Metodo Degli Elementi Finiti - Elementi Finiti e Funzioni Di Forma

8/16/2019 Metodo Degli Elementi Finiti - Elementi Finiti e Funzioni Di Forma

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· Meccan ica Compu taz iona le

· Metodo deg l i E lemen t i F in i t i : Mode l laz ione

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· ELEMENTI FINITI E FUNZIONI DI FORMA

· Andrea Bacche t to

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· INTRODUZIONE

· FUNZIONI D I FORMA DI ELEMENTI MONODIMENSIONALI

· FUNZIONI D I FORMA DI ELEMENTI B ID IMENSIONALI·

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INTRODUZIONE

L a d i s c re t i z z a z i o n e d e l d o m i n i o p o r t a q u i n d i a l l a g e n e ra z i o n e d i n o d i e d i e l e m e n t i f i n i t i . I nod i , n e l l e a p p l i c a z i o n i d e lme todo FEM, sono en t i tà mo l to impor tan t i i n quan to la so luz ione de l l ’ i n te ra s t ru t tu ra v iene r i fe r i ta ad ess i : pe r es tende re iva lo r i de l campo de l le incogn i te su tu t to i l co rpo vengono u t i l i z za te de l le funz ion i che con la des ide ra ta app ross imaz ioner ipo r tano i va lo r i noda l i i n ogn i so t todomin io .G l i e l e m e n t i f i n i t i s o n o d e l l e e n t i t à g e o m e t ri c h e p i ù o m e n o re g o l ar i c a rat t e r i zz a t e d a u n d e t erm i n at o n u m ero d i n o div a r i ab i l e a s e c on d a d e l t i p o d i e l e m e n t o . Ta l i n o d i p o s s o c o i n c i de re c o n i v e r t i ci d e g l i e l e m en t i , m a i n a l c u n i c a s i , c e n ep o s so n o e s s e re a l c u n i d i s po s t i l u n g o i l a t i d e g l i e l e me n t i s t e s s i o a d d ir i t t u ra a l l ’ i n t ern o . U n e l e me n t o q u a d ra ng o l a re , a desemp io , può ave re un numero d i nod i va r iab i le d a qua t t ro (uno pe r ogn i ve r t i ce ) a nove (qua t t ro a i ve r t i c i , qua t t ro ne i pun t imed i de i la t i ed uno cen t ra le ) . È ev iden te che a l l ’ aumen ta re de l numero d i nod i aumen ta i l g rado de l po l inomio u t i l i z za to pe rin te rpo laz ione de i da t i a i nod i e , qu ind i , aumen ta anche la qua l i tà de l l ’ app ross imaz ione .La sce l ta de l le cos idde t te f unz i on i d i f o r m a , che sono gene ra lmen te po l inomia l i (o comunque a compor tamen to no to ) è una l t ro pun to fondamen ta le che pe rme t te d i o t tene re una so luz ione de l mode l lo FEM p iù o meno v ic ina a l la rea l tà che s i vuo les imu la re .A l f i n e d i r a p pre s e nt a re c o r re t t am e n te i l v a l ore a i n o d i , l e f u n zi o n i d i f o rm a d e v o no a s s um e re v a l o r i u n i t a r i n e l n o d ocons ide ra to e va lo r i nu l l i su l res to de i nod i .I l campo de l le incogn i te pe r un p rob lema d i t ipo t r id imens iona le può esse re rapp resen ta to med ian te la seguen te re laz ionegenera le :

( 1)

C i o è a d i r e c h e i l c a m p o d e l l e i n c o g n i t e è u n a f u n z i o n e d e l l e t r e c o o rd i n a t e x , y , e z . A l f i n e d i s f r u t t a re i l p r i n c i p i o d iapp ross imaz ione g ià in t rodo t to p receden temen te , s i dov rà sceg l ie re un ins ieme d i pun t i i n cu i spec i f i ca re esa t tamen te lei n c o gn i t e ( u * i ) , m e nt r e l ’ an d am e nt o d e ll a f u nz i on e è l e ga t o e s cl u si v am e nt e a l c o mp or t am e nt o d e ll e f u nz i on i d iapp ross imaz ione N i de l l ’ e lemen to de t te funz ion i d i fo rma :

(2)

Qu ind i so lo le funz ion i N i d ipendono da l la pos iz ione .

FUNZIONI D I FORMA D I ELEMENTI MONODIMENSIONALI

L ’ es e m p io p i ù s e mp l i c e d i f u n z i o n e d i f o rm a è l ’ e l em e n t o f i n i t o l i n e are a d u e n o d i d o v e l e f u n zi o n i d i f o rm a s o n o d i t i p ol inea re (ved i F igu ra 1 ) :

( 3)


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F igu ra 1

Per un e lemen to l inea re è poss ib i le u t i l i z za re anche funz ion i d i fo rma a g rado p iù e leva to , oppu re le funz ion i lag rang ianede f in i te da l le seguen t i fo rmu le :

( 4)

e rapp resen ta te g ra f i camen te ne l la F igu ra 2 .

F igu ra 2

È fac i le no ta re come le funz ion i mos t ra te qu i sop ra assumono va lo re un i ta r io ne l nodo d i appa r tenenza e nu l lo ne l res to de inod i .

FUNZIONI D I FORMA D I ELEMENTI B ID IMENSIONALI

L e a p p l ic a z i on i c h e u t i l i zz a n o e l e m e n t i b i d i m e n si o n a li s o n o m o l t o a m p ie ( a s si a l s im m e t ri c h e , s t a t i p i a ni d i t e n si o n e ede fo rmaz ione , ecc . ) .Secondo una fo rmu laz ione i sopa ramet r i ca deg l i e lemen t i f i n i t i , pe r l ’ esecuz ione de l le ope raz ion i d i in teg raz ione a l f i ne d iva lu ta re le va r ie ma t r i c i (d i r ig idezza , d i massa , ecc . ) u t i l i a l l ’ assemb lagg io , s i r i co r re ad una t ras fo rmaz ione d i coo rd ina ted a l l e g e n e ra li ( x1 ,x 2 ) a q u e l l i l o c a l i ( x ,h ) , p e r l e q u a l i i l g e n er i c o q u a d ri l a t e ro v i e n e t r a s f o rm at o i n u n q u a d ra t o d i l a t o 2cen t ra to ne l l ’ o r ig ine (F igu ra 3 ) :


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F igu ra 3

Per ques ta t ipo log ia d i e lemen to f in i to es is tono va r i g rad i d i app ross imaz ione ; pe r un e lemen to a qua t t ro nod i s i u t i l i z zanode l le funz ion i b i - l i nea r i che ne l lo spaz io d i r i fe r imen to assumono le seguen t i fo rme :

(5)

La t ras fo rmaz ione in coo rd ina te loca l i r i su l ta esse re mo l to comoda in fase d i in teg raz ione sop ra la supe r f i c ie de l l ’ e lemen to . Iso lu to r i ad e lemen t i f i n i t i hanno sv i luppa to una po ten te s is tema t ic i tà e ve loc i tà che pe rme t te d i ca lco la re g l i i n teg ra l i d i tu t t ig l i e lemen t i de l l ’ assemb lagg io . Come tu t te le t ras fo rmaz ion i d i coo rd ina te in fase d i in teg raz ione in p iù d i una d imens ioner ich iede i l ca lco lo de l de te rm ina te Jacob iano J de l la t ras fo rmaz ione . Ta le ca lco lo r i su l ta pe rò pa r t i co la rmen te d i f f i c i le dat ra t ta re da l pun to d i v i s ta numer ico quando la geomet r ia de l l ’ e lemen to o r ig ina r io p resen ta d is to rs ion i no tevo l i come rappo r t it ra i l a t i mo l to g rand i o ango l i a i ve r t i c i tenden t i o magg io r i de l l ’ ango lo p ia t to (180°) . In ta l i cas i i l de te rm inan te può r i su l ta ren u l l o o a d d ir i t t u ra n e g at i v o , i n n e s ca n d o u n a s e r i e d i p ro b le m i l e g a t i a l l ’ i n v er s i o ne d e l l a m a t r i ce d e l l a t r a s f orm a zi o n e . L ere laz ion i de l la t ras fo rmaz ione d i coo rd ina te sono esp resse s imbo l i camen te da l le seguen t i :

( 6)

S i no t i come la t r as fo rmaz ione (x ,y ) « (x , h) v iene fa t ta so t to l ’ i po tes i d i cons ide ra re un e lemen to i sopa ramet r i co . A l t r i t i p i d ifunz ion i d i fo rma sono mos t ra t i i n F igu ra 4 :

F igu ra 4


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