Elementi Finiti - Parte I

progettodidattica in rete

prog

etto

dida

ttica

in re

tePolitecnico di Torino, maggio 2002

Dipartimento di Meccanica

Elementi finitiParte I

A. Gugliotta

otto editore

otto

IPERTESTI Questo file contiene elementi di ipertesto (quando si ritiene possano essere d'aiuto alla lettura) segnalati mediante l'uso di oggetti colorati: riquadro blu: figure, tabelle sottolineato arancio: rimando a note, esempi sottolineato verde: rimando a equazioni Una selezione sul riferimento (es. n. equazione o figura) visualizza l'informazione a cui si fa riferimento (es. equazione o figura stesse) Una selezione sull'informazione (es. equazione o figura) riporta alla pagina di lettura. FORMATO Il formato della pagina e' 17x24 cm, come indicato dai crocini di taglio sulla copertina. Per stampare il documento mantenendo le corrette dimensioni dell'area stampata bisogna selezionare l'opzione di stampa che permette di non adattare l'area di stampa alle dimensioni della pagina. La procedura dipende dal tipo di stampante utilizzata.

ELEMENTI FINITIParte I

A. GUGLIOTTA

POLITECNICO DI TORINO

WWW.POLITO.IT

i

INDICE – I

1. CARATTERIZZAZIONE DEGLI ELEMENTI ......................1

1.1 E

LEMENTI

E

STRUTTURE

............................................................ 1

1.2 A

NALISI

MATRICIALE

ED

ELEMENTI

FINITI

................................. 3

1.3 C

ARATTERIZZAZIONE

DELL

'

ELEMENTO

TRAVE

.......................... 4

Elemento trave sollecitato assialmente (asta) ........................................5Elemento trave sollecitato a torsione (barra di torsione) ......................6Elemento trave sollecitato a flessione (trave inflessa) ............................8

1.4 F

ORMULAZIONE

DI

RIGIDEZZA

................................................ 14

1.5 S

IGNIFICATO

FISICO

DEI

COEFFICIENTI

DELLA

MATRICE

DI

RIGIDEZZA

................................................................................ 16

1.6 S

ISTEMI

DI

RIFERIMENTO

LOCALE

E

GLOBALE

.......................... 18

1.7 E

LEMENTO

TRAVE

NEL

PIANO

.................................................. 25

1.8 E

LEMENTO

TRAVE

PER

STRUTTURE

A

GRIGLIA

......................... 27

1.9 E

LEMENTO

TRAVE

NELLO

SPAZIO

............................................ 31

1.10 C

ARICHI

NODALI

EQUIVALENTI

............................................... 33

Elemento asta: carico distribuito .......................................................33Elemento asta: effetto termico ...........................................................34Elemento asta: montaggio con interferenza o gioco ........................... 34Elemento asta: carico concentrato .....................................................35Elemento trave inflessa: carico distribuito.......................................... 36Elemento trave inflessa: gradiente termico......................................... 37Elemento trave inflessa: carichi concentrati .......................................38Trave nel piano; carichi nodali equivalenti .........................................38

ii

2. CARATTERIZZAZIONE DELLA STRUTTURA ................43

2.1 V

ARIABILI

ED

EQUAZIONI

STRUTTURA

..................................... 43

2.2 A

SSEMBLAGGIO

DELLE

EQUAZIONI

STRUTTURA

....................... 46

2.3 C

ALCOLO

DEGLI

SPOSTAMENTI

INCOGNITI

............................. 56

2.4 V

INCOLI

CINEMATICI

............................................................... 60

Approssimazione con molle............................................................... 60Modifica della mappa ........................................................................61Modifica della matrice di rigidezza ....................................................64

2.5 P

ROBLEMI

PARTICOLARI

RELATIVI

AI

VINCOLI

......................... 66

Vincoli elastici ...................................................................................66Strutture con cerniere interne ............................................................68

2.6 C

ALCOLO

DELLE

TENSIONI

...................................................... 70

2.7 S

CHEMA

DI

RISOLUZIONE

........................................................ 72

2.8 P

ROBLEMA

DINAMICO

:

CALCOLO

DELLE

FREQUENZE

PROPRIE

.... 73

2.9 S

OLUZIONE

DEL

SISTEMA

DI

EQUAZIONI

................................. 80

Metodi di soluzione indiretti: metodo di Gauss-Seidel ......................81Metodi di soluzione diretti: metodo di Gauss.................................... 82

1. CARATTERIZZAZIONE DEGLI ELEMENTI

1.1 E

LEMENTI

E

STRUTTURE

Una struttura o un suo componente vengono normalmente studiati dal progetti-sta scomponendoli in parti semplici delle quali sono note le proprietà, tenendoinoltre presenti come queste parti siano collegate per formare l'insieme totale.

Questa suddivisione può essere effettuata in una maniera che si può definire

naturale

, come per esempio nel caso di una struttura di acciaio composta di traviunite mediante cerniere o ganasce serrate con bulloni; il fatto che la

struttura

(fig.

1.1

) sia scomponibile nei suoi

elementi

trave (fig.

1.2

) sembra ovvio e natu-rale perché all'operazione matematica del considerare la struttura divisibile ai finidel calcolo strutturale corrisponde la nostra conoscenza pratica del fatto che perarrivare alla

struttura

si uniscono assieme

elementi

trave, prodotti singolarmenteed immagazzinabili separatamente.

Fig. 1.1 – Struttura di travi.

1

Analogamente, un oleodotto o un metanodotto o una condotta idraulica inacciaio sono ottenuti saldando assieme più tubi, e risulta pertanto naturale pen-sare tale struttura come un insieme di elementi tubi.

CARATTERIZZAZIONE

DEGLI

ELEMENTI

Fig. 1.2 – Elemento trave.

Quando però i singoli tubi sono uniti l'uno all'altro mediante una saldatura chericostituisca completamente la continuità meccanica la suddivisione naturale inelementi perde senso: un tale sistema tubiero potrebbe venir diviso in elementisia eseguendo idealmente tagli in corrispondenza delle saldature sia immagi-nando di tagliare in punti nei quali una giunzione in realtà non esiste.

Nel secondo caso la divisione in elementi della struttura è meno naturale e piùarbitraria, ed ha sostanzialmente un carattere o convenzionale o di convenienza.Le proprietà della struttura calcolata dopo la sua divisione in elementi sonocomunque invarianti al variare del tipo di suddivisione.

Avanzando nel livello di astrazione, si può immaginare di avere un organo mecca-nico di forma semplice, come un disco di turbina (fig. 1.3); anche un tale oggettopuò, per il progettista, essere una struttura composta di elementi opportuni.

Fig. 1.3 – Disco di turbina.

2

È naturale forse considerare il mozzo estendentesi dal raggio ra al raggio r b e lacorona estendentesi dal raggio rc al raggio rd come elementi distinti dal resto deldisco a profilo conico (fig. 1.4). Ragionando però sulla parte a sezione conica, siammetta di scoprire che le leggi matematiche che ne definiscono le proprietàsiano troppo difficili (cioè praticamente indesiderabili) da scrivere; si immaginiinoltre che tali leggi siano facili da scrivere, magari in maniera accettabilmenteapprossimata, per un elemento di estensione radiale opportuna �r. Ne segue unasuddivisione convenzionale ed arbitraria del disco conico in più elementi, comeillustrato in figura 1.4c.

CARATTERIZZAZIONE

DEGLI

ELEMENTI

Con opportune cautele l'insieme degli elementi così definiti può simulare inmodo soddisfacente le proprietà della struttura originaria.

A questo proposito è bene aver chiaro che si hanno due casi fondamentali:

– la caratterizzazione dell'elemento è esatta

– la caratterizzazione dell'elemento è approssimata

Fig. 1.4 – Elementi di un disco di turbina.

3

Nel primo caso qualunque sia la suddivisione della struttura in elementi, i risul-tati devono essere sempre gli stessi, rigorosamente; pertanto il tipo di suddivi-sione in elementi deve soddisfare solo esigenze di comodità.

Nel secondo caso invece la scelta del tipo di suddivisione influenza i risultati,dato che la soluzione complessiva per l'intera struttura dipende dalle approssi-mazioni contenute nelle leggi che caratterizzano i singoli elementi: in questocaso il tipo di suddivisione deve essere esaminato anche alla luce della approssi-mazione dei risultati, in un compromesso ragionato con l'economia del calcolo.

1.2 ANALISI MATRICIALE ED ELEMENTI FINITI

La sistematizzazione delle relazioni matematiche descriventi una struttura puòessere eseguita in diversi modi; esempi classici sono il metodo delle differenzefinite, il metodo di trasferimento, metodi variazionali come il metodo di Ritz.

Sebbene il metodo degli elementi finiti abbia in comune alcune caratteristichecon i metodi precedentemente illustrati, esso è indubbiamente diventato uno deipiù utilizzati dagli ingegneri.

Lo sviluppo del metodo degli elementi finiti è coinciso essenzialmente con lo svi-luppo dei calcolatori elettronici, anche se le sue basi matematiche si possono farrisalire ad anni addietro (Courant, 1943); importanti contributi si possono tro-vare nei lavori di Turner, Clough, Martin e Topp (1956), Argyris (1960), ecc.

CARATTERIZZAZIONE

DEGLI

ELEMENTI

Inizialmente il metodo fu sviluppato per l'analisi di problemi di meccanica strut-turale; fu tuttavia ben presto scoperto che il metodo aveva una validità ben piùgenerale ed è ad oggi applicato alla soluzione di una gran varietà di problemi.Tuttavia in questo testo ci si occuperà unicamente del calcolo dello stato di ten-sione in elementi e strutture, quali quelle che si trovano ordinariamente nelcampo d'azione del costruttore di macchinari o del progettista strutturale.

Una delle formulazioni più utilizzate nell'analisi strutturale è quella che si basasugli spostamenti assegnati: essa può essere inizialmente vista come un'esten-sione dell'analisi matriciale delle strutture formate da barre e/o travi (analisi conil metodo degli spostamenti).

Analogamente al metodo degli elementi finiti, l'analisi matriciale delle strutturesarà qui considerata nelle sue due fasi distinte:

– la caratterizzazione degli elementi, cioè la descrizione matematica dellaloro climatica in relazione alle loro condizioni di equilibrio e di defor-mazione

– la costruzione della struttura, cioè la formulazione matematica delleequazioni che esprimono l'appartenenza dell'elemento ad una datastruttura, e la soluzione del sistema di equazioni

Nelle pagine che seguono si adotterà la seguente convenzione:

– tutte le variabili che servono a definire il comportamento del singoloelemento, indipendentemente dalla sua appartenenza ad una struttura,vengono indicate con lettere minuscole

– tutte le variabili che servono a definire il comportamento dei punti(nodi) della struttura in cui gli elementi si uniscono, vengono indicatecon lettere maiuscole

1.3 C

ARATTERIZZAZIONE

DELL

'

ELEMENTO

TRAVE

Per elemento trave si intende un elemento, ad asse inizialmente rettilineo, indivi-duato dai due estremi (

nodi

) 1 e 2 attraverso i quali l'elemento scambia le azionicon l'esterno (fig.

1.5

).

Fig. 1.5 – Elemento trave.

4

CARATTERIZZAZIONE

DEGLI

ELEMENTI

All'elemento trave è associato un sistema di riferimento locale (

x, y, z

) in cuil'asse

x

coincide con l'asse dell'elemento ed è diretto dal nodo 1 al nodo 2; gliassi

y

e sono perpendicolari all'asse

x

e coincidono con le direzioni principalid'inerzia della sezione retta della trave.

L'elemento trave può comportarsi, in base ai carichi a cui è soggetto, come:

1. asta, o puntone-tirante, se sollecitato da soli carichi assiali

2. barra di torsione, se sollecitato dal solo momento torcente

3. trave inflessa, se sollecitato da soli sforzi di taglio e/o momenti flettenti

Verranno qui ricavate le formulazioni di rigidezza dell'elemento trave, nelle suepossibili configurazioni di base, a partire dalle equazioni di equilibrio e di defor-mazione.

1.3.1 Elemento trave sollecitato assialmente (asta)

Per analizzare il suo comportamento basterà studiare i soli spostamenti

u

secondo la direzione dell'asse

x

, dato che dopo deformazione l'asse rimane rettili-neo (fig.

1.6

).

Dette

f

u

1

e

f

u

2

le risultanti delle distribuzioni di forze che dall'esterno vengonoapplicate agli estremi dell'elemento e

u

1

e

u

2

gli spostamenti dei nodi, l'elementoasta è caratterizzato da una equazione di equilibrio:

1.1fu1 fu2� 0�

e dall'equazione differenziale:

1.2udxd

-----fu

EA-------�

Fig. 1.6 – Elemento asta.

5

avendo indicato con u lo spostamento assiale della trave, fu la forza assiale agentenella generica sezione della trave, E il modulo elastico longitudinale e con Al'area della sezione retta della trave.

La 1.2, integrata sulla lunghezza l dell'elemento fornisce, supponendo costanti laforza assiale e l'area della sezione retta:

CARATTERIZZAZIONE

DEGLI

ELEMENTI

1.3u2 u1�l

EA------- fu2�

Le equazioni 1.1 e 1.3 forniscono tutte le informazioni necessarie a definire ilcomportamento statico dell'elemento asta, dal punto di vista del suo contorno(cioè i nodi); queste equazioni possono essere riscritte in forma matriciale:

1.40 01� 1

u1

u2Ó þÌ ýÏ ¸ 1 1

0l

EA-------

fu1

fu2þý¸

ÓÌÏ

�

Moltiplicando la prima riga per -l/EA, sommando alla seconda e sostituendo alposto della prima:

1.51� 11� 1

u1

u2Ó þÌ ýÏ ¸

lEA-------� 1

0l

EA-------

fu1

fu2Ó þÌ ýÏ ¸

�

da cui:

1.6

ovvero:

1.7

detta formulazione di rigidezza, dove:

EAl

------- 1 1�

1� 1

u1

u2Ó þÌ ýÏ ¸ fu1

fu2Ó þÌ ýÏ ¸

�

k[ ] s{ } f }{�

1.8k[ ] EAl

------- 1 1�

1� 1�

6

1.9

1.10

1.3.2 Elemento trave sollecitato a torsione (barra di torsione)

L'elemento barra di torsione è formalmente analogo all'elemento asta visto alparagrafo 1.3.1.

s{ }T u1 u2{ }�

f }{ Tfu1 fu2{ }�

CARATTERIZZAZIONE DEGLI ELEMENTI

Si tratta di un elemento ad asse rettilineo capace di resistere a soli momenti tor-centi (fig. 1.7).

Detti mx1 e mx2 i momenti torcenti applicati ai nodi 1 e 2 dell'elemento e �x1 e�x2 gli angoli di rotazione delle sezioni di estremità, l'elemento barra di torsioneè caratterizzato da una equazione di equilibrio:

1.11

e dall'equazione differenziale:

1.12

avendo indicato con �x la rotazione assiale della trave; mx il momento torcenteagente nella generica sezione della trave; G il modulo elastico di taglio; Jx ilmomento d'inerzia polare rispetto all'asse della trave.

La 1.12, integrata sulla lunghezza l della barra, fornisce, supponendo costanti ilmomento torcente e le caratteristiche geometriche della barra:

1.13

Le 1.11 e 1.13 scritte in forma matriciale sono:

mx1 mx2� 0�

�dxd

------mx

GJx--------�

�x2 �x1�l

GJx--------mx2�

1.140 0

1� 1

�x1

�x2Ó þÌ ýÏ ¸ 1 1

0l

GJx--------

mx1

mx2Ó þÌ ýÏ ¸

�

La formulazione di rigidezza, ottenuta con un procedimento analogo a quelloutilizzato per l'elemento asta, è:

1.15GJx

l-------- 1 1�

1� 1

�x1

�x2Ó þÌ ýÏ ¸ mx1

mx2Ó þÌ ýÏ ¸

�

Fig. 1.7 – Elemento barra di torsione.

7


1.3.3 Elemento trave sollecitato a flessione (trave inflessa)

Si considerano solo carichi e vincoli agenti ortogonalmente alla linea d'asse(fig. 1.8) in modo che gli spostamenti dei punti della struttura avvengano indirezione ortogonale all'asse indeformato (entro i limiti di approssimazione dellateoria delle travi inflesse); nella configurazione deformata la struttura restaquindi descrivibile in funzione della sola coordinata misurata sulla linea d'asseindeformata. Si trascureranno inoltre, almeno inizialmente, le deformazionidovute al taglio.

Siano v1 e �z1 la freccia e la rotazione misurate al nodo 1, v2 e �z2 la freccia e larotazione al nodo 2; siano inoltre fv1 e mz1 la forza ed il momento chedall'esterno vengono applicati all'elemento nel nodo 1, e fv2 e mz2 la forza ed ilmomento applicati dall'esterno al nodo 2.

Le variabili da considerare sono ora le quattro variabili cinematiche (spostamentie rotazioni) v1, �z1, v2, �z2 misurabili ai nodi, ed i quattro carichi fv1, mz1, fv2,mz2 che dall'esterno vengono applicati nei nodi dell'elemento.

Le relazioni che legano fra di loro queste otto variabili sono quattro; due dellequattro relazioni cercate sono le equazioni di equilibrio. L'equazione di equili-brio alla traslazione è:

1.16fv1 fv2� 0�

e quella di equilibrio alla rotazione rispetto ad un punto scelto, per semplicità,coincidente con il nodo 2:

1.17fv1� l mz1 mz2� � 0�

Fig. 1.8 – Elemento trave inflessa.

8

Le rimanenti due equazioni sono relazioni che esprimono spostamenti e rota-zioni relative degli estremi in funzione di forze e momenti; esse vengono ricavatedall'equazione differenziale:


1.18

avendo indicato con �z la rotazione della sezione retta della trave; mz ilmomento flettente nella generica sezione della trave; E il modulo elastico longi-tudinale; Jz il momento d'inerzia trasversale.

Esprimendo mz , momento in una sezione generica, in funzione di fv1 e mz1, eintegrando sulla lunghezza l dell'elemento si ottengono le relazioni:

�dxd

------mz

E Jz--------��

1.19�z2 �z1�l

E Jz--------mz1�

l 2

2E Jz----------- fv1��

1.20v2 v1� �z1l�l 2

2E Jz------------ mz1�

l 3

6E Jz------------ fv1��

Le quattro equazioni formano perciò il seguente sistema:

1.21

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1� 0 1 1� l� 1 0

v1

�z1

v2

�z2Ó þÔ ÔÔ ÔÌ ýÔ ÔÔ ÔÏ ¸

1 0 1 0l� 1 0 1

l 2

2E Jz-----------

lE Jz--------� 0 0

l 3

6E Jz-----------

l 2

2E Jz-----------� 0 0

fv1

mz1

fv2

mz2Ó þÔ ÔÔ ÔÌ ýÔ ÔÔ ÔÏ ¸

�

9

ovvero:

1.22

dove { s} e { f } sono rispettivamente i vettori degli spostamenti e delle forze:

1.23

1.24

e [a] e [b] sono matrici di ordine 4x4 che premoltiplicano rispettivamente il vet-tore degli spostamenti ed il vettore delle forze. Si noti che la matrice [b] non èsingolare, mentre la matrice [a] lo è due volte, cioè in un numero pari ai gradi dilibertà di moto rigido dell'elemento; nelle 1.5 e 1.14 si verificava una situazioneanaloga, caratterizzata da una sola singolarità.

La scrittura di rigidezza viene ricavata premoltiplicando ambo i membri della1.22 per l'inversa della matrice [b]. A calcoli effettuati si ottiene:

a[ ] s{ } b[ ] f }{�

s{ }T v1 �z1 v2 �z2{ }�

f }{ T fv1 mz1 fv2 mz2{ }�


1.25E Jz

12l 3------ 6

l 2-----

12l 3------�

6l 2-----

6l 2----- 4

l---

6l 2-----�

2l---

12l 3------ �

6l 2----- �

12l 3------

6l 2----- �

6l 2----- 2

l---

6l 2-----�

4l---

v1

�z1

v2

�z2Ó þÔ ÔÔ ÔÌ ýÔ ÔÔ ÔÏ ¸ fv1

mz1

fv2


�

Effetto del taglio

L'equazione della linea elastica 1.20 tiene conto soltanto della deformazione pro-dotta dal momento flettente e non di quella prodotta dallo sforzo di taglio; nelcaso di travi snelle ciò non produce un errore sensibile, perché la seconda èmolto piccola rispetto alla prima.

Tuttavia nel caso di travi tozze, in cui il rapporto tra lunghezza e altezza dellasezione è piccolo, l'effetto del taglio non risulta più trascurabile; nell'equazionedifferenziale della linea elastica bisognerà sommare al contributo del momentoflettente quello dovuto allo sforzo di taglio.

Lo spostamento di un punto della trave sarà dato dalla somma dello sposta-mento vm dovuto al momento flettente e dello spostamento vt dovuto al taglio(fig. 1.9):

Fig. 1.9 – Effetto del taglio sulla linea elastica.

10


11

1.26

Se �y rappresenta la deformazione media dovuta al taglio, la relazione che lega larotazione �z della sezione e la pendenza dell'asse neutro è:

1.27

e la deformazione �y è data da:

1.28

dove cy è il fattore di taglio della sezione in direzione dell'asse y.

La 1.19, scritta tra l'estremo 1 e la generica sezione all’ascissa x diviene allora:

1.29

sostituendo per �z la 1.27:

1.30

e la 1.28 al posto di �y e integrando sulla lunghezza l della trave, la 1.20 diviene:

1.31

Le equazioni risolutive 1.21 diventano quindi:

1.32

e la matrice di rigidezza:

v vm vt��

v� x��

vdxd

----- �z �y��

�y

y

fv2

GA-------- y

fv1

GA--------��

�z �z1�x

E Jz-------- mz1�

x2

2E Jz----------- fv1��

vddx----- �y �z1��

xE Jz-------- mz1�

x2

2E Jz------------ fv1��

v2 v1� �z1l�l 2

2E Jz----------- mz1�

l 3

6E Jz----------- fv1

y lGA-------- fv1��

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1� 0 1 1 � l� 1 0

v1

�z1

v2


1 0 1 0 l � 1 0 1

l 2

2E Jz------------

lE Jz-------- � 0 0

l 3

6E Jz------------

y lGA--------�

l 2

2E Jz------------ � 0 0

fv1

mz1

fv2


�


12

1.33

dove y vale:

1.34

La tabella 1.1 riporta i valori dei fattori di taglio � per i casi più frequenti.

E Jz1 y�-----------------

12l 3------ 6

l 2-----

12l 3------�

6l 2-----

6l 2-----

4 y�

l-----------------

6l 2-----�

2 y�

l-----------------

12l 3------�

6l 2-----�

12l 3------ 6

l 2----- �

6l 2-----

2 y�

l-----------------

6l 2-----�

4 y�

l-----------------

v1

�z1

v2


mz1

fv2


�

y12EJz

GAl 2--------------�


Tab. 1.1 – Fattori di taglio per alcune forme di sezione di travi inflesse, da CowperG.R., The Shear Coefficient in Timoshenko's Beam Theory, Journ. of Appl. Mech.,giugno 1966, p. 335-340

7 6��6 1 ��( )----------------------�

7 6��( ) 1 m�( )2 4m 5 3��( )�

6 1 ��( ) 1 m2�( )2-----------------------------------------------------------------------------------�

m b a��

12 11��10 1 ��( )-------------------------�

40 37� m 16 10��( ) �m2� � �

12 1 ��( ) 3 m�( )----------------------------------------------------------------------------------�

m b a��

4 3��2 1 ��( )----------------------�

48 39��20 1 ��( )-------------------------�

p q� 10n2 m 3 ��( ) 3m2�[ ]� �

10 1 ��( ) 1 3m�( )2------------------------------------------------------------------------------------�

m b sb h sa�� n b h��

p q� 30n2m 1 m�( ) 5�n2m 8 9m�( )� � �

10 1 ��( ) 1 3m�( )2---------------------------------------------------------------------------------------------------------------�

m 2b sb h sa�� n b h��

p q��

10 1 ��( ) 1 3m�( )2---------------------------------------------------� m 2 As h s��

p' �q' 30n2m 1 m�( ) 10�n2m 4 5m m2� �( )� � �

10 1 ��( ) 1 3m�( )2-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------�

m b sb h sa�� n b h��

p 12 72m 150m2 90m3� � ��

p' 12 96m 276m2 192m3� � ��

q 11 66m 135m2 90m3� � ��

q' 11 88m 248m2 216m3� � ��

13


1.4 FORMULAZIONE DI RIGIDEZZA

Nei paragrafi precedenti si è visto che un elemento è caratterizzato da un numeron di equazioni pari al numero di gradi di libertà cinematici (numero degli sposta-menti e/o rotazioni definiti ai nodi dell'elemento).

Le n equazioni complessive, delle quali L sono di equilibrio, legano fra di loro 2nvariabili: n forze generalizzate ed n spostamenti generalizzati; nelle L equazionidi equilibrio non compaiono ovviamente spostamenti generalizzati.

Dette n equazioni che caratterizzano l'elemento possono essere ordinate in modidifferenti; in particolare si può pensare di separare al primo membro tutti glispostamenti generalizzati ed al secondo membro tutte le forze generalizzate. Innotazione matriciale:

1.35a[ ] s{ } b[ ] f }{�

Se l'elemento non è infinitamente rigido, nessuna delle equazioni è priva di forzegeneralizzate, e pertanto nessuna riga in [b] è nulla. Inoltre, poiché le equazionisono indipendenti, esiste l'inversa della matrice [ b ]; premoltiplicando ambo imembri della 1.35 per [b]–1:

1.36

e quindi per la definizione stessa di matrice inversa:

1.37

La 1.37 è una scrittura di rigidezza, in quanto le forze generalizzate compaionoisolate, ovvero sono espresse in funzione esplicita degli spostamenti. Posto:

1.38

la 1.37 si scrive:

La matrice [k] è detta di rigidezza in quanto ad un aumento del valore dei suoicoefficienti corrisponde un aumento della rigidezza dell'elemento; infatti a paritàspostamento { s } valori di [k] crescenti implicano forze { f } crescenti.

Un'altra possibile scrittura delle equazioni 1.35 è quella detta di deformabilità.Se i gradi di libertà di moto rigido L sono zero, allora nessuna delle righe dellamatrice [a] è zero, e pertanto esiste l'inversa [a] –1; premoltiplicando per essaambo i membri della 1.35, si ottiene:

b[ ] 1� a[ ] s{ } b[ ] 1� b[ ] f }{�

b[ ] 1� a[ ] s{ } I[ ] f }{�

k[ ] b[ ] 1� a[ ]�

1.40s{ } a[ ] 1� b[ ] f }{�

1.39k[ ] s{ } f }{�

14

Posto:

1.41d[ ] a[ ] 1� b[ ]�


la 1.40 diviene:

1.42

La matrice [d ] è detta di deformabilità in quanto ad un aumento del valore deisuoi coefficienti corrisponde un aumento della deformabilità dell'elemento;infatti a parità di forza { f } valori di [d ] crescenti implicano spostamenti {s} cre-scenti.

Nell'ambito del calcolo strutturale è sempre possibile ottenere la formulazione dirigidezza, ma non di ottenere quella di deformabilità, a parte il caso di alcuni ele-menti particolari nei quali sono già posti vincoli addizionali che eliminano igradi di libertà di moto rigido.

Può essere utile esaminare da un punto di vista fisico il caso degli elementi aventigradi di libertà di moto rigido:

– se esistesse la scrittura di deformabilità 1.42 si potrebbe pensare diinserire in { f } forze arbitrarie e quindi ottenere gli spostamenti; ciòsarebbe assurdo in quanto la 1.42 contiene le equazioni di equilibrioche legano fra di loro le forze generalizzate, le quali pertanto non pos-sono essere assegnate arbitrariamente

– ponendo eventualmente nella 1.42 dei carichi equilibrati, si otterreb-bero come soluzione gli spostamenti; ciò è assurdo in quanto assegnatii carichi agli estremi, non esiste una ed una sola soluzione per i valoridegli spostamenti bensì infinite e differenti fra di loro per una trasla-zione e/o rotazione rigida

ESEMPIO 1.1

Nei casi dell'elemento trave sollecitato assialmente, sollecitato a torsione esollecitato a flessione, la 1.35 è data rispettivamente dalle 1.4, 1.14 e 1.21.

s{ } d[ ] f }{�

1.43

1.44

1.45

0 01� 1

u1

u2Ó þÌ ýÏ ¸ 1 1

0l

EA-------

fu1

fu2Ó þÌ ýÏ ¸

�

0 01� 1

�x1

�x2Ó þÌ ýÏ ¸ 1 1

0l

G Jx---------

mx1

mx2Ó þÌ ýÏ ¸

�

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1� 0 1 1� l� 1 0

v1

�z1

v2


1 0 1 0 l � 1 0 1

l 2

2E Jz------------

lE Jz-------- � 0 0

l 3

6E Jz------------

l 2

2E Jz------------ � 0 0

fv1

mz1

fv2


�

15


16

Si nota che la matrice non è mai singolare, mentre la matrice è sin-golare 1 volta nei casi dell'elemento asta e dell'elemento barra di torsione e 2volte nel caso dell'elemento trave inflessa. Infatti nei primi due casi l'ele-mento possiede un grado di libertà di moto rigido (traslazione secondol’asse il primo, rotazione attorno l'asse il secondo); nel terzo caso l'ele-mento possiede 2 gradi di libertà di moto rigido (traslazione secondo l'asse

e rotazione attorno l'asse ).

1.5 SIGNIFICATO FISICO DEI COEFFICIENTI DELLA MATRICE DI RIGIDEZZA

Nel metodo di rigidezza le equazioni che caratterizzano l'elemento vengonocombinate linearmente in modo da esplicitare i carichi. Si hanno così per l'ele-mento generico espressioni del tipo:

1.46

dove [k] è la matrice di rigidezza dell'elemento; { s } il vettore degli spostamentigeneralizzati dell'elemento; { f } il vettore dei carichi generalizzati dell'elemento.

La matrice di rigidezza può essere determinata o direttamente mediante il princi-pio dei lavori virtuali oppure mediante combinazioni lineari a partire dalle equa-zioni di equilibrio e deformazione. Per alcuni elementi si potrebbe anche pensaredi determinare la matrice di rigidezza per via sperimentale.

Riferendosi all'elemento trave inflessa si dimostrerà come, a partire dalle equa-zioni che esprimono spostamenti e rotazioni di una trave e dalle equazioni diequilibrio, sia possibile legare i quattro spostamenti e rotazioni misurabiliall'estremo della trave stessa con le forze ed i momenti esercitati dall'esterno sullatrave in tali estremi, avendo misurato in particolare sia gli spostamenti e le rota-zioni sia le forze ed i momenti secondo un unico sistema di riferimento opportu-namente scelto.

Nella scrittura di rigidezza della trave:

1.47

le singole colonne godono di una interpretazione fisica. La prima colonna, adesempio, fornisce, moltiplicata per v1, forze e momenti che dall'esterno devonoessere esercitati affiancassi abbia il solo spostamento v1 e tutti gli altri nulli. Laprima colonna cioè fornisce le reazioni vincolari nella configurazione dellafigura 1.10. Analogamente la seconda colonna, moltiplicata per �z1, la terzamoltiplicata per v2 e la quarta moltiplicata per �z2 forniscono le reazioni vinco-

b[ ] a[ ]

Lx x

Ly z

k[ ] s{ } f }{�

a b a � b b c b � d a � b � a b �

b d b � c

v1

�z1

v2


mz1

fv2


�


lari nelle configurazioni delle figure 1.11, 1.12, 1.13.

Fig. 1.10 – Prima colonna della matrice di rigidezza della trave inflessa.

Fig. 1.11 – Seconda colonna della matrice di rigidezza della trave inflessa.

Fig. 1.12 – Terza colonna della matrice di rigidezza della trave inflessa.

17


Fig. 1.13 – Quarta colonna della matrice di rigidezza della trave inflessa.

Sovrapponendo i quattro stati di deformazione distinti definiti nelle figure da1.10 a 1.13 si può ottenere uno stato di deformazione qualsiasi. Si può pensarequindi di ottenere la matrice di rigidezza colonna per colonna, cioè imponendoad ogni variabile cinematica nodale una variazione unitaria e determinando forzee momenti nodali necessari a produrla. Queste considerazioni esemplificative,valide per travi inflesse, si estendono naturalmente a qualsiasi altro tipo di ele-mento.

1.6 SISTEMI DI RIFERIMENTO LOCALE E GLOBALE

Nel definire le equazioni che legano tra loro le variabili cinematiche e statiche diun elemento può essere conveniente, per una maggior semplicità del calcolo, uti-lizzare un particolare sistema di riferimento.

Questo particolare sistema di riferimento verrà detto locale in quanto è stretta-mente connesso all'elemento di cui si sono definite le proprietà. Pertanto le com-ponenti delle variabili cinematiche generalizzate (spostamenti, rotazioni) e quelledelle variabili statiche generalizzate (forze e momenti) verranno espresse secondogli assi di tale riferimento.

Fig. 1.14 – Elemento trave nel piano.

18


Un esempio semplice di un siffatto sistema di riferimento si ha nel caso della travenel piano; è noto che la forma delle equazioni che legano i carichi agli spostamentirisulta più semplice se si adotta un sistema di riferimento locale in cui l'asse x coin-cide con l'asse geometrico e l'asse y è ad esso ortogonale. Con riferimento allafigura 1.14, si indicano con u gli spostamenti secondo x, con v gli spostamentisecondo y e con �z le rotazioni (dette rotazioni possono pensarsi come un vettoreortogonale al piano xy); analogamente si avranno forze fu , fv , mz.

Quando poi si considera una struttura, in generale composta da più elementivariamente orientati nel piano o nello spazio, occorre esprimere tutti gli sposta-menti generalizzati e tutte le forze generalizzate in un unico sistema di riferi-mento, altrimenti non si potrebbero scrivere le equazioni scalari che li legano.

Fig. 1.15 – Sistemi di riferimento locale e globale.

19

Occorre quindi effettuare un cambiamento di riferimento per passare dal sistemacartesiano locale x,y , z al sistema cartesiano globale X,Y,Z valido per tutta lastruttura. Dato che un cambiamento di riferimento è una trasformazione lineare,l'insieme di tutti gli spostamenti generalizzati { sx } nel sistema locale x,y , z(fig. 1.15):

1.48

è legato all'insieme delle stesse variabili { sX } nel sistema globale X,Y,Z:

1.49

dalle relazioni lineari:

s{ }xT ux vx wx,,{ }�

s{ }XT uX vX wX,,{ }�


1.50

dove (l1, m1, n1), (l2, m2, n2), (l3, m3, n3), sono rispettivamente i coseni direttoridegli assi x,y,z rispetto agli assi del sistema di riferimento globale X,Y,Z. Valgonole relazioni:

1.51

e:

1.52

In notazione matriciale la 1.50 è:

ux l1uX m1vX n1wX� ��

vx l2uX m2vX n2wX� ��

wx l3uX m3vX n3wX� ��

li2 mi

2 ni2� � 1 i 1 2 3, ,�( )�

lilj mi mj ninj� � 0

i 1 2 3, ,�

i j

j 1 2 3, ,�ÓÔÌÔÏ

�

1.53s{ }x R[ ] s{ }X�

e la matrice di rotazione [R] è data da:

1.54R[ ]l1 m1 n1

l2 m2 n2

l3 m3 n3

�

Analoga trasformazione permette di legare il vettore dei carichi { f }x a { f }X.Ovviamente esiste anche la trasformazione inversa della 1.53:

1.55

La matrice di rotazione [R] è una matrice ortogonale dato che ; ne segue che:

s{ }X R[ ] 1� s{ }x�

R[ ]T R[ ] �R[ ] R[ ]T I[ ]� �

1.56R[ ] 1� R[ ]T�

20

per cui:

1.57

Nel caso bidimensionale (strutture piane) si rendono necessarie le trasformazioniin un solo piano, generalmente coincidente con il piano x,y . In questo caso lamatrice di rotazione assume la forma:

s{ }X R[ ]T s{ }x�


1.58

ESEMPIO 1.2

Con riferimento alla trave inflessa di figura 1.14 e riportata in una posizionegenerica nel sistema di riferimento globale di figura 1.16, i coseni diret-tori sono dati da:

1.59

R[ ]l1 m1 0

l2 m2 0

0 0 1

�

X Y,l1 m1 n1,,( ) l2 m2 n2,,( ),

l1 �cos� m1 90 ��( )cos �sin� �

l2 90 ��( )cos � sin�� m2 �cos�

Fig. 1.16 – Sistemi di riferimento locale e globale.

21

Il vettore degli spostamenti all'estremo 2 si trasforma secondo la legge:

1.60

Uguale relazione vale per all'altro estremo 1; considerando separa-tamente l'estremo 1 dall'estremo 2, si ha:

1.61

1.62

u2

v2

�z2Ó þÔ ÔÌ ýÔ ÔÏ ¸

x

�cos �sin 0�sin� �cos 0

0 0 1

u2

v2

�z2Ó þÔ ÔÌ ýÔ ÔÏ ¸

X

�

u1 v1 az1,,

s1{ }x

R1[ ] s1{ }X

�

s2{ }x

R2[ ] s2{ }X

�

s1{ }

s2{ }Ó þÌ ýÏ ¸

x

R1[ ] 0

0 R2[ ]

s1{ }

s2{ }Ó þÌ ýÏ ¸

X

�


che sinteticamente può scriversi:

1.63

Esplicitando:

s{ }x R[ ] s{ }X�

1.64

u1

v1

�z1

u2

v2

�z2Ó þÔ ÔÔ ÔÔ ÔÔ ÔÌ ýÔ ÔÔ ÔÔ ÔÔ ÔÏ ¸

x

�cos �sin 0 0 0 0�sin� �cos 0 0 0 0

0 0 1 0 0 00 0 0 �cos �sin 00 0 0 �sin� �cos 00 0 0 0 0 1

u1

v1

�z1

u2

v2

�z2Ó þÔ ÔÔ ÔÔ ÔÔ ÔÌ ýÔ ÔÔ ÔÔ ÔÔ ÔÏ ¸

X

�

Analogamente per le trasformazioni riguardanti i carichi:

1.65

Sostituendo le variabili elemento espresse nel sistema globale nelle equazionielemento, si caratterizza l'elemento ruotato in una posizione qualsiasi(fig. 1.16). Si noti che anche dopo la rotazione nel sistema di riferimento glo-bale sono state mantenute per spostamenti e forze le lettere minu-scole; ciò allo scopo di ricordare che si tratta ancora di variabili elemento.

La matrice di rigidezza dell'elemento scritta nel sistema di riferimento globaleviene quindi ottenuta a partire dalla scrittura di rigidezza per l'elemento nelsistema di riferimento locale associato all'elemento stesso:

1.66

e dalle relazioni che permettono di ottenere sia le componenti degli spostamentigeneralizzati sia delle forze generalizzate nel sistema di riferimento locale notequelle nel sistema di riferimento globale:

1.67

fu1

fv1

mz1

fu2

fv2

mz2Ó þÔ ÔÔ ÔÔ ÔÔ ÔÌ ýÔ ÔÔ ÔÔ ÔÔ ÔÏ ¸

x

�cos �sin 0 0 0 0�sin� �cos 0 0 0 0

0 0 1 0 0 00 0 0 �cos �sin 00 0 0 �sin� �cos 00 0 0 0 0 1

fu1

fv1

mz1

fu2

fv2

mz2Ó þÔ ÔÔ ÔÔ ÔÔ ÔÌ ýÔ ÔÔ ÔÔ ÔÔ ÔÏ ¸

X

�

X Y Z,,

k[ ]x s{ }x f }{ x�

s{ }x R[ ] s{ }X�

1.68f }{ x R[ ] f }{ X�

22

Sostituendo le 1.67 e la 1.68 nella 1.66 si ha:

1.69k[ ]x R[ ] s{ }X R[ ] f }{ X�


e, premoltiplicando ambo i membri per [R]–1:

1.70

ovvero:

1.71

in cui [k]X, matrice di rigidezza riferita al sistema di riferimento globale X,Y, vale:

1.72

ovvero, dalla 1.56:

R[ ] 1� k[ ]x R[ ] s{ }X f }{ X�

k[ ]X s{ }X f }{ X�

k[ ]X R[ ] 1� k[ ]x R[ ]�

1.73k[ ]X R[ ]T k[ ]x R[ ]�

ESEMPIO 1.3

Ricavare, nel sistema di riferimento globale , la matrice di rigidezza perl'elemento asta comunque orientato nel piano.

X Y,

23

Fig. 1.17 – Elemento asta nel piano.

L'elemento asta può resistere a soli sforzi assiali, ma nel caso piano esso puòtrasmettere, attraverso i nodi che si comportano da cerniere, forze aventicomponenti secondo gli assi globali e . Lo spostamento di ciascun nododell'elemento asta nel piano è quindi definito da una traslazione secondol'asse ed una secondo l'asse , ovvero, nel sistema di riferimento locale,da una traslazione assiale e da una traslazione verticale .Dal momento che l'elemento asta può essere sollecitato da soli sforzi assiali,diretti cioè secondo l'asse locale , una traslazione verticale non produrrànessuna tensione nell'elemento e quindi il corrispondente termine dellamatrice di rigidezza dovrà essere uguale a zero.

X Y

X Yu v

x v


La notazione di rigidezza 1.8 per l’asta diventa, sempre nel sistema di riferi-mento locale :

1.74

Le matrici di rotazione sono:

1.75

e la matrice di rotazione è:

1.76

Applicando la 1.73, la matrice di rigidezza dell'elemento asta nel sistema diriferimento globale risulta:

x y,

EAl

-------

1 0 1� 0 0 0 0 0 1� 0 1 0 0 0 0 0

u1

v1

u2

v2Ó þÔ ÔÔ ÔÌ ýÔ ÔÔ ÔÏ ¸ fu1

fv1

fu2

fv2Ó þÔ ÔÔ ÔÌ ýÔ ÔÔ ÔÏ ¸

�

R1[ ] R2[ ],

R1[ ] R2[ ] �cos �sin�sin� �cos

� �

R[ ]

R[ ]

�cos �sin 0 0�sin� �cos 0 0

0 0 �cos �sin0 0 �sin� �cos

�

X Y,

1.77k[ ]XEAl

-------

c2 cs c2 � cs�

cs s2 cs � s2�

c2 � cs � c2 cs

cs � s2 � cs s2

�

dove , e è l'angolo di cui è ruotato il sistema di rife-rimento locale rispetto a quello globale .

ESEMPIO 1.4

Ricavare, nel sistema di riferimento globale , la matrice di rigidezza perl'elemento asta comunque orientato nello spazio.

c �cos� s �sin� �

x y, X Y,

X Y Z,,

Fig. 1.18 – Elemento asta nello spazio.

24


25

Il sistema di riferimento locale dell'elemento, definito dai nodi 1 e 2, è taleper cui l'asse coincide con l'asse della asta ed è diretto da 1 verso 2; gli assi

e , perpendicolari all'asse , possono avere orientazione qualsiasi.Come nei casi monodimensionale e piano l'elemento asta può deformarsi soloin senso assiale, cioè lungo l'asse locale , mentre sarà qui caratterizzatodalle tre componenti di spostamento e di forza ai nodi 1 e 2. Per gli stessimotivi visti nel caso dell'esempio 1.3, la notazione di rigidezza per l’asta nelsistema di riferimento locale è:

1.78

Le matrici di rotazione sono espresse dalla 1.54, per cui la matricedi rigidezza , nel sistema di riferimento risulta:

1.79

1.7 ELEMENTO TRAVE NEL PIANO

Per trave nel piano si intende un elemento comunque orientato nel piano e chepuò essere sollecitato da carichi comunque giacenti nel piano della struttura edaventi quindi componenti sia parallele sia ortogonali all'asse dell'elemento(fig. 1.19).

Nell'ipotesi di linearità geometrica tale elemento può essere ottenuto comesovrapposizione dell'elemento asta e dell'elemento trave inflessa, caratterizzatirispettivamente dalle equazioni 1.8 e 1.25, se nella trave inflessa non si tieneconto dell'effetto del taglio sulle deformazioni.

xy z x

x

x y z,,

EAl

-------

1 0 0 1� 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1� 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

u1

v1

w1

u2

v2

w2Ó þÔ ÔÔ ÔÔ ÔÔ ÔÌ ýÔ ÔÔ ÔÔ ÔÔ ÔÏ ¸ fu1

fv1

fw1

fu2

fv2

fw2Ó þÔ ÔÔ ÔÔ ÔÔ ÔÌ ýÔ ÔÔ ÔÔ ÔÔ ÔÏ ¸

�

R1[ ] R2[ ],k[ ]X X Y Z,,

k[ ]xEAl

-------

l12 l1m1 l1n1 l� 1

2 l� 1m1 l1� n1

l1m1 m12 m1n1 l� 1m1 m� 1

2 m� 1n1

l1n1 m1n1 n12 l1� n1 m� 1n1 n� 1

2

l� 12 l� 1m1 l1� n1 l1

2 l1m1 l1n1

l� 1m1 m� 12 m� 1n1 l1m1 m1

2 m1n1

l1� n1 m� 1n1 n� 12 l1n1 m1n1 n1

2

�


Fig. 1.19 – Elemento trave nel piano.

26

La notazione di rigidezza dell'elemento trave nel piano, riferita al sistema di rife-rimento locale x ,y è quindi ottenuta combinando opportunamente le 1.8 e 1.25;ordinando il vettore degli spostamenti {s} come:

1.80

e analogamente quello delle forze { f }:

1.81

la matrice di rigidezza [k]x riferita al sistema locale x,y è:

1.82

La matrice di rigidezza [k ] X riferita al sistema di riferimento globale X,Y siottiene come (vd. 1.73):

1.83

s{ }T u1 v1 �z1 u2 v2 �z2, , , , ,{ }�

f }{ T fu1 fv1 mz1 fu2 fv2 mz2, , , , ,{ }�

k[ ]x

EAl

------- 0 0EAl

-------� 0 0

012E Jz

l 3---------------

6E Jzl 2

------------ 012E Jz

l 3---------------�

6E Jzl 2

------------

06E Jz

l 2------------

4E Jzl

------------ 06E Jz

l 2------------�

2E Jzl

------------

EAl

-------� 0 0EAl

------- 0 0

012E Jz

l 3---------------�

6E Jzl 2

------------� 012E Jz

l 3---------------

6E Jzl 2

------------�

06E Jz

l 2------------

2E Jzl

------------ 06E Jz

l 2------------�

4E Jzl

------------

�

k[ ]X R[ ]T k[ ]x R[ ]�


dove la matrice di rotazione [R ] è quella ricavata nell'esempio 1.1 ed espressadalla 1.17.

Indicando con J l'angolo formato dall'asse della trave (asse x locale) con l'asse Xed esprimendo le funzioni seno e coseno di J in funzione delle coordinate deinodi 1 e 2 della trave nel sistema di riferimento globale X,Y:

1.84

con l, lunghezza della trave, data da:

1.85

1.8 ELEMENTO TRAVE PER STRUTTURE A GRIGLIA

Questo elemento è geometricamente analogo all'elemento trave nel pianodescritto al paragrafo 1.7; la sola differenza è data dai carichi, che in tal caso sonoperpendicolari al piano dell'elemento (fig. 1.20). Potrà quindi essere sollecitato,oltre che da taglio e da momento flettente, da un momento torcente mx anzichèda un carico assiale fu ; corrispondentemente la sua cinematica è definita, oltreche da uno spostamento w diretto secondo l’asse z e da una rotazione �y intornoall'asse y, da una rotazione �x attorno all'asse x anzichè da uno spostamentoassiale u.

�cosX2 X1�

l-------------------� �sin

Y2 Y1�

l-------------------�

l X2 X1�( )2 Y2 Y1�( )2��

Fig. 1.20 – Elemento trave per strutture a griglia.

27

Analogamente a quanto fatto per la trave nel piano, la matrice di rigidezza diquesto elemento può essere ottenuta come sovrapposizione dell'elemento travesollecitato a torsione e dell'elemento trave inflessa, caratterizzati rispettivamentedalle eq. 1.15 e 1.25, se nella trave inflessa non si tiene conto dell'effetto deltaglio sulle deformazioni.


28

k[] x

EA l-------

c212

EJ z

l3----

--------

-- s2

�E

A l-------

cs12

EJ z

l3----

--------

--�

cs6E

J z

l2----

-------

s�

EA l-------

�c2

12E

J z

l3----

--------

--�

s2

EA l-------

�cs

12E

J z

l3----

--------

-- cs

�6E

J z

l2----

-------

s�

EA l-------

cs12

EJ z

l3----

--------

--�

cs

E

A l-------

s212

EJ z

l3----

--------

-- c2

�6E

J z

l2----

-------

cE

A l-------

�cs

12E

J z

l3----

--------

-- cs

�

EA l-------

�s2

12E

J z

l3----

--------

--�

c26E

J z

l2----

-------

c

6EJ z

l2----

-------

s

�6E

J z

l2----

-------

c4E

J z

l----

-------

6EJ z

l2----

-------

s

6EJ z

l2----

-------

c�

2EJ z

l----

-------

EA l-------

�c2

12E

J z

l3----

--------

--�

s2

E

A l-------

�cs

12E

J z

l3----

--------

-- cs

�6E

J z

l2----

-------

sE

A l-------

c212

EJ z

l3----

--------

-- s2

�

EA l-------

cs12

EJ z

l3----

--------

--�

cs6E

J z

l2----

-------

s

EA l-------

�cs

12E

J z

l3----

--------

-- cs

�

EA l-------

�s2

12E

J z

l3----

--------

--�

c26E

J z

l2----

-------

c�

EA l-------

cs12

EJ z

l3----

--------

--�

cs

EA l-------

s212

EJ z

l3----

--------

-- c2

�6E

J z

l2----

-------

c�

6EJ z

l2----

-------

s

�6E

J z

l2----

-------

c2E

J z

l----

-------

6EJ z

l2----

-------

s

6EJ z

l2----

-------

�c

4EJ z

l----

-------

�

c�

cos

�s

�si

n�

Eq.

1.86

– M

atri

ce d

i rig

idez

za [

k]X

per

l’el

emen

to tr

ave

nel p

iano

.


Ordinando il vettore degli spostamenti {s } e quello delle forze { f }come:

1.87s{ }T �x1 �y1 w1 �x2 �y2 w2, , , , ,{ }�

29

1.88

la matrice di rigidezza [k]x riferita al sistema locale x,y è:

1.89

La matrice di rigidezza [k]X nel sistema di riferimento globale X,Y si ottiene(vd. 1.73) come:

1.90

e la matrice di rotazione [R] è quella espressa dalla 1.64, avendo ordinato il vet-tore degli spostamenti come in 1.87.

f }{ T mx1 my1 fw1 mx2 my2 fw2, , , , ,{ }�

k[ ]x

GJx

l-------- 0 0

GJx

l-------- � 0 0

0 4EJy

l-----------

6EJy

l 2----------- � 0

2EJy

l----------- �

6EJy

l 2-----------

0 6EJy

l 2----------- �

12EJy

l 3-------------- 0

6EJy

l 2----------- �

12EJy

l-------------- �

GJx

l-------- � 0 0

GJx

l-------- 0 0

0 2EJy

l----------- �

6EJy

l 2----------- � 0

4EJy

l-----------

6EJy

l 2-----------

0 6EJy

l 2-----------

12EJy

l-------------- � 0

6EJy

l 2-----------

12EJy

l 3--------------

�

k[ ]X R[ ]T k[ ]x R[ ]�


30

k[] x

GJ x l

--------

c24E

J y

l----

-------

s2

�G

J x l----

----cs

4EJ y

l----

-------

�cs

6EJ y

l2----

-------

s�

GJ x l

--------

�c2

2EJ y

l----

-------

s2

�G

J x l----

----�

cs2E

J y

l----

-------

�cs

6EJ y

l2----

-------

s�

GJ x l

--------

cs4E

J y

l----

-------

�cs

G

J x l----

----s2

4EJ y

l----

-------

c2�

6EJ y

l2----

-------

cG

J x l----

----�

cs2E

J y

l----

-------

�cs

G

J x l----

----�

s22E

J y

l----

-------

c2�

6EJ y

l2----

-------

c

6EJ y

l2----

-------

s

�6E

J y

l2----

-------

c12

EJ y

l3----

--------

--6E

J y

l2----

-------

s

6EJ y

l2----

-------

c�

12E

J y

l3----

--------

--�

GJ x l

--------

�c2

2EJ y

l----

-------

s2

�G

J x l----

----�

cs2E

J y

l----

-------

�cs

6EJ y

l2----

-------

sG

J x l----

----c2

4EJ y

l----

-------

s2

�G

J x l----

----cs

4EJ y

l----

-------

�cs

6EJ y

l2----

-------

s�

GJ x l

--------

�cs

2EJ y

l----

-------

�cs

G

J x l----

----�

s22E

J y

l----

-------

c2�

6EJ y

l2----

-------

c�

GJ x l

--------

cs4E

J y

l----

-------

�cs

G

J x l----

----s2

4EJ y

l----

-------

c2�

6EJ y

l2----

-------

c�

6EJ y

l2----

-------

s

�6E

J y

l2----

-------

c12

EJ y

l3----

--------

--�

6EJ y

l2----

-------

s

�6E

J y

l2----

-------

c�

12E

J y

l3----

--------

--

�

c�

cos

�s

�si

n�

Eq.

1.91

– M

atri

ce d

i rig

idez

za [

k]X

per

l'el

emen

to tr

ave

in s

trut

ture

a g

rigl

ia.


1.9 ELEMENTO TRAVE NELLO SPAZIO

Per trave nello spazio si intende un elemento comunque orientato nello spazio eche può essere sollecitato da carichi generalmente descrivibili in termini di forzeassiali, forze perpendicolari al suo asse, momenti flettenti agenti secondo i dueassi principali d'inerzia della sua sezione e momento torcente agente lungo il suoasse (fig. 1.21).

Il sistema di riferimento locale dell'elemento, definito dai nodi 1 e 2, è tale percui l'asse x coincide con l'asse della trave ed è diretto da 1 verso 2; gli assi y e z ,perpendicolari all'asse x, coincidono con gli assi principali d'inerzia della sezionedella trave.

In tal modo le azioni di taglio e di momento flettente nei due piani xy e xz pos-sono essere considerate indipendenti l'una dall'altra. Si ha così una notevolesemplificazione nella formulazione della matrice di rigidezza dell'elemento chepuò essere ottenuta, nell'ipotesi di linearità geometrica, come sovrapposizionedelle matrici dell'elemento trave sollecitato assialmente (asta), dell'elementotrave sollecitato a torsione (barra di torsione) e dell'elemento trave inflessa.

Fig. 1.21 – Trave nello spazio.

31

Se per quest'ultima non si tiene conto dell'effetto del taglio sulle deformazioni,la notazione di rigidezza 1.1 dell'elemento trave nello spazio, nel sistema di riferi-mento locale x,y ,z è quindi ottenuta come opportuna combinazione delle 1.8,1.15 e 1.25.


32

1.1

Eq. 1.92 – Matrice di rigidezza per l'elemento trave nello spazio.

k[] x

EA l-------

0

00

00

EA l-------

�0

00

00

012

EJ z

l3----

--------

--0

00

6EJ z

l2----

-------

012

EJ z

l3----

--------

--�

00

06E

J z

l2----

-------

00

12E

J y

l3----

--------

--0

6EJ y

l2----

-------

�0

00

12E

J y

l3----

--------

--�

06E

J y

l2----

-------

�0

00

0G

J x l----

----0

00

00

GJ x l

--------

�0

0

00

6EJ y

l2----

-------

�0

4EJ y

l----

-------

00

06E

J y

l2----

-------

02E

J y

l----

-------

0

06E

J z

l2----

-------

00

04E

J z

l----

-------

06E

J z

l2----

-------

�0

00

2EJ z

l----

-------

EA l-------

�

00

00

0E

A l-------

00

00

0

012

EJ z

l3----

--------

--

�0

00

6EJ z

l2----

-------

�0

12E

J z

l3----

--------

--0

00

6EJ z

l2----

-------

�

00

12E

J y

l3----

--------

--�

06E

J y

l2----

-------

00

012

EJ y

l3----

--------

--0

6EJ y

l2----

-------

0

00

0G

J x l----

----�

00

00

0G

J x l----

----0

0

00

6EJ y

l2----

-------

�0

2EJ y

l----

-------

00

06E

J y

l2----

-------

04E

J y

l----

-------

0

06E

J z

l2----

-------

00

02E

J z

l----

-------

06E

J z

l2----

-------

�0

00

4EJ z

l----

-------

�


1.10 CARICHI NODALI EQUIVALENTI

Verranno qui descritte le procedure per trattare sistemi di carico diversi da quellicostituiti da sole forze applicate ai nodi degli elementi, e che quindi non possonoessere inseriti direttamente nelle equazioni che descrivono il comportamentodell'elemento; in tali sistemi di carico rientrano, per esempio i carichi distribuiti,gli effetti termici, ecc.

Sistemi di carico non agenti direttamente ai nodi degli elementi verranno sosti-tuiti da sistemi di carico equivalenti ma agenti nei nodi; il termine equivalentisignifica che i due sistemi di carico producono gli stessi effetti nei nodi dell'ele-mento, ma non necessariamente al suo interno.

In termini generali la notazione di rigidezza per l'elemento 1.39 viene orariscritta come:

1.93k[ ] s{ } f }{ fe }{��

dove { fe } rappresenta il vettore dei carichi nodali equivalenti ad un sistema dicarico non applicato direttamente ai nodi.

1.10.1 Elemento asta: carico distribuito

Su un elemento asta agisca un carico uniformemente distribuito qu, in direzioneparallela all'asse dell'elemento e positivo se concorde al verso dell'asse locale x(fig. 1.22).

Fig. 1.22 – Carico distribuito assialmente.

33

L'equazione di equilibrio è:

1.94

e l'equazione di deformazione:

1.95

In forma di scrittura di rigidezza:

fu1 fu2 qu l� � 0�

u2 u1�l

EA------- fu2

l 2

2EA---------- qu��


1.96

ed il vettore dei carichi nodali equivalenti ad un carico distribuito assialmente è:

1.97

1.10.2 Elemento asta: effetto termico

Se l'elemento barra è soggetto, in ogni sua sezione, ad un aumento di tempera-tura di valor medio Tm, misurato a partire da una temperatura di riferimento; siavrà un allungamento della barra pari a:

EAl

------- 1 1�

1� 1

u1


fu2Ó þÌ ýÏ ¸ qu l

2-------

1

1Ó þÌ ýÏ ¸

��

fe }{ Tqu l2

-------qu l2

-------Ó þÌ ýÏ ¸

�

1.98u2 u1� ��lTm�

34

dove è il coefficiente di dilatazione termica lineare. In forma di rigidezza siottiene:

1.99

e il vettore dei carichi nodali equivalente ad un aumento medio di temperatura è:

1.100

1.10.3 Elemento asta: montaggio con interferenza o gioco

Si supponga ora di sapere che un elemento, montato fra due punti di date coor-dinate, riesce ad essere montato fra tali punti solo allungandolo o accorciandolosotto l'azione di forze assiali, inducendo uno stato di pretensione assiale. Per cal-colare in:

1.101

il vettore { fe} dei carichi nodali equivalenti ad uno stato di pretensione, un modosemplice di procedere è quello di considerare che in assenza di forze { f } appli-cate dall'esterno agli estremi, gli spostamenti saranno tali da riportare la lun-ghezza dell'elemento al valore che essa ha quando l'elemento stesso è scarico.Pertanto in:

��

EAl

------- 1 1�

1� 1

u1


fu2Ó þÌ ýÏ ¸

��EATm1�

1Ó þÌ ýÏ ¸

��

fe }{ T ��EATm� ��EATm{ }�

k[ ] s{ } f }{ fe }{��


1.102

quando fu1 = fu2 = 0 si deve avere:

1.103

Sostituendo in 1.102:

1.104

e risolvendo per fe1 e fe2 si ottiene:

1.105

funzione, come era da aspettarsi, del solo allungamento totale �l = �l1 – �l2,con �l definito positivo quando corrisponde ad un montaggio con allunga-mento.

1.10.4 Elemento asta: carico concentrato

Anche un carico concentrato, applicato fra gli estremi dell'elemento può essereridotto ad un vettore di carichi nodali equivalenti.

EAl

------- 1 1�

1� 1

u1


fu2Ó þÌ ýÏ ¸ fe1

fe2Ó þÌ ýÏ ¸

��

u1 �l1� u2 �l2�

EAl

------- 1 1�

1� 1

�l1

�l2Ó þÌ ýÏ ¸ 0

0Ó þÌ ýÏ ¸ fe1

fe2Ó þÌ ýÏ ¸

��

fe1

fe2Ó þÌ ýÏ ¸

EA�ll

-----1

1�Ó þÌ ýÏ ¸

�

Fig. 1.23 – Carico concentrato intermedio.

35

Con riferimento alla figura 1.23 se la forza assiale fu è applicata all'ascissa , leequazioni risolutive 1.1 e 1.3 diventano:

1.106

x�

fu1 fu2 fu� � 0�

u2 u1�l

EA------- fu2

x�

EA------- fu��


ed il vettore dei carichi nodali equivalente risulta pertanto essere:

1.107

1.10.5 Elemento trave inflessa: carico distribuito

Si consideri un elemento trave rettilineo sul quale agisca un carico distribuitouniforme qv ed agente in senso normale all'asse della trave (fig. 1.24).

fe }{ T ful x��

l--------------- x�

l-----

Ó þÌ ýÏ ¸

�

Fig. 1.24 – Carico uniformemente distribuito.

36

Le equazioni di equilibrio e di congruenza 1.21 diventano ora:

1.108

Elaborando le 1.108 come nel caso dell'elemento asta si ottiene l'espressione delcarico nodale equivalente ad un carico uniformemente distribuito:

1.109

0 fv1 fv2 qv l� ��

0 f� v1lqv l 2

2---------� mz1 mz2� ��

�z2 �z1�l

EJz-------- mz1�

l 2

2EJz----------- fv1

qv l 3

6EJz-----------� ��

v2 v1� �z1l�l 2

2EJz----------- mz1�

l 3

6EJz----------- fv1

qv l 4

24EJz--------------� ��

fe }{ T qvl2--- l 2

12------ l

2---

l 2

12------�

Ó þÌ ýÏ ¸

�


1.10.6 Elemento trave inflessa: gradiente termico

Si consideri ora una trave sottoposta a temperature differenti su intradosso edestradosso. In direzione normale all'asse della trave ci sarà pertanto una varia-zione di temperatura, con legge di variazione considerata lineare. Il valor mediodi tale variazione di temperatura, rispetto ad un valore di riferimento, è respon-sabile dell'allungamento assiale della trave e di ciò si è tenuto conto in 1.98; lavariazione rispetto al valor medio è invece responsabile dell'inflessione ed è que-sta variazione che verrà qui analizzata.

Fig. 1.25 – Trave inflessa sottoposta a gradiente termico.

37

Indicando con �T la differenza di temperatura tra valore massimo e valoremedio, positivo se la temperatura cresce nel verso delle y crescenti (fig. 1.25), conh l'altezza della trave e con il coefficiente di dilatazione termica lineare, acausa dell'aumento differenziale di temperatura si ha:

1.110

e pertanto le equazioni di deformazione 1.19, 1.20 diventano:

1.111

queste, insieme alle equazioni di equilibrio 1.16 e 1.17 portano alla relazionematriciale di rigidezza 1.25 ed al vettore dei carichi nodali equivalente ad unadistribuzione di temperatura:

1.112

��

�z2 �z1� 2��Txh--��

�z2 �z1�l

EJz------- mz1�

l 2

2EJz----------- fv1 2��T

lh--��

v2 v1� �z1l�l 2

2EJz----------- mz1�

l 3

6EJz----------- fv1 ��T

l 2

h-----��

fe }{ T 02��TEJz

h-------------------------- 0

2��TEJz

h--------------------------�

Ó þÌ ýÏ ¸

�


1.10.7 Elemento trave inflessa: carichi concentrati

Il vettore dei carichi nodali equivalente a carichi concentrati fv e mz ad unaascissa dal nodo 1 è ricavato in modo analogo a quanto fatto per l'elementoasta. Elaborando le equazioni di equilibrio e di congruenza opportunamentescritte, si ottiene:

1.113

1.10.8 Trave nel piano; carichi nodali equivalenti

I carichi nodali equivalenti possono essere ottenuti come opportuna sovrapposi-zione dei carichi nodali equivalenti per l'elemento barra e per l'elemento traveinflessa, analogamente a quanto fatto per la matrice di rigidezza.

Ad esempio il carico nodale equivalente ad un carico uniformemente distribuitoassiale qu e ad un carico uniformemente distribuito verticale qv (fig. 1.26).

x�

fe }{

l 3 2x�3 3lx�2��

l 3--------------------------------------------- fv

6x� l x��( )l 3

-----------------------------mz�

x�3 l 2x� 2lx�2��

l 2----------------------------------------------- fv

l 2 3x�2 4lx��

l 2------------------------------------------mz�

2x�3 3lx�2�

l 3-------------------------------- fv

6x� l x��( )l 3

-----------------------------mz�

x�3 lx�2�

l 2------------------------- fv

3x�2 2lx��

l 2------------------------------mz�

Ó þÔ ÔÔ ÔÔ ÔÔ ÔÔ ÔÌ ýÔ ÔÔ ÔÔ ÔÔ ÔÔ ÔÏ ¸

�

Fig. 1.26 – Carico distribuito.

38

è dato, nel sistema di riferimento locale x ,y da:

1.114fe }{ T qul2--- qv

l2--- qv

l 2

12------ qu

l2--- qv

l2--- qv

l 2

12------�

Ó þÌ ýÏ ¸

�


mentre quello dovuto ad una distribuzione di temperatura con valor medio Tm egradiente �T (fig. 1.27) è dato da:

1.115fe }{ T��EA�Tm � 0

2��EJz �T

h-------------------------- ��EA�Tm 0

2��EJz �T

h--------------------------�

Ó þÔ ÔÌ ýÔ ÔÏ ¸

�

Fig. 1.27 – Effetto termico.

39

I vettori dei carichi nodali equivalenti nel sistema di riferimento globale X,Y pos-sono essere ricavati ricordando le 1.68 e 1.56:

1.116

In generale se:

1.117

si ha:

1.118

dove J rappresenta l'angolo formato tra l'asse x locale e l'asse X globale.

fe }{ X R[ ]T fe{ }x�

fe }{ xT fe1 fe2 fe3 fe4 fe5 fe6{ }�

fe{ }X

fe1 �cos fe2 �sin�


fe3



fe6Ó þÔ ÔÔ ÔÔ ÔÔ ÔÌ ýÔ ÔÔ ÔÔ ÔÔ ÔÏ ¸

�


ELEMENTO ASTA - TABELLA SINOTTICA

EAl

------- 1 1�

1� 1

u1


fu2Ó þÌ ýÏ ¸ qu l

2-------

1

1Ó þÌ ýÏ ¸

+��

+��EATm1�

1Ó þÌ ýÏ ¸

EA�ll

-----1

1�Ó þÌ ýÏ ¸ fu

l----

l x��

x�Ó þÌ ýÏ ¸

� �

40

con:

E modulo elastico

A area (costante) della sezione retta

l lunghezza dell'elemento

�l variazione di lunghezza iniziale; positivo se gioco, negativo se interfe-renza

Tm variazione di temperatura, uguale in ogni sezione

�* coefficiente di dilatazione termica lineare

qu carico assiale per unità di lunghezza, costante

fu carico assiale concentrato all'ascissa x�


ELEMENTO TRAVE INFLESSA - TABELLA SINOTTICA

EJz

12l3------ 6

l2----

12l3------�

6l2----

6l2---- 4

l---

6l2----�

2l---

12l3------�

6l2----�

12l3------

6l2----�

6l2---- 2

l---

6l2----�

4l---

v1

�z1

v2


mz1

fv2


qv

l2---

l 2

12------

l2---

l 2

12------�


+��

+��TEJz

h-----------------------

0

1

0

1�Ó þÔ ÔÔ ÔÌ ýÔ ÔÔ ÔÏ ¸

l3 2x �3 3lx�2��

l 3--------------------------------------------- fv

6x� l x��( )l 3

-----------------------------mz�

x�3 l 2x� 2lx�2��

l 2------------------------------------------------ fv

l 2 3x�2 4lx��

l 2-------------------------------------------mz�

2x�3 3lx�2�

l 3-------------------------------- fv

6x� l x��( )l 3

-----------------------------mz�

x�3 lx�2�

l 2-------------------------- fv

3x�2 2lx��

l 2------------------------------mz�


�

41

con:

E modulo elastico

h altezza della sezione

Jz momento d'inerzia trasversale

l lunghezza dell'elemento

2�T variazione di temperatura estradosso-intradosso

�* coefficiente di dilatazione termica lineare

qv carico assiale per unità di lunghezza, costante

fv carico assiale concentrato all'ascissa

mz momento concentrato all'ascissa

x�

x�

2. CARATTERIZZAZIONE DELLA STRUTTURA

2.1 V

ARIABILI

ED

EQUAZIONI

STRUTTURA

Nel capitolo

1

sono stati ricavati la matrice di rigidezza ed i vettori dei carichinodali equivalenti per gli elementi barra e trave a partire dalle equazioni di equi-librio e congruenza:

Si descriverà ora come questi elementi vengono

assemblati

tra di loro per costru-ire una struttura. Quanto verrà illustrato in questo capitolo ha validità del tuttogenerale e non è legato al particolare elemento trave studiato nel capitolo

1.

A titolo d'esempio si osservi la struttura di figura

2.1

, che si può considerarecomposta da tre elementi barra, compresi rispettivamente tra i punti 1 e 2, 1 e 3,2 e 3; i punti 1, 2, 3 sono detti

nodi

della struttura.

Fig. 2.1 – Struttura reticolare.

2.1k[ ] s{ } f }{ fe{ }+=

43

CARATTERIZZAZIONE

DELLA

STRUTTURA

Le proprietà elastiche di ciascun elemento sono definite, a prescindere dallastruttura, dalla

2.1

in cui i vettori degli spostamenti generalizzati {

s

} e delle forzegeneralizzate {

f

} relativi al generico elemento sono dati da:

2.2

Si è quindi in grado di costituire idealmente un

magazzino

degli elementi checompongono la struttura, costituito da:

1. l'elenco delle variabili-elemento {

s

}, {

f

} che servono a definire leproprietà di ogni singolo elemento presente nella struttura

2. l'insieme delle equazioni che legano tra di loro le variabili-elementoper ciascuno degli elementi

Per descrivere matematicamente la struttura occorre ora definire:

1. l'elenco delle variabili-struttura

2. le equazioni che legano fra loro le variabili-struttura

Nel caso della figura

2.1

le variabili struttura sono:

s{ }T u1 v1 u2 v2{ }=

f }{ T fu1 fv1 fu2 fv2{ }=

2.3

S{ }T U1 V1 U2 V2 U3 V3{ }=

F{ }T Fu1 Fv1 Fu2 Fv2 Fu3 Fv3{ }=

44

Analogamente a quanto fatto per il singolo elemento, anche per la struttura ven-gono quindi individuati due insiemi distinti di variabili:

– N variabili cinematiche, cioè gli spostamenti generalizzati necessari adefinire il campo di spostamento della struttura

– N variabili statiche, cioè forze generalizzate che dall'esterno sonoapplicate nei punti nodali della struttura

Il numero N di variabili struttura è dato dalla sommatoria, estesa a tutti i nodidella struttura, del numero di gradi di libertà cinematici di ciascun nodo. Nelcaso della struttura di figura 2.1 (3 nodi e 2 gradi di libertà per nodo) il numerodi gradi di libertà della struttura è pari a 6.

Per poter caratterizzare matematicamente la struttura, si definiscono, per ciascunnodo, le seguenti relazioni tra le variabili struttura e le variabili elemento:

– l'uguaglianza tra le variabili cinematiche struttura e quelle degli ele-menti che concorrono nel nodo

– l'equilibrio tra le variabili statiche struttura e quelle degli elementi checoncorrono nel nodo

CARATTERIZZAZIONE

DELLA

STRUTTURA

Fig. 2.2 –

Struttura ed elementi.

Per la congruenza degli spostamenti dovranno valere le seguenti uguaglianze:

2.4u2( )

2U2= v2( )

2V2=

u2( )3

U2= v2( )3

V2=

Queste equazioni rappresentano matematicamente il fatto che i due elementi2, 3 sono uniti nel nodo comune 2. In generale tutte le variabili cinematicheelemento vengono espresse in funzione delle variabili cinematiche struttura,mediante un numero di equazioni pari al numero di variabili elemento.Per quanto riguarda le variabili statiche, nel nodo 2 sono definiti, per la strut-tura, i carichi e per i due elementi, negli estremi che confluiscononel nodo 2, le variabili, sempre riferite al sistema di riferimento globale

per l'elemento 2, per l'elemento 3. Per l'equilibrio delnodo 2 si deve avere:

Fu2 Fv2,X Y,

fu2 fv2,( )2

fu2 fv2,( )2

2.5fu2( )

2fu2( )

3+ Fu2=

fv2( )2

fv2( )3

+ Fv2=

ESEMPIO 2.1

Descrivere le relazioni tra variabili elemento e variabili struttura per il nodo 2della struttura piana di figura 2.2.Nel nodo 2, ove concorrono l'elemento 2 e l'elemento 3, sono definite levariabili cinematiche struttura . Per ciascuno dei due elementi sonodefinite, negli estremi che confluiscono nel nodo 2 le variabili elemento

per l'elemento 2, per l'elemento 3. È chiaro che l'insiemedelle variabili, elemento e struttura, è riferito al sistema di riferimento glo-bale .

U2 V2,

u2 v2,( )2

u2 v2,( )3

X Y,

45

Per quanto riguarda i carichi si hanno così tante equazioni quante le variabilistruttura.

CARATTERIZZAZIONE

DELLA

STRUTTURA

In generale quindi se alla struttura sono associate

N

variabili cinematiche ed

N

statiche e se la struttura è composta da elementi che complessivamente compor-tano n variabili cinematiche e

n

statiche, le equazioni che esprimono il collega-mento degli elementi in una struttura saranno:

–

N

equazioni di equilibrio

–

n

equazioni di congruenza

2.2 A

SSEMBLAGGIO

DELLE EQUAZIONI STRUTTURA

Nell'esempio precedente si è visto che per descrivere matematicamente come ivari elementi sono collegati per formare la struttura si scrivono N equazioni diequilibrio e n equazioni di congruenza. Tenendo conto che si hanno a disposi-zione n equazioni-elemento 2.1, si possono in totale ottenere N + 2n equazionirisolutive del problema strutturale. In tali equazioni compaiono sia le 2N varia-bili struttura sia le 2n variabili elemento.

Si potrebbe pensare, a questo punto, di utilizzare le equazioni cos come sonostate derivate e risolvere il problema in termini sia di variabili elemento sia divariabili struttura; è però più efficiente, dal punto di vista di organizzazione esistematicità del calcolo, lavorare solo a livello di struttura e con sole variabilistruttura.

Le equazioni che esprimono le variabili elemento in termini di variabili strutturaverranno quindi utilizzate per ottenere, a partire dalla scrittura di rigidezza deisingoli elementi, la notazione di rigidezza per la struttura:

2.6

Indicato con E il numero degli elementi costituenti la struttura, le equazioni checaratterizzano il comportamento dell'elemento h-esimo sono definite da:

K[ ] S{ } F{ } Fe{ }+=

2.7k[ ]h s{ }h f }{ h fe{ }h+= h 1... E=

46

e legano forze e spostamenti generalizzati ai nodi dell'elemento.

Si immagini ora di costruire fisicamente la struttura a partire dagli elementi adisposizione in un magazzino. I nodi della struttura avranno una loro posizioneben determinata nello spazio e tra questi nodi dovranno essere inseriti gli ele-menti per formare la struttura.

Dovrà quindi esserci una corrispondenza tra i nodi dei vari elementi ed i nodidella struttura: se il nodo i dell'elemento h-esimo dovrà coincidere col nodo kdella struttura allora gli spostamenti-elemento del nodo i dovranno coinciderecon gli spostamenti-struttura del nodo k, mentre le forze-elemento del nodo icontribuiranno all'equilibrio del nodo k.

CARATTERIZZAZIONE DELLA STRUTTURA

ESEMPIO 2.2

Ricavare la matrice di rigidezza per la struttura rappresentata in figura 2.1.La struttura è composta da 3 elementi barra la cui matrice di rigidezza è data,nel sistema di riferimento globale dalla 1.77. La corrispondenza tra nodielementi e nodi struttura è data dalla tabella 2.1; le equazioni di congruenzatra gli spostamenti elemento e spostamenti struttura e le equazioni di equili-brio ai nodi sono riassunte rispettivamente nelle tabelle 2.2 e 2.3.

Tab. 2.1 – Connessione degli elementi per la struttura di figura 2.1

ELEMENTO 1 2 3

NODO 1 1 1 3

NODO 2 3 2 2

X Y,

Tab. 2.2 – Equazioni di congruenza per gli spostamenti elemento e spostamenti struttura

ELEMENTO 1

ELEMENTO 2

ELEMENTO 3

u1( )1

U1= v1( )1

V1=

u2( )1

U3= v2( )1

V3=

u1( )2

U1= v1( )2

V1=

u2( )2

U2= v2( )2

V2=

u1( )3

U3= v1( )3

V3=

u2( )3

U2= v2( )3

V2=

Tab. 2.3 – Equazioni di equilibrio ai nodi della struttura

NODO 1

NODO 2

NODO 3

fu1( )1

fu1( )2

+ Fu1=

fv1( )1

fv1( )2

+ Fv1=

fu2( )2

fu2( )3

+ Fu2=

fv2( )2

fv2( )3

+ Fv2=

fu2( )1

fu1( )3

+ Fu3=

fv2( )1

fv1( )3

+ Fv3=

47


Sostituendo le equazioni di congruenza (tab. 2.2) nelle espressioni di rigi-dezza dei singoli elementi si ottiene, per l'elemento 1:

2.8

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44

U1

V1

U3

V3Ó þÔ ÔÔ ÔÌ ýÔ ÔÔ ÔÏ ¸ fu1

fv1

fu2


=

48

per l'elemento 2:

2.9

per l'elemento 3:

2.10

Sostituendo nelle equazioni di equilibrio (tab. 2.3) le espressioni delle forzeelemento date dalle 2.3, 2.4 e 2.5 si ottiene:

2.11

2.12

b11 b12 b13 b14

b21 b22 b23 b24

b31 b32 b33 b34

b41 b42 b43 b44

U1

V1

U2


fv1

fu2


=

c11 c12 c13 c14

c21 c22 c23 c24

c31 c32 c33 c34

c41 c42 c43 c44

U3

V3

U2


fv1

fu2


=

Fu1 a11U1 a12V1 a13U3 a14V3 b11U1 b12V1 b13U2 b14V2++ ++ ++ +=

Fv1 a21U1 a22V1 a23U3 a24V3 b21U1 b22V1 b23U2 b24V2++ ++ ++ +=

Fu2 b31U1 b32V1 b33U2 b34V2 c31U3 c32V3 c33U2 c34V2++ ++ ++ +=

Fv2 b41U1 b42V1 b43U2 b44V2 c41U3 c42V3 c43U2 c44V2++ ++ ++ +=

Fu3 a31U1 a32V1 a33U3 a34V3 c11U3 c12V3 c13U2 c14V2++ ++ ++ +=

Fv3 a41U1 a42V1 a43U3 a44V3 c21U3 c22V3 c23U2 c24V2++ ++ ++ +=

a11 b11+( ) a12 b12+( ) b13 b14 a13 a14

a21 b21+( ) a22 b22+( ) b23 b24 a23 a24

b31 b32 b33 c33+( ) b34 c34+( ) c31 c32

b41 b42 b43 c43+( ) b44 c44+( ) c41 c42

a31 a32 c13 c14 a33 c11+( ) a34 c12+( )

a41 a42 c23 c24 a43 c21+( ) a44 c22+( )

U1

V1

U2

V2

U3

V3Ó þÔ ÔÔ ÔÔ ÔÔ ÔÌ ýÔ ÔÔ ÔÔ ÔÔ ÔÏ ¸ Fu1

Fv1

Fu2

Fv2

Fu3

Fv3Ó þÔ ÔÔ ÔÔ ÔÔ ÔÌ ýÔ ÔÔ ÔÔ ÔÔ ÔÏ ¸

=


Da notare che la matrice di rigidezza globale è ancora simmetrica e definitapos i t i va . As sumendo i s eguent i va lo r i ;

; , , dalla 1.77 si ottiene:

per l'elemento 1 (J = 90˚; c = 0; s = 1):

2.13

per l'elemento 2 (J = 0˚; c = 1; s = 0):

E1 E2 E3 1000= = =A1 A2 A3 1= = = l1 l2 1= = l3 1.414=

k[ ]1

0 0 0 00 1000 0 1000 –

0 0 0 00 1000– 0 1000

=

2.14k[ ]2

1000 0 1000– 0 0 0 0 0

1000– 0 1000 0 0 0 0 0

=

per l'elemento 3 (J = – 45˚; c = 0.707; s = – 0.707):

2.15k[ ]3

354 354– 354– 354 354– 354 354 354 –

354– 354 354 354 –

354 354– 354– 354

=

e la matrice di rigidezza della struttura è:

2.16k[ ]

1000 0 1000– 0 0 00 1000 0 0 0 1000–

1000– 0 1354 354– 354– 3540 0 354– 354 354 354–

0 0 354– 354 354 354–

0 1000– 354 354– 354– 1354

=

49

Nel precedente esempio si è illustrato come vengono ricavate le equazioni diequilibrio della struttura conoscendo:

– la corrispondenza tra nodi elemento e nodi struttura

– le matrici di rigidezza degli elementi

Da notare che la posizione nella matrice di rigidezza della struttura del coeffi-ciente kij della matrice di rigidezza dell'elemento h-esimo dipende esclusivamentedalla corrispondenza tra i nodi dell'elemento h-esimo ed i nodi della struttura.

Si prenda ad esempio il coefficiente c42 dell'elemento 3 della struttura difigura 2.1. Esso moltiplica lo spostamento v1 del nodo 1 elemento che coincidecon lo spostamento V3 nodo 3 struttura; quindi il coefficiente c42 dovrà occupareuna casella nella colonna 6 della matrice di rigidezza struttura, corrispondenteallo spostamento V3.


Inoltre il coefficiente c42 compare nell'equazione di equilibrio della forza fv2 delnodo 2 elemento; questa a sua volta contribuisce all'equilibrio della forza Fv2 delnodo 2 struttura. Quindi il coefficiente c42 dovrà occupare, sommandosi, unacasella nella riga 4 della matrice di rigidezza della struttura, corrispondenteall'equazione di equilibrio per la forza Fv2. Sono così determinate le coordinatedella posizione dell'elemento c42 nella matrice di rigidezza della struttura: riga 4,colonna 6.

Questo procedimento di assemblaggio può anche essere visto sotto un altroaspetto in modo da ottenere un algoritmo direttamente utilizzabile nei pro-grammi di calcolo. A questo scopo risulta più conveniente identificare i gradi dilibertà, siano essi associati all'elemento o alla struttura, con un numero inveceche con una lettera come si è fatto sino ad ora.

Si esamini ancora la struttura dell'esempio 2.1. I gradi di libertà dell'elemento h-esimo associati al nodo 1 saranno ora indicati con 1 e 2 invece che u1 e v1, equelli associati al nodo 2 con 3 e 4 invece che u2 e v2. Le equazioni elementosaranno a loro volta indicate con 1, 2, 3, 4 (fig. 2.3).

I gradi di libertà struttura saranno invece: 1 e 2 per il nodo 1 invece che U1 e V1,3 e 4 per il nodo 2 invece che U2 e V2, 5 e 6 per il nodo 3 invece che U3 e V3.Allo stesso modo le equazioni struttura saranno numerate come 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Fig. 2.3 – Numerazione delle equazioni struttura ed elemento.

50

Questo modo di identificare i gradi di libertà fornisce inoltre direttamente ledimensioni dei sistemi di equazioni associati all'elemento o alla struttura; infattiper l'elemento si hanno 4 gradi di libertà e la matrice di rigidezza avrà dimen-sioni 4x4, per la struttura si hanno 6 gradi di libertà e la matrice di rigidezzadella struttura avrà dimensioni 6x6.


Per assemblare la matrice di rigidezza struttura si farà allora riferimento diretta-mente alla corrispondenza (mappa) tra i gradi di libertà elemento e i gradi dilibertà struttura, e tra le equazioni elemento e le equazioni struttura.

La mappa individua direttamente la corrispondenza tra la posizione del genericocoefficiente della matrice di rigidezza elemento e la sua posizione nella matrice dirigidezza struttura.

Nel caso della struttura di figura 2.3 la mappa tra gradi di libertà elemento egradi di libertà struttura e tra equazioni elemento e equazioni struttura è datadalla tabella 2.4.

Tab. 2.4 – Mappa per la corrispondenza dei gradi di libertà elemento e dei gradi di libertà struttura

Per l'elemento h-esimo la relazione di rigidezza 2.7 si può scrivere come segue:

ELEMENTO 1 G.D.L. ELEMENTO 1 2 3 4

G.D.L. STRUTTURA 1 2 5 6





2.17fi( )h kij( )h sj( )h fei( )h–j 1=

nh

Â=

51

avendo indicato con nh il numero di gradi di libertà dell'elemento h-esimo.

Ciascun grado di libertà cinematico ( j = 1, nh ) dell'elemento corrisponde biuni-vocamente, per un dato elemento h, con un grado di libertà cinematico dellastruttura, indicato con Ghj e leggibile nella colonna j-esima della mappa dell'ele-mento (tab. 2.5); un medesimo valore di Ghj può comparire una volta sola nellamappa dell'elemento perché un grado di libertà elemento corrisponde ad uno eduno solo grado di libertà struttura.


Tab. 2.5 – Mappa per la corrispondenza dei gradi di libertà dell'elemento h-esimo e dei gradi di libertà struttura

ELEMENTO h G.D.L. ELEMENTO ... j ... i

G.D.L. STRUTTURA ... ...Ghj Ghi

Le equazioni di congruenza, di cui alla tabella (tab. 2.2), possono quindi essere

Analogamente ciascun grado di libertà statico (i = 1, nh ) dell'elemento corri-sponderà biunivocamente con un grado di libertà statico della struttura, indicatocon Ghi e leggibile in corrispondenza della colonna i-esima della mappa dell'ele-mento (tab. 2.5).

La forza ( fi )h contribuirà quindi all'equilibrio della forza struttura, comenella tabella 2.3. Formalmente questo contributo all'equilibrio si può scrivere:

2.19

avendo indicato con la quota parte dell’equazione di equilibrio corri-spondente al contributo di ( fi )h . Sostituendo la 2.17 nella 2.19 e tenendo contodella 2.18 si ha:

2.20

ovvero:

2.21

essendo l'incremento del coefficiente dovuto al coefficiente(kij )h dell'elemento h:

FGhi

DFGhifi )( h=

DFGhi

DFGhikij( )hSGhj

j 1=

nh

Â fei )( h–=

DFGhiDKGhiGhj

SGhj

j 1=

nh

Â DFe( )Ghi–=

DKGhiGhjKGhiGhj

2.22DKGhiGhjkij( )h=

e l'incremento della componente del carico nodale equiva-lente dovuto al carico ( fei )h dell'elemento h :

DFe( )GhiFe( )Ghi

2.23DFe( )Ghifei )( h=

scritte come:

2.18sj( )h SGhj=

52


Dalla 2.22 si nota immediatamente che il coefficiente di rigidezza (kij )h dell'ele-mento h, di coordinate i , j va ad occupare, sommandosi, una casella di coordinateGhi, Ghj della matrice di rigidezza della struttura; un analogo trasferimento si haper i carichi nodali equivalenti, come si può vedere dalla 2.23. La figura 2.4 illu-stra graficamente questo procedimento.

Fig. 2.4 – Schema di assemblaggio.

ESEMPIO 2.3

Esiste un caso in cui l'assemblaggio della matrice di rigidezza globale puòessere effettuato in modo formalmente molto semplice.

Fig. 2.5 – Struttura in serie.

53

È il caso di strutture in serie, composte cioè da elementi aventi due soliestremi e assemblati senza ramificazioni, come nel caso di figura 2.5.La matrice di rigidezza della struttura si ottiene disponendo le singolematrici di rigidezza elemento lungo la diagonale principale di esovrapponendone i quadranti, dove la sovrapposizione corrisponde alla sommadegli elementi corrispondenti; la figura 2.6 illustra graficamente lo schema diassemblaggio.

K[ ]k[ ]h K[ ]


Fig. 2.6 – Schema di assemblaggio per strutture in serie.

Una caratteristica tipica della matrice di rigidezza globale, oltre alla già vista sim-metria, è quella di presentare una struttura a banda; cioè tutti i coefficientidiversi da zero sono raccolti intorno alla diagonale principale entro una fascia lacui ampiezza è indicata con 2B-1, essendo B la semiampiezza di banda, il cuivalore è generalmente di gran lunga inferiore al numero N di equazioni delsistema.

Queste caratteristiche, associate al fatto che, come si vedrà in seguito, nel pro-cesso di soluzione la simmetria della matrice viene mantenuta e che i coefficiential di fuori della semiampiezza di banda non vengono alterati, permettono diavere tutte le informazioni riguardanti la matrice stessa nei NxB coefficienti dellasemibanda.

Fig. 2.7 – Rappresentazione rettangolare della matrice di rigidezza.

54

Si può utilizzare allora una rappresentazione rettangolare della matrice di rigi-dezza della struttura (fig. 2.7), ottenendo così un notevole risparmio dellamemoria necessaria per immagazzinare i coefficienti della matrice di rigidezza.


È quindi importante che la semiampiezza di banda sia la più piccola possibile,per ridurre al minimo lo spazio di memoria necessario. Il valore di B dipendedallo schema di numerazione dei nodi della struttura e, se tutti i nodi hanno lostesso numero di gradi di libertà, è ricavabile da:

2.24

essendo G il numero di gradi di libertà per nodo e M la massima differenza nellanumerazione tra i nodi struttura collegati tra di loro con un elemento.

Per minimizzare la semiampiezza di banda bisogna quindi minimizzare la diffe-renza nella numerazione tra i nodi struttura collegati tra di loro con un ele-mento. Una piccola ampiezza di banda è generalmente ottenuta numerandoconsecutivamente i nodi lungo la dimensione più piccola della struttura.

ESEMPIO 2.4

Determinare la semiampiezza di banda per la struttura numerata secondo glischemi di figura 2.8a e b.

B G M 1+( )=

Fig. 2.8 – Numerazione dei nodi ed am piezza di banda.

55

Supponendo la struttura formata da elementi asta, il numero di gradi dilibertà per nodo, G è pari a 2. Nel caso della figura 2.8a la massima differenzanella numerazione nodale è data da (5 – 1), ovvero dalla differenza nodaledelle aste verticali, ed è pari a 4. La semiampiezza di banda risulta quindi:

2.25

Nel caso della figura 2.8b la massima differenza nella numerazione nodale èdata da (3 – 1) ovvero dalla differenza nodale delle aste orizzontali, ed è paria 2. La semiampiezza di banda risulta quindi:

2.26

La memorizzazione della matrice nel formato a banda è semplice ma può a voltenon risultare il metodo più efficiente, in special modo per matrici sparse. In talcaso si può utilizzare il metodo cosiddetto dello skyline, memorizzando lamatrice di rigidezza [K ] sotto forma di una matrice unidimensionale [S ] for-

Ba 2 4 1+( ) 10= =

Bb 2 2 1+( ) 6= =


mata dai coefficienti delle colonne che giacciono sotto la skyline (fig. 2.9). Perconservare l'informazione riguardante la lunghezza effettiva di ciascuna colonnaè però necessario costruire un secondo vettore [Diag ] in cui memorizzare la posi-zione nel vettore [S ], degli elementi che erano sulla diagonale principale dellamatrice di partenza.

Fig. 2.9 – Memorizzazione con il metodo dello skyline.

56

2.3 CALCOLO DEGLI SPOSTAMENTI INCOGNITI

L'assemblaggio delle matrici di rigidezza e dei carichi nodali equivalenti deglielementi costituenti una struttura porta alla seguente notazione di rigidezza:

2.27

La matrice di rigidezza nell'equazione 2.27 è singolare e non può essere invertitaper risolvere il sistema in termini di spostamenti. La ragione fisica di ciò è dovutaal fatto che la struttura, di cui la 2.3 rappresenta la caratterizzazione matematica,possiede L gradi di libertà di moto rigido.

Per poter risolvere il sistema 2.27 bisognerà imporre le condizioni al contorno edin particolare:

1. introdurre le condizioni di vincolo cinematico (in un numero suffi-ciente a impedire il moto rigido della struttura); i corrispondenti ter-mini di forze saranno incognite (reazioni vincolari)

2. introdurre le condizioni al contorno in termini di carichi; i terminicorrispondenti di spostamento saranno incogniti

È da notare che quando uno spostamento è noto la corrispondente forza è inco-gnita e viceversa.

K[ ] S{ } F{ } Fe{ }+=


Per illustrare formalmente la procedura di soluzione si immagini ora di riordi-nare le equazioni, scambiando opportunamente righe e colonne della matrice[K ] in modo tale che i termini di spostamento noto occupino le prime posizioninel vettore degli spostamenti {S }.

Dopo aver riordinato le equazioni si esegua una partizione di matrici:

2.28

avendo indicato con {S1} gli spostamenti noti e con {S2 } quelli incogniti, con{F1} le forze incognite o reazioni vincolari e con {F2} le forze note.

Operando separatamente sulle singole sottomatrici il sistema 2.28 si può scrivere:

K11 K12

K21 K22

S1{ }

S2{ }Ó þÌ ýÏ ¸ F1{ }

F2{ }Ó þÌ ýÏ ¸ Fe1{ }

Fe2{ }Ó þÌ ýÏ ¸

+=

2.29K11[ ] S1{ } K12[ ] S2{ }+ F1{ } Fe1{ }+=

K21[ ] S1{ } K22[ ] S2{ }+ F2{ } Fe2{ }+=

57

Si hanno così due sottosistemi di equazioni; nel primo si hanno sia gli sposta-menti che le forze come incognite; nel secondo le uniche incognite sono costitu-ite dagli spostamenti. Dal secondo sottosistema verranno quindi ricavati glispostamenti incogniti {S2}:

2.30

Noti infine gli spostamenti {S2}, dal primo sottosistema vengono calcolate le rea-zioni vincolari:

2.31

È da notare che le operazioni di riordino delle equazioni, con la conseguente par-tizione di matrici, e di inversione di matrice non sono effettivamente svolte nellapratica di calcolo; sono state qui utilizzati al solo scopo di illustrare in modo for-male lo schema di soluzione.

S2{ } K22[ ] 1– F2{ } Fe2{ } K21[ ] S1{ }–+( )=

F1{ } K11[ ] S1{ } K12[ ] S2{ } Fe1{ }–+=


La notazione di rigidezza per la struttura si ricava dalla 2.16:

2.32

1000 0 1000– 0 0 00 1000 0 0 0 1000–

1000– 0 1354 354– 354– 3540 0 354– 354 354 354–

0 0 354– 354 354 354–

0 1000– 354 354– 354– 1354

U1

V1

U2

V2

U3


Fv1

Fu2

Fv2

Fu3


=

Le condizioni al contorno sono:

2.33U1 0= V1 0= U3 0= V3 0=

Fu2 0= Fv2 1–=

I sottovettori degli spostamenti noti e delle reazioni vincolari sono quindiformati da:

2.34S1{ }T U1 V1 U3 V3{ }=

F1{ }T Fu1 Fv1 Fu3 Fv3{ }=

ESEMPIO 2.5

Calcolare, per la struttura di figura 2.10, gli spostamenti e le reazioni vinco-lari quando sia applicata, nel nodo 2 una forza verticale pari a 1.

Fig. 2.10 – Struttura reticolare.

58

mentre i sottovettori degli spostamenti incogniti e delle forze note da:

2.35S2{ }T U2 V2{ }=

F2{ }T Fu2 Fv2{ }=


Il sistema 2.32, dopo aver riordinato le equazioni, diventa:

2.36

Il sistema risolutivo in termini di spostamento è:

1000 0 0 0 1000 – 00 1000 0 1000– 0 00 0 354 354– 354 – 354 0 1000– 354– 1354 354 354 –

1000– 0 354– 354 1354 354 –

0 0 354 354– 354 – 354

U1

V1

U3

V3

U2


Fv1

Fu3

Fv3

Fu2


=

2.371354 354–

354– 354

U2

V2Ó þÌ ýÏ ¸ 0

1–Ó þÌ ýÏ ¸

=

59

essendo nulli il vettore ed il vettore dei carichi nodali equivalenti. La soluzione del sistema 2.37 fornisce:

2.38

Le reazioni vincolari sono date dal secondo sottosistema:

2.39

e sostituendo i valori:

2.40

La verifica all'equilibrio secondo e porta a:

2.41

La figura 2.11 mostra la deformata della struttura.

S1{ }Fe1{ }

U2 1 103–¥–= V2 3.82 10

3–¥–=

Fu1

Fv1

Fu3

Fv3Ó þÔ ÔÔ ÔÌ ýÔ ÔÔ ÔÏ ¸ 1000– 0

0 0354– 354 354 354 –

U2

V2Ó þÌ ýÏ ¸

=

Fu1 1= Fv1 0=

Fu3 1–= Fv3 1=

X Y

Fu1 Fu2 Fu3+ + 1 0 1–+ 0= =

Fv1 Fv2 Fv3+ + 0 1– 1+ 0= =


Fig. 2.11 – Deformata della struttura di figura 2.10.

60

2.4 VINCOLI CINEMATICI

Nel paragrafo precedente è stato illustrato il procedimento formale per la risolu-zione del sistema di equazioni struttura. La suddivisione in sottomatrici dellamatrice di rigidezza non è tuttavia utilizzata per due motivi fondamentali:

a. il riordino delle righe e delle colonne della matrice di rigidezza non èfacilmente programmabile e comporta un elevato tempo di calcolo

b. la natura a banda della matrice di rigidezza viene generalmente persa

Verranno qui descritti alcuni metodi comunemente adottati per imporre le con-dizioni di vincolo senza alterare la natura della matrice di rigidezza globale [K ].

2.42

2.4.1 Approssimazione con molle

Questo metodo permette di tener conto allo stesso modo di spostamenti nulli edi spostamenti noti; vengono conservati tutti i gradi di libertà cinematici ed ivincoli vengono approssimati con molle molto rigide (ad esempio 106 volte piùrigide degli elementi strutturali).

Si immagini che l'i-esimo grado di libertà cinematico sia noto e pari ad unvalore prescritto , generalmente diverso da zero.

K11 K12 º K1i º K1n

K21 K22 º K2i º K2n

º º º º º ºKi1 Ki2 º Kii º Kin

º º º º º ºKn1 Kn2 º Kni º Knn

S1

S2

ºSi

ºSnÓ þ

Ô ÔÔ ÔÔ ÔÔ ÔÌ ýÔ ÔÔ ÔÔ ÔÔ ÔÏ ¸ F1

F2

ºFi

ºFnÓ þ

Ô ÔÔ ÔÔ ÔÔ ÔÌ ýÔ ÔÔ ÔÔ ÔÔ ÔÏ ¸

=

SiS *i


Sostituire il vincolo cinematico nella direzione di con una molla molto rigidaequivale in termini matematici a sommare una rigidezza molto grande alcoefficiente sulla diagonale principale di corrispondente al grado dilibertà e modificare la componente i-esima del vettore dei carichi nodali inmodo che la molla, sotto l'azione di tale componente, subisca uno spostamento

; si ha così:

2.43

La figura 2.12 illustra la configurazione corrispondente all'applicazione di questometodo per la struttura di figura 2.1.

SiK *

Kii K[ ]Si

S *iKii Kii K*+=

Fi K*Si*=

Fig. 2.12 – Approssimazione delle condizioni di vincolo con molle.

61

Dal momento che nel sistema sono stati conservati tutti i gradi di libertà dellastruttura, gli spostamenti noti, nulli e non nulli, vengono ricalcolati e le reazionivincolari possono essere determinate senza difficoltà.

2.4.2 Modifica della mappa

Questo metodo tiene conto in modo esatto dei soli vincoli con spostamentonullo (vincoli rigidi); i vincoli con spostamento noto devono essere trattati comecarichi nodali equivalenti.

Secondo questo procedimento le equazioni corrispondenti ai gradi di libertà vin-colati non sono assemblate e si considera solo il secondo sottosistema di equa-zioni della 2.29:

2.44

essendo {S1} = {0}.

K22[ ] S2{ } F2{ } Fe2{ }+=


Ciò equivale a numerare solo le equazioni struttura corrispondenti ai gradi dilibertà non vincolati. Procedendo in tal modo vengono però perse le informa-zioni necessarie al calcolo delle reazioni vincolari; se è richiesto il calcolo di que-ste ultime bisognerà assemblare a parte le equazioni necessarie al calcolo.

ESEMPIO 2.6

Scrivere il sistema risolutivo della struttura di figura 2.13 utilizzando la modi-fica della mappa per l'applicazione dei vincoli cinematici.

Fig. 2.13 – Numerazione delle equazioni struttura.

62

Le equazioni struttura sono numerate come illustrato in figura 2.13, e cioèl'equazione n. 1 corrisponderà al grado di libertà secondo del nodo 2 el'equazione n. 2 al grado di libertà del nodo 2 secondo ; le equazioni corri-spondenti ai gradi di libertà dei nodi 1 e 3 non sono numerate in quanto glispostamenti orizzontali e verticali dei nodi 1 e 3 sono impediti.La mappa, cioè la corrispondenza tra gradi di libertà elemento e gradi dilibertà struttura e tra equazioni elemento e equazioni struttura è data dallatabella 2.6.

XY


Tab. 2.6 – Mappa per la corrispondenza delle equazioni elemento e equazioni struttura







63

Le equazioni dell'elemento n. 1 non corrispondono a nessuna equazione strut-tura in quanto i due nodi tra i quali è compreso l'elemento 1 sono entrambivincolati. Contribuiscono alle equazioni struttura solo le equazioni 3 e 4dell'elemento 2:

2.45

e le equazioni 3 e 4 dell'elemento 3:

2.46

per cui la matrice di rigidezza della struttura vincolata:

2.47

che corrisponde alla 2.37.

k[ ]2

1000 0 1000 – 0 0 0 0 0

1000 – 0 1000 0 0 0 0 0

=

k[ ]3

354 354– 354 – 354 354– 354 354 354 –

354– 354 354 354 –

354 354– 354– 354

=

K[ ] 1000 354 + 0 354 –

0 354 – 0 354 +=


64

2.4.3 Modifica della matrice di rigidezza

Un terzo modo, che permette di descrivere anche spostamenti diversi da zero,consiste nel sostituire la condizione in tutte le equazioni del sistema,portare al secondo membro tutti i termini noti, annullare la riga e la colonnacorrispondenti al grado di libertà i-esimo e sostituire al termine Kii il coefficiente1, scrivendo così l'i-esima equazione banale .

Anche in tal modo vengono però perse le informazioni necessarie al calcolo dellereazioni vincolari; se è necessario il calcolo di queste ultime bisognerà assemblarea parte le equazioni necessarie al calcolo.

2.48

ESEMPIO 2.7

Imporre le condizioni di vincolo per la struttura di figura 2.13 utilizzando lamodifica della matrice di rigidezza.La notazione di rigidezza della struttura è data dalla 2.32; imponendo le con-dizioni al contorno:

2.49

il sistema risolutivo diventa:

2.50

Si Si*=

Si Si*=

K11 K12 º 0 º K1n

K21 K22 º 0 º K2n

º º º º º º0 0 º 1 º 0

º º º º º ºKn1 Kn2 º 0 º Knn

S1

S2

ºSi

ºSnÓ þ

Ô ÔÔ ÔÔ ÔÔ ÔÌ ýÔ ÔÔ ÔÔ ÔÔ ÔÏ ¸ F1 K1iSi

*–

F2 K2iSi*–

º

Si*

º

Fn KniSi*–Ó þ

Ô ÔÔ ÔÔ ÔÔ ÔÌ ýÔ ÔÔ ÔÔ ÔÔ ÔÏ ¸

=

U1 U1*=

U3 U3*=

Fu2 0=

V1 V1*=

V3 V3*=

Fv2 1–=

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1354 354– 0 00 0 354– 354 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

U1

V1

U2

V2

U3

V3Ó þÔ ÔÔ ÔÔ ÔÔ ÔÌ ýÔ ÔÔ ÔÔ ÔÔ ÔÏ ¸

U1*

V1*

Fu2*

Fv2*

U3*

V3*


=


con:

2.51

Volendo determinare le reazioni vincolari un procedimento possibile per il cal-colo manuale è il seguente: si moltiplica la colonna della matrice di rigidezzarelativa allo spostamento noto per tale termine e si porta il vettore così ottenutoa secondo membro del sistema di equazioni, lasciando al primo membro le soleincognite geometriche. Si ottiene così un sistema risolutivo in cui il vettore deglispostamenti ha, rispetto a quello iniziale, un numero di coefficienti minore; ladifferenza è data dal numero degli spostamenti noti e diversi da zero.

ESEMPIO 2.8

Calcolare, per la struttura di figura 2.14, gli spostamenti e le reazioni vinco-lari, dove l'appoggio di destra, indicato con il numero 2, ha subito un cedi-mento pari a rispetto alla posizione indeformata.

Fu2* 0 1000U1

* 354U3* 354V3

*–+ +=

Fv2* 1– 354U3

*– 354V3*+=

d

Fig. 2.14 – Spostamenti imposti.

65

Il sistema di equazioni associato alla struttura:

2.52

Essendo noto si moltiplica la colonna della matrice di rigidezza relativa atale spostamento, cioè la terza colonna, per il valore del cedimento e si

EJz

12l 3------ 6

l 2----- 12

l 3------–

6l 2-----

6l 2----- 4

l--- 6

l 2-----–

2l---

12l 3------– 6

l 2-----–

12l 3------ 6

l 2-----–

6l 2----- 2

l--- 6

l 2-----–

4l---

V1

A1

V2

A2Ó þÔ ÔÔ ÔÌ ýÔ ÔÔ ÔÏ ¸ F1

M1

F2

M2Ó þÔ ÔÔ ÔÌ ýÔ ÔÔ ÔÏ ¸

=

V2d


66

porta il vettore così ottenuto a secondo membro:

2.53

Imponendo le altre condizioni di vincolo , , si ricava:

2.54

Le reazioni vincolari vengono determinate da:

2.55

da cui:

2.56

2.5 PROBLEMI PARTICOLARI RELATIVI AI VINCOLI

2.5.1 Vincoli elastici

Le strutture illustrate in figura 2.15a e 2.15b sono caratterizzate da vincoli cine-matici elastici. La prima presenta un appoggio elastico all'estremità destra, indi-cata con il numero 2; la seconda un vincolo alla rotazione elastico all'estremitàsinistra, indicata con il numero 1.

E Jz

12l 3------ 6

l 2----- 6

l 2-----

6l 2----- 4

l--- 2

l---

12l 3------– 6

l 2-----– 6

l2----–

6l 2----- 2

l--- 4

l---

V1

A1

A2Ó þÔ ÔÌ ýÔ ÔÏ ¸

F1

M1

F2


E Jz d

12l 3------–

6l 2-----–

12l 3------

6l 2-----–


–=

V1 0= A1 0=

A23d2l------=

F1

M1

F2Ó þÔ ÔÌ ýÔ ÔÏ ¸

EJz

6l 2-----

2l---

6l 2-----–

Ó þÔ ÔÔ ÔÔ ÔÌ ýÔ ÔÔ ÔÔ ÔÏ ¸

A2 EJz d

12l 3------–

6l 2-----–

12l 3------

Ó þÔ ÔÔ ÔÔ ÔÌ ýÔ ÔÔ ÔÔ ÔÏ ¸

+=

F1

3EJz dl 3

--------------–=

M1

3EJz dl 2

--------------–=

F2

3EJz dl 3

--------------=


Fig. 2.15 – Vincoli elastici.

La reazione che esercita un vincolo elastico è proporzionale alla deformazionevincolare secondo il coefficiente di rigidezza proprio del vincolo stesso; nei casidella figura 2.15 si ha:

2.57

In generale il vincolo elastico agisce esercitando una reazione, ovvero un caricoapplicato dall'esterno, proporzionale al suo cedimento. In termini matriciali siha:

2.58

dove [K ] è la matrice di rigidezza della struttura, {S } è il vettore degli sposta-menti generalizzati, {F } è il vettore dei carichi nodali, {Fe} è il vettore dei carichinodali equivalenti e {-KeS } è il vettore dei carichi ai nodi dovuti alle reazioni vin-colari elastiche. Portando al primo membro i termini che contengono gli sposta-menti ed al secondo membro tutti gli altri:

2.59

Il termine {KeS} può essere riscritto come:

2.60

dove [Ke ] è una matrice diagonale, cioè una matrice in cui i soli coefficientidiversi da zero sono quelli della diagonale principale e rappresentano le rigidezzedei vincoli elastici. Raccogliendo {S} a fattor comune la 2.59 diventa:

F2 KvV2–=

M1 Kr A1–=

K[ ] S{ } F{ } Fe{ } KeS–{ }+ +=

K[ ] S{ } KeS{ }+ F{ } Fe{ }+=

KeS{ } Ke[ ] S{ }=

2.61K[ ] Ke[ ]+[ ] S{ } F{ } Fe{ }+=

67


ESEMPIO 2.9

Ricavare per il sistema di figura 2.15a gli spostamenti dell'estremo destroquando sia applicato un carico verticale al nodo 2.La 2.61 esplicitata è:

2.62

Imponendo le condizioni al contorno:

2.63

si ha:

2.64

e, risolvendo il sistema:

2.65

2.5.2 Strutture con cerniere interne

Si può verificare il caso di strutture in cui due elementi trave siano uniti tra diloro tramite una cerniera, come illustrato in figura 2.16; questo tipo di collega-mento interrompe la continuità delle rotazioni.

F

EJz

12l 3------ 6

l 2----- 12

l 3------–

6l 2-----

6l 2----- 4

l--- 6

l 2-----–

2l---

12l 3------– 6

l 2-----–

12l 3------ 6

l 2-----–

6l 2----- 2

l--- 6

l 2-----–

4l---

0 0 0 00 0 0 00 0 Kv 0

0 0 0 0

+

V1

A1

V2


M1

F2


=

V1 0=

F2 F=

A1 0=

M2 0=

12EJz

l 3-------------- Kv+

6EJz

l 2-----------–

6EJz

l 2-----------–

4EJz

l-----------

V2

A2Ó þÌ ýÏ ¸ F

0Ó þÌ ýÏ ¸

=

V2Fl 3

3EJz Kv l 3+-----------------------------=

A23Fl2

6EJz 2Kv l 3+--------------------------------=

Fig. 2.16 – Struttura con cerniere interne.

68


I due elementi in cui è stata suddivisa la struttura sono collegati nel nodo 2 tra-mite una cerniera, attraverso la quale non si trasmette il momento flettente; inquesto punto sono diverse le rotazioni degli estremi degli elementi concorrentinel nodo.

Nel nodo 2 si introducono quindi tre gradi di libertà cinematici: lo spostamentoV2, la rotazione a sinistra della cerniera e la rotazione a destra dellacerniera. Verranno pertanto scritte tre equazioni di equilibrio nel nodo 2, unaalla traslazione verticale e due alla rotazione:

2.66

La struttura sarà quindi caratterizzata da sette gradi di libertà cinematici, ordi-nati come segue:

2.67

e la numerazione delle equazioni struttura è quella indicata in figura 2.17.

A2( )' A2( )''

f2( )1 f1( )2+ F2=

m2( )1 M2( )¢=

m1( )2 M2( )≤=

S{ }T V1 A1 V2 A2( )¢ A2( )≤ V3 A3{ }=

Fig. 2.17 – Numerazione equazioni struttura.

69

La mappa delle equazioni elemento e equazioni struttura è indicata nellatabella 2.7.

Tab. 2.7 – Mappa per la corrispondenza dei gradi di libertà elemento e dei gradi di libertà struttura per il sistema di figura 2.16






70

La matrice di rigidezza globale, scritta in forma simbolica, è:

2.68

avendo indicato rispettivamente con e i coefficienti della matrice di rigi-dezza del primo elemento e del secondo elemento

2.6 CALCOLO DELLE TENSIONI

Determinati gli spostamenti {S } della struttura è possibile calcolare le forze ele-mento e le tensioni negli elementi costituenti la struttura facendo riferimentoalla scrittura di rigidezza dell'elemento ed alle relazioni che legano deformazionie tensioni agli spostamenti elemento.

Noti infatti gli spostamenti della struttura gli spostamenti dell'elemento h–esimo sono ricavabili dalla mappa di corrispondenza tra i gradi di libertà ele-

mento e gradi di libertà struttura; dopo aver calcolato le componenti degli spo-stamenti nel sistema di riferimento locale tramite la 1.53, le forze elementosono ricavabili dalla 1.93:

2.69

Per gli elementi esaminati nel capitolo 1. le forze elemento rappresentano lecaratteristiche delle sollecitazioni ed hanno quindi anche il significato di ten-sioni. Nel caso più generale le tensioni saranno calcolabili in funzione degli spo-stamenti elemento; ad esempio nel caso della barra sollecitata assialmente ladeformazione è data da 1.2:

2.70

e la tensione, nel caso in cui non siano presenti deformazioni o tensioni iniziali,da:

2.71

a11 a12 a13 a14 0 0 0

a21 a22 a23 a24 0 0 0

a31 a32 a33 b11 + a34 b12 b13 b14

a41 a42 a43 a44 0 0 0

0 0 b21 0 b22 b23 b24

0 0 b31 0 b32 b33 b34

0 0 b41 0 b42 b43 b44

V1

A1

V2

A2( )¢

A2( )≤

V3

A3Ó þÔ ÔÔ ÔÔ ÔÔ ÔÔ ÔÌ ýÔ ÔÔ ÔÔ ÔÔ ÔÔ ÔÏ ¸ F1

M1

F2

M2( )¢

M2( )≤

F3

M3Ó þÔ ÔÔ ÔÔ ÔÔ ÔÔ ÔÌ ýÔ ÔÔ ÔÔ ÔÔ ÔÔ ÔÏ ¸

=

aij bij

S{ }s{ }h

s{ }h

f }{ h k[ ]h s{ }h fe }{ h–=

eu2 u1–

l----------------=

s Ee Eu2 u1–

l----------------= =


ESEMPIO 2.10

Calcolare le forze elemento per gli elementi 2 e 3 dell'esempio 2.5.Le matrici di rigidezza nel sistema di riferimento globale degli elementi2 e 3 sono date dalle 2.14 e 2.15, mentre gli spostamenti dei nodi strutturasono dati dalle 2.33 e 2.34:

2.72

Dalla mappa di corrispondenza dei gradi di libertà (tab. 2.4) si ricava che glispostamenti dell'elemento 2 e quelli dell'elemento 3, rispetto al sistema diriferimento globale sono:

2.73

2.74

Le forze elemento, espresse anche loro nel sistema di riferimento globale,risultano, per l'elemento 2:

2.75

2.76

e, per l'elemento 3:

2.77

X Y,

S{ }T 0 0 1 103–¥– 3.82 10

3– 0 0¥–

Ó þÌ ýÏ ¸

=

S{ }T S1 S2 S3 S4{ } 0 0 1 103–¥– 3.82 10

3–¥–Ó þÌ ýÏ ¸

= =

S{ }T S5 S6 S3 S4{ } 0 0 1 103–¥– 3.82 10

3–¥–Ó þÌ ýÏ ¸

= =

fu1

fv1

fu2


2

1000 0 1000– 00 0 0 0

1000– 0 1000 00 0 0 0

0

0

1 103–¥–

3.82 103–¥–Ó þ

Ô ÔÔ ÔÌ ýÔ ÔÔ ÔÏ ¸

=

f }{ 2T

1 0 1– 0{ }=

fu1

fv1

fu2


3

354 354– 354– 354354– 354 354 354–

354– 354 354 354–

354 354– 354– 354

0

0

1 103–¥–

3.82 103–¥–Ó þ

Ô ÔÔ ÔÌ ýÔ ÔÔ ÔÏ ¸

=

2.78f }{ 3T

1– 1 1 1–{ }=

71

Il lettore potrà verificare l'equilibrio dei nodi 1, 2 e 3, essendo nulle le forzeelemento per l'elemento 1. Nel sistema di riferimento locale le forze elementosono espresse da:

2.79

2.80

f }{ 2T

1 0 1– 0{ }=

f }{ 3T

1.414– 0 1.414 0{ }=


72

Infatti per l'elemento 2 il sistema di riferimento locale coincide con quelloglobale, mentre il sistema di riferimento locale dell'elemento 3 forma unangolo di – 45˚ con il sistema di riferimento globale, per cui la matrice dirotazione è:

2.81

Si sarebbero potute ottenere le forze elemento direttamente nel sistema diriferimento locale utilizzando l'espressione di rigidezza scritta nel sistema diriferimento locale. Per l'elemento 3 il vettore degli spostamenti vale:

2.82

con data dalla 2.81. Si ha quindi:

2.83

La matrice di rigidezza dell'elemento 3, nel sistema di riferimento locale èdata da:

2.84

Le forze elemento, nel sistema di riferimento locale, sono quindi date dalla2.78.

2.7 SCHEMA DI RISOLUZIONE

La procedura di calcolo di una struttura può essere sintetizzata nelle seguentifasi:

a. suddivisione della struttura in elementi e numerazione dei nodi struttura

b. costruzione della mappa di corrispondenza tra equazioni elemento edequazioni struttura

c. per ciascun elemento: calcolo della matrice di rigidezza e del vettoredei carichi nodali equivalenti

d. assemblaggio della matrice di rigidezza della struttura e del vettore deicarichi nodali equivalenti struttura

e. imposizione delle condizioni di vincolo

f. soluzione del sistema in termini di spostamenti generalizzati; nel cal-colo manuale è conveniente seguire il procedimento indicato in 2.3 e

R[ ]

R[ ]

0.707 0.707– 0 0 0.707 – 0.707 0 0

0 0 0.707 0.707 –

0 0 0.707 – 0.707

=

s{ }X

s{ }x R[ ] s{ }X=

R[ ]

s{ }x 0 0 2 103–¥ 2 10

3–¥–{ }=

k[ ]x

0.707 0 0.707– 00 0 0 0

0.707– 0 0.707 00 0 0 0

=


cioè suddividere il sistema in due sottosistemi: uno che ha come inco-gnite i soli spostamenti, l'altro che contiene a secondo membro le rea-zioni vincolari

g. calcolo delle reazioni vincolari

h. per ciascun elemento estrarre dal vettore {S } gli spostamenti elementoe calcolare le forze elemento e le tensioni;

i. per altri casi di carico ripetere i passi da f a h

2.8 PROBLEMA DINAMICO: CALCOLO DELLE FREQUENZE PROPRIE

I problemi di analisi strutturale dinamica possono essere suddivisi in due classi:lo studio della risposta dinamica di una struttura soggetta a forze o spostamentiimposti variabili nel tempo ed il calcolo delle vibrazioni proprie e dei corrispon-denti modi di vibrare.

Entrambi i tipi di problemi richiedono tecniche di calcolo particolari, che ver-ranno descritte in seguito, e che sono in gran parte indipendenti dal metododegli elementi finiti. Infatti tali tecniche presumono la disponibilità delle matricidi rigidezza, delle masse e di smorzamento indipendentemente dal metodo concui queste matrici sono state ottenute.

Verrà qui illustrato, a titolo di introduzione ed utilizzando tecniche elementari, ilcalcolo delle vibrazioni proprie. Si rimanda a testi specialistici per lo studio deimetodi numerici adottati normalmente dai codici di calcolo.

Si ricorda che l'equazione di equilibrio dinamico, nel caso di un sistema ad ungrado di libertà è:

2.85

avendo indicato con m la massa del sistema, con c lo smorzamento e con k la suarigidezza; f (t) rappresenta il carico, funzione del tempo.

Nel caso di un sistema con più gradi di libertà la 2.85 viene scritta:

mu cu ku+ + f t( )=

2.86M[ ] S{ } C[ ] S{ } K[ ] S{ }+ + f t( )}{=

in tal caso [M ] rappresenta la matrice delle masse del sistema, [C ] la matricedegli smorzamenti e [K ] la matrice di rigidezza; rappresenta il vettore delleaccelerazioni, il vettore delle velocità e {S } il vettore degli spostamenti.

In assenza di dissipazioni la 2.86 si trasforma nella:

S{ }S{ }

2.87M[ ] S{ } K[ ] S{ }+ f t( )}{=

73

mentre se non ci sono effetti d'inerzia e le forze sono costanti nel tempo si ricadenell'espressione 2.1 del caso statico, che può quindi essere visto come un caso


74

particolare della 2.86.

In assenza di dissipazioni le vibrazioni proprie, cioè quelle che si instaurano nelsistema in mancanza di azioni forzanti esterne, sono caratterizzate dal fatto chetutti i punti della struttura vibrano in fase, cioè raggiungono la loro elongazionemassima nello stesso istante. Essendo le oscillazioni in questo caso notoriamentesinusoidali è possibile esprimere la 2.87 in funzione dei valori massimi di accele-razione e spostamento e della frequenza di vibrazione:

2.88

dove w rappresenta la pulsazione della vibrazione e {So} il vettore degli sposta-menti massimi. Derivando due volte la 2.88 rispetto al tempo si ha:

2.89

La 2.87 si riscrive pertanto, in assenza di forzanti esterne:

2.90

2.91

Si ottiene un sistema omogeneo che ammette la soluzione banale {So} = 0, checorrisponde allo stato di quiete, a meno che si nullo il determinante dei coeffi-cienti:

2.92

La 2.92 è una equazione algebrica in w2, le cui soluzioni forniscono gli autovaloridel problema, che in questo caso hanno fisicamente il significato di valori dellapulsazione della vibrazione.

È da notare che, contrariamente al caso statico, non è necessario che la matricedi rigidezza [K ] sia definita positiva, cioè non è necessario che il sistema sia vin-colato per poter risolvere la 2.92. In tal caso si otterranno degli autovalori nulli,che corrispondono ai gradi di libertà di moto rigido della struttura.

Noti gli autovalori del sistema è possibile ricavare, sempre dalla 2.8, gli auto-vettori (o forme modali o modi di vibrare) corrispondenti a ciascun autova-lore . Si ricorda, a tal proposito, che gli autovettori �i sono determinati ameno di una costante; è possibile cioè ricavare la forma del modo di vibrare, manon le ampiezze dell'oscillazione.

S{ } So{ } wt( )cos=

S{ } w2 So{ }– wt( )cos=

w2 M[ ] So{ }– K[ ] So{ }+ 0=

w2 M[ ]– K[ ]+( ) So{ } 0=

det K[ ] w2 M[ ]–( ) 0=

wifi

wi


ESEMPIO 2.11

Calcolare le frequenze proprie di vibrazione di un sistema costituito da unabarra, priva di massa, recante agli estremi due masse, rispettivamente e

(fig. 2.18).

Si può considerare la struttura composta di un solo elemento; la matrice dirigidezza globale è pertanto:

2.93

mentre la matrice delle masse vale:

2.94

Il sistema risolutivo è, non avendosi vincoli:

m1m2

K[ ]

EAl

------- EAl

-------–

EAl

-------–EAl

-------

=

M[ ]m1 0

0 m2

=

2.95 EAl

------- w2m1 – EAl

-------–

EAl

------- – EAl

------- w2m2–

U1

U2Ó þÌ ýÏ ¸ 0

0Ó þÌ ýÏ ¸

=

Fig. 2.18 – Sistema con due masse.

75

Annullando il determinante dei coefficienti:

2.96

si ottengono le soluzioni:

2.97

m1m2( )w4 EAm1 m2+

l--------------------Ë ¯

Ê � w2– 0=

w12 0=

w22 EA

m1 m2+

lm1m2--------------------=


Il primo autovalore corrisponde ad uno stato di quiete, e compare in quanto ilsistema è privo di vincoli.L'autovettore, o modo di vibrare, corrispondente al secondo autovalore siottiene sostituendo indifferentemente nella prima o seconda equazionedel sistema 2.95; si ha:

2.98

Questo è un risultato ben noto della meccanica elementare, secondo il qualele ampiezze di oscillazione sono inversamente proporzionali alle masse, equindi il baricentro del sistema resta fermo.

ESEMPIO 2.12

Calcolare le frequenze di vibrazione assiali ed i corrispondenti modi di vibraredella struttura di figura 2.19.

w2

U1

m2

m1------ U2=

Fig. 2.19 – Struttura con due masse.

76

La struttura può essere considerata costituita da due elementi barra, inquanto sono richieste le frequenze di vibrazione assiale; le matrici di rigidezzae delle masse dell'elemento 1 sono:

2.99

e quelle dell'elemento 2:

2.100

Assemblando le matrici di rigidezza e delle masse, valendo per queste ultimele stesse regole delle prime, si ottiene:

2.101

k[ ]1EAl

------- 1 1–

1– 1= m[ ]1

0 00 m2

=

k[ ]2EAl

------- 1 1–

1– 1= m[ ]2

0 00 m3

=

EAl

-------1 1– 01– 2 10 1– 1

w2

0 0 00 m2 0

0 0 m3

–

U1

U2

U3Ó þÔ ÔÌ ýÔ ÔÏ ¸ F1

F2

F3Ó þÔ ÔÌ ýÔ ÔÏ ¸

=


Imponendo le condizioni di vincolo e separando le equazioni che non conten-gono le reazioni vincolari:

2.102EAl

------- 2 11– 1

w2 m2 0

0 m3

–U2

U3Ó þÌ ýÏ ¸ 0

0Ó þÌ ýÏ ¸

=

77


2.103

si ottengono i due autovalori:

2.104

Assumendo , , , si ha:

2.105

Il primo modo di vibrare viene calcolato dalla 2.102 sostituendo ad ilvalore di :

2.106

Assumendo si ricava ; essendo , la forma corri-spondente al primo modo di vibrare è data quindi da:

2.107

Il secondo modo di vibrare viene calcolato dalla 2.102 sostituendo ad w ilvalore di :

2.108

Assumendo si ricava ; essendo , la forma cor-rispondente al secondo modo di vibrare è data da:

2.109

2EAl

------- m2w2–Ë ¯Ê � EA

l------- m3w2–Ë ¯

Ê � EAl

-------Ë ¯Ê � 2

– 0=

w1 2,2 EA

l------- 1

m2------ 1

2m3----------+Ë ¯

Ê � 1m2------Ë ¯

Ê � 2 12m3----------Ë ¯

Ê � 2+±=

EA l§ 1= m 2 1= m3 1=

w12 0.382=

w22 2.618=

ww1

EAl

------- 2 11– 1

0.382m2 0

0 m3

–U2

U3Ó þÌ ýÏ ¸ 0

0Ó þÌ ýÏ ¸

=

U2 1= U3 1.618= U1 0=

f{ }1T 0 1 1.618{ }=

w2

EAl

------- 2 11– 1

2.618m2 0

0 m3

–U2

U3Ó þÌ ýÏ ¸ 0

0Ó þÌ ýÏ ¸

=

U2 1= U3 0.618–= U1 0=

f{ }1T 0 1 0.618–{ }=


Le figure 2.20 e 2.21 illustrano i due modi di vibrare.

Fig. 2.20 – Primo modo di vibrazione della struttura dell’es. 2.12.

Fig. 2.21 – Secondo modo di vibrazione della struttura dell’es. 2.12.

ESEMPIO 2.13

Calcolare le frequenze di vibrazione assiali ed i corrispondenti modi di vibraredella struttura di figura 2.22 quando siano concentrate ai nodi tre masse

di valori unitari; si considerino gli elementi strutturali privi dimassa.m1 m2 m3,,

Fig. 2.22 – Struttura reticolare con tre masse.

78


La matrice di rigidezza della struttura è data dalla 2.16; la matrice dellemasse è:

2.110

Imponendo le condizioni di vincolo e separando le equazioni che non conten-gono le reazioni vincolari:

M[ ]

m1 0 0 0 0 0

0 m1 0 0 0 0

0 0 m2 0 0 0

0 0 0 m2 0 0

0 0 0 0 m3 0

0 0 0 0 0 m3

=

2.1111354 354–

354– 354w2 1 0

0 1–

U2

V2Ó þÌ ýÏ ¸ 0

0Ó þÌ ýÏ ¸

=

79


2.112

si ottengono i due autovalori:

2.113

Il primo modo di vibrare si ottiene dalla 2.111 sostituendo ad il valore di :

2.114

Assumendo si ricava ; la forma corrispondente al primomodo di vibrare è data quindi da:

2.115

Il secondo modo di vibrare si ottiene dalla 2.111 sostituendo ad w il valoredi :

2.116

Assumendo si ricava ; la forma corrispondente alsecondo modo di vibrare è data quindi da:

2.117

1354 w2–( ) 354 w2–( ) 3542– 0=

w12 241.37=

w22 1466.63=

w w1

1354 354–

354– 354241.37 1 0

0 1–

U2

V2Ó þÌ ýÏ ¸ 0

0Ó þÌ ýÏ ¸

=

U2 1= V2 3.14=

f{ }1T 0 0 1 3.14 0 0{ }=

w2

1354 354–

354– 3541466.63 1 0

0 1–

U2

V2Ó þÌ ýÏ ¸ 0

0Ó þÌ ýÏ ¸

=

U2 1= V2 0.32–=

f{ }2T 0 0 1 0.32 – 0 0{ }=


Le figure 2.23a e 2.23b illustrano i due modi di vibrare.

2.9 SOLUZIONE DEL SISTEMA DI EQUAZIONI

In 2.3 è stata illustrata formalmente la soluzione del sistema di equazioni:

2.118K[ ] S{ } F{ }=

Fig. 2.23 – Modi di vibrare per la struttura dell’es. 2.13.

80

mediante l'operazione di inversione della matrice [K ].

Inoltre negli esempi svolti in precedenza la dimensione dei sistemi da risolvere hapermesso l'utilizzo di tecniche elementari; non è evidentemente questo il casodei sistemi reali in cui la complessità del modello è di gran lunga superiore.L'efficienza dell'analisi agli elementi finiti dipende in gran parte dalle metodolo-gie numeriche adottate per risolvere il sistema di equazioni, anche sfruttando leparticolari caratteristiche della matrice di rigidezza, tra le quali la simmetria e lastruttura a banda.

I metodi risolutivi di un sistema di equazioni possono essere raggruppati in dueclassi: procedimenti iterativi o indiretti e tecniche di soluzione diretta.

Il metodo iterativo consiste in una serie di successive correzioni ad una primastima della soluzione finché il valore di tale correzione diventa nullo o comunqueinferiore ad un errore prefissato. Ovviamente, data la natura iterativa delmetodo, non è possibile predeterminare il numero di operazioni necessario allarisoluzione del sistema.

Il metodo diretto è un procedimento in cui il sistema di equazioni è risolto inmaniera esatta, nei limiti di approssimazione del calcolo, ed il numero di opera-


81

zioni da effettuare per la risoluzione del sistema è esattamente predeterminato.

Entrambi i metodi di soluzione presentano vantaggi e svantaggi; tra i vantaggidei metodi indiretti si hanno: la estrema facilità di programmazione, le pocheiterazioni necessarie per determinare una soluzione approssimata. Svantaggiprincipali sono: impossibilità di predeterminare il tempo di soluzione, impossi-bilità di trattare rapidamente più casi di carico.

Allo stato attuale i metodi diretti risultano più efficaci e sono quelli più adottati.Tuttavia i metodi indiretti possono risultare più convenienti nel caso di rianalisidi un problema in seguito a leggere modifiche della struttura e/o nell'analisi diproblemi non lineari; infatti in questi casi generalmente si ha già a disposizioneuna ottima stima del vettore delle incognite e sono quindi necessarie solo pocheiterazioni per la soluzione del problema.

2.9.1 Metodi di soluzione indiretti: metodo di Gauss-Seidel

Il metodo iterativo di Gauss-Seidel è stato uno dei più utilizzati nei primi codicidi calcolo agli elementi finiti.

In generale l'i-esima equazione del sistema di n equazioni 2.118 può essere scrittacome:

2.119

ovvero:

2.120

In un processo iterativo è chiaramente necessario conoscere una stima iniziale{S}1 delle incognite, stima che può essere rappresentata da un vettore nullo senon si hanno a disposizione valori più rappresentativi. All'iterazione m-esima siavrà dunque:

2.121

Il ciclo di iterazioni continua finché:

2.122

dove e è la tolleranza di convergenza.

La velocità di convergenza può essere aumentata introducendo un fattore disovrarilassamento b e modificando il valore stimato dalla 2.121 nel seguente

Kij Sjj 1=

i 1–

Â Kii Si Kij Sjj i 1+=

n

Â+ + Fi=

Si1

Kii------ Fi Kij Sj

j 1=

i 1–

Â Kij Sjj i 1+=

n

Â––Ë ¯Á �Ê �

=

Sim 1

Kii------ Fi Kij Sj

m

j 1=

i 1–

Â Kij Sjm 1–

j i 1+=

n

Â––Ë ¯Á �Ê �

=

S{ }m 1+ S{ }m– e<

Sim


modo:

2.123

per cui la 2.4 diventa:

2.124

Il fattore di sovrarilassamento b è generalmente compreso tra 1 e 2; il valore otti-male di b è una funzione del problema in esame, ma spesso si assume un valoredi b = 1.6.

Una interpretazione fisica dell'equazione iterativa 2.124 è che la quantità traparentesi tonde rappresenta lo squilibrio tra il carico applicato e la rispostaelastica della struttura. Il ciclo iterativo cerca lo spostamento che rende nulloquesto squilibrio.

2.9.2 Metodi di soluzione diretti: metodo di Gauss

Le tecniche di soluzione diretta comunemente adottate sono fondamentalmenteapplicazioni del metodo di eliminazione proposto da Gauss.

Il metodo di Gauss può essere suddiviso in due fasi principali: la prima fase con-siste nel triangolarizzare la matrice dei coefficienti [K ] in modo che tutti i ter-mini della matrice al di sotto della diagonale principale siano nulli; il vettore deitermini noti {F } viene modificato conformemente. La seconda fase consiste nelcalcolo delle incognite {S } procedendo a ritroso dall'ultima equazione allaprima.

Per illustrare le due fasi del metodo di eliminazione di Gauss si esamini in detta-glio il sistema di equazioni:

Sim Si

m 1– b Sim Si

m 1––( )+=

Sim b

Kii------ Fi Kij Sj

m

j 1=

i 1–

Â Kij Sjm 1–

j i 1+=

n

Â––Ë ¯Á �Ê �

=

FiSi

2.125

K11 º K1i º K1n

º º º º ºKi1 º Kii º Kin

º º º º ºKn1 º Kni º Knn

S1

ºSi

ºSnÓ þ

Ô ÔÔ ÔÔ ÔÌ ýÔ ÔÔ ÔÔ ÔÏ ¸ F1

ºFi

ºFnÓ þ

Ô ÔÔ ÔÔ ÔÌ ýÔ ÔÔ ÔÔ ÔÏ ¸

=

82

Il primo passo del processo di triangolarizzazione viene effettuato come segue:dalla prima equazione si ricava simbolicamente S1 e si sostituisce nelle successiveequazioni. In questo modo si rendono nulli tutti i termini della prima colonna,eccetto quello appartenente alla prima riga. Fisicamente questo corrisponde adeliminare il grado di libertà S1 dalla struttura, come si vedrà in seguito.


L'eliminazione di S1 viene eseguita come segue; si sottrae la prima equazionemoltiplicata per dalla i-esima equazione, con i = 2,n:Ki1 K11§( )

2.126

K11 º K1i º K1n

º º º º º

0 º Kii K1i

Ki1

K11--------– º Kin K1n

Ki1

K11--------–

º º º º º

0 º Kni K1i

Kn1

K11---------– º Knn K1n

Kn1

K11---------–

S1

ºSi

ºSnÓ þ

Ô ÔÔ ÔÔ ÔÌ ýÔ ÔÔ ÔÔ ÔÏ ¸

F1

º

Fi F1

Ki1

K11--------–

º

Fn F1

Kn1

K11---------–


=

83

ovvero:

2.127

Dalla seconda equazione si ricava ora S2 e si sostituisce nelle successive equa-zioni, con i = 3 ,n. In questo modo si rendono nulli tutti i termini, eccetto iprimi due, della seconda colonna. Fisicamente questo corrisponde ad eliminare ilgrado di libertà S2 dalla struttura.

La stessa operazione di eliminazione viene ora applicata a tutte le restanti equa-zioni (i = 3,n).

Ottenuta così la triangolarizzazione della matrice [K ], si procede alla secondafase, in cui vengono calcolate le incognite {S }, risolvendo per l'ultima in mododiretto:

2.128

e quindi, con procedimento a ritroso, risolvendo per sostituzione per le rima-nenti incognite:

2.129

dove e sono rispettivamente i termini della matrice [K ] triangolarizzatae del vettore dei termini noti modificato conformemente alla triangolarizzazionedella matrice [K ].

K11 º K1i º K1n

º º º º º0 º Kii

* º Kin*

º º º º º0 º Kni

* º Knn*

S1

ºSi

ºSnÓ þ

Ô ÔÔ ÔÔ ÔÌ ýÔ ÔÔ ÔÔ ÔÏ ¸ F1

ºFi

*

ºFn

*Ó þÔ ÔÔ ÔÔ ÔÌ ýÔ ÔÔ ÔÔ ÔÏ ¸

=

Sn

Fn*

Knn*

-----------=

Si1

Kii*

--------- Fi* Kij

*Sjj i 1+=

n

Â–Ë ¯Á �Ê �

=

Kij* Fi

*


84

ESEMPIO 2.14

Per illustrare formalmente le due fasi del metodo si supponga di eseguire unapartizione del sistema 2.125 in modo da avere:

2.130

con:[K11] matrice di ordine (1 x 1)

[K12 ] matrice di ordine (1 x (n-1))

[K21] matrice di ordine ((n-1) x 1)

[K22 ] matrice di ordine ((n-1) x (n-1))

{S1 },{F1} vettori di ordine 1{S2},{F2} vettori di ordine (n-1)

Il metodo di eliminazione di Gauss consiste nel ridurre il sistema 2.130 alseguente sistema, in modo da avere nulli tutti i termini, eccetto il primo dellaprima colonna:

2.131

con:

2.132

2.133

La stessa operazione di eliminazione viene ora applicata alla matrice del sistema ridotto:

2.134

e viene ripetuta ( n-1) volte sino a che la matrice è ridotta ad unamatrice di ordine (1 x 1).

Da notare che la matrice dei coefficienti del sistema ridotto 2.126 è ancora unamatrice simmetrica, quindi tutti gli elementi al di sopra della diagonale princi-pale, questa inclusa, forniscono gli elementi della matrice ad ogni passo dellasoluzione.

Si vedrà anche che durante il processo di soluzione la semiampiezza di banda Bviene conservata e che il processo di triangolarizzazione coinvolge solo gli ele-menti entro la banda della matrice. Si può trarre un notevole vantaggio da questecaratteristiche: se n è il numero di equazioni del sistema, il numero delle opera-zioni da eseguire per la soluzione del sistema si riduce da un fattore proporzio-nale a n3, nel caso si consideri la matrice completa, ad un fattore proporzionale anB2/2, nel caso si tenga conto della simmetria e della struttura a banda dellamatrice.

K11[ ] K12[ ]

K21[ ] K22[ ]

S1{ }

S2{ }Ó þÌ ýÏ ¸ F1{ }

F2{ }Ó þÌ ýÏ ¸

=

K11[ ] K12[ ]

0[ ] K1[ ]*

S1{ }

S2{ }Ó þÌ ýÏ ¸ F1{ }

F1{ }*Ó þÌ ýÏ ¸

=

K1[ ]* K22[ ] K21[ ] K11[ ] 1– K12[ ]–=

F1{ }* F2{ } K21[ ] K11[ ] 1– F1{ }–=

K1[ ]*

K1[ ]* S2{ } F1{ }*=

K22[ ]


È inoltre da notare la possibilità di trattare più casi di carico senza per questoricorrere ad una nuova triangolarizzazione della matrice di rigidezza [K ], fasequesta che è di gran lunga la più lunga e laboriosa della soluzione del sistema diequazioni. Dalla 2.126 si ha infatti che al primo passo di triangolarizzazione, lariduzione del vettore dei termini noti richiede la conoscenza del coefficiente sulladiagonale principale K11 e dei coefficienti della prima riga della matrice di rigi-dezza; al secondo passo di triangolarizzazione si richiede la conoscenza dei coeffi-cienti, già modificati, della seconda riga della matrice di rigidezza; in modosimile si procede per i successivi passi di triangolarizzazione. Il vettore {F } puòquindi essere ridotto a partire dai coefficienti della matrice [K ] ridotta.

ESEMPIO 2.15

Calcolare gli spostamenti della struttura illustrata in figura 2.24, costituita datre barre collegate in serie, caricata in corrispondenza del nodo 2 e vincolatain corrispondenza del nodo 1.

Fig. 2.24 – Struttura con tre elementi asta.

85

Il sistema di equazioni associato alla struttura in esame, con i parametri indi-cati in figura 2.24, è il seguente:

2.135

L'unica condizione al contorno in termini cinematici è data da ; siconsidererà quindi solo il sistema di tre equazioni nelle tre incognite

, ottenuto eliminando formalmente la prima riga e la primacolonna della matrice di rigidezza e la prima riga del vettore degli sposta-menti e del vettore delle forze in 2.135:

2.136

1 1– 0 01– 2 1– 00 1– 2 1–

0 0 1– 1

U1

U2

U3

U4Ó þÔ ÔÔ ÔÌ ýÔ ÔÔ ÔÏ ¸ F1

1

0

0Ó þÔ ÔÔ ÔÌ ýÔ ÔÔ ÔÏ ¸

=

U1 0=

U2 U3 U4,,

2 1– 01– 2 1–

0 1– 1

U2

U3

U4Ó þÔ ÔÌ ýÔ ÔÏ ¸ 1

0

0Ó þÔ ÔÌ ýÔ ÔÏ ¸

=


Volendo utilizzare il metodo di Gauss si procede nel seguente modo: a. si sottrae –1/2 volte la prima riga dalla seconda:

2.137

2 1– 0

032--- 1–

0 1– 1

U2

U3

U4Ó þÔ ÔÌ ýÔ ÔÏ ¸ 1

12---


=

b. si sottrae –2/3 volte la seconda riga dalla terza:

2.138

2 1 – 0

032--- 1–

0 0 13---

U2

U3

U4Ó þÔ ÔÌ ýÔ ÔÏ ¸

1

12---

13---

Ó þÔ ÔÔ ÔÌ ýÔ ÔÔ ÔÏ ¸

=

86

Conclusa la fase di triangolarizzazione, si risolve per le incognite :

2.139

È da osservare che, al passo i-esimo sia della fase di triangolarizzazione sia dellafase di sostituzione, l'elemento sulla diagonale principale deve essere diverso dazero. La matrice di rigidezza di una struttura è in effetti definita positiva e lorimane ad ogni passo i-esimo del processo di triangolarizzazione, perché ciò cor-risponde a ricavare la matrice di rigidezza di una struttura in cui sia stato elimi-nato l'i-esimo grado di libertà.

Se ciò non avviene vuol dire che la matrice di partenza non era definita positiva,cioè che non erano stati eliminati tutti i gradi di libertà di moto rigido.

U4 U3 U2,,

U41 3§1 3§---------- 1= =

U3

U4 1 2§+

3 2§----------------------- 1 1 2§+

3 2§------------------- 1= = =

U2

U3 1+

2---------------- 1 1+

2------------ 1= = =


ESEMPIO 2.16

Calcolare gli spostamenti della struttura di figura 2.25, identica a quella illu-strata in figura 2.24, ma con un grado di libertà in meno, quello corrispon-dente al nodo 2.

Fig. 2.25 – Struttura con due elementi asta.

La notazione di rigidezza della struttura è:

2.140

dopo aver imposto le condizioni al contorno ( ), il sistema risolutivorisulta:

2.141

coincidente con quello ottenuto dopo il primo passo di triangolarizzazione delsistema 2.137 associato alla struttura di figura 2.24.Calcolare, infine, gli spostamenti della struttura indicata in figura 2.26 in cui inodi 2 e 3 sono stati soppressi, eliminando quindi i gradi di libertà e .

12---

12--- – 0

12--- –

32--- 1–

0 1 – 1

U1

U3

U4Ó þÔ ÔÌ ýÔ ÔÏ ¸

12---

12---


=

U1 0=

32--- 1–

1 – 1

U3

U4Ó þÌ ýÏ ¸ 1

2---


=

U2 U3

Fig. 2.26 – Struttura con un elemento asta.

87


La notazione di rigidezza per la struttura di figura 2.26 è:

2.142

Dopo aver imposto le condizioni di vincolo, si ha:

2.143

equazione che coincide con quella ottenuta dopo il secondo passo di triango-larizzazione del sistema 2.138 associato alla struttura di figura 2.24.

È ora possibile dimostrare perché, durante il processo di triangolarizzazione,tutti gli elementi sulla diagonale principale della matrice di rigidezza devonorimanere positivi.

Il sistema di eliminazione di Gauss corrisponde quindi a sopprimere, al passoi-esimo, l'i-esimo grado di libertà della struttura ed a determinare la matrice dirigidezza ed il vettore dei carichi nodali relativi alla nuova configurazione dellastruttura, cioè con (n - i) gradi di libertà.

L'i-esimo elemento sulla diagonale non è altro che il coefficiente di rigidezzarelativo all'i-esimo grado di libertà quando i primi (i - 1) gradi di libertà sonostati soppressi, e tale coefficiente deve essere positivo. Se, durante il processo dieliminazione, uno dei coefficienti sulla diagonale principale risulta uguale a zero(o addirittura minore, a causa degli arrotondamenti numerici), ciò significa chela struttura è labile.

ESEMPIO 2.17

Calcolare gli spostamenti per la struttura illustrata in figura 2.27.

13--- 1

3---–

13--- –

13---

U1

U4Ó þÌ ýÏ ¸

23---

13---Ó þ

Ô ÔÌ ýÔ ÔÏ ¸

=

13---U4

13---=

Fig. 2.27 – Struttura labile.

88


89

La notazione di rigidezza, con i parametri indicati in figura 2.27, è laseguente:

2.144

Applicando le condizioni di vincolo ( ), si ottiene:

2.145

Eseguendo il primo passo di triangolarizzazione si ottiene:

2.146

ed al secondo passo:

2.147

Si è ottenuto un elemento nullo sulla diagonale principale in corrispondenzadella terza equazione; ciò sta a significare che la struttura considerata è labileed in particolare che non è stato vincolato il grado di libertà di moto rigidoalla rotazione.

12 6 12– 6 6 4 6– 2

12– 6– 12 6 –

6 2 6– 4

V1

A1

V2


0

0


=

V1 0=

4 6 – 2 6 – 12 6 –

2 6 – 4

A1

V2

A2Ó þÔ ÔÌ ýÔ ÔÏ ¸ 0

0


=

4 6– 2 0 3 3 –

0 3– 3

A1

V2


0


=

4 6– 2 0 3 3 –

0 0 0

A1

V2


0


=

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Elementi Finiti - Parte I