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etto

dida

ttica

in re

tePolitecnico di Torino, maggio 2002

Dipartimento di Meccanica

Elementi finitiParte IV

A. Gugliotta

otto editore

ELEMENTI FINITIParte IV

A. GUGLIOTTA

POLITECNICO DI TORINO

WWW.POLITO.IT

INDICE – IV

8. ANALISI DINAMICA ..........................................................235

8.1 INTRODUZIONE ..................................................................... 235

8.2 FORMULE FONDAMENTALI SISTEMA AD UN GRADO DI LIBERTÀ ....................................... 236

Vibrazioni libere .............................................................................237Vibrazioni smorzate ........................................................................238Vibrazioni forzate ............................................................................241

8.3 SISTEMA A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ

EQUAZIONI DELLA DINAMICA................................................ 246

8.4 MATRICE DELLE MASSE CONGRUENTE E CONCENTRATA....... 247

Matrice delle masse per elemento asta ............................................. 248Matrice delle masse per elemento trave............................................ 248

8.5 MATRICE DI SMORZAMENTO ................................................. 249

8.6 FREQUENZE NATURALI E MODI DI VIBRARE ........................... 251

8.7 GUYAN REDUCTION ............................................................... 253

8.8 ANALISI TRANSITORIA DINAMICA

SOVRAPPOSIZIONE MODALE ................................................... 254

Scelta del numero di modi da considerare ....................................... 256

8.9 METODI DI INTEGRAZIONE DIRETTA ..................................... 257

Metodi espliciti - Metodo delle differenze centrali........................... 258Metodi impliciti - Metodo di Houbolt ............................................261Metodi impliciti - Metodo di Wilson - q .........................................263Metodi impliciti - Metodo di Newmark.......................................... 265

i

8.10 STABILITÀ E PRECISIONE DEI METODI DI INTEGRAZIONE DIRETTA .. 273

Operatori di approssimazione e di carico .........................................273Metodo delle differenze centrali ......................................................274Metodo di Houbolt .........................................................................275Metodo di Wilson - q .....................................................................276Metodo di Newmark .......................................................................277Analisi di stabilità ............................................................................278Analisi di precisione ........................................................................ 280

9. APPENDICI .........................................................................283

9.1 RICHIAMI DI CALCOLO MATRICIALE ....................................... 283

Definizione di matrice......................................................................283Addizione e sottrazione di matrici ...................................................286Moltiplicazione di una matrice per uno scalare................................ 286Moltiplicazione di matrici ...............................................................287Differenziazione di una matrice .......................................................288Differenziazione di una espressione matriciale .................................288Integrazione di matrici ....................................................................288Inversione di matrici .......................................................................289

9.2 INTEGRAZIONE NUMERICA ..................................................... 289

Metodo di Newton-Cotes ...............................................................290Metodo di Gauss-Legendre ............................................................. 292Integrazione per triangoli ................................................................294

9.3 PROGRAMMA DI CALCOLO ..................................................... 296

10. BIBLIOGRAFIA ...................................................................303

ii

235

8. ANALISI DINAMICA

8.1 I

NTRODUZIONE

Il problema dinamico strutturale differisce dal problema statico per due impor-tanti aspetti: il primo è la dipendenza dal tempo del problema, il secondo è datodalla presenza delle forze d’inerzia e di smorzamento del sistema; se la frequenzadi eccitazione del carico applicato alla struttura è inferiore di circa un terzo dellapiù piccola frequenza naturale del sistema, allora gli effetti di inerzia possonoessere trascurati ed il problema è

quasi-statico

. Le forze d’inerzia diventanoimportanti e rappresentano una parte significativa del carico complessivo agentesulla struttura se le frequenze di eccitazione del carico applicato sono maggiori dicirca un terzo della più piccola frequenza naturale o se la struttura vibra liberamente.

Le proprietà fisiche essenziali di un sistema strutturale comprendono quindi lesue proprietà elastiche (

rigidezza

) descritte dalla matrice di rigidezza [

K

], la sua

massa

e/o

inerzia

, descritta dalla matrice delle masse [

M

], lo

smorzamento

(mec-canismo di perdita di energia), descritto dalla matrice di smorzamento [

C

], ed ilcarico esterno o sorgente esterna di

eccitazione

.

Le vibrazioni possono essere classificate in diversi modi, ad esempio:

–

Vibrazioni libere e forzate

. Nel primo caso il sistema, dopo un disturboiniziale, vibra liberamente in assenza di forze esterne. Nel secondo casoil sistema è soggetto ad una forza esterna variabile nel tempo (spessouna forza periodica) e la vibrazione del sistema è una vibrazione for-zata. Se la frequenza della eccitazione coincide con una delle frequenzenaturali del sistema si ha il fenomeno della

risonanza

e la risposta delsistema cresce indefinitamente in modo catastrofico.

–

Vibrazioni smorzate e non smorzate

. Nel primo caso si ha perdita dienergia dovuta all’attrito (viscoso, coulombiano, isteresi), nel secondocaso non si ha perdita di energia durante la vibrazione del sistema. Inalcuni sistemi il valore dello smorzamento è così piccolo che può esseretrascurato ai fini di una valutazione ingegneristica.

ANALISI

DINAMICA

–

Vibrazioni lineari e non lineari

. I sistemi oscillatori possono avere uncomportamento lineare o non lineare, in funzione delle caratteristichedel sistema, nel dominio del tempo o della frequenza. Per sistemi line-ari si può applicare il principio di sovrapposizione degli effetti e le rela-tive tecniche matematiche. I sistemi non lineari sono più complessi daanalizzare, ma tutti i sistemi tendono a diventare non lineari quandol’ampiezza di risposta cresce. I sistemi lineari sono perciò solo una spe-ciale approssimazione del caso generale non lineare.

–

Vibrazioni deterministiche e vibrazioni random

. Se il valore dell’eccita-zione è noto in ogni istante di tempo, il carico è detto deterministico.In caso contrario l’eccitazione è di tipo random; in molti casi il caricopuò essere descritto statisticamente. La risposta del sistema è di tiporandom e può essere descritta solo in termini statistici.

I problemi di dinamica strutturale possono essere classificati in due categorie:

1. calcolo delle frequenze naturali di vibrazione e dei corrispondentimodi di vibrare; normalmente si chiede di confrontare le frequenzeproprie del sistema con quelle del carico eccitante

2. analisi della risposta temporale (

time history

) di una struttura soggettaa carichi variabili nel tempo. Poiché il carico e quindi la risposta, intermini di spostamenti e tensioni, variano con il tempo, il problemanon ha una singola soluzione, come il problema statico, ma una suc-cessione di soluzioni in corrispondenza agli istanti di tempo di inte-resse. Due tra i metodi più diffusi di soluzione sono i

metodi modali

(sovrapposizione modale) ed i

metodi di integrazione diretta

8.2 F

ORMULE

FONDAMENTALI

- S

ISTEMA

AD

UN

GRADO

DI

LIBERTÀ

Se una forza eccitante è applicata ad un sistema massa-molla-smorzatore(fig.

8.1

), il moto risultante dipende dalle condizioni iniziali, dalla forza eccita-trice e dal sistema stesso.

Fig. 8.1 – Sistema massa-molla-smorzatore.

236

ANALISI

DINAMICA

Se l’eccitazione è sinusoidale il sistema tenderà a vibrare alla sua frequenza natu-rale, così come quello della funzione forzante.

Se il sistema possiede un certo smorzamento la parte del moto non sostenutadall’eccitazione alla fine svanirà: il sistema vibrerà alla frequenza della funzioneeccitatrice senza riguardo alla frequenza naturale del sistema o alle condizioniiniziali (se la frequenza dell’eccitazione è nulla si ha carico statico con periodoinfinito, ovvero uno stato di quiete). Il moto che rimane è chiamato risposta sta-zionaria (

steady state

) del sistema; il moto che svanisce è detto transitorio.

Quando la frequenza del carico è prossima alla frequenza naturale del sistema,l’ampiezza della risposta si amplifica.

8.2.1 Vibrazioni libere

Dal principio di conservazione dell’energia:

8.1

ovvero:

8.2

con:

8.3

e sostituendo la

8.3

nella

8.2

:

oppu

dove

e sistem

Il moridurgraduuna s

La so

T U+ cost=

t∂∂ T U+( ) 0=

U12---kx2= T

12---mx2=

wn

8.4mx kx+ 0=

237

re:

8.5

8.6

è la pulsazione naturale e la frequenza naturale dela.

to così espresso non cambia col tempo (non c’è modo di dissipare energia ere le oscillazioni). Questo non avviene in natura dove tutte le vibrazionialmente diminuiscono e si fermano, a meno che non siano mantenute daorgente esterna.

luzione della 8.4 può essere trovata assumendo:

x wn2x+ 0=

wn2 k

m----=

fn wn 2p§=

ANALISI

DINAMICA

8.7

e:

8.8

8.9

8.10

ovvero:

8.11

e, in termini di condizioni iniziali:

8.12

L’eq.

8.11

può essere espressa come:

8.13

con:

x t( ) Cest=

C ms2 k+( ) 0=

s iwn±=

x t( ) C1eiwnt

C2eiwnt

+=

x t( ) A1 wn tcos A2 wn tsin+=

x t( ) x0 wn tcosx0

wn------ wn tsin+=

x t( ) A wnt f–( )cos=

8.14

A A12 A2

2+ x02 x0

wn------

Ë ¯Á �Ê �

2

+= = ampiezza

fA2

A1------Ë ¯

Ê �atanx0

x0wn------------

Ë ¯Á �Ê �

atan= = angolo di fase

238

l’angolo di fase f può essere interpretato come l’angolo tra l’origine ed il primopicco.

8.2.2 Vibrazioni smorzate

Lo smorzamento è il meccanismo che rimuove energia dal sistema. Lo smorza-mento può essere classificato in tre tipi fondamentali:

1. Viscoso, (ad esempio un corpo che si muove n un fluido a bassa velo-cità). La forza resistente proporzionale alla velocità:

8.15F c x–=

ANALISI DINAMICA

2. Coulomb, (ad esempio corpi che slittano su superficie asciutte). Laforza è quasi costante e dipende dalla natura delle superficie a contattoe dalla forza normale; indicando con m il coefficiente di attrito:

8.16

3. Isteresi, dovuto all’attrito interno del materiale. La resistenza è circaproporzionale all’ampiezza della deformazione e indipendente dallavelocità. Questo tipo di smorzamento è dissipato sotto forma di calore.

Supponendo uno smorzamento viscoso e applicando la legge di Newton perl’equilibrio delle forze si avrà:

8.17

La soluzione generale della 8.17 è:

8.18

Il valore di c che fa svanire la parte sotto radice è detto costante di smorzamentocritico ccr, e cioè:

8.19

Di solito si rappresenta lo smorzamento in rapporto allo smorzamento criticocon un parametro adimensionale x, , detto fattore di smorzamento.Perciò:

F mFn=

mx c x kx+ + 0=

x C1ec

2m-------–

c2m-------Ë ¯

Ê � 2 km----–+ t

C2ec

2m-------–

c2m-------Ë ¯

Ê � 2 km----–– t

+=

ccr

2m------- k

m---- wn= =

ccr 2 mk 2mwn= =

x c ccr§=

8.20x C1e x– x2 1–+( )wnt C2e x– x2 1––( )wnt+=

Sistema sottosmorzato (x < 1)

Se il sistema è detto sottosmorzato e il moto è armonico con ampiezza didecadimento tanto maggiore quanto più grande è x.

La 8.20 diventa:

8.21

x 1<

x e x– wnt C '1 1 x2– wntcos C '2 1 x2–sin wnt+( )=

8.22x e x– wnt C '1 wd tcos C '2 wdsin t+( )=

239

con frequenza della vibrazione smorzata:wd

ANALISI DINAMICA

8.23

In termini di condizioni iniziali:

wd 1 x2– wn=

8.24x e x– wnt x0 wd tcosx0 xwnx0+

wd-------------------------- wdsin t+

Ë ¯Á �Ê �

=

240

La 8.22 può essere espressa come:

8.25

con:

8.26

Sistema smorzato criticamente (x = 1)

Se il sistema è detto smorzato criticamente ed il moto decade esponen-zialmente in modo non periodico. La 8.20 diventa:

8.27

In termini di condizioni iniziali:

8.28

Sistema sovrasmorzato (x > 1)

Se il sistema è detto sovrasmorzato ed il moto decade esponenzialmentein modo non periodico. La 8.20 diventa:

8.29

con:

x e x– wnt X0 wd t f0–( )cos=

X0 C '1( )2 C '2( )2+ x02

x0 xwn x0+

wd---------------------------

Ë ¯Á �Ê �

2

+= = ampiezza

f0

C2

C1------Ë ¯

Ê �atanx0 xwn x0+

x0wd---------------------------

Ë ¯Á �Ê �

atan= = angolo di fase

x 1=

x e wn– t C1 C2t+( )=

x e wn– t x0 x0 wnx0+( )t+[ ]=

x 1>

x C1e x– x2 1–+( ) wnt C2e x– x2 1––( ) wnt+=

ANALISI DINAMICA

241

8.30

8.2.3 Vibrazioni forzate

L’eccitazione può essere di tipo armonico, non armonico, ma periodica, o ran-dom. La risposta del sistema ad una eccitazione armonica è detta risposta armo-nica. La risposta ad un carico non periodico e applicato rapidamente è dettarisposta al transitorio. Nel caso di carico armonico si ha:

8.31

dove F0 è l’ampiezza dell’eccitazione, w è la frequenza e f l’angolo di fase, chedipende dal valore di F per t = 0 ed è normalmente assunto uguale a zero.

Sistema non smorzato

L’equazione di equilibrio è:

8.32

La soluzione completa è data dalla soluzione dell’omogenea associata 8.11 e dallasoluzione particolare:

8.33

dove X è la massima ampiezza di xp(t) e:

8.34

ed in termini di condizioni iniziali:

8.35

Definito il rapporto di frequenza r tra la forzante e la frequenza naturale delsistema:

C1

x0wn x x2 1–+( ) x0+

2wn x2 1–--------------------------------------------------------=

C2

x– 0wn x x2 1––( ) x0–

2wn x2 1–-----------------------------------------------------------=

F t( ) F0 e i wt f+( ) F0 wt f+( )cos= =

mx kx+ F0 wtcos=

xp t( ) X wtcosF0

k mw2–-------------------- wtcos= =

x t( ) A1 wntcos A2 wn tsinF0

k mw2–-------------------- wtcos+ +=

x t( ) x0

F0

k mw2–--------------------–Ë ¯

Ê � wn tcosx0

wn------ wn tsin

F0

k mw2–-------------------- wtcos+ +=

ANALISI DINAMICA

242

8.36

e definita la deflessione statica:

8.37

si avrà:

8.38

con fattore di amplificazione.

La risposta totale del sistema può essere anche scritta come:

8.39

con A e f dalla 8.14.

Sistema smorzato - Carico armonico

Se il sistema smorzato è eccitato da una forza armonica si ha:

8.40

La soluzione è data dalla soluzione dell’omogenea associata e dalla soluzione par-ticolare:

8.41

con:

8.42

In funzione del rapporto di frequenza r e della deflessione statica si avrà:

8.43

r wwn------=

xst

F0

k-----=

Xxst------ 1

1 r2–-------------=

X xst§

x t( ) A wnt f–( )cosxst

1w

wn------Ë ¯

Ê � 2–

------------------------ wtcos+=w

wn------ 1<

x t( ) A wnt f–( )cosxst

1w

wn------Ë ¯

Ê � 2–

------------------------ wtcos–=w

wn------ 1>

F0 wtcos

mx c x kx+ + F0 wtcos=

xp t( ) X wt f–( )cos=

XF0

k mw2–( )2 c w( )2+-----------------------------------------------------= ftan cw

k mw2–--------------------=

Xxst------ 1

1 r2–( )2 2xr( )2+-----------------------------------------------= ftan 2xr

1 r2–-------------=

ANALISI DINAMICA

Questo rapporto, se r = 1 e x = 0 diventa infinito (fig. 8.2).

Il fattore di smorzamento ha molta influenza sull’ampiezza nella regione di riso-nanza. Se c’è smorzamento la frequenza di risonanza è un po’ minore della fre-quenza naturale senza smorzamento. Il massimo fattore di amplificazione si haquando:

8.44r 1 2x2+= ovvero w wn 1 2x2+ wd= =

Fig. 8.2 – Fattore di amplificazione.

243

Sistema smorzato - Carico generico

Se il sistema oscillatore smorzato è eccitato da una forza si ha:

8.45

La soluzione è data dalla soluzione dell’omogenea associata e dalla soluzione par-ticolare:

8.46

con:

F0 eiwt

m x c x kx+ + F0 e iwt=

xp t( ) Xei wt f–( )=

ANALISI DINAMICA

2

8.47

Sistema smorzato - Carico generico non periodico

Se il sistema oscillatore smorzato è eccitato da una forza generica F(t) si ha:

8.48

La risposta dinamica può essere ottenuta con l’integrale di Duhamel. La solu-zione è data dalla soluzione dell’omogenea associata e dalla soluzione particolare:

c

cll

Lld

Ap

S(a

XF0

k mw2–( )2 cw( )2+----------------------------------------------------= ftan cw

k mw2–--------------------=

mx c x kx+ + F t( )=

8.49x t( )1

mwd----------- F t( )e xwn t t–( )– wd t t–( )[ ]sin td

0

t

Úe xwnt– C1 wd tcos C2 wd tsin+( )+

=

44

on:

8.50

on C1 e C2 funzione solo delle condizioni iniziali. La prima parte rappresenta’oscillazione forzata, la seconda parte della soluzione rappresenta l’oscillazioneibera del sistema.

a soluzione particolare può essere trovata considerando in una prima fase’effetto di un impulso elementare: nel tempo l’incremento di velocitàovuto all’impulso vale:

8.51

ssumendo x = 0 sino al tempo di applicazione dell’impulso, lo spostamento xer è (8.24):

8.52

i consideri ora la risposta del sistema ad un carico esterno arbitrario F (t)fig. 8.3); questo può essere pensato come una serie di impulsi elementari dimpiezza variabile:

wd wn 1 x2–=

C1 x0= C2

x0 xwnx0+

wd--------------------------=

DtF t( )Dt

D x F t( )Dtm

-------------------=

t t>

x t( ) F t( )Dt( )e xwn t t–( )–

mwd----------------------- wd t t–( )sin=

ANALISI DINAMICA

8.53

Essendo il sistema lineare, lo spostamento totale al tempo t è la somma degliimpulsi elementari agenti in tutti gli istanti t tra 0 e t:

8.54

Dx t( ) F t( )Dt( )e xwn t t–( )–

mwd----------------------- wd t t–( )sin=

x t( ) 1mwd----------- F t( )e xwn t t–( )– wd t t–( )sin td

0

t

Ú=

Fig. 8.3 – Impulso elementare.

Nei seguenti casi, in cui lo smorzamento è nullo ( ) l’integrale è risoltoesattamente:

x 0=

x t( )F0

k----- 1 wntcos–( )=

x t( ) awnk--------- wnt wntsin–( )=

245

ANALISI DINAMICA

2

L’integrale 8.49 è valutato numericamente. La funzione integranda varia alvariare di t, limite di integrazione; è opportuno però riscrivere l’integrale ricor-rendo alle formule trigonometriche:

8.55

8.3 SISTEMA A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ: EQUAZIONI DELLA DINAMICA

Le equazioni che governano la risposta dinamica di una struttura possono esserederivate applicando l’equazione dei lavori virtuali 4.37:

8.56

e aggiungendo le forze d’inerzia e di smorzamento, non considerate per il casostatico:

cmn

Sd

cie

Sv

x t( ) ex wnt–

wd-------------- wd t F t( )e

x wn t wdt cos t wd t F t( )e

x wn t wdtsin t ]d

0

t

Úcos–d

0

t

Úsin=

ex wnt–

C1 wd tcos C2 wd tsin+( )+

du{ }T f{ } du{ }T t0{ } AdAÚ du{ }T f{ } Vd

VÚ+ + de{ }T s{ } VdVÚ=

8.57du{ }T f{ } du{ }T t0{ } Ad

AÚ du{ }T f{ } VdVÚ+ +

de{ }T s{ } VdVÚ= du{ }Tr u{ } Vd

VÚ du{ }Tcs u{ } VdVÚ+ +

46

on e rispettivamente spostamenti virtuali e corrispondenti defor-azioni virtuali, carichi superficiali, carichi di volume, carichi

odali, densità del materiale, parametro di smorzamento del materiale.

ostituendo le espressioni per il campo di spostamenti , funzione ora ancheel tempo oltre che dello spazio, e per le sue derivate:

8.58

on [n] funzioni dello spazio e {s } funzioni del tempo. Sostituendo nella 8.57 entroducendo la legge costitutiva del materiale, nel caso di deformazione iniziale di tensione iniziale nulle, si ottiene:

8.59

iccome l'uguaglianza deve valere per qualsiasi configurazione di spostamentiirtuali {ds}, deve anche valere la seguente uguaglianza:

du{ } de{ }t0{ } f{ } f }{

r csu{ }

u{ } n[ ] s{ }= u{ } n[ ] s{ }= u{ } n[ ] s{ }=

ds{ }T f{ } ds{ }T n[ ]T t0{ } AdAÚ ds{ }T n[ ]T f{ } Vd

VÚ+ +

ds{ }T b[ ]T E[ ] b[ ] VdVÚ s{ } ds{ }T r n[ ]T n[ ] Vd

VÚ s˙{ }

ds{ }T cs n[ ]T n[ ] VdVÚ s{ }

+

+

=

ANALISI DINAMICA

8.60k[ ] s{ } m[ ] s{ } c[ ] s{ }+ + f }{ fe{ }tofe{ }f+ +=

247

con [m] matrice delle masse, e [c] matrice dello smorzamento:

8.61

La matrice delle masse [m] può essere ricavata in altro modo, sempre partendoda considerazioni energetiche, scrivendo l’energia cinetica dell’elemento:

8.62

ovvero:

8.63

e:

8.64

8.4 MATRICE DELLE MASSE CONGRUENTE E CONCENTRATA

La matrice delle masse ricavata è detta matrice congruente delle masse (consistentmass matrix). La matrice di massa congruente è così chiamata poiché si utilizza lostesso modello di spostamento (stesse funzioni di forma per gli spostamenti)usato per derivare la matrice di rigidezza.

La matrice a masse concentrate è di formulazione più semplice avendo elementinon nulli solo in corrispondenza dei gradi di libertà traslazionali; essa è ottenutaconcentrando una massa mi in corrispondenza del grado di libertà i-esimo, inmodo che la sommatoria delle singole masse rappresenti la massa totale dell’ele-mento. Valori non nulli possono essere assegnati arbitrariamente anche in corri-spondenza di gradi di libertà rotazionali, come ad esempio nel caso delle travi.

La formulazione a masse concentrate, essendo diagonale, non considera glieffetti dinamici di mutua influenza tra i vari gradi di libertà dell’elemento.D’altro canto anche le matrici di massa congruenti sono approssimate poichéesse sono derivate utilizzando le funzioni di forma per gli spostamenti derivatenel caso statico ed utilizzate poi per risolvere il problema dinamico.

m[ ] r n[ ]T n[ ] VdVÚ=

c[ ] cs n[ ]T n[ ] VdVÚ=

E12---rv2 Vd

VÚ 12--- u{ }T u{ }r Vd

VÚ 12--- s{ }T n[ ]T n[ ] s{ }r Vd

VÚ= = =

E12--- s{ }T n[ ]T n[ ]r Vd

VÚË ¯Ê � s{ }=

m[ ] r n[ ]T n[ ] VdVÚ=

ANALISI DINAMICA

248

Qualsiasi sia la formulazione utilizzata, il prodotto deve fornire la cor-retta forza quando rappresenta l’accelerazione di un corpo rigido; questo èinfatti il comportamento di un elemento infinitesimo quando la suddivisione inelementi è piccola.

Le frequenze proprie calcolate utilizzando matrici di massa congruenti, qualorasi abbiano elementi compatibili e si utilizzi uno schema di integrazione esatto,costituiscono un limite superiore alle frequenze naturali esatte, mentre quellecalcolate utilizzando matrici a masse concentrate forniscono valori inferiori aquelli corretti.

8.4.1 Matrice delle masse per elemento asta

Nel caso di un elemento asta si ha:

8.65

e:

8.66

matrice di massa congruente, mentre quella a masse concentrate (lumped mass)ha diverso da zero i soli termini sulla diagonale principale:

8.67

8.4.2 Matrice delle masse per elemento trave

Nel caso di un elemento trave le funzioni di forma sono date dalla 4.86:

8.68

e la matrice delle masse congruente è:

m[ ] s{ }s{ }

n[ ] 1 xl--–

xl--=

m[ ] rA1 x

l--–Ë ¯

Ê � 2

xl-- 1 x

l--–Ë ¯

Ê �

xl-- 1 x

l--–Ë ¯

Ê � xl--Ë ¯

Ê � 2xd

0

l

Ú rAl6

--------- 2 11 2

= =

m[ ] rAl2

---------1 00 1

=

n1 1 3xl--Ë ¯

Ê � 2– 2

xl--Ë ¯

Ê � 3+= n2 x 2

x2

l----- x3

l 2-----+–=

n3 3xl--Ë ¯

Ê � 22

xl--Ë ¯

Ê � 3–= n4

x2

l----- x3

l 2-----+–=

ANALISI DINAMICA

249

8.69

la matrice a masse concentrate è:

8.70

Gli effetti dell’inerzia associata con i gradi di libertà rotazionali sono stati consi-derati nulli; volendo tener in conto questi effetti, si può calcolare il momentod’inerzia di massa di ciascuna metà trave rispetto all’estremità. Nel caso di traveuniforme:

8.71

e la matrice delle masse diviene:

8.72

8.5 MATRICE DI SMORZAMENTO

Lo smorzamento nelle strutture è dovuto principalmente a fenomeni di isteresie/o di attrito negli elementi di collegamento. Questi fenomeni sono però difficilida modellare e da inserire nelle equazioni di dinamica strutturale, per cui il feno-meno dello smorzamento è generalmente approssimato dallo smorzamentoviscoso, attraverso il rapporto di smorzamento x. Il valore di x dipende dal mate-riale e dal livello di tensione, e per gli acciai può variare da circa lo 0.5% per bassi

m[ ] rAl420---------

156 6l 54 13l–

22l 4l 2 13l 3l 2–

54 13l 156 22l–

13l – 3– 22l– 4l 2

=

m[ ] rAl2

---------

1 0 0 00 0 0 00 0 1 00 0 0 0

=

J13--- rAl

2--------- l

2---Ë ¯

Ê � 2=

m[ ] rAl2

---------

1 0 0 0

0l 2

12------ 0 0

0 0 1 0

0 0 0l 2

12------

=

ANALISI DINAMICA

livelli di tensione a circa il 5% per alti valori di tensione. Per strutture imbullo-nate o rivettate può variare dal 2% al 15%.

Uno dei modelli di smorzamento viscoso più utilizzati è lo smorzamento propor-zionale, o di Rayleigh, secondo il quale la matrice di smorzamento [C ] è unacombinazione lineare della matrice di rigidezza e della matrice di massa, cioè:

8.73

con a e b costanti di smorzamento di Rayleigh. La matrice di smorzamento [C]così ottenuta è ortogonale e permette così di semplificare notevolmente l’analisi.In termini modali, indicando con [F] la matrice degli autovettori, si ha:

8.74

8.75

La relazione tra a, b ed il fattore di smorzamento x è:

8.76

La figura 8.4 illustra un andamento tipico dello smorzamento proporzionale xin funzione della frequenza. In pratica è stato riscontrato che lo smorzamentoM-proporzionale può rappresentare uno smorzamento dovuto ad attrito, mentrelo smorzamento K-proporzionale può rappresentare lo smorzamento interno delmateriale1.

Le costanti a e b possono essere ricavate a partire dalla conoscenza sperimentaledi due coppie di valori wi, xi (w1, x1, w2, x2):

8.77

x

C[ ] a M[ ] b K[ ]+=

fi{ }T M[ ] fj{ } =0

1ÓÌÏ i jπ

i j=

fi{ }T K[ ] fj{ } =0

wi2Ó

ÌÏ i jπ

i j=

F[ ]T C[ ] F[ ] a F[ ]T M[ ] F[ ] b F[ ]T K[ ] F[ ]+=

c[ ] a I[ ] b L[ ]+=

xi12--- a

wi----- bwi+Ë ¯

Ê �=

a 2w1w2 w2x1 w1x2–( )

w22 w1

2–-------------------------------------------------= b 2

w2x2 w1x1–

w22 w1

2–------------------------------=

1.M. Petyt, Introduction to finite element vibration analysis, Cambridge University Press,1990

250

ANALISI DINAMICA

8.6 FREQUENZE NATURALI E MODI DI VIBRARE

Nell’ipotesi di struttura lineare ([K ] ed [M ] costanti), nessun smorzamento([C ] = 0) e vibrazioni libere ({F } = 0), e ponendo:

8.78

la 8.60 diventa:

u{ } f{ } wtsin=

8.79K[ ] w2 M[ ]–( ) f{ } 0{ }=

Fig. 8.4 – Smorzamento proporzionale.

251

ad eccezione della soluzione banale { f} = {0} (sistema in quiete), occorre che ildeterminante della 8.79 sia nullo per avere soluzioni non nulle di { f}:

8.80

Il problema si dice agli autovalori ed ammette n soluzioni (con n gradi di libertà)per w2 e n autovettori { f} definiti a meno di una costante. Poiché le matrici ingioco sono reali e simmetriche gli autovalori sono tutti numeri reali.

K[ ] w2 M[ ]– 0=

ANALISI DINAMICA

ESEMPIO 8.1

Calcolare le frequenze proprie di vibrazione per un elemento asta non vinco-lato.Utilizzando la matrice delle masse congruente si ha:

8.81

e le frequenze proprie di vibrazione sono:

8.82

mentre nel caso di matrice delle masse concentrate si ha:

8.83

e la soluzione esatta è invece:

8.84

Da notare che la soluzione con matrice congruente è maggiore di quella esatta,mentre quella ottenuta con la matrice a masse concentrate è più piccola.

EAL

------- 1 1–

1– 1w2rAL

6---------- 2 1

1 2+ 0=

w2{ } 012Erl 2---------=

w2{ } 04E

rl 2---------=

w2{ } 0p2Erl 2---------=

ESEMPIO 8.2

Calcolare le frequenze proprie di vibrazione per un elemento trave nonvincolato.Utilizzando la matrice delle masse congruente si ha:

8.85

e le frequenze proprie di vibrazione sono:

8.86

mentre nel caso di matrice delle masse concentrate, considerando i terminiaggiuntivi di inerzia, si ha:

8.87

EJz

l 3-------

12 6l 12 – 6l

6l 4l 2 6l – 2l 2

12 – 6l – 12 6l –

6l 2l 2 6l – 4l 2

w2 rAl420---------

156 6l 54 13l–

22l 4l 2 13l 3l 2–

54 13l 156 22l–

13l – 3l 2– 22l– 4l 2

+ 0=

w2{ } 0 0720EJ

rAl 4---------------

8400EJ

rAl 4------------------=

w2{ } 0 048EJ

rAl 4-------------

192EJ

rAl 4---------------=

252

ANALISI DINAMICA

8.7 GUYAN REDUCTION

La procedura di risoluzione dell’intera matrice diventa molto onerosa per tantigradi di libertà. D’altra parte il numero di gradi di libertà necessari a caratteriz-zare il comportamento dinamico di una struttura è in genere molto minore diquello richiesto per ricavare tensioni e deformazioni in statica. Si può quindiridurre il numero dei gradi di libertà, utilizzando la tecnica della condensazione.

Una dei metodi più utilizzati è la cosiddetta Guyan reduction2: si scelgono gradidi libertà fondamentali detti master rispetto ai quali sono condensate le matricidegli altri gradi, detti slave, con la stessa legge usata per la condensazione staticasia per le masse che per le rigidezze (esatta per queste, approssimata per le masse).

L’ipotesi fondamentale nella Guyan reduction è che per le frequenze più basse (ingenere le più importanti), le forze d’inerzia agenti sui gradi di libertà slave sonomeno importanti delle forze elastiche trasmesse dai gradi di libertà master.

I gradi di libertà master sono quindi quelli caratterizzati dai valori più bassi di k/m, oltre quelli in corrispondenza dei nodi ai quali è applicato un carico o unospostamento prescritto variabile. Nota la soluzione in termini di autovettori per igradi di libertà master, questa si può poi espandere a tutti i gradi di libertà.

Data l’equazione 8.79:

8.89

detti {fm} i gradi di libertà master e {fs} i gradi di libertà slave, si ha:

Dalla seconda serie di equazioni:

K[ ] w2 M[ ]–( ) f{ } 0{ }=

2.Guyan R.J., Reduction of Stiffness and Mass Matrices, AIAA Journal, 1965, v. 3, n. 2, p. 380

8.90Kmm[ ] Kms[ ]

Ksm[ ] Kss[ ]w2 Mmm[ ] Mms[ ]

Msm[ ] Mss[ ]–

Ë ¯Á �Ê � fm{ }

fs{ }Ó þÌ ýÏ ¸ 0{ }

0{ }Ó þÌ ýÏ ¸

=

e la soluzione esatta è invece con e

per i primi due valori di frequenze proprie non nulli:

8.88

Da notare, anche questa volta, che la soluzione con matrice congruente èmaggiore di quella esatta, mentre quella ottenuta con la matrice a masse con-centrate è più piccola.

w2 bi4

EJ

rAl 4-------------= b1 4.730041=

b2 7.853205=

w2{ } 0 0500EJ

rAl 4---------------

3803EJ

rAl 4------------------=

253

ANALISI DINAMICA

254

8.91

ovvero:

8.92

e, espandendo in serie il termine inverso:

8.93

Sostituendo nella prima serie di equazioni in 8.90 e trascurando i termini piùgrandi di w2 si ha:

8.94

con:

8.95

La selezione dei gradi di libertà master può essere automatizzata nel seguentemodo: date le matrici [K ] e [M ], il primo grado di libertà slave è quello per ilquale si ha il più grande rapporto Kii /Mii. Si esegue una prima condensazione e siseleziona il grado di libertà slave successivo in corrispondenza del nuovo rap-porto più grande (Kii /Mii )1. Si ripete l’operazione di condensazione ed il proce-dimento è ripetuto sino a quando sono raggiunti i gradi di libertà masterdesiderati. Un altro procedimento consiste invece nel terminare l’operazione dicondensazione quando il rapporto (Kii /Mii )j è inferiore ad una frequenza ditaglio wt, solitamente assunta pari a circa tre volte la frequenza più alta di eccita-zione.

8.8 ANALISI TRANSITORIA DINAMICA: SOVRAPPOSIZIONE MODALE

Il procedimento di calcolo prevede:

– il calcolo dei modi di vibrare del sistema

– la separazione della funzione forzante nelle sue componenti di ognimodo

– la soluzione delle singole equazioni disaccoppiate corrispondenti aisingoli gradi di libertà

– il calcolo della risposta globale come somma delle singole risposte deisingoli modi agli istanti desiderati

Ksm[ ] w2 Msm[ ]–( ) fm{ } Kss[ ] w2 Mss[ ]–( ) fs{ }+ 0{ }=

fs{ } Kss[ ] w2 Mss[ ]–( ) 1– Ksm[ ] w2 Msm[ ]–( ) fm{ }–=

Kss[ ] w2 Mss[ ]–( ) 1– Kss[ ] 1– w2 Kss[ ] 1– Mss[ ] Kss[ ] 1– º+ +=

KR[ ] w2 MR[ ]–( ) fm{ } 0{ }=

KR[ ] Kmm[ ] Kms[ ] Kss[ ] 1– Ksm[ ]–=

MR[ ] Mmm[ ] Kms[ ] Kss[ ] 1– Msm[ ] Mms[ ] Kss[ ] 1– Ksm[ ] +––=

+ Kms[ ] Kss[ ] 1– Mss[ ] Kss[ ] 1– Ksm[ ]

ANALISI DINAMICA

255

Tra i vantaggi della sovrapposizione modale c’è la soluzione veloce (basta esami-nare i primi modi e/o quelli più vicini alle frequenza del carico). Tra gli svantaggic’è quello di poter considerare solo sistemi lineari. Richiede inoltre a monte lasoluzione modale, trova difficoltà ad includere smorzamenti diversi da quelli per-centuali o comunque correlati alle frequenze proprie.

Sia:

8.96

siano inoltre:

8.97

Dalle condizioni di [M] orto-normalità si ha:

8.98

e, considerando la trasformazione:

8.99

con {X } spostamenti generalizzati modali, si ottiene:

8.100

Le equazioni risultano disaccoppiate se è possibile supporre lo smorzamento pro-porzionale o di Rayleigh:

8.101

o se è possibile scrivere che:

8.102

con xi rapporto di smorzamento modale.

In tal caso si hanno n equazioni disaccoppiate del tipo:

8.103

che possono essere risolte con l’integrale di Duhamel:

M[ ] u{ } C[ ] u{ } K[ ] u{ }+ + F t( ){ }=

L[ ] diagwi= gli autovalori

F[ ] f1{ }º fi{ }º fn{ }[ ]= gli autovettori

F[ ]T M[ ] F[ ] I[ ]=

F[ ]T K[ ] F[ ] L2[ ]=

u{ } F[ ] X{ }=

X{ } F[ ]T C[ ] F[ ] X{ } L2[ ] X{ }+ + F[ ]T F{ }=

C[ ] a M[ ] b K[ ]+=

fi{ }T C[ ] fj{ } 2wixidij=

xi 2wixixi wi2xi+ + fi=

fi fi{ }T F{ }=i 1 2 º n, , ,=( )

ANALISI DINAMICA

8.104

con:

8.105

e C1i, C2i costanti di integrazione determinate imponendo le condizioni iniziali:

xi1

wdi------- fi t( )e xiwi t t–( )– wdi t t–( )[ ]sin td

0

t

Úe xiwit – C1i wdi tcos C2i wdi tsin+( )+

=

wdi wi 1 xi2–=

8.106xi( )t 0= fi{ }T M[ ] s0{ }=

xi( )t 0= fi{ }T M[ ] s0{ }=

8.8.1 Scelta del numero di modi da considerare

Esaminando il fattore di partecipazione nell’analisi modale si ha una misura dellarisposta di una struttura ad una data frequenza naturale, cioè come ogni modocontribuirà agli spostamenti (e attraverso questi, alle tensioni) in una particolaredirezione.

Fig. 8.5 – Primi 3 modi di vibrare di una trave.

256

Ad esempio nella trave in figura 8.5 i primi due modi sono di flessione, il terzo ditrazione-compressione.

Se agisce una forza eccitatrice in direzione Y, il modo 1 (a frequenza naturale piùbassa) avrà più alto fattore di partecipazione, il modo 2 avrà un fattore di parte-cipazione più basso ed il modo tre un fattore di partecipazione nullo.

Se la forza agisce in direzione X il fattore di partecipazione avrà valore diverso dazero solo per il modo 3.

ANALISI DINAMICA

257

Il quadrato di ciascun fattore di partecipazione è uguale alla massa che è entratain gioco in quella direzione. In questo contesto ci si può fermare al numero dimodi che rappresentano una percentuale adeguata della massa della struttura.

8.9 METODI DI INTEGRAZIONE DIRETTA

Il sistema di equazioni è integrato utilizzando una procedura numerica passopasso (step by step) (metodi alle differenze finite) ed il termine diretta significa chenessuna trasformazione di coordinate e delle equazioni viene fatta primadell’integrazione numerica.

8.107

La soluzione del problema consiste nel calcolare i valori dal tempo t = 0al tempo t = T, noti i valori iniziali al tempo t = 0. A tal fine, l’inter-vallo di tempo T è suddiviso in n intervalli di tempo Dt, (Dt = T/n), e la solu-zione del sistema 8.106 è calcolata, mediante opportuni schemi di integrazione,solo agli istanti 0, Dt, 2Dt, 3Dt, ..., t, t + Dt, ..., T, cioè per valori discreti di t,distanti Dt, assumendo a priori una legge di variazione degli spostamenti, velo-cità ed accelerazioni all’interno dell’intervallo Dt.Il metodo è comunque approssimato con un errore che dipende dalla scelta delpasso temporale Dt. Un passo Dt troppo piccolo, soprattutto in non linearità pre-giudica i tempi ed i costi del calcolo.

I vantaggi dei metodi di integrazione diretta sono:

– possono essere analizzate strutture lineari e non lineari

– possono essere incluse forme generali di smorzamento, mentre con lasovrapposizione modale è necessario ricorre ad uno smorzamento pro-porzionale

– non è richiesta espressamente la soluzione preventiva agli autovalori

Gli svantaggi dei metodi di integrazione diretta sono:

– si possono accumulare errori ed instabilità numeriche

– soprattutto per le non linearità, possono essere richiesti tempi di cal-colo eccessivi al fine di ottenere soddisfacenti gradi di precisione

I metodi di integrazione diretta si dividono in:

1. Metodi espliciti (differenze centrali). Il vettore spostamento è funzionedelle soluzioni calcolate agli istanti precedenti:

8.108

L’equazione di equilibrio è scritta all’istante t:

M[ ] S{ } C[ ] S{ } K[ ] S{ }+ + F t( ){ }=

S S S, ,S0 S0 S0, ,

S{ }t Dt+ f S{ }t S{ }t S{ }t S{ }t Dt– ,º, , , ,( )=

ANALISI DINAMICA

8.109

I metodi espliciti sono condizionatamente stabili.

2. Metodi impliciti (Houbolt, Wilson-q, Newmark) In questi metodi ilvettore spostamento è funzione degli spostamenti precedenti (noti) edelle velocità ed accelerazioni attuali (ignote):

8.110

Le equazioni di equilibrio sono scritte all’istante t + Dt:

8.111

I metodi impliciti sono generalmente incondizionatamente stabili.

8.9.1 Metodi espliciti - Metodo delle differenze centrali

M[ ] S{ }t C[ ] S{ }t K[ ] S{ }t+ + F t( ){ }t=

S{ }t Dt+ f S{ }t Dt+ S{ }t Dt+ S{ }t ,º,, ,( )=

M[ ] S{ }t Dt+ C[ ] S{ }t Dt+ K[ ] S{ }t Dt++ + F t( ){ }t Dt+=

Fig. 8.6 – Metodo delle differenze centrali: legge degli spostamenti.

258

Si assume:

8.112

Gli spostamenti incogniti {S }t+Dt al tempo t + Dt si ottengono dall’equazione diequilibrio scritta al tempo t.

8.113

Sostituendo:

S{ }t1

Dt 2-------- S{ }t Dt– 2 S{ }t– S{ }t Dt++( )=

S{ }t1

2Dt--------- S{ }t Dt–– S{ }t Dt++( )=

M[ ] S{ }t C[ ] S{ }t K[ ] S{ }t+ + F{ }t=

ANALISI DINAMICA

259

8.114

Posto:

8.115

si ha:

8.116

da cui si ricava {S}t+Dt.

Il metodo delle differenze centrali richiede la fattorizzazione di e non di[K ]; se la matrice delle masse è diagonale (lumped mass), non è richiesta neanchela fattorizzazione.

Il metodo richiede comunque un procedimento di partenza, poiché per t = 0 ènecessario conoscere .

8.117

Il passo di integrazione Dt deve essere scelto opportunamente; una scelta general-mente valida è:

8.118

dove Tn è il periodo più piccolo del sistema.

1Dt 2--------- M[ ] 1

2Dt--------- C[ ]+ S{ }t Dt+

Ë ¯Á �Ê �

F{ }tK[ ] 2

Dt 2--------- M[ ]–

Ë ¯Á �Ê �

S{ }t–1

Dt 2--------- M[ ] 1

2Dt--------- C[ ]–

Ë ¯Á �Ê �

S{ }t Dt––

=

M[ ] 1Dt 2--------- M[ ] 1

2Dt--------- C[ ]+=

F{ }t F{ }tK[ ] 2

Dt 2--------- M[ ]–

Ë ¯Á �Ê �

S{ }t–1

Dt 2--------- M[ ] 1

2Dt--------- C[ ]–

Ë ¯Á �Ê �

S{ }t Dt––=

M[ ] S{ }t Dt+ F{ }t=

M[ ]

S{ } tD–

S{ } Dt– S{ }0 Dt S{ }0–Dt 2

2-------- S{ }0+=

Dt Dtcrit£Tn

p------=

ANALISI DINAMICA

260

Tab. 8.1 – Metodo delle differenze centrali - Algoritmo di calcolo

1. CALCOLARE [K ], [M], [C ]

2. INIZIALIZZARE

3. SCEGLIERE IL PASSO DI INTEGRAZIONE DT (< DTCRIT)

4. CALCOLARE

5. FATTORIZZARE

per :

6. CALCOLARE IL CARICO EFFICACE

7. RISOLVERE RISPETTO A

8. CALCOLARE, SE RICHIESTO, I VALORI DI VELOCITÀ E ACCELERAZIONE

S{ }0 S{ }0 S{ }0, ,

c01

Dt2--------= c1

12Dt---------= c2

2Dt 2---------= c3

Dt 2

2---------=

S{ } Dt– S{ }0 Dt S{ }0– c3 S{ }0+=

M[ ] c0 M[ ] c1 C[ ]+=

M[ ] L[ ] D[ ] L[ ]T=

t Dt 2Dt º T, , ,=

F{ }t F{ }t K[ ] c2 M[ ]–( ) S{ }t– c0 M[ ] c1 C[ ]–( )+( ) S{ }t Dt––=

S{ }t tD+

L[ ] D[ ] L[ ]T S{ }t Dt+ F{ }t=

S{ }t c0 S{ }t Dt– 2 S{ }t S{ }t Dt++–( )=

S{ }t c1 S{ }t Dt–– S{ }t Dt++( )=

ANALISI DINAMICA

8.9.2 Metodi impliciti - Metodo di Houbolt

Fig. 8.7 – Metodo di Houbolt: legge degli spostamenti.

261

Si assume:

8.119

Gli spostamenti incogniti al tempo t + Dt si ottengono dall’equazionedi equilibrio scritta al tempo t + Dt. Si ottiene:

8.120

Posto:

8.121

si ha:

8.122

da cui si ricava {S}t+Dt.Il metodo di Houbolt richiede la fattorizzazione di .

S{ }t Dt+1

Dt 2-------- 2 S{ }t Dt+ 5 S{ }t– 4 S{ }t D– t S{ }t 2D– t–+( )=

S{ }t Dt+1

6Dt--------- 11 S{ }t Dt+ 18 S{ }t– 9 S{ }t Dt–+ 2 S{ }t 2D– t–( )=

S{ }t Dt+

2Dt 2--------- M[ ] 11

6Dt--------- C[ ] K[ ]+ +

Ë ¯Á �Ê �

S{ }t Dt+ F{ }t Dt+

5Dt 2--------- M[ ] 3

Dt----- C[ ]+

Ë ¯Á �Ê �

S{ }t

4

Dt 2--------- M[ ] 3

2Dt--------- C[ ]+

Ë ¯Á �Ê �

– S{ }t Dt–

1Dt 2--------- M[ ] 1

3Dt--------- C[ ]+

Ë ¯Á �Ê �

S{ }t 2Dt–

+ +

+

=

K[ ] 2Dt 2--------- M[ ] 11

6Dt--------- C[ ] K[ ]+ +=

F{ }t Dt+ F{ }t Dt+

5Dt 2--------- M[ ] 3

Dt----- C[ ]+

Ë ¯Á �Ê �

S{ }t + +=

–4

Dt 2--------- M[ ] 3

2Dt--------- C[ ]+

Ë ¯Á �Ê �

S{ }t Dt–

1Dt 2--------- M[ ] 1

3Dt--------- C[ ]+

Ë ¯Á �Ê �

S{ }t 2Dt–+

K[ ] S{ }t Dt+ F{ }t Dt+=

K[ ]

ANALISI DINAMICA

262

Inoltre il metodo richiede un procedimento speciale di partenza per calcolare e ; normalmente si utilizza il metodo delle differenza centrali,

con un passo di integrazione pari ad una frazione di Dt.

Tab. 8.2 – Metodo di Houbolt - Algoritmo di calcolo

1. CALCOLARE [K], [M], [C]

2. INIZIALIZZARE

3. SCEGLIERE IL PASSO DI INTEGRAZIONE

4. CALCOLARE

(con il metodo delle differenze centrali)

5. FATTORIZZARE

per

6. CALCOLARE IL CARICO EFFICACE

7. RISOLVERE RISPETTO A

8. CALCOLARE, SE RICHIESTO, I VALORI DI VELOCITÀ E ACCELERAZIONE

S{ }Dt S{ }2Dt

S{ }0 S{ }0 S{ }0, ,

tD

c02

Dt 2---------= c1

116Dt---------= c2

5Dt2--------= c3

3Dt-----=

c44

Dt 2---------–= c5

32Dt---------–= c6

1Dt 2---------= c7

13Dt---------=

S{ }Dt S{ }2Dt,

K[ ] K[ ] c0 M[ ] c1 C[ ]+ +=

K[ ] L[ ] D[ ] L[ ]T=

t Dt 2Dt º T, , ,=

F{ }t Dt+ F{ }t Dt+ M[ ] c2 S{ }t c4 S{ }t Dt– c6 S{ }t 2Dt–+ +( )+=

C[ ]+ c3 S{ }t c5 S{ }t Dt– c7 S{ }t 2Dt–+ +( )

S{ }t tD+

L[ ] D[ ] L[ ]T S{ }t Dt+ F{ }t Dt+=

S{ }t Dt+ c0 S{ }t Dt+ c2 S{ }t– c4 S{ }t D– t

– c6 S{ }t 2D– t

–=

S{ }t Dt+ c1 S{ }t Dt+ c3 S{ }t– c5– St Dt–( ) c7 S{ }t 2D– t–=

ANALISI DINAMICA

8.9.3 Metodi impliciti - Metodo di Wilson-q

Il metodo di Wilson-q è un’estensione del metodo dell’accelerazione lineare.L’accelerazione è assunta lineare tra t e t + qDt, con (con q = 1 si ha il casodell’accelerazione lineare classica). Affinché il metodo sia incondizionatamentestabile si può dimostrare che deve essere , di solito si usa q = 1.40.

Detta t la variabile tempo , per l’ intervallo di tempo si ha:

8.123

e integrando:

8.124

e, al tempo t + qDt:

q 1≥

q 1.37≥0 t qDt£ £( )

t t qDt+∏( )

S{ }t t+ S{ }tt

qDt--------- S{ }t qDt+ S{ }t–( )+=

S{ }t t+ S{ }t S{ }tt t2

2qDt------------ S{ }t qDt+ S{ }t–( )+ +=

S{ }t t+ S{ }t S{ }tt 12--- S{ }tt2 t3

6qDt------------ S{ }t qDt+ S{ }t–( )+ + +=

8.125

S{ }t qDt+ S{ }tqDt

2--------- S{ }t qDt+ S{ }t+( )+=

S{ }t qDt+ S{ }t qDt S{ }tq2Dt 2

6--------------- S{ }t qDt+ 2 S{ }t+( )+ +=

e, risolvendo rispetto e in funzione di :S{ }t qDt+ S{ }t qDt+ S{ }t qDt+

8.126

S{ }t qDt+6

q2Dt 2--------------- S{ }t qDt+ S{ }t–( ) 6

qDt--------- S{ }t– 2 S{ }t–=

S{ }t qDt+3

qDt--------- S{ }t qDt+ S{ }t–( ) 2 S{ }t–

qDt2

--------- S{ }t–=

Fig. 8.8 – Metodo di Wilson-q: ipotesi di accelerazione lineare.

263

ANALISI DINAMICA

264

Tab. 8.3 – Metodo di Wilson-q - Algoritmo di calcolo

1. CALCOLARE [K], [M], [C]

2. INIZIALIZZARE

3. SCEGLIERE IL PASSO DI INTEGRAZIONE

4. CALCOLARE

5. FATTORIZZARE

per

6. CALCOLARE IL CARICO EFFICACE

7. RISOLVERE RISPETTO A

8. CALCOLARE I VALORI DI SPOSTAMENTO, VELOCITÀ E ACCELERAZIONE AL TEMPO :

S{ }0 S{ }0 S{ }0, ,

tD

c06

qDt( )2----------------= c1

3qDt---------= c2 2c1= c3

qDt2

---------= c4

c0

q----=

c5

c2

q----–= c6 1 3

q---–= c7

Dt2-----= c8

Dt 2

6---------=

q 1.4=( )

K[ ] K[ ] c0 M[ ] c1 C[ ]+ +=

K[ ] L[ ] D[ ] L[ ]T=

t Dt 2Dt º T, , ,=

F{ }t q Dt+ F{ }t q F{ }t Dt+ F{ }t–( )+=

M[ ] c0 S{ }t c2 S{ }t 2 S{ }t+ +( ) C[ ] c1 S{ }t 2 S{ }t c3 S{ }t+ +( )+ +

S{ }t tD+

L[ ] D[ ] L[ ]T S{ }t q Dt+ F{ }t q Dt+=

t Dt+

S{ }t Dt+ C4 S{ }t q Dt+ S{ }t–( ) C5 S{ }t C6 S{ }t+ +=

S{ }t Dt+ S{ }t C7 S{ }t Dt+ S{ }t+( )+=

S{ }t Dt+ S{ }t Dt S{ }t C8 S{ }t Dt+ 2 S{ }t+( )+ +=

ANALISI DINAMICA

L’equazione di equilibrio al tempo t + qDt è:

8.127

Dalla 8.126 si ricava , dalla 8.125 si calcola ; quindi, posto

, dalle 8.122 e 8.123 si ricavano .

8.9.4 Metodi impliciti - Metodo di Newmark

Il metodo di Newmark è un’estensione del metodo dell’accelerazione lineare. Siassume:

M[ ] S{ }t qDt+ C[ ] S{ }t qDt+ K[ ] S{ }t qDt++ + F{ }t qDt+=

F{ }t qDt+ F{ }t q F{ }t Dt+ F{ }t–( )+=

S{ }t qDt+ S{ }t qDt+

t Dt= S{ }t Dt+ S{ }t Dt+ S{ }t Dt+, ,

8.128

S{ }t Dt+ S{ }t 1 d–( ) S{ }t d S{ }t Dt++( )Dt+=

S{ }t Dt+ S{ }t S{ }tDt 12--- a–Ë ¯

Ê � S{ }t a S{ }t Dt++Ë ¯Ê � Dt2+ +=

con i parametri a e d da determinare in modo da ottenere precisione e stabilitànell’integrazione (con a = 1/6 e d = 1/2 si ha il metodo dell’accelerazione lineare;Newmark propose a = 1/4 e d = 1/2, cioè una accelerazione media costante).

Fig. 8.9 – Metodo di Newmark.

265

Le 8.128 sono utilizzate per descrivere e in funzione di, che è calcolato scrivendo l’equazione di equilibrio al tempo t + Dt:

8.129

S{ }t Dt+ S{ }t Dt+S{ }t Dt+

M[ ] S{ }t Dt+ C[ ] S{ }t Dt+ K[ ] S{ }t Dt++ + F{ }t Dt+=

ANALISI DINAMICA

266

Tab. 8.4 – Metodo di Newmark - Algoritmo di calcolo

1. CALCOLARE [K], [M], [C]

2. INIZIALIZZARE

3. SCEGLIERE IL PASSO DI INTEGRAZIONE

4. CALCOLARE

5. FATTORIZZARE

per

6. CALCOLARE IL CARICO EFFICACE

7. RISOLVERE RISPETTO A

8. CALCOLARE I VALORI DI VELOCITÀ E ACCELERAZIONE AL TEMPO

S{ }0 S{ }0 S{ }0, ,

t a d,,D

d 0.50≥ a 0.25 0.5 d+( )2≥

c01

aDt2------------= c1

daDt---------= c2

1aDt---------= c3

12a------- 1–=

c4da--- 1–= c5

Dt2----- d

a--- 2–Ë ¯

Ê �= c6 Dt 1 d–( )= c7 dDt=

K[ ] K[ ] c0 M[ ] c1 C[ ]+ +=

K[ ] L[ ] D[ ] L[ ]T=

t Dt 2Dt º T, , ,=

F{ }t Dt+ F{ }t Dt+ M[ ] c0 S{ }t c2 S{ }t c3 S{ }t+ +( )+=

C[ ] c1 S{ }t c4 S{ }t c5 S{ }t+ +( )+

S{ }t tD+

L[ ] D[ ] L[ ]T S{ }t Dt+ F{ }t Dt+=

t Dt+

S{ }t Dt+ c0 S{ }t Dt+ S{ }t–( ) c2 S{ }t– c3 S{ }t–=

S{ }t Dt+ S{ }t c6 S{ }t c7 S{ }t Dt++ +=

ANALISI DINAMICA

267

ESEMPIO 8.3

Calcolare la risposta del sistema:

8.130

con e , utilizzando i metodi delle differenze centrali, Houbolt,

Wilson e Newmark. Confrontare i risultati numerici con la soluzione analitica.

Le tabelle 8.5, 8.6, 8.7 illustrano i risultati ottenuti con i diversi metodi diintegrazione, utilizzando rispettivamente un passo di integrazione pari a0.5, 1, 2.5.

Tab. 8.5 – Soluzione del sistema dell’esempio 8.1,

t SOLUZIONE ANALITICA

NEWMARK WILSON HOUBOLT DIFFERENZE CENTRALI

0 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

0.5 0.878 0.882 0.882 0.875 0.875

1.0 0.540 0.557 0.561 0.531 0.531

1.5 0.071 0.101 0.114 0.069 0.055

2.0 0.416 –0.379 –0.355 –0.401 –0.436

2.5 –0.801 –0.770 -0.741 –0.779 –0.817

3.0 –0.990 –0.980 –0.956 –0.987 –0.994

4.0 –0.654 –0.712 –0.738 –0.784 –0.621

5.0 0.284 0.186 0.103 0.006 0.335

6.0 0.960 0.920 0.844 0.743 0.976

7.0 0.754 0.839 0.858 0.865 0.703

7.5 0.347 0.484 0.563 0.655 0.270

8.0 –0.146 0.015 0.144 0.317 –0.230

9.0 –0.911 –0.822 –0.680 –0.440 –0.947

10.0 –0.839 –0.931 –0.916 –0.814 –0.776

s˙ s+ 0=

s0 1= s0 0=

tD

tD 0.5=

ANALISI DINAMICA

Tab. 8.6 – Soluzione del sistema dell’esempio 8.1,

Tab. 8.7 – Soluzione del sistema dell’esempio 8.1,

t SOLUZIONE ANALITICA

NEWMARK WILSON HOUBOLT DIFFERENZE CENTRALI

0 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

1.0 0.540 0.600 0.588 0.500 0.500

2.0 –0.416 –0.280 –0.261 –0.500 –0.500

3.0 –0.990 –0.936 –0.883 –1.167 –1.000

4.0 –0.654 –0.843 –0.846 –1.111 –0.500

5.0 0.284 –0.076 –0.215 –0.463 0.500

6.0 0.960 0.752 0.526 0.321 1.000

7.0 0.754 0.979 0.849 0.782 0.500

8.0 –0.146 0.422 0.553 0.721 –0.500

9.0 –0.911 –0.472 –0.114 0.266 –1.000

10.0 –0.839 –0.989 –0.658 –0.257 –0.500

t SOLUZIONE ANALITICA

NEWMARK WILSON HOUBOLT DIFFERENZE CENTRALI

0 1.000 1.000 1.000 1.000 1.00

2.5 –0.801 –0.220 –0.627 –0.904 –2.13

5.0 0.284 –0.904 –1.022 0.636 8.03

7.5 0.347 0.616 0.450 0.945 –32.0

10.0 –0.839 0.633 0.602 0.155 128

tD 1.0=

tD 2.5=

268

Le figure 8.10 e 8.11 illustrano la risposta del sistema ottenuta analitica-mente e con i diversi metodi di integrazione, utilizzando rispettivamente unpasso di integrazione pari a 0.5 e 2.5.tD

ANALISI DINAMICA

Fig. 8.10 – Risposta del sistema dell’esempio 8.1, passo di integrazione .tD 0.5=

Fig. 8.11 – Risposta del sistema dell’esempio 8.1, passo di integrazione .tD 2.5=

269

ANALISI DINAMICA

La figura 8.12 illustra invece la risposta del sistema ottenuta utilizzando rap-porto passo-periodo . In quest’ultimo caso, con un passo diintegrazione relativamente piccolo, i diversi metodi forniscono risultati che siconfondono con quelli analitici. Utilizzando un passo più elevato, pari a

, ( ), (fig. 8.10) il metodo delle differenze centrali equello di Newmark forniscono ancora buoni risultati, mentre si ha un incre-mento del periodo ed una diminuzione dell’ampiezza per la riposte ottenutecon i metodi di Wilson e di Houbolt: i due metodi introducono uno smorza-mento artificiale (numerico) e questo fenomeno aumenta con l’aumentare delpasso di integrazione; rispetto al metodo di Houbolt, il metodo di Wilson pro-voca un minor allungamento del periodo ed una minore diminuzionedell’ampiezza.L’uso di un passo di integrazione ancora più grande ( , pari a

), (fig. 8.11), rende il metodo delle differenze centrali instabile,fornendo risultati del tutto errati, con valori crescenti nel tempo.

Dt T§ 0.01=

Dt 0.5= Dt T§ 0.08=

Dt 2.5=Dt T§ 0.4=

270

Fig. 8.12 – Risposta del sistema dell’esempio 8.1, passo di integrazione .

ESEMPIO 8.4

Calcolare la risposta del sistema:

8.131

tD 0.01=

s˙ ks+ f=

ANALISI DINAMICA

271

con e , utilizzando i metodi delle differenze centrali, Houbolt,

Wilson e Newmark. Confrontare i risultati ottenuti con passi di integrazione

pari a 0.05, e 0.1 con la soluzione analitica:

8.132

Le tabelle 8.8 e 8.9, illustrano la risposta del sistema ottenuta con i diversimetodi di integrazione, rispettivamente per un passo di integrazione paria 0.05 e 0.1.

Tab. 8.8 – Soluzione del sistema dell’esempio 8.2,

Tab. 8.9 – Soluzione del sistema dell’esempio 8.2,

t SOLUZIONE ANALITICA

NEWMARK WILSON HOUBOLTDIFFERENZE CENTRALI

0 0 0 0 0 00.05 0.124 0.121 0.122 0.125 0.1250.10 0.480 0.470 0.468 0.484 0.4840.15 1.023 1.005 0.996 1.022 1.0330.20 1.688 1.660 1.643 1.670 1.7030.25 2.391 2.356 2.330 2.350 2.4100.30 3.046 3.009 2.976 2.986 3.0650.35 3.572 3.540 3.506 3.504 3.5880.40 3.903 3.884 3.856 3.849 3.9120.45 3.998 4.000 3.985 3.984 3.9970.50 3.847 3.873 3.879 3.894 3.8320.55 3.467 3.520 3.550 3.593 3.4390.60 2.905 2.982 3.039 3.116 2.865

t SOLUZIONE ANALITICA

NEWMARK WILSON HOUBOLTDIFFERENZE CENTRALI

0 0 0 0 0 00.10 0.480 0.444 0.450 0.500 0.5000.20 1.688 1.580 1.561 1.750 1.7500.30 3.046 2.903 2.835 3.100 3.1250.40 3.903 3.824 3.737 4.000 3.9380.50 3.847 3.934 3.902 4.140 3.7810.60 2.905 3.185 3.280 3.520 2.734

s0 0= s0 0=

tD

sfk-- 1 kt( )cos–( )=

tD

tD 0.05=

tD 0.05=

ANALISI DINAMICA

272

Fig. 8.13 – Risposta del sistema dell’esempio 8.2, passo di integrazione .

Le figure 8.13, 8.14, illustrano l’andamento della risposta del sistema con idiversi metodi di integrazione.

Fig. 8.14 – Risposta del sistema dell’esempio 8.2, passo di integrazione .

tD 0.05=

tD 0.1=

ANALISI DINAMICA

8.10 STABILITÀ E PRECISIONE DEI METODI DI INTEGRAZIONE DIRETTA

Per stabilità si intende la condizione per cui un piccolo errore ad un passo tem-porale determina errori cumulativi più piccoli ai passi successivi. Precisione è lacondizione per cui la soluzione, per metodi incondizionatamente stabili o,rispettando il limite di stabilità, anche per metodi condizionatamente stabili, puressendo stabile, converge alla soluzione esatta.

Le considerazioni che si possono fare sull’integrazione diretta sono più evidentise trasferite alla soluzione delle equazioni disaccoppiate (un solo grado di libertàper equazione), che è come dire fare la sovrapposizione modale non utilizzandol’integrale di Duhamel, ma gli algoritmi classici dell’integrazione diretta. Ci siriferisce quindi all’equazione:

8.133x 2xwx w2x+ + f=

Stabilità e precisione sono caratteristiche dell’analisi dipendenti da Dt, x, w.Detto T il periodo della vibrazione libera non smorzata, il problema è quindiquello di valutare anche gli errori di integrazione in funzione di Dt/T, del rap-porto di smorzamento critico x e del carico applicato f, in termini di distribu-zione spaziale e temporale.

Integrare con precisione tutte le n equazioni (disaccoppiate) richiede l’adozionedi un passo di integrazione Dt minore del più piccolo periodo Ti del sistema(Tn ), si può stimare che . In molte analisi la risposta è data princi-palmente solo da alcuni modi di vibrare, è inoltre scarsamente giustificato inclu-dere i modi più alti, perché poco approssimati. Generalmente sono sufficienti iprimi p modi di vibrare, dove p è generalmente determinato dalla distribuzionespaziale e dal contenuto in frequenza del carico f. Si può adottare allora

.

8.10.1 Operatori di approssimazione e di carico

Data l’equazione 8.133, si suppone di conoscere la soluzione ai tempi 0, Dt, 2Dt,3Dt,..., t – Dt, t e di voler calcolare la soluzione a t+Dt. In questo caso si può sta-bilire una relazione del tipo:

8.134

con [A ] operatore di approssimazione e { L } operatore di carico, dipendentidallo schema di integrazione prescelto, e ft+v è il carico al tempo t+v, con v, aseconda del metodo di integrazione scelto, pari a 0, Dt o qDt.In generale, al tempo t+nDt, applicando ricursivamente la 8.134, si ha:

Dt Tn 10§@

Dt Tp 10§@

x{ }t Dt+ A[ ] x{ }t L{ }ft v++=

8.135x{ }t nDt+ A[ ]n x{ }t A[ ]n 1– L{ }ft v+ A[ ]n 2– L{ }ft Dt v+ + + + +=

A[ ] L{ }ft n 1–( )Dt v+ ++ º

273

ANALISI DINAMICA

274

Come varia la risposta al variare del passo di integrazione, o meglio del suo rap-porto rispetto al periodo di vibrazione Dt /T ? La stabilità è determinata attra-verso l’esame del comportamento della soluzione numerica 8.135 per condizioniiniziali arbitrarie. Con carico nullo si ha:

8.136

Occorre quindi fare una analisi di stabilità della 8.136 per i diversi metodi diintegrazione.

Decomposizione spettrale di [A]n

La decomposizione spettrale della matrice [A] è:

8.137

con [P ] matrice degli autovettori di [A ] e [ J ] forma Jordan di [A ], con gliautovalori li di [A] sulla diagonale principale.

Sia r([A]) il raggio spettrale di [A]:

8.138

Si può dimostrare che:

8.139

La 8.139 definisce il criterio di stabilità. Inoltre più piccolo è il raggio spettraler([A ]), più rapida è la convergenza. La stabilità del metodo dipende quindidall’operatore di approssimazione.

8.10.2 Metodo delle differenze centrali

Il metodo delle differenze centrali è caratterizzato dalle seguenti equazioni:

8.140

Sostituendo nella prima e risolvendo per si ottiene:

x{ }t nDt+ A[ ]n x{ }t=

A[ ]n P[ ] J[ ]n P[ ] 1–=

r A[ ]( ) max li( )= i 1 2 º n, , ,=

J[ ]n è limitata per n �Æse e solo se r A[ ]( ) 1£

xt 2xwxt w2xt+ + ft=

xt1

Dt 2-------- xt Dt– 2xt– xt Dt++( )=

xt1

2Dt--------- xt Dt–– xt Dt++( )=

xt Dt+

ANALISI DINAMICA

275

8.141

che si può riscrivere in forma matriciale come:

8.142

e:

8.143

8.10.3 Metodo di Houbolt

Il metodo di Houbolt è caratterizzato dalle seguenti equazioni:

8.144

Sostituendo nella prima e risolvendo per si ottiene:

8.145

con:

xt Dt+2 w2Dt 2–1 xwDt+------------------------ xt

1 xwDt–1 xwDt+---------------------- xt Dt––

Dt 2

1 xwDt+---------------------- ft+=

xt Dt+

xtÓ þÌ ýÏ ¸ 2 w2Dt 2–

1 xwDt+------------------------ 1 xwDt–

1 xwDt+----------------------

1 0

xt

xt Dt–Ó þÔ ÔÌ ýÔ ÔÏ ¸ Dt 2

1 xwDt+----------------------

0Ó þÔ ÔÌ ýÔ ÔÏ ¸

ft+=

A[ ]2 w2Dt 2–1 xwDt+------------------------ 1 xwDt–

1 xwDt+----------------------–

1 0

=

L{ }Dt 2

1 xwDt+----------------------

0Ó þÔ ÔÌ ýÔ ÔÏ ¸

=

xt Dt+ 2xwxt Dt+ w2xt Dt++ + ft Dt+=

xt Dt+1

Dt 2-------- 2xt Dt+ 5xt– 4xt Dt– xt 2Dt––+( )=

xt Dt+1

6Dt--------- 11xt Dt+ 18xt– 9xt Dt– 2xt 2Dt––+( )=

xt Dt+

xt Dt+

xt

xt Dt–Ó þÔ ÔÌ ýÔ ÔÏ ¸

A[ ]xt

xt Dt–

xt 2Dt–Ó þÔ ÔÌ ýÔ ÔÏ ¸

L{ } ft Dt++=

ANALISI DINAMICA

8.146

A[ ]

5bw2Dt 2--------------- 6c+ 4

bw2Dt 2--------------- 3c+Ë ¯

Ê �– bw2Dt 2--------------- 2c

3------+

1 0 00 1 0

=

L{ }

bw2------

00Ó þ

Ô ÔÔ ÔÌ ýÔ ÔÔ ÔÏ ¸

=

b 2w2Dt 2--------------- 11x

3wDt------------- 1+ +Ë ¯

Ê � 1–=

c xbwDt----------=

8.10.4 Metodo di Wilson - q

Il metodo di Wilson - q è caratterizzato dalle seguenti equazioni:

8.147

xt t+ xt xt Dt+ xt–( ) tDt-----+=

xt t+ xt xtt xt Dt+ xt–( ) t2

2Dt---------+ +=

xt t+ xt xtt 12--- xtt2 xt Dt+ xt–( ) t3

6Dt---------+ + +=

al tempo t + Dt, ponendo t = Dt si ha:

8.148

xt Dt+ xt xt Dt+ xt+( ) Dt2-----+=

xt Dt+ xt 2 xt xt Dt++( ) Dt2

6--------+=

276

Ricordando che nel metodo di Wilson - q l’equazione di equilibrio è valutata altempo t + qDt:

8.149

Sostituendo le 8.146 scritta al tempo t = qDt nella 8.148, risolvendo per la solaincognita e sostituendo successivamente nelle 8.147, si ottiene la rela-zione:

xt qDt+ 2xwxt qDt+ w2xt qDt++ + ft qDt+=

xt Dt+

ANALISI DINAMICA

277

8.150

con:

8.151

8.10.5 Metodo di Newmark

L’equazione di equilibrio è valutata al tempo t + Dt:

8.152

con velocità e spostamenti valutati a t + Dt come:

8.153

Sostituendo le 8.153 nella 8.152, si ottiene la relazione:

8.154

con:

xt Dt+

xt Dt+

xt Dt+Ó þÔ ÔÌ ýÔ ÔÏ ¸

A[ ]xt

xt

xtÓ þÔ ÔÌ ýÔ ÔÏ ¸

L{ } ft qDt++=

A[ ]

1 bq2

3---------– 1

q---– cq –

1Dt----- bq– 2c–( )

1Dt2-------- b–( )

Dt 1 12q------ bq2

6---------–

cq2

------––Ë ¯Ê � 1 bq

2------– c –

1Dt----- b

2---–Ë ¯

Ê �

Dt 2 12--- 1

6q------ bq2

18---------–

cq6

------––Ë ¯Ê � Dt 1 bq

6------

c3---––Ë ¯

Ê � 1 b6---–

=

L{ }

bw2Dt 2----------------

b2w2Dt----------------

b6w2----------

Ó þÔ ÔÔ ÔÔ ÔÌ ýÔ ÔÔ ÔÔ ÔÏ ¸

=b q

w2Dt 2---------------- xq2

wDt---------- q3

6-----+ + ¯

�ËÊ 1–

=

c xbwDt----------=

xt Dt+ 2xwxt Dt+ w2xt Dt++ + ft Dt+=

xt Dt+ xt 1 d–( ) xt d xt Dt++[ ]Dt+=

xt Dt+ xt xtDt 12--- a–Ë ¯

Ê � xt a xt Dt++ Dt2+ +=

xt Dt+

xt Dt+

xt Dt+Ó þÔ ÔÌ ýÔ ÔÏ ¸

A[ ]xt

xt

xtÓ þÔ ÔÌ ýÔ ÔÏ ¸

L{ } ft qDt++=

ANALISI DINAMICA

278

8.155

8.10.6 Analisi di stabilità

Con il metodo delle differenze centrali, ad esempio, assumendo nullo lo smorza-mento, si ha:

8.156

il polinomio caratteristico è

8.157

e gli autovalori sono:

8.158

e il raggio spettrale di [A]:

8.159

Allo stesso modo per gli altri metodi si può ricavare un grafico di r([A]) in fun-zione di Dt/T (fig. 8.15).

Per il metodo di Wilson - q si può valutare r([A]) in funzione di q e ottenere ilrisultato illustrato in fig. 8.16, per il metodo di Newmark si possono variare a e de scoprire che il metodo è incondizionatamente stabile se:

8.160

A[ ]

12--- a–Ë ¯

Ê � b– 2 1 d–( )c –1

Dt----- b– 2c–( )

1Dt 2--------- b–( )

Dt 1 d– 12--- a–Ë ¯

Ê � db– 2 1 d–( )dc– 1 bd– 2dc –1

Dt----- bd–( )

Dt 2 12--- a– 1

2--- a–Ë ¯

Ê � ab– 2 1 d–( )ac– Dt 1 ab 2ac––( ) 1 ab–

=

L{ }

bw2Dt 2----------------

bdw2Dt------------

abw2-------

Ó þÔ ÔÔ ÔÔ ÔÌ ýÔ ÔÔ ÔÔ ÔÏ ¸

=

b 1w2Dt 2---------------- 2x

wDt---------- a+ + ¯

�ËÊ 1–

=

c xbwDt----------=

A[ ] 2 w2Dt 2– 1–

1 0=

l2 2 w2Dt2–( )l– 1+ 0=

l1 2,

2 4p2 DtT-----Ë ¯

Ê � 2– 2 4p2 Dt

T-----Ë ¯

Ê � 2–

24–±

2--------------------------------------------------------------------------------------------=

r A[ ]( ) max li( ) 1≥= perDtT----- 1

p---≥

d 0.5≥ a 0.25 d 0.5+( )2≥

ANALISI DINAMICA

per motivi di precisione si preferisce però usare valori di a e d di poco maggiore aa = 0.25 e d = 0.5.

Fig. 8.15 – Raggio spettrale dell’operatore di approssimazione .x 0=

Fig. 8.16 – Raggio spettrale in funzione di q per il metodo di Wilson- q.

279

ANALISI DINAMICA

8.10.7 Analisi di precisione

In un metodo incondizionatamente stabile (ma, rispettando il limite di stabilità,anche in uno condizionatamente stabile) il passo (time step) Dt deve essere dun-que scelto sulla base della precisione ottenibile.

Fig. 8.17 – Errori di precisione.

280

Generalmente gli errori nel processo di integrazione nel tempo si riscontrano intermini di allungamento del periodo e di decadimento dell’ampiezza in unatipica risposta sinusoidale non smorzata (fig. 8.17).

Integrando ad esempio (risposta ) si ottengono lecurve illustrate in figura 8.18.Le curve mostrano che, in generale, le integrazioni sono accurate quando tuttoavviene Dt /T < 0.01. Il metodo di Wilson - q introduce meno decadimento diampiezza ed allungamento del periodo (con q = 1.4) di quanto non faccia Hou-bolt. Il metodo di Newmark con d = 1/2 e a = 1/4 non introduce alcun decadi-mento di ampiezza.

I metodi che provocano il decadimento dell’ampiezza di fatto filtrano le alte fre-quenze, come si fa con la sovrapposizione modale. Poiché a regime la strutturavibra con la frequenza della funzione forzante, nella scelta di Dt bisogna tenerconto anche di questa.

Fattore importante nella scelta di un appropriato modello agli elementi finiti è ilfatto che solo i modi a frequenza più bassa (o solo pochi modi intermedi) di unsistema fisico saranno eccitati dai carichi applicati: il modello deve ben rappre-sentare questi modi e il Dt deve essere appropriato.

x w2x+ 0= x wtcos=

ANALISI DINAMICA

Fig. 8.18 – Errore di precisione per i vari metodi di integrazione.

Newmark

d 12---= a, 1

4---=

Wilson-qq = 1.4

Wilson

-

qq = 1.4

Houbolt Houbolt

1.0

3.0

5.0

7.0

11.0

15.0

19.0

1.0

3.0

5.0

7.0

11.0

19.0

15.0

0.02 0.06 0.10 0.14 0.18 0.02 0.06 0.10 0.14 0.18

D

t/T

D.A.

x 1

00%

D.A.

x 1

00%

D

t/T

281

L’operatore di Newmark e gli altri metodi impliciti in genere deprimono le fre-quenze e quindi si adattano bene a matrici a massa distribuita (frequenze esal-tate). Il metodo delle differenze centrali esalta le frequenze e può compensare glierrori dei modelli a masse concentrate (frequenze depresse).

Quando si integra con non linearità occorre ricordare che siccome cambiano lematrici Dt può e deve cambiare.

283

9. APPENDICI

9.1 R

ICHIAMI

DI

CALCOLO

MATRICIALE

9.1.1 Definizione di matrice

Una matrice è una tabella ordinata di elementi, disposti secondo righe e colonne,che obbedisce a ben determinate regole algebriche. In generale una matrice con-siste di

n

x

m

numeri disposti in

n

righe e

m

colonne, e viene indicata da una let-tera maiuscola racchiusa tra parentesi quadre:

9.1

dove [

A

] è una matrice avente n righe e m colonne o, più semplicemente, unamatrice

n

x

m

, e

a

ij

(

i

= 1,

n

;

j

= 1,

m

) sono gli elementi della matrice.

Gli elementi di una matrice possono essere quantità scalari, numeri complessi,simboli, o altre matrici, nel qual caso queste ultime sono chiamate sottoma-trici.Le posizioni degli elementi di una matrice sono individuate da due pediciindicanti la riga e la colonna di appartenenza; ad esempio l’elemento

a

ij

si tro-

verà nella posizione individuata dall’intersezione della riga

i

e della colonna

j

.

Quando la matrice è formata da una sola riga di elementi (

n

= 1) verrà detta

matrice riga

, mentre se è formata da una sola colonna di elementi (

m

= 1) verràdetta

matrice colonna

o più semplicemente

vettore

.

Due matrici sono uguali se gli elementi corrispondenti sono uguali, se:

A[ ]

a11 a12 º a1j º a1m

a21 a22 º a2j º a2m

º º º º º ºai1 ai2 º aij º aim

º º º º º ºan1 an2 º anj º anm

=

APPENDICI

284

9.2

allora:

9.3

Da notare che condizione necessaria affinché due matrici siano uguali è cheabbiano lo stesso numero di righe e colonne.

Quando in una matrice il numero di righe è uguale al numero delle colonne(

n

=

m

) essa è chiamata

matrice quadrata

. In una matrice quadrata la linea diago-nale individuata dagli elementi con pedici uguali (

a

11

,

a

12

, ...,

a

ii

, ...,

a

nn

) è

chiamata diagonale principale. Una matrice quadrata in cui solo gli elementisulla diagonale principale sono diversi da zero è chiamata

matrice diagonale

:

9.4

Una matrice diagonale in cui tutti gli elementi sono uguali all’unità è chiamatamatrice unitaria o

matrice identità

, ed è rappresentata dalla lettera

I

:

9.5

Una matrice quadrata in cui tutti gli elementi al di sotto della diagonale princi-pale sono uguali a zero è chiamata

matrice triangolare superiore

, ed è rappresen-tata dalla lettera

U

:

A[ ] B[ ]=

aij bij= i 1 n j;, 1 m,= =( )

A[ ]

a11 0 º 0 º 0

0 a22 º 0 º 0

º º º º º º0 0 º aij º 0

º º º º º º0 0 º 0 º anm

=

I[ ]

1 0 º 0 º 00 1 º 0 º 0

º º º º º º0 0 º 1 º 0

º º º º º º0 0 º 0 º 1

=

APPENDICI

285

9.6

Analogamente una matrice quadrata in cui tutti gli elementi al di sopra della dia-gonale principale sono uguali a zero è chiamata

matrice triangolare inferiore

, ed èrappresentata dalla lettera

L

:

9.7

Si definisce trasposta della matrice la matrice ottenuta scambiando le

righe e le colonne della matrice :

9.8

Se, data una matrice quadrata [

A

]:

9.9

allora:

9.10

U[ ]

u11 u12 º u1j º u1m

0 u22 º u2j º u2m

º º º º º º0 0 º uij º uim

º º º º º º0 0 º 0 º unm

=

L[ ]

l11 0 º 0 º 0

l21 l22 º 0 º 0

º º º º º ºli1 li2 º lij º 0

º º º º º ºln1 ln2 º lnj º lnm

=

A[ ] A[ ]T

A[ ]

A[ ]

a11 a21 º ai1 º an1

a12 a22 º ai2 º an2

º º º º º ºa1j a2j º aij º anj

º º º º º ºa1m a2m º aim º anm

=

A[ ] A[ ]T=

aij aji=

APPENDICI

286

e la matrice [A] è chiamata matrice simmetrica.

Nel calcolo strutturale con l’applicazione dell’analisi matriciale assumono unagrande importanza le matrici simmetriche a banda. Matrice banda significa chetutti gli elementi al di fuori dell’ampiezza di banda sono uguali a zero. Indicandocon [ K ] una matrice banda simmetrica, è:

9.11

dove è l’ampiezza di banda della matrice [ K ] e mk è la semiampiezza

di banda:

9.12

9.1.2 Addizione e sottrazione di matrici

Due matrici [ A ] e [B ] possono essere sommate se e solo se hanno lo stessonumero di righe e di colonne; la matrice [C ] risultante dall’operazione sulle pre-cedenti, avrà lo stesso numero di righe e di colonne di [ A] e [B ].

9.13

La somma delle matrici è eseguita sommando gli elementi corrispondenti:

9.14

La somma di matrici gode della proprietà commutativa ed associativa:

9.15

9.16

9.1.3 Moltiplicazione di una matrice per uno scalare

Una matrice [ A ] è moltiplicata per uno scalare k moltiplicando ciascun ele-mento della matrice per lo scalare k:

9.17

kij 0= j i mk+>( )

2mk 1+

K[ ]

k11 k12 k13 0 0 0

k21 k22 k23 k24 0 0

k31 k32 k33 k34 k35 0

0 k42 k43 k44 k45 k46

0 0 k53 k54 k55 k56

0 0 0 k64 k65 k66

=

semiampiezza di banda

diagonale principale

C[ ] A[ ] B[ ]+=

cij aij bij+= i 1 n j;, 1 m,= =( )

A[ ] B[ ]+ B[ ] A[ ]+=

A[ ] B[ ] C[ ]+ + A[ ] B[ ]+( ) C[ ]+ A[ ] B[ ] C[ ]+( )+= =

C[ ] k A[ ]◊=

APPENDICI

287

dove:

9.18

9.1.4 Moltiplicazione di matrici

Il prodotto di due matrici [ A] e [ B ]:

9.19

è definito se e solo se il numero di colonne della matrice [ A] che premoltiplica èuguale al numero di righe della matrice [ B ] che postmoltiplica; la matrice [C ]risultante avrà il numero di righe uguale a quello della matrice [ A] e il numerodi colonne uguale a quello della matrice [B ]. Se la matrice [A] ha ordine p x n ela matrice [ A] n x q, la matrice [ A] avrà ordine p x q e i suoi elementi sono rica-vati come:

9.20

cioè il generico elemento cij della matrice [C ] è dato dalla somma di prodotti

degli elementi della riga i della matrice [A] e dei corrispondenti elementi dellacolonna j della matrice [B].

Una forma mnemonica per eseguire il prodotto tra due matrici può essere laseguente: si dispone il alto a sinistra il primo fattore del prodotto, la matrice [A],e in basso a destra il secondo fattore, la matrice [B], in modo da lasciare angolar-mente fra le due lo spazio per la matrice risultante [C ].

cij k a◊ ij= i 1 n j;, 1 m,= =( )

C[ ] A[ ] B[ ]◊=

cij aik bkjk 1=

n

Â= i 1 p j;, 1 q,= =( )

a11 a12 º a1n

a21 a22 º a1n

º º º ºai1 ai2 º ain

º º º ºap1 ap2 º apn

cij

b11 b12 º b1j º b1q

b21 b22 º b2j º b2q

º º º º º ºbn1 bn2 º bnj º bnq

APPENDICI

288

L’elemento cij è quindi ottenuto individuando la riga i e la colonna j che si incro-

ciano in corrispondenza di esso, e calcolando la somma dei prodotti degli ele-menti.

Un caso particolare del prodotto di matrici è il prodotto tra una matrice [A] e unvettore {x}: applicando la regola del prodotto si troverà che il risultato è un vet-tore dello stesso ordine di {x}.

9.21

Il prodotto tra matrici non è commutativo:

9.22

Esso gode invece della proprietà associativa:

9.23

e distributiva:

9.24

9.1.5 Differenziazione di una matrice

Indicando con [A] una matrice n x m, tale che ogni suo elemento è una funzionedi variabili indipendenti x e y, la derivata parziale di [ A] rispetto a x è unamatrice [B] n x m:

9.25

i cui elementi sono calcolati come:

9.26

9.1.6 Differenziazione di una espressione matriciale

Valgono tutte le regole per la differenziazione delle ordinarie espressioni algebri-che; in particolare per il prodotto, bisogna mantenere l’ordine del prodotto:

9.27

9.1.7 Integrazione di matrici

Indicando con [A] una matrice n x m, tale che ogni suo elemento è una funzionecontinua di x, l’integrale di [A] rispetto in dx è una matrice [B] n x m:

A[ ] x{ }◊ B{ }=

A[ ] B[ ]◊ B[ ] A[ ]◊π

A[ ] B[ ] C[ ]◊ ◊ A[ ] B[ ]◊( ) C[ ]◊ A[ ] B[ ] C[ ]◊( )◊= =

A[ ] B[ ]+( ) C[ ]◊ A[ ] C[ ]◊ B[ ] C[ ]◊+=

x∂∂ A[ ] B[ ]=

bij x∂∂aij= i 1 n j;, 1 m,= =( )

x∂∂ A[ ] B[ ]( )

x∂∂ A[ ]Ë ¯

Ê � B[ ] A[ ]x∂∂ B[ ]Ë ¯

Ê �+=

APPENDICI

289

9.28

i cui elementi sono calcolati come:

9.29

9.1.8 Inversione di matrici

L’operazione di inversione è definita solo per matrici quadrate non singolari, cioèper matrici quadrate in cui una delle righe (colonne) non sia combinazione line-are delle altre righe (colonne). Quest’ultima ipotesi viene tradotta nel fatto che ildeterminante della matrice non sia nullo. Assumendo che l’inversa della matrice

[A] esista, essa viene indicata con [A]-1 ed è tale che:

9.30

Non rientra nei compiti di questa breve riepilogo descrivere come eseguirel’inversione di una matrice, esistono a tale scopo diversi algoritmi che permet-tono di risolvere questo problema. L’operazione di inversione permette formal-mente di risolvere il sistema di equazioni:

9.31

premoltiplicando entrambi i membri per [A]-1:

9.32

e notando che:

9.33

si ha che:

9.34

Si tenga però ben presente che, nel calcolo numerico, gli algoritmi per la solu-zione di sistemi lineari non utilizzano l’inversione della matrice dei coefficienti,né calcolano comunque la matrice inversa, ma seguono procedimenti più effi-cienti e rapidi.

9.2 INTEGRAZIONE NUMERICA

Si è visto che nel calcolo della matrice di rigidezza di un elemento, ed in specialmodo nella formulazione isoparametrica, si deve ricorrere ad una valutazione

B[ ] A[ ] xdÚ=

bij aij xdÚ= i 1 n j;, 1 m,= =( )

A[ ] A[ ] 1– I[ ]= oppure A[ ] 1– A[ ] I[ ]=

A[ ] x{ }◊ B{ }=

A[ ] 1– A[ ] x{ }◊ A[ ] 1– B{ }=

A[ ] A[ ] 1– I[ ]=

x{ } A[ ] 1– B{ }=

APPENDICI

290

numerica degli integrali in oggetto; nei casi mono-, bi- e tri-dimensionale si harispettivamente:

9.35

9.36

9.37

dove wi, wj , wk sono i coefficienti ponderali, f (xi ), f (xi , yj ), f (xi, yj, zk ) sono ivalori delle funzioni integrande negli specifici punti xi, xi , yj, xi, yj , zk ed e rap-presenta l'errore che si commette valutando numericamente l'integrale.

Soffermandosi per semplicità di rappresentazione al caso monodimensionale,l'integrazione di f (x) in dx è basata essenzialmente sul determinare un polinomiog (x) passante per dati valori di f (x) e quindi calcolare l'integrale di g (x) in dx

come valore approssimato di .

La determinazione di g(x) viene convenientemente effettuata mediante interpo-lazione lagrangiana:

9.38

ove xi è il generico punto di campionamento della funzione f (x), li (x) è il gene-rico polinomio di Lagrange, g (x) è il polinomio interpolatore, ovviamente digrado m – 1.

Sostanzialmente i metodi di integrazione numerica utilizzati sono due: il metododi Newton-Cotes ed il metodo di Gauss, altrimenti detto anche metodo diGauss-Legendre.

9.2.1 Metodo di Newton-Cotes

Si assume che la posizione dei punti campione sia nota a priori e che siano equi-distanti; ponendo:

9.39

f x( ) xdl

Ú wi f xi( )i 1=

mi

 e+=

f x y,( ) x yddAÚ wi wj f xi yj,( )

j 1=

mj

Âi 1=

mi

 e+=

f x y z,,( ) x y zdddV

Ú wi wj wk f xi yj zk,,( )k 1=

mk

Âj 1=

mj

Âi 1=

mi

 e+=

f x( ) xdÚ

g x( ) f xi( ) li x( )i 1=

m

Â=

a x1= b xm= h b a–n 1–------------=

APPENDICI

291

l'i-esimo punto avrà coordinata:

9.40

Si ricorda che:

9.41

Le uniche incognite da determinare per la soluzione dell'integrale sono i coeffi-cienti ponderali wi. Questi vengono calcolati da:

9.42

ed esplicitando la g(x):

9.43

con:

9.44

ovvero:

9.45

e:

9.46

dove wi sono le costanti di Newton-Cotes per l'integrazione numerica con mpunti di campionamento ed e è l'errore commesso nel valutare l'integrale, errore

dell'ordine di hm. Le costanti di Newton-Cotes per m da 1 a 7 sono riportatedalla tabella 9.1.

xi x1 i 1–( )h+=

f x( ) xdÚ wi f xi( )i 1=

m

 e+=

f x( ) xda

b

Ú g x( ) xda

b

Ú e+=

f x( ) xda

b

Ú li x( ) x f xi( )di 1=

m

 e+=

li x( )

x xk–( )k iπ( )"

�xi xk–( )

k iπ( )"�

-----------------------------------=

f x( ) xda

b

Ú b a–( ) wi f xi( )i 1=

m

 e+=

wi li x( ) xda

b

Ú=

APPENDICI

È da notare che se m sono i punti di campionamento il polinomio interpolatoreg(x), con cui si approssima l'integrale, sarà di grado m – 1. Ne consegue che conm punti di campionamento si integra esattamente una funzione di grado m – 1.

Tab. 9.1 – Ascisse e pesi ponderali secondo il metodo di Newton-Cotes

2

3

4

5

6

7

m wi

12--- 1

2---

16--- 4

6--- 1

6---

18--- 3

8--- 3

8--- 1

8---

790------ 32

90------ 12

90------ 32

90------ 7

90------

19288--------- 75

288--------- 50

288--------- 50

288--------- 75

288--------- 19

288---------

41840--------- 216

840--------- 27

840--------- 272

840--------- 27

840--------- 216

840--------- 41

840---------

292

Si nota che m = 2 rappresenta la regola del trapezio, mentre il caso m = 3 è laregola di Simpson.

9.2.2 Metodo di Gauss-Legendre

A differenza del metodo di Newton, nel metodo di Gauss sono incogniti sia icoefficienti ponderali wi che i punti di campionamento xi.

Si hanno cioè 2m variabili, per cui la funzione f (x) potrà essere approssimata daun polinomio g (x) di grado 2m – 1. Ne segue che con m punti di campiona-mento si integra esattamente una funzione di grado 2m – 1.

È quindi evidente il vantaggio dell'integrazione con il metodo di Gauss rispettoal metodo di Newton in quanto, a parità di approssimazione dell'integrale, è suf-ficiente un numero inferiore di punti di campionamento e di conseguenza unnumero inferiore di valutazioni della funzione f (x), con evidente diminuzionedei tempi di calcolo.

Per sintetizzare il procedimento seguito dal metodo di Gauss per la determina-zione dei punti di campionamento e dei corrispondenti pesi ponderali, si puòpartire dall'interpolazione di Lagrange, nella quale però le ascisse xi sono inco-gnite. Si definisce poi un polinomio:

APPENDICI

293

9.47

dove x1, x2, ..., xm sono gli stessi punti dell'interpolazione Lagrangiana.

Si costruisce allora la seguente funzione:

9.48

di grado 2m – 1, e nella quale i termini a partire dal grado m compreso conten-gano i parametri incogniti ai. Eseguendo l'integrale di ambo i membri si ha:

9.49

Si impone ora che gli m integrali contenenti P(x) siano nulli:

9.50

Occorre perciò trovare un insieme di valori di xi e cioè , , ..., che

rendono ciò possibile; la soluzione, che qui si tralascia di analizzare, si ottienecon l'aiuto dei polinomi di Legendre (motivo per il quale il metodo prende ilnome di Gauss-Legendre).

Nelle ascisse così determinate, l'integrale della funzione interpolatrice F(x)

vale:

9.51

e l'integrale a destra fornisce i valori dei pesi ponderali.

La tabella 9.2 riassume i valori delle ascisse xi e dei pesi ponderali wi per unintervallo normalizzato di integrazione –1 £ x £ 1 e sino a quattro punti di cam-pionamento.

Le ascisse ed i pesi ponderali per un intervallo generico a – b sono:

9.52

P x( ) x x1–( ) x x2–( )º x xm–( )=

F x( ) f xi( ) li x( )i 1=

m

 P x( ) ao a1x a2x2 º an 1– x n 1–+ + + +( )◊+=

F x( ) xda

b

Ú f xi( ) li x( ) xda

b

Úi 1=

m

 ai x iP x( ) xda

b

Úi 1=

m 1–

Â+=

x i P x( ) xda

b

Ú 0=

x1* x2

* xm*

xi*

F x( ) xda

b

Ú f xi*( ) li x( ) xd

a

b

Úi 1=

m

Â=

xi* a b+

2-----------

b a–2

----------- xi+=

wi* b a–

2----------- wi=

APPENDICI

Tab. 9.2 – Ascisse e pesi ponderali secondo il metodo di Gauss

1 2 3 4

0 0

2 1 8/9 5/9

m

xi1

3-------± 0.6± 3 4.8+

7---------------------± 3 4.8–

7--------------------±

wi12--- 30

36----------– 1

2--- 30

36----------+

9.2.3 Integrazione per triangoli

Nel caso di elementi triangolari l'integrale della matrice di rigidezza, o delle altregrandezze caratteristiche, se espresso in termini di coordinate d'area, è dellaforma:

9.53

Se la funzione integranda è del tipo:

9.54

l'integrale può essere calcolato abbastanza semplicemente:

9.55

In altri casi si deve ricorrere all'integrazione numerica. La tabella 9.3 fornisce leascisse (fig. 9.1) ed i pesi ponderali secondo il metodo di Hammer.

f x h,( ) x hdd1–

1

Ú1–

1

Ú

f x h,( ) xahb=

xahb( ) x hdd1–

1

Ú1–

1

Ú a!b!2 a b+ +( )!

----------------------------=

Fig. 9.1 – Punti di integrazione per elemento triangolare.

294

APPENDICI

Tab. 9.3 – Ascisse e pesi ponderali per integrazione su triangoli

ORDINE PUNTI

LINEARE

PARABOLICO

CUBICO

m xi hi wi

1 a 13--- 1

3--- 1

2---

3 b 12--- 1

2--- 1

6---

0 12---

12--- 0

4 c 13--- 1

3--- 27

96------–

15--- 1

5---

35--- 1

5--- 25

96------

15--- 3

5---

295

APPENDICI

296

9.3 PROGRAMMA DI CALCOLO

Qui di seguito è riportato, a titolo di esempio, un programma di calcolo inMATLAB, per il calcolo, con integrazione numerica, della matrice di rigidezza diun elemento quadrangolare.%% programma per calcolare la matrice di rigidezza per un elemento% isoparametrico 4 nodi. stato di tensione piano o stato di% deformazione piano, con integrazione numerica differenziata per% la parte flessionale e quella di taglio (normale, sottointegrata,% selettiva)%% Definizione delle variabili:%% Dati di input:%% xc(4,3): Coordinate X e Y dei nodi e spessore dell'elemento% el: Modulo elastico% rnu: Coefficiente di Poisson% rjac(2,2): Matrice Jacobiana% rb(3,8): Matrice B% re(3,3): Matrice di rigidezza del materiale% rn(4): Vettore delle funzioni di forma% der(2,4): Matrice delle derivate delle funzioni di forma% gaussf(2,2): Coordinate e pesi di integrazione (metodo di Gauss)

per la parte di flessione%% gausst(2,2): Coordinate e pesi di integrazione (metodo di Gauss)

per la parte di taglio%% c1(3): Vettore temporaneo% rk(8,8): Matrice di rigidezza dell'elemento% ngausf numero di punti di integrazione (per la parte di% flessione% ngaust numero di punti di integrazione (per la parte di

taglio)% detj: Determinante dello Jacobiano% rh: Spessore nel punto di integrazione%% itip = 1 Stato di tensione piano% itip = 2 Stato di deformazione piano%% Integr = 1: Integrazione normale (2 x 2)% Integr = 2: Integrazione ridotta (1 punto)%nodi = 4; % n. di nodi dell�elementoel = 1;rnu = .3;

xc(1, 1) = -1; % coordinate nodalixc(2, 1) = 1;xc(3, 1) = 1;

APPENDICI

297

xc(4, 1) = -1;xc(1, 2) = -1;xc(2, 2) = -1;xc(3, 2) = 1;xc(4, 2) = 1;xc(1, 3) = 1; % spessore ai nodixc(2, 3) = 1;xc(3, 3) = 1;xc(4, 3) = 1;

integr=input ('integr. normale (1), sottointegr. (2) o selettiva (3)');

itip=input ('plane strain (1) o plane stress (2)');

% Coordinate e pesi di integrazione (metodo di Gauss)

[ngausf,ngaust, gaussf,gausst,integr_str]=gauss_p(integr);

% Calcolo della matrice E del materiale

[re,itip_str]=mater(itip, el, rnu);

% Calcolo della matrice di rigidezza

[rk,rkf,rkt]=stiff4(nodi, xc, re, ngausf,ngaust, gaussf,gausst);

function [ngausf,ngaust,gaussf,gausst,integr_str]=gauss_p(integr);%% inizializza i punti di integrazione di Gauss, con 1 o 2 punti di GAUSS%% funzione: [ngauss,gauss]=gauss_p(integr)%% Parametri di input : - integr - n. punti di integrazione%% Parametri di output: - ngausf - n. punti di integrazione (per la% parte di flessione% - ngaust - n. punti di integrazione (per la% parte di taglio)% - gaussf - matrice dei punti e dei pesi di

Gauss (flessione)%% - gausst - matrice dei punti e dei pesi di

Gauss (taglio)%%if integr = = 2

ngausf = 1;ngaust = 1;gaussf(1, 1) = 0;

APPENDICI

298

gaussf(2, 1) = 2;gausst(1, 1) = 0;gausst(2, 1) = 2;integr_str='Sottointegrazione 1 x 1';

elseif integr = = 3ngausf = 2;ngaust = 1;gaussf(1, 1) = -1 / sqrt(3);gaussf(1, 2) = -gaussf(1, 1);gaussf(2, 1) = 1;gaussf(2, 2) = 1;gausst(1, 1) = 0;gausst(2, 1) = 2;integr_str='Integrazione selettiva 2 x 2 + 1 x 1';

elseif integr = = 1integr=1;ngausf = 2;ngaust = 2;gaussf(1, 1) = -1 / sqrt(3);gaussf(1, 2) = -gaussf(1, 1);gaussf(2, 1) = 1;gaussf(2, 2) = 1;gausst(1, 1) = -1 / sqrt(3);gausst(1, 2) = -gausst(1, 1);gausst(2, 1) = 1;gausst(2, 2) = 1;integr_str='Integrazione normale 2 x 2';

end

function [re,itip_str]=mater(itip, el, rnu);%% inizializza la matrice E delle caratteristiche del materiale%%% funzione: [re,itip_str]=mater(itip, el, rnu)%% Parametri di input : - itip - 1 = stato di tensione piano,% 2 = stato di deformazione piano% - el - Modulo elastico% - rnu - Modulo di Poisson%% Parametri di output: - re - matrice del materiale%if itip == 2

ae = el / (1 - rnu ^ 2);re(1, 1) = ae;re(1, 2) = rnu * ae;re(2, 1) = rnu * ae;re(2, 2) = ae;

APPENDICI

299

re(3, 3) = ae * (1 - rnu) / 2;itip_str='plane stress';

elseitip=1;ae = el / ((1 + rnu) * (1 - 2 * rnu));re(1, 1) = ae * (1 - rnu);re(1, 2) = rnu * ae;re(2, 1) = rnu * ae;re(2, 2) = ae * (1 - rnu);re(3, 3) = ae * (1 - 2 * rnu) / 2;itip_str='plane strain';

end

function [rk,rkf,rkt]=stiff4(nodi, xc, re, ngausf,ngaust, gaussf,gausst);%% calcola la matrice di rigidezza di un elemento isoparametrico% a 4 nodi% (stato di tensione piano o stato di deformazione piano, con% integrazione numerica con 1 o 2 punti di Gauss)%% funzione: [rk,rkf,rkt]=stiff4(nodi, xc, re, ngauss, gaussf,gausst)%% Parametri di input : - nodi - n. dei nodi dell�elemento% - xc - coordinate nodali e spessori nodali% - re - matrice del materiale% - ngausf - n. di punti di integrazione% (flessione)% - ngaust - n. di punti di integrazione

(taglio)% - gaussf - matrice dei punti e dei pesi di

Gauss (flessione)%% - gausst - matrice dei punti e dei pesi di

Gauss (taglio)%%% Parametri di output: - rk - matrice di rigidezza% - rkf - matrice di rigidezza (parte

flessionale)% - rkt - matrice di rigidezza parte di taglio%rk=zeros(8,8);rkf=zeros(8,8);rkt=zeros(8,8);%% integrazione parte flessionale%

APPENDICI

300

for ig = 1 : ngausf;xg = gaussf(1, ig);for jg = 1 : ngausf;

yg = gaussf(1, jg);[rb,detj,rh]=funzione_4(nodi, xg, yg, xc);w = gaussf(2, ig) * gaussf(2, jg) * rh*detj;for ia = 1 : 2 * nodi;

for ib = 1 : 2;c1(ib) = 0;for ic = 1 : 2;

c1(ib) = c1(ib) + re(ib, ic) * rb(ic, ia);end

endfor ie1 = ia : 2 * nodi;

s = 0;for ic = 1 : 2;

s = s + rb(ic, ie1) * c1(ic);endrkf(ie1, ia) = rkf(ie1, ia) + s * w;

endend

endendfor i = 1 : 8;

for j = i : 8;rkf(i, j) = rkf(j, i);

endend%% integrazione parte di taglio%for ig = 1 : ngaust;

xg = gausst(1, ig);for jg = 1 : ngaust;

rb=zeros(3,8);rjac=zeros(2,2);yg = gausst(1, jg);[rb,detj,rh]=funzione_4(nodi, xg, yg, xc);w = gausst(2, ig) * gausst(2, jg) * rh *detj;for ia = 1 : 2 * nodi;

for ib = 3 : 3;c1(ib) = 0;for ic = 3 : 3;

c1(ib) = c1(ib) + re(ib, ic) * rb(ic, ia);end

endfor ie1 = ia : 2 * nodi;

s = 0;for ic = 3 : 3;

s = s + rb(ic, ie1) * c1(ic);end

APPENDICI

301

rkt(ie1, ia) = rkt(ie1, ia) + s * w;end

endend

endfor i = 1 : 8;

for j = i : 8;rkt(i, j) = rkt(j, i);

endendfor i = 1 : 8;

for j = 1 : 8;rk(i, j) = rkf(i, j) + rkt(j, i);

endend

function [rb,detj,rh]=funzione_4(nodi, xg,yg, xc);%% calcola le funzioni di forma, le derivate e lo jacobiano di un% elemento% isoparametrico a 4 nodi%% funzione: [rb,detj,rh]=funzione_4(nodi, xg,yg, xc)%% Parametri di input : - nodi - n. dei nodi dell�elemento% - xg - x-coord. del punto di integrazione% - yg - y-coord. del punto di integrazione% - xc - coordinate nodali e spessori nodali%% Parametri di output: - rb - matrice di deformazione% - detj - determinante dello jacobiano% - rh - spessore%rh = 0;rb=zeros(3,8);rjac=zeros(2,2);r1 = 1 + xg;r2 = 1 - xg;r3 = 1 + yg;r4 = 1 - yg;rn(1) = .25 * r2 * r4;rn(2) = .25 * r1 * r4;rn(3) = .25 * r1 * r3;rn(4) = .25 * r2 * r3;der(1, 1) = -.25 * r4;der(1, 2) = .25 * r4;der(1, 3) = .25 * r3;der(1, 4) = -.25 * r3;der(2, 1) = -.25 * r2;

APPENDICI

302

der(2, 2) = -.25 * r1;der(2, 3) = .25 * r1;der(2, 4) = .25 * r2;for iz = 1 : nodi;

rjac(1, 1) = rjac(1, 1) + der(1, iz) * xc(iz, 1);rjac(1, 2) = rjac(1, 2) + der(1, iz) * xc(iz, 2);rjac(2, 1) = rjac(2, 1) + der(2, iz) * xc(iz, 1);rjac(2, 2) = rjac(2, 2) + der(2, iz) * xc(iz, 2);

enddetj = rjac(1, 1) * rjac(2, 2) - rjac(2, 1) * rjac(1, 2);dum = rjac(1, 1) / detj;rjac(1, 1) = rjac(2, 2) / detj;rjac(1, 2) = -rjac(1, 2) / detj;rjac(2, 1) = -rjac(2, 1) / detj;rjac(2, 2) = dum;for iz = 1 : nodi;

ih = 2 * iz;for iu = 1 : 2;

rb(1, ih - 1) = rb(1, ih - 1) + rjac(1, iu) * der(iu, iz);rb(2, ih) = rb(2, ih) + rjac(2, iu) * der(iu, iz);rb(3, ih) = rb(3, ih) + rjac(1, iu) * der(iu, iz);rb(3, ih - 1) = rb(3, ih - 1) + rjac(2, iu) * der(iu, iz);

endrh = rh + rn(iz) * xc(iz, 3);

end

303

10. BIBLIOGRAFIA

Per ulteriori approfondimenti si riporta qui di seguito una bibliografia essenziale:

1. Irons B., Nigel S.,

Finite element primer

, Horwood, Chichester, 1983 p. 157. 2. Gallagher R. H.,

Finite element analysis

:

fundamentals

, Prentice-Hall,Englewood Cliffs, 1975, p. 420.

3. Cook R. D., Malkus D. S., Plesha M. E.,

Concepts and applications of finiteelement analysis - 3rd ed.

, Wiley, New York, 1989, p. 630. 4. Bathe K. J.,

Finite element procedures

, Prentice-Hall, Englewood Cliffs,1996, p. 1037.

5. Zienkiewicz O. C., Taylor R.L.,

The finite element method - 5th ed.

, Butterworth-Heinemann, Oxford, 2000, 3 v. 1, p. 689; 2, p. 459; 3, p. 334.

6. Ross C. T. F.,

Finite element methods in structural mechanics

, Horwood, Chi-chester, 1985, p. 319.

7. Dhatt G., Touzot G.,

The finite element method displayed

, Wiley, Chichester,1984.

8. Hinton E., Owen D.R.J.,

An introduction to finite element computations

,Pineridge, Swansea, 1979, p. 385.

9. Petyt M.,

Introduction to finite element vibration analysis

, Cambridge Univer-sity Press, Cambridge, 1990, p. 558.