Progettazione agli Elementi Finiti - Costruzione di Macchine · 1 Progettazione agli Elementi Finiti AA 2010/2011, docente: Prof. Dario Amodio Testi Consi gliati: A. Gugliotta “Elementi

1

Progettazione agli Elementi Finiti

AA 2010/2011, docente: Prof. Dario AmodioTesti Consigliati:g

A. Gugliotta“Elementi Finiti”, Otto Editore, 2002

R.D. Cook, D.S. Malkus, M.E. Plesha, R.J. Witt“Concepts and Applications of Finite Element Analysis”, 4th ed., Wiley, 2001

O.C. Zienkiewicz“The Finite Element Method”, 3th ed., McGraw-Hill, 1977

K.J. Bathe“Finite Element Procedures”, Prentice Hall, 1996

G. Belingardi“Il Metodo degli Elementi Finiti nella Progettazione Meccanica”, Levrotto&Bella, 1995

Dispense scaricabili dal sito http://www.dipmec.univpm.it/costruzione/home.htm(Didattica/Dispense/Corso di Progettazione Meccanica)

AA 2010/2011, docente: Prof. Dario Amodio

Progettazione agli Elementi Finiti

Programma del Corso:

TEORIAAnalisi Matriciale delle StruttureMetodo degli elementi FinitiElementi piani a 3-4 nodiPlane stress – Plane Strain – AssialsimmetriaElementi Asta e TraveElementi Brick

ESERCITAZIONI Ansys

(Marc – Abaqus)

Modalità d’esame: OraleDiscussione di una Tesina (relazione scritta + file DB)Domande teoriche e/o esercitazione manuale

Formulazione Isoparametrica(per alcuni tipi di elemento)Integrazione numerica di GaussNon linearità dovuta al materialeNon linearità geometrica

2

Analisi sistematica delle strutture

F

K

Il concetto di rigidezza di una struttura

Rigidezza

x

F

x

3


i

i

i

i

i

i UK

v

UK

u

UK

131211

Rigidezza

F

K

Se si abbandona l’ipotesi di problema monodimensionale,considerando ad esempio il troncone di trave orizzontale,si possono definire diverse rigidezze (causa/effetto)

yiui

vii j

FUi

x


i

i

i

i

i

i UK

v

UK

u

UK

131211

UUU

Rigidezza

F

K


yiui

vii j

juj

vj

Ui

j

i

j

i

j

i UK

v

UK

u

UK

161514

x

4


i

i

i

i

i

i UK

v

UK

u

UK

131211

Rigidezza

F

K


UUU

y ui

vii j

juj

vi

Ui

Vi

Mij

i

j

i

j

i UK

v

UK

u

UK

161514

Aggiungendo altre componenti di F Vi Mi i tt

x

di Forza, Vi, Mi,…, si ottengono altri valori di K:

i

i

i

i

i

i VK

v

VK

u

VK

232221

...

Rigidezza

La rigidezza di una qualsiasi struttura può essere rappresentata da una matrice

KF F

KFx

F

i j

KF

5

i ui

vi vj

uj

y Trave nel piano

Ui ui

Vettore forze nodali

Vettore spostamenti

nodali

Elemento trave

iji j

Tre gradi di libertà per nodo

Due nodi per elemento

x

=

Vi

Mi

Uj

vi

i

u

j

K

Sei gradi di libertà per elemento

Matrice di rigidezza di elemento: 6 x 6

Vj

Mj

j

vj

j

i j

Elemento trave

ui Ui

EA

A = area della sezione

L = lunghezza

E = Modulo di Young

EA

Uj

Componenti assiali

Imponendo lo spostamento nodale ui, mantenendo vincolati tutti gli altri gradi di libertà dell’elemento, si

ii uL

EAU ij u

L

EAU

vincolati tutti gli altri gradi di libertà dell elemento, si generano le forze nodali Ui ed Uj :

6

i j

Elemento trave

ujUi

EA


L = lunghezza

E = Modulo di Young

EA

Uj

Componenti assiali

Imponendo lo spostamento nodale ui, mantenendo vincolati tutti gli altri gradi di libertà dell’elemento, si

ii uL

EAU ij u

L

EAU

jj uL

EAU ji u

L

EAU

vincolati tutti gli altri gradi di libertà dell elemento, si generano le forze nodali Ui ed Uj :

In modo analogo si possono legare Ui ed Uj ad uJ :

La relazione tra forze e spostamenti nodali dell’elemento può essere scritta in forma matriciale

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA=

Ui

Uj

ui

u

j

Elemento trave

EA EAU


L = lunghezza

E = Modulo di Youngi jui Ui Uj

Componenti assiali

L

EAL

EA

EA EA=

Ui

Vi

Mi

U

ui

vi

i

La matrice di rigidezza dell’elemento trave, nel piano, ha dimensioni 6x6.

Conviene quindi espandere la matrice 2x2, relativa alle sole componenti assiali, in una matrice 6x6.

L

LUj

Vj

Mj

uj

vj

j

I coefficienti non definiti sono per il momento nulli.

7

Elemento trave

V

Componenti flessionali

Si consideri una trave incastrata ad un estremo e libera all’altro.

L = lunghezzaM t d’i i d ll i

dove:

Convenzione per momenti e rotazioni:positivi se antiorari

v

EJ

VLv

3

3

Applicando all’estremo libero una forza V, normale all’asse della

trave, si otterrà uno spostamento v

E = Modulo di Young

J = Momento d’inerzia della sezione

ed una rotazione EJ

VL

2

2

, dato dalla nota relazione:

, data dalla relazione:EJ2

Elemento traveComponenti flessionali


L = lunghezzaM t d’i i d ll i

dove:


vM E = Modulo di Young


EJ

VLv

3

3

EJ

VL

2

2

ed una rotazione , data dalla relazione:

Applicando all’estremo libero una forza V, normale all’asse della

trave, si otterrà uno spostamento v, dato dalla nota relazione:

Applicando invece un momento M ,EJ

MLv

2

2

EJ

ML

i valori dello spostamento v e della rotazione sono calcolati dalle relazioni:

EJ2

8



VL = lunghezza

M t d’i i d ll i

dove:


MLVL 23

vM E = Modulo di Young


Applicando all’estremo libero sia la forza V che il momento Msi ottengono lo spostamento v e la rotazione

EJ

ML

EJ

VLv

23

EJ

ML

EJ

VL

2

2

Elemento trave

jMi

Vi

v

Si consideri l’elemento trave

compreso tra i nodi i e j

In particolare deve essere i =0


Si supponga di lasciare libero il solo

grado di libertà vi mentre tutti gli altri sono bloccati.

Si imponga ora uno spostamento verticale

EJ

LM

EJ

LVv ii

i 23

23

i jviSi imponga ora uno spostamento verticale

nel nodo i

Lo spostamento verticale vi è legato alla forza Vi

ed al momento Mi dalla relazione:

0iPer congruenza con i vincoli deve essere:

02

LMLV ii LMLV ii

2i MLV LVLV

v ii33

02

EJEJi EJEJ

2

iM2 EJEJ

vi 43

EJ

LVv i

i 12

3

ii v

L

EJV

3

12

Per calcolare il coefficiente di rigidezza è necessario

esprimere la forza Vi in funzione dello spostamento vi

9

Elemento trave

jMi

Vi

v



In particolare deve essere i =0


Si supponga di lasciare libero il solo

grado di libertà vi mentre tutti gli altri sono bloccati.

Si imponga ora uno spostamento verticalei jvi

Si imponga ora uno spostamento verticale

nel nodo i

Lo spostamento verticale vi è legato alla forza Vi


0iPer congruenza con i vincoli deve essere:

02

LMLV ii LMLV ii

2 MV i2 LMLM

v ii2 22

EJ

LM

EJ

LVv ii

i 23

23

02

EJEJi EJEJ

2 L

Vi EJEJ

vi 43

EJ

LMv i

i 6

2

ii v

L

EJM

2

6

Per calcolare il coefficiente che lega Mi a vibasta esprimere diversamente la relazione che

lega vi a Vi ed Mi :

Elemento trave



In particolare deve essere vi =0


Si supponga ora di lasciare libero il solo grado di libertà i.

Si imponga ora una rotazione nel nodo iMi

Vi

ij

La rotazione i è legata alla forza Vi


0ivPer congruenza con i vincoli deve essere:

EJ

LM

EJ

LV iii

2

2

023 LMLV

v ii LMLV ii23

MV3

LMLM ii 3

i j

023

EJEJ

v iii EJEJ

ii

23 ii M

LV

2

EJEJii

i 4

ii MEJ

L

4ii L

EJM 4

Anche in questo caso è necessario esprimere

il momento Mi in funzione della rotazione i

10

Elemento trave



In particolare deve essere vi =0


Si supponga ora di lasciare libero il solo grado di libertà i.

Si imponga ora una rotazione nel nodo iMi

Vi

ij

La rotazione i è legata alla forza Vi


0ivPer congruenza con i vincoli deve essere:

EJ

LM

EJ

LV iii

2

2

023 LMLV

v ii LMLV ii23

MV3

i j

i MLV

2

A questo punto il coefficiente che lega Vi a ipuò essere facilmente calcolato:

EJ

VL

EJ

LV iii 3

2

2

22

023

EJEJ

v iii EJEJ

ii

23 ii M

LV

2 iM

3

EJ

VL ii 6

2

ii L

EJV

2

6


I coefficienti calcolati per il nodo i, relativi ai

gradi di libertà vi e i , possono essere espressi in forma matriciale:

Mi

Vi

vi i j

=3

12

L

EJ2

6

L

EJ

2

6

L

EJ

L

EJ4

Vi

Mi

vi

i

Mi

Vi

ii j

11


Per il nodo j si procede in modo analogo, a meno del diverso segno dei momenti e delle rotazioni:

VIn questo caso, applicando all’estremo libero

sia la forza V che il momento M si ottengono

le seguenti relazioni per lo spostamento v e la


EJ

ML

EJ

VLv

23

23

EJ

ML

EJ

VL

2

2

vMle seguenti relazioni per lo spostamento v e la

rotazione :

12EJ 6EJ

Operando come nel caso precedente si giunge alla seguente relazione matriciale:

=3

12

L

EJ2

6

L

EJ

2

6

L

EJ

L

EJ4

Vj

Mj

vj

j


La forza ed il momento relativi al nodo j e dipendenti dallo spostamento e dalla

rotazione del nodo i possono essere calcolati utilizzando le equazioni di equilibrio:

MjVj

vi i j

0VVV VV

MjVji

i j

0ji VVV

0jii MMLVM

ij VV

iij MLVM

da cui si ricava immediatamente che:

iij L

EJv

L

EJV

23

612

Dall’equilibrio dei momenti si ottiene: j j

iiiij L

EJv

L

EJL

L

EJLv

L

EJM 46612

223 ii L

EJv

L

EJ 262

12


MjVj

vi i j

Quindi i coefficienti calcolati per il nodo j, relativi ai gradi di libertà vi e i , possono essere espressi in forma matriciale:

MjVji

i j

=3

12

L

EJ

2

6

L

EJ

2

6

L

EJ

L

EJ2

Vj

Mj

vi

i

In modo del tutto simile si calcolano gli ultimi quattro coefficienti della matrice di rigidezza:

=3

12

L

EJ

2

6

L

EJ

2

6

L

EJ

L

EJ2

Vi

Mi

vj

j


I coefficienti di rigidezza flessionali possono quindi essere rappresentati in una matrice 4 x 4 come segue

vi

i

3

12

L

EJ2

6

L

EJ

2

6

L

EJ

L

EJ4

Vi

Mi

=

vj

j

Vj

Mj

13



vi

i

3

12

L

EJ2

6

L

EJ

2

6

L

EJ

L

EJ4

12EJ 6EJ

Vi

Mi

=

vj

j

3

12

L

EJ2

6

L

EJ

2

6

L

EJ

L

EJ4

Vj

Mj



vi

i

3

12

L

EJ2

6

L

EJ

2

6

L

EJ

L

EJ4

12EJ 6EJ

Vi

Mi

=

3

12

L

EJ

2

6

L

EJ

2

6

L

EJ

L

EJ2

vj

j

3

12

L

EJ2

6

L

EJ

2

6

L

EJ

L

EJ4

Vj

Mj

14



vi

i

3

12

L

EJ2

6

L

EJ

2

6

L

EJ

L

EJ4

12EJ 6EJ

Vi

Mi

=

3

12

L

EJ

2

6

L

EJ

2

6

L

EJ

L

EJ2

6EJ12EJ vj

j

3

12

L

EJ2

6

L

EJ

2

6

L

EJ

L

EJ4

Vj

Mj

2

6

L

EJ

2

6

L

EJ

3

12

L

EJ

L

EJ2

Elemento traveA = area della sezioneL = lunghezza

E = Modulo di YoungJ = Momento d’inerzia della sezione

Ora sono noti tutti i coefficienti di rigidezza dell’elemento e può essere scritta l’intera matrice di rigidezza dell’elemento

L

EAUi uiL

EA0 0 0 0

=

Vi

Mi

Uj

vi

i

uj

L

L

EA

L

EA

3

12

L

EJ0

0

0

0

0 0 0 0

2

6

L

EJ

2

6

L

EJL

EJ4

3

12

L

EJ

2

6

L

EJ

2

6

L

EJ

L

EJ2

Vj

Mj

vj

j

3

12

L

EJ0

0

0

0

3

12

L

EJ

2

6

L

EJ

2

6

L

EJL

EJ2

2

6

L

EJ

2

6

L

EJ

L

EJ4

15

Trave nel piano

La matrice di rigidezza K viene prima calcolata in un sistema di riferimento locale e poi ruotata T

Elemento trave

xy

in un sistema di riferimento locale e poi ruotata nel sistema di riferimento globale.

jy

LKLK T

[K] = matrice di rigidezza nel sistema globale

i

x

[K’] = matrice di rigidezza nel sistema locale

[L] = matrice di rotazione

Elemento trave

La matrice di rigidezza ottenuta è scritta nel sistema di riferimento locale.

Per calcolare la matrice nel sistema globale è necessario eseguire il prodotto matriciale:

LKLK T

Dove [L] è la matrice di rotazione, che può essere scritta in funzione dell’angolo che dipende dalle coordinate nodali dell’elemento, scritte nel sistema globale.

ij

ij

xx

yyarc

tanx

y

j

y

y ij yy

i

x

xi

xj

yj

yi ij xx

ij yy

16

Elemento trave

La matrice di rigidezza K’ ottenuta è scritta nel sistema di riferimento locale.

i

i

i

i v

u

f

Considerando il nodo i, il suo vettore degli spostamenti nodali nel sistema locale è:

iu

x

y

j

y

i

ii vf

mentre il suo vettore degli spostamenti nodali nel sistema globale è:

Indicando con L la matrice di rotazione dal sistema Globale al sistema Locale

if iv iu

v

iu

if

0sincos

i

x

iv

100

0cossin L

Vale la seguente relazione:

fLf

Elemento trave

La matrice di rigidezza K’ ottenuta è scritta nel sistema di riferimento locale.

i

i

i

i

M

V

U

FConsiderando il nodo i, il suo vettore delle forze nodali nel sistema locale è:

iU

x

y

j

y

i

ii

M

VFmentre il suo vettore delle forze nodali nel sistema globale è:

Indicando con L la matrice di rotazione dal sistema Globale al sistema Locale

iF iV iU

V

iU

iF

0sincos

i

x

iV

100

0cossin L

Vale la seguente relazione:

FLF

17

Elemento trave

fKF Relazione di rigidezza nel sistema Locale

Rotazione dei vettori spostamento fLKfKF

fLf

FLF Rotazione dei vettori forza

fLKfKF

fLKFL

fLKLF 1

Essendo [L] una matrice di rotazione (ortogonale), [L]-1=[L]T

fLKLF T

Matrice di rigidezza nel sistema Globale

Elemento trave

La matrice di rotazione [L] scritta nel piano, per due gradi di libertà di traslazione ed uno di rotazione, ha la forma:

sen

sen

cos

cos

0 0 0 0

0 0 0 0

L

La trasposta si ricava molto semplicemente

1

cos

cos

sen

sen

10 0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 00 0

0

0

0

sencos 0 0 0 0

TL

semplicemente scambiando le righe con le colonne:

sen

1

cos

cos

cossen

sen

1

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 00 0

0

0

0

18

sen

sen

cos

1

cos

cos

cos

sen

sen

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 00 0

0

Elemento trave

LK

Il primo prodotto matriciale:

coscAbbreviazioni: cossen

10 0 0 0

0 0 0 0

L

EA

L

EA

3

12

L

EJ

0 0 0 0

0

0

0

0

2

6

L

EJ

2

6

L

EJL

EJ4

3

12

L

EJ

2

6

L

EJ

2

6

L

EJ

L

EJ2

coscAbbreviazioni:sens

0 0L

EAc

L

EAs

L

EAs

L

EAc

3

12

L

EJs

3

12

L

EJc2

6

L

EJ

L

EJ4

2

6

L

EJ

L

EJ22

6

L

EJs

2

6

L

EJc

3

12

L

EJs3

12

L

EJc

2

6

L

EJs2

6

L

EJc

3

12

L

EJ

L

EA

L

EA

0

0

0

0

0 0 0 0

L L

3

12

L

EJ

2

6

L

EJ

2

6

L

EJ

L

EJ2

L L

2

6

L

EJ

2

6

L

EJ

L

EJ4

0 0L

EAc

L

EAs

L

EAc

L

EAs

L

2

6

L

EJ

L

EJ2

L

2

6

L

EJ

L

EJ4

L L

2

6

L

EJs 2

6

L

EJc2

6

L

EJs2

6

L

EJc

L L

3

12

L

EJs3

12

L

EJc

3

12

L

EJs

3

12

L

EJc

sen

sen

cos

1

cos

cos

cos

sen

sen

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 00 0

0

Elemento trave

LK



10 0 0 0

0 0 0 0

L

EA

L

EA

3

12

L

EJ

0 0 0 0

0

0

0

0

2

6

L

EJ

2

6

L

EJ

L

EJ4

3

12

L

EJ

2

6

L

EJ

2

6

L

EJ

L

EJ2


0 0L

EAc

L

EAs

L

EAs

L

EAc

3

12

L

EJs

3

12

L

EJc2

6

L

EJ

L

EJ4

2

6

L

EJ

L

EJ22

6

L

EJs

2

6

L

EJc

3

12

L

EJs3

12

L

EJc

2

6

L

EJs2

6

L

EJc

3

12

L

EJ

L

EA

L

EA

0

0

0

0

0 0 0 0

L L

3

12

L

EJ

2

6

L

EJ

2

6

L

EJ

L

EJ2

L L

2

6

L

EJ

2

6

L

EJ

L

EJ4

0 0L

EAc

L

EAs

L

EAc

L

EAs

L

2

6

L

EJ

L

EJ2

L

2

6

L

EJ

L

EJ4

L L

2

6

L

EJs 2

6

L

EJc2

6

L

EJs2

6

L

EJc

L L

3

12

L

EJs3

12

L

EJc

3

12

L

EJs

3

12

L

EJc

19

sen

sen

cos

1

cos

cos

cos

sen

sen

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 00 0

0

Elemento trave

LK



10 0 0 0

0 0 0 0

L

EA

L

EA

3

12

L

EJ

0 0 0 0

0

0

0

0

2

6

L

EJ

2

6

L

EJ

L

EJ4

3

12

L

EJ

2

6

L

EJ

2

6

L

EJ

L

EJ2


0 0L

EAc

L

EAs

L

EAs

L

EAc

3

12

L

EJs

3

12

L

EJc2

6

L

EJ

L

EJ4

2

6

L

EJ

L

EJ22

6

L

EJs

2

6

L

EJc

3

12

L

EJs3

12

L

EJc

2

6

L

EJs2

6

L

EJc

3

12

L

EJ

L

EA

L

EA

0

0

0

0

0 0 0 0

L L

3

12

L

EJ

2

6

L

EJ

2

6

L

EJ

L

EJ2

L L

2

6

L

EJ

2

6

L

EJ

L

EJ4

0 0L

EAc

L

EAs

L

EAc

L

EAs

L

2

6

L

EJ

L

EJ2

L

2

6

L

EJ

L

EJ4

L L

2

6

L

EJs 2

6

L

EJc2

6

L

EJs2

6

L

EJc

L L

3

12

L

EJs3

12

L

EJc

3

12

L

EJs

3

12

L

EJc

sen

sen

cos

1

cos

cos

cos

sen

sen

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 00 0

0

Elemento trave

LK



10 0 0 0

0 0 0 0

L

EA

L

EA

3

12

L

EJ

0 0 0 0

0

0

0

0

2

6

L

EJ

2

6

L

EJ

L

EJ4

3

12

L

EJ

2

6

L

EJ

2

6

L

EJ

L

EJ2


0 0L

EAc

L

EAs

L

EAs

L

EAc

3

12

L

EJs

3

12

L

EJc2

6

L

EJ

L

EJ4

2

6

L

EJ

L

EJ22

6

L

EJs

2

6

L

EJc

3

12

L

EJs3

12

L

EJc

2

6

L

EJs2

6

L

EJc

3

12

L

EJ

L

EA

L

EA

0

0

0

0

0 0 0 0

L L

3

12

L

EJ

2

6

L

EJ

2

6

L

EJ

L

EJ2

L L

2

6

L

EJ

2

6

L

EJ

L

EJ4

0 0L

EAc

L

EAs

L

EAc

L

EAs

L

2

6

L

EJ

L

EJ2

L

2

6

L

EJ

L

EJ4

L L

2

6

L

EJs 2

6

L

EJc2

6

L

EJs2

6

L

EJc

L L

3

12

L

EJs3

12

L

EJc

3

12

L

EJs

3

12

L

EJc

20

Elemento trave

LKL T

Il secondo prodotto matriciale:

0 0

0 0

L

EAc

L

EAs

L

EAc

L

EAs

L

EAs

L

EAc

L

EAs

L

EAc

3

12

L

EJs

3

12

L

EJc2

6

L

EJ

L

EJ4

2

6

L

EJ

L

EJ22

6

L

EJs

2

6

L

EJc

3

12

L

EJs3

12

L

EJc

2

6

L

EJs2

6

L

EJc

coscAbbreviazioni: L L L L

2

6

L

EJ

L

EJ2

2

6

L

EJ

L

EJ42

6

L

EJs

2

6

L

EJc2

6

L

EJs2

6

L

EJc

3

12

L

EJs3

12

L

EJc

3

12

L

EJs

3

12

L

EJc

sencos 0 0 0 0

22

2 12s

L

JAc sc

L

JA

2

12

scL

JA

2

12

sL

J6 2

22 12

sL

JAc sc

L

JA

2

12s

L

J6

scL

JA

2

12 22

2 12c

L

JAs c

L

J6 22

2 12c

L

JAs c

L

J6


1

cos

cos

cossen

sen

1

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 00 0

0

0

sen

L

E

scL

JA

2

12

J2cL

J6s

L

J6J4c

L

J6

J4

sL

J6

cL

J62

22 12

cL

JAs

cL

J6

22

2 12s

L

JAc

scL

JA

2

12

sL

J6J2

cL

J6

sL

J6sc

L

JA

2

12

sL

J6

22

2 12s

L

JAc

scL

JA

2

12

sL

J6

22

2 12c

L

JAs

cL

J6

Elemento trave

Questa è dunque la matrice di rigidezza 6 x 6 di un elemento trave nel piano.

A = area della sezioneL = lunghezza

E = Modulo di YoungJ = Momento d’inerzia della sezione

ij yyarc

tan

Per calcolarla è necessario conoscere la caratteristica elastica del materiale e i dati geometrici dell’elemento:

22

2 12s

L

JAc sc

L

JA

2

12

scL

JA

2

12

sL

J6 2

22 12

sL

JAc sc

L

JA

2

12s

L

J6

scL

JA

2

12 22

2 12c

L

JAs c

L

J6 22

2 12c

L

JAs c

L

J6

J2cL

J6s

L

J6J4c

L

J6s

L

J6

ij xxarc

tan

1 2 3 4 5 6

1

2

3

scL

JA

2

12

LLL

J4

sL

J6

cL

J62

22 12

cL

JAs

cL

J6

22

2 12s

L

JAc

scL

JA

2

12

sL

J6J2

cL

J6

sL

J6sc

L

JA

2

12

L

22

2 12s

L

JAc

scL

JA

2

12

sL

J6

22

2 12c

L

JAs

cL

J6

L

E

4

5

6

21

scL

EJ

L

EAK

312

12

sEJ

K6

scEJEA

K

12

cL

EJK

223

6

cEJ

K6

sL

EJK

234

62

32

11

12s

L

EJc

L

EAK

23

222

12c

L

EJs

L

EAK

Elemento trave

Per il calcolo è utile compilare una tabella dei coefficienti:

sL

K213

23

214

12s

L

EJc

L

EAK

scL

EJ

L

EAK

315

12

sL

EJK

216

6

scLL

K

324

23

225

12c

L

EJs

L

EAK

cL

EJK

226

6

L

EJK

236

cL

K235 3LL

L

EJK

433

EJK

4

23

255

12c

L

EJs

L

EAK

23

244

12s

L

EJc

L

EAK

sEJ

K6

scL

EJ

L

EAK

345

12

cL

EJK 256

6

L

EJK

466

sL

K 246

Gli altri coefficienti sono definiti dalla simmetria della matrice: jiij KK

H

B

BHA

Esempio di calcolo

L

F

3a b

BHA

12

3BHJ

i jEl x yN

simmetria

Connessioni degli elementi

Coordinate nodali

x

y

1 2 3

4

c da

bc

d

i jEl

2

1

2

3

3

2

4

4

x yN

0 L

L L

2L L

2L 0

1

2

3

4

22

2 3

1 2

2 4

a

bc

i jEla11 a12 a13 a14 a15 a16

a21 a22 a23 a24 a25 a26

a31 a32 a33 a34 a35 a36

b11 b12 b13 b14 b15 b16

b21 b22 b23 b24 b25 b26

b b b b b b

Dalle connessioni degli elementi, dalle coordinate nodali e dalle caratteristiche elastiche e geometriche di ogni elemento si ricavano le quattro matrici di rigidezza 6 x 6

2 4

3 4

c

d

a31 a32 a33 a34 a35 a36

a41 a42 a43 a44 a45 a46

a51 a52 a53 a54 a55 a56

a61 a62 a63 a64 a65 a66

b31 b32 b33 b34 b35 b36

b41 b42 b43 b44 b45 b46

b51 b52 b53 b54 b55 b56

b61 b62 b63 b64 b65 b66

d11 d12 d13 d14 d15 d16

x yN

0 L1 c11 c12 c13 c14 c15 c16

d21 d22 d23 d24 d25 d26

d31 d32 d33 d34 d35 d36

d41 d42 d43 d44 d45 d46

d51 d52 d53 d54 d55 d56

d61 b62 d63 d64 d65 d66

L L

2L L

2L 0

2

3

4

c21 c22 c23 c24 c25 c26

c31 c32 c33 c34 c35 c36

c41 c42 c43 c44 c45 c46

c51 c52 c53 c54 c55 c56

c61 c62 c63 c64 c65 c66

Dalle connessioni degli elementi, dalle coordinate nodali e dalle caratteristiche elastiche e geometriche di ogni elemento si ricavano le quattro matrici di rigidezza 6 x 6

2 3

1 2

2 4

a

bc

i jElH

B

2600mmBHA

43

4500012

mmBH

J

GPaE 70

mmH 30

mmB 20

42000 0 0 ‐42000 0 0

0 37.8 18900 0 ‐37.8 18900

0 18900 12600000 0 ‐18900 6300000

‐42000 0 0 42000 0 0

0 ‐37.8 ‐18900 0 37.8 ‐18900

0 18900 6300000 0 ‐18900 12600000

42000 0 0 ‐42000 0 0

0 37.8 18900 0 ‐37.8 18900

0 18900 12600000 0 ‐18900 6300000

‐42000 0 0 42000 0 0

0 ‐37.8 ‐18900 0 37.8 ‐18900

0 18900 6300000 0 ‐18900 12600000

a b

2 4

3 4

c

d

BmmB 20

14855.92 ‐14842.6 6682.159 ‐14855.9 14842.56 6682.159

‐14842.6 14855.92 6682.159 14842.56 ‐14855.9 6682.159

6682.159 6682.159 8909545 ‐6682.16 ‐6682.16 4454773

‐14855.9 14842.56 ‐6682.16 14855.92 ‐14842.6 ‐6682.16

14842.56 ‐14855.9 ‐6682.16 ‐14842.6 14855.92 ‐6682.16

6682.159 6682.159 4454773 ‐6682.16 ‐6682.16 8909545

dc37.8 0 18900 ‐37.8 0 18900

0 42000 0 0 ‐42000 0

18900 0 12600000 ‐18900 0 6300000

‐37.8 0 ‐18900 37.8 0 ‐18900

0 ‐42000 0 0 42000 0

18900 0 6300000 ‐18900 0 12600000

23

u1

v1

U1

V1

1

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 2a

i jEl

Le matrici degli elementi devono essere assemblate nella matrice di rigidezza della struttura, che avendo 4 nodi per 3 g.d.l. per nodo ha dimensioni 12 x 12

g.d.l.

1 2 3 4nodi

1

1

u2

v2

2

u3

M1

U2

V2

M2

U3

3

4

5

6

7

2

v3

3

u4

v4

4

V3

M3

U4

V4

M4

8

9

10

11

12

3

4

u1

v1

U1

V1

1

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2 3

1 2a

b

i jEl


g.d.l.

1 2 3 4nodi

1

1

u2

v2

2

u3

M1

U2

V2

M2

U3

3

4

5

6

7

2 3b

2

v3

3

u4

v4

4

V3

M3

U4

V4

M4

8

9

10

11

12

3

4

24

u1

v1

U1

V1

1

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2 3

1 2a

b

i jEl


g.d.l.

1 2 3 4nodi

1

1

u2

v2

2

u3

M1

U2

V2

M2

U3

3

4

5

6

7

2 3

2 4

bc

2

v3

3

u4

v4

4

V3

M3

U4

V4

M4

8

9

10

11

12

3

4

u1

v1

U1

V1

1

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2 3

1 2a

b

i jEl


g.d.l.

1 2 3 4nodi

1

1

u2

v2

2

u3

M1

U2

V2

M2

U3

3

4

5

6

7

2 3

2 4

3 4

bc

d2

v3

3

u4

v4

4

V3

M3

U4

V4

M4

8

9

10

11

12

3

4

25

u1

v1

U1

V1

1

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

a2 3

1 2a

b

i jEl


g.d.l.

1 2 3 4nodi

1

1

u2

v2

2

u3

a+b+c

M1

U2

V2

M2

U3

3

4

5

6

7

a

b

b

c

2 3

2 4

3 4

bc

d2

v3

3

u4

v4

4

c+d

b+dV3

M3

U4

V4

M4

8

9

10

11

12

b

c

d

d

3

4

u1

v1

U1

V1

1

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2 3

1 2a

b

i jEl


g.d.l.

1 2 3 4nodi

1

a11 a12 a13 a14 a15 a16

a21 a22 a23 a24 a25 a26

1

u2

v2

2

u3

a+b+c

M1

U2

V2

M2

U3

3

4

5

6

7

2 3

2 4

3 4

bc

d2

a31 a32 a33 a34 a35 a36

a41 a42 a43

a51 a52 a53

a61 a62 a63

b14 b15 b16

b24 b25 b26

b34 b35 b36

b41 b42 b43

c14 c15 c16

c24 c25 c26

c34 c35 c36

d14 d15 d16

v3

3

u4

v4

4

b+ dV3

M3

U4

V4

M4

8

9

10

11

12

3

4

b51 b52 b53

b61 b62 b63

c41 c42 c43

c51 c52 c53

c61 c62 c63

d24 d25 d26

d34 d35 d36

d41 d42 d43

d51 d52 d53

d61 b62 d63

c+d

26

2 3

1 2a

b

i jEl


2 3

2 4

3 4

bc

da+b+c

2 3

1 2a

b

i jEl


a11 a12 a13 a14 a15 a16

a21 a22 a23 a24 a25 a26

a31 a32 a33 a34 a35 a36

a a a a a a

b11 b12 b13 b14 b15 b16

b21 b22 b23 b24 b25 b26

b31 b32 b33 b34 b35 b362 3

2 4

3 4

bc

d

a41 a42 a43 a44 a45 a46

a51 a52 a53 a54 a55 a56

a61 a62 a63 a64 a65 a66

31 32 33 34 35 36

b41 b42 b43 b44 b45 b46

b51 b52 b53 b54 b55 b56

b61 b62 b63 b64 b65 b66

c11 c12 c13 c14 c15 c16

c21 c22 c23 c24 c25 c26a44 + b11 + c11 a45 + b12 + c12 a46 + b13 + c13 c21 c22 c23 c24 c25 c26

c31 c32 c33 c34 c35 c36

c41 c42 c43 c44 c45 c46

c51 c52 c53 c54 c55 c56

c61 c62 c63 c64 c65 c66

a54 + b21 + c21 a55 + b22 + c22 a56 + b23 + c23

a64 + b31 + c31 a65 + b32 + c32 a66 + b33 + c33

27

u1

v1

U1

V1

1

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2 3

1 2a

b

i jEl


g.d.l.

1 2 3 4nodi

1

42000 0 0 ‐42000 0 0 0 0 0 0 0 0

0 38 18900 0 ‐38 18900 0 0 0 0 0 0

1

u2

v2

2

u3

M1

U2

V2

M2

U3

3

4

5

6

7

2 3

2 4

3 4

bc

d2

0 18900 12600000 0 ‐18900 6300000 0 0 0 0 0 0

‐42000 0 0 98856 ‐14843 6682 ‐42000 0 0 ‐14856 14843 6682

0 ‐38 ‐18900 ‐14843 14932 6682 0 ‐38 18900 14843 ‐14856 6682

0 18900 6300000 6682 6682 34109545 0 ‐18900 6300000 ‐6682 ‐6682 4454773

0 0 0 ‐42000 0 0 42038 0 18900 ‐38 0 18900

v3

3

u4

v4

4

V3

M3

U4

V4

M4

8

9

10

11

12

3

4

0 0 0 0 ‐38 ‐18900 0 42038 ‐18900 0 ‐42000 0

0 0 0 0 18900 6300000 18900 ‐18900 25200000 ‐18900 0 6300000

0 0 0 ‐14856 14843 ‐6682 ‐38 0 ‐18900 14894 ‐14843 ‐25582

0 0 0 14843 ‐14856 ‐6682 0 ‐42000 0 ‐14843 56856 ‐6682

0 0 0 6682 6682 4454773 18900 0 6300000 ‐25582 ‐6682 21509545

1 2 3a b

v1 v2

u22

v33

4

c d

G di di lib à i l i θ θ

u4

Gradi di libertà non vincolati: v1 v2u2 θ2

Gradi di libertà vincolati: u3u1 θ1 v4 θ4

v3 θ3 u4

28

1

1 2 3 4

U1

V1

M1

1

u1

v1

1

1

2

3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12a

bc

d a22 a24 a25 a26

2

3

M1

U2

V2

M2

U3

V3

2

3

1

u2

v2

2

u3

v3

3

4

5

6

7

8

a42

a52

a62

a+b+c

b+ d

b15 b16

b25 b26

b35 b36

b51 b52 b53

c14

c24

c34

d243

4

V3

M3

U4

V4

M4

3

4

v3

3

u4

v4

4

8

9

10

11

12

b+ db51 b52 b53

b61 b62 b63

c41 c42 c43

24

d34

d42 d43 c+d

In generale, se indichiamo con il pedice “e” le forze e gli spostamenti dei nodi soggetti a carichiesterni, e con il pedice “v” le forze e gli spostamenti dei nodi sede di vincolo esterno, si possonoriorganizzare i vettori nel seguente modo:

e

v

F

FF

e

v

f

ff

fKF

Anche le righe della matrice di rigidezza possono essere riarrangiate in modo da avere:

e

v

eeev

vevv

e

v

f

f

KK

KK

F

F

Dalla seconda delle due equazioni si ricavano gli spostamenti dei nodi fe :

eeeveve fKfKF veveeee fKFKf 1

(Se ai vincoli gli spostamentisono tutti nulli {fv} = 0)

eT

evvvvv fKfKF

Una volta noti gli spostamenti fe si trovano le reazioni vincolari:

29

1

1 2 3 4

U1

V1

M1

u1

v1

1

1

2

3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12a

bc

d eeK eeK eeK eeK eeK eeKeeK

2

3

M1

U2

V2

M2

U3

V3

1

u2

v2

2

u3

v3

3

4

5

6

7

8

eeK eeK eeK eeK eeK eeKeeK



K K K K K KK3

4

V3

M3

U4

V4

M4

v3

3

u4

v4

4

8

9

10

11

12




1

1 2 3 4

U1

V1

M1

u1

v1

1

1

2

3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12a

bc

d

vvK

K

vvK

vvK

vvK

vvK

vvK

vvK

vvK

vvK

2

3

M1

U2

V2

M2

U3

V3

1

u2

v2

2

u3

v3

3

4

5

6

7

8

vvK

vvK

vv

vvK

vv

vvK

vv

vvK

vv

vvK

3

4

V3

M3

U4

V4

M4

v3

3

u4

v4

4

8

9

10

11

12

vvK

vvK

vvK

vvK

vvK

vvKvvK

vvK

vvK

vvK

30

Il sistema risolutivo è costituito da 7 equazioni con 7 incognite

Matrice Kee38 0 ‐38 18900 0 0 0

0 98856 14843 6682 0 0 14856

Fee‐1000

fev1

0 98856 ‐14843 6682 0 0 ‐14856

‐38 ‐14843 14932 6682 ‐38 18900 14843

18900 6682 6682 34109545 ‐18900 6300000 ‐6682

0 0 ‐38 ‐18900 42038 ‐18900 0

0 0 18900 6300000 ‐18900 25200000 ‐18900

0 ‐14856 14843 ‐6682 0 ‐18900 14894

0

0

0

0

0

0

u2

v2

2v3

3u4

x =

Risolvendo il sistema: F

Spostamenti

v1 ‐134.143 [mm]

u2 ‐0.01208 [mm]

v2 ‐64.8238 [mm]

2 0.085728 [rad]

v3 0.014306 [mm]

3 0.075739 [rad]

u4 64.7236 [mm]

Reazioni Vincolari

U1 507.5406 [N]

M1 ‐770044 [Nmm]

U3 ‐507.541 [N]

V4 1000 [N]

M4 ‐1229956 [Nmm]

La “deformata” della struttura è la seguente:

Documents

Progettazione agli Elementi Finiti - Costruzione di Macchine · 1 Progettazione agli Elementi Finiti AA 2010/2011, docente: Prof. Dario Amodio Testi Consi gliati: A. Gugliotta “Elementi