2019-12-30

1

MIARY STATYSTYCZNE

MIARY STATYSTYCZNE

2

MIARY STATYSTYCZNE

• Charakterystyki liczbowe (estymatory i parametry), które pozwalają opisać właściwości rozkładu badanej cechy (zmiennej)

PODZIAŁ MIAR1. Ze względu na zakres danych użytych do wyznaczenia miary

• KLASYCZNE: Miary opisujące rozkład badanej cechy w zbiorowości, które obliczamy na podstawie wszystkich zaobserwowanych wartości cechy

• POZYCYJNE: Miary opisujące rozkład badanej cechy statystycznej, które obliczamy na podstawie tylko niektórych wartości cechy, zajmujących szczególną pozycję w szeregu statystycznym

2. Podział ze względu na opisywane cechy rozkładu

• MIARY POŁOŻENIA: Opisują średni lub typowy poziom wartości cechy. Określają tą wartość cechy, wokół której skupiają się wszystkie pozostałe wartości badanej cechy. Wśród nich można wyróżnić miary tendencji centralnej wskazujące położenie centralnych (przeciętnych) wartości cechy w rozkładzie (czyli znajdujących się w pobliżu środka rozkładu)

• MIARY ZRÓŻNICOWANIA: (rozproszenia, rozrzutu, dyspersji) miary opisujące jak bardzo zróżnicowane są wartości cechy w zbiorowości

• MIARY ASYMETRII: (skośności) miary opisujące asymetrię rozkładu cechy w zbiorowości

2019-12-30

2

PODZIAŁ MIAR

3

MIARY KLASYCZNE MIARY POZYCYJNE

MIARY POŁOŻENIA

średnia arytmetycznaśrednia ważona *

średnia geometryczna *średnia harmoniczna *

dominantamedianakwantyle

MIARY ZRÓŻNICOWANIA

odchylnie przeciętneodchylenie standardowe

wariancjaklasyczny współczynnik zmienności

Rozstęp (max-min)Rozpiętość (max-min+1)

Rozstęp ćwiartkowy (Q3-Q1)Odchylenie ćwiartkowe (Q3-Q1)/2

MIARY SKOŚNOŚCIklasyczny współczynnik asymetrii

kurtozapozycyjny współczynnik asymetrii

Klasyczno-pozycyjny współczynnik skośności Pearsona

MIARY POZYCYJNE

2019-12-30

3

ŚREDNIA ARYTMETYCZNA Suma wszystkich wartości cechy (zmiennej) podzielona przez liczbę wszystkich obserwacji

• – i-ta wartość cechy (zmiennej)• n – liczebność próby (liczba obserwacji)

OZNACZENIA• Średnia w próbie: M lub• średnia w populacji: µ (mi)

5

ŚREDNIA ARYTMETYCZNA WŁASNOŚCI

• może być obliczona tylko dla zmiennych ilościowych• wielkość abstrakcyjna, tzn. jej wartość nie musi występować w szeregu statystycznym,

na podstawie którego była wyznaczana (badany o średnim wzroście nie istnieje )• jest wielkością mianowaną wyrażoną w takich jednostkach miary jak badana cecha

(średnia zarobków jest wyrażona np. w zł, tak jak wartości zmiennej płaca)

• spełniona jest relacja: minimum < średnia < maksimum• jest „wrażliwa” na wartości odstające

• Jest stosunkowo stabilna dla różnych prób losowanych z tej samej populacji –odporna na losową zmienność próby

6

Średnia6 7 8 3 2 4 5 5,06 7 8 3 2 4 50 11,4

2019-12-30

4

ŚREDNIA ARYTMETYCZNA OGRANICZENIA

Średniej arytmetycznej nie należy wyznaczać jeśli: • zbiorowość jest niejednorodna czyli nie wszystkie badane jednostki posiadają badaną cechę • występują wartości odstające, nietypowe (ekstremalne)• rozkłady są skrajnie asymetryczne, siodłowe lub wielomodalne - większość wartości cechy

jest wtedy stosunkowo „odległa” od średniej• nie można jej wyznaczać dla zmiennych nominalnych (nie można wyznaczyć np. średniego

koloru włosów, ani średniej opinii!)

7

DOMINANTA (modalna, moda)Wartość najczęściej występująca w zbiorze wartości

WŁASNOŚCI

• charakteryzuje „typowe” jednostki w zbiorowości• jedyna miara położenia, którą można wyznaczyć dla zmiennych nominalnych • w zbiorze wartości może występować więcej niż jedna dominanta• jeśli nie można wyznaczyć średniej (np. z powodu występowania wartości odstających)

można wyznaczyć dominantę• Oznaczenie: Do

8

Liczba nieobecności

N

0 10

1 12

2 4

3 3

4 1

Wykształcenie N

Zawodowe 7

Średnie 3

Wyższe 22

Wyniki sprawdzianu N

Niedostateczny 5

Dopuszczający 4

Dostateczny 7

Dobry 10

Bardzo dobry 10

2019-12-30

5

MEDIANA (wartość środkowa)• Wartość cechy (zmiennej) w szeregu uporządkowanym, powyżej i poniżej której znajduje

się jednakowa liczba obserwacji (50%)• Taka wartość cechy (zmiennej), że co najmniej połowa jednostek zbiorowości ma

wartości nie większe (czyli mniejsze lub równe) od tej wartości i równocześnie co najmniej połowa jednostek zbiorowości ma wartości nie mniejsze (większe lub równe) od tej wartości

WŁASNOŚCI• Graficznie dzieli cały obszar pod rozkładem na dwie równe części• Można ją wyznaczyć dla zmiennych mierzonych na skali porządkowej lub ilościowej• Nie można jej obliczać dla skali nominalnej• Nie jest wrażliwa na wartości skrajne• Nie musi występować w zbiorze wartości• Oznaczenia: Me

9

MEDIANA (wartość środkowa)WYZNACZANIE MEDIANY• (1) Nieparzysta liczba obserwacji: wartość środkowa3, 5, 6, 7, 11, 15 16, 17, 18 Me=11

• (2) Parzysta liczba obserwacji: średnia z dwóch wartości leżących pośrodku1, 3, 5, 6, 7, 11, 15 16, 17, 18 Me=(7+11)/2=9

• (3) Wiele takich samych wartości w okolicach mediany1, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 11, 11, 11, 11, 13, 15 16, 17, 18 Me=11

INTERPRETACJAW niektórych przypadkach interpretacja mediany jako wartości, która dzieli zbiorowość na pół czyli dwie równoliczne części (mówimy, że połowa wartości jest mniejsza, połowa wartości większa od mediany) jest pewnym (choć dopuszczalnym) uproszczeniem• nie da się podzielić zbiorowości o nieparzystej liczbie jednostek na pół• wartość mediany może występować w zbiorze wielokrotnie• praktyce, kiedy zbiory danych są liczne dopuszcza się taką interpretację

(2) Połowa wartości jest mniejsza od 9, połowa wartości jest większa od 9(1), (3) Co najmniej połowa wartości jest mniejsza lub równa 11 i co najmniej połowa wartości jest większa

lub równa 11 10

2019-12-30

6

MEDIANA (wartość środkowa)

11

KWANTYLEWartości cechy (zmiennej), które dzielą zbiór wartości na określone części pod względem liczby obserwacji

KWARTYLE• dzielą zbiór wartości na cztery części

DECYLE• dzielą zbiór wartości na dziesięć części

CENTYLE (PERCENTYLE)• dzielą zbiór wartości na sto części

12

2019-12-30

7

KWARTYLEKWARTYLE: Q1 Q2 Q3• dzielą zbiór wartości na cztery części

50% obserwacji (obserwacje typowe)

ROZSTĘP ĆWIARTKOWY • Różnica między trzecim i pierwszym kwartylem IQR=Q3 - Q1ODCHYLENIE ĆWIARTKOWE • połowa rozstępu ćwiartkowego

13

Q2 Q3Q1min max

Wartości zmiennej

Liczba obserwacji 25% 75%50%

KWARTYLE

WARTOŚCI ODSTAJĄCE• Obserwacje (wartości zmiennej) relatywnie odległe od pozostałych wartości zmiennej • Obserwacje odstające mogą wskazywać na zmiany standardowych zachowań

(wykrywanie przestępstw: zmieniający się wzór wydatków po kradzieży), symptomy choroby, doping.

• Odstające: mniejsze niż Q1 − 1,5 × IQR lub większa niż Q3 + 1, 5 × IQR• Ekstremalne: mniejsze niż Q1 − 3 × IQR lub większa niż Q3 + 3 × IQR

• Czy drugi i trzeci (pierwszy) kwartyl mogą być równe? Czy rozstęp ćwiartkowy może być równy zero? (przeanalizuj szereg: 2 3 3 4 5 8 8 8 8 8 9 12)

14

min maxQ1 Q3Q2

1,5 IRQ IRQObserwacje odstające/ekstremalne

Obserwacje odstające/ekstremalne

1,5 IRQ

2019-12-30

8

KWARTYLE

15

16Źródlo: https://wynagrodzenia.pl/artykul/rozklad-wynagrodzen-w-polsce-wedlug-gus

Mediana wynagrodzeń w Polsce w latach 2008-2016

Różnice między dominantą a płacą minimalną w latach 2008-2016

Średnia wynagrodzeń w Polsce w latach 2008-2016

10% zarabiało

poniżej mediana

10% zarabiało powyżej

2008 1 307 2 640 5 376

2010 1 478 2 907 5 851

2012 1 600 3 115 6 561

2014 1 718 3 292 6 917

2016 1 890 3 511 7 200

Wynagrodzenia w latach 2008-2016

ZAROBKI W POLSCE

2019-12-30

9

PERCENTYLE

17

SIATKI CENTYLOWE• Siatki centylowe służą do oceny

rozwoju fizycznego dziecka • pozwalają określić, czy jego wzrost i

waga są proporcjonalne do wieku

źródło: portal Medycyna Praktyczna www.mp.pl

18

WYKRES PUDEŁKOWY (SKRZYNKA-WĄSY)Pozwala ująć na jednym rysunku informacje dotyczące położenia, rozproszenia i kształtu rozkładu empirycznego badanej cechy.

• Im dłuższy odcinek tym większe zróżnicowanie obserwacji

• Im dłuższa skrzynka względem całego rozstępu tym większe zróżnicowanie jednostek typowych

• Dolny wąs krótszy od dolnego - więcej obserwacji o niskich wartościach (asymetria prawostronna)

• Górny wąs krótszy od dolnego - więcej obserwacji o wysokich wartościach (asymetria lewostronna)

• Jeśli mediana jest w środku pudełka a odległości wąsów od krawędzi pudełka są zbliżone to rozkład jest symetryczny

Trzeci kwartyl Q3

Wartość największa lub największa, która nie jest odstająca

Mediana - drugi kwartyl

Wartość najmniejsza,lub najmniejsza, która nie jestwartością odstającą

Pierwszy kwartyl Q1

o

*

Wartości ekstremalne: Skrzynka +/- 3* skrzynka od Q1/Q3

Wartości odstające: Skrzynka +/- 1 ,5 *skrzynka od Q1/Q3

WYKRES SKRZYNKOWY

2019-12-30

10

MIARY ZRÓŻNICOWANIA

ODCHYLENIE PRZECIĘTNE

20

0

100

200

300

400

500

600

700

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Zarobki w zespole A

Zarobki w zespole B

Zarobki w zespole A

Odchylenie przeciętne (163zł)

Odchylenie przeciętne (56zł)

Średnia (405zł)

Średnia (405zł)

0

100

200

300

400

500

600

700

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Zielone odcinki ilustrują odległości pomiaru od średniej, przerwana linia wyznacza średnią odległość

2019-12-30

11

ODCHYLENIE PRZECIĘTNE

21

ODCHYLENIE PRZECIĘTNE• Średnia arytmetyczna wartości bezwzględnych odchyleń (różnic) poszczególnych

wartości cechy od średniej (graficznie: średnia arytmetyczna odległości pomiarów od średniej)

• Odchylenie przeciętne jest miarą rozrzutu• Mówi o tym, o jaką wartość różnią się przeciętnie wartości cechy (zmiennej) od średniej.

Im większa wartość odchylenia tym większe zróżnicowanie wartości zmiennej

ODCHYLENIE STANDARDOWE

22

WARIANCJA• Średnia arytmetyczna

kwadratów odchyleń (różnic) poszczególnych wartości cechy od średniej

ODCHYLENIE STANDARDOWE• pierwiastek kwadratowy

z wariancji

ODCHYLENIE PRZECIĘTNE

2019-12-30

12

ODCHYLENIE STANDARDOWE

23

ODCHYLENIE STANDARDOWE• Pierwiastek z sumy kwadratów odchyleń od średniej podzielonej przez liczbę obserwacji• Odchylenie standardowe jest miarą rozrzutu• Mówi o tym, jak wartości cechy (zmiennej) są rozrzucone wokół średniej. Im większa wartość

odchylenia tym większe zróżnicowanie wartości zmiennej, im mniejsze odchylenie tym mniejsze zróżnicowanie

• Można wyznaczyć dla zmiennej mierzonej na skali ilościowej• Im mniejsza wartość odchylenia tym obserwacje są bardziej skupione wokół średniej• Im większa wartość odchylenia tym obserwacje są bardziej oddalone od średniej • Jest „wrażliwe” na wartości odstające• W porównaniu z innymi miarami zmienności jest bardziej stabilnym i dokładnym estymatorem

OZNACZENIA• Odchylenie standardowe w próbie: S • Odchylenie standardowe w populacji: σ (sigma)

ODCHYLENIE STANDARDOWE

24

0

100

200

300

400

500

600

700

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0

100

200

300

400

500

600

700

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Zarobki w zespole A

Zarobki w zespole B

Zarobki w zespole A

Odchylenie przeciętne (163zł)

Odchylenie standardowe (195zł)

Odchylenie przeciętne (56zł)

Odchylenie standardowe (76 zł)

Średnia (405zł)

Średnia (405zł)

2019-12-30

13

ODCHYLENIE STANDARDOWE

25

100 zł

0 zł

50 zł

50 zł

Odchylenie przeciętne

Odchylenie przeciętne

Odchylenie standardowe

Odchylenie standardowe

średnia

średnia

Odchylenie od średniej

Odchylenie od średniej

KLASYCZNY WSPÓŁCZYNNIK ZMIENNOŚCI

26

Wartość KWZ Zróżnicowanie cechy

0-20% Słabe

20-40% Umiarkowane

40-60% Silne

Powyżej 60% Bardzo silne

KLASYCZNY WSPÓŁCZYNNIK ZMIENNOŚCI

• Informuje jaki procent średniej arytmetycznej stanowi odchylenie standardowe• Silne lub bardzo silne zróżnicowanie cechy wskazuje, że zbiorowość jest niejednorodna,

w takiej sytuacji średnia ma małą wartość poznawczą

2019-12-30

14

0

100

200

300

400

500

600

700

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0

100

200

300

400

500

600

700

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Zarobki w zespole A

Zarobki w zespole B

Zarobki w zespole A

Klasyczny współczynnik zmienności 48%

Klasyczny współczynnik zmienności 19%

KLASYCZNY WSPÓŁCZYNNIK ZMIENNOŚCI

Odchylenie przeciętne (163zł)

Odchylenie standardowe (195zł)

Odchylenie przeciętne (56zł)

Odchylenie standardowe (76 zł)

Średnia (405zł)

Średnia (405zł)

REGUŁA TRZECH SIGM

28

REGUŁA TRZECH SIGM

Reguła trzech sigm (odchyleń standardowych) mówi, że dla rozkładu normalnego:• 68,3% obserwacji (wartości cechy) leży w odległości jednego odchylenia standardowego od średniej• 95,5% obserwacji (wartości cechy) leży w odległości dwóch odchyleń od średniej • 99,7% obserwacji (wartości cechy) leży w odległości trzech odchyleń standardowych od średniej• 99,994% obserwacji (wartości cechy) leży w odległości czterech odchyleń standardowych od średniej

68,27%95,45%99,74%

2019-12-30

15

PRZYKŁADY

29

ILORAZ INTELIGENCJI IQŚREDNIA: µ= 100ODCHYLENIE STANDARDOWE: =15

• 68,3% populacji ma iloraz inteligencji mieszczącysię w przedziale 85-115 (100±15)

• 95,5% populacji ma iloraz inteligencji mieszczącysię w przedziale 70-130 (100±2*15)

• 99,7% populacji ma iloraz inteligencji mieszczącysię w przedziale 55-145 (100±3*15)

• Rozkład ilorazu inteligencji jest słabo zróżnicowany (V=15%)

SESJA EGZAMINACYJNA ŚREDNIA: µ= 4ODCHYLENIE STANDARDOWE: = 0,3

• 68,3% studentów ma średnią z sesji mieszczącą się w przedziale 3,7-4,3• 95,5% studentów ma średnią z sesji mieszczącą się w przedziale 3,4-4,6• 99,7% studentów ma średnią z sesji mieszczącą się w przedziale 3,1-4,9

• Rozkład ocen studentów jest silnie zróżnicowany (V=75%)

68,27%95,45%99,74%

30

DIAGNOSTYKA

Dla N=38,5 mln łącznie ok. 115 000 obserwacji leży poniżej/powyżej 3 odchyleniałącznie ok. 2 300 obserwacji leży poniżej/powyżej 4 odchylenia

2019-12-30

16

OBSZARY POD KRZYWĄ NORMALNĄ

31

Jeśli zmienna ma rozkład normalny:• to granice rozstępu ćwiartkowego

(obejmującego 50% obserwacji) znajdują się w odległości 0,675 odchylenia standardowego od średniej

• Wartości odstające znajdują się w odległości 2,698 odchylenia standardowego od średniej –99,3% obserwacji ma wartości mieszczące się pomiędzy wartościami odstającymi

MIARY SKOŚNOŚCI

2019-12-30

17

SKOŚNOŚĆ

33

SKOŚNOŚĆ

• mierzy odchylenie rozkładu od symetrii. Jeśli wartość skośności jest wyraźnie różna od zera, wówczas dany rozkład jest asymetryczny

• rozkład normalny jest symetryczny• Dla rozkładów lewostronnie skośnych zachodzi nierówność: średnia < mediana < dominanta• Dla rozkładów prawostronnie skośnych zachodzi nierówność: dominanta < mediana < średnia

Rozkład lewostronnie skośny Rozkład prawostronnie skośnyRozkład symetryczny

M Me D0 M = Me = D0 D0 Me M

SKOŚNOŚĆ

34

| AP | SIŁA ASYMETRII

0,0-0,2 Bardzo słaba0,2-0,4 Słaba0,4-0,6 Umiarkowana0,6-0,8 Silna

Powyżej 0,8 Bardzo silna

KIERUNEK ASYMETRII

AP < 0 asymetria lewostronna (ujemna), częściej występująwartości wysokie

AP = 0 symetria

AP > 0asymetria prawostronna (dodatnia), częściej występują wartości niskie

Rozkład lewostronnie skośny Rozkład prawostronnie skośnyRozkład symetryczny

M Me D0 M = Me = Do D0 Me M

• Klasyczno-pozycyjny współczynnik skośności Pearsona• Klasyczny współczynnik asymetrii (wyliczany na podstawie wartości średniej i odchylenia standardowego)• Pozycyjny współczynnik asymetrii (wyliczany na podstawie wartości mediany i kwartyli)

2019-12-30

18

KURTOZA

35

KURTOZA

• Jest miarą spłaszczenia rozkładu• K > 0 rozkład jest bardziej wysmukły niż normalny (rozkład leptokurtyczny), większe skupienie

wartości wokół średniej (częściej występują wartości bliskie średniej, rzadziej wartości bardziej oddalone od średniej)

• K = 0 rozkład ma kształt normalny (rozkład mezokurtyczny) (mezo – środkowy)• K < 0 rozkład jest mniej wysmukły niż normalny (rozkład platykurtyczny), większe spłaszczenie

rozkładu, wartości bliskie średniej występują rzadziej. Występowanie wartości skrajnych nie jest rzadkie (występują tzw. grube ogony)