drugi red dobije se tablica

Posljednji red ove tablice odgovara jednadibi 0. rr |0 . xz t 0.rz: 2. Bududi da ovajednadiba nema rjeienje, zakljuiujemo da je zadani sustav jednadZbi kontradiktoran.Lako se vidi da je lijeva strana trede jednadZbe sustava razlika lijevih strana dvostrukeprve i druge jednadZbe, a za desnu stranu to ne wijedi. tr

Sustav jednadZbi je kontradiktoran ako se tokom njegovog rje5avanja u tablicipojavijedan red koji se sastoji od samih nula s lijeve strane, a na desnoj je stranibroj razlitit od nule.Iz prethodnih primjera vidi se daje Gaussov postupak pogodan za rjeiavanje sus-tava linearnih jednadZbi bez obzira na odnos broja jednadZbi i broja varijabli.Pomoiu inverzne matrice moguie je rijeiiti samo odretlen. Samo pomo6u de-terminanti ne moZemo utvrditi da 1i se radi o kontradiktornom ili neodredenomsustar,rr ukoliko su sve determinante jednake nuli. Zbog toga Gaussov postupakima prednost u odnosu na druge metode jer se moZe primjeniti na bilo koji sustav.Zadatak 5.2. Rijetsite sustav

fi7 l2rz + 2ts3xt+2rz+4rs2tr I 2x3

$1 f2 b1

2 4-t0 8-5

2 2 -52

1-2 20850 8 -5

519

2

192

7-220 850 00

102 Gaussov postupak

5.5.3 Odretlivanje inverzne matrice pomodu Gaussovog postupka

Prisjetimo se postupka kako smo odreclivali inverznu matricu kvadratne matrice2. reda. Problem se sveo na rje5avnje sustava od 4 linearne jednadZbe s 4 ne-poznice. Meclutim, dvije i dvije jednadZbe imaju identitne koeficijente uz nepoz-nanice, a razlikuju se u slobodnim koeficijentima. Koeficijenti uz nepoznanicesu elementi redaka matrice A. Slobodni koeficijenti su 0 ili 1, jer su to elementijedinitne matrice. Opienito, postupak rjeSavanja takvog sustava moie se izvestisimultano.Slijedi primjer na kojem temo pojasniti postupak.

Ir 2 t1Primjer 5.12. Nadimo,4 trul-lO , ,

IL1 101Rjesenje. Po definiciji treba biti AA-1 - I. Stavimo

^-1 li 2 ;)ls n i li ur.rstimo u gornju jednadZbu. Dobivamo

I q+2d-s bt2e h ,-,21-i1I za-u 3h +2e 2I t Ji I -I o-d b-e e f l

pa izjednaiavanjem slijedi

cL! 2d-tg :7 bt2eih :02d-3s :0 3h+2. -lcL d :0 b-e :0

I r o oll:;llc+2f +i :02l +3i :0c f :1

Dakle, treba rUediti tri gomja sustava. To se moZe uiiniti odjednom pomoiu Gaussovogpostupka, kao 5to slijedi.

/.(-1)+3.red/ (-1) + 1.red

1.2+3rcd

i ! 4rI I llt1 7 14 I

I3f1 I27210231 -1 0

100010001

1 0-40230,4 1

110010

-1 0 1

100010001

ZakljuEujemo:

._, I^:l

.

i

Gaussov postupak

Postupak za raEunanje inverzne matrice:Pomoiu elementarnih transformacija koje se koriste u Gaussovom postupku moiese odrediti inverzna matrica. Postupak za invertiranje matrice A n-tog reda jesljede6i:

1. Formira se tablica s n redova i 2n stupaca koja u lijevom dijelu sadrZi ma-tricu koja se Zeli invenirati, a na desnoj strani je jedinitna matrica n-togreda

2. Provode se elementarne transformaclje tako dugo dok se na lijevoj stranine dobije jediniina matrica. Matrica na desnoj strani je inverzna matricazadane matrice.

elementame tra[sformacije

Ovaj je postupak posebno pogodan za ratunanje inverzne matrice matrica redavi5eg od 3, jer za'Velike" matrice treba po postupku preko adjunkte ratunatidosta minora.

Primjer 5.13. Invenirajmo matricu

103

!

t z -s Ilr 3lRjeienje.

T2 -bTl olr elo rlf1 .3To l Ilz -s r ol

0 ,11 1 -2

+ zamijenimo prvi i drugi red

, drugom redu pribrojimo prvi pomnoZen sa -2

- podijelimo drugi red s (-11)

' prvom redu pribrojimo drugi pomnoien s (-3)

!

1001 .1

1301

01

104

5.6Rang matrice

Rang matricePromotrimo matricu A tipa (ar. rr). Ako se iz rlt't..1 izbaci rr fu redova i rirA'stupaca ostane determinanta ,t-tog reda tzv subdeterminanta l'-tog reda od<krt ,{Definicija 5.14. Matrica A ima rang A' (pilemo: / (,1) - L) ako je k najveti pri-rodan broj takav da u matricl A postoji subdetenninanta k-tog reda razltiita odnule.

Primjer 5.15. Izraiunajmo rang matrice

Rje5enje. Dobivamo <krt,'1 : 0, a i sve subdeterminanre 3. reda jednake su nula. Nopostoji subdeterminanta 2. reda razlitito od nule. Npr.

8 .-r 5. paje /'(,4) - l

LJ

Primijetimo sljedeie tinjenice vezane uz raiunanje ranga matrice.

1. Samo nulmatrice imaju rang jednak nuli.

2. Matrica A je regularna matrica reda n ako i samo ako je r'(--1) - 17.

3. Akoje ,1 matrica tipa (rn. ri) tada za rang od J vrijedi r'(,,1) { rlil(rrr. rr).

Da bi lak5e ratunali rang matrice koristimo elementarne operacije na redovima(stupcima) matrice:

zamjena dvaju redova (stupaca) matrice,

mnoienje reda (stupca) matrice realnim brojem razliiitim od nule,

pribrajanje, umnoika nekog reda (stupca) realnim brojem razlititim odnule, nekom drugom redu (stupcu).

1.

2.

3.

Propozicija 5.16. Elementarne operacije ne mljenjaju rang matrice.

Rang matrice 105

Dakle, ratunanje ranga po definiciji zahtjevalo bi raiunanje velikog broja de-terminanti tak i kod ne posebno vclikrh matrica. Umjesto toga upotrebljavamoelementarne operacije s ciljem da matricu transformiramo u njoj ekvivalentnumatricu kod koje se rang lagano oiita. Uotite da elementarne operacije zapravopredstavljaju Gaussove eliminacije, samo Sto se mogu primjenjivati ina stupcematrice. U konatnici Zelimo dobiti najveir: regularnu trokutastu submatricu danematrice. Red takve submatrice predstavlja rang dane matrice.Primjer 5.17. Upotrebom elementarnih operacija na redovima nadite rang ma-trice iz prethodnog primjera.

Rjebenie.

{3n) . ,ltn)(ln) 1(11i1 -- (lnr -

tll 1 t '11 .'ll tzti ,:t,q tl( -

:itl

Dakle, doili snro do gornje trokutaste submatrice reda 2, koia je regularna, pa zakljutu-jemo da]e |i-l) 2. f

5.6.1 Kronecker-Capellijev teoremZnamo da se svaki sustav linearnih jednadibi moZe napisati u matriinom oblikukao ,{-\ - /1, gdje je -l matrica sustaval a ll jednostr.rpiana matrica slobodnihkoeficijer.rata. Matrica sustava ,{ moZe biti kvadratna, ali i pravokutna tj. brojjednadZbi sustava ne mora biti.jednak broju nepoznanica. Poznaro nam je dasustav ima jedinstveno rje5enje -Y .= .1 I B ako i samo ako je .1 kvadratna regu-larna matrica. Postavlja se pitanje uvjeta koje trebaju zadovoljavati matrica .,1 iB da bi sustav imao e5enie tj. bio konzistentan. Pri tome matrica.4 ne mora bitikvadratna, a znamo da je sustav konzistentan ukoliko ima jedno ili beskonatnomnogo rje5enja. Odgovor na ovaj problem uskoje vezan uz pojam ranga mrtrice.ProSirena matrica sustava je matrica koja ima jedan stupac vi5e od matrice ..1 i utaj stupac je smje5tena matrica /J.

Teorem 5,18 (Kronecker-Capelli). Susrov llnearnih jednadi:bi tma rjeienje <+rong tnatrice sustava jednok je rangu proiirene mofrice sustaya rl. r'(.1)r ([.,1 n]) .

Dokaz. (=) Pretpostavimo najprije da jednadZba -1-\ - tJ ima rjeSenje -{ -(' - i'.r,, ti da vrijedi i u,*., - ,,.7-,

I

7N

tl

t - ', ; r'1l I , ,l | -0 t{r I li it ,,illLr i rr l

I 1) lti ] 'l

. i trt ,,, I

(l {l il r)

00t) 0

106

Proiirena matrica je oblika:

Homogeni sustav linearnih jednadibi

I o,, atn I"orro IA,:l i : , I

| ",,, .. ,,,, !.*o-o .l

Posljednji stupacje otito linearna kombinacija prvih n stupaca, pa slijedi daje r(A) : r(f,a rl).

(e) Pretpostavimo da je r(lA fl) : r(A) : r. Tada A ima r linearno nezavisnihstupaca. Bez smanjenja opienitosti moZemo pretpostaviti da je to prvihr stupaca. To znati da je u prosirenoj matrici posljednji stupac lineamakombinacija tih r stupaca, tj. da postoje c1,. . . , cr takvi da

Ibt) - "tloirl + "' + c,la;,1 * c.,p1 la;,'a1] + " -l c.la;"),

gdje su c,*1, ...,cn :0. Dakle, fb;l : la;.1[c1], paje B : A . fcsl. Prematome matrica 6 : lc7.] je rjeienje matritne jednadZbe AX - B.

tr

Neposredna posljedica Kronecker-Capellijevog teorema je sljedeti korolar.

Korclar 5.19. Vrijedi:

1. Ako je pri tom r (A) : n (broju varijabli), onda je sustav odreden (ima je-dinstveno rjeienje).

Ako je r (A) < n, onda je sustav neodreden.

Ako je r (A) > n, onda je sustav kontradiktoran.

2.

3.

5.7 Homogeni sustav linearnih jednadZbi

Linearni sustav kod kojeg su svi slobodni koeficijenti jednaki nuli zove se homo-geni sustav. Homogeni sustav ima uvijek barem trivijalno rje5enje tj. de5enjeoblika(0,0,...,0) .

Sljedeti je teorem posljedica Kronecker-Capellijevog teorema.

Teorem 5.20 (Roucheov teorem). Homogeni sustav u kojem je broj jednadi;bijednak broju nepoznanica ima i netrivijalnih ryeienja <+ det ,4 : 0.

Zadatak 5.3. Nadite wijednosti realnog paramera o. tako da sustav

2xr3rr

t 2r2 13+ (3+a)12 - 3rr

(a 1)r, I 4r2 3r3

:0:0

ima i netrivijalna {eienia. Nadite op6e rjeienje u tim sludajevima.

Sustavi lineamih nejednadLbi s viie varijabli L07

5.8 Sustavi linearnih nejednadibi s viSe varijabli

Ovdje iemo pokazat kako se rjelavaju sustavi linearnih nejednadZbi s vi3e vari-jabli. Pretpostavlja se da studenti poznaju linearne nejednadZbe s jednom va-rijablom i sustave linearnih nejednadZbi s jednom varijablom u tolikoj mjeri ukojoj su te teme obradivane u srednjoj Skoli. U daljnjem tekstu podrazumjevat6e se da se radi o linearnim nejednadibama i kada se linearnost ne6e eksplicitespominjati.

Definicija 5,27. Linearna nejednadiba s n varijabli je izraz obltka

LLI-L:I + a2t') * ..* A.,,.r,, <* b.

pri iemu umjesto znaka <.* moie stojoti <., >, < ili >. et1 e21 . .., o., € R sukoeficijenti varijabli, b e R. je slobodni koeficijent.

Definicija 5.22. Rjeienje nejednadi;be je svaka uredena n,-torka brojeva koja njuzadovoLjava.

5.8.1 Sustav linearnih nejednadibi s dvije varijable

Ovaj sustav ima smisla izdvojiti iz opteg sluiaja zbog toga jer se on moie rjela-vati i grafitki. To nam omoguiava vizualizaciju razliditih situacija s obzirom narje5ivost sustava nejednadZbi i vrsta njihovih rjelenja.

5.8.2 Grafiiko rjelavanje sustava linearnih nejednadZbi s dvijevarijable

Grafitko rjeiavanje sustava linearnih nejednadZbi s dvije varijable temelji se nasvojstvu pravca or I by I c : 0 da on dijeli rawinu na tri dijela:

- sjedne strane pravca je poluravnina u kojoj leie totke iije koordinate (.r:, g)zadovoljavaju nejednadibu tu I b!) I r: I 0,

- na suprotnoj strani je poluramina za tije totke vrijedi a.r + by * (: > 0,- na samom pravcu su toike koje zadovoljavaju jednadZbu kojom je zadan

pravac.

Primjer 5.23. Na sljedeioj slici prikazan je pravac 2t +:1!r - 6 i oznatene supoluramine u kojima su zadovoljene odgovarajuie nejednadZbe.

108 Sustavi lineamih nejednadibi s viie varijabli

Postupak grafibkog rje5avanja lineame nejednadZbe ar * bg <* c provodi se udva koraka:Korak 1: Nacrta se pripadni pravac az * by : g,

K orr,r,k 2 : Koordinate jedne totke izvan tog pravca uwste se u zadanu nejed-nadZbu i time se provjeri da li je ta polurar.nina grafitko rje5enje nejednadZbe.Ukoliko to nije slu6aj, totke koje zadovoljavaju nejednadibu leZe u poluravninis druge strane pravca. Ukoliko pravac ne prolazi ktoz ishoditste iz praktitnihrazloga za our provjeru preporuta se koristiti koordinate ishodi5ta (0, 0). Ako sunejednadZbe tipa < ili > u grafiEko rjelenje nejednadZbi nisu ukljuteni rubovipoluravnina.Primjer 5.24. BJjelimo grafitki sustav nejednadibi

-r+A < I3a +2a < 6

y>0.RjeSenje. Svakoj od nejednadZbi zadanog sustava pripada poluravnina-rjelenje. U pre-sjeku tih poluramina nalaze se toEke tije kordinate zadovoljavaju sve nejednadibe. Tajskup zove se poliedar rjelenja. RjeSenje ovog sustava prikazano je na slici

Na slici su oznatena i neka posebna rjeienja (vrste rje5enja sustava nejednadZbi kasnije6e se stroZe defidrati); wSna rjesenja y1(-1,0),yr(f, ?),V3(2,0),jedno rubno rjese-nje fl"(1, ,!; i.ledno unutarnje ili stabilno deSenje z;irlr). Uotiie da w5na rje5enja uovom primjeru zadovoljavaju po dvije nejednadibe kao jednakosti, a jednu kao strogunejednakosq rubno rje5enje zadovoljava jednu nejednadibu kao jednakost, a unutamjerjelenje we zadane nejednadZbe zadovoljava kao stroge nejednakosti. tr

Sustavi linearnih nejednadl,bi s viie varijabli

Primjer 5.25. Sustav nejednadLbi i\.r + 2u < 6.toran. Nacrtajte slikulPrimjer 5.26, Sustav nejednadLbi 3t + 29 < b.jedno rjeienje; (1. 9 ).

5.8.3 Op6e rjeienje sustava nejednadZbiU op6em slutaju sustavi nejednadZbi imaju beskonatno rjeienja. U slutaju neo-dredenog sustar.a jednadZbi njegova rjeSenja karakterizirali smo pomoiu parame-tara. Postavlja se pitanje kako dobiti opie rjeSenje sr.rstava nejednadZbi. Naialost,u ovom slutaju ne mogu se primijeniti ekvivalentne transformacije sustava na ko_.jima se temeljio Gaussov postupak sistematske eliminacije za rjeiavanja sustavajednadZbi. Ilustrirajmo ovu tvrdnju sljedeiim primjerom:Primjer 5.27. RijeSimo sustav nejednadibi

.r'iy > 7

-3r +2y <. 6

Rje5enje. Kad bi se radilo o jednadZbama mogli bismo eliminirati varijablu .r mnoZe_njem_ prve jednadZbe s 3 i pribrajanjem drugoj. Budu6i da se u primjeru radi o nejednadzbama, uz or'rr transformaciju imali bismo problem odredivanja smisla nejednakostiu dobivenoj nejednadZbi. or.u transformaciju smjeli bi primijeniti ukoriko bi obje neled-nadZbe sadrZavale isti znak nejednakosti.

Elementarne transformacije sustava nejednadibi Ako je zadana nejed_nadiba A <- B,pri 6emu su;1 i B algebarski izrazi, a C je realan broj ilialgebarski rzraz, tada su nejednadibe

(,) A+c(i;1 A c(,ii.i) za C(i r.) za (;

ekvivalentne zadanoj. pri iemu jeznaku <'.

109

t lt . l. a :t je konrradik-

.r-tl < 1. y 1| ima samo

<- BC>- BC'

smislu nejednakosti suproran

<.. Ll +c<.* B C>0. AC< 0, A(:

znak >* po

Dopunske varijableSustavu nejednadzbi moze se uvodenjem dopunskih varrjabli pridruziti ekviva-lentan sustav jednadZbi. Tako npr nejednadibi oblika.4 < B moZemo pridruZitijednadzbu dodavanjem lijevoj strani nenegativne varijable , koja za razlidita r.ie-ienja te nejednadibe poprima vrijednosti razlike izmeclu njezine desne i lijeve

110 Sustavi lineamih nejednadLbi s viie varijabli

strane. Ukoliko se radi o nejednadibi sa znakom >, tada nenegativnu varija-blu treba oduzimati od ltjeve strane (ili dodati desnoj) da bi se dobila jednadZba.Ovim postupkom sustavu nejednadZbi pridruZuje se sustav jednadZbi, s tim da onuz zadane varijable sadrZi i toliko nenegativnih varijabli koliko ima nejednadZbi.Primjer 5.28. Za sustav nejednadZbi iz Primjera 5.24 napiSimo pridruZeni sustav.iednadZbi.

RjeSenje. Vrrjedi

,rlil.r -

-lVarr;able u r . u2 i ?r3 zovu se dopunske ili oslabljene varijable. Pridjev "oslab-ljene" oznatava da postoji uvjet na njrhov izbor. Ovaj proiireni sustav jednadibimoZe se rjeSavati Gaussovim postupkom sistematske eliminacije. U pravilu tajsustav rjelava se tako da se kao baziine varijable pojavljuju varijable s kojima jezadan polaznt sustav nejednadZbi (tzv strukturne varijable), a dopunske varija-ble se javljaju kao parametri. Ovisno o odnosu broja nejednadZbi i broja strukturnih varijabli, u op6em rjeienju se uz dopunske varijable mogu pojaviti i nekeod strukturnih varijabli.Rijeiimo sada zadani primjer sustava nejednadZbi. U rjeiavanju ovog primjeraopie rjeienje 6e se odrediti za prve dvije jednadZbe, a tre6a te se iskoristiti kaododatni uvjet za izbor parametara. Imamo

.r +!l +ul3.1: 12y !u,2

Ut.

Rije5imo li ovaj sustav po varijablama .r i y dobit 6emo op6e rjeienje

,.- .l+ ?"r !".r.,y : I, 1,,, I,,,

t/1. u2 : 0.

Treia nejednadiba u zadanom sustavu glasila je y > 0. Nju iemo iskoristiti zaodredivanje uvjeta za izbor nenegativnih parametara. Imamo t 3,r, .1u2 > 0.odnosno j,,r + lu, ! 9. Uzmemo li u obzir i uvjete rL. u2 > 0, proizlazi da izborparametara u op6em rjelenju treba zadovoljiti uvjete 0 < zr 1. 3 i 0 ( u2 {9 3ir1,Dakle, da bi se dobilo neko posebno rjelenje potrebno je:

')11 + r?]1

tr1. ir2 13 ) 0.

I

-6

>0

Sustavi linearnih nejednadibi s viie varijabli 111

- izabrati wijednost parametra tr1 u skladu s prvim od ovih uvjeta,- izradunati gomju granicu za interval u kojem se smije birati wijednost para-

metra LL 2,- izabrati wijednost za parametar 22.

Posebna rje5enja zadanog sustava oznadena na zadnjoj slici dobiju se za sljede6ekombinacije wijednosti ovih parametara:

Rjelenjey1( 1,0)Vr(?,?)v3Q,o)r"0,3)7;(1,1)

Primjer 5.29. Odredimo op6e rjelenje sustava nejednadZbi

2u -l3rz 3 6

-ulrz Z 0

3q+r2 > 0.

Rje5enje. PridruZeni sustavjednadibi napisat iemo s promijenjenim redoslijedom, takoda jednadZbu pridruienu prvoj nejednadZbi iskoristimo kao uljet za izbor parametara:

u1 u2090030]o11

Provede li se postupak sistematske eliminacije dobije se sustav

x7 -1u,. I u,,, -1r, -1,,Iu, +1', +u,Utt U2, UB

Prve dvije jednadibe ovog sustaya sadrie strukturne i dopunske varijable i iz njih sedobije op6e rjeienje sustava

ry : julalu2rz - 1,,iluz

Tre6a jednadZba, koja sadrZi samo dopunske varijable, zajedno s uljetima nenegatiu.tosriza dopunske varijable, tini tzv. z-sustav iz kojeg se dobiju uvjeti na izbor parametara.Zbogu3 ) 0 iz jednadZbe u-sustava proizlazi f,u1 + \u2 <6, odnosno u1 < T - 1"r.Zbog u1 \ 0 proizlazi uvjet za izbor drugog parametia 0 S uz I ,"!. Dakle, posebnarjedenja se dobivaju iz opieg rjeienja tako da se parametri biraju u ikladu s uvjetimao<u, 1*ipotom 0 <rr< # -Eur. tr

1r 12 lu13rr lrz2rr l3rz

Ut'

:0u2 :0

+u3 :6uc lr. )0

:0:0-6>0

-a

112 Rleiivost susrava linearnih nejednadibi

Zadatak 5.4. RijeSite sustav iz prethodnog primjera grafitki, odredite sva njegova vrinarjeienja, po.ledno rubno rjeienje na svakom rubn poliedra rjeienja i jedno unutarnjerjeienjc.Primjer 5.3O. Odredimo opde rjeienje sustava

.r'1 2.i2-.r'r I 0

l.,r r'1 '2.i'11 I 0

.r' jl.i'.-lJ.rr ) (1.

Rjeienje. Opie rje5enje ovog sustava sadrZi jednu struktuntu i dvije dopunske varijable

),, 1,,, ),, ,

))t-,t)- -u =,,1)

>0

.ll

.r2

,frl

llt - ll) ll:lllt.ll).111

Vrijednosr za parametar l) bira se slobodno. Iz tt3 -10 proizlazi i/t I r/.r : 0. pa se uvjetiza izbor nenegativnih paranctara iz i/ -sustava moElu svesti na (l a. i/r L rr2. Odreditenekoliko posebnih rjeienja za zadani sustav! tr

5.9 Rje5ivost sustava linearnih nejednadZbiIz prethodnih primjera moie se zakljuiiti da je problem rjeiivosti susrava ne-jednadZbi povezan s rjeSivo}tu pridruZenog susrava jednadZbi. U analizi mogu-iih slutajeva rjeiivosti srlstava nejednadibi zbog roga treba uzeti u obzir brojnejednadibi, broj varijabli, rang sustava (rang matrice koeficijenata varUabli) irazliirte mogudnosti r;eSivosti u-sustava koji se moie pojaviti prilikom rjesavanjadopunskog sustava. Sljedeii teorem sadrii glavne zakljutke o rje5ivosti sustavanejednadZbi u slutajevima poput onih koji su ilustrirani prethodnim primjerima.Teorem neiemo dokazivati.

Teorem 5.31. Neka je zadan su.stoy s n/ nejednadibi i rt tnrijabli, i neka je r.lA)njegov rang. Tada vrijedi:(a) Ako je r'(-1) - 77, - n , komponente opkg rjeienja sustayo sadrLe samo nenega-tiyne parametre (.sve dopunske varijable).(b) Ako je r(.4) u1 < n , komponente opteg rjelenja sustaya sadrte rt rrtsLobodnih parametoro (strukturnth varijabli xLstava) i rrt nenegativnih porometaro(.sve dopun.ske varijable).(c) Ako je r'({) .: irr < rt , komponertte op&g rjelenja sustavd sadrie n r(.1)slobodnih parametora i r(,.,1) nenegativnth parametara, a pripadni r -susroy uzuvjete nenegativnosti za [zbor porametara sadrii i tn r(..1) jednadibi u kojitna sejavljaju samo dopunske varijable. Iz tih jednadibi izvode se dodatni twjeti za izbornene gatiy t tih p a r ame tar a.

Dodatak 113

Za kompletan zakljuiak o rjeiivosti susrava u slutaju (c) treba analizirati r.jeii-vost rr sustava. Ovaj problem je povezan s odredivanjem nenegativnih rje5enjasustava jednadZbi Sto izlazi iz okvira naSeg interesa. Slutajevi i(,1) < rr - rri ir(.'1) < r < rrr takoder iz istog razloga nisu posebno analizirani.

5.10 Dodatak

Projekt 5.1. Dijagonalna matrica D reda rl je kvadratna matrica

1. ZapiSite danu matricu pomoiu formule.2. Izratunajte /)i . gdje je 1,. prirodan broj (dokaz pomoiu matematitke indukciie).3. Izratunajte clr,r D.4. Izratunajte /) r.

Projekt 5.2. Realnc nultotke polinoma.

Zadatak 5.5. Cramerovim pravilom rljeiite sustaviednadZbi

Nadite partikularno rje5enje sustava za o ,= l

Za koje vrijednosti realnog parametra a sustav ima jedinstveno rjeSenje,odnosno kada je sustav kontradiktoran?

Zadatak 5.6. Rijeiite sustav

d1 o 0o d.2 00 0 dt:::000

ti;:liiltila)

b)

J r + 2.rz .rr! l J.1 +2,r t\

i.t: 2.t1 r .t j

0.r'r | .r2 il.y., - 2.t 1ir.r' !).r I ; 1.r.1 I

3.r., - 101

i.l;21

774

Zadatak 5.7. Zadane su matrice

Zadaci za ponavl.ianie

, li!;l n [n,; ,lI r , ,, I t 2 o I

a) Rijeiite matriinu jednadZbu ,1-Y-.1 1 = X.4 + l.b) Rijesite matritnu jednadibu X B - 82 + AB :2XA + 3AB.

Zadatak 5.8. RijeSite sustav

2a r 3D . c: -2d.: 3-3a5b2t:53o + i:tl, + c 2d- I

3b L: 2d:-9Gaussovim postupkom.Zadatak 5.9. Rijesite sustav

2.rt - :l],) .l.J : 3Jrl 5x2 + :13 : 53rr * 5r: 123 - -10rr 3.t: .1r"1 - 1

Gaussovim postupkom.Zadatak 5.10. Zadane su matrice

. B-

tJ1 (tJ') -(a i) 11 - 1:r2 I2.L t ' J2

a) lzratunajte rang matrica .,1 i B.b) Rijeiite jednadLbu BX O. gdjeje O jednostuptana nulmatrica.

Zadatak 5.11. Rijesite sustav

r * (.1 -p)U + z - 3.r' * 3y * (p*J) : : 1

3.r ll + : - p-3u ovisnosti o parametru p € R.

Zadatak 5.12. Zadan je sustav

2:1 11-2 3.1 25511I -t .1 -t

I t (] 2ln:1, 2 , II 3r o I

rlr jl 0.1or'3 ' 11

4rt:oa) Za koje vrijednosri parametra a € R. sustav ima i netrivijalno rjeSenje.

Zadaci za ponavljanje 115

b) Nadite opde rjeienje sustava za jedan takav parametar

Zadatak 5.13. Zadanje sustav

2.t:J ihz J3+xr.r = 10r'r + 2r2 - 2rr3 + 11..1 : i'r;1 5.r2 i .r3 2t1 - 1'' '

3.i:1 * 5r2 1.r'r ir'1 : 0

a) Rije5ite sustav upotrebom Gaussovim postupkom tako da varijabla ;r'1 bude pa-rametar.

b) Nadite ono posebno rjeienje sustava kod kojeg se podudaraju prve dvije kompo-nente rjeSenja.

c) \adire sva bazitna rjeienja sustava.

mMatematitka Analiza

116

Ovo poglavlje sadrZi pregled osnomih pojmova i svojstava realnih funkcija realnevarijable, te njihove grafove.

6.1 Klasifikacija realnih funkcija realne varijableRje3avanje brojnih problema, kako znanswenih tako i praktitnih, svodi se nato da se nastoji uwrditi kakav oblik povezanosti postoji izmedu razliiitih velidinakojima se opisuju ti problemi. Neke od tih veza imaju takva svojstva da ih zovemofunkcijama. Npr., ukoliko se u banku uloii 1000 kn, iznos C1 kojim raspolaZemona kraju godine ovisiti ie o kamatnoj stopi p po kojoj se obradunavaju kamate. Tajiznos je funkcija kamahe stope pa pi5emo C1 : Ct(p). Ukoliko Zelimo izratunatiwijednost C, s kojom iemo raspolagati nakon n godina, taj iznos ovisi o brojugodina i o kamatnoj stopi i on je funkcija dviju varijabli Sto zapisujemo u oblikuC": C"(n,p). U poglavlju o skupovima upoznali smo pojam binarne relacijekao najopdenitijeg modela za proutavanje povezanosti elemenata dvaju skupova.Tom prilikom definirali smo i uvjete koje mora zadovoljiti binarna relacijaia bise zvala funkcijom. Za proudavanje realnih funkcija realne varijable prikladnijaje sljedeia definicija.

Definicija 6.1. Neka su Ai B neprazni skupovi. Neka je svakom elementu a € Apridruden jedan i samo jedan element b € B. Kade se da je tim pridrui;ivanjemdefinirana funkcija f: A-+ Bipilese f(") -b.Skup A zove se domena (podrutjadefinicije) funkcije, skup f(A) - {bb € B,o, e A, f(a) : b} je skup funkcijskihvrijednosti, a svaki skup B ) f (A) zove se kodomena funkcije f.Sredi5nje mjesto u mnogim teorijama (npr. ekonomskim, fizikalnim) zatzima iz_raZavanje i razumijevanje odnosa izmedu razlititih varijabli. Takav se odnos ma-tematidki naziva funkcija. Na primje4 uloZimo li u banku 1000 kn, iznos C1kojim raspolaiemo na kraju godine ovisi o kamatnoj stopi p po kojoj se w5i uka-maiivanje. Dakle, C je funkcija koja ovisi o jednoj varijabli i to je p, pa pi5emoC:C(p).

777

118 Kasifikacija realnih funkcija realne varijable

Definicija 6.2. Funkcija je preslikavanje izmedu dya skupa (domerLe i kodomene)tokvo da st akom elementu prvog skupa (don'Lene) pridruLuje jedan i samo jedanelement drugog skttpa (kodomene).

Funkcije se mogu zadati:- numeriiki (pomoir-r tablice);- algebarski (pomoiu formule);- grafitki (pomoiu grafa).

Algebarski zadanu funkciju ponekad pi5emo i u obliku jednadZbe. Tako funkciju.f (l) - r,2 piSemo i kao u - .r'2.

Definicija 6.3. Funkclju iija su domena i kodomena podskupovi skupa realnih bro-jeva, tj.

.f :.l- 13. -1 1J.R. (6.1)

zovemo realnom funkcijom realne varijable.

Realnu funkciju zovemo algebarskom ako je argument .r, podvrgnut konai-nom broju algebarskih operacija (zbrajanju, oduzimanju, mnoZenju konstantom,mnoienju, dijeljenju, potenciranju racionalnim brojem).Funkcije koje nisu algebarske zovemo transcendentnima.Za algebarsku funkcrju kaZemo da je racionalna ako se kao eksponent varijablejavlja samo cijeli broj.Algebarske funkcije koje nisu racionalne zoveno iracionalnima.

Definicija 6.4. Polinom n-tog stupnja (cljela racionalna funkcija) je funkcijooblika

f (1:1 -,,,,r''.' l tt,, 1t" 1 + ... + u,,,..2 * aru:-i o0. 6.2)gdje su o11. ot. a2..... e, r. on a JR.. rr e N. o,, 7 0.

Definicija 6.5. Prava racionalna funkcija (razlomliena racionalna t'unkcija) jekvocljent dvaju polinoma, tj. fiutkcija oblika

P(r\I tr'\ e r,) (6.3)

gdje su 1' (r') Q (r') polinomi i t) (r) 10.Specijalni sludaj racionalne funkcije je homografska funkcija koja je oblika

rt t ! ltJ '' c:.t , , (6'4)

uz uvjet;r' I j1.

Domene realnih funkcija realne varijable r1.9

Od transcendentnih funkcija posebno 6emo se baviti- eksponencijalnim i logaritamskim, te- trigonometrijslrim i ciklometrijskim (arkus) funkcijama.

6.2 Domene realnih funkcija realne varuableDomena funkcije nije uvijek ekplicitno navedena. Tada se podrazumijeva daje domena najveii skup realnih brojeva z tak-vih da / (r) ima smisla. Takva sedomena naziva i prirodnom domenom.Evo uputa za ratunanje domena vainijih funkcija.

. Domena racionalne funkcije oblika (6.3) je skup:

Dr{"lQ@)to}.

. Domena iracionalne funkcije oblika f (r): ,iffi, k e N je skup:

DF{r s(r)>0}.

. Domena logaritamske funkcije oblika f (r) -tog"g(r), (a>O,alt) jeskup:

Dr{, ls(r) >0}. (6.s)

. Domena ciklometrdskih funkcija / (r) : a.rcsin (g (z)) i ./ (z)arccos (9 (z)) je skup:

I

D7: {r -1< s (z) < 1} . (6.6)

720 Ibmpozicija funkcija

racionalna fu nkcija / (r)

3. logaritamska funkcija /(z)

DOMENEPG\

- Q@)

Q@) to2. iracionalna funkcija /(r) : '+/ s@

g(r) > o: log, g(r)

s@)>04. ciklometrijska "f(r) : arcsin(g(z)), arccos(g(r))

-1 <9(r) < 1.

Zadatak 5.1. Nadite domene sljede6ih funkcija:a-1ul |l'\-?r+ r' b) /1;1 =./*-3.c) !(r):log(a2-s 2), d),f(s):*""o.(';')\2 /

6.3 KompozicijafunkcijaNeka su / :Dy --+ A,g:Dn --+ B realne funkcije realne varijable. Ako je B CD7tada zaVr € 2/ moZemo definirati kompoziciiu funkcija / i g s (f o g) (r) :f (g(r)). Dakle, kompozicija se sastoji od dva preslikavanja: preslikavanja r r +9 (z), te preslikavatja s (t) ,- f b @D.

Identiteta ili identitno preslikavanje na skupu A je preslikavanje

i'd, : A "+ A

id(r): a,Y* E n.

fb@))

za koje je(6.7)

B ij ekcij a. lnverzn a f u nkcij a

Vrijedi

Zadatak 6.2. Za funkcije.l (r.) -a) (/ + rr) (r) .

c) ./ (../ (0)) .

e) e (!r (1)) .

ido.f=.1l',r l1i ql,1-

-1 nadite:

b) /(./(:r')).d) I tl (.,.)).

L27

(6.8)

6.4 Bijekcija. Inverzna funkcija

I

Funkciju testo shvaiamo kao pravilo (ponekad i formulu) koje nam kaie kakovarijabli .r' pridruZujemo varijablu y. Postavlja se pitanje postoji li pravilo (ili iakformula) koje odreduje inverznu funkciju tj. funkciju koja varijabli y pridruiuje.i . Lako se primjerice vidi da su sljedeie dvije funkcije inverzne:

J t .t t 3.r i yr tr' .'.r,,

No, odredivanje inverzne funkcije od .f(r) - .r't na R viSe nije tako trivijalanproblem.Pokazuje se da funkcUa ./ ima jednoznadno odredenu inverznu fr,rnkciju I l uko-liko je I bijekcija. Sljede6e definicije objaBnjavaju pojam bijekcrje.

Definicija 6.6. Funkcija J : D - Ii je injekcija ako razlittte elentente iz domenepreslikava u razliiite elemente kodomene tj. ako

Vr:1. r'2 € D..r1 f .L:.2 --+ ./ (r'r) Lf Q,z) . (6.e)

Funkcija .f : D - K je surjekcija ako syaki element iz kodomene ima stoj origina|u domeni tj. ako

V9 e -h. lr € D takav davrijedi I (.t:.) - O.

Funkcija ;f : D - K je bijekcija ako je surjekctja i tnjekcija.

(6. r0)

Teorem 6.7. Za funkciju f : D - Ii koja je bijekcija postoji inverzna funkcijaI -:11 - l)ZlkoluvrLledl

.f "lt-id r..l 1".f -irt o (6.11)

Primjetimo sada da funkcija .l (r') - ..',./ : lR - lR+ nije bijekcija, jer nije injek-cija. No, njezina restrikcija

.l r,:it-*Rrie bijekcija, pa za takvu resrringiranu funkciju postoji i inverzna funkcijaI 1:lP,+ - lRr . dana formulom I ,(r.) : rl..

722 Graf funkcije

a:t

Primjedba 6.8. Primijetimo da su grafovi medusobno invermih funkcija f i f-luvijek simetriini s obzirom na pravac u : r.

Zadatak 6.3, Nadite inverzne funkcije sljede6ih funkcija:

b) /(") :2:E+1.1a) I lx) : -,

6.5 Graf funkcijeGraf funkcije zorno prikazuje osnovna svojswa funkcije. Graf funkcije jedne re-alne varijable obitno se crta u Kartezijevoj ravnini.Graf |y funkcije A : f @) je skup toEaka rarrnine

11 : {(r,/(r)) lr eD1} . (6.72)

Graf implicitno zadane funkcije (ednadZbe) F (",a) : 0 s varijablama a, g jeskup todaka (c, g) ravnine, koje zadovoljavaju danu jednadXbu.

Primjer 6.9. Graf implicimo zadane funkcije r'+g' : 1, koju r. joS moZe zapisatiu obliku F (2, g) : n2+Az -l: 0,je kruinica sa sredi5tem u ishodiStu, radijusa 1.

f-'(r):

Svojstva realnih funkcija realne varijable

6.6 Svojstva realnih funkcija realne varijableOvdje 6emo navesti vaZnija svojstva funkcija, koja koristimo kod crtanja njihovihgrafova i u modeliranju realnih problema koji se svode na proutavanje danihfunkcija.

Definicija 6.70. Za broj 16 e R kademo da je nultodka funkcije

a : J @) ako je f (ro) :0.Primjerice, nultotka funkcije / (z) - ln2 jg 7e : 1.

Zadatak 6.4. Nadite nultoike funkcija:a) / (r) : 10" ",c) f (r) : sin 1.

)b) "/ (") : (r + 1)1og r,

Definicija 6.11. Za funkciju y : f (r) kademo da je ogranitena odozgo (odozdo)ako 1M e 1R (-m € IR) tokav da je f (r) < M (f (r) > m),Yr eD7.Funkcija je ogranid.ena (omedena) ako je ograni(.ena i odozdo i odozgo.Realni broj M zovemo gornjom meilom, a m donjom meilom funkcije.Najmanji realan broj M koji je gornja meda funkcije zovemo najmanjom gornjommedom, a najveii realan broj m koji je donja meda funkcije zovemo najvetom do-njommedom-

ViSe o pojmu mecle skupa moZete naii u Dodatku ovog poglavlja pod naslovom"Najmarja gomja metla skupa" ili u [13]Iz grafa funkcije A : atc\B r vidi se da je najmanja gornja mecla X,1 : -$, od,-nosno najveta donja meila m : $.

723

124 Svojswa realnih funkcija realne vadjable

OMEDENE FUNKCIJE/je omeclena ako postoje M i m tal<w da je m < f (r) < M

Definicija 6.12. Za funkciju g : f (r) koiemo da raste (paila) na interl,o.lu I CD I ako za svaki izbor

r1.,r2e I,a1 <12 vrijedi l@t)< f ("2) ff(nt)> f ("2)).

Kaiemo da funkcija strogo raste (strogo pada) ako

u,r2 e l,rt < 12 vijedi f ("t) < f (rz) (J @t) > f @zD.

Funkciju koja rastg odnosno pada, na cijelom podrutju definicije zovemo monoto-flom.

Funkcije iz oba prethodna primjera su monotono rastuie (na cijeloj domeni).

MONOTONE FUNKCIJEl\koVxt,r2 rt < 12 + f ("t) < l@z) kaZemo da / raste

Ako Vz1,12 11 <n2=+ l@)> f (rz) kaZemo da / pada

Definicija 6.13. ZaJunkciju u - f @) kaiemo da ima lokalni maksimum u toikirM ako

10,O c D7,atr € O takav daVr,r e O, f (r) < f @u).

Vrijednost f (r 1a) funkcije f u totki nM zoyemo maksimalnom yrijednoiiu.Za funkciju y : f (r) kaiemo da ima lokalni minimum u totki r,n ako

=O,O c Dy,rm € O takav daYr,r e O,f (r) > f ("*).

Vrijednost f (n,") funkcije f u totki rm zoyemo minimalnom vrijeilnoilu.Jednim imenom za lokalni maksimum i minimum kaCemo da su lokalni ekstremifunkcije.Za funkciju A : f @) kaiemo da ima sffogi lokalni maksimum u to(ki n y ako

1O,O c DTtru € O takav daYr,r e O, f (r) < f (ru).Analogno definiramo strogi lokalni minimum.

Svojstva realnih funkcija realne varijable 125

LOKALNI EKSTREMI- lokalni minimum

- lokalni maksimum

Promotrimo funkciju y(r) : 13 32. Lokalni minimum, odnosno maksimumfunkcije g/ : y(a) je r- : 1, odnosno rM - -7. Maksimalne i minimalne wijed-nosti su / (-1) : 2, f (l) : -2. Bududi da je funkcija neparna, totke ekstremasu simetriine s obzirom na ishodi3te.

Definicija 6,74. Za funkciju a : f @) kaZemo da je periodiina ako

=" € R \ {0} takav da vrijedi f (r + :r) : f (r),v n e D y. (6.13)

Za T kaiemo da je period funkcije f . Najmanji realni broj Tn takav da vijedi 6.13zovemo osnovnim periodom funkcije J.Znamo da je 7o : 2r osnovni period funkcije ./ (r) : sinr.

Trigonomerijske fu nkcije su periodiEne.zadatak 6.5. Natlite osnovni period funkcije:

a) / (z) : 5 cos (32) , b) / (z) = s112 5q.

Definicija 6.75. Za funkciju a : f @) kaiemo d.a je parna ako

f (_") : f (t) ,Vr e Dy.

Za funkciju A : f (n) koi,emo da je neparna ako

(6.r4)

(6.1s)f (-r): -f (z),Vr <D7.

126 primjert funkcija

Graf pame funkcije je osno simetridan s obzirom na os 3r, a graf neparne funkcijeje centralno simetritan s obzirom na ishodi3te.Poznati primjeri pamih funkcija su

a) Potencije s parnim elaponentima I (r) : *2k,k e Z.

b) Trigonometrijska funkcija kosinus / (r) : s6s2.

c) /(z) : lrl.

Evo nekoliko vaZnijih primjera neparnih funkcijaa) f (c) : *k+1 ,h € Z.c) / (z) : tgr,

b) / (z) : sin r,d) /(z) :6192.

Realne funkcije uglavnom nisu ni parne ni neparne.

Zadatak 6.6. Ispitdte pamost i odredite domene sljededih funkcija.^2

d) J \L) i--i,lrc) "/

(r) : sinu + cosu,

-1b) ,r(z): T,J+1/- r\d) f(fl:tnl- 'l\r+1/

6.7 Primjeri funkcijaOva totka predstavlja repetitorij vaZnijih funkcija i njihovih grafova.

Primjeri funkcija 727

PolinomiPolinom z-tog stupnja ved smo ranije definirali. Ovdje iemo ponoviti polinomenultog, prvog i drugog stupnja.Konstantna funkcija ! (rt - o.o € R./(,"):2

Afina funkcija i1i polinom 1.Graf afine funkcije je pravac.

stupnja je funkcija oblika f (r) : "r * b; a, b e IR.Evo grafa funkcije / (r,) : -2r + 3

Polinom drugog stupnja je oblika f (r) - ar2 +br+c,a,b,c € R. Graf kvadratnefunkcije je parabola. Na primjer graf funkcije /irt : *+3 2 sijete os z utotkama -3. 2. te ima tjeme u totki i. 1 l. - j 1

Graf polinoma prvog stupnja je pravac.Graf polinoma drugog stupnja je parabola.

Racionalne funkcijeEvo nekoliko primjera racionalnih funkcija i njihovih grafova.

1

Graf funkcije A @) : _je istostranitna hiperbola tije su asimptote koordinatne

728 Primjei fu*cija

Funkcija uld :2{}je homografska funkcija Eija je nultotka z6 : -}, hori-zontalna asimptota y : j i vertikalna asimptota r : t.

Iracionalne funkcijePogledajmo graf najjednostavnije iracionalne funkcijet /-\ _ /; / : [0, oo) -- [0, oo)

Primijetite da je ona definirana samo za nenegatirme realne brojeve, te da rastena cijeloj domeni.

Eksponencijalne funkcijeEksponencijalne funkcije imaju wlo vaZnu ulogu u primijenjenoj matematici.Svoju praktiEnu primjenu nalaze u Sirokom podrutju druSwenih i prirodnih zna-nosti. Posebno je vaZno razumijevanje pojmova kao 5to su eksponencijalni rast ieksponencijalni pad neke velitine u ovisnosti o nekoj drugoj veliiini.

2" G;i)

i

Primjeri funkcija 729

Definicija 6.16. Funkciju oblika f (r): a,,a ) 0,al7,f :R + (0,m) zovemoeksponencij alnom funkcij om.

GRAF EKSPONENCIJALNE FUNKCIJE1. Svaka eksponencijalna funkcija prolazi kroz totku (0, 1) budu6i da je

ao : l,Va.Graf eksponencijalne funkcije uvijek je iznad osiz, jerje ac > O,yn.

Os r je horizontalna asimptota eksponencijalne funkcije.

U odnosu na bazu a eksponencijalne funkcije, razlikujemo dva osnovna slutaja.

1" [o<r<IlFun kcija pada na cijeloj domeni.

/(r) -+okadz " +m.Primjer je funkcija / (r) : , prikazana na sljedeiem grafu.

KaZemo da velidina g (r') eksponencijalno pada ako wijedi

y (t) - soe-k' ,

gdje je k pozitir,na realna konstanta i g0 potetna l,rijednost od /, odnosnoa$):ao.Ova se funkcija upotrebljava u modeliranju problema populacijskog rasta uokolini bez ogranitavajuiih uvjeta, te rastu glamice kod sloZenog obraiunakamata-

,

(;)"

Funkcija raste na cijeloj domeni.

/ (z) * o kad z --- -co.Primjer je funkcija / (z) : 2', a evo i njezinog grafa.

130 Primjeri funkcija

KaZemo da velitina g (z) eksponencijalno raste ako wijedi

g (r) : ysek' ,

gdje je k pozitima realna konstanta i 96 potetna vrijednost od /, odnosnoa (o) - vo.

Navedimo joI nekoliko primjera eksponencijalnih funkcija koje se testo upotreb-ljavaju u problemima modeliranja u ekonomiji i ostalim znanswenim discipli-nama.IGivulja uEenja (learning curve) je krir.ulja dana jednadibom

sO):B A" k',

gdje su A, B i k pozitivne realne konstante.Ime krivulje dolazi iz psihologije, a posljedica je zapai.anja da ovakva krivuljadobro opisuje ovisnost efikasnosti izvoaleda zadatka o kolidini poduke ili iskustvakoje osoba posjeduje.Nacrtajmo graf krivulje s (.t) - 4 - 2e-lt .

Primijetimo da krivulja ima horizontalnu asimptotu 9 : 4. Nadalje, funkcija rastei sijete os y u totki (0, 2) . Izratunajte nultoiku te funkcije.Opienito 6e horizontalna asimptota kriirulje udenja biti y - B. Nadalje, funkcijautenja raste i sijeie os g u totki (B - A,0).Primjer 6.17. Logistitka krivulja (ili S krir.ulja) je dana jednadZbom

q \t) : _8" er,.gdje su A, B i k pozitivne realne konsrante.

Primjed funkcija 131

Kad se populacija nalazi u uvjetima u kojima postoji gornja granica do koje popu-lacda moZe rasti ona raste u skladu s logistitkom kiruljom (S-krivulja). Sirenjeepidemija (i1i ogovaranja) u dru3t!,u takotler se opisuje pomoiu logistidke krivu-lje.Nacrtajmo graf krivulje q (r) : ---107 + 9e 1.2t'

s:100

A-0

Primijetimo da funkcija raste na cijelom R, da ima dvije horizontalne asimptote:g : 0 za slutaj kad t---+ -oo ia - B za slutaj kad t + m, nema ekstrema, ali imatotku inflekije. Dokaze ovih twdnji na6i iete u sljedetim poglavljima. Buduiida ovdje nezavisna varijabla testo oznatava wijeme, koristimo za nju oznaku t.

Logaritamska funkcijaDefinicija 6.78. lnverznu funkciju eksponencijalne funkcije g (r) - a' , a > 0, na-zivamo logaitamskom funkcijom i oznatavamo sa

.f (r) : ]os. r.

Primijetimo da je domena logaritamske funkcije skup pozitivnih realnih brojeva,odnosno / : (0, m) --+ IR.

Iz tinjenice da je logaritamska funkcija s bazom a (a > 0,a I 1) inverzna jefunkcija eksponencijalne funkcije s bazom a slijedi

log,b:c<+ac:b (6.16)

kao i

logo a' :r)t)

zasver>0.

Primjeri finkcija

Svojswa logaritama:

1. 1og" 1 :0.2, log,a : l.g. oloc"c : a.

4, logo a' : r.5. 1og, (uy) : logor llogoy.6. Ioga - : logar' - loga?.

7. logorP: plogo r,p € IR,

logsx6. rog,,logb a

19. log"b: -1096 a

Kao i kod eksponencijalne funkcije, razlikujemo dva osnorna sluEaja, ovisno obazi a.

1'E<a<ilFunkcija pada na cijeloj domeni.Nadalje, / (o) -- 0 kad r --+ 166.Primjer je funkcija / (r) :1og; z, Eijije graf na sljedeioj slici.

E>1-lFunkcija raste na cijeloj domeni.Vrijedi / (r) -- 0 kad n --+ -oo.Primjer je funkcija / (z) :log2r, tiji je graf na sljede6oj slici.

Primjeri funkcija 133

Posebnu oznaku ln uvodimo za prirodni logaritam, kao logaritam po bazi e, pritome je funkcija / (r) : Inz inverzna eksponencijalnoj funkciji 9 (z) : e'. Dakle,

l

log"z=Inr,ex2.77...Nadalje, iz definicije prirodnog logaritma izlazi da je

(6.17)

eln'-r,zar>0.Grafovi funkcija g - e'iy:lnr simetritni su s obzirom na prayac?l: r.Primjer 6.19. Rijelimo eksponencijalnu jednadZbu 2ln r : 3.

Rje$enje. Prvo jednadibu podijelimo sa 2. Imamo

Ior: ?.3

Sada primijenimo eksponencijalnu funkciju s bazom e na obje strane jednadZbe. Imamo

"1"' :

"3.odnosnor:lP. trZadatak 6.7. PokaZite da radioaktilrla tvar koja se raspada po zakonu

f (r) = yse-kt ,

ima polulrijeme raspada t - \2.

Tligonometrijske fu nkcijeNeka je zadana jedinitna kuinica 12 + y2 - 1 i brojevni pravac postavljen oko-mito na os r kroz totku (1,0), kao Sto je prikazano na sljede6oj slici. Namatanjempravca na kruinicu (i gornje i donje grane) svakoj totki kruZnice pridruiuje sebeskonaino mnogo totaka pravca.

L34 Primjeri funkcija

Npr. todki (0, 1) pridruZene su wijednosti i,[ + z",X - r",..., op6enito wijed-

nosti | + 2kn, k e Z. Primijetimo da je I radijanska mjera kuta Sto ga pravackroz ishodiSte i toEku (0, 1) zatvara s osi ,.Dakle, totki na kruinici kojoj je pridruiena wijednost l, pridruZene su i wijed-rlostit + zlrn,k eZ.Sada svakoj todki na kuinici s radijanskom mjerom t pridruZujemo njezinu r i gr

koordinatu. Pri tome prvu zovemo kosinusom od t i ozna[avamo cost, a drugusinusom od t i oznatavamo sin t.Grafovi funkcija /(r) : sinc i s@) : cos, smo ved pokazali. Iz definicijeje jasno da je domena za obje funkcije skup IR, a kodomena zatsoreni intervalrealnih brojeva [-1, 1] .

Funkcije tangens (tg z ili tan c) i kotangens (ctg r) definiramo sa

stn uter : -,

- cos fcos fctgr : ,sln,,

Graf funkcije tangens:

Neke relacije medu trigonometrijskim funkcijama:

Primjeri fu*cija

Ciklometrijske (arkus) funkciieCiklomeuijske ili arkus funkciie inverzne su funkcije trigonometrijskim funkci-jama.Funlciia arkus sinus (arcsin r) inverzna je funkcija funlcije sinus na intervalu

l-;,;), :., :, na tom intervalu tunkcija sinus bijekcija. Dakle, wijedi

13s

g-axcsino<+sing:2.

Evo grafa funkcije g: arcsinu.

(6.18)

Vrijedi takoclerarcsin : [-1,11 -- l-i, il . (6.19)L 2'2J

Analogno definiramo funkciju arkus kosinus (arccos r) kao inverznu funkcijutrigonometrijske funkcije kosinus na intervalu [0, r] . Vrijedi

arccos : [-1, 1] -* [0, zr] . (6.20)

136 Funkcijski model

Inverzne funkcije funkcija tangens i kotangens (ograniienih na intervale na ko-jima su te funkcije bijekcije) zovemo arkus tangens (arctg;r) i arkus kotangens(arcctg r). Graf funkcije q - arctg r dan je na stranici 123.Svoj swa:

(a) sin (arcsin:) : r.(b) cos (arccosz) : r,(rl) tg (arctg;r') - .r.

(r1) r:tg (arcr:tg.r:) - r.(e) arccos r t arr:sin r :

(/) arctgr+arcctgr:

6.8 Funkcijski modelMatematitki prikaz praktiinog problema zovemo matematitkim modelom. Evojednog primjera.

Primjer 6.20. Proizvoclat namjeitaja prodaje mjeseino 1000 stolaca po cijeniod 120 kn po komadu. Tro5kovi proizvodnje su 70 kn po komadu. Proizvo-dai namjerava poveiati cijenu stolaca i pri tom prognozira da ie se za svaku 1

kn povisenja cijene prodati 5 stolaca mjeseino manje. Izrazimo mjesetni pro-fit proizvoilata kao funkciju prodajne cijene i odredimo cijenu uz koju je profitmaksimalan.

Rje5enje. Uoiimo daje Profit= (broj stolaca).(profit po 1 stolcu), pa uz sljedete oznake

ri - broj prodanih stolaca,r - prodajna cijena stolcap profit po jednom stolcuP- ukupni profit

imamo: P: n.p.Stouzn- 1000-5(r:- 120) ip:r 70 daje

P (r) : (700 5 (. 12{))) (r 70) .

Dakle,P (rr) - 51 260 + e) (rr 70)

Dobivena funkcija je kvadratna funkcija iije je graf prikazan na sljedeioj slici. Tjeme jojje u totki 7 (165..15125).

1T

,,1i

2

Funkcijski model 737

Uotimo da je profit maksimalan uz cijenu od 165 kn po stolici. UZadatak 6.8. Rent a car poduzede A iznajmljuje automobile po 500 kn po danu i 3 knpo kilometru, a poduze6e B po 400 kn po danu i 3 kn po kilometru.

a) Za svako poduze6e napi5ite formulu za cijenu iznajmljivanja auto_mobila kao funkciju prijedene udaljenosti.b) Skicirajre oba graia u iitom koordi"natnom susra!.u.

c) Koje je poduzede jeftinije?d) Generalizirajte zadatak. (Npr. uvedite varijabilni broj dana.)

Zadatak 6.9. Prodaja kompjutora obiino podlijeZe sezonskim fluktuacijama. Na primje4prodaja kompjutora u poduzedu A u godini 2004. i 2oos. moze se- pribriino opisatifunkcijom

p(l) :0.11sin (r.a, + 1.6) + 0.45, 1<, < 8,gdje je I wijeme mjereno u kvartalima, a p(t) zarada od prodaje mjerena u milijunimakuna. Izraiunajte amplitudu, fazni pomak, period, te interpretirajte rezultate.

a) Nacrtajte graf funkcije p (t) za zad.ane dvije godine.b) Procijenite maksimalnu kvartalnu zaradu.c) Ikko se taj podatak moZe dobiti iz p (i)?d) Rije5ite taj zadatak koristeii funkciju zarade

p (r) : 0.08 sin (1.5, + i,1) + 0.59, 1<r<8.

Zadatak 6.10. Prodaja automobila u General Motorsu u 1996. godini mijenjala se odnajvise _lS milijardi g u listopadu do najniZe od 80 milijardi g utramju. Konstruirajtesinusoidalni model mjesetne prodaje p (t) .

Zadatak 6.11. Radnik koji na poslu uvezivanja knjiga radi I tjedana moZe tjedno uvezatiq (t)-:

-4t).- Ae- kt knliga. prvi tjedan radnik je uvezivao Z0 knjiga dnemo, i drugi tjedan

po.25 knjiga dnevno. Koliko knjiga dnevno moie uvezati radnik u tredem tjed-nu svograda?Zadatak 6,12.- Istralivanjem je utwdeno da je kod odredenih viroza broj oboljelih utisuiama, t tjedana nakon izbijanja bolesti, pribliino jednak

1 + 24c-1.2t '

a) Koliko je ljudi oboljelo kadje viroza izbila?b) Koliko je ljudi oboljelo na kaju ffeieg tjedna?c) Koliko 6e ljudi ukupno biti zaraleno?d) Skicirajte graf Q (t) .

138

6.9 Dodatak

Dodatak

6.9.1 Najmanja gornja metla skupaDefinicija 6,21.. Neka je S neprazni skup realnlh brojeva. Broj ]I je gornja med,askupa S ako vrijedi

.r: { 11. V:r € 5.

Primjetite da svi bojevi veii od.1-I takoder predstavljaju gornju medu zadanogskupa S. Za skup koji ima gornjr: medu kaZemo daje omeden odozgo.

Definicija 6,22, Neka je S neprazni skup realnih brojeva. Broj lI je najmanjagornja meda (supremum) skupa S ako vrijedi

(a) lI je gornja meda,

(b) lI < N. gdje je N bilo koja gornja meda skupa S.

Sve analogno vrijedi za skup omeden odozdo.Primjer 6.23. Evo nekoliko primjera omedenih skupova:

1. Skup A - {.ir : il < r'! 9} je omeden i odozgo i odozgo. Najmanja gornjameda je 9, a najveia donja 3.

2. Skup ll - {3rr : ru e N} je omeden odozdo, ali ne i odozgo. Najveia donjameda je 3.

3. Skup { { " --

' , ,, l} |e omeden odozgo. ali ne i odozdo. Najmanja' t ,t )gornja meda je 1.

Ovdje smo se koristili jednim od osnovnih pretpostavki o skupu realnih brojeva -

aksiomom o najmanjoj gornjoj mecli (aksiom potpunosti).

Aksiom 6.24. Svaki neprazni skup realnih brojeva koji ima gornju medu ima inajmanju gornju medu.

Ovaj aksiom nije istinit u skupu racionalnih brojeva. Evo primjera.Primjer 6,25. Skup A - {.r : :r' e Q.;r'2 < i} je omeclen odozgo i najmanja gornjameda mu je iracionalan broj r .-,.

Vri jedi i sliedeii teorem.

Teorem 6.26. Neka je \ t najmanja gornja meda skupa S i a > 0 realan broj. Todapostoji barem jedan .r € S takav da .ie

-11 :1.r:<.ll.

Projekti 739

Zadatak 6.13. DokaZite prethodni teorem metodom kontradikcije.

Definicija 6.27. Ako je lt najmanja gornja med.a skupa .9 i lI e S. tada za llkaiemo da je maksimum skupa S.Ako je rrt najvefu donja meda sktLpa S i rn € S. tada za nt kaiemo da je minimumskupa S.

Projekt 6.1 (Dobivanje krimlja drugog reda iz opte jednadZbe drugog reda). GrafjedandZbe

-l.t-2 + Ily) +(;.1 + t)!t+ E 0.

gdje ,.1 i B nisu istovremeno 0, je krivulj a d ru gog red a. Poka zite d a je u nedegen eriranomsluiaju graf

1. parabola ako je.,1 ili B nula,

2. elipsa ako su ,1 ili B jednakog predznaka (specijalno: kruZnica ako je -{ : B)

3. hiperbola ako su -.1 i B suprotnog predznaka.

Projekt 6.2 (Zatvorena familija funkcija). Zad,ane su sljedeie funkcije na skupu ll \,

{0. 1} :

./r (r,)

Ir (r)

lt. ft (J )::. lr(Jl- I

:ll.rl .i', ./: (rl - . .1'. ,)l./.rrl

1. Za familiju funkcija kaZemo daje zatvorena s obzirom na kompoziciju ako kom-pozicija bilo koje dvije funkcije iz te familije daje opet funkciju iz te familije. Po-kaZite da je zadana familija zatvorena s obzirom na kompoziciju.

2. lspunite tablicu ko.ja prikazuje kompozicije 11 o /i

Zakljuiite iz tablice da Ii je kompozicija na ovoj familiji komutativna, odnosnoasocijativna, te koja je funkcija neutralni element.

Nadite parove medusobno inverznih funkcija. Skicirajte grafove parova medu-sobno inverznih funkcija.

3.

4.

740 Zadaci za ponavljanje

Projekt 6.3 (Polarne koordinate. PrUelaz iz polarnih koordinata u pravokutne i obr-nuto. Krir.ulje u polarnim koordinatama). Nekaje O-Y brojevni pravac i O (ishodiSre)totka na tom pravcu. Polo2aj bilo koje totke P u toj ravninije odreden udaljcnoiiu r tetoike od totke O i kutem /l izmedu O-\ i OP. 1hda koordinate totke P piicmo 7l(r.. dJ izovemo ih polarnim koordinatama.

1. Nekaje P(1 .l): P(r'.d), pokaiite da tada prijelaz 1z polarnih koordinata upra-vokutne i obrnuto ide preko sljede6ih formula.

sitri/'l - =-_V'J'2 * i/!

l/: rsinFl d-lall !,1

2. Prikazire krivulju (:r'2 + yt)2 2,i2 (.r2 12) u polarnim koordinatama. Ta se kri-lulja zove leminiskata i prui ju je istraZivao Jacqob Bernoullir krajem 17. stoljeia.PotraZite informacije o toj kri\rlju (kakvo je to mjesto totaka i koja su joj svojstva,te kako izgleda njezin graf u ovisnosti o parametru a).

3. Prikaiite krivulju .r'3 + !)tt : o)-!l u polarnim koordinatama. Ta se krivulja zoveDecartes-ov2 list po svom otkrivatu i zahvaljujuii svom obliku. potraiite informa-cije o toj krir,ulju (kakvo je to mjesro totaka i koja su joj svojstva, te kako izgledanjezin graf u ovisnosti o parametru a).

Projekt 6.4 (Broj stanovnika Hrvatske u 2050.).

1. Prikupite podatke od Driavnog zavoda za srarisriku o kretanju sranovnika Hrvat-ske u posljednjih 20 godina. Na temelju roga izradite model za procjenu brojastanovnika r,r budu6nosti. Koristite za modeliranje rastuiu eksponencijalnu funkciiu'

2. Usporedite taj model s modelom rasta u nekoj od zemalja s brzim rastom stanov-niStva (npr. Meksiko, Kina ili Indija).

3. Podatke pokaZite grafiiki.4. Koliko bi stanovnika prema tom modelu trebala imati Hrvatska 2050. godine?

Zadatak 6.74. DokaZite da su .l (.rJ -Skicirajte grafove tih funkcija.Zadatak 6.15. Skicirajte graf funkcije deftnirane za r > 1 za koju vrijedi

rJacob Bernoulli (1654-1705) - ivicarski matematitar i fizidar2 Rene Descartes (1596-1650) - francuski filozoftijaje zasluga p mjena algebre na geometriju

(Kartezijeva geometrUa)

I

2' I 1) i g(.r) - !.1 1 inverzne funkcije.

Zadaci za ponavljanje

a) / (r) raste na 1< n <2,c) /(0):a,e) / (r) ' -1 kad z --+ oo,

a) Y:l-2x2c) Y-3'-2,e) a: -3" -2,g) 9 :2sir,l.,,i) y:3-"sinr,

a) l(r)-f (2r+t),c) .f (1 -u) =r- f (r),

b) f (r) padana2 <a,d) /(2)=6,D f (") - -co kad z -'-+ 1.

b) y-(7-r)2,d) a:3-. -2,D y - 3"-2,h) Y : 3'sinz,j) Y:2arcsinz.

b) y:/(r+1),d) y=r /(e),

b) l@):f (-s),d) 2f (r): f (2,).

747

Zadatak 6.15, Odredite domenu, kodomenu i nultotke funkclje prikazane na sljede6ojslici

------rlT-----.-.,1---.-t\

zadatak 6.77. Skicirajte grafove sljede6ih funkcija:

zadatak 6.18. IGkav utjecaj na graf funkcije y : / (r) imaju transformacije:a) y: f (r) +1.,c) y: I (-r) + 1,e) s:f (r r) .

Zadatak 5,19. Nadite polinome drugog stupnja za koje vrijede jednakosti:

Zadatak 6.20. Odredite polinom tre6eg reda koji odgovara sljededem grafu

Zadatak 6.21, Nadite funkcije 6iji su ovo grafovi

742 Zadaci za ponavljanje

Zadatak 6.22. Nadite domene sljcdeiih funkcija:a) ./ (L ) . log-, (5 .r') + 1og, (.r'- 7),

b) l(.r) - v':L e r la -i ?:; ,,c) I (.r) : a1qsi1 .1 1 -cos(.rij).

Zad^tak 6.23. Naclite primjere elementarnih funkcrja, koje imaju sljede6e svojswo:a) .l (., - y) :ll,)J(yt.c) J (1:u'1 - .f \t) .f la) .

b) .1 (.r) : r 1 Ij1+.r.d) ,f (.r') - arcc6s (si1.r') .

Zadatak 6.24. Ispitajte parnost sljedeiih funkcila:a) / (.r) - .1r q115.1'.

aals i'c).fl.L1: ', .

Zadatak 6.25. Neka je funkcija f parna, a q neparna i neka su obje definirane na skupurealnih brojeva. Jesu li parne ili neparne sljedeie funkcije:

Zad.atak 6.26. Ispitajte omedenost slledeiih funkcila:

a) .f l.t:) + q (:t) .

c) .l (r) q lr') .

a) ./ (/) :2sin..-3cos.rr.12 --r+lc) J lrl - i.- + J.

b) ./ 1:r-r 111 - I (t) + .f t,9) .

d) .t (tl ) .f (.x') - .f ir') .

b) .f (.r) lt (r) .

d) ,i (/) i, (/) . gdje je c (r) I tt.

bl 11.,,1 : j:1.d) .l (.r) : ,'.,,,," (r-'* r)

b) / (,,) : ?r' i11 .

d) ,t (r) - log,,., (r2 + 2) .

Zadatak 6.27. Ispitajte monotonost sljedeiih funkcija:a) ./ (.r) : 22 'r''.c) f (.r) : .112 1s5...

Zadatak 6.28. DokaZite da ako je funkcrja .l (.r') : sinz * toso.r perioditna onda jeri€Q.Zadatak 6,29, $to moiete re6i o sezonskoj prodaje robe, ako je funkcija prodajedana sa

a) p i/) - '{ sil (2rt) * B. b) p(/)- lsin(2'r1 2) +2lZadatak 6.30. Visina koju ima tijelo u trenutku I pri vertikalnom hicu dana je sa

It \t\: t'tt t]r'

gdje je i.,j potetne brzina tijela, a q ub.runi" ,i1" t-"2".a) Na kojoj je visini tijelo u poietnom trenutku?b) Kako dugo je tijelo u zraku?c) Kada te tijelo dostiii maksimalnu visinu?d) Kolika je maksimalna visina?

Zadatak 6.31. U selu se dogodila se prometna nesre6a, koju je vidjelo 80/o njezinih sta-nonika. Broj stanor.nika sela koji su o nesreii iuli u roku od I sati dan je funkcijom

Btlt):1*C. n.

Zadaci za ponavljanje 743

gdjeje A ukupni bro-i stanovnika sela. AI(o je 300/0 stanovnika sela dulo za nesreiu nakon3 sata, koliko je vremena proteklo dok 5oYo stanovnika nije saznalo za nesre6u?

Nizovi reqlnih brojeva,,Iako to izgleda kao paradol<s, nad svim egzaktnim znanos_tima dominira ideja aprol<simacije,,

Bertrand RusselU ovom poglavlju proutavat 6emo nizove realnih brojeva i njihova svojstva, aposebni 6emo naglasak staviti na limes niza. Na limesu niza poiiva3u mnogi ,razripojmovi kao 5to su neprekidnost i limes funkcije, broj e, pa onda i-derivaida.

7.'1, Op6i tlan nizaDefinicija 7.7. Niz realnih brojeva je funkcija

a : A ---+ ift., gdje je A: {1, 2,3...N} ili je ,4 : N.Ako je A : N, tado se govo ri o beskonatnom nizu realnih brojeva.a (n) zovemo n-tim ili opiim dlanom niza.Uobitajeno je umjesro a (n) pisati a,,.NaEini zadavaqia niza:

1. nabrajanjem prvih ilanova, npr. 2,4,8,L6.,...,2. opdim ilanom, npr. an:2n,3. rekurzirmom formulom, npr. 01 : 2, an : 2sn_r.

Pnmjer 7.2. Nailimo opdi tlan niza koji je rekurzivno zadan sa a1an : an-1* a",-2 (Fibonaccijev niz).Rjeienje. Op6i Elan niza je

,":.*((+.) ('-") )Rjeienje se nalazi u Dodatku ovog poglada.

(7.1)

:1,a2:7,

!144

Aritmetitki i geometrijski niz

Zadatak 7.7. Nadire opli dlan sljcdecih nizova.a) rJ. r.1. 20. 26. 32. . . .

b) 0.5. r.5. .1.;. 13.5. - 10.5. . . .

c) 1.2.6.21.12(t....

\izove grafiiki prikazujcmo na realnom pravcu ili u ravnini.

745

7.2 Aritmetiiki i geometrijski nizVaZnu ulogu u brojnim praktitnim primjenama imaju dva posebna tipa niza: arit-metitki i geometrijski nrz. Tako aritmetitki niz svoju primjenu ima kod jednos-tavnog kamatnog ra[una, a geometrijski kod sloienog kamatnog raiuna.Definicija 7.3. Niz Q,,) je aritmetiiki niz ako je razlika svakog ilana (osim prvog)i njegovog prethodnlka konstantan broj. Taj broj se oznatava s r] i zove diJerencijaniza.

Definicija 7.4. Niz (a,,) . o" I 0 je geometrijski niz ako je kvocijent svakog ilana(osim pntog) i njegovog prethodnika konstanton broj. Taj broj se oznaiava s 11 i zovekt,ocijent nlza.

U sljede6oj tablici dani su osnovni podaci o aritmetitkom i geometrijskom nizu.To su redom definicija aritmetitkog, odnosno geomerrijskog niza, po jedan pri-mjer svakog niza, zatim je zapisan opii dlan. Slijede formule za sumu pruih rrilanova u aritmetitkom, odnosno geometrijskom nizu. Na kraju su dane karakterizacije nizova kao u propozicijama 7.5 7.6.

Aritmetilki nizDefinicijaPrimjer

.rn+t utt rl : Aottsl ..'rlttoy :3.d : 2 - 3. 1. - 1. :1....

Geometrijski niz,t t,,t-! .t, l.ttt

't :3. 1 I ;;. i; ll. .l1.. .

Propozicija 7.5. Ntz (u,.) je aritmetitki niz ako i samo ako je svaki ilan niza (osimprvog) aritmeti(ka sredina svojih susjeda.

Propozicija 7.6. Niz (a,,) s pozitntvnim ilanovima je geometrijski niz ako i samoako je svaki tlan niza (osim prvog) gee.tmetrijska sredina svojih susjeda.

Zadatak 7.2. Kako bi se upoznali s primjenom geometrijskog niza u diferencijalnomiadunu protitajte tlanak [ 1].

1.46

Zadatak 7.3. DokaZite formule iz prethodne tablice.

Aritmetitki i geometrij ski niz

Zadatak 7,4, Naclimo konatnu wijednost r} periodskih uplata visine B koje se upladujuu banku potetkom svake godine, ako je godiSnja kamatna stopa p.

Rje5enje. Znamo da je osnor.na formula sloienog kamatnog ratuna

C. : Cor" ,

gdjeje Cs iznos uloZen u banku, n wijeme u godinama na kojije iznos uloien, C, iznoskojim raspolaiemo nakon rz godina. Veli6ina r - 1 + #,a zove se dekurzirni kamamifaktor. Prema priloienoj slici sve wijednosti B upla6ene potetkom wemenskog razdobljaakumuliramo ('\utemo naprijed") na kraj 7z-tog razdoblja.

:

Rrn-zRrn'1Rr"

Zbrajanjem tako dobivenih wijednosti dobivamo

S : Rr ! Rr2 +...+Rr' 1+Rr^: Rr(tara...*rn-2 +r" ') .

Sada se u zagradi pojavljuje suma geometrijskog niza (ar - 7,q: r), pa primjenom for-mule za sumu geometruskog niza dobivamo formulu

1S: Pr' 'r-l

Zadatak7,5, Nadite o12 u aritmetitkom nizu za koji wijedi

TI

r],1,44

a2aZ

RrR.r2

22

40.

Mogu li brojevi 10, 25 i 40 u danom poretku biti tlanovi nekog aritmetii-

U geometrijskom nizu poznati su os : 8, as : 32. Nadite og.

Rijesite jednadzbu I I r * n2 *... * z10e : 0.

Zadatak 7.6.kog niza?

Zadatak 7.7.Zadatak 7.8.

Budu6i da su nizovi realnih brojeva specijalne wste realnih funkcija, moiemo sepitati posjeduju li oni neka ranije spomenuta svojsrva realnih funkcija. prevedimovaZnija svojstva funkcija na jezik nizova.

Definicija 7.7, Niz (an) raste ako

Svojstva nizova realnih brojeva

7.3 Svojstva nizova realnih brojeva

an ! anq1,Vn.

an / an11,Yn.

747

(7.2)

(7.3)Niz (an) pada ako

Niz je monoton ako raste ili ako pada.

Stavimo li u 7.3, odnosno 7.3 znak stroge nejednakosti, kaZemo da niz strogoraste, odnosno strogo pada.Pdmjer monotonog niza je aritmetitki niz. On raste za d. > O, a pada za d, < 0.

Niz je monoton ako

- raste (a, < a"11,Vn) ili- pad,a (a. > a^"4,Yn).

Primjer 7.8. Dokaiimo da niz ,.t n : strogo raste.

Rjeienje. Treba dokazati: an l an+7.Promotrimo niz od n+1 pozitivnih brojeva:

,_1.r*r,...,,,1,,.nnnPoznato je daje aritmetitka sredina uvijek ve6a od geometrijske sredine (ako svi brojeviod kojih raEunamo sredine nisu jednaki), pa imamo

(, -, ''l ,-, r ----- -+,"/(,;) ,

Obje strane jednakosti potenciramo sa n + 1, pa dobivamo

(, * rf )".' , ('' ;)',

/ J. \"('*;/

tr

odnosno

an41 ) an.

( 1)" "n2 +l

148

Zadatak 7,9. Provjerite da li su monotoni sljede6i nizovi:

Svojswa nizova realnih brojeva

a1 o.-In b) a.: q", ql <l

d) o"- .n!c) a,, :

Definicija 7.9. Niz (an) je omeilen odozdo ako

lm € IR tokov da je a, ) m, Vn € N.

Niz (a.) je ometlen odozgo ako

fM e R Lakav daje o, ( M. Vn c N.

(7.4)

0.s)Niz je omeden (ograniten) ako je omeden odozdo i odozgo.

Aritmetiiki niz je uvijek monoton. Zad > 0 niz raste, azad< 0 niz pada.Geometrijski je niz monoton kad jeq > 0.Zaq> l niz raste, aza\ < q <lnizpada.Niz (a,) je omeclen ako -m, M tako da m a an < M ,Yn.

Primjer 7.10. DokaZimo dajenizo. (,- -l)'omeden." \ n/RjeSenje. Definirajmo niz (b,) sa

/ r\'b":: (1 ;)Jasno je da taj niz raste tj. b"11 > b". Nadalje,

o.t,": (r- 1)' . ,.\ n',/1

pa je a, < i r" , 2. Bududi da niz (b.) raste znamo da je b" > b2, odnosnoltt

b"' h - 4' iz iega sliiedt a, ' ;< 4'

Pokazali smo dakle daje niz (a") omedenjerje

z<(t+1)'.n.Moguie je joi vi5e suziti podrutje u kojem se nalaze Elanovi niza tj. moZe se dokazati da!.rijedi

z<(t+1)"'.,TI

Gomiliite i limes niza

Zadatak 7.10. Provjerite da li su sljedeti nizovi omedeni.I

n

c) a" -q''. q >1.e) ,,,, - ,.ll

Definicija 7.7'1.. Za niz la,,) kaiemo da teii prema -l :<. ako

V,\1 € R. :/i0 € ll tokay da je o,, > _1I. Vrr :, r11.

Oznaka(r,) , +- ili ,1i,1 u,, - --.

Definicija 7.12. Za niz 1.o.,.) kaiemo da teii prema :x. ako

Vm € lR. lr?0 € N tokay da je o.,, .-_ rtt..yn )> rt11.

Oznaka(r,) ,- :r ili ,1ir1 a,, - :c.

Nizove iz prethodne dvije definicije zovemo divergentnima.

7.4 GomiliSte i limes niza

749

b) .r,, - q'r. (i < L

d) ,, : :,1f1.

(7.6)

(7 .7)

(7.8)

(7.e)

Razlikujemo tri vrste nizova:

(a) nizove koji se vi$e i vi5e pribliiavaju nekoj graniinoj vrijednosti(b) nizove 6iji tlanovi rastu ili padaju neograniieno, i(c) nizove koji nisu monotoni niti se pribliZavaju nekoj vrijednosti.

Primjeri nizova tipa (a) su nizovi ,,"-:.t,":( tl,,+,nizovitipa(b)suc,, -11,d,,.- ( 2)", doksu nizovi r,,, - (*il),i*:,t,,: I 1),, *sirrrzi)tipa (c). Slijededefinicije koje ie nam omoguiiti pronalaZenje nizova tipa (al) koji su nam odposebnog znatenja za razvoj teorije diferencijalnog ratuna.Definicija 7.13. Za realan broj o kaiemo da je gomiliite niza (.e,, ) ako se u svakojokolini broja o. nalazi beskonatno mnogo ilanova tog niza.Definicija 7.74. Okolina rea\nog broja tt je svaki onoreni inter-val oko o. ti

O(u.c).- {:l e R o :<::<o+:}.

O lu,:'1 : {r: e R ri -.rl < :}.

(7.10)

(7 .71.)

odnosno

150 Gomiliite i limes niza

Definicija 7.15. Za realan broj a kademo da je granitna vrijednost ili Times niza(an) ako se u svakoj okolini od a nalazi beskonaino mnogo tlanova nizq a izvan teokoline samo konatno mnogo.

Oznaka:lim an : 61. (7.12)

Nizove koji imaju limes zovemo konvergentnim nizovima.Nizovi koji imaju viSe gomililta i1i ne konvergiraju zovu se divergentni u Siremsmislu.Definicija 7.15 se moie zapisati i u sljedeiem obliku.

Propozicija 7.76. Za realan broj a ka emo da je granitna vrijeilnost ili limesniz,a (a") c

Ve>0, ln6 eN takav daYn,n > no.+ lan - al < €. (7.13)

KaZemo lim,,-- an: L ako an prilazi.broju L po voui blizu kada 72 postaje sveve6i i ve6i.

Navedimo bez dokaza jo5 dva vaZna teorema, koji su vaini za prepoznavanjekonvergentnih nizova.

Teorem 7.17 (Bolzano-Weierstrass). Svoki omeden niz imabar jedno gomiliite.

Teorem 7.18. Svaki monoton i omeden niz ima limes.

zadatakT.ll. Navedite pretpostavke iz 7.18 i razmotrite situaciju kad neka od njih nijeispunjena. Pod<rUepite razmatranje primjerima.

/ , ",Korolar 7.19. Niza, - (,*i) ima limes.\ n./

Dokaz. Korolar je posljedica Primjera 7.8 i Primjera 7.10 i Teorema 7.18. n

Po Teoremu 7.18 zakljutujemo da i sljede6i nizovi imaju limese:1a) an--, n b) an : s",ls1 <1.

Obrat Teorema 7.18 ne wijedi buduii da postoje nizovi koji nisu monotoni, a ipakimaju limes. Takav je npr. niz an: qI

Niz (a") je monoton i omeclen =+ l,,lim a,,.

Primijetite da je limes gomiliSte, ali svako gomili5te nije limes.Ako limes postoji on je jedinswen.Primjerice niz an: ( 1)" ima dva gomiliita (-1 i 1), ali nema limesa.

Svoistva limesa niza 151

Zadatak 7.12. Za sledeie nizove ispi5ite prvih 5 tlanova niza, ispirajte cla li su monotoni, ogranideni, imaju Ii gomiliSta, te imaiu li limcs.

t1 )a) rt,,: ,.c) o,,

e) rL,,

8) ar

i) a,,

/l\ '

\ :r./- i- I ir.

t (ltt').(rll: .

:i ,r"(rr j)

b) ,,,, : .i,, r,,l) .\ 2./

d) o,, - 112 1.

tJ ',,.:L lt' 1

l,r I

h) ,,. : l" -'l

Primijetimo da se ovdje pojavljr.rju dva osnovna problema.

Za zadant niz (o,, ) odrediti da li je konvergentan ili nije.

Ako je niz konvergentan naii mu limes.

Rjeienje drugog problema moZe se traiiti direktno po Definiciji 7.13 ili (brZe)upotrebom svojstava limesa.Pogledajmo kako se pomoiu definictje limcsa dokazuje sljedeia tvrdnja.Propozicija 7.2O. Vrijedi

,Jl,l q" : 0. za q .. I (7.14)

Dokaz. Bez smanjenja op6enirosri moZemo prerpostaviri da je q I 0 Qer je r-r su-protnom rezultat otigledan). Sada za dani : > 0 moramo pokazati da postoji rretakavdaje q" <..Yn>r0. Imamo ,1,,i - q" <:.painlog r7 < 1og:. Dijelje,njem prethodne jednakosti sa k.,g qr (kojije negarivan) dobivamo ,, , l,l,;1 -,,,;. i iskazanje traZeni rezultat. IZadatak 7.13. Sto.je pretpostavka u prethodnoj propoziciji?

7.5 Svojswa limesa nizaKod efektivnog ratunanja limesa nizova rijetko ra6un provodimo po definicijilimesa niza. Puno dei6e limese ratunamo tako da koristimo svojswa, iz teoremakoji slijedi, i neke osnovne limese, koje samo izraiunamo po definiciji.-leorem 7.27, Ako nizovt (o,,) i (r,,) konvergiraju i lilr a,, - a. Iirn lt,, - 61o4o'.t'ljedi:

1. ,1i- (r,, + b,,) o + b.

1.

2.

752

z. )\L&a") =ka,ke IR,

3. lim (a"b"): ab,

+. lrm !: | {uz uvjet daje b l0).n)6 0n o

5. lim k:k,ke lR,

6. lim (a,)- : ( urn o.)-,m € IR.m l o.\n-oo ",i

Dokaz. Dokai:imo twdnju 1. Treba dokazati da Ve > 0, moZemo naii ze takav dawijedi l(a" +b") - (a+b)l < 6 za sve n> nn. 1z nejednakosti trokuta slijedi

l@" + b.) - (a + r)l - l@" - a) + (b" - b)l S 1"" - al+lb" - bl. (7.7s)

No, iz pretpostavke slijedi da postd e nt i n2 takvi da wijedi

loo-ol<]r.vr,l.>rr.

lb, -61 < Irr,Vn >nr.Iz 7.75,7.1.6 i7.77 )mamo

l@. + b.)- (a + b)l . 1. * 1' : €,vn > no,22gdje je n6 jednak vedem od brojeva n; i n2.

Slijede neki vaZniji limesi nizova, koje koristimo kod raEunanja sloZenijih limesa.

VAZNIJILIMESI

l. [m 1:0,n--+oo n

z. )r.yln:t,3. jg.q":0, ako je lql < 1,

+. r^ (t+1)":"a-oo \ n/(e = 2,774... zovemo Eulerovim brojem).

Svojstva limesa niza

(7.76)

(7.77)

(7.78)

n

Red. Geometrijski red 153

Dokaz. 7. Za dani e > 0 treba naii n6 takav da vrijedi * 1l < s.Vn > rre.

Imamo 4/ < a. odnosno,. - [*- |

koji

n),,2 - ,,

Primjer 7.22. Izratunajmo ,,t1,i ".., 1 uporrebom svojstava iz prethodnogteorema i pobrojenih va2nijih limesa.

2. Dokaz je napravljen u Dodatku sljede6eg poglavlja upotrebom teoremagovori da neprekidna funkcija i limes komutiraju.Limesi 3. i 4. dokazani su u prethodnoj rotki.

Rjesenje. ,,\*T=: ,\1=I'2-I

Iri2

ri2 liur

12 lirrrI1- lini ;l-u

lt) -2.Zadatak 7.74, Izratunajte sljedeie limese upotrebom svojstava iz prethodnog teoremai pobrojenih vainijih limesa:

,) 1i,,, / 1'l J" \',,--\;trr2 I /i tu,,+3.t0,,ol ,,'l'l r.,* r * a., .'

c) ,lim (/r' + /r ri) .

d)

e)

,,r, 1rr+2)r''.. / 2+l+6+...-rtn \lrrr I I,, .\ \1+:l+3r +.. +3" 1/

7.6 Red. Geometrijski redCinienica da suma beskonatno mnogo brojeva moZe biti konatna na prvi se po-gled tini nemoguiom. Ovdje 6emo pokazati da je to ponekad moguie, a ukazatiemo na neke od brojnih primjena te iinjenice. Primjene su u podrutjima vjero-jatnosti, ekonomije, medicine...U dodatku ovog poglavlja pokazat iemo primjenubeskonainih suma nizova u financijskoj matematici.Definicija 7.23. Za niz (u,,) definiramo k-tu parcijalnu sumu kao

I.\1 r/. tt.-.., ttt. I,,

i:1N[z (.s,,') zovemo ni.zom parcijalnih suma niza (u,,) .

(7.19)

754 Red. Geometrijski red

Primjer 7.24. Za geometrijski niz s opiim tlanom a,, - arr1,, I vriiedi

.,, : i,,, ,,,L.:t"llrl

Definicija 7.25. Uredeni par l(a,,) . (s,,)j niza i tjentu pripadnog niza parcijabihsuma zoyerno red,om. Kaiemo da red konvergira ako konvergira prlpadni nizparcijalnih suma. Ako niz parcijalnih suma diverglra za red kaiemo da je diver-genton.Suma red,a (u oznaci o ,,) je limes niza parcijalnih suma. Dakle,

f ,r,, - lin ,r.,.1-n. l

(7.21)

Ponekad se redom zove izraz I o,,.rI:1

Da bi se mogli sluZiti ovim kriterijem konvergencije redova moramo prvo pronaiiizraz za n-trs parcijalnu sumu reda. Evo jednog primjera koji to ilustrira.Wimjer 7.26. Da li konvergira red ! I

,= r/ (// + l)

Rjeienje. Za n tu parcijalnu sumu raiunamo: ",, - i -1 I I' ,7tn(rr+f) :1.r+r--1l

t ,,. *3l /?(i?+1)/ tt (t r\ rt rl _t! I lf ;I \t jl \r r/' \, , t)

I tt, . I. Sada ie po (-.2 l) rrma reda jcdnaka

liur.,, - irrL " -L" - // - |

Ovakav se red zove teleskopski red zbog reduciranja pribrojnika u n-toj parcijalnoj sumi.f

Propozicija 7 .27. Nuian uvjet konverganctje reda ((a,,) , (s,,) ) jeIirrr o,, - 11

Dokoz. Primijetimo da vrijedin, - (a1 t o',: + ... + a,)- (ar l o,2 1... *r.r., 1).odnosno(,r - 5,r S,, r.Ako sada I ri,, konvergira prema nekom realnom broju S tada i parcijane sume

n-|S',, i,9,, r konvergiraju prema tom broju kad n teii u beskonatnost. Dakle vrijedilirrr o,, - |;1 5,, Iiur S,, , =- 5 S:0. tl

t

(7.20)

(7.22)

Red. Geometrijski red

Prethodna se propozicija moie titati i na sljedeii naiin.

Korolar 7.28. Akoje Iirrr o,, /. 0 tada red I a,, divergira.?l: l

Primjer 7.29. Da li red f '1" , ,l konr ergira?

Rje5enje. Provjerimo nuZan uvjer konvergencije. lmamo lirr I I :t

Dakle, red divergira. ""*"'- ''ll 1 tri ;'aBuduii da je u prethodnoj propoziciji dan samo nuZan uvjet, a ne i dovoljan,potrebni su i drugi kriteriji koji nam pomaZu u odgovoru na pitanje da li redkoji zadovoljava nuian uvjet konvergira. Takvih kriterija ima mnogo, ali mi seneiemo ovdje njima baviti.Primjer 7.30. Provjerimo daje divergentan, tj.

15.5

Rje5enje. NuZan uvjet konvergencije je zadovoljen jer jevergira. Objasnirro zaito. RaspiSimo sumu:

ilnl

11 1111122:i-tlt2 11r1111r1 ,:.' h \ \ I t l

1t> :-'2

lim l : rt. Ali ipak red di-

il_ _l*l_1 1 I 1 I I 1 11-. rt 2 3 J+s16+-+s+O- +16+i-r",:l

Ova se beskonaina suma moZe podijeliti u takve grupe da je suma u svakoj grupi veia iiiljednaka i. Evo kako.

Primijetite da u n-toj grupi (osim prve dvije) ima 2,, I pribrojnika i daje posljednji uvijekI

n, , . Dakle. zbrajajuii dovoljno mnogo takvih grupa, moZe se pripadna parcijalna sumaLitiniti po volji velika, pa beskonaini red divergira. IlPrethodni primjer pokazuje da postoje redovi koji zadovoljavaju nuian uvjet kon-vergencije. a da nisu konvergentni.Promotrimo jedan specijalni slutaj reda.

Definicija 7.31. Red ((o,,) . (s,,))je geometrijski red. akct je pripadni niz (t,,) ge-ometriiski.

156 Red. Geometrijski red

Propozicija 7.32. Sumo geometrijskog reda odredenog tiji je prtti (lan niza a1ikvocijent q, gdje je lq <1, je

Do.,q"-'a1 (7.2s)1q

Dokaz. Ratunamo

Lotq"-'/ 1 ^n\' lim la, - ' l : -JL ;;6 11 ,'1, -\'l-sl I-q,.o '

o'(t- [m on): 0 rl o): -9tI g\ n cn'/ 'l-g' l-qtr

Primjer 7.33. Uplatimo li u banku iznos A'i ielimo 1i na kaju svake godinekrajem godine dobivati jedake iznose -R rente, uz godiSnju kamatnu stopu p, tadaje

O.24)

Iznos ,4 koji treba uplatiti da bi se mogla ispladivati beskonatna renta visine Rjednakje

A:Rr-LRje3enje. Prema priloienoj slici sve wijednosti r? ispla6ene kajem wemenskog razdob-lja diskontiramo ("povlatimo unatrag") na poietak prvog razdoblja.

R/,R/,2R/rs

*,:,--,n/,"

Zbrajanjem tako dobivenih wijednosti dobivamo

,, R R R R{ : -* -r...r r. rn_t rn

- !(r, 1 ...- t^, 1 )r\ r rn

Upotrebom formule za sumu prvih ru tlanova geometrijskog niza dobivamo traZenu for-m1J\17 .24.

Dodatak

S druge strane, primjenom formrie 7.23 za sumu geometrijskog reda imamo

R1r7 I r1

!Zadatak 7.75, Zadanje kvadrat stranice o. U taj kvadrat upiSe se kug, u kug kvadratitd. Nadite:

157

a) sumu powiina svih krugova,c) sumu opsega svih kruZnica,

b) sumu povriina svih kvadrata,d) sumu opsega svih kvadrata.

nn2Rje5enje. a) "; . b) 2n).ct t2 . 1i1n..d) t2 rtt n.

Zadatak 7.76. Odredite sume sljedetih redova:

a):, ^ | . .... bl2t. :2"+3c) ) ---

tr

,_i., (;)"

Zadatak 7 .77 . Decimalni broj koji sadrZi znamenku ili skupinu znamenaka iza decimal-nog zareza koje se perioditno ponavljaju, uvijek se moZe prikazati u obliku razlomka.To radimo tako da ponavljajuii dio napi5emo kao sumu geometrijkog reda. Na primjerbrojt)..151541-r15,15...moiemozapisatikao0.45.15.15.15...:0..15+0.0015+0.000045+0.00000015 + . . . Upotrebom geometrijskog reda pokaZite da je taj broj jednak razlomku.15

99Zadatak 7.18. PrikaZite sljedeie decimalne brojeve u obliku razlomaka:

a) 0.3c) 2.723723723123 .. ..

b) r.23232323...,

7.7 Dodatak7.7.1 Opdi tlan Fibonaccijevog nizaOpii tlan niza koji je rekurzivno zadan sa ar : l. az : 1, an : an r+ on 2(Fibonaccijev niz), moZe se naii pomoiu karakteristiinog polinoma rekurzivnejednadibe. U ovom slutaju rjeSavamo karaktiristitnu jednadibu

x2 ;r: 1:0../--/=

Rjebenja jednadZbe su 11 : a-. , , - !!l Opii clan niza je linearnakombinacija potencija rje5enja karakteristitne jednadZbe tj.

'"' - "' ( #)' " (' ,.')''

158 Projekti

Konstante (.1 i r,2 iemo dobiti iz potetnih uvjeta a1 - l. e2 - 1. Uvrstimon - 1i dobivamo I - ,.,

11 t; -,r1 tt' odnosno za, . 2 imamo(lr.i ..) ,{.1 ,\ ir. lz,og *r,nu, izracunamo , , i , ,. pa je

konatno rjeienje

7.7.2 Teoremi o limesima nizovaTeorem 7.34. Svakl konvergentan nlz je omeden.

Dokaz. Pretpostavimo daje niz rr,, konvergentan tj. za svaki pozitivni realni broj: (uzmimo : - 1) postoji prirodan broj l. takav da je o _ /_ < j.Vri > 1..Buduii da je a,,j L! t,, t. ! u,, I_ imamo (,,'<. 1+ L.\tt:A'. Sada je ri,, { 11111i {o1 .rt2..... //r t.l+ Z }.Vri. To dokazuje da je (o,,)omeilen. -lKontrapozicijom iz prethodnog reorema dobivamo sljedeii korolar.

Korolar 7.35. Svaki neomeden niz je divergentan.

Teorem 7.36. Omedeni, rastufi niz konvergira svojoj najmanjoj gornjoj medi.Omeden[, padajLLti niz konvergira svojoj najvehj donjoj medi.

,okoz. Pretpostavimo daje (o,, ) omeden i rastuii niz. Nekaje I najmanja gornjameda niza tj. a,, < tr. Vri.Neka je nadalje ; proizvoljni pozirivni realan broj. po Teoremu 6.26 postoji a1takav da [. . < uy.Buduii da niz (o,,) rasre vrijedi a1. :, o,,.yn ) A..

Slijedi f . { u,, < L.X tt Z k. To znati da je a,, L,, .:. t.'lrt > k. Dakle,dokazali smo da je ,,fll ",, - l. Slitno se dokazuje i druga wrdnja iz teorema.

f

Projekt 7.1 (Rekurzime jednadZbe). RjeSavanje rekurzivnih jednadZbi pomoiu karakterisdtnog polinoma. Primjena na nalaZenje opieg flana niza koji je zadan rekurzivno.Projekt 7.2 (IGiteriji konvergencije redova).

a) Poredbeni kriterijib) Kritenji konvergencije pozitivnih redova (D,Alemberrov, Cauchvjev. Raabeov)

; (('-t') (. "'") )

Zadaci za ponavl.janje

c) Alternirani redovi (Lcibnizov kritcrij)Projekt 7.3 (Problemi ukama6ivanja).

159

a) Izrazitc formulam;r rast glavnicc kod jednostavnog i sloZenog obraiuna karnata.

i. b) Grafitki prikaZite rast glavnice I00 kn na 20 godina kod jednostavnog i sloZenog; obraiuna l(ilmata uz godiSnju kamatnu stopu od 4o/0,60/o i Bo/o.

Projekt 7.4 (Periodske svote).a) Izvedite formule za konatnu vrijednost rr periodskih uplata visine /?,

b) te sadainju vrijednost rr periodskih isplata visine ,4 uz godiinjr-r kamatnu stopu

c) Izradite prikladne primjere za oba sluiaja.

Zadatak7.79. Zapisitc sumr-r korisrcci sigmr nc,tacijLr I j* r"1 . ,! - +. ]:l

tZadatak 7 .2O. Raspiiite izraz I 1,. {1. . 1 ).

l,: l

Zadatak 7.27, Napiiite rekurzivnu formulu niza 2. .-). I I . 21). :12. .1i. . . .

Zadatak 7.22. Rijeiite.jednadZbu .-; :) t btt ...\2 r : 0.{) 1 r!.Zadatak 7.23. Nadite uvjete na koeficijcnte 2.q ujednadZbi ,t , p.,2 * tlako znamo dajednadZba ima tetiri realna korijena koji 6ine aritmeti6hi niz.Zadatak 7.24. Neka su nizovi ltt,,1i (b,,l arirmetidki. Da li su sljedeti nizor.i aritme-ritki?

a) (u,, - lt,,). b) {a,, b,,) .

c) (o,,0,,). d) (o,, b,,).h,, lt).e) I o,, l.

Zadatak 7.25. U geomctrijskom nizu jc zadano u1 :i)i(1-, - 10J-). Odrcditc koliko jeilanova tog niza zbrojeno, ako im je zbroj 1820.Zadatak 7.26. Nadire vrijednosti parametra ./ rakve da brojevi l).:11, :,r1.. (q r)'":'predstavljaju tri uzastopna ilana geometrijskog niza.Zadatak 7.27. Neka je (rr,, ) takav niz da vrijedi u,,+1 : (tt ), - r/. gdje je q + 1../ + 0. podkojim r:vjeton.)e taj niz aritmetitki. a pod kojim geometrijski? DokaZite da za rakav nizvrijedi

a) o,,+r - (i tq) a,, qt,, 1.rt .12'.b) .9,,,1 :,(r7 t l).9,, (2q+ l),5,, I tt.9,, 2.ri I2. gd1e je

5", In, .

tlZadatak 7.28, Nadite opii tlan niza n,, zadanog rekurzivno sa rrl 0. ri2 == 1. 11,,r, -

l

; (llrt,,*, d,,) . r -: L

.l 60

Zadatak 7 ,29. Ispitajte da li su sljededi nizovi omedeni i monotoni:

Zadaci za ponavljanje

Koji od gornjih nizova imaju limes?

Zadatak 7.3O. Neka je A'pozitir.ni realni broj. DokaZite da je niz,i,, : { pada.luci zasve rr ) k.Zadatak 7.37. Dokaiite da je produkt omedenih nizova omedeni niz.Zadatak 7 .32. Dokaiite da je suma omedenih nizova omecleni niz.Zadatak 7,33, Izratunajte sljede6e limese nizova:

a) o,, :1+ ( 1)" + rr.

' r/+3C) (1,,: \Ie) o,, - .vn'+z

,,,1(: #).) i -],-,, l( r,

,),,\x=:P" .'.\ ((i) (;)"(;) )") ll,l,- (:)

b) o.,: "*2.' 2n ) 5

d) o,, : logu. n.- ii'

nl

) . - 2nh) ti,,, //r'+n+1\- "--\ n'/+l )d1 tim 1y{; --a - 1 vtrl - ,1

f) lim (0.9999)''.

Zadatak 7.34. Znamo Ii da je linr on - 2. iemu je jednako 1im b" ako je:

a) b,, - llo,, * 5 o, u,:+#+o) r,:(*.-4) -

Zadatak 7.35. Pronadite sume sljedeiih redova:

b)

d)

I,-?- 1 (n + 1) (n + 2) '

\-:,?,5" '

Limes funkcije"D eivacij q pretp ostavlj a nepr ekidnosl nepr eki.dno st se ba-zira na netem bukonatno maloty ali nitko ne mode otkritilto to beskona(,no malo moZe biti"Bertrand Russel

8.1 MotivacijaMatematidka analiza ima wlo Sirok spektar primjena, a u temeljima matematiikeanalize je pojam limesa. U prethodnom poglavlju smo se bavili limesima nizova,a cilj ovog poglavlja je objalnjenje pojma limesa funkcije, njegovog ratunanjakao i veza s pojmom limesa niza. Sljedeie poglavlje rasvijetlit ie vezu limesafunkcije i derivacije funkcije. Limes opisuje }to se de5ava s funkcijom / (r) kadse r pribliiava odretlenoj wijednosti a. Promotrimo ove jednostame primjere.Primjer 8.1 . Zadana je funkcija

12-4r+Zr- I

Buduii da se ovdje radi o racionalnoj funkciji, zakljutujemo daje podrutje defi-nicije D7 : R\ {1}. No, brojnik se moZe faktorizirati i shatiti s nazivnikom, padobivamo f lor(r):r-3.

(8.1)

76L

.1.62 Motivacija

Graf izgleda kao pravac y : r - 3, ali stvarno nedostaje todka s apscisom r : 1.No, ielimo li funkcijsku wijednost koja je dobro "ukomponirana" u graf funkcije/ onda stavljamo lO) : -2.Dakle, ako z -- 1 tada f (x) ---+ -2, pa pi5emo

!\if @): -2.titamo: limes funkcije / kad u teii premaL je -2.Primjer 8.2. Bitno je drugatiji primjer cjelobrojne funkcije 9 (r) : lr.l. Evografa.

Prisjetimo se da je l1l : 1. Stvarno, pribliZavamo li se broju 1 s desne strane,"odgovaralo" bi nam da je I (1) : 1, ali pri pribliiavanju s lijeve strane 'Vi5e binam odgovaralo" daje wijednost u r : l jednaka 0. To bismo zapisali

,l'T* .9 (') : ti titali limes zdesna od 9 kad r teZi prema 1je l,odnosno

lim e(r) :0c+1-

(8.4)

i ditali limes slijeva od g kad r teZi prema I je 0.Primijetimo da je u Primjeru 8.1 limes zdesna u totki l jednak limesu slijeva utoj toEki.

Primjer 8.3.

Vidimo da ako se pribliZavamo broju 1 slijeva ili zdesna da h (1) teZi u m. Zatokaiemo da h u I ima beskonatni limes i pi3emo

(8.2)

(8.3)

limft(r) :166. (8.s)

i

Limes funkcije 163

Na temelju ovih primjera zakljutu jemo:Ako / (.r') ide sve bliie i bliie broju /- kad .r ide sve bliie i bliZe broju a na bilokoji nadin, tada je l, limes funkcije ./ (.i ) kad.r teZi prema a. Taj se odnos zapisujeu obliku

lirrr ./ (.r') : L

8.2 Limes funkcijeNa temelju motivacije iz prethodne toike u ovoj totki iemo iznijeti dvije mate-matitki korektne definicije limesa. To su Cauchyjeva definicija, koja se temelji na"okolinama" varijabli i Heineova definicija 6iji je temelj limes niza.

Definicija 8.4 (Cauchyl). Kaiemo da je realni broj L limes funkcije a - .f l.r') tttoiki.t-aakoVs > t). ld > 0takav da0< r' u <. d....+ .f (.r'1 L <.:. (8.6)

Definicija 8.5 (Heine2). KaLemo da je realni broj L limes funkcije a - l (.r) Lttotkir-oako'X niz (.u,,) takav da lirrr rr,, - .1 yrredi liru J (o ,,1 -. L. (8.7)

Prethodne dvije definicije limesa funkcije u totki meclusobno su ekvivalentne.Formulirajmo sada, po uzoru na Primjer 8.2 i definicrju limesa zdesna i slijevapomoiu Heineove formulacije limesa.

Definicija 8.6. Kaiemo da je realni broj t. limes zdesna funkcije q - f (,t.) u roikir-oako\ niz (.u,,1. (o,, > a.Vn) takav do linr a,, : a yrijedi l];rt:r .l (a,,) - t,. (8.8)

Kaiemo da je realni broj L limes slijeva funkcije u - f (..r') u totki .t - o ako

Y niz (tt,i1. (a,, < o.Vru) takav da lirrL o,, - a vrr]edi liur .f (.o,1 : 1,. (8.9)

Teorem 8.7. Funkcija y - f (.t) imalimes L u totki r - o +t

lirn / (:r) - lirn .l (r) - L (8.10)

lAugustin Louis Cauchy (1789-1857.J-trancuskr matemirrlcar, Dapisio 7g9 radova iz gorovosrih podruija matemarike

2Heinrich Eduard Ileine (1821.-1BUt.) - njematki maremaritar sa znatajnim dopdnosjma u..rratematitkoj analizi

764 Svoj swa limesa funkcij a

Primjedba 8.8. Za sve elementarne funkcije u svakoj totki a u kojoj su one defini-rane vrijedi lim / (r) - / (o) .

Primjer 8.9. DokaZimo upotrebom Definicije 8.4 da je 1i1 a!] : *

Rje5enje. Jasno je da prethodnu primjedbr.r ne moZemo ovdje primijeniti, jer funkcija2(i r)

pod limesom .f t., t : ! u totki r' : 2 niie definirana. No, skraiivanjem razlomkadobivamo "/ (r) - 2 (r + 2).Uzmimo da je dan : > 0 i promotrimo . okolinu oko wijednosti 8 na osi y, tj. onefunkcijske vrijednosti za koje je /(.r') 8 < .. Odnosno, 2.r' .1 < :. Dakle, tre'bamo na6i takav d da .i 2 < d -+ 2x-1<:. Stavimo Ii sadada jeri: I imamo

.f (t') El =2.i 1-21.r. 2 <2d:e.Zadatak 8.1. Nadite limes zdesna i limes slijeva funkcije

/(.,):1.,=nJl

utotkiz:0.

Limes u beskonatnosti

Ponekad se javlja potreba, npr kod pronalaZenja asimptota, izratunavanja Ii-mesa funkcije kad varijabla teZi u +rx ili :c. Ti se primjeri ratunaju uvodenjem

Isupslrtucije.r na naiin objabnjen kod limesa nizova.l1

Pogledajmo sljedeie primjere:Ia) lirl - 0.x-+rc rr

b) liur 1:0.

8.3 Svojstva limesa funkcijaLimesi poltuju odredene zakonitosti, koje nam mogu pojednostavniti ratunanjelimesa. Stoga 6emo, kao i kod limesa nizova, prvo navesti svojstva limesa funk-cija, a onda i limese nekih posebnih funkcija. Nakon toga se limesi ostalih funk-cija ratunaju upotrebom svojstava i osnor,nih limesa.

Teorem 8.10. Ako postoje llmesi irrl;,f (r) - Zr,lini g(.r:) - Lr tr*orr"rd '

7. lirr (/ (:r) + o (:r)) - Lt t Lt.

2. lntL (kJ (r)) - kZ1. I e R.

3. lirrr (/ (r) e Q:)1 : 1r1r.

Svojsoa limesa funkcija

+. :,y [9 - t] t , uujet da je L2 I o).r-a g\r) L2'

s. l\!"k: k, ft € lR,

6. l1m (f (t))^ : L?,m € lR, rn I 0.

Dokaz. Dokaiimo h.rdnju 1.

Pretpostavke: Ve > 0, ld > 0 takav da lr-ol < d.+ l/(z) _ frl .2,Ve > 0,-d > 0 takavda l" - ol < 6 - lg (r) - t rl. f,.

Treba dokazati: Ve > 0, ld > 0 talav da

)" - "l <d :> l(/ (z) + g (r)) - (Lt + Lz)) < e.

Zaista,

l$ (r) + g (u)) - (Lt + Lz)l : l(/ (z) - L) + (s (r) - Lz)l <(nejednakosttrokuta) < )f (r) _ Ll +ls (n) _ L2l <

(pretpostavke) .. iri= r.

SVOJSTVA LIMESA FUNKCIJEAko postoji post oje l:rn"-" f (r) i lim,,*, 9(z) , tada je

1. limes sume f (r) + g(r) jednak sumi limesa,

2. Iimes produkta /(r)9(o) jednak produktu limesa,

3. limes kvocijenta f (r) I s@) jednak kvocijentu limesa&tzlrrn -"g(n) l0).

16s

tr

L66

VAZNIJILIMESI

.. 1llm-:U,

,l*q' :0, kad je lqi < 1,

. / 1\'Irm ll+-l =e.x-co \ :r )hrq (1 + r)* : s,

ln (1 + ,1)lim ' '-1... ax-1lrm : ln a.r*0r'-- sin,ulrm _:1.:x+O r

Svoj s wa limes a funkcij a

(11)

(L2)

(L3)

(L4)

(Ls)

(16)

(L7)

Dokaz. LimesiLl, L2, i L3 direktna su posljedica vrijednosti osnovnih limesa kojesmo dokazali kod limesa nizova. Ipak treba uotiti da je kod limesa nizova vari-jabla n poprimala samo vrijednosti prirodnih brojeva, dok varijabla r poprimarealne wijednosti.Tako da su gornja tri limesa posljedica twdnje da se svaki re-alni broj moie ograditi s dva cijela broja (cjelobrojne funkcije "floor" i "ceiling").Nadalie, limesi 4., 5. i 6. mogu se dobiti iz limesa 3 na sljedeii nadin.

Uvedemo li u 3. supstitucij l a :1 raday .- 0 i dokazali smo limes 4.f,:

Logaritmiramo li limes 4. i uzmemo li u obzir da je logaritam neprekidna funk-cija, a neprekidna funkcija i limes komutiraju (vidite Dodatak ovog poglavlja),dobivamo

lirnln(l .1) :11e.

Primjenom svojstava logaritma dobivamo

ln fl + .r)lim '-1.r-0 rPromijenimo 1i bazu logaritma iz e na neku op6u b aal a (a > 0, a I 1) prethodnajednakost postaje

f ,$ i9tu{ -,) _ ror, ".

Supstitucijom 1og, (1 +z) : g, dobivamo r- aa - 1igr + 0, pajs

-. aa -lllm - ln o.e+o A

Svoj stva limes a funkcij a 167

Dokazali smo, dakie, limes 6., pa nam preostaje dokazati limes 7.SIN .II,unkcrJa I @) : I ie parna, pa je dovoljno promatrari sto se dogacla za poz!

tivne wijednosti varijable r. Ako je O , , ,Ipromotrimo siruaciju na jedinitnojkuZnici.

l

Odito je

Dakle

"osr<llg<1,rpa kad r teZi prema nuli cosr teZi prema 1, tako da wijedi limes 7.

U dokazu firrdnje 7 koristili smo sljedeii teorem (u literaturi na engleskom semoZe na6i pod nazivom "squeeze theorem", "pinching theorem,,).

Teorem 8.11. Ako postoji pozitivni broj p sa svojsuom da

f(r)<g(r\<h\r)za sve x koji zadovoljavaju nejednakost 0 < l, - a <piako je

Jg1/(")-limh(a):Ltada je

)11;o@): r..

Dokdz. Pretpostavimo da je e zadan. Neka su d1, d2 pozitir,ni brojevi manji od ptako da

r-al< d1 povlati L e <f (r),lr-o <d2 povlati L+e >h(x).

Neka je sada 6 : min {dr, dz} pa iz r - al < d slijedi

sinr<z<tgr.

L - e < [ (r\ < g (r) < h \x) < L - F.

168 Svoj s tva limes a f unkc ij a

Dakle,ls(n)-Ll<e.

tr

Primjer 8.12. Izratunajmo limes lim He-4 rz - 16

Rje5enje. Kad bismo u funkciju "f (r) : ffir*"riti, = 4 dobili bismo neodreileni. 0 - ..izraz n. Ovdje je potrebno racionalizirati brojnik funkcije i rastaviti razliku kvadrata unazivniku. Imamo:

n f -'=rr,-(f -2 vj+2\jli 12 _ 16 -i':i\az_rc',/i+2)odnosno t*otiaa-*Postdi jo5 nekoliko neodrerlenih izraza, kad je ratunanjetjeva posebne tehnike. Evo tih neodreclenih izraza.

,. t-4!-a lx: - 4) @ + 4) l\/r + 2)

!limesa sloZeno i zah-

00'

J-1al hm =---,,6Tn ..tr

C) Irm . ,h-0 h.1 - cosreJ lrm

-,

u -(l X

s) li,, (' ,,

=,

'*'r_-@ \f + 1/

NEODREOEN! IZRAZI

0.oo, 6 - @, 1-, 60,

-1b) lim .- 'r+1 12 +r -2'n-4 1

dl lrm .. .-.... ._.' r-<x 3ta 4- rz - 2r'4, _6,t) lrm

-,.,-O I

00.ooCrc

Kad se limesi koji sadrie gornje neodreclere izraze ne mogu transformirati takoda se svedu na poznate limese, oni se radunaju primjenom llHospitalovog pravila.To pravilo 6emo pokazati kao jedno od primjena diferencijalnog rafuna.Zadatak 8.2. Izratunajte sljedede limese:

Neprekidnost funkcije

8.4 Neprekidnostfunkcije

IrIfI

Intuitivno je jasno Sto znati pojam neprekidnosti funkcije. Re6i iemo da graf ne-prekidne funkcije moiemo nacrtati "ujednom potezu, ne diZuii olovku s papira",odnosno da je graf bez lomova i rupa. Medutim, za primjenu je vaZna egzaktnadefinicija.

Definicija 8.13. Funkcr;a y - J (,.t:) je neprekidna u totki rL e D1 ako vrijedilinr,.-., / (.r: ) - l'(r).Uotite da su u prethodnoj definiciji implicitno sadrZana tri kriterija da bi funkcijaI bila neprekidna u totki rr:

7. a e 'D1,

2. i lirl, I (.r )

3. lirrr I lL ) - .f (0') .

Funkcije iz Primjera 8.1, 8.2 i 8.3 nisu neprekidne jer u Primjeru 8.1 u totki pre-kida nije ispunjen uvjet 2 iz prethodne definicije, dok kod preostala dva primjerau totkama prekida nije ispunjen uvjet 2.Iz Definicije 8.4 direktno slijedi naredna propozicija.

Propozicija 8.14. Funkcija ! - .[ (.r') je neprekidna u totki .t - u ako

V:>0. ld>Otakavdo r al qi-; /(:) .[ (.a) <:.Oznadimo li sa .\.r- "malu" promjenu varijable, a sa

769

(8.1 1)

(8.13)

f./ (n) - ./ (a + l.r) l lt) (8.12)

pripadnu promjenu funkcijske wijednosti u totki .r: - o, tada moiemo izre6ijo5 jednu ekvivalentnr: definicrju neprekidnosti funkctje u toiki.Propozicija 8.15. FunkcrTo u - .f (x) je neprekidna u totki .r - a ako je

-,li1,,l/ (o) - o

Funkcijaje neprekidna u totki ukoliko "mala" promjena varijable uzrokuje "malu"promjenu [unkcijske vrijed nosr r.

Primjer 8.16. Funkcrja/(.,'): l.t nije neprekidna u totki ;. - 1. jerkad,l,r - 0onda /i,r1.. ..,A l' ll ne posroji.

Definicija 8.1,7 . Funkcija je neprekidna na intervalu ako je neprekidna u svakojtoikt tog intervala.

770 Neprekidnost funkcije

Primjer 8.18. Provjerimo upotrebom Propozicije 8.15 da su funkcije f (x): krif (r) : r", n € N neprekidne na cijeloj svojoj domeni.

Rje3enje. 1. J @) : h.Imamo

o[110 A./ (r) :

^li1o lk (z + Ar) - kz] - ]ipa,-6(/cAr) : 0.

2. Il{) - r'.n € N.Ratunamo o[3oA/ (r) : JiTo f(r + Lr)" - s"1=binomni poutak=O.

tr

Propozicija A.1,9. Vrij edi

7 . Suma konaino mnogo neprekidnih funkcija je neprekidna funkcija.

2. Produkt konatno mnogo neprekidnih funkcija je neprekidna funkcija.

Dokaz. Dokai.imo tvrdnju 2.:

Jllo a/ (') : o, j;10 ro (z) : o.

Treba dokazati: o[]n A ("f (") o (")) : 3

Jilnl/("+ Lr)s(r +Az)- J@)s@)l:J;10l/ (" + Lr) s (x + Az) - I @)s@)+ f (r+ Lr")s(r) - f (."+Lr)s(r)):limo l/ (z + Ar) (e (r + Az) - e (r)) + (.f (r + az) - f (,)) s @\ :l;10 i/ (" + Ar) Ae (a) + Lf (r) s (r)l:Jilo[/("+Ar) Ae(z)] +o[10[A/(") a@)]: f is suneprekidnetunkcije=/(r) .o+s(u).0:0. nZadatak 8.3. DokaUite twdnju 2 iz Propozicije 8.19 po uzom na prethodni dokaz.

Primjer 8.20. Posljedica prethodne Propozicije je da su sljede6e funkcije nepre-kidne na svojoj domeni.

2.

J.

1. Polinomi.

Razlomljene racionalne funkcije (osim u nultodkama nazir.nika, koje i nisuu domeni).

Elementarne funkcije.

Do sada smo govorili o neprekidnosti funkcije, a sada 6emo neito reti o klasifika-ciji totaka prekida funkcije.KaZemo da funkcija g : / (r) ima prelrjd u toEki z : o, koja pripada domenifunkcije ili je granitna za to podrutje, ako u toj totki nisu ispunjeni uvjeti nepre-kidnosti iz Definicije 8.4.

Neprekidnost funkcije

Ako za funkciju A - f @) postoje konaini limesi

171

pri demu nisu sva tri broja L1,L2, f (a) meclusobno jednaka, onda o nazivamototkom prekida prve wste. Nadalje, ako je tr1 - Lz tada o, zovemo uklonjivimprekidom.Sve totke prekida funkcije, koje nisu todke prekida prve wste, nazivamo totkamaprekida druge wste. To su i totke beskonatnog prekida, tj. one za koje je 11 iliZ2 jednak oo.

Primjer 8.21. Evo nekoliko primjera razlititih prekida funkcije.

sinr .l. I Q) - ----, ima uldonjiv prekid prve wste u -r : 0.Llrl

2. f (r) : fr.l ima prekid prve wste u svakoj cjelobrojnoj todki. Ti prekidi nisuuklonjivi.

13. / (r) : ----- -i ima prekid druge vrsteur: I.(r - I)-

a. J @) : cos 1 ima prekid druge wste u r - 0.rPrimjer 8.22. a) Funkcija

r,, : _Y- f @), L, : _ri-, / (,)

( 12 I ako r< -]Ilx) {r 12 ako 't(r(

Ir' t ako l-rdefinirana je po dijelovima i evo njezinog grafa.

(8.14)

Ta je funkcija neprekidna na cijeloj domeni.Primijetite da se ova funkcija moZe zapisati kao f (r) : lr'z - ll.b) Funkcija

( r' 2 ako r< I

sG) { t 12 ako l<-riII12-2 ako 'l <-r

ima graf kao na sljedeioj slici.

t72 Neprekidnost funkcije

Ova funkcija ima prekid u toLkama r: -Li a:1. Iako je ona u tim totkamadefinirana,.limes u tim toEkama ne postoji. Funkcija u tim totkama ima prekideprve wste (nisu uklonjivi).c) Funkcija

( x+t , -1 <r<1n@:1 4 , r:LIr*r, r<r<2

ima prekid u todki r : 1 i funkcUska se wijednost razlikuje od limesa. Dakle, uto6ki r : 1 funkcija h (z) ima uklonjiv prekid prve vrste.Zadatak 8.4. Klasificirajte totke prekida funkcija iz motivirajudih primjera s potetka oveglave.

8.4.1 Funkcija neprekidna na zatvorenom intervaluDefinicija 8.23. Funkcija f je neprekidna no zatvorenom interyalu la,bl ako je onaneprekidna u svakoj to(ki n,a < fr < b, te da je neprekidna zdana u fi : a ineprekidna slijeva u :L : b.

Teorem 8.24 (o metluvrijednosti). Nekd je g : f (r) neprekidna funkcija nasegmentu la,bl i neka je f (a) : A,l@ : B, te A < C < B. Tada postojic e (a,b) takav da je I k) : C.

/(b)

f (")

t@)

Dakle, teorem o mecluwijednosti kaZe da ako neprekidna funkcija poprima wi-jednosti,4 i B u totkama a i b onda ona poprima i svaku wijednost izmeclu A i Bu nekoj totki izmeclu a i b.

Dodatak

Primjer 8.25. Poznato je da je eksponencijalna funkcija f (r) : Z'neprekidnana lR. Znamo nadalje da je 20 - 1,22: ,1 i 1 < 3 < 4,Zakljutujemo da postoji r,O < r < 2 takav da je 2c : 3.Funkcija 2" je sffogo rastu6a na domeni, pa znamo da postoji samo jedan takavr da wijedi gornji zakljutak.Primjer 8.26. PokaZite dapostojit,0 <, < 3 takav da je sin ({) + 2t3 :51.Zelimo li primijeniti teorem o mealuwUednosti trebamo prvo dokazati da je funk-clja g (t) - sin (i) + 2i3 neprekidna. No, radi se o sumi neprekidnih funkcija, paje rezultirajuda funkcija 9 neprekidna. Nadalje, g(0) :0ig(e) :54+sin1.Buduii daje S(0) - 0 < 51 < 54 + sirl :9(3) ig neprekidna funkcija poteoremu o mecluwdednosti slijedi da je 9 (t) - 5\ za neki t iz zaworenog intervala10, 3] . Ovdje I ne moZe biti jedna od granica zatvorenog intervala, pa je 0 < I < 3.

Korolar 8.27. Ako je y - J @) neprekidna na nekom zatvorenom intervalu i akona krajevima poprima vrijednosti razli(.itog predznaka onda na tom intervalu imabar jednu nultotku.Zadatak 8.5. Navedite pretpostavke u teoremu (i korolaru). sto se dogada ako nekapretpostavka nije ispunjena. Vrijedi li tada teorem (korolar)? Promotrite step funkcijufr] , na 10,2] . Poprima Ii ona funkcijsku wijednost 3?Nadalje, 5to je s funkcijom g (r) : ,$ na intervalu 11,3]?Zadatak 8,5. Vrijedi li Teorem o merluwijednosti ako uvjet A < C < B zamijenimouvjetom B <C < A?Zadatak 8.7. Upotrebom Teorema o meduwijednosti dokaZite sljedeii korolar.Korolar 8.28. Ako su f (r) i g (r) neprekidne funkcije ns zatvorenom intervalula,b)iako je J @) < g(") i /(b) > s(b)tadapostojicUla,bltakav da je f (c) -sl").Teorem 8.29. (o ekstremima neprekidne funkcije na zaltorenom interttalu) Nekaje f neprekidna funkcija na zdtyorenom interualu la,b) . Tada

(1) J je omedena na la,b) .

(2) J poprima minimum i maksimum na la,b) .

Ukoliko je funkcija neprekidna "samo" na otvorenom intervalu ovaj teorem newijedi.

8.5 Dodatak8.5,1 times niza i neprekidna funkcija komutirajuTeorem 8.30. Neka je lim an: aineka je zaVn,an u domeni funkcije J.Ako jef neprekidna u a tada je

Jg.rro,r : / (J,*,,)

773

174 Dodatak

Dokaz. Nekaje I neprekidna funkcija u a i: > 0. Dakle, postoji d > 0 rakav daakoje.r a < dtadaje ./ (r:) .l Q) <t.Buduii da je ,,lll,l ",, : rr postoji prirodni broj ,( takav da ako je rr > lr, tada jeart a < rf. Ako je sada a ) k tada je I (o,,) .f (o) <- t. L

Primjer 8.31. DokaZimo da je lim 1/a - 1. o > 0.

Dokaz. Uzmimo da je a > 0 fiksan broj.Imamo lr ,,li11 V, = ll /-. a iz toga slijediliru ! lirl irr,.r - lrr 1-. oa ieIrrl - 0. odnosno I - 1. ft

8.5.2 Dokaz teorema o ekstremima neprekidne funkcije na zatvore-nom intervalu

Teorem 8.32. Neka je .f neprekidna funkcija na zotvorenont intervalu lo . b). Tada

(7) .l' je omedena na t!. b' .

(2) .f poprima minimum i maksimurn na t.a. b) .

Dokaz. a. Skup A - {.r' : .r e frr. ir] i ,l je omedena na [a..r']] je neprazan i ome-den odozgo sa ll.Neka je c najmanja gornja meda skupa J. 2elimo dokazati da je r' - b. To 6emoutiniti metodom kontradikcije. Pretposravimo stoga da je c < ir. Bududi da je.l neprekidna u r.ona je ometlena na Ic, e .t: | :) za neki : > 0. Sada znamoda je ./ omeclena na lri. c i .] Sto znaii da r; nije najmanja gornja meda od ..1.Zakljutujemo da je c - 6. pa je ./ omedena za sve x za koje vriijedi .r < 6.Dokaiimojo5 daje .f omedena u b. Zbog neprekidnosti I je omedena na [b ..6] .

paje ona omedena i na o.6] .

b. Po prethodnon dokazu, / je omedena na lo. ir] . Oznatimo najmanju gornjurnedu skupa {./ (.r) , .. e 'a.6, }sa r\1. Pokaiimo da postoji t: €. t!r.b. takav da jef (t) : \1. U tu svrhu definirajmo funkciju ri (, ) - ljl Ako / ne poprimavrijednost r'11, {i je neprekidna na [a.1,' . pa prema tome i omedena na o. b] . Me-dutim, 9 ne moZe biti omedena na lrr.1.,] . Stoga / poprima vrijednost ,11 na lo, ir] .

Sliino se dokazuje da I poprima minimum na fa. D] . -i

,J1,i.(it.,) : ln r.. Sada je

Projekti 175

Projekt 8.1 (Realne nultotke polinoma).a) PokaZite da.jednadZba

,'t +2.r2 .r-t:(lima barem jedan realan korijen. Nacrtajte skicu grafa funkcije.f IL 1 : ,:t '- 2.rt .r' - 1.

b) Upotrebom teorema o meduvrijednosti pokaZite da kubna.jednadZba

..'i+r..2+lt.r-t:l)ima barem jedan realan korijen.

c) Zadanje polinom neparnog srupn.ia

f (.rl - 1" - 0,, 11-t1 I * ... + orr'+ ol).

PokaZite dajednadiba l- (.r') - 0 ima barem jedan realan korijen.Projekt 8.2 (Bisekcijska metoda aproksimativnog odretlivanja nultotaka funkcija).Ukoliko funkcija udovoljava uvjetima Korolara 8.27 ot\a ima nultoiku na tom zawore-nom inten-alu o. b] . Zelimo li odrediti gclje se ona nalazi nadimo poloviSte i.1 interrala[rr. L i odredimo koji od interva]a lrr. r.1] . odnosno [r,1. ir] (moZda oba) zadovoljavaju uvjeteKorolara 8.27 . Uzmimo da je to interval ir. c1]. Sada 6emo njega podijeliti na pola i pro-nati pomoiu ur,jeta gdje se nalazi nultotka. Taj se postupak moZe nastaviri po volji dugo.

1. Odredite totnost na koju temo aproksimirati nultotku provcdemo li rr koraka uopisanoj merodi.

2. Aproksimativno odredite realan korijen jednadibe

.r:l _212_.r.+1 0

uzastopnom upotrebom teorema o meduvrijcdnosti na totnost od 0.0 t.3, Aproksimativno odredite realan korij cn jednadZbe

lrr.r .r' - 0

4. Aproksimativno odredite presjek krivulja

.f (:t t - sin ll.r i r/ (r') ..r.

5. 'loika cje fiksna toika fr.rnkcije.l ako vrijedi.l (.]') x. Nadite fiksnu totku funkcijeI (.r') - ,1 urs;i na intervalu fO. il . Uputa: promatrajte funkciju 9 (.r) J (..r) .r.

176 Zadaci za ponavllanje

Zadatak 8.8. lzratunajte sljedeie Iimcsea.) lirrr (lII t)

Jl .f ;lcl lirrr, 1\./ .5

,t l,: .., + tjel lrr' t .2 t2 - l

Ia) lirn' , -iJ .r:l ')7

c) liuL hr.r''

)rel lir rr' ,-r Iu( .r)

b)

d)

liLrr (r :iu r )

linl.. -1r f g .?'

o ;'rlqllj

dt li,', ''.' * :',', - .r' ] .r'l

Zadatak 8.9. Izra[unajte, ako postoje, sljedede limese

b) lnu.t -2

:t: 3rr Lr'2 -.r' * ti

Zadatak 8.10. Utvrdite koje su od sljedeiih izjava istinite, kao i koje vrijede zahvaljujutiTeoremu o meduvrijednosti.

1, Nekaje/(.r') funkcija za koju vrtedi I ( 1) 2i,f (1) : 6. Tada postoji .r: izmedulilrakavdaje I u r.

2. Nekajc f(u1 :2,,t l. Postoji toaka r izmedu 1i3 takva daje I (u) :U.3. Neka je.l(.r) neprekidna funkcija za koju vrijedi.i ( 1) : 2 i l(1) : {;. Tada

postoji jedinsrveni .r' izmedu i i 1 takav da je "f (0) : 1.

Zadatak 8.11. Funkcija y : sin.r ne poprima vrijednost 2 na zatvorenom interualu[i]. ri. Da li je to u kontradikciji s Teoremom o mcduvrijednosti?Zadatak 8.12. Zadana je funkcija / (.r) - r,J t.L2 - 2.r 1.

a) Popunite sljedeiu tablicu

/rI32.f 1., ) f' ,'

b) Koliko r poprima funkcijsku vrijednost lil Koje su to vrijednosti? Kako to zaklju-iujemo?

Zadatak 8.13. Zadanaje realna funkcija

I(t)=r -.rl .r;0.a) Naclite sliku funkcije i nacrtaite njezin gralb) U kojim totkama limes funkcije f ne postoji? Klasificirajte prekide funkcije.

Zadatak 8.14. Za sljedeie funkcije skicirajte grafove, te odredite da 1i su funkcije svudaneprekidne.

Zadaci za ponavljanje

a).r(r')-{ .i,; iiilb)r7(.r:)-{".1. 1iIc) i (r)-{i llll

177

"Ako sam ja mogao vidjeti dalje to je bilo somo zato jer samstajao na ramenima velikana (divova)"Isaac Newtonr

9.1, Bilje5ke o povijesti diferencijalnog raEuna

Kao i vedina matematitkih ideja, tako i ideja diferencijalnog ( infinitezimalnog)raduna svoje korijene ima u grEkoj matematici.Griki filozofZenon, kojije Zivio oko 450. g.p.K., daoje primjer u kojemje koristioideju beskonatnog. Evo njegovog argumenta za nemoguinost gibanja: Zelimo lida tijelo docle od totke ,{ do totke B ono mora prijeii njihovo polovi5te Pr, alipri gibanju prema P1 mora prvo doii do totke P2, koja je polovilte dui:ire AP1itd. Niz totaka P; , koji ueba prije6i, je beskonadan, pa gibanje nije mogu6e.Nadalje, valja spomenuti grtke filozofe (i matematitare!) Demokrita, Antifonu iposebno Eudoksa.Jedan od najznaiajnijih doprinosa grEke matematike lnfinitezimalnom ratunudao je Arhimed oko 225. g.p.K. Pokazao je, naime, da je porr3ina odsjetka pa-rabole 4/3 powsine ffokuta iste baze i visine, te 2/3 powsine opisanog paralelo-grama.Arhimed je konstruirao beskonatni niz ffokuta potev5i s jednim pow5ine P inastavljajuti dalje dodaju6i trokute izmedu postojedeg trokuta i parabole da bidobio pow5ine

p.p*!.p.P P P P P4 - 4- L6'P*Z+G- ea,""

Sada je pow5ina odsjetka parabole jednaka

l3

lSir Isaac Newton (7642.-1727.) - slavni engleski matematiiar, fizitar i astronom.

778

"(,*].i.i. )

Biljeike o povijexi diferencijtlnog ratuna 779

To je prui poznati primjer sumacije beskonainog niza.Arhimed je sliinu metodu iscrpljivanja pot.r5ine upotrebljavao za ratunanje po-vriine kruga, odnosno za aproksimaciju broja ;r. pronadite u literaturi kako je toArhimed koristio "integraciju" za odredivanje powiine kruga, volumena i povr-Sine sfere, volumena i povrSine sto5ca, povrSine elipse, kao i volumen paraboloidai rotacionog hiperboloida.Sljedeia primjena infinitezimalnog ratuna javlja se tek u 16. stoljeiu, a radi seo problemima centra gravitacije, koje je obradivao Luka Valerio. Zatim, JohanKepler pri proutavanju gibanja planeta treba pronaii povr5inu sektora elipse i prirom koristi "integraciju" tako da povriinu smatra sumom duiina. Kepler trebasamo slutaju (dvjema greikama) zahvaliti 5to je dobio totan rezuhat. Kako glasiKeplerov zakon koji govori o koristi povriine segmenata elipse?Matematitari Fermat, Roberval i Cavalieri rodili su se u godinama koje predstav-ljaju tri uzastopna tlana aritmetitkog niza tija je diferencija 3, s tim da je prviroden u pnroj godini 17. stoljeia. U kojim su godinama oni rodeni? Oni su dalinove doprinose infinitezimalnom raiunu.Fermat je, izmedu ostalog, razmatrao probleme minimuma imaksimuma funkcijepromatraju6i tangentu u todki ekstrema paralelnu osi .r.. Na taj iemo natin i miproutavati lokalne ekstreme.Znaiajne rezultate dali su Torricelli, Barrow, Mengoli i Angeli. Barow je opisaometodu pronalaZenja tangente na krivulju tako da je tangenta dana kao limesluka krivulje kad krajnje totke luka teZe jedna prema drugoj. pronadite po-drobnije objainjenje te merode, kao i Torricellijev i Barrowov problem gibanjapromjeljivom brzinom.\ewton je svoj trakt o infinitezimalnom raiunu (fluksijama) napisao u listopadu1666. i premda njegov rad nije objavljen, kruiio je medu matematitarima onogdoba i imao presudan utjecaj na razvoj diferencijalnog ratuna. On je promatraogibanje testice promjenjivom brzinom i pojam prave brzine vezan uz tangentuna krivulju koja je pokazivala ovisnost puta o vremenu. No, u tom traktu onrazmatra i obrnuti problem odnosa zadanih nagiba tangenti i hrivulje tije sutangente (antiderivacija!). lzradunavao je i povriine upotrebom antiderivacije(integrala). Buduii da se na izdavanju maremariikih knjiga ni tada nije dalo za-raditi taj Newtonov rad pod naslovom Analysis with lnfinite series objavljen je tek1711. Njegovo djelo Method of flLuions and infinite series napisano 767t. objav-ljeno je tek 1736. Tu Newton objasnjava i prikaz trigonometrijskih funkcija, teeksponencijalne funkcije (koju je zapravo tek kao r. kasnije u matematiku uveoEuler) preko sume beskonainog niza. U svom radu Tractatus de euadratura Cur-larum Newton infinitezimalnom ratunu prilazi preko pojma limesa. Taj pristupdominira i danas, pa smo ga zadrZali u ovom udZbeniku.Leibniz o infinitezimalnom ratunu uti na svojoj velikoj europskoj turneji koja jeobuhvaiala, izmedu ostalog, Pariz i London. Leibniz je bio svjesran potrebe pro-nalaZenja dobre notacije i neovisnosti o problemu. Tako da on, za razliku od

180 Problem tangente

Newtona kod kojeg se varijabla mijenjala u ovisnosti o vremenur promatra vari-jable r,y koje prolaze niz beskonadno bliskih wijednosti. dr i dy predstavljajurazmake izmedu uzastopnih wijednosti u nizu, a drldy odreduje tangentu. Le-ibniz uvodi 1675. i danaSnju oznaku za integral u izrant ! ?ldu : 112 12. Svojespoznaje o diferencijalnom ratunu on objavljuje 1686.Rad na diferencijalnom radunu nastavljaju Jacob i Johann Bernoulli, te mnogidrugi, ali tek ga Cauchy u 19. stoljetu postavlja na stroge matematitke temelje.

9.2 Problem tangente

Do koncepta derivacije funkcije nezavisno su do51a dva znanswenika Newton iLeibniz2. Newton proudavajuti problem trenutadne brzine, a Leibniz bave6i sepitanjem tangente fu nkcije.Ovdje iemo se baviti problemom tangente na natin koji je doveo Leibniza dopojma derivacije.

l(rr)l

^"r l

I @o) -:

Promatramo sekantu grafa funkcije y : J (z) kroz totke 7(16,/ (26))Tt (rt, f (r.t)). Koeficijent smjera (nagib pravca) te sekante dan je sa

11 -roOvdje 11 - r0 oznadava prirast varijable, pa se obitnof ("r) - f @o) oznatava promjenu funkcijske vrijednostinatava se sa A/. Sada moZemo pisati

Af1\r

(e'1)

oznatava sa Az, dok(prirast funkcije) i oz-

(9.2)

Sekanta "pre1azi" u tangentu u totki o6 kad se prirast varijable smanjuje, tj. kad

Az ---+ 0. (e.3)2cottfried Wilhelm von Leibniz (7646-1716) - njematki filozof i matematitar, jedan od uteme-

ljitelja diferencijalnog ratuna, binarnog sustava i determinanti.

Problem tangente

Dak1e, za koeficijent smjera tangente vdjedi

k, _ lim / (.ro -lAr) - /(ro)' a,-o A.r

Primjetimo da je /' (1) : -1.

(b) Koeficijent smjera tangente u toEki s apscisom o0 : 1 ratunamo pomo6u limesa:k,-.)im^I] +:J ]..l- tirn it' i- 1. JednadZba rangenre jeAx-o Ar-0

181

(9.4)

Ovaj izraz zovemo derivacijom funkcije / u totki 26. Dakle, geomerriiski se de_rivacija funkcije u totki moZe interpretirati kao nagib tangente u zadanoj totki.

Derivacija u toiki predstavlja koeficiient smjera tangente u toj to6ki.

Primjer 9.1. Zadana je funkcija / (z) - ]. ruadimoa) sekantu grafa funkcije koja prolazi kroz totke grafa s apsci-

sama u0 - 1, t1 : 2.b) tangentu grafa funkcije u totki s apscisom jrg : 1.

Nacrtajmo graf.

|jegenie. (a) ToEke grafa s apscisama r0 : 1, 11 - 2 su Io(1, 1) ,"r (2,j) , pu j.koeficijenL smjera sekanre k. - - ; . Sada je jednad2ba sekante:

13e- 2" 2.

trDefinicija 9.2. Derivacija funkcije f u totki no je broj

"/'(ro) : li,-n {-,,. 'I(ro1Ar)-/tro}Ar-0 A.r" A"r .0 Arukoliko postoji naznaieni limes.

(e.s)

782

Derivacijaod/uz:

Deriviranje

1'rr) : J]!o /rr t Arr-.lrt1)

Primijetimo da derivacija u totki postoji u slutaju da graf u toj toiki ima tangentui ta tangenta nije vertikalna. Nadalje, funkcije koje nisu neprekidne u zadanojtotki u toj totki nemaju zadanu tangentu, pa niti definiranu derivaciju.

Propozicija 9.3. Nuian uvjet za postojanje d.erivacije funkcije u toiki je da je onau toj toiki neprekidna.

Dokoz. Pretpostavimo da funkcija / ima derivaciju u todki 26. tj. da postoji limesu (9.5). Buduti da nazivnik teZi prema 0, i brojnik ie teZiti prema 0. Sada izjlTo (f (, + Ar) - / (")) : o slijedi Jllo/ (z + Ar) : f (r), a to znati da jefunkcija / neprekidna u totki ro. n

U prethodnoj definiciji dan je nuian, ali ne i dovoljan uvjet za postojanje deriva-cije u totki. Obrat propozicije ne wijedi, tj. funkcija koja je neprekidna u toikine mora imati derivaciju u toj totki. Funkcija tz y : al nema derivaciju u totki0, a neprekidna je na cijelom 1R. Zaista, ielimo li izratunati derivaciju te funkcijeu, : 0 dobivamo lim4,-6 S, pa ukoliko se Az pribliZava nuli s lijeve stranetada je limes jednak - 1, a ukoliko se pribliiavanje odvija s desne strane limes jejednak 1. Dak1e, limes u n : 0 ne postoji, pa ne moiemo niti odrediti derivacijufunkcije I - zl ur:0. Nadalje, funkcija z: {6utotkir:0 ima vertikalnutangentu, pa iako je ona neprekidna u r : 0, derivacija u toj totki ne postoji.

Definicija 9.4. Za funkciju ;f kai;emo da je derivabilna (diferenciiabilna) naotvorenom intervalu (a.bl ako postoji J' (26) . Vr6 e \a,bl. Funkciju f' definiranuna \a,b) zovemo ilerivacijom funkcije f .

U razlititim situacijama upotrebljavaju se razliiite oznake za derivaciju, pa se uliteraturi mogu naii sljedeii simboli:

I'r') dt '( n ds D"l

dT dI

Postupak odredivanja derivacije zovemo deriviranjem.

(9.6)

9.3 DeriviranjeKao i kod ratunanja limesa funkcije, funkcije koje su zadane pomotu formulemoZemo derivirati na dva osnovna nadina:

Deriviranje

1,. po definiciji,

2. upotrebom pravila za deriviranje i tablice osnormih derivacija.

No, da bismo do5li do tablice osnovnih derivacija, moramo derivirati osnovnefunkcije po definiciji. Pravila kako se derivira zbroj, produkt i kvocijent funkcijatakoder nalazimo upotrebom definicije derivacije.

9.3.1 Pravila za deriviranje

U prethodnoj smo totki definirali derivaciju,. f Ir+Ar) flr\lim4,-6 '''-3.i ''' ', a sada iemo upotrebom tezbroja, produkta i kvocijenta funkcija.

Derivacija zbroja fu nkcija

(u*u| : vt apt

Derivacij a produkti'fu nkcija

f(r):u(r)u(r)

= limAz-0: limAr-0

/ (") : llT.4rtA.!G#rLqr!@u(c+Ao)o(,c+Au)-&(u )o(,)+u(r+A.,')1,(,c) u(c+ Az)a(r

A0u (u+4") (o(,c+Ao)-o(,))+(u(,+Ar)-z(,)h(c)

(uu)' :11'u l uu'

183

tunkcije kao //(z)formule izvesti derivacije

(e.7)

: u' (r) u (r) -t u lr) u' (r) .

(9.8)

t84 Deriviranje

Derivacija produkta konstante i funkcije

g G) : cl \.r)Prvo izraEunajmo derivaciju konstantne funkcije f (") : .. /'(r) : ollTo # : 0

c : o (s's)

Sadazaproduktkonstantet*-1,;:l:kf)' : cf t cft : syr (e.r.)

Derivacija kvocijenta fu nkcija:

f(r):

c |Ar) u(t

- {, ,,, Jlt. oE11 - u (r) - u (r) JiTou(a+Lt)-\r) - u(z) lLrl

,1. lima-iJoo(r+Ar) o (r)_u'(r)u(r) -u(r)u'(r)

,2 (r)

/ u\| tt''l) - 'ltlt'(-t:"\u,/ (9.11)

9.3.2 Tablica derivacija

Izratunajmo derivacije osnovnih funkcija, koje iemo zatim staviti u tablicu deri-vacija i koristiti za ratunanje derivacija sloZenijih funkcija.

Deriviranje

Identiteta

185

f("):"

(r)' = r o.t2)

Kvadratna funkcija

f("):,'I, i.r) _ lim ,"r-L.rt2-.r, _ 1;,, z-.A""-rArr'

ar 'o Ar a/.0 aJ

- olilo (r, i Lt) - 2,

(u2)':zn (9.13)

Drugi natin ratunanja derivacije kvadratne funkcije je primjena pravila za deri-vaciju produkta funkcija.lt')' lrrt' rtr + rl 2r

Potencija

/(r) :r",n e N

,. (.r+A.,I )r .rnI l-xl- lrmAr-0

Primjenimo Newtonolrr binomnu formulu:,,_ (;),"+(l),"-1^"+(;),",(^r)'?+...+(.il)c(^")" 1+(l)(4,)","

-

Ar0_,,_ (l),"- a-. r (!)r"-'zr4"",') ,(,',)",4,,"- r(i;r4,,'

Ac-o Az

- ^lj=. [(l)* '+ (Z)"" 2^r+.. + (,i,)z (^,)" + ([)tarr' 1]

: nrn-l(,")' - ",,'-1, ,, e N (9.74)

186

Iracionalna funkcija

f @): t/;f/ir): tim f-s:*--Ji: ti- /F4.--f .!!:!!J!Z

Ar_0 lrJr. Ax_0 llr \/r _ L$ I \/r,. -! - -- A'}:o Ax(v6+Ar-+vG)

- r:* 1 IAr-0 y'c+Ar+y'x 2\/.t

(rG)' : 1

2r/r

Eksponencijalna fu nkcija

f('):o''a>o'alL/'t-u) = lim n!-1' "':ax lim oo.' 'l -Ar ,0 Ar-0 aIprimUenimo limes (18) : a'hta

(a')' : o" l'oZa specijalni sluEaj kad je a : e wijedi

(e")' : e' .

Deriviranje

(9.1s)

(9.16)

Uotite da je derivacija eksponencijalne funkcije proporcionalna originalnoj funk-ciji, pri tome Ino predstavlja konstantu proporcionalnosti. Ta je konstanta jed-naka 1 ako se radi o eksponencijalnoj funkciji /(z) : e'.

Logaritamska funkcija

f (r) =tnr,. In(u -Axr-ln,-. ln(1J a-'4

)/'(') : o[1.rgffry : J=rt=r" : supstitucija u : + iprimijenalimesa (17) : I lim Inrl+Y) - Ir u-o u x

1

fi(ln r)' (9.17)

Dertviranje

Logaritamska funkcija

f(r):loe"r,a>o,al7/ (r) : 1og.,, : ffft(r): (log"r)t: (,",b)' : po pravilu (20) _1

(9.18)

(9.19)

(9.20')

za derivaciju kvocijenta) :

787

: , o-.1-, (lno),

1

rlrra(1ogo z)/ :

Tligonometrijska fu nkcija sinus

Ar+0

f (r): sin r, sinfr+Ar\-sin.J (r): [m ------------n-:

A.n-0(upotrijebimo poznatu formulu sin.r sin g : 2 66s 'ts 5 r ':v)

upotruebimo li-lim "'"$-l lim cos(-r- qo) -Ac ^ ; Ar..0mes (L7) - s65 2

Na slitan se natin dokazuje(sin z)' : 66s 2

(cos z)/ : - si*

f (r) : ten'(upotrijebimo formulu

Trigonometrijska funkcija tangens

(tgr)' : (".",*)'(sin o)/ cos o-sin c(cos z)i---------ldtc

cos2 o+sin2 z 1

(te r)'Na slitan se natin dokazuje

(ctgr)': -.+sltl- u

Zadatakg.l. Naalite po definiciji derivaciju funkcije f (x) : "s.

cos2 u-

1

cos2 rt {9.2L)

(9.22)

188 Deriviranje

Zadatak 9.2. Izratunajte derivaciju I Q) : r",n e N primjenom matematitke induk-cije.

Derivacija sloZene funkcije (kompozicije funkcija)

Primjer 9.5. Derivirajmo funkciju h (r) : sin2r. Primijetimo da ovo nije jednos-tavna funkcija, nego se radi o kompoziciji dviju funkcija. Funkcije ./ (z) : sinz ig (r) : 2r. DaHe'

h(r) :(/oe) (z) . o.23)No, olri funkcdu moZemo zapisati i u obliku lz(r) : 2sirr"osr, a nju znamoderivirati upotrebljavaju6i pravilo deriviranja produkta funkcija (9.8). Imamoht(r) :29612r. Dak1e, rezultat se razlikuje od onog kojeg bismo podrazumije-vali (cos 2z).fujeSimo sada opteniti slutaj. Odnosno, izvedimo zakon kako deriviramo kom-poziciju dviju funkcija danu sa (9.23). Po definiciji derivacije (9.5) dobivamo

Az a'illo Ar

h' (r) - ,. Ikk r ar))-/(g(r))ali:'ln a-,

Sada uvoclenjem zamjene u - g (r) i uz Az ---+ 0 kad Az * 0 (ier je 9 neprekidnafunkcija), prethodni izraz postaje

,. .f (u Ari) ../(u) ,. Le\x)n l.-r) : ltm llm -Au-o Au l, o Ar: f'(u)s'@).

. ag (")as (")

Dakle vrijedi

lf @ ("))l' : f' (s (z)) st (r) . o.24')

Prethodna formula naziva se i pravilo o ulantanom deriviranju. Derivirajmosad funkciju h (t) - si1'r2, upotrebom pravila za derivaciju kompozicije funkcija.Po (9.24) imamo lrl (a) - cos2r (2r)' : 2cos2r. Dakle, derivacija kompozicijefunkcija je produkt derivacija vanjske i unutarnje funkcije, s time da se derivacijavanjske funkcije ratuna u unutarnjoj funkciji.Zadatak 9.3. DokaZimo formulu za derivaciju op6e potencije

(z')' - rr'-1,r e R.

Rje5enje. Formula je posljedica poznatog identitera

Primjer 9.6. Nadimo derivaciju funkcije A: Jln@ ).Rjeienje. Primijetimo da je ta funkcija kompozicija trUu funkcija. Zato uzastopna pd-mjena pravila (9.24) daje

11y':;lrn(r2 -r)l , [r,(",-r)]':]lr"(", -r))-t f1 @, 1)'

z v/tntr, t\ t- L (r,_l)/tn(,,_r)

Zadatak 9,4, Izratunajte derivacije sljededih funkcija:a) / (z) : (r3 2r2)a ,

c) ,f (0) : Iog3 (cosz).

Neka je / strogo monotona i neprekidna funkcija na intervalu [a,b] i neka jer e la,bl i f ' (r) I 0. Neposredno iz formule (9.24) mo?.emo izvesti formulu zaderivaciju inverzne funkcUe /-1 zadane funkcije g : f (r.). ZrLamo da za funkcije/ 1/-' vruedl

f(f-'@):a o.2s)Prethodnu jednadZbu deriviramo upotrebom formde (9.24). Dobivamo

f, (f-, @)) (/-,)'(s) - r

No, sada znamo da je f ' \U) : -c, pa imamo

f' (z) (f-1)' (y) : t.

Podijelimo prethodnu jednadi:br sa f ' (:r) i dobivamo

(/-')'(s) :Pimjer 9.7. Upotrebom formule (9.26)funkcije gr: sin r.

D ertvacij a inverzne funkcij e

Upotrebom formule (9.24) dobivamo

(r')' (e,t""r' - e,r", (r1nz;,:,I

rt'1 - rr' r.iL

189

n

b) I (r) = tsQ,/") ,

9.4 Derivacija inverzne funkcije

1i6nadimo

(9'26)

derivaciju inverzne funkcije,

190 Derivacija implicitno zadane funkcije

RjeSenje. inverzna funkcija od / (r) : sin z je funkcija f-' (") : arcsinc. Po formuli(9.26) imamo

(arcsin y;/ = -Lcos fUw5tavanjem izraza r : arcsiny u prethodnu formulu slijedi

(arcsing;': ---='cos (arcsln g,

a to moZemo pojednostar..niti kao &o slijedi:

(a.rcsin g)' \/1-7Dakle

(9.27)

tr

Zadatak 9.5. Na naiin prikazan u prethodnom pdmjeru dokaZite da za derivacije slje-de6ih funkcija wijedi:

b) (arctg z)' : a#,d) (lnr)': ].

(arcsin r)' : --L.t/7 - n2

y: f (n),F (a,v) : g,

r:t(t),y:s(t).

1 - sin2 (arcsiny)

a) (arccosr)': +,c) larcctgrj': ,*q

9.5 Derivacija implicitno zadane funkcijeJednadZba kriwlje u rarrnini moie biti u jednom od sljede6ih oblika:

eksplicitnomimplicitnomparametarskom

Dakle, implicitno zadana funkcija jedne varijable je oblika

F (x,s) : s. (9.28)

Pri tome podrazumijevamo da je g funkclia od r,tj. g: g (r). Prilikom derivira-nja implicitno zadane funkcije moZemo primijeniti barem dviie merode. Ponekadse jednadZba (9.28) moZe rue5iti po varijabli y, pa onda funkciju moZemo derivi-rati kao elsplicitno zadanu funkciju.Primjer 9.8. Derivirajmo implicitno zadanu funkciju

*2-ra3:y3+r.

Derivacija implicitno zadane funkcije

Rjeienje. Gornja se jednadZba moie rijeliti po varijabli g. Imamo

797

Derivacija ove funtcije je

n

U mnogim slutajevima nije mogude primijeniti gornji postupak jer se jednadiba(9.28) ne moZe rije5iti po varijabh g, niti po varijabli z. Tada upotrebljavamo de-rivaciju sloZene funkcije pa npr. y2 smatramo sloienom funkcijom, jer smatramodaje g funkcija od r. Deriviranjem te funkcije dobivamo (A,)' :Zaa,.Primjer 9.9. Derivirajmo funkciju

Rje5enje. imamo

iz iega sliiedi

Zadatak 9,6, Derivirajte sljede6e funkcijea) ra - ya - 4azyz,c) t siny - 2ay,

a2-ta+:rlr.a:7.

1'2gU' A - rA'+ LnA +x-!t' :0,a

, v(a - lr,ua - x-ru+u,tr

Primijetimo da grlovisi i o varijabli z i varijabli g.

DERIVACIJA IMPLICITNO ZADANE FUNKCIJE

1. Pretpostavimo da je g funkcija od z. Deriviramo obje strane jednadZbepo 1.

2. Rjelavamo dobivenu jednadibt po gt .

b)d)

lr' + y' 2r)2 - ,z q rz,erv : 3J2 + er.

x2 +2r 1

*(r-t)2(r+r)a

1a)

9.6

Logaritamska deriv acij a

Logaritamska derivacijaLogaritamsku derivaciju primjenjujemo u dva sluiaja. Prrro, da si olak5amo (skra'timo) postupak deriviranja. Postoje, naime, neke funkcije koje se lakSe derivirajuako ih prije deriviranja logaritmiramo. Drugo, taj postupak primjenjujemo i unekim specifitnim slutajevima kad direktnim putem (pomo6u pravila i tablice)ne moiemo odrediti derivaciju. Evo nekoliko takvih primjera.

Primjer 9.10. Nadimo derivacije sljedeiih funkcija:

b) 17 -.1'':.., rLtr,

ljrrr'\lIr_ \tlL/ .J

Rje5enje. a) Prvo logaritmirajmo funkciju

, i(., 3)'' (2 .r'lir, .,\ .r l

Primjenom pravila logaritama dobivamo

a) llc) r-

odnosno

lr 7 -lr, 3,, , :t'1Deriviranjem gornje iednadZbe dobivamo

!/' 1_ :lu .t 1 (.r' il)

;1, hr (: .r') lrr (.r'+ 1)

ill(r r) ,1, r 1)

l,Desnu stranu svedemo na zajedniiki nazivnik i sve mnoZimo s q

r,, (,, I, )

, i(.,, :J)ir (2 .,);\, L,- 1' '

,lll-,

Sreclivaniem dobivamo

y' I 19./ 29)- I 1t).rl I 2Il .1 .r'(.r' 3) ( 2 -.r) (.r I 1)

19.r'2 29.f - l0.rii + 2,1

.. tr --l) (- 2 + tr') (J-l ) I

1(.r" 2)i ( 19..'! 'l,lr I llt.rit- 2t)

Pravila i tablica derivacija

b) Ponovimo korake iz a) dijela.

a-r"' lr"InY:1"''"'lnu-r2lnr l''/

y' : a" (2rlnr + r) .

c) Uotimo prvo da su arcsin i sin medusobno inverzne funkcije, pa imamoll : s2 arctsx . Ponavljanjem gomje procedure dobivamo rjeSenje-t)' - 2 (arctgx) r2"rctc'-t 1211rrr; '"llii . tr

1.93

1.

2.

J.

A

LOGARITAMSKO DERIVIRANJE

Logarit6i131116 obje strane jednadi:beg: /(z) da dobijemo lng : ln/ (rr),te sreclujemo izraz upotrebom svojstava logaritamske funkcije.

Deriviramo dobivene implicitne funkcije po varijabli z.

Rjeiavamo jednadibrt po gt .

Zamjenimo y s izrazom f (r).

Zadatak 9.7. Nadite derivacije sljede6ih funkcija:a) A - e3r rtnr b)y:(#):

9.7 Pravila i tablica derivacijaZapiBimo sva pravila deriviranja koja smo dokazali, kao i tablicu derivacija vaZ-nijih elementarnih i transcendentnih realnih funkcija realne varijable.Pravila deriviranja:Neka su g : f (") iy: g (r) diferencijabilne funkcije. Vrijedi

t.(f+g)':f'ts';2. (cf)t:c/i,c€lR;3. (fs)' : f'g + fg';o (1y' _ t,s tg, .'' \e/ - !2 '

s. f lg (,)): 1' [s (r)]. st (t);

L94

o. (/ 1 (u))' : fis,a : f @) , ft (x) I o.

Tablica derivacija:

Derivacije viieg reda

f (") f'(t)c 0:xn nfin- te'o,r o,c kt a1nr Ilog. r 1

.l*sln i8 cos 0cos f - sln ,tgr 1;;a;ctgjD 1

--i-2 --arcsln jr 1

arccos z I

atctg r 1i;zarcctg u -t- 1 )--z

U tablici su funkcije i njihove derivacije, ali ne i uvjeti uz koje one imaju smisla.Uvjeti su navedeni ranije u tekstu.

9.8 Derivacije vi5eg redaDerivacije vi5eg reda dobivamo induktivno tj. ako jedefiniramo drugu derivaciju kao

y" : (a')' ,

zadana funkcija a: f @)

(9.29')

tre6u kaog"' : (a")' , (e.s0)

odnosno n-tu derivaciju kao

,t") : (rt"-t))'. (9.31)"\"/Primjer 9.11. Odredimo pnu, drugu, tre6u, Eetvnu derivaciju, kao i formulu zaproizvoljnu n-tu derivaciju funkcije / (z) : ln (1 + r).

Diferencijal funkcije

Rje5enje. Imamo:

to za vjeZbu.

Zadatak 9.8. Odredite prvu, drugu, treiu, aervrtu derivaciju, kao i formuluizvoljnu n-tu derivaciju sljedeiih funkcija:

a) I (.r) : s65 2,.. b) .l (r.) : i]r,.c) .f (r) : (l+2r')"'.

odnosno

Formulu (9.32) koristimolednostavnog primjera.

9.9 Diferencijal funkcijePromotrimo kako se mijenja vrijednost funkcije kad varijablu promijenimo zavrlo malu wijednost. U nekim primjenama potrebno ie procijeniti tu promjenufunkcijske vrijednosti.Neka je r7 : / (r') diferencijabilna funkcija na interualu (a. 6). Razlika Al _I (r + A;:) - J (1:) zove se prirast funkcije ./ za prirast varijable -\:ir. prirast funk_cije proporcijalan je prirastu varijable. Faktor proporcionalnosti izmedu A.l, i A;rje brzina kojom se ./ mijenja s obzirom na:r.. a to je zapravo derivacija funkcije ./.Dakle,

J./ - f'1.r'1 A.r'.

195

f'tr) - 7

1+.rl" \.t) : '- ,.(1+-,)'

f"' (r,) - ''-.(1- ')'

./i'" ' 6rr) - ([l,rNa.temelju prethodnih

. izraza, postavljamo hipotezu za n_tu derivaciju. Hipoteza:

,/1") (r') : ( 1)" ' H Hipotezu treba dokazati matematiikom indukcijom. Utinitel

za pro-

Formulu (9.32) moiemo dobiti iz definicije derivacije f . Uzmemo li da je Alvrlomala vrijednost, imamo

,,,..,- I (.i -f:t f t.,)A,r

\f/'r't- l'l:t'za aproksimaciju prirasta funkcija A./. Evo

(e.32)

jednog

L96 Diferencijal funkciie

Primjer 9.12. Uzmimo da je cijena proizvodnje r tona odredene robe dana funk-cijom C(r) : 2r2 * 4r -1- 3. Ako se sada proizvede 100 t robe, koliko 6e sepromijeniti cijena proizvodnje, ako se proizvodnja povisi na 100'5 t?

Rje5enje. Imamo:r : 100,Ar = 100.5 100:0.5, pajeAC : C (100.5) - C (100) - C/ (100) Ar. SadajeAC - 4 (100 + 1) 0.5 : 202. Izratunajmo totnu wijednost Porasta cijene proizvodnje:AC : C (100.5) C (100) : 202. 5 Dakle, aproksimalicija je wlo blizu stvarnoj wijed-nosti, grelkaje pribliino 0.25010. -l

Korisno je imati i procjenu u postocima koja pokazuje koliko se u postocima pro-mijenila funkcijska wijednost kad se varijabla promijeni za odredeni postotak.Vrijedi

(9.33)

Primjer 9.13. Za odvijanje proizvodnje u tvornici tekstila pouebna je dnerrnainvesticija visine d. Funkcija koja prikazuje dnei,nu proizvodnju u komadimadana je sa

f (d) --350+@.Procijenimo koliko u postocima poraste dnelrla proizvodnja ako dnema investi-ci:a poruste za 2o/o?

Rje5eqie. Derivacija od I ie f ' (d) : ffi. uadalie porast od 2o/o moLe se zapisati kaoAd, : 0.02d,. Upotrebom formule (9.33) dobivamoLf% - Loo #&co.o2d : !. 5vo .

Dalde, kod povecanja investicije u proizvodnju za Zo/obroj proiztedenih komada pove6ase za L.so/o. tr

lzraz ft (r) Lr na desnoj strani formule (9.32) zovemo i diferencijal od J i ozta-tavamo sa d/.Diferencijal (prvi diferencijal) je produkt

df : ft(r)d'r (9.34)

Diferencijal moiemo promaffati i kao funkciju dviju varijabli r i dt. Za malepriraste varijable Az wijedi

L.f=df.Geometrijska interpretacija prethodne aproksimacije temelji se na aproksimacijikriurlje njezinom tangentom pri maloj promjeni varijable. Prikaz je dan na slje-detoj slici.

L,fv"=noffiLr.

Dodatak 797

9.10 Dodatak9.10.1 fHospitalovo praviloKod ratunanja limesa mogu se pojaviti razni neodrecleni oblici (f;, $,0 . co, co -ro, 00, 1-, oo0) koji se mogu transformirati u jedan od oblika: $ i p. A kod tihneodredenih oblika limese moZemo radunati upotrebom IlHospiidovbg pravila.

Teorem 9.14. Neka su f i g diferencijabilne funkcije i S,@) I 0. Neka takoder/(r) -- 0 ig(r) ,0kadar-- ct,a - c-,:L + c,r -- ooiliz ...., -cx,. Ako

l\!-L todas'lr)f (,)e lr)

etoffi -m ili -.cr, tada {{ --- - ;1;-66.

Dakle, LHospitalovo pravilo govori o raiunanju limesa kvocijent a fi:lrrkcije f lg,s tim da brojnik i naziwik teZe nuli u totki c. Ako kvocijent derivacija f t

f gtima limes u c, tada je taj limes jednak limesu fr;rrrkcije f lg. pri tome naravnorraZenje limesa f ' f gt moie biti jednostai,nije, ali i kompliciranije od limesa .//o,pa treba procijeniti kad treba upotrijebiti pravilo. pravilo se moZe primijenitii na neodredeni oblik 0/0. LHospitalovo pravilo se moie primijeniti vi5e putauzastopno ukoliko se u prethonoj primjeni opet dobije jedan od oblika 0/0 ilir'lC..Primjer 9.15. IzraEunajmo limes lim,-r fr pomo6u LHospitalovog pravila.

RjeSenje.

llnz,\' 1: Iim __ lim _-r _ t."-t (rz - r)/ ,-r 2t - |

,. In;rum_r .t I' - J"

/0\- [o/!

198 Projekti

Projekt 9.1 (Leibnizova forrnula za derivacije viieg reda).a) Neka je I (r) : / (r') rr (:r'). Izratunajte lt' .l/' . h"' .

b) Posravire hiporezu za , i 4,c) DokaZite hipotezu upotrebom matematitke indukcije.d) Izratunajte (1 'r 1r, .,') r"r .

Projekt 9.2 (Newton-Raphosonova metoda). Newton Raphosonova metoda za prona-laTenje nultocaka funkcije pomocu tangenti.Promatramo graf funkcije / koji srjeae os / u toaki r - r'. To znati da je c rjeienje jed-nadZbe ./ (r) : 0. Evo kako moZemo aproksimirati korijen jednadZbe. NekaJe (.r r . / (.r'r ) )neka toika na grafu fukcije l. Tangenta u totki r 1 sijeie os ;i, u totki r'2 koja je bliie vri-jednosti c nego je to bila r'1 . Tangenta u toiki .r'2 sijete os l u totki ;i 3 koja je jo5 bliZevrijednosti r'. Nastavljanjem tog postupka dobili smo niz brojeva .ri r . ;r'2. .r'i. ...:r'n . ... kojiteZi prema broju r.

a ) PokaZire da vriiedi t t.t. . t

;,,t ,,,, ,

b) Ispitajte kakva treba biti funkcija da bismo mogli primijeniti Newton-Raphosonovu metodu.

c) znamo da je yG korijen jednadZbe .r2 i : (1. Pomodu Newton-Raphosonovemetode aproksimirajre r/. '.

d) Neka je I(.r') -rf n.A€N.n>0. Znamoda je.i:e: ftr korijen jednadZbe./ (.r) : 0. PokaZite da je iteracijska formula za korijen dana sa

e)

f)

I [ ,, Iu ['^ l''r"

''1'' ')'a '' :2.

Nadite korijene funkcrje ./ (r) : ] 2.

Neka je I (.r) l, a.a f 0. PokaZite da je iteracijska formula za korijen danaSA

tu-2t,, r t,..t'1, tzan>2.Projekt 9.3 (Leibnizov i Newtonov pristup uvotlenju diferencijalnog ratuna).

a) Usporedite Leibnizov i Newtonov pristup uvodenju diferencijalnog ratuna,

b) Stavite otkriie u povijesni kontekst,

c) Navedite posljedice tog otkdaa.

Zadaci za ponavljanje 199

Zadatak 9.9. Nadite derivacije sljedeiih funkcija;a) i; - 3 i)/.i ].r,r - 2. b) u \.t: i).' .

c) Y -,, r4,- d) tl: "it,. ]si.2r.e) ! -.t + dr(tg.? + ar'.('tg.r. 0 .ir - hr(l1yl r r.:)y/tl-:.8) , 2, 'g'.,. h) .,r - ..,' .

i) 1: fl1 r/j:)' .

Zadatak 9.10. Nadite derivacije sljedeiih funkcija u danim toikama:,.|a) ,, ( ) ,, .t: bt t . ' , , , ,. :

c) y : Lrg, .r ln 2.r. 11 1.

Zadatak 9.11. Nadite derivacije sljedeiih funkcija:a) ,rt..rpr ;, lr, \ ,, . ,i. br , ) lt t,c) r,r : /1,,2.,. I

Zadatak 9.12. Nadite derivacije sljedeiih implicitno zadanih funkcija u danim tot-kama:

a) .rt - !)t Er'2 10ir2 r 1(i : 0. (1.3) :

b) 3'i" r" , i.r'(?/ ;r) I : 0. (1.;r) :

c) ln !r : .r'rr?l: 1. (1 . 1) .

Zadatak 9.13. Neka je funkcija ,f (.r) takva da je .l'(.r1 _-. Izratunajte derivacijesljedeiih funkcija

a) o (t) - J Q:1'1 . b) .q (,) : .l (,i ). . /.,,,\c) q\1)-.t l-i l

Zadatak 9.74. Nadite .l'. /". J "'. te dokaZire formulu za ./ r" ako jea) .l (.r ) : 2ir", b) I(!) : ::r.

Zadatak 9.15. Odredite sve vriicdnosti parametra o tako da vrijedi .l' > t.V.r € R, akoje.l (.r) : a.r sin.r:.

Zadatak 9.16. DokaZite da funkcija y - u' - bc ' I zadovoljava diferencijalnuJeOnaOZDU, tl : !;-.Zadatak 9.17. Upotrebom diferencijala aproksimirajre promjenu funkcrje .l'(.r') I.t2kada r'

a) poraste od I do E,

b) promijeni od 8 do 7.9.

Zadatak 9.18. Procijenite najveiu greSku u postocima koja se moZe dopustiti pri mjere-nju radijusa kugle ako Zclimo da greika izradunavanja volumena kugle ne bude veda od6. Volum€n kugle radijusa r dan je sa 1' : ,]i.rr

200 Zadaci za ponavljanje

Zadatak 9.19. U tvornici je broj proizvcdenih proizvoda B povczan s ulaganjima .r i ypreko implicitno zadane funkcije B - I i 1:r l2t2 - .t'u. Znamo li da.je sada5nja vri-jednost ulaganja t: 2i i y lil(1. procijenite promjenu ulaSianja u koje treba rczultiratiporastom od l jedinice u ulaganju.r tako da proizvodnja ostane ista.Zadatak 9.2O. Zadanaje eksponencijalna funkcrja ll.r') : a', rr ) (1, .1 I 1. Skicirajtegralove funkcije / i njezine derivacije za slutaj da je

a) o-2,c) a:r'.

b) o -:1,

" :i<<i ;s$r $aAAA tt* t4rit#w#:8LetriB tfh ,W.'. , gii ,^. r;\,tu"

10.1 Tangenta i normala krivuljeSpomenuli smo ranije daje Leibniz do pojma derivacije do5ao proutavanjem tan-gente na zadanu kilulju u danoj todki. Bez upotrebe derivacije moiemo na6itangente na neke specijalne kilr_rlje, kao ito su kruZnica, hiperbola, elipsa, pa_rabola. No, sada kad znamo derivirati mogu6e nam je pronaii i tangente ,,skorosvake" krivulje u "skoro svakoj,, totki. U{et je da je jednadiba kiurlje u danojtotki diferencijabilna fu nkcija.Upotrebljavamo formulu za jednadibu pravca kad je zadana jedna totkaTt (rt,yt) i koeficijent smjera k pravca, koja ima oblik

a-u:k(r-ry). (10.1)

(10.2)

(10.3)

(10.4)

Koeficijent smjera k nalazimo pomotu derivacije kao /r : tga - // (r1), pa jed_nadiba tangente na krivulju g : / (r) u totki fi (21, 91) glisi:

A-W:f,(.r1)(r_z1).Znamo da je normala krivulje u zadanoj totki pravac okomit na tangentu u rojtotki. Stogaje njezin koeficijent smjera reciprotan i suprotnog predznaka, tj. akoj. f' ("t) I 0 wijedi

r-:-1:- 1^- -E- -T6iSada jednadZba normale glasi

!)-a.: -;h@ -").Primijetimo daje u slutaju // (r1) : OjednadZba tangente gr-g1 : 0, ajednadZbanormale r-11 :Q.

207

2O2 Rut izmedu krivulja

Primjer 10.1. Odredimo jednadibu tangente i normale krivulje gr - 1982 3 u 1e[kis apscisom 11 : 2.

Rjeienje. Imamo: ",(2,

+).Nadalje, srl : t-#F, pa je y'(z) :Jednadiba tangente, stoga, je

_L

111n21,__:-la ,\4ln2 '*

7 4lrj'2t ^ o\

" 2- 1n2_1r- -1.

b) v = s'-2,a1 :1;

odnosno jednadZba normale

!

Zadatak 10.1. Nadite jednadibe tangenata i normala zadanih krivulja u naznatenimtotkama.

a) a:f -2all,q:2;c) 13+2ry+y3:8,rr:0.

lO.2 Kut izmedu krivuljaKut izme<lu krivulja je kut pod kojim se sijeku njihove tangente u todki presjeka.Ukoliko krivulje imaju vi5e todaka presjeka, kut izmetlu kivulja niie jedinswen.Za svaku totku presjeka moZemo dobiti razlititi kut izmeclu krivulja.

Kut izmedu krivulja

Uzmimo da su zadane dvije krir,rrlje

a - ft (r) iy: f2(z),te da se one sijeku u totki s apscisom u1, tj. wijedi At: h@t) : f2(r1).Zakoeficijente smjera tangenata na dane krii,rrlje u totki presjeka vrijedi

203

h : fl (r,) :tso,,kz : fl@r):tsaz,

(10.s)(10.6)

(10.8)

(10.10)

gdje su a1, odnosno a2 kutevi Sto ih ti pravci dine s osi r. Sadajejasno da za kut@ izmedu kivulja wijedi

d : az - at. G0.7)Primijenimo funkciju tangens na obje strane prethodne jednakosti. Imamo

ig d : tg (ciz or) ,

odnosno, primjenom formule za tangens razlike dobivamo

ted - tga2 - tg.i1 (10.9)litgartgazNadalje, upotrebom formula (10.5) i (10.6) dobivamo sljede6u formulu za raiu-nanje kuta izmeclu krilulja

ted: f4@,)- fi@,)r+ f!(x1) fi@1)

Buduii da je kut izmerlu kivulja uvijek manji od dva kuta kojeg 6ine rangenteon se nalazi u intervalu 10, $]. Stoga u gornjoj formuli moiemo uzimati samopozitivne wijednosti za tangens.Primjer 10.2. Odredimo kut izmedu kivulja fi (") : * i fz@) - ,,8.Nadimo toiku presjeka: !:y4-rt-7,pa derivacije: fl (z) - #, flAl: ;.Sada imamo /{ (l) : t, f L@ : i.Prema formuli (10.10) za kut dobivamo:

ted:odnosno te d : 3, paje kut d: arctg 3 = 1. 249 046 rad = 71.601 36".Zadatak 10.2. Nadite kut izmedu danih kir,ulja:

a) ,fr (r) : r r:r t l2(r) :5r; b) ,fi (r) -lnr i Iz@): *;c) lr3+y3 ry-7:0iy:t+1.d),fr(r) : 12 -4t:-5i f2(r): -xz +25

'rl]r1'2

204

10.3

lntevali monotonosrt i ekstremi funkcije

Intervali monotonosti i ekstremi funkcijeDerivacije upotrebljavamo i kod optimizacije. Tako na primjer pomodu derivacijemoiemo maksimizirati funkciju profita koja ovisi na primjer o cijeni proizvoda.Jedan takav smo primjer rije5ili u tof:ki 6.8. Meclutim, bez derivacija takve pri-mjere moiemo rijeiiti samo ako je funkcija profita neka specijalna funkcija kaoito je kvadratna.Nadalje, derivacije nam sluie i da bi mogli skicirati graf funkcije. Pri tome mis-limo na globalnu sliku, za razliku od parcijalne (samo dio slike) koju dobijemopomodu raiunala.Primjer 10.3. Za ilustracUu prethodne twdnje nacrtajmo graf funkcije

f\'):zt3-*"-36r*762

na ratunalu (grafitkom kalkulatoru) uzimajuti dvije razlitite domene(a)-5<-c<li(b)0<z<50.(c) Nakon 3to proutite ou: totku izradite taj zadatak i pomotu derivacije.

Rje5enje. (a)

10000

Protumatite dane grafove. tr

Ranije smo definirali kad funkcija raste, pada ili ima ekstrem. No, upotreba samedefinicije u praktiEne swhe nije uvijek jednostarrra. Tu nam pomaZe derivacija.Kako?Promotrimo funkciju g : sin r na sljede6oj slici.

(b)

lnteruali monotonosti i ekstremi funkcije 20s

Znamo da ona na intervalu [-r, r] ima dva lokalna ekstrema: u m( ;, 1) imalokalni minimum , a r M ($,1) ima lokalni maksimum.Nadalje, na interualu \ ", -E) funkcija (strogo) pada. Kad pogledamo koefici-jente smjera tangenata na tom intervalu primijedujemo da su oni uvijek negativni,Sto znati da je f' < 0 za sve todke tog intervala. Isto se moie zakljutiti za totkeintervala (;,r) m kojem funkcija takocler (strogo) pada.Nasuprot tome, na intervalu ( [, [ ) funt<cija (strogo) raste, a koeficijenti smjeratangenata su pozitir,ni, iz dega zakljutujemo da je ft > 0 za sve tobke iz togintervala.Izrecimo to u obliku teorema.

Teorem 10.4. Diferencijabilna funkcija y : f (r) na intervalu \a,b) (strogo) pailaako i samo ako

f' (r) < O,Yt e (a,bl .

Diferencijabilna funkcija y - f (r) na intervalu (a,b) (strogo) raste ako i samo ako

//(z) > 0,Vz e (a,b) .

Zadatak 10.3, Vrijedi li teorem ako funkcija nije diferencijabilna? Ako ne, nadite protu-primier.

Primjer 10.5. Odredimo intervale monotonosti funkcije E - ra 8* + 12.

Rjesenje, Ratunamo, at : 4,.-3 - 162 --+ 4r3 - 16,. > 0, pa funkcta raste kad je-2 < x < 0 i 2 < r, a pad.a za 0 < :r < 2.Sto se dogacla u totkama rr : 0 i rz: 2? Buduti da je lijevo od z1 funkcija rasla, adesno padala, u 11 ona ima lokalni maksimum. Zatim, lijevo od 12 funkcija je padala, adesno rasla, 5to znaii da u z2 ima lokalni minimum.Iz ovih podataka moZemo skicirati i graf funkcije. Udinite to zavjei-bts.

Primijetimo, nadalje, da je u todki ekstrema tangenta paralelna s osi apscisa, tj.njezin koeficijent smjera je 0. To znati da je u toj todki // : 0. Vrijedi 1i obrat?Ne! To pokazuje sijedeii primjer.

Primjer 10.6. Nacrtajmo graf funkcije g: 13.

Rjesenje. Vrijedi g' : 3r2, pa je g'(0) : 0. No, kubna parabola u ishodiStu nemaekstrem (nego toEku infleksije), jer wijedi g' > 0, pa funkcija raste na cijeloj domeni.

206 lntervali monotonosti i ekstremi funkciie

tr

Dakle, uvjet f'(rt) - 0 je samo nuian, ali ne i dovoljan uljet da bi / u z1imala lokalni ekstrem. Totke za kojeje ispunjen taj uvjet zovemo stacionarnimtotkama. Stacionarnim totkama domena funkcije podijeljena je na intervalemonotonosti.

STACIONARNE T06KEStacionarna totka je lokalni ekstrem, samo ako se predznak prve derivacijes lijeve strane od stacioname totke razlikuje od predznaka prve derivacije s

desne strane.

Kako bi to opisali pomoiu derivacije?U tu swhu promotrimo graf derivacije f' G) - "oy funkcije / (r) : sinr, kojismo prije proutavali.

oiito je // (-+) : f' (q) - 0 No, koeficijenti smjera tangenata na // u timtotkama se razlikuju. Naime, wijedi f" ( ;) < O, f" (E) > 0.

ODREDIVANJE LOKALNIH EKSTREMAAko u 11 wijedi // (u 1) :0 i ftt (r1) > 0, onda je to totka lokalnog minimuma,a ako wijedi f'(*z) :0 i ftt(r2) < 0, onda je rz totka lokalnog maksimuma.

To je posljedica tinjenice da pri prijelazu koz totku maksimuma prva derivacija(koeficijent smjera tangenata) opada, pa je druga derivacija tu negativna. Obr-nuto vrijedi za totku minimuma.Pitamo se da li smo na taj natin okarakterizirali sve lokalne ekstreme. Nismo,kao 5to 6emo vidjeti u teoremu u sljedeiem poglavlju.

Konveksnost i konkavnost funkcije. Totke infleksije.

7O.4 Konveksnost i konkarmost funkcije.207

Totkeinfleksije.

Proutimo kakru nam informaciju o izgledu funkcije daje predznak druge deri-vacije zadane funkcije. Pretpostavimo da na nekom otvorenom intervalu wijedif" > 0.To znati da se nagib tangente pove6ava, pa funkcija izgleda kao najednojod sljedeiih slika.

Za taklu funkciju kaZemo da ie konveksna na danom otvorenom intervalu.Pretpostavimo sada da na nekom otvorenom intervalu vrijedi /" < 0. To znati dase nagib tangente smanjuje, pa funkcija izgleda kao na jednoj od sljede6ih slika iza nju kaZemo da je konkavna na danom otvorenom interyalu.

Primijetimo da se graf konveksne funkcije, nalazi uvijek iznad bilo koje tangentepolutene na graf u inerualu konveksnosti, dok se graf konkavne funkcije nalaziuvijek ispod bilo koje tangente polutene na graf u intervalu konkavnosti.Totka u kojoj se mijenja predznak druge derivacde funkcije, odnosno funkcijaprelazi iz konveksne u konkavnu, ili obrnuto, zovemo totkom infleksije, od-nosno totkom pregiba.

KONVEKSNOST I KONKAVNOSTFunkcija / je konveksna na intervalu 1 ako i samo ako je ftt > 0 na 1, odnosnokonkarma na intervalu 1 ako i samo ako ie .f " < 0 na I .

Nuian uvjet daje totka 11 totka infleksije funkcije ./ je .f" (:r1) :91.

208 Konveksnost i konkavnost funkcije. Totke inflekije.

Primjer 10.7. Odredimo totke iirfleksije funkcije

f(*):ar2rbr*c'Rjeienje. Vrijedi /" (r) : 2a. Dakle, kvadratna funkcija nema totaka inflelaije. Ona jekonveksna na cijelom lR, ako je o > 0 (odnosno konkavn4 ako je a < 0). tr

Primjer 10.8. Odredimo totke infleksije funkcije

fld:13-612.Rje5enje. Vrijedi /" (r) :6r - 72 pa iz urjeta f"(x) :0 dobivamo daje totka r : 2kandidat za totku inflelisije. Buduii da je J"(x) > 0 za r > 2 (funkcija je konveksna), af"(r) < 0 zar < 2 (funkcUaje konkavna) u totki 1(2, -16) funkcija ima totku infleksije.x" - br_

Primjer 10.9. Odredimo ekstreme i totke infleksije funkcije

a (t) : t3 e-* '

Rjesenje. Vrijedi: g/ - 3$2 e-r -n3e-r - r2e-E (3 - a), pa su stacionarne totke z1 : Ii12:3.Nadalje, iz pravila o predznaku prve derivacije jasno je da se radi o ekstremu u totki 12,alineiuzl.Provjerimo to pomo6u druge derivacije. Slijedi:a" - re-' (a - ar + c2) pa je stt (0) : 0 i 9" (3) - 24e-3 . sada je jasno da funkcija utotki 12 : 3 ima lokalni minimum, ali za totku 11 upotrebom samo druge derivacije nemoiemo odrediti da li se radi o ekstremu ili toEki infleksije.Zato radunamo tredu derivaciju. ?/n * e-o (A - Ar + 12) - re-" (6 - 6r + '2) +ne-'(-O+2,r) = e-" (6 tu 3f2 +g3).v"' (o) :6 I o.Dakle, u totki e1 funkcija irna totku infleksije.

Konveksnost i konkawrcst funkcije. Totke infleksije.

!Opienito vrijedi sljededi teorem, koji ovdje donosimo bez dokaza.

Teorem 10.10. Neka funkcija f u toiki q ima derivactje do red.a n (n e N). Nekavijedi

f ' (rr) : f" (rr) : . . . - y(z-t) (rr ) : 0, a f (") (n) + 0. (10.11)

Ako je n paran broj funkcija u r-1 ima ekstrem (minimum ako je /(") (21) > 0,maksimum ako je 1(') (r1) < 0), a ako je n neparan f u rt ima totku infleksije.

Primjer 10.11. Odredimo ekstreme i toike inflekije funkcijet.2A: r-e '

RjeSen^je. Pomoiu prve derivacije nalazimo stacionarne toEke: Imamo yt - 4a3 e l'z2r5e-" , pa iz y' : g slijedi 11 - 0,zr : t/2,rs : *yE. pomottt druge derivacijederivacijenalazimo ekstreme. Druga derivacija je

ytt -1212"-"2 -78rae-"'!4fe ".Uwltavanjem stacionamih totaka dobivamo a',e) : o, a,l+r,O) : 16e 2. zakljutu-jemo da u stacionarnim toikama 12 - rt, q: vD funkcija ima maksimum. Da biodredili smisao stacionarne Loike r1 : 0 ratunamo vi5e derivaciie:y"' - 24r. "" g6-t" " " F60r', " 8r7ev"' (0) - 0y(t) : 24u-,' JB6r2 e-"' ! 492ra e-"' 11616 e-"' ! 76rE e ,'y(4) (0) = 24 ;. Dakle funkcija ima u toEki 0 minimum, a minimalna I'rijednost jetakorler 0.

Izjednatavanjem druge derivacije s nulom dobijemo 4 toEke infleksije, Stoje vidljivo i nagrafu. tr

Primjedba l0.l2. Nije svaka toika r koja zadovoljava uvjet ftt(r) - 0 toikainflel<sije. Tako npr. funkcija J @) : ra zadovoljava uvjet ftt (0) : O, ali u toiki t. :O funkcija nema totku infleksije, nego ekstrem (minimum). provjerite to upotrebomTeorema 10.70.

209

-3 2 -1

270 Asimptote funkcije

Ovdje moZemo dati jo5 jedno obja5njenje testa za ekstreme funkcije pomoiudruge derivacije.Ima li funkcija minimum y - .f (.x) u totki ;r'1 to znaii da je tangenta u toj toikihorizontalna (/J (r) : 0). ali i da je graf konveksan u okolini minimuma, pa je.f " (,,a) 2 t). Nasuprot tome radi li se o maksimumu u totki :rs tada je graf uokolini te totke konkavan, stoga slijedi l" (:r1) < 0.

Zadatak 1,0.4. Nadite totke infleksije logistitke funkcije rt (.t) ;1!an

10.5 Asimptote funkcije

Promatramo todku T koja se neprekinuto giba po grafu f.1 funkcije / tako dabarem jedna od njezinih koordinata teZi u +oc ili -cc. Ako pri tome njezina uda-ljenost od pravca , - i::r' l- / teZi k nuli, onda se taj pravac naziva asimptotomfunkcije /.Istaknimo takve sludajeve.

1. Pravac,r - .rje vertikalna asimptota funkcije I ako vrijedi

,.\1, / (,,) - +:c ili ,1i1,.f (r) - t:c (10.12)

Ako je r: nultotka nazivnika racionalne funkcije onda je .r - r vertikalnaasimptota.

Dakle, graf funkcije ./(:r) ima vertikalnu asimptotu u.r: - c ako /(:r) raste lipada bez ogranitenja kada r teZi prema c s lijeve ili desne strane.

2. Ako postoji1 : lim / (.r) (10.13)

onda se pravac !) - L nazrva desnom horizontalnom asimptotom funkcije.f

Ako postoji/ =

" lim ./ (.r) (10.14)

onda se pravac y : I naz|a lijevom horizontalnom asimptotom funkcijefPrimjerice graf funkcije lA) - fj ima vertikalnu asimptotu r - 2 |horizontalnu asimptotu ll - 1. Evo grafa

Asimptote funkcije 271"

Hodzontalne asimptote imaju koeficijent fr : 0 i mogu se smatrati speciial_nim slutajem kosih asimptota.Geometrijski ovo znaii da se graf funkcije /(r) pribliZava horizontalnompravcu y : I kad,a c raste bez ogranitenja (r -- m).

3. Desna kosa asimptota je pravac A : kr * t za kojeg wijedi

"l1g If ("1 - kr - t): s.

Lijeva kosa asimptota je pravac a : ka * I za kojeg wijedi

"I=." t/ (,1 - kr - tl: s.

Koeficijente kose asimptote odredujemo po formulama

* : ,!f- 9,r : ,I1; tr @) - krl.

b) f ("):frf,

(10.1s)

(10.16)

(10.17)

Dokaz prethodne formule provodi se upotrebom definicije kose asimptote takod,a se izrazi (10.17) uwste u (10.15).Primjer 10.13. Odredimo asimptote sljededih funkcija:

a) /(r) ::r,&ifr;c) /(r) : Girrz

Rjeienje. (a) Vertikalne asimptote funkcije dobijemo traienjem nultotaka nazivnika m.Stoga imamo dvije vertikalne asimptote za z2 9 - 0. z : -8. z : BZa horizontalne asimptote imamo:

ti^ .61'=- 4, : z.J-l-J(r'z-9)pa je y = 2 horizontalna asimptota.

Za kose asiinptote ratunamo

212

Za koeficijent smjera kose asimptote ratunamo

Asimptote funkcije

F,12 -4k: lim q;t ':0.,-+€ iX

pa zakljutujemo da nema kosih asimptota.(b) Venikalna asimptota je pravac e : 0.Postoje dvije horizontalne asimptote. Iz -lim $ : 1 imamo da je I : 1 desna

horizontalna asimptota, a iz .liu1 Vf4 : -1 imamo da je y : -1 lijeva horizontalnaasimptota.Kose asimprore nema. buduii da je k - , lim_ Jt,-1: - o.

(c) Postoji vertikalna asimptota r : -1.Horizontalne asimptote nema. budutidaje.lim_ -.i,z o.

k : Iim G4l1 : t.,-t-13'l/-"]:l_1,.'., rl -2 pa je a - x -2 kosa asimptota.

ASIMPTOTE

r : c je vertikalna asimptota ako

.lim / (,r) : -oo ili ,$- / {r) : r-.g : I je horizontalna asimptota ako je

,lim- /(r) : / ili ,lim /(r) : l.

. a : kr -l I je kosa asimptota ako je

k :,ItL+, I -"rig_[,f(r) k,).

zadatak 10.5. Odredite asimptote sljedeiih funkcija:a) "f (") : rfu_b) .f (r) : ln3 + x2,c) "f

(r) : t+\/iF+t.d) l@)=e+-r,e) ,f (r) : rlog (e + ]) .

zadatak 10,6, Nadite asimptote logistiike funkcije q (t) -graf.

Fi="*, te skicirajte njezin

Tok funkcije 2L3

10.6 Tok tunkcijeDa bi skicirali graf funkcije na titavoj domeni, potrebnoje provjeriti svojswa danefunkcije. Za to 6emo ovdje upotrebljavari i de;ivacije.Evo koraka koje bi trebalo napraviti Zelimo li nacrtati graf funkcUe.

TOK FUNKCIJE

1. Domena (vertikalne asimptote!).

2. Nultotke.

3. Svojsma: parnost i nepamost; periodiEnost...

4. Odrerlivanje //. Stacionarne todke. Intervali rasta i pada. Ekstemi.5. Odredivanje //. Konveksnost i konkarmost. Totke inflekde.6. Asimptote.

7. Skica grafa funkcije.

Posebnu paZnju treba posvetiti kritidnim toEkama funkcije /, koje mogu bitistacionarne totke (tangenta na graf funkcije u toj totki paialelna j'e s osi r) ititotke u kojima funkcija nde definirana ltangenti je veitikalna lti ne postoji).Krititne toike dijele domenu funkcije na intervale na kojima je predzanak prvederivacije //jednak za sve wdednosti varijable iz tog iniervala.

-Funkcija moZe

imati proizvoljan broj krititnih totaka. valja zapamtiti da funkcija ne moia imatilokani ekstrem u svakoj kititnoj totki.Na primjer funkcija g : 12 - t ima jednu kritidnu tolku i u njoj minimum, dokfunkcija g : ,3 - 1 ima takotler jednu kritiEnu totku, ali u njoj nije ekstremlego je to totka infleksije. Nadalje, funkcija I : sinz ima b"rlo.r"8no -nogokitiinih totaka i medu njima ima beskonitno mnogo ekstrema i beskonatnomnogo totaka infleksije.Znamo da lokalni ekstrem ne mora nuino biti i globalni ekstrem na nekomintervalu. Tu razlikujemo dva osnovna slutaja.

1. Interval na kojem traiimo globalni ekstrem je zatvoreni.TU treba usporediti wijednosti u kititnim i krajnim totkama intervala.

2. Interval na kojem traiimo globalni ekstrem je otvoreni.Potebno je na nadi wijednosti funkcije u kititnim toikama i skicirati graffunkcije, te nakon toga odluiiti o globalnim eksrremima.

21.4

Primjer 10.14. Skicirajmo graf tunkcije I @): +RjeSenje. Provedimo postupak po gomjim totkama.

7. Domena.

4r2-L>0,r10.+ay: (-oo,-]l u [],m)vertikalna osimptotd.: n : 0

2. Nultotke.4x2 -t:0...,,r : l,rs2: -l

Tok funkcije

3. SvoJ'sfvo.

J ? r) : - I @) - neparna funkrijq simetritna s obzirom na ishodiite

4. Intervali rasta i pada. Ekstremi.

f'("): ,**a= - f'@) > o,Yr e D7---, I raste na cijeloj domeni" nema lokalnih e\*tema

5. Konveknost i konkarmost. To&e infleksije.

ft'(x,) - -2.#'-, f" @):0 <+ 612 - 1 :0 - ,r: $,*r: -ff totke(v4r" r/ r'infleksije

6. I(ose asimptote.

'/i;z=,++-

1: 5^ !tE1 = +2 --+ horizontalne asimptote y: -2 (liieva), g: 2 (desna)r++-7. Skim grafa funkcije.

Zadatak 1O.7. Skicirajte grafove sljede6ih funlcija:a) y:ffiic) g : (1 - x) e1'+t' '

b) s:r1lF-t;d) y:hr-s+L.

10.7.1 Versiera (Agnesina vjeitica)Ovaj se naslov razlikuje od prethodnih, jer predstavlja ponavljanje prije defini-ranih pojmova na konkretnom primjeru (problemu), koji je smjeiten u povijesnikontekst i malu priiu. Stoga, ovo moie posluiitt i kao primjer za esej.Krivulja zvana versiera pojavljuje se u djelu Marie Agnesi 1748. u djelu lnsrituzioni AnaLitiche (na talijanskom), no izgleda da je autorica, koja je primjer preuzelaod Fermata, preko Guido Grandia (1703.) zamijenila staru talijansku rijet, kojaje znatila "slobodan da se kreie", za rijet "vjeitica".Ta se krivulja moie definiratr kao geometrijsko mjesto totaka P definiranih nasljedeii natin. Nacrtajmo kruZnicu L sa centrom u S (0. !) kroz ishodi5te O.Zatim povucimo pravac kroz ishodi5te koji sijete A'u totki I ipravac lJ = e kroztotku -11. Sada uzmimo da l' ima .r'-koordinatu od,11 i u-koordinatu od l.Zadatak 10.8. PokaZitc da gore opisana krivulja u Kartezijevim koordinatama ima jednadibu

l (,) =

Dodatak

10.7 Dodatak

t'- -t al'

a parametarski joj je oblik

t1

1-FPrimjer 10.15. Skicirajmo graf versiere.

3.

1.

1.

215

(10.18)

2.

Domena.

Dl:RNukotke.Nema.

Svoj.sfvo.

./( ,)- .l (.t 1 - parna funkcija, simetritna s obzirom na g-os

lntcrvali rasto i pada. Ekstremi.

f,\.,)- .3,,r L _ .f,(r'1 r, [). za.r e ( :r:.{)), a.ft(r) <o.za(i:!":r-.r' . (0. ]-)- .r.r1 = 0 je lokalni maksitnumtoika maksimuma: -\1 (0. a)

276

4. Konveksnost i konkavnost. Totke infleksije.

Dodatak

f" (t): -2a3 @rl#Ht, f" (*):o + aa -2a2n2 -!,a4:Q---+ a1 :fro.r, : - ,f 'ro ,or*, infleksiie

5. Kose osimptote.

/r : ,Ig ry --O --+ horizontalna asimptota

l:,[r_,f (r) = 0 --+ hori ntalna osimptota y --0.

6. Skica grafa funkcije za a - l, a:2 i a: 4:

Primjer 10.16. Naclimo jednadibu tangente na versieru u toEki z1 -- p1t@ 11 : 6.

Rje5enje. Iz prethodnog primjera znamo derivaciju funkcije, pa je

k : f' (o\ : -2ao ----r-.\p"+q")Sada je jednadZba tangentea - # : -2a3 ,ffpy (r -p), odnosno

2a3w+ (p2 + a2)' a :Io"p' + ou.Specijalno zap: a imamor+2A=2q.Za a : 2 (tangenta: r. l2a : 4) evo skice

Dodatak 277

Evo joS malo prite.Maria Gaetana Agnesi roclena je 1718. u Milanu. Otac Pietro Agnesi jc bio vrlobogati trgovac svilom, koji je imao 21 djece (imao je tri Zene). Maria je bila najstarija. Pietro Agnesi pozvao je najbolje u6iteije za svoju talentiranu k6er Mariu.U vrlo ranoj dobi onaje savladala nekoliko stranihjezika, izmedu ostalih latinski,grtki i hebrejski. U dobi od devet godina objavila je (uz pomoi svog uiitelja) nalatinskom raspravu u obranu visokog obrazovanja za Zene, a s dvadeset godinaseriju escja o filozr-rfiji iprirodnim znrnostima.No, Maria Agnesi fokusirala se nakon toga na teolo5kc studijc i matematiku. Nje-zin utitelj matematike bio je vrsni matemaritar Ramario Rammpinelli i on ju jeohrabrio na pisanje knjige o diferencijalnom ratunu, koju je i izdala o r,lasriromtroSku. Tada5nji vodeii tahjanski matematidar Riccari u svom osvrtu na ru knjigunapisao je "... To je najbolje napisano i sveobuhvarno djelo o diferencijalnom ra-iunu." Papa Benedict XIV impresioniran tom knjigom ponudio joj je profesorskomjesto na Bolonjskom sveutiliStu, koje ona nikad nije prihvatila.Maria se nakon smrti svog oca 1752. u potpunosti posverila dobrowornom radutako da je 7799. rmrla u posvemainlem siroma5tvu u uboZnici u kojoj je prijebila r-rpraviteljica, potrolivii prcthodno iitav svoj imetak na siromaine.

7O.7.2 Cetiri teorema o srednjoj wijednostiTeorem 10.17 (Fermatovl teorem). Neka je funkcija lt .f \x) definirana naoflorenom irLter-valu i in:m ekstremnu vrijednost (maksimum ili minimunt) u totki.r11 koja pripada tom interualu. Ako postoji dertvacija.l'' (.rir) u roiki .\ tada ie

./''(.,'o) - il.

Teorem 10.18 (Lagrangeov2 teorem o srednjoj wijednosti). Neka je .f diferen-cijab{Ina funkcija na otvorenom intenalu (,a.b'1 i neprekldna na zotyorenom inter-va\u lt. b'. . Tade postoji najmanje jedan broj r. e lrt . b)t za koji vijedi

.r", 1't), r"'l) tt

ili ekvivolentnof lb) .l (,o) - .[t (,c) (.b rr) .

Broj l(ll!! predstavlja koeficijent smjera pravca 2 koji prolazi totkama(rr.l (rr)) t (.b. f (.b)). Lagrangeov teorem tvrdi da postoji toika (c../ (c)) na grafufunkcije .l'. u kojoj je tangenta na graf paralelna pravcu 1).

rPierre Fermat (1601-1665) francuski pt-avnik i amatcr matematitar sa znaiajnim doprinosima diferencijalnom ratuDu i tcoriji broje\.a.

2Joseph Louis Lagrange (1736 lBl3) ftancuski matematitar, roden u Italiji. U Torinu jeradiokao matematidar na dvom 20 godina. Kasnije je podutaviro na poznatoj Ecole polyrechniLlqe uParizu.

218 Projekti

Slijedi lema koji govori o vezi predznaka prve derivacije i monotonosti funkcije.

Lema 10.19. Neka je J' diferencijabilna funkcija u toi.ki t'. Ako je .f t (c") ;. 0 tada

vrijedif (,' l,) <.f (.) <./(c+l)

za sve dovoljno male vrijednostl h. Ako je :f' (t) < lt tada vrijedi

.[ (,' /r)>.l (c) >.f (t:-lit.za sve dovoljno male vrijednostl lr.

Specijalni slutaj Lagrangeovog teorema je Rolleov teorem.

Teorem 10.20 (Rolleov teorem3). Neka je J dlferencijabilna funkc[ja na otvore-nom intet'valu (o.b) i neprekidna no zatyorenom lntervalu lt.b). Ako je J'lu) -.l' (b), tado postoji jedan broj c' u lo. h) za koji vrijedi

t'k):o.Teorem 10.21 (Cauchyjev teorem o srednjoj wijednosti). Neka su .l' i 11 di-ferencijabilne funkcije na otyorenom intervalu (3.b) i neprekidne no zaoorenomintervalu fu.it). Ako je gt(.r'1 /0na (rr.lii tada postoji broj r e (o.b,\ za koji vrijedi

.f'(.t ) .f (1,) ./ {u1g'lr)

Dokaz. Primjenom Rolleovog teorema. fZadatak 10.9. DokaZite da polinom ./ r,.r'l : Lr'rr-1(l.r'r .ir'*l imasamo jednu nultotku.

Projekt 10.1 (Derivacije u ekonomiji).1. Objasnitck termine morginol cost, marginal revenue (granitni troikovi C" i granitni

prihodi 1l')

2. Objasnite primjenu derivacije u primjerima s granitnim tro5kovlma i granitnimprihodima

3. Nadite joi neke primjere primjene dcrivacije u ekonomiji4. Usporedite terminologiju koju upotrebljavaju ekonomisti pri primjeni derivacija s

pripadajutom matematiakom tcrminologijomProjekt 10.2 (Neileova semikubna parabola).

1. Definicija Neileove semikubne parabole3Michel Rolle (1 652-17 19) francuski matematitar

Projekti ,to

2. Izvedite na temelju definicije jednadZbu Neileovc semikubne parabole u Kartezije-vim i polarnim koordinatama

3. Parametarske jednadZbe Neileove semikubne parabole4. Nacrtajte Neileovu semikubnu parabolu

Projekt 10.3 (Dioldova cisoida).1. Definici ja cisoide

2. Izvedite na temelju definicrje jednadZbu cisoide u Kartezijevim i polarnim koordi-natama

3. Parametarske jednadibe cisoide

4. Nacrtajte cisoidu

5. Neka svojstva cisoide

6. Primjena cisoide na rjeiavanje problema udvostrutenja kockeProjekt 10.4 (Strofoida).

1. Dcfinicija strofoide2. Izvedite na temelju definicije jednadZbu strofoidc u Kartezijevim i polarnim koor

dinatama

3. Parametarske jednadZbe strofoide4. Nacrtajte strofoidu5. Svojstva strofoide

Projekt 10.5 (Nikomedova konhoida).1. Definicija konhoide

2. Izvedite na temelju definicije jednadZbu konhoide u Karteziievim i polarnim koor,dinatama

3. Nacrtajtc konhoidu4. Svojstva konhoide

5. Primjena konhoide na rjeSavanje problema trisekcije kutaProjekt 10.6 (Arhimedova spirala).

1. Definicija Arhimedove spirale2. Izvedite na temelju definicije.jednadZbu Arhimedove spirale u Kartezijevim i po-

Iarnim koordinatama

3, Nacrtajte Arhimedovu spiralu4. Svojstva Arhimedove spirale5. Primjena Arhimedove spirale na rjeSar.anje problema kvadrarure kuga6. Primjena Arhimedo\.e spirale u tehnici

220 Zadaci za ponavljanje

zadatak 10.10. Naalite tangente i normale kivulje

/(r) : (r -4)Q- 2)-1

u presjetnim totkama krivulje s koordinamim osima. Nacnajte sliku!Zadatak 10.11. Odredite jednadibu normale kiurlje

U: xlr,r,koja je paralelna pravct 2r - 2A + 3 : 0.

zadatak 10.12. Zadana je jednadZba

,3 + y3 :6ry,krivuije, koja se naziva Descartesov 1ist.

a) Nadite jednadibe tangente i normale krivulje u todki (3, 3) .

b) Natlite nultodke te krivulje.c) Da li ta jednadZba predstavlja funkciju na cijelom lR?d) Skicirajte graf kii.ulje.

Zadatak 10.13. Narlite tangentu kriwlje y : 14 kroztoi:ku "(2,0),

koja ne pripadakri\"uui.zadatak 10.14. Nadite kut izmedu krivulja fi (z) -- 12 - 4r - 5 i f2(s) : -r2 + 25.

Zadatak 10.15. Odredite podruija rasta i pada, asimptote i ostale elemente potrebne dase skicira graf krivulje utenja

s(t)-B-Ae-kt,gdje su .4, B i k pozitivne realne konstante.zadatak 10.16. Neka je dana kriwlja

2ys + 6r2y l2r2 + 69 - 1

a) U kojem je obliku dana njezina jednadZba? Kako zbog toga provo-dimo derMranje?

b) Natlite prvu derivaciju.c) Natlite jednadZbe horizontalnih tangenata krivulje.d) Sto predstavljaju dirali5ta horizontalnih tangenata za danu krivu-

lju?e) Natlite totku krirulje iija tangenta ima nagib -1.

Zadatak l0.l7. Natlite intervale rasta i pada, te ekstreme sljedetih funkcijaa) .f(lr) : li/fr 12c) l(r) : cos r - 1* $

b) "f (r) : !@ I

d) f (r) : rslu,rZadatak 10.18. Odredite domenu, ekstreme, asimptote, te nacrtajte Srafove sljedeiihtunkcija

Zadaci za ponavljanje 22t

a) ,f (")c) f (.r)

Zadatak 10.19. Zadan je polinom

f (r) : ora + bx3 + cr2 + d,r + e.

Koje urjete moraju zadovoljavati njegovi koeficijenti kako bi imao dvije toike infleksije?zadatak 10.20. Nadite lokalne ekstreme funkcije

f(,):r',s>o.

Zadatak l0.2l, Nadite intervale monotonosti i ekstreme funkcije

t@:+"-+,\/ 2T

te odredite da lije funkcija konveksna ili konkama. Nacrtajte njezin graf. Prim|etite dase radi o funkciji normalne raspodjele.

Zadatak 10.22. Odredite ekstreme i totke inflekije funkcije

te nacrtajte graf funkcije (Uputa: pazite na Siljak funkcije!).Zadatak 10.23. Na slici su dani grafovi prve derivacije funkcije. Skiciraite graf funkcije.

Zadatak 10,24, Nadite najvedu i najmanju wijednost funkcije na zadanom interyalua) l@) : 12lnxnall,el, b) "f(u) : 2 sin2 r cos r na IR.

Zadatak 10,25. Nadite lokalne i globalne ekstreme sljedetih funkcija na zadanim inter-valima

b)d)

fl-\-r-LgL,J \4)

/(z) - ffi,0 at S2r.

/ 1z) : fl1r - r;'?,

222

a)b)c)d)

Zadaci za ponavljanje

I @):2r3 12 -73r16, na l-3,41 ,

f lr) : zY + 1 na [1,4] .

,f(r) : rr2lnc na [1, e]

"f (a) :2sin2 zcosr na R

Zadatak 10.26. Naclite jednakostranitni trokut maksimalne powline kojem je opseg 24.

Zadatak 70.27 . Zadana je funkcija I @) : sinZr, - 2 sin r .

a) Nacrtajte graf funkcije /. b) tuje5ite jednadZbu /' (r) : 0.

:',r'{t :,($7

i:tlt ;$4::;|' :.ir:tJ,,* i,IY,r,'tlii* ",,1I#*.

"Priroda se smije noiim problemima pri integriranju"Joseph-Louis Lagrange

ll.L Primitirma funkcija i neodredeni integralU mnogim problemima derivacija funkcije je pozlata, a treba na6i originalnufunkciju. Dakle, testo je potrebno rekonstruirati funkciju iz njezine derivacije.Taj se postupak zove antideriviranje.Definicija 11.1,. Funkciju F nazivamo primitivnom funkcijom (antiderivacijom)funkcije f na interyalu (a,b) ako vrijedi

P'(.r): f (r),Vre (a,b). (11.1)

Primjer 11.2. Primitima funkcija tunkcije f (r) - 12 jer 1r; : t', ier.;e

t-3't I. ", I .(;):rt,'r':{ r"' ,2\u./*3

No, i funkcija f @) - ? + 3 je takoder primitir,na funkcija od /. I opienito,-o

C (r) - , 1 r. r e R je primitirma funkcija od /.Lema 11.3. Ako su F i G primitivne funkcije iste funkcije f, onda se one razlikujuza konstanru tj.

G(r)-F(r)+c. (11.2)

Definicija 71,.4. Skup svih primitivnih funkcija F dane funkcije f nazivamo neo-dreilenim integralom funkcije f i oznatavamo sa

f f A;0":{F+c:ce JR}.

223

(11.s)

224

Uobitajen je kra6i zapis:

Neodredeni integral

(11.4)

ovdje je / oznaka za integral, funkciju /(z) zovemo integrandom (ili podinte-gralnom funkcUom), a dr predstavlja diferencijal varijable r.

NEODREDENI INTEGRAL: Ft(r): f(r)

frr"lo":Ftc.

lr{,)0,:r*"

11,.2 Neodretleni integralRatunanje neodreclenih integrala nije "Sablonizirano" kao deriviranje funkcija.Postoji dosta elementarnih funkcija, koje ne moZemo na jednostavan natin inte-grirati, jer njihove primitime funkcije nisu elementarne. Na primjer, funkciju ,,4lli\fr+8.Dakle, integriramo funkcije pomo6u razliditih metoda (od kojih iemo mi upoz-nati samo neke) upotrebljavaju6i tablicu neodreclenih integrala, kao i svojstvaneodredenog integrala.

11.2.1 Tablica neodredenih integralaPrimitir,ne funkcije iz dosada5njih primjera odredili smo na osnovi naieg iskus-wa s derivacijama. Zapilimo ih u obliku tablice. Tablica neodredenih integralaizvedena je iz tablice derivacija, koju titamo "naopatke". Isprarrnost tablice pro-vjerava se direktnim deriviranjem podintegralnih funkcija.

t@) I f @)d'r

1 r+ctrn ;fl-1-L

e' e* +ca"1 lna + c

SIN ' -cosr+c

Neodredeni integral

cos ir," sinz t c

1

*2* \gr+c1.,) ctgr + c1

,/1 + ,r'2arcsin z f c

1

1T.p arctgr + c

11.2.2 Svojswa neodrealenog integralaBuduii da je neodredeni integral neka familija funkcija, deriviranjem te familijedobit iemo neku nolrr familiju. No, derivacija se ne obazire na aditivnu kons-tantu, pa deriviranjem te familije dobijemo samo jednu funkciju, onu podinte-gralnu. Dak1e, rrdedi

225

fr | r at o" : ll r r,t a,)' - r t,)

alr{da":f(r)dr.

/o,or:r(r)+c'Neka je lz - a. f , H primitilTra funkcija od h i F primitirna funkcija od /. Tadavrijedi

Hl:h:af,aFt-7,

H' - aFt ,

odnosno zapisano pomodu neodretlenog integrala

lr"rr"lra,:o I r@)a,.Nadalje, neka je h (r) : f (r) + g (r), Il primitivna tunkcija od h, I'primitivnafunkcija od / i G primitivna funkcija od 9. Otito je

(11.s)

(11.6)

(t1.7)Nadalje,

pa Je

(11.8)

(11.9)

(11.10)

Ht:h:f+g, (11.11)

226

a s druSe strane

5to gledano zajedno daje

Ft:f,Qt:s,

H' : F'+G'.

Neodredeni integral

(r1.12)

(11.1s)

Prethodnu jednakost moZemo zapisati i kao

ttlI Jpl+sgslar: I l\x)dx+ I g@)dx. (11.14).t .tJDokazana svojswa (11.10) i (11.14) moZemo formulirati u obliku sljede6eg te-orema.

Teorem 11.5. Za proizvoljne konstante a i b, te za dane funkcije f i g vnjedi

(11.1s)

Primjer 11.6. Narlimo graf opieg rje5enja diferencijalne jednadZbed,u-1 :2cosr*1.d,n

RjeSenje, Ttaiimo funkciju g (z) tija je derivacija jednaka 2 cos r * 1. Datle, trebamointegrirati funkciju 2 cos, + 1. lmamo! (2cosr i7)dr:2 [ cosxdr + [Ur:2sinu+r+c.Sljedeta slika prikazuje nekoliko kirulja iz te familije krirrulja za razlitite wijednostikonstante c.

Koje smo wijednost za c uzeli da bi dobili pojedine krivulje na prethodnom grafu?Izoliranje jedne od primitimih funkcija svodi se na odredivanje konstante c. Za to namje potreban jedan dodatni uvjet kojeg zovemo poietni uvjet.Tako u ovom primjeru moZemo kao poietni u\,et postaviti zahtjev da krilulja prolazikroz zadanu todku. Na primjer uzmemo li potetni uvjet 9 (0) : 1 uwitavanjem u

I w al +bs (r)ldn : o I t @) a* +a I s @)a*.

imamo 1-2sin0+0+c,y(r):2sinr+r+c

Metode integriranja

Dakle, c : 1, pa smo odredili primitivnu funkciju

all

Y(z)-2sinr+r+1,koja zadovoljava potetni uvjet. tr

Primijetimo da sve integralne krivulje imaju paralelne tangente u totkama s jed-nakim apscisama.

11.3 Metode integriranjaKod derMranja smo znali provesti derivaciju svake elementarne funkcije, upo-trebljavaju6i svojswa derivacija i tablicu osnovnih derivacija. No, situacija nijetakva kod antideriviranja (traZenja neodredenog integrala).Teorem 11.5 daje nam upute kako se integrira linearna kombinacija funkcija. Me-dutim za sada ne znamo pravilo integriranja koje bi korespondiralo deriviranjuprodukta funkcija ili ulantanom pravilu (deriviranje sloZenih funkcija). U nas-tavku ovog poglavlja temo objasniti metodu supstituclje i metodu parcijalne in-tegracije koje su inverzne pravilu o ulandanom deriviranju, odnosno pravilu oderiviranju produkta funkcija.Upoznat 6emo, dakle, sljede6e metode integriranja:

1. neposredno integriranje.

2. metodu supstitucije,

3. metodu parcijalne integracije,

4. integriranje racionalnih funkcija,

5. integriranje trigonometrijskih funkcija.

11.3.1 Neposredno integriranjeNeposredno se integrira upotrebom tablice neodreclenih inregrala i Teorema11.5.

Primjer 11'7' odredimo r' (r - ,/.i, ar.

Rje3enje. I 0 + !E)3 dr: / [t +:va +:, + (,/Ef)dr: I Ut +Z I tLar +3 [ xdr + ! r* rtr-x+2(^/r)3 +|r2 + ! (uT)t +.. tr

ItIiII

),Q Metode integriranja

Primjer I l'8' odredimo r ,,t i./ :,ttr_ .r' r', 's' .r

Rjesenje. ,.,, ..,',,,..,,, i ':, ],...-,', ,,,,-'.,,., , .,u'.,,,,tg r' ('tg.? + .'. L

Zadatak 11.1. Izratunajtc sljedeie integrale:, 1,2 .r t 'at /1,' ) t, bt i(i; ,,),,,

11.3.2 Metoda supstitucijeUpotrebljavajuii svoje iskuswo u raiunanju derivacija, testo moZemo pogoditirjeSenje kod antideriviranja ili barem naslutjti oblik tog rjeienja.Primjer 11.9. Izradimo sliede6e zadatke.

al Nadite derivaciju funkcije I .r,b) lzraiunajte integral | .rr " r1.i

cl lzraaunajle integral /.,2 ' '/.r.RjeBenje. a) Funkciju deriviramo upotrebljavajuii ulantano pravilo o deriviranju sloZe-nih funkcija. Imamo .l' (.r) - 2.r r '-.b) Uoiimo li povezanost ovog integrala derivacije iz (a) drjela zakljudujemo da.je

L ,, :!, -,c) Poudeni prerhodnim primjerom pogadamo da je

l,-,,,t , ',, -,Provjerimo rlesenie: (j, ' + ) ,1:l.r'2,'' :.,2,,''. r

Ovaj postupak moZcmo iformalizirati, pa takvu metodu rje5avanja zovemo me-todom supstitucije ili metodr,,m zamjene.Uvedimo u .l f (.r) d,L supstituciju (zamjenu) ) - g ll). Dobivamo

| 1',,, ,,,,y,t:,,r 1 t,.,,t.,. ( .r6Jtt'Nadalje, moZemo uvesti supstitucUu / - ( (.r'), te sc funkcija.l'(;r') moZe prikazatikao ./ (.r) , lt (.q (.t )) r/ (.r') . Tada imamo

,ttIt,,',r ' 1r, ,1,,1',i,',t, lr,'t ,:, (ll.l7).l.t.t

Formule (11.16) i (11.17) predstavljaju bit metode supstitucije.

Metode integriranja

Primjer 1 1.10. Izradunajmo

f sin2rd,r.

Rjeienje. Stavimo r: 2t,pa je(tt:2dripo (11.12) imamo

f sin2x.r

: l;:i"-.if sintr,t:-t,cost+c

METODA SUPSTITUCIJESupstitucija u I f (r)d,r

' r : { J@)h : sO) + t fbgDs'O)dt. 1: s(r) =+

lrJ tato" = J ntnol)n'@ya,: I np1a, sdje je J@): h(s(a))st(n)

Zadatak 11.2. Izratunajte integal

/ cos 3.dr

supstitucijom t : 3z;

upotrebomjednakosti cos 3z = cos r 4 sin2 e cos r, pa onda supstitucijom s : sin zu drugom integralu.

Da.li ste dobili u oba sluEaja jednaka rjeienja? Koji poutak objalnjava nastalu situ_aciju?

Razjasnimo jo3 katko za5to ova meroda funkcionira. Na prvi pogled izgleda dase dt i dt l izraz:u za derivaciju fr .ogo gledati kao zasebni jzrazi, pa se stoga

u formi rif : (#) dt mogri dokinuti.Promotrimo ponovno integral I f (g (a)) gt (r) d.r. Ako je tr, primitima funkcijaod /, odnosno ako wijedi F, : f , primjenom ulandanog deriviranja imamo

fi lr b trttt : I Q e)) s'1r) . Stoga wijedi

a)

b)

c)

I I bktt o' rrtdr - P (g(r)) - c.

230

Uvedemo li sada supstituciju I - 9 (r) imamo

Sada izjednabavanjemjednake) dobivamo

zadatak 1 1.3. Izratunajte sljedede integrale :

I t r't fr*": F (t) + c'

Nadalje koriste6i Einjenicu da je -F. primitivna funkcija od /, odnosno da wijedi]?/: / imamo

Itrrlor:F(t)+c.posljednja dva integrala (buduii da su im desne strane

lrotfro": lrato,

Metode integriranj a

(11.18)

I d,na) I" ^-'f 2rc"' drc) J ri e'z"'

b) [!!-,J TgTITd) J 1/r+ t/xdr.

11.3.3 Metoda parclialne integracije

Metoda parcijalne integracije korespondira pravilu o deriviranju produktafunkcija. Slijedi izvod formule koju upotrebljavamo pri metodi parcijalne inte-gracije.Neka su u (z) i r.,(z) dvije derivabiine funkcije. Tada iz poznate relacije

u (n) u' (r) : b, @) u (r))' - u' (x) u (r)

integriranjem dobivamo

r| 1"1r1 u 1ry' a, : u (r) u (rl -t c,.t

odnosno wijedi

[u(Au'(Ati tJ . .'r- u(t)u(r)- J"@)uk)dr.

Ova se pak formula najte5de zapisuje i pamti u sljede6em obliku:

PARCIJALNA INTEGRACIJA

l,o,:u,- | oau.

Metode integriranja 237

Ona se upotrebljava kad se podintegralni izraz moie prikazati u obliku produktadvaju izraza, od kojihjejedan diferencijal neke funkcije. Dobar znak da smo po-godili da se integral rjeiava pomo6u metode parcijalne integracijeje daje integralna lijevoj strani jednostavniji od poietnog integrala na desnoj strani.Ponekad nije dovoljno parcijalnu integraciju primijeniti samo jednom, nego pos-tupak treba ponoviti dva ili vi5e puta.

Primjer 11.11. Odredimo

I .r..,., ,1.,, .

RjeSenje.

i ,., , ,l,t )t,l.lIt ' 01' ,r, .',,rr r11 --,1.- ln - 1l.y

- r,3xdr' - t, : l.:1.,

.Pri odabiru funkcija u i rJ rreba obratiti painju na nekoliko swari. prvo, r,/trebaizabrati tako da znamo izratunati r.,, odnosno da funkciju r,, znamo integrirati.Naravno da je vaZno da r, bude jednostavnija od r,/. Nadalje, funkciju l obitnotreba odabrati tako da je njezina derivacija r1 jednostavnija od u. No, ponekadnije moguie ispo5tovati sve navedene sugestije) pa treba imati iskustva da senapravi ito bolji izbor. Dok se iskuswo ne stekne koristimo metodu poku3aja ipogreSaka.Upotrijebimo gornje sugestije u ratunanju sljedeteg primjera.

Primjer 1 1. 12. Izratunajmo integral J' r.; ln rd.r..

Rje5enje. U osnovi su moguia sljedeia dva odabira funkcija r i r..1.

ir :.r.1 - dt - 5.r1d..tdr, : ln .rdr - r' : ./ tn rr1;r' = ?

Tu se postavlja pitanje rjeSavanja integrala r., : / Jn lr1r. On bi se takoder trebaorijeiiti parcijalnom integracijom ( t : \L r.it : )., .t. ito komplicira rje5avanje, aliga ne onemoguiuje. Pokuiajte ratunanje provesti do kraja.

1..31...,31 .,..

:l

cll'rl.1)

+ ('.

'2 l'- Ir"J.t-:\t2t t I;t.,.r, '' .; I.1 .l"t_t'1)+-.lt927

.[ ,'' t.,.a, -

)"., Metode integriranja

2.

.l .t'httrlr' :

Vidimo da je drugi odabir bio bolji.

u:lrte-,1.,,:!rh':L

- .t''lclt:r'rlt-,': dtt,.. 1l,,r,,a ln.l = I .t tt,tt' .l .t

,6lu, l,u * ".36

1

61

6

fZadatak 1 1.4. Izratunajte sljedede integrale:

tlal I r-itrd.t . b) / r'lrr':tr)Jr."r dt /,r'.irrr.cl .f rt) rt.r',l.,. I

11.3.4 Integriranje racionalnih funkcijaOpienito, (razlomljena) racionalna funkcija / ima oblik

r,rr . l('). (r r.r9lQ \.r )

gdje su P (;r) i Q (r) polinomi. Ratunanje integrala

t- [P(t\,tt (u.20)I Q \t)

provodimo u nekoliko koraka.

1. Ako je stP(r)> srQ (r:) podijelimo polinom P (r) sa Q (z) . Pretpostavimoda pri tom dobijemo kvocUent I( (r) i ostatak R (z) . Tada integral l postaje

t- [xt.rtth+ [{(]a, G7.2t).l J Qlx)Dalje se bavimo rjeiavanjem integrala

t, - l \' \r, 11.22).l Q \r')

2. Nazivnik Q (r) rastavimo na faktore. Znamo da se svaki polinom n-togstupnja moZe prikazati u obliku

Q (x) - a,,(r ,r1)k' ... (r, ,,)^" (r'+ p1r + 91)" ... (r'2 + p,,,,r +..1-)t'' .

gdje je k1 + ... + k, + 2 (rl + ... + t",) : rr.

Metode integriranja 233

3. Podintegralnu funkciju rastavljamo na parcijalne razlomke. Zapravo mo-ramo odrediti koeficijente .41, . .., Art,, . .., A"r, . .., 4"r.,, . . ., B r, Ctt,. . . , B tt,, Ctt,, . . . , 8,,7r, C,,,1, t: tzrazu

R_/,1 .4rr ... _ArQ rL t ,1, ' f, .r,), .

- l"' ' l'/-J r.- \r J,)A

_ B11r-(- I 81, t e;,- ,., U,,, q| .... 1rt. ,U ,,,,

8,,,11. , C,, I Bn,, .r - C,,.,,.rr, pir-, -t1,,, (.r2 - p,,,x - q^i

4. integriramo parcijalne razlomke.

Primjer 11.13. Odredimo

1 f '"1- | ;r*,, ,a'Rje5enje. Izvedimo potrebne korake. D

Primjer 11.14. t. .r3 : 1 (r:r+.r2 - z) + (-r, + z)

"2t )I .l l,1r 1r.,,1-r,1., r 1..

2. ;r3 +L:2 2:t3 i+/2-1- (x 1) (r:2 +,r + 1) + (:r' 1) (.r + 1) - (.r 1) (r2 + 2:r: + 2) .

" ,'-2 .l Br+c'" it _ ,., .2 .r L,2 _.2.,. ,1

t:2+2-A(t2+2r+2)+(Br+C) (r - t).Upotrebom definicije o jednakosti polinoma, dobivamoA:! B --:.c- t,ravrijedi

"2+2 I 2 1*3rJ':r 7-z- 5(."-ll -., ,2 -2., 2'

4. l ,"-2,t., 't:! 2| 1-:li-., J..1 r./ 2 b.'.r | :tr Ji2 j.2.r T2- jtn(: 1) -:h (r'2 +2,r,+z) ,2 arctg(z + 1) .

Zadatak 11.5. Izratunajte sljedeie integrale

Metode inregriranja

a tr$!,*r*,, ot | *i1*,') J ,,, -r,!+rr-, d) I ; -+

1 1.3.5 Integeriranje nekih trigonomerijskih funkcijaOvdje 6emo objasniti kako se integriraju samo neki osnovni tipovi trigonometrij-skih funkcija. Postoje i metode integdranja trigonometrijskih funkcija o kojimaovdje ne6e biti rijeti.I. Funkcije oblika f (r) : R (u), gdje je fl racionalna funkcija, z : tg r integrirajuse uvodenjem supstitucije i - tg z. Tada je

t - arctst,cr.r: #" (11.23)

Odredimo npr. I tg3 rdr:f. 1.

.l rt' rdr : - tg' x I ln lcos.r f r.

II. Funkcije oblika / (z) : R(u,u), gdje je fi racionalna funkcija, u -- cos2 r,u -sin2 e integriraju se uvoclenjem supstitucije t : tg z. Tada je

r : arctst,d,:x: #U,": in,, : i, 01.24)

Odredimo npr. / --'-*--_- d":

fIlI ^ , dt . ^ arctg (2 tg.r) c.

.l cosz J r 4 sin' -r '2

III. Funkcije oblika / (z) : E (u, o), gdje je l? racionalna funkcija, u - cos r,u - sinr integriraju se uvodenjem supstitucije t: tg3.Tada je

r:2arc;st,dt - #,,: #,"-# (11.2s)

Primjer 11.15. Odredimo

['a'./ 2sinr I sin 2r

Rjetsenje. I r ""*;,,^d" - i (tg'; +2ln tg! )+c. tr

Problem povriine i odredeni integral

IV. Integral oblika

f sir"' 1 q.l," 1.,1 ,..l

ratunamo upotrebom supstitucUe I - sin.l ili I : cos.r.Zadatak 11.6. Odredite sludaieve u kojima upotrebljavamo jednu, odnosno drugu sup-stituciju.Zadatak 77.7. Odredite ./ siri2 e, cos3 .rr1.r.

V. Integral oblika

.f :it tr,.r t-o-tt.td.t ()1.27)raiunamo.prervaranjem produkra podintegralnih funkcija u sumu (razliku) rri-gonomerijskih funkcija.Zadatak 11.8. Izradunajte prervaranjem produkta sinusa u sumu / sin t 0.r sirr 6.r,d.r.Zadatak I I.9. Izraaunfljle sljedeie inregrale

n, | :.'' nt I '1t..t | .r{'"-'./ 1,,,r" 7-irr.r.rll(r / .ir,:t/ ,,^ rJ,i,. at | ,,,.. , ,.-, , ct,..

o [, (,+ ),r,/ \ ,.r.'.t /

71..4 Problem powsine i odretleni integralSvakom se geometrijskom liku tr u ravnini moZe pridruZiti neki nenegativan re_alan broj P(E) koji predstavrja

_mjeru njegove povrsine. pitamo se koliko jedi-niEnih mjera za powsinu (kvadrat ,ounti"" arf::in" ij ,aaizi oareaeni It.Po definiciji funkcija p (E) ima sljedeia sroisrua

1. P (_L-) > r):

2.L r.t"L, P1F1:

3. E-FLr(;,1-.G_A.+1,(E) _p(F) + 1, (G) :

4. P (pravokutnik sa srranicama duljine o i tt,1 : n6.

Nadalje, izvedena su svojsrva:

1. Povriina totke je 0.

2. Povr5ina duiine je 0.

(77.26)

236 Problem povriine i odredeni integral

Rjeiavat iemo sljedeii vaZan problem.

Problem 11.16. Neka je lr : I Q) realna funkcija realne varijable, iija domenasadrii interval lu.b) i na tom je inter-valu funkcija omedena i neprekidna (osim u ko-naino mnogo tofuka). Odredimo povriinu ito ga ta funkcija na zadanom inter-valuzatvara s osi tr .

Definicija 71.77. Skup {.r0.;r1.i.2.....r',,} e R zovemo razdiobom intervala la.h)ako je

(r - r'0 < r l < J2 < . . . ( Jrn r<r?,-1. (11.28)

lnter-val l.t:i 1. r:i) zovemo i.-tim podintervalom razdiobe.

Oznatimo sa 2 skup svih razdioba intervala o.6l .

Dakle, interval ln. L] podijeljen je na n dijelova (ne nuino jednakih duljina).Nad svakim interualom lr'; r. ,';] postavit iemo dva pravokutnika, jedan koji leiiispod grafa funkcije i drugi koii ga premaiuje. Niihove visine su

)il' - minimum od f na [r; r ' 'r'i] '

,\d - p2Lri-um od / na [:r; 1. .r;1 .

Duljina intervala (oiica) je

A.r'; - 1s Ji 1.

Zbrojimo sada povr5ine ovih pravokutnika. Dobit demo:

donju integralnu sumu

,,, - f ,,,r.,l:l

odnosno

gornju integralnu sumu

s,, - \-.11A,,,.",=,

Spomenute sume zovemo i Riemannoviml sumama.

(77.29)(1 1.30)

(11.31)

(11.32)

(11.33)

lGeorg Friedrich Bernhard Riemann (1826 1866) - njemaiki matematiiar poznat po svojemradu u neeuklidskoj geometriji, diferencijalnim jednadZbama i teoriji brojeva.

Problem povriine i odredeni integral .,.7.7

Powlina P nalazi se izmeclu gornje i donje integralne sume, tj. vrijedi

Im;Az; <e<ltr;L.r-. (11.34)i:l i=l

Zamislimo sada da povedavamo broj djeliinih todaka n. Zbog toga se povedavadonja integralna suma i smanjuje gornja integralna suma. Pretpostavimo li dan --- oo, tada Ar; + Q. Ako je / neprekidna funkcija, gornja i donja suma imatie jednaki limes 1 i on je jednak povr5ini ispod krirulje (ukoliko pow5ina postojitj. ukoliko je funkcija integrabilna).Tako dobivena powlina ne ovisi o tome koju razdiobu iz P odaberemo, kao ni onaiinu odabira brojeva m6 odnosno Mi. Ona ovisi samo o funkciji /.Definicija 11.18. Nekaje f :la,bl ' R neprekidna funkcija. Zajednitki limes gor-nje i donje integralne sume (ako postoji) nazivamo oilreilenim integralomfunkcijef i ozna(.avamo sa

( 1 1.3s)

Ako je f joi i pozitivnafunkcija na intervalu la,b) i a < b tada je I je jednak povriinikpod grafa funkcije f na intervalu la.b].Dakle,

nrbP rimffir,tn',- I Ie1dr.l:1

(11.36)

gdje je yi e lr.1 1, ;c1) .

Zadatak 11.10. (a) Izraiunajte powSinu ispod parabole / (z) : 0.112 + 1 na intervalu[0, 3] pomo6u povriine pseudotrapeza ako je razdioba na 6 jednakih dijelova.(b) Izraiunajte powiinu ispod parabole / (r) : 12 na intervalu [0, a] pomodu povriinepseudotapeza ako je razdioba na n jednakih intervala.

r - l"u t@)a,.

'l

238 Newton-Leibnizova formula

Objasnimo jo5 konvergenciju lijeve i desne integralne sume. Ako je funkcija /monotona, lijeva i desna suma ukljelte izmeclu sebe vrUednost odretlenog inte-grala, odnosno powlinu ako se radi o pozitii,noj funkciji. Ako / nUe monotonafunkcija, testo je mogu6e konstruirati gomju i donju medu integrala na naiin dase interval [a, b] prvo podijeli na podintervale na kojima je funkcija / monotona.

11.5 Newton-Leibnizova formula

Neka je / (z) monotono rastuia funkcija s pozitivnim wijednostima i Ar intervalna osi z od r do r f Ae, a A,4 (z) pow5ina ispod te funkcije na tom intervalu.Tada wijedi

f (r) L.r < A,4 (z) < f (, + L,t) Lr. (tr.37)Podijelimo li tu nejednakost sa Az i primiienimo limes kad Az + 0, dobivamo

A'4 (r)o[1o"f frl ' J]-o-n, '-olimn/(r+Ai).

Nadalje,

Dakle,

pa je

Odnosno

Neka je sada F. (r) primitima funkcija od J Q) . Znamo da vrijedi

A(r) F(t)+c.Odredimo jo5 c iz poEetnih uvjeta

(11.43)

. d.A (.r\ll,)< o;!I(,).dAG\;--J\r),o,r

llI dAtr) - .l f t,t a,.

A(n: I J trt dr.

(11.38)

(11.39)

(11.40)

(11.41)

(7t.42)

zar:a,A(r):0 (17.44)

A(r) : F(r) - F(a). (11.46)

Zatim, cijela pow5ina je,4 (b) , pa uw5tavanjem u (11.43) dobivamo

N ewto n - L e ib niz ov a f o r mul a

slijedi

Sada iz (11.43) dobivamo

c--F(a).

r3

Jo p.\i + 1l dr

0.113 _t3 0.1 .33t -rlo- e--3-0-3.9

2s9

(11.4s)

(11..47)A(b):F(b)+c,

Sto zajedno s relacijom (11.45) daje

P:F(b)-F(a). (11.48)

Prethodna jednakost poznataje pod nazivom Newton-Leibnizova formula i dajevezu odredenog integrala i primitivne funkcije podintegralne funkcije. Zapisujese kao

NEWTON.LEIBN]ZOVA FORMULA

l"o, {,) o, : F (b) - F (,) -- F@1,',, (11.49)

Dakle, odretleni integral od / (r) jednak je prirastu primitivne funkcije od / (z)na intervalu integracije.Ovaj rezultat je jedan od najvaZnijih u matematitkoj analizi jer daje vezu neo-dredenog integrala (a onda i derivacije) i odredenog integrala. Stoga Newton-Leibnizovu formulu (11.49) zovemo i Fundamentalnim teoremom diferencijal-nog raEuna. Uotite da iz (LL.46) dobivamo A(r) - [: l(t)dr, dakle A(z) jeneodretleni integral od f, tj. At(r) : f(t).Primjer 11.19. Izratunajmo

73RjeSenje.

Jn lo.tr, + 1) dr : tr

Zadatak 11.11. IzraEunajte sljede6e odredene integrale:t2n

d Jo "inrdr, , l,'+

240

11.6

. l. :2.1., i:,1tRje5enje. I -". 2l.l , .t '2 .l t -2-2(lnc 2+21 ln t+2j:z

r r+2

:2lnri2 u granicama od ldor: 2

Svoj stva odredenog inte gr ala

l

Svojstva odreclenog integralaEvo nekih svojstava odredenog integrala koja proizlaze iz definicije odredenogintegrala i Newton-Leibnizove formule.

.1,," .t 1.,) u,, +

l,,b o(.,,),t,.

a.,: f,,' ro)a,* .l,o rr.,ta.,.t,

.l.o t t.,t

2,1.r

t. 1,,"

r ot a, - 1,," , t,lt.,.

3.

.f (r) dx - {).

rt,,ft.,t,lL ,l 1.r,,1.r ,, .R)..t,,

ll (x) + o (.r)', r1t -

5. za a < r: <

Odreclene integrale ratunamo upotrebom svojstava i Newton-Leibnizove for-mule.Razjasnimo situaciju koja se javlja kod ratunanja odredenog integrala prilikomsupstitucije. Postoje dva naiina na koja postupamo kad upotrebljavamo supstitu-ciju u odreclenom integralu.

1. Izraiunamo neodrecleni integral i i.zrazimo primitivnu funkciju pomoiu po-tetne nezavisne varijable, pa traZimo rjeSenje uvritavajuii poietne granice.

2. Prilikom uvodenja supstitucije transformiramo i granice integracUe, pa ihuwitavamo u primitivnu funciju koja ovisi o uvedenoj varijabli (ne o poiet-noj) '

Primjer 11.2O. Izratunajmo

Ratunanje powiina pomotu odredenog integrala

tl.7 Ratunanje pow5ina pomo6u odreclenog integralaUz pretpostavku daje / pozitivna funkcija pow5ina p lika kojeg ona zarvara s osiapscisa na intervalu [a, 6] jednaka je

e- f,o to)a,.

24L

Prisjetimo se da smo odrecleni integral definirali samo za pozitirme funkcije. Jed_nakim se postupkom pokazanim za pozitir,ne funkcije moZe pokazati da je inte-gral negatirme funkcije negativna wijednost powline kivocrtnog trapeza (pse-udotrapeza). Prema tome povrlina P ispod krivulje s negati!.nim wijednostimana intervalu [a, b] je prema svojstm l. jednaka

P : l,u , too,: fu" r tdo,.

(11.s0)

(11.s1)

li izratunati powSinu ra-,ninskog lika na intervalu na kojempredznak koristimo svojswo aditivnosti odretlenog integrala

Nadalie, ffebamofunkcija mijenja(svojstvo 5.).

Powlina lika kojeg funkcija /, na prethodnoj slici, zawara s osi apscisa jednakje

, : [' r ol a, + [" y p7 a,. (11.s2Jo Jb

Pow5ina sto ju graf funkclje f zawara s osi apscisa moie se napisati kao

e: l,u v{ota,. (11.s3

242 Ralunanje povriina pomotu odredenog integrala

Primjer 11.21. Odredimo powlinu lika ispod kivulje g -- 12 - 2r na intervalu[1,3] .

Rjeienje. Prema priloienoj slici vidi se da je dio povr5ine ispod osi x, a dio iznad osi x.Stoga imamo

12 13p=- I @2 zr)aa- I (r2-zr)d*:2.Jr J2

tr

Frimjer 11.22. Odredimo powlinu lika omedenog krivuljama y : 12, y : 13.

Rje5enje. Prema priloZenoj slici imamo

e : lo' {,, -,r) a,: }.

-, Zadatak 11.12, Odredite powline omeilene sljededm krivuljama:

Dodarak 243

a) !:2.t:.!t :l).t -2: b) y: .r2+4, l].y:0.c) y-r3.g:a2 d) ll - r,r t.!l :;12+:r-..e) y:]..y:r.y:!: f) il:e,(-l r') .y-.r:(r 2).il u:! a:1Y-11-:)1h) y:.r" il.y-2;p 2.x- 7.t:2:

11.8 Dodatak

Projekt 11.1 (Aproksimati!'no integriranje). Postoji nekoliko nadina aproksimativnogratunanja interala. Objasnite metode koje slijede i izradite primjere koji ih ilustriraju.

a) Pomotu srednje totke:

7L

I lq..r1,rt =.11,: A.r'[.](r1) + f (rr) + -l(.,,)]J,,gdje je

ha17:i

z, - j(.r;, r +r,)poloviSte intervala [2, r . r;]. PokaZite da je pogreSka, ukoliko je I" lr.) .- K zao J r lb.jednaka

It'lb ,t t1Evl ,r;.b) Trapezna formula:

"t)^| .11.,1(1., = r, - + [,f(rr,)+ 2,t(rr) +2f (x2) +...+ 2/(r',, r)+/(r,,)]I ' ')

gdje jeAr-(b a)fn i q =oiiAr.

PokaZite da je pogreSka, ukoliko je f" (r\ < K za o. < x < b. jednaka

- . hll-, ,? )rtlT :: t2r,c) Simpsonovo pravilo:

t" A.rl, !1.,,t ,.. -; I \\. tf(" t 2f L,t, l/'/,) ....

+2f (r,, z) +a/(:r'" r)*/(2,,)l

244 Zadaci za ponavljanje

gdje je n paran i Ar: rb at/n. Pokaiite da ako je lra)tr) : KzaolL 1_b,pogreSka E5 je

E"l < K(b o)t ."' 180n1

Projekt 11.2 (Primjena derivacija u algebarskim problemima). Pokaiite na nekolikovlastitih primjera primjenu derivacija u algebd i rijeiite sljedeie probleme:

a) Dokaiite dazar> lwijedi12-1> 21nr.b) Bez upotrebe raEunala ut'i.rdite koji je broj ve6i: e" ili zr ".

Uputaj Promatrajte funkciju f (r): r - elnr.c) Nadite sva rjeienja jednadZbe 1nz - e - 1.

Plojekt 11.3 (Parcilalna integracija i rekurzivne formule).a) DokaZite da za n € N vrijedi

I siu" r,t": | "osroinn

rr - I | [ ,in" "d,.J n n.l

i pomoiu te formule izraiunajte / sino rdr.b) Izvedite za n e N rekurzir.nu formulu za I C+tr i pomoiu nje izraiunajte

j@#PilG#p'upurai Koristire identitete 1 - # l(", + a2) - x2).

Projekt 11.4. Binomni integraliBinomni integrali su integrali oblika ! r*(a i ba")r6y gdje su m, n, S € Q.

a) IskaZite tebi5evljev teorem za binomne integrale.

b) Izratunajte sljedede integrale:

J "ae + uaf a",

Zadatak 11.13. Izratunajte sljede6e integrale:

u1 [ l" !t)' 0,.J Vxb)

",2d f 'Lx d' d)

- I (r+3)e)/.Ldr,0.l x' 6x+/il [ !! "' -,'o d,. h)J xl2 r)-

I .r2 l/t - 3.rs,l.r.

I = r:a,.J \/4+x2/ 8r3 1or2 3or + 19 -l _dr../ (r2 +Jr*5) (r - 2)'/ 3012 +35r+6I - dr.J (3r + I)'(r 2)

Zadaci za ponavljanje 24s

Zadatak 11.14. Izratunajte sljedeie odredene integrale:

a) / r:, t.'ttl.r Ur / tttt ' J 1 r.) I

L

ct I' I t..)l

i + ..rr:u,e) I r ,1 rJ Lt r

Zadatak 11.15. Odredite povrlinu lika omedenog krivuljama:a) ar:2.7 r 1i., u l-0: b).U=.. il.u:2 1c,:Cl | '.t '1..1 ,

Zadatak 11.16. Odreditc povr5inu lika omedenog krivuljom 9: : .r. lii i njezinimtangentama koje prolaze kroz ishodijte.zadatak l1:!7. Odredire povriinu lika omedenog krivuljama u:2.urat.,lJ - 2\/o (2t o), ir - 0.

Zadatak 11.18. Odredite powsinu lika omedenog krivuljama:a) q : Losn.v, g: St'2 5.t:+1.u - 0i.r- 1:b) l/ : t oyr;r' i u : iir,? 5r+1.

Zadatak 11.19. Odredite povriinu lika omedenog krivuljom ry2 - 12i1 .r..2).

i) / ,.t,"ln r',1...

k) ./ sirr l3.r r:os 7.rrlr'.

j) f c' snt;t11a.

t) | 't\!-,1 ,./ VsrlL.,'

d) f,' 1;;d,

Rje5enj a zadataka

2.1 a) istina, b) laZ2.2 Ne.2.3a 'b <+ rln b

2.4 Da.2.5 (a v b)

^ (av6)

2,10 Ne. (npr. r : 1)2.77 7. LI:lk 2. Dr=1Qk - L)3. xi=, ft, 4.(Li=,k), s. I?=o 2*

2.1,2 r A y A z, n A U A a, r A A A z2.13 iV gV z, rv AV Z, rV AV z, xV A V z2.14 lz t (u v ,)l v (r ,t y) ili(rAz)v(rAz)v(rAt)2.15 Nije.2.16 Nije.2.l7rly-iW:rAy.T y: t /\U -:t v U

2.19 L. r,2. l, istinit u e/ : {5}, 3. -l,istinituT:{1}2.2O 1,. 1.2. .,3. ,4. ,5. _, istiniL unpr. U : {1}2.217.Yr1s(r <y)U:R,2. Yr-y(y : v6) ZZ : re+,3.YrYy1z(r+y-z)U:R,4.Yu1s(.y > r) Z:1R,5. 3Ve(r > s)1./ - R.2.22 a) svaka je osoba u braku s nekim,b) postoji osoba koja je sa svima u braku2.23 1. T,2. t,3. T, 4. r ,5. r , 6. L2.33 Nije.2.34 Nisu.

2.35 DNF : (a Ay Az)v (r Aa Az)v(i Ay

^z) v (rArA z)v(ntgtz)

F-r" - (y^z) v (a ^z)Y

(i^z)2367.r,2. L,3. r,4. r,5. L,6. L,7. L.2,37 7. V rV y1 z P (g, y, z))2. YrYylzP (r. z. y), 3. 1l:rYy P (y, r, y),4.YrP(r,0, r').3.7 a) lai.; b) istina; c) istina; d) IaZ;3.2 a) Da; b) Da; c) Ne;3.7 ( 3,2)3.8 ,4 : {1, 2.4, 5, 6},B : {1, 2, 3,4, 6, 7, 8}3.9 kao i prethodni, ali moZe iA : {1.2. 4,6}, B : {1.2,3,4, 5,6, 7,8}3.10,4x,B:{(t, a), (t, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)},B x A:{(a, r), (a, z), (a,3), (b, 1), (b, 2), (b,3)}.3.15 2 "3.18 relacija je refleksirma ako tablica nadijagonali imajedinice, simetritna ako jetablica simetritna obzirom na dijagonalu,tranzitivrrost, tranzitirarost je netrivijalna3.19 a) nitijedno; b) refleksir,nost (?),simetritnost, tranziti\,Trost ne vdjedi - usuprotnom bi slijedilo da su gotovo sviljudi prijatelji; c) sva svojswa relacijeekvivalencije3.20 Klase ekvivalencije su skupovisranomika koji iive u istoj Zupaniji.

246

Zadaci za ponavljanje

3,21 Klase ekvivalencije su kruZnice sasredi5tem u ishodi3tu.3.23 Sa svim modulima koji dijele(27 3), ukljudujuii i 24.3.25 Da.3.26 Npr. refleksirmost znadi da na svakomvrhu grafa posroji luk koji poeinje izalr$ava u tom whu, antisimetridnostznati da za niti jedan luk ne posrojipowatan luk.3.29 Samo u sluiaju da je B jednodlanskup.3.32 Bijekcija je dana sa -r - "r 1, sainverzomyr-y-1.3.33 Funkcija r '- 2' je brjekcija meduzadanim skupovima. Inverz je funkcijay *+ log2A.3.34 a) neprebrojiv; b) neprebrojiv;c) konaian; d) prebrojivo beskonaian;e) prebrojivo beskonatan; f) neprebrojiv.4.lq: 4,b:54.2 a21 : 214.3 a) u 7r bi koitalo 179 kn, a u ?2 185kn. b) u 7r je cijena 20ft1 + 13/12 + 10k3, au 72 je cijena 2lk. 12kz t I ths.4.5 A 1 postoji ako je ad - bc 10.4.8 (?) . (;).4.9tABCr -C r(AB)-r -...4.ll a) z = 0; b) r :0; c) r,z:0;.1lr-,.p\-6.r a) Dy: R \ {-+}, b) 2/ - [3, +co),c) D7 : (-m, 1) u (2, +oo),d) D/ : l-1, 31.

6.3 a) .f i(c) : :, b) /-1(,) - *"3 1.6.4 a) nema, b) 11 : -1, s, : 1,c)sk:2kT,keZ6.5 a)

"o : ?r,b) To - r

6.6 a) parna, b),c) ni parna ni neparna,d) neparna6.19 a) nema takvog; b) "f(r) : ar2 +b,a 10, a,b e IR; c) nema takr,,og; d) nematakvog;

247

6.22 a) D7 : A;b)Dr:( oo, 2l uf3.+oo);c) Dr - 10,2).6.23 a) f (r) : 2"; b) f (r) - 3,;c) ,f(u ) : 12; d) f(a) : logr';r.6.24 a) neparna; b) parna; c), d) nitiparna, niti neparna.6.25 a), b) niti parna, niti neparna; c),d) neparna.6.26 a) omedena; b) neomedena;c) neomeclena; d) omedena.5.27 a) strogo padajuta; b), c), d) nijemonotona.6.30 a) na visini 0m; b) u zraku je fsekundi; c) za f, sekundi; d) { metara.7.1 r) !;,. 6r' -,2;b),o" {-l)". 3'1 ilia" : --(-: c) an - n!.7.5 a12 - +35. +22.7.6 Da.

7.8 r: 1.

7.9 a) strogo pada; b) za q > 0 strogopada; c) nije monoton; d) padajudi niz.7.10 a) omeden; b) omeilen;c) neomeden; d) omeden; e) omeden.7.12 a) strogo raste, omeden, lim o, - l.b) omeden, gomiliSta: 1.0, 1; c) strogoPada, Iimo, : 0; d) neomeflen,lim a, - aee, strogo raste; e) strogo pada,limrz, : qo, neomeden; f) omeden,Iima" : g'g) strogo pada, limo,, : g,

omeden; h) strogo pada, omeden,Iim o, - t; i) omeden, gomilista: 2, 2.z.u a) (!,)5; b) 0; c) 1; d) e6; e) 0.7.16 a) t0; b) fr; c) ,r{.7.18 a) n1; U) #; .) i#7.7eLi:1tfr)27.20 240.7.21 a1 - 2, an: an-r 4 t1, 1)7.22 t : 7.

7.23p<oiq-ffi.

248

7.24 a) Da; b) Da; c) Ne; d) Ne; e) Ne.7 .25 prvih 6 dlanova.7.26t:kr,s: fi+k1t,a= $r i ktr,

7.2a a" - 2t " 12n 2).7.29 a) nije monoton, nije omeden,lima,, :16s b) strogo raste, omeclenje,Iim a, : ]; c) strogo pada, omeden,Iim a, : g; d) strogo pada, neomeden je,lima, - 6s e) strogo pada, omealenje,1ima,: g'fl nije monoton, ometlen je,iim rz" : g;

7.33 a) 0; b) e2; c) 3; d) 0; e) 0;0 0.

7.34 a) -f rac113; b) 3; c) 3; d) &;z.3s a) !;b) |; c) ]; a) ?.8.1 lim,-s f ("): t, Lim,*6+ /(c) - 1.

8.2 a) 1; b) i; c) qft; d) ?; e) 0; f) ln 3;8) e.

8.8 a) 15; b) 0; c) 0; d) 1; e) -t; fl 12;8.9 a) ne postoji; b) *oc; c) 0; d) 0;e) -co;8.10 1. ne mora wijediti jer / nUeneprekidna; 2. wijedi, zbog teorema omeduvrijednosti; 3. nije istina.8.12 b) 3.8,13 b) u cjelobrojnim toEkama suneuklonjivi prekidi 1. wste.9.4 a) 4(r3 - 212)3 (3r2 - 4r)tb) A#Oln; c) -,*-L tgz.e.6a)yt: #i#t

-2(r- 1)s'? +r(-2r'?+6x 31.u) g nAn +2!=1t1t 'c) e': ;5#b;d) At : e '! lYe: -e! -6a) -

9.8 a) ft(.r) : -2sit2r,f"(r) - -4cos2r, f"'(.r) :8"ir'zr'l@) @) : 2. cos(2r + \):b) "f'(z) : 2 In 3 . 32', f" (r) : 41n2 3 . 32' ,

/"'(r) :31133 32',ytn)@): (2rn3),,.3,.;c) .f '(r') - 2O(7 + 2r)e ,

Zadaci za ponavljanje

.f"(r) : 360(1 + 20)8,f"'(r) = 57a00 + zr)7 ,

9.9 a) u' : (r - 4)e':b) y' : "o., cos2s; c) At : li

u rln(1+y'1+x'?).u) 'g : l+JTia r ,n+i1 'e) g' - -2t I ', e' . ctg J" . =-.]-" In 2lft a' : ," (* a e'lnr);ila' : Qnt/r|'6jfiu +ln(lnyG));9.10 a) 1: b) 1;

9.1,2a) yt(t): ]; b) v'(l): #i*a;c) y'(t): -!:9.M f' (r) - 3 ' 23a h12,f" (r) - g .23" Ln2 2, f" (r) :27 '23" ln3 z,yl-) - 3- . 23, t." 2.

9.15oe11,+oo).10.1 a)t... s-7M-15,n...a: -.!" + ?j b) t... y:2r,n a: et+Y{:c)t... y: -lr + 2, n.. . y:3r+2.1O,2 arctg 165910.5 a) horizontalna: .q : 0; b) kosa:

U : r + tr, c) lijeva kosa: g - -2, desnakosa: g - 3z; d) desna vertikalna: z - 0,kosa: g : -r + 1; e) lijeva vertikalna:s : 1, kosa: n--, + a*m.10.10 n(4,0), t1 ... y:lr-2,nr... y : -2r + 8, T2(0,2),t2... ! : lr + 2, n2... A : -21: + 2.

1O.11 y: a ).1-0.72a) t... A- r + 6, n... Y: r;b)z:0;c)Ne;10.16 b) u' - 2{(2,a),:

t-+ a-+ r'

c1 s = =;\* {,J,e} r -i. +).' V t+',/17 \/ lt1o.la a) Dr: R \ {0, 3}; b) Dr - R \ {0},lok. min: (2, 10), lok.max.: (-2, -6), vert.asimp.: u : 0, kos. asimp.: y:2r+2c) 2t : R, nema ekstrema, lijeva h.a. jey : o, desna h.a. je y : 6.10.20 i i . "-

j r lok. min., ujedno iglobalni.

Zadaci za ponadjanje

1O.21 lok. maksimum je (0,;fi)Funkcija raste na (-oo,0), pada na(0, +oo), konvekna je na (-oo, -1) i(1, +m) i konkama na (-1,1).11.1a) -] +"'+!;b) ajt]ffllte111.2 i&11.3 a) -1] h 51 2l; b) ln lsinr ;c.) arrlgre"r; .lr,rt uGli t3r/r - 2t.11.4 a) sinz r cos z;b) *!za(4tn3c: 1); c) #(9r, + 3r + 1);d) |e2'(cos r 2 sin r).11.s a) ] rn ffi +t"lr-r;b) * ln 14,0'? - 1l;c) rlrarcrg l rr - 4arctgr - 1, --:3-:-L" r, r'd) -rft(2arctg(l + ^,tre-,) 2 arcig(1 -

/q- x\ 1.- l+\/2e -+c-'' ,v.( 1 T \tL 1;:1;:G- ).

11,7 .o!(7 + 3cos 2z) sin3 r11.8 { sin4e - ,rl sin 16u11.9 a) -| arctg(2 ctg r);b) ] [- arcctg(1 + ts ;) + arcis(l + ts ;)];

249

c){cosz-frcos7r;d) r-r (12r + 3 sin 2:r - 3s]r:.4:c - sin 6r);e)e"+tgr.11.11 a) 0; b) 1

1.1.13 a) *i/r, (2r4 + 7a.2 + 74) + C,C e lR; b) -fi1r - ara;t + C, C € R;c) jln3r tC.CcR; d) 114- rz *r^,e) jrnlr-7r -irnl"" r r.:0,12-arctg(r + 2) + ln f(z - Z)2 (r2 + 1r + S)3);8) ,-! + 2ltt 1r - 2 +5ln rl +C;h) .-L p 1,, ila{ a 6,';- vrfJ </ \3r +.t t2

i) \/\ - 12 +u arcsinr+C;j) *ae'( 5cos5z + sinSe) + C;k) ] cos 4r - ,o! cos 10r t C;l) trlsinar j"inzr- lt7.in2r t c.11.15 a) P: 1rq; b) r - 5tn4 - 6;c)P:311.t7 P : ?az11.18 a) ,*!a + l;D | ;

''ffi5ii,J;$"

Kazalo

adjungirana matrica, 84 eksponencijalna funkcija, 719,729adjunkta, 84 eksponencijalni pad, 1,29afina funkcija, 127 eksponencijalni rast, 130aksiom indukcije, 20 ekvivalentna transformacija, 98antiderivacija, 223 elementarne operacije, 104arkus funkcije, 135 elementame transformacije, 97, 103arkus sinus, 135arkus tangens, 136 funkcija, 61asimptota,210

horizontalna, 210 Gaussov postupak' 96

vertikalna, 210 glavna dijagonala, 72globalni ekstrem, 213

bazitno rjeienje, 99 gornja integralna suma, 236bazitna disjunkcija, 25 graf relacije, 52bazidna konjunkcija,24 gruPa, 75baziina varijabla, 99, 100bijekcija, 61, 121 homogeni sustav, 106

homografska funkcija, 118ciklometrijske funkcije, 119, 135Cramerovo pravilo, 95, 96 implicitno zadana funkcija' 122

implikacija, 15tvor grafa, 52 indentiteta, 120

indirektni dokaz, 18derivabilna funkcija, 182 injekcija, 61, 121derivacija, 181, 182 inverzna funkcija, 61, 121deriviranje inverzna matrrca,77

ulaniano, 188 iracionalna funkcija, 118determinanta, TBdiferencijabilna funkcija, 182 Kartezijev kvadrat, 50diferencijalni radun, 178 Kartezijev produkt, 50direktni produkt, 50 koeficijenti varijabli, 92disjunktivna normalna forma, 24 kofaktor, 82donja integralna suma, 236 komplement relacije, 52dopunske varijable, 110 kompozicija, 120dualna relacija, 52 kongruencija, 57

252

KAZALO

konjunktivna normalna forma, 24konkavna funkcija, 207konstantna funkcija, 61, 127kontradikcija, 22konveksna funkcrja, 207krititne totke funkcije, 213kriurlja utenja, 130Kronecker,Capellijev teorem, 105kut izmedu kriwlje, 202

lanac,59Laplaceov razvoj, 83Leibniz, 180LHospitalovo pravilo, 168limes

Imes ntza, 150svojstva limesa niza, 151

slijeva, 162zdesna, 162

Limes funkcijesvojsrva limesa funkcije, 164

Iimes funkcije, 762, 763lrnearan ureda), -59linearna jednadiba, 92rrnearnr prostor, /5logaritamska funkcija, 119logiiki ekvivalentne formule, 22Iogitka ekvivalencija, 17logistitka krir,'ulja, 130lokalni maksimum, 724, 206lokalni minimum, 724, 206luk grafa, 52

maksimum. 124matrica, Tl

dijagonalna, T2jedinitna, 72jednoredna, T2jednostupiana, 72kvadratna,72regularna,80singularna, 80

253

trokutasta, T2matrica incidencije, 60matrica predikata, 34meda

donja, 123gornja, 123

metoda supstitucije, 228minimizacija logitkih formula, 26minora, B1modularna ekvivalencija, 57monotona funkcija, 124

nebazitna varijabla, 99neodredeni integral, 223neparna funkcija, 125neprekidnost, 169Newton-Leibnizova formula, 238, 239nlz.

aritmetifki niz, 145Fibonaccijev niz, 144, 757geometrijski niz, 145gomili5te niza, 749Irmes nlza. 150monoton, 147natini zadavanja, 144niz realnih brojeva, 144omeden, 148

normala krivulje, 201nulmatrica, 72

obrat relacije, 52odredeni integral, 237operacije sa sudovima

disjunkcija, 14ekskluzivno ili. 14ekvivalencija, 17impiikacija, 15inkluzivno ili, 14konjunkcija, 14negacija, 13osnovna svojstva, 15

oslabljene varijable, 1 10

254

osnovni period, 125

pad funkcije, 205paramera! 99parcijalna integracija, 230parna funkcija, 125particUa skupa, 50partikularno rjeSenje, 99partitivni skup, 44perioditna funkcrja, 125periodske svote

beskonatna renta, 156periodske uplate, 146renta, 156

permutacija,6lneparna,6lparna,61

poietni uvjeti, 238poliedar rje5enja, 108prebrojiv,63prebrojivo beskonatan, 63predikat,34prekid

uklonjivi, 171primitivna funkcija, 223prirodni Iogaritam, 133

racionalna funkcija, 1 18rang matrice, 104rast funkcije, 205razdioba intervala, 236realna funkcija realne varijable, 118red

geomet rijski red. 153. 155harmonijski red, 155teleskopski red, 154

relacijadjelomiinog uredaja, 54kvazi uredaja, 54Iinearnog uredaja, 54slabog uredaja, 54totalnog uredaja, 54

KAZALO

relacija dobrog uredaja, 59Riemannove sume, 236rubno rjeienje, 108

Sarusovo pravilo, 78sekanta, 180semantitki ekvivalentne formule, 22simetriEna razlika, 49skalarni produkt, 75slobodni koeficijent, 92stabilno rjcSenje, 108stacionarne toike, 206submatrica, SlsLlprotna matrica, 75surjekcija,6l, 121SUSTAV

kontradiktoran, 93neodreden,93odreden, 93

tangenta na krivulju, 201tautologija,22teoremi o srednjoj vrijednosti, 217todke infleksije, 207totalni uredaj, 59trag kvadratnc matrice, BBtranscendentne funkcije, 1 18transponiranje matrica, 73trigonometrijske funkcije, 119

ulaniano deriviranje, 188univerzum razmatranja, 34uredena ir'torka, 50

Versiera,215vrh grafa, 52

-.,", IiJr\pzoFsi,\ '' ' \

KN'rr-'